Materi Peubahkompleks (Sd UTS)

Peubah Kompleks

Program Studi Teknik Elektro FTI-ISTN

Dosen : M. Hamdani

BAB I BILANGAN KOMPLEKS

Gambaran Umum:

1.1

Suatu

persamaan

−b± x1,2

=

b2

kuadrat

:

ax 2

+ bx + c = 0 ,

− 4ac

akan

mempunyai

penyelesaian

2 , bila deskriminant D = b

2a

D > 0 maka x

1,2

− 4ac

bernilai :

merupakan dua akar yang riil yang berbeda

D = 0 maka x merupakan dua akar yang riil yang sama 1, 2

D < 0 maka x

1, 2

merupakan dua akar yang khayal yang berbeda

− 1 disebut akar khayal (imaginer) yang didefinisikan sebagai

i=

−1

Bilangan kompleks adalah gabungan bilangan NYATA (Real) dan bilangan KHAYAL (imajiner). Bentuk bilangan kompleks dapat ditulis sebagai z

= a + ib

atau z

= x + iy

;

dimana a dan x adalah bagian riil dari z, sedangkan b dan y adalah bagian khayal z. Satuan khayal (imaginer unit) ditulis sebagai i =

− 1 sehingga i 2 = −1 , dengan demikian maka

dapat dicari: i 2 = −1 ; i6

i 3 = i 2 ⋅ i = −i i 5 = (i 2 ) 2 ⋅ i = i

= (i 2 ) 3 = − 1 ;

i13 = (i 2 ) 6 ⋅ i = i ;

Bilangan kompleks

z

i115

= x + iy dimana

= (i 2 ) 57 ⋅ i = −i

x dinamakan bagian riil dari z , dan y dinamakan

bagian Imaginer (khayal) dari z , sehingga Re( z ) = x dan Im( z ) = y Contoh : a.

Bila z = 4 − 3i , maka

Re z = 4

b.

Bila z = −2 + 5i , maka Re z = −2

dan Im z = 5

c.

Bila z = 1 − 1 i , maka 2 3

dan Im z = − 1 3

d.

Bila z =

Re z = 1 2

dan Im z = −3

(4 − 3i ) , maka Re z = 4 dan Im z = − 3 (x + y ) x+ y x+ y

-1-

Peubah Kompleks

1.2


Dosen : M. Hamdani

Bilangan Komplek Sekawan

Bilangan kompleks z = x + iy akan mempunyai bilangan kompleks sekawan yaitu z

= x − iy ,

dengan z disebut Conjugate z Beberapa contoh : 1.

Bila z = 2 + 3i

maka z = 2 − 3i

2.

Bila z = 5 − 5i

maka z = 5 + 5i

3.

Bila z = ( a − 6) + (b + 7)i

maka z = ( a − 6) − (b + 7)i

4.

Bila z = 2i

maka z = −2i dan z

Sehingga jika z = x + iy dan z

= x − iy , maka akan didapat:

x

= 2i , jadi : z = z

= 1 (z + z ) dan y = 2

1 (z − z ) 2i

Soal-soal : Nyatakan soal berikut kedalam bentuk x + iy 1. ( 2 − 7i )

= ………..

2. ( 2 + 3i ) =……….. 3. (7 + 4i + 2 − 4i − 5 + 2i ) = ……….. 1.3.

Operasi Dasar Bilangan Kompleks

Seperti halnya dengan bilangan riel, maka terdapat pula operasi dasar pada bilangan kompleks, antara lain: 1. Penjumlahan

: ( a + bi ) + (c + di ) = ( a + c ) + i (b + d )

2. Pengurangan

: ( a + bi ) − ( c + di ) = ( a − c ) + i (b − d )

3. Perkalian

: ( a + bi )(c + di )

4. Pembagian

:

( a + bi ) ( c + di )

=

= (ac − bd ) + i ( ad + bc )

( a + bi ) ( c + di )

×

( c − di ) ( c − di )

 ( ac + bd )   ( bc − ad )   + i    c2 + d 2   c2 + d 2 

= 

Beberapa contoh soal : 1. Jika

z1 = 4 − 3i dan z 2 = −1 + 2i

Hitunglah : a.

z1 + z2

b. z1 − z2

c. z1 ⋅ z2

d.

z1 z2

Jawab : a. z1 + z2 = ( 4 − 3i ) + ( −1 + 2i ) = ( 4 − 1) + i ( −3 + 2) = 3 − i b. z1 − z2 = ( 4 − 3i ) − ( −1 + 2i ) = ( 4 + 1) + i ( −3 − 2) = 5 − 5i c. z1 ⋅ z2 = ( 4 − 3i )( −1 + 2i ) = {4( −1) − ( −3) 2} + i{4( 2) + ( −3)( −1)} = 2 + 11i

-2-

Peubah Kompleks

d.

z1 z2

=

=

=


(4 − 3i )

x

Dosen : M. Hamdani

( −1 − 2i )

( −1 + 2i ) ( −1 − 2i ) ( −4 − 6) + i ( −8 + 3) (1 + 4 )

− 10 − 5i 5

= −( 2 + i )

2. Hitunglah : a. (3 + 2i ) + (5 − 4i ) − (5 − 3i ) Jawab:

b. (7 + 4i ) + (3 − 4i ) − (5 − 3i ) + ( 2 + i )

a. (3 + 2i ) + (5 − 4i ) − (5 − 3i ) = ( 3 + 5 − 5) + i ( 2 − 4 + 3) = 3 + i b. ( 7 + 4i ) + ( 3 − 4i ) − (5 − 3i ) + ( 2 + i ) = ( 7 + 3 − 5 + 2 ) + i ( 4 − 4 + 3 + 1) = 7 + 4i

3. Hitunglah : a. (3 + 2i )(5 − 4i )(5 − 3i )

b. ( 7 + 4i )(3 − 4i )(5 − 3i )( 2 + i )

Jawab : a.

(3 + 2i )(5 − 4i )(5 − 3i ) = {(3x5 +2x4)+ i (2x5-3x4)}(5 − 3 i )

= (23 – 2 i )(5 − 3 i ) = (23x5 – 2x3)+ i ( − 23x3 − 2x5) = 109 – 79 i b. (7 + 4i )(3 − 4i )(5 − 3i )( 2 + i ) = {(21+16)+ i (12 − 28)}{(10+3)+ i (5 − 6)} = (37 − 16 i )(13 − i ) = 465 – 245 i

4. Carilah : a.

(3 − 2i )( 4 + 3i )

b.

( 2 + 5i )

( 4 + 3i ) (2 + 4i )(1 − 2i )

Jawab : a.

(3 − 2i )(4 + 3i ) (2 + 5i )

= =

(12 + 6) + i(9 − 8) (2 + 5i) (18 + i ) ( 2 + 5i )

x

( 2 − 5i ) ( 2 − 5i )

= (36 + 5) + i (−90 + 2)

(4 + 25) (41 − 88i ) = (29)

-3-

c.

(4 − 3i )(3 + 4i ) (2 + 5i )(1 − 2i )

Peubah Kompleks

b.


(4 + 3i ) (2 + 4i )(1 − 2i )

=

Dosen : M. Hamdani

( 4 + 3i ) 10

= 2+ 3 i c.

(4 − 3i )(3 + 4i )

5 10 24 + 7i

=

(2 + 5i )(1 − 2i )

x

12 − i

12 + i 12 − i 295 + 60i

=

145

295 + 60 i = 145 145

Soal-soal Untuk Dikerjakan Dirumah 1. Hitunglah : a.

i4

+ i 9 + i16 2 − i + i10 − i15 5

b.

2 − i 5 + i10 i

4

− i15

9

+ i + i16

2. (5 − 4i ) + (3 + 2i ) + ( 2 − 7i ) 3. 4. 5. 6.

= ……….. ( 2 + 3i ) + (4 − 2i ) + ( 2 − 7i ) = ……….. ( 2 + 3i ) + (3 − 2i ) + ( 2 − 5i ) = ……….. (5 − 4i ) + ( 2 + 4i ) + (3 + 2i ) + (4 − 5i ) + ( 2 − 7i ) = ……….. ( 2 − 3i ) − (4 + 5i ) + (1 + 4i ) =……………….

(2 + 4i) =………….. (2 + 4i)(3 + 6i) (4 + 3i)(5 + 4i) 8. =………….. (2 + 6i)(1 + 3i) 7.

