Las relaciones de proporcionalidad
1
Indica, entre los siguientes pares de magnitudes, los que son directamente proporcionales, los que son inversamente proporcionales y los que no guardan relación de proporcionalidad: a) La edad de una persona y su peso. b) La cantidad de lluvia caída en un año y el crecimiento de una planta. c) La cantidad de litros de agua que arroja una fuente y el tiempo transcurrido. d) El número de hojas que contiene un paquete de folios y su peso. e) La velocidad de un coche y el tiempo que dura un viaje. f ) La altura de una persona y el número de calzado que usa. g) El precio del kilo de naranjas y el número de kilos que me dan por 10 euros. Magnitudes directamente proporcionales → c), d) Magnitudes inversamente proporcionales → e), g) No guardan relación de proporcionalidad → a), b), f )
2
Completa las siguientes tablas e indica, en cada caso, si los pares de valores son directamente proporcionales, inversamente proporcionales o no guardan ninguna relación de proporcionalidad: A
3
5
7
12
B
9
15
21
M
3
4
9
N
2
3
8
K
2
3
4
L
30
20
15
A
3
5
7
8
10
12
B
9
15
21
24
30
36
M
3
4
9
15
21
25
N
2
3
8
14
20
24
K
2
3
4
5
6
10
L
30
20
15
12
10
6
8 30
25
15 20
10
5 10
Proporcionalidad directa. No guardan proporción. Si M vale k, N vale k – 1. Proporcionalidad inversa.
1
RAZONES Y PROPORCIONES
3
Busca: 1 a) Tres pares de números cuya razón sea igual a . 2 b) Tres parejas de números que estén en la relación de tres a uno. c) Tres parejas de números que estén en razón de dos a cinco. Soluciones abiertas. Por ejemplo: a) 3 = 4 = 12 = … 6 8 24 b) 6 = 12 = 9 = … 2 4 3 c) 4 = 8 = 6 = … 10 20 15
4
Escribe cuatro proporciones con las siguientes razones:
4 = 10 6 15
5
4 6 6 = 12 21 42
2 10 7 15 2 = 6 7 21
14 21 10 = 14 15 21
6 21
Escribe tres proporciones con los valores de esta tabla: KILOS DE ALMENDRAS
COSTE EN EUROS
1 2 5
9 18 45
¿Qué relación de proporcionalidad liga ambas magnitudes? 1 = 2 9 18
1 = 5 9 45
2 = 5 18 45
Proporcionalidad directa.
6
Escribe tres proporciones con los valores de esta tabla: VELOCIDAD DE UN TREN
(km/h)
50
100
150
(h)
6
3
2
TIEMPO QUE DURA EL VIAJE
2
¿Qué relación liga ambas magnitudes? 50 = 3 100 6
50 = 2 150 6
100 = 2 150 3
Proporcionalidad inversa.
7
8
Completa las siguientes proporciones: a) 15 = 21 20 x
b) 6 = x 24 21
c) x = 40 24 64
d) 28 = 35 x 55
e) x = 53 72 212
f ) 17 = 68 x 372
g) 14 = 284 35 x
h) 24 = x x 54
i) 9 = x x 25
j ) x = 54 24 x
a) x = 20 · 21 = 28 15
b) x = 6 · 21 = 21 24 4
c) x = 24 · 40 = 15 64
d) x = 28 · 55 = 44 35
e) x = 72 · 53 = 18 212
f ) x = 372 · 17 = 93 68
g) x = 35 · 284 = 710 14
h) x 2 = 1 296 → x = 36
i) x 2 = 225 → x = 15
j) x 2 = 24 · 54 = 1 296 → x = 36
Calcula la constante de proporcionalidad y, con ayuda de ella, completa esta tabla de valores directamente proporcionales: A
2
5
6
B
1,6
4
4,8
8
10
15
Constante de proporcionalidad = 0,8 A
2
5
B
1,6
4
6
8
4,8 6,4
10
15
8
12
3
PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA
9
Calcula mentalmente y contesta: a) Tres kilos de naranjas cuestan 2,4 €. ¿Cuánto cuestan dos kilos? b) Seis obreros descargan un camión en tres horas. ¿Cuánto tardarán cuatro obreros? c) 200 g de jamón cuestan 4 €. ¿Cuánto costarán 150 gramos? d) Un avión, en 3 horas, recorre 1 500 km. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 5 horas? e) Un camión cargado, a 60 km/h, recorre cierta distancia en 9 horas. ¿Cuánto tiempo invertirá en el viaje de vuelta, descargado, a 90 km/h? a) 1,6 € b) 4 horas y media c) 3 € d) 2 500 km e) 6 horas
11
Si cuatro entradas para el cine han costado 15,2 €, ¿cuánto costarán cinco entradas? 4 = 5 → x = 15,2 · 5 = 19 € 15,2 x 4
12
El dueño de un supermercado ha abonado 180 € por 15 cajas de ajos. ¿Cuánto deberá pagar por un nuevo pedido de 13 cajas de ajos?
P. DIRECTA CAJAS
COSTE
15 ——— 180 € 13 · 180 = 156 € x= 13 ——— x 15
4
13
Un tren ha recorrido 240 km en tres horas. Si mantiene la misma velocidad, ¿cuántos kilómetros recorrerá en las próximas dos horas? P. DIRECTA DISTANCIA
TIEMPO
240 km ——— 3 h x ——— 2 h
14
240 · 2 = 160 km x= 3
Un grifo, abierto durante 10 minutos, hace que el nivel de un depósito suba 35 cm. ¿Cuánto subirá el nivel si el grifo permanece abierto 18 minutos más? ¿Cuánto tiempo deberá permanecer abierto para que el nivel suba 70 cm? p p p q P. DIRECTA TIEMPO
NIVEL
10 min ——— 35 cm x = 18 · 35 = 63 cm 18 min ——— x 10 El nivel subirá 63 cm en 18 minutos. P. DIRECTA TIEMPO
NIVEL
10 min ——— 35 cm x = 10 · 70 = 20 minutos x ——— 70 cm 35 El nivel subirá 70 cm en 20 minutos.
16
Ocho obreros construyen una pared en 9 días. ¿Cuánto tardarían en hacerlo seis obreros? 8 · 9 = 72 días tardaría un obrero 72 : 6 = 12 días tardarían 6 obreros •
REGLA DE TRES
8 obreros ——— 9 días Proporcionalidad inversa 6 obreros ——— x 6 = 9 → x = 12 días 8 x
5
17
Un grifo que arroja un caudal de 3 litros por minuto, llena un depósito en 20 minutos. ¿Cuánto tardará en llenar ese mismo depósito otro grifo cuyo caudal es de 5 litros por minuto? CAUDAL
TIEMPO
3 l/min 5 l/min
20 min Proporcionalidad inversa x
5 = 20 → x = 3 · 20 = 12 minutos 3 x 5
18
Cuatro palas excavadoras hacen un trabajo de movimiento de tierras en 14 días. ¿Cuánto se tardaría en hacer ese mismo trabajo si se dispusiera de 7 palas excavadoras?
