Operaciones con ángulos y tiempos 1
Efectúa las siguientes operaciones: a) 27° 31' 15" 43°4 2'57"
b)163°1 5'43"
c) (37° 42' 19") × 4
d)(143° 11'56"):11
a)
96° 37' 51"
27° 31' 15" 43°
42' 57"
70° 73' 72" → 71° 14' 12" b)
163°1 5' 43"
162°7 4' 103"
96° 37' 51" →
96° 37' 51" 66° 37' 52"
c) 37° × 4 148° 42' × 19" ×
4 168' 2° 48' 4 76" 1' 16"
d)1 43° 11' 56" 033 00 01"
→ (37° 42' 19") × 4 150° 49' 16"
11 13° 1' 5"
00 Solución:
2
Cociente → 13° 1' 5" Resto → 1"
∧ En el ángulo A 80° 42' 56", trazamos su bisectriz. ¿Cuánto mide cada ángulo resultante? Cada uno mide:
80° 42' 56" 00 0 0 00
3
2 40° 21' 28"
Halla el cuarto ángulo de un cuadrilátero sabiendo que los otros tres miden: ∧ ∧ ∧ A 47° 11' 15", B 96° 51' 33", C 68° 3" ∧ D 360° (47° 11' 15" 96° 51' 33" 68° 3") 147° 57' 9"
1
4
Halla en grados, minutos y segundos el ángulo interior de un heptágono regular. El ángulo interior de un heptágono regular mide: (7 2) 180° 128° 34' 17" 7
Construcciones
5
Traza, con el transportador, los ángulos de 30°, 45°, 60° y 75°. Construye sus complementarios y calcula sus medidas.
15°
30
°
60
6
°
45 °
60
°
75
°
°
Traza con el transportador los ángulos de 120°, 135°, 150° y 165°. Construye sus suplementarios y calcula sus medidas.
60
°
120
°
45
150
°
30
°
7
°
45
30
15
°
135
°
165
°
°
Utilizando exclusivamente el lápiz, la regla y el compás, dibuja los siguientes ángulos: a)60°
b)30°
a)
c)45°
d)150°
e)75°
b)
Trazando una bisectriz al anterior.
d)
e)
180°
30°
c)
Bisectriz a un ángulo recto.
Bisectriz al anterior.
2
8
Dibuja un ángulo de 120°. Traza tres rectas de forma que dividan al ángulo en cuatro partes iguales. 120°
180°
60°
Primero se traza la bisectriz del ángulo de 120° (verde) y luego las dos bisectrices de los ángulos de 60° (azul y rojo). 9
r
Dibuja en tu cuaderno una recta y un punto P exterior a ella. ¿Cuántas rectas paralelas a r que pasen por P puedes trazar? r
P
Haz los trazados con regla y escuadra. Solo puede trazarse una recta paralela. 10 — AB
Dibuja en tu cuaderno un itinerario como este con las siguientes medidas:
6 cm,
— BC
3 cm,
— CD
4 cm,
— DE
B
4 cm A
B
C
E
C
D
D
B
C A
E
D
3
11
Construye un triángulo como este con las siguientes medidas: ^
a
E
a4
^
B
^
^
C
A
Halla los ángulos
∧ D
cm
∧ A 30°
^
D
y
∧ E.
∧ B 100° ∧ B
¿Cómo son los ángulos
y
∧ E
∧ D
? ¿Y
y
∧ C?
∧ C 180° (30° 100°) 50° ∧ D 180° 50° 130°
80° 4 cm
∧ E 180° 100° 80° ∧ B
∧
12
y
∧ C
50°
30°
y E son suplementarios (y adyacentes). ∧ D
100° 130°
son suplementarios (y adyacentes).
Responde a las siguientes preguntas: a) ¿Qué propiedad tiene cada punto de la mediatriz de un segmento? b) ¿En qué punto de la vía férrea hay que situar una estación de modo que se encuentre a la misma distancia de los pueblos A y B ? A
ea férr
Vía
B
Copia en tu cuaderno el dibujo y resuélvelo gráficamente. a) Que equidista de cada uno de los dos extremos del segmento. b) La estación
E
hay que situarla en el punto en que la mediatriz de
a la vía férrea. De ese modo, equidista de
A
y de
AB
corta
B.
