W N
PRZYKŁADY PRZYKŁ ADY WIELOMIAN WIELOMIANÓW ÓW Obok zapisano kilka prostych wyrażeń algebraicznych algebraic znych z jedną zmienną.
Przykłady jednomianów:
Wyrażeni Wy rażeniee postaci axn , gd gdzi ziee a ∈ , n ∈ , nazywamy jednomianem zmiennej x. Gdy a = 0, li licz czbę bę na natu tura raln lnąą n nazywamy stopniem jednomianu.
4x16
−3m5
√
2 y 3
−3 2 t 101
Uwaga. Jednomianami nazywamy także wyrażenia, rażen ia, w który których ch występ występuje uje więcej zmien3 5 6 2 3 nych, np. 3x y , ab , 5 m n . Nie będziemy się nimi jednak zajmować w tym rozdziale.
√
Zauważ, że liczby rzeczywiste różne od zera, np. 3, −0,7 i 2, to jednomiany stopnia zerowego, gdyż można je przedstawić w postaci odpowiednio: √ 0 0 0 3x , −0,7x i 2x . Jednomiany Jednomia ny oraz ich sumy nazywamy nazywamy wielom wielomianami. ianami. Wielomianem stopnia
n zmiennej x na-
zywamy wyrażenie postaci:
Przykłady wielomianów:
an xn + an−1 xn−1 + ... + a2 x2 + a1 x + a0 ,
4x5 + 11x3 + 7
gdzie współczynniki an , an−1 , ..., a2 , a1 , a0 są liczb liczbami ami rzecz rzeczyw ywist istym ymii i n oraz an = 0.
3t 7 − 13t 5 + t 4 − 9
Współczynnik a0 nazywamy nazywamy wyraz wyrazem em wolnym.
2 6x6 + 3x5 − x2 − 3x + 1
∈
Zmiennaa wie Zmienn wielom lomian ianu u moż możee ocz oczywi ywiści ściee być oznaczona dowolną literą.
−8a3 − 23 a5 0,04u8
√
m
3
+2 6
Wielomianami nazywać będziemy także wyrażenia typu x2 + 2x3 , (2x − 1)2 , Wielomianami gdyż każde z nich można przekształcić do postaci an xn + an−1xn−1 + . . . + a0 .
A
Określ stopień każdego z wielomianów wielomianów podanych w przykładach przykładach powyżej. powyżej.
Jednomian 0 jest także wielomianem, nazywamy go wielom wielomianem ianem zerowym. Wielomian Wielom ian zer zerowy owy można zap zapisa isaćć na róż różne ne spo sposob soby, y, na prz przykł ykład: ad: 0· x2 , 0 · x, 0 · x0 . Jak widać, zmienna w takim wielomianie może występować w dowolnej potędze, dlatego stopień jednomianu 0 nie jest określony. 78
WIELOMIANY
W N
PRZYKŁADY PRZYKŁ ADY WIELOMIAN WIELOMIANÓW ÓW Obok zapisano kilka prostych wyrażeń algebraicznych algebraic znych z jedną zmienną.
Przykłady jednomianów:
Wyrażeni Wy rażeniee postaci axn , gd gdzi ziee a ∈ , n ∈ , nazywamy jednomianem zmiennej x. Gdy a = 0, li licz czbę bę na natu tura raln lnąą n nazywamy stopniem jednomianu.
4x16
−3m5
√
2 y 3
−3 2 t 101
Uwaga. Jednomianami nazywamy także wyrażenia, rażen ia, w który których ch występ występuje uje więcej zmien3 5 6 2 3 nych, np. 3x y , ab , 5 m n . Nie będziemy się nimi jednak zajmować w tym rozdziale.
√
Zauważ, że liczby rzeczywiste różne od zera, np. 3, −0,7 i 2, to jednomiany stopnia zerowego, gdyż można je przedstawić w postaci odpowiednio: √ 0 0 0 3x , −0,7x i 2x . Jednomiany Jednomia ny oraz ich sumy nazywamy nazywamy wielom wielomianami. ianami. Wielomianem stopnia
n zmiennej x na-
zywamy wyrażenie postaci:
Przykłady wielomianów:
an xn + an−1 xn−1 + ... + a2 x2 + a1 x + a0 ,
4x5 + 11x3 + 7
gdzie współczynniki an , an−1 , ..., a2 , a1 , a0 są liczb liczbami ami rzecz rzeczyw ywist istym ymii i n oraz an = 0.
3t 7 − 13t 5 + t 4 − 9
Współczynnik a0 nazywamy nazywamy wyraz wyrazem em wolnym.
2 6x6 + 3x5 − x2 − 3x + 1
∈
Zmiennaa wie Zmienn wielom lomian ianu u moż możee ocz oczywi ywiści ściee być oznaczona dowolną literą.
−8a3 − 23 a5 0,04u8
√
m
3
+2 6
Wielomianami nazywać będziemy także wyrażenia typu x2 + 2x3 , (2x − 1)2 , Wielomianami gdyż każde z nich można przekształcić do postaci an xn + an−1xn−1 + . . . + a0 .
A
Określ stopień każdego z wielomianów wielomianów podanych w przykładach przykładach powyżej. powyżej.
Jednomian 0 jest także wielomianem, nazywamy go wielom wielomianem ianem zerowym. Wielomian Wielom ian zer zerowy owy można zap zapisa isaćć na róż różne ne spo sposob soby, y, na prz przykł ykład: ad: 0· x2 , 0 · x, 0 · x0 . Jak widać, zmienna w takim wielomianie może występować w dowolnej potędze, dlatego stopień jednomianu 0 nie jest określony. 78
WIELOMIANY
Wielomian, który jest sumą dwóch niezerowych jednomianów różnych stopni, nazywamy dwumianem, a sumę trzech jednomianów (różnych stopni) nazywamy trójmianem.
Przykłady dwumianów: 2x − 1 x3 + 2
√
3x5 − 2x
Trójmian, który jest wielomianem drugiego gie go st stop opnia nia,, na nazy zywa wamy my tr trój ójmia miane nem m kwadratowym.
3 x7 + x12 4
Przykłady trójmianów: 3x2 − 2x + 3 2 x8 3
B
+ x4 + 1
x10 − 2x7 + x6
√ 7x5 − x − x6
1. Wypisz współczynniki przy najwyższej potędz potę dzee ka każd żdeg ego o z dw dwum umia ianó nów w i tr trój ój-mianów zapisanych obok. Podaj przyk przykład ład trójm trójmianu ianu kwadr kwadratoato2. Podaj wego o współczynnikach całkowitych.
3. Czy wyrażenie (2x−3) 2 jest trójmianem kwadratowym?
Wielomiany można dodawać, odejmować i mnożyć. Wykonując tego typu działania, działan ia, otrzym otrzymujemy ujemy nowy wielom wielomian, ian, który warto uporzą uporządkować, dkować, czyli przedstawić w postaci jak najprostszej sumy algebraicznej. Należy w tym celu zredukować wyrazy podobne, a występujące w nim jednomiany zapisać w kolejności od stopnia najwyższego do najniższego. Wartość wielomianu dla danej liczby otrzymamy, wstawiając w wielomianie tę liczbę w miejsce zmiennej.
P
Oblicz wartoś wartość ć wielomia wielomianu nu W W ((x x )) = x 3 − 2x 2 − x + + 10 dla dla x = = −1. W (−1) W (−1) = (−1)3 − 2 (−1)2 − (−1) + 10 = 8
·
P
a) doda dodawanie wanie wielomia wielomianów nów ( 7 − 5x 5x 5 − 3x 2 ) + ( 3x 3x 2 − 4x − x 5 ) = 7 − 5x 5 − 3x 2 + 3x 2 − 4x − − x 5 = −6 −6x x 5 − 4x + + 7 b) odejmowa odejmowanie nie wielomian wielomianów ów (−8x (−8 x 4 − 2x 6 + 3 ) − ( 3 − 5x 5x + 2x 6 ) = −8x −8x 4 − 2x 6 + 3 − 3 + 5x 5x − 2x 6 = −4 −4x x 6 − 8x 4 + 5x c) mno mnożen żenie ie wielomi wielomianó anów w (3−2x (3−2 x 5 +x x )(−5 )(−5x x 2 −x ) = −15x −15x 2 −3 −3x x +10 +10x x 7 +2 +2x x 6 −5 −5x x 3 −x 2 = 10 10x x 7 +2 +2x x 6 −5 −5x x 3 −16 −16x x 2 −3 −3x x
C
Doprowadź wielomiany W (x) i P (x) do najprostszej postaci. Porównaj stopnie i współczynniki obu tych wielomianów. W (x) = 4x2 − (2x − 3)2
PRZYKŁADY WIELOMIANÓW
P (x) = 6x(5x2 +2)−3(10x3 + 3)
79
Dwa wielomiany tej samej zmiennej są równe, gdy są tego samego stopnia i po zapisaniu każdego z nich w postaci an xn + an−1 xn−1 + . . . + a0 współczynniki przy odpowiednich potęgach są równe.
P
Rozważmy wielomiany: wielomiany: U U ((x ) = ax 2 + bx , V V ((x x )) = 2x 3 − 11 11x x 2 + 12 12x x oraz W oraz W ((x x )) = x x − − 3. Dla jakich wartości współczynników a i b b wielomian U (x x )) − V V ((x x )) jest równy wielomianowi U (x ) W W ((x x )? )?
·
U (x ) − V V ((x x )) = (ax 2 + bx ) − ( 2x 2x 3 − 11 11x x 2 + 12 12x x )) = ax 2 + bx − 2x 3 + 11 11x x 2 − 12 12x x = = −2 −2x x 3 + (a + + 11)x 2 + (b − − 12)x U (x ) W W ((x x )) = (ax 2 + bx )(x )(x − − 3) = = ax ax 3 − 3ax 2 + bx 2 − 3bx = ax 3 + (b − − 3a )x 2 − 3bx
·
U (x ) − V V ((x x )) = −2x −2x 3 + (a + + 11)x 2 + (b − − 12)x U (x ) W W ((x x )) = ax 3 + (b − − 3a )x 2 − 3bx
·
−2 = a = b − − 3a a + + 11 = b b − − 12 = −3 −3b
Porównujemy Porównuje my wspó współczynn łczynniki iki obu wiel wielomia omia-nów przy odpowiednich potęgach zmiennej; rozwiązujemy układ równań.
Stąd a = = −2 i b = 3.
Liczby a Liczby a = = −2 oraz b = = 3 spełniają każde z trzech równań układu.
ZADANIA Wśród poda podany nych ch wyr wyraże ażeń ń alg algebra ebraicz icznyc nych h zna znajdź jdź wie wielom lomian ianyy i okre określ śl sto stopień pień 1. Wśród każdego z nich. 5 7 a) 7x −2 5x b) x3 − 51x2 + 4
d) 6u3 − 11u−2 + 4 e)
+ 6t 3 − 1,4t 10 c) 0,2t +
√ −2x6 − 5 x + 4
√
b)
2
x2
3
·
x3
3 d) 32x
·
5
3
h) 8
1 2
i) 5w 3 + 4w
x2
axn . 2 2 e) 5x −2(3x)
c) x2 + x2 2
− 1
√ 3z105 + z 1
f) −3w 7
2. Przedstaw podane wyrażenie w postaci jednomianu x7 a) 40,8
g)
− 15 x5
f)
4x7
·
1 2
x
3
3. Oblicz wartość wielomianu dla podanej wartości zmiennej. a) − 12 x3 + 34 x2 − 13 dla x = 2 0,04 042 2t 3 + t dla t = = −10 b) 0,02t 5 − 0, 80
c) 3(3x − 2)2 (x + 3) dla x =
2 3
d) x(x − 5)2 (x − 1) dla x = −1
WIELOMIANY
4. a) Wartość wielomianu W (x) = x3 + r x2 + sx + t dla x = 1 wynosi −2, czyli W (1) = −2. Wiadomo też, że W (−1) = −10 −10 i W (0) = −4. Znajd Znajdźź wartoś wartości ci współc współczynn zynników ików r , s , t . = a + c . Znajdź wartości współczynników a, b b) Dany jest wielomian W (x)√ ax x5 + bx2 √ oraz c , jeśli wiadomo, że W ( 2) = 4, W (− 2) = −12 i W (0) = −10.
5. Wy Wynik nik działan działania ia przedst przedstaw aw w postaci uporządkowanego uporządkowanego wielomianu. wielomianu.
−3 + 5 − 1 + 3 − 1 − 7 − x x x x x a) 2 2 4 − 8 − 2 − 3 + 2 − 8
d) (5x3 − 2)(x3 + 1 ) − 6x3 (2 − x3 )
c) −x(x4 − 8x3 − 5 ) + 4x4 (3x − 2)
f) (2 − x6 − 4x2 )(x4 − 7x6 − 2)
5
b)
5
x
7
x3
2
5
x5
5
5
3
x3
x
e) (−3x3 + 2x5 )(x5 − 1 + 5x3 )
6. Wy Wykonaj konaj działania i przedst przedstaw aw otrzymany wielomian w jak najprostszej najprostszej postaci. a) [−(5x4 + 3x2 − 4x) + 3x2 (2x2 −1)] · ( 1 − 2x)
b) [4x(−2x9 + 7x3 ) − ( 2 0x4 − 8x10 )] · [ 1 − 5 ( 2 − x2 )]
c) ( 3 − 4x3 )(5x2 + x)−[−5(x5 + 2x2 ) + x(6x4 − 5x2 )]
7. Niech P oznacza wielomian −4 x + 5, Q — wielomian
x2 − 3x +1, a R — wielomian
2x3 − 1. Wykonaj Wykonaj działania działania:: + 1 R b) 4Q − 3P + 2
− (Q + R ) a) P −
+ Q) c) R · (P +
8. Nie wykonując działań, określ wyraz wolny oraz stopień wielomianu: 3)(3 (3x3 + 2x2 − 1) a) (5x2 + 3)
c) (2x + 1)4 (x − 9)2 (x2 + 2)
b) (3x − 2)(x +5)(7− x)
d) −3x7 (2x3 + 2)5 (7 + x2 )3
Stopień pewnego wielom wielomianu ianu 9. Stopień
W (x) jest równy m, a stopień wielomianu V (x)
wynosi n ( m > n ). Określ stopień wielomianu:
a) W (x) + V (x)
b) W (x) − V (x)
c) W (x) · V (x)
wielomianów stopnia czwar czwartego, tego, których: 10. Podaj przykłady dwóch wielomianów trzeciego, a) suma jest jednomianem stopnia trzeciego,
b) iloczyn jest dwumianem.
11. Ustal, dla jakich wartości współczynników p , q , r wielomian x 4 + px3 + qx2 + r x +1 jest równy wielomianowi: a) (x2 − 1)2
b) (x
− 2)
x3
− 3x − 12
c) (x2 + 5x − 1)2
d) (x2 − 2x)(x2 + 2x) + 1
12. Dane Dane są wie wielom lomiany iany
A(x) = 3x2 + 5x + 2, B (x) = 9x3 + 3x2 − 17x − 4 oraz C (x) = mx + n . Dla jakich wartości współczynników m i n wielomian B (x) + C (x) jest równy wielomianowi A(x) C (x)?
·
PRZYKŁADY WIELOMIANÓW
81
13. Jakie jednomiany można wstawić w miejsce liter
A, B i C , aby zachodziła
równość wielomianów?
a) A(2x2 + x − B ) = 4x4 + C − 14x2
b) A(9x2 − 6x + 5) = B + 2x4 + C
14. Pewien cukiernik układa pączki w piramidy, tak jak pokazano na zdjęciu obok. Liczba pączków w piramidzie o n warstwach wynosi: 1 3 3n
+ 21 n2 + 61 n
a) Oblicz, z ilu pączków zbudowana jest piramida o 12 warstwach. b) Uzasadnij, że liczba pączków w piramidzie, która ma n + 1 warstw, jest o ( n + 1)2 większa od liczby pączków w piramidzie o n warstwach.
