Standart Kompetensi :
5. Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri
dalam pemecahan masalah.
Kompetensi dasar :
1. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan
dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri
2. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri
Indikator :
1. Menentukan sinus, kosinus dan tangen suatu sudut dengan perbandingan
trigonometri segitiga siku-siku
2. Menentukan sinus, kosinus dan tangen dari sudut khusus
3. Menentukan sinus, kosinus dan tangen dari semua kuadran
4. Menentukan besarnya suatu sudut yang nilai sinus, kosinus dan
tangennya diketahui
5. menngunakan rumus sinus dan kosinus dalam penyelesaian soal
6. mengkontruksikan grafik fungsi sinus dan kosinus
7. mengambar grafik fungsi tangen
A. Pengukuran Sudut dengan Satuan Derajat dan Radian
1. Pengertian ukuran sudut dalam derajat dan radian
Satuan dalam pengukuran sudut yang telah kita kenal adalah Derajat.
Satu derajat (ditulis : 1o) sama dengan putaran atau satu
putaran sama dengan 360 derajat (360o).
Ukuran sudut yang lain adalah Radian. Satu radian (ditulis : 1 rad)
sama dengan besar sudut pusat lingkaran yang menghadap pada busur
lingkaran sepanjang jari-jari lingkaran tersebut.
2. Hubungan Ukuran derajat dengan ukuran Radian
Untuk menentukan hubungan ukuran derajat dengan ukuran radian sebuah
sudut, perhatikan gambar berikut :
Dalam ukuran derajat :
( PMQ = 180o
Dalam ukuran radian :
( PMQ =
= radian
Dari hal diatas diperoleh : 180o = ( radian
dengan demikian : 1o = radian atau 1 radian =
Dengan menggunakan nilai pendekatan ( ( 3,1459 dapat dinyatakan
1o ( radian = 0,017453 radian
atau
1 radian (
Contoh 1 :
Nyatakan ukuran sudut berikut dalam radian
a. 30o b. 210o
Jawab :
a. 30o = 30 . b. 210o = 210 .
= ( rad = ( rad
Contoh 2 :
Nyatakan ukuran sudut berikut ini dalam ukuran derajat.
a. ( rad b. ( rad
Jawab :
a. ( rad = b. ( rad =
= 45o = 100o
1. Nyatakan ukuran sudut berikut dalam ukuran radian.
a. 25o c. 60o e. 150o
b. 42o d. 100o f. 300o
2. Nyatakan ukuran sudut berikut dalam ukuran derajat.
a. c. e.
b. d. f.
3. Sebuah roda berputar dengan laju sudut 36 rpm (revolusi per menit atau
putaran per menit). Nyatakan laju sudut roda tersebut dalam satuan :
a. putaran / detik b. radian / menit c. radian / detik
4. O merupakan pusat lingkaran dan busur AB mempunyai panjang 0,3 kali
keliling lingkaran. Nyatakan besar sudut AOB dalam ukuran radian.
1. Nyatakan sudut-sudut berikut dalam ukuran radian.
a. 15o c. 150o e. 210o
b. 30o d. 225o f. 330o
2. Nyatakan sudut-sudut berikut dalam ukuran derajat.
a. c. e.
b. d. f.
3. Sebuah roda berputar dengan laju sudut 48 putaran per menit. Nyatakan
laju sudut putaran roda tersebut dalam ukuran :
a. Derajat / menit c. radian / menit
b. Derajat / detik d. radian / detik
4. Sebuah benda bergerak pada lintasan yang berbentuk lingkaran dengan jari
– jari r . Jika besar sudut yang disapu oleh benda itu adalah ( radian,
tunjukan bahwa panjang lintasan yang dilalui oleh benda itu sama dengan
( . r .
B. Perbandingan Trigonometri dari Suatu Sudut Segitiga Siku-Siku
1. Pengertian Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku.
Perhatikan gambar segitiga siku-siku ABC berikut :
Terhadap sudut A
Sisi a disebut sisi di depan sudut A
Sisi b disebut sisi di samping sudut A
Sisi c disebut hipotenusa / sisi miring.
Berdasarkan keterangan dan gambar di atas, perbandingan trigonometri
sudut A (besar sudut A = (o ) didefinisikan sebagai berikut :
1) Sin ( = = (Sin de mi)
2) Cos ( = = (Cos sa mi)
3) tg ( = = (tang de sam)
4) Cosec ( = =
5) Sec ( = =
6) Ctg ( = =
Contoh 3 :
Pada segitiga siku-siku ABC dengan panjang sisi-sisinya a = 3 cm, b =
4 cm dan c = 5 cm. Carilah nilai keenam perbandingan trigonometri
untuk sudut A.
