Determinar los desplazamientos en los nodos, fuerzas axiales en las barras y reacciones en los apoyos para la armadura mostrada en la figura, debido a los efectos combinados de: 1. las cargas que actúan en los nodos mostrados 2. un incremento de temperatura de 70°F en la barra ba rra 2 3. Una baja de temperatura de 30°F en la barra 5 y 4. La barra 4 se fabricó 1/8" más largo de lo necesario 5. emplear método m étodo de rigidez y un valor de alpha= 1.3x10-5/° 1. 3x10-5/°F
El vector de carga nodal, es Determinando el vector de carga nodal, P
P
75
1
150
2
75
3
E 10000 A 6
El efecto efecto debido debido a un incremento de temperatura de 70~F en la barra [2].
5
alph alphaa 1.3 1.3 10
Tu 70
Ft2 E A alpha Tu 54.6
el signo positivo indica incremento de temperatura!
54.6 0 Qf2 54.6 0 La fuerza axial actuando en la barra 2 sera: 54.6 a COMPRESION!
Para la barra 2. L2
02 122 12
L2 12 xi2 16
xf2 16
yi2 24
yf2 12
cosx2 senx2
( xf2 xi2) L2 ( yf2 yi2) L2
cosx2 senx2 T2 0 0
0 1
senx2
0
cosx2
0
0
cosx2
0
senx2
0 1 00 1 0 senx2 0 0 cosx2 0 0 0
0
0
0
1 0
0 1
0
Las fuerzas en coordenadas coordenadas globales actuand act uando o en la barra barra 2, se obtienen:
0 T 54.6 F2 T2 Qf2 0 54.6
1 2
R6 54.6
3 6
El efecto debido debido a un decremento de temperatura de 30~F en la barra [5]. Disminución de Temperatura Temperatura en la barra [5]: 5 alph alphaa 1.3 1.3 10 Tu 30 el signo negativo indica decremento de temperatura! Ft5 E A alpha Tu 23.4
23.4 0 Qf5 23.4 0
La fuerza axial actuando en la barra 5 sera: 23.4 a TENSION!
Para la barra 5.
2
20
2
L5 12 16 L5 20 xi5 0
xf5 16
yi5 0
yf5 12
cosx5 senx5
( xf5 xi5) L5 ( yf5 yi5) L5
0.8 0.6
cosx5 senx5 T5 0 0
senx5
0
cosx5
0
0
cosx5
0
senx5
0.8 00 0.6 senx5 0 cosx5 0 0
0.6
0
0.8
0
0
0.8
0
0.6
0 0.6 0.8 0
Las fuerzas en coordenadas coordenadas globales actuando en la barra barra 5, se obtienen:
18.72 T 14.04 F5 T5 Qf5 18.72 14.04
7
R6 14.04
8
R7 18.72
3
R8 14.04
6
El efecto efecto debido debido a un error de fabricación, de 1/8" MAS LARGA en la barra [4]. Errore Erro res s de Fab Fabrica ricación ción en la bar barra ra [4] [4]:: Para la barra 4. L4
En esta esta bar barra ra no hay hay ningun ningun efe efect cto o por cambio de temperat temperatura ura PERO SI S I HAY errores de fabricación.
242 162 28.844
L4 28.844 xi4 0
xf4 16
yi4 0
yf4 24
cosx4 senx4 ea Ft4
( xf4 xi4) L4 ( yf4 yi4) L4
0.555 0.832
1 8 ( E A) L4 12
ea 21.668
21.668 0 Qf4 21.668 0
La fuerza axial actuando en la barra 4 sera: 21.668 a COMPRESION!
La matriz de transformacion T para la barra 4 es:
cosx4 senx4 T4 0 0
senx4
0
cosx4
0
0
cosx4
0
senx4
0.555 00 0.832 senx4 0 cosx4 0 0
0.832
0
0.555
0
0
0.555
0
0.832
0 0.832 0.555 0
Las fuerzas en coordenadas coordenadas globales actuando en la barra barra 4, se obtienen:
12.019 T 18.029 F4 T4 Qf4 12.019 18.029
7
R7 24.038
8
R8 36.058
1 2
DESPLAZAMIENTOS NODALES NODALES: Se calculan ahora tomando en cuenta las fuerzas aplicadas en la dirección de cada grado de libertad libre (P) y del vector de cargas que resulta producto de los esfuerzos inducidos en las barras por los cambios de temperatura y errores de fabricación (Pf), así tenemos:
P
75
Pf
150
75
12.019
0 12.019
54.6 18.029 72.629
18.72
18.72
87.019 Pe P Pf
77.371
ESTE VECTOR ES EL QUE UTILIZAREMOS PARA CALCULAR CALCULAR LOS DESPLAZAMIENTOS DE LA ESTRUCTURA.