TEST T1. Który z poniższych wielomianów jest wielomianem szóstego stopnia? A. (6x3 − 6x2 + 6)6 B. 4x5 − 3x4 + 2x3 + x2 − 2x + 3
C. (5x5 + 2x4 ) + (x5 + 4x4 ) D. (4x2 − 3x)(2x4 − 6)
T2. Dla jakiej wartości a wielomiany (x + a)(2x3 − x) i 5x − (x2 + 10x3 − 2x4 ) są równe? A. a = −5
B. a = −2
C. a = 1
D. a = 5
T3. Stopień wielomianu W (x) jest równy 5, a stopień wielomianu V (x) to 4. Który z poniższych wielomianów jest stopnia dziewiątego? A. W (x) + V (x)
I K I N 82
C. W (x) − x5 · V (x)
B. 4W (x) − 5V (x)
D. x · W (x) · V (x)
ROZKŁAD WIELOMIANU NA CZYNNIKI A
Wykonaj mnożenie wielomianów.
1. −3 x2 ( 3 − 2x + 5x2 )
2. ( x2 − 3)(2x + 5)
3. (1 − 2x + x3 )(4x2 − 3)
Wiadomo, że w wyniku mnożenia wielomianów otrzymujemy pewien wielomian. Czasami można wykonać operację odwrotną — rozłożyć dany wielomian na czynniki, to znaczy przedstawić go w postaci iloczynu innych wielomianów.
WIELOMIANY
P
Rozłóż wielomiany na czynniki. a) 6x 3 − 3x 2 +10x − 5 = = 3x 2 (2x − 1) + 5(2x − 1) = = (2x − 1)(3x 2 + 5)
b) 5x 4 + 20x 3 + x 2 + 4x = = 5x 3 (x + 4) + x (x + 4) = = (x + 4)(5x 3 + x ) =
W każdym z zaznaczonych dwumianów wyłączamy wspólny czynnik przed nawias. Wyłączamy wspólny czynnik (dwumian x + 4) przed nawias.
Udowodnij cztery ostatnie spośród wzorów zapisanych obok.
W poniższych przykładach pokazujemy, jak można rozkładać wielomian na czynniki, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.
P
Wyłączamy wspólny czynnik (dwumian 2x −1) przed nawias.
W zaznaczonym dwumianie wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.
= x (x + 4)(5x 2 + 1)
B
W każdym z zaznaczonych dwumianów wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.
Wzory skróconego mnożenia (a + b )2 =
a2
+ 2ab + b 2
(a − b )2 =
a2
− 2ab + b 2
a2
− b 2 = (a − b )(a +
a3
+ b 3 = (a + b )(a 2 − ab + b 2 )
a3
− b 3 = (a − b )(a 2 + ab + b 2 )
b)
(a + b )3 =
a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a − b )3 =
a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
Rozłóż wielomiany na czynniki. a) x 4 − 25 = (x 2 − 5)(x 2 + 5) =
√ √ = (x − 5)(x + 5)(x
2
+ 5)
b) x 5 + x 4 + x 3 − 8x 2 − 8x − 8 = = x 3 (x 2 + x + 1) − 8(x 2 + x + 1) = = (x 2 + x + 1)(x 3 − 8) = 2
2
= (x + x + 1)(x − 2)(x + 2x + 4) c) x 6 + 2x 3 + 1 = (x 3 )2 + 2x 3 + 1 = = (x 3 + 1)2 = [(x + 1)(x 2 − x + 1)]2 =
Dwukrotnie stosujemy wzór a 2 − b 2 = (a − b )(a + b ).
W każdym z zaznaczonych trójmianów wyłączamy wspólny czynnik przed nawias. Wyłączamy wspólny czynnik (trójmian x 2 + x + 1) przed nawias. Stosujemy wzór a 3 − b 3 = (a − b )(a 2 + ab + b 2 ).
Stosujemy wzór a 2 + 2ab + b 2 = (a + b )2 , a następnie wzór a 3 + b 3 = (a + b )(a 2 − ab + b 2 ).
= (x + 1)2 (x 2 − x + 1)2 ROZKŁAD WIELOMIANU NA CZYNNIKI
83
Zauważ, że w przykładach na poprzedniej stronie czynniki występujące w rozkładzie wielomianu nie miały stopnia wyższego niż 2. Można się zastanawiać, czy dowolny wielomian da się rozłożyć na takie czynniki. Odpowiedź na to pytanie znano już w XVIII wieku: Każdy wielomian można rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugiego. C IE K A WO S T K A
Pierwszy poprawny dowód powyższego twierdzenia podał Carl Friedrich Gauss (1777–1855). Uważany jest on, obok Archimedesa i Newtona, za jednego z największych matematyków świata (zwany był nawet księciem matematyków). Zajmował się prawie wszystkimi działami matematyki, a także fizyką i astronomią. Twierdzenie o rozkładzie wielomianu na czynniki stopnia najwyżej drugiego udowodnił w wieku 22 lat w swojej rozprawie doktorskiej. W tamtych czasach algebra była nauką o rozwiązywaniu równań, a dowiedzione przez Gaussa twierdzenie pozwoliło rozstrzygnąć wiele problemów dotyczących równań.
Czasem aby rozłożyć wielomian na czynniki, trzeba się wykazać pomysłowością i zastosować nietypowe metody przekształcania wielomianów, np. przedstawić jednomian jako sumę dwóch jednomianów albo dodać i odjąć ten sam jednomian.
P
Rozłóż wielomiany na czynniki. a) 2x 4 + x 3 + 3x 2 + x + 1 = Zastępujemy jednomian 3x 2 sumą x 2 + 2x 2 .
= x 4 + x 3 + x 2 + 2x 2 + x + 1 =
W zaznaczonym trójmianie wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.
= x 2 (2x 2 + x + 1) + 2x 2 + x + 1 =
Wyłączamy wspólny czynnik (trójmian 2x 2 + x + 1) przed nawias.
= (2x 2 + x + 1)(x 2 + 1)
b) 4x 3 − 5x + 1 = Zastępujemy jednomian −5x sumą −4x − x .
= 4x 3 − 4x − x + 1=
W zaznaczonych dwumianach wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.
= 4x (x 2 − 1 ) − (x − 1) =
stosujemy wzór a 2 − b 2 = (a − b )(a + b )
= 4x (x − 1)(x + 1) − (x − 1) = Wyłączamy wspólny czynnik (dwumian x − 1) przed nawias.
= (x − 1)[4x (x + 1) − 1] = = (x − 1)(4x 2 + 4x − 1) 84
WIELOMIANY
c) x 4 + 4 = Dodajemy i odejmujemy jednomian 4x 2 .
= x 4 + 4x 2 + 4 − 4x 2 = Stosujemy wzór a 2 + 2ab + b 2 = (a + b )2 .
= (x 2 + 2)2 − 4x 2 = Stosujemy wzór a 2 − b 2 = (a − b )(a + b ).
= (x 2 + 2 − 2x )(x 2 + 2 + 2x ) = = (x 2 − 2x + 2)(x 2 + 2x + 2)
Uwaga. We wszystkich powyższych przykładach czynniki otrzymane po rozłożeniu wielomianu miały stopień co najwyżej 2. Czasami czynniki, które są trójmianami kwadratowymi (np. trójmian 4x2 + 4x − 1 w drugim przykładzie), można przedstawić w postaci iloczynu dwumianów stopnia pierwszego. Wzory pozwalające rozkładać na czynniki trójmiany kwadratowe przypomnimy w następnym rozdziale.
ZADANIA 1. Rozłóż wielomian na czynniki. a) x5 + x3
h) 10x3 + 25x2 + 8x + 20
b) x4 − x3 + x2
i) x5 + 10x4 + x3 + 10x2
c) x3 + 4x2 + x + 4
j) 3x4 − 7x3 + 3x2 − 7x
d) 6x3 − 5x2 + 6x − 5
k) x6 + 3x5 + 2x4 + 6x3
e) x3 − 21 x2 + x −
l) 2x5 + 5x4 + 8x3 + 20x2
1 2
f) x3 − 5x2 + 3x − 15
m) 15x6 − 10x5 + 45x4 − 30x3
g) 2x3 − 3x2 + 6x − 9
n) −24x4 + 120x3 − 30x2 +150x
2. Zapisz podane wyrażenie w postaci uporządkowanego wielomianu (skorzystaj z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia).
a) (3x + 1)2
d) (2 − 5p)2
b) (x2 + 2x)2
e) (2x3 − 3)(2x3 + 3)
h) (3 − 2x)3
f)
i) ( 7 + 2z )3
√
c) (a − 7)2
g) (x + 1)3
√ √ √ √ (k3 + 2)( 2 − k3 )
√
3. Rozłóż wielomian na czynniki (skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia). a) x2 − 16
e) x2 − 6x + 9
b) 4x2 − 5
f)
c) 49x4 −
1 81
d) x7 − 100x5 ROZKŁAD WIELOMIANU NA CZYNNIKI
1 2 9x
+ 31 x +
i) x3 − 27 1 4
j) x3 + 1
g) x4 − 2x2 + 1
1 x3 − 8 k) 27
h) (x + 3)2 + 2(x + 3 ) + 1
l) 64x10 + x7 85
4. Znajdź liczby, które należy wpisać w kratki, a następnie rozłóż otrzymany wielomian na czynniki.
a) 6x3 + 5x2 + 16x + 5 = 6x3 + 2x2 + x2 + x + x + 5 b) 5x4 − 9x3 + x2 + 3x = 5x4 − 4x3 − 3x2 + x3 + x2 + 3x c) −7x5 + 9x4 + x3 − 3x2 = −7 x5 + x4 + 3x3 + 7x4 + x3 − 3x2
5. Rozłóż wielomian na czynniki. a) x5 + 3x4 + 2x3 + 3x2 + x
c) 7x4 + 3x3 + 2x2 + 3x − 5
e) x3 − 6x − 4
b) 3x4 − 5x3 + 5x2 − 5x + 2
d) x5 − 2x4 + x2 + x3 + 3
f) 2x3 − 3x2 + 1
6. a) Rozłóż wielomian
x3 + 5x2 + 3x + 15 na czynniki, a następnie uzasadnij, że przyjmuje on wartości dodatnie tylko dla x > −5.
b) Rozłóż wielomian 4x3 − 8x2 + 3x − 6 na czynniki, a następnie określ, dla jakich wartości x wielomian ten przyjmuje wartości ujemne. c) Rozłóż wielomian −12 x5 + 6x4 − 2x + 1 na czynniki, a następnie uzasadnij, że dla ujemnych wartości x wielomian ten przyjmuje wartości dodatnie.
7. Zapisz podane wyrażenie w prostszej postaci (przyjmij, że
x jest liczbą, dla
której wyrażenie występujące pod kreską ułamkową jest różne od 0).
a)
x3 − 3x2 + x − 3 x−3
4 3 2 b) 30x − 6x3 + 45x − 9x
8x + 12x
8. a) Rozłóż wielomian
c)
3x2 − 5x + 2 3x3 − 2x2 − 12x + 8
n3 − n na czynniki, a następnie uzasadnij, że dla każdej
liczby całkowitej n wartość tego wielomianu jest liczbą podzielną przez 3. Wskazówka. Jedna z trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez 3.
b) Wykaż, że dla dowolnej liczby całkowitej n wartość wielomianu n 4 − 2n3 + n2 jest liczbą podzielną przez 4. c) Uzasadnij, że dla dowolnej liczby całkowitej n wartość wielomianu n5 − n jest liczbą podzielną przez 6.
TEST T1. Dwumian 2x +3 nie jest czynnikiem jednego z poniższych wielomianów. Wskaż ten wielomian. A. 4x2 + 12x + 9
T2. Wyrażenie A. x + 2 86
B. 8x3 + 27 x3 + 2x2 + 5x + 10 x2 + 5
C. 4x2 + 9
D. 4x2 − 9
można uprościć do postaci:
B. x3 + x2 + 5x + 5
C. x3 + 5x + 12
D. 2x + 2 WIELOMIANY
E W O
RÓWNANIA WIELOMIANOWE A
B
Rozwiąż równanie:
1. −15x + 6 = 0 2. 3(4 x − 7) = −2(14 − 6x)
Liczba rozwiązań równania ax2 + bx + c = 0 , gdzie a = 0, zależy od wartości wyróżnika 2 ∆ = b − 4ac .
Rozwiąż równanie:
Jeśli ∆ > 0, to równanie ma dwa rozwiązania:
1. 2 x2 2.
− 5x = 3
1 x − 1 x2 2 4
=0
x1
= − b 2− a
√ ∆
x2
= − b 2+ a
√ ∆
Jeśli ∆ = 0, to równanie ma jedno rozwiązanie: x0
= −b 2a
Jeśli ∆ < 0, to równanie nie ma rozwiązań.
W powyższych ćwiczeniach podano przykłady równań, które można przekształcić tak, aby po jednej stronie występował wielomian, a po drugiej — liczba 0. Równanie postaci W (x) = 0, gdzie W (x) jest wielomianem stopnia n, nazywamy równaniem wielomianowym stopnia n . Liczbę, która jest rozwiązaniem równania wielomianowego W (x) = 0, nazywamy pierwiastkiem wielomianu W (x). Uwaga. Liczby, które spełniają takie równanie, nazywane są także pierwiastkami równania.
Potrafisz już znajdować pierwiastki wielomianu pierwszego stopnia i wielomianu drugiego stopnia. Pokażemy teraz, jak znajdować pierwiastki niektórych wielomianów wyższych stopni.
C
Podaj liczby, które spełniają równanie:
1. ( x +1)(x − 6) = 0
2. ( x − 2)4 = 0
3. 3 x(x − 1)(2x − 4) = 0
Dosyć łatwo można rozwiązać równanie wielomianowe W (x) = 0, gdy wielomian W (x) przedstawiony jest w postaci iloczynowej. Wystarczy skorzystać z faktu, że iloczyn jest równy zero wtedy, gdy którykolwiek z czynników jest równy zero. Wobec tego przy rozwiązywaniu równań wielomianowych stopnia wyższego niż 2 przydaje się umiejętność rozkładania wielomianu na czynniki. RÓWNANIA WIELOMIANOWE
a b = 0
·
⇑⇓
a = 0 lub b = 0
87
P
Rozwiąż równania. a) x 5 − 6x 4 = 40x 3
Przekształcamy równanie do postaci
W (x )
= 0.
x 5 − 6x 4 − 40x 3 = 0 x 3 (x 2 − 6x − 40) = 0 x 3 = 0
Wielomian W (x ) rozkładamy na czynniki.
lub x 2 − 6x − 40 = 0 ∆ = (−6)2 − 4 1 (−40) = 196
· ·
x = 0
x 1 =
6−14 = −4 2
x 2 =
√
∆ = 14
6+14 = 10 2
x = 0 lub x = −4 lub x = 10
b) x 5 − 3x 4 − 8x 3 + 24x 2 − 9x + 27 = 0 x 4 (x − 3) − 8x 2 (x − 3) − 9(x − 3) = 0 4
2
x − 3 = 0
lub
W miejsce x 2 podstawiamy t i rozwiązujemy otrzymane równanie z niewiadomą t .
(x − 3)(x − 8x − 9) = 0 x 4 − 8x 2 − 9 = 0
x = 3
x 2 = t t 2 − 8t − 9 = 0 ∆ = (−8)2 − 4 (−9) = 100
·
t 1 =
8−10 = −1 2
x 2 = −1 równanie sprzeczne
t 2 =
√
∆ = 10
8+10 =9 2
x 2 = 9
lub
Rozwiązujemy równania x 2 = t 1 i x 2 = t 2 .
x = 3 lub x = −3
x = 3 lub x = −3
c) 12x 6 − 3x 2 = 0 3x 2 (4x 4 − 1) = 0 3x 2 (2x 2 − 1)(2x 2 + 1) = 0 3x 2 = 0 lub
2x 2 − 1 = 0 lub
równanie sprzeczne
1 x = 2
x = 0
2
x =
√ 2
x = 0 lub x = 2
88
2x 2 +1 = 0
1 2
1
lub x = −
2
√ 2
lub x = − 2
WIELOMIANY
Zastanówmy się teraz, jaki może być związek między stopniem wielomianu W (x) a liczbą pierwiastków tego wielomianu. Wiadomo, że wielomian pierwszego stopnia ma jeden pierwiastek (każde równanie postaci ax + b = 0, gdzie a = 0, ma jedno rozwiązanie). Wiadomo także, że wielomian drugiego stopnia może mieć dwa pierwiastki lub jeden pierwiastek, lub może nie mieć pierwiastków.