Jawab :
Sin ( = Cosec ( =
Cos ( = sec ( =
tg ( = ctg ( =
2. Nilai Perbandingan Trigonometri sudut-sudut istimewa.
Nilai perbandingan sudut istimewa dapat disajikan dalam tabel berikut
:
"( "0o "30o "45o "60o "90o "
"Sin ( "0 " " " "1 "
"Cos ( "1 " " " "0 "
"Tg ( "0 " "1 " "~ "
Contoh 4 :
Hitunglah nilai dari :
a. sin 30 + cos 45 b. tg ( – cos (
Jawab :
a. sin 30 + cos 45 = b. tg ( – cos ( =
= =
3. Perhitungan Pada Segitiga Siku-siku.
Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku dapat diterapkan
untuk menentukan :
a. panjang dua sisi jika salah satu sisi dan sebuah sudut diketahui.
b. besar sudut jika panjang dua sisi diketahui.
Contoh 5 :
Diketahui segitiga ABC siku-siku di B, jika panjang AC adalah 8 cm,
dan ( A = 30o.
Hitunglah panjang AB dan BC.
Jawab :
Sin 30 = Cos 30 =
BC = AC . Sin 30 AB = AC . Cos
30
BC = 8 . AB = 8 .
BC = 4 cm AB = 4 (3 cm
Contoh 6 :
Diketahui (ABC siku-siku di C dengan panjang sisi b = 4 cm dan c = 8
cm. Tentukan besar sudut A!
Jawab :
Cos ( A =
=
Cos ( A =
( A = 60o
1. Carilah nilai Sin (, Cos (, tg (, Coses (, Sec (, dan Ctg ( dari tiap-
tiap segitiga berikut :
a. b. c.
2. Carilah nilai sin A, cos A, dan tg A pada ( ABC siku-siku di C, jika
diketahui panjang sisi-sisi :
a. a = 8 cm dan b = 6 cm b. a = 5 cm dan c = 7 cm
3. Jika ( adalah sudut lancip dan Sin ( = . Tentukan :
a. Cos ( b. tg (
4. Hitunglah nilai dari :
a. sin 30 cos 45 + sin 60 b. sin ( cos ( + cos (
5. Tunjukkan bahwa :
a. Cos ( . Cos ( – Sin ( . Sin ( = 0 b.
6. Hitunglah panjang sisi-sisi yang belum diketahui pada segitiga berikut
:
a. b.
7. Dalam segitiga PQR siku-siku di R, titik T terletak pada PQ sehingga
RT tegak lurus PQ, ( QPR = (, dan PR = 10 cm. Hitunglah
panjang PQ, QR dan RT.
1. Carilah nilai sin (, cos (, dan tg ( dari tiap-tiap segitiga berikut :
a. b. c.
2. Carilah nilai sin A, cos A dan tg A pada ( ABC siku-siku di B, jika
diketahui panjang sisi-sisi :
a. a = 2 ; b = 5 c. b = 4 ; c = (7
b. a = 2 ; b = 2 (5 d. b = 25 ; c = 24
3. Jika ( sudut lancip dan tg ( = , carilah sin (, dan cos (.
4. Diketahui Cos ( = dan ( sudut lancip, carilah nilai Sin ( dan tg
(.
5. Hitunglah nilai dari :
a. sin 30o + cos 60o + tg 45o e. Sin ( Cos ( – Cos ( .
Sin (
b. sin 60o + cos 45o + tg 60o f. Cos ( Cos ( – Sin ( Sin
(
c. cos 30o + cos 45o + cos 0o g. 2 Sin ( . Cos (
d. sin 90o - sin 45o - sin 30o h.
6. Tunjukkan bahwa :
a. sin ( . cos ( = sin ( c.
b. 1 – cos ( = 2 sin2( d.
7. Hitunglah panjang p untuk tiap gambar berikut : (gunakan kalkulator
untuk menghitung nilai perbandingan trigonometri sudutnya)
a. c.
b. d.
8. Segitiga ABC siku-siku di A. Jika BC = 5 cm dan ( B = 60o. Hitunglah
AC dan BC
9. Hitung besar ( A dan ( C pada segitiga ABC siku-siku di B dengan
panjang sisi-sisi:
a. AB = 8 cm ; BC = 6 cm c. AC=17 cm ;BC = 15 cm
b. AB = 5 cm ; AC = 13 cm
10. Dalam ( ABC siku-siku di B, titik D terletak pada AC sehingga BD tegak
lurus AC,( BCD = 60o; dan AC = 16 cm. Hitunglah panjang AB, BC, CD dan
AD.
