Matematicas1 Ortiz

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Este libro pertenece a la Serie Integral por Competencias, que Grupo Editorial Patria lanza con base en los nuevos programas de la Dirección General de Bachillerato (DGB), además cubre 100% los planes de la reforma y el Marco Curricular Común propuesto por la Secretaría de Educación Pública (SEP). Te invitamos a trabajar con esta nueva serie, totalmente rediseñada y descubrir la gran cantidad de recursos que proporciona. En esta edición seguimos los cambios pedagógicos que realizó la DGB, en los que se integran objetos de aprendizaje, desempeños al concluir el bloque, competencias a desarrollar; además proponemos secciones de gran utilidad como: Situaciones didácticas Secuencias didácticas Rúbricas Portafolios de evidencias Actividades de aprendizaje Instrumentos de evaluación (Listas de cotejo y Guías de observación), entre otras. Para el profesor, se incluye una guía impresa que ha sido especialmente realizada para facilitar la labor docente; en nuestro portal para esta serie, alumno y profesor encontrarán diversos objetos de aprendizaje en la dirección:

MATEMATICAS 1

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DGB Serie integral por competencias

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MATEMATICAS Francisco José Ortiz Campos

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Serie integral por competencias

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MATEMÁTICAS 1 Edición especial para Tabasco Francisco José Ortiz Campos

cuarta terceraedición edición2017 2015

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Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca, Azcapotzalco, 02400, Ciudad de México

Grupo Editorial Patria® División Bachillerato, Universitario y Profesional Dirección editorial: Javier Enrique Callejas Coordinación editorial: Alma Sámano Castillo Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado Solís Supervisión de producción editorial: Miguel Ángel Morales Verdugo Diagramación: Juan Castro Pérez Ilustraciones: Carlos Enrique León Chávez y José Luis Mendoza Monroy Fotografías: Thinkstock Todas las pantallas tienen ©, D.R. de WolframAlpha LLC y no pueden ser utilizados sin permiso.

Matemáticas 1.

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Edición especial para Tabasco Derechos reservados: ©2009, 2014, 2015, 2017, Francisco José Ortiz Campos ©2009, 2014, 2015, 2017, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.

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ISBN: 978-607-744-205-9 (Cuarta edición) ISBN: 978-607-744-205-9 (Tercera edición) ISBN: 978-607-438-543-4 (Segunda edición)

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ISBN: 978-607-438-108-5 (Primera edición)

Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca, Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, Ciudad de México Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro núm. 43

sitio web: Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor. www.editorialpatria.com.mx

Impreso en México / Printed in Mexico Primera edición: 2009 Segunda edición: 2014

teléfono:

(0155) 53 54 91 00

Tercera edición: 2015 Cuarta edición: 2017

Grupo Editorial Patria®

Contenido

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Introducción a la asignatura y a tu libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Competencias genéricas del Bachillerato General. . . . . . . . . . . . . IX Competencias disciplinares básicas del campo de las matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX Las secciones de tu libro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X

Resuelves problemas aritméticos y algebraicos

Utilizas magnitudes y números reales

Realizas sumas y sucesiones de números

Realizas transformaciones algebraicas I

Realizas transformaciones algebraicas II

1.1 Representación de relaciones entre magnitudes .. . . . . . . . . 8 1.2 Modelos aritméticos o algebraicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1 Números reales: representación y operaciones .. . . . . . . . . . 39 2.2 Tasas, razones, proporciones y variaciones .. . . . . . . . . . . . . . . 50

3.1 Representación de relaciones entre magnitudes .. . . . . . . . . 66 3.2 Modelos aritméticos o algebraicos .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74



III

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Resuelves ecuaciones lineales I

Resuelves ecuaciones lineales II

Resuelves ecuaciones lineales III

6.1 Representación de relaciones entre magnitudes .. . . . . . . . . 136 6.2 Uso de la calculadora, graficadora y/o una computadora. . 141 6.3 Modelos aritméticos o algebraicos .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

7.1 Representación de relaciones entre magnitudes.. . . . . . . . . 172 7.2 Modelos aritméticos o algebraicos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174



Resuelves ecuaciones cuadráticas I

Resuelves ecuaciones cuadráticas II

10.1 Representación de relaciones entre magnitudes .. . . . . . . . 237 10.2 Modelos aritméticos o algebraicos .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

Glosario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 Vínculos en Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

IV


Introducción a la asignatura y a tu libro

Francisco José Ortiz Campos

El contenido temático de esta cuarta edición especial para Tabasco de Matemáticas 1 se ha modificado y enriquecido para adecuarlo al programa vigente de la asignatura. Esta obra se desarrolla en diez bloques que son:

Bloque 1 Resuelves problemas aritméticos y algebraicos Inicia con el planteamiento y resolución de problemas aritméticos. A través del lenguaje algebraico se busca generalizar la aritmética. Se proponen algunos problemas para cuya resolución se puede recurrir a su representación por medio de figuras geométricas o dibujos.

Bloque 2 Utilizas magnitudes y números reales El concepto de valor absoluto se utiliza como antecedente de las operaciones con enteros. Se revisan las operaciones con racionales. Incluye múltiplos y divisores, mínimo común múltiplo y máximo común divisor. Las razones y proporciones aparecen como antecedente de la variación proporcional directa e inversa.

Bloque 3 Realizas sumas y sucesiones de números Se trata lo relacionado con las sucesiones lineales y geométricas así como la determinación de la suma de sus series correspondientes.

Bloque 4 Realizas transformaciones algebraicas I Trata lo relacionado con las operaciones de polinomios con una variable, algunos productos notables y su factorización, triángulo de Pascal y binomio de Newton.

Bloque 5 Realizas transformaciones algebraicas II Trata lo relacionado con la factorización de trinomios de la forma x2 1 mx 1 n y ax2 1 bx 1 c V

Introducción a la asignatura y a tu libro

Para terminar el bloque, se desarrolla el tema de simplificación de fracciones algebraicas en la que tienen aplicación los conceptos antes estudiados.

Bloque 6 Resuelves ecuaciones lineales I Aborda ecuaciones de primer grado con una incógnita; se establece la relación entre la ecuación de primer grado y la función lineal; se hace la interpretación gráfica de la función lineal y su relación con la ecuación de primer grado.

Bloque 7 Resuelves ecuaciones lineales II Los sistemas de ecuaciones simultáneas lineales con dos incógnitas son resueltos por métodos algebraicos, también se utiliza el método gráfico y se hace una interpretación de los casos que se presentan.

Bloque 8 Resuelves ecuaciones lineales III Los sistemas de ecuaciones simultáneas de tres ecuaciones con tres incógnitas se resuelven por reducción y con la regla de Cramer y se hace una interpretación de los casos en que es posible o no una solución.

Bloque 9 Resuelves ecuaciones cuadráticas I Inicia con el planteamiento de problemas que dan lugar a una ecuación cuadrática con una incógnita como modelo matemático, se revisan los métodos algebraico y gráfico para resolverlos, así como la fórmula general y se analiza la naturaleza de las raíces de la ecuación.

Bloque 10 Resuelves ecuaciones cuadráticas II Aborda ecuaciones de segundo grado con una incógnita; se establece la relación entre la ecuación de segundo grado y la función cuadrática; se hace la interpretación gráfica de la función cuadrática y su relación con la ecuación de segundo grado. Cada bloque inicia con su nombre e incluye: objetos de aprendizaje, las competencias a desarrollar y los desempeños por alcanzar; una introducción, una propuesta de trabajo, un conjunto de ejercicios y problemas como propuestas de situaciones didácticas. En esta obra se dan a conocer algunos lineamientos de carácter general sobre la metodología de trabajo de acuerdo al enfoque por competencias. Para ello se parte de ejemplos concretos en los que se explica cada una de las partes que integran la propuesta. A continuación se presentan problemas que se pueden considerar como situaciones didácticas para efectos del diseño de propuestas de trabajo con los alumnos. El enfoque por competencias considera la aplicación del conocimiento para resolver situaciones específicas. En ese proceso entran en juego las habilidades, capacidades, valores, etc., de los sujetos en quienes se desea desarrollar una competencia específica. La experiencia adquirida en la práctica educativa nos ha enseñado que debemos partir de lo que el alumno sabe para consolidar y aplicar su conocimiento. La propuesta de trabajo en esta obra consiste en presentar problemas concretos a resolver por el alumno. En el caso de que el estudiante no pueda resolver el problema planteado se le apoyará con teoría y ejemplos resueltos. Hecho lo anterior podrá regresar a resolver el problema planteado. Persiste el propósito de apoyar a docentes y estudiantes en sus respectivas actividades. Para el y la docente ofrece una metodología de trabajo acorde con el enfoque por competencias. Al inicio de cada bloque se presentan propuestas de actividades que incluyen los siguientes puntos:

VI


Competencia Es la competencia a desarrollar de acuerdo con el programa.

Situación didáctica Constituye la dificultad a resolver por el alumno, de manera que éste ponga en juego sus aptitudes, capacidades, habilidades, destrezas, valores, etc.

Secuencia Se refiere a las acciones a realizar por el alumno tanto en forma individual como por equipo. Las preguntas que se incluyen para realizar la investigación pueden orientar al alumno sobre las acciones a desarrollar para resolver la situación didáctica. En el trabajo a realizar por el alumno, individual y por equipo, se describen las acciones a realizar. Estas acciones tendrán un peso en la evaluación.

Evaluación por producto Aunque se pueden utilizar diferentes formas de evaluación, la evaluación por producto evidencia el grado de avance del alumno en el desarrollo de una competencia.

Rúbrica de evaluación Incluye los elementos considerados para la evaluación. Se trata de hacer transparente los citerios de evaluación de manera que el alumno sepa cómo se le asignó una calificación. Los grupos de ejercicios y problemas que se proponen como situaciones didácticas son de dificultad creciente, debidamente seleccionados y jerarquizados para favorecer el avance en el proceso de aprendizaje y facilitar en el y la estudiante la autoevaluación.

Aplicación de la TICs En la actualidad el conocimiento está disponible para todos en cantidad de plataformas tecnológicas, recientemente hemos generado mucha información en casi todas las ramas del conocimiento, pero es importante diferenciar la información útil de la que no lo es, por esta razón es importante que el alumno aprenda a identificar las fuentes de información confiables de aquellas que no lo son. Esta obra proporciona la información teórica en un lenguaje accesible que induce al autoaprendizaje a través de la comprensión de los conceptos y su respectiva aplicación en la resolución de situaciones problemáticas concretas. Con ello se pretende que el y la estudiante adquieran la seguridad y confianza necesarias para enfrentar con éxito los retos que representan las situaciones didácticas propuestas, las cuales tienen cierta analogía con los ejemplos resueltos. Una vez que el y la estudiante puedan establecer relaciones entre el conocimiento que poseen y el nuevo que se les plantea, por ejemplo en un problema, estarán en condiciones de proponer el modelo matemático cuya solución resuelve el problema y, además, podrán analizar la estructura básica de los problemas que se les formulen, así como transitar el camino que conduce de una situación conocida a una nueva. A través de la obra se revisan y afirman conceptos del nivel medio básico que son antecedentes necesarios para introducir y desarrollar los conceptos que corresponden al nivel medio superior. Esperamos que esta segunda edición de Matemáticas 1 sea un apoyo y una herramienta para el proceso de enseñanza-aprendizaje, por lo mismo recibiremos con agrado todas las sugerencias que permitan mejorarla y enriquecerla. La autoevaluación y coevaluación son herramientas esenciales que se realizan entre pares para que el alumno sea motivado a reconocer su papel como integrante de un grupo cuyo objetivo principal es el logro del aprendizaje en el que es protagonistas y corresponsable. Para ello debe identificar y ejecutar la formación de juicios de VII

Competencias genéricas del Bachillerato General valor acerca de sí mismo y de los demás, de esta forma se pretende rescatar la experiencia del profesor en la evaluación, aunada a la reflexión que el grupo hace del trabajo general e individual, consciente de la responsabilidad que presenta emitir un juicio constructivo del trabajo de un compañero así como aceptar los que se hacen al trabajo personal. La heteroevaluación es una herramienta que se realiza entre personas que pertenecen a distintos niveles, es la evaluación que realiza una persona de otra, respecto de una actividad, trabajo, etcétera. Se refiere a la evaluación que lleva a cabo el profesor con respecto a los aprendizajes de los alumnos. También los alumnos pueden evaluar a los profesores. Francisco José Ortiz Campos

VIII


Competencias genéricas del Bachillerato General Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en capacidad de desempeñar, y les permitirán a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una con-

vivencia adecuada en sus ámbitos social, profesional, familiar, etc. por lo anterior estas competencias construyen el Perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato A continuación se enlistan las competencias genéricas:

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 3. Elige y practica estilos de vida saludable. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de modelos, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica con acciones responsables.

Competencias disciplinares básicas del campo de las matemáticas Competencias disciplinares básicas

Bloques de aprendizaje

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1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

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2. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.

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3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

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4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

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5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

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6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

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7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

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IX

Las

Secciones deTu libro Conoce tu libro

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Inicio de bloque

Realizas sumas y sucesiones de números Realizas sumas y sucesiones de números

Objetos de aprendizaje

3.1 Representación de relaciones entre magnitudes. 3.2 Modelos aritméticos o algebraicos.

2.

Agrega 5 términos a la progresión: 3, 8, 13, . . .

3.

Calcula el enésimo término y la suma de los términos de la progresión aritmética: 3, 7, 11, . . . (15 términos). 3. Calcula el enésimo término y la suma de los términos de la progresión aritmética: 3, 7, 11, . . . (15 términos). Dados 3 de los 5 elementos de la progresión aritmética a1 5 23, d 5 22, an 5 5 encuentra los otros 2. 4. Dados 3 de los 5 elementos de la progresión aritmética a1 5 23, d 5 22, an 5 5 encuentra los otros 2.

5.

Interpola tres medios aritméticos entre 21 y 33. 5.

Interpola tres medios aritméticos entre 21 y 33.

7. Para la progresión geométrica 2, 24, 8, . . . , encuentra la suma hasta el séptimo término. 7. Para la progresión geométrica 2, 24, 8, . . . , encuentra la suma hasta el séptimo término. 8. Interpola un medio geométrico entre 4 y 25. 8. Interpola un medio geométrico entre 4 y 25.

Objetos de aprendizaje

3.1 Representación de relaciones entre magnitudes.

9. Dados tres de los cinco elementos de la progresión geométrica donde a1 5 2, r 5 3, n 5 5, encuentra an y Sn. 9. Dados tres de los cinco elementos de la progresión geométrica donde a1 5 2, r 5 3, n 5 5, encuentra an y Sn. 10. Halla la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente: 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, . . . 10. Halla la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente: 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, . . .

3.2 Modelos aritméticos o algebraicos.

Desempeños por alcanzar


Competencias a desarrollar


Estos desempeños son los que se espera que logres al finalizar cada bloque, te posibilitan poner en práctica tus conocimientos, habilidades y actitudes al realizar cada una de las actividades propuestas en este libro.

Identifica y diferencia las series y sucesiones numéricas así como sus propiedades. de términos de las sucesiones. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos, variacionales, la científicos. mediante la aplicación de y sucesiones asíelcomo sus propiedades. de términos de lasensucesiones. para Construye e interpreta modelosy matemáticos Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos símbolosnuméricas matemáticos Clasifica lascon sucesiones en aritméticas y geométricas. Identifica y diferencia las series Realiza cálculosnuméricas obteniendo enésimo término y el valor de cualquier término comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos, variacionales, para la y científicos. sucesión aritmética yygeométricas. geométrica tanto finita como infinita mediante fórmulas Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera Clasifica las sucesiones numéricas en aritméticas Realizalas cálculos obteniendo el enésimo término y el valor de cualquier término en Determina patrones de senos y sucesiones aritméticas y geométricas. comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. correspondientes. reflexiva. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. sucesión aritmética y geométrica tanto finita como infinita mediante las fórmulas Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera Determina patronesy de senos y sucesiones aritméticas y geométricas. Construye gráficas para establecer el comportamiento de sucesiones aritméticas correspondientes. reflexiva. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. Soluciona problemas aritméticos y algebraicos usando series y sucesiones aritméticas Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos Asume una actitud constructivista, congruente con los conocimientos y geométricas.

Construye gráficas para establecer el comportamiento de sucesiones aritméticas y y algebraicas. geométricas. Emplea la calculadora para la verificación del resultado en los cálculos de obtención Emplea la calculadora para la verificación del resultado en los cálculos de obtención

matemáticos y los contrasta con modelos establecidos en situaciones habilidades los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. reales. Explica e interpreta los resultados obtenidoscon mediante procedimientos Asume una actitud constructivista, congruente con los conocimientos y

Esta sección constituye una propuesta de evaluación diagnóstica que te permitirá establecer las competencias y conocimientos con los que cuentas, para así iniciar la obtención de conocimientos y capacidades nuevas.


6. Para la siguiente progresión geométrica 1, 2, 4, . . . , encuentra el décimo término. 6. Para la siguiente progresión geométrica 1, 2, 4, . . . , encuentra el décimo término.

Competencias por desarrollar Se trata de una conjunción de competencias disciplinares a lograr en cada bloque, que te permiten demostrar la capacidad Competencias que tienesa desarrollar para aplicar tus conocimientos en situaciones de la vida personal o social, ya que al mismo tiempo pondrás en práctica tus destrezas, habilidades y actitudes.

Forma una progresión aritmética de 7 términos en la que el primer término sea 5 y la diferencia sea 3. 1. Forma una progresión aritmética de 7 términos en la que el primer término sea 5 y la diferencia sea 3.

4.

B LO Q U E

¿Qué sabes hacer ahora?


1.

2.

3 3

En los objetos de aprendizaje encontrarás los contenidos estructurados, integrados y B LO Q U E contextualizados con una secuencia lógica y disciplinar, y que son de gran relevancia y Objetos de aprendizaje pertinencia para el nivel educativo en el que te encuentras.

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matemáticos y los contrasta con modelos establecidos en situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural

habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

para determinar o estimar su comportamiento.

Situación didáctica



¿Cómo lo resolverías?

Secuencia didáctica

¿Cómo sabes que lo hiciste bien? ¿Qué tienes que hacer?

Forma equipos para resolver el problema.

Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan.

Que cada equipo represente, mediante dibujos, las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver el problema.

Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.

Cada equipo debe investigar: ¿Cuál es el primer término de la sucesión?


Rúbrica


Un jardinero debe depositar una carretilla de tierra al pie de cada uno de los 30 árboles que están a un lado de una calzada. Los árboles están a intervalos de 6 metros y el montón de tierra está a 10 metros del primer árbol. ¿Qué distancia habrá recorrido después de haber terminado su trabajo y regresado la carretilla al montón de tierra?

En cada bloque iniciamos con una situación didáctica que bien puede ser resolver un problema, realizar un experimento, un proyecto, una investigación o una presentación, o bien elaborar un ensayo, un video, un producto, una campaña o alguna otra actividad que permita que adquieras un conocimiento y competencias personales o grupales, a través de un reto.

Soluciona problemas aritméticos y algebraicos usando series y sucesiones aritméticas y algebraicas.

¿Cómo se determina el n-ésimo término?

Producto a elaborar

¿Qué fórmula debe utilizar para calcular el n-ésimo término?

Determinación del primer término de la sucesión.

¿Cómo se determina la suma de los n términos? ¿Qué fórmula debe utilizar para calcular la suma de los n términos?

Fórmula y cálculos realizados para la obtención del n-ésimo término.

Trabajo individual

Fórmula y cálculos realizados para la obtención de la suma de los n términos.

Las rúbricas son métodos prácticos y concretos que te permiten autoevaluarte y así poder emprender un mejor desempeño. Puedes encontrar tanto actitudinales como de conocimientos.

Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.

¿Qué tienes que hacer?

Rúbrica

¿Cómo sabes que lo hiciste bien?

Para determinar la distancia recorrida que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos.

La secuencia didáctica es una guía para que puedas adquirir los conocimientos y desarrollar habilidades a través de una metodología que facilite y dirija tus pasos. Son además descriptores de procesos que por el análisis detallado facilitan tu actividad y tus resultados.

Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes. 57


Glosario

Ejercicios Los ejercicios propuestos en este libro te ayudarán a movilizar y consolidar los conocimientos adquiridos en situaciones reales o hipotéticas, mismas que te llevarán a un proceso de interacción, seguridad y soltura durante tu aprendizaje.


a2 2 b2 5 (a 1 b)(a 2 b) Entonces, factorizar una diferencia de cuadrados significa buscar dos binomios conjugados cuyo producto sea la diferencia de cuadrados dada.

5 (x 1 y 1 5z )(x 1

Cero de la función. Es un punto de intersección de la gráfica de la

Función cuadrática en x. Es aquella que en la que su mayor exponente es 2.

Carpinteyro Vigil, Eduardo y Rubén B. Sánchez Hernández. Álgebra, Publicaciones Patria Cultural, México, 2002.

Función decreciente. Es la función lineal de pendiente negativa.

Cuéllar, José A. Matemáticas I para bachillerato, McGraw-Hill, México, 2003.

Función lineal. Es una regla de correspondencia que se representa geométricamente por un conjunto de puntos en línea recta.

Gobran, Alfonse. Álgebra elemental, Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1990.

Cóncava hacia arriba (abre hacia arriba) o cóncava hacia abajo (abre hacia abajo). Se refiere a la posición de la gráfica de una función cuadrática cuya incógnita es x.

Por tanto: 9x 2 2 16y 2 5 (3x 1 4y )(3x 2 4y ) A continuación se describe otra forma de determinar los binomios conjugados.

x 2 2 lineal o de primer grado. Tiene como representación x 1 x y 13y 42 5 x 4 21 2x 2y 2 1 y 4 2 x Ecuación y gráfica una línea recta. 8 x y 1 4 x2 y 2 2 5 (x 1 y ) 2 x 2y 2 Eje de simetría de una parábola: Es su eje focal. 4x2 y 2 2 5 (x 1 y 2 1 xy )(x 2 1 yExponente. 2 xy Indica ) el número de veces que la base se repite como factor. 1 1 Por tanto: Factorización de una expresión algebraica. Es convertirla en el 4 2 producto indicado de sus factores. x 4 1 x 2y 2 1 y145 (x 2 1 xy 1 y 2)(x 2 2 xy 1 y 2) Formas de la ecuación de una recta. Se refiere a las distintas expresiones algebraicas de la ecuación.  2 

1 9 x 5 3x 16 y 9 x 2

16 y 5 4y

21

2

Los binomios conjugados se forman con la suma y la diferencia de las raíces, es decir: (3x 1 4y ) y (3x 2 4y ) entonces: 9x 2 2 16y 2 5 (3x 1 4y )(3x 2 4y ) Los casos especiales de la factorización de una diferencia de cuadrados son:

3

8

Así, en la factorización de x 2 y se obtiene:

a3 1 b3 5 (a 1 b)(a2 2 ab 1 b2) a3 2 b3 5 (a 2 b)(a2 1 ab 1 b2) Ejemplos Factoriza 27x 3 1 y 3

2.

Factoriza 27x 3 2 8y 3

27x 3 1 y 3 5 (3x )3 1 y 3 5 (3x 1 y )(9x 2 2 3xy 1 y 2) 27x 3 2 8y 3 5 (3x )3 2 (2y )3 5 (3x 2 2y )(9x 2 1 6xy 1 4y 2)

5 (x 4 1 y 4)(x 2 1 y 2)(x 2 2 y 2) 5 (x 4 1 y 4)(x 2 1 y 2)(x 1 y )(x 2 y )

x 4 2 (m 2 n)2 5 [x 2 1 (m 2 n )][x 2 2 (m 2 n )] 2

2

5 (x 1 m 2 n )(x 2 m 1 n )

3

De manera semejante:

1.

3.

Factoriza x 6 1 y 6 x 6 1 y 6 5 (x 2)3 1 (y 2)3 5 (x 2 1 y 2)(x4 2 x 2y 2 1 y 4)

4.

Factoriza x 9 2 y 12 x 9 2 y 12 5 (x 3)3 2 (y 4)3 5 (x 3 2 y 4)(x 6 1 x 3 y 4 1 y 8)

91

X

Imagen. Es el conjunto de valores que puede tomar la función dentro de su dominio de definición.

Leithold, Louis. Álgebra y trigonometría con geometría analítica, Oxford University Press México, México, 1994. Oteyza, Elena et al. Álgebra, Pearson Educación, México, 2003.

Intervalo. Es un conjunto de valores de la recta numérica comprendidos entre dos valores extremos.

Peterson, John C. Matemáticas básicas. Álgebra, trigonometría y geometría analítica. Compañía Editorial Continental (CECSA), México, 1998.

Matriz aumentada. Está formada por los coeficientes de las variables y los términos independientes.

Phillips, Elizabeth P., Thomas Butts y Michael Shaughnessy. Álgebra con aplicaciones, Harla, México, 1988.

Matriz cuadrada. Es aquélla en la que el número de renglones es igual al número de columnas.

Smith, Stanley A et al. Álgebra, Adisson-Wesley Iberoamericana, México, 2001.

Matriz de coeficientes. Está formada por los coeficientes de las variables del sistema. Matriz escalonada. Es aquélla en la que son cero los valores que están por debajo de la diagonal principal. Máximo común divisor de 2 o más números. Es el mayor de los divisores comunes de dichos números.

Otras herramientas

Medio aritmético. Es uno o varios términos comprendidos entre los extremos de una progresión aritmética.

Vínculos en Internet

Medio geométrico. Es uno o varios términos comprendidos entre los extremos de una progresión geométrica.

http://www.matworks.com

Mínimo común múltiplo de 2 o más números. Es el menor de los múltiplos comunes de dichos números.

http://www.wolframreseareh.com http://www.geoan.com

Tu libro cuenta también con glosario, bibliografía, vínculos en Internet, líneas de tiempo, diagramas, mapas conceptuales, además de atractivas imágenes y otras muchas secciones y herramientas que te resultarán muy útiles y complementarán tu aprendizaje. 233

entonces

x 8 2 y 8 5 (x 4 1 y 4)(x4 2 y 4)

b) Cuando los cuadrados son polinomios, como en x4 2 (m 2 n)2, se considera (m 2 n) como un monomio y se factoriza de la siguiente forma:

Fracción decimal periódica. Es aquélla en la que una o varias cifras se repiten formando un periodo.

a 1b 5 a2 2 ab 1 b2 a 1b

a) Cuando uno de los binomios conjugados es una diferencia de cuadrados es necesario continuar la factorización. 8

2 2

2 Factorización de la suma diferencia x 2 1 xy 1 1  x 1de1 cubos 5  El cociente de a3 1 b3 entre 4 a 1 b es: 2 

Obtén la raíz cuadrada principal (o positiva) de los términos cuadráticos: 2

Constante. Es un valor que no cambia ya sea que se represente por yun2número 5z ) o por una letra. Contradominio. Es el conjunto de valores que toma y.

4

Factoriza la expresión 9x 2 2 16y 2. El primer término 9x 2, es el cuadrado de 3x, término común de los dos binomios conjugados que se buscan. El segundo término 216y 2, es el producto de 4y por 24y, términos simétricos de los binomios conjugados que se buscan.

Es importante mencionar que a lo largo de los bloques encontrarás diferentes ejemplos y ejercicios que tienen la finalidad de propiciar y facilitar tu aprendizaje.

Britton, Jack R. e Ignacio Bello. Álgebra y trigonometría contemporáneas, Harla, México, 1982.

d) Cuando un polinomio se puede expresar como una diferencia Criterio de la vertical. Se utiliza para determinar si la represende cuadrados mediante el artificio de sumar y restar el mismo tación geométrica de una gráfica corresponde o no a una función. que si el término. Por ejemplo: en x 4 1 x 2y 2 1 y 4 se observa Determinante. Es el valor que corresponde a una matriz. segundo término fuera 2x 2y 2 se tendría un trinomio cuadrado Dominio. Es el conjunto de valores que toma x. perfecto factorizado por (x 2 1 y 2)2. Si se agrega y se quita al Ecuación de segundo grado con una incógnita. Es aquélla en la ax bx 1 2 2 y a, 1 se bobtiene: polinomio el término x 5 que el mayor valor de su única incógnita es 2.

Al factorizar una diferencia de cuadrados se obtienen dos binomios conjugados en el que uno es _______________ y el otro es _________________ de las raíces.

Ejemplos

Ejemplos

Barnett, Raymond A. Álgebra y trigonometría, McGraw-Hill, México, 1986.

Función creciente. Es la función lineal de pendiente positiva.

5 [(x 1 y ) 1 5z ][(x 1 y ) 2 5z ]

Actividad de aprendizaje

Bibliografía Función. Es una regla de correspondencia en la que a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo un elemento del contradominio. Es una relación de dependencia entre dos variables.

Binomio. Polinomio de dos términos. el eje x. c) Cuando un polinomio se puede expresar comofunción una con diferencia de cuadrados reordenando sus términos, comoCoeficiente. en: Factor que indica el número de sumandos iguales.

x 2 1 2xy 1 y 2 2 25z 2 5 (x 1 y )2 2 25z 2


235

BLOQUE

4



Hay una asombrosa imaginación, incluso en la ciencia de las matemáticas… Repetimos, hay mucha más imaginación en la cabeza de Arquímedes que en la de Homero.

Voltaire

Introducción La terminología y notación del lenguaje algebraico se aplica en la adición, sustracción, multiplicación y división de polinomios con una variable. Se trata lo relacionado con algunos productos notables y su respectiva factorización. Se hace una introducción al teorema del binomio de Newton donde se utiliza el triángulo de Pascal.

4.1 Representación de relaciones entre magnitudes Operaciones de suma, resta y multiplicación de polinomios en una variable Un polinomio es una expresión algebraica que se forma con variables y números reales que se relacionan mediante las operaciones de adición, sustracción y multiplicación. Los signos 1 y 2 se utilizan para separar los términos de un polinomio. A los polinomios compuestos por un solo término se les llama monomios; a los que tienen dos términos, binomios, a los que tienen tres, trinomios. Cuando un polinomio tiene una sola variable se le puede clasificar de acuerdo con el exponente de su término de mayor grado, así: 2x5 2 3x4 1 2x3 2 x2 1 1 es un polinomio de quinto grado. Para tu reflexión

Anécdota de Albert Einstein (1879-1955) El joven Einstein esperaba en la antesala del director de la famosa Academia Politécnica de Zurich, Suiza. Fue recibido cordialmente y el presidente le dijo que la Academia se honraría si aceptaba el puesto de profesor. Einstein recordó cuando fue rechazado por dicha Academia como estudiante, años

atrás. Sin embargo, dicho nombramiento le brindaba la oportunidad de continuar sus investigaciones científicas y aceptó.

Aplica lo que sabes

Ejemplos

Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente:

2 2 Suma 5 x − 3x + 5 y 2 x + x − 3

Investiga cuándo se fundó la comunidad donde vives.

Einstein tenía una mente inquieta e inquisitiva para los temas que le interesaban. A la edad de cinco años lo fascinó la brújula de su padre y no cesaba de cuestionarlo sobre ella. Posteriormente un estudiante de medicina, Max Talmey, visitó su casa y le prestó sus libros de ciencias naturales y matemáticas. Einstein los leyó con gran interés y descubrió que había encontrado lo que le interesaba.

Solución:

(5 x 2 23x 1 5) 1 (2 x 2 1 x 23)5 (5x 2 1 2x 2 ) 1 (23x 1 x ) 1

(5 2 3)

2 5 (5 + 2)x + (− 3 + 1)x + 2

¿Cuánta población tenía en ese entonces?

5 7x 2 − 2x + 2

¿Cuántos años transcurrieron para que la población se duplicara?

El negocio de su padre no prosperaba y a Einstein no le interesaban los negocios, intentó la enseñanza mas no tuvo éxito, para entonces ya se había casado y tenía 2 hijos que sostener. Pudo obtener el puesto de empleado en la oficina de patentes y aunque el puesto era muy tedioso, le permitió terminar su doctorado y escribir algunos ensayos científicos.

Como se puede observar, la operación de adición se realizó asociando términos semejantes y operando con sus coeficientes numéricos.

¿En cuánto tiempo se volvió a duplicar? Compara resultados con tus compañeros del salón de clases.

El procedimiento se facilita cuando los términos de cada polinomio se disponen en orden decreciente y se colocan en la misma columna los términos semejantes.

Investiga:

En 1905, cuando todavía trabajaba en la oficina de patentes, publicó su primera versión de la teoría de la relatividad. Einstein descubrió que la velocidad de la luz es la única magnitud que se mantiene constante, lo demás es relativo. Todo lo que está sobre la Tierra y en el Universo se encuentra en movimiento constante.

Cuando tu escuela inició sus labores, ¿cuántos alumnos tenía?

Para Newton, el tiempo era constante e invariable. Einstein demostró que el tiempo era una variable, una cuarta dimensión que debía agregarse a las tres dimensiones aceptadas del espacio. Al acercarse uno a la velocidad de la luz el tiempo se torna más lento. El tiempo depende del lugar donde te encuentres. Un año en el planeta Júpiter es más largo que un año en la Tierra porque Júpiter necesita más tiempo para girar alrededor del Sol.

Investiga cómo se ha dado el crecimiento de la población de nuestro país entre los años de 1900 y 2000. Elabora una gráfica en la que se ilustre el crecimiento, con intervalos de 10 años en el eje horizontal y de 10 millones de habitantes en el eje vertical.

Diez años más tarde, en una segunda obra sobre los aspectos de la relatividad, Einstein ofreció un nuevo concepto de la gravitación. Declaró que no hay una fuerza absoluta de gravedad que atraiga los objetos, como había sostenido Newton, sino que toda masa tiene dentro de sí una fuerza que está en proporción con su masa, la cual atrae los objetos; por esta fuerza se da la curvatura del Universo y las variaciones en las órbitas de los cuerpos celestes.

Elabora en una cartulina o papel bond los resultados de tu investigación y compártelo, con tus compañeros.

¿Cuántos alumnos de primer ingreso tienen actualmente? Investiga cuál era la población de nuestro país en 1900.

1

Investiga cuál era la población de nuestro país en el año 2000.

Dado que la variable del polinomio representa a un número real, se pueden aplicar las propiedades de las operaciones con estos números. Actividad de aprendizaje

2x 2 + x − 3

Para la de sustracción de polinomios se debe tomar en cuenta que a 2 b 5 a 1 (2b); esto es, minuendo menos sustraendo equivale a sumar al minuendo el inverso aditivo (o simétrico) del sustraendo. Ejemplos 3 3

+ 3x 2 − 7 x + 1) − ( 2 x 3 − 2 x 2 + 3x − 5 ) =

+ 3x 2 − 7 x + 1) + ( − 2 x 3 + 2 x 2 − 3x + 5 )

5 ( 6 − 2 ) x 3 + ( 3 + 2 ) x 2 + ( − 7 − 3 ) x + (1 + 5 ) 5 4 x 3 + 5 x 2 − 10 x + 6 Para facilitar el procedimiento disponemos en orden decreciente y colocamos en la misma columna términos semejantes. 2

6 x 3 + 3x 2 − 7 x + 1 2 x 3 − 2 x 2 + 3x − 5

Esta operación se puede transformar en una suma al cambiar los signos de todos los términos del polinomio que se resta.

En una sustracción, minuendo menos sustraendo equivale a sumar al minuendo

Una vez, cuando lo invitaron a visitar a la reina de Bélgica, se bajó del tren y caminó hasta el palacio llevando una maleta y su violín. Cuando la reina le preguntó por qué no había usado la limusina que le aguardaba, Einstein le respondió: “Era muy agradable caminar majestad”.

Grupo Patria® a Está diseñada para que puedas aplicar tusEditorial conocimientos situaciones de tu vida diaria así como al análisis de problemáticas en tu comunidad y en el mundo en general, que te servirán para hacer propuestas de mejoras en todos los ámbitos.

7x 2 − 2x + 2

(6x (6x

Adición y sustracción de polinomios con una sola variable

A los 30 años de edad era famoso mundialmente. Durante la Primera Guerra Mundial se negó a ayudar a Alemania en su esfuerzo bélico. Manifestó: “Esta guerra es una depravación y un crimen salvaje, preferiría que me descuartizaran antes que participar en cosa tan abominable”. Entonces tuvo que irse a EUA y aceptar un puesto de investigador en el Instituto de estudios avanzados de Princeton, Nueva Jersey. En 1939 escribió una carta al presidente Roosevelt advirtiendo las posibilidades científicas de crear una bomba atómica. La decisión del presidente fue construir esa arma fantásticamente destructora.

5 x 2 − 3x + 5

Aplica lo que sabes

1

6 x 3 + 3x 2 − 7 x + 1 − 2 x 3 + 2 x 2 − 3x + 5 4 x 3 + 5 x 2 − 10 x + 6

del sustraendo.

Actividad de aprendizaje A lo largo del libro encontrarás diferentes actividades de aprendizaje, que de forma breve te permitirán reforzar los conocimientos y competencias adquiridas a través de preguntas puntuales al desarrollo del bloque.

Tomada de Crowther, J. G. Six Great Scientists

83 82

Para tu reflexión Grupo Editorial Patria®

Tiene el propósito de enriquecer el conocimiento que estás adquiriendo con lecturas adicionales, notas informativas e información relevante para el tema que estás considerando. Esta información además de ser útil, te permite contextualizar diferentes perspectivas para la misma información.

Aplicación de las TICs

Aplicación de las TICs 1. Ahora que conoces diferentes conjuntos de números reales y su relación, consulta el sitio www.wolframalpha.com para contestar las siguientes preguntas. Tip: la plataforma WolframAlpha es un recurso computacional libre empleado para resolver inquietudes e incluso problemas de muchas disciplinas; esta herramienta está disponible únicamente en el idioma inglés, por lo que puedes apoyarte de tu profesor de esa materia, o bien, puedes emplear el traductor de Google (www.google.com/translate) para poder entender la plataforma. a) De los conjuntos reales que conoces, ¿cuáles son contables y cuáles no? Tip 1. Ingresa a WolframAlpha y escribe en el buscador la palabra “sets” (“conjuntos” en inglés).

Esta pantalla tiene Derecho Reservado de Wolfram Alpha LLC y no pueden ser utillizadas sin su permiso.

Instrumentos de evaluación Después de hacer lo anterior, se abrirá una nueva ventana de la que copiarás el texto.

Lista de cotejo

Son un conjunto de acciones y propuestas que te permitirán hacer una recolección, sistematización y un análisis de los desempeños y logros obtenidos a través del trabajo que realizaste durante cada bloque, éstos junto con el portafolio de evidencias, te ayudarán a obtener mejores resultados en las prácticas de evaluación que realice tu profesor(a). Tip 3. Ahora la plataforma te muestra la definición de “countable set” (conjunto contable), para saber qué dice haz clic en el botón “More information” (Más información).

BLOQUE

4



Apellido materno


Portafolio de evidencias

Nombre

Grupo

es

5. Determina el producto (1 2 z )3 sin efectuar la operación.

P (x ) 3x 4 + x 3 + 7 x 2 − 2 x − 6

El portafolio de evidencias es un método de evaluación que consiste en:

r Recopilar los diversos productos que realizaste durante cada bloque (investigaciones, resúmenes, ensayos, síntesis, cuadros comparativos, cuadros sinópticos, el reporte de prácticas de laboratorio, talleres, líneas de tiempo, entre otros), que fueron resultado de tu proceso de aprendizaje en este curso.

2. Determina el producto [(a 1 b) 1 c]2 sin efectuar la operación.

6. Desarrolla por el teorema del binomio (x 2 2y )6.

1. Realiza todas las evidencias y así podrás incluir las que elaboraste de manera escrita, audiovisual, artística, entre otras.

2. Haz un registro de los criterios que debes considerar al seleccionar tus evidencias de aprendizaje.

3. Todas las evidencias seleccionadas deben cumplir con el propósito del portafolio en cantidad, calidad y orden de presentación.

2. Selecciona aquellas que den evidencia de tu aprendizaje, competencias y desempeños desarrollados, y que te posibiliten reflexionar sobre ello.

3. Comentar con tu profesor(a) todas las dudas que tengas.

Asignatura 7. Factoriza la expresión r 4 1 r 3s 2 r 2s 2.

Número de bloques del libro

Nombre del estudiante:

Criterios de reflexión sobre las evidencias

Comentarios del estudiante:

¿Cuáles fueron los motivos para seleccionar las evidencias presentadas? ¿Qué desempeños demuestran las evidencias integradas en este portafolio?


¿Qué competencias se desarrollan con las evidencias seleccionadas? ¿Las evidencias seleccionadas cumplieron las metas establecidas en el curso?

2

8. Factoriza la expresión x 1 x y 1 x 1 y.

Monitoreo de evidencias

#

Título

Fecha de elaboración

Comentarios del profesor/a:

1 2

o,

Es una poderosa herramienta de análisis que te posibilitará verificar si has logrado algún desempeño, asimilar contenidos o si eres capaz de aplicar tus conocimientos, si has conseguido realizar un procedimiento de manera adecuada o si has obtenido soluciones correctas a un problema planteado. 7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente.

Conclusiones

3

5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del problema.

8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la argumentación del escrito. 9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas.

11. Representa algebraicamente una pizza y una orden de alitas de pollo.

3

13. Establece el sistema de ecuaciones simultáneas que representa las condiciones del problema y obtiene el valor unitario de cada Rúbrica pizza y orden de alitas de pollo.

15. Expresa las condiciones del problema mediante un sistema de ecuaciones simultáneas.

Nombre del alumno:

16. Calcula el valor de cadaExcelente pizza y de cada orden de alitasBueno de pollo. Criterios (4) (3)

4

Portafolio de evidencias 235

En el libro encontrarás diferentes sugerencias y actividades que, una vez realizadas, te permitirán construir un gran número de evidencias, algunas escritas otras a través de la exposición de temas o presentación de productos. Es importante que recuerdes que además de presentar la información, la manera en que lo hagas determinará el nivel de calidad con la que se perciba tu trabajo. Por ello se te invita siempre a realizar tu mejor esfuerzo.

Rúbrica Éstas te ayudan a verificar el desempeño logrado al realizar algún trabajo, producto o evidencia solicitados en cada bloque del libro. En general, es un listado de criterios o aspectos que te permiten valorar el nivel de aprendizaje, los conocimientos, habilidades, actitudes y/o desempeños alcanzados sobre un trabajo en particular. Puedes realizarlas de manera personal o como coevaluación.

Deficiente (1)

Ecuaciones lineales

Conoce el concepto de ecuación lineal con una incógnita. En la mayoría de los casos, plantea y expresa el modelo matemático de un problema.

Conoce el concepto de ecuación lineal con una incógnita. En algunos casos, plantea y expresa el modelo matemático de un problema.

No conoce el concepto de ecuación lineal con una incógnita. No plantea 171 ni expresa el modelo matemático de un problema.

Resolución de ecuaciones lineales en una variable

Aplica las propiedades de la igualdad. Resuelve ecuaciones lineales en una variable y problemas. Conoce los conceptos de función y relación.

Aplica las propiedades de la igualdad. En la mayoría de los casos, resuelve ecuaciones lineales en una variable y problemas. Conoce los conceptos de función y relación.

Aplica las propiedades de la igualdad. En algunos casos, resuelve ecuaciones lineales en una variable y problemas. Conoce los conceptos de función y relación.

No aplica las propiedades de la igualdad. No resuelve ecuaciones lineales en una variable ni problemas. No conoce los conceptos de función o relación.

Relación entre funciones y ecuaciones lineales

Representa gráficamente una ecuación lineal en dos variables. Determina la distancia entre dos puntos del plano.

En la mayoría de los casos, representa gráficamente una ecuación lineal en dos variables y determina la distancia entre dos puntos del plano.

En algunos casos, representa gráficamente una ecuación lineal en dos variables y determina la distancia entre dos puntos del plano.

No representa gráficamente una ecuación lineal en dos variables. No determina la distancia entre dos puntos del plano.

Conoce la influencia de los parámetros m y b en la representación gráfica de la función y 5 mx 1 b. Establece la relación entre la función lineal y la ecuación de primer grado.




Traza la gráfica de una función lineal. Distingue funciones crecientes y decrecientes.

En la mayoría de los casos, traza la gráfica de una función lineal. Distingue funciones crecientes y decrecientes.

En algunos casos, traza la gráfica de una función lineal. Distingue funciones crecientes y decrecientes.

No traza la gráfica de una función lineal. No distingue funciones crecientes ni decrecientes.

29

Aspecto a evaluar

92

Regular (2)

Conoce el concepto de ecuación lineal con una incógnita. Plantea y expresa el modelo matemático de un problema.

5

o,

al


12. Establece la relación entre el número de pizzas y el número de órdenes de alitas de pollo con la cantidad que se paga por ellas.

Indicaciones: 14.es para Comprende y lodeexpresa algebraicamente. Esta rúbrica valorar elel problema desempeño los estudiantes sobre los contenidos del bloque 6.

¿Qué mejoras existen entre las primeras evidencias y las últimas? 4. Determina el producto (3x 1 7)(3x 2 19) sin efectuar la operación.

4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible.

10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente.

Semestre

Observa los resultados del proceso de formación a lo largo del semestre, así como el cambio de los procesos de pensamiento sobre ti mismo y lo que te rodea, a partir del conocimiento de los distintos temas de estudio, en un ambiente que te permita el uso óptimo de la información recopilada. 3. Determina el producto (x 1 y 2 3)(x 2 y 1 3) sin efectuar la operación.

3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.

6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente.

Instrucciones para seleccionar las evidencias

1. Comenta con tu profesor(a) el propósito de tu portafolio y su relación con los objetos de aprendizaje, competencias a desarrollar, desempeños esperados, entre otros elementos; acuerden el periodo de compilación de los productos (por bloque, bimestre, semestre).

Propósito del portafolio de evidencias

Observaciones

no

2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.

los más significativos en el proceso de aprendizaje.

Etapas para realizar tu portafolio de evidencias

sí

1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula.

r No vas a integrar todos los instrumentos o trabajos que realizaste; más bien, se van a integrar aquellos que tu profesor(a), considere son r Te permiten reflexionar y darte cuenta de cómo fue tu desempeño durante el desarrollo de las actividades de aprendizaje realizadas.

Q (x ) 5 − 2 x 4 − 3x 3 − 2 x 2 + 6 x + 3

cumple

Criterio

21

Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 4. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.

1. Determina P (x ) 2 Q (x )

Nombre del alumno:

Tip 4. Copia y pega el texto del rectángulo rojo en el recuadro de la izquierda del traductor de Google que se encuentra en www. google.com/translate. Observa como aparece la traducción en el recuadro de la derecha; si esto no sucede, presiona el botón que dice “Translate” (Traducir). Asegúrate que traducirá de inglés a español, puedes verificarlo haciendo clic sobre las flechas de cada recuadro.

Instrumentos de evaluación Apellido paterno

Lista de cotejo

Dominio del tema



Lista de cotejo para el reporte sobre la cantidad a pagar por cada pizza y cada orden de alitas de pollo de la página 160 del Bloque 7.

Presentación

Tip 2. Encuentra la sección “Topics” (Temas), busca “countable sets” (conjuntos contables) y haz clic en el enlace.

Desarrollo


Actividades que te posibilitarán vincular tus conocimientos de esta asignatura con las TICs

www.recursosacademicosenlinea-gep.com.mx Influencia de los parámetros en la gráfica de una función lineal

Al haber elegido este libro tienes acceso a nuestro sitio web, donde encontrarás material extra como videos, animaciones, audios y documentos que tienen el objetivo de ampliar tus conocimientos, dejar más claros algunos procesos complejos y actualizar de forma rápida y dinámica la información de todos los temas del plan de estudios de la DGB. XI Técnicas para graficar la función lineal

Comentarios Generales:

153

Resuelves problemas aritméticos y algebraicos Tiempo asignado:

8 horas

1

B LO Q U E Objetos de aprendizaje

1.1 Representación de relaciones entre magnitudes 1.2 Modelos aritméticos o algebraicos

Competencias a desarrollar n Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación

de procedimientos aritméticos, algebraicos y geométricos, para la comprensión y análisis de situaciones reales hipotéticas o formales. n Formula y resuelve problemas de porcentajes, descuentos e intereses,

etc., e interpreta los resultados obtenidos.

n Analiza las relaciones entre dos o más variables de diferentes

fórmulas matemáticas para determinar su comportamiento y lo interpreta utilizando tablas y gráficas. n Elabora modelos aritméticos o algebraicos sencillos de diversas

situciones, a través del trabajo colaborativo con una actitud constructiva y aportando sus puntos de vista.

w

¿Qué sabes hacer ahora? Responde las siguientes preguntas:

n Resuelve problemas aritméticos o algebraicos que el docente plantea

proponiendo la manera de solucionarlos, utiliza como apoyo la calculadora.

1.

Si n es un número natural, ¿2n es un número par?

2.

Una cartulina mide 45 centímetros de ancho por 64 centímetros de largo. Calcula su área en pulgadas cuadradas. Considera que una pulgada es igual a 2.54 centímetros.

3.

Expresa la fracción decimal 0.5 como fracción común e identifica el subconjunto de los números reales al que pertenece.

4.

En la expresión 3 3 (4 1 5), ¿qué operación se ejecuta primero?, ¿cuál viene luego?, ¿cuál es el resultado?, ¿cuál es el valor de 3 3 4 1 5?

5.

Efectúa las operaciones indicadas y obtén el resultado

6.

Si por el consumo de 50 metros cúbicos de agua se cobra una cuota fija de $127.48 y por cada metro cúbico adicional se cobra $4.41, calcula el número de metros cúbicos consumidos si se debe pagar $189.00.

7.

Efectúa la siguiente sustracción: (29) 2 (24) 5 y determina a qué subconjunto de los números reales pertenece la diferencia.

8.

Escribe la expresión algebraica del perímetro de un triángulo escaleno en el que sus lados miden a, b y c respectivamente.

9.

Expresa algebraicamente el cuadrado de un número.

10.

x ¿Cómo se lee la expresión ? 2

2(2 2)2 5 12(2 3)

Desempeños por alcanzar Identifica formas diferentes de representar números positivos, decimales en distintas formas (enteros, fracciones, porcentajes), y de los demás números reales. Jerarquiza operaciones numéricas al realizarlas. Realiza operaciones aritméticas, siguiendo el orden jerárquico al efectuarlas. Calcula porcentajes, descuentos e intereses en diversas situaciones. Emplea la calculadora como instrumento de exploración y verificación de resultados. Representa relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas situaciones. Soluciona problemas aritméticos y algebraicos.

1 BLOQUE




En una refinería uno de sus depósitos tiene forma cilíndrica. Sus dimensiones son: 42 m de diámetro y 20 m de altura. Sus paredes interiores requieren ser cubiertas con una capa de pintura especial de 2 mm de grueso. Investiga cuántos litros de pintura se necesitan.


Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver el problema.

Cada equipo debe investigar: ¿Cómo se puede calcular la superficie total del interior del depósito? ¿Cómo se puede calcular el volumen de pintura a partir del valor de la superficie que se quiere pintar? ¿Cuántos litros de pintura se necesitan, considerando que un litro equivale a un decímetro cúbico?

¿Qué tienes que hacer? tos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.

Evaluación por producto A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo: Presenta un modelo a escala del cilindro.

Producto a elaborar

Trabajo individual

Modelo a escala del cilindro.


Fórmulas y cálculos realizados para determinar el valor de la superficie a pintar y el volumen de pintura que se requiere, en litros

Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione concep-

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para determinar el número de litros de pintura que se piden se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedi4

miento por escrito tiene un valor de 3 puntos, y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.



El volumen de un cilindro recto es igual al producto de la base por la altura. Dos recipientes cilíndricos tienen, respectivamente, 75 y 100 mm de diámetro y 125 y 150 de altura. Un tercer recipiente



Cada equipo debe investigar: ¿Cómo se calcula el volumen de un cilindro recto? ¿Cuál es la fórmula? ¿Cuáles son los datos con los que se cuenta? ¿Cómo se puede determinar el valor de los datos que faltan?

¿Cómo lo resolverías? cilíndrico de 175 mm de altura contiene la suma de los volúmenes de los dos primeros, determinar su radio.


Evaluación por producto A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo: Presenta modelos a escala de los tres cilindros.

Trabajo individual

Producto a elaborar


Presentación de las fórmulas utilizadas, cálculos realizados y obtención del valor buscado


Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para determinar el radio de la base del cilindro que se pide debes anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos, y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

5

1 BLOQUE




Calcula el valor del polinomio 3x5 1 2x4 2 8x3 – 2x2 1 x 2 9 para x 5 1, x 5 21, x 5 4.


Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analiza las formas de resolver el problema.

Cada equipo debe investigar: ¿Cuáles son las leyes de los signos en la multiplicación?


Evaluación por producto

¿Cuál es el orden en las operaciones.

A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara.

Trabajo individual

En este ejemplo:


Producto a elaborar


Cálculo del valor numérico de una expresión algebraica.

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para determinar el valor numérico que se pide debes anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por es-

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crito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.


Propuestas de diseño para situaciones didácticas Parte I 1. Una tabla que mide 3 m se coloca verticalmente y proyecta sobre el suelo una sombra que mide 4 m. En ese mismo momento y lugar un edificio proyecta una sombra de 60 m, ¿cuál es la altura del edificio? 2. Considera que la distancia media de la Tierra al Sol es de 150 000 000 de km y la velocidad de la luz es de 300 000 km/s. ¿Cuánto tiempo, en minutos, tarda la luz del Sol en llegar a la Tierra? 3. ¿Cuántos minutos tiene un año? 4. Una hoja de papel mide 8 pulgadas de ancho por 11 de largo. Calcula su área en centímetros cuadrados. 5. Un atleta recorre los 100 metros planos en un tiempo de 9.8 segundos, ¿cuál es su velocidad promedio en km por hora? 6. Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 400 m/s, ¿a cuánto equivale esta velocidad en pies por s? 1 pie 5 30.48 cm. 7. Cuando un automóvil de carreras alcanza una velocidad de 300 km/h, ¿a qué velocidad equivale en millas por hora? 1 milla 5 1 609 m. 8. En un dibujo, ¿qué dimensión representan 5.6 cm a la escala 1:500? 9. En un mapa que tiene una escala de 1:400 000, ¿qué distancia en centímetros se debe utilizar para representar 100 kilómetros? 10. ¿Cuál es la medida real de un objeto que se representa por 5 cm en un dibujo hecho a la escala de 50:1? 11. Expresa como decimal cada uno de los siguientes números racionales: 5 2 7 3 55 2 7 3 5 5 2 7 3 5 a) b) c) 8 9 12 7 6 8 9 12 7 6 8 9 12 7 6 5 2 7 3 55 2 7 3 5 d) 3 e) 8 9 12 7 86 9 12 7 6 12. Expresa como cociente de dos enteros cada uno de los siguientes números decimales: b) 1.7 c) 1.26 a) 0.5 d) 2.345

e) 3.26

Parte II A) Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones verbales: 1. La suma de dos números.

2. La diferencia de dos números. 3. El producto de dos números. 4. El producto de tres números disminuido en cinco unidades. 5. El triple de un número. 6. El producto de dos factores iguales. 7. El cociente de dos números. 8. El cociente de la suma de dos números entre otro número. 9. El cociente de la diferencia de dos números entre otro número. 10. La suma de dos números dividida entre su diferencia. 11. El cuadrado de un número aumentado en 13 unidades. 12. El cubo de un número disminuido en seis unidades. 13. El triple del cuadrado de un número. 14. El doble del cubo de un número. 15. La raíz del producto de dos números. 16. El cuadrado de la suma de dos números. 17. La suma de los cuadrados de dos números. 18. El cuadrado de la diferencia de dos números. 19. La diferencia de los cuadrados de dos números. 20. El cubo de la suma de dos números. 21. La suma de los cubos de dos números. 22. El cubo de la diferencia de dos números. 23. La diferencia de los cubos de dos números. 24. La mitad del cuadrado de un número. 25. El cuadrado de la mitad de un número. 26. La tercera parte del cubo de un número. 27. El cubo de la tercera parte de un número. 28. El perímetro p de un triángulo cuyos lados son a, b, y c. 29. La distancia d que recorre un móvil con movimiento rectilíneo uniforme es igual al producto de la velocidad v por el tiempo t. 30. El área A de un rectángulo es igual al producto de la base b por la altura h. 31. El área A de un trapecio es igual al producto de la semisuma de las bases B y b por la altura h. 32. ¿Cuál es el número que agregado a 3 da por suma 8? 33. ¿Cuál es el número que disminuido en 5 da por diferencia 13? 34. ¿Cuál es el número que aumentado en 4 es igual a 10 disminuido del mismo número? 35. El triple de un número es igual al doble del otro 7

1 BLOQUE


Parte III B) Escribe en lenguaje común las siguientes expresiones algebraicas:

Cualquiera que sobresale del nivel medio ha recibido dos educaciones: la primera, de sus maestros, la segunda, más personal e importante, de sí mismo. Edward Gibbon

1. 2a 1 b

Introducción

2. abc 3. a 2 (b 1 c)

En este bloque se proponen problemas para cuya resolución se puede recurrir a figuras geométricas o dibujos.

4. 3(a 2 b) 5. (a 1 b) (a 2 b) a 1b ab (a 1b)(a 2b) (a 1b)2 d 6. ab 10 a 1b 2 v 2

a 1b ab (a 1b)(a 2b) (a 1b) 7. ab 10 a 1b 2 2

a 1b ab (a 1b)(a 2b) (a 1b) 8. ab 10 a 1b 2

d v

Se hace una introducción al lenguaje algebraico, terminología y notación.

1.1 Representación de relaciones entre magnitudes Representación de números positivos

9. 3a2 2

ab (a 1b)(a 2b) (a 1b) 10. a 1b ab 2 3 11. a 2 b3

d v

12. P 5 3a P 5 perímetro a 5 lado de un triángulo equilátero (a 1b)(a 2b) (a 1b)2 d 13. t 5 ab 2 v t 5 tiempo d 5 distancia v 5 velocidad 14. P 5 2(a 1 b) P 5 perímetro a y b 5 lados de un rectángulo 15. A 5 a2 A 5 área a 5 lado de un cuadrado

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d v

Se utilizan distintas formas de representación de números enteros positivos así como de números decimales.

Al resolver un problema aritmético se utiliza el sistema de numeración decimal que recibe este nombre porque tiene como base el número diez. En él se emplea el principio de posición y el cero. Los números positivos empleados en aritmética se representan en forma decimal. Para tu reflexión

Anécdota de Arquímedes 287-212 (a.C.) De los que se reunieron en el muelle, nadie creía que cumpliría su promesa el joven y presuntuoso Arquímedes: “Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo”. Con ello quería explicar que una pequeña fuerza, si se aplica apropiadamente como una palanca o con el uso de poleas, movería un objeto inmenso. ¿Cómo era posible que un mortal, sin ayuda de otro, levantara un buque completamente cargado, que pesaba miles de kilos? –se preguntaban todos. El rey tomó el extremo de la cuerda que colgaba de las poleas construidas por Arquímedes. El otro extremo de la cuerda estaba atado a un pesado buque mercante que flotaba en el muelle. Con poquísimo esfuerzo, el rey tiró de la cuerda. No sucedió nada. “Tirad de nuevo majestad” –le pidió Arquímedes. Una vez más el rey tomó la cuerda, y la proa del barco, como por arte de magia, se empezó a levantar del agua.


“Has triunfado una vez más Arquímedes, las maravillas de la ciencia, en verdad, no tienen límite” –el rey felicitó al hombre de ciencia. Hierón, rey de Siracusa y pariente de Arquímedes, pidió en cierta ocasión que le hicieran una corona de oro, y sospechando que el orfebre no era honrado le pidió a Arquímedes que encontrara la manera de determinar si la corona estaba hecha totalmente de oro. Durante algún tiempo Arquímedes no supo qué hacer, pero un día, al meterse en una bañera el agua se desbordó, gritó ¡Eureka! Y olvidando su desnudez corrió hacia su casa por las calles de Siracusa; pensó en sumergir una cantidad de oro puro, cuyo peso fuera igual al de la corona, en un recipiente lleno de agua y luego medir el desbordamiento de ésta. Después sumergiría la corona de oro en el recipiente con agua y compararía el peso del segundo desbordamiento con el primero y finalmente encontró que la corona no estaba hecha de oro puro. Por órdenes del rey Hierón, Arquímedes inventó unos cuarenta aparatos distintos. Como un tornillo para desaguar las tierras bajas pantanosas, para sacar el agua de las calas de los barcos y para irrigar los campos áridos de Egipto. Gracias a sus inventos prolongó tres años el asedio romano. Construyó, por ejemplo, espejos cóncavos de metal y prendió fuego a algunos de los buques de madera de los romanos, provocando pánico entre los tripulantes de los demás y creó ganchos y grúas para quitar pesadas torres de guerra que habían puesto los romanos sobre las murallas de Siracusa. Entre sus principales contribuciones a las matemáticas se encuentran: el cálculo que demuestra que la relación que existe entre la circunfe1 7

10 71

1 7

3 3 rencia de un círculo y su diámetro es menor que 3 y3 mayor que

10 . 71

Sus trabajos para encontrar las superficies de los segmentos parabólicos equivalen a un cálculo integral de nuestros días. Escribió un tratado de 32 proposiciones sobre los conoides y los esferoides, entre otros, y sus fórmulas y ecuaciones teóricas se convirtieron en la base para descubrimientos e inventos que por mortíferos que fueran en la guerra, enriquecieron la vida humana en la paz.

Las fracciones comunes que tienen como denominador 10 o una potencia de 10 se llaman fracciones decimales, es decir, las fracciones decimales resultan de dividir una unidad entre 10, 100, 1 000, etc., partes iguales. Las unidades decimales son: 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, etc., y se leen: un décimo, un centésimo, un milésimo, un diezmilésimo, etc., respectivamente.

Conversión de fracciones comunes en fracciones decimales Toda fracción común expresa un cociente de dos enteros; para convertir una fracción común en fracción decimal basta con efectuar la división indicada, con lo cual obtenemos un cociente exacto o aproximado de sus términos.

0.5 0.5 1 1 Ejemplos 2 1.0 2 1.0 2 0 2 0 . 0 0.75 3 0.575 3 00.5.5 4 3.0 1 11 4 003..550 14 5 ..00520 porque 1 122 11.40.00.5 0.520 22 1100.5 22 21010.0 1222 2 1.000 0 0 0 2 0.7502 1.0 2 010...125 75 . 0 125 . 0 75 33 210.75 0 0 1233 3 844 10.75 344 33.0.00.87510..075 30...00075 porque 4 330..20 075 .0 20 4 320 4 8443 5 20 4 4 8320 4 4 3.020 20 4 3.040 0020 40 00 4 4125 0 200 2000 . 0 . 0 125 ..125 11 0.0125 0 0 11 000.3 125 533 0.05.3333 188111.10.0.125 11 5 ....300125 8882 11010.125 . 0 125 0 porque . 8 1 0 88 20 1888 3 1.020 1202 31.10.0 8 2 3 20 20 02040 8 10.010 4040 32 8 1.10 40 40 8 8 20 0040.752010 10 0 0 0.75400 3 0 401 3 1 0.333.033 330 4.3 3.0 0 11 00.33.3 333 33 .30320 33 1114 34 1003..3 0 3 33 .8181 133141.020 .8181 20 3 110...3003133 .10.0 020 .330133 3 110 3porque 0.0 10 1333 35 11 1.8181… 20 11 20 10 3 10 3 111010 10 3 1.0 .090 10 11 3 1.010 10 125 .125 010 1019020 13 0.10 3 10 1 1 8 1.01011 90 8 11.10 10 2090 1 . 8181 820 8181 20 20 1 20 1 20 2020 8 1.18181 111...8181 8181 20 40 20 11 40 2011112020.0..08181 ..00 9 11 20 20 1 . 8181 11 20 . 0 090 .0 10.8181 9 1111 11 9090 11 20 20 20 11 90 11 90 11 110.3 20 11 20.0 2090 .38333 .8333 33.0 20 20 33 5 5 0.33020 111 20 90 9020 90 porque 1 113 61.0590 90 . 0 .0 2090 36 150.333… 5 90 2090 20 20 20 9020 36 10 3 6 102020 20 920 90 20 20999 10 10209 9 20 20 1 20 9 1 0.8333 0.83332 9 5 8333 555 6 500...08333 .8333 2 5 56 50.0.08333 1 . 8181 .8181 6 5.0 .50.0 01.8333 655220 66 620 662520 651150.508333 20 5 20 5 .0 1 20.01 20 11 611 5 20 6 20 6 50.8333… .020 6 5 . 0 porque 20 20 90 1163 20 2020 63 6 120 20120 220 7 20 620 2 907 20222090 2020 2220 202090 2 20 202 22 55 55 112 209 22 55 55 11 2 209 2 5 5 1 2 5 5 1 33 66 12122 577 5 1 323 665 011.58333 2 7 35 6 122 177 3 56 120.8333 7 3 6 51.02 7 3 6 65.012 7 6 20 6 20 20 En los ejemplos anteriores se observa que no siempre se obtiene 20 20 20 fracción común en fracción un cociente2 exacto al convertir una 2 decimal. 2 5 5 1 2 5 5 1 En ejemplos 3 los 6 primeros 12 7 3 el6cociente 12 7 es exacto, por eso se dice que

su expansión decimal es finita. En los tres últimos el cociente no es exacto, pues ciertas cifras se repiten periódicamente, esto se debe a que el residuo es menor que el divisor y al suceder esto se limita el número posible de residuos distintos; de tal manera que al repetirse un residuo, también se repite la operación y en consecuencia las cifras del cociente.

En los ejemplos anteriores 0.333…, 1.8181…, 0.8333…, son fracciones decimales periódicas; a la cifra o cifras que se repiten se les llama periodo. Cuando el periodo empieza a partir del punto decimal, a la fracción se le llama periódica pura; pero si entre el primer periodo y el punto decimal hay una o más cifras, a la fracción se le llama periódica mixta. En las fracciones decimales periódicas usualmente se indica un periodo, el cual se denota con un arco o una raya arriba de éste.

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0 10 41 3.80 1.0 1 .3 0 3 33 8 20 10 20 .0 1.8181 320140 3 010 1 0.12511 111020.0 8 11.0 0.3333 1 90 20 8 20 3 1.0 40 10 1.8181 90 3 20 0BLOQUE 111020.0 20 9 Resuelves problemas aritméticos 1 90 11 .3 0 3 33 1 20 0.8333 3 1.0 1.8181 3 20 10115206.0 5.0 90 20 11 106 90 20 9 1 20 Ejemplos 20 90 20 51.81810.8333 20 20 2 6 5 . 0 11 20.0 9 6 20 11 90 2 5 5 1 205 20 0.666… 5 0.6 5 0.6 . 0 8333 5 3 6 120 2 7 6 5.0 9020 2 6 20 9 2 5 205 1 0.8333 5200.8333… 5 0.83 5 0.83 5 3 6 122 7 6 5.0 6 2 20 5 5 1 20 5 0.41666… 5 0.416 5 0.416 3 6 20 12 7 2 2 5 5 1 5 0.142857142857142857… 5 0. 142857 3 6 12 7 4

1

y algebraicos

De las fracciones decimales finitas se dice que su periodo es cero pues al dividir el último residuo (cero) entre el divisor, se obtiene la cifra cero y así sucesivamente.


Ejemplos 5 51 1 51 1 0.5 5 55 55 512 5112 1 10 10 10 102 2 10 10 210 7510 3 2232 75 75 75 3 3 75 75 0.75 5100100 5343 3 754375 1001004 4 100 100 8 100 844 444 4 8 8100 4 4 8 45 8445 4 885 0.8 5 101010 105 5 10 10 510155 15 125 125 10 125 1251 1 125 125 18 118 1 125 125 1000 1000 1000 100085 8 0.125 5 1000 1000 8 88 8 1000 1000

Para convertir una fracción decimal periódica en fracción común se procede de la siguiente forma: Ejemplos

 

6 3 0142857 .

1. 0.444… 5 0. 4 2. 453 9 Designa con x a la fracción decimal periódica: x 5 0.444…

¿Por qué se dice que

1 5 0.25? 4

¿Qué se debe hacer para representar 0.25 como porcentaje?

¿Cómo se representa 75% en forma decimal?

¿Cómo se representa 75% en forma de fracción común?

¿Cuándo se dice que una fracción decimal es periódica?

¿Cuándo es pura una fracción decimal periódica?

¿Cuándo es mixta una fracción decimal periódica?

Números decimales en distintas formas (enteros, fracciones, porcentaje) Para convertir una fracción decimal en fracción común se escribe como numerador el decimal sin el punto y como denominador la unidad fraccionaria que corresponda a la fracción decimal dada, si es posible se simplifica la fracción obtenida.

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como el periodo consta de una sola cifra, se multiplica por 10 a los dos miembros de la igualdad para obtener otra equivalente: 10x 5 4.444… a esta igualdad le restamos la primera, miembro a miembro: 10x 5 4.444… 2 x 5 0.444… 9x 5 4 2 451 81 4 despejando: x 5 x5 9 999 90 0.444 Comprobación: 9 4.0 40   40 6 3 40142857 . 4 2. 453 9 2. 2.453453453… 5 x 5 2.453453453 1 000x 5 2453.453453… Se multiplicó a los dos miembros de la igualdad por 1 000 porque el periodo tiene tres cifras; en general, se multiplica por la potencia positiva de 10 que tenga tantos ceros como cifras tenga el periodo. Restando miembro a miembro la primera igualdad de la segunda se tiene: 1 000x 5 2453.453453… 2 x 5 2.453453… 999x 5 2 451


Geometría 2 451 81 4 despejando: x x5 5 9 999 90   6 3 0142857 . se deja al lector. La comprobación 4 25 . 453 3. 0.8999… 0.8 9 x 5 0.8999… Puesto que en este caso se trata de una fracción periódica mixta, primero se transforma en una fracción decimal periódica pura; para hacer esto basta con recorrer el punto decimal un lugar a la derecha, lo que equivale a multiplicar la igualdad por 10, y después se sigue el procedimiento ya descrito. 10x 5 8.999… 100x 5 89.999… 100x 5 89.999…

Actividad de aprendizaje Expresa las 24 horas del día en segundos.

Ejemplos Determina la longitud del segmento AB como la suma de las partes que lo integran.

2 10x 5 8.999…

90x 5 81 2 451 81 4 x x5 5 9 999 90

75 3 La expresión 75% se puede escribir en la forma , si esta frac100 4 75 3 ción se simplifica queda como . También se puede partir de la 100 4 75 3 fracción y al realizar la división indicada se obtiene como co100 4 ciente 0.75 que se lee “setenta y cinco centésimos”. Si se desea expresar 0.75 como porcentaje se le multiplica por 100 y se le pone el signo %: 75%.

1 1 1 1 2 4 8 16

1 1 1 1 2 4 8 16

1 1 11 11 11 11 1 1 2 4 82 164 82 164 8 16

Solución: Para obtener la longitud del segmento AB, se requiere sumar las fracciones que corresponden a cada uno de los segmentos que lo integran, y para esto es necesario que cada una de ellas se exprese como una fracción equivalente, de manera que todas tengan la misma unidad fraccionaria, es decir, que todas tengan un denominador común. 1 1 1 1 1 AB5 1 1 1 1 2 4 8 16 16 81 4 121111 5 16 16 5 16 51

Operaciones numéricas

De esta manera: 2 3 3 1 4 5 10 porque 2 3 3 5 6 y 6 1 4 5 10

1 cm 3 10 cm

El orden en que se ejecutan las operaciones es el siguiente: potencias y raíces, multiplicaciones y divisiones (en el orden en que se indican) y sumas y restas. Mientras que: 2 3 (3 1 4) 5 14 porque 2 3 3 1 2 3 4 5 6 1 8 5 14 o bien 2 3 7 5 14.

Problemas aritméticos 10 cm

La resolución de algunos problemas se puede lograr a partir de la aplicación de las propiedades de la igualdad así como de las propiedades de las operaciones con números reales. A continuación se presentan algunos conocimientos que se irán ampliando de manera gradual.

10 cm

Un decímetro cúbico es un cubo que mide 10 cm de arista.

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1 BLOQUE


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Si cada uno de los cm que lo forman se colocara uno encima de otro formando una columna, ¿cuál sería la altura de la columna? Solución: Observa que la capa frontal del cubo tiene 10 columnas de 10 cm3 cada una, de manera que si se colocara cada columna encima de otra, se formaría una columna de 1 m de altura. Si se hiciera lo mismo con cada una de las capas posteriores y se colocara cada columna sobre la columna anterior, se podría formar una columna de 10 m de altura.

Como puedes ver, se han representado las equivalencias como cocientes, de manera que las unidades a eliminar aparezcan como factores, tanto en el numerador como en el denominador, pues al dividir una cantidad entre sí misma el cociente es 1, por lo que de manera más simple se dice que los factores se cancelan. Es conveniente hacer notar que esto sólo se puede hacer cuando las cantidades, tanto del numerador como del denominador, se expresan como el producto de sus factores.


Aplica lo que sabes Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente. Investiga cuáles son las medidas reglamentarias de una cancha de fútbol, de básquetbol y de un campo de béisbol. Verifica si esas medidas corresponden a las de la cancha o campo que hay en tu comunidad o en tu escuela.

Al realizar una conversión de unidades de medida, ¿por qué se representan las equivalencias como cocientes?

km m h s Expón tu trabajo frente al grupo y menciona la importancia que tiene el 1h km km 1 000 m respetar y hacer uso correcto de las medidas establecidas. 108 5108 3 3 h h 1 km 3600 s km m km m 108 . Expresa 108 en la velocidad de un avión que vuela a 1 000 108 0 00 m h s h s 5 1h km km 1 000 m 1 000 m 1 h 3600 s km km Solución: Física 108 5108 3 3 108 5108 3 3 h h 1 km 360 h las equivalencias h 1 km m 3600 s Utilizando 530 1 km 5 1 000 m y 1 hora 5 3 600 s, se En física se utiliza, de manera frecuente, la conversión de unidades 00 108 0 m s tiene 108 0 00 m 5 de medida, veamos algunos ejemplos. 5 1h km km 1 000 m 3600 s 1 3600 000 s 51 000 3 3 0 0 s h h 1 km 36 m m 530 530 1 000 000 m s Ejemplos s 5 km km 1 000 m 1 000 m 1 h 3 600 s km km 1 000 51 000 3 3 1 000 51 000 3 3 h h 1 km 3 h h 1 kmm 36 0 0 s km m 5 277 . 7 Un móvil se desplaza a una velocidad de 108 , expresar la veloci1 000 000 m s 1 000 000 m h s km m 5 5 dad en . 108 1 000 m 1 h 3 600 s km km 3 600 s h s 108 5108 3 3 Solución: h h 1 km 3600 s 1h m km km 1 000 m m 5 277 . 7 108 5108 3 3 5 277 . 7 s 00 108 0 m h h km s 1 3600 s Para resolver este problema es necesario utilizar equivalencias como 5 Números reales y variables algebraicas 1 km 5 1 000 m,m1 hora5 60 min 5 60 3 60 s 5 3 600 3600s.s 108 0 00 5 m la multipliLos números decimales son los números reales. También se3600 debesrecordar que 1 es el elemento neutro de 530 cación, puesmal multiplicar una cantidad por 1, la cantidad queda fija, s km m Los números decimales periódicos corresponden a los números 530entonces 108 km m no cambia, 1h km km 1 000 m racionales s 108 h ss que se pueden expresar como el cociente de dos núme1 000 51 000 3 3 0 0 s h h 1 km 36 1 000 m 1 h km kmkm ros enteros. m m 1 h1 h 000 km km km 1 000 51 000 3331 1000 108h 3 5 33 108 108 51108 1 000 000 m 0 0 h km 36 s h h 1 km 3600 s h h 1 km 3600 Los números decimales no periódicos corresponden a los núme5 s 3 600 s 1 000 000 m 108 0 00 m ros irracionales que no se pueden expresar como el cociente de dos 108 0 00 m 5 5 3600 s m 3 600 s 5 números enteros. 5 277 . 7 3600 s s m m 5 277 . 7 530 m s 530 s s km 1 000 m 1h km 1 000 km 51 000 km3 1 000 3 m 1h 1 000 h 51 000 h 3 1 km 36 3 00 s h 1 000 000 h m 1 km 36 0 0 s 12 5 1 000 000 3 600 s m 5 3 600 m s 5 277 . 7 s

Ejemplos

108


1.2 Modelos aritméticos o algebraicos De la aritmética al álgebra En la aritmética generalmente los números se representan con cifras, mientras que las relaciones, leyes y reglas se expresan con palabras. De esta manera se dice que: el área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la base por la altura. Utilizando el álgebra, el enunciado anterior se puede expresar: base 3 altura 2 b 3 h las letras A, b, y h respecsi el área, base y altura se representan por A 53 altura base tivamente, nos queda: 2 2 bh A 5b 3 h Abase 5 23 altura 2 altura base 13 A 5bh b2h como en álgebra no se utilizaAel5signo 2b 23dehmultiplicación entre facto5b2 3 h se reduce a: res representados por letras, laAexpresión A 51 2 A 5 bh b2h A 52bh A5 2 o bien 21 A 51 b h A 5 2b h 2 área 5

Observa los siguientes enunciados con sus respectivas formas de expresión aritmética y algebraica.

Actividad de aprendizaje ¿Qué diferencia observas entre las formas aritmética y algebraica para plantear y resolver un problema?

Si una moneda tiene un valor nominal de cinco unidades de dinero, entonces 6 monedas iguales tendrán un valor de 6 3 5 5 30 unidades de dinero.

Representando por m el valor de las n monedas de u unidades de dinero cada una, se tendrá: m5nu Si un avión viaja a una velocidad de k km por hora, en h horas recorrerá kh km. Representando por d la distancia total se tendrá d 5 k h. El volumen de una caja se obtiene multiplicando el largo por el ancho por la altura (o profundidad). Si el volumen se representa por V y las tres dimensiones por l, a y p se obtiene la expresión: V5lap El valor numérico de esta expresión algebraica se obtiene sustituyendo las letras por los valores que representan y efectuando las operaciones indicadas. Si las dimensiones de l, a y p son 30, 20 y 10 unidades, respectivamente, entonces V 5 30 3 20 3 10 V 5 6 000 unidades3 de manera que si la unidad está dada en centímetros entonces el resultado serán centímetros cúbicos. Aplica lo que sabes Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros del grupo para realizar la siguiente actividad. Consideren esta situación: Un automóvil, que está en buenas condiciones de uso, es sometido a una prueba de frenado sobre un tramo recto de carretera bien pavimentada. Para la prueba sólo se considera la velocidad a la que se desplaza el automóvil y la distancia necesaria para detenerlo. Después de varios intentos se obtiene como promedio, que para una velocidad de 56 km/h se necesitan 61 m para detenerlo. a ) Hagan una tabla parcial de valores, para la distancia de frenado, cuando la velocidad varía desde 50 hasta 120 km/h (utilicen intervalos de 10 km/h). b ) Tracen la gráfica velocidad-distancia de frenado. c ) Investiguen, de acuerdo con el reglamento de tránsito, ¿cuál es la velocidad máxima permitida en zona urbana? d ) Si tú manejaras este automóvil a la velocidad máxima permitida, ¿cuál sería la distancia que necesitarías para detenerlo?

El valor de un cierto número de monedas de igual denominación es igual al de una de ellas multiplicado por el número de monedas. Si un avión va a una velocidad de 700 km por hora, en tres horas recorrerá 700 km por tres, o sea, 2 100 km. Es decir, la distancia recorrida se obtiene multiplicando la distancia recorrida en una hora por el número de horas. Si una moneda tiene un valor nominal de u unidades de dinero, entonces n monedas tendrán un valor de nu unidades de dinero.

Ejemplos 1. El enunciado aritmético “el doble de un número aumentado en 7 unidades”, algebraicamente se expresa: 2x 1 7

13

1 BLOQUE


2. A continuación se resuelven dos problemas en forma aritmética y en forma algebraica. a) Problema Si al doble de un número se agregan 7 el resultado es 3. Halla el número. Resolución aritmética: Como el doble del número aumentado en 7 da 33 significa que si a 33 se le resta 7 se obtiene el doble del número. Por tanto, el doble del número es 26 y en consecuencia el número buscado es 13, es decir, la mitad de 26. Resolución algebraica: Sea x el número. El doble del número es 2x. El enunciado del problema se expresa por 2x 1 7 5 33. Restando 7 a los dos miembros de la igualdad se obtiene 2x 5 26. dividiendo entre 2 a los dos miembros de la igualdad, se obtiene x 5 13. Comprobación: 2(13) 1 7 5 333 5 3 2 12 5 2 5 5 5 5 5 b) Problema 3 3 La diferencia entre un número y los del3número es 250. Halla 625 5375 5 5 el número. 3 x 2 x 5250 3 5 3 2 Resolución aritmética: 5 12 5 2 5 5 5 5 5 3 Considerando que el número representa 625la unidad, entonces la 3 3 5 fracción es de3uno. 625 5375 5 5 La diferencia es 3 x 2 x 5250 3 5 3 2 5 12 5 2 5 3 5 5 5 5 625 3 3 3 5 3 2 5 3625 5375 12 5 2 5 está representando a 250 5 5 5 5 5 5 3 3 3 3625 53751 es la mitad de 250 x 2 x 5250 5 5 5 5 3 3 625 250 5 x 2 x 5250 es decir, 5 125 5 5 2 5 3 625 250 5 5 y , o sea la unidad, es un número

2

5

5 veces mayor: 5 3 125 5 625

14

Comprobación: 3 5 3 2 12 5 2 5 Número: 5 56255 5 3 3 de3625 625son 5375 5 5 3 x 2 x 5250 5 3 625 5

3 5 3 2 12 5 2 5 5 5 5 5 3 3 3 5375 3625 625 5 375 5 5 3 x 2La xdiferencia 5250 es 625 2 375 53 250. 5 3 2 5 12 5 2 5 5 5 5 5 3 Resolución algebraica: 625 3 53 33 2 .5625 5375 5 2 3 5 Sea x el número y 1la2fracción 5 55 55 5 3 3 3 5375 La diferencia es x 2 3 x 625 5 250. x2 x 5250 5 5 5 3 3 Multiplicando la igualdad por250 5 nos queda así x2 x5 625 5 5 5x 2 3x 5 1 250 3 625 Efectuando la operación indicada 5 2x 5 1 250 3 5 3 2 Dividiendo entre 2 12 5 2 5 5 5 5 5 x 5 625 3 3 3625 5375 Comprobación: 5 5 3 3x 2 5 x 53 2502 1 2 5 52 5 5 5 5 5 3 3 3 625 6255375 625 2 53 (625) 250 5 5 3 625 5 250 x 22x375 5250 5 Para estar en condiciones de 3 pasar de la aritmética al álgebra 625 previos para su comprensión se requiere establecer conceptos 5 y, después de asimilados, poder construir modelos algebraicos aplicados a la resolución de problemas.

Como se puede observar, una de las ventajas del álgebra es la brevedad y sencillez con que se pueden generalizar enunciados utilizando números y letras para establecer las relaciones. Es por ello que en esta obra se revisan y afirman conceptos de la aritmética que sirven para introducir y desarrollar los que corresponden al álgebra.

Lenguaje algebraico El uso de símbolos para simplificar el lenguaje es de gran importancia en las matemáticas. El álgebra es la parte de las matemáticas que trata del cálculo de cantidades representándolas por medio de letras. La obra más antigua que se conserva sobre álgebra es la de Diofanto de Alejandría (s. iv d.C.). En Europa, esta ciencia fue introducida por los árabes en el siglo x.


Las letras o literales se utilizan para representar números y cantidades cualesquiera.

Ejemplos

Para el cálculo del área de un triángulo se utiliza la fórmula:

Expresión verbal

b 3 h bh 1 A5 2 2 2 en la que A representa el área, b la base y h la altura. A, b y h varían según el triángulo de que se trate y por eso se les llama variables. El 2 no cambia; cantidades como ésta cuyo valor no cambia, ya sea que se representen por números o por letras, se llaman constantes. La fórmula para calcular la longitud de una circunferencia conociendo su radio es: C 5 2pr en la cual r y C son las variables, mientras que 2 y p son las constantes, ya que su valor no cambia. En las fórmulas anteriores se observa que bh indica “b multiplicado por h” y 2pr indica “2p multiplicado por r”, pues se ha convenido que entre factores literales o entre un factor numérico y uno literal, se suprima el signo de la multiplicación. En cambio, “3 multiplicado por 4” ha de expresarse: 3 3 4, 3 · 4, (3)4, pero nunca 34.

Expresión algebraica

Un número cualquiera

x

La suma de dos números

x1y

La diferencia de dos números

x2y

El producto de dos números

xy 3 x x1 y x3  x    y x2 y 3  3 

El cociente de dos números

3 x x1 y x3  x    y x2 y 3  3 

La suma de dos números dividida entre su diferencia El cubo de un número

x 3

El doble del cubo de un número

2x 3

La suma de los cuadrados de dos números

x 2 1 y 2

El cuadrado de la suma de dos números

(x 1 y )2

La tercera parte del cubo de un número

3 x x1 y x3  x    y x2 y 3  3 

En álgebra es muy importante saber expresar las proposiciones verbales comunes en proposiciones con lenguaje algebraico.

3 x x1 y x3  x  El cubo de la tercera parte de un número   y x2 y 3  3 

Recordemos el nombre del resultado de cada una de las cuatro operaciones fundamentales.

¿Cuál es el número que agregado a 3 suma 8? x 1 3 5 8

De la adición, es suma; de la sustracción, es resta o diferencia; de la multiplicación, es producto; y de la división, es cociente. Algunas palabras que indican adición son:

suma

aumentar

mayor que

más

incrementar

más grande que

Algunas palabras que indican sustracción son:

resta

diferencia

menos

menor que

disminuir

¿Cuál es el número que disminuido en 5 da por diferencia 13?

x 2 5 5 13

¿Cuál es el número que disminuido de 20 da por diferencia 7?

20 2 x 5 7

Las expresiones algebraicas pueden enunciarse empleando el lenguaje común y es conveniente ejercitarlo para su correcta traducción.

perder

Ejemplos x2 y , puede expresarse como: “la mitad de la diferencia de 2 dos números cualesquiera”, o “la semidiferencia de dos

Algunas palabras que indican multiplicación son: producto

veces

triple

multiplicado

doble

cuádruple

números cualesquiera”. 3

Algunas palabras que indican división son: cociente

mitad

razón

dividido

entre

tercera

(x 1 y ) , se puede enunciar como: “el cubo de la suma de dos números cualesquiera”. x 3 2 y 3, se puede expresar como sigue: “la suma de los cubos de dos números cualesquiera”. 3(x 2 y ), puede leerse así: “tres veces la diferencia de dos números cualesquiera”, o “el triple de la diferencia de dos números cualesquiera”.

15

1 BLOQUE


(x 1 y) (x 2 y), se puede expresar como: “el producto de la suma por la diferencia de dos números cualesquiera”.

En la expresión 2x, ¿qué expresa el 2?

En la expresión x 2, ¿qué nombre recibe el 2?

Terminología y notación

En la expresión x 2, ¿qué expresa el 2?

Un término algebraico o monomio es un número o un producto de dos o más números. 3 Por ejemplo 7, 2x, mn, 5xy y xyz son monomios. 4 Cada uno de los números que al multiplicarse forman el término se llaman factores.

Ejemplos

Cualquier factor o grupo de factores de un término es coeficiente del producto de los factores restantes.

Término

Así, en 3xy, 3 es el coeficiente numérico de xy, mientras que xy es el coeficiente literal de 3. Si hacemos referencia al coeficiente de un término, generalmente consideramos al factor numérico que nos indica el número de sumandos iguales que han de tomarse en cuenta. Ejemplos

Coeficiente

Descomposición en sumandos

3x

3

3x 5 x 1 x 1 x

2x 3

2

2x 3 5 x 3 1 x 3

2(x 1 y )

2

2(x 1 y ) 5 (x 1 y ) 1 (x 1 y )

El resultado de multiplicar la base tantas veces como lo indica el exponente se llama potencia; así, 23 5 (2)(2)(2) 5 8, por eso se dice que 8 es la tercera potencia de 2, o bien, que dos al cubo es igual a ocho. Actividad de aprendizaje En la expresión 2x, ¿qué nombre recibe el 2?

16

x 3

3

x 3 5 (x ) (x ) (x )

4x 2

2

4x 2 5 (4) (x ) (x )

En un triángulo equilátero de lado a, su perímetro (P ) se puede expresar así: P = a + a + a, o bien P = 3a, ¿qué representa el 3?

Término

Descomposición en factores


Cuando un factor se multiplica repetidamente por sí mismo, se puede expresar abreviadamente. Por ejemplo, (2)(2)(2) 5 23, donde el número 2 recibe el nombre de base y el 3 recibe el nombre de exponente.

Exponente

En un cubo de arista a, su volumen (V ) se puede expresar así: V = a ? a ? a, o bien, V = a 3, ¿qué representa el 3?

Expresión algebraica Cuando dos o más términos (monomios) se relacionan por los signos más (1) o menos (2) se forma una expresión algebraica que recibe el nombre de polinomio. Al polinomio de dos términos se le llama binomio, y al de tres, trinomio. Los monomios pueden considerarse como polinomios de un solo término. El grado de un término o monomio lo determina la suma de los exponentes de las literales que intervienen en él.


formal de las propiedades de campo del conjunto de los números reales. Dichas propiedades, como producto de la generalización de la experiencia, son susceptibles de ser demostradas a partir de ciertos axiomas, pero para efectos de este curso se considera suficiente que el lector conozca las propiedades y las sepa aplicar.

Ejemplos

Término

Grado

3a 2

2

4a

1

xy

2

x 2y 3

5

Término

Grado respecto de x

Grado respecto de y

Grado del término

2x 3y

3

1

4

5x 3y 2

3

2

5

x4 y 2

Números naturales (N) Si un punto P representa a un número n, a P se le llama gráfica de n y se dice que n es la coordenada de P. Se denota al punto cuya coordenada es n por P (n), que se lee “el punto P de n”. Tracemos una recta y localicemos en ella un punto al que asociaremos el cero y llamaremos origen (gráfica de 0), a partir de éste localicemos hacia su derecha un punto al que asociaremos el número 1 (gráfica de 1); al segmento cuyos extremos son 0 y 1 y le llamaremos unidad o segmento unitario. 0

1

2

3

4

5

6

Figura 1.1

4

1

5

El grado de un polinomio es el del término que tenga mayor grado, así: 5m3 2 2m2 1 m 1 1 es de tercer grado x 1 x2y 2 xy4 es de quinto grado El grado de un polinomio también puede considerarse respecto de una variable determinada, siendo entonces el mayor exponente de la misma. 3x3y 2 5x2y2 1 7 es de tercer grado respecto de x y de segundo grado respecto de y.

Representación de números reales El conjunto de números reales lo empleamos de manera frecuente, sin embargo, cuando al lector se le pide que mencione cuáles son los números reales surge lo que para él es un obstáculo insalvable. Si a continuación se le muestra una representación geométrica de la recta real tiene dificultad para distinguir los números que son naturales, enteros, racionales o irracionales; a pesar de que son números conocidos y utilizados por él. La dificultad es aún mayor cuando se le pide que señale diferencias específicas entre los conjuntos señalados, ya sea de sus propiedades o de las relaciones que tienen entre sí. Este tema en particular será desarrollado a partir de los conjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales; primero en forma intuitiva y después se dará una introducción al estudio

Tomando con el compás la medida del segmento unitario y apoyándonos en la gráfica de 1, tracemos a su derecha una marca a la que asociaremos el número 2 (gráfica de 2), al repetir este proceso a partir del 2, obtendremos el punto asociado al número 3 (gráfica de 3), y así sucesivamente hasta donde nos lo permitan las dimensiones del papel (ver figura 1.1). Posteriormente lo haremos en nuestra mente, pensando que a partir del 1 obtenemos cada número sumando la unidad al anterior, lo cual constituye la ley de formación del conjunto de los números naturales; este proceso no termina nunca pues por grande que sea el número que pensemos, al agregarle la unidad obtendremos un número mayor. De esta manera, para verificar que los números naturales poseen una determinada propiedad, se puede utilizar el hecho de que cualquier número natural es una suma de unos, tantos como lo indique el número, ejemplos: 3 5 1 1 1 1 1 5 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1

(1)

Los números naturales se denotan con el símbolo N y se definen así: N 5 {1, 2, 3, . . .}

(2)

donde los puntos suspensivos significan “y así sucesivamente”. (1) Al escribir estas expresiones, se ha utilizado la propiedad asociativa de la adición de los números reales, pues 1 1 1 1 1 5 (1 1 1) 11 (2) En este libro no se considera al cero como número natural. En algunos libros sí se incluye en el conjunto de los números naturales por lo que se hace necesario saber cuál es la convención en cada caso. 17

1 BLOQUE


Números enteros (Z)

Números racionales (Q)

Si continuamos con el proceso de asociar números con puntos de la recta real veamos lo que ocurre con el conjunto de los números enteros.

Los elementos de este conjunto son aquellos números que se pueden expresar como el cociente de dos números enteros, siendo el divisor diferente de cero.

Tracemos una recta como en la figura 1.2, tomemos con el compás la medida del segmento unitario y con centro en el origen tracemos un arco de media vuelta a partir de la gráfica de 1, con lo cual obtendremos en la recta un punto a la izquierda del origen y le asociaremos el número 21. Por la forma de obtenerlo, observamos que las coordenadas de 1 y 21 están en la misma distancia del origen pero en sentidos opuestos; por consiguiente, se dice que sus gráficas representan números que son simétricos uno del otro.

Se denota por el símbolo Q y se define simbólicamente de la siguiente forma: a Q5 a ∈ , b ∈ , b ≠ 0 b

21 22 0

1

{

}

Todo número entero puede representarse como un cociente, que se puede expresar en su forma más simple utilizando como divisor a la unidad así: a 23 7 0 235 ; 75 ; 05 b 1 1 1 Por tanto, se puede decir que todo número entero es un número racional; en notación de conjunto dicha relación se expresa como sigue:

2

Z ,Q

Figura 1.2

Al repetir el procedimiento tomando como medida la que existe entre 0 y 2, se obtiene la gráfica del punto asociado al simétrico de 2 y que se llamará –2. En igual forma se pueden obtener, hasta donde las dimensiones de la hoja lo permitan, los simétricos de los naturales que se indican, con lo cual la recta queda como se indica en la figura 1.3. 26 25 24 23 22 21 0

1

2

3

4

5

6

Ahora bien, para asociar un número racional como un punto de la recta real se hará uso de una construcción geométrica que se aceptará como válida sin hacer la demostración correspondiente.

