Matematika 3/1

Branimir Dakić Neven Elezović

OG LE DN IP RIM JE RA K

MATEMATIKA 3 udˇzbenik i zbirka zadataka za 3. razred prirodoslovno-matematiˇcke gimnazije 1. dio

OG LE DN IP RIM JE RA K Intelektualno je vlasniˇstvo, poput svakog drugog vlasniˇstva, neotudivo, zakonom zaˇstićeno i mora se poˇstivati. Nijedan dio ove knjige ne smije se preslikavati niti umnaˇzati na bilo koji naˇcin, bez pismenog dopuˇstenja nakladnika.

ISBN 978-953-197-839-2 (cjelina) ISBN 978-953-197-840-8 (Dio 1)


Branimir Dakić Neven Elezović

MATEMATIKA 3 udˇzbenik i zbirka zadataka

za 3. razred prirodoslovno-matematiˇcke gimnazije

1. dio

1. izdanje

Zagreb, 2013.

Branimir Dakić, prof. prof. dr. sc. Neven Elezović, 2013.


c

Urednica Sandra Graˇcan, dipl. ing.

Recenzenti ˇ Zeljka Frković, prof. prof. dr. sc. Ljubo Marangunić Lektorica Dunja Apostolovski, prof. Crteˇzi, slog i prijelom Element d.o.o., Zagreb Dizajn Edo Kadić

Nakladnik Element d.o.o., Zagreb, Menˇcetićeva 2 tel. 01/ 6008-700, 01/ 6008-701 faks 01/ 6008-799 www.element.hr [email protected]

Tisak Element d.o.o., Zagreb

Sadrˇzaj


1. Kut i brojevna kruˇznica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1. Kut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Radijanska mjera kuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Brojevna kruˇznica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Trigonometrijske funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.

Definicije trigonometrijskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Odredivanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . Odredivanje vrijednosti kuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Osnovni trigonometrijski identiteti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Svojstva trigonometrijskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Trigonometrijski identiteti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1. Adicijski teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Trigonometrijske funkcije dvostrukog i poloviˇcnog kuta . . . . . . . . . . . 3.3. Formule pretvorbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Grafovi trigonometrijskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1. Grafovi funkcija sinus i kosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Grafovi funkcija tangens i kotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Primjeri primjene trigonometrijskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 8 16 21 22 28 32 43 49 59 60 68 75 79 80 92 97

5. Trigonometrijske jednadˇzbe i nejednadˇzbe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.1. Trigonometrijske jednadˇzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.2. Trigonometrijske nejednadˇzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6. Pouˇcci o trokutu

................................................. Pouˇcak o sinusima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pouˇcak o kosinusu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trigonometrija trokuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ Cetverokut ............................................... Primjene trigonometrije u stereometriji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123 124 133 139 149 155

Rjeˇsenja i upute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Odgovori na zadatke unutar gradiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Kut i brojevna kruˇznica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Trigonometrijske funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Trigonometrijski identiteti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Grafovi trigonometrijskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Trigonometrijske jednadˇzbe i nejednadˇzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Pouˇcci o trokutu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rjeˇsenja toˇcno-netoˇcno pitalica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163 164 169 171 174 177 178 181 188

6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5.

Kazalo pojmova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189



1

ˇ KUT I BROJEVNA KRUZNICA

1.1. Kut


Ivana Brkljaˇcić i Sandra Perković pripadaju skupini najuspjeˇsnijih hrvatskih atletiˇcarki. Ivana se bavila bacanjem kladiva, a Sandra baca disk i kuglu. Sigurno ste primijetili kako se atletiˇcarke prije nego sˇ to izbace kladivo, disk ili kuglu zavrte oko svoje osi. Koliki kut pritom opiˇsu? Ima li smisla ovo pitanje? Da, ima, i upravo o tome c´ e biti govora u ovom odjeljku.

Definicija kuta

- dvjema U dosadaˇsnjem smo sˇ kolovanju kut definirali kao dio ravnine odreden zrakama (polupravcima) sa zajedniˇckim poˇcetkom. Oznaˇcavali smo ga simbolom < )pVq . Pritom moramo posebno oznaˇciti (lukom ili na koji drugi naˇcin) na - tim parom zraka mislimo. koji dio ravnine odreden q

p

V

V

p

q

- 0◦ i 360◦ . Ovisno o tome kolika im je Mjera kuta je pozitivan broj, izmedu mjera, za neke smo kutove govorili da su sˇ iljasti, pravi, tupi, ispruˇzeni, izboˇceni i puni. U sloˇzenijim primjenama trigonometrije morat cémo rjeˇsavati probleme u kojima ˇ kut moˇze imati mjeru veću od 90◦ . Stoviˇ se, pokazuje se da za mnoge probleme moramo dopustiti da kut ima mjeru veću od 360◦ , ili pak da ona bude negativna. Zato cémo proˇsiriti pojam kuta i njegove mjere.

2

KUT

1.1


Zamislimo da se neka zraka vrti oko svoje poˇcetne toˇcke V . Neka je njezin poˇcetni poloˇzaj zraka p , a zavrˇsni zraka q . Pri toj vrtnji zraka je “prebrisala” dio ravnine koji zovemo kut i oznaˇcavamo s < )pVq . Kako bismo opisali naˇcin vrtnje, uz poˇcetnu i zavrˇsnu zraku nacrtat cémo i kruˇzni luk sa strelicom koja oznaˇcava smjer vrtnje.

Kut

- par (p, q) dviju zraka koje imaju isti poˇcetak V . OznaKut je ureden cˇavamo ga s < )pVq . Toˇcku V nazivamo vrh, zraku p nazivamo prvi krak (ili poˇcetni krak), a zraku q drugi krak (ili zavrˇsni krak) kuta < )pVq .

Sada cémo pojam mjere proˇsiriti i na orijentirani kut.

Ako iz poˇcetne zrake p kuta < )pVq dolazimo do zavrˇsne zrake q vrtnjom u smjeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu, tad kaˇzemo da se zraka vrti u pozitivnom smjeru. Mjera kuta dobivenog vrtnjom u pozitivnom smjeru je pozitivna. 135°

-270°

90°

60°

180°

p

-180°

-330°

p

330°

-60°

-135°

270°

-90°

Ako se pak vrtnja odvijala u negativnom smjeru (u smjeru kretanja kazaljke na satu), tad uzimamo da je mjera kuta negativna. Na slici su navedene pozitivne mjere (lijevo) i negativne mjere (desno) nekih kutova s poˇcetnim krakom p .

3

1


60°

Neka se vrtnja u kutu odvija u pozitivnom smjeru. Puni kut ima mjeru 360◦ . Kod njega se zraka q nakon jednog punog okreta podudara sa zrakom p . Nastavi li se zraka q vrtjeti u istom smjeru, dobit cémo kut s mjerom većom od 360◦ .

390° 360°

OG LE DN IP RIM JE RA K Zadatak 1.

p

V

Na slici lijevo nacrtana je kruˇznica i istaknute toˇcke A , B , C , D , E . Ako je mjera kuta < )AOC jednaka 100◦ , mjera kuta < )BOD jednaka 160◦ i mjera ◦ kuta < )BOE jednaka −140 , kolike su mjere kutova < )DOC , < )DOE , < )AOC i < )COB ? C

C

B

B

D

O

A

O

A F

D

E

E

Na slici desno kruˇznica je podijeljena na dvanaest jednakih dijelova. Kolike su mjere kutova < )AOC , < )AOE , < )BOE , < )DOA , < )BOF , < )FOD , < )COB oznaˇcenih na slici?

Mjerenje kutova cˇesta je i praktiˇcna potreba. Provodi se nekim od brojnih instrumenata, primjerice kutomjerom. Dobro nam je poznat onaj najjednostavniji — sˇ kolski kutomjer. No u raznim strukama kao sˇ to su primjerice geodetska, strojarska ili gradevinska cˇesto su potrebna preciznija mjerenja kutova. U tu svrhu imamo razne, uglavnom digitalne, instrumente. Jedan vidimo na slici.

4

KUT

1.1

Odredivanje mjere kuta. Glavna mjera ¯


Nacrtajmo sad po volji odabrani kut < )pVq . Kolika je njegova mjera? Ovdje znamo poˇcetnu i zavrˇsnu zraku kuta, ali ne znamo kako se toˇcno odvijala vrtnja koja je zraku p prevela u zraku q . Naime, pri vrtnji zraka p moˇze i po viˇse puta - u poloˇzaj q . Zato isti kut moˇze imati viˇse “prebrisati” cijelu ravninu dok ne dode razliˇcitih mjera. q

p

Kut < )pVq ima beskonaˇcno mnogo mjera. Svake dvije medu njima razlikuju se za viˇsekratnik od 360◦ .

V

Neka je  neka mjera kuta < )pVq . Tad istom kutu odgovara i mjera od  + 360◦ ◦ ili pak  + 720 i općenito  + k · 360◦ za neki prirodni broj k , ali isto tako i mjera  − 360◦ ,  − 720◦ , općenito  − k · 360◦ za neki prirodni broj k . To naglaˇsavamo piˇsući da je mjera kuta < )pVq neki broj iz skupa { + k · 360◦ , k ∈ Z}.

Tako primjerice, za  = 30◦ sve mjere kuta cˇine skup

{30◦ , 30◦ ± 360◦ , 30◦ ± 720◦ . . .} = {. . . − 690◦ , −330◦ , 30◦ , 390◦ , 750◦ . . .}, a ako je  = −120◦ jedna mjera kuta < )pVq , onda su sve njegove mjere {−120◦ , −120◦ ± 360◦ , −120◦ ± 720◦ . . .} = {. . . − 840◦ , −480◦ , −120◦ , 240◦ , 600◦ . . .}.

Bilo kakvu poˇcetnu mjeru  odabrali, u ovom cé se skupu naći mjera  za koju vrijedi 0  < 360◦ . Tu mjeru nazivamo glavna mjera kuta < )pVq .

Primjer 1.

Ako je  = 370◦ mjera kuta < )pVq , onda je njegova glavna mjera  = 370◦ − 360◦ = 10◦ . Ako je  = 1230◦ mjera kuta < )pVq , onda je  = 1230◦ − 3 · 360◦ = ◦ 150 njegova glavna mjera.

Ako je  = −70◦ mjera kuta < )pVq , onda je  = −70◦ + 360◦ = 290◦ njegova glavna mjera.

5

1


Formulu za raˇcunanje glavne mjere napisat cémo rabeći funkciju najveći cjelobrojni dio. Za svaki realni broj x s x oznaˇcavamo najveći cijeli broj manji ili jednak broju x . Funkciju f (x) = x nazivamo najveći cjelobrojni dio.


Za pozitivne brojeve x vrijedi primjerice 2.3403 = 2 ,  = 3.1415 . . . = 3 , 4 = 4 . Dakle, najveći cjelobrojni dio pozitivnog broja dobijemo tako da zanemarimo decimalni dio broja. Ako√je argument ove funkcije negativan, onda je primjerice −3.232 = −4 , − 5 = −2.236 . . . = −3 , ali −5 = −5 . Glavna mjera kuta

- se formulom Glavna mjera  kuta  odreduje  =  − k · 360◦ ,  . gdje je k = 360

Primjer 2.

Odredimo glavnu mjeru kuta za koji je  = 1276◦ .

  1276 Imamo = = 3.54 . . . pa je k = = 3.54 . . . = 3 i 360 360 360

 = 1276◦ − 3 · 360◦ = 196◦ .

Primjer 3.

Odredimo glavnu mjeru  kuta za koji je  = −5320◦ .

Sad je

k=

pa dobivamo

 −5320 = = −14.77 . . . = −15 360 360

 = −5320◦ − (−15) · 360◦ = 80◦ .

Zadatak 2.

6

Odredi glavnu mjeru kuta ako je: 1)  = 788◦ ;

2)  = −2310◦ ;

3)  = 3000◦ 20 ;

4)  = −3450◦ 40 ;

5)  = 1390◦ 15 35 ;

6)  = −2820◦ 35 20 .

KUT

1.1

Zadatci 1.1. 1.

Dva kuta,  i  , 0◦ <  ,  < 90◦ komplementarna su ako je  +  = 90◦ . Odredi komplement kuta  ako je:

2.

2)  = 47◦ 15 ; 4)  = 11◦ 11 11 ; 6)  = 10◦ 59 01 .

◦

◦

Dva kuta,  i  , 0 <  ,  < 180 suplementarna su ako je  +  = 180◦ . Odredi suplement kuta  ako je: 1)  = 33◦ ; 2)  = 48◦ 25 ; 3)  = 121◦ 44 33 ; 4)  = 111◦ 11 11 ; 6)  = 100◦01 01 . 5)  = 79◦ 59 59 ;

3. 4.

od 7 h 10 min do 13 h 45 min?

12. Odredi mjeru i glavnu mjeru kuta sˇ to ga opiˇse


1)  = 38◦ ; 3)  = 82◦ 49 33 ; 5)  = 75◦ 43 45 ;

11. Koliki kut opiˇse velika kazaljka sata u vremenu

Koliki su vanjski kutovi trokuta ako su dva unutarnja kuta 112◦44 38 i 28◦ 52 13 ? ◦

Odredi kut  za koji je  +  = 360 ako je: 1)  = 220◦ 35 ; 3)  = 299◦ 40 55 ; 5)  = 89◦ 59 59 .

2)  = 115◦ 47 ; 4)  = 11◦ 22 33 ;

13. Odredi mjeru i glavnu mjeru kuta sˇ to ga opiˇse velika kazaljka sata u vremenu od 19 h 31 do 6 h 56 sljedećeg dana.

14. Odredi mjeru i glavnu mjeru kuta sˇ to ga opiˇse ma-

la kazaljka sata u vremenu od 9 h 15 u utorak do 23 h 37 sljedeće subote.

15. Odredi najmanju pozitivnu mjeru kuta  : 1)  = −825◦ ;

2)  = −477◦ .

16. Odredi glavnu mjeru kuta  ako je: 1)  = 555◦ ; 3)  = 7770◦ ; 5)  = 1987◦ ;

2)  = 2000◦ ; 4)  = 678◦ ; 6)  = 3600◦ .

17. Odredi glavnu mjeru kuta  ako je:

5.

Mjere unutarnjih kutova trokuta u omjeru su 4 : 5 : 6 . Koliki su ti kutovi? Odredi mjere vanjskih kutova tog trokuta.

6.

Omjer veliˇcina unutarnjih kutova trokuta je 3 : 4 : 5. Koliki su ti kutovi?

7.

Omjer veliˇcina vanjskih kutova trokuta je 4 : 5 : 6. Koliki su unutarnji kutovi tog trokuta?

8.

Mjere unutarnjih kutova konveksnog cˇ etverokuta u omjeru su 5 : 7 : 8 : 12 . Koliki su ti kutovi?

9.

Ako je mjera kuta  , izrazi tu mjeru u stupnjevima, minutama i sekundama: 1)  = 13.715◦ ; 2)  = 73.87◦ ; 4)  = −122.4445 ; 3)  = 44.3358◦ ; 5)  = 133.2345◦ ; 6)  = −47.6534◦ .

10. Zapiˇsi u decimalnom obliku mjeru kuta: 1) 45◦ 15 33 ; 3) 75◦ 24 48 ;

velika kazaljka sata u vremenu od 8 h 52 do 15 h 13 .

2) 95◦ 27 18 ; 4) 101◦ 11 10 .

2)  = −990◦ ; 1)  = −414◦ ; ◦ 4)  = −678◦55 32 ; 3)  = −3130 ; ◦ 5)  = −1987 12 56 .

18. Odredi glavnu mjeru kuta  ako je:

1)  = 555◦ ; 2)  = −1210◦ ; ◦ 3)  = 2000 ; 4)  = 7770◦ ; ◦ 5)  = −990 45 15 ; 6)  = −2121◦21 21 . - okreće 480 puta u jednoj minuti. 19. CD se u uredaju Koliki kut opiˇse neka toˇcka na CD-u u 1 sekundi?

20. Koliki kut opiˇse minutna kazaljka za vrijeme od 10 h 15 42 ?

21. Koliki kut opiˇse toˇcka na vrhu elise helikoptera u 1/2 sekunde ako se elisa okreće 1000 puta u minuti?

22. Ako bacaˇcica kladiva naˇcini 4.5 okretaja prije

nego sˇ to ga ispusti, koliki kut pritom opiˇse kladivo?

7

1


1.2. Radijanska mjera kuta


ˇ je radijan? Sto Mjere kutova dosad smo izraˇzavali u stupnjevima. Medutim, osim stupnjeva moˇzemo odabrati i drugu jedinicu za mjerenje. Uobiˇcajena je druga jedinica radijan 1 . Nacrtajmo kruˇznicu polumjera r sa srediˇstem u vrhu kuta. Izdvojimo luk l te - kut za koji kaˇzemo da ima mjeru 1 kruˇznice cˇija je duljina r . Taj luk odreduje radijan. Piˇsemo  = 1 rad , ili kratko,  = 1 .

r

l=r

a = 1 rad r

Ako je duljina l luka kruˇznice jednaka polumjeru r , tada srediˇsnji kut ima mjeru 1 radijan. Njegova mjera u stupnjevima je pribliˇzno 57◦ .

l

r

P

Općenito, radijanska mjera kuta odreduje se kao omjer duljine luka prema polumjeru luka: l  rad = . r

a

r

1 · 2r  Tako primjerice, pravom kutu odgovara mjera od 4 = = 1.5707 . . . r 2 radijana, ispruˇzenom  = 3.14159 . . . radijana, dok punom kutu odgovara mjera 2r od = 2 = 6.2831 . . . radijana. r

Ako je mjera kuta izraˇzena u radijanima, tada je duljina l kruˇznog luka na kruˇznici polumjera r jednaka  · r . 1

8

- i treća jedinica grad; puni kut ima 400 grada. U uporabi je (sve rjede)

RADIJANSKA MJERA KUTA

1.2

Duljina luka i povrˇsina kruˇznog odsjeˇcka

Ako poznajemo mjeru kuta  u radijanima, onda je duljina pripadnog luka jednaka l =  · r. Povrˇsina kruˇznog isjeˇcka je 1 1 P = rl =  r2 . 2 2

l


a

r

Pretvorba stupnjeva u radijane

Ispruˇzenom kutu (polovici punog kuta) mjere 180◦ odgovara radijanska mjera  . Ako je zadana mjera kuta u stupnjevima, tada se odgovarajuća mjera u - iz omjera: radijanima odreduje

 ◦ : 180 =  rad :  .

Odavde je

 rad =

Primjer 1.

◦ · 180

(1)

Nacrtajmo kruˇznicu u Kartezijevu pravokutnom sustavu. Neka je prva zraka kuta pozitivni dio osi apscisa i neka se drugi krak vrti u pozitivnom smjeru. Nacrtajmo neke istaknute kutove i zapamtimo njihove radijanske mjere: 3p 4

p 2

2p 3

p 3

p 4

5p 6

p

p 6

2p

O

p

11p 6

7p 6

5p 4

4p 3

3p 2

5p 3

7p 4

9

1


Napiˇsimo te vrijednosti u tablicu: 30◦

45◦

60◦

90◦

radijani

 6

 4

 3

 2

120◦ 135◦ 150◦ 180◦ 2 3

3 4

5 6




stupnjevi

stupnjevi 210◦ 225◦ 240◦ 270◦ 300◦ 315◦ 330◦ 360◦ radijani

Primjer 2.

7 6

5 4

4 3

3 2

5 3

7 4

11 6

Kutu mjere  = 20◦ odgovara radijanska mjera  20 = ·  = = 0.34906 . . . rad. 180 9 Kutu mjere 45◦ odgovara radijanska mjera  45 = ·  = = 0.78539 . . . rad. 180 4 Kutu mjere  = 201◦ odgovara radijanska mjera 201 = ·  = 3.50811 . . . rad. 180

Zadatak 1.

Prepiˇsi u biljeˇznicu i popuni sljedeću tablicu: stupnjevi 15◦ radijani

Primjer 3.

22.5◦

157.5◦

97.5◦

198◦

Pretvorimo u stupnjeve sljedeće kutove:

8 26 + = 5.14056◦ 60 3600 12 29◦ 0 12 = 29 + = 29.00333◦ 3600 14 2 47◦ 14 2 = 47 + + = 47.23389◦ . 60 3600

5◦ 8 26 = 5 +

10

2


Zadatak 2.

1.2

Odredi radijanske mjere kutova u tablici 38◦ 12 34

423◦ 12 33

33◦

−78◦ 4 21

1220◦

124◦

−245◦ 13 2

1◦


10◦

Na većini dˇzepnih raˇcunala postupak pretvorbe stupnjeva u radijane je programiran. Prouˇcite stoga upute koje ste dobili uz svoje raˇcunalo.

Pretvorba radijana u stupnjeve

Ako je zadana mjera kuta u radijanima, tada se mjera u stupnjevima raˇcuna na naˇcin  rad ◦ = · 180◦ . 

Primjer 4.

Odredimo mjeru u stupnjevima ako je  =

 7 te  = . 8 3

Iz navedene formule slijedi:  180◦  = 8 · 180◦ = = 22.5◦ = 22◦ 30 ,  8 7 7 · 180◦  = 3 · 180◦ = = 420◦ .  3

Primjer 5.

Odredimo mjeru u stupnjevima kuta mjere 1 rad. Sad je

1 · 180◦ = 57.295779 . . . ◦ .  Decimalni dio stupnja pretvaramo u minute i sekunde. To radimo na uobiˇcajeni naˇcin: mnoˇzeći decimalni dio sa 60 dobit cémo broj minuta, a decimalni dio minuta cémo na isti naˇcin pretvoriti u sekunde: 0.295779◦ = (0.295779 · 60) = 17.7467 0.7467 = (0.7467 · 60) = 44.80 Dakle, 1 rad = 57◦ 17 45 . 1 rad =

11

1


Zadatak 3.

Prepiˇsi u biljeˇznicu i popuni sljedeću tablicu: radijani

1.5

−2

3.14



 7

7 10


stupnjevi

Zadatak 4.

Primjer 6.

- put od 12 cm, koliko je pritom Ako vrh minutne kazaljke sata duge 8 cm, prijede proˇslo vremena?

Manji zupˇcanik ima polumjer r = 0.2 m , veći R = 0.5 m .

1) Ako se veći kotaˇc zakrene za 135◦ , za koliko se stupnjeva zakrene manji?

2) Ako se manji kotaˇc zakrene za 135◦ , za koliko se zakrene veći?

1) Kad se veći kotaˇc zakrene za 135◦ , toˇc- put od l = ka na njegovom rubu prijede  r ·  = 0.5 · 135 · ≈ 1.178 metara . 180 - i toˇcka na rubu manjeg kotaˇca pa iz r ·  = 1.178 Isti put prijede dobijemo  = 337.5◦ . Kad se veći kotaˇc zakrene za 135◦ , manji se zakrene za  = 337.5◦ .

2) Oznaˇcimo sada  = 135◦ pa iz  · 0.5 = 135◦ · 0.2 dobijemo  = 54◦ .

Zadatak 5.

Najpoznatija analogna ura na svijetu zasigurno je londonski Big Ben. Njegova manja kazaljka duga je 2.7 metara, a duljina veće iznosi 4.3 metra. 1) Koliki put opiˇse vrh veće kazaljke tijekom 24 sata?

2) Koliko vremena treba manjoj kazaljci da njezin vrh prijede put od 10 metara?

12


ˇ Najsjevernija toˇcka Hrvatske je mjesto Zabnik kod Sv. Martina na Muri u Medimurju. Njegova je geografska duˇzina 46◦ 33 . Najjuˇznija je toˇcka Hrvatske na otoˇciću Galijula blizu Palagruˇze s geografskom duˇzinom 42◦ 23 . Oba mjesta imaju istu geografsku sˇ irinu 16◦ 22 . Koliko je sˇ iroka Hrvatska?


Primjer 7.

1.2

ˇ Zabnik i Galijula imaju istu geografsku sˇ irinu, ta su dva mjesta na istom meridijanu. Uzmemo li da je polumjer Zemlje R = 6378 km , tada je sˇ irina Hrvatske jednaka duljini luka kruˇznice ovog polumjera sa srediˇsnjim kutom  = 46◦ 33 − 42◦ 23 = 4◦ 10  = 4.16˙ · ≈ 0.072722 rad. 180

a

d

r

ˇ Sirina Hrvatske iznosi: d1 = R · 0.072722 ≈ 464 km .

A koliko je duga Hrvatska?

Kolika je udaljenost Iloka, njene najistoˇcnije toˇcke i rta Lako kod Savudrije koji je najzapadnija toˇcka Hrvatske? Ilok i Savudrija imaju istu sjevernu geografsku sˇ irinu ( ≈ 45◦ 20 ) , na istoj su paraleli. No geografska duˇzina Iloka je 1 = 19◦ 27 , a Savudrije 2 = 13◦ 30 .

Dok meridijani imaju jednaku duljinu, s paralelama to nije sluˇcaj. Zbog toga najprije valja izraˇcunati polumjer 45. paralele. r = R cos 45◦ = 4510 km. I sada raˇcunamo duljinu luka kruˇznice sa srediˇsnjim kutom 1 − 2 = 19◦ 27 − 13◦ 30 = 5◦ 57 = 5.95◦ ≈ 0.103847 rad. Duljina Hrvatske je d2 = 4510 · 0.103847 ≈ 468 km .

13

1


Primjer 8.

Pri kruˇznom gibanju kutna brzina  je omjer prirasta kuta i prirasta  vremena:  = . Pritom se  izraˇzava u radijanima. t - kutne ( ) i linearne (v) brzine? Pogledajmo: Koja je veza izmedu

 s r· = = r · = r . t t t Rijeˇsimo sljedeći zadatak.


v=

Na visini 1500 km iznad Zemlje kruˇzi satelit. Za jedan njegov pun obilazak potrebno je 2.5 sata. Polumjer Zemlje iznosi oko 6400 km .

1) Kolika je kutna brzina satelita?

2) Kolika je linearna brzina satelita?

 2 1) Iz  = slijedi  = = 0.8 ≈ 2.513 rad/h . Primijetimo kako t 2.5 kutu od 2.513 radijana odgovara kut od 144◦ . 2) Polumjer r kruˇzne putanje satelita iznosi r = 1500 + 6400 = 7900 km . Iz v = r ·  dobijemo v = 7900 · 2.513 = 19 853 km/h .

Kutak plus

ˇ NAUTICKA MILJA

- dviju toˇcaka tijekom vremena pojavljivale su se razne mjerne jedinice. Sve od starog U mjerenju udaljenosti izmedu pa do novijeg doba bile su utemeljene na prosjeˇcnim duljinama dijelova ljudskog tijela (palac, stopa, lakat). Danas je osnovna mjera za duljinu metar. Uvedena je 1791., a bila je vezana uz duljinu meridijana koji prolazi kroz Pariz. Godine 1960. prihvaćena je nova definicija metra preko valne duljine naranˇcasto-crvene zrake u spektru Kriptona-86, a od 1983. definicija metra vezana je uz laser. U zrakoplovstvu i pomorstvu i danas je ustaljena mjera nautiˇcka milja. Kako je ta mjera bila neusuglaˇsena, a zbog njezine vaˇznosti, 1929. godine velik je broj zemalja prihvatio dogovor po kojem jedna nautiˇcka milja iznosi 1852 m . Dogovor nisu prihvatile velike drˇzave kao sˇ to su Velika Britanija, Sovjetski Savez i SAD, no ova posljednja ipak ga je usvojila 1954. godine. Nautiˇcka milja se definira kao luk na glavnoj kruˇznici Zemlje kojem pripada srediˇsnji kut od 1 minute.

Kako Zemljina kugla nije idealna sfera, srediˇsnjem kutu od 1 odgovaraju razliˇciti lukovi na njezinoj povrˇsini. Njihova duljina varira od 1843 na polu do 1862 metra na ekvatoru. Duljina tog luka u Doverskom kanalu je otprilike 1853 metra. Zato Englezi definiraju nautiˇcku milju kao iznos od (toˇcno) 6080 stopa, odnosno 1853.184 metra.

Kako se dobivaju ove veliˇcine? Spomenuti meridijan koji prolazi kroz Pariz ima duljinu od toˇcno 20 000 000 metara. Taj okrugli broj je posljedica definicije metra, a ne cˇudne podudarnosti. Da dobijemo nautiˇcku milju, duljinu meridijana moramo podijeliti sa 180 × 60 . Dobiva se broj 1851.85. Zato je medunarodnim dogovorom uzeto da nautiˇcka milja iznosi (toˇcno) 1852 metra.

14


1.2

Zadatci 1.2. Odredi glavnu mjeru kuta  ako je njegova mjera u radijanima jednaka: 1)

55 ; 8

4) −33 ;

2.

113 ; 12 531 ; 5) 4 2) −

 ; 3 3 3)  = ; 8

9.

6) 1000 .

2)  =

4)

4 . 9

5 ; 12

Na danoj kruˇznici istaknut je luk cˇija je duljina jednaka duljini promjera kruˇznice. Izrazi u stupnjevima srediˇsnji kut koji pripada tom luku. Toˇckama A , B , C i D kruˇznica je podijeljena na lukove cˇije su duljine u omjeru 6 : 3 : 4 : 5 . Izrazi u radijanima glavne mjere srediˇsnjih kuto- toˇcva koji pripadaju lukovima sˇ to su odredeni kama A , B , C i D . Izrazi u radijanima glavne mjere unutarnjih kutova cˇ etverokuta ABCD .

10. Duljina polumjera kruˇznice je 5 cm. Izrazi u radijanima i stupnjevima glavne mjere srediˇsnjih kutova koji pripadaju lukovima te kruˇznice ako su duljine lukova 12 cm, 18 cm i 31 cm.

Odredi u radijanima mjeru kuta od: 1) 2) 3) 4)

4.

1234 ; 3

Odredi u radijanima mjeru komplementa kuta  ako je: 1)  =

3.

3)

8.


1.

11. Polumjer kruˇznice iznosi 25 cm. Odredi duljinu

30◦ , 45◦ , 75◦ , 120◦ , 135◦ ; 210◦ , 225◦ , 300◦ , 330◦ , 360◦ ; 7◦ 30 , 15◦ , 20◦ , 22◦ 30 , 25◦ ; 220◦ , 400◦ , 480◦ , 570◦ , 720◦ .

kruˇznog luka te kruˇznice ako mu pripada srediˇsnji kut od 1.25 radijana.

Prepiˇsi u biljeˇznicu i popuni tablicu: stupnjevi

22◦ 30

187◦ 30

108◦ 45

192◦

316◦15

270◦

radijani

5.

Odredi u stupnjevima mjeru kuta zadanu u radijanima:

  3 5 2 , , , , ; 4 5 7 8 9 4 7 11 14 22 2) , , , , ; 3 3 3 3 3 3)  , 5 , 3 , 0.35 , 4.28 . 1)

6.

3

2.22

te ako je geografska duljina Osijeka i Budimpeˇste pribliˇzno jednaka (oko 19◦ istoˇcne duljine) i ako je geografska sˇ irina Osijeka 45◦ 33 , a Budimpeˇste 47◦ 30 ? Uzmi da je polumjer Zemlje r = 6380 km .

13. Split i i Beˇc imaju pribliˇzno istu geografsku dulji-

nu (Split 16◦ 28 , Beˇc 16◦ 22 ). Ako je geografska sˇ irina Splita 43◦ 31 , a Beˇca 48◦ 12 , kolika je zraˇcna udaljenost Splita i Beˇca?

Prepiˇsi u biljeˇznicu i popuni tablicu: radijani

12. Kolika je zraˇcna udaljenost Osijeka i Budimpeˇs-

5.62

11

0.7

stupnjevi

7.

Duljina tetive dane kruˇznice jednaka je duljini polumjera kruˇznice. Izrazi u radijanima mjeru srediˇsnjeg kuta koji pripada toj tetivi.

15

1


1.3. Brojevna kruˇznica


U pravokutnom (Kartezijevu) sustavu (O; x, y) nacrtajmo kruˇznicu k cˇije je srediˇste u ishodiˇstu sustava, a polumjer joj je 1 . Neka je A = (1, 0) toˇcka na presjeku kruˇznice i osi apscisa. Prislonimo brojevni pravac uz kruˇznicu k tako da svojim ishodiˇstem dira kruˇznicu u toˇcki A . Zamislimo da se taj pravac (bez rastezanja) namata oko kruˇznice. Tada cé se njegov interval [0, 2 preslikati na cˇitavu kruˇznicu, jer je opseg kruˇznice 2 . Isto cé se dogoditi i s intervalom [2 , 4 , kao i s intervalom [−2 , 0 (i svakim drugim intervalom duljine 2 ).

Tako se svaki realni broj t s brojevnog pravca preslikava u jednu toˇcku E(t) na kruˇznici k . Tu kruˇznicu zato zovemo brojevna kruˇznica.

4

p 3

y

2 p 2 1

A

-1 -p 2 -2 -3 -p -4

x

Namatanjem brojevnog pravca na kruˇznicu definirano je pridruˇzivanje toˇcaka kruˇznice realnim brojevima: t → E(t) = T , koje nazivamo eksponencijalno preslikavanje. Broju 0 odgovara toˇcka (1, 0) , broju  /2 toˇcka (0, 1) , broju  toˇcka (−1, 0) . Primijetimo da ista toˇcka odgovara i broju − , dok se − /2 preslikava u (0, −1) .

Eksponencijalno preslikavanje

Svakom broju t brojevnog pravca pridruˇzena je toˇcka T na brojevnoj - realnih brojeva i kruˇznici. Time je definirano preslikavanje E izmedu toˇcaka brojevne kruˇznice koje nazivamo eksponencijalno preslikavanje. Piˇsemo E(t) = T .

Tako se primjerice broj  /6 s pravca preslikava u toˇcku T = E( /6) za koju kut < )AOT ima mjeru  /6 = 30◦ . U tu istu toˇcku preslikat cé se i brojevi  /6 + 2k , k = ±1 ± 2 . . . Nacrtaj sliku!

16

ˇ BROJEVNA KRUZNICA

1.3


 Broju 0 brojevnog pravca odgovara toˇcka A = (1, 0) . Broju odgovara toˇcka 3 2 (0, 1) . Dalje je E( ) = (−1, 0) , E = (0, −1) , E(2 ) = (1, 0) itd. 2 Svakom realnom broju odgovara samo jedna toˇcka na brojevnoj kruˇznici. Medutim, jednoj toˇcki T na brojevnoj kruˇznici odgovara beskonaˇcno mnogo brojeva na pravcu. Tako se primjerice svi brojevi  + 2k , k = 0, ±1, ±2 . . . 3 preslikavaju u istu toˇcku na brojevnoj kruˇznici.

Koristeći eksponencijalno preslikavanje, moˇzemo joˇs jednom iskazati (precizniju) definiciju mjere i glavne mjere kuta. Mjera kuta

Svakoj toˇcki T brojevne kruˇznice odgovara toˇcno jedan broj  iz intervala [0, 2 na brojevnom pravcu. Taj se broj  naziva glavna mjera kuta < )AOT . Skup svih mjera tog kuta je { + 2k , k ∈ Z}.

Primjer 1.

Nacrtajmo na brojevnoj kruˇznici toˇcke pridruˇzene brojevima k·

 , k ∈ N. 6

p

E(2)

E ( 2p 3)

p

E(3)

p

E ( 5p 6)

E ( 6 ) =E (

E(p)

x

E ( 7p 6)

E(

11p 6

)

E ( 5p 3)

E ( 3p 2)

toˇcke brojevne kruˇznice pridruˇzene brojevima k ·

Zadatak 1.

) = ...

E(2p)

O

E ( 4p 3)

13p 6

 6

Nacrtaj na brojevnoj kruˇznici toˇcke pridruˇzene brojevima 1, 2, 3, . . . , 10 . Koje - njima nalaze u drugom kvadrantu? se medu

17

1


Primjer 2.

U kojem se kvadrantu nalazi toˇcka pridruˇzena broju t = 100 ?


Neka je T = E(t) . Mjera kuta < )AOT je t = 100 radijana. Da bismo odredili u kojem se kvadrantu nalazi ova toˇcka, trebamo odrediti glavnu mjeru t ovog kuta: t t =t− · 2 = 100 − 15.915 · 2 = 100 − 30 = 5.7522 . . . 2 3 Ovaj je broj veći od = 4.712 . . . , a manji od 2 = 6.283 . . . Zato se 2 toˇcka T nalazi u cˇetvrtom kvadrantu.

Primjer 3.

Odredimo na brojevnoj kruˇznici sve toˇcke E(t) ako je

1) t = (−1)k+1 ·

 +k·; 8

2) t = (−1)k ·

1) Za parne k , k = 2n , imamo t = (−1)2n+1 · Oznaˇcimo tu toˇcku kao E1 na brojevnoj kruˇznici. Za neparne k , k = 2n − 1 , imamo  t = (−1)2n · + (2n − 1) ·  8 7 =− + 2n ·  . 8

E2

  + k · ,k ∈ Z. 12 3

  + 2n ·  = − + 2n ·  . 8 8

E1

Oznaˇcimo tu toˇcku kao E2 na brojevnoj kruˇznici.

Toˇckama E1 i E2 obuhvaćeni su na brojevnoj kruˇznici svi brojevi  zadani zapisom t = (−1)k+1 · + k ·  , k ∈ Z . 8 Primijetimo kako je ovaj naˇcin zapisivanja vrlo spretan i racionalan. Druga mogućnost je da svakoj toˇcki pridijelimo poseban zapis.

2) Uz ovaj zadatak priloˇzeno je samo njegovo konaˇcno rjeˇsenje. Provjeri ga tako sˇ to céˇs uzeti u razmatranje dva sluˇcaja, parne i neparne k .

18

ˇ BROJEVNA KRUZNICA

1.3

Kutak plus ˇ DUZINA DULJINE

π


Pri crtanju grafa funkcije f (x) = sin x , ali i mnogih drugih trigonometrijskih funkcija, na brojevni pravac (os apscisa) potrebno je smjestiti broj  . Kako to uˇciniti? Zadatak nije nov, on je vezan uz rjeˇsenje i nekih drugih problema od kojih je svakako najpoznatiji kvadratura kruga, konstrukcija kvadrata cˇija je povrˇsina jednaka povrˇsini danoga kruga. Upravo ovaj problem doveo je do spoznaje kako uz danu jediniˇcnu duˇzinu nije moguće konstruirati duˇzinu duljine  jedinica. A kad kaˇzemo konstruirati, onda se misli na konstrukciju pri kojoj moˇzemo rabiti samo ravnalo i sˇ estar. Matematiˇcari su tijekom godina nastojali pronaći sˇ to bolju pribliˇznu konstrukciju duˇzine duljine  . Neke su uistinu vrlo dojmljive jer su jednostavne, a toˇcnost im je priliˇcno velika. 1. Adam A. Kochansky (1685.):

2. Jacob de Gelder (1849.):

|DE| = 3.141533 ≈ 

|AB| =

16 = 0.14159292 . . . ≈  − 3 113

Toˇcno-netoˇcno pitalice

 . 4 5 17 19 7 < < , onda je <  < . Ako je 6 6 6 6 Na kruˇznici polumjera 10 cm srediˇsnjem kutu od 1 rad pripada luk duljine 10 cm. - za jednu minutu pribliˇzno Mjera kuta sˇ to ga velika kazaljka sata prijede je jednaka 0.1 rad.

1. Glavna mjera kuta  = 1395◦ je 2. 3. 4.

5. Glavna mjera kuta od 99 rad je 272◦ 16 56 . 6. Toˇcka T = E(−25) smjeˇstena je na brojevnoj kruˇznici u IV. kvadrantu. - toˇcaka E(0) i 7. Toˇcka E(88) smjeˇstena je na brojevnoj kruˇznici izmedu E(0.1) .

19

1


Zadatci 1.3. Odredi na brojevnoj kruˇznici toˇcke E(t) pridruzˇ ene realnim brojevima t : 3 , −6 , 11 , −13 , 22 , 100 .

2.

Odredi na brojevnoj kruˇznici toˇcke E(t) pridruzˇ ene realnim brojevima t : 11 17 101 45  5 ,− , , ,− . − , 2 2 2 2 2 2

3.

Odredi na brojevnoj kruˇznici toˇcke:

9 33 E(15 ) , E − , E(−12 ) , E , 2 2 E(−43 ) .