11. Dalam ( ABC siku-siku di C, titik D terletak pada AB sehingga CD tegak
lurus AB,( ACD = 30o; dan AC = 10 cm. Hitunglah panjang AD, CD, BD dan
BC.
12. Diketahui ( ABC titik D terletak pada AB sehingga CD tegak lurus AB, (
A = 32o; ( B = 680 dan panjang BC = 12 cm. Hitunglah panjang CD, AC,
AD, BD dan AD.
C. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut di berbagai Kuadran
Garis OA adalah garis yang dapat berputar terhadap titik asal O dalam
bidang kartesius. Sehingga ( XOA dapat
bernilai antara 0o – 360o. Untuk suatu ( XOA =
(o . Kedudukan garis OA hanya ada satu
kemungkinan. Sudut ( diukur dari sumbu x+ .
Misalkan titik P(x,y) pada garis OA, sehingga
OP = r = dan r > 0
Dari gambar di atas keenam perbandingan trigonometri baku dapat
didefinisikan sebagai berikut :
1) Sin ( = 4) Cosec ( =
2) Cos ( = 5) Sec ( =
3) tg ( = 6) Ctg ( =
Dengan memutar garis OA, ( XOA = (, sudut ( bernilai positif jika arah
putar garis OA berlawanan arah jarum jam dan sudut ( bernilai negatif
jika arah putar garis OA searah jarum jam. Sudut ( dapat terletak pada
kuadran I, kuadran II, kuadran III maupun kuadran IV. Seperti gambar
berikut :
a. (1 di kuadran I b. (2 dikuadran II
c. (3 di kuadran III d. (4 di kuadran IV
Dari gambar diatas tanda (positif dan negatif) perbandingan
trigonometri. Untuk sudut-sudut pada berbagai kuadran dapat kita lihat
nilai absis (x) dan ordinat (y), jarak OP = r selalu bernilai positif.
Tanda absis dan ordinat diberbagai kuadran dapat kita nyatakan dalam
tabel berikut :
" "Kuadran I "Kuadran II "Kuadran III "Kuadran IV "
" "0 < ( < 90 "90 < ( < 180 "180 < ( < 270"270 < ( < 360"
"x "+ "- "- "+ "
"y "+ "+ "- "- "
"r "+ "+ "+ "+ "
Dari tanda absis dan ordinat pada tabel diatas tanda (positif dan
negatif) perbandingan trigonometri baku dapat disajikan dalam bentuk
bagan berikut :
Dalam bagan disamping hanya dituliskan perbandingan trigonometri yang
bertanda positif. Sedangkan perbandingan
trigonometri yang bertanda negatif tidak
dituliskan.
Untuk mengingat tanda-tanda tersebut dapat
kita gunakan singkatan Sem Sin Tang Kos atau
Kalimat Semua Sindikat Tangan Kosong.
Artinya pada kuadran I semua positif, pada
kuadran II Sin ( bernilai positif yang lain
negatif. Pada kuadran III tg ( berniali
positif yang lain negatif dan pada kuadran IV
Cos ( bernilai positif yang lain negatif.
Contoh 7 :
Titik P mempunyai koordinat (3, 4)
a. Hitunglah r atau OP
b. Jika ( XOP = ( hitunglah : Sin (, Cos ( dan tg (
Jawab :
a. r = OP =
=
= 5.
b. Sin ( = Cos ( = tg ( =
= = =
1. Titik P mempunyai koordinat (-4, 3), jika ( XOP = (, hitunglah Sin (,
Cos ( dan tg (.
2. Titik Q mempunyai koordinat (-12, -5), jika (XOQ = (, hitunglah Sin (,
Cos ( dan tg (.
3. Untuk tiap perbandingan trigonometri berikut ini, manakah yang bertanda
positif dan manakah yang bertanda negatif
a. Sin 110o c. Cos 70o e. tg 95o
b. Sin 320o d. Cos 240o f. tg 273o
4. Diketahui (o adalah sudut di kuadran II dan sin ( = . Hitunglah :
a. cos ( b. tg (
5. Diketahui cos ( = , hitunglah : (ada dua jawaban)
a. sin ( b. tg (
1. Titik A (5, 12), jika ( adalah ( XOA :
a. Gambarlah letak titik A pada bidang koordinat kartesius.
b. Hitunglah nilai Sin (, Cos ( dan tg (
2. Ulangi seperti nomor 1 untuk titik-titik berikut :
a. A (-6, 8) b. A (-8, -15) c. A (12, -9)
3. Diantara perbandingan trigonometri berikut mana yang bertanda positif
dan mana yang bertanda negatif.