División de un segmento en n partes iguales Sea dividir el segmento MN en 7 partes iguales. M

N

Figura 1.3

Se ha convenido que los números asociados a puntos situados a la derecha del origen se les llamará números positivos, en este caso naturales o enteros positivos; y los números asociados a puntos situados a la izquierda del origen se les llamará números negativos, en este caso, enteros negativos. De esta manera se ha generado un conjunto cuyos elementos son: los enteros positivos, los simétricos de éstos o enteros negativos y el cero. Este conjunto se denota con el símbolo Z, y se define así: Z 5 {. . . , 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, . . .} También se puede expresar en las formas siguientes: Z 5 {. . . , 23, 22, 21 } < { 0 } < { 1, 2, 3, . . .} o bien, Z 5 {. . . , 23, 22, 21 } < { 0 } < N En la última expresión se observa que todo número natural es elemento del conjunto de los números enteros. Simbólicamente esta relación se puede expresar así: N,Z 18

Figura 1.4

Se traza por M una recta cualquiera y sobre ésta se marcan 7 segmentos consecutivos e iguales a partir de M; el extremo final del séptimo segmento se une con el punto N, después se trazan líneas paralelas a éste que pasen por cada división marcada, con lo cual determinamos sobre el segmento MN siete segmentos congruentes. En la práctica, dadas las dimensiones del segmento que se ha tomado como unidad, se hace una localización aproximada de los números racionales sobre la recta real, recordando que el denominador de la fracción común indica la unidad fraccionaria, es decir, el número de partes iguales en que se divide la unidad o entero, mientras que el numerador indica el número de partes iguales que


1 a 3 5 indica que el 2 b 4 2 entero se divide en dos partes, de las cuales se toma una; en la recta real se puede representar así: se consideran. Por ejemplo, el número racional

0 21 1

2

3

4

5

6

se lee: “conjunto A es igual al conjunto B si y sólo si el conjunto A es subconjunto del conjunto B y el conjunto B es subconjunto del conjunto A”. Estos hechos se utilizarán posteriormente para hacer notar la importante relación que existe entre los números racionales y cierta clase de números decimales.

Números irracionales (Q9)

Figura 1.5

En general, si a y b son números enteros y b ? 0, en el número ra1 a 3 5 cional indica la unidad fraccionaria y a el número de unidades 2 b 4 2 fraccionarias que se toman. a número de unidades fraccionarias b unidad fraccionaria 1 a 3 5 El número racional indica que el entero se divide en cuatro par2 b 4 2 tes iguales de las cuales se toman tres: 0 34 1

2

3

4

5

1 a 3 5 El número racional indica cinco mitades, y como cada entero 2 b 4 2 sólo tiene dos, se necesitan dos enteros y la mitad del tercero para representarlo. 1

2 5 3 2

4

5

5 7 la longitud de la Ejemplo de estos números es 2 que3 representa diagonal de un cuadrado que mide una unidad por lado, en la recta real se puede representar de la siguiente forma: 2 VG

6

Figura 1.6

0

Aunque hemos representado los números racionales y a pesar de su propiedad de densidad, la cual establece que entre dos números racionales existe otro número racional quedan “huecos” en la recta real; éstos se “llenan” con los números irracionales que son aquellos cuya expresión decimal no es periódica.

6

Figura 1.7

1 a 3 5 Es decir, indica una división que al efectuarla queda así: 2 b 4 2 2.5 1 a 3 5 2.5 1 2 5 ; por lo que 2 55 2 1 5 2.5 10 2 b 4 2 10 2 0 0 En forma semejante se puede proceder en la parte negativa de la recta real para localizar los puntos asociados a números racionales negativos. Un teorema particularmente importante para este estudio establece que: “A todo número racional le corresponde una expresión decimal periódica y toda expresión decimal periódica es igual a un número racional”. En teoría de conjuntos se establece y demuestra que: dos conjuntos A y B son iguales cuando A es subconjunto de B y B es subconjunto de A, relación que se expresa de la siguiente forma:

0

1 VG 2

Figura 1.8

Se traza un segmento unitario, perpendicular a la recta real por el uno. Aplicando el teorema de Pitágoras, se sabe que la longitud del segmento que une el origen de la recta con el extremo superior del segmento unitario perpendicular en uno, mide 2 . 3 Números como 22 , 33 , 55 , 77 y en general la raíz cuadrada de un número primo, son irracionales pues su expresión decimal no es periódica. También son números irracionales los siguientes: p 8 3.1415926535 . . . , e 8 2.71828 y desde luego los simétricos correspondientes a cada uno de ellos. (El signo 8 se lee: aproximadamente.) De todo lo expuesto, se concluye que los números decimales periódicos (racionales) junto con los decimales no periódicos (irracionales), forman el conjunto de los números decimales (reales). En notación de conjunto se resume así: {decimales periódicos} > {decimales no periódicos} 5 f {decimales periódicos} < {decimales no periódicos} 5 {decimales} {decimales} 5 {reales} Con el diagrama de Venn-Euler se pueden ilustrar las relaciones que guardan entre sí los conjuntos estudiados.

A5B3A,B>B,A 19

5

7

1 BLOQUE


escala5

dimensión del dibujo dimensión del objj eto

d D 10 cm 10 cm 1 5 5 (también se puede escribir 1:10) e5 1 m 100 cm 10 5d que 1 cm en el dibujo representa 10 cm en el objeto EstoeDsignifica real, de manera que 10 cm en el dibujo corresponden a 100 cm en d D 5 es decir 1 m. el objeto, e 5.775 cm Actividad D 5 de aprendizaje 1 450 000 e5

Números Naturales (N) Enteros (Z) Racionales (Q) Irracionales (Q9) Reales (R) REALES IRRACIONALES RACIONALES ENTEROS

Escala

55.75 cm(450 000)

En una escala 1:25 significa que 25 cm en el objeto real están repre52por, 587¿cuántos 500 cm centímetros en el dibujo? sentados

NATURALES

525 875 m 525.875 km

Ejemplos Figura 1.9

Valor numérico de una expresión algebraica Si en un rectángulo su base (o largo) mide 30 m y su altura (o ancho) mide 20 m su área se puede determinar con la expresión: A 5 bh Al sustituir b por 30 m y h por 20 m se obtiene A 5 (30 m)(20 m) Entonces A 5 600 metros cuadrados Esta cantidad es el valor numérico de la expresión algebraica.

Escalas Cuando se dibuja un objeto se hace uso de una escala gráfica que se expresa generalmente como una fracción común en la que el numerador representa las medidas de las dimensiones de un dibujo y el denominador representa las medidas correspondientes de las dimensiones reales del objeto. escala5

dimensión deldimensión dibujo del dibujo escala5 dimensión deldimensión objj eto del objj eto

d d e5 D D 10 cm 10cm, cm 10representa cm 1 10 cm 1 que mide Si el segmento AB, que mide 10 un objeto 5 e5 5 5 e5 5 1 m, entonces se dice1que la escala es m 100 cm1 m 10 100 cm 10 eD 5d eD 5d B A d d D5 D5 e e 5.775 cm 5.775 cm D5 20 1 D5 1 450 000 450 000 55.75 cm(450 55000) .75 cm(450 000) e5

En un mapa a la escala 1:450 000, se representa la distancia entre dos poblaciones por 5.75 cm, ¿cuál es la distancia real entre esas dos poblaciones? Solución:

dimensión del dibujo Como lo que se quiere conocer es la distancia realdelentre las dos pobladimensión dibujo escala5 delobj dibujo escala5dimensióndel j eto ciones, se despeja D de la relación escala5dimensión dimensión del objj eto d dimensión del objj eto dimensión del dibujo e5 d escala5 e 5d 5DD dimensión del objjeeto D cm 10 cm 1 10 cm cm5 1 5 1010cm e 5 1010cm d en donde 5 5 51 e e5 1 m 100 cm e 5 1 m 5 100 cm51010 D 1 10 m 100 cm 10 cm 10 cm 1 eD 5d eD 5d 5 eD 5d oe 5 bien 5 1 m 100 cm 10 D 5 d d D 5d D 5e e eD 5d e 75 cm 5.7 5.775 cm D 5 5.7 d D 5 715 cm Sustituyendo los datos del problema D5 1 5 D e 450 1000 450 000 5.775 cm 000 000) D5 55450 .75 cm(450 1 55.75 cm(450 000) 525587 .75 cm(450 5 500 cm 000) 450 000 52 587 500 cm 525 2 587 5 875500 m cm 55.75 cm(450 000) 525 875 m 5 25 87 5 m 525.875 km 52 587 500 cm 525.875 km 525.875 km 525 875 m 525.875 km


Aplicación de las TICs 1. Ahora que conoces diferentes conjuntos de números reales y su relación, consulta el sitio www.wolframalpha.com para contestar las siguientes preguntas. Tip: la plataforma WolframAlpha es un recurso computacional libre empleado para resolver inquietudes e incluso problemas de muchas disciplinas; esta herramienta está disponible únicamente en el idioma inglés, por lo que puedes apoyarte de tu profesor de esa materia, o bien, puedes emplear el traductor de Google (www.google.com/translate) para poder entender la plataforma. a) De los conjuntos reales que conoces, ¿cuáles son contables y cuáles no? Tip 1. Ingresa a WolframAlpha y escribe en el buscador la palabra “sets” (“conjuntos” en inglés).

Esta pantalla tiene Derecho Reservado de WolframAlpha llc y no pueden ser utillizada Esta pantalla tiene Derecho Reservado de WolframAlpha llc y no pueden ser utillizadas sin su permiso.

Tip 2. Encuentra la sección “Topics” (Temas), busca “countable sets” (conjuntos contables) y haz clic en el enlace.

ssin su permiso.

Después de hacer lo anterior, se abrirá una nueva ventana de la que copiarás el texto.

Esta pantalla tiene Derecho Reservado de WolframAlpha llc y no pueden ser utillizadas Esta pantalla tiene Derecho Reservado de WolframAlpha llc y no pueden ser utillizadas sin su permiso.

Tip 3. Ahora la plataforma te muestra la definición de “countable set” (conjunto contable), para saber qué dice haz clic en el botón “More information” (Más información).

sin su permiso.

Tip 4. Copia y pega el texto del rectángulo rojo en el recuadro de la izquierda del traductor de Google que se encuentra en www. google.com/translate. Observa como aparece la traducción en el recuadro de la derecha; si esto no sucede, presiona el botón que dice “Translate” (Traducir). Asegúrate que traducirá de inglés a español, puedes verificarlo haciendo clic sobre las flechas de cada recuadro.

21

1 BLOQUE


Tip 5. Si quieres saber cómo se pronuncia alguna palabra en inglés, haz clic en el icono de la bocina.

Ahora que sabes usar la plataforma WolframAlpha, responde las siguientes preguntas. a) ¿Por qué existen conjuntos de números infinitos que puedes contar?

Esta pantalla tiene Derecho Reservado de WolframAlpha llc y no pueden ser utillizadas sin su permiso.

b) ¿Todos los conjuntos de números infinitos tienen la misma cardinalidad?

Comparte la información con tus compañeros y tu profesor. Después, busca la sección “Related topics” (Temas relacionados). ¿Reconoces algún conjunto? Selecciona el que más te interese y comparte con tus compañeros la información que encontraste.

c) ¿Es correcto decir que hay conjuntos de números infinitos más grandes que otros?


2. Emplea el navegador de internet de tu preferencia e investiga quién fue Georg Cantor y su aporte a las matemáticas.

22


Guía de observación

Hora inicio:

Fecha:

Hora final:

Equipo:

Problemática asignada: Utilizas magnitudes y números reales. Propósito: Registrar el papel que asumen los estudiantes al enfrentarse a la problemática de resolver problemas aritméticos y algebraicos, así como a los roles que les corresponde como actores de su propio proceso de aprendizaje. Criterio/conducta observable

Cumple Sí

No

Comentarios

Representa relaciones entre magnitudes. Representa números positivos. Convierte fracciones comunes en fracciones decimales. Expresa números decimales en distintas formas. Identifica números reales y variables algebraicas. Utiliza modelos aritméticos o algebraicos. Utiliza el lenguaje algebraico. Representa números reales en la recta numérica. Representa subconjuntos de números reales con diagramas de Venn. Comentarios generales:

23

1 BLOQUE


Autoevaluación Evalúa tu desempeño y determina en qué o cómo puedes mejorar. 1. Necesito ayuda.

2. Lo puedo hacer sin ayuda. Desempeños

1

3. Puedo ayudar a otros para lograrlo. 2

3

Debo mejorar en…

Identifico maneras diferentes de representar números positivos, decimales en distintas formas (enteros, fracciones, porcentajes), y demás números reales. Jerarquizo operaciones numéricas al realizarlas. Efectúo operaciones aritméticas siguiendo el orden jerárquico. Calculo porcentajes, descuentos e intereses en diversas situaciones. Empleo la calculadora como instrumento de exploración y verificación de resultados. Represento relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas situaciones. Soluciono problemas aritméticos y algebraicos. Observaciones generales:

Coevaluación Utiliza la siguiente escala para evaluar a cada compañero de equipo. En cada caso anota el puntaje total obtenido. 3. Muy bien

2. Bien

1. Regular

0. Deficiente

Criterios de evaluación

Compañeros de equipo 1

Aporta los conocimientos que investigó. Propone maneras diferentes de resolución. Es respetuoso y tolerante con opiniones distintas a la suya. Puntaje total Heteroevaluación Resuelve la página 25 y entrégala a tu profesor.

24

2

3

4

5


Instrumentos de evaluación Apellido paterno Apellido materno Nombre Grupo Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 1. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.

1. Si un atleta recorre los 100 metros planos en 9.6 segundos, ¿cuál es su velocidad en kilómetros por hora?

3. Expresa la fracción decimal 2.373737… como fracción común.

4. Efectúa la operación que se indica y obtén el resultado: 22 3 3 1 10 4 5 5

5. Escribe cómo se leerían las siguientes expresiones:

a)

x 2 2

x2  x  b)   2  2

2

6. Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones verbales: a) El cuadrado de la suma de dos números

2. De una hoja tamaño carta se utiliza como área de impresión 9 pulgadas por 6.5 pulgadas. Expresar el área de impresión en centímetros cuadrados. Una pulgada es igual a 2.54 centímetros.

b) La suma de los cuadrados de dos números

25

1 BLOQUE


Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre la distancia de frenado de un automóvil de la página 13 del Bloque 1. Nombre del alumno:

Presentación

Criterio

1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula. 2. Tiene una redacción que es adecuada y clara. 3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos. 4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible. 5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del problema. 6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente.

Desarrollo

7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente. 8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la argumentación del escrito. 9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas.

Conclusiones

Dominio del tema


26

11. Calcula distancias de frenado para las velocidades que se indican. 12. Elabora una tabla de valores para la distancia de frenado con las velocidades que se indican. 13. Representa en el plano coordenado la gráfica velocidad-distancia de frenado. 14. Representa gráficamente las distancias de frenado para las velocidades que se indican. 15. Representa gráficamente distancias de frenado en función de la velocidad. 16. Representa gráficamente la distancia de frenado del automóvil como una función de la velocidad.

cumple sí

no

Observaciones


Coevaluación

Indicaciones: Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes sobre los contenidos del Bloque 1. Para la coevaluación se intercambiará el formato de la rúbrica con el de otro compañero o compañera, para que emita de manera responsable una valoración de los aspectos allí referidos. Excelente (4)

Bueno (3)

Regular (2)

Deficiente (1)

Representación de números positivos

Conoce el sistema de numeración decimal. Representa números positivos en forma decimal. Convierte fracciones comunes en decimales periódicas.

Conoce el sistema de numeración decimal. Representa números positivos en forma decimal. Convierte algunas fracciones comunes en decimales periódicas.

Conoce el sistema de numeración decimal. Representa números positivos en forma decimal.

No conoce el sistema de numeración decimal. No representa números positivos en forma decimal. No convierte fracciones comunes en decimales periódicas.

Números decimales en distintas formas

Expresa números decimales como enteros, fracciones o porcentaje. Convierte números decimales en fracciones comunes.

Expresa números decimales como enteros, fracciones o porcentaje. Convierte la mayoría de números decimales en fracciones comunes.

Expresa números decimales como enteros o fracciones. Convierte algunos números decimales en fracciones comunes.

No expresa números decimales como enteros, fracciones o porcentaje. No convierte números decimales en fracciones comunes.

Operaciones numéricas

Efectúa las operaciones aritméticas en el orden que corresponde. Resuelve problemas aritméticos.

Efectúa las operaciones aritméticas en el orden que corresponde. Resuelve la mayoría de los problemas aritméticos.

Efectúa las operaciones aritméticas en el orden que corresponde. Resuelve algunos problemas aritméticos.

No efectúa las operaciones aritméticas en el orden que corresponde. No resuelve problemas aritméticos.

Números reales y variables algebraicas

Identifica los números reales. Expresa enunciados de lenguaje común en lenguaje algebraico. Conoce la terminología y notación en una expresión algebraica.

Identifica los números reales. Expresa enunciados de lenguaje común en lenguaje algebraico. Conoce casi toda la terminología y notación en una expresión algebraica.

Identifica los números reales. Expresa enunciados de lenguaje común en lenguaje algebraico. Conoce poco de la terminología y notación en una expresión algebraica.

No identifica los números reales. No expresa enunciados de lenguaje común en lenguaje algebraico. No conoce la terminología y notación en una expresión algebraica.

Representación de números reales

Conoce y representa en la recta a los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales.

Conoce y representa en la recta a los números naturales, enteros y racionales.

Conoce y representa en la recta a los números naturales y enteros.

No conoce ni representa en la recta a los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales.

Valor numérico de una expresión algebraica

Calcula el valor numérico de una expresión algebraica. Calcula y representa escalas.

Calcula el valor numérico de una expresión algebraica. Calcula escalas.

Calcula el valor numérico de una expresión algebraica.

No calcula el valor numérico de una expresión algebraica. No calcula ni representa escalas.

Aspecto a evaluar

Criterios

Nombre del alumno(a) a evaluar: Nombre del alumno(a) que evalúa: Menciona en qué hay que mejorar. Realiza sugerencias:

27

1 BLOQUE


Escala de Rango

A continuación se presenta la escala de rango, que es un instrumento de evaluación que posibilita la observación y el registro del aprendizaje de los alumnos y su desarrollo de competencias.

Aspectos a evaluar

1

2

3

4

5

Explica claramente el problema Explica además de los pasos, sus ideas Presenta más de una solución Si recibe una respuesta incorrecta, la usa para crear una discusión Realiza buenas preguntas a la clase, tales como: ¿será esta la única manera de hacerlo?, ¿es esta la única respuesta posible?, ¿qué pasa si…? Responde las preguntas realizadas por sus demás compañeros(as) Está atento a la clase y respeta la participación de sus compañeros 1 5 Nunca; 2 5 Raramente; 3 5 Algunas veces; 4 5 Casi siempre; 5 5 Siempre Hoja de observación para el trabajo por equipos Criterios

Equipo 1 Equipo 2 Equipo 3 Equipo 4 Equipo 5

Intercambian ideas para buscar una alternativa de solución viable Colaboran en la discusión y puesta en marcha de la alternativa planteada y consensada Atienden y respetan las opiniones de los demás Utilizan los recursos adecuados Proponen explicaciones de lo que observan Aplican términos científicos en sus explicaciones Registran y sistematizan sus observaciones Clave: NS (No Suficiente), S (Suficiente), B (Bien), MB (Muy Bien)

28


Portafolio de evidencias

El portafolio de evidencias es un método de evaluación que consiste en:

• Recopilar los diversos productos que realizaste durante cada bloque (investigaciones, resúmenes, ensayos, síntesis, cuadros comparativos, cuadros sinópticos, el reporte de prácticas de laboratorio, talleres, líneas de tiempo, entre otros), que fueron resultado de tu proceso de aprendizaje en este curso.

• No vas a integrar todos los instrumentos o trabajos que realizaste; más bien, se van a integrar aquellos que tu profesor(a), considere son los más significativos en el proceso de aprendizaje.

• Te permiten reflexionar y darte cuenta de cómo fue tu desempeño durante el desarrollo de las actividades de aprendizaje realizadas. Etapas para realizar tu portafolio de evidencias

Instrucciones para seleccionar las evidencias

1. Comenta con tu profesor(a) el propósito de tu portafolio y su relación con los objetos de aprendizaje, competencias a desarrollar, desempeños esperados, entre otros elementos; acuerden el periodo de compilación de los productos (por bloque, bimestre, semestre).

1. Realiza todas las evidencias y así podrás incluir las que elaboraste de manera escrita, audiovisual, artística, entre otras.

2. Haz un registro de los criterios que debes considerar al seleccionar tus evidencias de aprendizaje.

3. Todas las evidencias seleccionadas deben cumplir con el propósito del portafolio en cantidad, calidad y orden de presentación.

2. Selecciona aquellas que den evidencia de tu aprendizaje, competencias y desempeños desarrollados, y que te posibiliten reflexionar sobre ello.

3. Comentar con tu profesor(a) todas las dudas que tengas.

Propósito del portafolio de evidencias

Semestre

Observa los resultados del proceso de formación a lo largo del semestre, así como el cambio de los procesos de pensamiento sobre ti mismo y lo que te rodea, a partir del conocimiento de los distintos temas de estudio, en un ambiente que te permita el uso óptimo de la información recopilada. Asignatura

Número de bloques del libro

Nombre del estudiante:

Criterios de reflexión sobre las evidencias

Comentarios del estudiante:

¿Cuáles fueron los motivos para seleccionar las evidencias presentadas? ¿Qué desempeños demuestran las evidencias integradas en este portafolio? ¿Qué competencias se desarrollan con las evidencias seleccionadas? ¿Las evidencias seleccionadas cumplieron las metas establecidas en el curso? ¿Qué mejoras existen entre las primeras evidencias y las últimas? Monitoreo de evidencias

#

Título

Fecha de elaboración

Comentarios del profesor/a:

1 2 3 4 5

29

1 BLOQUE


Lista de cotejo

Con base en el documento Lineamientos de Evaluación del Aprendizaje (DGB, 2011), el objetivo de las listas de cotejo es determinar la presencia de un desempeño, por tanto, es necesario identificar las categorías a evaluar y los desempeños que conforman cada una de ellas. Instrucciones: Marcar con una ✗, en cada espacio donde se presente el atributo.

Estructura

Sí

No

Sí

No

Sí

No

Sí

No

Sí

No

1. Cuenta con una carátula con datos generales del estudiante. 2. Cuenta con un apartado de introducción. 3. Cuenta con una sección de conclusión. 4. Cuenta con un apartado que señala las fuentes de referencia utilizadas. Estructura interna

5. Parte de un ejemplo concreto y lo desarrolla hasta generalizarlo. 6. Parte de una situación general y la desarrolla hasta concretizarla en una situación específica. 7. Los argumentos a lo largo del documento se presentan de manera lógica y son coherentes. Contenido

8. La información presentada se desarrolla alrededor de la temática, sin incluir información irrelevante. 9. La información se fundamenta con varias fuentes de consulta citadas en el documento. 10. Las fuentes de consulta se contrastan para apoyar los argumentos expresados en el documento. 11. Jerarquiza la información obtenida, destaca aquella que considera más importante. 12. Hace uso de imágenes o gráficos de apoyo, sin abusar del tamaño de los mismos. Aportaciones propias

13. Señala en las conclusiones lo aprendido a través de su investigación y su aplicación a su vida cotidiana. 14. Las conclusiones desarrolladas son de autoría propia. 15. Elabora organizadores gráficos para representar de manera sintética grandes cantidades de información. Interculturalidad

16. Las opiniones emitidas en el documento promueven el respeto a la diversidad. Total

30


Escala de clasificación

La escala de clasificación sirve para identificar la presencia de determinado atributo y la frecuencia que presenta. (Lineamientos de Evaluación del Aprendizaje. DGB, 2011.) Este instrumento puede evaluar actividades de aprendizaje, ejercicios, talleres, prácticas de laboratorio, cualquier tipo de exposición, podrá ser adaptado a las necesidades específicas de cada tema. Instrucciones: Indica con qué frecuencia se presentan los siguientes atributos durante la dinámica a realizar. Encierra en un círculo el número que corresponda si: 0 no se presenta el atributo; 1 se presenta poco el atributo; 2 generalmente se presenta el atributo; 3 siempre se presenta el atributo. Contenido

1. Desarrolla los puntos más importantes del tema.

0

1

2

3

2. Utiliza los conceptos y argumentos más importantes con precisión.

0

1

2

3

3. La información es concisa.

0

1

2

3

4. Relaciona los conceptos o argumentos.

0

1

2

3

5. Presenta transiciones claras entre ideas.

0

1

2

3

6. Presenta una introducción y conclusión.

0

1

2

3

7. Utiliza ejemplos que enriquecen y clarifican el tema.

0

1

2

3

8. Incluye materiales de elaboración propia (cuadros, gráficas, ejemplos) y se apoya en ellos.

0

1

2

3

9. El material didáctico incluye apoyos para presentar la información más importante del tema.

0

1

2

3

10. La información la presenta sin saturación, con fondo y tamaño de letra idóneos para ser consultada por la audiencia.

0

1

2

3

11. Se apoya en diversos materiales.

0

1

2

3

12. Articulación clara y el volumen de voz permite ser escuchado por todo el grupo.

0

1

2

3

13. Muestra constante contacto visual.

0

1

2

3

14. Respeta el tiempo asignado con un margen de variación de más o menos dos minutos.

0

1

2

3

Coherencia y organización

Aportaciones propias

Material didáctico

Habilidades expositivas

Total Puntaje total

31

Utilizas magnitudes y números reales Tiempo asignado:

6 horas

2


2.1 Números reales: representación y operaciones

2.2 Tasas, razones, proporciones y variaciones

Competencias a desarrollar n Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la

aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de tasas, razones proporciones y variaciones, situados en situaciones reales. n Formula y resuelve problemas matemáticos relacionados con los

números reales, aplicando diferentes enfoques.

n Interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos

matemáticos y los contrasta con situaciones reales, tales como problemas sobre la discriminación en México. n Analiza las relaciones entre los diferentes tipos de números. n Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos

matemáticos y científicos relacionados con la representación y operación de los números reales.

w

¿Qué sabes hacer ahora? Responde las siguientes preguntas: 1.

El número p, ¿a qué subconjunto de los números reales pertenece?

2.

¿Cuántos botes con capacidad de 3 de litro se pueden llenar con 45 litros de 4 pintura?

3.

Resuelve y representa gráficamente: |x 2 1| < 5.

4.

Efectúa las operaciones indicadas y encuentra el resultado:

(23)(2 4) 5 26 5.

3 1 Efectúa la operación 2 5 4 2

6.

¿Cuántos litros de vino se pueden envasar en 75 botellas de de litro de ca4 pacidad cada una?

7.

n Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y

habilidades que emplea al trabajar en equipo para la elaboración de materiales didácticos en donde identifican los números reales.

3

1 Tres personas reciben una herencia. La primera recibe del total, la segunda 4 1 recibe del total, ¿cuánto le corresponde a la tercera? 4

8.

Encuentra el mínimo común múltiplo de 648.

9.

Identifica si la calificación y el número de errores en un examen son directamente proporcionales o inversamente proporcionales.

10.

Si un mineral da 2% de metal puro, ¿cuántos kilogramos da por una tonelada (1 000 kg)?

Desempeños por alcanzar Ubica en la recta numérica números reales y sus respectivos simétricos. Combina cálculos de porcentajes, descuentos, intereses, capitales, ganancias, pérdidas, ingresos, amortizaciones, utilizando distintas representaciones, operaciones y propiedades de números reales. Utiliza razones, tasas, proporciones y variaciones, modelos de variación proporcional directa e inversa. Construye modelos aritméticos, algebraicos o gráficos aplicando las propiedades de los números reales.

2 BLOQUE



Un vehículo tiene un rendimiento de 18 km por litro y realiza un recorrido de 270 km. Si utiliza el mismo número de litros de combustible:



Cada equipo debe investigar: ¿Qué tipo de variación proporcional se expresa en el enunciado del problema? ¿Cómo se puede plantear el problema utilizando una razón?, ¿una proporción?, ¿una ecuación?

Trabajo individual Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione concep-

¿Cómo lo resolverías? a) ¿Qué distancia recorrería si su rendimiento fuera de 15 km por litro? b) ¿Cuál sería su rendimiento para una distancia de 240 km?

¿Qué tienes que hacer? tos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica, con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.

Evaluación por producto A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo:

Producto a elaborar Elabora la tabla y la gráfica de acuerdo con los valores de la situación didáctica.

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para determinar las respuestas del problema que se piden se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos, y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

34




Una rueda de 48 dientes está engranada con una de 60 dientes. Cuando la primera gira 100 vueltas, ¿cuántas gira la segunda?



Cada equipo debe investigar: ¿Qué tipo de variación proporcional se expresa en el enunciado del problema? ¿Cómo se puede plantear el problema utilizando una razón? ¿una proporción?

Trabajo individual Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.

¿Qué tienes que hacer? tos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica, con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.


Producto a elaborar Resuelve el problema con la aplicación del modelo de variación que corresponde y la utilización de los valores dados.


Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para determinar el número de vueltas que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos, y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

35

2 BLOQUE


Propuestas de diseño para situaciones didácticas

Parte II

Parte I

a) los dos son positivos;

1. Expresa en su forma más simple

b) los dos son negativos;

a) |2|

c) a es positivo y b es negativo;

b) |22| 5

d) a es negativo y b es positivo.

c) 2|22| 5

Verifica en cada caso la propiedad conmutativa de la suma de enteros.

d) 2|2| 5 2. Da la interpretación geométrica de: a) x , 2 4

Parte III

b) |x| . 4

Selecciona dos números enteros a y b y obtén a 2 b en los siguientes casos: 1. a < b son positivos y a < b

c) |x| , 4

2. a < b son negativos y a < b

d) |x| 5 4 (x es un número real)

3. a > 0, b < 0 y |a| > |b| 4. a > 0, b < 0 y |a| 5 |b|

3. Resuelve y representa gráficamente.

5. a < 0, b > 0 y |a| < |b|

a) |x 2 1| . 5 b) |x 1 4| , 1

Parte IV

c) |x 2 1| , 5

Efectúa las operaciones indicadas y encuentra el resultado.

d) |x 1 4| $ 1 4. Calcula: a) |5 2 2| 5 b) |2 2 5| 5 c) |22 2 5| 5 d) |22 1 5| 5 5. Calcula: a) |23 2 |25| 5 b) |4 2 9| 2 | 24| 5

1. 2. 3. 4. 5.

c) 18 1 | 23 2 2| 2 5 2 |27| 5 d) 2 |223 | 5 6. Sustituye las variables por sus valores y efectua las operaciones indicadas simplificando el resultado: a) x 2 |y| 1 |z 2 5|; x 5 22, y 5 3, z 5 1 b) |x 2 y 2 z 1 1|; x 5 22, y 5 23, z 5 5 c) 2|3x| 1 y 2 z 2 |3z|; x 5 4, y 5 1, z 5 2 d) |5 2 3x 1 4 2 2y| 23(x 2 y); x 5 23, y 5 22, z 5 4

36

Selecciona dos números enteros a y b con las siguientes características:

6. 7.

2 2 )( 23333)( 2 4444)))) 5 )(2 ((((2 2 2 )( 5 (2 32 )(62 4) 5 5 2666 5 2 2 27772 16(((2 2 444)))1 1555 2 1 2 1 2 1 5 2 ((2 4))1 55 5 4 2 77(1 1 2 1 99))) 5 5 2 )( 28888)( )( 5 2 9 (((2 85)( 99))( 2 2)( 4) (32 )( 2 2 )( ))2 3 5 2 2 2222)( )( )( 44)) 5 ((((2 3 )( 5 ) 2 233)( 2(((( 2 2 5 55))82 2)( (2 )((2 )( 44)) 5 5 )( ) 7 )(777))) 2888)( 5 (((2 2 )( (28)(7) (2 )( )( 2 9)( 2 2 2 9 )( 29999)( )(2 23333))))  1 5 5 2 2 9  ((((2 )(2 2 )( 155 5 5 )( 2 9 3)  1  2 99)( 1 5  1 55 5 6666   3(11)2 56( 2 2)  1111)))2 2555((( 2 2222))) 5 33((1 1 2 2 5 ( 2 33((1 12)(2 5 2) 5 5 2 23333)))) 5 222(((2 2 2(2223) 2 22))2 5 22((2 5 1 1112 2(2 233) (2 2 4)(2 2 2)(2 23) 5 (2 2 5)(2 210)

(2120)(131)(0) 8. (2120)(131)(0) 5 5 (2 5)(28)(2 9) (23)(26)(118) 9. 5 (2 4)(26) (11)(1 2)(13) 5 10. 2 44)( )(2 266)) ((2


1112 1 1317323115 5 8 3123 9 15113 2. En una panadería utilizan 9 gramos de harina por pieza de 3 4 6 5 10 2 4 2 8 4 3 4 2 4 6 11 15 4 7 5 8 40 4 8 2 4 5 Resuelve los siguientes problemas. pan. ¿Qué cantidad de harina 1. Un automovilista hace un reconecesitan para producir 3 200 rrido en tres etapas. Parte con piezas de pan? el tanque lleno de combustible 1112 1 1317323115 5 8 3123 9 15113 1 1 1 2 1 1 3 1 7 3 2 3 1 1 5 5 8 3 13. 2 E3n9una 1 5empresa 113 del total de y en la primera etapa gasta 3 4 6 5 10 2 4 2 8 4 3 4 2 4 6 11 15 4 7 5 8 40 4 8 2 4 5 3 4 6 5 10 2 4 2 8 4 3 4 2 4 6 11 15 4 7 5 las 8 40 4 8 2 4 5 acciones le pertenecen al se1 1 1 2 1 1 3 1 7 3 2 3 1 1 5 5 8 3 1 2 31 91 11 25 11 1133 1 7 3 2 3 1 1 5 5 8 3 1 2 3 9 1 5 1 1 3 de tanque; en la segunda, del ñor 2Pérez, esposa de las 3 4 6 5 10 2 4 2 8 4 3 4 2 4 6 11 15 4 7 5 8340 4254 2y a8 su 4 64 5810 4 3 4 2 4 6 11 15 4 7 5 8 40 4 8 2 4 5 combustible original, y en la terque él tiene. ¿Cuántas acciones tienen los demás accionistas? 1112 1 1317323115 5 8 3123 9 15113 cera, del combustible inicial. 1112 1 1317323115 5 8 3123 9 15113 3 4 6 5 10 2 4 2 8 4 3 4 2 4 6 11 15 4 7 5 8 40 4 8 2 4 5 4. Para construir un mueble se requieren 27 metros lineales de maAl término de su recorrido, ¿qué 1 1 1 2 13 14 36 15 7103 22 43 21 81 45 354 28 436111 2 31594 17 5 18 1403 4 8 2 4 5 dera recortados de la siguiente forma: del total en tramos de 2.5 parte del combustible original le queda? 1 1 1 2 1 1 3 1 7 3 2 3 1 1 5 354 86 5310 1 2234 92 81453141234 6 11 15 4 7 5 8 40 4 8 2 4 5 metros, de lo que resta en tramos de un metro y lo que sobra 2. Una familia distribuye sus ingresos anuales de 3 4la6 siguiente 5 10 2 4 2 8 4 3 4 2 4 6 11 15 4 7 5 8 40 4 8 2 4 5 1112 1 1317323115 5 8 3123 9 15113 en tramos de medio metro. ¿Cuántos tramos de cada medida se manera: parte en el alquiler de su necesitan? 3 4 6 5 10 2 4 2 8 4 3 4 2 4 6 11 15 4 7 5 8 40 4 8 2 4 5 1112 1 1317323115 5 8 3123 9 15113 vivienda, partes en alimentos y Parte VII 3 4 6 5 10 2 4 2 8 4 3 4 2 4 6 11 15 4 7 5 8 40 4 8 2 4 5 113 1 1 1 2 1 1 3 11 71 31 22 311 11 35 157 38 23311213595 1 85 13 1 32 3 9 1 5Resuelve los siguientes problemas: recreación, parte en ropa, par4 34472548640 114158 24 471 51 81 40 4 8 2 4 5 3 4 6 5 10 2 4 23 84 46 35 4102 24 46 211815 2 1 1 3 1 7 3 2 31 1 1 25 51 18 331172332 93 11 15 51 15 38 3 1 2 3 9 1 5 1 1 3 te para ahorrar y el resto para viajar. 1. Un ciclista recorre 35 km en 2 horas, ¿cuál es su velocidad 3 4 6 5 10 2 4 2 8 4 3 43 24 46 65 10 11 15 4 515 4 7 5 8 40 4 8 2 4 5 2 44278548340 4 24 48 6211 ¿Qué parte del ingreso anual se utilipromedio por hora? za para viajar? Parte V

3. S e envían por correo cuatro paquetes que en conjunto pesan 4 kg. Si uno 1 1 1 2 1 113111723 12 31 13 1 57 35 2183113112521351983 1135711321233391 11 55 151 83 3 1 2 3 9 1 5 1 1 3 pesa de kg, otro kg y un tercero pesa de kg, ¿cuál es el 3 4 6 5 10 23442685410 3 42 24 42 68 11 8 240 3442464756510 4 42488724543854402 44 86 211415 4 315 11 15 5 4 7 5 8 40 4 8 2 4 5 peso del cuarto paquete? 1 1 1 2 1 1 3 1 7 3 2 3 1 1 5 5 82. 3U1n2 campesino 3 9 1 5 1 1tiene 3 un terreno de 3500 m2 de superficie. 4 horas 4. Un jet hace el vuelo entre dos ciudades empleando 1 121422 18 41 33 41 27 43162111 31 12151154117513511882740 31312128331219147155132525 13811 313 151 27533829 3115211351 593 18 53111233 9 1 5 1 1 3 1 1 1 2 1 1 3 1 7 3 2 3 1 1 5 5 8 3 1 2 3 93 41655110 13 Siembra 4del área con alfalfa, con maíz, con verdura y de ida y 5 horas de regreso. ¿Cuál es la diferencia de tiempo 4415 6258410 40 4 84274558 40 4 8 2 4 5 4732544832240 40 5 15 3 4 6 5 10 2 4 2 8 43 34 46 25 41063211 8310 2415 42 544 762511 486644511 88415 3 4472854286411 3 4 6 5 10 2 4 2 8 4 3 4 2 4 6 11 15 4 7 5 8 40 4 8 2 4 5 con cítricos. ¿Qué superficie ocupa para cada tipo de cultivo? entre la ida y el regreso? 3. Tres personas reciben una heren1112 1 1317323115 5 8 3123 9 15113 cia. La primera recibe del total 1 1 1 2 1 1 3341675310 2 32 14 12 58 45 384 32 14 26 31191514571518340 4 8 2 4 5 y la segunda, del total, ¿cuánto le 3 4 6 5 10 2 4 2 8 4 3 4 2 4 6 11 15 4 7 5 8 40 4 8 2 4 5 corresponde a la tercera? 4. Dos personas compran un juguete 1 1 1 2 1 1 3 1 7 3 2 3 1 5 1 1 1 2 15 183 31 17 2332 39 111551 51 38 3 1 2 3 9 1 5 1 1 3 Parte VI aportando 1 y 2 unidades de 3 4 6 5 10 2 4 2 8 4 3 34 42 64 5610 11 15 4 15 5 4 7 5 8 40 4 8 2 4 5 2 4 42 78 548340 4 24486211 Resuelve los siguientes problemas. dinero respectivamente. Después 1112 1 1317323115 5 8 3123 9 15113 1. ¿Cuántos litros de vino se puevenden y obtienen una ganancia de unidades de dinero. 1 1 1 2 1 1 3 1 7 3 2 3 1 1 5 5 8 3 1 2 3 9 1 35 41 61 53 10 2 4 2 lo 8 4 3 4 2 4 6 11 15 4 7 5 8 40 4 8 2 4 5 den envasar en 75 botellas de ¿En cuánto se vendió el juguete? ¿Qué parte de la ganancia es 3 4 6 5 10 2 4 2 8 4 3 4 2 4 6 11 15 4 7 5 8 40 4 8 2 4 5 de litro de capacidad cada una? para cada persona si se divide proporcionalmente de acuerdo con su aportación? 37

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Parte VIII Resuelve los siguientes problemas. 1. Dos camiones del servicio urbano de la ciudad salen de la terminal a las 8 de la mañana. Si uno tarda 1 hora en hacer su recorrido y el otro tarda una hora con 20 minutos, ¿a qué hora volverán a coincidir en su salida? 2. Se tienen tres fajos de billetes: en el primero hay $ 2 800 en el segundo $ 8 000 y en el tercero $ 4 600. Si todos los billetes son iguales y del mayor valor posible, ¿cuál es el valor de cada billete?, ¿cuántos billetes hay en cada fajo? 3. Un depósito de agua se puede llenar en un número exacto de minutos por una llave A que arroja 45 litros por minuto, por una llave B que arroja 60 litros por minuto o por una llave C que arroja 96 litros por minuto. ¿Cuál es la menor capacidad que debe tener el depósito para que se llene en un número exacto de minutos por cualquiera de las tres llaves? 4. Las alumnas A, B y C presentaron un examen con los siguientes resultados: A obtuvo 88 puntos, B 96 puntos y C 68 puntos. Si todas las preguntas del examen tienen el mismo valor y éste es el máximo posible, ¿cuál es el valor de cada pregunta? ¿Cuántas preguntas contestó correctamente cada alumna? 5. Dos camiones del servicio urbano de la ciudad salen de la terminal a las 8:00 a.m. En hacer su recorrido de ida y vuelta uno tarda 2 horas y el otro 1 hora 20 minutos, ¿a qué hora vuelven a coincidir en su salida? 6. Una superficie rectangular de 7.50 m de largo y 5.40 m de ancho se va a cubrir con loseta asfáltica cuadrada, de la mayor dimensión posible, de manera que haya un número entero de losetas tanto a lo largo como a lo ancho. ¿Cuál es la medida del lado de la loseta? ¿Cuántas losetas se pueden colocar a lo largo? ¿Cuántas a lo ancho? 7. Tres corredores entrenan en una pista que recorren en 12, 15 y 18 minutos respectivamente. Su en38

trenamiento termina cuando vuelven a coincidir en la línea de meta. Si salieron de la meta a las 6 a.m., ¿a qué hora vuelven a coincidir? ¿Cuántas vueltas da cada uno? 8. A cada alumno de un grupo escolar se le va a entregar en un paquete la misma cantidad de lápices y cuadernos. Si se dispone de 75 lápices y 100 cuadernos, ¿cuál es el mayor número de alumnos que puede recibir un paquete? ¿Cuántos lápices contiene cada paquete?, ¿cuántos cuadernos contiene cada paquete? 9. Tres anuncios se encienden con intervalos de 12, 15 y 18 segundos respectivamente. Si los tres se encendieron a las 7 de la noche, ¿a qué hora vuelven a encenderse al mismo tiempo? 10. Se dispone de 300 kg de frijol, 120 kg de arroz y 180 kg de harina de maíz para hacer despensas que contengan un número exacto de kilogramos de cada artículo. ¿Cuál es el mayor número de despensas que se pueden hacer? ¿Cuántos kilogramos de cada artículo lleva cada una? 11. Los vuelos a las ciudades A, B y C se realizan cada 8, 12 y 15 días. Si los tres salieron el 15 de mayo, ¿cuántos días transcurrirán para que vuelvan a salir en la misma fecha? Parte IX Identifica si las magnitudes son directamente proporcionales o inversamente proporcionales. 1. La calificación y el número de aciertos en un examen. 2. La calificación y el número de errores en un examen. 3. La velocidad y la distancia recorrida en determinado tiempo. 4. La velocidad y el tiempo para una distancia determinada. 5. El volumen y la presión de una masa gaseosa a temperatura constante. 6. La presión y la temperatura de una masa gaseosa a volumen constante. 7. La iluminación y la distancia a una fuente luminosa. 8. Para un trabajo determinado, el tiempo y el número de obreros. 9. El número de artículos iguales y el costo total de ellos. 10. El importe del consumo de agua y el número de metros cúbicos consumidos.

Parte X Plantea cada uno de los siguientes problemas con proporciones y resuélvelos aplicando la propiedad fundamental. 1. En una escuela, 780 alumnos que representan 63% son varones, ¿cuántas niñas hay? 2. Si un alumno contesta en forma correcta 39 preguntas de un total de 50, ¿qué tanto por ciento contestó correctamente? 3. En una escuela, 208 alumnos cursan el tercer año y representan 26%. ¿Cuántos alumnos tiene la escuela? 4. Un automovilista recorre 420 km que corresponden a 60% de su recorrido, ¿cuántos kilómetros le faltan por recorrer? 5. Cuarenta y dos kilogramos de una aleación contiene 6% de cobre. Halla la cantidad de cobre en kg. 6. Si un mineral da 2% de metal puro, ¿cuántos kilogramos da por una tonelada (1 000 kg)? 7. Si un mineral da 60 kg de metal por tonelada, ¿cuánto por ciento da? 8. Si se funden 20 kg de estaño con 60 kg de cobre? ¿Cuánto por ciento del peso del estaño es el peso del cobre? 9. El trigo pierde 18% de su peso al molerlo. Cuando se han perdido 360 kg, ¿qué cantidad de trigo se ha molido?

10. E l agua, al helarse, aumenta su volumen en 10%. ¿Cuántos metros cúbicos de agua se necesitan para formar 508.2 metros cúbicos de hielo?


Introducción El sistema de los números reales se explica a partir de sus subconjuntos más importantes. El concepto de valor absoluto se utiliza como antecedente de las operaciones con enteros. Las razones y proporciones aparecen como antecedente de la variación proporcional directa e inversa.

2.1 Números reales: representación y operaciones En este bloque se realizan operaciones con números reales de manera fundamental con enteros y racionales. Para tu reflexión

Isaac Newton (1642-1727) Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el universo Difícilmente podría decirse que el camino de Newton a la fama estaba predestinado. Su nacimiento fue prematuro, y durante algún tiempo pareció que no sobreviviría debido a su debilidad física. El padre de Isaac murió tres meses antes de que éste naciera, y cuando tenía 2 años de edad su madre volvió a casarse y él se fue a vivir con su anciana abuela a una granja de Woolsthorpe. Fue probablemente aquí, en un distrito de Inglaterra en que era vigoroso el influjo puritano, privado de las relaciones normales con padres, hermanos y alejado de otros niños, donde adquirió las facultades de meditación y concentración que más tarde le permitieron analizar y encontrar la solución de problemas que desconcertaban a otros científicos. Cuando tenía 12 años ingresó a la escuela del rey en Grantham, donde vivió con un boticario llamado Clark, cuya esposa era amiga de la madre de Isaac, pasó cuatro felices años ahí, construyendo toda clase de molinos de viento, carros mecánicos, relojes de agua y cometas. Encontró un desván lleno de libros científicos que le encantaba leer y toda suerte de sustancias químicas y frascos de botica además de la compañía de la señorita Storey, hija adoptiva del matrimonio. Cuando Isaac tenía 17 años murió su padrastro y el muchacho volvió a su casa a fin de ayudar a su madre en la administración de su pequeña propiedad en Woolsthorpe, empero Newton no sentía inclinación por la vida de campo y pasaba el tiempo leyendo sus libros científicos, hasta que su madre lo comprendió y le permitió continuar su carrera académica e ingresó en el Colegio de la Trinidad en Cambridge.

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Aunque Newton tenía un profundo conocimiento de los principios matemáticos, no le interesaban las matemáticas puras o filosóficas, sino su aplicación para comprender mejor el mundo científico y el universo. En 1664 se cerró provisionalmente la Universidad de Cambridge debido a una gran peste bubónica y Newton volvió a Woolsthorpe, donde pasó un año y medio. Durante ese tiempo hizo tres de sus grandes descubrimientos científicos: el primero fue el binomio de Newton y los elementos del cálculo diferencial, que denominó fluxiones. Poco después dijo que había encontrado el método inverso de las fluxiones, es decir, el cálculo integral. El segundo gran descubrimiento fue que se preguntó si la fuerza de gravedad afectaba también a masas tan grandes como la de los planetas y los satélites, y encontró que la fuerza que estaba difundida en el universo y mantenía a los planetas en sus órbitas efectivamente era la gravedad, y era una fuerza que podía medirse. Dedujo que la fuerza que mantiene a un planeta en su órbita debe ser inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que lo separa del centro alrededor del cual gira. Aplicó esta deducción al cálculo de la fuerza de gravedad ejercida sobre la Luna, y los resultados confirmaron su creencia. Su tercer gran descubrimiento corresponde al área de la óptica y la refracción de la luz. Sus trabajos en la fabricación de lentes y prismas revelaron que la luz está compuesta de rayos individuales con diferente refracción, y que los rayos de color no son modificaciones de la luz sino propiedades originales e innatas que existen en diferentes rayos y tienen sus características propias.

saber: el positivo representa un punto a cierta distancia a la derecha del origen, y el negativo representa otro punto a la misma distancia, pero a la izquierda. El valor absoluto de cualquier número real x (que se denota por |x|) es x si x es positivo, 2x si x es negativo y cero si x es cero. Simplemente, se puede escribir como sigue: Actividad de aprendizaje Si un número 2x es positivo, ¿entonces cómo es x ?

Ejemplos |2| 5 2 |22| 5 2

Ejemplos Resuelve para cada x una de las siguientes ecuaciones: |x | 5 4

Elementos de los subconjuntos de los números reales Los subconjuntos de los números reales con los que trabajamos en álgebra son: racionales e irracionales. Los racionales corresponden a los números decimales periódicos. Incluyen a los números enteros, y éstos a los naturales.

Recta numérica: números reales y sus simétricos, su valor absoluto y relaciones de orden A continuación se introduce el concepto de valor absoluto, que nos permitirá comprender el simétrico de un número y el establecimiento de las relaciones de orden: mayor que, menor que e igual.

Valor absoluto Para cada número real x (x ? 0), hay un número 2x. si x es positivo, 2x es negativo; pero si x es negativo, entonces 2x es positivo. Estos dos números representan puntos sobre la recta numérica, a 40

x 5 4 o porque |4| 5 | 24| 5 4 x 5 24 |x 1 1| 5 5 x 1 1 5 5 o x 1 1 5 25 x 5 4

x 5 26

Actividad de aprendizaje ¿Cómo se obtiene la distancia entre dos puntos en la recta numérica?

Distancia entre dos puntos de la recta numérica Si P(x) es un punto de la recta numérica, entonces |x| es la distancia del origen a P(x). Para dos puntos cualesquiera de la recta nu-


mérica: (P(a) y P(b), la distancia entre ambos es a – b si a > b, y b 2 a si b > a, es decir |a – b|. Este hecho permite visualizar la solución de ecuaciones o desigualdades cuyas expresiones tengan valores absolutos. Ejemplos 1. Halla la solución de |x | 5 4. Como |x | 5 |x 2 0|, entonces |x| 5 4 implica que |x 2 0| 5 4, por lo que la solución se puede interpretar así: Halla los puntos P (x ) cuya distancia al origen sea 4. En este caso, como P (4) y P (24) satisfacen la condición y, por tanto, 4 y 24 son la solución. 2. Halla la solución de | x | < 4. Como |x | < 4 implica que |x 2 0| < 4, la distancia del punto al origen es menor que 4, es decir, P (x ) es cualquier punto a la izquierda de P (4) y a la derecha de P (24) como se ilustra en la figura 2.1; los círculos alrededor de P (4) y P (24) indican que esos puntos no se incluyen como solución de la desigualdad. –6

–5

–4

–3

–2

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0

1

2

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4

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6

Figura 2.1

3. Halla la solución de |x 1 4| ≥ 2 Como |x 1 4| 5 |x 2 (24),| entonces la solución de |x 2 (24)| ≥ 2 consiste en hallar los puntos P (x ) cuya distancia a P (24) sea mayor o igual a 2; por consiguiente, P (x ) puede ser P (22) o P (26), o cualquier punto a la derecha de P (22) o a la izquierda de P (26), como se ilustra en la figura 2.2 en la cual los puntos P (22) y (P26) están remarcados para indicar que también son solución de la desigualdad. –9

–8

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–3

–2

–1

0

1

2

3

Figura 2.2

Propiedades fundamentales de las operaciones aritméticas Las propiedades fundamentales de las operaciones aritméticas son las siguientes: Para la suma: cerradura, asociatividad, existencia del idéntico, existencia de los inversos, conmutatividad. Es de hacerse notar que al número 2a se le llama inverso aditivo o simétrico de a. Así, el inverso aditivo de 5 es 25, y el inverso aditivo de 25 es 5. Se puede demostrar que el inverso aditivo de un número es único.

Para la multiplicación: cerradura, asociatividad, existencia del idéntico, existencia de los inversos, conmutatividad. 1 Es de notarse que el número se le llama inverso multiplicativo o a 1 1 recíproco de a. Así, el inverso multiplicativo de 4 es y el de es 4 4 4. Se puede demostrar que el inverso multiplicativo de un número es único. Dados dos números reales a y b puede ocurrir alguna de las siguientes situaciones: a > b, a 5 b, a < b.

Operaciones con números enteros Al operar con este conjunto de números, además de su expresión numérica habrá que considerar su sentido. De esta manera, si dos personas parten del mismo punto y recorren un kilómetro en sentidos opuestos, es evidente que al término de su trayecto se hallarán en lugares diferentes, a pesar de haber recorrido la misma distancia. Si una persona gana $1 000 000 está en una situación distinta de la que tendría si hubiese perdido $1 000 000; aunque la cantidad es la misma, ganar y perder tienen significados opuestos. En el primer caso se considera positiva la distancia recorrida hacia la derecha (o al norte) del punto de partida, y negativa la que recorrió hacia la izquierda (o hacia el sur) del punto de partida. En el segundo caso ganar se considera positivo y perder, negativo. En determinadas magnitudes se ha convenido establecer el sentido positivo y negativo de las variaciones que pueden experimentar. Así, las distancias contadas hacia la derecha (o hacia el norte) se consideran positivas y las distancias hacia la izquierda (o hacia el sur) se consideran negativas. Las temperaturas sobre cero como positivas y las temperaturas bajo cero como negativas. Las ganancias como positivas y las pérdidas como negativas. También se ha convenido en anteponer el signo 1 a los números positivos y el signo 2 a los negativos. De esta manera, 2200 años, negativo, significa 200 años antes de Cristo, y 1 1987, positivo, significa 1987 años después de Cristo. Cuando no hay lugar a duda se puede suprimir el signo 1 delante de los números positivos, en vista de lo cual se deben considerar positivos aquellos números que no lleven signo antepuesto. Los signos 1 y 2 tienen un doble significado: pueden indicar la suma y la resta, y establecer el sentido positivo o negativo en que se ha considerado una cantidad; en consecuencia, han de considerarse asociados con el símbolo numérico, formando por así decirlo, parte del símbolo mismo. En ocasiones conviene expresar los números positivos y negativos encerrándolos en un paréntesis.

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Ejemplos

En un estado de cuenta bancario de una tarjeta de crédito las compras aparecen con signo 1 y los pagos con signo 2, ¿cómo se debe interpretar esto?

1. (13) 1 (21) 1 (14) 1 (25) 1 (29) 5 (17) 1 (215)

5 28 2. (15) 1 (22) 1 (26) 1 (18) 5 (13) 1 (26) 1 (18) 5 (23) 1 (18)

5 15

Sustracción de números enteros

Actividad de aprendizaje ¿Cómo se suman dos enteros con igual signo? ¿Cómo se suman dos enteros con distinto signo?

Recordemos que dos números reales que tienen el mismo valor absoluto o diferente signo son simétricos o inversos aditivos uno del otro, con la propiedad de que su suma es cero, es decir a 1 (2a) 5 0.

La sustracción es la operación inversa de la adición.

Si conocemos la suma (minuendo) de dos sumandos, pero sólo a uno de ellos (sustraendo), entonces debemos encontrar el sumando que falta (diferencia). Para efectuar la sustracción de dos números enteros, se busca un número, que sumado con el sustraendo nos dé el minuendo; esto equivale a transformar la sustracción en una adición, sumando al minuendo el simétrico o inverso aditivo del sustraendo.

a) Para sumar dos enteros con igual signo, se suman sus valores absolutos y al resultado se le antepone el signo común.

Ejemplos (1 3) 1 (1 5) 5 1 8 (112) 1 (113) 5 1 25


(24) 1 (28) 5 212

¿Cuál es el inverso aditivo de 25?

(27) 1 (216) 5 223

b) Para sumar dos enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos y a la diferencia se le antepone el signo del número con mayor valor absoluto. Ejemplos (19) 1 (24) 5 1 5 (215) 1 (16) 5 29 (29) 1 (14) 5 25 (115) 1 (26) 5 19

Ejemplos (18) 2 (15) 5 (18) 1 (25) 5 13 (14) 2 (110) 5 (14) 1 (210) 5 26 (13) 2 (22) 5 (13) 1 (12) 5 15 (17) 2 (28) 5 (17) 1 (18) 5 115 (25) 2 (13) 5 (25) 1 (23) 1 28 (29) 2 (17) 5 (29) 1 (27) 5 216

c) Para sumar varios enteros, se procede de dos formas: sumando por separado los positivos y los negativos, restando después los valores absolutos de las dos sumas y a la diferencia anteponer el signo de la mayor en valor absoluto; o bien, se suman los dos primeros sumandos, el resultado se suma con el tercero y así sucesivamente. 42

(23) 2 (22) 5 (23) 1 (12) 5 21 (24) 2 (29) 5 (24) 1 (19) 5 15

Una expresión compuesta de sumas y restas combinadas recibe el nombre de suma algebraica.


Ejemplos (2 7 2 3 1 4 2 1 1 12) 5 2 7 2 3 1 4 2 1 1 12 (19) 1 (23) 2 (14) 2 (25) 1 (210) La expresión anterior es una suma algebraica y, como ya se ha explicado, cada signo de restar se puede suprimir al sustituir cada sustraendo por su inverso aditivo.

(9 1 4 2 5) 1 (2 7 1 3) 5 9 1 4 2 5 2 71 3 b) 2 (2 1 4 2 6 2 7 1 3) 5 2 2 2 4 1 6 1 7 2 3

2 (2 4 2 8 1 9 1 1 2 10) 5 4 1 8 2 9 2 1 1 10

Así:

2 (6 1 2 2 3 2 7 2 12) 5 2 6 2 2 1 3 1 7 1 12

(19) 1 (23) 2 (14) 2 (25) 1 (210) 5 (19) 1 (23) 1 (24) 1 (15) 1 (210)

2 (2 5 2 6 1 4) 2 (14 1 3) 5 5 1 6 2 4 2 14 2 3

5 (114) 1 (217) 5 23

Supresión de paréntesis

Aplicando estos dos criterios, se pueden suprimir los paréntesis en una suma algebraica.

En la adición de números enteros se ha convenido suprimir los paréntesis, escribiendo unos sumandos a continuación de otros enlazados por sus signos respectivos.

Multiplicación de números enteros

Así:

E l producto de dos números enteros positivos es un número entero positivo.

Leyes de los signos del producto de enteros:

(17) 1 (24) 1 (22) 1 (16) 5 7 se puede escribir

E l producto de dos números enteros negativos es un número entero positivo.

724221657 entonces: (17) 1 (24) 1 (22) 1 (16) 5 7 2 4 22 1 6 5 7

E l producto de un número entero positivo por un número entero negativo es un número entero negativo.

Cuando el primer sumando es positivo se suprime el signo. De lo anterior se puede decir que todo paréntesis precedido de signo 1 debe ser considerado como un sumando, mientras que todo el que esté antecedido del signo 2 debe considerarse un sustraendo. De ahí que para la supresión de paréntesis se establece que: a) Todo paréntesis antecedido por el signo más se puede suprimir sin alterar los signos de los términos que encierra. b) Todo paréntesis precedido del signo menos se puede suprimir escribiendo los simétricos de los términos que encierra.

Actividad de aprendizaje Suprime paréntesis: 2 (2 3 1 2 2 5 2 7) 1 (2 3 1 2 2 5 2 7).

Ejemplos a) (4 2 6 1 7 1 5) 5 4 2 6 1 7 1 5 (2 3 1 5 2 9 1 8) 5 2 3 1 5 2 9 1 8

E l producto de un número entero negativo por un número entero positivo es un número entero negativo. Es por ello que al multiplicar números enteros se debe recordar que: a) El valor absoluto del producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores. b) Si los dos factores tienen el mismo signo, el producto es positivo. Si tienen signos contrarios, el producto es negativo. Actividad de aprendizaje Si el producto de dos enteros es positivo, ¿qué se puede decir de sus factores?

Ejemplos (18)(14) 5 132 (26)(25) 5 130 (17)(23) 5 221 (22)(19) 5 218

43

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División de números enteros

Operaciones con números racionales

Dado cualquier número real a(a ? 0) existe otro número real que 1 1 se denota por o a21, tal que a ? 5 1. Cada uno es el recíproa a co o inverso multiplicativo del otro. La división es la operación inversa de la multiplicación. Conociendo el producto de dos factores (dividendo) y uno de ellos (divisor), se debe encontrar el otro factor (cociente). El producto del cociente por el divisor es, por tanto, igual al dividendo. Al dividir dos números enteros se debe recordar lo siguiente: a) El valor absoluto del cociente es igual al cociente de los valores absolutos del dividendo y del divisor. b) El signo del cociente es positivo si el dividendo y el divisor tienen el mismo signo. Si tienen signos contrarios, el cociente es negativo.

A continuación se reafirmarán los algoritmos para cada operación con números racionales, los cuales están representados por fracciones comunes.


Realizar la operación:

¿Qué signo tiene el cociente cuando el dividendo y el divisor tienen signos contrarios?

2 1 − = 3 2

Adición de números racionales La suma de dos fracciones se puede efectuar cuando tiene la misma unidad fraccionaria, es decir, el mismo denominador. En la adición de números racionales se presentan tres casos. 1. Suma de fracciones con el mismo denominador. Se suman los numeradores para obtener el numerador del resultado cuyo denominador es el denominador común. Actividad de aprendizaje

Ejemplos Ejemplos (218) ÷ (16) 5 23 (12) ÷ (11) 5 12 (124) ÷ (28) 5 23 (26) ÷ (21) 5 16 (214) ÷ (27) 5 12 (18) ÷ (22) 5 24

Operaciones combinadas Al efectuar operaciones combinadas se debe tener presente el orden, es decir, primero se realizan las multiplicaciones y divisiones, y después las sumas y restas, a menos que los símbolos de agrupación establezcan otro orden. Ejemplos

 (2 3)(5)2(12)4(2 4)   2 15 2(2 3)  135     13 (2 2)(2 3) 6      2 15 13  5 13  6  2 12  5  13  6  52 2 13 51 44

1 3 3 4 1 1 511 5 5 8 1 8 3 11 83 84 21 5 5 1 5 28 18 1 3 1 5 2 18 5 8 2 5 134 5 31 3 4 1 1 3 15 3235 14 2131 1 5 1515 1 511 1 5 1 55 511 5 5 82 53 5 88 7551 58 4 1 8 8 84 1 8583 5 21 8 8 2 7 7 7 7 2 1 2 1 2 411 33 41133 7 1 3 5 2 51 11 5 1 521 11 5 5 25 1 1 55 5 65 5 11 5 5 5 7 751 5 575 55751 7 555 5712 5 10 567 51 375 10 4 3 410 733 1075 437 1 123 5 411 11 1 541 1 5 5 451 15 55 51 11 1 5 5 551 c 77 107 57 5 7 7 7a 1 77 710 77 10 10 7 5 65 121 6 5 112 6 1 7 5 7 b 55 12 1 555 1 55 1 5a71 1c 5 57 1c5 1 75 1 5 51 10suma 5 ra10 10si10 1 10 10 510 105 5su 510 es el5 número En general, y 10 son dos10 racionales, 5 91 a 1 c b b b c c c a 1a 1 c . a 71 7 7 a 1 7 0 cional bb 5 5 0 bb b 2 572 a 1 c 8 8 8 a a cc c c8c 8a 1c c a a c c a a c1 59 1 5 11 5 1 15 951 1 5 1 9 bb b b b b b3 bbb2 b bbb b b 777c 707 7 277 00 7c7 07a701 7 77 7 7747 75a772 2 55702 55 5500 15 De restar 2 25 2 55 205 5 752 75 5 0288875 3 2 8b 85 88b1588288b8888 5 8 88 8 88 8 2 88 88 27 2 720 0 3 2 34 275 7 37 20 2 5 5 50 4 5 45 1582 18 48 5 8 8 8 7 3 2 3 4 28 2 73 8 2 7 2. Sustracción fracciones distinto denominador. 2 5 2 5152 2de5 5 5515 15 22 con 1 1 1 5 42202 5 20 20 20 20 4 5 45 2 5202 5 Primero 4 común 12 denominador, y después se 1 1 se14reducen 1 2 a 1un 5 anterior. 2 5procede 2 5como2 en el caso 4 2 10 2 4 2 4 2 5 21 1 5 1 1 1 1 1 5 1 541 5 2 2 55 22 22 5 25 2 2 5 2 2 1 4 2 4 2 4 4 22514 2 2 10 10 4 10 5 212 5 212 5 212 3 4 4 52 4 1 1 14

3 2 4 5 7 5

5

5

1 2 4 5 2 8

5

5

5

3 46 5 5

18 4

3 4

4 34 3 3 73 7 b11 b b 8 b3c b11 51 511 1 514 15 451 51 3 b25 8 7 7 a 15 c2 7 77 7 7 77 7 5715 2 27575 15 714 7275714 0 0 7ba2 1 55 72 520 20 2005 0 20 4 4 52 b 525 752 5 12 7 75 5 5 12 6 61 1 1 a 218c 8182 8881c 8 8 8 8 8 8 1 1 5 7 15 7 1 5 5 551 51 1a513 95 c11 13 c 4 154 10 10 10 10 10 10 5 5 5 22b9 12 282225 2 b 8253b 5321 b4 4 b2 2 b c c 7 47 4857 5 8 7 0 a1 a1 1 151 755500 51772 5172 175 b b 25 24255 2 872828257 75 0 Grupo Editorial Patria® 8 538 53422822 1 31 3 3 43 14 1 2 5 15 2 5 2 15 3 2 3 5 3 2 3 5 4 2 4 2 4245 8 8 82 52 8 8 5 5 c 5c 151 c5 a 1 c a5111 244 3 43 45 2020 5554 3 2020 10 8 1 88519815 8 9 188 28 2 10 3 2 5 7 575 75 27 5 22 b bb b b b 2 21 5 21 1 1 1 1 4 5 2 2 2 12 1 1 31 3 5 451525 215 de4 números 4 Multiplicación racionales Ejemplos 727157251 7 5 07 0 7 17 751 7 3 2 5 52 22 8 52 2 452 4 5 52 5 5 527525575 52 5 550 5 0 1 1 2 5 2 5 15 8 7 314 2 14 8 8 8 88 8 8 88 8 El producto fracciones 5 5 2 15 1dos 120 1111320 55es51 otra fracción, cuyo numerador y 311 62 3 4 35 51de 3511 615 3125 4 34 3 3 73 7 2 2 2 2 2 5 2 2 4 4 20 20 4 5 4 35 3 46 5416es 45 51 511 3 12 3514215 451 51 denominador el25 producto 45 2514 645 2de26los numeradores y de los denomiDe 7 restar 5 5 15542514 1514 77 7 7 77 7 3 3 1 1 4 54 5 1 4 3 1 3 4 1 nadores, 4respectivamente. 5 2 2 5 235 2 10 3 10 3 2 3 53 2 3 5 7 75 5 5 12 6 1 1163 5111 3 5 5 12 1 1 5 5 1 5 5 5 21 5 242 1 21 142 8215 21 845 4 5 3 4 5 3 527 15 587 5 5 1 51se8tiene: 51 8 8 8 8 2 8 8 2 8 7común 3 el1denominador 23 1 como es 720, 8 1 1 1 5 4 5 3 4 5 3 4 44 71 5 57 27 5 7 2 5315 2 5 30 5215 2 5 10 30 102 10 10 5 4 1 51 5 10 10 1 1 1 1 1 1 4 1 2 5 2 5 2 1 1 5 1 1 3 3 3 4 2 8 2 2 8 2 2 2015 3 522 5245 34121 324151 5 15 4554 15 20 4 54 51120 25 1 3 Actividad 281 7 1 2 3 1 1 2 2 5 3aprendizaje 131120 5 1255 5 4 de 24 15 1 1 c 8c 8 8 5 4 5 5 3 3 2 2 1 5 1 5 1 5 1 5 144 424 4 4 54 8425 145 4 8472 7255 2 255 5 5 a1 1 1 8 4 28 5858 8520 1 a 11 5 7 7 2 2 5 5 5 5 5 5 10 5 5 104 410 20 14 14 5 b25 2b22 1 1 1 21 1155 10 5 1 1 1 1 3 43 3 4de1 5 4212 15 4 24 12155 4 3 3 7 3 7 Multiplicación números racionales 5 2 4 2 1 5 2 5 2 4 2 1 2 5 2 5 2 3 21 2 2 1 1 5 5 3 3 418 18 11 11 4 4 3 418 35 18 a c a 5c 5c5 5 c 5 5 5 5 1 5 4 1 51 51 5 1 4 1 5 511 5 5 2345 214 45 214 25 44 5 5 4 5 5 4 344 23 2 5 11 511 19 15119 1 51 5 7 7 2 18 3 41 18 7 7 7 7 7 7 1 5 4 4 3 que 5 2b 23 3mixtos. 14 cualquiera de 14los fac41 producto 114 31es menor 2b5b2 2 5 2 × = ,4¿por14qué12el b 242bde 3. 5bSustracción 3números 7 77 155 5512 1  21 255 11 11 4 42 4 1 43 5 5 75 512 6 5 1 12 63 4 1 2 1 121 5 5 1 1 4 1 1 1 4241 401 51151 ( 4 2 ) 5 2 1 4 1 ( 4 2 ) 5 2 1 2 4 72 1 2 1 8 1 2 1 8   72   75 7Se7puede 7 7 0 7 777 proceder 5 5 1 5 5 57 151 5 5 tores? 51 dos 522 52 52 5 5 41 41 77 2 75 710 70 7formas: 7 01 10 5 7 110 4 2 3 2 4 5 3 445 51 15445 2 52 5 5 5 752de710 14 14 10 10 10 10 5 10 5 10 5 5 3 4 4 2 4 4 4 4 4 2 4 4 4 5 3 3 2 8 2 22 8 2 2 8números 8a) 8Convirtiendo 8 585 12 8 885 7 21 7 82 5821 54los2 12 6 6en fracciones 1 1 c impropias mixtos 6232 2316 13183 8 12 2 15 3 463543164 c55 1 1 524 5 2 5 5 5 5 71 741 5a 5 1 1 1 1 55 4 253 5 1 2 5 1 25121 5 3 5 4 5 8 8 5 24 3 2y 3después 2 11 4422 553 en10 el caso 42 45 22 463 10101proceder 10101 como 1010 1 10 5 5 anterior. 5 a51 b 5 4254 5 5 1 55115521212 185 8255 1 5 6 2 2 2 2 b 4 1 4 4 54 5 5 1c 5 932 1 17 1 12 541942 4217 9434345339421 2 3 5 4 c 14 5115 5 3 4 4445214 554 4 5 3 844 85 4 a c c a c c 4 5 4 1 1 5 a 1 a 1 5 1 4 4 2 1 5 1 2 1 5 5 4 4 Ejemplos    3 23 2 8 87 7 1 5 9 1 1 5 9 1 5 25(5 2 234 223 54330 17 (24422 24)117 4 2  b2 42330 )421 2 5 5 2 5215 2 53 5 b b  5b315 4 4 b b b b 1 1 5 1  4 4 222  2 5c 2 20 20c c 20 4 54 a5 5a2 c20 2155 5 1 2 21 5 414542327 3 271 Ejemplos 41 4 7 7 7 7 0 7 7 0 7 7 1 1 5 5 1 9 9 4 2 5 2 1 2 5 2 4 2 4 2 5 2 55 2 34 34 522 55 2 2 522 1 11 1 52 550 7 2 5 5 0 4 510 25 2451 25 1 425 22 251 1b12b b1 b4 1b4 b 158 852 8 5 7 2 410 De 51 1restar 2 2 8 8 8 8 8 8 8 5 1   4 1 147 75040 4 2 5 31 6 3 3 13 6 3 1 4 254 42517 741 93( 492 718 7 445 22)91 4318 43 32 4 39144 393143575 46 5 18 35 18  4 54635 4 5 3 52 52 245 23 54 9 44318 5 4 3521 4 1 2 4 1472 77142 4 55 245 3 2 5 72 752415 0 05 15  Multiplica por ( 4 2 ) 2 5 4 5 3 18 4 5 5 3 3 41 2 25  1 5 5 65 1 5 6 3 1 8 881 8 2 1 5 2 1 2 1 7 2 1 2 1 7 5 2 2 5 2  8 8 8 8 8 8 313 3 13 14 2  45 5361436 41 35325 141 5 2 5 2 1122 5 152 42 51 214 45 2 152 2 4 5 6261 2 433 4 2 2 1 5 2 4 4 2 51 5 2 3 4 52 4 2 4223 2 2 4 2 18 18 4 4 6 5 6 5 4 4 5 5 42 1 355 3212 2122 2 5 3 3 321472 4 45 35 355 3572 12 5 4 42 32 22410 42 23 212210 38 2 7 8 7 5 1 5 5 6 6 3 5 5 3 5 3 3 5 5 4 6 5 3 5 3 3 5 5 4 6 5 2 5 5 1 2 3 3 4 10 2 515 2 25 515 2 5 30 30 4 421 52 5 212  5 5 6352 7533 5 5 5 6 6 5 55725 5 20 20 41554 1  20 4 520 33063430 5305 5 3 4 4 1 1 4 4 ( 4 2 ) 5 2 1 2 4 ( 4 2 ) 5 2 1 2 4 524 5 8 8 71 7 1  3322 2455 7 73 3 55251 5 5 2 33030 25 1 1 4 2 4 2 21255 2 2 5 5 15 15 11 2 1 4 3 3 4 4 7 2 5 2 10 10 20 4 14 5551 1 22020255 5 1 81284 942 179 7 17 9 4139 1 3 420 2 4 2 4 3 5 6 6 4 4 5 5 4 5 3 4 3 18 3 3 18 18 3 18 4 4 4 5 5 4 5 3 4 2152 1512 1 15 1542 21 7237 3 2335 232 3 3235 21 35 4 5 4 4 5 5 3 4 5 18 18 2 17 15 1 1 5 2 17 5 5 32 2 3 4 45 1 2 10 10 3 2 1 5 2 152 512 24 2 1 4 41 13 4 1 3 3 5332 435412 43 3 7537433 Ejemplos 4 3 35 2 5 2 2 2 2 5 4 4 2 2 3 5 3 3 5 4 6 5 6435332 827 32 5 2 5 23 3 8 38 4 5434 3 83 27 4 4 2 442 2 4 2 44 3 18 18 18 185 4 3 5 6 5 30 5 6 5 30 5 72 72 5 4 4 5 2 1 5 2 1 4 4 5 5 4 4 5 5 3512 35 18 18 11 11 1155 3 4 3 3 3 4 3 3 12 3 4 5 5 34 10 10 34 45 3 3 4 4 1 1 4 4 1 1 2 2 425 21424212 3 5 3 3 5 5 4 4 3 3 5 3 3 5 5 4 3 7 3 7 3 5 1 1 1 151 452 5 6 5 1 3 3 5 212 5 212 21345144 2524 Multiplica 14 5por 4196 1 749 4 97 129 1 27272 5 45413241 4 4 4 los enteros y las fracciones y su-4 383414 2 45 354 35 123 9 443 98a4 5 5 24 5 24 4b) Restando 2 4 42 5 24por 45separado 4 4410 244 10 5 5 3 3 2 21 7712 b2ac ac 71c2635371 5 3 433 27 437a5 1b3 1 de esta forma 1 se 154c 3 resultados. Al hacerlo 45121 3521355 5 2 21 21 5 5 3 3 6 521 32535 333330 1mando 5 6 11 después 145 5los 5 5 1 1 9 117 29 93 17 9 3 537bd 33 5455 5413debe 524cuidado, 242 2pues b 53b 3 d 65d 7bd 24 4en ocasiones4 la fracción del 542 123tener 2 5 5 443 30 818 845 3124 44 55232 18 mi5 4 4 45 5 5 3 4 5 3 4 24 7 83 8 4 4 5 8 5 8 3232 4 42 24 412 1 2 2 3 2 23 32 17 2 3 2 17 7 3 nuendo es menor que la del sustraendo, en cuyo caso es 7 3 3 7 5 65 6 5151 5 15 1 5 2 9 9123 3 Multiplica 434por 341 413 23 2 9 39 17 3 17 12 8 5 2     27 27 43 4 5555 43 4 3353 4242)12 afin2de 535 43 45 453 84 443 42 1 45 532()412 1 2 hacer 43435 5 5 4 necesario 34 3 53(transformarlo 22  4posible la resta.4 2 2 3 3 2 2 3 2 2 17 17 7 3 3 21   4 1 4 1  4 4 1 4 1 4 5 2 5 2 24 2 3 12 3 534 35 4336 5336 5 5 3 4 321 34 34 34 1 5 3 75 7333 43 5 1 41 1 1 5 4 1 75 27 3c4735 532 527 53 55 30 15 1 5 65 6 5 5 230 3 3 4 8 a4 a3b 4b5ac 817c ac 5 4que 1 1, entonces 5 5 44 1 se1 5 4 242 4 52 es menor En el ejemplo anterior 4 5 14 9 7 91 29 7 9 2 83 345 5 84 1 395 32 2152 4 2 4 53 35 4 5 3 434 3345 4 9 4 7 3 7 3 5 2 155 2 4 4 42 4 4 4 4 4 3 4 3 3 12 bd b d bd b d a a c c ac ac 4 4 2 1 2 12 71 2 1 7 1 11 1 1 1 4 1 11 5 15 3 5 3 3 5 5 4 4 3 3 4 3 3 12 51 11 5 1 En general, 3 5 si 3 y31 5 son dos números racionales su producto es el 8 4 8 4transforma 4 4 5 53 en4 1 431151 5 5 , así: 1 9 9 7 7 9 9 2 2 5 3 3 5 5 4 4 3 4 1 4 1 2 2 5 4 22 22 18 18 bd bd44155334 914 3dd3455 43241 41 4 44 242 42 5541 49bb4 5 5 7 37 43 45232215 21 4 21 44 22 4 2 2 2 1 1 2 2 1 1 7 7 c a b ac 37 35173 3 3 4 5 3 5 4 5 4 7 7 11 1 11 45 55 1 11 3 a5 b . acc 1  bracional 8 48 541 852 325 51 28225 4 4432 2 22 2 22  5 1  5número 1818 3 5 bd d 2 5 2 3 3 4 2 4 2 ( ) ( ) 5 2 1 5 2 2 1 2 4 4     4 44 12 2 22 b d bd a 5c5 ac 52 52 3 4 3 34 5432443522 223 12 4 2 4 2 7 7 3 5 34 35 3 5 4 4334453 4 5 3 5535 1 1  7 7 5 21  b d 4 bd 4 1 4 1 515 4)1 2 2 44 2 2)221 (54((2 4   2 44 31 4 43 )1 2 42 55 22 4 44 252221 5 2 5 2 1 5 2 a ba acbc acc 4 4 77 5 36 5536 5 2222 d bd 55 3 3 b4 d3b4 bd 5 212 52 2 5 22 1 3 3 3 122 1 521 521 3 534 35 4336 53655 52 1 544 4 4 4 5 65 6 5 5 30 30 53 3 5 División de números racionales 3 3 55 21 21 3 7 37 3 5 5 2 2 521 44 El cociente de dos números racionales se obtiene al multiplicar el 4 4 4 8 48 4 3 34 3 dividendo por el recíproco del divisor. 4 3 3 2 2 21 7 37 3 3 3 5 215 5 2 4 4 3 5 37 35 7334 53 4 5 45 6 5 6 8 48 44 438 3 8 32 32 3 34 3 12 23 12 2 45 3 4 3 354 5636 3 3 12 4 3 12 5 4 3 336 55 45 3 36 5 5 3 5 3 34 35 4334 53 4 5 5 3 5 6 5 5 6 30 5 30 5 4 1 4 441 4 34 31 31 3 4 12 4 22 76 5312 7 3 33ac 5 5 55 43 4 333 65 c a ba ac c b 5 5 8 30430 5 5 8 4 3 535 556 6 b db bd d bd

1 2

3 2 3 5 4 5 3 7 5 7 2 15 5 14 3 2 5 3 115 511 BLOQUE 4 y5números 3 Utilizas magnitudes reales 7 5 7 142 1 3 2 3 5 12 6 1 5 5 51 1 241515 83 4 555 37 2 10 2 5 5 2 7 8 14 2 2 Actividad de aprendizaje 8 15 115 5 5 14 144 ¿Cómo se procede para transformar en una multiplicación 5116 1 4 811 la división 1 2 5 15 5 51 de dos racionales? 4 5 3 14 5 5 2 8 22 2 05 12 5 6 51 1 1 52 22 1 8 50 48 5 3 5 8 10 5 5 3 2 483 26 23 1 46 5 48 5 3 455 1 5 6 5 5 4 3 2 7 4 5 Ejemplos 522 5 30 50 0 2 3 3 6 5 3 11 0 5225 3 46 5 4 5 50 3 2 3 5 5 5 1 5 106 8 4 5 3 3 3 183 36 18 3 14 7 5 7 2 4655 4 4 35 3 5 18 4 3 2 3 5 5 5 4 15 41 51 36 3 4 5 15 3 30 3 3 27 35 5 5 714 2 72 15 4 5 3 15 7 5 5 5 30 7 5 7 52 1 10 3 20 1 1 15 514 5 14 3 18 3 5 1824 4 5 11 3 18 4 5 4 5 10 14 5 1 4 21 9 4 171 9 3 3 14 4 5 4 5 4 5 3 4 3 18 3 18 11 218 43 52 437252 3 17 5 15 142 1 8 4 1 54 1 3 4 5 3 3 27 2 5 72 1 22 18 82 2 24 5 534 4 5 3 8 5 10 3 2 8 2 52 4 5 1 9 7 9 1 2 94 175 93 2 3 44 4 4 24 8 4 9 435 5 5 4 553 5 2 23 12 23 1 2 717 1 4 54 1 2 9 18 17 9 3 2 4 45 5 5 4 275 3 2 2 4 2 3 2 573 2 17 5 522 34  55 1  2 14 2  4 27 5 1 9 7 9 44 2  3522 3 6 3 1 9 43 5 4 55 23 25 34 46 5 4 5 3 5 1 2 1 2 1 77 5 3 65 31 15 6 12 5 4 1 9 7 9 2 3 2 4 9 43 5 4185 3 46 5 4 5 3 3 4 4 2 15 2 1 7 5 5 1 5 56 1 7 30 225 1  18 3 1 22  45 5 1  4 2 5 2 7 30 5 7  5 1 22 2)1 2  4 1 10  4 2 52 518 3 18 4 3 7 4 3 18 4 5 104 5 2 3 4 1 4 1 4 3 18 3 18 52 18 4 5 4 5 3 72 4 4 1 4 1 53 312 2 72 3 5 5 24 430 5 5 Ejemplos 3 1 2 5 9 2417 9 3 4 45 5 4 5 3 2 1295 3 14324 12175 14 3 1 1 22 9 34 217 4 4 4 5 5 4 5 33 27 1 3 12 221 2 2 3 2 33 2 5 17 5 14 032 5 27 34 5 12 2 5 12 36 1 9 7 349 3 2 553 45530 5 9 43 5 4 5 4 1 92 71 92 21 7 5 7 9 43 5 4 5 3 18 18 1 2 1 2 1 57 a 18 c a 7d 2 4 21 5 d 5 b 34c b 512 7 52 5 3253 a 7 4 4 46 12 5 2 a d b 5 73 3 4 5 53 d b c 4 c

2

1 521 5 5 5 5 5 143 12 42 3 7 14 1 51 3 4 1412 41 4 55 5 51 37 71 3 12 73 7 14 7 5 5 12 6 1 1 5 7 1 55 5 51 10 10 10 1036 5 5 14 12 14 71 2 c 5 4 5 5 3 4 4a12 1 1 3 18 12 3 b 3 14 a c a cd 5 En general, si 1 y 5 son dos números racionales, el cociente se 4 5 3 91 b bd b bc 36 7en una multiplicación que siemobtiene transformando 7a 7 7la división 57 5 0 5 0 2 5 2 7 pre tiene como uno de sus factores el recíproco del divisor. 818 8 8b 8 a 8 d a c3d 52ab 3dc 4 5 3 (c y d son distintos de cero) b d4c 5b c a 320 220 8 7 2dd 555 1542 5 b 5 a443 20 20 5 dc b2 1cc 200 1 1000 1 1 dc 54 22 1000 5 200 4 2 20 20 31 5 4 12 1 65 33 2 45322 528 Divisibilidad Múltiplos 4 545y52divisores. 4 2 4 2 1000 de otro cuando contiene a ese 3 200 es n1múltiplo Se dice que2 un1número 10 5 321 33 5 n200 2 4 2 4exacto 1000 otro un número de 45veces. 4 6 3 4202 Así: 325 1 53 3 5 18 4 605 4 de 17porque 6 es múltiplo contiene a 1 seis veces, es decir, 1 × 6 5 6 4 3 n60 180 3 n 60 3 a 2 tres veces, es decir, 2 × 3 5 6 6 es múltiplo5 de323porque contiene 25 240 4 3 344 35 4 a 3 dos veces, es decir, 3 × 2 5 6 6 es múltiplo de 3 porque contiene 420 7 601 1 5 5 es decir, 6 × 1 5 6 1 4 a 61una vez, 6 es múltiplo7de 6 porque contiene 84 2 5 4 4 1 4 1 4 5 4 4 Por tanto, 6 es60 múltiplo de180 1, 2, 3 y 6. 5160 5 1 3 3 103 5 1 5 7 De manera semejante, múltiplo 2 1, 3 y 9; 12 es múltiplo de 1, 1 292es240 5 4 2de 4515 4 2 4 2, 3, 4, 6 y 12; de491, 2, 3, 6,2 9 y 18. 7 18 es múltiplo 7  5 1 375 Dado un número, se2obtienen por 8 7 3sus (4 2 )1 2multiplicándolo 556 18 múltiplos  4 2  los números Por ejemplo, los múltiplos de 6 son 6 × 1 5 10naturales. 5 4 2 10 c 5 73 5 18, 6 a× 4 5 2× 5 5 30, etcétera. 6, 6 × 2 5 12, 6 × 24, 6 15 6 3 15 5 b 2d1 5 2 4 pares. A los múltiplos716 de 2 se8 les49llama números 7 3 357 5 10 5 503 188múltiplos A los que no son se1 0les llama números impares. 5 4 56de 2 21 4 4 2 2 104 a c 3 5 Actividad6de 3aprendizaje 3 156 b d5 2 16 12 8 18 10 2450 42x 14 12 14 1 54 5 5 54 412 5 4 5 3 3 ¿El número 8cero es 314 112 314 12 1 3 2 tu respuesta. 151 0 12 x4 par?62Fundamenta 5 6 4 5 4 5 3 12 4 2 4 18 3324 15 14 3 12 5 4x 53 2 x 5 3 12 2 3 3 6323 x5 418 3614 3 3 366 536 5 30 5 57 12 51840624 37x5 57 3 5 5 36 x 260 . 80155 x12 18 7 5 Divisibilidad x 82 4 x 18 a324 c a d 18 57 3 5 3 4 5 21 3 x3 185 es b36a4 5 dentre b c 736 3divisible 3 Se dice que32un número otro cuando el cociente c a d 8 37 4 8 a 4 325 3 40 del primero entre5 el segundo es exacto, o sea b que c el residuo es cero. 3 4 3 3b a d d12 2 0 . 80 x3 5 4 3b 5 3 5 5 4 3 a 3 4 1 4 d 1 b a c 4d Ejemplos a b acc c b 5 3 d b c 3 5 b d bd 20 20 c 5 5,5o4sea que 4 × 5 5 20, y 20 es divisible entre 4 porque 4 20 5 20 a su vez 20 es divisible entre 5 porque que 5 × 4 5 20. 5 4 ,1ya 1000 2 41 200 5 4 2 2 11000 200 5 1 200 1000 3 4 2 21000 65 200 53 3 3 2 5 42 86 43 3 5 5 3 2 3 n4 34 8 533 3 n 43 4n 533 3 n


La divisibilidad de un número entre otro se puede hallar a partir de ciertas reglas que se conocen como criterios de divisibilidad. Entre los más utilizados están los siguientes:

760

se piensa o se dice

152

quinta de 7, uno

Divisibilidad entre 2

quinta de 26, cinco

quinta de 10, dos

Un número es divisible entre 2 cuando la cifra de sus unidades es múltiplo de 2, es decir, cuando el número termina en cifra 0, 2, 4, 6, 8.

Divisibilidad entre 3 Un número es divisible entre 3 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras es 3 o un múltiplo de 3.

Ejemplos 270 es divisible entre 2 pues termina en 0.

Ejemplos

86 es divisible entre 2 pues termina en 6. 547 no es divisible entre 2, ya que termina en cifra impar. En la práctica, para dividir entre 2, se saca mitad.

18 es divisible entre 3 porque 1 1 8 5 9 y 9 es múltiplo de 3. 54 es divisible entre 3 porque 5 1 4 5 9 y 9 es múltiplo de 3. 648 es divisible entre 3 porque 6 1 4 1 8 5 18 y 18 es múltiplo de 3. La división entre tres se realiza sacando tercera.

Ejemplos Divide 270 entre 2.

Ejemplos

La operación se realiza de la siguiente forma: 270 135 se empieza por sacar mitad a la primera cifra de la izquierda y se dice o se piensa: mitad de 2, uno; se escribe 1 debajo de 2 mitad de 7, tres; se escribe 3 debajo de 7, la decena restante se convierte en unidades mitad de 10, cinco; se escribe 5 debajo de 0 así se obtiene 135, que es la mitad de 270.

648 4 3 648 216

5 418 4 3 5 418 1 806

Números primos En el conjunto de los números naturales se observa que hay un número que sólo tiene un divisor (el uno), otros que tienen sólo dos divisores (el dos, el tres, el cinco, etc.) y otros más que tienen más de dos divisores (el cuatro, el seis, el ocho, etcétera).

Divisibilidad entre 5

Los números naturales que sólo tienen dos divisores se llaman números primos. Los números naturales que tienen más de dos divisores se llaman números compuestos.

Un número es divisible entre 5 cuando la cifra de sus unidades termina en 0 o en 5.

A los números primos que son divisores de un número compuesto se les llama factores primos de dicho número.

Descomposición de un número en sus factores primos

Ejemplos 235 es divisible entre 5 porque termina en 5. 640 es divisible entre 5 porque termina en 0. La división de un número entre 5 se efectúa sacando quinta. Por ejemplo:

760 4 5

Todo número compuesto se puede expresar como el producto de sus factores primos en forma única. Para ello se divide el número entre el menor divisor primo posible; el cociente obtenido se vuelve a dividir entre el menor divisor primo posible; se repite el procedimiento hasta obtener un cociente igual a la unidad. El número dado es igual al producto de sus divisores primos. 47

2 BLOQUE


Ejemplos

Ejemplos

Descompón 45 en sus factores primos. 45 : 3 5 15 15 : 3 5 5 5:551 Entonces: 45 5 3 × 3 × 5 5 32 × 5

Sean los números 2 y 3, sus múltiplos son: de 2 los números 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, . . . de 3 los números 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,. . . Como se puede observar, los múltiplos comunes de 2 y 3 son 6, 12, 18, 24; el menor de ellos es el 6, por lo que el mínimo común múltiplo de 2 y 3 es 6, que se acostumbra anotar así:

La operación se dispone colocando el número compuesto a la izquierda de una línea vertical, debajo de él se colocan los cocientes y a la derecha de la línea los divisores primos. 45 3 15 3 5 5 1

Sean los números 12 y 18, sus múltiplos son: de 12 los números 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, . . . de 18 los números 18, 36, 54, 72, 90, . . . donde 36 es el menor de los múltiplos comunes y, por tanto, m.c.m {12, 18} 5 36 Una forma abreviada de obtener el m.c.m. consiste en disponerlos de la siguiente forma:

Ejemplos

Halla el m.c.m. de 2 y 3.

Descompón 180 en sus factores primos.

2

3 2

180 2

1

3 3

90

2

1 1

45

3

por tanto: m.c.m. {2, 3} 5 2 × 3 5 6

15

3

5

5

1 2

2

Entonces, 180 5 2 3 2 3 3 3 3 3 5 5 2 3 3 3 5

Mínimo común múltiplo El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes de dichos números.

m.c.m {2, 3} 5 6

Actividad de aprendizaje ¿Cuál es el m.c.m. de 2, 3 y 4?

48

Se dividen todos o algunos de los números entre el menor divisor común posible. Si todos son divisibles se anotan los cocientes debajo de ellos; si alguno no es divisible, se repite debajo. Se repite la operación hasta que los cocientes obtenidos sean iguales a 1. Ejemplos Halla el m.c.m. de 12 y 18.

12

6 9 2

3 9 3

1 3 3

1 1

por tanto, m.c.m. {12, 18]

52323333

5 22 3 32

5 36

18 2


Halla el m.c.m. de 3, 4 y 5.

3

4

5 2

3

2

5 2

3

1

5 3

1

1

5 5

1 1 1

Ejemplos Halla el m.c.d. de 12 y 18.

12

por tanto, m.c.m. {3, 4, 5}

52323335

6 9 2

5 22 3 3 3 5

3 9 3

5 60

1 3 3

1 1

Máximo común divisor El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de dichos números.

