1
Los números naturales
Presentación de la unidad
• En el repaso de las operaciones, además de practicar el cálculo
operativo, priorizamos la resolución de problemas, actividad que garantiza la revisión y la mejora en la construcción de conceptos.
• Los números naturales no parecen obedecer a ninguna “cons-
trucción” intelectual del hombre. Desde siempre y en todas las culturas surgen de modo natural para contar, ordenar, medir, etc. • La unidad comienza contrastando algunos de los sistemas de nu-
meración más conocidos. Así, además de apuntar la evolución histórica de los métodos de representación, se muestra que el concepto de número natural es el mismo en todos los casos, independientemente de cómo se exprese, verbalmente o por escrito.
• Por último, se avanza en la resolución de expresiones con parén-
tesis y operaciones combinadas. • Los contenidos de esta unidad son de tres tipos:
• Tras revisar la estructura del sistema de numeración decimal, y
constatar sus ventajas respecto a otros sistemas de numeración, se trabaja la lectura y la escritura de números de nueve o más cifras. También se recuerdan los procedimientos y las ocasionales ventajas de la aproximación por redondeo. • Se repasan después las operaciones básicas con números natu-
rales, y algunas de sus propiedades, poniendo especial empeño en la división, en la que se detectan con frecuencia errores y lagunas, tanto conceptuales como en la mecánica del algoritmo.
– Aspectos teóricos: • Sistemas de numeración. El sistema de numeración decimal. decimal. • Propiedades de las operaciones y ventajas que aportan a la
práctica del cálculo. – Cálculo: • Algoritmos de las operaciones. operaciones. • Expresiones con paréntesis y operaciones combinadas. combinadas. • Cálculo mental.
– Utilización de la calculadora: calculadora: • Conocimiento de las técnicas básicas. básicas. • Uso adecuado.
Esquema de la unidad
LOS NÚMEROS NATURALES
se expresan mediante
LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN
se utilizan para
SISTEMA EGIPCIO SISTEMA ROMANO SISTEMA MAYA …
APROXIMAR RESULTADOS
RESOLVER PROBLEMAS
ORDENAR
mediante
mediante
REDONDEO
OPERACIONES
el sistema que utilizamos es
CONTAR
EL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
que cuando se hace de una forma aproximada se llama
en el que los grandes órdenes de unidades son
LOS MILLONES
24
CODIFICAR
LOS BILLONES
de
ESTIMAR
SUMA RESTA MULTIPLICACIÓN
DIVISIÓN
que por su resto pueden ser
DIVISIONES EXACTAS
DIVISIONES INEXACTAS
Conocimientos mínimos
Adaptación curricular
• Estructura del sistema de numeración decimal.
En la parte de “Recursos fotocopiables” se ofrece una adaptación curricular de esta unidad 1 del libro del alumnado, para cuya elaboración se han tenido en cuenta los conocimientos mínimos que aquí se proponen.
• Lectura y escritura de números grandes. • Redondeo. • Cálculo mental y escrito con las cuatro operaciones. • Uso elemental de la calculadora. • Resolución de expresiones sencillas con operaciones combina-
das. • Resolución de problemas de una y dos operaciones.
Anticipación de tareas • Buscar información sobre distintos sistemas de numeración (civi-
lizaciones antiguas, sistema binario de los lenguajes informáticos, etc.). • Revisar la operativa con las cuatro operaciones (detección de la-
gunas). • Mostrar los distintos tipos de calculadora.
La lectura inicial servirá para ejercitar la comprensión lectora y para mostrar los dos aspectos que justifican el estudio de las matemáticas: el práctico y el intelectual. Los contenidos, si se adaptan a esos mínimos exigibles, o bien no han sufrido cambio alguno o bien se han modificado ligeramente para adecuarlos al posible nivel de los estudiantes a quienes va dirigido. Lo mismo cabe decir de los ejercicios prácticos que se proponen. Si algún contenido supera los mínimos exigibles, o bien se ha suprimido o bien se ha adaptado para ajustarlo a los requisitos exigidos. Finalmente, los ejercicios y problemas con los que finaliza la unidad se han reducido en cantidad y se han modificado o bajado de nivel hasta adaptarse a lo convenido. Lo mismo cabe decir de la autoevaluación.
• Recordar algunas estrategias y procedimientos generales para
resolver problemas y describir los procesos de resolución.