4.

Odredi na brojevnoj kruˇznici toˇcke:

5 3 4 11 E , E , E , E , 6 4 3 6

2 7 , E . E 4 3

5.

Odredi na brojevnoj kruˇznici toˇcke E(t) pridruzˇ ene realnim brojevima t : 7 5 3 9 11 17 17 , − , − , , − , , − , 3 6 4 2 3 4 6 119 99 119 , , − . 3 4 3

6.

Smjesti na brojevnu kruˇznicu toˇcke: E(−1), E(4), E(6.5), E(−12), E(5), E(−44).

7.

8.

20

9.

Nacrtaj pravilni osmerokut upisan brojevnoj kru, zˇ nici i s vrhovima u toˇckama Ak = E k · 4k = 0, 1, 2, . . . , 7 . Na kojem luku sˇ to je odreden dvama susjednim vrhovima tog osmerokuta le 33 √ zˇ e toˇcke: E(1) , E(−2) , E , E(− 22) , 4 E(111) , E(−10.22)?


1.

 < t < Odredi cijeli broj k tako da je k · 2  (k + 1) · , za sljedeće toˇcke E(t) : E(10) , 2 √ E(8) , E(2) , E(3.3) , E( 33) . Smjesti sve te toˇcke na brojevnu kruˇznicu.

Nacrtaj pravilni sˇ esterokut upisan brojevnoj kru, zˇ nici i s vrhovima u toˇckama Ak = E k · 3k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 . Na kojem luku sˇ to je odreden dvama susjednim vrhovima tog sˇ esterokuta leˇze 23 √ , E(−313) , toˇcke: E(3 3) , E(−15) , E 4 E(17.2) ?

10. Oznaˇci na brojevnoj kruˇznici sljedeće intervale realnih brojeva:

 3 5 5 , , 1) ; 2) ; 3 4 6 3

  2  ; 4) − , 3) − , ; 2 6 3 6

19 13 ,− . 5) − 3 6

11. Odredi na brojevnoj kruˇznici sve toˇcke E(t) za koje je:

 + n , n ∈ Z ; 6  2) t = (−1)n+1 + n , n ∈ Z ; 3   k + k · , k ∈ Z; 3) t = (−1) · 12 2  k+1  + k · , k ∈ Z. 4) t = (−1) 12 3 1) t = (−1)n ·

12. Odredi na brojevnoj kruˇznici sljedeće intervale realnih brojeva:  1) k , + k , k ∈ Z ; 2   , k ∈ Z; 2) (2k − 1) , (4k − 1) 4 8   3) (4k − 1) , k , k ∈ Z; 8 2   4) k , (4k + 1) , k ∈ Z. 2 8


2

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE

U drugom smo razredu definirali trigonometrijske funkcije sˇ iljastog kuta pravokutnog trokuta kao omjere duljina stranica trokuta. Prikazali smo i primjene tih funkcija, prije svega u geometriji ravnine, ali i pri rjeˇsavanju brojnih drugih problema. No time nisu ni izbliza prikazane sve mogućnosti koje nam u primjeni pruˇzaju trigonometrijske funkcije.


Kako bismo barem djelomice ukazali na veliku ulogu ovih funkcija u matematici, ali i izvan nje, najprije c´ emo trigonometrijske funkcije definirati kao realne funkcije i time proˇsiriti njihove definicije iz drugog razreda. Za taj “skok” matematiˇcarima je trebalo viˇse od dva tisućljeća.

2.1. Definicije trigonometrijskih funkcija

Definirat cémo sada cˇetiri osnovne trigonometrijske funkcije; sinus, kosinus, tangens i kotangens. Pri definiciji koristit cémo se brojevnom kruˇznicom na koju smo smjestili sve realne brojeve.

Sinus i kosinus

Neka je t po volji odabran realan broj i T = E(t) tom broju pridruˇzena toˇcka na brojevnoj kruˇznici. Na slici je odabrana toˇcka T u prvom kvadrantu.

T = E (t)

1

sin t

cos t

- par (x, y) realnih brojeva. Kosinus broja t je Toˇcki E(t) pridruˇzen je uredeni broj x , apscisa toˇcke E(t) . Ordinata y toˇcke E(t) je sinus broja t . Sinus i kosinus po volji odabranog kuta

Neka je t po volji odabran realni broj, T = E(t) njemu odgovarajuća toˇcka na brojevnoj kruˇznici. Tada je T = (cos t, sin t) . Dakle, vrijednost funkcije kosinus: cos t je apscisa, a vrijednost funkcije sinus: sin t je ordinata toˇcke T = E(t) .

22

DEFINICIJE TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Primjer 1.

2.1

Razmotrimo pozorno sljedeće tri slike. Na njima su redom prikazani sinus i kosinus brojeva koji su na brojevnoj kruˇznici smjeˇsteni u II., III. i IV. kvadrantu. Pritom je sinus naznaˇcen crvenom, a kosinus plavom bojom.


E(t)

E(t)

E(t)

 Najveću vrijednost, koja je 1, funkcija sinus prima za t = te za sve brojeve 2 koji su smjeˇsteni u istoj toj toˇcki. Najmanja vrijednost sinusa je −1 . Ona se 3 3 postiˇze za t = i za sve brojeve koji su smjeˇsteni u toˇcku E . 2 2 - je 1, a najmanja −1 . Za koje se brojeve Najveća vrijednost kosinusa takoder postiˇzu te vrijednosti? Omedenost sinusa i kosinusa

Za svaki realni broj t vrijedi: | sin t| 1, | cos t| 1. Kaˇzemo da su funkcije sinus i kosinus omedene.

Zadatak 1.

Koje od sljedećih jednakosti nisu toˇcne ni za koji realni broj t :

1) sin t = 0.715 ; 1 4) cos t = √ ; 3

Primjer 2.

2) cos t = 0 ;  5) sin t = ; 2

3) sin t = −1 ; 6) cos t = 1 −

Za koji realni broj m postoji realni broj t za koji je sin t =

√

2?

1 ? m−1

Kako je | sin t| 1 za svaki realni broj t , mora biti 1 1 m − 1 = |m − 1| 1.

Slijedi |m − 1| 1 . Dakle, m − 1 −1 ili m − 1 1 . Konaˇc1 no, jednakost sin t = ima smisla za svaki realni broj m 0 ili m−1 m 2.

23

2


Tangens


Povucimo tangentu p na brojevnu kruˇznicu u toˇcki A = (1, 0) . To je vertikalni pravac koji dira brojevnu kruˇznicu u toj toˇcki. P = (1, tg t)

T = E(t)

tg t

O

A

p

x

Definicija tangensa po volji odabranog kuta glasi: tangens je ordinata toˇcke u kojoj pravac OT sijeˇce tangentu p brojevne kruˇznice.

Neka je t po volji odabran realni broj. Odredimo njemu pripadnu toˇcku T = E(t)  na brojevnoj kruˇznici. Povucimo pravac OT . Ako je t = + k , taj pravac 2 sijeˇce tangentu p u nekoj toˇcki P . Apscisa toˇcke P je 1. Oznaˇcimo njezinu ordinatu s y . Vrijednost broja y ovisi o izabranoj vrijednosti broja t . Dakle, y je funkcija od t . Tu funkciju nazivamo tangens, piˇsemo 1 y = tg t . Tangens po volji odabranog kuta

 Neka je t po volji odabran realni broj, t = + k , T = E(t) njemu 2 odgovarajuća toˇcka na brojevnoj kruˇznici i P presjek pravca OT s tangentom p . Tad je P = (1, tg t) . Dakle, vrijednost funkcije tangens: tg t je ordinata toˇcke u kojoj pravac OT sijeˇce tangentu p .

 , jer je pripadni pravac OT usporedan s tangen2  tom p pa je ne sijeˇce. Za t koji je vrlo blizak broju , manji ili veći od njega, 2 pravac OT vrlo je strm i vrijednost tangensa je ili pozitivan ili negativan broj vrlo  velikog iznosa. Isto vrijedi za svaki broj + k , k ∈ Z . 2 Tangens nije definiran za t =

Zadatak 2.

Odredi na brojevnoj kruˇznici toˇcku E(t) ako je tg t = −1.5 te t ∈

1

24

9 2

, 5 .

U ameriˇckoj literaturi koristi se oznaka tan. Ta se oznaka nalazi na većini dˇzepnih raˇcunala.


2.1

Kotangens


Povucimo tangentu q na brojevnu kruˇznicu u toˇcki C = (0, 1) . To je horizontalni pravac koji dira brojevnu kruˇznicu u toj toˇcki. q

C

Q = (ctg t, 1)

T = E(t)

O

A

x

Neka je t po volji odabran realni broj. Odredimo njemu pripadnu toˇcku T = E(t) na brojevnoj kruˇznici. Povucimo pravac OT . Ako je t = k , (k ∈ Z) , taj pravac sijeˇce tangentu q u nekoj toˇcki Q . Ordinata toˇcke Q je 1. Oznaˇcimo njezinu apscisu s x . Vrijednost broja x ovisi o izabranoj vrijednosti kuta t . Dakle, x je funkcija od t . Tu funkciju nazivamo kotangens i piˇsemo 2 x = ctg t . Kotangens po volji odabranog kuta

Neka je t po volji odabran realni broj, t = k , T = E(t) njemu odgovarajuća toˇcka na brojevnoj kruˇznici i Q presjek pravca OT s tangentom q . Tada je Q = (ctg t, 1) . Dakle, vrijednost funkcije kotangens: ctg t je apscisa toˇcke u kojoj pravac OT sijeˇce tangentu q.

Zaˇsto kotangens nije definiran za t = k ? Promotri sliku i odgovori na ovo pitanje.

Primijetimo joˇs jednom kako funkcije tangens i kotangens nisu omedene. Njihove vrijednosti mogu biti bilo koji realni brojevi.

Zadatak 3.

Nacrtaj brojevnu kruˇznicu i na nju smjesti brojeve:  3 7 5 t1 = , t2 = , t3 = , t4 = . 3 4 6 3 Zatim prikaˇzi vrijednosti funkcija tangens i kotangens tih brojeva.

2

U ameriˇckoj literaturi koristi se oznaka cot.

25

2


Predznaci trigonometrijskih funkcija


Koordinate toˇcaka na brojevnoj kruˇznici mijenjaju predznak pri prijelazu u novi kvadrant. Zato cé i sinus i kosinus mijenjati svoj predznak kada toˇcka T obi- brojevnu kruˇznicu. Korisno je zapamtiti kakvi su predznaci tih funkcija u de pojedinom kvadrantu. sinus

tangens

kosinus

+

+

-

+

-

+

-

-

-

+

+

-

kotangens -

+

+

-

Prikazani su predznaci trigonometrijskih funkcija. Sinus je pozitivan u prvom i drugom, kosinus u prvom i cˇ etvrtom kvadrantu, a tangens i kotangens u prvom i trećem kvadrantu.

I

II

III

IV

sin

+

+

−

−

cos

+

−

−

+

tg

+

−

+

−

ctg

+

−

+

−

Povijesni kutak

O IMENIMA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Naziv sinus u europske je jezike stigao tehnikom ‘pokvarenog telefona’. Prvi naziv za sinus i kosinus, jiva i kotijiva, dali su stari Indijci. Jiva na sanskrtu znaˇci ‘tetiva’ (zato se najprije rabi naziv ordhajiva, ‘polovica tetive’) i to je ime u skladu sa znaˇcenjem sinusa. Arapi tu rijeˇc prenose kao jiba, sˇ to na arapskom nema znaˇcenja pa je zamjenjuju s istozvuˇcnicom dˇzaib (ˇsto se piˇse kao i dˇziba), a znaˇci ‘zaljev, pazuh’. Europski srednjovjekovni prevoditelj (Robert iz Chestera) tu rijeˇc doslovno prevodi latinskom rijeˇci sinus (zaljev). Naziv tangens (zbog veze s tangentom) uvodi 1583. Fincke.

Naziv kosinus nastao je poˇcetkom 17. st. (E. Gunter 1620.) kao kratica od complementi sinus. Kosinus prema tome u prijevodu znaˇci: sinus komplementarnog kuta. Iz istog su razloga imena dobili kotangens i kosekans. Naziv trigonometrijske funkcije stvorio je Klügel 1770. Oznake za trigonometrijske funkcije uvodi u 17. st. J. Bernoulli. Otada se rabe razliˇcite oznake, a najˇceˇscé su s, sc, t, tc. Danaˇsnje oznake potjeˇcu od Eulera (sin, cos, tan, cot). Oznake za stupnjeve, minute i sekunde uvodi Pitiscus krajem 16. st. Dodajmo na kraju kako su u nekim zemljama, primjerice SAD-u, u uporabi joˇs dvije funkcije. To su funkcije sekans, 1 1 te funkcija kosekans, csc x = . cos x sin x

sec x =

26


2.1

Zadatci 2.1. Opiˇsi tijek funkcija sinus i kosinus pri jednom prolasku intervalom [0, 2 ] , odnosno pri jednom obilasku brojevne kruˇznice.

2.

Odredi na brojevnoj kruˇznici toˇcku E(t) ako je: 1 1) sin t = − , cos t < 0 ; 2 2 2) cos t = , sin t < 0 ; 3 3 3) sin t = , cos t > 0 ; 4 1 4) cos t = − , sin t > 0 ; 4 3 5) cos t = − , sin t < 0 ; 4 √ 3 6) sin t = − , cos t > 0 . 2

3.

Odredi na brojevnoj kruˇznici toˇcku E(t) ako je: 1) tg t = −2 , cos t > 0 ; 3 2) ctg t = , cos t < 0 ; 4 3 3) tg t = − , sin t < 0 ; 2 4) ctg t = −3 , sin t > 0 ; 1 5) tg t = , sin t < 0 ; 2 6) ctg t = 1 , cos t > 0 .

4.

5.

Koliko je:

9  , sin 0, cos − , sin − 2 2 5 , cos(−11 )? cos 11 , sin 2

Bez uporabe dˇzepnog raˇcunala odgovori koji je broj veći: 1) sin 1 ili sin 2 ;

6.

7.

Za koje realne brojeve m postoji realan broj x 2m − 1 ? takav da je cos x = m+2


1.

2) cos 1 ili cos 2 ?

Za koji realni broj m postoji realni broj t za koji 1 ? je sin t = 1−m

8.

Za sve realne brojeve x je cos(sin x) > 0 . Dokaˇzi! Vrijedi li za sve realne brojeve x i sin(cos x)>0 ? Zaˇsto?

9.

Naznaˇci na brojevnoj kruˇznici skup svih rjeˇsenja nejednadˇzbe: 1) | sin t|

1 ; 2 3 4) | ctg x| . 2

1 ; 2

2) | cos x|

3) | tg x| < 1 ;

10. Prikaˇzi na brojevnoj kruˇznici skup rjeˇsenja sustava nejednadˇzbi: 2 sin x − 1 0, 1) 2 cos x + 1 0; . 3 sin x + 2 0, 2) 4 cos x − 3 0.

11. Za koje realne brojeve t ∈ [0, 2 ] vrijedi sin t = cos t ?

12. Za koji je x , x ∈ [0, 2 ] , sin x < cos x ? 13. Na intervalu [0, 2 ] rijeˇsi nejednadˇzbu sin x + cos x < 0.

14. Odredi predznak umnoˇska:

1) sin 1 · cos 1 · tg 1 · ctg 1 ; 2) sin 1 · cos 2 · tg 3 · ctg 4 .

15. Rijeˇsi na intervalu [0, 2 ] nejednadˇzbu sin x +

√ 3 cos x > 0.

16. Prikaˇzi na brojevnoj kruˇznici skup toˇcaka E(t) , t ∈ [0, 2 ] za koje je: 1) sin x > cos x ; 3) | sin x| > cos x ;

2) sin x > | cos x| ; 4) | sin x| > | cos x| .

27

2


2.2. Odredivanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija ¯


Kao i kod ostalih realnih funkcija, tako je i kod trigonometrijskih potrebno odredivati njihove vrijednosti. Za neke posebne realne brojeve to moˇzemo uˇciniti jednostavno i potpuno toˇcno. Pa pogledajmo neke najjednostavnije primjere.

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija za neke posebne brojeve

U drugom smo razredu raˇcunali vrijednosti trigonometrijskih funkcija za kutove od 30◦ , 45◦ i 60◦ promatrajući jednakostraniˇcan i jednakokraˇcan pravokutni    trokut. Ovim kutovima odgovaraju radijanske mjere od , i . 6 4 3  Odredimo na brojevnoj kruˇznici toˇcku E . 6 Pritom je trokut OPE polovina jednakostraniˇcnog 1 p trokuta, < )EOP = 30◦ , |OE| = 1 , |EP| = , a E(6) 2 √ 1 3 (visina trokuta). Onda je oˇcito |OP| = 30° 2 √ O P   3 1 sin = , cos = . 6 2 6 2

p

E(3)

1

60°

O

P

 . I opet je trokut Odredimo sada toˇcku E 3 OPE polovina jednakostraniˇcnog trokuta, isti trokut kao prethodni, samo drukˇ √cije poloˇzen. Sada 3 je < )EOP = 60◦ , |EP| = (visina trokuta). 2 Dakle, √  3  1 , cos = . sin = 3 2 3 2

Razmotrimo joˇs i treći, posebni sluˇcaj t =

 . 4



je poloviˇste luka brojevne kruˇznice Toˇcka E 4 u prvom kvadrantu. Pritom je OPE jednakokraˇcan pravokutni √ trokut u kojem je |OE| = 1, |OP| = 2 |PE| = . Zato vrijedi: 2 √   2 sin = cos = . 4 4 2

28

p

E(4)

1

45°

O

P

ODRE¯DIVANJE VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Primjer 1.

2.2

Promotri pozorno sljedeću tablicu. U nju su unesene vrijednosti trigonometrijskih funkcija koje se mogu izraˇcunati iz podataka za prethodno obradena tri sluˇcaja. 0

 6 1 2 √ 3 2

 4 √ 2 2 √ 2 2

 3 √ 3 2 1 2

 2

7 6

5 4 √

4 3 √

3 2

2 3 √ 3 2

3 4 √ 2 2 √ 2 − 2

5 6



1 2 √

0


t sin t

0

cos t

1

t



1 − 2 √ 3 cos t −1 − 2 sin t

0

2 2 √ 2 − 2 −

−

−

3 2 1 2

1 0

−

5 3 √

−1 − 0

1 2

3 2

1 2

−

7 4 √

2 − 2 √ 2 2

3 2

11 6 1 − 2 √ 3 2

−1 2 0 1

Uoˇcimo u ovoj tablici da sinus i kosinus funkcija√za svaki √ od ovih brojeva 1 2 3 t prima samo pet razliˇcitih vrijednosti: 0 , , , i 1 , kojima se 2 2 2 mijenjaju poredak i predznaci.

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija realnog broja

- se znanstveVrijednost neke trigonometrijske funkcije za dani realni broj odreduje nim dˇzepnim raˇcunalom. To je isto ono raˇcunalo kojim smo se koristili u drugom razredu.

Joˇs ne tako davno u uporabi su bile tablice vrijednosti trigonometrijskih funkcija. Povijest tih tablica u dobroj je mjeri i povijest razvitka trigonometrije, pa cˇak i nekih primijenjenih znanosti kao sˇ to je astronomija.

Postoji mnoˇstvo raznovrsnih dˇzepnih raˇcunala. Stoga je vaˇzno pozorno prouˇciti upute koje se dobiju uz raˇcunalo. No ipak navedimo neke vaˇzne napomene.

1. Pri odredivanju vrijednosti trigonometrijskih funkcija provjeri u kojem je mo- s vrijednost funkcije moˇze biti zadan u du raˇcunalo. Naime, kut kojem odredujeˇ stupnjevima, radijanima ili (rijetko) u gradima. Obrati na to pozornost i postavi raˇcunalo u odgovarajuće stanje. 2. Na većini dˇzepnih raˇcunala za odredivanje tangensa broja rabi se tipka na kojoj piˇse tan, a ne tg , kako se najˇceˇscé zapisuje oznaka za ovu funkciju.

29

2



3. Na raˇcunalima nema posebne tipke za kotangens. To je zbog toga sˇ to je 1 ctg t = , pa se za dani broj t odredi tangens i potom pritiskom na tipku 1/x tg t odredi kotangens broja t .

Povijesni kutak

O TRIGONOMETRIJSKIM TABLICAMA

Ne baˇs tako davno u srednjim su se sˇ kolama pri izuˇcavanju trigonometrijskih funkcija i njihovih primjena rabile tablice vrijednosti tih funkcija. No te je tablice pregazilo vrijeme pa su ih zamijenila praktiˇcnija i toˇcnija dˇzepna raˇcunala. Ipak nije naodmet baciti pogled i na već pomalo zaboravljene tablice, cˇiju jednu stranicu vidimo na slici. Iz ovog svojevrsnog (tabliˇcnog) prikaza trigonometrijskih funkcija sˇ toˇsta se moˇze iˇscˇitati. Primjerice: Tablice su naˇcinjene za I. kvadrant (za kutove od 0◦ do 90◦ i daju vrijednosti svih cˇetiriju trigonometrijskih funkcija. To je dostatno za odredivanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija bilo kojega kuta. U prvom stupcu su vrijednosti sinusa i one rastu s porastom veliˇcina kuta. Kako se odvijaju promjene ostalih trigonometrijskih funkcija? Obrazloˇzite!

Nadalje, uz lijevi rub tablice zapisani su stupnjevi, do njih su navedene minute u intervalima po deset. Spuˇstajući se po lijevom rubu, dolazimo do posljednjeg broja 45◦ pa se po desnom rubu vraćamo prema gore za kutove od 45◦ do 90◦ . Primijetimo kako je pritom zbroj dvaju kutova slijeva i zdesna u istom retku jednak 90◦ . Na vrhu prvog stupca ˇ to znaˇci? stoji sin, a na dnu istog stupca zapisano je cos. Sto Kako je s ostalim stupcima?

Brojevi u uˇzim stupcima naslovljeni s D.1’ sluˇze za interpolaciju vrijednosti pojedine funkcije za 1 . Razmislite i o toj interpolaciji. Moˇzete li izvesti joˇs koji zanimljiv zakljuˇcak?

30

ODRE¯DIVANJE VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

2.2

Zadatci 2.2.

2.

Koristeći se tablicom provjeri sljedeće jednakosti: 1    1) sin · cos = sin ; 6 6 2 3 2 2  2  − sin = − cos ; 2) cos 3 3 3 2 5 2 5 3) sin · cos + cos · sin = −1 ; 3 6 3 6 2 5 2 5 4) cos · cos − sin · sin = 0. 3 6 3 6   1 + sin − cos  3 3 5)   = tg 6 . 1 + sin + cos 3 3 sin x − sin y Izraˇcunaj vrijednost brojevnog izraza cos x + cos y 5 3 , y= . ako je x = 4 4

3.

7.

Ako se vrijednost kuta promijeni za 1 , za koliko c´ e se promijeniti vrijednost trigonometrijskih funkcija? Izraˇcunaj za sluˇcaj kada je kut 0◦ , 30◦ i 60◦ . (Uputa: izraˇcunaj sin 1 − sin 0◦ , sin 30◦ 1 − sin 30◦ , sin 60◦ 1 − sin 60◦ i sliˇcno za druge funkcije.)


1.

8.

Koordinate toˇcke na brojevnoj kruˇznici su kosinus i sinus broja koji je smjeˇsten u tu toˇcku. Obidi sve toˇcke i upiˇsi nepoznate koordinate.

Dokaˇzi: 7 11   + cos > 1. 1) sin + sin > 1 ; 2) cos 3 6 4 6 Prepiˇsi u biljeˇznicu i popuni sljedeće tablice:

4.  1.5 0.23 −3.86 10.2

sin 

5.

 44◦ 15 78◦ 45 ◦ 31 25 48 13◦ 52 36

6.

 105 35 188◦9 ◦ −21 55 12 −112◦2 23 ◦

cos 

sin 

sin 

tg 

cos 

cos 

ctg 

tg 

tg 

ctg 

ctg 

31

2


2.3. Odredivanje vrijednosti kuta ¯


- vrijednost neke trigonometOpisali smo kako se za zadani realni broj odreduje ˇ rijske funkcije. Cesto moramo rjeˇsavati obrnut zadatak: ako je dana vrijednost trigonometrijske funkcije za neki broj, odnosno kut, kako odrediti taj broj, odnosno kut? Taj je zadatak već malo sloˇzeniji.

Primjer 1.

Neka je sin  =

1 . Koliki je kut  ? 2

1 Nacrtajmo brojevnu kruˇznicu. Jednadˇzbu sin  = zadovoljavat cé sve 2 1 1 toˇcke brojevne kruˇznice cˇija je ordinata . Povucimo pravac y = . On 2 2 sijeˇce brojevnu kruˇznicu u dvije toˇcke T1 i T2 . Odgovarajući kutovi su  5 1 = i 2 = . Prema tome, dobili smo dvije vrijednosti za kut  . 6 6 Jesu li to jedine dvije vrijednosti? y

Odgovor je dakako: ne. Za sve  kutove 1 + 2k = + 2k i 6 5 2 + 2k = + 2k , k ∈ Z 6 sinus cé takoder imati vrijednost 1 , jer tim brojevima odgova2 ra ista toˇcka brojevne kruˇznice. Dakle, sve moguće vrijednosti cˇine skup  5 + 2k , + 2k , k ∈ Z . 6 6

T2

T1

a2

O

y = 12

a1

x

Ovaj primjer pokazuje kako odredivanje vrijednosti kuta iz poznate vrijednosti sinusa nije potpuno jednostavan posao. Pokaˇzimo sad detaljno koje postupke trebamo uˇciniti u tom raˇcunu.

32

ODRE¯DIVANJE VRIJEDNOSTI KUTA

2.3

Arkus sinus Ako je zadana vrijednost y sinus funkcije, onda se kut  za koji je sin  = y - ovako. odreduje


Nacrtajmo brojevnu kruˇznicu. Traˇzimo one toˇcke na brojevnoj kruˇznici cˇija je ordinata jednaka broju y . Nacrtajmo horizontalni pravac cˇiji je odsjeˇcak na osi ordinata jednak y . On sijeˇce brojevnu kruˇznicu općenito u dvjema toˇckama, od kojih se jedna nalazi na lijevoj, a jedna na desnoj polukruˇznici. Te se dvije toˇcke podudaraju samo ako je y = −1 ili y = 1 . Izabrat c´ emo onu toˇcku T koja leˇzi na desnoj polukruˇznici. Mjera  pripadnog kuta nalazi se u granicama   −  . 2 2 y

T

(y > 0)

y

a = arc sin y

Prikazano je raˇcunanje kuta iz poznate vrijednosti sinusa. Ako je zadana vrijednost y sinusa, tada postoji samo jedna toˇcka T = T( ) na desnoj polukruˇznici za koju je sin  = y . Vrijednost kuta  oznaˇcava se s arc sin y .

a O a

x

y

T

(y < 0)

Zakljuˇcujemo: Arkus sinus

Za svaki broj y iz intervala [−1, 1] postoji samo jedan kut  za koji   vrijedi sin  = y i −  . Taj se kut oznaˇcava s 2 2  = arc sin y. ˇ ( Citaj: arkus sinus ipsilon.) Vrijednost arkus sinusa dobivamo uz pomoć raˇcunala pritiskom na tipku oznaˇcenu s SIN −1 ili ASIN .

Primjer 2.

Neka je sin  = −0.4371 . Koliki je kut  , −

   ? 2 2

Unesimo vrijednost u raˇcunalo: 0.4371 ± . Pritisnimo tipku SIN −1 . na zaslonu cémo dobiti broj −0.452371 . . . To je vrijednost traˇzenog kuta (u radijanima).

33

2


ˇ Zelimo li odrediti vrijednost kuta u stupnjevima, moˇzemo rabiti transformacijsku formulu 180 ·  rad 


◦ =

ili pak postaviti raˇcunalo za raˇcun u stupnjevima.

Primjerice, za  = −0.452371 dobit cémo, raˇcunajući na bilo koji od tih dvaju naˇcina, vrijednost

 = −25.91899◦ = −25◦ 55 8 .

Ovako dobivena vrijednost  tek je jedan kut za koji je sin  = y . Kako cémo odrediti sve ostale vrijednosti za  ?

 1. Ako je y = 1 , tada iz sin  = 1 zakljuˇcujemo da mora biti  = + 2k , 2 k ∈ Z.

2. Ako je y = −1 , tada iz sin  = −1 zakljuˇcujemo da mora biti  =  − + 2k , k ∈ Z . 2

3. Neka je sad −1 < y < 1 . Nacrtajmo brojevnu kruˇznicu. Povucimo horizontalni pravac cˇiji je odsjeˇcak na osi ordinata jednak y . On sijeˇce brojevnu kruˇznicu u toˇcki T1 cˇiji je kut 1 =  , te u toˇcki T2 kojoj odgovara kut 2 . y

T2

T1

y

p-a

O

a

x

Rjeˇsavamo jednadˇzbu sin  = y . Ako je y razliˇcit od 1 ili −1 , tada horizontalni pravac sijeˇce brojevnu kruˇznicu u dvjema toˇckama, T1 i T2 koje su simetriˇcne s obzirom na os ordinata. Za pripadne kutove 1 i 2 vrijedi 1 + 2 =  .

Toˇcka T2 simetriˇcna je toˇcki T1 s obzirom na os ordinata. Zato za kutove 1 i 2 vrijedi 2 =  − 1 , sˇ to je oˇcito sa slike.

34


Primjer 3.

2.3

Odredi kut u drugom kvadrantu za koji vrijedi sin  = 0.8 .


Postavimo raˇcunalo za raˇcunanje u stupnjevima. Unesimo vrijednost sinusa u raˇcunalo: 0.8 . Pritisnimo tipku SIN −1 . Na zaslonu cémo dobiti broj 53.130102354 . To je vrijednost kuta (u stupnjevima), koji leˇzi u prvom kvadrantu.

Kut u drugom kvadrantu, koji ima isti sinus, raˇcunamo ovako:  = 180◦ − 53.130102354◦ = 126.869897646◦ = 126◦ 52 12 . Izvedi ovaj raˇcun tako da bez potrebe ne unosiˇs medurezultate u raˇcunalo! (To unoˇsenje je najˇceˇscí uzrok pogreˇskama u raˇcunu.)

Zadatak 1.

1) Odredi broj t u drugom kvadrantu za koji vrijedi sin t = 0.1125 .

2) Odredi broj t u trećem kvadrantu ako je sin t = −0.9758 .

Sve ostale vrijednosti kuta  , za koji je sin  = y , dobiju se dodavanjem viˇsekratnika broja 2 na neku od ovih dviju izraˇcunanih vrijednosti. Prema tome, skup svih vrijednosti je { + 2k ,  −  + 2k , k ∈ Z},

pri cˇemu je  = arc sin y .

Racˇ unanje kuta iz zadane vrijednosti sinusa

Iz zadane vrijednosti y sinusa raˇcunamo kut  za koji je sin  = y ovako: 1. Ako je y = 1 , onda je  =

 + 2k , k ∈ Z . 2

2. Ako je y = −1 , onda je  = −

 + 2k , k ∈ Z . 2

3. Ako je −1 < y < 1 , onda izraˇcunamo vrijednost  = arc sin y iz   , a potom izraˇcunamo  −  . Sve vrijednosti intervala − , 2 2 kuta su { + 2k ,  −  + 2k , k ∈ Z}.

35

2


Primjer 4.

Odredi najmanji realni broj x za koji vrijedi sin x = 0.4 ako je joˇs k tome x > 8. Postavimo raˇcunalo za rad u radijanima.


0.4 . Izraˇcunamo odgovarajući kut Unesemo vrijednost sinusa: 0.411516846 i oznaˇcimo taj broj s x1 . Na trigonometrijskoj kruˇznici ovaj broj leˇzi u prvom kvadrantu. Isti sinus ima i kut iz drugog kvadranta kojem je mjera u radijanima: x2 =  − x1 = 2.730075808. Svi brojevi za koje je sinus 0.4 dobivaju se sad ovako: 0.411516846 + 2k , 2.730075808 + 2k ,

k ∈ Z.

- njima, a veći od 8, je broj Najmanji medu 2.730075808 + 2 · 1 ·  = 9.01326115.

Rjeˇsenje zadatka je broj x = 9.01326115 .

Zadatak 2.

Odredi:

1) arc sin 0.5 ;

Zadatak 3.

2) arc sin(−1) ;

3) arc sin 4.55 ;

4) arc sin(−0.429) .

1) Odredi najmanji pozitivan broj t veći od 10 ako je sin t = −0.7568 .

2) Odredi najveći negativan broj t za koji je sin t = −0.35 .

Napomena. Za neke istaknute vrijednosti t rjeˇsenje jednadˇzbe sin  = t pisˇ emo u drugom obliku. Tako na primjer, ako je sin  = 0.5 , tada umjesto   = arc sin 0.5 = 0.523598 . . . pisat cémo radije  = . 6  iz uvjeta Zato, ako odredujemo √ 2 1 sin  = ± , sin  = ± , 2 2 piˇsemo toˇcne vrijednosti arkus sinusa:   =± , =± , 6 4

36

√

sin  = ±

 =± , 3

3 , 2

sin  = ±1

 =± . 2


2.3

Arkus kosinus Ako je zadana vrijednost x kosinus funkcije, onda se kut  za koji je cos  = x raˇcuna na sljedeći naˇcin.


Nacrtajmo brojevnu kruˇznicu. Na brojevnoj kruˇznici traˇzimo one toˇcke cˇija je apscisa jednaka broju x . Nacrtajmo vertikalni pravac cˇiji je odsjeˇcak na osi apscisa jednak x . On sijeˇce brojevnu kruˇznicu općenito u dvjema toˇckama, od kojih je jedna na donjoj, a jedna na gornjoj polukruˇznici. Izabrat c´ emo onu toˇcku T koja leˇzi na gornjoj polukruˇznici. Za pripadni kut vrijedi 0   . y

(x > 0)

(x < 0)

T

T

p-a

Raˇcunamo kut iz poznate vrijednosti kosinusa. Ako je zadana vrijednost x kosinusa, tada postoji samo jedna toˇcka T = T( ) na gornjoj polukruˇznici za koju je cos  = x . Vrijednost kuta  oznaˇcava se s arc cos x .

x

O

a = arc cos x

a

x

x

Arkus kosinus

Za svaki broj x iz intervala [−1, 1] postoji samo jedan kut  za koji je cos  = x i 0   . Taj se kut oznaˇcava s  = arc cos x. ( cˇitaj: arkus kosinus iks.) Vrijednost arkus kosinusa dobivamo uz pomoć raˇcunala pritiskom na tipku oznaˇcenu s COS −1 ili ACOS .

Zadatak 4.

Primjer 5.

Bez uporabe raˇcunala izraˇcunaj: arc cos 1 + arc cos 0 + arc cos(−1).

Neka je cos  = 0.23714 . Koliki je kut  , 0   ?

Postavimo raˇcunalo za rad u stupnjevima. U raˇcunalo unesimo vrijednost 0.23684 . Pritisnimo tipku COS −1 . Na zaslonu cémo dobiti broj 76.282197903 . To je vrijednost traˇzenog kuta (u stupnjevima). Pretvorimo dijelove stupnja u minute i sekunde pritiskom na D.MS : 76◦ 16 56

37

2


Neka je cos t = −0.3 . Koliki je broj t ako je 0 t  ?

Primjer 6.

Sada cémo raˇcunati kut u radijanima, pa provjerimo stanje raˇcunala ili odmah pritisnimo RAD . U raˇcunalo unesimo vrijednost .3 ± . Pri-


tisnimo tipku COS −1 . Na zaslonu cémo dobiti broj 1.875488981 . . . Rezultat cémo zapisati na pet decimala 3 , t = 1.87549 . To je vrijednost traˇzenog kuta (u radijanima).

Zadatak 5.

Odredi:

1) arc cos(−0.5) ;

2) arc cos 0.3324 ;

3) arc cos(−1.255) .

Sve vrijednosti kuta  za koji je cos  = x nalazimo sliˇcno kao i za funkciju sinus. 1. Ako je x = 1 , onda je  = 2k , k ∈ Z .

2. Ako je x = −1 , onda je  =  + 2k , k ∈ Z .

3. Neka je sad −1 < x < 1 . Nacrtajmo brojevnu kruˇznicu. Povucimo vertikalni pravac cˇiji je odsjeˇcak na osi apscisa jednak x . On sijeˇce brojevnu kruˇznicu u toˇcki T1 u gornjoj poluravnini, kojoj odgovara kut 1 =  , te u toˇcki T2 u donjoj poluravnini, kojoj odgovara kut 2 . y

T1

a

O -a

x

T2

x

Rjeˇsavamo jednadˇzbu cos  = x . Ako je x razliˇcit od 1 ili −1 , tada vertikalni pravac sijeˇce brojevnu kruˇznicu u dvjema toˇckama, T1 i T2 , koje su simetriˇcne s obzirom na os apscisa. Za pripadne kutove 1 i 2 vrijedi 2 = −1 .

Toˇcka T2 simetriˇcna je toˇcki T1 s obzirom na os apscisa. Zato za 1 i 2 vrijedi 2 = −1 .

3

38

- ovisi o ostalim podatcima u zadatku. Broj decimala nije unaprijed odreden,


2.3

Sva ostala rjeˇsenja jednadˇzbe cos  = x dobiju se dodavanjem viˇsekratnika broja 2 na neku od ovih dviju izraˇcunanih vrijednosti. Prema tome, skup svih rjeˇsenja promatrane jednadˇzbe je { + 2k , − + 2k , k ∈ Z},


pri cˇemu je  = arc cos x . Racˇ unanje kuta iz zadane vrijednosti kosinusa

Iz zadane vrijednosti x kosinusa raˇcunamo kut  za koji je cos  = x ovako: 1. Ako je x = 1 , onda je  = 2k , k ∈ Z .

2. Ako je x = −1 , onda je  = (2k + 1) , k ∈ Z .

3. Ako je −1 < x < 1 , onda izraˇcunamo vrijednost  = arc cos x iz intervala 0,  . Sve vrijednosti kuta su { + 2k , − + 2k , k ∈ Z}.

Primjer 7.

Za koji kut  vrijedi cos  = −0.8 ?

Raˇcunamo u radijanima. Unesemo vrijednost kosinusa: .8 ± . Od-

redimo kut pritiskom na COS −1 . Dobivamo rezultat 2.49809 . Sve vrijednosti kuta (u radijanima) su {2.49809 + 2k , −2.49809 + 2k , k ∈ Z}.

Zadatak 6.

Odredi kut  u stupnjevima ako je: 1) cos  = 0.44678 ;

2) cos  = −3.14159 ;

3) cos  = −0.8957 .

Arkus tangens i arkus kotangens

Sliˇcnu situaciju imamo pri odredivanju kuta iz poznate vrijednosti tangensa ili kotangensa. - kut ako je tg  = y . Naime, ako je zadana Dovoljno je nauˇciti kako se odreduje vrijednost kotangensa, tada je reciproˇcni broj vrijednost tangensa. Tangens poprima sve realne vrijednosti. Zato cé za svaki realni broj y postojati kut za koji je tg  = y .

39

2


Nacrtajmo brojevnu kruˇznicu i prislonimo tangentu u toˇcki (1, 0) . Vrijednost tangensa je ordinata toˇcke na tom pravcu. Zato odredimo toˇcku T s ordinatom y . Zraka OT sijeˇce desnu polukruˇznicu u jednoj toˇcki, T . Arkus tangens


Za svaki realni broj y postoji samo jedan kut  za koji je tg  = y i   − <  < . Taj se kut oznaˇcava s 2 2  = arc tg y. ( cˇitaj: arkus tangens ipsilon.) Arkus tangens dobivamo na raˇcunalu pritiskom na tipku oznaˇcenu s TAN −1 ili pak s ATAN .

y

T (1, y)

T'

y

a = arc tg y

O

1

x

Raˇcunamo kut iz poznate vrijednosti tangensa. Ako je zadana vrijednost y tangensa, tada postoji samo jedna toˇcka T na desnoj polukruˇznici za koju je tg  = x . Vrijednost kuta  oznaˇcava se s arc tg y .

Primjer 8.

Odredimo kut  za koji je tg  = 2.35113 .

Unesimo broj u raˇcunalo i odredimo vrijednost arkus tangensa: 2.35113

TAN

−1

(= 1.168648 . . .)

