matematicas1-telebachillerato

Bloque

Matemáticas I Raciel López Reyes

Matemáticas I

1

Reforma Integral

Directorio Matemáticas I

Fidel Herrera Beltrán Gobernador del Estado de Veracruz Veracruz

Primera Edición: 2010 ISBN Trámite en Proceso Todos los derechos reservados

Reynaldo Escobar Pérez Secretario de Gobierno

Víctor A. Arredondo Álvarez Secretario de Educación Educación de Veracruz Veracruz

Rafael Ortíz Castañeda Subsecretario de Educación Educación Media Superior y Superior Superior

Créditos Asesoría Académica

Gonzalo Jácome Cortés

Cándido Navarro Ramírez

Asesoría Pedagógica

Director General de de Telebachillerato Telebachillerato


José Manuel Rivera Arau Subdirector Técnico

Correción de estilo

Alicia Mora Rodríguez Diseño Editorial

Rosa E. Ferrer Palacios Subdirectora de Evaluación Evaluación Escolar

Greisy del C. Ramos de la Cruz Diseño de Portada

José Crisóforo Crisóforo Rodríguez Rodríguez Díaz

Gonzalo Jácome Cortés Jefe del Dpto. Técnico Técnico Pedagógico Pedagógico

Héctor Antonio Martínez Ortiz Jefe de la oficina oficina de Recursos Recursos Materiales

Formación

David Reyes Utrera Oscar Méndez Huitrón Adolfo Aróstegui Pérez Matemáticas I Primera Edición: 2010 Todos los derechos reservados.

Adolfo Aróstegui Pérez Jefe de la oficina de Ediciones

2

Dirección General de Telebachiller Telebachillerato ato

Reforma Integral

Directorio Matemáticas I

Fidel Herrera Beltrán Gobernador del Estado de Veracruz Veracruz

Primera Edición: 2010 ISBN Trámite en Proceso Todos los derechos reservados

Reynaldo Escobar Pérez Secretario de Gobierno

Víctor A. Arredondo Álvarez Secretario de Educación Educación de Veracruz Veracruz

Rafael Ortíz Castañeda Subsecretario de Educación Educación Media Superior y Superior Superior

Créditos Asesoría Académica


Cándido Navarro Ramírez

Asesoría Pedagógica

Director General de de Telebachillerato Telebachillerato


José Manuel Rivera Arau Subdirector Técnico

Correción de estilo

Alicia Mora Rodríguez Diseño Editorial

Rosa E. Ferrer Palacios Subdirectora de Evaluación Evaluación Escolar

Greisy del C. Ramos de la Cruz Diseño de Portada

José Crisóforo Crisóforo Rodríguez Rodríguez Díaz

Gonzalo Jácome Cortés Jefe del Dpto. Técnico Técnico Pedagógico Pedagógico

Héctor Antonio Martínez Ortiz Jefe de la oficina oficina de Recursos Recursos Materiales

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David Reyes Utrera Oscar Méndez Huitrón Adolfo Aróstegui Pérez Matemáticas I Primera Edición: 2010 Todos los derechos reservados.

Adolfo Aróstegui Pérez Jefe de la oficina de Ediciones

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Bloque

Matemáticas I

Matemáticas I

3

Reforma Integral

4

Dirección General de Telebachillerato

Bloque

Índice Presentación ...............................................................................................................................................................................

9

Bloque I Resuelve problemas aritméticos y algebraicos ...................................................................................................................................... 13 Evolución histórica de los números ........................................................................................................................................................ 15 Números reales ............................................................................................................................................................................................ 15 Representación numérica a lo largo de la historia ................................................................................................................................ 16 Identica ormas distintas de representación de números positivos ................................................................................................ 17 Números enteros ......................................................................................................................................................................................... 17 Números racionales .................................................................................................................................................................................... 18 Clasicación de las racciones .................................................................................................................................................................. 18 Identica y reconoce números reales y variables algebraicas ............................................................................................................. 19 Porcentajes ................................................................................................................................................................................................... 20 Jerarquización de operaciones numéricas al ejecutarlas .................................................................................................................... 24 Identica y reconoce números reales y variables algebraicas ............................................................................................................ 25 Identica ormas distintas de representación de números reales ..................................................................................................... 26 Calcula el valor numérico de una expresión algebraica ...................................................................................................................... 28 ¡A trabajar tu proyecto! ............................................................................................................................................................................. 31

Bloque II Utiliza magnitudes y números reales ...................................................................................................................................................... 35 Identica ormas distintas de representación y operaciones con números reales ......................................................................... 35 Signos de relación ....................................................................................................................................................................................... 35 Signos de agrupación ................................................................................................................................................................................. 35 Denición de igualdad ............................................................................................................................................................................... 36 Suma o adición de números enteros ....................................................................................................................................................... 37 Sustracción o resta de números enteros ................................................................................................................................................. 38 Multiplicación o producto de números enteros .................................................................................................................................... 42 Leyes de los signos para la multiplicación .............................................................................................................................................. 45 División de números naturales ................................................................................................................................................................. 46 Suma o resta de racciones ........................................................................................................................................................................ 49 Multiplicación de racciones ..................................................................................................................................................................... 50 División de racciones ................................................................................................................................................................................ 50 Identica los elementos de los subconjuntos de los números reales ................................................................................................ 56 El conjunto de los números reales ............................................................................................................................................................ 56 Ubica en la recta numérica números reales y sus simétricos, su valor absoluto y relaciones de orden ...................................... 57 Valor absoluto ...............................................................................................................................................................................................58 Relaciones de orden .................................................................................................................................................................................... 59 Símbolos de desigualdad ............................................................................................................................................................................ 60 Propiedades de las relaciones de orden ................................................................................................................................................... 61 Reconoce la solución de desigualdades o inecuaciones ....................................................................................................................... 61

