Cálculo de Operaciones de Separación Con Mathcad

Cálculo de operaciones de ® separación con Mathcad

ISBN 978-84-9048-094-6

Cálculo de operaciones de separación con Mathcad® Asunción Santafé Moros José Marcial Gozálvez Zafrilla Jaime Lora García Este libro aborda los métodos de cálculo de operaciones de separación más importantes, a través de ejemplos aplicados de las operaciones de absorción, desorción, destilación, extracción líquido-líquido, extracción sólidolíquido y evaporación. Asumiendo que el lector posee conocimientos básicos sobre los fenómenos involucrados y el funcionamiento de los equipos, el libro permite el aprendizaje de cálculos de dimensionamiento de los equipos, enlazando cuando resulta oportuno con los métodos gráficos clásicos. Resulta asimismo de interés como material de apoyo para cálculos industriales en la práctica profesional. Todos los cálculos del libro están realizados de forma completa en MATHCAD® acompañados de explicaciones. El motivo de la elección de este entorno de cálculo es la similitud del código con la notación matemática convencional, que hace que los cálculos resulten fácilmente interpretables incluso para los profanos en el uso de este programa.

EDITORIAL

Cálculo de operaciones de separación con Mathcad

Jaime Lora García es Doctor Ingeniero Industrial especialista en Química Industrial y Catedrático de Universidad en el área de Ingeniería Química. Inició su labor investigadora en 1983. Posteriormente en 1987 obtuvo el doctorado en el campo de fabricación de membranas. Es el fundador del Grupo de Procesos de Membrana y Optimización Medioambiental PROMETEO que está actualmente incorporado en el Instituto de Seguridad Industrial, Radiofísica y Medioambiental (ISIRYM). Como Director del grupo ha liderado numerosos proyectos en convocatorias públicas y trabajos para la industria. Ha sido profesor de la ETSII desde 1983 y actualmente desarrolla su labor en la EPS de Alcoy donde imparte asignaturas relacionadas con las operaciones básicas y el medioambiente.

Asunción Santafé Moros José Marcial Gozálvez Zafrilla Jaime Lora García

Asunción Santafé Moros es Doctora por la Universidad Politécnica de Valencia e Ingeniera Química por la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. Desde 2001 está vinculada al Departamento de Ingeniería Química y Nuclear de dicha universidad. Imparte docencia en las asignaturas de “Simulación y Optimización de Procesos Químicos” y “Operaciones de Separación” en el Grado de Ingeniería Química y “Modelización, Simulación yOptimización de Procesos de Membrana y Medioambientales” en el Máster de Seguridad Industrial y Medioambiente de la UPV. Además, es investigadora del Instituto de Seguridad Industrial, Radiofísica y Medioambiental (ISIRYM) donde estudia el transporte y modelado de procesos de membrana. Los resultados de su investigación han sido publicados en revistas internacionales y congresos de Ingeniería Química y Tratamiento de Aguas. Jose Marcial Gozálvez Zafrilla es Doctor Ingeniero Industrial especialista en Química Industrial. Inició su labor investigadora en la UPV en 1991, obtuvo el doctorado en 1998 al Departamento de Ingeniería Química y Nuclear dentro del campo de fabricación de membranas. Su actividad investigadora se ha desarrollado principalmente en el Instituto de Seguridad Industrial, Radiofísica y Medioambiental (ISIRYM) donde es el responsable de la línea de Simulación y Optimización de Procesos de Membrana y Medioambiente, la cual ha llevado a cabo diferentes proyectos en convocatorias públicas y en colaboración con empresas. Es Director Académico del Grado de Ingeniería Química de la ETSII y profesor del Máster de Seguridad Industrial y Medioambiente, donde imparte asignaturas relacionadas con el análisis, simulación y optimización de procesos químicos, medioambiente y operaciones de separación.

EDITORIAL UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALÈNCIA

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Asunción Santafé Moros José M. Gozálvez Zafrilla Jaime Lora García


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Los contenidos de esta publicación han sido revisados por el departamento de Ingeniería Química y Nuclear de la UPV

Colección Académica

Para referenciar esta publicación utilice la siguiente cita: SANTAFÉ-MOROS, A., GOZÁLVEZ-ZAFRILLA, J.M., y LORA-GARCÍA, J.(2013). Cálculo de operaciones de separación con Mathcad. Valencia: Universitat Politècnica

Primera edición, 2013 (versión impresa) Primera edición, 2013 (versión electrónica)

© Asunción Santafé-Moros José M Gozálvez-Zafrilla Jaime Lora-García

© de la presente edición: Editorial Universitat Politècnica de València Distribución: Telf.: 963 877 012 / http://www.lalibreria.upv.es / Ref.6132

ISBN: 978-84-9048-094-6 (versión impresa) ISBN: 978-84-9048-095-3 (versión electrónica)

Queda prohibida la reproducción, la distribución, la comercialización, la transformación y, en general, cualquier otra forma de explotación, por cualquier procedimiento, de la totalidad o de cualquier parte de esta obra sin autorización expresa y por escrito de los autores.

PRÓLOGO Este libro trata sobre los métodos de cálculo de operaciones de separación, resultando interesante tanto para el aprendizaje de estos cálculos como material de apoyo para cálculos industriales. Si bien a lo largo de todo el libro se recuerdan constantemente los conceptos teóricos necesarios, hay que destacar que el objetivo de este libro no es enseñar la teoría de los procesos de separación o describir los equipos de separación sino que debe ser utilizado tras haber recibido conceptos teóricos de operaciones de separación a través de otros libros. Los autores indicamos en el apartado de bibliografía algunas referencias que desarrollan la teoría de las operaciones de separación estudiadas en este libro. Todos los cálculos del libro están realizados de forma completa en MATHCAD® acompañados de explicaciones. El motivo de la elección de este entorno de cálculo es la similitud del código con la notación matemática convencional, por lo que resulta muy adecuado para ilustrar los cálculos. Los autores esperamos que disfruten aprendiendo con este libro y que les sea de utilidad.

3

ÍNDICE 1 EQUILIBRIO DE LA ABSORCIÓN ............................................................... 13 1.1 Introducción .......................................................................................... 13 1.2 Notación empleada en absorción y desorción ..................................... 14 1.2.1 Conversión entre fracción y razón.............................................. 15 1.3 Equilibrio de la absorción ..................................................................... 15 1.3.1 Leyes de Henry y de Raoult ....................................................... 15 1.3.2 Uso de modelos para casos no ideales ..................................... 17 1.3.3 Interpolación a partir de datos experimentales .......................... 19 1.3.4 Función de equilibrio en razones ............................................... 19 2 ABSORCIÓN ISOTERMA ............................................................................ 23 2.1 Introducción .......................................................................................... 23 2.2 Caso ABS-1: Torre de absorción isoterma ........................................... 23 2.3 Balances en una torre de absorción ..................................................... 24 2.4 Línea de operación mínima .................................................................. 26 2.5 Corriente líquida dada la relación de líquido respecto del mínimo ...... 30 2.6 Número de platos ideales a partir de la línea de operación ................. 31 2.7 Número de platos reales a partir de la línea de operación................... 35 2.8 Caso ABS-2: Absorción en flujo cruzado ............................................. 38 2.9 Cálculo de la operación de absorción en flujo cruzado ........................ 38 3 DESORCIÓN ................................................................................................ 43 3.1 Introducción .......................................................................................... 43 3.2 Caso DES-1: Torre de desorción ......................................................... 43 3.3 Cálculos previos y balances en la torre de desorción .......................... 45 3.4 Determinación de la situación mínima.................................................. 46 3.5 Determinación del flujo de gas necesario............................................. 47 3.6 Número de platos ideales a partir de la línea de operación ................. 48 3.7 Número de platos reales a partir de la línea de operación................... 50 3.8 Caso DES-2: Etapas de desorción en flujo cruzado ............................ 52

5


3.9 Cálculo de la operación de desorción en flujo cruzado ........................ 52 4 EQUILIBRIO DE LA DESTILACIÓN ............................................................ 57 4.1 Introducción .......................................................................................... 57 4.2 Notación empleada en los temas de destilación .................................. 57 4.3 Definición del equilibrio en destilación.................................................. 58 4.3.1 Funciones de interpolación de los datos de equilibrio ............... 59 4.3.2 Presión de vapor de los compuestos ......................................... 60 4.3.3 Modelo ideal del equilibrio líquido-vapor .................................... 60 4.3.4 Empleo de modelos termodinámicos para definir el equilibrio ... 62 4.4 Definición de la entalpía de las mezclas en Mathcad .......................... 65 4.4.1 Mezcla ideal ................................................................................ 65 4.4.2 Mezclas no ideales ..................................................................... 66 5 DESTILACIÓN INSTANTÁNEA ................................................................... 71 5.1 Introducción .......................................................................................... 71 5.2 Caso DEST-1: Destilación instantánea ................................................ 71 5.3 Balances de materia en la etapa de destilación ................................... 72 5.4 Calor necesario ..................................................................................... 74 5.5 Equilibrio de reparto en una etapa ideal ............................................... 74 5.5.1 Subrutina para el cálculo del reparto.......................................... 74 5.5.2 Cálculo del reparto mediante la subrutina reparto ..................... 76 5.5.3 Resoluciones alternativas del reparto ........................................ 77 5.6 Estudio del efecto del grado de vaporización ....................................... 78 6 TORRES DE DESTILACIÓN: MÉTODO DE McCABE-THIELE .................. 83 6.1 Introducción .......................................................................................... 83 6.2 Caso DEST-2: Torre de destilación (McCabe-Thiele) .......................... 84 6.3 Balances globales en la torre ............................................................... 84 6.4 Número mínimo de etapas ideales ....................................................... 85 6.5 Obtención de la relación de reflujo mínima .......................................... 87 6.6 Obtención del número de etapas ideales ............................................. 88 6.6.1 Representación gráfica............................................................... 90

6

Índice

6.7 Perfiles de flujos, composición y temperatura ...................................... 91 6.8 Estudio del efecto del reflujo sobre el número de etapas ideales ........ 92 7 TORRES DE DESTILACIÓN: MÉTODO DE PONCHON-SAVARIT ........... 97 7.1 Introducción .......................................................................................... 97 7.2 Caso DEST-3: Torre de destilación (Ponchon-Savarit)........................ 97 7.3 Número mínimo de etapas ideales ....................................................... 97 7.4 Relación de reflujo mínima: ................................................................ 100 7.5 Cargas térmicas del condensador y calderín ..................................... 101 7.6 Cálculo de las etapas ideales de la rectificación ................................ 103 7.6.1 Representación del número de etapas .................................... 104 7.7 Cálculo de los flujos a partir de balances de materia ......................... 106 7.8 Estudio de la variación del número de etapas con el reflujo .............. 109 8 EQUILIBRIO DE EXTRACCIÓN LÍQUIDO – LÍQUIDO ............................. 113 8.1 Introducción ........................................................................................ 113 8.2 Notación empleada en extracción líquido-líquido............................... 113 8.3 Definición del equilibrio en extracción líquido-líquido......................... 115 8.3.1 Definición de las composiciones en base libre de disolvente .. 117 8.4 Definición en Mathcad del equilibrio de extracción líquido-líquido ..... 117 8.4.1 Interpolación del equilibrio a partir de datos experimentales ... 118 8.5 Cálculo del reparto para una etapa de equilibrio ideal ....................... 120 9 EXTRACCIÓN LÍQUIDO – LÍQUIDO EN FLUJO CRUZADO .................... 125 9.1 Introducción ........................................................................................ 125 9.2 Caso de estudio ELL-1: ...................................................................... 125 9.3 Cálculo de una etapa de equilibrio mediante balances ...................... 126 9.4 Aplicación a varias etapas de flujo cruzado ....................................... 130 9.5 Disolvente necesario para realizar el proceso con una etapa............ 133 9.6 Estudio en función del número de etapas empleado ......................... 134 10 EXTRACCIÓN LÍQUIDO-LÍQUIDO A CONTRACORRIENTE ................... 139 10.1 Introducción ........................................................................................ 139 10.2 Caso de estudio ELL-2 ....................................................................... 139

7


10.3 Cálculo de la cantidad mínima de disolvente ..................................... 139 10.4 Cálculo del número de etapas teóricas .............................................. 142 11 EQUILIBRIO DE EXTRACCIÓN SÓLIDO – LÍQUIDO............................... 149 11.1 Introducción ........................................................................................ 149 11.2 Notación empleada en extracción sólido-líquido ................................ 149 11.3 Definición del equilibrio en extracción sólido-líquido .......................... 151 11.4 Definición en Mathcad del equilibrio de extracción sólido-líquido ...... 152 11.5 Cálculo del reparto para una etapa .................................................... 154 12 EXTRACCIÓN SÓLIDO – LÍQUIDO EN FLUJO CRUZADO ..................... 157 12.1 Introducción ........................................................................................ 157 12.2 Caso de estudio ESL-1 ....................................................................... 157 12.3 Cálculo de las etapas de extracción ................................................... 157 13 EXTRACCIÓN SÓLIDO-LÍQUIDO A CONTRACORRIENTE .................... 165 13.1 Introducción ........................................................................................ 165 13.2 Caso de estudio ESL-2 ....................................................................... 165 13.3 Cálculo de la cantidad mínima de disolvente ..................................... 165 14 PROPIEDADES TERMODINÁMICAS DE LA EVAPORACIÓN ................ 171 14.1 Introducción ........................................................................................ 171 14.2 Propiedades del agua ......................................................................... 171 14.3 Entalpía de las disoluciones acuosas de NaOH................................. 173 14.4 Rectas de Dühring para disoluciones acuosas de NaOH .................. 174 15 EVAPORACIÓN EN EFECTO SIMPLE ..................................................... 179 15.1 Introducción ........................................................................................ 179 15.2 Notación empleada en evaporación ................................................... 179 15.3 Caso de estudio EVAP-1 .................................................................... 180 15.4 Cálculo de la cantidad de vapor de calefacción ................................. 180 15.5 Cálculo de la superficie de calefacción .............................................. 182 16 ANEXO DE MÉTODOS MATEMÁTICOS .................................................. 187 16.1 Interpolación ....................................................................................... 187 16.2 Resolución numérica de una ecuación............................................... 189

8

Índice

16.3 Resolución numérica de sistemas de ecuaciones algebraicas .......... 191 16.3.1 Búsqueda de errores dentro de la zona Given-find ................. 197 16.4 Subrutinas auxiliares en Mathcad ...................................................... 198 16.4.1 Líneas ....................................................................................... 198 16.4.2 Intersecciones .......................................................................... 198 16.4.3 Tangencia ................................................................................. 200 16.4.4 Inversión de coordenadas de vectores .................................... 200 16.4.5 Vector de puntos espaciados uniformemente .......................... 201 16.4.6 Paso de valores de etapa a coordenadas gráficas .................. 201 BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................ 205

9

CAPÍTULO 1 EQUILIBRIO DE LA ABSORCIÓN

1 1.1

EQUILIBRIO DE LA ABSORCIÓN Introducción

La absorción es una operación de separación desde un gas mediante la intermediación de un líquido. El fundamento físico de la operación es que uno o varios componentes presentes en el gas tienen una afinidad por el líquido muchísimo más grande que el resto y que al ponerse en contacto el gas con el líquido pasan al seno de éste, es decir son absorbidos (Figura 1.1). Los componentes que no son absorbidos apreciablemente se denominan como ‘inertes’. En nuestro caso se estudiará la absorción de un componente clave al que se denominará ‘componente A’, si bien, los cálculos son fácilmente adaptables a la absorción de más de un componente. El equilibrio de absorción se ve favorecido generalmente por el aumento de la presión y el descenso de la temperatura. También para favorecer la absorción se añade al líquido una sustancia capaz de reaccionar con el componente que se absorbe. La absorción con reacción química no es tratada en los problemas, si bien la aproximación de cálculo etapa a etapa que se ofrece en el libro puede servir para desarrollarla.

Figura 1.1. Fenómeno de absorción

13


1.2

Notación empleada en absorción y desorción

La notación empleada en los temas de absorción y desorción se puede ver en la Tabla 1.1. Respecto de las variables que se refieren a la composición (fracciones o razones) hay que notar que si no se especifica ningún componente se refieren al componente ‘A’.

Tabla 1.1. Notación del tema

Variables x

Fracción (de A) en el líquido

y

Fracción (de A) en el gas

z

Fracción (de A) (en líquido o gas)

X

Razón (de A) en el líquido

Y

Razón (de A) en el gas

Z

Razón (de A) (en líquido o gas)

L

Flujo molar de líquido

G

Flujo molar de gas

T

Temperatura

Subíndices

14

A

Componente que se transfiere entre líquido y gas

B

Componente(s) inerte(s) del líquido (no transferidos)

C

Componente(s) inerte(s) del gas (no transferidos)

i

Componente genérico

a

Cabeza de la torre (extremo superior)

b

Cola de la torre (extremo inferior)

e

Corriente de entrada a una etapa

k

Corriente saliente de la etapa k

s

Corriente de salida de una etapa

Capítulo 1. Equilibrio de la absorción

1.2.1

Conversión entre fracción y razón

La fracción de A representa la relación entre la cantidad de A y la cantidad total, de esta manera si existe en la mezcla solo otro componente B, se tiene:

=

+

La razón de A representa la relación entre la cantidad de A y lo que no es A. Si existe en la mezcla exclusivamente otro componente B, se tiene:

= Es fácil demostrar las siguientes expresiones que permiten convertir de un tipo de variable a otro:

Paso de fracción a razón: razón ( z) :=

z 1−z

Paso de razón a fracción: fracción( Z) :=

1.3

Z 1+ Z

Equilibrio de la absorción

Para poder calcular la absorción se necesita definir el equilibrio, es decir conocer como es la composición del gas a partir de la composición en el líquido. En los cálculos de absorción en torre de relleno interesa que la composición esté en fracciones, pero para el cálculo de etapas resulta más conveniente la expresión en razones.

1.3.1

Leyes de Henry y de Raoult

La Figura 1.2 muestra el comportamiento de la fugacidad del componente frente a la composición en un sistema binario. A presiones moderadas, la fugacidad puede asimilarse a la presión parcial. Como se puede ver, las mezclas ideales 15


Fugacidad de i ≈ Presión parcial de i

cumplen la ley de Raoult en todo el rango de composición siendo la presión parcial del componente en el gas proporcional a la presión de vapor del componente. Las mezclas no ideales no cumplen la ley de Raoult, pero sí ley de Henry para concentraciones suficientemente bajas, según esta ley la presión parcial de un componente en la fase gaseosa muestra una relación lineal aproximada con la fracción de componente en el líquido.

f i  ≈ pivap Ley de Henry

pi = H i (T ) ⋅ xi Ley de Raoult

pi = pivap (T ) ⋅ xi

Fracción molar de i, xi Figura 1.2. Leyes de Henry y de Raoult

Ley de Raoult:

=

,

( )

Ley de Henry:

=

16

( )

·

·


1.3.2

Uso de modelos para casos no ideales

Para disoluciones no ideales es necesario corregir las leyes ideales utilizando coeficientes de actividad correspondiente a un modelo termodinámico determinado. De esta manera, se tendrían dos casos: a) Para temperatura por encima de la temperatura crítica del gas:

=

( , )

( )

·

·

b) Para temperatura por debajo de la temperatura crítica del gas:

=

( , )·

,

( )

·

Ejemplo 1-1 Se tiene un gas a 1 atm y 25ºC (por encima de su temperatura crítica). Se pide obtener la expresión de equilibrio para una constante de Henry de 2.3×106 Pa cuando los coeficientes de Van Laar entre el componente absorbido (1) y el componente mayoritario del líquido (2) son A12 = 1.016, A21 = 1.355. Represéntese la curva de equilibrio y compárese con la expresión de Henry.

Los datos asignados en Mathcad son: A12 := 1.016

A21 := 1.355

pt := 101300 ⋅Pa

H := 2.3 ⋅10 ⋅Pa

6

17


La expresión de equilibrio correspondiente a la ley de Henry es: H yeqH( x) := ⋅x pt

La expresión de Van Laar es:

( )

ln γ A

 x1 A12  A12 ⋅ ⋅   x2 A21 

−2

A dilución infinita se tiene:

(

)=

→

[ ( ( ) =

−2  A12     x ⋅ exp A12 ⋅1 +   ( 1 − x) A21   H   yeq ( x) := ⋅ ⋅x

(

exp A12

)

pt

x := 0 , 0.001 .. 0.05

0.8 yeq ( x) 0.6 yeqH ( x) 0.4 0.2 0

0

0.02

0.04 x

18

0.06


1.3.3

Interpolación a partir de datos experimentales

En este caso se debe proceder a interpolar valores de ‘y’ frente a valores de ‘x’ mediante el procedimiento explicado en el Anexo 16.1. Como se sabe que el comportamiento es lineal en los extremos conviene incorporar en la interpolación el punto (x=0, y=0) y definir una interpolación del tipo “lspline” que forzará que los puntos se interpolen de acuerdo con esta condición.

1.3.4

Función de equilibrio en razones

Se ha visto que la forma con sentido más físico de expresar el equilibrio es utilizar fracciones. No obstante, se verá más adelante que en algunos casos interesa realizar los cálculos en razones. Abajo se muestra un algoritmo para la conversión de una curva de equilibrio en fracciones en una que relaciona razones. En primer lugar se convierte el argumento de razón a fracción, para que pueda aplicarse la expresión conocida en fracciones. Posteriormente, se aplica el cambio inverso a razón sobre el resultado de fracción en el gas en equilibrio: Yeq ( X) :=

x ← fracción( X) yeq ← yeq ( x) Yeq ← razón ( yeq) Yeq

A continuación se aplica al equilibrio anteriormente definido: X := 0 , 0.001 .. 0.045 50 40 Yeq ( X)

30 20 10 0

0

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 X

19

CAPÍTULO 2 ABSORCIÓN ISOTERMA

2 2.1

ABSORCIÓN ISOTERMA Introducción

En el capítulo se tratará la absorción isoterma en torre de platos en contracorriente y en flujo cruzado a través de un sistema de tanques en serie. Para resolver la torre de absorción a contracorriente será necesario en primer lugar realizar balances globales para toda la torre atendiendo al grado de separación deseado. Posteriormente se aplicarán dos formas de resolución equivalentes para determinar el número de etapas ideales: una mediante balances desde el punto más concentrado y otra mediante balances etapa a etapa. En ambas se explicará cómo aplicar la eficacia para determinar el número de etapas reales. Esta última forma de cálculo se modificará posteriormente para resolver el caso de flujo cruzado y el de absorción no isoterma.