En la siguiente tabla se recoge una relación de actividades para atender y trabajar el aprendizaje cooperativo, el pensamiento comprensivo, el pensamiento crítico, la interdisciplinariedad, el emprendimiento y la resolución de problemas. Unas están propuestas en el libro del alumnado (L.A.), y aquí se hace referencia a ellas indicando la página y la actividad, y otras, como se indica, se sugieren en esta Propuesta Didáctica (P.D.). Una selección de estas sugerencias están marcadas en el libro del alumnado con un icono; aquí se han marcado con (*). APRENDIZAJE COOPERATIVO
PENSAMIENTO COMPRENSIVO
Pág. 9. Actividad sugerida en esta P.D. para los Pág. 11. Actividad 2 dos apartados de la página. (*) Pág. 13. Actividad sugerida en esta P.D. Pág. 17. Actividades 15, 16 y 17 Pág. 20. Actividades 5 y 8
PENSAMIENTO CRÍTICO
Pág. 9. Actividad propuesta en los dos apartados de la página.(*) Pág. 10. Actividad propuesta en el ladillo.(*) Pág. 20. Actividad 13 y actividad sugerida en esta P.D.
Pág. 22. Actividades 27 y 31 Pág. 23. Actividades 36 y 37 INTERDISCIPLINARIEDAD
EMPRENDIMIENTO
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Pág. 12. Actividad sugerida en esta P.D. Pág. 11. Actividad sugerida en es- Todos los problemas propuestos en el L.A. están encuadrados en ta P.D. este apartado. Aquí se señalan algunos que tienen especial interés. Pág. 20. Actividad sugerida en esta P.D. Pág. 15. Actividad 6 Pág. 14. Actividad 5 Pág. 26. Actividad “Lee e infórmate”
Pág. 18. Actividad “Por qué”(*)
Pág. 19. Actividad 6 (*)
Pág. 21. Actividad 21
Pág. 23. Actividad “Aprende a resolver problemas” (*)
Pág. 22. Actividad 28 (*)
Pág. 24. Actividad 54
Pág. 25. Actividad 64 (*)
Pág. 25. Actividad 63
Pág. 26. Actividad “Investiga” (*)
Pág. 27. Actividad “Entrénate resolviendo problemas” (*) 25
1
Así multiplicaban los antiguos egipcios
Los números naturales
Los egipcios multiplicaban por duplicaciones sucesivas. Observa, por ejemplo, cómo hacían 23 × 18.
Todas las civilizaciones han tenido un sistema de numeración. Estos han pasado de unos pueblos a otros y han evolucionado a lo largo del tiempo.
•
1
18
•
2
36
•
4
72
8 •
16
23
144
288
414
– En la primera, duplicaban sucesivamente 1 sin s obrepasar el primer factor; en nuestro caso, sin pasarse de 23. – La segunda, duplicaban sucesivamente el segundo factor, en nuestro ejemplo, 18, tantas veces como habían duplicado 1 en la primera columna. – Después, en la primera columna tomaban los números necesarios para que al sumarlos se obtuviera el primer factor; en nuesro caso, para quer sumaran 23: 1 + 2 + 4 + 16 = 23
Babilonios
– Para concluir, cogían, en la segunda columna, los números correspondientes a los sumandos de la primera columna y los sumaban. En nuestro caso:
2000 a.C.
Mayas
Escribían dos columnas de números siguiendo las siguientes reglas:
Egipcios
2000 a.C.
18 + 36 + 72 + 288 = 414
3500 a.C.
Romanos 100 a.C.
El resultado de la suma obtenida en la columna de la derecha era el producto buscado. En nuestro ejemplo: 23 × 18 = 414
Chinos
1
3500 a.C.
Efectua las multiplcaciones siguientes al estilo egipcio: a) 17 × 41
6 700 d.C.
3
Hindúes
1
500 a.C.
1
Sistema decimal que usamos
Así multiplicaban los antiguos hindúes
5
3
0
2
0
4
5
2
8
2
1
9
6
4
Árabes
b) 41 × 17
7
– En cada casilla se pone el resultado de multiplicar los dos dígitos que la determinan. Por ejemplo, en la casilla sombreada, 4 × 7 = 28.
2
2
12
– Se suman los resultados en vertical. En cada columna solo cabe un dígito.
