Matematicas acceso Uned

Elvira Hernández Garc´ıa

Curso 0 Matemáticas

´ Algebra y Geometr´ıa Prof. Elvira Hernández Garc´ıa Departamento de Matemática Aplicada I ETSI Industriales

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Índice general 1. 2. 3.

4.

Introducción y objetivos . . . . . . . . . . . . . 1.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . Prueba de autodiagnóstico . . . . . . . . . . . . Contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Ficha 1: Matrices . . . . . . . . . . . . . 3.2. Ficha 2: Determinantes . . . . . . . . . . 3.3. Ficha 3: Polinomios . . . . . . . . . . . . 3.4. Ficha 4: Sistemas de Ecuaciones Lineales 3.5. Ficha 5: Vectores, Rectas y Planos . . . 3.6. Ficha 6: Cónicas . . . . . . . . . . . . . Prueba de autoevaluación . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Índice alfabético . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

. . . . . . . . . . . . .

3 3 5 8 8 19 27 36 46 55 61 63 63


1.


Introducci´ on y objetivos

´ El Algebra estudia estructuras, relaciones y cantidades y es una rama principal de las Matemáticas. La Geometr´ıa estudia abstracciones del espacio como son: puntos, rectas, planos, curvas, superficies, etc. Los temas de este bloque, presentados de forma esquem´ atica y sint´ etica, son muy relevantes en el estudio de cualquier materia de primer curso de Escuelas de Ingenier´ıa y Facultades de Ciencias. Dicho bloque pretende recopilar de forma resumida los principales conceptos y técnicas fundamentales del ´ Algebra Lineal Básica con el fin de proporcionar un material de ´ apoyo para afrontar cualquier otro estudio superior de Algebra. Los temas relativos a Geometr´ıa son muy puntuales y se pueden complementar con otros bloques. Al final del bloque se presentan varios medios bibliográficos, considerados de fácil manejo para profundizar o ampliar los conceptos presentados y otros no se˜ nalados por problemas de espacio. 1.1. Objetivos En este bloque de contenidos se pretende por un lado y de forma espec´ıfica: promover la formación básica en álgebra lineal, reconocer y fijar los objetos algebraicos fundamentales, proporcionar algoritmos y métodos de resolución básicos, recordar ciertos conceptos geométricos, y, por otro lado, de forma más general:

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familiarizar al estudiante con el lenguaje matemático y el aparato lógico-formal-deductivo, utilizar el formalismo matemático, adquirir fundamentos para enfrentarse al estudio de cualquier asignatura de matemáticas. Versión: Octubre 2012. Elvira Hernández Garc´ıa [email protected]

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2.


Prueba de autodiagn´ ostico

Haga el test siguiente de Verdadero o Falso para saber el nivel de conocimientos que tiene en este bloque.

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 1 6 7 2 1 5  = Verdadero Falso 2 2 4 3 2 4 3 5 1 19 24 23 19 31 29 Sean A y B matrices cuadradas del mismo Verdadero Falso orden, entonces: (A+B)2 = A2 +B 2 +2AB Siempre existe el determinante de una ma- Verdadero Falso triz Verdadero Falso x2 + 4x + 4 =x−2 x2 − 4





 2 1 0 2 3 2  El rango de la matriz   1 1 2  es 3 8 8 4 El sistema x + y − z = 1; x + 2y − z = 0; x − y − z = 1 es compatible indeterminado La ecuación x2 + y 2 + 2x = 4 define una circunferencia El vector (−1, −2, −1) es perpendicular al plano definido por x + 2y + z = 1

Verdadero Falso Verdadero Falso Verdadero Falso Verdadero Falso Verdadero Falso

4x + 4 2 2x + 4 + = . 4x2 − 36 2x − 6 (x − 3)(x + 3) x2 − y 2 = 0 define una hipérbola y y 2 = x Verdadero Falso una parábola



Si ha tenido muchas dificultades y el n´ umero de respuestas correctas no le parece aceptable, debe hacer de forma ordenada todas las fichas que encontrará a continuación. Si sólo ha tenido dificultades en algunos casos, localice las fichas correspondientes y repáselas. Si ha respondido todo correctamente puede pasar a otro bloque.

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3. 3.1.


Contenidos Ficha 1: Matrices

Definición Una matriz es un objeto de la forma   a11 a12 . . . a1n .. .. ..  A =  ... . . . am1 am2 . . . amn donde m, n ∈ N y aij son sus elementos. El orden (o dimensión) de la matriz A es m × n. Posee m filas y n columnas. La columna j−ésima de A es (a1j , . . . , amj ), y la fila i−ésima de A es (ai1, . . . , ain ). De forma abreviada se denota A = (aij ). Si aij ∈ R para todo i, j, entonces la matriz A se llama matriz real. En este bloque siempre consideraremos matrices reales. Mm×n denota el conjunto de matrices (reales) de orden m × n. Tipos Si n = m entonces A es una matriz cuadrada. • La diagonal principal de A es (a11, . . . , ann ). La suma de los elementos de la diagonal se llama traza de A. • Si los elementos debajo (resp. encima) de la diagonal principal son todos nulos, entonces A es triangular superior (resp. inferior). • Si aij = aji para todo i, j, entonces A es simétrica.

• Si aij = −aji para todo i, j, entonces A es antisimétrica o hemisimétrica. (Nótese que debe ser aii = 0, ∀i). 8



• La matriz identidad de orden n, In , es una matriz cuadrada de orden n tal que los elementos de la diagonal principal son unos y el resto son ceros. • La matriz nula de orden n, 0n, es una matriz cuadrada de orden n tal que todos sus elementos son ceros. A ∈ Mm×n es escalonada por filas si el primer elemento no nulo de cada fila se encuentra a la derecha del primer elemento no nulo de la fila anterior y las filas nulas, si las hay, están al final. La matriz escalonada no es u ´ nica. A es escalonada reducida si es escalonada y, además, en cada fila el primer elemento no nulo vale 1 y cumple que todos los elementos por debajo y por encima de él son ceros. La matriz escalonada reducida es u ´ nica. De igual forma se puede definir la matriz escalonada y escalonada reducida por columnas. Submatriz Se dice que B ∈ Mr×s es una submatriz de A ∈ Mm×n siendo r ≤ m y s ≤ n si B se obtiene mediante la intersección de r filas de A y s columnas de A. Operaciones Si A, B, ∈ Mm×n, la matriz suma C = A + B es de orden m × n y está definida por cij = aij + bij ∀i, j. Propiedades: conmutativa, asociativa, elto. neutro y elto. opuesto. ´mero real D = Si λ ∈ R, la matriz producto por nu λA es de orden m × n y está definida por dij = λaij ∀i, j. Propiedades: distributiva respecto a la suma de matrices, distributiva respecto a la suma de reales, asociativa respecto a los reales y elemento unidad. Si A ∈ Mm×n y B ∈ Mn×r , la matriz producto P = AB 9



es de orden m × r y sus elementos están definidos por n X aik bkj . pij = k=1

Propiedades: asociativa, distributiva respecto a la suma de matrices y asociativa respecto al producto de un n´ umero real. Además, en el caso de matrices cuadradas (n = m) se cumple la propiedad elemento unidad. Obsérvese que el producto de matrices NO cumple las propiedades conmutativa y elemento opuesto. Traspuesta Se llama matriz traspuesta de A ∈ Mm×n a la matriz At = (a′ij ) ∈ Mn×m tal que a′ij = aji , es decir, la fila i−ésima de At es la columna i−ésima de A ∀i. Propiedades: (A + B)t = At + B t ; (AB)t = B t At ; ((A)t)t = A; una matriz cuadrada A es simétrica si y sólo si A = At . Operaciones elem. Las siguientes operaciones en una matriz A ∈ Mm×n se llaman operaciones (o transformaciones) elementales por filas (resp. columnas): 1. Permutar dos filas (resp. columnas), Fi ↔ Fj . 2. Multiplicar una fila (resp. columna) por un real no nulo Fi → λFi con λ 6= 0. 3. Reemplazar una fila Fi (resp. columna) por la suma de ella más un m´ ultiplo de otra λFj , Fi → Fi + λFj . De forma más general (considerando todas las m filas) Fi → Fi + λ1 F1 + · · ·+ λi−1Fi−1 + λi+1Fi+1 + · · ·+ λm Fm . 10



Estas operaciones elementales permiten de forma más sencilla: resolver sistemas de ecuaciones, calcular el rango y la matriz inversa (si existe) de una matriz. Escalonar Escalonar por filas una matriz A ∈ Mm×n consiste en reducir A a una matriz escalonada por filas mediante operaciones elementales por filas. Rango El rango de una matriz A ∈ Mm×n es un n´ umero natural, rang(A), y es el n´ umero de filas (resp. columnas) NO nulas de la matriz que se obtiene al escalonar A por filas (resp. columnas). El rango de una matriz también se calcula mediante el determinante (Ver Ficha Determinantes). Las operaciones elementales por filas (resp. columnas) de una matriz A dejan invariante el rango de A. M. Inversa Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada A ∈ Mn×n, a la matriz A−1 tal que A−1A = AA−1 = In. La matriz inversa NO siempre existe y si existe ésta es u ńica. Si A posee matriz inversa se llama regular. En caso contrario se llama singular. Propiedades: (AB)−1 = B −1A−1;((A)−1)−1 = A. A−1 existe si y sólo si rang(A) = n. Para el cálculo de la matriz inversa ver la Ficha de Determinantes.

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Ejemplo 1. Sea la matriz de orden 3 × 2 definida por   1 2 A =  2 3 , 1 4 entonces su matriz traspuesta At es de orden 2 × 3 y es: 1 2 1 At = . 2 3 4

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Ejemplo 2. Una empresa fabrica tres tipos de productos: A, B, y C. Se sabe que ha producido 23 unidades del producto A, 16 del producto B y 10 del producto C. Por otro lado, para fabricar un producto del tipo A se requieren 7 horas de trabajo, del tipo B 9 horas de trabajo y del tipo C 11 horas de trabajo. Calcular el coste total para manufacturar dichos productos sabiendo que el coste de cada unidad de producto es 45 euros y el coste de cada hora de trabajo 60 euros. Es claro que: el coste del producto A es: 23 · 45 + 7 · 60 = 1455, el coste del producto B es 16 · 45 + 9 · 60 = 1260 y el coste del producto C es: 10 · 45 + 11 · 60 = 1110. El coste total se puede representar por la matriz fila 1455 1260 1110 .

Si el coste de unidad de producto y de la hora de trabajo se representa por la matriz fila 45 60 resulta que el coste total pedido se puede calcular mediante el siguiente producto: 23 16 10 45 60 = 7 9 11 45 · 23 + 60 · 7 45· 16 + 60 · 9 45 · 10 + 60 · 11 = 1455 1260 1110 . Nótese que este ejemplo ayuda a explicar la definición del producto de matrices.

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1 4 2 1

Ejemplo 3. Sean A = , calcular A−1 si existe. a b Si A−1 = entonces A−1 debe cumplir c d a b 1 4 1 0 = , c d 2 1 0 1 o equivalentemente, a + 2b 4a + b 1 0 = . c + 2d 4c + d 0 1 Igualando los elementos que ocupan el mismo lugar resultan las siguientes igualdades: a + 2b = 4c + d = 1

y

4a + b = c + 2d = 0.

Resolviendo se obtiene: A

−1

=

−1 7 2 7

Se puede comprobar que también −1 1 4 −1 7 AA = 2 2 1 7

14

4 7 −1 7

4 7 −1 7

.

=

1 0 0 1

.





   1 2 2 2 2 1 Ejemplo 4. Si A =  2 3 4  y B =  1 3 4 , calcular 1 4 2 3 1 2 2A − B, AB y BA. Por definición: 2A − B =     2−2 4−2 1 2 2 2 2 1 2 2 3 4  − 1 3 4  =  4−1 6−3 3 1 2 2−3 8−1 1 4 2   0 2 3  3 3 4 . −1 7 2    1 2 2 2 2 1 Además AB =  2 3 4   1 3 4  = 1 4 2 3 1 2    2+2+6 2+6+2 1+8+4 10  4 + 3 + 12 4 + 9 + 4 2 + 12 + 8  =  19 2 + 4 + 6 2 + 12 + 2 1 + 16 + 4 12 Análogamente se obtiene:   7 14 14 BA =  11 27 22  . 7 17 14

 4−1 8−4 = 4−2

 10 13 17 22 . 16 21

Obsérvese que con este ejemplo se comprueba que el producto de matrices no es conmutativo.

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

 1 4 3 Ejemplo 5. Escalonar por filas la matriz A =  2 1 3  y 2 2 3 calcular su rango. Se trata de realizar operaciones elementales por filas de A para obtener una matriz escalonada. Como a11 no es nulo, el primer paso es obtener a21 = 0 (un cero en la segunda fila). Para ello, por ejemplo, la segunda fila F2 sesustituye por  ella menos la tercera F2 → F2 − F3 y 1 4 3  resulta: 0 −1 0  . En el siguiente paso, hay que obtener 2 2 3 a31 = a32 = 0 (dos ceros en la tercera fila). Para obtener a31 = 0, basta con sustituir la tercera  fila por ellamenos dos veces 1 4 3 la primera, F3 → F3 − 2F1:  0 −1 0  . Para obtener 0 −6 −3 a32 = 0, a la tercera fila obtenida se suma 6 veces la segunda fila, F3 → F3 + 6F2 y resulta una matriz escalonada   1 4 3  0 −1 0  . 0 0 −3 Entonces rang(A) = 3. Nótese que la matriz escalonada NO es u ńica. Ejercicios propuestos

Ejercicio 1. Sea A =

2 1 −1 3

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. Calcular At y A−1 si existe.





 2 1 1 2 1 1 Ejercicio 2. Sean A =  1 3  y B = . Cal1 3 5 2 3 4 cular AB, BA y A − 3I3.   4 1 0 6 2 1 Ejercicio 3. Sean A =  1 2 1  y B = . Calcu1 3 5 3 5 1 lar 3A y BA.   2 1 Ejercicio 4. ¿Cuántas submatrices cuadradas tiene A =  1 2 ? 1 4 Soluciones

2 −1 Soluci´ on 1. Por definición: At = . Para calcular la 1 3 a b inversa de A, se supone que A−1 = y se impone la c d a b 2 1 condición de matriz inversa, es decir, = c d −1 3 1 0 . Después de hacer el producto de matrices e igualar 0 1 elemento la identidad anterior resulta: a elemento en 3 −1 a b A−1 = = 71 27 . c d 7 7

Soluci´ on 2. La matriz A tiene dimensión 3×2 y la matriz B 2× 4. Por tanto no es posible realizar las  operaciones: BA y A−3I3.  2 1 1 2 1 1 La matriz AB de dimensión 3×4 es:  1 3  = 1 3 5 2 3 4 17





   2+1 4+3 2+5 2+2 3 7 7 4  1 + 3 2 + 9 1 + 15 1 + 6  =  4 11 16 7  . 3 + 4 6 + 12 3 + 20 3 + 8 7 18 23 11 Soluci´ de orden 3. El producto on 3. La matriz Aes cuadrada   3·4 3·1 3·0 12 3 0 3A =  3 · 1 3 · 2 3 · 1  =  3 6 3  y el producto BA, 3·3 3·5 3·1 9 15 3   4 1 0 24 + 2 + 3 6 + 4 + 5 2 + 1 6 2 1  1 2 1= = 4 + 3 + 15 1 + 6 + 25 3 + 5 1 3 5 3 5 1 29 15 3 . 22 32 8 Soluci´ on 4. En total posee 9 submatrices cuadradas. Seis de orden 1 definidas cada una de ellas por cada elementoaij de A, 2 1 es decir, (2), (1), (1), (2), (1), (4) y tres de orden 2: , 1 2 1 2 2 1 y . 1 4 1 4

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3.2.


Ficha 2: Determinantes

Consideremos A = (aij ) ∈ Mn×n una matriz cuadrada. El determinante de una matriz A cuadrada es un n´ umero real y se denota por |A|. Definición. n ≤ 3 Si A = a11 entonces |A| = a11 . a11 a12 Si A = entonces |A| = a11a22 − a12 a21. a21 a22   a11 a12 a13 Si A =  a21 a22 a23  entonces |A| es: a31 a32 a33 a11a22 a33 +a21a32 a13 +a12 a23a31 −a13 a22a31 −a23a32 a11 −a21 a12 a33. Adjunto Se llama adjunto de un elemento aij ∈ A y se denota por Aij al determinante de la matriz de orden n − 1 que resulta de eliminar en A la fila i y columna j afectado del signo + si i + j es un n´ umero par o del signo − si i + j es impar. Se llama matriz adjunta de A y se denota por Adj(A) a la matriz que resulta al sustituir cada elemento aij por Aij . Definición El determinante de A desarrollado por la fila i−ésima es: |A| = ai1 Ai1 + · · · + ain Ain. El determinante de A se puede calcular de varias formas. Propiedades Si A es una matriz cuadrada, se cumple: • Si en A realizamos operaciones elementales por las filas o columnas (ver Ficha Matrices) el determinante de la matriz que resulta al hacer la nueva operación verifica las siguientes propiedades: 19



◦ Si se realiza la operación elemental 1, el determinante es el mismo cambiado de signo. ◦ Si se realiza la operación elemental 2, el determinante queda multiplicado por λ. ◦ Si se realiza la operación elemental 3, el determinante es el mismo. • Si A tiene alguna fila Fi tal que Fi = λ1 F1 + · · · + λi−1Fi−1 + λi+1Fi+1 + · · · + λn Fn (1) con λi ∈ R, entonces |A| = 0. Si Fi cumple la expresión anterior (1) para ciertos λj se dice que la fila i−ésima es combinación del resto de filas. Las propiedades anteriores son válidas si se reemplaza fila (Fi) por columna (Ci). |A| = |At |, |In| = 1 y |0n| = 0. Si B ∈ Mn×n y λ ∈ R, |AB| = |A||B| y |λA| = λn |A|. ´til para el cálculo de Aplicaciones El determinante es una herramienta u matriz inversa y rango de una matriz. Matriz inversa La matriz A posee matriz inversa A−1 si y sólo si |A| 6= 0. Además 1 [Adj(A)]t. A−1 = |A| En particular como AA−1 = In , teniendo en cuenta las propiedades del determinante resulta 1 . |A−1 | = |A| 20



Menor Se llama menor de A al determinante de una submatriz cuadrada de A. El orden de un menor es el orden de la submatriz asociada a dicho menor. Rango El rango de A, rang(A), es el mayor de los o´rdenes de sus menores no nulos. Teniendo en cuenta las propiedades del determinante: • Para calcular el rango de un matriz se pueden eliminar la filas (resp. columnas) que son combinación del resto de filas (resp. columnas). • El rango de una matriz no var´ıa si se realizan transformaciones elementales entre sus filas o columnas. • rang(A) = rang(At). Nótese que el rango de una matriz no puede superar al n´ umero de filas o columnas que posee.

Ejemplo 6. Sea A =

1 2 3 4



 1 2 4 y B =  2 6 3 . 5 −1 3

Entonces: |A| = 1 · 4 − 2 · 3 = 4 − 6 = −2, |B| = 1 ·6 ·3 + (−1) ·2 ·4 + 2 ·3 ·5 − 4 ·6 ·5 − (−1) ·3 ·1 − 2 ·2 ·3 = 18 − 8 + 30 − 120 + 3 − 12 = −89.

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Ejemplo 7. Sean A y B matrices cuadradas de orden n. Calcular la matriz (A − B)2.

Aplicando las propiedades asociativa del producto de matrices resulta: (A − B)2 = (A − B)(A − B) = AA − AB − BA + BB = A2 − AB − BA − B 2. Nótese que como el producto de matrices NO es conmutativo, en general, AB = 6 BA por tanto: (A − B)2 6= A2 − 2AB + B 2 .

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

 2 1 −1 Ejemplo 8. Sea A =  1 −2 3 . Calcular el determi4 2 −5 nante de A desarrollado por los adjuntos de la primera fila y su matriz inversa (si ex´ıste). −2 3 1 3 1 −2 −1 Por definición, |A| = 2 4 −5 − 1 4 2 = 2 −5 2(4) − 1(−17) − 1(10) = 8 + 17 − 10 = 15. Como el determinante de A es no nulo, 3 es el mayor de los órdenes de sus menores no nulos. Luego rang(A) = 3 y existe A−1. Como, 1 A−1 = [Adj(A)]t, 15 sólo falta calcular  la adjunta de A.  10 − 6 −(−5 − 12) 2 + 8  −(−5 + 2) −10 + 4 −(4 − 4)  Adj(A) = = 3−2 −(6 + 1) −4 − 1   4 17 10  3 −6 0 . Entonces 1 −7 −5   4 3 1 [Adj(A)]t =  17 −6 −7  10 0 −5 y



A−1 = 

4 15 17 15 2 3

23

1 5 −2 5

0

1 15 −7 15 −1 3



.



Nótese que la matriz inversa de una matriz A si existe es u ńica.



 1 0 2 Ejemplo 9. Calcular el rango de la matriz  3 4 2 . 1 2 2 El rango es 3 nulo ya que 1 3 1

porque el u ńico menor de orden 3 es NO 0 2 4 2 = 8 + 12 + 0 − 8 − 4 = 8. 2 2

Ejercicios propuestos



 1 4 3 Ejercicio 5. Calcular las matrices inversas de A =  2 1 3  2 2 3   3 3 2  y B = 1 2 2 . 0 3 4 Ejercicio 6. Calcular el determinante de   3 3 2 0 0 2 2 1  A=  0 2 6 2 . 1 2 2 3

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Ejercicio 7. Calcular el rango de  1 0 1 2 1 0 1 2 A=  0 1 −2 −1 1 3 −5 −1



 . 

Ejercicio 8. Sea A una matriz triangular superior de orden 3 cuyos elementos de la diagonal principal son no nulos. ¿Podemos asegurar que existe A−1? Soluciones

Soluci´ on 5. Como |A| = 3 se tiene

1 A−1 = [Adj(A)]t. 3 La matriz adjunta de A es   −3 0 2  −6 −3 6  9 3 −7 por tanto

A−1



 −1 −2 3 =  0 −1 1  . 2 2 − 37 3

Sin embargo B −1 no existe porque |B| = 0.

Soluci´ on 6. El determinante de A desarrollado por los adjuntos de la segunda fila es 3 3 2 3 3 0 3 2 0 3 2 0 0(−1) 2 6 2 + 2 0 6 2 + 2(−1) 0 2 2 + 1 0 2 6 . 1 2 2 1 2 3 1 2 3 2 2 3 25



Luego |A| = 0 + 92 − 24 − 10 = 58. Soluci´ on 7. El rango es 2. Como la primera y segunda fila son iguales, se puede eliminar una de ellas. Además, la tercera fila F3 = −1 F + 13 F4, es decir, la F3 es com3 1 binación del resto de filas. Por tanto, también se puede eliminar F3. Entonces, deacuerdo con las propiedades de los rangos: 1 0 1 2 1 0 1 2   rang(A) = rang   0 1 −2 −1  = 1 3 −5 −1   1 0 1 2 rang  0 1 −2 −1  = 1 3 −5 −1 1 0 1 2 rang = 2. Utilizando menores de orden 2 de 1 3 −5 −1 la matriz anterior, se obtiene que rang(A) = 2. Compruébese que todos los menores posibles de orden 3 de la matriz inicial son nulos. Soluci´ on 8. S´ı porque su determinante es no nulo ya que el determinante de una matriz triangular se obtiene multiplicando loa elementos de la diagonal principal.

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3.3.


Ficha 3: Polinomios

Definición Un polinomio de coeficientes reales P (x) de grado n en x es una expresión de la forma P (x) = an xn + an−1xn−1 + · · · + a1 x + a0 siendo ai ∈ R ∀i. Los elementos ai se llaman coeficientes de P (x), los términos ai xi se llaman monomios del polinomio y x es la variable del polinomio (a cada real a ∈ R le corresponde un valor P (a)). Si el grado es 2, n = 2, el polinomio se llama cuadrático. En particular, a ∈ R es un polinomio de grado 0. Sean P (x) y Q(x) dos polinomios en x. Operaciones El polinomio suma P (x)+Q(x) y se obtiene sumando término a término los coeficientes de P (x) y Q(x). El producto de polinomios P (x) · Q(x) se obtiene al sumar los productos de cada término de P (x) por todos los términos de Q(x). (x) El cociente de polinomios PQ(x) se obtiene aplicando el algoritmo de la división. Recuérdese que el método de Ruffini permite calcular el cociente y el resto de la división del polinomio P (x) y (x − α) siendo α ∈ R. Nótese que P (x) = Q(x) si y sólo si son iguales monomio a monomio. Ra´ız Se dice que a ∈ R es una ra´ız real de P (x) si P (a) = 0. Si a es una ra´ız de P (x) entonces P (x) = (x−a)Q(x) siendo Q(x) el cociente de P (x) y (x − a). El polinomio (x − a) se llama factor lineal de P (x). 27



Un polinomio de grado n tiene a lo más n ra´ıces. Ra´ıces de un polinomio cuadrático: sea ax2 + bx + c = 0, entonces sus ra´ıces se calculan por la fórmula √ −b ± b2 − 4ac . 2a Recuérdese que si a, b ∈ R entonces (a − b)2 = a2 + b2 − 2ab, (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab y a2 − b2 = (a + b)(a − b). Obsérvese que un polinomio P (x) puede no tener ra´ıces reales. Por ejemplo x2 + 1. Factorización Un polinomio P (x) se llama reducible si se puede descomponer en producto de polinomios de grado menor que P (x). Factorizar un polinomio P (x) consiste en expresar dicho polinomio P (x) como producto de polinomios irreducibles. Se puede factorizar un polinomio P (x) a través de sus ra´ıces. (Un método de factorización es el Método de Ruffini). Pol. Racionales Sean P ′ (x) y Q′ (x) polinomios en x. Operaciones. Para realizar la suma P (x) P ′ (x) + Q(x) Q′ (x) se reduce a com´ un denominador. Por otro lado, se cumple:

y

P (x) P ′ (x) P (x) · P ′ (x) · = Q(x) Q′(x) Q(x) · Q′ (x) P (x) P ′ (x) P (x) · Q′ (x) : = . Q(x) Q′ (x) Q(x) · P ′ (x) 28



Ejemplo 10. Sean P (x) = 2x − 1

y

Q(x) = x3 − 2x2 − x − 2.

Calcular P (x) · Q(x), P (x) + Q(x), P (x) − Q(x), 3P (x) y

Q(x) P (x) .

Se verifica: P (x) · Q(x) = (2x − 1)(x3 − 2x2 − x − 2) = 2x(x3 − 2x2 − x − 2) − 1(x3 − 2x2 − x − 2) = 2x4 − 4x3 − 2x2 − 4x − x3 + 2x2 + x + 2 = 2x4 − 5x3 − 3x + 2, P (x) + Q(x) = 2x − 1 + x3 − 2x2 − x − 2 = x3 − 2x2 + (2 − 1)x + (−1 − 2) = x3 − 2x2 + x − 3, P (x) − Q(x) = 2x − 1 − (x3 − 2x2 − x − 2) = −x3 + 2x2 + 3x + 1, 3P (x) = 6x2 − 3. Por u ´ltimo, aplicado el algoritmo de la división resulta 23 Q(x) x3 − 2x2 − x − 2 1 2 3 7 8 = = x − x− − , P (x) 2x − 1 2 4 8 2x − 1

es decir, el cociente es 7 1 2 3 x − x− 2 4 8 y el resto es −

23 . 8

29



Ejemplo 11. Calcular la suma de polinomios racionales x+3 x−1 + . 2 (x − 2) x−1 Para sumar fracciones se reduce a com´ un denominador, es decir, se hallan otras fracciones equivalentes a las originales de forma que tengan todas igual denominador. Para ello, se calcula el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de los denominadores que en este caso es (x − 2)2(x − 1). Entonces se obtiene: x−1 x+3 (x − 1)(x − 1) (x + 3)(x − 2)2 + = + = (x − 2)2 x − 1 (x − 2)2(x − 1) (x − 2)2(x − 1) (x − 1)2 + (x + 3)(x − 2)2 . (x − 2)2(x − 1)

30



Ejemplo 12. Simplificar (x − 2)2 x2 − 4

y

x3 − 4x2 + 5x − 2 . (x − 1)2

En primer lugar se comprueba si los polinomios numerador y denominador son reducibles. En efecto, se cumple que x2 − 4 = (x − 2)(x + 2) luego

(x − 2)2 x−2 (x − 2)2 = = . x2 − 4 (x − 2)(x + 2) x + 2 Por otro lado, x3 − 4x2 + 5x − 2 = (x − 1)2(x − 2). Entonces x3 − 4x2 + 5x − 2 (x − 1)2(x − 2) = = x − 2. (x − 1)2 (x − 1)2

31



Ejemplo 13. Factorizar el polinomio c´ ubico x3 − 2x + 1. Utilizando el método de Ruffini se puede comprobar que 1 es una ra´ız. En efecto, 1 0 −2

1

1

1 0 −2 1

1

1 1 1

1 0 −2 1

1

1

1

1

1 0 −2 1

1 1 −1

1

1

1 −1

1 1 −1

0

Por lo tanto x3 − 2x + 1 = (x − 1)(x2 + x − 1). Seg´ un el método de factorización de polinomios cuadráticos, las ra´ıces del polinomio x2 + x − 1 son p −1 ± 12 − 4 · 1 · (−1) , 2 √ −1+ 5 2

√ −1− 5 . 2

es decir, y polinomio dado es

Por consiguiente la factorización del

−1 + (x − 1)(x − 2

√

32

5

√ 1+ 5 )(x + ). 2



Ejemplo 14. Expresar x2 como suma de fracciones.

x−5 − 5x + 6

En primer lugar se debe expresar el denominador como producto de factores. Utilizando el método de factorización de polinomios cuadráticos se tiene que x2 −5x+6 = (x−3)(x−2). Por tanto podemos concluir: x−5 A B = + x2 − 5x + 6 x − 3 x − 2

siendo A y B n´ umeros reales. Para calcular el valor de A y B basta con establecer las igualdades que se obtienen al operar en ambos términos. Como A B A(x − 2) + B(x − 3) Ax + Bx − 2A − 3B + = = x−3 x−2 (x − 3)(x − 2) x2 − 5x + 6 se tiene que: x−5 Ax + Bx − 2A − 3B (A + B)x − 2A − 3B = = . x2 − 5x + 6 x2 − 5x + 6 x2 − 5x + 6

Luego

(A + B)x − 2A − 3B = x − 5,

es decir, A + B = 1 y −2A − 3B = −5. Resolviendo se tiene A = −2 y B = 3. Entonces se concluye: −2 3 x−5 = + . x2 − 5x + 6 (x − 3) (x − 2) 33



Ejemplo 15. Calcular x − 4 (x + 1)2 · x − 1 (x − 1)3

y

x − 4 (x + 1)2 : . x − 1 (x − 1)3

Por definición de producto y división de polinomios resulta: (x − 4)(x + 1)2 (x − 4)(x + 1)2 x − 4 (x + 1)2 = = · x − 1 (x − 1)3 (x − 1)(x − 1)3 (x − 1)4

x − 4 (x + 1)2 (x − 4)(x − 1)3 (x − 4)(x − 1)2 = = . : x − 1 (x − 1)3 (x − 1)(x + 1)2 (x + 1)2

Ejercicios propuestos

Ejercicio 9. Calcular el grado de 2x3 +x4 −x+4−x3 −x(x3 −2). Ejercicio 10. Factorizar x2 − a2 , x2 + 2ax + a2 y x2 − 2ax + a2 . Ejercicio 11. Calcular la suma x 1 2 . + + x − 2 x − 3 (x − 2)2 Ejercicio 12. Calcular la división x2 − 4x + 5 . x−2

Ejercicio 13. Hallar las ra´ıces de x4 − 3x3 − 3x2 + 11x − 6.

34



Soluciones

Soluci´ on 9. En primer lugar hay que simplificar el polinomio dado y reescribirlo de la forma general de un polinomio. Se cumple que 2x3 + x4 − x + 4 − x3 − x(x3 − 2) = x3 + 2x. Es decir, el grado es 3. Soluci´ on 10. Se verifica que x2 − a2 = (x − a)(x + a), x2 + 2ax + a2 = (x + a)2

y x2 − 2ax + a2 = (x − a)2 .

Soluci´ on 11. Reduciendo a com´ un denominador se obtiene: 1 2 x + + = x − 2 x − 3 (x − 2)2 x(x − 2)(x − 3) (x − 2)2 2(x − 3) + + (x − 2)2(x − 3) (x − 2)2(x − 3) (x − 2)2(x − 3)

y operando resulta x3 − 4x2 + 4x − 2 . (x − 2)2(x − 3)

Soluci´ on 12. Como x2 − 4x + 5 = (x − 2)2 + 1 se concluye que

1 1 x2 − 4x + 5 (x − 2)2 + 1 (x − 2)2 = = + = x−2+ . x−2 x−2 x−2 x−2 x−2 Soluci´ on 13. Las ra´ıces son 3, 1 (doble) y −2. Por tanto x4 − 3x3 − 3x2 + 11x − 6 = (x − 3)(x − 1)2(x + 2). 35


3.4.


Ficha 4: Sistemas de Ecuaciones Lineales

Definición Una ecuación lineal (real) con n incógnitas es una expresión de la forma a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b siendo ai ∈ R ∀i y b ∈ R. Los elementos xi se llaman incógnitas y b término independiente. Un sistema de m ecuaciones lineales (reales) y n incógnitas es un conjunto de m ecuaciones lineales (reales) de la forma:   a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 .. .. .. .. .. ... (2) . . . . .  am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm

siendo aij ∈ R y bj ∈ R.

umeros reales (α1 , . . . , αn ) tales que xi = αi Solución Si existen n´ para cada i, verifican las m ecuaciones lineales se dice que (α1, . . . , αn ) es una solución del sistema (2). El sistema (2) puede tener solución (compatible) o puede no tener solución (incompatible). Cuando existe solución sólo pueden suceder los casos siguientes: • Existe una u ńica solución. Compatible determinado.

• Existen infinitas soluciones. Compatible indeterminado.

El conjunto de todas las soluciones del sistema (2) se llama conjunto de soluciones del sistema. S. Equivalentes El sistema (2) es equivalente a otro sistema de n incógnitas si ambos poseen el mismo conjunto solución. 36



Transf. posibles Denotamos por Ei la ecuación i-esima del sistema (2), es decir: Ei = ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + ain xn = bi.

Las siguientes transformaciones entre las ecuaciones del sistema (2) proporcionan sistemas equivalentes a (2). • Permutar ecuaciones del sistema, Ei ↔ Ej

• Multiplicar una ecuación por un n´ umero real no nulo, Ei → λEi • Reemplazar una ecuación por la suma de ella y una combinación del resto de ecuaciones, Ei → Ei + λ1 E1 + · · · + λi−1Ei−1 + λi+1Ei+1 + · · · + λn En . • Eliminar una ecuación Ei que se obtiene mediante una combinación de las otras ecuaciones. Es decir, si Ei = λ1 E1 + · · · + λi−1Ei−1 + λi+1Ei+1 + · · · + λn En , entonces la ecuación Ei se llama redundante y se puede eliminar del sistema inicial.   a11 · · · a1n M. Asociadas La matriz de coeficientes A =  ... . . . ...  y la maam1 · · · amn   a11 · · · a1n b1 ..  . triz de coeficientes ampliada A∗ =  ... . . . ... . am1 · · · amn bm Clasificación Si rang(A) = rang(A∗) es compatible (Teorema de RouchéFröbenius). Si rang(A) 6= rang(A∗) es incompatible. Si rang(A) = rang(A∗) = n es compatible determinado. Si rang(A) = rang(A∗) < n es compatible indeterminado. 37



Resolución Resolver un sistema es hallar su conjunto de soluciones. Existen varios métodos de resolución del sistema (2). ´ n. Se eliminan las ecuaciones lineales que se obReduccio tienen como suma de otras. ´ n. Se despeja una de las incógnitas en función Sustitucio de las otras y se sustituye su valor en las otras ecuaciones. ´ n gaussiana. Consiste en transformar el sisEliminacio tema dado en otro equivalente cuya matriz de coeficientes ampliada es escalonada. Para obtener dicho sistema se escalona por filas la matriz de coeficientes ampliada A∗. Nótese que escalarizar por filas la matriz A∗ consiste en obtener un sistema equivalente al inicial teniendo en cuenta en qué consisten las transformaciones elementales de una matriz y las transformaciones posibles entre ecuaciones de un sistema. El sistema obtenido es de tipo triangular y se resuelve fácilmente mediante sustituciones hacia atrás. Regla de Cramer. Si n = m y rang(A) = n, entonces la solución del sistema (es u ńica) se obtiene mediante la fórmula a11 · · · a1i−1 b1 a1i+1 · · · a1n . . .. .. .. .. . .. .. . . . . . . a ··· a n1 ni−1 bn a1i+1 · · · ann xi = |A| para cada i.

38



Ejemplo 16. Clasificar y resolver sistema 2x −3y = 5 x −y = 1 por el método de sustitución. La segunda ecuación del sistema es equivalente a x = 1 + y. Llevando esta relación a la primera ecuación resulta 2(1 + y) − 3y = 5, es decir, 2 + (2 − 3)y = 5. Entonces y=

3 = −3. −1

Teniendo en cuenta la primera ecuación resulta x = 1 − 3 = −2. En conclusión, el sistema dado es un sistema compatible determinado y la solución es x = −2, y = −3.

39



Ejemplo 17. Resolver el sistema  −z = 2  x x −y +z = 1  3x −y −z = 5 por reducción.

La tercera ecuación es redundante porque se obtiene sumando a la segunda dos veces la primera. Es decir, la ecuación E3 se obtiene realizando las operaciones E2 + 2E1. Por tanto el sistema dado es equivalente al sistema de dos ecuaciones: x −z = 2 x −y +z = 1 En la expresión anterior (sustituyendo) resulta: x = 2 + z; 2 + z − y + z = 1, es decir, x = 2 + z; y = 1 + 2z. Entonces, el sistema es compatible e indeterminado y las soluciones dependen de un parámetro λ. El conjunto de soluciones es x = 2 + λ, y = 1 + 2λ, z = λ siendo λ ∈ R.

40



Ejemplo 18. Resolver sistema ax −3y = 5 x +y = 1 seg´ un el valor del parámetro a. Utilizaremos el Teorema de Rouché-Fröbenious. Para ello se calcula el rango de la matriz de coeficientes a −3 A= . 1 1 Como |A| = a + 3 hay que diferenciar los casos en que a = −3 y a 6= −3. Caso a = −3. Se tiene rang(A) = 1 y el rango de la matriz de coeficientes ampliada −3 −3 5 A∗ = 1 1 1 −3 5 6= 0. es 2 porque 1 1 Por lo tanto, el sistema es incompatible si a = −3. Caso a 6= −3. En este caso, el sistema es compatible determinado porque rang(A) = rang(A∗) = 2 y 2 es el n´ umero de incógnitas.

41



Ejemplo 19. Resolver el de Cramer   x 2x  x

siguiente sistema mediante la regla −y +z = 1 −y +z = 0 +2y −z = 0

En primer lugar comprobemos que se trata de un sistema compatible determinado. En efecto, ya que 1 −1 1 2 −1 1 = 1 1 2 −1 se cumple que rang(A) = rang(A∗) = 3 y 3 es el n´ umero de incógnitas. Aplicando la regla de Cramer resulta 1 −1 1 1 x = 0 −1 1 = −1, 1 0 2 −1 1 1 1 1 y = 2 0 1 = 3, 1 1 0 −1 1 −1 1 1 z = 2 −1 0 = 5. 1 1 2 0

La solución es x = −1

y=3

42

z = 5.



  x +2y +z = 1 Ejemplo 20. Resolver sistema x −z = 2 por  2x +4y = 3 eliminación Gaussiana. Se trata de escalonar la matriz de coeficientes ampliada   1 2 1 1 A∗ =  1 0 −1 2  . 2 4 0 3 En primer lugar la segunda fila F2 se cambia por ella menos fila, es decir, F2 → F2 − F1 y resulta  la primera  1 2 1 1  0 −2 −2 1  . 2 4 0 3 A continuación, realizamos la trasformaci´ on F3 → F3 − 2F2 y  1 2 1 1 se obtiene una matriz escalonada  0 −2 −2 1 . Enton0 0 −2 1 ces, el sistema dado es equivalente al sistema que tiene como matriz de coeficientes ampliada la matriz escalonada: x +2y +z = 1 −2y −2z = 1 . −2z = 1 El sistema anterior (de tipo triangular) se resuelve sustituyendo hacia atrás. Despejando z en la tercera ecuación resulta z = − 21 . Llevando este valor a la segunda ecuación se tiene y = 0. Sustituyendo los valores anteriores en la primera ecuación obtenemos x = 32 . 43



Ejercicios Propuestos

Ejercicio 14. Clasificar y resolver el sistema de ecuaciones   2x −y −2z = 1 x +z = 2 .  x −y −z = 3

Ejercicio 15. ¿Un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas homogéneo siempre es compatible determinado? Ejercicio 16. Clasificar y resolver el  −z  −x −x −2y +2z  x −y +z

sistema = 0 = 0 = 0

Ejercicio 17. Dado un sistema de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas. Decidir qué tipo de sistema puede ser y dar ejemplos. Ejercicio 18. Clasificar y resolver   x −y −2z = 1 2x −2y +z = 0  x +y −z = 0 Soluciones



 2 −1 −2 Soluci´ on 14. El rango de la matriz  1 0 1  es 3 porque 1 −1 −1 su determinante vale 2 luego el sistema es compatible determinado. Sustituyendo x = 2 − z (segunda ecuación) resulta el sistema de dos incógnitas 2(2 − z) − y − 2z = 1 (primera ecuación) (2 − z) − y − z = 3 (tercera ecuación). Resolviendo se obtiene: x = 0,

y = −5, 44

z = 2.



Soluci´ on 15. No. Un sistema (homogéneo o no homogéneo) puede tener ecuaciones redundantes y por tanto puede ser indeterminado. Soluci´ on 16. Se trata de un sistema homogéneo luego es compatible porque siempre posee la solución nula. Además, es determinado porque el rango de la matriz de coeficientes es 3 ya que el determinante es no nulo (vale −3). Como la solución es u ńica se concluye que es: x = 0, y = 0, z = 0. Soluci´ on 17. La matriz de coeficientes A es de dimensión 2×3 y la dimensión de la matriz ampliada A∗ es 2 × 4. Entonces puede ser incompatible (rang(A) = 1 y rang(A∗) = 2) o compatible indeterminado (rang(A) = rang(A∗) = 2) pero nunca puede ser compatible determinado porque rang(A) < 3. Soluci´ on 18. Sistema compatible determinado porque 1 −1 −2 2 −2 1 = −10. 1 1 −1 Su u ńica solución es: x=

−1 , 10

y=

−3 , 10

45

z=

−2 . 5


3.5.


Ficha 5: Vectores, Rectas y Planos

En términos generales, un vector en el espacio R3 (resp. en el plano R2 ) es una terna ordenada (resp. un par de ordenado) de n´ umeros (x1, x2, x3) ∈ R3 (resp. (x1, x2) ∈ R2 ). Si queremos precisar más, es necesario considerar el concepto de vector fijo y vector libre. En esta ficha nos centraremos en vectores en el plano R2 . −→ Vector Fijo Un vector fijo AB en R2 es un segmento orientado del plano que tiene como origen A y como extremo B. Si A(a1, a2) y −→ B(b1, b2), AB(b1 − a1 , b2 − a2 ). −→ −→ El módulo de AB es la longitud de AB, p −→ |AB| = + (b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2 (también a este módulo se le llama distancia del punto A al punto B). −→ La dirección de AB es la dirección de la recta que lo con−→ tiene y el sentido de AB es el definido por B.

Vector Libre Un vector libre es el conjunto de vectores del plano que posee el mismo módulo, dirección y sentido. Se trata de una clase de equivalencia de los vectores fijos con la misma dirección, módulo y sentido. Un representante de dicha clase se denota por u¯.