a. Sin 4o d. Cos 305o g. Sin 170o
b. Sin 312o e. tg 165o h. Cos 340o
c. Cos 105o f. tg 215o i. tg 197o
4. Diketahui cos ( = dan tg ( posiif. Tentukan :
a. sin ( b. tg (
5. Diketahui sin ( = dan ( sudut tumpul. Tentukan :
a. cos ( b. tg (
D. Rumus-rumus Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi.
Rumus perbandingan trigonometri sudut yang berelasi dapat dirangkum
sebagai berikut :
Sin (90 - () = Cos ( Sin (90 + () = Cos (
Cos (90 - () = Sin ( Cos (90 + () = - Sin (
tg (90 - () = Ctg ( tg (90 + () = - Ctg (
Sin (180 - () = Sin ( Sin (180 + () = - Sin (
Cos (180 - () = - Cos ( Cos (180 + () = - Cos (
tg (180 - () = - tg ( tg (180 + () = tg (
Sin (270 - () = - Cos ( Sin (270 + () = - Cos (
Cos (270 - () = - Sin ( Cos (270 + () = Sin (
tg (270 - () = Ctg ( tg (270 + () = - Ctg (
Sin (360 - () = - Sin ( Sin (- () = - Sin ( Sin (n . 360 + () = Sin (
Cos (360 - () = Cos ( Cos (- () = Cos ( Cos (n . 360 + () = Cos (
tg (360 - () = - tg ( tg (- () = - tg ( tg (n. 360 + () = tg (
Contoh 8 :
Tentukan nilai dari :
a. Sin 150o c. tg 225
b. Cos 210 d. Cos (-420)
Jawab :
a. Sin 150 = Sin (180 – 30) c. tg 225 = tg (180 + 45)
= Sin 30 = tg 45
= = 1
b. Cos 210 = Cos (180 + 30) d. Cos (-420) = Cos 420
= - Cos 30 = Cos (360 + 60)
= = Cos 60
=
1. Nyatakan perbandingan trigonometri berikut dalam sudut lancip.
a. Sin 97o c. tg 136 e. Cos 310
b. Cos 101o d. Sin 130 f. tg 325
2. Tentukan nilai dari perbandingan trigonometri berikut :
a. Cos 120o c. tg 660
b. Sin 240 d. Cos 840
3. Tentukan nilai perbandingan trigonometri berikut :
a. Sin (-120o) c. tg (-405)
b. Cos (-300o) d. Sin (-930)
4. Sederhanakan bentuk berikut :
a. b.
5. Jika A, B, dan C adalah sudut-sudut dalam ( ABC. Tunjukkan bahwa :
a. Sin (B + C) = Sin A b. Cos
1. Nyatakan perbandingan sudut berikut dalam sudut lancip :
a. Sin 125o d. Cos 241o g. tg 115o j. Sin 385o
b. Sin 269o e. Cos 108o h. tg 261o k. Cos 515o
c. Sin 342o f. Cos 98o i. tg 310o l. tg (-525o)
2. Tanpa menggunakan table atau kalkulator hitunglah nilai dari :
a. tg 150o e. Cos (-240o) i. Sin 390o m. Cos 690o
b. Sin 225o f. Sin (-150o) j. Sin 540o n. Cos 1125o
c. Cos 330o g. Sin (-330o) k. Sin 750o o. tg 960o
d. tg 315o h. tg (-300o) l. Cos 450o p. tg 3450o
3. Sederhanakan bentuk-bentuk berikut :
a. Cos (180 + ()o + Sin (270 - ()o + Sin (90 - ()o
b. Sin 210o + Cos 300o + tg 315o
c. Sin 240o x Cos 330o – Sin (-210o)
d. e.
4. Diketahui tg 25o = p, nyatakan bentuk-bentuk berikut dalam fungsi p.
a. b.
5. Jika A, B dan C adalah sudut dalam segitiga, tunjukkan bahwa :
a. Cos (A + B) = - Cos C b.