1 2 1 9 7 2 2
Ly, así, recordarlos y transmitirlos. Pero deben servir, tamos sistemas de numeración sirven para escribir números
bién, para operar con ellos. Piensa en el sistema romano (que ya conoces) y en cómo se las apañarían para efectuar sumas. Por ejemplo, MCCCXLVI + DCCCXXXIV. ¿Complicado? Pues imagina lo difícil que tendría que ser multiplicar.
Al iniciar la unidad • La página presenta distintos sistemas de numeración y propone una re-
flexión sobre su utilidad, sobre sus diferencias y sobre el papel que han desempeñado en las distintas culturas y épocas. • En la idea de que los números son conceptos y los sistemas de numera-
ción distintas formas de expresarlos, podemos motivar el estudio de la unidad proponiendo a los alumnos y a las alumnas que inventen su propio sistema de numeración y, a partir de su análisis, contrastar conceptos como los de sistema aditivo o posicional, ventajas de utilizar un símbolo para el cero, o de operar con unos u otros.
Efectúa, siguiendo este método, las siguientes multiplicaciones:
3
Comparando estas formas de multiplicar con la nuestra, ¿cuál te parece más cómoda y efectiva? Justifica tu respuesta.
a) 208 × 34
b) 453 × 26
Aprendizaje cooperativo Si el profesor o la profesora lo considera oportuno, estas actividades pueden realizarse en grupo, estimulando el aprendizaje entre iguales. En un primer tiempo, los grupos buscarán soluciones, que se contrastarán en una posterior puesta en común, jus tificando los logros conseguidos, rebatiendo en los desacuerdos y llegando, finalmente, a conclusiones comunes.
Soluciones de las actividades 1 a)
1
41
que permiten descubrir relaciones entre cada sistema de numeración y sus posibilidades o ventajas para el cálculo.
2
– Señalaremos que en el sistema egipcio, al no ser posicional, resulta imposible el algoritmo que nosotros aprendemos, por lo que se debe recurrir a métodos más tortuosos, basados en la suma y en el cálculo del doble. Los estudiantes analizarán ese proceso.
• En la página de la derecha se presentan dos modelos de multiplicación,
– Sin embargo, el sistema hindú utilizaba un procedimiento muy similar al nuestro, más rápido y cómodo, donde cada cifra se ubicaba en un lugar determinado, consecuencia de la utilización de un sistema posicional.
Cuestiones para detectar ideas previas • Crear un sistema de signos que sirva para codificar cualquier número
menor que 50 (o 100 o…).
17
82
2
34
4
164
4
68
8
328
8
136
16
656
16
272
17
697
32
544
41
697
17 × 41 = 697
41 × 17 = 697 2 a)
8 2 0
0
4
0
0
3
6
0
0
• Comparar expresiones muy sencillas variando la posición del paréntesis. • Inventar problemas para una operación dada.
0
8
b)
3
2
3 4 0
2 0
7
0
1
0
7
0
2
0
6
1
0
1
8
3
0
2
4
5
4 2
6 8
8
7
11 7
6 10
• Leer y escribir números de hasta ocho cifras. • Calcular con las operaciones básicas.
b)
1
0
26
2
7
3 Respuesta libre.
2
1
1
1
1
7
7
8
1 Sistemas de numeración
El sistema de numeración decimal
El sistema de numeración que utilizamos actualmente es el decimal. Consta de diez símbolos o cifras:
Los números naturales (1, 2, 3, …) surgieron de la necesidad de contar, y su representación evolucionó adaptándose a cada momento c ultural e histórico. Los hombres prehistóricos ya utilizaban algunas técnicas para contar: comparaban con los dedos de sus manos, hacían muescas en un trozo de madera o arcilla, ensartaban cuentas en una cuerda, etc. A medida que la sociedad evolucionaba se hizo necesario manejar cantidades grandes y representarlas de una forma práctica. Así, aparecieron en distintas culturas los sistemas de numeración. Este hombre primitivo ha escrito el número 47. ¿Sabrías decir el valor de cada símbolo?
1
10
100
1 000
10 000
100 000
1 000 000
asa
cuerda
flor
dedo
rana
hombre
La norma para escribir un número era sencilla: se iban añadiendo (sumando) los símbolos necesarios hasta completar la cantidad deseada. Estos símbolos, junto con la norma anterior, forman el sistema de numeración egipcio. A los sistemas de numeración, como el egipcio, en que se van añadiendo símbolos y sumando su cantidad representada, los llamamos sistemas aditivos.