1.4

Nilai Mutlak (Absolut)

Nilai mutlak atau Modulus suatu bilangan kompleks : z = a + bi didefinisikan sebagai : z

= | a + bi | =

a

2

+ b2

Contoh : 1. Jika z

= −6 + 2i

maka z

2. Jika z

= −5 − 5i

maka

= − 6 + 2i = 6 2 + 2 2 = 40 = 2 10 z

= − 5 − 5i = 52 + 52 = 50 = 5 2

-4-

Peubah Kompleks


Dosen : M. Hamdani

Sifat-sifat : 1. z1 + z 2 3. z1 ⋅ z 2

≤

z1

+

2. z1 − z 2

z2

= z1 z 2

4.

z1

=

z2

≥

z1 z2

z1 - z 2

, z2

≠0

Dari pembahasan yang sudah dilakukan, maka dapat disimpulkan bahwa bentuk bilangan kompleks adalah : yang disebut bentuk umum, maka dapat pula ditulis bentuk lain dari z = x + iy bilangan kompleks yaitu :

z = z ∠θ , dimana : z = x 2 + y 2 dan θ = arctan ( xy )

Soal-Soal : 1. Jika a. 2. Jika

z1 = 4 − 3i dan z2 = −1 + 2i , hitunglah : 2 z1

− 3z 2

z1

a. z1 z 2

2

b. 3 z1 − 2 z 2

= 5 − 2i

+ z1 z 2

dan z 2

b. z1 z 2

2

c. z1 z 2

= −2 + 2i

+ z1 z2

d. z1 z 2

+ z1 z2

hitunglah:

− z1 z2

1.5 Penyajian Secara Grafik Dari Bilangan Kompleks

Suatu bilangan kompleks

z

= x + iy

dapat dipandang sebagai suatu pasangan terurut riil,

sehingga bilangan tersebut dapat digambarkan pada bidang kompleks atau bidang Argand. contoh : z

= 4 + 3i

dapat digambarkan sumbu real = 4 dan sumbu khayal= 3

Im

Z= 4 + 3 i 3

4

Re

-5-

Peubah Kompleks

1.6


Dosen : M. Hamdani

Bentuk Kutub (Polar ) dari Bilangan Kompleks

Jika P(x,y) terletak pada bidang kompleks dan z=x+yi, maka dapat digambarkan sebagai berikut:

Im

x = r cosθ dan y = r sin θ,

z= x + yi

y r

sehingga:

r

=

x

2

+ y2

θ Re

x

dimana:

r =

z

x

+ y2 =

2

= x + iy

x + yi

dinamakan

atau

modulus

nilai mutlak dari

( dapat pula ditulis sebagai mod z atau | z |) dan

 y  y  , sehingga θ = arctan   . θ disebut sudut phasa atau argument x    x

tanθ = 

= x + iy (dapat ditulis sebagai arg z ), demikian maka z = x + iy dapat ditulis sebagai dari z

Dengan

z

= r (cos φ + i sin φ )

dinamakan bentuk kutub (polar) dari bilangan kompleks Bentuk cos φ + i sin φ dapat pula dituliskan sebagai cis φ , dengan demikian didapat

z

= r (cos φ + i sin φ )

atau dapat ditulis z

= r cis φ ,

Im

Z2= x2 + i y2 Z1= x1 + i y1

y

β

α θ

Z3= x3 + i y3

φ

x1

Re

Z4= x4 + i y4

`

-6-

yang

Peubah Kompleks


Dosen : M. Hamdani

Contoh Soal: 1. Nyatakan setiap bilangan kompleks berikut dalam bentuk kutub :

z

a.

= 2+i

b. z

= −2 + 2i

c. z

= −3 − 4i

d. z

= 2 − 2i

Jawab :

z

a.

2

2

= 2 + i , nilai x = 2 dan y = 1 , maka nilai r = 2 + 1 = 5 tan φ =

Maka z

= 2+i

1 2

dan φ

= arctan ( 12 ) = 26,570

dalam bentuk kutub adalah :

 = √ 5( 26.570 +   26.570 ) = √ 5  26.570

z

b.

2

2

= −2 + 2i , nilai x = −2 dan y = 2 , maka nilai r = ( −2) + 2 = 8

tan a

= 22

Maka z

= arctan (1) = 450 ; sehingga φ = 900 + 450 = 1350

dan a

= −2 + 2i


0

 = √ 8( 135 +   1350 ) = √ 8  1350

z

c.

2

2

= −3 − 4i , nilai x = −3 dan y = −4 , maka nilai r = ( −3) + ( −4) = 5

tan a

= 43

Maka z

= arctan ( 43 ) = 53.130 ; sehingga φ = 1800 + 53.130 = 233.130

dan a

= −3 − 4i

dalam bentuk kutub adalah : 0

 = 5( 233.13 +   233.130 ) = 5  233.130

z = 2 − 2i , nilai x = 2 dan y

d.

tan a

= 22

Maka z

2

2

= −2 , maka nilai r = ( 2) + ( −2) = 8

= arctan (1) = 450 ; sehingga φ =2700 + 450 = 3150

dan a

= −2 + 2i


0

 = √ 8( 315 +   3150 ) = √ 8  3150

Soal-Soal : Tentukan bentuk kutub dari :

z

= 1− i

z

= −1 + i

3

z = −1 − i

z = −4

z

z=4

z=i

z = 1+ i 3

-7-

= 1− i 3

Peubah Kompleks

1.6


Dosen : M. Hamdani

Teorema De ’Moivre

Jika z1

= x1 + iy1 = r1 (cos φ1 + i sinφ1 ) = r1 cis φ1

dan

z 2 = x 2 + iy 2 = r2 (cos φ 2 + i sinφ 2 ) = r2 cis φ 2 , maka dapat ditunjukkan bahwa : I.

z1 z 2 = r1 × r2 {cos(φ1 + φ 2 ) + i sin(φ1 + φ 2 )} Bukti :

z1 z 2

= r1 (cos φ1 + i sinφ1 ) × r2 (cos φ 2 + i sinφ 2 ) = r1 × r2 {(cos φ1 cos φ2 − sinφ1 sin φ2 ) + i (cos φ1 sin φ2 + sinφ1 cos φ2 )} = r1 × r2

z1 z2

+i

sin(φ1 + φ 2 )}

z1 z 2 = r1 × r2 {cos(φ1 + φ 2 ) + i sin(φ1 + φ 2 )}

Jadi

II.

{cos(φ1 + φ 2 )

r

= 1 {cos(φ1 − φ2 ) + i sin(φ1 − φ2 )} r2

Bukti :

z1 z2

φ1 + i sin φ1 ) × (cosφ2 − i sin φ2 ) = rr1 (cos (cos φ2 + i sin φ2 ) (cos φ2 − i sin φ2 ) 2

=

r1{(cos φ1 cos φ2 + sin φ1 sin φ2 ) + i (sin φ1 cos φ2 − cos φ1 sin φ2 )}

= Jadi :

r2 (cos2 φ2 + sin 2 φ2 ) r1 r2

{cos(φ1 − φ2 ) + i sin(φ1 − φ2 )}

z1 z2

r

= 1 {cos(φ1 − φ2 ) + i sin(φ1 − φ2 )} r2

Secara umum dapat ditulis :

z1 ⋅ z2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ z n = r1 ⋅ r2 ⋅ ⋅ ⋅ rn {cos(φ1 + φ2 + ........ + φn ) + i sin(φ1 + φ2 + ........ + φn )} dan jika z1

= z2 = ⋅ ⋅ ⋅ = z n , maka akan didapat z n = r n (cos nφ + i sin nφ )

Bentuk-bentuk diatas dinamakan teorema De ‘Moivre

-8-

Peubah Kompleks


Dosen : M. Hamdani

Contoh Soal : 1. (6 cis 400)(7 cis 800) = 6.7 cis (400 + 800 ) = 42 cis (1200 ) 0

0

= 42 (cos 120 + i sin 120 ) = 42 (–0,5 + 0,87i) = –21+ 36,37i 2. (3 cis 500 )3 = 33 cis 3. 500 = 27 cis 1500 = 27 (cos 1500 + i sin 150 0 ) = 27 (–0,87 + 0,5 i ) = –23,38 + 13,5i 3.

(3 cis 20 0 ) 5 ( 2 cis 55 0 ) 4

=

35 cis 5.200 4

=

0

2 cis 4.55

243 cis 1000 16 cis 2200

0

0

0

= 15,9 cis (100 – 220 ) = 15,9 cis (–120 ) = 15,9 {cos (–1200 ) + i sin (–120 0 )} = 15,9 (–0,5 – 0,87i) = –7,95 – 13,8i

[2 cis(π)4 ]3 [4 cis () 4.  π [ 3 cis ( ) ]2 5 

π 3

]4 

2

(23 4 4 ) 2

 = 

(3 2 ) 2 (234 4 ) 2

= =

(3 2 ) 2 (2 3 4 4 ) 2 (3 2 ) 2

cis ( 64π

cis

(

+ 83π − 45π )

( 90 +160 − 48 )π 60

)π {cos( 202 60

)

+ i(sin)

202π 60

}

cos 4θ = 8sin 4θ − 8 sin 2 θ + 1

5. Tunjukkan bahwa :

dan sin 4θ = 8cos 3θ − 4 cos θ = 2 cos 3θ + 2 cos θ sin θ

Penyelesaian : (cos θ + i sin θ ) 4 = cos 4θ + i sin 4θ ……………………..(1), sedangkan (cos θ + i sin θ ) 4 = cos 4 θ + 4 cos 3 θ (i sin θ ) + 6 cos 2 θ (i sin θ ) 2 + 4 cos θ (i sin θ ) 3 + (i sin θ ) 4 ..(2)

Dari (1) dan (2) akan didapat : cos 4θ = cos 4 θ − 6 cos 2 θ sin 2 θ + sin 4 θ cos 4θ = (1 − sin 2 θ ) 2 − 6 (1 − sin 2 θ ) sin 2 θ + sin 4 θ

= 1 − 2 sin 2 θ + sin 4 θ − 6 sin 2 θ + 6 sin 4 θ + sin 4 θ

-9-

Peubah Kompleks


= 8 sin 4 θ − 8 sin 2 θ + 1



Dosen : M. Hamdani

terbukti

Dan sin 4θ = 4 cos 3 θ sin θ − 4 cos θ sin 3 θ sin 4θ = 4 cos 3 θ − 4 cos θ sin 2 θ sin θ = 4 cos 3 θ − 4 cos θ (1 − cos 2 θ )

= 4 cos 3 θ − 4 cos θ + 4 cos 3 θ = 8 cos 3 θ − 4 cos θ  terbukti

Soal-soal : Hitunglah :

0

1) (5 cis 20 )(3 cis 40 )

4)

[2 cis(π)3 ]4 [4 cis ()  [3 cis ( π5 )]6 

(7 cis 450 ) 4

 6 cis (20 0 )  3)  0   3 cis(-70 ) 

 [3 cis( π3 )]5 [3 cis (π)5 ]6 [ 2 cis ()

 3 

0 6

0

π 3 4

2)

  

2

(3 cis 15 )

5) 

π 4

2

6) Tunjukkan bahwa : cos 5θ = 16 cos 5 θ − 20 cos 3 θ + 5 cos θ dan sin 5θ = 16 cos 4θ − 12 cos 2 θ + 1 sin θ

1.7.