E. Fungsi Trigonometri dan Grafiknya
1. Fungsi Trigonometri
Perbandingan trigonometri dari suatu sudut tertentu terdapat tepat
satu nilai dari sinus, kosinus dan tangen dari sudut tersebut,
sehingga perbandingan trigonometri merupakan suatu pemetaan atau
fungsi.
a. f : x ( Sin x (dibaca : "f memetakkan x ke Sin x") atau dapat
ditulis f (x) = Sin x
b. f : x ( Cos x (dibaca : "f memetakkan x ke Cos x") atau dapat
ditulis f(x) = Cos x
c. f : x ( tg x (dibaca : " f memetakkan x ke tg x") atau dapat
ditulis f(x) = tg x
Contoh 9 :
Tentukan nilai masing-masing fungsi di bawah ini untuk nilai-nilai
yang diberikan :
a. f : x ( Sin x untuk x = 30, 120 dan - 330
b. f : x ( Cos x untuk x = 60, 240 dan - 300
( Jawab :
a. f : x ( Sin x b. f : x ( Cos x
maka f(x) = Sin x maka f(x) = Cos x
f(30) = Sin 30 = f(60) = Cos 60 =
f(120) = Sin 120 = (3 f(240) = Cos 240 = -
f(-330) = Sin (-330) = f(-300) = Cos (-300) =
2. Grafik Fungsi Trigonometri
Untuk menggambarkan sketsa grafik trigonometri dapat menggunakan
tabel.
Grafik fungsi y = Sin x ( 0 < x < 360o)
Tabel :
x "0 "30 "60 "90 "120 "150 "180 "210 "240 "270 "300 "330 "360 " "Y =
Sin x "0 " "(3 "1 "(3 " "0 "- "-(3 "-1 "-
(3 "- "0 " "Grafik :
1. Jika f : x ( Sin x, tentukan nilai fungsi f untuk :
a. x = 0 c. x = 120 e. x = 300
b. x = 45 d. x = 150 f. x = -60
2. Gambarlah grafik fungsi-fungsi berikut jika o < x < 360o
a. f : x ( Cos x b. f : x ( tg x
1. Jika f : x ( Cos x, tentukan nilai fungsi f untuk :
a. x = 0 d. x = 150 g. x = -300
b. x = 45 e. x = 225 h. x = 315o
c. x = 120 f. x = -240
2. Seperti nomor 1 untuk f : x ( tg x
3. Gambarlah sketsa grafik :
a. y = Sin x , 0 < x < 180 b. y = Cos x , -90 < x < 90
4. Gambarlah sketsa y = Cos x, pada interval 0 < x < 360 kemudian tentukan
:
a. Pada interval mana y = Cos x bernilai positif. c. Berapa nilai
maksimum y = Cos x
b. Pada interval mana y = Cos x bernilai negatif. d. Berapa nilai
minimum y = Cos x
F. Persamaan Trigonometri
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri dapat digunakan kaidah berikut
:
1. Jika Sin x = Sin ( (x ( R) maka :
Untuk x dalam derajat : Untuk x dalam radian :
x = ( + n . 360 x = ( + n.2(
atau atau
x = (180 - () + n . 360, n ( B x = (( - () + n.2(, n (
B
2. Jika Cos x = Cos ( (x ( R) maka
Untuk x dalam derajat : Untuk x dalam radian :
x = ( + n . 360 x = ( + n. 2(
atau atau
x = - ( + n . 360, n ( B x = - ( + n. 2(, n ( B
3. Jika tg x = tg ( (x ( R) maka
Untuk x dalam derajat : Untuk x dalam radian :
x = ( + n .180 , n ( B x = ( + n.( , n ( B
Contoh 10 :
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut untuk 0 < x < 360
a. Sin x = Sin 30 b. Cos 2x = c. tg 2x = tg (x – 30)
Jawab :
a. Sin x = Sin 30 b. Cos 2x =
x = 30 + n . 360 Cos 2x = Cos 60
= 30 2x = 60 + n . 360
atau x = 30 + n. 180
x = (180 – 30) + n . 360 = 30o , 210o
= 150 atau
Hp = { 30o , 150o } 2x = -60 + n . 180
x = -30 + n . 180
= 150 , 330
Hp : { 30o , 150o , 210o , 330o }
c. tg 2x = tg (x – 30)
2x = x – 30 + n . 180
2x – x = -30 + n . 180
x = -30 + n . 180
= 150, 330o
Hp = { 150 , 330o }
1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut untuk 0 < x < 360
a. Sin x = Sin 45o b. Cos 2x = Cos 30o
2. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut untuk 0 < x < 360
a. Cos x = b. tg (x – 10) =
3. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut untuk 0 < x < 2(
a. Sin 2x = b. tg 3x = (3
1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut untuk 0 < x < 360o
a. Sin x = Sin 20 c. tg x = tg 35o e. Cos 3x = Cos 36
b. Cos x = Cos 70 d. Sin 2x = Sin 30 f. tg (2x – 10) = tg 50
2. Carilah penyelesaian tiap persamaan berikut untuk 0 < x < 360
a. sin x = c. tg x = e. cos (3x) =
b. cos x = d. sin (2x) - = 0 f. tg (x + 60) - = 0
3. Jika 0 < x < 2(, tentukan himpunan penyelesaian dari :
a. sin x = c. tg (( - x) = tg e. sin (3x - ) - = 0
b. cos x = d. cos 2x = f. tg (x - ) -= 0
4. Carilah penyelesaian persamaan trigonometri { Sin (2xo) - } { tg
(3xo) – 1} = 0
5. Carilah himpunan penyelesaian dalam interval 0 < x < 2(, untuk sistem
persamaan
G. Rumus sinus dan kosinus dalam suatu segitiga
Untuk menentukan unsur ( sudut , sisi ) suatu segitiga sembarang
digunakan rumus sinus dan kosinus berikut :
Perhatikan segitiga ABC berikut :
Pada segitiga ABC berlaku rumus / aturan sinus dan kosinus sebagai
berikut :
1. Rumus sinus
Contoh 11:
Pada (ABC, panjang sisi b = 4,2 cm besar (A = 62o dan (B = 46o.