2.2

Caso ABS-1: Torre de absorción isoterma

Una corriente gaseosa es una mezcla de un componente orgánico (A) con otro componente (B). El componente orgánico se absorbe en un aceite de lavado (C), los componentes A y C constituyen una mezcla líquida ideal. La cantidad de B que es absorbida por C se puede considerar despreciable. Atendiendo a los datos de la Tabla 2.1, se desea diseñar la torre para tener un rendimiento de eliminación de A del 96%, para lo cual se resolverán los siguientes apartados: 1) Obtener a través de balances todos los flujos y composiciones de las corrientes externas que se puedan calcular (apdo. 2.3). 2) Calcular el flujo mínimo de líquido necesario (apdo. 2.4). 3) ) Calcular los flujos y composición de la corriente líquida para una relación de flujo de líquido respecto del mínimo igual a 1.5 (apdo. 2.5). 4) Calcular el número de etapas ideales (apdo. 2.6). 5) Calcular el número de etapas reales para una eficacia de Murphree de la fase vapor del 75% (apdo. 2.7).

23


Tabla 2.1. Datos de la torre de absorción

Corriente gaseosa entrante

caudal

Qgas_b = 1 m3/s

fracción de A

yb = 0.02

Aceite de lavado entrante

fracción de A

xa = 0.005

peso molecular

MC = 420 g/mol

Datos de operación

operación isotérmica

T = 26 ºC

operación isóbara

pt = 760 mmHg

presión de vapor a T

pvapA = 100 mmHg

Componente A

2.3

Balances en una torre de absorción

Los balances globales son previos a cualquier cálculo interno de la torre. Para la torre de absorción funcionando a contracorriente se tendría la situación de la Figura 2.1:

Figura 2.1. Corrientes de entrada y salida de una torre de absorción (izda.) y numeración de las corrientes internas (dcha.)

24

Capítulo 2. Absorción isoterma

Obsérvese que el convenio usado para denominar las corrientes es que la corriente saliente de una etapa tiene el subíndice de esa etapa. Si bien para el caso especial de las corrientes entrantes y salientes se utiliza una notación adicional empleando subíndice ‘a’ para la cabeza y ‘b’ para la cola. Previamente a los cálculos, las variables de la Tabla 2.1 se asignan en Mathcad a continuación: Qgas_b := 1

(m3/s)

MC := 420 (g/mol) T := ( 26 + 273.15) (K)

yb := 0.02 xa := 0.005 pt := 760 (mmHg)

pvapA := 100 (mmHg)

η := 96 ⋅%

Flujo molar del gas de entrada: Para este cálculo se debe convertir previamente todas las variables a un sistema coherente de unidades. Se elige el S.I. pues todas las variables están en ese sistema de unidades excepto las presiones que se convierten a continuación: pt := pt ⋅

torr 5 = 1.013 × 10 (Pa) Pa

pvapA := pvapA ⋅

torr 4 = 1.333 × 10 (Pa) Pa

RG := 8.314 (J/(mol·K)

Gb := Qgas_b ⋅

pt

Gb = 40.74 (mol/s)

RG⋅T

Razones molares de A en el gas y el líquido entrantes: Yb := razón ( yb )

Yb = 2.041 × 10

Xa := razón ( xa)

Xa = 5.025 × 10

−2

−3

Flujo de gas inerte: Se calcula multiplicando la cantidad total por la fracción de inerte. GB := Gb ⋅( 1 − yb )

GB = 39.925 (mol)

25


Composición del gas de salida: Las moles de A salientes son las de entrada multiplicadas por la unidad menos el rendimiento de eliminación unitario. La misma relación cumplen las razones al estar dividida la cantidad de A entre una cantidad de inerte B constante: Ya := Yb ⋅( 1 − η)

Ya = 8.163 × 10

ya := fracción( Ya)

ya = 8.157 × 10

2.4

−4

−4

Línea de operación mínima

La línea de operación indica la relación entre las composiciones X e Y de las corrientes situadas entre dos etapas. Atendiendo a un balance tomado entre cabeza y una posición específica entre platos, como el flujo de inertes en cada corriente es constante, se tendría:

(

LC ⋅ Xn − Xa

)

(

GB⋅ Yn +1 − Ya

)

Figura 2.2. Balance en una torre de absorción en contracorriente

26


La línea de operación mínima corresponde a la situación en que la línea de operación toca la curva de equilibrio. Al aproximarse la corriente líquida y la gaseosa al equilibrio, la separación progresa infinitesimalmente, tendiendo el número de etapas a infinito. Dada una reducción de componente A en el gas, se tendrían estas dos situaciones: − si el flujo de gas está fijado, conduciría a la determinación de la cantidad de líquido mínima que se puede introducir, − si el flujo de líquido está fijado, conduciría a la determinación del máximo flujo de gas.

Curva de equilibrio: Si la mezcla líquida de A y C se puede considerar ideal, entonces es aplicable la ley de Raoult: yeq ( x) :=

pvapA pt

YEQ( X) :=

⋅x

x ← fracción( X) y ← yeq ( x) Y ← razón ( y) Y

La curva de equilibrio en el intervalo operativo de concentraciones es: X := 0 , 0.001 .. 0.2 0.03

YEQ( X)

Yb

0.02

Ya 0.01

0

0

0.05

0.1 X , Xa

0.15

0.2

27


Determinación de la línea de operación mínima: Se tendrían dos posibles casos: a) La línea de operación corta a la curva de equilibrio en Yb Para encontrar la línea de operación de pendiente mínima, inicialmente se considera que se produce una intersección para Yb: Xbmax := 0.1 Given YEQ( Xbmax)

Yb

Xbmax := Find( Xbmax)

Xbmax = 0.179

La pendiente mínima proporciona la relación (L/G) mínima: LGmin :=

Yb − Ya LGmin = 0.112

Xbmax − Xa

La expresión de la línea de operación mínima es: YOPmin( X) := Ya + LGmin⋅( X − Xa)

o bien: YOPmin( X)

y_pm( X , Xa , Ya , LGmin)

0.03

YEQ( X)

Yb

0.02

Ya YOPmin( X)

0.01

0

28

0

0.05

0.1 X , Xa , X

0.15

0.2


Un detalle de la curva nos muestra que al calcular Xbmax de esta forma, se observa que la línea de operación mínima corta la curva de equilibrio antes de alcanzar Yb: −3

3×10

−3

YEQ( X)

2×10

Ya −3

YOPmin( X)

1×10

0

0

0.01 0.02 X , Xa , X

b) La línea de operación es tangente a la curva de equilibrio La línea de operación mínima es en este caso tangente a la línea de equilibrio desde el punto (Xa,Ya) Valor inicial de búsqueda del punto de tangencia: xt0 := 0.1 LGmin := tang_pc( xt0 , Xa , Ya , YEQ)

LGmin = 0.122

YOPmin( X) := y_pm( X , Xa , Ya , LGmin) 0.03

YEQ( X)

0.02

Ya YOPmin( X) 0.01

0

0

0.05

0.1 X , Xa , X

0.15

0.2

29


Se observa que es efectivamente tangente: −3

3×10

−3

2×10 YOPmin( X) −YEQ( X)

−3

1×10

0

0.05

0.1 X

0.15

0 0.2

La cantidad mínima de disolvente se determina como: LC_min := GB⋅LGmin

2.5

LC_min = 4.876 (mol/s)

Corriente líquida dada la relación de líquido respecto del mínimo

Se resolverá en este caso para la siguiente relación líquido gas respecto de la mínima: rA := 1.5

Flujo de aceite de lavado usado en la operación: LC := rA ⋅LC_min

mol   gm  −1 LC = 7.314 (mol/s)   LC⋅  ⋅ MC⋅  = 3.072 kg ⋅s s mol   

Nueva línea de operación: LG := rA ⋅LGmin

YOP( X) := y_pm( X , Xa , Ya , LG)

O bien:

XOP( Y) := x_pm( Y , Xa , Ya , LG)

Flujo y composición del líquido de salida: Xb := XOP( Yb ) 30

Xb = 0.112


xb := fracción( Xb ) Lb :=

xb = 0.101

LC

( 1 − xb)

Lb = 8.133

Flujo de líquido entrante: LC La := 1 − xa

La = 7.351

0.03 YEQ( X) Ya

0.02

YOP( X) Yb 0.01

0

2.6

0

0.05

0.1 X , Xa , X , Xb

0.15

0.2

Número de platos ideales a partir de la línea de operación

En el cálculo convencional de las etapas ideales de absorción se verá que los balances de etapa no consiguen generalmente cuadrar las composiciones de manera que fijada la composición en un extremo no se obtiene exactamente la composición del otro. Por ello los balances se van a realizar incluyendo un punto fijo de composición localizado en la cola de la torre donde las composiciones son más concentradas. Buscándose como objetivo dejar el componente clave en la corriente gaseosa por debajo de un determinado valor de composición. Por realizarse los balances desde la parte inferior de la torre resulta conveniente numerar las etapas provisionalmente en sentido inverso al convencional tal y como muestra la Figura 2.3.

31


Figura 2.3. Numeración de corrientes: convencional (izq.) y para el cálculo (der.)

El algoritmo de cálculo busca obtener el número de etapas ‘N’ y vectores ‘X’ e ‘Y’ que contienen las razones de componente A en las fases líquida y gaseosa. Sigue los siguientes pasos (ver Figura 2.4): 1) Se asignan los valores de composición de la corriente de cola a los componentes de los vectores correspondientes 2) Sucesivamente: 2.1) se determina la composición del gas en equilibrio con el líquido saliente de la torre 2.2.) se determina la composición del líquido en paralelo con el gas ascendiente a través del balance que representa la línea de operación. 3) Se para el proceso iterativo al reducirse la composición del gas por debajo del valor especificado. 4) Se aplican las subrutinas definidas en el apartado 16.4.4 del anexo de cálculo para invertir el orden de los vectores (obsérvese que son diferentes para la corriente gaseosa y la líquida).

32


Atendiendo al criterio de numeración expuesto, el algoritmo queda: Abs_cc_id :=

X1 ← Xb Y0 ← Yb for k ∈ 1 .. 200

Yk ← YEQ( Xk )

Xk +1 ← XOP( Yk ) break if Yk ≤ Ya

N←k X ← voltear_liq( X) Y ← voltear_gas( Y)

 N  X  Y   

Figura 2.4. Proceso de cálculo

33


Para este problema en particular el resultado es:

 Nid     X  := Abs_cc_id  Y    Obteniéndose un número de etapas ideales:

Nid = 10

Se puede representar el clásico procedimiento gráfico de obtención de etapas haciendo uso de la subrutina gráfica siguiente proporcionada en el apartado 16.4.6 del anexo de cálculos:

 Xg    := gráficoXY( X , Y)  Yg  j := 0 .. last ( Xg) 0.02

YEQ( X)

0.015

Ya YOP( X) Yb

0.01

Ygj −3

5×10

0.05 X , Xa , X , Xb , Xgj

34

0.1


−3

2×10 YEQ( X) Ya YOP( X)

−3

1.5×10

Yb Ygj

−3

1×10

−3

6×10

−3

8×10 X , Xa , X , Xb , Xgj

0.01

Se comprueba que: Y1 = 8.011 × 10

2.7

−4

< Ya = 8.163 × 10

−4

Número de platos reales a partir de la línea de operación

La eficacia de plato se define como:

=

− − ∗( )

Donde y* está en equilibrio con la composición líquida x saliente del plato, yop es la composición que está en operación con x y por lo tanto es la composición de la corriente gaseosa entrante.

De la definición de eficacia: EMV

yop − yef yop − yeq

 yef

yop + EMV⋅( yeq − yop )

35


La eficacia se refiere a fracciones, para relacionar la razón X con su valor eficaz de composición en el gas expresado en razones se debe realizar las siguientes conversiones: EMV := 0.75 YEF( X) :=

Yop ← YOP( X) yop ← fracción( Yop ) x ← fracción( X) yeq ← yeq ( x) yef ← yop + EMV⋅( yeq − yop ) Yef ← razón ( yef )

Yef

De esta forma la nueva subrutina para cálculo de etapas reales es: Abs_cc_real :=

X1 ← Xb Y0 ← Yb for k ∈ 1 .. 200

Yk ← YEF( Xk )

Xk +1 ← XOP( Yk ) break if Yk ≤ Ya

N←k X ← voltear_liq( X) Y ← voltear_gas( Y)

 N  X  Y     Nr     X  := Abs_cc_real Y   36


Obteniéndose un número de etapas reales:

Nr = 14

Para la representación gráfica se procede de la siguiente forma:

 Xg    := gráficoXY( X , Y)  Yg 

j := 0 .. last ( Xg)

0.02 YEQ( X) Ya

0.015

YOP( X) Yb

0.01

Ygj YEF( X)

−3

5×10

0.05 X , Xa , X , Xb , Xgj , X

0.1

37


2.8

Caso ABS-2: Absorción en flujo cruzado

Considérese las mismas propiedades, misma corriente de entrada y mismo número de etapas reales que las obtenidas en el caso ABS-1. La corriente gaseosa atraviesa sucesivamente las etapas de absorción, distribuyéndose por igual entre los absorbedores en flujo cruzado el mismo flujo de líquido que se obtuvo. Obténgase la composición del gas de salida (apdo. 2.9)

2.9

Cálculo de la operación de absorción en flujo cruzado

Las ecuaciones planteadas para contracorriente servirían también para el cálculo de una etapa en flujo cruzado. La diferencia respecto del caso de flujo en contracorriente es que en este caso las corrientes de salida son obtenidas a partir de las corrientes de entrada.

Cálculo de las corrientes salientes de una etapa a partir de las de entrada: LB⋅( Xs − Xe) ys

GC⋅( Ye − Ys )

yeq ( xs ) ⋅EMV + ( 1 − EMV) ⋅ye

Se debe encontrar el valor de composición del líquido de salida que hace cero la diferencia entre el lado izquierdo y derecho de la expresión de balance de componente.

Se define la función ‘ErrBal’ que calcula el error de balance: ErrBal( LC , Xe , GB , Ye , ye , xs , EMV) :=

Xs ← razón ( xs )

ys ← yeq ( xs ) ⋅EMV + ( 1 − EMV) ⋅ye Ys ← razón ( ys )

err_bal ← LC⋅( Xs − Xe) − GB⋅( Ye − Ys ) err_bal

38


En la subrutina dada una fracción supuesta de salida, calcula la razón de componente en el líquido y posteriormente la razón correspondiente en el gas. Con ambas razones se puede determinar el error que se comete en el balance. El valor correcto de fracción en el líquido hará cero el error del balance. Posteriormente, la subrutina ‘Etapa_s’ busca el cero de la función ‘Errbal’ determinando con ello la fracción en el líquido de salida y por ende la del gas. Etapa_s( Le , xe , Ge , ye , yeq , EMV) :=

LC ← Le ⋅( 1 − xe)

GB ← Ge ⋅( 1 − ye) Xe ← razón ( xe) Ye ← razón ( ye) xs ← xe xs ← root ( ErrBal( LC , Xe , GB , Ye , ye , xs , EMV) , xs ) ys ← yeq ( xs ) Ls ← Gs ←

LC 1 − xs GB 1 − ys

 Ls   xs     Gs   ys    La subrutina ‘Abs_fc’ divide en este caso un caudal de líquido por igual entre las etapas y posteriormente llama sucesivamente a las etapas manteniendo la misma entrada líquida por etapa y tomando como entrada de gas la salida de gas de la etapa anterior:

39


Abs_fc :=

Le ←

La Nr

xe ← xa G0 ← Gb y0 ← yb for i ∈ 1 .. Nr

 Li   xi    ← Etapa_s( Le , xe , Gi −1 , yi −1 , yeq , EMV)  Gi   yi    L     x G   y

L    x  := Abs_fc G   y

i := 0 .. Nr 0.02 0.015 yi

0.01 −3

5×10

0

0

5

10 i

Antes: ycc = 8.08 × 10 1

40

−4

Ahora: yN = 3.737 × 10 r

−3

15

CAPÍTULO 3 DESORCIÓN

3 3.1

DESORCIÓN Introducción

La desorción es el fenómeno de transferencia inverso a la absorción. Los componentes pasan desde la fase líquida a una corriente gaseosa poco concentrada en éstos, permaneciendo los componentes inertes en la fase líquida. El equilibrio de la desorción es el mismo que el de la absorción. Desde un punto de vista operativo, en la absorción se parte de una corriente con una determinada concentración de componente A en la fase líquida y se busca dejar ésta por debajo de un determinado valor. Esto implicará que los balances para la determinación de la línea de operación escojan ahora como punto fijo la cola de la torre.

3.2

Caso DES-1: Torre de desorción

La torre de absorción del problema anterior trabaja acoplada con una torre de desorción que recupera el aceite de lavado mediante vapor de agua sobrecalentado en 10 ºC (Figura 3.1). Para el absorbedor se obtuvo la siguiente composición y flujo de inerte para el líquido entrante: xa_abs := 0.005

LC_abs := 7.314

Y se obtuvo la siguiente concentración de líquido saliente: xb_abs := 0.1007

Otros datos necesarios son: Presión de vapor de A para T (en K) y presión total:

 

pvapA ( T) := exp 10.158 −

1549.5   T − 20.103 

(mmHg)

pt := 760 (mmHg)

43


Se pide: 1) Cálculos previos y definición del equilibrio (apdo. 3.3) 2) Flujo mínimo de gas que se puede tener (apdo. 3.4) 3) Número de etapas ideales de desorción necesario para una relación de flujo de gas respecto del mínimo igual a 1.5 (apdos. 3.5 y 3.6) 4) Número de etapas reales para una eficacia de Murphree de la fase líquida del 75% (apdo. 3.7)

La_abs La

Gb_abs

Ga

DESORBEDOR

ABSORBEDOR

Ga_abs

Lb_abs

Lb

Gb

Figura 3.1. Acoplamiento de absorbedor y desorbedor

44

Capítulo 3. Desorción

3.3

Cálculos previos y balances en la torre de desorción

De acuerdo con el esquema de la figura: LC := LC_abs

La :=

LC 1 − xa

xa := xb_abs

xb := xa_abs

yb := 0

= 8.133 (mol/s)

Xa := razón( xa)

Xb := razón( xb)

Yb := razón( yb)

La nueva curva de equilibrio es: meq :=

pvapA ( 110 + 273.14) pt

= 0.475

yeq ( x) := meq ⋅x

No obstante, ahora va a ser necesario disponer la composición de equilibrio del líquido correspondiente a la composición del gas: xeq ( y) :=

y meq

Las siguientes funciones relacionan las razones con las fracciones de componente: YEQ( X) :=

x ← fracción( X)

XEQ( Y) :=

y ← fracción( Y)

y ← yeq ( x)

x ← xeq ( y)

Y ← razón( y)

X ← razón( x)

Y

X

45


3.4

Determinación de la situación mínima

En desorción lo más normal es que la situación mínima no se dé en un punto de tangencia, ya que la curva es convexa y la línea de operación está debajo. Por lo tanto puede obtenerse directamente. Línea de operación de pendiente máxima trazada desde 'b': Yamax := YEQ( Xa) LGmax :=

Yamax = 0.05

Yamax − Yb Xa − Xb

LGmax = 0.47

La línea de operación que conduce a la situación mínima (flujo mínimo de gas en este caso) se da para la pendiente máxima previamente calculada: YOPmin( X) := y_pm( X , Xb , Yb , LGmax) X := Xb , Xb + 0.001 .. 0.2 Xa 0.04 YEQ( X) Yb YOPmin( X) 0.02

0

0

0.05

0.1 X , Xb , X

Al calcular Yamax, se observa en el gráfico, que no es preciso calcular la tangente a la línea de equilibrio desde (Xb,Yb) ya que no se corta la línea de equilibrio. El flujo mínimo de gas se determina como: GBmin :=

46

LC LGmax

GBmin = 15.556 (mol/s)


3.5

Determinación del flujo de gas necesario

Flujo de gas operativo del desorbedor: GB := r ⋅GBmin

r := 1.5

GB = 23.334 (mol/s)

Concentración del gas saliente del desorbedor: LG :=

LC

YOP( X) := y_pm( X , Xb , Yb , LG)

GB

Ya := YOP( Xa) Ga :=

GB 1 − ya

ya := fracción( Ya)

= 24.116 (mol/s)

0.08

YEQ( X) 0.06 Yb YOP( X) 0.04 Ya 0.02

0

0.05

0.1 X , Xb , X , Xa

0.15

47


3.6

Número de platos ideales a partir de la línea de operación

La subrutina para el cálculo es ahora la siguiente: Des_cc_id :=

X0 ← Xa Y1 ← Ya for k ∈ 1 .. 200

Xk ← XEQ( Yk )

Yk +1 ← YOP( Xk ) break if Xk ≤ Xb

N ←k

 N  X  Y    Obsérvese que ahora no ha sido necesario invertir el orden de los subíndices del vector pues se ha empezado a contar desde la composición más concentrada (la cabeza de la torre) y por tanto seguido la numeración convencional de los platos de la torre.