Bilangan Kompleks Dalam Bentuk EULER

Dengan menggunakan deret Mac-Laurin f ( x) = e x dapat diuraikan sebagai berikut:

e x = 1+ x + cos x = 1 − sin x = x −

x2 x3 + + ⋅⋅⋅⋅ 2 ! 3!

.......... (1)

x2 x4 x6 + − + ⋅⋅ 2! 4! 6! x3

3!

+

x5

5!

−

x7

7!

.......... (2)

+ ⋅⋅

............ (3)

bilamana diambil x = iφ, maka didapat :

e iφ = 1 + i φ +

(iφ ) 2 2!

+

(iφ ) 3

+ ⋅⋅⋅⋅

3!

Sehingga dengan subsitusi (1), (2), dan (3), akan didapat e φ = cos φ + i sin φ i

e = 2,71828..... disebut bilangan EULER

- 10 -

10

Peubah Kompleks


Dosen : M. Hamdani

Selanjutnya secara umum didefinisikan : ez = ex+iy = ex eiy x

= e (cos y + i sin y) Dalam kasus khusus dimana y = 0, maka ez = ex

φ = –iφ, maka akan didapat :

Dengan mengambil

-iφ

e

-iφ

e

= cos (– φ) + i sin (–φ), sehingga = cos

φ – i sin φ

Contoh soal.

1. Buktikan bahwa : a) cos θ =

e iθ

+ e - iθ

b) sin θ =

2

e iθ - e - iθ 2i

Bukti :

a)

e iθ

= cos θ + i sin θ

e -iθ

= cos θ − i sin θ + e -i = 2 cos θ

e

iθ

b)

e iθ

e -iθ

= cos θ − i sin θ

e − e -i = 2 i sin θ

e - iθ

+

= cos θ + i sin θ

iθ

θ

cos θ =

e iθ

θ

sin θ =

2

2. Buktikan kesamaan a) sin 3 θ =

3 4

b) cos θ = 4

sin θ −

1 8

1 4

e iθ

− e- iθ 2i

sin 3 θ

cos 4θ +

1 2

cos 2 θ +

3 8

Bukti :

 eiθ − e- iθ 3 a) sin θ =   2i 

=

3 iθ - iθ   e − e   =  8i 3 

3

(e iθ ) 3 − 3.(e iθ ) 2 .e - iθ + 3.e iθ .(e - iθ ) 2 − (e - iθ ) 3

− 8i

- 11 -

Peubah Kompleks

=− =−

1 8i 1 8i

3

=


( e 3iθ − 3 e iθ + 3 e - iθ − e - 3iθ ) ( − 3 e iθ + 3 e - iθ ) −

e iθ − e - iθ

= 8i 2 (

2

3 4 3 4

(

e iθ − e - iθ 2i

sin θ −

1 4

1 16 1

{(e

iθ

)4

1 4

(

e 3iθ − e - 3iθ 2i

)

sin 3θ 4 - iθ   iθ    e + e   =  16 

+ 4(e i

θ

= 16 (e 4i

1 e 3iθ − e - 3iθ ) − 8i 2 ( ) 2

)−

 e iθ + e - iθ 4 b) cos θ =   2  =

( e 3iθ − e - 3iθ )

8i

3

=

1 8i

1 ( eiθ − e- iθ ) − ( e3iθ − e - 3iθ )

8i

=

Dosen : M. Hamdani

θ

) 3 (e -iθ ) + 6(e iθ ) 2 (e -iθ ) 2

θ

+ 4e 2i

θ

+ 6 + 4 e - 2i

+ 4(e i

1 θ θ - 4i e ) + = 16 (e 4i

θ

)(e -iθ ) 3

)+

Telah diketahui bahwa : eiφ = cos φ + i sin φ, sedangkan dalam bentuk polar z = r ( cos z=re

jika

z1 = r1e

iφ

iφ1

ini merupakan bentuk EULER dari bilangan kompleks

= r2 e

iφ1

iφ

z1 z = r1e 2

φ + i sin φ ), dengan demikian akan didapat :

dan z 2

× r2 e

iφ2

, maka akan didapat :

2

- 12 -

+ (e -i

4 θ θ - 4i e ) + + 16 (e 2i

1 e 2iθ + e -2iθ 3 ( )+ 8 2 2 2 8 1 1 3 = cos 4θ + cos 2θ + 8 2 8 1 e 4iθ

= (

+ e -4iθ

4

θ

)4 } 6 θ - 2i e ) + + 16

Peubah Kompleks


= r1 × r2 e z Dan

=

1

z

re

Dosen : M. Hamdani

i(φ + φ ) 1

2

iφ

1

1

re

2

iφ

2

2

r

=

1

e

i(φ − φ ) 1

2

r2 Dengan demikian maka: z n

= r n einφ

Contoh Soal : 1. Tentukan Re z, Im z, dan z bila diketahui z =

1 + i tan φ 1 − i tan φ

Jawab :

z=

1 + i tan φ 1 − i tan φ

sin φ cosφ z= sin φ 1− i cosφ 1+ i

⇒

=

= =

cosφ + i sin φ cosφ cosφ − i sin φ cosφ cosφ + i sin φ cosφ − i sin φ

=

e

iφ

− iφ e

e i 2φ

= cos2φ + i sin 2φ Jadi

Re z

= cos2φ

,

Im z

= sin2φ , dan 

2.

Tunjukkan bahwa : 2 + i =

5e

z = cos 2 2φ + sin 2 2φ



i arctan 1   2 

Jawab : r = 2+i

= 5 , sedangkan θ = arctan 1 , dengan demikian didapat

2 + i = 5e

2

i

  arctan 1   2

- 13 -

Peubah Kompleks


Soal-soal : 

1. Tunjukkan bahwa : a.

− 3 − 4i = 5e

b. 1 − 2i =



i (π + arctan 4   3

5e −i arctan(2 )

2. Buktikan bahwa pada lingkaran z = Reiθ , berlaku e

iz

= e − R sinθ

3. Perlihatkan bahwa untuk suatu bilangan riil p dan m berlaku : m

 pi + 1  =1  pi − 1

e 2mi arc cot( p ) 

- 14 -

Dosen : M. Hamdani

Peubah Kompleks


Dosen : M. Hamdani

BAB II AKAR-AKAR BILANGAN KOMPLEKS

2.1

Mencari Akar Bolangan Kompleks n

Suatu bilangan

w dinamakan akar ke–n dari bilangan kompleks z jika

wn = z , dan

dituliskan w=z1/n. Menurut teorema De‘ Moivre dapat ditunjukkan bahwa jika n suatu bilangan bulat positif, maka z

1/n

= {r (cos φ + i sin φ)}



1/n

φ  φ   + i sin    n  n 

= r1/n cos 



Karena φ = φ + 2kπ (fungsi periodik), maka berlaku :

z

1/n

1/n

=r

  φ + 2k π   φ + 2kπ    + i sin    k = 0, 1, 2, ...., n-1 cos  n n     

Contoh soal : 1. Tentukan setiap akar-akar dan letaknya secara grafik dari : a) z = ( -1 + i) 1/3

( - 2 3 - 2i)1/4

b) z =

Jawaban :

(−1)

a) Dari z = (–1 + i) didapat r = sehingga a=tan-1( 0

1 1

0

2

+ 12 =

2 dan tan a= 1 1

)= 450 ; karena berada di kuadran II, maka

φ = 90 + 45 = 1350 =

135.π 180

=

3π 4

Dengan demikian maka z = -1 + i dalam bentuk kutub adalah :

z

=

2 (cos 135 =

z

=

0

+ i sin 135 0 )

2 cis135

2 cos 3π 4

0

=

2 cis

+ i sin 3π 4

- 15 -

3π 4

Peubah Kompleks

z Jadi :


=

2 cos

3π 4

Dosen : M. Hamdani

+ 2kπ + i sin 3π + 2kπ 4

z = ( -1 + i)1/3 = =

[

2 {cos

( 3π4 + 2)kπ ( + i sin)