Dobili smo vrijednost u radijanima. Pretvorimo ga u stupnjeve: × 180 :  =

(= 66.95862 . . . ◦ )

→D.MS

(= 66◦ 57 31.03 )

Dakle,  = 66◦ 57 31 .

Na ovaj smo naˇcin dobili jednu vrijednost 1 =  za koju je tg  = y . Isto cé vrijediti za svaki  iz skupa  + k , k ∈ Z .

40


2.3

Racˇ unanje kuta iz zadane vrijednosti tangensa


Iz zadane vrijednosti y tangens raˇcunamo kut  za koji je tg  = y ovako:   . 1. Izraˇcunamo vrijednost  = arc tg y iz intervala − , 2 2 2. Sve vrijednosti kuta su { + k , k ∈ Z}.

Zadatak 7.

Izraˇcunaj kut  ako je:

1) tg  = −0.1156 ;

2) tg  = −1 ;

3) tg  = 99.5498 .

Racˇ unanje kuta iz zadane vrijednosti kotangensa

Iz zadane vrijednosti y kotangens raˇcunamo kut  za koji je ctg  = y ovako:

1. Izraˇcunamo reciproˇcnu vrijednost x =

1 . y

  . 2. Izraˇcunamo vrijednost  = arc tg x iz intervala − , 2 2 3. Sve vrijednosti kuta su

{ + k , k ∈ Z}.

Primjer 9.

Izraˇcunajmo sve kutove za koje je ctg  = −2.36 .

Najprije odredimo vrijednost tangensa: 1 1 =− tg  = = −0.42372 . . . ctg  2.36 (rezultat zapisujemo s pet decimala, a toˇcniji broj pamtimo u raˇcunalu). Sad odredujemo vrijednost arkus tangensa: −0.42372 . . .

TAN

−1

(= −0.40079 . . .)

Prema tome, sva su rjeˇsenja jednadˇzbe ctg  = −2.36 {−0.40079 ± k , k ∈ Z}.

Zadatak 8.

Odredi broj t ako je: 1) ctg t = −4.1338 ;

2) ctg t = 1 ;

3) ctg t = 7.1528 .

41

2


Zadatci 2.3. 1.

Odredi arkus kosinus iz zadane vrijednosti kosinusa. Rezultate zapiˇsi u stupnjevima. 1) cos  = 0.23974 ; 2) cos  = 0.55245 ; 3) cos  = 0.03355 ; 4) cos  = 0.89547 ; 5) cos  =−0.25252 ; 6) cos  = −0.987 .

4.

Odredi arkus kosinus iz zadane vrijednosti kosinusa. Rezultate zapiˇsi u radijanima. 1) cos  = 0.23974 ; 2) cos  = 0.55245 ; 3) cos  = 0.03355 ; 4) cos  = 0.89547 ; 5) cos  =−0.25252 ; 6) cos  = −0.987 .

5.

6.

Konstruiraj sljedeće kutove: 1 3 1) arc sin ; 2) arc cos − ; 5 2 Izraˇcunaj: 1) 2) 3) 4)

7.

42

Koliko je: 1 + arc sin(−1) ; 1) tg arc sin − √2 √ 3 3 2) ctg arc sin + arc cos ? 2 2

9.

Odredi sve realne brojeve t ako je poznato:

Odredi arkus sinus iz zadane vrijednosti sinusa. Rezultate zapiˇsi u radijanima. 1) sin  = 0.19118 ; 2) sin  = 0.87451 ; 4) sin  = 0.33126 ; 3) sin  = 0.55 ; 5) sin  =−0.45245 ; 6) sin  = −0.9987 .

3.

8.


1) sin  = 0.19118 ; 2) sin  = 0.87451 ; 3) sin  = 0.55 ; 4) sin  = 0.33126 ; 5) sin  =−0.45245 ; 6) sin  = −0.9987 .

2.

√ 3 2 − arc cos ? 4) ctg 2 2

Odredi arkus sinus iz zadane vrijednosti sinusa. Rezultate zapiˇsi u stupnjevima.

3) arc tg

5 . 6

√ 1 2 arc sin − + arc sin ; 2 2√ √ 2 3 arc sin − − arc sin ; 2 2 √ √ 3 3 1 + arc tg ; arc sin + arc cos √ 2 2 √ 3 √ 3 3 3 arc sin + arc cos − + arc tg − . 2 2 3

Koliko je: 1  + ; 1) cos arc cos − 2 3 1  2) tg 2 arc tg − √ + ; 3 3 √ 3 3) tg 2 − arc sin ; 2

1) sin t = 0.2 ; 3) sin t = 0.4 ; 5) sin t = −0.6 ;

2) sin t = 0.3 ; 4) sin t = 0.9 ; 6) sin t = −0.7 .

10. Odredi sve realne brojeve t ako je poznato: 1) cos t = 0.12 ; 3) cos t = 0.54 ; 5) cos t = −0.37 ;

2) cos t = 0.37 ; 4) cos t = 0.71 ; 6) cos t = −0.75 .

11. Odredi arkus tangens iz zadane vrijednosti tagensa: 1) tg  = 0.53554 ; 2) tg  = 1.25222 ; 3) tg  = 0.09 ; 4) tg  = 3.89334 ; 5) tg  = −1.35353 ; 6) tg  = −10.987 .

12. Odredi arkus kotangens iz zadane vrijednosti kotagensa:

1) ctg  = 3.51551 ; 2) ctg  = 0.11226 ; 3) ctg  = 0.097 ; 4) ctg  = 1.38934 ; 5) ctg  =−0.75353 ; 6) ctg  = −13.3567 .

13. Odredi sve vrijednosti realnog broja t ako je zadano: 1) tg t = 0.25 ; 3) tg t = 3.60 ; 5) tg t = −2.5 ;

2) tg t = 0.75 ; 4) tg t = 15.2 ; 6) tg t = −7.5 .

14. Odredi sve vrijednosti realnog broja t ako je zadano: 1) ctg t = 0.25 ; 3) ctg t = 10.24 ; 5) ctg t = −1.25 ;

2) ctg t = 1.55 ; 4) ctg t = −0.1 ; 6) ctg t = −25.6 .

15. Izrazi u radijanima: 1) arc sin 0.33 ; 3) arc tg(−3.14) ;

2) arc cos(−0.412) ; 4) arcctg1.193 .

OSNOVNI TRIGONOMETRIJSKI IDENTITETI

2.4

2.4. Osnovni trigonometrijski identiteti Uz funkcije sinus i kosinus vezan je jedan od najvaˇznijih identiteta trigonometrije.


Promotrimo sliku. Odabrana je toˇcka E(t) brojevne kruˇznice i duˇzinom je spojena sa srediˇstem kruˇznice. Tako smo dobili pravokutni trokut s katetama duljina | cos t| i | sin t| te hipotenuzom duljine 1. Primjenom Pitagorina pouˇcka dobijemo

E (t)

1

sin t

cos t

sin2 t + cos2 t = 1.

Ova jednakost vrijedi za svaki realni broj t pa je ona stoga identitet.

Naime, za svaku toˇcku brojevne kruˇznice na opisani je naˇcin moguće konstruirati pravokutni trokut i potvrditi navedeni identitet. Temeljni identitet

Za svaki realni broj t vrijedi

sin2 t + cos2 t = 1.

Primjer 1.

Ako je sin t + cos t = 0.8 , t ∈ 2, 3 , koliko je sin t · cos t? Kvadriranjem dane jednakosti dobijemo

sin2 t + cos2 t + 2 sin t · cos t = 0.64. Kako je sin2 t + cos2 t = 1 , slijedi 2 sin t · cos t = −0.36 te je sin t · cos t = −0.18. ˇ Citav interval 2, 3 smjeˇsten je na brojevnoj kruˇznici u drugom kvadrantu. Predznaci sinusa i kosinusa u tom kvadrantu su suprotni, pa je zato konaˇcan rezultat negativan broj.

Zadatak 1.

Ako je sin t · cos t = 0.5 i ako je  < t <

3 2

, koliko je sin t + cos t?

I funkcije tangens i kotangens vezane su medusobno i s funkcijama sinus i kosinus nekim jednostavnim relacijama.

43

2


Ako je T = E(t) u prvom kvadrantu, onda vrijedi tg t = |AP| . Iz sliˇcnih trokuta OAP i OBT (slika desno) vidimo da je

P T


|AP| |BT| = |OA| |OB|

i odavde, jer je |OA| = 1 , slijedi

t O

|BT| sin t tg t = |AP| = = . |OB| cos t

B

A

Ako je T = E(t) u nekom od triju ostalih kvadranata, dokaz se provodi na isti naˇcin.

Potpuno na isti naˇcin kao i za funkciju tangens moˇzemo pokazati da za ovako definiranu funkciju kotangens vrijedi temeljna veza ctg t =

cos t sin t

za svaki t takav da je ovaj koliˇcnik definiran.

Dakle, vrijedi

ctg t =

1 tg t

za svaki t za koji su obje funkcije definirane.

Zadatak 2.

sin t Koristeći se identitetima tg t = , tg t · ctg t = 1 i tablicom na str. 29 proˇsiri cos t istu tablicu vrijednostima tangensa i kotangensa.

Temeljne veze izmedu ¯ trigonometrijskih funkcija

Ako znamo vrijednost jedne trigonometrijske funkcije za neki broj t , onda iz osnovnih identiteta moˇzemo odrediti vrijednost bilo koje druge funkcije istog tog broja. Pokaˇzimo najprije kako se iz poznatog sinusa raˇcuna kosinus i obratno. Iz temeljnog identiteta slijedi sin t = ± 1 − cos2 t, cos t = ± 1 − sin2 t, Predznak biramo prema kvadrantu u kojem se nalazi toˇcka E(t) .

44


4 Odredi vrijednost sin t ako je cos t = , a kut t se nalazi u cˇetvrtom 5 kvadrantu. Za kutove u cˇetvrtom kvadrantu sinus je negativan. Zato je sin t = − 1 − cos2 t 4 2 =− 1− 5 3 =− . 5


Primjer 2.

2.4

0

1

sin t

cos t

E (t)

Pokaˇzimo sada kako se s pomoću vrijednosti jedne od cˇetiriju trigonometrijskih funkcija moˇze izraziti vrijednost bilo koje druge funkcije. 1. Poznat je sin t .

2. Poznat je cos t .

cos t = ± 1 − sin2 t, sin t sin t tg t = , = √ cos t ± 1 − sin2 t √ cos t ± 1 − sin2 t ctg t = = . sin t sin t

sin t = ± 1 − cos2 t, √ sin t ± 1 − cos2 t tg t = = , cos t cos t cos t cos t . = √ ctg t = sin t ± 1 − cos2 t

3. Poznat je tg t . Iz sin2 t + cos2 t = 1 dijeljenjem s cos2 t dobivamo 1 1 tg2 t + 1 = =⇒ cos2 t = cos2 t 1 + tg2 t te je 1 cos t = , ± 1 + tg2 t tg t sin t = tg t · cos t = . ± 1 + tg2 t Sliˇcno se izvode veze i ako je poznat ctg t .

45

2


Dobivene identitete navest cémo u sljedećoj tablici: cos t

tg t

ctg t

−

√ ± 1 − cos2 t

tg t ± 1 + tg2 t

1 ± 1 + ctg2 t


sin t

sin t

cos t

tg t

ctg t

Primjer 3.

√ ± 1 − sin2 t sin t √ ± 1 − sin2 t √ ± 1 − sin2 t sin t

−

√ ± 1 − cos2 t cos t cos t √ ± 1 − cos2 t

1 ± 1 + tg2 t

ctg t ± 1 + ctg2 t

−

1 ctg t

1 tg t

−

1 Odredi vrijednost cos t ako je tg t = , a kut t se nalazi u trećem 3 kvadrantu. Za kutove u trećem kvadrantu kosinus je negativan. Zato je 1 1 3 cos t = = − = −√ . 2 10 1 − 1 + tg t 1+ 9

Zadatak 3. Primjer 4.

Ako je ctg t = −1.875 i cos t > 0 , izraˇcunaj sin t .

- u granicama 0.15 < sin t < Za kut iz prvog kvadranta sinus je utvrden 0.16 . U kojim se granicama nalazi tangens tog kuta? Tangens kuta je pozitivan. Moˇzemo koristiti formulu sin t tg t = √ . 1 − sin2 t Uvrˇstavajući graniˇcne vrijednosti za sinus, dobit cémo ove ograde za tangens: √

46

0.15 0.16 < tg t < √ , 2 1 − 0.15 1 − 0.162 0.152 < tg t < 162.


2.4

Zadatci 2.4. Pojednostavni: 1) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

2.

1 − cos2 x ; 2) sin2 x − 1 ; (1 − sin x)(1 + sin x) ; (1 − cos x)(1 + cos x) ; 1 + sin2 x + cos2 x ; 1 − sin2 x − cos2 x ; sin4 x − cos4 x + sin2 x ; cos4 x − sin4 x − cos2 x ; (1 + tg2 x) · cos2 x ; (1 + ctg2 x) · sin2 x.

Pojednostavni:

sin2 x 1 − sin2 x ; 2) · ctg2 x ; 1) 2 cos x − 1 sin2 x − 1 cos2 x sin3 x + cos3 x 2 · tg ; 3) x ; 4) 1 − cos2 x 1 − sin x · cos x sin3 x − cos3 x 1 − sin4 x − cos4 x 5) ; 6) ; 1 + sin x · cos x cos4 x Dokaˇzi sljedeće identitete:

3.

4.

1) 2)

sin x + tg x = tg x ; cos x + 1 cos x + ctg x = ctg x ; 1 + sin x 1 + tg x = tg x ; 1 + ctg x 1 1 2 + = ; 1 + cos x 1 − cos x sin2 x sin x tg x = ; 1 + tg x sin x + cos x 1 1 1− = . 1 + tg2 x 1 + ctg2 x


1.

1) (sin x + cos x)2 + (sin x − cos x)2 = 2 ; 1 − sin2 x = cos x ; 2) cos x cos2 x = 1 + sin x ; 3) 1 − sin x 1 + cos x sin x 4) = ; sin x 1 − cos x cos x 5) = 1; sin x · ctg x sin x 6) = 1; cos x · tg x sin x + tg x = 1 + cos x ; 7) tg x tg x = sin2 x ; 8) tg x + ctg x ctg x = cos2 x ; 9) tg x + ctg x cos2 x − sin2 x 10) = ctg x − tg x . sin x · cos x

3)

4)

5)

6)

5.

1) tg2 x − sin2 x = tg2 x · sin2 x ;

2) ctg2 x − cos2 x = ctg2 x · cos2 x ;

3) (tg2 x − sin2 x) · ctg2 x = sin2 x ;

4) (1 + ctg2 x)(1 − sin2 x) = ctg2 x ; 5) sin4 x + cos4 x = 1 − 2 cos2 x + 2 cos4 x .

6.

1)

2)

3)

4)

5)

7.

1)

2)

8.

1) 2)

tg x ctg2 x − 1 = 1; · ctg x 1 − tg2 x 1 + ctg2 x 1 = ; sin2 x − cos2 x 1 − ctg2 x ctg2 x − 1 tg x · = 1; ctg x 1 − tg2 x sin x cos x 1 + = ; 1 + ctg x 1 + tg x sin x + cos x tg x − sin x sin x · tg x = . sin x + tg x sin x · tg x 1 + cos x 2 1 + cos x = 2, +1 : sin x sin2 x x = k , k ∈ Z ; (1 − sin x − cos x)(1 − sin x + cos x) = −2 , sin x(1 − sin x)  x = k , x = + k · 2 , k ∈ Z . 2 1 + sin x 1 + sin x = ; 1 − sin x | cos x| 1 − cos x 1 − cos x = . 1 + cos x | sin x|

47

2


2 sin x + cos x = , koliko je tg x ? sin x − cos x 3 √ tg x + ctg x 6 , koliko je ? 17. Ako je tg x = 2 tg x − ctg x

16. Ako je Izraˇcunaj vrijednosti ostalih trigonometrijskih funkcija ako je zadano:  , ; 1) sin x = 0.8 , x ∈ 2 3 3 2) cos x = − , x ∈  , ; 5 2 3 , ; 3) tg x = 1 , x ∈  , 2 √  , . 4) ctg x = − 3 , x ∈ 2

18. Izraˇcunaj

2 sin t − cos t ako je ctg t = 1 . sin t + cos t 9


9.

10. Iz dane vrijednosti izraˇcunaj vrijednosti ostalih trigonometrijskih funkcija:

15  , < x < ; 17 2 5 3 2) cos x = − ,  < x < ; 13 2 3 7 3) tg x = −3 , − < x < −3 ; 7 2 15 9 4) ctg x = , −5 < x < − . 8 2

1) sin x =

11. Iz dane vrijednosti izraˇcunaj vrijednosti ostalih

sin4

1 2

21. Ako je sin x + cos x = , koliko je sin x · cos x? 22. Ako je sin x + cos x = 1) sin3 x + cos3 x ;

1 , izraˇcunaj: 3 2) sin4 x + cos4 x .

23. Ako je tg x + ctg x = 3, izraˇcunaj tg3 x + ctg3 x. 24. Ako je sin x + cos x = 23 , koliko je tg x + ctg x ?

trigonometrijskih funkcija:

25. Ako je tg x + ctg x = 4 , koliko je sin x + cos x ?

5 , tg x < 0 ; 13 24 2) cos x = − , ctg x < 0 ; 25 15 3) tg x = 3 , cos x > 0 ; 16 4) ctg x = −2.4 , sin x < 0 .

26. Ako je tg x + ctg x = 3 , koliko je

1) sin x =

5  < x <  , izraˇcunaj 12. Ako je cos x = − , 13 2 sin x i ctg x .

3 < x < 2 , izraˇcunaj 13. Ako je sin x = −0.8 , 2 cos x i tg x .

14. Ako je tg x = − i cos x.

5  , < x <  , izraˇcunaj sin x 12 2

12 3 15. Ako je ctg x = ,  < x < , izraˇcunaj sin x 5 2 i cos x.

48

2 . x + cos4 x sin x + 20. Izraˇcunaj vrijednost brojevnog izraza 1 + cos x 4 1 + cos x za x = . sin x 3

19. Ako je ctg x = −0.5, izraˇcunaj

1 1 + ? sin2 x cos2 x

27. Ako je sin x · cos x = je sin x + cos x ?

3 1 , x ∈ , , koliko 4 2

28. Ako je x = sin  + cos  i y = sin  · cos  , prikaˇzi y kao funkciju od x.

29. Ako je i x = sin  + cos  i y = sin3  + cos3  prikaˇzi y kao funkciju od x.

30. Ako je tg x = 3 ctg x , x ∈ sin x .



2

31. Ako je tg x + ctg x = 2 , x ∈  , sin x i cos x ?

,  , izraˇcunaj 3 , koliko je 2

SVOJSTVA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

2.5

2.5. Svojstva trigonometrijskih funkcija


Parnost i neparnost - ostalog se ispituje je li Pri izuˇcavanju svojstava neke realne funkcije izmedu funkcija parna ili neparna. Funkcija f je parna ako za svaki t za koji je funkcija definirana vrijedi: f (−t) postoji i pritom je f (−t) = f (t) . Ona je neparna ako za svaki t za koji je funkcija definirana vrijedi: f (−t) postoji i pri tom je f (−t) = −f (t) . Primijetimo da funkcija ne mora biti niti parna niti neparna.

Jesu li moˇzda trigonometrijske funkcije parne ili neparne funkcije?

Toˇcke T1 = E(t) i T2 = E(−t) simetriˇcne su s obzirom na os Ox . Zato se njihove apscise podudaraju, a ordinate razlikuju u predznaku. To znaˇci da je cos(−x) = cos x , te je kosinus parna funkcija, a sin(−x) = − sin x te je sinus neparna funkcija.

E (t) = (cos t, sin t)

t O -t

Je li tangens parna ili neparna funkcija? Moˇzemo to provjeriti na slici, sliˇcno kao sˇ to smo radili za sinus i kosinus, a moˇzemo postupiti i na ovaj naˇcin: tg(−t) =

x

E (-t) = (cos (-t), sin (-t))

sin(−t) − sin t sin t = =− = − tg t. cos(−t) cos t cos t

1 , funkcije tg t i ctg t iste su parnosti. A kako je tangens tg t neparan, neparan je i kotangens.

Kako je ctg t =

Parnost i neparnost trigonometrijskih funkcija

Sinus je neparna, a kosinus parna funkcija: cos(−t) = cos t, sin(−t) = − sin t, za svaki realni broj t .

Tangens i kotangens neparne su funkcije i vrijedi: tg(−t) = − tg t, ctg(−t) = − ctg t za svaki realni broj t za koji su funkcije definirane.

49

2


Zadatak 1.

Na slikama su redom grafovi funkcija f (x) = x4 −x2 −1 , f (x) = |||x−1|−1|−1| , - njima koja parna i koja f (x) = −0.5x3 + x i f (x) = −x2 + x + 1 . Ima li medu neparna? 1)

2)

y

y


3

2

2

1

1

x

-2

-1

0

1

2

-2

-1

-1

0

1

2

x

3

4

-1

-2

3)

4)

y

y

2

1

1

-1

x

-2

Primjer 1.

-1

0

1

2

0

1

x

2

-1

-1

-2

-2

-3

Funkcije f (x) = sin |x| i g(x) = | sin x| su parne. Provjerimo to! Vrijedi li sin |x| = | sin x| za svaki realni broj x ?

Provjerimo najprije je li sin |x| = sin | − x| . Kako suprotni brojevi imaju jednake apsolutne vrijednosti ( |x| = |−x| ), odgovor je potvrdan. Funkcija f parna je funkcija. A je li g parna, tj. vrijedi li | sin x| = | sin(−x)| za svaki realan broj x ? Kako je sin(−x) = − sin x , onda je to zapravo pitanje je li | sin x| = |−sin x| . Odgovor je potvrdan, razlog je i opet taj sˇ to suprotni brojevi imaju jednake apsolutne vrijednosti. Dakle, i g je parna funkcija. Jednakost sin |x| = | sin x| općenito ne vrijedi za svaki realni broj x , odnosno funkcije f i g nisu jednake funkcije. To je lako obrazloˇziti: sve vrijednosti od g su u intervalu [0, 1] , dok su vrijednosti od f u intervalu [−1, 1] .

Zadatak 2. 50

Vrijedi li jednakost cos |x| = | cos x| za svaki realni broj x ?


2.5

Periodicnost ˇ trigonometrijskih funkcija Periodiˇcnost je pojava s kojom se cˇesto susrećemo. Promotri primjerice sljedeću sliku.


Na njoj je dijagram koji prikazuje kako se tijekom vremena mijenja koliˇcina zraka u cˇovjekovim plućima. ˇ primjećujemo? Sto

obujam (ml)

2700

Pluća nikada nisu bez zraka i tijekom jednog udisaja, koji traje otprilike dvije sekunde, koliˇcina zraka se penje od najmanje do najveće vrijednosti, a potom opada.

2200

5

0

10

15

vrijeme (s)

Disanje je periodiˇcna pojava.

Premda je intuitivno jasno sˇ to to znaˇci, opiˇsimo ipak periodiˇcnost matematiˇcki. Periodiˇcne funkcije

Za funkciju f kaˇzemo da je periodiˇcna ako postoji realni broj P > 0 takav da za svaki t za koji je funkcija definirana, ona je definirana i u t + P i vrijedi f (t) = f (t + P). (1) Broj P zove se period funkcije f . Najmanji takav pozitivni broj zove se temeljni period funkcije f .

Zadatak 3.

- njima periodiˇcnih? Na crteˇzima su prikazani grafovi cˇetiriju funkcija. Ima li medu Ako ima, koliki je temeljni period? y

1)

y

2)

2

2

1

1

-5

0 -1

x

5

1

0

-2

-2

3)

y

4)

2

1

0 -2

x

1

y

2

1

1

5

x

0

1

5

x

-2

51

2


Periodicnost ˇ funkcija sinus i kosinus

Primijetili smo da se pri smjeˇstanju realnih brojeva na kruˇznicu jednoj toˇcki pridruˇzi beskonaˇcno mnogo brojeva. Ako je u toˇcku smjeˇsten realni broj t , onda su u istu toˇcku smjeˇsteni i svi brojevi oblika t + k · 2 , k ∈ Z . Obrazloˇzi zaˇsto.


No onda to izravno povlaˇci da je sin(t + k · 2 ) = sin t za svaki cijeli broj k .

cos(t + k · 2 ) = cos t

Drugim rijeˇcima, funkcije sinus i kosinus su periodiˇcne s temeljnim periodom 2 .

Primjer 2.

Funkcija f (t) = sin 2t periodiˇcna je funkcija. Odredimo njezin temeljni period. Traˇzimo broj P>0 takav da bude f (t+P) = f (t) za svaki realni broj t sin 2(t + P) = sin(2t + 2P) = sin 2t. Broj 2t moˇze biti bilo koji realni broj. Da bi ova jednakost bila ispunjena za svaki takav broj, 2P mora biti period funkcije sinus 2P = k · 2 za neki prirodni broj k . Najmanji takav P dobit cémo ako izaberemo k = 1 . Onda je P =  i to je temeljni period funkcije f (t) = sin 2t .

Zadatak 4.

Primjer 3.

Funkcija f (x) = cos 2x periodiˇcna je funkcija. Njezin je temeljni period  . Dokaˇzi! Funkcija f (x) = cos

x je periodiˇcna. Koliki je njezin temeljni period? 3

Traˇzimo broj P > 0 takav da bude f (x + P) = f (x) za svaki realni broj x x P x x+P = cos . cos = cos + 3 3 3 3 x Broj moˇze biti bilo koji realni broj. Da bi ova jednakost bila ispunjena 3 P mora biti period funkcije kosinus za svaki takav broj, 3 P = k · 2 3 za neki prirodni broj k . Najmanji takav P dobit cémo ako izaberemo x k = 1 . Onda je P = 6 i to je temeljni period funkcije f (x) = cos . 3

52


2.5

Dokaˇzimo da je funkcija f (x) = sin( x +  ) periodiˇcna i da je njezin 2 temeljni period . 

Primjer 4.


Pri dokazu tvrdnje primijenit cémo definiciju periodiˇcnosti funkcije. Pitamo se, dakle, postoji li takav pozitivan broj P da je jednakost sin( (x + P) +  ) = sin( x +  ) ispunjena za svaki x .

 pa nakon uvrˇstavanja dobijemo:  sin( P) = 0. - brojevima P = k ·  , k ∈ Z . Period P valja traˇziti medu  Onda je ona ispunjena i za x = −

 nije period funkcije f . Za k = 2 Pokazuje se da za k = 1 broj P =  2 provjera pokazuje da P = jest period funkcije f . To je onda i njezin  temeljni period.

Zadatak 5.

ˇ zakljuˇcujeˇs? Pozorno prouˇci sljedeće slike. Sto

1

1

p

2p

-1

p

-1

y = sin x y = sin 2x

3p

2p

4p

y=sin x y=sin x2

1

1

2p 3

p

p

2p

-1

-1

y=cos x y=cos 3x

Zadatak 6.

2p

3p

4p

y=cos x y=cos x 3

Odredi temeljne periode sljedećih funkcija:

1) f (x) = 2 sin 4x ;

2 2) f (x) = cos x ; 3

3) f (x) = − cos 5x ;

4) f (x) =

1 sin(x − 3) . 2

53

2


Periodiˇcnost funkcija sinus i kosinus

Funkcije sinus i kosinus su periodiˇcne funkcije s temeljnim periodom P = 2 : sin(t + 2 ) = sin t, cos(t + 2 ) = cos t.


I funkcije f (t) = sin( t +  ) i f (t) = cos( t +  ) , za svaki  i - periodiˇcne, a njihov je temeljni period 2 .  > 0 su takoder 

Zadatak 7.

Na slikama su dani grafovi nekih trigonometrijskih funkcija. Za svaku od njih odredi period. 1)

2)

-p

- 3p 2

p 2

-p 2

3p 2

x

-p

p 2

-p 2

-2

p

3p 2

2p

4)

- 3p 2

-p

p 2

-p 2

p

3p 2

-p

p 2

-p 2

p

3p 2

x

-2

-2

Periodicnost ˇ funkcija tangens i kotangens

Toˇcke T1 = E(t) i T2 = E(t +  ) simetriˇcne su s obzirom na ishodiˇste O . Zato T1 , O i T2 leˇze na istom pravcu. Drugim rijeˇcima, pravci OT1 i OT2 se podudaraju, pa se podudara i vrijednost tangensa: tg t = tg(t +  ) . Isto vrijedi i za funkciju kotangens. Zato je: tg(t +  ) = tg t,

ctg(t +  ) = ctg t

za svaki t za koji su funkcije definirane. Dakle, tangens i kotangens su periodiˇcne funkcije s temeljnim periodom  .

54

x

-2

3)

- 3p 2

9p 4

3p 4

-p 4

p

x


2.5

Q P

t +p

Na slici je prikazana periodiˇcnost tangensa i kotangensa. Toˇcke E(t) i E(t +  ) simetriˇcne su s obzirom na ishodiˇste, pa su vrijednosti tangensa za t i t +  jednake. Isto vrijedi i za kotangens. Zato je  temeljni period ovih funkcija.


t O

x

Općenitije, za svaki cjelobrojni k i za svaki t , za koji su funkcije definirane, vrijedi: tg(t + k ) = tg t, ctg(t + k ) = ctg t. Kao i za funkcije sinus i kosinus, moˇzemo pokazati sljedeće svojstvo funkcija tangens i kotangens: Periodiˇcnost funkcija tangens i kotangens

Neka su  i  > 0 po volji odabrani realni brojevi. Funkcije t → tg( t+  ) i t → ctg( t+  ) su periodiˇcne, s temeljnim periodom  . 

Kutak plus

FUNKCIJE SEKANS I KOSEKANS

U zapadnom svijetu uz funkcije sinus, kosinus, tangens i kotangens cˇesto se uvode joˇs dvije funkcije, sekans i kose1 1 ; cosec x = . Na dvjema slikama prikazani su grafovi kans. Njihove su definicije: sec x = cos x sin x ovih funkcija: sekans je slika lijevo, kosekans je slika desno. 4 3 2 1

-2p - 3p 2

-p

-p 0 2 -1 -2 -3 -4

y

y

p 2

p

3p 2

4 3 2 1

x

2p

-2p - 3p 2

1) Za koje su realne brojeve x definirane funkcije sec x i cosec x ? 3) Jesu li ove funkcije periodiˇcne?

-p

-p 0 2 -1 -2 -3 -4

p 2

p

3p 2

2p

x

2) Jesu li ove funkcije parne?„ Jesu li«neparne?  4) Obrazloˇzi: sec x = cosec −x . 2

55

2


Zadatci 2.5. Pozorno promotri dane grafove. Jesu li funkcije prikazane na tim grafovima parne ili neparne? Obrazloˇzi odgovor. 1)

8.

7 , koliko Ako je cos t = 0.28 , t ∈ −4 , − 2 je tg(−t) ?

2)


1.

9.

Ako je tg t = −

je sin(−t) ?

7 7 , t ∈ − , −3 , koliko 24 2

10. Ako je tg(−x) = −3 ctg x , − koliko je sin(−x) · cos(−x) ?

3)

4)

9 < x < −4 , 2

11. Pozorno promotri grafove. Jesu li njima predocˇ ene funkcije periodiˇcne? y

1)

4

3

2

1

2.

Provjeri je li neka od danih funkcija parna ili neparna. 1) f (x)= sin x+ cos x ; 3) f (x) = sin2 x ; 5) f (x) = tg x · ctg x ; 1 − cos x ; 7) f (x) = 1 + cos x

3.

4.

5.

56

1) Ako je 2) Ako je 3) Ako je 4) Ako je

2) f (x) = sin x · cos x ; 4) f (x) = cos3 x ; 6) f (x) = tg x − ctg x ; tg x 8) f (x) = . ctg x

sin x = −0.15 , koliko je sin(−x) ? cos x = 0.513 , koliko je cos(−x) ? tg x = 2.2 , koliko je tg(−x) ? ctg x = −11 , koliko je ctg(−x) ?

sin(−x) = 0.3276 , koliko je sin x ? cos(−x) = −0.878 , koliko je cos x ? tg(−x) = 1 , koliko je tg x ? ctg(−x) = −3.33 , koliko je ctg x ? √ 3 3 , − < x < − , Ako je sin(−x) = − 2 2 koliko je tg x ?

1) Ako je 2) Ako je 3) Ako je 4) Ako je

6.

4 11 , koliko Ako je cos(−x) = − , 5 < x < 5 2 je ctg x ?

7.

3 1 < x < − , koliko je Ako je ctg x = 1 , − 3 2 cos(−x) ?

-4 -3 -2 -1 0 -1

x

1

2

3

4

1

2

3

4

5

x

1

2

3

4

5

x

y

2)

4

3

2

1

-5 -4 -3 -2 -1 0 -1

y

3)

2

1

-5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2

y

4)

1

-2

-1

1

2

x

0

-1

12. Broj P = 4 temeljni je period funkcije f (x) =

x sin . Provjeri! Provjeri i da broj 2 nije period 2 ove funkcije, a da broj 8 to jest.


 temeljni je period funkcije f (x) = 2 cos 4x . Provjeri! Provjeri i da je broj  period ove funkcije, ali da  broj to nije. 4

13. Broj P =

2.5

y

2)

1.5

p

p 3


14. Je li broj  period funkcije f (x) = sin 3x? A

x

broj 2 ? Koji je najmanji period ove funkcije?

x 2 broj 12 ? Koji je najmanji period ove funkcije?

15. Je li broj 2 period funkcije f (x) = cos ? A

-1.5

y

3)

4

16. Provjeri: 1) broj

2 temeljni je period funkcije 3 f (x) =

-2p

1 sin 3x; 2

-4

y

4)

2) broj 4 temeljni je period funkcije

2

x f (x) = − cos ; 2

3) broj

x 2p

-p

x

p

 temeljni je period funkcije 2 f (x) = 2 tg 2x;

18. Odredi temeljni period funkcije f : 1 sin 4x; 3 3 3) f (x) = − cos x; 4 1) f (x) =

4) broj 3 temeljni je period funkcije x f (x) = 2 ctg . 3

1 2) f (x) = −2 sin x; 3

4) f (x) = sin 1.5x.

19. Odredi temeljni period funkcije f :

17. Na slikama su grafovi periodiˇcnih funkcija. Koliki je njihov period? 1)

y

x ; 2 1 x 3) f (x) = tg ; 2 2 1) f (x) = − tg

2) f (x) = 2 ctg 3x ;

3 4) f (x) = −0.2 ctg x ; 2

20. Odredi koeficijente a i b tako da najveća vrijednost funkcije f (x) = a · sin(bx) bude 3, a da je temeljni period funkcije jednak  .

1 2

x

p 2

-1 2

p

21. Odredi koeficijente a i b tako da najmanja vrijednost funkcije f (x) = a · cos(bx) iznosi −3 , 2 . a da je temeljni period funkcije jednak 3

22. Odredi koeficijent b funkcije f (x) = tg(bx) tako da njezin temeljni period bude 3 .

57

2


Izraˇcunaj toˇcne vrijednosti:

Toˇcno-netoˇcno pitalice 1. Za sve realne brojeve a , x vrijedi 2.

a sin x a . 77 55 = cos . sin − 6 3


505 131 1111 ; 2) cos ; 3) sin ; 23. 1) sin 3 6 6 417 115 173 4) cos ; 5) sin ; 6) cos . 3 4 4 115 77 35 ; 2) ctg ; 3) tg ; 24. 1) tg 3 4 6 200 111 101 4) ctg ; 5) tg ; 6) ctg . 3 4 6 111 44 ; 2) cos − ; 25. 1) sin − 3 4 505 91 3) tg − ; 4) ctg − . 3 6 √ √ √ √ 3 2 1) − ; 2) ; 3) − 3 ; 4) − 3 . 2 2 57 47 · cos − ; 26. 1) sin 3 6 50 53 ; · cos 2) sin − 3 6 77 58 3) sin · cos − ; 6 3 46 55 4) sin − ; · cos 3 6 50 53 5) sin − · cos ; 3 6 77 77 44 55 · tg − cos · ctg . 6) sin 3 6 6 3 1 3 3 3 3) − ; 4) − ; 5) ; 1) 0 ; 2) ; 4 4 4 4 6) −1 .

3. Za svaki realni broj x vrijedi sin(cos x) > cos(sin x) .

4. Ne postoji takav realan broj x za koji je tg x + ctg x = 0 .

5. Ako je x <

 , onda je sin x < cos x . 4

6. Jednakost sin2 x + cos2 y = 1 je identitet na skupu realnih brojeva.

7. Ako je tg x = m , onda je ctg x = svaki realni broj m .

1 za m

8. Ako je tg x + ctg x = 3 , onda je sin x · cos x =

1 . 3

9. Sinus i tangens su neparne, a kosinus i kotangens parne funkcije.

√

10. Funkcija f (x) = sin( 2 x− 2) je periodiˇcka.

√ 3 11. tg(arc sin 0.5 + arc cos(−0.5)) = − . 3

Povijesni kutak PLETER

Hrvatski pleter posebnost je starohrvatske kulture i nalazimo ga u crkvama i samostanima gradenim u predromaniˇcko doba (od 9. do 12. st.). Na slici prikazani pleter dio je obruba oltarske pregrade iz sruˇsene crkve sv. Nediljice u Zadru. Podsjeća li vas ovaj pleter na upravo obradena svojstva nekih funkcija?

58


3

TRIGONOMETRIJSKI IDENTITETI


ˇ Cetiri trigonometrijske funkcije medusobno su povezane: znajući vrijednost jed- postoje veze ne od njih, moˇzemo odrediti vrijednost i bilo koje druge. Takoder izmedu vrijednosti iste trigonometrijske funkcije izraˇcunane za razliˇcite vrijednosti argumenta. Kao posljedicu toga, nauˇcit c´ emo da trigonometrijske funkcije zadovoljavaju velik broj zanimljivih i neobiˇcnih identiteta, jednakosti koje su istinite za svaku vrijednost argumenta. Ti su identiteti kljuˇcni u postupku sredivanja trigonometrijskih izraza, rjeˇsavanju trigonometrijskih jednadˇzbi i razliˇcitim primjenama trigonometrije. Njima c´ e biti posvećeno ovo poglavlje.

3.1. Adicijski teoremi

Kosinus zbroja i razlike

Neka su s i t realni brojevi. Oznaˇcimo na brojevnoj kruˇznici toˇcke A = E(0) i

B = E(t + s) . Znamo da luk AB ima duljinu t + s . Oznaˇcimo nadalje na istoj kruˇznici toˇcke C = E(−s) i D = E(t) . Tada duljina luka CD iznosi takoder t + s. y

B = E (t +s)

D = E (t)

s

0

t -s

A = E (0) x

Lukovi AB i CD na ovoj kruˇznici jednake su duljine. Zato su i duljine duˇzina AB i CD jednake.

Ako su lukovi jednake duljine, njima pripadne tetive imaju jednaku duljinu. Zbog svega cé vrijediti |AB| = |CD| . Koordinate tih toˇcaka su: A = (1, 0), B = (cos(t + s), sin(t + s)), C = (cos(−s), sin(−s)) = (cos s, − sin s), D = (cos t, sin t).

60

ADICIJSKI TEOREMI

3.1

Zato je |AB|2 = [cos(t + s) − 1]2 + [sin(t + s)]2 = cos2 (t + s) − 2 cos(t + s) + 1 + sin2 (t + s) = 2 − 2 cos(t + s),


|CD|2 = [cos t − cos s]2 + [sin t + sin s]2

= cos2 t − 2 cos t cos s + cos2 s + sin2 t + 2 sin t sin s + sin2 s = 2 − 2 cos t cos s + 2 sin t sin s.

Sad iz jednakosti |AB|2 = |CD|2 dobivamo

2 − 2 cos(t + s) = 2 − 2 cos t cos s + 2 sin t sin s

i odavde slijedi temeljni identitet:

cos(t + s) = cos t cos s − sin t sin s

koji vrijedi za sve realne brojeve s i t .

Primjer 1.

Primjenom gornje formule izraˇcunajmo koliko je cos 75◦ .