D
1. Każdy z trzech poniższych wielomianów jest wielomianem trzeciego stopnia. Ustal, ile pierwiastków mają te wielomiany. U (x) = x(x −2)(x + 3)
V (x) = (x +1)(x2 − 3x + 5)
W (x) = x (x + 5)2
2. Podaj przykład wielomianu czwartego stopnia, który nie ma pierwiastków. 3. Podaj przykład wielomianu piątego stopnia, który ma dokładnie jeden pierwiastek.
Każdy wielomian można rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugiego (zob. str. 84). Wobec tego: Wielomian n-tego stopnia ma co najwyżej n pierwiastków (wielomian n-tego stopnia można rozłożyć na co najwyżej n wielomianów pierwszego stopnia). Wielomian nieparzystego stopnia ma co najmniej jeden pierwiastek (ponieważ w jego rozkładzie na czynniki musi występować co najmniej jeden czynnik pierwszego stopnia). W takim razie wielomian stopnia trzeciego zawsze ma jakiś pierwiastek, ale nie może mieć ich więcej niż trzy. Natomiast wielomian czwartego stopnia może nie mieć pierwiastków, ale jeśli ma pierwiastki, to nie więcej niż cztery.
E
Zapisz wielomian jak najniższego stopnia, który ma sześć pierwiastków.
Rozważmy następujące wielomiany: W (x) = (x −7)(x − 5)2
P (x) = (x − 7)2 (x − 5)3
Pierwiastkami każdego z tych wielomianów są liczby 7 i 5. W rozkładzie wielomianu W (x) na czynniki dwumian x − 7 występuje raz, a dwumian x −5 występuje dwa razy, gdyż W (x) = (x −7)(x −5)(x −5). Mówimy, że liczba 7 jest jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu W (x), a liczba 5 — jego dwukrotnym pierwiastkiem. RÓWNANIA WIELOMIANOWE
89
Zauważ, że w rozkładzie wielomianu P (x) na czynniki dwumian x − 7 występuje dwa razy, a dwumian x − 5 występuje trzy razy, gdyż P (x) = = (x − 7)(x − 7)(x − 5)(x − 5)(x − 5). Mówimy, że liczba 7 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu P (x), a liczba 5 jest pierwiastkiem trzykrotnym tego wielomianu. Niech W (x) będzie wielomianem niezerowym. Liczbę a nazywamy k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W (x), gdy ten wielomian możemy przedstawić w postaci: W (x) = (x − a)k · P (x), gdzie P (x) jest pewnym wielomianem i liczba a nie jest jego pierwiastkiem (czyli P (a) = 0).
F
Liczba −1 jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu W (x), a liczba 7 jest jego pierwiastkiem pięciokrotnym. Co można powiedzieć o stopniu wielomianu W (x)?
Na początku tego rozdziału przypomnieliśmy wzory pozwalające obliczać pierwiastki wielomianu postaci ax2 + bx + c , gdzie a = 0. Ze wzorów tych wynika, że taki wielomian może mieć dwa pierwiastki (i każdy z tych pierwiastków jest jednokrotny) lub może mieć jeden pierwiastek (i pierwiastek ten jest dwukrotny), lub może wcale nie mieć pierwiastków. Możemy bowiem korzystać z następującej własności wielomianu drugiego stopnia. Wielomian W (x) = ax 2 + bx + c , gdzie a = 0 , ma:
dwa pierwiastki x1 i x2 wtedy i tylko wtedy, gdy W (x) = a(x − x1 )(x − x2 ) i x1 = x 2 ,
jeden pierwiastek x0 wtedy i tylko wtedy, gdy W (x) = a (x − x0 )2 .
Wyrażenie a(x − x1 )(x − x2 ), a także wyrażenie a(x − x0 )2 nazywamy postacią iloczynową wielomianu drugiego stopnia.
G
Znajdź pierwiastki wielomianu i określ ich krotności.
1. x 3 (x −3)(x + 1)4 2. ( x + 2)2 (x + 5)3 (x + 2)
3. ( x −1)(x2 − 6x + 5) 4. ( x −3)(x2 − 6x + 9)
ZADANIA 1. Znajdź liczby spełniające równanie: a) (x − 3)(2x + 5 ) ( 4 − 3x)2 = 0
d) x3 (x3 −1)(1+ x3 ) = 0
b) (x + 5)(x2 + x − 20)(x2 − 5) = 0
e) (x3 + 2x)(x3 + 2)(x3 + x) = 0
c) (2x2 + 9x + 9)(9x2 + 1) = 0
f) (4x2 − 8x + 6)(4x2 − 8x)(−8x + 6) = 0
90
WIELOMIANY
2. Rozwiąż równanie: a) −5x4 + 3x3 + 14x2 = 0
g) 4x3 − 14x2 + 6x − 21 = 0
b) 4x4 − 5x2 + 1 = 0
h) 15x5 − 10x4 − 6x + 4 = 0
c) 2x5 + 5x3 − 12x = 0
i) 2x5 − 8x3 + 16x2 − 64 = 0
d) 2x7 − x4 − x = 0
j) 3x5 − 12x3 − 12x2 + 48 = 0
e) 6x3 + 6x2 − 3x − 3 = 0
k) 5x5 + x3 − 6 = 30x2
f) 2x5 − 18x3 + 2x2 − 18 = 0
l) 5 = 3x + 5x4 − 3x5
3. Znajdź pierwiastki wielomianu W (x). a) W (x) = x 4 − 4x3 + 8x2 − 24x + 12
d) W (x) = x 3 − 5x − 4
b) W (x) = x 4 − 3x3 + 5x2 − 3x + 4
e) W (x) = x 3 − 6x + 4
c) W (x) = x 4 + 3x3 − x2 − 6x − 2
f) W (x) = 4x3 − 3x + 1
Wskazówka. Przedstaw jeden z wyrazów wielomianu jako sumę dwóch jednomianów.
4. Rozwiąż równanie (postaraj się znaleźć rozwiązania w jak najprostszy sposób): a) (2x − 1)2 = 100
e) x2 (x − 5) = x2
b) (5 − x)3 = −8
f) x( 3 − 2x) = (3 − 2x)2
c) ( 5 − 2x)2 = (3 + x)2
g) (x − 4)2 (2x − 7) = (x − 4)3 (2x − 7)
d) (x2 − 9)3 = (2x2 − 10)3
h) x(x − 2)2 (x + 9) = x(x −2)(x + 9)
5. Niech n będzie pewną liczbą naturalną większą od 0. Ile rozwiązań ma podane równanie? Dla jakich wartości n wszystkie pierwiastki tego równania są liczbami całkowitymi?
a) xn+1 −125x = xn − 125x2
b) xn+2 + x4 = 100xn + 100x2
6. a) Znajdź liczbę, o której wiadomo, że suma tej liczby i sześcianu liczby o 1 od niej mniejszej wynosi 11.
b) Znajdź liczbę, której sześcian jest równy sumie tej liczby i jej kwadratu. c) Znajdź liczbę, której kwadrat jest o 2 mniejszy od jej czwartej potęgi.
7. Uzasadnij następującą własność: Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy suma współczynni- ków tego wielomianu jest równa 0.
8. Uzasadnij, że jeśli wielomian
W (x) = ax7 + bx 5 + c x3 + dx + e spełnia warunek
W (−1) = −W (1), to 0 jest pierwiastkiem tego wielomianu. RÓWNANIA WIELOMIANOWE
91
9. Które z podanych równań nie mają rozwiązań? Odpowiedz na to pytanie, nie rozwiązując równań.
a) x4 + 1 = 0
d) 3x2 + 4x8 + 2 = 0
g) (x4 + 2)3 = −8
b) x2 − 2 = 0
e) (3x − 4)6 + 5 = 0
h) (x2 − 7)5 + 1 = 0
c) 3x2 + x4 = 0
f) 2(x2 − 7) = −4
i) (x − 1)2 = ( x − 1)4
10. Podaj przykład wielomianu o współczynnikach całkowitych, którego jednym z pierwiastków jest:
a)
√ 5
√
b) 1 + 7
c)
√ 5 + √ 7
11. Znajdź pierwiastki podanego wielomianu i ustal ich krotności. a) x7 (x − 1)3 (x + 2)(x + 5)5
e) (x −1)(x5 − 5x4 + 4x3 )
b) x(x + 3)2 (2x − 1)3 (x + 3)
f) (3x4 − x3 + 3x − 1)(x + 1)3
c) (x + 2)4 (3x + 4)2 (x + 2)3
g) (x2 − 1)2 (x6 − 2x5 + x4 )
d) (x2 −9)(x2 + 2x −15)2 (x2 − 2x + 3)
h) (x3 − x2 )(x6 + x4 − x2 − 1)
12. Podaj przykład wielomianu, który spełnia podany warunek. a) Liczba 3 jest pierwiastkiem dwukrotnym, a liczba −10 jest pierwiastkiem czterokrotnym wielomianu. b) Liczby 21 i 32 są pierwiastkami dwukrotnymi i wszystkie współczynniki wielomianu są liczbami całkowitymi. c) Liczba −5 jest pierwiastkiem pięciokrotnym i stopień wielomianu jest równy 7. √ d) Stopień wielomianu jest równy 10, jedynymi pierwiastkami są liczby 0, −2, − 2, przy√ czym 0 jest pierwiastkiem dwukrotnym, −2 jest pierwiastkiem trzykrotnym, a − 2 jest pierwiastkiem jednokrotnym.
13. Znajdź liczby p i q, dla których równanie ma jeden pierwiastek trzykrotny. a) 8x3 − 36x2 + px + q = 0
c) 125x3 + px2 + qx + 8 = 0
b) px3 + qx2 + x − 1 = 0
d) 18 x3 + px2 + 32 x + q = 0
Wskazówka. Wielomian trzeciego stopnia, który ma pierwiastek trzykrotny, można przedstawić w postaci (ax + b)3 .
14. Ustal krotności pierwiastków równania (2x2 + px + 1)2 = 0 w zależności od wartości p.
15. Liczba a jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W (x) i m -krotnym pierwiastkiem wielomianu V (x) (k > m). Uzasadnij, że liczba a jest także pierwiastkiem wielomianu Z (x), i ustal, jaką ma krotność, jeśli:
a) Z (x) = W (x) · V (x) 92
b) Z (x) = W (x)2 (V (x) + 3 )
c) Z (x) = W (x) + V (x) WIELOMIANY
TEST T1. Wielomian (4x2 + 5)(4x2 − x − 7)(x + 6)2 ma: A. sześć pierwiastków B. cztery pierwiastki
C. trzy pierwiastki D. jeden pierwiastek
T2. Suma rozwiązań równania 6 x3 − 2x2 − 24x + 8 = 0 jest równa: A. −2
B. 13
C. 2 13
D. 4
T3. Liczba 1 jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu: A. x(x − 1)(x2 − 1)
C. x3 (3x − 1)(x − 3)
B. (x + 1)3 (x2 + 1)3
D. (2x − 2)(x2 − 2x + 1)
W N
DZIELENIE WIELOMIANÓW Wiadomo, że jeśli dana liczba naturalna a jest iloczynem pewnych dwóch liczb, to w wyniku dzielenia liczby a przez jedną z tych liczb otrzymamy drugą z nich. Na przykład równość: możemy zapisać w postaci:
4503 = 57 · 79 4503 : 57 = 79
Oznacza to, że liczba 4503 jest podzielna przez 57. W analogiczny sposób będziemy rozumieć dzielenie wielomianów.
Wiesz już, że wielomiany można rozkładać na czynniki. Na przykład wielomian W (x) = 2x3 − 4x2 + 3x − 6 można zapisać w postaci iloczynu: 2x3 − 4x2 + 3x − 6 = (x − 2)(2x2 + 3) Powyższą równość będziemy także zapisywać inaczej: (2x3 − 4x2 + 3x − 6) : (x − 2) = 2x2 + 3 Mówimy wówczas, że wielomian W (x) jest podzielny przez dwumian x − 2. Wynikiem dzielenia wielomianu W (x) przez x − 2 jest wielomian 2 x2 + 3. Uwaga. Wielomian W (x) jest także podzielny przez dwumian 2 x2 + 3. DZIELENIE WIELOMIANÓW
93
A
Jaki wielomian należy wstawić w miejsce kropek?
1. 3 x5 + x3 = x2 ( ....... ) (3x5 + x3 ) : x2 = .......
2. 6 x7 − 8x4 = 2 x3 ( ....... ) (6x7 − 8x4 ) : 2x3 = .......
3. x 2 + 2x + 1 = (x +1)( ....... ) (x2 + 2x + 1) : (x + 1) = .......
4. 2 x4 − x3 + 2x2 − x = (2x −1)( ....... ) (2x4 − x3 + 2x2 − x) : (2x − 1) = .......
Mówimy, że wielomian W (x) jest podzielny przez niezerowy wielomian P (x), jeśli istnieje taki wielomian Q(x), że: W (x) = P (x) Q(x)
·
Piszemy wówczas: W (x ) : P (x ) = Q (x ).
Zauważ, że po rozłożeniu danego wielomianu na czynniki łatwo można wskazać wielomiany, przez które jest on podzielny, i podać wyniki takiego dzielenia.
B
Rozłóż wielomian x 5 −4x3 + x2 −4 na czynniki, wypisz kilka wielomianów, przez które ten wielomian jest podzielny, a następnie określ wynik dzielenia:
1. ( x5 − 4x3 + x2 − 4) : (x − 2) 2. ( x5 − 4x3 + x2 − 4) : (x3 + 1) 3. ( x5 − 4x3 + x2 − 4) : [(x +2)(x3 +1)] 4. ( x5 − 4x3 + x2 − 4) : (x2 − 4)
Istnieje metoda, która pozwala znaleźć wynik dzielenia dwóch wielomianów bez konieczności rozkładania pierwszego z nich na czynniki. Metoda ta przypomina pisemne dzielenie liczb naturalnych. Aby się nią posługiwać, potrzebna jest sprawność w obliczaniu ilorazu jednomianów.
C
Znajdź wynik dzielenia jednomianów (zapisz go w jak najprostszej postaci).
1. 12 x7 : 4 x2
4. (−4 x5 ) : 6x2
2. (−8 x5 ) : 2x3
5. 1,5 x10 : (−3x8 )
3.
94
1 x4 2
: 2 x3
6.
1 x11 6
: − 13 x7
WIELOMIANY
Pokażemy teraz, w jaki sposób znaleźć wynik dzielenia W (x) : P (x), gdzie W (x) = 6x2 + x − 2 i P (x) = 2x + 1. Oto kolejne etapy dzielenia:
D
Upewnij się, że otrzymany wynik jest poprawny — pomnóż wielomian 3x − 2 przez wielomian 2x + 1.
Zauważ, że przy wykonywaniu dzielenia przedstawioną wyżej metodą obliczaliśmy różnice pewnych wielomianów (na przykład obliczaliśmy różnicę (6x2 − x −2)−(6x2 + 3x)). Gdy wykonujemy takie działania, łatwo o pomyłkę, dlatego warto nieco zmienić sposób zapisu dzielenia:
DZIELENIE WIELOMIANÓW
95
P
Wykonaj dzielenie wielomianów.
E
Wykonaj dzielenie (6x3 + 13 x2 − 26 x + 7) : (2x2 + 5 x − 7), a następnie sprawdź otrzymany wynik, mnożąc odpowiednie wielomiany.
Podobnie jak przy dzieleniu liczb naturalnych, dzieląc wielomian przez inny wielomian, możemy otrzymać resztę różną od 0. Liczby
Wielomiany
32 552 : 17 − 51 42 − 34 8 ←− reszta Wykonując dzielenie 552 : 17, otrzymujemy 32 i resztę 8, zatem:
Wykonując dzielenie (2x3 − 7x2 − 2x − 6) : (x2 +3), otrzymujemy 2x − 7 i resztę −8x + 15, zatem:
552 = 32 · 1 7 + 8
2x3 −7x2 −2x −6 = (2x −7)(x2 +3)+(−8x +15)
Reszta jest mniejsza od liczby, przez którą dzielimy.