3π 4

+ 2kπ }]

1 3

+ 2 kπ   3 + 2 kπ    + i sin  4   3   3 

( 2 ) cos  1 3



3π 4

π

1 π π  6 Jika k = 0, maka z1 = 2  cos 4 + i sin 4 

11π 11π   + i sin  12 12   19 π 19 π   Jika k = 2, maka z3 = 2  cos + i sin  12 12   1

Jika k = 1, maka z2 = 2 6  cos 1 6

hal ini dapat digambarkan sebagai berikut :

2

1/4 b) Dari z = ( - 2 3 - 2i) didapat r = (−2 3 ) + (−2) 2 1 0 tan a= , sehingga a = tan-1( )= 30 2 3 3

2

=

karena berada dikuadran III, maka φ = 1800 + 300 = 2100 =

16 = 4 dan

210.π 180

=

7π 6

Dengan demikian maka z = ( - 2 3 - 2i) dalam bentuk kutub adalah :

z

= 4 (cos

210

0

+ i sin 210

0

) = 4 cis 210

- 16 -

0

=

4 cis (

7π 6

)

Peubah Kompleks

z


 

= 4 cos (  

z = 4 cos (

7π 6

Jadi: ( - 2 3 - 2i)1/4

7π 6

 

)

 + 2kπ )      7π   7π       6 + 2kπ     6 + 2kπ        1/ 4   + i sin  = ( 4) cos  4 4     

7π 6

) + i sin (

+ 2kπ ) + i sin



 

19π

Jika k = 1, maka z2 =

2  cos


2  cos

7π 6



7π

2  cos

(



 



24 24

+ i sin



7π 



24 

+ i sin

19π  24

 

31π 31π   + i sin  24 24   43π 43π   2  cos + i sin  24 24  

Sehingga akar-akar tersebut dapat digambarkan sebagai berikut :

2. Tentukan semua nilai akar dari z

5

= −32

Jawab :

z

5

= −32

ini berarti z z

Jika k=0 maka : z1 Jika k=1 maka : z 2

5

Dosen : M. Hamdani

= 32{cos(π + 2)kπ ( + i sin) π + 2kπ }  π + 2kπ   π + 2kπ  = 2cos  + i sin   5    5 

( ) π5 } = 2{cos( π5) + i sin = 2{cos( 35)π + i sin ( ) 35π } - 17 -

 

Peubah Kompleks


Dosen : M. Hamdani

( ) 55π } = 2{cos( 55)π + i sin ( ) 75π } = 2{cos( 75)π + i sin ( ) 95π } = 2{cos( 95)π + i sin

Jika k=2 maka : z3 Jika k=3 maka : z 4 Jika k=4 maka : z5

3. Tentukan akar kuadrat dari :

− 15 − 8 i

Jawab : Ambil z

2

= −15 − 8 i , sehingga

− 15 − 8i

Jadi

=

17[cos(

θ + 2 kπ 2

)

z = 17[cos( ) +( k) π

z

2

= 17(cosθ + i sinθ )

Untuk k=1, maka z 2

17[cos(π

= sinθ

1 2

=

1 2

+) +(i sin) π + θ2

17 [− cos( )

− i sin ()

θ 2

(1 − cosθ )

15 17

=

θ 2

dan cos θ2

dan cos

= (1 + ) = 12 ( 1732 ) = 417

Karena

sin

]

θ 2

θ 2

]

]

− 15 − 8 i didapat tanθ = terletak di kuadrant III, sehingga : = − 178 dan cosθ = − 1715 , sedangkan sudut θ2 berada di kuadrant II

θ 2

θ 2

+(i sin) θ2 + π

8 15

Dari rumus : sin θ2

sin

θ 2

17[cos(θ2 +)π

=

= Dari

]

+ i sin + kπ ] ( ) θ2 ] z1 = 17[cos(θ)2 + i sin θ 2

Untuk k=0, maka

θ + 2 kπ 2

+(i sin)

=

θ 2

1 2

=

1 2

(1 + cosθ ) didapat

15 17

(1 − ) ( )=

=

1 2 2 17

1 17

dikuadrant II, maka didapat :

4 17

dan cos θ2

=−

1 17

Dengan demikian akan didapat :

z1

=

17 −

1 17

+i

4 17

= −1 + 4i

z2

=

17 +

1 17

−i

4 17

= +1 − 4i

Soal-soal Untuk Dikerjakan Dirumah: 1. Nyatakanlah setiap bilangan kompleks berikut dalam bentuk kutub : a) z = 2 + i

b) z =

3 − 3i 2 2

2. Tentukan akar dari bilangan kompleks berikut ini : a) (64)1/6

b) (i)

1/3

c) (i)

2/3

3. Selesaikan persamaan berikut ini : a) z4+ 8 1 = 0

b) z 6 + 1 = i 3

- 18 -

Peubah Kompleks


Dosen : M. Hamdani

4. Tentukan akar kuadrat dari : 5 − 12 i

2.2

Mencari Akar Persamaan Bilangan Kompleks

a. Persamaan Kuadrat :

Suatu persamaan kuadrat yang mengandung bilangan kompleks disebut persamaan kuadrat bilangan kompleks.

az

Bentuk Umum adalah :

2

+ bz + c = 0 , penyelesaian persamaan kuadrat tersebut dapat

dilakukan dengan menggunakan penyelesaian persamaan kuadrat seperti halnya bilangan riel. Contoh : 1.

Selesaikan persamaan kuadrat :

z

2

+ 3z + 5 = 0

Jawab :

z

2

+ 3z + 5 = 0

z1, 2

2.

=

z1

=

z2

=

−3±

9 − 4 ⋅ 1⋅ 5

−3+

2 ⋅1 −11 2

− 3 − −11 2

= − 32 + i 211

dan

= − 32 − i 211

Selesaikan persamaan kuadrat :

z

2

+ (− 3 + 2i )z + 5 − i = 0

Jawab :

z

2

+ (− 3 + 2i )z + 5 − i = 0

z1, 2

= =

− (− 3 +)2i( ± )− 3 + (2i )2 − 4 ⋅1⋅ 5 − i 2 ⋅1

(3 −)2i( ±

9 −)(12i −)4

−

20 − 4i

2

- 19 -

=

(3 − 2i ) ± −15 − 8i 2

Peubah Kompleks


− 15 − 8i = ±(1 − 4i)

Telah dicari bahwa :

z1, 2

=

(3 − 2) i( ± 1) − 4i

z1

=

(3 − 2)i( + 1) − 4i = 2 − 3i dan

z2

= (3 − 2) i( 2− 1) − 4i = 1 + i

Dosen : M. Hamdani

sehingga :

, jadi

2 2

b. Persamaan suku banyak :

Persamaan dalam bilangan kompleks dapat juga dinyatakan dalam persamaan suku banyak (polynomial). Bentuk penyelesaian juga hampir sama dengan penyelesaian persamaan polynomial bilangan riil Contoh : 1. Selesaikan persamaan :

z

5

− 2z 4 − z3 + 6z − 4 = 0

Jawab :

z 5 − 2 z 4 − z 3 + 6 z − 4 = 0 , persamaan ini mempunyai akar-akar yang mungkin yaitu:

± 1,±2,±4 Dengan pembagian sintetik didapat :

z

5

− 2z 4 − z 3 + 6z − 4 = ( z −)1( 2 z)− 2 (z 2 + 2 z + 2) = 0

Sehingga :

z1, 2

= 1,

z3 = 2 , z4

2. Selesaikan persamaan :

6z

4

= −1 + i , dan

z5

= −1 − i

− 25z 3 + 32z 2 + 3z − 10 = 0

Jawab :

6 z 4 − 25z 3 + 32z 2 + 3z − 10 = 0 , persamaan mempunyai akar-akar bulat 6 dan -10, sehingga akar-akar yang mungkin yaitu :

± 1,±2,±3,±6

dan

± 1,±2,±5,±10

Dengan pembagian sintetik didapat :

6z

4

− 25z 3 + 32z 2 + 3z −10 = (6 z 2 − z −)( 2

- 20 -

z

2

− )4 z + 5

Peubah Kompleks


= (2 z +)(1 Sehingga didapat : Dari

(z

z3, 4

=

z3

2

z1

= − 12 ,

z2

(

3z )− 2 z

Dosen : M. Hamdani 2

− 4 z + 5) = 0

= 23 ,

− 4 z + 5) = 0 didapat

4 ± 16 − 4 ⋅1⋅ 5 2

= 2+i

dan

z4

= 2±i

= 2−i

Soal-soal : 1. Selesaikan persamaan :

3z

2

+ 4z + 1 = 0

2. Selesaikan persamaan kuadrat :

2.3

z

2

+ (3 − 2i )z − 5 + i = 0


z

4

+ z 2 +1 = 0


z

4

− z 2 + 16 = 0

Tempat Kedudukan Pada Bidang Kom,pleks

Telah diketahui bahwa bila z

=1,

maka x + iy

=1,

sehingga x

2

+ y 2 = 1 , persamaan

merupakan tempat kedudukan semua titik pada bidang kompleks yang memenuhi merupakan lingkaran dengan pusat di (0,0) dan jari-jari=1. Bentuk

z

=

1

z

Contoh : Tentukan TK. Titik-titik yang memenuhi

3.

z + 3 + 2i

=1

zz − 2 z − 2 z − 8 = 0

2.

z − 4 − 3i z −3

4.

z +3

=2

=2

Penyelesaian : 1. z + 3 + 2i

= 1 , ini berarti x + iy + 3 + 2i = 1

- 21 -

1,

serta

disebut lingkaran

satuan (unit circle).