56.28
Para plantear el sistema de ecuaciones solo nos falta la matriz de rigidez de la Estructura, S. en coordenadas globales. Para la barra 1. E 10000 A 6
E1
( E A) L1 12
312.5
2
xi 0
xf 16
yi 24 cosx senx
16
2
L1 0 16 L1 16
yf 24 ( xf xi) L1 ( yf yi) L1
1 0
( cosx) 2 cosxsenx (cosx)2 cosx senx 1 2 2 cosxsenx senx cosx senx ( senx) 0 k1 1 2 2 cosxsenx ( cosx) cosx senx ( cosx) 0 2 2 senx cosx senx ( senx) cosxsenx 4
5
312.5 0 E1 k1 312.5 0
1
0 1 0 0
0
0
0
1
0
0
0
0
2
0 312.5 0
4
0
5
0
0
0
312.5
0
0
0
0
1 2
por el momento, la matriz de rigidez, S es: S
312.5 0 0 0
Para la barra 2. E2 10000 A2 6 E2
( E2 A2) L2 12
416.667
( cosx2) 2 cosx2 senx2 (cosx2) 2 cosx2 senx2 0 0 2 2 senx2 cosx2 senx2 ( senx2) 0 1 cosx2 senx2 k2 0 0 2 2 cosx2 senx2 ( cosx2) cosx2 senx2 (cosx2) 0 1 2 2 cosx2 senx2 ( senx2 ) cosx2 senx2 senx2 1
2
3
0 0 0 416.667 E2 k2 0 0 0 416.667
0
0
0 1 0 0
1 0
6 0 0 0 0
416.667 0 416.667 0
1 2 3 6
ahora a la matriz de rigidez le agregamos los valores aplicables obtenidos para la barra 2, por lo tanto, S es ahora: S
312.5 0 0 0
312.5 0 416. 416.66 667 7 0 0 0
Para la barra 3. L3
122 162 20
416.667 0
L3 20 xi3 16
xf3 0
yi3 12
yf3 24 ( xf3 xi3) cosx3 0.8 L3 senx3
( yf3 yi3) L3
E3 10000
A3 6
( E3 A3)
E3
0.6
L3 12
250
( cosx3)2 cosx3 senx3 (cosx3) 2 cosx3 senx3 0.64 0.48 0.64 0.48 2 2 cosx3 senx3 ( senx3) 0.48 0.36 0.48 0.36 senx3 cosx3 senx3 k3 0.64 0.48 0.64 0.48 2 2 cosx3 senx3 ( cosx3) cosx3 senx3 (cosx3) 0.48 0.36 0.48 0.36 2 2 cosx3 senx3 senx3 cosx3 senx3 (senx3) 3
6
4
5
160 120 160 120 120 90 120 90 E3 k3 160 120 160 120 120 90 120 90
3 6 4 5
ahora a la matriz de rigidez le agregamos los valores aplicables obtenidos para la barra 3, por lo tanto, S es ahora:
S
312.5
0
0
0
416.667
0
0
0
160
Para la barra 4. L4
242 162 28.844
L4 28.8 28.84 44 xi4 0
xf4 16
yi4 0
yf4 24
cosx4 senx4
( xf4 xi4) L4 ( yf4 yi4)
E4 10000
L4
0.555 0.832
A4 6 ( E4A4) E4 173.344 L4 12
( cosx4)2 cosx4 senx4 (cosx4) 2 cosx4 senx4 0.308 0.462 0.308 0.462 2 2 senx4 cosx4 senx4 ( senx4) 0.462 0.692 0.462 0.692 cosx4 senx4 k4 0.308 0.462 0.308 0.462 2 2 cosx4 senx4 ( cosx4) cosx4 senx4 (cosx4) 0.462 0.692 0.462 0.692 2 2 cosx4 senx4 senx4 cosx4 senx4 (senx4) 7
8
1
2
7 53.337 80.005 53.337 80.005 80.005 120.007 80.005 120.007 8 E4 k4 53.337 80.005 53.337 80.005 1 80.005 120.007 80.005 120.007 2
ahora a la matriz de rigidez le agregamos los valores aplicables obtenidos para la barra 4, por lo tanto, S es ahora:
S
312.5 5 53.3 53.337 37 312.