 Nid     X  := Des_cc_id  Y    El número de etapas calculado es: Nid = 6 Para pasar a subíndices que permitan representar fácilmente la gráfica, se utiliza la siguiente función:

 Xg  ( , Y)   := gráficoXYX  Yg 

48


j := 0 .. last ( Xg)

YEQ( X)

0.04

Yb YOP( X) Ya

0.02

Ygj

0 0.05 X , Xb , X , Xa , Xgj

0.1

0.01 YEQ( X) Yb YOP( X)

−3

5×10

Ya Ygj 0 −3

5×10

0.01 0.015 X , Xb , X , Xa , Xgj

0.02

49


3.7

Número de platos reales a partir de la línea de operación

En el caso de desorción el cálculo resulta más sencillo si se usan eficacias referidas a la fase líquida, en vez de a la fase vapor. EML := 0.75

Para obtener la curva eficaz se procede de la forma siguiente: EML

xop − xef xop − xeq



xef

xop + EML⋅( xeq − xop )

XOP( Y) := x_pm( Y , Xa , Ya , LG)

XEF( Y) :=

Xop ← XOP( Y) xop ← fracción( Xop ) y ← fracción( Y) xeq ← xeq ( y) xef ← xop + EML⋅( xeq − xop ) Xef ← razón( xef )

Xef

Con ello el número de etapas reales es: Des_cc_real :=

X0 ← Xa Y1 ← Ya for k ∈ 1 .. 200

Xk ← XEF( Yk )

Yk +1 ← YOP( Xk ) break if Xk ≤ Xb

N ←k

 N  X  Y   

50


 Nr     X  := Des_cc_real Y   Obteniéndose un número de etapas reales:

Nr = 8

 Xg  ( , Y)   := gráficoXYX  Yg  j := 0 .. last ( Xg)

YEQ( X)

0.04

Ya YOP( X) Yb Ygj

0.02

Y

0 0

0.05 X , Xa , X , Xb , Xgj , XEF( Y)

0.1

51


3.8

Caso DES-2: Etapas de desorción en flujo cruzado

Calcular cuál sería la separación alcanzada por un sistema de etapas de desorción en flujo cruzado con el gas en igual número que el ejemplo anterior y que emplee la misma cantidad de gas dividida por igual entre las etapas (apdo. 3.9).

3.9

Cálculo de la operación de desorción en flujo cruzado

Como se van a calcular etapas reales, en el cálculo de las corrientes de salida a partir de las de entrada se combina la ecuación de balance de componente con la expresión de la composición de salida en función de la eficacia, en este caso referida a la fase líquida: LC⋅( Xs − Xe) xs

GB⋅( Ye − Ys )

EML⋅xeq ( ys ) + ( 1 − EML) ⋅xe

Se debe encontrar el valor de ys que hace cero la diferencia entre el lado izquierdo y derecho de la ecuación de balance: Balance( LC , Xe , GB , Ye , xe , ys , EML) :=

Ys ← razón( ys )

xs ← EML⋅xeq ( ys ) + ( 1 − EML) ⋅xe Xs ← razón( xs )

err_bal ← LC⋅( Xs − Xe) − GB⋅( Ye − Ys ) err_bal

52


La subrutina para el cálculo de una etapa de desorción es: Etapa_s( Le , xe , Ge , ye , xeq , EML) :=

LC ← Le ⋅( 1 − xe)

GB ← Ge ⋅( 1 − ye)

Xe ← razón( xe) Ye ← razón( ye) ys ← ye

ys ← root ( Balance( LC , Xe , GB , Ye , xe , ys , EML) , ys ) xs ← xeq ( ys ) Ls ← Gs ←

LC 1 − xs GB 1 − ys

 Ls   xs     Gs   ys    Obsérvese que se busca el valor de ys que hace cero el balance. Una vez determinado se calcula el resto de variables. El cálculo de la serie de etapas es secuencial y se realiza con la subrutina Abs_fc. El cálculo con esta subrutina nos muestra que la desorción en flujo cruzado es más ineficaz que la desorción a contracorriente ya que se obtiene una concentración en el líquido de salida que resulta mayor que la que se obtuvo para flujo cruzado: xN = 0.0179 r

53


Des_fc :=

Ge ←

Ga Nr

ye ← yb L0 ← La x0 ← xa for i ∈ 1 .. Nr

 Li   xi    ← Etapa_s( Li −1 , xi −1 , Ge , ye , xeq , EML)  Gi   yi    L     x G   y 0.04 0.03

i := 1 .. Nr

yi

0.02 0.01 0

54

0

2

4 i

6

8

L    x  := Des_fc G   y

CAPÍTULO 4 EQUILIBRIO DE LA DESTILACIÓN

4 4.1

EQUILIBRIO DE LA DESTILACIÓN Introducción

La destilación es sin duda la operación de separación más utilizada. En ella dos o más componentes son separados de acuerdo con su diferente volatilidad. En este libro se estudiará el caso de la destilación binaria, es decir, la separación de dos componentes atendiendo a su volatilidad relativa. Previamente a la explicación de los métodos de cálculo, en este capítulo se tratará como definir el equilibrio líquido-vapor en mezclas ideales y no ideales utilizando modelos termodinámicos. Asimismo se mostrará como interpolar datos experimentales de equilibrio y de entalpía.

4.2

Notación empleada en los temas de destilación

En la Tabla 4.1 y la Tabla 4.2 puede verse la notación empleada en los distintos temas de destilación. Las fracciones si no se especifica ningún componente se refieren a las del componente ‘A’.

Tabla 4.1. Variables empleadas en destilación

Variables x

Fracción de A en el líquido

y

Fracción de A en el vapor

z

Fracción de A genérica (en líquido, vapor o su mezcla)

f

Fracción de vapor de una mezcla

F

Flujo molar de alimentación

D

Flujo molar de destilado

W

Flujo molar de producto de cola o residuo

T

Temperatura

R

Relación de reflujo

N

Número de etapas

57


Tabla 4.2. Subíndices empleados en destilación

Subíndices

4.3

A

Componente más volátil de la mezcla binaria

B

Componente menos volátil de la mezcla binaria

i

Componente genérico

p

Indica que el flujo o propiedad es másico

D

Destilado

W

Residuo o cola de la torre

N

Último etapa (calderín)

NF

Plato de alimentación

Definición del equilibrio en destilación

Para ilustrar el equilibrio se utilizarán los siguientes datos de equilibrio empíricos de la mezcla metanol-agua: 1

Tabla 4.3. Equilibrio líquido-vapor de la mezcla metanol-agua x

0.000

0.020

0.040

0.060

0.080

0.100

0.150

0.200

y

0.000

0.134

0.230

0.304

0.365

0.418

0.517

0.579

100

96.4

93.5

91.2

89.3

87.7

84.4

81.7

x

0.300

0.400

0.500

0.600

0.700

0.800

0.900

0.950

1.000

y

0.665

0.729

0.779

0.825

0.870

0.915

0.958

0.979

1.000

T (°C)

78.0

75.3

73.1

71.2

69.3

67.6

66.0

65.0

64.5

T (°C)

1

Fuente: Perry, Manual del Ingeniero Químico 6ªed, Tabla 13-1

58

Capítulo 4. Equilibrio de la destilación

Estos datos se asignan en Mathcad en la forma usual: Nexp := 17

i := 0 .. Nexp − 1

xexp := … i

yexp := … i

4.3.1

Texp := … i

Funciones de interpolación de los datos de equilibrio

En primer lugar se obtienen los coeficientes de la interpolación cúbica segmentaria (splines):

( ( ) ) xeq ( y) := interp( cspline( yexp , xexp) , yexp , xexp , y) Teq ( x) := interp( cspline( xexp , Texp) , xexp , Texp , x) yeq ( x) := interp cspline xexp , yexp , xexp , yexp , x

x := rango( 0 , 1 , 100)

i := 0 .. last ( x)

100

Texp

90

Texp Teq ( xi) 80 Teq ( xi) 70

60

0

0.2

0.4 0.6 xexp , yexp , xi , yeq ( xi)

0.8

Se observa que la interpolación conduce a un buen resultado. Para que esto ocurra debe existir una buena calidad de los puntos experimentales y una distribución adecuada de éstos.

59


4.3.2

Presión de vapor de los compuestos

Para definir el equilibrio se necesita definir la presión de vapor. Esto se puede hacer a través de la ecuación de Antoine:



Psat ( a , T) := exp a 0 −



  T + a2  a1

a1 − a2 Tsat ( a , P) := a 0 − ln ( P)

(kPa)

(ºC)

Para el metanol (componente 1) y el agua (componente 2) los coeficientes de Antoine son los siguientes2:

 16.5784  a1 :=  3638.27   239.700    Pt := 101.325

 16.3872  a2 :=  3885.70   230.170    (kPa)

Comprobación:

(

)

TsatP_1 := Tsat a1 , Pt = 64.5 (ºC)

4.3.3

(

)

TsatP_2 := Tsat a2 , Pt = 100 (ºC)

Modelo ideal del equilibrio líquido-vapor

Este modelo considera que la mezcla líquida ideal (compuestos químicamente muy semejantes). La energía libre de exceso es cero y por tanto los coeficientes de actividad valen la unidad. Cuando se puede utilizar presenta la ventaja de conducir a una solución explícita: Para una mezcla binaria las presiones parciales de ambos compuestos suman la presión total: P

2

P1 + P2

Smith, Van Ness, Abbot, Introducción a la Termodinámica para Ingenieros Químicos 7ªed

60


De acuerdo con la ley de Raoult: Pi

Psat ( T) ⋅xi i

P

Psat1( T) ⋅x1 + Psat2( T) ⋅x2

P

Psat ( a1 , T) ⋅x1 + Psat ( a2 , T) ⋅ 1 − x1

(

)

Despejando ‘x’ se obtiene: P − Psat ( a2 , T) x1_id( T , P) := Psat ( a1 , T) − Psat ( a2 , T)

La fracción de ‘y’ se puede obtener una vez conocida la de ‘x’ aplicando nuevamente la ley de Raoult: y1_id( T , P) :=

Psat ( a1 , T) P

(

⋅x1_id( T , P)

)

T := rango TsatP_2 , TsatP_1 , 100

i := 0 .. last ( T)

100

Texp 90 Texp Ti

80

Ti 70

60

0

0.2 0.4 0.6 0.8 xexp , yexp , x1_id Ti , P t , y1_id Ti , P t

(

)

(

)

Se observa que este modelo no resulta apropiado en este caso por ser el metanol y el agua compuestos polares que forman una mezcla no ideal.

61


4.3.4

Empleo de modelos termodinámicos para definir el equilibrio

Para cualquier modelo se parte de una Ley de Raoult corregida por coeficientes de actividad: γ 1 ⋅Psat1( T) ⋅x1 + γ 2 ⋅Psat2( T) ⋅x2

P

En este caso se utilizará el modelo de Van Laar, el cual parte de la siguiente definición de la energía libre de exceso a partir de la cual pueden calcularse los coeficientes de actividad:3 E

G x1 ⋅x2 ⋅R ⋅T

A12⋅A21 A12⋅x1 + A21⋅x2

(

)

(

)



A12 ⋅A21

γ 1 x1 , A12 , A21 := exp

 A ⋅x + A ⋅( 1 − x ) 21 1   12 1 

) 



A12 ⋅A21

γ 2 x1 , A12 , A21 := exp



(

2 ⋅A ⋅ 1 − x1  2 21

 A ⋅x + A ⋅( 1 − x ) 2 21 1   12 1

2 ⋅A12 ⋅x1 

 

Los coeficientes de Van Laar para la mezcla metanol-agua son los siguientes4: A12 := 0.8041

A21 := 0.5619

La presión total calculada a una temperatura y un valor de x dado es la siguiente:

(

)

(

)

Pcalc x1 , T , A12 , A21 , a1 , a2 := γ 1 x1 , A12 , A21 ⋅Psat ( a1 , T) ⋅x1 ... + γ 2 x1 , A12 , A21 ⋅Psat ( a2 , T) ⋅ 1 − x1

3

(

(

)

El procedimiento de obtención puede encontrarse en Smith, Van Ness, Abbot, Introducción a la Termodinámica para Ingenieros Químicos 7ªed

4

)

Perry, Manual del Ingeniero Químico 6ªed, Tabla 13-2

62


Para una temperatura dada se busca el valor correcto de x que hace que la presión calculada sea igual a la del sistema.

(

)

(

(

)

)

x1_vl x1 , T , P , A12 , A21 , a1 , a2 := root Pcalc x1 , T , A12 , A21 , a1 , a2 − P , x1

La fracción en equilibrio y puede calcularse a partir de la de x una vez conocida ésta:

(

)

(

)

y1_vl x1 , T , P , A12 , A21 , a1 , a2 := γ 1 x1 , A12 , A21 ⋅

Psat ( a1 , T) P

⋅x1

Se calculan ahora valores partiendo del valor conocido x1 = 0 a la temperatura de ebullición del componente 2:

(

)

Van_Laar T , Pt , A12 , A21 , a1 , a2 :=

x1 ← 0 0 for i ∈ 1 .. length( T) − 1 x1 ← x1_vl x1 , Ti , Pt , A12 , A21 , a1 , a2  i i −1

  y1 ← y1_vl x1 , Ti , Pt , A12 , A21 , a1 , a2  i  i   x1     y1     x1vl    := Van_Laar T , P , A , A , a1 , a2 ( t 12 21 )  y1vl   

63


100

Texp 90 Texp T

80

T 70

60

0

0.2

0.4 0.6 0.8 xexp , yexp , x1vl , y1vl

Se observa que el resultado del modelo es bastante aceptable.

El uso de modelos permite, dentro de los límites de validez de los coeficientes, extrapolar los resultados a otras condiciones de temperatura y presión. A continuación se obtiene el diagrama correspondiente a una presión inferior: P´t := 0.8 ⋅Pt

(

(

)

(

)

)

T´ := rango Tsat a2 , P´t , Tsat a1 , P´t , 100 i := 0 .. last ( T´)

 x´1vl    := Van_Laar T´ , P´ , A , A , a1 , a2 ( t 12 21 )  y´1vl   

64


100 90 Texp Texp 80 T´ T´

70 60 50

0

0.2

0.4 0.6 0.8 xexp , yexp , x´1vl , y´1vl

Hay que comentar que si bien los modelos pueden utilizarse directamente en los cálculos a veces aparecen problemas de convergencia. Por eso puede resultar conveniente calcular valores en secuencia tal y como se ha realizado anteriormente y luego interpolarlos previamente a la utilización en los cálculos.

4.4

Definición de la entalpía de las mezclas en Mathcad

Para los cálculos posteriores es necesario disponer de la entalpía de la fase líquida y vapor. Para una mezcla binaria la temperatura de ebullición es función de la composición de la fase líquida y por tanto de la fracción del componente clave ‘x’. Por lo tanto la entalpía de la fase líquida es función de ‘x’. Como la composición ‘y’ de la fase vapor en equilibrio está relacionada con ‘x’, se puede poner también la entalpía de la fase vapor como función exclusiva de ‘x’.

4.4.1

Mezcla ideal

Para el caso ideal la entalpía del vapor se puede obtener a partir de las entalpías de cada componente. Para una presión total dada, dado un valor de la fracción de componente clave se puede obtener la temperatura de la siguiente expresión. Teqx( x)

root Pt − Psat ( a1 , T) ⋅x + Psat ( a2 , T) ⋅( 1 − x) , T 65


Posteriormente la entalpía de la mezcla ideal se obtiene a partir de la entalpía como líquido de cada uno de los componentes puros: hL ( x)

T ← Teqx( x) hL ← x⋅hL1 ( T) + ( 1 − x) ⋅hL2 ( T) hL

Para el caso del vapor, la entalpía se calcula como:

y

Psat ( a1 , T) Pt

⋅x

Teqy( y)

Pt ⋅y      root Pt − Pt ⋅y + Psat ( a2 , T) ⋅ 1 −  , T Psat ( a1 , T)     

hG ( y)

T ← Teqy( y) hG ← y⋅hG1 ( T) + ( 1 − y) ⋅hG2 ( T) hG

4.4.2

Mezclas no ideales

En el caso de que la mezcla líquida es no ideal existe entalpía de exceso y no se puede aplicar la simplificación anterior. Si bien existen también modelos de entalpía, resulta práctico el uso de la interpolación cuando se dispone de datos experimentales. A continuación se muestra como realizar la interpolación para el sistema metanol-agua.

66


Datos de entalpía en kJ/kmol5: Nexp := 13

j := 0 .. Nexp − 1

zexpj :=

hvexpj :=

hlexpj :=

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

112101 111019 110045 109071 108206 106258 104472 102633 100902 99062 97277 95654 94085

17529 16610 15960 15419 14932 14175 13742 13363 13039 12822 12606 12390 12173

HL ( x) := interp( cspline( zexp , hlexp) , zexp , hlexp , x) HV ( y) := interp( cspline( zexp , hvexp) , zexp , hvexp, y)

5

Fuente: Dunlop.Tesis doctoral, Brooklyn Polytechnic Institute, NY, USA. 1948.

67

CAPÍTULO 5 DESTILACIÓN INSTANTÁNEA

5 5.1

DESTILACIÓN INSTANTÁNEA Introducción

La destilación instantánea, súbita o flash es una operación continua empleada para la separación inicial de mezclas en dos fracciones que posteriormente pueden continuar purificándose. En este proceso la mezcla es precalentada y posteriormente se descarga a una presión inferior produciéndose la separación. En este capítulo se realizarán cálculos de destilación instantánea de una mezcla binaria, para lo cual se deberá definir la separación utilizando información del equilibrio y planteando balances de materia y energía alrededor de una etapa de separación.

5.2

Caso DEST-1: Destilación instantánea

100 kg/h de una mezcla líquida que contiene 40% de metanol en agua se vaporizan instantánea y continuamente a 1 atm obteniéndose un 60% de la mezcla como destilado. La entalpía de la alimentación es: hF := 2530 (kJ/kmol) 1) Calcular las composiciones (molares y másicas), así como las temperaturas del vapor y del líquido obtenidas para un separador de una sola etapa ideal (apdo. 5.3). 2) Calcular el calor que se debe suministrar a la alimentación para conseguir la separación anterior (apdo. 5.4) 3) Construir y evaluar una subrutina para calcular la composición de las salidas a partir del calor aportado y de la alimentación definida (apdo. 5.5). 4) Estudiar el efecto del grado de vaporización sobre las diferentes variables (apdo. 5.6).

71


5.3

Balances de materia en la etapa de destilación

El componente más volátil es el metanol el cual se considera como componente A y por tanto todas las fracciones se referirán a él. El agua será en consecuencia el componente B. Como la información del equilibrio en destilación se expresa mejor en moles, conviene convertir los flujos másicos y fracciones másicas en magnitudes molares. Se precisa para ello las masas moleculares del metanol y del agua. MA := 32.04

M B := 18.02 (g/mol = kg/kmol)

Conversión de la alimentación a magnitudes molares: Flujo másico:

Fp := 100 (kg/h)

Fracción másica:

zpF := 0.4

Paso de fracción másica a molar: zpF

zF :=

MA

zpF MA

+

zF = 0.273

1 − zpF MB

Peso molecular promedio de la mezcla: MprF := zF ⋅ MA + ( 1 − zF) ⋅ MB

(kg/kmol)

Flujo molar de alimentación:

F :=

Fp MprF

F = 4.578 (kmol/h)

Balances: Grado de vaporización:

γ := 0.6

Flujo de destilado

D := γ ⋅ F

D = 2.747 (kmol/h)

A partir del balance total: W := F − D

W = 1.831 (kmol/h)

Conocidos los flujos molares, las composiciones de salida vienen determinadas por el balance de componente y el equilibrio.

72

Capítulo 5. Destilación instantánea

xW := 0.8 ⋅ zF

Inicialización:

yD := yeq ( xW )

Given F ⋅ zF yD

D ⋅ yD + W ⋅ xW yeq ( xW )

 yD    := Find ( yD , xW )  xW 

 yD   0.394    =   xW   0.091 

De otra forma: xW := 0.8 ⋅ zF

Inicialización:

xW := rootF ⋅ zF − ( D ⋅ yeq ( xW ) + W ⋅ xW ) , xW

xW = 0.091

La temperatura es la misma para las dos corrientes: TOP := Teq ( xW )

TOP = 361.42 (K)

Paso de resultados molares a fracciones másicas: MprD := yD ⋅ MA + ( 1 − yD) ⋅ MB Dp := D ⋅ MprD

Dp = 64.675 (kg/h)

Wp := Fp − Dp

Wp = 35.325 (kg/h)

ypD := xpW :=

yD ⋅ MA

yD ⋅ MA + ( 1 − yD) ⋅ MB xW ⋅ MA

xW ⋅ MA + ( 1 − xW ) ⋅ MB

ypD = 53.627 ⋅ % xW = 9.062 ⋅ %

73


5.4

Calor necesario

Para resolver este apartado se emplea el balance de energía total: hD := HV ( yD)

hD = 1.046 × 10

hW := HL( xW )

hW = 1.607 × 10

F ⋅ hF + Q

5.5.1

(kJ·mol-1)

4

(kJ·mol-1)

D ⋅ hD + W ⋅ hW

Q := D ⋅ hD + W ⋅ hW − F ⋅ hF

5.5

5

Q = 3.051 × 10

5

(kJ·h-1)

Equilibrio de reparto en una etapa ideal Subrutina para el cálculo del reparto

Atendiendo a la Figura 5.1 un estado de mezcla definido por el punto F que se reparte entre las curvas de entalpía de líquido y vapor cumple la siguiente relación geométrica entre dos cocientes: hF − HL ( x)

HV ( yeq ( x) ) − hF

zF − x

yeq ( x) − zF

Figura 5.1. Reparto entre líquido y vapor

74


Encontrar el valor de ‘x’ que iguala ambos lados de la expresión, supone obtener la solución del equilibrio, pues el resto de variables se pueden obtener en cadena a partir de este valor. No obstante, no resulta conveniente buscar el cero de la diferencia entre el cociente de la parte derecha y el de la izquierda, ya que puede aparecer una división por cero durante el proceso de resolución. En su lugar resulta más conveniente hacerlo para la siguiente expresión: f ( x , zF , hF , HL , HV , yeq) := ( HL( x) − hF) ⋅ ( yeq ( x) − zF) − ( HV ( yeq ( x) ) − hF) ⋅ ( x − zF)

En la subrutina más abajo creada se tienen en cuenta además los casos especiales en los que el punto de mezcla está sobre la curva de líquido o sobre la curva de vapor. REPARTO( x , zF , hF , HL , HV , yeq) :=

if hF

HL( zF)

x ← zF y ← yeq ( x) if hF

HV ( zF)

y ← zF x ← root( zF − yeq ( x) , x) otherwise x ← root( f ( x , zF , hF , HL , HV , yeq) , x) y ← yeq ( x) hL ← HL( x) hV ← HV ( y)

 x     hL   y     hV  Téngase en cuenta que para que se dé el reparto, el punto de mezcla debe tener una entalpía superior a la del líquido e inferior a la del vapor a la misma composición. De lo contrario el cálculo conducirá a valores negativos para algún flujo molar.