Matemáticas I

5

Reforma Integral Reconoce las propiedades undamentales de las operaciones aritméticas ........................................................................................ 61 Axiomas de los números reales ...................................................................................................................................................................62 Comprende el signicado de razón, taza y proporción ......................................................................................................................... 63 63 Razón ............................................................................................................................................................................................................... Tasas ................................................................................................................................................................................................................64 Interés simple .................................................................................................................................................................................................64 Fórmula del interés simple ..........................................................................................................................................................................64 Interés compuesto .........................................................................................................................................................................................65 Identica ormas distintas tales como: razones, tasas, proporciones y varaiciones ......................................................................... 67 Interpreta la propiedad undamental de las proporciones .................................................................................................................... 68 Reconoce variaciones directas e inversas, asi como modelos de variación proporcional directa inversa ................................... 69 Variación proporcional directa ...................................................................................................................................................................69 Variación proporcional inversa ..................................................................................................................................................................72 Proporciones compuestas ...........................................................................................................................................................................78 ¡A trabajar tu proyecto! ................................................................................................................................................................................83

Bloque III Realiza sumas y sucesiones de números ...................................................................................................................................................85 Sucesiones y series aritméticas ...................................................................................................................................................................87 Identicación gráca de la sucesión aritmética ...................................................................................................................................... 90 Sucesiones y series geométricas ................................................................................................................................................................ 94 Progresión geométrica ................................................................................................................................................................................ 94 Identicación gráca de la sucesión geométrica .................................................................................................................................... 98 ¡A trabajar tu proyecto! ...............................................................................................................................................................................100 101 Evaluación de los bloques I, II, III .............................................................................................................................................................

Bloque IV Realiza transormaciones algebraicas I ....................................................................................................................................................105 Lenguaje algebraico .....................................................................................................................................................................................107 Expresión verbal y expresión escrita ........................................................................................................................................................108 Término algebraico y sus partes ................................................................................................................................................................109 Clasicación de los términos algebraicos ................................................................................................................................................112 Reducción de términos semejantes ..........................................................................................................................................................112 Clasicación de las expresiones algebraicas por su número de términos .........................................................................................114 114 Denición de polinomio ............................................................................................................................................................................. Grado de una expresión algebraica ...........................................................................................................................................................116 Orden de una expresión algebraica ...........................................................................................................................................................117 Identica las operaciones de suma, resta, multiplicación de polinomios en una variable ............................................................. 125 Denición de igualdad ..............................................................................................................................................................................125 Propiedades de la igualdad .......................................................................................................................................................................128 130 Suma .............................................................................................................................................................................................................. Resta .............................................................................................................................................................................................................134 Leyes de los exponentes .......................................................................................................................................................................... 135 Leyes de los radicales ............................................................................................................................................................................... 142

6


Bloque Multiplicación de polinomios ................................................................................................................................................................ 144 Multiplicación de monomios ................................................................................................................................................................. 144 Multiplicación de un polinomio por un monomio ............................................................................................................................ 144 Multiplicación de polinomios por polinomios ................................................................................................................................... 146 Identica el producto de binomios aplicando patrones de productos notables .......................................................................... 151 Denición de producto notable ............................................................................................................................................................ 151 Binomios conjugados .............................................................................................................................................................................. 153 Triángulo de Pascal .................................................................................................................................................................................. 158 ¡A trabajar tu proyecto! ........................................................................................................................................................................... 163

Bloque V Realiza transormaciones algebraicas II ............................................................................................................................................... 165 Reconoce trinomios cuadrados perectos como producto de actores lineales .......................................................................... 167 Binomio con un término común del tipo ax 2 + bx + c ..................................................................................................................... 167 Binomio con un término común del tipo de la orma ax 2 + bx +c................................................................................................... 168 Cubo de un binomio ............................................................................................................................................................................... 170 Binomio por un trinomio cuyo producto es igual a una suma o dierencia de cubos. ............................................................... 171 Identica expresiones racionales con actores comunes y no comunes susceptibles de ser simplicados ........................... 175 Reconoce expresiones racionales en orma simplicada a partir de actores comunes y la división de polinomios ........... 183 División de un monomio por otro monomio ..................................................................................................................................... 183 División de un polinomio por un monomio ....................................................................................................................................... 184 División de un polinomio por un polinomio ...................................................................................................................................... 185 División sintética ...................................................................................................................................................................................... 187 ¡A trabajar tu proyecto! ............................................................................................................................................................................ 189

Bloque VI Realiza ecuaciones lineales I .................................................................................................................................................................. Ecuaciones lineales .................................................................................................................................................................................. Analiza y modela situaciones emplenado ecuaciones lineales ................... ..................................................................................... Identica la relación en unciones y ecuaciones lineales .................................................................................................................. Reconoce la ecuación en dos variables ................................................................................................................................................ Técnicas para gracar la unción lineal ................................................................................................................................................ Identica los parámetros m y b para determinar el comportamiento de la gráca de una unción lineal .............................. Pendiente de una recta ........................................................................................................................................................................... ¡A trabajar tu proyecto! .......................................................................................................................................................................... Evaluación de los bloques IV, V, VI ....................................................................................................................................................