Una forma abreviada consiste en proceder de manera semejante a la forma en que se explicó para el mínimo común múltiplo, con las siguientes observaciones:

18 2

Observa que sólo en los renglones que se resaltan se tiene un divisor común de los números dados, por tanto, sólo esos divisores se toman en cuenta para determinar el máximo común divisor de 12 y 18, es decir, m.c.d. {12, 18} 5 2 × 3


56

¿Cuál es el m.c.d. de 18, 54 y 72? Ejemplos

Halla el m.c.d. de 32 y 48.

Ejemplos Sean los números 12 y 18, los divisores son:

de 12:

1, 2, 3, 4, 6, 12

de 18:

1, 2, 3, 6, 9, 18

los divisores comunes son: 1, 2, 3 y 6, de los cuales el mayor es 6; por tanto, el máximo común divisor de 12 y 18 es 6, en otras palabras: m.c.d. {12, 18] 5 6

32

48 2

16

24 2

8

12 2

4 6 2

2 3 2

1 3 2

1 1

Observa que sólo en los cuatro primeros renglones se tiene un divisor común de los números dados, por lo cual el máximo común divisor de 32 y 48 es

Sean los números 12 y 24, los divisores son:

m.c.d. {32, 48} 5 2 3 2 3 2 3 2

de 12:

1, 2, 3, 4, 6, 12

5 24

de 24:

1, 2, 3, 4, 6, 12, 24

5 16

los divisores comunes son: 1, 2, 3, 4, 6 y 12, de los cuales el mayor es 12; por tanto, el máximo común divisor de 12 y 24 es 12, es decir, m.c.d. {12, 24} 5 12

En este caso se observa que el menor de los números dados es el máximo común divisor de ambos.

Aunque el procedimiento abreviado empleado para obtener el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor son muy parecidos, es conveniente hacer notar que con el mínimo común múltiplo se busca encontrar el menor número que es divisible entre los números dados; mientras que con el máximo común divisor se busca encontrar el mayor número que divide a los números dados. 49

2 BLOQUE


Ejemplos Halla el m.c.m. y el m.c.d. de 12 y 15.

12

15 2

6

15 2

3

15 3

1 5 5

1 1

Entonces el mínimo común múltiplo de 12 y 15 es m.c.m. {12, 15} 5 2 3 2 3 3 3 5

5 22 3 3 3 5

5 60

es decir, el menor número divisible entre 12 y 15 es 60.

El máximo común divisor de 12 y 15 es m.c.d. {12, 15} 5 3 es decir, el mayor número que divide a 12 y 15 es 3. Observa que únicamente en el tercer renglón se tiene un divisor común de los números dados. Ejemplos Halla el m.c.m. y el m.c.d. de 12, 16 y 24.

12

16

24 2

6

8

12 2

3

4 6 2

3

2 3 2

3

1 3 3

1

1 1

por tanto, m.c.m. {12, 16, 24} 5 2 3 2 3 2 3 2 3 3

5 24 3 3

5 16 3 3

5 48

48 es el menor número divisible entre 12, 16 y 24. m.c.d. {12, 16, 24} 5 2 3 2

54

4 es el mayor número que divide a 12, 16 y 24.

50

1 3 3 4 1 3 1 511 5 5 4 8 8 8 8 2 7 2 1 1 3 1 521 5 5 5 5 5 2.2 4 1Tasas, 3 3 razones, 7 5 4 1 5 511 proporciones 7 7 7 7 y variaciones 7 5 5 12 6 1 1 1 5por 5 entre 5 5 7 1cociente 1 números recibe el nomLa comparación dos 4 10 10 5 5 10 10 2 bre de razón geométrica o por cociente. El divisor debe ser necec sariamente a 1 distinto de cero. En general, si a y b son dos números (b ? 0), la brazón entre el par ordenado de números a, b, es el coa c c ciente 1 que5 se9lee: 1 “a es a b”. El número a recibe el nombre de b b b antecedente, 7 b se 0 llama consecuente. 7 7 y 7el número 2 572 5 50 Cuando8 la 8relación 8 se establece 8 8 entre dos números cuyas cantida3 des representan medidas de la misma especie, dichos números de4 3 2 12unidad 14 1412 1medida. 14 1 2 en la214 5 ben estar expresados misma de 4 5 4 4 5 5 4 3 5 3 12 12 4 4 4 5 3 11 3 3 1 12 3 12 2 3 2 143 128 314 5515 42 55 73 4 412 2 3 120 320 12 5 14 5 14 3 4 de 5 aprendizaje Actividad 14 12 14 2 36 36 4 5 4 5 12 4 14 1 1 3 1 3 3 5 7 7 5 2 5 5 10 36 4 2 14 Expresar la razón de . 7 18 18 518 4 1 1 151 5 5 36 aa cd a d 5 2 2 a 5 2c 2 18 3 4 24 5 4 4 2 5 3 7 b c 5 a c a b d d 2bb10dc 14 12 14 1 18 4 5 3a 4 a412 5 4 5 3 b d b c5 212 3 1 3 12 3 4 a c a d b 5 a 3bd5 a 3 d 4 5 3 a 14 1 d b d b c d b c b c 5 5 1 1 Ejemplos b 5a3d 36 4 4 c a c d b c 2 7 3 20 20 b 5a3d 20 20 5 5 2 1. litros y otro B tiened una cUn recipiente A tiene5una 4 capacidad 5 4 de 2 18 54 4Si se5compara la capacidad capacidad de A con la de Bb c 20 20 de44 litros. a c a d c 5 1 1000 1 15 421 1 4 24 1 15115 200 1000 4 significa 1200 5 es 5 , es4bdecir la4 razón , blo3 cual que la capacidad20 de A20 d c 94 4 5 200 4 2 4 1000 44 2 451000 200 54 2 1 2004 12 a1000 4 5 1 5 1 es de1la capacidad de B. 6 32 2 2 26 232553534200 4 25 11000 3 5 5 a 323 d 325 2 1 200 1 1000 b 4 2 4 2 5 48 B con 8la de A la razón es , es 44 3 de 2 4 la 6capacidad 3Si se compara d 4 2 1000 5 200 53 3 332 5 3n b c n 5 1  23n)3 1lacapacidad 2 83 4decir 2, 4esto 5  5 3 3 35 n significa que de B es el doble c( 4 2 6 3de la 2  4 2 53 3 3 2 5 3capacidad n de4 A. 2044 20 4 4 8 4 533 3420 n 420 524 4 4 2 5 5 1 2 60 5 60 4 5 2. Juan tiene $200 y Pedro $1 000, la razón de lo que tiene Juan y lo 4 200 3 533 n 3 n 7 2 17 200 420 1 1000 200 4 560Pedro 60 360 que tiene es , o180 sea de lo que tiene Pedro. 180 1 000 4 7 3 3 54123 31 3 360 5 260 5 1000 5 200 000 420 4 4 240 240 4 560 1 000 60 180 2 y lo que 6 15 000 Pedro , o7sea 3La 3razón 3de 607lo5que3tiene 3 2 5 tiene Juan es 733 3 4 200 542 4 8 200240 60 180 200 4 8 8 33 360 5 200 5, esto denota que Pedro tiene 5 veces lo que tiene Juan. 7 3 3 3 2 6 3 n 000 3 3 23 n 6 240 5 54 4 3 1 10 5 35 10 53535obtener 5 otra equivalente multiplicando 000 8Dada una 1razón, 4 43 2 8 5 7 7 4 4 se puede o 7 1 000 4 15 4 3 2 8 15términos 10 5 5 6 1sus n 3 de3 3 dividiendo por un mismo número (diferente cero). 000 420 3 5 5 8 ;n ≠ 0 4 7 3 200 733 53760 12n 2 49 49 ;7n5≠ 0 15 3 5 3 5 35 43 3 4 43 3 73 75 765 200 10n5 35427 6418 318 3 57 6 3 49 30n 5 56 56 57 5 5 180 3 3 2 606 15 7 3 7 33 7345 33 60 245 82a310 c 5a c 45 423 10 18 4 56 240 4 3 n2 48 7 49 4 36a 33c315 d b d 6 3b 15 73 375 4 28 10 5 3 37n ; n ≠ 0 3 18 56 7 3 416 4d383 n16 ≠ 08215010 50 ; n10 6 3 3 15 45b57 5 3 5 5 5 8 n3 45 3 4 a c 4 2 10 84 8 2 4321 0 2 1 0 16 88 4 108 50 10 5 6 3 15 b d 53 4 35 2 35 74 12 8 4 322 5541415 03 53 4 5 53 16 8 10 50 4 5 5 2 44 1 34 6 317 6 49 8 4 2 10 5 a b 12acc 18 7 312243187 5 24 x x 3 6 3 5 5 185 5 565 2 4 5 12 b18 d 24xbd x46 x215106 12a15c 12 3 6 5 5 2 xx 218 x 32418 324 x 6 15 12 x

6 3 36 5543 4 n2 5323 5 33n53 34245 5 325 53 3 1414 554355 18 18 4 4 4 4 4 8 4 48 2 11 200 2003636 11 1000 1000 aa cc aa dd3 420n 2420 3 n 4 5 5 3 3 533 5360 4 n 5560 33 7 53 7 n 200 1000 bb dd bb cc4 7 4 447 224 1000 554 5 200 22 1818 66 33 60 180 aa 180 420 60 3 3 3325 5 53420 255 333 3 60 3 3 5 3 60 5 5 60 60 a a c c a a d d 44 88 44 aa dd bb 5 240 7 4454533 47 240 Grupo Editorial Patria® 5 3 3 b b7 d d b373b c c nn dd bb cc 60 180 180 55 33336033nn a a 36045 33 3 3 360 5 cc 84 240 444 84 240 a razones a d420 d se llama proporción. 20La20 20 b5 b105 20 420 igualdad7de dos Cuando la razón se establece entre cantidades de distinta especie, 10 5 3 3 5 7560 544 d d 5 7 5 5 760 b b c 7c7 5 no es posible emplear la misma unidad de medida. De esta manera, 44 55 15 15 8 8 la velocidad expresa la razón que existe entre la distancia recorrida 200 11c c1000 1000 22 11 200 60 180 180 Ejemplos 749 7 333360 10 10 5 5360 3 5549 20 3 5 73 760 y el tiempo empleado en recorrerla. A esto se le conoce como tasa. 3 3 75 75 5 7 20 7 1000 552020 200 44 22 1000 200 4 4 240 55 4 4 18 56240 56 154 4 518 15 5 22 664 2 10 33 747 2a 10 c 7 a c 49 491. 11000 3 5 5333 3 5 2 88271, 3 1 200 200 La44razón de4443 a 26275 es es 3 5 375 7decir 7 3 1000 Para tu reflexión 8 8 6 563b 15 d18 b d 56 6 3 15 18 4 4 2 2 1000 1000 5 5 200 200 1055108 5010 50 33 nn 16 810 a2 5 c5 4567726 5a c 5333 3 3 3nn43 2316 10 5 2 5 5 . La razón de 10 a 15 es , es Investiga el consumo men15 44 44 3 5 5 3 2decir 315 33 815 2 b1 0 d 85 43 2264531 015 14 12 14 1 2 b d 6 3 4 4 4 4 sual de 4energía 412 5eléctrica 4 5 3 420 7478 8 49 49 420 2 2 4 163razones 8 nson 10 16 503377se 855puede 10 escribir, 50 560 60las dos 7n733 3 1 3 12 en tu casa3y en tu escuela Puesto 5 que iguales, 3 5 5 5 5 5 56 18 18 56 5 77 5 5 3 3 3 3 3 3 n n 3 6 3 6 14 84 4 4 4 24 180 4 2 10 y compáralos. ¿Qué medi5 60 180 aa c c x 412 4 24 22 18 10 10x24 60 180 12 18 das concretas se pueden 2 4 2 4 5 3 3 3 60 5 3 3 5 3 60 36 420 5 542056060 240 bb 5dd12 33 5 15 15 15 240 adoptar para el ahorro de la 14 12 14 441 2 666x 15 7 3 7 6x755 3 6 12 6 3 “4 es a 6 como 1016 4 412 5 4 5que77 se 5 energía eléctrica? 16 a815”. 818 x10 10 18 50 50 12 x60 1860224xesx5 12 18324 24 324 x2180 x 3 1 3 lee: 12 3 14 12 18 14 1 2 5 55 180 5 5 5 5 5 5 5 5 4 5 4 5 3 12 4 8 8 8 4 4 2 2 1 1 0 0 8 Compara los resultados que 3 3 3 3 5 5 3 3 60 60 La14proporción también puede así: 36 12 36 x 3218escribir a 3 c a 3d 1 12 6 3615 x 32se xx 3618 3 12 46 4 15 5 10 hayas obtenido y en3grupo 4 5 1055 2237 4240 4 240 40 37 40 18x10:15 324 2 x 18 324 x7 7 2 x4:655 36 5 577 5 14 b cque definirán blas dmedidas 5 5 5 5 5 15 15 325 30x. 80 66 5 x 7 2 0 . 80 a 32 18 36 32 36 18 36 36 x 36 consideren más convenienque se lee de igual forma. 88 5 7 49 7 49 12 12 18 18 24 24 x x a denergía tes para b ahorrar 405 5 37 55 40 5 37 18 3 3 3775 5 10 7 773 5 5 3 55 5 12 5 18 56 10 18 56 15 12 xx 66 15 5 7 7 eléctrica. d b c a c a d 2 015 . 80 x 2 0 . 80 x 18 15 4 5 3 a c 4 2 10 4 2 10 a c 18 324 324 xx 22 xx 18 b d b c En general, si y representan la49 misma ac c a d 5 5 55razón, resulta la propor77 49 4 5 3 b d 6 3 15 b d 6 3 15 32 32 18 18 36 36 36 36 x x 73 7 3 33 75 75 20 a ción: b d20 5 b4 c 18 18 56 56 16 88 10 10 50 50 16 40 40 37 37 Significado de razón, tasa b 5a3d a4 5 5 5 5 5 55 a a c c 4 4 2 2 10 10 y proporción 88 44 22 1100 2200. 80 .5 80 xx d b c 2b 1 a 200 d 1 1000 6 63 31515b bd d 5 3 2 4 2 4 2 4d 2 b 1000 200superficie se divide encdos lotes, de 1. Un terreno dec 4205m de 5 5 1616 8 8 1010 5050 3 33 cantidades 66 Las a, b, c5y5d se llaman 20 55términos de la proporción. El 2 uno es6 del otro. ¿Cuánto mide20 3c cada lote? tal manera que 54 53 3 3 2 5 8 8 4 4 2 2 extremos, 1 01 0 12 18 24 x 12 18 24 x primero y el cuarto (a y d) son los el segundo y el tercero 4 4 5 20 20 4 8 4 5 5 5 5 Pasos 2 2 4 4 54 (b xyxc) son 15medios. 12 66 los15 12 3360 180 2 1 200 1 1000 55 34 5 n 5 los términos de la razón.) 5343 3 3 6324 6 1° 3 1 5 7 3 n (Se suman 2 18 324 x x 2 18 x x 3 4 60 240 4 2 1000 5 200 2 1 200 1 1000 4 4 5 51212 18182424 x x 5 5 32 lo 18 sabes 3655 36 32 18 36 36 xx que 2 6 Aplica 3 entre 55 420 4 2 1000 5 200 Se7divide 7(3 49 el número dado 53 3 3la2 5 560 6 6 1515 1212 x x 2° 5 40 37 40 37 4 8 2 6 suma de los términos de4la razón.) 37 5 5 324 x 2 2 x x 1818324 53 3 3 2 5 18 3 7 56 80 2200..80 xx xcon 3 n 55tus compañeras 55 60 180 Ponte de acuerdo y 4 8a c 4 533 3 n 3 3 360 5 32 32 18 18 36 36 36 36 x x compañeros del grupo para resolver el si5 4 4 4 n180 240 (Se 3360 3737 b dmultiplica cada término de la ra3° 7 5335 3 n guiente problema. 404055 420 zón por el cociente obtenido.) 44 360 4240 560 2 02. 80 0 . 80 x de x alimentos En una empresa procesadora 7 8420 7 3 756049 2 2 se ha diseñado una lata de forma cilíndrica 180 Por10 tanto, 5 lote mide 180 m y el otro, 240 m . 60 75 un 3 3 3 60 5 de 11 cm de altura. Una vez eliminado el des18 35 7 7 56 4 240 perdicio, el material del que se dispone para 60 A y B,180 2. Dos315 grupos, tienen en total 105 alumnos. ¿Cuántos a3 7c 360 549 7 240 cada lata es de 502.4 cm2, ¿cuánto debe 5 4tiene alumnos cada grupo si la razón de A y B es ? 3 5 7b3 7 d medir el radio de la base? 8 73 18 56 1° 7 1 8 5 15 10 5 48 2 10 a c Organícense en equipos para encontrar la 57 solución del problema. 15 10 b d 6335360 15 180 2° 5 75 7 49 1. Que cada equipo exponga el procedimiento que empleó para lle16 10 50 3608 240 415 73 375 5 5 gar a la solución. 18 56 87 3 774 492 49 1 0 3 3 5 7 7 3° 2 4 5 4 2 10 a c 1853187 56 56 b d 6 3 15 a c 4 2 10 3 6 c el grupo A tiene 49 alumnos y el grupo B, 56 alumPor atanto, 16 8 10 50 12 6 53 1815 24b d x 5 5 nos.b 5d 5 8 4 2 10 16 10 12 50 x 86 15 5 5 2 4 8x 42 x 2 181 0 324 5 5 5 51 3 6 2 4x 18 36 36 32 5 12 18 24 x 3 406 37 5 5 5 6 15 12 x 12 2 0 . 8018 x24 x 5 5

1414 1212 1414 1 1 2 2 1818 55 44 55 33 1212 a a c c a a d4 d444 3 3 1 1 3 3 1212 445533 3 3 bbddbb c c 1414 55 aa 3636 aadd b5 BLOQUE b 5 77 33 d d b Utilizas 5 reales b c c magnitudes y5números 1818 c c aac c aadd 20202020 445533 55 4 4b b d d b b c c 44 55 aa 2. En caso se obtengan soluciones diferentes den argumen2 21de1 que 200 200 1 11000 1000 a acada d duna de ellas. b5 b de tos a favor y en contra 3 3 4 42 21000 1000d5d55 200 200 bb c c 33 22 66 55 2c5 2c5 33 3 333 44 4 4 2020 8 20 8 20 55 44 3 3 n n 3. En plenaria 4 5es5 la solución del problema. 55 333 33 3discutan n 4ncuál 4 4 2 21 1 200 200 1 11000 1000 44 420 420 10005 5 200 200 55 6060 4 42 21000 77 22 66 33 5180 5 25 25 33 3 333 6060 180 44 88 5454 33 3 3 33 6060 44 3240 3240 n n 55 33 3333 nn 77 44 44 Propiedad fundamental de las 88 420 420 proporciones 55 6060 1010 55 7 7 55 77 1515 fundamental La propiedad establece que: en 60de 60 las proporciones 180 180 3 3 3 3 5extremos 5 349 349 60 60 7 7 el producto toda proporción de los es igual al producto 240 240 73 7 3 33 75 75 4 4 de los medios. 1818 56 7 56 7 4 42 21010a a c c 858 si y sólo si ad 5 bc bd10 6 63 31515b 10 5d5 550 5 77 1616 8 8 1010 50 155 15 Las proporciones medios o extremos son iguales, se llaman 55 cuyos 5 8 8 4 continuas. 4 2 2 1 071 07 4949 proporciones 73 7 3 33 75 75 2244 18 18 56 56 55 3366 Ejemplos 4 42 21010a a c c 1212 18182424 65 6x3 x31515b bd d 55 5 1212 x x 6 6 1515 1616 8 8 1010 5050 55 185 324 x x 2 2 x x 81885 43242 2 1 01 0 55 55 4 3232 x x1818236 236 4 43636 5 4040 37373 5 366 55 El término media proporcional entre los 2 02. 80 0que . 80sexrepite x1212se18llama 182424 x x otros dos. 55 55 x x 6 6 1515 1212 En los ejemplos anteriores: 324 x x 2 2 x x 1818324 55 55entre 16 y 4. 8 es media proporcional 3232 x x1818 3636 3636 10 es media proporcional 4040 3737 entre 2 y 50. 55 2 02. 80 0 . 80 x x de una proporción contiCualquiera de los términos desiguales nua, es tercera proporcional de los otros dos, es decir, entre el término que se repite y el desigual.

2

En los ejemplos anteriores:

16 es tercera proporcional de 8 y 4.




Cualquiera de los términos de una proporción no continua (discreta) es cuarta proporcional de los tres términos restantes. 52

14 7 12 214 1 14 12 14 1 2 12 5 4 5 3 4 412 5 4 5 4 43 3 8 1 33 12 3 1 3 12 3 1055 14 557 14 5 15 36 36 7 7 49 7 7 3 53 7 5 5 18 18 56 18 a c 2 a10 a 2 c a 14d4 12 c a d 14 2 51 314 12 14 1 553 4 544 4 312 5 4 5 3 4 4412 b 3 d b 3 c6 13 b153 db 12db 3c 1 3 12 Ejemplos 16 8a 1410 50 a 14 55 5 5 a2 d1 0 b 5 a 3 d 8 4b 36 36 5 3 d b c 2 4d b c 7 7 5 14 12 145 1 c c 3 46254 18 12 5 4 5 318 20 20 20 24 20 3 x 1 3 12 3 12 18 a6 es ccuarta a 4proporcional d 5 a de 2, c 55 3 ya44. d 5 4 5 3 4 5 3 14 4 5 4 5 6b de15d2, 3 12 b4 es dcuarta b proporcional cx yb 6. c 5 2a 1 200 x1 1000 1 1000 36 22a x1 200 18 324 5 de 2, 54 y 6. 3 es cuarta proporcional 4 2a 1000 5 200 4 2 1000 5 200 d 32 x b 18 a 36d 365 7 5 cuarta 32 proporcional 53, 3 2b3 es 4 y 6. 6 18 6 3dde 37 d 53b3 c3 2 540 b 23 c 25 553 3 4 2 0 8.a80 4cc x a 4 d 8 4c 4 5 3 3 n 3 n b d b c 205un 20 20 3 n Cálculo de 35término 3 320 4 n a 533 5 4 44 5 4 4 4 54 en una proporción 4201 200 1 b1000 420 2a 35 1 d60200 de1una 1000 5desconocido 5de60un término Para obtener el 2valor propord b c 7 7 2 1000fundamental 5 2004 y2se efectúan 1000 5las operacio200 ción, se aplica la4propiedad 60 2 180 6c 3 60 360 2 5 1806 nes necesarias. 333 35 53 3360 2 5 20 3 3 53 3 3 25 20 240 8 4 45 4 4 2408 4 4 4 4 735 37 n n Actividad de aprendizaje 533 3 n 2 1 5200 33 3 1 n1000 84 48 4 4 4 10 2420 5 51000 5 200 420 Halla el valor de x10 en: 5 5760 257 60 6 3 15 5 15 3 x 7 7 325 5 3 3 = 8 49 4 49 7 74 x 27 360 3 360 33760 5 5 180 7 55 180 7333 60 373 3 n 56 18 4 2405331843 n 56240 a c 4 47 2 4 10 a c 4 2 10 7 420 86 3 15 b d 685360 15 b d 165 8 10 507 16 10 105 5 8 10 5 50 55 7 5 57 60 8 4 2 1303 8153460 5 180 2 10 15 4 24049 Ejemplos 2 74 2 4 7 5 3 7 5 49 7 75 3 375 73 3 18 6 56 3 618 56 8 12 18 24 12 18 24 x 4 5 2 10 a 5c 4 52 10 a5 cx 10 5 b d12 x5 d 6x 3 615 15 6 73 6 1515b 12 15 2 18 324 2 18 x x x x 16 8 10 50 16 8 10 50324 18(x ) 5 5 5 12(6) 55 55 15(x ) 55524(12) 7 49 32 368 3x74518 2 36 1 036 x 182 36170332 8 5 472 18x 15x 5 288 56 18 37 40 4 37 2 404 72 2 5 288 5 5 288 4 2 5 10 a x xc72 . 80 230 . 80 5 32x05 6 x 6 18 15 d18 15 12 18 24 x6 31215 18b 24 x 5 5 5 16 8 10 x 50 x 5 4 5519.2 6 15 12 5x 6 5 15 12 x x 2 x 18 8 324 x4 2 2 x 1 018 324 5 5 2 4 5 5 32 x 18 36 536 32 x 18 36 36 3 6 40 37 40 37 x (x ) 5 32(2) 36(x ) x5 18(18) 5 5 12 18 24 x 2 0 . 80 x 52 0 . 80 5 x 2 5 64 5 324 6 1536x 12 x x 2 x 18 324 5 5x 5 x 5 64 32 x 18 36 36 40 37 x 5 9 x 5 8 5 2 0 . 80 x

3

3

1

3 12 14 5 36 7 5 18

a c a d 4 5 3 b d b c a Variación proporcional a d b 5directamente 3 d b c y su modelo c Dadas dos cantidades, si a un aumento de una corresponde un au20 mento para la otra,20o 5 a una 4 disminución de una corresponde una 4 la 5otra, se dice que tales cantidades son directadisminución de 2 1 200 1 1000 mente proporcionales. 4 2 1000 proporcionales 5 200 Cantidades directamente son: 2 6 3 a) La distancia5recorrida 5tiempo empleado en recorrerla 3 3 3y2el 4 8 4 cuando la velocidad es constante. n b) El lado de3un 5polígono 33 3 nregular y su perímetro. 4 longitud 4 de una circunfec) El radio y la rencia. 420 560 d) El interés que 7 produce el dinero ahorrado en un banco 60 y la cantidad 180 3 360 5 de dinero3depositada. 4 240 e) El importe7del consumo de electricidad y el número de 8 kilovatios hora consumidos. 10 5 57 15 49 7 Actividad de7 3 aprendizaje 375 56 18 a c 4 2 10 ¿Por qué se dice que dos cantidades varían de manera directamente proporcional? 6 3 15 b d 16 8 10 50 5 5 8 4 2 10 2 4 5 3 6 Ejemplos 12 18 24 x 5 5 6 15 12 x x 2 dex 40 18 1. Si por el consumo m3 se324 pagan 20.80 unidades de dinero, 5 5 3 ¿cuánto se por un36 consumo 32pagará 36 de 37 m ? x 18 40 37 5 2 0 . 80 x


769 . 60 40 40 72 5 40x 5 23 040 320 x 23 040 x5 40

x 5 576 km

En una variación directamente proporcional el cociente es consy tante. Si x e y varían directamente proporcional entonces = k , o x bien y 5 kx, donde k es la constante o tasa de variación.

Variación inversamente proporcional y su modelo Dadas dos cantidades, puede ocurrir que a todo aumento de una corresponda una disminución para la otra, o que a toda disminución de una corresponda un aumento para la otra. Cuando esto ocurre se dice que las dos cantidades son inversamente proporcionales. Cantidades inversamente proporcionales son: a) Para una misma obra, el número de obreros y el tiempo empleado para realizarla. b) Para una misma distancia, la velocidad de un móvil y el tiempo en recorrerla. c) A temperatura constante, el volumen de los gases y las presiones a las cuales se someten. d) Para una cantidad de víveres, el número de personas y el tiempo que tardarán en consumirlos. En una variación inversamente proporcional el producto es constante. Si x y y varían inversamente proporcional entonces xy 5 k k o bien y = donde k es la constante o tasa de variación. x

40(x ) 5 37(20.80) 40x 5 769.60

769 . 60 40 40 72 x 5 19.245unidades de dinero 320 x 2. A 40 km/h, un tren recorre 320 km. ¿Qué distancia recorrerá en 769 . 60 23km/h? 040 el mismo tiempo a 72 40 40 40 72 5 320 x 23 040 40(x ) 5 72(320) 40

Ejemplos

x5

1. Para hacer una obra en 42 días, se emplean 23 obreros. ¿Cuántos obreros se necesitarán para hacer la misma obra en 7 días?

42 23 = ; como la variación es inversamente proporcional se in7 x 42 x = vierten los términos de la segunda razón 7 23 42(23) 5 7(x) 7x 5 966

53

2 BLOQUE


966 x5 7 x 5 138 x  20obreros  5  2. Un grupo de 20 excursionistas llevan para 15 días. 24 provisiones 15

4. A temperatura constante, la presión (P ) de un gas y el volumen (V ) son inversamente proporcionales. Utiliza cinco valores de presión y calcula el volumen correspondiente cuando la temperatura se mantiene constante. T

Si al momento de partir, el grupo aumenta a 24 excursionistas, ¿cuántos días les durarán las provisiones?

K K K K

20(15) 5 24(x )

5. Se dispone de una cantidad fija de dinero para comprar (m ) metros de tela a un precio (p ) por metro.

24x 5 300

x5

V

K

20 15 966 = 724 x  20 x   5  24 15

P

Toma cinco precios por metro y calcula el número de metros de tela que se pueden comprar, si se cuenta con $5 000.00

300 24

x 5 12.5 días

$

p

m

5 000.00 5 000.00 5 000.00 5 000.00 5 000.00

3. En un movimiento uniforme, la velocidad (v ) de un móvil y el tiempo(t ) en recorrer una distancia dada son inversamente proporcionales. Considera que la distancia entre dos ciudades es de 300 km y construye una tabla que exprese velocidad y tiempo. Utiliza cinco valores de velocidad y calcula los tiempos correspondientes. d

300 km 300 km 300 km 300 km 300 km

54

v

6. Una obra la realizan 50 obreros en 15 días, ¿cuántos obreros se necesitarán para hacer la misma obra en 12 días? 7. Un grupo de 30 personas cuenta con provisiones para 15 días, si el grupo se incrementa a 35 personas, ¿durante cuántos días tendrán provisiones?

t

Actividad de aprendizaje ¿Por qué se dice que dos cantidades varían inversamente proporcional?


Aplicación de las TICs 1. Composición poblacional. a) Investiga en la página del Instituto Nacional de Geografía, Estadística e Informática (INEGI) cuál ha sido la composición proporcional entre hombres y mujeres durante los últimos 100 años. b) Contesta cómo ha variado la proporción poblacional.

c) Investiga cuáles han sido las tasas de natalidad y mortalidad en el mismo periodo. d) Supón que las tendencias de natalidad y mortalidad permanecen constantes, ¿cuál será la población estimada dentro de 100 años?

2. Tamaño de las familias. a) En 1970, 50% de las familias mexicanas tenían al menos cinco integrantes; en 1973, dio inicio una campaña del Consejo Nacional de Población con el lema “La familia pequeña vive mejor”, con él se sugería que las parejas tuviesen hasta dos hijos. b) Investiga el número de integrantes de las familias mexicanas en 1990 y contesta, ¿cuál fue el impacto de la campaña en la composición de la familia?

c) Responde: • ¿Cómo varió el número de integrantes de una familia en 1990 respecto al número de integrantes de una familia de 1970? • ¿Por qué aumentó la población?


Hora inicio:

Fecha:

Hora final:

Equipo:

Problemática asignada: Utilizas magnitudes y números reales. Propósito: Registrar el papel que asumen los estudiantes al enfrentarse a la problemática de resolver problemas aritméticos y algebraicos, así como a los roles que les corresponde como actores de su propio proceso de aprendizaje. Criterio/conducta observable

Cumple Sí

No

Comentarios

Utiliza números reales, los representa y realiza operaciones. En la recta numérica representa números reales y sus simétricos. Establece relaciones de orden y determina valores absolutos. Determina la distancia entre dos puntos en la recta numérica. Realiza operaciones de suma, resta, multiplicación y división de números enteros. Realiza operaciones de suma, resta, multiplicación y división de números racionales. Comprende y aplica los significados de razón, tasa y proporción. Puede calcular el valor de un término en una proporción. Comprende y aplica los modelos de variación proporcional directa e inversa. Comentarios generales:

55

2 BLOQUE



2. Lo puedo hacer sin ayuda.

Desempeños

1

2

3. Puedo ayudar a otros para lograrlo.

3

Debo mejorar en…

Ubico en la recta numérica números reales y sus respectivos simétricos. Combino cálculos de porcentajes, descuentos, intereses, capitales, ganancias, pérdidas, ingresos y amortizaciones, utilizando distintas representaciones, operaciones y propiedades de números reales. Utilizo razones, tasas, proporciones, variaciones y modelos de variación proporcional directa e inversa. Construyo modelos aritméticos, algebraicos o gráficos, aplicando las propiedades de los números reales.


2. Bien

1. Regular

0. Deficiente


Compañeros de equipo 1

Aporta los conocimientos que investigó. Propone maneras diferentes de resolución. Es respetuoso y tolerante con opiniones distintas a la suya. Puntaje total

Heteroevaluación Resuelve la página 57 y entrégala a tu profesor.

56

2

3

4

5



1. De un cable que mide 18

12 12 m de largo se han utilizado 5 m, 43 43

7. Un terreno de 800 m2 se divide en dos lotes que están en la razón 3:5. ¿Cuánto mide cada lote?

¿qué cantidad de cable queda?

2. Elradio de la Tierra mide aproximadamente 6 366.666 kiló-

8. En una proporción sus medios son 9 y uno de sus extremos es 27, ¿cuál es el otro?

2

metros, ¿cuánto mide el radio de la Luna si es del radio 7 de la Tierra? 9. Un automóvil tiene un rendimiento de 15 km por litro de gasolina, ¿cuántos litros se necesitan para recorrer 180 kilómetros?

7 3 − 8 5= 3. Obtén el resultado de 1 2

10. Un cuadrado mide 15 cm por lado, si se duplica el lado, ¿por cuánto se multiplica su área?

4. Por medio de un diagrama representa la relación que existe entre los números reales, racionales, irracionales, enteros y naturales.

5. Resuelve y representa gráficamente x + 4 = 1 .

6. Tres anuncios luminosos se encienden con intervalos de 12, 15 y 18 segundos, respectivamente. Si los tres se encendieron a las 7 de la noche, ¿a qué hora volverán a encenderse al mismo tiempo?

57

2 BLOQUE


Rúbrica

Indicaciones: Utiliza la siguiente rúbrica para evaluar el aprendizaje y grado de desarrollo del estudiante. Rúbrica para evaluar plenaria. Nombre del alumno:

Excelente (4)

Bueno (3)

Regular (2)

Utiliza de manera convincente el tono de voz, Gestos o entusiasmo. Mantiene una buena postura frente al grupo.

Utiliza de manera convincente Dos elementos de tono devoz, Gestos o entusiasmo. Mantiene una buena postura frente al grupo.

Utiliza de manera convincente sólo un elemento en tono de voz, gestos o entusiasmo. Mantiene una postura aceptable ante el grupo.

No utiliza de manera convincente el tono de voz, los gestos ni el entusiasmo. Mantiene mala postura y mala ubicación frente al grupo.

Todo el tiempo expresa sus puntos de vista de manera clara y ordenada. Muestra organización en el intercambio de ideas.

En algunos momentos expresa sus puntos de vista de manera clara y ordenada. Muestra organización en el desarrollo de ideas.

En algunos momentos expresa sus puntos de vista de manera clara, pero no de manera ordenada. No muestra organización en el desarrollo de ideas

No expresa sus puntos de vista. No hay organización en el intercambio de ideas.

Ejemplificación

Argumenta la posición de su equipo con información suficiente y refuerza la postura con ejemplos en todo momento.

Argumenta la posición de su equipo pero con información insuficiente. Sólo refuerza con escasos ejemplos.

Presenta algunas evidencias para defender la postura de su equipo. No maneja ningùn ejemplo de refuerzo.

No presenta evidencias para la defensa de la postura de su equipo. no presenta ejemplos que refuercen las ideas.

Calidad y cantidad de información

Presenta información suficiente, adecuada y sustentable para rebatir las ideas y opiniones del equipo contrario.

Presenta información adecuada y sustentable pero insuficiente para rebatir las ideas y opiniones del equipo contrario.

Parcialmente presenta información suficiente para rebatir las ideas y opiniones del equipo contrario.

No presenta información suficiente o adecuada para rebatir las opiniones del equipo contrario.

Muestra coherencia en sus comentarios, denota su conocimiento sobre el tema. Maneja los términos adecuados y correctos.

Muestra coherencia en sus comentarios y denota conocimiento del tema. Maneja parcialmente los términos adecuados y correctos.

Muestra parcial coherencia en sus comentarios. Denota mínimo conocimiento del tema. Maneja algunos términos adecuados y correctos.

No muestra coherencia en sus comentarios. No maneja los términos correspondientes o adecuados.

Respeta todo el tiempo las opiniones del equipo contrario. No interrumpe, ni critica a sus compañeros.

La mayor parte del tiempo respeta las opiniones del equipo contrario. No interrumpe, ni critica a sus compañeros.

Algunas veces no respeta la opinión del equipo contrario, y en varias ocasiones interrumpe ni crítica a sus compañeros.

No respeta las opiniones del equipo contrario. Interrumpe ni crítica a sus compañeros.

Aspecto a evaluar

Presentación

Organización y claridad

Coherencia

Respeto

Comentarios generales:

58

Deficiente (1)


Coevaluación

Indicaciones: Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes sobre los contenidos del Bloque 2. Para la coevaluación se intercambiará el formato de la rúbrica con el otro compañero o compañera, para que emita de manera responsable una valoración de los aspectos allí referidos. Excelente (4)

Bueno (3)

Regular (2)

Deficiente (1)

Distintas formas de representación y operaciones con números reales

Determina el valor absoluto de un número real. Establece relaciones de orden entre números reales. Determina la distancia entre dos puntos de la recta numérica real.

Determina el valor absoluto de un número real. Establece relaciones de orden entre números reales. Determina la distancia entre algunos pares de puntos de la recta numérica real.

Determina el valor absoluto de un número real. Establece relaciones de orden entre números reales.

No determina el valor absoluto de un número real. No establece relaciones de orden entre números reales. No determina la distancia entre dos puntos de la recta numérica real.

Propiedades fundamentales de la operaciones aritméticas

Realiza las operaciones básicas con enteros y racionales. Calcula el m.c.m. y m.c.d.

Realiza por lo menos tres de las operaciones básicas con enteros y racionales. Calcula el m.c.m. y m.c.d.

Realiza por lo menos dos de las operaciones básicas con enteros y racionales. Calcula el m.c.m. y m.c.d.

No realiza las operaciones básicas con enteros ni racionales. No calcula el m.c.m. ni el m.c.d.

Distintas formas de comparación y relación entre números reales

Conoce los conceptos de: razón, tasa, proporción y variación.

Conoce los conceptos de: razón, tasa, proporción.

Conoce los conceptos de: razón y proporción.

No conoce los conceptos de: razón, tasa, proporción o variación.

Propiedad fundamental de las proporciones

Conoce y aplica la propiedad fundamental de las proporciones. Calcula el valor de un término en una proporción.

Conoce y aplica la propiedad fundamental de las proporciones. Calcula el valor de un término en la mayoría de las proporciones.

Conoce y aplica la propiedad fundamental de las proporciones. Calcula el valor de un término en algunas proporciones.

No conoce ni aplica la propiedad fundamental de las proporciones. No calcula el valor de un término en una proporción.

Variación directa e inversamente proporcional

Conoce y aplica los conceptos de variación proporcional directa e inversa. Calcula el valor de un término en una proporción directa o inversa

Conoce y aplica los conceptos de variación proporcional directa e inversa. Calcula el valor de un término en una proporción directa o inversa, en la mayoría de los casos.

Conoce y aplica los conceptos de variación proporcional directa e inversa. Calcula el valor de un término en una proporción directa o inversa, en algunos casos.

No conoce ni aplica los conceptos de variación proporcional directa e inversa. No calcula el valor de un término en una proporción directa o inversa.

Aspecto a evaluar

Criterios

Nombre del alumno(a) a evaluar: Nombre del alumno(a) que evalúa: Menciona en qué hay que mejorar. Realiza sugerencias:

59

Realizas sumas y sucesiones de números Tiempo asignado:

8 horas

3



Competencias a desarrollar n Construye e interpreta series y sucesiones numéricas aritméticas y

geométricas, para la comprensión y análisis de situaciones reales. n Formula y resuelve problemas aritméticos y algebraicos de

complejidad creciente utilizando la calculadora. n Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante

procedimientos propuestos por el docente y elabora ejemplos utilizando los modelos establecidos.

n Analiza las relaciones entre dos o más variables de una serie o

sucesión, relacionados a un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. n Intepreta tablas, gráficas, diagramas y textos relacionados con

series y sucesiones y utiliza para ello los símbolos matemáticos correspondientes. n Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas

de manera reflexiva al resolver los problemas planteados y los propuestos por ellos mismos a través del trabajo en equipo

w


Forma una progresión aritmética de 7 términos en la que el primer término sea 5 y la diferencia sea 3.

2.


3.

En la progresión 5, 7, 9 . . . , ¿Cuál es el quinto termino?

4.

En la progresión 23, 21, 19 . . . , ¿Cuál es el sexto termino?

5.

En la progresión 3, 5, 7 ____, 11, 13, ____, 17, ¿Cuáles son los términos que faltan?

6. Para la siguiente progresión geométrica 1, 2, 4, . . . , encuentra el quinto término.

7. Para la progresión geométrica 2, 24, 8, . . . , encuentra los tres términos siguientes.

1 1 1 8. En la progresión , ___ , , , ¿Cuál término falta? 2 8 16

9. Dados tres de los cinco elementos de la progresión geométrica donde a1 5 2, r 5 3, n 5 5, encuentra an y Sn. En la progresión 1, 2, 4, . . . , ¿Cuánto sumán los cinco primeros términos?

10. En la progresión geométrica decreciente: 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, . . . ¿Cuál es el término que sigue?

Desempeños por alcanzar Identifica y diferencia las series y sucesiones numéricas así como sus propiedades.

de términos de las sucesiones.

Clasifica las sucesiones numéricas en aritméticas y geométricas.

Realiza cálculos obteniendo el enésimo término y el valor de cualquier término en sucesión aritmética y geométrica tanto finita como infinita mediante las fórmulas correspondientes.

Determina patrones de senos y sucesiones aritméticas y geométricas. Construye gráficas para establecer el comportamiento de sucesiones aritméticas y geométricas. Emplea la calculadora para la verificación del resultado en los cálculos de obtención

Soluciona problemas aritméticos y algebraicos usando series y sucesiones aritméticas y algebraicas.

3 BLOQUE




Se disponen 100 pelotas en línea recta a intervalos de 90 centímetros. Sobre esa misma línea y a 90 centímetros de uno de sus extremos se pone un recipiente en el que se van a colocar las pelotas. Una persona parte del recipiente, recoge la primera pelota y la coloca en el recipiente, después recoge la segunda pelota y la coloca en el recipiente, y así sucesivamente hasta recoger las 100 pelotas. ¿Qué distancia ha recorrido cuando termina?


Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente, mediante dibujos, las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver el problema.

Cada equipo debe investigar:

¿Qué tienes que hacer? tos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.

¿Cuál es el primer término de la sucesión?


¿Cómo se determina el n-ésimo término? ¿Qué fórmula debe utilizar para calcular el n-ésimo término?


¿Cómo se determina la suma de los n términos?

En este ejemplo:

¿Qué fórmula debe utilizar para calcular la suma de los n términos?

Producto a elaborar

Trabajo individual






Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para determinar la distancia recorrida que se pide debes anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por es62





Un jardinero debe depositar una carretilla de tierra al pie de cada uno de los 30 árboles que están a un lado de una calzada. Los árboles están a intervalos de 6 metros y el montón de tierra está a 10 metros del primer árbol. ¿Qué distancia habrá recorrido después de haber terminado su trabajo y regresado la carretilla al montón de tierra?


Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente, mediante dibujos, las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver el problema.

Cada equipo debe investigar: ¿Cuál es el primer término de la sucesión?

¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.

¿Cómo se determina el n-ésimo término?

Producto a elaborar

¿Qué fórmula debe utilizar para calcular el n-ésimo término?


¿Cómo se determina la suma de los n términos?



Trabajo individual



Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para determinar la distancia recorrida que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes. 63

3 BLOQUE




Si una pelota cae de una altura de 10 metros y rebota hasta una de 5, cae y rebota 2.5 metros y así sucesivamente, ¿cuál es el límite de la distancia que recorrería?




Trabajo individual

Que cada equipo represente, mediante dibujos, las condiciones del problema.


Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver el problema.

Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan.

Cada equipo debe investigar: ¿Cuál es el primer término de la sucesión? ¿Cómo se determina el n-ésimo término? ¿Qué fórmula debe utilizar para calcular el n-ésimo término? ¿Cómo se determina la suma de los n términos?



Producto a elaborar

¿Cuál es la parte fija y la parte variable en la fórmula para calcular la suma de los n términos?


¿Cómo se obtiene el límite de cada parte de la fórmula? ¿Cómo se obtiene la suma de este tipo de progresión?

Fórmula y cálculos realizados para la obtención del n-ésimo término. Fórmula y cálculos realizados para la obtención de la suma de los n términos.

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para determinar la distancia recorrida que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por es-

64



Propuestas de diseño de situaciones didácticas Parte I

1. Forma una progresión aritmética de 7 términos en la que el primer término sea 5 y la diferencia sea 3. 2. Forma una progresión aritmética de 8 términos con 12 como primer término y la diferencia sea 23. 3. Agrega 5 términos a la progresión: 3, 8, 13, . . . 4. Calcula el n-ésimo término y la suma de los términos de las progresiones aritméticas: a) 3, 7, 11, . . .

(15 términos)

b) 5, 9, 13, . . .

(20 términos)

c) 40, 32, 24, . . .

(12 términos)

d) 12, 3, 26, . . .

(18 términos)

11. En la progresión aritmética 15, 12, 9, . . . , ¿cuántos términos se deben tomar para que su suma sea 42? Escribe la progresión y explica por qué son dos las soluciones. 12. Trescientos soldados forman un triángulo. En la primera fila hay un soldado, dos en la segunda, tres en la tercera y así sucesivamente. ¿Cuántos soldados tiene la última fila? Parte II 1. Para cada una de las siguientes progresiones geométricas encuentra el término que se indica: décimo término a) 1, 2, 4, . . . b) 4, 12, 36, . . . décimo término c) 4, 216, 64, . . . séptimo término d) 23, 9, 227, . . . decimotercer término 21 4 1 1 1 1 1 1 21 21 21 1 21 e) 1, , , . . . octavo término 3 3 2 4 7 8 16 64 2 8 9 81 729

2 1 241 14 11 11 11 11 11 2 1 1 2211 2211 211 2 1 1 2 1 2. Para cada una de las siguientes progresiones geométricas en, 172, , . . . (16 términos) cuentra la suma hasta el término que se indica: 3 3 23 42 74 87 16 8 16 64 642 28 89 981 81 729 729 séptimo a) 2, 24, 8, . . . 5. Dados tres de los cinco elementos de una progresión aritmética encuentra los otros dos. b) 3, 6, 12, . . . sexto e)

a) a1 5 23, d 5 22, an 5 5

b) a1 5 3, n 5 13, d 5 2 c) a1 5 95, n 5 19, an 5 5 d) a1 5 3, an 5 39, Sn 5 210 e) n 5 100, an 5 199, Sn 5 10 000 f ) a1 5 3, d 5 2, Sn 5 120 g) an 5 18, Sn 5 88, d 5 2 h) a1 5 2, an 5 18, Sn 5 90 i) a1 5 96, n 5 8, an 5 68 j) a1 5 2, an 5 24, Sn 5 156 6. Interpola 10 medios aritméticos entre 2 y 24, esto es, forma una progresión aritmética de 12 términos donde el primero sea 2 y el último 24. 7. Interpola seis medios aritméticos entre 1 y 5. 8. Interpola tres medios aritméticos entre 21 y 33.

c) 3, 29, 27, . . .

noveno

d) 4, 12, 36, . . .

octavo

21 4 1 1 1 1 1 1 21 21 21 1 21 e) 1, , , . . . noveno 9 81 729 3 3 2 4 7 8 16 64 2 8 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Interpola un medio geométrico entre 4 y 25. Interpola un medio geométrico entre 7 y 63. Interpola tres medios geométricos entre 3 y 243. Interpola cuatro medios geométricos entre 243 y 1. Interpola dos medios geométricos entre 161 y 4347. Dados tres de los cinco elementos de una progresión geométrica, encuentra los otros dos. a) a1 5 2, r 5 3, n 5 5, encontrar an y Sn. b) an 5 384, r 5 2, n 5 8, encontrar a1 y Sn. c) a1 5 5, an 5 1 280, n 5 9, encontrar r y Sn.

9. En una progresión aritmética el primer y tercer término son 21 y 33, respectivamente, encuentra la suma de los cinco primeros términos.

21 4 1 1 1 1 1 1 21 21 21 1 d) r 5 , n 5 6, Sn 5 2 730, encontrar a1 y an. 3 3 2 4 7 8 16 64 2 8 9 81 21 4 1 1 1 1 1 1 21 21 21 e) an 5 3, r 5 , n 5 5, encontrar a1 y Sn. 3 3 2 4 7 8 16 64 2 8 9

10. En una progresión aritmética el primer término es 40 y la suma de los cinco primeros es 128. ¿Qué lugar ocupa el término 11.2?

9. En una progresión la suma de sus términos es 381, el primer término es 3 y el último 192. Halla la razón y el número de términos.

21 729 1 21 81 729

65

3 BLOQUE


10. En una progresión geométrica el primer término es 5 y la razón es 2. ¿Qué lugar ocupa el término 1 280?

Largo es el camino de la enseñanza por medio de las teorías; breve y eficaz por medio de los ejemplos. Séneca

Parte III 1. Halla la suma de los términos de las progresiones geométricas decrecientes: 21 4 1 1 1 1 1 1 21 21 21 1 21 a) 8, 4, 2, 1, , , . . . 9 81 729 3 3 2 4 7 8 16 64 2 8 2 1241 14 11 11 11 11 11 12 122 1 122 1 12 11 12 12 1 b) , , , , . . . 3 33 23 42 74 87 16 8 16 64 642 2 8 8 9 981 81 729729 2 1 421 14 1 1 11 1 1 1 2 11 221 1 221 1 12 12 11 2 1 c) 1, , , , . . . 3 3 32 43 72 84 16 7 86416 264 8 2 9 8 819 729 81 729 41 1 1 1 12 12 11114 412 1 112 12 1 112 1 12 1112 1 11 11122 12 2 11122 1 122 1 1 1 1 22 11 d) 1, , , , ,... 32 24 47 78 16 8 316 3643 64 3 222 42487 788 98 16916 8164 81 64 729729 2 2 8 8 9 9 8181 729 729 e) 32, 215, 8, 24, . . . 21 4 1 1 1 1 1 1 21 21 21 1 21 f ) 2, 1, , , . . . 3 3 2 4 7 8 16 64 2 8 9 81 729 g) 99, 33, 11, . . . h) 625, 250, 100, . . . i) 625, 125, 25, . . . 1 1 1 21 21 21 1 21 j) 1, , , ,... 8 16 64 2 8 9 81 729 2. Halla la fracción generatriz de la fracción decimal periódica. a) 0.272727. . . b) 0.520520520. . . c) 0.444444. . . d) 0.7656565. . . e) 0.1233333 3. En un cuadrado de lado a se unen los puntos medios de dos lados consecutivos para formar otro cuadrado, en éste se repite la operación para formar un nuevo cuadrado y así sucesivamente. Encuentra el límite de la suma de las áreas de todos los cuadrados así formados.

Introducción Se parte de la representación de números mediante arreglos que sugieren un principio de formación que se puede expresar algebraicamente. Se introduce el concepto de sucesión y se aborda lo relacionado con las sucesiones aritméticas y geométricas así como con las series correspondientes para determinar la suma de sus términos. Finalmente, se trata lo relacionado con la suma de los términos de una progresión geométrica decreciente infinita para obtener la fracción generatriz de una fracción decimal periódica.

3.1 Representación de relaciones entre magnitudes Sucesiones y series aritméticas Algunas colecciones de números se encuentran ordenadas, y de acuerdo con el lugar que ocupa cada una de ellas las podemos nombrar como primera, segunda, tercera, etcétera. Cada uno de los números de esas colecciones recibe el nombre de término. Los términos de una colección se obtienen con base en una relación constante entre dos términos consecutivos para formar una sucesión o progresión de números. Se llama razón a la relación entre dos términos consecutivos de una progresión. Cuando la razón corresponde a una cantidad que se aumenta a cada término para obtener al siguiente se trata de una progresión aritmética. Esto significa que la diferencia entre dos términos consecutivos es constante. En la progresión: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 Los términos son: Primero 1 Segundo 3 Tercero 5 Cuarto 7 Quinto 9

66


Sexto 11

El quinto término es 7 1 2 5 9

Séptimo 13

El sexto término es 9 1 2 5 11 El séptimo término es

Se observa que la relación entre dos términos consecutivos es: 3 2 1 5 5 2 3 5 7 2 5 5 9 2 7 5 11 2 9 5 13 2 11 5 2 Por tanto la razón es 2.

11 12 5 13

La razón es 2, pues a partir del primer término los sucesivos se obtienen sumando 2 al anterior. En la progresión

En la progresión: 88, 84, 80, 76, 72, 68, 64, 60 Los términos son:

88, 84, 80, 76, 72, 68, 64, 60 El primer término es 88 y el último término es 60.

Primero 88 Segundo 84 Tercero 80 Cuarto 76 Quinto 72 Sexto 68 Séptimo 64 Octavo 60

El primer término es

88

El segundo término es

88 1 (24) 5 84

El tercer término es

84 1 (24) 5 80

El cuarto término es

80 1 (24) 5 76

El quinto término es

76 1 (24) 5 72

El sexto término es

72 1 (24) 5 68

El séptimo término es

68 1 (24) 5 64

El octavo término es

64 1 (24) 5 60

Se observa que la relación entre dos términos consecutivos es:

La razón es 24, pues a partir del primer término los sucesivos se obtienen sumando 24 al anterior.

84 2 88 5 80 2 84 5 76 2 80 5 72 2 76 5 68 2 72 5 64 2 68 5 60 2 64 5 24

En los conjuntos

Por tanto, la razón es 24. Al tratar con números enteros consecutivos como los siguientes:

2, 3, 4, 5 . . . , n 1 1 (1)

4, 6, 8, 10, . . . , 2n 1 2 (2)

3, 5, 7, 9, . . . , 2n 1 1 (3)

se observa que forman conjuntos ordenados de términos o elementos que se pueden obtener a partir de una ley de formación del conjunto. Dicha ley se expresa mediante un término general en el que n representa el número de orden del término en el conjunto. A éste se le conoce como el término n-ésimo.

2, 3, 4, 5 . . . , n 1 1 (1)

4, 6, 8, 10, . . . , 2n 1 2 (2)

3, 5, 7, 9, . . . , 2n 1 1 (3)

se puede observar lo siguiente: En (1) el primer término es 2, ya que:

2 5 111

el segundo término es 3, ya que:

3 5 211

el tercer término es 4, ya que:

4 5 311

En (2) el primer término es 4, ya que:

4 5 2(1)12

Términos de sucesiones aritméticas


6 5 2(2)12

En la progresión


8 5 2(3)12

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13

En (3) el primer término es 3, ya que:

3 5 2(1)11

El primer término es 1


5 5 2(2)11

El segundo término es 1 1 2 5 3


7 5 2(3)11

El tercer término es 3 1 2 5 5

Este tipo de conjuntos son sucesiones aritméticas en las que se muestra su ley de formación a partir de sus términos.

El primer término es 1 y el último término es 13.

El cuarto término es 5 1 2 5 7

67

3 BLOQUE


Algoritmos geométricos y aritméticos En algunos problemas, su representación a través de figuras geométricas o dibujos puede ayudar a comprender la relación entre los datos o elementos que se conocen y los que se desconocen. Ejemplos Un conjunto ordenado, de números enteros impares consecutivos, se puede representar de la siguiente forma, utilizando un cuadrito para cada unidad.

tenía 10 años de edad su maestro solicitó a la clase que encontrara la suma de todos los números comprendidos del uno al cien, y quedó asombrado cuando Gauss levantó en seguida la mano y dio la respuesta correcta, primero el profesor creyó que un antiguo discípulo le había dado la respuesta, pero más se asombró cuando Gauss le demostró que había utilizado álgebra para resolverlo, planteó el problema de la n(n + 1) siguiente manera: S = , donde n es cualquier número entero, 2 luego puso 100 en lugar de n y encontró la solución, 5 050, por lo que Guillermo Federico, duque de Brunswick, lo ayudó a ingresar al colegio Carolino de su ciudad natal y en 1795 a la Universidad de Gotinga. Antes de cumplir 20 años Gauss descubrió su método de mínimos cuadrados, procedimiento con el cual se puede encontrar la ecuación de la curva que más se acerca a un número de observaciones y el error subjetivo es llevado al mínimo. A principios del siglo XIX, Gauss representó con exactitud las órbitas de dos planetoides, Ceres y Palas, recientemente observados, prediciendo su retorno a la visibilidad desde la Tierra.

Actividad de aprendizaje Algoritmos geométricos y aritméticos ¿Qué es una sucesión? ¿Qué es una serie?

Para tu reflexión

Biografía de Karl Friedrich Gauss Brunswick, Alemania (1777-1855) Considerado, junto con Arquímedes y Newton, uno de los tres grandes matemáticos de la historia, Gauss legó a las matemáticas y a la astronomía una serie de extraordinarios descubrimientos. Hijo de un humilde albañil, desde muy pequeño reveló su extraordinaria capacidad para las matemáticas, cuando

68

En 1799, a los 22 años, recibió el título de doctor por parte de la Universidad de Helmstad por la demostración del teorema fundamental del álgebra, conocido como Teorema de Gauss. Su obra Disquisitiones arithmeticae, publicada en Leipzig, en 1801, sirvió como fundamento a su tratado sobre la teoría de los números. Encontró que cada ecuación algebraica tiene una raíz de la forma a 1 bi, donde a y b son números reales, mientras que i es la raíz cuadrada de 21. Los números expresados de la forma a 1 bi se llaman números complejos y Gauss demostró que éstos se podían representar mediante un punto en un plano. En 1807, a los 30 años de edad, fue nombrado profesor de matemáticas y director del observatorio astronómico de Gotinga, dos años más tarde publicó en Hamburgo su obra maestra Theoria motus corporum coelestium, la cual modificó sustancialmente la astronomía matemática. De 1820 a 1821 estuvo integrado a la comisión de Hannover para la medición del grado de meridiano terrestre y construyó un heliotropo, aparato de señales ópticas que servían para reflejar la luz solar a grandes distancias, y cuyos rayos servían para marcar líneas rectas sobre la superficie terrestre, con lo cual se pudieron lograr determinaciones trigonométricas exactas de la forma del planeta. El heliotropo contribuyó, en gran medida, para el progreso de la geodesia. A principios de 1830, la mecánica celeste del siglo XVIII estaba siendo reemplazada por la nueva teoría electromagnética; Gauss fue uno de los primeros científicos que trabajaron sobre esta nueva idea. En 1833 inventó un telégrafo eléctrico que usó en su casa y en el observatorio, a una distancia de 2 kilómetros. Inventó también un magnetómetro y construyó un observatorio no magnético. Gauss fue uno de los primeros matemáticos que dudó que la geometría euclidiana fuese inherente a la naturaleza y fue el fundador de la primera geometría no euclidiana. Se enfrascaba tanto en sus nuevas

ideas que las anotaba en su diario y estaba explorando siempre nuevos conceptos, y sentía que perdía tiempo al prepararlos para su publicación, era tan modesto que no daba a conocer sus descubrimientos, por ello gran parte de su obra se dio a conocer después de su muerte. Cuando tenía setenta y siete años, Carl Friedrich Gauss murió en la ciudad de Gotinga el 23 de febrero de 1855. Su obra ha sido reconocida como una de las mayores contribuciones al campo de la ciencia durante los siglos xviii y xix.


Relación entre una sucesión y una serie aritmética Una sucesión (progresión) de números es aquélla en la que la relación entre dos términos consecutivos es constante. En los conjuntos:

2, 3, 4, 5 . . . , n 1 1 (1)

4, 6, 8, 10, . . . , 2n 1 2 (2)

3, 5, 7, 9, . . . , 2n 1 1 (3)

Se puede observar lo siguiente: Observa y responde: a) ¿Qué figura se forma? b) Cuando al primer número impar se le agrega el segundo, ¿cuántas unidades suman entre los dos? c) En la figura que representa la suma de los dos primeros números impares, ¿cuántas unidades tiene por lado? d) ¿Qué relación se puede establecer entre la suma de los dos primeros números impares y la cantidad de unidades que tiene por lado la figura que se forma? e) Cuando se agrega el tercer número impar, ¿se cumple la relación que se obtuvo en el inciso d? f ) Si se agrega el cuarto número impar, ¿se sigue cumpliendo la relación que obtuvo en el inciso d? g) ¿Qué relación se puede establecer entre la cantidad de números impares que se suman y el número de unidades por lado de la figura que se forma? h) ¿Qué lugar ocupa el número 15 en esta sucesión de números impares? i) ¿Cuántas unidades por lado tiene la figura cuando se agrega el número 15? j) ¿Cuántas unidades tiene la figura cuando se agrega el número 17? k) ¿Cuántas unidades tiene la figura cuando se agrega el número 21? l) Si n es un número entero cualquiera, un número par se representa por 2n, pues todo múltiplo de 2 es un número par. ¿Cómo se representa un número impar? m) Escribe la sucesión de números impares, empezando con el número 1 hasta el término n. n) Con los términos de la sucesión anterior, escribe la serie que representa la suma de los n números impares y su resultado.

En (1) 322 5 423 5 524 5 . . . 5 (n 1 1) 2 n 5 1 en (2) 624 5 826 5 1028 5 . . . 5 (2n 1 2) 2 2n 5 2 en (3) 523 5 725 5 927 5 . . . 5 (2n 1 1) 2 (2n 2 1) 5 2 Actividad de aprendizaje ¿Cómo se obtiene la razón en una progresión aritmética?

Una serie es la suma algebraica de los términos de una sucesión. Con los términos de la sucesión 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 Se puede formar la serie 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 13 En la sucesión: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 El primer término es 1, el último término es 13 y el número de términos de la sucesión es 7. La suma S de los términos de la serie se puede disponer en forma ascendente: S 5 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 13 O en forma descendente: S 5 13 1 11 1 9 1 7 1 5 1 3 1 1

69

3 BLOQUE


Si se suman término a término las dos series, se obtiene:

S 5 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 13

S 5 13 1 11 1 9 1 7 1 5 1 3 1 1 2S 5 14 1 14 1 14 1 14 1 14 1 14 1 14

El doble de la suma de los términos de la serie se puede escribir así: 2S 5 7 (14) De donde:

Actividad de aprendizaje ¿Qué es una progresión? ¿Cuándo es creciente una progresión aritmética? ¿Cuándo es decreciente una progresión aritmética? Argumenta tu respuesta

7(14) 5 49 2 7(714 (1)113) 5 Que también se puede Sescribir S 5 2así:5 495 49 2 7(1113) S5 5 49 2 S5

Aquí puedes ver un caso particular de como están relacionados los términos de la serie para determinar su suma. Más adelante encontrarás una generalización.

Sucesiones aritméticas particulares Una progresión aritmética es aquélla en la que cada término, posterior al primero, se obtiene sumando al anterior una cantidad constante llamada razón o diferencia de la progresión. Cuando la razón o diferencia es positiva, la progresión es creciente, y cuando la razón o diferencia es negativa, la progresión es decreciente. Una progresión aritmética se puede representar así: a1, a1 1 d, a1 1 2d, a1 1 3d, . . .

ipo de relación variacional en la T fórmula del n-ésimo término de sucesiones aritméticas particulares La suma de los n términos de la progresión aritmética, del primero al último, se puede expresar así: S 5 a1 1 (a1 1 d) 1 (a1 1 2d) 1 (a1 1 3d) 1 . . . 1 (an 2 2d) 1 (an 2 d) 1 an, o bien S 5 an 1 (an 2 d) 1 (an 1 2d) 1 (an 2 3d) 1 . . . 1 (a1 1 2d) 1 (a1 1 d) 1 a1

en que a1 representa al primer término y d es la cantidad constante que se agrega, a partir del primer término, para obtener el siguiente.

2S 5 (a1 1 an) 1 (a1 1 an) 1 (a1 1 an) 1 . . . 1 (a1 1 an) 1 (a1 1 an) 1 (a1 1 an)

A continuación se utilizará además la siguiente notación:

de donde

n

5 número de términos

an 5 enésimo término

2S 5 n(a1 1 an) por tanto S5

Sn 5 suma de los n términos de la progresión En la progresión aritmética a1, a1 1 d, a1 1 2d, a1 1 3d, . . . el primer término es a1 5 a1 el segundo término es a2 5 a1 1 d el tercer término es a3 5 a1 1 2d el cuarto término es a4 5 a1 1 3d el quinto término es a5 5 a1 1 4d ... an 5 a1 1 (n 2 1)d el n-ésimo término es 70

n 279 48 12 (a1 1 an) 2 31 8 6

Si se sustituye an 5 a1 1 (n21)d en la igualdad anterior se transforma en: S5 o sea

n 279 48 12 {a1 1 [a1 1 (n 2 1)d]} 2 31 8 6

S5

n 279 48 12 [2a1 1 (n 2 1)d] 2 31 8 6

En una progresión aritmética cuando se conocen tres de las cinco cantidades: a1, d, an, n, Sn a1, las otras dos se pueden calcular con las fórmulas anteriores.


Ejemplos 279 5

Encuentra el 20° número natural impar.

279 5 31n

Solución:

n 279 48 12 5n 2 31 8 6

Los números naturales impares forman la progresión aritmética 1, 3, 5, 7, . . . donde: a1 5 1, d 5 2 y n 5 20, entonces según la fórmula an 5 a1 1 (n 2 1)d a20 5 1 1 (20 2 1)2 a20 5 1 1 (19)2 a20 5 1 1 38 a20 5 39

Ejemplos

Solución: Los números naturales impares forman la progresión aritmética 1, 3, 5, 7, . . . donde:

a1 5 1, d 5 2 y n 5 20, entonces según la fórmula

Sn 5

S20 5

Ejemplos

9 5 n

Falta el valor de d, usando la fórmula: an 5 a1 1 (n 2 1)d 55 5 7 1 (9 2 1)d

Encuentra la suma de los primeros 20 números naturales impares:

n 279 48 12 (62) 2 31 8 6

n 279 48 12 [2a1 1 (n21)d ] 2 31 8 6

55 2 7 5 8d n 279 48 12 5d 2 31 8 6

6 5 d Entonces la progresión aritmética que se busca es: 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, . . . En una progresión aritmética donde a1 y an son el primer y último términos (o extremos) de la progresión, los términos comprendidos entre ellos se llaman medios aritméticos. Así en la progresión: 3, 5, 7, 9, 11, 13

20 2 3 3 12 [2(1) 1 (2021)(2)] 2 4 23 23 4 S20 5 10[2 1 (19)(2)]  23  S20 5 10[40]   S20 5 4004 a1 (12 r n ) (12 r )

los términos 5, 7, 9, y 11 son medios aritméticos entre los extremos 3 y 13. A continuación se presenta un ejemplo sobre la manera en que se interpola un número de medios aritméticos entre dos números dados. Actividad de aprendizaje

10

2(12 2 ) 12 2

¿A qué se les llama medios aritméticos?

Halla la progresión aritmética en la que su primer término es 7, su 1 023de 2suma ) sus términos es 279. último término es 55 2y(la

Escribe los medios aritméticos que faltan en la progresión 1, 3, 5, __, __, __, 13

21 a1 (1son: 2 r an ) 5 7, a 5 55 y S 5 279, según Los datos que se tienen 1 n n (12 r ) la fórmula:

Solución:

a 2 ar n 12 r

S 5

a 12 r

ar n 12 r

279 5 2

n 279 48 12 (a1 1 an) 2 31 8 6 n 279 48 12 (7 1 55) 2 31 8 6

2ar n 12 r 54 54 54 1 1 1. . . 100 10 000 1000 000 54 54 54 1 1 1. . . 2 1 00 100 1003

71

3 BLOQUE

Realizas sumas y sucesiones de números Los términos son:

Ejemplos Interpola cinco medios aritméticos entre 13 y 25. Solución: Se buscan 5 números que junto con 13 y 25 forman una progresión aritmética que tiene 5 1 2 5 7 términos donde a1 5 13, an 5 25 y n 5 7 Utilizando an 5 a1 1 (n21)d 25 5 13 1 (721)d 25 2 13 5 6d 12 5 6d

n 279 48 12 5d 2 31 8 6

2 5 d

por tanto, la progresión que se busca es: 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25

Sucesiones y series geométricas En líneas anteriores se dijo que razón es la relación entre dos términos consecutivos de una progresión. Cuando la razón corresponde a una cantidad que se multiplica a cada término para obtener al siguiente se trata de una progresión geométrica. Esto significa que el cociente entre dos términos consecutivos es constante. En la progresión: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 Los términos son: Primero 1 Segundo 2 Tercero 4 Cuarto 8 Quinto 16 Sexto 32 Séptimo 64 Se observa que la relación entre dos términos consecutivos es: 2 4 8 16 32 64 5 5 5 5 5 52 1 2 4 8 16 32 Por tanto, la razón es 2. En la progresión: 1 1 1 1, , , , 2 4 8 72

Primero 1 1 Segundo 2 Tercero

1 4

1 8 Se observa que la relación entre dos términos consecutivos es: 1 1 1 2= 4 = 8 =1 1 1 1 2 2 4 1 Por tanto la razón es . 2 En la progresión 1 1 1 1, , , , 2 4 8 1 El primer término es 1 y el último término es . 8 El primer término es 1 Cuarto

El segundo término es

1 1 1( )5 2 2


1 1 1 ( )5 2 2 4


1 1 1 ( )5 8 4 2

1 La razón es , pues a partir del primer término los sucesivos se ob2 1 tienen multiplicando por al anterior. 2 Una sucesión (progresión) geométrica es aquélla en la que cada término, posterior al primero, se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad constante (no nula) a la que se le llama razón de la progresión. La progresión geométrica es creciente cuando la razón es mayor que 1 y decreciente cuando la razón es menor que 1. Ejemplos Progresión geométrica creciente 1, 2, 4, 8, 16, . . . Progresión geométrica decreciente

2 1 4 1 11 11 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1, , , , ,... 9 81 729 3 3 2 24 47 8 16 64 2 8



donde a1 representa al primer término y r es la cantidad por la que se multiplica un término para obtener el siguiente.

¿Cómo se obtiene la razón de una progresión geométrica?

Se utilizará además la notación:

¿Cuándo es creciente una progresión geométrica?

n 5 número de términos

an 5 enésimo término Sn 5 suma de los n términos de la progresión

¿Cuándo es decreciente una progresión geométrica?

Términos de una sucesión geométrica

Relación entre una sucesión y una serie geométrica De manera semejante a lo realizado con una sucesión aritmética, con los términos de la progresión geométrica 2, 4, 8, 16, 32, 64 Se puede formar la serie

En la progresión 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 El primer término es 1 y el último término es 64. El primer término es 1 El segundo término es 1 (2) 5 2 El tercer término es 2 (2) 5 4 El cuarto término es 4 (2) 5 8 El quinto término es 8 (2) 5 16 El sexto término es 16 (2) 5 32 El séptimo término es 32 (2) 5 64 La razón es 2, pues a partir del primer término los sucesivos se obtienen multiplicando por 2 al anterior. En la progresión 1 1 1 1, , , , 2 4 8

1 El primer término es 1 y el último término . 8 El primer término es 1 El segundo término es

1 1 1( )5 2 2


1 1 1 ( )5 2 2 4


1 1 1 ( )5 8 4 2

1 La razón es , pues a partir del primer término los sucesivos se ob2 1 tienen multiplicando por al anterior. 2 Una progresión geométrica se puede representar así: 2

3

a1, a1r, a1r , a1r , . . .

2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 Pero ahora la determinación de la suma da lugar a una generalización que se trata en la sección siguiente. En la progresión geométrica a1, a1r, a1r2, a1r3, . . . el primer término es

a1 5 a1

el segundo término es

a2 5 a1r

el tercer término es

a3 5 a1r2

el cuarto término es

a4 5 a1r3

el quinto término es

a5 5 a1r4

... el n-ésimo término es

an 5 a1r(n21)

Término n-ésimo de una sucesión geométrica La suma de los n términos de la progresión geométrica, del primero al último, se puede expresar así: Sn 5 a1 1 a1r 1 a1r2 1 a1r3 1 . . . 1 a1r(n22) 1 a1r(n21)

(1)

Si se multiplican los dos miembros de la igualdad (1) por r se obtiene: rSn 5 a1r 1 a1r2 1 a1r3 1 . . . 1 a1r (n21) 1 a1r n (2) si se resta (2) de (1) miembro a miembro y término a término se obtiene: Sn 2 rSn 5 a1 2 a1rn

73

2

3 BLOQUE

4

23 23 4

 23    4  a1 (12 r n ) (12 r )


2(12 210 ) de donde 20 2 3 132 2 12 n 2 31 a023 2 Sn (14 22r) 2 3)2 r ) 1 (1 (25 4 21 Por tanto 2 3   a (12 r n ) 1  S , r ? 1 (3)  4 n5 (12 r ) n a1 (12 r ) a 2 ar n Como (12 r ) 12ar1r(n21) a 5 10 n 2(12 2 ) ar n si se multiplica la igualdad porar, se obtiene 2 12 2 r a 1rn 2 r 125 ra (4) 2(2 1 023)n n 1 2ar sustituyendo (4) en (3) 1 transforma en 2se 12 r a1 (12 r n ) a1a2 a1ran1r n a1a2 rara 2 2 5 1 54 5 1 54n n Sn 5 54 (12 r ) 112 r r 112 r r 1. . . 12 12 100 10 000 1000 000 n ar obtener el n-ésimo término y la suma de Como las fórmulasa 2 para 54 54 54 1 los cinco 1 términos 1 . . .de una prolos n términos son independientes, 12 r 2 1 00 100 1003 gresión geométrica están relacionados, por lo que si se conocen a ar n 54 54 tres los otros dos se pueden 2 determinar. 1 100 100 54 12 r 1254 r 5 5 121 99 99 2ar n 100 100 10 0 100 12 r Ejemplos 453 453 453 1. . . 54 54 1 542 1 3 1 10001 1000 1000 1. . . 100 000 10001000 Calcula el 6° término de la10 progresión 1  1 geométrica  1 1 1. . .  2 3 54 54 54   1000 20 12 3 1000 3 12 1 1 . . . 1000 23, 212,3 . . . , 1 00 2 100 4 12 31002 3 54 54 1000 4 Solución: 54 1 100 100 54 3  1  5 5  2son: Los datos del problema 100  100   121 99 99 999 3 30 3 3100 1212 2 20 2 3 4 20 3 202 12 10 a1 5 a ,(1n2 5r n6, r 5 1 9985 1 453 5 24 453 ) 2 3 2 3 2 3 1 33 2 4453 2 2453 24 34 45322 1r )999 2 1 9993 1 . . . ( 1 2 4 4 4 1000 1000 1000 20 2 3 3 12 102 3)31 término1 utilizando la fórmula el2  2 3  para 2(12 2n-ésimo  4 2 33 12. .3.  1  1  2 (n21)   2  4 4 4  1000 a 5 a r 1000 1000 12 2 n 1 4 n n n 20 2 3 3 12 r )r ) (1)2 a112 a1 (12 r21()2a11 (023  23  2 621 a 5  2 6 r )4r ) 4(24) 3 2 3 (12 (121000 r ) 2(112 4 n 2(1r22 2110(21)102 ()1a20 2 2(12210 a11)(12 2)r3n ) 3 12 3 2  2    5 3 23 a 1)212 2(1224r(24) 12 2999 (126 r5 ) 4 453 1 n998 1 45310 4 2(2 12023 ) 2(2 11023 2(2 1 023 a 2)ar (12 22r)n )) a1(2 999 999 3  1 1 2(21 024) 2 1 12 r6 522 a 2r )  (n1142 n 2 r )r n ) 10 (12n2 a1 (12 r )a a1 (a11ar n)) ((2 1212023 a22 a 6(5 112 r1r)(1r )2 r ) 1768 (2 (12 r1)2 r 2 221 12 n(1n2 r )n araar a 2 ar n2ar an 2a 2 1 2 r10) ( 221((2 1 023) 1 2 r (r122r ) ) 12 r 12 r 1212 2n 21n 12 ar arnr n ) 54 a ar n a a54 a 2 54 a12 2 (1ar 2 1 2 1023 1. . . 74 2 1 2 ( r 000 2 rr )1000 2 r1(112 1r2 r ) 000 12 r 100 12 r12110 2 n n 21 n 254 ar 2ar n 54 2ar n54 a(1 nar 1 aa122 1ar 2 2r )3 1. . . r 1r2 r 100 12 12 r 1 00 12100 12 r

Ejemplos Halla la suma de los 10 primeros términos de la progresión geométrica 20 2 233 33 12 12 2, 4,20 8, 16, 20 2.3. . 3 12

233 2 3 2 3 243 2 23 4 Los datos del problema son: a1 522,3r 5 2, n4 5 10  2 3   n términos 3 los  2de Utilizando la fórmula para la suma  44  a (412rr nn )) Sn 5 aa11((112 2rr)n ) 1(12 (12 r ) (12 r )10 22((112 22210 )) 10 ( 2 1 2 5 1222 ) 12 2 12 2 22((2 023)) 211 023 2(22 1 023 ) 5 2 11n 2 21rr n )) aa11((112 a1((112 2rr)n ) 5 2 046 (12 r ) (12 rn) aa 2 2ar ar n a 122arr n Aplica lo que sabes 12 r 12 r ar nn aa 2 ar n a r 2 1yar Ponte de acuerdo con tus compañeras compañeros de grupo para 2 112 2 2 r 12 rr realizar lo siguiente: 12 r n 12 r 2ar aren n ■ Coloca en el suelo 20 objetos 2 n línea recta. La distancia entre 2 ar 2rser 112 r de un metro. dos objetos consecutivos debe 1un 2 rmetro de distancia de un extremo ■ Alineada con los objetos y a54 54 54 54 1 54 1 54 1. .. .. 54 54 54 de la línea, coloca una caja100 o algún recipiente. 1 10otro 1 000 1 1000 1000 000 000 1. 1. . . 100 1 10 000 100 persona 10 000vaya1000 000 ■ A partir de la caja, que alguna 54 54por el objeto más 54 54 54 54 próximo, lo recoja y lo deposite en la caja. 1 1 1 54 22 1 100 54 3 1 .. .. .. 154 00 1 100 1 100 1 10033de 1. . . 2 objeto ■ Que repita esta acción con11 00 el siguiente 00 100 54100 54la línea y los restantes. 54 54 54 54 54 54 11 100 100 54 ■ Encuentra la distancia recorrida por la persona. 5 5 54 100 100 54 54 1 99 5 211 5 1100 100 99 100 100 5 5 99 2 1 99 100 ■ Explica, frente al grupo, de 100 manera breve, el procedimiento 99 2 1 1 100 100 10 0 100 99que se utilizó para determinar la distancia recorrida persona. 10 0por la100 100 10 0 453 453 453 453 453 453 ■ Discutan en grupo de qué otra se puede 1 453 1 hallar 1distancia 453forma 45333 la1 1 .. .. .. 1000 100022 1 1000 1 1000 1 1000 1. . . recorrida. 1000 2 3 1000 1 10001 10001  11 1 11 2 1 11 3 1 . . .  1000 1 10002 1 10003 1 . . .   1000 1 10002 1 10003 1 . . .   1000  3.2 Modelos aritméticos 1000 1000 11 1 o algebraicos 1000 1000 1000 1  Relación variacional  11 en  la fórmula  999     999 de del n-ésimo término 999 1 998sucesiones 1453 453 453 1 geométricas particulares 453 11 998 998 1 453 453 999 999 En una progresión geométrica 999 donde a1 y999 an son el primer y último 999 999 términos (o extremos) de la progresión, los términos comprendidos entre ellos se llaman medios geométricos. Así en la progresión: Solución:

22 2

44 4

2, 4, 8, 16, 32 Los términos 4, 8 y 16 son medios geométricos entre los extremos 2 y 32. Se conviene en que un medio geométrico entre los extremos a y b tenga el mismo signo que a y b. Así el medio geométrico entre 3 y 27 tiene signo positivo, mientras que el medio geométrico entre 23 y 227 tiene signo negativo 3, 9, 27 23, 29, 227 A continuación se presenta un ejemplo sobre la manera en que se interpola un número de medios geométricos entre dos números dados.


por tanto, la progresión geométrica que se busca es 2, 6, 18, 54, 162

20 2 3

3

12

Actividad de aprendizaje 20 2 3 233 12 23 202 2 34 32 3 12

2 4 23 2 4 2 344 2 3 ¿A qué se les llama medios geométricos?  23  4  2 3 20 2 3 3 12  34  2  2 3 4 2 4 23   a14(12 r nn) Ejemplos 4 a1 (12n r ) Escribe en la progresión 3, 6, 12, ) 2r rfaltan a1 (1(1que 2 3  los medios geométricos __,2__, (12 r10) __, 192   Interpola 3 medios geométricos entre 4 y 64.  4  2(1(122r )2 10) 2(12102 ) n Solución: 12 2(12 2 2) 20 2 3a1 (12 3 r )12 1 2 2 Se buscan 3 números que junto con 4 y 64 forman una progresión (12 23r ) 2 3 21(2 12 023) 2 4 geométrica que tiene 2(2 1 023) decreciente Progresión geométrica 4 210 ) 1 ) 2(2 12023 2(12 3 1 2 5 5 términos donde a1 5 4, an 5 64, n 5 5 2 1n infinita 2 3 20 2 3 3 12 1 a 2 (   12 2 1 2 1 r n) Utilizando   a (12n r ) 2geométrica 3 2 3a (1(11la 4 En una2progresión 2suma r ) de sus términos es: an 5 a1r (n21) 2n (2 1 023)4 1 2r 1 2 r )20 2 3 3 12 ( 4 a1 (12 r ) 64 5 4r 521 2arr )nn (a12 21 S 5 a 2 ar ; 2r ? 14 2 3 2 3 3 n (12 r )a (12 r2 16 5 r 4 )  a 212 ar nr 1   4 4 2r 1 4 4 2 5 r que expresar como12 )(1se 2(12 210 2puede r) a r ar2nn3  n a (12 r ) a 2 ar 2 5 r 12 2 a 2 ar n1 n r  S 5 1a2 r 2ar 12 4  (12 r ) rn 12 r n 122 por tanto, la progresión geométrica que se busca es 2(2 1 023 ) 12 r se puede r suma 12laar 121r(1compone 2 r ) de una parte fija n ase donde 4, 4(2), 4(2)2, 4(2)3, 64 2(12 210 )observar que2 ar 21 n n 12 r (12 r ) a 4, 8, 16, 32, 64 1ar2parte 2 variable 2ar 12 .r y una a1 (12 r n ) 2 54r 12 r 12 r 12 (12 210 ) 54 1. . . 254 54 1 54 1 54 (12 r ) n 2(2 1 023) 11000 1. . . 100 1 10 54 54000 54 1 2 2 2 ar Como la progresión geométrica es decreciente, r es000 una 21 100 000 1 10 000 1 1000 1.fracción .. Ejemplos n a 2 ar n menor que uno 54valor 54 100 10254 000 1000 000 es un cada vez más el factor r 12 r a (12 r n ) y, por tanto, 1 023 2 ( ) 54 1 542 1 543 1 . . . 1 12 r pequeño a medida que el valor de n aumenta. Por ello se dice que 1 1 1 . . . 1 00 100 100 54 22 154 3 54 (154 2 r ) 1 54 54 1 00 1. . 100 154100 1 . . . Interpola tres medios geométricos entre 2 y 162. 1. n 1 2 3 54 a ar 10 000 1 00 100 100 1000 000 a (12 r n ) indefinidamente 54 54 crece y 2 100 atiende 2 ar na cero cuando el54valor1de1 n 100 Solución: 100 5 54 54 54 12 r 154 2 r 54 5 54 54 1 (12 r ) 54 100 100 99 599 12 1la5progresión 100 100 112 r 1 la suma 1 . .de . 54 en consecuencia los términos Se buscan tres números que junto con 2 y 162 forman una progresión 1 100 3 2 1de 1 100995 5499tiende n 5 2ar n 1 00 100 2 100 100 100 a 2 ar 100 99 1010 99 geométrica que tiene 3 1 2 5 5 términos donde a1 5 2, an 5 162, a ar n 54 100 100 12 100 10 0 453 12 r hacia . 54 2 n 5 5. 453 453 12 10r 0 1 100 r 100 12 12 r 100 54 1 453 1. . . 453 453 54 1 2 3 54 54 54 5 n 1000 11000 1000 1 1. . . 5453 Utilizando 453 453 2 3 a ar n 121 1 100 2 1 1. . . 1000 1000 99S11 100 ar1000 000 99Límite 1 1 5 1000 2 (n21) 2 3 100 10 000 1 11000 1 ...   an 5 a1r 1000 1000 2 r 1 2 r 1 1 1 12 1 3 1 . . .  1254 r 10 0 100 1000 521 1000 1000 1 1 1 . . .  54 54  1 1 1 n 2 3   1000 162 5 2r 1 Es453 154el453 154 . . de . 453 2 ar 1000 1000 decir, límite la suma de los términos de una progresión 1 1 1 . . .  2 1 3  54 2 3 1 1 31 . .1. 1.1000 1 00 100 100   4 2 1000 1000 1 . . 162 5 2r geométrica decreciente es igual 10001001000 10001000 1 al primer 12 r término dividido entre 10 000 000 54 54 1000 1  uno 1menos la1razón. 1 1000 81 5 r 4 54 54 54 1 100 1 100 1 5454 31000 1 . 1. .  54 54 54  2 5  1000 1 99 25 110003 1 . . 1. 100 1 10 000 1 1000 000 1. . . 1000   2 1 1 34 5 r 4 100 100 1 00 100 99 100  1999  1 10 0 100  999  1 998 54 54 54 1 453 3 5 r 54  54 453 999 1 11998 1100 4532 1 1003 1 . . . 453 54 453 1000 45354 453 1 100 100 00 99951 998999 1 1 21 1 . . . 5 453 1 453 3  1000 121 99 999 99 999 1000 1000 100 100 54 54  999 1  9991 75 54 1 10 0  999 100  1 100 5 100 5 54 1 1 1 . . .   2998 1 453 3 1453 453 453 100 100 121 99 99 1000 453 1000 1000 1 1 1. . . 2 3 999 10009991000 1000 10 0 100 1

10 a1 (12 r n ) 2(122 210 ) 12 2 12 (12 r ) 2 2) 2(2 1 023 2()2 1 1023 10 20 2 3 ) 3 12 2(12 2 ) 22(2 023 1 120 21 2 3 3 12 4 23 23 n 1 12 2 a (12 r n )a (122r 2 ) 2 44 2 3 2 3 1 1 BLOQUE nn 2(2 1 023 (1)Realizas sumas de números 1 a 2 ( 4 2 r ) (1211 r2 ) 3 r ) y sucesiones  r)2 3  21 a 2 ar n a 2 ar(1n 2 4 n nn 4n  a1 (12 r ) a 2 ar 12 r 12 ra1 (12 r ) n Ejemplos (12 r ) r an1r()12 r ) (1ar 2 a ar na 12 n 2 generatriz 2 (1ar a 2 ar la fracción Encuentra de2nn rla) fracción decimal periódica 12 r 12 12r r 2a(112 22r10 ) 2 0.545454 . . . (Halla el límite de la fracción 12 r 2r210 )decimal periódica 0.545454 n n2 r 2(112 1 1 2 2 . . .) 2ar 2ar 12 2 nn a ar n 122 r 2ar Solución:2 12 r (2 1 023) 12 r 0.545454 12 r 2(2 1 023) r2 La fracción .54 . . 1se2puede 54 54 54154escribir así 54 n 1 1 1 11 1. . . 1. . . n2 2ar 100 10100 54 54 54 1. . . a110 2 r (11000 ) 000 000 000 1000 000 1a (12 r n 1 0.545454 . . . 5 12 r 54 1 000 ) 1000 000 100 10 2 r ) 54 5454 (154 54 1 1 1 3(2n1 1. . . 11 2. .r .) 354 2 54 54 54 54 100 1500 54 100 a100 2 ar1. 1 1 00 1 . 2100 .n1 1 1. . . 33 254 ar2 100 100 10 000 1000 000a100 154 00 54 54 12 r 54 154 54 1001 1100 5454100 54 54 2 r lo 54 54 100 n5 donde a 1 5 1 y r 5 que el límite 5 5 es54 1 .a1. 5 . ,1por ar 54 2 3 99 99 2 2 1 1 1 100 100 100 1002a 100 1 00 100 100 ar99n 5 10099 5 12 110 2 2 100 0 r 100 01r 21100 99 99 10 100 54 5454 12 r 12 r 453 453 2ar n453 54 10 0453 100 54 1453 100 100 100 1 1 1 1. . . 3 1. . . 5 5 2 52ar n23 1 453 453 1000 1 11000 100012 100099 1000 1000 2 1 r 99 100 100 1 1 45333 1 . . . 12 22 2 1 r 1 54 1000 11 1 1000 1000 10 0 100  1100  1 1 1 542311 11 . . .  354 1 . . . 1. . .  21 1 1 54 54 54     453 453 1000 453 1000 1000 1000 1000 10001 000  1. . . 1 1  100 1 .1 .10 . 100022 11000 1 . . .  2 3 33 100 10 000 1000 000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1 1 Ejemplos 54 54 54  1 10001 100011 1 54 3 1 54. . . 54 2 1 1 1 1 00 1100 . . .  100 1 decimal 1 . . . periódica  la fracción 2generatriz 3 de 1 2 3 Halla la fracción  1000 1000  1000 1   1000 1  1 00 100 100 54 54  . .    1  2.453453453. 1 999 99954 1 100 54100 5454   5 5 Solución: 54 1121100  100 54 1000 453 1 998 999 453 1 998 1 453 99 4531 100 5 100995 La fracción 2.453453453... se puede escribir así 99 2 1 1 99 1999 998100 110 453 453 100  1  999 999 999 0 100   100 0 10 999 453 453 453 999 999 2.453453453 . . . 5 2 1 1 1 1. . . 453 2453 3453 1 998 1 453 453 1000 1000 1000 1 1 1. . . 2 1000 11000 110003 1 999 999   1 1. . .    1 1 2 1 3 1  . . . 1000 1000 1000 5 2 1 453 1 1 1  2 3  1000 1000 1000 1 1 1000 1000  1     1  Aplicación de las 999 TICs   1 998 1 453 453 999 1. Población en México. 453 1 998 1 453 999 999 999 a) Investiga cuál es la población actual de999 la República Mexicana, puedes utilizar cualquier buscador para obtener esta información. b) Investiga en WolframAlpha cómo fue el crecimiento poblacional durante el siglo xx. Tip: puedes buscarlo como “mexican population 20th century” (población mexicana en el siglo 20). c) Contesta: ¿en qué radica la diferencia entre las dos gráficas que aparecen?

3

76

2

1003 54 54 2ar n 54 54 54 54 54 54 1541 11 1 1. 1. . . 54. . 100 5 100 5 12 r 10 0001000 1000 10010010 000 000000 99 2 1 1 99 100 100 54 5454 54 545454 541054 100 0 1 1 1.3 .1. 3. 1 1 1 2 12 1 ..... 100 10 000 1000 000100 1 001 00 100100 453 453100 453 1 54 2 54 1 54 3 1 . . . 54 54 54 1000 54 1000 1000 1 1 54 13 11. . . 54 54 1 00 100 254 100  1 100100 51100 511100 5 15 1 . . .  1 99 2 99 2 1 1  100 2 99 399  100100 54 100 1000 1000 la cantidad entre paréntesis es la suma de los 54 términos de una progre- 1000 540100100 54 1 100 1 10010 010 5 453y453 5 sión geométrica decreciente, donde la razón453 es su límite 453 453 453es 99 100 100 1211000 1 3 13. 1 1 1 2 199 ..... 2 1 1 1000 1000 1000 1000 100 0 1000 101000  1  1 453 1 1 453 1 1  1  1453   5 1000 5 1000 5 . . . . .  99913 12 .1. .2 1 3 13. 1 1  2 1 1 1 999 999 1000 1000 1000 1000   1000 1000 1000 1000 1000 12 1 998 1 453 453 1000 1000 1 1 1  1  1 1 1. . .  2 999 3 999  sustituyendo este valor en la igualdad  1000anterior  1000 1000 1000 1000 1  1 1  2.453453453 . . . 5 2 1 453     999999 1000 1 453 1 998 1 998 1 453 1  453453  5 2 1  999  999999 999999 453 1 998 1 453 5 999 999 2 451 5 999 12 r

1 00 121r 21r 2 r

100 2

Utiliza el procedimiento de los dos ejemplos anteriores para hallar la fracción generatriz a ) 0,454545… b ) 0,525525525… c ) 0,7656565… d ) 0,303030… e ) 0,5425425425… f ) 0,83241241241… g ) 0,72232323… h ) 0,15727272… i ) 0,3281281281… j ) 0,623151515…

Tip: recuerda que puedes utilizar el traductor de Google para comprender mejor la información. d) Investiga en la página del inegi cómo fue el crecimiento poblacional durante el mismo periodo. Compara esta información con la que obtuviste en el inciso anterior. e) De existir alguna discrepancia, ¿cómo la explicas?


2. Número de Euler. a) Investiga, ¿cuál es el número de Euler?

c) Este número puede ser representado como una serie, ¿de cuántas maneras diferentes podemos expresarlo?

b) Responde: ¿cuál es la serie que da origen a este número?

d) Contesta: ¿por qué es importante este número en las matemáticas?