  = 45◦ , s = = 30◦ . Dobivamo 4 6 cos 75◦ = cos(45◦ + 30◦ ) = cos 45◦ cos 30◦ − sin 45◦ sin 30◦ √ √ √ √ √ 2 3 2 1 6− 2 = · − · = . 2 2 2 2 4 Raˇcunajući dˇzepnim raˇcunalom dobit cémo 0.258819045 , sˇ to je tek pribliˇzna vrijednost broja cos 75◦ . Stavimo u formulu t =

Izvedimo formulu za kosinus razlike. Prema gornjoj formuli vrijedi

cos(t − s) = cos(t + (−s)) = cos t cos(−s) − sin t sin(−s).

Kosinus je parna, a sinus neparna funkcija. Zato je cos(−s) = cos s , sin(−s) = − sin s . Adicijski teorem za kosinus

Za sve realne brojeve s i t vrijede identiteti: cos(t + s) = cos t cos s − sin t sin s, cos(t − s) = cos t cos s + sin t sin s.

(0) (1)

61

3


Primjer 2.

Izraˇcunajmo cos 15◦ .

  = 45◦ , s = = 30◦ . Dobivamo 4 6 cos 15◦ = cos(45◦ − 30◦ ) = cos 45◦ cos 30◦ + sin 45◦ sin 30◦ √ √ √ √ √ 2 3 2 1 6+ 2 = · + · = . 2 2 2 2 4


Neka je t =

Formule redukcije za funkcije sinus i kosinus

Uporabom adicijskih teorema za funkciju kosinus moˇzemo se uvjeriti u istinitost sljedećih formula: Formule redukcije za funkcije sinus i kosinus

Za svaki realni broj t vrijedi cos( − t) = − cos t, sin( − t) = sin t,  cos − t = sin t, 2 − t = cos t, sin 2

cos( + t) = − cos t, sin( + t) = − sin t,  cos + t = − sin t, 2 sin + t = cos t. 2

Izvedimo dvije formule u (2) i (4):

cos( + t) = cos  cos t − sin  sin t = (−1) · cos t + 0 · sin t = − cos t,    + t = cos cos t − sin sin t cos 2 2 2 = 0 · cos t − 1 · sin t = − sin t.

Na isti se naˇcin mogu pokazati i preostale dvije.

Dokaˇzimo sad (5). Prema (4) imamo    cos t = cos − − t = sin −t . 2 2 2

62

(2) (3) (4) (5)

ADICIJSKI TEOREMI

3.1

Zato sˇ to je kosinus parna funkcija, vrijedi    cos t = cos(−t) = cos − + t = sin +t . 2 2 2


Koristeći se dokazanim dokaˇzimo sada (3):    sin( − t) = sin + − t = cos − t = sin t, 2 2 2 i    + + t = cos + t = − sin t. sin( + t) = sin 2 2 2

Svakako je korisno uz ovaj izvod imati i jasnu geometrijsku predodˇzbu formula redukcije. Te predodˇzbe omogućit cé da se formule rabe s razumijevanjem i ne uˇce napamet.

E (p-t)

E (t)

sin (p-t)

cos (p+t)

sin t

cos (p-t)

sin (p+t)

cos t

E (t) sin t

cos t

E (p+t)

Slika prikazuje formule redukcije za funkcije sinus i kosinus. Sa slike se mogu oˇcitati vrijednosti funkcija sinus i kosinus za kutove  − t i  + t .

cos(p2 - t)

cos(p2 + t)

p-t 2

E(

)

E (t)

sin(p2 - t)

p+t 2

E(

)

sin(p2 + t)

sin t

cos t

E (t) sin t

cos t

Slika prikazuje formule redukcije za funkcije sinus i kosinus. Sa slike se mogu oˇcitati   −t i +t. vrijednosti funkcija sinus i kosinus za kutove 2 2

63

3


Sinus zbroja i razlike Formule sliˇcne adicijskim formulama za kosinus vrijede i za funkciju sinus:


Adicijski teorem za sinus

Za sve realne brojeve s i t vrijede identiteti: sin(t + s) = sin t cos s + cos t sin s, sin(t − s) = sin t cos s − cos t sin s.

(6) (7)

Iskoristimo najprije teorem redukcije za funkciju sinus:   sin(t + s) = cos − (t + s) = cos −t −s . 2 2 Sada primijenimo adicijski teorem za funkciju kosinus, te odgovarajuće formule redukcije:   sin(t + s) = cos − t cos s + sin − t sin s 2 2 = sin t cos s + cos t sin s. Time je dokazan identitet (6). Da bismo dokazali identitet (7), dovoljno je primijeniti upravo dokazanu formulu i iskoristiti parnost kosinusa i neparnost sinusa: sin(t − s) = sin(t + (−s)) = sin t cos(−s) + cos t sin(−s) = sin t cos s − cos t sin s.

Tangens zbroja i razlike

Uporabom adicijskih teorema za sinus i kosinus dokazat cémo da vrijedi Adicijski teorem za tangens

Za sve realne brojeve s i t , za koje su svi izrazi definirani, vrijedi: tg t + tg s tg(t + s) = , 1 − tg t · tg s tg t − tg s tg(t − s) = . 1 + tg t · tg s

(8) (9)

Dokaˇzimo identitet (8). Koristimo se adicijskim teoremom za sinus i kosinus: tg(t + s) =

64

sin t cos s + cos t sin s sin(t + s) = . cos(t + s) cos t cos s − sin t sin s

ADICIJSKI TEOREMI

3.1


Podijelimo brojnik i nazivnik s cos t · cos s : sin t sin s + t cos s = tg t + tg s . tg(t + s) = cossin t sin s 1 − tg t · tg s 1− · cos t cos s Identitet (9) slijedi, npr., koriˇstenjem neparnosti funkcije tangens: tg t + tg(−s) tg t − tg s tg(t − s) = tg(t + (−s)) = = . 1 − tg t tg(−s) 1 + tg t · tg s

Primjer 3.

Koristeći se dokazanim identitetima izraˇcunajmo tg 105◦ .

tg(45◦ ) + tg(60◦ ) tg(105◦ ) = tg(45◦ + 60◦ ) = 1 − tg(45◦ ) tg(60◦ ) √ √ √ 1+ 3 1+ 3 √ = √ = −(2 + 3). = 1−1· 3 1− 3

Zadatak 1.

Izvedi adicijski teorem za funkciju kotangens: ctg t · ctg s + 1 ctg t · ctg s − 1 , ctg(t − s) = ctg(t + s) = ctg t + ctg s ctg s − ctg t cos t i adicijskim teoremima za sinus i kosinus, 1) koristeći se vezom ctg t = sin t 1 2) koristići se vezom ctg t = i adicijskim teoremom za funkciju tangens. tg t

Zadatak 2.

Formule redukcije za tangens i kotangens. Primjenom adicijskog teorema za funkcije sinus i kosinus dokaˇzi sljedeće formule:   tg − t = ctg t, tg + t = − ctg t, 2 2 ctg − t = tg t, ctg + t = − tg t. 2 2 Zaˇsto ne smijemo primijeniti adicijski teorem za tangens?

Primjer 4.

Pojednostavnimo:

  3 3 sin − x · cos + y − cos + x · sin −y . 2 2 2 2 Imamo redom:

  3 3 sin − x · cos + y − cos + x · sin −y 2 2 2 2 = cos x · sin y − (− sin x) · (− cos y) = − sin(x − y) .

65

3


Zadatci 3.1. U sljedećim zadatcima izraˇcunaj vrijednost zadanih izraza ne koristeći raˇcunalo.

6.

1. 2) cos 165◦ ;

3) cos 75◦ .


1) cos 105◦ ;

7.

2.

7 3 7 3 · cos − sin · sin ; 5 5 5 5 7 3 7 3 2) cos · cos + sin · sin ; 8 8 8 8 12 9 12 9 3) sin · sin − cos · cos ; 7 7 7 7 11 17 11 17 4) sin · sin − cos · cos ? 12 12 12 12

1) cos

3.

1) sin 15◦ ;

4.

2) sin 255◦ ;

3) sin 105◦ .

8 8   · cos − cos · sin ; 7 7 7 7     sin · cos + cos · sin ; 6 3 6 3 23 21 9 19 sin · cos − cos · sin ; 8 8 8 8 17 22 10 13 cos · cos + sin · sin ; 9 9 9 9 5 11 19  · cos + cos · sin . sin 12 12 12 12

1) sin 2) 3) 4) 5)

5. 1) 2) 3) 4) 5)

66

3 Izraˇcunaj cos(t+s) i cos(t−s) ako je sin t = , 5 8   sin s = , te 0 < t < , < s < . 17 2 2

cos 70◦ · cos 10◦ + cos 80◦ · cos 20◦ ; cos 68◦ · cos 8◦ + cos 82◦ · cos 22◦ sin 56◦ · sin 124◦ − sin 34◦ · cos 236◦ ; cos 28◦ · cos 88◦ + cos 178◦ · sin 208◦ ◦ ◦ ◦ ◦ cos 317 · sin 13 + cos 313 · sin 257 ; cos 35◦ · sin 125◦ + cos 55◦ · sin 145◦ cos 32◦ · cos 28◦ − cos 302◦ · sin 152◦ ; sin 34◦ · sin 146◦ + sin 236◦ · sin 304◦ cos 18◦ · cos 28◦ + cos 108◦ · sin 208◦ . sin 18◦ · cos 82◦ + sin 108◦ · sin 98◦

8.

3 Izraˇcunaj sin( + ) i cos( − ) ako je sin  =− , 5 4 3 3 cos  = , te  <  < , <  < 2 . 5 2 2 Koliko je sin( −  ) i cos( +  ) ako je 5 12  , te <  < , cos  = − , sin  = 13 13 2  <  <? 2

Koliko je sin( +  ) i cos( +  ) ako je 8 7  , ctg  = − , te 0 <  < , tg  = 15 24 2  <  <? 2  3  5 , sin −  = , te 10. Ako je cos −  = 2 13 2 5   <  <  , 0 <  < , koliko je sin( +  ) 2 2 i sin( −  ) ?

9.

11. Izraˇcunaj cos( +  ) i cos( −  ) ako je

  15 −  = 0.8 , sin − = , 2 2 17  3 0<< , <  < 2 . 2 2   12. Koliko je sin +  i cos −  ako je 3 3 3 8 sin  = − , te <  < 2 ? 17 2 sin

11  1 , 0
13. Ako je cos x= , cos(x+y)=−

ADICIJSKI TEOREMI

16. Ako je  + = liko je sin  ?

√ 3 3 7  ; cos  = , < < , ko4 8 2

25. Ako su x , y i z pozitivni brojevi te tg x = 1.5 , tg y = 5 i x + y + z =  , koliko je tg z ?

√ a 3 , 26. Ako su  i  sˇ iljasti kutovi i tg  = 4−a a−1 tg  = √ , a ∈ 1, 4 , tada je  −  = 30◦ . 3 Dokaˇzi!


√ 2 4 3 3 ,  < < , 17. Ako je  −  = ; sin  = − 3 7 2 koliko je cos  ?

15  8 , sin y = , te 0 < x < , 17 17 2   0 < y < , onda je x + y = . Dokaˇzi! 2 2

18. Ako je sin x =

1  1 19. Ako je sin x= √ , sin y= √ , te 0
20. Ako je sin x + cos y = a i cos x − sin y = b , koliko je sin(x − y) ?

  i 0 < y < , onda je 21. Ako je 0 < x < 2 2 sin(x + y) < sin x + sin y . Dokaˇzi!

27. Ako je x + y =

tg(x − y)  , x = 0 , koliko je ? 2 tg x − tg y

 , koliko je (1+tg  )(1+tg  ) ? 4 3 , koliko je 29. Ako je  +  = 4 (1 + ctg  )(1 + ctg  ) ?

28. Ako je  + =

30. Ako je tg x + tg y = 25 , ctg x + ctg y = 30 , koliko je tg(x + y) ? 31. Nadi- najmanju pozitivnu vrijednost zbroja x + y ako je (1 + tg x)(1 + tg y) = 2 .

32. Ako je cos(x + y) = je tg x · tg y ?

22. Izraˇcunaj ne koristeći raˇcunalo: 1)

2)

3)

4)

3.1

16 4 + tg 15 15 ; 34 14 · tg 1 + tg 15 15 5 10 + tg tg 9 36 ; 31 8 · tg 1 − tg 9 36 tg 65◦ · ctg 35◦ − 1 ; ctg 35◦ + tg 65◦ 7 4 · ctg +1 ctg 3 6 . 4 7 − ctg ctg 6 3 tg

33. Koliko je cos(a √ − b) ako je sin a + sin b = 1 , cos a + cos b =

koliko je sin(x − y) ?

35. Dokaˇzi sljedeće identitete:

1) sin(x − y) · sin(x + y) = cos2 y − cos2 x ; 2) cos(x + y) · cos(x − y) = cos2 y − sin2 x ; 3) cos(x+y) · cos(x−y) + sin(x+y) · sin(x−y) = cos2 y − sin2 y ; 4)

5)

3 40 < <2 , sin  =− , 2 41 3 << , koliko je ctg( −  ) ? 2

7)

24. Ako je cos  =0.6 ,

2?

34. Ako je sin x + cos y = a, cos x − sin y = b ,

 7 <  <  , cos  = , 2 25 3 <  < 2 , koliko je tg( +  ) ? 2

23. Ako je sin  = 0.8 ,

1 1 , cos(x − y) = , koliko 3 5

6)

8)

sin(x + y) = tg x + tg y ; cos x · cos y sin(x − y) = cos x · cos y ; tg x − tg y cos(x + y) · cos(x − y) = ctg2 x · ctg2 y − 1 ; sin2 x · sin2 y cos( −  ) tg  + ctg  = ; cos( +  ) ctg  − tg  sin(x + y) + sin(x − y) = tg x · ctg y . sin(x + y) − sin(x − y)

67

3


3.2. Trigonometrijske funkcije dvostrukog i polovicnog ˇ kuta


Trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta Trigonometrijske funkcije zadovoljavaju velik broj identiteta. Većina njih izvodi se iz adicijskih teorema za funkcije sinus i kosinus: sin( +  ) = sin  cos  + cos  sin  ,

cos( +  ) = cos  cos  − sin  sin  .

Ako u adicijski teorem za funkciju sinus stavimo  =  , dobivamo

sin 2 = sin( +  ) = sin  cos  + cos  sin  = 2 sin  cos  .

Sliˇcno tome, iz adicijskog teorema za kosinus, tangens i kotangens dobivamo cos 2 = cos( +  ) = cos  cos  − sin  sin  = cos2  − sin2  , tg 2 = tg( +  ) =

tg  + tg  2 tg  = , 1 − tg  tg  1 − tg2 

ctg 2 = ctg( +  ) =

ctg  ctg  − 1 ctg2  − 1 = , ctg  + ctg  2 ctg 

kad god su lijeva i desna strana definirane.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta

Za svaki realni broj  vrijedi sin 2 = 2 sin  cos  , - vrijedi Takoder

cos 2 = cos2  − sin2  .

(2)

tg 2 =

2 tg  , 1 − tg2 

(3)

ctg 2 =

ctg2  − 1 , 2 ctg 

(4)

kad god su lijeva i desna strana identiteta definirane.

68

(1)

ˇ TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE DVOSTRUKOG I POLOVICNOG KUTA

Primjer 1.

3.2

Primijetimo da se kosinus dvostrukog kuta moˇze izraziti samo s pomoću sinusa ili kosinusa: cos 2 = cos2  − sin2  = (1 − sin2  ) − sin2  = 1 − 2 sin2  ,


cos 2 = cos2  − sin2 

= cos2  − (1 − cos2  ) = 2 cos2  − 1. Odavde cémo zapamtiti i sljedeće korisne formule: 1 + cos 2 cos2  = , 2 1 − cos 2 . sin2  = 2

Primjer 2.

Ako je cos

(5) (6)

 x = 0.25 , < x <  , koliko je cos x ? 2 2

Primijenit cémo identitet cos 2x = cos2 x − sin2 x , ali u ekvivalentnom x x obliku cos x = cos2 − sin2 . Najprije je 2 2 x 1 15 2 x sin = 1 − cos2 = 1 − = . 2 2 16 16 I konaˇcno 15 14 7 1 − =− = − = −0.875. cos x = 16 16 16 8

Primjer 3.

Dokaˇzimo identitete:

sin 3 = 3 sin  − 4 sin3  ; cos 3 = 4 cos3  − 3 cos  .

Imamo redom: sin 3 = sin( + 2 ) = sin  · cos 2 + cos  · sin 2

= sin  · (cos2  − sin2  ) + cos  · 2 sin  · cos 

= sin  · (1 − sin2  − sin2  ) + 2 sin  · (1 − sin2  ) = sin  − 2 sin3  + 2 sin  − 2 sin3 

= 3 sin  − 4 sin3  . Izvedi dokaz drugog identiteta postupajući analogno prethodnom dokazu.

69

3


Trigonometrijske funkcije polovicnog ˇ kuta Sinus i kosinus poloviˇcnog kuta


Za svaki realni broj  vrijede sljedeći identiteti:  1 + cos  cos = ± , 2 2  1 − cos  sin = ± . 2 2 Predznak se uzima prema kvadrantu u kojem se nalazi kut  /2 .

(7) (8)

Primijenimo identitet (5). Dobivamo

 1 + cos 2·  2 = 1 + cos  , cos2 = 2 2 2

odakle je

 cos = 1 + cos  . 2 2

Odavde slijedi formula (7), uz takav izbor predznaka drugog korijena da se  podudara s predznakom od cos . 2 Na sliˇcan se naˇcin dokazuje i formula (8).

Primjer 4.

Izraˇcunajmo sin 22◦ 30 i cos 15◦ .

Kutovi su u prvom kvadrantu, pa cé vrijednosti sinusa i kosinusa biti pozitivne. Imamo √ 2 √ 1 − ◦ 1 − cos 45 2− 2 2 ◦ sin 22 30 = = = , 2 2 2 √ 3 √ 1 + 1 + cos 30◦ 2+ 3 2 ◦ = = . cos 15 = 2 2 2

Zadatak 1.

70

Ako je cos

t = 0.75 , koliko je cos t ? 4


3.2

Univerzalna zamjena Sve se trigonometrijske funkcije mogu iskazati kao funkcije varijable tg

 . 2


Univerzalna zamjena

Vrijede identiteti:    2 tg 1 − tg2 2 tg 2 2 2 , sin  = cos  = tg  = , ,  2 2 2 1 + tg 1 + tg 1 − tg 2 2 2 za sve realne brojeve  za koje su obje strane identiteta definirane.

Dokaˇzimo prvi identitet. Koristimo formulu za sinus dvostrukog kuta, kao i temeljni trigonometrijski identitet:      2 sin cos 2 sin cos 2 2 = 2 2 . = sin  = sin 2 ·   2 1 2 2 cos + sin 2 2 2  . Dobivamo Podijelimo brojnik i nazivnik s cos 2  sin 2 2·   cos 2 tg 2 2 . sin  = =  2  2 1 + tg sin 2 2 1+  cos2 2 Dokaˇzimo sada sljedeći identitet:    = cos2 − sin2 cos  = cos 2 · 2 2 2 2  2  cos − sin 2 2 =  . 2 2 cos + sin 2 2  Podijelimo li brojnik i nazivnik u ovom razlomku s cos2 dobit cémo desnu 2 stranu identiteta.

Dijeljenjem prvih dvaju identiteta dobivamo treći. No, moguće je postupiti i jednostavnije:   2 tg  2 . tg  = tg = +  2 2 2 1 − tg 2

71

3


Primjer 5.

Primjenjujući univerzalne zamjene dokaˇzi: x 1 − tg  cos x 2 , x = . = x 1 + sin x 2 1 + tg 2


 Stavimo li u identitetima za univerzalne zamjene da je tg = u, tada 2 razni trigonometrijski izrazi, kao sˇ to su identiteti, jednadˇzbe, nejednadˇzbe i sl., postaju jednostavni algebarski izrazi. Takav je sluˇcaj i s naˇsim x primjerom. Uz zamjenu tg = u imamo 2 1 − u2 2u , cos x = te je sin x = 2 1+u 1 + u2 1 − u2 2 cos x 1 − u2 1−u (1 − u)(1 + u) = = = 1+u = , 2 2 2u 1 + sin x 1 + u + 2u (1 + u) 1+u 1+ 1 + u2 a upravo je to trebalo i dokazati.

Primjer 6.

Dokaˇzimo identitet:

1 + sin 2x − cos 2x = tg x . 1 + sin 2x + cos 2x

Zadatak moˇzemo rijeˇsiti primjenom trigonometrijskih identiteta vezanih 2u , uz dvostruke kutove. No uzmemo li univerzalne zamjene sin 2x = 1 + u2 1 − u2 , gdje je u = tg x , imat cémo: cos 2x = 1 + u2 2u 1 − u2 1+ − 2 2 2 2 1+u 1 + u2 = 1 + u + 2u − 1 + u = 2u + 2u = u = tg x. 2 2 2 1 + u + 2u + 1 − u 2 + 2u 2u 1−u 1+ + 2 2 1+u 1+u Primijetimo kako dani identitet ne vrijedi na skupu svih realnih brojeva. Ako bi bilo sin 2x + cos 2x = −1 , u nazivniku razlomka imali bismo nulu pa stoga valja uvesti ograniˇcenja: Iz sin 2x + cos 2x = 2 sin x + cos2 x − sin2 x = −1 slijedi 2 cos x(sin x + cos x) = 0. Dakle, uvjeti su cos x = 0 i tg x = −1 iz cˇega slijedi da identitet vrijedi  3 za sve realne brojeve s izuzetkom x = + k · 2 i x = + n ·  , pri 2 4 cˇemu su k i n cijeli brojevi.

72


3.2

Zadatci 3.2.

2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

5 Koliko je sin 2 ako je cos  = − , 13  <  < ? 2

Izraˇcunaj cos 2 ako je sin  = −0.6 , 3 , 2 . ∈ 2 Koliko je tg 2 ako je cos  =

3 2 ,∈ , 2 ? 3 2

8 ako je Izraˇcunaj ctg 2 iz sin  = 17  <  < . 2

4 3 , izraˇcunaj Ako je tg  = ,  <  < 7 2 ctg 2 . 15 3 , koliko je Ako je sin  = − ,  <  < 17 2   i koliko je cos ? sin 2 2 Koliko je tg

 24  ako je tg  = − , < < ? 2 7 2

 21 , − <  < 0 , izraˇcunaj Ako je cos  = 29 2  ctg . 2

 1 < x <  , izraˇcunaj Ako je sin x = √ , 3 2  cos 2x i tg 2x − . 4 2 3  = − , < x < 2 , 10. Ako je sin x − 2 3 2 izraˇcunaj ctg 2x .  60 9 , cos y = , te x ∈ 0, , 11. Ako je sin x = 41 61 2  x − y y ∈ 0, , koliko je sin2 ? 2 2

9.

  527  ako je cos 2 = − , < < ; 2 625 4 2  3 4) tg ako je ctg  = −2.4 , <  < 2 . 2 2

3) ctg


1.

12. Izraˇcunaj:

 7 5 ako je ctg  = − , <  < 3 ; 2 24 2 7 3 <  <; 2) sin  ako je cos 2 = , 8 4

1) cos


1) 4 sin x · cos x − 8 sin3 x · cos x = sin 4x ; 2) sin4 x − 6 sin2 x · cos2 x + cos4 x = cos 4x ; sin 3x cos 3x − = 2; 3) sin x cos x sin 3x cos 3x 4) + = 2 ctg 2x ; cos x sin x 2 5) tg x + ctg x = ; sin 2x 2 6) ctg x − tg x = ; tg 2x 2 sin 2x − sin 4x 7) = tg2 x ; 2 sin 2x + sin 4x 2 sin 4x + sin 8x = ctg2 2x ; 8) 2 sin 4x − sin 8x tg 2x · tg x = sin 2x ; 9) tg 2x − tg x  1 − sin 2x = ctg2 +x ; 10) 1 + sin 2x 4 cos 2x 1 − tg x 11) = ; 1 + sin 2x 1 + tg x cos 4x + 1 1 12) = sin 4x ; ctg x − tg x 2 3 sin 4x cos 2x 13) · = ctg −x ; 1 + cos 4x 1 + cos 2x 2 sin4 x + 2 sin x · cos x − cos4 x 14) = cos 2x ; tg 2x − 1 1 + cos2 2x 15) 1 + ctg4 x = . 2 sin4 x


1 − 4 sin2 x cos 3x = ; sin 2x 2 sin x sin 2x 2 cos x 2) = ; sin 3x 4 cos2 x − 1 cos x 1 3) = sin2 x ; x x 4 ctg2 − tg2 2 2

1)

73


4) 5) 6) 7)

8)

9)

10)

x 1 − 2 sin2 2 = 1 sin 2x ; x x 4 tg + ctg 2 2 1 + cos 2x 1 + cos x x · = ctg ; sin 2x cos x 2 1 + sin  − cos   = tg ; 1 + sin  + cos  2  sin  + sin  2  = tg 2 ; 1 + cos  + cos 2   1 − sin + cos  2 2   = − ctg 4 ; 1 − sin − cos 2 2     + − − tg tg 4 2 4 2     = sin  ; + − + ctg ctg 4 2 4 2 √ √  1 + cos  + 1 − cos   √ √ − , = tg 4 2 1 + cos  − 1 − cos   <  < 2 .

2 sin  − sin 2 15. Pojednostavni razlomak te iz2 sin  + sin 2 1  raˇcunaj njegovu vrijednost ako je sin = . 2 2

16. Izraˇcunaj vrijednost razlomka

2 sin 2 + sin 4 2 sin 2 − sin 4

1 ako je cos  = − . 2  17. Ako je 0 <  < , dokaˇzi da vrijede sljedeće 2 jednakosti:  √ √  1) 1 + cos  + 1 − cos  = 2 cos − ; 4 2 √ √  2) 1 + sin  − 1 − sin  = 2 sin . 2 x 1 3 x , 2 , 18. Ako je sin + cos = − , x ∈ 2 2 2 2 koliko je sin 2x ? x 1 x 3 + cos = ,  < x < , izra2 2 5 2 cˇ unaj tg 2x .

19. Ako je sin

x 1  x 20. Ako je cos − sin = , 0 < x < , koliko 2 2 5 2 je ctg 2x ?

74

cos 2x = sin x , koliko je tg 2x ? cos x + sin x x 22. Ako je tg = m , gdje je m realni broj, koliko 2 x 1 − 2 sin2 2 je ? 1 + sin x

21. Ako je


3

2 , koliko je sin4  + cos4  ? 3 3 4  24. Ako je cos x− = − , 0 < x < , koliko 2 5 2 x x je sin · cos ? 2 2

23. Ako je sin 2 =

25. Ako je cos 2 = m , |m| 1 , koliko je: 1) sin6  + cos6  ; 2) sin6  − cos6  ?

26. Ako je cos 4 =

1 , koliko je sin6  + cos6  ? 3

27. Odredi najmanju vrijednost funkcije ctg 2x − tg 2x 5 − 8x 1 + sin 2  na intervalu 0, . 8 f (x) =

28. Bez uporabe raˇcunala izraˇcunaj:

5  · sin ; 12 12 5 11 − sin4 ; 2) sin4 12 12   · cos2 ; 3) 1 − 8 sin2 16 16 13 7 2 17 4) cos2 − cos2 . + cos2 18 9 18 1) sin

29. Bez uporabe raˇcunala izraˇcunaj: sin 72◦ · sin 738◦ ; 2(4 cos3 18◦ − 3 sin 72◦ ) 4 sin 8◦ · sin 52◦ · sin 428◦ 2) . 4 cos3 22◦ − 3 sin 68◦ 1)

30. Bez uporabe raˇcunala izraˇcunaj: 1) sin 18◦ ;

2) cos 9◦ .

FORMULE PRETVORBE

3.3

3.3. Formule pretvorbe


Transformacije umnoska ˇ i zbroja Primjenom adicijskih teorema dobit cémo trigonometrijske identitete koji povezuju umnoˇzak sa zbrojem trigonometrijskih funkcija, kao i obrnute veze. Napiˇsimo adicijski teorem za sinus i kosinus:

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y, sin(x − y) = sin x cos y − cos x sin y, cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y, cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y.

Zbrojimo prva dva identiteta:

sin(x + y) + sin(x − y) = 2 sin x cos y.

Oduzimanjem drugog od prvog identiteta dobivamo:

sin(x + y) − sin(x − y) = 2 cos x sin y.

Na isti naˇcin postupimo s preostalim dvama identitetima. Dobit cémo:

Transformacija umnoˇska u zbroj

Za sve realne brojeve x i y vrijedi 1 sin x cos y = sin(x + y) + sin(x − y) , 2 1 cos x sin y = sin(x + y) − sin(x − y) , 2 1 cos x cos y = cos(x + y) + cos(x − y) , 2 1 sin x sin y = cos(x − y) − cos(x + y) . 2

Stavimo li sada x + y =  , x − y =  , onda je x = gornje formule moˇzemo zapisati u obliku:

+  − , y= , pa 2 2

75

3


Transformacija zbroja u umnoˇzak

Za sve realne brojeve  i  vrijedi

 +  − cos , 2 2  +  − sin  − sin  = 2 cos sin , 2 2  + − cos  + cos  = 2 cos cos , 2 2  +  − cos  − cos  = −2 sin sin . 2 2


sin  + sin  = 2 sin

Zadatak 1.

Primjer 1.

Izvedi sljedeće formule za zbroj i razliku tangensa: sin( +  ) sin( −  ) , tg  − tg  = . tg  + tg  = cos  cos  cos  cos 

Izraˇcunajmo:

cos 75◦ · sin 105◦ .

Ovdje cémo primijeniti formulu pretvorbe umnoˇska u zbroj. Tako onda dobijemo: 1 cos 75◦ · sin 105◦ = [sin(75◦ + 105◦ ) − sin(75◦ − 105◦ )] 2 1 1 1 1 = (sin 180◦ + sin(−30◦ )) = · − = − . 2 2 2 4

Zadatak 2.

Primjer 2.

Koliko je sin

13 7 · cos ? 24 24

Bez uporabe raˇcunala dokaˇzimo:

cos 40◦ + cos 80◦ = cos 20◦ .

Raˇcunamo ovako: cos 40◦ + cos 80◦ − cos 20◦ = cos 40◦ + cos 80◦ + cos 160◦ = cos 40◦ + 2 cos 120◦ cos 40◦ = cos 40◦ − cos 40◦ = 0.

76

FORMULE PRETVORBE

Primjer 3.

Izraz cos x − cos 3x − cos 5x + cos 7x trigonometrijskih funkcija.

3.3

napiˇsimo u obliku umnoˇska


Primijenit cémo najprije formulu za razliku kosinusa: cos x − cos 3x − cos 5x + cos 7x x+3x x−3x 5x+7x 5x−7x = −2 sin sin + 2 sin sin 2 2 2 2 = 2 sin 2x sin x − 2 sin 6x sin x = 2 sin x(sin 2x − sin 6x) 2x + 6x 2x − 6x = 2 sin x · 2 cos sin 2 2 = −4 sin x · cos 4x · sin 2x.

Zadatak 3.

Pojednostavni: sin2



8

+

   − sin2 . − 2 8 2

Kutak plus

PRAVOKUTNI TROKUT I ADICIJSKE FORMULE Trigonometrijske su funkcije blisko povezane uz razne probleme u geometriji ravnine. Posebice se to odnosi na trokut. Tako se i adicijske formule mogu razmatrati i uz kutove pravokutnog trokuta. Pokazˇ imo kako to izgleda za sin( +  ) i cos( +  ) . Neka je kut  +  sˇ iljast (slika lijevo). Tada imamo: |DE| + |CD| |CE| = sin( +  ) = |OC| |OC| |AB| |CD| |AB| + |CD| = + = |OC| |OC| |OC| |CD| |BC| |AB| |OB| · + · = |OB| |OC| |BC| |OC|

C

C

a

a

D

D

B

b a

O

b

E

B

A

E

O

a

A

= sin  · cos  + cos  · sin  .

Jednako tako moˇzemo postupiti i s kosinusom:

|OA| − |EA| |OA| − |DB| |OA| |DB| |OE| = = = − |OC| |OC| |OC| |OC| |OC| |DB| |BC| |OA| |OB| · + · = cos  · cos  + sin  · sin  . = |OB| |OC| |BC| |OC| Na slici desno priredeno je sve za analogno izvodenje istih dvaju identiteta ako je kut  +  tup. No to prepuˇstamo vama. cos( +  ) =

77

3


Zadatci 3.3. 1.

8.

Izraˇcunaj:

3) sin

2.

5  − sin ; 12 12

4) cos 105◦ + cos 75◦ .

9.

sin 35◦ + sin 85◦ ; sin 65◦ ◦ ◦ sin 37 − sin 53 3) ; 1−2 cos2 41◦

4.

Napiˇsi u obliku umnoˇska:

3)

7.

2) 1 − sin x − cos x .

2)

4 cos  − 3 . 1 cos 2 − 2 2

sin 3x + sin 5x = tg 4x ; cos 3x + cos 5x cos x − cos 3x 2) = − tg 2x . sin x − sin 3x


Koje su od sljedećih tvrdnji toˇcne, a koje netoˇcne? Odgovori, a odgovor obrazloˇzi.

1. Ako je cos x · cos y = sin x · sin y , onda je  + k · , k ∈ Z . 2

2. Ako je tg a + tg b = 2 , a tg(a + b) = 4 , onda je tg a · tg b = 0.5 .

3. Ako je cos x = m , cos y = n , onda je sin(x + y) · sin(x − y) = n2 − m2 .

4. Za svaki realni brojx vrijedi

Dokaˇzi: 1) sin 15◦ + sin 75◦ > 1 ; 2) sin 15◦ + sin 45◦ > 0.8 ; 3) sin 25◦ + sin 85◦ > 1 ; 1 4) sin 85◦ − sin 25◦ > . 2

Izraˇcunaj bez uporabe raˇcunala: ◦

1) cos 105 · cos 75 ; 2) cos 37◦ 30 · cos 7◦ 30 ; 5  3) sin · sin ; 24 24 4) cos 52◦ 30 · sin 7◦ 30 .

78

1 − 4 cos2  ; 1 − cos  2

2 1  − cos = . 5 5 2

1)

x+y=

1 − 4 sin2  ; 4 cos2  − 3

◦

Dokaˇzi: cos

10. Dokaˇzi:

Skrati razlomke: 1)

6.

cos 24◦ − cos 84◦ ; cos 36◦ ◦ ◦ cos 41 − cos 79 4) . 1−2 sin2 35◦ 30 2)

Napiˇsi u obliku umnoˇska: √ √ 1) 3 − 2 sin x ; 2) 2 + 2 sin x ; √ 4) 1 − 4 cos2 x ; 3) 1 − 2 cos x ; 5) 4 sin2 x − 3 .

1) 1 + sin x − cos x ;

5.

 7 − cos ; 12 12

Izraˇcunaj: 1)

3.

2) cos


1) sin 15◦ + sin 75◦ ;

Skrati razlomak: sin 5x · cos x − cos 3x · sin x 1) ; cos2 3x − cos2 x sin2 2.5x − sin2 1.5x 2) . cos 3x · cos 2x + sin 4x · sin x

cos

  + x = cos −x . 2 2

5. Za svaki realni broj x vrijedi

3 − x = sin  − x . cos 2

6.

cos 15◦ · cos 75◦ = sin 15◦ · sin 75◦ .

7. Za svaki realni broj x vrijedi

sin(x+30)=0.15425 sin x−0.98803 cos x .

8.

cos 2x = cos4 x − sin4 x .

9.

sin 15◦ =

1 1 sin 30◦ = . 2 4 1 4

√

10. sin 15◦ · cos 75◦ = (2 − 3) .




6

ˇ O TROKUTU POUCCI


Projektiranje raznih niskogradnji i visokogradnji zahtijeva istraˇzivanje terena na kojem c´ e se gradnja izvoditi. Mjerenje terena potrebno je i iz brojnih drugih razloga. Provode ga geodeti, a jedan od neophodnih instrumenata kojim se pritom koriste je teodolit – sprava za mjerenje kutova u triangulacijskoj mreˇzi. U raznim drugim strukama, kao sˇ to su primjerice pomorstvo ili astronomija, za mjerenje kutova rabe se i neki drugi instrumenti. Na jednoj staroj slici vidimo jedan od njih – sekstant, koji sluˇzi za mjerenje tzv. kutne visine nebeskih tijela, prije svega Sunca i Mjeseca. Odredivanje kutova ponekad je samo dio posla iza kojega slijedi raˇcu- dviju dananje udaljenosti izmedu nih toˇcaka. Pritom se sav taj raˇcun uglavnom svodi na “rjeˇsavanje trokuta”. Rijeˇsiti trokut znaˇci ‘iz zadanih podataka odrediti njegove nepoznate elemente’. Osnovni su elementi trokuta njegove stranice i kutovi. Da bismo mogli odrediti nepoznate elemente, najprije moramo otkriti ka- tih elemekve veze postoje izmedu - straninata. Temeljne veze izmedu ca i kutova u trokutu iskazane su dvama pouˇccima: pouˇckom o sinusima i pouˇckom o kosinusu, koje c´ emo prouˇciti u ovom poglavlju.

6.1. Poucak ˇ o sinusima

Poucak ˇ o sinusima

Nacrtajmo bilo koji trokut ABC .

C

C

a

b

a

vc

vc

p-a a

b

a

A

P

b

B

P

A

b

B

Iz pravokutnog trokuta APC cˇitamo vc = b sin  . Ako je kut  tup, onda je vc = b sin(180◦ −  ) = b sin  . Dakle, uvijek je vc = b sin  .

124

ˇ O SINUSIMA POUCAK

Sliˇcno je iz trokuta BPC

6.1

vc = a sin  .

Slijedi a sin  = b sin  =⇒

a b = . sin  sin 


Potpuno na isti naˇcin dobili bismo i ovaj omjer: b c = . sin  sin 

Time smo dokazali sljedeći vaˇzni pouˇcak. Pouˇcak o sinusima

U svakom su trokutu omjeri duljina stranica i sinusa tim stranicama suprotnih kutova jednaki: a b c = = . sin  sin  sin  Te jednakosti moˇzemo napisati u obliku produˇzenog razmjera a : b : c = sin  : sin  : sin  .

Rjeˇsavanje trokuta

Pri rjeˇsavanju zadataka vezanih uz trokut, iz nekih njegovih poznatih osnovnih elemenata (stranica i kutova) moramo odrediti preostale. Prema pouˇccima o sukladnosti trokuta znamo da trokut moˇze biti zadan tim elementima na jedan od sljedećih cˇetiriju naˇcina: (a) zadana je stranica i dva kuta

(b) zadane su dvije stranice i kut nasuprot veće od njih - njih (c) zadane su dvije stranice i kut izmedu

(d) zadane su tri stranice.

U sluˇcajevima (a) i (b) ostale elemente trokuta moˇzemo odrediti primjenom pouˇcka o sinusima.

Stranica i dva kuta

Razmotrimo prvi od ovih cˇ etiriju sluˇcajeva. - je i treći kut, jer je zbroj kutova u trokutu jednak ˇ su zadana dva kuta, odreden Cim 180◦ . Trebamo odrediti preostale dvije stranice trokuta. To cˇinimo s pomoću pouˇcka o sinusima.

125

6

ˇ O TROKUTU POUCCI

Primjer 1.

U trokutu su zadani kutovi  = 50◦ ,  = 72◦ i stranica a = 4.6 cm . Odredimo preostale dvije stranice. A

Odredimo najprije treći kut:  = 180◦ −  −  = 58◦ . Preostale dvije stranice raˇcunamo iz pouˇcka o sinusima.


a

Iz

a : b = sin  : sin 

b

c

b

B

a

g

C

slijedi

sin  sin 72◦ a= · 4.6 cm = 5.7 cm. sin  sin 50◦ Sliˇcno, iz drugog omjera a : c = sin  : sin  dobivamo sin  sin 58◦ c= a= · 4.6 cm = 5.1 cm. sin  sin 50◦ b=

Zadatak 1.

Primjer 2.

Kutovi trokuta u omjeru su 3 : 5 : 7 . Duljina najkraće stranice trokuta iznosi 11 cm. Kolika je duljina najdulje stranice?