46


y 3 2 1 0


y 3 2 1 0

B(2, 3) A(1, 1)

0 1 2 3 x

− −→ Vector Fijo AB = (1, 2)

0 1 2 3 x

Algunos elementos del Vector libre u ¯(1, 2)

Operaciones Sean (u1, u2), (v1, v2) ∈ R2 vectores del plano y un n´ umero real (o escalar) λ ∈ R . Entonces (u1, u2) + (v1, v2) = (u1 + v1, u2 + v2) y λ(u1 , u2) = (λu1, λu2). y 3 2 1 0

y 3 2 1 0

0 1 2 3 x

Vector suma (1, 3) + (2, 2) = (3, 5) (regla del paralelogramo)

0 1 2 3 x

Vector producto 2(2, 1) = (4, 2)

Análogamente, si (u1, u2, u2), (v1, v2, v3) ∈ R3 , (u1, u2, u3) + (v1, v2, v3) = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) y si λ ∈ R (escalar) λ(u1, u2, u3) = (λu1, λu2, λu3). Combinación lin. Se llama combinación lineal de los vectores {¯ v1, . . . , v¯m} de 3 R al vector λ1 v¯1 + · · · + λm v¯m siendo λi ∈ R ∀i. Si un vector del conjunto {¯ v1, . . . , v¯m} se puede obtener como combinación lineal del resto de vectores de {¯ v1 , . . . , v¯m}, entonces {¯ v1, . . . , v¯m} son linealmente dependientes. 47



Es caso contrario, se dice que {¯ v1, . . . , v¯m} son linealmente independientes. Recta en R2 Un recta r en el plano R2 está determinada por un punto P (x0, y0) y un vector dirección u¯(u1, u2). Los puntos (x, y) que pertenecen a una recta se pueden expresar de las siguientes formas equivalentes: Vectorial : (x, y) = (x0, y0) + λ(u1, u2). Paramétricas: x = x0 + λu1 siendo λ ∈ R el parámetro. y = y0 + λu2 y−y0 0 Continua: x−x u1 = u2 . Cartesiana: ax + by + c = 0, que se obtiene operando en la anterior. Expl´ıcita: y = mx + n, que se obtiene despejando y en la anterior. La pendiente de la recta r es m. Punto-pendiente: y − y0 = m(x − x0). y 4

2 −4 −2 −2

2

4 x

Recta de ecuaci´ on cartesiana 6x − 8y + 8 = 0

Obsérvese que se puede obtener la ecuación cartesiana eliminando el parámetro de la expresión en paramétricas. Compruébese cómo se pasan de una expresión a otra cualquiera. 48



Plano en R3 Un plano π en el espacio R3 está determinado por un punto P (x0, y0, z0 ) y dos vectores directores linealmente independientes u¯(u1, u2) y v¯(v1, v2). Los puntos (x, y, z) que pertenecen al plano π se pueden expresar de las siguientes formas equivalentes: Vectorial : (x, y, z) = (x0, y0, z0)+λ(u1, u2, u3)+µ(v1, v2, v3). Paramétricas:   x = x0 + λu1 + µv1 y = y0 + λu2 + µv2 siendo λ, µ ∈ R los parámetros.  z = z0 + λu3 + µv3

Cartesianas: ax + by + cz + d = 0 siendo a, b, c, d ∈ R. El vector n ¯ (a, b, c) es perpendicular al plano y se llama vector normal al plano. Obsérvese que eliminando o a˜ nadiendo parámetros se puede pasar de la expresión paramétrica a la expresión cartesiana o viceversa.

Posiciones Sean r y s dos rectas del plano R2 con pendientes mr y ms . Si mr = ms , son paralelas y si mr ms = −1, son perpendiculares entre s´ı. Dos planos en el espacio pueden tener las siguientes posiciones: coincidentes, paralelos (el sistema de las ecuaciones dadas por cada plano es incompatible) o se cortan en una recta (el sistema de las ecuaciones dadas por cada plano es compatible indeterminado).

49



Ejemplo 21. Dados los vectores A(2, 4), B(3, 5) y C(4, 1). −→ −→ −−→ Calcular los vectores fijos AB, AC y BC y sus módulos. Por definición: √ √ −→ −→ AB(3 − 2, 5 − 4) = (1, 1) y |AB| = + 12 + 12 = + 2, p √ −→ −→ AC(4 − 2, 1 − 4) = (2, −3) y |AC| = + 22 + (−3)2 = + 13, p √ −− → −−→ BC(4 − 3, 1 − 5) = (1, −4) y |BC| = + 12 + (−4)2 = + 17.

50



Ejemplo 22. Sean los vectores (1, 4), (2, 3) y (2, 5). Calcular los vectores: (1, 4) + (2, 3), (2, 3) + (2, 5) y 3(2, 3). Comprobar si los tres son linealmente dependientes y si (1, 4) y (2, 3) son linealmente independientes. Se cumple: (1, 4) + (2, 3) = (3, 7), (2, 3) + (2, 5) = (4, 8) y 3(2, 3) = (6, 9). Los vectores dados son linealmente dependientes si uno de ellos, por ejemplo (2, 5) se puede escribir como combinación lineal del resto, es decir, si existen α, β ∈ R tales que α(1, 4) + β(2, 3) = (2, 5). En efecto, resolviendo el sistema que resulta de la igualad anterior, α + 2β = 2; 4α + 3β = 5 se obtiene: α=

4 5

y

3 β= . 5

Por tanto los tres vectores son linealmente dependientes. Sin embargo (1, 4) y (2, 3) son linealmente independientes ya que la ecuación (1, 4) = α(2, 3) no tiene solución.

51



Ejemplo 23. Escribir las expresiones de la recta que pasa por (1, 3) y (2, 2) y obtener la recta perpendicular a ella que pasa por (1, 1). Un vector dirección de la recta se obtiene restando dos puntos que pasan por ella, por ejemplo,:(u1, u2) = (1, 3) − (2, 2) = (−1, 1). Expresión Vectorial: (x, y) = (1, 3) + λ(−1, 1) λ ∈ R. Paramétrica: x = 1 − λ, y = 3 + λ, λ ∈ R. Continua: Cartesiana:

x−1 y−3 = . 1 −1 y + x − 4 = 0.

Expl´ıcita: y = 4 − x. Punto pendiente: y − 3 = −(x − 1).

Cualquier recta perpendicular a ella tiene como pendiente m=−

1 =1 −1

ya que −1 es la pendiente de r. Entonces la recta perpendicular a r que pasa por el punto (1, 1) tiene como expresión y − 1 = x − 1 (en forma punto-pendiente). 52



Ejemplo 24. Sea el plano de ecuación vectorial (x, y, z) = (1, 0, 1)+λ(1, 2, 3)+µ(2, 0, 2). Escribir las distintas expresiones y hallar un vector normal al plano. Paramétricas: x = 1 + λ + 2µ, y = 2λ, z = 1 + 3λ + 2µ λ, µ ∈ R. Cartesianas: se obtienen eliminando los parámetros de la expresión paramétrica. En este caso, es fácil comprobar que x + y = 1 + 3λ + 2µ, por tanto la expresión en cartesianas es: x + y = z o equivalentemente x + y − z = 0. Un vector normal al plano es (1, 1, −1) o cualquier m´ ultiplo suyo (2, 2, −2), (−5, −5, 5),. . . Nótese que un punto del plano queda determinado para un valor de λ y un valor de µ, por ejemplo, dos puntos del plano son: (4, 2, 6) para λ = 1 y µ = 1 y (3, 0, 3) para λ = 0 y µ = 1.


Ejercicio 19. ¿Es el vector (5, 8) combinación lineal de los vectores (1, 1) y (1, 2)? Ejercicio 20. Calcular el módulo del vector (1, 2) + (3, 4). Ejercicio 21. Calcular la pendiente de la recta x = 2 + 3λ, y = 1 − λ, λ ∈ R. 53



Ejercicio 22. Calcular un vector normal del plano x = 1 + 2λ, y = −3µ, z = 2 siendo λ, µ ∈ R.

Ejercicio 23. Hallar el punto de corte de las rectas x − y = 2 y 2x − y = 4.

Soluciones

Soluci´ on 19. Si porque (5, 8) = 2(1, 1) + 3(1, 2). Soluci´ del vector (1, 2) + (3, 4) = (4, 6) vale √ on 20. El √ módulo √ 2 2 + 4 + 6 = + 52 = +2 13. Soluci´ on 21. La pendiente de una recta aparece en su expresión expl´ıcita. En este caso la ecuación dada es en forma paramétrica. Si se despeja el parámetro de ambas ecuaciones, λ = x−2 3 y λ = −y + 1 se obtiene la expresión continua: x−2 =1−y 3 y operando se deduce: 1 5 y =− x+ . 3 3 Entonces la pendiente de la recta dada es: 1 m=− . 3 Soluci´ on 22. Un vector normal es cualquier m´ ultiplo del vector (0, 0, 1) ya que el plano dado tiene por ecuación cartesiana z=2 como se deduce de la ecuación en paramétricas dada. Soluci´ on 23. El punto de corte es (2, 0) debido a que x = 2, y = 0 es la solución del sistema x − y = 2; 2x − y = 4. 54


3.6.


Ficha 6: C´ onicas

Las cónicas son casos particulares de la siguiente ecuación de segundo grado ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 siendo x e y las variables y a, b, c, d, e, f ∈ R. Sus puntos cumplen cierta propiedad geométrica en el plano R2 . Estas curvas también se conocen con el nombre de secciones cónicas porque se obtienen al seccionar un cono con un plano. Se clasifican en circunferencia, elipse, hipérbola y parábola. Circunferencia Una circunferencia es el conjunto de puntos P (x, y) que equidistan r > 0 de un punto fijo C(x0, y0 ) (centro). Ecuaci´ on general: (x − x0)2 + (y − y0 )2 = r2 . y r y0

C

x0

x

Circunferencia de centro (x0 , y0 ) y radio r.

Elipse Una elipse es el conjunto de puntos P (x, y) cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F ′ (focos) es constante −−→ −→ |P F | + |P F ′ | = 2a (a > 0). Ecuaci´ on general con centro (x0, y0) y focos F (c, 0) y F ′ (−c, 0) (c > 0) siendo a > 0 el semieje mayor y b > 0 el semieje 55



menor:

(x − x0)2 (y − y0)2 + = 1. a2 b2 Se verifica a2 = b2 + c2 . y b −a

F

P

F′

ax

−b Elipse con centro (0, 0).

Nótese que la circunferencia es un caso particular de la elipse (cuando a = b). Hipérbola Una hipérbola es el conjunto de puntos P (x, y) cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F y F ′ (focos) es −−→ −→ constante |P F | − |P F ′ | = ±2a (a > 0). Ecuaci´ on general con centro(x0, y0) y focos F (c, 0) y F ′ (−c, 0) (c > 0): (x − x0)2 (y − y0 )2 − =1 a2 b2 siendo a > 0 el semieje mayor y b > 0 el semieje menor. Se verifica que c2 = a2 + b2. La hipérbola posee dos as´ıntotas que son dos rectas simétricas que pasan por el centro (x0, y0).

56



y 3

−3

3

x

−3 Hip´ erbola equil´ atera de ecuaci´ on xy = 1 referida respecto a sus as´ıntotas.

Una hipérbola es equilátera si a = b. Parábola Una parábola es el conjunto de puntos P (x, y), tales que equidistan de un punto fijo F (foco) y de una recta (directriz). El punto medio entre el foco y la directriz se llama vértice V = (u, v). La recta que pasa por el foco y el vértice se denomina eje de la parábola. La parábola es simétrica respecto a su eje. Ecuaci´ on general con vértice V = (u, v) y directriz y = v − p: (x − u)2 = 4p(y − v). eje

b

vértice directriz

Par´ abola

57



Ejemplo 25. Clasificar la siguiente cónica 2x2 + 2y 2 − 4x + 8y − 10 = 0. Desarrollando (x − x0)2 + (y − y0 )2 = r2 resulta x2 + y 2 − 2xx0 − 2yy0 + x20 + y02 − r2 = 0. Por otro lado la ecuación dada es equivalente a x2 + y 2 − 2x + 4y − 5 = 0. Igualando ambas expresiones resulta x0 = 1, y0 = −2 y r = √ 10. Luego la √ cónica dada es una circunferencia de centro (1, −2) y radio 10.

Ejemplo 26. Calcular los focos de la elipse x2 y 2 + = 1. 9 4 El centro de la elipse es (0, 0). Los focos F y F ′ están en el eje de abscisas por tanto son de la forma F = (c, 0) y F ′ (−c, 0). Como a = 3 y b = 2 teniendo en cuenta que a2 = b2 + c2 se obtiene: √ c=± 5 √ √ y los focos son (− 5, 0) y ( 5, 0).

58



Ejemplo 27. Calcular el eje y el vértice de la parábola y = 2x2 − 4, o equivalentemente 1 y = x2 − 2. 2 Desarrollando la expresión de la parábola (x − u)2 = 4p(y − v) siendo (u, v) el vértice y y = v − p la directriz resulta: x2 + u2 − 2xu + 4pv = 4py. Igualando, se obtiene 1 u = 0, 4p = , u2 + 4pv = −2, 2 es decir, u = 0, v = −4 y p = 18 . Por tanto el vértice es (0, −4), la directriz es y = −4 − 81 y el eje de simetr´ıa es x = 0.

Ejemplo 28. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro el punto (1, 0) y que pasa por el punto (4, 4). Como el centro es (1, 0) la circunferencia pedida es de la forma (x − 1)2 + y 2 = r2 . Para calcular el radio r se impone que pase por el punto (4, 4), es decir, (4 − 1)2 + 42 = r2. Entonces r = 5 y la circunferencia pedida es: (x − 1)2 + y 2 = 25.

59



Ejemplo 29. Calcular los focos de la hipérbola x2 y 2 − = 1. 9 4 Los focos F y F ′ están en el eje de ordenadas por tanto son de la forma F (c, 0) y F ′ (−c, 0). Como a = 3 y b = 2 teniendo en cuenta la relación c2 = a2 + b2 se deduce que √ √ c = ± 9 + 4 = ± 13 √ √ y los focos son: F ( 13, 0) y F ′ (− 13, 0).


Ejercicio 24. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (−1, 5) y radio 3. Ejercicio 25. Calcular el centro de la circunferencia que pasa por los puntos (0, 0), (1, 2) y (6, 3). Ejercicio 26. Calcular el eje de simetr´ıa y el vértice de la parábola −y 2 − 4y − 2 = x. Ejercicio 27. Clasificar la cónica (x − y)(x + y) = 1.

Soluciones

Soluci´ on 24. La circunferencia es (x + 1)2 + (y − 5)2 = 9.

−5 Soluci´ on 25. El centro es ( 25 6 , 6 ).

Soluci´ on 26. El eje es y = −2 y el vértice (2, −2).

Soluci´ on 27. Se trata de una hipérbola equilátera. 60


4.


Prueba de autoevaluaci´ on

Haga el test siguiente de Verdadero o Falso para saber el nivel de conocimientos que tiene en este bloque.

61



Si A y B son matrices cuadras regulares, entonces AB posee inversa.   1 2 1 El determinante de  2 3 2  es 1. 2 2 1 Las ra´ıces reales del polinomio x3 − 3x2 − x + 3 suman 3. Un sistema de 3 ecuaciones lineales con 2 incógnitas tal que ninguna de sus ecuaciones es redundante, puede ser compatible indeterminado. El sistema de ecuaciones 3x − y + z = 1; x − y = 2; x + y + z = 0 es compatible determinado. La suma de las coordenadas de cualquier vector normal al plano de ecuaciones paramétricas: x = 2, y = 1+λ, z = 2−2µ es un n´ umero par. (−3, 3) es un vector dirección de la recta de ecuación 2x + 2y = 1. x−1 1 2 + = . x2 − 1 x + 1 x + 1

Verdadero Falso

Verdadero Falso Verdadero Falso Verdadero Falso

Verdadero Falso

Verdadero Falso

Verdadero Falso Verdadero Falso

La ecuación x2 −4x+y 2 −2y +4 = 0 define Verdadero Falso una circunferencia. x = 2 es el eje de la parábola y = x2 − Verdadero Falso 2x − 4.

Bibliograf´ıa Cualquier libro utilizado en el Curso de Acceso a la Universidad. Un material más completo lo forman: libros de primero y segundo de bachillerato (tanto de Ciencias Sociales como Ciencias Experimentales). Asimismo cualquier libro del antiguo Curso de Orientación Universitaria o C.O.U. Recursos on line:WWW (World Wide Web) Matex. Javier González. Universidad de Cantabria http://personales.unican.es/gonzaleof/ Descartes. Ministerio de Educación y Ciencia http://descartes.cnice.mecd.es/ Otros sitios de apuntes, ejercicios y videos. http://www.matematicasies.com/

63

Índice alfab´ etico adjunto de un elemento, 19 cónica, 55 circunferencia, 55 combinación lineal, 47 determinante, 19 diagonal principal, 8 distancia entre dos puntos, 46 ecuación lineal, 36 término independiente, 36 incógnitas de una, 36 eje, 57 eliminación gaussiana, 38 elipse, 55 escalar, 47 escalonar, 11 factor lineal, 27 foco, 57 hipérbola, 56 equilátera, 57 linealmente independientes, 48

dependientes, 47 método de Ruffini, 27, 28 módulo, 46 matriz, 8 adjunta, 19 antisimétrica, 8 columna de una, 8 cuadrada, 8 dimensión de una, 8 elementos de una, 8 escalonada, 9 escalonada reducida, 9 fila de una, 8 hemisimétrica, 8 identidad, 9 inversa, 11, 20 menor de una, 21 nula, 9 orden de una, 8 rango de una, 11, 21 real, 8 regular, 11 simétrica, 8 singular, 11 64



traspuesta de una, 10 triangular, 8 monomios, 27 operaciones matrices, 9 polinomios, 27 vectores, 47 operaciones elementales, 10

vértice, 57 vector, 46 dirección, 48 fijo, 46 libre, 46 normal, 49

parábola, 57 pendiente, 48 plano, 49 polinomio, 27 coeficientes de un, 27 grado del, 27 ra´ız de un, 27 racional, 27 reducible, 28 recta, 48 reducción, 38 regla de Cramer, 38 sistema de ecuaciones lineales compatible, 37 incompatible, 37 resolver un, 38 solución de, 36 submatriz, 9 sustitución, 38 traza, 8 65

C URS OSO

MAT E MÁT I C AS

Ap l i c a c i o n e s , f u n c i o n e sy g r á f i c a s Da n i e l F r a n c oL e i s De p a r t a me n t od eMa t e má t i c aAp l i c a d a E T S I I n d u s t r i a l e s

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Daniel Franco Leis


Aplicaciones, funciones y gráficas Prof. Daniel Franco Leis Departamento de Matemática Aplicada ETSI Industriales

1


4.

Introducción y objetivos . . . . . . . . . 1.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . Prueba de auto-diagnóstico . . . . . . . . Contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Ficha 1: Aplicaciones . . . . . . . 3.2. Ficha 2: Funciones . . . . . . . . 3.3. Ficha 3: Funciones algebraicas . . 3.4. Ficha 4: Funciones transcendentes Prueba de autoevaluación . . . . . . . . Bibliograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . Índice alfabético . . . . . . . . . . . . . .

2

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

3 3 4 5 5 12 21 32 40 41 41

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1.



Las aplicaciones y funciones son una herramienta básica que debe conocer y manejar con soltura. En este bloque recordaremos la definición de aplicación y algunas de las propiedades más importantes. También estudiaremos en este bloque las funciones que, como veremos, no son más que un tipo particular de aplicación. En el caso de las funciones prestaremos especial atención a las representaciones gráficas. Todo estudiante de carreras técnicas o cient´ıficas debe conocer la representación gráfica de las funciones más importantes y al finalizar este bloque lo logrará. 1.1.

Objetivos Comprender la definición de aplicación. Estudiar algunas propiedades básicas de las aplicaciones. Comprender la definición de función. A partir de la gráfica deducir el comportamiento de una función. Identificar la gráfica de las funciones más importantes.

3

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2.


Prueba de auto-diagn´ ostico

Haga el test siguiente para evaluar el nivel de conocimientos que tiene en este tema. Una aplicación siempre asigna imágenes distintas a elementos distintos. Una aplicación inyectiva siempre es sobreyectiva. Dadas dos aplicaciones siempre se pueden componer. La función dada por f (x) = x2 es inyectiva. El dominio y el rango de la función valor absoluto coinciden. A partir de la gráfica de una función se puede deducir su dominio y rango La gráfica de una función puede contener una circunferencia completa La función dada por f (x) = ln x tiene dominio (0, ∞) La función 2x es sobreyectiva

Verdadero

Falso

Verdadero

Falso

Verdadero

Falso

Verdadero

Falso

Verdadero

Falso

Verdadero

Falso

Verdadero

Falso

Verdadero

Falso

Verdadero

Falso

Si ha tenido muchas dificultades y el n´ umero de respuestas correctas no le parece aceptable, debe hacer de forma ordenada todas las fichas que encontrará a continuación. Si solamente ha tenido dificultades en algunos casos, localice las fichas correspondientes y repáselas. Si ha respondido todo correctamente puede pasar a otro bloque. 4

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3.


Contenidos

3.1.

Ficha 1: Aplicaciones

Una aplicaci´ on p entre dos conjuntos no vac´ıos A y B se denota por p: A → B

y significa que p asigna a todo elemento de A (conjunto de partida o inicial) uno de B (conjunto de llegada o final) y solo uno. Para informar de que la aplicación p asigna β ∈ B al elemento a ∈ A escribiremos: p: A → B p(a) = β o a β, y diremos que β es la imagen de a por p. La información del primer párrafo de esta página es importante. Si alg´ un elemento de A no tiene imagen (no está definida) o alg´ un elemento de A tiene más de una imagen (no está bien definida) no tenemos una aplicación. Ejemplo 1. Consideremos las asignaciones descritas por: a α a α b

β

c

b

β

c

γ

En el primer caso no tenemos una aplicación porque no está definida la imagen del elemento c, en el segundo caso no tenemos aplicación porque no está bien definida la imagen de b. 5

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Una aplicación es inyectiva si no existen dos elementos distintos del conjunto de partida con la misma imagen. Una aplicación es sobreyectiva si todos los elementos del conjunto de llegada son imágenes de alguno del de partida. Una aplicación inyectiva y sobreyectiva se dice biyectiva. Ejemplo 2. Dadas las aplicaciones siguientes: a α a b

β

b

c

γ

c

α β

La primera aplicación no es ni inyectiva (a y c tienen la misma imagen) ni sobreyectiva (γ no es imagen de ning´ un elemento). La segunda es sobreyectiva (todos los elementos del conjunto final reciben una flecha) pero no inyectiva (hay dos flechas que apuntan al mismo elemento).

Ejemplo 3. Dadas las aplicaciones siguientes a α a b

α

β

b

β

γ

c

γ

La primera aplicación es inyectiva (las imágenes de elementos distintos son distintas) pero no sobreyectiva. La segunda es biyectiva por ser inyectiva y sobreyectiva.

6

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Sean p : A → B y M ⊂ A, el conjunto imagen de M por p se denota por p(M) y se trata del conjunto formado por los elementos de B que son imágenes de alg´ un elemento de M por p, esto es, p(M) = {b ∈ B : b = p(a) para alg´ un a ∈ M}. De forma similar el conjunto imagen rec´ıproca de un subconjunto N de B es p−1(N ) = {a ∈ A : p(a) ∈ N }. Ejemplo 4. Dada p : N → N que a cada natural le asigna su doble y dados P = {2, 4, 6, 8, . . . } e I = {1, 3, 5, 7, . . . } calculemos p(P ), p(I), p−1(P ) y p−1(I). Como el doble de un n´ umero par es un m´ ultiplo de 4 y el doble de un n´ umero impar es un m´ ultiplo de 4 menos 2, se tiene p(P ) = {4, 8, 12, 16, . . . },

p(I) = {2, 6, 10, 14, . . . }.

Por otro lado, para calcular p−1(P ) debemos encontrar los elementos de N cuya imagen por p es un n´ umero par, es decir, cuya imagen pertenece a P . Como la imagen por p de cualquier n´ umero natural es un n´ umero par tenemos que p−1(P ) = N. Finalmente p−1(I) = ∅

porque un n´ umero impar no es el doble de ning´ un n´ umero.

7

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Si tenemos dos aplicaciones p : A → B y q : B → C es posible definir una aplicación entre A y C de la forma siguiente: q ◦ p: A → C a q(p(a)).

B p

q

A

C q◦p

La aplicación q ◦ p se llama composici´ on de p con q o simplemente p compuesta con q. Una aplicación p : A → B se puede componer solamente con aplicaciones que partan de conjuntos que contengan al conjunto imagen p(A). Ejemplo 5. La composición de p : N → Z, dada por p(n) = 1 − n, con q : Z → Q, dada por q(z) = z 2z+1 , es una aplicación entre los conjuntos N y Q dada por q ◦ p(n) = q(p(n)) = q(1 − n) =

8

1−n 1−n = . (1 − n)2 + 1 n2 − 2n + 2

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Se llama aplicaci´ on identidad a la que lleva a un elemento en s´ı mismo, se suele denotar por id o por I. Por tanto, id : A → A viene dada por id(a) = a para todo a ∈ A.

Mediante p : A → B asignamos a cada elemento de A uno de B. ¿Será posible encontrar una aplicación que deshaga esa asignación?, esto es, que compuesta con p resulte la identidad. La respuesta es afirmativa solamente si p es inyectiva, siendo además u ńica. Se llama aplicaci´ on inversa, se denota por −1 p : p(A) ⊂ B → A y verifica p−1 ◦ p = p ◦ p−1 = id.

Ejemplo 6. Calculemos la aplicación inversa de p : N → N dada por p(n) = 3n. Claramente p es inyectiva porque n 6= m

⇒

p(n) = 3n 6= 3m = p(m)

y tenemos garantizada la existencia de aplicación inversa. Se debe cumplir p−1 ◦ p(n) = n, esto es, p−1(3n) = n. Ahora haciendo m = 3n tenemos que p−1(m) = m3 . Por tanto, la aplicación inversa vendrá dada por la expresión p−1(m) = m3 . Veamos que p ◦ p−1 = id. Efectivamente, sustituyendo resulta n n p ◦ p−1(n) = p( ) = 3 = n. 3 3

Luego la aplicación p−1 : {3, 6, 9, . . . } → N dada por la expresión p−1(m) = m3 es la inversa de p.

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Ejercicios propuestos Ejercicio 1. ¿Está bien definida p : N → Q tal que p(n) = para todo n ∈ N? Ver respuesta correcta.

√

n

Ejercicio 2. Si las aplicaciones p : N → Q y q : Z → N vienen n2 y q = n2 ∀n ∈ N, se˜ nale qué aplicaciones dadas por p(n) = n+1 se pueden definir de entre las siguientes: p ◦ q, q ◦ p, q ◦ (p ◦ q), p ◦ (p ◦ q) Ver respuesta correcta. Ejercicio 3. ¿Es posible calcular la aplicación inversa de la aplicación p : R → R que a cada x le asigna x2? Ver respuesta correcta. Ejercicio 4. Calcule la aplicación inversa de la aplicación p : (−∞, 0] → R que a cada x le asigna x2. Ver respuesta correcta.

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Soluciones ejercicios propuestos

√ Solución Ejercicio 1: No. Recuerde que por ejemplo 2 no es un n´ umero racional. Por lo tanto, no lleva elementos de N en elementos de Q. Solución Ejercicio 2: Sabemos que: Una aplicación f : A → B se puede componer solamente con aplicaciones que partan de conjuntos que contengan al conjunto imagen de f . Por tanto, solamente tiene sentido p ◦ q. Solución Ejercicio 3: No es posible calcular la aplicación inversa porque la aplicación no es inyectiva. Por ejemplo, −1 y 1 tienen la misma imagen. Solución Ejercicio 4: En este caso la aplicación s´ı es inyectiva porque el cuadrado de dos n´ umeros negativos distintos no puede coincidir. La inversa debe cumplir p−1 ◦ p = id

⇒

p−1(x2) = x

y sabemos que x es un n´ umero negativo. √ Haciendo y = x2 tenemos que x = − y. Por tanto, la aplicación p−1 : [0, ∞) → (−∞, 0] √ dada por p−1(x) = − x para todo n´ umero positivo es la inversa de p.

11

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3.2.


Ficha 2: Funciones

Las funciones es el nombre que se les da a las aplicaciones en cálculo. Por lo tanto, una función no es más que una aplicación. Aqu´ı nos centraremos en las funciones reales de variable real. Una funci´ on real de variable real es una aplicación f de un subconjunto1 no vac´ıo Ω de R en R f : Ω ⊂ R → R. Ejemplo 7. f: R → R x 2 Esta función asigna la misma imagen a todos los elementos de R. Se dice que es una funci´ on constante. En muchas ocasiones, en lugar de la notación empleada en los ejemplos anteriores encontraremos la siguiente: f : Ω ⊂ R → R dada por f (x) = 2. Ejemplo 8. f: R → R x x2 Esta función asigna a cada elemento de R el valor de su cuadrado. As´ı, f (1) = 1, f (−2) = 4. 1 Recuerde que un conjunto es subconjunto de si mismo, por tanto Ω puede ser en ocasiones R.

12

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Ejemplo 9. f: R → R x |x|

Esta función asigna a cada elemento su valor absoluto, es decir, f (x) = |x| = x · signo(x).

Ejemplo 10. f : [0, ∞) → R √ x + x Esta función no está definida para los n´ umeros negativos. Daremos nombres a tres conjuntos importantes que se definen a partir de una función f : D ⊂ R → R: El conjunto D se llama dominioy se denota por dom(f ). El conjunto f (D) se llama rango. El conjunto {(x, f (x)) : x ∈ D} se llama gr´ afica de la 2 función. Obsérvese que los conjunto dominio y rango son el conjunto origen y el conjunto imagen ya vistos. Ejemplo 11. La función f : [0, 1] ⊂ R → R dada por f (x) = 2x tiene por dominio el intervalo [0, 1], por rango el intervalo [0, 2] y por gráfica {(x, 2x) : x ∈ [0, 1]}. 2

F´ıjese que el dominio y el rango son subconjuntos de R mientras que la gráfica es un subconjunto de R2 = R × R.

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Es muy habitual que una función venga dada por una expresión f (x) sin hacer mención a su dominio. En este caso, se sobreentiende que el dominio de la función es el mayor subconjunto de R en el que la expresión f (x) tiene sentido.

π tiene por x−1 dominio R − {1} porque para 1 se anula el denominador de la π expresión y por tanto no tiene sentido f en 1. x−1 Ejemplo 12. La función definida por f (x) =

Ejemplo 13. La función definida por f (x) = ln x tiene por dominio (0, ∞) porque para valores no positivos el logaritmo neperiano no está definido. La gráfica de una función f : D ⊂ R → R es extremadamente u ´til para entender su comportamiento. Su gráfica {(x, f (x)) : x ∈ D} es un subconjunto de R2 que puede ser dibujado con ayuda de unos ejes coordenados. Conocida la gráfica podremos saber rapidamente si un elemento está en el dominio, si un elemento está en el rango, si la función es inyectiva o si la función es sobreyectiva.

14

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y f (x)

(x, f (x))

x

x

Para conocer la imagen de un punto x debemos trazar una recta perpendicular al eje X pasando por x. Tal recta cortará a la gráfica de la función como mucho en un punto (si la cortase en más de un punto la función no estar´ıa bien definida: x tendr´ıa más de una imagen). Si no corta a la gráfica significa que ese elemento x no está en el dominio. Si por el contrario la corta, trazando una recta paralela al eje X en el punto de corte obtendremos el valor de la imagen, f (x), en el eje Y . Para saber si un elemento y ∈ R está en el rango de la función trazamos una recta paralela al eje X desde el punto y en el eje Y . Si esa recta corta a la gráfica, el elemento y pertenece al rango. A la vista de la gráfica de una función podemos deducir si es inyectiva o sobreyectiva: Si todas las rectas paralelas al eje X cortan a la gráfica de la función, ésta es sobreyectiva. Si ninguna recta paralela al eje X corta a la gráfica en más de una ocasión, ésta es inyectiva. 15

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Ejemplo 14. Consideremos las dos gráficas siguientes: y

y

x

x

La primera gráfica corresponde a una función inyectiva y sobreyectiva (cualquier recta horizontal corta a la gráfica en una ocasión y solamente en una). La segunda a una función que no es ni inyectiva (hay rectas horizontales que cortan a la gráfica en más de una ocasión) ni sobreyectiva (hay rectas horizontales que no cortan a la gráfica en ninguna ocasión).

16

Daniel Franco Leis


Ejercicios propuestos Ejercicio 5. ¿Coinciden el dominio de f (x) = |x| y su rango? Ver respuesta correcta. Ejercicio 6. Dadas dos funciones con expresiones f (x) y g(x) podemos definir una nueva función f · g que recibe el nombre de función producto y que viene dada por la expresión f (x) · g(x). ¿El dominio de la función producto f · g es la intersección de los 1 ln x. dominios de f y g? Calcule el dominio de h(x) = x−1 Ver respuesta correcta. Ejercicio 7. ¿La gráfica siguiente corresponde a una función? y

x

Ver respuesta correcta. Ejercicio 8. ¿La gráfica siguiente corresponde a una función? ¿Es su dominio todo R? ¿Es su rango un intervalo acotado?

17

Daniel Franco Leis


y

x

Ver respuesta correcta.

18

Daniel Franco Leis


Soluciones ejercicios propuestos Solución Ejercicio 5: No. El dominio de la función valor absoluto es todo R ya que la expresión |x| tiene sentido para todo x. Sin embargo, la función solamente toma valores no negativos y por tanto su rango es [0, ∞). A continuación aparece la gráfica de la función valor absoluto. y f (x) = |x| x

Solución Ejercicio 6: S´ı. El dominio de la función producto f ·g viene dado por los valores de x para los que la expresión f (x) · g(x) tenga sentido. Por tanto deben tener sentido tanto f (x) como g(x). As´ı el dominio está formado por los elementos que están en los dominios de f y g a la vez dom(f · g) = dom(f ) ∩ dom(f ).

Para calcular el dominio de h(x) =

1 ln x x−π

calculamos el dominio de cada uno de los factores que de1 finen h. La expresión x−π da lugar a una función con dominio R − {π} y la expresión ln x da lugar a una función 19

Daniel Franco Leis


con dominio (0, ∞). El dominio buscado es [R − {π}] ∩ (0, ∞) = (0, ∞) − {π}. Solución Ejercicio 7: No. Un elemento x no puede tener dos imágenes distintas. Trazando, por ejemplo, una recta paralela al eje Y por el punto (0, 0) vemos que interseca a la gráfica en dos ocasiones. Solución Ejercicio 8: S´ı, corresponde a una función porque cada x tiene a lo sumo una imagen f (x). Su dominio es R − {0} porque salvo que la situemos en x = 0 toda recta vertical corta a la gráfica. Su rango es R − {0} porque salvo que la situemos en y = 0 toda recta horizontal corta a la gráfica. Por lo tanto, el rango de la función no es un intervalo acotado.

20

Daniel Franco Leis

3.3.


Ficha 3: Funciones algebraicas

En esta ficha y la siguiente recordaremos las gráficas de algunas funciones muy importantes y a partir de ellas deduciremos varias de las propiedades que las hacen singulares3. Antes de empezar estableceremos que una función es estrictamente creciente en un intervalo si al situarnos sobre su gráfica en ese intervalo y avanzar de izquierda a derecha la gráfica sube. De forma similar diremos que una función es estrictamente decreciente en un intervalo si al situarnos sobre su gráfica en dicho intervalo y avanzar de izquierda a derecha la gráfica baja. Por ejemplo, la función valor absoluto que apareció representada anteriormente es estrictamente creciente en (0, ∞) y estrictamente decreciente en (−∞, 0). Funciones potenciales Las funciones f (x) = xn con n ∈ N son habitualmente llamadas funciones potenciales. Tienen dominio todo R y el rango depende de si n es par o impar, siendo [0, ∞) para n par. R para n impar. Mire con detenimiento las gráficas de las funciones potenciales f (x) = x, f (x) = x2, f (x) = x3 y f (x) = x4 que aparecen a continuación. 3

Si nunca ha visto las gr´ aficas de estas funciones este recordatorio no es suficiente y necesitar´ a utilizar la bibliograf´ıa complementaria para adecuar su formaci´ on

21

Daniel Franco Leis

Curso 0 Matemáticas f (x) = x3 y

f (x) = x4

f (x) = x2 f (x) = x

2

−4

−2

2

x

−2

−4

Las gráficas muestran que para n par existe una simetr´ıa con respecto al eje 0Y y para n impar existe una simetr´ıa con respecto al origen (0, 0). Ahora no debe sorprendernos que una función simétrica con respecto al eje 0Y , esto es, que verifica f (x) = f (−x) para todo x, se llame funci´ on par y una función que es simétrica con respecto al origen, esto es que verifica f (x) = −f (−x), se llame funci´ on impar. Las funciones potenciales son estrictamente crecientes en todo R para n impar. Sin embargo, para n par son estrictamente decrecientes en (−∞, 0) y estrictamente crecientes en (0, ∞). 22

Daniel Franco Leis


Funciones polin´ omicas Una combinación lineal de funciones potenciales da lugar a una función polinómica. En otras palabras, f (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 donde an 6= 0 y ai ∈ R para i ∈ {0, 1, . . . , n} es una funci´ on polin´ omica de grado n. Por ejemplo, f (x) = −3x3 + x + 1 o f (x) = x6 + x4 + 1 son funciones polinómicas de grado 3 y 6 respectivamente. El dominio de estas funciones es todo R y el rango depende al igual que en las funciones potenciales del carácter par o impar del grado n. Como un polinomio de grado n puede tener a lo sumo n ra´ıces reales, la gráfica de una función polinómica de grado n corta al eje 0X como mucho en n ocasiones y tendrá también como mucho n−1 cumbres (máximos relativos) o valles (m´ınimos relativos). A continuación dibujaremos las gráficas de tres funciones polinómicas de grados 1, 2 y 3 respectivamente. F´ıjese con detenimiento en el comportamiento de cada una de ellas, cuente el n´ umero de cortes con los ejes, cuente el n´ umero de cumbres y valles, verifique el dominio y el rango.

23

Daniel Franco Leis

Curso 0 Matemáticas y

f (x) = −x3 + 4x

12

f (x) = x + 3

8

4

−4

−2

2

x

−4 f (x) = −

x2 +x+4 −8 2 −12

Algunas funciones polinómicas tienen nombre propio debido a su importancia: Las funciones dadas por f (x) = m con m ∈ R se llaman funciones constantes y su gráfica es una l´ınea recta horizontal. Las funciones dadas por f (x) = mx con m ∈ R, m 6= 0 se llaman funciones lineales y su gráfica es una l´ınea recta de pendiente m que pasa por el origen. Las funciones dadas por f (x) = mx + n con m, n ∈ R se llaman funciones afines y su gráfica es una l´ınea recta de pendiente m que pasa por el punto (0, n). 24

Daniel Franco Leis


Las funciones dadas por f (x) = ax2 + bx + c con a 6= 0 se llaman funciones cuadr´ aticas y su gráfica es una 4 parábola .

Funciones racionales Son las que se construyen dividiendo dos funciones polinómix+1 cas, por ejemplo, f (x) = 3 . x +3 Su dominio es R menos los posibles puntos en los que se anule el denominador5. Su comportamiento var´ıa enormemente tal y como muestran las gráficas que aparecen a continuación. Observamos que justo antes y justo después de los puntos que no pertenecen al dominio la función crece o decrece estrictamente tomando valores tan grandes (o tan peque˜ nos) como se quiera. y

y

f (x) = − x1

f (x) =

x f (x) =

1 2x2

x

x x2 +1

2 f (x) = − 1+x 2

f (x) = − x1

4

Con forma de ∪ si a > 0 y con forma de ∩ si a < 0 Si el denominador y el numerador tiene ra´ıces comunes antes debemos simplificar, por x+1 x2 −1 = x+2 . ejemplo, f (x) = (x−1)(x+2) 5

25

Daniel Franco Leis

Curso 0 Matemáticas y

f (x) =

1 (x−1)(x+1)(x+2)

x

Funciones radicales √ Las funciones f (x) = n x con n ∈ N son habitualmente llamadas funciones radicales. Tienen dominio [0, ∞) si n es par y todo R si n es impar. El rango también depende de la paridad de n: si n es par entonces es [0, ∞), si n es impar entonces el rango es todo R.

Son funciones estrictamente crecientes en su dominio de definición con independencia de si n es par o impar. Pero tal y como se observa en la figura crecen mucho más despacio que las funciones potenciales.

26

Daniel Franco Leis


y

f (x) =

√

x

2

−4

−2

f (x) =

√ 3

x

2

x

−2

Las funciones radicales y las potenciales son inversas unas de otras pero debemos tener cuidado. Si n es impar no hay problema porque la función f (x) = xn es inyectiva y su inversa √ es f −1(y) = n y. Las dificultades aparecen para n par ya que f (x) = xn no es inyectiva y en consecuencia no tiene inversa en todo su dominio. Sin embargo, si restringimos el dominio a (−∞, 0) o (0, ∞) s´ı son √ inyectivas y sus inversas son respectivamente f −1(y) = − n y y √ f −1(y) = n y.

27

Daniel Franco Leis


Ejercicios propuestos Ejercicio 9. ¿Las funciones son siempre estrictamente crecientes o estrictamente decrecientes? Ver respuesta correcta. Ejercicio 10. Se˜ nale en que intervalos es estrictamente creciente y en que intervalos es estrictamente decreciente la función cuya gráfica aparece a continuación. y 4

2

−4 −3 −2 −1

1

2

3

x

−2 Ver respuesta correcta. Ejercicio 11. La gráfica siguiente corresponde a una función 1 con a y b n´ umeros reales racional de expresión f (x) = (x−a)(x+b) positivos. ¿Puede determinar los valores de a y b?

28

Daniel Franco Leis


y 2

−4 −3 −2 −1

1

2

3

x

−2 −4 Ver respuesta correcta. Ejercicio 12. ¿Todas las funciones radicales f (x) = estrictamente crecientes en su dominio de definición?. Ver respuesta correcta.

√ n

x son

Ejercicio 13. Clasifique y calcule el dominio de la función dada 3 por f (x) = x2x+1 . Ver respuesta correcta.

29

Daniel Franco Leis


Soluciones ejercicios propuestos Solución Ejercicio 9: No. Por ejemplo, una función constante no es ni estrictamente creciente ni estrictamente decreciente. Su gráfica no sube ni baja al avanzar de izquierda a derecha. A continuación aparece la gráfica de la función constante f (x) = 2. y 2

−4

−2

2

x

−2 Solución Ejercicio 10: Si avanzamos de izquierda a derecha sobre la gráfica vemos que hasta x = −1 la gráfica baja, entre x = −1 y x = 0 la gráfica sube, entre x = 0 y x = 1 la gráfica baja y a partir de x = 1 la gráfica sube. Por tanto, la función es estrictamente creciente en los intervalos (−1, 0) y (1, +∞), mientas que la función es estrictamente decreciente en los intervalos (−∞, −1) y (0, 1). Solución Ejercicio 11: Se trata de una función racional. Sabemos que las ra´ıces del denominador determinan el dominio. En la gráfica observamos que la función no está definida para x = −1 y x = 2. Por lo tanto los valores buscados 1 . son a = 2 y b = 1, siendo la función f (x) = (x−2)(x+1) Solución Ejercicio 12: S´ı. Las funciones radicales son estrictamente crecientes en su dominio de definición. 30

Daniel Franco Leis


Solución Ejercicio 13: Se trata de una función racional porque su expresión viene dada por el cociente de dos polinomios. El dominio es todo R porque el polinomio x2 + 1 no tiene ra´ıces reales.

31

Daniel Franco Leis

3.4.


Ficha 4: Funciones transcendentes

Funciones exponenciales La expresión f (x) = ax con a > 0 define una funci´ on exponencial de base a. El dominio de una función exponencial es todo R con independencia del valor de la base a > 0. Si a = 1 la función exponencial es la función constante 1 y en este caso su rango es {1}. Si a > 1 la función es creciente y si a < 1 la función es decreciente, en ambos casos el rango es (0, ∞).