Hora inicio:

Fecha:

Hora final:

Equipo:

Problemática asignada: Realizas sumas y sucesiones de números. Propósito: Registrar el papel que asumen los estudiantes al enfrentarse a la problemática de resolver problemas aritméticos y algebraicos, así como a los roles que les corresponde como actores de su propio proceso de aprendizaje. Criterio/conducta observable

Cumple Sí

No

Comentarios

Representa relaciones entre magnitudes. Comprende los conceptos de sucesión y serie aritmética. Identifica y comprende los términos de una sucesión aritmética. Puede establecer la relación entre una sucesión y una serie aritmética. Puede determinar los valores de términos de una sucesión y de una serie aritmética. Puede determinar los valores de términos de una sucesión y de una serie geométrica. Puede establecer modelos aritméticos o algebraicos para determinar el n-ésimo término de una sucesión geométrica. Puede calcular la suma de una progresión geométrica decreciente infinita. Comentarios generales:

77

3 BLOQUE




Desempeños

1

2


3

Debo mejorar en…

Identifico y diferencio las series y sucesiones numéricas, así como sus propiedades. Clasifico las sucesiones numéricas en aritméticas y geométricas. Determino patrones de series y sucesiones aritméticas y geométricas. Construyo gráficas para establecer el comportamiento de sucesiones aritméticas y geométricas. Empleo la calculadora para la verificación de resultado en los cálculos de obtención de términos de las sucesiones. Realizo cálculos obteniendo el n-ésimo término y el valor de cualquier término en una sucesión aritmética y geométrica, tanto finita como infinita, mediante las fórmulas correspondientes. Soluciono problemas aritméticos y algebraicos usando series y sucesiones aritméticas y geométricas.


2. Bien

1. Regular

0. Deficiente

Compañeros de equipo Criterios de evaluación

1



78

2

3

4

5



1. Forma una progresión aritmética de 8 términos con 12 como primer término y que la diferencia sea 23.

9. Halla la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente: 625, 125, 25, . . .

2. Calcula1 el 17 n-ésimo 4 término y la suma de los términos de la progresión aritmética: 3 2 3 1 144 11 17 17 2 , , , . . . (16 términos) 33 222 433 11 11 22 44

10. Halla la fracción generatriz de la fracción decimal periódica 0.1233333.

3. Dados 3 de los 5 elementos de una progresión aritmética encuentra los otros 2, n 5 100, an 5 199, Sn 5 10 000.

8, 4, 2, 1, ½ , …

4. Interpola seis medios aritméticos entre 1 y 5.

5. En la progresión aritmética 15, 12, 9, . . . ¿Cuántos términos se deben tomar para que su suma sea 42? Escribir la progresión y explicar por qué son dos las soluciones.

11 17 17 44 33 22 33 11 11 6. Para la progresión geométrica 1, , , . . . , encuentra el 22 44 octavo término.

7. Para la progresión geométrica 4, 12, 36, . . . , encuentra la suma hasta el octavo término.

8. Interpola cuatro medios geométricos entre 243 y 1.

11. Halla la suma de la progresión geométrica decreciente:

12. Halla la suma de la progresión geométrica decreciente: 10, 5, 2 ½ , … 13. Halla la suma de la progresión geométrica decreciente: 25, 5, 1, … 14. Halla la fracción común generatriz de la fracción decimal periódica 1.272727…

15. Halla la fracción común generatriz de la fracción decimal periódica 3. 987987987…

16. Halla la fracción común generatriz de la fracción decimal periódica 0.83421421421…

79

3 BLOQUE


Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre la distancia recorrida por la persona de la página 74 del Bloque 3. Nombre del alumno:

Presentación

Criterio


Desarrollo


Conclusiones

Dominio del tema


80

11. Conoce y aplica el concepto y elementos de una progresión. 12. De acuerdo al tipo de progresión determina sus elementos. 13. Obtiene la distancia recorrida por la persona. 14. Representa en un dibujo las condiciones del problema. 15. Establece las relaciones entre los datos del problema. 16. Realiza los cálculos para determinar la distancia recorrida por la persona.

cumple sí

no

Observaciones


Rúbrica

Indicaciones: Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes sobre los contenidos del Bloque 3. Nombre del alumno:

Criterios

Sucesiones y series aritméticas

Aspecto a evaluar

Relación entre una sucesión y una serie aritmética

Tipo de relación variacional del n-ésimo término

Sucesiones y series geométricas

Relación entre una sucesión y una serie geométrica

Término n-ésimo de una sucesión geométrica

Excelente (4)

Bueno (3)

Regular (2)

Deficiente (1)

Conoce los conceptos de sucesión y serie aritmética. Identifica los términos de una sucesión aritmética.

Conoce los conceptos de sucesión y serie aritmética. Identifica la mayoría de los términos de una sucesión aritmética.

Conoce los conceptos de sucesión y serie aritmética. Identifica algunos de los términos de una sucesión aritmética.

No conoce los conceptos de sucesión o serie aritmética. No identifica los términos de una sucesión aritmética.

Establece la relación entre los términos de una sucesión y de una serie aritmética. Conoce los términos de una sucesión aritmética.

Establece, en la mayoría de los casos, la relación entre los términos de una sucesión y de una serie aritmética. Conoce los términos de una sucesión aritmética.

Establece, en algunos casos, la relación entre los términos de una sucesión y de una serie aritmética. Conoce algunos de los términos de una sucesión aritmética.

No establece la relación entre los términos de una sucesión ni de una serie aritmética. No conoce los términos de una sucesión aritmética.

Conoce y calcula el valor de los términos de una sucesión aritmética.

Conoce y calcula, en la mayoría de los casos, el valor de los términos de una sucesión aritmética.

Conoce y calcula, en algunos de los casos, el valor de los términos de una sucesión aritmética.

No conoce ni calcula el valor de los términos de una sucesión aritmética.

Conoce los conceptos de sucesión y serie geométrica. Identifica los términos de una sucesión geométrica.

Conoce los conceptos de sucesión y serie geométrica. Identifica la mayoría de los términos de una sucesión geométrica.

Conoce los conceptos de sucesión y serie geométrica. Identifica algunos de los términos de una sucesión geométrica.

No conoce los conceptos de sucesión o serie geométrica. No identifica los términos de una sucesión geométrica.

Establece la relación entre los términos de una sucesión y de una serie geométrica. Conoce los términos de una sucesión geométrica.

Establece, en la mayoría de los casos, la relación entre los términos de una sucesión y de una serie geométrica. Conoce los términos de una sucesión geométrica.

Establece, en algunos casos, la relación entre los términos de una sucesión y de una serie geométrica. Conoce algunos de los términos de una sucesión geométrica.

No establece la relación entre los términos de una sucesión ni de una serie geométrica. No conoce los términos de una sucesión geométrica.

Conoce y calcula el valor de los términos de una sucesión geométrica. Interpola medios geométricos.

Conoce y calcula, en la mayoría de los casos, el valor de los términos de una sucesión geométrica. Interpola medios geométricos.

Conoce y calcula, en algunos de los casos, el valor de los términos de una sucesión geométrica.

No conoce ni calcula el valor de los términos de una sucesión geométrica. No interpola medios geométricos.

81

Realizas transformaciones algebraicas I Tiempo asignado: 10 horas

4



Competencias a desarrollar n Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación

de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos, y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales utilizando para ello el lenguaje algebraico.

n Formula y resuelve operaciones básicas con polinomios de una

variable, productos notables y factorizaciones, aplicando diferentes enfoques. n Explica e interpreta los resultados obtenidos en la factorización y los

contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

w


Determina P(x) 2 Q(x) P(x) x 3 + 3x 2 + 4 x − 2 Q(x) 5 − x 3 − 3x 2 − 4 x + 1

2.

Efectúa la división que se indica y comprueba el resultado obtenido.

(x

3

+ 3x 2 + 3x + 1) ÷ ( x + 1)

3.

Determina el producto (x 1 2)2 sin efectuar la operación.

4.

Determina el producto (x 1 4)(x 2 4) sin efectuar la operación.

5.

Determina el producto (x 1 9)(x 1 3) sin efectuar la operación.

6.

Desarrolla por el teorema del binomio (a 2 1)3.

7.

Factoriza la expresión x 2 2 x.

8.

Factoriza la expresión x 2 2 y 2.

9.

Factoriza la expresión x 2 1 2x 1 1.

10.

Factoriza la expresión x 3 1 6x 1 9.

Desempeños por alcanzar Identifica las operaciones de suma, resta, multiplicación de polinomios de una variable. Ejecuta sumas, restas, multiplicaciones con polinomios de una variable. Emplea productos notables para determinar y expresar el resultado de multiplicación de binomios. Comprende las diferentes técnicas de factorización como de extracción de factor común y agrupación de trinomios cuadrados perfectos y de productos notables a diferencia de cuadrados perfectos. Formula expresiones en forma de producto, utilizando técnicas básicas de factorización. Utiliza los productos notables de diferencia de cuadrados y de trinomios cuadrados perfectos.

4 BLOQUE




Escribe el cuadrado del binomio 5x 1 3y sin efectuar la multiplicación.



Cada equipo debe investigar: ¿Qué son los productos notables?

¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.

¿Cuáles son los productos notables más comunes?


¿Cómo se obtiene el cuadrado de un binomio?


¿Cómo se llama el producto del cuadrado de un binomio?


En este ejemplo:

Producto a elaborar Obtención del cuadrado de un binomio.

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para determinar el cuadrado de un binomio que se pide debes anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento


Obtén el producto de (x 1 y 2 z)2 sin efectuar la multiplicación.

84

por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.





¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan.

¿Cómo obtener el producto de dos trinomios?


¿Cómo expresar el producto de dos trinomios como el producto de dos binomios?


¿Qué transformaciones se deben realizar y qué signos de asociación utilizar para expresar los trinomios como binomios?



En este ejemplo:


Producto a elaborar Producto de dos trinomios.

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para determinar el producto de dos trinomios que se solicita se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedi-


miento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.


Expresa ax 1 ay 2 bx 2 by como el producto de dos factores binomios.

85

4 BLOQUE




Cada equipo debe investigar: ¿Cuáles son los productos notables? ¿Qué transformaciones se pueden realizar para expresar una suma algebraica como un producto?

¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.


¿Cómo se obtiene el factor común?


¿Cómo se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación?

En este ejemplo:

Trabajo individual

Producto a elaborar


Transformación de una suma algebraica en un producto.

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para determinar una suma algebraica como producto que se solicita se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del

86

procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.



Q(x) 5 − x 3 + 2 x 2 + 1

Parte I

8. P(x) x 4 + 6 x 3 − 7 x 2 + 6 x − 9

Determina P(x) 1 Q(x).

Q(x) 5 2 x 3 + 3x 2 − 5 x − 3

1. P(x) x 2 + x + 1

9. P(x) 2 x 4 − 4 x 3 + 3x 2 − 4 x + 7

Q(x) 5 x 2 − 2 x − 3

7. P(x) 5 x 4 + 3x 3 − 5 x 2 − x + 1 Q(x) 5 x 4 − 4 x 3 + 3x 2 + 4 x − 2

Q(x) 5 3x 4 + 2 x 2 − 5

2. P(x) x 3 + x 2 + x + 5

10. P(x) 3x 4 + x 3 + 7 x 2 − 2 x − 6

Q(x) 5 2 x 3 − 3x 2 + 7 x − 6

Q(x) 5 − 2 x 4 − 3x 3 − 2 x 2 + 6 x + 3

3. P(x) 5 x 2 + 3x + 7

Parte II

Q(x) 5 6 x − 3x + 3

Efectúa la división que se indica y comprueba el resultado obtenido.

2

4. P(x) 3x + 5 x + 6 2

Q(x) 5 5 x 2 − 3x − 2 5. P(x) 2 x 2 + 3x − 9 Q(x) 5 3x 2 − 7 x + 4 6. P(x) 4 x 2 − 9 x − 8 Q(x) 5 2 x 2 − x − 1 7. P(x) − 5 x 2 − 7 x + 9 Q(x) 5 − 10 x 2 − 14 x − 13 8. P(x) 5 x 4 + 3x 3 − 5 x 2 − x + 3 Q(x) 5 2 x 4 − x 3 + 7 x 2 − 2 x − 4 9. P(x) 2 x 4 − x 3 + 7 x 2 − 2 x − 5 Q(x) 5 x 4 − 4 x 3 + 3x 2 + 4 x − 2 10. P(x) x − 4 x + 3x + 4 x − 2 4

3

2

Q(x) 5 9 x 4 − 2 x 3 + x 2 − x + 3

Determina P(x) 2 Q(x).

1. P(x) x 3 + 3x 2 + 4 x − 2 Q(x) 5 − x 3 − 3x 2 − 4 x + 1 2. P(x) 2 x 2 − 4 x + 7 Q(x) 5 2 x 2 − 4 x + 7 3. P(x) x 3 + 2 x 2 − 4 x + 5 Q(x) 5 7 x 3 − 12 x 2 + 15 x − 7 4. P(x) − 4 x 3 + 5 x 2 − 7 x + 9 Q(x) 5 − 2 x 3 + 11x 2 − 12 x + 3 5. P(x) 8 x 3 + 7 x 2 − 5 x + 5 Q(x) 5 − 2 x 3 + 3x 2 + 2 x − 3 6. P(x) 2 x 3 − 4 x 2 + 2 x − 5

1. ( x 3 + 3x 2 + 3x + 1) ÷ ( x + 1)

2. ( x 4 + x 3 − 9 x 2 − 16 x − 4 ) ÷ ( x 2 + 3x + 4 ) 3. ( x 4 + 3x 3 − 4 x 2 − 6 x + 4 ) ÷ ( x 2 + 3x − 2 ) 4. ( x 3 + 3x 2 + 3x + 1) ÷ ( x + 1)

5. ( 4 x 3 + 4 x 2 − 29 x + 21) ÷ ( 2 x − 3 )

6. ( x 4 + 8 x 3 + 24 x 2 + 32 x + 16 ) ÷ ( x + 2 )

7. ( 6 x 5 + 5 x 4 − 25 x 3 + 31x 2 − 13x + 2 ) ÷ ( 2 x 2 − 3x + 2 ) 8. ( x 5 − 4 x 4 + 3x 3 + 3x 2 − 3x + 2 ) ÷ ( x 2 − x + 2 ) 9. ( x 3 + 2 x 2 − 3x + 4 ) ÷ ( x 2 − x + 2 ) 10. ( x 5 − 1) ÷ ( x + 1)

Parte III Determina el cuadrado de 34 y 48 expresados como (30 1 4) y (50 2 2), respectivamente. Determina los siguientes productos sin efectuar la operación. 1. (x 1 2)2 11. (5x2y2 2 1)2 2. (x 2 6)2 12. (12x3y3 1 3)2 3. (4 1 m)2 13. (12x3y3 2 3)2 4. (9 2 y)2 14. (3 2 12x3y3)2 5. (7x 1 6)2 15. (x4y3 1 x3y4)2 6. (7x 2 6)2 16. (x4y3 2 x3y4)2 7. (5x2 1 9)2 17. (5x4y 2 7xy3)2 8. (5x2 2 9)2 9. (2a2 2 3b2)2 10. (5x2y2 1 1)2

2

2

1 1 18. 11   21  x x  2

2

 1 19.  1  11 x   x 21

20. [(a 1 b) 1 c]2 87

4 BLOQUE


Parte IV Determina los siguientes productos expresando los factores como binomios conjugados. 1. 32 × 28 2. 41 × 39 Determina los siguientes productos sin efectuar la operación. 1. (x 1 y)(x 2 y) 2. (x 1 4)(x 2 4) 3. (7 1 m)(m 2 7) 4. (5 2 2a)(2a 1 5) 5. (3x 1 8)(8 2 3x) 6. (2x2 1 1) (2x2 2 1) 7. (5x4 1 1)(5x4 2 1) 8. (3a 1 9b)(3a 2 9b) 9. (xmym 1 1)(xmym 2 1) 10. (3m2n 2 5m3n2)(3m2n 1 5m3n2) 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

(5a3b 1 3a2c)(5a3b 2 3a2c) (5x2y 2 3x3y2)(3x3y2 1 5x2y) (7x3y2 2 5x2y)(7x3y2 1 5x2y) (3x2y 2 5x3y2)(3x2y 1 5x3y2) (7a3b 1 5a2c)(7a3b 2 5a2c) [8 1 (m 2 n)][8 2 (m 2 n)] (a 1 b 1 5)(a 1 b 2 5) (x 1 y 1 7)(x 1 y 2 7) (m 1 n 1 9)(m 1 n 2 9) (x 1 y 2 3)(x 2 y 1 3)

Parte V Determina los siguientes productos sin efectuar la operación. 1. (x 1 9)(x 1 3) 2. (x 1 6)(x 1 2) 3. (x 1 2)(x 1 3) 4. (x 1 9)(x 1 3) 5. (a 1 7)(a 1 3) 6. (x 1 9)(x 1 3) 7. (a 1 7)(a 1 3) 8. (x 2 6)(x 2 2) 9. (3x 1 7)(3x 1 19) 10. (3x 1 7)(3x 2 19) 11. (3x 2 7)(3x 1 19) 12. (3x 2 7)(3x 1 19) 88

13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

(5m 1 3n)(5m 1 11n) (7x 2 4y)(7x 1 9y) (6a 1 3b)(6a 1 7b) (7a 2 3b)(7a 1 9b) (3xy 1 7)(3xy 1 23) (7 2 pq)(9 2 pq) (5am 1 16)(5am 2 27) (ambn 1 4)(ambn 2 15)

Parte VI Determina los siguientes productos sin efectuar la operación. 1. (x 1 y)3

11. (x2 1 1)3

2. (x 2 y)3

12. (x2 2 1)3

3. (r 1 x)3

13. (1 1 x2)3

4. (r 2 s)3

14. (1 2 x2)3

5. (x 1 1)3

15. (2x 1 y)3

6. (x 2 1)3

16. (7x 1 3y)3

7. (1 1 x)3

17. (23x 1 4)3

8. (1 2 x)3

18. (22x 2 3)3

9. (1 2 y)3

19. (4a 1 1)3

10. (1 2 z)3

20. (1 2 4a)3

Parte VII Desarrolla por el teorema del binomio. 1. (a 2 1)7 2. (x 2 2)5 3. (a 1 3)4 4. (1 2 2b)5 5. (x 2 2y)6 6. (3x 2 y)4 7. (x 1 3y)6 8. (a2 2 b3)4 9. (a2 2 2a)6 1  10.  x 1   x

4

Parte VIII Factoriza las siguientes expresiones: 1. x2 2 x

4. 9x2 2 15x4

2. x 1 xy

5. 12a3 2 16a2

3. 6x2 1 18x3

6. 16a2 1 12a5


7. x3y2 2 x3y 3

8. m3 1 m2 1 m

2

4

9. m 1 5m 2 6m 4 5

3

Parte XI

2 2

10. r 1 r s 2 r s

4 4

5

4

3

11. (5xy ) 2 (5xy )

12. x 2 5x 1 8x

13. 2a4 2 5a3 2 3a2

14. 10a2b 2 15ab2 1 5ab

15. 8x4y4 1 10x3y3 2 6x2y2 16. 12xyz 1 8x2y2z2 2 4x3y3z3 17. 3a3b3c3 1 6a2b2c2 1 9abc 18. 8x2y3 2 4x3y4 1 12x2y2 2 16x4y5 19. 219x2y2 1 76x3y3 2 95x4y 20. 84x5y4 2 108x4y5 1 420x6y3 Parte IX Factoriza las expresiones siguientes. 1. x2y 1 xy2 1 3x 1 3y

11. 28 2 16x 1 14x2 2 8x3

2. a5b2 2 a2b5 1 7a3 2 7b3

12. 15x3 2 12x2 1 35x 2 28

3. abc 1 bcx 1 a2 1 ax

13. m2y 1 mn2 2 mxy 2 n2x

4. mx2 1 nx2 2 my2 2 ny2

14. 6ab 1 9a 1 4b 1 6

5. x3 1 x2y 1 3x 1 3y

15. m3 1 m2n 1 m 1 n

6. x4 1 x3y3 1 xy 1 y4

16. x2 2 ax 1 x 2 a

7. 8. 9. 10.

x 4 2 x 3y 1 xy 2 2 y 3 m3 1 m2n 1 mn2 1 n3 6xy 1 9x 1 4y 1 6 x 3 1 x2y 1 x 1 y

17. 18. 19. 20.

x2 1 ax 1 x 1 a a2b2 1 ab 1 abc 1 c x2 1 xm 1 xn 1 mn x3y3 1 xy 1 x2y2 1 1

Parte X Factoriza las expresiones siguientes. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

x 2 1 2x 1 1 x 2 2 2x 1 1 x 2 1 4x 1 4 x 2 2 4x 1 4 x 2 1 8x 1 16 x 2 2 8x 1 16 x 2 1 2xy 1 y 2 x 2 2 2xy 1 y 2 9x 2 2 30xy 1 25y 2 49a2 2 14ab 1 b 2

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

81x2 2 54xy 1 9y2 49x4y4 1 42x2y2 1 9 49x4y4 1 42x2y2 1 4 100x4 1 9y2 2 60x2y 220mn 1 4m2 1 25n2 4x2y3 1 25m2n2 2 20mnxy 9x4y2 2 12x3y4 1 9x2y6 9x4y6 2 24x3y5 1 16x2y4 49r4s2 1 64p6q2 1 112r2sp3q p8 1 36q2r 2 1 12p4qr

Factoriza las expresiones siguientes. 1. x 2 2 y 2 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

x 4 2 1 1 2 x 4 49m2 2 1 25 2 4x 2 x 4 2 16 16 2 x 4 16x 2 2 25y 2 9a 6 2 4b 4 9a 2b 4 2 25a 4b 6

11. x4 2 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

1 16 y 4

.0625 2 y4 x4y6 2 x6y4 49m4n2 2 64m6n4 x8y8 2 1 (x 1 3y)2 2 4z2 1 2 x2 1 2xy 2 y2 4x2 1 y2 2 4xy 2 25 9m4 1 11m2 1 4 x4 2 7x2y2 1 y4

Parte XII Factoriza las expresiones siguientes. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

x 3 1 23 y 3 2 23 x 3y 3 1 1 x3y3 2 1 8x3 1 1 1 1 8x3 8x3 2 27 27 2 8x3 a3b3 1 64 16 1 54m3

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

125 2 27x3y3 m3 2 8n3 x12 2 y9 1 2 27x6 64x9 1 y3 a3b3 1 512 x15 2 y9 729 1 (m 1 n)3 m3n3 2 512(m 1 n)3 (x 1 y)3 1 512(m 1 n)3

89

4 BLOQUE


Hay una asombrosa imaginación, incluso en la ciencia de las matemáticas… Repetimos, hay mucha más imaginación en la cabeza de Arquímedes que en la de Homero. Voltaire

Introducción La terminología y notación del lenguaje algebraico se aplica en la adición, sustracción, multiplicación y división de polinomios con una variable. Se trata lo relacionado con algunos productos notables y su respectiva factorización. Se hace una introducción al teorema del binomio de Newton donde se utiliza el triángulo de Pascal.

4.1 Representación de relaciones entre magnitudes Operaciones de suma, resta y multiplicación de polinomios en una variable Un polinomio es una expresión algebraica que se forma con variables y números reales que se relacionan mediante las operaciones de adición, sustracción y multiplicación. Los signos 1 y 2 se utilizan para separar los términos de un polinomio. A los polinomios compuestos por un solo término se les llama monomios; a los que tienen dos términos, binomios, a los que tienen tres, trinomios. Cuando un polinomio tiene una sola variable se le puede clasificar de acuerdo con el exponente de su término de mayor grado, así: 2x5 2 3x4 1 2x3 2 x2 1 1 es un polinomio de quinto grado.

Para tu reflexión

Anécdota de Albert Einstein (1879-1955) El joven Einstein esperaba en la antesala del director de la famosa Academia Politécnica de Zurich, Suiza. Fue recibido cordialmente y el presidente le dijo que la Academia se honraría si aceptaba el puesto de profesor. Einstein recordó cuando fue rechazado por dicha Academia como estudiante, años

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atrás. Sin embargo, dicho nombramiento le brindaba la oportunidad de continuar sus investigaciones científicas y aceptó. Einstein tenía una mente inquieta e inquisitiva para los temas que le interesaban. A la edad de cinco años lo fascinó la brújula de su padre y no cesaba de cuestionarlo sobre ella. Posteriormente un estudiante de medicina, Max Talmey, visitó su casa y le prestó sus libros de ciencias naturales y matemáticas. Einstein los leyó con gran interés y descubrió que había encontrado lo que le interesaba. El negocio de su padre no prosperaba y a Einstein no le interesaban los negocios, intentó la enseñanza mas no tuvo éxito, para entonces ya se había casado y tenía 2 hijos que sostener. Pudo obtener el puesto de empleado en la oficina de patentes y aunque el puesto era muy tedioso, le permitió terminar su doctorado y escribir algunos ensayos científicos. En 1905, cuando todavía trabajaba en la oficina de patentes, publicó su primera versión de la teoría de la relatividad. Einstein descubrió que la velocidad de la luz es la única magnitud que se mantiene constante, lo demás es relativo. Todo lo que está sobre la Tierra y en el Universo se encuentra en movimiento constante. Para Newton, el tiempo era constante e invariable. Einstein demostró que el tiempo era una variable, una cuarta dimensión que debía agregarse a las tres dimensiones aceptadas del espacio. Al acercarse uno a la velocidad de la luz el tiempo se torna más lento. El tiempo depende del lugar donde te encuentres. Un año en el planeta Júpiter es más largo que un año en la Tierra porque Júpiter necesita más tiempo para girar alrededor del Sol. Diez años más tarde, en una segunda obra sobre los aspectos de la relatividad, Einstein ofreció un nuevo concepto de la gravitación. Declaró que no hay una fuerza absoluta de gravedad que atraiga los objetos, como había sostenido Newton, sino que toda masa tiene dentro de sí una fuerza que está en proporción con su masa, la cual atrae los objetos; por esta fuerza se da la curvatura del Universo y las variaciones en las órbitas de los cuerpos celestes. A los 30 años de edad era famoso mundialmente. Durante la Primera Guerra Mundial se negó a ayudar a Alemania en su esfuerzo bélico. Manifestó: “Esta guerra es una depravación y un crimen salvaje, preferiría que me descuartizaran antes que participar en cosa tan abominable”. Entonces tuvo que irse a EUA y aceptar un puesto de investigador en el Instituto de estudios avanzados de Princeton, Nueva Jersey. En 1939 escribió una carta al presidente Roosevelt advirtiendo las posibilidades científicas de crear una bomba atómica. La decisión del presidente fue construir esa arma fantásticamente destructora. Una vez, cuando lo invitaron a visitar a la reina de Bélgica, se bajó del tren y caminó hasta el palacio llevando una maleta y su violín. Cuando la reina le preguntó por qué no había usado la limusina que le aguardaba, Einstein le respondió: “Era muy agradable caminar majestad”. Tomada de Crowther, J. G. Six Great Scientists


Aplica lo que sabes

Ejemplos

Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente:

2 2 Suma 5 x − 3x + 5 y 2 x + x − 3

Investiga cuándo se fundó la comunidad donde vives.

(5 x 2 23x 1 5) 1 (2 x 2 1 x 23)5 (5x 2 1 2x 2 ) 1 (23x 1 x ) 1

¿Cuánta población tenía en ese entonces? ¿Cuántos años transcurrieron para que la población se duplicara? ¿En cuánto tiempo se volvió a duplicar? Compara resultados con tus compañeros del salón de clases. Investiga: Cuando tu escuela inició sus labores, ¿cuántos alumnos tenía? ¿Cuántos alumnos de primer ingreso tienen actualmente? Investiga cuál era la población de nuestro país en 1900.

Solución: (5 2 3)

2 5 (5 + 2)x + (− 3 + 1)x + 2

5 7x 2 − 2x + 2

Como se puede observar, la operación de adición se realizó asociando términos semejantes y operando con sus coeficientes numéricos. El procedimiento se facilita cuando los términos de cada polinomio se disponen en orden decreciente y se colocan en la misma columna los términos semejantes.

1

Investiga cuál era la población de nuestro país en el año 2000. Investiga cómo se ha dado el crecimiento de la población de nuestro país entre los años de 1900 y 2000. Elabora una gráfica en la que se ilustre el crecimiento, con intervalos de 10 años en el eje horizontal y de 10 millones de habitantes en el eje vertical. Elabora en una cartulina o papel bond los resultados de tu investigación y compártelo, con tus compañeros.

Adición y sustracción de polinomios con una sola variable Dado que la variable del polinomio representa a un número real, se pueden aplicar las propiedades de las operaciones con estos números.

Actividad de aprendizaje En una sustracción, minuendo menos sustraendo equivale a sumar al minuendo

del sustraendo.

5 x 2 − 3x + 5 2x 2 + x − 3 7x 2 − 2x + 2

Para la de sustracción de polinomios se debe tomar en cuenta que a 2 b 5 a 1 (2b); esto es, minuendo menos sustraendo equivale a sumar al minuendo el inverso aditivo (o simétrico) del sustraendo. Ejemplos

(6x (6x

3 3

+ 3x 2 − 7 x + 1) − ( 2 x 3 − 2 x 2 + 3x − 5 ) =

+ 3x 2 − 7 x + 1) + ( − 2 x 3 + 2 x 2 − 3x + 5 )

5 ( 6 − 2 ) x 3 + ( 3 + 2 ) x 2 + ( − 7 − 3 ) x + (1 + 5 ) 5 4 x 3 + 5 x 2 − 10 x + 6 Para facilitar el procedimiento disponemos en orden decreciente y colocamos en la misma columna términos semejantes.

2

6 x 3 + 3x 2 − 7 x + 1 2 x 3 − 2 x 2 + 3x − 5

Esta operación se puede transformar en una suma al cambiar los signos de todos los términos del polinomio que se resta.

1

6 x 3 + 3x 2 − 7 x + 1 − 2 x 3 + 2 x 2 − 3x + 5 4 x 3 + 5 x 2 − 10 x + 6

91

4 BLOQUE


Multiplicación y división de polinomios con una sola variable En la multiplicación y división de polinomios con una sola variable se utilizan las propiedades de la multiplicación y división de números reales así como las leyes de los exponentes.

Actividad de aprendizaje Al dividir un polinomio entre otro, para comprobar el resultado,

0

3

+ 3x )( 3x 2 − 4 x ) = ( 2 x 3 + 3x )( 3x 2 ) + ( 2 x 3 + 3x )( − 4 x )

Ordenando el resultado en forma decreciente 5 6 x − 8 x + 9 x − 12 x 5

4

3

2

Si se ordenan en forma decreciente los términos de los polinomios que se van a multiplicar, la operación también se puede disponer así: 2 x + 3x 3 3x 2 − 4 x 3

6x 5

3 1 9 x multiplica el primer polinomio por 3x 2

2 8x 2 12x multiplica el primer polinomio por −4x 4

3

2

Observa que en los productos parciales se ubica cada término en la columna que le corresponde de acuerdo con su grado.

3x 3 − 2 x 2 − x + 5 x 2 − 3x + 2

3x 5 − 2 x 4 − x 3 + 5 x 2 4 3 2 − 9 x + 6 x + 3x − 15 x 16 x 3 2 4 x 2 2 2 x 110 3x 5 − 11x 4 + 11x 3 + 4 x 2 − 17 x + 10

92

x −12 x17 x 2 − 12 x

7x 2 84

x 2 − 5 x − 84

Ejemplos 2 4 3 2 Divide 2 x + 13x + 15 x + 16 x − 3 entre x + 5 x − 2

Ejemplos

Cuando el cociente es exacto, como en este caso, el residuo es cero; para verificar el resultado se multiplica el cociente por el divisor y el producto debe ser igual al dividendo.

2

6 x − 8 x + 9 x − 12 x suma 5

Se divide el primer término del dividendo (x 2) entre el primer término del divisor (x) con la que se obtiene el cociente (x); luego se multiplica el divisor (x 1 7) por (x) y el resultado se escribe debajo del dividendo. Después se resta y se repite el procedimiento utilizando a − 12 x − 84 como nuevo dividendo. El cociente obtenido es x −12.

4

x 1 7 x 2 2 5x 2 84 2x 2 2 7 x 112 x − 84

5 6 x 5 + 9 x 3 − 8 x 4 − 12 x 2

Divide x 2 − 5 x − 84 entre x 1 7 x −12

3 2 2 3 5 2 x ? 3x 13x ? 3x 1 2 x (2 4 x )13x (2 4 x )

Ejemplos

Ejemplos

( 2x

Para dividir un polinomio entre otro, se ordenan sus términos en forma decreciente de las potencias de la variable y se disponen de la siguiente manera:

2 x 2 + 3x + 4 x 2 + 5 x − 2 2 x 4 + 13x 3 + 15 x 2 + 16 x − 3 2 x 4 + 10 x 3 − 4 x 2 3x 3 + 19 x 2 + 16 x 3x 3 + 15 x 2 − 6 x

4 x 2 + 22 x − 3 4 x 2 + 20 x − 8

2x + 5


Por tanto, Para comprobar el resultado, se multiplica el cociente por el divisor y al producto obtenido se le suma el residuo, el resultado debe ser igual al dividendo.

2 x 2 + 3x + 4 3 x 2 + 5x − 2 2 x 4 + 3x 3 + 4 x 2 10 x 3 + 15 x 2 + 20 x

2 4x2 2 6x 2 8

2 x 4 + 13x 3 + 15 x 2 + 14 x − 8

1

2x 1 5

2 x 4 + 13x 3 + 15 x 2 + 16 x − 3

4.2 Modelos aritméticos o algebraicos

(a 1 b)2 5 a2 1 2ab 1 b2 Los términos a2 y b2 son siempre positivos porque el cuadrado de un número, positivo o negativo, es siempre positivo. El término 2ab puede ser positivo siempre que a y b tengan el mismo signo, o negativo cuando sus signos son contrarios. Sea el producto: (a 2 b) (a 2 b) 5 (a 2 b)2 Si se efectúa la multiplicación en la forma general se obtiene: a 2 b 3 a2b a2 2 ab 2 ab 1 b2

a2 2 2ab 1 b2 Por tanto: (a 2 b)2 5 a2 2 2ab 1 b2

Producto de binomios aplicando patrones de productos notables

Estos resultados se pueden expresar de la siguiente forma:

A ciertos productos que se pueden obtener de manera directa sin realizar la multiplicación por el procedimiento general, se denominan productos notables.

Es decir, el cuadrado de un binomio es igual a la suma algebraica del cuadrado del primer término más (o menos) el doble producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término.

Cuadrado de un binomio Elevar un binomio al cuadrado significa que el binomio se multiplica por sí mismo. Sea el producto: (a 1 b) (a 1 b) 5 (a 1 b)2 Al efectuar la multiplicación en la forma general se tiene. a 1 b a1b


ab 1 b2 a2 1 2ab 1 b2

Ejemplos

Representación geométrica: ab

El cuadrado de un binomio recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto.

Agrega el término que falta para que la siguiente expresión sea un trinomio cuadrado 36 x 2 + _____ + 25 y 2 .

a2 1 ab

b

(a ± b)2 5 a2 ± 2ab 1 b2

b

2

(2a 1 3b)2 5 (2a )2 1 2(2a)(3b ) 1 (3b)2

5 4a 2 1 12ab 1 9b 2

(2a 2 3b)2 5 (2a )2 1 2(2a)(23b ) 1 (23b )2 5 4a 2 2 12ab 1 9b 2 (23x 1 4y )2 5 (23x )2 1 2(23x )(4y ) 1 (4y )2 5 9x 2 2 24xy 1 16y 2

a Figura 4.1

a2

ab

a

b

(23x 2 4y )2 5 (23x )2 1 2(23x ) (24y) 1 (24y )2

5 9x 2 1 24xy 1 16y 2

93

4 BLOQUE


Producto de binomios conjugados Dos binomios son conjugados cuando tienen un término común y los otros dos términos son simétricos. Así, en: a 1 b y a 2 b 22a 1 3b y 2a 1 3b 25r 1 s y 25r 2 s El término común es: a

es decir, el producto de dos binomios conjugados es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. El producto de dos binomios conjugados recibe el nombre de diferencia de cuadrados. Ejemplos (2x 1 3y )(2x 2 3y )

5 (2x )2 2 (3y )2 5 4x 2 2 9y 2

(25a 1 3b) (25a 2 3b)

5 (25a)2 2 (3b)2 5 25a 2 2 9b 2

(x 2 y 1 z ) (x 1 y 2 z )

5 [x 2 ( y 2 z )][x 1 (y 2 z )]

3b

5 (x )2 2 ( y 2 z )2

25r

5 x 2 2 (y 2 2 2yz 1 z 2 )

5 x 2 2 y 2 1 2yz 2 z 2

Los simétricos son: b y 2b 22a y 2a

Producto de dos binomios que tienen un término común

s y 2s Sea el producto (a 1 b) (a 2 b)

Sean x 1 a y x 1 b dos binomios que tienen un término común x, en los cuales a y b representan términos algebraicos cualesquiera.

Al efectuar la multiplicación en la forma general se tiene:

Al realizar la multiplicación en la forma general se tiene:

a 1 b 3 a2b

x1a 3 x1b

a2 1 ab

x2 1 ax

2 ab 2 b2

bx 1 ab

a2 2 b2

x2 1 (a 1 b)x 1 ab

Representación geométrica:

a–b

Representación geométrica: 1

2

a

b

b

bx

ab

x

x 2

ax

x

a

Figura 4.2

2

b

2

Figura 4.4

Por tanto, 1 a Figura 4.3

Por tanto (a 1 b)(a 2 b) 5 a2 2 b2 94

(x 1 a)(x 1 b) 5 x2 1 (a 1 b) x 1 ab En otras palabras, el producto de dos binomios que tienen un término común se obtiene sumando algebraicamente el cuadrado del término común, más el producto de este término por la suma algebraica de los términos no comunes, más el producto de estos dos últimos términos.


En este producto se observa que si a es igual a b, entonces se trata del cuadrado de un binomio, con lo cual se obtiene un trinomio cuadrado perfecto. Si a y b son simétricos, se obtiene como producto una diferencia de cuadrados. Ejemplos

(23x 1 2y )3 5 (23x )3 1 3(23x )2(2y ) 1 3(23x )(2y )2 1 (2y )3 5 227x 3 1 54x 2y 2 36xy 2 1 8y 3

(25x 2 4y )3 5 (25x )3 1 3(25x )2(24y) 1 3(25x )(24y )2 1 (24y )3 5 2125x 3 2 300x 2y 2 240xy 2 2 64y 3

2

(x 1 7)(x 2 3) 5 x 1 4x 2 21, pues (17) 1 (23) 5 4 y (17) (23) 5 221 (5a 1 5)(5a 1 7) 5 25a 2 1 60a 1 35, pues (15) 1 (17) 5 12 y (15)(17) 5 35 2

(x 2 9)(x 2 2) 5 x 2 11x 1 18, pues (29) 1 (22) 5 211 y (29)(22) 5 18

Cubo de un binomio Sea el binomio a 1 b, donde a y b representan términos algebraicos que pueden ser positivos o negativos. El cubo del binomio a 1 b se puede escribir así: (a 1 b)3 5 (a 1 b) (a 1 b) (a 1 b) 5 (a 1 b)2 (a 1 b) Al sustituir (a 1 b)2 por su producto a2 1 2ab 1 b2 se obtiene 2

2

a 1 2ab 1 b 3 a1b

a3 1 2a2b 1 ab2

a2b 1 2ab2 1 b3 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3

Por tanto, (a 1 b)3 5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3 Es decir, el cubo de un binomio es igual a la suma algebraica del cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término. Nota: el signo 1 de los términos del producto indica que cada uno se considera con el signo que le corresponde de acuerdo con las leyes de los signos para la multiplicación.

Triángulo de Pascal y binomio de Newton La expresión (a 1 x)n 5 an 1 nan21x 1 n(n 2 1)/2! an–2x2 1 . . . 1 n(n 2 1) . . . (n 2 r 1 2)/(r 2 1)! an–r11xr21 1 . . . 1 xn constituye el desarrollo del teorema del binomio o fórmula del binomio de Newton. El símbolo n! se lee “factorial de n” y significa que: n! 5 1 • 2 • 3 • ... • n; así 2! 5 1 • 2 5 2; 3! 5 1 • 2 • 3 5 6; 4! 5 1 • 2 • 3 • 4 5 24, etcétera. El desarrollo anterior se obtiene a partir del análisis combinatorio y se demuestra por inducción matemática. Ambos temas no corresponden a este curso, por ello únicamente se presentará una introducción a la fórmula del binomio, cuando n es un número entero y positivo, con base en resultados demostrables que se aplicarán sin hacer la demostración correspondiente. La fórmula del binomio nos permite escribir de manera directa los términos del desarrollo de una potencia entera y positiva de un binomio. Por multiplicación directa podemos obtener el desarrollo de las potencias sucesivas del binomio a 1 b para: (a 1 b)1 5 a 1 b (a 1 b)2 5 a2 1 2ab 1 b2 (a 1 b)3 5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3 (a 1 b)4 5 a4 1 4a3b 1 6a2b2 1 4ab3 1 b4 (a 1 b)5 5 a5 1 5a4b 1 10a3b2 1 10a2b31 5ab4 1 b5 De acuerdo con estos desarrollos nos podemos dar una idea acerca de la ley que siguen en su formación.

Ejemplos (a 2 b)3

5 a3 1 3(a)2(2b) 1 3(a)(2b)2 1 (2b)3

5 a3 2 3a 2b 1 3ab 2 2 b3

(x 1 2)3

5 x 3 1 3(x )2(2) 1 3(x )(2)2 1 (2)3

5 x 3 1 6x 2 1 12x 1 8

1. Si el exponente del binomio es n, hay n 1 1 términos en el desarrollo. 2. Para cada valor de n, el desarrollo de (a 1 b)n empieza con an y termina con bn. En cada término los exponentes de a y b suman n. 95

4 BLOQUE


3. Las potencias de a disminuyen de 1 en 1 al pasar de cada término al siguiente. La b aparece por primera vez en el segundo término con exponente 1 que aumenta de 1 en 1. El exponente de b siempre es una unidad menor que el número de orden del término. 4. El primer coeficiente es la unidad, el de cualquier otro término se obtiene multiplicando en el término anterior su coeficiente por el exponente de a y dividiendo ese producto entre el número de términos anteriores al que se trata de formar. Esta última observación no parece tan evidente como las anteriores y en razón de su importancia la veremos en detalle al aplicarla al desarrollo de (a 1 b)5. El coeficiente del tercer término se obtiene del segundo término así: se multiplica el coeficiente 5 por el exponente 4 de a y el producto se divide entre 2 que es el número de términos anteriores 4 3 2 al que se quiere formar. Es decir, 5 × 5 10, el coeficiente del 2 3 4

tercer término. De manera similar, a partir de este coeficiente se 4 3 2 obtiene 10 × 5 10 que es el coeficiente del cuarto término. A 2 3 4 4 3 2 partir de éste se obtiene 10 × 5 5, que es el coeficiente del quin2 3 4 to término. Al aplicar lo anterior para n 5 6 y 7, se obtiene: (a 1 b)6 5 a6 1 6a5b 1 15a4b2 1 20a3b3 1 15a2b4 1 6ab5 1 b6 (a 1 b)7 5 a7 1 7a6b 1 21a5b2 1 35a4b3 1 35a3b4 1 21a2b5 1 7ab6 1 b7 Otra característica del desarrollo del binomio constituye cierta simetría en los coeficientes de los términos. Esta simetría se puede apreciar al disponer los coeficientes en el siguiente orden, que se conoce como triángulo de Pascal, para valores enteros no negativos de n en el desarrollo de (a 1 b)n.

n 5 0

1

n 5 1

1

n 5 2

1 2 1

n 5 3

1 3 3 1

n 5 4

1 4 6 4 1

n 5 5

1 5 10 10 5 1

n 5 6

1 6 15 20 15 6 1

n 5 7

1 7 21 35 35 21 7 1

A estos números se les llama coeficientes binomiales o binómicos, dado que en cada renglón se observa que el primer y el último elementos son 1 porque los coeficientes del primer y el último términos son iguales a 1. Cada elemento se puede obtener como la suma de los dos que se encuentran tanto a su izquierda como a su derecha en el renglón superior. Así, para n 5 6, el segundo coeficiente, 6, es la suma de los elementos 1 y 5 que se encuentran a su izquierda y su derecha en el renglón superior; el tercer coeficiente, 15, se obtiene de la suma de los elementos 5 y 10 del renglón superior, y así sucesivamente. Aplicaremos lo expuesto para la obtención de algunos desarrollos. Ejemplos 1. Desarrolla por el teorema del binomio: (a 1 2b)4. Como n 5 4, utilizaremos los coeficientes binomiales con las potencias correspondientes para cada término del desarrollo. Es decir,

96

1

(a 1 2b)4 5 1(a)4 1 4(a)3(2b)1 1 6(a)2(2b)2 1 4(a)1(2b)3 1 1(2b)4 efectuando las potencias, se tiene: (a 1 2b)4 5 1(a4) 1 4(a 3)(2b) 1 6(a 2)(4b 2) 1 4(a)(8b 3) 1 1(16b 4) realizando los productos: (a 1 2b)4 5 a4 1 8a 3b 1 24a 2b 2 1 32ab 3 1 16b 4 2. Desarrolla por el teorema del binomio: (3a 2 2b)4. Si procedemos de manera semejante al ejemplo anterior, se tiene: (3a 2 2b)4 5 1(3a)4 1 4(3a)3(22b) 1 6(3a)2(22b)2 1 4(3a)(22b)3 1 1(22b)4 efectuando las potencias: (3a 2 2b)4 5 1(81a4) 1 4(27a3)(22b) 1 6(9a 2)(4b 2) 1 4(3a) (28b 3) 1 1(16b 4) realizando los productos: (3a 2 2b)2 5 81a 4 2 216a3b 1 216a 2b2 2 96ab 3 1 16b 4


Actividad de aprendizaje Un terreno tiene la forma de un cuadrado que mide 45 metros por lado. Utiliza el cuadrado de un binomio para calcular su área. Expresa 45 5 40 1 5 y 45 5 50 2 5 y compara los resultados obtenidos. Un terreno que tiene forma rectangular mide 34 metros de largo y 26 metros de ancho. Calcula su área utilizando binomios conjugados. En el desarrollo (x 1 y )5 , ¿cuántos términos se obtienen? ¿Cuál es la mayor potencia de y ? ¿Cuál es la menor potencia de x ? Factorización de un polinomio que tiene un factor común. En la factorización x 2 2 4x 2 21 para determinar los segundos términos de los factores binomios, se buscan dos factores de ____ que sumados den _____.

Técnicas de extracción de factor común simple y por agrupación Factorizar una expresión algebraica significa convertirla en el producto indicado de sus factores. Factorización de un polinomio que tiene un factor común Sea el polinomio ax 1 bx en el cual x es el factor común de sus términos. Al dividir el polinomio entre el factor común, se obtiene: ax 1bx 5 a 1b x Por tanto: 8x 3 y2 1 4 x 2 y ax 1 bx 52 x(a 1 b) 4x y Ejemplos 1 1 4 2 3 2 1. Factoriza 4a 1 6a b.  1  Se observa que 2 y a 2 son 2  comunes a todos los términos. 3

2

2

2

22 2a

4a 1 6a b 5 2a x?2 1 2a x112a x 151  (2a 1 3b) 1 ? 3b 5 2 4 2 3  3x 4.  2. Factoriza 5a bx 2 15ab 4x 1 20ab 2 Se observa que 5, a, b 3y x3 son comunes a todos los términos. 3 a 1b 5a 2bx 4 2 15ab 2x 3 1 20ab 3x 4 5 5abx 3 ? ax 2 5abx 3 ? 3b 1 1b 3 ? 4b 2x a5abx 5 5abx 3(ax 2 3b 1 4b 2x)

De lo anterior se deduce que para factorizar un polinomio cuyos términos tienen un factor común, se multiplica ese factor común por el cociente que se obtiene al dividir el polinomio entre dicho factor. El factor común se puede obtener al localizar el máximo común divisor (m.c.d.) de los coeficientes de todos los términos del polinomio,

el cual será el coeficiente del factor común cuyas literales serán las comunes a todos los términos del polinomio con su menor exponente. Así, en: 12x4y3 2 8x3y2 1 4x2y El m.c.d. de los coeficientes es 4, las literales comunes con su mey; 1 porbxtanto, el factor común es 4x2y. nor exponente son x2ax 5 a 1b Dividiendo el polinomiox entre el factor común: 8x 3 y2 1 4 x 2 y 5 3x2y2 2 2xy 1 1 4x2 y Por tanto: 1 1 12x4y3 2 8x34y212 4x2y 5 4x2y (3x2y2 2 2xy 1 1) En la práctica, obtener  1el m.c.d. de un polinomio como factor co  de fracciones algebraicas. mún facilita la simplificación 2 2 2 Factorización por agrupación x 1 x 11  x 11  5 Sea el polinomio  2  4 ac 1 ad 1 bc 1 bd a 3 1b 3 se observa que el factor común de los dos primeros términos es a a 1b y el de los dos últimos es b. Al agrupar los términos que tienen factor común se obtiene: (ac 1 ad) 1 (bc 1 bd) factorizando cada grupo nos queda así: a(c 1 d) 1 b(c 1 d) 12x4y3 2

por tanto: (ac 1 ad) 1 (bc 1 bd) 5 a(c 1 d) 1 b(c 1 d) tomando c 1 d como factor común resulta: (ac 1 ad) 1 (bc 1 bd) 5 (a 1 b)(c 1 d) es decir: ac 1 ad 1 bc 1 bd 5 (a 1 b)(c 1 d) Si el polinomio ac 1 ad 1 bc 1 bd se reordena, se puede escribir así: ac 1 bc 1 ad 1 bd o bien: (ac 1 bc) 1 (ad 1 bd) de donde se obtiene: (a 1 b)c 1 (a 1 b)d que se puede expresar como: (a 1 b)(c 1 d) o sea que: ac 1 ad 1 bc 1 bd 5 (a 1 b)(c 1 d) En ambos casos se puede efectuar la comprobación al multiplicar los factores indicados, o bien, dando valores a las letras. 97

4 BLOQUE


Ejemplos 1. Factoriza 3mx 1 4my 1 3nx 1 4ny 3mx 1 4my 1 3nx 1 4ny 5 m(3x 1 4y) 1 n(3x 1 4y)

5 (m 1 n)(3x 1 4y)

2. Factoriza ax 1 ay 2 bx 2 by ax 1 ay 2 bx 2 by 5 a(x 1 y ) 2 b(x 1 y )

5 (a 2 b)(x 1 y)

3. Factoriza 18x 3 1 12x 2 2 15x 2 10 18x 3 1 12x 2 2 15x 2 10 5 6x 2(3x 1 2) 2 5(3x 1 2) 5 (6x 2 25)(3x 1 2)

El primer término 9x2, es el cuadrado de 3x; el tercer término 4y2, es el cuadrado de 2y, y el segundo término 212xy, es el doble producto de 3x por 2y donde uno de estos términos es negativo. Por tanto: 9x2 2 12xy 1 4y2 5 (3x 2 2y)2 Se sugiere al lector obtener (23x 1 2y)2. Actividad de aprendizaje Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto se busca la raíz cuadrada positiva de los términos cuadráticos y se relacionan con el signo del “____________”

4. Factoriza m 2x 1 n 2x 1 m 2 1 n 2 m 2x 1 n 2x 1 m 2 1 n 2 5 (m 2x 1 n 2x ) 1 (m 2 1 n 2)

5 x(m 2 1 n 2) 1 (m 2 1 n 2)

5 (x 1 1)(m 2 1 n 2)

Técnicas de factorización basadas en productos notables de diferencia de cuadrados y de trinomios cuadrados perfectos Como se explicó antes, se llama trinomio cuadrado perfecto al producto que se obtiene al elevar un binomio al cuadrado. En consecuencia, factorizar un trinomio cuadrado perfecto significa encontrar el binomio que multiplicado por sí mismo dé como producto el trinomio cuadrado perfecto. 2

2

2

Es decir, si (a 1 b) 5 a 1 2ab 1 b , entonces: a2 1 2ab 1 b2 5 (a 1 b)2 Antes de proceder a la factorización del trinomio, se debe verificar que es cuadrado perfecto. Sea el trinomio: x2 1 10x 1 25 Se observa que el primer término x2, es el cuadrado de x; el tercer término 25, es el cuadrado de 5. Si el segundo término 1 10x es el doble producto de x por 5, entonces el trinomio dado es cuadrado perfecto: 2(x)(5) 5 10x Por tanto, el binomio que elevado al cuadrado da x2 1 10x 1 25 es (x 1 5) cuyo signo es el mismo que el del segundo término del trinomio dado. En consecuencia: x2 1 10x 1 25 5 (x 1 5)2 Sea el trinomio 9x2 2 12xy 1 4y2, examinemos si es cuadrado perfecto. 98

Ejemplos 1. Factoriza el trinomio x 2 1 6x 1 9 El cuadrado de x es x 2 El cuadrado de 3 es 9 2 (x )(3) 5 6x Por tanto: x2 1 6x 1 9 5 (x 1 3)2 2. Factoriza el trinomio 25x 2 2 20x 1 4 El cuadrado de 5x es 25x 2 El cuadrado de 2 es 4

bx 2 (5x )(22)ax51220x 5 a 1b

x 3 2 x 8 1 42x 22)y2 ax bx 1 25x 2 20x 1 4 5y (5x ax 1bxaxax11bxbx a 1b 5 a11b42)bx22 y 5 a 1b(25x Se sugiere al lector obtener 55ax1 x x x 8x 3 y2 1 4 x 2 y 1 1 3 2 2 3 23 2 2 8 x y 18x 4x8xx1y yyx11 14 x4 2xy2 y 2 3. Factoriza el trinomio x y 2 2 4 42 El cuadrado de x 4esx x y2 4 x4 2xy y 1  1 1 1 1 1 1 1   El cuadrado de es 4 2 4 2 44 22 2 2  1x 1 x 11  x 11   1   1 12(x )    5 x 5 2 4  2         2 2 Por tanto: 2 2 3 x 2a1 1 b 31 2 2x 11  2x 1 2 2 2 x 1 x 1x1x11 x1  x 11  x 1 15  1  5x 11 5a5 41 b   2   4 4 4 23  3 2 2  a 1b 3 3 3 3 a 1b a a11b 3b 3 a 1b a 1b de a 1buna b a1 Factorización diferencia Por tanto:

2

de cuadrados

Sabemos que una diferencia de cuadrados se puede obtener a través del producto de dos binomios conjugados, es decir:


a2 2 b2 5 (a 1 b)(a 2 b) Entonces, factorizar una diferencia de cuadrados significa buscar dos binomios conjugados cuyo producto sea la diferencia de cuadrados dada.

c) Cuando un polinomio se puede expresar como una diferencia de cuadrados reordenando sus términos, como en: x 2 1 2xy 1 y 2 2 25z 2 5 (x 1 y )2 2 25z 2


5 [(x 1 y ) 1 5z ][(x 1 y ) 2 5z ]

5 (x 1 y 1 5z )(x 1 y 2 5z )

d) Cuando un polinomio se puede expresar como una diferencia de cuadrados mediante el artificio de sumar y restar el mismo término. Por ejemplo: en x 4 1 x 2y 2 1 y 4 se observa que si el segundo término fuera 2x 2y 2 se tendría un trinomio cuadrado perfecto factorizado por (x 2 1 y 2)2. Si se agrega y se quita al ax 1bx y 2, se obtiene: polinomio el término x 25 a 1b

Al factorizar una diferencia de cuadrados se obtienen dos binomios conjugados en el que uno es _______________ y el otro es _________________ de las raíces.

Ejemplos

x 8 x y 1 4 x2 y 2 2 5 (x 1 y ) 2 x 2y 2 4x2 y 2 5 (x 1 y 2 1 xy )(x 2 1 y 2 2 xy ) 1 1 Por tanto: 4 2 4 2 2 2 2 x 4 1 x 2y 2 1 y 1 5 (x 1 xy 1 y )(x 2 xy 1 y )   2 2 2 Factorización de la suma diferencia x 1 xy 1 1  x 1de1 cubos 5   El cociente de a3 1 b3 entre 4 a 1 b es: 2  x 4 1 x 2y 2 13y 42 5 x 4 21 2x 2y 2 1 y 4 2 x 2y 2

Factoriza la expresión 9x 2 2 16y 2. El primer término 9x 2, es el cuadrado de 3x, término común de los dos binomios conjugados que se buscan. El segundo término 216y 2, es el producto de 4y por 24y, términos simétricos de los binomios conjugados que se buscan. Por tanto: 9x 2 2 16y 2 5 (3x 1 4y )(3x 2 4y ) A continuación se describe otra forma de determinar los binomios conjugados. Obtén la raíz cuadrada principal (o positiva) de los términos cuadráticos: 1 9 x 2 5 3x 1 16 y 2 9 x 2 16 y 2 5 4y Los binomios conjugados se forman con la suma y la diferencia de las raíces, es decir: (3x 1 4y ) y (3x 2 4y ) entonces: 9x 2 2 16y 2 5 (3x 1 4y )(3x 2 4y ) Los casos especiales de la factorización de una diferencia de cuadrados son: a) Cuando uno de los binomios conjugados es una diferencia de cuadrados es necesario continuar la factorización. Así, en la factorización de x 8 2 y 8 se obtiene:

a 3 1b 3 5 a2 2 ab 1 b2 a 1b entonces a3 1 b3 5 (a 1 b)(a2 2 ab 1 b2) De manera semejante: a3 2 b3 5 (a 2 b)(a2 1 ab 1 b2) Ejemplos 1. Factoriza 27x 3 1 y 3 27x 3 1 y 3 5 (3x )3 1 y 3 5 (3x 1 y )(9x 2 2 3xy 1 y 2)

2. Factoriza 27x 3 2 8y 3

27x 3 2 8y 3 5 (3x )3 2 (2y )3

x 8 2 y 8 5 (x 4 1 y 4)(x4 2 y 4)

5 (3x 2 2y )(9x 2 1 6xy 1 4y 2)

5 (x 4 1 y 4)(x 2 1 y 2)(x 2 2 y 2)

5 (x 4 1 y 4)(x 2 1 y 2)(x 1 y )(x 2 y )

3. Factoriza x 6 1 y 6

b) Cuando los cuadrados son polinomios, como en x4 2 (m 2 n)2, se considera (m 2 n) como un monomio y se factoriza de la siguiente forma: x 4 2 (m 2 n)2 5 [x 2 1 (m 2 n )][x 2 2 (m 2 n )]

5 (x 2 1 m 2 n )(x 2 2 m 1 n )

x 6 1 y 6 5 (x 2)3 1 (y 2)3 5 (x 2 1 y 2)(x4 2 x 2y 2 1 y 4)

4. Factoriza x 9 2 y 12

x 9 2 y 12 5 (x 3)3 2 (y 4)3

5 (x 3 2 y 4)(x 6 1 x 3 y 4 1 y 8)

99

4 BLOQUE


Aplicación de las TICs 1. Operaciones con polinomios. a) Realiza la siguiente operación en la plataforma WolframAlpha. (3x 4 22 x 3 17 x 2 22 x 25)2(22 x 4 1 x 3 25 x 2 16 x 11) • T ip 1. Debes escribir la operación como se indica a continuación: (3x^422x^317x^222x25)2(22x^41x^325x^216x11) • T ip 2. Observa el símbolo ^, éste se utiliza para indicar el exponente, búscalo en tu teclado, si no lo encuentras, lo pue-

des introducir utilizando la siguiente combinación de teclas Alt 1 194 (deja presionado Alt y teclea 194 en el teclado numérico). b) Verifica que el resultado de la operación es correcto sumando el resultado con el sustraendo. x 2 22 x 11 c) Realiza la siguiente operación en la plataforma. x 21 d) Verifica que el resultado de la operación es correcto, para ello multiplica el cociente por el divisor y agrega el residuo.

2. Factorización de polinomios. a) Con los métodos de factorización que conoces, ¿cómo resolverías el siguiente polinomio? x15 135 x13 287 x12 1 x10 1214 x 7 2 45 x 5 227 x 3 116 x 2 224 x 1 4850

b) Investiga quién fue Sir Leonard Bairstow. c) Contesta: ¿en qué consiste su método para resolver polinomios de grado superior?

100




Desempeños

1

2


3

Debo mejorar en…

Identifico maneras diferentes de representar números positivos y decimales en distintas formas (enteros, fracciones, porcentajes), y de los demás números reales. Jerarquizo operaciones numéricas al realizarlas. Realizo operaciones aritméticas, siguiendo el orden jerárquico al efectuarlas. Calculo porcentajes, descuentos e intereses en diversas situaciones. Empleo la calculadora como instrumento de exploración y verificación de resultados. Represento relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas situaciones. Soluciono problemas aritméticos y algebraicos.


2. Bien

1. Regular

0. Deficiente

Compañeros de equipo Criterios de evaluación

1

2

3

4

5



101

4 BLOQUE



Hora inicio:

Fecha:

Hora final:

Equipo:

Problemática asignada: Realizas transformaciones algebraicas I. Propósito: Registrar el papel que asumen los estudiantes al enfrentarse a la problemática de resolver problemas aritméticos y algebraicos, así como a los roles que les corresponde como actores de su propio proceso de aprendizaje. Criterio/conducta observable

Representa relaciones entre magnitudes. Realiza operaciones de adición, sustracción y multiplicación de polinomios en una variable. Obtiene el producto de binomios aplicando patrones de productos notables: cuadrado de un binomio. Obtiene el producto de binomios aplicando patrones de productos notables: producto de binomios conjugados. Obtiene el producto de binomios aplicando patrones de productos notables: producto de binomios que tienen un término común. Obtiene el producto de binomios aplicando patrones de productos notables: cubo de un binomio. Comprende los conceptos de Triángulo de Pascal y Binomio de Newton. Puede factorizar polinomios que tienen un término común. Puede factorizar polinomios por agrupación. Puede factorizar sumas y diferencias de cubos.


102

Cumple Sí

No

Comentarios


Instrumentos de evaluación Apellido paterno Apellido materno Nombre Grupo Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 4. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación. 1. Determina P (x ) 2 Q (x ) P (x ) 3x 4 + x 3 + 7 x 2 − 2 x − 6 4 3 2 Q (x ) 5 − 2 x − 3x − 2 x + 6 x + 3

2. Determina el producto [(a 1 b) 1 c]2 sin efectuar la operación.

3. Determina el producto (x 1 y 2 3)(x 2 y 1 3) sin efectuar la operación.

9. Factoriza la expresión 9a 2b 4 2 25a 4b 6.

10. Factoriza la expresión (x 1 y )3 1 512(m 1 n )3.

11. Desarrollar por el sistema de Newton (3m 1 n 2)5.

12. Determina el producto (x 2 y 1 1) ((x 2 y 2 1).

4. Determina el producto (3x 1 7)(3x 2 19) sin efectuar la operación.

13. Efectúa la división

5. Determina el producto (1 2 z )3 sin efectuar la operación.

x 3 2 2 x 2 1 96 y comprueba el resultado. x 14

6. Desarrolla por el teorema del binomio (x 2 2y )6.

14. Determina el producto (2x 1 3y )3, sin efectuar la operación.

7. Factoriza la expresión r 4 1 r 3s 2 r 2s 2.

8. Factoriza la expresión x 3 1 x 2y 1 x 1 y.

15. Determina el producto (3x 2 1 4) (3x 2 2 5) sin efectuar la operación.

16. Determina el producto (7a 2 3b) (7a 1 9b) sin efectuar la operación.

103

4 BLOQUE


Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre la población de la comunidad de la página 91 del Bloque 4. Nombre del alumno:

Presentación

Criterio


Desarrollo


Conclusiones

Dominio del tema


104

11. Investiga y obtiene los datos que se piden sobre la población de su comunidad. 12. Investiga y obtiene los datos que se piden sobre los alumnos de su escuela. 13. Investiga y obtiene los datos que se piden sobre la población del país. 14. Representa gráficamente la evolución de la población de su comunidad. 15. Representa gráficamente la evolución de la población de alumnos de su escuela. 16. Representa gráficamente la evolución de la población del país.

cumple sí

no

Observaciones


Rúbrica


Excelente (4)

Bueno (3)

Regular (2)

Deficiente (1)

Operaciones de suma, resta, multiplicación y división de polinomios en una variable

Realiza las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de polinomios en una variable.

Realiza las operaciones de suma, resta y multiplicación de polinomios en una variable.

Realiza las operaciones de suma y resta de polinomios en una variable.

No realiza las operaciones de suma, resta, multiplicación o división de polinomios en una variable.

Producto de binomios aplicando patrones de productos notables

Aplica patrones de productos notables para obtener el cuadrado de un binomio, el producto de binomios conjugados, el producto de dos binomios que tienen un término común y el cubo de un binomio. Aplica el triángulo de Pascal y el binomio de Newton.

Aplica patrones de productos notables para obtener el cuadrado de un binomio, el producto de binomios conjugados, el producto de dos binomios que tienen un término común. Aplica, en la mayoría de los casos, el triángulo de Pascal y el binomio de Newton.

Aplica patrones de productos notables para obtener el cuadrado de un binomio, el producto de binomios conjugados. Aplica, en algunos casos, el triángulo de Pascal y el binomio de Newton.

No aplica patrones de productos notables para obtener el cuadrado de un binomio, el producto de binomios conjugados, el producto de dos binomios que tienen un término común o el cubo de un binomio. No aplica el triángulo de Pascal ni el binomio de Newton.

Técnicas de extracción de factor común simple y por agrupación

Factoriza un polinomio que tiene un factor común. Factoriza un polinomio por agrupación.

Factoriza un polinomio que tiene un factor común. Factoriza, en la mayoría de los casos, un polinomio por agrupación.

Factoriza un polinomio que tiene un factor común. Factoriza, en algunos casos, un polinomio por agrupación.

No factoriza un polinomio que tiene un factor común. No factoriza un polinomio por agrupación.

Factorización de diferencia de cuadrados y trinomio cuadrado perfecto

Factoriza una diferencia de cuadrados. Factoriza una suma o diferencia de cubos.

Factoriza una diferencia de cuadrados. Factoriza, en la mayoría de los casos, una suma o diferencia de cubos.

Factoriza una diferencia de cuadrados. Factoriza, en algunos casos, una suma o diferencia de cubos.

No factoriza una diferencia de cuadrados. No factoriza una suma o diferencia de cubos.

Aspecto a evaluar

Criterios


105

Realizas transformaciones algebraicas II Tiempo asignado:

8 horas

5


5.1 Representación de relaciones entre magnitudes


Competencias a desarrollar n Construye e interpreta los trinomios que no son cuadrados perfectos,

mediante la aplicación de procedimientos algebraicos, para la comprensión y análisis de algunas situaciones reales. n Formula y resuelve ejercicios de factorización, aplicando diferentes

técnicas.

n Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante

procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos.

w

¿Qué sabes hacer ahora? Responde las siguientes preguntas:

Desempeños por alcanzar Reconoce trinomios que no son cuadrados perfectos de la forma x ² 1 bx 1 c y ax ² 1 bx 1 c con a Z 0, 1 como un producto de factores lineales y polinomios que requieren combinar técnicas. Expresa trinomios de la forma x ² 1 bx 1 c y ax ² 1 bx 1 c como un producto de factores lineales. Identifica expresiones racionales con factores comunes y no comunes susceptibles de ser simplificadas. Utiliza una o varias técnicas de transformación para descomponer un polinomio en factores.

1.

Factoriza la expresión siguiente: x 2 1 5x 1 6

2.

Simplifica la siguiente fracción:

5a 2 x 2 10a 3 y 3 1 2 3 1 y, 2 y, 2 2 y2 x x x 4 3 x 1 13 x 3. Reduce al menor común denominador: 2 4 m1 3 2,7n 2 , x2m 1 y x 2 y x2 2 y2 2x 23xx1132 4 4m2 5 x 1 3 2 m 2 7n 12 x 1 x 2 2 x 3 3 1 3 2 22x 3 , 22 x 1 x2 2 2 x 11, x 2xx1 2 yla 1siguiente y 5xmixta 4. Reduce x 2 yfracción:1 1 x a1 forma 2 24 35xa1 4m2 x x1 10 a 3 y33 2m 2 7n 3 1 8 3922 22x 3 ,1 22 x 1 x2 2 2 x x y, z x1 250 x1 y x2 y x 2 y 11 x 75 x10 y105z 2 2 2 35x3a1x 4 4m 1 a a2una 5. Reduce 3 33 sola2fracción x 1 m 2 7ynsimplifica: 10 a 2 a2y1 3 x 8 by392 z2 2 x 1 2 x 1 x2 2 x ax 1 250 11 x 75 x10by3105z a3 1 2 2 3 x a5a2 2 m 112mn 1 n2 2 a3 y 3 10 a 2m12 2 n2 50 x 8 by 9 z 2 aa 1 2b 3 x10 y310 z 75 2ab 1 2b2a ax32 2 m 11y2mn 1 n2 2 2 ay 2 2 m1x2 22 n2 2 a1 2bby 2 xa32 2 3 2ayb3 1 2b2x a3 2 2 mx4 2 1 2mn 1 n2 x 2 yy2 4 2 Reconocey62expresiones mx 622 n racionales en forma simplificada a partir de factores 2 x 2 y comunes ay2 la división b 2 de polinomios. xx 4 2 2 yy 4 Obtiene2yfactores b3 2 2a3comunes factorizando con las técnicas aprendidas y reduce éstos. y 6 2 xx 6 Escribe expresiones xx4 2 2x yy24 4racionales de forma simplificada utilizando factores comunes 2 de polinomios. y la división 6 y 2 xy 62 xx 22 2 2 7 x2 1 12 Soluciona aritméticos y algebraicos. 4 2 xx 4problemas 2x 3yy 2 y3 3 3 y6 2 x 6 2y4x 222x34 xy 1 y 2 x 2y 4 3 4 6x 4 x2228 x 1 48 x 2 yx6 1 12 47 xx 222 2 x 24 8 x 3 1 6 x 2 4 x 2x 3y 2 y 3 4 x6 2 2 7x 1 3 y x2222x36 xy 1 y 2 2 5 x 2 3x 2 2 3 2 24 x 1 48 x 4 x3 4 x2228

5 BLOQUE




Expresa x2 1 5x 2 36 como el producto de dos factores binomios.



Cada equipo debe investigar: ¿Cómo se reconoce un trinomio cuadrado perfecto?


¿Cómo se reconoce un trinomio que no es cuadrado perfecto?


¿Cómo se factoriza un trinomio que no es cuadrado perfecto?



En este ejemplo:

Producto a elaborar Factorización de un trinomio.

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para determinar la factorización del trinomio que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

108




Factoriza 9x2 2 24x 1 16.



Cada equipo debe investigar: ¿Cómo se reconoce un trinomio cuadrado perfecto? ¿Cómo se determina el signo de la suma algebraica que representa el binomio? ¿Cómo se obtiene el término central a partir de los términos cuadrático e independiente?



Trabajo individual

Producto a elaborar


Factorización de un trinomio cuadrado perfecto.

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para determinar la factorización del trinomio cuadrado perfecto que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

109

5 BLOQUE




Simplifica x2 1 mx 1 n.



Cada equipo debe investigar: ¿Qué significa simplificar una fracción algebraica? ¿Qué productos notables y sus respectivas factorizaciones puede utilizar? ¿Qué condiciones se deben cumplir para cancelar factores en el numerador y denominador de la fracción?



Trabajo individual

Producto a elaborar


Simplificación de una fracción algebraica.

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para determinar la simplificación de la fracción algebraica que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

110

2xb2 2 2y a2 2 x3 2 y3 2 1y12 x73 3x2xy 2yxb2 2 2yx a2 2x x 2222 1 3 y2 x 3 32xyy 1 2 x 24 2 yx22 2 yx 22 3 y2 2 x 328 2xyxy311y48 24 xx 24 2 2 x2 2 yyx 2 xyyx22 2 24 xx 24 2 2 328 xyx 3311y48 2 2 x2 x 223 2 yx 2223 4 3 24 x24x2 xyx 311y648 28 xyy23 2 x 22x 2 2 xyx 4 28 3 4 x24x2 28 8 x 3 1 648 x 2x 2 xy23 2 xy 2233 4 2 2 44 xx2 x2 28 8 x13 1 648 x 2x xxy443 2 xyy 443 4 2 2 7 x 3 2 2 4 x2222xx2 7 x88 xx13 1 3 66 xx 2 4 2 xy463 2 xy 643 2 1 1 23 xy46 2 xy 64 54 x 2 2Editorial 37x 2 Grupo 1 23 Patria® 54 x3 2 2 37x2 2 x 46 2 y 64 4 4 1 23 4 7 x x 2 2 5 3 xx 64 2 2 x x 1 1 2 1 2 yy 64 2 222 xx 1 5xx33 21223xx22 1 11 x 646 2 y 664 3 1 2x 1 x 2 2 5 3 x x x 1 2 2 xy46 2 y 3 22 3x 1 21 2x 121 x 33 1 32x 22 1 32xx 1 xy46 2 xy 6644 2 3 121 2x52x 1 324xx 1 xy 6 2x xy26 4 2 2 6xx 3x 1 2 3x 1 3x 1 2 11. y26 2x x26 4 16. 6x 3x 21 2 2 52x 2 4 x x 1 1 1 3 3 2 2 5x x2212 4 6x2 1 xy2 2x 7x2x 41 12 2 5x x2212 4 6 x 22 1 x 2 2x 732x 41 12 3 2 55x xx22 212 66 xx 22 1 x 2 2xx732x241y12 2 44 3 xx2212 66 xx 22 1 x 2 2x73 x21y12 2 5 4 Parte I 3 2 6 x 221 1y12 2x5x2 x22 12. 2x x 2222 17. 12 x73 3x2xy 612 x422 1 3 y2 6 x 222x52 x2 12 6 x42 y x 2 2 3 2 1 y x xy 3 3 2 2 Factoriza las expresiones siguientes. 2 62 xx 222 52 x x2 12 x13 61 x4 x 328 2xyxy3311y48 24 xx 424 2 1 2 2 x2 2 12 2 x 2 6 x 2 21 3xyx 311y48 2 x 42 x 42 2 28 2 2 2 2x 2 2 1 13 x 12 21 2 4 3 12 2x61 x 12 24 x2 x2 328 xy 1 y48 x 1. x 1 5x 1 6 11. x 1 5x 2 14 13 21 2 x 21x10 4 2 8x3 1 6 x2 2 13x 1 12 21 13. 4 x244x2 18. 2 x 223 1 10 28 8 x 3 1 648 x 2x 2 4 2 2 2 2 2 13 21 25xx23 1 2 228 8x3 1 648 x 2x 2. x 2 5x 1 6 12. x 1 5x 2 6 4 xxx2 1 x22 210 112 44 xx222xx2 3 4 7x 1 2 x 1 10 1 12 5xx323 1 4 x2x2 1 x22 210 112 4 x22 2 7 x8 x13 1 3 6 x2 4 2 2 2 2 2 2 8 1 6 x x x 5 x 4 x 2 1 23 3. x 1 x 2 6 13. x 1 2x 2 3 5 x 331 6 x 221 3xx2 122 54 x 2 2 37x 2 5 x 4 x 2 1 5 x 122 1 4 7 3 x x 2 2 5 3 2 331 6 x 22 1 3xx2 2 2 1 2 6x4x22x211 3xxx1 122 14. 54xx33 212237xx22 1 19. 5x5x33x311 1 223x 1 1 2 2 2 4. x2 2 x 2 6 14. x2 2 2x 2 3 5xx3 31126xx2 21123xx11112 2 2x 11 5xx3 21223xx2 1 3 2 3 2 5xx 11326x x2 11323xxx1 2 32xx 1 5xx3 12323x2x2 1 11212 121 5. x2 1 5x 2 36 15. x2 2 x 2 20 121 x 33 1 32x 222 1 32xx 1 121 x3 1 32x 22 1 32xx 1 2 121 x 3 1 32x 2 1 32xx 1 121 x 1 32x52x 1 324xx 1 2 2 2 6. x2 2 9x 2 36 16. x2 1 x 2 20 x 1 2 x 3 x 3 1 1 15. 66x 33xx 1 20. 3x 1 3x 1 2 3 2 2 2 52x 2 4 21 x 1 2 x 3 x 3 1 1 x x x 1 1 3 3 2 x 2 2 5 4 2 2 1 x 2 12 x 6 7. x 1 13x 1 36 17. x 1 2x 2 24 2 5x x2212 4 6 x 222 1 2 212 6 x 22 1 2 55xxxx2 2 44 B) Reduce menor común denominador. 8. x2 1 5x 1 14 18. x2 1 3x 2 28 66 xxal 2 5 x2212 42 22 1 1 x 2 12 x 6 2 5 x 2 4 12 22 x 2 6 x 2 6 xa2221x52 xm2 9. x2 2 13x 1 40 19. x2 1 3x 2 10 12 6 x42n x 62axx 2222 52 x x2 12 x13 6 x42 21 1. 5, 1 2 2 12 2x61 x 2x21x 2axb2221xx13 1 20. x 1 7x 1 10 10. m 2 2m 2 15 12 2x61 x 12 a a 13 21 2bx 221x10 a b21 b a b 13xx1 12 2bx123 1310 2 1 12 1 2 3 Parte II 13 21 2a5xx123 1 x 2 2 a 2 b2 210 112 24 xx2 1 1 , 2 , 23 2 ba5xxx123 1 , 2 10 x 1 2. x y b 1 4 x x 2(a21b ) a 1 1 2 1 a 2 3 1 1 y, x 2 2 y, x 2 3 y x1 1312 ,1 y 610 x22x21 yxx2 a52bax5xxx2 4 x 2 , Factoriza las expresiones siguientes. x 1 122b 3 3 1 1 x 11 y , x 22 y , 2 x 22 2 3 y 22 b 3 x 2, y x 1 y 5 x 4 x x 2 2 1 2 a 5 x 6 x 3 x 2 1 1 1 x 2 y x y 2 12 n 1331 , 2 x2 2 x3x1 11y,42 x 2 2 4ym 3 y b5xbba5x3x2 m n1 265,4m 2 x2x221 3yxxx1 1 11222 13x xx 2 1 y x1 y 2 31y2,x 2 x ,2 x82 2 y 22 1 1 1 1. 2x2 1 5x 1 3 11. 14x x31 x2 3 x 15x 1y 4, 1 4ym2 3126 ,xx 11 m n 5xbxxm 1131 11nx232yxx11 1 311x223x 2x 2y , xx3 m 11 3xx11y342 x 2 4ym 2 7xn 2 y 2m 1 2 1yyy,326,,,xyx2222 xxx21 1 y, , n 3. 5xbxx1x3332 23xyyxx1 11 2 3 1 2 1 m n 2. 5y2 2 8y 1 3 12. 12x34 225x 22272n m 3x 1 4m 1 1 x 1 y x 2 2 2 3 2 1 2 1521 x 4 nx 1 8y x52 y y 1 x32 2 x1 1 x xxx2 y yy3322y,,xxx22x1 y3322xxyyxx 1 4m 41 2 7n 13243 222m 3xx1 x4m x33 x11 x1nnm n 121 m 1 1 2 2 , x 1 y x 2 y m 3 2 2271n2 x 1 x2 2 x 3 22m xx 2 yy3,,,x xx11 1331 27x x1 3. 4x 1 12x 1 3 13.2xx x1 6x , x x x m nn3xyy 1 2 x 1 x x 1 2 3 2 m 1 m 2 n 3 2 7 m n xx13yy3x,,,x xxx12 23m3xyy 132x x 1 x y mx 23yx, 4, xx 2 x 123 25 x 1 2 x 1 x 2 2 1 x1 1 1 xxx 2 3 x 1 2 2 x , x 1 2 x 1 x 2 1 2 m n 1 x 5 1 2 4x x 3 4. x 1 322 2x 2 4. 8x 2 10x 1 3 14. 3x 2 2 3 x 1x31 32x 2x3 42 3 xyxb3yy ,, x4xx2 xnxya3yy2 2 3 x1 1 x2 2 2 x5 a1 252 x2 15 2 x 1 x 22 2 1 1 x x x a1 m x x x 2 x22 xx 21 xx 3y ,,, xx 2 xx 3y 4 yb bx x, 12 2 x 1 2 x 1 x 2 1 2 1 2 1 x 5 1 a 1 b 5 a x axx1 a 2b 2 3 21 5. 2x 1 7x 1 3 15.10 x5 bb3y ,,3xaxx22 x1 1x 3b 2 , 1a 2ab2 b 11 x 1 2 aaxx 2 5 a3x x 3 54x 2 4 a 3 1 ax 2 xa33ya2bxb1 bx 221 2a3 2y3 3 x 2 , , b 2 a 2 1 a b 12 b 2 1 b 2 , x bb3 , ax 2 x1a3a2b b1 b 5a a4x xy2 9 4x 10 1 1 x2 x 22 a 2aab2 6. 12x2 2 7x 1 1 16. 2 23 x aax1 3 3 ,x 2 33 21 b 550 aa23x3x88y23y32 10 x x 1 2 3 a 2 ba 1 a b 1 b z 5. aax 1 2 1 b3 ,,, ax 221aa3a2 2,bbb1 b 2 , 2 1 10 ax3810 y2y399 10 1 2 3 b 2 50 z 1 2 3 , 2 2 a 2 b 2 a1 b 3y ,, axx22 a1a2 b,b b1 7. 3x 1 4x 2 4 17. a4x 22yb 10 x1 3yaa2 , 2b 2 , , 32 1 2 x 2abb2 a 11 a,b 1 50 x810yy9y1 z 211x 2 3 75 2 a 2 b 22 2 b a 1 1 102 z , 1 3 2 , 1 a 2 b x y x y 1 2 2 2 x 2 2 2 y a 2 b b b a 1 a 1 2 2 50 z 2z 753xx10 x2 yba,b11 1 2 xb b2 2y910 8y 1b2bbyx,,a ax1 21aa1 31y 2 x 1 y x y 2 x y 2 a aa2 2 1 2 b 8. 3x2 2 x12 2 2 18. 5x 2 8x 1 3 xy xy x 50 y z 75 x y z 2 3 3 2 a 2 , 22 10 110 ya,b 1 1 x 2b2 axx 2 , x 2 xy 21 x xy 2 75 1112byyx,, , axx22xy 22211 3332 yy 2 , xy 2 1 , 2 , 2 3 2 a 332x21012y 10z ya,1,bx 1 1 2 x 23bx2 6. axy 1y2 b a 1 , 21yx 1 y 1 2 , 75 x2 1yy22 x 2 yx , xxy 1 1 y1 2 y , x2 2 3 y2 , 7 x 2 , 11y1z17x 1 12 aa32 6x 9. 4x2 1x16x 19. 2 x y x y 1 2 2 2 x , , xy x xy x 2 1 , , 1 2 3 1 y 1 1 y, x2 2 y ,2 x 2 2 3 y2 x y x y 1 2 2x 2 2 2y 2 x 1 1 1 y y 1 2 1 a 2 2 1 a xxy1 xxy yb,x x2 1 2 2 1 x y 2y12 1 x a1 y2byx, x, 2 y1 11 2y2 3y 2 12 24ym, x 2 2 3y ay 2 x yxy11 a232a 12x 2 2 xy 1yy42 ,, xx 2 11b2 2 x 2 1 , xaxy 20. 10. 6x2 23xxxx1 1 1 y 2 xy x x 2 1 2 x 2 y2 x y y 1 2 x y 2 , , , , , 1 2 y , a a 1 2 1 a a232 axy bx a 2 2 a 1 b b a 2ab2 b 22 11 11b 3 3xx11y4 x 24ym 2 x 2 2 y 2 y2 y1 2xbay1xx, ,, xy 1 xybaxy xxy ybxb)11x22 ,x 2 a2 11 2 , a2 y 1b 2 y 2,1 , 2 2 (xaaxy y22 1 2 aaa3 1 227n 134 2m4m 3xx1 11bb3 2 1 y y 2 , , a a b 2 1 , 7. xy x 2ba1x, (aaxy 1 a(a 1 a b22 b 2 (ab1 y1 y2 2 134 2m4m Parte III 3xx1 a3a3 1 1bb 227n abb 2 b a2b2a2 2 11 y2 y1 1 2 ) 2b ) a 2 2 1 1x , yxy 1bb)11x2 , aa 212 ybaxy 21 b 3 2 2 1 1 5 m b a 1343 2 2 m 3xx1 2 7n a a x x4m bay2 22bbb)12 ,, a 2 2 11bba1, , ,(aaay1 3 2 1 32 mn 1 n2 3m , nfracciones. 33 2 aaa bb, 2 2 1 1 b 23mn 1 1las x 1 x 2 2 xam 2xx1 172 1ba , 3 a(aa21 5bm 32 n2 x 2 22m bb)1x2 ,, ba 2a22 A) Simplifica siguientes 2 1 1 b1)2 a,52m25m 3 32 1 2 a baa1 b1 2 1 y y 2 , x y 2 ab22 (a 1 b, 2 , n x 1 x 22 2 1 1 , , 1 b x x 2172 x am 133 252 m 2xx1 1 mn 1 n 2 3 3 b a 2 2 2 m 2 n a b a 1 2 ( ) , , , 5 m 311b 3 a2 3 2 , , 2 2 2 b a a y 2 2 2 2 x y 2 3 3 b a 2 a b a b 1 2 2 2 2 ( ) yb52 2x 1 x 2a2 xm 3 252 x 1 2 x 1 x 2 2 1 1 m22 mn 2 n1 1b2y,(n3a,(a1 m 2 y2x x 3 x2 1 y )bb)x2 ,,a a2 2 n2 2 2 8. b ba2 31 a ay1 ab b 2 x 2 2 5 m 25xa1 1 2 x 1 x2 2 1 1 2 1 x 2 x 3 2 x 5 m 1 mn 1 n 2 m 2 n , , x a 2 b x 1 5 2 m x y 2 2 2 b 3221a2, n3 ,(a y152 b)x2 ,, a32 2 b 23 , 2 2 , 1 2 x 1 x 26. 1 1 xa 2 5 m b2 2 n 2 1. 25xa1 y 3 ,(1 x 1axy 52m m 2n 2n bxxx 33122 a51 b), ,, ax 2 by ym 1 y2 1 12xab 2 mb22 5aa2233xy2233 5 10 2 x an 2 3n , y52 y 2 22 2m x , 1 32 x xy xy y12 y 2 11 1y 32yxy 5aa23x8y239 2 2ab2 2b2a 10 yy52 2 y n33 ,1 y y2 x xx , 3x 2n x 2 1 x 3xx2 22 2m 1 2 3 2 b 2 2 a a b 5 a x 10 a y x y 2 n 1 2xy 50 x38 y39 z 2 yy,2 y n3 ,1 2 x, , 2 2 9. xx 32 32 3x 3x 10 2bx 2 2 2ya2 2 1222n2xy 50aax3108yyy3910z 2 n1 2 xx 2 x y21 , 2 3x 532xx1 141 3xxx22 32 2xy x 22yyy,2 , y 23 2 22yxa2 2. 10 7. 2yxb22 2 2 xy 1 1 50x108 yy910z 2z 75 , , , 2 2 2xy n1 2 1 33 x 2 21 2 x 2 x 2 5 x 2 14 xx1 23 2y 2 x 2 5 x 2 14 21 x 2 x x 2 y y 2 x 50 y z , , 3 2 x 3 75 x y z xy y 1 1 21 5 14 3 x 2 2 2 x x x 2 2 x xy y 1 n x 2 ,2 x 2 2 53x 2214 , 3 10 3x x2322xy yxx2 2 75 x 8 1yy910z 2z 3xx2 331 2 yxy222 a50 2 1 2y 2 , 33xx32 14 , 2 , 3 x23 22 21 3 x10 y10 z yx222232 xy 223 23 2 2 x 2 75 x , 21 5 3 x 2 x 2 3 x 1 a 2 10 10 x 3 2 2 x xy y 1 1 , ,,x 3 x 2 5 x 2 14 21 xx 2 214 10. 3x3 32x232343 75 x 1y z xyy23 2 2 , x 2 23 21 5 x 2 xyx23 a 2233 2 , , 3 x 3 2 2 3 21 14 3 x 2 343 2 343 2x2 2 yx 234 3. a23 2 1 8. xy2342 314 x, 2 343 221 2 2 xx 2 5 x5532 3x333x3xxx3 2 x 2xx 2 , x 2xx2 421 1 2 x14 xyx34 2 2 1b aa2 1 x23332343 xx3 332 2 yxy34 21 5 3 2 2 x x x , , 3x 1 4 x 3 421x 2 x 2 2 53x 2 14 1 yx 4362 2 1b 3 aa32 1 2 2 xy 346 x233343 143x 1 4 33xxxxx33x1 x 2 343 2 1b 3 aa3 1 xyx46 2 343 2 2 xyy46 3 4 1 x xforma C) Reduce mixta las siguientesxfracciones. 2 3343 xx 2 2 yy 464 1 x334a1 24 aa 1 b 3 2 1x31 3 343 x 33xxx2 x 33343 3x 1 4 m yy64 4. ama33221 9. xx64464 2 1 3 4 x 1 x 2 1b23mn 1 n22 2 2 343 2 x 44 1 34 m am321 xx 6462 1 2 yy 646 1 xm 3x332xxx1 43343 1bb223mn 1 4 m42 m 2 2 n2 3 1 x 27n 2 x 2 y am 21 3 1 x 2. 1. 32xxm41 1 mnn1 n2 m 222 y 2 x46 m 1 2 m 2 7n 2 23324 7n m2 1 mnn1 n2 xy44662 2 yx 46 2 2 m 2 7n xx241 3m x3x1 m 222 2 24xy 1 y 2 1 4 m 3 2 x y y x m 1 mn 1 n 2 m 2 n 2 2 7 2 4 m n m 2 2 a 2 b 4 x 2 32 xy 1 y 2 x241 6 2 3 m 2 x 1 3 xy 1 2 y 1 mb22 2 n22 5. a 2 10. y 6622xx2 2x4xm 71n y 2 2 41 m m 6 4 3 1 1 xy y x 3 2 7 2 m n 2 x 2 yx 2 mb2a2 n 2377xy m x x2 2ba 2 7 x41 12 2 y2 m 241 222xxm 2 nnn y1 x1 y x2 73x41 12 x 22 2 2ba 2 b2a 1 1 xy yy 22 2 m 2 2m 7x332n71 22 4 m 3 x 2 1 3xy 1 y2x2 1 y 2 2 x xy x2 2xx732 x241y12 2xba 2 b2y a 22 1 22 1 x y 3 1 xy y x 2 7 2 m n 3 2 1 331 1 xy x 32xy32 xy y22 y 2 111 2xb2 2 2y a2 2 x 2 22 x73x21y12 1y 2yy 222 xy 3xxxy x 22xx1 xy2 2 71 2 m n1yyy2 3 2 1 x 2 1 2 2 7 12 x2 x22x2 x 1 2yxb2 2 2yx a2 x y 2 2 2 3 1 1 xy y x 3 3 xy3 1 y2 2 2 1 x y 2 x y 2 2 x1 yx2 2 yx 2 2 x 24x23 2 3xyy 31 y xy y2 x331 y y2 1 1 xy 3 y2 x 2 2 3xy 2 yx222 y 6xxx 22x 222 18 x232 24xx24 2 xyyx31 xyx222 2 yx 222 x332 22 212yyy5222 xyyx2 28 1248 x22 1 2 2 x xy 2 26 x 2 18 x 1 5 yx 223 2 2 yx 223 18 x 232 x 15 24xx 24 2 328 xyx1 xxy 2 1y 48 x xy x 6x2 1 4 3 xy 31 3 y2 2 2 x 26yx 2 18 x 1 5 22yyyx42y1y52 x32 2 2 3x 24 x24 x2 2 x xy23 2 yx 23 28 1 48 x x 2 8 1 6 x x 6 18 2 x 3 2 2 x xy y 33 4 22 2 3xx2 3x 2 4 2y4


x 2 1 xy 1 y 2 3x x 1 2xy 1 y , , 3x 2 3x 33 22 21x 22 , x 22 2 53x 2 14 , 3x 3 23 21x 2 , x 2 2 5 x 2 14 , 3x x23 21x x 2 5 x 2 14 3 x3 x 3 2x 343 x 2 343 BLOQUE 3xx3 2 4 1 343 3x 1Realizas 4 transformaciones 3xx1 134 x 1 32 x 41m32 4m2 2m4m 2 7n 2m 2 7n 2 2xm 237xy n 1 y2 2 1 3. x 2 1 3xy 1 y 22 xyy1 y x 1x31 x1 y 2 2 x 2 2x31 xyy2 y x 2 3xy 2 y 22 4. x 2 2x32 xyy2 y x2 y 2 x2 6 x2 2 18yx 1 5 6 x 2 2 18 x 1 5 3x 2 x4 1 5 5. 6 x 32x18 24 3x 2 4

5

x3 6. x 33 x1 x3 y x 21 x3 y x 21 y4 yx 1 y 2 x1 x 211y4 yx 1 y 22 yxy1 y 7. x 211yx41 yxy1 y 22 2 x 22 1x41 1 y11 2x413 m yxmn y 4n x 1 1mn y 1 4n22 mx22 33332x13 x 2 m mxx2 332x13 1mn y n1 4n x 12 y m 22n1 4n2 8. m 3y13mn 1 x 2 m62x 2n2 15 1 2 1234xn22 8 m xx 221x1 3y13mn 4 1 yx y 23x 2 8 2 m n 15 6 1 2 x 2x 2 y 13 1 1 yx x2 1 44 yx 1 yx 362 5y 22223x 2 8 2 xx1 15 2 x 22 x1 3 x4m 2n y 1 y 3 5 2 x 15 x 32xx11 6 x 2 2 3x 2 8 1 365xyyyx2 553x 22 8 1 22x 2x11 22 9. 15 13 3 554n22 xx2 1m2222x2 5mn 1 21 2 13 2 1 m mn 41 x 31 1m 222x2 5mn 21 55444nnn222 xx12 2 13 13 2 1 m mn xm 1 2 x 41 52 5 2x112nnn2 m1 2 m x5 2 x3m 1 12 2x x13241 52 x 2n2 3 2 x 2 66 xx122 2 x 341 x1 10. 15 15 1 2 333xxx 2 2 888 2 x2 2 x xxx1333341 22 15 1 2 2 x3 1 15 6655xxx1222 3x 2 8 2 2x 1 33 5 x 2 xx122 73x3 4x 555 3 2 2 x 1 5 2 3 2 x 521 x2x x1 24 55 7 x355x1 12222 1 51 x2 x1 xxx 2 7 x3sola 4fracción 5551 5 2 22 1 D) Reduce a una y simplifica. 1 2 x x 1 2 351 xx1 2 51 x2 x14 1 7xxx1 4 55 5xx2144 7x x1 31 x11 4 x1 31x12 x 5 x 14xx32 x2 3 2x 2 3 1. 2xx x2 1 3 2 x32 x215x22 xx 2 22x xx2 1 1 2 x21x 2 x1155 4 y 2 x2 1 2x7y2 4y xx1151 2 x y 1 7 1x44442y222 y x72 x 11 1 2. 555xxx11 4 x 127yx1 33x2 42y222 y 5xx112 y 1 3ax x2 42yb22 y 3 ax 1 b2 y2 x1ax22x2 2b2 y x x2 b2 2 aa2x1 22b2b22 y x 2 x 3. aaxx 1 2 2 1 22bb 3 2 bx 2 2 111aaa21 2 a 1 bxx 2 22bb22x 3 1a2 1 2 1a 2 1 2 x x 1 b 2 a2 144 2yyb222x 3 yy 1 1 1xx2 24 2y1b221 x21 xa2 1 x3 x 1 1 1 x2221 1 4. 1xx2 x 2 x242y121 xyy33 x yy 1 1 2 2 x 1 2 x 1 x 222xx22 x2 yy3 x 21221 1 x 1 xa222 2 1 21b1 x222 3 x 12 2 2 a b 2x 1 xb 1 2 xa222 1 1a1 2 2 x 1bb1 2 2 a 1 2 a b 21b2 5. 1a 1 x 33 x 1 xb 1 2 xaa2 1 1 2 b 11 12 21b2 xa 1 4 x1 xx3 x1 1 2 2 2 x 33 1 2 x3 x 12 1x1 x 22 x12 2 4 x1 2x x13 1 2xxx3333 x1 1 2 x 1 11x2 xx 22 x2 21 4 x1 2 12 2 2 2 2 13 1 2 2xx x1 2 1 1x x1 1 2 x 1 21 2 1 2 xx 22 x2 4 x 22 1 1 x 6. 111xx42 x x3 xx1 1 2 x 1 1xx22 2 1 222xx3 1 2 1 1 4 1 1 x4 222xx 1 12xx2 2 2x2x333 2 1 1x 2 x 1 1 x x x 2 2 2 2 1 3 141 x 22x1 x1 2xx21 x 11 2 xx23 2 11 1 1 xxx 222x1 2 xx x 4 12 x1 22x21 1 7. 1441 2 2 1 2 x x 2 2 x 2 1 x 1 2 222xx1 1 x2 1 2 x 12 13 x x 2 21 1 2x x 44 222 222 4 2 1xx2 22121x111221x 2 4 2 31 x 1x2 2 x14 x 222 x 4 3 2 1 x 444 2 1 2 1 2 x1 x 1 22 xxx 33311 1xxxx2 22212 21xxx111 122111x 2 2 8. 11xx2 1 111 2 1 2 2 x 1 x 221 1 1122x x14 xxx 221 1 2 1 1 2 x 1 x2 1442 22222xxxx1 1xxxx 22222121121 x 2 4 2 1 x1 4 2221 2 22 2 22xx 1 x 2 xx x 2 2 2 xx 9. 22 1 x 1 21x x 444 12 2 1 2 2 x 1 x 222 1 111 2 2 xxx 444 2 2 1 1 2 222 xxx 1 1 xxx 222 1 1 111 1 10. 111 2 1 222 xx 1 1 xx 22222 1 11 1 1 1 22 xx 1 1 xx 112

a 2b a 1 b 2 a 1 2b 3 a 1 2bx 1 2 x 1 x 22 2 x 33 1 2 x 1 x2 2 1 1 x x 1 2 x 1 x 2 1 13 x 11 x x 1 1 x 1 x 22 1 x 33 1 1 x 1 x2 1 1 2 x x 11 x 1 x 1 12 x 2 12 x x 44 2 x 33 1 x 22 2 x 1 1 2 2 x4 2 x3 1 x2 2 x 11 2 x 1 21 x 2 x 1 x2 2 x 1 1 2 x 1 1 x 11 4 2 2 x 1 x2 Si la gente no piensa x 2 2 2 2 xson simples, es sólo porque no se dan 4 2que 2 x las 1 matemáticas x 2 2 2 x 2 1 4 2 2x 1 x 21x x de lo complicado que es la vida. 2 2 2cuenta 21x 2 1 2 x 44 John Von Neumann 1 2 2 x 1 x2 1 1 2 x4 2 1 2 2 x 1 x 2 1 1 1122x x1 x 2 1 2 2 x 1 x 1 1 1 2 x 1 x2 11 2x 1 x

algebraicas II

Introducción

Se trata lo relacionado con la factorización de trinomios de las formas x 2 + mx + n y ax 2 + bx + c Para terminar el bloque, se desarrolla el tema de simplificación de fracciones algebraicas en la que tienen aplicación los conceptos antes estudiados.