1.

=

ini

atau ( x + 3) + i ( y + 2 )

=1

Peubah Kompleks


( x )3 (

2

Jadi :

+

+

)y

+

2

2

=1

, sehingga ( x +)3 (

2

Dosen : M. Hamdani

+ )y + 2

2

=1

Dengan demikian TK merupakan lingkaran dengan pusat (-3,-2), dan 2.

z − 4 − 3i

= 2 , ini berarti x + iy − 4 − 3i = 2 atau

(x )4 (

Jadi :

2

−

+

)y

−

3

2

=

2,

sehingga

(x )4 ( −

2

( x − 4) + i( y − 3) +

)y

−

3

2

Dengan demikian TK merupakan lingkaran dengan pusat (4,3), dan 3.

zz − 2 z − 2 z − 8 = 0 , atau

x

2

ini berarti

+ y2 − 4x − 8 = 0

z −3 z +3

= 2,

( x − 3) + iy

ini

, sehingga

4

jari-jari=2

( x − 2)2 + y 2 = 12

z −3

berarti

=

=2

( x + iy)( x − iy) − 2( x + iy) − 2( x − iy) − 8 = 0

Dengan demikian TK merupakan lingkaran dengan pusat (2,0), dan

4.

jari-jari=1

= 2 z + 3 dengan

jari-jari = 2

demikian

3

maka

= 2 ( x + 3) + iy , sehingga

( x − 3)

2

+ y2 = 2

( x + 3)

2

+ y2

( x − 3) 2 + y 2

= 4{( x + 3)2 + y 2} 2 2 2 2 x − 6 x + 9 + y = 4{x + 6 x + 9 + y }

3x

2

+ 3 y 2 + 30x + 27 = 0 atau

Sehingga didapat ( x

x

2

+ y 2 + 10x + 9 = 0

+ 5)2 + y 2 = 16 , ini merupakan lingkaran dengan pusat di (-5,0), dan

jari-jari =4

Soal-soal : Tentukan TK. Titik-titik yang memenuhi 1.

z + 6 + 4i

2.

=2

z − 3 − 4i z +5

3.

zz − 3z − 3z − 10 = 0

4.

z −5

5.

zz + (1 + 2i) z + (1 − 2i) z + 1 = 0

6.

z+2

- 22 -

=2

=2 − z−2 =3

Peubah Kompleks


Dosen : M. Hamdani

B A B III FUNGSI KOMPLEKS

3.1

Fungsi Kompleks

Suatu fungsi peubah yang bilangan peubahnya merupakan peubah kompleks disebut fungsi peubah kompleks. Sebagai contoh jika w adalah fungsi dari z, maka dapat ditulis w=f(z). Peubah z dinamakan suatu peubah bebas sedangkan w dinamakan peubah tak bebas.

Jika w = f(z), maka nilai fungsi tersebut pada z = a dapat ditulis f(a). Dengan demikian jika 2

2

f(z) = z , maka dapat dicari f(2i) = (2i) 2

= 4.i = -4

f(1-2i) = (1-2i)

2

= 1-4i-4 = -3-4i Contoh : 1. Jika w = f(z) =

1+z

(z≠1), Tentukanlah a) f(i)

b) f(2 – i)

c) f(-2 + 2i)

1−z Jawab : a) f(i) =

1+ i 1+ i . 1−i 1+ i

b) f(2 – i) =

c)

=

1 + 2i + i2 2

1

2

+1

=

1 + 2i - 1 2

1+2- i 3-i 3- i = = 1 − (2 - i) 1 - 2 + i - 1 + i

f(-2 + 2i) =

=

=

2i 2

=i

- 1 − i - 3 - 3i + i + i2 - 4 - 2i = = =-2-i -1 − i 2 (-1)2 + 12

1 + (-2 + 2i) 1 - 2 + 2i - 1 + 2i 3 + 2i - 3 - 2i + 6i - 4 − 7 + 4i = = . = = 1 − (-2 + 2i) 1 + 2 - 2i 3 - 2i 3 + 2i 13 32 + 22

−7 13

+

4 i 13

2. Jika w = f(z) = z(2 – z), tentukan nilai w bila

a) z = 1 + i 2

b) z = 2 – 2i 2

Jawab : a) f(1 + i) = (1 + i)(2 – (1 + i)) = (1 + i)(1 – i) = 1 - i = 1+1= 2 b) f( 2 – 2i) = ( 2 – 2i)(2 - ( 2 – 2i)) = ( 2 – 2i)(2i) = 4i – 4i2 = 4i + 4 3. Jika f(z) =

( 2z + 5) (5z - 4)

, Tentukan

f(2 + 3i)

- 23 -

Peubah Kompleks


Jawab : f(2 + 3i) =

{2(2 + 3i) + 5} 4 + 6i + 5 9 + 6i 6 − 15i = = {5(2 + 3i) - 4} 10 + 15 i - 4 6 + 15 i 6 − 15i =

54

(5z + 5)

4. Jika w = f(z) =

Dosen : M. Hamdani

+ 90 - 135i + 36i 144 - 99i 144 = = − 2 2 261 261 6 + 15

99i 261

; tentukan nilai z bila f(z) = 2 – 3i

(3z - 4)

Jawab :

(5z + 5) (3z - 4)

= 2 – 3i



5z + 5 = (2 – 3i)(3z – 4)

Jadi 5z + 5 = 6z – 9iz – 8 + 12i 5z – 6z + 9iz = -8 + 12i – 5  -z + 9iz = -13 + 12i z(-1 + 9i) = -13 + 12i, sehingga z=

= 3.2

- 13 + 12i - 1 + 9i

×

121 + 105i 82

- 1 - 9i - 1 - 9i

=

=

13 + 108 + 117i - 12i (-1) 2

+ 92

121 105i 82

+

82

Fungsi Kompleks Bernilai Tunggal Dan Banyak

Jika w=f(z) mempunyai harga yang sama untuk setiap nilai dari z yang diberikan, maka dikatakan bahwa w adalah suatu fungsi bernilai tunggal . Sedangkan jika w=f(z) mempunyai lebih dari satu nilai untuk setiap nilai dari z yang diberikan, maka dikatakan bahwa w adalah suatu fungsi bernilai banyak. 2

Contoh 1. Jika w = z , maka pada setiap nilai z terdapat hanya satu nilai w. Karena itu w=f(z) = z2 adalah suatu fungsi bernilai tunggal dari z. 1/2

Contoh 2. Jika w = z , maka pada setiap nilai z terdapat dua nilai w. Karena itu w = f(z) = z

1/2

adalah suatu fungsi bernilai banyak dari z. Bila w = f(z), dimana z=x+iy, maka f(x+iy)= u(x,y)+i v(x,y), dimana u(x,y) adalah Re w dan v(x,y) adalah Im w Contoh : 1. Tentukan u(x,y) dan v(x,y) dari :

a.

w = 2z

2

− 3z −10

b.

w = 2z

2

+ 4z −1

Penyelesaian :

- 24 -

c.

w=

2z + 1 3z − 2

Peubah Kompleks

a.

w = 2z

2


− 3z − 10 , ini berarti

w = 2( x + iy)

2

Dosen : M. Hamdani

− 3( x + iy) − 10

= 2( x 2 + 2ixy − y 2 ) − 3( x + iy) −10 = (2 x 2 − 2 y 2 − 3x − 10) + i(4 xy − 3 y) u( x, y) = 2 x

Jadi :

b.

w = 2z

2

2

v( x, y) = 4 xy − 3 y

− 2 y 2 − 3x − 10 dan

+ 4 z −1 , ini berarti

w = 2( x + iy)

2

+ 4( x + iy) − 1

= 2( x 2 + 2ixy − y 2 ) + 4( x + iy) − 1 = (2 x 2 − 2 y 2 + 4x −1) + i(4 xy + 4 y) u( x, y) = 2 x

Jadi :

c.

w=

2

− 2 y 2 + 4x −1 dan v( x, y) = 4 xy + 4 y)

2z + 1 3z − 2

sehingga : w

, ini berarti

2( x + iy) + 1 atau

3( x + iy) − 2

w=

2 x + 1 + 2iy 3x − 2 + 3iy

= 2 x + 1 + 2iy × 3x − 2 − 3iy 3x − 2 + 3iy 3x − 2 − 3iy =

Jadi :

w=

(2 x + 1)(3x − 2) − (2 x + 1)3iy + (3x − 2)2iy + 6 y (3x − 2)