80.005 0
0
0 80.005
416. 416.66 667 7 120. 120.00 007 7
0
0
0
365.837
160
80.005
0
80.005
536.674
0
0
0
160
Para la barra 5. L5
122 162 20
L5 20 xi5 0
xf5 16
yi5 0
yf5 12 ( xf5 xi5) cosx5 0.8 L5 senx5
( yf5 yi5)
E5 10000
L5
0.6
A5 6 ( E5 A5) E5 250 L5 12
(cosx5) 2 cosx5 senx5 ( cosx5) 2 cosx5 senx5 0.64 0.48 0.64 0.48 2 2 cosx5 senx5 senx5 cosx5 senx5 ( senx5) 0.48 0.36 0.48 0.36 k5 0.64 0.48 0.64 0.48 2 2 cosx5 senx5 (cosx5) cosx5 senx5 ( cosx5) 0.48 0.36 0.48 0.36 2 2 cosx5 senx5 ( senx5 ) cosx5 senx5 senx5
7
8
3
6
160 120 160 120 7 120 90 120 90 8 E5 k5 160 120 160 120 3 120 90 120 90 6 ahora a la matriz de rigidez le agregamos los valores aplicables obtenidos para la barra 5, por lo tanto, S es ahora:
S
312.5 5 53.3 53.337 37 312.
80.005 0
0
0 80.005
416. 416.66 667 7 120. 120.00 007 7
0
0
0
365.837
160 160
80.005
0
80.005
536.674
0
0
0
Resolviendo el sistema de ecuaciones, tenemos:
0.278 soln soln lsol lsolve ve( SPe)
d ( soln)
d1 0.278
0.186
0.176
320
87.019 Pe
77.371
56.28
d2 0.186 d3 0.176
Se puede comprobar
87.019 S d
77.371
56.28
87.019 que es igual que el vector P
Pe
77.371
56.28
Lo que sigue es calcular las fuerzas en las barras y las reacciones. Determinacion Determinacion de los desplazamientos desplaz amientos extremos extremos de cada barra y las fuerzas extremas: Barra 1:
0 4 0 5 v1 0.278 1 0.186 2
La matriz de transformacion T para la barra 1 es:
cosx senx T1 0 0
senx
0
cosx
0
0
cosx
0
senx
1 00 0 senx 0 cosx 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 u1 T1 v1 0.278 0.186 la matriz de rigidez en coordenadas coordenadas locales loc ales para la barra 1, sera: s era:
E1 0 k1l E1 0
0 E1 0
312.5 0 0 0 312.5 0 0
0 312.5 0
0
0
0
0
0
E1
0
312.5
0
0
0
0
0
0
86.875 0 Q1 k1l u1 86.875 0
0
ESTOS SON LOS VALORES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARR 1 EN COORDENADAS LOCALES LOCALES (K1LOCALES) (K1LOCALES)
La fuerza axial actuando en la barra 1 sera: 86.875 a TENSION!
Las fuerzas en coordenadas coordenadas globales actuando en la barra barra 1, se obtienen: 4
86.875 5 0 T F1 T1 Q1 86.875 1 0 2 0.278 1 Barra 2: 0.186 2 v2 0.176 3 0 6
R4 86.875 R5 0
La matriz de transformacion T para la barra 2 es:
cosx2 senx2 T2 0 0
senx2
0
cosx2
0
0
cosx2
0
senx2
0 1 00 1 0 senx2 0 0 cosx2 0 0 0
0
0
0
1 0
0 1
0
0.186 0.278 u2 T2 v2 0 0.176 la matriz de rigidez en coordenadas coordenadas locales loc ales para la barra 2, sera: s era:
E2 0 k2l E2 0
0 E2 0
0 416.667 0
0
0
416.667 0 0 0 416.667 0 0
0
0
0
ESTOS SON LOS VALORES DE LA MATRIZ 0 E2 0 416.667 0 DE RIGIDEZ DE LA BARR 0 0 0 0 0 2 EN COORDENADAS Incremento de Temperatura en la barra [2]: LOCALES LOCALES (K2LOCALES) (K2LOCALES) 5 alph alphaa 1.3 10 Tu 70 el signo positivo indica incremento de temperatura!
54.6 0 Qf1 54.6 0
Ft2 E A alpha Tu 54.6
132.1 0 Q2 k2l u2 Qf1 132.1 0
La fuerza axial actuando en la barra 2 sera: 132.1 a COMPRESION!