P
2x − 7 (2x3 −7x2 −2x−6) : (x2 + 3) −2x3 −6x −7x2 − 8x − 6 7x2 + 21 −8x + 15 ←− reszta
Stopień reszty jest mniejszy od stopnia wielomianu, przez który dzielimy.
Wykonaj dzielenie wielomianów.
(2x 7 − 10x 5 − 6x 4 + 2) = (2x 3 − 6)(x 4 − 5x 2 ) + (−30x 2 + 2)
Jeśli dane są wielomiany W (x) i P (x), to obliczając iloraz W (x) : P (x), otrzymamy pewien wielomian Q(x) oraz pewną resztę R(x), która jest równa 0 lub jest wielomianem stopnia mniejszego od stopnia P (x). 96
WIELOMIANY
Wielomian W (x) można zatem zapisać w postaci: W (x) = P (x) Q(x) + R (x)
·
Uwaga. Wielomian W (x) jest podzielny przez wielomian P (x) tylko wtedy, gdy reszta z dzielenia W (x) : P (x) jest równa 0 (wówczas W (x) = P (x) · Q(x)).
F
Znajdź resztę z dzielenia wielomianu W (x) = 2x3 − 7x2 + x przez wielomian P (x) = x 2 − 1, a następnie sprawdź wynik, wykonując odpowiednie działania.
Zauważ, że jeśli dzielimy wielomian przez dwumian pierwszego stopnia, to reszta jest zawsze liczbą, gdyż albo jest zerem, albo wielomianem stopnia mniejszego niż 1 (czyli wielomianem stopnia 0).
ZADANIA 1. Podaj przykłady trzech wielomianów różnych stopni, przez które podzielny jest zarówno wielomian W (x), jak i wielomian V (x).
a) W (x) = −(3x + 2)4 (2x + 5)3 , V (x) = (2x + 5)3 (x + 2) b) W (x) = 13 (2x − 1)5 (4x − 1)(x2 + 2), V (x) = (x2 + 2)5 (2x − 1)2 (x − 4)
2. Wykonaj dzielenie: a) (x3 − 8x2 + 17x − 10) : (x − 5)
e) (−4x4 + 12x3 − 5x2 + 17x − 6) : (x − 3)
b) (3x3 + 8x2 − 18x − 8) : (x + 4)
f) (12x4 + 14x3 − 8x2 − 16x + 5) : (6x − 5)
c) (9x3 − 18x2 − 4x + 1) : (3x + 1)
g) (−6x6 − 7x5 − 2x4 + 9x + 6) : (3x + 2)
d) (x4 − 2x3 + x2 + x − 1) : (1 − x)
h) (30x8 − 6x7 + 10x6 − 2x5 − 5x +1) : (5x − 1)
3. Wykonaj dzielenie: a) (10x5 − 2x4 + 15x3 + 5x2 + 12) : (2x2 + 3) b) (−2x5 + 6x4 − 12x2 + 8x) : (x2 − 3x + 2) c) (15x8 + 7x6 + 3x4 + 12x2 − 10) : (5x4 − x2 + 5)
4. Znajdź taki wielomian W (x), aby spełniona była równość: a) (2x2 − 7) · W (x) = 2x4 + 4x3 − x2 − 14x − 21 b) (x2 −3)(x + 1) · W (x) = 5x5 + 2x4 − 18x3 − 6x2 + 9x c) −9x3 + 10x2 + 5 + W (x) · (2x2 + 3x − 5) = 3x(2x3 − x + 1) DZIELENIE WIELOMIANÓW
97
5. Obok zapisano pięć różnych wielomianów. Nie
1 3x4 + 2x − 3
wykonując dzielenia, wskaż, który wielomian jest wynikiem dzielenia:
2 2x4 − 3x + 2 3
2x3
a) (3x6 + 9x4 + 2x3 − 3x2 + 6x − 9) : (x2 + 3)
+ 2x + 3
b) (3x5 − 2x4 − 3x3 − 3x2 + 2x + 3) : (x3 − 1)
4 3x2 − 2x − 3
c) (6x6 − 2x4 − 9x3 + 6x2 + 3x − 2) : (3x2 − 1)
5 3x3 + 3x − 2
d) (6x5 + 15x3 − 4x2 + 9x − 6) : (2x2 + 3)
6. Ustal, jakie liczby należy wstawić w miejsce kratek, aby spełniona była równość: a) (6x4 + x2 + ) : ( x2 + 2) = 3x2 + 1 b) ( x6 + 9x4 − 20x3 + x2 + x) : (x3 − 2x + 5) = −4x3 + x c) ( x6 − 2x4 + ) : (4x2 + 2) = 3x4 − x2 + 1
7. Znajdź resztę z dzielenia wielomianu 6 x5 + 2x2 − 5x + 7 przez wielomian: a) x3 − 5
b) x2 + 1
c) x5 − 3
8. Wykonaj dzielenie z resztą: a) (−21x3 + 22x2 − 20x) : (3x − 1)
d) (−9x4 − 6x3 + x + 6) : (−3x2 − 2x + 1)
b) (8x4 + 2x3 − 11x2 − 8x − 14) : (2x + 3)
e) (−10x5 + 8x4 − 2x3 + 20x2 ) : (2x3 − 4)
c) (10x3 − 4x2 + 19x − 9) : (2x2 + 3)
f) (15x5 + 18x3 − 6x2 − 4) : (5x3 + x − 2)
9. Znajdź taki wielomian W (x), że po podzieleniu go: a) przez 2x3 − x2 + 5 otrzymamy wielomian x2 − 5 oraz resztę 4 x2 + 25, b) przez 5x2 + 4 otrzymamy wielomian −3x3 − 5x + 2 oraz resztę 3 x − 2, c) przez 2x5 − 3x +4 otrzymamy wielomian x2 − 2x +3 oraz resztę −10x2 + 17x −12.
10. Podaj przykład takiego wielomianu, aby reszta z jego dzielenia przez wielomian x 3 + 2 była:
a) liczbą, b) wielomianem stopnia pierwszego, c) wielomianem stopnia drugiego.
11. Dzieląc wielomian
W (x) przez wielomian P (x), otrzymamy pewien wielomian Q(x) i resztę. Nie wykonując dzielenia, określ stopień wielomianu Q(x), gdy:
a) W (x) = x 5 + 3x3 − 3, P (x) = x 3 − 2x2
c) W (x) = 3x6 − 2x, P (x) = − 12 x6 + x4 − 3
b) W (x) = −2x4 − 7x + 1, P (x) = x + 1
d) W (x) = 4x12 − 9x2 + x − 5, P (x) = x 2
98
WIELOMIANY
C IE K A W OS T K A
Dzieląc dowolny wielomian W (x) przez dwumian postaci x − a, możemy skorzystać z uproszczonej metody zwanej schematem Hornera. Sposób dzielenia tą metodą pokazano poniżej na przykładzie dzielenia wielomianu W (x) = x4 − 4x3 + 2x2 − 25 przez dwumian x − 4.
W wyniku dzielenia wielomianu x4 −4x3 +2x2 −25 przez dwumian x−4 otrzymujemy x3 + 2x + 8 oraz resztę 7, czyli: (x4 − 4x3 + 2x2 − 25) = (x −4)(x3 + 2x + 8 ) + 7
12. Zapisz dowolny wielomian piątego stopnia. Następnie podziel go przez dwumian x + 4. Wykonaj to dzielenie dwoma sposobami — korzystając z poznanej wcześniej metody oraz ze schematu Hornera. Wskazówka. Dwumian x + 4 jest dwumianem postaci x − a dla a = −4.
13. Korzystając ze schematu Hornera, wykonaj dzielenie: a) (x3 − 6x2 + 12x − 8) : (x − 2)
d) (x5 − 9x3 + 2x + 5) : (x + 3)
b) (x4 + x3 + x2 + 4x + 3) : (x + 1)
e) (5x5 − 7x4 − x3 + 4x2 + 3x) : (x − 1)
c) (2x4 − 8x3 + 5x − 20) : (x − 4)
f) (−3x4 + 2x − 3) : (x + 2)
DZIELENIE WIELOMIANÓW
99
TEST T1. Przez który z wielomianów nie jest podzielny wielomian (2 x − 1)(x +1)(x −2)? A. 2x + 2
B. x2 − x − 2
C. 2x2 + x − 1
D. x2 + 2x + 1
T2. Wynikiem dzielenia wielomianu 6x4 −13x3 −17x2 +10x −12 przez dwumian x −3 jest wielomian ax3 + bx2 + cx + d . Która z wartości współczynników tego wielomianu jest prawidłowa? A. a = 3
B. b = 5
C. c = 2
D. d = −4
T3. Reszta z dzielenia wielomianu 2x4 − 2x3 − 5x2 + 2x +5 przez dwumian x2 − 1 jest równa: A. 2
T U O
B. 2x + 5
C. −3x + 2
D. x − 1
TWIERDZENIE B´ EZOUT A 1. Sprawdź, że pierwiastkiem każdego z poniższych wielomianów jest liczba 7. 2. Które z podanych wielomianów są podzielne przez dwumian x − 7? (x −7)(x5 − 2x3 + 8)
(x −7)(x −16)
x3 − 7x2
Każdy z wielomianów w ćwiczeniu A można zapisać w postaci ( x − 7) · P (x), gdzie P (x) jest pewnym wielomianem. Można więc powiedzieć, że każdy z tych wielomianów jest podzielny przez dwumian x −7 oraz że liczba 7 jest pierwiastkiem każdego z tych wielomianów, gdyż (7−7) · P (7) = 0 · P (7) = 0. Ogólną własność wielomianów, która wiąże pierwiastek wielomianu z podzielnością tego wielomianu przez pewien dwumian, opisuje poniższe twierdzenie. Twierdzenie B´ ezout Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy, gdy wie- lomian ten jest podzielny przez dwumian x − a.
Uwaga. Powyższe twierdzenie można zapisać w następujący sposób: W (a) = 0
⇐⇒ W (x) : (x − a) = P (x) , gdzie P (x) jest pewnym wielomianem
Zauważ, że twierdzenie składa się z dwóch części: 1. Jeśli liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x), to wielomian ten jest podzielny przez dwumian x − a. 2. Jeśli wielomian W (x) jest podzielny przez dwumian x − a, to liczba a jest pierwiastkiem tego wielomianu. 100
WIELOMIANY
Dowód
Zauważmy najpierw, że wielomian W (x) można zapisać w postaci: P (x ) jest pewnym wielomianem, a R — pewną resztą; w tym wypadku reszta R jest liczbą, gdyż albo jest równa 0, albo jest wielomianem, którego stopień jest niższy od stopnia wielomianu, przez który dzielimy.
W (x) = (x − a) P (x) + R
·
Wobec tego: W (a) = (a − a) P (a) + R = 0 P (a) + R = R
·
·
Otrzymaliśmy zatem równość: W (a) = R . Korzystając z tej równości, udowodnimy obie części twierdzenia. 1. Załóżmy, że liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x), czyli, że W (a) = 0. Ponieważ W (a) = R , zatem R = 0. Wynika stąd, że wielomian W (x) jest podzielny przez dwumian x − a. 2. Załóżmy teraz, że wielomian W (x) dzieli się przez dwumian x − a , czyli że R = 0. Ponieważ W (a) = R, zatem W (a) = 0. Wynika stąd, że liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x).
Analizując dowód twierdzenia B´ezout, można zauważyć, że przy okazji uzasadniona została pewna ważna własność wielomianów: Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x − a jest równa W (a).
B
1. Dany jest wielomian
W (x) = x4 + x3 − 7 x2 − x + 6. Korzystając z twierdzenia B´ezout, ustal, przez który z podanych dwumianów dzieli się wielomian W (x). x−1
x+1
x−2
x+2
2. Ustal reszty z dzielenia podanych wielomianów przez dwumian x − 2. A(x) = x3 − x2 + 3x − 5
B (x) = 1 x5 − x2 − 7x + 1 4
C (x) = x4 − 6x3 + 5x2 + 12
C IE K A WO S T K A
´ Etienne B´ezout (1730–1783) był francuskim matematykiem. Zajmował się algebrą, ale znany jest głównie jako autor doskonałych podręczników. Jego książki napisane są niezwykle przystępnie, językiem precyzyjnym, ale nie całkiem naukowym. Sześciotomowe dzieło B´ ezout „Kurs matematyki”, przetłumaczone na angielski, było przez wiele lat podstawowym podręcznikiem na Uniwersytecie Harvarda. Twierdzenie o podzielności wielomianu przez dwumian nie zostało ani sformułowane, ani udowodnione przez B´ezout — było znane już wcześniej. Właściwie nie wiadomo, dlaczego w Polsce jest nazywane twierdzeniem B´ ezout. W większości krajów, nawet we Francji, nie używa się takiej nazwy.
TWIERDZENIE B´EZOUT
101
Z twierdzenia B´ezout można korzystać przy rozwiązywaniu niektórych równań. Przypuśćmy, że mamy rozwiązać równanie wielomianowe W (x) = 0 i wiemy, że liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x). Z twierdzenia B´ezout wynika, że wielomian W (x) jest podzielny przez x − a . Wobec tego po wykonaniu dzielenia W (x) : (x − a ) otrzymamy pewien wielomian Q(x), który jest wielomianem niższego stopnia niż W (x). W (x) = (x − a) Q(x)
·
Równanie W (x) = 0 możemy więc zapisać w postaci: (x − a) · Q(x) = 0 Pozostałe pierwiastki znajdziemy, rozwiązując równanie niższego stopnia: Q(x) = 0.
P
Sprawdź, że liczba 1 jest rozwiązaniem równania x 3 − 3x 2 + 2 = 0. Znajdź pozostałe rozwiązania tego równania. Sprawdzamy, że liczba 1 spełnia równanie x 3 − 3x 2 + 2 = 0.
13 − 3 12 + 2 = 1 − 3 + 2 = 0
·
x 2 − 2x − 2 (x 3 − 3x 2 + 2) : (x − 1) −x 3 + x 2
Dzielimy wielomian x 3 − 3x 2 + 2 przez dwumian x − 1, aby rozłożyć go na czynniki.
−2x 2 + 2 2x 2 − 2x −2x + 2 2x − 2 0 x 3 − 3x 2 + 2 = (x − 1)(x 2 − 2x − 2) (x − 1)(x 2 − 2x − 2) = 0 x = 1
lub
Zapisujemy równanie w innej postaci.
x 2 − 2x − 2 = 0
·
∆ = 4 − 4 (−2) = 12
√ ∆ = √ 12 = 2√ 3
Rozwiązujemy równanie niższego (drugiego) stopnia.
√
√ 3 √ √ 2+2 3 = =1+ 3
2−2 3 x 1 = =1− 2
x 2
2
Odp. Równanie ma trzy rozwiązania: x 1 = 1 −
102
√ 3, x = 1 + √ 3, x = 1. 2
3
WIELOMIANY
Liczba a jest k -krotnym pierwiastkiem wielomianu W (x), gdy W (x) można przedstawić w postaci:
Zauważ, że jeśli liczba a jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W (x), to wielomian ten jest podzielny przez wielomian (x − a )k , a nie jest podzielny przez (x − a)k+1.
W (x) = (x − a)k P (x),
·
gdzie P (x) jest wielomianem i P (a ) = 0.
Jeśli W (x) = (x − a )k · P (x) i P (a) = 0, to z twierdzenia B´ezout wynika, że wielomian W (x) nie jest podzielny przez ( x − a )k+1. Gdyby bowiem wielomian W (x) był podzielny przez ( x − a)k+1, to wielomian P (x) musiałby być podzielny przez x − a. Z twierdzenia B´ezout wynika, że zachodziłaby równość P (a) = 0, a zakładaliśmy, że P (a) = 0.
ZADANIA 1. Nie wykonując dzielenia, sprawdź, czy wielomian W (x) jest podzielny przez dwumian V (x), jeśli:
a) W (x) = 5x14 − 6x + 1, V (x) = x − 1
d) W (x) = 19 x4 − x2 + 12 x − 12 , V (x) = x −3
b) W (x) = 3x7 − x3 + x2 + 1, V (x) = x + 1
e) W (x) = x 4 − 12 x3 −4 x2 +1, V (x) = x − 12
c) W (x) = x 3 + 3x2 + x − 10, V (x) = x + 2
f) W (x) = x 8 −3 x4 + x3 −27, V (x) = x + 3
2. a) Dla jakiej wartości
√
a wielomian 5x5 − ax 3 + 3x2 − 6x jest podzielny przez
dwumian x − 2?
b) Dla jakiej wartości p wielomian px5 − px3 − 12 x + 2 jest podzielny przez dwumian x + 2?