Cuando se habla de función exponencial sin especificar la base se sobrentiende que nos referimos a la función exponencial de base e, esto es, f (x) = ex o como aparece en algunos textos f (x) = exp(x). 1 f (x) = ( )x = 5−x 5 1 f (x) = ( )x = 2−x 2

y

f (x) = 5x f (x) = 2x

2

−4

−2

2

x

Como vemos, las funciones exponenciales son estrictamente crecientes si su base es mayor que 1 y estrictamente decrecientes si su base es menor que 1. 32

Daniel Franco Leis


Funciones logar´ıtmicas Una función exponencial con base a 6= 1 es inyectiva. Por lo tanto tendrá inversa. La función inversa recibe el nombre de funci´ on logar´ıtmica o funci´ on logaritmo de base a, f (x) = loga x. Si la base es el n´ umero e la función se llama función logaritmo neperiano y se denota por f (x) = ln x.6 Dado que son inversas de funciones exponenciales (que como vimos tienen dominio todo R y rango (0, ∞)), su dominio será (0, ∞) y su rango todo R. y f (x) = loge (x) = ln x

2

−4

−2

2

x f (x) = log 1e (x)

−2 −4

Son funciones sobreyectivas e inyectivas que en 1 toman el valor 0. Si la base es mayor que 1 la función logar´ıtmica es estrictamente creciente, si por el contrario la base pertenece al intervalo (0, 1) la función logar´ıtmica es estrictamente decreciente. Funciones seno, coseno y tangente 6

Al igual que ocurr´ıa con la funci´ on exponencial si no nos referimos a la base estamos sobrentendiendo que nos referimos a la funci´ on logaritmo neperiano.

33

Daniel Franco Leis


Las funciones trigonométricas son las que a cada x le asignan el valor de alguna razón trigonométrica de x. Las más importantes son sen x, cos x y tg x. La gráfica de la funci´ on seno, f (x) = sen x, aparece a continuación y vemos que el dominio de la función es todo R y el rango es [−1, 1]. y sen(x)

2

−6

−4

−2

2

4

x

−2 No es una función sobreyectiva ni inyectiva. Se verifica que sen 0 = 0, sen x = − sen(−x) y sen(x + 2π) = sen x. Por lo tanto es una función impar y periódica. La gráfica de la funci´ on coseno, f (x) = cos x, aparece a continuación y vemos que el dominio de la función es todo R y el rango es [−1, 1]. y cos(x)

2

−6

−4

−2

2 −2 34

4

x

Daniel Franco Leis


No es una función sobreyectiva ni inyectiva. Se verifica que cos 0 = 1, cos x = cos(−x) y cos(x + 2π) = cos x. Por lo tanto es una función par y periódica. x La gráfica de la funci´ on tangente, tg x = sen cos x , aparece a continuación y vemos que no pertenecen al dominio de la función los n´ umeros de la forma π2 + nπ y que su rango es R. Se verifica que tg 0 = 0, tg x = − tg(−x) y tg(x + π) = tg x. Por lo tanto, es una función impar y periódica.

y

x

35

Daniel Franco Leis


Ejercicios propuestos   ln x, x > 0 Ejercicio 14. ¿Coinciden el dominio de f (x) = 0, x=0  ln |x|, x < 0 y su rango? ¿Podr´ıa dibujarla? Ver respuesta correcta. Ejercicio 15. ¿El dominio y el rango de f (x) = sen 2x y g(x) = 2 sen x coinciden? Ver respuesta correcta. Ejercicio 16. La gráfica siguiente corresponde a una función exponencial, logar´ıtmica o polinómica. ¿Puede determinar a cuál? y 2

−4

−2

2

x

−2 −4 Ver respuesta correcta. Ejercicio 17. Una de las siguientes gráficas se corresponde con la de sec x = cos1 x , determ´ınela. 36

Daniel Franco Leis


y

y

x

x

Ver respuesta correcta.

37

Daniel Franco Leis


Soluciones ejercicios propuestos Solución Ejercicio 14: S´ı. El dominio de la función es todo R puesto que está bien definida para todo n´ umero real. Por otro lado el rango también es R porque la función logaritmo neperiano verifica ln((0, ∞)) = R. La gráfica aparece a continuación. y 2 b

−4

−2

2

x

−2 −4 Solución Ejercicio 15: El dominio coincide pero el rango no. Ambas están definidas en todo R y por lo tanto su dominio es el mismo. Sabemos que sen x toma valores en el intervalo [−1, 1], por tanto 2 sen x tomará valores en [−2, 2]. Por otro lado, si llamamos w = 2x, tenemos que sen 2x = sen w que como ya hemos dicho toma valores en [−1, 1]. A continuación aparecen las gráficas de ambas funciones

38

Daniel Franco Leis


y 2

2 sen(x) sen(2x)

−6

−4

−2

2

4

x

−2

Solución Ejercicio 16: La gráfica tiene que ser de una función logar´ıtmica porque las otras dos tienen dominio todo R y como vemos los n´ umeros negativos no tienen imagen para la función representada en la gráfica. Además, como es estrictamente decreciente, podemos afirmar que la base es un n´ umero del intervalo (0, 1). Solución Ejercicio 17: En la primera la imagen de 0 es 0. Pero sec 0 = cos1 0 = 1. Por tanto, es la segunda.

39

Daniel Franco Leis

4.



Dada una aplicación sobreyectiva: dos elementos distintos siempre tienen imágenes distintas. Una aplicación sobreyectiva siempre es inyectiva. Dadas dos aplicaciones siempre se pueden componer. La función dada por f (x) = x4 es inyectiva. El dominio y el rango de la función logaritmo neperiano coinciden. A partir de la gráfica de una función se puede deducir si es estrictamente creciente. La gráfica de una función siempre puede pintarse sin levantar el lápiz del papel. 1 La función dada por f (x) = x+1 ln x tiene dominio (0, ∞). La función 2x es estrictamente decreciente en R.

40

Verdadero

Falso

Verdadero

Falso

Verdadero

Falso

Verdadero

Falso

Verdadero

Falso

Verdadero

Falso

Verdadero

Falso

Verdadero

Falso

Verdadero

Falso

Bibliograf´ıa [1] http://personales.unican.es/gonzaleof/# Página del proyecto MaTeX que desarrolla todas los temas de los cursos de Bachillerato (Ciencias y Sociales). [2] http://descartes.cnice.mec.es/ Página del proyecto Descartes que entre otras cosas desarrolla unidades didácticas de la ESO y el Bachillerato.

41

Índice alfab´ etico aplicación, 5 biyectiva, 6 identidad, 9 inversa, 9 inyectiva, 6 sobreyectiva, 6

impar, 22 lineal, 24 logar´ıtmica, 33 logaritmo, 33 par, 22 periódica, 34 polinómica, 23 potencial, 21 producto, 17 racional, 25 radical, 26 seno, 34 tangente, 35 trigonométrica, 34

composición de aplicaciones, 8 conjunto de llegada, 5 de partida, 5 final, 5 imagen, 7 imagen rec´ıproca, 7 inicial, 5 dominio, 13

gráfica, 13

imagen, 5 función, 12 af´ın, 24 rango, 13 constante, 12, 24 coseno, 34 cuadrática, 25 estrictamente creciente, 21 estrictamente decreciente, 21 exponencial, 32 42

C URS OSO

MAT E MÁT I C AS

Ar i t mé t i c a :

Nú me r o sn a t u r a l e sye n t e r o s . Nú me r o sr a c i o n a l e syf r a c c i o n e s . An t o n i oF . C o s t aGo n z á l e z De p a r t a me n t od eMa t e má t i c a sF u n d a me n t a l e s F a c u l t a dd eC i e n c i a s

C URS OSO

Antonio F. Costa González

Curso 0 Matemáticas

Índice

1

Introducción y objetivos

3

2

Prueba de autodiagnóstico

4

3

Contenidos:

6

3.1

Ficha 1: Números naturales y enteros.

6

3.2

Ficha 2: Fracciones y números racionales.

12

2


1.


Introducción y objetivos.

Prácticamente todo el mundo se ha debido enfrentar en la vida cotidiana a problemas donde es necesario manejar números enteros o fracciones. Operar con números es una de las habilidades matemáticas indispensables para cualquier persona que quiera realizar una carrera de Ciencias o Ingeniería. Los números naturales, enteros y fraccionarios son aquellos que aparecen con mayor frecuencia y no sólo se debe tener capacidad de manejarlos sino que se debe hacer con gran soltura. Recuérdese que con los números enteros es posible sumar, restar y multiplicar, pero no siempre dividir. Con los números racionales siempre es posible dividir (¡por supuesto cuando el divisor no es cero!). Los temas pueden parecer demasiado elementales pero nuestra experiencia nos dice que se detectan muchas deficiencias cuyo origen viene de un mal conocimiento de estas habilidades tan básicas. Este módulo consta de dos fichas, en la primera se repasan las operaciones fundamentales con números enteros, los conceptos de divisor y múltiplo, el de número primo, descomposición en factores primos, el cálculo del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo (estos dos últimos puntos son importantes para aplicar en la siguiente ficha, en las operaciones con fracciones). La segunda ficha se dedica a los números racionales y fracciones y a sus operaciones: suma, resta, multiplicación y división. Se concluye con un repaso breve de la representación decimal de números racionales.

1.1 Objetivos: •

Conocer los conceptos de divisor, múltiplo y número primo.

•

Calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de varios números enteros.

•

Operar con números enteros y fracciones.

•

Manejar las expresiones decimales de los números racionales y saber cómo relacionarlas con las expresiones fraccionarias.

3


2.


Prueba de autodiagnóstico

1. ¿Cuál es el resultado del producto (– 4) × ( –11)? 2. ¿Cuál es el resto de la división 23 entre 12? 3. ¿El número 147 es primo? 4. ¿Cuál es el máximo común divisor de 250, 125 y 70? 5. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 220 y 165? 6. ¿Son iguales los números fraccionarios 7. Efectuar la siguiente suma: 8. Realizar el producto: 535 ×

& %

"#

y

$" #%

?

""

+ "$

(# )

!

$

×!

9. ¿Son iguales los números racionales: 0’6666… y

# )

?

10. Expresar en forma de fracción irreducible el número 14’14014

Una vez realizadas las preguntas, puede ver las respuestas en la página siguiente. Si ha tenido dificultades o el número de respuestas correctas no le parece aceptable, debe estudiar de forma ordenada las fichas que encontrará a continuación. Si sólo ha tenido dificultades en algunas cuestiones, repase las fichas correspondientes a tales preguntas. Si ha respondido a todo correctamente puede pasar a otro módulo.

4



Respuestas a la prueba de autodiagnóstico: 1. (– 4) × ( –11) = 4 × 11 = 44. Recuérdese − × − = + . 2. El resto es 11. La división de 23 entre 12 es: 23 = 12 × 1 + 11. 3. El número 147 no es primo, pues 147 = 21 × 7. 4. m.c.d. (220, 165) = 5. Las descomposiciones en factores primos de los números dados son: 250 = 5 3 × 2, 125 = 53 y 70 = 7 × 5 × 2. 5. m.c.m. (220, 165) = 660. Pues 220 = 11 × 5 × 4 y 165 = 11 × 5 × 3, luego m.c.m. (220, 165) = 11 × 5 × 3 × 2 = 660. 6. Los números fraccionarios son iguales pues: 21 7×3 7 = = 39 13 × 3 13 7.

& %

""

"*

##

+ "$ = #* + #* =

8. −

&% #*

*&$ !

9. No, téngase en cuenta que 10. 14’14014 =

"&"&,"& ",,,,,

=

# )

= 0’6.

!,!,,! ),,,,

5



3.1. Ficha 1: Números naturales y enteros

Números naturales. Los números naturales (también llamados enteros positivos) son los números de contar 1, 2, 3, 4, 5,.... El número 2 surge al agregar una unidad al número 1, el número 3 surge al añadir una unidad al número 2 y así sucesivamente. El conjunto de números naturales se designa por la letra N: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6,...}

Números enteros. Los números enteros son el conjunto formado por los números naturales, sus negativos (también llamados enteros negativos) y el 0. El conjunto de los números enteros se designa por Z: Z = {...,− 4, −3, − 2, −1, 0, 1, 2, 3, 4,...}

Obsérvese que el número 0 no se considera un número natural. El conjunto de los números enteros no negativos será designado por N ∪ {0}. Sean a y b dos números enteros. A partir de las operaciones suma y producto, a + b y a b (o a.b, a×b) es fácil definir otras operaciones llamadas diferencia (también llamada resta o sustracción) y división. Llamaremos diferencia a − b a otro entero d que satisfaga la igualdad a = b + d; así si a = 7 y b = 5, a − b = 2 ya que 7 = 5 + 2.

Divisores y múltiplos. Si a ≠ 0 y b = a.q para algún q, diremos que a divide a b. Otras expresiones equivalentes son a es un divisor de b, a es un factor de b, b es múltiplo de a. Si a divide a b, escribiremos a | b. 6



Así - 3 divide a 12 puesto que 12 = (− 3) × (− 4), y 6 no divide a 21 puesto que no existe ningún entero q tal que 6 × q = 21. Si un número a es múltiplo de 2 diremos que es par. Si un número no es par diremos que es impar.

Criterios de divisibilidad. El siguiente cuadro nos establece los criterios de divisibilidad de un número entero por 2, 3, 5. Sea a = ak a k – 1 ... a0 un número natural, en donde ai expresa el dígito (la cifra) que aparece en el lugar i + 1 en el número a, por ejemplo si a = 78934, entonces a0 = 4, a1 = 3, a2 = 9, a3 = 8, a4 = 7. a es divisible por 2

si y sólo si

a0 es divisible por 2

a es divisible por 3

si y sólo si

a0 + a1 +...+ ak es divisible por 3

a es divisible por 5

si y sólo si

a0 es divisible por 0 ó 5

Ejemplo. Estudiar si a = 38220 es divisible por 2, 3, 5. En este número a 0 = 0, a1 = 2, a2 = 2, a3 = 8 y a4 = 3. Como a 0 = 0 es divisible por 2, entonces a es divisible por 2. Como 0 + 2 + 2 + 8 + 3 = 15 es divisible por 3, entonces a es divisible por 3. Como a0 = 0, entonces a es divisible por 5.

Desigualdades de números. Diremos que b > a si existe un número natural n tal que b = a + n. Diremos que b ≥ a si b > a ó b = a. Así 8 > 5 ya que 8 = 5 + 3.

7



Valor absoluto. Llamaremos valor absoluto de un número entero n, al mismo número es decir n, si el número es un entero positivo y al opuesto, es decir − n, si el número es un entero negativo. Al valor absoluto de n lo designaremos por | n |, entonces | n | = n si n ≥ 0, | n | = − n si n < 0 El valor absoluto del número 5 es | 5 | = 5, el valor absoluto de − 3 es | − 3 | = 3, el valor absoluto de −7 es | − 7 | = 7, el valor absoluto de 0 es | 0 | = 0.

División. Dados dos números enteros, por ejemplo 15 y 6, se tiene que existen dos números, q y r con 0 ≤ r < | 6 |, tales que 15 = 6 q + r En este caso obsérvese que los únicos valores que verifican esto son q = 2 y r = 3. Si a y b son dos números enteros con b ≠ 0, existen q y r enteros tales que a = b q + r, donde 0≤ r < |b| Además q y r son únicos. A los números a, b, q, y r del resultado anterior se les suele llamar respectivamente dividendo, divisor , cociente y resto.

Dados 3 y 7 se tiene que 3 = 7.0 + 3, 0 ≤ 3 < 7. Dados 7 y 3 se tiene que 7 = 3.2 + 1, 0 ≤ 1 < 7. Dados −15 y 8 se tiene que −15 = 8.( −2) + 1, 0 ≤ 1 < 8. Dados − 23 y − 17 se tiene que − 23 = (− 17).2 + 11, 0 ≤ 11 < |− 17 | = 17.

8



Divisor común. Sean a y b números enteros alguno de ellos distinto de cero. Sea d otro número entero tal que d | a y d | b. Entonces diremos que d es divisor común de a y b. Puesto que 1 | n para todo entero n, entonces el conjunto de divisores comunes de a y b es no vacío. Si Si Si Si

a = 20 y b = 12, los divisores comunes de a y b son ±1, ± 2, ± 4. a = 40 y b = 100, los divisores comunes de a y b son ±1, ± 2, ± 4, ± 5, ± 10 y ± 20. a = −13 y b = −15, los divisores comunes de a y b son ±1. a = 84 y b = −70, los divisores comunes de a y b son ±1, ± 2, ± 7 y ± 14.

Máximo común divisor. Sean a y b números enteros, alguno de ellos distinto de cero. El mayor de los divisores comunes de a y b se denomina máximo común divisor de a y b. Dicho de otro modo: un divisor común d > 0 de a y b es el máximo común divisor de a y b si cada común divisor de a y b divide también a d. Al máximo común divisor de a y b le designaremos por m.c.d.(a, b). Del ejemplo anterior tenemos que: Si Si Si Si

a = 20 y b = 12, entonces m.c.d.(20, 12) = 4. a = 40 y b = 100, entonces m.c.d.(40, 100) = 20. a = −13 y b = −15, entonces m.c.d.( −13, −15) = 1. a = 84 y b = 70, entonces m.c.d.(84, 70) = 14.

Sean a1, a2,...,a n números enteros alguno de ellos distinto de cero. Llamaremos máximo común divisor de a 1, a 2,...,an al divisor común d > 0 tal que cualquier otro divisor común de a 1, a2,...,an divide también a d. Se designa mediante m.c.d.(a1, a 2,...,a n). Así el máximo común divisor de 100, 80 y 20 es 20, y el máximo común divisor de 4, -6, 8 y -10 es 2.

Número primo. Un concepto esencial en matemáticas es el de número primo. Cada número p > 1 es divisible por 1 y por p. Si éstos son los únicos divisores positivos de p, diremos entonces que p es un número primo. A un número entero a > 1, que no es primo le denominaremos compuesto. De la definición de número primo, resulta evidente que un entero p > 1 es primo si y sólo si es imposible expresar p como a × b, donde a y b son enteros, y ambos 1 < a < p y 1 < b < p. 9



Por ejemplo 2, 3, 5 y 7 son primos, mientras que 4, 6, 8, 9 y 10 son números compuestos. Observemos que el número 2 es el único número primo par.

Factorización en producto de primos. Expresar (“factorizar”) 276 como producto de primos. Como 276 es divisible por 2, se tiene que 276 = 2 × 138. Análogamente 138 = 2 × 69. Como 69 es divisible por 3, se tiene 69 = 3 × 23, puesto que 23 es primo, finalmente se puede escribir 276 = 2 × 2 × 3 × 23 Todo número entero n > 1 puede factorizarse como producto de primos positivos y, salvo orden de los factores, esta factorización es única. Es fácil obtener factorizaciones de 48, 124 y 363 48 = 2. 24 = 2. 2. 12 = 2. 2. 2. 2. 3 = 24. 3 124 = 2. 62 = 2. 2. 31 = 2 2 . 31 363 = 3. 121 = 3. 112. (donde por an designamos el producto de a por a, n veces; a n se le denomina exponente de a). La última factorización de cada uno de los ejemplos anteriores es la llamada factorización canónica, que es la dada como producto de primos elevados al máximo exponente. La factorización canónica de los números enteros permite calcular de forma sencilla el máximo común divisor de dos números. Dados los números 2520 y 9438, se tiene que factorizando canónicamente obtenemos 2520 = 23. 3 2. 5. 7 y 9438 = 2. 3. 112. 13 Entonces el m.c.d.(2520, 9438) es el producto de los factores primos comunes a ambos números, elevados al menor de los exponentes que aparecen en ese factor en ambos números; así será m.c.d.(2520, 9438) = 2. 3 = 6. Ejemplo. Calcúlese el máximo común divisor de 2640 y 3580. Como Se tiene que

2640 = 24. 3. 5. 11 y 3580 = 22. 5. 179 m.c.d.(2640, 3580) = 22 . 5 = 20

10



Mínimo común múltiplo. Sean a y b dos números enteros. Llamaremos mínimo común múltiplo de a y b, al menor entero positivo que es múltiplo de ambos; lo designamos por m.c.m. (a, b). Si a = 8 y b = 5, el múltiplo positivo más pequeño de ambos será 40. Si a = 8 y b = 10, el m.c.m.(8, 10) = 40. Si a = 8 y b = 16, el m. c.m.(8, 16) = 16. Observando los ejemplos anteriores es fácil deducir cómo calcular el mínimo común múltiplo de dos números en general. Para ello, basta hacer la factorización canónica de los números y tomar el producto de todos los factores primos elevados al mayor exponente que aparezca en a o en b. Volviendo a los ejemplos anteriores: 8 = 23 y 5 = 5, entonces m.c.m.(8, 5) = 2 3 . 5 = 40 8 = 23 y 10 =2 . 5, entonces m.c.m.(8, 10) = 23 . 5 = 40 8 = 2 3 y 16 = 24, entonces m.c.m.(8, 16) = 24 = 16 Sean a1, a 2,...,an números enteros. Llamaremos mínimo común múltiplo de a1, a2,...,a n y lo designaremos mediante m.c.m.(a 1, a2,...,a n) al entero positivo más pequeño que es múltiplo de todos ellos a la vez. Si a1 = 4, a2 = 10, a3 = 6 y a4 = 8, entonces es fácil comprobar que m.c.m.(4, 10, 6, 8) = 8 × 5 × 3 = 120.

Ejercicios. 1. Calcular el producto 7 × (−15) × (−2). 2. Calcular la descomposición en factores primos del número 270. 3. Calcular el máximo común divisor de 168 y 300. 4. Calcular el mínimo común múltiplo de 120 y 350. 5. ¿El número 37822 es divisible por 3? ¿es primo?

11



Soluciones. 1. 7 × (−15) × (−2) = 7 × 15 × 2 = 210 2. 270 = 2 × 3# × 5

3. m.c.d. (166, 300) = 12, pues 168 = 2 3 × 3 × 7; 300 = 22 × 3 × 52, luego m.c.d. (166, 300) = 2 2 × 3 = 12. 4. m.c.m. (120, 350) = 4200, pues 120 = 2 3 × 3 × 5; 350 = 2 × 52 × 7, luego m.c.m. (120, 350) = 23 × 3 × 5 2 × 7 = 4200. 5. 37822 no es divisible por 3 (pues 3 + 7 + 8 + 2 + 2 = 22, que no es divisible por 3) y no es primo (es divisible por 2, pues es par).

12



3.2. Ficha 2: Fracciones y números racionales Números racionales y fracciones. Un número racional es un número que se puede escribir como el cociente de dos enteros, donde el entero en el denominador es distinto de cero: m ó m / n donde m y n son enteros y n ≠ 0. n Al número m / n también se le denomina fracción, a los números m y n se les denomina, respectivamente, el numerador y el denominador de la fracción. Cada número entero n se puede considerar como número racional pues n = n / 1, por lo tanto el conjunto de números enteros está contenido dentro del conjunto de los números racionales. Al conjunto de los números racionales lo denominaremos por el símbolo Q. Los siguientes son números racionales: 1 / 2, − 5 / 4, − 5, 6, 100 / 40, 4 / 100, 0 / 1 = 0, − 30 / 40

Igualdad de números racionales y fracciones. Dos números racionales a / b y c / d se dice que son iguales o equivalentes si a×d = b×c Así, todos los números racionales pueden ser representados por un número infinito de fracciones (cociente de números enteros). Por ejemplo: −1 1 2 3 −3 4 = = = = = = ... −3 3 6 9 − 9 12

Fracciones irreducibles. Usualmente, los números racionales se suelen escribir de la forma a / b, donde a y b no tienen ningún factor común. Por ejemplo 42 2.3.7 2 = = 105 3.5.7 5

13



Este tipo de fracciones (como 2 / 5) se les llama irreducibles, es decir una fracción es irreducible cuando el numerador y el denominador no pueden dividirse a la vez por un mismo número distinto de 1 dando resto cero.

Reducir fracciones a denominador común. Reducir dos o más fracciones a denominador común es hallar otras fracciones, equivalentes, que tengan todas ellas el mismo denominador. Dadas dos fracciones a / b, c / d la forma más sencilla de encontrar fracciones equivalentes con denominador común es calcular el m.c.m.(b, d) = m, y operar de la forma siguiente m m c. a c = b , = d b m d m a.

Por ejemplo, dados 1 / 3, 2 /4, como el m.c.m. (3, 4) = 12 se tiene 12 12 2. 2 1 4 6 , = 4 = = 3 = 3 12 12 12 12 4 1.

Entonces 4 / 12 y 6 / 12 son fracciones equivalentes a 1 / 3 y 2 / 4 con el mismo denominador. Dados 1/2, 2/3 y 3/5, como m.c.m.(2, 3, 5) = 30, entonces 15/30, 20/30 y 18/30 son fracciones equivalentes a 1/2, 2/3 y 3/5 con el mismo denominador.

Suma y resta de fracciones. Para sumar o restar dos números racionales hay que reducirlos previamente a denominador común. Sean a / m y b / m dos números racionales con el mismo denominador, entonces, la suma o la diferencia es otro número racional que tiene por numerador la suma o diferencia de los numeradores a + b ó a − b, y por denominador el denominador común m.

14



Así:

1 2 4 6 10 --- + --- = ------ + ------ = -----3 4 12 12 12 1--- – 2--- = ----4- – ----6- = –-----212 3 4 12 12 1 2 3 15 20 18 53 --- + --- + --- = ------ + ------ + ------ = -----2 3 5 30 30 30 30 4 2 5 140 84 150 74--- + --- – --- = --------- + --------- – --------- = -------6 5 7 210 210 210 210

Producto de fracciones. El producto de dos números racionales es otro número racional que tiene por numerador, el producto de los numeradores y por denominador, el producto de los denominadores. Así,

4 3 12 1 3 2 6 --- ⋅ --- = ------ , --- ⋅ --- ⋅ --- = -----5 7 35 2 6 4 48 y

–-----1- ⋅ 4 – 224--- ⋅ 8 --- ⋅ 7 --- = ----------2 3 6 5 180

Cociente de fracciones. Sean a/b y c/d dos números racionales; el cociente de estos dos números a/b : c/d es otro número racional que tiene por numerador el número a × d y por denominador el número b × c. Así, 3 5 = 3 : 5 = 18 , 5 5 6 25 6

1 −7 8 −8 : = = 3 8 −21 21 15



Expresión decimal. Tipos de fracciones. Los números racionales se suelen escribir en su expresión decimal. Por ejemplo una expresión decimal de un número es 73’532 que es equivalente a la fracción: 73532 1000 Al dividir el numerado por el denominador de una fracción se obtiene la expresión decimal de un número racional. Así por ejemplo: (a) 1 / 2 = 0'5000.., (b) 1 /4 = 0'25000.., (c) 1 /3 = 0'33333.., (d) 4 / 11 = 0'363636.., (e) 1 / 6 = 0'16666.. (f) 45 / 22 = 2'04545... Una expresión decimal es exacta cuando a partir de cierto decimal son todos nulos, es decir en la división del numerador por el denominador, después de hallar varios decimales, se consigue resto nulo, como en (a) y (b). Una expresión decimal es periódica cuando las cifras del cociente se repiten en bloques iguales (no nulos) a partir de alguna cifra, como en las fracciones (c), (d), (e) y (f). Estas dos formas decimales son las únicas que aparecen al calcular la expresión decimal de un número racional. Además todo número decimal de una de estas dos formas es la expresión decimal de un número racional. Muy importante: Hay números reales que no son números racionales, por ejemplo el número π ó √2.

16



Ejercicios.

1. Simplificar la fracción:

7692 312

2. Calcular y simplificar 1 1 2+5 7+ + 8 2 3. Calcular y simplificar 9×(

23 1 − ) 4 3 2 7

4. Expresar en forma decimal la fracción: 23 3 5. ¿El número 0’101001000100001000001000000100000001000000001… es racional?

17



Soluciones:

1.

7649 641 × 2 × 2 × 3 641 = = 26 312 26 × 2 × 2 × 3 "

.

2. 7 + + / $

0) 1

/3 .

3.

4.

%×( 4 ( 3) / 5

$# #

"

. .2 0 /

$

1

=7+ +/

6784

=

%×( ./ ) / 5

=

=7+

9:9 ./ / 5

=

" $

+

)1)×! "$×$

"" 1

"

$

$

=

: =7+ "

+

"" "*

=

""$ "*

+

1 "*

+

"" "*

"#*) 1

= 7’666666… (basta dividir)

5. No, pues es una expresión decimal que no es ni exacta ni periódica

18

=

"#" "*

C URS OSO

MAT E MÁT I C AS

C o mb i n a t o r i a :

V a r i a c i o n e s , P e r mu t a c i o n e syC o mb i n a c i o n e s . P o t e n c i a sd eu nb i n o mi o . Mi g u e l De l g a d oP i n e d a De p a r t a me n t od eMa t e má t i c a sF u n d a me n t a l e s F a c u l t a dd eC i e n c i a s

C URS OSO

Miguel Delgado Pineda


Índice

1


3

2

Prueba de autodiagnóstico.

5

3

Contenidos.

8

3.1

Ficha 1: Variaciones y Permutaciones.

8

3.2

Ficha 2: Combinaciones.

19

3.3

Ficha 3: Binomio de Newton.

26

2


1.



Cada persona se ha enfrentado en algún momento de su vida cotidiana, a problemas, donde es necesario contar el número de composiciones distintas, con las que pueden presentarse diversos objetos reunidos formando un bloque. En definitiva, este problema suele solventarse en casos elementales, contando los elementos de un conjunto de composiciones de forma directa, es decir, uno a uno. En general, se trata de determinar el número entero no negativo (cero o más), de esas composiciones. Se lanzan tres monedas al aire: ¿Cuántas composiciones correspondientes a ese lanzamiento poseen una cara? Se puede pensar en construir el conjunto de esas composiciones, pero, salvo en casos muy elementales, ese trabajo de construcción suele ser más complejo que el simple contar de esas composiciones. Se lanza una moneda al aire 30 veces seguidas: ¿Cuántas composiciones correspondientes a esos 30 lanzamientos poseen 7 caras? En este tema, se tratan algunas técnicas básicas para contar los elementos de conjuntos de composiciones de diversos objetos. En todos los ejemplos que vamos a ver, será necesario contar cuántos elementos poseen los conjuntos implicados en cada problema particular. En los ejemplos elementales, este conjunto está definido por composiciones que verifican una propiedad simple y la enumeración de elementos es fácil. Un restaurante tiene una carta que consta de siete primeros platos, ocho segundos y seis postres:. ¿Cuántos menús formados por tres platos, uno del primer grupo, uno del segundo y un postre, se pueden confeccionar? Existen conjuntos, donde las composiciones, o agrupaciones, verifican varias propiedades y este cálculo no es tan fácil. Al restaurante anterior, entran cinco amigos: ¿Cuántas composiciones distintas de cinco menús de tres platos pueden seleccionar los cinco amigos, tal que, cada par de amigos únicamente coincida en un plato seleccionado? Entre las habilidades matemáticas indispensables para cualquier persona que quiera realizar una carrera de Ciencias, o de Ingeniería, debe atesorarse la de contar este tipo de composiciones de una forma fluida, puesto que aparecen con bastante frecuencia. No basta con tener capacidad de manejarlos, sino que se debe hacer con gran soltura. Las técnicas empleadas pueden parecer elementales, pero la experiencia nos hace detectar deficiencias cognitivas cuyo origen es un mal conocimiento de estas habilidades tan básicas y prácticas.

3



Este módulo consta de tres fichas: En la primera, se tratan inicialmente tanto las variaciones como las permutaciones de objetos cuando estos no pueden repetirse, y se concluye con los casos en los cuales los objetos pueden repetirse. En todos los casos, se presentan las fórmulas que permiten el cálculo del número de variaciones o de permutaciones distintas. La segunda ficha, se dedica a tratar de igual forma el caso de las combinaciones de objetos. En la tercera ficha, se presentan algunas propiedades de los números expresados como números combinatorios, y las potencias de un binomio cuando el exponente es un número natural. Esta ficha, finaliza con la expresión del desarrollo de las potencias de un binomio con números combinatorios.

1.1 Objetivos: •

Conocer las distintas formas de agrupar objetos.

•

Reconocer en cada agrupación la clave combinatoria de su formación.

•

Calcular el número de variaciones, o permutaciones, tanto si es posible repetir objetos en las agrupaciones, como si no es posible.

•

Calcular el número de combinaciones, tanto si es posible repetir objetos en las agrupaciones, como si no es posible.

•

Conocer y utilizar algunas propiedades de los números combinatorios.

•

Manejar los desarrollos de un binomio.

4


2.


Prueba de autodiagnóstico.

1. ¿Cuántas banderas tricolor de tres franjas horizontales se pueden construir, al disponer de cinco telas de colores distintos? 2. ¿Cuántas clasificaciones finales se pueden presentar al final de la prueba de natación de 100 m libres, en la que compiten ocho nadadores? 3. El seleccionador de tenis de un país elige a cinco tenistas para jugar la copa Davis: ¿Cuántas parejas distintas puede elegir para jugar el partido de dobles? 4. Sobre una diana de dardos, están marcadas las siguientes puntuaciones: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 25, 50. ¿Cuántas puntuaciones pueden alcanzarse, al lanzar un dardo cada componente de un equipo de tres jugadores? 5. Se disponen de seis naipes rotulados con las letras P, A, T, A, T, A. Se barajan y extraen una tras otra, anotando en cada caso su correspondiente letra: ¿Cuál es el número de anotaciones posibles de las seis letras? 6. Ordenar de mayor a menor las siguientes parejas de números (factoriales): 4! y 6!, y 7 10 (combinatorios): y . 3 6

8 8 7. Efectuar la siguiente suma: 3 4

8. Desarrollar los siguientes binomios: 1 a y b 2 .

9. ¿Existe algún término del desarrollo del binomio a b , que una vez desarrollado posea el producto a b ? 5 5 5 5 5 5 10. Efectuar la siguiente suma: 0 1 2 3 4 5

Una vez realizada la prueba, puede ver las respuestas en la página siguiente. Si ha respondido a todo correctamente puede pasar a otro módulo. Si ha tenido dificultades, si el número de respuestas correctas no le parece aceptable, o si ha tardado más de 60 minutos en contestar; estudie ordenadamente las fichas que encontrará a continuación. Si tan sólo ha tenido dificultades en algunas cuestiones puntuales, repase las fichas correspondientes a tales preguntas. 5



Respuestas a la prueba de autodiagnóstico: 1. Cada bandera, es una variación sin repetición, de cinco colores tomados de tres en tres. Recuerde, que el número de variaciones sin repetición es: , 5 4 3 60 .

2. Cada clasificación, es una permutación sin repetición, de ocho nadadores. Recuerde, que el número de permutaciones sin repetición es: 8! 8 7 6 5 4 3 2 1 40320. 3. Cada pareja de dobles, es una combinación sin repetición, de cinco elementos tomados de dos en dos. Recuerde, que el número de combinaciones sin repetición es: ! 5 , 10. !! 2

4. Cada puntuación, es una variación con repetición, de trece valores tomados de tres en tres. Recuerde, que el número de variaciones con repetición es: !

,

13 2197.

5. Cada línea de escritura, es una permutación con repetición, de seis letras tomadas de tres en tres, de dos en dos y de una en una. Recuerde, que el número de permutaciones con repetición es: ,,,

!

!! !

6

60.



6. De la pareja de números (factoriales ): 4! # 6!, puesto que 4<6, y de la pareja de $ 7 10 10 números (combinatorios): 35 y 3 6 4

%&$

210;

7 10 luego # . 3 6 &$ 8 8 9 7. 126. 3 4 4

8. Al aplicar la fórmula del desarrollo del binomio de Newton, se tiene que: 1 a 1 4a 6a 4a a , b 2 b 10b 40b 80b 80b 32.

9. No. Todos los términos de desarrollo del binomio se pueden escribir de la forma: 5 5 a () b) a k k

%() )

b ,

así pues, es imposible que se verifique al mismo tiempo que 10-2k=4 y que k=4.

5 5 5 5 5 5 10. 32, puesto que 1 1 32. 0 1 2 3 4 5

7


3.


Contenidos.

Los contenidos teóricos de este tema, corresponden a la necesidad de conocer las distintas formas de agrupar objetos según algún criterio, y de reconocer en cada agrupación la clave combinatoria de su formación. Estos contenidos, se distribuyen en las tres fichas siguientes: 1. Variaciones y Permutaciones. 2. Combinaciones. 3. Binomio de Newton.

3.1. Ficha 1: Variaciones y Permutaciones. Las variaciones y las permutaciones de objetos, son agrupaciones en las cuales hay algún criterio posicional que permite diferenciar, de forma esencial, a cada una de las posibles agrupaciones. Inicialmente, se puede considerar que tales agrupaciones están representadas en fila, o en línea recta, donde hay un primer elemento y un último. La diferencia estriba en la participación de los objetos en dichas agrupaciones. Mientras que en las variaciones no se requiere que participen todos los objetos, en las permutaciones, participan todos. Se puede decir, que la permutación es un caso particular de variación

Variación sin repetición de n objetos tomados de k en k. Una variación sin repetición, de n objetos tomados de k en k, es una agrupación alineada en recta (en fila), de k objetos elegidos entre los n disponibles, sin repetir ningún objeto. Ejemplo: Se desean crear banderas tricolor de tres bandas horizontales y se dispone de seis rollos de tela con los siguientes colores: Rojo

Amarillo

Marrón

Negro

La bandera “RAV” es válida.

La bandera “RAN” es válida.

8

Blanco

Verde



La bandera “RNA” es válida.

La bandera “RAR” no es válida, puesto que no es tricolor.

En este caso, resulta que en la agrupación de colores, es importante la posición de cada color en la bandera, se dispone de seis colores, y sólo se eligen tres para cada agrupación; entonces podemos decir, que cada bandera es una variación sin repetición, de seis colores tomados de tres en tres. Observación. Las banderas presentadas han sido denominadas: RAN, RAV, RNA y RAR. Esta denominación indica cómo se situación de los colores, puesto que están en fila dentro de cada banderas. Se ha determinado que el color superior se corresponde con la primera letra y el más abajo la última. Esta forma de denominar a las banderas, es personal, y no está definido en el problema, es una forma de expresar las agrupaciones como palabras que nos permite distinguir banderas, sin necesidad de verlas. Con la simple escritura de la inicial de cada color, se puede analizar el problema, comprobando que el cambio de posición de una letra, modifica la bandera, y que no se puede repetir una misma letra.

Número de variaciones sin repetición de n objetos tomados de k en k. El número de variaciones sin repetición, de n objetos tomados de k en k , es decir, el número de agrupaciones ordenadas, suele representarse por la expresión: *,+ , , 1 , 2 … , . 1 . Ejemplo: El número de variaciones sin repetición de seis elementos tomados de tres en tres es , 6 5 4 120. Así pues, hay 120 banderas tricolor distintas, en el ejemplo anterior. 9



Ejemplo:

$, 7 6 5 4 840. , 5 4 20. , 6.

, 6 5 4 3 2 720.

Permutación sin repetición de n objetos. Una permutación sin repetición, de n objetos, es una agrupación alineada recta (en fila), de todos objetos disponibles sin repetir ningún objeto. Una permutación de n elementos, es lo mismo, que una variación de n elementos, tomados de n en n. Ejemplo: Se desean crear banderas tricolor, con tres bandas horizontales, y sólo se dispone, de tres rollos de tela con los siguientes colores: Rojo

Amarillo

Negro

La bandera “RAN” es válida.

La bandera “RNA” ” es válida.

La bandera “RAR” ” no es válida, puesto que no es tricolor.

En este caso, resulta, que en la agrupación de colores es importante la posición de cada color en la bandera, y se emplean todos los colores para cada agrupación; entonces podemos decir, que cada bandera es una permutación sin repetición de tres colores. 10



Número de permutaciones sin repetición de n objetos. El número de permutaciones sin repetición, de n objetos, es decir, el número de agrupaciones ordenadas, suele representarse por la expresión: * ,! , , 1 , 2 … 2 1. Ejemplo: El número de permutaciones sin repetición, de tres elementos es 3 2 1 6. Así pues, hay 6 banderas tricolor distintas en el ejemplo anterior. Ejemplo:

% 0! 1. 1! 1. 2! 1 2 2. 3! 1 2 3 6. 4! 1 2 3 4 24. 5! 1 2 3 4 5 120.

Observación. La expresión n!, se denomina n factorial, y se considera que 0!, toma el valor 1.

Permutación circular sin repetición de n objetos. Una permutación sin repetición, de n objetos, es una agrupación en línea circular (en corro) de todos objetos disponibles, sin repetir ningún objeto. Ejemplo: Se desean crear hexágonos, tales que, cada uno de los seis triángulos con un lado y vértice opuesto el centro del hexágono, esté coloreado con un color distinto, y sólo se dispone de seis botes de pintura con los siguientes colores: Rojo

Amarillo

Marrón

Negro

11

Blanco

Verde



El hexágono “VNMRAB” es válido.

El hexágono “RNMVAB” ” es válido y distinto del anterior.

El hexágono “ABRNMV” no es distinto del anterior, puesto que los colores vecinos a un determinado triángulo, son los mismos para cada hexágono

.Se puede comprobar la vecindad de los colores en la siguiente tabla Triángulo de la izquierda

Triángulo de Color

Triángulo de la derecha

Observación. Las hexágonos han sido denominados: RNMVAB, RNMVAB y ABRNMV. Esta denominación, ha dispuesto los triángulos de colores en fila, tomando el triángulo superior como la primera letra, y rotando según las agujas de un reloj, los demás triángulos. Esta forma de denominar a las hexágonos es personal, y no está definido en el problema, es una forma de expresar las agrupaciones como palabras que nos permite distinguir hexágonos, sin necesidad de verlos.

12



Con la simple escritura de la inicial de cada color se puede analizar el problema, comprobando, que el cambio de posición de una letra modifica el hexágono, y que no se puede repetir una misma letra. El problema, es que esta notación no distingue seis “palabras” distintas que corresponden a un mismo hexágono. Esto se comprueba, al anotar como la primera letra, la inicial correspondiente a otro triángulo distinto del triángulo superior, y se procede de igual forma.

Número de permutaciones circulares sin repetición de n objetos. El número de permutaciones circulares sin repetición, de n objetos, es decir, el número de agrupaciones ordenadas en corro, suele representarse por la expresión: * *( , 1 !

Ejemplo: El número de permutaciones circulares sin repetición seis elementos es 5! 120. Así pues, hay 120 hexágonos distintos, en el ejemplo anterior. Observación. La relación existente entre el número de variaciones y el de permutaciones es: * ,! *,+ . + .!

Variación con repetición de n objetos tomados de k en k. Una variación con repetición, de n objetos tomados de k en k, es una agrupación alineada recta (en fila), de k objetos elegidos, entre los n disponibles. En este caso, se pueden repetir los objetos hasta k veces. Ejemplo: Una ferretería, dispone de cinco cajones con dígitos en bronce, los correspondientes a lo dígitos impares:

1

3

5

7

9

Se trata, de crear unas muestras de rótulos numéricos de tres cifras, para numerar los portales de una calle.

13



Los siguientes rótulos son válidos:

153 513 717 177 En este caso, resulta que en la agrupación de dígitos, es importante la posición que ocupa cada dígito, se dispone de cinco elementos diferentes, y sólo se eligen tres, para cada agrupación; entonces podemos decir, que cada rótulo es una variación con repetición de cinco dígitos, tomados de tres en tres.

Número de variaciones con repetición de n objetos tomados de k en k. El número de variaciones con repetición, de n objetos tomados de k en k , es decir, el número de agrupaciones ordenadas, suele representarse por la expresión: !*,+ , , , … , ,+ .

Ejemplo: El número de variaciones con repetición, de cinco elementos, tomados de tres en tres es: !, 5 125. Así pues, hay 125 rótulos distintos en el ejemplo anterior.

Permutación con repetición de n objetos Una permutación con repetición, de n objetos, donde un objeto se repite k veces, es una colocación agrupada de todos objetos disponibles, teniendo en cuenta, que la permutación de posiciones del objeto repetido, no distingue agrupaciones. Ejemplo: Se desean crear banderas agrupando seis bandas, de las cuales; tres son rojas, dos son amarillas, y una es negra. 3 Bandas Rojas

2 Bandas Amarilla

14

1 Banda Negra



La bandera “RANRAR” es válida.

La bandera “RNRARA” es válida.

Si a la bandera “RNRARA”, le cambiamos la franja primera, por la quinta; entonces no se obtiene otra nueva bandera.

Si cambiamos la segunda, por la sexta, si se obtiene otra bandera.

