MATRIKS e : Imam Awaluddin
1
enger an
ar s
Matriks
adalah kum ulan bilan an an disajikan secara teratur dalam baris dan kolom an membentuk suatu erse i panjang yang termuat dalam sepasang tanda kurun atau .
Bilangan
yang terkandung dalam suatu .
Jajaran
horisontal unsur-unsur matriks , unsur matriks dinamakan kolom.
2
enger an
ar s
Matriks
adalah kum ulan bilan an an disajikan secara teratur dalam baris dan kolom an membentuk suatu erse i panjang yang termuat dalam sepasang tanda kurun atau .
Bilangan
yang terkandung dalam suatu .
Jajaran
horisontal unsur-unsur matriks , unsur matriks dinamakan kolom.
2
enu san
A
ar s
⎡ a11 ⎢
a12
a13
...
a1n ⎤
21
22
23
...
2n
= ⎢ a31
a32
a33
...
a3 n ⎥
⎢ ...
. ..
...
.. .
... ⎥
m1
m2
m3
...
⎥
mn
3
enu san
ar s
⎛ a11
a12
a13
...
a1n ⎞
⎜ a21 A=⎜a
a22
a23
...
a2 n
a
a
⎟ ... a ⎟
⎜ ...
...
...
...
am1
am 2
am3
... ⎟ ... amn 4
nsur
ar s
Unsur-unsur
suatu matriks secara umum dilambangkan notasi aij. i menunjukkan baris, sedangkan j menunjukkan kolom.
Unsur
a23 berarti unsur pada baris kedua dan kolom ketiga.
5
r e
mens
ar s
kolom dinamakan matriks berukuran m x n . Matriks
yang jumlah baris sama dengan um a o om m = n nama an ma r s bujursangkar (square matrix)
Matriks
tidak mempunyai nilai numerik, meski mrp sekumpulan bilangan tapi ia sendiri bukan suatu bilangan.
6
on o or o ma r s A
=
⎡ 2 −5 1 ⎤
6
−4 −7
⎢ = 1 12 B ⎢⎣0 −4
5
⎥
8 ⎥⎦
⎡9 1 6 0 ⎤ ⎢ ⎥ = − ⎢⎣ 2 2 4 7 ⎥⎦ 7
e or
k r mr m rik kh n h n mempunyai satu baris atau satu kolom. terdiri dari satu baris (dengan ordo 1 x n). on o : v =
Vektor
kolom adalah vektor yang hanya terdiri dari satu kolom (dengan ordo m x 1)
Contoh:
u=
⎡3⎤ ⎣5 ⎦
8
peras
ar s
syarat: dimensi matriks harus sama
Perkalian
Matriks dengan Skalar
menghasilkan matriks berdimensi yang sama dengan matriks tsb. P
rk li n n r M rik syarat: jika jumlah kolom matriks
baris matriks kedua (lag matrix).
9
on o A
=
enam a an
⎡ 2 −5 1 ⎤
A+B
=
B
=
ar s
⎡5 4 0 ⎤
⎡7 −1 1⎤
10
er a an k =
1
k B = ⎢
a r s engan B
=⎢
a ar
− −
⎥
− −1 4
⎥ 3
11
on o A (2×2)
AB
er a an
=⎢
⎥ 3 7
n ar
B (2×3)
=⎢
ar s
− 0
⎥ 4 −3
⎡4(−1) + 6(0) 4(3) + 6(4) 4(2) + 6(−3)⎤ = − + + + −
AB (2×3)
− − =⎢ ⎥ −3 37 −15 12
A (2×2)
=⎢
⎥ 3 7
B (2×3)
=⎢
− 0
⎥ 4 −3
13
er a an
e or g
u(2×1) = ⎢ ⎥ ⎣ 3⎦ uv '(2×3)
u
(1×2)
e or
v '(1×3) = [ 4 1 5]
⎡ 2(4) 2(1) 2(5) ⎤ ⎡ 8 2 10⎤ =⎢ =⎢ ⎥ ⎥ 3 4 31 3 5 12 3 15 v(2×1) =
=
u v(1×1) =