U trokutu ABC poznat je opseg 2s = 22 cm i kutovi  = 67◦ i  = 52◦ . Kolike su njegove stranice? Rijeˇsimo najprije ne uvrˇstavajući konkretne vrijednosti. (Takav je postupak cˇesto jednostavniji i pregledniji.) Iz dvaju poznatih kutova moˇzemo odrediti treći:  = 180◦ −  −  . Iz sin  sin  pouˇcka o sinusima je b = a i c= a . Uvrstimo te vrijednosti sin  sin  u a + b + c = 2s . Dobivamo sin  2s sin  sin  a+ a = 2s =⇒ a = . a+ sin  sin  sin  + sin  + sin  Identiˇcna formula vrijedi i za druge stranice trokuta: 2s sin  2s sin  b= , c= . sin  + sin  + sin  sin  + sin  + sin  Sad uvrˇstavamo konkretne vrijednosti. Za kut  imamo:  = 180◦ − 67◦ − 52◦ = 61◦ . Odavde prema izvedenim formulama slijedi a = 7.84 cm , b = 6.71 cm , c = 7.45 cm .

126


Zadatak 2.

6.1

Zbroj duljina dviju stranica trokuta je 25 cm. Nasuprot tim stranicama nalaze se kutovi od 36◦ 12 i 103◦ 42 . Kolika je duljina treće stranice trokuta?


Dvije stranice i kut nasuprot jednoj od njih Iz pouˇcaka o sukladnosti trokuta znamo da je u ovom sluˇcaju trokut jednoznaˇcno - ako se kut nalazi nasuprot većoj stranici. odreden

Primjer 3.

Odredimo nepoznate elemente u trokutu kojem je poznato a = 3 cm , b = 5 cm i  = 30◦ . A

Odredujemo najprije kut  : sin  =

a 3 sin  = sin 30◦ = 0.3, b 5

B

C

pa je  = 17◦ 28 . Sada je  = 132◦ 32 i konaˇcno sin  sin 132◦ 32 c= ·b= · 5 = 7.37 cm. sin  sin 30◦

Zadatak 3.

Primjer 4.

Odredi nepoznate elemente u trokutu ABC ako je b = 34 cm , c = 52 cm ,  = 66◦ 33 11 .

Odredimo kutove trokuta ABC ako je zadano: a = 10.5 cm , b = 11.6 cm ,  +  = 148◦ 9 . Primijenit cémo pouˇcak o sinusima:

a : b = sin  : sin(148◦ 9 −  ).

Nakon uvrˇstavanja podataka dolazimo do jednadˇzbe:

10.5 : 11.6 = sin  : sin(148◦ 9 −  ).

Nakon njezinog sredivanja imamo 0.23126 · sin  = 0.47757 · cos  , a odatle tg  ≈ 2.065 te je  = 64◦ 10 . Onda je  = 83◦ 59 i konaˇcno  = 31◦ 51 .

127

6

ˇ O TROKUTU POUCCI

- u sluˇcaju kad se zadani kut ne nalazi nasuprot Promotrimo sada sˇ to se dogada većoj stranici. Vidjet cémo da tada mogu postojati dva razliˇcita trokuta koji se podudaraju u dvjema stranicama i jednom kutu. Odredi duljinu stranice c te kutove  i  trokuta u kojem je poznato a = 5 cm , b = 3 cm i  = 30◦ .


Primjer 5.

Najprije cémo nacrtati skicu. Povucimo duˇzinu BC dugaˇcku 5 cm i uz vrh B nacrtajmo kut < )CBD od 30◦ . Opiˇsimo zatim luk kruˇznice sa srediˇstem u C i polumjerom 3 cm koji sijeˇce drugi krak BD u dvjema toˇckama, A1 i A2 . Oba trokuta A1 BC i A2 BC zadovoljavaju uvjete zadatka. Odredit cémo njihove elemente.

D

A2

A1

b

b

b

B

a

C

Rabimo pouˇcak o sinusima da bismo odredili kut  . Vrijedi a 5 sin  = sin  = sin 30◦ = 0.83333. b 3 Odavde je  = 56◦ 27 ili  = 123◦ 33 , jer ova dva kuta imaju isti sinus. Odgovarajuće vrijednosti za treći kut  dobivamo iz  = 180◦ −  −  pa je  = 93◦ 33 ili  = 26◦ 27 .

Preostaje odrediti stranicu c . Ponovno rabimo pouˇcak o sinusima: sin  c= b, sin  pa je sin 26◦ 27 sin 93◦ 33 · 3 = 2.67 cm. c= ◦ · 3 = 5.99 cm ili c = sin 30 sin 30◦ Prema tome, dva rjeˇsenja glase:

 = 56◦ 27 ,  = 123◦ 33 ,

Zadatak 4.

 = 93◦ 33 ,  = 26◦ 27 ,

c = 5.99 cm, c = 2.67 cm.

Odredi duljinu stranice c trokuta ABC ako je a = 15 cm , c = 17.2 cm ,  = 42◦ 18 .

Zakljuˇcujemo: ako je zadan kut nasuprot većoj stranici, onda zadatak (uvijek) ima jednoznaˇcno rjeˇsenje. Ako je zadan kut nasuprot manjoj stranici, zadatak moˇze imati dva, jedno ili nijedno rjeˇsenje.

Zato kada su poznati kutovi trokuta, najprije raˇcunamo stranicu nasuprot najvec´ em kutu.

128


6.1

Primjene poucka ˇ o sinusima


Potrebe mjeriteljstva bile su kroz povijest, uz astronomska mjerenja, najvaˇzniji razlog razvoja trigonometrije. Osnovni je problem mjeriteljstva odrediti udaljenost dviju, najˇceˇscé nedostupnih, toˇcaka. Opća je shema ovakva: na dostupnom dijelu terena odrede se istaknute toˇcke (kote) i izmjeri njihova udaljenost. Te- bilo kojih triju vidljivih toˇcaka, medu odolitom se mogu izmjeriti kutovi izmedu kojima ima i onih koje nam nisu dostupne. Nakon toga zadatak je trigonometrije izraˇcunati traˇzene udaljenosti. Ilustrirajmo nekoliko tipiˇcnih situacija u kojima se rabi pouˇcak o sinusima.

Primjer 6.

Pri mjerenju visine objekta kojem je podnoˇzje nedostupno moˇzemo postupiti na sljedeći naˇcin. Odaberu se dvije toˇcke, A i B takve da pravac AB prolazi noˇziˇstem objekta. Izmjere se kutovi  i  te udaljenost d odabranih toˇcaka. T

b-a

x

A

B b

a

h

D

h

d

Kut pri vrhu T u trokutu ABT je  −  . Naime, prema pouˇcku o vanjskom kutu trokuta, vanjski kut jednak je zbroju dvaju nesusjednih unutarnjih kutova. Prema pouˇcku o sinusima je |AT| : d = sin( −  ) : sin( −  ) d sin  |AT| = . sin( −  )

Neka je h visina instrumenta, a x traˇzena visina objekta. Iz pravokutnog trokuta ADT je x − h = |AT| sin  , pa je konaˇcno d sin  sin  x= + h. sin( −  )

129

6

ˇ O TROKUTU POUCCI

Primjer 7.

Vrh C brda vidi se iz mjesta A pod kutom 15◦ , a iz podnoˇzja B brda, 300 metara udaljenog od A , pod kutom od 38◦ . Ako nagib od A do B iznosi 20◦ , kolika je visina h brda?


C

A

h

15° 20°

B 38°

300 m

Kut koji gleda iznad razine horizonta zovemo kut elevacije, dok za onaj koji gleda ispod razine kaˇzemo da je kut depresije. Na slici je kut elevacije u toˇcki A 15◦ , a kut depresije 20◦ .

Izraˇcunajmo kutove trokuta iz zadanih podataka: =< )CAB = 15◦ + 20◦ = 35◦ ,  =< )ABC = 180◦ −(20◦ +38◦ ) = 122◦ ,  = 180◦ − ( +  ) = 23◦ . Poznata je i stranica c = |AB| trokuta. Po pouˇcku o sinusima je sin  sin 35◦ a= c= · 300 = 440.4 m. sin  sin 23◦ Zato je h = a sin 38◦ = 271 m.

Primjer 8.

ˇ Zelimo izraˇcunati udaljenost toˇcke A do nepristupaˇcne toˇcke T . Na pristupaˇcnom dijelu terena odaberemo toˇcku B i izmjerimo udaljenost |AB| te veliˇcine kutova  i  . Tada je d sin  d sin  |AT| = = . ◦ sin(180 −  −  ) sin( +  ) T

a b

A d

130

B


Primjer 9.

6.1

Kada je brod u poloˇzaju A , tada se 3 km udaljen svjetionik S vidi pod kutom 32◦ istoˇcno. Deset minuta kasnije on se iz poloˇzaja B vidi pod kutom 40◦ zapadno. Ako brod ima smjer kretanja 15◦ prema jugu, kolika je njegova brzina?


Odredimo kutove trokuta:  = 90◦ − 32◦ + 15◦ = 73◦ ,  = 90◦ − 15◦ − 40◦ = 35◦ ,  = 180◦ − ( +  ) = 72◦ . S

N

W

E

d=

3k

m

g

S

32°

a

A

15°

b

40°

B

Zadana je udaljenost d = |AS| = 3 km . Po pouˇcku o sinusima je sin  sin 72◦ s = |AB| = d= · 3 km sin  sin 35◦ = 4.97 km. Odavde raˇcunamo brzinu 4.97 km s v= = = 29.84 km/h. 1 t h 6

Zadatak 5.

Dvije osmatraˇcnice za otkrivanje sˇ umskih pozˇ ara smjeˇstene su na istoj geografskoj sˇ irini, a medusobno su udaljene 75 km . Iz osmatraˇcnice A vatra je uoˇcena u toˇcki C pod kutom 42◦ istoˇcno, a iz osmatraˇcnice B pod kutom - istoˇcno. Kolike su udaljenosti 15◦ , takoder osmatraˇcnica od mjesta poˇzara?

C

15°

42°

A

75 km

B

131

6

ˇ O TROKUTU POUCCI

Zadatci 6.1. Izraˇcunaj duljine ostalih dviju stranica i treći kut trokuta ako je: 1) 2) 3) 4) 5) 6)

2.

Izraˇcunaj duljinu treće stranice i ostale kutove trokuta ako je: 1) 2) 3) 4) 5) 6)

3.

132

a = 21 cm ,  = 66◦ ,  = 52◦ ; a = 7.3 cm ,  = 86◦ ,  = 51◦ ; b = 13.2 cm ,  = 21◦ 48 ,  = 123◦ 42 ; b = 44.5 cm ,  = 103◦ 28 ,  = 41◦ 33 ; c = 10 cm ,  = 88◦ ,  = 12◦ ; c = 0.89 cm ,  = 28◦ ,  = 34◦ .

10. Razlika duljina dviju stranica trokuta je 3.2 cm,

a kutovi nasuprot tim stranicama iznose 52◦ i 67◦ . Kolika je duljina treće stranice tog trokuta?


1.

a = 21 cm , b = 15 cm ,  = 66◦ ; a = 3.8 cm , b = 5.9 cm ,  = 64◦ 10 ; a = 0.88 cm , b = 1.25 cm ,  = 87◦ 36 ; a = 10.5 cm , c = 13.5 cm ,  = 48◦ 46 ; b = 21 cm , c = 15 cm ,  = 36◦ ; a = 13.8 cm , c = 8 cm ,  = 15◦ .

Ako su a i b duljine stranica, a  i  tim stranicama suprotni kutovi, te ako vrijedi a b = , taj je trokut jednakokraˇcan. cos  cos  Dokaˇzi!

11. Razlika duljina dviju stranica trokuta je 34 cm, a nasuprot tim stranicama nalaze se kutovi od 108◦ i 28◦ . Kolike su duljine stranica tog trokuta?

12. Opseg trokuta ABC je 30 cm,  =47◦ ,  = 65◦ . Izraˇcunaj duljine stranica trokuta.

13. Razlika duljina najdulje i najkraće stranice troku-

ta iznosi 6 cm, a sinusi unutarnjih kutova trokuta u omjeru su 3 : 4 : 2 . Kolike su duljine stranica trokuta?

14. Opseg trokuta je 30 cm, a njegovi su unutarnji kutovi u omjeru 5 : 7 : 8 . Kolike su duljine stranica trokuta?

15. U trokutu ABC je  = 96◦ 45 , c = 7 cm , va = 5.5 cm . Kolike su duljine stranica a i b tog trokuta?

16. U trokutu ABC je  = 72◦ 8 , a = 18 cm , vc = 11 cm . Kolika je duljina stranice c tog trokuta?

17. Duljina hipotenuze pravokutnog trokuta je 15 cm, a jedan sˇ iljasti kut trokuta iznosi 42◦ 28 . Odredi duljinu odsjeˇcka simetrale pravog kuta koji je unutar trokuta.

4.

Kutovi trokuta u omjeru su 3 : 5 : 7 . Koliki je omjer duljina najdulje i najkraće stranice trokuta?

5.

U trokutu ABC je  = 2 ,  = 3 , te a + 2b = 30 cm . Kolika je duljina stranice a ovog trokuta?

18. Jedan sˇ iljasti kut pravokutnog trokuta je 36◦ 52 12 .

6.

Odredi duljinu stranice c i kutove trokuta ABC ako je a = 16 cm , b = 11.2 cm te  + = 93◦ .

19. Vrhom A na osnovici jednakokraˇcnog trokuta

7.

Odredi duljinu stranice a i kutove trokuta ABC ako je b = 7.5 cm , c = 6.2 cm te  −  = 17◦ .

8.

Zbroj duljina dviju stranica trokuta je 49 cm, a nasuprot tim stranicama su kutovi od 70◦ 24 i 50◦ 16 . Izraˇcunaj duljine stranica trokuta.

9.

Zbroj duljina dviju stranica trokuta je 17.8 cm, a nasuprot tim stranicama nalaze se kutovi od 99◦ i 53◦ . Izraˇcunaj duljinu treće stranice trokuta.

U kojem omjeru hipotenuzu tog trokuta dijeli toˇcka u kojoj je sijeˇce simetrala pravog kuta?

ABC i srediˇstem trokutu opisane kruˇznice poloˇzen je pravac koji krak BC sijeˇce u toˇcki D . Kolika je duljina duˇzine AD ako je duljina kraka 10 cm, a kut pri vrhu trokuta iznosi  = 55◦ 12 ?

ˇ O KOSINUSU POUCAK

6.2

6.2. Poucak ˇ o kosinusu


Stranice i kutove trokuta vezuje joˇs jedan temeljni pouˇcak. Neka je ABC bilo kakav trokut. Kao i pri izvodu pouˇcka o sinusima, razmotrit cémo sljedeće dvije situacije: (a) kut  je sˇ iljast, (b) kut  je tup.

A

c

b

c

va

b

B

D

va

g

g

a

A

C

B

a

C

D

(a) Sa slike lijevo cˇitamo

c2 = |BD|2 + |AD|2

= (a − |CD|)2 + b2 − |CD|2

= a2 − 2a · |CD| + |CD|2 + b2 − |CD|2 = a2 + b2 − 2a · |CD|

= a2 + b2 − 2ab cos  .

(b) Sa slike desno cˇitamo

c2 = |BD|2 + |AD|2

= (a + |CD|)2 + b2 − |CD|2

= a2 + 2a · |CD| + |CD|2 + b2 − |CD|2 = a2 + b2 + 2a · |CD|

= a2 + b2 + 2ab cos(180◦ −  )

= a2 + b2 − 2ab cos  .

Prema tome, u oba sluˇcaja vrijedi ista formula. Budući da se u njoj javlja kosinus kuta, ovu formulu nazivamo pouˇcak o kosinusu. Primijetimo da je on istinit i kad je kut  pravi, jer tada pouˇcak o kosinusu prelazi u Pitagorin pouˇcak. Analogne formule vrijede i za preostale dvije stranice trokuta:

133

6

ˇ O TROKUTU POUCCI

Pouˇcak o kosinusu

Kvadrat stranice u trokutu jednak je zbroju kvadrata drugih dviju stranica, umanjenom za dvostruki umnoˇzak tih stranica i kosinusa kuta - njih: izmedu a2 = b2 + c2 − 2bc cos 


b2 = a2 + c2 − 2ac cos 

c2 = a2 + b2 − 2ab cos  .

Primjenom pouˇcka o kosinusu rjeˇsavamo preostale dvije mogućnosti zadavanja trokuta: - njima (c) zadane su dvije stranice i kut medu (d) zadane su tri stranice.

Dvije stranice i kut medu ¯ njima

S pomoću pouˇcka o kosinusu najprije odredimo treću stranicu. Nakon toga lako je izraˇcunati jedan od dvaju preostalih kutova.

Primjer 1.

Odredimo nepoznate elemente u trokutu ako je zadano a = 4.3 cm , b = 5.6 cm i  = 52◦ . Skicirajmo trokut. On je ovim podatcima jednoznaˇcno odreden.

Treću stranicu, c , odredujemo pouˇckom o kosinusu: c2 = a2 + b2 − 2ab cos 

= 4.32 + 5.62 − 2 · 4.3 · 5.6 · cos 52◦ = 20.2 pa je c = 4.4944 cm .

134


6.2

U ovom su nam trenutku poznate sve tri stranice trokuta i jedan kut. Da bismo odredili bilo koji od preostalih dvaju kutova, moˇzemo upotrijebiti bilo pouˇcak o sinusima, bilo pouˇcak o kosinusu. Pokazat cémo primjerom da ipak nije svejedno koji kut i s pomoću kojeg pouˇcka traˇzimo.


Potraˇzimo, primjerice, kut  pouˇckom o sinusima: b 5.6 sin  = sin  = sin 52◦ = 0.98186. c 4.4944 - jer postoji samo jedan trokut sa zadaKut  jednoznaˇcno je odreden nim elementima, medutim, mi u ovom trenutku ne znamo je li vrijednost tog kuta veća ili manja od 90◦ . Izraˇcunajmo obje moguće vrijednosti: 1 = 79◦ 4 ili 2 = 100◦ 56 . U prvom bi sluˇcaju bilo 1 = 180◦ − 1 −  = 48◦ 56 , a u drugom 2 = 180◦ − 2 −  = 27◦ 4 . Koja je vrijednost prava, joˇs uvijek ne moˇzemo odrediti. Problem je nastao zato sˇ to traˇzimo kut  nasuprot većoj stranici, jer je b > c . Umjesto toga, trebali smo potraˇziti kut  nasuprot manjoj stranici: a 4.3 sin  = sin  = sin 52◦ = 0.753926. c 4.4944 Kako je kut  manji od kuta  , jer nasuprot manjoj stranici leˇzi manji kut, sad smo sigurni da vrijedi  = 48◦ 56 , pa je treći kut  = 79◦ 4 . Druga (i jednostavnija) mogućnost jest da kut odredujemo pouˇckom o kosinusu. Tad smijemo potraˇziti bilo koji od preostalih dvaju kutova bez straha da cé moˇzda doći do pogreˇsnog odabira. Vrijedi, primjerice,

a2 + c2 − b2 4.32 + 4.49442 − 5.62 = = 0.18963. 2ac 2 · 4.3 · 4.4944 On se nalazi u prvom kvadrantu i Sad je kut  jednoznaˇcno odreden. iznosi  = 79◦ 4 pa je  = 48◦ 56 . cos  =

Zadatak 1.

Odredi duljinu stranice a trokuta ABC ako je b = 12 cm , c = 15 cm te 12 sin  = . 13 5 i dalje raˇcunaj po pouˇcku o kosinusu. Uputa. Najprije odredi cos  = ± 13 Zadatak ima dva rjeˇsenja.

Zadatak 2.

Duljine dviju stranica u trokutu su 11 cm i 18 cm, a kut nasuprot jedne od ovih dviju stranica dva je puta veći od kuta nasuprot druge. Kolika je duljina treće stranice trokuta? Uputa. Uzmi da je a : b = sin  : sin 2 = 1 : (2 cos  ) .

135

6

ˇ O TROKUTU POUCCI

Tri stranice Ako su zadane tri stranice, tada s pomoću pouˇcka o kosinusu moˇzemo odrediti bilo koji od triju njegovih kutova. Nakon toga drugi kut moˇzemo odrediti bilo pouˇckom o kosinusu, bilo pouˇckom o sinusima.


Da bismo osigurali jednoznaˇcnost odabira, korisno je najprije odrediti kut nasuprot najvećoj stranici. Nakon toga za raˇcunanje drugog kuta moˇzemo bez opasnosti upotrijebiti pouˇcak o sinusima.

Primjer 2.

Odredi kutove u trokutu ako su mu zadane stranice a = 5 cm , b = 6 cm i c = 8 cm . Odredimo najprije kut  :

a2 + b2 − c2 52 + 62 − 82 3 = =− = −0.05. 2ab 2·5·6 60 Kako je kosinus negativan, kut  je tup:  = 92◦ 52 . cos  =

Drugi kut, recimo  , raˇcunamo pouˇckom o sinusima (taj je kut sigurno sˇ iljast): b 6 sin  = sin  = · sin 92◦ 52 = 0.74906, c 8 pa je  = 48◦ 31 . Treći kut iznosi  = 38◦ 37 .

Primjer 3.

Koliki su kutovi trokuta ako su duljine njegovih visina u omjeru 4 : 5 : 6 ? Duljine visina u trokutu obrnuto su proporcionalne duljinama odgovarajućih stranica. Tu jednostavnu cˇinjenicu moˇzemo lako dokazati. Ta 1 1 1 jednakost, primjerice, slijedi izravno iz P = ava = bvb = cvc . 2 2 2

Stavimo li, dakle, va : vb : vc = 4 : 5 : 6 , imat cémo a : b = 5 : 4 i b : c = 6 : 5 , sˇ to moˇzemo napisati u obliku produˇzenog razmjera a : b : c = 15 : 12 : 10 . Sada stavimo a = 15k , b = 12k i c = 10k pa raˇcunamo kutove trokuta: b2 + c2 − a2 19 cos  = = ,  = 85◦ 27 34 . 2bc 240 Analogno dobijemo  = 52◦ 53 28 ,  = 41◦ 38 58 .

136


6.2

Rijeˇsimo neke primjere primjenom pouˇcka o kosinusu. Na tijelo djeluju dvije sile, iznosa F1 = 5 N i F2 = 10 N . Kut izmedu ◦ njih je 45 . Koliki je iznos rezultantne sile?


Primjer 4.

Iznos rezultantne sile nalazimo iz trokuta ABD pouˇckom o kosinusu: Fr2 = F12 + F22 − 2F1 F2 cos 135◦

C

F1

A

Fr

45°

= 195.71 N2 pa je Fr = 14 N .

Primjer 5.

Udaljenost dviju toˇcaka A i B ne moˇzemo izmjeriti neposredno. Ako je moguće na terenu odrediti toˇcku C takvu da moˇzemo izmjeriti udaljenosti |AC| , |BC| i kut  , onda traˇzenu duljinu |AB| raˇcunamo po pouˇcku o kosinusu.

D

135°

F2

F1

B

B

A

a

b

g

C

Primjer 6.

ˇ Zelimo izraˇcunati udaljenost dviju nepristupaˇcnih toˇcaka S i T .

Na pristupaˇcnom dijelu terena izmjerimo udaljenost d dviju toˇcaka A i B . Odredimo zatim kutove  i 1 u trokutu ABS te kutove 1 i  u trokutu ABT . Onda je, po Primjeru 8. iz Poglavlja 6.1: d sin 1 |AS| = , sin( + 1 ) d sin  |AT| = . sin(1 +  )

T

S

a2 a a1

A

d

b1 b

B

Sad u trokutu AST znamo dvije stranice. Kako bismo izraˇcunali traˇzenu treću stranicu |ST| , trebamo joˇs poznavati kut 2 . Ako sve cˇetiri toˇcke A , B , S i T leˇze u jednoj ravnini, onda je 2 =  − 1 . Inaˇce 2 moramo izmjeriti. Zatim se duljina stranice ST raˇcuna pouˇckom o kosinusu iz trokuta AST .

137

6

ˇ O TROKUTU POUCCI

Zadatci 6.2. Izraˇcunaj duljinu treće stranice i ostalih dvaju kutova trokuta ako je: a = 42 cm , b = 37.1 cm ,  = 67◦ 19 ; a = 22.9 cm , c = 16.9 cm ,  = 39◦ 52 ; b = 3.8 cm , c = 5.2 cm ,  = 33◦ 36 ; a = 13.2 cm , b = 5 cm ,  = 26◦ 13 ; b = 1.55 cm , c = 2.15 cm ,  = 71◦ 34 .

12. Za duljine stranica trokuta vrijedi c−b = b−a =

Koliki su kutovi trokuta ako su zadane duljine njegovih stranica:

14. Duljine dviju stranica trokuta su 25 cm i 30 cm,

1) 2) 3) 4) 5)

2.

njeg. Kolike su duljine stranica i koliki su kutovi trokuta?

1) 2) 3) 4) 5)


1.

a = 4.4 cm , b = 5.8 cm , c = 6.2 cm ; a = 29 cm , b = 44 cm , c = 59 cm ; a = 13.5 cm , b = 17.2 cm , c = 26.8 cm . a = 3.75 cm , b = 4.17 cm , c = 5 cm . a = 113 cm , b = 127 cm , c = 144 cm ?

2 cm , a jedan kut trokuta iznosi 120◦ . Koliki je opseg trokuta?

13. Odredi duljine stranica u trokutu ako je a2 + 2c2 = 82 , b = 7 cm ,  = 60◦ .

a kut nasuprot jednoj od tih dviju stranica dvostruko je veći od kuta nasuprot drugoj. Kolika je duljina treće stranice trokuta?

15. Odredi duljine stranica trokuta ako vrijedi a : b = 12 : 7 , c = 3 cm i  = 2 .

16. Omjer duljina dviju stranica trokuta je 7 : 4 , a

kut nasuprot jedne od tih stranica dvostruko je veći od kuta nasuprot drugoj. Koliki je treći kut trokuta?

3.

Izraˇcunaj duljinu stranice c trokuta ABC ako je a = 7.8 cm ,  = 72◦ 36 ,  = 55◦ 12 .

4.

Duljine stranica trokuta su a , b i c . Ako je a2 + b2 > c2 , onda je kut nasuprot stranici c sˇ iljast, a ako je a2 + b2 < c2 , taj je kut tup. Dokaˇzi!

17. Zbroj duljina dviju stranica trokuta je 57 cm. Na-

5.

Duljine stranica trokuta u omjeru su 4 : 8 : 11 . Koliki je najveći kut ovog trokuta?

18. Najdulja stranica trokuta ABC dugaˇcka je 11 cm,

6.

Za duljine stranica trokuta ABC vrijede omjeri: a : b = 4 : 5 , b : c = 7 : 10 . Koliki su kutovi trokuta ABC ?

7.

Duljine stranica trokuta u omjeru su 4 : 3 : 6 . Koliki je najmanji kut ovog trokuta? √ √ Ako su duljine stranica trokuta 2 , 2 2 i 2 + √ 6 , bez uporabe raˇcunala odredi najveći kut ovog trokuta. √ √ Ako su duljine stranica trokuta 2, 3 − 1 i 6 , bez uporabe raˇcunala odredi najmanji kut ovog trokuta.

8.

9.

10. Duljine stranica trokuta su n2 + n + 1 , 2n + 1 i 2

n − 1 , gdje je n realan broj veći od 1. Koliki je kut nasuprot stranici duljine n2 + n + 1?

suprot tim stranicama su kutovi od 75◦ i 42◦ . Odredi duljinu stranice koja je nasuprot trećeg kuta trokuta.

a duljina njezine ortogonalne projekcije na pravac kojem pripada najkraća stranica za 4 cm dulja je od te stranice. Koliki je najmanji kut trokuta ako veliˇcina srednjeg kuta iznosi 44◦ ?

19. Kolike su duljine stranica a i b trokuta ABC ako je c = 20.5 cm ,  = 81◦ 12 ?

a + b

=

28.5 cm ,

20. Odredi duljinu stranice b trokuta ABC ako je a = 15 cm , c = 18 cm , sin  =

8 . 17

21. U trokutu ABC je a = 5.3 cm , c = 6 cm ,

vc = 4.2 cm . Kolika je duljina stranice b ovog trokuta?

22. Duljine dviju stranica trokuta su 24 cm i 15 cm.

Duljina ortogonalne projekcije kraće od tih dviju stranica na dulju iznosi 7 cm. Kolika je duljina treće stranice trokuta?

23. Dan je jednakostraniˇcan trokut ABC . Toˇcka D 11. Duljine stranica trokuta tri su uzastopna cijela

broja, a najveći kut je dva puta veći od najma-

138

na stranici BC dijeli tu stranicu na dijelove s duljinama 2 cm i 4 cm. Izraˇcunaj duljinu duˇzine AD .

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

6.3

6.3. Trigonometrija trokuta


Sada cémo pokazati kako se poznavanje trigonometrije, posebno pouˇcaka o sinusima i kosinusu, moˇze primijeniti u rjeˇsavanju planimetrijskih i stereometrijskih zadataka.

Posebno cémo se osvrnuti na raˇcunanje razliˇcitih elemenata trokuta, zato sˇ to je trokut najvaˇzniji lik u planimetriji.

Iz poznatih stranica i kutova mogu se raˇcunati i neki drugi elementi trokuta: polumjer opisane i upisane kruˇznice, teˇziˇsnice, visine, simetrale kutova, njegova povrˇsina i sl. U trokutu ABC upotrebljavat cémo sljedeće standardne oznake: a, b, c ,  ,  ta , tb , tc va , vb , vc s , s , s R r s P

stranice trokuta kutovi trokuta teˇziˇsnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane kruˇznice polumjer upisane kruˇznice poluopseg povrˇsina trokuta.

Povrˇsina trokuta

Nacrtajmo bilo koji trokut ABC i oznaˇcimo njegove elemente na uobiˇcajeni naˇcin. A

c

b

c

va

b

B

D

va

g

g

a

A

C

B

a

C

D

Iz planimetrije znamo da je povrˇsina trokuta jednaka polovici umnoˇska stranice 1 i visine na tu stranicu. Primjerice: P = ava . Iz pravokutnog trokuta ADC 2

139

6

ˇ O TROKUTU POUCCI

(slika lijevo) je va = b sin  , pa vrijedi P=

1 ab sin  . 2


Ako je kut  tup, onda je va = b sin(180◦ −  ) = b sin  (slika desno) i vrijedi ista formula. Iskaˇzimo tu vaˇznu formulu rijeˇcima. Povrˇsina trokuta

Povrˇsina trokuta jednaka je polovici umnoˇska dviju stranica i sinusa - njih: kuta izmedu 1 1 1 (1) P = ab sin  = bc sin  = ac sin  . 2 2 2

Primjer 1.

- izmedu - svojih imanja: granicu ACB zamjeˇ i Joˇza ispravljaju medu Stef njuju granicom AD , ali tako da se povrˇsine P1 i P2 njihovih imanja ne izmijene. Na terenu su izmjerene duljine stranica a i b te kutovi  i  . Kolika mora biti udaljenost x toˇcaka B i D ? x

B

d b

P1

c

D

a

P2

P

g

C

b

A Prikazana je rektifikacija zemljiˇsta. Jedno se podruˇcje zamjenjuje drugim iste povrˇsine.

Trokut ACP mora biti iste povrˇsine kao i trokut BDP . No to znaˇci da su trokuti ABC i ABD iste povrˇsine. Zato je 1 1 ab sin  = cx sin( +  ), 2 2 pa odavde slijedi ab sin  . x= c sin( +  ) Stranica c izraˇcuna se pouˇckom o kosinusu iz zadanih podataka a , b i  .

140


6.3

Korisno je poznavati i formulu za povrˇsinu trokuta u kojem su poznati kutovi i jedna stranica. Neka je to stranica a . Iz pouˇcka o sinusima dobivamo: P=

1 a sin  a2 sin  sin  1 · sin  = . ab sin  = a · 2 2 sin  2 sin 


Povrˇsina trokuta

Povrˇsina trokuta kojem poznajemo kutove i jednu stranicu je: P=

Primjer 2.

a2 sin  sin  b2 sin  sin  c2 sin  sin  = = . 2 sin  2 sin  2 sin 

Anka zˇ eli ograditi svoje zemljiˇste oblika trokuta koje ima povrˇsinu 2400 cˇhv 1 . Da ne bi mjerila opseg, lakˇse joj je odrediti kutove pri jednoj stranici; oni iznose 45◦ i 50◦ . Koliko cé dugaˇcka biti ograda? Treći kut trokuta, oznaˇcimo ga s  , iznosi 85◦ . Odredimo duljinu strani 2P sin  a2 sin  · sin  ce a nasuprot tom kutu. Iz P = slijedi a = . 2 sin  sin  sin  Povrˇsina je zemljiˇsta u cˇetvornim metrima P = 8633 m2 . Odavde je a = 178 m . Opseg dobivamo iz: a sin  a sin  o=a+b+c =a+ + sin  sin 

sin  sin  =a 1+ + = 441 m. sin  sin 

Izvedimo joˇs neke formule za povrˇsinu trokuta. Povrˇsina trokuta

Ako su poznate stranice trokuta, njegovu povrˇsinu raˇcunamo Heronovom formulom P = s(s − a)(s − b)(s − c). 1 gdje je s = (a + b + c) poluopseg trokuta. 2

1

Hvat je stara mjera za duˇzinu. 1 hvat ima 1.896 m, a 1 cˇetvorni hvat ima 3.597 m2 .

141

6

ˇ O TROKUTU POUCCI

Heronovu formulu koristili smo u planimetriji. Naˇcinimo ipak njezin izvod. Po1 lazimo od temeljne formule P = ab sin  , u kojoj sin  valja izraziti s pomoću 2 duljina a , b i c stranica trokuta.


sin2  = 1 − cos2  = (1 − cos  )(1 + cos  )

a2 + b2 − c2 a2 + b2 − c2 = 1− 1+ 2ab 2ab 2ab − a2 − b2 + c2 2ab + a2 + b2 − c2 c2 − (a − b)2 (a + b)2 − c2 = · = · 2ab 2ab 2ab 2ab 1 = 2 2 (c − a + b)(c + a − b)(a + b − c)(a + b + c). 4a b

Sad je a + b + c = 2s , te c − a + b = 2(s − a) , c + a − b = 2(s − b) , a + b − c = 2(s − c) . Dobili smo sin  =

2 s(s − a)(s − b)(s − c). ab

1 ab sin  dobit cémo Heronovu formulu. 2

Nakon uvrˇstavanja u P =

Polumjer opisane i upisane kruˇznice

Nacrtajmo trokut ABC i opiˇsimo mu kruˇznicu. Razmotrimo ove dvije mogućnosti: (a) kut  je sˇ iljast (b) kut  je tup.

Promotrimo obje situacije. C

C

R

R

O

A

a

O

R

A

B

a

a

R

180° - a E

a

E

B

(a) Povucimo pravac CO , neka on sijeˇce kruˇznicu u toˇcki E (slika lijevo). Trokut EBC je pravokutan, jer je EC promjer kruˇznice. Prema pouˇcku o obodnom kutu, kut pri vrhu E isti je kao i kut pri vrhu A . Zato vrijedi sin  =

142

a . 2R


6.3

(b) Sad je cˇetverokut ABEC tetivni (slika desno), pa kut pri vrhu E iznosi 180◦ −  . Iz pravokutnog trokuta BEC cˇitamo a sin  = sin(180◦ −  ) = . 2R


Ova jednakost vrijedi i za pravokutni trokut. Dakle, za bilo koji trokut vrijedi a = 2R. sin  Analogne jednakosti vrijede i za preostale dvije stranice trokuta. Pouˇcak o sinusima i polumjer opisane kruˇznice

U svakom su trokutu omjeri duljina stranica i sinusa tim stranicama suprotnih kutova jednaki promjeru trokutu opisane kruˇznice: a b c = = = 2R. (2) sin  sin  sin 

Joˇs u prvom razredu upoznali smo i sljedeće dvije formule. Povrˇsina trokuta

Povrˇsina trokuta moˇze se dobiti iz polumjera upisane kruˇznice i poluopsega: P = rs. (3) Ako su poznate stranice trokuta te polumjer opisane kruˇznice, onda vrijedi: abc P= . (4) 4R

C

Formula (3) slijedi iz slike desno:

P = PASB + PBSC + PCSA 1 1 1 = cr + ar + br = rs. 2 2 2 Formula (4) slijedi iz (2) ovako: 1 c abc 1 = . P = ab sin  = ab · 2 2 2R 4R

Zadatak 1.

b

r S

r

a

r

A

c

B

U trokutu ABC je a = 30 cm ,  = 40◦ 35 , a duljina polumjera trokutu opisane kruˇznice iznosi 18 cm. Odredi duljinu polumjera kruˇznice upisane trokutu.

143

6

ˇ O TROKUTU POUCCI

Ciklicna ˇ zamjena


Neke su formule vezane uz trokut simetriˇcne, jer se u njima elementi trokuta javljaju ravnopravno. Primjer je takve formule Heronova formula: P = s(s − a)(s − b)(s − c). Neke formule nisu simetriˇcne, poput P=

1 ava 2

ili

a = 2R. sin 

Kako je a bilo koja stranica po volji odabranog trokuta, ove se formule mogu iskazati i u nekoj drugoj kombinaciji stranica 2 : P=

1 1 bvb = cvc . 2 2

S pomoću jedne nesimetriˇcne formule moˇzemo napisati drugu tako da zamijenimo imena elementima pazeći na cikliˇcan poredak: stranica a prelazi u b , stranica b u c , stranica c u a i sliˇcno za druge elemente trokuta. Shematski to prikazujemo slikom.

b, b

c, g

Tako, primjerice, iz formule va = b sin  cikliˇcnom zamjenom dobivamo vb = c sin  , vc = a sin  .

a, a

Visine trokuta

Visine trokuta obrnuto su proporcionalne duljinama odgovarajućih stranica. U to se moˇzemo uvjeriti iz izraza za povrˇsinu trokuta.

Iz

1 1 ava = bvb slijedi 2 2

a : b = vb : va .

Cikliˇcnom zamjenom dobivamo:

b : c = vc : vb ,

c : a = va : vc .

2 Umjesto pamćenja triju srodnih formula korisnije je zapamtiti formulu prema smislu: povrˇsina trokuta jednaka je polovici umnoˇska stranice i visine na tu stranicu, odnosno omjer duljine stranice i sinusa njoj suprotnog kuta jednak je promjeru opisane kruˇznice.

144


Primjer 3.

6.3

Ako su va i vb visine trokuta te ako je va : vb = 3 : 4 i  = 42◦ 15 , odredimo kut  trokuta.


Iz va : vb = 3 : 4 slijedi a : b = 4 : 3 . Prema pouˇcku o sinusima je a : b = sin  : sin  i odatle dobijemo sin  = 0.89649 . Dvije su mogućnosti za kut  (zaˇsto?): 1 = 63◦ 42 ili 2 = 116◦ 18 . Zbog toga zadatak ima dva rjeˇsenja: 1 = 74◦ 3 ili 2 = 21◦ 27 . Podsjećamo da smo jedan primjer vezan uz visine trokuta i kosinusov pouˇcak imali na 136. stranici.

Simetrale kutova

Oznaˇcimo sa s duljinu simetrale kuta  u trokutu ABC . Pouˇcak o simetrali kuta

C

x

Simetrala unutarnjeg kuta trokuta dijeli suprotnu stranicu u omjeru jednakom omjeru duljina stranica sˇ to zatvaraju taj kut: x : y = b : c.

d

b

a 2 a 2

D

p-d

sa

A

c

y

B

Oznaˇcimo elemente kao na slici. Prema pouˇcku o sinusima za trokute ABD i ADC je    sin sin sin x y 2 2 2. , = = = b sin  c sin( −  ) sin  Zato je

Zadatak 2.

x y x b = , a odavde = i pouˇcak je dokazan. b c y c

Izraˇcunaj duljinu simetrale kuta uz osnovicu jednakokraˇcnog trokuta ako je duljina kraka 15 cm, a kut pri vrhu trokuta je 52◦ 35 .

145

6

ˇ O TROKUTU POUCCI

Teˇzisnice ˇ Neka je dan trokut ABC . Produˇzimo teˇziˇsnicu iz vrha A tako da bude |AT| = 2ta . ˇ Cetverokut ABTC je paralelogram (jer mu se dijagonale raspolavljaju). C


T ta

a

b

A

x

f

v ta

b

j

c

B

v

x

Kut < )ABT iznosi 180◦ −  , pa po pouˇcku o kosinusu vrijedi

4ta2 = b2 + c2 − 2bc cos(180◦ −  ) = b2 + c2 + 2bc cos  .