Hitunglah panjang sisi a.
Jawab :
Dengan rumus sinus diperoleh :
a = . Sin A a =
a = a = 5,13 cm
(Panjang sisi a = 5,13 cm
Contoh 12 :
Pada (PQR, panjang sisi p = 5,8, sisi q = 6,7 dan (Q = 48o. Hitunglah
besar R.
Dengan rumus sinus diperoleh :
Sin P = sin P =
Sin P = sin P = 0,64
(P = 39,8o
( R = 180o – (48 + 39,8)o
= 92,2o
2. Rumus kosinus
Aturan kosinus pada ( ABC untuk menentukan panjang sisi-sisinya
adalah sebagai berikut :
a2 = b2 + c2 – 2 b c cos A
b2 = a2 + c2 – 2 a c cos B
c2 = a2 + b2 – 2 a b cos C
Untuk menentukan besar sudut, aturan kosinus adalah sebagai berikut :
Cos A =
Cos B =
Cos C =
Contoh 13 :
Pada ( ABC panjang sisi a = 5 cm, b = 8 cm dan (C = 60o. Hitunglah :
a. Panjang sisi c b. besar(B c. Besar (A
Jawab :
a. c2 = a2 + b2 – 2 a b cos C
= 52 + 82 – 2 5 8 cos 60
= 25 + 64 – 2. 5 . 8 .
= 49
c = 7 cm
b. Cos B =
=
=
=
( B = 81,8o
c. ( C = 180o – ((B + (C)o
= 180o – (81,8 + 60)o
= 38,2o
1. Diketahui (ABC dengan (A = 60o, (B = 45o dan panjang sisi b=5 cm.
Hitunglah panjang sisi a !
2. Pada ( KLM, panjang sisi l = 8 cm, besar ( K =105o dan ( L = 30o.
Hitunglah panjang sisi m !
3. Pada (DEF, panjang sisi d = 8 cm, e = 9 cm dan besar (D = 40o. Tentukan
besar (F !
4. Diketahui ( ABC dengan panjang sisi a = 8 cm, b = 3 cm dan Sin B =
. Tentukan Cos A !
5. Pada ( ABC diketahui panjang sisi a = 6 cm, c = 10 cm dan ( B = 120o.
Hitunglah :
a. panjang sisi b b. Besar ( A c. Besar (C
6. Pada (KLM diketahui panjang sisi k = 8 cm, m = 7 cm dan (L = 30o.
Hitunglah panjang sisi l !
7. Dalam ( PQR diketahui panjang sisi p = 5 cm q = 7 cm dan r = 3 cm.
Hitunglah besar sudut terbesar pada ( PQR !
8. Pada jajaran genjang ABCD, diketahui panjang AB = 10 cm , AD = 6 cm, dan
AC = 14 cm. Carilah panjang BD !