En este caso, resulta, que en la agrupación de colores es importante la posición de cada color en la bandera, y se emplean todos los colores para cada agrupación; entonces podemos decir, que cada bandera, es una permutación con repetición, de seis colores, donde un color se repite tres veces, otro dos y el último una vez.

15



Número de permutación con repetición de n objetos El número de permutaciones con repetición, de n objetos con sólo k objetos distintos, de manera, que cada uno se repite n1…nk veces, es decir, n1+…+nk=n , suele representarse por la expresión: * ,! *,*0 …*1 . *0 … *1 , ! … , ! Ejemplo: El número de permutaciones con repetición, de seis elementos tomados de tres en tres, de dos en dos y de uno en uno, es ,,,

6! 60. 3! 2!

Así pues, hay 60 banderas tricolor distintas, en el ejemplo anterior.

16



Ejercicios. 1. Los cinco componentes de una familia: (padre, madre, hijo mayor, hijo mediano e hijo menor); se sitúan en una misma fila de un cine. Si cada fila, tiene 25 butacas: ¿De cuántas formas distintas, puede estar la familia sentada en el cine?

2. Al salir del cine, la familia del ejercicio anterior se sienta en una mesa redonda, para cenar: ¿De cuántas formas distintas, puede estar la familia sentada en la cena?

3. Al volver a casa, cada uno se va a una de las cinco camas de la casa para dormir: ¿De cuántas formas distintas, pueden ocupar las camas para dormir?

4. Al despertar, y desayunar, cada componente ingiere un único líquido de los disponibles: té, café, leche y zumo: ¿Cuántos desayunos distintos se pueden producir?

5. Con las letras de la palabra PATATA: ¿Cuántas palabras distintas pueden escribirse? . Palabras que pudieran ser legibles, o no, con significado, o no.

17



Soluciones. 1. Cómo cada fila tiene 25 butacas, y hay que elegir una, para cada componente de la familia; entonces hay tantas colocaciones como variaciones de 25 elementos, tomados de cinco en cinco: , 25 24 23 22 21 6375600. 2. Cómo cada mesa redonda tiene 5 asientos, y hay que elegir uno, para cada componente de la familia; entonces hay tantas colocaciones como permutaciones circulares de 5 elementos: 4! 4 3 2 1 24. 3. Cómo la casa tiene 5 camas, y hay que elegir una, para cada componente de la familia; entonces hay tantas colocaciones como permutaciones circulares de 5 elementos 5! 5 4 3 2 1 120. 4. Cómo hay cuatro bebidas disponibles, y hay que elegir una, para cada componente de la familia; entonces hay tantos desayunos como variaciones con repetición de 4 elementos, tomados de cinco en cinco !, 4 1024.

5. Hay, tantas palabras como permutaciones con repetición de 6 elementos, que se repiten de tres en tres, de dos en dos y de uno en uno. 6! ,,, 60. 3! 2!

18



3.2. Ficha 2: Combinaciones. Las combinaciones de objetos, son agrupaciones de dichos objetos, en las cuales, no hay algún criterio posicional, y por lo tanto; dos combinaciones son distintas, sólo si son agrupaciones de diferentes objetos, es decir; los objetos, son los únicos elementos que permiten diferenciar de forma esencial a cada una de las posibles agrupaciones.

Combinación sin repetición de n objetos tomados de k en k. Una combinación sin repetición, de n objetos, tomados de k en k, es una agrupación de k objetos, elegidos entre los n disponibles sin repetir ningún objeto. Ejemplo: Se desea crear distintas pinturas, mezclando cantidades iguales de tres de los colores disponibles, en seis botes con las siguientes pinturas: Rojo

Amarillo

Marrón

Naranja

Blanco

Verde

La pintura “RAV” es una de las posibles.

La pintura “RAN” es otra distinta de la anterior pintura.

La pintura “RNA” no es una pintura nueva, puesto que es igual a la pintura anterior “RAN”.

La pintura “VBV” no es una pintura válida, puesto que no se ha creado con tres colores distintos.

19



En este caso, resulta, que en la agrupación de colores es importante tan sólo, los colores empleados, y no como se vertieron para mezclar posteriormente. Así pues, se dispone de seis colores, y sólo se eligen tres para cada agrupación. Entonces podemos decir, que cada bote final, es una combinación sin repetición, de seis colores, tomados de tres en tres. Observación. Las pinturas finales presentadas han sido denominadas: RAN, RAV, RNA y VBV. Con esta denominación, se indica el orden en el que se vierten los colores, pero si se cambia el orden de vertido de las pinturas, resulta que el color final es el mismo. Esta forma de denominar a los botes de pintura final, es personal y no está definido en el problema, es una forma de expresar las agrupaciones como palabras, que nos permite distinguir colores finales, con la simple reseña de los colores participantes. Con la simple escritura de la inicial de cada color, se puede analizar el problema. Comprobando que el cambio de posición de una letra no modifica el color final, y que no se puede repetir una misma letra.

Número de combinaciones sin repetición de n objetos tomados de k e k. El número de combinaciones sin repetición, de n objetos, tomados de k en k , es decir, el número de agrupaciones de k elementos distintos, suele representarse por la expresión: *,+

, , 1 , 2 … , . 1 . . . 1 … 2 1

Ejemplo: El número de combinaciones sin repetición, de seis elementos, tomados de tres en tres, es: , 20. Así pues, hay 120 pinturas finales distintas, en el ejemplo anterior. Observación. La relación existente, entre el número de variaciones sin repetición, y el de combinaciones sin repetición es: *,+

*,+ ,! . + .! , . !

20



Número combinatorio. Se denomina número combinatorio, n sobre k, al número de combinaciones sin repetición, de n elementos tomados de k en k. Suele representarse por la expresión: ,! , *,+ . . .! , . !

Ejemplo: El número de permutaciones sin repetición, de tres elementos, es: 3 2 1 6. Así pues, hay 6 banderas tricolor distintas, en el ejemplo anterior. Ejemplos:

0 1. 0 3 1. 0 4 1. 4

5! 5 10. 3 3! 2! 7 7. 6 7! 7 35. 3 3! 4! , Observación. Para que la expresión tenga sentido, se requiere que, 0 2 . 2 ,, y se . 0 considera que toma el valor 1. 0

Combinación con repetición de n objetos tomados de k en k. Una variación con repetición, de n objetos, tomados de k en k, es una agrupación de k objetos, elegidos entre los n disponibles, que pueden estar repetidos. En este caso se pueden repetir los objetos hasta k veces 21



Ejemplo: Una ferretería, dispone de cinco cajones, y cada cajón, contiene llaves de un mismo color; así pues, se tienen llaves de cinco colores distintos. Rojo

Amarillo

Marrón

Naranja

Verde

Al ser solicitadas cuatro copias de la llave de un cliente, estas se fabrican con las seleccionadas de esos cajones. Se trata de estudiar los distintos juegos de llaves que podrían ser fabricadas. El juego “RAVM” es un posible juego.

El juego “RAAR” es otro juego posible.

El juego “RRRR” es otro juego posible distinto.

Sin embargo, el juego “ARAR”, es el mismo juego de llaves, que el “RAAR”.

En este caso, sucede, que en la agrupación de colores, sólo es importante los colores empleados al fabricar las copias para el juego de llaves. Así pues, se dispone de cinco colores, y sólo se eligen un máximo de cuatro, para cada agrupación; entonces podemos decir, que cada juego es una combinación con repetición, de cinco colores tomados de cuatro en cuatro.

22



Observación. Las juegos de llaves presentados han sido denominadas: RAVM, RAAR, RRRR y ARAR. Con esta denominación, se indica el orden en la fabricación de cada copia del juego, pero si se cambia el orden de fabricación de copias, se obtiene el mismo juego de llaves, como en el caso RAAR y ARAR. Esta forma de denominar a los juegos de llaves, es personal, y no está definida en el problema, es una forma de expresar los juegos con palabras que nos permite distinguir dichos juegos, con la simple reseña de los colores participantes. Con la simple escritura de la inicial de cada color, se puede analizar el problema. Comprobando que el cambio de posición de una letra no modifica el color final, y que no se puede repetir una misma letra, desde cero veces a cuatro. En este caso, resulta que en la agrupación de copias, no es importante la posición en la fabricación de la copia. Se dispone de cinco elementos diferentes, y cada uno, se puede repetir hasta cuatro veces en cada agrupación; entonces podemos decir, que cada juego de llaves es una combinación con repetición, hasta cuatro veces de cinco.

Número de combinación con repetición de n objetos tomados de k en k. El número de combinaciones con repetición, de n objetos, tomados de k en k, es decir, el número de agrupaciones con posibles objetos repetidos, suele representarse por la expresión: . ,1 !*,+ *3+( ,+ . . Ejemplo: El número de combinaciones con repetición, de cinco elementos, tomados de 8 cuatro en cuatro, es: !, , 70. Así pues, hay juegos de llaves distintas, 4 en el ejemplo anterior.

23



Ejercicios. 1. De un grupo de 30 personas, se seleccionan 10 para asistir en vivo a un programa de televisión: ¿Cuántas selecciones distintas se pueden efectuar?

2. Se disponen de trece elementos distintos, y se eligen sólo cinco: ¿Cuál es mayor, el número de variaciones de esos trece elementos, tomados de cinco en cinco, o el número de combinaciones de esos trece elementos, tomados de cinco en cinco?

3. En las 15 filas de un cine que tiene 25 butacas de color azul, se sustituirán cinco butacas de ese color, por otras cinco, de color verde en cada fila: ¿Cuántas filas distintas se pueden formar? , y, ¿cuántas apariencias distintas puede tener todo el conjunto de butacas del cine?

4. ¿Cuántas ternas de tres números enteros, no negativos, suman 10?

5. Un niño tiene nueve canicas; tres rojas, tres verdes y tres amarillas, en un bolsillo. Al meter la mano en el bolsillo, saca tres canicas: ¿De cuántas formas distintas pueden distribuirse los colores de las tres canicas?

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Soluciones. 1. Cómo cada grupo de 10 personas, es diferente de otro, dependiendo sólo de los componentes, y no del orden en que fueron elegidos para formar el grupo, entonces hay tantos grupos, como combinaciones de 30 elementos, tomados de diez en diez: 30! 30 %, % 90090. 10 10! 20! 2. El número de variaciones, puesto que para cada combinación, de trece elementos, tomados de cinco en cinco, se pueden obtener: 5! 5 4 3 2 1 120 variaciones, de trece elementos, tomados de cinco en cinco. 3. Cómo cada fila de 25 butacas ve modificada sólo cinco butacas y no importa el orden en el cual se cambian los colores, entonces hay tantas formas de disponer una fila, como combinaciones, de 25 elementos, tomados de cinco en cinco. 25! 25 , 53130. 5 5! 20! Además, como el cine tiene 15 filas, y cada fila puede presentar 53130 apariencias distintas, resulta que las apariencias distintas de todo el cine son: 25 15 , 15 796950. 5 4. Cómo al sumar tres número, el orden de los sumandos no afecta al resultado, y además, pueden sumarse números repetidos, entonces hay tantas ternas que suman 10 como combinaciones con repetición, de 10 números, tomados de tres en tres 12! 3 10 1 12 ! %, 220. 3 3 3! 9! 5. Como hay tres colores, y al sacar tres canicas puede ocurrir que sean del mismo color, entonces hay tantas distribuciones de los colores de las tres canicas extraídas, como combinaciones, de tres elementos, tomados de tres en tres. 5! 3 31 5 !, 10. 3 3 3! 2!

25



3.3. Ficha 2: Binomio de Newton En esta ficha se estudian, la relación entre la potencia entera positiva de un binomio, con las potencias de los elementos que componen dicho binomio.

Binomio. Un binomio, es la suma, o resta, de elementos, o sumandos. En un binomio, estos sumandos no pueden ser sustituidos por un solo elemento Ejemplos:

1 4 . 5 6 . 24 37 . 1 8 349. 4

Observación. La forma de operar con binomios, puede consultarse en las fichas de Aritmética. Como en esta ficha, sólo interesan las sucesivas potencias de un binomio, basta recordar la siguiente propiedad: 5 6 : ; 5 : 5 ; 6 : 6 ;.

Para simplificar la forma de escribir los productos de binomios se emplea la siguiente notación: 5 6 : ; 5: 5; 6: 6;.

Trinomio, tretanomio, … n-nomio. Un trinomio, es la suma, o resta, de tres elementos, o sumandos. En un trinomio, estos elementos que no pueden ser sustituidos por un solo elemento. Análogamente, Un nnomio, es la suma, o resta, de n elementos, o sumandos, tal que, esos elementos no pueden ser sustituidos por un solo elemento.

26



Ejemplos:

1 4 7 . 5 6 : . 24 37 2< . 1 8 34 24 9. 4

Observación. La forma de operar con n-nomios, es análoga a la forma de operar con binomios. Como en esta ficha, sólo interesan las sucesivas potencias de un n-nomio, basta recordar la siguiente propiedad: 5 6 : ; = > 5; 5= 5> 6; 6= 6> :; := :>.

Potencias de un binomio. Se denomina potencia n de un binomio, al producto de n veces ese binomio, y suele representarse por la expresión: 5 6 * 5 6 *( 5 6 5 6 …* … 5 6 .

Conviene recordar las primeras potencias de un binomio cualquiera, para lo cual mostramos la siguiente lista de potencias: 5 6 5 6 5 6 5 256 6 . 5 6 5 6 5 6 5 35 6 356 6 . 5 6 5 6 5 6 5 45 6 65 6 456 6 . 5 6 5 6 5 6 5 55 6 105 6 105 6 556 6 .

Observación. Se puede comprobar, la relación existente entre la potencia n de un binomio 5 6 * , y todos los posibles productos de la forma: 5? 6@ con A B ,. En el desarrollo de la potencia n, aparecen todos los productos 5? 6@ , como sumandos. Ejemplo: En el desarrollo de 5 6 $ , aparecen los siguientes productos de potencias de a y b, con el siguiente orden:

27

Miguel Delgado Pineda 5$ ,

Curso 0 Matemáticas 5 6 ,

5 6 ,

5 6 ,

5 6 ,

5 6 ,

56 ,

6$ .

Triángulo de Tartaglia. Se denomina triángulo de Tartaglia a la tabla de forma triangular compuesta por los coeficientes de las sucesivas potencias de un binomio: Conviene recordar el triángulo, para las diez primeras potencias de un binomio cualquiera. 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 120 45 10 1

Cada fila del triángulo, está compuesta por los coeficientes que llevan, la lista de productos ordenada como anteriormente se ha mostrado. Se puede comprobar la ley de formación del triángulo, observando que los coeficientes de una determinada fila, se construyen iniciando y finalizando la fila con el número 1, y rellenando los demás coeficientes, al sumar los de la fila anterior. Observación. El triángulo de Tartaglia, es simétrico respecto a su altura, compuesta por la columna central. Ejemplo: En el desarrollo de 5 6 $ , aparecen los siguientes productos de potencias de a y b, con los siguientes coeficientes: 5$ , 5 6 , 5 6 , 5 6 , 5 6 , 5 6 , 56 , 6$ , 1, 7 , 21, 35, 35,

21, 7,

1.

Así pues: 5 6 $ 5$ 7 5 6 21 5 6 355 6 355 6 21 5 6 756 6$ . 28



Triángulo de Tartaglia con números combinatorios. Los coeficientes que aparecen en el triángulo, pueden ser descritos mediantes números combinatorios. Es claro, que dichos coeficientes, deben ser calculados aplicando la definición de número combinatorio. Esta descripción del triángulo, nos permite la construcción de cualquiera de sus filas, sin necesidad de calcular las filas anteriores. El triángulo, expresado con número combinatorios, para las diez primeras potencias de un binomio cualquiera es: 1 1 0 1 2 2 2 0 1 2 3 3 3 3 0 3 1 2 4 4 4 4 4 0 3 1 2 4 5 5 5 5 5 5 1 2 4 0 3 5 6 6 6 6 6 6 6 0 3 5 6 1 2 4 7 7 7 7 7 7 7 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 0 3 5 6 8 1 2 4 7 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 0 3 5 6 8 9 1 2 4 7 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 0 3 5 6 8 9 10 1 2 4 7

Ejemplo: Los coeficientes del desarrollo de 5 6 , son:

12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 , , , , , , , , , , , , . 0 3 5 6 8 9 10 1 2 4 7 11 12

29



Algunas propiedades de los números combinatorios. Al comparar las dos formas de expresar el triángulo de Tartaglia, se puede comprobar, las siguientes propiedades elementales de los números combinatorios: , 1. 0 , ,. 1 , , . . ,.

, , , 1 . .1 . . , ,. ,1 , 1. ,

La cuarta propiedad, se corresponde con la forma de construir una fila del triángulo, una vez conocida la anterior, mientras que la tercera, se corresponde con la simetría del triángulo, respecto a su columna central.

Fórmula de Newton del desarrollo de la potencia de un binomio. La fórmula de Newton de un binomio, es el desarrollo en sumandos de la potencia de ese binomio, es decir, con todos los productos de potencias y sus coeficientes respectivos en forma de número combinatorio. , , , , 5 6 * 5* 5*( 6 5*( 6 C 5 6*( 0 ,2 1 2 , , 56*( 6* . ,1 ,

30



Ejemplo: La potencia séptima del binomio 5 6 , se desarrolla según la fórmula, de la forma siguiente: 5 6 $ 7 5$ 7 5 6 7 5 6 7 5 6 7 5 6 7 5 6 0 1 2 3 4 5 7 7 $ 56 6 . 6 7 Al calcular los valores de los números combinatorios, se tiene que 5 6 $ 5$ 7 5 6 21 5 6 355 6 355 6 21 5 6 756 6$ .

Observación. El desarrollo de la potencia n de un binomio 5 6 , tiene n+1 términos, o sumandos, tal que cada uno de esos sumandos tiene la misma expresión. Así pues, basta describir la expresión del término k+1 del desarrollo: , 5*(+ 6+ . .

Se suele utilizar una notación reducida para describir la fórmula del binomio, empleando el símbolo sumatorio; 5 6

*

*

, D 5*(+ 6+ . . +E%

Observación. El desarrollo de la potencia n, de un binomio 5 6 , tiene sus n+1 términos que alternativamente suman y restan, empezando por la suma. Por ejemplo, en el caso de ser n un número impar, se tiene la expresión: , , , , 5 6 * 5* 5*( 6 5*( 6 C 5 6*( 0 ,2 1 2 , , 56*( 6* . ,1 ,

Ejemplo: La potencia séptima del binomio 5 6 , se desarrolla según la fórmula de la forma siguiente: 5 6 $ 7 5$ 7 5 6 7 5 6 7 5 6 7 5 6 7 5 6 0 1 2 3 4 5 7 7 $ 56 6 . 6 7 Al calcular los valores de los números combinatorios, se tiene que: 5 6 $ 5$ 7 5 6 21 5 6 355 6 355 6 21 5 6 756 6$ .

31



Ejercicios. 1. Determinar el polinomio que se obtiene, al multiplicar cuatro veces el mismo monomio (x-1). 2. Determinar el término sexto del desarrollo del binomio 4 3 . 3. Calcular el valor de la suma siguiente: 7 7 7 7 7 7 7 7 . 0 1 2 3 4 5 6 7

4. Calcular el valor de las sumas siguientes: 9 9 . 5 4

10 10 . 5 4

5. Estudiar, sí en el desarrollo del binomio 4 , existe algún término, tal que, F la x quede elevada al exponente 6.

32



Soluciones. 1. 4 1 4 44 64 44 1. Basta observar que: 4 1 4 1

4 4 4 4 4 4 1 4 1 41 0 3 1 2 4 4 4 4 4 4 1 4 4 4 4 . 0 3 4 1 2 4

2. El término sexto es:

13 4 3 5

%&

4 243 3124714 .

3. 128, puesto que esos sumandos, son el desarrollo del binomio 1 1 $ 2$ . 1 1 $ 7 7 7 7 7 7 7 7. 0 1 2 3 4 5 6 7

4.

9876 9 9 9 2 2 441. 5 4 4 1234

11 10 9 8 7 10 11 10 462. 5 5 4 12345

5. El término séptimo, puesto que cualquier término k+1, del desarrollo del binomio

4 F es de la forma:

12 4 .

(+

3 + 4 (+ 12 12 8 9 3+ 3+ 4 (+ . . . 4 4+

4 (+ 4 G 24 3. 6 G . 6.

33

C URS OSO

MAT E MÁT I C AS

C o n j u n t o s , c o r r e s p o n d e n c i a s yr e l a c i o n e s An aMa r í aDí a zHe r n á n d e z De p a r t a me n t od eMa t e má t i c aAp l i c a d aI E s c u e l aT é c n i c aS u p e r i o r d eI n g e n i e r í aI n d u s t r i a l

C URS OSO


Introducción y objetivos . . . . . . . . . . . . . 1.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . Prueba de autodiagnóstico . . . . . . . . . . . . Contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Ficha 1: Descripción de un conjunto . . . 3.2. Ficha 2: Partes de un conjunto . . . . . 3.3. Ficha 3: Operaciones con conjuntos . . . 3.4. Ficha 4: Correspondencia entre dos conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Ficha 5: Relaciones binarias . . . . . . .

Índice alfab´ etico

. 3 . 3 . 4 . 5 . 5 . 10 . 19 . 35 . 44 54

2

Ana D´ıaz Hernández

1.



Dada la diversa procedencia de los estudiantes que se incorporan a la UNED es natural que no todos tengan la misma base de conocimientos. Algunos no necesitarán siquiera leer las páginas siguientes pero a los que no están familiarizados con los términos de la teor´ıa de conjuntos les serán necesarias. Los conjuntos, el lenguaje formal y los s´ımbolos utilizados son herramientas ineludibles para abordar el estudio del resto de las materias en las carreras de ciencias y tecnológicas. 1.1.

Objetivos

Con la inclusión de este módulo pretendemos que los estudiantes puedan: Entender el lenguaje matemático de los s´ımbolos más frecuentes. Expresar frases del lenguaje natural con lenguaje matemático y simbólico. Utilizar con soltura los conjuntos y los gráficos. Aplicar a otras materias los conocimientos adquiridos.

3


2.



Haga el test siguiente para evaluar el nivel de conocimientos que tiene en este tema. {Vocales del alfabeto espa˜ nol} es la descripción de un conjunto por extensión. A = {1, 3, 5, 7} se puede describir por comprensión. 5 ⊂ A es una expresión correcta referida al conjunto A anterior. A ∪ B tiene 10 elementos si B = {x|x son n´ umeros impares positivos menores que 12} y A es el conjunto anterior. A ∩ B ⊂ B. A ∩ B = A si A y B son los conjuntos anteriores. A − (A ∩ B) = ∅ si A y B son los conjuntos anteriores. Una correspondencia entre dos conjuntos es un subconjunto del producto cartesiano de ambos. Una relación binaria en un conjunto, A, es una correspondencia de A en A. Una relación binaria, R, es de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva.

Verdadero Falso Verdadero Falso Verdadero Falso Verdadero Falso

Verdadero Falso Verdadero Falso Verdadero Falso Verdadero Falso Verdadero Falso Verdadero Falso

Si ha tenido muchas dificultades debe hacer de forma ordenada todas las fichas que encontrará a continuación. Si sólo ha tenido dificultades en algunos casos, localice las fichas correspondientes y repáselas. Si ha respondido todo correctamente pase a otro módulo. 4


3. 3.1.


Contenidos Ficha 1: Descripci´ on de un conjunto

Aunque el uso de la palabra conjunto está generalizado, al intentar definirlo se incurre en contradicciones de lógica que dan lugar a famosas paradojas, para evitarlo utilizaremos la idea intuitiva de conjunto: “colección de objetos”. Si dado un objeto cualquiera, a, se sabe si pertenece al conjunto A, diremos que el conjunto A est´ a bien definido. Los conjuntos se denotan con letras may´ usculas. Los elementos se denotan con letras min´ usculas. a ∈ A quiere decir que a es un elemento de A. Definir un conjunto por comprensi´ on es dar una propiedad que caracteriza a sus elementos. Si un elemento tiene la propiedad caracter´ıstica pertenece al conjunto. Si un conjunto es finito se puede describir por extensi´ on. (Dando todos sus elementos) Un conjunto es finito si tiene un n´ umero finito de elementos. Para representar conjuntos son muy u ´tiles los diagramas, aunque hay muchos tipos, los más conocidos son los “Diagramas de Venn o C´ırculos de Euler”. Un conjunto que no tiene ning´ un elemento se llama conjunto vac´ıo, y se representa por el s´ımbolo ∅.

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Ejemplo 1: Sea V el conjunto de vocales del alfabeto espa˜ nol. V es un conjunto bien definido porque dado un objeto cualquiera podemos saber si pertenece al conjunto. a, u son elementos del conjunto: a ∈ V y u ∈ V j, 7 no son elementos del conjunto: j ∈ /V y7∈ /V mesa no es un elemento del conjunto: mesa ∈ /V El conjunto V = {Vocales del alfabeto espa˜ nol } está descrito por comprensi´ on. La propiedad que caracteriza a sus elementos es “ser vocal del alfabeto espa˜ nol ”. Este conjunto también queda perfectamente definido por extensi´ on, es decir, dando el listado de todos sus elementos: V = {a, e, i, o, u} V se puede representar mediante el diagrama:

V no es un conjunto vac´ıo: V 6= ∅. Los elementos que no pertenecen a V quedan fuera del c´ırculo. Para describir conjuntos se utilizan “llaves”: {...} 6



Ejemplo 2: Si A es el conjunto de n´ umeros enteros positivos que son m´ ultiplos de 3 y menores que 15, entonces: A es un conjunto bien definido porque dado un objeto cualquiera podemos saber si pertenece a A o no: 6 ∈ A: 6 pertenece a A porque 6 = 2 · 3 es menor que 15. 21 ∈ / A: 21 no es del conjunto porque no es menor que 15. A = {N´ umeros enteros positivos, m´ ultiplos de 3, menores que 15} está descrito por comprensi´ on. Es frecuente escribir A con lenguaje matemático: 1 ˙ x < 15} = {x|x = 3k, k ∈ N, 1 ≤ k ≤ 4} {x|x ∈ Z+ , x = 3, Una propiedad que caracteriza a sus elementos es “ser enteros positivos m´ ultiplos de 3 y menores que 15 ”. Por ser un conjunto finito también se puede definir por extensi´ on, es decir, dando el listado de todos sus elementos: A = {3, 6, 9, 12} A queda representado por el siguiente diagrama de Venn:

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Ejemplo 3: Descripción del conjunto A = {−4, −2, 0, 2, 4}. A es un conjunto bien definido porque dado un objeto cualquiera podemos saber si pertenece a dicho conjunto A: 6∈ / A: 6 no es un elemento del conjunto. 0 ∈ A: 0 s´ı es uno de los elementos del conjunto A. El conjunto A = {−4, −2, 0, 2, 4} está descrito por extensi´ on pero se pueden encontrar propiedades que caracterizan sus elementos, por ejemplo: “Ser n´ umeros pares de valor absoluto menor que 5” Utilizando ésta u otra propiedad caracter´ıstica el conjunto queda definido por comprensi´ on: A = {x|x son n´ umeros pares con −5 < x < 5} A queda representado por el siguiente diagrama de Venn:

A no es el conjunto vac´ıo: A 6= ∅.

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Ejemplo 4: Descripción del conjunto A de los n´ umeros enteros positivos que son solución de la ecuación x + 5 = 2. A es un conjunto bien definido porque dado un objeto, x, podemos saber si es un n´ umero positivo que cumple x + 5 = 2. 6∈ / A: 6 no es un elemento del conjunto porque 6 + 5 6= 2. −3 ∈ / A: −3 no pertenece al conjunto porque no es positivo. A = {n´ umeros enteros positivos soluci´ on de la ecuaci´ on x + 5 = 2} está descrito por comprensi´ on; en lenguaje matemático ser´ıa: A = {x|x ∈ Z+ ; x + 5 = 2} La propiedad que caracteriza a sus elementos, x, es: “Ser n´ umeros enteros positivos que cumplen x + 5 = 2” Este conjunto también quedar´ıa perfectamente definido dando el listado de todos sus elementos, es decir, ninguno. A es el conjunto vac´ıo: A = ∅.

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3.2.


Ficha 2: Partes de un conjunto Si cada elemento de un conjunto A pertenece a otro conjunto U diremos que A está contenido en U o que A es un subconjunto de U y escribiremos A ⊂ U .

Cada subconjunto de un conjunto es una parte de dicho conjunto. Los elementos del conjunto de partes de un conjunto son los subconjuntos de dicho conjunto. Dos conjuntos son iguales cuando todos los elementos de ambos coinciden: A = B si A está contenido en B y B está contenido en A. Si cada conjunto está contenido en el siguiente se llaman conjuntos anidados.

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Conjunto referencial o universal puede ser cualquier conjunto que contenga a todos los conjuntos a que nos estamos refiriendo en cada caso. Conjunto potencia o de partes del conjunto es el conjunto de todos los subconjuntos del conjunto dado. P (A) representa el conjunto de todos los subconjuntos del conjunto A. El n´ umero de subconjuntos de un conjunto de n elementos es 2n .

11



Ejemplo 5: Siendo A = {a, o} el conjunto de las vocales de “valor” y U = {v, a, l, o, r} el conjunto de las letras de “valor”, se cumple: Cada elemento del conjunto A pertenece al conjunto U : a∈Aya∈U ⇒ A ⊂ U (A est´ a contenido en U ). o∈Ayo∈U A ⊂ U es equivalente a U ⊃ A (U contiene a A). U no est´ a contenido en A porque hay elementos de U que no pertenecen a A, por ejemplo v ∈ U y v ∈ / A. Los conjuntos finitos A y U no son iguales porque no tienen los mismos elementos y, como es evidente, aunque A s´ı está contenido en U , U no está contenido en A. A tiene tres elementos y U tiene cinco elementos.

Conjunto referencial o universal. En este caso estamos utilizando los conjuntos A y U , el conjunto referencial es U , ya que A es un subconjunto de U .

12



Partes del conjunto U : Con los elementos del conjunto anterior, U , se pueden formar los siguientes subconjuntos: De ning´ un elemento: El conjunto vac´ıo: ∅. De un elemento: Hay las combinaciones de 5 elementos tomadas de 1 en 1, es decir, 51 = 5, que son: {v} , {a} , {l} , {o} , {r}. De dos elementos: Hay las combinaciones de 5 elementos tomadas de 2 en 2, es decir, 5·4 1·2 = 10, que son: {v, a} , {v, l} , {v, o} , {v, r} , {a, l} , {a, o} {a, r} , {l, o} , {l, r} , {o, r}. De tres elementos: Hay las combinaciones de 5 elementos tomadas de 3 en 3, es decir, 5·4·3 1·2·3 = 10, que son: {v, a, l} , {v, a, o} , {v, a, r} , {v, l, o} , {v, l, r} , {v, o, r} , {a, l, o} , {a, l, r} , {a, o, r} , {l, o, r}. De cuatro elementos: Hay las combinaciones de 5 elementos tomadas de 4 en 4, es decir, 5·4·3·2 1·2·3·4 = 5, que son: {v, a, l, o} , {v, a, l, r} , {v, a, o, r} , {v, l, o, r} ,{a, l, o, r}. De cinco elementos: Hay las combinaciones de 5 elementos tomadas de 5 en 5, es decir, 5·4·3·2·1 1·2·3·4·5 = 1, que es: {v, a, l, o, r}. N´ umero de subconjuntos de U : Con los elementos de U del ejemplo 5 se pueden formar 25 = 32 subconjuntos.

13



Cada uno de los elementos que forman el conjunto de partes de U es un subconjunto representado en el diagrama por una ficha coloreada que, a su vez es un conjunto de distintos elementos de U .

14



Ejemplo 6: Si x, y representan n´ umeros enteros no negativos de un d´ıgito, el conjunto U = {x|x + y = 9 con y ≤ 4} se puede describir por extensión: Si y = 4 ⇒ x = 5; Si y = 3 ⇒ x = 6; Si y = 2 ⇒ x = 7; Si y = 1 ⇒ x = 8; Si y = 0 ⇒ x = 9. U = {5, 6, 7, 8, 9} A = {5, 7, 9} y B = {6, 8} son subconjuntos de U entre los que hay las siguientes relaciones de inclusión:  5∈Ay5∈U  7∈Ay7∈U ⇒ A est´ a contenido en U : A ⊂ U .  9∈Ay9∈U 6∈B y6∈U ⇒ B est´ a contenido en U : B ⊂ U . 8∈B y8∈U A no est´ a contenido en B: 5, 7, 9 ∈ A y 5, 7, 9 ∈ / B. B no est´ a contenido en A: 6, 8 ∈ B y 6, 8 ∈ / A. U no est´ a contenido en A ni en B.

En este caso estamos utilizando los conjuntos A, B y U , un conjunto referencial es U , ya que A y B son subconjuntos de U .

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Con los elementos de U se pueden formar los siguientes subconjuntos o partes: De ning´ un elemento: ∅. De un elemento: {5} , {6} , {7} , {8} , {9}. De dos elementos: {5, 6} , {5, 7} , {5, 8} , {5, 9} , {6, 7} , {6, 8} {6, 9} , {7, 8} , {7, 9} , {8, 9}. De tres elementos: {5, 6, 7} , {5, 6, 8} , {5, 6, 9} , {5, 7, 8} , {5, 7, 9} , {5, 8, 9} , {6, 7, 8} , {6, 7, 9} , {6, 8, 9} , {7, 8, 9}. {5, 6, 7, 8} , {5, 6, 7, 9} , {5, 7, 8, 9} ,

De cuatro elementos: {5, 6, 8, 9} , {6, 7, 8, 9}.

De cinco elementos: {5, 6, 7, 8, 9}. El n´ umero de subconjuntos de U es 25 = 32. Todo conjunto tiene dos subconjuntos propios: El vac´ıo y él mismo.

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Ejercicios propuestos Ejercicio 1: Describir por extensión el conjunto A formado por los n´ umeros enteros cuyo valor absoluto es menor que 6. Ejercicio 2: ¿Es {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, −1, −2, −3, −4, −5, −6} el conjunto del ejercicio anterior? Ejercicio 3: Si B es el conjunto de n´ umeros solución de la 2 ecuación x − 4x − 12 = 0, ¿se verifica B ⊂ A? Ejercicio 4: ¿Es cierto que A ⊂ A? Ejercicio 5: ¿Cuántos subconjuntos tiene A? Ejercicio 6: ¿Cuántos elementos tiene el conjunto potencia de B? Ejercicio 7: ¿Es ∅ un subconjunto de A? Ejercicio 8: ¿Son equivalentes las expresiones ∅ ∈ A y ∅ ⊂ A? Ejercicio 9: ¿Es cierto que ning´ un conjunto puede tener un subconjunto sin elementos? Ejercicio 10: ¿Cuántos subconjuntos de A tienen 9 elementos?

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Soluciones Soluci´ on 1: A = {−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}. Soluci´ on 2: No, sobran 6 y -6. Soluci´ on 3: No, 6 ∈ B pero 6 ∈ / A. Soluci´ on 4: S´ı. Soluci´ on 5: 211 = 2048. Soluci´ on 6: 22 = 4. Soluci´ on 7: S´ı. Soluci´ on 8: No, en el primer caso ∅ es un elemento de A, en el segundo es un subconjunto. Soluci´ on 9: No. Soluci´ on 10: Combinaciones de 11 elementos tomadas de 9 en 9, es decir 110.

18


3.3.


Ficha 3: Operaciones con conjuntos

Entre los conjuntos se pueden definir muchas operaciones, las más frecuentes son: Uni´ on de los conjuntos C y D. Se escribe C ∪ D. Es el conjunto formado por los elementos que están en C o en D o en ambos, es decir: C ∪ D = {x | x ∈ C ´ o x ∈ D} En los diagramas siguientes la parte coloreada corresponde a C ∪ D en las distintas situaciones: • Cuando los conjuntos dados no tienen elementos comunes:

19



• Cuando los conjuntos dados tienen elementos comunes:

• Cuando D está contenido en C:

20



Intersecci´ on de los conjuntos C y D. Se escribe C ∩ D. Es el conjunto formado por los elementos que están en C y en D, es decir: C ∩ D = {x | x ∈ C y x ∈ D} En los diagramas siguientes la parte coloreada corresponde a C ∩ D en los distintos casos: • Cuando los conjuntos dados son conjuntos disjuntos, es decir, su intersección es vac´ıa:

• Cuando los conjuntos dados tienen alg´ un elemento com´ un:

21



• Cuando D está contenido en C:

22



Diferencia de los conjuntos C y D. Se escribe C − D. Es el conjunto formado por los elementos que están en C y no están en D, es decir: C − D = {x | x ∈ C y x ∈ / D} • Cuando los conjuntos dados son disjuntos:

• Cuando los conjuntos dados tienen alg´ un elemento com´ un:

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• Cuando uno de los conjuntos dados está contenido en el otro:

Cuando el referencial es C, C − D es el complementario de D en C. Se escribe D. Es el conjunto formado por los elementos de C que no están en D, es decir: D = {x | x ∈ C y x ∈ / D}.

24



Diferencia sim´ etrica es la unión de los dos conjuntos diferencia, es decir: C 4 D = (C − D) ∪ (D − C) = {x|x ∈ C − D ó x ∈ D − C} Observando el diagrama, vemos que está formada por los elementos de la unión que no están en la intersección: C 4 D = {x | x ∈ (C ∪ D) − (C ∩ D)}

Cuando los conjuntos C y D son finitos se puede contar el n´ umero de elementos que tienen, siendo evidente la relación: N´ um de elementos de (C ∪ D)= N´ um de elementos de C+N´ um de elementos deD− -N´ um de elementos de C ∩ D.

25



Ejemplo 7: Volvamos al ejemplo 5 y sean C = {v, a, r} y D = {a, l, r}, manteniendo U = {v, a, l, o, r} como conjunto referencial. Los objetos matemáticos entre los que vamos a efectuar las operaciones son los 32 elementos de P (U ) (partes de U ) que describimos en el ejemplo 5. Unión : C ∪ D = {v, a, l, r} Intersección: C ∩ D = {a, r} C ∩ D 6= ∅, por tanto C y D no son conjuntos disjuntos.

26



Ejemplo 8: Diferencias entre los conjuntos C y D del ejemplo 7. Hay dos conjuntos diferencia: C − D = {v};

D − C = {l}

Respecto al referencial U se pueden formar los dos conjuntos complementarios: Complementario de C: Está formado por los elementos de U que no están en C. Complementario de D: Está formado por los elementos de U que no están en D. C = {l, o};

D = {v, o}

27



Diferencia sim´ etrica: C 4 D = (C − D) ∪ (D − C) = {v, l}

Es evidente que se verifica la relaci´ on 4 = 3 + 3 − 2: N´ umero de elementos de (C ∪ D)= N´ umero de elementos de C+ N´ umero de elementos de D− N´ umero de elementos de C ∩ D

28



Ejemplo 9: Sean A el conjunto de enteros positivos mayores que 2 y menores que 6 y B el conjunto de n´ umeros impares positivos de un sólo d´ıgito. Descripción por comprensión: A = {x | x son enteros positivos tales que 2 < x < 6} B = {x | x son impares positivos de un sólo d´ıgito} Descripción por extensión: A = {3, 4, 5}

y

B = {1, 3, 5, 7, 9}

Unión: A ∪ B = {1, 3, 4, 5, 7, 9} Intersección: A ∩ B = {3, 5}

29



Ejemplo 10: Otras operaciones entre los conjuntos del ejemplo 9. Diferencias A − B = {4};

B − A = {1, 7, 9}

Complementario de A, A, y complementario de B, B. A y B son subconjuntos de diferentes conjuntos, su complementario depende del referencial elegido, que puede ser cualquier conjunto que los contenga. Si tomamos como referencial D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} los complementarios de A y B son: A = {1, 2, 6, 7, 8, 9};

30

B = {2, 4, 6, 8}



Si tomamos como referencial D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, los complementarios de A y B son: A = {0, 1, 2, 6, 7, 8, 9, 10};

B = {0, 2, 4, 6, 8, 10}

Diferencia simétrica: A 4 B = (A − B) ∪ (B − A) = {4} ∪ {1, 7, 9} = {1, 4, 7, 9} A 4 B = (A ∪ B) − (A ∩ B) = {1, 4, 7, 9}

31



Ejemplo 11: En la ficha de cada trabajador de una empresa figura si es soltero, si tiene estudios de Bachillerato y si es espa˜ nol. El referencial es U = {x | x son trabajadores de la empresa} S = {x | x son trabajadores solteros de la empresa} B = {x|x son trabajadores bachilleres de la empresa} E = {x | x son trabajadores espa˜ noles de la empresa}

Con los conjuntos S, B, E se pueden hacer las operaciones que conocemos. Los distintos resultados quedan representados en un diagrama. Por ejemplo: B ∩ E: Sus elementos son “Trabajadores bachilleres espa˜ noles de la empresa.”

32



S ∪ B: Sus elementos son “Trabajadores de la empresa solteros o con estudios de Bachillerato.”

S ∪ (B ∩ E): Sus elementos son “Trabajadores de la empresa solteros o trabajadores de la empresa espa˜ noles con estudios de Bachillerato.”

(S ∪ B) − (B ∩ E) : Sus elementos son “Trabajadores de la empresa solteros o con estudios de Bachillerato que no sean espa˜ noles con estudios de bachillerato.”

33



Autoevaluaci´ on ficha 3 Sabiendo que A es el conjunto de n´ umeros enteros cuyo valor absoluto es menor que 3 y B es el conjunto de n´ umeros solución de 2 la ecuación x − 4x − 12 = 0, responda a las siguientes cuestiones:

A ∪ B = {−2, −1, 0, 1, 2, 6}. B ⊂ A ∪ B y A ⊂ A ∪ B. A y B son disjuntos. A ∩ B = {−2, 6}. A − B = {2, 1, 0, −1}. B − A = {6}. Si se toma como referencial A ∪ B, el complementario de B es A. A 4 B = {−1, 0, 1, 2, 6} (A − B) ∪ (B − A) = (A ∪ B) − (A ∩ B) (A ∩ B) ∪ (B − A) = A.

34

Verdadero Verdadero Verdadero Verdadero Verdadero Verdadero Verdadero

Falso Falso Falso Falso Falso Falso Falso



3.4.


Ficha 4: Correspondencia entre dos conjuntos Se llama producto cartesiano de los conjuntos A y B al conjunto de todos los pares ordenados que se pueden formar siendo el primer elemento del par de A y el segundo de B. A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} Con cada elemento de A se pueden formar tantos pares coumero de elementos mo elementos tenga B, por tanto el n´ de A × B es el n´ umero de elementos de A por el n´ umero de elementos de B. Cualquier parte de A×B establece una correspondencia entre estos dos conjuntos. El conjunto de pares que la forman se llama grafo. Una correspondencia, f , entre A y B es un subconjunto de A × B, es decir: f ⊂ A × B. En una correspondencia de A en B el conjunto A se llama conjunto inicial. El subconjunto de A que interviene en f se llama conjunto original de la correspondencia. En una correspondencia de A en B el conjunto B se llama conjunto final. El subconjunto de B que interviene en f se llama conjunto imagen de la correspondencia. Las correspondencias, f , entre A y B que tienen la caracter´ıstica de que cada elemento de A está sólo en un par de f reciben el nombre de aplicaciones. 35



Ejemplo 12: Dados los conjuntos A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3, 4} su producto cartesiano es: A × B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4)} A × B se puede representar mediante diagramas como:

N´ umero de elementos (pares) de A × B = 3 · 4 = 12.

36



Ejemplo 13: Si A y B son los conjuntos del ejemplo 12, f = {(1, 2), (1, 4), (5, 1), (5, 3)} es un subconjunto de A×B que establece una correspondencia entre A y B. Los pares de A × B que aparecen resaltados forman f : {(1, 1), (1,2), (1, 3), (1,4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (5,1), (5, 2), (5,3), (5, 4)} f es un conjunto descrito por extensión que se puede representar mediante diagramas como:

37



Ejemplo 14: En la correspondencia f del ejemplo 13 intervienen el subconjunto {1, 5} de A y el subconjunto B = {1, 2, 3, 4} de B y se verifica: El conjunto inicial es A. El conjunto original es {1, 5} ⊂ A. El conjunto final es B. El conjunto imagen es B.