A
Vía
férr
ea
B E
4
13
Contesta y construye: a) ¿Qué propiedad tiene cada punto de la bisectriz de un ángulo? b) Copia en tu cuaderno un ángulo como este, alargan-
do sus lados varios centímetros. Sitúa una circunferencia de 4 cm de radio, que sea tangente a los dos lados del ángulo (es decir, que la circunferencia toque en un solo punto a cada lado del ángulo). a) Que equidista de los lados del ángulo. b)
4 cm
(No construido a su tama ño.)
Trazamos un segmento de 4 cm perpendicular a un lado. Por su extremo trazamos una paralela a este, hasta que corte a la bisectriz. Ahí está el centro de la circunferencia buscada.
Relaciones angulares 14
Calcula el valor del ángulo o de los ángulos que se piden en cada figura: a
b ^
125
°
A
63
125
°
^
^
P
°
c
N
d 28°
^
A
^
32
°
P
^
Q
5
e
f
^
M ^
B
^
A
^
N
g
h 40°
^
^
^
B
^
A
M
N
130°
^
C
∧
a) A 180° 63° 117° ∧
∧
b) P N
360° (125° 125°) 2
55°
∧
c) A 90° 32° 58° ∧
∧
180° 28°
°
d) P Q 2 76 ∧ ∧ 180° 3 360° e) A 108°; B 72° 5 5 ∧
∧
f ) M N ∧
180 3 90 3 2 °
∧
°
135°
∧
g) B C 40°; A 180° 40° 140° ∧
∧
h) N 130°; M 180° 130° 50°
15
Averigua cuánto mide el ángulo de un pentágono regular contestando a las siguientes preguntas: a) ¿Cuánto mide el ángulo central? b) Por tanto, ¿cuánto mide el ángulo señalado en rojo? c) Por tanto, ¿cuánto mide el ángulo del pentágono? 360° a) Ángulo central 72° 5
6
b) Ángulo señalado
180° 72° 2
c) Ángulo del pentágono
16
54° 2
54°
108°
Calcula el valor del ángulo o de los ángulos que se piden en cada figura: a)
b) ^
N
^
^
B
C
^
25°
A
^
M
40°
^
P
d)
c)
^
B
40°
100° ^
A
e) ^
C
^
D
f)
^
g)
^
B
60°
C
^
^
A
E
150°
a)
∧ B
∧
b) M c)
∧ A
25°;
180°
∧ C
40°
∧ A
100° 50° 2
∧
40°
d) B
∧
e) C f)
∧ A
g)
∧ E
2
∧ B
180°
140°;
25°
∧ N
155°
180° 140° 2
20°;
∧ P
90°
20°
70°
∧ D
^
D
90°
60°;
20°
∧ C
∧ D
150° : 2
2 60°
75°
120°
7
17
a
El triángulo I es equilátero. Los triángulos II son isósceles. Halla la medida de los ángulos
∧ ∧ A, B
I
∧
y C.
a
a
a
a
II
II ^
a
^
A
^
C
I a
a a
a
a
II
II
60° 75°
150°
15°
B
a
∧ A
180° 30° 75° 2
∧ B 360° (60° 75° 2) 150° ∧ C (180° 150°)
: 2 15°
Simetrías 18
Observa las letras del abecedario: Di cuáles no tienen ejes de simetría (hay 10), cuáles tienen un eje de simetría (hay 13), cuáles tienen dos (hay 3) y cuál tiene infinitos ejes de simetría. Dibuja cada una de ellas en tu cuaderno señalando los ejes que tenga.
No tienen eje de simetría: F, G, J, N,Ñ, P, Q, R, S, Z. Tienen un eje de simetría: A, B, C, D, E, K, L (inclinado), M, T, U, V, W, Y.
8
Tienen dos ejes de simetría: H, I, X. La O tiene infinitos. Son simétricas respecto a un punto, adem ás de H, I, X, O, las siguientes: N, S, Z. 19
Completa en tu cuaderno cada figura para que sea sim étrica respecto al eje señalado:
20
Completa la siguiente figura para que tenga los dos ejes de simetr ía que se indican: Comprueba el resultado con un espejo. e2
e1
21
Imagina que pones un espejo sobre la línea de puntos de las siguientes figuras:
a
b
c
d
Dibuja en tu cuaderno lo que crees que se verá mirando por cada una de sus dos caras.