3. a) Wykaż, że dla dowolnej liczby a wielomian xn − an jest podzielny przez dwumian x − a. Wykaż też, że gdy n jest liczbą parzystą, to wielomian xn − an jest też podzielny przez dwumian x + a.
b) Każdy z poniższych wielomianów przedstaw w postaci iloczynu dwóch wielomianów, z których jeden jest dwumianem pierwszego stopnia. x5 − 1
x6 − 64
x6 − 27
4. Nie wykonując dzielenia, znajdź resztę z dzielenia: a) (3x7 − 5x6 + 4x5 − 7) : (x − 1)
d) (10x5 − 13) : (x − 2)
b) (8x10 − 4x8 + 7x7 + 2) : (x + 1)
e) (5x4 − 6x3 ) : (x + 10)
c)
(81x4
− 9x2
+ x − 1) : (x − 3)
TWIERDZENIE B´EZOUT
f)
− 1 x 81
7
+ 2 x3 + 1 : (x + 3) 9 3
103
5. a) Dla jakiej wartości a reszta z dzielenia wielomianu 6 x3 − 4ax2 + x − 3 przez dwumian x − 1 jest równa 1? 2
b) Dla jakiej wartości p reszta z dzielenia wielomianu x4 − x3 + px2 + 2x + p przez dwumian x + 1 jest równa 9?
6. a) Dla jakich wartości
m i n wielomian + + + nx + 1 jest podzielny przez dwumian x2 − 1?
5x4
4x3
mx2
Liczby a i b (gdzie a = b) są pierwiastkami wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W (x) jest podzielny przez (x − a)(x − b).
b) Wielomian x4 − 2tx3 + 3tx2 + x + s jest podzielny przez trójmian x2 − x − 2. Znajdź liczby t i s . c) Korzystając z twierdzenia B´ezout, udowodnij twierdzenie podane obok.
√
√
7. Uzasadnij, że wielomian x 5 − 3x3 + 2x2 + 2x − 2 2 jest podzielny przez x2 − 2. 8. a) Reszta z dzielenia wielomianu 2 x3 + x2 − x + 7 przez dwumian x − a wynosi 7. Oblicz wartość a.
b) Reszty z dzielenia wielomianów 2x3 + 5 x2 − 5 x − 7 i 2x3 + 4 x2 − 2 x + 3 przez dwumian x − a są takie same. Znajdź liczbę a.
9. Sprawdź, że podana liczba jest pierwiastkiem równania, a następnie znajdź jego pozostałe pierwiastki.
a) 2x3 − x2 − 8x + 4 = 0,
d) 4x3 − 4x2 − 15x + 18 = 0,
2
b) 6x3 − 29x2 − 6x + 5 = 0, c) x3 + 7x2 − 5x − 75 = 0,
−2
e) x4 − x3 − 14x2 + 2x + 24 = 0,
5
f) x4 + 8x3 + 19x2 + 32x + 60 = 0,
3
10. Sprawdź, że liczba a jest pierwiastkiem wielomianu
−3 −5
W (x), i rozłóż ten wielo-
mian na czynniki stopnia pierwszego.
a) W (x) = 3x3 − 35x2 + 48x + 20,
a = 10
b) W (x) = 10x3 + 63x2 − 48x + 7,
a = −7
c) W (x) = x 4 + 7x3 + 2x2 − 28x − 24,
a = −6
d) W (x) = 2x4 − 3x3 − 24x2 + 6x + 40,
a = 4
11. Liczby 3 i −2 są pierwiastkami wielomianu
x5 − 15x3 − 10x2 + 60x + 72. Określ
krotności tych pierwiastków.
104
WIELOMIANY
12. Podana liczba jest dwukrotnym pierwiastkiem danego wielomianu. Znajdź pozostałe pierwiastki tego wielomianu.
a) x4 + 3x3 − 23x2 + 33x − 14, b) x4 − x3 − 10x2 + 4x + 24,
c) x4 + 20x3 + 96x2 − 80x − 400,
1
d) x4 − 2x3 − 11x2 + 12x + 36,
−2
−10 3
13. a) Liczby 2 i −3 są pierwiastkami wielomianu ax3 + bx2 −11x +30 . Znajdź trzeci pierwiastek tego wielomianu.
b) Liczba 1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu x3 + mx2 − 7x + n . Znajdź trzeci pierwiastek tego wielomianu.
14. a) Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez x +2 wynosi 7, a reszta z dzielenia tego wielomianu przez x − 1 wynosi 1. Znajdź resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez wielomian (x +2)(x − 1).
b) Reszta z dzielenia wielomianu V (x) przez x − 3 wynosi −45, a reszta z dzielenia tego wielomianu przez x + 1 wynosi −1. Znajdź resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez wielomian x2 − 2x − 3. Wskazówka. Szukana reszta ma postać ax + b.
TEST T1. Tylko jeden z poniższych wielomianów nie jest podzielny przez dwumian x −1. Wskaż ten wielomian. A. 16x7 − 5x − 11 B. x8 − 5x6 − x5 + 3x2 + 2x
C. x11 − 1 D. 2x5 − 2x3 − 1
T2. Wielomian x6 − x3 − 6 jest podzielny przez:
√
A. x − 2
√
B. x + 2
√
C. x − 3 2
√
D. x + 3 2
T3. Dla jakiej wartości m wielomian x 3 + mx2 + mx +3 jest podzielny przez dwumian x + 3?
A. m = −3
B. m = 4
C. m = 5
D. m = 10
T4. Dzielenie wielomianu x3 − x2 − x + 1 przez który z poniższych dwumianów daje największą resztę? A. x − 2
B. x − 1
TWIERDZENIE B´EZOUT
C. x + 1
D. x + 2
105
) . D C
RÓWNANIA WIELOMIANOWE (CD.) Aby skorzystać z twierdzenia B´ezout przy rozwiązywaniu równania wielomianowego, trzeba znać przynajmniej jedną liczbę spełniającą to równanie. Nawet gdy taka liczba istnieje, na ogół trudno ją znaleźć. Czasem jednak poszukiwanie pierwiastków wielomianu można usystematyzować. W tym rozdziale omówimy jedną z metod pozwalających znajdować pierwiastki niektórych wielomianów.
A
Przyjrzyj się poniższym równaniom i nie rozwiązując ich, odpowiedz, o którym z nich możemy powiedzieć, że na pewno nie ma rozwiązań, które są liczbami całkowitymi. 1 x3 + 3x + 12 = 0
2 x3 − x2 + x − 1 = 0
√
3 x3 + x2 + x − 2 = 0
Będziemy się teraz zajmować równaniami wielomianowymi, w których wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi. Spróbujemy odkryć, jakie warunki musiałyby być spełnione, aby jednym z rozwiązań tego typu równania mogła być liczba całkowita. Przypuśćmy na przykład, że szukamy rozwiązań równania: x3 − 2x2 − 5x + 6 = 0
To równanie możemy zapisać w postaci: x(x2 − 2x − 5) = −6
Wiadomo, że jeśli x jest liczbą całkowitą, to także x2 − 2x − 5 jest liczbą całkowitą. Z powyższej równości wynika, że liczba −6 jest iloczynem dwóch liczb: x oraz x 2 −2x−5. Zatem jeśli liczba x jest całkowitym rozwiązaniem równania, to musi być dzielnikiem liczby −6. Jest więc także dzielnikiem liczby 6. Liczba 6 ma osiem całkowitych dzielników: 1, −1, 2, −2, 3, −3, 6, −6. Aby się dowiedzieć, które liczby całkowite są rozwiązaniami rozważanego równania, wystarczy sprawdzić, która z tych ośmiu liczb spełnia to równanie. Dla x = 1 otrzymamy: 1 3 −2·12 −5·1+6 = 0. Zatem liczba 1 jest rozwiązaniem danego równania. Dla x = −1 otrzymamy: (−1) 3 − 2 · (−1)2 − 5 · (−1)+6 = 0. Zatem liczba −1 nie jest rozwiązaniem tego równania.
B
106
Obliczając odpowiednie wartości wielomianu, znajdź pozostałe całkowite rozwiązania omawianego wyżej równania x3 − 2x2 − 5x + 6 = 0.
WIELOMIANY
Aby rozwiązać równanie wielomianowe o współczynnikach całkowitych, możemy skorzystać z następującego twierdzenia: Twierdzenie (o rozwiązaniach całkowitych) Załóżmy, że w równaniu wielomianowym: an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 = 0 wszystkie współczynniki an , an−1 , ..., a0 są liczbami całkowitymi i a0 = 0. Jeśli rozwiązaniem tego równania jest liczba całkowita, to jest ona dzielni- kiem wyrazu wolnego a0 .
Dowód
Oznaczmy przez c liczbę całkowitą, która jest rozwiązaniem równania: an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 = 0,
gdzie współczynniki an , a n−1 , .. ., a1 , a0 są liczbami całkowitymi i a 0 = 0. Wobec tego spełniona jest równość:
an c n + an−1 c n−1 + ... + a1 c + a0 = 0
Zapiszmy tę równość w postaci: c an c n−1 + an−1 c n−2 + ... + a1 = −a0
Założyliśmy, że a0 = 0, zatem c = 0. Wobec tego obie strony równości możemy podzielić przez c . an c n−1 + an−1 c n−2 + ... + a1 = − a0 c
Liczba an c n−1 + an−1 c n−2 + ... + a 1 jest całkowita (bo założyliśmy, że wszystkie współczynniki równania są liczbami całkowitymi). Wynika stąd, że liczba ac 0 jest liczbą całkowitą, a więc liczba a0 musi być podzielna przez c . Wykazaliśmy w ten sposób, że liczba c jest dzielnikiem liczby a 0 .
C
Wykaż, że podane równanie nie ma rozwiązań całkowitych.
1. x 5 + 2x − 11 = 0
D E
2. x 7 + 7 = x
Znajdź wszystkie całkowite rozwiązania równania: 1. 3 x5 − 4x2 + 1 = 0 2. x 4 + x3 − x2 + x − 2 = 0
3. 4 x8 − 2 = x10
3. 2 x11 + 8x7 + 10 = 0
Sprawdź, że rozwiązaniem równania x2 − 12 x − 3 = 0 jest liczba 2, chociaż rozwiązanie to nie jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyjaśnij, dlaczego nie jest to sprzeczne z powyższym twierdzeniem.
Stosując powyższe twierdzenie, można rozwiązywać niektóre równania typu W (x) = 0, w których wielomian W (x) ma współczynniki całkowite. To twierdzenie pozwala także rozwiązywać niektóre równania o współczynnikach niecałkowitych. RÓWNANIA WIELOMIANOWE (CD.)
107
P
1
Rozwiąż równanie 4 x 3 − x 2 + 2 = 0. 1 3 x − x 2 + 2 = 0 4
·4
x 3 − 4x 2 + 8 = 0
Przekształcamy równanie tak, aby otrzymać równoważne równanie o współczynnikach całkowitych.
Dzielniki wyrazu wolnego wielomianu W (x ) = x 3 − 4x 2 + 8: 1, −1, 2, −2, 4, −4, 8, −8
W (1) = 1 − 4 + 8 = 0
Liczby 1 i −1 nie spełniają równania x 3 − 4x 2 + 8 = 0.
W (−1) = −1 − 4 + 8 = 0 W (2) = 23 − 4 22 + 8 = 0
·
Liczba 2 spełnia to równanie.
x2 − 2 x − 4 (x 3 − 4x 2 + 8) : (x − 2) −x 3 + 2x 2 Dzielimy wielomian x 3 − 4x 2 + 8 przez dwumian x − 2.
−2x 2 + 8 2x 2 − 4x −4x + 8 4x − 8 0 x 3 − 4x 2 + 8 = (x − 2)(x 2 − 2x − 4)
Zapisujemy równanie w innej postaci i je rozwiązujemy.
(x − 2) (x 2 − 2x − 4) = 0
·
x = 2 lub x 2 − 2x − 4 = 0
· √ ∆ = 2√ 5
∆ = 4 − 4 (−4) = 20
√
√ 5
√
√ 5
2−2 5 x 1 = =1− 2 2+2 5 x 2 = =1+ 2
Odp. Równanie ma trzy rozwiązania: x 1 = 1 −
√ 5, x
2
=1+
√ 5 i x = 2. 3
Uwaga. Jeżeli korzystając z twierdzenia o rozwiązaniach całkowitych, nie znajdziemy żadnego rozwiązania równania wielomianowego, to oczywiście nie oznacza jeszcze, że równanie nie ma rozwiązań. Na przykład łatwo stwierdzić, że równanie x4 − 2x2 − 3 = 0 nie ma rozwiązań całkowitych, ale ma dwa rozwiązania √ √ (x = 3 i x = − 3).
108
WIELOMIANY
C IE K A WO S T K A
W Boże Narodzenie 1534 roku rozpoczął się matematyczny pojedynek. Jego uczestnikami byli dwaj Włosi — Mario Fior i Niccol` o Fontana, zwany Tartaglia (jąkała). Takie naukowe zawody były wówczas bardzo popularne, gdyż dzięki nim rosła sława (i dochody) zwycięzcy. Fior wygrywał już wcześniej wiele turniejów, bo znał kilka równań trzeciego stopnia, które tylko on, jak mu się zdawało, umiał rozwiązać. Zawody polegały na tym, że w ciągu 50 dni obaj uczestnicy mieli rozwiązać kilkadziesiąt zadań przygotowanych przez przeciwnika. Wszystkie zadania Fiora dotyczyły równań trzeciego stopnia. Tydzień przed upływem terminu Tartaglia odkrył metodę rozwiązywania tego typu równań i wygrał turniej. Wielu uczonych pragnęło poznać tę metodę. Tartaglia jednak nikomu jej nie zdradził. Dopiero 10 lat później wydobył ją od niego Girolamo Cardano i niezbyt uczciwie opublikował pod własnym nazwiskiem. Od tego czasu wzory pozwalające rozwiązać równanie trzeciego stopnia nazywane są wzorami Cardana.
ZADANIA 1. Znajdź wszystkie całkowite pierwiastki wielomianu: a) x3 − 2x2 − 2x − 3
c) x3 − 3x2 − 6x + 8
e) −x5 − 3x4 + 6x2 + 4x
b) 3x4 + x3 − x2 − x − 2
d) 2x3 + 8x2 + 8x + 6
f) x6 − 4x5 − 6x4 + 4x3 + 5x2
2. Dla jakich wartości n równanie xn + x + 2 = 0 ma rozwiązania całkowite? Znajdź te rozwiązania.
3. Rozwiąż równanie: a) 5x3 + 10x2 + 6x + 1 = 0
e) 2x3 − 6x2 + x − 3 = 0
b) 3x3 + 8x2 − 4x − 3 = 0
f) 3x4 + 6x3 − 8x2 + 2x − 3 = 0
c) 10x3 + 11x2 − 16x + 4 = 0
g) 2x4 − 5x3 − 2x2 + 10x − 4 = 0
d) 4x3 − 12x2 + 9x − 2 = 0
h) −3x4 + 2x3 − 8x2 + 6x + 3 = 0
4. Rozwiąż równanie: a) 2x3 + 2x2 + 3 = 11x
d) 5x(x2 + 1 ) − ( 3x + 1)2 = −2 x2 − x − 3
b) x(x + 2)2 + 4x = −5
e) 2(x2 − 1)2 + x(2x + 3)2 = 11 x2 + 14x
c) 5(x + 10) = x 2 (8 − x)
f) (3x − 2)2 + 4x(1 − x2 ) = 6 − 5x4
Wskazówka do e) i f). Wyłącz najpierw wspólny czynnik przed nawias. RÓWNANIA WIELOMIANOWE (CD.)