PALAS
4 7
TIEMPO
——— ———
(días)
14 x
Proporcionalidad inversa
7 = 14 → x = 4 · 14 = 8 días 4 x 7
19
Un bidón de dos litros de aceite cuesta 5,8 €. ¿Cuánto costará un bidón de 5 litros de la misma marca? 2 litros ——— 5,8 € Proporcionalidad directa 5 litros ——— x 2 = 5,8 → x = 5,8 · 5 = 14,5 € 5 x 2 Por 3,5 kg de chirimoyas he pagado 6,3 €. ¿Cuánto pagaré por cinco
21 kilos?
P. DIRECTA CHIRIMOYAS
3,5 5
(kg) ——— ———
PRECIO
6,3 x
(€) 3,5 = 6,3 → x = 6,3 · 5 = 9 € 5 x 3,5
6
22
Una tienda rebaja todos los artículos en la misma proporción. Si por una camiseta de 18 € pago 16,20 €, ¿cuánto debo pagar por un jersey de 90 €? P. DIRECTA PRECIO
PRECIO
SIN REBAJA
REBAJADO
18 € 90 €
23
——— 16,20 € 18 16,20 = → x = 90 · 16,20 = 81€ ——— x 90 x 18
Por dos kilos y trescientos gramos de merluza he pagado 41,4 €. ¿Cuánto pagaré por un kilo y setecientos gramos? P. DIRECTA PESO
(kg)
2,3 1,7
24
COSTE
——— ———
(€)
41,4 x
2,3 = 41,4 → x = 1,7 · 41,4 = 30,6 € x 2,3 1,7
Por un besugo que pesaba 875 g Juana ha pagado 10,85 €. ¿Cuánto pagará Norberto por otro besugo de 1,2 kg? P. DIRECTA PESO
(g)
COSTE
(€)
875 ——— 10,85 1200 ——— x
25
875 = 10,85 → x = 10,85 · 1200 = 14,88 € 1200 x 875
Dos poblaciones que distan 18 km están, en un mapa, a una distancia de 6 cm. ¿Cuál será la distancia real entre dos ciudades que, en ese mismo mapa, están separadas 21 cm? 18 : 6 = 3 km de la realidad por cada centímetro del mapa. 3 · 21 = 63 km distan en realidad las dos ciudades. REGLA DE TRES
18 km ——— 6 cm x = 63 km x ——— 21 cm
7
27
Un coche, a 90 km/h, hace un recorrido en 5 horas. ¿Cuánto tiempo ganaría si aumentara su velocidad en 10 km/h? 90 · 5 = 450 km de recorrido 450 : 100 = 4,5 h = 4 h 30 min Ganaría media hora. REGLA DE TRES
90 km/h ——— 5 horas Proporcionalidad inversa 100 km/h ——— x 100 = 5 → x = 4,5 horas 90 x 4 – 4,5 = 0,5. Ganaría media hora.
28
Un grifo que arroja un caudal de 25 litros por minuto, llena un depósito de agua en hora y media. ¿Cuánto tardará en llenar ese mismo depósito otro grifo con un caudal de 20 litros por minuto? Una hora y media = 90 min 25 · 90 = 2 250 l tiene el depósito 2 250 : 20 = 112,5 min = 1 h 52 min 30 s REGLA DE TRES
25 l/min ——— 1,5 horas Proporcionalidad inversa 20 l/min ——— x 20 = 1,5 → x = 1,875 horas 25 x Tardaría 1,875 horas, es decir, 1 hora y 0,875 segundos · 60 = 52,5 minutos. Por tanto, tardaría 1 horas 52 minutos y 30 segundos.
29
Virginia mide 1,60 m de altura y, en este momento, su sombra tiene una longitud de 0,8 m. Si la sombra de un árbol próximo mide 10 m, ¿cuál es su altura? 1,60 = x → x = 1,60 · 10 = 20 m 0,8 10 0,8 El árbol mide 20 metros.
8
30
Un automovilista llega a una gasolinera con el depósito vacío y 54 673 km en su cuentakilómetros. Echa 39 litros de gasolina y continúa su viaje. Cuando vuelve a tener el depósito vacío, su cuentakilómetros marca 55 273 km. ¿Cuál es el consumo de combustible cada 100 kilómetros? 55 273 – 54 673 = 600 km recorre 39 = 6,5 l gasta por cada 100 km 6 REGLA DE TRES
600 km ——— 39 litros x = 6,5 l 100 km ——— x
31
Una empresa de confección debe entregar un pedido en 12 días. Para poder cumplir el encargo debe fabricar 2 000 prendas diarias. Sin embargo, sufre una avería que detiene la producción durante dos jornadas. ¿Cuántas prendas deberá fabricar diariamente para enfrentarse a esta nueva situación?
2 000 · 12 = 24 000 prendas debe fabricar en 12 días. 24 000 : 10 = 2 400 prendas diarias debe fabricar si solo dispone de 10 días. REGLA DE TRES
2000 prendas diarias ——— 12 días Proporcionalidad inversa x ——— 10 días 10 = 2000 → x = 2 400 diarias 12 x
32
Con el dinero que tengo, ayer podría haber comprado diez pegatinas de 0,4 € cada una, pero hoy las han subido 0,1 € por unidad. ¿Cuántas pegatinas puedo comprar ahora? Tengo 10 · 0,4 = 4 € Las pegatinas cuestan hoy 0,4 + 0,1 = 0,5 € Ahora podría comprar: 4 : 0,5 = 8 pegatinas
9
33
Un granjero necesita diariamente 45 kg de pienso y 105 kg de forraje para alimentar a sus 30 vacas. ¿Qué cantidad de pienso y de forraje diarios necesitaría en el supuesto de que vendiese 10 vacas? 45 : 30 = 1,5 kg de pienso por cada vaca. 105 : 30 = 3,5 kg de forraje por cada vaca. 1,5 · 20 = 30 kg de pienso Por las 20 vacas que le quedan. 3,5 · 20 = 70 kg de forraje REGLA DE TRES
45 kg de pienso ——— 30 vacas x = 30 kg de pienso x ——— 20 vacas 105 kg de forraje ——— 30 vacas x = 70 kg de forraje x ——— 20 vacas
34
El radio de una circunferencia mide 2 m. ¿Cuál es su longitud? Sabiendo que la circunferencia completa abarca 360°, ¿cuál es la longitud de un arco de 90°? ¿Y la de un arco de 25°? 360°
25°
La longitud de una circunferencia es: L = 2 · π · r
• Longitud de la circunferencia de 2 m de radio: Longitud de la circunferencia → 2π r Longitud de la circunferencia de radio 2 m → 2 · π · 2 = 12,56 m • Longitud de un arco de 90°: 12,56 · 90° = 3,14 m 360° REGLA DE TRES
360° ——— 12,56 m x = 3,14 m 90° ——— x • Longitud de un arco de 25°: 12,56 · 25° = 0,872 m 360°
10
REGLA DE TRES
360° ——— 12,56 m x = 0,872 m 25° ——— x
35
¿Cuál es la superficie de un sector circular de 90° en un círculo de 2 m de radio? ¿Y la superficie de un sector de 25°? 90°
25°
2m
La longitud de un círculo es: S = π · r 2
Superficie del círculo → π · r 2 Superficie de un círculo de 2 m de radio → π · 22 = 12,56 m2 • Superficie de un sector de 90°: p 12,56 · 90° = 3,14 m2 360° REGLA DE TRES
360° ——— 12,56 m2 x = 3,14 m2 90° ——— x • Superficie de un sector de 25°: 12,56 · 25° = 0,872 m2 360° REGLA DE TRES
360° ——— 12,56 m2 x = 0,872 m2 25° ——— x
36
Un supermercado recibe una carga de 100 cajas de refrescos cada semana. Si cada caja contiene 20 botellas, ¿cuántas botellas vende ese supermercado, aproximadamente, cada mes? Tomamos el mes como 4 semanas: 100 · 20 · 4 = 8 000 botellas al mes, aproximadamente. REGLA DE TRES
2 000 botellas ——— 1 semana x = 8 000 botellas x ——— 4 semanas
11
PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD COMPUESTA
37
Cincuenta terneros de engorde consumen 4 200 kg de alfalfa a la semana. a) ¿Cuál es el consumo de alfalfa por ternero y día? b) ¿Cuántos kilos de alfalfa se necesitarán para alimentar a 20 terneros durante 15 días? c) ¿Durante cuántos días podemos alimentar a 10 terneros si disponemos de 600 kg de alfalfa? a) 4 200 : 50 = 84 kg de alfalfa por ternero a la semana 84 : 7 = 12 kg de alfalfa por ternero al día PROPORCIONALIDAD DIRECTA P. DIRECTA TERNEROS
DÍAS
ALFALFA
50 1
7 1
4 200 x
50 · 7 = 4 200 → x = 12 kilos de alfalfa 1 1 x b)
PROPORCIONALIDAD DIRECTA P. DIRECTA TERNEROS
DÍAS
ALFALFA
50
7
4 200
20 15 x 50 · 7 = 4 200 → x = 4 200 · 20 · 15 = 3 600 kg 20 15 x 50 · 7 c)
PROPORCIONALIDAD INVERSA P. DIRECTA TERNEROS
50 10
ALFALFA
DÍAS
4 200 600
7 x
10 · 4 200 = 7 → x = 7 · 50 · 600 = 5 días 50 600 x 10 · 4 200 Con 600 kg de alfalfa se pueden alimentar a 10 terneros durante 5 días.