191 193 196 203 208 210 213 214 217 219

Bloque VII Realiza ecuaciones lineales II ...................................................................................................................................................................223 Reconoce la solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (2x2) mediante las grácas de unciones lineales ..............................................................................................................................................................................225 Reconoce la solución de dos ecuaciones con dos incógnitas (2x2) ................................................................................................. 232 Métodos numéricos y analíticos ............................................................................................................................................................. 232 Métodos de reducción algebraica ...........................................................................................................................................................234

Matemáticas I

7

Reforma Integral Método por suma o resta ...........................................................................................................................................................................234 Método de igualación .................................................................................................................................................................................236 Método de reducción .................................................................................................................................................................................238 Método numérico por determinantes ....................................................................................................................................................240 Ubica e interpreta situaciones que implican un sistema de ecuaciones de 2 x 2 ........................................................................... 249 ¡A trabajar tu proyecto! ..............................................................................................................................................................................245

Bloque VIII Realiza ecuaciones lineales III .................................................................................................................................................................247 Comprende los métodos para resolver sistemas de tres ecuaciones ............................................................................................... 249 Solución de un sistema de ecuaciones lineales de 3 x 3 ...................................................................................................................... 249 Método numérico por determinantes ....................................................................................................................................................249 Método por coactores ..............................................................................................................................................................................249 Regla de Cramer .........................................................................................................................................................................................255 Método algebraico de sustitución ...........................................................................................................................................................259 ¡A trabajar tu proyecto! ..............................................................................................................................................................................265

Bloque IX Resuelve ecuaciones cuadráticas I ..........................................................................................................................................................267 Ubica e interpreta situaciones con ecuaciones cuadráticas incompletas ........................................................................................ 269 Identica ecuaciones incompletas de segundo grado en una variable ............................................................................................ 272 Comprende los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas completas .................................................................................... 274 Despeje de la variable cuadrática ............................................................................................................................................................ 274 Extracción de actor común .....................................................................................................................................................................276 Comprende los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas completas .................................................................................... 277 Describe el procedimiento de completar y actorizar trinomios cuadrados perectos para resolver ecuaciones completas de segundo grado en una variable ............................................................................................................. 279 Fórmula general para la solución de ecuaciones cuadráticas ............................................................................................................. 283 Identica raíces reales y complejas y escribe ecuaciones a partir de éstas ...................................................................................... 287 Evaluación del bloque IX ..........................................................................................................................................................................291 ¡A trabajar tu proyecto! ..............................................................................................................................................................................294

Bloque X Resuelve ecuaciones cuadráticas II .........................................................................................................................................................295 Identica la relación entre unciones y ecuaciones cuadráticas ........................................................................................................ 297 Describe la unción cuadrática en la orma estandar, para trazar su gráca .................................................................................... 298 Comprende el eecto del parámetro en el ancho y concavidad de la parábola, y asocia las intersecciones x de ésta con las raíces 299 Intersección de la parábola con los ejes coordenados ......................................................................................................................... 301 Evaluación del bloque X ............................................................................................................................................................................305 ¡A trabajar tu proyecto! .............................................................................................................................................................................307 Bibliograía ..................................................................................................................................................................................................308 α

8


Bloque

Presentación Las matemáticas surgen con la necesidad del hombre por evolucionar, sirviéndole de base para la solución de la mayor parte de sus problemas cotidianos. Prácticamente todas las ramas del conocimiento humano emplean sus herramientas y conceptos. No hay que olvidar la estrecha relación de las matemáticas con la ciencia y la tecnología. Mientras que el desarrollo de la ciencia plantea problemas interesantes para investigar, las matemáticas se lo retribuyen con herramientas poderosas para el análisis de datos. Con la tecnología sucede l o mismo; mientras que las matemáticas aportan a la tecnología los diversos métodos de resolución de problemas, ésta genera mejores aparatos o dispositivos para realizar los cálculos con mayor precisión. En la actualidad, las matemáticas juegan un papel central en la cultura moderna, porque acilitan la comprensión básica en la ormación cientíca. Los estudiantes deben percatarse de que las matemáticas orman parte del trabajo cientíco, comprendiendo que la naturaleza del pensamiento matemático es indispensable para el desarrollo de las dierentes ideas y habilidades de esta disciplina, por lo qu e este conocimiento debe ser reconstruido por ellos mismos. Con el n de atender las necesidades actuales, el Programa Sectorial 2007-2012, ha señalado como objetivo estratégico “Elevar la calidad de la educación para que los estudiantes realcen su nivel de logro educativo, cuenten con medios para tener acceso a un mayor bienestar y contribuyan al desarrollo nacional”. La estrategia para su logro es “Establecer las competencias para la vida y el trabajo que todos los estudiantes de bachillerato deban desarrollar y que sean la unidad común que dena los mínimos requeridos para obtener un estudio del bachillerato general, contenidos y actividades de enseñanza y aprendizaje dirigidas al desarrollo de competencias, tanto para la vida como para el trabajo”.1 Para el logro de este objetivo, la Subsecretaría de Educación Media Superior se abocó a dar inicio a la Reorma Integral de la Educación Media Superior, con el propósito de establecer un Sistema Nacional de Bachillerato en un marco de diversidad, donde participan todas aquellas instituciones que imparten o coordinan la educación media superior en sus dierentes tipos. En Telebachillerato no nos quedamos atrás; cada una de las materias se reestructuró bajo el esquema de esta reorma, adoptando un enoque educativo basado en competencias. Precisamente en la materia de Matemáticas I, donde el desarrollo p ersonal y social de los uturos ciudadanos se debe orientar a través de las competencias, ya sean genéricas: de desarrollo personal, social, académico y laboral; disciplinares básicas y/o extendidas, que les permitan participar en la sociedad del conocimiento y especícas, logrando insertarse en el mercado laboral mediante las competencias proesionales básicas o extendidas. La asignatura de Matemáticas I está organizada en diez bloques de conocimiento, con el n de acilitar la ormulación y/o resolución de situaciones o problemas de manera integral en cada uno, y de garantizar el desarrollo gradual y sucesivo de distintos conocimientos, habilidades, valores y actitudes en el estudiante.

1

Programa de estudios para la materia de Matemáticas I.

Matemáticas I

DGB.