5.1 Representación de relaciones entre magnitudes Trinomios que no son cuadrados perfectos, como productos de factores lineales Sabemos que dos binomios que tienen un término común como (x 1 a) y (x 1 b) dan el producto: (x 1 a) (x 1 b) 5 x2 1 (a 1 b)x 1 ab Si se sustituye (a 1 b) por m y ab por n, se puede escribir: x2 1 mx 1 n 5 (x 1 a)(x 1 b) Esto significa que el trinomio x2 1 mx 1 n se puede factorizar como el producto de dos factores binomios tales que su primer término es x, sus segundos términos son dos números cuya suma algebraica es m y cuyo producto es n. Actividad de aprendizaje 2 En un trinomio de la forma x + mx + n , ¿qué representan m y n? 2 Factoriza x + 13x + 36 .

Describe el proceso que realizaste para llegar al resultado correcto.

Ejemplos 1. Factoriza la expresión x 2 1 8x 1 15. El producto 1 15 indica que los factores tienen el mismo signo y como la suma es 1 8, entonces los dos son positivos.


Los factores de 15 son 15 por 1 y 3 por 5. Estos dos últimos son los buscados, porque su suma es 3 1 5 5 8.

Si se toma 2x 1 3 como factor común, se obtiene:

Por tanto:

4x 2 1 8x 1 3 5 (2x 1 1)(2x 1 3)

2

x 1 8x 1 15 5 (x 1 3)(x 1 5)

Comprobación:

2. Factoriza la expresión x 2 2 8x 1 15. Como el producto es positivo, los factores tienen el mismo signo. Para que la suma sea negativa, los dos deben ser negativos.

(2x 1 1)(2x 1 3) 5 4x 2 1 6x 1 2x 1 3 5 4x 2 1 8x 1 3 2. Factoriza la expresión 6x 2 1 5x 2 4. En este caso se deben buscar dos números cuyo producto sea 224 y cuya suma sea 15.

Factores de 15 son (15)(1), (215)(21), (3)(5) y (23)(25). Factores de 115 que sumados dan 28 son 23 y 25. Por tanto:

El que su producto sea negativo significa que sus factores tienen signo diferente, y para que la suma sea positiva se requiere que el factor con mayor valor absoluto sea positivo.

x 2 2 8x 1 15 5 (x 2 3)(x 2 5) 3. Factoriza la expresión x 2 1 3x 2 10. El producto es negativo, por tanto, los factores tienen diferente signo. Los factores de 210 que sumados dan 13 son 15 y 22. Por consiguiente:

Los factores de 224 son 24 3 (21), 12 3 (22), 8 3 (23) y 6 3 (24). Los únicos factores cuya suma es 15 son 8 y 23. Con estos números, el polinomio se escribe así:

x 2 1 3x 2 10 5 (x 1 5)(x 2 2) 4. Factoriza la expresión x 2 2 3x 2 10. El producto es negativo, por tanto, los factores tienen diferente signo. Los factores de 210 que sumados dan 23 son 25 y 12. En consecuencia: x 2 2 3x 2 10 5 (x 2 5)(x 1 2)

Factorización de un trinomio de la forma ax 2 1 bx 1 c La forma más general del trinomio de segundo grado es ax2 1 bx 1 c. Para factorizar esta expresión se puede recurrir a un procedimiento que consiste en ensayar con diferentes pares de binomios, lo cual a veces resulta laborioso. Un procedimiento abreviado que es comprobable a través de la multiplicación de los factores binomios obtenidos, se expone a continuación. Ejemplos 1. Factoriza la expresión 4x 2 1 8x 1 3. En este caso, el procedimiento consiste en buscar dos números cuyo producto sea 12 y cuya suma sea 8. Como el producto y la suma son positivos, los dos números buscados también son positivos. Los factores de 12 son 12 × 1, 6 × 2 y 3 × 4. Los únicos factores cuya suma es 8 son 6 y 2. Con estos números, el polinomio se escribe así: 4x 2 1 8x 1 3 5 4x 2 1 6x 1 2x 1 3

5 (4x 2 1 6x ) 1 (2x 1 3)

5 2x (2x 1 3) 1 (2x 1 3)

6x 2 1 5x 2 4 5 6x 2 1 8x 2 3x 2 4

5 (6x 2 1 8x) 2 (3x 1 4)

5 2x (3x 1 4) 2 (3x 1 4) Si se toma a 3x 1 4 como factor común, resulta:

6x 2 1 5x 2 4 5 (2x 2 1)(3x 1 4) Comprobación: (2x 2 1)(3x 1 4) 5 6x 2 1 8x 2 3x 2 4 5 6x 2 1 5x 2 4

5.2 Modelos aritméticos o algebraicos Expresiones racionales con factores comunes y no comunes, susceptibles de ser simplificadas Recibe el nombre de fracción algebraica toda expresión de la fora 1 m n x ma (a entre b) en la que a, b o ambas son expresiones literales. b x x 5x nx5 yn y 5 n y Por 1ejemplo: 3 x b, m 1 b 2 n,ax 1 son fracciones algebraicas. a ma 3m 23 a 2m 3 x x 2 y amb am (a 1mba)4am ma algebraicas a 4 m comprende principalLa simplificación dea 4 fracciones 3 1 las5siguientes m bm 2n bm x bm mente b2transformaciones: mx b 4 m 4 mb34 3 2 3 2 xa) y x 3 x x x 3bna 1an Simplificación a 4 na 4 n fracciones. aa1 b aa1 4 1bba 1b 1 a 11b 1 ande an 2 3 2 2 4 n 2 8 2 52 2 y2 4m 4b) Reducción 5 x fracciones un ba)(2 ab)b)(a aa 2b) a b 4 nbde4 bn n abnb2 bn a2 b)(a a1 4ana2 (aacomún 1ab(a)(a 2 1adenominador. xc) Reducción x 2m 2 3de x x m 3 x 4 x 3 forma 3 mixta viceversa. 2 3 42 b23 a y3 2 b3 8a b 38ca4fracciones b c2c 8a2a2cba232 c 4ba 2 22 c 4 x x 2 x 4 x 44 y32 2 4b 23 22x 3 412 3 2 4 Simplificación12dea fracciones 12 b ca b 3ca123aaa4b22 c ab 2 3ab24 a 4 2b 4 5 3x x x a 1 x 2 1 2x 2 1(2a1 aab ab b 2))1 (nab2 1 )es abc,1esbdecir: ) (a 2b(a) (2a 2ba1 ) (cuyo 2mcociente Sea la fracción algebraica 2 x 2x x2 2 b x (a 2b(a)(2a 1 b)(ba)( (1 aaa2 b1 )( b1)( ba am)1 1bbn)( ) ax 1b 2 ) 1 2 3 25 x b 2 b a 2 c a 2 1 aab2 1 ab b 1 a2b 1 abx1bx x 2 2 b x x x y b (a 1b ) a a ) a 2x1b 2 ) b (a 1b(a)(1a 2b1 )(ba(2a1)1 1bb23)( 1 5m 2 2n 2 3x x23 2 3 3 2 2 x3 x 2 y b ( a21 b )2 3x 13x5 x115xx43 3xx1 1y1 42x51 (xxx22131(4x)( xx31 1 3x1x2)(213(x2xxx1 11a2)( 2x)31xx2113 21 ) 12xx1 112) x 11 31 3 3 32 2 3 2 2 2 2 1 5 m 2 n 2 3 x x 31 21 1(5)( 3xx1)( 3(4x2xn2 28x)31xx252 112)( 1 ) 12xx2 112) x 21 3x 23x 42 x2y 232x422 ( x2x22 x22 m 3 2 3 2 3 x y x 3 x x x 2xaa a2 a 2 aa 2 x a 222am 23a2x x 3m 32x 4 x

5 BLOQUE


donde el dividendo es igual al producto del cociente por el divisor, o sea: 1835) y fue nombrado Astrónomo real (1835-1881), además, fungió a 5 cb como director del observatorio de dicha institución. También colaboró en el observatorio de Greenwich, al cual reorganizó y actualizó en aparatos. multiplicando la igualdad por m resulta: George Airy trató de calcular el peso de la Tierra y analizó la posiam 5 cbm ble desviación de la brújula por los efectos del casco de hierro de las n ydivisor y c como coy 5 n dividendo, si se considera bm5 como embarcaciones, además calculó diversas elipses y propuso una teoría y 5 nam como a m 3 ciente, se obtiene: a m 3 completa sobre la formación del arco iris. a m 3 am a 4 a m1 m n x am a 4 m Airy se adentró en temas especializados como la física matemática m 5 c o sea 5 5amn ay4 b mx x x x bm b 4 m 5 nbm y b 4 y la matemática aplicada a los cálculos astronómicos, aportando a la abm m b34 m se puede obtener: a m 3n an De manera semejante 1 3 x b b a posteridad el “disco de Airy”. a a b a b 4 1 1 1 a 4 n an a 1b a 1b 1 a 4 na 4an b m x x122 y 2 b (a 1b)2 a 2 m a 1b 2 am 2a 1 a4 am principalmente, por no reconocer la importancia de los cálculos a b)a a (a 1b)(aa 2b)Es conocido, b 45 n c bno sea a 2a :b 4(an 1bn b5 )(aaa22 a2 b) a b 4 nb 4bn 1b)(a bm m a 2 2 a 2 (abm b4 m de John Couch Adams para el descubrimiento del planeta Neptuno. 3 41 2 3 2 3 4 2 a23nfracción 2b 32 3x x a 2bb3el3 cvalor 25de cm 2 8 a b c 2 c 3expresar 3 a 8 2 3 4 2 Lo anterior también se puede así: una a4 b a 2ba 4a 1 n ban 2 3a11b2 42 a413 b 2 13Por otra parte, bautizaron en su honor los cráteres Airy, los cuales se 8an b an c 24ac1 3 2 5 52n n y 4 y 44 3 x 12ab denominador b c 2 3ay2 axse2multib3x x x encuentran en la Luna y en Marte. Además, las funciones de Airy tono se altera si tanto 2b 2 c 2 43a como 4 3 12 2 elanumerador 4 a 2el 2a 21 b )(a a 2 b ) a b12 b n bn a a 4 an bbn (aam )(a 2 ( c a3a2 a aa 2 bb14 m3 32 el4 mismo 4divisor m 2 5(noa 2 x 3 b)4 na2man8su nombre 5 2y plican por el mismo(factor 2 dividen entre gracias a los trabajos realizados en la ecuación tam( a 1 ab 1 b ) ( a 2 b ) 1 ab 1 b ) a222 b)o(a3seam 3 3 3 2 3 4 2 3 4 2 2 a4 a m m 4 am a 2 b a 2 b 4 x como él. nulo). 5 5 n n8ya(ayb2cb) (a2c1 ab 1b ) 8a2 b c2 2xc x 22 m 23x x m bién3xnombrada (4 ab322)b)(a 1 b)(a 1b ) )(a 1bbm )(ab 4 1 4 3 2( a 2 b 4 3ab2)( a24 bm 2b2412 bm cm 32ax2 a44 2xb 4 4 y 2 b 2 x 3 Se 12convirtió x 2 xen 1 ) ab 4 el tipo de científico excesivamente práctico, obsesiona3(aa32bbc)(a 1 am m12 Pora ejemplo: 2 2 2 2 a 1 ab 1 b a 1 ab 1 b 2 2 2 2 do por los cálculos matemáticos complejos y da poca importancia a las 2 2 a a n n a a b b a a b b 4 4 1 1 1 1 a m 4 1 1 an an amam (aa4 x b) (a 1 x 2 1 5 ab31 x b x) x a 1baab511bm) n(5 b) (aba 1 a2 a2m1 2 2 ; 2 2 ideas científicas en general. 2 2 2 2 1 b ) ( a 1 b )( a bnx)nbnxbna a22 (a 1bb)(2 x2a b1x4 a2 a2 b)b)a a ab1 b2 ))(a b)(a bmbmb(4 m1bm)( 4 ab(a2 b)(ba) 1bb2 4 )(a 2b)(a 1ba)(aa 2(a1(1 b)(aa12 1 2 2 23 3 1 5 x32 1 ax342 32b 4322 25 1 x4 3(11 x2 )( 1 ( x21 31 x2b3 b1 xba1 xb21 3a2 ) 1x)(131x 1 2 x 1 2) x 11 23 a 1 a4 n nan a4 bca 31c1 12c1 a22131 bx1 b)22xx1 ax4a82(1 1 b 25 1 b 1 1 3axan 1ab 5ax1 1 43x 12 2a82 1 x1 )(2ab 3cx5 x 1 2 2 2 3 2 2 2 2 x2 x ba34cb2 23( a 2b 4x 2 2 4 42 x 1 3axax32 x42a3a22 2 ( x22 12a)( ) 1x)(231x 1 2 x 1 2) x 21 3 2 2ax12 2 ()31 2 )2 a4(2xba2 b4 n n(bn a1 b)(a 2 b2)( b4 bn3bax)( bya()(a 1 3a 12 ab2 b1 a1 a222 a2 1b1)bc)( Expresiones racionales en forma 3ax a2a1 1 2 x)b312 2b) x 21 x 2ab2()a2(1 3 2 a22 222 axde2 a2 2 32 13 2 m(aa(2 2an2 3 x a3 b5reciben Las8fracciones el nombre equivalentes por3 2 2 a2 b a42 a82 ba 32cb343xca3412así c52 ca22a1 22xobtenidas simplificada a partir de los factores ()a3(5ax1 1 ab b1 b) ) 111)(3x 1 2 x 1 b)b1 ax31 2 ( x31 12ab 21 4xx1 1 2) x 11 2x 1)( 3x 1 3 22) (xx1 2 b b 2 b 4 34 23 2 2 2 4 4y 2 b4 x4 b valor. x 3 x x x 2 b que12representan el mismo 2 2 2 2 a ab cb2cb33xa332 b b (a((2 comunes y la división de polinomios a2 12 ax 2 b2)(1b3)( )( ax1 b2)( b32)( a2 ax121 1 b2 2b)) )(xx2 ba xa22 b22 2 33a2 x1 2x2 2 11)( 3xx2 1 2 x 1 2) x 21 2 x1 2 x 2 y y x x2 2 2 y y x 2 y y 2 x x2 2 2 y y 4 4 m 5 x 4 n 8 5 2 2x y2 a1 2a1 1 abyab 1 bx2 b)2 x2 (a(2 b)abx()a2(2 a2 ) 2 ay 2 a1 a2 Una fracción se reduce a su más simple expresión cuando el nume1 abmab 1 bn2 b22ma2 n n 2 m n 2 m any2 2 a1 2 m2 2 n m 2 n m nx2 m m 3x 4 x Actividad de aprendizaje x x 2 m 3 x 22 2 n 2 n2 2 m n 2 m 2 2 2 2 rador y el denominador son primos entre sí, esto se logra al dividirm 2 n m (a(2 b)( ab1 bb)(b)( a2 b b) )(a(1 a2 b)( a1 a1 b 22 b) ) 3 a2 1 b)( a ab11 2 b1 bb)( 4 2bb)( )(cbc2 c 2 d ) los entre sus factores comunes o bien entre sus máximos comunes x2dd))12 (xa22bx)( 2bx)(c 2 4 d )x 4((yaa22 2 ( a 2 2 x( 2d 2 y1 xy35 y4)2 xx 1 2(yxa332 25 yx 1 y )( 2 b2 c 2x d )x2 ab2aab 1 bb2)( a11 by22 x1 1 1(m.c.d.). 1 5)((x(5xxnyc2mx2 1 41 212x2 2pqué 32xm3x12)( x1 22 x21 2)divisores 2)x 1 En laasimplificación de2fracciones algebraicas, ¿en consiste laq1 21 (1n)( px)1 nax)( )( p2 q())xx(1 212 5n)(5p332 x qxx1 2 m q ( m ) 22 2 2 2 nm 2p 2 32 3n 2m 22 2 2 m 2 n n m n 2 2 2 2 n m n m n m n m ( n 2 m )( q 2 p ) ( m )( q ) transformación de reducción a un común denominador? _______ 1 b ) (a(1 b )( a a 1b)(a 1b ) 1)(1)( 3x3x11 2 x21 x1 2)2)x 2 x2 11 3x3x22 x2x2a2 2 c2 d()x(2 x2 )( (b 2 a)(c 2 d ) ((bb2 a)( d 2 c ) (b 2 a)(d 2 c ) Si la reducción se5hace y factorización, los factores comunes se van n por a d)+)b (a(b22b(5 3 3 (a 2b 2)( 5 2b )( 22 2 2 2 2 )( c )( d ) ) ( a b )( c d ) c d a b d 2 2 ( 2 a )( c 2 a d c ) 2 a a 2 a 2 a 2 a 2 a x 1 1 3x3x11 5lax5fracción 4 x4(1 22 ( x 1 1 )( 3 x 1 2 x 1 2 ) x 1 1 x11 xm1 2 ( x 1 1 )( 3 x 1 2 x 1 2 ) Simplifica , menciona qué errores tuviste antes de el numerador y el denominador de la fracción 535q 2 p) ((nm22mn)( )(qq2 25pp)) (n 2 m)(q 2 p) cancelando hastaa que m 3 a 3q+)pn))( b (n(n22m 2 n)( 2 )( 2 qb2q2 p2b2 )ppx)b2 (n2 2 m)(q 2 p) m n1 )( q2))x 2 2 (3m2 n2 )( 2 obtener3xel33(xresultado. b2 2 son primos entre sí. A este proceso se le llama simplificación. 1)( 3b(m xm 2 x 1 2 ) 1 2 x2 2pq22 ( x(2 2 1)( 3b2)( x1 1 x 1 x2 2 x2 2ab)( )(cc2 2dd)) (b 2 a)(c 2 d ) am a 4 m (a 2b)(c 2 d ) ((ba2 x22 y2 y)(c2 xd)c)2 x x2 2 y y(5 2 ay(5 )( dyc2 a2 d2 )x2 by 2y 2 ax)(xd 2 c ) 2a2 2 b)( c 2dd) ) (xb(b2 ab)( a a 2(2 ab(a2 a)( a2 a(c m )(qp2 25pq)) (n 2 m)(q 2 p) bm b 4 m 2 n5 )(5p 2 q) ((nm22mn)( 2 m nm m m n)pq)2 nn 2 m m(n 2n 2 mq 2 p) )(n)( )( m 2 n2 )(p2 pn)2 qq2 m)( (bm2 2nb2 n)( p 2p)q) (n(mn2 2m(2 2 Ejemplos 2b 2b b(m 2 bq 2 a 4 n an a 1b a 1b )(cd2 2ab)( 2dc)) (b 2 a)(c 2 d ) 1 (a 2b)(d 2 c ) ((ba2 x2 y y(a(ya22 x)( y)c )y y(2 x(2 aax(2 b)( bc )( c2 cd2 d)c)2 d )d )(a(2 a(2 b5 b)( ca2 c2 dc)2 d )d ) x2 y b2 xcx2 x2 2 2 )( 2 )( d2 b(yab2 b2 b)( b)( d2 aa)( 2 5 2 2 5 5 b 4 n bn a 2 a (a 1b)(aa 2b) a )(pp2 m2 2nn)( 25qq)) (m 2 n)( p 2 q) (m 2 n5 )(5p 2 q) ((m m2 n (nm 2 n)( m n(2 mn 2 )( m)( qm2 q2 pq)2 p)p) (nm (2 mm(2 n)()( nq)( pn2 pp2 q)p)2 q)q()n(2 m2 m2n2 npnp2 n22 )( 2 )( qm)qm m 2 2 (mm2 ) n(2 n)( 3 3 Para tu reflexión p q 2r p q 2r 8a 2 b 3 c 4 2c 2 a 2b ,)( 2cbq2 (a(2 b)( c2 d)( )dd2 b)( cb2 2 (2 a)( ac))( c2 cd2 d)d),2 d )c )(b(2 b(2 ab)( a)( da2 d2 cc)2 c )d ) a2 )2 cba2 d2 r, (ca)(2 ,a 2 (bap)( (bb()( (d2 )( a))( b2 2 1. Simplifica , ,m m m 5m55 55m 5m 12a 4 b 3 c 2 3a 2 a 4 2b 4 m)( m (nq(2 m()( q2 2 pn)())( (m(2 n()( p22 q)()qpm 2 2 )( )( 2 2 )2 )q) ( m ( m 2 n )( q 2 q 2 p ) p ) ( ( n n m m q q p p 2 2 n 2 m )( q 2 p ) m n p ) ) ( )( ) ( m n m m n p q m 2 2 2 2 n p 2 q ) n )( p Airy, George Biddell Si el numerador a 2 1 ab 1b 2de ) la fracción se expresan ex(a 2y bel) (denominador (b(2 a)( c2 d )2 a)(a()( da(2 cb))(cb)q)( pa)( qc 2 c 2c 2 d )rd ) (b(2 b2 a)(a)( c 2c 2 d )d ) b2 d )r (b(2 b2 dap2 (1801-1892) hibiendo sus factores comunes, se escribe: , , 55 , , 55 (a 2b)(a 1b)(a 2 1b 2 ) mq 2 (m(2 nm )(ny )( qmatemático 2 p)m m)( q(2 pn))(pnm))( 2 2 m)( m)( q2 q2 p)p) m m p2 pm q)q) (n(2 n2 )( 2 m2 p) (n(2 n2 m(que qmdedicó 2 ? 4 ? a 2 ? b 3 ? c 2 ? c 2 Astrónomo inglés a 2 1 ?ab41 b22 ? a 2 ? b 3 ? c2 sus(investigaciones 3 ? a a(2 b)(b)( c 2c 2 d )da) la(bcomprobación a)(a()( ca2 d2 (2 b))( b))( d la d2 c ) c ) (b(2 b2 a)(a)( c 2c 2 d )d ) 2 (2 a2 b2 ca2 dde ley de la gravedad 5 de5Newton a través de 55 b2 ) a 1términos b)(a 2 1comunes cancelando(los con diagonales: (m(2 m)( q(2 pn))(pn))( n)(n)( p2 q)q) (n(2 m p2 p2 q)q) (m(2 m2 2 n)(n)( p2 p2 q )q ) )( m(m q2 m2 p2 n2 observaciones con un péndulo dentro de pcde q2 b)(bTrabajó d2 c ) ccomo a)(ap)( c2 d )qd2 (2 )( ) (b(2 ) r2r a2 d2 b2 una(amina. profesor , , , , 55 (1826astronomía en Cambridge (m(2 n)(n)( p2 q)q) (m(2 n)(m pm2 qm)qm m2 p2 m2 n)( pm2 )m

p p q q22 r r , , , , m mm m m m

114

2 3x 3 1 5 x 2 1 4 x2 132 2( x 1 2 1)(3 x 1 2 x 1 2) x 11 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 4 a b c c / / / / 3x 3 2 x 2 2 2 ( x 21)(3x 2 1 2 x 1 2) x 21 2 2 3 3 ⋅ 4/ ⋅ a/ ⋅ a ⋅ b/ ⋅ c/ 2 a 2a 2 a 2b b 2b x 2 y y 2 x x2 2 y y2x m 2n m 2n n 2m n 2m

(a 2b)(c 2 d )

5

(a 2b)(c 2 d )

5 n y a m 3 n y 5 am 5 n y a 54 mn y a m 3 a mm 3 a mbm3 b 4 am a 4 m n am a 1b am a 4 m 1 an aa41mb 5 n y bm b 4 m 2 2 4m n bm bn ab 42ma (a 1b)(aa 2b) a a m 3nos quedabm comob resultado: aam b 4n a 4 1 3 aa1 anm a 1ba 4 n an2a 1 1 1a 1b b13bb 8a b 3 ca4a41n2bc 2an a 2 2 2 2 2 a 2 b a ) bbm bnm a 2 ab 4 n(a 1 b 4n b 4 )(a 2 2 4aa 2( a2b2 ba)1ab)(aa 2b) a 12bn b)(a a 4 b 3abc 242n3aa 2bn(a 41 3 3 2 3 4 2 3 2 3 4 2 3 1 3 2 a 2b 3 a bn c an 2ca 1ab8a2 2 b3 4 a 18 a84 2cb ) b c(a 2b2)cb(2aa 2ba1c 2 abb1 2. Simplifica 2 4 4 34 2 a 4nb 3 cbn a 42 2 12 3a 22 212 4(ba3 1 2 b )(a 2 4 a 2 b a ) b4 2 c2ab31a 2b 2 )a 4 2b 4 12 a b(ac2b3)( aaa1ab)(

(a(a22bb)()(a(a11 b)(aba 11bb )) 2 2 2 2 ((aa 2 b )( a 1 b)( )) n bn a 2 a (a 1b)(aa 2b) a 2 22 a b)(aba 1 a2 1 1bbb24 a22 1 1bb)( 3 3 2 2 2 8a 2 b 3 c 4 2c 2 a 2b 1 aba 221 11bbb2 22 ) (aaa11 b)(ab 2 2 2 1b 2 ) a 4 b 3 c 2 3a 2 a 4 2 b 4 ((3aax1 bb)( 33 1 14bx )1 2 12 1 )( 5 xaa22 1 ( x 11)(3x 22 1 2 x 1 2) x 11 2 2 211b)( 33xx 3331 xx 22x1 44 xx21 1 )() (33axx 222 1 1ab 22 xx1 1b22))) xx 1 22 2 1 1 2 x 33552 111 Patria® 1 1 122 (((xxa2 1 Grupo Editorial 2 2 3 2 2 2 22 ((axx2 122b)) ) xx 2 2 2b11)( )(3a3x1 x 2 b1 1)(22axx 1 1 211 2 2 a 33xx23 2 a xx2 a2 2 2 a 1 ab 1b 2aab 2 2baa 2baa 2 2 b b 2 b x 2 y y 2 x x2 2 y y2 x a 2 1b 2 ) Ejemplos (a 1 b)( 2b b 2b xx 2 2 2 x 2 2 x2 2myy3xn3yy2 2m m 2yny myy 2 2xxn nx2 2 1 5xx 2 1 4 x 1 2 ( x 11)(3x 2 1 2 x 1 2) x 11 m n m2 2 m 2 2ndn ) nn 2 2(m 2xc3m m m2 (a2 a 2bnn3)( 2dx)2 2 2 ( x 21)(3x 2 1 2 x 1 2) x 21 2nb)(mc 2 1. (a 2b)(c 2 d ) 5 (a 2b)(c 2 d ) 5 ((ma 2bn)(cp2 2amb)(2 cq2 )) a 2 2dq)) 5 ((na2 a dp2 5 (n 2 m)(q 2 p) 2 2 (((m n )( p q ) 2dq)) ((nb2 m b 2 an)(cp2 )) b 2m ba)(dqb2 cp2 5 (b 2 a)(d 2 c ) ( b 2 a )( c 2 d ) xm 2 2 y y2x ((mb 2 an)(cq2 2dp)) 5 ((nb2 a)(y dq 2y 2 cp))x x2 2 5 (n 2 m)(q 2 p) (((m 2 n )( q 2 p ) mm 2 md2 2 ma 2bn)(cq2 2dp)) ((nb2 p)) n n 2 m n 2 m 2 a)(ncq2 5 2 )( 2 ))) d ) (a 2b)(c 2 d ) (amaa2 (((maa 2 2ddq))) 5 (((nbb2 2bbn)( )(ccp2 2 2 )(bccq)( 2 2cddp2 2. 55 5 )( ) ((m 2 )( 2 2 (mm )(ncqq)( 2bnn)( )(dpp2 2cqq))) (((nnb2 m 2 2pdpp2 (ma 2 )( )) q) (n 2 m)(q 2 p) a2 2 2 5 (ba2 2 )(ddp2 )(accp)( 2bbn)( 2 2 an)( 2 (((maa 2 2ccq))) 5 (((mbb 2 2cdd2 q))) d ) 5 (b 2 a)(d 2 c ) 5 )( 2 )) p) (n 2 m)(q 2 p) x 11 ((pm )(2ppr2 m2 m (2 2qnn)( 2 qq)) ((m 2mnn2 )(npp)( 2qqq2 , , q 2 x 21 mpp m (a 2b)(c 2 d ) (b 2 a)(c 2 d ) mrr ,, q ,, 2 5 Reducción de fracciones a un2común m m m (m n)( p 2denominador q) (n 2 m)(q 2 p) m m m

2 3b )4( a 2 12ab 13b 2 ) 3 2 ( a 2 b2) (2a 2 1 ab 1 b 2 ) b c 2c a(a2 8(aa2 a1 1 2bb)a(25 abab 11 bb ) 2 2 3 2 2 4 4 2 2 (12 a2 a (aa1 b ) 2 )(2a 1 2 a 4bb)( c a 13ba)( 2 b 2 a b ( 2 2b()( a1 b)( b b) ) b)(a 1b ) a1 b)( a a11 2 2 2 2 1bab )3xab (aa 2 ) (a12 b1 ab 1ab221 3 1 b 2a 2 1 ab 1 b 1 5 x 1 4 x 1 2 ( x 11)(3x 2 1 2 x 1 2) x 11 2 2 2 5 2 1bb)()a(a11bb)( ((aa1 2 2b )( a 2 1 b 2 ) 2bb)( )(aa 1 ) a32x1 3( a b1 2 x) 2 2 ( x 21)(3x 2 1 2 x 1 2) x 21 32 2 2 3 1 2 x21 2) x 11 3xa 115ab x 1b42x 132x 3 1 ( x5a1 )( 1a25 x (1 4 1x)( 132x 2 (1x 21x11 )(23)x 2 1 21x 1 2) x1 x 211 x1 233a4xxx 2 3 2 2 y y y 5 25 n5 n2 n 3. Simplifica 3 2 2 3x232 1 22)12)(x32 3xb)(2ax 12b 2) 3(x2 x3 2 (a 1 )(23)x 1 21x 1 2) xb22x(1 xx 2 b 1x)(2b2 x 12 (1x 22x11 x2 2 a a m a m m 3 3 3 3 2 2 n22ayy)y xy1 5x 52ayxnx2 x2 21x 2 2 3ax 125ax 2 1a4a x4 (2 1 )(5a3ayx2n1 1 a 1y2 a1 maa24 mm 4 amamam 3 2 2 a m a a m m 3 3 3 2b 3xb 2 x2b2 2 2b (m Dos o más fracciones tienen(aun2común cuando 2 n)(2 22bm) xn 21m b3mbx21nb2 xn1 b)(d 2denominador c ) (b 2 a)( c 2 d )es el bm bmxbm b4 bx2 m b4 my mxby 212 4 a m a a m m 4 4 4 mismo para todas. x 2En y este y2 2 x 5 am am am caso sexrecurre procedimiento y2 2 y )2 x con fre2 y (a 2 ya2bun xx 2 x2 )( c2 d )yy2(yxa22xx2 bque )(yc se 2 dutiliza a 2aa 4 2 (m 2 n)( p 2 q) (m 2 n)( p 2 q) nana4 nlas a1 an1 b2 a1 bm bbm abm abm b5 amb1 b4 b4 4 1 1 11 1 an an an Así: b b m m 4 m 2cuencia n m a2en 2 nnm m fracciones algebraicas. m 2 n m 2 n 2 2 n m n m 2 n m 2 n 2 2 n m n m 2 2 ( n 2 m )( q 2 p ) ( m n )( p q ) 2b b 2b 2 2 22 2 2 p q 2r anb2 a)(a ban aa)an 2 b1 )seabb)obtiene b24 nbdel n bn nbn(bn a2 a2a2 a2 ac 2a(adel ad4 anumerador baa)(a 4 4 (1 1 )(a 2 , , n(1 aban n2 aa(1 aa2 b bb)(6x ac1 bda)1 a1 b1 b1 1 1 4 4 1 2 (xa2 )( )2 1 4x Siybse)(bresta denominador y y y n5a2 n n 5 5 yc 2 x ) 55 x2 2 2 y by(nb)( y x 2 ( a b )( c d ) a 2 2 ( a c d ) ( a 2 b )( c 2 d ) (b225a)( d 22 c2) m m m 3 d3) 2 23 432 43 4 2 2b 2 23 a3)(33c 2 2 2 2 5 4 que comunes dea aambos, que aaa3qfactores 22 a2 b4 2 b)n3b 4 5 8pdebe a2 82abn8qbca)contener cn2amc2 2c 2nlos b)(a a)2 a2 ab)b) a a bbn np 2 n bn aqbn ba)(a aa1 b2)(a btodo 4 2 (aama1 (ya (1 2 (m (mm2 ancb(2 ac)( nn)(m 2 ()(np2 (bmm n(4)( )2 22(3nmm 2 n)es2 m qm 2 )q22 m )( pm q44p)q32 2 2 2 (n)( p)() q 2 p) tienen a m como común denominador. 4 43 234 2de 3 2dos 2 expresiones 24 n 4 )( 4 p divisor común divisor de su diferencia. 3 3 3 3 3 42 23 34 24 2 2 1212 a 12 ab bac cb (3cam a2 34 a3aam ad22 b)24 b83m ma)(am ma2 ab84 a2 m 4 ((ba2 b c a 2 a b a 2 2 b b a b c a 8 a b b c 2 c 2 c 2 c 2ab)( 2dd))am )(cc2 ( a 2 b )( c 2 d ) ( b 2 a )( c 2 d ) ( b a )( d c ) 2 2 (b22 a()( c2 d )c 2 d()b 2 a(escribir )( d2 a2 b)( b2 a)(c )c 2 d2)1 2x 1 2), 5 212 4x 12 42 se24 puede La diferencia 3 25 4 43 32 225 42 2(3x 2 44 4 b(2 bm m b)( bm m12 b)a)5 m12 4 4 (6x 1 a4 1 ab 1 ab 1 ab 1 bq2 1 b)m4 )bnm (qpa2 (2 2 ap(2 b)a))bm 2 b5 )ab((2na)bm ((m nn)( m q p 12 c a a b 3 b c a c 3 a3(npa2 abma2 bq42 b 4 p) 2 n 2 m )( 2 p ) m2 )( q 22 )()2 ( 2 )( q 2 p ) 2 )( 2 ) (m 2que )(22 qel 2 p ) ( n m q )( (nm )( 2 ) ( m q p n p q n 2 donde se observa 2 no es factor común. Probando con 2 22 2 2 a)( na1 naaab)( aan n2 n1 b)ab)2 a2 ab)1 baab b2aa1 a11 b2bb)21) 1 1 4 4 4 4 1 1()bab)(a2 1 1 1 21 21 ba 21 an an an ( a ( 2 a ( 2 b a )( 2 b a b 1 a )( b a )( 1 b )( a )( 1 a 1 b b ) 2)( ((ab2 2 ) ( 2 b c d b c d ( a ( ( 1 1 ab b ab 1 ) b ( a a b b ) Actividad de aprendizaje 2 2 d1) 5 bencuentra aa)( db22 )22 2b()( (dque )(c 2 (d )c2 a)dc2 bdivide d) 3xa)( 1c2x 2 (sea(2 aldb2 numerador c2 c2 2 )( )ycal2denomia)( 2 2 2ad)( 2 c()b222 2 a()( 2 2 b25 2 bn 2b 4 2bbn 5 a 2 b a ) 2 a b a ) 2 a 2 a b ) b ) a a n b n a n n bn a a bn a a a a b a a b a a b b 4 4 4 2 2 ( 2 1 2 ( )(a 1 ( )(a ( 1 1 )(a )(a 2 2 2 2 2 2 5 5 a2 ab1 ab 1 b2 bym bsus )( )) (bna()( ((m ((nab nn)( 2 nador laqp)a1 respectivos cocientes son 1 y x 2 1, (m a2 )( )( 1 aqa1 )( 1 bnp)( apb 2 am 1 )xq)( 1 b1 21 )( m2 2 )(pqde 2a1 )fracción n1 ()( 2 2 )2 pb1 qa)( )( )2 (m 2 )( m pqq2 qap)pp2 n2 2 (nm )a2 (bbm m n2 2 2 q()( nb()( ) qb)2) p) 323 2 3 3 3 3 22 2 3 2422 23 242 223 43 234 de manera que: 2aab acb22 1 bb 2ab a21 2 b 2b 2 Si dos fracciones simplificadas tienen diferente denominador, ¿cómo 2 a bbb8a1 a1 8)( b bc2ca)c2 1 c2 bc2 b)ba)( b)ca28ccc)a2 1 a(1 bdca))( b8)( aaba)( ((aa2 (1 2 2 1 2bb)( )((dac(2 )1 b2)( c )1 21 (b4d2a2 )( b24a)( d 22(c3ad)da)2 aab c 2b d(bb)2 a)(c 2 d ) 52(a(42 2 32 p 3 q242 42 23r 24 2 4 22 244 425 4 4 se obtiene el denominador común? 3 3 12 35 , , 5 12 cax1 12 12 b(2ax3bcq(p1 ax))c(1 3(11 ab33a1 a2 b3)( a2 b1 b1 2 x 22 2x 2 2)1 ((m (1 2 n)( xp1 12 x 11q)1 x1 3qqx1 5))x1 5(xam 1 42 1 xb)( 4)( 1 23pcm xapaq2 1 2a2 1 22 2))n2x)( )1 1 )22 (1b2 )( bna1 ap1 2nn)( )(3xpp32 2 (5m m2 nbx2 2 (m )( (xb2m nxa()( p1xb3)( qabx)1 2 m n4m qm)2 ma)( 2 )( qb2)x)2 5 5 Explícalo y argumenta tu respuesta. 2 22 2 32 2 2 2 2 2 22 2 (aa2 (aa(ab 1 1 br3)( )3x54x1 b1 2xb2 (b2 a)22 (ba)1 (2 b1 3( 3))( 3x 2b 2x 2 2 2 x1 1 1(x1 12 12ab 2)1 21 2x2)2 2 1211 3xc33)x2 33(xa2 22 p(a 2qb)(2dr2 pbxxd)(1 qa(ab 2 )( )x)1 x1 11 32 31(bx)( xa531 x31 1 5ab x21 1 4x2)2x1 42x1 x)(1 x2)1 (x1x)( x312 1 x1)( )( 3x232x1 1 1 22x2)1 x1 )2)1x 1 px(2 qx2 r2c 2 , , x21 22 22 2 2 2 ,b2)( ,3b1 5 , , ( a 2 ( b a )( 2 a ( b 1 a )( ( 2 b a a )( 2 b 1 )( a b a )( 1 1 a a b )( 1 ) b )( a b a 1 ) 1 b b ) ) 3 2 3 2 2 2 2 2 m m m a22 aq)2 adeam2 am2 a2na)( Porn)( lasapleyes signos división se que: m laq)3m (m 2 (los 2 2 x1)( 11 )( 3x23x1 11 22x2)1 x1 x22 )2)1x 2 x2 11 x 2 3mxx3x2 22 xsabe 2 x22 2 2( x 2(1x)( (2 x32 m m pde 2 2 22 2 2 2 2 2 b b b b 2 b b b b 2 2 2 2 a 1aaab1 bma1 1a1 ab bn ab 1 ba b2 p q 2r 2 ax1 22 aaa 22 aa 11aab , , x2 5 2 5 22 222 22y 2 2x2 x2 yx 2 y(ayy1 2 y(2 x y 2 x x2 x x2 x2 2 2 y y y y yb2 x2b)x2 ) 5 1 1 )bbx)( )xb2 bab)( 1a(bxa)( (1 aaxb1 b2 )( ab 2 a1 m m m b1 b2 b b 22 bb mm 22 m n2 n mn3m 22 m n132 n n2n32 2 n2 mn23x2 m nmb2 nx2 n2 myy2 2m 2x yx2 2x2 2 xy 22 x51 2 x1 yno 2 2 xax)( 2 2 2 y31 ysi2 y2x22 bm x21 x1 1 El 1 menor común denominador de dos o más fracciones es el co3el x5valor x1 31 x533xx4de 11 x4522xy1 1 (4x22 x41 1 xy(1x1 x2)( 1 2y3x2 (1xse (1 1 x31 x12)( 1x1 )( x23y2se x)1 1 1 x)x1 21 x11 )2)1x 1 Esto significa3xque1 una fracción altera cambian 2) 2d ) 22 2 2 2 2 2 2 ( a ( a ( b a )( b )( c b c )( d c ) d ) d ( a ( 2 a ( 2 b a )( 2 b )( c b 2 c )( 2 d c ) 2 d ) 3 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 b2 bn(21)nxm axn2 1 m 2 n22 2 m 2 n1 2 2 2 n1x1 n)( m npero n1 los signos tanto3del numerador del denominador, sim )(2 3n(12 x122 )( 31 x2m 32xm)1 1 2x22 xm )2 21 x11 xse 22 )2)1x 2 x2 1 mún 1 denominador de menor grado posible. 3n2 xx 2 35 xxx52 2 35xxym 32x2 2 xncomo 2(xm (am x2 2 x)( (2 xm 2(2 2 2 2 n(el2 n(signo (2 m n 2 )( m )( q m 2 q )( 2 p q ) 2 p ) p ) (m(m m n)( nuno )( pn2 )( pde q1p)ellos, q) q5()m 3 se altera. cambia sólo de la fracción Las fracciones: 2 ba)( (2 aca2 b)( c2 (2 ac2 2 b)( bd)( c)2 c2 d )d ) 2a2 2a2 3bd)( xc)2 xd )(da)2(ba)( a 2 aa 2 a2aaa 2 2 aan2a(2 53 55 3 2 3 2 ( b ( 2 b ( 2 a b )( 2 a )( c a 2 c )( 2 d c ) 2 d ) d ) ( b ( b ( a b )( a )( d a d )( c d ) c ) c ) 2 2 2 2 2 2 Por ejemplo:2b 2xb 22 ( x 1 y)2 x 2 13xy 1 2 y 2 2bp2 2 n2 qm2m )(p)( q)2 q2 p)p) nm n2 )( p)2 px2 q()nq2 ) (mn()( xbb2(2 3()( xnq)( b2 byb5 b(2 bm 2 bxm 55 y 3) p) 2 )( )x)( 2 (m(m 2(2 m n)( 2 qn2 q)( q)2 pyy)x2 (x)nxy2 (2 n(2 nx22 m2 qym q)( py2 pa2 xn)( 2 yx2 y42 ym x2 y2 x2 2 2 xc)y2 yc2 y22 x 2 2 y2 x 2 2 y2 yp22 4p2 m 5(x2 42 nydx)(ydb2 8x(abx)( (ya)( b2 )( 2 bcx2 2 aqyx2 dx2 )( 2 (2 b5d2 a2 )( ac)( d) 2 d2 c )c ) 5 2 (b 25 2 5 )5 5 5 2 (a(2 2 )2 (m (n2 )( 2 )( 2 )n2 2 )2 a(2 ba)( b)( c2 b2 c)( dxc2 dm)nm d2 b2n(2 abnm am cn3a2 cm cn2 d)( dnq2 m m n2 2 nb2 2 2 n2 2 2 m m m n2 mx(mnm x)m m x)( x2 x 1denominador y x1 2 y(x2 2 2 )(p)( 2 qdn2 n)npm )( )m qm2 p(n)np2 )32 ()( n42 qxm2m q)2 q2 p)p) tienen como común 2 2 y ) que no2 es el menor, 555(m 2(nm()( y ( x 1 y) x 13xy 1 2 y 2 2 3 2 4 (m(consecuencia 2(2 2 2 )( )x2 2 (4)(2 m q)( pa2 pobserva m m n)( n(a)( pn2 p(b2 qc)de qa)( nlo n2 2 ya)( b))2 x)(c2 xb)( 2aqp)( ya que las dos fracciones en las fracciones Como (b2 da(c2 )2 banterior, )( )( c)(42 cqm 2 d2 bse d2 (bc2 )( da2 cd)2 2 b)(d12 )( b)d2 )( c)2 2 x 2 y 2se pueden x 22 yy simplificar ((x2 (ab)( (2 )( )pa2 (accuando (d2 2 2 ambnd2 a)(c2 bq)( b5 dc))( bque b)cd2 a)x)( ad)( c)el2 cnud )d ) 2 2 5 5 5 x 2 y x 2 y 5 5 5 equivalentes: merador y el denominador tienen varios factores comunes se puexp2 1pnp2 x(2 (a(2 )( )()( (xm )( a(2 ba)( bm db2 d)( c )(pncm32 bq(p2 anb2 ap)(n)( a(2 cm dnp2 2 2 2 (2 2 2 m 2 2 q2 m mx2 q)(m 2 2 )qm p2 )1m (2 (2 m ncd5))( )(bn2 )( q)( q(2 )dnp2 qcn))( )da)( p r x )(p)( )( 2 2 ))()( 2 )nq)( )p)( q)2 q2 p)p) m ncm n)q(m q)( q)(2 nq(2)( np2 2 55 , , x1 y de cambiar el signo de5un número par de ellos sin que se modifique x 12 y (m(m )( )2 ()(2 m n)( n(b)( pn2 p(a2 qc)(a2 qb)( m m 2(2 2 2 2 2 nd2 n(2 )( pa)(dad2 2 qbdc))( qb)( )(d2 q s y bqp)( db(c)2 2 a(()( am )( c)2 bb)( cpan)( d2 bqbp)( ))2 (ad)2 bc2 dc)2 a)2 )( a)c2 )( d) 2 db)( c2 )c2 c2 ))( 2 2 y ( ( )( ( ( ( )( ) ) ) a c b a b a a d c c d d 2 2 2 2 2 2 el signo de la fracción. En caso que 5 se5 cambie el signo de un nú5 de5 x2 y x2 y 5 p qp q(2 r2(r2 r2q(nm psy rqy xqs 2 2 2 )(2 2 ))( mq2 m n)( 2 ()( m 2 pq2 )(n2 n2 p)( (q)(n2 q2 2 p(m )np2 pn)( ))( np2 q2 m m5 p)( q5 q()( p)p2 pn2 ()( )()( )m )2 meropimpar se altera signo de m)( nel m m nq(m q)( pnlap2 q)(fracción. q)( m 2 2 2 2 nm nq)( p)2 p2 q)q) , , ,, de , factores, , , p r, x por lo que x 2 y esqsy el menor mmm mm(m m(bm sqy, común 2c(b2 (2 2 )(aqdbr)( )q22 (2 2 a2 a)( a)( dac)2 bp)( bd)( c)(2 bc 2 c(a2 br)( dbrc)2 a)( ad)( c)2 c2 d )d ) , yqs denominador. pd2 2 5, qp5 q s y ,, , 5 ,5 , x2 y x )2)( (m 2(m 2(pnm2 ()(m 2 )m )( (pm )nm2 ) q(mn2 ()( m mp)( q)2 q2 p)p) n)( qp2 n2 nq)( p2 q(m)nq)( npq2 2 2 m2 m m y psy rqy2 xqs 2 2 2 x 13xy 1 y 2 x 13xy 1 , 2y , (a 2(ba)( (2 )( )2c(a2 (2 a)( acd)2 b2 bc)( d)(2 bd2 c )(acb)( b)( dbc)2 a)( ad)( c)2 c2 d )d ) 2d(b2 2 2 qsy sqy yqs 5 5 55 115 ( x 2 y)(2 x 1 y) (m 2(m ()(m )n2 )( (p)m2 )2(pnm2 ()(m n)( qp2 nq)( p2 q()m 2(pnm2 2 2 2 nq)( qp2 )n2 )( nq)( p)2 p2 q)q) x2 y x ( x 1 y)(2 x 1 2 y)(2 x21 y ) 2 p qp 2qpr p2qr q 22 r r 2 x 13xy 1 y 2 x 13xy 1 2 y , ,, , , , , , x( x 1 2 y ) x m mm mm mm m m m 52 x 1 y) ( x 2 y)(

5 BLOQUE


, , qsy sqy yqs x2 y x y 2 2 x 2 13xy 1 y 2 x 13xy 1 2 y 2 ( x 2 y)(2 x 1 y) ( x 1 y)( x 1 2 y)(2 x 1 y) x( x 1 2 y) x 5 ( x 1 y) (2 x 1 y) ( x 1 y)(2 x 1 y)( x 1 2 y)

Cuando dos o más fracciones están simplificadas y se quiere enconPor ejemplo: 2 trar el menor común denominador, es necesario multiplicar tanto n x 1 5 2x 2 7 x 1 7 m 2 nn 6 xm218 x 1 y x 1 el numerador como el denominador de cada una por una misma ( x 1ny)2 p 2 qx 2 1p332 xyx q2 142 y 2 3x 2 4 3x 2 4 cantidad. Dicha cantidad debe ser múltiplo común de los denomi2 2 2 y2 ( x 1 y) x 13xy 1 2 y Este tipo de fracciones ax (ax12 2 xde )(y a2divisiones 1 x )2(2donde ax 2 x 2el) a 2 12 ax 1 x 2 2 x 2 se 22obtiene y 2 2 x a partir nadores primitivos de las fracciones, estoysignifica2 que el menor co2 2 2 x 2 y es el mínimo x 2 común y dividendo no es múltiplo del divisor, es decir, queda mún denominador de varias fracciones múltia 1 x un residuo, a x 1 y a 1 xx 1 2 y por lo que el resultado tiene forma mixta. y x 1 y de lasx fracciones. 12 y plo (m.c.m.) de los denominadores x2 y x2 y y 2 ( x 1 y)2 x 2 13xy 1 2 y 2 ( x 1x 2 y)2y xx 2 13y xy 1 2 y 2 Así, para reducir: y y p xr2 2x y 2 Actividad 2 x 2 2de y 2 aprendizaje x2 2 x 2 2 y2 , , p yr x q s2 y , , 2 2 x 1qy s yx 1 2 y (x 1 y) x 1 yx 13xxy112 2y y ¿En quéy caso yla simplificación una fracción algebraica se expresa y psy rqyde xqs 2 2 x2 y 2 x 22y , , x 2psy y rqyx 2xqs y x 2 y en yforma mixta?x 2 al menor común denominador, el, numerador y denominador de qsy sqy yqs , px1 r 2xy p qsy rsy, los x sqy yqs la primera se multiplican por de la segunda por qy y los de la x 1 y , , x2 y x yq, s, y y tercera por qs, con lo cual s 2 y x 2 y en:2 qse transforman x x 2¿Por y qué? x2 y 2 2 2 2 2 x 13xy 1 y 2 x 13xy 1 2 y ( x 1 y) x 2 13xy 1 2 y 2 y 2 2 psy rqy xqs psy rqy xqs y 3 2 2 x 1 3 xy 1 y x 1 xy 1 y p r x , x 2 ,2 y 2 x 2 2 y2 ( x 2 y)(2 x 1 y) , , qsy , sqy , yqs qsy sqy( x 2yqs y)(2 x 1 y) q s y ( x 1 y)( x 1 2 y)(2 x 1 y) x1 y x 12 y x 2yy)( x 1de donde el numerador yy el denominador ( xx1 2 yycada )(2 xfracción 1 yx) original psy rqy xqsx 2 y y x2 2 2 2 x2 y x22 y , , x( x 1 2 y) 2 2 2 Ejemplos 2 x 13xy 1 13xy 1 2 y se han multiplicado por elx producto 2 y los denominadores 2 x 13xyx1 13xy 1xde 5y ( xyde 1 2lasy) qsy sqyx yqs p r x ( x 1 y) (2 x 1 y) ( x 1 y)(2 x 1 y)( x 1 2 y) 5 demás fracciones. , , ((xx12y)y)( (22xx11y)y) ( x 1 y)(2 x 1 y)( x 1 2 y) x 2 y ( x 2 y)(2 x 1 xy) s y q 5 2x 2 7 x 1 7 nny)2262x 2 218 x 1 2 Antes de hallar el menor común denominador de varias fracciones 2 22 x 21 (1x 1 y2 )(yx(1 2xxy2m )( ( x 1 y)( x 1 2 y )( 2 2 x 1 y) 3 2 2 1 3 xy 1xy x131xy3xy x 1 xy y x ( 1 1 y ) y ) 1 21y22 y 2 Reduce a forma mixta la fracción x x x 2 1 2 2 1 18 5 7 7 6 nn x 2 m psy rqy xqs es conveniente que primero se simplifiquen. y2yq x(2x31 x2 4 3x 2 4 3x 2 4 2 p , , n xp 2 q x yx)2 x22 n2 x( x 1 22 y)4 3x 2 4 ( x 2 y)(2 x 1 y5 y2 x x22 2 y22 yy)2 x x 2 3 4 3 qsy sqy yqs 5 2 Así, en: La división cociente 2 residuo (a2231 x )(yel)( a1 2 x2x x )22y()2x 2ax2 27, x 2 por ) alo2 12 ax 1 x 2 2 2ax 12da (como 22 xx 1 yy2))ax y21 )( xcon x1 1 ( x 1 y) (2 x 21 y) ( x 1 y)(2 x 1 y)( x 1 22 y)( x 21 2y 2 ( xx21 y2)(axx( x1 y))( 1x11 y 1 x y 2 y x )( a 1 x ) 2 ( 2 ax 2 x ) a 1 1 x 2 2 ax x a 2 2 x x 2 y 2ax 2 x 2 (a 1 que el resultado es: x 2 ay1yx a1x a 6xx2 nn x 2 xynn 1x y6y)2x 2 218xx2 1235xy 1xx22y 27 x 1 7 2 2 2 y 2y18 2 x252 yxy)2 y x 27 x 17 x( xxx1 xm 2 a(1 a 1 a a1 1 ( x 1xy2)1 xm xy 1 3xy 1 21y 232 2 x 1 3 xy 1 y y 2x 2 3 1 5 2 2 y n 2p 2 x2 x 2yq2 yx2 2 4 2 3x 2 4( x 1 y) (2nx 1py2 2 y 2 3 x 2 4 2 x 23 pr 3yr)( x2 ) q (px 1 2xx41 y)( x31 2 y4) 3x 2 4 x 2 2 y 2 ( x 2 y)( x x2 2 1 ) ( x 1 y ) x 1 3 xy 12 y , ,, , o bien: los denominadores escribir así: 2 se pueden 2 2 2 21 2 2 2 2s sy 2 y y1a21 x)( y x )2 x1 ) x 1 2x2ax 3xxy 2ay1 q(xxaq1 xax18 a x1 15xa)(2 ax72 x 2 ) a 2 12 ax 1 x 2 2 2ax 1 x 2 a 2 2 2 x 2 y( 2 x 2 ( 2 ax 2 2x ) a m x1 12 ax 1 2 22 xx2)72(x21 nn2xax62x2222 21 x(1 yx2y1 y21y2 ( y )( x 1 y ) 2 x 2 y 2)( 2xx 1 y y 2 x 1 1 y2y) 2x 2xqs 32 y2 3xy 1 2yx 25 xx22(x y y2 1 y)(xx 2 rqy rqy 1 a a1x a3,1 xaxqs x ,2 4psy 4 x 3x 2 4 n p 2 q aa 1 x3x 2psy xx22 y y2 xx2 y a 1 x(xx1122ay1 y) x , , 2 x1 y 1 3xy 1 y 5 (x 1 y)(2x 1 y) 2x 5r xy qsyxsqy yqs última (a 1 x )(qsy aexpresión 2 x 2 esta 2axdonde 1 )2sqy (2es axlayqs 2común. x 2 ) a 2 12 ax 1 x 2 2 2ax 1 x 2 a 2 2 2 x 2 px 1r(yx x1y y)x(21x21y y) px, (2 y y)(2x 2 x,1 1 y )( x 1 2 y) , , por lo que elx 2 menor común q s y es: x 2x 2 y y x 2 ydenominador x x a q smy y 2 nn a1x a1x a1x p xr1x5 2x 2 7 x 1 7 y y 2 2 6 x 2 218 2 2 2 2 2 2 , rqy , 1xqs psy 3 3 2 2 2 x 2 x 1 3 1 xy 3 1 xy 1 y y x x 1 1 xy xy 1 1 y y (x 1 y)(x 1 2y)(2x y) p r x El procedimiento inverso para transformar una expresión mixta en psy, nrqy xqs 3xq2,4s y , 3x 2 4 3x 2 4 , s , yp, 2 q qsy sqy deyqs qnumerador (en x (2multiplicar x2 y)(y2)(x21x 1 yel) ydenominador ) fraccionaria consiste de la fracción entonces elqsy y el denominador la primera fracción se sqy yqs 2 psy rqy 2 2 2 ax x ( a x )( a1 2 1 2 xsegunda )y2, (xqs 2axpor 2 x(x2 )1 a2y), 1con 2 ax 1 x 2 2por 2axla1parte x 2 aentera, 2( x2(1 xdespués ,2 se suma algebraicamente el producto x deben multiplicar por (2x 1 y) y en la x psy x 2 rqy xqs x1 y)(yx)(1x 21y2)(y2)(x21x 1 y) y) xsqy yqs y , a 1yx,quedanyde la2qsy 2 2 2 a obtenido con el numerador de la fracción y a este resultado se le a 1 x a 1 x lo cual las fracciones siguiente forma: 2 x 13xy 1 y 2 2 3 xy 1 2 y 2 sqy1 2yqs x( x (1x 21y2) y) x x 2x x 1 13x xy xqsy 13xy y2 21 y y x agrega el denominador de la fracción. 55 x2 y x y)(2 x21 yy) 2 2 (x 2 2 ( x (1x 1 y) (y2) (x21x 1 y) y) ( x (1x 1 y)(y2)(x21x 1 y)(yx)(1x 21y2) y) ( x 2 y )( 2 x 1 y ) 3 2 2 x 1 3 xy 1 y x 1 xy 1 y y 5 2 2 2xx12 1 3xy 12yy2)(2 x 1 y) x 2 13xy 1 2 y 2 ( y )( x 1 x 1x 51 52x22x 72 7 x 1x 71 7 218 2 nn6 x6 x218 m m2 nn ( x 1 y)( x 1 2 y)(2 x 1 y) ( x 2 y)(2 x 1 y) Ejemplos ( x 2 y)(2 x 1 y) x( x 1 2 y ) 4 4 3x32x 2 4 43x32x 2 4 4 n n p 2p q2 q 3x32x 2 x ( x 1 xyx()(x x1122y)y5 )(2 x 1 y) 5 ( x 1 y)( x 1 2 y)(2 x 1 y)y) (2 x 1 y) ( x 1 y)(2 x 1 y)( x 1 2 y) x 2 x 2(a 1 (a 1 x )(xa)(1a 1 22 2ax2ax x )(2 (2ax 2 ax x )2 2ax 22 x 2 )x 2 )a 2 a12 21ax 11 x 2 x22 22ax2ax 11 x2 ( x 1 y) (2 x 1 y) ( x( x11y)( 2 xx1 y)( x 1 2 y) x( x 1 2 y) a 1 x 2 5 2 5 x( x 1 ) 18 x 61 x72 y2 m a 1a 1 x x a 1a 1 x x a a x1 xcon ydiferente y)(22xx2 ) (x22 )x 1(x7x115denomi17y)(xx1 172 y) x(1 2 6 x 2 25 18 52ynn 2 nn Si se trata mde dos fracciones simplificadas ( x 1 y) (2 x 1 y) (nx 1py2 )(2q x 1 y)( x 2 y ) 1 x x x 2 2 2 3 4 3 4 3 4 xel2producto 2de 3x 2 4m 2es3nn n p2 q denominador nador el menor común sus a 2 1 2ax 1 x 2 2 2ax 1 x 2 x4 1 2x 2 7 x 1 7 5 deno64 x 2 32x18 2 2 2 2 2 25 2 1 5 x 2x(2 7 x2)(x a1127x )2(2ax 2 6 x 218 xax 1 x 2)3ax a141 a 22x 2 a 1 x 2 2 2 ax 1 x minadores.2max 22xnn x2 x2 n x2 p2 (a 1 x )(a21 )2 (2qaxa2 x 3)x 2a4 12 ax31 x 2 42 x 22 ax a 21 2x2 x2 2 4 3x 2a41 x 3x 2 4amixta n fracciones p 2 q a forma xx 3y2xviceversa 1 a a1x Reducción de a1x 12 x (a 1 x2 )(a 1 2aax x )2(2axa 2 x 2 ) a 2 12 2 axa2 1 x 2 2 2ax 1 x 2 a 2 2 2 x 2 2 2 2 2 5 (a 1 )(a 1algebraica 2ax 2 xmixta x )2(2axde 2 xuna) expresión a 12 axen1 x 2 2ax 1 x a 2 2 x Se llama expresión a laxsuma a1x a1x a a1x a1x a1x a a1x tera y una fraccionaria. 116


Aplicación de las TICs 1. Factorización de polinomios. a) Factoriza el siguiente polinomio: x 4 1 x 3 219 x 2 111x 130 . b) Puedes utilizar la plataforma WolframAlpha para factorizar, simplemente escribe la instrucción “Factor” y después, el polinomio. 2. Simplifica la siguiente fracción. x 2 22 x 2 25 x 16 x 2 2 4 x 13 a) Puedes emplear WolframAlpha para hacerlo. Autoevaluación Evalúa tu desempeño y determina en qué o cómo puedes mejorar. 1. Necesito ayuda.


Desempeños

1

2


3

Debo mejorar en…

Reconozco trinomios que no son cuadrados perfectos de la forma x 2 1 bx 1 c y ax 2 1 bx 1 c con a Z 0 como un producto de factores lineales y polinomios que requieren combinar técnicas. Expreso trinomios de la forma x 2 1 bx 1 c y ax 2 1 bx 1 c como un producto de factores lineales. Identifico expresiones racionales con factores comunes y no comunes, susceptibles de ser simplificadas. Utilizo una o varias técnicas de transformación para descomponer un polinomio en factores. Reconozco expresiones racionales en forma simplificada a partir de factores comunes y la división de polinomios. Obtengo factores comunes usando las técnicas aprendidas y reduciéndolas. Escribo expresiones racionales en forma simplificada utilizando factores comunes y la división de polinomios. Soluciono problemas aritméticos y algebraicos.

117

5 BLOQUE



2. Bien

1. Regular

0. Deficiente Compañeros de equipo


1

2

3

4

5


Instrumentos de evaluación Apellido paterno Apellido materno Nombre Grupo Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 5. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación. 1. Factoriza las expresiones siguientes: x 2 2 13x 1 40 x 2 1 3x 2 10 m 2 2 2m 2 15

2. Factoriza las expresiones siguientes: 6x 2 2 x 2 2 12x 2 2 x 2 1

3. Simplifica la siguiente fracción:

4 x 4 2 28 x 3 1 48 x 2 2 x 4 28 x 3 16 x 2 a 2b a 1b 2 2 a 2b a 1 ab 1b

15 x 3 16 x 2 23x 28 3x 2 5 12 x 4 118 11 2 x 1 x 2

44xx4 42228 28xx3 31148 48xx2 2 22xx4 422 8xx3 31166común xx2 2 denominador: 4. Reduce al8menor aa11bb aa22bb , 2 2 aa22bb aa 11ab ab11bb2 2 4 3 2 15 15xx3 31166xx2 22233xx2288 4 x 2 28 x 1 48 x 2 x 4 28 x 3 16 x 2 a 1b a 2b 1122xx4 4 2 a 2b a fracciones: 1 ab 1b 2 5. R1educe a1forma 11122xx1 xx2 2 mixta las siguientes 12 x 2 2 5 x 2 5 4 x 4 2 28 148 6 xx2 223x 28 15xx331 4 x 21 2 x 4 28 x 3 163x 22 5 a 1b 1a22xb4 2 a 2b a12112ab x 11xb2

33xx2255

15 x 3 16 x 2 23x 28 3xy2 5 6. Reduce a una sola fracción simplifica:

1 1 2x 1 x 2 1

12 x 4 11 2 x 1 x 2



Hora inicio:

Fecha:

Hora final:

Equipo:

Problemática asignada: Realizas transformaciones algebraicas II. Propósito: Registrar el papel que asumen los estudiantes al enfrentarse a la problemática de resolver problemas aritméticos y algebraicos, así como a los roles que les corresponde como actores de su propio proceso de aprendizaje. Criterio/conducta observable

Cumple Sí

No

Comentarios

Representa relaciones entre magnitudes. Factoriza trinomios que no son cuadrados perfectos como productos de factores lineales. Factoriza trinomios de la forma ax2 1 bx 1 c. Utiliza modelos aritméticos o algebraicos. Puede simplificar expresiones racionales con factores comunes y no comunes. Puede simplificar expresiones racionales a partir de factores comunes y división de polinomios. Puede simplificar expresiones racionales a partir de la reducción de fracciones a un común denominador. Puede simplificar expresiones racionales a partir de la reducción de fracciones a forma mixta y viceversa.


119

5 BLOQUE


Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre la simplificación de fracciones de las páginas 110 y 114 del Bloque 5. Nombre del alumno:

Criterio

Presentación


Desarrollo


Conclusiones

Dominio del tema


120

11. Conoce y aplica la simplificación de fracciones algebraicas con factores comunes y no comunes. 12. Conoce y aplica la simplificación de fracciones algebraicas a un común denominador. 13. Conoce y aplica la reducción de fracciones algebraicas a forma mixta y viceversa. 14. Simplifica fracciones algebraicas con factores comunes y no comunes. 15. Reduce fracciones algebraicas a un común denominador. 16. Reduce fracciones algebraicas a forma mixta y viceversa.

cumple sí

no

Observaciones


Rúbrica


Excelente (4)

Aspecto a evaluar

Criterios

Bueno (3)

Regular (2)

Deficiente (1)

Factorización de trinomios que no son cuadrados perfectos

Factoriza un trinomio de la forma ax 2 1 bx 1 c, que no es trinomio cuadrado perfecto.

Factoriza, en la mayoría de los casos, un trinomio de la forma ax2 1 bx 1 c, que no es trinomio cuadrado perfecto.

Factoriza, en algunos casos, un trinomio de la forma ax 2 1 bx 1 c, que no es trinomio cuadrado perfecto.

No factoriza un trinomio de la forma ax 2 1 bx 1 c, que no es trinomio cuadrado perfecto.

Factorización de expresiones racionales susceptibles de ser simplificadas

Simplifica expresiones racionales por: simplificación de fracciones, reducción a un común denominador, reducción a forma mixta y viceversa.

Simplifica, en la mayoría de los casos, expresiones racionales por: simplificación de fracciones, reducción a un común denominador, reducción a forma mixta y viceversa.

Simplifica, en algunos casos, expresiones racionales por: simplificación de fracciones, reducción a un común denominador, reducción a forma mixta y viceversa.

No simplifica expresiones racionales por: simplificación de fracciones, reducción a un común denominador, reducción a forma mixta y viceversa.

Factorización de expresiones racionales en forma simplificada

Simplifica expresiones racionales por: reducción a un común denominador, reducción a forma mixta y viceversa.

Simplifica expresiones racionales, en la mayoría de los casos por: reducción a un común denominador, reducción a forma mixta y viceversa.

Simplifica expresiones racionales, en algunos casos, por reducción a un común denominador, reducción a forma mixta y viceversa.

No simplifica expresiones racionales por: reducción a un común denominador, reducción a forma mixta y viceversa.

Te presentamos una propuesta de hoja de observación que te posibilitará evaluar el trabajo por equipos.

Criterios

Equipo 1

Equipo 2

Equipo 3

Equipo 4

Equipo 5

Intercambian ideas antes de hacer las pruebas Colaboran en la elaboración de las pruebas Atienden y respetan las opiniones de los demás Utilizan los materiales con precaución Proponen explicaciones de lo que observan Aplican términos científicos en sus explicaciones Registran y sistematizan sus observaciones Claves: D (Deficiente), R (Regular), B (Bueno), E (Excelente)

121

Resuelves ecuaciones lineales I Tiempo asignado:

8 horas

6



6.2 Uso de la calculadora, graficadora y/o una computadora 6.3 Modelos aritméticos o algebraicos

Competencias a desarrollar n Construye e interpreta la ecuación y función lineal, mediante la aplicación de

n Argumenta la solución obtenida de un problema de ecuación lineal o función

procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. n Formula y resuelve problemas sobre ecuaciones y funciones lineales con una incógnita, aplicando diferentes técnicas. n Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante las técnicas para la elaboración de gráficas (intersección con los ejes pendiente-ordenada al origen y tabulación) y los contrasta con modelos establecidos.

lineal con una incógnita, con el método gráfico, con el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. n Analiza las relaciones entre dos variables de un proceso social o natural para determinar su comportamiento utilizando la función de tipo lineal. n Cuantifica y representa matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean en los problemas planteados. n Interpreta tablas, gráficas y textos con símbolos matemáticos y científicos. n Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

w


Establece el modelo matemático que describe el problema: Encuentra tres números enteros consecutivos cuya suma sea 189.

2.

Encuentra el valor de x en 15 5 4x 2 1.

3.

En C = 2πr, ¿cuál es la variable independiente? ¿Cuál es la variable dependiente?

4.

El largo de un rectángulo es el doble de su ancho. Si su perímetro es de 90 metros ¿cuánto mide cada lado?

5.

El largo de un terreno rectangular es el doble de su ancho y su área es de 200 m2. ¿cuánto mide cada lado?

6.

Determina el conjunto solución de la ecuación:

7.

Identifica la variable independiente, la variable dependiente y la constante, en el caso siguiente: Si un examen tiene 20 preguntas, halla la calificación C cuando el número de aciertos n es n = 1, 2, 3,..., 20.

8.

Aplica el concepto de función como regla de correspondencia para determinar si la relación g que asocia a cada planeta del Sistema Solar con su respectiva distancia media al Sol es o no es una función. Fundamenta tu respuesta.

9.

Halla la pendiente de la recta que determinan los puntos A(2, 1), B(5, 3).

10.

Traza en el plano cartesiano la siguiente función: f (x) 5 3x 1 2. Determina si es creciente o decreciente. Fundamenta tu respuesta.

y 1 6 5 5. 4

Desempeños por alcanzar Identifica lo que es una ecuación lineal en una variable y una función lineal, así como la relación entre ellas.

Redacta y resuelve problemas relativos a situaciones que requieren el uso de ecuaciones lineales en una variable y/o funciones lineales.

Usa diferentes técnicas para resolver ecuaciones lineales en una variable. Reconoce a y 5 mx 1 b como una ecuación de dos variables como la forma de una función.

Describe el comportamiento de las variables y/o resultados al solucionar problemas de ecuaciones y/o funciones lineales; tanto de manera algebraica como gráfica.

Aplica diversas técnicas para graficar una función lineal.

Aplica diferentes técnicas para continuar la gráfica de una función lineal.

Modela situaciones para escribirlas como una ecuación lineal y/o una función lineal.

Describe el comportamiento de la gráfica de una función lineal. Representa relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas situaciones.

6 BLOQUE




Se tienen 360 g de plata de ley 0.820. ¿Cuántos gramos de plata de ley 0.500 se deben agregar para que la liga tenga una ley de 0.700?




Trabajo individual

Que cada equipo represente, con dibujos, las condiciones del problema.

Cada participante debe registrar lo investigado y realizar los cálculos necesarios.


Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos y efectuar de las rectificaciones que procedan.

Cada equipo debe investigar: ¿Cómo representar con una letra la cantidad de gramos en plata que se busca? ¿Cómo representar la cantidad de plata de la liga? ¿Cómo establecer el modelo matemático que ilustra las condiciones del problema? ¿Cómo comprobar los resultados obtenidos en el enunciado del problema?

Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.

Producto a elaborar Representación de la cantidad de plata que se necesita. Modelo matemático del enunciado del problema. Cálculos y obtención de los valores buscados.

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para determinar la cantidad de plata que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por es-

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El tanque de gasolina de un automóvil tiene una capacidad de 40 litros. Si su rendimiento es de 15 km por litro, la función que describe la cantidad de gasolina que queda en el tanque después de 1 recorrer una distancia x es F(x) = 40 – . Si el tanque está lleno 15 determina: a) ¿Cuántos litros quedan en el tanque cuando se han recorrido 0, 15, 30, 45, 60, 90, 150, 300 y 600 km? b) La gráfica de la función. c) Si la función es creciente o decreciente. d) El dominio, contradominio e imagen de la función. e) El cero de la función.




Trabajo individual


Cada participante debe registrar lo investigado y realizar los cálculos necesarios.


Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para efectuar las rectificaciones que procedan.

Cada equipo debe investigar: ¿Cómo se calcula la gasolina que queda en el tanque? ¿Cómo se traza la gráfica de la función? ¿Cómo se determina que la función sea creciente o decreciente? ¿Cómo se determina el dominio, contradominio e imagen de la función? ¿Cómo se interpreta el cero de la función?


Producto a elaborar Representación gráfica de la función que describe la situación didáctica.

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para determinar las respuestas del problema que se piden se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento


125

6 BLOQUE


Propuestas de diseño para situaciones didácticas Parte I Establece el modelo matemático que represente cada problema y resuélvelo. 1. Halla tres números enteros consecutivos cuya suma sea 189. 2. Determina tres números enteros consecutivos, tales que la suma del primero más el segundo sea igual al tercero más 27. 3. Encuentra tres números enteros pares consecutivos cuya suma sea 42. 4. Halla tres números enteros impares consecutivos cuya suma sea 45. 5. Determina tres números enteros pares consecutivos tales que 3 de la suma del primero más el segundo sea igual al tercero 2 menos 9. 6. Encuentra tres números enteros consecutivos cuya suma sea 48. 7. Halla tres números enteros consecutivos, tales que la suma del primero más el tercero sea igual al doble del segundo. 8. Determina tres números enteros pares consecutivos, tales que la suma del primero más el tercero sea igual al doble del segundo. 9. Encuentra tres números enteros pares consecutivos, tales que el primero sea igual a la suma del segundo más el tercero. 10. Halla tres números enteros impares consecutivos cuya suma sea 33. Parte II Establece el modelo matemático que represente cada problema y resuélvelo. 7 1. Encuentra dos números consecutivos donde del menor ex8 3 cede en 17 a del mayor. 5 2. Se tienen tres números consecutivos, tales que la diferencia en3 3 1 tre del mediano y del menor exceden en 1 a del mayor. 7 10 11 Halla los números. 3. Determina tres números enteros consecutivos, cuya suma de la mitad del primero más la tercera parte del segundo, más la cuarta parte del tercero sea igual a este último. 4. Encuentra el número cuya tercera parte aumentada en cuatro quintas partes del mismo, pero disminuida en 5 unidades es mayor en 15 unidades al valor del número. 5. A tiene $1 000 más que B. Si B gastara $8 000, tendría $4 000 4 menos que las partes de lo que tiene A. ¿Cuánto tiene cada uno? 5 126

6. Halla tres números enteros consecutivos, tales que la suma de la 5 mitad del primero más la tercera parte del tercero sea igual a del 7 segundo aumentado en 4 unidades. 7. Determina tres números enteros consecutivos, tales que la suma del primero más el segundo sea igual al doble del tercero menos 3 unidades. 8. Encuentra tres números enteros consecutivos, tales que el doble del tercero sea igual al triple de la suma de los dos primeros más 21. 9. Determina tres números enteros impares consecutivos, tales que la suma de los dos primeros sea igual al triple del tercero menos 19. 10. Encuentra tres números enteros consecutivos, tales que el doble de la suma de los dos primeros sea igual al triple de la suma de los dos últimos. Parte III Establece el modelo matemático que represente cada problema y resuélvelo. 1. Encuentra dos sumandos de 74, de modo que el mayor tenga 10 unidades menos que el quíntuplo del menor. 2. Un grupo de 17 estudiantes tiene 10 varones menos que el doble de mujeres. Determina cuántos estudiantes hay de cada sexo. 3. Representadas por P y H las edades actuales de un padre y su hijo, halla sus edades sabiendo que el padre tiene 20 años más que el hijo y que la suma de sus edades es de 50 años. 4. Ángulos complementarios son dos ángulos que suman 90 grados. Determina dos ángulos complementarios si uno es el cuádruplo del otro. 5. Ángulos suplementarios son dos ángulos que suman 180 grados. Determina dos ángulos suplementarios si uno es 20 grados menor que el triple del otro. Parte IV Establece el modelo matemático que represente cada problema y resuélvelo. 1. Dos agricultores pueden arar un campo en 12 y 10 horas, respectivamente. Si trabajan juntos usando dos arados, ¿cuánto tardarán en arar todo el campo?

2. Una válvula vacía un depósito en 10 horas y otra lo hace en 6 horas. Calcula el tiempo en que se vaciará el depósito si ambas válvulas se abren simultáneamente. 3. Un albañil puede hacer un trabajo en 9 horas y su ayudante en 12 horas. Si trabajan juntos, ¿cuánto tardarán en hacer la obra? 4. Una piscina se puede llenar en 6 horas y vaciar en 8 horas. Si se abren simultáneamente las dos llaves (la que la llena y la que la vacía), ¿en cuánto tiempo se llenará la piscina?


Sugerencia: identifica como V el volumen inicial de la solución a 4% y proporciona el resultado en términos de V. 3. Una lechería compró 100 litros de leche que contiene 4.5% de grasa de mantequilla. ¿Cuánta leche descremada (0% de grasa) debe agregarse para que quede a 4%? 4. Un químico tiene 80 litros de una solución de ácido acético a 65%. ¿Cuántos litros de agua deben agregarse para que la concentración sea de 40%?

5. ¿Qué cantidad de agua debe agregarse a un litro de alcohol de 95% de concentración para que la solución resultante tenga una concentración de 75%? 6. ¿Qué cantidad de agua debe agregarse a un litro de solución de 20% de concentración para reducirla a 2%? 5. A puede efectuar cierto trabajo en 4 días, y B en 5. ¿Cuánto tiempo emplearán si trabajan juntos? 6. Cierta obra puede ser realizada por A en 4 días, por B en 5 y por C en 6. ¿En cuánto tiempo realizarán la obra si trabajan los tres juntos? 7. Un depósito de agua puede llenarse por un tubo en dos horas y por otro en tres horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el depósito por los dos tubos? 8. Un depósito puede llenarse por un tubo en 2 horas y por otro en 3 horas, y vaciarse por uno de desagüe en 4 horas. Si los 3 tubos se dejan abiertos, ¿en cuánto tiempo se llenará el depósito? Parte V Establece el modelo matemático que represente cada problema y resuélvelo. 1. Una enfermera preparó 60 onzas de un desinfectante que contenía 15% de ácido fénico. ¿Cuántas onzas de agua deben agregarse para reducir la concentración en 6%?

7. ¿Cuántos litros de una solución de 5% de concentración deben agregarse a un litro de una solución de 35% de concentración para formar una solución cuya concentración sea de 25%? 8. ¿Cuánto por ciento de agua debe evaporarse de una solución salina de 6% de concentración para aumentar la concentración a 10%? Parte VI Establece el modelo matemático que represente cada problema y resuélvelo. 1. Una florista vende un ramo de dos docenas de flores en $750. El ramo está formado por rosas, cuyo precio es de $500 la docena, y por claveles, a $300 la docena. ¿Cuántas flores de cada especie debe poner para formar el ramo?

Sugerencia: llama x al número de rosas y 24 2 x al de claveles.

2. Se desea mezclar un perfume que cuesta $41 000 la onza, con otro de $25 000, para obtener una mezcla de 40 onzas con valor de $30 000 la onza. ¿Cuántas onzas del perfume de $41 000 deben usarse?

2. ¿Qué cantidad de agua debe evaporarse de una solución salina de 4% para hacer que la concentración aumente a 6%? 127

6 BLOQUE


3. ¿Cuántas onzas de plata de 100% de pureza deben agregarse a 18 onzas de 60% de pureza para hacer una aleación de plata a 76%? 4. ¿Cuántos litros de solución de sal a 25% deben mezclarse con 10 litros de otra solución a 15% para producir una tercera solución a 17%? 5. ¿Cuántos gramos de plata deben fundirse con 75 g de una aleación de plata de 0.750 para obtener una aleación de 0.900? 6. ¿Cuántos gramos de oro puro deben fundirse con 20 g de oro 16 de 16 quilates ( de oro puro) para obtener oro de 20 qui24 lates? 7. ¿Qué cantidad de agua debe agregarse a un litro de vinagre de 85% para reducirlo a vinagre de 50%? 8. Un litro de una solución contiene 20% de alcohol. ¿Cuánto alcohol debe agregarse para que la concentración sea de 30%?

9. ¿Cuántos kilogramos de agua pura deben agregarse a 25 kg de agua de mar que contiene 3½% de sal para que la solución resultante contenga 2% de sal? 10. En 90 g de una aleación de plata y cobre hay 6 g de plata. ¿Cuántos gramos de cobre deben agregarse para que 50 g de la nueva aleación contengan 2 g de plata? Parte VII Determina el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones.

8. 2x 2 3(x 2 4) 5 25 9. 12(5x 2 2) 1 6 5 229 2 3(x 2 7) 10. x2 2 (x 1 4)2 5 4 Parte VIII Determina el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones. 1.

y 1655 4

2. 30 5 25 2

y 3

2x 1856 5 2x x 4. 16 5 5 5 1 5. 3x 2 5 2x 1 3 7 x x 6. 512 2 2 4 4 x 5x 2 5 22 7. 3 3 x 4x 8. 10 2 5 7 7 7 1 9. 5 2 1 a a x 2 2 x 11 10. 2 54 3 4 x 22 x 1 4 11. 2 55 4 3 d 18 9 12. 22 5 4 d 22 3.

Parte IX Determina el conjunto solución de cada ecuación literal para la variable indicada. 1. a2 1 b2 5 c2 despejar a

1. 6x 5 24

2. V 5 pr2h despejar h

2. 7x 2 11 5 22 4. 3x 1 4 5 217

3. PV 5 5t despejar t k 4. F 5 2 despejar d d

5. 3x 1 5 5 x 1 2

5. P 5

3. 5x 1 8 5 6

6. 4x 2 15 5 3x 2 2 7. 25x 1 8 5 23x 1 16 128

fd despejar t t 1 2

6. V 5 bh despejar b


tios hora que cuestan p unidades de dinero por kilovatio hora. 1 2 7. y 5 gt despejar t 2 9. Un automóvil tiene un tanque de combustible con capacidad 2 de 40 litros. Si el rendimiento es de 10 km por litro, halla la s 8. A 5 despejar s cantidad de combustible que queda en el tanque cuando ha 4 recorrido una distancia d de 0, 10, 100 y 200 kilómetros. 9. v 5 pR2H 2 pr2h despejar h 10. La población P de una ciudad se duplica cada n años, deter1 10. S 5 (a 1 rL ) despejar L mina P cuando han transcurrido 2n, 3n y 4n años. 2 1 Identifica la variable independiente, la variable dependiente y la 11. S 5 gt 2 1 vot despejar g 2 constante (o constantes) en cada una de las expresiones siguientes. 12 rL 1. At 5 6a2, donde At es el área total y a es la arista del cubo. despejar r 12 r 4 3 2. Parte X V 5 pr , donde V es el volumen de una esfera de radio r. 3 Identifica la variable independiente, la variable dependiente y la constante, en cada uno de los casos siguientes. 5 3. °C 5 (°F 2 32), donde °F es la temperatura Fahrenheit y 9 1. Si un examen tiene 20 preguntas, halla la calificación C cu°C la temperatura Celsius (centígrada). ando el número de aciertos n es n 5 1, 2, 3,..., 20. 12. S 5

2. Un móvil se desplaza a una velocidad de 60 km por hora, ¿qué distancia recorre en 1, 2, 3, 4 y 5 horas?

4. °F 5

3. Una fuente luminosa tiene una potencia de 250 watts, determina la intensidad de iluminación a una distancia de 1, 5, 10, 15 y 25 m de la fuente.

5. S 5 180(n 2 2), donde S es la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados.

4. Determina el costo total C de n artículos iguales que tienen un precio de 50 unidades de dinero.

9 °C 1 32. 5

6. y 5 x3, donde x y y son números reales. 7. A 5 4pr2, donde A es el área total de una esfera de radio r. 8. V 5 a3, donde V es el volumen de un cubo de arista a. gt 2 , donde h es la altura de un cuerpo que cae libremente, 2 g es la constante de gravedad y t es el tiempo.

9. h 5

10. A 5 2prh, donde A es el área lateral de un cilindro de radio r y altura h. Parte XI

5. Determina el perímetro P de un polígono regular de n lados cuando su lado l mide 3, 5, 7 y 11 metros. 6. Para una misma distancia (d), la velocidad (v) de un móvil y el tiempo (t) que emplea en recorrerla. 7. ¿Cuál es el interés que produce un capital C cuando se invierte durante un tiempo t de 1, 2, 3, 4, 5 y 6 meses? 8. Determina el importe t del consumo de electricidad de k kilova-

Aplica el concepto de función como regla de correspondencia para determinar cuáles son y cuáles no son funciones. En cada caso fundamenta tu respuesta. 1. Sea f la relación que asocia cada entidad federativa de la República Mexicana con su respectiva capital. 2. Sea g la relación que asocia a los alumnos regulares de una escuela secundaria con el grado que cursan. 3. Sea h la relación que asocia a cada mujer que es madre con sus respectivos hijos. 129

6 BLOQUE

Resuelves ecuaciones lineales I c) C(0, 1) d) D(4, 1) e) E(5, 3)

4. Sea F la relación que asocia a cada habitante de una población con su respectivo tipo de sangre. 5. Sea G la relación que asocia a cada habitante que tiene teléfono en una ciudad con los números telefónicos de esa misma ciudad. 6. Sea H la relación que asocia a los autores literarios latinoamericanos con sus respectivas obras. 7. Sea f la relación que asocia cada número real no negativo con su respectivo cuadrado. 8. Sea g la relación que asocia cada planeta del Sistema Solar con su respectiva distancia media al Sol. 9. Sea h la relación que asocia a cada persona con sus respectivas huellas digitales. 10. Sea F la relación que asocia los pasaportes con las personas que tienen pasaporte. De los siguientes conjuntos de pares ordenados identifica cuáles son y cuáles no son funciones. Fundamenta tu respuesta. En el caso de los que son funciones determina su dominio y su imagen. 1. {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} 2. {(1, a), (2, b), (2, c), (1, d)} 3. {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)} 4. {(1, 1), (2, 1), (3, 2), (4, 2)} 5. {(4, a), (3, b), (2, a), (3, b)} 6. {(1, 4), (2, 8), (3, 12), (4, 16)} 7. {(2, 3), (3, 7), (5, 15), (2, 5), (10, 35)} 8. {(1, 7), (2, 7), (3, 7), (4, 7), (5, 7), (6, 7)} 9. {(1, 0), (2, 4), (3, 5), (2, 4), (3, 6), (4, 3)} 10. {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1)}

2. Construye una tabla de valores de coordenadas de la ecuación dada y traza su gráfica. a) x 1 y 5 1 b) x – y 5 21 c) x 5 y d) x 1 2y 5 5 e) x 2 2y 5 5 f ) 2x 1 3y 5 26 g) 5x 2 3y 5 22 h) 3x 2 5y 5 15 i) 2x 1 y 5 5 j) 2x 1 3y 5 0 3. Determina las coordenadas en el origen de cada ecuación dada y traza su gráfica. a) x 1 2y 5 6 b) x – y 5 26 c) 2x 1 y 5 1 d) x 1 y 5 22 e) x 2 y 5 4 f ) 4x 1 y 5 23 g) 2x 1 3y 5 7 h) 3x 1 2y 5 9 i) 5x 2 2y 5 24 j) x 1 y 5 0, ¿qué sucede en este caso?, ¿cómo se puede obtener otro u otros puntos? Parte XIII Halla la pendiente de la recta que determinan los puntos. 1. A(26, 6), B(3, 6) 2. C(6, 5), D(1, 4) 4. G(22, 3), H(6, 22) 3. E(5, 0), F(27, 21) 6. K(2, 25), L(2, 2) 5. I(0, 25), J(6, 27) 7. M(25, 24), N(25, 5) 8. P(23, 26), Q(4, 3) 10. T(22, 6), U(1, 23) 9. R(24, 21), S(5, 21)

Parte XII 1. Determina cuáles de los puntos dados satisfacen la ecuación: 22x 1 5y 5 5 a) A(25, 21) b) B(23, 0) 130

Parte XIV Expresa las siguientes ecuaciones en la forma y 5 mx 1 b. 1. 3x 2 2y 1 2 5 0 2. 4x 1 3y 1 6 5 0


y

3. x 1 2y 2 6 5 0 4. 3x 1 5y 1 10 5 0 5. 3x 2 4y 1 8 5 0 6. 2x 1 5y 1 15 5 0 7. x 1 2y 1 8 5 0 8. 5x 2 2y 1 6 5 0

x

9. 4x 1 5y 5 0 10. 2x 1 3y 5 0 Traza las gráficas de las ecuaciones obtenidas como respuesta en los ejercicios uno a diez anteriores. Parte XV

c)

1. De las siguientes figuras menciona cuáles representan una función y cuáles no. Fundamenta tus respuestas.

y

y

x

x

d) y

a) y

x x

e) b)

131

6 BLOQUE

Resuelves ecuaciones lineales I y

y

x

x

f )

i)

y

y

x

x

22

g)

j)

y

y

x

h)

132

x

k)

Grupo Editorial Patria® y

y

x

x

l)

b)

y

y

x

x

m) 2. Para cada una de las siguientes representaciones de funciones determina su dominio e imagen respectivos.

c) y

y

x x

d) a) 133

6 BLOQUE

Resuelves ecuaciones lineales I y

y

x

x

e)

h)

y

y

x

x

f )

i)

y

y

x

x

g)

134

j)

3. Consideremos el siguiente problema: El costo de un aparato electrodoméstico es de 200 unidades de dinero si se compra al contado, pero si se compra en abonos se cobra un interés mensual fijo de 10 unidades de dinero. a) ¿Cuánto debe pagarse si se compra al contado o en 1, 2, 3, 4, 5 o 6 meses? b) Tabula y construye una gráfica. c) Encuentra la expresión algebraica que determina la función. d) Determina el dominio y la imagen. Parte XVI 1. El equipo de oficina en una empresa se deprecia cada año 10% de su costo de adquisición, que fue de 15 000 unidades de dinero. a) Determina el valor contable del equipo en el año de adquisición y después de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 años. b) Tabula y representa en el plano coordenado. c) Encuentra la expresión algebraica que determina la función que describe el problema. d) Determina el dominio, el contradominio e imagen. 2. En el contrato anual de renta de un televisor se cobra un depósito de 500 unidades de dinero y una renta semanal de 75 unidades de dinero. Halla la expresión algebraica de la función que se describe. 3. Traza en el plano cartesiano las siguientes funciones. a) f (x) 5 3x 1 2 b) f (x) 5 25x 2 3 2 3 c) f (x) 5 x 1 3 4 1 1 d) f (x) 5 2 x 2 2 3 e) f (x) 5 7 3 f ) f (x) 5 2 2 x 4 g) f (x) 5 24x


9 4. Si un grado Fahrenheit equivale a de un grado Celsius más 5 32: a) Determina la expresión algebraica de la función que describe la equivalencia. b) Identifica la ecuación con la función haciendo y 5 f (c). c) Calcula los grados Fahrenheit que equivalen a 10, 20 y 50 grados Celsius bajo cero, 5, 10, 20 y 30 grados Celsius sobre cero, y représentalos en el plano. d) Encuentra el cero de la función y su interpretación en el problema. 5. Una empresa de electrodomésticos tiene 500 refrigeradores en existencia al iniciar el mes, de los cuales vende 15 diarios. Expresa algebraicamente la función que describe el número de aparatos para cualquier día del mes. 6. De las siguientes funciones, determina cuáles son crecientes y cuáles son decrecientes. Fundamenta tu respuesta. a) f(x) 5 7 2 3x b) f(x) 5 6x 1 3 c) f(x) 5 3 d) f(x) 5 23(2 2 x) e) f(x) 5 2x 2 1 f ) f(x) 5 22x 1 3 2 g) f(x) 5 2 2 x 1   3 h) f(x) 5 5x 2 2 2 1 i) f(x) 5 2 1 x 5 3 j) f(x) 5 2 x 1

1 4

2 h) f (x) 5 x 13 5 i) f (x) 5 5 2 x j) f (x) 5 2x 1 1

135

6 BLOQUE

Resuelves ecuaciones lineales I Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo

Arquímedes

Introducción A partir del lenguaje algebraico, la terminología y notación del tercer bloque se procede al planteamiento del modelo matemático de problemas con una ecuación lineal. Se conceptualiza la ecuación de primer grado con una incógnita y se resuelve aplicando las propiedades de la igualdad así como de los números reales. Los problemas que al inicio de la unidad fueron planteados con un modelo matemático se retoman para resolverlos. El concepto de función se trata como una relación de dependencia entre dos variables, como una regla de correspondencia y como un conjunto de pares ordenados. Posteriormente se procede a representarla en el plano cartesiano y se le relaciona con la ecuación de primer grado, señalando la diferencia entre una y otra.