12
38
Por enviar un paquete de 5 kg de peso a una población que está a 60 km de distancia, una empresa de transporte me ha cobrado 9 €. ¿Cuánto me costará enviar un paquete de 15 kg a 200 km de distancia? Si el coste fuera directamente proporcional al peso del paquete y a la distancia del lugar de destino, el nuevo envío costará: 9 : 60 = 0,15 € por cada kilómetro (un paquete de 5 kg) 0,15 : 5 = 0,03 € por kilómetro y kilogramo 0,03 · 15 · 200 = 90 € por un paquete de 15 kg a 200 km REGLA DE TRES PROP. DIRECTA P. DIRECTA PESO
DISTANCIA
COSTE
5 kg 15 kg
60 km 200 km
9€ x
5 · 60 = 9 → x = 90 € 15 200 x
39
Una pieza de tela de 2,5 m de larga y 80 cm de ancha cuesta 30 €. ¿Cuánto costará otra pieza de tela de la misma calidad de 3 m de larga y 1,20 m de ancha? 30 : (2,5 · 0,8) = 15 € cada metro cuadrado 15 · (3 · 1,2) = 54 € cuesta la nueva pieza REGLA DE TRES PROP. DIRECTA P. DIRECTA LARGO
2,5 3
(m)
ANCHO
(m)
0,8 1,2
COSTE
(€)
30 x
2,5 · 0,8 = 30 → x = 54 € 3 1,2 x
13
40
Para llenar un pilón de riego hasta una altura de 80 cm se ha necesitado aportar un caudal de 20 litros por minuto durante 1 h 20 min. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse ese mismo pilón hasta una altura de 90 cm si se le aporta un caudal de 15 litros por minuto? 20 litros por minuto durante 80 minutos → 1 600 litros se necesitan para que el agua suba 80 cm. 1 600 : 80 = 20 litros se necesitan para que el agua suba 1 cm. 20 · 90 = 1 800 litros se necesitan para que el agua suba 90 cm. 1 800 : 15 = 120 minutos se necesitan para conseguir 1 800 litros con un caudal de 15 l/min. Por tanto, tardará 2 horas en llenarse. REGLA DE TRES PROPORCIONALIDAD DIRECTA P. INVERSA ALTURA
CAUDAL
TIEMPO
80 cm 90 cm
20 l/m 15 l/m
60 + 20 = 80 minutos x
80 · 15 = 80 → x = 120 minutos = 2 horas 90 20 x
41
Cinco máquinas iguales envasan 7 200 litros de aceite en una hora. ¿Cuántos litros envasarán tres máquinas en dos horas y media? ¿Cuánto tiempo tardarán cuatro máquinas en envasar 12 000 litros? • 7 200 : 5 = 1 440 litros envasa cada máquina en 1 hora. 1 440 · 3 · 2,5 = 10 800 litros envasan 3 máquinas en 2 horas y media. REGLA DE TRES PROPORCIONALIDAD DIRECTA P. DIRECTA MÁQUINAS
TIEMPO
LITROS
5 3
1 hora 2,5 horas
7 200 x
5 · 1 = 7200 → x = 10 800 litros 3 2,5 x
14
REGLA DE TRES PROPORCIONALIDAD DIRECTA P. DIRECTA MÁQUINAS
TIEMPO
LITROS
5 3
1 hora 2,5 horas
7 200 x
5 · 1 = 7200 → x = 10 800 litros 3 2,5 x • 12 000 : 4 = 3 000 litros ha de envasar cada máquina. 3 000 · 432 = 6 h 56,4 min tardan. REGLA DE TRES PROPORCIONALIDAD INVERSA P. DIRECTA MÁQUINAS
LITROS
TIEMPO
5 4
7200 12 000
1 hora x
) 4 · 7200 = 1 → x = 6,94 horas 2,083 horas 5 12 000 x ) 2,083 · 60 = 125 minutos → Tardarán 2 h 5 min
42
Doce obreros, trabajando 8 horas diarias, terminan un trabajo en 25 días. ¿Cuánto tardarán en hacer ese mismo trabajo 5 obreros trabajando 10 horas diarias? 12 · 8 · 25 = 2 400 horas de trabajo de 1 obrero hay que emplear en realizar el trabajo. 2 400 : 5 = 480 horas debe realizar cada uno de los 5 obreros. 480 : 10 = 48 días tardarán. REGLA DE TRES PROPORCIONALIDAD INVERSA P. INVERSA OBREROS
HORAS
DÍAS
12 5
8 10
25 x
5 · 10 = 25 → x = 48 días → Tardarán 48 días 12 8 x
15
COMPARANDO SUPERFICIES
• ¿Cuántas veces aumenta la superficie de un cuadrado si se aumenta al doble el lado? ¿Y si se aumenta el lado al triple?
a
2a
a 2a
2a
a S = a2
Si el lado de un cuadrado aumenta al doble, su superficie aumenta al cuádruple.
2
a
a 2a
• ¿Cuántas veces aumenta la superficie de un hexágono si los lados se hacen el doble de largo? ¿Y si los lados se hacen el triple de largo?