+
⎡8 ⎤ ⎣6⎦
= 14
ar s
en as
⎡4 6⎤ (2× 2)
IA (2×2)
×
⎣3
=⎢ =
7⎦
⎡1 0 ⎤ (2× 2)
⎣0 1 ⎦
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 0 1 3 7 3 7
⎡ 4 6 ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎣ 3 7 ⎦ ⎣0 1 ⎦
=
⎡ 4 6⎤ ⎣3 7⎦
15
ranspose A (2×3)
A'
ar s
⎡ 2 −5 1 ⎤ =⎢ ⎥
⎢ ⎥ = −5 4 ⎢⎣ 1 6 ⎥⎦ 16
a -s a [A’]’ [A
ranspose
=A
+ B]’ = A’ + B’
[AB]’
= B’A’ atau [ABC]’ = C’B’A’
17
e erm nan A (2×2) A
=⎢
11
a
ar s 12
⎥ a
= a a −a a =
4
6
⎣3 7⎦ = −
=
−
=
18
e erm nan A
=
|A|
a11
⎢a
a12
21
a22
⎢⎣ a31
a32
a22
= a11 a 32
a23 a33
r e e
ngg
a13
⎥ a23 a33 ⎥⎦ + a12 (−1)
a21
a23
a31
a33
+ a13
a21
a22
a31
a32
|A| = a11(a22a33 – a32a23) – a12(a21a33 – a31a23) 13
21 32 – 31 22 19
e erm nan A=
a11
⎢a
a12
21
a22
⎢⎣ a31
a32
a22
|A| = a11 a 32
a23 a33
r e e
ngg
a13
⎥ a23 a33 ⎥⎦ + a12 (−1)
a21
a23
a31
a33
+ a13
a21
a22
a31
a32
|A| = a11(a22a33 – a32a23) – a12(a21a33 – a31a23) 13
21 32 – 31 22 20
e erm nan A
=
|A|
a11
⎢a
a12
21
a22
⎢⎣ a31
a32
a22
= a11 a 32
a23 a33
r e e
ngg
a13
⎥ a23 a33 ⎥⎦ + a12 (−1)
a21
a23
a31
a33
+ a13
a21
a 22
a31
a32
|A| = a11(a22a33 – a32a23) – a12(a21a33 – a31a23) 13
21 32 – 31 22 21
e erm nan A
=
|A|
a11
⎢a
a12
21
a22
⎢⎣ a31
a32
a22
= a11 a 32
a23 a33
r e e
ngg
a13
⎥ a23 a33 ⎥⎦ + a12 (−1)
a21
a23
a31
a33
+ a13
a21
a 22
a31
a32
|A| = a11(a22a33 – a32a23) – a12(a21a33 – a31a23) 13
21 32 – 31 22 22
nor a11
a12
a13
A = a21
a22
a23
⎢⎣ a31
a32
a33 ⎥⎦
⎢
M 11 =
a22
a23
a32
a33
⎥
M 12 =
a21
a23
a31
a33
M 13 =
a21
a22
a31
a32
|A| = a11|M11| + a12 (–1)|M12| + a13|M13| 23
o a or |Cij| |C
12
= (–1) + |Mij| |=
(–1)1+1|M
= –
|C13|
=
(–1)1+3|M
|=
12
= −
13|
=
12
a22
a23
a32
a33
=−
= M 13 =
a
a
a31
a33
21
22
a31
a32 24
spans Ekspansi
ap ace Laplace untuk determinan orde
ketiga |A| = a11|C11| + a12|C12| + a13|C13| Ekspansi
Laplace untuk determinan orde
|A| = a11|C11| + a12|C12| + a13|C13| + a14|C14| 25
Contoh: Ekspansi Laplace sepanjang baris pertama ⎢
⎥
A = 5
8
3
⎢⎣ 6
7
0 ⎥⎦
= =
11
11
12
8
3
5
3
5
8
7
0
6
0
6
7
−
12
13
13
= 12(0 − 21) − 7(0 − 18) + 0(35 − 48) = −252 + 126 + 0 = −126
26
12
7
0
A = 5
8
3
⎢6
7
0⎥ 27
Contoh: Ekspansi Laplace sepanjang kolom ketiga ⎢
⎥
A = 5
8
3
⎢⎣ 6
7
0 ⎥⎦
= =
31
31
5
8
6
7
−
32
32
33
12
7
12
7
6
7
5
8
33
= 0(35 − 48) − 3(84 − 42) + 0(96 − 35) = 0 − 126 = −126
28
⎡ C11 = ⎢ 21 ⎢ C31 Matriks
C 13 ⎤
C12
⎥ C 33 ⎥
22
23
C32
Adjoint 11
⎢ Adj A = C ' = ⎢ C12 ⎣ C13
21
C22 C23
31
⎥ C 32 ⎥ C 33 ⎦