75


5.5.2

Cálculo del reparto mediante la subrutina reparto

Se va a comprobar que si se aplica el calor anteriormente obtenido a la alimentación, se alcanzan las composiciones deseadas tras producirse el reparto: Después de aplicar el calor Q, la entalpía de la mezcla es: F ⋅ hF + Q

F ⋅ h´F 

h´F := hF +

Q F

h´F = 6.917 × 10

4

(kJ·h-1)

Aplicando la subrutina para el cálculo del reparto se llega a:

 xW     hW  := REPARTO( z , z , h´ , HL , HV , y ) F F F eq  yD     hD 

 xW   0.091     4  hW  =  1.607 × 10   yD   0.394      hD   1.046 × 105 

Conocidas las composiciones se puede utilizar la ecuación de balance total combinada con la de componente para averiguar los flujos: D := 0.5 ⋅ F

Inicialización:

W := 0.5 ⋅ F

Given F F ⋅ zF

D+W D ⋅ yD + W ⋅ xW

D   := Find ( D , W) W

 D   2.747    =   W   1.831 

Comprobándose que son los calculados anteriormente. Representación gráfica: Para la representación de la situación de reparto se define la siguiente línea de operación:

 hD − hW   ⋅ ( z − yD)  yD − xW 

HOP ( z) := hD + 

76


( ) HL ( z1 )

zF

HV z1

1×10

5

5×10

4

ENTALPIA

hF hD hW hF+

Q F

( )

HOP z1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

z1 , z1 , zF , yD , xW , zF , z1 COMPOSICIÓN

5.5.3

Resoluciones alternativas del reparto

a) Regla de la palanca aplicada a la fracción de componente: D ⋅ ( yD − zF) D+W

W ⋅ ( zF − xW )



F

D := F ⋅

xW − zF xW − yD

W := F − D

b) Regla de la palanca aplicada a las entalpías: D ⋅ ( hD − h´F) D+W

F

W ⋅ ( h´F − hW )



D := F ⋅

hW − h´F hW − hD

W := F − D

77


c) Resolución conjunta de todos los balances junto con el equilibrio: Given F F ⋅ zF

D+W D ⋅ yD + W ⋅ xW

F ⋅ hF + Q yD

D ⋅ HV ( yD) + W ⋅ HL( xW )

yeq ( xW )

 D     yD  := Find ( D , y , W , x ) D W W    hW 

5.6

 D   2.747       yD  =  0.394   W   1.831       hW   0.091 

Estudio del efecto del grado de vaporización

La siguiente subrutina en función del grado de vaporización calcula en secuencia todas las variables que se ven afectadas por éste: DEST_INST( γ ) :=

D ← γ ⋅F W←F−D xW ← zF xW ← rootF ⋅ zF − ( D ⋅ yeq ( xW ) + W ⋅ xW ) , xW yD ← yeq ( xW ) T ← Teq ( xW )

Q ← D ⋅ HV ( yD) + W ⋅ HL( xW ) − F ⋅ hF

 D    W  yD     xW   T     Q 78


i 100

γ i :=

i := 0 .. 100

 Di     Wi   yD   i  := DEST_INST( γ ) i  xW  i    Ti     Qi 

5 F 4

Di Wi

0.8 yD

3

0.6

i

xW

2

i

0.4 zF

1

0

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0

1

0

0.2

0.4

γi

0.6

0.8

1

γi

370 5

4×10

365

5

3×10 Ti

Qi

360

5

2×10 355

350

5

1×10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0

0.2

0.4

0.8

zF

1

γi

γi

yDmax := yeq ( xWmax ) = 0.644

xWmax := zF = 0.273

Inic: xWmin := zF

0.6



xWmin := root( yeq ( xWmin ) − zF , xWmin ) = 0.051 yDmin := yeq ( xWmin ) = 0.273

Teq ( xWmin ) = 365.175

Teq ( xWmax ) = 351.851

79

CAPÍTULO 6 TORRES DE DESTILACIÓN: MÉTODO DE McCABE-THIELE

6 6.1

TORRES DE DESTILACIÓN: MÉTODO DE McCABETHIELE Introducción

La destilación instantánea consigue un grado de separación bastante pobre. Si se empleara en cascada se obtendría muy poco producto final de alta pureza en relación al flujo de alimentación empleado. Es por ello que se utilizan torres de rectificación que merced a la recirculación de una parte del producto destilado obtenido permiten alcanzar destilados y residuos de alta pureza. El método de McCabe-Thiele es un método simplificado de cálculo de la destilación binaria en torres de destilación que permite calcular el número de etapas y posicionar el plato de alimentación. La hipótesis de simplificación es que los flujos molares totales de líquido y de vapor son constantes en cada sección de la torre. Es decir en la sección de rectificación (entre el condensador y por encima del plato de alimentación) adoptan un valor constante entre los diferentes platos y en la sección de agotamiento (entre el plato de alimentación y el calderín) adquieren otro valor constante diferente. Ello implica que se podrá prescindir de la utilización de balances de energía y del conocimiento de las entalpías, excepto en el caso de alimentación subenfriada o sobrecalentada para determinar el plato de alimentación o en el caso de que se desee estimar los calores de calderín y condensador. La representación del cálculo de McCabe-Thiele se lleva a cabo sobre un diagrama x-y en el que se dispone una diagonal como línea de apoyo. Necesita que se determinen previamente la línea de alimentación, para pasar a determinar las líneas de operación de rectificación y de agotamiento. Las etapas se calculan entre las líneas de operación y la curva de equilibrio y se numeran desde el plato que queda por debajo del condensador hasta el calderín. El cálculo realizado mediante este método será tanto más exacto cuanta menos variación presenten los flujos en cada sección. Para que esto ocurra los calores de vaporización de los compuestos deben ser muy semejantes, ya que el calor necesario para la vaporización del componente más volátil (A) es proporcionado por la condensación del menos volátil (B). Esta situación se dará de forma bastante aproximada en la destilación de compuestos químicamente semejante como pueden ser los isómeros.

83


6.2

Caso DEST-2: Torre de destilación (McCabe-Thiele)

Tanto para este capítulo como para el siguiente se empleará el siguiente caso: 100 kmol/h de una mezcla metanol-agua con 40% molar de metanol se separan mediante destilación continua en una torre en una corriente de destilado con un 98% molar de metanol y en una de residuo con una concentración máxima de metanol del 2% molar. El condensador es total. La entalpía de la alimentación es: hF := 2530 (kJ/kmol) En este capítulo se resolverán mediante el método de McCabe-Thiele los siguientes apartados: 1) Flujos y composiciones de las corrientes de destilado y de residuo (apdo. 6.3) 2) Número mínimo de etapas ideales (apdo. 6.4) 3) Reflujo mínimo (apdo. 6.5) 4) Número de etapas ideales (apdo. 6.6) 5) Perfiles de flujo, composición y temperatura (apdo. 6.7) 6) Estúdiese el efecto del reflujo sobre el número de etapas ideales (apdo. 6.8)

6.3

Balances globales en la torre

Los datos del enunciado en Mathcad son los siguientes: Caudal molar de alimentación:

F := 100 (kmol / h)

Concentración molar de alimentación:

zF := 0.4

Concentración molar del destilado:

xD := 0.98

Concentración molar del residuo:

xW ≡ 0.02

Cantidad de productos: Un balance de materia global y de componente en la torre conduce al sistema de ecuaciones expuesto a continuación. Inicialización:

84

D :=

F 2

W := D

Capítulo 6. Torres de destilación: Método de McCabe-Thiele

Given F F ⋅ zF

D+W D ⋅ xD + W ⋅ xW

D   := Find ( D , W) W

6.4

 D   39.583    =   W   60.417 

Número mínimo de etapas ideales

El número mínimo de etapas ideales se dará en una situación de reflujo infinito, donde tanto la línea de operación de rectificación como la de agotamiento están situadas sobre la diagonal del diagrama x-y. El cálculo de las etapas es en parte similar al cálculo realizado en la absorción pues se calcula sucesivamente: 1) la composición del líquido en equilibrio con la del vapor saliente de cada etapa 2) la composición del vapor saliente de la etapa inferior que está en operación con el líquido que desciende (en este caso tiene la misma composición). No obstante en el caso de la destilación, el punto de partida (corrientes encima del plato 1) tiene la misma composición para la corriente líquida y vapor. Ello es debido a que el vapor saliente de la corriente 1, es condensado y el líquido formado es en parte devuelto al plato 1 sin sufrir variación de la composición. Obsérvese también que por debajo de la composición de alimentación, se está ya en la zona de agotamiento y por tanto se para al obtenerse una composición por debajo de la establecida para el residuo.

85


DMTmin :=

x0 ← xD y1 ← xD for k ∈ 1 .. 200

xk ← xeq ( yk) yk +1 ← xk break if xk ≤ xW

NT ← k

 NT   x   y    Para nuestro caso concreto el resultado es el siguiente:

 NTmin   x  := DMTmin  y   

NTmin = 6

 xg    := gráficoXY( x , y)  yg 

j := 0 .. last( xg) − 1

xx := 0 , 0.01 .. 1 0.2

yeq ( xx)

0.8 yeq ( xx)

xx

0.6

0.15 0.1

ygj

xx ygj

0.05

0.4 0

0

0

0.05

0.1

xx , xx , xgj

0.2

0

0.2

0.4

0.6

xx , xx , xgj

86

xW

0.8

0.15

0.2


6.5

Obtención de la relación de reflujo mínima

En esta situación límite las líneas de rectificación, agotamiento y alimentación intersectan sobre la misma curva de equilibrio por lo que se tendrá un número infinito de etapas. Para determinar esta situación basta con hallar la intersección con la curva de equilibrio de la línea de alimentación dada por:

=

−1

·

−

−1

El factor ‘q’ que aparece en la pendiente de la línea de alimentación es representativo del estado energético de la alimentación y viene definido por: q

HV ( zF) − hF

HV ( zF) − HL( zF)

Cuando la alimentación es una mezcla líquido-vapor con una fracción de vapor f se puede demostrar que el cálculo se simplifica a: q

1−f

En el caso de estudio la alimentación es un líquido subenfriado ya que: hF = 2.53 × 10

3

<

HL( zF) = 1.374 × 10

4

Por lo tanto: q :=

HV ( zF) − hF HV ( zF) − HL( zF)

q = 1.124

La pendiente de la línea de alimentación es: mF :=

q q−1

mF = 9.092

El punto de intersección de la línea de alimentación con la curva de equilibrio se puede obtener mediante la función ‘i_pm_c’.

 xint_min    := i_pm_c ( zF , zF , zF , mF , yeq)  yint_min 

 xint_min   0.438    =   yint_min   0.749  87


Hay que tener en cuenta que si q = 1 (f = 0) la alimentación es líquido saturado, la pendiente es infinita y el punto de intersección se da en zF. LOPRmin ( x) := y_pp( x , xint_min , yint_min , xD , xD)

Valor de y en el eje de ordenadas para x=0: yordmin := LOPRmin ( 0) yordmin

6.6

xD Rmin + 1

yordmin = 0.563



Rmin :=

xD − yordmin yordmin

Rmin = 0.742

Obtención del número de etapas ideales

El reflujo operativo a partir del reflujo mínimo es: R := 1.5 ⋅ Rmin

R = 1.113

Para este reflujo, la pendiente de la línea de operación de rectificación es: xD − mD

xD R+ 1 xD

R R+ 1

Y el nuevo punto de intersección entre la línea de operación y la de alimentación es: punto_intersec :=

mD ←

R R+ 1

 xint    ← i_pm_pm ( zF , zF , mF , xD , xD , mD)  yint   xint     yint   xint    := punto_intersec  yint 

88

 xint   0.432    =   yint   0.691 


Con ello quedan definidas las siguientes líneas de operación: Línea de alimentación:

yopF ( x) := y_pp( x , zF , zF , xint , yint)

Línea de operación de rectificación:

yopD( x) := y_pp( x , xD , xD , xint , yint)

Línea de operación de agotamiento:

yopW ( x) := y_pp( x , xW , xW , xint , yint)

El algoritmo de cálculo de las etapas ideales es el siguiente: DMT :=

x0 ← xD y1 ← xD for k ∈ 1 .. 100

xk ← xeq ( yk) yk +1 ←

yopD( xk) if xk ≥ xint yopW ( xk) otherwise

break if xk ≤ xW NF ← k + 1 if xk ≥ xint NT ← k

 NT     NF   x     y  Los cambios respecto del algoritmo de etapas mínimas son los siguientes: 1) Se emplean las nuevas líneas de operación, usándose la línea de rectificación cuando se está por encima del valor de abscisa del punto de intersección, y la línea de agotamiento cuando se está por debajo. 2) Se utiliza un contador NF que se deja de incrementar cuando se está en la zona de agotamiento quedándose con el valor de la posición del plato de alimentación.

89


El resultado obtenido es el siguiente:

 NT     NF  := DMT  x     y 

NT = 13 (12 platos y 1 calderín)

Plato de alimentación: 6.6.1

NF = 9

Representación gráfica

 xg    := gráficoXY( x , y)  yg 

j := 0 .. last( xg) − 1

xx := 0 , 0.01 .. 1

xf := min( xint , zF) , min( xint , zF) + 0.01 .. max( xint , zF)

xw := xW , xW + 0.01 .. xint

McCabe - Thiele

FRACCIÓN MOLAR VAPOR

zF yeq ( xx)

0.8

xx ygj

0.6

yopD( xx) yopW ( xw) 0.4 yopF ( xf) 0.2

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

xx , xx , xgj , xx , xw , xf FRACCIÓN MOLAR LÍQUIDO

90


Detalle zona residuo (McCabe-Thiele) 0.2

xW

0.15

0.1

0.05

0

0

0.05

0.1

0.15

0.2

El valor de composición obtenido para el residuo (xN = 0.0031) queda por debajo del valor objetivo (xW = 0.02).

6.7

Perfiles de flujos, composición y temperatura

Temperaturas:

j := 1 .. NT

Tj := Teq ( xj )

Corrientes de la zona de rectificación: R = 1.113 L := D ⋅ R

L = 44.054

G := L + D

G = 83.637

G´ := L´ − W

G´ = 95.995

Corrientes de la zona de agotamiento: L´ := q ⋅ F + L

L´ = 156.411

En las gráficas siguientes se representan los índices del gas desplazados en menos uno para que aparezca en operación con el líquido (misma posición geométrica).

91


j := 1 .. NT − 1 1 0.8 yj + 1 0.6 xj

0.4 0.2 0

0

5

10

15

10

15

j 370 360 Tj

350 340 330

0

5 j

6.8

Estudio del efecto del reflujo sobre el número de etapas ideales

Se repite todo creando funciones dependientes de R para cada cálculo dependiente de esta variable. pto_intersec( R) :=

mD ←

R R+ 1

 xint    ← i_pm_pm ( zF , zF , mF , xD , xD , mD)  yint   xint     yint 

92


Línea de operación de rectificación: yOPD ( x , xint , yint) := y_pp( x , xD , xD , xint , yint)

Línea de operación de agotamiento: yOPW ( x , xint , yint) := y_pp( x , xW , xW , xint , yint)

DMT( R) :=

 xint    ← pto_intersec( R)  yint  x0 ← xD y1 ← xD NF ← 1 for k ∈ 1 .. 100

xk ← xeq ( yk) yk +1 ←

yOPD ( xk , xint , yint) if xk ≥ xint yOPW ( xk , xint , yint) otherwise

break if xk ≤ xW

( NF ← NF + 1)

if xk ≥ xint

NT ← k

 NT     NF   x     y   xint     yint  netapas ( R) := DMT( R) 0

r := 1.05 , 1.1 .. 8

93


30

Rmin

20 netapas ( r ⋅ Rmin) 10 NTmin

0

0

2

4

6

r ⋅ Rmin

Se observa que al acercarse al reflujo mínimo, el número de etapas necesario tiende a infinito. A partir de cuatro veces el reflujo mínimo el número de etapas ya está muy cerca de las etapas mínimas que se tendrían para reflujo infinito.

94

CAPÍTULO 7 TORRES DE DESTILACIÓN: MÉTODO DE PONCHON-SAVARIT

7 7.1

TORRES DE DESTILACIÓN: MÉTODO DE PONCHONSAVARIT Introducción

El método de Ponchon-Savarit es más exacto que el método de McCabe-Thiele pero requiere el conocimiento de la entalpía de la mezcla líquida y vapor. El cálculo está basado en la determinación de unos puntos de composición y entalpía fijos por los cuales pasan las líneas de operación. Estos puntos son un artificio del cálculo y no representan ningún estado composición-entalpía existente en la torre.

7.2

Caso DEST-3: Torre de destilación (Ponchon-Savarit)

Se resuelve el caso DEST-2 del capítulo anterior pero utilizando el método de cálculo de Ponchon-Savarit. En los apartados se omite el balance en la torre por ser el mismo. 1) Número mínimo de etapas ideales (apdo. 7.3) 2) Reflujo mínimo (apdo. 7.4) 3) Posición de los polos y cargas térmicas del condensador y del calderín para una relación de reflujo respecto del mínimo de 1.5 (apdo. 7.5) 4) Número de etapas ideales (apdo. 7.6) 5) Estúdiese el efecto del reflujo sobre el número de etapas ideales (apdo. 6.8)

7.3

Número mínimo de etapas ideales

Representa una situación de reflujo infinito en la que el polo de operación de rectificación se sitúa en el infinito y por tanto las líneas de operación son verticales. En el cálculo de Ponchon-Savarit las coordenadas empleadas son composición y entalpía para líquido y vapor.