109
TEST T1. Który z poniższych wielomianów nie ma pierwiastków całkowitych? A. 2x3 −x2 −5x−2
B. 5x4 +2x2 −6x+1
T2. Jednym z rozwiązań równania
C. x3 +4x2 −3
D. 2x5 +x4 −5x+2
x3 + 4x2 − 31x − 70 = 0 jest liczba −7. Suma
pozostałych dwóch rozwiązań wynosi: A. 3
B. −1
C. 5
D. 7
T3. Wielomian x3 − 2x2 + 2x + 5: A. nie ma pierwiastków B. ma jeden pierwiastek
E N R E I
C. ma dwa pierwiastki D. ma trzy pierwiastki
ROZWIĄZANIA WYMIERNE RÓWNAŃ WIELOMIANOWYCH A 1. Sprawdź, że równanie 2x3 − x2 + x − 6 = 0 nie ma rozwiązań całkowitych. 2. Wypisz wszystkie dzielniki wyrazu wolnego oraz wszystkie dzielniki współczynnika przy najwyższej potędze wielomianu 2x3 − x2 + x −6. Zapisz wszystkie ułamki pq , gdzie p jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a q jest dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze tego wielomianu.
3. Wśród ułamków, które zapisałeś w punkcie 2, jest jedno z rozwiązań równania 2x3 − x2 + x − 6 = 0. Znajdź to rozwiązanie.
Metodę szukania rozwiązań wymiernych, którą posłużyłeś się w powyższym ćwiczeniu, można stosować dla dowolnego równania o współczynnikach całkowitych. Prawdziwe jest bowiem następujące twierdzenie: Twierdzenie (o rozwiązaniach wymiernych) Załóżmy, że w równaniu wielomianowym postaci: an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0 wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi oraz a0 = 0 i an = 0. Jeśli rozwiązaniem tego równania jest liczba wymierna, to można ją p przedstawić w postaci ułamka q , gdzie licznik p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a 0 , a mianownik q jest dzielnikiem współczynnika a n przy najwyż- szej potędze.
Dowód
Aby zapis dowodu był bardziej przejrzysty, przeprowadzimy go dla równania stopnia trzeciego. Dowód dla równania dowolnego stopnia n jest niemal identyczny. 110
WIELOMIANY
Przyjmijmy, że liczby a3 , a2 , a1 i a0 występujące w poniższym równaniu są liczbami całkowitymi oraz a0 = 0 i a 3 = 0. a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = 0
Załóżmy, że pewna liczba pq , gdzie p i q są liczbami całkowitymi różnymi od 0, jest rozwiązaniem równania. Możemy też założyć, że ułamek pq jest nieskracalny (tzn. że p i q nie mają wspólnych dzielników różnych od 1 i od −1). Zatem spełniona jest równość: 3
2
a3 p 3 + a2 p2 + a1 p + a0 = 0 q q q
Pokażemy najpierw, że p jest dzielnikiem liczby a 0 . Po pomnożeniu obu stron równości przez q 3 otrzymamy: a3 p3 + a2 p2 q + a1 pq 2 + a0 q 3 = 0
Zapiszmy tę równość w postaci: p(a3 p2 + a2 pq + a1 q 2 ) = −a0 q 3
Stąd: a3 p2 + a2 pq + a1 q 2 = − a0 q
3
p
Przyjęliśmy, że wszystkie liczby oznaczone w tej równości literami są całkowite, więc liczba a3 p2 + a 2 pq + a1 q2 jest także całkowita. Zatem z równości tej 3 wynika, że liczba a0pq jest całkowita. Liczba q 3 nie ma wspólnych dzielników z liczbą p (różnych od 1 i od −1), bo zakładaliśmy, że liczba q nie ma wspólnych dzielników z liczbą p. Wynika stąd, że liczba a0 musi się dzielić przez liczbę p . Wykazaliśmy zatem, że p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a0 . Zapiszmy teraz otrzymaną wcześniej równość (a3 p3 + a2 p2 q + a1 pq 2 + a0 q3 = 0) w postaci: q (a2 p2 + a1 pq + a0 q2 ) = −a3 p3 Rozumując podobnie jak wyżej, dojdziemy do wniosku, że q jest dzielnikiem współczynnika a3 .
B
Liczba 25 jest rozwiązaniem jednego z poniższych równań. Którego? 6x5 + 3x3 − 2x − 4 = 0 5x3 + 8x2 − 14x + 4 = 0 10x3 + 7x2 − 5 = 0
C
x4 + 5x2 − x + 10 = 0
Znajdź wszystkie rozwiązania wymierne równania 6x3 + x2 − 1 = 0.
Zauważ, że jeżeli równanie wielomianowe o współczynnikach całkowitych nie ma rozwiązań wymiernych, to nie oznacza, że w ogóle nie ma rozwiązań.
D
Podaj przykład takiego równania wielomianowego o współczynnikach całkowitych, które ma rozwiązanie, ale nie ma rozwiązań wymiernych.
Korzystając z twierdzenia o rozwiązaniach wymiernych, możemy znaleźć wszystkie rozwiązania wymierne równania wielomianowego (w tym rozwiązania całkowite). Jednak rozwiązując równanie, warto rozpocząć od sprawdzenia, czy istnieją rozwiązania całkowite. W ten sposób często możemy uprościć dalsze rachunki. ROZWIĄZANIA WYMIERNE RÓWNAŃ WIELOMIANOWYCH
111
P
Rozwiąż równanie: 2x 3 − 5x 2 + x + 3 = 0. Dzielniki wyrazu wolnego wielomianu W (x ) = 2x 3 − 5x 2 + x + 3 to: 1, −1, 3, −3.
W (1) = 2 − 5 + 1 + 3 = 0 W (−1) = 2 ( − 1 ) − 5 − 1 + 3 = 0
·
W (3) = 2 · 2 7 − 5 · 9 + 3 + 3 = 0 W (−3) = 2 · (−27) − 5 · 9 − 3 + 3 =0
Sprawdzamy, czy równanie ma pierwiastki całkowite.
Dzielniki współczynnika przy najwyższej potędze zmiennej to:
Jeśli równanie ma rozwiązanie wymierne q , to licznik jest dzielnikiem liczby 3, a mianownik dzielnikiem liczby 2; wypisujemy wszystp kie takie liczby q , że p 1,−1,3,−3 oraz q 1,−1,2,−2 .
p
1, −1, 2, −2
∈{
Możliwe rozwiązania wymierne: 1
1
3
∈ {
}
}
3
1, −1, 2 , − 2 , 2 , − 2 , 3, −3
1 1 1 1 W 2 = 2 · 8 − 5 · 4 + 2 + 3 =0 1 1 1 1 8 W − 2 = 2 · − 8 − 5 · 4 − 2 + 3 = − 4 + 3 =0 3 3 3 3 27 45 18 W = 2 · − 5· + +3= − + =0 3
2
2
2
2
2
4
4
4
Sprawdziliśmy już, że nie istnieją całkowite rozwiązania równania, zatem wystarczy sprawdzić, czy wśród liczb: 1 1 3 3 2 , − 2 , 2 , − 2 jest rozwiązanie równania.
2x 2 − 2x − 2 3 (2x 3 − 5x 2 + x + 3) : x − 2 −2x 3 + 3x 2
−2x 2 + x + 3 2x 2 − 3x −2x + 3 2x − 3 0
Dzielimy wielomian przez dwumian x −
Zapisujemy równanie w innej a następnie je rozwiązujemy.
3 x − 2 (2x 2 − 2x − 2) = 0
3 x − 2 = 0 3
x = 2
2
lub 2x − 2x − 2 = 0 x 2 − x − 1 = 0,
3 . 2
postaci,
: 2
∆=5
∆ =1+4 =5
√
1− 5 x 1 = 2 ,
√
1+ 5 x 2 = 2
√
√
1− 5 1+ 5 3 Odp. Równanie ma trzy rozwiązania: x 1 = 2 , x 2 = , x = . 3 2 2 112
WIELOMIANY
Opisaną w tym rozdziale metodę rozwiązywania równań można też wykorzystać przy rozwiązywaniu równań o współczynnikach wymiernych (niekoniecznie całkowitych). Wystarczy zauważyć, że gdy obie strony takiego równania pomnożymy przez wspólny mianownik wszystkich współczynników, otrzymamy równoważne równanie o współczynnikach całkowitych. C IE K A WO S T K A
Przedstawione tu metody rozwiązywania równań wielomianowych wydają się skomplikowane, a na dodatek można za ich pomocą rozwiązać tylko niektóre równania. Od razu nasuwa się pytanie, czy (podobnie jak dla równań kwadratowych) można podać wzory pozwalające znaleźć wszystkie rozwiązania równania wielomianowego. Okazuje się, że są takie wzory (choć znacznie bardziej skomplikowane) dla równań stopnia trzeciego i czwartego. Udowodniono także, że nie ma ogólnych wzorów na rozwiązania równań stopnia wyższego niż czwarty. Dokonał tego w roku 1824 norweski matematyk Niels Henrik Abel (miał wtedy zaledwie 22 lata!). Dowód tego faktu nie jest prosty, ale trudno się temu dziwić — na ogół łatwiej udowodnić, że jakiś wzór istnieje (wystarczy go podać), niż wykazać, że na pewno nie uda się go znaleźć.
ZADANIA 1. Jedna z pięciu liczb zapisanych obok wielomianu
W (x) jest jego pierwiastkiem.
Która?
a) W (x) = 5x3 + 23x2 − 35x + 10
1, 3
b) W (x) = 3x5 − x4 − 6x3 + 2x2 − 45x + 15
−1,
5
2, 5
2
1, 3
−1,
c) W (x) = −6x3 − 11x2 + 13x + 15
3, 5
− 56 ,
d) W (x) = −2x5 −9 x4 −9 x3 −11x2 −10x+14
−3, 7
−3,
1 , 14
−4,
3
5
5, 2
4
2,
− 15 8
6 5
−4,
−3 1 , 2
2, 7
−12
2. Znajdź wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu: a) 10x3 − x2 − 7x − 2
e) 4x4 − 8x3 + 7x2 − 8x + 3
b) −12x3 − 11x2 + 2x + 1
f) −3x4 − 8x3 − 6x2 + 3x
c) 2x3 + 5x2 − 5x + 7
g) −6x5 + 17x4 + 4x3 − 3x2
d) 6x4 + 5x3 + 5x − 6
h) 12x5 − 16x4 − x3 + 7x2 − 2x
ROZWIĄZANIA WYMIERNE RÓWNAŃ WIELOMIANOWYCH
113
3. Rozwiąż równanie: a) −2x3 − x2 + 13x − 6 = 0
d) 12x3 + 20x2 + 11x + 2 = 0
b) 2x3 + 15x2 + 27x + 10 = 0
e) −125x3 + 15x + 2 = 0
c) −3x3 + 7x2 − 4 = 0
f) −8x4 + 10x3 − 5x2 + 10x + 3 = 0
4. Uzasadnij, że równanie 97x10 − x + 1 = 0 nie ma rozwiązań wymiernych. 5. Dane są wielomiany: W (x) = 4x4 + 4x3 + x2 + 4x − 3
V (x) = −3x5 + 20x4 − 26x3 + 10x2 − 23x − 10
Uzasadnij, że nie istnieje liczba wymierna, która jest wspólnym pierwiastkiem tych wielomianów.
6. Wyjaśnij, dlaczego wymierne pierwiastki wielomianu
W (x) (jeśli istnieją) muszą
należeć do podanego przedziału.
a) W (x) = 60x4 − 8x3 − 19x2 + 2x + 1,
−1,1 b) W (x) = 6x4 + 5x3 − 11x2 − 10x − 2, −2,2 c) W (x) = 8x3 + 49x2 + 16x + a (a ∈ ), −|a|, |a| 7. Dla jakich całkowitych wartości
m wielomian 9x3 − mx + 1 ma pierwiastek wy-
mierny?
8. Wśród wymiernych pierwiastków wielomianu
W (x) = 5x4 − 11 x3 + ax 2 + bx − 2 są dwie liczby, które są pierwiastkami wielomianu Q(x) = 2x4 + cx 3 + dx 2 + 9x + 5. Znajdź współczynniki a, b, c i d . C IE K A W OS T K A
Twierdzenie o rozwiązaniach wymiernych można wykorzystać do uzasadnienia niewymierności niektórych liczb. Wykażemy przykładowo następujące twierdzenie:
Jedynymi „kandydatami” na rozwiązania wymierne tego równania są liczby 11 , − 11 , − 12 i 21 . Ponieważ żadna z nich nie spełnia równania x2 − 2 = 0, więc nie ma ono rozwiązań wymiernych.
Liczba 2 jest niewymierna.
Wiadomo, że jednym z rozwiązań tego √ równania liczba 2. Wynika stąd, że √ 2 nie jestjest liczbą wymierną.
√
Dowód
Rozważmy równanie x2 − 2 = 0.
9. Przeczytaj ciekawostkę. Wykaż, że niewymierne są liczby: a)
√ 5
114
√
b) −2 3
c)
√ 7 3
d)
√ 100
12
WIELOMIANY
TEST T1. Liczba wielomian.
3 jest rozwiązaniem jednego z poniższych wielomianów. Wskaż ten 7
A. 3x3 − 5x2 + x − 7 B. 7x4 − 3x3 − 28x2 + 26x − 6
C. 6x4 + 2x3 − 3x2 − x + 14 D. x5 − 3x4 − x2 + 7x − 1
T2. Jedna z poniższych liczb jest rozwiązaniem równania 18 x3 − x2 − 31x − 12 = 0. Wskaż ją. B. − 49
A. 9
C. −5
D. 25
T3. Wielomian −30x3 + 11x2 + 9x − 2 ma trzy pierwiastki wymierne. Która z poniższych liczb nie jest pierwiastkiem tego wielomianu? A. − 1 2
E W O
B. 2
3
C. 1
5
D. − 3 5
NIERÓWNOŚCI WIELOMIANOWE
A 1. Korzystając
z wykresów, podaj rozwiązania nierówności zapisanych pod
rysunkami.
2. Korzystając z wyników otrzymanych w punkcie 1., ustal, jakie liczby spełniają nierówność: (x + 2)(−x2 + 10x − 21) > 0 Zastanów się najpierw, jaki warunek muszą spełniać dwie liczby, aby ich iloczyn był liczbą dodatnią.
NIERÓWNOŚCI WIELOMIANOWE
115
Potrafisz już rozwiązywać nierówności pierwszego stopnia oraz nierówności kwadratowe. Umiejętności te można wykorzystać przy rozwiązywaniu niektórych nierówności wyższych stopni. Przyda się przy tym prosta własność — iloczyn dwóch liczb jest liczbą ujemną, gdy czynniki mają różne znaki, a liczbą dodatnią, gdy mają te same znaki.
a b < 0
·
⇐⇒
a > 0 b < 0
lub
a < 0 b > 0
a b > 0
·
⇐⇒
a > 0 b > 0
lub
a < 0 b < 0
Pokażemy teraz, jak można rozwiązać nierówność: (x − 3)(x2 + x − 2) < 0 Iloczyn dwóch czynników jest ujemny, gdy jeden z nich jest dodatni, a drugi ujemny. Aby rozwiązać nierówność ( x −3)(x2 + x − 2) < 0 , musimy zatem znaleźć takie liczby x, dla których wartości wyrażeń x − 3 i x2 + x −2 ma ją przeciwne znaki. W tym celu najwygodniej jest naszkicować w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji y = x −3 oraz y = x 2 + x − 2 , a następnie z rysunku odczytać, w jakich przedziałach wartości tych funkcji mają przeciwne znaki. Uwaga. Wykresów nie musimy rysować bardzo dokładnie, ważne jest tylko, aby można było z nich odczytać, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości ujemne, a dla jakich dodatnie (wystarczy więc wyznaczyć miejsca zerowe, określić kierunek prostej i położenie ramion paraboli).
Na rysunku poniżej przedstawiono wykres funkcji y = x − 3 oraz wykres funkcji y = x 2 + x − 2; znakami plus i minus oznaczono, w jakich przedziałach funkcje te przyjmują wartości dodatnie, a w jakich ujemne.