=

(6 x

u( x, y) =

6x

2

2

2

+ 9 y2

− x − 2) + 6 y 2 − 7iy 2 2 (3x − 2) + 9 y

+ 6 y2 − x − 2 2 2 (3x − 2) + 9 y 2

dan

v( x, y) =

2. Tentukan u(x,y) dan v(x,y) dari : a) f(z) = 2z2 – 3iz

−7y 2 2 (3x − 2) + 9 y

b) f(z) = z + 1/z

2

Jawab : a) f(z) = 2z – 3iz; z = x + iy sehingga f(z) = 2(x + iy)2 – 3i(x + iy) 2

2 2

2

2

2

f(z) = 2(x + 2ixy + i y ) – 3ix – 3i y = 2x + 4ixy – 2y – 3ix + 3y f(z) = 2x2 – 2y2 + 3y + 4ixy – 3ix = (2x2 –2y2 + 3y) + i(4xy – 3x) sehingga : u(x,y) = 2x 2 – 2y2 + 3y dan v(x,y) = 4xy – 3x

- 25 -

Peubah Kompleks


Dosen : M. Hamdani

b) f(z) = z + 1/z, ini berarti f(z) = (x + iy)+1/(x + iy)

f ( z) =

f ( z) =

( x + iy)

2

+1

x + iy

{x( x

2

⇒

f ( z) =

(x

2

− y 2 + 1) + i 2xy x − iy × x + iy x − iy

− y 2 + 1) + 2xy2} + i{ y( x 2 − y 2 + 1) + 2x 2 y} 2 2 x +y

Sehingga

u ( x, y) = 3.3

:

{x( x

2

− y 2 + 1) + 2 xy2} dan 2 2 x +y

v( x, y) =

{ y( x

2

− y 2 + 1) + 2 x 2 y} 2 2 x +y

Fungsi Pangkat Kompleks

Fungsi pangkat didefinisikan sebagai : z

x+iy

w=e =e

x

iy

x

= e . e = e (cosy + i sin y), dimana e = 2,71828…… adalah bilangan

dasar logaritma natural (ln) Sifat fungsi pangkat bilangan kompleks sama dengan fungsi pangkat bilangan riil. Sebagai z

contoh : e 1 .e

z2

= e z1 +

z2

e

,

z

e 3.4

z1

= e z1 − z2

2

Fungsi Trigonometri Kompleks

Fungsi trigonometri sin z, cos z dan seterusnya dapat didefinisikan dalam suku-suku fungsi pangkat sebagai berikut :

cos z =

eiz + e- iz 2

sin z =

sin2 z + cos2 z = 1 2

sin(-z) = - sin z

2

1 + tan z = sec z 2

cos(-z) = cos z

2

1 + cot z = cosec z

3.5

eiz - e- iz 2i

tan(-z) = - tan z

Fungsi Hiperbolik Kompleks

Fungsi Hiperbolik didefinisikan sebagai :

cosh z =

e z + e- z 2

sinh z =

- 26 -

e z - e- z 2

Peubah Kompleks


cosh2 z - sinh2 z = 1 2

sinh(-z) = - sinh z

2

1 - tanh z = sech z 2

Dosen : M. Hamdani

cosh(-z) = cosh z

2

coth z - 1 = cosech z

tanh(-z) = - tanh z

Berikut ini adalah hubungan yang ada diantara fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik. Sin iz = i sinh z

cos iz = cosh z

sinh iz = i sin z

cosh iz = cos z

tan iz = i tanh z

tanh iz = i tan z

Soal-soal : Tentukan u(x,y) dan v(x,y) dari : a.

w = 2( z − 1)

c.

w=

2

− 3( z − 2) − 10 b.

2 z + 3i 3z − 2i

d.

w = 2( z + i)

w = 2e

2z

2

− 3e z −1

- 27 -

+ 4( z − 2i) − 1 e.

w=2

3z

− 3z − 1

Peubah Kompleks


Dosen : M. Hamdani

B A B IV LIMIT DAN TURUNAN FUNGSI KOMPLEKS

4.1

Limit Fungsi Kompleks

Bila f(z) terdefinisi dan bernilai tunggal dalam suatu lingkungan dari z = z o kecuali pada z = z o , maka dikatakan bahwa L adalah limit dari f(z) untuk z mendekati z o dan ditulis

f ( z) = L lim > z-- zo

jika untuk setiap bilangan positif ε (bilangan kecil sekali) dapat ditentukan suatu bilangan positif

δ sehingga f(z) - L < ε maka

0

<

z - z0

f ( z ) = L , bila memenuhi lim >

Jadi:

<δ

f(z) - L

< ε ⇒ 0〈 z - z 0 〈δ

(3 - i)

- 4 - 2i

z-- zo

Contoh-contoh soal.

1. Hitunglah : lim z -- >2 +i

Jawab : 1−z

lim

z- - > 2 + i 1

2. Carilah : Jawab :

+z

=

1

−z

1+z

1 - ( 2 + i) 1 + (2 + i)

=

−1 - i (3 + i)

×

(3 - i)

=

10

 z2 + 4    z →2i z i 2   −  lim

 z2 + 4   

 ( z + 2i )( z − 2i)   z − 2i 

 =  lim z − 2i  lim → →  z

2i

z

2i

= lim ( z + 2i ) = (2i + 2i ) = 4i z →2i

- 28 -

= −0,4 − 0,2i

Peubah Kompleks

3. Tentukan :


Dosen : M. Hamdani

 z 2 − z +1− i   2  lim z →1+ i  z − 2 z + 2 

Jawab :

 z 2 − z + 1 − i   (1 + i ) 2 − (1 + i) + (1 − i )    =  2 2 1 i  z − 2z + 2   (1 + i) − 2(1 + i) + 2 

 lim →+ z

 1 + 2i − 1 − 2i  0

=  1 + 2i − 1 − 2i  = 0 , karena hasil ini adalah tak tentu, maka digunakan  dalil L’Hospital sbb :

f (z)

lim → g ( z) z

a

 = lim z →a

'

f ( z)

f ( z)

bila

'

g (z)

g ( z)

0

= atau 0

∞ ∞

Dengan demikian akan didapat :

 z 2 − z +1− i  2z 1  = lim  −  2 1 i  z − 2z + 2  z →1+ i  2 z − 2 

 lim →+ z

 2(1 + i) − 1  1 + 2i  = =  = 1 − 12 i  2(1 + i) − 2  2i Soal : 2

1. Hitunglah :

z

4.2

2

 z −z −4 z5− 5  lim →  

2. Carilah :

5

 z − 2 z + 2  lim → +  z − z +1− i  2

z

1 i

Turunan Fungsi Kompleks

 f ( z + ∆z ) − f ( z )   , sehingga ∆z  

Turunan fungsi kompleks f(z) didefinisikan sebagai : f ' ( z ) = lim  ∆z →0

 f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 )   ∆z  

turunan f(z) pada z=z0 adalah : f ' ( z 0 ) = lim  ∆z →0

Bila

∆z = z − z 0 , maka



f ' ( z 0 ) = lim  z → z0

f ( z ) − f ( z0 ) 



z − z0

 

Sifat-sifat dan rumus-rumus turunan pada fungsi riel, juga berlaku pada turunan fungsi kompleks.

Contoh : 1. Tentukan f ' ( z ) dari : a. f ( z ) = 4 z 2 − 3 z + 1 c. f ( z ) = 4e

2z

− 3 +1 z

- 29 -

b. f ( z ) =

3z + 2 2z −1

d. f ( z ) = 4 sin 2 z − 3 cos z + 1

Peubah Kompleks


Dosen : M. Hamdani

Penyelesaian : a. f ( z ) = 4 z 2 − 3 z + 1 , maka f ' ( z ) = 8 z − 3 b. f ( z ) =

3z + 2 2z −1

, maka f ' ( z ) =

= c. f ( z ) = 4e

− 3 + 1 , maka

2z

z

3( 2 z − 1) − (3 z + 2) 2 (2 z − 1) 2

6z − 3 − 6z − 4 (2 z − 1)

2

f ( z ) = 8e 2 z '

=

−7 (2 z − 1) 2

− 3 z ln 3

d. f ( z ) = 4 sin 2 z − 3 cos z + 1 , maka f ' ( z ) = 8 sin z cos z + 3 sin z

= 4 sin 2 z + 3 sin z 2. Bila f ( z ) = ( z 2

− 4) 3 , tentukan : a.

b. f ' (1 − 2i )

f ' ( 4)

Jawab : a. f ( z ) = ( z 2

− 4) 3 , maka

f ' ( z ) = 3( z 2

− 4) 2 ( 2 z ) ,

jadi f ' ( 4) = 3(4 2 − 4) 2 ( 2 ⋅ 4) = 3 ⋅144 ⋅ 8 = 3456

b. f ( z ) = ( z 2

− 4) 3 , maka

f ' ( z ) = 3( z 2

− 4) 2 ( 2 z ) ,

jadi f ' (1 − 2i ) = 3{(1 − 2i ) 2 − 4}2 {2(1 − 2i )}

= 3(1 − 4i − 4 − 4) 2 (2 − 4i)

= 3( −7 − 4i ) 2 ( 2 − 4i ) = 3( 49 + 56i + 16)( 2 − 4i )

= 3(65 + 56i )( 2 − 4i ) = .......... . Soal-Soal Untuk Dikerjakan Dirumah: 1. Tentukan f ' ( z ) dari : a. f ( z ) = 4( z − 2) 2 − 3( z + 1) + 2 c. f ( z ) = 4e