9
¿Cómo hay que situar el espejo en cada figura para que se vea lo mismo por las dos caras? 1 ↑1 ↓2
a
2
se verá
2 ↑
1
↓
2
1 b
se verá
c
se verá
1 2
↑1 ↓2
2
1 ↑1 ↓2
d
se verá
Para que se vea lo mismo por las dos caras hay que situar los espejos así: a
c
b
22
d
Vamos a obtener figuras mirando un trozo de esta figura F con un espejo: F
10
Por ejemplo, para obtener esta
hemos de situar el espejo así:
F
Pero ¡atención!, no tenemos un espejo a mano. Tienes que imaginártelo. Indica cómo hay que situar el espejo sobre F para visualizar cada una de las siguientes figuras:
A
B
C
D
M
N
E P
B
A
D
C
E
M
N P
11
O PERACIONES CON ÁNGULOS 1
Efectúa las siguientes sumas: a) 15° 13' + 35° 23' b)18° 50' + 22° 15' c) 25° 17' + 54° 40' + 13° 54' a) 50° 36'
2
b) 41° 5'
Resuelve estas restas: a)1 81°1 9'–121°5 2' a) 59° 27'
3
4
5
c) 93° 51'
b) 143°1 2'–97°2 4' b) 45° 48'
Haz los productos siguientes: a) (58° 14')·3 b) (37° 43')·5 c) (62° 12')·7 d) (5° 58')·2 a) 174° 42'
b) 188° 35'
c) 435° 24'
d) 11° 56'
Resuelve estas divisiones: a) (277° 34'):11 c) (127° 55'):5
b) (201° 52'):8 d)(174° 30') :6
a) 25° 14'
b) 25° 14'
c) 25° 35'
d) 29° 5'
Halla el complementario de: a) 45° 13' b) 70° 52' a) 90° – 45° 13' = 44° 47° b) 90° – 70° 52' = 19° 8'
6
Halla el suplementario de: a) 93° 15' b) 15° 02' a) 180° – 93° 15' = 86° 45' b) 180° – 15° 02' = 164° 58'
7
Halla en grados y minutos el ángulo interior de un heptágono regular. 5 · 180° = 128° 34,29' 7
12
Pág. 2
C ONSTRUCCIONES CON REGLA, ESCUADRA Y COMPÁS 8
Construye un ángulo de 60°.
60°
9
Construye un triángulo que tenga los tres ángulos de 60°.
60°
60°
10
60°
Construye un triángulo cuyos ángulos midan 60°, 90° y 30°.
30°
60°
11
90°
Construye un triángulo con ángulos de 45°, 45° y 90°.
45°
90°
12
45°
Construye un ángulo de 120° y otro de 150°.
120°
150°
13
13
Traza un segmento y construye su mediatriz. ¿Qué propiedad tienen sus puntos?