Las fuerzas en coordenadas coordenadas globales actuando en la barra 2, 2, s se e obtienen:
0 T 132.1 F2 T2 Q2 0 132.1 Barra 3:
1 2
R6 132.1
3 6
0.176 0 v3 0 0
3 6 4 5
La matriz de transformacion T para la barra 3 es:
cosx3 senx3 T3 0 0
senx3
0
cosx3
0
0
cosx3
0
senx3
0.8 0.6 0 0 00 0.6 0.8 0 0 senx3 0 0 0.8 0.6 cosx3 0 0 0.6 0.8 0
0.1408 0.1056 u3 T3 v3 0 0 la matriz de rigidez en coordenadas coordenadas locales loc ales para la barra 3, sera:
E3 0 k3l E3 0
0 E3 0
0 250 0
0
0
0
0
0
E3
0
250
0
0
0
0
0
0
250 0 0 0 250 0 0
35.2 0 Q3 k3l u3 35.2 0
ESTOS SON LOS VALORES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA 3 EN COORDENADAS LOCALES (K3LOCALES)
0
La fuerza axial actuando en la barra 3 sera: 35.2 a TENSION! En esta barra no hay ningun efecto por cambio de temperatura o por errores de fabricación.
Las fuerzas en coordenadas coordenadas globales actuand act uando o en la barra barra 3, se obtienen:
28.16 T 21.12 F3 T3 Q3 28.16 21.12 Barra 4:
3 6 4 5
R4 28.16 R5 21.12 R6 21.12
0 7 0 8 v4 0.278 1 0.186 2
La matriz de transformacion T para la barra 4 es:
cosx4 senx4 T4 0 0
senx4
0
cosx4
0
0
cosx4
0
senx4
0.555 00 0.832 senx4 0 cosx4 0 0
0.832
0
0.555
0
0
0.555
0
0.832
0 0.832 0.555 0
0 0
u4 T4 v4 5.547 10 4 0.33448 la matriz de rigidez en coordenadas coordenadas locales loc ales para la barra 4, sera:
E4 0 k4l E4 0
0 E4 0
0 173.344 0
0
0
0
0
0
E4
0
173.344
0
0
0
0
0
0
173.344 0 0 0 173.344 0 0
Errore Erro res s de Fab Fabrica ricación ción en la barra barra [4 [4]: ]: ea
1 8
Ft4
( E A) L4 12
ea 21.668
0
ESTOS SON LOS VALORES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA 4 EN COORDENADAS LOCALES LOCALES (K4LOCALES) (K4LOCALES)
En esta esta bar barra ra no hay hay ningun ningun efe efect cto o por cambio de temperat temperatura ura PERO SI HA HAY Y errores de fabricación.
21.668 0 Qf4 21.668 0
21.764 0 Q4 k4l u4 Qf4 21.764 0
La fuerza axial actuando en la barra 4 sera: 21.764 a COMPRESION!
Las fuerzas en coordenadas coordenadas globales actuando en la barra 4, 4, s se e obtienen:
12.073 T 18.109 F4 T4 Q4 12.073 18.109 Barra 5:
0 0 v5 0.176 0
7 R7 12.073
8
R8 18.109
1 2 7 8 3 6
La matriz de transformacion T para la barra 5 es:
cosx5 senx5 T5 0 0
senx5
0
cosx5
0
0
cosx5
0
senx5
0.8 00 0.6 senx5 0 cosx5 0 0
0.6
0
0.8
0
0
0.8
0
0.6
0 0.6 0.8 0
0 0 u5 T5 v5 0.1408 0.1056
ESTOS SON LOS VALORES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA 5 EN COORDENADAS la matriz de rigidez en coordenadas coordenadas locales para la barra barra 5, s era: LOCALES LOCALES (K5LOCALES) (K5LOCALES)
E5 0 k5l E5 0
0 E5 0
250 0 0 0 250 0 0
0 250 0
0
0
0
0
0
E5
0
250
0
0
0
0
0
0
0
Disminución de Temperatura Temperatura en la barra [5]: 5 alph alphaa 1.3 1.3 10 Tu 30 el signo negativo indica decremento de temperatura! Ft5 E A alpha Tu 23.4
23.4 0 Qf5 23.4 0 58.6 0 Q5 k5l u5 Qf5 58.6 0
La fuerza axial actuando en la barra 5 sera: 58.6 a TENSION!
Las fuerzas en coordenadas coordenadas globales actuando en la barra barra 5, se obtienen:
46.88 T 35.16 F5 T5 Q5 46.88 35.16
7 8 3 6
R7 46.88 R8 35.16 R6 35.16
El vector reacciones queda entonces:
86.875 28.16 115.035 21.12 21.12 R 132. 132.1 1 21.1 21.12 2 35.16 146.14 12.0 34.807 12.073 73 46.8 46.88 8
18.1 18.109 09 35.1 35.16 6
17.051
Chequear Cheq uearemos emos si s i la estructura est á en equilibrio:
115.035 75 75 34.807 0.158 21.12 150 146.14 17.051 0.209
casi cero, por decimales! se acepta la solución.
elaborado por Pablo Cruz Uriarte / www.clasesunipablocruz.blogspot.com