Para tu reflexión

Aguilon o Aguilonius, François D´ (1566-1617) Matemático belga, escritor del importante libro: Opticorum Libri VI, en donde expone algunos principios de óptica, también publicó una introducción al estudio de las matemáticas. Está claro que François d’Aguilon, también se ajusta plenamente a la tradición de Aristóteles, y que utiliza el arco como un complemento a la clásica, la división lineal para especificar las posibilidades que surgen de la mezcla de colores. Es importante señalar que en su óptica de libros de texto, que apareció entre 1606 y 1611, Anguilonius no sólo se interesó en la pictórica “concreti colores”, estaba más interesado en la parte visible de color que se puso de manifiesto a sus cualidades.

6.1 Representación de relaciones entre magnitudes Ecuaciones lineales Todas las ecuaciones de primer grado, con una o dos variables, se pueden representar en el plano con una línea recta, motivo por el cual también se les conoce como ecuaciones lineales.

Concepto de ecuación lineal con una incógnita Una ecuación es una igualdad que se verifica para un determinado valor de la variable o variables desconocidas que reciben el nombre de incógnitas. Actividad de aprendizaje ¿A qué se le da el nombre de raíz o solución de una ecuación? Argumenta tu respuesta.

Ejemplos x 1 3 5 8 es una igualdad que sólo es cierta cuando x es igual a 5; por tanto, x 1 3 5 8 es una ecuación en la que la variable x recibe el nombre de incógnita, cuyo valor 5 es la raíz o solución de la ecuación. 2y 1 3 5 15 es una igualdad que sólo es cierta cuando y es igual a 6; por consiguiente, 2y 1 3 5 15 es una ecuación, la variable o incógnita es y, y la raíz o solución de la ecuación es 6. Toda ecuación consta de dos miembros: el primero está formado por todos los términos escritos antes del signo igual y el segundo, por todos los términos escritos después del signo igual.

Ejemplos En la ecuación: 5y 1 6 5 3y 1 12 5y 1 6 es el primer miembro y 3y 1 12 es el segundo miembro

136


Ecuaciones de primer grado con una incógnita Una de las aplicaciones importantes del álgebra es la descripción matemática de situaciones concretas utilizando expresiones algebraicas como modelos.

Problemas que llevan al planteamiento de ecuaciones lineales Ejemplos 1. El largo de un terreno rectangular mide el doble de su ancho más 3 metros. Si el perímetro mide 5 010 m, determina las dimensiones del terreno. Planteamiento: Recordemos que los lados opuestos del rectángulo son iguales y que el perímetro de la figura se obtiene sumando la medida de sus cuatro lados. Si x representa el ancho del rectángulo, entonces el largo se expresa por 2x 1 3 (figura 6.1). Por tanto:

de donde

x 1 (3x ) 1 (2x 1 6) 5 5 010

o bien

6x 1 6 5 5 010

La solución del modelo matemático permite responder la pregunta. 3. Encuentra cuatro números enteros consecutivos cuya suma aumentada en el doble del primero sea 5 010. Para resolver este problema tenemos que si x representa a un entero cualquiera, entonces x 1 1, x 1 2 y x 1 3 son los tres enteros consecutivos siguientes, de tal manera que: x 1 (x 1 1) 1 (x 1 2) 1 (x 1 3) 1 2x 5 5 010 o 6x 1 6 5 5 010 En los tres problemas planteados, el modelo matemático que los describe es el mismo; sin embargo, los valores que toma la variable son específicos para cada problema. La mayor dificultad para resolver un problema consiste en el planteamiento del mismo mediante una expresión algebraica (modelo matemático). Es por ello que a continuación se presentan diversos ejemplos y se pide al lector que obtenga el modelo matemático de los ejercicios análogos a cada ejemplo de referencia.

x 1 (2x 1 3) 1 x 1 (2x 1 3) 5 5 010 o bien,

Ejemplos 6x 1 6 5 5 010 1. Encuentra tres números enteros pares consecutivos cuya suma sea 228. Planteamiento:

x

Recuerda que la forma de representar un número par es: x 5 2n.

2x + 3 Figura 6.1

Esta última expresión es el modelo matemático que describe el problema. 2. Se distribuye un trabajo a tres mecanógrafas (A, B y C ) para escribir a máquina un informe de investigación. A escribió x cuartillas; B el triple (3x ), y C 6 cuartillas más que el doble de A (2x 1 6). Si el informe ocupó 5 010 cuartillas, ¿cuántas escribió cada mecanógrafa? Planteamiento:

el primer número par es

2n

el segundo número par es

2(n 1 1) 5 2n 1 2

el tercer número par es

2(n 1 2) 5 2n 1 4

entonces, la ecuación que proporciona la solución del problema es: 2n 1 2(n 1 1) 1 2(n 1 2) 5 228 2n 1 (2n 1 2) 1 (2n 1 4) 5 228 6n 1 6 5 228 2. Encuentra tres números enteros impares consecutivos cuya suma sea 135. Planteamiento:

El trabajo realizado por las mecanógrafas A, B y C fue de 5 010 cuartillas, es decir: A 1 B 1 C 5 5 010

Un número x es impar si y sólo si se puede expresar de la forma x 5 2n 1 1. su primer consecutivo x 1 2 es 2n 1 3

137

6 BLOQUE


su segundo consecutivo x 1 4 es 2n 1 5

Planteamiento:

entonces, la ecuación que proporciona la solución del problema es:

Consideramos M el número de monedas que tiene Juan, entonces Enrique tiene M – 12.

(2n 1 1) 1 (2n 1 3) 1 (2n 1 5) 5 135 6n 1 9 5 135 3. Encuentra dos números cuya suma sea 105, si se sabe que el mayor es el séxtuplo del menor. Planteamiento: Número mayor 5 6x El modelo matemático es x 1 6x 5 105 4. La edad de Enrique es la mitad de la de Pedro; la de Juan, el triple de la de Enrique, y la de Eugenio, el doble de la de Juan. Si las cuatro edades suman 132 años, ¿qué edad tiene cada uno? Planteamiento:

modelo matemático

A una empleada se le asigna un trabajo que hace en 8 horas. Si se le proporciona una ayudante que puede hacer el mismo trabajo en 10 horas, ¿cuánto tardarán en hacerlo juntas? Planteamiento: Llamamos x al trabajo realizado, entonces:

Sea x 5 edad de Enrique 2x 5 edad de Pedro

La empleada puede efectuar

3x 5 edad de Juan

x x del trabajo por hora 8 10

x x del trabajo por hora. 8 10

La ayudante efectúa

2(3x ) 5 edad de Eugenio La ecuación que proporciona la solución es: x 1 2x 1 3x 1 6x 5 132 5. Establece un modelo matemático que represente el siguiente problema: encuentra tres números consecutivos tales que, si el menor se divide entre 20, el mediano entre 27 y el mayor entre 41, la suma de los cocientes es 9. Planteamiento: Sean x, x 1 1, x 1 2, los números consecutivos, entonces:

x 5 el menor se divide entre 20 20 x11 5 el mediano se divide entre 27 27 x1 2 5 el mayor se divide entre 41 41 Una ecuación que proporciona la solución para este problema es: modelo matemático

6. Establece el modelo matemático que represente el siguiente problema. Juan tiene 12 monedas más que Enrique y entre ambos tienen 78. Determina cuántas monedas tiene cada uno.

138

M 1 (M 2 12) 5 78

7. Establece el modelo matemático que represente el siguiente problema.

Número menor 5 x

x x 11 x 1 2 1 1 59 20 27 41

La suma de ambas cantidades de monedas es 78, lo cual se expresa como:

Trabajando juntas, ejecutan la suma de las fracciones en cada hora, y todo el trabajo lo ejecutan en T horas.

x x  T  1  5x  8 10 

(1)

Por ser un problema especial, dado que aparecen las variables T y x, le daremos solución, ya que el lector podría inferir que este problema conduce a una ecuación de primer grado, pero con dos variables, lo cual es falso.

 10 x 18 x  5x T  80  T (10 x 18 x )580 x T (18 x )580 x 18T x 580 x 18T 580 4 80 T 5 54 9 18 El tiempo que ambas tardarán en desarrollar el trabajo encomendado es de 4

4 40 horas. 9 9

La comprobación se le deja al lector, quien debe llegar a una

4 40 en la ecuación (1). 9 9

identidad si sustituye el valor de T 5


8. Establece el modelo matemático que represente el siguiente problema. ¿Qué cantidad de agua debe agregarse a 40 litros de una solución de alcohol a 15% para reducir la concentración a 12%? Planteamiento: Sea x la cantidad de agua en litros que debe agregarse a la solución. La cantidad de alcohol contenida en la mezcla es: 0.15(40). El porcentaje de la concentración es el cociente del volumen de alcohol entre el total de la mezcla. Por tanto, el modelo matemático es: 0.12 5

0.15(40) 401x

2. Propiedad simétrica. Si un número es igual a otro, éste es igual al primero. También se puede enunciar así: los miembros de una igualdad pueden permutar sus lugares. 3. Propiedad transitiva. Si un número es igual a otro y éste a su vez es igual a un tercero, entonces el primero es igual al tercero. También se puede enunciar así: si dos igualdades tienen un miembro común, los otros dos miembros son iguales. Un criterio general, que también se utiliza para la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita, es el siguiente: Toda igualdad se conserva siempre que se realice la misma operación y con los mismos números en ambos miembros, con excepción de la división entre cero, que carece de sentido. Actividad de aprendizaje

9. Establece el modelo matemático que represente el problema: ¿Cuántos kilogramos de dulce, cuyo precio es de $1 000 cada uno, deben mezclarse con 6 kg de otro dulce que vale $750 el kilogramo, para vender la mezcla al precio de $900 por kilogramo?

Resuelve la ecuación 3x 1 5 5 x 1 2.

Aplica lo que sabes

Planteamiento: Llámese x al número de kilogramos del dulce que tiene un valor de 1 000x Lo que cuestan los 6 kg de dulce a $750 cada uno, se expresa como: 750(6) La suma de los precios debe ser igual al costo de la mezcla resultante que es 6 1 x. Esto se expresa por:

Investiga cómo se paga el impuesto predial en tu comunidad. ¿Cuánto se cobra por metro cuadrado de suelo (terreno)? ¿Cuánto se cobra por metro cuadrado de construcción? Escribe una expresión algebraica que describa el impuesto predial como una función del número de metros cuadrados de suelo y el número de metros cuadrados de construcción.

1 000x 1 750(6) 5 900(6 1 x ) modelo matemático Ejemplos

Técnicas para resolver ecuaciones lineales en una variable Una ecuación lineal con una incógnita, también llamada ecuación de primer grado con una incógnita, es aquella que una vez simplificada sólo tiene una incógnita. Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita hacemos uso de las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva de la igualdad. 1. Propiedad de identidad o reflexiva. Todo número es igual a sí mismo.

Encuentra el conjunto solución de las siguientes ecuaciones (sólo en los primeros ejemplos se da el nombre de la propiedad aplicada). x 1 4 5 3 x 1 4 – 4 5 3 2 4 Inverso aditivo x 1 0 5 21 Idéntico aditivo x 5 21 Conjunto solución {21}

139

6 BLOQUE


2(x 2 7) 5 6 2x 2 14 1 14 5 6 1 14 Distributiva

3x 515 4

2x 1 0 5 20 Inverso aditivo

3x 5 60

2x 5 20

2 x 20 5 2 2

x5

Conjunto solución {20}

x 5 10 Inverso multiplicativo Conjunto solución {10} 3(2x 2 6) 5 2(x 2 5) 6x 2 18 5 2x 2 10 6x 2 2x 5 210 1 18 4x 5 8

8 x 5 5 2 4

x5


2(x 1 5) 5 x 2 7

2x 1 10 5 x 2 7 2x 5 x 2 17 2x 2 x 5 217 x 5 217 Conjunto solución {217} 15(2x 2 4) 1 20 5 258 2 2(x 1 7)

30x 2 60 1 20 5 258 – 2x 2 14

30x 2 40 5 272 2 2x

30x 1 2x 5 272 1 40

32x 5 232

232 x5 5 21 32


x

x 2 57

2 3 3x 2 2 x 57 6 3x 2 2x 5 42 x 5 42 Conjunto solución {42}

2 x 2 (x – 1)2 5 13

2 x – x 2 1 2x 2 1 5 13

28 54 7

2x x 2 5 26 5 5 2x 2x 5 26 5 2x 2 30 2x – x5 52 230 x 52 230 30 x5

Conjunto solución {21} 2 x 2 (x 2 – 2x 1 1) 5 13

7x 23 511 2 7x 51113 2 7x 514 2 7 x 5 28


60 5 20 3

xx2 222 2 xx1 177 5 4 2 54 33 44 44((xx2 222))2 233((xx1 111))5 4 54 12 12 44xx2 2882 233xx2 2335 4 54 12 12

2x 2 1 5 13

2x 5 13 1 1

4x 2 8 2 3x – 3 5 48 x 2 11 5 48 x 5 48 1 11 x 5 59

2x 5 14 Conjunto solución {7}

140

x5

14 57 2



z 26 4 z 116 1z5 5 5

z 2 6 1 5z 5 4z 1 16 6z – 6 5 4z 1 16 6z 2 4z 5 16 1 6 2z 5 22

z5


22 511 2

Ejemplos Determina el conjunto solución de las siguientes ecuaciones literales. A 5 P 1 Prt para la variable t P 1 Prt 5 A Propiedad a 5 b b 5 a

6.2 Uso de la calculadora, graficadora y/o una computadora Utiliza los medios de que dispones para resolver lo siguiente. 1. Considera la función y 5 2x 1 b y asigna a b valores en el intervalo: 210 # b # 10. Observa las variaciones en la posición de la gráfica de la función. 2. En la función y 5 mx 1 3 Asigna a m valores en el intervalo: 21 # m # 1. Observa las variaciones en la posición de la gráfica de la función. 3. Para la ecuación x1y51 encuentra los valores correspondientes a y cuando x varía entre 23 y 3. Traza su gráfica. 4. Dada la ecuación 2x 1 3y 5 6 obtén los valores de y cuando varía de 23 a 3. Traza su gráfica

2P 1 P 1 Prt 5 A 2 P

Inverso aditivo

0 1 Prt 5 A – P

Idéntico aditivo


Inverso multiplicativo

En n 5

Prt 5 A 2 P

P PtrPtr A 2 5 5 A 2 P Pr Pr Pr Pr A 2P t 5t 5 A 2 P Pr Pr

Conjunto solución

S5

{

t P 5 A2 t Pr

a 2 rL 1 2r

}

d despeja t. t

6.3 Modelos aritméticos o algebraicos para la variable L

(1 2 r )S 5 a 2 rL a – rL 5 (1 – r )S 2rL 5 (1 2 r )S 2 a

(12 r )S 2 a L5 2r  L (12 r )S 2 a  Conjunto solución    5 2r   L

Problema sobre números enteros consecutivos Encuentra tres números enteros consecutivos, tales que la suma del primero más el triple del tercero sea igual al doble del segundo aumentado en 20 unidades: Solución: Sean x, x 1 1 y x 1 2 los números consecutivos. La suma del primero más el triple del tercero se expresa: x 1 3(x 1 2) El doble del segundo aumentado en 20 se expresa como: 2(x 1 1) 1 20 Como ambas expresiones deben ser iguales se tiene que: x 1 3(x 1 2) 5 2(x 1 1) 1 20

(1) 141

6 BLOQUE


es el modelo matemático o la ecuación que proporcionará la solución. x 1 3x 1 6 5 2x 1 2 1 20 x 1 3x 2 2x 5 2 6 1 2 1 20 2x 5 16 x 5 8 La solución de este ejercicio son los números 8, 9 y 10. Comprobación: Sustituye el valor encontrado para x en la ecuación (1) o modelo matemático. 8 1 3(8 1 2) 5 2(8 1 1) 1 20 8 1 30 5 18 1 20 38 5 38 Tal identidad comprueba la veracidad de la solución x 5 8, en consecuencia se tiene x 1 1 5 9 y, finalmente, x 1 2 5 10.

Problemas de monedas 1. Juan tiene 12 monedas más que Enrique y entre ambos suman 78. Determina cuántas monedas tiene cada uno. Solución: Consideramos M como las monedas que tiene Juan, entonces Enrique tiene M 2 12. La suma de ambas cantidades de monedas es 78, que se expresa como: M 1 (M 2 12) 5 78 (1) Quitando el paréntesis M 1 M 2 12 5 78 Asociando términos M 1 M 5 12 1 78 Reduciendo 2M 5 90 90 Despejando M5 2 M 5 45 monedas y M 2 12 5 33 monedas Juan tiene 45 monedas y Enrique 33. Comprobación: Sustituyendo el valor de M, en la ecuación (1) se tiene: 45 1 (45 2 12) 5 78 45 1 33 5 78 78 5 78 Tal identidad comprueba la veracidad de la solución encontrada. 2. En una alcancía hay monedas de $50, $100 y $200 que hacen un total de $9 600. El número de monedas de $100 es 142

el triple que las de $200, y el número de las de $50, el doble de las monedas de $100. ¿Cuántas monedas de cada denominación hay en la alcancía? Solución: Llamamos C al número de monedas de $100. Si el número de monedas de $50 es E y éste es el doble de las de $100, se expresa como: E 5 2C (2) Si el número de monedas de $200 es D y éste es un tercio de las de $100, se expresa: C D 5 (3) 3 La suma del número de monedas por su valor nominal debe ser igual a lo ahorrado. Esto es: C 50(2C) 1 100C 1 200  5 9 600 (1)  3 que es el modelo matemático. Multiplicado por 3 150(2C) 1 300C 1 200C 5 28 800 Efectuando productos 300C 1 300C 1 200C 5 28 800 Sumando términos semejantes 800C 5 28 800 Despejando 28 800 C 5 800 C 5 36 Al sustituir este resultado en las ecuaciones (2) y (3) manifiestan la solución siguiente: 36 monedas de $100, 72 de $50 y 12 de $200.

Problema de interés simple Un comerciante compró una mercancía en $800 000. Al venderla, su utilidad fue de 40% sobre una parte de aquélla y de 30% sobre el resto. El monto de su utilidad fue de $290 000. Determina la fracción de los $800 000 originales en los que ganó 40%. Solución: Si a la fracción de los $800 000 que ganó 40% se le llama x, entonces a la otra fracción se le llama 800 000 2 x: Si x produce una utilidad de 40% se expresa como: 0.40x 800 000 2 x produce una utilidad de 30% que se expresa como: 0.30(800 000 2 x)


La suma de ambas utilidades será igual a los $290 000 indicados en el texto.

Despejando

Reduciendo

80 18 4 T 54 9 El tiempo que ambas tardarán en desarrollar el trabajo encomen4 dado es de 4 horas. 9 Comprobación: Se deja al lector llegar a una identidad si sustituye el valor de T 5 40 en la ecuación (1). 9

x 5 500 000

Problema de mezclas

0.4x 1 0.3(800 000 2 x) 5 290 000

(1)

Multiplicando por 10 ambos miembros 4x 1 3(800 000 2 x) 5 2 900 000 Quitando el paréntesis 4x 1 2 400 000 2 3x 5 2 900 000 Asociando términos 4x 2 3x 5 2 900 000 2 2 400 000

La fracción de los $800 000 en que se gana 40% son $500 000.

T5

T(18x) 5 80x

¿Qué cantidad de agua debe agregarse a 40 litros de una solución de alcohol a 15% para reducir la concentración a 12%? Solución: Llámese x a la cantidad de agua en litros que debe agregarse a la solución. La cantidad de alcohol contenida en la mezcla es 0.15(40). El porcentaje de la concentración es el cociente del volumen de alcohol entre el total de la mezcla. Por tanto, el modelo matemático es: 0 . 15( 40) (1) 0 . 12 5 40 1x Quitando denominador 0.12(40 1 x) 5 0.15(40) Multiplicando por cien 12(40 1 x) 5 15(40) Ejecutando operaciones 480 1 12x 5 600 12x 5 600 2 480 12x 5 120 Despejando 120 x5 510 12 Se deben agregar 10 litros de agua a la mezcla original para reducir su concentración a 12%. Comprobación: Se deja al lector llegar a una identidad si sustituye x 5 10 en la ecuación (1) de este problema.

Dividiendo entre x

Problema de costos y mezclas

Comprobación: Al sustituir el valor de x en la ecuación (1) se tiene:

0.4(500 000) 1 0.3(300 000) 5 290 000

200 000 1 90 000 5 290 000

290 000 5 290 000

Tal identidad comprueba la veracidad de la solución encontrada.

Problema de distribuciones A una empleada se le asigna un trabajo que puede hacer en 8 horas. Si se le proporciona una ayudante que hace el mismo trabajo en 10 horas, ¿cuánto tardarán en hacerlo juntas? Solución: Si se le llama x al trabajo ejecutado, entonces: x x La empleada puede ejecutar del trabajo por hora. 8 10 x x La ayudante ejecuta del trabajo por hora. 8 10 Trabajando juntas, ejecutan la suma de las fracciones anteriores en cada hora, y todo el trabajo lo realizan en T horas. x x  T  1  5x (1)  8 10  Sumando (10 x 18 x ) T 5x 80 Multiplicando por ochenta

18T 5 80

¿Cuántos kilogramos de dulce, cuyo precio es de $1 000 cada uno, deben mezclarse con 6 kg de otro dulce que vale $750 el kilogramo, para vender la mezcla al precio de $900 por kilogramo? 143

6 BLOQUE


Solución: Sabemos que la velocidad uniforme es aquella que no varía con el tiempo, y también que la velocidad es el cociente que resulta de dividir la distancia recorrida entre el tiempo empleado en recorrerla, es decir:

velocidad 5 o bien:

Solución: Llámese x al número de kilogramos de dulce que cuesta $1 000 el kilogramo: 1 000x Lo que cuestan 6 kg de dulce a $750 el kilogramo, se expresa como: 750 (6) La suma de ese dinero debe ser igual a lo que cuestan los kilogramos totales (6 1 x) de la mezcla resultante. Esto se expresa así: 1 000x 1 750(6) 5 900(6 1 x), (1) que es el modelo matemático. Multiplicando 1 000x 1 4 500 5 5 400 1 900x Transponiendo términos 1 000x 2 900x 5 5 400 – 4 500 Reduciendo términos 100x 5 900 x 5 9 Comprobación: Se sustituye el valor x 5 9 en la ecuación (1). 1 000(9) 1 750(6) 5 900(6 1 9)

9 000 1 4 500 5 13 500

13 500 5 13 500

Tal identidad comprueba la solución dada.

Función Este concepto es muy importante dentro de las matemáticas. Los dos problemas que se analizan a continuación nos permitirán comprenderlo para después formalizarlo y estudiarlo con mayor amplitud. Ejemplos 1. Si un vehículo se mueve a una velocidad constante de 80 kilómetros por hora, determina la distancia que recorre en 1, 2, 3, 4, 5 y 6 horas.

144

distancia tiempo v5

de donde:

80 5

d 1 d d 80 5 1 2 d d d 80 5 1 2 3 d d d d 80 5 1 2 3 4 d d d d d 80 5 1 2 3 4 5 80 5

d t

d d d d d d , por tanto d 5 80 1 2 3 4 5 6 d d d d d , por tanto d 5 160 2 3 4 5 6 d d d d , por tanto d 5 240 3 4 5 6 d d d , por tanto d 5 320 4 5 6 d d , por tanto d 5 400 5 6 d , por tanto d 5 480 6

Con los valores dados y los obtenidos se puede construir la tabla linealmente: t

1

2

3

4

5

6

d

80

160

240

320

400

480

en la cual se observa que la velocidad es una constante, es decir:

d 80 160 240 320 400 480 5 5 5 5 580 v5 5 5 2 3 4 5 6 t 1 También se observa que los valores que toma la distancia dependen de los valores que toma el tiempo, de manera que a menor tiempo corresponde menor distancia, a mayor tiempo corresponde mayor distancia. Por tanto, la distancia y el tiempo son variables. La variable a la que se asignan valores, en este caso el tiempo, se denomina variable independiente; la variable cuyo valor se determina por el que toma aquélla, la distancia en este caso, se llama variable dependiente o función. En este problema, en consecuencia, diremos que la distancia es una función del tiempo. Los valores de la tabla se pueden representar en el plano coordenado para trazar la gráfica correspondiente. Dichos valores también se pueden disponer en una tabla en forma vertical. Los valores de la tabla se colocan de manera que en el primer renglón (o primera columna) queden los que corresponden a la variable independiente, y en el segundo renglón (o segunda co-


lumna) los que corresponden a la variable dependiente o función (figura 6.2). En el plano coordenado los valores de la variable independiente se localizan en el eje x o eje de las abscisas, mientras que los de la variable dependiente (o función) se ubican en el eje de las y o eje de las ordenadas. y DISTANCIA

t d 1 80

Al representar los valores de la tabla en el plano coordenado se puede trazar la gráfica (figura 6.3).

560

2 160

480

3 240

400

4 320

320

También se observa que los valores que toma el perímetro dependen de los valores que toma la longitud del lado, de manera que a menor longitud del lado corresponde menor perímetro, y a mayor longitud del lado corresponde mayor perímetro. Por tanto, el perímetro y la longitud del lado son las variables: a es la variable independiente y P es la variable dependiente o función. En otras palabras, el perímetro P es una función de la longitud del lado a.

Perímetro 80

240

5 400

60

160

6 480

80 1

2

3

4

5

6

7

TIEMPO

40

x

Figura 6.2

20

2. Se desea cercar un terreno que tiene forma cuadrada. Calcula el número de metros lineales de malla ciclónica que se necesitan para cada caso si la longitud del lado mide 10, 12, 14, 16, 18 y 20 metros.

2

Solución: Por geometría sabemos que el perímetro del cuadrado se obtiene sumando las longitudes de sus lados, que tienen la misma medida. Por consiguiente si designamos el perímetro con P y la longitud del lado igual con a, entonces: P 5 a 1 a 1 a 1 a o bien:

P 5 4a

de donde:

P 5 4(10), por tanto, P 5 40

P 5 4(12), por tanto, P 5 48

P 5 4(14), por tanto, P 5 56

P 5 4(16), por tanto, P 5 64

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Longitud del lado

Figura 6.3

En los dos problemas anteriores, la función se ha representado por una ecuación con dos variables, por una tabla de valores que satisfacen la ecuación y por una gráfica en el plano coordenado. La ecuación nos proporciona información completa y precisa en general; pero cuando se desea conocer un caso particular, algunos valores expresados en una tabla nos dan información de su comportamiento, y si esos valores se representan con puntos en el plano se obtiene el bosquejo de una gráfica del problema que se quiere resolver. Gradualmente se incorporarán más elementos en el estudio de la ecuación, la función y sus respectivas gráficas.

P 5 4(18), por tanto, P 5 72

Una variable es un símbolo que representa un elemento cualquiera de un conjunto específico de números.

P 5 4(20), por tanto, P 5 80

Una constante es un símbolo al que sólo se le puede asignar un valor.

Con los valores obtenidos se puede construir la tabla: a

10

12

14

16

18

20

P

40

48

56

64

72

80

en la que se observa que si se divide el perímetro entre la correspondiente longitud de lado se obtiene 4 como constante, que es el número de lados de la figura.

p 40 48 56 64 72 80 5 5 5 5 5 5 54 a 10 12 14 16 18 20

Actividad de aprendizaje ¿A qué se le llama variable independiente? ¿A qué se le llama variable dependiente o función? Una función es

145

6 BLOQUE


Para representar la gráfica de una función en el plano cartesiano,

Un precio: un número de inventario, un volumen, etcétera.

¿los valores de qué variable van en el eje x? ¿los valores de qué variable van en el eje y?

¿De qué formas se puede representar una función? ¿Qué es una variable?

Un régimen socioeconómico, una superficie, una altura sobre el nivel del mar, un clima, etcétera. Este tipo de relaciones también se establece entre las variables que intervienen en el estudio de un determinado fenómeno de la naturaleza, social, etc., ya sea para calcular un valor preciso o para hacer una estimación de los valores entre los cuales se espera un resultado.

¿Qué es una constante?

Ejemplos

Una relación es una regla de correspondencia que se establece entre los elementos de un primer conjunto, llamado dominio, con los elementos de un segundo conjunto, denominado contradominio, de tal manera que a cada elemento del dominio le corresponde uno o más elementos en el contradominio.

1. La longitud C de una circunferencia de radio r se puede determinar con la fórmula C 5 2p r, donde 2 y p son constantes mientras que C y r son variables, y como el valor de C depende del valor que toma r, se dice que la longitud de una circunferencia es una función de su radio.

Una función es una relación en la que a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo un elemento del contradominio.

2. El área A de un cuadrado de lado l se puede obtener con la fórmula A 5 l 2 en la que 2 es una constante, A y l son las variables, y como el valor de A depende del valor que tome l se dice que el área de un cuadrado es una función de su lado.

Relación

En consecuencia, toda función es una relación, pero algunas relaciones no son funciones. Para distinguir entre unas y otras veamos los ejemplos siguientes: 2. Dominio

Contradominio

País Capital Canadá Ottawa

Una relación establece la correspondencia o asociación entre los elementos de dos conjuntos de objetos.

A cada país se le asocia:

Estados Unidos

Washington

Francia París


Inglaterra Londres En esta relación, la regla de correspondencia se establece entre cada país y su respectiva capital. Como a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo uno del contradominio, la relación es una función.

¿Qué es una relación?

3. Dominio

Contradominio

País

Fiat

Italia

Renault

Francia

¿Cómo se define una función a partir del concepto de relación?

Marca de automóvil

Citröen Ejemplos 1. A cada persona se le asocia: Una edad, una estatura, un peso, etcétera.

A cada automóvil se le asocia:

Un modelo, un número de motor, un número de placas (matrícula), etcétera.

146

En un almacén, a cada artículo se le asocia:

Toyota

Japón

En esta relación, la regla de correspondencia se establece entre una marca de automóvil y el país al que pertenece. Observa que dos elementos del dominio están relacionados con un mismo elemento del contradominio; sin embargo, a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo uno del contradominio, por tanto, esta relación es una función.


4. Dominio

Contradominio

Idioma oficial

País

Francia

la función f”, o simplemente “y igual a f de x”. Dado que y 5 f (x), el par ordenado (x, y) se expresa de la siguiente forma: (x, y) 5 (x, f (x)).

francés


inglés

A partir del concepto de conjunto de pares ordenados, ¿cómo se define una relación?, ¿cómo se define una función?

Canadá Inglaterra

La regla de correspondencia de esta relación se establece entre cada país y el idioma oficial que se habla en cada uno. Se observa que un elemento del dominio (Canadá) está relacionado con dos elementos del contradominio (francés e inglés). Esta relación no es una función porque no se cumple el criterio de que a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo uno del contradominio. 5. Dominio

Contradominio

Ejemplos

x 2

En el ejemplo anterior (5) se establece la relación entre un número y su respectivo cuadrado. La regla de correspondencia se puede expresar así:

2

0

y 5 x 2

1

1

x

0

21

22

4

En esta relación la regla de correspondencia se establece entre un número y su respectivo cuadrado. Se observa que los elementos del dominio 2 y 22 están relacionados con un mismo elemento del contradominio: 4; lo mismo ocurre con el 1 y el 21 que están relacionados con el 1. Sin embargo, se cumple el criterio de que a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo uno del contradominio, por lo cual esta relación es una función. La mayoría de los dominios y contradominios a que haremos referencia son conjuntos de números cuyos elementos estarán asociados mediante una regla de correspondencia expresada como una ecuación con dos variables.

Notación de función Si en una función al dominio se le llama conjunto A y al contradominio se le llama conjunto B, entonces la función se simboliza: f: A→B f o bien: A → B que en ambos casos se lee: “función de A en B”. Un elemento cualquiera del dominio se representa con la letra x (variable independiente). Un elemento cualquiera del contradominio se representa con la letra y (variable dependiente o función). El elemento y de B correspondiente a un elemento x de A recibe el nombre de imagen de éste. El elemento y de B que es imagen de un elemento x de A se simboliza de esta manera: y 5 f (x) que se lee “y es imagen de x según

f (x ) 5 x 2

o bien:

El dominio de esta función es A 5 {2, 1, 0, 2l, 22}, de manera que las imágenes de los elementos de A se obtienen o expresan como sigue: f (2) 5 22 5 4

“4 es la imagen de 2”

2


2


2


2


f (1) 5 1 5 1 fv (0) 5 0 5 0 f (21) 5 (21) 5 1 f (22) 5 (22) 5 4

Con estos valores se obtienen los pares ordenados (2, 4), (1, 1), (0, 0), (21, 1) y (22, 4), por lo cual la función f también se puede expresar como un conjunto de pares ordenados así: f 5 {(2, 4), (1,1), (0, 0), (21, 1), (22, 4)} Como se observa, el primer componente de cada par ordenado es un elemento del dominio, y el segundo componente o imagen es un elemento del contradominio. Sin embargo, no todo conjunto de pares ordenados representa una función en la cual, por definición, a cada elemento del dominio le corresponde una y sólo una imagen. Si al aplicar este criterio en un conjunto de pares ordenados se observa que no existen dos pares diferentes con el mismo primer elemento, entonces es una función. En caso de que en un conjunto de pares ordenados existan dos diferentes con el mismo primer elemento, significará que un elemento del dominio tiene dos imágenes y, por tanto, no es una función. Antes se dieron los conceptos de relación y de función como una regla de correspondencia. Con base en la información adicional podemos definir cada una de manera equivalente como un conjunto. Una relación es cualquier conjunto de pares ordenados de elementos. Una función es una relación en la que no hay dos pares ordenados diferentes con el mismo primer elemento.

147

6 BLOQUE


Relación entre funciones y ecuaciones lineales. Ecuación en dos variables y 5 mx 1 b como forma de la función lineal, y ecuaciones en una variable a 5 mx 1 b como casos particulares La representación gráfica de una ecuación de primer grado con una o dos incógnitas es una línea recta. Por ello, también se le denomina ecuación lineal. Una ecuación de primer grado con dos incógnitas es de la forma: Ax 1 By 1 C 5 0

Con estos valores se obtiene la tabla: x

y

Puntos

6

A

2

22 2 3

23

4

C

Al representar en el plano coordenado los puntos A, B y C se observa que son colineales, es decir, que están sobre una misma recta que representa a la ecuación (figura 6.4).

donde A, B y C son constantes, en tanto que x y y son las variables: A y B no pueden ser iguales a cero simultáneamente.

y

Una solución de la ecuación es todo par ordenado (x, y) que satisface a esta última, de tal manera que para cada valor real de x se obtiene uno de y. Por consiguiente, la ecuación tiene un número infinito de soluciones con las que se forma el conjunto solución.

C (-3,4)

x'

B(2, 2 ) 3 2x + A (6,-2) x 3y = 6

0

Si se denota a éste con S entonces: S 5 {(x, y)|Ax 1 By 1 C 5 0} Para representar en el plano coordenado la gráfica de una ecuación de primer grado con dos variables, se procede a asignar valores arbitrarios a x y se calculan los que corresponden a y. Así se determinan algunos pares ordenados del conjunto solución, que al localizarse en el plano coordenado determinan la posición de la recta que representa a la ecuación. Por geometría sabemos que dos puntos del plano determinan una recta, sin embargo, es conveniente obtener las coordenadas de por lo menos un tercer punto como comprobación.

1. Traza la gráfica de la ecuación 2x 1 3y 5 6. Solución: Se despeja la variable y : 2x 1 3y 5 6 3y 5 6 2 2x

622x y5 3

Se asignan a x tres valores arbitrarios que faciliten el cálculo de y, como los siguientes: para x 5 6 para x 5 2 para x 5 23

148

y' Figura 6.4

La recta se prolonga indefinidamente en ambos sentidos. Las coordenadas de cualquier punto de la recta satisfacen la ecuación, es decir, cumplen la relación de igualdad que la ecuación establece; si un punto no pertenece a la recta, sus coordenadas no satisfacen la ecuación, e inversamente. Otra forma de trazar la gráfica de la ecuación 2x 1 3y 5 6 es por medio de sus coordenadas en el origen.

Ejemplos

B

6 2 2(6) 6 212 26 y5 5 22 5 5 3 3 3 6 2 2(2) 6 2 4 2 y5 5 5 3 3 3 6 2 2(23) 6 16 12 y5 5 5 54 3 3 3

Las distancias del origen a los puntos de intersección de la recta con los ejes se denominan coordenadas en el origen. La intersección de la recta con el eje xx’ determina la abscisa en el origen. En dicho punto la ordenada es y 5 0, por lo que sus coordenadas son (x, 0). La intersección de la recta con el eje yy’ determina la ordenada en el origen. En dicho punto la abscisa es x 5 0, por lo que sus coordenadas son (0, y ). Por tanto, en la ecuación 2x 1 3y 5 6: Si x 5 0, el término en x se anula y la ecuación se reduce a 3y 5 6 de donde y 5 2, con lo cual se obtiene el punto de coordenadas (0, 2). Si y 5 0, el término en y se anula y la ecuación se reduce a 2x 5 6, de donde x 5 3, así se obtiene el punto de coordenadas (3, 0). Estos dos puntos determinan la recta que representa la ecuación (figura 6.5). Ordenada en el origen


2. Traza la gráfica de la ecuación 3x 2 4y 5 7 por medio de:

y

a) Una tabla de valores de coordenadas. b) Sus coordenadas en el origen. Solución: a) Despejando y en la ecuación:

3x

3x 2 4y 5 7

x'

3x 5 7 1 4y 3x 2 7 5 4y

o bien:

= 7 P(5, -2)

x

Q(1, -1)

R(-3, -4)

3x 2 7 5y 4 3x 2 7 y5 4

0

4y

y' Figura 6.6

y

x y Puntos 5 2 P 1

21

Q

23

24

R 3

y

x'

7

x

0

(0, 2) (3, 0) 0

2x + Abscisa 3y = en el origen 6

}

x'

}

Ordenada en el origen

y=

4 x-

y'

x Figura 6.7

Cuando en la ecuación:

Ax 1 By 1 C 5 0

A 5 0, la ecuación se reduce a: y' Figura 6.5

b) En la ecuación 3x 2 4y 5 7 Si x 5 0 Si y 5 0

7 27 27 3 3 y 5 y 552152 (0, 1 2 ) 4 4 4 4 4 7 71 1 7 7  2  , 0 , 0  x 5 x5 52 5 3 33 3 3 3 

Como era de esperarse, la gráfica de la ecuación es la misma en las figuras 6.6 y 6.7.

By 1 C 5 0

2C B

que también se puede expresar así:

y5

o bien:

y 5 k (k constante)

cuya representación en el plano coordenado corresponde a una recta paralela al eje xx’ si k ≠ 0, o bien al eje xx’ si k 5 0. 3. Traza la gráfica de la ecuación 2y 2 3 5 0. Solución: La ecuación 2y 2 3 5 0 puede expresarse como 0x 1 2y 2 3 5 0, donde se observa que A 5 0. Si en la ecuación 2y 2 3 5 0 se despeja y, se obtiene: 2y 5 3 y5

3 2 149

6 BLOQUE


y

entonces, los puntos de la recta tienen las coordenadas (x,

3 ); 2

es decir, que para cualquier valor de la abscisa, la ordenada vale

ordenada es

2

(figura 6.8).

2x + 8 = 0

3 . Esto significa que la recta es paralela al eje xx’ por donde la 2 3 x'

x

0

y

y' Figura 6.9

2y - 3 = 0 x'

x

0

Pendiente de una recta Si representamos en el plano coordenado los puntos P(25, 21), Q(1, 3) y R(4, 5), observaremos que los tres son colineales (figura 6.10). Veamos la relación que guardan entre sí las coordenadas de dos puntos cualesquiera de una recta, sin importar el orden en que tomemos los dos puntos considerados.

y' Figura 6.8

Cuando en la ecuación: Ax 1 By 1 C 5 0 B 5 0, la ecuación se reduce a: Ax 1 C 5 0 que también se puede expresar así: x 5 o bien:

Si tomamos las coordenadas de los puntos P y Q en ese orden, tenemos: P(25, 21), Q(1, 3)

2C A

y

x 5 k (k constante)

cuya representación en el plano coordenado corresponde: a una recta paralela al eje yy’ si k ≠ 0, o bien al eje yy’ si k 5 0.

R(4, 5)

Q

4. Traza la gráfica de la ecuación 2x 1 8 5 0 (figura 6.9). Solución:

V

0

La ecuación 2x 1 8 5 0 se puede expresar así 2x 1 0y 1 8 5 0 en donde se puede observar que B 5 0.

P(-5, -1)

S

T

x

Si en la ecuación 2x 1 8 5 0 se despeja x, se obtiene: 2x 5 28; x 5 2

8 ; x 5 24 2

entonces los puntos de la recta tienen como coordenadas (24, y ), es decir, que para cualquier valor de la ordenada, la abscisa vale –4. Esto significa que la recta es paralela al eje yy’ por donde la abscisa es 24.

Figura 6.10

diferencia de ordenadas 5 3 2 (21) 5 3 1 1 5 4 5 2 diferencia de abscisas 12 (25) 1 1 5 6 3 Si tomamos como primer punto a Q y como segundo punto a P, se tiene:

150


diferencia de ordenadas 5 21 23 5 24 5 2 diferencia de abscisas 25 21 26 3 Consideremos ahora los puntos Q(1, 3) y R(4, 5) en ese orden: diferencia de ordenadas 5 5 2 3 5 2 diferencia de abscisas 4 2 1 5 3 Si R es el primer punto y Q es el segundo punto: diferencia de ordenadas 5 3 2 5 5 22 5 2 diferencia de abscisas 1 2 4 23 3

Cualquier recta horizontal tiene una inclinación de 0° y como tan 0° 5 0, se dice que su pendiente es cero.

Si procedemos de manera semejante con las coordenadas de dos puntos distintos de una recta no vertical, obtendremos siempre un mismo número que denominaremos pendiente.

¿Cuál es la pendiente de una recta paralela al eje x ?

La pendiente de una recta se simboliza con la letra m y se le define así: dados los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) y 2y m5 2 1 x 2 2 x1 x1 ≠ x2 es decir, para los puntos P1 y P2, m es el cociente de la diferencia de las ordenadas entre la diferencia de las abscisas correspondientes o tomadas en el mismo orden. La pendiente expresa una inclinación, ésta es, precisamente, la tangente de un ángulo a formado por la recta con el eje x, o sea: m 5 tan a El ángulo a se mide a partir del eje x en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj y su valor puede variar entre 0° y 180°. Por trigonometría sabemos que en un triángulo rectángulo la tangente de un ángulo agudo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente, por tanto: y tan a 5 5 m x Observa en la figura 6.10 que los segmentos PT y QV son paralelos al eje x, en consecuencia, el ángulo que forman éstos con la recta es el mismo que forma el eje x con la recta. En el triángulo rectángulo QVR la tangente del ángulo a es: VR y 2 tan ∞ 5 5 5 QV x 3 4 2 hacia arriba y 3 SQ y 2 unidades esto significa que el punto R se encuentra tan ∞ 5 5 5 5 unidades hacia la derecha respecto al punto Q. PS x 6 3 VR y 2 y 6 PSQ 2 la tangente del De manera similar, en 5 TR5rectángulo 5 tanel∞triángulo tan ∞ 5 32 5 QV xy 5 VR 5 ángulo a es: x 9 3 tan ∞ 5 PT5 5 SQ QV yx 43 2 tan ∞ 5 5 5 5 PS xy 64 32 SQ tan ∞ 5 5 5 5 y para el triángulo rectánguloTR PTR: y 6 2 tan ∞ 5 PS 5 x5 65 3 PT TR xy 96 32 tan ∞ 5 5 5 5 PT x 9 3

Cualquier recta vertical es perpendicular al eje x, por tanto, su ángulo de inclinación es de 90° y como tan 90° no está definida, entonces la pendiente de una recta perpendicular al eje x, no existe. Actividad de aprendizaje

¿Por qué se dice que no existe la pendiente de una recta paralela al eje y ?

Ejemplos Para cada par de puntos traza la recta que determinan y calcula su pendiente. a ) P (23, 21), Q (2, 3) b ) P (21, 3), Q (2, 22) c ) P (24, 2), Q (2, 2) d ) P (3, 5), Q (3, 23) y

Q(2, 3)

x

0

P(-3, -1)

Figura 6.11 m5

32( 21) 4 5 2 2( 23) 5

m5

222 0 5 50 2 2(2 4) 6

m5

32( 2 2) 5 5 2 2( 21) 3

m5

23 2 5 28 5 3 23 0 151

6 BLOQUE


y

y

P(3, 5) P(-1, 3)

x

0

Q(2, -2)

x

0 Q(3, -3)

Figura 6.12

m5

32( 21) 4 5 2 2( 23) 5

m5

222 0 5 50 2 2(2 4) 6

m5

32( 2 2) 5 5 2 2( 21) 3

m5

P(-4, 2)

m5

32( 21) 4 32( 2 2) 5 5 5 6.14m 5 Figura 2 2( 23) 5 2 2( 21) 3

m5

222 0 5 50 2 2(2 4) 6

28 2 y 3 25 5 3 23 0

m5

23 2 5 28 (no existe) 5 3 23 0

Parámetros m y b para determinar el comportamiento de la gráfica de una función lineal

Q(2, 2) 0

x

Dentro de las diferentes formas de expresar la ecuación de una recta, la expresión Ax 1 By 1 C 5 0 se conoce como la forma canónica. Si de ésta se despeja la variable y se obtiene: Ax 1 By 1 C 5 0 By 5 2Ax 2 C

Figura 6.13

m5

32( 21) 4 5 2 2( 23) 5

m5

222 0 5 50 2 2(2 4) 6

m5

32( 2 2) 5 5 2 2( 21) 3

m5

23 2 5 28 5 3 23 0

y 5 2 Ax/B – C/B

Esta ecuación tiene la forma y 5 mx 1 b a la que se le da el nombre de pendiente-ordenada en el origen, donde m es la pendiente y corresponde al número –A/B, y b es la ordenada en el origen y corresponde al número –C/B. Para expresar la ecuación de una recta en la forma pendiente-ordenada en el origen a partir de la forma canónica, se observa que la pendiente se obtiene dividiendo el simétrico del coeficiente de x entre el coeficiente de y. La ordenada en el origen se obtiene dividiendo el simétrico de C entre el coeficiente de y. Forma canónica Forma pendienteordenada en el origen a) 2x 1 y 1 1 5 0

152

22 1 x2 1 1 24 2 1 6 y 5 22x y5 x1 2 2 2 ( 2 7) 23 y5 x1 2 4 4 23 7 y5 x1 4 4

a) y 5

22 21 y 5 2 2 x 221 y5 1 x 2 1 21 4 16 b) 4x 1 2y 1 6 5 0 b) y 5 224 x 1 262 y5 x1 2 y 5 22x 2 3 2 3 2( 2 7) 2 y 5 23 x 1 2( 2 7) c) 3x 1 4y 2 7 5 0 c) y 5 4 x 1 2 4 43 2 7 4 y 5 23 x 1 7 y 5 4 x 1 4 4 4



Se localiza en el eje y a la ordenada en el origen, es decir al punto (0, 2). A partir de este punto se toman tres unidades hacia arriba y cuatro hacia la derecha, pues tanto y como x son positivas; o bien, a partir del punto se toman tres unidades hacia abajo y cuatro hacia la izquierda, considerando a y y a x como negativas (figura 6.15). Al trazar la recta que pasa por dos de los puntos localizados, se observa que también contiene al tercero. 2. Traza la gráfica de la ecuación y 5 2x 2 3.

2 22 y m 5 2 5 5 5 , b 5 23 1 21 x

Expresa la ecuación 2x 1 3y 2 1 5 0 en la forma y 5 mx 1 b.

Se localiza el punto (0, 23) y a partir de él se toman dos unidades hacia arriba y una a la derecha, o bien dos hacia abajo y una a la izquierda.

Los tres puntos son colineales y la recta que los contiene representa a la ecuación dada (figura 6.16).

Técnicas para graficar la función lineal Para trazar en el plano coordenado la recta que representa a una ecuación de la forma y 5 mx 1 b se hace lo siguiente:

3. Traza la gráfica de la ecuación y 5

22 x 21. 3

Solución: Ejemplos

m5 3 4

1. Traza la gráfica de la ecuación y 5 x 1 2.

Se localiza el punto (0, 21) y a partir de él se toman dos unidades hacia abajo y tres a la derecha, o bien, dos unidades hacia arriba y tres hacia la izquierda, con lo cual se determinan tres puntos que permiten trazar la gráfica de la ecuación dada (figura 6.17).

y

3 x+ y= 4

(0, 2)

22 22 2 5 5 , b 5 21 3 3 23

2

0

y

x

x (0, -3)

y=

2x -

3

0

Figura 6.15

Solución: Se identifica la pendiente y la ordenada en el origen:

3 23 y 5 , b 52 m5 5 4 24 x

Figura 6.16

153

6 BLOQUE


y

y= 2 3 x-1 0

x

(0, -1)

By 5 2Ax 2 C A C y 5 2 x 2 si B ≠ 0 B B que es de la forma y 5 mx 1 b, en la que la variable y está expresada en función de la variable x, es decir, y es la variable dependiente y x es la variable independiente.

Figura 6.17

4. Traza la gráfica de la ecuación y 5

m5

Una función es una terna compuesta por: Un primer conjunto no vacío llamado dominio de la función. Un segundo conjunto no vacío llamado contradominio de la función. Una regla de correspondencia que cumple con las siguientes condiciones: A cualquier elemento del dominio, por medio de la regla, se le puede asociar un elemento del contradominio. Ningún elemento del dominio queda sin su asociado en el contradominio. Ningún elemento del dominio puede tener más de un asociado en el contradominio. Si de la ecuación de la recta en su forma canónica se despeja la variable y se obtiene Ax 1 By 1 C 5 0:

22 x. 5

22 22 2 5 5 5 5 25

Como en este caso la ordenada en el origen es cero, significa que la recta pasa por el origen. A partir de éste se toman dos unidades hacia arriba y cinco a la izquierda, o bien, dos unidades hacia abajo y cinco a la derecha, con lo cual se tienen tres puntos que están contenidos en la recta que representa a la ecuación (figura 6.18). y

A C Como y 5 f (x) entonces la ecuación y 5 2 x 2 se puede B B expresar como una función: A C f ( x )5 2 x 2 B B y, en general, la ecuación lineal y 5 mx 1 b se puede expresar como una función lineal: f (x) 5 mx 1 b A este respecto es conveniente precisar la diferencia entre una ecuación lineal y una función lineal.

y=- 2 5 x 0

x

Figura 6.18

Representación gráfica de la función lineal y su relación con la ecuación de primer grado Recordemos la definición y la notación de función que se trataron anteriormente. 154

Una ecuación es una igualdad que contiene uno o más números indeterminados, mientras que función es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de un conjunto con uno y sólo un elemento de otro conjunto. En la ecuación x 1 3 5 7 se establece la condición de que si a x se le suma 3 se obtiene como resultado 7, en consecuencia x 5 4. En cambio, en una función podemos elegir cualquier valor dentro de su dominio y determinar el que le corresponde en el contradominio. Así, en la función f (x) 5 x 1 3, la regla de correspondencia establece que para cualquier valor de x dentro de su dominio al sumarle 3 se obtiene su asociado en el contradominio. Si el dominio de la función es el conjunto de los números reales, entonces algunos pares ordenados de la función son: f (2) 5 2 1 3 5 5

(2, 5)

f (0) 5 0 1 3 5 3

(0, 3)

f (23) 5 23 1 3 5 0

(23, 0)

 1 7  ,  2 2

1  1 1 f   5 13 53  2 2 2


Actividad de aprendizaje ¿Cuál es la diferencia entre una ecuación lineal y una función lineal?

Gráfica de una función lineal La representación gráfica de una función lineal nos permite identificar, según el trazo, algunas de sus características y propiedades. En el plano coordenado un punto cualquiera está asociado con un par ordenado, e inversamente, a un par ordenado le corresponde un punto; por consiguiente, si una función se define como un conjunto de pares ordenados entonces se puede representar su gráfica en el plano cartesiano.

Como el dominio y contradominio de la función están constituidos por el conjunto de los números naturales, tomaremos a los cuatro primeros: f (1) 5 2(1) 1 1 5 2 1 1 5 3 f (2) 5 2(2) 1 1 5 4 1 1 5 5 f (3) 5 2(3) 1 1 5 6 1 1 5 7 f (4) 5 2(4) 1 1 5 8 1 1 5 9 con los que se obtienen los pares ordenados: (1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9) que pueden representarse geométricamente en la figura 6.19. Los puntos representados solamente son cuatro de la infinidad de puntos de la gráfica de la función. Observa que son colineales, es decir, están sobre una misma línea recta pero no se traza la línea sugerida por los puntos porque el dominio de la función es el conjunto de los números naturales y entre dos consecutivos no existe otro número natural, por consiguiente, tampoco existe su respectiva imagen bajo la función. 2. Sea la función: Z

Recuerda que f: A → B denota una función cuyo dominio es el conjunto A y su contradominio es el conjunto B.

9 8 7 6 5 4 3 2 1

Ejemplos 1. Representa en el plano coordenado la función f :N → N, tal que f (x ) 5 2x 1 1. N 9 8 7 6 5 4 3 2 1

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -11 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

Z

Figura 6.20 1 2 3 4 5 6 7 8 9

N

Figura 6.19

Solución: Se determinan algunos puntos cuyas coordenadas son pares ordenados que pertenecen a la función.

f :Z → Z, f (x ) 5 2x 1 1 Representando en el plano algunos de los puntos de su gráfica se tiene: f (24) 5 2(24) 1 1 5 28 1 1 5 27 f (23) 5 2(23) 1 1 5 26 1 1 5 25 f (22) 5 2(22) 1 1 5 24 1 1 5 23 f (21) 5 2(21) 1 1 5 22 1 1 5 21 f (0) 5 2(0) 1 1 5 0 1 1 5 1 f (1) 5 2(1) 1 1 5 2 1 1 5 3 f (2) 5 2(2) 1 1 5 4 1 1 5 5 f (3) 5 2(3) 1 1 5 6 1 1 5 7 f (4) 5 2(4) 1 1 5 8 1 1 5 9

155

6 BLOQUE


por tanto, los pares ordenados son (24, 27), (23, 25), (22, 23), (21, 21), (0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7) y (4, 9) que se representan en la figura 6.20.

R 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Esta función y la anterior son diferentes, pues aunque su regla de correspondencia es la misma tienen distinto dominio y contradominio. En la figura 6.19 tampoco se unen los puntos colineales, ya que entre dos enteros consecutivos cualesquiera no hay otro número entero, consecuentemente no existe su imagen bajo la función (figura 6.20).

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -11 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

3. Sea la función: Q 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -11 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

R

Figura 6.22

Q

Actividad de aprendizaje Para determinar si una gráfica representa o no una función se utiliza el criterio de la vertical, ¿en qué consiste ese criterio?

Figura 6.21

f :Q → Q, f (x ) 5 2x 1 1 Esta función tiene la misma regla de correspondencia que las anteriores, pero su dominio y contradominio son distintos. Siguiendo un razonamiento análogo a los casos anteriores, en la representación geométrica de la gráfica de la función se observa mayor número de puntos colineales, los cuales permiten trazar la recta que los une casi de manera completa, pero todavía quedan los “huecos”, que corresponden a los números irracionales que no pertenecen al dominio de definición de la función (figura 6.21). 4. Si se considera f :R → R, f (x ) 5 2x 1 1, diferente a las tres anteriores por su respectivo dominio y contradominio, su representación geométrica será una línea recta. Los puntos suspensivos de la línea recta indican que la gráfica continúa. Una función se define por tres elementos: el dominio, el contradominio y la regla de correspondencia, de tal manera que al modificar uno de ellos se obtiene una función diferente (figura 6.22).

156

Función real Una función real de variable real, o sencillamente función real, es aquélla cuyo dominio y contradominio son subconjuntos de los números reales. En lo sucesivo, cuando se haga referencia a una función deberá entenderse que se trata de una función real.

Criterio de la vertical Al definir una función como un conjunto de pares ordenados, se ha establecido que dos pares diferentes no tienen el mismo primer componente. Esto significa que al representar geométricamente la gráfica de una función a cada punto le corresponde diferente abscisa, de manera que al trazar rectas paralelas al eje de las y por cualquier valor del dominio, cada una corta a la representación geométrica en un punto. Si sólo se da la representación geométrica de una gráfica para determinar si representa o no a una función, por su dominio se trazan rectas paralelas al eje de las y, y si una de ellas la corta en más de un punto entonces no corresponde a una función, pues existe al menos un elemento del dominio que tiene más de una imagen.


Ejemplos A 5 {x ∈ R|25 < x ≤ 5} 1. Representa a una función porque cualquier paralela al eje y corta a la curva en un solo punto (figura 6.23). Su dominio es el conjunto de los números reales y su imagen son los reales no negativos, es decir,

C 5 {y ∈ R|23 < x ≤ 3} Como podrás observar en la gráfica, la representación geométrica de la función lineal es una línea recta. Sin embargo, es conveniente aclarar que no todas las líneas rectas representan funciones lineales, de hecho, las rectas que son paralelas al eje de las y ni siquiera representan funciones.

A 5 R, C 5 R1 ∪ {0} El dominio de la función es el conjunto de todos los valores que puede tomar la x, y el conjunto imagen está formado por todos los valores que puede tomar y bajo la función.

y

2. No representa una función porque al trazar paralelas al eje de las y se observa que cada una de ellas corta a la curva en dos puntos, es decir, cada elemento del dominio tiene dos imágenes, excepto el cero (figura 6.24).

3 5

-5

y

x -3

x

Figura 6.25

Actividad de aprendizaje En una función creciente, ¿qué signo tiene la pendiente?

Figura 6.23

y

En una función decreciente, ¿qué signo tiene la pendiente?

x

Función creciente

Figura 6.24

3. Representa una función porque los puntos (25, 0) y (0, 23) no pertenecen a la gráfica, el dominio e imagen de la función son, respectivamente, los conjuntos (figura 6.25):

Si los puntos x1, x2 son tales que x1 < x2, como se ilustra en la figura, y se obtienen sus respectivas imágenes que mantienen la siguiente relación: f (x1) < f (x2), entonces la representación geométrica corresponde a una función creciente, es decir, cuando x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). En la figura 6.26 también se puede observar que el ángulo de inclinación de la recta es agudo, en consecuencia la pendiente es positiva, m > 0. Por tanto, decir que una función lineal es creciente significa que tiene pendiente positiva y viceversa. 157

6 BLOQUE

Resuelves ecuaciones lineales I f (x)


f (x3 )

Si la ecuación de una recta se expresa en la forma y 5 mx 1 b, ¿qué representa la m? ¿Qué representa la b?

f (x2 )

Traza en el plano cartesiano la función f (x ) 5 2 5x 2 3.

x1

x2

x3

x

f (x1 )

Ejemplos A continuación se muestran los posibles casos de la representación geométrica de una función lineal.

Figura 6.26

1.

Función decreciente Cuando los puntos x1, x2 son tales que x1 < x2 y sus respectivas imágenes guardan entre sí la relación f (x1) > f (x2), de manera que x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2), entonces se trata de una función decreciente. Dicho de otra manera, cuando al aumentar el valor de x, también aumenta el valor de sus respectivas imágenes se trata de una función creciente; pero si al aumentar el valor de x disminuye el de sus respectivas imágenes, entonces la función es decreciente. En la figura 6.27 el ángulo de inclinación de la recta es obtuso, en consecuencia, la pendiente es negativa, m < 0. Por tanto, decir que una función lineal es decreciente significa que tiene pendiente negativa y viceversa. Cuando la recta es paralela al eje x, su ángulo de inclinación es 0°, por ello su pendiente es cero. Esto significa que la función correspondiente no es creciente ni decreciente. Lo ya expuesto nos permite, mediante una simple inspección de la expresión algebraica de la función lineal, identificar cuando es creciente (m > 0) o decreciente (m < 0).

y

x

Figura 6.28

m > 0, b 5 0, creciente 2.

y

f (x)

f (x3 )

x

f (x2 ) x1

x2

x3

x

f (x3 )

Figura 6.29

m > 0, b > 0, creciente Figura 6.27

158

3.


6.

y

y

x

x

Figura 6.30 m

> 0, b < 0, creciente

Figura 6.33 m

7.

4.

< 0, b < 0, decreciente y

y

x

x

Figura 6.31 m

< 0, b 5 0, decreciente 8.

5.

Figura 6.34 m

5 0, b > 0, constante y

y

x

x

Figura 6.32 m

< 0, b > 0, decreciente

Figura 6.35 m

5 0, b < 0, constante

159

6 BLOQUE


9. En una empresa, un obrero gana cinco unidades de dinero por cada hora de trabajo en una jornada de 40 horas a la semana, el tiempo extra se le paga al doble con un máximo permisible de 10 horas a la semana. La expresión algebraica que describe el sueldo semanal es f (x ) 5 200 1 10x (figura 6.36).

Solución: a) f (0) 5 200 1 10(0) 5 200 1 0 5 200 f (1) 5 200 1 10(1) 5 200 1 10 5 210 f (2) 5 200 1 10(2) 5 200 1 20 5 220

a ) Determina el sueldo semanal cuando el obrero trabaja 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 o 10 horas extras.

f (3) 5 200 1 10(3) 5 200 1 30 5 230 f (4) 5 200 1 10(4) 5 200 1 40 5 240

b ) Construye la gráfica.

f (5) 5 200 1 10(5) 5 200 1 50 5 250

c ) Decide si la función es creciente o decreciente.

f (6) 5 200 1 10(6) 5 200 1 60 5 260

d ) Determina el dominio, contradominio e imagen de la función.

f (7) 5 200 1 10(7) 5 200 1 70 5 270 f (8) 5 200 1 10(8) 5 200 1 80 5 280 f (9) 5 200 1 10(9) 5 200 1 90 5 290 f (10) 5 200 1 10(10) 5 200 1 100 5 300

b )

300

200

100

1

Figura 6.36

c ) Creciente d ) A 5 {x ∈ R|0 ≤ x ≤ 10} C 5 {y ∈ R|200 ≤ y ≤ 300} B 5 C

160

2

3

4

5

6

7

8

9

10

horas


Aplicación de las TICs 1. Funciones lineales. a) En una fábrica de ropa, el costo C(x) de producir x número de prendas de vestir está dado por C(x) 5 60x 1 4 000. b) Grafica la función, puedes emplear WolframAlpha para hacerlo. • Tip 1. Para indicarle a la plataforma que quieres hacer una gráfica puedes emplear la instrucción “Plot” seguida de la función que quieres graficar.

• Tip 2. Si quieres especifica el intervalo de graficación en la plataforma. La sintaxis de esa instrucción es la siguiente: “Plot[{función},{x, valor mínimo, valor máximo}]”, puedes probar con el siguiente ejemplo: Plot[{x^2},{x, 22, 2}]. c) ¿Cuál es el costo de cada prenda de vestir? d) ¿Cuántas prendas debemos producir para tener ganancias? e) ¿Cuál es el costo de producir 10 000 prendas de vestir?


Hora inicio:

Hora final:

Fecha:

Equipo:

Problemática asignada: Resuelves ecuaciones lineales I. Propósito: Registrar el papel que asumen los estudiantes al enfrentarse a la problemática de resolver problemas aritméticos y algebraicos, así como a los roles que les corresponde como actores de su propio proceso de aprendizaje. Criterio/conducta observable

Cumple Sí

No

Comentarios

Representa relaciones entre magnitudes. Identifica ecuaciones lineales. Comprende el concepto de ecuación lineal con una incógnita. Realiza el planteamiento de problemas utilizando modelos algebraicos. Utiliza diversas técnicas para resolver ecuaciones lineales en una variable. Usa una calculadora graficadora o una computadora para representar gráficamente una ecuación. Utiliza modelos aritméticos o algebraicos. Resuelve problemas que dan lugar a ecuaciones de primer grado con una incógnita. Comprende los conceptos de relación y de función. Establece la relación entre la ecuación lineal y la función lineal. Comentarios generales:

161

6 BLOQUE




1

2


Debo mejorar en…

Identifico lo que es una ecuación lineal en una variable y una función lineal, así como la relación entre ellas. Reconozco a y 5 mx 1 b como una ecuación de dos variables como la forma de una función lineal. Aplico diversas técnicas para graficar una función lineal. Modelo situaciones para escribirlas como una ecuación lineal y/o una función lineal. Redacto y resuelvo problemas relativos a situaciones que requieran el uso de ecuaciones lineales en una variable y/o funciones lineales. Describo el comportamiento de las variables y/o resultados al solucionar problemas de ecuaciones y/o funciones lineales, tanto algebraica como gráficamente. Aplico diferentes técnicas para construir la gráfica de una función lineal. Describo el comportamiento de la gráfica de una función lineal. Represento relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas situaciones.


2. Bien

1. Regular



1


162

2

3

4

5



1. Determina tres números enteros impares consecutivos, tales que la suma de los dos primeros sea igual al triple del tercero menos 19.

6. Expresa la ecuación 2x 1 5y 1 15 5 0 en la forma y 5 mx 1 b.

2. ¿Cuánto por ciento de agua debe evaporarse de una solución salina de 6% de concentración para aumentar la concentración a 10%?

7. En el contrato anual de renta de un televisor se cobra un depósito de 500 unidades de dinero y una renta semanal de 75 unidades de dinero. Halla la expresión algebraica de la función que se describe.

3. ¿En 90 gramos de una aleación de plata y cobre hay 6 gramos de plata. ¿Cuántos gramos de cobre deben agregarse para que 50 gramos de la nueva aleación contengan 2 gramos de plata?

8. Traza en el plano cartesiano la función f (x ) 5 5 2 x

4. Determina el conjunto solución de la ecuación 2x 2 3(x 2 4) 5 25.

9. Determina si la función f (x ) 5 23(2 2 x ) es creciente o decreciente. Fundamenta tu respuesta.

5. Halla la pendiente de la recta que determinan los puntos T(22, 6), U(1, 23).

10. El equipo de oficina en una empresa se deprecia cada año 10% de su costo de adquisición, el cual fue de 15 000 unidades de dinero. a ) Determina el valor contable del equipo en el año de adquisición y después de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 años. b ) Tabula y representa en el plano coordenado. c ) Encuentra la expresión algebraica que determina la función que describe el problema. d ) Determina el dominio, el contradominio e imagen.

163

6 BLOQUE


Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre el impuesto predial de la página 139 del Bloque 6. Nombre del alumno:

Criterio

Presentación


Desarrollo


Conclusiones

Dominio del tema


164

11. Investiga y obtiene datos acerca de cuánto se paga de impuesto predial por metro cuadrado de suelo. 12. Investiga y obtiene datos acerca de cuánto se paga de impuesto predial por metro cuadrado de construcción. 13. Obtiene la expresión algebraica del pago de impuesto predial en función del número de metros. 14. Calcula y obtiene la cantidad a pagar por concepto de impuesto predial por metro cuadrado de suelo. 15. Calcula y obtiene la cantidad a pagar por concepto de impuesto predial por metro cuadrado de construcción. 16. Calcula y obtiene la cantidad a pagar por concepto de impuesto predial en función del número de metros cuadrados de suelo y el número de metros cuadrados de construcción.

cumple sí

no

Observaciones


Rúbrica


Excelente (4)

Bueno (3)

Regular (2)

Ecuaciones lineales

Conoce el concepto de ecuación lineal con una incógnita. Plantea y expresa el modelo matemático de un problema.

Conoce el concepto de ecuación lineal con una incógnita. En la mayoría de los casos, plantea y expresa el modelo matemático de un problema.

Conoce el concepto de ecuación lineal con una incógnita. En algunos casos, plantea y expresa el modelo matemático de un problema.

No conoce el concepto de ecuación lineal con una incógnita. No plantea ni expresa el modelo matemático de un problema.

Resolución de ecuaciones lineales en una variable

Aplica las propiedades de la igualdad. Resuelve ecuaciones lineales en una variable y problemas. Conoce los conceptos de función y relación.

Aplica las propiedades de la igualdad. En la mayoría de los casos, resuelve ecuaciones lineales en una variable y problemas. Conoce los conceptos de función y relación.

Aplica las propiedades de la igualdad. En algunos casos, resuelve ecuaciones lineales en una variable y problemas. Conoce los conceptos de función y relación.

No aplica las propiedades de la igualdad. No resuelve ecuaciones lineales en una variable ni problemas. No conoce los conceptos de función o relación.

Relación entre funciones y ecuaciones lineales

Representa gráficamente una ecuación lineal en dos variables. Determina la distancia entre dos puntos del plano.

En la mayoría de los casos, representa gráficamente una ecuación lineal en dos variables y determina la distancia entre dos puntos del plano.

En algunos casos, representa gráficamente una ecuación lineal en dos variables y determina la distancia entre dos puntos del plano.

No representa gráficamente una ecuación lineal en dos variables. No determina la distancia entre dos puntos del plano.

Influencia de los parámetros en la gráfica de una función lineal





Técnicas para graficar la función lineal

Traza la gráfica de una función lineal. Distingue funciones crecientes y decrecientes.

En la mayoría de los casos, traza la gráfica de una función lineal. Distingue funciones crecientes y decrecientes.

En algunos casos, traza la gráfica de una función lineal. Distingue funciones crecientes y decrecientes.

No traza la gráfica de una función lineal. No distingue funciones crecientes ni decrecientes.

Aspecto a evaluar

Criterios

Deficiente (1)


165

Resuelves ecuaciones lineales II Tiempo asignado:

8 horas

7



Competencias a desarrollar n Construye e interpreta sistemas de ecuaciones lineales con dos

incógnitas mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. n Formula y resuelve sistemas de ecuaciones lineales, aplicando

diferentes métodos. n Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante

procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

n Analiza las relaciones entre dos variables de un proceso social

o natural para plantear un sistema de ecuaciones lineales y así determinar o estimar su comportamiento. n Interpreta tablas, gráficas y textos con símbolos matemáticos y

científicos. n Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas

de manera reflexiva.

w


Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por reducción: 4x 2 3y 5 5 3x 1 5y 5 11

2.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por sustitución.

2x + 3 y = 8 x − 2 y =1

3.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por igualación. 2x 1 y 5 11 3x 2 y 5 11

4.

Representa gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones. Identifica el sistema como compatible, incompatible o indeterminado. x1y57 x2y53

5.

Resuelve con el método gráfico el sistema. x1y57 x2y51

Desempeños por alcanzar Reconoce el modelo algebraico de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas. Resuelve e interpreta sistemas de ecuaciones de dos incógnitas mediante métodos: Numéricos: determinantes Algebraicos, eliminación por igualación, reducción (suma y resta) y sustitución Gráficos Expresa y soluciona situaciones utilizando sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.

Identifica gráficamente si un sistema de ecuaciones simultáneas tiene una, ninguna o infinitas soluciones. Resuelve problemas que se plantean en lenguaje algebraico utilizando métodos algebraicos, numéricos y gráficos. Elabora o interpreta gráficas, tablas y mapas, para resolver situaciones diversas que conllevan el uso de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.

7 BLOQUE




Una lancha se desplaza a 39 kilómetros por hora en la dirección de la corriente de un río y a 21 kilómetros por hora en la dirección opuesta. ¿Cuál es la velocidad de la lancha en aguas tranquilas y cuál es la velocidad de la corriente del río?


Forma equipos para resolver el problema Que cada equipo represente, mediante dibujos, las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver el problema.

Cada equipo debe investigar: ¿Cómo representar la velocidad de la lancha en aguas tranquilas? ¿Cómo representar la velocidad de la corriente del río? ¿Cómo representar la velocidad de la lancha cuando viaja en favor de la corriente?

¿Qué tienes que hacer? preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.


Producto a elaborar

¿Cómo representar la velocidad de la lancha cuando viaja en contra de la corriente?

Representación de las velocidades de la lancha en favor y en contra de la corriente del río.

¿Cómo establecer el modelo matemático que ilustra las condiciones del problema?

Modelo matemático del enunciado del problema.

¿Cómo resolver el sistema de ecuaciones que representa el modelo matemático?

Cálculo y obtención de los valores buscados.

¿Cómo comprobar el resultado obtenido en el enunciado del problema?

Trabajo individual Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para determinar las velocidades de la lancha y de la corriente del río que se solicitan se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La des168

cripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.




En agua el cobre pierde 0.112 de su peso y el estaño, 0.137. ¿Cuánto cobre y estaño contiene un cuerpo de 10 kilogramos de peso que en agua pierde 1.195 kilogramos?



Cada equipo debe investigar: ¿Cómo se representa la cantidad en kilogramos de cobre y estaño?


¿Cómo se representa la cantidad de cobre y estaño en el cuerpo?


¿Cómo se representan las cantidades que pierden en agua el cobre, el estaño y el cuerpo?


¿Cómo se establece el modelo matemático que ilustra las condiciones del problema?

En este ejemplo:

¿Cómo resolver el sistema de ecuaciones que representa el modelo matemático? ¿Cómo comprobar los resultados obtenidos en el enunciado del problema?

Producto a elaborar Representación de las cantidades de cobre y estaño en el cuerpo. Modelo matemático del enunciado del problema. Cálculos y obtención de los valores buscados.


Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para determinar las cantidades de cobre y estaño que se solicitan se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedi-

miento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes. 169

7 BLOQUE



5. 5 x − 10 y = − 6

Parte I

6. 2 x + 3 y = 7 x − 6 y =1

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por reducción. 1. 5x 2 2y 5 17 8x 1 5y 5 19

10 x + 5 y = 6

7. 3x + 2 y = 0

2 x − 3 y = 13

2. 4x 2 3y 5 5 3x 1 5y 5 11 3. 8x 1 3y 5 13 3x 1 2y 5 11 4. 3x 2 4y 5 13

26x 1 3y 5 221

5. 23x 1 4y 5 26 5x 2 6y 5 8

8. 2 x − 3 y = − 3 6 x + y = 34 9. 4 x − 3 y = 5 2x + 5 y = − 4 10. 6x 1 3y 5 8 4x 2 6y 5 8

6. 4x 2 y 5 1

Parte III

6x 1 y 5 79 7. 6x 2 7y 5 7

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por igualación.

1. 3x 1 5y 5 11

2x 1 7y 5 28

8. x 2 y 5 2

4x 2 3y 5 5

3x 1 4y 5 20

2. 2x 1 y 5 5

9. x 2 3y 5 11

3x 1 3y 5 21

3. 23x 1 4y 5 26

4x 2 5y 5 30

10. 5x 2 8y 5 8

5x 2 6y 5 8

x 1 y 5 12

4. 5x 2 2y 5 17

8x 1 5y 5 19

Parte II

5. 7x 2 5y 5 15

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por sustitución.

2x 2 y 5 9

x 4 x y 1 52 27 2 3 3 2

6. 6x 2 3y 5 63

x 4 x y 1 2 5 24 2 3 3 2

7. 7x 2 3y 5 23

2. 4x 1 3y 5 17

8. 2x 1 5y 5 44

22x 1 5y 5 215

6x 2 5y 5 28

1.

3. 7x 1 3y 5 22

22x 1 5y 5 218

4. 2 x + 3 y = 8 x − 2 y =1 170

5x 2 9y 5 85

22x 2 3y 5 5

9. 8x 2 5y 5 9 6x 2 7y 5 10 10. 10x 2 9y 5 18 2x 1 6y 5 1

Parte IV Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando la regla de Cramer. 1. x 1 4 5 6

x 2 2y 5 18

2. 2x 1 y 5 4 3x 2 y 5 21 3. 2x 2 y 5 5 3x 1 3y 5 21 4. 2x 1 5y 5 44 6x 2 5y 5 28 5. 6x 1 12y 5 7

8x 2 15y 5 21 6. 8x 2 3y 5 1 8x 2 9y 5 21 7. 4x 1 y 5 1

x 2 2y 5 8

8. x 1 3y 5 1

22x 2 4y 5 2

9. x 2 2y 5 1

x 2 3y 5 3

10. 3x 2 2y 5 2 2x 1 y 5 8 11. x 1 y 1 2z 5 3 3x 2 y 1 z 5 1 2x 1 3y 2 4z 5 9 12. 2x 2 y 1 z 5 3

x 1 3y 2 2z 5 11

3x 2 2y 1 4z 5 1 13. x 1 2y 2 3z 5 27 2x 2 y 1 z 5 5 3x 2 y 1 2z 5 8


15. 3x 1 y 1 z 5 5 x 1 3y 2 2z 5 11 3x 2 2y 1 4z 5 1 16. x 1 y 2 z 5 6 x 2 2y 2 3z 5 21 3x 2 y 1 2z 5 1 17. x 1 y 1 z 5 7 x 2 3y 1 z 5 3 2x 1 y 1 z 5 1 18. 2x 2 y 1 z 5 3 x 2 2y 1 z 5 24 x 1 y 2 z 5 23 19. x 1 y 2 z 5 6 x 1 2y 1 z 5 22 2x 1 y 1 2z 5 2 20. 2x 2 3y 2 z 5 4 x 1 2y 1 2z 5 6 x 1 4y 1 z 5 1 21. x 1 y 1 z 5 11 x2y1z51 x 1 y 2 2z 5 5 22. x 1 y 1 z 5 10 x2y1z52 x1y2z58 23. x 2 y 1 z 5 6 x 1 y 2 z 5 24 x1y1z52 24. x 1 y 1 z 5 24 x1y2z52 2x 2 3y 2 z 5 24 25. 3x 2 2y 2 z 5 11 x1y1z56 x 1 3y 2 2z 5 25

14. x 1 y 1 2z 5 3 x 2 y 1 z 5 21 x1y2z59

171

7 BLOQUE


La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles. René Descartes

Introducción Se toma como base problemas que conducen al establecimiento de un sistema de ecuaciones con dos variables para tratar los métodos algebraicos que lo resuelven; y también se utiliza el método gráfico, cuya representación en el plano cartesiano ilustra los casos en que las ecuaciones del sistema representan dos rectas que se cortan, dos rectas paralelas o dos rectas coincidentes.

7.1 Representación de relaciones entre magnitudes Solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (2 3 2) mediante las gráficas de funciones lineales Un sistema de ecuaciones simultáneas es aquél en el que el valor de cada variable es el mismo en cada ecuación que lo integra. De manera particular, si en un sistema simultáneo de dos ecuaciones de primer grado con dos variables, x y y, se obtiene un par de valores que satisface las dos ecuaciones, se dice que se tiene una solución del sistema. Si dicha solución es única, entonces se puede obtener por alguno de los métodos tratados en esta unidad. Gran cantidad de problemas se pueden resolver a partir de su planteamiento como un sistema simultáneo de dos ecuaciones con dos variables.

Para tu reflexión

Alembert, Jean Le Rond D´ (1717-1783) Escritor, físico y matemático francés, autor de diversos libros de física, óptica, acústica, mecánica, literatura, filosofía y astronomía. Colaboró con Diderot en la organización de la Enciclopedia. Sus investigaciones en matemáticas, física y astronomía lo llevaron a formar parte de la Academia de Ciencias a la edad de 25 años; estudios de tal relevancia que aún conservan su nombre.

172

D’Alembert redactó, en 1751, Discurso preliminar, donde se aborda el enfoque general de la obra con la filosofía de las Luces. Su pensamiento resulta una síntesis entre el racionalismo y el empirismo, pues se subraya la unidad del saber y la fe en el progreso de la Humanidad a través de las ciencias, las cuales están unificadas por una filosofía desprendida de mitos y creencias trascendentales. Cuando la campaña de los reaccionarios contra la Enciclopedia consiguió que se prohibiera continuar su edición (1759), se retiró de la obra, dejando a Diderot como único director, pero siguió sosteniendo el pensamiento crítico, humanista y reformista en su función como secretario perpetuo de la Academia Francesa (1772). Alembert, entre los años de 1743 y 1754, publicó sus obras científicas más importantes, el Tratado de dinámica (1743), en el que expuso la mecánica de los cuerpos rígidos basándose en el principio que lleva su nombre y que establece la existencia de equilibrio entre las acciones y las reacciones internas de un sistema rígido. Dicho estudio propició la creación del Tratado del equilibrio y movimiento de los fluidos (1744), y desarrolló aspectos que hacían referencia al movimiento del aire en la Théorie générale des vents (1745). En este último trabajo se enfrentó con la demostración del llamado Teorema fundamental del álgebra, para el cual halló una demostración parcial. En 1747 aplicó el cálculo diferencial al análisis del problema físico de la cuerda vibrante, lo cual le condujo a la resolución de una ecuación diferencial en derivadas parciales para la que encontró una solución. En las Investigaciones sobre la precesión (1749) estableció las ecuaciones del movimiento de la Tierra en torno a su centro de gravedad y abordó el problema de los tres cuerpos: relaciones entre las fuerzas y los movimientos correspondientes al Sol, la Tierra y la Luna.

Identificar si un sistema 2 3 2 posee una, ninguna o infinitas resoluciones La solución del sistema es el par de coordenadas que corresponde al punto común de las dos rectas, es decir, su punto de intersección. Ejemplos 1. Resuelve gráficamente el sistema formado por las ecuaciones x 1 2y 5 7, 2x 2 y 5 21. y5

72 x 2

y 5 2x 1 1

(x, y ) (x, y ) A (1, 3)

D (21, 21)

B (3, 2)

E (0, 1)

C (5, 1)

F (1, 3)


y

El ejemplo anterior representa un sistema sin solución, por consiguiente, es incompatible. Como representación de las ecuaciones corresponde a dos rectas que no se cortan.

AF

B

E

En este ejemplo el sistema está formado por dos ecuaciones independientes, pero no son simultáneas ya que las variables no tienen el mismo valor. En la primera ecuación y 5 3 2 x y en la segunda y 5 5 2 x. Un sistema como éste recibe el nombre de sistema inconsistente o incompatible.

C

x

D

3. Resuelve gráficamente el sistema formado por las ecuaciones y 5 x 1 2, 3y 5 3x 1 6. (x, y ) (x, y )

Figura 7.1

A (0, 2)

D (24, 22)

B (21, 1)

E (1, 3)

C (22, 0)

F (2, 4)

Solución:

y

x51 y53 Este sistema está formado por dos ecuaciones simultáneas e independientes. Cuando un sistema como el anterior tiene una solución, se dice que es compatible, consistente o determinado. 2. Resuelve gráficamente el sistema formado por las ecuaciones x 1 y 5 3, x 1 y 5 5. y 5 3 2 x y 5 5 2 x (x, y ) (x, y ) A (1, 2) D (1, 4) B (0, 3) E (0, 5) C (21, 4) F (3, 2) y

C

B

A

E

F

x

D

Figura 7.3

E C

D

B A

F

x

Figura 7.2

Un sistema como el anterior tiene infinitas soluciones, debido a que las dos ecuaciones son dependientes, ya que todo par de valores que satisface a una también satisface a la otra. Si dos ecuaciones son dependientes, una es consecuencia de la otra; en este caso, 3y 5 3x 1 6 se obtiene al multiplicar por 3 la ecuación y 5 x 1 2. En este ejemplo, el sistema está formado por dos ecuaciones simultáneas, pero no independientes y recibe el nombre de sistema indeterminado. En consecuencia, para que un sistema de dos ecuaciones tenga solución única requiere que sus dos ecuaciones sean simultáneas e independientes a la vez. El método gráfico tiene la ventaja de ilustrar geométricamente la posición de las rectas que representan a las ecuaciones y el punto de intersección que es la solución del sistema. Sin embargo, no

173

7 BLOQUE

Resuelves ecuaciones lineales II Actividad de aprendizaje

siempre se puede determinar el valor exacto de la solución, y en ecuaciones más complicadas es laborioso y poco práctico, por lo cual recurrimos al método algebraico.

¿En qué consiste el método de eliminación por reducción?

Aplica lo que sabes Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente: En una pizzería se compran dos pizzas y una orden de alitas de pollo por $270.00, y por tres pizzas (como las del otro pedido) y dos órdenes de alitas de pollo se pagan $420.00. Determina cuál es el precio de cada pizza y de cada orden de alitas de pollo.

Ejemplos 1. Cuando los coeficientes de la variable a eliminar son iguales en valor absoluto. Halla dos números tales que su suma sea 7 y su diferencia uno. Solución: Sean x y y los números que se buscan. El problema se puede plantear con el siguiente sistema. x 1 y 5 7 . . . x 2 y 5 1 . . .

La variable y se puede eliminar si se suman miembro a miembro las ecuaciones (1) y (2), es decir: x1y57 x2y51

7.2 Modelos aritméticos o algebraicos Solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (2 3 2)

2x 5 8 de donde:

Para resolver un sistema de este tipo se utilizan diversos métodos algebraicos como los siguientes: ■ Eliminación por reducción (suma o resta) ■ Eliminación por sustitución ■ Eliminación por igualación ■ Determinantes También se utiliza el método gráfico. A continuación se explica cada uno de estos métodos con el propósito de aplicarlos a la resolución de problemas.

Métodos algebraicos Método de eliminación por reducción A este método se le conoce como de reducción por suma o resta. El procedimiento consiste en realizar las transformaciones necesarias con las ecuaciones para obtener una sola ecuación con una variable. A este proceso se le llama eliminación, pues mediante multiplicaciones adecuadas se iguala el valor absoluto de los coeficientes de una misma variable en ambas ecuaciones y después se suman o restan miembro a miembro para eliminar dicha variable. 174

(1) (2)

x5

8 2

x 5 4 . . . Sustituyendo (3) en (1) se obtiene: x1y57 41y57 por tanto: y5724 y53 Comprobación: Se sustituyen las dos variables por los valores hallados: x 1 y 5 7 . . . (1) x 2 y 5 1 . . . (2) 4 1 3 5 7 42351 7 5 7 151

(3)

2. Cuando los coeficientes de las variables a eliminar son diferentes en valor absoluto. Por 5 plumas y 3 lapiceros se pagaron 136 unidades de dinero, y por 3 plumas y 4 lapiceros se pagaron 108 unidades de dinero. Halla el valor de cada pluma y de cada lapicero.


Actividad de aprendizaje Solución: Si se representan las plumas por p y los lapiceros por l, el problema se puede plantear con el siguiente sistema: 5p 1 3l 5 136 . . . (1) 3p 1 4l 5 108 . . .

3 (5p 1 3l 5 136)

5 (3p 1 4l 5 108)

(2)

Si queremos eliminar la variable p, se requiere que sus respectivos coeficientes sean iguales en valor absoluto. Esto se consigue si la ecuación (1) se multiplica por 3 y la ecuación (2) se multiplica por 5 para obtener las ecuaciones equivalentes (3) y (4).

En un sistema de ecuaciones simultáneas, ¿cómo es el valor de cada una de las variables?

15p 1 9l 5 408 . . .

(3)

15p 1 20l 5 540 . . .

(4)

La variable p se elimina restando miembro a miembro la ecuación (4) de la (3), es decir:

Actividad de aprendizaje ¿En qué consiste el método de eliminación por sustitución?

15p 1 9l 5 408 15p 1 20l 5 540

211l 5 2132 de donde: l52

132 100 2 11 5

l 5 12 . . . (5) El valor de p se obtiene al sustituir (5) en cualquiera de las ecuaciones del sistema original o del sistema transformado.

Método de eliminación por sustitución El proceso consiste en despejar una variable en una de las ecuaciones. La expresión así obtenida se sustituye en la otra ecuación para obtener una nueva ecuación con una sola variable. Se encuentra el valor de ésta y se sustituye en la expresión despejada de la otra variable para determinar su valor. Ejemplos

Sustituyendo (5) en (1) se obtiene: 5p 1 3l 5 136 5p 1 3(12) 5 136 despejando p: 5p 1 36 5 136 5p 5 136 2 36 5p 5 100

1. Para un espectáculo se vendieron 300 boletos de 20 y 30 unidades de dinero. ¿Cuántos boletos se vendieron de cada precio si el total de venta fue de 8 000 unidades de dinero? Solución:

132 100 2 11 5

p 5

Sean x y y el número de boletos de 20 y 30 unidades de dinero, respectivamente. Entonces:

p 5 20 Comprobación: Se sustituyen las dos variables por los valores hallados: 5p 1 3l 5 136 . . . (1) 5(20) 1 3(12) 5 136

3p 1 4l 5 108 . . . (2)

3(20) 1 4(12) 5 108

100 1 36 5 136

60 1 48 5 108

136 5 136

108 5 108

x 1 y 5 300 . . .

20x 1 30y 5 8 000 . . . Despejando y en (1): x 1 y 5 300 y 5 300 2 x . . . Sustituyendo (3) en (2): 20x 1 30y 5 8 000

(1) (2) (3)

20x 1 30(300 2 x ) 5 8 000

175

7 BLOQUE


Efectuando el producto indicado: 20x 1 9 000 2 30x 5 8 000 Reduciendo términos semejantes: 9 000 2 10x 5 8 000 Transponiendo términos: 9 000 2 8 000 5 10x de donde: 1 000 5 10x por tanto: 100 5 x . . . Sustituyendo (4) en (3): y 5 300 2 x y 5 300 2 100 y 5 200 Comprobación:

x 1 y 5 300 . . . (1)

20(100) 1 30(200) 5 8 000

300 5 300

2 000 1 6 000 5 8 000

(4)

125 5 x . . .

Sea x el precio de cada ternera y y el precio de cada oveja. Por tanto: 50x 1 220y 5 16 150 . . .

(1)

40x 1 180y 5 13 100 . . .

(2)

Despejando y en (1): 50x 1 220y 5 16 150 220y 5 16 150 2 50x y5

16 150 2 50 x . . . (3) 220

Sustituyendo (3) en (2): 40x 1 180y 5 13 100

16 150 2 50 x 5 13 100 220 16 por 150220: 2 50(125) Multiplicando la ecuación 16 150 2 50 x 220 220 [40x 1 180 5 13 100] 16 150220 26 250 16 150 2202 50(125) 220 176 16 150 26 250 220

(4)

16 150 2 50 x 220 220 220 16 150 1502 50(125)) 250 16 50((125 125) y 5 16 150 2 220 220 16 150 150220 250 266 250 2 16 16 150 2 6 250 220 y 5 220 220 50 x 50(125) 250 9 900 220 220 220 220 60 100 D 100 D y 5 45 4 el140 2 80 Por tanto, precio de cada ternera es de 125 unidades de dinero 1000 10 700 ( ) y el de cada oveja es1000 de 45 unidades de dinero 100 140 140 140 a1 b1 5 a1b2 2b1a2 Actividada de aprendizaje b2 1 y 5

3

Solución:

40x 1 180

25 000 5x 200 2 50 Sustituyendo (4) en (3): y 5 16 16 150 150 2 50 xx

2. Un ganadero vendió 50 terneras y 220 ovejas por 16 150 unidades de dinero; con los mismos precios vendió 40 terneras y 180 ovejas por 13 100 unidades de dinero. Encuentra el precio de cada ternera y de cada oveja.