38



Ejemplo 15: Ejemplo de aplicación: La correspondencia g = {(1, 2), (3, 3), (5, 3)}, definida entre los conjuntos A y B del ejemplo 12 tiene la caracter´ıstica de que cada elemento de A sólo está como primer elemento en un par de g. La correspondencia g s´ı es aplicación. La correspondencia f del ejemplo 13 no es una aplicación.

39



Ejemplo 16: Si A es el conjunto de n´ umeros enteros positivos menores que 10, B es el conjunto de n´ umeros enteros positivos pares menores que 10, y f la correspondencia de A en B que asigna su doble a cada elemento de A verifica: El conjunto inicial en la correspondencia f es A. El conjunto original en la correspondencia f es: {1, 2, 3, 4} ⊂ A. El conjunto final en la correspondencia f es B. El conjunto imagen en la correspondencia f coincide con B. f = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)}

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Ejercicios propuestos Ejercicio 1: Describir por extensión el conjunto A × B siendo A = {casa, el, imagen} y B = {1, 2, 3, 4}. Ejercicio 2: ¿Cuántos elementos tiene A × B? Ejercicio 3: La correspondencia f , entre los conjuntos A y B del ejercicio 1 anterior, que asigna a cada elemento de A el n´ umero de vocales que tiene. ¿Por cuántos pares está formada? Ejercicio 4: ¿Es la correspondencia f una aplicación? Ejercicio 5: ¿Coinciden en esta correspondencia los conjuntos inicial y original? Ejercicio 6: ¿Coinciden en esta correspondencia los conjuntos final e imagen? Ejercicio 7: ¿Se puede establecer una correspondencia g, entre los mismos conjuntos A y B para que coincidan los conjuntos final e imagen? Ejercicio 8: ¿Y una aplicación para que coincidan los conjuntos final e imagen? Ejercicio 9: ¿Es cierto que el conjunto imagen está contenido siempre en el conjunto final? Ejercicio 10: ¿Puede ocurrir que el conjunto inicial no contenga al conjunto original? 41



Soluciones Soluci´ on 1: A × B = {(casa, 1), (casa, 2), (casa, 3), (casa, 4), (el, 1), (el, 2), (el, 3), (el, 4), (imagen, 1), (imagen, 2), (imagen, 3), (imagen, 4)}. Soluci´ on 2: 12 elementos. Soluci´ on 3: Por tres pares de A × B. Soluci´ on 4: S´ı. Soluci´ on 5: S´ı. Soluci´ on 6: No. Soluci´ on 7: S´ı: g = {(casa, 1), (casa, 2), (el, 1), (imagen, 3)}. Soluci´ on 8: No. Soluci´ on 9: S´ı. Soluci´ on 10: No.

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Autoevaluaci´ on ficha 4 Sabiendo que A = {padre, hija, casilla, cosa}, B es el conjunto de vocales del alfabeto espa˜ nol y f la correspondencia de A en B que asigna a cada palabra una vocal de B si contiene dicha vocal, responda a las siguientes cuestiones:

A × B = B × A. El n´ umero de elementos de A × B es 16. f ⊂ A × B. A × B ⊂ f. El grafo de f tiene 8 elementos. (i,hija) es un elemento de f . El conjunto inicial y conjunto original de f coinciden. El conjunto final y conjunto imagen de f coinciden. f es una aplicación. f no es una aplicación porque ninguna de las palabras contiene la vocal “u”.

43

Verdadero Verdadero Verdadero Verdadero Verdadero Verdadero Verdadero

Falso Falso Falso Falso Falso Falso Falso



3.5.


Ficha 5: Relaciones binarias

Entre los elementos de un conjunto se pueden establecer relaciones binarias. Una relaci´ on binaria, R, en un conjunto A es un subconjunto no vac´ıo del producto cartesiano A × A. Si (a, b) está en R, siendo a y b elementos de A, diremos que a est´ a relacionado con b mediante la relación R. Con frecuencia las relaciones tienen alguna de las siguientes propiedades: Una relación R es reflexiva en un conjunto A si cada uno de sus elementos está relacionado consigo mismo: aRa, ∀a ∈ A Si R es reflexiva en A cada elemento de su gráfico de flechas tiene un bucle. Una relación R es antirreflexiva en un conjunto A si ninguno de sus elementos está relacionado consigo mismo, es decir: a no está relacionado con a para ning´ un a ∈ A Si R es antirreflexiva en A ning´ un elemento de su gráfico de flechas tiene un bucle. Una relación R es sim´ etrica en un conjunto A si ocurre: aRb ⇒ bRa, ∀a, b ∈ A Si R es simétrica en A cada flecha de ida va acompa˜ nada por la correspondiente de vuelta en el gráfico de flechas. 44



Una relación R es antisim´ etrica en un conjunto A si: Cuando a está relacionado con b, b no está relacionado con a si a 6= b, a, b ∈ A. Si R es antisimétrica en A ninguna flecha de ida puede estar acompa˜ nada de otra de vuelta en su gráfico de flechas. Una relación R es transitiva en un conjunto A si ocurre: Si aRb y bRc ⇒ aRc, ∀a, b, c ∈ A Una relación R es de equivalencia en un conjunto A si es: reflexiva, simétrica y transitiva Si R es una relación de equivalencia en un conjunto A, éste se puede dividir en conjuntos disjuntos tales que cada uno está formado sólo por elementos que están relacionados y se llama clase de equivalencia. El conjunto de las clases de equivalencia que ha determinado la relación R en el conjunto A se llama conjunto cociente: A/R. Una relación R es de orden en un conjunto A si es: reflexiva, antisimétrica y transitiva

45



Ejemplo 18: Sean A = {1, 3, 4} y R el subconjunto de A × A, R = {(1, 3), (3, 3), (1, 4)}. Los pares de R indican que 1 está relacionado con 3 y con 4, y 3 está relacionado con 3. Es lo mismo que decir que hay una correspondencia entre A y A donde 1 tiene por imágenes 3 y 4, y la imagen e 3 es 3.

Por ser iguales los conjuntos inicial y final también se puede utilizar el siguiente diagrama:

46



Ejemplo 19: Sean A = {uno, dos, tres, eva} y R la relación definida en A: “tiene el mismo n´ umero de letras”. Los pares que forman la relación R son: {(uno,uno),(uno,dos),(uno,eva), (dos,uno),(dos,dos), (dos,eva),(eva,uno),(eva,dos),(eva,eva),(tres,tres)} R es reflexiva en A: Los pares (uno,uno),(dos,dos),(eva,eva),(tres,tres) son de R. En su gráfico de flechas cada elemento tiene un bucle. R es sim´ etrica en A: Son de R los pares (uno,dos) y (dos,uno); (uno,eva) y (eva,uno); (dos,eva) y (eva,dos) En su gráfico de flechas, éstas van en parejas de ida y vuelta. R es transitiva en A: (uno,dos),(dos,eva) ∈ R ⇒(uno,eva)∈ R (dos,eva),(eva, uno)∈ R ⇒(dos,uno)∈ R .................

47



Ejemplo 20: La relación R “tener el mismo n´ umero de letras” en el conjunto del ejemplo anterior verifica: La relación R en A es de equivalencia porque es reflexiva, simétrica y transitiva. Por ser R de equivalencia se puede dividir A en las siguientes clases: Clase 1 ={uno, dos, eva} Clase 2 ={tres} Clase 1 está formado por los elementos de A que tienen tres letras. Clase 2 está formado por los elementos de A que tienen cuatro letras. El conjunto cociente determinado en A por R es A/R = {Clase 1, Clase 2 }

Observaci´ on: Hay relaciones que no tienen ninguna de las propiedades citadas.

48



Ejemplo 21: Sea A la familia formada por {abuelo paterno, padre, madre, hijo1, hijo2} en la que se define la relación R, “es padre de”. Los pares que forman la relación R son: {(abuelo paterno, padre),(padre, hijo1),(padre, hijo2)} R es antirreflexiva en A: En ning´ un par de R pueden ser iguales el primero y el segundo elementos. En su gráfico de flechas ning´ un elemento tiene un bucle. R es antisim´ etrica en A: Por ser (abuelo paterno, padre),(padre, hijo1),(padre, hijo2) de R, no pueden serlo (padre, abuelo paterno),(hijo1, padre),(hijo2, padre,), respectivamente. En su gráfico de flechas, no hay ninguna pareja de ida y vuelta. R es no es transitiva en A: (abuelo paterno, padre),(padre, hijo1) son de R, pero (abuelo paterno, hijo1) no puede serlo.

49



Ejercicios propuestos Ejercicio 1: ¿Es de equivalencia la relación R:“tener igual el primer apellido” en el conjunto A de las personas inscritas en el Registro Civil como nacidas en Madrid el d´ıa 20 de abril de 2000? Ejercicio 2: ¿Pertenecen todos los elementos de A a alguna clase de equivalencia? Ejercicio 3: Describa la clase a que pertenece Juan Pérez Garc´ıa sabiendo que pertenece al conjunto A. Ejercicio 4: ¿Hay alguna clase de equivalencia que no tenga ning´ un elemento? Ejercicio 5: ¿Tienen todas las clases el mismo n´ umero de elementos? Ejercicio 6: ¿En qué se diferencia un elemento del conjunto cociente de otro? Ejercicio 7: ¿Es R una relación de orden? Ejercicio 8: ¿Se puede definir en un conjunto una relación simétrica y antisimétrica simultáneamente? Ejercicio 9: Defina en el mismo conjunto una relación de orden. Ejercicio 10: La relación que ha definido en el ejercicio 9, ¿permite formar clases de equivalencia en A?

50



Soluciones Soluci´ on 1: S´ı. Soluci´ on 2: S´ı. Soluci´ on 3: Clase Pérez = {personas cuyo primer apellido es Pérez y están inscritas en el Registro Civil como nacidas en Madrid el 20 de abril de 2000 }?. Soluci´ on 4: No. Soluci´ on 5: No. Soluci´ on 6: En el primer apellido de las personas que la forman. Soluci´ on 7: No. Soluci´ on 8: No. Soluci´ on 9: “haber nacido antes”. Soluci´ on 10: No.

51



Autoevaluaci´ on ficha 5 Sabiendo que en el conjunto A = {1,2,3,4,5,6} se define la relación R: “ser m´ ultiplo de”, responda a las siguientes cuestiones:

R es reflexiva. El n´ umero de pares que forman R es 13. R es simétrica. R es A × A. R es transitiva. R es una relación de equivalencia. R es una relación de orden. La relación R divide el conjunto dado en clases de equivalencia . Conjunto cociente es un conjunto de clases de equivalencia. Una relación puede ser de orden y de equivalencia simultáneamente.

52

Verdadero Verdadero Verdadero Verdadero Verdadero Verdadero Verdadero Verdadero

Falso Falso Falso Falso Falso Falso Falso Falso




´ UTILIZADOS EN ESTE MODULO ´ SÍMBOLOS MAS

∀

Para todo

∃

Existe

∈

Pertenece

{x/x ∈ A}

El conjunto de los elementos x que pertenecen a A

⊂

Contenido

∅

Conjunto vac´ıo

A∪B

Unión de conjuntos

A∩B

Intersección de conjuntos

N

El conjunto de los n´ umeros naturales

Z

El conjunto de los n´ umeros enteros

Z+

El conjunto de los n´ umeros enteros positivos

Z−

El conjunto de los n´ umeros enteros negativos

Q

El conjunto de los n´ umeros racionales

R

El conjunto de los n´ umeros reales 53

Índice alfab´ etico Antirreflexiva, 44 Antisimétrica, 45 Aplicación, 35 Clase de equivalencia, 45 Complementario, 24 Comprensión, 5 Conjunto cociente, 45 Conjunto final, 35 Conjunto finito, 5 Conjunto imagen, 35 Conjunto inicial, 35 Conjunto original, 35 Conjunto potencia, 11 Conjunto referencial, 11 Conjunto universal, 11 Conjunto vac´ıo, 5 Conjuntos anidados, 10 Conjuntos disjuntos, 21, 23 Conjuntos iguales, 10 Contenido, 10 Correspondencia, 35 Diagramas de Venn, 5 Diferencia de conjuntos, 23

Diferencia simétrica, 25 Estar relacionado, 44 Extensión, 5 Grafo, 35 Intersección de conjuntos, 21 N´ umero de elementos del producto cartesiano, 35 N´ umero de subconjuntos, 11 Partes de un conjunto, 11 Producto cartesiano, 35 Propiedad caracter´ıstica, 5 Reflexiva, 44 Relación binaria, 44 Relación de equivalencia, 45 Relación de orden, 45 Simétrica, 44 Subconjunto, 10 Subconjuntos propios, 16 Transitiva, 45 Unión de conjuntos, 19 54

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Derivadas

Prof. Esther Gil Cid Departamento de Matemática Aplicada I ETSI Industriales

1

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2


4.

Introducción y objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prueba de autodiagnóstico . . . . . . . . . . . . . . . . . Contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Ficha 1: ¿Qué es la derivada? . . . . . . . . . . . 3.2. Ficha 2: Reglas elementales de derivación . . . 3.3. Ficha 3: Derivación de las funciones trascendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Ficha 4: Aplicaciones de la derivada . . . . . . . Prueba de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Índice alfabético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

4 5 7 7 18 29 43 58 59 61

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1.



La forma en la que se estudia inicialmente una función es estática: ¿cuánto vale f (x) si x toma este valor?). Pero también podemos estudiar las funciones de forma dinámica: ¿con qué rapidez se produce la variación de f (x)?. Podemos, por ejemplo, estudiar la variación media de una función, es decir, cuánto var´ıa f entre a y b. O la pendiente (o inclinación) de la recta tangente a la curva en un punto, que representa la rapidez de cambio instantáneo, y se llama derivada de la función en un punto. A veces podemos necesitar conocer la función derivada de una función. Aunque teóricamente la derivada se determina a través del cálculo de l´ımites, esto puede resultar bastante engorroso. Por esto, es más sencillo utilizar reglas para derivar. Utilizando las derivadas se pueden estudiar algunas propiedades de carácter local de las funciones, lo que ayudará para su representación gráfica: se trata de obtener información de las funciones a partir de su derivada. Los contenidos de este tema son necesarios para el primer curso de cualquier Ingenier´ıa o carrera de ciencias. Objetivos Entender qué es la derivada de una función en un punto y la derivada de una función. Poder derivar cualquier función. Poder encontrar los máximos y m´ınimos relativos de una función. Poder determinar los intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad de una función.

4

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2.



Haga el test siguiente para evaluar el nivel de conocimientos que tiene en este tema. La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto. La tangente sólo corta a la gráfica de la función en un punto. Siempre hay que determinar la derivada de una función como un l´ımite. √ 8 4 La derivada de f (x) = 2 x3 es f 0 (x) = √ . 4 3 3 x 9

0

2

8

Verdadero Falso Verdadero Falso Verdadero Falso Verdadero Falso Verdadero Falso

Si f (x) = x − x + 1, entonces f (x) = 9x − 2x. Verdadero 2 2 2 La derivada de f (x) = x + 1 − (x − 1) es 4x x2 + 1 + 2x (x − 1). Verdadero 1 es f 0 (x) = La derivada de f (x) = 6 2 x +x +3 6x5 + 2x − . (x6 + x2 + 3)2 Verdadero 1 0 La derivada de f (x) = es f (x) = cos 2x 2sen 2x . cos2 2x Las derivadas no dan información de cómo es Verdadero la función. Verdadero Si f 0 (x) = 0 y f 00 (x) > 0 la función tiene un m´ınimo en x. 5

Falso

Falso

Falso

Falso Falso

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6

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3. 3.1.


Contenidos Ficha 1: ¿Qu´ e es la derivada?

Consideremos una función f (x), continua. Supongamos que queremos estudiar cómo var´ıa la función, expresado de otra forma, su “velocidad de cambio” o cómo var´ıa una variable respecto a la otra. Variación media La Variación media (V.M) nos dice cómo var´ıa la función por unidad de tiempo, en un intervalo (a, b): f (b) − f (a) . b−a Gráficamente, la V.M. es la pendiente de la recta que une los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)). La vamos a denotar V.M ((a, b).

7

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Ejemplo 1. La variaci´ on media depende del intervalo conside-

rado:

Observamos que la variación media puede cambiar de signo, seg´ un cómo sea la función y cuáles sean los puntos a y b. En este ejemplo, los valores de x y de f (x) son: x 1 2 3 4 f (x) −4 −7 −6 5 y la variación media es f (2) − f (1) −7 − (−4) = = −3, 2−1 1 f (3) − f (1) −6 − (−4) V.M (1, 3) = = = −1, 3−1 2 f (4) − f (1) 5 − (−4) V.M (1, 4) = = = 3. 4−1 3 V.M (1, 2) =

Var. instantánea Si hacemos que el intervalo sea cada vez más peque˜ no, hasta 8

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que se “junten” los dos puntos a y b, tenemos la Variación instantánea. Es el l´ımite f (a + h) − f (a) . h→0 h l´ım

Tangente La tangente a una curva en un punto es la recta que sigue la dirección de la curva en ese punto.

La tangente a una curva en a se puede determinar considerando la recta que corta a la curva en a y otro punto b y haciendo que b se acerque a a todo lo que se pueda.

(anima1.gif)

9

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Deriv. en un punto La pendiente de la recta secante es la variación media f (b) − f (a) b−a y su l´ımite es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto, que llamamos derivada de la función f en el punto a y se representa por f (a + h) − f (a) . h→0 h

f 0 (a) = l´ım

Coincide con la variación instantánea. Observaciones: La tangente a una función en un punto puede “atravesar” la curva o cortarla en más de un punto:

Si el l´ımite anterior es infinito o no existe, se dice que la función no tiene derivada en a. Para que una función tenga derivada en un punto debe estar definida en él. El rec´ıproco no es cierto. 10

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Para que una función tenga derivada en un punto debe ser continua en él. El rec´ıproco no es cierto.

Ejemplo 2. Las derivadas de la función f (x) = x2 + x − 3 en x = 0 y x = 2 son los l´ımites f (0 + h) − f (0) h2 + h − 3 − (−3) f (0) = l´ım = l´ım h→0 h→0 h h 2 h +h = l´ım (h + 1) = 1, = l´ım h→0 h→0 h f (2 + h) − f (2) f 0 (2) = l´ım h→0 h 2 (2 + h) + (2 + h) − 3 − 22 + 2 − 3 = l´ım h→0 h 2 2 2 + 4h + h + 2 + h − 3 − 22 − 2 + 3 = l´ım h→0 h 2 h + 5h = l´ım (h + 5) = 5. = l´ım h→0 h→0 h 0

f 0 (0) y f 0 (2) son las pendientes de las rectas tangentes a f en x = 0 y x = 2. Coinciden con la variación instantánea:

11

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Ejemplo 3. La función f (x) = |x| no tiene derivada en x = 0 porque no existe el l´ımite f (0 + h) − f (0) . h→0 h l´ım

Para demostrarlo, escribimos f como x, x ≥ 0, f (x) = −x, x < 0. Entonces el l´ımite depende de si nos acercamos a 0 por la derecha o por la izquierda f (0 + h) − f (0) (0 + h) − 0 h = l´ım+ = l´ım+ = 1, h→0 h→0 h→0 h h h f (0 + h) − f (0) − (0 + h) − 0 −h l´ım− = l´ım− = l´ım− = −1. h→0 h→0 h→0 h h h l´ım+

Como los l´ımites anteriores no coinciden, no existe el l´ımite f (0 + h) − f (0) . h→0 h l´ım

que es la derivada. Derivada La derivada de una función f : I → R en un punto x ∈ I, es el l´ımite f (x + h) − f (x) . h→0 h

f 0 (x) = l´ım

Si existe la derivada en un subconjunto S de I, entonces la función que asigna a cada x su derivada f 0 (x), en S, se llama función derivada o simplemente derivada. 12

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√ Ejemplo 4. La función derivada de f (x) = x, para x > 0, es √ √ f (x + h) − f (x) x+h− x 0 = l´ım f (x) = l´ım h→0 h→0 h h √ √ √ √ x+h− x x+h+ x √ = l´ım √ h→0 h x+h+ x x+h−x h = l´ım √ √ = l´ım √ √ h→0 h h→0 h x+h+ x x+h+ x 1 1 = l´ım √ √ = √ . h→0 x+h+ x 2 x Si x = 0, f no tiene derivada, porque √ h−0 f (0 + h) − f (0) f 0 (x) = l´ım = l´ım h→0 h→0 h √ √ h h h h 1 = l´ım √ = l´ım √ = l´ım √ = +∞ h→0 h h h→0 h h h→0 h y entonces no existe derivada. Deriv. sucesivas Como la derivada de una función es a su vez una función y, se puede derivar. Las derivadas sucesivas se llaman derivada segunda, tercera, cuarta, etc y se denotan f 00 (x), f 000 (x), f 4) (x), etc, respectivamente.

Ejemplo 5. La derivada segunda de f (x) = de f 0 (x) = 2√1 x .

13

√

x es la derivada

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Ejercicios propuestos Ejercicio 1. Hállese la pendiente de la recta tangente a f (x) = 1 en x = 2. x Pulse aqu´ı para ver la solución. Ejercicio 2. Calc´ ulese la derivada de f (x) = x3 + 2x2 − x en x = 0 y en x = 1. Pulse aqu´ı para ver la solución. Ejercicio 3. Calc´ ulese la función derivada de f (x) = x2 +3x−1. Pulse aqu´ı para ver la solución. Ejercicio 4. Calc´ ulese la derivada de f (x) =

1 . x

Pulse aqu´ı para ver la solución. Si ha tenido dificultades para resolver estos ejercicios correctamente, vuelva a repasar esta ficha

14

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Soluci´ on a los ejercicios propuestos Solución del ejercicio 1. La pendiente de la recta tangente a f (x) en x = 2 es su derivada, que se puede calcular como el siguiente l´ımite: 1 1 − f (2 + h) − f (2) f 0 (2) = l´ım = l´ım 2 + h 2 h→0 h→0 h h 2 − (2 + h) 2 − (2 + h) (2 + h) 2 = l´ım = l´ım h→0 h→0 2 (2 + h) h h h 1 1 1 = l´ım − = l´ım − =− =− . h→0 2 (2 + h) h h→0 2 (2 + h) 2·2 4 1 Entonces, la pendiente buscada es − . 4 Solución del ejercicio 2. La derivada de una función f (x) en el punto x0 es el l´ımite f (x0 + h) − f (x0 ) . h→0 h

f 0 (x0 ) = l´ım

Como f (x) = x3 + 2x2 − x, tenemos que hacer f (0 + h) − f (0) h→0 h 3 (0 + h) + 2 (0 + h)2 − (0 + h) − 03 + 2 · 02 − 0 = l´ım h→0 h 3 2 h + 2h − h − 0 = l´ım = l´ım h2 + 2h − 1 = −1, h→0 h→0 h

f 0 (0) = l´ım

15

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f (1 + h) − f (1) h→0 h 3 (1 + h) + 2 (1 + h)2 − (1 + h) − 13 + 2 · 12 − 1 l´ım h→0 h 2 3 1 + 3h + 3h + h + 2 1 + 2h + h2 − 1 − h − 2 l´ım h→0 h 2 3 3h + 3h + h + 2 + 4h + 2h2 − h − 2 l´ım h→0 h 3 2 h + 5h + 6h l´ım h→0 h 2 l´ım h + 5h + 6 = 6.

f 0 (1) = l´ım = = = = =

h→0

Solución del ejercicio 3. La función derivada se calcula por medio de l´ımites: f (x + h) − f (x) h→0 h 2 (x + h) + 3 (x + h) − 1 − x2 + 3x − 1 l´ım h→0 h 2 2 x + 2xh + h + 3x + 3h − 1 − x2 − 3x + 1 l´ım h→0 h 2 2xh + h + 3h l´ım h→0 h l´ım 2x + h + 3 = 2x + 3.

f 0 (x) = l´ım = = = =

h→0

Solución del ejercicio 4.

16

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La función derivada se calcula mediante el l´ımite f (x + h) − f (x) h→0 h x x+h 1 1 − − (x + h) x x (x + h) l´ım x + h x = l´ım h→0 h→0 h h x − (x + h) x−x−h (x + h) x = l´ım l´ım h→0 h (x + h) x h→0 h −h 1 l´ım = l´ım − h→0 h (x + h) x h→0 (x + h) x 1 − 2. x

f 0 (x) = l´ım

=

= = =

As´ı, la derivada de f es f 0 (x) = −

17

1 . x2

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3.2.


Ficha 2: Reglas elementales de derivaci´ on

Para calcular la derivada de cualquier función (sin necesidad de hacerlo a través de la definición) es necesario aprenderse las derivadas de unas pocas funciones y aplicar posteriormente unas reglas. Notación: f (x) y g (x) son funciones derivables, a es una constante (un n´ umero real). Primeras reglas de derivaci´ on f (x) = a Regla 1. Derivada de una constante. Si f (x) = a, entonces f 0 (x) = 0. f (x) + g (x) Regla 2. Derivada de una suma. La derivada de f (x) + g (x) es f 0 (x) + g 0 (x). f (x) = xa

Regla 3. Derivada de una potencia. Si f (x) = xa , su derivada es f 0 (x) = axa−1 .

af (x)

Regla 4. Derivada del producto de una constante por una funci´ on. La derivada de af (x) es af 0 (x).

Ejemplo 6. Para calcular la derivada de f (x) = 4x3 − x2 + 2x − 3 hacemos: 1. Si conocemos las derivadas de 4x3 , −x2 , 2x y −3 podemos luego aplicar la regla de la suma (regla 2). 2. La derivada de −3 es 0, porque es una constante (regla 1). 3. Como x se puede escribir como x1 , su derivada se calcula como la de una potencia: 1 · x1−1 = 1 (regla 3). 18

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4. 2x se deriva con la regla 4: 2· (x)0 = 2. 5. La derivada de x2 es 2 · x2−1 = 2x, porque es la derivada de una potencia. 6. Aplicamos la regla 4 y tenemos que la derivada de −x2 es −2x. 7. La derivada de 4x3 es 4·3x3−1 = 4·3x2 = 12x2 , si aplicamos las reglas 3 y 4. 8. La derivada de f (x) es f 0 (x) = 12x2 − 2x + 2.

√ 8 3 Ejemplo 7. La derivada de f (x) = 3 x2 + se calcula: x √ 2 3 1. x2 se puede escribir como g (x) = x 3 . Entonces es fácil obtener su derivada como la derivada de una potencia 2 2 2 1 2 (regla 3): g 0 (x) = x 3 −1 = x− 3 = √ . 3 3 33x √ 2 2 3 2. Seg´ un la regla 4, la derivada de 3 x2 es 3 √ =√ . 3 3 3 x x 3. De la misma forma obtenemos la derivada de h (x) = 8 si reescribimos h (x) = 8x−1 . Su derivada es h0 (x) = x 0 8 8 x−1 = 8 −1x−2 = − 2 . x 2 8 4. La derivada de f (x) es f 0 (x) = √ − 2. 3 x x 19

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M´ as reglas de derivaci´ on Regla del producto La derivada de f (x) · g (x) es f 0 (x) g (x) + f (x) g 0 (x). Regla del cociente La derivada de

f (x) es g (x) f 0 (x) g (x) − f (x) g 0 (x) . g 2 (x)

Regla de la cadena La derivada de g ◦ f (x) = g (f (x)) es g 0 (f (x)) · f 0 (x).

√ 8 3 Ejemplo 8. La derivada de F (x) = (x − 1) 3 x2 + x calcula aplicando la regla del producto.

se

1. Primero calculamos la derivada de f (x) = x − 1 que es f 0 (x) = 1. √ 8 2 8 3 − 2. 2. g (x) = 3 x2 + y su derivada es g 0 (x) = √ 3 x x x 3. Como F (x) es el producto de f y g: F (x) = f (x) g (x), obtenemos su derivada aplicando la regla del producto: F 0 (x) = f 0 (x) g (x) + f (x) g 0 (x) √ 8 2 8 3 = 1 · 3 x2 + + (x − 1) √ − 3 x x x2 √ 5x3 − 2x2 + 8 3 x √ = . x2 3 x

20

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Ejemplo 9. Derivamos

3x con la regla del cociente: x2 − 1

1. Escribimos la función como F (x) =

f (x) , con f (x) = 3x g (x)

y g (x) = x2 − 1. 2. La derivada de f es f 0 (x) = 3 · 1 = 3. 3. La derivada de g es suma de las derivadas de x2 y −1. La primera es 2x y la segunda es 0. 4. Obtenemos la derivada de F (x): f 0 (x) g (x) − f (x) g 0 (x) F (x) = g 2 (x) 3 · x2 − 1 − 3x · 2x = (x2 − 1)2 x2 + 1 = −3 . (x2 − 1)2 0

21

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Ejemplo 10. Para derivar F (x) =

√

x2 + 1 hacemos:

1. Escribimos F (x) = g (f (x)) = g ◦ f (x), si f (x) = x2 + 1 √ y g (y) = y. 2. f 0 (x) = 2x. 1 √ 3. g (y) = y = y 2 . Su derivada es la de una potencia: 1 g 0 (y) = √ . 2 y 4. Ya podemos aplicar la regla de la cadena para obtener F 0 F 0 (x) = g 0 (f (x)) f 0 (x) = g 0 x2 + 1 · 2x 1 = √ · 2x 2 x2 + 1 x =√ . x2 + 1

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30 Ejemplo 11. La derivada de F (x) = x3 − 2x2 + 3x + 1 se puede obtener desarrollando la potencia y derivando cada término (que resulta muy laborioso) o aplicando la regla de la cadena a f (x) = x3 − 2x2 + 3x + 1 y g (y) = y 30 : 1. Primero derivamos f : f 0 (x) = 3x2 − 4x + 3. 2. A continuación, calculamos g 0 (y) = 30y 29 . 3. Finalmente, como F (x) = g (f (x)) = g ◦ f (x), aplicamos la regla de la cadena a esta composición de funciones F 0 (x) = g 0 (f (x)) f 0 (x) = g 0 x3 − 2x2 + 3x + 1 3x2 − 4x + 3 29 = 30 x3 − 2x2 + 3x + 1 3x2 − 4x + 3 .

23

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Ejercicios propuestos Ejercicio 5. Calc´ ulese la derivada de f (x) = x7 − 2x4 + x − 3 + √ x. Pulse aqu´ı para ver la solución. √ 1 5 √ Ejercicio 6. Calc´ ulese la derivada de f (x) = + 2 x8 − x 2 3x + 2. Pulse aqu´ı para ver la solución. Si ha tenido dificultades para resolver estos ejercicios correctamente, vuelva a repasar la primera parte de esta ficha. √ Ejercicio 7. Calc´ ulese la derivada de f (x) = x7 − 3x2 + 1 x3 . Pulse aqu´ı para ver la solución. Ejercicio 8. Calc´ ulese la derivada de f (x) =

√

x3 − 4x2 − 3.

Pulse aqu´ı para ver la solución. x3 + x2 − x + 1 Ejercicio 9. Calc´ ulese la derivada de . x4 + 2x Pulse aqu´ı para ver la solución. Si ha tenido dificultades para resolver estos ejercicios correctamente, vuelva a repasar la segunda parte de esta ficha.

24

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Soluci´ on a los ejercicios propuestos Solución del ejercicio 5. La derivada de f se obtiene sumando la derivada de cada uno de sus sumandos. 1. x7 es una potencia: su derivada es 7x6 : el orden de la potencia (7) multiplicado por x elevado a uno menos (6). 2. La derivada de −2x4 es −2 multiplicado por la derivada de x4 . x4 es de nuevo una potencia, y su derivada es 4x3 . As´ı, la derivada de −2x4 es −2 4x3 = −8x3 . 3. La derivada de x es 1. 4. Como −3 es una constante, su derivada es 0. √ 1 5. x = x 2 es una potencia y su derivada es 1 1 1 −1 1 − 1 x2 = x 2 = √ . 2 2 2 x 1 Entonces, la derivada de f es f 0 (x) = 7x6 − 8x3 + 1 + √ . 2 x Solución del ejercicio 6. Para obtener la derivada de f , primero calculamos la derivada de sus sumandos: 1 1. Como √ = x−1/2 , su derivada es la derivada de una pox tencia: 1 1 1 3 1 − x− 2 −1 = − x− 2 = − √ . 2 2 2 x3 25

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√ 8 5 2. 2 x8 = 2x 5 y su derivada es 16 3 8 8 16 √ 5 2 · x 5 −1 = x 5 = x3 . 5 5 5 3. La derivada de −3x2 es −3 multiplicado por la derivada de x2 , que es 2x. Entonces, la derivada de −3x2 es −6x. 4. La derivada de 2 es 0, porque es una constante. 16 √ 1 5 x3 − 6x. Entonces f (x) = − √ + 3 5 2 x Solución del ejercicio 7. √ 7 2 La derivada de F (x) = x − 3x + 1 x3 se calcula aplicando la regla del producto. 1. La derivada de f (x) = x7 − 3x2 + 1 es f 0 (x) = 7x7−1 − 3 · 2x2−1 + 0 = 7x6 − 6x. √ 3 2. Como g (x) = x3 = x 2 , su derivada es 3 3 3 1 3√ g 0 (x) = x 2 −1 = x 2 = x. 2 2 2 3. Entonces 3√ F 0 (x) = f 0 (x) g (x) + f (x) g 0 (x) x 2 √ √ 3 7 = 7x6 − 6x x x + x − 3x2 + 1 x 2 √ 3 7 2 7 2 x = 7x − 6x + x − 3x + 1 2 17 7 21 2 3 √ = x − x + x. 2 2 2 26

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Solución del ejercicio 8. Se puede aplicar la regla de la cadena a f (x) = G (F (x)), en donde F (x) = x3 − 4x2 − 3, √ G (y) = y. 1 1. La derivada de G es G0 (y) = √ . 2 y 2. La derivada de F (x) es F 0 (x) = 3x3−1 − 4 · 2x2−1 − 0 = 3x2 − 8x. 3. Ya podemos aplicar la regla de la cadena para obtener f 0 f 0 (x) = G0 (F (x)) F 0 (x) = G0 x3 − 4x2 − 3 · 3x2 − 8x 1 3x2 − 8x 2 = √ · 3x − 8x = √ . 2 x3 − 4x2 − 3 2 x3 − 4x2 − 3

Solución del ejercicio 9. Podemos derivar la función F (x) = do la regla del cociente:

x3 + x2 − x + 1 aplicanx4 + 2x

1. Escribimos la función como F (x) =

f (x) , con f (x) = g (x)

x3 + x2 − x + 1 y g (x) = x4 + 2x. 2. La derivada de f es f 0 (x) = 3x3−1 + 2x2−1 − 1 + 0 = 3x2 + 2x − 1.

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3. La derivada de g es g 0 (x) = 4x4−1 + 2 · 1 = 4x3 + 2. 4. Obtenemos la derivada de F (x) aplicando la regla del cociente f 0 (x) g (x) − f (x) g 0 (x) F (x) = g 2 (x) 3x2 + 2x − 1 · x4 + 2x − x3 + x2 − x + 1 · 4x3 + 2 = (x4 + 2x)2 3x6 + 2x5 − x4 + 6x3 + 4x2 − 2x = (x4 + 2x)2 4x6 + 4x5 − 4x4 + 6x3 + 2x2 − 2x + 2 − (x4 + 2x)2 −x6 − 2x5 + 2x2 + 3x4 − 2 = (x4 + 2x)2 x6 + 2x5 − 2x2 − 3x4 + 2 . = − (x4 + 2x)2 0

28

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3.3.


Ficha 3: Derivaci´ on de las funciones trascendentes

Func. trigon. Derivada de las funciones trigonom´ etricas • Si f (x) = sen x entonces f 0 (x) = cos x. • Si f (x) = cos x entonces f 0 (x) = −sen x. • Si f (x) = tg x entonces f 0 (x) = 1 + tg2 x =

1 . cos2 x

Ejemplo 12. Derivamos f (x) = 3 sen 2x+cos3 x−tg x2 + 1 : 1. Derivamos 3 sen 2x, cos3 x y tg x2 + 1 y aplicamos la regla de la suma. 2. 3 sen 2x es el producto de 3 por sen 2x: (3 sen 2x)0 = 3 (sen 2x)0 . a) Derivamos sen 2x aplicando la regla de la cadena a sen y a 2x (sen 2x)0 = (cos 2x) (2x)0 = 2 cos 2x. b) La derivada es 3 · 2 cos 2x = 6 cos 2x. 3. Derivamos cos3 x aplicando la regla de la cadena a F (x) = cos x y G (y) = y 3 F 0 (x) = −sen x G0 (y) = 3y 2 0 cos3 x = (G ◦ F )0 (x) = G0 (F (x)) F 0 (x) = 3 cos2 x (−sen x) = −3 cos2 xsen x.

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4. tg x2 + 1 se deriva aplicando de nuevo la regla de la cadena a F (x) = x2 + 1 y G (y) = tg y: F 0 (x) = 2x G0 (y) = 1 + tg2 y 0 tg x2 + 1 = (G ◦ F )0 (x) = G0 (F (x)) F 0 (x) = 1 + tg2 x2 + 1 2x = 2x 1 + tg2 x2 + 1 . 5. Ya podemos sumar las derivadas anteriores: f 0 (x) = 6 cos 2x − 3 cos2 xsen x − 2x 1 + tg2 x2 + 1

.

Func. exponenciales Derivada de las funciones exponenciales: • Si f (x) = ex , entonces f 0 (x) = ex . • Si f (x) = ax y a es una constante, entonces f 0 (x) = ax ln a. ln es el logaritmo neperiano.

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Ejemplo 13. Para determinar la derivada de f (x) = 3 2x ex −2x+1 seguimos los siguientes pasos: 1. Hay que aplicar la regla del producto a 2x y ex eso, primero hay que derivarlas.

3

−2x+1

. Por

2. Como 2 es una constante, entonces la derivada de 2x es 2x ln 2. 3

3. Para derivar ex −2x+1 tenemos que aplicar la regla de la cadena a F (x) = x3 − 2x + 1 y G (y) = ey : a) F 0 (x) = 3x2 − 2 y G0 (y) = ey . b) (G ◦ F )0 (x) = G0 (F (x)) F 0 (x) = ex

3

−2x+1

3x2 − 2 .

4. Seg´ un la regla del producto: 3 3 0 0 x 0 x −2x+1 x x −2x+1 f (x) = (2 ) e + (2 ) e = 2x ln 2ex

3

−2x+1

+ 2x ex

3

−2x+1

3x2 − 2 .

Func. logar´ıtmicas Derivada de las funciones logar´ıtmicas. Si log es el logaritmo en cualquier base: 1 . x 1 • Si f (x) = log x, entonces f 0 (x) = log e. x

• Si f (x) = ln x, entonces f 0 (x) =

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Ejemplo 14. Si f (x) = ln (cos ex ), entonces su derivada se calcula con los siguientes pasos: 1. Hay que aplicar la regla de la cadena a F (x) = cos ex y G (y) = ln y, porque f (x) = G (F (x)). Será f 0 (x) = G0 (F (x)) F 0 (x). 2. La derivada de F (x) se calcula aplicando de nuevo la regla de la cadena a H (x) = ex y J (t) = cos t. Como H 0 (x) = ex y J 0 (t) = −sen t, entonces F 0 (x) = (J ◦ H)0 (x) = J 0 (H (x)) H 0 (x) = −sen (ex ) ex . 1 3. G0 (y) = . y 4. Ya podemos hacer f 0 (x) = G0 (F (x)) F 0 (x) = =

1 F 0 (x) F (x)

1 (−sen (ex ) ex ) = −ex tg ex . x cos e

32

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Ejemplo 15. La derivada de f (x) = (cos x)x no se puede calcular aplicando ninguna de las reglas que conocemos: no es una potencia de una constante ni una función elevada a una constante. Sin embargo, podemos utilizar un truco: 1. Podemos escribir g (x) = ln f (x) = ln ((cos x)x ) = x ln (cos x) . 2. Entonces, por un lado g 0 (x) =

1 1 0 0 f (x) = x f (x) , f (x) (cos x)

y por otro, aplicando la regla del producto g 0 (x) = ln (cos x) + x

1 (−sen x) = ln (cos x) − x tg x. cos x

3. Igualando ambas expresiones, resulta 1 0 x f (x) = ln (cos x) − x tg x (cos x) =⇒ f 0 (x) = (cos x)x (ln (cos x) − x tg x) . Función inversa Derivada de la función inversa. Si f es una función inyectiva y continua en un intervalo, es derivable en un punto x0 interior a este intervalo y f 0 (x0 ) 6= 0, entonces su función inversa es derivable en y0 = f (x0 ) y su derivada es: 0 f −1 (y0 ) =

1 1 = . f 0 (x0 ) f 0 (f −1 (y0 )) 33

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Ejemplo 16. 1. Si n es un n´ umero natural par, entonces n y = f (x) = x es creciente y continua en [0, ∞). 2. Su derivada es f 0 (x) = nxn−1 . 1 √ 3. Su función inversa es f −1 (y) = n y = y n . 0 4. Podemos calcular f −1 como la de la inversa de f :

0 f −1 (y) =

1 f 0 (x)

=

1 . nxn−1 1

5. Como y = f (x) = xn , entonces x = f −1 (y) = y n y 0 f −1 (y) =

=

1 = nxn−1

1 n−1 = 1

n yn

1 ny

n−1 n

1 1 1 − n−1 y n = y n −1 . n n

Esta derivada coincide con la calculada en el ejemplo de la página 19. √ 6. En un caso concreto, si f −1 (y) = x = 4 y, su función inversa es f (x) = x4 y su derivada se puede calcular a partir de derivada de su inversa. a) f 0 (x) = 4x3 . 0 1 1 b) f −1 (y) = 0 = 3. f (y) 4x √ c) Como x = 4 y, entonces 0 1 1 1 −3 f −1 (y) = 3 = p = y 4. 4 3 4x 4 4 y 34

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Ejemplo 17. Con la derivada de la función inversa, podemos calcular derivadas de las funciones trigonométricas inversas. Por ejemplo, si f (x) = sen x, su inversa es f −1 (y) = arcsen y, que está definida para y ∈ [−1, 1] 1. f 0 (x) = cos x. 2. La derivada de f −1 es 0 f −1 (y) =

1 f 0 (x)

=

1 . cos x

3. Como y = f (x) = sen x, entonces p p cos x = 1 − sen 2 x = 1 − y 2 , 0 1 f −1 (y) = (arcsen y)0 = p 1 − y2.

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Ejemplo 18. Conociendo la derivada del arcsen x se puede calcular la derivada de f (x) = arcsen 2 (ex + 3x): 1. Podemos escribir f (x) = H (G (F (x))), donde H (t) = t2 , G (y) = arcsen y y F (x) = ex + 3x. 2. Las derivadas de estas funciones son: H 0 (t) = 2t, 1 G0 (y) = p , 1 − y2 F 0 (x) = ex + 3. 3. Entonces, aplicando la regla de la cadena, tenemos f 0 (x) = H 0 (G (F (x))) G0 (F (x)) F 0 (x) 1 (ex + 3) . = 2arcsen (ex + 3x) q 1 − (ex + 3x)2

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Ejercicios propuestos Ejercicio 10. Calc´ ulense las derivadas de las siguientes funciones: √ a. f (x) = sen 2 + cos3 x , b. g (x) = tg x2 + 3 . Pulse aqu´ı para ver la solución. Ejercicio 11. Calc´ ulense las derivadas de las siguientes funciones: 1 + e3x x sen 2 x a. f (x) = sen (2 ) , b. g (x) = e , c. h (x) = . sen 2 x + 3 Pulse aqu´ı para ver la solución. Ejercicio 12. Calc´ ulense las derivadas de las siguientes funciones: ln x 3 a. f (x) = , b. g (x) = ln sen x . ln (x3 + x) Pulse aqu´ı para ver la solución. Ejercicio 13. Calc´ ulense, a partir de la derivada de la función inversa, las derivadas de g (x) = arc cos x y h (x) = arctg x. Pulse aqu´ı para ver la solución. Ejercicio 14. Aplicando la regla de la cadena, calcular la derivada de f si: a. f (x) = arctg 2x3 + 3x , b. f (x) = arc cos (ln x). Pulse aqu´ı para ver la solución. Si ha tenido dificultades para resolver estos ejercicios correctamente, vuelva a repasar esta ficha.