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Reforma Integral

En el Bloque I se inicia el uso de variables y expresiones algebraicas en el contexto de los números positivos; en el Bloque II se extiende lo anterior al conjunto de los números reales, incluyendo comparaciones mediante tasas, razones, proporciones y la variación proporcional como caso simple de relación lineal entre dos variables; en el Bloque III se estudian sucesiones y series (aritméticas y geométricas) de números, bosquejando unciones discretas (lineales y exponenciales); en los Bloques IV y V se estudian operaciones con polinomios en una variable y actorizaciones básicas y de trinomios (incluyendo productos notables y expresiones racionales); en los Bloques VI, VII y VIII se analizan, respectivamente, los sistemas de ecuaciones 1 x 1, 2 x 2, y 3 x 3, en estrecha conexión con la unción lineal; y, nalmente, en los Bloques IX y X se estudian las ecuaciones cuadráticas en una variable y su relación con la unción cuadrática.

10


Bloque

s s o c a i a r m b e l I b e g l e o r u p a q y o e s l v o B l i e c t u é s e m R t i r a

l a u t p e c l n a r o e c n a e r g u t c u r t s E

Matemáticas I

y s e s e d l u I a I t i e e n r u g s q a o o m r e l B a m z i ú l i t n U

s o r y e s m I a ú I I m n e e u u s d s q a z o l i e l n B a i e o R s e c u s

s e n o i c I a s V I m r a i o c e f u s a r q n b o l a r e g B t l a a z i l a e R

I s a c i t á m e t a M

s e n I o i I X c a s e u a c i u c t e q á r o e l d v B l e a u u s c e R

s e n o i I c s X I a a c i e u t u c á e q e r o v d l a B l e u c u s e R

s e n o I i I I I I c I V a u s c e e e l u a e q v e o l n l i l B e u s e R

s e n o i I I I c I V a s u e e c l u e a q e e o l v n l i l B e u s e R

s e n o i c I a I s V m a e r o c i u f a q s r n b o l a e B r t l g a a z i l a e R

s e n o I i c V a I s e e u l c u e a q e e o v n l i B l e l u s e R

11

Reforma Integral

12


Bloque I Bloque I Resuelve problemas aritméticos y algebraicos

Unidades de competencia •

•

Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y grácos, aplicando las propiedades de los números positivos y expresiones aritméticas y algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables, y empleando las literales, para la representación y resolución de situaciones y/o problemas aritméticos y algebraicos, concernientes a su vida cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad. Identica las características presentes en tablas, grácas, mapas, diagramas o textos, provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico.

Atributos 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o grácas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera refexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la inormación y comunicación para procesar e interpretar inormación. 6.1 Elige las uentes de inormación más relevantes para un propósito especíco y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia y conabilidad. 7.1 Dene metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, deniendo un curso de acción con pasos especícos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera refexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Matemáticas I

13

Reforma Integral De lo que sabes Nombre del docente: Nombre del alumno:

Fecha: Grupo: INSTRUCCIONES GENERALES

Instrucciones para 1. La siguiente evaluación no tiene algún eecto, sólo sirve como reerencia para el docente: determinar el grado de conocimientos previos de cada alumno. Instrucciones para Lee con atención cada uno de los cuestionamientos y contesta sinceramente. el alumno: Propósito: Determinar los conocimientos previos de cada alumno. Sección: 1 Instrucción: Subraya la opción correcta. Valor de cada reactivo: Un punto. 1. Símbolo de los números enteros: a) Z b) N 2. Representa una racción propia: a) 3 b) 3

c) E c)

4

2

3. Su cociente representa a un decimal periódico: a) 3 b) 2

c)

4. Su cociente representa el 50%. a) 3 b)

5

c)

3

5

4 4

1

7 4

1

d)

5

d)

1

d)

3

2

4

3

5

2

d) Q

6

5. Un televisor costaba $3,200.00, pero lo compraron en $2,720.00, ¿cuál ue el porcentaje de descuento?: a) 15% B) 20% c) 18% d) 12% 6. Resultado de simpliicar: 8 - 3(6 -2 x 2) = a) 8 b) 10 c) 2 d) -16 7. Resultado de la operación: -2 – (-3) = a) 5 b) -1 c) 1 d) 6  3  8. Resultado de la operación: 2 −

3

a) −

6 15

b)

+

−  =  5  1

c) −

15

9. Resultado de la siguiente operación: -(-5)(1) = a) -5 b) 6 1



c) 1



a) −

14

6

b) −

1 6

15

d) −

19 15

d) 5

1

10. Resultado de la siguiente operación − −  −  2 3 5

1

=



c)

5 6

d) 1 6


Bloque I Bloque

I

Resuelve problemas aritmécos y algebraicos

Evolución histórica de los números El concepto de número surgió como resultado de la necesidad práctica de contar objetos. En el inicio se contaba con la ayuda de los medios disponibles: dedos, piedras, semillas, etc. La serie de números naturales era limitada, pero como la conciencia sobre la necesidad de ampliar el conjunto de números representaba un gran reto, éstos necesitaron ser representados simbólicamente, desarrollándose así los dierentes sistemas de numeración para las distintas civilizaciones. Tras la primera revolución del hombre, cuando surgieron las primeras civ ilizaciones de agricultores y las ciudades, también hizo su aparición una ciencia trascendental: la Aritmética, la cual es una rama de las matemáticas que nos ayuda a resolver cualquier tipo de problema numérico, utilizando las distintas operaciones: sumar, restar, multiplicar, dividir, etc. Para resolver un cierto problema es imprescindible conocer, tanto a los números (su clasicación, la relación que guardan entre sí), como la manera en que se eectúan las operaciones en las que se ven involucrados. Los números representan una cierta cantidad, y éstos, a su vez, son representados por ciertos símbolos, mismos que han adquirido dierentes ormas y aspectos desde los orígenes de la humanidad en las distintas civilizaciones. Desde el punto de vista general, sólo existen dos tipos de números; los reales, con los cuales estamos amiliarizados en la vida cotidiana, y los imaginarios, que ue necesario introducirlos para la solución de problemas especícos, y que se verán posteriormente. A continuación, conoceremos a los números reales y todos sus aspectos para solucionar problemas comunes.