=
4a
2a
S 3a
a S = a2
9a
2
a
=
3a
S
43
Si el lado de un cuadrado aumenta al triple, su superficie queda multiplicada por 9.
a 2a
Si el lado de un hexágono aumenta al doble, su superficie queda multiplicada por 4.
16
a 3a
Si el lado de un hexágono aumenta al triple, su superficie queda multiplicada por 9.
44
COMPARANDO TAMAÑOS
Supón que aumentamos el tamaño de un cubo hasta que la arista se hace doble. • ¿Cuántos cubos como el primitivo caben en el cubo ampliado?
• ¿Y si hacemos que la arista aumente al triple? • Con arista doble, en el nuevo cubo caben 8 cubos como el primitivo. • Con arista triple, en el nuevo cubo caben 27 cubos como el primitivo.
17
R azones y proporciones 1
Escribe: a) Tres pares de números cuya razón sea 2/3. b) Tres parejas de números que estén en relación de cinco a uno. c) Tres parejas de números que estén en razón de tres a cuatro. a) Por ejemplo: 4 y 6; 10 y 15; 18 y 27. b) Por ejemplo: 15 y 3; 20 y 4; 35 y 7. c) Por ejemplo: 15 y 20; 21 y 28; 33 y 44.
2
Escribe una proporción con cada conjunto de números: a) 3 - 6 - 10 - 5 b) 2 - 24 - 3 - 36 c) 35 - 10 - 6 - 21 d) 52 - 28 - 63 - 117 Por ejemplo: a) 3 = 5 6 10
3
b) 2 = 3 24 36
c) 35 = 10 21 6
d) 117 = 63 52 28
Calcula x en las siguientes proporciones: a) 6 = 10 9 x d) x = 4 21 28 g) 15 = 55 24 x j) x = 55 45 75
b) 6 = x 4 6 e) x = 30 39 65 h) 42 = x 54 63 k) 9 · 8 = 54 4 5 x
c) 8 = 12 x 15 f ) 14 = 49 x 42 i) 16 = 32 x 16 l) 4 · 15 = 7 20 36 x
a) x = 15 d) x = 3 g) x = 88 j) x = 33
b) x = 9 e) x = 18 h) x = 49 k) x = 15
c) x = 10 f ) x = 12 i) x = 8 l) x = 84
R elaciones de proporcionalidad 4
Indica, entre los siguientes pares de magnitudes, los que guardan relación de proporcionalidad directa, los que guardan relación de proporcionalidad inversa y los que no guardan relación de proporcionalidad: a) El número de kilos vendidos y el dinero recaudado. b) El número de operarios que hacen un trabajo y el tiempo invertido. c) La edad de una persona y su altura.
18
Pág. 2
d) La velocidad de un vehículo y la distancia recorrida en media hora. e) El tiempo que permanece abierto un grifo y la cantidad de agua que arroja. f ) El caudal de un grifo y el tiempo que tarda en llenar un depósito. g) El número de páginas de un libro y su precio. a) Proporcionalidad directa. b) Proporcionalidad inversa. c) Sin relación de proporcionalidad. d) Proporcionalidad directa. e) Proporcionalidad directa. f ) Proporcionalidad inversa. g) Sin relación de proporcionalidad.
5
Observa las siguientes tablas y di si son de proporcionalidad directa, inversa o de ninguna de las dos: a)
1 1 No
2 4
b)
3 9
proporcionales
15 1
3 5
c)
5 3
Proporcionalidad
Proporcionalidad directa Constante de proporcionalidad = 15
inversa 15 · 1 = 3 · 5 = 5 · 3
6
Completa estas tablas de proporcionalidad directa: a) 1 5
a) 1 5
7
2 10
3
b) 1
7
2 5
60
2 3 7 12 10 15 35 60
3
4 10 25
b) 1
2 3 4 10 2,5 5 7,5 10 25
Completa estas tablas de proporcionalidad inversa: a) 1
2 20 10
a) 1
2 20 10
8
1 2 3 15 30 45
4
b) 1
5
2 18
2 4 5
5 4
10 2
3
b) 1
2 3 36 18 12
4 9
6
4 9
6 6
Escribe tres proporciones diferentes con los valores de esta tabla de proporcionalidad directa: MAGNITUD
A
MAGNITUD
B
2 10
3 15
5 25
6 30
Por ejemplo: 10 = 15 , 5 = 25 , 30 = 25 2 3 3 15 6 5
19
9
Escribe tres proporciones diferentes con los valores de esta tabla de proporcionalidad inversa: MAGNITUD
A
MAGNITUD
B
2 36
3 24
4 18
6 12
Por ejemplo: 2 = 24 , 3 = 4 , 18 = 6 3 36 18 24 12 4
10
Calcula la constante de proporcionalidad en estas tablas de valores directamente proporcionales: a) 2
3 4 5 7,5 10
a) Cte. prop. = 5 = 2,5 2
b) 5
6 7 1,5 1,8 2,1
b) Cte. prop. 3 = 0,3 10
c) 0,2 3 15 0,24 3,6 18
c) Cte. prop. = 6 = 1,2 5
P roblemas de proporcionalidad directa e inversa 11
Calcula mentalmente y contesta. a) Un tren recorre 240 km en 3 horas. ¿Qué distancia recorre en 2 horas? b) Dos kilos de manzanas cuestan 1,80 €. ¿Cuánto cuestan tres kilos? c) Cuatro obreros hacen un trabajo en 3 horas. ¿Cuánto tardarían seis obreros? d) Cinco entradas para un concierto han costado 40 euros. ¿Cuánto cuestan cuatro entradas? e) Un ciclista, a 20 km/h, recorre cierta distancia en 3 horas. ¿Cuánto tardará una moto a 60 km/h? a) Recorre 160 km. b) Cuestan 2,70 €. c) Tardarían 2 horas. d) Cuestan 32 €. e) Tardará 1 hora.