29
on o
⎢ ⎢ 3 4
⎡2 3 1⎤ A = 4 1
⎢
−
2
⎥
5
4
⎥ 5 3⎥
3 1
2
1
2 3
⎢ 3 4
5
4
⎢ 3 1
2
1
C = ⎢ −
−
−
⎥ 5 3⎥ 2 3⎥ 30
⎡ 1 2 ⎢ 3 4
−
C = ⎢ −
4
2
4
1⎤
5
4
5
3⎥
⎢ 3 4
5
4
⎢ 3 1 ⎢ 1 2
2
1
4
2
−
−
⎥ 5 3⎥ 2 3⎥ 4 1⎥
⎡ (4 − 6) −(16 −10) (12 − 5) ⎤ ⎡−2 −6 7 ⎤ (8 − 5) (6 −15) = −9 3 9 C = −(12 − 3) − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 6 −1 2 −12 ⎥ ⎢ 5 0 −10⎥ − 4−4 31
− − ⎢ C = −9 3 ⎢ ⎣5
0
⎥ ⎥ −10⎦ 9
−2 −9 5 ⎢ ⎥ Adj A = C ' = −6 3 0 ⎢⎣ 7 9 −10⎥⎦ 32
nverse Syarat
arx
ada inverse matrix:
Matriks
bujursangkar
Matriks
non singular : A |A| ≠ 0.
-1
= =
Rumus:
-1
−
=
1 A 33
on o ma r s nverse ⎢ ⎥ 2 ⎢ ⎥ ⎣5 3 4⎦
A = 4 1
ar
an ce apa a
A
−
=
A
AdjA
Adj A = C' e erm nannya
.
|A|
= 2[1(4)-3(2)] – 3[4(4)-5(2)] + 1[4(3)-5(1)]
|A|
= -4 – 18 + 7 = -15.
|A|
≠ 0 ada inverse-nya. 34
⎡ 1 2 ⎢ 3 4
−
C = ⎢ −
4
2
4
1⎤
5
4
5
3⎥
⎢ 3 4
5
4
⎢ 3 1 ⎢ 1 2
2
1
4
2
−
−
⎥ 5 3⎥ 2 3⎥ 4 1⎥
⎡ (4 − 6) −(16 −10) (12 − 5) ⎤ ⎡−2 −6 7 ⎤ (8 − 5) (6 −15) = −9 3 9 C = −(12 − 3) − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 6 −1 2 −12 ⎥ ⎢ 5 0 −10⎥ − 4−4 35
−2 −9 ⎢ Adj A = C ' = −6 3 ⎢
5
⎥ 0 ⎥ −
3 2 1 − − − 2 9 5 ⎡ ⎤ ⎡ 15 5 3⎤ 1 ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ −1 2 1 A = −6 3 − 0 = 0 −15 ⎢⎣ 7 9 −10⎥⎦ ⎢⎣ − 157 − 53 32 ⎥⎦
0.1333 .
‐0.467
0.6
‐ . ‐0.6
‐0.3 0.67
36
Penyelesaian persamaan dengan matriks inverse 1
2
−
3
=
−2 x1 + 3x2 + x3 = 12 3 x1 − x2 + 4 x3 = 5
⎡4 − 2 ⎢
1
−5⎤ ⎡ x1 ⎤
3
1
−
⎡8⎤
x2 = 12
⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥
3 37
=
A
−
=
A
-1
A
Adj A
⎡4 ⎢−
1
−5⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 8 ⎤ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥
⎢⎣ 3
−1
4 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦
= C '
⎢⎣ 5 ⎥⎦
|A| = 4[3(4)-(-1)(1)]–1[(-2)(4)-3(1)]+(-5)[(-2)(-1)-3(3)] =
=
. 38
⎢ ⎢ C = ⎢ −
−1 4 1
−
−5
− 3
− 4
4 −5
⎢ −1 4
3
4
1 −5
4
−5
⎢ ⎢
−
−
⎥ −1 ⎥
3
−
4
1
4
1⎥
−
⎥ = ⎢ 1 31 7 ⎥ ⎥ 3 −1 ⎥ ⎢ −
⎥
39
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣−7 7 14⎦
Adj A = C ' = 11 31 6
−1
98
⎥ = ⎢ 11
98
98
98
31 98
6 98
⎢⎣−7 7 14⎥⎦ ⎢ −987
7 98
14 98
1 ⎢ = 98
⎥ ⎥ 40
=
-1
13 98
1 98
16 98
98
31 98
6 98
⎥ ⎢12⎥
⎢⎣ −987
7 98
14 98
⎥⎦ ⎢⎣ 5 ⎥⎦
⎢ X = 11
+ 98 + 98 98 ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ 88 372 30 ⎥ 490 ⎥ X = + + = = 5 70 98 ⎢⎣ −9856 + 84 ⎥ ⎢ + 98 98 ⎦ ⎣ 98 ⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦ 98
x1 = 2, x2 = 5, x3 = 1.