Números reales Te has preguntado dónde vive el número cinco, cuánto pesa, cuánto mide, de qué color es, etc. Sabemos que nunca encontrarás respuesta a esta interrogante, puesto que los números sólo son entes; realidades que existen sólo en nuestra imaginación, son unidades abstractas que representan una cantidad, y juegan un papel muy importante en nuestra vida, porque a través de ellos podemos representar ciertas cantidades. De lo que sí estamos plenamente seguros es que los números existen y pueden ser representados de distintas maneras, de acuerdo con las dierentes culturas; no interesa cómo sean, lo importante es saber su comportamiento.

5

4+1

7-2

15/3

√25

Figura 1.1

Matemáticas I

15

Reforma Integral Representación numérica a lo largo de la historia Los conocimientos de las matemáticas han tenido una infuencia determinante en la ciencia, en la sociedad y en los avances, tanto cientícos como tecnológicos. Griegos y romanos no tuvieron una adecuada manera de representar los números, lo que les impidió hacer mayores progresos en el cálculo matemático. Sin embargo, los hindúes, desarrollaron un práctico sistema de notación numeral, al descubrir el cero y el valor posicional de las ciras. Posteriormente, los árabes dieron a conocer este sistema en Europa a partir del siglo VII d. C. Por eso, nuestras ciras se llaman indo-arábigas. Cultura

Representación numérica1

Egipcios

Griegos

Romanos Indo-arábigos

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Chinos

Babilonios

Mayas

Actividad 1.1 Observa las siguientes fguras:

1. ¿Cuántos ángulos, tanto internos como externos, tienen cada una de las fguras?______________________________________________________________ 2. ¿Qué puedes deducir al respecto?________________________________________ ____________________________________________________________________

16


Bloque I Identifca ormas distintas de representación de números positivos Precisamente, los números indo-arábigos ueron establecidos de acuerdo con la cantidad de ángulos. Con el paso del tiempo, el hombre ha introducido nuevos números, que son útiles para demostrar ciertas operaciones; los ha clasicado, los ha dividido y hasta ha especulado con ellos. La construcción de los números reales es algo complejo que ha hecho, no un hombre, sino la humanidad entera, rebasando los conceptos matemáticos conorme sus necesidades y su curiosidad lo han llevado. Lo primero que hace el hombre es contar, para ello necesitó construir un sistema numérico, evolucionando de esta orma primitiva de representar objetos o cosas reales, a través de símbolos, naciendo así el primer conjunto de números llamados naturales, estos números son u tilizados para contar, y se representan mediante la letra N.

1, 1+1, 2+1, 3+1, 4+1,… 1, 2, 3, 4, 5… Figura 1.3 Números naturales.

Después del uno, el número siguiente se construye anexando uno al anterior, hasta un número indenido, que se encuentra en el innito, denotado por el siguiente símbolo ( ). ∞

Número natural es aquello que tienen en común todos los conjuntos similares. Por ejemplo, los conjuntos A = {a, b, c, d, e, } y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; tienen en común la propiedad de estar constituidos por seis elementos. Diremos, en este caso, que los conjuntos A y B representan al número natural 6, o bien, representan la cantidad seis. De modo similar, todos los conjuntos que poseen un solo elemento, es decir, los conjuntos unitarios representarían al número 1, los conjuntos con dos elementos representarán al número 2 y así sucesivamente. El conjunto vacío, el que no posee elementos, representa al cero (0). Una de las unciones que realiza el cero “0”, es ayudarnos a identicar la posición que un dígito tiene. De este modo, se obtiene la sucesión de números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, … que es una sucesión innita. N = {1, 2, 3, 4, 5, 6… +

∞

Números enteros Si eectuamos la unión del conjunto que contiene cero elementos {0} con el conjunto N de los números naturales, obtenemos el conjunto de los “números enteros positivos”: {0, 1, 2, 3, 4… a}. Ahora, si incluimos un elemento inverso por cada número natural, obtendremos el conjunto de los “números enteros negativos”: {-4, -3, -2, -1}. Para terminar, si unimos ambos conjuntos, obtendremos como resultando el conjunto de los números enteros, denotados por: Z = {–a …-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4… + } ∞

Matemáticas I

17

Reforma Integral Números racionales Conorme la cultura humana evolucionó, crecieron sus necesidades matemáticas, requiriéndose de una numeración adecuada para cada situación. Al tomar medidas se hizo notorio el hecho de que los números naturales o enteros no solucionaban el problema, pues se necesitaban las racciones, entonces, surgió el desarrollo de los números raccionarios, en general, racionales, denotados aún por la letra Q, y que se orman al dividir un par de números enteros con denominador distinto de cero. Como podemos ver, la división exacta de números naturales no resulta posible en todos los casos, puesto que no siempre existe un número natural que al ser multiplicado por el divisor coincida con el dividendo. Por lo tanto, necesitamos ampliar el campo numérico, introduciendo las racciones o quebrados. Algunos también dan el nombre de números racionales. Un número racional es aquel que puede expresarse como cociente de d os enteros. Los sistemas numéricos son inclusivos, porque en el conjunto de los racionales están incluidos los enteros positivos y negativos, el cero y las racciones positivas y negativas. 1 3  5  3  7  , , − , , −  2 4  3  1  5  Figura 1.4 Números racionales

Una racción es la relación que existe entre dos números naturales (a, b), que se acostumbra escribir como número a se llama numerador y el número b , denominador, estableciéndose así un cociente .

a b

. El

El denominador nunca debe ser cero, puesto que la división entre cero no se encuentra defnida.