Medutim, znamo da je a2 = b2 + c2 − 2bc cos  , pa zbrajanjem ovih dviju jednakosti dobivamo: 4ta2 = 2b2 + 2c2 − a2 . Cikliˇcnom zamjenom dobivamo izraze za preostale dvije teˇziˇsnice: 4tb2 = 2a2 + 2c2 − b2

4tc2 = 2a2 + 2b2 − c2 . Shvativˇsi ove tri jednakosti kao sustav jednadˇzbi s nepoznanicama a , b i c , moći cémo izraˇcunati: 4 a2 = (2tb2 + 2tc2 − ta2 ). (5) 9 Cikliˇcnom zamjenom dobivamo izraze za stranice b i c : 4 b2 = (2ta2 + 2tc2 − tb2 ) 9 4 c2 = (2ta2 + 2tb2 − tc2 ). 9

146

Zadatak 3.

Odredi kut  trokuta ABC ako je tb = 4 cm , tc = 2.5 cm i a = 5 cm .

Zadatak 4.

Koliki kut zatvaraju teˇziˇsnice povuˇcene iz vrhova B i C trokuta ABC ako je a = 4.5 cm , b = 3.8 cm , c = 5.1 cm ?


6.3

Zadatci 6.3.

2.

Izraˇcunaj povrˇsinu trokuta ABC ako je zadano:

11. Povrˇsina trokuta je P = 30.2 cm2 , zatim je

1) a = 11.4 cm , b = 15 cm ,  = 47◦ 15 ; 2) b = 5 cm , c = 7 cm ,  = 95◦ ; 3) a = 22.5 cm , c = 30 cm ,  = 30◦ .

12. Povrˇsina trokuta ABC je 25 cm2 , umnoˇzak ab

Izraˇcunaj povrˇsinu trokuta ABC ako je zadano: 1) a = 11.5 cm ,  = 43◦ ,  = 78◦ ; 2) b = 4.8 cm ,  = 18◦ 30 ,  = 115◦22 ; 3) c = 25.2 cm ,  = 77◦ 30 ,  = 53◦ .

3.

4.

5.

6.

Ne rabeći dˇzepno raˇcunalo izraˇcunaj povrˇsinu trokuta ABC ako je: √ √ √ 1) b = 6 , c = 3(1 + 3) ,  = 45◦ ; √ 2) a = 1 + 3 ,  = 45◦ ,  = 60◦ ; √ 3) b = 2 , c = 3 − 1 ,  = 135◦ ; √ √ √ 4) a = 1 + 3 , b = 6 , c = 3 − 1 . Ako nijedna od triju stranica trokuta nije √ veća 3 . od 1 cm, povrˇsina tog trokuta nije veća od 4 Dokaˇzi! 2

Povrˇsina trokuta iznosi 33 cm , a dva su njegova kuta 53◦ 16 i 62◦ 18 . Kolika je duljina najkraće stranice ovog trokuta? 2

Ako je zadana povrˇsina P = 14 cm trokuta ABC i dva njegova kuta, 58◦ 22 i 64◦ 48 , odredi duljinu najdulje stranice trokuta.

7.

Povrˇsina trokuta iznosi 20 cm2 . Dva su njegova kuta 30◦ i 45◦ . Kolike su duljine stranica ovog trokuta?

8.

Povrˇsina trokuta je 148 cm2 , a dva su njegova kuta  = 22◦ 35 i  = 45◦ 18 . Kolika je duljina najkraće stranice sliˇcnog trokuta povrˇsine 333 cm2 ?

9.

a · b = 64 cm2 , te  = 42◦ 25 . Odredi duljine stranica i kutove trokuta.


1.

2

duljina stranica a i b iznosi 58 cm2 , a za kutove  i  vrijedi sin  = cos  . Odredi duljine stranica i kutove trokuta.

13. Odredi povrˇsinu trokuta ABC ako je b + c = 11.5 cm , a = 2.5 cm i  = 23◦ .

14. Izraˇcunaj povrˇsinu trokuta ABC ako je a − b = 20 cm , c = 40 cm i  = 60◦ .

15. Ako je duljina stranice c trokuta ABC 11 cm, za-

tim  = 70◦ 40 te va = 5 cm , kolika je duljina stranice b ovog trokuta?

16. Trokut ABC zadan je s a = 18 cm , b = 20 cm ,

vb = 11 cm . Kolika je duljina treće stranice trokuta?

17. Duljine visina trokuta su 8 cm, 12 cm i 18 cm.

Kolike su duljine stranica i koliki su kutovi ovog trokuta?

18. Odredi duljine stranica trokuta ABC ako je va = 8.7 cm , vb = 10.3 cm te  = 48◦ 35 .

19. Omjer duljina visina va i vb na stranice a i b

trokuta ABC je 5 : 7 , a  = 66◦ . Koliki su ostali kutovi trokuta?

20. Duljine dviju stranica trokuta su 7.5 cm i 11 cm, a

duljina polumjera trokutu opisane kruˇznice iznosi 8.2 cm. Kolika je duljina treće stranice trokuta?

21. Ako je u trokutu ABC zadano a = 32 cm , R = 18 cm ,  = 33◦ , odredi ostale stranice i kutove trokuta.

Povrˇsina trokuta je 112 cm . Duljine njegovih dviju stranica su 15 cm i 18 cm. Kolika je duljina najdulje stranice sliˇcnog trokuta cˇija je povrˇsina 252 cm2 ?

22. Izraˇcunaj duljine stranica trokuta ABC ako je

10. Odredi duljine stranica b i c te kutove troku-

23. Ako su  = 70◦ i  = 49◦ dva unutarnja ku-

ta ABC ako je P = 142 cm2 , a = 35.2 cm ,  +  = 98◦ 15 .

 = 36◦ 25 ,  = 51◦ 28 , a duljina polumjera trokutu opisane kruˇznice iznosi 24 cm.

ta trokuta ABC , a R = 11 cm duljina trokutu opisane kruˇznice, kolika je povrˇsina trokuta?

147

6

ˇ O TROKUTU POUCCI

24. Duljina polumjera trokutu ABC opisane kruˇznice je 7 cm, a opseg trokuta iznosi 25 cm, te je  = 46◦ . Kolike su duljine stranica trokuta?

25. U trokutu ABC je c = 11 cm , R = 12 cm te

35. U trokutu ABC je |AB| = 15 cm , |BC| =

22 cm , te  = 73◦ 28 . Kolike su duljine odsjeˇcaka na koje simetrala kuta  dijeli stranicu AC?


 = 50◦ 33 28 . Kolika je povrˇsina trokuta?

iznosi 15 cm. Kolika je duljina stranice nasuprot tom trećem kutu?

26. Duljine stranica trokuta ABC u omjeru su 4 :

5 : 8 . Polumjer trokutu opisane kruˇznice iznosi 9 cm. Kolika je povrˇsina trokuta?

27. Kolika je povrˇsina trokuta ABC ako je  =

36. U trokutu ABC je b = 12.4 cm , c = 17.2 cm ,

ta = 11 cm . Izraˇcunaj duljinu stranice a ovog trokuta.

50◦ 12 ,  = 74◦ 35 , a duljina polumjera upisane kruˇznice iznosi 2.5 cm?

37. Koliki je kut  u trokutu ABC ako je a = 6 cm ,

28. U trokutu ABC je r = 3 cm ,  = 75◦ ,  = 60◦ .

38. Koliki su kutovi trokuta ABC ako je a = 3.5 cm ,

Kolika je povrˇsina trokuta?

29. Ako je a = 10 cm , b + c = 15 cm te r = 1 cm , kolike su duljine stranica b i c trokuta ABC ?

30. Na zidu visokom 4 m nalazi se stup visine 6 m. Koliko je od podnoˇzja zida udaljena toˇcka iz koje se zid i stup vide pod jednakim kutom?

31. Simetrala kuta  ,  = 60◦ trokuta ABC si-

c = 11 cm , tb = 8 cm ?

b = 2 cm , tc = 2.2 cm ?

39. Izraˇcunaj duljinu stranice c trokuta ABC ako je a = 32 cm , b = 20 cm i tc = 18 cm .

40. Koliki su kutovi trokuta ABC ako su duljine tezˇ iˇsnica tog trokuta 11 cm, 12 cm i 13 cm?

41. Izraˇcunaj duljine stranica a i c trokuta ABC ako je b = 7.2 cm , ta = 8 cm , tc = 5.8 cm .

jeˇce nasuprotnu stranicu AC u toˇcki D , te je |CD| : |AD| = 3 : 5 . Kolika su ostala dva kuta trokuta?

42. Izraˇcunaj duljinu stranice b trokuta ABC ako je

32. Odredi duljinu stranice b trokuta ABC ako je

43. Koliki je kut  u trokutu ABC ako je a = 8 mm ,

s = 11 cm , c = 15 cm ,  = 41◦ 20 .

33. Kolika je duljina stranice c trokuta ABC ako je  = 53◦ ,  = 65◦ , s = 13.5 cm ? ◦

◦

34. Dva su kuta trokuta ABC 44 i 72 . Duljina

a = 70 mm , tb = 82 mm , tc = 58 mm . tb = 9 mm , tc = 6.6 mm .

44. Odredi duljine stranica a i b te kutove trokuta ABC ako je c = 18.8 cm , tc = 14.2 cm i vc = 11.8 cm .

dijela simetrale trećeg kuta koji je unutar trokuta

ˇ POUCAK O KOSINUSU

2c

cos b

-a

cb

Bez rijeˇci

C

b

a · (2c cos  − a) = (c − b)(c + b)

c

c

148

a b

A

c

B

ˇ CETVEROKUT

6.4

ˇ 6.4. Cetverokut


ˇ Cetverokut Stranice cˇetverokuta, njegove kutove i dijagonale obiˇcno oznaˇcavamo kao na slici. D

c

d

g

S

C

j

d

b

f

e

b

a

a

A

B

- ako poznajemo pet njegovih osnovnih elemenata (stranica ˇ Cetverokut je odreden ili kutova), no medu njima smiju biti najviˇse tri kuta, jer je cˇetvrti kut odreden iz prvih triju. Ako cˇetverokut ima joˇs neko posebno svojstvo, broj se potrebnih - cˇetirima elementima, jer elemenata smanjuje. Tako je, primjerice, trapez odreden ◦ je zbroj dvaju kutova uz njegove krakove jednak 180 . Isto vrijedi i za tetivni cˇetverokut u kojem je zbroj nasuprotnih kutova 180◦ , te za tangencijalni cˇetverokut - trima u kojem su zbrojevi nasuprotnih stranica jednaki. Paralelogram je odreden elementima, jer je uz dvije njegove stranice dovoljno poznavati jedan njegov kut. - stranicom i kutom, pravokutnik dvjema stranicama, a kvadrat Romb je odreden jednom stranicom.

Paralelogram

Rjeˇsavanje paralelograma najˇceˇscé se svodi na rjeˇsavanje trokuta na koji taj paralelogram dijeli jedna ili obje njegove dijagonale. Neka su zadane stranice a i b paralelograma te njegov kut  . Odredimo duljine njegovih dijagonala e i f te povrˇsinu P . D

C

f

S

va

j

b

e a

A

a

B

149

6

ˇ O TROKUTU POUCCI

Dijagonale raˇcunamo pouˇckom o kosinusu: e2 = a2 + b2 + 2ab cos  , f 2 = a2 + b2 − 2ab cos  .


Odavde zbrajanjem slijedi korisna veza Dijagonale i stranice paralelograma

- duljina dijagonala i stranica paralelograma vrijedi relacija Izmedu e2 + f 2 = 2(a2 + b2 ).

Povrˇsinu paralelograma kojemu znamo duljine stranica i kut raˇcunamo ovako: P = ava = ab sin  .

Sva cˇetiri trokuta na koja paralelogram dijele njegove dijagonale imaju istu povrˇsinu (zaˇsto?). Zato je korisno znati da vrijedi i ova formula: P= 4·

1 e f 1 · · · sin  = ef sin  . 2 2 2 2

Povrˇsina paralelograma

Povrˇsinu paralelograma raˇcunamo preko duljina njegovih stranica i kuta - njima: medu P = ab sin  , - njima: ili preko duljina dijagonala i kuta medu 1 ef sin  . 2

P=

Primjer 1.

Duljine stranica paralelograma su 15.2 cm i 8.5 cm . Ako je jedan kut paralelograma 66◦ 12 , koliki kut zatvaraju dijagonale? D

C

f

S

j

b

e a

A

150

a

B

ˇ CETVEROKUT

6.4

Najprije pouˇckom o kosinusu primijenjenom na trokute ABD i ABC izracˇunamo duljine dijagonala paralelograma:


e2 = a2 + b2 − 2ab cos  , f 2 = a2 + b2 + 2ab cos  . Primijeti da je  +  = 180◦ te je  = 180◦ −  i zbog toga je cos  = cos(180◦ −  ) = − cos  .

Nakon uvrˇstavanja danih podataka dobijemo e = 14.1 cm i f = 20.19 cm .

Ponovno primijenimo pouˇcak o kosinusu, ali sada na trokut ABS :

a2 =

e 2 2

+

2 f e f − 2 · · · cos  2 2 2

i dobijemo  = 123◦ 55 . No kut dvaju pravaca manji je od dva kuta sˇ to ga ti pravci tvore, pa bi rjeˇsenje zadatka u skladu s tim bio kut od 56◦ 5 .

Zadatak 1.

ˇ Siljasti kut paralelograma iznosi 77◦ 12 , duljine stranica su 15.5 cm i 9.8 cm . Izraˇcunaj duljine dijagonala paralelograma.

Koliki kut zatvaraju dijagonale paralelograma? Kolika je povrˇsina paralelograma?

Povijesni kutak

` FRANCOIS ¸ VIETE

Fran¸cois Viète (1540. – 1603.), francuski matematiˇcar, po profesiji pravnik. Drˇzi se osnivaˇcem algebre. 1591. g. po prvi put uvodi oznaˇcavanje slovima ne samo nepoznanica, već i koeficijenata jednadˇzbi, omogućivˇsi tako zapisivanje rjeˇsenja algebarskih jednadˇzbi s pomoću općih formula, onako kako to i danas radimo. U trigonometriji - nepoznati elementi trokuta, ravninskog i sfernog, ako su je pokazao kako se odreduju poznata tri njegova podatka. Otkrio je rastav izraza cos nx i sin nx po potencijama od sin x i cos x .

151

6

ˇ O TROKUTU POUCCI

Povrˇsina cetverokuta ˇ Povrˇsinu bilo kojeg cˇetverokuta moˇzemo izraˇcunati ako mu poznajemo duljine - njima. dijagonala i kut medu D

c


Podijelimo cˇetverokut ABCD dijagonalama na cˇetiri trokuta. Povrˇsina cˇetverokuta jednaka je zbroju povrˇsina tih trokuta:

q

n

S

d

1 P(ABS) = mp sin  , 2 1 1 P(BCS) = pn sin(180◦ −  ) = pn sin  , 2 2

C

b

j

m

p

a

A

B

1 1 1 P(CDS) = nq sin  , P(DAS) = qm sin(180◦ −  ) = qm sin  . 2 2 2

Zbrojimo li sada te cˇetiri povrˇsine, dobit cémo: 1 P(ABCD) = (mp + pn + nq + qm) sin  . 2 No moˇzemo pisati: mp + pn + nq + qm = p(m + n) + q(m + n) = (m + n)(p + q). A kako je m + n = |AC| = e i p + q = |BD| = f , konaˇcno je: P=

1 ef sin  . 2

Povrˇsina cˇ etverokuta jednaka je polovici umnoˇska duljina dijagonala i sinusa - njih. kuta izmedu

Trapez

Povuˇcemo li vrhom D paralelu s drugim krakom trapeza, dobivamo karakteristiˇcni trokut kojem su stranice a−c , b i d , a kutovi uz osnovicu  i  .

Primjer 2.

Odredimo kutove i dijagonale trapeza kojem su osnovice a = 6 cm i c = 4 cm , a krakovi b = 3 cm i d = 4 cm . Kroz vrh D povucimo paralelu s krakom b . Dobili smo trokut AED kojem znamo sve tri stranice, a − c = 2 cm , b = 3 cm i d = 4 cm . Kut  raˇcunamo iz pouˇcka o kosinusu: 42 +22 −32 = 0.6875 2·4·2 pa je  = 46◦ 34 .

e

d

cos  =

152

c

D

a

A

C

f

b

b

a-c

b

b

E

a

B

ˇ CETVEROKUT

6.4

Kut pri vrhu E jednak je kutu  : 32 + 22 − 42 = −0.25 2·3·2 - pouˇckom o kosinui odavde  = 104◦ 29 . Dijagonale raˇcunamo takoder su: √ e2 = a2 + d2 − 2ad cos  = 19 =⇒ e = 19 cm √ f 2 = a2 + b2 − 2ab cos  = 54 =⇒ f = 54 cm.


cos  =

Zadatak 2.

Izraˇcunaj povrˇsinu trapeza ako su mu zadane duljine osnovica a = 23.44 cm i c = 11.26 cm i ako su  = 70◦ 18 i  = 57◦ 40 kutovi uz njegovu osnovicu.

Tetivni cetverokut ˇ D

c

d

g

d

a

A

Primjer 3.

C

b

b

a

B

Tetivni cˇetverokut je cˇetverokut upisan kruˇznici. Osnovni pouˇcak o tetivnom cˇetverokutu kaˇze da su njegovi nasuprotni kutovi suplementni. Drugim rijeˇcima, zbroj dvaju nasuprotnih kutova tetivnog cˇetverokuta iznosi 180◦ .

Odredimo kutove tetivnog cˇetverokuta ako su zadane duljine njegovih stranica a = 12 cm , b = 15 cm , c = 9 cm i d = 11 cm . Primijenimo pouˇcak o kosinusu na trokute ABD i BCD :

|BD|2 = a2 + d2 − 2ad cos  = b2 + c2 − 2bc cos  . No cˇetverokut ABCD je tetivni te je  +  = 180◦ i zbog toga cos  = − cos  .

Kad to uvaˇzimo u gornjoj jednakosti, ona prima oblik:

a2 + d2 − 2ad cos  = b2 + c2 + 2bc cos  . Oˇcito, odavde moˇzemo sada odrediti kut  . Bit cé  = 94◦ 24 . Zatim imamo:  = 180◦ −  = 85◦ 36 .

Na jednak naˇcin nastavljamo s odredivanjem ostalih dvaju kutova cˇetverokuta.

Zadatak 3.

Dva su sˇ iljasta kuta trapeza 80◦ i 67◦ . Duljine osnovica iznose 15 cm i 11 cm. Kolike su duljine krakova trapeza? Izraˇcunaj povrˇsinu trapeza.

153

6

ˇ O TROKUTU POUCCI

Zadatci 6.4. Duljine stranica paralelograma su 11.5 cm i 16.8 cm, a jedan unutarnji kut paralelograma iznosi 135◦16 . Kolike su duljine dijagonala paralelograma?

2.

Duljine dijagonala paralelograma su 6.4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove stranice iznosi - dijagonala paralelo7 cm. Koliki je kut izmedu grama?

3.

Duljine dijagonala paralelograma su 12.4 cm i 18.6 cm, a zatvaraju kut od 83◦ 15 . Kolike su duljine stranica paralelograma?

4.

Duljine stranica paralelograma su 15 cm i 20 cm, a duljina jedne njegove dijagonale iznosi 32 cm. Koliki su unutarnji kutovi paralelograma i kolika je duljina njegove druge dijagonale?

5. 6.

7. 8.

12. Duljine dijagonala trapeza su 13 cm i 18 cm, a kut - dijagonala iznosi  = 109◦ 45 . Kolika izmedu je povrˇsina trapeza?


1.

13. Jednakokraˇcnom trapezu moˇze se upisati kruˇznica i njezin je polumjer dugaˇcak 6 cm. Ako je sˇ iljasti kut trapeza 80◦ , kolika je duljina dijagonale trapeza?

14. U tetivnom cˇetverokutu je a = 8 cm , b = 9 cm , c = 13 cm , d = 10 cm . Izraˇcunaj mu kutove i povrˇsinu.

15. U tetivnom je cˇetverokutu a = 7 cm , c = 4 cm ,  = 35◦ 6 54 , R = 5 cm . Izraˇcunaj b , d i  .

Duljine stranica paralelograma su 32 cm i 38 cm, a duljina jedne dijagonale je 27 cm. Koliki su unutarnji kutovi paralelograma?

16. U tetivnom je cˇetverokutu zadano b = 5.1 cm ,

Duljine stranica paralelograma su 11 cm i 7.2 cm, a njegova povrˇsina iznosi 52 cm2 . Kolike su duljine dijagonala paralelograma?

17. U tetivnom je cˇetverokutu zadano a = 6 cm ,

Povrˇsina paralelograma je 14.8 cm2 , a duljine dijagonala su 5 cm i 8 cm. Kolike su duljine stranica i koliki su unutarnji kutovi paralelograma?

Dijagonala paralelograma dijeli njegov unutarnji kut na dijelove od 45◦ i 60◦ . U kojem su omjeru duljine stranica paralelograma?

c = 4 cm , d = 3.6 cm i R = 4.25 cm . Koliki su njegovi kutovi?

b = 2.5 cm , c = 5.6 cm i e = 6.5 cm . Izracˇ unaj njegove kutove, stranicu d , dijagonalu f i povrˇsinu P .

18. U tetivnom je cˇetverokutu zadano a = 40 , b =

30 , c = d = 13 , f = 37 . Izraˇcunaj njegove kutove.

19. Tetive AB i CD iste kruˇznice sijeku se u toˇcki

9.

Dijagonala jednakokraˇcnog trapeza dugaˇcka je 75 cm i dijeli unutarnji kut trapeza na dva dijela od 36◦ i 80◦ . Kolike su duljine stranica trapeza?

10. Duljine osnovica trapeza su a = 7.2 cm i c =

3 cm , a duljine krakova b = 5.5 cm i d = 3.8 cm . Koliki su unutarnji kutovi trapeza i kolike su duljine dijagonala trapeza?

11. Duljine osnovica trapeza su 12.5 cm i 4 cm, a dva

su sˇ iljasta kuta 72◦ i 58◦ . Izraˇcunaj povrˇsinu tog trapeza.

154

M pod kutom od 83◦ . Ako je |AB| = 24 cm , te |CM| = 8 cm i |MD| = 12 cm , koliki je opseg cˇ etverokuta ADBC?

20. U cˇetverokutu ABCD kutovi pri vrhovima B i D

su pravi. Iz vrhova A i C poloˇzene su okomice na dijagonalu BD , a njihova noˇziˇsta su toˇcke E i F . Dokaˇzi da je |BF| = |DE| .

PRIMJENE TRIGONOMETRIJE U STEREOMETRIJI

6.5

6.5. Primjene trigonometrije u stereometriji


Tri zrake a , b i c sa zajedniˇckim poˇcetkom S nazivamo trobrid (triedar). Zrake a , b i c nazivamo bridovima trobrida, a ravnine aSb , bSc , cSa stranama - sˇ est kutova. To su kutovi  ,  i (poboˇckama) trobrida. Svaki trobrid odreduje - njegovih strana.  izmedu njegovih bridova, te  ,  i  izmedu C c

c

q

h

B

b

a

a

b

S

b

g

b g

d

S

d

a A - sˇ est kutova: tri kuta Tri zrake koje izlaze iz istog vrha cˇ ine trobrid (triedar). On odreduje  ,  i  pri vrhu trobrida kutovi su koje zatvaraju bridovi trobrida, te tri kuta  ,  ,  - strana trobrida. izmedu a

- bridova, moˇzemo odrediti i kut izmedu - strana Ako poznajemo kutove izmedu trobrida.

Primjer 1.

U trobridu su poznati kutovi  = < )bSc ,  = < )aSc i  = < )aSb . Koliki je kut  koji zatvaraju strane aSb i aSc ?

Izaberimo bilo koju toˇcku A na pravcu a . Postavimo ravninu okomitu na zraku Sa , koja prolazi toˇckom A . Oznaˇcimo s B i C presjeke te ravnine sa zrakama Sb i Sc . Trebamo odrediti  = < )BAC . Prema pouˇcku o kosinusu je

|BC|2 = |SB|2 + |SC|2 − 2 · |SB| · |SC| cos  ,

|BC|2 = |AB|2 + |AC|2 − 2 · |AB| · |AC| cos  . Oduzimanjem dobivamo |AB| · |AC| cos  = |SB| · |SC| cos  − |SA|2 .

Tu smo iskoristili |SB|2 − |AB|2 = |SA|2 i |SC|2 − |AC|2 = |SA|2 . Iz pravokutnih trokuta cˇitamo: |AB| sin  , = tg  = |SA| cos  |SB| 1 , = |SA| cos 

|AC| sin  , = tg  = |SA| cos  |SC| 1 . = |SA| cos 

155

6

ˇ O TROKUTU POUCCI


Odavde dobivamo sin  sin  cos  cos  = − 1, cos  cos  cos  cos  pa slijedi cos  − cos  cos  cos  = . sin  sin 

Primjer 2.

Obujam paralelepipeda. Bridovi paralelepipeda imaju duljine a , b i c , - bridova pri jednom njegovom vrhu su  ,  i  . a sˇ iljasti kutovi izmedu Koliki je obujam paralelepipeda?

c

b

a

c

v

g

b

a

v

h

b

d

Oznaˇcimo s v visinu paralelepipeda, s h visinu jedne njegove strane, te s  kut sˇ to ga zatvara ta strana s osnovkom. Povrˇsina osnovke je P = ab sin  , a obujam paralelepipeda V = Pv . Moramo odrediti visinu v . Iz pravokutnog trokuta je v = h sin  . Visina poboˇcke h je h = c sin  , a kut  raˇcunali smo u proˇslom primjeru: cos  − cos  cos  . cos  = sin  sin  Zato dobivamo V = Pv " (cos  − cos  cos  )2 = ab sin  · c sin  sin  = abc sin  sin  1 − sin2  sin2  = abc sin2  sin2  − cos2  + 2 cos  cos  cos  − cos2  cos2  = abc (1− cos2  )(1− cos2  )− cos2  +2 cos  cos  cos  − cos2  cos2  = abc 1 − cos2  − cos2  − cos2  + 2 cos  cos  cos  .

Pri rjeˇsavanju mnogih stereometrijskih problema s piramidama, prizmama i rotacijskim tijelima trebamo odabrati karakteristiˇcni lik, a vrijednosti elemenata traˇzimo uporabom trigonometrije. Zbog simetrije tijela, taj je lik najˇceˇscé i sam simetriˇcan (poput jednakokraˇcnog trokuta) ili pak ima neko dodatno svojstvo

156


6.5

(poput okomitosti nekih svojih elemenata). Zato je za većinu raˇcunskih zadataka u stereometriji dovoljno poznavati trigonometriju pravokutnog trokuta.

U kuglu je upisan uspravni stoˇzac. Koliki je kut pri vrhu osnog presjeka tog stoˇsca, ako je obujam kugle cˇetiri puta veći od obujma stoˇsca?


Primjer 3.

Neka je R polumjer kugle, r polumjer baze stoˇsca te v visina stoˇsca. Po uvjetu zadatka mora biti

a

4R3  r2  v =4· =⇒ R3 = r2 v. 3 3 Sa slike cˇitamo r = R sin  (obodni i srediˇsnji kut!) te h = R + R cos  . Zato mora biti R3 = R2 sin2  (R + R cos  ), tj.

R

v

R a r

(1 − cos2  )(1 + cos  ) = 1,

cos  (cos2  + cos  − 1) = 0. √ −1 + 5 = 0.61803 . Odavde je Sad slijedi cos  = 0 ili cos  = 2 ◦ ◦ 1 = 90 i 2 = 51 50 .

- dviju ravnina  i  cˇesto raˇcunamo usporedbom povrˇsine P Kut  izmedu nekog lika koji leˇzi u ravnini  i povrˇsine P njegove ortogonalne projekcije na ravninu  . Naime, vrijedi (vidi udˇzbenik II. razreda): cos  =

P . P

p

P

Povrˇsina ortogonalne projekcije uvijek je manja od povrˇsine lika (osim ako su ravnine s likovima paralelne). Omjer povrˇsina jednak je kosinusu kuta izmedu ravnina.

P' j

r

157

6

ˇ O TROKUTU POUCCI

Primjer 4.

Vrhovima A1 , B i C1 kvadra poloˇzena je ravnina. Presjek ravnine s kvadrom je trokut kojem su dva unutarnja kuta jednaka < )C1 A1 B = 73◦ ◦ 2 i < )BC1A1 = 52 , a povrˇsina 45.3 cm . Koliki je prikloni kut te ravnine prema najvećoj strani kvadra?


Oznaˇcimo stranice presjeka s |A1 B| = x , D1 C1 |BC1 | = y , |A1 C1 | = z . Treći kut u tro◦ kutu A1 BC1 je 55 . Iz jednakosti P = A1 B1 z2 · sin 73◦ · sin 52◦ dobiva se z = 9.92 cm . 2 sin 55◦ Zatim pouˇckom o sinusima odredimo x = 9.55 cm i y = 11.59 cm . Duljine bridova kvadra rjeˇsenja su sustava jednadˇzbi D C a2 + b2 = z2 , b2 + c2 = y2 , a2 + c2 = x2 . b Dobiva se a = 5.26 cm , b = 8.41 cm , a B A c = 7.97 cm . Najveća strana je strana BCC1 B1 . Kut izmedu presjeka i te strane izraˇcunat cémo usporedbom povrˇsine presjeka i povrˇsine projekcije tog presjeka na stranu kvadra. Ta je projekcija trokut BC1 B1 . Zato je P(BC1B1 ) = 0.7398 cos  = P(A1 BC1 ) i odavde  = 42◦ 17 .

Obujam rotacijskih tijela

Primjer 5.

Trokut, kojem poznajemo duljinu stranice a i kutove  i  , rotira oko stranice a . Odredimo obujam dobivenog rotacijskog tijela. Oznaˇcimo elemente trokuta kao na slici. Obujam rotacijskog tijela je V = V1 + V2 1 1 =  v2 a1 +  v2 a2 3 3 1 2 =  v a. 3 B (Uvjeri se da se isti rezultat dobiva ako je neki od kutova  ili  tup.) Potrebno je visinu v izraziti preko zadanih elemenata. To moˇzemo uˇciniti na sljedeće naˇcine.

158

A

v

b

a1

a2

a

g

C


6.5


1) Iz pravokutnih trokuta na slici je v = a1 tg  = a2 tg  . Odavde tg  a1 . S druge strane, a2 = a − a1 pa vrijedi a2 = tg 

tg  tg  a1 1 + . = a, a1 = a tg  tg  + tg  Zato je tg  tg  sin  sin  =a . v = a1 tg  = a tg  + tg  sin( +  ) Konaˇcno dobivamo a3  sin2  sin2  V= . 3 sin2 ( +  ) av = P , gdje je P povrˇsina trokuta. Nadalje, 2 1 1 sin  P = ab sin  = a2 sin  . 2 2 sin  Kako je sin  = sin(180◦ − ( +  )) = sin( +  ) , dobivamo

2) Vrijedi

V=

 v2 a 4 P2 a3  sin2  sin2  = = . 3 3a 3 sin2 ( +  )

Pri raˇcunanju obujma rotacijskih tijela cˇesto koristimo jednovaˇzno pravilo. Guldinovo pravilo

Ako lik povrˇsine P rotira oko osi p koja se nalazi u ravnini lika i ne sijeˇce taj lik, onda je obujam dobivenog tijela jednak P · s , pri cˇemu je s put koje je prevalilo teˇziˇste lika.

Primjer 6.

Romb ABCD stranice a i kuta  rotira oko stranice AB . Koliki je obujam rotacijskog tijela? Teˇziˇste romba je sjeciˇste dijagonala i njegova je udaljenost d do strani1 ce AB jednaka polovici visine, dakle d = a sin  . Povrˇsina romba je 2 P = a2 sin  . Put koji prevali teˇziˇste je s = 2d . Zato je V = a2 sin  · a sin  = a3 sin2  .

159

6

ˇ O TROKUTU POUCCI

Torus je tijelo koje se dobije vrtnjom kruga oko osi cˇija je udaljenost d od srediˇsta kruga veća od polumjera R kruga. Obujam torusa je R2  · 2d = 2R2 d 2 . Koliki je obujam polovice torusa, tijela koje se dobije vrtnjom vanjskog polukruga oko iste osi?


Primjer 7.

d

x

d

x

d

R

Torus se dobije vrtnjom kruga oko osi koja ga ne sijeˇce.

Moramo najprije odrediti udaljenost x teˇziˇsta polukruga od njegovog promjera. Tu cémo udaljenost odrediti Guldinovim pravilom. Kugla se dobije rotacijom polukruga oko njegovog promjera. Zato je obujam kugle jednak povrˇsini polukruga pomnoˇzenoj s putem teˇziˇsta. Odatle je 4 3 1 4R . R  = R2  · 2x =⇒ x = 3 2 3 Udaljenost teˇziˇsta od osi vrtnje kod polovice torusa je d + x . Zato je obujam 1 4 V = R2  · 2(x + d) = R3  + R2 d 2 2 3 i on je jednak zbroju obujma kugle i polovice obujma torusa!

Primjer 8.

Obujam klina. Pravokutnik sa stranicama duljina a i b rotira oko stranice a za kut  . Koliki je obujam dobivenog tijela? Udaljenost teˇziˇsta pravokutnika do 1 stranice a je b . Put koji prevali 2 1 teˇziˇste je s = b . Zato je obujam 2 1 1 tijela V = ab · b = ab2  . 2 2 Ovaj se obujam moˇze napisati i ova1 ko: V = b2  · a . Koja je geome2 trijska interpretacija ovog zapisa?

160

s

T

j

a

b


6.5

Zadatci 6.5. 1.

Ako prostorna dijagonala kvadra s boˇcnim bridovima koji izlaze iz jednog vrha kvadra zatvara kutove  ,  i  , onda vrijedi cos2  + cos2  + cos2  = 1 . Dokaˇzi.

9.

2.

Ako prostorna dijagonala kvadra s njegovim stranama zatvara kutove  ,  i  , tada vrijedi

10. Promjer osnovke kosog stoˇsca je 25 cm, najdu-


1) sin2  + sin2  + sin2  = 1 ; 2) cos2  + cos2  + cos2  = 2 . Dokaˇzi.

3.

Dijagonale triju strana kvadra koje se sastaju u - trokut. Koliki su jednom njegovu vrhu odreduju unutarnji kutovi tog trokuta ako su povrˇsine strana kvadra 60 cm2 , 108 cm2 , 45 cm2 ?

4.

Duljine bridova kvadra su 8 cm, 6 cm i 15 cm. Koliki su kutovi sˇ to ih medusobno zatvaraju dijagonale strana kvadra povuˇcene iz jednog njegova vrha?

5.

Duljine prostornih dijagonala uspravnog parale√ lepipeda iznose 9 i 33 cm , opseg njegove osnovke je 18 cm, a visina paralelepipeda je 4 cm. Koliki su oploˇsje i obujam paralelepipeda?

6.

Najdulja izvodnica kosog stoˇsca duga je 16 cm, duljina najkraće izvodnice iznosi 10 cm, a kut - tih izvodnica je 33◦ . Koliki je obujam izmedu ovog stoˇsca?

Osnovka piramide je jednakokraˇcan trokut ABC s osnovicom AB duljine 18 cm i krakovima duljina 15 cm. Svi su boˇcni bridovi duljine 20 cm. Osnovnim bridom AC i poloviˇstem P boˇcnog brida BV poloˇzena je ravnina koja piramidu sijeˇce u trokutu APC . Koliki je kut pri vrhu P tog trokuta?

7.

Oko pravilne cˇ etverostrane piramide opisana je sfera. Kolika je njezina povrˇsina ako je duljina osnovnog brida piramide a , a kut poboˇcke pri vrhu piramide  ?

8.

Sferi polumjera r upisan je uspravni valjak. Dijagonala u osnom presjeku valjka s osnovkom zatvara kut  . Koliki je obujam valjka? Rijeˇsi zadatak za r = 9.2 cm i  = 78◦ 12 .

lja izvodnica s ravninom osnovke zatvara kut od 36◦ , a najkraća kut od 102◦. Koliki je obujam kugle upisane ovom stoˇscu?

11. Sferi polumjera R upisan je stoˇzac. Ako je povrˇsina plaˇsta stoˇsca k puta veća od povrˇsine njegove osnovke, koliki je obujam stoˇsca?

12. Uspravnom stoˇscu upisana je polukugla cˇija os-

novka leˇzi na osnovici stoˇsca. Koliki je kut pri vrhu osnog presjeka stoˇsca ako je omjer povrˇsina stoˇsca i polukugle 18 : 5 ?

13. Trokut ABC sa stranicama duljina b = 20 cm ,

c = 25 cm i kutom  = 54◦ rotira oko pravca koji prolazi vrhom A paralelno sa stranicom BC . Izraˇcunaj oploˇsje i obujam rotacijskog tijela.

14. Duljina stranice a trokuta ABC je 6.5 cm, a uz

tu su stranicu kutovi  = 97◦ i  = 13◦ . Koliko je oploˇsje i obujam tijela sˇ to nastane vrtnjom trokuta oko stranice a ?

15. Trokut ABC rotira oko pravca koji prolazi vrhom A okomito na stranicu b . Ako je povrˇsina trokuta P = 92.25 cm2 , kutovi  = 46◦ i  = 54◦ , izraˇcunaj oploˇsje i obujam nastalog rotacijskog tijela.

16. Trokut ABC vrti se oko pravca AC . Koliki je

obujam rotacijskog tijela koje opiˇse trokut pri ovoj rotaciji ako je zadana povrˇsina P trokuta i stranica b ?

161

6

ˇ O TROKUTU POUCCI

Kutak plus


ˇ JEDAN DOKAZ KOSINUSOVA POUCKA ˇ JOS


Koje su od sljedećih tvrdnji toˇcne, a koje netoˇcne? Odgovori, a odgovor obrazloˇzi.

1. Jedna je stranica trokuta dvostruko dulja od druge, a kut nasuprot manje iznosi 25◦ . Onda je kut nasuprot veće stranice manji od 55◦ .

2. Duljine dviju stranica trokuta su 11 cm i 15 cm . Ako je kut nasuprot većoj od ovih stranica 73◦ , kut nasuprot manjoj iznosi pribliˇzno 33◦ 13 .

3. Omjer duljina dviju stranica trokuta je 5 : 8 . Kut nasuprot većoj od njih dvostruko je veći od kuta nasuprot manjoj stranici. Kosinus tog većeg kuta je 0.28 .

4. Duljine dviju stranica trokuta su 6 cm i 9 cm , kosinus kuta nasuprot trećoj stranici iznosi 0.6. Povrˇsina ovog trokuta je 43.2 cm2 .

5. Ako su a , b i c duljine stranica trokuta i ako je a2 + b2 < c2 , kut nasuprot stranici c je sˇ iljast. 6. Najveći kut trokuta ABC , A(−2, −1) , B(2, −4) , C(4, 0) iznosi 79◦ 42 . 7. Bilo koja od visina trokuta uvijek je kraća od neke njegove stranice.

8. Ako za visine trokuta vrijedi va : vb = 3 : 4 i vb : vc = 2 : 3 , onda je stranica c dvostruko dulja od stranice a .

9. Stranica trokuta je a = 8 cm i kut nasuprot nje  = 30◦ . Onda je b + c < 30 cm .

- dijagonala. Tada je 10. Duljine dijagonala trapeza su e i f , duljina srednjice je s , a  je kut izmedu cos  =

e2 + f 2 − 4s2 . 2ef

11. Polumjer kruˇznice opisane trokutu je R , srediˇsnji kut nad stranicom a trokuta iznosi  . Tada je a = 2R sin

162

 . 2


ODGOVORI NA ZADATKE UNUTAR GRADIVA

Ovo su kratki odgovori na zadatke unutar gradiva pojedine lekcije. Ti se zadatci nalaze ispod detaljno rijeˇsenih primjera. Postupak rjeˇsavanja najˇceˇscé je sliˇcan postupku kojim je rijeˇsen primjer iznad zadatka.