41
Penyelesaian persamaan dengan Aturan Cramer 1
2
−
3
=
−2 x1 + 3x2 + x3 = 12 3 x1 − x2 + 4 x3 = 5
⎡4 − 2 ⎢
1
−5⎤ ⎡ x1 ⎤
3
1
−
⎡8⎤
x2 = 12
⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥
3 42
=
Ai
=
A
− AX = K
1
⎢ −2
3
⎢⎣ 3
−1
⎡8 ⎢ = ⎢⎣ 5
.
x1
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 x2 = 12 4 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎦⎥ ⎢⎣ 5 ⎦⎥
1
−5⎤ ⎥
−1
4 ⎥⎦ 43
8
1
−5
A1 = 12
3
1
− 1
=
3
1
−1 4
−
12
1
5
4
+ −
12
3
5
−1
A1 = 8(13) − 1(43) − 5( −27) = 196 x1 =
A1 A
=
196 98
=2 44
=
Ai A
− AX = K
2
⎢ −2
3
⎢⎣ 3
−1
⎡4 ⎢−
8
−5⎤ ⎥
⎢⎣ 3
5
4 ⎥⎦
x1
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 x2 = 12 4 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣ 5 ⎥⎦
45
⎡ 4 8 −5⎤ A2 = −2 12 1 ⎢ ⎥
2
=
12
1
5
4
−
−2 1 3
4
+ −
−2 12 3
5
A2 = 4(43) − 8( −11) − 5( −46) = 490 x2 =
A2 A
=
490 98
=5 46
=
Ai A
− AX = K
3
x1
⎢ −2
3
⎢⎣ 3
−1
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 x2 = 12 4 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎦⎥ ⎢⎣ 5 ⎦⎥
⎡4 ⎢−
1
8⎤
⎢⎣ 3
−1
5 ⎥⎦
⎥
47
⎡4 A3 = −2 ⎢
1
=
8⎤
1 3
12
−
3
12
−1
5
−
⎥
−2 12 3
5
+
−2
3
3
−1
A1 = 4(27) − 1( −46) + 8( −7) = 98 x3 =
A3 A
=
98 98
= 1. 48
on o
enerapan
onom
dua barang, dan mempunyai fungsi penerimaan total dan fun si bia a total sbb: TR = 15Q1 + 18Q2 TC = 2
2
+2
+3
2.
Carilah
besarnya masing-masing output yang akan memaksimumkan laba d cara Cramer
Berapa U
laba maksimumnya
ilah a akah laba max d determinan Hessian 49
TR = 15 + 18 TC = 2Q12 + 2Q1Q2 + 3Q22. = Π = 15Q1 + 18Q2 – 2Q12 – 2Q1Q2 – 3Q22
urun an scr pars a s a a t
1
an
2:
∂Π/ ∂Q1 = Π1 = 15 – 4Q1 – 2Q2 = 0 ∂Π/ ∂Q2 = Π2 = 18 – 2Q1 – 6Q2 = 0
Kita susun ulang 4Q1 + 2Q2 = 15 +
= 50
a am en u ma r s:
⎢ 2 6 ⎥ ⎢Q ⎥ = ⎢18⎥ ⎣ ⎦⎣ 2⎦ ⎣ ⎦ 1
Penyelesaian dengan aturan Cramer – i Qi = |A1| = 90 – 36 = 54 A |A2| = 72 – 30 = 42 42 54 , = , 2 1 = 20 20
51
Π = 15Q1 + 18Q2 – 2Q12 – 2Q1Q2 – 3Q22
Dengan Q1 = 2,7 dan Q2= 2,1 maka *
=
+
2 –
–
–
2
Π* = 40,5 + 37,8 – 14,58 – 11,34 – 13,23 = 19,15
–
1
1 –
2
Π2 = 18 – 2Q1 – 6Q2 = 0
Dengan menggunakan turunan parsial kedua:
=
π π
11 21
π
12
π
22
−4 −2 = = −2 −6
− =
Karena |H1| < 0 dan |H2|=|H| > 0 mk laba maks. 52
on o
enerapan
onom
barang, dan mempunyai fungsi permintaan dan fun si bia a total sbb: P1 = 80 – 5Q1 – 2Q2 dan P2 = 50 – Q1 – 3Q2 TC = 3
2
+2
+2
2.