1. Dalam tiap ( ABC berikut diketahui tiga buah unsur. Hitung sisi yang
diminta.
a. ( A = 30o , ( B = 45o dan panjang sisi b = 10 cm. Hitunglah sisi a
b. ( A = 45o , ( C = 120o dan panjang sisi a = 8 cm. Hitunglah sisi c
c. ( B = 30o , ( C = 120o dan panjang sisi c = 6 cm. Hitunglah sisi a
dan b
d. ( B = 70o , ( C = 67o dan panjang sisi b = 12 cm. Hitunglah sisi a
dan c
2. Dalam tiap ( ABC berikut diketahui tiga buah unsur. Hitung sisi yang
diminta.
a. a = 10, b = 15 dan ( B = 62o, Hitung ( A
b. a = 20, c = 10 dan ( A = 50o, Hitung ( C
c. b = 10, c = 12 dan ( C = 141o, Hitung ( A dan ( B
d. b = 10, c = 4 dan ( B = 64o, Hitung ( A dan ( C
3. Sebidang tanah berbentuk segiempat seperti gambar dibawah ini
a. panjang AD.
b. panjartg BD
c. panjang CD
4. Perhatikan gambar di bawah ini
Titik D rnerupakan puncak suatu menara
Dari titik A puncak D mempunyai sudut
elevasi 15o dan dari titik B puncak D
mempunyai sudut elevasi 35o Jarak AB = 8
m. Carilah panjang AD dan BD, kemudian
hitung tinggi menara
5. Dalam tiap ( ABC berikut, hitunglah panjang sisi yang diminta jika
diketahui:
a. panjang a = 8 cm, b = 9 cm dan ( C = 60o .Hitung panjang sisi c.
b. panjang b = 5 cm, c = 10 cm dan ( A = 120o, hitung panjang sisi a.
c. panjang a = 6 cm, c = 9 cm dan ( B = 30o, hitung panjang sisi b
6. Pada tiap ( ABC berikut, diketahui panjang ketiga sisinya, hitung besar
sudut yang diminta
a. a = 10 cm, b = 16 cm dan c = 14 cm, hitung (C
b. a = 14 cm, b = 10 cm dan c = 6 cm, hitung (A
7. Diketahui ( PQR, panjang sisi p = 6 cm, r = 5 cm dan cos (Q = .
Tentukan panjang sisi q.
8. Diketahui (KLM, panjang sisi k=10 cm, l = 12 cm dan Sin (M = .
Tentukan panjang sisi m.
9. Nilai kosinus sudut terkecil dalam (ABC jika panjang sisi a=20 cm, b =
23 cm dan c = 22 cm.
10. Nilai sinus sudut terbesar dalam (KLM jika panjang sisi KL=16 cm, KM=15
cm dan LM=20 cm.
11. Hitung jarak antara dua titik berikut :
a. A (7, 1 10o) dan B (5, 70o) c. E (4, 85o) dan F (10, 25o)
b. C (6, 15o) dan D (12, 255o) d P (12,210o) dan Q (5, 330o)
Kompetensi dasar :
5.3 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri, dan
penafsirannya.
Indikator :
1. Menggunakan identitas trigonometri dalam penyelesaian soal
2. Membuktikan beberapa identitas trigonometri yang sederhana
H. Hubungan Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut.
1. Rumus-rumus Dasar
a. Rumus dasar merupakan hubungan kebalikan.
1) atau
2) atau
3) atau
b. Rumus dasar merupakan hubungan perbandingan / kuosien.
1) 2)
c. Rumus dasar yang diturunkan dari teorema phytagoras.
1) Sin2 ( + Cos2 ( = 1
2) 1 + tg2 ( = Sec2 (
3) 1 + Ctg2 ( = Cosec2 (
2. Identitas Trigonometri
Suatu persamaan yang berlaku untuk semua nilai pengganti variabelnya
disebut kesamaan atau identitas.
Contoh 14 :
Buktikan bahwa (Sin ( + Cos ()2 – 2 Sin ( Cos ( = 1
Jawab :
Ruas kiri = (Sin ( + Cos ()2 – 2 Sin ( Cos (
= Sin2 ( + Cos2 ( + 2 Sin ( Cos ( - 2 Sin ( Cos (
= 1 + 0
= 1
= Ruas kanan
Terbukti.
1. Buktikan bahwa : Sin2 ( + Sin2 ( . ctg2 ( = 1
2. Buktikan bahwa :
3. Buktikan bahwa : tg ( - ctg ( =
4. Buktikan bahwa :
Buktikan identitas-identitas trigonometri berikut :
1. = Sec2 ( 5.
2. 6.
3. tg ( Sin ( + Cos ( = 7.
4. 8.
I. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat !
1. Panjang busur sebuah lingkaran adalah 4 cm dan sudut pusat yang dicakup
1. oleh busur itu sama dengan 2 radian. Panjang jari-jari lingkaran itu
sama dengan … cm.
A. 2 C. 6 E. 0,5
B. 4 D. 8
2. Sebuah lingkaran berpusat di O. Pada lingkaran itu terdapat busur AB
yang mencakup sudut pusat sebesar 2,5 radian. Perbandingan keliling
lingkaran dengan panjang AB adalah … .