1.3


1.1 ◦

◦

Zadatak 1. < )DOC = −110 , < )DOE = 60 , < )AOC = 100◦ , < )COB = −50◦ .

Zadatak 1.

E(2) E(8)

< )AOC = 120◦ , < )AOE = 240◦ , < )BOE = 180◦ , ◦ ◦ < )DOA = 180 , < )BOF = 270 , < )FOD = −150◦ , ◦ < )COB = −60 .

E(3)

Zadatak 2. 1)  = 68◦ ; 2)  = 210◦ ; 3)  = 120◦ 20 ; 4)  = 149◦ 20 ; 5)  = 310◦ 15 35 ; 6)  = 59◦ 24 40 .

1.2

E(4)

15◦

22.5◦

157.5◦ 97.5◦ 198◦

2.1

Zadatak 1. 5) .

Zadatak 2.

Zadatak 2. t ∈

10◦ 0.1745

38◦ 12 34

33◦

−78◦ 4 21 −1.3626

124◦

E(5)

U drugom kvadrantu su toˇcke E(2) , E(3) , E(8) i E(9) .

radijani 0.2618 0.3927 2.7489 1.702 3.456

0.576

E(6)

E(10)

Zadatak 1. stupnjevi

E(1) E(7)

E(9)

9 2

, 5

=⇒ t ∈

 2

,

0.6669 423◦ 12 33 7.3864

2.164 −245◦13 2 −4.2798

1220◦

T = E(t)

21.29

1◦ 0.0175

x

O

Zadatak 3.

radijani

stupnjevi

1.5

85◦ 54

−2

−114◦36

3.14

179◦54



180◦

 7 7 10

25◦ 42 36 126

Zadatak 3.

5p 3p p ctg 7p 6 ctg 4 ctg 3 ctg 3

E 3p 4

E p3

◦

O

Zadatak 4. t =

45 ≈ 14.324 min . 

Zadatak 5. 1) l = 8.6 m ;

164

2) 14.15 sati.

-1.5 p

tg 3p 4

tg p3

tg 7p 6

E 7p 6

tg 5p 3 E 5p 3

x


2.3

2.5

Zadatak 1. 1) t = 3.029 ;

2) t = 4.492 . 2) −

 = −1.5708 ; 2

Zadatak 3. 1) t = 11.708 ; Zadatak 4.

2) t = 3.4991 .

 . 2

Zadatak 5. 1) 2.0944 ; 3) ne postoji. ◦

Zadatak 4. cos 2(x + P) = cos(2x + 2P) = cos 2x =⇒ 2P = k · 2 , k ∈ N .

Najmanji takav P dobije se ako izaberemo k = 1 . Onda je P =  , a to je tvrdnja zadatka.

2) ne postoji;

Zadatak 7. 1) −0.1151 + k , k ∈ Z ;  2) + k , k ∈ Z ; 3) 1.5607 + k , k ∈ Z . 4 Zadatak 8. 1) −0.2373 + k , k ∈ Z ;  2) + k , k ∈ Z ; 3) 0.1389 + k , k ∈ Z . 4 √ Zadatak 1. − 2 . Zadatak 2.

    2 3 5  6 4 3 2 3 4 6 √ √ √ √ 3 3 tg t 0 1 3 ±∞ − 3 −1 − 0 3 3 √ √ √ √ 3 3 ctg t ±∞ 3 1 0 − −1 − 3 ±∞ 3 3 t

0

7 5 4 3 5 7 11 2 6 4 3 2 3 4 6 √ √ √ √ 3 3 tg t 0 1 3 ±∞ − 3 −1 − 0 3 3 √ √ √ √ 3 3 ctg t ±∞ 3 1 0 − −1 − 3 ±∞ 3 3 t



Zadatak 3. 1) periodiˇcna, P = 2 ; 2) nije periodiˇcna; 3) periodiˇcna, P = 1 ; 4) periodiˇcna, P = 2 .

2) 1.2319 ;

Zadatak 6. 1) ±63 27 46 + 2k ; 3) ±153◦ 35 55 + 2k .

2.4

Zadatak 2. Ne.


 Zadatak 2. 1) = 0.523 ; 6 3) ne postoji; 4) −0.4434 .

Zadatak 1. 1) parna; 2) niti parna niti neparna; 3) neparna; 4) niti parna niti neparna.

Zadatak 3. sin t = −0.4706 .

Zadatak 5. Funkcija sin 2x ima dva puta manji pex riod od funkcije sin x , a funkcija sin ima dva puta 2 veći period od funkcije sin x .

Funkcija cos 3x ima tri puta manji period od funkcije x cos x , a funkcija cos ima tri puta veći period od 3 funkcije cos x .

 Zadatak 6. 1) P = ; 2) P = 3 ; 2 2 ; 4) P = 2 . 3) P = 5 2 ; 3  4) P = . 2

Zadatak 7. 1) P = 3) P =  ;

2) P =

5 ; 2

3.1

Zadatak 1. 1) ctg(t + s) =

=

=

=

− =

cos(t + s) sin(t + s)

cos t · cos s − sin t · sin s sin t · cos s + cos t · sin s sin t · sin s cos t · cos s − sin t · cos s + cos t · sin s sin t · cos s + cos t · sin s 1 1 1 sin s − cos s cos t = 1 sin t 1 + + + cos t cos s sin s sin t ctg t ctg s ctg t · ctg s 1 1 = − ctg s + ctg t ctg t + ctg s ctg t + ctg s ctg t · ctg s − 1 ctg t + ctg s

165


cos t · cos s + sin t · sin s cos(t − s) = sin(t − s) sin t · cos s − cos t · sin s sin t · sin s cos t · cos s + = sin t · cos s − cos t · sin s sin t · cos s − cos t · sin s 1 1 1 = sin t sin s + cos s cos t = 1 1 − − − cos t cos s sin s sin t ctg t ctg s ctg t · ctg s 1 1 = − + ctg s − ctg t ctg s − ctg t ctg s − ctg t ctg t · ctg s + 1 = ctg s − ctg t 1 − tg t · tg s 1 = 2) ctg(t + s) = tg(t + s) tg t + tg s ctg t · ctg s − 1 1 1− ctg t · ctg s − 1 ctg t · ctg s ctg t · ctg s = = ctg t + ctg s = 1 1 ctg t + ctg s + ctg t · ctg s ctg t ctg s

 +t cos 2 +t = ctg 2 +t sin 2   cos · cos t − sin · sin t − sin t 2 2 = − tg t . = =   cos t sin · cos t + cos · sin t 2 2 Adicijski teorem za tangens ne primjenjujemo jer funk cija tangens nije definirana u . 2




ctg(t − s) =

1 1 + tg t · tg s ctg(t−s) = = = tg(t − s) tg t − tg s ctg t · ctg s + 1 ctg t · ctg s + 1 ctg t · ctg s = ctg s − ctg t = ctg s − ctg t ctg t · ctg s 

sin



1 ctg t · ctg s 1 1 − ctg t ctg s

1+

−t

166

−t =

Zadatak 1. cos t = −

31 . 32

3.3

sin  sin  + cos  cos  sin  cos  + cos  sin  sin( +  ) = = ; cos  cos  cos  cos  Zadatak 1. tg  + tg  =

sin  sin  − cos  cos  sin  cos  − cos  sin  sin( −  ) = = . cos  cos  cos  cos  tg  − tg  =

2 2 −t cos 2   sin · cos t − cos · sin t cos t 2 2 = = = ctg t ;   sin t cos · cos t + sin · sin t 2 2   +t sin 2 tg +t = 2 +t cos 2   sin · cos t + cos · sin t cos t 2 2 = − ctg t ; = =   − sin t cos · cos t − sin · sin t 2 2   cos −t 2 ctg −t = 2 −t sin 2   cos · cos t + sin · sin t sin t 2 2 = tg t ; = =   cos t sin · cos t − cos · sin t 2 2 Zadatak 2. tg

3.2

√ 1+ 2 . Zadatak 2. 4

Zadatak 3.

√ 2 sin  . 2

4.1

20 ≈ 21 Zadatak 1. 1) Vrijeme obilaska T = 3 minuta. 3t  2) f (t) = 75 + 60sin − m, 0 t 3T . 10 2 Zadatak 2.

y

1/2

-p 2

-p 4

p 4 0 -1/2

p 2

3p 4

x


y

Zadatak 3.

25 20

y

-p

-p 2

15

1/2 1/3

p 4

-p 0 4 -1/3 -1/2

p

3p 2

x

p 2

2p

5

5p 2

x 1

3

2

5

4

7

6

9

8

10

11


- 3p 2

10

Zadatak 4. f (x) = sin 2x – 2); g(x) = sin 2x −   – 1); h(x) = sin 2 x − − −3) . 3 3

12

Zadatak 3. f (x) = 95.57 sin(0.54x−1.99)+172.61 . 400 300 200 100

4.2

0

Zadatak 1. f 1 (x) = tg x – zelenom bojom, f 2 (x) = x tg 2x – plavom bojom i f 3 (x) = tg – crvenom bo2 jom.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12

Zadatak 4. 120 100 80

Zadatak 2.

60 40

y

20

0

-p

1

0 -1

x

p

2p

3p

Osnovno opaˇzanje je razlika u koliˇcini padalina u zimskim u odnosu na ljetne mjesece na moru u odnosu na kontinent. Zadatak 5. y

6

5

4

3

2

Zadatak 3. Graf je nastao zrcaljenjem negativnog dijela grafa funkcije tg x preko x -osi.

1

2

4

6

Funkcija f (x) = | tg x| je parna i periodiˇcna.

x ∈ [5.31, 17.26] .

4.3

5.1

Zadatak 1. Jednadˇzba opisuje gibanje utega koji pocˇ injemo opaˇzati u trenutku kad prolazi kroz ravnoteˇzni poloˇzaj, na putu prema gore. Period pune oscilacije traje  sekundi, a maksimalni otklon 5 cm. Zadatak 2. f (x) = 8.7 sin(0.55x − 2.4) + 14.25

Zadatak 1. x =

8

10

12

14

16

18 20

22

x 24

7 11 + 2k ili x = + 2k . 6 6

Zadatak 2. sin x, cos x ∈ [−1, 1] , sin x + cos x = 1 =⇒ sin x = 1, cos x = 1 – ne postoji takav x . sin x · cos 2x + cos x · sin 2x = sin(x + 2x) = sin 3x , ∀x ∈ R .

167


5.2 5 7 + 2k x + 2k , k ∈ Z . 6 6  5 Zadatak 2. + 2k x + 2k , k ∈ Z . 3 3

Zadatak 1.


 + k , k ∈ Z Zadatak 3. x ∈ 6 5 ∪ + k , k ∈ Z . 6  k Zadatak 4. x ∈ + , k∈Z . 6 2 Zadatak 5. 1) x = 2k , k ∈ Z ;   + k , k ∈ Z ∪ + k , k ∈ Z . 2) x ∈ 6 3 k , k∈Z Zadatak 6. x ∈ 0.2318 + 2 3 k ∪ + , k∈Z . 8 2 Zadatak 7. x ∈ {0.9828 + k , k ∈ Z} 3 + k , k ∈ Z . ∪ 4

Zadatak 8. x ∈ {−0.6436 + 2k , k ∈ Z}  + 2k , k ∈ Z . ∪ 2

 Zadatak 9. x = + 2k , k ∈ Z . 6 Zadatak 10. x = ±

2k 2 + , k ∈ Z. 9 3

Zadatak 11. x ∈ {k , k ∈ Z} 5  + 2k , k ∈ Z ∪ + 2k , k ∈ Z . ∪ 6 6 k  , k ∈ Z. Zadatak 12. x = + 8 4  Zadatak 13. x ∈ + k , k ∈ Z 4  + k , k ∈ Z . ∪ 2

Zadatak 14. Jednadˇzba ima 6 rjeˇsenja.

168

6.1

Zadatak 1. c = 18.61 cm . Zadatak 2. c = 10.3 cm .

Zadatak 3.  = 36◦ 51 46 ,  = 76◦ 35 3 , a = 55.13 cm . Zadatak 4. c1 = 22.26 cm, c2 = 3.18 cm.

Zadatak 5. |AC| = 159.6 km , |BC| = 122.8 km .

6.2

Zadatak 1. a1 = 15.18 , a2 = 22.53 . Zadatak 2. c = 18.46 cm .

6.3

Zadatak 1. r = 9 cm .

Zadatak 2. s = 11.97 cm .

Zadatak 3.  = 35◦ 41 13 .

Zadatak 4.  = 121◦ 30 49 .

6.4

Zadatak 15. 1) Jednadˇzba ima 3 rjeˇsenja.

Zadatak 1. e = 16.4 cm , f = 20.1 cm ,  = 64◦ , P = 148.1 cm2 .

2) Jednadˇzba ima beskonaˇcno mnogo rjeˇsenja.

Zadatak 2. P = 201.35 cm2 .

Zadatak 16. Jednadˇzba ima 11 rjeˇsenja.

Zadatak 3. b = 7.233 cm , d = 6.76 cm , P = 86.554 cm2 .


1. Kut i brojevna kruˇznica Rjeˇsenja 1.1 1.

1) 52◦ ; 2) 42◦ 45 ; 3) 7◦ 10 27 ; ◦ ◦ 4) 78 48 49 ; 5) 14 16 15 ; 6) 79◦ 00 59 .

2.

1) 147◦ ; 2) 131◦ 35 ; 4) 68◦ 48 49 ; 5) 100◦1 ;

4.

2) 244◦ 13 ; 1) 139◦ 25 ; ◦ 4) 348 37 27 ; 5) 270◦ 1 .

5.

48◦ , 60◦ , 72◦ ; 132◦ , 120◦ , 108◦ .

8.

56◦ 15 , 78◦ 45 , 90◦ , 135◦ .

3) 58◦ 15 27 ; 6) 79◦ 58 59 .

◦

◦

6.

◦

2) 230 ; 3) 200 ; 18. 1) 195 ; 5) 89◦ 14 45 ; 6) 38◦ 38 39 .

radijani

◦

4) 210 ;

5) 2.

1)

3.

1) 2) 3) 4)

4.

7 4 7 ; 2) ; 3) ; 4) 4.699 ; 8 12 3 3 . 6) 0.9735 . 4     ; 2) ; 3) ; 4) . 6 12 8 18   5 2 3 , , , , ; 6 4 12 3 4 7 5 5 11 , , , , 2 ; 6 4 3 6     5 , , , , ; 24 12 9 8 36 11 ≈3.8397 , 6.9813 , 8.37758 , 9.948 , 4 . 9

stupnjevi 22◦ 30 187◦30 108◦ 45 192◦ radijani

0.3927 3.2725

stupnjevi 316◦ 15 radijani

270◦

5.5196 4.7124

1.898

3

2.22

5.62

11

0.7

stupnjevi 630◦ 15 13 40◦ 6 26

7.

 . 3

8.

 = 2 rad ≈ 114◦ 35 30 .

9.

2.0944 , 1.0472 , 1.3963 , 1.7453 ; 1.2217 , 1.5708 , 1.9199 , 1.5708 .

Rjeˇsenja 1.2 1)

radijani

stupnjevi 171◦ 53 14 127◦ 11 48 322◦ 8

3) 60◦ 19 5 ;

11. Od 7 h 10 min do 13 h 10 min je sˇ est sati i u tom vremenu kazaljka opiˇse sˇ est punih krugova, odnosno kut od 6 · 360◦ = 2160◦ . Za 5 minuta kazaljka opiˇse kut od 30◦ , a za 35 minuta onda opiˇse kut od 7 · 30◦ = 210◦ . Ukupno je to 2370◦ .

1.

1) 45◦ , 36◦ , 77◦ 8 34 , 112◦ 30 , 40◦ ; 2) 240◦ , 420◦ , 660◦ , 840◦ , 1320◦ ; 3) 180◦ , 286◦ 28 44 , 540◦ , 20◦ 3 13 , 245◦ 13 33 .


5.

10. 2.4, 3.6, 6.2 radijana, ili 137◦ 30 36 , 206◦15 53 , 355◦ 14 2 . 11. d = 31.25 cm .

Rjeˇsenja 1.3

7.

8.

3.351

9.

Za E(10) je k = 6 , za E(8) je k = √ 5 , za E(2) je k = 1 , za E(3.3) je k = 2 , za E( 33) je k = 3 . 23 √ ∈ E(3 3) ∈ A4 A5 ; E(−15) ∈ A3 A4 ; E 4 A5 A0 ; E(−313) ∈ A1 A2 ; E(17.2) ∈ A4 A5 . 33 E(1) ∈ A1 A2 ; E(−2) ∈ A5 A6 ; E = A1 ; 4 √ E(− 22) ∈ A2 A3 ; E(111) ∈ A5 A6 ; E(−10.22) ∈ A2 A3 .

169


5 7 + k · 2 , B + k · 2 , 4) A 1312 512 + k · 2 , D + k · 2 , C 234 712  + k · 2 , F + k · 2 , k ∈ Z . E 4 12

10. 1)

p 3

3) p 6


3p 4

-p 2

5)

- 19p 6

- 13p 3

11. 1) A



6

+k·2 , k ∈ Z ,

5 6

12.

1)

+k·2 , k ∈ Z .

4)

p 2

p

p 2

5p 8

p 8

p

0

0

9p 8

B

170

A

3p 2

3p 2

13p 8


2. Trigonometrijske funkcije Rjeˇsenja 2.1

6. 7.

8.

1)

p 4

1) sin 1 ≈ sin 57◦ , sin 2 ≈ sin 114◦ , broj 2 na  od broja 1, pa brojevnoj kruˇznici bliˇzi je broju 2 je i sin 2 > sin 1 . 2) cos 1 > cos 2 . 1 Iz uvjeta 1 slijedi m 0 ili m 2 . 1−m

Kako je | sin x| 1 , onda je cos(sin x) > 0 , jer su vrijednosti funkcije f (x) = cos x pozitivne za sve brojeve iz intervala [−1, 1] . Odgovor na drugo pitanje je negativan, nije toˇcno sin(cos x) > 0 , jer za sve realne brojeve x iz intervala [−1, 0] vrijedi sin x < 0 . 1) 5p 6 7p 6

3) 3p 4

5p 4

3p 4

p 4

3p 4

p 4

5p 4

7p 4

5p 4

3)

p 4

Iz uvjeta |2m − 1| |m + 2| slijedi 1 − m 3. 3

9.

2)


5.

16.

2)

p 6

11p 6

p 4

2p 3

p 3

4p 3

5p 3

3 2

7p 4

7p 4

Rjeˇsenja 2.2 4.

 1.5 0.23 −3.86 10.2

sin  cos  tg  ctg  0.997 0.071 14.10 0.071 0.228 0.974 0.234 4.271 0.658 −0.753 −0.874 −1.144 −0.700 −0.714 0.980 1.021

5.

4)

-3 2

4)

 44◦ 15 78◦ 45 ◦ 31 25 48 13◦ 52 36

sin  0.69779 0.98079 0.52146 0.23983

cos  0.71630 0.19509 0.85328 0.97081

tg  0.97416 5.02734 0.61112 0.24704

ctg  1.02653 0.19891 1.63634 4.04788

6.

10.

1)

 5 ∪ , 2 . 12. 0, 4 4 2 5 ∪ , 2 . 15. 0, 3 3

2)

 sin  cos  tg  ctg  105◦ 35 0.96324 −0.28863 −3.58562 −0.27889 188◦9 −0.14177 −0.98990 0.14321 6.98268 ◦ −21 55 12 −0.37331 0.92771 −0.40240 −2.48507 −112◦ 2 23 −092692 −0.37525 2.47015 0.40483

7.

Promjene sinusa su: 0.0000048 , 0.0000042 i 0.0000024 . Promjene kosinusa su: −1.2·10−11 , −0.0000024 i −0.0000042 . Promjene tangensa su 0.0000048 , 0.0000065 i 0.000019 . Promjene kotangensa su: beskonaˇcno, −0.000019 i −0.0000065 .

171


Rjeˇsenja 2.3 1)  = 11◦ 1 18 ; 2)  = 60◦ 59 13 ; ◦ 3)  = 33 22 1 ; 4)  = 19◦ 20 43 ; 5)  = −26◦ 54 4 ; 6)  = −87◦ 4 41 .

2.

Zadatak rjeˇsimo s pomoću dˇzepnog raˇcunala. 1) 1 = 0.19236 , 2 = 2.94923 ; 2) 1 = 1.0638 , 2 = 2.0761 ; 3) 1 = 0.58206 , 2 = 2.55793 ; 4) 1 = 0.33746 , 2 = 2.8025 ; 5) 1 = 3.60927 , 2 = 5.81073 ; 6) 1 = 4.569 , 2 = 7.79903 .

3.

1)  = 76◦ 7 44 ; 2)  = 56◦ 27 53 ; 3)  = 88◦ 4 39 ; 4)  = 26◦ 25 52 ; 5)  = 104◦ 37 36 ; 6)  = 170◦45 05 .

4.

1) 2) 3) 4) 5) 6)

6. 7. 8.

1 1 1 1 1 1

= 1.328 , 2 = 4.95197 ; = 0.984996 , 2 = 5.295 ; = 1.53646 , 2 = 4.74354 ; = 0.46108 , 2 = 5.8189 ; = 1.82515 , 2 = 4.4548 ; = 2.9386 , 2 = 3.3413 .

 ; 12 1) −1 ; √ 1) 3 ;

1)

7  2) − ; 3) ; 4)  . 12 2 √ √ 2) 3 ; 3) − 3 ; 4) 1. 2) 0 .

1) 2) 3) 4) 5) 6)

t1 t1 t1 t1 t1 t1

= 11◦ 32 13 , t2 = 168◦ 27 47 ; = 17◦ 27 27 , t2 = 162◦ 32 33 ; = 23◦ 34 41 , t2 = 156◦ 25 19 ; = 64◦ 9 29 , t2 = 115◦ 50 31 ; = 323◦ 7 48 , t2 = 216◦ 52 12 ; = 315◦ 34 22 , t2 = 224◦ 25 37 .

10. 1) 2) 3) 4) 5) 6)

t1 t1 t1 t1 t1 t1

= 83◦ 6 28 , t2 = 277◦ 53 32 ; = 68◦ 17 4 , t2 = 291◦ 42 56 ; = 57◦ 18 59 , t2 = 302◦ 41 1 ; = 44◦ 45 54 , t2 = 315◦ 14 6 ; = 111◦ 42 56 , t2 = 248◦ 17 4 ; = 138◦ 35 25 , t2 = 221◦ 24 35 ;

9.

11. 1)  = 28◦ 10 15 ; 2)  = 51◦ 23 23 ; 3)  = 5◦ 8 34 ; 4)  = 75◦ 35 42 ; 5)  = −53◦ 32 34 ; 6)  = −84◦47 58 . 12. 1)  = 15◦ 52 43 ; 2)  = 83◦ 35 41 ; ◦ 3)  = 84 27 35 ; 4)  = 35◦ 44 42 ; 5)  = −53◦ 3 ; 6)  = −4◦ 16 54 . 13. 1) t = 14◦ 2 10 + k · 180◦ , k ∈ Z ;

172

t = 36◦ 52 12 + k · 180◦ , k ∈ Z ; t = 74◦ 28 33 + k · 180◦ , k ∈ Z ; t = 86◦ 14 9 + k · 180◦ , k ∈ Z ; t = −68◦ 11 55 + k · 180◦ , k ∈ Z ; t = −84◦ 24 12 + k · 180◦ , k ∈ Z .

14. 1) 2) 3) 4) 5) 6)

t = 75◦ 57 50 + k · 180◦ , k ∈ Z ; t = 32◦ 49 43 + k · 180◦ , k ∈ Z ; t = 5◦ 34 39 + k · 180◦ , k ∈ Z ; t = −84◦ 17 22 + k · 180◦ , k ∈ Z ; t = −38◦ 39 35 + k · 180◦ , k ∈ Z ; t = −2◦ 14 13 + k · 180◦ , k ∈ Z .


1.

2) 3) 4) 5) 6)

15. 1) 0.3363 ; 4) 0.6976 .

2) 1.9954 ;

3) 1.8791 ;

Rjeˇsenja 2.4

15 8 8 10. 1) cos x = − , tg x = − , ctg x = − ; 17 8 15 12 12 5 2) sin x = − , tg x = , ctg x = ; 13 5 12 24 7 7 3) sin x = , cos x = − , ctg x = − ; 25 25 24 8 15 8 4) sin x = − , cos x = − , tg x = . 17 17 15 12 5 12 11. 1) cos x = − , tg x = − , ctg x = − ; 13 12 5 7 7 24 2) sin x = , tg x = − , ctg x = − ; 25 24 7 63 16 16 3) sin x = , cos x = , ctg x = ; 65 65 63 5 12 5 4) sin x = − , cos x = , tg x = − . 13 13 12 16. Dijeljenjem brojnika i nazivnika razlomka s cos x , 2 tg x + 1 = , sˇ to je linecos x = 0 dobivamo tg x − 1 3 arna jednadˇzba s rjeˇsenjem tg x = −5 . 17. 5.

1 . 10 22. 1) Nakon kvadriranja dane jednakosti imamo: 1 4 1+2 sin x· cos x= , odakle je sin x· cos x=− . 9 9 Zatim, sin3 + cos3 x = (sin x +

cos x) · 1 4 13 (sin2 x− sin x · cos x+ cos2 x)= 1+ = ; 3 9 27 2) sin4 x + cos4 x = (sin2 x + cos2 x)2 49 16 = . − 2 sin2 x · cos2 x = 1 − 2 · 81 81 18. −


18 . 5 √ 3 25. ± . 5 27. Jednakost pomnoˇzimo s 2 i s obje njezine stra3 ne pribrojimo 1, te imamo 1+2 sin x· cos x= . 2 3 Odatle je (sin x + cos x)2 = , i konaˇcno 2 3 sin x + cos x = − . 2

Rjeˇsenja 2.5 1.

√ √ 1 3 3 ; 2) ; 3) − ; 4) −1 ; 2 2 2 √ √ 2 2 5) ; 6) − . 2 2 √ √ √ 3 3 24. 1) − 3 ; ; 4) − ; 2) −1 ; 3) − 3 3 √ 5) −1 ; 6) − 3 . √ √ √ √ 3 2 ; 2) ; 3) − 3 ; 4) − 3 . 1) − 2 2 1 3 3 3 3) − ; 4) − ; 5) ; 1) 0 ; 2) ; 4 4 4 4 6) −1 .

23. 1)


24. −

Parne su funkcije na slikama 1) i 3), neparne na slikama 2) i 4).

2.

Parne su funkcije pod brojem 3), 4), 5), 7), 8), neparne 2), 6) √ 5. tg x = − 3 . 4 6. ctg x = . 3 4 7. cos(−x) = − . 5 8. −3.43 . 7 9. − . 25 √ 3 10. sin(−x) · cos(−x) = . 4 14. f (x +  ) = sin(x + 3 ) = sin(x +  ) = − sin x . Broj  nije period ove funkcije. Najmanji period je 2 /3 . 15. 2 nije period, 12 jest. Najmanji period je 4 . 16. 1) da, 17.

18. 19. 20.

2) da,

3) da, 4) da. 2 ; 3) nejasno, P = 8 1) P =  ; 2) p = 3 ako je rijeˇc o sinusoidi; 4) P = 2 .  4 . 1) ; 2) 6 ; 3) 2 ; 4) 2 3  2 . 1) 2 ; 2) ; 3) 2 ; 4) 3 3 a = 3 ili a = −3 , b = 2 .

21. a = 3 , ili a = −3 , b = 3 . 1 22. b = 3

173


3. Trigonometrijski identiteti Rjeˇsenja 3.1

2.

3.

4.

5.

6.

7.

174

√ √ 2 (1 − 3) ; 1) cos 105◦ = cos(60◦ + 45◦ ) = 4 √ √ 2 √ 2 √ ( 3 + 1) ; 3) ( 3 − 1) . 2) − 4 4 3 7 1) cos + = cos 2 =1 ; 5 5 7 3  2) cos − = cos = 0 ; 8 8 2 3) − cos 3 = 1 ; 1 7  = − cos = − . 4) − cos 3 3 2 √ √ √ 2 2 √ ( 3 − 1) ; 2) − ( 3 + 1) ; 1) 4 √4 √ 2 ( 3 + 1) . 3) 4    8 1) sin − = sin(− ) = 0 ; 2) sin + 7 7 6 3 7 5 3   · cos + cos · sin = sin =1 ; 3) sin 2 8 8 8 8 3 3   = − sin · cos + cos · sin 8 8 8 √ 8 3   2 − = sin = ; = sin 8 8 4 2 4 4   4) cos · cos + sin · sin 9 9 9 9 4 1   − = cos = ; = cos 9 9 3 2 5 5    5) sin ·cos +cos ·sin = sin = 1 . 12 12 12 12 2 cos 70◦ · cos 10◦ + sin 10◦ · sin 70◦ cos 60◦ 1) = =1 ; cos 68◦ · cos 8◦ + sin 8◦ · sin 68◦ cos 60◦ 1 1 2) 2; 3) − ; 4) ; 5) 1. 2 2 4 15 84 cos t = , cos s = − , cos(t + s) = − ; 5 17 85 36 cos(t − s) = − . 85 4 3 cos  = − , sin  = − , sin( +  ) = 0 ; 5 5 7 cos( −  ) = − . 25

12 5 , cos  = − , sin( −  ) = 0 ; 13 13 119 . cos( +  ) = − 169 sin  =


1.

8.

9.

8 15 24 7 , cos  = ; sin  = , cos  =− ; 17 17 25 25 304 297 sin( +  ) = ; cos( +  ) = − . 425 425 sin  =

10. sin( +  ) = −

33 63 , sin( −  ) = . 65 65

84 36 , cos( −  ) = . 85 85 √   1 sin + = (15 3 − 8) , cos − 3 34 3 √ 1 = (15 − 8 3) . 34 √ 4 3 Najprije izraˇcunamo sin x = i sin(x + y) 7 √ 5 3 , a zatim iz sustava jednadˇzbi cos(x + y) = 14 √ 4 3 11 1 sin y = − i sin(x + y) = cos y − 7 7 14 √ √ 4 3 1 5 3 1 = cos y+ sin y= dobivamo cos y= . 7 7 14 2 √  5 Najprije izraˇcunamo cos( −x) = , pa zatim √ 3 √ 4 2 2 2 cos x − sin x = − iz sustava jednadˇzbi 2 3 √ √ 2 √ 2 2 5 cos x + sin x = nalazimo sin x i 2 2 3 √ 5+2 √ . = 3 2 √ √ 2+ 7 √ cos x = − . 3 2 √ 2 √ sin  = (3 7 + 1) . 16

11. cos( +  ) = 12.

13.

14.

15.

16.

17. cos  = −

11 . 14

18. Dovoljno je vidjeti cos(x + y) = 0 .


20. Kvadriramo i zbrojimo zadane jednakosti, te je a2 + b2 − 2 sin(x − y) = . 2

Rjeˇsenja 3.2

21. Zbrajanjem nejednakosti sin x > sin x · cos y i sin y > cos x · sin y izravno dobivamo sin x + sin y > sin x · cos y + cos x · sin y = sin(x + y) . √  √  3 22. 1) tg = 3 ; 2) tg =1 ; 3) ctg 60◦ = ; 3 4 3 √  4) ctg = 3 . 6

1.

sin 2 = −

2. 3.

cos 2 = 0.28 . √ tg 2 = 4 5 .

4.

cos  = −

5.

tg  =

6.

cos  = −

7.

tg

8.

ctg


23. tg( +  ) =

4 . 3

24. ctg( −  ) =

133 . 156

25. tg z = tg[ − (x + y)] = − tg(x + y) = 1 . √ 3 . 26. Provjeri da je tg( −  ) = 3 27.

120 . 169

tg(x − y) 1 tg x − tg y = · tg x − tg y tg x − tg y 1 + tg x · tg y 1 1 = = .  2 1 + tg x · tg( − x) 2

28. Iz tg( +  ) = 1 slijedi tg  + tg  = 1 − tg  · tg  . I dalje: 1 + tg  + tg  + tg  · tg  = 2 .

15 15 161 , ctg  = − , ctg 2 = − . 17 8 240

7 33 , ctg 2 = . 4 56

5 3   8 , sin = √ , cos = − √ . 17 2 2 34 34

4  = . 2 3

5  =− . 2 2

1  9. cos 2x = , tg 2x− = 3 4 √ 5 10. ctg 2x = . 20 11. sin2

√ 2 2+1 √ ≈ 2.0938 . 2 2−1

1 x−y = . 2 2501

3 1 − ctg  − = 1+ 29. Iz 1 + ctg  = 1 + ctg 4 1 + ctg  2 = slijedi: (1+ctg  )(1+ctg  ) = 2 . 1 + ctg 

 3 1 12. 1) cos = ; 2) sin  = ; 2 5 4 1  4) tg = − . 2 5

30. Iz tg x + tg y = 25 i ctg x + ctg y = 30 sli5 jedi tg x · tg y = . I dalje izravno raˇcunamo 6 tg(x + y) = 150 .

15.

1 . 3

16.

1 . 3

tg x + tg y 1 − tg x tg y = tg(x + y) = 1 . Najmanja pozitivna vrijednost  zbroja x + y je . 4

31. Iz (1 + tg x)(1 + tg y) = 2 slijedi

32. tg x · tg y = − 41 . 33. cos(a − b) =

1 2

.

a2 + b2 − 2 . 34. sin(x − y) = 2

18. sin 2x = − 19. tg x =

3) ctg

 4 = ; 2 3

√ 3 7 . 8

24 336 , tg 2x = − . 7 527

20. ctg 2x = −

527 . 336

21. Iz danog uvjeta proistjeˇce cos x = 2 sin x , od1 4 nosno tg x = , te je tg 2x = . 2 3

175


x x cos2 − sin2 cos x 2 2 = x 22. x 2 1 + sin x 1 + sin x sin + cos 2 2 x x x 1 − tg cos − sin 1−m 2 2 2 = x = x x = 1+m. cos + sin 1 + tg 2 2 2

x 2 =

23. sin4  + cos4  = (sin2  + cos2  )2 1 7 − 2 sin2  · cos2  = 1 − sin2 2 = . 2 9 x x 2 24. sin · cos = . 2 2 5

m2 + 3 . 4 3 sin6  + cos6  = 1 − sin2 2 , i dalje, cos 4 4 1 2 =1−2 sin2 2 = . Odatle je 2 sin2 2 = , od3 3 3 1 3 nosno sin2 2 = . Konaˇcno, 1− sin2 2 = . 3 4 4  = 2. fm 16 5    1  1 1) sin · sin = sin · cos = ·sin = ; 12 12 12 12 2 6 4  4 5 4 11 4  2) sin − sin = cos − sin4 12 12 12 12 √  3 2  2  = cos − sin = cos = ; 12 12 6 2    · cos2 = 1 − 2 sin2 3) 1 − 8 sin2 16 16 8 √  2 = cos = ; 4 2 13 7 2 17 − cos2 + cos2 4) cos2 18 9 18 2 2 2 2 2 2 4 − cos + sin = sin 9 9 9 4 4 + sin2 = 1. = cos2 9 9 1 1) ; 2) 1. 4 1) Iz jednakosti sin 36◦ = cos 54◦ slijedi 2 sin 18◦ cos 18◦ = 4 cos3 18◦ − 3 cos 18◦ , a odatle, jer je cos 18◦ = 0 , imamo kvadratnu 2 ◦ ◦ jednadˇzbu 4 sin √ 18 + 2 sin 18 − 1 = 0 . Nje5−1 zino rjeˇsenje 2) cos 9◦ je sin 18◦ . 4 # √ 1 1 + cos 18◦ = = 8 + 2 10 + 2 5 2 4

25. 1) 26.

27. 28.

29. 30.

176

Rjeˇsenja 3.3 1. 2.

√ √ √ 6 6 2 ; 2) − ; 3) − ; 4) 0. 1) 2 2 2 √ √ √ 1) 3 ; 2) 1; 3) 2 ; 4) 3 .  x x x + · sin − ; 1) 4 cos 6x 2 x6 2 + · cos − 2) 4 sin . 2 8 2 8  1) 1 + sin x − cos x = 1 + sin x − sin( + x) 2  √2  √ =1+2 cos +x · − = 1− 2 cos +x 2 4 √ 4  √ √ 2   = 2 − cos( +x) = 2 cos − cos +x 4 4 4 √ 2  x x = 2 2 sin + sin ; 4 2 2 √ x  x 2) 2 2 sin · sin − . 2 2 4 1 − 4 sin2  1) = 1. 2) 2(1 + 2 cos  ) ; 4 − 4 sin2  − 3 3) 2 .


1 − 2 sin2

1 + 3m2 ; 4

3.

4.

2) −m

5.

6.

8.

2) 0. √ √ √ −2 + 3 2+ 3 1) ; 2) ; 4 √ 4 √ 3− 2 4) . 4 1) − ctg 2x ; 2) 4 sin2 x .

9.

cos

7.

1) 1;

√ √ 3− 2 3) ; 4

2 3   − cos = 2 sin · sin 5 5 10 10 3 3 3    cos sin cos 4 sin sin sin 10 10 10 10 5 5 = = 3 3   cos cos 2 cos 2 cos 10 10 10  10 1   = . Primijeti da je cos = sin + 2 2 10 10 3 3   3 , cos = sin − = sin . = sin 5 10 2 10 5


4. Grafovi trigonometrijskih funkcija Rjeˇsenja 4.1

2)

y


1

-p

7.

8.

p 6

-p 2

5p 6

x p

p 2

-1

3 sin 2x, x 0, −3 sin 2x, x 0; 1   1 4) f (x) = cos |x + | = cos(x + ) . 2 3 2 3

Uputa: 3) f (x)=3 sin 2|x|=

3)

y

2

1) 5 rjeˇsenja

1

y 1

x p

-p

x

p 4

0

p 2

3p 2

p

-1

2p

-2

-1

2) 4 rjeˇsenja

Rjeˇsenja 4.2

y

1

x

p

0

2p

-1

7.

3 =|− ctg 2x|=| ctg 2x| . 3) f (x)=tg 2x+ 2

8.

y

3) 6 rjeˇsenja y

1

-p

x

0

p 6

-1

p

p 2

3p 2

p 4

x p

2p

4) 5 rjeˇsenja y

1

p 2

x

3p 2

p

0

2p

-1

9.

1)

y

1 - 3p 4

x

0

-p

p 4

p

-1

177


5. Trigonometrijske jednadˇzbe i nejednadˇzbe 8 + k · 4 , k ∈ Z ; 3   ± + k ·  , k ∈ Z; 2) x = 10 8 2 + k · 2 , x2 = (2k + 1) , k ∈ Z ; 3) x1 = 3 4) x = k , k ∈ Z ;  5) x = − + k · 3 , k ∈ Z . 4  7. 1) x = + k · 2 , k ∈ Z ; 2  2) x = ± + k · 2 , k ∈ Z ; 3  3) x = (−1)k+1 · + k ·  , k ∈ Z ; 6   10. 1) x1 = k , x2 = + k · , k ∈ Z ; 4 2   2) x1 = ± + k , x2 = ± + k , k ∈ Z ; 3 6     3) x = + k · , k ∈ Z ; 4) x = ± + k · , 4 2 9 3 4 k ∈ Z ; 5) x = ± + 4k , k ∈ Z . 3  11. 1) x1 = + k ·  , x2 = arc tg 7 + k ·  ≈ 4 1.429 + k ·  , k ∈ Z ;  + k ·  , x2 = arc tg 2 + k ·  ≈ 2) x1 = 4 1.107 + k ·  , k ∈ Z ;  + k ·  , x2 = arc tg 9 + k ·  ≈ 3) x1 = 4 1.46 + k ·  , k ∈ Z ; 1  4) x1 = − + k ·  , x2 = arc tg + k ·  ≈ 4 7 0.142 + k ·  , k ∈ Z ;   5) x1 = + k · , x2 = arc tg(±2) + k ·  ≈ 4 2 ±1.107 + k ·  , k ∈ Z ;  6) x1 = − + k , x2 ≈ −1.107 + k ·  , k ∈ Z ; 4 3  +k· , k ∈ Z ; 7) x1 = − +k· , x2 = arc tg 4 4  13. 1) x1 = (4k + 1) · , x2 = −2.214 + k · 2 , 2 k ∈ Z; 2) x1 = (2k + 1) ·  , x2 = −2 arc tg 7 + k · 2 , 6.