P A
B
Todos los puntos, P, de la mediatriz equidistan de los extremos del segmento: — — PA = PB 14
Traza un ángulo y construye su bisectriz. ¿Qué propiedad tienen sus puntos? r P
s
Todos los puntos, P, de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo: dist (P, r ) = dist (P, s )
15
Calcula el valor del ángulo o de los ángulos que se piden en cada figura: a)
37° ^
A
b)
B
^
M
^
^
N
^
C
132°
c)
d) ^
A
26° 37°
^
^
P Q ì
a) A = 180° – 37° = 143° ì
b) M = 180° – 132° = 48°
ì
B = 37°
ì
C = 37°
ì
N = 132°
ì
c) A = 180° – 90° – 37° = 53° ì ì d) P = Q = 180° – 26° = 77° 2
14
16
Calcula el valor de los ángulos desconocidos. a)
b)
^
120°
A
120° ^
^
71°
N
P
c)
d) ^
B
C
^
26°
A
^
N
^
^
M
^
e)
f)
^
^
M
B
^
35°
P
A
^
N
a)
ì
A
= 360° – 90° – 90° – 71° = 109°
ì
ì
360° – 120° – 120° = 60° 2
b) P = N = c)
ì
B
= 26°;
ì
ì
A
f)
M
17
ì
ì
= C = 180° – 26° = 154°
35° = 17° 30'; 2
d) N = e)
ì
A
3 · 180° = 108°; 5
=
ì
M
= 180° – 35° = 145°;
ì
B
=
ì
P
= 90° – 17° 30' = 72° 30'
360° = 72° 5
ì
= N = 90° + 45° = 135°
Halla el valor de los ángulos indicados. b)
a) ^
^
B
50°
110°
A
c)
d)
^
C
^
B ^
C
^
^
A
D
160°
e)
f)
63° ^
E ^
D
^
A
^
C
^
40°
B
15
ì
a) A = 110° 55° = 2 ì
ì
c) C = 90° D= ì
e) D = 2 · 63° = 126°;
18
ì
= 50° = 25° 2 ì ì ì 160° = 80° A =B =C = 2
b)
B
d) ì
E
63° =
ì
f)
A
ì
= B = 2 · 40° = 80°;
ì
C
= 40°
Averigua cuánto mide el ángulo de un pentágono regular contestando a las siguientes preguntas:
a) ¿Cuánto mide el ángulo central? b) Por tanto, ¿cuánto mide el ángulo señalado en rojo? c) Por tanto, ¿cuánto mide el ángulo del pentágono? a) 360° =72° 5 19
b) 180° – 72°=54° 2
c) 54° 2· =108°
El triángulo I es equilátero. Los triángulos II son isósceles. a
I
a
a
a
a
II
II
^
A
^
C
^
B a
Halla la medida de los ángulos
ì
ì
A, B
ì
y C.
Los ángulos del triángulo equilátero I miden 60°. Por lo que el ángulo 90° – 60° = 30°. Así:
ì
D
medirá:
ì
= 180° – 30° = 75° 2 ì B = 360° – 2 · 75° – 60° = 150°
A
ì
C
= 180° – 150° = 15° 2
^
D
^
^
C
A
^
B
16
S IMETRÍAS 20
Observa las letras del abecedario:
A
B H
C I
D J
Ñ OPQ UVWXYZ
E
F
K R
G M N S
T
Di cuáles no tienen ejes de simetría (hay 10), cuáles tienen un eje de simetría (hay 13), cuáles tienen dos (hay 3) y cuál tiene infinitos ejes de simetría. Dibuja cada una de ellas en tu cuaderno señalando los ejes que tenga.
No tienen ejes de simetría: F, G, J, N, Ñ, P, Q, R, S, Z. Tienen un eje de simetría: A, B, C, D, E, K, L, M, T, U, V, W, Y. Así:
AB C D E K
M T U V W Y
Tienen dos ejes de simetr ía: H, I, X. Así:
H I X La O tiene infinitos ejes de simetría. Todas las rectas que pasen por el centro de la circunferencia son ejes de simetría. 21
Completa cada figura para que sea simétrica respecto del eje señalado.
17
22
Completa la siguiente figura para que tenga los dos ejes de simetría que se indican:
e1
e
e2
23
e
1
2
Imagina que pones un espejo sobre la línea de puntos de las siguientes figuras:
a
b
c
Dibuja en tu cuaderno lo que crees que se verá mirando por cada una de sus dos caras. ¿Cómo hay que situar el espejo en cada figura para que se vea lo mismo por las dos caras? a)
b)
c)
18
Para que se vea lo mismo por las dos caras, hay que situar el espejo sobre alguno de los ejes de simetría de cada figura: a)
e
b)
1
c)
e
1
e
2
e
2
e
3
24
e
3
e
4
e
2
Vamos a obtener figuras mirando un trozo de esta figura F con un espejo: F
Por ejemplo, para obtener esta hemos de situar el espejo así: F
Pero, ¡atención!, no tenemos un espejo en la mano. Tienes que imaginártelo. Indica cómo hay que situar el espejo sobre F para visualizar cada una de las siguientes figuras:
A
B
C
D
E
P M
N
C
B A
D
E N
P
M
19