12
Dos kilos y medio de patatas cuestan 1,75 €. ¿Cuánto cuestan tres kilos y medio? Cuestan 2,45 €. 2,5 kg 3,5 kg
8 1,75 € ° x = 3,5 · 1,75 = 2,45 € ¢ 2,5 8 x€ £
20
13
Un coche ha recorrido 30 kilómetros en 18 minutos. Si sigue a la misma velocidad, ¿qué distancia recorrerá en el próximo cuarto de hora? Recorrerá 25 km 18 min 8 30 km ° x = 15 · 30 = 25 km. ¢ 2,5 15 min 8 x km £
14
Cuatro operarios tardan 10 horas en limpiar un solar. ¿Cuánto tardarían 5 operarios? Tardarán 8 horas. 4 operarios 8 10 h ° Proporcionalidad inversa 8 4 = x 8 x = 4 · 10 = 8 h ¢ 5 10 5 5 operarios 8 x h £
15
Una cuadrilla de soladores, trabajando 8 horas diarias, renuevan la acera de una calle en 15 días. ¿Cuánto tardarían si trabajaran 10 horas diarias? Tardarán 12 días. 8 h/día 8 15 días ° Prop. inversa 8 8 = x 8 x = 8 · 15 = 12 días ¢ 10 15 10 10 h/día 8 x días £
16
Un paquete de 500 folios pesa 1,8 kg. ¿Cuánto pesará una pila de 850 folios? Pesará 3,06 kg. 500 folios 8 1,8 kg ° x = 850 · 1,8 = 3,06 kg ¢ 500 850 folios 8 x kg £
17
En una fuente, se ha tardado 24 segundos en llenar un cántaro de 30 litros. ¿Cuánto se tardará en llenar un bidón de 50 litros? Tardará 40 segundos. 30 l 50 l
18
8 24 s ° x = 50 · 24 = 40 s ¢ 30 8 x s£
Un albañil, trabajando 8 horas al día, construye una pared en 15 días. ¿Cuántas horas debería trabajar cada día para realizar el mismo trabajo en 12 días? Debería trabajar 10 horas al día. 8 h/día 8 15 días ° Proporcionalidad inversa 8 8 = 12 8 x = 8 · 15 = 10 h/día ¢ x 15 12 x h/día 8 12 días £
21
19
Con la motobomba que extrae agua de un pozo, se han tardado 18 minutos en llenar una cisterna de 15 000 litros. ¿Cuánto se tardará en llenar otra cisterna de 25 000 litros? Se tardará 30 minutos. 15 000 l 25 000 l
20
8 18 min ° x = 25 000 · 18 = 30 min ¢ 15 000 8 x min £
El dueño de un supermercado abona una factura de 720 euros por un pedido de 15 cajas de aceite. ¿A cuánto ascenderá la factura por otro pedido de 12 cajas? La factura será de 576 €. 15 cajas 12 cajas
21
8 720 € ° x = 12 · 720 = 576 € ¢ 15 8 x € £
Una piscina tiene tres desagües iguales. Si se abren dos, la piscina se vacía en 45 minutos. ¿Cuánto tardará en vaciarse si se abren los tres? Tardará 30 minutos en vaciarse. 2 desagües 8 45 min ° Prop. inversa 8 2 = x 8 x = 2 · 45 = 30 min ¢ 3 45 3 3 desagües 8 x min £
22
Una máquina embotelladora llena 750 botellas en un cuarto de hora. ¿Cuántas botellas llena en hora y media? Llena 4 500 botellas. 15 min 8 750 botellas ° x = 90 · 750 = 4 500 botellas ¢ 15 1,5 h = 90 min 8 x botellas £
23
Un tractor, trabajando 8 horas diarias, labra un campo en 9 días. ¿Cuánto tardaría en hacer el mismo trabajo, si las jornadas fueran de 12 horas diarias? Tardaría 6 días. 8 h/día 8 9 días ° Proporcionalidad inversa 8 8 = x 8 x = 8 · 9 = 6 días ¢ 12 9 12 12 h/día 8 x días £
24
Un tractor, trabajando 8 horas al día, labra un campo en 9 días. ¿Cuántas horas diarias debe trabajar para realizar el trabajo en solo 6 días? Debe trabajar 12 horas al día. 8 h/día 8 9 días ° Proporcionalidad inversa 8 8 = 6 8 x = 8 · 9 = 12 h/día ¢ x 9 6 x h/día 8 6 días £
22
25
Un ganadero tiene forraje para alimentar a sus 65 vacas durante 32 días. ¿Cuánto le durarán las provisiones si compra 15 vacas más? Durarán 26 días. 65 vacas 8 32 días ° Proporcionalidad inversa 8 65 = x 8 ¢ 80 32 65 + 15 = 80 vacas 8 x días £ 8 x = 65 · 32 = 26 días. 80
26
Una merluza de dos kilos y trescientos gramos, ha costado 28,75 €. ¿Cuánto pagaré por otra más pequeña de kilo y medio? Pagaré 18,75 €. 2 kg y 300 g = 2 300 g 8 28,75 € ° x = 1 500 · 28,75 = 18,75 € ¢ 2 300 1,5 = 1 500 g 8 x € £
27
Un granjero tiene pienso en su almacén para alimentar a 2 500 gallinas durante 60 días. ¿Cuántas gallinas debe retirar si desea que el pienso le dure 80 días? Debe retirar 625 gallinas. 2 500 gallinas 8 60 días ° Proporcionalidad inversa 8 2 500 = 80 8 ¢ x 60 x gallinas 8 80 días £ 8 x = 2 500 · 60 = 1 875 80 Debe quedarse con 1 875 gallinas. Debe retirar 2 500 – 1 875 = 625 gallinas.
28
Un lingote de oro de 0,340 kilos tiene un valor de 2 142 euros. ¿Qué valor tendría una porción de 30 gramos cortada de ese lingote? Tendría un valor de 189 €. 0,340 kg = 340 g 8 2 142 € ° x = 2 142 · 30 = 189 € ¢ 340 30 g 8 x€ £
29
Un ciclista ha recorrido 6,3 km en 18 minutos. Expresa su velocidad media en kilómetros por hora. La velocidad media es de 21 km/h. 18 min 8 6,3 km ° x = 60 · 6,3 = 21 km en 1 h 8 v = 21 km/h ¢ m 18 1 h = 60 min 8 x km £
30
Una pala excavadora vacía 48 metros cúbicos de tierra en 4 horas. ¿Cuánto tardará en extraer 60 metros cúbicos? Tardará 5 horas. 48 m3 8 60 m3 8
4 h ° x = 60 · 4 = 5 h ¢ 48 x h£
23
31
Un tren de mercancías, a una velocidad media de 72 km/h, realiza el trayecto entre la ciudad A y la ciudad B en 7 horas. ¿Cuál debería ser la velocidad media para hacer el mismo viaje en solo 6 horas? La velocidad media debe ser de 84 km/h. 72 km/h 8 7 h ° Prop. inversa 8 72 = 6 8 x = 72 · 7 = 84 km/h ¢ x 7 6 x km/h 8 6 h £
32
Un negocio que abre todos los días tiene unos gastos semanales de 420 euros. ¿Qué gastos prevé para un periodo de 25 días? Los gastos serán de 1 500 €. 1 semana = 7 días 8 420 € ° x = 420 · 25 = 1 500 € ¢ 7 25 días 8 x € £
33
Un granjero necesita cada día 255 kilos de pienso para dar de comer a sus 85 vacas. ¿Cuántos kilos necesitaría si vendiera 35 vacas? Necesitaría 150 kg de pienso. 85 vacas 8 255 kg ° x = 255 · 50 = 150 kg ¢ 85 Quedan 85 – 35 = 50 vacas 8 x kg £