178

k ∈ Z; 3) x1 = 0.2997 + k , x2 = −0.68 + k , k ∈ Z ;  1 4) x1 = (4k + 1) · , x2 = arc tg + k ·  , 4 5 k ∈ Z; 5) x1 = 0.4636+k , x2 = −0.245+k , k ∈ Z .  + k · 2 , k ∈ Z ; 14. 1) x1 = k · 2 , x2 = 2  2) x = + k · 2 , k ∈ Z ; 6 2 + k · 2 , k ∈ Z ; 3) x = 3   4) x1 = − + k ·  , x2 = − + k ·  , k ∈ Z ; 12 4  k  5) x = + (−1) · + k ·  , k ∈ Z ; 6 4 2 2 2 , x2 = +k· , k ∈ Z. 6) x1 = k · 3 9 3


Rjeˇsenja 5.1 1) x =

16. 1) cos 3x = cos(x + 2x) = cos x · cos 2x − sin x · sin 2x , jednadˇzba je zato ekvivalentna jed nadˇzbi cos x · cos 2x = 0 , x1 = (2k + 1) · , 2  x2 = (2k + 1) · , k ∈ Z ; 4   2) i 3) x1 = k · , x2 = (2k + 1) · , k ∈ Z ; 3 4 4) x = k ·  , k ∈ Z .  17. 1) x1 = (4k + 1) · , x2 = −2.214 + k · 2 , 2 k ∈ Z; 2) x1 = (2k + 1) ·  , x2 = −2 arc tg 7 + k · 2 , k ∈ Z; 3) x1 = 0.2997 + k , x2 = −0.68 + k , k ∈ Z ;  1 4) x1 = (4k + 1) · , x2 = arc tg + k ·  , 4 5 k ∈ Z; 5) x1 = 0.4636+k , x2 = −0.245+k , k ∈ Z .  + k · 2 , k ∈ Z ; 18. 1) x1 = k · 2 , x2 = 2  2) x = + k · 2 , k ∈ Z ; 6 2 + k · 2 , k ∈ Z ; 3) x = 3   4) x1 = − + k ·  , x2 = − + k ·  , k ∈ Z ; 12 4   5) x = + (−1)k · + k ·  , k ∈ Z ; 6 4 2 2 2 , x2 = +k· , k ∈ Z. 6) x1 = k · 3 9 3

ˇ I NEJEDNADZBE ˇ TRIGONOMETRIJSKE JEDNADZBE

  + k · , k ∈ Z; 12 2   2) x1 = (2k + 1) · , x2 = (−1)k · + k ·  , 2 6   k ∈ Z ; 3) x = − + k · , k ∈ Z ; 8 2   4) x1 = (4k − 1) , x2 = (24k + 5) , 4 12  x3 = (24k + 13) , k ∈ Z ; 12  2 + k · 2  , x2 = + k ·  , k ∈ Z . 5) x1 = ± 3 4  21. 1) x = ± + k , k ∈ Z ; 3     2) x1 = + k · , x2 = + k · , k ∈ Z ; 3 2 6 2  3) x = k · , k ∈ Z ; 2   4) x1 = (2k + 1) · , x2 = (−1)k · + k ·  , 2 6   k ∈ Z ; 5) x = − + k · , k ∈ Z ; 8 2  6) x1 = + 2k ·  ; x2 =  + 2k ·  , k ∈ Z . 2 √ 22. a = 2 2 .

Rjeˇsenja 5.2 2.

4.

5.

23. |m| 1 . 25. a =

3 . 4

26. 1) 63; 2) beskonaˇcno mnogo; 5) 3; 6) 990. 

3) 22;

4) 6;

 + k , k , k , − + k , k ∈ Z ; 6 56 5 2) + k , k , k , − + k , k ∈ Z ; 16 26 1 2 3) + 2k, 3 + 2k , + 2k, 3 + 2k , 3 3 3 3 k ∈ Z; 7 1 5 1 4) + 2k, + 2k , + 2k, − + 2k , 6 6 6 6 k ∈ Z.   + k · , k ·  , +  + k · ,  + k ·  , 29. 1) 4 4 = arc tg 3 , k ∈ Z ; + k · , + k ·  , k ∈ Z . 2) 3 3 28. 1)

5  +k· < x < + k ·  , k ∈ Z; 1) − 8 8 5 5 + k · 4 x + k · 4 , k ∈ Z ; 2) − 3 3 2 5 2  +k· < x < +k· , k ∈ R; 3) 9 3 9 3   4) − + k ·  x < + k ·  , k ∈ Z ; 3 2 2 + k ·  x < (k + 1) , k ∈ Z . 5) 3


20. 1) x = (−1)k ·

30. 1) Zadatak√ ima deset rjeˇsenja: (1, √ ±2) , (−1, ±2) , (5, ±(3 − 5)) , (−5, ±(3 − 5)) , (±3, 0) ;   + k · 2 , ± + k · 2 , k ∈ Z . 2) 2 3

6.

7.

 17 + k · 4 x + k · 4 , k ∈ Z ; 6 6 2 13 2 
1) (2k + 1) < x < 2(k + 1) , k ∈ Z ;  3 2) + k · 2 < x < + k · 2 , k ∈ Z ; 2 2  5 + k · 2 , x = (2k + 1) , 3) + k · 2 < x < 3 3 k ∈ Z; 2 2 4) (3k − 1) x (3k + 1) , k ∈ Z; 3 3 5) Nejednadˇzbu moˇzemo zapisati u pogodnijem obliku cos 2x · cos2 x > 0 , te je   rjeˇsenje − + k ·  < x < + k ·  , k ∈ Z ; 4 4  3 6) + k ·  < x <  − xrctg + k ·  , k ∈ Z . 4 4  1) k · 2 < x < + k · 2 , k ∈ Z ; 2  3 + k · 2 < x < + k · 2 , k ∈ Z ; 2) − 4 4  3 − k · 2  < x < + k · 2  , k ∈ N0 ; 3) − 2 2 3 3  + k ·  ili +k· < 4) + k ·  < x < 4 4 4 x < (k + 1) , k ∈ Z .

 5 1) − + k ·  x + k ·  , k ∈ Z; 8 8 5 7 + k · 4 x + k · 4 , k ∈ Z ; 2) 3 3  2 + k ·  < x < + k ·  ili 3) − 15 2  7 +k·
179


9.

180

   3 +k·

8.

 7 + k ·  < x < − + k ·  ili 4) − 10 2  2 + k ·  , k ∈ Z. − +k· < x 2 15  7 +k· x + k ·  , k ∈ Z; 1) − 12 12 7 5 +k· −1 , a zatim u obliku cos(2x− ) > − . Rje6 2 sˇ enje nejednadˇzbe je  5 − +k·
11. 1) Nejednadˇzbu moˇzemo sljedećim postupkom svesti na jednostavniji oblik: sin x + cos x − sin2 x + sin x · cos x − 1 1 = sin x sin x cos x(sin x − cos x) sin x · cos x − cos2 x = = = sin x sin x 2 cos x(tg x − 1) 5 < 0 . Rjeˇsenje je + k · 2 < sin x 4  3 + k · 2 ili k · 2 < x < + k · 2 x < 2 4  + k · 2 < x < (2k + 1) , k ∈ Z . ili 2  2) − + k · 2 < x < k · 2 ili 2   + k · 2 < x < + k · 2 ili 4 2 5 + k · 2 , k ∈ Z . (2k + 1) < x < 4

ˇ O TROKUTU POUCCI

6. Poucci ˇ o trokutu

1.

2.

3.

1) 2) 3) 4) 5) 6)

a · sin  a · sin  + = 12. Iz jednakosti a+b+c = a+ sin  sin  30 slijedi a = 8.55 cm , a zatim izraˇcunamo b = 10.60 cm i c = 10.85 cm .


Rjeˇsenja 6.1  = 62◦ , b = 18.11 cm , c = 20.3 cm ;  = 43◦ , b = 10.68 cm , c = 8.32 cm ;  = 34◦ 30 , a = 5.89 cm , c = 8.99 cm ;  = 34◦ 59 , a = 75.48 cm , c = 51.48 cm ;  = 80◦ , a = 48.07 cm , b = 47.37 cm ;  = 118◦ , a = 0.47 cm , b = 0.56 cm .

1)  = 40◦ 44 ,  = 73◦ 16 , c = 22 cm ; 2)  = 35◦ 26 ,  = 80◦ 24 , c = 6.46 cm ; 3)  = 44◦ 42 ,  = 47◦ 42 , c = 0.93 cm ; 4) (1)  = 56◦ 1 ,  = 75◦ 13 , b = 11.58 cm , (2)  = 26◦ 27 ,  = 104◦ 47 , b = 6.22 cm ; 5) (1)  = 55◦ 22 34 ,  = 88◦ 37 26 , a = 25.51 cm , (2)  = 124◦ 37 26 ,  = 19◦ 22 34 , a = 8.47 cm ; 6) (1)  = 26◦ 31 ,  = 138◦ 29 , b = 20.5 cm , (2)  = 153◦ 29 ,  = 11◦ 31 , b = 6.17 cm . cos  a sin  = Iz = slijedi sin  · cos  = b cos  sin  cos  ·sin  , ili sin( −  ) = 0 . Odatle,  =  .

4.

Ako je  = 3k ,  = 5k ,  = 7k , onda je 15k = 180◦ i k = 12◦ . Dakle,  = 36◦ ,  = 60◦ ,  = 84◦ , te je c : a = sin  : sin  ≈ 1.7 .

5.

Najprije nalazimo  = 108◦ ,  = 54◦ , 2a sin   = 18◦ . Zatim je a + 2b = a + = sin 1 = 30 . Iz ove pak jednadˇzbe izraa 1+ sin  cˇ unamo a = 11.1 cm .

13. Duljine stranica trokuta su 9 cm, 12 cm i 6 cm. 14. Oznaˇcimo  = 45◦ ,  = 63◦ ,  = 72◦ . Tada je sin  : sin  : sin  = 0.7071 : 0.891 : 0.951 = a : b : c . Slijedi, a = 0.707k , b = 0.891k , c = 0.951k , pa iz a + b + c = 2.549k = 30 dobijemo k = 11.769 cm . Konaˇcno, a = 8.32 cm , b = 10.49 cm , c = 11.19 cm .

15.  = 51◦ 47 ,  = 31◦ 28 , a = 13.32 cm , b = 10.54 cm . 16.  = 37◦ 40 12 ,  = 70◦ 11 48 , c = 18.2 cm . 17. s = 7.48 cm . 18. 3 : 4 .

19. Duljinu duˇzine AD raˇcunamo iz trokuta ADC u kojem je poznata duljina kraka i u kojem je  < )CAD = . Tako je |AD| = 8.28 cm . 2

Rjeˇsenja 6.2 1.

1) c = 44 cm ,  = 61◦ 39 ,  = 51◦ 2 ; 2) b = 14.7 cm ,  = 92◦ 40 ,  = 47◦ 28 ; 3) a = 2.926 cm ,  = 45◦ 57 ,  = 100◦ 27 ; 4) c = 8.99 cm ,  = 139◦ 34 23 ,  = 14◦ 13 ; 5) a = 2.22 cm ,  = 41◦ 28 53 ,  = 66◦ 57 7 .

2.

1)  = 42◦ 51 ,  = 63◦ 43 ,  = 73◦ 26 ; 2)  = 28◦ 12 ,  = 45◦ 47 ,  = 106◦ 1 ; 3)  = 25◦ 32 26 ,  = 33◦ 19 13 ,  = 121◦ 8 21 ; 4)  = 47◦ 12 43 ,  = 54◦ 41 33 ,  = 78◦ 5 44 ; 5)  = 48◦ 47 31 ,  = 57◦ 43 45 ,  = 73◦ 28 44 .

6.

Iz 16 : 11.2 = sin  : sin(93◦ −  ) nalazimo  = 57◦ , zatim  = 36◦ te  = 87◦ . Napokon i c = 19 cm .

7.

Iz 7.5 : 6.2 = sin( + 17◦ ) : sin  nalazimo  = 49◦ 5 15 , zatim  = 66◦ 5 15 te  = 64◦ 49 30 . Napokon izraˇcunamo i a = 7.42 cm .

8.

26.98 cm, 22.02 cm, 24.64 cm.

3.

9.

Duljine prvih dviju stranica iznose 7.96 cm i 9.84 cm, a duljina treće je 4.68 cm.

b = 6.712 cm , c = 6.46 cm .

4.

Promotrimo jednakost c2 = a2 + b2 − 2ab cos  . Ako je  sˇ iljast, njegov je kosinus pozitivan, ako je  tup, kosinus mu je negativan. Izvedi zakljucˇak do kraja.

5.

cos  = −

10. Iz a : (a − 3.2) = sin 67◦ : sin 52◦ nalazimo a = 22.232 cm . Potom b = 19.032 cm te konaˇcno c = 21.124 cm . 11. 67.14 cm, 33.14 cm, 49.04 cm.

41 ,  = 129◦ 50 18 . 64

181


7. 8.

9.

Dva dana razmjera moˇzemo zapisati kao jedan proˇsireni: a : b : c = 28 : 35 : 50 . Uzmemo li baˇs a = 28 , b = 35 , c = 50 , nećemo umanjiti općenitost jer je podatcima u zadat- do na sliˇcnost, a svi meduku trokut odreden sobno sliˇcni trokuti imaju jednake odgovarajuc´ e kutove.  = 32◦ 49 46 ,  = 42◦ 39 46 ,  = 104◦ 30 28 . 43 ,  = 26◦ 23 4 . cos  = 48 Najveći kut trokuta nalazi najvećoj √ se nasuprot √ stranici, a ta je duljine√ 2 +√ 6 . √ I sad√raˇcu2− 2· 3 1− 3 √ = = namo: cos  = 4 √ √ √ 2 2 2 1 2 3 · − · = cos 45◦ · cos 60◦ − sin 45◦ · 2 2◦ 2 2◦ sin 60 = cos(45 + 60◦ ) = cos 105◦ .

Najmanji kut trokuta nalazi se √ nasuprot najmanjoj stranici, a ta je duljine 3−√ 1 . I sad √ ra√ √ 2· 3+ 2 3+ 3 √ = = cˇ unamo: cos  = 4 √ √ √ 2 6 2 3 1 2 · + · = cos 45◦ · cos 30◦ + sin 45◦ · 2 ◦2 2 2◦ sin 30 = cos(45 − 30◦ ) = cos 15◦ . 10. 120◦ .

11. Oznaˇcimo s n , n + 1 , n + 2 , n ∈ N , duljine stranica trokuta. Iz a : (a + 2) = sin  : sin(2 ) a+2 . Primijenimo sada Poslijedi cos  = 2a 2 uˇcak o kosinusima: a = (a + 1)2 + (a + 2)2 − 2(a + 1)8a + 2) · cos  . Stranice trokuta su 4, 5 i 6, a kutovi 41◦ 24 33 , 55◦ 46 21 , 82◦ 49 6 .

12. Iz uvjeta zadatka slijedi da su duljine stranica trokuta b − 2 , b , b + 2 . Kut  = 120◦ je kut nasuprot najduljoj stranici. Iz jednakosti (b+2)2 = b2 +(b−2)2 −2b(b−2)·cos 120◦ dobijemo b = 5 cm . Duljine ostalih dviju stranica su 3 cm i 7 cm, te je opseg trokuta 15 cm. 13. Iz pouˇcka o kosinusu i zadanog uvjeta dobivamo sustav jednadˇzbi a2 − ac + c2 = 49 , a2 +2c2 = 82 . Pomnoˇzimo prvu jednadˇzbu s 82, drugu s 49 i oduzmimo ih. Dobit cémo homogenu jednadˇzbu 33a2 − 82ac − 16c2 = 0 . Iz nje 8 slijedi a = c pa se sad lako dobije a = 8 cm , 3 c = 3 cm . 14. Neka je a = 25 cm , b = 30 cm i  = 2 . Iz 3 pouˇcka o sinusima naći c´ emo cos  = . Nada5

182

lje je  = 180◦ − 3 , te je cos  = − cos 3 = 117 . Sad moˇzemo izra−4 cos3  + 3 cos  = 125 2 2 cˇ unati c . Dobiva se c = 121 te je c = 11 cm . 15. Vrijedi  = 180◦ − 3 , pa je sin  = sin 3 . Iz sinusovog pouˇcka je sin 2 : sin 3 = 12 : 7 . Uvrstimo ovdje sin 2 = 2 sin  cos  , sin 3 = 2 (4 cos2  − 1) sin  . Dobivamo cos  = . 3 Sad iz pouˇcka o kosinusu slijedi a = 4 cm , 7 b = cm . 3 16.  = 93◦ 9 .


6.

17. Duljine prvih dviju stranica trokuta su 33.68, 23.32. Duljina traˇzene stranice iznosi 31.1 cm. 18. Oznaˇcimo najkraću stranicu s a , najdulja neka je b = 11 cm . Tada  = 44◦ . Iz a + 4 = 11 cos 44◦ slijedi a = 3.9 cm , zatim nalazimo c = 8.63 cm , a najmanji kut trokuta je  = 18◦ 17 45 .

19. Iz c2 = a2 + b2 − 2ab cos  nakon uvrˇstavanja dobivamo kvadratnu jednadˇzbu 20.52 = a2 + (28.5 − a)2 − 2a(28.5 − a) cos 81◦ 12 s rjeˇsenjem a = 20 cm . Zatim izraˇcunamo i b = 8.5 cm . 8 nije jednoznaˇc20. Primijeti kako sa sin  = 17 no zadan kut  . On, naime, moˇze biti i sˇ iljast i tup. Zbog toga imamo dva rjeˇsenja zadatka: 15 (1) Za cos  = je b = 8.52 cm , i (2) za 17 15 cos  = − je b = 32.02 cm . 17 21. b = 5.03 cm .

22. 21.56 cm . √ 23. |AD| = 28 ≈ 5.3 cm .

Rjeˇsenja 6.3 1.

1) P = 62.78 cm2 ; 3) P = 168.75 cm2 .

2) P = 17.43 cm2 ;

2.

1) P = 51.46 cm2 ; 3) P = 325.58 cm2 .

2) P = 4.58 cm2 ;

3.

√ √ √ 3 3 1) P = (1 + 3) ; (1 + 3) ; 2) P = 2 √ 2 3 1 √ . 3) P = ( 3 − 1) ; 4) P = 2 2

ˇ O TROKUTU POUCCI

5.

6.

Ne umanjujući općenitost moˇzemo uzeti da je  1 najmanji kut trokuta. Tada je P = ab sin  2 √ 3 1 1 ◦ sin  · , jer je  60 . 2 2 2 Kako treći kut trokuta iznosi 64◦ 26 , najkrac´ a je stranica, oznaˇcimo je s a , nasuprot kutu od 53◦ 16 . Izraˇcunamo je iz P = 33 = a2 · sin 62◦ 18 · sin 64◦ 26 . Dobiva se a=8.14 cm . 2 sin 53◦ 16 Kako je treći kut trokuta kut od 56◦ 50 , najdulja je stranica nasuprot kutu od 64◦ 48 i njezina je duljina 5.96 cm.

7.

10.45 cm , 5.4 cm i 7.65 cm .

8.

Najprije izraˇcunamo duljinu najkraće stranice trokuta ABC, a = 13.18 cm . Koeficijent sliˇc3 pa je a = 19.7 cm . nosti dvaju trokuta je 2 a·b · sin  nademo Iz P = kut  , a potom izra2 cˇ unamo c = 16.6 cm . Najdulja stranica trokuta dugaˇcka je 18 sliˇcnosti dvaju trocm. Koeficijent 2 P 4 = . Najdulja stranica kuta je k = = P 9 3 drugog trokuta dugaˇcka je 18 · 1.5 = 27 cm .

9.

17. Neka je va = 8 cm , vb = 12 cm , vc = 18 cm . Tada iz a : b : c = 9 : 6 : 4 odredujemo kutove trokuta:  = 127◦ 10 8 ,  = 32◦ 5 21 ,  = 20◦ 44 31 . Dalje je a = 33.88 cm , b = 22.59 cm , c = 15.06 cm . 18. Lako izraˇcunamo a = 13.735 cm , b = 11.6 cm , a onda iz c2 = a2 + b2 − 2ab cos  nalazimo i c = 10.6 cm .


4.

10. b = 8.15 cm , c = 34.97 cm ,  = 84◦ 56 ,  = 13◦ 19 ,  = 81◦ 45 .

11. Zadatak ima dva rjeˇsenja: (1) a = 6.85 cm , b = 9.34 cm , c = 9.58 cm ,  = 66◦ 54 ,  = 70◦ 41 ; (2) a = 9.55 cm , b = 6.70 cm , c = 13.36 cm ,  = 28◦ 16 ,  = 109◦ 19 . 1 12. Najprije iz P = ab sin  raˇcunamo kut  . 2 a = 14.6 cm , b = 4 cm , c = 13.1 cm ,  = 105◦ 14 ,  = 15◦ 13 ,  = 59◦ 33 .

13. Najprije iz a2 = b2 +c2 −2bc cos  = (b+c)2 − (b + c)2 − a2 2bc(1 + cos  ) nalazimo bc = = 2(1 + cos  ) 1 32.8 . I sad P = bc sin  = 6.41 cm2 . 2 14. Iz c2 = a2 + b2 − 2ab cos  = (a − b)2 + 2ab(1 − cos  ) nalazimo ab = 1200 , te je √ 1 P = ab sin  = 300 3 cm2 . 2 15. b = 5.045 cm . 16. c = 12.4 cm ili c = 36 cm .

19. Iz va : vb = 5 : 7 slijedi b : a = 5 : 7 = sin  : sin 66◦ . Odatle je  = 40◦ 43 58 , a zatim  = 73◦ 16 2 .

20. Oznaˇcimo a = 7.5 cm , b = 11 cm , R = 8.2 cm . Iz a = 2R sin  i b = 2R sin  nalazimo  i  , zatim lako i  . c = 15.34 cm .

21. Najprije iz c = 2R sin  izraˇcunamo c = 19.6 cm . Zatim je  = 62◦ 44 ,  = 84◦ 16 , ili pak  = 117◦ 16 ,  = 29◦ 44 . Prvom rjeˇsenju pripada b = 35.8 cm , a drugom b = 17.85 cm . Nacrtaj kruˇznicu te u njoj prikaˇzi oba trokuta.

22. a = 28.49 cm , b = 37.55 cm , c = 47.97 cm . 23. Iz formule P = 2R2 · sin  · sin  · sin  izravno dobijemo P = 150 cm2 . 24. Najprije iz  +  = 134◦ nalazimo  = 134◦ −  . Zatim imamo: a + b + c = 2r(sin  + sin  + sin  ) , a odatle slijedi trigonometrijska jednadˇz25 ba sin  + sin 46◦ + sin(134◦ −  ) = . 14 11 25. Najprije je iz c = 2R sin  , sin  = , odakle 24 izraˇcunamo  = 27◦ 16 47 . Zatim nalazimo  = 102◦9 45 , te je P = 2R2 sin  · sin  · sin  = 99.65 cm2 . 26. P = 27.64 cm2 . 27. P = 33.54 cm2 .

28. Najprije izraˇcunamo c = 11.15 cm , a zatim je c2 · sin  · sin  = 49 cm2 . P= 2 sin( +  ) 29.

C

a1

a1

r

a2

x

A

r

x

a2

B

Iz 2x = o − 2a = b + c − a , (vidi sliku!) slib+c−a 5 jedi x = = . Dalje je a2 = 100 = 2 2

183


225 − 2bc(1 + cos  ) i bc = 36.25 . Stranice b i c rjeˇsenja su jednadˇzbe u2 − 15u + 36.25=0 ; b = 11.97, c = 3.03 cm .


30.

36. Produljimo teˇziˇsnicu iz vrha A trokuta preko poloviˇsta A1 stranice BC tako da bude |AD| = 2ta . ˇ Cetverokut BDCA je paralelogram. Zbog toga je u trokutu ABD kut < )ABD jednak  +  . b2 + c2 − (2ta )2 nalazimo I sad iz cos( +  ) = 2bc ◦ ◦  +  = 94 38 . Tada je  = 85 22 . Dalje nije teˇsko izraˇcunati a , te je a = 20.38 cm .

b

y

C

a

a/2 a/2

A1

x

Oznaˇcimo elemente kao na slici. Prema pouˇcku o simetrali kuta je x : y = a : b . Nadalje, y2 = x2 +(a+b)2 . Iz prve jednadˇzbe izraˇcunamo bx i uvrstimo u drugu. Odatle se izraˇcuna y= a √ (b + a)a2 x2 = pa je x = 4 5 m. b−a Zadatak se moˇze rijeˇsiti i bez pouˇcka jer je tg  = b+a a  , tg = . Sada treba tg  izraziti prex 2 x  te iz dobivene jednakosti izraˇcunati x . ko tg 2 31. Prema pouˇcku o simetrali kuta je a : c = 3 : 5 = sin  : sin  . No,  +  = 120◦ , te je 5 sin √ = 3 sin(120◦ −  ) , odakle se dobiva tg  = 3 7 3 i  = 36◦ 35 12 ,  = 83◦ 24 48 .

b

33. c = 16.38 cm .

34. Prema pouˇcku o sinusima imamo:  s : b1 = sin  : sin , 2  s : a1 = sin  : sin , 2 odakle izraˇcunamo b1 = 8.36 cm i a1 = 11.44 cm , te je c = a1 + b1 = 19.8 cm .

Napomena. Zadatak se moˇze jednostavnije rijesˇ iti primjenom formule e2 + f 2 = 2(a2 + b2 ) koja vezuje dijagonale i stranice paralelograma. Imamo: 4ta2 + a2 = 2(b2 + c2 ) , odnosno 4ta2 = 2b2 + 2c2 − a2 . Iz ove bismo jednakosti mogli izravno izraˇcunati duljinu stranice a .

37.  = 41◦ 2 35 .

38.  = 70◦ 18 35 ,  = 32◦ 32 ,  = 77◦ 10 . 39. Iz 4tc2 = 2a2 + 2b2 − c2 nalazimo c = 39.4 cm .

40. Kutovi su pribliˇzno 52◦ , 68◦ i 60◦ .

4 2 (2t + 2tc2 − tb2 ) izraˇcunamo najprije 9 a tb = 8.87 cm . Zatim nalazimo a = 8.45 cm , c = 10.58 cm .

41. Iz b2 =

42. b = 90.2 mm .

43.  = 84◦ 50 53 . 44.

C

b

b

A

a

s

b

a

b1

a1

B

35. Najprije izraˇcunamo |AC| = 22.829 cm . Zatim primijenimo pouˇcak o simetrali kuta u trokutu te nalazimo duljine odsjeˇcaka koje iznose 13.574 cm i 9.255 cm.

184

vc

tc

j

a

C

g g 2 2

g

B

A

32. b = 9.92 cm .

A

D

g

E

D

B

vc Najprije je sin  = , odakle nalazimo kut  . t c c 2 2 2 Zatim iz b = tc + − tc c cos  izraˇcuna2 vc mo b = 11.9 cm . Dalje iz sin  = slijedi b ◦  = 82 34 . Duljinu stranice a nalazimo s pomoću teorema o kosinusu, a = 20.9 cm . I konacˇ no  nademo primjenom teorema o sinusima,  = 34◦ 22 ;  = 63◦ 4 .

ˇ O TROKUTU POUCCI

Rjeˇsenja 6.4 1.

14.  = 102◦ 36 26 ,  = 107◦52 25 , P = 96.125 cm2 .

e2 , f 2 = a2 +b2 ±2ab cos 44◦ 44 , e = 11.83 cm , f = 26.25 cm . ◦

2.

 = 76 .

3.

a = 11.77 cm , b = 10.55 cm .

4.

 = 48◦ 19 ,  = 131◦ 41 , e = 15 cm .

5.

 = 44◦ 21 10 ,  = 180◦ −  .

6.

8.

Iz P = ab sin  nalazimo jedan unutarnji kut paralelograma,  = 41◦ 2 . Duljina kraće dijagonale iznosi 7.31 cm, a dulje 17.1 cm. - dijagonala izraˇcuna se Kut  = 47◦ 44 izmedu 1 iz formule P = ef sin  . Duljine stranica pa2 ralelograma su 2.97 cm i 5.98 cm, a sˇ iljasti kut je 56◦ 26 . √ √ 3 : 2.

9.

a = 82.18 cm , b = 49.05 cm , c = 39.18 cm .

16.  = 64◦ 56 ,  = 53◦ 8 . 17.  = 82◦ 7 ,  = 90◦ , d = 3.3 cm , f = 6.44 cm , P = 16.74 cm2 .


7.

15. b = 2 cm , d = 9.83 cm ,  = 124◦2 12 .

18.  = 67◦ 23 ,  = 37◦ 51 ,  = 112◦ 37 ,  = 142◦ 9 .

19. Iz sliˇcnosti trokuta AMC i MDB nalazimo |AM| = 18.93 cm , |MB| = 5.07 cm . I zatim izraˇcunavamo redom: |AD| = 21.14 cm , |BD| = 13.58 cm , |BC| = 8.93 cm , |AC| = 19.63 cm , te opseg cˇ etverokuta ADBC iznosi 65.08 cm.

20.

D

C

F

E

A

B

Najprije imamo:

10.  = 86◦ 42 48 ,  = 43◦ 36 44 , d1 = 4.97 cm , d2 = 7.95 cm .

|AB| = |AD|2 + |BD|2 − 2|AD| · |BD| · cos(< )ADB),

11.

|CD|2 = |BD|2 + |BC|2 − 2|BD| · |BC| · cos(< )DBC).

D

A

C

E

2

No |AD|2 + |CD|2 = |AB|2 + |BC|2 (Pitagorin pouˇcak). Nakon uvrˇstavanja iz prvih dviju u treću jednakost dobit c´ emo |BC| cos(< )DBC) = |AD| cos(< )ADB) , tj |BF| = |DE| .

B

Povucimo paralelu DE s krakom BC . Tako dobijemo trokut AED za cˇ iju povrˇsinu vrijedi: 8.52 · sin 72◦ · sin 58◦ 8.5 · v . = 2 sin 50◦ 2 Odatle najprije izraˇcunamo v = 8.95 cm , a zatim raˇcunamo povrˇsinu trapeza, P = 73.83 cm2 .

12. Za povrˇsinu bilo kojeg cˇ etverokuta s dijagonala- njih vrijedi ma e , f i kutom  izmedu 1 P = ef sin  pa je P = 110.12 cm2 . 2 13. Ako su a i c duljine osnovica trapeza, onda iz sustava jednadˇzbi a − c = 24 ctg 80◦ i a + c = 24 dobivamo a = 14.3 cm , c = 10.07 cm . sin 80◦ Zatim nalazimo d = 17.1 cm . U rjeˇsavanju zadatka primijenili smo pouˇcak o tangencijalnom cˇ etverokutu koji kaˇze da su zbrojevi duljina po dviju nasuprotnih stranica tangencijalnog cˇetverokuta jednaki.

Rjeˇsenja 6.5 1.

Kvadriramo li i zatim zbrojimo tri jednakosti a b c cos  = , cos  = , cos  = , dobit céD D D mo izravno jednakost cos2  + cos2  + cos2  =1 (slika). A

v

b

B

2.

a1

a2

a

g

C

1) Ako su a , b i c duljine bridova kvadra, D duljina njegove prostorne dijagonale, onda je

185


a b c sin  = , sin  = , sin  = , te nakon D D D kvadriranja i zbrajanja ovih triju jednakosti slijedi sin2  + sin2  + sin2  = 1 . √ √ b 2 + c2 a 2 + c2 , cos  = , 2) cos  = D D √ 2 2 a +b . Ove tri jednakosti valja kvacos  = D drirati i zbrojiti.

4.

6.

Stranice AP i CP trokuta ABV , odnosno BCV , teˇziˇsnice su dviju poboˇcki piramide. Njihove su duljine |AP| = 16.19 cm i |CP| = 14.58 cm . Pouˇckom o kosinusu izraˇcunamo kut pri vrhu P ,  = 58◦ 5 . a Duljina boˇcnog brida b piramide je b =  . 2 sin 2 Promotrimo presjek piramide ravninom koja prolazi vrhom√i dijagonalom osnovke. Tada je √  a 2 = 2 sin . No, cos2  = sin  = 2b 2 b 2  = cos  te je R = = 1 − 2 sin 2 2 cos  a . I konaˇcno je povrˇsina sfere jed√ 4 sin cos  2 a2  naka P = .  4 sin2 · cos  2


3.

nosno sin  = 0.8 . Konaˇcno, O = 104 cm2 , V = 64 cm3 (slika desno).

7.

Iz sustava ab = 60 , bc = 108 , ac = 45 nalazimo a = 5 cm , b = 12 cm , c = √ 9 cm . Duljine dijagonala iznose 15 cm, 13 cm i 106 cm . Primjenom pouˇcka o kosinusu odredujemo kutove: ◦ ◦ ◦ 79 14 , 58 22 i 42 24 . - dijagonala d1 i d2 (sliOdredimo kut izmedu ka desno). √ Najprije izraˇcunamo: d1 = 10 cm , d2 = 261 cm , d3 = 17 cm . I sad nalad2 + d22 − d32 zimo cos  = 1 = 0.2228 , te je 2d1 d2 ◦  = 77 7 28 . Na analogan naˇcin odrede se i ostala dva kuta:  = 34◦ 59 27 ,  = 67◦ 53 5 .

V

C c

c

j

b

q

h

b

S

B

b

a

a

g

b g

d

d

a

A

Uoˇci kako je  +  +  = 180◦ . Pokuˇsaj dokazati kako ovaj zbroj za svaki kvadar iznosi 180◦ . 5.

2

2

Najprije nalazimo |BD| = 17 , |AC| = 65 .

S

R

b

A

S

a

R

C

a

8.

V =  r3 sin 2 cos  ( V = 200.28 cm3 ).

9.

r = 4.68 cm , v = 9.3 cm , V = 213.3 cm3 .

10. Pouˇckom o sinusima izraˇcunamo x = 21.96 , y = 36.54 . p

c

b

a

c

v

g

b

a

v

h

P

b

d

P'

Zatim na trokute ABC i ABD primijenimo pouˇcak o kosinusu te imamo: a2 +b2 −2ab cos  = 17 i a2 + b2 + 2ab cos  = 65 . Te dvije jednakosti zbrojimo te dobijemo a2 + b2 = 41 , sˇ to s a + b = 9 daje a = 5 cm , b = 4 cm . Iz 4ab cos  = 48 slijedi cos  = 0.6 , od-

186

j

r

1 Povrˇsina trokuta ABV je P = ·25 ·x·sin 102◦ , 2 ali ona je jednaka i r · s , gdje je r polum-

ˇ O TROKUTU POUCCI

13. Najprije izraˇcunamo a = 20.91 cm , zatim va = r = 19.35 cm . O = r (2a+b+c) = 1679.97 cm2 , 2 V = r2  a = 5219.45 cm3 (slika). 3

b


1 jer kugle, a s = (x + y + 25) . Izjednaˇcimo 2 ova dva izraza za povrˇsine, te iz tako dobivene jednakosti nalazimo r = 6.43 cm . Konaˇcno, 4 V = r3  = 354.46 cm3 . 3 11. Neka je v visina stoˇsca, r polumjer njegove os- vinovke, s duljina izvodnice, a  kut izmedu 2 sine i izvodnice. Iz r s = kr  slijedi s = kr , 1 odnosno sin  = . Iz pravokutnog trokuta k √ k2 − 1 CBV imamo r = 2R sin  cos  = 2R k2 2 k − 1 i v = 2R cos2  = 2R 2 . Obujam stoˇsca je k 1 2 8 3 k2 −1 2 V= r  v= R  . 3 3 k3 V

a

v

S

s

R

B

A

C

a

a

c

14. r = 1.545 cm , O = 13 cm2 , V = 16.25 cm3 . 15. O = 1494 cm2 , V = 2979 cm3 .

4  P2 . Podatcima za P i b trokut nije 16. V = 3b - a time niti rotacijsko tijejednoznaˇcno odreden, lo. Ipak je obujam svih rotacijskih tijela uz te podatke jedinstven. Navedenu formulu dobivaa3  sin2  sin2  mo najlakˇse ako u izrazu V = 3 sin2  2P , a onda i sin  i sin  . zamijenimo sin  = bc

12. Neka je r polumjer osnovke stoˇsca, R polumjer osnovke polukugle, s izvodnica stoˇsca, 2 kut koji traˇzimo. V

a

a

A

S

B

 r(r + s) 18 . Lako Prema uvjetu zadatka je = 2R2  5 vidimo: r = s sin  , R = r cos  = s sin  cos  , te nakon uvrˇstavanja u navedenu jednakost ima18 1 + sin  . Preostaje rijeˇsiti ovu = mo 2 2 sin  cos  5 jednostavnu trigonometrijsku jednadˇzbu. Ona je ekvivalentna s 36 sin2  − 36 sin  + 5 = 0 , te 5 1 imamo dva rjeˇsenja sin  = ili sin  = . 6 6

187

ˇ ˇ ˇ RJESENJA TOCNO-NETO CNO PITALICA


ˇ ˇ Rjesˇ enja TOCNO-NETO CNO pitalica

Str. 19.

Str. 58.

Str. 78.

Str. 114.

Str. 162.

1.

1.

1.

1.

1.

2.

2.

2.

2.

2.

3.

3.

3.

3.

3.

4.

4.

4.

4.

4.

5.

5.

5.

5.

5.

6.

6.

6.

6.

6.

7.

7.

7.

7.

7.

8.

8.

8.

8.

9.

9.

9.

9.

10.

10.

10.

10.

11.

188

11.


Kazalo pojmova adicijski teorem za kosinus, 61 — —, za sinus, 64 — —, za tangens, 64 amplituda sinusoide, 86 arkus kosinus, 37 —, sinus, 33 —, tangens, 40 asimptota funkcije tangens, 92 brojevna kruˇznica, 16 cikliˇcna zamjena, 144 drugi krak kuta, 3 eksponencijalno preslikavanje, 16 Euler, Leonhard, 95 fazni pomak, 86 formule redukcije, 62, 65 funkcija, neparna, 49 —, parna, 49 —, periodiˇcna, 51 glavna mjera kuta, 5, 17 grad, 8, 29 graf funkcije kosinus, 85 — —, kotangens, 94 — —, sinus, 82, 83 — —, tangens, 92 —, sinusoide, 87 Heronova formula, 141, 142 jednadˇzbe trigonometrijske, homogene, 108 — —, koje se svode na algebarske, 107 — —, osnovne, 104 kosinus, 22 kotangens, 25 kruˇzna frekvencija, 86 kut, 3 linearna trigonometrijska jednadˇzba, 109 negativni smjer vrtnje, 3 najveći cjelobrojni dio, 6 opće rjeˇsenje, 105 orijentirani kut, 3

paralelogram, 149 parnost i neparnost, 49 period, 51 periodiˇcna funkcija, 51 periodiˇcnost trig. funkcija, 51 pomak sinusoide, 86 ponaˇsanje funkcije kotangens, 94 — —, sinus, 82 — —, kosinus, 85 — —, tangens, 93 pouˇcak o kosinusu, 134 — —, sinusima, 125 povrˇsina cˇetverokuta, 152 —, trokuta, 140, 141, 143 pozitivni smjer vrtnje, 3 predznaci trig. funkcija, 26 pretvorba radijana u stupnjeve, 11 —, stupnjeva u radijane, 9 prvi krak kuta, 3 radijan, 8 radijanska mjera kuta, 8 sferni trokut, 95 simetrale kutova trokuta, 145 sinus, 22 sinusoida, 86 stanje (mod) raˇcunala, 38 stupanj, 8, 26 tangens, 24 temeljni period, 51 tetivni cˇetverokut, 149, 153 teˇziˇsnice trokuta, 146 transformacije umnoˇska u zbroj, 75 —, zbroja u umnoˇzak, 76 trapez, 152 trig. funkcije dvostrukog kuta, 68 — —, poloviˇcnog kuta, 70 univerzalna zamjena, 71 Viète, Francois, 95, 151 visine trokuta, 144 vrh kuta, 3

189

OG LE DN IP RIM JE RA K Zagreb, prosinac 2013.

Matematika 3/1

Recommend Documents