A. 2( : 5 C. 6( : 5 E. 5 : 4(
B. 4( : 5 D. 5 : 2(
3. Besar sudut 65o jika dinyatakan dalam satuan radian sama dengan ...
radian.
A. ( C. ( E. (
B. ( D. (
4. Sudut ( rad jika dinyatakan dalam satuan derajat sama dengan ... .
A. 30o C. 54o E. 216o
B. 45o D. 108o
5. Segitiga ABC siku-siku di B, panjang sisi AB = 5 cm dan AC = 13 cm,
nilai perbandingan trigonometri berikut yang benar adalah ... .
A. Sin A = D. Cosec A =
B. Cos C = E. Ctg A =
C. Tg C =
6. Jika diketahui maka nilai dari cos sin ( adalah … .
A. D. 0
B. E. 1
C.
7. Perbandingan trigonometri berikut ini, yang bernilai positif adalah … .
A. cos 115o D. sin 250o
B. sec 160o E. tg 265o
C. cos 235o
8. Nilai dari sama dengan … .
A. -2 C. 1 E. 2
B. D.
9. Bentuk sin 220o ekuivalen dengan …
A. sin 40o D. -cos 40o
B. -sin 40o E. cos 220o
C. cos 40o
10. Untuk setiap bilangan real x dan y, diketahui xo + yo = 180o . Kita
dapat simpulkan bahwa … .
A. sin xo + sin yo = 0
B. sin xo - cos yo = 0
C. cos xo - cos yo = 0
D. sin xo + cos yo = 0
E. tg xo + tg yo = 0
11. Jika 0 < ( < 90 dan tg (o = maka … .
A. sin (o = 0,1 D. cos (o = 0,1
B. sin (o = 0,2 E. cos (o = 0,2
C. sin (o = 0,4
12. Jika cos A = dan sudut A terletak di kuadran II, maka tg A sama
dengan ….
A. C. E.
B. D.
C.
13. Jika ( sudut tumpul dan berlaku sin2( = maka tg ( sama
dengan … .
A. -2 C. E. 2
B. D.
14. Bentuk sederhana adalah … .
A. 1 C. tg ao E. ctg ao
B. -1 D. -tg a0
15. Diketahui f(x) = 3 cos x + 2 sin x (x dalam radian). Nilai sama
dengan … .
A. -3 C. 0 E. 3
B. -2 D. 2
16. Untuk x ( R dan 0 < x < 2(, himpunan penyelesaian persamaan (2 sin x –
1 = 0 adalah … .
A. D.
B. E.
C.
17. Himpunan penyelesaian persamaan trigonometri 4 cos xo – 2 = 0 dalam
interval 0 < x < 180 adalah … .
A. {30} D. {30, 150}
B. {60} E. {45, 135}
C. (60, 120}
18. Nilai x yang memenuhi persamaan tg 3xo = -1 adalah … .
A. x = 90 D. x = 75
B. x = -60 E. x = 105
C. x = -45
19. Bentuk-bentuk di bawah ini benar, kecuali … .
A. sin2 x + cos2 x = 1
B. 3 cos2 x + 3 sin2 x – 3 = 0
C. (sin x – cos x)2 = 1 – 2 sin x cos x
D. cos2 x (1 + tg2x) = 1
E. tg2 x (1 + cos2 x) = 1
20. Pada (ABC, pernyataan berikut yang benar adalah ... .
A. a . sin A = c . sin B
B. a . sin C = b . sin A
C. b . sin A = c . sin B
D. b . sin A = a . sin B
E. b . sin A = c . sin B
21. Pada (ABC, diketahui besar (BAC= 60o, (ABC = 45o, dan panjang sisi b =
10 cm, panjang sisi a sama dengan ... cm.
A. C. 5E. 10
B. 5 D. 5
22. Dalam ( ABC diketahui panjang sisi AB = 12 cm, AC = 9 cm dan besar
(BAC= 120o. Panjang sisi BC sama dengan ... cm.
A. 2 C. 3 E. 4
B. 3 D. 3
23. Pada (PQR diketahui panjang PQ = a cm PR = 2a cm dan besar (RPQ =
30o. Panjang QR sama dengan ... cm
A. a C. a E. a
B. 2a D. a
24. Pada ( PQR diketahui panjang PQ = 6cm QR = 4 cm dan PR = 5 cm. Nilai
Sin P sama dengan ... .
A. C. E.
B. D.
25. Grafik fungsi trigonometri y = tg x pada interval 90o < x < 270o adalah
... .
A. D.
B. E.
C.
-----------------------