Z rysunku możemy odczytać, że wartości funkcji y = x − 3 oraz y = x 2 + x −2 mają przeciwne znaki w przedziale (− ∞;−2), a także w przedziale (1;3). Zatem rozważana nierówność jest spełniona dla x ∈ (−∞;−2) ∪ (1;3). 116
WIELOMIANY
B
Podaj zbiory rozwiązań nierówności zapisanych pod rysunkami.
Każdą z nierówności zapisanych obok można przekształcić tak, aby po jednej stronie znaku nierówności występował wielomian, a po drugiej 0. Takie nierówności nazywamy wielomianowymi.
P
Przykłady nierówności wielomianowych: 3x5 − 3x3 + 8 > 0 3x4 + 2x2 < 5
x3 ≥ 2 x2 − 1
(x − 3)2 (2x − 1) ≤ 0
Rozwiąż nierówność: 4x 3 + 2x 2 − 1 ≥ x 3 + 27x + 17. 3
2
3x + 2x − 27x − 18 ≥ 0 x 2 (3x + 2) − 9(3x + 2) ≥ 0 (3x + 2)(x 2 − 9) ≥ 0 3x + 2 = 0 2
x = − 3
x 2 − 9 = 0 x = 3 lub x = −3
Przekształcamy nierówność do postaci W (x ) ≥ 0, gdzie W (x ) jest wielomianem. Rozkładamy wielomian na czynniki stopnia co najwyżej drugiego. Znajdujemy miejsca zerowe funkcji f (x ) = 3x + 2 i g (x ) = x 2 − 9.
Szkicujemy wykresy funkcji f (x ) = 3x + 2 i g (x ) = x 2 − 9 oraz zaznaczamy, dla jakich argumentów funkcje przyjmują wartości dodatnie, a dla jakich ujemne.
2 −3; − 3
∈
x
∪ ∞ 3; + )
NIERÓWNOŚCI WIELOMIANOWE
Z wykresu odczytujemy przedziały, w których wartości funkcji mają ten sam znak lub są równe 0.
117
ZADANIA 1. Korzystając z wykresów funkcji
f i g , podaj rozwiązanie nierówności zapisanej
pod rysunkiem.
a) f (x) = − 2x + 1 g(x) = −x2 + 7x − 10
(− x2 + 1)(−x2 + 7x − 10) ≥ 0
c) f (x) = − 15 (x2 + x − 12)
b) f (x) = 2x + 4 g (x) = 1 x2 + x − 4 2
g(x) = 2x − x2
(2x + 4)( 21 x2 + x − 4) ≤ 0
2. Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji
− 15 (x2 + x − 12)(2x − x2 ) ≤ 0
f i g . Zapisz taką nierówność, aby
zbiór podany pod rysunkiem był zbiorem jej rozwiązań.
a) f (x) = 14 x2 + 12 x − 2 g(x) = −x2 − 4x
b) f (x) = x 2 − 8x + 15 g (x) = −x2 + 4
c) f (x) = x2 − 4x + 3 g(x) = − 1 x2 − 1 x + 2 3 3
3. Rozwiąż nierówność: a) (−x + 1)(x2 − 2) ≥ 0
e) (x2 − 3x − 10)(x2 − 5x) ≤ 0
b) (2 − 3x)(−3x2 − 4x − 2) < 0
f) (x2 − 10)(3x2 − 20) < 0
c) −5x(x2 − 2x − 1) ≥ 0
g) (x2 − x)(−x2 + 2x + 11) ≤ 0
d) (3 − x)(x2 + 8x + 16) ≤ 0
h) (x2 − 4x −5)(x2 + 3x − 4) > 0
4. Rozwiąż nierówność (najpierw rozłóż wielomian na czynniki): a) 12 x3 − 5x2 < 0
e) −4x3 + 3x2 + 4x − 3 > 0
b) x3 − x2 − 6x < 0
f) −2x3 + x2 + 18x − 9 ≤ 0
c) −x4 + 3x3 + 4x2 ≥ 0
g) x3 + 5x2 + 8x + 40 ≤ 0
d) 2x7 − 3x6 − 2x5 > 0
h) x4 + x3 − 8x − 8 ≥ 0
118
WIELOMIANY
5. Rozwiąż nierówność (skorzystaj z twierdzenia B´ezout): a) 3x3 − x2 − x − 1 ≤ 0
d) 7x2 − 2x − 3 ≤ 2x3
b) x3 − x2 − 3x − 1 ≥ 0
e) x3 + 3x2 − 1 > x2 + 5x + 5
c) −4x3 + 12x2 − 5x − 6 < 0
f) x3 + x2 + x > 2 − 2x2
6. a) Jaka powinna być wartość p, aby liczba p3 + p2 − 9p była większa od 9? b) Dla jakich liczb naturalnych n liczba 2n3 + 3 n2 + 4 n − 5 jest większa od liczby 3n3 − 2n2 + 15?
7. Określ dziedzinę funkcji: 2
a) y = (x − 3)(x
√ b) y = 4x4 + 12x3 + 9x2
− 4)
c) y =
(x+3)(21x −9x−5) 2
8. Dla jakiej√ wartości b zbiorem rozwiązań nierówności ( x + b )(x2 + x − 1) > 0 jest
przedział
5−1;+ 2
∞?
9. Rozwiąż nierówność: a) (3x − 7)4 (2x + 9) < 0
e) (5 − x)2 (2x2 − 8)3 > 0
b) (4 − 5x)3 (x −11)6 > 0
f) (x2 − 2x −15)4 (2x + 1) ≤ 0
c) (3x − 2)4 (2x2 − 4)3 (x + 3)2 < 0
g) (x2 + 3)(2x −5)(1− x2 ) < 0
d) (2x − 6)5 (6x − 3)5 (2 − x)2 ≥ 0
h) (x2 − 7)(2x2 + x − 1)(3x2 + x − 2) ≥ 0
10. Wyobraź sobie, że z kartonu w kształcie prostokąta o wymiarach 10 cm × 12 cm w narożnikach odcinamy cztery jednakowe kwadraty, a następnie składamy prostopadłościenne pudełko. Jaką długość powinny mieć boki odciętych kwadratów, aby pojemność pudełka była większa niż 96 cm3 ?
TEST T1.
1 Zbiorem rozwiązań której z poniższych nierówności jest przedział −∞; − ? 2
A. (2x + 1)(x2 − 4) ≤ 0 B. x − 1 2x2 + 4 ≥ 0
2
T2. Dziedziną funkcji A. (3;+∞)
C. (x2 + 1)(2x + 1) ≤ 0 D. (2x + 1)(2x − 1) ≥ 0
(1 − x)(xx− 1− 4x + 3) jest:
B. (−∞; 3)
NIERÓWNOŚCI WIELOMIANOWE
2
C. (−∞; 1) ∪ (1; 3)
D. (1; 3) 119
E W O
FUNKCJE WIELOMIANOWE Poniżej przedstawiono wzory i wykresy kilku funkcji. Wzór każdej z nich ma postać y = W (x), gdzie W (x) jest wielomianem. Tego typu funkcje nazywamy funkcjami wielomianowymi. y = − x3 + 2x2 + 3x − 3
y = − x4 + x3 + 2x2 + 1
y = x (x2 + 8x + 15)(x2 − 6x + 8) 50
Dziedziną funkcji wielomianowej jest zbiór liczb rzeczywistych.
A
Jeśli dysponujesz kalkulatorem graficznym lub komputerem z odpowiednim programem, użyj ich do sporządzenia wykresów kilku dowolnych funkcji wielomianowych.
Zauważ, że funkcje liniowe i funkcje kwadratowe (których własności poznałeś w pierwszej klasie) to także funkcje wielomianowe. Omówimy teraz niektóre własności funkcji wielomianowych postaci y = W (x), gdzie W (x) jest wielomianem stopnia wyższego niż 2. Zaczniemy od funkcji typu y = ax n .
B
Przyjrzyj się narysowanym poniżej wykresom funkcji.
1. Podaj miejsce zerowe każdej z tych funkcji 2. Określ monotoniczność każdej z tych funkcji. 3. Który z wykresów jest symetryczny względem osi y , a który względem początku układu współrzędnych? 120
WIELOMIANY
Wykresy funkcji typu y = axn przechodzą przez początek układu współrzędnych. Ponadto: Jeśli n jest liczbą parzystą, to wykres funkcji y = axn ma oś symetrii — jest nią oś y . W zależności od wartości współczynnika a funkcja może przyjmować tylko wartości nieujemne (dla a > 0) lub tylko niedodatnie (dla a < 0). Jeśli n jest liczbą nieparzystą, to wykres funkcji y = axn ma środek symetrii — jest nim początek układu współrzędnych. W zależności od wartości współczynnika a funkcja może być rosnąca (dla a > 0) albo malejąca (dla a < 0).
C
Naszkicuj wykresy podanych funkcji i ustal, czy te funkcje mają miejsca zerowe. Jeśli funkcja ma miejsca zerowe, to określ ich liczbę i znaki. f (x) = 5x24 − 6
Wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków. Wielomian nieparzystego stopnia ma co najmniej jeden pierwiastek.
g(x) = −7x109 + 3
h(x) = −3x50 − 4
Obok przypominamy dwie ważne własności wielomianów. Wynika z nich, że: Funkcja wielomianowa y = W (x), gdzie W (x) jest wielomianem stopnia n, ma nie więcej niż n miejsc zerowych. Jeśli W (x) jest wielomianem nieparzystego stopnia, to funkcja postaci y = W (x) ma co najmniej jedno miejsce zerowe.
Uwaga. Jeśli W (x) jest wielomianem parzystego stopnia, to funkcja postaci y = W (x)
może nie mieć miejsc zerowych.
D
Dane są funkcje: f (x) = (x − 13)(x2 −25)(x + 3)
g (x) = −7(x +3)(x2 +8)(x2 − 100)
h(x) = 2(x2 − 2x +1)(x +5)(1− x)
1. Znajdź największe miejsce zerowe każdej z tych funkcji i sprawdź dla kilku argumentów większych od tego miejsca zerowego, czy dla tych argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie czy ujemne.
2. Wzory funkcji f , g oraz h można zapisać w postaci
y = a n xn + ... + a1 x + a0 .
Dla każdej z tych funkcji podaj znak współczynnika an . FUNKCJE WIELOMIANOWE
121
Na rysunkach przedstawiono wykresy kilku funkcji wielomianowych postaci y = a n xn + an−1xn−1 + ... + a1 x + a0 . Z lewej strony przedstawiono funkcje, dla których an > 0, a z prawej — funkcje, dla których an < 0.
Jeśli an > 0 i funkcja wielomianowa
Jeśli a n < 0 i funkcja wielomianowa
y = a n xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0
y = a n xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0
ma miejsca zerowe, to dla argumentów większych od wszystkich miejsc zerowych wartości funkcji są dodatnie.
ma miejsca zerowe, to dla argumentów większych od wszystkich miejsc zerowych wartości funkcji są ujemne.
Jeśli nie ma miejsc zerowych, to wszyst-
Jeśli nie ma miejsc zerowych, to wszyst-
kie wartości funkcji są dodatnie.
kie wartości funkcji są ujemne.
Dla argumentów mniejszych od wszystkich miejsc zerowych wartości funkcji mogą być dodatnie lub ujemne zarówno wtedy, gdy a n > 0, jak i wtedy, gdy a n < 0.
E
122
Ustal, jak się zmienia znak wartości funkcji y = (x + 2) m (x − 3)n przy przechodzeniu jej wykresu przez punkty (−2,0) oraz (3,0), w zależności od tego, czy m i n są liczbami parzystymi czy nieparzystymi.
WIELOMIANY
Jeśli liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x), to wykres funkcji postaci y = W (x) przechodzi przez punkt ( a,0). Po przejściu przez ten punkt wykres może pozostać po tej samej stronie osi x albo przejść na drugą stronę. Zależy to od krotności pierwiastka a: Jeśli a jest parzystokrotnym pierwiastkiem, to wykres po przejściu przez punkt ( a, 0) po-
zostaje po tej samej stronie osi x (znak wartości funkcji się nie zmienia). Jeśli a jest pierwiastkiem nieparzystokrotnym, to wykres po przejściu przez punkt ( a, 0) przechodzi na drugą stronę osi x (znak wartości funkcji się zmienia).
F
Przypuśćmy, że liczby −1 i 2 są jedynymi pierwiastkami wielomianu W (x). Naszkicuj, jak może wyglądać wykres funkcji y = W (x), jeśli:
1. oba pierwiastki tego wielomianu są parzystokrotnymi pierwiastkami wielomianu,
2. liczba −1 jest pierwiastkiem jednokrotnym, a liczba 2 pierwiastkiem trzykrotnym.
ZADANIA 1. Poniżej narysowano wykresy następujących funkcji: f (x) = −3x4
g (x) = −2x5
h(x) = 1 x3 4
k(x) =
√ 2x4
Dopasuj wykresy do odpowiednich wzorów funkcji.
FUNKCJE WIELOMIANOWE
123
2. Jeden z podanych wzorów opisuje funkcję, której wykres narysowano obok. Który to wzór?
√ √ 3)x3
f (x) = ( 2 −
h(x) = (2 −
g(x) = (π − 3)x5
√ 3)x4
3. a) Naszkicuj wykres funkcji
y = x66 i y = x + 1. Określ, ile rozwiązań ma równanie x66 = x + 1.
b) Po naszkicowaniu odpowiednich wykresów określ, ile rozwiązań ma równanie − x100 − x2 + 1 = 0. c) Ile miejsc zerowych ma funkcja y = x 55 + x − 2?
4. Na rysunku obok przedstawiono cztery wykresy funkcji wielomianowych trzeciego stopnia. Dla której z tych funk-
cji współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu jest dodatni?
5. Poniżej narysowano wykresy funkcji f oraz g. W jaki sposób należy przesunąć wykres każdej z tych funkcji, aby otrzymać wykres, który: a) nie przecina osi x, c) ma z osią x pięć punktów wspólnych, b) ma z osią x jeden punkt wspólny, d) ma z osią x sześć punktów wspólnych?
6. Poniższe rysunki przedstawiają krzywe, które są wykresami funkcji wielomianowych. Określ najniższy możliwy stopień odpowiednich wielomianów.
124
WIELOMIANY
7. Dopasuj zdania do wykresów funkcji przedstawionych na rysunkach. a) Dwa pierwiastki wielomianu są nieparzystokrotne. b) Wszystkie pierwiastki wielomianu są parzystokrotne. c) Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej jest liczbą ujemną.
8. Obok narysowano wykres pewnej funkcji wielomianowej. Odczytaj z niego pierwiastki wielomianu W (x) i określ, które z nich są parzystokrotne.
9. Podaj przykład wzoru funkcji wielomianowej o miejscach zerowych 1, 3 i 5, która przyjmuje: a) tylko wartości nieujemne, b) wartości ujemne tylko dla x ∈ (3;5) ∪ (5;+∞), c) wartości ujemne tylko dla x ∈ (−∞;1).
10. Wszystkie współczynniki wielomianu
W (x) są liczbami całkowitymi, a wykres
funkcji y = W (x) przecina oś y w punkcie (0, 1). Wykaż, że miejscem zerowym tej funkcji nie może być żadna liczba całkowita różna od 1 i −1. c ie k aw os t k a
Łatwo zauważyć, że wykres funkcji ty- jednak, że każdy wykres funkcji wielopu y = ax 3 ma środek symetrii (jest nim mianowej y = ax3 + bx 2 + c x + d , gdzie początek układu współrzędnych). Wyda- a = 0, ma środek symetrii. Środkiem wać by się mogło, że wykresy innych symetrii wykresu takiej funkcji jest ten funkcji wielomianowych trzeciego stop- punkt wykresu, którego pierwsza współnia nie są tak regularne. Okazuje się rzędna jest równa − 3ba .
11. Przeczytaj ciekawostkę. Tylko dwa z poniższych wykresów są wykresami funkcji wielomianowej stopnia trzeciego. Które?
FUNKCJE WIELOMIANOWE
125
12. a) Oblicz współrzędne środka symetrii wykresu funkcji y = − x3 + 3x2 + 7x + 11. b) Jaki warunek muszą spełniać współczynniki a, b, c oraz d we wzorze funkcji y = ax 3 + bx2 + cx + d , aby środek symetrii jej wykresu leżał na osi y ? c) Podaj kilka przykładów funkcji wielomianowych trzeciego stopnia, których wykresy mają środek symetrii leżący na osi y . d) Jaki warunek muszą spełniać współczynniki a, b oraz c , aby środek symetrii wykresu funkcji y = ax 3 + bx2 + cx leżał na osi x?