97


El algoritmo calcula sucesivamente las dos corrientes de debajo de cada etapa a partir de las dos corrientes que están por encima de ésta de la siguiente forma: 1) La composición del líquido que desciende se calcula a partir del vapor ascendente a través del equilibrio. Posteriormente se calcula la entalpía del líquido en función de la composición. 2) La composición del vapor entrante por debajo de la etapa se calcula mediante línea de operación con el líquido descendente (en este caso es la misma composición para el líquido y vapor por ser las líneas de operación verticales) El punto de partida viene definido por los estados de la corriente líquida y vapor que hay por encima del plato 1. Su composición es la misma e igual a la del destilado obtenido, ya que tanto el destilado producto como la corriente líquida retornada son obtenidas mediante condensación de la corriente vapor (y por tanto sin variación de composición). No obstante, ambas corrientes difieren en su estado entálpico. DPS MIN :=

x0 ← xD hL0 ← HL( x0) y1 ← xD hV1 ← HV ( y1) for k ∈ 1 , 2 .. 100 xk ← xeq ( yk)

hLk ← HL( xk) break if xk ≤ xW

yk +1 ← xk hVk +1 ← HV ( yk +1) NTmin ← k

 NTmin     x   hL   y     hV 

98

 NTmin     x   hL  := DPS MIN  y     hV 

Capítulo 7. Torres de destilación: Método de Ponchon-Savarit

El número de etapas mínimo obtenido es NTmin = 6 La representación gráfica es la siguiente:

 zg_eq    := líneas_eq( NTmin , x , hL , y , hV)  hg_eq  jop := 0 .. last( zg_op)

jeq := 0 .. last( zg_eq)

5

1.2×10

xW

xD

5

1×10 HV( x) HL( x)

4

8×10

4

hg_opjop

6×10

hg_eqjeq

4×10

4 4

2×10

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

x , x , zg_opjop , zg_eqjeq 5

1.2×10

xW

5

1×10 HV( x) HL( x)

4

8×10

4

hg_opjop

6×10

hg_eqjeq

4×10

4 4

2×10

0

0

0.05

0.1

0.15

0.2

x , x , zg_opjop , zg_eqjeq

99


7.4

Relación de reflujo mínima:

Representa una situación de etapas infinitas. Se obtendrá la línea de operación global mínima, descubriendo los puntos de equilibrio sobre las curvas de líquido y vapor de una línea de reparto que pasa por F.

 xmin     hLmin  := REPARTO( z , z , h , HL , HV , y ) F F F eq  ymin     hVmin 

 xmin   0.441     4  hLmin  =  1.359 × 10   ymin   0.75     4 hV  min   9.814 × 10 

Línea de operación mínima, entalpía del polo mínimo y reflujo mínimo: LOPMIN( x) := y_pp( x , xmin , hLmin , ymin , hVmin) 5

2×10

5

HL( z )

1×10

HV( z ) 0

LOPMIN( z ) hF

5

− 1×10

5

− 2×10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

z , z , z , zF

Los estados de entalpía del destilado producto y el correspondiente al polo de rectificación son: hD := HL( xD)

hD = 1.222 × 10

Q´min := LOPMIN( xD)

Q´min = 1.608 × 10

100

4 5


A partir de éstos, el reflujo mínimo correspondiente es: Rmin :=

7.5

Q´min − HV ( xD) HV ( xD) − hD

Rmin = 0.808

Cargas térmicas del condensador y calderín

El reflujo operativo a partir de ahora es: R := 1.5 ⋅ Rmin

Polo de operación de rectificación o enriquecimiento operativo: xD = 0.98

Abscisa: Ordenada:

R

Q´ − HV ( xD)

HV ( xD) − hD

Q´ := HV ( xD) + R⋅ ( HV ( xD) − hD) Q´ = 1.94 × 10

5

(kJ/kmol)

Carga térmica en el condensador: A partir de la definición de Q´: QC := ( Q´ − hD) ⋅ D

QC = 7.196 × 10

6

hW := HL( xW )

hW = 1.712 × 10

4

QB := QC + D ⋅ hD + W ⋅ hW − F ⋅ hF

QB = 8.46 × 10

(kJ/h)

Carga térmica en el calderín: A partir del balance de energía total:

6

(kJ/kmol)

(kJ/h)

101


Polo de operación de agotamiento operativo: xW = 0.02

Abscisa: Ordenada:

Q´´ :=

W ⋅ hW − QB

Q´´ = −1.229 × 10

5

(kJ/kmol)

W

Línea de operación global: Esta línea pasa por los polos de enriquecimiento, agotamiento y por el punto representativo de la alimentación: LOPT ( x) := y_pp( x , zF , hF , xD , Q´) 5

3×10 HL( z ) HV( z ) LOPT ( z ) hF

5

2×10

5

1×10

Q´min 0 Q´ Q´´

5

− 1×10

5

− 2×10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

z , z , z , z F , xD , xD , xW

De forma alternativa se puede obtener Q´´ como la ordenada correspondiente a xW en la línea de operación global: LOPT ( xW ) = −1.229 × 10

102

5


7.6

Cálculo de las etapas ideales de la rectificación

El punto de cambio del balance se determina en la intersección con la curva de entalpía del líquido de la línea de operación que va desde la alimentación al polo de rectificación:

 xcambio    := i_pp_c ( zF , zF , hF , xD , Q´ , HL)  ycambio 

xcambio = 0.434

El algoritmo para el cálculo de las etapas ideales es el siguiente: DPS :=

x0 ← xD hL0 ← HL( x0) y1 ← xD hV1 ← HV ( y1) for k ∈ 1 , 2 .. 200 xk ← xeq ( yk)


 yk+1    ← i_pp_c ( yk , xk , hLk , xD , Q´ , HV) if xk > xcambio  hVk+1  i_pp_c ( yk , xk , hLk , xW , Q´´ , HV) otherwise

NF ← k + 1 if xk > xcambio NT ← k

 NT     NF   x     hL   y     hV 

103


Comparando con el procedimiento de etapas mínimas, se observa que la diferencia principal es como se determina la composición del vapor que está en operación con el líquido descendente. En este caso se halla en la intersección entre la curva de entalpía del líquido y la línea de operación que va desde la composición del líquido al polo correspondiente. Obsérvese que se usan las coordenadas de un polo u otro atendiendo a si se está en composiciones de la zona de rectificación o de agotamiento determinadas por la composición del punto de cambio de balance. Otra diferencia es que al igual que se hizo en el método de McCabe-Thiele se determina la posición del plato de alimentación con un contador que se incrementa solamente mientras se está en la zona de rectificación (composición de valor en componente volátil mayor a la del punto de cambio). Los resultados obtenidos en este caso son:

 NT     NF   x    := DPS  hL   y     hV  Nº de etapas ideales:

NT = 12

Posición plato de alimentación:

NF = 9

Nº de platos en la zona de enriquecimiento:

ND := NF − 1

Nº de platos en la zona de agotamiento: NW := NT − ND − 1

ND = 8 NW = 3

El calderín es una etapa adicional. 7.6.1

Representación del número de etapas

zg_eq := 0

hg_eq := 0

 zg_eq    := líneas_eq( NT , x , hL , y , hV)  hg_eq 

i := 0 .. NF

zi := xi

hi := hLi

Polo de rectificación:

xΔ := xD

hΔ := Q´

j := NF + 1 .. NT 104

i

i


Puntos de operación del vapor: zj := yj

hj := hVj

j := NF + 1 .. NT + 1 xΔ := xW j

Polo de agotamiento:

hΔ := Q´´ j

 zg_op    := líneas_op( NT + 1 , z , h , xΔ , hΔ )  hg_op  Representación gráfica para una relación de reflujo R = 1.212 jop := 0 .. last( zg_op)

z := 0 , 0.01 .. 1

jeq := 0 .. last( zg_eq)

zop := xW , xW + 0.01 .. xD

PONCHON-SAVARIT

5

2×10 HV( z ) ENTALPÍA ESPECÍFICA

HL( z ) hD

5

1×10

hF hW LOPT ( zop)

0

hg_opjop hg_eqjeq 5

− 1×10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

z , z , xD , z F , xW , zop , zg_opjop , zg_eqjeq FRACCIÓN MOLAR

El número de etapas y composición calculada para el residuo son los siguientes: 105


xN = 1.306 × 10

NT = 12

−2

T

El valor de composición del residuo podría iterarse llevándolo al principio del balance si se quiere hacer coincidir con el valor objetivo (xW = 0.02). Detalle zona residuo

5

2×10

xW

HV( z ) ENTALPÍA ESPECÍFICA

HL( z ) 5

hΔD

1×10

hF hW LOPT ( zop)

0

hg_opjop hg_eqjeq 5

− 1×10

0

0.05

0.1

0.15

z , z , xD , z F , xW , zop , zg_opjop , zg_eqjeq FRACCIÓN MOLAR

7.7

Cálculo de los flujos a partir de balances de materia

Temperaturas de equilibrio del condensador y de las etapas: i := 0 .. NT

Ti := Teq ( xi)

Temperatura del condensador:

( T0 − 273.14)

Temperatura del calderín:

TN − 273.14 = 97.426 (ºC)

106

T

= 64.448 (ºC)

0.2


Flujos de las corrientes por encima del plato 1: Son determinados mediante un balance alrededor del condensador. L0 := R⋅ D

L0 = 47.972 (kmol/h)

G1 := D + L0

G1 = 87.555 (kmol/h)

Flujos de las corrientes de la zona de enriquecimiento: Son determinados por balances que engloban la corriente de producto D y las corrientes por debajo de cada etapa: Gn +1

Ln + D

Gn +1 ⋅ yn +1

Ln ⋅ xn + D ⋅ xD

n := 1 .. NF − 1

 xD − yn +1    yn +1 − xn 

Ln := D ⋅ 

Gn +1 := Ln + D

Flujos de las corrientes de la zona de agotamiento: Lm − W

Gm +1

Gm +1 ⋅ yn +1

Lm ⋅ xm − W ⋅ xW

m := NF .. NT − 1

 ym +1 − xW    ym +1 − xm 

Lm := W ⋅ 

Calderín:

GN = 89.773 (kmol/h) T

Gm +1 := Lm − W

yN = 0.093 T

107


j := 1 .. NT − 1 200 150 Gj + 1 Lj

100 50 0

0

2

4

6

8

10

12

8

10

12

8

10

12

j 1 0.8 yj + 1 0.6 xj

0.4 0.2 0

0

2

4

6 j

370 360 Tj

350 340 330

0

2

4

6 j

Nota: Las variables del vapor se han representado con el índice desplazado en menos uno para que aparezca en la misma posición de operación que el líquido.

108


7.8

Estudio de la variación del número de etapas con el reflujo

Para estudiar el efecto de una variable, como por ejemplo el reflujo, todos los cálculos que dependen de ésta deben repetirse como funciones de la variable y en el mismo orden: Q´( R) := HV ( xD) + R⋅ ( HV ( xD) − hD)

QC ( R) := ( Q´( R) − hD) ⋅ D

QB ( R) := QC ( R) + D ⋅ hD + W ⋅ hW − F ⋅ hF

Q´´( R) :=

W ⋅ hW − QB ( R) W

xcambio ( R) := i_pp_c ( zF , zF , hF , xD , Q´( R) , HL) 0 DPS ( R) := x0 ← xD hL0 ← HL( x0) y1 ← xD hV1 ← HV ( y1) for k ∈ 1 , 2 .. 200 xk ← xeq ( yk)


 yk+1    ← i_pp_c ( yk , xk , hLk , xD , Q´( R) , HV) if xk > xcambio ( R)  hVk+1  i_pp_c ( yk , xk , hLk , xW , Q´´( R) , HV) otherwise

NF ← k + 1 if xk > xcambio ( R) NT ← k

 NT     NF   x     hL   y     hV 

109


Rmin = 0.813

netapas ( R) := DPS ( R) 0

k := 0 .. 12

rD := 1.05 , 1.1 .. 8

Efecto del reflujo sobre el número de etapas 1 20

netapas ( rD ⋅ Rmin) 10 NTmin

0

0

2

4

6

8

10

rD

Efecto del reflujo sobre las cargas térmicas 1

7

2×10 QC ( rD ⋅ Rmin) QB ( rD ⋅ Rmin)

7

1×10

0

0

2

4

6

8

rD

Se ve que el aumento del reflujo trae como consecuencia el aumento de las cargas térmicas necesarias para el condensador y calderín.

110

CAPÍTULO 8 EQUILIBRIO DE EXTRACCIÓN LÍQUIDO - LÍQUIDO

8 8.1

EQUILIBRIO DE EXTRACCIÓN LÍQUIDO – LÍQUIDO Introducción

La extracción líquido-líquido es una operación de separación de un componente de una mezcla líquida mediante contacto con otro componente también en fase líquida siendo la diferencia de solubilidad entre los componentes la propiedad que establece el grado de separación. Si bien la mezcla líquida que se va a tratar puede estar formada por múltiples componentes, para su explicación se va a trabajar con mezclas ternarias en las que la disolución que se va a tratar, el alimento, consta de un componente A y un componente C que se quiere extraer. Para que la extracción tenga lugar la disolución alimento se pone en contacto con un componente B, llamado disolvente de la extracción, seleccionado de forma que A y B son líquidos básicamente insolubles. Como consecuencia de la separación se forma una fase líquida rica en componente B, denominada extracto, y una fase líquida rica en componente A, llamada refinado, distribuyéndose el componente C entre ambas fases. En la mayoría de los casos los tres componentes aparecen en cierto grado en las dos fases. En esta operación el efecto de la presión sobre el equilibrio líquido es tan pequeño que generalmente puede ignorarse, excepto a presiones muy elevadas. No es despreciable, sin embargo, el efecto de la temperatura sobre la solubilidad. No obstante, las operaciones de extracción líquido-líquido se operan a temperatura constante.

8.2

Notación empleada en extracción líquido-líquido

En la Tabla 8.1 y la Tabla 8.2 puede verse la notación empleada en los distintos temas de extracción líquido-líquido. En este caso, al existir tres componentes se debe especificar siempre a que componente se refiere la fracción acompañando de subíndices adecuados.

113


Tabla 8.1. Variables empleadas en extracción líquido-líquido

Variables x

Fracción másica en el alimento y refinado

y

Fracción másica en el disolvente y el extracto

z

Fracción másica en la mezcla de alimento y disolvente

F

Cantidad o flujo másico de alimentación

S

Cantidad o flujo másico de disolvente

E

Cantidad o flujo másico de extracto

R

Cantidad o flujo másico de refinado

M

Cantidad o flujo másico de mezcla

X

Composición en base libre de disolvente

Tabla 8.2. Subíndices empleados en extracción líquido-líquido

Subíndices

114

A

Componente base que se refina

B

Componente que actúa como disolvente extractor

C

Componente C que se extrae

E

Extracto

F

Alimento

R

Refinado

M

Mezcla de alimento y disolvente

i

Etapa genérica o corriente saliente de la etapa

N

Última etapa

Capítulo 8. Equilibrio de extracción líquido-líquido

8.3

Definición del equilibrio en extracción líquido-líquido

Para tratar estos sistemas ternarios además de la curva de equilibrio, que determina la relación del componente C en cada una de las fases, se utiliza la curva binodal que muestra el equilibrio de composición entre la fase rica en A y la fase rica en B para distintos valores de C. Para realizar los cálculos se va a trabajar mediante diagramas de fases en coordenadas rectangulares. En estos diagramas en el eje de abscisas se representa la fracción másica de componente B y en el eje de ordenadas la fracción másica de componente C. Cualquier punto sobre los ejes representa composiciones de mezclas binarias y en cualquier otro punto del diagrama representa mezclas ternarias. Para un sistema de componentes dado, las rectas de reparto relacionan composiciones entre ambas ramas de la curva binodal. Para definirlas, se van a crear funciones que para cada rama permiten calcular el valor de la ordenada para una abscisa concreta y viceversa. Las funciones creadas para definir la rama del extracto relacionan la composición en B y C (Figura 8.1):

C

C

E

YC(yB)

E

yC

R

R yB

B

YB(yC)

B

Figura 8.1. Funciones que definen la rama de extracto

115


De la misma manera, la Figura 8.2 muestra las funciones que relacionan las composiciones de la rama de refinado:

C

C

E

R

xC

XC(xB) xB

B

E

R

B

XB(xC)

Figura 8.2. Funciones que definen la rama de refinado

Además es necesario definir las funciones de equilibrio que relacionan la fracción de componente C entre las ramas de extracto y refinado (Figura 8.3):

C

C

yC XCyc(yC)

E R

YCxc(xC) xC

E R

B Figura 8.3. Funciones de equilibrio de C entre el refinado y el extracto

116

B


8.3.1

Definición de las composiciones en base libre de disolvente

Aunque los cálculos de esta operación se van a realizar utilizando los diagramas y las funciones descritas, es conveniente señalar que en extracción líquido-líquido también se suele trabajar utilizando diagramas basados en las composiciones expresadas en base libre de disolvente. En este sistema las composiciones representan el cociente entre la cantidad de componente (A, B o C) y la cantidad de componente A más componente C en la mezcla ternaria. La siguiente ecuación muestra la forma de relacionar la composición de componente C, como ejemplo, en ambas bases de cálculo:

=

8.4

+

=

1−

Definición en Mathcad del equilibrio de extracción líquidolíquido

Como ejemplo de aplicación se va a definir funciones para el sistema formado por el agua, componente A, el ácido acético, componente C y el éter isopropílico, componente B a 20 ºC. Para ello se parte de una matriz que contiene en la las fracciones de C y A en el refinado y el extracto6:

 0.0069  0.0141   0.0289 datos :=  0.0642   0.133  0.255   0.367 0 xCexp := datos

6

1 xAexp := datos

0.981 0.0018 0.005 

  0.008   0.01  0.019  0.039   0.069 

0.971 0.0037 0.007 0.955 0.0079 0.917 0.0193 0.844 0.0482 0.711 0.114 0.589 0.216

2 yCexp := datos

3 yAexp := datos

Fuente: Trans. AICHE, 36, 628 (1940) extraído de Treybal, R.E., Mass-transfer operations 2º ed. Mc Graw-Hill (1968)

117


Las fracciones de B son en consecuencia:

(

0 N := last datos

)

i := 0 .. N

xBexp := 1 − xAexp − xCexp i i i

8.4.1

yBexp := 1 − yAexp − yCexp i i i

Interpolación del equilibrio a partir de datos experimentales

Funciones que relacionan las fracciones de C y B en el refinado: XC ( z) := interp( cspline( xBexp, xCexp) , xBexp, xCexp, z) XB( z) := interp( cspline( xCexp, xBexp) , xCexp, xBexp, z)

Funciones que relacionan las fracciones de C y B en el extracto: yBexp_r := reverse( yBexp)

yCexp_r := reverse( yCexp)

YC ( z) := interp( cspline( yBexp_r , yCexp_r) , yBexp_r , yCexp_r , z) YB( z) := interp( cspline( yCexp, yBexp) , yCexp, yBexp, z)

Obsérvese que para definir la función que determina la composición de C en función de la composición de B ha sido necesario invertir el orden de los elementos del vector de composición de B ya que la función de interpolación requiere que el valor de las abscisas tenga un orden creciente.

Representación de los puntos de refinado y extracto en el equilibrio:

z1 := xBexp , xBexp ⋅1.1 .. xBexp 0

118

0

N

z2 := yBexp , yBexp ⋅1.01 .. yBexp N

N

0


0.4

xCexp 0.3 i y Cexp

i

0.2 XC( z1) YC( z2) 0.1

0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

xBexp , y Bexp , z1, z2 i

i

Relación de C entre el refinado y el extracto: YCxc( z) := interp( cspline( xCexp, yCexp) , xCexp, yCexp, z) XCyc( z) := interp( cspline( yCexp, xCexp) , yCexp, xCexp, z)

z3 := xCexp , xCexp ⋅1.1 .. xCexp 0

0

N

0.4

y Cexp

0.3

i

YCxc( z3) 0.2 z3 0.1

0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

xCexp , z3 i

119


8.5

Cálculo del reparto para una etapa de equilibrio ideal

Al igual que en destilación, se puede definir una subrutina que permite determinar las composiciones de las corrientes de extracto y refinado que se forman a partir de la mezcla la corriente de alimento con el disolvente de la extracción:

Figura 8.4. Notación de la subrutina reparto

En este caso se pueden distinguir los casos en los que el punto de mezcla se sitúa sobre la curva de extracto o sobre la curva de refinado, del caso general en que se localiza en la zona de inmiscibilidad entre ambas curvas.

f ( xC , zBM , zCM , XB , YB , YCxc) := ( XB( xC) − zBM ) ⋅( YCxc( xC) − zCM ) ... + ( YB( YCxc( xC) ) − zBM ) ⋅( zCM − xC) REPARTO_LL( xC , zBM , zCM , XB , YB , YCxc) := …

120


if zBM

XB( zCM)

xC ← zCM yC ← YCxc( xC) if zBM

YB( zCM)

yC ← zCM xC ← root ( zCM − YCxc( xC) , xC) otherwise xC ← root ( f ( xC , zBM , zCM , XB , YB , YCxc) , xC) yC ← YCxc( xC)

xB ← XB( xC) yB ← YB( yC)

 xB   xC     yB   yC   

121

CAPÍTULO 9 EXTRACCIÓN LÍQUIDO – LÍQUIDO EN FLUJO CRUZADO

9 9.1

EXTRACCIÓN LÍQUIDO – LÍQUIDO EN FLUJO CRUZADO Introducción

En la operación en flujo cruzado el refinado generado en una etapa se introduce como alimento de la etapa siguiente y se pone en contacto con nuevo disolvente para producir una nueva extracción. Como resultado de la operación se obtiene una corriente de refinado final y una corriente de extracto en cada etapa que puede juntarse para obtener un extracto conjunto (Figura 9.1). En esta lección se explicará cómo calcular una etapa de extracción-líquido líquido para posteriormente realizar el cálculo en secuencia de un flujo cruzado. Extracto total E1, yC1 Alimentación F, xCF

Etapa 1

E2, yC2

R1, xC1

Etapa 2

R2, xC2

E3, yC3

Etapa 3

R3, xC3 Refinado final

S1, yCS Disolvente

S2, yCS Disolvente

S3, yCS Disolvente

Figura 9.1. Diagrama de flujo de operación de flujo cruzado de tres etapas

9.2

Caso de estudio ELL-1:

100 kg/h de una disolución de ácido acético (C) y agua (A) que contienen 30% de ácido, se extraen en flujo cruzado con 120 kg/h de éter isopropílico (B) a 20 ºC que se reparten por igual entre las tres etapas. 1) Calcular mediante balances la primera etapa (apdo. 9.3). 2) Definir una subrutina para calcular una etapa (apdo. 9.3) 3) Calcular el sistema de tres etapas (apdo. 9.4.) 4) Disolvente empleado por una etapa que consiga la misma concentración en el refinado que las tres etapas anteriores (apdo. 9.5.) 5) Efecto de emplear más etapas con el mismo disolvente (apdo. 9.6.)