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Soluci´ on a los ejercicios propuestos Solución del ejercicio 10. 3 a. sen 2 + cos x se deriva aplicando la regla de la cadena a F (x) = 2 + cos3 x y G (y) = sen y. Se puede escribir f (x) = G (F (x)) = G ◦ F (x) . 1. La derivada de F (x) = 2+cos3 x es la suma de las derivadas de 2 (que es 0) y cos3 x. Como la derivada de cos x es −sen x y el coseno está elevado a 3, entonces 0 cos3 x = 3 cos2 x · (cos x)0 = −3 cos2 xsen x. 2. As´ı, F 0 (x) es F 0 (x) = −3 cos2 xsen x. 3. La derivada de G (x) es G0 (x) = cos y. 4. Ahora tenemos que aplicar la regla de la cadena f 0 (x) = G0 (F (x)) · F 0 (x) = cos 2 + cos3 x · −3 cos2 xsen x = −3 cos 2 + cos3 x cos2 xsen x. √ b. La derivada de g (x) = tg x2 + 3 se calcula con la regla de la cadena: 1. Podemos√escribir g (x) = G (F (x)) = G ◦ F (x), donde F (x) = x2 + 3 y G (y) = tg (y). 2. Entonces, 1 1 F 0 (x) = √ 2x = √ x, 2 x2 + 3 x2 + 3 G0 (x) = 1 + tg 2 y. 38

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3. Y, as´ı p 1 2 2 x. g (x) = G (F (x)) · F (x) = 1 + tg x +3 √ x2 + 3 0

0

0

Solución del ejercicio 11. a. La derivada de f (x) se calcula con la regla de la cadena. 1. f (x) = sen (2x ) = G (F (x)), con F (x) = 2x y G (y) = sen y. 2. Las derivadas de F y G son F 0 (x) = 2x ln 2, G0 (y) = cos y. 3. Y con la regla de la cadena f 0 (x) = G0 (F (x)) · F 0 (x) = (cos 2x ) 2x ln 2.

b. Como g (x) = esen

2

x

entonces g 0 (x) = esen

2

x

0 2 2 sen 2 x = 2sen x cos xesen x = sen 2xesen x .

c. Hay que aplicar la regla del cociente a F (x) = 1 + e3x y G (x) = sen 3 x + 3. 1. La derivada de F (x) es la derivada de 1 (que es 0) más la derivada de e3x 0 F 0 (x) = 0 + e3x = e3x (3x)0 = 3e3x . 39

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2. La derivada de G (x) es 0 G0 (x) = sen 3 x + (3)0 = 2sen 3−1 x (sen x)0 + 0 = 2sen 2 x cos x. 3. Entonces F 0 (x) G (x) − F (x) G0 (x) h (x) = G2 (x) 3e3x sen 2 x + 3 − 1 + e3x 2sen 2 x cos x . = (sen 2 x + 3)2 0

Solución del ejercicio 12. a. Tenemos que derivar f como la derivada de una cociente, 3x 3 con F (x) = 1 + e y G (x) = ln x + x . 1. La derivada de F (x) es F 0 (x) =

1 . x

2. La derivada de G (x) es 0 G0 (x) = ln x3 + x = 3x2 + 1 = 3 . x +x

40

0 1 3 x + x x3 + x

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3. Entonces F 0 (x) G (x) − F (x) G0 (x) G2 (x) 3x2 + 1 1 3 ln x + x − 3 ln x x x + x = ln2 (x3 + x) 3x2 + 1 x2 + 1 3 ln x + x − 3 ln x 3+x x x + x = ln2 (x3 + x) x2 + 1 ln x3 + x − 3x2 + 1 ln x = . (x3 + x) ln2 (x3 + x)

f 0 (x) =

b. g (x) = ln sen 2 x se deriva aplicando la regla de la cadena a F (x) = sen 2 x y G (y) = ln y : 0 2sen x cos x 1 cos x 2 g 0 (x) = sen x = = 2 = 2 cotg x. sen 2 x sen 2 x sen x Solución del ejercicio 13. Si f (y) = cos y, su inversa es g (x) = f −1 (x) = arc cos x, que está definida para x ∈ [−1, 1]. Entonces: 1. f 0 (y) = −sen y. 2. Seg´ un la derivada de la función inversa 0 1 1 =− . f −1 (x) = 0 f (x) sen y p 3. √ Por otro lado, x = f (y) = cos y, y sen y = 1 − cos2 y = 1 − x2 y 1 g 0 (x) = (arc cos x)0 = − √ . 1 − x2 41

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Para calcular la derivada del arcotangente, procedemos de la misma forma: 1. Llamamos f (y) = tg y y su inversa es h (x) = f −1 (x) = a arctg x. 2. f 0 (y) = 1 + tg2 y. 3. La derivada de h es 0 h0 (x) = f −1 (x) =

1 1 = . f 0 (y) 1 + tg2 y

4. Pero como x = f (y) = tg y, entonces 1 h0 (x) = . 1 + x2 Solución del ejercicio 14. 1 . Entonces 1 + y2 0 2x3 + 3x

a. Sabemos que la derivada del arctg y es 1 1 + (2x3 + 3x)2 6x2 + 3 . = 1 + (2x3 + 3x)2

f 0 (x) =

1 b. Como la derivada del arc cos y es − p , entonces 1 − y2 1 f 0 (x) = − q (ln x)0 1 − (ln x)2 1 =− q . 2 x 1 − (ln x) 42

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3.4.


Ficha 4: Aplicaciones de la derivada

(De)crecimiento Una función es monótona creciente (decreciente) si para a ≤ b cualesquiera, se verifica que f (a) ≤ f (b) (respectivamente f (a) ≥ f (b)). Significa que si a es menor o igual (mayor o igual ) que b, entonces la imagen de a va a ser menor o igual (mayor o igual ) que la de b. Una función es estrictamente creciente (estrictamente decreciente) si para a < b cualesquiera, se verifica que f (a) < f (b) (respectivamente f (a) > f (b)). Significa que si a es menor (mayor ) que b, entonces la imagen de a va a ser menor (mayor ) que la de b.

Máximo y m´ınimo Una función f tiene un máximo (m´ınimo) relativo en x = a si en un entorno A de a se verifica que f (a) ≥ f (x) (f (a) ≤ f (x)). Se llaman extremos relativos. El máximo (m´ınimo) es estricto en x = a si f (a) > f (x) (f (a) < f (x)) para todo x 6= a, en un entorno de a. Función cóncava Una función es cóncava en un intervalo si, intuitivamente, se ve como una “cueva” mirando la función “desde abajo”. Esto es lo mismo que decir que si tomamos 2 puntos a y b cualesquiera de la función en este intervalo, al unirlos en la 43

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gráfica por un segmento, la función queda por encima de este segmento. Anal´ıticamente, esto se expresa como f (ta + (1 − t) b) > tf (a) + (1 − t) f (b) . Función convexa Cuando el segmento queda por encima de la gráfica, la función es convexa. Esto es lo mismo que decir que se verifica f (ta + (1 − t) b) < tf (a) + (1 − t) f (b) .

Punto inflexión Puntos de inflexión son los puntos en los que la función pasa de convexa a cóncava o de cóncava a convexa. Determinaci´ on de caracater´ısticas de la funci´ on Extremos relat. f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b). Los máximos y m´ınimos relativos de f son los puntos xi en los que f 0 (xi ) = 0. • Si f 00 (xi ) < 0, entonces es un máximo relativo. • Si f 00 (xi ) > 0, entonces es un m´ınimo relativo. 44

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• Si f 00 (xi ) = 0, entonces no podemos decir si hay un máximo o m´ınimo relativo. Si la función no es derivable, puede haber un máximo o un m´ınimo y no se puede encontrar por este método.

Ejemplo 19. Consideramos la función f (x) = 3x4 + 8x3 − 6x2 − 24x + 3. Vamos a calcular sus extremos (máximos y m´ınimos) relativos en R. 1. Derivamos la función: f 0 (x) = 12x3 + 24x2 − 12x − 24. 2. Igualamos la derivada a 0 y calculamos las ra´ıces de esta ecuación (por Ruffini): f 0 (x) = 12x3 + 24x2 − 12x − 24 = 0 ⇐⇒ x3 + 2x2 − x − 2 = 0 ⇐⇒ x1 = 1, x2 = −1, x3 = −2. Estos son los posibles candidatos a extremo. 3. Calculamos la derivada segunda y estudiamos su valor en los puntos anteriores: f 00 (x) = 36x2 + 48x − 12 f 00 (x1 ) = f 00 (1) = 72: es m´ınimo relativo, f 00 (x2 ) = f 00 (−1) = −24: es máximo relativo, f 00 (x3 ) = f 00 (−2) = 36: es m´ınimo relativo.

45

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Crecim.-decrecim. f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b) . • Si f 0 > 0 en un intervalo, la función es creciente en este intervalo. • Si f 0 < 0 en un intervalo, la función es decreciente en este intervalo.

Ejemplo 20. Estudiamos los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f (x) = 3x4 + 8x3 − 6x2 − 24x + 3. 1. Por el ejemplo anterior, sabemos que: f 0 (x) = 12x3 +24x2 −12x−24 = 12 (x − 1) (x + 1) (x + 2) y que sus ra´ıces son x1 = 1, x2 = −1, x3 = −2. 2. Para estudiar el signo de la derivada, completamos su tabla de signos: x−1 x+1 x+2 f 0 (x)

(−∞, −2) (−2, −1) (−1, 1) (1, ∞) − − − + − − + + − + + + − + − +

Esta tabla se construye con los intervalos que determinan las ra´ıces de f 0 (es decir, x1 = 1, x2 = −1, x3 = −2). En ella, a partir del signo de los factores de f 0 (que son x − 1, x + 1 y x + 2) se determina el signo de f 0 . 3. Podemos concluir que la función es creciente en (−2, −1) y (1, ∞) y decreciente en (−∞, −2) y (−1, 1).

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Concav.-convex. f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b) . • Si en un intervalo f 00 (x) < 0, entonces en ese intervalo la función es c´ oncava. • Si en un intervalo f 00 (x) > 0, entonces en ese intervalo la función es convexa.

Ejemplo 21. Estudiamos los intervalos de concavidad y convexidad de f (x) = 3x4 + 8x3 − 6x2 − 24x + 3. 1. Procedemos con la derivada segunda, que es: f 00 (x) = 36x2 + 48x − 12 = 12 3x2 + 4x − 1 . √ √ Sus ra´ıces son x1 = − 32 + 13 7 y√x2 = − 23 − 13 √7 y se puede escribir f 00 (x) = x + 32 + 31 7 x + 23 − 13 7 . 2. Para estudiar el signo de la derivada segunda, completamos su tabla de signos: 2 3 + 2 3 − 00

√

1 3 √7 1 3 7

x+ x+ f (x)

(−∞, x2 ) (x2 , x1 ) (x1 , ∞) − + + − − + + − +

Esta tabla se construye como en el ejemplo anterior. 3. Podemos√ concluir √que √en la función es cóncava 2 1 2 1 2 1 −3 − 3 √ 7, − 3 + 3 7 y convexa en −∞, − 3 − 3 7 2 1 y − 3 + 3 7, ∞ .

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4. La representación gráfica de f es

Punto inflexión En los puntos de inflexión xi debe ocurrir f 00 (xi ) = 0. Puede suceder que f 00 (x) = 0 y que x no sea un punto de inflexión. En este u ´ltimo caso podemos estudiar si la función pasa de cóncava a convexa en un entorno de x.

Ejemplo 22. ¿Tiene f (x) = 3x4 + 8x3 − 6x2 − 24x + 3 puntos de inflexión? 1. Igualando a 0 la derivada segunda: f 00 (x) = 36x2 + 48x − 12 = 12 3x2 + 4x − 1 = 0 2 1√ 2 1√ 7, x2 = − − 7. ⇔ x1 = − + 3 3 3 3 2. Estos puntos son de inflexión si f cambia de cóncava a convexa o viceversa. Por el ejemplo anterior, sabemos que s´ı cambia. Luego x1 y x2 son puntos de inflexión. 48

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Ejemplo 23. Vamos a estudiar máximos y m´ınimos relativos, crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad y puntos de inflexión de f (x) = 3x4 − 8x3 + 6x2 + 1. 1. La derivada de la función es f 0 (x) = 12x3 − 24x2 + 12x = 12 x3 − 2x2 + x

= 12 (x − 1)2 x. 2. Esta derivada se anula en x1 = 0 y x2 = 1. Estos puntos son los candidatos a extremos relativos. 3. La derivada segunda es f 00 (x) = 12 3x2 − 4x + 1 = 12 (3x − 1) (x − 1) 1 = 36 x − (x − 1) . 3 En x1 y x2 , la derivada segunda vale: f 00 (x1 ) = f 00 (0) = 12: es m´ınimo relativo, f 00 (x2 ) = f 00 (1) = 0: no sabemos qué es. 4. El crecimiento y decrecimiento se estudia con la tabla de signos de f 0 2

(x − 1) x 0 f (x)

(−∞, 0) (0, 1) (1, ∞) + + + − + + − + +

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5. Entonces la función es creciente (0, ∞) y decreciente en (−∞, 0). 6. La concavidad y convexidad se estudia con la tabla de signos de f 00 : 1 −∞, 31 (1, ∞) 3, 1 1 x− 3 − + + x−1 − − + f 0 (x) + − + 1 7. Entonces la funci´ o n es convexa en −∞, 3 y (1, ∞) y 1 cóncava en 3 , 1 . 8. En los puntos de inflexión se debe anular la derivada segunda. Los posibles puntos de inflexión son x1 = 31 y x2 = 1. 9. En ambos puntos la función cambia de cóncava a convexa o viceversa, por lo que ambos son puntos de inflexión. As´ı queda despejada la duda sobre si x = 1 es máximo o m´ınimo. La representación gráfica de la función es

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Ejercicios propuestos Ejercicio 15. Calc´ ulense los máximos y m´ınimos relativos de 5 4 f (x) = 12x − 15x − 80x3 + 120x2 . Pulse aqu´ı para ver la solución. Ejercicio 16. Determ´ınense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f (x) = 12x5 − 15x4 − 80x3 + 120x2 . Pulse aqu´ı para ver la solución. Ejercicio 17. Determ´ınense los intervalos de concavidad y convexidad de f (x) = x3 + 3x2 . ¿Tiene puntos de inflexión? Si es as´ı, ¿dónde? Pulse aqu´ı para ver la solución. Ejercicio 18. Calc´ ulense los máximos y m´ınimos relativos de 4 f (x) = 4x − 2x. Determ´ınense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad y sus puntos de inflexión. Pulse aqu´ı para ver la solución. Si ha tenido dificultades para resolver estos ejercicios correctamente, vuelva a repasar esta ficha.

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Soluci´ on a los ejercicios propuestos Solución del ejercicio 15. Los máximos y m´ınimos relativos están entre los puntos donde se anula la derivada primera. Seg´ un el signo de la derivada segunda, serán de un tipo u otro. Para calcularlos, hacemos: 1. Derivamos f (x) f 0 (x) = 12 · 5x4 − 15 · 4x3 − 80 · 3x2 + 120 · 2x = 60x4 − 60x3 − 240x2 + 240x = 60x x3 − x2 − 4x + 4 . 2. Estudiamos dónde se anula f 0 (x). Como f 0 (x) = 60x x3 − x2 − 4x + 4 = 60x (x − 1) (x − 2) (x + 2) entonces f 0 (x) = 0 ⇔ x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2 o´ x3 = −2. Los posibles extremos relativos son estos puntos. 3. Obtenemos f 00 (x) = 60 · 4x3 − 60 · 3x2 − 240 · 2x + 240 = 60 4x3 − 3x2 + 8x + 4 porque estos puntos van a ser máximos o m´ınimos, seg´ un sea su signo.

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4. Entonces f 00 (0) = 60 4 · 03 − 3 · 02 − 8 · 0 + 4 = 60 · 4 = 240 > 0: es m´ınimo relativo, f 00 (1) = 60 4 · 13 − 3 · 12 − 8 · 1 + 4 = 60 · (−3) = −180 < 0: es máximo relativo, 00 f (2) = 60 4 · 23 − 3 · 22 − 8 · 2 + 4 = 60 · 8 = 480 > 0: es m´ınimo relativo, 3 2 00 f (−2) = 60 4 · (−2) − 3 · (−2) − 8 · (−2) + 4 = 60 · (−24) = −144 < 0: es máximo relativo. Y hay un m´ınimo donde la derivada segunda es positiva (es decir, en x0 = 0 y x2 = 2) y un máximo donde es negativa: en x1 = 1 y x3 = −2. Solución del ejercicio 16. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función se determinan a partir del signo de la derivada primera. 1. Por el ejercicio anterior, sabemos que: f 0 (x) = 60x (x − 1) (x − 2) (x + 2) y sus ra´ıces son x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2 y x3 = −2. 2. Para estudiar el signo de la derivada, completamos su tabla de signos: (−∞, −2) (−2, 0) (0, 1) (1, 2) (2, ∞) x − − + + + x−1 − − − + + x−2 − − − − + x+2 − + + + + 0 f (x) + − + − + 53

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3. Como la derivada primera es positiva en (−∞, −2), (0, 1) y (2, ∞), entonces all´ı la función es estrictamente creciente. Y es estrictamente decreciente en (−2, 0) y (1, 2). 4. La representación gráfica de f es

Solución del ejercicio 17. La concavidad y convexidad se determinan con el signo de la derivada segunda. 1. La derivada segunda de f es f 0 (x) = 3x2 + 3 · 2x = 3x2 + 6x, f 00 (x) = 3 · 2x + 6 = 6x + 6 = 6 (x + 1) . 2. La u ńica ra´ız de f 00 es x0 = −1, y se cumple f 00 (x) > 0 si x > −1, f 00 (x) < 0 si x < −1. 3. Un función es cóncava cuando su derivada segunda es negativa y convexa cuando es positiva. Entonces f es cóncava en (−∞, −1) y convexa en (−1, ∞). 54

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4. Una función tiene un punto de inflexión cuando cambia de cóncava a convexa o viceversa. Por tanto, f tiene un punto de inflexión en x0 = −1. 5. La representación gráfica de f es

Solución del ejercicio 18. 1. La derivada de la función es f 0 (x) = 4 · 4x3 − 2 · 2x = 16x3 − 4x = 4x (2x − 1) (2x + 1) . 1 1 2. La derivada se anula en x1 = 0, x2 = y x3 = − . Estos 2 2 puntos son los candidatos a extremos relativos. 3. La derivada segunda es f 00 (x) = 16 · 3x2 − 4 = 4 12x2 − 1 .

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4. En x1 , x2 y x3 la derivada segunda vale: f 00 (x1 ) = f 00 (0) = 4 12 · 02 − 1 = −4 < 0: es máximo relativo, ! 2 1 1 = 4 12 · f 00 (x2 ) = f 00 −1 2 2 = 8 > 0: es m´ınimo relativo, ! 2 1 1 = 4 12 · − −1 f 00 (x3 ) = f 00 − 2 2 = 8 > 0: es m´ınimo relativo. 5. El crecimiento y decrecimiento se estudia con la tabla de signos de la derivada primera 1 , ∞ −∞, − 21 − 12 , 0 0, 12 2 2x + 1 − + + + 2x − 1 − − − + x − − + + 0 f (x) − + − + La función es creciente − 12 , 0 y 12 , ∞ y decreciente en −∞, − 21 y 0, 12 . 6. La concavidad y convexidad se estudia con la tabla de signos de la derivada segunda. Como podemos escribir f 00 (x) = √ ! √ ! 3 3 48 x − x+ , hacemos: 6 6

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√

−∞, −

√

x − √63 x + 63 f 00 (x)

− − +

3 6

√

−

√ 3 3 6 , 6

√

3 6 ,∞

− + −

+ + + √ √ 3 3 7. Entonces la función es convexa en −∞, − 6 y 6 , ∞ √ √ y cóncava en − 63 , 63 . 8. Los puntos de inflexión son aquellos donde la función cam√ 3 bia de cóncava a convexa o al revés. Entonces, son x4 = 6 √ 3 y x5 = − . 6 9. La representación gráfica de la función es

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4.



Realice la siguiente prueba para ver si ha asimilado correctamente los contenidos de este módulo. Verdadero Falso La derivada no tiene interpretación geométrica. Verdadero Falso Lo más sencillo para derivar es conocer algunas derivadas y aplicar unas reglas generales. Verdadero Falso √ √ 3 La derivada de f (x) = 3 3 x + 2 x2 + 8x es f 0 (x) = 1 4 √ √ 3 2 + 3 3 x + 8. x 1 1 1 1 Si f (x) = − 2 + 3 , entonces f 0 (x) = − 2 + x x x x 1 1 2 3 − 3 4. x x La derivada de f (x) = cos(ln x) es f 0 (x) = sen (ln x) . 1 x

0

Si f (x) = e , entonces f (x) = e

− x12

Verdadero Falso


.

La derivada de h (x) = sen 2 (tg x) es h0 (x) = sen (2 tg x) . cos2 x

Verdadero Falso

Verdadero Falso 4 log e Si h (x) = ln log x entonces h (x) = . x log x4 La función f (x) = x2 − 2x tiene un máximo en Verdadero Falso x = −1. La función f (x) = x2 − 2x es decreciente en Verdadero Falso (−∞, 1). 4

0

58

Bibliograf´ıa [1] Ballvé, M. E.; Delgado, M.; Porto, A. M.; Ulecia, T.: Problemas de Matemáticas especiales. 2.a ed. Editorial Sanz y Torres: Libro de ejercicios correspondiente al libro de “Matemáticas especiales”. Muchos ejercicios resueltos. [2] Bujalance, E.; Bujalance, J. A.; Costa, A.; Fernández, V.; Fernández, J.; Jiménez, P.; Mar´ıa, J. L. de; Mart´ınez, E.: Matemáticas especiales. 2.a ed. Editorial Sanz y Torres: Libro para el acceso a la Universidad para mayores de 25 a˜ nos, donde no se requiere base matemática previa. Ejemplos resueltos y ejercicios propuestos no resueltos. [3] http://w3.cnice.mec.es/Descartes/index.html. Páginas elaboradas dentro del Proyecto Descartes, desarrollado por el Ministerio de Educación, Cultura y Deportes. Es una herramienta capaz de generar materiales interactivos con la que se han construido más de cien unidades didácticas de los distintos cursos de la ense˜ nanza secundaria, accesibles a través de esta página. [4] Hernández Morales, V.; Ramon Méndez, E.; Vélez Ibarrola, R.; Yán ˜ez de Diego, I.; 2002. Introducción a las Matemáticas. Ediciones Académicas. Madrid: En este libro están ex-

59

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plicadas de forma clara las derivadas, en el Cap´ıtulo 7. Se acompa˜ na de numerosos ejemplos y ejercicios. [5] http://personales.unican.es/gonzaleof/. Página web con 4 cursos de Matemáticas (Primero y Segundo de Bachillerato, Ciencias y Sociales). Material de exposición clara, con numerosos ejemplos y ejercicios.

60

Índice alfab´ etico Concavidad, 47 Convexidad, 47 Crecimiento, 46

relativo, 43 Punto de inflexión, 44, 48

Regla Decrecimiento, 46 de la cadena, 20 Derivada, 12 del cociente, 20 de una constante, 18 del producto , 20 de una potencia, 18 de una suma, 18 Tangente, 9, 10 del producto de una constante por una funcion, 18 Variación en un punto, 10, 11 instantánea, 9 función, 12 media, 7, 8 función inversa, 33 funciones exponenciales, 30 funciones logar´ıtmicas, 31 funciones trigonométricas, 29 Función cóncava, 43 convexa, 44 estrictamente creciente, 43 estrictamente decreciente, 43 monótona creciente, 43 monótona decreciente, 43 Máximo estricto, 43 relativo, 43 M´ınimo estricto, 43 61

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Integrales

Prof. Esther Gil Cid Departamento de Matemática Aplicada I ETSI Industriales

1

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2


4.

Introducción y objetivos . . . . . . . . . . . . . . . Prueba de autodiagnóstico . . . . . . . . . . . . . . Contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Ficha 1: Primitiva de una función . . . . . 3.2. Ficha 2: Integrales inmediatas . . . . . . . . 3.3. Ficha 3: Algunos métodos de integración 3.4. Ficha 4: Integrales definidas . . . . . . . . . Prueba de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Índice alfabético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

4 5 7 7 13 24 43 57 58 60

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1.



Las integrales permiten calcular el área de figuras planas. Este problema surgió en tiempos remotos: los griegos llegaron a fórmulas para encontrar el a´rea de pol´ıgonos, del c´ırculo o de segmentos de parábolas. Pero el método que empleaban se basaba en aproximar la figura cuya área se quer´ıa calcular por pol´ıgonos de áreas conocidas. A partir de este principio, en el s. XVII, Newton y Leibnitz introdujeron el concepto de integral definida de una función f en un intervalo. Los contenidos de este tema son necesarios para el primer curso de cualquier Ingenier´ıa o carrera de ciencias. Las integrales están muy relacionadas con las derivadas, ya que la integración es la operación rec´ıproca de la derivación, si trabajamos con integrales indefinidas. Objetivos Poder resolver integrales inmediatas. Detectar qué técnica hay que aplicar para integrar una función. Poder resolver integrales sencillas no inmediatas. Entender el significado geométrico de la integral definida. Poder calcular algunas a´reas mediante integrales.

4

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2.



Haga el test siguiente para evaluar el nivel de conocimientos que tiene en este tema. 2

3

Verdadero Falso

Una primitiva de f (x) = 3x es x + 3 Verdadero Falso R 2 SeR cumple que 2x cos xdx = R 2 xdx cos2 xdx Verdadero Falso R Una primitiva de sen 2 x cos xdx es 31 sen 3 x Verdadero Falso q Rq 4 (x + 1)7 dx = 74 4 (x + 1)11 + k Verdadero Falso 4 5 6 R 1 3 4 4x + 3 x + 3x dx = 6 x + 3x + k Verdadero Falso Al integrar por partes, es indiferente cómo se eligan las partes Verdadero Falso R 1 La integral dx se resuelve me1 + (x + 4)2 diante el cambio de variable t = (x + 4)2 Verdadero Falso R x+1 La integral de 3 2 dx es la suma x +x−2 R 1 R 2 dx + dx x+2 x−1 Verdadero Falso La integral definida no está relacionada con la integral indefinida Verdadero Falso R4 1 1 x2 dx = 3 5

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6

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3. 3.1.


Contenidos Ficha 1: Primitiva de una funci´ on

Integrar Integrar es la operación inversa de derivar, del mismo modo que obtener la ra´ız cuadrada es la operación inversa a elevar al cuadrado. Dada una función f (derivada), integrar consiste en calcular una función F que al derivarla produce f . Primitiva Si f es una función definida en el intervalo (a, b) y existe una función F que verifica F 0 (x) = f (x) , F se llama primitiva o integral indefinida de f Notación Para referirnos a la integral de f se utiliza la siguiente notación Z f (x) dx, donde f (x) es el integrando, x es la variable de integración y dx indica respecto a qué variable se integra. Exist. primitiva Si F (x) es una primitiva de f (x), también lo es F (x) + k, para cualquier constante k ∈ R, porque sus derivadas coinciden y son f (x). Por este motivo, al calcular la integral indefinida vamos a a˜ nadir una constante k. Por eso, podemos decir que la primitiva, en realidad, es un conjunto de funciones Z f (x) dx = {F : F 0 = f }.

7

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Ejemplo 1. La función f (x) = cos x tiene una primitiva que es F (x) = sen x, porque la derivada de la función sen x es el cos x.

Ejemplo 2. Las funciones F (x) = 2x3 + 2 y G (x) = 2x3 − 6 son primitivas de f (x) = 6x2 , porque F 0 (x) = 2 · 3x3−1 + 0 = 6x2 , G0 (x) = 2 · 3x3−1 − 0 = 6x2 . Tabla de primitivas Una primera tabla de funciones y sus primitivas la obtenemos a partir de las derivadas:

R

adx = ax + k

R

cos xdx = sen x + k 1 + tg2 x dx = tg x + k

R

1 a+1 x + k, a 6= −1 a+1 R sen xdx = − cos x + k R 1 dx = tg x + k cos2 x R 1 dx = ln x + k x > 0 Zx 1 dx = arctg x + k Z 1 + x2 −1 √ dx = arc cos x + k 1 − x2 R

R

ex dx = ex + k R x 1 x a dx = a +k ln a Z 1 √ dx = arcsen x + k 1 − x2

8

xa dx =

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Ejemplo 3. pasos:


R

√ x4 + 3x2 − 2 x dx se calcula en los siguientes

1. Como es una suma, se aplica la aditividad y homogeneidad para tener Z Z Z Z √ √ x4 + 3x2 − 2 x dx = x4 dx + 3x2 dx − 2 xdx Z Z Z √ = x4 dx + 3 x2 dx − 2 xdx. 2. Cada una de las integrales anteriores se resuelve con la regla anterior: Z 1 x4 dx = x5 + k1 , 5 Z 3 3 x2 dx = x3 + k2 = x3 + k2 , 3Z Z √ 1 3/2+1 4 2 xdx = 2 x1/2 dx = 2 x + k3 = x3/2 + k3 . 1/2 3 3. Al escribir la integral, es suficiente sumar una u ńica constante Z √ 1 4 x4 + 3x2 − 2 x dx = x5 + x3 − x3/2 + k. 5 3

Propiedades de la integral Si f (x) es una función y c es una constante, entonces se verifican las siguientes propiedades:

9

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Homogeneidad Homogeneidad Z

Z cf (x) dx = c

f (x) dx.

Aditividad Aditividad Z Z Z (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx.

Ejemplo 4. Para calcular la integral de f (x) = 8 cos x + 2: 1. Aplicamos las propiedad de aditividad y homogeneidad, porque as´ı Z Z Z (8 cos x + 2) dx = 8 cos xdx + 2dx Z Z = 8 cos xdx + 2 dx. 2. La integral de cos x es sen x, como vimos en el ejemplo 1. 3. La integral de 1 es x, lo que se comprueba observando que la derivada de x es 1. 4. As´ı, para k ∈ R, tenemos Z Z Z (8 cos x + 2) dx = 8 cos xdx+2 dx = 8sen x+2x+k.

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Ejercicios propuestos Ejercicio 1. Comprobar que F (x) = ln (cos (x + π/4)) − 3 y G (x) = ln (cos (x + π/4)) + 2, para x ∈ (0, π/4) son primitivas de f (x) = − tg (x + π/4). Pulse aqu´ı para ver la solución. R Ejercicio 2. Calcular e73x dx. Pulse aqu´ı para ver la solución. Ejercicio 3. Encontrar la primitiva F (x) de

R

1 dx que 1 + x2

verifica que F (0) = 2. Pulse aqu´ı para ver la solución. Si ha tenido dificultades para resolver estos ejercicios correctamente, vuelva a repasar esta ficha.

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Soluci´ on a los ejercicios propuestos Solución del ejercicio 1. Como F (x) = G (x) − 5, sus derivadas van a coincidir. Por otro lado, sen (x + π/4) 1 (cos (x + π/4))0 = − F 0 (x) = cos (x + π/4) cos (x + π/4) = −tg (x + π/4) = f (x) . Esto significa que Z Z f (x) dx = F (x) , f (x) dx = G (x) .

Solución del ejercicio 2. Esta integral se resuelve teniendo en cuenta que la derivada de cx e = cecx . Utilizando las propiedades de las integrales, podemos escribir Z Z 1 1 e73x dx = 73e73x dx = e73x + k. 73 73 Solución del ejercicio 3. 1 . 1 + x2 Sabemos que ésta es la derivada del arcotangente, por lo que es una integral inmediata: Z 1 dx = arctg x + k. 1 + x2 De todas las posibles primitivas, tenemos que elegir aquella que hace arctg 0 + k = 2 ⇐⇒ 0 + k = 2 =⇒ k = 2. Primero tenemos que buscar una primitiva de f (x) =

Entonces, ya tenemos F (x) = arctg x + 2. 12

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3.2.


Ficha 2: Integrales inmediatas

Integral inmmediata Un primer paso para la integración es detectar las integrales inmediatas o que se transforman en inmediatas con manipulaciones sencillas del integrando. Inv. regla cadena Si en el integrando aparecen g 0 (f (x)) f 0 (x), entonces la primitiva es g (f (x)): Z g 0 (f (x)) f 0 (x) dx = g (f (x)) + k. Esta regla es la “inversa” de la regla de la cadena.

Ejemplo 5. Para calcular

R

sen 2 x cos xdx:

1. Observamos que aparece sen x elevado al cuadrado, multiplicado por cos x, que es la derivada del seno. Podemos aplicar la regla anterior. 2. Una primitiva de una potencia de grado 2 de “algo” es multiplicado por “algo” elevado a 2 + 1.

1 2+1

3. As´ı, la integral de sen 2 x cos x es 13 sen 3 x + k. 4. Se puede comprobar derivando esta función: 0 1 1 sen 3 x + k = · 3sen 3−1 x cos x + 0 = sen 2 x cos x. 3 3

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Ejemplo 6. Una integral integral inmediata t´ıpica es la del logaritmo neperiano: cuando el integrando es un cociente y el numerador Z es la derivada del denominador. Por ejemplo, para 2x + 1 calcular dx observamos: x2 + x − 3 1. En el denominador aparece x2 + x − 3 y en el numerador 2x + 1, que es su derivada. 1 0 2. La derivada de ln f (x) es f (x), aplicando la regla f (x) de la cadena. 3. Esto es precisamente lo que tenemos aqu´ı, por lo que Z 2 2x + 1 x + x − 3 + k. dx = ln x2 + x − 3 4. Se ponen las barras de valor absoluto, para evitar problemas de definición del ln (sólo está definido para argumento mayor que 0) y porque las derivadas de ln (x) y ln (−x) coinciden. Como ejercicio queda comprobar que la integral está bien hecha. Int. cuasi-inmediata A menudo tenemos que resolver integrales de este tipo que no son completamente inmediatas, pero lo son con sencillas manipulaciones previas.

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Ejemplo 7. Podemos calcular Z Z x x2 a. dx, b. dx, x2 + 4 x2 + 1

Z c.

1 dx. x2 + 4

con esta técnica. Son 3 integrales aparentemente similares, pero que se manipulan de forma distinta. Z x dx, vemos que el numerador no es a. Para integrar x2 + 4 la derivada del denominador, pero “casi”. Para que lo fuera, deber´ıa aparecer 2x. 1. Multiplicamos por 2 el numerador, pero para que no cambie la fracción, debemos dividir también por 2 Z Z x 1 2x dx = dx. x2 + 4 2 x2 + 4 2. Por homogeneidad, “sacamos” Z

x 1 dx = x2 + 4 2

Z

1 del integrando 2 2x dx. x2 + 4

3. Ya tenemos una fracción donde el numerador es la derivada del denominador y, por tanto, la integral es Z x 1 dx = ln |x2 + 4| + k. 2 x +4 2

15

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b. En este caso, no vamos a poder transformar el numerador para que sea la derivada del denominador, porque tendr´ıamos que dividir entre x, que no podemos “sacar” 1 fuera de la integral. Pero si el integrando fuera 2 , x +1 tendr´ıamos un arctg. 1. Si sumamos y restamos 1 en el numerador y operamos, tenemos Z Z 2 x2 x +1−1 dx = dx x2 + 1 x2 + 1 Z 2 x +1 1 = − dx x2 + 1 x2 + 1 Z 1 dx. = 1− 2 x +1 2. Aplicando la aditividad, resulta Z Z Z x2 1 dx = dx − dx. x2 + 1 x2 + 1 3. Integramos y obtenemos Z x2 dx = x − arctg x + k. x2 + 1

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c. En esta integral, si el denominador fuera t2 + 1, ser´ıa un arctg. Lo transformamos de la siguiente manera: 1. Tenemos que conseguir que el denominador sea “algo”+1, para lo que sacamos factor com´ un al 4 Z Z Z 1 1 1 1 1 dx = dx. dx = 2 2 x2 + 4 4 x4 + 1 4 x +1 2

2. Para que sea la derivada del arctg de una función f (x) = x2 , nos falta la derivada de f en el numerador, que es 21 Z Z 1 1 1 1 2 dx = 2 dx 4 x 2+1 4 x 2+1 2 2 Z 1 1 2 = dx. 2 x 2+1 2 3. Teniendo en cuenta la homogeneidad, resulta Z Z 1 1 1 2 dx = dx 2 2 x +4 2 x +1 Z 2 1 1 = dx 2 x 2 2 + 1 2 1 x = arctg + k. 2 2

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Ejercicios propuestos Ejercicio 4. Calcular las siguientes integrales: Z Z cos x dx a. √ dx, b. √ . sen x x (x + 1) Pulse aqu´ı para ver la solución. Ejercicio 5. Calcular las siguientes integrales: Z 1 2x + 1 a. dx, − 3x + 2 x2 + x − 3 Z 4 x b. +√ dx. 3x − 1 x2 + 5 Pulse aqu´ı para ver la solución. Ejercicio 6. Calcular las siguientes integrales: R R x 2 dx, b. (3x + 1) e3x e2x e−1 dx. a. q 1 − (x2 + 5)2 Pulse aqu´ı para ver la solución. Ejercicio 7. Calcular las siguientes integrales: Z Z 3 x + 3x − 1 1 dx, b. dx. a. x2 + 2x + 2 x2 + 1 Pulse aqu´ı para ver la solución. Si ha tenido dificultades para resolver estos ejercicios correctamente, vuelva a repasar esta ficha.

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Soluci´ on a los ejercicios propuestos Solución del ejercicio 4. a. Para resolver esta integral, observamos que el numerador es la integral del radicando (“lo de dentro de la ra´ız”), que está en el denominador. Como la integral de Z Z √ 1 1 √ dx = 2 x + k, √ dx = 2 x 2 x entonces esta integral es cuasi-inmediata: Z √ cos x √ dx = 2 sen x + k. sen x b. Si en el numerador no apareciera (x + 1) sino 1 + x2 , la derivada podr´ıa ser una arcotangente. Como, además, podemos escribir la integral como: Z Z Z dx 1 1 1 1 √ √ dx = 2 √ 2 √ dx, = x+1 x x (x + 1) ( x) + 1 2 x 1 entonces esta integral es cuasi-inmediata, porque √ es 2 x √ la derivada de x y entonces Z Z dx 1 1 √ √ dx =2 √ 2 x (x + 1) ( x) + 1 2 x Z √ 0 √ 1 =2 √ 2 x dx = 2 arctg x + k. ( x) + 1 Solución del ejercicio 5. a. Para resolver esta integral: 19

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1. Primero tenemosen cuenta la aditividad Z 2x + 1 1 − dx I= 3x + 2 x2 + x − 3 Z Z 1 2x + 1 = dx − dx. 3x + 2 x2 + x − 3 2. La primera integral es inmediata porque es un logaritmo neperiano Z Z 3 1 1 dx = dx 3x + 2 3 3x + 2 Z 1 = ln |3x + 2| + k1 . 3 3. La segunda integral también es un logaritmo neperiano, ya que el numerador es la derivada del denominador 0 Z Z x2 + x − 3 2x + 1 dx = dx 2+x−3 x2 + x − 3 x = ln x2 + x − 3 + k2 . 4. As´ı, resulta 2x + 1 1 − dx I= 3x + 2 x2 + x − 3 1 = ln |3x + 2| − ln x2 + x − 3 + k. 3 b. Es muy similar a la integral anterior, pero hay que realizar algunas manipulaciones: Z

1. Aplicamos aditividad y queda: Z 4 x I= +√ dx 2+5 3x − 1 x Z Z 4 x = dx + √ dx. 3x − 1 x2 + 5 20

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2. La primera integral es cuasi-inmediata, ya que Z Z 4 3 4 4 dx = dx = ln |3x − 1| + k1 . 3x − 1 3 3x − 1 3 3. En la segunda integral, el numerador es la derivada del radicando. Parace lógico manipular esta expresión hasta que quede una integral inmediata 0 Z Z Z x2 + 5 2x x 1 1 √ √ √ dx = dx = dx 2+5 2+5 2 2 x2 + 5 x x Z p 0 0 1 2 = 2 x + 5 x2 + 5 dx 2 p = x2 + 5 + k2 . 4. Entonces x 4 +√ dx I= 3x − 1 x2 + 5 p 4 = ln |3x − 1| + x2 + 5 + k. 3 Z

Solución del ejercicio 6. a. Esta integral es unarcoseno, porque en el denominador 2 la ra´ız de 1 + x2 + 5 y en el numerador lo que se puede transformar en la derivada de x2 + 5. Es cuasi-inmediata. Primero, tenemos que conseguir que en el numerador esté la derivada de x2 + 5, que es 2x. Hacemos: Z Z x 1 2x q q dx = dx. 2 2 2 1 + (x2 + 5) 1 + (x2 + 5)

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Esta integral es ya inmediata, porque en el numerador está la derivada de x2 + 5 Z 1 2x q dx = arcsen x2 + 5 + k. 2 1 + (x2 + 5)2 b. Podemos escribir 2

e3x e2x e−1 = e3x

2

+2x−1

.

Entonces, nos damos cuenta de que 3x+1 es casi la derivada del exponente, porque 0 3x2 + 2x − 1 = (6x + 2) = 2 (3x + 1) . Por eso, esta integral es cuasi-inmediata: Z Z 2 2 (3x + 1) e3x e2x e−1 dx = (3x + 1) e3x +2x−1 dx Z 0 2 1 = 3x2 + 2x − 1 e3x +2x−1 dx 2 1 2 = e3x +2x−1 + k 2 1 2 = e3x e2x e−1 + k. 2 Solución del ejercicio 7. a. La primera integral se puede transformar un la integral de un arcotangente, mediante manipulaciones del denominador Z Z 1 1 dx = dx 2 + 2x + 1 + 1 x2 + 2x + 2 x Z 1 = dx (x + 1)2 + 1 = arctg (x + 1) + k. 22

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b. Para resolver esta integral, primero dividimos x3 + 3x − 1 entre x2 + 1 x3 + 3x − 1 x3 + x + 2x − 1 x x2 + 1 + 2x − 1 = = x2 + 1 x2 +1 x2 + 1 x x2 + 1 2x − 1 2x − 1 = + = x + . x2 + 1 x2 + 1 x2 + 1 Entonces, la integral queda Z 3 Z 2x − 1 x + 3x − 1 dx dx = x+ 2 x2 + 1 x +1 Z Z 2x − 1 = xdx + dx 2+1 x Z Z Z 1 2x dx − dx. = xdx + x2 + 1 x2 + 1 1. La primera integral es inmediata Z 1 xdx = x2 + k1 . 2 2. La segunda integral es un logaritmo neperiano, porque en el numerador aparece la derivada del denominador Z 2x dx = ln |x2 + 1| + k2 . 2 x +1 3. La tercera derivada es un arcotangente Z 1 dx = arctg x + k3 . x2 + 1 4. As´ı: Z

x3 + 3x − 1 1 2 dx = x + ln |x2 + 1| − arctg x + k. 2 x +1 2

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3.3.


Ficha 3: Algunos m´ etodos de integraci´ on

La mayor´ıa de las veces las integrales no son inmediatas. Por eso, para integrar función se siguen distintos procedimientos, seg´ un cómo sea el integrando. Int. por partes Se suele aplicar cuando el integrando es un producto de funciones y la integral de uno de ellos es inmediata. ◦ Es la aplicación a la integración de la regla de la derivada de un producto (f g)0 = f 0 g + f g 0 . ◦ Para aplicar este método, se identifican dos partes en la integral: a una la llamaremos u0 y a la otra v 0 , que es la derivada de una función v. u y v son funciones que dependen de una variable x. ◦ u y v 0 deben tomarse de tal manera que sea muy fácil derivar u y muy fácil integrar la parte v 0 . ◦ Se basa en la siguiente fórmula Z Z 0 uv dx = uv − u0 vdx. donde u y v son funciones de x. ◦ Normalmente, no elegimos las partes (u y v 0 ) de forma que se simplifique la integral, ésta “no sale”, porque se puede complicar. Por eso, es importante elegirlas para que sea fácil derivar u e integrar v 0 .

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Ejemplo 8. Para resolver la integral I = mos:

R

xex dx, observa-

1. Si elegimos u = x, al derivarla nos va a quedar u0 = 1dx. 2. Entonces, debe ser v 0 dx = ex dx y tenemos v = ex . 3. As´ı

Z I=

xex dx = xex −

Z

ex dx.