Carilah
besarnya masing-masing output yang akan memaksimumkan laba d cara Cramer
Berapa U
laba maksimumnya
ilah a akah laba max d determinan Hessian 53
=
1
=
2
=
1
=
1
1
2
1
2
2
2
Π = (80 – 5Q1 – 2Q2)Q1 + (50 – Q1 – 3Q2)Q2
–
1
–
1
2 –
2
.
Π = 80Q1 + 50Q2 – 5Q1Q2 – 8Q12 – 5Q22
Turunkan scr parsial fs laba th Q1 dan Q2: ∂Π/ ∂Q1 = Π1 = 80 – 16Q1 – 5Q2 = 0 ∂Π/ ∂Q2 = Π2 = 50 – 5Q1 – 10Q2 = 0 54
Kita susun ulang 4Q + 2Q = 15 2Q1 + 6Q2 =18
55
oa
a
an
“ ” memisahkan tiga pasar untuk pelayanan enerban ann a. Permintaan masin -masin adalah sebagai berikut:
asar
Penerban an sian
:Q = 12 −
Penerbangan malam
:Q2 = 11 − 101 P2
ener angan
C = 40 + 10
usus :
+0 5
3
=
1
−8
P
3
2
dimana Q = Q1 + Q2 + Q3
56
Bentuk
fungsi penerimaannya
Carilah
tingkat output dan harga di masing-masing
Metode inverse matriks .
Uji
apakah labanya maksimum (dg uji |H|)
Berapa
elastisitas permintaa masing2 pasar pada . 57
ara penye esa an Ingat
rumus: π = R – C, dan R = PQ
Karena π
ada 3 pasar: R = R 1 + R 2 + R 3.
= P1Q1 + P2Q2 + P3Q3 - C
= 12 −
1
P
⇒ P = 144 − 12
Q2 = 11 − 101 P2 ⇒ P2 = 110 − 10Q2 3
π
− 18
3
3
−
3
= (144-12Q )Q +(110-10Q )Q +(104-8Q )Q – C 58
C
= 40 + 10Q + 0,5Q 2 =
C
+
+
+
+
2
+
= 40 + 10Q1 + 10Q2 + 10Q3 + 0,5Q12 2
, π
+
2
,
.
= 144Q1 – 12Q12+110Q2 – 10Q22 +104Q3 – 8Q32 – 40 – 10Q1 – 10Q2 – 10Q3 – 0,5Q1 – Q1Q2 – 0,5Q22 – Q2Q3 – 0,5Q32 – Q1Q3.
π
= –12,5Q12 + 134Q1 – Q1Q2 – 10,5Q22 + 100Q2 –
– ,
2
–
–
. 59
= – ,
2+
–
–
,
2
+
– Q2Q3 – 8,5Q32 + 94Q3 – Q1Q3 – 40.
π = –25
π2 = –21 Q2 + 100 – Q1 – Q3 = 0
π = –17
25Q1 + 1
+ 94 – Q2 +
1
⎢1
21
⎢⎣ 1
1
– –
=0 =0
Q3 = 134
2
Q1 +
25
+ 134 –
3
Q2 + 17Q3 = 94
1
Q1
134
⎥ ⎢Q ⎥ = ⎢100⎥ 2 17 ⎥⎦ ⎢⎣ Q3 ⎥⎦ ⎢⎣ 94 ⎥⎦ 1
60
unc awa an Q1
= 4,99; P1 = 84,12.
Q
= 4,29; P = 67,10.
Q1
= 4,98; P1 = 64,16.
1
ε1
=
,
2
=
,
1
=
=
.
= -1,40, ε2 = -1,56, ε3 = -1,61.
61