125


9.3

Cálculo de una etapa de equilibrio mediante balances

Los datos correspondientes al enunciado propuesto en Mathcad son los siguientes: F := 100 (kg/h)

xCF := 0.3

xBF := 0

St := 120 (kg/h)

yCS := 0

yBS := 1

xAF := 1 − xCF − xBF

xAF = 0.7

yAS := 1 − yCS − yBS

yAS = 0

Teniendo en cuenta que el disolvente se reparte por igual en cada etapa, la cantidad de disolvente entrante a la primera etapa es: S :=

St

S = 40 (kg/h)

N

El punto de mezcla del alimento y el disolvente se determina a partir de balance de materia total y balances de materia del componente C y B: Balance total: M := F + S

M = 140 (kg/h)

Balance componente B: M ⋅zBM

F ⋅xBF + S ⋅yBS 

zBM :=

F ⋅xBF + S ⋅yBS M

zBM = 0.286

Balance componente C: M ⋅zCM

F ⋅xCF + S ⋅yCS 

zCM :=

F ⋅xCF + S ⋅yCS M

zCM = 0.214

A partir del punto de mezcla la aplicación de la subrutina reparto permite determinar las composiciones de la corriente de extracto y de refinado salientes de la primera etapa:

126

Capítulo 9. Extracción líquido-líquido en flujo cruzado

 xBR   xCR    := REPARTO_LL( 0.2 , zBM , zCM , XB , YB , YCxc)  yBE   yCE   

 xBR   0.034   xCR   0.258     =   y 0.844 BE     yCE   0.116   

La combinación de balance de material total y de balance de materia de uno de los componentes a partir del punto de mezcla y de las corrientes de salida permite determinar los flujos de éstas últimas: M

E+ R

M ⋅zCM R := M ⋅

E ⋅yC + R ⋅xC

M ⋅zCM



( M − R) ⋅yCE + R ⋅xCR

zCM − yCE xCR − yCE

R = 96.537

E := M − R

E = 43.463

Otra forma alternativa de cálculo está basada en la resolución conjunta de ecuaciones de balance y de equilibrio: M

E+ R

M ⋅zBM

E⋅yBE + R ⋅xBR

xBR

XB( xCR)

M ⋅zCM

E⋅yCE + R ⋅xCR

yCE

YC ( yBE)

Suposición inicial:

yBE := 0.8

xCR

E := 0.5 ⋅M

XCyc( yCE)

R := 0.5 ⋅M

Given M

E+ R

M ⋅zCM

E⋅YC ( yBE) + R ⋅XCyc( YC ( yBE) )

M ⋅zBM

E⋅yBE + R ⋅XB( XCyc( YC ( yBE) ) )

 yBE     E  := Find( yBE, E , R)  R   

 yBE   0.844     E  =  43.452   R   96.548   

127


Representación gráfica: Línea F - S

 xBF    yBS 

 xCF    yCS 

zB_FS := 

zC_FS := 

Línea R - E

 xBR    yBE 

 xCR    yCE 

zB_RE := 

zC_RE := 

0.3 XC( z1) YC ( z2) zC_FS

0.2

zC_RE zCM

0.1

0

128

0

0.2 0.4 0.6 0.8 z1 , z2 , zB_FS , zB_RE , zBM

1


Los cálculos anteriores se han implementado en la siguiente subrutina: ELL_ETAPA( xCRsup , F , xBF , xCF , S , yBS , yCS) := … M←F+S zBM ← zCM ←

F ⋅xBF + S ⋅yBS M F ⋅xCF + S ⋅yCS M

SOL ← REPARTO_LL( xCRsup , zBM , zCM , XB , YB , YCxc) xBR ← SOL0 xCR ← SOL1 yBE ← SOL2 yCE ← SOL3 R ← M⋅

zCM − yCE xCR − yCE

E←M−R

 M     zBM   zCM     R   xBR     xCR     E   yBE     yCE 

129


Se comprueba a continuación que conduce al mismo resultado que se obtuvo con los balances: Para inicializar la búsqueda de la abscisa buscada por REPARTO_LL dentro de ELL_ETAPA se toma un valor comprendido dentro del rango experimental: xCRsup := 0.2

 M     zBM   zCM     R   xBR  := ELL_ETAPA( x CRsup , F , xBF , xCF , S , yBS , yCS)    xCR     E   yBE     yCE 

9.4

 M   140       zBM   0.286   zCM   0.214       R   96.537   xBR  =  0.034       xCR   0.258     43.463   E     yBE   0.844    0.116   yCE  

Aplicación a varias etapas de flujo cruzado

Para resolver el sistema compuesto por las tres etapas se puede emplear la subrutina que calcula una etapa. Para ello en cada etapa hay que sustituir únicamente los argumentos correspondientes a la corriente de alimentación, puesto que la condición del caso de estudio es que todas las etapas reciben la misma corriente de disolvente. Excepto la primera etapa, el resto de las etapas de una operación en flujo cruzado reciben como alimento el refinado de la etapa anterior. Así para poder aplicar la misma subrutina para la primera etapa basta con definir una corriente de refinado ficticia de entrada a dicha etapa de igual valor a la corriente de alimentación.

130


ELL_CRUZADO( N) := … M0 ← 0 R0 ← F xBR ← xBF 0 xCR ← xCF 0

for i ∈ 1 .. N

 Mi     zBM  i    zCMi     Ri    St    xBRi  ← ELL_ETAPA xCRi−1 , Ri −1 , xBRi−1 , xCRi−1 , , yBS , yCS N   x  CR  i  E   i   yBE   i  yCE   i  M     zBM   zCM     R   xBR     xCR     E   yBE     yCE 

131


Se extrae la solución y se representa:

N := 3

 M     zBM   zCM     R   xBR  := ELL_CRUZADO( N)    xCR     E   yBE     yCE 

i := 1 .. N

xbΔ i := yBS

xcΔ i := yCS

 abs_eq    := líneas_eq( N , xBR , xCR , yBE, yCE)  ord_eq 

 abs_op    := líneas_op( N , xBR , xCR , xbΔ , xcΔ )  ord_op 

j := 0 .. last ( abs_eq)

0.3 XC( z1) YC ( z2) xCF 0.2

yCS ord_eqj ord_opj zCM

0.1

i

0

0

0.2 0.4 0.6 0.8 z1 , z2 , xBF , yBS , abs_eqj , abs_opj , zBM i

132


Abajo se calcula el extracto total, la cantidad de C extraída y la fracción de ácido en el extracto mezcla total: Net

ET :=



ET = 135.42 (kg/h)

Ei

i=1 Net

mCextr :=



( Ei⋅ycei)

mCextr = 13.187 (kg/h)

i=1

yCprom :=

9.5

mCextr

yCprom = 0.097

ET

Disolvente necesario para realizar el proceso con una etapa

A partir de la composición en C del refinado se pueden determinar las composiciones de los componentes B y C en la corriente de extracto:

xCR := xcrNet

xBR := XB( xCR)

yCE := YCxc( xCR)

yBE := YB( yCE)

Para determinar los flujos se aplican balances de materia total y a los componentes B y C y se determinan a partir de la función Find de Mathcad, previa inicialización de las incógnitas:

S´ := F

E´ := F

R´ := F

Given F + S´

E´ + R´

F ⋅xCF + S´ ⋅yCS

E´⋅yCE + R´⋅xCR

F ⋅xBF + S´ ⋅yBS

E´⋅yBE + R´⋅xBR

 S´   E´  := Find( S´ , E´ , R´)  R´   

133


Se comparan los resultados obtenidos en tres etapas y en una única etapa: Con tres etapas:

Con una etapa:

ST = 120 (kg/h)

S´ = 149.257 (kg/h)

ET = 135.42 (kg/h)

E´ = 164.904 (kg/h)

yCprom = 0.097

yCE = 0.08

De los resultados se concluye que para conseguir una determinada composición de componente a extraer en el refinado resulta más eficaz operar con tres etapas en flujo cruzado que con una única etapa.

9.6

Estudio en función del número de etapas empleado

Nmax := 20

 ET     mCextr  := y   Cprom 

for n ∈ 1 .. Nmax SOL ← ELL_CRUZADO( n ) R ← SOL3 xCR ← SOL5 mCextr ← F ⋅xCF − Rn ⋅xCR n

n

ET ← ( F + St) − Rn n

yCprom ← n

mCextr

n

ET

n

 ET     mCextr  y   Cprom 

134


n := 1 .. Nmax Cantidad de C extraída

Fracción de C promedio

15

0.105

14

0.1

mCextr 13 n

yCprom 0.095 n

12

0.09

11

0

5

10 n

15

20

0.085

0

5

10 n

15

20

Se observa que cuanto más etapas, más se extrae. El número óptimo de etapas dependerá del coste de las etapas y del beneficio de la mayor extracción.

135

CAPÍTULO 10 EXTRACCIÓN LÍQUIDO – LÍQUIDO A CONTRACORRIENTE

10 EXTRACCIÓN LÍQUIDO-LÍQUIDO A CONTRACORRIENTE 10.1 Introducción Para mejorar la eficacia de la extracción se debe utilizar una operación en varias etapas con circulación de las corrientes de refinado y extracto a contracorriente. Este tipo de operación permite para un grado de separación fijado utilizar menos disolvente para un número fijo de etapas o menor número de etapas para una determinada cantidad de disolvente. El cálculo de la operación es muy similar al empleado en el cálculo de una torre de rectificación mediante el método de Ponchon-Savarit. Se basa en la definición de un punto de operación que tiene la propiedad de tener un valor constante e igual al flujo neto saliente en la última etapa. A partir de balances de materia se puede comprobar que la diferencia en el flujo entre la corriente de extracto y refinado entre dos etapas adyacentes es constante e igual al valor del punto, o polo, de operación. De esta manera, alternando cálculos basados en el equilibrio y cálculos basados en el polo de operación se pueden determinar las composiciones de las corrientes de refinado y de extracto en cada una de las etapas desde un extremo a otro del proceso.

10.2 Caso de estudio ELL-2 1000 kg/h de una disolución al 30% de ácido acético (C) en agua (A) se deben extraer a contracorriente con éter isopropílico (B) a 20 ºC hasta reducir la concentración de ácido en el producto refinado por debajo del 2% en base libre de disolvente. 1) Calcular la cantidad mínima de disolvente (apdo. 10.3). 2) Calcular el número de etapas teóricas si se utiliza una cantidad de disolvente 1.5 veces la mínima (apdo. 10.4)

10.3 Cálculo de la cantidad mínima de disolvente Los datos del enunciado para la resolución en Mathcad se definen a continuación: Alimentación (punto F): F := 1000

xCF := 0.3

xAF := 0.7

xBF := 1 − xCF − xAF

139


Disolvente entrante (punto S): yCS := 0

yAS := 0

yBS := 1 − yCS − yAS

yBS = 1

Refinado saliente XRN := 0.02

Como la concentración de C a la que se desea llegar en el refinado final está expresada en base libre de disolvente es necesario calcularla como fracción másica, es decir, en base a todos los componentes de la corriente. Para ello, se aplica la función ‘Find’ a la ecuación que relaciona base libre de disolvente con fracción másica para determinar la composición de ‘C’. xCN := XRN Given xCN

1 − XB( xCN)

XRN

xCN := Find( xCN)

xCN = 0.0197

xBN := XB( xCN)

xBN = 0.0158

xAN := 1 − xCN − xBN

xAN = 0.9645

La cantidad mínima se da cuando la recta de reparto, que une extracto y refinado, que pasa por F coincide con una línea de equilibrio. Así, la subrutina creada aplicada al punto de alimentación permite determinar la composición del refinado y el extracto mínimo.

 xB1min   xC1min    := REPARTO_LL( 0.3 , xBF , xCF , XB , YB , YCxc)  yB1min   yC1min   

 xB1min   0.038   xC1min   0.293     =  0.811   yB1min    yC1min   0.142   

Se puede definir la línea de operación mínima a partir del alimento y el extracto mínimo y hacer la representación gráfica: LFE1min( zb) := y_pp( zb , xBF , xCF , yB1min, yC1min)

140

zFE := xBF , yB1min − xBF .. yB1min

Capítulo 10. Extracción líquido-líquido a contracorriente

0.3 XC( z1) YC ( z2) xCF

0.2

LFE1min( zFE) yC1min xC1min

0.1

0

0

0.5 1 z1 , z2 , xBF , zFE , yB1min, xB1min

1.5

A partir de las composiciones calculadas se pueden aplicar balances de materia para determinar los flujos, y en concreto, el mínimo de disolvente requerido: Se inicializan los valores: Smin := F

E1min := F

RNmin := F

Given F + Smin

E1min + RNmin

F ⋅xBF + Smin⋅yBS

E1min⋅yB1min + RNmin⋅xBN

F ⋅xCF + Smin⋅yCS

E1min⋅yC1min + RNmin⋅xCN

 Smin     E1min  := Find( Smin , E1min, RNmin) R   Nmin 

 Smin   1.652 × 103       E1min  =  2.025 × 103   R    Nmin   627.13 

141


10.4 Cálculo del número de etapas teóricas En primer lugar se determina la cantidad de disolvente que se va a emplear: 3

S := 1.5 ⋅Smin

S = 2.48 × 10 (kg/h)

Se vuelven a aplicar balances para determinar las corrientes de salida del proceso a partir de la cantidad de disolvente determinada y de la composición deseada en la corriente de refinado: yB1 := yB1min

Suposición inicial:

E1 := E1min

RN := RNmin

Given F+S

E1 + RN

F ⋅xCF + S ⋅yCS

E1⋅YC ( yB1) + RN ⋅xCN

F ⋅xBF + S ⋅yBS

E1⋅yB1 + RN ⋅xBN

 yB1   0.864       E1  =  2.856 × 103  R     N   621.173 

 yB1     E1  := Find( yB1 , E1 , RN) R   N yC1 := YC ( yB1)

yC1 = 0.101

Localización del polo de operación: El polo de operación se encuentra en la intersección de las líneas F-E1 y RN-S:

 zBΔ    := i_pp_pp( xBF , xCF , yB1 , yC1 , xBN , xCN , yBS , yCS)  zCΔ 

1.329   zBΔ     =  − 3  zCΔ   −6.587 × 10 

A continuación se definen ambas líneas para realizar la representación gráfica y visualizar la localización del polo de operación: LFE1( z) := y_pp( z , xBF , xCF , yB1 , yC1)

142

LRNS( z) := y_pp( z , xBN , xCN , yBS , yCS)


zFΔ := xBF , zBΔ − xBF .. zBΔ

zRNΔ := xBN , zBΔ − xBN .. zBΔ

z := 0 , 0.01 .. 1.5

XC( z1)

0.3

YC ( z2) xCF LFE1min( zFE) 0.2 yC1min yC1 LFE1( zFΔ ) LRNS ( zRNΔ )

0.1

zCΔ

0

0 0

0.5 1 z1 , z2 , xBF , zFE , yB1min, yB1 , zFΔ , zRNΔ , zBΔ

1.5

Se plantea un bucle iterativo para la determinación de las composiciones de las corrientes de salida de cada etapa. Para ello se parte del extracto de la etapa 1 calculado en el apartado anterior. A partir de la composición del extracto saliente de una etapa se puede determinar la del refinado saliente de la etapa mediante la relación de equilibrio. Si la composición del refinado saliente de la etapa calculada no es inferior al límite establecido será necesario calcular una nueva etapa. La composición del extracto saliente de la nueva etapa se localiza en la intersección de la línea de unión del refinado saliente de la etapa anterior y el polo de operación con la rama de extracto.

143


ELL_CONTRACORR :=

xB ← xBF 0

xC ← xCF 0 yB ← yB1 1

yC ← yC1 1 for k ∈ 1 .. 100

( k) xB ← XB( xC ) k k xC ← XCyc yC k

break if xC ≤ xCN k

(

)

yBk1sup ← 0.5 ⋅ yB + 1

(

k

)

yB

← i_pp_c yBk1sup , xB , xC , zBΔ , zCΔ , YC k k

yC

← YC yB

k+ 1 k+ 1

(

)

k+ 1

N ←k

N     xB   xC     yB     yC  N     xB   xC  := ELL_CONTRACORR    yB     yC 

Número de etapas: N = 8

Nota: Para este caso particular la búsqueda de yBk+1 no funciona inicializando con un valor fijo o con el último valor calculado, yBk, pero un valor medio entre este valor y la unidad ha resultado ser una inicialización con éxito.

144


zbΔ i := zBΔ

i := 1 .. N

zcΔ i := zCΔ

 abs_eq   abs_op    := líneas_eq( N , xB , xC , yB , yC)   := líneas_op( N , xB , xC , zbΔ , zcΔ )  ord_eq   ord_op  j := 0 .. last ( abs_eq) 0.4 XC( z1) YC ( z2) xCF

0.3

yCS xCN 0.2 yC1 zCΔ ord_eq

0.1

ord_op

0 0

0.5 1 z1 , z2 , xBF , yBS , xBN , yB1 , zBΔ , abs_eq , abs_op

145

CAPÍTULO 11 EQUILIBRIO DE EXTRACCIÓN SÓLIDO - LÍQUIDO

11 EQUILIBRIO DE EXTRACCIÓN SÓLIDO – LÍQUIDO 11.1 Introducción La extracción sólido-líquido es una operación de separación de uno o más componentes de una mezcla sólida por contacto con un disolvente líquido. En adelante se va considerar que sólo uno de los componentes de la mezcla sólida es soluble en el disolvente de extracción empleado. En este caso, el alimento sólido que se va a tratar consta de un componente A inerte (sólido insoluble en el disolvente) y un componente C que se quiere extraer. Para que la extracción tenga lugar la mezcla sólida se pone en contacto con el disolvente de la extracción, componente B. Como consecuencia de la extracción se forma una suspensión del sólido inerte en la disolución formada por el soluto extraído y el disolvente. En la mayoría de los casos, la separación de esta suspensión por medios mecánicos da lugar a una disolución clara y un lodo formado por el sólido insoluble suspendido en una pequeña cantidad de disolución. Si la separación es perfecta, y no acarrea arrastre de lodos, y el sólido A es insoluble en B, la disolución clara estará formada únicamente por los componentes B y C. Por su parte, la composición de la disolución en los lodos será la misma que la del líquido claro separado; así, el contenido de C en los lodos será el procedente de la disolución retenida más el soluto que no se haya disuelto, si es el caso, o el que haya quedado adsorbido en el sólido, en caso de que se de este fenómeno. Si bien las operaciones de extracción sólido-líquido se operan a temperatura constante, hay que tener en cuenta el efecto de la temperatura sobre la solubilidad y difusividad de las especies sólidas y la viscosidad de la fase líquida. Estas propiedades afectan a la operación de extracción y a la separación mecánica.

11.2 Notación empleada en extracción sólido-líquido En la Tabla 8.1 y la Tabla 8.2 puede verse la notación empleada en los distintos temas de extracción líquido-líquido. En este caso, al existir tres componentes se debe especificar siempre a que componente se refiere la fracción acompañando de subíndices adecuados. Se ha empleado la comilla como superíndice para indicar que se trata de cantidades o flujos másicos en base libre de sólido.

149


Tabla 11.1. Variables empleadas en extracción sólido-líquido

Variables X

Fracción másica de C en base libre de sólido en la mezcla sólida y los lodos salientes de una etapa [kg C / (kg B + kg C)]

Y

Fracción másica de C en base libre de sólido en el disolvente y el efluente líquido de una etapa [kg C / (kg B + kg C)]

Z

Fracción másica de C en base libre de sólido en la suspensión mezcla del sólido con el disolvente [kg C / (kg B + kg C)]

N

Fracción másica de B en base libre de sólido [kg A / (kg B + kg C)]

F

Cantidad o flujo másico de alimentación

S

Cantidad o flujo másico de disolvente puro

E

Cantidad o flujo másico de la disolución clara

R

Cantidad o flujo másico en los lodos

M

Cantidad o flujo másico de mezcla

Tabla 11.2. Subíndices y superíndices empleados en extracción líquido-líquido

Subíndices

150

A

Componente sólido insoluble

B

Componente que actúa como disolvente extractor

C

Componente que se extrae

E

Disolución extracto clara

F

Alimento

R

Lodos refinados

M

Mezcla de alimento y disolvente

i

Etapa genérica o corriente saliente de la etapa

Capítulo 11. Equilibrio de extracción sólido-líquido

11.3 Definición del equilibrio en extracción sólido-líquido Los cálculos de estos sistemas ternarios se realizan en base libre de sólido inerte utilizando diagramas en los que se representa conjuntamente N vs X y N vs Y tal y como se ilustra en la Figura 11.1. Este diagrama se utiliza conjuntamente con el diagrama Y vs X (no mostrado) que define la relación de equilibrio. En este diagrama se muestran las funciones creadas para definir la curva sobre la que se localizan las composiciones de los lodos, NR(X), la curva sobre la que se localizan las composiciones de las disoluciones claras, NE(Y), y la relación de equilibrio entre ambas corrientes, XCE(Y). N A / (B+C)

R (X,NR)

NR = NR(X)

E (Y,NE) NE = NE(Y)

NE(Y) = 0

Y X = XCE(Y)

X, Y C / (B+C)

Figura 11.1. Funciones que definen la rama de lodos, de disolución clara y la relación de equilibrio

151


11.4 Definición en Mathcad del equilibrio de extracción sólidolíquido En el ejemplo de aplicación se va extraer hidróxido sódico, componente C, de una mezcla con carbonato cálcico, componente A, usando agua como disolvente para la extracción, componente B. Para este sistema se dispone de los siguientes datos7:

 0.0045  0.0071   0.01187  0.0208 datos :=   0.033  0.0473  0.07   0.09

imax := last ( Yexp)

0.666 0.01015

  0.0204  0.0295   0.0452  0.0608  0.0762   0.0917 

0.659 0.01435 0.65 0.62 0.6 0.568 0.525 0.495

0    Yexp   datos   NRexp  :=  1     datos  2   Xexp    datos 

i := 0 .. imax

Para este sistema que la fracción en peso de NaOH en el lodo sedimentado es mayor que la de la disolución clara debido a la adsorción del soluto sobre el sólido. Además, como el carbonato de calcio es insoluble en agua no hay datos para la fracción de A en la disolución clara. A continuación se definen las funciones de interpolación permiten hacer extensivos estos datos a toda la zona de operación.

Función que define la curva para la disolución clara (disolución de NaOH en H2O): NE( Y) := 0

7

Fuente: Armstrong and Kammermeyer, Ind. Eng. Chem, 34, 1228 (1942) extraído de Treybal, R.E., Masstransfer operations 2º ed. Mc Graw-Hill (1968)

152

Capítulo 11. Equilibrio de extracción sólido-líquido

Función que define la curva para los lodos sedimentados (lodo de CaCO3 + NaOH + H2O): NR ( X) := interp ( lspline( Xexp, NRexp) , Xexp, NRexp, X) X := 0 , 0.01.. Xexp

imax

0.6 NRexp NR ( X)

0.4

0.2

0

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Xexp, X

Función que define la relación de componente C entre la disolución clara y los lodos sedimentados: XCE( Y) := interp ( cspline ( Yexp, Xexp) , Yexp, Xexp, Y) Y := 0 , 0.01.. Yexp

imax

0.08

Xexp

0.06

XCE( Y) Y

0.04

0.02

0

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Yexp, Y, Y

153


11.5 Cálculo del reparto para una etapa También para esta operación se puede definir una subrutina que permite determinar las composiciones de las corrientes de disolución clara y de lodos que se forman a partir de la mezcla la corriente de alimento con el disolvente de la extracción. Para esta operación se han definido los siguientes casos: i) el punto de mezcla se sitúa sobre la curva de las disoluciones claras (para el sistema ternario planteado equivale a NM = 0); ii) el punto de mezcla se localiza en la curva de los lodos separado; y iii) el caso general en el que el punto de mezcla se localiza entre ambas correspondiendo a una suspensión de sólidos en la disolución. f ( Y0 , ZM , NM , NR , XCE) := ( NR ( XCE( Y0) ) − NM ) ⋅( ZM − Y0) − NM ⋅( XCE( Y0) − ZM ) REPARTO_ESL ( Y0 , ZM , NM , NR , XCE) :=

if NM

0

YE ← ZM XR ← XCE( YE) if NM

NR ( ZM )

XR ← ZM YE ← root ( XCE( Y0) − XR , Y0) otherwise YE ← root ( f ( Y0 , ZM , NM , NR , XCE) , Y0) XR ← XCE( YE)

NR ← NR ( XR)

 XR     NR  Y   E

154

CAPÍTULO 12 EXTRACCIÓN SÓLIDO – LÍQUIDO EN FLUJO CRUZADO

12 EXTRACCIÓN SÓLIDO – LÍQUIDO EN FLUJO CRUZADO 12.1 Introducción En caso de extracción sólido-líquido, en la operación en flujo cruzado la corriente de lodos generada en una etapa se introduce como alimento de la etapa siguiente en la que es lavada con nuevo disolvente para producir una nueva extracción. A continuación se desarrollan los cálculos de una secuencia de etapas conectadas en flujo cruzado.