34
De 5 kilos de olivas se han obtenido 3,2 litros de aceite. ¿Cuántos litros se obtendrán de una tonelada y media de aceitunas? Se obtendrán 960 litros de aceite. 5 kg 8 3,2 l ° x = 1 500 · 3,2 = 960 l ¢ 5 1,5 t = 1 500 kg 8 x l £
35
Cuarenta litros de aceite pesan 36,28 kilos. ¿Cuánto pesarán 60 litros? Pesan 54,42 kg 40l 8 36,28 kg ° x = 60 · 36,28 = 54,42 kg ¢ 40 60 l 8 x kg £
36
En una empresa que tiene 840 empleados, 5 de cada 8 utilizan diariamente el servicio de comedor. ¿Cuántas comidas se sirven en el comedor cada día? Se sirven 525 comidas. 5 de 840 empleados = 5 · 840 = 525 empleados se quedan a comer. 8 8
24
37
Una tienda rebaja todos sus artículos en la misma proporción. Si una blusa que valía 36 € se queda en 28,80 €, ¿en cuánto se quedará un vestido que costaba 80 €? Costará 64 €. ANTES
———
REBAJADO
—————
36 € 8 28,80 € 80 € 8 x €
38
° 80 · 28,80 = 64 € ¢ x= 36 £
Dos poblaciones separadas 5 cm en un mapa están a 35 km de distancia en la realidad. ¿Cuál es la distancia real entre dos poblaciones que en el mapa distan 13 cm? La distancia real es de 91 km. MAPA
———
5 cm 8 13 cm 8
39
REALIDAD
————— 35 km ° x = 13 · 35 = 91 km ¢ 5 x km £
Un coche, a 90 km/h, tarda 20 minutos en ir de la población A a la población B. ¿Cuánto tardaría un camión, a 60 km/h? ¿Y una furgoneta, a 80 km/h? El camión tardaría 30 minutos y la furgoneta 22,5 minutos. Coche 90 km/h 8 20 min ° § Camión 60 km/h 8 x min ¢ Proporcionalidad inversa 8 § Furgoneta 80 km/h 8 y min £ 8 90 · 20 = 60 · x = 80 · y 8 x = 90 · 20 30 min; y = 90 · 20 = 22,5 min 60 80
40 41
Resuelto en el libro de texto. Un ciclista ha recorrido 25 kilómetros en hora y cuarto. A esa velocidad, ¿cuánto tardaría en recorrer una etapa de 64 kilómetros? Tardaría 3 horas y 12 minutos. 25 km 8 1,25 h ° x = 64 · 1,25 = 80 h ¢ 25 25 64 km 8 x h £ 80 h 5 Ò 60 300 min
25 3 h 12 min
25
42
Un tren, a 90 km/h, cubre un recorrido en 6 horas. ¿Cuánto tardaría a 100 km/h? Tardaría 5 h y 24 minutos. 90 km/h 8 6 h ° Proporcionalidad inversa 8 90 = x 8 x = 90 · 6 = 54 h ¢ 100 6 100 10 100 km/h 8 x h £ 54 h 4 Ò 60 240 min
43
10 5 h 24 min
Un manantial que aporta un caudal de 3,5 litros por minuto llena un depósito en una hora y media. ¿Cuánto tardaría si el caudal aumentara a 4,5 litros por minuto? Tardaría 1 h y 10 minutos. 3,5 l /min 8 1,5 h ° Proporcionalidad inversa 8 3,5 = x 8 ¢ 4,5 1,5 4,5 l /min 8 x h £ 8 x = 3,5 · 1,5 = 5,25 = 525 h 8 4,5 4,5 450
44
525 h 75 Ò 60 4 500 min
450 1 h 10 min
Una empresa de confección, para cumplir con un pedido que ha de entregar en 12 días, debe fabricar 2 000 prendas cada día. Si por una avería en las máquinas se retrasa el inicio del trabajo en dos días, ¿cuántas prendas diarias debe fabricar para cumplir a tiempo con el pedido? Debe fabricar 2 400 prendas diarias. 2 000 prendas/día 8 12 días ° Proporcionalidad inversa 8 2 000 = 10 8 ¢ x 12 x prendas/día 8 10 días £ 8 x = 2 000 · 12 8 x = 2 400 prendas/día 10
P roblemas de proporcionalidad compuesta 45
Cincuenta terneros consumen 4 200 kilos de alfalfa a la semana. a) ¿Cuál es el consumo de alfalfa por ternero y día? b) ¿Cuántos kilos de alfalfa se necesitan para alimentar a 20 terneros durante 15 días? c) ¿Durante cuántos días podemos alimentar a 10 terneros si disponemos de 600 kilos de alfalfa?
26
a) 12 kg por ternero y día.
b) 3 600 kg.
c) 5 días.
PROP. DIRECTA P. DIRECTA
TERNEROS DÍAS PIENSO (kg) ———— ——— ————— °§ § 50 7 4 200 § § 1 1 x ¢ § § 20 15 y § § 10 z 600 £
50 7 4 200 4 200 — · — = — 8 x = — = 12 kg 1 1 x 50 · 7 50 7 4 200 4 200 · 20 · 15 — · — = — 8 y = —— = 3 600 kg 20 15 y 50 · 7 50 7 4 200 50 · 7 · 600 — · — = — 8 z = —— = 5 días 10 z 600 10 · 4 200
46
En un taller de confección, con 6 máquinas tejedoras, se han fabricado 600 chaquetas en 10 días. a) ¿Cuántas prendas se fabricarían con 5 máquinas en 15 días? b) ¿Cuántas máquinas habría que poner en producción para fabricar 750 prendas en 15 días? c) Si se trabajara solamente con 5 máquinas, ¿cuántos días se tardaría en fabricar 750 prendas? a) 750 chaquetas.
b) 5 máquinas.
c) 15 días.
PROP. DIRECTA P. DIRECTA
MÁQUINAS
DÍAS CHAQUETAS ———— ——— ————— °§ § 6 10 600 § § 5 15 x ¢ § § y 15 750 § § 5 z 750 £
6 10 600 600 · 5 · 15 — · — = — 8 x = —— = 750 chaquetas 5 15 x 6 · 10 6 10 600 6 · 10 · 750 — · — = — 8 y = —— = 5 máquinas y 15 750 15 · 600 6 10 600 6 · 10 · 750 — · — = — 8 z = —— = 15 días 5 z 750 5 · 600
27
47
Una lavadora industrial, trabajando 8 horas diarias durante 5 días, ha lavado 1 000 kilos de ropa. ¿Cuántos kilos de ropa lavará en 12 días trabajando 10 horas diarias? Lavará 3 000 kg de ropa. PROP. DIRECTA P. DIRECTA
H/DÍA
DÍAS
KG DE ROPA
—— ——— ————— ° 8 5 1 000 8 5 1 000 · = 8 x = 10 · 12 · 1 000 = 3 000 kg ¢ 10 12 x 8·5 10 12 x £
48
Una alfombra sintética, de 1,80 m de larga por 90 cm de ancha, ha costado 72 €. ¿Cuánto costará otra alfombra de la misma calidad que tiene 3 m de larga y 1,20 m de ancha? Costará 160 €. • 1.a alfombra: 1,80 · 0,90 = 1,62 m2 a 72 € 8 cada m2 a 72 € 1,62 • 2.a alfombra: 3 · 1,20 = 3,6 m2 8 3,6 m2 · 72 €/m2 = 160 € 1,62
49
Cinco encuestadores, trabajando 8 horas diarias, completan los datos para un estudio de mercado en 27 días. ¿Cuánto tardarían en hacer el mismo trabajo 9 encuestadores trabajando 10 horas cada día? Tardarían 12 días. PROP. INVERSA P. INV.