Efectuando operaciones y simplificando: 8 800x 1 2 907 000 2 9 000x 5 2 882 000 2 907 000 2 2 882 000 5 200x 25 000 5 200x

20x 1 30y 5 8 000 . . . (2)

100 1 200 5 300

8 800x 1 180 (16 150 2 50x ) 5 2 882 000

5

Un sistema de dos ecuaciones primer 5(3)(2de (5)(grado 1)2 2) con dos incógnitas es com2 2 1 o determinado) y tiene solución _____________ patible (consistente cuando las ecuaciones 3 5 son a la vez ______________________ e ______________________. Su1)representación D5 5(3)(2 2(5)(2)52gráfica 3 210corresponde 52 13 21 a dos rectas que2 _______________________. Un sistema de11dos 5ecuaciones de primer grado con dos incógnitas es incompatible (16tiene ) 2solución 11280 por16 2 1 (inconsistente) (11)(2 1)2(y5)no x5 5____________________ 5 pero no son que las ecuaciones son 3 5 D 13 ____________________. Su representación gráfica2corresponde 21 2 91 a dos rectas que2__________________________. 5 57

13 incógnitas Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con2dos es indeterminado y tiene ________________ soluciones porque las ecuaciones 3 11son _____________________ pero no son _________________________. Su representación gráfica corres(3) (16)2(11)(2) 48 2 22 2 16 ponde a ___________________________. 5 y5 5 3 5 2 21

D

Método de eliminación por igualación

2 13 26 5 52 2 2 13

b1 en c1 despejar la misma variable en las dos ecua1 El procesoaconsiste ciones. Lasa2 expresiones b2 c 2 así obtenidas se igualan para tener otra a3

b3

1 D5 3

c3 2 1

21 1 5 2 1 2 13 1111212 52 3

y

z


ecuación con una sola variable. Se encuentra el valor de ésta y se sustituye en la expresión despejada de la otra variable para determinar su valor.

P 1 H 5 66 (1) 51 1 15 5 66

51 1 3 5 3(15 1 3)


66 5 66

54 5 3(18)

54 5 54 2. El precio de una mezcla de dulces de 1 unidad de dinero el kilogramo con otros de 1.40 unidades el kilogramo es de 17 unidades de dinero pero si se toma el doble de dulces del segundo tipo, el precio de la mezcla es de 24 unidades de dinero. Encuentra el número de kilogramo de cada tipo de dulces.

¿En qué consiste el método de eliminación por igualación?

Solución: Sean D el número de kilogramo de dulces del primer tipo y d el número de kilogramo de dulce del segundo tipo.

Ejemplos 1. La suma de las edades actuales de una persona y su hijo es de 66 años. Determina sus edades sabiendo que dentro de tres años, la edad del padre será el triple de la edad de su hijo. Solución: Si se representan con P y H las edades actuales del padre y su hijo, el problema se plantea con el siguiente sistema: P 1 H 5 66 (1) P 1 3 5 3(H 1 3)

P 1 3 5 3(H 1 3) (2)

(2)

Efectuando las operaciones indicadas en (2) y ordenando sus términos, el sistema nos queda así

El problema se puede plantear así: 100D 1 140d 5 1 700

(1)

100D 1 140 (2d ) 5 2 400 Al hacer la operación indicada en (2) el sistema queda así 100D 1 140d 5 1 700 100D 1 280d 5 2 400

(2) (3) (4)

Si se quiere eliminar la variable d, se despeja ésta en (3) y (4). De (3) 140d 5 1 700 2 100D

1 700 2100 D (5) P 1 H 5 66 (3) 140 De (4) 12 700 P 2 3H 5 6 (4) 4002 2100 100DD 280d 5 2 400140 2 100D Si se quiere eliminar la variable P, se despeja ésta en (3) y (4). 280 2 400 2100 D 1 700 2100(10 ) De (3) P 5 66 2 H (5) d 5 (6) 280 1 700 100 D 2 140 De (4) P 5 6 1 3H (6) 21000 11 700 100(10) Igualando (5) y (6) se obtiene 700 2 140 Igualando (5) y (6) se obtiene 66 2 H 5 6 1 3H 140 1 700 2 100 D 2 400 140 2 1 1002D3 2 3 por lo que 66 2506x5 50 3H(1 H ) 250 9 900 125 5 2 1000 1 700 140 280 por tanto: 60 5 4H220 8 23 218 1 4 26 1 3 4 4 220 220 220 140 5 5 y 2 400 2 100 D 2 ( ) 1 700 100 10 Aplicando la propiedad fundamental de las 23 60 100 D 100 D 1 proporciones 6 2 de donde: 5H 280 140 280(1 700 2 100D ) 5 140(2 400 2 D 100D ) 4 140 2 80 1 700 2100(10) 1 700 21000 Se divide la igualdad entre 140 1000 o sea: 15 5 H(10 ) 1000 700(7) 140 140 2 (1 700 2 100D ) 5 (2 400 2 100D) 100 140 140 El valor de P se obtiene al sustituir (7) en (5)140 o en (6), 1 700 21000 a b Se suprimen paréntesis 50 x 50(125) 250 9 900 Sustituyendo (7) en (5) 1 1 140 5 a1b2 2b1a2 23 2 220 3 400 2220 200D 5 220 2 40012220 100D a b P 5 66 12 H 2 6 18 1 9 131 4 23 por tanto: 3 400 2 60 2 400100 5D 2100D 1 1200D 4 3 D 100 P 5 663 2 15 5 z5 5 5 ( )( 2 ) 2 ( )( ) 3 1 5 2 o sea: 14 000140 5 100D2180 2 1 6 3 de donde: P 5 512 2 1 1000 10 1000 700 ( ) D Comprobación: de donde: 5D 3 5 100 140 140 140 Se sustituyen las dos variables porD5 sus respectivos 5(valores )2(1)(5)(2)52 3 210 52 13 3)(2 1en 2 2 1 y (2). a1 b15 D . . . 10 (7) 5 a1b2 2b1a2 11 5 a1 b2 16 2 1 (11)(2 1)2(5) (16) 2 11280 3 5 x5 5 5 5(3)(2 1)2(5)(2) 3 5 D 2 13 2 21 177 2 21 2 91 5 57 3 5 2 13 D5 5(3)(2 1)2(5)(2)52 3 210 52 13 2 21 d 5

7 BLOQUE


11 700 7002 2100 100D D 140 140 El valor de d se obtiene 2al400 sustituir (7) en (5) o en (6). 2 4002 2100 100D D Sustituyendo (7) en (5) 280 280 11 700 2 700 2100 100((10 10)) 50 x 50(125) d250 5 9 900 140 220 220 220 220140 2 1000 11 700 60 100 D 100 D5 700 21000 d 140 140 4 140 2 80 1000 (10) 1000 700 100 140 140 140 a1 b1 d 55 5 a1b2 2b1a2 Comprobación: a1 b2 d 5

Se las dos variables por sus respectivos valores. 3 sustituyen 5 5(3)(2 11)2 (5)(5 2)1 700 100D 140d (1)

2 21

100(10) 1 140 (5) 5 1 700 3 5 D5 15000 (3)(1 2700 1)25 (51)(700 2)52 3 210 52 13 2 2 1 1 700 5 1 700

11

5

100D 1 280d 5 2 400 16 2 1 (11)(2 1)2(5) (16) 2 11280 5 x 5 3 100(10) 5 2 400 5 5 1 280 (5) D 2 13 1 000 1 1 400 5 2 400 2 21 2 91 57 2 400 5 2 400 5

(2)

2 13

Método 3 11numérico por determinantes y sistemas ecuaciones (3) (16 )2(11)(2) 48 2lineales 22 2 16 de y5

Los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se pue9 900de determinante de una matriz 50 x al 50(125) el250 den resolver 50 x emplear 50(125) concepto 250 9 900 220 220 9220 de segundo y5 50220 x orden. 50220 (125 220) 250 220 900 220 y5 60 100 D 100 D 60 100 D 100 D 220 220 220 220 5 y 4 1 100 140D3 100 2 80 Ejemplos 60 4 2 140 223D 80 1000 (10 ) 1000 2700 8700 3 218 1 4 26 118 2 3 3 140 4(10 480 4 2 1000 1000 ) 5 y5 5 52 1 100 140 140 140 Resuelve el sistema: 3x 1 5y 23 23 1000 ) 1000 1 (10 6140 2 140 700 100 1405 11 a100 b1 140 140 140 1 a1 b5 2x 2 y 5 16 1Da b 2 b a aa1 bb2 51 a21b2 21 b21a2 1a1 1b2 de x y y, dispuestos como en las ecuaciones dadas, Los coeficientes 5 a1b2 2b1a2 3 5b2 a forman el13determinante de los coeficientes que suele representarse por z5 55(3)(2 z5 1)2(5)(2) la letra 2griega delta5(D). ( )( 2 ) 2 ( )( ) 3 1 5 2 2 1 3 2 52 1 z5 22 1 5 2 (3)( 3 1)2(5)(2) 31 5 2 2 D53 3 1 554(3)(2611 )2 (59)(123)52 32 81 142 3610 52 61313 3)(2 1)2(5)(2)52 3 25 10252 23 251 5(5 52 z 5D5 2 2 1 2 3 13 D51 2 1 56(3)(2 1)2(5)(32)52 3 210 52 251 2el11valor Para calcular11 D 5de cada variable se escribe: 16 2 1 (1150 )(2 1)50 5) (16)2502 11 2((125 280 9 900 x2 11280 ) 2 1 (11)( 1)2(5) (16 x 5 1116 525 5 5 5 x 53 5 13 11 ) 22 163 2 15 (11220 )(2 1D )2220 280 220 D(5) (16220 x 5 2 21 5 52 912 13 32 2 5 1 60 100 D D 100 D5 2 137 291 5 5 57 13 2 4 140 2 80 22 2 21 9113 5 57 1000 (10) 1000 2 700 13 3 11 100 140 140 140 3 11 a1 )2b1(11)(2) 48 2 22 (3) (16 23 16 (11)(25 ) b1a48 2 22 y 5 2 11165 (3) (16)25 3 5 y5 5 1 Db2 a1b2 25 1322 222 )2D (11)(2) 48 23 165 (3) (a16 5 262 13 y 5 2 21 5 3 2 52 1 3 D5 13 2 226 5(3)(5 25 2(52 1)13 5)( 2) 2 52 2 2 21 2 21 26 13 2 5 52 2 2 13 5 b1 cal1 calcular x y y,3 el denominador Como sea1observa, en es a1 b1 c1 D5 5(3)(2 1)ambos 2(5)(casos 2)52 3 210 52 13 la determinante de los coeficientes (D) y el numerador correspondiente 2 2 1 aa2 bb2 cc2 3 2 2 1 3 1a 2 1b2 1c 2 a cada incógnita se forma a partir de D, al sustituir la columna de los 11 5 por la8columna aa3 de b cc3 23 218de1términos 4 26 118 2 3 coeficientes que 3 se despeja 4 4 2c 3 2a 3 b32bla3 incógnita 5 5 y 5 28052 1 3 2 2 1 3 ) 16 2 1 ( 11 )( 2 1 ) 2 ( 5 independientes de las ecuaciones. a3 b3 c 3 2 3 (16) 5 2 112 3 1 6 25 x 5 1 2 231 4 3 4 5 8 23 218 1 2 3 4 2 6 1 18 D 13 2 1 2y 5 2 1 D 5 5 52 1 D5 3 1 1 5 2 1 2 13 1 111212 5233 2 2 1 2 2 1 291 3 1 6 Actividad de3aprendizaje D5 1 1 5 2 1 222 113 11112122 52 3 5 57 1 2 1 2 2 13 D5 3 1 12 1 1 25 2D1 2 13 1111212 52 3

5 5 3 a5 b D 2 13 1 1 El símbolo formado por los cuatro 2 2 26números a1, b1, a2, b2, a 2 1 b2 5 52 2 50 xde 50 250 139 900 representa 2columnas, ordenados en una matriz dos(125 filas) y dos 220 orden 220 o determinante 220 220 de orden dos. un determinante de segundo a1 b1 c1 50 x 6050100 (125D) 100 250D 9 900 Los cuatro se denominan elementos de la c 2 220anteriores a2 b2números 4 220 140 220 2 80 220 matriza o del determinante. Por definición, el determinante de una 100 D (10 100 b3 c 3 60 1000 ) D1000 700 matriz3de segundo orden es el polinomio siguiente: 4 100 140 140 2 80 140 140 1 2 1000 2 1a (10 ¿A qué se le1llama b1) 1000 700 2 1regla 2de Cramer? 1 b a 2 5 a b 2 1 2 1 2 3 2 2 1 3 11 140 D5 3 1 100 1 a5140 2b1 2 1140 3 111 1212 52 3 2 3 2 211 2 2 3 1 2 616 611 612 312 16 11241(43)16(16 23 4 1 2 1 13 2212 (6911 )( 21)16 2 222 6 4 248 36 1 2 1 a1 2 3b1 5 6 15 12 1 41 6)82 332 1 2 23 15 x 5 2 34 2 1 z15 1 52 5 52 5 a1b2 2b1a2 5 y 5 552 5 Por ejemplo, 3 x 56 2 1 2 1 23522 1 5 5 a1 b2 5(3)(2 1)2(5)(2) 3 2 3 2 D 13 2 2 3 1 6 6 12 4 6 6 3 16 2 1 1 1 1 2 2 23 4 1 1 3 3 31 252 2 21 x 5 6 D2 13 2152 24 1 6 182 5 1 9 131 4 236 262 6 2 3 23 251 D 5 23 2 3 52 5 5 22 z5 2 1D 2de sistemas El método de6 resolución de ecuaciones lineales5 me3 (3)(52 1)2(5)(2) 5 2 3 3 2 1 6 1 13 2 42 116)1 D5 5(1 26(2 3)( 5)(32 2)16 52 323 210 52 13 4 12 2 11 2 6 112 diante determinantes D se llama regla de Cramer. x5 5 5 52 1 2 21 D 23 23 6 2 1 32 5 a1 b1 c1 El símbolo Los elementos 3 yD5 5 constituyen fila y los elementos 2 y 11 5la(53primera )(2 1)2(5)(2)52 3 210 52 13 D Los2elementos 2 1 3 y 2 forman la primera colum21, la segunda fila. a 2 b2 c 2 16 2 1 (11)(2 1)2(5) (16) 2 11280 na y los elementos 5 y x21, forman la segunda columna. 5 5 5 11 3 5 5 a3 b3 c 3 D 2 13 16 2 (11)(2 1)2(5) (16) 2 112 280 2 12 x5 51 5 5 91 5 7 1 2 21 3 5 D 1313 22 178 D5 3 1 1 5 2 1 2 131111212 52 3 2 21 2 91 5 57 2 13 1 21 2 3 11

50 x 50(125) 250 9 900 220 220 220 220 60 100 D 100 D 4 140 2 80 1000 (10) 1000 700 100 por140 140 140ordenados en una matriz de tres fiformado 9 900 50 x 50(125 )nueve 250números a b 1 50 1x 50(125 ) 250 el9 900 las y tres columnas representa determinante de una matriz de 220 220 5 a1220 a2 b2 2b1220 tercer orden. Por definición, el valor a b 220 220 220 220de esta determinante lo da el 1 D 2 100 D 60 100 polinomio: 3 605 100 4 140 2 80D 100 D 5 (b3)( 2 211 )2 1 c1(a52b)(3 22) c1b2a3 2 a1c2b3 2 b1a2c3 4b)21c31000 140 12 1c2a700 3 80 1000 2 (a10 1000desarrollo 1000 700 (10) 140 que se 140 llama del determinante. 100 3 140 5 100de recordar 140 140 140 5(3)( 2 1)2 (5)(cómo 2)52se3obtiene 210 52 13desarrofácilmente este aCon bD5 1 1objeto 2 2 1 b a 2 5 a b a b 2 1 2 1 1 1 la siguiente norma: se allo, b2 propone 1 11 b 55 a1b2 2b1a2 a 1 al lado 2 del determinante las dos primeras columnas del 3Se escriben 5 16 2 1 mismo: 5 ( )( 2 ) ) 1)2(5) (16) 5 2 11280 3 1 5)()(22 3 5 2((11 2 2x 5 1 3 555 (3)(2 1)2(D5)(2) 2 13 2 21 b c a b a 1 1 1 1 1 2 91 3 52 2 1 552 135 7 D5 53(3)(52 1)2(5)(2)52 3 210 2313 2 2 1 a)( D5 5a(23 )(b2 )252 210 52 13 2 1)c2 2 ( 5 2 2b 2 21 11 5 5 a3 b3 c3 a3 b3 3 1 11 11(11)( 16 2 2 1)2(5) (16) 2 11280 2 )(2 x5 5 22 ) ( 161 ) 222 11280 (11 2 1)1 2 5 (51 (13 5 ) (16 16 2 3 x25 5 16 D)2(11)(2) 5 48 2 13 5 y 5 5 5 Se multiplican producto obD diagonal 13 3 1 35 los elementos Dde cada 2 13y el2 2 2 2 91 7 5 5 tenido se2multiplica por el signo que indica la flecha, es decir, si la 221 2 1 26 5 2 91 5 7 2 13 flecha indica más (1) el producto conserva su signo y si indica 2 5 52 2 13 menos (2) el producto cambia su signo. 2 13

3 11algebraica de los seis productos es el desarrollo del deterLa suma a1 b1 3 c111 (3) (16)2(11)(2) 48 2 22 2 16 minante. c 216 y 5 a2 b25 (3) (16)25 (11)(2) 48 2 22 2 5de D se aplica 2 La 3regla Cramer también en13 la 5 resolución de sistemas y 5 5 a3 b33 c 3 5 D 2 13 1 de 2tres2 ecuaciones lineales con tres incógnitas. 26 5 52 226 2 21 2 13 5 52 2 1 2 21 13 2 Ejemplos 1 5 2 1 2 13 1111212 52 3 a1 D5 b1 3c1 1 a11 2 b11 c12 aResuelve b2 elc 2sistema: 2 x 1 2y 2 z 5 23 a 2 b2 c 2 a 3x b c 3 3 3 1y1z54 a2 3 3 b3 2 c 3 2 1 x 2 y 1 2z 5 6 1 2 4 2 11 1 2 6 112 1 4 16 16 23216 23 x 5 1 2 2 15 5 52 1 33 23 D5 3 1 6 125 52 1 2 122 1311112122 D5 3 1 1 5 2 1 2 13 1111212 52 3 1 21 2 D 1 21 2

1 3 y5 1

23 23 8 23 218 1 4 26 118 2 3 4 4 5 5 52 1 23 23 6 2 Grupo Editorial Patria® D

1 23 23 1 23 23 8 23 218 1 4 26 118 2 3 3 4 4 y5 56 118 52 12 3 23 4 1 3 2 45 8 23 218 1 4 2 2 3 5 52 1 1 y65 2 5 23 3 1 1 6 4 2 6 18 1 9 131 243236 2 6 2 3 5 52 z5 D 5 23 3 1 21 D 6 D 1

2

23

1 2 2gráfica 3 Interpretación sistema 6 18 1 9 131 4 de 236 un 26 3 1 4 5 5de 2 zde 5 ecuaciones 5 lineales: punto 6 1 8 1 9 1 3 1 4 2 36 3 1 4 23 526 52 1 6 1 2 z5 5 3 intersección de las rectas 23 3 D 1 21 6 y casos enDque son paralelas

Método gráfico Antes de explicar este método, recordemos lo que es un sistema de coordenadas rectangulares, también llamado de coordenadas cartesianas, el cual consiste en dos rectas numéricas que se intersecan perpendicularmente en un punto llamado origen del sistema y que se denota por 0. Las rectas perpendiculares se llaman ejes de coordenadas. El horizontal se puede llamar eje x, eje de las x o eje de las abscisas; el vertical se puede llamar eje y, eje de las y o eje de las ordenadas. Los puntos del eje x a la derecha del origen se consideran positivos y a la izquierda, negativos. De la misma forma, los puntos del eje y arriba del origen son positivos y los que están abajo del origen son negativos. Los ejes x y y dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes, las cuales se numeran en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj, como se muestra en la figura 7.4. Cada punto del plano tiene asociado un par de números, e inversamente, a cada par (ordenado) de números le corresponde un punto. Actividad de aprendizaje En un sistema de ecuaciones simultáneas, ¿cómo es el valor de cada una de las variables?

21 23 2 21 4 1 1 2 6 112 1 4 16 16 23216 23 x5 53216 52 123 112 1 4 16 16 2 4 15 1 2 62 3 2 3 5 52 1 21 2 6 x5 5 23 23 D 6 21 2 Para determinar un punto P(x, y), que se lee “punto P de coordeD nadas equis ye”, localizamos sobre el eje de las x la primera com1 23 23 ponente (x), y sobre el eje de las y la segunda componente ( y); 8 23 218 1 4 26 118 2 3 3 4 4 5 y5 5 52 1 después trazamos líneas perpendiculares a los ejes en los puntos 23 23 1 6 2 localizados y donde éstas se cortan encontramos el punto P. D 23

2

179

z5

1 3

2 1

23 4

5

6 18 1 9 131 4 236 2 6 5 52

7 BLOQUE

Resuelves ecuaciones lineales II y

Actividad de aprendizaje Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas es compatible (consistente o determinado) y tiene solución __________ cuando las ecuaciones son a la vez ______________________ e ______________________. Su representación gráfica corresponde a dos rectas que _______________________.

I

II

x'

x

III

IV

Gráfica de una ecuación de primer grado con dos variables Una ecuación de primer grado con dos variables tiene infinitos pares de valores que la satisfacen, cada uno de los cuales se puede representar por un punto. Como los puntos resultantes están alineados, se unen mediante una recta, que es la gráfica de la ecuación dada; debido a ello recibe el nombre de ecuación lineal.

y' Figura 7.4

Ejemplos Localiza los puntos A (3, 4); B (22, 5); C (23, 22) y D (5, 23). Al considerar que trabajamos con rectas perpendiculares, podemos decir que el punto A respecto al origen está tres unidades a la derecha y a partir de éste cuatro unidades hacia arriba. De igual forma, B está dos unidades a la izquierda y cinco hacia arriba, C tres unidades hacia la izquierda y dos hacia abajo, D cinco unidades a la derecha y tres hacia abajo.

Actividad de aprendizaje Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas es incompatible (inconsistente) y no tiene solución porque las ecuaciones son ____________________, pero no son ____________________. Su representación gráfica corresponde a dos rectas que __________________________.

y

B

Para trazar dicha recta basta hallar dos puntos de ella, es decir, dos pares de valores correspondientes a x, y; pero en la práctica conviene obtener un tercer punto como comprobación.

A

x C

D

Ejemplos Representa gráficamente la ecuación 2x 1 y 5 5. Se despeja la variable y : y 5 5 2 2x Se dan valores a x para calcular los de y. Estos pares de valores se ordenan en una tabla; cada par de valores es solución de la ecuación.

Figura 7.5

180


Interpretación de diversas situaciones utilizando sistemas 232

x y puntos 2 1 A (2, 1) 0 5 B (0, 5)

Representa gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones. Identifica cada sistema como compatible, incompatible o indeterminado.

1 3 C (1, 3) y

1. x 1 y 5 7 x2y53 2. 2x 1 y 5 210 x 2 2y 5 0 3. x 2 y 5 1 2x 2 2y 5 2 4. 3x 1 4y 5 4 3x 1 4y 5 28 5. x 1 y 5 1 x 2 2y 5 10 6. x 1 2y 5 26 x 1 2y 5 2 7. x 2 2y 5 21 24x 1 8y 5 4 8. x 1 y 5 6 x2y52 9. 2x 2 3y 5 23 2x 2 3y 5 9 10. 2x 1 y 5 7 4x 2 y 5 11 x 2 3y 5 11

B C A

x

Figura 7.6

Actividad de aprendizaje Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas es indeterminado y tiene ________________ soluciones porque las ecuaciones son _____________________, pero no son _________________________. Su representación gráfica corresponde a ___________________________.

Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido Nombre del alumno:

Excelente (4)

Bueno (3)

Regular (2)

Deficiente (1)

Solución de un sistema de 2 3 2 mediante las gráficas de funciones lineales

Resuelve un sistema de 2 3 2 mediante las gráficas de funciones lineales. Determina si un sistema de 2 3 2 tiene una, ninguna o infinitas soluciones.




Solución de un sistema de 2 3 2

Resuelve un sistema de 2 3 2 por: reducción, sustitución, igualación y determinantes.

Resuelve un sistema de 2 3 2 por tres de los cuatro métodos.

Resuelve un sistema de 2 3 2 por dos de los cuatro métodos.

No resuelve un sistema de 2 3 2 por: reducción, sustitución, igualación o determinantes.

Criterios

Aspecto a evaluar

181

7 BLOQUE


Aplicación de las TICs 1. Usa WolframAlpha para resolver un sistema de ecuaciones lineales de 2 3 2. Las ecuaciones son las siguientes: 3x 1 12y 5 10 y 5x 2 18y 5 4. a) Primero debes escribir ambas ecuaciones en la plataforma y después haz clic en el signo de igual o en la tecla Enter.

Esta pantalla tiene Derecho Reservado de WolframAlpha llc y no pueden ser utillizadas sin su permiso. Esta pantalla tiene Derecho Reservado de WolframAlpha llc y no pueden ser utillizadas sin su permiso.

b) La plataforma dará el resultado del sistema de ecuaciones y mostrará la solución de manera gráfica.

e) El recuadro rojo contiene los cuatro métodos que puedes emplear, selecciona el que quieras y presiona el botón que dice: “Show allsteps” si quieres ver la solución completa; si quieres resolverla al mismo tiempo que la plataforma haz clic en el botón que dice: “Next step”.


c) Observa que en el recuadro destacado en rojo dice: “Step-bystep solution”, es decir, Solución paso a paso. Al día tienes derecho a dos soluciones paso a paso, utilízalas sabiamente. d) Si haces clic en donde dice: Solución paso a paso, se abrirá una nueva ventana.

182


f ) Al finalizar, la plataforma te dará el resultado dentro de un recuadro amarillo.




1

2


Debo mejorar en…

Reconozco el modelo algebraico de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas. Resuelvo e interpreto sistemas de ecuaciones de dos incógnitas, mediante los métodos: • Numérico: determinantes. • Algebraico: eliminación por igualación, reducción (suma y resta) y sustitución. • Gráfico. Expreso y soluciono situaciones usando sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Identifico gráficamente sí un sistema de ecuaciones simultáneas tiene una, ninguna o infinitas soluciones. Resuelvo problemas que se plantean en lenguaje algebraico utilizando métodos algebraicos, numéricos y gráficos. Elaboro o interpreto gráficas, tablas y mapas para resolver situaciones diversas que conllevan el uso de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.


2. Bien

1. Regular



1

2

3

4

5


183

7 BLOQUE



1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por reducción:

4x 2 5y 5 30

5x 2 8y 5 8

5. Representa gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones. Identifica si es un sistema compatible, incompatible o indeterminado. 2x 1 y 5 7 4x 2 y 5 11

x 1 y 5 12

2. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por sustitución.

4x − 3 y = 5 2x + 5 y = − 4

6 x 13 y58 4 x26y 5 8

6. Utiliza un método algebraico para resolver el sistema 23x 1 4y 5 26 5x 2 6y 5 8

3. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por igualación. 8x 2 5y 5 9 10x 2 9y 5 18 6x 2 7y 5 10 2x 1 6y 5 1

4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando la regla de Cramer. x 2 2y 5 1 3x 2 2y 5 2 x 2 3y 5 3 2x 1 y 5 8

184

7. Usa el método gráfico para resolver el sistema 2x 1 y 5 7 4x 2 y 5 11



Hora inicio:

Hora final:

Fecha:

Equipo:

Problemática asignada: Resuelves ecuaciones lineales II. Propósito: Registrar el papel que asumen los estudiantes al enfrentarse a la problemática de resolver problemas aritméticos y algebraicos, así como a los roles que les corresponde como actores de su propio proceso de aprendizaje. Criterio/conducta observable

Cumple Sí

No

Comentarios

Representa relaciones entre magnitudes. En un sistema de ecuaciones de 2 3 2, puede identificar si tiene una, ninguna o infinitas soluciones. Utiliza modelos aritméticos y algebraicos para el planteamiento de problemas. Utiliza métodos algebraicos para resolver problemas que se pueden plantear con un sistema 2 3 2, método de eliminación por reducción. Utiliza métodos algebraicos para resolver problemas que se pueden plantear con un sistema 2 3 2, método de eliminación por sustitución. Utiliza métodos algebraicos para resolver problemas que se pueden plantear con un sistema 2 3 2, método de eliminación por igualación. Utiliza métodos algebraicos para resolver problemas que se pueden plantear con un sistema 2 3 2, método numérico por determinantes. Utiliza métodos algebraicos para resolver problemas que se pueden plantear con un sistema 2 3 2, método gráfico.


185

Resuelves ecuaciones lineales III Tiempo asignado:

8 horas

8



Competencias a desarrollar n Construye e interpreta sistemas de ecuaciones con tres incógnitas

mediante la aplicación de diferentes métodos, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. n Formula y resuelve sistemas de ecuaciones con tres incógnitas,

aplicando diferentes métodos (numéricos, algebraicos y gráficos). n Explica e interpreta los resultados obtenidos a través de los diferen-

tes métodos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

n Analiza las relaciones entre tres variables de un proceso social o

natural para determinar o estimar su comportamiento mediante la aplicación de los métodos. n Interpreta tablas, gráficas y textos con símbolos matemáticos y cientí-

ficos. n Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas


¿Qué sabes hacer ahora? Responde las siguientes preguntas: 1. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas: x1y1z53 x2y2z51 x 2 y 1 z 5 23

2. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando la regla de Cramer. x1y1z57 3x 1 y 2 z 5 3 2x 1 4y 1 z 5 12


Reconoce el modelo algebraico de un sistema de ecuaciones con tres incógnitas.

Expresa y soluciona situaciones utilizando sistemas de ecuaciones con tres incógnitas.

Resuelve e interpreta sistemas de ecuaciones de tres incógnitas mediante métodos:

Resuelve problemas que se plantean en lenguaje algebraico utilizando métodos algebraicos, numéricos y gráficos.

Numérico: Determinantes

Elabora o interpreta gráficas, tablas y mapas, para resolver situaciones diversas que conllevan el uso de sistemas de ecuaciones con tres incógnitas.

Algebraicos: Eliminación reducción (suma y resta), sustitución Gráficos

8 BLOQUE




Utiliza dos métodos diferentes para resolver el siguiente sistema: 2x 2 y 1 2z 5 2 8 x 1 2y 2 3z 5 9 3x 2 y 2 4z 5 3





¿Cuáles son los diferentes métodos para resolver un sistema de tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas?


¿Cuándo se dice que un sistema de tres por tres es compatible, incompatible, indeterminado?


¿Cuál es la interpretación geométrica de un sistema de tres por tres cuando es compatible, incompatible o indeterminado?

En este ejemplo:

¿Cómo se interpreta la solución del sistema de tres por tres cuando es compatible, incompatible o indeterminado?

Producto a elaborar

Trabajo individual

Solución de un sistema de tres por tres utilizando diferentes métodos.


Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para determinar la solución del sistema que se solicita se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento

188


Propuestas de diseño para situaciones didácticas Parte I Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas. 1. x 1 y 1 z 5 3

x2y2z51

x 2 y 1 z 5 23

2. x 1 y 2 z 5 2

x 2 y 2 z 5 24

2x 1 y 1 z 5 4

3. x 1 y 1 z 5 4 x 1 2y 1 z 5 1

x2y2z56

4. x 1 2y 1 2z 5 24

x 1 y 2 2z 5 4

2x 1 2y 2 3z 5 3 5. 3x 1 2y 2 4z 5 21

x 2 3y 1 2z 5 4

2x 2 y 2 5z 5 11 6. x 2 2y 2 2z 5 8 3x 2 4y 2 z 5 5

22x 2 3y 2 5z 5 4

7. 4x 2 3y 1 2z 5 225 5x 1 2y 2 3z 5 24 6x 2 4y 2 5z 5 211 8. 3x 2 2y 2 4z 5 6 5x 2 3y 1 6z 5 46 8x 1 5y 2 4z 5 226 9. 2x 2 3y 2 4z 5 21 4x 2 3y 1 12z 5 4 6x 1 3y 2 8z 5 2 10. 3x 1 2y 1 4z 5 8 9x 2 2y 2 4z 5 26


Parte II Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando la regla de Cramer. 1. x 1 y 1 z 5 7 3x 1 y 2 z 5 3 2x 1 4y 1 z 5 12 2. 3x 1 y 2 2z 5 2

x 1 3y 2 z 5 3

2x 2 y 1 4z 5 5 3. x 1 y 2 6z 5 9

x 2 y 1 4z 5 5

22x 1 3y 2 z 5 4

4. 2x 2 y 1 z 5 3

x 1 2y 1 z 5 12

4x 2 3y 1 z 5 1 5. 2x 1 3y 1 4z 5 53 3x 1 5y 2 4z 5 2 4x 1 7y 2 2z 5 31 6. 2x 2 y 1 3z 5 14

23x 1 y 2 z 5 210

x1y1z54

7. 2x 1 3y 1 4z 5 61 3x 1 2y 1 z 5 54 5x 2 2y 1 3z 5 58 8. 3x 1 2y 2 4z 5 15 5x 2 3y 1 2z 5 60 2x 1 4y 2 3z 5 45 9. 4x 2 3y 1 2z 5 28 3x 1 2y 2 5z 5 16 2x 1 y 2 3z 5 10 10. x 1 y 1 z 5 13 3x 1 y 2 3z 5 5

x 2 2y 1 4z 5 10

3x 2 4y 1 8z 5 2

189

8 BLOQUE


Las matemáticas poseen no sólo la verdad, sino cierta belleza suprema. Una belleza fría y austera, como la de una escultura. Bertrand Russell

Se resuelve el sistema formado por (4) y (5) 17x 2 11z 5 104


(4)

2 x 1 z 5 24 (5)

Se puede eliminar x sumando a (4) el resultado de multiplicar (5) por 17.

Se presentan sistemas de ecuaciones simultáneas de tres ecuaciones con tres incógnitas que se resuelven por reducción y por la regla de Cramer. Finalmente se interpretan los posibles casos que se pueden presentar en la resolución de un sistema de tres por tres.

17x 2 11z 5 104

17x 2 11z 5 104


z 5 6

17(2x 1 z 5 24)

217x 1 17z 5 268

6z 5 36 z 5

36 6

Para encontrar el valor de x se sustituye el valor de z en (5), también se puede hacer en (4).

Método algebraico por reducción

2x 1 z 5 24

Cuando se tiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, por lo general se reduce a uno de dos ecuaciones con dos incógnitas, eliminando una de las variables entre una ecuación y cada una de las otras dos. Veamos los ejemplos siguientes.

2x 1 6 5 24 6 1 4 5 x 10 5 x Para encontrar el valor de y se sustituyen los valores x 5 10, z 5 6 en la ecuación (1), (2) o (3). Si se sustituyen en (1) se obtiene 4x 2 3y 1 2z 5 28

Ejemplos

4(10) 2 3y 1 2(6) 5 28 Resuelve el sistema:

52 2 3y 5 28

4x 2 3y 1 2z 5 28

(1)

3x 1 2y 2 5z 5 16

(2)

2x 1 y 2 3z 5 10 (3)

Se puede eliminar y de (1) y (2) de la siguiente forma: se multiplica (1) por 2, (2) por 3 y se suman los resultados. 2(4x 2 3y 1 2z 5 28)

8x 2 6y 1 4z 5 56

3(3x 1 2y 2 5z 5 16)

9x 1 6y 2 15z 5 48

17x 2 11z 5 10 (4)

Se elimina y de (2) y (3) de la siguiente forma:

52 2 28 5 3y

24 =y 3

8 5 y La comprobación se realiza al sustituir x 5 10, y 5 8, z 5 6, en las ecuaciones del sistema, verificando que satisfagan cada una.


se suma a (2) el resultado de multiplicar (3) por 2 2.

¿En qué consiste el método de reducción para resolver un sistema de tres ecuaciones simultáneas con tres incógnitas?

3x 1 2y 2 5z 5 16

3x 1 2y 2 5z 5 16

22(2x 1 y 2 3z 5 10)

24x 2 2y 1 6z 5 220

2x1 z 5 24 (5)

190


Ejemplos 2x 2 2y 1 3z 5 16 Resuelve el sistema

2x 2 2(1) 1 3(4) 5 16

2x 2 2y 1 3z 5 16

(1)

2x 2 2 1 12 5 16

3x 1 5y 2 2z 5 6

(2)

2x 1 10 5 16

4x 1 3y 2 4z 5 21 (3)

2x 5 6

Se puede eliminar x de (1) y (2) de la siguiente forma: se multiplica (1) por 3 y (2) por 22 y se suman los resultados. 3(2x 2 2y 1 3z 5 16)

6x 2 6y 1 9z 5 48

22(3x 1 5y 2 2z 5 6)

26x 2 10y 1 4z 5 212

2x 5 16 2 10

216y 1 13z 5 36

(4)

6 2

x5

x53

La comprobación se realiza al sustituir x 5 3, y 5 1, z 5 4, en las ecuaciones del sistema, verificando que satisfagan cada una.

A continuación, para eliminar x se multiplica (2) por 4 y (3) por 23 y luego se suman los resultados. 4(3x 1 5y 2 2z 5 6)

12x 1 20y 2 8z 5 24

23(4x 1 3y 2 4z 5 21)

En los ejemplos anteriores se observa que para resolver por reducción un sistema de tres ecuaciones simultáneas con tres incógnitas:

212x 2 9y 1 12z 5 3

11y 1 4z 5 27

(5)

Se resuelve el sistema formado por (4) y (5).

216y 1 13z 5 36

(4)

11y 1 4z 5 27 (5) Se puede eliminar y multiplicando (4) por 11, (5) por 16 y sumando los resultados. 11(216y 1 13z 5 36)

2176y 1 143z 5 396

16(11y 1 4z 5 27)

176y 1 64z 5 432

207z 5 828 z5

828 207

z 5 4 Para encontrar el valor de y se sustituye el valor de z en (4).

216y 1 13z 5 36

216y 1 13(4) 5 36

216y 1 52 5 36

216y 5 36 2 52

216y 5 216

y5

y51

− 16 − 16

Para encontrar el valor de x se sustituyen los valores y 5 1, z 5 4, en alguna de las ecuaciones (1), (2) o (3).

■ se elimina una de las incógnitas, a partir de dos de las ecuaciones del sistema, mediante la reducción por suma o resta para obtener la ecuación (4) ■ se elimina la misma incógnita utilizando el procedimiento anterior con una pareja diferente de ecuaciones para obtener la ecuación (5) ■ con (4) y (5) se forma un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que se resuelve para encontrar el valor de dos incógnitas ■ se sustituyen los dos valores encontrados en una de las ecuaciones del sistema de tres por tres para encontrar el valor de la tercera incógnita ■ se hace la comprobación al sustituir los tres valores encontrados en las tres ecuaciones del sistema. Como ya se ha visto, para que un sistema simultáneo de dos ecuaciones (de primer grado) con dos incógnitas tenga solución única, se requiere que ambas ecuaciones sean independientes. En un sistema simultáneo de tres ecuaciones (de primer grado) con tres incógnitas, para que tenga solución única se requiere que las tres ecuaciones sean independientes. También se ha observado que, en un sistema simultáneo de dos ecuaciones (de primer grado), independientes, con dos incógnitas, se puede eliminar una de las variables; mientras que en un sistema de tres por tres se pueden eliminar dos variables.

Si se sustituyen en (1)

191

8 BLOQUE


Para tu reflexión

Si se escribe el sistema utilizando cero como coeficiente de cada variable que falta en la ecuación, nos queda así: 2x 2 2y 1 3z 5 16

Neuman, John von (190321957) Matemático húngaro que realizó contribuciones en diversos aspectos de la matemática avanzada, mecánica cuántica, mecánica ondulatoria y mecánica matricial. Desarrolló la teoría de los juegos, la cual tuvo un impacto en la economía. John Von Neuman nació en Budapest, Hungría, y desde niño se destacó por ser un prodigio. En el periodo de la Primera Guerra Mundial realizó estudios en las universidades de Berlín y Zurich. En 1930 se trasladó a EUA y fungió como profesor de físico-matemáticas en la Universidad de Princeton. En sus investigaciones en la mecánica cuántica encontró que la mecánica ondulatoria de Schrödinger y la mecánica matricial de Heinsenberg eran matemáticamente equivalentes. Además, elaboró una nueva rama de las matemáticas, denominada La teoría de juegos, tema que abordó en diversos artículos a partir de 1928, pero fue hasta 1944 en The Theory of Games and Economic Behaviour donde la desarrolló de forma completa y definitiva. Dicha teoría fue llamada así, pues se basa en el análisis de algunos procedimientos de juegos simples como el lanzamiento de una moneda. A pesar de estar compuesta de procedimientos que, aparentemente, son sencillos, pueden ser utilizados en problemas bélicos, financieros, entre otros. Este matemático utilizó sus reflexiones para dirigir la elaboración de computadoras gigantes que ayudaron a elaborar cálculos para la construcción de la bomba. Neuman fue reconocido miembro de la Atomic Energy Commission, y en 1956 se le adjudicó el premio Fermi debido a su participación científica. Falleció el 8 de febrero de 1957 en Washington D.C., EUA.

Método numérico por determinantes En el segundo ejemplo por reducción, 2x 2 2y 1 3z 5 16 3x 1 5y 2 2z 5 6 4x 1 3y 2 4z 5 21 El sistema se resolvió realizando operaciones con las ecuaciones para obtener sistemas equivalentes hasta llegar a uno de forma triangular como el siguiente: 2x 2 2y 1 3z 5 16 216y 1 13z 5 36 z 5 4 192

0x 2 16y 1 13z 5 36 0x 1 0y 1 z 5 4

Las operaciones efectuadas con las ecuaciones generaron cambios tanto en los coeficientes de las variables como en los términos independientes. Dichos cambios se pueden registrar de forma más sencilla si se utilizan únicamente los números que corresponden tanto a los coeficientes como a los términos independientes.

Matriz Se da el nombre de matriz a un arreglo de números dispuestos en forma rectangular por renglones y columnas. A cada número se le llama elemento. Una matriz con m renglones y n columnas es una matriz de dimensión m 3 n. Actividad de aprendizaje ¿A qué arreglo numérico se le da el nombre de matriz?

Ejemplos

5 3 2  4 − 1 3  una matriz de dimensión 2 3 3.   2 4    − 3 4  una matriz de dimensión 3 3 2.  5 − 1  3 − 7 5 1 una matriz de dimensión 1 3 4 (también llamada vector renglón).

−3 2   una matriz de dimensión 4 3 1 (también llamada vector 5   columna). 4

Matriz cuadrada De una matriz cuyo número de renglones (m) y de columnas (n) es igual (m 5 n) se dice que es una matriz cuadrada de orden n.


2 3  5 7  una matriz cuadrada de orden 2  

2 −3 5     2 6 − 1 es una matriz cuadrada de orden 3  3 − 2 1  En una matriz, un elemento cualquiera se representa por aij (i 5 1, 2, 3, . . . , m) (j 5 1, 2, 3, . . . , n) donde i señala el renglón, y j la columna en que se encuentra el elemento. Los elementos a11, a22, a33, . . . , amn, pertenecen a la diagonal principal de una matriz.

Matriz de coeficientes En un sistema de ecuaciones, como los del apartado anterior, los coeficientes de las ecuaciones se pueden disponer como una matriz.

Actividad de aprendizaje ¿Cómo se forma una matriz de coeficientes?

¿A qué se le llama matriz aumentada?

¿A qué se llama matriz escalonada?

Ejemplos En el sistema 2x 2 2y 1 3z 5 16 3x 1 5y 2 2z 5 6

4x 1 3y 2 4z 5 21

los coeficientes de las variables se pueden representar en la siguiente forma:

 2 −2 3     3 5 −2   4 3 − 4  que se conoce como matriz de coeficientes. Si en esta matriz se incluyen también los términos independientes como cuarta columna, la matriz queda de la siguiente forma:

 2 − 2 3 16     3 5 −2 6   4 3 − 4 − 1 por lo que a esta matriz se le llama matriz aumentada

La resolución de un sistema, se puede hacer por matrices. A partir de la matriz aumentada se realizan operaciones con los renglones y se obtiene la matriz de un sistema equivalente. Esto se repite las veces necesarias hasta obtener la matriz de un sistema triangular, es decir, aquél en el que sean cero los elementos que se encuentren por debajo de la diagonal principal. La matriz así obtenida recibe el nombre de matriz escalonada.

Un sistema de ecuaciones como el siguiente: a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1 a21 x 2 + a22 x 2 + ... + a2 n x n = b2 . . . am1 x1 + am 2 x 2 + ... + amn x n = bm Con matrices se puede expresar así: A x 5 b, con  a11 a12 . . . a1n  a a22 . . . a2 n   21   a31 a32 . . . a3 n  A   x5  .   .     am1 am 2 . . . amn 

 x1  x   2  x3    b5  .   .     x n 

 b1  b   2  b3     .   .     bm 

Donde la matriz A es la matriz de los coeficientes, la matriz columna o vector columna x es la matriz de las incógnitas, y la matriz columna b es la matriz de los parámetros o términos independientes.

Determinante A la matriz cuadrada se le asocia un número real llamado determinante de la matriz y se representa por D A la matriz cuadrada de orden 2  a1 a  2

b1  b2 

se le asocia el determinante de orden 2 a1 b1 D5 5 a1b2 2 a2 b1 a 2 b2 cuyo valor se obtiene restando el producto de los elementos de la diagonal secundaria al producto de los elementos de la diagonal principal. 193

8 BLOQUE


Ejemplos Solución: Calcula el valor de los determinantes:

Aplicando la regla de Sarrus, repitiendo filas:

5 21 2  2 1 2(3) 2 5(1) 5 6 2 5 5 1 3 21 1  5 3 5 21 2    3 21 1  D5  3 2 2 1 5 5(2 1) (2 1)13(2)(2)13(2 1)(1)23(2 1)(2)2 5(2)(1)2   2 2   1 1)(21)23(2 1)(2)2 5(2)(1)23(2 1)(2 1) 2(22) 2 1(2) 2 25 226 1 5 5(2 1) (2 1)13 (2)(25)12 D5 D55 324 2 3(2 1 −2    3 2 1 1  5 21 2  3 2  3 2 1 1  3(23) 2 2(2) 5 29 2 4 5 213 D5 5 [ 5 + 12 − 3 − ( − 6 + 10 + 3 )] 2 −3 D5

A la matriz cuadrada de orden 3

 a1   a2  a3

b1 b2 b3

c1   c2  c 3 

5 14 2 7

D57

Aplicando la regla de Sarrus, repitiendo columnas:

 5 21 2 5 21   D5  3 21 1 3 2155(21)(21)1(21)(1)(3)12(3)(2)23(21)(2)22(1  3 2 21 3 2  se le asocia el determinante de orden 3 5 21 2 5 21   D5  3 21 1 3 2155(21)(21)1(21)(1)(3)12(3)(2)23(21)(2)22(1)(5)2(21)(3))(21) a1 b1 c1 2 a2 b2 1 3 2  a3b2 c1 D5 a2 b2 c 2 5 a1b2 c 3 2 a1b3 c 2 1 a3b31c 2 2 1c 3 1 a 2 b3 c1 2 5 [ 5 + (− 3) + 12 − ( − 6 + 10 + 3 )] a3 b3 c 3

este valor también se obtiene con la regla de Sarrus (que sólo se aplica a matrices de tres por tres), la cual consiste en: • Repetir la primera y segunda filas después de la tercera fila (también se puede repetir la primera y segunda columnas después de la tercera columna). • A continuación se multiplican los elementos de las diagonales que contienen tres elementos, que van de izquierda a derecha, de arriba abajo y se obtienen sus productos. • Después se multiplican los elementos de las diagonales con tres elementos, que van de izquierda a derecha, de abajo arriba y se obtienen sus productos. • Finalmente, a la suma de los primeros productos se resta la suma de los segundos productos con lo cual se obtiene el valor del determinante de la matriz.

D57

Como era de esperarse, el valor del determinante calculado en las dos formas es el mismo.

Solución de un sistema de 3 3 3 por la regla de Cramer Regla de Cramer A un sistema de ecuaciones lineales con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y en el cual el determinante de la matriz de los coeficientes es diferente de cero, se llama sistema de Cramer. Un sistema de Cramer siempre es compatible y determinado. Un sistema de ecuaciones lineales se puede resolver utilizando un conjunto de fórmulas que se conoce como regla de Cramer.

Ejemplos Calcula el determinante de la matriz:

5 −1 2    3 −1 1   3 2 − 1

194

5 14 2 7

Al aplicar la regla de Cramer a un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, el valor de cada incógnita se obtiene a partir del cociente de dos determinantes. El determinante del numerador es el de la matriz de los coeficientes, en el que se sustituye la columna de la incógnita cuyo valor se busca por la columna de los términos independientes, y el determinante del denominador corresponde a la matriz de los coeficientes.


Actividad de aprendizaje ¿A qué se llama determinante?

y5

¿En qué consiste la regla de Sarrus?

z5 Ejemplos

5 2 2 2 1 15 1 3 22 21 5

21

2

21 3

3 2

1 21

5 21 2 2 1 3 15 3 2 22 5

21

2

21 3

3 2

1 21

5

2 147 2 147 5 53 D 2 49

5

2 245 2 245 5 55 D 2 49

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando la regla de Cramer. 5x 2 y 1 2z 5 2

Ejemplos

2x 1 3y 1 z 5 15 3x 1 2y 2 z 5 22

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando la regla de Cramer.

Solución:

2x 1 3y 1 4z 5 20

El determinante de la matriz de los coeficientes es:

3x 1 4y 1 2z 5 17

5 21 2 5 21 2 5 21 D5 2 1 3 1 5 21 3 1 21 3 3 2 21 3 2 21 3 2

5 5(3)(21) 1 (21)(1)(3) 1 2(21)(2) 2 3(3)(2) 2 2(1)(5) 2 (21)(21)(21) 5 215 2 3 2 4 2 18 2 10 1 1

D 249 ? Como el determinante de la matriz de coeficientes es diferente de cero, el sistema tiene solución única.

x5

2 21 2 15 3 1 22 2 21 5

21

2

21 3

3 2

1 21

4x 1 2y 1 3z 5 17 Solución: El determinante de la matriz de los coeficientes es:

2 3 4 2 3 4 2 3 D5 3 4 2 5 3 4 2 3 4 4 2 3 4 2 3 4 2 5 2(4)(3) 1 3(2)(4) 1 4(3)(2) 2 4(4)(4) 2 2(2)(2) 2 3(3)(3) 5 24 1 24 1 24 2 64 2 8 2 27 D 527 ? 0 Como el determinante de la matriz de coeficientes es diferente de cero, el sistema tiene solución única.

5

49 49 5 52 1 D − 49 x5

20 3 4 17 4 2 17 2 3 2 3 4

5

2 27

5

2 27 51 2 27

3 4 2 4 2 3 195

8 BLOQUE


y5

z5

2 20 4 3 17 2 4 17 3 2 3 4

La solución del sistema es el conjunto ordenado de valores de x, y y z, que satisface las tres ecuaciones.

5

2 54 2 54 5 52 D 2 27

Una ecuación de la forma ax 1 by 1 cz 1 d 5 0 representa un plano en el espacio tridimensional, por lo que el sistema anterior representa tres planos, entre los cuales pueden ocurrir situaciones como las siguientes:

3 4 2 4 2 3

■ Los tres planos se intersecan en un solo punto, el sistema tiene solución única.

2 3 20 3 4 17 4 2 17

■ Los tres planos coinciden, el sistema tiene como solución un plano.

2 3 4

■ Los tres planos se intersecan en una recta común la solución del sistema es una recta.

5

2 81 2 81 5 53 D 2 27

■ El sistema no tiene solución cuando: ■ Los tres planos son paralelos entre sí.

3 4 2 4 2 3

■ Dos de los planos coinciden y el tercero es paralelo al plano común. ■ Dos de los planos son paralelos y el tercero los interseca en dos líneas paralelas.

Diversas soluciones utilizando sistemas 3 3 3 Anteriormente se estableció que para que un sistema simultáneo de tres ecuaciones con tres incógnitas tenga solución única se requiere que el determinante de la matriz de coeficientes sea diferente de cero.

■ Los tres planos se intersecan dos a dos en tres rectas paralelas. En consecuencia, el sistema puede: ■ Tener solución única, un punto. ■ Tener todos los puntos de una recta como solución.

Esta condición nos conduce a interpretar geométricamente los casos en que un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas no tiene solución única.

■ Tener todos los puntos de un plano como solución. ■ No tener solución alguna.

Sea a1 x 1b1 y 1 c1 z 1 d1 5 0 a 2 x 1 b2 y 1 c 2 z 1 d 2 5 0 a3 x 1b3 y 1 c 3 z 1 d3 5 0 un sistema de tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas en el que los coeficientes de las variables de cada ecuación no son cero simultáneamente.

Actividad de aprendizaje Al resolver un sistema de tres por tres, ¿qué posibles situaciones se pueden presentar en su solución?


Si un sistema de tres por tres no tiene solución única, ¿qué posibles situaciones se pueden presentar?

¿Qué condiciones reúne un sistema de Cramer?

Al aplicar la regla de Cramer, ¿cómo se sabe que un sistema tiene solución única?

196



Hora inicio:

Hora final:

Fecha:

Equipo:

Problemática asignada: Resuelves ecuaciones lineales III. Propósito: Registrar el papel que asumen los estudiantes al enfrentarse a la problemática de resolver problemas aritméticos y algebraicos, así como a los roles que les corresponde como actores de su propio proceso de aprendizaje. Criterio/conducta observable

Cumple Sí

No

Comentarios

Representa relaciones entre magnitudes. Utiliza métodos algebraicos para resolver problemas que se pueden plantear con un sistema 3 3 3, método algebraico por reducción. Comprende el procedimiento de resolución de un sistema de 3 3 3 utilizando algebraico por reducción. Utiliza métodos algebraicos para resolver problemas que se pueden plantear con un sistema 3 3 3, método numérico por determinantes. Utiliza métodos algebraicos para resolver problemas que se pueden plantear con un sistema 3 3 3, método numérico por la regla de Cramer. Analiza las diversas soluciones utilizando sistemas de 3 3 3.


197

8 BLOQUE


Aplicación de las TICs 1. Regla de Cramer. a) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones en la plataforma WolframAlpha: 2x 1 3y 1 4z 5 61, 3x 1 2y 1 z 5 54 y 5x 2 2y 1 3Z 5 58.

c) Fíjate en una de tus soluciones paso a paso para recordar el procedimiento completo de resolución de este sistema, empleando la regla de Cramer.

b) Debes seguir los mismos pasos que en el bloque anterior.

d) Comprueba el resultado, para ello usa otro método.



Desempeños Reconozco el modelo algebraico de un sistema de ecuaciones con tres incógnitas. Resuelvo e interpreto sistemas de ecuaciones de tres incógnitas, mediante los métodos: • Numérico: determinantes. • Algebraico: eliminación, reducción (suma y resta) y sustitución. • Gráfico. Expreso y soluciono situaciones usando sistemas de ecuaciones con tres incógnitas. Resuelvo problemas que se plantean en lenguaje algebraico utilizando métodos algebraicos, numéricos y gráficos. Elaboro o interpreto gráficas, tablas y mapas para resolver situaciones diversas que conllevan al uso de sistemas de ecuaciones con tres incógnitas. Observaciones generales:

198

1

2


3

Debo mejorar en…



2. Bien

1. Regular



1

2

3

4

5


199

8 BLOQUE



A ) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas: x 1 y 1 z 5 10 x2y1z52 x1y2z58 x 1 y 2 2z 5 13 x 2 3y 2 z 5 2 3 x 2 y 1 4z 5 2 17 x 1 2y 1 2z 5 11 3x 1 4y 1 z 5 14 2x 1 2y 1 z 5 7 B ) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando la regla de Cramer. x1y2z51 x21z53 2x1y1z57 x 1 y 1 2z 5 3 3x 2 y 1 z 5 1 2x 1 3y 2 4z 5 9

4. 2x 1 y 1 z 5 3

x 12y 2 z 5 0

2x 2 y 1 2z 5 2

5. 2x 1 7y 2 11z 5 10 5x 210y 1 3z 5 215 26x 112y 2 z 5 31 6. 3x 2 2y 1 5z 5 28 4x 1 5y 1 4z 5 9 5x 2 4y 2 3z 5 26 7. 5x 1 3y 2 6z 5 4 3x 2 y 1 2z 5 8

x 2 2y 1 2z 5 2

8. 2x 2 3y 1 4z 5 8 3x 2 2y 1 3z 5 8 4x 1 4y 1 2z 5 6

1.

x 1 y 1 z 5 11

9. 4x 2 5y 1 2z 5 6

2x 2 y 1 z 5 5 3x 1 24 1 z 5 24

2x 1 3y 2 z 5 20

2.

3x 1 2y 1 z 5 4 5x 2 y 2 z 5 3 2x 1 y 12z 5 7

3. 5x 1 4y 1 4z 5 3 3x 1 7y 1 5z 5 5 6x 1 2y 1 5z 5 7

200

7x 2 4y 1 3z 5 35 1 0. 8x 1 4y 2 3z 5 6

x 1 3y 2 z 5 7

4x 2 5y 1 4z 5 8


Rúbrica

Indicaciones: Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes sobre los contenidos del Bloque 8. Excelente (4)

Aspecto a evaluar

Criterios

Bueno (3)

Regular (2)

Deficiente (1)

Método para resolver sistemas de 333

Resuelve un sistema de 3 3 3 por: reducción, determinantes y regla de Cramer.

Resuelve un sistema de 3 3 3 por dos de los tres métodos.

Resuelve un sistema de 3 3 3 por uno de los tres métodos.

No resuelve un sistema de 3 3 3 por: reducción, determinantes ni regla de Cramer.

Diversas soluciones utilizando sistemas 3 3 3

Interpreta las diversas soluciones de un sistema de 3 3 3 en el espacio tridimensional.

Interpreta siete de las ocho situaciones posibles.

Interpreta cinco de las ocho situaciones posibles.

No interpreta las diversas soluciones de un sistema de 3 3 3 en el espacio tridimensional.

En las diferentes actividades que se te pide realices a lo largo de la obra, podrás utilizar el siguiente modelo de registro anecdótico, que te posibilitará anotar tus experiencias de manera ordenada. Intégralo a tu portafolio de evidencias cuando tu profesor lo solicite. Registro anecdótico Fecha: Tarea: Docente: Registro de actividades

Recuperación de avances, dificultades y apoyos requeridos

Nombre de los estudiantes:

201

Resuelves ecuaciones cuadráticas I Tiempo asignado:

8 horas

9



Competencias a desarrollar n Interpreta el modelo matemático propio de la ecuación cuadrática con

una variable mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones hipotéticas o formales. n Resuelve problemas que involucran a la función cuadrática, aplicando

diferentes métodos tales como: completar el trinomio cuadrado perfecto, factorización y fórmula general. n Interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos

algebraicos y los contrasta con modelos establecidos.

n Analiza las relaciones entre dos variables para determinar su

comportamiento y estimar si su solución es real o compleja. n Interpreta la función cuadrática con tablas, gráficas y textos, y

su relación con las ecuaciones y resultados, utilizando símbolos matemáticos algebraicos y científicos. n Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas


¿Qué sabes hacer ahora? Responde las siguientes preguntas: 1. Si a un número se le agrega su cuadrado se obtiene 90. Halla el número.

2. Resuelve por factorización x 2 + 7 x + 12 = 0 .

3. Resuelve gráficamente x 2 + 2 x − 3 = 0 .

Desempeños por alcanzar Identifica el modelo algebraico de una ecuación cuadrática con una variable: Completa: ax ² 1 bx 1 c 5 0, con a Z 0,1 o: x ² 1 bx 1 c 5 0 Incompleta: ax ² 1 bx 5 0, con a Z 0,1 o: ax ² 1 c 5 0 Comprende los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas con una variable completa e incompleta. Resuelve ecuaciones cuadráticas con una variable completa e incompleta por los métodos: Por extracción por factor común y fórmula general para ecuaciones incompletas.

Por factorización, completando trinomio o cuadrado perfecto y fórmula general para ecuaciones cuadráticas con una variable completa. Interpreta la solución de la ecuación cuadrática completa e incompleta para reales, complejas e imaginarias. Interpreta situaciones con ecuaciones cuadráticas con una variable. Resuelve problemas o formula problemas de su entorno por medio de la solución de ecuaciones cuadráticas. Interpreta la solución de los problemas para cuando tiene soluciones inadmisibles.

9 BLOQUE




Un comerciante vendió un artículo en $96 y obtuvo como utilidad un tanto por ciento igual al precio de costo del artículo. Hallar el precio de costo del artículo.



Cada equipo debe investigar: ¿Cómo se representa el precio de costo del artículo?



¿Cómo se representa la utilidad obtenida?



En este ejemplo:

¿Cómo comprobar los resultados obtenidos en el enunciado del problema?

Producto a elaborar

Trabajo individual

Representación de la utilidad obtenida.


Cálculos y obtención de los valores buscados.

Representación del precio de costo del artículo. Modelo matemático del enunciado del problema.


Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para determinar el precio de costo del artículo que se solicita se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

204




De una hoja de papel con forma cuadrangular se recorta una tira de 2 cm de ancho. El área que queda es de 63 cm2. Hallar el lado del cuadrado.



Cada equipo debe investigar: ¿Cómo se representa con una letra el lado del cuadrado?


¿Cómo se representa el lado al que se le recortan 2 cm?





En este ejemplo:


Producto a elaborar Representación de las medidas del cuadrado. Modelo matemático del enunciado del problema. Cálculos y obtención de los valores buscados

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para determinar la longitud del lado del cuadrado que se solicita se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

205

9 BLOQUE




Dos personas salen de un mismo lugar a la misma hora. Una va hacia el norte a una velocidad de 4 kilómetros por hora, y la otra hacia el este a una velocidad de 3 kilómetros por hora. ¿En cuánto tiempo se hallarán a 15 km una de otra?



Cada equipo debe investigar: ¿Cómo se representa la distancia recorrida por cada persona? ¿Cómo se establece el modelo matemático que ilustra las condiciones del problema? ¿Cómo se resuelve la ecuación cuadrática que se obtiene a partir del modelo matemático?




Producto a elaborar

¿Cómo se interpreta la solución negativa?

Representación de las distancias recorridas por cada persona.


Modelo matemático del enunciado del problema. Cálculos y obtención de los valores buscados.

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para determinar el tiempo que se solicita se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por es206





¿Cuántos metros de tela se compraron con $240, sabiendo que si el metro hubiera costado tres pesos menos, se hubieran comprado cuatro metros más?



Cada equipo debe investigar: ¿Cómo representar el número de metros de tela? ¿Cómo representar el precio del metro de tela en el primer y segundo caso? ¿Cómo representar la equivalencia entre los dos precios? ¿Cómo establecer el modelo matemático que ilustra las condiciones del problema? ¿Cómo comprobar los resultados obtenidos en el enunciado del problema? ¿Cómo interpretar la solución negativa del modelo matemático?




Producto a elaborar Representación del número de metros de tela. Representación de los precios que se buscan. Modelo matemático del enunciado del problema. Cálculos y obtención de los valores buscados.

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para determinar el número de metros de tela que se solicita se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

207

9 BLOQUE




Una cadena de tiendas departamentales va a publicar su catálogo de artículos con sus respectivos precios. ¿En qué porcentaje debe incrementar el precio de compra para fijar el precio de catálogo, de manera que al aplicarle a un artículo 20% de descuento la cadena obtenga 20% de utilidad sobre el precio de compra?



Forma equipos para resolver el problema

cabo las rectificaciones que procedan.




Cada equipo debe investigar: ¿Cómo representar el precio de compra y de venta de un artículo para obtener 20% de utilidad?


¿Cómo representar el precio de catálogo de ese mismo artículo y su precio de venta con 20% de descuento?

Producto a elaborar

¿Cómo establecer el modelo matemático que ilustra las condiciones del problema?

Representación del precio de compra y de venta de un artículo. Ecuación del modelo matemático del enunciado del problema.

¿Cómo resolver la ecuación que representa el modelo matemático?

Cálculo y obtención de los valores buscados.

¿Cómo comprobar el resultado obtenido en el enunciado del problema?

Trabajo individual Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para determinar el precio de catálogo que se solicita se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento

208




19. En un octágono regular la apotema excede en 2 cm al lado del polígono. Si el área es de 320 cm2, halla las medidas del lado y de la apotema.

Parte I 1. Si a un número se le agrega su cuadrado se obtiene 90. Halla el número.

20. El área de un trapecio es de 84 cm2. La base mayor es el doble de la menor y la altura excede en 1 cm a la base menor. Determina la medida de cada una.

2. Halla el número cuyo cuadrado disminuido en el doble del número da 15.

Parte II A) Resuelve por factorización las siguientes ecuaciones. 1. x2 1 3x 5 0 2. 3x2 2 6x 5 0 3. x2 2 5x 5 0 4. x2 1 7x 5 0 5. 2x2 1 8x 5 0 6. 5x2 2 15x 5 0 7. 3x2 2 5x 5 0 8. 2x2 2 4x 5 0 9. 2x2 1 5x 5 0 10. 3x2 1 x 5 0 11. x2 2 4 5 0 12. x2 2 9 5 0 13. 3x2 2 12 5 0 14. 2x2 2 72 5 0 15. 3x2 2 147 5 0 16. 9x2 2 4 5 0 17. 4x2 2 100 5 0 1 18. x 2 – = 0 4

3. Encuentra el número cuyo duplo de su cuadrado disminuido en el número es igual a 45. 4. Halla dos números que sumados den 12 y multiplicados den 35. 5. La suma de dos números es 14 y la suma de sus cuadrados es 106. ¿Cuáles son esos números? 6. La suma de los cuadrados de tres números naturales consecutivos es 110. ¿Qué números son? 7. El producto de dos números enteros consecutivos es 600. Halla los números. 8. Encuentra el número cuyo quíntuple aumentado en 500 es igual a su cuadrado. 9. Halla dos números pares consecutivos tales que la diferencia de sus cuadrados sea 116. 10. Halla un número tal que la mitad de su cuadrado disminuida en 8 dé 120. 11. El perímetro de un rectángulo es de 140 m y su área es de 1 200 m2. Halla sus dimensiones. 12. Un lado de un rectángulo excede al ancho en 10 m y el área es de 2 000 m2. Halla sus dimensiones. 13. Si al largo de un rectángulo se le restan 3 m se obtiene un cuadrado de 225 m2 de área. Halla las dimensiones y el área del rectángulo. 14. La base de un rectángulo es el doble de su altura y su área es de 288 m2. Calcula sus dimensiones. 15. En un triángulo rectángulo el cateto mayor excede en 2 cm al menor, y la hipotenusa supera en 2 cm al cateto mayor. Calcula la medida de cada lado. 16. Calcula el lado de un cuadrado cuya área disminuida en el producto del lado por 5 es igual a 126 m2. 17. La banqueta que rodea a un jardín rectangular es de 3 m de ancho. El jardín tiene 10 m más de largo que de ancho. Si el área del jardín es de 1 496 m2, ¿cuál es la longitud del lado exterior de la banqueta? 18. Halla el lado de un cuadrado; si su área se aumenta en el producto de dicho lado por 5 se hace igual a 500 m2.

19. x2 2 0.25 5 0 20. x2 2 0.0196 5 0 21. x2 1 6x 1 9 5 0 22. x2 2 6x 1 9 5 0 23. x2 1 10x 1 25 5 0 24. x2 2 12x 1 36 5 0 25. x2 1 22x 1 121 5 0 26. x2 2 20x 1 100 5 0 27. x2 1 16x 1 64 5 0 28. x2 2 14x 1 49 5 0 9 29. x 2 13x 1 5 0 4 2 1 30. x 2 – x + = 0 3 9 209

9 BLOQUE


31. x2 17x 1 12 5 0 32. x2 2 7x 1 12 5 0 33. x2 1 x 2 30 5 0 34. x2 2 x 2 30 5 0 35. x2 1 13x 1 36 5 0 36. x2 2 7x 2 60 5 0 37. x2 2 12x 1 35 5 0 38. x2 1 x 2 42 5 0 39. x2 2 3x 2 54 5 0 40. x2 2 5x 2 14 5 0 B) Resuelve las siguientes ecuaciones por complementación de cuadrados. 2

1. x 2 2x 5 0 2. x2 1 8x 1 15 5 0 3. x2 1 2x 2 3 5 0 4. x2 1 6x 1 5 5 0 5. x2 1 5x 2 14 5 0 6. x2 2 5x 1 4 5 0 2

7. x 1 3x 2 18 5 0 8. x2 2 7x 2 18 5 0

9. x2 1 7x 1 12 5 0 10. x2 2 13x 1 36 5 0 C) Resuelve las siguientes ecuaciones por fórmula general. 1. x2 2 x 20 5 0 2

2. x 2 7x 2 18 5 0 2

3. x 1 11x 1 24 5 0 4. x 2 – 2 x – 24 = 0 5. x2 1 7x 1 10 5 0 4 4 6. x 2 – x + = 0 3 4 7. 6x2 1 5x 2 6 5 0 8. 2x2 1 6x 1 4 5 0

Parte III Determina la naturaleza de las raíces de cada ecuación. 1. x2 22x 2 3 5 0 2. x2 1 2x 1 1 5 0 3. x2 24x 1 8 5 0 4. x2 2 2x 1 2 5 0 5. x2 1 6x 2 3 5 0 6. x2 2 3x 1 1 5 0 7. x2 2 3x 2 2 5 0 8. x2 1 x 1 3 5 0 9. x2 1 4x 1 4 5 0 10. x2 1 6x 2 9 5 0 Parte IV Resuelve gráficamente cada una de las siguientes ecuaciones 1. x2 1 2x 2 3 5 0 3. x2 2 4x 1 8 5 0 5. x2 1 6x 2 3 5 0 7. x2 2 3x 1 2 5 0 9. x2 1 4x 1 4 5 0

2. x2 1 2x 1 1 5 0 4. x2 2 2x 1 2 5 0 6. x2 2 4x 1 8 5 0 8. 2x2 1 x 1 3 5 0 1 10. x 2 + x + = 0 4

Parte V 1. Encuentra un número cuyo doble de su cuadrado aumentado en 5 es igual a 465. 2. Halla un número tal que la mitad de su cuadrado disminuido en 12 sea igual a 150. 3. Si al triple de un número se le suma su cuadrado se obtiene 108. Encuentra el número. 4. A un número se le aumenta el triple de su cuadrado y el resultado es 154. ¿Cuál es el número?

9. 5x2 1 10x 1 5 5 0

5. Si al triple del cuadrado de un número se le resta 15 veces el mismo número la diferencia es cero. Obtén el número.

10. 3x2 1 3x 2 18 5 0

6. Encuentra dos números que sumados dan 17 y multiplicados dan 42.

D) Resuelve las siguientes ecuaciones por factorización mediante agrupamiento de términos.

210

1. 2x2 2 6x 2 8 5 0 2. 2x2 2 4x 2 30 5 0 3. 2x2 2 3x 1 1 5 0 4. 3x2 1 10x 2 25 5 0 5. 5x2 2 3x 2 36 5 0 6. 2x2 1 5x 2 3 5 0 7. 2x2 2 7x 2 15 5 0 8. 4x2 1 7x 1 3 5 0 9. 6x2 2 3x 2 18 5 0 10. 7x2 2 9x 1 2 5 0

7. ¿Cuáles son los números que restados dan 5 y multiplicados dan 36?


8. La suma de los cuadrados de dos números enteros consecutivos es 481. Encuentra los números.

26. El perímetro de un rectángulo es de 54 m y su área es de 180 m2. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

9. Halla un número cuyo cuadrado disminuido en 77 es igual a menos el cuádruplo del número.

27. El perímetro de un rectángulo mide lo mismo que la circunferencia de un círculo. El largo del rectángulo es 3 m mayor que su ancho, y el área es de 270 m2. Determina las dimensiones del rectángulo así como el diámetro, la longitud de la circunferencia y el área del círculo. Toma

10. El producto de un número disminuido en 3 unidades y el mismo número aumentado en 4 unidades es igual a 78. Obtener el número. 11. Encuentra dos números enteros consecutivos, tales que el cuadrado del mayor excede en 57 al triple del menor. 12. En un triángulo, la altura es igual a la mitad de la base. Si el área del triángulo es de 256 m2, ¿cuánto mide la base y la altura del triángulo? 13. En un triángulo, la base es 3 m mayor que la altura. Si el área del triángulo es de 90 m2, ¿cuáles son sus dimensiones? 14. La base y la altura de un triángulo son iguales. Si a cada una se le aumentan 2 m se obtiene un triángulo de 50 m2 de área. Halla las dimensiones originales. 15. Calcula la medida del lado de un cuadrado de área igual a 1 225 metros cuadrados. 16. Si se duplican los lados de un cuadrado se obtiene otro cuadrado de 324 m2 de área. ¿Cuánto mide el lado del primer cuadrado? 17. La base de un rectángulo es el doble de su altura y su área igual a 240 m2. Calcula sus dimensiones. 18. Determina las dimensiones de un rectángulo de área igual a 240 m2 sabiendo que el largo mide 8 metros más que el ancho. 19. El ancho de un rectángulo es 9 metros menor que su largo y su área es de 400 m2. ¿Cuáles son sus dimensiones? 20. Halla los catetos de un triángulo rectángulo sabiendo que uno de ellos mide 5 metros más que el otro y la hipotenusa mide 25 m. 21. Los catetos de un triángulo rectángulo son dos números enteros consecutivos. Si el área del triángulo es de 6 m2, ¿cuánto miden los dos catetos? 22. Los catetos de un triángulo rectángulo son números enteros pares consecutivos. Determina la medida de cada lado. 23. En un rombo de 285 cm2 de área, la diagonal mayor excede a la menor en 4 cm, ¿cuánto mide cada diagonal? 24. La suma de dos lados consecutivos de un rectángulo es de 24 m, y el área del rectángulo es de 135 m2. Halla las dimensiones del rectángulo. 25. En un terreno rectangular de 450 m2 de área, el largo es el doble del ancho. Calcula las dimensiones del terreno.

22 7 28. Un terreno rectángular tiene un perímetro de 380 m y el largo es 10 m mayor que el ancho. El terreno está rodeado por una calle cuya área es igual a la del terreno. Calcula el ancho de la calle. p=

29. Con una lámina cuadrada se construye una caja cortando en las esquinas cuadrados de 5 cm por lado y doblando hacia arriba las partes para formar la caja. Si la caja ocupa un espacio de 8 000 cm3, ¿cuánto mide el lado de la lámina? 30. Un círculo está inscrito en un cuadrado, es decir, el círculo está dentro del cuadrado y es tangente a los lados de éste. El área del cuadrado menos el área del círculo es igual a 42 cm2, ¿cuánto mide el radio del círculo? Toma

22 7 31. Jorge es 5 años mayor que Luis, y la suma de los cuadrados de sus edades es 193. ¿Qué edad tiene cada uno? p=

32. Ana tiene 3 años menos que María, y la suma de los cuadrados de sus edades es 369. Encuentra las edades de Ana y María. 33. Fernando es 3 años menor que Francisco, y la suma de los cuadrados de sus edades es 149. ¿Cuál es la edad de cada uno? 34. La edad de una madre es el triple de la de su hija, y el cuadrado de la edad de la hija es igual a cuatro veces la de la madre. Halla la edad de cada una. 35. Un avión vuela 800 millas contra el viento y luego regresa al punto de partida empleando un total de 9 horas. Encuentra la velocidad del avión en aire tranquilo si la velocidad del viento es de 20 millas por hora. Sugerencia: utiliza t=

d v

36. Una lancha de motor viaja 36 millas río arriba (contra la corriente y regresa al punto de partida). En el recorrido tardó 211

9 BLOQUE


5 horas. La velocidad de la lancha en aguas tranquilas es de 15 millas por hora. ¿Cuál es la velocidad de la corriente del río?

44. Se compra cierto número de libros por 169 unidades de dinero. Si el número de libros es igual al precio de cada uno, ¿cuántos libros se compraron?

37. Un tren recorre 800 kilómetros en cierto tiempo. Al regreso viaja con una velocidad de 16 km por hora menos que la ida y tarda 2 horas y media más. Calcula el tiempo de ida y el regreso. 45. Se reparten 60 unidades de dinero entre cierto número de niños. Si a cada niño se le dieran 2 unidades de dinero menos, el reparto alcanzaría para 8 niños más. ¿Qué cantidad se dio a cada niño?

38. Una carretera y una vía del tren se cruzan perpendicularmente. Un tren se encuentra a 15 km del cruce al tiempo en que el automóvil está a 12 km del mismo. Los dos van a una velocidad de 1.5 km por minuto. ¿Al cabo de cuántos minutos se hallarán a una distancia de 3 km uno de otro? Explique las dos soluciones. Sugerencia: utiliza d 5 vt y el teorema de Pitágoras. 39. Un depósito de agua se llena por dos llaves A y B en 12 minutos. Si B lo llena en 10 minutos más que A, ¿en qué tiempo lo puede llenar cada una? 40. Dos tubos A y B llenan un depósito en 20 minutos. El tubo B lo llena en 9 minutos menos que A. ¿En cuánto tiempo lo llena A? 41. Un obrero cobra cierta cantidad de dinero por hora de trabajo. Para hacer una obra cobra 500 unidades de dinero y al realizarla se tarda 5 horas más por lo que gana 5 unidades de dinero menos por hora. ¿Cuántas horas empleó en hacer la obra? 42. Un obrero puede hacer una obra en 24 horas menos que su ayudante. Si trabajan juntos pueden hacer la obra en 22.5 horas. ¿Cuánto tarda cada uno si trabajan por separado? 43. En una farmacia se compra cierto número de artículos iguales en 729 unidades de dinero, y resulta que el precio de cada artículo es igual al número de artículos. ¿Cuántos artículos se compraron? 212

46. Con 192 unidades de dinero se compra cierto número de artículos de igual precio. Si se compraran 2 artículos menos quedarían 8 unidades de dinero. ¿Cuántos artículos se compraron? 47. Un cuerpo se arroja desde una altura de 735 m con una velocidad de 24.5 metros por segundo. ¿En cuánto tiempo llega el cuerpo al suelo? Sugerencia: usa e 5 vt 1 4.9 t2. 48. Si en el problema anterior el cuerpo no se arroja sino que se deja caer, entonces la velocidad v 5 0. ¿En qué tiempo llega el cuerpo al suelo? 49. Desde el suelo se lanza un proyectil hacia arriba con una velocidad de 39.2 metros por segundo, ¿al cabo de cuánto tiempo estará a 58.8m metros de altura sobre el suelo? Sugerencia: usa e 5 vt 2 4.9 t2. 50. Se invierten 8 000 unidades de dinero a un tanto por ciento anual. Un año después se retiran el capital y el interés producido y se invierten a un tanto por ciento que es 3% mayor que el anterior con lo cual se obtiene un interés anual de 856 unidades de dinero. ¿Cuál era el primer tanto por ciento?


Cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no se refieren a la realidad. Einstein

Introducción

Para tu reflexión

Se procede al planteamiento de problemas que conducen a una ecuación de segundo grado con una incógnita como modelo matemático.

Abel, Niels Henrik (1802-1829)

Posteriormente se utilizan métodos algebraicos para resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita. También se usa la fórmula general así como el discriminante de la misma para analizar la naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado con una incógnita. Se representa en el plano cartesiano a la ecuación de segundo grado con una incógnita y se interpreta su solución en forma gráfica. Para concluir, se aplica la ecuación cuadrática en la resolución de problemas.

9.1 Representación de relaciones entre magnitudes Métodos algebraicos Una ecuación cuadrática, una vez resuelta, tiene como raíces o soluciones valores que la satisfacen, pero que requieren ser verificados y, en su caso, interpretados en el enunciado de un problema. Una ecuación de segundo grado con una incógnita se expresa por: ax2 1 bx 1 c 5 0, a ? 0

Actividad de aprendizaje Si ab 5 0, entonces a 5 ____, b 5 _____ o a y b son iguales a.

de primer grado o lineal y c es el término independiente o constante.

Actividad de aprendizaje Si una ecuación tiene tantas raíces o soluciones como su grado, ¿cuántas raíces o soluciones tiene una ecuación de segundo grado?

donde a, b y c son constantes y x es la incógnita que tiene a 2 como su mayor exponente; ax2 es el término cuadrático, bx es el término

Matemático noruego que aportó las ecuaciones abelianas. En 1824 probó que no hay ninguna fórmula para hallar los ceros de todos los polinomios generales de grado mayor al cuarto, dando paso a la creación de la doble periodicidad de las funciones elípticas. Niels comprobó que las ecuaciones algebraicas generales no pueden ser resueltas en forma algebraica cuando son de grado mayor al cuarto; también analizó las funciones algebraicas, las elípticas, las integrales definidas y las trascendentes. En 1824 comprobó que no hay ninguna fórmula para hallar los ceros de todos los polinomios generales de grados n $ 5 en términos de sus coeficientes y en el de las funciones elípticas, ámbito en el que desarrolló un método para la construcción de funciones periódicas recíprocas de la integral elíptica. En 1815 ingresó a la escuela de la Catedral de Cristianía –hoy Oslo– donde tres años después probaría sus aptitudes para las matemáticas con sus brillantes soluciones a los problemas propuestos por Bernt Holmboe. En 1826 Abel viajó a París, donde conoció a los matemáticos franceses más importantes, aunque ni él ni su trabajo fueron valorados. A ello contribuyó también su modestia, que lo llevó a no hacer públicos los resultados de sus investigaciones. La prematura muerte, a los 27 años, de este genio de las matemáticas terminó con una brillante y prometedora carrera. Sus investigaciones aclararon algunos de los aspectos más oscuros del análisis y abrieron nuevos campos de estudio, posibilitando numerosas ramificaciones en el conocimiento matemático y alcanzando un notable progreso.

Ecuaciones de segundo grado de una variable Si en la ecuación: ax2 1 bx 1 c 5 0, b 5 0, entonces se anula el término lineal y la ecuación queda: ax2 1 c 5 0. Si c 5 0, entonces la ecuación se reduce a: ax2 1 bx 5 0. Estas dos últimas expresiones corresponden a ecuaciones de segundo grado con una incógnita que son incompletas, en el primer caso por carecer del término lineal y en el segundo caso por carecer del término independiente. 213

9 BLOQUE


Recuerda que resolver una ecuación significa encontrar los valores que la satisfacen. A este respecto se debe observar que: Este tipo de ecuaciones tienen dos raíces o soluciones. Si el producto de dos factores es cero, entonces por lo menos uno de ellos es cero.

2

2

1  1 1  1 1 3 1  1 1  1 1 3 30  2 3   2 (0) 2 305 0 2 3   2 2 5     3 3 3 9 3 9 3  3 3  9 3 9 2

Por factorización

0 5 0

Al multiplicar dos o más números se obtiene un producto. Los números que se multiplican se denominan factores o divisores del producto.

2. Resuelve la ecuación 5x 2 1 10x 5 0. Solución: En esta ecuación 5x es el mayor divisor común de los dos términos de la ecuación, es decir, 5x es el factor común de los dos términos por los que la ecuación se puede expresar como:

Una ecuación de segundo grado con una incógnita se puede expresar como el producto de los factores, a este proceso se le llama factorización. Como el producto de los dos factores es igual a cero, se iguala cada uno de ellos con cero para obtener las dos raíces o soluciones (r1 y r2) de la ecuación.

Igualando cada factor con cero, se obtiene: 5x 5 0 x1250

Extracción de factor común

de donde: x 5

5x (x 1 2) 5 0

0 5 x1 5 0 x2 5 22

Factorización de una ecuación del tipo ax 2 1 bx 5 0

Comprobación: para x 5 0

Ejemplos 1. Resuelve la ecuación 3x2 2 x 5 0. Solución:

2

para x 5 22 2

5 (0) 1 10(0) 5 0

5(22) 1 10(22) 5 0

5(0) 1 0 5 0

5(4) 2 20 5 0

0 1 0 5 0

20 2 20 5 0

0 5 0

050

2

3. Resuelve la ecuación 3x 2 12x 5 0.

En esta ecuación x es el mayor divisor común de los dos términos, por tanto, x es el factor común de los dos términos y la ecuación se puede escribir así:

Solución: Sacando factor común 3x (x24) 5 0

x (3x 2 1) 5 0

Igualando a cero cada factor: 3x 5 0 x 2 4 5 0

Igualando cada factor con cero, se obtiene:

de donde: x1 5 0, x2 5 4 Comprobación:

x 5 0 3x 2 1 5 0 2

de donde: x1 5 0, x2 5

2

1  1   11  11   1  3 1 3 3 5 32 2 0  32  32  2 3  3   33  39   39  9 3 9

1  1 1  1 1 3 . 3  2 3  2 3  3 3  9 3 9

Comprobación:

3(0)2 2 120(0) 5 0

3(4)2212(4) 5 0

3(0) 2 0 5 0

3 (16) 2 48 5 0

0 2 0 5 0

48 2 48 5 0

Se sustituyen los valores de las raíces en la ecuación original. 2

para x 5 0

para x 5

1  1 1  1 1 3 3  2 3  2  9  3de aprendizaje 9 3  3  3Actividad

2

1  1 1  1 1 3 3  2 5 3 0  2 2 3  3  3  9  3 9 Una ecuación del tipo ax + bx = 0 tiene la propiedad de que una de

3(0)2 2 0 5 0 2

1  1 1  1 1 3 3(0) 2 0 5 0 3   2 3   2 5 0 3  3 3  9 3 9

214

sus raíces o soluciones


Una ecuación de segundo grado con una incógnita del tipo ax2 1 bx 5 0 es incompleta porque le falta el término independiente. Este tipo de ecuación tiene la propiedad de que una de sus raíces o soluciones es cero.

Transponiendo el término independiente: x 2 5 49

Despeje de la variable cuadrática

por tanto: x1 5 7

Factorización de una ecuación del tipo ax2 1 c 5 0, a 0

de donde: x 5 6

49

o sea: x 5 6 7 x2 5 27

2. Resuelve la ecuación 3x 2 2 108 5 0. Solución: Sacando a 3 como factor común: 3(x 2 236) 5 0. El factor binomio es una diferencia de cuadrados, por tanto: 3 (x16)(x26) 5 0.


Igualando cada factor binomio con cero: x 1 6 5 0 x 2 6 5 0

Una ecuación del tipo ax 2 1 c 5 0 tiene la propiedad de que sus raíces o soluciones

de donde: x1 5 26, x2 5 6 Comprobación:

Una ecuación del tipo ax 2 1 bc 5 0 tiene la propiedad de que una de sus raíces o soluciones

3(6)2 2 108 5 0 3(36) 2 108 5 0 108 2 108 5 0 0 5 0

3(26)2 2 108 5 0 3(36) 2 108 5 0 108 2 108 5 0 050

3. Resuelve la ecuación x 2 2 12 5 0.

Solución: Extrayendo la raíz cuadrada principal de x 2 y 12:

+ x 2 = x , + 12 = +

Ejemplos

Un factor binomio es la suma y el otro la diferencia de las raíces:

1. Resuelve la ecuación x 2 2 49 5 0.

x 2 – 12 = ( x + 2 3 )( x – 2 3 ) = 0 Igualando cada factor con cero: x + 2 3 = 0 x – 2 3 = 0 de donde x1 + 2 3 , x 2 = 2 3

Solución: Como se puede observar esta ecuación es una diferencia de cuadrados, por lo que sus factores son dos binomios conjugados. Extrayendo la raíz cuadrada principal (positiva) de x 2 y 49:

+ x2 = x

4–3 =+ 2 3

+ 49 = 7

Un factor binomio es la suma y el otro la diferencia de las raíces de sus términos: x 2 2 49 5 (x 1 7)(x 2 7) 5 0 Igualando cada factor binomio con cero: x 1 7 5 0 x 2 7 5 0

Comprobación:

x 2 2 12 5 0

(22 3 )

2

2 12 5 0

x 2 2 12 5 0

(2 3 )

2

2 12 5 0

4(3) 2 12 5 0

4(3) 2 12 5 0

12 2 12 5 0

12 2 12 5 0

0 5 0

050

de donde x1 5 27, x2 5 7 Comprobación: (27)2 2 49 5 0

722 49 5 0

49 2 49 5 0

49 2 49 5 0

0 5 0

050

2

La ecuación x 2 49 5 0 también se puede resolver así: x 2 2 49 5 0

Una ecuación de segundo grado con una incógnita del tipo ax2 1 c 5 0 es incompleta porque le falta el término lineal. Este tipo de ecuaciones tiene la propiedad de que sus raíces o soluciones son valores simétricos.

Ecuaciones cuadráticas incompletas Algunos problemas dan lugar a una ecuación cuadrática incompleta como modelo matemático. 215

9 BLOQUE


Ecuaciones cuadráticas completas

Ejemplos 1. Un triángulo tiene un área de 648 m2. Si la altura y la base son iguales, determine la longitud de cada una.

Factorización de una ecuación del tipo x2 1 bx 1 c 5 0

Solución:

Ejemplos

El área A de un triángulo de base b y altura h se obtiene por la fórmula:

1. Resuelve la ecuación x2 1 8x 1 15 5 0.

A5

x?x bh A5 2 2

196 5 x

Solución:

o sea:

392 5 2x 2

Esta ecuación se puede expresar como el producto de dos factores binomios. El primer término de cada binomio son los factores x y x de x2. Para determinar los segundos términos de cada binomio se buscan dos números cuyo producto sea 15 y que sumen 8. Los números cuyo producto es 15 son: 15 y 1 , 215 y 21, 3 y 5, 23 y 25. El producto 15 es positivo, esto significa que sus factores deben tener igual signo. Para que la suma de los factores sea positiva se requiere que ambos sean positivos. Los factores de 15 que cumplen con las condiciones son 3 y 5, pues (3) (5) 5 15 y 3 1 5 5 8. por tanto: x2 1 8x 1 15 5 (x 1 3) (x 1 5) 5 0 Igualando a cero cada factor, se obtiene: x 1 3 5 0, x1550 de donde: x1 5 23, x2 5 25 estos valores se pueden determinar por simple inspección de los factores binomios, ya que cada uno es el simétrico del segundo término de cada factor. Comprobación: (23)2 1 8 (23) 1 15 5 0 (25)2 1 8 (25) 1 15 5 0 9 2 24 1 15 5 0 25 2 40 1 15 5 0 24 2 24 5 0 40 2 40 5 0 0 5 0 050

es decir:

2x 2 5 392

2. Resuelve la ecuación x 2 2 7x 1 12 5 0.

o bien:

x 2 5 196

Sea x la longitud que se busca, entonces b 5 h 5 x. Por tanto:

A5

de donde: o sea:

x?x bh A5 2 2

196 5 x

1 296 5 x 2 x 2 5 1 296

Extrayendo raíz cuadrada a los dos miembros: x56 1 296 x 5 6 36 por lo que:

x1 5 36, x2 5 236

De las dos soluciones sólo es válida la positiva, pues el problema pide una longitud y no existen longitudes negativas. 2. El área de un rectángulo es de 392 m2, si la base es el doble de la altura, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo? Solución: El área A de un rectángulo de base b y la altura h está dada por: A 5 bh si la altura se representa por x entonces la base es 2x: De acuerdo con el enunciado del problema: 392 5 2x 3 x

x?x bh donde; A5 A5 2 2 por tanto

196 5 x x 5 6 14 x1 5 14, x2 5 214

De las dos soluciones sólo es aceptable la positiva, ya que el problema pide dimensiones que son longitudes y no existen longitudes negativas.

Solución: Factores x y x de x2. Números cuyo producto es 12 son: 12 y 1, 3 y 4, 6 y 2, 2 12 y 21, 23 y 24, 26 y 22. Se buscan dos factores de 12 que sumen 27. Como el producto (12) es positivo significa que los factores deben tener igual signo, para que la suma (27) sea negativa se requiere que los dos factores sean negativos. Por tanto, los factores buscados son 23 y 24, pues (23) (24) 5 12 y (23) 1 (24) 5 27, entonces: x 2 2 7x 1 12 5 (x 23) (x 24) 5 0 de donde: x1 5 3, x 2 5 4

216


Comprobación: 32 27(3) 1 12 5 0

42 27(4) 1 12 5 0

9 2 21 1 12 5 0

16 2 28 1 12 5 0

21 2 21 5 0

28 2 28 5 0

0 5 0

050

2

3. Resuelve la ecuación x 2 4x 2 21 5 0. Solución: Factores x y x de x 2. Se buscan dos números cuyo producto sea 221 y que sumen 24. Como el producto es negativo los factores tienen diferentes signos. Para que la suma sea negativa al mayor en valor absoluto se le asocia el signo menos y al otro el signo más, por tanto, los factores buscados son 27 y 3, pues (27)(3) 5 221 y (27) 1 (3) 5 24. por tanto: x 2 2 4x 2 21 5 (x 2 7) (x 1 3) 5 0 de donde x1 5 7, x2 5 23 Comprobación: 72 24 (7) 2 21 5 0 49 2 28 2 21 5 0 49 2 49 5 0 0 5 0

(23)2 24 (23) 2 21 5 0 9 1 12 2 21 5 0 21 2 21 5 0 050

Es conveniente hacer notar que no todas las ecuaciones de este tipo se pueden factorizar mediante el procedimiento descrito, por lo que para resolverlas se debe proceder en otra forma, misma que se explicará más adelante.

Factorizar trinomios cuadrados perfectos para resolver ecuaciones completas de segundo grado en una variable Cuando los términos de la ecuación x2 1 bx 1 c 5 0, forman un trinomio cuadrado perfecto, su factorización corresponde a dos binomios que son iguales por lo que también se puede expresar como el cuadrado de un binomio. Recuerda que el cuadrado de un binomio es un trinomio cuadrado perfecto, es decir, (x 1 y)2 5 (x 1 y) (x 1 y) 5 x2 12xy 1 y2 (x 2 y)2 5 (x 2 y) (x 2 y) 5 x2 2 2xy 1 y2 Por tanto, los factores o divisores de un trinomio cuadrado perfecto son dos binomios iguales que se pueden obtener por el procedimiento expuesto.

Ejemplos 1. Resuelve la ecuación x 2 2 6x 1 9 5 0. Solución:

Aplica lo que sabes Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente: Supongan que en tu comunidad se va a utilizar un terreno para construir un parque deportivo.