12.2 Caso de estudio ESL-1 Se ha preparado una disolución de sosa cáustica mediante reacción de hidróxido de calcio con una disolución de carbonato de sodio. Ca(OH)2 + Na2CO3  CaCO3 + 2 NaOH La reacción se ha llevado a cabo con cantidades estequiométricas de los reactivos y la reacción ha sido completa. Bajo estas condiciones, la suspensión resultante de 100 kg consiste en partículas de carbonato de calcio suspendidas en una disolución clara, con una relación de 0.150 (kg de carbonato de calcio)/(kg de suspensión). 1) La suspensión se sedimenta observando que la disolución clara tiene un 9 % de hidróxido sódico. Tras la sedimentación el lodo de sólidos y la disolución clara se separan y el lodo resultante se lava con agua utilizando una cantidad de agua igual al peso de la disolución clara separado. El proceso de lavado con agua se repite una vez más. ¿Qué fracción de sosa permanece sin recuperar y se pierde en el lodo tras el segundo proceso de lavado? (apdo. 12.3).

12.3 Cálculo de las etapas de extracción En primer lugar se definen los datos del enunciado: Fracción de C en la disolución clara separada tras la reacción: Relación CaCO3/suspensión:

r := 0.150 Y E := 0.09 0

Cantidad de suspensión inicial: M 0 := 100 (kg) Coordenadas del disolvente de la extracción:

Y S := 0

N S := 0 157


Cálculo de la separación de la suspensión formada tras la reacción: En primer lugar se determina la masa de sólido insoluble en la suspensión inicial para así determinar la cantidad de mezcla en base libre de sólido: A := r ⋅M0 = 15

Masa de sólido A:

M´0 := M0 − A = 85

Suspensión inicial en base libre de sólido:

A partir del dato de la composición de hidróxido sódico en la disolución clara separada se pueden determinar las composiciones en los lodos:

( ) NR := NR ( XR ) = 0.495 0 0

XR := XCE YE = 0.092 0 0

Como todo el componente A está en el lodo, a partir de un balance al inerte se determina la cantidad de lodos en base libre de inerte. Tras lo cual un balance total en base libre de inerte permite determinar la cantidad de disolución clara separada: A

M´0 ⋅NM

0

R´0⋅NR

0

R´0 :=

A = 30.303 NR

(kg de B+C)

0

E0 := M´0 − R´0 = 54.697 (kg)

Se puede determinar la composición en base libre de inerte de la mezcla inicial:

M´0 ⋅ZM

A

158

0

R´0 ⋅XR + E0 ⋅YE 0 0

M´0 ⋅NM

0

R´0⋅NR

0



ZM :=



NM :=

0

0

R´0 ⋅XR + E0 ⋅YE 0

M´0

A = 0.176 M´0

0

= 0.091

Capítulo 12. Extracción sólido-líquido en flujo cruzado

Cálculo de la primera etapa de extracción: Se sustituye por agua la masa de disolución clara separada: S := E 0

El punto de mezcla de los lodos alimentados con el disolvente se determina a partir de balances: Balance de B y C:

M´1 := R´0 + S = 85

Balance de C:

ZM :=

Balance de A:

NM :=

1

R´0 ⋅XR

0

M´1 R´0 ⋅NR

0

M´1

1

= 0.033

= 0.176

La subrutina reparto permite determinar las composiciones de las corrientes salientes de la primera etapa:

 XR1     0.041   NR  := REPARTO_ESL 0.9⋅YE , ZM , NM , NR , XCE =  0.604  0 1 1    1  0.029   YE   1

(

)

Se define: N E := 0 1

De nuevo la aplicación de balances permite determinar las cantidades de corrientes salientes: NM

Balance de A: M´1⋅NM Balance de B y C:

1

R´1 ⋅NR

M´1

1



R´1 + E1 

R´1 := M´1 ⋅

NR

1

= 24.837 (kg)

1

E1 := M´1 − R´1 = 60.163

159


Cálculo de la segunda etapa de extracción: Para esta nueva etapa se introduce una cantidad de agua igual a la de la disolución clara extraída en la etapa anterior: S := E

1

Otra vez a partir de balances se obtienen las características de la mezcla de esta etapa: Balance de B y C:

M´ := R´ + S = 85

Balance de C:

ZM :=

2

2

NM :=

Balance de A:

2

1

R´ ⋅ XR 1

M´

1

= 0.012

2

R´ ⋅ NR 1

M´

1

= 0.176

2

Se determinan las cantidades y las composiciones de las corrientes salientes de esta etapa:

 XR 2   0.018       NR  := REPARTO_ESL0.9⋅ Y , Z , N , NR , XCE = 0.655   E M M 1 2 2  2  −3  YE   9.639 × 10   2

(

)

N E := 0 2

M´ ⋅ NM 2

M´

2

160

2

R´ ⋅ NR 2

R´ + E 2

2

 2



R´ := M´ ⋅ 2

NM

2 N R

2

= 22.913

2

E := M´ − R´ = 62.087 2

2

2

Capítulo 12. Extracción sólido-líquido en flujo cruzado

Porcentaje de sosa sin recuperar: El porcentaje de sosa que no se ha conseguido extraer se determina a partir de la cantidad de sosa en la suspensión inicial y la que ha quedado retenida en los lodos finales del proceso: Masa de sosa en la suspensión inicial: M´ ⋅ ZM = 7.702 (kg) 0

0

−1

R´ ⋅ XR = 4.077 × 10

Masa de sosa en los lodos finales:

2

R´ ⋅ XR 2

Porcentaje de sosa sin recuperar:

(kg)

2

2

M´ ⋅ ZM 0

= 5.29⋅ %

0

Representación gráfica: i := 0 .. 2

NR ( X ) NM NR NE

0.6

i

0.4 i

i

0.2

0

NM

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0

0.1

X , Z M , X R , YE i

i

i

161

CAPÍTULO 13 EXTRACCIÓN SÓLIDO – LÍQUIDO A CONTRACORRIENTE

13 EXTRACCIÓN RRIENTE

SÓLIDO-LÍQUIDO

A

CONTRACO-

13.1 Introducción El cálculo de la operación a contracorriente es similar al utilizado para la extracción líquido-líquido, salvo que en este caso se opera con cantidades en base libre de sólido inerte. Se recuerda que los cálculos se apoyan en el polo de operación obtenido a partir de balances de materia aplicados a las entradas y salidas de la operación y cuya localización para un grado de separación fijado depende de la cantidad de disolvente empleado.

13.2 Caso de estudio ESL-2 Partiendo de la situación planteada en el caso de estudio ESL-1 (apdo. 12.2) determinar: 1) Si el proceso se hubiera realizado en contracorriente, ¿cuál es la mínima cantidad de agua necesaria para obtener el mismo grado de separación? (apdo. 13.3).

13.3 Cálculo de la cantidad mínima de disolvente En primer lugar se va a adaptar la nomenclatura utilizada en el caso de estudio ESL-1 a la que se utiliza en operación a contracorriente. Mezcla de alimentación al proceso: R´ = 30.303 0

XR = 0.092

NR = 0.495

0

0

Para la cantidad mínima de disolvente se obtiene la mínima cantidad de disolución clara con la siguiente composición: YE1min := YE

0

NE1min := NE = 0 0

El objetivo es llegar a una composición de los lodos: XRN := XR

2

NRN := NR

2

165


Conocidas las composiciones de todas las corrientes de entrada y salida del sistema mediante balances se determina las cantidades. La resolución conjunta del sistema requiera utilización de la función ‘Find’ y valores de inicialización: Smin := R´

Inicialización:

RŃmin := R´

0

0

E1min := R´

0

Dado

R´ + Smin

RŃmin + E1min

0

R´ ⋅ NR + Smin⋅ NS

RŃmin⋅ NRN + E1min⋅ NE1min

R´ ⋅ XR + Smin⋅ YS

RŃmin⋅ XRN + E1min⋅ YE1min

0 0

0

0

 Smin     RŃmin  := Find( Smin , RŃmin , E1min) E   1min 

 Smin     RŃmin  E   1min 

 18.956 =  22.913 (kg)    26.346

Para que la operación sea viable es necesario utilizar una cantidad de agua superior a: Smin = 18.956 (kg)

Alternativa de cálculo a partir del polo de operación Otra posibilidad es realizar los cálculos aplicando el concepto y la definición del polo de operación. Para ello en primer lugar se localiza el polo de operación:

 ZΔmin   0.103    := i_pp_pp YE0 , NE0 , XR0 , NR0 , YS , NS , XRN , NRN =    3.791   NΔmin 

(

)

Conocidas las composiciones del polo de operación se puede determinar su masa a partir de la regla de la palanca aplicada a la línea de unión ∆'min-R'0E1min: Δ´ min + R´0

E1min



NR   0 Δ´ min := − R´0 ⋅  = −3.957 N Δmin   166

Δ´ min ⋅ N Δmin + R´0 ⋅ N R

0

E1min ⋅N E

1

0

Capítulo 13. Extracción sólido-líquido a contracorriente

Regla de la palanca aplicada a la línea de unión ∆'min-R'Nmin-Smin permite calcular la cantidad mínima de disolvente necesaria: Δ´ min ⋅ N Δmin + RŃmin ⋅ N RN RŃmin := − Δ´ min + RŃmin

Smin ⋅ N S

Δ´ min⋅NΔmin NRN

Smin 

0



= 22.913 (kg) Smin := Δ´ min + RŃmin = 18.956 (kg)

167

CAPÍTULO 14 PROPIEDADES TERMODINÁMICAS DE LA EVAPORACIÓN

14 PROPIEDADES TERMODINÁMICAS DE LA EVAPORACIÓN 14.1 Introducción A un evaporador se alimenta una disolución líquida que consta de un soluto no volátil y un disolvente volátil y mediante vaporización de parte del disolvente se obtiene una disolución concentrada en el soluto no volátil y una corriente de vapor de disolvente libre de solutos. En el transcurso de la operación hay que tener en cuenta el efecto de la concentración de la disolución sobre las propiedades de la disolución y las condiciones de operación. Así, en función del tipo de disolución y el grado de concentración alcanzado habrá que tener en cuenta: i) el efecto calorífico de mezclado o dilución en el cálculo de la entalpía de la disoluciones líquidas (alimento y concentrado) que no varían linealmente con la concentración; ii) el incremento de la temperatura de ebullición de la disolución respecto a la del disolvente puro a la presión de operación que reduce el salto térmico disponible para la transmisión de calor; y iii) la variación del coeficiente global de transmisión de calor en función de las condiciones de operación y de la viscosidad de la disolución. A continuación en este apartado se definen las funciones de cálculo necesarias para incluir en los cálculos los efectos descritos. Para ello se parte de los datos disponibles en la bibliografía para disoluciones acuosas de hidróxido sódico.

14.2 Propiedades del agua Tomando datos de propiedades termodinámicas del agua (no incluidos) se introducen en un fichero de Mathcad como vectores de datos y se le asignan las unidades correspondientes, de forma que quedan definidas las siguientes variables: pagua := p agua ⋅

Tagua := Tagua⋅ K

kgf 2

cm

Hlagua := Hlagua ⋅

kcal kg

Hvagua := Hvagua⋅

kcal kg

171


A partir de estos datos se generan funciones de interpolación que permitan determinar las propiedades del agua en función de la temperatura o la presión de operación. Temperatura de saturación:

TAsat ( p ) := interp( cspline( pagua , Tagua) , pagua , Tagua , p ) Presión de vapor:

pAsat ( T) := interp( cspline( Tagua , pagua) , Tagua , pagua , T) Entalpía de agua líquida saturada:

HALsat ( T) := interp( cspline( Tagua , Hlagua) , Tagua , Hlagua , T) Entalpía de agua vapor saturado:

HAVsat ( T) := interp( cspline( Tagua , Hvagua) , Tagua , Hvagua , T) Calor latente del agua:

λA ( T) := HAVsat ( T) − HALsat ( T) También es necesario disponer de los datos de la capacidad calorífica del agua líquida y del vapor de agua. Capacidad calorífica del agua líquida y vapor a 1 atm y 40 ºC:

cAL := 4187 ⋅

joule

cAV := 1884 ⋅

kg ⋅K

joule kg ⋅K

Capacidad calorífica del agua como vapor sobrecalentado:

cAV_sobrecal := 0.46 ⋅

172

kcal kg ⋅K

Capítulo 14. Propiedades termodinámicas de la evaporación

A partir de estas propiedades se puede definir una función que permita determinar la entalpía del agua vapor sobrecalentado en función de la temperatura de saturación a la presión de operación y de la temperatura de operación. Esta función resulta útil si se recuerda que el vapor de salida de un evaporador está sobrecalentado en los casos en los que existe elevación del punto de ebullición de las disoluciones tratadas.

HAVsc ( p , t ) :=

tsat ← TAsat ( p ) h ← HAVsat ( tsat ) if t ≤ tsat

h ← HAVsat ( tsat ) + cAV_sobrecal⋅( t − tsat ) otherwise

h

14.3 Entalpía de las disoluciones acuosas de NaOH El objetivo es definir una función que permita determinar la entalpía de las disoluciones en función de su concentración y de la temperatura del sistema. Para construir la siguiente función se necesita una matriz de dos columnas que contenga en su primera columna las fracciones en peso y en la segunda temperaturas Mxy_NaOH, además de una matriz cuadrada Mz_NaOH que contiene las entalpías correspondientes a cada pareja de datos de composición y temperatura:

vs := cspline( Mxy_NaOH, Mz_NaOH)

 x  HNaOH ( x , t ) := interp vs , Mxy_NaOH , Mz_NaOH ,  t    K

  ⋅ BTU  lb 

La representación gráfica muestra que se corresponde con los diagramas disponibles en la literatura para disoluciones acuosas de NaOH:

173


H NaOH ( x , 270 ⋅ K ) H NaOH ( x , 300 ⋅ K )

1.5 × 10

6

1× 10

6

5× 10

5

H NaOH ( x , 350 ⋅ K ) H NaOH ( x , 400 ⋅ K ) H NaOH ( x , 450 ⋅ K ) H NaOH ( x , 480 ⋅ K )

0

− 5× 10

5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

x

14.4 Rectas de Dühring para disoluciones acuosas de NaOH Para este sistema no se puede despreciar la elevación del punto de ebullición de la disolución respecto a la del agua a la presión de operación, por ello es necesario definir una función que permita calcular el incrementos de temperatura de ebullición en función de la fracción en peso de la disolución y la temperatura del vapor saturado. Se dispone de una matriz de datos que contiene en la primera columna los porcentajes en peso de NaOH, en la primera fila dos temperaturas de ebullición (20 y 300 ºF) y en el resto de elementos se tiene la temperatura de ebullición en ºF de la disolución a la correspondiente temperatura de ebullición del agua:

 0 10 20 30 40 50 60 70 80 85 90 95 98 99  D :=  20 25 35 45 62 90 115 148 177 208 240 310 378 425   300 302 315 330 352 380 410 455 528 598 652 762 865 945   

T

Al igual que en el apartado anterior, en primer lugar se extraen los datos de la matriz:

X :=

174

  D or 100

Capítulo 14. Propiedades termodinámicas de la evaporación

 Dor + 1 − 32  + 273  1.8  

T1 := 

 Dor + 2 − 32  + 273  1.8  

T2 := 

De acuerdo con la teoría el punto de ebullición de la disolución es una función lineal del punto de ebullición del agua pura a la misma presión para cada composición, por lo que a continuación se calculan las pendientes y se interpolan los datos:

⎯⎯⎯⎯→ T2 − T1 pend := T2or − T1or vs1 := cspline( X , T1) vs2 := cspline( X , pend ) T1 ( x) := interp( vs1 , X , T1 , x) ⋅K pendiente( x) := interp( vs2 , X , pend , x) Incremento de temperatura de ebullición: La siguiente función determina el incremento de temperatura de ebullición como función de la fracción en peso (en tanto por uno) y temperatura del vapor saturado (en K):

ΔTB ( x , tV) := T1 ( x) + pendiente( x) ⋅( tV − T1or ⋅K) − tV La representación gráfica muestra cómo se comporta el sistema:

T := T11 ⋅K , ( T11 + 1) ⋅K .. T21 ⋅K

175


200

ΔTB ( 0.9, T) ΔTB ( 0.8, T)

150

ΔTB ( 0.6, T) ΔTB ( 0.4, T) 100 ΔTB ( 0.2, T) ΔTB ( 0 , T) 50

0 300

350 T

176

400

CAPÍTULO 15 EVAPORACIÓN EN EFECTO SIMPLE

15 EVAPORACIÓN EN EFECTO SIMPLE 15.1 Introducción En un evaporador en efecto simple la disolución líquida a tratar pasa por una superficie de intercambio de calor con el fin de producir la evaporación parcial del disolvente. Generalmente se emplean intercambiadores de carcasa y tubos alimentados con vapor de agua de baja presión. Tras la evaporación se separa la disolución concentrada del vapor generado. Una fracción de la disolución concentrada se puede recircular o no al equipo, mientras que el vapor producido se deshecha.

15.2 Notación empleada en evaporación En la Tabla 15.1 y la Tabla 15.2 se recoge la notación empleada en el caso de estudio. Las fracciones hacen referencia al soluto no volátil.

Tabla 15.1. Variables empleadas en evaporación

Variables x

Fracción de soluto no volátil en las disoluciones

F

Flujo másico de alimentación

L

Flujo másico de la disolución concentrada

V

Flujo másico del vapor generado

S

Flujo másico del vapor de agua de calefacción

T

Temperatura ebullición de la disolución

Tº

Temperatura de ebullición del disolvente puro

p

Presión

h

Entalpía de las corrientes

U

Coeficiente global de transmisión de calor

Q

Flujo de calor intercambiado

179


Tabla 15.2. Subíndices empleados en evaporación

Subíndices F

Alimento

L

Disolución concentrada

V

Vapor generado

S

Vapor de agua de calefacción

C

Condensado del agua de calefacción

E

Condiciones de operación en el efecto

15.3 Caso de estudio EVAP-1 Un evaporador de tipo encamisado se alimentan 10000 kg/h de una disolución de NaOH al 20% y 37.8 ºC que se quiere concentrar hasta un 50%. Se trabaja a una presión en la cámara de vapor de 100 mmHg empleando un condensador barométrico de contacto directo y se dispone de vapor de calefacción de 1.35 kgf/cm2 de presión absoluta. Suponiendo que los efectos del arrastre y pérdidas de calor son despreciables, se pide determinar: 1) La cantidad de vapor de calefacción (apdo. 15.4) 2) La superficie de calefacción considerando un valor de coeficiente global de intercambio de calor U = 1800 kcal·m-2·h-1·K-1 (apdo.15.5).