ENCUESTADORES H/DÍA DÍAS ——————— ——— ——— 5 8 27 ° 5 8 · = x 8 x = 5 · 8 · 27 = 12 días ¢ 9 10 27 9 · 10 9 10 x £
C álculo mental con porcentajes 50
Calcula mentalmente. a) 50% de 220 b) 50% de 4 600 d) 50% de 12 e) 25% de 800 g) 25% de 280 h)75% de 280 j) 75% de 60
c) 50% de 82 f ) 75% de 800 i) 25% de 60
a) 110
b) 2 300
c) 41
d) 6
e) 200
f ) 600
g) 70
h) 210
i) 15
j) 45
28
51
Obtén mentalmente el valor de x en cada caso: a) 50% de x = 150 b) 50% de x = 7 c) 25% de x = 120 d) 25% de x = 6 e) 75% de x = 150 f ) 75% de x = 9 a) x = 300 d) x = 24
52
53
54
b) x = 14 e) x = 200
c) x = 480 f ) x = 12
Fíjate en los ejemplos y, después, calcula mentalmente. • 10% de 220 = 220 : 10 = 22 30% de 220 = 22 · 3 = 66 5% de 220 = 22 : 2 = 11 a) 10% de 310 b) 20% de 310 d) 5% de 480 e) 10% de 70
c) 10% de 480 f ) 30% de 70
a) 31 d) 24
c) 48 f ) 21
b) 62 e) 7
Obtén, mentalmente, el valor de x en cada caso: a) 10% de x = 31
b) 10% de x = 4
c) 20% de x = 18
d) 20% de x = 86
e) 5% de x = 35
f ) 5% de x = 2
a) x = 310 d) x = 430
b) x = 40 e) x = 700
c) x = 90 f ) x = 40
Copia y completa. a) Para calcular el 50%, dividimos entre 2. b) Para calcular el 25%, dividimos entre… c) Para calcular el 75%, dividimos entre 4 y multiplicamos por… d) Para calcular el 10%, dividimos entre… e) Para calcular el 40%, dividimos entre 10 y multiplicamos por… a) Para calcular el 50%, dividimos entre 2. b) Para calcular el 25%, dividimos entre 4. c) Para calcular el 75%, dividimos entre 4 y multiplicamos por 3. d) Para calcular el 10%, dividimos entre 10. e) Para calcular el 40%, dividimos entre 10 y multiplicamos por 4.
55
¿Qué fracción irreducible asocias a cada uno de estos porcentajes? a) 50%
b) 25%
c) 75%
d) 10%
e) 20%
f ) 5%
g) 30%
h)70%
i) 90%
29
a) 50% 8 1 2
b) 25% 8 1 4
c) 75% 8 3 4
d) 10% 8 1 10
e) 20% 8 1 5
f ) 5% 8 1 20
g) 30% 8 3 10
h) 70% 8 7 10
i) 90% 8 9 10
C álculo de porcentajes 56
Calcula. a) 15% de 160 c) 24% de 850 e) 4% de 75 g) 76% de 1 200 i) 32% de 420 k) 6% de 18 m) 3,5% de 1 000 ñ)1,7% de 2 500 a) 24 e) 3 i) 134,4 m) 35
57
b) 91 f ) 468 j) 9,1 n) 8,4
b) 13% de 700 d) 12% de 3 625 f ) 65% de 720 h)95% de 140 j) 5% de 182 l) 72% de 641 n)2,4% de 350 o) 6,2% de 85 c) 204 g) 912 k) 1,08 ñ) 42,5
d) 435 h) 133 l) 461,52 o) 5,27
Copia la tabla y completa. 23% 16% 92% 2% 0,23 0,11 0,87 0,05 0,025 23% 16% 11% 92% 87% 2% 5% 2,5% 0,23 0,16 0,11 0,92 0,87 0,02 0,05 0,025
58
Calcula como se hace en el ejemplo. • 15% de 280 = 280 · 0,15 = 42 a) 18% de 1 350 b) 57% de 2 400 c) 8% de 125 d) 6% de 40 a) 18% de 1 350 = 1 350 · 0,18 = 243 b) 57% de 2 400 = 2 400 · 0,57 = 1 368 c) 8% de 125 = 125 · 0,08 = 10 d) 6% de 40 = 40 · 0,06 = 2,4
30
59
Calcula x como en el ejemplo. • 15% de x = 42 8 x · 0,15 = 42 8 8 x = 42 : 0,15 = 280 a) 20% de x = 27 b) 17% de x = 595 c) 5% de x = 3,2 d) 7% de x = 17,5 a) 20% de x = 27 8 x · 0,20 = 27 8 x = 27 : 0,20 = 135 b) 17% de x = 595 8 x · 0,17 = 595 8 x = 595 : 0,17 = 3 500 c) 5% de x = 3,2 8 x · 0,05 = 3,2 8 x = 3,2 : 0,05 = 64 d) 7% de x = 17,5 8 x · 0,07 = 17,5 8 x = 17,5 : 0,07 = 250
P roblemas de porcentajes 60
Un empleado gana 1 700 euros al mes y gasta el 40% en pagar la hipoteca de su vivienda. ¿Cuánto le queda para afrontar el resto de sus gastos? Le quedan 1 020 €. Queda el 60% de 1 700 € = 1 700 · 0,6 = 1 020
61
De una clase de 35 alumnos, han ido de excursión 28. ¿Qué tanto por ciento ha faltado a la excursión? Ha faltado un 20% de la clase. 35 alumnos 8 35 – 28 = 7 han faltado ° x = 7 · 100 = 20 8 ¢ 35 100 alumnos 8 x £ 8 de cada 100 alumnos 20 han faltado 8 20%
62
Un hotel tiene 187 habitaciones ocupadas, lo que supone el 85% del total. ¿De cuántas habitaciones dispone el hotel? Dispone de 220 habitaciones. 85% de x = 187 8 0,85 · x = 187 8 x = 187 : 0,85 = 220
63
Un jugador de baloncesto ha efectuado 25 lanzamientos y ha conseguido 16 canastas. ¿Cuál es su porcentaje de aciertos? 64% de aciertos. 25 lanz. 8 16 aciertos ° x = 16 · 100 = 64 aciertos de 100 lanzamientos ¢ 25 100 lanz. 8 x £
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64
La barra de pan ha subido un 10%, y ya cuesta 0,55 €. ¿Cuánto costaba antes de la subida? Antes costaba 0,50 €. 110% 8 0,55 € ° x = 100 · 0,55 = 0,50 € ¢ 110 100% 8 x € £
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En las últimas elecciones municipales, de un censo de 2 500 personas, el alcalde actual recibió 1 500 votos. ¿Qué tanto por ciento votó al alcalde? Votó al alcalde el 60% del censo. 1 500 votó al alcalde = 0,6 del censo votó al alcalde. 2 500 censo
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Un embalse está al final del verano al 23% de su capacidad. Si en este momento contiene 35 decámetros cúbicos de agua, ¿cuál es la capacidad total del embalse? La capacidad del embalse es de 152,2 dam3 23% de x = 35 dam3 8 0,23 · x = 35 8 x = 35 : 0,23 = 152,2 dam3
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Se ha caído una caja de huevos y se han contado 54 rotos, lo que supone un 15% del total. ¿Cuántos huevos había en la caja? Había 360 huevos. 15% de x = 54 8 0,15 · x = 54 8 x = 54 : 0,15 = 360
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De 5 475 hombres encuestados, solamente 76 declaran saber planchar. ¿Qué tanto por ciento de los hombres reconoce saber planchar? El 1,4% de los hombres. 76 saben planchar = 0,014 8 1,4% sabe planchar. 5 475 total encuestados
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Luisa tiene de tarea resolver 18 problemas de matemáticas de los que ya ha solucionado más del 65% pero menos del 70%. ¿Cuántos problemas le quedan por resolver? Le quedan por resolver 6 problemas. 65% de 18 = 0,65 · 18 = 11,7 ° ¢ Ha terminado 12 problemas 8 quedan 18 – 12 = 6 70% de 18 = 0,7 · 18 = 12,6 £
70
Un depósito de agua está al 93% de su capacidad. Si se añaden 14 000 litros, quedará completo. ¿Cuál es la capacidad del depósito? La capacidad es de 200 000 l. 100% – 93% = 7% 8 7% de x = 14 000 8 x = 14 000 : 0,07 = 200 000 l
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Un jersey que costaba 45 € se vende en las rebajas por 36 €. ¿Qué tanto por ciento se ha rebajado? Se ha rebajado un 20%. PR. INICIAL REBAJADO ————— ————— ° 36 · 100 = 80 € 8 45 € 8 36 € ¢ x= 45 100 € 8 x £
8 de cada 100 € se pagan 80 €, es decir, se rebajan 20 €.