4. La u ´ltima integral es inmediata y resulta Z x I = xe − ex dx = xex − ex + k.

Cambio de variable En algunos casos, la integral ser´ıa inmediata si la variable adoptara una forma más simple. ◦ Es la aplicación a integrales de la regla de la cadena de la derivación (g (f ))0 (x) = (g)0 (f (x)) (f )0 (x) introduciendo una nueva variable, t = (f (x)) ◦ Para reducir una integral a este caso, se hace un cambio de variable t = f (x). ◦ Entonces dt = f 0 (x) dx y se sustituyen esta expresión y la variable x por t. ◦ Al final del proceso hay que deshacer el cambio de variable para que el resultado quede como función de x.

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R Ejemplo 9. La integral I = (3x − 1)20 dx se puede resolver desarrollando la potencia e integrando el polinomio resultante. Sin embargo, es más sencillo hacer un cambio de variable: 1. Si dentro del paréntesis apareciera t, la integral ser´ıa inmediata. Por eso, elegimos t = 3x − 1. 1 2. Entonces, (3x − 1)20 = t20 y dt = 3 · dx ⇒ dx = dt. 3 3. La integral queda Z Z 1 1 21 1 1 20 t +k = t21 +k. I = (3x − 1) dx = t20 dt = 3 3 21 63 4. Finalmente, hay que deshacer el cambio de variable, resultando 1 I= (3x − 1)21 + k. 63

√

1 Ejemplo 10. La integral I = 2x + 1 + x dx se e + e−x resuelve aplicando cambios de variable a cada uno de los sumandos: R

1. En primer lugar, se separa la integral en dos integrales: Z Z √ 1 I= 2x + 1dx + dx = I1 + I2 . ex + e−x

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2. Si en I1 , dentro de la ra´ız, tuviéramos x, ser´ıa muy sencillo. Por eso, intentamos el cambio t = 2x+1, dt = 2dx ⇒ dx = 1 2 dt Z Z √ √ 1 I1 = 2x + 1dx = tdt 2 1 2 3/2 1√ 3 = t + k1 = 2x + 1 + k1 . 23 3 Si hubiéramos hecho t2 = 2x + 1, 2tdt = 2dx ⇒ dx = tdt, tendr´ıamos el mismo resultado Z Z Z √ I1 = 2x + 1dx = t · tdt = t2 dt 1 1√ 3 = t3 + k1 = 2x + 1 + k1 . 3 3 3. Observamos que en el denominador de I2 aparecen ex y e−x . Por eso, si hacemos el cambio t = ex , entonces e−x = 1 t−1 y como dt = ex dx = tdx, resulta dx = dt y la integral t queda Z Z 1 1 1 I2 = dx = dt x + e−x −1 t e t + t Z 1 = dt = arctg t + k2 = arctg ex + k2 . 2 t +1 4. Sumando ambas integrales, resulta I=

1√ 3 2x + 1 + arctg ex + k. 3

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Int. expr. racionales Se trata de resolver integrales del tipo Z p (x) dx, q (x) donde p (x) y q (x) son polinomios y el grado de p (x) es menor que el de q (x). • Si el grado de p (x) no fuera menor que el de q (x), se dividen, resultando Z Z Z p (x) r (x) dx = P (x) dx + dx, q (x) q (x) donde ahora s´ı es menor el grado de r (x) que el de q (x). • En este curso, sólo vamos a considerar polinomios q (x) de grado 2 y con ra´ıces distintas. • Para grado mayor de q (x) el procedimiento es similar, si no tiene ra´ıces m´ ultiples. Z 1 Caso 1 dx. ax + b Esta integral es un logaritmo neperiano: Z Z 1 1 a 1 dx = dx = ln |ax + b| + k. ax + b a ax + b a Z 1 Caso 2 dx, donde x2 + ax + b no tiene ra´ıces 2 x + ax + b reales. Operando de forma adecuada con el denominador (“completando cuadrados”) se reduce a una expresión del tipo Z 1 c dx, (dx + e)2 + 1 28

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que es casi inmediata Z Z d 1 c c dx = dx d (dx + e)2 + 1 (dx + e)2 + 1 c = arctg (dx + e) + k. d Los n´ umeros c, d y e se han elegido de forma adecuada. Z x Caso 3 dx, donde x2 + ax + b no tiene ra´ıces 2 x + ax + b reales. Se puede completar el denominador para reducirla a 2 integrales: un ln y un arctg Z Z x + a2 − a2 x dx = dx I= 2 + ax + b 2 + ax + b x x Z Z 1 2x + a a 1 = dx − dx 2 x2 + ax + b 2 x2 + ax + b c 1 = ln x2 + ax + b − arctg (dx + e) + k, 2 d donde c, d y e se han elegido de forma adecuada. Z ax + b dx, donde r1 y r2 son las ra´ıces de x2 + Caso 4 2 x + cx + d cx + d. Se factoriza el polinomio x2 +cx+d = (x − r1 ) (x − r2 ). Entonces se puede escribir: Z Z ax + b ax + b dx = dx x2 + cx + d (x − r1 ) (x − r2 ) Z Z A B = dx + dx. x − r1 x − r2 Las constantes A y B se encuentran desarrollando la suma de fracciones, igualando los coeficientes de la mis29

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ma potencia de x y resolviendo el sistema de ecuaciones resultante. Podemos resolver las integrales anteriores utilizando el Caso 1.

Z

1 dx se resuelve ope− 6x + 13 rando con el denominador, porque no tiene ra´ıces reales: Ejemplo 11. La integral

x2

1. Tenemos que “completar cuadrados” y conseguir que en el denominador aparezca (x + r)2 + s. Para ello, suponemos que 6 es 2 · r y operamos con 13 para que aparezca como suma de dos términos y uno de ellos sea r2 : x2 − 6x + 13 = x2 − 2 · 3x + 9 + 4 = x2 − 2 · 3x + 32 + 4 = (x − 3)2 + 4. 2. Operamos para tener (dx + e)2 + 1 en el denominador x2 − 3x + 13 = (x − 3)2 + 4 1 2 =4 (x − 3) + 1 4 ! 2 1 3 =4 x− +1 . 2 2

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3. Entonces Z Z 1 1 dx I= 2 dx = 1 3 2 x − 3x + 13 4 2x − 2 + 1 Z Z 1 1 1/2 1 dx = 2 dx = 1 3 2 1 3 2 4 4 x − + 1 x − + 1 2 2 2 2 1 3 1 = arctg x− . 2 2 2

Ejemplo 12. Resolvamos la integral Z 2 x + 2x dx. x2 − 1 1. Como el grado de numerador es mayor que el grado del denominador, primero tenemos qeu dividir ambos polinomios: x2 + 2x x2 − 1 + 2x + 1 2x + 1 = =1+ 2 . 2 2 x −1 x −1 x −1 2. Como las ra´ıces de x2 − 1 son 1 y −1, podemos factorizar el denominador x2 − 1 = (x − 1) (x + 1) .

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3. Ahora tenemos que buscar A y B para que A B A (x + 1) + B (x − 1) 2x + 1 = + = x2 − 1 x−1 x+1 (x − 1) (x + 1) Ax + A + Bx − B (A + B) x + (A − B) = = (x − 1) (x + 1) (x − 1) (x + 1) 3 1 A+B =2 =⇒ A = B= =⇒ A−B =1 2 2 2x + 1 3 1 1 1 =⇒ 2 = + . x −1 2x − 1 2x + 1 4. La integral es Z Z Z Z 2 3 1 1 1 x + 2x dx = dx + dx + dx x2 − 1 2 x + 1 2 x − 1 Z Z 3 1 1 1 =x+ dx + dx 2 x−1 2 x+1 1 3 = x + ln |x − 1| + ln |x + 1| + k. 2 2

Int. expr. trigon. En casi todas las integrales con expresiones trigonométricas (no inmediatas) es u ´til probar el cambio de variable x 2dt = t =⇒ x = 2 arctg t =⇒ dx = , 2 1 + t2 2t 1 − t2 sen x = , cos x = , 1 + t2 1 + t2 tg

que transforma la integral en la integral de una función racional. 32

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Pero las integrales de sen n x cosm x se resuelven seg´ un sean n y m par o impar: • Si n y m son pares, se utilizan las siguientes identidades, deducidas a partir de las expresiones del coseno del ańgulo doble: 1 − cos 2x 1 + cos 2x , cos2 x = . 2 2 • Si n = 2k + 1 es impar, se hace Z Z I = sen n x cosm xdx = sen 2k+1 x cosm xdx Z = sen 2k xsen x cosm xdx Z k = 1 − cos2 x sen x cosm xdx. sen 2 x =

• Si m = 2k + 1 es impar, se hace Z Z I = sen n x cosm xdx = sen n x cos2k+1 xdx Z Z k = sen n x cos2k x cos xdx = sen n x 1 − sen 2 x cos xdx.

Ejemplo 13. La integral Z I= sen 3 x + cos2 xsen 2 x dx 1. Se puede escribir como la suma de dos integrales: Z Z 3 I = sen xdx + cos2 xsen 2 xdx = I1 + I2 .

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2. I1 es impar en seno, por lo que hacemos Z Z 3 I1 = sen xdx = sen 2 xsen xdx Z Z 2 sen x − cos2 xsen x dx 1 − cos x sen xdx = = Z Z 1 = sen xdx − cos2 xsen xdx = − cos x + cos3 x + K. 3 3. Como I2 es par en coseno, hacemos cos2 x =

1 + cos 2x 1 − cos 2x , sen 2 x = , 2 2

lo que implica que Z Z 1 + cos 2x 1 − cos 2x 2 2 I2 = cos xsen xdx = · dx 2 2 Z 1 1 − cos2 2x dx. = 4 De nuevo tenemos una integral par en coseno, y como 4x cos2 2x = 1+cos 2 Z Z 1 1 1 + cos 4x I2 = 1 − cos2 2x dx = 1− dx 4 4 2 Z Z 1 1 1 = dx − cos 4xdx = x − sen 4x + K 0 . 8 8 32 4. La integral I es I = − cos x +

1 1 1 cos3 x + x − sen 4x + k. 3 8 32 34

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Ejercicios propuestos Ejercicio 8. Resolver,Zpor partes, las siguiente integrales: Z sen 2 x 2 x a. x e dx, b. dx. e2x Pulse aqu´ı para ver la solución. Ejercicio 9. Resolver las siguientes integrales aplicando un cambio de variable adecuado: Z q Z cos3 x dx, b. x (x + 1)3 dx. a. √ sen x Pulse aqu´ı para ver la solución. Ejercicio 10. Resolver las siguientes integrales racionales: Z Z 7 x2 a. dx, b. dx. (x − 2) (x + 5) x2 − x + 1 Pulse aqu´ı para ver la solución. Ejercicio 11. Resolver las Z Z siguientes integrales trigonométricas: a. cos3 xdx, b. cos4 xdx. Pulse aqu´ı para ver la solución. Si ha tenido dificultades para resolver estos ejercicios correctamente, vuelva a repasar esta ficha.

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Soluci´ on a los ejercicios propuestos Solución del ejercicio 8. a. Lo lógico parece ser tomar x2 y ex como funciones. Al derivar x2 decrece el grado y la derivada de ex es esta misma función: por eso, tomamos u = x2 , u0 dx = 2xdx, v = ex , v 0 dx = ex dx. Como

Z

uv 0 dx = uv −

Z

vu0 dx,

entonces la integral es: Z Z Z x2 ex dx = x2 ex − 2xex dx = x2 ex − 2 xex dx. De nuevo, tenemos que aplicar integración por partes a la u ´ltima integral, con u = x, u0 dx = dx, v = ex , v 0 dx = ex dx, quedando Z

x

x

xe dx = xe −

Z

ex dx = xex − ex + k,

y la integral que buscamos es Z x2 ex dx = x2 ex − 2xex + 2ex + k. b. Antes de empezar, y para simplificar, podemos escribir sen 2 x =

1 1 1 − cos 2x = (1 − cos 2x) . 2 2 2 36

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1 Además, como 2x = e−2x , hacemos: e Z Z sen 2 x 1 dx = e−2x (1 − cos 2x) dx 2x e 2Z Z 1 1 e−2x dx − e−2x cos 2xdx = 2 2 Z 1 1 −2x 1 = − e − e−2x cos 2xdx + k 2 2 2 Z 1 1 = − e−2x − e−2x cos 2xdx + k. 4 2 Para resolver esta integral, elegimos las siguientes partes: u = cos 2x, u0 dx = −2sen 2xdx, 1 v = − e−2x , v 0 dx = e−2x dx. 2 y la integral es: Z Z 1 −2x 1 −2x −2x e cos 2xdx = − e cos 2x − − e (−2sen 2x) dx 2 2 Z 1 −2x = − e cos 2x − e−2x sen 2xdx. 2 Tenemos que integrar de nuevo con partes, tomando u = sen 2x, u0 dx = 2 cos 2xdx, 1 v = − e−2x , v 0 dx = e−2x dx. 2 y resulta Z Z 1 1 e−2x sen 2xdx = − e−2x sen 2x − − e−2x 2 cos 2xdx 2 2 Z 1 = − e−2x sen 2x + e−2x cos 2xdx. 2 37

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As´ı: Z Z 1 −2x −2x e cos 2xdx = − e cos 2x − e−2x sen 2xdx 2 Z 1 −2x 1 −2x = − e cos 2x + e sen 2x − e−2x cos 2xdx. 2 2 Despejando la integral, resulta: Z Z 1 1 −2x e cos 2xdx + e−2x cos 2xdx = − e−2x cos 2x + e−2x sen 2x 2 2 Z 1 −2x =⇒ e−2x cos 2xdx = e sen 2x − e−2x cos 2x , 4 y tenemos ya la integral que buscamos Z Z 1 −2x 1 sen 2 x dx = − e − e−2x cos 2xdx + k 2x e 4 2 1 1 1 −2x = − e−2x − e sen 2x − e−2x cos 2x + k 4 24 1 −2x = e (cos 2x − sen 2x − 2) + k. 8 Solución del ejercicio 9. a. Hacemos el cambio sen x = t,

cos2 x = 1 − sen 2 x = 1 − t2 .

cos xdx = dt

Entonces Z Z Z Z 1 cos3 x cos2 x 1 − t2 1 √ √ √ dt = √ − t2− 2 dt dx = cos xdx = sen x sen x t t Z Z √ √ 3 1 2 5 2√ 5 2 2 √ = dt − t dt = 2 t − t + k = 2 t − t +k 5 5 t √ 2√ = 2 sen x − sen 5 x + k. 5 38

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b. Con el cambio x+1=t

x=t−1

dx = dt,

la integral se transforma en Z Z √ Z √ Z q √ 3 t3 dt x (x + 1) dx = (t − 1) t3 dt = t t3 dt − Z Z Z 3 3 5 2 5 = tt 2 dt − t 2 dt = t 2 dt − t 2 + k 5 7 5 2 2 7 2 5 2 = t 2 − t 2 + k = (x + 1) 2 − (x + 1) 2 + k. 7 5 7 5 Solución del ejercicio 10. a. Como las soluciones del polinomio del denominador son 2 y −5, tenemos que escribir la función racional como A B + . x−2 x+5 Entonces, hacemos 7 A B = + (x − 2) (x + 5) x − 2 x + 5 A (x + 5) B (x − 2) = + (x − 2) (x + 5) (x − 2) (x + 5) Ax + 5A + Bx − 2B (A + B) x + (5A − 2B) = = . (x − 2) (x + 5) (x − 2) (x + 5) Para que se verifique esto, debe ser A + B = 0, 5A − 2B = 7.

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La solución de este sistema es A = 1 y B = −1. Por tanto, la integral se transforma en Z Z 1 1 7 dx = − dx (x − 2) (x + 5) x−2 x+5 Z Z 1 1 = dx − dx x−2 x+5 |x − 2| = ln |x − 2| − ln |x + 5| + k = ln +k |x + 5| b. Para resolver una integral racional, debe ser el grado del polinomio del numerador menor que el del denominador. Lo primero es, pues, dividir x2 x−1 = 1 + x2 − x + 1 x2 − x + 1 1 x − 2 . =1+ 2 x −x+1 x −x+1 As´ı, la integral se puede escribir como Z Z x2 x−1 I1 = dx = 1+ 2 dx x2 − x + 1 x −x+1 Z Z x−1 = dx + dx 2−x+1 x Z 1 2x − 2 =x+ dx + k 2 2Z x −x+1 Z 1 2x − 1 1 1 =x+ dx − dx + k 2 2 2 x −x+1 2 x − x + 1 Z 1 1 1 2 = x + ln |x − x + 1| − dx + k. 2 2 2 x −x+1 La u ´ltima integral se resuelve completando cuadrados para 40

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transformarla en la integral de un arcotangente Z Z 1 1 dx = I2 = dx 2 x −x+1 x2 − x + 14 − 14 + 1 Z Z 4 1 1 dx = dx = 2 34 x− 1 2+1 x − 12 + 43 3 2 Z 4 1 = dx 2 3 1 2 √ x− √ +1 3 3 √ 1 4 3 2 arctg √ x − √ = 3 2 3 3 2 2x − 1 √ = √ arctg . 3 3 La integral es: Z x2 I= dx x2 − x + 1 1 1 2x − 1 2 √ = x + ln |x − x + 1| − √ arctg + k. 2 3 3 Solución del ejercicio 11. a. Como cos x está elevado a un n´ umero impar, hacemos: Z Z I = cos3 xdx = cos2 x cos xdx Z = 1 − sen 2 x cos xdx Z Z 1 = cos xdx − sen 2 x cos xdx = sen x − sen 3 x + k. 3

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b. Como x está elevado a un n´ umero par, hacemos: 2 Z Z Z 2 1 + cos 2x 4 2 I = cos xdx = cos x dx = dx 2 Z 1 1 + cos2 2x + 2 cos 2x dx = 4 Z Z Z 1 = dx + cos2 2xdx + 2 cos 2xdx 4 Z 1 + cos 4x 1 x+ dx + sen 2x + k = 4 2 Z Z 1 1 1 x+ dx + cos 4xdx + sen 2x + k = 4 2 2 1 1 1 = x + x + sen 4x + sen 2x + k 4 2 8 1 1 3x + 2sen 2x + sen 4x + k. = 8 4

42

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3.4.


Ficha 4: Integrales definidas

Integral definida El problema planteado es calcular el área comprendido entre la gráfica de una función f (x), el eje OX y las rectas verticales x = a y x = b.

Una aproximación a este a´rea se puede obtener dividiendo el a´rea en rectángulos (por debajo o por encima de la gráfica de f (x)), de base cada vez menor, calculando el a´rea de cada uno de ellos y sumando todas las a´reas.

43

Esther Gil Cid


La integral definida es el área de la región delimitada por f (x) entre a y b y el eje OX. Se representa como Z b f (x) dx. a

L´ım. integración La diferencia formal obvia entre las integrales definidas e indefinidas es que tienen “l´ımites de integraci´ on”, que no son más que los n´ umeros indicados a la derecha del s´ımbolo de integración “arriba” y “abajo”. Aunque están muy relacionadas entre ellas, la principal diferencia es que el resultado de una integral definida es un n´ umero y el de una integral definida es un conjunto de funciones, cuya derivada es el integrando.

R2 Ejemplo 14. 0 x3 + 1 dx es el área que queda entre el trazo de la función f (x) = x3 + 1, el eje OX y las rectas x = 0 y x = 2.

Es el a´rea indicada en la figura en gris. 44

Esther Gil Cid


T. Fund. Cálculo Si f (x) es una función continua en [a, b]. Entonces Z x F (x) = f (t) dt es derivable, a 0

F (x) = f (x) ,

x ∈ (a, b) .

Se llama Teorema Fundamental del Cálculo porque nos asegura que existe una primitiva F de una función continua f y porque nos permite trabajar con ella, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 15. La derivada segunda de la función Z x F (x) = et sen 2 tdt 0

se puede calcular seg´ un el Teorema anterior: F 0 (x) = ex sen 2 x, F 00 (x) = ex sen 2 x + 2ex sen x cos x. Regla de Barrow Si f (x) es una función continua en [a, b] y F (x) es una primitiva de f (x). Entonces Z b f (x) dx = F (x)|ba = F (b) − F (a) . a

F (x)|ba es una forma de escribir F (b) − F (a). Nota: Cuando se resuelve la integral por cambio de variable, no hay que olvidarse de deshacer el cambio antes de sustituir la x por los l´ımites de integración. Este procedimiento se 45

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sigue si se integra por partes. Otra posibilidad es cambiar los l´ımites de integración de acuerdo con el cambio de variable, pero puede resultar más complicado.

Ejemplo 16. Podemos calcular el a´rea representada en el Ejemplo 14 a partir de la integral de x3 + 1, por la regla de Barrow: 2

Z

2 1 x3 + 1 dx = x4 + x 4 0 1 4 1 4 = 2 +2− 0 + 0 = 4 + 2 = 6. 4 4

0

Ejemplo √ 17. Calculemos el a´rea de la región delimitada por x f (x) = √ entre 0 y 4 y el eje OX. x+2

√

1. Hay que resolver la integral

46

R4 0

√

x dx. x+2

Esther Gil Cid


2. Hacemos el cambio de variable Z 0

4

√

x √ dx = x+2

√

x = t,

2

Z 0

1 √ dx 2 x

= dt y:

t 2tdt. t+2

Con este cambio, x0 = 0 se convierte en t0 = 0 y x1 = 4 se convierte en t1 = 2. 3. Resolvemos la integral Z 2 2 t t I= 2tdt = 2 dt 0 t+2 0 t+2 Z 2 Z 2 Z 2 Z 2 1 4 =2 t−2+ dt = 2 tdt − 4 dt + 8 dt t + 2 t + 2 0 0 0 0 2 1 = 2 t2 − 4 t|20 + 8 ln |t + 2||20 2 0 = 4 − 8 + 8 (ln 4 − ln 2) = −4 + 8 ln 2. Z

2

4. Pod´ıamos haber resuelto la integral, deshecho el cambio de variable y haber obtenido los valores entre los l´ımites de integración: √ Z Z x t √ dx = 2tdt = t2 − 4t + 8 ln |t + 2| t+2 x+2 √ √ = x − 4 x + 8 ln x + 2 Z 4 √ √ 4 √ x √ =⇒ dx = x − 4 x + 8 ln x + 2 0 x+2 0 = −4 + 8 ln 2.

47

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Ejemplo 18. Podemos calcular el área de regiones delimitadas por gráficas de varias funciones con la integral indefinida. Como ejemplo, calcularemos el área de la región delimitada por las gráficas de las funciones f (x) = 2x + 3 y g (x) = x2 . 1. Primero tenemos que calcular los puntos de corte: f (x) = g (x) ⇐⇒ 2x + 3 = x2 ⇐⇒ x2 − 2x − 3 = 0 p √ 2 ± 22 − 4 · 1 · (−3) 2 ± 4 + 12 = ⇐⇒ x = 2·1 2 √ 2 ± 16 2 ± 4 = = . 2 2 Por tanto, −1 y 3 serán los l´ımites de integración:

48

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2. Como f (x) ≥ g (x) en [−1, 3], entonces el a´rea pedida es Z 3 Z 3 S= (f (x) − g (x)) dx = 2x + 3 − x2 dx −1 −1 3 1 = x2 + 3x − x3 3 −1 1 1 = 32 + 3 · 3 − 33 − (−1)2 + 3 (−1) − (−1)3 3 3 1 =9+9−9− 1−3+ 3 5 32 =9+ = . 3 3

49

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Ejercicios propuestos Ejercicio 12. Calcular las siguientes integrales definidas: R1 R 3 2x a. 0 4x2 dx, b. 2 2 dx, xR − 1 R1 2 c. 0 sen x cos xdx, d. 0 xex dx. Pulse aqu´ı para ver la solución. Ejercicio 13. Calcular las siguientes integrales definidas, haciendo Z 2unx cambio de variable: 2 R1 x e +1 dx, b. a. 0 1 + x6 dx. x 1 e −1 Pulse aqu´ı para ver la solución. Ejercicio 14. Calcular las siguientes integrales definidas, integrando por partes: R π/2 Re b. 0 ex cos xdx. a. 1 x ln xdx, Pulse aqu´ı para ver la solución. Ejercicio 15. Calcular el a´rea delimitada por el eje OX, la gráfi2x ca de 2 y las rectas x = 2 y x = 3. x −1 Pulse aqu´ı para ver la solución. Ejercicio 16. Calcular el a´rea de la región delimitada por gráficas de 2x3 y 2x. Pulse aqu´ı para ver la solución. Si ha tenido dificultades para resolver estos ejercicios correctamente, vuelva a repasar esta ficha. 50

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Soluci´ on a los ejercicios propuestos Solución del ejercicio 12. a. Se resuelve la integral y se tienen en cuenta los l´ımites de integración: 1 Z 1 4 4 3 4 4x2 dx = x3 = 1 − 03 = . 3 0 3 3 0 b. Esta integral es un logaritmo neperiano Z 3 2 2x x − 1 3 = ln 32 − 1 − ln 22 − 1 dx = ln 2 2 2 x −1 8 = ln 8 − ln 3 = ln . 3 c. La integral es inmediata, resultado 1 Z 1 1 1 1 2 sen x cos xdx = sen x = sen 2 1 − sen 2 0 2 2 2 0 0 1 = sen 2 1. 2 d. Por el primer ejemplo de la fiche 3, sabemos que Z xex dx = xex − ex + k. Entonces Z 2 0

xex dx = xex − ex |20 = 2e2 − e2 − 0e0 − e0

= e2 + 1. Obsérvese que no hemos considerado la constante k de la integral indefinida porque no es necesario, al ser una integral definida. 51

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Solución del ejercicio 13. a. Hacemos el cambio: ex = t,

ex dx = dt,

1 dx = e−x dt = dt. t

Resulta Z x Z Z Z e +1 t+11 1 1 dx = dt = dt + dt ex − 1 t−1t t−1 t (t − 1) Z Z 1 1 = ln |t − 1| + dt − dt t−1 t = ln |t − 1| + ln |t − 1| − ln |t| + k = 2 ln |t − 1| − ln |t| + k = 2 ln |ex − 1| − ln |ex | + k. Teniendo en cuenta los l´ımites de integración, la integral definida es: Z 2 x e +1 dx = 2 ln |ex − 1| − ln |ex ||21 x 1 e −1 = 2 ln e2 − 1 − ln e2 − 2 ln e1 − 1 − ln e1 2 e −1 e2 = 2 ln − ln e−1 e = 2 ln (e + 1) − ln e = 2 ln (e + 1) − 1. b. Parece apropiado el cambio x3 = t,

3x2 dx = dt.

Resulta Z Z Z x2 1 1 1 1 1 dx = dt = dt = arctg t + k 1 + x6 3 1 + t2 3 1 + t2 3 1 = arctg x3 + k. 3 52

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Considerando los l´ımites de integración: 1 Z 1 1 1 1 x2 3 3 = dx = arctg x arctg 1 − arctg 03 6 3 3 3 0 1+x 0 1π 1 = − 0 = π. 34 12 Solución del ejercicio 14. a. Tomamos:

Entonces: Z e 1

1 u = ln x, u0 = , x 1 2 0 v = x , v = x. 2 e Z e 1 2 1 21 x ln xdx = x ln x − x dx 2 x 1 2 1 Z 1 2 1 2 1 e = e ln e − 1 ln 1 − xdx 2 2 2 1 e 1 2 1 1 2 = e − x 2 2 2 1 1 1 1 = e2 − e2 + 2 4 4 1 2 1 e + . 4 4

b. En este caso, elegimos: u = cos x, u0 = −sen x, v = ex , v 0 = ex .

53

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Entonces Z π/2 Z π/2 ex cos xdx = ex cos x|0 − 0

π/2

ex (−sen x) dx 0 Z π/2 π ex sen xdx = eπ/2 cos − e0 cos 0 + 2 0 Z π/2 = −1 + ex sen xdx. 0

Para resolver esta integral, integramos de nuevo por partes, con: u = sen x, u0 = cos x, v = ex , v 0 = ex . y tenemos Z π/2 Z x e cos xdx = −1 + 0

π/2

ex sen xdx 0 Z π/2 x = −1 + e sen x|0 −

π/2

ex cos xdx 0 Z π/2 π 0 π/2 ex cos xdx = −1 + e sen − e sen 0 − 2 0 Z π/2 = −1 + eπ/2 − ex cos xdx. 0

Como la integral aparece a los dos lados de la igualdad, podemos despejar: Z π/2 Z π/2 x e cos xdx + ex cos xdx = −1 + eπ/2 0 0 Z π/2 1 π/2 x =⇒ e cos xdx = e −1 . 2 0 54

Esther Gil Cid


Solución del ejercicio 15. Hemos representado la situación en la siguiente figura

Entonces, observamos que tenemos que resolver la integral: Z 3 3 2x 2 = ln 32 − 1 − ln 22 − 1 dx = ln x − 1 2 2 2 x −1 8 = ln 8 − ln 3 = ln . 3 Solución del ejercicio 16. Las funciones se cortan en x = 0, x = −1 y x = 1 (ver figura).

55

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Por tanto, se pide encontrar: Z 1 Z 1 S= 2x − 2x3 dx = 2 x − x3 dx 0 0 1 2 2 1 2 1 4 2 = 2 x − x = 1 − 14 − 02 − 04 3 2 0 3 3 2 1 =1− = . 3 3

56

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4.



Realice la siguiente prueba para ver si ha asimilado correctamente los contenidos de este módulo. La primitiva de una función es u ńica 1 es arctg x La u ńica primitiva de 1 +x2 R 3 + 2 cos2 xsen x dx = 3 1+x R R 1 dx + 2 cos2 xsen xdx 3 1 + x3 Z ln3 x ln4 x Se verifica dx = x 4 arcsen x 1 Una primitiva de √ es (arcsen x)2 + 2 2 1 − x2 Aplicando integración por Z 1 sen 2 xdx = (x − sen x cos x) + k 2 Z 2x dx = 12 log2 e arctg 2x + k x 1+4

partes,

Sólo se pueden resolver integrales de funciones racionales donde el grado del numerador es menor que el del denominador




Verdadero Falso 1 dx es un logaritmo neperiano x2 − x + 1 Verdadero Falso R 4 2 Para resolver la integral cos xsen xdx se tienen en cuenta las razones del ańgulo doble R

57

Bibliograf´ıa [1] Alonso Tosca, J.I.; Novo Sanjurjo, V.; 1988. Cálculo de Primitivas. Cuadernos de la Uned. Madrid: Libro donde se describen todas las técnicas de integración, con gran cantidad de ejemplos y ejercicios. [2] Ballvé, M. E.; Delgado, M.; Porto, A. M.; Ulecia, T.: Problemas de Matemáticas especiales. 2.a ed. Editorial Sanz y Torres: Libro de ejercicios correspondiente al libro de “Matemáticas especiales”. Muchos ejercicios resueltos. [3] Bujalance, E.; Bujalance, J. A.; Costa, A.; Fernández, V.; Fernández, J.; Jiménez, P.; Mar´ıa, J. L. de; Mart´ınez, E.: Matemáticas especiales. 2.a ed. Editorial Sanz y Torres: Libro para el acceso a la Universidad para mayores de 25 a˜ nos, donde no se requiere base matemática previa. Ejemplos resueltos y ejercicios propuestos no resueltos. [4] http://w3.cnice.mec.es/Descartes/index.html. Páginas elaboradas dentro del Proyecto Descartes, desarrollado por el Ministerio de Educación, Cultura y Deportes. Es una herramienta capaz de generar materiales interactivos con la que se han construido más de cien unidades didácticas de los distintos cursos de la ense˜ nanza secundaria, accesibles a través de esta página.

58

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[5] Hernández Morales, V.; Ramon Méndez, E.; Vélez Ibarrola, R.; Yán ˜ez de Diego, I.; 2002. Introducción a las Matemáticas. Ediciones Académicas. Madrid: En este libro están explicadas de forma clara las derivadas, en el Cap´ıtulo 7. Se acompa˜ na de numerosos ejemplos y ejercicios. [6] http://personales.unican.es/gonzaleof/. Página web con 4 cursos de Matemáticas (Primero y Segundo de Bachillerato, Ciencias y Sociales). Material de exposición clara, con numerosos ejemplos y ejercicios.

59

Índice alfab´ etico Aditividad, 10 Homogeneidad, 9 Integración de expresiones racionales, 27 de expresiones trigonométricas, 32 por cambio de variable, 25 por partes, 24 Integral definida, 43 indefinida, 7 propiedades, 9 Integrar, 7 Primitiva, 7 Regla de Barrow, 45 Tabla de primitivas, 8 Teorema Fundamental del Cálculo, 45

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C URS OSO

MAT E MÁT I C AS

Nú me r o sC o mp l e j o s Mª P a zP e i n a d oC r o s De p a r t a me n t od eMa t e má t i c aAp l i c a d aI E T S I I n d u s t r i a l e s

C URS OSO


4.

Introducción y objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prueba de autodiagnóstico . . . . . . . . . . . . . . . . . Contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Ficha 1: Ampliación del conjunto de los n´ umeros reales: el conjunto de los n´ umeros complejos . 3.2. Ficha 2: Operaciones con n´ umeros complejos en forma binómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Ficha 3: Representación en el plano de un n´ umero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Ficha 4: Distintas formas de expresar un n´ umero complejo: forma polar y forma trigonométrica 3.5. Ficha 5: Operaciones de n´ umeros complejos en forma polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prueba de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 5 6 6 15 24 32

39 50 51 Índice alfabético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2

Ma Paz Peinado Cros

1.



En nuestra vida cotidiana, estamos acostumbrados a operar con n´ umeros reales, y no encontramos aparentemente la necesidad ni la utilidad de los n´ umeros complejos. Sin embrago, son muy u ´tiles en nuestro mundo actual en el que la ciencia y la técnica están muy presentes: en el electromagnetismo, la hidrodinámica, la electrotecnia y otros campos de la ingenier´ıa los n´ umeros complejos son una potente herramienta de cálculo. As´ı grandes obras de la ingenier´ıa: centrales eléctricas, redes de distribución, parques eólicos..., necesitan los n´ umeros complejos para su funcionamiento Los n´ umeros complejos nacieron de la necesidad de encontrar soluciones a ecuaciones en las que aparecen ra´ıces cuadradas de n´ umeros negativos. En el conjunto de los n´ umeros reales no existe ning´ un n´ umero que√al elevarlo al cuadrado nos de -1, es √ decir no hay solución a −1, −2... .Ya en el siglo I, Herón de Alejandr´ıa se topó con este tipo de ra´ıces que no supo interpretar. En el s. XVI, Cardano al resolver un problema llegó a dos soluciones complejas y decidió que eran n´ umeros sin sentido, imaginarios. Y fue Gauss en el siglo XIX, quien dió sentido a los n´ umeros complejos. √ √ √ Teniendo en cuenta que a = −a · −1 el problema se centró en encontrar un n´ umero que al elevarlo al cuadrado sea √ igual a -1. Este n´ umero, −1, fue designado en 1777 por el matemático suizo Euler con la letra i (imaginario) y llamado unidad imaginaria. Los contenidos de este tema son necesarios para el primer curso de cualquier Ingenier´ıa o carrera de ciencias. Objetivos Manejar la forma binómica de los n´ umeros complejos y sus operaciones. 3

Ma Paz Peinado Cros


Representar geométricamente los n´ umeros complejos en el plano. Conocer y utilizar la relación entre la forma binómica y la forma polar de los n´ umeros complejos. Manejar la forma polar de los n´ umeros complejos y sus operaciones. Utilizar la fórmula de Moivre para calcular sen nα y cos nα. Calcular ra´ıces n-ésimas de n´ umero complejos.

4

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2.


Prueba de autodiagn´ ostico Haga el test siguiente para evaluar su nivel de conocimientos. Verdadero Falso

i23 = −i

Verdadero Falso

(2 − i) − (1 − 3i) = 1 + 2i

Verdadero Falso

(1 − i) · (2 + 3i) = 5 + 3i

Verdadero Falso

−10 − 4i = 3 + 7i −1 + i

Verdadero Falso

−1 + i = 21350

Verdadero Falso

21800 = −2i

Verdadero Falso

2600 · 31200 = −31800

Verdadero Falso

(2200 )3 = 8600

Verdadero Falso La fórmula de Moivre dice: [(r cos α + isen α)]n = rn (cos nα + isen nα) Verdadero Falso √ Las ra´ıces 4 16 son cuatro y tienen módulo 16 Si ha tenido muchas dificultades y el n´ umero de respuestas correctas no le parece aceptable, debe hacer de forma ordenada todas las fichas que encontrará a continuación.Si sólo ha tenido dificultades en algunos casos, localice las fichas correspondientes y repáselas. Si ha respondido todo correctamente puede pasar a otro bloque. 5

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3. 3.1.


Contenidos Ficha 1: Ampliaci´ on del conjunto de los n´ umeros reales: el conjunto de los n´ umeros complejos

Si intentamos resolver ecuaciones de segundo grado aparentemente sencillas, como puede ser la ecuación x2 + 1 = 0, nos encontramos que las soluciones son los n´ umeros que cumplen √ x = ± −1, y no conocemos ning´ un n´ umero real cuyo cuadrado sea igual a -1 ó a ning´ un n´ umero negativo. Existen muchos ejemplos de este tipo, en los que surgen ra´ıces de n´ umeros negativos, lo cual hace necesario ampliar el conjunto de los n´ umeros reales e “inventar’´ un n´ umero cuyo cuadrado sea igual a -1. A este√numero se le designa con el n´ umero de unidad imaginaria: i = −1 Si al Conjunto de los N´ umeros Reales, le a˜ nadimos el conjunto de los n´ umeros imaginarios, el resultado es el Conjunto de los N´ umeros Complejos.

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Ejemplo 1. Al resolver la ecuaci´ on x2 + 9 = 0 no encon-

tramos solución dentro del conjunto de los n´ umeros reales. Los n´ umeros que son solución de esta ecuación son n´ umeros imaginarios. √ x2 + 9 = 0 ⇒ x2 = −9 ⇒ x = ± −9

No conocemos ning´ un n´ umero real cuyo cuadrado sea -9. Pero las soluciones las podemos escribir de la siguiente forma: √ √ √ x = ± −9 = ± 9 −1 = ±3i

Es decir la ecuación x2 + 9 = 0 tiene por solución los n´ umeros complejos z1 = 3i y z2 = −3i. Lo mismo ocurre al resolver la ecuación x2 + 3x + 4 = 0

x=

−3 ±

√ 2

9 − 16

√ √ √ √ −3 ± −7 −3 ± 7 −1 −3 7 = = = ± i 2 2 2 2

Las soluciones son n´ umeros imaginarios.

Forma bin´ omica La forma bin´ omica de un n´ umero complejo z es la expresión

de la forma z = a + bi: • Al n´ umero a se le llama parte real del n´ umero comple-

jo. • Al n´ umero b se le llama parte imaginaria del n´ umero complejo. Si b = 0 el n´ umero complejo se reduce al n´ umero real z = a. Si a = 0 el n´ umero complejo se reduce a z = bi, y se dice que es un n´ umero imaginario puro. 7

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Complejos iguales Dos n´ umeros complejos, z = a+bi y z 0 = a0 +b0 i, son iguales

si lo son sus partes reales e imaginarias respectivamente.

0

0

0

z = z ⇔ a + bi = a + b i ⇐⇒

a = a0 b = b0

umero complejo, que se repreConjugado El conjugado de z, es otro n´ senta por z y tiene: • La parte real igual que la de z. • La parte imaginaria opuesta que la de z.

Si z = a + bi, su conjugado es z = a − bi.

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Opuesto El opuesto de un n´ umero complejo no se debe de confundir

con el conjugado. El opuesto de z, es otro n´ umero complejo que se representa por: −z y tiene: • La parte real opuesta que la de z. • La parte imaginaria opuesta que la de z.

Si z = a + bi, su opuesto es −z = −a − bi

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Ejemplo 2. Si tenemos los siguientes n´ umeros complejos:

z1 = 2 − 3i z2 = 5i z3 = −8 La parte real de z1 es a = 2 y la parte imaginaria b = −3. La parte real de z2 es a = 0 y la parte imaginaria b = 5, es decir, es un n´ umero imaginario puro ya que su parte real √ 5 es nula. Los n´ umeros complejos −4i, 5i, i, 6i también son 3 n´ umeros imaginarios puros. La parte real de z3 es a = −8 y la parte imaginaria b = 0, es decir, es un n´ umero real y al mismo tiempo un n´ umero complejo. El conjunto de los n´ umeros reales es un subconjunto de los √ 7 n´ umeros complejos. Los n´ umeros −7, 5, , 2 también son 3 n´ umeros reales y complejos con parte imaginaria nula.

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Ejemplo 3. Los siguientes pares de n´ umeros complejos:

3 − 2i y 3 + 2i −5i y 5i √ √ 1+ 3 y 1− 3 están formados por n´ umeros complejos conjugados. Es fácil de ver que tienen la parte real igual y la parte imaginaria opuesta. Mientras que los siguientes pares de n´ umeros complejos son opuestos: 3 − 2i y −3 + 2i −5i y 5i √ √ 1 + 3 y −1 − 3 ya que sus partes real e imaginaria son opuestas.

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Ejercicios propuestos Ejercicio 1. Resuelve las siguientes ecuaciones e indica sus soluciones en el Conjunto de los Complejos: a. x3 − 2x2 + 5x = 0, b. x2 − 2x + 3 = 0 Pulse aqu´ı para ver la solución. Ejercicio 2. Calcular los n´ umeros opuestos y conjugados de los siguientes n´ umeros: a. z1 = 3 − √ 5i, b. z2 = − 2i, Pulse aqu´ı para ver la solución. Ejercicio 3. Dado el n´ umero complejo z = 2 −

√

5i, calcula:

a. Su opuesto. b. Su conjugado. c. El conjugado de su conjugado. d. El opuesto de su conjugado. e. El conjugado de su opuesto. f. ¿Qué relación existe entre estos dos u ´ltimos?. Pulse aqu´ı para ver la solución. Si ha tenido dificultades para resolver estos ejercicios correctamente, vuelva repasar esta ficha.

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Soluci´ on a los ejercicios propuestos Soluci´ on del ejercicio 1. a.

x1 = 0,

x2 = 1 + 2i,

x3 = 1 − 2i

Estas soluciones se pueden obtener operando de la siguiente manera: x3 − 2x2 + 5x = x(x2 − 2x + 5) = 0 =⇒   x1 = 0 x=0 x = 1 + 2i =⇒ =⇒ x2 − 2x + 5 = 0  2 x3 = 1 − 2i A las soluciones x1 y x2 , se√llegan solucionado √ la ecuación 3i 3i x2 − 2x + 5 = 0. b. x1 = 1 + , x2 = 1 − 2 2 Estas soluciones se pueden obtener operando de la siguiente manera:  √  3i   x = 1 + √ √  1 2 2 ± 4 − 12 2 ± −9  x= = = √  2 2   3i   x2 = 1 − 2 Soluci´ on del ejercicio 2. a. −z1 = −(3 − 5i) = −3 + 5i y z 1 = 3 − (−5i) = 3 + 5i √ √ √ √ b. −z2 = −(− 2i) = 2i y z 2 = −(− 2i) = 2i 13

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Soluci´ on del ejercicio 3. √ √ a. −z = −(2 − 5i) = −2 + 5i √ √ b. z = 2 − (− 5i) = 2 + 5i √ √ c. z = (2 + 5i) = 2 − 5i = z √ √ d. − (z) = −(2 + 5i) = −2 − 5i √ √ e. (−z) = (−2 + 5i) = −2 − 5i f. Son iguales.

14

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3.2.