3( z −1)

−3

2 z −4

2. Bila f ( z ) = ( z 2 − 3 z − 4) 3 , tentukan : a. f ' ( −1)

- 30 -

+1

b. f ( z ) =

3( z − 1) + 2 2 ( z + 2) − 1

d. f ( z ) = 4 arcsin z − 3 cos(2 z + 1)

b. f ' (1 + i )

c. f ' ( −1 + 2i )

Peubah Kompleks


Dosen : M. Hamdani

BAB V FUNGSI ANALITIS DAN FUNGSI HARMONIS

5.1 Fungsi Analitis

Suatu fungsi kompleks f ( z ) dikatakan analitis pada z = z0 bila fungsi tersebut terdefinisi dan mempunyai turunan pada setiap titik disekitar z (pada daerah domain D) Bila f ( z ) = u ( x, y ) + i v( x, y ) merupakan fungsi analitis pada daerah D, maka f ( z ) akan mempunyai turunan pada bidang kompleks sebagai berikut :

f ' ( z ) = lim ∆z → 0

sehingga

∆z = ∆x + i ∆y , maka akan didapat :

f ' ( z ) = lim ∆x → 0 ∆y → 0 1) ambil

f ( z + ∆z ) − f ( z ) , karena f ( z ) = u ( x, y ) + i v( x, y ) , dan z = x + i y ∆z

{u ( x + ∆x, y + ∆y ) + i v( x + ∆x, y + ∆y )} − {u ( x, y ) + iv( x, y )} ∆x + i∆y

∆x → 0 dan ∆y = 0 , sehingga didapat : {u ( x + ∆x, y) + i v( x + ∆x, y)} − {u ( x, y) + iv( x, y)}

f ' ( z ) = lim

∆x

∆x → 0

= lim ∆x → 0

{u( x + ∆x, y ) − u ( x, y)} + i{ v( x + ∆x, y) − v( x, y)} ∆x

= ∂u + i ∂v ∂x ∂x Jadi : f ' ( z ) = ∂u

∂x

+ i ∂v ∂x

…… ……………………. (1)

∆x = 0 dan ∆y → 0 , sehingga didapat : {u ( x, y + ∆y) + i v( x, y + ∆y)} − {u ( x, y) + iv( x, y)} f ' ( z ) = lim i ∆y

2) ambil

∆y → 0

- 31 -

Peubah Kompleks

= lim ∆y → 0


Dosen : M. Hamdani

{u ( x, y + ∆y) − u( x, y )} + i{ v( x, y + ∆y) − v( x, y)} i∆y

= 1 ∂u + ∂v i ∂y ∂y Jadi : f ' ( z ) = ∂v

∂y

− i ∂u ∂y

…… ……………………. (2)

∂u = ∂v ∂x ∂y

Dari (1) dan (2) didapat :

dan

∂v = − ∂u ∂x ∂y

Kedua persamaan ini disebut persamaan Cauchy-Riemann, yang merupakan syarat agar fungsi f ( z ) merupakan fungsi analitis.

Contoh : 1. Tentukan apakah fungsi berikut merupakan fungsi analitis : a. f ( z ) = z 2 b. f ( z ) = z + 2 Jawab : 2

2

a. f ( z ) = z , maka f ( z ) = ( x + iy ) dan v( x, y ) = 2 xy . Jadi :

2

2

=x −y

2

2

+ i 2 xy , sehingga : u ( x, y) = x − y

∂u = 2 x dan ∂u = −2 y ∂x ∂y

∂v = 2 y ∂x

dan

∂v = 2 x ∂y

Dengan demikian maka

∂u = ∂v ∂x ∂y

dan

∂v = − ∂u , sehingga f ( z ) = z 2 ∂x ∂y

fungsi analitis

b. f ( z ) = z + 2 , maka f ( z ) = x − iy + 2 = x + 2 − iy , sehingga : u ( x, y ) = x + 2 dan

v ( x, y ) = − y . Jadi :

∂u = 1 dan ∂u = 0 , selain itu ∂v = 0 dan ∂v = −1 ∂x ∂y ∂x ∂y

Dengan demikian maka

∂u ≠ ∂v ∂x ∂y

dan

merupakan fungsi analitis

- 32 -

∂v = − ∂u , ∂x ∂y

sehingga f ( z ) = z + 2 bukan

Peubah Kompleks


Dosen : M. Hamdani

2. Tentukan fungsi analitis f ( z ) Bila Re f ( z ) = x 2 − y 2 − x Jawab : Misalkan fungsi analitis yang diminta adalah f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y )

Re f ( z ) = x 2 − y 2 − x , ini berarti bahwa u ( x, y ) = x 2 − y 2 − x . Karena merupakan fungsi analitis maka berlaku :

f ( z)

∂u = ∂v ⇒ 2 x −1 = ∂v , sehingga : ∂x ∂y ∂y

v( x, y) = ∫ (2 x −1)dy

= 2 xy − y + f ( x) Selain itu berlaku pula

∂v = − ∂u ⇒ 2 y + f ' ( x) = 2 y ∂x ∂y

sehingga f ' ( x) = 0 ⇒ f ( x) = c

Jadi fungsi analitis yang diminta adalah : f ( z ) = ( x 2 − y 2 − x) + i (2 xy − y + c) Sehingga f ( z ) = ( x 2 − y 2 − x) + i (2 xy − y + c)

Soal-soal 1. Tentukan apakah fungsi berikut merupakan fungsi analitis : a. f ( z ) = z 2 + 1 b. f ( z ) = z 2. Tentukan fungsi analitis f ( z ) Bila Re f ( z ) = x 2

− y 2 − 2 xy − 2 x + 3 y

3. Tentukan fungsi analitis f ( z ) Bila Im f ( z ) = 4 xy − x 3 + 3 xy 2

5.2

Fungsi Harmonis

Telah diketahui persamaan Cauchy-Rieman adalah:

dari

∂∂ux = ∂∂yv

didapat

∂ 2u2 = ∂∂x2∂vy , ∂x

dengan demikian diperoleh :

dan dari

∂u = ∂v ∂x ∂y

∂∂uy = − ∂∂vx

dan

∂v = − ∂u ∂x ∂y

didapat

∂ 2u2 = − ∂∂y2∂vx ∂y

∂ 2u + ∂ 2u = 0 . Selain itu juga berlaku bahwa ∂x 2 ∂y 2

- 33 -

Peubah Kompleks

dari


∂v = − ∂u ∂x ∂y

didapat

∂ 2 v = − ∂ 2u , ∂x∂y ∂x 2

dengan demikian diperoleh :

dan dari

∂v = ∂u ∂y ∂x

Dosen : M. Hamdani

∂ 2 v = ∂ 2u ∂y 2 ∂y∂x

didapat

∂ 2v + ∂ 2v = 0 ∂x 2 ∂y 2

Jadi secara umum dapat ditulis sebagai :

∂ 2y ∂ 2y + = 0 , persamaan ini disebut persamaan ∂x 2 ∂y 2

Laplace, sedangkan y ( z ) disebut fungsi harmonis. Persamaan

Laplace

dapat

pula

ditulis

2 2 ∇ = ∂ + ∂ dan ∇2 = ∂ + ∂ , dengan 2 ∂x ∂y ∂x ∂y 2

sebagai

:

∇ 2y = 0 ,

dimana

∇ dibaca sebagai del.

Dengan demikian y ( z ) disebut fungsi harmonis bila memenuhi persamaan Laplace.

Contoh soal : Tunjukkanlah bahwa fungsi-fungsi berikut merupakan fungsi harmonis 2. f ( x, y ) = x 2 − y 2 − 2 xy − 2 x + 3 y

1. f ( x, y ) = 2 y (1 − x) Penyelesaian : 1. f ( x, y ) = 2 y (1 − x) , maka

∂f ( x, y) ∂ 2 f ( x, y) = −2 y ⇒ =0 ∂x ∂x 2 ∂f ( x, y) ∂ 2 f ( x, y) =0 = 2(1 − x) ⇒ ∂y ∂y 2

Jadi :

∂ 2 f ( x, y) + ∂ 2 f ( x, y) = 0 , ∂x 2 ∂y 2

sehingga f ( x, y ) = 2 y (1 − x) f.harmonis

2. f ( x, y ) = 3 x 2 − y 2 − 3xy − 2 x + 3 y , jadi

∂f ( x, y)

= 6x − 3 y − 2 ⇒

∂x

∂ 2 f ( x, y)

=6

∂x 2

∂f ( x, y) ∂ 2 f ( x, y) = −2 y − 3x + 3 ⇒ = −2 , Jadi : ∂y ∂y 2

∂ 2 f ( x, y) + ∂ 2 f ( x, y) = 4 , ∂x 2 ∂y 2

sehingga f ( x, y ) = x 2 − y 2 − 2 xy − 2 x + 3 y adalah bukan

- 34 -

Peubah Kompleks


Dosen : M. Hamdani

fungsi harmonis

3. (a) Buktikan bahwa u ( x, y ) = 2 x(1 − y ) merupakan fungsi harmonis (b) Tentukan v( x, y ) sehingga f ( z ) = u ( x, y ) + i v( x, y ) adalah fungsi analitis (c) Nyatakan f ( z ) kedalam suku-suku yang mengandung z Penyelesaian : (a) u ( x, y ) = 2 x(1 − y ) , maka

sehingga

∂ 2u = 0 . ∂y 2

Jadi

∂u = 2(1 − y) ∂x

∂ 2u + ∂ 2 u = 0 . ∂x 2 ∂y 2

sehingga

∂ 2u = 0 . ∂x 2

selain itu

∂u = −2 x ∂y

Dengan demikian u ( x, y ) = 2 x(1 − y ) adalah

merupakan fungsi harmonis (b) Karena f ( z ) = u ( x, y ) + i v( x, y ) adalah fungsi analitis, maka berlaku :