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Al sacar 2 000 litros de agua de un depósito cilíndrico, que estaba lleno, el nivel ha bajado un 8%. ¿Cuál es la capacidad del depósito? La capacidad es de 25 000 l. 8% de x = 2 000 8 0,08 · x = 2 000 8 x = 2 000 : 0,08 = 25 000 l
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Una tarta que pesa un kilo y ochocientos gramos lleva un 10% de agua, un 8% de proteínas, el doble de grasa y el resto de hidratos de carbono. ¿Cuántos gramos de hidratos de carbono hay en la tarta? 1 188 g de hidratos de carbono. Porcentaje de hidratos = 100% – 10% – 8% – 16% = 66% 66% de 1 800 g = 0,66 · 1 800 = 1 188 g de hidratos.
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Hace cinco años compré un piso por 240 000 €. En este tiempo la vivienda ha subido un 37%. ¿Cuánto vale ahora mi piso? El piso cuesta ahora 328 800 €. 137% de 240 000 € = 1,37 · 240 000 = 328 800 €
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Un bebé pesó al nacer, hace tres meses, 3 kilos y 600 gramos. Durante este tiempo su peso ha aumentado un 43%. ¿Cuál es su peso actual? El peso actual es de 5 kg y 148 g. 143% de 3 600 g = 1,43 · 3 600 = 5 148 g
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Un embalse tenía, a principios de verano, 775 decámetros cúbicos de agua. Durante el estío, sus reservas han disminuido en un 68%. ¿Cuáles son las reservas actuales ahora, al final del verano? Las reservas son de 248 decámetros cúbicos. Queda: 100% – 68% = 32% de 775 dam3 = 0,32 · 775 = 248 dam3
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Este mes ha habido en mi comunidad autónoma 120 accidentes de tráfico, lo que mejora la cifra del año pasado que fue de 160 accidentes. ¿En qué tanto por ciento han disminuido este tipo de accidentes? Han disminuido en un 25% los accidentes. ACCIDENTES
DISMINUCIÓN
————— —————— 160 160 – 120 = 40 ° 40 · 100 = 25 accidentes menos de cada 100 ¢ x= 160 100 x £
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Un hortelano tiene un campo de 3 500 metros cuadrados y desea plantar un 45% de los mismos de pimientos. ¿Cuántas plantas pimenteras debe adquirir si coloca 9 plantas por metro cuadrado y siempre compra un 10% más, para reponer las que se estropean? Debe comprar 15 593 plantas. • 45% de 3 500 m2 = 1 575 m2 para pimientos. • 9 · 1 575 = 14 175 plantas. • 10% de 14 175 = 1 417,5 8 1 418 plantas extra. Total = 14 175 + 1 418 = 15 593 plantas.
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En una población de 10 000 habitantes, el 15% son inmigrantes, y el 40% de los inmigrantes son ecuatorianos. a) ¿Cuántos ecuatorianos viven en esa población? b) ¿Qué porcentaje de la población es ecuatoriana? a) Viven 600 ecuatorianos. b) Un 6% de la población es ecuatoriana. • 15% de 10 000 = 1 500 inmigrantes. • 40% de 1 500 = 600 ecuatorianos. • 600 ecuatorianos de 10 000 habitantes 8 O bien: 40% del 15% = 0,4 · 15 = 6%
80
600 = 0,06 8 6% ecuatorianos. 10 000
En unos grandes almacenes, rebajan un abrigo un 20% en las primeras rebajas y, sobre ese precio, vuelven a hacer otro 20% de descuento en las segundas rebajas. ¿Qué porcentaje del precio original se ha rebajado el abrigo?
☞ Supón que el abrigo costaba inicialmente 100 euros. Se ha rebajado un 36% sobre el precio original. Rebaja 20 € 100 €
Rebaja 20% de 80 = 16 € 8 Rebaja total = 20 € + 16 € = 36 € Pago 80 € Pago 80%
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Calcula el interés producido por un capital de 3 500 euros, colocado al 5% anual durante tres años. I = C · r · t = 3 500 · 5 · 3 = 525 € 100 100
82
Si pido un préstamo de 4 500 euros, al 6,5%, y lo devuelvo al cabo de 4 años, ¿qué intereses debo pagar? I = C · r · t = 4 500 · 6,5 · 4 = 1 170 € 100 100
83 84
Resuelto en el libro de texto. ¿Qué interés producen 800 euros al 6% durante un año? ¿Y durante un mes? ¿Y durante 7 meses? • 1 año: IAÑO = 800 · 6 · 1 = 48 € 100 • 1 mes: IMES = IAÑO : 12 = 48 : 12 = 4 € • 7 meses: I7 MESES = 4 · 7 = 28 €
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Calcula los intereses que genera un préstamo de 6 000 euros al 4,5% durante 5 meses. Genera unos intereses de 112,5 €. I = 5 · 6 000 · 4,5 · 1 = 112,5 € 12 100
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En un banco de las Bahamas se ingresa un capital de 35 400 dólares en una cuenta retribuida con un interés del 5% anual. Los beneficios se ingresan mensualmente en la cuenta. ¿Cuál será el saldo dentro de año y medio? El saldo será de 38 151,15 €. • Capital inicial 8 35 400 € • Al final del 1.er mes 8 35 400 + 35 400 · 5 = 35 547,5 12 · 100 • Al final del 2.° mes 8 35 547,5 + 35 547,5 · 5 = 35 695,614… 12 · 100 Así: MES
——— 3.° 4.° 5.° 6.°
SALDO INICIAL
—————— 35 695,61 35 844,35 35 993,70 36 143,67
SALDO FINAL
—————— 35 844,35 35 993,70 36 143,67 36 294,27
35
MES
——— 7.° 8.° 9.° 10.° 11.° 12.° 13.° 14.° 15.° 16.° 17.° año y medio = 18.°
SALDO INICIAL
—————— 36 294,27 36 445,50 36 597,35 36 749,84 36 902,97 37 056,72 37 211,13 37 366,17 37 521,87 37 678,21 37 835,20 37 992,85
SALDO FINAL
—————— 36 445,50 36 597,35 36 749,84 36 902,97 37 056,72 37 211,13 37 366,17 37 521,87 37 678,21 37 835,20 37 992,85 38 151,15
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