TEST T1.
Który z poniższych rysunków przedstawia wykres funkcji f (x) = −2(x2 − x )(x − 1) 2 ?
T2. Rozważ funkcję wielomianową f (x) = an xn + . . . + a1x + a0 . Które z poniższych zdań jest prawdziwe? A. Jeśli n = 5, to funkcja f ma pięć miejsc zerowych. B. Jeśli an > 0, to zbiorem wartości funkcji f jest zbiór dodatnich liczb rzeczywistych. C. Jeśli wszystkie pierwiastki wielomianu a n xn + . . . + a1 x + a0 są podwójne, to funkcja f nie przyjmuje wartości ujemnych. D. Jeśli funkcja f ma siedem miejsc zerowych, to n ≥ 7
T3. Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f (x) = a(x − b )(x − c )4 (x − 3)d . Która z wartości jest prawidłowa?
A. a < 0 126
B. b = 5
C. c = 1
D. d = 3
WIELOMIANY
) . D C
NIERÓWNOŚCI WIELOMIANOWE (CD.) W jednym z poprzednich rozdziałów rozwiązywaliśmy nierówności wielomianowe. Pokażemy teraz inną metodę rozwiązywania takich nierówności. Pamiętasz zapewne, że rozwiązując nierówność kwadratową, wygodnie było posługiwać się wykresem odpowiedniej funkcji kwadratowej. Wykres ten nie musiał być bardzo dokładny — wystarczyło znać miejsca zerowe funkcji i wiedzieć, jak są skierowane ramiona paraboli.
A
Rozwiąż nierówność x2 − 2x − 3 ≤ 0.
Przy rozwiązywaniu nierówności wielomianowych wyższych stopni także wygodnie jest skorzystać z wykresu odpowiedniej funkcji.
B
Obok narysowano wykres pewnej funkcji y = W (x). Odczytaj z tego wykresu rozwiązanie nierówności W (x) ≤ 0.
Jeśli nie mamy do dyspozycji komputera albo kalkulatora graficznego, rysowanie wykresów funkcji wielomianowych jest na ogół bardzo trudne. Korzystając z omówionych w poprzednim rozdziale własności wykresów, możemy jednak naszkicować rysunek ilustrujący, jak zmienia się znak wartości funkcji. Oto sposób postępowania przy szkicowaniu rysunku przedstawiającego zmianę znaku wartości funkcji wielomianowej postaci y = W (x), gdzie W (x) = a n xn + . . . + a1 x + a0 . Najpierw znajdujemy pierwiastki wielomianu W (x) i określamy ich krotności, a następnie zaznaczamy te pierwiastki na osi x (pierwiastki parzystokrotne można zaznaczyć kropką, a nieparzystokrotne — kreseczką).
Ustalamy, jaki znak ma współczynnik an wielomianu W (x) przy najwyższej potędze zmiennej. Rysowanie wykresu zaczynamy od prawej strony; gdy a n > 0 — zaczynamy nad osią x , gdy a n < 0 — zaczynamy pod osią x.
NIERÓWNOŚCI WIELOMIANOWE (CD.)
127
Rysujemy linię przechodzącą przez punkty zaznaczone na osi. Jeśli punkt na osi odpowiada pierwiastkowi parzystokrotnemu — linia pozostaje po tej samej stronie osi. Jeśli punkt odpowiada pierwiastkowi nieparzystokrotnemu — linia przechodzi na drugą stronę osi x.
Uwaga. Należy pamiętać, że linia, którą rysujemy w opisany wyżej sposób, nie jest wykresem danej funkcji wielomianowej. Linia ta tylko ilustruje, w jaki sposób zmienia się znak wartości funkcji.
C
P
Liczby a = −3, b = 0 i c = 2 to jedyne pierwiastki wielomianu W (x). Wiedząc, że a jest pierwiastkiem dwukrotnym, b — trzykrotnym, a c — jednokrotnym, naszkicuj wykres ilustrujący, w jaki sposób zmienia się znak funkcji y = W (x), gdy współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej x jest liczbą ujemną.
Rozwiąż nierówność x 6 + 2x 5 − 4x 4 − 8x 3 ≤ 0. x 6 + 2x 5 − 4x 4 − 8x 3 ≤ 0 x 6 + 2x 5 − 4x 4 − 8x 3 = = x 3 (x 3 + 2x 2 − 4x − 8) =
Rozkładamy wielomian na czynniki, aby znaleźć jego pierwiastki i określić ich krotności.
= x 3 [x 2 (x + 2) − 4(x + 2)] = = x 3 (x + 2)(x 2 − 4) = x 3 (x + 2)2 (x − 2) x 3 (x + 2)2 (x − 2) = 0 x = 0
x = −2
pierwiastek trzykrotny
pierwiastek dwukrotny
Znajdujemy pierwiastki wielomianu i ustalamy ich krotności.
x = 2 pierwiastek jednokrotny
Szkicujemy wykres zmiany znaku wartości funkcji y = x 6 + 2x 5 − 4x 4 − 8x 3 ; szkicowanie rozpoczynamy z prawej strony ponad osią x , gdyż współczynnik przy x 6 jest dodatni; wykres przecina oś x w punktach (0, 0) oraz (2, 0), a przechodząc przez punkt (−2, 0), pozostaje po tej samej stronie osi x . Z wykresu odczytujemy rozwiązania nierówności.
∈ 0; 2 ∪ {−2}.
Odp. Zbiorem rozwiązań nierówności jest x 128
WIELOMIANY
ZADANIA 1. Rozwiąż nierówność: a)
−2(x − 3)2 (x − 1)5
3 x− 1 ≥ 0 2
b) 1 x3 (x + 4)4 (x − 3)2 ≤ 0
e) (x2 − 3x − 10)(x − 5)3 (x2 + 4x + 4) ≥ 0 f) − 2 (x2 − 4)(x − 2)(x2 − 1)(x2 − x − 2) > 0
2
c)
3
√ √ √ − 5x2 (x − 2)3 (x + 3)5 > 0
g) 1 x(x2 + 2x − 3)(x2 + 6x + 9)(x2 − x) ≤ 0 2
d) −0,4(x − 7)6 (x + 1)8 (x − 1)7 < 0
h) −3x2 (x2 − 9)(x2 − 6x + 9)(x2 − 3x) < 0
2. Dla jakich argumentów obie funkcje
f i g przyjmują wartości ujemne?
a) f (x) = x(x + 3)3 (x − 5)4 , g (x) = (x + 1)(x − 3)2 (x − 5)5 b) f (x) = 2(x + 5)(x − 1)7 (x − 6)2 , g (x) = −3(x + 5)3 (x − 1)(x − 6) c) f (x) = −4x(x +1)(x + 4)3 (x − 4), g(x) = − 1 x4 (x + 4)(x − 4)3 4
3. Znajdź argumenty, dla których wartości funkcji
y = f (x) g(x) są dodatnie, gdy f (x) = −2(x + 3)3 (x − 1)6 (x − 4)4 (x − 6)5 i g(x) = −0,2(x +3)(x + 1)2 (x − 1)5 .
·
4. Rozwiąż po dwa przykłady z zadań 3, 4 i 5 ze str. 118–119, korzystając z metody opisanej w tym rozdziale.
TEST T1. Zbiorem rozwiązań nierówności −3x2 (x − 4)4 (x + 4)5 > 0 jest: A. (−∞; −4)
B. (−4; 4)
C. (−∞; 0)
D. (−4; 0) ∪ (0;4) ∪ (4;+∞)
T2. Jeśli x = −1 i x = 2 są trzykrotnymi pierwiastkami wielomianu a n xn +. . . +a1 x+ a0 i wielomian ten nie ma więcej pierwiastków oraz an < 0, to zbiorem rozwiązań nierówności an xn + . . . + a1 x + a0 < 0 jest: A. (2;+∞)
B. (−∞; −1)
C. (−∞;−1) ∪ (2;+∞)
D. (−1; 2)
T3. Dane są wielomiany: U (x) = −(5 − x)(x − 2)3
V (x) = (5 − x)2 (x − 2)
W (x) = −2(5 − x)4 (x − 2)2
Dla jakich argumentów funkcja f (x) = U (x) · V (x) · W (x) przyjmuje wartości ujemne? A. dla x ∈ (5;+∞) B. dla x ∈ (−∞; 2) ∪ (2;5) NIERÓWNOŚCI WIELOMIANOWE (CD.)
C. dla x ∈ (−∞; 5) D. dla x ∈ (2;+∞) 129
E I N E Z R Ó T W PO1.
Dane są wielomiany: U (x) = 4x3 − 3x, V (x) = −3x2 − 6x + 2, W (x) = x 4 − 2x3 − 3x. Wykonaj działania: U (x) − W (x), W (x) + + 2U (x) − 21 V (x), U (x) · V (x) + W (x).
8. Znajdź pierwiastki podanego wielo-
2. Jakie jednomiany należy wstawić
c) (x5 − 4x3 + 8x2 − 32)(x3 − 2x2 )
w miejsce liter A, B i C , aby zachodziła równość wielomianów?
9. Znajdź liczbę, której kwadrat jest
a) A(3x2 − x + B ) = 6x4 + C + 14x2
równy iloczynowi sześcianu tej liczby i liczby o 2 od niej większej.
mianu i ustal ich krotności.
a) x5 (x − 3)(x + 11)2 (2x + 4)5 b) (x2 − 3x +2)(−2x2 + 3x +2)(−2x2 + x + 1)
b) Ax2 + B + 4 = C (3x2 − 5x + 2)
10. Wykonaj dzielenie: 3. Dany jest wielomian:
a) (2x5 + 5x4 − 3x3 ) : (x + 3)
W (x) = (5x3 − 3x − 2)10
b) (−5x4 + 3x3 + 8x + 10) : (x − 2)
Oblicz sumę wszystkich współczynników tego wielomianu.
c) (6x4 − 2x3 − x2 + x − 1) : (3x2 − x + 1)
11. Dany jest wielomian −4x3 + px2 + x − 2.
4. Rozłóż wielomian na czynniki:
Dla jakiej wartości parametru p : a) wielomian ten jest podzielny przez dwumian x + 2, b) reszta z dzielenia tego wielomianu przez dwumian x − 3 jest równa 1?
a) 5x4 − 20 b) −4x4 + 26x3 − 12x2 c) 2x3 + 5x2 + 6x + 15 d) x5 − 2x4 + 7x3 + 8x2 − 16x + 56
12. Dla jakich wartości parametrów 5. Rozłóż wielomian − x3 + 2x2 − 3x + 6 na czynniki, a następnie uzasadnij, że przyjmuje on wartości dodatnie tylko dla x < 2.
6. Określ, dla jakich liczb nie można obliczyć wartości poniższego wyrażenia. 3x2 − 9x3 3x6 − x5 + 15x4 − 5x3
i n liczba 3 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu x3 − 5x2 + mx + n?
13. Znajdź resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x 3 − x, wiedząc, że W (0) = 2, W (1) = −1, W (−1) = 3. Wskazówka. W (x) = (x3 −x)·Q(x)+ ax2 +bx+c .
14. a) Liczba 7 jest pierwiastkiem wie-
Przedstaw to wyrażenie w prostszej postaci.
7. Rozwiąż równanie:
1 a) (5x − 2)(x + 7) 4 − x = 0 3
lomianu 6x3 − 55x2 + 86x + 35. Znajdź pozostałe pierwiastki tego wielomianu. b) Znajdź pierwiastki całkowite wielomianu 10x3 + 23x2 − 20x +3, a następnie oblicz pozostałe jego pierwiastki.
15. Znajdź liczbę całkowitą spełniającą
b) 5x5 − 21x4 − 20x3 = 0
równanie 2x4 − x3 − 13x2 + 5x + 15 = 0, a następnie znajdź pozostałe rozwiązania tego równania.
c) 2x4 − 11x2 − 21 = 0 d) 5x3 − 4x2 + 45x − 36 = 0 130
m
WIELOMIANY
16. Ustal, ile miejsc zerowych ma funkcja określona wzorem
y = x 99
+ x + 1.
21. Dla jakich argumentów wartości funkcji f są większe od wartości funkcji g?
17. a) Znajdź wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu 3x3 − 2x2 − 9x + 6.
b) Czy wielomian 2 x4 + 2x3 + x2 − x − 1 ma pierwiastki wymierne? Odpowiedź uzasadnij.
18. Korzystając z poniższego rysunku, podaj zbiór rozwiązań nierówności:
a) (x2 − x − 2)(−x + 2) ≥ 0 b)
(x2
− x − 2)(x2
− 4x + 4) < 0
19. Rozwiąż nierówność: a) (2x2 − x)(2x2 + 11x − 6) ≤ 0
22. Korzystając z rysunku, ustal, która z liczb m czy n jest parzysta oraz, jakie znaki mają liczby a i b.
23. Rysunek przedstawia wykres funkcji wielomianowej y = W (x). Korzystając z niego, rozwiąż poniższe nierówności.
b) 4x3 + 3x2 − 8x − 6 > 0 c) −3x4 + 10x3 + 25x2 < 0
20. Dla jakich argumentów funkcja: f (x) = −3x4 (x − 5)3 (x + 2)7
przyjmuje wartości ujemne?
a) W (x) ≤ 0
c) (x + 5)2 W (x) < 0
b) (x + 2)W (x) ≥ 0
d) x5 · W (x) > 0
ZAGADKA Rozwiązaniem rebusu przedstawionego obok jest pewne po jęcie matematyczne (można je znaleźć w tym rozdziale). Jakie to pojęcie?
WIELOMIANY
131
A D A B A PR A C PUNKTY I WYKRESY
Jeśli w układzie współrzędnych zaznaczymy kilka punktów, których odcięte są różnymi liczbami (żadna para punktów nie leży na pionowej prostej), to przez punkty te można (na wiele sposobów) poprowadzić linię, która jest wykresem pewnej funkcji. Można się zastanawiać, czy przez te punkty można poprowadzić linię, która jest wykresem pewnej funkcji wielomianowej. Okazuje się, że niezależnie od liczby i położenia wybranych punktów taka funkcja wielomianowa zawsze istnieje. Jeżeli zaznaczymy dwa punkty, to można przez nie poprowadzić prostą (wykres funkcji wielomianowej pierwszego stopnia). Jeżeli zaznaczymy trzy punkty niewspółliniowe, to można przez nie poprowadzić parabolę (wykres funkcji wielomianowej drugiego stopnia). Uwaga. Jeśli przez trzy punkty można poprowadzić prostą, to nie można przez nie poprowadzić paraboli.
Istotnie, prosta z parabolą nie mogą mieć trzech punktów wspólnych, gdyż dowolna prosta y = px + q ma z dowolną parabolą y = ax2 + bx + c co najwyżej dwa punkty wspólne, ponieważ układ równań y = px + q y = ax 2 + bx + c
ma tyle rozwiązań, co równanie kwadratowe px + q = ax2 + bx + c (czyli co najwyżej dwa).
Jeżeli zaznaczymy cztery punkty, które nie leżą na jednej prostej ani na żadnej paraboli, to można przez nie poprowadzić wykres funkcji wielomianowej trzeciego stopnia.
A. Uzasadnij, że jeśli cztery punkty są współliniowe lub leżą na tej samej paraboli, to nie istnieje funkcja wielomianowa trzeciego stopnia, której wykres przechodzi przez te punkty.
B. W układzie współrzędnych zaznacz punkty (0,4), (1,6) i (2,2). Znajdź wzór funkcji wielomianowej drugiego stopnia, której wykres przechodzi przez te punkty. Wskazówka. Współrzędne podanych punktów muszą spełniać równanie y = ax 2 + bx + c . Znajdź liczby a, b i c , rozwiązując odpowiedni układ trzech równań.
Wzór funkcji wielomianowej trzeciego stopnia, której wykres przechodzi przez cztery dane punkty, można otrzymać, rozwiązując układ czterech równań z czterema niewiadomymi. 132
WIELOMIANY