∂u = ∂v ⇒ 2(1- y) = ∂v , ∂x ∂y ∂y

sehingga v( x, y ) = ∫ 2(1 − y )dy

= 2y − y2 + Selain

itu

harus

berlaku

pula

f ( x)

∂v = − ∂u ⇒ f ' ( x) = 2 x , ∂x ∂y

sehingga

f ( x) = ∫ 2 xdx = x 2 + c , maka v( x, y ) = 2 y − y 2 + x 2 + c . Dengan demikian fungsi analitis adalah : f ( z ) = 2 x(1 − y ) + i (2 y − y 2

+ x 2 + c)

(c) diketahui bahwa : f ( z ) = u ( x, y ) + i v( x, y ) atau f ( x + iy ) = u ( x, y ) + i v( x, y ) ambil y = 0 sehingga : f ( x) = u ( x,0) + i v( x,0) gantilah x dengan z sehingga : f ( z ) = u ( z ,0) + i v( z ,0) jadi

f ( z ) = 2 z (1 − 0) + i (0 − 0 + z 2 )

dengan demikian didapat f ( z ) = 2 z + i z 2 Soal-soal : 1. (a) Buktikan : u ( x, y ) = e − x ( x sin y − y cos y ) merupakan fungsi harmonis (b) Tentukan v( x, y ) sehingga f ( z ) = u ( x, y ) + i v( x, y ) adalah fungsi analitis

- 35 -

Peubah Kompleks


(c) Nyatakan f ( z ) kedalam suku-suku yang mengandung z 2. Pertanyaan sama dengan soal 1 bila : a. u ( x, y ) = 3x 2 y + 2 x 2 − y 3 − 2 y 2 b. u ( x, y ) = e

− 2 xy

sin( x 2 − y 2 )

- 36 -

Dosen : M. Hamdani

Peubah Kompleks


Dosen : M. Hamdani

B A B VI GRADIENT, DIVERGENSI, ROTASI, LAPLACIAN PADA FUNGSI KOMPLEKS

Telah

diketahui

bahwa

z = x + iy dan z

:

= x − iy ,

z + z = 2 x dan z − z = 2iy , dengan demikian maka :

sehingga

didapatlah

x = 1 ( z + z ) dan 2

y=

1

(z − z)

2i

dapat ditulis bahwa :

A( x, y ) = A 1 ( z + z ), 1 ( z − z ) 2 = F ( z, z )



2i

Jadi bila : F = F ( z, z ) dan z

= x + iy

dan z

= x − iy , maka didapat:

∂F = ∂F ∂z + ∂F ∂z dan ∂F = ∂F ∂z + ∂F ∂z ∂x ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂y Karena

∂z = 1 dan ∂z = 1 , ∂ ∂ x

maka dapat diperoleh:

x

x

Selain itu pula karena :

∂z = i dan ∂z = −i ∂y ∂y

∂F = ∂F + ∂F ∂ ∂ ∂

, maka didapat :

Dengan demikian dapat diperoleh :

z

z

∂F = i ∂F − i ∂F ∂y ∂z ∂z

∂ = ∂ + ∂ ∂x ∂z ∂z

dan

∂ =i ∂ − ∂  ∂y  ∂z ∂z 

Telah diketahui pula bahwa operator Differensial kompleks adalah sebagai berikut:

∇ = ∂ +i ∂ ∂x ∂y

dan

∇ = ∂ −i ∂ ∂x ∂y

, dengan mensubsitusi nilai :

∂ dan ∂ ∂x ∂y

diatas maka

akan didapat :

∇ = ∂ + ∂ + i. i  ∂ − ∂  , sehingga diperoleh : ∇ = 2 ∂∂z , dilain pihak telah ∂z ∂z  ∂z ∂z  diketahui pula bahwa :

∇ = ∂ + ∂ − i. i  ∂ − ∂  , sehingga diperoleh : ∇ = 2 ∂ ∂z ∂z ∂z  ∂z ∂z 

- 37 -

Peubah Kompleks


Dosen : M. Hamdani

Dari penjabaran diatas maka dapat ditulis bahwa : Bila A = P( x, y ) + iQ( x, y ) , maka Gradient dapat ditulis sebagai:

∇A =  ∂ + i ∂  [P( x, y ) + iQ( x, y )]  ∂x ∂y  =  ∂P − ∂Q  + i  ∂P + ∂Q   ∂x ∂y   ∂y ∂x  Sedangkan Bila A = F ( z, z ) , maka :

∇A = 2 ∂A ∂z

DIVERGENSI didefinisikan sebagai : diperoleh

∇ • A =  ∂P + ∂Q   ∂x ∂y 

dan

∇ A = 2 ∂A ∂z

∇ • A = Re ∇ A

atau

dengan demikian maka akan

∇ • A = 2 Re  ∂A   ∂z 

∇ × A = Im{∇ A

ROTASI didefinisikan sebagai :

 ∂Q ∂P  A ∇ × =  ∂x − ∂y  atau

dan

∇ A =  ∂ − i ∂  [P( x, y ) + iQ( x, y)]  ∂x ∂y  =  ∂P + ∂Q  + i  ∂Q − ∂P   ∂x ∂y   ∂x ∂y 

dengan demikian akan diperoleh

 ∂A  ∇ × A = 2 Im ∂z 

LAPLACIAN didefinisikan sebagai

∇2 A = Re{∇ ∇A} dengan demikian akan diperoleh

  ∇2 A = Re ∂ − i ∂  ∂ + i ∂  A x y x y ∂ ∂ ∂ ∂     2 2 ∇2 A = ∂ A + ∂ A ∂x 2 ∂y 2

sehingga :

2

atau

∇2 A = 4 ∂ A ∂z∂z

Contoh Soal : 1.

Jika F ( x, y ) = 5 xy − ix 2 y 3 , tentukan a) grad F c) Rot F Jawab :

F ( x, y ) = 5 xy − ix 2 y 3

- 38 -

b) div F d) Laplacian F

Peubah Kompleks


a. Gradient F :

Dosen : M. Hamdani

∇F =  ∂P − ∂Q  + i  ∂P + ∂Q   ∂x ∂y   ∂y ∂x  = [ ∂ (5 xy) − ∂ (− x 2 y 3 )] + i [ ∂ (5xy) + ∂ (− x 2 y 3 )] ∂x ∂y ∂y ∂x = (5 y + 3x 2 y 2 ) + i(5 x − 2 xy3 )

b. Divergensi F :

∇ • F =  ∂P + ∂  ∂x ∂y Q

  = ∂ (5 xy) + ∂ (− x 2 y 3 ) ∂x ∂y 2 2 = (5 y − 3x y ) c. Rotasi F :

∇ × F =  ∂Q − ∂P   ∂x ∂y  = ∂ (− x 2 y 3 ) − ∂ (5xy) ∂x ∂y 3 = (−2 xy − 5 x)

d. Laplacian F :

∇2 F = ∂

2

F

∂x

2

+∂

2

F 2

∂y

2 2 = ∂ 2  5 xy − ix 2 y 3  + ∂ 2  5 xy − ix 2 y 3   ∂y   ∂x  = ∂  5 y − i 2 xy 3  + ∂  5 x − i3x 2 y 2  ∂x   ∂y  

= −i ( 2 y 3 − 6 x 2 y ) 2. Jika A( z , z ) = 3z 2 + 4 z , tentukan

a) grad A

b) div A

c) Rot A

d) Laplacian A

Jawab :

a. grad A :

∂A A 2 ∇ = ∂z = 2 ∂  3z 2 + 4 z  ∂z   =8

- 39 -

Peubah Kompleks

b. div A :


∇ • A = 2 Re ∂A   ∂z  = 2 Re[ ∂  3z 2 + 4 z ] ∂z   = 12 Re( z ) = 12 x

c. rot A :

∇ × A = 2 Im ∂A   ∂z  = 2 Im[∂∂z  3z 2 + 4 z ] 



= 12 Im(z ) = 12 y d. Laplacian :

2

∇2 A = 4 ∂ A ∂z∂z 2 = 4 ∂  3z 2 + 4 z  ∂z∂z   ∂ = 4 (4) ∂z

=0

Soal-soal : 1. Jika F ( x, y ) = (5 xy − 4 x) − i ( x 2 y 3 + 3y) , tentukan : a) grad F b) div F c) Rot F 2. Jika A( z, z ) = 3z z 2 + 4 z − 6 z , tentukan : a) grad A b) div A c) Rot A

- 40 -

d) Laplacian F

d) Laplacian A

Dosen : M. Hamdani

Materi Peubahkompleks (Sd UTS)

Recommend Documents