Clasifcación de las racciones Existen dierentes tipos de racciones, para conocerlas las clasicaremos de la siguiente manera: Tipo de racción

18

Defnición

Comunes

Su denominador no es la unidad seguida de ceros.

Decimales

Su denominador es la unidad seguida de ceros.

Propias

Su numerador es menor que el denominador.

Ejemplo


Bloque I Impropias

Su numerador es mayor que el denominador.

Unitarias

Su numerador es igual al denominador.

Mixtas

Constan de una parte entera y una parte raccionaria.

Identifca números decimales en distintas ormas (enteros, racciones y porcentajes) Los números decimales se obtienen al dividir dos números enteros cuyo resultado no es otro entero. Para escribir una racción o quebrado en notación decimal, se sigue el principio undamental de la numeración decimal, según el cual toda cira escrita a la derecha de otra representa unidades diez veces menores que las que representa la anterior.

Actividad 1.1 Con la ayuda de tu calculadora, realiza las siguientes operaciones decimales. 1.

4 10

=

2. 4

100

3.

=

4 1000

4. 40

100

5. 6.

=

=

40 1000

=

400 1000

=

Compara los resultados de los quebrados de los incisos 1, 4 y 6. 1. ¿Qué puedes concluir al respecto?

2. ¿Qué otras racciones son equivalentes?

Matemáticas I

19

Reforma Integral Para leer un decimal se enuncia primero la parte entera, si es que existe, y a continuación la parte decimal, dándoles el nombre de las unidades ineriores. 2.18 6.0019 0.09769

Dos unidades, dieciocho centésimas. Seis unidades, diecinueve diezmilésimas. Nueve mil setecientos sesenta y nueve cienmilésimas

Algunos decimales son periódicos. a)

1 3

=

0.33333333333333333...

b) 1 0.1666666666... =

6

Los cuales se denotan con una línea superior en la parte periódica. c)

_

1 =

3

d)

1 6

=

0.3

0.16

Nótese que únicamente al seis del inciso "d" se le colocó el guión en la parte superior, debido a que sólo éste es periódico. Otros decimales son no periódicos o nitos: e) 1 2

) 1 4

0.5

=

=

0.25

Porcentajes Los números decimales sin la parte entera representan un porcentaje, siempre y cuando el numerador sea más pequeño que el denominador; de lo contrario, éste será mayor al cien por ciento. Ejemplo

Sea la siguiente racción: a) 3 0.5 6

20

=


Bloque I Para saber qué porcentaje es tres de seis, se debe realizar la operación y posteriormente multiplicarla por 100. 3

0.5 6 (0.5)(100) =

b)

=

50%

6

0.75 8 (0.75)(100) =

=

75%

El número seis representa el 75% de ocho. c)

4 7

=

0.571428571

Para este caso, es necesario establecer cuántos decimales queremos estimar en nuestro porcentaje. Si determinamos sólo dos decimales, el porcentaje quedará de la siguiente manera: 4

0.5714 7 (0.5714)(100) =

=

57.14%

Entonces, el número cuatro representa el 57.14% de siete.

Has comprendido ¿Qué porcentaje representa el ocho del cinco en la siguiente relación? 8 5

Ejemplo

Un sistema de cómputo se vende en $6,500.00. Si el precio de lista es de $7,200.00, calcular el porcentaje de descuento. En este caso, $6,500.00 es el precio de venta, $7,200.00 es el precio normal y el descuento debe ser el producto de $7,200.00 por el porcentaje de descuento. Podemos denir que p represente el porcentaje de descuento, expresado como decimal. A continuación sustituimos el precio de venta por $6,500.00 y el precio normal por $7,200.00 en la órmula: (modelo matemático).

Matemáticas I

21

Reforma Integral Precio de venta = precio normal – descuento. Al sustituir los valores, obtenemos: 6500.00

=

7200.00 − 7200.00 p

6500.00 − 7200.00

=

7200.00 − 7200.00 − 7200.00 p

−700.00 −7200.00 p −700.00 p −7200.00 =

=

p

=

0.0972

Si esta cantidad la multiplicamos por 100, obtendremos el porcentaje de descuento. p

=

(0.0972)(100)

=

9.72%

Actividad I. Actividad para realizarse en grupos de cuatro alumnos.

Si Martín compra un auto de contado, obtendrá un descuento de $12,000.00. El costo con pago de contado es de $187,000.00. 1. ¿Cuál es el modelo matemático que relaciona el precio de venta con el precio normal y el descuento? 2. ¿Cuál es su precio normal? 3. ¿Qué porcentaje del precio normal es el descuento? Si Martín lo paga en 36 mensualidades, debe pagar $220,000.00 por el auto. 4. ¿Cuál es el modelo matemático que permite realizar este cálculo? 5. ¿Cuánto debe pagar extra? 6. ¿Qué porcentaje representa la cantidad extra sobre el precio normal?

22


Bloque I Ejercicios Determina qué porcentaje representa cada una de las siguientes relaciones.

Np.

Relación

1

3

2 3 4 5

Resultado a dos ciras

Porcentaje

4 6 9 7 8 3 5 4 7

Problemas

1. El total del tiraje del libro de Matemáticas I ue de 60,000 ejemplares, si por cada libro he de recibir el 2%, por concepto de regalías, ¿cuánto recibiré si me pagan sólo una cuarta parte? 2. Una recámara cuesta, normalmente, $3,500.00. Está en oerta a $2,700.00, ¿cuál es el porcentaje de descuento? 3. El dueño de una librería compra un libro usado, en $150.00 y lo vende en $210.00. Calcula el porcentaje de aumento. 4. El dueño de una tienda de regalos compra muñecos de peluche a $20.00 y los vende a $30.00. Calcula el porcentaje de aumento.