Ficha 2: Operaciones con n´ umeros complejos en forma bin´ omica

Suma y resta La suma (o resta) de n´ umeros complejos es otro n´ umero complejo cuya parte real se obtiene de la suma (o resta) de las partes reales y cuya parte imaginaria se obtiene de la suma (o resta) de las partes imaginarias de los n´ umeros que se están sumando (o restando) Suma: z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = a + c + (b + d)i Resta: z1 − z2 = (a + bi) − (c + di) = a − c + (b − d)i Producto El producto de dos n´ umeros complejos es otro n´ umero complejo que se obtiene de aplicar la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = −1. z1 · z2 = (a + bi)(c + di) = ac − bd + (ad + bc)i Cociente La división de dos n´ umeros complejos es otro n´ umero complejo. Para calcularlo mutiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador. As´ı se consigue tener en el denominador un n´ umero real, ya que el producto de un n´ umero complejo por su conjugado es siempre un n´ umero real. (a + bi)(a − bi) = aa − abi + abi − bbi2 = aa + bb + (−ab + ab)i = a2 + b2 15

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Teniendo en cuenta este resultado el cociente es: z1 a + bi (a + bi)(c − di) = = z2 c + di (c + di)(c − di) ac + bd + (bc − ad)i ac + bd bc − ad = 2 + 2 i = c2 + d2 c + d2 c + d2

No hay que olvidar que no se puede dividir un n´ umero complejo por 0.

Ejemplo 4. Dados dos n´ umeros complejos: z1 = 2 − 3i

z2 = 1 + 5i

podemos realizar las siguientes operaciones: z1 + z2 = (2 − 3i) + (1 + 5i) = 2 + 1 + (−3 + 5)i = 3 + 2i z1 − z2 = (2 − 3i) − (1 + 5i) = 2 − 1 + (−3 − 5)i = 1 − 8i z1 · z2 = (2 − 3i) · (1 + 5i) = 2 + 10i − 3i − 15i2 = 2 + 15 + (10 − 3)i = 17 + 7i z1 2 − 3i (2 − 3i)(1 − 5i) 2 − 10i − 3i + 15i2 = = = = z2 1 + 5i (1 + 5i)(1 − 5i) 1 − 5i + 5i − 25i2 −13 − 13i −13 − 13i −1 1 = = − i 1 + 25 26 2 2 16

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Potencias de i Antes de desarrollar la potencia en general de un n´ umero complejo, vamos a realizar la potencia de la unidad imaginaria i. √ Teniendo en cuenta que i = −1 y, que tal y como ocurre en los n´ umeros reales i0 = 1 y i1 = i, desarrollamos las potencias de i: i2 =

√

√ −1 −1 = −1

i3 = i2 · i = (−1) · i = −i i4 = i2 · i2 = (−1) · (−1) = 1 i5 = i4 · i = 1 · i = i i6 = i4 · i2 = −1 i7 = i4 · i3 = −i i8 = i4 · i4 = 1 Se puede observar que a partir de n = 4, las potencias de i se repiten cada cuatro valores. Por esto, en general, para calcular una potencia de i, se divide su exponente por 4 y se mira el resto de la división. As´ı todas las potencias cuyo exponente da resto 0 al dividirlo por 4 serán igual a i0 = 1. Las potencias cuyo exponente da resto 1 al dividirlo por 4 uno, serán igual a i1 = i, las que da de resto 2 serán igual a i2 = −1 y las de resto 3 serán igual a i3 = −i. Por ejemplo, i22 = i2 = −1 porque 22 entre 4 da de resto 2.

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Ejemplo 5. Para calcular una potencia de i tendremos en cuenta que se repiten de cuatro en cuatro, y por ello dividiremos el exponente por 4 y nos fijaremos en el resto de la división. As´ı: i540 = i135·4 = i0 = 1 i61 = i15·4+1 = i1 = i i26 = i6·4+2 = i2 = −1 i2003 = i500·4+3 = i3 = −i Potencia de z La potencia de un n´ umero complejo zn se calcula multiplicando z por s´ı mismo n veces. La potencia de un n´ umero complejo se puede hacer desarrollando la potencia del binomio (a + bi) y teniendo en cuenta los valores de las potencias del n´ umero i. También para desarrollar una potencia de un n´ umero complejo, se puede considerar un n´ umero complejo como un binomio en i, y desarrollar cualquier potencia teniendo en cuenta el desarrollo del binomio de Newton. Ahora bien, esta forma de calcular las potencias de n´ umeros complejos no es práctica para exponentes mayores que 3. Es mucho más sencillo calcular la potencia de un n´ umero complejo, teniendo dicho n´ umero expresado en forma polar como se ve en la ficha 5.

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√ Ejemplo 6. Dado el n´ umero complejo z1 = 3 + 5i, si queremos calcular (z1 )2 , sabemos que desarrollando la igualdad notable del cuadrado de una suma queda: z12

√

√

2

√

5i) = 3 + 2 · 3 · 5i + ( 5i)2 √ √ = 9 + 6 5i − 5 = 4 + 6 5i

= (3 +

2

Si lo que queremos es saber cuánto vale (z1 )3 se puede calcular a partir de la potencia de (z1 )2 , multiplicándola por z1 o teniendo en cuenta el desarrollo de un binomio al cubo seg´ un el binomio de Newton: z13

√

√ 2 √ 3 = (3 + 5i) = 3 + 3 · 3 · 5i + 3 · 3 · ( 5i) + ( 5i) √ √ √ = 27 − 27 5i − 9 · 5 − 5 5i = 27 − 45 − 32 5i √ = −18 − 32 5i 3

3

2

√

Si las potencias del n´ umero complejo tienen un exponente más alto, este método resulta poco práctico. Resultar´ıa más rápido el pasar el n´ umero complejo de forma binómica a polar, y ´ desarrollar la potencia en forma polar. Esto se ve más adelante en la ficha 5.

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Ejercicios propuestos Ejercicio 4. Dados los n´ umeros complejos z1 = 3 − 2i z2 = −7 + 2i Calcula: a. z1 + z2 b. 3z1 − z2 Pulse aqu´ı para ver la solución. Ejercicio 5. Calcula los siguientes productos: a. (4 − 3i)(5 + i) b. (7 − i)(7 + i) Pulse aqu´ı para ver la solución. Ejercicio 6. Calcula los siguientes cocientes: 4 − 3i 5−i 1 b. i Pulse aqu´ı para ver la solución. a.

Ejercicio 7. Calcula las siguientes potencias: a. i226 √ b. (1 − 3i)i121 Pulse aqu´ı para ver la solución. 20

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Ejercicio 8. Calcula las siguientes potencias: √ a. ( 2 + i)2 b. (1 + i)3 Pulse aqu´ı para ver la solución. Si ha tenido dificultades para resolver estos ejercicios correctamente, vuelva a repasar esta ficha.

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Soluci´ on a los ejercicios propuestos Soluci´ on del ejercicio 4. a. z1 + z2 = (3 − 2i) + (−7 + 2i) = 3 − 7 + (−2 + 2)i = −4 b. 3z1 − z2 = 3(3 − 2i) − (−7 + 2i) = (9 − 6i) − (−7 + 2i) = 9 + 7 + (−6 − 2)i = 16 − 8i Soluci´ on del ejercicio 5. a. (4 − 3i)(5 + i) = 20 + 4i − 15i − 3i2 = 20 + 3 + (4 − 15)i = 23 − 11i b. (7 − i)(7 + i) = 49 + 7i − 7i − i2 = 49 + 1 + (7 − 7)i = 50 Soluci´ on del ejercicio 6. a.

4 − 3i (4 − 3i)(5 + i) 20 + 3 + (4 − 15)i 23 11 = = = − i 5−i (5 − i)(5 + i) 25 + 1 26 26

b.

1 −i −i −i = = 2= = −i i i(−i) −i 1

Soluci´ on del ejercicio 7. a. i226 = i56·4+2 = i2 = −1 √ √ √ 3i)i121 = (1√− 3i)i30·4+1 = (1 − 3i)i b. (1 − √ = i − 3i2 = i + 3 22

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Soluci´ on del ejercicio 8. √ √ √ √ √ a) ( 2 + i)2 = ( 2)2 + 2 2i + i2 = 2 − 1 + 2 2i = 1 + 2 2i b) (1 + i)3 = 13 + 3 · 12 i + 3 · 1 · i2 + i3 = 1 + 3i − 3 − i = −2 + 2i

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3.3.


Ficha 3: Representaci´ on en el plano de un n´ umero complejo

Los n´ umeros reales los representamos sobre una recta numérica a la que llamamos recta real. ¿Y los n´ umeros complejos dónde los podemos representar?. Como un n´ umero complejo z = a+bi depende del valor de dos n´ umeros: a y b, lo podremos representar fácilmente sobre unos ejes cartesianos. En el eje de abcisas se representa la parte real del n´ umero complejo y se llama eje real, y en el eje de ordenadas la componente imaginaria, y se llama eje imaginario. As´ı, se habla de recta real y plano complejo.

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De esta manera a cada n´ umero complejo z = a+bi le hacemos corresponder en el plano un punto A(a, b), que denominamos afijo. Y además a cada n´ umero complejo se le asocia el vector de posición de su afijo. − → z = a + bi → A(a, b) → 0A Lo que se hace es asociar a cada n´ umero complejo un vector. Dicho vector queda perfectamente definido por su módulo y su argumento. umero complejo se repreM´ odulo Normalmente el módulo de un n´ senta por |z|. Si nos fijamos en la representación gráfica de un n´ umero complejo, se ve que se forma un triángulo rectángulo de catetos la parte real (a) e imaginaria (b), y de hipotenusa el módulo de z (|z|). Y si en dicho triángulo rectángulo aplicamos el teorema de Pitágoras nos queda la expresión del módulo de un n´ umero complejo z = a + bi : − p → |z| = 0A = + a2 + b2 Argumento El argumento de un n´ umero complejo z = a+bi es el ángulo que forma el semieje positivo de abcisas con la recta que − → contiene al vector 0A y se le representa como arg(z) = α 25

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Teniendo en cuenta la definición de tangente trigonométrica de un ańgulo, se deduce que:   α = arctg ab si a 6= 0 α = π2 si a = 0 y b > 0  3π si a = 0 y b < 0 α= 2 b La igualdad α = arctg la cumplen infinitos ańgulos. Pero a si a˜ nadimos la condición 0 ≤ α < 2π, sólo hay 2 ángulos que difieren en π radianes y tienen la misma tangente. Para saber cuál de ellos es el argumento, resulta muy práctico representar z = a + bi y as´ı se averigua en qué cuadrante está z y que valores puede tomar el argumento de z seg´ un el cuadrante en el que está situado. A este argumento también se le denomina argumento principal.

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Ejemplo 7. Si queremos representar los siguientes n´ umeros complejos z2 = −4i z4 = 1 − i

z1 = 3 + 2i z3 = 3

lo que hacemos es calcular las coordenadas de su afijo, lo dibujamos y pintamos el vector que une el origen de coordenadas con el afijo.

Los cuatro n´ umeros expuestos tienen por afijos (3,2), (0,-4), (3,0) y (1,-1) respectivamente, y están situados: z1 en el primer cuadrante, z2 sobre el eje imaginario,

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z3 sobre el eje real, z4 en el cuarto cuadrante.

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Ejemplo 8. De los n´ umeros complejos del ejemplo anterior z2 = −4i z4 = 1 − i

z1 = 3 + 2i z3 = 3

podemos calcular sus respectivos módulos y argumentos. Si nos fijamos en su representación en el plano, y utilizando el teorema de Pitágoras y la definición de la tangente de un ańgulo, tenemos: √ √ |z1 | = + 32 + 22 = + 13 q √ |z2 | = + 02 + (−4)2 = + 16 = 4 √ √ |z3 | = + 32 + 02 = + 9 = 3 q √ |z4 | = + 12 + (−1)2 = + 2

Y sus argumentos son:

α1 = arctg

2 = 33, 690 3

α2 = arctg

−4 = 1800 0

α3 = arctg

0 = 00 3

α4 = arctg

−1 = 3150 1

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Ejercicios propuestos Ejercicio 9. Representa en el plano complejo los siguientes n´ umeros: a. z1 = −1 −√ i b. z2 = 4 + 4 3i c. z3 = 2i Pulse aqu´ı para ver la solución. Ejercicio 10. Calcula el módulo y el argumento de los siguientes n´ umeros complejos: a. z1 = −1 −√ i b. z2 = 4 + 4 3i c. z3 = 2i Pulse aqu´ı para ver la solución. Si ha tenido dificultades para resolver estos ejercicios correctamente, vuelva a repasar esta ficha.

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Soluci´ on a los ejercicios propuestos Soluci´ on del ejercicio 9. La representación en el plano es:

Soluci´ on del ejercicio 10. Para calcular el argumento de cada n´ umero complejo tenemos en cuenta la representación que hemos hecho en el ejercicio anterior, y as´ı sabemos en que cuadrante se encuentra el n´ umero complejo. p √ (−1)2 + (−1)2 = 2 −1 α1 = arctg = 2250 −1 ya que z1 está situado en el tercer cuadrante.

a. |z1 | =

q p 2 b. |z2 | = 42 + (4 3) = 8 30

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√ 4 3 α2 = arctg = 600 4 ya que z2 está situado en el primer cuadrante. √

02 + 2 2 = 2 2 α3 = arctg = 900 0 ya que z3 está situado sobre el semieje positivo del eje de ordenadas.

c. |z3 | =

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3.4.


Ficha 4: Distintas formas de expresar un n´ umero complejo: forma polar y forma trigonom´ etrica

Hasta ahora hemos expresado los n´ umeros complejos en su forma binómica z = a + bi. Pero hay otras dos formas de expresarlos que son muy u ´tiles para el cálculo. Forma polar Un n´ umero complejo z = a + bi se puede expresar en forma polar como rα , en donde r representa el módulo y α el argumento del n´ umero complejo. Dos n´ umeros complejos, expresados en forma polar son iguales si sus módulos son iguales y sus argumentos difieren en 2kπ radianes, siendo k un n´ umero entero. rα = rα0 0 ⇔

r = r0 α = α0

a)Paso de forma binómica a polar Tenemos el n´ umero complejo expresado en forma binómica z = a + bi, para pasarlo a forma polar basta con calcular el módulo (aplicando el teorema de Pitágoras) y el argumento (aplicando la definición de la tangente). b)Paso de forma polar a binómica Tenemos el n´ umero complejo expresado en forma polar z = rα , para pasarlo a forma binómica aplicamos las definiciones del seno y del coseno:

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 a  cos α = ⇒ a = r cos α   r    sen α = b ⇒ b = rsen α r

F. trigonom. Teniendo en cuenta las definiciones del seno y el coseno que acabamos de exponer, y sustituyendo los valores de a y b en la expresión del complejo en forma binómica, tenemos la forma trigonométrica: z = a + bi = r cos α + irsen α = r (cos α + isen α)

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Ejemplo 9. Si tenemos el n´ umero complejo z = 12700 expresado en forma polar, lo podemos pasar fácilmente a forma binómica expresándolo primero en forma trigonométrica: z = 1 = 1(cos 2700 + sen 2700 ) = 1(0 − 1i) = −i

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√ Ejemplo 10. El n´ umero complejo z = 2 − 2 3i que se encuentra expresado en forma binómica, también lo podemos expresar en forma polar. Para expresarlo en forma polar tenemos que calcular el módulo y el argumento. q √ √ √ r = + 22 + (−2 3)2 = + 4 + 12 = + 16 = 4 √ √ −2 3 tg α = = − 3 ⇒ α = 3000 2

Para elegir el argumento α resulta muy práctico fijarse en la representación del n´ umero complejo. En la representación se ve que el n´ umero complejo está en el cuarto cuadrante. √ z = 2 − 2 3i = 43000 Y expresado en forma trigonométrica ser´ıa z = 4(cos 3000 + sen 3000 i) 35

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Ejercicios propuestos Ejercicio 11. Expresar el n´ umero complejo z = 2300 en: a. Forma binómica. b. Forma trigonométrica. Pulse aqu´ı para ver la solución. √ √ Ejercicio 12. Expresa el n´ umero complejo z = − 5 + 5i: a. Forma polar. b. Forma trigonométrica. Pulse aqu´ı para ver la solución.

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Soluci´ on a los ejercicios propuestos Soluci´ on del ejercicio 11. a. z = 2300 = 2(cos 300 + isen 300 ) = 2

√

√ 3 1 +2 i= 3+i 2 2

b. z = 2300 = 2(cos 300 + isen 300 ) Soluci´ on al ejercicio 12. √ √ a. Para expresar z = − 5 + 5i en forma polar necesitamos conocer su módulo y su argumento:  q √ √ √   r = + (− 5)2 + ( 5)2 = + 10 √ 5   tg α = √ = −1 ⇒ α = 135o − 5 ya que z está en el segundo cuadrante, como podemos observar en su representación gráfica:

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Entonces z expresado en forma polar es: √ √ √ z = − 5 + 5i = 10

1350

b. Para expresar z en forma trigonométrica necesitamos el módulo y el argumento calculados en el apartado a) de este ejercicio: √ √ √ z = − 5 + 5i = 10(cos 1350 + isen 1350 )

38

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3.5.


Ficha 5: Operaciones de n´ umeros complejos en forma polar

Para sumar y restar n´ umeros complejos debemos tenerlos escritos en forma binómica. Pero para el resto de las operaciones, sobre todo la potencia y la radicación, resulta más práctico tener los n´ umeros expresados en forma polar: Producto El producto de dos n´ umeros complejos es otro n´ umero complejo que tiene por módulo la multiplicación de los módulos, y por argumento la suma de los argumentos: rα · sβ = (r · s)α+β Cociente

El cociente de dos n´ umeros complejos es otro n´ umero complejo que tiene por módulo la división de los módulos, y por argumento la resta de los argumentos rα r = sβ s α−β

Potencia

La potencia n-ésima de un n´ umero complejo es otro n´ umero complejo que tiene por módulo la potencia n-ésima del módulo, y por argumento n veces el argumento del complejo dado: n (rα )n = rnα

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Ejemplo 11. Si tenemos dos n´ umeros complejos escritos en forma polar z2 = 2600

z1 = 31200

se pueden realizar fácilmente su producto, división y potencias cuartas: z1 · z2 = 31200 · 2600 = (3 · 2)1200 +600 = 61800 z1 31200 3 3 = = = z2 2600 2 1200 −600 2 600 (z1 )4 = (31200 )4 = 344·1200 = 814800 = 811200 (z2 )4 = (2600 )4 = 244·600 = 162400

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Ejemplo 12. Para calcular la potencia de un n´ umero complejo resulta muy práctico tenerlo expresado en forma polar. De manera que si tenemos que calcular la potencia de un n´ umero complejo expresada en forma binómica (sobre todo de exponente mayor que 3) lo pasamos previamente a forma polar, se calcula la potencia, y si se necesita el resultado expresado en forma binómica, se deshace el cambio de forma polar a binómica. √ 5 Por ejemplo, para calcular 3 + 3 3i escribimos el complejo √ z = 3 + 3 3i en forma polar: q √ 2 |z| = + 32 + 3 3 = 6 √ 3 3 α = arctg = 600 3

  

√

⇒ z = 3 + 3 3i = 6600

 

Y ahora calculamos fácilmente z 5 √ 5 5 z = 3 + 3 3i = (6600 )5 = 77763000

√ = 7776(cos 3300 + isen 3300 ) = 3888 3 + 3888i

F´ orm. Moivre La fórmula de Moivre es la potencia de un n´ umero complejo escrito en forma trigonométrica: [r (cos α + isen α)]n = rn (cos nα + isen nα) Si r = 1, esta fórmula es muy u ´til para calcular seno y coseno de ańgulos m´ ultiples. 41

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Por ejemplo para n = 2, la fórmula de Moivre queda: (cos α + isen α)2 = cos 2α + isen 2α Desarrollando el primer miembro por el cuadrado de una suma: (cos α + isen α)2 = cos2 α + 2isen α cos α − sen 2 α = cos2 α − sen 2 α + 2isen α cos α Luego nos queda: cos 2α + isen 2α = cos2 α − sen 2 α + 2isen α cos α ⇒ cos 2α = cos2 α − sen 2 α ⇒ sen 2α = 2sen α cos α ya que para que se cumpla la igualdad las partes reales y las partes imaginarias tienen que ser iguales respectivamente.

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Ejemplo 13. Si necesitamos calcular cuánto vale la razón trigonométrica de sen 3α, lo podemos hacer calculando el cubo de un n´ umero complejo de módulo 1 y argumento α aplicando la fórmula de Moivre: (cos α + isen α)3 = cos 3α + isen 3α Desarrollando el primer miembro como el cubo de una suma: (cos α + isen α)3 = cos3 α + 3 (cos α)2 isen α + 3 cos α (isen α)2 + (isen α)3 = cos3 α + 3i cos2 αsen α − 3 cos αsen α − isen 3 α Y sustituyendo en la fórmula de Moivre: cos 3α + isen 3α = cos3 α − 3 cos αsen α + 3 cos2 αsen α − sen 3 α i Para que se cumpla la igualdad dben ser iguales las partes reales y las partes imaginarias de los dos miembros de la igualdad: cos 3α = cos3 α − 3 cos αsen α sen 3α = 3 cos2 αsen α − sen 3 α Y as´ı hemos conseguido saber cuánto vale el sen 3α y cos 3α √ Ra´ıces La ra´ız cuadrada de un n´ umero z, z, es otro n´ umero que al cuadrado, es igual a z; la ra´ız c´ ubica de un n´ umero z, √ 3 z, es otro n´ umero que elevado al cubo, es igual a z. Por √ lo tanto, la ra´ız n-ésima (de ´ındice n) de z, n z, es otro n´ umero que elevado a n, es igual a z. 43

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Un n´ umero complejo z distinto de cero va a tener tantas √ ra´ıces n-ésimas, n z, como indica el ´ındice de la ra´ız (n) √ Por ejemplo, en los n´ umeros reales, sabemos que 16 tiene dos soluciones 4 y (-4), ya que es una ra´ız cuadrada y (n = 2). Lo podemos comprobar teniendo en cuenta que cualquier n´ umero real está incluido dentro de los comple√ jos y lo podemos escribir en forma polar, es decir, 16 = √ 1600 , y tendr´ıamos: a. 4 = 400 es una ra´ız cuadrada de 1600 , porque (400 )2 = 422·00 = 1600 b. también el n´ umero real −4 = 41800 es una ra´ız, porque 2 2 (41800 ) = 42·1800 = 163600 = 1600 √ Las ra´ıces n-ésimas de un n´ umero complejo n rα son n n´ umeros complejos. Todos ellos tienen el mismo módulo y sus argumentos son diferentes. Los calcularemos de la siguiente forma:  √  Módulo : |z| = n r α + 2kπ α + 3600 π  αi = = , k = 0, 1.., n − 1 n n En general las ra´ıces de un n´ umero complejo están en los vértices de un pol´ıgono regular de tantos lados como indica √ el ´ındice n de la ra´ız, y cuyo radio es igual a n r.

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Ejemplo 14. Queremos calcular las ra´ıces c´ ubicas de z = 271350 . Sabemos que son tres, todas ellas con el mismo módulo pero distinto argumento:  √  Módulo : |z| = 3 27 = 3 1350 + 3600 k  argumentos : αi = , k = 0, 1, 2 3 Las tres ra´ıces solución son: k = 0 → α1 = 450 → z1 = 3450 k = 1 → α2 = 1650 → z2 = 31650 k = 2 → α3 = 2850 → z3 = 32850 Si pintamos las tres soluciones que nos han quedado, nos damos cuenta que al unirlas forman un triángulo equilátero, ya que se encuentran sobre una circunferencia de radio 3 y los 3600 3600 0 argumentos de las tres difieren en 120 = = n 3

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Ejercicios propuestos Ejercicio 13. Dados los n´ umeros complejos z1 = 3900

z2 =

√

122100

realiza las siguientes operaciones: a. z1 · z2 z1 b. z2 c. (z1 )5 Pulse aqu´ı para ver la solución. Ejercicio 14. Calcula (−1 + i)6 , y expresa el n´ umero complejo solución en forma polar. Pulse aqu´ı para ver la solución. Ejercicio 15. Utilizando la fórmula de Moivre, calcula el valor del cos 4α y sen 4α en función de los valores de cos α y sen α. Pulse aqu´ı para ver la solución. Ejercicio 16. Resuelva la ecuación z 6 + 1 = 0. Pulse aqu´ı para ver la solución. Si ha tenido dificultades para resolver estos ejercicios correctamente, vuelva a repasar esta ficha.

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Soluci´ on a los ejercicios propuestos Soluci´ on del ejercicio 13. √ √ √ a. z1 · z2 = 3900 · 122100 = 3 12 900 +2100 = 3 12 3100 3 3 z1 3900 = √ = √ b. =√ z2 122100 12 −1200 12 2400 c. (z1 )5 = (3900 )5 = 355·900 = (729)4500 = (729)900 Soluci´ on del ejercicio 14. Para realizar una potencia lo más práctico es tener escrito el n´ umero complejo en forma polar: √ −1 + i = 2135 √0 √ 6 (−1 + i) = ( 21350 )6 = ( 2)66·1350 = 88100 = 8900 Si queremos tener el n´ umero complejo en forma binómica: 8900 = 8(cos 900 + isen 900 ) = 8i Soluci´ on del ejercicio 15. Si necesitamos calcular cuánto valen las razones trigonométricas sen 4α y cos 4α, lo podemos hacer aplicando la formula de Moivre que es la potencia de un n´ umero complejo de módulo 1 y argumento α escrito en forma trigonométrica: (cos α + isen α)4 = cos 4α + isen 4α

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Ma Paz Peinado Cros


Desarrollando el primer miembro como la potencia cuarta de una suma: (cos α + isen α)4 = (cos α + isen α)2 (cos α + isen α)2 = (cos2 α − sen 2 α + 2isen α cos α)· (cos2 α − sen 2 α + 2isen α cos α) = cos4 α − cos2 αsen 2 α + 2i cos3 αsen α − sen 2 α cos2 α + sen 4 α − −2i cos αsen 3 α + 2i cos3 αsen α − 2 cos αsen 3 α − 4 cos2 αsen 2 α Y sustituyendo en la fórmula de Moivre para n = 4: cos 4α + isen 4α = cos4 α − 6 cos2 αsen 2 α + sen 4 α + (4 cos3 αsen α − 4 cos αsen 3 α)i Esta igualdad se cumple si la parte real del n´ umero complejo del primer miembro es igual a la parte real del n´ umero complejo del segundo miembro. Y respectivamente con las partes imaginarias:

cos 4α = cos4 α − 6 cos2 αsen 2 α + sen 4 α sen 4α = 4 cos3 αsen α − 4 cos αsen 3 α

Y as´ı hemos conseguido saber cuánto valen sen 4α y cos 4α. Soluci´ on del ejercicio 16. z 6 + 1 = 0 =⇒ z =

48

√ 6

−1 =

p 6

11800

Ma Paz Peinado Cros


Es decir que tenemos que calcularla ra´ız sexta del n´ umero √ 6 complejo z = 11800 , que tiene seis soluciones en el conjunto de los numeros complejos. Todas ellas tiene el mismo módulo pero distinto argumento:

  Módulo :

p 6 (−1)2 = 1 1800 + 3600 k αi = , 6

|z| =

 argumentos :

k = 0, 1, 2, 3, 4, 5

Damos valores a k y nos quedan las 6 soluciones siguientes: √

k k k k k k

=0→ =1→ =2→ =3→ =4→ =5→

z1 z2 z3 z4 z5 z6

= 1300 = 23 + 21 i = 1900 = i √ = 11500 = −√23 + 21 i = 12100 = −2 3 − 12 i = 12700 = −i √ = 13300 = 23 − 21 i

Si las representamos y las unimos queda un hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio 1 (el módulo de z = 11800 ).

49

Ma Paz Peinado Cros

4.


Prueba de autoevaluaci´ on La ra´ız cuadrada de un n´ umero negativo no tiene solución El conjugado de un n´ umero real (parte imaginaria cero) es el propio n´ umero real El producto de un n´ umero complejo por su conjugado es un n´ umero imaginario puro

Verdadero Falso

Verdadero Falso

Verdadero Falso

3−i = −1 − 7i i

Verdadero Falso

−1 + i = 21350 El n´ umero 41800 en forma binómica es −4 2600 = 31200

Verdadero Falso


2 3 3000

Verdadero Falso

b El argumento α = arcosen a La fórmula de Moivre sirve si n = 2 para calcular sen 2α y cos 2α en función de sen α y cos α 4

Las soluciones de la ecuación z + 2 = 0 son cuatro, y todas ellas tienen de módulo 2 50

Verdadero Falso

Verdadero Falso

Bibliograf´ıa [1] Arias, J.M.; Maza, I.: Matemáticas 1 para 1o Bachillerato, Ciencias de la Salud y Tecnolog´ıa. Editorial Casals. Libro con teor´ıa y ejemplos resueltos. Nivel Bachillerato. [2] Barceló, R.; Bujosa, J.M.; Ca˜ nadilla, J.L.; Fargas, M.; Font,V.: Matem´ aticas 1 para 1o Bachillerato. Ciencias de la Salud y Tecnolog´ıa. Editorial Alamadraba. Libro con teor´ıa y ejemplos resueltos. Nivel Bachillerato. [3] Ballvé, M. E.; Delgado, M.; Porto, A. M.; Ulecia, T.: Problemas de Matem´ aticas especiales. 2.a ed. Editorial Sanz y Torres: Libro de ejercicios correspondiente al libro de “Matemáticas especiales”. Muchos ejercicios resueltos. [4] http://personales.unican.es/gonzaleof/. Página web con 4 cursos de Matemáticas (Primero y Segundo de Bachillerato, Ciencias y Sociales). Material de exposición clara, con numerosos ejemplos y ejercicios. [5] http://w3.cnice.mec.es/Descartes/index.html. El proyecto Descartes ha sido desarrollado por el Ministerio de Educación, Cultura y Deportes. Es una herramienta capaz de generar materiales interactivos (Descartes) y se han construido con ella más de cien unidades didácticas de los dis51

Ma Paz Peinado Cros


tintos cursos de la ense˜ nanza secundaria, accesibles a toda la comunidad educativa a través de esta página. [6] Mart´ın, M.A.; Morán, M.; Rey, J.M.; Reyes, M.:Matem´ aticas 1 para 1o Bachillerato, Ciencias de la Salud y Tecnolog´ıa. Editorial Bru˜ no. Libro con teor´ıa y ejemplos muy bien explicados. Nivel Bachillerato. [7] Nevot, A.; Negro, A.; Rodriguez, R.; Soler, J.: Matemáticas 1 para 1o Bachillerato. Ciencias de la Salud y Tecnolog´ıa. Editorial McGrawHill. Libro con teor´ıa y ejemplos resueltos. Nivel Bachillerato. [8] Vizmanos, J.R.; Anzola, M.: Matemáticas 1 para 1o Bachillerato, Ciencias de la Salud y Tecnolog´ıa. Editorial S.M. Libro con teor´ıa y ejemplos resueltos. Nivel Bachillerato.

52

Índice alfab´ etico Conjugado, 8 Argumento, 25 Cociente en forma binómica, 15 Cociente en polares, 39 Fórmula de Moivre, 41 Forma binómica, 7 Forma polar, 32 Forma trigonométrica, 33 Módulo, 25 Opuesto, 9 Potencia en forma binómica, 18 Potencia en polares, 39 Producto en forma binómica, 15 Producto en polares, 39 Ra´ıces, 43 Suma y resta, 15

53

C URS OSO

MAT E MÁT I C AS

T r i g o n o me t r í a J o s éI g n a c i oAl o n s oT o s c a De p a r t a me n t od eMa t e má t i c aAp l i c a d aI E T S I I n d u s t r i a l e s

C URS OSO


4.

Introducción y objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Prueba de autodiagnóstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.1. Ficha 1: Definición de las razones trigonométricas de un ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.2. Ficha 2: Medida de ángulos: Radianes y grados sexagesimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.3. Ficha 3: Cálculo de algunas razones trigonométricas . . 12 3.4. Ficha 4: Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.5. Ficha 5: Transformación de productos en sumas . . . . 16 3.6. Ficha 6: Ejercicios de resolución de ecuaciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Prueba de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Bibliograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2

José Ignacio Alonso Tosca Curso 0 Matemáticas

1.


En este cap´ıtulo nos proponemos refrescar los conceptos y fórmulas trigonométricas que consideramos pueden ser u ´tiles de manera inmediata para su utilización en distintos momentos en las asignaturas de Cálculo de una y varias variables de los primeros cursos de Ingenier´ıa o Ciencias. De ning´ un modo se trata de repetir un cap´ıtulo completo de trigonometr´ıa plana, ni siquiera nos ocuparemos de la resolución de triángulos que es el fin fundamental de esta rama de las matemáticas, para eso están los textos de bachillerato y hay abundantes materiales en Internet de acceso libre y de calidad excelente, se trata solo de interesarnos por algunos conceptos y fórmulas que aparecen en Cálculo y que necesitaremos de manera auxiliar. 1.1. Objetivos Los objetivos que nos proponemos son: 1 Recordar la medida de ángulos en grados sexagesimales y radianes, as´ı como la relación que existe entre ellas 2 Recordar la definición de las distintas razones trigonométricas 3 Recordar las identidades mas relevantes.

2.


Haga el test siguiente para evaluar el nivel de conocimientos que tiene en este tema.

3


Verdadero Falso

π radianes = 300 6

Razonando sobre un triángulo Verdadero Falso 1 equilátero, cos 600 = √2 3 Si sen 60o = entonces Verdadero Falso 2 √ 3 sen 30o = 4 Utilizando un cuadrado, Verdadero Falso 1 cos 45o = 2 Verdadero Falso sen 1050 = sen 600 + sen 450 Verdadero Falso sen x cos 3x =

sen 2x − sen 4x 2 Verdadero Falso

cos x cos 3x =

sen 4x + sen 2x 2 Verdadero Falso

sen x sen 3x =

cos 4x − cos 2x 2

4


Si ha tenido dificultades debe hacer de forma ordenada todas las fichas que encuentre a continuación.

5


3. 3.1.

Contenidos Ficha 1: Definici´ on de las razones trigonom´ etricas de un ´ angulo

Considerando el ángulo como la región plana contenida entre dos semirectas con origen com´ un O, podemos costruir un triángulo rectángulo, trazando desde cualquier punto A de una de ellas, una perpendicular a la otra. Al cociente de la medida de ese cateto AB, que acabamos de trazar, entre la medida de [ y se escribe la hipotenusa OA, se le llama seno del ángulo AOB b sen O.

b = cateto opuesto = |AB| sen O hipotenusa |OA| Es fácil observar en la figura, que si consideramos el ángulo [ complementario de AOB, [ su seno viene dado por OAB, |OB| ; |OA| b que quiere por eso a esta razón se le llama coseno del ángulo O, b as´ı pués: decir “seno del complementario” de O; b = cateto adyacente = |OB| cos O hipotenusa |OA| 6


En virtud de la relación pitagórica entre los lados de un triángulo rectángulo se cumple: b + cos2 O b=1 sen2 O La razón trigonométrica que mejor caracteriza a un ángulo es la tangente, que se define como: b cateto opuesto |AB| sen O b tg O = = = b cateto adyacente |OB| cos O Las razones inversas de las anteriores se denominan: b secante de O, b= 1 , sec O b cos O b cosecante de O, b= 1 cosec O b sen O b y cotangente de O, b= cotg O

1 b tg O

=

b cos O . b sen O

Para extender la definición de las razones trigonométricas a ángulos mayores de 90o , utilizaremos el c´ırculo trigonométrico, que tiene de radio la unidad, y un sistema de ejes coordenados cartesianos rectangulares con origen en el centro de la circunferencia. Es inmediato comprobar la relación que hay entre las razones trigonométricas de ángulos en el primer cuadrante y en los otros tres. Los ángulos del segundo cuadrante se pueden expresar como suma de un ángulo del primer cuadrante mas π/2 7


sen α = − cos α + π2 cos α = sen α + π2

Vamos a expresar la relación entre las l´ıneas trigonométricas del primer y tercer cuadrante:

sen α = − sen (α + π) cos α = − cos (α + π) 8


Para ángulos del cuarto cuadrante podemos utilizar la simetr´ıa de la figura respecto al eje OX

sen α = − sen (2π − α) = − sen (−α) cos α = cos (2π − α) = cos (−α)

9


3.2.

Ficha 2: Medida de ´ angulos: Radianes y grados sexagesimales

La manera natural de medir un ángulo es en función de la longitud del arco que intercepta sobre una circunferencia de radio r cualquiera, con centro en su vértice. As´ı un ángulo cuyos lados definan sobre una circunferencia de radio r un arco de longitud r, tiene una amplitud o medida de 1 radián. El u ńico inconveniente es que el ángulo llano se corresponde con un n´ umero irracional de radios, π radianes, por eso en vez de radianes podemos emplear como nueva unidad de medida los “ pi-radianes ”. La correspondencia con las medidas tradicionales de la trigonometr´ıa son inmediatas: 180o = π radianes π 90o = radianes 2 π 45o = radianes 4 π 30o = radianes 6 .. . En la siguiente gráfica se ilustran los valores aproximados de π π , 1, , y π radianes. 4 2

10


11


3.3.

Ficha 3: C´ alculo de algunas razones trigonom´ etricas

Cálculo de las razones trigonométricas del ángulo de 60o , sobre un triángulo equilátero.

Seg´ un la definición dada anteriormente: b = AH cos A AB como

1 AH = AC 2

y AC = AB resulta

1 AB 1 2 b cos A = = 2 AB 12


√ 1 b= 1− = 3 sen A 4 2 √ 3 √ 2 b tg A = = 3 1 2 o Análogamente, como 30 es complementario de 60o , tenemos: r

sen 30o = cos 60o y cos 30o = sen 60o π Para calcular las razones trigonométricas de 45o = radianes, 4 razonamos sobre un cuadrado de lado l.

13


√ AC = l 2 √ DC l 2 \= sen DAC = √ = AC l 2 √2 \ = AD = √l = 2 cos DAC 2 AC l 2 \ \ = sen DAC = 1 tg DAC \ cos DAC Las razones trigonométricas de los ángulos mas usuales se pueden resumir en el cuadro siguiente: o o o o 45 √ 30 √ 60 √ √ 90 1 1 2 3 4 = =1 sen 2 √ 2 √2 √2 2 3 2 1 cos 0 2 2 √2 √ 3 tg 1 3 − 3

Hay que tener en cuenta que los cocientes cuyo denominador sea cero no están definidos. Por eso la tg 90o no existe.

14


3.4.

Ficha 4: Razones trigonom´ etricas de la suma y diferencia de ´ angulos

Recordemos que las razones trigonométricas del ángulo suma o diferencia de otros dos, vienen dadas por las siguientes fórmulas: sen (a + b) = sen a cos b + cos a sen b sen (a − b) = sen a cos b − cos a sen b cos (a + b) = cos a cos b − sen a sen b cos (a − b) = cos a cos b + sen a sen b tg a + tg b tg (a + b) = 1 − tg a tg b tg a − tg b tg (a − b) = 1 + tg a tg b Ejemplo: sen 105o = sen (60 + 45) = √ √ √ √ √ 3 2 1 2 6− 2 sen 60 cos 45+cos 60 sen 45 = − = = 0,258 82 2 2 2 2 4

15


3.5.

Ficha 5: Transformaci´ on de productos en sumas

Muy u ´tiles suelen ser, en el cálculo de primitivas trigonométricas, las fórmulas que transforman productos de senos y cosenos de ángulos en sumas y diferencias: sen (a + b) = sen a cos b + cos a sen b sen (a − b) = sen a cos b − cos a sen b Sumando miembro a miembro ambas igualdades se obtiene: sen (a + b) + sen (a − b) = 2 sen a cos b, llamando a + b = A y a − b = B, se obtiene a=

A+B 2

y A−B 2 y por sustitución en la igualdad anterior anterior: b=

A−B A+B cos 2 2 y restando miembro a miembro dichas igualdades: sen A + sen B = 2 sen

A+B A−B sen 2 2 Sumando y restando las igualdades: sen A − sen B = 2 cos

cos (a + b) = cos a cos b − sen a sen b cos (a − b) = cos a cos b + sen a sen b se obtiene 16


cos A + cos B = 2 cos

A−B A+B cos 2 2

A+B A−B sen 2 2 Es decir, el producto de un “seno por un coseno ” es igual a la mitad “ del seno de la suma más el seno de la diferencia ” cos A − cos B = −2 sen

sen α cos β =

sen (α + β) + sen (α − β) 2

Ejemplos: 1 (sen 8x + sen 2x) 2 A+B A−B para lo cual hemos llamado 5x = y 3x = . 2 2 sen 5x cos 3x =

sen 3x cos 5x =

1 1 (sen 8x + sen (−2x)) = (sen 8x − sen 2x) 2 2

cos x sen 3x = sen 3x cos x =

1 (sen 4x + sen 2x) . 2

Obsérvese, que el primer factor ha de ser el seno y el segundo el coseno.

17


El producto de “dos cosenos” es igual a la mitad “del coseno de la suma más el coseno de la diferencia ”

cos α cos β =

cos (α + β) + cos (α − β) 2

Ejemplo: cos 5x cos 3x =

1 (cos 8x + cos 2x) 2

El producto de “dos senos” es igual a la mitad “del coseno de la diferencia menos el coseno de la suma”

sen α sen β =

cos (α − β) − cos (α + β) 2

Ejemplo: 1 1 sen 5x sen 3x = − (cos 8x − cos 2x) = (cos 2x − cos 8x) . 2 2

18


3.6.

Ficha 6: Ejercicios de resoluci´ on de ecuaciones trigonom´ etricas

Ejercicio 1. cos 2x = sen x cos2 x − sen2 x − sen x = 0 1 − 2 sen2 x − sen x = 0 ⇒ 2 sen2 x + sen x − 1 = 0,es una ecuación de segundo grado en sen x, cuyas soluciones son: * √ 2 no es válida 1± 1+8 sen x = = 3π 2 −1 ⇒ x = + 2kπ, k ∈ Z 2 Ejercicio 2. cos 2x + sin x = 1 cos2 x − sen2 x + sen x = 1 1 − 2 sen2 x + sen x = 1 ⇒ 2 sen2 x − sen x = 0 ⇒ sen x (2 sen x − 1) = 0 =⇒ sen x = 0, x = kπ, k ∈ Z 1 π π sen x = , x = (2k + 1) π − , x = + 2kπ 2 6 6 Ejercicio 3. cos 2x + cos x = 0 x 3x x 2 cos 3x 2 cos 2 = 0 ⇒ cos 2 = 0, cos 2 = 0 ⇒ x2 = π2 + kπ ⇒ x = (2k + 1) π, k ∈ Z

Ejercicio 4. 2 cos2 x + cos 2x · cos x = 0 cos x (2 cos x + cos 2x) = 0 ⇒ cos x = 0, 2 cos x + cos 2x = 0 2 cos x + cos2 x − sen2 x = 0; ⇒ 2 cos x + cos2 x − 1 + cos2 x = 0; reordenando la ecuación: 2 cos2 x + 2 cos x − 1 = 0 19


⇒ cos x =

−2 ±

√ 4

4+8

=

√ 3 − 12 = 0,366 03 √ − 12 3 − 12 = −1,366 1 2

solo es válida la solución positiva, porque la otra solución supera en valor absoluto la unidad, de aqu´ı se obtiene: x = arc cos 0,366 03 de cos x = 0 ⇒ x =

π 2

+ kπ, k ∈ Z

Ejercicio 5. sen 3x + sen 2x = sen x x x x Transformando la suma en producto 2 sen 5x 2 cos 2 = 2 sen 2 cos 2 ⇒ cos x2 = 0, x = (2k + 1) π 5x x x sen 5x = sen , una soluci´ o n es que = ,es decir x = 0, o 2 2 2 2 x (2k + 1) π 5x = (2k + 1) π − ⇒ x = que 2 2 3

20


4.


Haga el test siguiente de Verdadero o Falso para saber el nivel de conocimientos que tiene en este bloque. Verdadero Falso π 2π sen = sen 3 3 π 2π tan = tan 3 3 tan x + tan y tan (x + y) = 1 − tan x tan y

Verdadero Falso

Verdadero Falso

Verdadero Falso sen2 x − sen2 y = sen (x + y) sen (x − y) Verdadero Falso cos2 x + cos2 y = 1 − cos (x + y) cos (x − y)

21

Bibliograf´ıa Cualquiera de los textos aprobados por la Administración competente en Educación para primero de Bachillerato de Ciencias, no obstante pondré algunas direcciones de Internet: http://w3.cnice.mec.es/Descartes/index.html http://personales.unican.es/gonzaleof/ www.guiamath.net/Matematica/formularios/web-trig.pdf http://www.portalplanetasedna.com.ar/geometria1.htm http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/trigonometria.htm

22

Matematicas acceso Uned

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