Factores de x 2 son x y x. Se buscan dos números cuyo producto sea 9 y que sumen 26. El producto es positivo, por lo que los dos factores deben tener igual signo y para que la suma sea negativa, los dos deben ser negativos. Los números buscados son 23 y 23, pues (23) (23) 5 9 y (23) 1 (23) 5 26. En consecuencia: x 2 2 6x 1 9 5 (x 23)(x 2 3) 5 (x 2 3)2 5 0

Las condiciones son las siguientes:

de donde: x1 5 3 x2 5 3

El parque debe tener forma rectangular.

Comprobación:

El área del parque será la que se pueda delimitar con una malla ciclónica que mide 3 600 metros lineales.

32 2 6 (3) 1 9 5 0

Organícense por equipos para elaborar propuestas.

18 2 18 5 0

¿Cuáles pueden ser las posibles dimensiones del parque? Que cada equipo exponga sus propuestas para que en plenaria se haga un análisis y se elija la que se considere más viable. Si la propuesta del grupo es que se utilice la máxima área posible, ¿cuáles serían las dimensiones del parque?

9 2 18 1 9 5 0 0 5 0 Para saber que x 2 2 6x 1 9 5 0 es un trinomio cuadrado perfecto, se debe observar que el primer y tercer término son el cuadrado de un número y que el término central (26x ) es el doble producto de las raíces cuadradas principales de los términos cuadráticos.

217

9 BLOQUE


(2)( x )(3)

{

El término que falta es el término central que corresponde al doble producto de las raíces cuadradas positivas de los términos cuadráticos, es decir:

x 2 – 6x + 9 = 0 x2

x

3

9

2

entonces:

+ 9 signo del término central + x2 2. Resuelve la ecuación x 2 1 x 1

2 por tanto: x + x +

x

 1 2   (x) = x  2

1 1 = , 4 2 2

1 x1 5 , 2

x2 5

1 2

 – 14 x   – 14 x  2 2  (2)(7)  =  14  = x cb )) x 2 + 8 x + ____________ Como el término central es el doble producto de las raíces cuadradas positivas de los términos cuadráticos y una de ellas es x, entonces 8 es el doble de la raíz del tercer término, por lo que el cuadrado de la mitad de 8 es el término buscado, esto es: 2

 1 (8)  = ( 4)2 = 16  2  dc )) x 2 – 5 x + _____________ En forma semejante al ejemplo anterior, se tiene que: 2

2

 1 (2 5)  5 5  5 25  5   2  4

Comprobación: 2

 1  1 1  –  +  –  + = 0 2 2 4 1 1 1 – + =0 4 2 4 2 1 – =0 4 2 0=0 2

Una ecuación de la forma x 1 bx 1 c 5 0, también se puede resolver por el procedimiento que consiste en completar un trinomio cuadrado perfecto. 3. A continuación se ilustra la forma de obtener el término que falta para que la expresión sea un trinomio cuadrado perfecto. x 2

218

25 ) = 2( x )(5) = 10 x

2

1  1  1  1 = x+  = x+  x+  =0 4  2  2  2

de donde:

)(

El término que falta se obtiene a partir del término central que es el doble producto de las raíces cuadradas positivas de los términos cuadráticos y el tercer término, pues el primer término es el cuadrado del cociente que resulta de dividir el término central entre el doble de la raíz cuadrada positiva del tercer término, o sea:

1 5 0. 4

Por inspección de la ecuación se observa que sus términos forman un trinomio cuadrado perfecto, pues el primer y tercer término son el cuadrado de un número y el término central (x ) es el doble producto de las raíces cuadradas principales de los términos cuadráticos, es decir:

+ x2 = x,

x2

ba )) _________ – 14 x + 49

x 2 – 6 x + 9 = ( x – 3)2 = 0

Solución:

(

1 25

Para resolver una ecuación de segundo grado de la forma x2 1 bx 1 c 5 0 por el procedimiento de completar el trinomio cuadrado perfecto se hace lo siguiente: 4. Resuelve la ecuación x 2 2 4x 1 3 5 0. Solución: x 2 2 4x 1 3 5 0 Restando 3 a los dos miembros de la ecuación: x 2 2 4x 5 23 Completando el trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro de la ecuación y sumando la misma cantidad al segundo miembro: x 2 2 4x 1 4 5 23 1 4 Factorizando en el primer miembro y sumando en el segundo: (x 22)2 5 1


Obteniendo la raíz cuadrada de cada miembro: x 2 2 5 6 1

Factorizando en el primer miembro y sumando en el segundo:

Sumando 2 a los dos miembros de la ecuación x 5 2 6 1

2

 3  169  x –  = 2 4

de donde: x1 5 2 1 1 5 3 x2 5 2 2 1 5 1 Comprobación: 32 2 4(3) 1 3 5 0

12 24(1) 1 3 5 0

9 2 12 1 3 5 0

1241350

12 2 12 5 0

42450

0 5 0

050

2

5. Resuelve la ecuación x 1 6x 2 27 5 0.

3 3 13 a los dos miembros: x5 6 2 2 2 3 13 16 = = 8, 2 2 2

por tanto: x1 = +

3 13 10 x2 = – = – = – 5 2 2 2

82 2 3(8) 2 40 5 0

x 2 1 6x 2 27 5 0

64 2 24 2 40 5 0

Sumando 27 a los dos miembros de la ecuación:

64 2 64 5 0

x 2 1 6x 5 27

0 5 0

Completando el trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro y sumando la misma cantidad al segundo miembro: x 2 1 6x 1 9 5 27 1 9 Factorizando en el primer miembro y sumando en el segundo: (x 1 3)2 5 36 Obteniendo la raíz cuadrada de los dos miembros de la ecuación: x 1 3 5 6 6 Restando 3 a los miembros de la ecuación: x 5 23 6 6 de donde x1 5 23 1 6 5 3, x2 5 23 2 6 5 29 Comprobación: 2

2

3 1 6(3) 2 27 5 0

(29) 1 6(29) 2 27 5 0

9 1 18 227 5 0

81 2 54 2 27 5 0

27 2 27 5 0

81 2 81 5 0

0 5 0

050

6. Resuelve la ecuación x 2 2 3x 240 5 0. x 2 2 3x 240 5 0

Sumando 40 a los dos miembros de la ecuación: x 2 2 3x 5 40 Completando el trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro y sumando la misma cantidad al segundo miembro: 2

 3  3 x 2 – 3x +  –  = 40 +  –   2  2 o sea:

Sumando

13 2

Comprobación:

Solución:

Solución:

3 2

Obteniendo la raíz cuadrada de cada miembro: x – = ±

9 9 x – 3x + = 40 + 4 4 2

2

(25)2 23(25) 2 40 5 0 25 1 15 2 40 5 0 40 2 40 5 0 0 5 0

Por fórmula general Si se aplica el procedimiento anterior a la ecuación ax2 1 bx 1 c 5 0, (a ? 0), se obtiene lo que se conoce como la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas. Sea: ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 c b Dividiendo la ecuación entre a: x 2 + x + = c a a b Sumando 2c/a a los dos miembros x2 1 x 5 2c/a a Se suma la misma cantidad a los dos miembros de la ecuación para completar el trinomio cuadrado perfecto en el primero, esta cantidad es: 2 2 b2  1 b  b  ⋅ = =     2 a   2a  4 a 2 entonces:

b2 b2 c b x2 + x + 2 = 2 − a 4a 4a a

Factorizando el primer miembro y sumando términos en el segundo miembro: 2 b  b 2 – 4 ac  x +   = 2a  4a2 219

9 BLOQUE


Obteniendo la raíz cuadrada de los dos miembros de la ecuación: x1 Restando

Se sustituyen los valores de a, b y c en la fórmula general, se efectúan las operaciones y se simplifican resultados.

b 2 2 4 ac b 2 2 4 ac b ± 5± 5 2a 4a2 2a

b a los dos miembros de la ecuación: 2a –b ± b 2 – 4 ac x= 2a

Sumando términos en el segundo miembro: x =

–b ± b 2 – 4 ac 2a

Ejemplos 1. Resuelve la ecuación x 2 1 7x 1 10 5 0 por fórmula general. Solución: Se expresa la ecuación en la forma ax 2 1 bx 1 c 5 0 y se identifican a, b y c. En este caso a 5 1, b 5 7 y c 5 10. Se sustituyen los valores de a, b, y c en la fórmula general, se efectúan las operaciones y se simplifican resultados:

– 7 ± 7 2 – 4(1)(10) 2(1) – 7 ± 49 – 40 x= 2 –7 ± 9 x= 2 –7 ± 3 x= 3 –7 + 3 –4 por tanto x1 5 x1 = – 7 + 3 = – 4 = – 2 , x1 = 2 = 2 = – 2 , 2 2 – 7 – 3 – 10 – – – 7 3 = 10 = – 5 x = x 22 = 2 = 2 = – 5 2 2

Cuando, como en este caso, el valor del radical es cero, se obtiene sólo un valor para x y como la ecuación debe tener dos soluciones, entonces dicho valor se repite, por lo que se dice que la ecuación tiene una raíz de multiplicidad 2, o sea: x1 5 1,

x2 5 1

Comprobación: 12 22(1) 1 1 5 0 1 2 2 1 1 5 0 2 2 2 5 0 0 5 0

Al resolver una ecuación de segundo grado con una incógnita empleando la fórmula general, se puede llegar a la necesidad de obtener la raíz cuadrada de un número negativo, esto da como resultado números que no pertenecen al conjunto de los números reales sino al conjunto de los números complejos, por ello se introducen lo siguientes conceptos.

x=

La unidad de los números imaginarios es con la letra i, por lo que: i = –1

–1 que se representa

de manera que: i2 5 21 en consecuencia: i3 5 i2 ? i 5 (21) i 5 2i; i4 5 i2 ? i2 5 (21) (21) 5 1

Comprobación: (22)2 1 7 (22) 1 10 5 0

(25)2 1 7 (25) 1 10 5 0

4 2 14 1 10 5 0

25 2 35 1 10 5 0

14 2 14 5 0

35 2 35 5 0

0 5 0

050

2

2. Resuelve la ecuación x 22x 1 1 5 0 por fórmula general. Solución: Se expresa la ecuación en la forma ax 2 1 bx 1 c 5 0 y se identifican a, b y c ; por tanto, a 5 1, b 5 22, c 5 1.

220

–(– 2) ± (– 2)2 – 4(1)(1) x= 2(1) 2± 4–4 x= 2 2± 0 2 = =1 x= 2 2

Un número complejo es de la forma: a 1 bi donde a € R, b € R e i 5 –1 a es la parte real y b es la parte imaginaria. Si a 5 0 entonces el número se llama imaginario puro, y si b 5 0 entonces el complejo se reduce al número real a, por lo que los números reales y los números imaginarios puros son subconjuntos del conjunto de los números complejos. Dos números complejos de la forma a 1 bi y a 2 bi que sólo difieren en el signo se dice que son conjugados.


Ejemplos se obtiene el producto ac es decir, 2(6) 5 12. 2

1. Resuelve la ecuación x 2 2x 1 2 5 0 por fórmula general. Solución: En la fórmula general se sustituyen los valores a 5 1, b 5 22 y c 5 2.

x5

–(– 2) ± (– 2)2 2 4(1)(2) 2(1)

2± 4 –8 2 2 ± –4 x5 2 2 ± 4(– 1) x5 2 2 ± 2 –1 x5 2 2 ± 2i 2(11 i ) 5 51 ± i x5 2 2 x1 511 i , x 2 512 i x5

Se buscan dos números cuyo producto sea 12 y que sumen 7, estos números son 4 y 3, pues 4(3) 5 12 y 4 1 3 5 7. Se expresa 7x como la suma de 4x 1 3x, por lo que la ecuación se transforma en: 2x 2 1 4x 1 3x 1 6 5 0 agrupando términos: (2x 2 1 4x ) 1 (3x 1 6) 5 0 Sacando factor común: 2x (x 1 2) 1 3(x 1 2) 5 0 por lo que: (2x 1 3) (x 1 2) 5 0

2x + 3 = 0 Igualando cada factor con cero: 3 2 x1 = – 2

x+2=0 x2 = – 2

La ecuación transformada se pudo haber expresado así: 2x 2 1 3x 1 4x 1 6 5 0. Agrupando términos: (2x 2 1 3x ) 1 (4x 1 6) 5 0 Sacando factor común: x (2x 1 3) y 2(2x 1 3) 5 0 por lo que: (x 1 2) (2x 1 3) 5 0 cuyos factores son los mismos que se encontraron anteriormente.

Comprobación:

(1 1 i )2 2 2(1 1 i ) 1 2 5 0

(1 2 i )2 22 (1 2 i ) 1 2 5 0

1 2 1 2i 1 i 2 2 2 2 2i 1 2 5 0

12 2 2i 1 i 2 2 2 1 2i 1 2 5 0

1 1 2i 2 1 2 2 2 2i 1 2 5 0

1 2 2i 2 1 2 2 1 2i 1 2 5 0

0 5 0

050

2

2. Resuelve la ecuación 2x 1 7x 1 6 5 0.

Actividad de aprendizaje Un número complejo es de la forma ____________ donde ______ es la parte real y ______ es la parte imaginaria.

Solución: Se sustituyen en la fórmula general los valores a 5 2, b 5 7 y c 5 6.

– 7 ± 7 – 4(2)(6) 2(2) – 7 ± 49 – 48 x= 4 –7 ± 1 x= 4 –7 ±1 x= 4 –7 +1 –6 3 = =– ; x1 = 4 4 2 x=

2

Raíces reales y complejas y escribe ecuaciones a partir de éstas La fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas es: x=

x2 =

–7 –1 –8 = = –22 4 4

Esta ecuación también se puede resolver mediante factorización por agrupamiento de términos, el procedimiento consiste en lo siguiente: 2x 2 1 7x 1 6 5 0

–b ± b 2 – 4 ac 2a

La expresión b2 2 4ac contenida en el radical, es el subradical al que se le concoce como discriminante, ya que por medio de él se puede determinar la naturaleza de las raíces de una ecuación con base en los criterios siguientes: Si b2 2 4ac . 0 las raíces son reales y diferentes. Si b2 2 4ac 5 0 las raíces son reales e iguales. Si b2 2 4ac , 0 las raíces son complejas.

221

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Resuelves ecuaciones cuadráticas I Solución de una ecuación cuadrática

Ejemplos Determina la naturaleza de las raíces de la ecuación. 1. Solución:

x 2 2 8x 1 15 5 0

Se calcula el valor descriminante: b 2 2 4ac 5 (28)2 2 4 (1) (15) 5 64 2 60 54.0 por tanto, las raíces de la ecuación son reales y diferentes. x 2 1 14x 1 49 5 0

2. Solución:

Se calcula el valor del discrimante: b 2 2 4ac 5 142 24(1)(49)

5 196 2 196

50 por tanto, las raíces de la ecuación son reales e iguales. x 2 2 2x 1 2 5 0

3. Solución:

Se calcula el valor discriminante: b 2 2 4ac 5 (22)2 2 4 (1) (2)

5428

5 24 , 0 por tanto, las raíces de la ecuación son complejas.

Obtención de una ecuación cuadrática a partir de sus raíces En el primer ejemplo anterior, la ecuación x2 2 8x 115 5 0 tiene dos raíces reales diferentes, sus raíces son x1 5 3 y x2 5 5. A partir de éstas se puede escribir la ecuación de la siguiente manera (x 2 3) 5 0 y (x 2 5) 5 0, y como el producto de estos factores es cero, entonces (x 2 3)(x 2 5) 5 0 Al desarrollar el producto se obtiene x2 2 8x 1 15 5 0 En el segundo ejemplo, la ecuación x2 1 14x 1 49 5 0 tiene dos raíces reales iguales que son x1 5 7 y x2 5 7, y como el producto de estos factores es cero, entonces (x 2 7)(x 2 7) 5 0 Al desarrollar el producto se obtiene x2 1 14x 1 49 5 0 222

Su interpretación gráfica Una ecuación de segundo grado con una incógnita tiene como representación en el plano coordenado a una línea curva que recibe el nombre de parábola. Si la incógnita es x la curva es cóncava hacia arriba (abre hacia arriba), cuando a . 0 y la curva es cóncava hacia abajo (abre hacia abajo) cuando a , 0. Para representar la parábola en el plano coordenado, en la ecuación ax2 1 bx 1 c 5 0 se sustituye el cero por y : ax2 1 bx 1 c 5 y y 5 ax2 1 bx 1 c

o bien:

b c  Si a es factor común en el segundo miembro: y = a  x 2 + x +   a a Se suma y resta la misma cantidad en el segundo miembro para completar un trinomio cuadrado perfecto (véase la deducción de la fórmula general):  b2 c b2  b y = a x2 + x + 2 + – 2   a 4a a 4a  2

b  4 ac – b 2  de donde: y = a  x +  +  2a  4a 2

b  4 ac – b 2 b  La cantidad y = a  x +  +es cero si x = – y es positiva para to  2a 2a 4a dos los demás valores de x. Con este valor de x se determina el valor mínimo de y cuando a . 0 y el valor máximo cuando a , 0. En consecuencia, el punto de coordenadas:  b 4 ac – b 2   – 2a , 4 a  Es el punto más bajo o el punto mínimo de la curva cuando a . 0 y el punto más alto o el punto máximo de la curva cuando a , 0. A este punto se le llama vértice de la parábola. b recibe el nombre de eje 2a de simetría de la parábola y contiene el vértice de la misma. La recta que tiene por ecuación x = –

Actividad de aprendizaje ¿Cómo se determina el vértice de la curva? ¿Cuándo se obtiene un punto mínimo? ¿Cuándo se obtiene un punto máximo? _______ Al representar ax + bx + c = 0 en el plano coordenado, las soluciones reales corresponden a los puntos en que la curva ______________ al eje x. 2


Ejemplos una parte. 2

2. Resuelve gráficamente la ecuación 2x2 1 x 1 6 5 0.

1. Resuelve gráficamente la ecuación x 2 4x 1 3 5 0. Solución:

y

Se sustituye el cero por y en la ecuación: x 2 2 4x 1 3 5 y

b –(– 4) 4 5 5 52 2a 2(1) 2 b –(– 4) 4 Se eligen valores por encima y por debajo x 52 5 y se cons-5 52 2a 2(1) 2 truye una tabla de valores de y :

Se determina el valor de x 52

(-1, 4)

2

(2, 4)

(-2, 0)

x x 2 2 4x 1 3 5y 5 52 2 4(5) 1 3 5 8 4 42 2 4(4) 1 3 5 3 3 32 2 4(3) 1 3 5 0

(3, 0)

x

0

b 5 2 22 2 4(2) 1 3 5 21 2a 1 12 2 4(1) 1 3 5 0 0 02 2 4(0) 1 3 5 3 21 (21)2 2 4(21) 1 3 5 8

Solución:

Con los valores de x y y se forman los pares ordenados que se localizan en el plano coordenado y se unen con trazo continuo. y (-1, 8)

(0, 3)

(3, 0) (2, -1)

Se determina el valor de x =

x

x

2x 2 1 x 1 6 5 y

3

232 1 3 1 6 5 0

2

222 1 2 1 6 5 4

1

212 1 1 1 6 5 6

–b 1 = 2a 2

Solución: x1 5 1 x2 5 3 Las raíces o soluciones de la ecuación son los puntos que la parábola tiene en común con el eje x. En estos puntos la y 5 0, como se puede observar tanto en la tabla como en la gráfica. La parábola abre hacia arriba pues a . 0 y, por tanto, su vértice es el punto más bajo o mínimo de la curva. La recta x =

–b –1 –1 1 = = = 2a 2(– 1) – 2 2 –b

(4, 3) 0

Se sustituye el cero por y en la ecuación 2x2 1 x 1 6 5 y

Se eligen valores por encima y por debajo de x = y se cons2a truye una tabla de valores de y :

(5, 8) x=2

1,61 2 4

(0, 6)

–b o x=2 2a

es el eje de simetría de la parábola de la cual sólo se ha trazado

2

1  1 1 –  + +6=6  2 2 4

0

202 1 0 1 6 5 6

21

2(21)2 1 (21) 1 6 54

22

2(22)2 1 (22) 1 6 5 0

Con los valores de x y y se forman los pares ordenados que se localizan en el plano coordenado y se unen con trazo continuo para obtener un bosquejo de la curva. La parábola abre hacia abajo pues a , 0 y, por tanto, su vértice es el punto más alto o máximo de la curva. La recta x 52 la parábola.

1 1 o x 5 o x 5 1 es el eje de simetría de 2(2 1) 2

Solución: x1 5 3 x2 5 22

223

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Las raíces o soluciones de la ecuación son los puntos que la parábola tiene en común con el eje x. En estos puntos y 5 0, lo cual se puede observar tanto en la tabla como en la gráfica, es por ello que también se dice: resolver la ecuación o encontrar los ceros de la función. Ejemplos

2b 52 1 2a

(2 1)2 1 2(2 1)1 2 51

22 (22)2 1 2(22) 1 2 5 2 23

(23)2 1 2(23) 1 2 55

24

2(24)2 1 2(24) 1 2 5 10 y

2

1. Resuelve la ecuación x 2 2x 1 1 5 0.

(-2, 9)

(1, 9)

Solución:

x=1

Se procede en la misma forma que en los dos ejemplos anteriores, es decir:

(-1, 4)

x 2 – 2x + 1 = y donde –b

2a

=

(9, 4)

(0, 1)

(2, 1) 0

–(– 2) 2 = =1 2(1) 2

(1, 0)

x

por tanto, x

x 2 2 2x 1 15y

4 42 2 2(4)1 1 5 9 3 32 2 2(3) 1 1 5 4 2 22 2 2(2) 1 1 5 1

–b =1 2a

Con estos valores de x y y se hace un bosquejo de la curva.

12 – 2(1) + 1 = 0

0

02 2 (0) 1 1 5 1

21

(21)2 2 2(21) 1 1 54

22 (22)2 2 2(22) 1 1 5 9 Con los valores de x y y se hace un bosquejo de la curva.

Como se puede observar, la gráfica de x 2 1 2x 1 2 5 y no tiene puntos en común con el eje x. Esto significa que no existe un valor real de x para el cual y 5 0, en consecuencia, las raíces de x 2 1 2x 1 2 5 0 son complejas y se pueden determinar usando la fórmula general. y

(-4, 10)

(2, 10)

Solución: x1 5 1

x2 5 1

2. Resuelve gráficamente la ecuación x2 1 2x 1 2 5 0. Solución: De manera semejante a los ejemplos anteriores se tiene: x 2 1 2x 1 2 5 y donde:

–b – 2 – 2 = = = –1 2a 2(1) 2

por tanto: x

x 2 1 2x 1 2 5 y

2 22 1 2(2) 1 2 5 10 1 12 1 2(1) 1 2 5 5 0 02 1 2(0) 1 2 5 2

224

(-1, 5)

(1, 5)

(-2, 2)

(0, 2) (-1, 1) 0

x


Actividad de aprendizaje Solución: Si uno de los números buscados es x entonces el otro es 15 2 x.

Naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado con una incógnita:

De acuerdo con las condiciones del problema: x 1 (15 2 x ) 5 15

Si b 2 2 4ac > 0 las raíces o soluciones son _________________.

x 2 1 (15 2 x )2 5 117

2

Si b 2 4ac 5 0 las raíces o soluciones son _________________.

Efectuando el producto indicado: x 2 1 225 2 30x 1 x 2 5 117

2

Si b 2 4ac < 0 las raíces o soluciones son _________________.

2x 2 2 30x 1 108 5 0

simplificando:

Una ecuación de segundo grado con una incógnita se representa en el plano coordenado con una curva que recibe el nombre de _________________.

2x 2 2 30x 1 108 5 0

Al representar ax 2 1 bx 1 c 5 0 en el plano coordenado, si a . 0 la curva abre ___________, y si a , 0 la curva abre ___________.

Factorizando: (x 2 9)(x 2 6) 5 0

9.2 Modelos aritméticos o algebraicos Hay problemas cuyo planteamiento conduce a una ecuación cuadrática como modelo matemático. Los métodos algebraicos y gráficos se utilizan para resolver una ecuación de segundo grado. Una ecuación cuadrática con una incógnita, como ya se ha dicho, tiene dos raíces o soluciones que la satisfacen, pero que requieren ser verificadas e interpretadas, pues hay valores que resuelven la ecuación pero no resuelven el problema.

Problemas de números

donde:

x1 5 9, x2 5 6

Comprobación: 9 1 6 5 15 92 1 62 5 117 81 1 36 5 117 117 5 117 3. Obtén tres números enteros consecutivos, tales que el cuadrado del segundo es igual a cuatro veces la suma de los otros dos. Solución: Representado a los tres números enteros consecutivos por: x 1 1 x 1 2 el enunciado del problema se puede x expresar así: (x 1 1)2 5 4(x 1 x 1 2)

Ejemplos

Efectuando operaciones: x 2 1 2x 1 1 5 8x 1 8

1. El cuadrado de un número más el triple del mismo número nos da 54, ¿cuál es ese número? Solución:

Transponiendo términos y simplificando: x 2 2 6x 2 7 5 0 Factorizando: (x 2 7)(x 1 1) 5 0 donde: x1 5 7, x2 5 21

Sea x el número buscado

Si el número es 7 entonces los enteros consecutivos son 7, 8 y 9, de manera que:

El cuadrado del número es x 2. x 2 1 3x 5 54

Según el enunciado del problema: que se pueda expresar así: y factorizar como:

x 2 2 15x 1 54 5 0

x 2 1 3x 2 54 5 0

Comprobación: (29)2 1 3(29) 5 54 81 2 27 5 54 54 5 54

64 5 4(16) 64 5 64

(x 1 9)(x 2 6) 5 0

por tanto, las soluciones son :

82 5 4(7 1 9)

x1 5 29, x2 5 6 2

6 1 3(6) 5 54 36 1 181 5 54 54 5 54

2. La suma de dos números es 15 y la suma de sus cuadrados es 117. Hallar esos números.

Si el número es 21 entonces los enteros consecutivos son 21, 0 y 1, por lo que: 02 5 4(1 1(21)) 0 5 4(1 21) 0 5 4(0) 0 5 0 En los tres ejemplos anteriores los valores que resuelven la ecuación también son solución del problema que representa.

225

9 BLOQUE


Problema sobre figuras geométricas

Problema sobre desplazamiento Ejemplos

Ejemplos En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 7 m más que el cateto mayor y 14 m más que el cateto menor. Calcula la medida de cada lado. Solución: Sea x la medida de la hipotenusa. x 2 7 es la medida del cateto mayor y x 2 14 es la medida del cateto menor. Aplicando el teorema de Pitágoras en el problema se tiene que: (x 2 7)2 1 (x 2 14)2 5 x 2 Efectuando operaciones: x 2 2 14x 1 49 1 x 2 2 28x 1 196 5 x 2 de donde: 2x 2 2 42x 1 245 5 x 2 o sea: x 2 2 42x 1 245 5 0 Factorizando: (x 2 35)(x 2 7) 5 0 por tanto: x1 5 35, x2 5 7 La solución del problema es 35, pues con el otro valor los catetos serían 0 y 27.

Problemas sobre edades Ejemplos Juan es tres años mayor que Pedro y la suma de los cuadrados de sus edades es 89. Encuentra la edad de cada uno. Solución: Sean: x la edad de Pedro x 1 3 la edad de Juan De acuerdo con las condiciones del problema: (x 1 3)2 1 x 2 5 89 Efectuando operaciones:

x 2 1 6x 1 9 1 x 2 5 89

es decir:

2 x 2 1 6x 1 9 5 89

o sea:

2x 2 1 6x 2 80 5 0

x 2 1 3x 2 40 5 0

Factorizando: (x 1 8)(x 2 5) 5 0 de donde: x1 5 28, x2 5 5 En consecuencia, la edad de Pedro es de 5 años y la edad de Juan es de 5 1 3 5 8 años.

Dos personas parten del mismo lugar al mismo tiempo, una camina hacia el norte a una velocidad de 4 kilómetros por hora y la otra camina hacia el este a una velocidad de 3 kilómetros por hora. ¿En qué tiempo se encontrarán a 15 kilómetros una de la otra? Solución: Sea x el tiempo en horas 4x es la distancia que se recorre al norte en x tiempo 3x es la distancia que se recorre al este en x tiempo Las direcciones en que se camina forman un ángulo recto y después de x tiempo la distancia que separa a los dos personas es 15 kilómetros, por lo que al aplicar el teorema de Pitágoras se obtiene: (4x )2 1 (3x )2 5 152 es decir: 16x 2 1 9x 2 5225 o sea: 25x 2 5225 x2 5 9 por lo que: x = ± 9 o bien x1 5 3, x2 5 23 Esto significa que tres horas después de su salida las personas han recorrido 4(3) 5 12 y 3(3) 5 9 kilómetros, respectivamente, con lo cual: 122 1 92 5 152 144 1 81 5 225 225 5 225 El valor 23 se puede interpretar en el sentido de que tres horas antes de partir del mismo lugar las personas se hallaban a 15 km una de la otra, en los puntos simétricos a los de su llegada.

Problema sobre trabajo Ejemplos Un obrero puede hacer un trabajo en 9 horas menos que las requeridas por su ayudante. Si trabajan juntos pueden hacer el trabajo en 20 horas, ¿cuánto tiempo tardaría cada uno si hiciera el trabajo solo? Solución En este tipo de problemas el planteamiento se puede hacer considerando la misma unidad de tiempo. De esta manera, la suma de las partes del trabajo que realiza cada persona en una unidad de tiempo es igual a la parte de trabajo que pueden hacer trabajando juntas en la misma unidad de tiempo. Si el obrero solo puede realizar el trabajo en 9 horas menos que su

1

ayudante, significa que en 1 hora puede efectuar parte del trax–9 bajo. 226


Trabajando juntos pueden hacer el trabajo en 20 horas por lo que en

1 1 hora pueden realizar parte del trabajo. 20 1 1 1 En consecuencia: + = . x x – 9 20

cociente

5 000 5 000 para igualar x–5 x

Por tanto, el planteamiento es:

x–9+ x 1 x( x – 9) = 20 x( x – 9) 20 2x – 9 1 22x – 9 = 1 x – 9 x = 20 x 2 – 9 x 20

Sumando en el primer miembro de la ecuación: x – 9 + x = 1 de donde:

50 unidades de dinero más, sobran pues 50 unidades de dinero al

5 000 5 000 5 2 50 x x–5

Multiplicando la ecuación por x(x 2 5) se obtiene: 5 000 (x 2 5) 5 5 000x 2 50 x (x 2 5) Efectuando operaciones y simplificando: 5 000x 2 25 000 5 5 000x 2 50x 2 1 250x

Igualando el producto de los medios al producto de los extremos: 1(x 2 2 9x ) 5 20 (2x 2 9) o sea: x 2 2 9x 5 40x 2 180 es decir: x 2 2 49x 1 180 5 0 Factorizando: (x 2 45) (x 2 4) 5 0 por tanto: x1 5 45, x2 5 4

50x 2 2250x 2 25 000 5 0

Esto significa que el ayudante puede realizar el trabajo en 45 horas trabajando solo, mientras que el obrero puede hacer el mismo trabajo en 45 2 9 5 36 horas si lo hace solo, pues:

cada uno hubiera pagado

1 1 1 + = 45 36 20 4+5 1 = 180 20 9 1 = 180 20 1 1 = 20 20

x 2 2 5x 2 500 5 0

o sea:

Factorizando: (x 2 25)(x 1 20) 5 0 de donde:

Por tanto, el número original de excursionistas era 25, con lo cual

5 000 5 200 . Pero como faltaron 5, 25

entonces sólo salieron 25 2 5 5 20 personas, por lo que cada una tuvo que pagar

5 000 , es decir, 50 unidades de dinero más. 20

2. Un comerciante vende un artículo en 96 unidades de dinero y obtiene como utilidad un tanto por ciento igual al precio de costo del artículo. Halla el precio de costo del artículo. Solución: Sea x el precio de costo del artículo.

Problemas sobre costos

La utilidad es un tanto por ciento igual al precio de costo del artículo, es decir, el x por ciento de x :

x x2 x5 100 100

Ejemplos 1. Los gastos de una excursión son 5 000 unidades de dinero. Si al momento de partir faltan 5 personas, entonces cada una de las que asisten tendrán que pagar 50 unidades de dinero más. ¿Cuántas personas van en la excursión y cuánto paga cada una? Solución:

Según el enunciado del problema: x 1

5 000 5 000 en el primer caso y de x x–5

en el segundo caso; pero entonces el costo por persona es de

x2 5 96 100

Multiplicando la ecuación por 100: 100x 1 x 2 5 9 600 x 2 1 100x 2 9 600 5 0

de donde:

Factorizando: (x 1 160) (x 2 60) 5 0 de donde:

x1 5 2160, x2 5 60

Por tanto, el precio de costo del artículo es de 60 unidades de dinero, pues:

Sea x el número de excursionistas. El costo por personas es de

x1 5 25, x2 5 220

60 +

60 (60) = 96 100 60 + 36 = 96 96 = 96

227

9 BLOQUE


Problema sobre caída libre En física se demuestra que si un objeto cae libremente habiéndose lanzado con una velocidad v, el espacio e que recorre en t segundos está dado por la fórmula: 1 e = vt + gt 2 2 donde e se mide en metros, v en metros por segundo y g es la constante de gravedad que se toma con un valor de 9.80 metros por segundo al cuadrado. Si el objeto se lanza verticalmente hacia arriba, la fórmula es: 1 e = vt + gt 2 2 Tomando en cuenta el valor de g, las fórmulas se pueden expresar así: e = vt + 4 . 9 t 2 e = vt – 4 . 9 t 2 Ejemplos Desde el suelo se lanza un proyectil hacia arriba con una velocidad de 34.3 metros por segundo. ¿Dentro de cuánto tiempo estará a 49 metros de altura sobre el suelo? Solución: Sea t el tiempo buscado, en segundos. 2 La altura del proyectil está dada por la fórmula: e = vt – 4 . 9 t .

Sustituyendo los datos del problema: o sea:

49 5 34.3t 2 4.9t 2

0 5 249 1 34.3t 2 4.9 t 2

o bien: 24.9t 2 1 34.3t 2 49 5 0 Dividiendo la ecuación entre 24.9: t 2 2 7t 1 10 5 0 Factorizando: (t 2 2) (t 2 5) 5 0 de donde: t1 5 2, t2 5 5 Por tanto, las soluciones del problema son 2 y 5 segundos. Esto se explica por el hecho de que el proyectil asciende hasta alcanzar su altura máxima y luego cae, por lo que en su trayectoria de subida (a los 2 segundos) y de bajada (a los 5 segundos) el proyectil se encuentra a una altura de 49 metros sobre el suelo. Problemas de mezclas ¿Qué cantidad de agua se debe agregar a 40 litros de una solución de alcohol al 15% para reducir la concentración al 12%? Solución: Llámese x a la cantidad de agua en litros que debe agregarse a la solución.

228

La cantidad de alcohol contenida en la mezcla es 0.15(40). El porcentaje de la concentración es el cociente del volumen del alcohol entre el total de la mezcla. Por tanto el modelo matemático es: 0.15(40) (1) 0.12 5 40 1 x Quitando el denominador 0.12(40 1 x ) 5 0.15(40) Multiplicando por cien 12(40 1 x ) 5 15(40) Ejecutando operaciones 480 1 12x 5 600 12x 5 600 2 480 12x 5 120 Despejando 120 x5 5 10 12 Se deben agregar 10 litros de agua a la mezcla original para reducir su concentración al 12%. Comprobación: Se le deja al lector llegar a una identidad si substituye x 5 10 en la ecuación (1) anotada arriba. Problemas de costos y mezclas ¿Cuántos kilogramos de dulce, cuyo precio es de $100 cada uno deben mezclarse con 6 kilogramos de otro dulce que vale $75 por kilogramo, para vender la mezcla al precio de $90 por kilogramo? Solución: Llámese x al número de kilogramos de dulce que cuesta $100 el kilogramo. $100x Lo que cuestan 6 kilogramos de dulce a $75 el kilogramo, se expresa como: $75(6) La suma de ese dinero debe ser igual a lo que cuestan los kilogramos totales (6 1 x ) de la mezcla resultante. Esto se expresa por: 100x 1 75(6) 5 90(6 1 x ) (1) Que es el modelo matemático. Multiplicando 100x 1 450 5 540 1 90x Transcribiendo términos 100x 2 90x 5 540 2 450 Reduciendo términos 10x 5 90 x59 Comprobación: Se sustituye el valor x 5 9 en la ecuación (1) 100(9) 1 75(6) 5 90(6 1 9) 900 1 450 5 1350 1350 5 1350 tal identidad comprueba la solución dada.


Aplicación de las TICs 1. Ecuaciones cuadráticas. c) Fíjate en una de tus soluciones paso a paso para resolver la ecuación.

a) Resuelve la ecuación 6x^2 1 5x 2 6 5 0, empleando el método de factorización, b) Grafica la ecuación, puedes emplear la plataforma WolframAlpha. Guía de observación

Hora inicio:

Hora final:

Fecha:

Equipo:

Problemática asignada: Resuelves ecuaciones cuadráticas I. Propósito: Registrar el papel que asumen los estudiantes al enfrentarse a la problemática de resolver problemas aritméticos y algebraicos, así como a los roles que les corresponde como actores de su propio proceso de aprendizaje. Criterio/conducta observable

Cumple Sí

No

Comentarios

Representa relaciones entre magnitudes. Comprende los diferentes métodos algebraicos para resolver una ecuación cuadrática en una variable. Resuelve ecuaciones cuadráticas en una variable por factorización. Puede resolver ecuaciones cuadráticas incompletas. Puede resolver ecuaciones cuadráticas cuya expresión algebraica es un trinomio cuadrado perfecto. Puede resolver una ecuación cuadrática en una variable mediante la fórmula general. Puede determinar la naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática. Puede resolver una ecuación cuadrática por el método gráfico. Utiliza modelos aritméticos o algebraicos para resolver problemas que dan lugar a ecuaciones cuadráticas en una variable. Comentarios generales:

229

9 BLOQUE




1


3

Debo mejorar en…

Identifico el modelo algebraico de una ecuación cuadrática con una variable: • Completa: ax 2 1 bx 1 c 5 0 con a Z 01 o x 2 1 bx 1 c 5 0. • Incompleta: ax 2 1 bx 5 0 con a Z 0, 1 o ax 2 1 bx 5 0 con a Z 0, 1 o ax 2 1 c 5 0. Comprendo los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas con una variable completa e incompleta. Resuelvo ecuaciones cuadráticas con una variable completa e incompleta por los métodos: • De extracción por factor común y fórmula general para ecuaciones incompletas. • Por factorización, completando trinomio cuadrado perfecto y fórmula general para ecuaciones cuadráticas completas con una variable. Interpreto la solución de la ecuación cuadrática completa e incompleta para reales, complejas e imaginarias. Interpreto situaciones con ecuaciones cuadráticas con una variable. Resuelvo problemas o formula problemas de su entorno por medio de la solución de ecuaciones cuadráticas. Interpreto la solución de los problemas para cuando tiene soluciones inadmisibles.


2. Bien

1. Regular



1


230

2

3

4

5



1. Resuelve por factorización las ecuaciones a) x + 22 x + 121 = 0 2

6. Resuelve en forma gráfica la ecuación x 2 − 3x + 2 = 0 .

2 b) x + 13x + 36 = 0 2 c) x + x − 42 = 0 2 d) x + 3x − 54 = 0 2 e) x − 5 x − 14 = 0

2. Resuelve por diferencias de cuadrados la ecuación x 2 − 5x + 4 = 0 .

3. Resuelve mediante la fórmula general la ecuación 6x 2 + 5x − 6 = 0.

4. Resuelve por factorización mediante agrupamiento de térmi2 nos la ecuación 7 x − 9 x + 2 = 0 .

5. Determina la naturaleza de las raíces de la ecuación x 2 − 3x + 1 = 0 .

7. La base y la altura de un triángulo son iguales. Si a cada una se le aumentan dos metros se obtiene un triángulo de 50 metros cuadrados de área. Halla las dimensiones originales.

8. Con una lámina cuadrada se construye una caja cortando en las esquinas cuadrados de 5 centímetros por lado y doblando hacia arriba las partes para formar la caja. Si la caja ocupa un espacio de 8 000 centímetros cúbicos, ¿cuánto mide el lado de la lámina?

9. Fernando es tres años menor que Francisco y la suma de los cuadrados de sus edades es 149. ¿Cuál es la edad de cada uno?

10. Se compra cierto número de libros por $169.00. Si el número de libros es igual al precio de cada uno, ¿cuántos libros se compraron?

231

9 BLOQUE


Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre las dimensiones de un parque de la página 217 del Bloque 9. Nombre del alumno: Criterio

Presentación


Desarrollo


Conclusiones

Dominio del tema


232

11. Comprende el problema y lo puede plantear. 12. Representa en un dibujo las condiciones del problema y establece las relaciones entre los datos. 13. Obtiene la expresión algebraica del modelo matemático que plantea el problema y lo resuelve. 14. Plantea las condiciones del problema. 15. A partir de los datos del problema expresa el modelo matemático por medio de una ecuación cuadrática. 16. Resuelve el modelo matemático y obtiene las dimensiones del parque.

cumple sí

no

Observaciones


Rúbrica


Aspecto a evaluar

Criterios

Excelente

Bueno

Regular

Deficiente

Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas

Resuelve ecuaciones cuadráticas incompletas por factorización, extracción de un factor común y por despeje de la variable.

Resuelve ecuaciones cuadráticas incompletas por dos de los tres métodos.

Resuelve ecuaciones cuadráticas incompletas por uno de los tres métodos.

No resuelve ecuaciones cuadráticas incompletas por factorización, extracción de un factor común ni por despeje de la variable.

Ecuaciones cuadráticas completas

Resuelve ecuaciones cuadráticas completas por factorización, extracción de un factor común y por despeje de la variable.

Resuelve ecuaciones cuadráticas completas por dos de los tres métodos.

Resuelve ecuaciones cuadráticas completas por uno de los tres métodos.

No resuelve ecuaciones cuadráticas completas por factorización, extracción de un factor común ni por despeje de la variable.

Raíces reales y complejas y escribe ecuaciones a partir de éstas

Obtiene una ecuación cuadrática a partir de sus raíces. Resuelve gráficamente una ecuación cuadrática.

En la mayoría de los casos, obtiene una ecuación cuadrática a partir de sus raíces y resuelve gráficamente una ecuación cuadrática.

En algunos casos, obtiene una ecuación cuadrática a partir de sus raíces y resuelve gráficamente una ecuación cuadrática.

Obtiene una ecuación cuadrática a partir de sus raíces. Resuelve gráficamente una ecuación cuadrática.

Ubicación de ecuaciones cuadráticas completas

Resuelve problemas que dan lugar a una ecuación cuadrática como modelo matemático.

En la mayoría de los casos, resuelve problemas que dan lugar a una ecuación cuadrática como modelo matemático.

En algunos casos, resuelve problemas que dan lugar a una ecuación cuadrática como modelo matemático.

No resuelve problemas que dan lugar a una ecuación cuadrática como modelo matemático.


Nombre del profesor o la profesora: Fecha:

233

Resuelves ecuaciones cuadráticas II Tiempo asignado:

8 horas

10




Competencias a desarrollar n Construye e interpreta ecuaciones cuadraticas completas mediante la

n Analiza las relaciones entre dos variables de un proceso social o

aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. n Formula y resuelve problemas matemáticos, utilizando la fórmula general, completando cuadrados o utilizando el método gráfico y analizando la naturaleza de sus raíces. n Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante los procedimientos matemáticos estudiados y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

natural para determinar o estimar su comportamiento mediante las funciones cuadráticas que le corresponde. n Interpreta tablas, gráficas, ecuaciones y textos con símbolos matemáticos y científicos. n Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

¿Qué sabes hacer ahora? Responde las siguientes preguntas: 1. Descompón el número 30 en dos números cuyo producto sea el máximo.

2. Esboza la gráfica de la función: f : R → R, f (x) 5 x ².

Desempeños por alcanzar Identifica la relación entre ecuaciones y funciones cuadráticas. Reconoce la ecuación cuadrática en dos variables y 5 ax 1 bx 1 c como una función cuadrática.

Interpreta que las intersecciones de la parábola con el eje de las “x” son la solución cuadrática, y que dependen de la naturaleza del discriminante √b224ac tienen soluciones reales, imaginarias o complejas.

Identifica que toda función cuadrática es una parábola, que puede ser cóncava hacia arriba o abajo.

Visualiza que al cambiar los parámetros de “a, b y c” en la función cuadrática cambia el ancho, el vértice y el sentido de la parábola vertical.

Transforma la función cuadrática y 5 ax2 1 bx 1 c a la forma estándar y 5 a (x 2 h)2 1 k1, así obteniendo las coordenadas del V(h, k) para trazar su gráfica.

Elabora o interpreta gráficas y tablas a partir de situaciones diversas e interpretando sus soluciones para cuando son o no admisibles.

2

10 BLOQUE




Se desea cercar un terreno de forma rectangular, de manera que su área sea la máxima posible. Considerar que un río, aproximadamente recto, corre a lo largo de uno de los lados, y al cual no se pondrá cerca, si se dispone de 300 metros lineales. a) Determinar la expresión algebraica de la función que describe el problema. b) Encontrar el valor del dominio para el cual el valor de la función es el máximo posible. c) Representar en el plano coordenado la gráfica de la función en el intervalo 0 < x < 150.


Forma equipos para resolver el problema Que cada equipo represente con dibujos las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver el problema.

Cada equipo debe investigar: ¿Cómo se representan los lados del rectángulo?

¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos y efectuar las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.

¿Cómo se representa el perímetro del rectángulo?


¿Cómo se expresa un lado en función de los otros dos?


¿Cómo se expresa el área del terreno? ¿Cómo se expresa el área del terreno como una función?

En este ejemplo:

¿Cómo se determina el dominio y contradominio de la función?

Producto a elaborar

¿Cómo se determina el valor del dominio para el cual se obtiene el valor máximo en el contradominio? ¿Cómo se tabula la función y construye su gráfica?

Modelo matemático del enunciado del problema. Valor del dominio para el cual el área es máxima. Representación gráfica de la función.

Trabajo individual Cada participante debe registrar lo investigado y realizar los cálculos necesarios.

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para determinar el área máxima que se solicita se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por es236




“La matemática es la reina de las ciencias, y la teoría de números es la reina de las matemáticas.” Johann Carl Friedrich Gaus (1777-1855) Matemático, astrónomo y físico alemán

Parte I

1. Descompón 30 en dos números cuyo producto sea el máximo. 2. Obtén dos números tales que sumen 50, y la suma de sus cuadrados sea mínima. 3. Para que no haya pérdidas en un espectáculo se requiere que asistan 300 espectadores que paguen 500 unidades de dinero. Se ha observado que por cada espectador de más se puede cobrar 1 unidad de dinero menos. ¿Con cuántos espectadores adicionales se pueden obtener las máximas ganancias? 4. Se dispone de 600 metros de malla para cercar un terreno rectangular, de manera que su área sea máxima. ¿Cuáles son las dimensiones de este terreno? 5. Desde lo alto de un edificio de 36 metros de altura se lanza hacia arriba un proyectil con una velocidad de 12 metros por segundo. La altura del proyectil a los t segundos está dada por la función f (t) 5 23t² 112t 1 36. Encuentra el tiempo que tarda el proyectil en llegar al suelo. Parte II Esboza la gráfica de la función: f: R→ R, 1. f (x) 5 3x²

21 x² 2 3. f (x) 5 x²23x 2. f (x) 5

4. f (x) 522x² 24x 5. f (x) 5 x² 24 6. f (x) 5 2x² 1 8 7. f (x) 5 x² 1 2x 1 1

Introducción Se procede al planteamiento y resolución de problemas que conducen a una función cuadrática. Se representa en el plano cartesiano a la gráfica de una función cuadrática, se analizan los casos en que a > 0 y a < 0, y se interpreta su solución en forma gráfica.

10.1 Representación de relaciones entre magnitudes Relación entre la función y la ecuación cuadrática De manera semejante a la relación que existe entre la función y la ecuación lineal, se puede decir que la gráfica de la función cuadrática: f (x) 5 ax² 1 bx 1 c y de su correspondiente ecuación y 5 ax² 1 bx1c es la misma x² 1 2x 1 1 5 0

Si la ecuación: se multiplica por –1, se obtiene:

2x² 2 2x 2 1 5 0

y si se multiplica por 2 se obtiene:

2x² 1 4x 1 2 5 0

Estas tres ecuaciones son equivalentes, pues al resolverlas se obtienen las mismas raíces o soluciones. Si en estas ecuaciones se sustituye el 0 por y se transforma en:

x² 1 2x 1 1 5 0

o bien

y 5 x² 1 2x 1 1

2 x² 2 2x 2 1 5 0

y 5 2 x²2 2x 2 1

9. f (x) 5 2x² 1 4x 1 2

2x² 1 4x 1 2 5 0

y 5 2x² 1 4x 1 2

10. f (x) 5 x² 1 2x 1 4

y como y 5 f (x) entonces:

f (x) 5 x² 1 2x 1 1

f (x) 5 2 x² 22x 2 1

f (x) 5 2x² 1 4x 1 2

8. f (x) 5 2 x² 2 2x 21

que corresponden a funciones diferentes. Sea x 5 5, entonces:

f (5) 5 5² 1 2(5) 1 1 5 36

f (5) 525² 2 2(5) 21 52 36

f (5) 5 2(5)² 1 4(5) 1 2 5 72 237

10 BLOQUE


Como se puede observar, para un mismo valor de x se obtienen diferentes imágenes con cada función. Esto se puede hacer más evidente al trazar sus respectivas gráficas. En consecuencia, si una ecuación cuadrática se multiplica por una constante, diferente de cero, se obtiene otra ecuación que es equivalente a la primera, pero sus correspondientes funciones son diferentes.

Si en la función se dan valores a x se obtienen valores de y con los que se determinan los pares ordenados, que localizados en el plano son puntos que pertenecen a la parábola que representa gráficamente a la función cuadrática.

Forma estándar de la función cuadrática y 5 a (x 2 h)2 1 k En el bloque 9 se empleó un procedimiento para representar gráficamente una ecuación de segundo grado con una variable.

Para tu reflexión

Aronhold, Siegfried Heinrich (1819-1884) Matemático alemán. Investigó la teoría de los constantes de las formas algebraicas y algunos aspectos del cálculo en la geometría algebraica. Aronhold hizo importantes contribuciones a la teoría de invariantes, fue el primer alemán para trabajar en este tema. Algunas ecuaciones diferenciales parciales, que se encontraron en su trabajo son características invariables de la teoría y llevan su nombre.

Hay otro procedimiento que consiste en utilizar la expresión algebraica de una función cuadrática en su forma estándar. Esta forma es: y 5 a(x – h)2 1 k que corresponde a una parábola vertical. Si a es positiva la parábola abre hacia arriba, y si a es negativa la parábola abre hacia abajo. El punto de coordenadas (h, k) es el vértice de la parábola. Cuando la parábola abre hacia arriba el vértice es el punto mínimo y cuando abre hacia abajo el vértice es el punto máximo. Ejemplos Traza la gráfica de y 5 x 2 – 2x – 3.

Actividad de aprendizaje ¿Qué significa que dos o más ecuaciones cuadráticas sean equivalentes?

Si varias ecuaciones cuadráticas equivalentes se expresan como funciones y éstas son evaluadas en un mismo valor, ¿qué ocurre?

Para obtener la forma estándar se completa el trinomio cuadrado perfecto con los términos lineal y cuadrático de la función:

y 5 [x 2 – 2x 1 (– 1)2] – 3 – (– 1)2

Observa que la cantidad que se sumó para completar el trinomio también se restó. Esto equivale a sumar cero a la expresión algebraica de la función. De donde

y 5 (x 2 – 2x 1 1) – 3 – (1)

Por tanto

Ecuación en dos variables y 5 ax 2 1 bc 1 c, como la forma de la función cuadrática, y las ecuaciones en una variable d 5 ax 2 1 bx 1 c, como casos particulares de la anterior 2

Dada la función y 5 ax 1 bx 1 c su ecuación correspondiente es 0 5 ax2 1 bx 1c. 238

Como el coeficiente del término cuadrático es positivo entonces la parábola abre hacia arriba.

y 5 (x – 1)2 – 4

Por lo expresado líneas arriba, las coordenadas del vértice son (1, – 4). Si en

y 5 (x – 1)2 – 4

se evalúa la función en x 5 – 1 se obtiene y 5 0, por lo que el punto es (– 1, 0)


Con estos tres puntos se puede hacer un bosquejo de la curva.

Parámetro a en el ancho y concavidad de la parábola, y asocia las intersecciones 2x de ésta con las raíces de ax2 1 bx 1 c 5 0

Los puntos en los que la parábola corta al eje x se llaman los ceros de la función porque en esos puntos y 5 0.

Ejemplos

y si se evalúa en x 5 3 se obtiene y 5 0, por lo que el punto es (3, 0).

y

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

y

V (21, 2 4)

9 8 7 6 5 4 3 2 1

9 8 7 6 5 4 3 2 1

Puntos (22, 0) (0, 0) -11 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -11 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

x

y 5 4(x 1 1)2 2 4

x

Figura 10.2 Figura 10.1

y

y 5 (x 1 1)2 2 4

9 8 7 6 5 4 3 2 1

V (21, 2 4)


Puntos

Representación gráfica de la función cuadrática

(1, 0)

(23, 0)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

¿Qué se hace para expresar una ecuación cuadrática como función cuadrática?

y 5 (x 1 1)2 2 4

¿Qué nombre recibe la curva que representa gráficamente a una función cuadrática?

¿Qué ocurre con la gráfica de una función cuadrática cuando a > 0?

¿Qué ocurre con la gráfica de una función cuadrática cuando a < 0?

¿En qué caso se dice que la gráfica de una ecuación cuadrática tiene un punto máximo?

¿A qué se le llama cero de una función cuadrática?

Figura 10.3

y 5 0.50(x 1 1) 2 4 V(21, 2 4) y

Puntos

9 8 7 6 5 4 3 2 1

1  24 ,  2 1    2 ,  2

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1 ( x11)2 2 4 2

x

2

¿En qué caso se dice que la gráfica de una ecuación cuadrática tiene un punto mínimo?

-11 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

-11 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

x

Figura 10.4

239

10 BLOQUE


y

2

1  25  y5 24 x 2  1  2 4  1 25  V ,  2 4  1 25  20 . 5  x 2   2 4

Puntos

9 8 7 6 5 4 3 2 1

2

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

3 9 1 9  ,  2 ,  2 4 2 4

-11 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

x

y

1 25  24  x 2   2 4

9 8 7 6 5 4 3 2 1

2

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Figura 10.7

Si el valor de a > 1, la curva se hace más estrecha a medida que aumenta el valor de 0 < a < 1, la curva se hace más ancha a medida que disminuye el valor de a. -11 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

x

10.2 Modelos aritméticos o algebraicos Fórmula cuadrática La fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas, estudiada en el bloque 9, tiene una parte llamada discriminante, que corresponde al subradical.

Figura 10.5 y

2

1 25  y 5 2 x 2  1   2 4 1 25   V ,  2 4 

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Puntos (22, 0) (3, 0)

25  1 2 x 2   4 2

9 8 7 6 5 4 3 2 1

2

Figura 10.6

2

El discriminante nos permite saber cuál es la naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática.

-11 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

1  25  y 5 2 0 . 50  x 2 2 1 4  12 25 y 5 2 0 . 50  x 2  1 2 4  1 25  V ,  4  12 25 V ,  2 4  Puntos Puntos 25   

25  2 2 ,   3,  25 8   25 8   2 2 ,  3,  8  8  240

x

A saber, las posibilidades son tres, que el valor del discriminante sea: mayor que cero: las raíces son reales y diferentes, igual a cero: las raíces son reales e iguales, o bien, menor que cero: las raíces son complejas.

Problemas que conducen a una función cuadrática Ejemplos 1. Se desea cercar un terreno de forma rectangular, de manera que su área sea la máxima posible. Se dispone de 300 metros lineales de cerca, y un río corre a lo largo de uno de los lados, que es aproximadamente recto, en el que no se pondrá cerca. a ) Determina la expresión algebraica de la función que describe el problema.


b ) Encuentra el valor del dominio para el cual el valor de la función es el máximo posible. c ) Representa en el plano coordenado la gráfica de la función en el intervalo 0 < x < 150. Solución: a ) Para cercar los tres lados del terreno se tienen 300 m de cerca. Si el lado paralelo al río se designa con y y a los otros dos lados con x, entonces: 2x1y 5 300 (1)

gitud del lado debe ser menor que

300 5150 , de manera 2

que los valores de x se pueden tomar del conjunto. A 5 {x € R | ‌0 # x # 150}

El segundo conjunto se llama contradominio de la función (B) y está formado por todos los valores que corresponden a las posibles áreas del terreno; dichos valores pertenecen al conjunto de los números reales positivos, R1, o sea: B 5 R1 Cuando se estudió la gráfica de la ecuación cuadrática, ax 2 1 bx 1 c 5 0, se indicó que si a < 0 la curva abre hacia abajo y el vértice de la misma, o punto máximo, se obtiene

x

en x 5

2b . Aplicando esto en la expresión algebraica de la 2a

función que describe el problema: y

terreno

río

f (x ) 5 300x – 2x 2 Se observa que a 5 22(a < 0) y b 5 300, por lo que

x Figura 10.8

por tanto: y 5 300 – 2x (2) El área A del terreno se obtiene por el producto de sus dos dimensiones, es decir. A 5 xy (3) Sustituyendo(2) en (3): A 5x (30022x ) o sea: A 5 300x – 2x ² donde el área queda expresada en función de uno de los lados, por lo que: A 5 f (x ) en consecuencia: f (x ) 5 300x – 2x ² Corresponde a la expresión algebraica de la función que describe el problema. b ) En este inciso se pide encontrar el valor del dominio para el cual el valor de la función es el máximo posible. Esto significa que debemos determinar dos conjuntos y obtener una relación entre ellos. El primer conjunto se llama dominio de la función (A) y está formado por todos los valores que corresponden a las posibles longitudes del lado designado con x. Toda longitud es mayor que cero y como sólo se dispone de 300 m de cerca, la lon-

x5

2b 2300 2300 5 75 5 5 2a 2(2 2) 2 4

por tanto, el valor máximo de la función se obtiene cuando x 5 75, esto es: f (x ) 5 300x –22

f (75) 5 300(75) –2(75)²

5 22 500 – 2(5 625)

5 22 500 – 11 250

5 11 250

En consecuencia, el área máxima del terreno es de 11 250 m². Sustituyendo x 5 75 en (2):

y 5 300 – 2x

5 300 –2(75)

5 300 –150

5 150

Esto significa que el terreno rectangular de área máxima tiene 75 m de ancho y 150 m de largo. c ) En el inciso b se obtuvo el par ordenado (75, 11 250) que corresponde a las coordenadas del vértice o punto máximo de la parábola. Una parte de ésta se puede bosquejar en el intervalo 0 ≤ x ≤ 150.

241

10 BLOQUE


x

f (x ) 5 300x – 2x ²

f (x )

0 f (0) 5 300(0) – 2(0)²

0

25 f (25) 5 300(25) – 2(25)²

6 250

50 f (50) 5 300(50) – 2(50)²

10 000

75 f (75) 5 300(75) – 2(75)²

11 250

100 f (100) 5 300(100) – 2(100)²

10 000

125 f (125) 5 300(125) – 2(125)²

6 250

150 f (150) 5 300(150) – 2(150)²

0

Observa que los ceros de la función son 0 y 150. Como la longitud de la cerca es de 300 m, los ceros de la función se pueden interpretar así: cuando el ancho es cero, el largo es de 300 m y el área es 0(300) 5 0; cuando el ancho es de 150, se tiene que dos veces el ancho más una vez el largo es igual a 300, es decir: 2x 1 y 5 300 2(150) 1 y 5 300 300 1 y 5 300

h 5 24 t 2 1 48t – 80 a ) Determina el tiempo en que el proyectil alcanza su máxima altura.

14000

b ) Encuentra la máxima altura que alcanza el proyectil.

(75, 11250)

c ) Traza la gráfica de la función.

10000

d ) Interpreta el significado físico de las intersecciones de la curva con los ejes coordenados.

8000 6000

Solución:

4000

a ) En la expresión algebraica de la función se observa que a < 0, por lo que se trata de una parábola que abre hacia

2000 75

150

225

abajo y tiene un punto máximo cuando t 5

x

Figura 10.9

Por tanto, y 5 0 Entonces el área es 150(0) 5 0. En la gráfica de la función se observa que el dominio (A) es el conjunto de valores que puede tomar la x, es decir, que son válidos para el problema porque el área que corresponde es un número real positivo, entonces: A 5 {x € R | ‌0 # x # 150} El contradominio (B) de la función es el conjunto en el que se puede encontrar el área que se busca, por lo que: B 5 R1 El conjunto imagen (C ) es el conjunto de valores que puede tomar la función dentro de su dominio de definición, es decir: C 5 { y € R | ‌0 # x # 11 250}

242

2. Desde una plataforma situada a 80 m bajo el suelo se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 48 m por segundo. La altura h, en metros, del proyectil a los t segundos está dada por:

y

12000

En este problema se ha utilizado A para designar el área del terreno y el dominio de la función. También se ha designado el largo del terreno y los valores de la función con y. En ambos casos la diferencia se obtiene del contexto, pues corresponden a conceptos que tienen significados definidos.

t5

2b , es decir. 2a

2 48 2 48 56 5 2(2 4) 28

por tanto, el proyectil alcanza su altura máxima a los 6 segundos. b ) La altura del proyectil es una función del tiempo, es decir: h 5 f (t ) por lo que:

f (t ) 5 24t 2 1 48t 2 80

La altura máxima se alcanza a los 6 segundos, entonces: f (6) 5 2 4(6)2 148(6) – 80

5 24(36) 1288 – 80 5 2 144 1288 – 80 5 64


Esto significa que la altura máxima del proyectil es de 64 metros.

El contradominio de la función es: B 5 { y € R | y‌ $ 2 10} La imagen de la función es:

c ) De los incisos a y b se obtiene el par ordenado (6, 64) que corresponde a las coordenadas del vértice o punto máximo de la parábola. Para bosquejar una parte de ésta vamos a encontrar los ceros de la función.

C 5 {x € R | 2 ‌ 80 # y # 64} d ) El punto de coordenadas (0, 280) indica que cuando el tiempo t 5 0, aún no se ha disparado el proyectil que se encuentra a 80 m bajo el suelo.

Como el proyectil se lanza desde una plataforma subterránea, habrá dos momentos en que el proyectil se encuentra al nivel del suelo, cuando h 5 f (t ) 5 0, por tanto:

El punto de coordenadas (2, 0) significa que 2 segundos después del disparo el proyectil pasa a la altura del suelo.

0 5 24t 2 148t –80 o sea:

El punto (6, 64) indica que a los 6 segundos el proyectil alcanza una altura máxima de 64 metros.

2

24t 1 48t – 80 5 0

El punto (10, 0) significa que después del disparo, el proyectil tarda 10 segundos en recorrer su trayectoria que termina al llegar al suelo.

Dividiendo la ecuación entre24: t 2 – 12t 1 20 5 0 Factorizando (t – 2)(t – 10) 5 0 de donde:

t1 5 2, t2 5 10

Se construye una tabla para f (t ) en el intervalo 0 < t < 10:

t

f (t ) 5 24t 2 148t – 80 2

f (t )

0 f (0) 5 24(0) 148(0) – 80

280

2 f (2) 5 24(2)2 148(2) – 80

0

2

4

f (4) 5 24(4) 148(4) – 80

48

6

f (6) 5 24(6)2 148(6) – 80

64

8

2

48

10

f (8) 5 24(8) 148(8) – 80 2

f (10) 5 24(10) 148(10) – 80

3. La distancia entre dos lugares A y B es de 200 km. Dos móviles parten al mismo tiempo de A y B en las direcciones que se indican. El que parte de A lleva una velocidad de 40 km/h y el que parte de B lleva una velocidad de 30 km/h. a) ¿Al cabo de cuánto tiempo la distancia entre los dos móviles es mínima?

Encuentra la distancia mínima entre los dos móviles.

b) Traza la gráfica de f (t ) para 1≤ t ≤ 5. c ) Determina el dominio e imagen de la función.

0

B

En la gráfica se observa que el dominio de la función es:

P

A

A 5 {x € R | ‌0 # x # 10} y 80

(6, 64)

60 40

Q

20

(2, 0)

(10, 0)

x

Figura 10.11

Solución: a ) Sea t el tiempo buscado.

(0, -80) -80

La distancia recorrida por cada móvil después de t horas es: 40 t km para el que parte de A y llega a la posición P 30 t km para el que parte de B y llega a la posición Q

Figura 10.10

243

10 BLOQUE


Aplicando el teorema de Pitágoras: PQ² 5 PB² 1 BQ² donde:

5 horas. Antes de iniciar el movimiento la distancia entre los móviles es de 200 km. En consecuencia, t debe estar en el intervalo 0 < t < 5 por lo que el dominio de la función es:

PB 5 (200 – 40t ) y BQ 5 30t

A 5 {x € R | ‌0 # x # 5} y DISTANCIA

2 2 por lo que: PQ 5 PB 1 BQ

PQ 5 (200 2 40t) 2 1 (30t )2

Efectuando operaciones y reduciendo términos:

PQ 5 40 000 216 000t 1 2 500 2

200

Esta raíz cuadrada tiene un mínimo en el mismo valor de t para el cual la expresión subradical:

120 100

A 5 2500t ² – 16 000t 1 40 000

es mínima, esto es en: 1

2b 2(216 000) 5 53.2 horas t5 2a 2(2 500)

2

3

4

5

6

7

TIEMPO

x

Figura 10.12

para este valor de t :

Tomando en cuenta los valores de t dentro de su dominio, la imagen de la función es:

PQ 5 [200 2 40(3.2)]2 1[30(3.2)]2

C 5 { y € R | ‌120 # y # 200}

PQ 5 (200 2128)2 1( 9 6) PQ 5 72 2 1 96 2 PQ 5 5 184 1 9216

Representación gráfica de la función cuadrática

PQ 5 14 400 PQ 5 120

Esto significa que 3.2 horas (3 horas 12 min) después de su salida los móviles se encuentran a una distancia mínima de 120 km uno del otro. b ) La distancia mínima PQ es una función del tiempo t, es decir: PQ 5 f (t ). Se construye una tabla para f (t ) en el intervalo 0 # t # 5.

t

f (t )

ax² 1 bx 1 c 5 0 con lo cual se obtiene:

ax² 1 bx 1 c 5 y

que corresponde a una función en la que y es la variable dependiente o función y x es la variable independiente, es decir: y 5 f (x) ax² 1 bx 1 c 5 f (x)

1

162.79

por tanto:

2

134.16

3

120.42

4

126.49

5

150.00

f (x) 5ax² 1 bx 1 c b Después se determina el valor de x 5 2 , y a partir de éste se 2a eligen valores por encima y por debajo de él para construir una tabla de valores de y 5 f (x). Así se obtienen pares ordenados que pertenecen a la función, los cuales una vez localizados en el plano coordenado se unen en forma consecutiva mediante un trazo continuo, así se obtiene un subconjunto de puntos de la curva llamada parábola.

c ) El móvil que parte de A tarda 5 horas en recorrer los 200 km que lo separa de B; en ese mismo tiempo el móvil que parte de B habrá recorrido 150 km, y como se busca la distancia mínima entre los dos móviles, el tiempo debe ser menor que

244

En el bloque 9 se resolvió una ecuación cuadrática en forma gráfica. El procedimiento consiste en sustituir el cero por y en la ecuación:

o bien:


En el apartado de referencia también se estableció que si a > 0 la curva es cóncava hacia arriba (abre hacia arriba) y si a < 0 la curva es cóncava hacia abajo (abre hacia abajo). En el primer caso se dijo que la parábola tiene un punto mínimo (el punto más bajo), mientras que en el segundo caso la parábola tiene un punto máximo (el punto más alto). El punto mínimo (o máximo) recibe el nombre de vértice de la parábola y sus coordenadas son

Solución: a) El eje de simetría de la parábola es x 5

es decir: x 5 0 que es la ecuación de eje y. El vértice de la parábola es: x 5

2b 4 ac 2b , 5(0 , 0) 2a 4a

o sea que el vértice de la parábola es el origen del sistema coordenado.

2b 4 ac 2b 2 , 2a 4a

2b 2 0 5 50 2a 2(1)

b) En la expresión algebraica de la función se observa que a > 0, por tanto, la curva es cóncava hacia arriba.

Aplica lo que sabes

c) Se construye una tabla para y 5 f (x ) En una comunidad se va a construir un parque recreativo. Si se dispone de 3 600 metros lineales de malla ciclónica para cercar el terreno y éste debe ser de forma rectangular, investiga cuáles deben ser las dimensiones del terreno para que el área cercada sea la máxima posible.

x

f (x ) 5 x

3 2 1

f (x ) Puntos

2

9

(3, 9)

2

4

(2, 4)

2

f (1) 5 1

1

(1, 1)

f (0) 5 02

0

(0, 0)

f (3) 5 3 f (2) 5 2

2b 5 0 2a

21

f (21) 5 (21)2 1 (21, 1)

22

f (22) 5 (22)2 4 (22, 4)

23

f (23) 5 (23)2 9 (23, 9)

Como el dominio y contradominio de la función son los números reales, la figura 10.13 es sólo un subconjunto del conjunto de puntos de la parábola . Se observa en la figura que y es el eje de simetría de la parábola y su vértice, o punto mínimo, es el origen. La curva decrece en el intervalo < 2∞, 0] y crece en el intervalo [0, ∞>. El cero de la función se obtiene cuando x 5 0. y

x=0

9 8 7 6 5 4 3 2 1

Ejemplos 1. Dada la función

f: R → R

f (x ) 5 x 2 a) Encuentra el eje de simetría y el vértice de la parábola. b) Indica si es cóncava hacia arriba o hacia abajo. c) Esboza la gráfica de la función, encuentra el intervalo en que la función crece y el intervalo en el que la función decrece.

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -11 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

x

Figura 10.13

245

10 BLOQUE


2. Sea la función:

f : R → R, f (x ) 52x 2

En esta figura se representa un subconjunto del conjunto de puntos de la parábola. El eje de simetría de la curva es el eje y y su vértice, o punto máximo, coincide con el origen. La parábola crece en el intervalo < 2 ∞, 0] y decrece en el intervalo [0, ∞ >.

a) Encuentra el eje de simetría y el vértice de la parábola. b) Di si es cóncava hacia arriba o hacia abajo. c) Esboza la gráfica de la función y determina los intervalos en que crece o decrece.

El cero de la función se obtiene cuando x 5 0. 3. Esboza la gráfica de la función: f: R → R, f (x ) 5 2x 2.

Solución: a) El eje de simetría de la parábola es

Solución:

2b 20 0 5 50 5 x5 2a 2(21) 2

a ) El eje de simetría de la parábola es: x 5

2b 2 0 0 5 5 50 2a 2(2) 4

o sea: x 5 0

o sea: x 5 0, que es la ecuación del eje y.

b ) Se construye una tabla de valores para y 5 f (x ).

El vértice de la parábola es:

x

f (x ) 5 2x 2

f (x ) Puntos

3

f (3) 5 2(3)2

18

(3, 18)

2

f (2) 5 2(2)2

8

(2, 8)

1

f (1) 5 2(1)2

2

(1, 2)

f (0) 5 2(0)2

0

(0, 0)

2b 4 ac 2b 2 5 5(0 , 0) 2a 4a que es el origen del sistema coordenado . b) La parábola es cóncava hacia abajo porque en la expresión algebraica de la función, a < 0. c) Se construye una tabla para y 5 f (x ).

2b 50 2a

f (21) 5 2(21)2 2 (21, 2)

x

f (x ) 52 x 2

f (x ) Puntos

3

f (3) 5 232

29 (3, 29)

22

f (22) 5 2(22)2

2

f (2) 5 222

24 (2, 24)

23

f (23) 5 2(23)2 18 (23,18)

1

f (1) 5 212

21 (1, 21)

f (0) – 0

0

f (21) 5 2(21)2

21 (21, 21)

22

f (22) 5 2(22)2

24 (22, 24)

23

f (23) 5 2(23)2

29 (23, 29)

y

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

y 9 8 7 6 5 4 3 2 1

X=0

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Figura 10.14

246

-11 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

x

(22,8)

9 8 7 6 5 4 3 2 1

(0, 0)

21

8

X=0

2b 50 2a

21

-11 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

x

Figura 10.15

Observa que esta parábola es menos abierta que las anteriores. 4. Esboza la gráfica de la función: f : R →, f (x ) 5 Solución: El eje de simetría de la parábola es: x 5

x2 . 3

2b 2 0 5 50 2a 2 2 1 3


entonces su ecuación es: x 5 0. Se construye una tabla de valores para y 5 f (x ).

x

3 2 1

2b 50 2a 21

22

23

5 2

Por lo que su ecuación es: x5

2 x2 11 2 2 ff((xx)5 ))5 111xxx 2 5 2 ff (( xx ))5 5 32 1 3 x 331 xx ff (( xx ))5 2 f ( x )5 52 331 x 2 233111((33))222 ff ((33))5 2 5 ff ((33))5 52 33111 (((333)))222 52 2 33 ((33))2 fff (((333)))5 52 3311 2 2 2 3 11((22))22 ff ((22))5 2 5 2 52 33111 (((222)))222 fff (((222)))5 5 2 33 ((22))2 ff ((22))5 52 3311 2 2 2 3111((11))222 ff ((11))5 2 5 2 ff ((11))5 (1) 2 3 5 311 (((111)))222 52 3 fff (((111)))5 3 52 33 11(1) 2 2 2 3 11((00))222 ff ((00))5 2 5 2 ff ((00))5 2 33111 (((000)))22 ff ((00))5 5 2 33 ((00))2 5 f ( 0 )5 2 3311 2 2 3 111((2 ff ((2 11))5 11))2222 2 2 5 2 2 ff ((2 1 5 2 ) ( 2 1 331 ((2 2 2111)))22 2111)))5 52 3 2 5 21) fff (((2 ( 3 1)5 2 3 11(21)22 3 2 3 111((2 ff ((2 2) 5 2 2 2222)))2222 2 ff ((2 2 222)))5 5 2 3311 (((2 2) 5 2 ff ((2 2 2 5 2 ) 2 2 22))5 5 33 ((2 2 222)))22 f (2 3 2 1 2 2 33111((2 33))2222 ff ((2 33))5 2 5 2 2 1 3) ff ((2 2 3 ) 5 ( 2 2 1 331 ((2 2 2333)))5 52 2333)))222 3 fff (((2 5 ( 2 3 23)5 33 (23) 3

Se construye una tabla de valores para y 5 f (x ).

f (x) Puntos

f (x ) 5 x225x

x 5

23 (3,23)

2 2 44 33 2 211 33 20 4 3 21 3

244  2 , , 2 2  33  211  2 ,244 121,,2   , 2  3333  1  22 1210) (0, 1 , , 1 1 2 2 2  11,, 3 33  3 2 244  2 2 222,2 , 11 2  , 1 1, 33 2 33  244 2 2 , 2  2 , 2  33 

f (5) 5 5 25(5)

X=0

0

2

4 f (4) 5 4 25(4) 3

(5, 0)

24 (4, 24)

2

f (3) 5 3 25(3)

26 (3, 26)

2b 5 2b f5 5  5 f 5  5 25 2525 2 25 5 522 5 25 2525  5 2 5 5, 25 , ,  , , 5 5f  5 5 5 22   2a 2 2a 22 2  2 22  22  24 2 2 4 4 2 2 4 4  2

2

2 f (2) 5 2225(2)

26 (2, 26)

2

1 f (1) 5 1 25(1)

24 (1, 24)

2

0

f (0) 5 0 25(0)

0

(0, 0)

y 9 8 7 6 5 4 3 2 1

24 3 21 23 (23, 23) 3

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-11 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

x

5 X=_ 2

y 9 8 7 6 5 4 3 2 1

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

f (x ) Puntos

2

-11 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

Figura 10.17

x

Los ceros de esta función se obtienen en x 5 0 y x 5 5, o sea que (0, 0) y (5, 0) son los únicos puntos que la parábola tiene en común con el eje x. 6. Esboza la gráfica de la función f : R → R, f (x ) 5 23x ²19x. Solución:

Figura 10.16

El eje de simetría de la parábola es: x 5

Esta parábola es más abierta que las anteriores, y en las cuatro su vértice coincide con el origen.

3 2

Entonces su ecuación es: x5 .

2

Estas parábolas son del tipo: y 5 ax

donde el cero de la función se obtiene cuando x 5 0, es decir, el origen es el único que la parábola tiene en común con el eje x. 5. Esboza la gráfica de la función: f: R → R, f (x ) 5 x 2 –5x 5 0. Solución: El eje de simetría de la parábola es: x 5

2b 2(2 5) 5 5 5 2a 2(1) 2

2b 29 3 5 5 2a 2(23) 2

Se construye una tabla de valores para y 5 f (x ) x

f (x ) 5 23x 229x 2

4

f (4) 5 23(4) 19(4)

3

f (3) 5 23(3)219(3)

2

2

f (2) 5 23(2) 19(2)

f (x ) Puntos 212 (4, 212) 0

(3, 0)

6

(2, 6)

247

10 BLOQUE

22 2 b bb 3 33 55 5 2a22aa 2 22


1

f (1) 5 23(1)2 19(1)

6

(1, 6)

0

f (0) 5 23(0)2 19(0)

0

(0, 0)

2

f (21) 5 23(21) 19(21)

8. Esboza la gráfica de la función: f : R → R, f (x ) 5 22 x ²14 y

212 (21, 212) X=0

21

En esta función los ceros se encuentran cuando x 5 3 y x 5 23.

22 22

27  3 332727 27    3 33  3 33  3 33  2727 9 99 f ff   52 3 33   11 , ,, 52 52 1  2 22  2 22  2 22 4 44  2 22 4 44 

y 18 16 14 12 10 8 6 4 2

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 x -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 -18

3 X= _ 2

-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2

Solución: El eje de simetría de la parábola es x 5 : x 5 o sea que su ecuación es: x 5 0.

Los puntos que la parábola tiene en común con el eje x son (0, 0) y (3, 0), o sea que los ceros de la función se obtienen cuando x 5 0 y x 5 3. 2

En los ejemplos 5 y 6 las parábolas son del tipo: y 5 ax 1bx. Donde los ceros de la función se obtienen cuando x 5 0 y x 5

2b a

2

7. Esboza la gráfica de la función: función f : R → R, f (x ) 5 x 29. Solución:

2b

x

20

2 1

2b 5 0 2a

22

2 1

2b 5 0 2a

21 22 23 24

248

7

(4, 7)

0

(3, 0)

2

25 (2, 25)

2

f (1) 5 1 29

28 (1, 28)

f (0) 5 02 29

29 (0, 29)

f (21) 5(21)2 29

28 (21, 28)

f (2) 5 2 29

2

25 (22, 25)

2

(23, 0)

2

(24, 7)

f (22) 5 (22) 29

f (23) 5 (23) 29 0 f (24) 5 (24) 29 7

214 (3, 214)

2

2 4

2

f (1) 5 22(1) 14

2

(1, 2)

f (0) 5 22(0)2 14

4

(0, 4)

f (2) 5 22(2) 14

f (21) 5 22(21)2 14

(2, 24)

2

(21, 2)

2

2 4

(22, 24)

2

214 (23, 214)

f (22) 5 22(22) 14

23 f (23) 5 22(23) 14 9 8 7 6 5 4 3 2 1

f (x ) Puntos

2

f (3) 5 3 29

f (x ) Puntos

y

2

f (4) 5 4 29

2b 20 50 5 2a 2(2 2)

2

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

X=0

3

f (x ) 5 x 29

f (x ) 5 22x 2 14

3 f (3) 5 22(3) 14

Se construye una tabla de valores para y 5 f (x ). 2

x

Se constituye una tabla de valores para y 5 f (x ).

21

El eje de simetría de la parábola es: x 5 5 50 2a 2(1) por tanto, su ecuación es: x 5 0.

4

-11 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

Figura 10.19

Figura 10.18

x

9 8 7 6 5 4 3 2 1

Figura 10.20

-11 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

x


Los ceros de la función se encuentran cuando f (x ) 5 0, es decir:

En los ejemplos 7 y 8 se observa que los ceros de la función son valores simétricos de x. Estas funciones son del tipo: f (x ) 5 ax 2 1 c.

2

0 5 22x 14 o bien:

22x 2 14 5 0

Cuando a > 0 y b 2 – 4ac < 0, el punto mínimo de la parábola está por encima del eje x, por tanto los ceros de la función no son números reales, sino complejos. De manera similar cuando a < 0 y b 2 –4ac < 0 el punto máximo de la parábola queda por debajo del eje por lo que los ceros de la función no son números reales sino complejos.

2

de donde:

22x 524

x2 5

24 22

2 x 52

Cuando la función es el tipo: f (x ) ax 2 1bx 1 c se pueden presentar los casos ya estudiados.

x 2 5± 2

En consecuencia, los ceros de la función se obtienen cuando

x 2 5 2 y x 2 52 2


Hora inicio:

Hora final:

Fecha:

Equipo:

Problemática asignada: Resuelves ecuaciones cuadráticas II. Propósito: Registrar el papel que asumen los estudiantes al enfrentarse a la problemática de resolver problemas aritméticos y algebraicos, así como a los roles que les corresponde como actores de su propio proceso de aprendizaje. Criterio/conducta observable

Cumple Sí

No

Comentarios

Representa relaciones entre magnitudes. Puede establecer la relación entre la función cuadrática y la ecuación cuadrática. Puede reconocer la ecuación en dos variables, como la forma de la función cuadrática. Puede reconocer la ecuación en una variable, como casos particulares de la anterior. Puede expresar la función cuadrática en la forma estándar Puede trazar la gráfica de la función cuadrática. Utiliza modelos aritméticos o algebraicos para resolver problemas que conducen a una función cuadrática. Comentarios generales:

249

10 BLOQUE


Aplicación de las TICs 1. Funciones cuadráticas. a) Introduce la ecuación 2x2 2 2x 2 1 a la plataforma.

• T ip 1. Para indicar en WolframAlpha en dónde quieres evaluar usa la siguiente instrucción: “for x 5 valor”, esto significa, “resuelve para x = valor”.

b) Observa que WolframAlpha te da las soluciones de esta ecuación.

• T ip 2. Escribe f(x)52 x^2 2 2x 2 1 for x 5 7 y haz clic en la tecla Enter. ¿Qué observas?

c) Escribe “f(x) 5 ” antes de la ecuación. ¿Qué observas? d) Puedes emplear la plataforma para evaluar funciones, para hacerlo simplemente tienes que indicar en qué punto quieres conocer el valor de la función; por ejemplo, queremos saber qué valor toma f(x) cuando x 5 7. Autoevaluación Evalúa tu desempeño y determina en qué o cómo puedes mejorar. 1. Necesito ayuda.


Desempeños

1

2


3

Debo mejorar en…

Identifico la relación entre ecuaciones y funciones cuadráticas. Reconozco la ecuación cuadrática con dos variables: como una función cuadrática. Identifico que toda función cuadrática es una parábola cóncava hacia arriba o abajo. Transformo la función cuadrática y 5 ax 2 1 bx 1 e a la forma estándar y 5 a(x 2 h )2 1 Kg así obteniendo las coordenadas de V(h, k ) para trazar su gráfica. Interpreto que las intersecciones de la parábola con el eje de las “x ” son la solución de la ecuación cuadrática, y que dependiendo de la naturaleza del discriminante b 2 2 4ac tiene soluciones reales, imaginarias o complejas. Visualizo que al cambiar los parámetros “a, b y c” en la función cuadrática cambia el ancho, el vértice y el sentido de la parábola vertical. Elaboro o interpreto gráficas y tablas a partir de situaciones diversas y de sus soluciones para cuando son o no admisibles.

250



2. Bien

1. Regular



1

2

3

4

5

Aporta los conocimientos que investigó. Propone maneras diferentes de resolución. Es respetuoso y tolerante con opiniones distintas a la suya. Puntaje total Heteroevaluación Resuelve los problemas 1 y 2 de la sección Instrumentos de evaluación que sigue en esta misma página y entrégala a tu profesor.


1. Desde lo alto de un edificio de 36 metros de altura se lanza hacia arriba un proyectil con una velocidad de 12 metros por segundo. La altura del proyectil a los t segundos está dada por la función f (t ) 5 23t 2 112t 1 36. Encuentra el tiempo que tarda el proyectil en llegar al suelo. 2. Esboza la gráfica de la función: f : R → R, f (x ) 5 x 2 1 2x 1 4.

251

10 BLOQUE


Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre la resolución del problema que da lugar a una ecuación de segundo grado con una incógnita del Bloque 10. Nombre del alumno: Criterio

Presentación

1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula 2. Tiene una redacción que es adecuada y clara. 3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos. 4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible. 5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del problema. 6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente.

Desarrollo


Conclusiones

Dominio del tema


252

11. Conoce y aplica la teoría para resolver ecuaciones cuadráticas con una incógnita. 12. Puede plantear problemas que dan lugar a una ecuación de segundo grado con una incógnita. 13. Resuelve problemas que dan lugar a una ecuación de segundo grado con una incógnita. 14. Resuelve problemas que dan lugar a una ecuación de segundo grado con una incógnita en forma algebraica o gráfica. 15. Plantea problemas que dan lugar a una ecuación de segundo grado con una incógnita, mediante un modelo. 16. Obtiene la solución de un problema que da lugar a una ecuación de segundo grado con una incógnita.

cumple sí

no

Observaciones


Rúbrica


Excelente (4)

Bueno (3)

Regular (2)

Relación entre la función y la ecuación cuadrática

Establece la relación entre la función y la ecuación cuadrática. Expresa en la forma estándar a la función cuadrática.

En la mayoría de los casos, establece la relación entre la función y la ecuación cuadrática y expresa en la forma estándar a la función cuadrática.

En algunos casos, establece la relación entre la función y la ecuación cuadrática y expresa en la forma estándar a la función cuadrática.

No establece la relación entre la función y la ecuación cuadrática. No expresa en la forma estándar a la función cuadrática.

Influencia del parámetro a y relación entre intersecciones y raíces

Conoce la influencia del parámetro a en el ancho y la concavidad de la parábola. Asocia las raíces de la ecuación cuadrática con las intersecciones de la parábola con el eje x.

En la mayoría de los casos, conoce la influencia del parámetro a en el ancho y la concavidad de la parábola y asocia las raíces de la ecuación cuadrática con las intersecciones de la parábola con el eje x.

En algunos casos, conoce la influencia del parámetro a en el ancho y la concavidad de la parábola y asocia las raíces de la ecuación cuadrática con las intersecciones de la parábola con el eje x.

No conoce la influencia del parámetro a en el ancho y la concavidad de la parábola ni asocia las raíces de la ecuación cuadrática con las intersecciones de la parábola con el eje x.

Fórmula cuadrática

Resuelve problemas sencillos de máximos y mínimos. Representa gráficamente a la función cuadrática.

En la mayoría de los casos, resuelve problemas sencillos de máximos y mínimos, y representa gráficamente a la función cuadrática.

En algunos casos, resuelve problemas sencillos de máximos y mínimos, y representa gráficamente a la función cuadrática.

No resuelve problemas sencillos de máximos o mínimos ni representa gráficamente a la función cuadrática.

Aspecto a evaluar

Criterios

Deficiente (1)


Nombre del profesor o la profesora: Fecha:

253


Glosario Función. Es una regla de correspondencia en la que a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo un elemento del contradominio. Es una relación de dependencia entre dos variables. Binomio. Polinomio de dos términos.

Función creciente. Es la función lineal de pendiente positiva.

Cero de la función. Es un punto de intersección de la gráfica de la función con el eje x.

Función cuadrática en x. Es aquella que en la que su mayor exponente es 2.

Coeficiente. Factor que indica el número de sumandos iguales.

Función decreciente. Es la función lineal de pendiente negativa.

Cóncava hacia arriba (abre hacia arriba) o cóncava hacia abajo (abre hacia abajo). Se refiere a la posición de la gráfica de una función cuadrática cuya incógnita es x.

Función lineal. Es una regla de correspondencia que se representa geométricamente por un conjunto de puntos en línea recta.

Constante. Es un valor que no cambia ya sea que se represente por un número o por una letra.

Imagen. Es el conjunto de valores que puede tomar la función dentro de su dominio de definición.

Contradominio. Es el conjunto de valores que toma y.

Intervalo. Es un conjunto de valores de la recta numérica comprendidos entre dos valores extremos.

Criterio de la vertical. Se utiliza para determinar si la representación geométrica de una gráfica corresponde o no a una función.

Matriz aumentada. Está formada por los coeficientes de las variables y los términos independientes.

Determinante. Es el valor que corresponde a una matriz. Dominio. Es el conjunto de valores que toma x.

Matriz cuadrada. Es aquélla en la que el número de renglones es igual al número de columnas.

Ecuación de segundo grado con una incógnita. Es aquélla en la que el mayor valor de su única incógnita es 2.

Matriz de coeficientes. Está formada por los coeficientes de las variables del sistema.

Ecuación lineal o de primer grado. Tiene como representación gráfica una línea recta.

Matriz escalonada. Es aquélla en la que son cero los valores que están por debajo de la diagonal principal.

Eje de simetría de una parábola: Es su eje focal.

Máximo común divisor de 2 o más números. Es el mayor de los divisores comunes de dichos números.

Exponente. Indica el número de veces que la base se repite como factor. Factorización de una expresión algebraica. Es convertirla en el producto indicado de sus factores. Formas de la ecuación de una recta. Se refiere a las distintas expresiones algebraicas de la ecuación. Fracción decimal periódica. Es aquélla en la que una o varias cifras se repiten formando un periodo.

Medio aritmético. Es uno o varios términos comprendidos entre los extremos de una progresión aritmética. Medio geométrico. Es uno o varios términos comprendidos entre los extremos de una progresión geométrica. Mínimo común múltiplo de 2 o más números. Es el menor de los múltiplos comunes de dichos números.

255

Glosario

Múltiplo de un número. Es aquel que contiene a ese otro un número exacto de veces.

Regla de Cramer. Es un conjunto de fórmulas que se utilizan para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado con una incógnita. Se refiere al tipo de raíces que se obtienen cuando el discriminante es mayor, igual o menor que cero.

Regla de Sarrus. Se aplica sólo a matrices de 3 3 3.

Notación de función. Es la expresión algebraica que relaciona el dominio y contradominio de una función. Número complejo. Es un número de la forma a + bi, donde a y b son números reales e i es igual a la raíz cuadrada de –1. Número primo. Es un número natural que sólo tiene dos divisores. Parábola. Es la representación geométrica de una ecuación de segundo grado con una incógnita. Pendiente de una recta. Expresa la tangente del ángulo de inclinación de formado por la recta con el eje x. Polinomio. Es una expresión algebraica en la que dos o más términos se relacionan por los signos más (+) o menos (–). Productos notables. Son ciertos productos que se pueden obtener de manera directa sin llevar a cabo la multiplicación por el procedimiento general. Progresión aritmética. Es un conjunto ordenado de valores en los que la diferencia entre dos valores consecutivos es constante. Progresión geométrica. Es un conjunto ordenado de valores en los que la razón entre dos términos consecutivos es constante. Proporción. Es la igualdad entre dos razones. Punto máximo. Es el vértice de la parábola cuando es cóncava hacia abajo. Punto mínimo. Es el vértice de la parábola cuando es cóncava hacia arriba. Razón. Es la comparación por cociente entre dos números. Recíproco o inverso multiplicativo de un número. Es aquel que multiplicado por su recíproco da como producto la unidad.

256

Relación. Es una regla de correspondencia que se establece entre los elementos del dominio y contradominio de la relación. Representación gráfica de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos variables. Corresponde a la representación geométrica del sistema. Simétrico o inverso aditivo de un número. Es aquel que sumado con su simétrico da como suma cero. Simplificación de fracciones algebraicas. Comprende las siguientes transformaciones: simplificación de fracciones, reducción de fracciones a un común denominador, reducción de fracciones a forma mixta o viceversa. Sistema de ecuaciones simultáneas. Es aquél en el que el valor de cada una de las variables es el mismo en cada una de las ecuaciones que lo integran. Sucesión. Es un conjunto de valores en el que la relación entre dos términos consecutivos es constante. Teorema del binomio. Expresa la ley de formación de los términos del desarrollo del binomio de Newton. Término algebraico o monomio. Es un número o un producto de dos o más números. Triángulo de Pascal. Consiste en la disposición ordenada de los coeficientes del desarrollo del binomio de Newton. Trinomio. Polinomio de tres términos. Valor máximo. Es el mayor valor de la parábola cuando ésta es cóncava hacia abajo. Valor mínimo. Es el menor valor de la parábola cuando ésta es cóncava hacia arriba. Variable. Representa un conjunto de valores dentro de su dominio. Vértice. Es el punto mínimo (o máximo) de una parábola.


Bibliografía Barnett, Raymond A. Álgebra y trigonometría, McGraw-Hill, México, 1989. Britton, Jack R. e Ignacio Bello. Álgebra y trigonometría contemporáneas, Harla, México, 1982. Carpinteyro Vigil, Eduardo y Rubén B. Sánchez Hernández. Álgebra, Publicaciones Patria Cultural, México, 2008. Cuéllar, José A. Matemáticas I para bachillerato, McGraw-Hill, México, 2003. Gobran, Alfonse. Álgebra elemental, Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1990. Leithold, Louis. Álgebra y trigonometría con geometría analítica, Oxford University Press México, México, 1994. Oteyza, Elena et al. Álgebra, Pearson Educación, México, 2003. Peterson, John C. Matemáticas básicas. Álgebra, trigonometría y geometría analítica. Compañía Editorial Continental (CECSA), México, 2005. Phillips, Elizabeth P., Thomas Butts y Michael Shaughnessy. Álgebra con aplicaciones, Harla, México, 1988. Smith, Stanley A et al. Álgebra, Adisson-Wesley Iberoamericana, México, 2001.

Vínculos en Internet http://www.matworks.com http://www.wolframreseareh.com http://www.geoan.com

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Matematicas1 Ortiz

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