Matemáticas I

23

Reforma Integral 9. Un joven, con $210.00 en el bolsillo, baja de su automóvil en el camino a casa para comprar rosas por el cumpleaños de su novia. Si cada rosa cuesta $12.00 y los gastos de envío son $15.00, ¿cuántas rosas puede comprar? 10. Para mudarse a otra ciudad, se puede alquilar un camión por $300.00 diarios, más $5.00 pesos por kilómetro. Si se usa un camión por dos días, ¿cuántos kilómetros puede recorrer a un costo de $850.00? 11. Un estudiante gana $120.00 diarios por entregar paquetes por las noches. Se le paga a razón de $5 por cada 2 paquetes entregados, ¿cuántas entregas deberá hacer diariamente para aumentar su ingreso a $160.00 diarios?

Jerarquización de operaciones numéricas al ejecutarlas Para realizar una cierta operación aritmética, se debe simplicar primero el contenido de los símbolos de agrupamiento más internos; luego los siguientes y así sucesivamente. La multiplicación y la división se eectúan antes que la adición y sustracción, procediéndose en ambos casos, de izquierda a derecha, obedeciendo el orden jerárquico de los signos de agrupación: primero los paréntesis ( ), después los corchetes [ ], concluyendo con las llaves { }. Ejemplo 1.13

a) 10 - 2 x 4 = 10 - 8 Nótese que no se resta el 2 del 10, sino que primero se eectúa la multiplicación. b)

8 - 3(6 -2 x 2) = 8 - 3(6 - 4) = 8 - 3(2) = 8 -3 x2 =8-6 = 8 -2

Simplica primero lo que está entre paréntesis. 8 - 3(6 -2 x 2) = 8 - 3(6 - 4) =8-6 =2

{

)}

3 6 + 2 8 − 2 3 − 1

c)

24

(



{

=

3 6

=

3 14

+

{ }

=

{

( )} 2  4 } 3{6 8}  

3 6 + 2 8 − 2 2

} = 3{6 +

2 8 − 4 



=



=

+

42


Bloque I Ejercicios Simplifca las siguientes operaciones aritméticas, de acuerdo con el orden jerárquico establecido.

Operación

No. 1. 2. 3. 4. 5.

Resultado

{ } 3 {−2 − 3 2(3 − 5) 2} −1 {−1 − 1 − 2(1 − 2)  1} 3 − {−1  2 − 3(2 − 3) 1} 1 {−1 − 1 2(1 − 2)  − 1} 2 − 3 −  4 + (3 − 5) − 1 +

+

+

+

+

+

+

+

+

Identifca y reconoce números reales y variables algebraicas El interés y curiosidad del hombre lo llevó a descubrir nuevos números; por ejemplo, aquellos que representaban una cierta cantidad de gran utilidad, pero que no podían obtenerse como el cociente de dos números. Entonces, introdujo los números irracionales , que se representan mediante la letra I . Ejemplo de ello lo es la medida de la línea inclinada en el triángulo de la gura, que es igual a √2 , cuando las líneas horizontal y vertical son iguales a la unidad. Este número, que en realidad es igual a 1.414213562…, no puede representarse mediante un simple cociente, pero sí es un valor numérico. Otro ejemplo, lo es π, este número que tiene un valor de 3.141592654....., no es más que la cantidad de veces en que cabe el diámetro en la circunerencia. También, la longitud de la diagonal de un pentágono o cualquier polígono regular, tomando como unidad su lado es el número irracional φ llamado número áureo (φ es aproximadamente igual a 1,6818).

Matemáticas I

25

Reforma Integral La expresión decimal de cualquier número irracional consta de innitas ciras no periódicas. Existen innitos números irracionales. Todos ellos, junto con los racionales, orman el conjunto de los números reales. Tenemos, entonces, que un número irracional es aquel que no puede expresarse como el cociente de dos enteros, y pueden ser positivos o negativos. √2 = 1.4.1421356.... ] π ≠ 4.14159265.... ] 3 √5= 1.70997594.... ]

Números irracionales (con decimales infnitos, no repetitivos).

Identifca ormas distintas de representación de números reales

Actividad Completa la siguiente tabla, denotando cada uno de los números como un cociente.

NÚMEROS REALES -5

0

25%

0.333... 0.666

25 16

1

333

3

4

1000

10

7

2 3+ 4

3

27

− 36 4

1. ¿Cuáles números no pueden ser representados como el cociente de dos números? 2. ¿Por qué? 3. ¿Cómo se les llama a este tipo de números?

26


Bloque I Ejercicios Completa la siguiente tabla.

No.

Número

1.

-3

2.

1.2546783425....

3. 4.

Irracional

11

14 7

5.

2 7

6.

5

7.

0.283428342834....

8.

−2

9. 11.

3i 4 – 2i 3.245245245....

12.

0.1111111111....

13.

-7

10.

Tipo

3 5

Fraccionario negativo

14.

15.