15.4 Cálculo de la cantidad de vapor de calefacción En primer lugar se definen los datos del enunciado: F := 10000⋅

kg hr

xF := 0.2

TF := ( 37.8 + 273) ⋅ K

xL := 0.5 p E := 100⋅ torr

p S := 1.35⋅

kgf 2

cm

180

U := 1800 ⋅

kcal 2

m ⋅hr ⋅K

Capítulo 15. Evaporación en efecto simple

Conocidas la composición y la temperatura de la corriente de alimentación se puede determinar su entalpía por medio de la función creada en el capítulo anterior: h F := HNaOH( xF , TF ) = 31.76⋅

kcal kg

A partir de los datos de presión del sistema de calefacción se puede determinar su entalpía de entrada y la de salida. En este caso al no indicar nada en el caso planteado se supone que entra como vapor saturado y sale como líquido saturado. Así a partir de las funciones de propiedades del agua se realiza el cálculo:

TS := TAsat( p S )

T S − 273⋅ K = 107.67⋅ ºC

Entalpía del vapor de calefacción: Entalpía del condensado:

h S := HAVsat ( TS ) = 641.79

kcal

h C := HALsat ( TS ) = 107.92

kcal

kg

kg

Un balance de materia al soluto no volátil permite determinar el flujo de disolución concentrada, y a partir de éste se puede determinar el de vapor generado mediante un balance de materia total. Como generalmente el intercambio de calor se realiza a través de superficies de calefacción no hay contacto entre la disolución de hidróxido sódico y el agua de calefacción, por lo que en el balance de materia total no incluye al vapor de agua de calefacción: F⋅ zF

L⋅ xL

L :=

F⋅ xF xL

3 kg

= 4 × 10 ⋅

hr

3 kg

V := F − L = 6 × 10 ⋅

hr

A partir del dato de presión de la cámara de vapor y definida la composición de la disolución concentrada se puede determinar la entalpía de la misma. Para ello previamente se tiene que determinar la temperatura de ebullición de la disolución teniendo en cuenta la elevación del punto de ebullición: Ebullición del disolvente puro: Tº E := T Asat ( p E )

Tº E − 273⋅ K = 51.62⋅ ºC

181


Ebullición de la disolución: TE := TºE + ΔTB ( xL , TºE)

TºE − 273⋅ K = 51.62⋅ ºC h L := HNaOH( xL , TE) = 123.33⋅

Entalpía del líquido concentrado:

kcal kg

La entalpía del vapor generado se puede calcular de varias formas a partir de las funciones creadas teniendo. Para el caso planteado en el que hay elevación del punto de ebullición el vapor generado está sobrecalentado: h V := HAVsat( TºE) + cAV_sobrecal⋅ ΔTB ( xL , TºE) = 637.92⋅

kcal kg

Otra posibilidad es utilizar la función definida para tal fin: h V := HAVsc( p E , TE) = 637.92⋅

kcal kg

La cantidad de vapor de calefacción necesaria para llevar a cabo el proceso de concentración de la disolución se determina mediante un balance de entalpías: F⋅ h F + S⋅ h S S :=

V⋅ h V + L⋅ h L + S⋅ h C

F⋅ h F − ( V⋅ h V + L⋅ h L) hC − hS

3 kg

= 7.5 × 10 ⋅

hr

15.5 Cálculo de la superficie de calefacción El área requerida se determina a partir de la cantidad de calor transferido: Q

Area ⋅ U⋅ ΔT

Suponiendo que las pérdidas de calor son despreciables todo el calor latente de condensación del agua de calefacción se empleará en la vaporización del disolvente: Q := S⋅ ( h S − h C) = 4 × 10 ⋅

6 kcal

182

hr

Capítulo 15. Evaporación en efecto simple

El salto de temperaturas entre ambos lados de la superficie de intercambio es: ΔT = 15.08 K

ΔT := T S − T E

El área requerida es: Area :=

Q U⋅ ΔT

2

= 147.49m

Para un cálculo más exacto sería necesario re-estimar el coeficiente global de transmisión de calor a partir de las condiciones de temperatura, flujo y concentración de las fases a ambos lados del intercambiador, empleando las correlaciones de transmisión de calor oportunas.

183

CAPÍTULO 16 ANEXO DE MÉTODOS MATEMÁTICOS

16 ANEXO DE MÉTODOS MATEMÁTICOS En este anexo se tratan dos de los aspectos matemáticos más utilizados en los problemas de operaciones de separación: la interpolación de datos experimentales y la resolución de sistemas de ecuaciones no lineales. También se proporciona toda una serie de subrutinas para cálculos geométricos y de tratamiento de vectores de datos.

16.1 Interpolación La interpolación cúbica segmentaria es un procedimiento de interpolación de datos empíricos (deducción de valores intermedios dentro de un conjunto de datos). El procedimiento conduce a la determinación de los coeficientes de curvas cúbicas que pasan por todos los puntos y que presentan igualdad de la primera y segunda derivada entre curvas contiguas. Como ejemplo se va a crear una función que interpole los siguientes datos: ORIGIN = 0 i := 0 .. 8 xexp := Texp := i i 0.000 0.0190 0.0721 0.1238 0.2337 0.5079 0.6763 0.7472 1.000

100 95.5 89.0 85.3 82.7 79.8 78.74 78.41 78.35

Para interpolar T en función de x se procede de la siguiente forma:

(

)

s_xT := cspline xexp , Texp

(

)

T( x) := interp s_xT, xexp , Texp , x

La función ‘cspline’ define una curva cúbica en los extremos. Mathcad también dispone de las alternativas ‘pspline’ y ‘lspline’ que ajustan curvas parabólica y lineal respectivamente en los extremos y curvas cúbicas en el resto. 187


Se podría también haber hecho lo siguiente:

(

(

)

)

T( x) := interp cspline xexp , Texp , xexp , Texp , x

Pero es más ineficiente desde el punto de vista de cálculo pues debe evaluar los coeficientes de todas las curvas cúbicas cada vez que se llama a la función. Conviene siempre visualizar el resultado de la interpolación: x := 0 , 0.001 .. 1 100

Texp i

90

T ( x) 80

70

0

0.2

0.4 0.6 xexp , x

0.8

1

i

De esta forma, se puede decidir eliminar puntos demasiado juntos y que debido a su error experimental perjudican el resultado de la interpolación. Si se intenta ahora realizar la interpolación de x en función de T aparece un mensaje de error:

Ello es debido los datos de abscisa deben ser siempre monótonamente crecientes. Esto se soluciona volteando el vector de abscisas y el de ordenadas:

(

)

Texp_rev := reverse Texp

(

(

)

s_Tx_rev := cspline Texp_rev, xexp_rev 188

)

xexp_rev := reverse xexp

Capítulo 16. Anexo de métodos matemáticos

(

)

x( T) := interp s_Tx_rev, Texp_rev, xexp_rev, T

16.2 Resolución numérica de una ecuación En este caso se busca una única variable en función de otras variables o parámetros. A modo de ejemplo se va a obtener numéricamente la intersección entre una línea y una curva: y( x , A , B) := A ⋅x + B C ( x , a , b , c) := a ⋅x −

b 2

+c

A := 1

B := 0

a := 0.1

b := 1

c := 4

x

5 4 y ( x , A , B) 3 C ( x , a , b , c) 2 1 0

0

2

4 x

6

8

Este problema equivale a la búsqueda de un cero de una función ya que resolver: y( x , A , B)

C ( x , a , b , c)

es equivalente a resolver: y( x , A , B) − C ( x , a , b , c)

0

189


4 2 y ( x , A , B) −C ( x , a , b , c)

0

0

−2 −4

0

2

4 x

6

8

Como la variable para la que se busca el cero es ‘x’, se debe buscar el cero de una función de la forma f(x) = 0. f ( x) := y( x , A , B) − C ( x , a , b , c)

Para ello se emplea la función ‘root’ que recibe como primer argumento la función con argumentos para la que se busca el cero y como segundo, la variable no fijada para la cual se busca el cero de la función. Se requiere que la variable tenga previamente definido un valor supuesto como punto de partida. De esta manera se tiene: x := 0.1 xint := root ( f ( x) , x)

xint = 0.533

O bien: x := 4 xint := root ( f ( x) , x)

xint = 4.387

Obsérvese que dependiendo del valor inicial empleado se llega a un resultado u otro, por lo que en los problemas es importante la elección adecuada de la suposición inicial para evitar posibles soluciones sin sentido físico. Este mismo procedimiento se puede utilizar para crear una función que nos proporcione el valor de la intersección para diferentes valores de uno o varios parámetros. En este caso se define abajo una función que busca la raíz correspondiente a diferentes valores de la pendiente de la recta:

190


f ( x , A) := y( x , A , B) − C ( x , a , b , c) x := 0.1 xint( A) := root ( f ( x , A) , x)

( ) xint( A2 )

A1 := 1

xint A1 = 0.533

A2 := 2

= 0.589

No obstante, si la función se va a utilizar más de una vez conviene incluir un argumento adicional con el valor supuesto para poderlo cambiar a voluntad, de lo contrario siempre se estará utilizando el valor de inicialización que existía cuando se definió la función. Esto resulta especialmente importante en la realización de algoritmos donde se dispone de información suficiente para determinar a lo largo del cálculo mejores valores supuestos iniciales: xint( x , A) := root ( f ( x , A) , x)

( ) xint( 0.1 , A2 )

xint 0.1 , A1 = 0.533

= 0.589

( ) xint( 4 , A2 )

xint 4 , A1 = 4.387

= 1.97

16.3 Resolución numérica de sistemas de ecuaciones algebraicas Los sistemas de ecuaciones algebraicas aparecen normalmente al plantear balances de materia. Para la resolución de ecuaciones algebraicas, Mathcad dispone del método ‘Find’, el cual tiene la gran ventaja de que permite disponer las ecuaciones en un formato libre. En este caso como ejemplo de resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas se va a resolver el equilibrio líquido-vapor entre tres componentes (hexano, heptano y octano) que forman una mezcla ideal en función del grado de vaporización. Para una mezcla de composición inicial z que pasa a una fracción de vapor fV, se pueden establecer tres ecuaciones de reparto para cada componente entre la fase líquida y vapor. Además, la presión parcial de cada componente cumple la ley de Raoult y las tres presiones parciales suman la presión total:

191


z1 z2 z3

( 1 − fV) ⋅x1 + fV ⋅Psat (1 , T) ⋅x1 ( 1 − fV) ⋅x2 + fV ⋅Psat (1 , T) ⋅x2 ( 1 − fV) ⋅x3 + fV ⋅Psat (1 , T) ⋅x3

Psat ( 1 , T) ⋅x1 + Psat ( 2 , T) ⋅x2 + Psat ( 3 , T) ⋅x3

Pt

Se consideran los siguientes datos: z1 := 0.1

z2 := 0.3

z3 := 0.6

fV := 0.5

P := 1.013 (bar)

Datos de presión de saturación para hexano (1), heptano (2) y octano (3) son los siguientes: Ai :=

i := 1 .. 3

Bi :=

Ci :=

4.00266 1171.530 48.784 4.02832 1268.636 56.199 4.04867 1355.126 63.633

Ai −

Psat ( i , T) := 10

Bi Tsat ( i , P) := Ci + Ai − log( P)

Bi T −Ci

Se observa que las incógnitas del problema son las tres fracciones de la fase líquida ‘xi’ y la temperatura del sistema ‘T’. En este caso la presión total y la fracción vaporizada no son incógnitas sino valores prefijados del problema. Resolución con Given-find: 1) Inicialización de las variables que se buscan: T := 380

192

x1 :=

1 3

x2 :=

1 3

x3 :=

1 3


2) Resolución: Given

 Psat ( 1 , T)

z1

( 1 − fV) ⋅x1 + fV ⋅

z2

( 1 − fV) ⋅x2 + fV ⋅

z3

( 1 − fV) ⋅x3 + fV ⋅

P

 Psat ( 2 , T) P

 Psat ( 3 , T) P



⋅x1

 

⋅x2

 

⋅x3




P

T    x1  := find( T , x1 , x2 , x3)  x2     x3  3) Extracción de la solución

 T   385.692       x1  =  0.046   x2   0.241       x3   0.712  Se debe dar un valor de inicialización lo más cercano posible a la solución para las incógnitas buscadas. En este caso se sabe que las fracciones están entre 0 y 1 y deben sumar la unidad, por lo que a falta de más información se consideran iguales. Para la temperatura se toma un valor comprendido entre las temperaturas de ebullición normal del hexano y la del octano. Si esta inicialización no tuviera éxito se debe cambiar. Posteriormente las ecuaciones se emplazan entre los comandos ‘Given’ y ‘find’ (no se debe anteponer comillas para transformarlos en texto pues son comandos). Entre los comandos ‘Given’ y ‘find’ deben disponerse tantas ecuaciones como incógnitas buscadas para que el sistema quede determinado. Es muy importan-

193


te tener en cuenta que se utiliza el igual lógico (se obtiene con Ctrl+) y no el igual de asignación (:=) o el igual utilizado para mostrar un resultado (=). Otro aspecto muy importante a tener en cuenta es que las variables buscadas no deben ser elementos de un vector (por eso se han usado x1, x2 y x3). No obstante otras variables diferentes de las incógnitas buscadas sí que pueden serlo (por ejemplo las zi). Además también junto con las restricciones de igualdad se podría haber incluido dentro de la zona Given-find restricciones de desigualdad, por ejemplo en este caso se podría haber usado: x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x3 ≥ 0 x1 ≤ 1 x2 ≤ 1 x3 ≤ 1

Este tipo de restricción no elimina grados de libertad, por lo que se pueden poner tantas como se considere necesario. Cumplen la función de restringir los resultados de un problema a situaciones físicamente factibles.

En este caso se han asignado el resultado a las variables directamente. Estas no deben de tener necesariamente el mismo nombre que las incógnitas buscadas. Alternativamente se puede asignar la solución a un vector y extraer cada variable atendiendo al valor de la variable ORIGIN, que es la que establece cuál es el primer índice de los vectores y matrices (por defecto 0, pero modificable por ejemplo a 1): SOL := Find( T , x1 , x2 , x3) T := SOL0 x1 := SOL1 x2 := SOL2 x3 := SOL3

194


Una posibilidad muy interesante es definir la solución como función de uno o varios parámetros. Por ejemplo: Given

 Psat ( 1 , T)

z1

( 1 − fV) ⋅x1 + fV ⋅

z2

( 1 − fV) ⋅x2 + fV ⋅

z3

(

P

 Psat ( 2 , T) P

 Psat ( 3 , T)

)

1 − fV ⋅x3 + fV ⋅



P



⋅x1

 

⋅x2

 

⋅x3




(

P

)

Equilibrio fV , P := Find ( T , x1 , x2 , x3)

En este caso la función utilizaría siempre los mismos valores de inicialización. Resulta mejor incluir la inicialización en la lista de argumentos:

(

)

Equilibrio T , x1 , x2 , x3 , fV , P := Find ( T , x1 , x2 , x3)

Lo cual permite apoyarse en cálculos anteriores para facilitar la rapidez y la convergencia del cálculo. A continuación se muestra como a partir del cálculo de un primer valor, se utilizan secuencialmente los valores calculados como nuevos valores de inicialización para barrer un rango de fracciones de vapor de 0 a 1.

Cálculo de un primer valor a la fracción más baja: fVmin := 0

fVmax := 1

 T0   x10  1 1 1     := Equilibrio 350 , , , , fVmin , P  3 3 3    x20   x30   

195


Cálculo secuencial: nptos := 100

 Ti  x1i   x2i  x3i 

i := 1 .. nptos

fV := fVmin + i

   := Equilibrio Ti −1 , x1i −1 , x2i −1 , x3i −1 , fV , P  i      0.8

x1i

0.6

x2i

0.4

x3i

390 388 386 Ti

384 382

0.2 0

380 0

0.2

0.4 0.6 fV i

196

fVmax − fVmin ⋅i nptos

0.8

1

378

0

0.2

0.4 0.6 fV i

0.8

1


16.3.1 Búsqueda de errores dentro de la zona Given-find Para localizar el punto donde se origina un error en Mathcad resulta bastante útil el comando ‘Trace’. Este se ejecuta pulsando el botón derecho del ratón sobre un punto donde se ha detectado el error y retrocediendo con el botón ‘Previo’ hasta el punto donde se originó el error. No obstante, este comando no progresa dentro de los bloques Given-find. Por ello se recomienda copiar temporalmente las ecuaciones entre la inicialización y la palabra Given y pulsar ‘=’ sobre cada una de ellas. Abajo se muestra un ejemplo de localización de un error en la segunda ecuación, la cual no calcula por haberse escrito mal la variable fV: T := 380

x1 :=

1 3

x2 :=

 Psat ( 1 , T)

z1

( 1 − fV) ⋅x1 + fV ⋅

z2

( 1 − fV) ⋅x2 + fV⋅

z3

( 1 − fV) ⋅x3 + fV ⋅

P

 Psat ( 2 , T) P

 Psat ( 3 , T) P

1 3

x3 :=

1 3



⋅x1 = 0

 

⋅x2 =

 

⋅x3 = 0




P =0

Given

…

197


16.4 Subrutinas auxiliares en Mathcad 16.4.1 Líneas Línea definida por los puntos (x1,y1) y (x2,y2) y_pp( x , x1 , y1 , x2 , y2) := y1 +

y2 − y1 ⋅( x − x1) x2 − x1

x_pp( y , x1 , y1 , x2 , y2) := x1 +

x2 − x1 ⋅( y − y1) y2 − y1

Línea definida por el punto (x1,y1) y la pendiente m y_pm( x , x1 , y1 , m ) := y1 + m ⋅( x − x1) x_pm( y , x1 , y1 , m ) := x1 +

y − y1 m

16.4.2 Intersecciones Intersección entre dos líneas dadas por punto y pendiente i_pm_pm( x1 , y1 , m1 , x2 , y2 , m2) :=

if m1

∞

x ← x1 y ← y2 + m2 ⋅( x − x2) if m2

∞

x ← x2 y ← y1 + m1 ⋅( x − x1) otherwise y2 − y1 + m1⋅x1 − m2⋅x2 x← m1 − m2 y ← y1 + m1 ⋅( x − x1)

x   y

198


Intersección de la línea dada por los puntos (x1,y1)-(x2,y2) con la dada por (x3,y3)-(x4,y4) i_pp_pp( x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3 , x4 , y4) :=

if ( x1

x2) ∧ ( x3 ≠ x4)

x ← x2 y ← y3 + if ( x3

y4 − y3 ⋅( x − x3) x4 − x3

x4) ∧ ( x1 ≠ x2)

x ← x3 y ← y1 +

y2 − y1 ⋅( x − x1) x2 − x1

otherwise m12 ←

y2 − y1 x2 − x1

m34 ←

y4 − y3 x4 − x3

return "Líneas paralelas" if m12 x←

m34

y3 − y1 + m12⋅x1 − m34⋅x3 m12 − m34

y ← y1 +

y2 − y1 ⋅( x − x1) x2 − x1

x   y Intersección de línea entre puntos (x1,y1) y (x2,y2) con la curva C i_pp_c( x0 , x1 , y1 , x2 , y2 , C) :=

x ← x0 x←

x1 if x1

 

root y1 +

x2 y2 − y1   ⋅( x − x1) − C ( x) , x otherwise x2 − x1  

y ← C ( x)

x   y

199


Intersección de línea punto-pendiente con curva C i_pm_c( x0 , x1 , y1 , m1 , C) :=

x ← x0 x←

x1 if m1

∞

root [ [ y1 + m1⋅( x − x1) ] − C ( x) , x] otherwise y ← C ( x)

x   y 16.4.3 Tangencia Pendiente de la línea que pasa por el punto (x1, y1) y es tangente a la curva C: tang_pc( xt0, x1 , y1 , C) :=

xt ← xt0

  C ( xt) − y1 d C ( xt) , xt − xt − x1 dxt  

xt ← root 

yt ← C ( xt) mt ←

yt − y1 xt − x1

mt

16.4.4 Inversión de coordenadas de vectores Estas funciones invierten los índices de los vectores asociados a las corrientes salientes de etapa. Es decir, si los cálculos se hicieron con la torre numerada de abajo a arriba, cambia a la numeración correspondiente a numerarse la torre de arriba a abajo. voltear_liq( X) := submatrixreverse ( ( X) , 0 , last ( X) − 1 , 0 , 0) voltear_gas( Y) := stack ( 0 , reverse( Y) )

200


16.4.5 Vector de puntos espaciados uniformemente

(

)

rango xmin, xmax, nptos :=

for i ∈ 0 .. nptos − 1 xi ← xmin +

xmax − xmin ⋅i nptos − 1

x

16.4.6 Paso de valores de etapa a coordenadas gráficas Gráfico XY-propiedad: (Gráfico para Ponchon-Savarit) gráficoXYXet ( , Yet) := Nx ← last ( Xet) Ny ← last ( Yet) return "Vectores no válidos" if ( Ny < Nx) ∨ [ ( Ny − Nx) > 1] for i ∈ 1 .. Nx xg2 ⋅i −2 ← Xeti −1 yg2 ⋅i −2 ← Yeti xg2 ⋅i −1 ← Xeti yg2 ⋅i −1 ← Yeti xg2 ⋅Nx ← XetNx yg2 ⋅Nx ← YetNx +1 if Ny

Nx + 1

 xg     yg  Gráfico entalpía-composición: Coordenadas gráficas de las líneas de equilibrio N = número de etapas (z1, h1) conjuntos de puntos sobre una curva (z2, h2) conjunto de puntos sobre la otra curva (Los puntos del mismo índice en las dos curvas están equilibrio)

201


líneas_eq( N , z1 , h1 , z2 , h2) :=

for i ∈ 1 .. N xgeq3 ⋅i −3 ← z1i ygeq3 ⋅i −3 ← h1i xgeq3 ⋅i −2 ← z2i ygeq3 ⋅i −2 ← h2i xgeq3 ⋅i −1 ← i ygeq3 ⋅i −1 ← i

 xgeq     ygeq  Gráfico entalpía-composición: Coordenadas gráficas de las líneas de operación para N etapas N = número de etapas (z1, h1) conjuntos de puntos sobre una curva (z2, h2) conjunto de puntos sobre la otra curva líneas_op( N , z1 , h1 , z2 , h2) :=

for i ∈ 1 .. N zgop3 ⋅i −3 ← z1i −1 hgop3 ⋅i −3 ← h1i −1 zgop3 ⋅i −2 ← z2i hgop3 ⋅i −2 ← h2i zgop3 ⋅i −1 ← i hgop3 ⋅i −1 ← i

 zgop     hgop 

202

BIBLIOGRAFÍA

BIBLIOGRAFÍA A continuación se recogen algunas referencias sobre teoría de las Operaciones de Separación que pueden utilizarse conjuntamente con este libro:

Operaciones Unitarias en Ingeniería Química, 6ª Ed. Warren L. McCabe; Julian C. Smith; Peter Harriott, McGraw-Hill / Interamericana de México, 2004 ISBN 9789701036488

Manual del Ingeniero Químico Robert H Perry; Don W Green; James O Maloney Madrid etc. McGraw-Hill/Interamericana D.L. 2001, 7ª ed. ISBN 9788448130084

Operaciones de Transferencia de Masa Robert E. Treybal México. McGraw-Hill cop., 1980, 2ª ed ISBN 0070651760

Operaciones de Separación por Etapas de Equilibrio en Ingeniería Química E. Henley; J. Seader España, Reverte, 1988 ISBN 9788429179088

Principles and Modern Applications of Mass Transfer Operations Jaime Benitez USA, Jhon Wiley and sons, 2009 ISBN 9780470181782

205

Cálculo de Operaciones de Separación Con Mathcad

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