Matemáticas I

-

8

27

Reforma Integral Calcula el valor numérico de una expresión algebraica Así como la aritmética surgió de la necesidad que tenían los pueblos primitivos de contar sus pertenencias y representarlas mediante números, también surgió el álgebra , donde ahora las cantidades son representadas por otros símbolos, los cuales pueden reemplazar cualquier valor. El gran desarrollo del álgebra se debió a los matemáticos árabes y, especícamente, a Al-Hwarizmi (Siglo IX d. C.), quien sentó las bases del álgebra actual, la cual se considera como una rama de las matemáticas que tiene por objeto generalizar todas las cuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades. El concepto algebraico de cantidad es mucho más amplio que el aritmético; mientras que en aritmética las cantidades cuentan con una manera denida de representarse (números), en álgebra, las cantidades se simbolizan mediante letras que pueden interpretar cualquier valor numérico que se les asigne. En pocas palabras, en aritmética las cantidades únicamente pueden reproducirse a través de números, y en álgebra, las cantidades se simbolizan mediante números o letras. La evaluación de expresiones es el proceso que consiste en sustituir los valores numéricos asignados para cada una de las incógnitas o letras (variables) que representan a ciertos números, y que al eectuar las operaciones indicadas se obtiene la evaluación correspondiente. Para realizar una operación numérica se debe operar en primera instancia, lo que se encuentre entre paréntesis o arriba o debajo de una raya de racción. Posteriormente, se eectúan todas las operaciones de multiplicación o división en el orden que se presenten de izquierda a derecha, para nalizar con las sumas y las restas en el orden de izquierda a derecha. La jerarquía de las operaciones algebraicas es similar a las operaciones aritméticas, con el siguiente procedimiento: 1. Se eectúa toda operación que se encuentre entre paréntesis o arriba o debajo de una raya de racción. 2. Se eectúan todas las operaciones de multiplicación o división en el orden que se presenten de izquierda a derecha. 3. Se eectúan las sumas y las restas en el orden de izquierda a derecha. Ejemplos

a) Resuelve 2x2 yz3 , cuando x = 2, y= 3 y z = 1 (2)(2)2(3)(1)3 = (2)(4)(3)(1) = 24 b) Evaluar 4 (8)(2)

3 4 bx

3

=

x 8(1) 3

28

4 (8)(8)

8a

c) Evaluar

+

2

+

5b

2

4(8)

2 2a b

−

y

=

2(1) (2)

−

2

(3) (4)

=

=

32

cuando a = 1 , b = 2 , y = 4 y x = 3.

x 2 y

2

5(2) 4

cuando b = 8 y x = 2

8(1) 3

+

5(4) 4

2(1)(2)

−

(9)(4)

=

8 3

+

5

4 36

=

96 + 180 − 4 36

=

272 36

=

7

5 9


Bloque I

Ejercicios Resuelve los siguientes ejercicios cuando a = 2, b = 1, c = 4, d = 3, m = ½, n = 2/3, p = ¼, x = 0 , según el caso. 1. (a + b) c - d = 2. (a + b)(b - a) = 3. (b - m)(c - n) + 4a 2 = 4. (2m + 3n)(4p + b2) = 5. (4m + 8p)(a2 + b2)(6n - d) = 6. (c -b)(d - c)(b - a)(m - p) = 7. b2(c + d) -a 2(m + n) + 2x 8. 2mx + 6(b2 + c2) - 4d2 =  8 m 16 p  + a = b  

9.  9n

10. x + m(a b + dc - ca) = 11.

4( m + p)

a

÷

a2

+

b2

c2

12. (2 m + 3n + 4 p)(8 p + 6n + 4 m)(9n + 20 13. c2 (m + n) − d 2 (m + p) + b 2 (n + p) = 14. 15. (4p+2b)(18n-24p)+2(8m+2)(40p+a)= a+

d

b x d − b

16.

17. (a + b )  a + c

18. 



19. 20.

Matemáticas I

2

5+

2

m2

p 2 c2

+

+

2 8b − m n

6n 

 b 

÷ (c + d ) p

3(c − b) 32n − 2(d − a) 16 p − 6 abc 2 8b

+

3mn 2(b − a )

2

n

cdnp

−

abc

29

Reforma Integral Ejercicios

 1 1   1 1   1 1  21. b +  +   +  +  +   a b   b c   n m  2

2

=

22. (2m+3n)(4p+2c)-4m2n2 2

23.

b −

c

3 − n 2 ab − m b − m

24. 5ab = 25. 26. 27. 28. 29.

2bc

2

4a =

3bc 2m

n2 24 mn 2 2 2 n p

2 3

a 4 b2 m 3

=

30. 24m2n3p

30


Bloque Problemas

¡A trabajar tu proyecto!

PROYECTO 1: Formen equipos de 6 personas tal que socialicen entre sí con cuánto dinero cuentan para su semana, y cómo deben distribuir sus gastos para que les alcance. •Realicenunatablacomparativadegastos-producto-costo. •Calculenlosgastosalumno-semana. •Comparenelconsumodelosmismosproductosenlacasayenlaescuela. •Calculenladiferenciayanalicenelahorroalconsumirproductoscaseros. •Analicenelimpactodesusgastosenlaeconomíafamiliar. PROYECTO 2: Realizaunregistrodeloquegastesduranteunasemana,especicandoelrubroalquecorresponde cada gasto. En equipo de 4 o 5 integrantes, reúnan los resultados obtenidos y realicen lo siguiente: a)Sumen los gastos realizados por los integrantes del equipo correspondientes a cada rubro. b)Ordenen los resultados de manera ascendente, ¿en qué rubro gastaron más? ¿en qué rubro gastaron menos? c)Realicenunagrácaquemuestrelosgastosporrubrorealizadosporelequipo. d)Sumen el total de gastos de todos los integrantes del equipo y de todos los rubros. e)Calculen qué porcentaje de sus gastos corresponde a transporte. f)Calculenquéporcentajedesusgastoscorrespondeamaterialdepapelería. g)Calculen qué porcentaje de sus gastos corresponde a alimentos. h)Expresenlosporcentajesanterioresennúmerosfraccionariosyennúmerosdecimales. i)Si,entretodoslosintegrantesdelequipo,hubieranahorradoel8%desusgastos,¿acuánto hubieraascendidoeltotaldegastosdelequipo? j)Comparen con los compañeros de otros equipos y saquen una conclusión grupal acerca de los resultados obtenidos.

Matemáticas I

31

matematicas1-telebachillerato

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