1 000
EJEMPLOS
Las letras , , y se pueden repetir hasta tres veces seguidas.
3 300
20 2 000
Las letras , , o a la izquierda de otra de mayor valor, le restan a esta su valor.
4 40
9 90
El valor de un conjunto de letras queda multiplicado por 1 000 al colocar sobre ellas una barra.
— 4 000 9 200 — 1 000 000 —
9
Se definen órdenes de unidades : unidades, decenas, centenas… Diez unidades de un orden hacen una unidad del orden inmediato superior. Cada cifra puede ocupar cualquiera de esos órdenes.
•
El valor de una cifra depende del lugar que ocupe. Por eso, este sistema es de tipo posicional.
•
Veamos un ejemplo: S N D E Ó A I D I L L N U E M D
S N A A R E L N T I L E C E M D
4
7
S A S R D E A R A E N L A I D I L L E C M I L N D E U E M D D
8
4
A S N E N T C E
A S E N C D E
3
0
E S D A I D N U
4
↓ 4 000 U
↓ 4U
Escribe el número que es 300 decenas de millar mayor que 23 456.
2.
En un sistema aditivo se utilizan estos símbolos:
9.
¿Qué número natural tiene esta descomposición?: 2 000 000 + 300 000 + 7 000 + 30 + 7
5
10
100
10.
Ordena estas matrículas de la más antigua a la más moderna (tienes que tener en cuenta primero las letras y luego los números):
11.
Un número tiene cinco cifras que suman 5. Si intercambias las unidades con las unidades de millar, aumenta en 999. ¿Qué número es?
12.
¿Verdadero o falso?
Escribe en el sistema de numeración romano estas cantidades:
4.
43
5.
98
3948 - FBG
3 456
Escribe en el sistema de numeración decimal el valor de estos números romanos:
NORMAS
8
8.
Y estas eran sus normas: Aquí se ve escrito el número 1 778.
7
•
Escribe, basándote en él, los números 18, 382 y 509.
500
6
Escribe en el sistema de numeración egipcio los números 19, 65, 34 120 y 2 523 083.
1
100
5
Piensa y practica
18 50
4
1.
3.
10
3
↓ 4 000 000 U
Los romanos utilizaban como símbolos las siguientes letras:
5
2
•
2 DM 20 000 7 UM 7 000 4C 400 7 D + 70 3U 3 27 473
El sistema de numeración romano
1
1
Para leer y escribir números, se establecen estas normas:
Un número se puede descomponer según sus órdenes de unidades y según el valor de posición de cada cifra: 27 473
Los símbolos utilizados para representar los conteos, junto con sus normas de uso, forman un sistema de numeración.
palo
0
R ecuerda
Por ejemplo, los antiguos egipcios utilizaban los símbolos siguientes:
Aquí aparece escrito el número 1 333 331.
—
Si añades un 0 a la derecha de un número, ¿por cuánto multiplica su valor? ¿Y si lo añades a la izquierda?
7.
¿Qué orden de unidad ocupa en un número la cifra 5 si su valor es de 50 000 unidades?
4389 - GFB
a) En el sistema de numeración egipcio, s i cambias el orden de los signos, cambia el valor del número.
¿Qué valor tiene la cifra 0 si ocupa el lugar de las centenas? ¿Y si ocupa el lugar de los millones?
6.
3894 - FBG
b) En el sistema decimal, si cambias de lugar las cifras, cambia el valor del número. c) Medio millar equivale a 5 centenas. d) La cifra 6 tiene el mismo valor en el número 3 648 que en el núme ro 3 468. e) Mil millares hacen un millón.
10
Sugerencias • La utilización de distintos sistemas de numeración, ideados en diferen-
tes épocas y culturas, hará valorar a los estudiantes el esfuerzo progresivo realizado por la humanidad en la construcción de herramientas que hoy utilizamos sin percibir, acaso, la dificultad del proceso, y que son parte de la herencia cultural, en continua reelaboración, que cada generación transmite a la siguiente. • A la vez, se puede señalar que cada cultura ha utilizado el sis tema de
numeración que se adaptaba a sus necesidades. No nos podemos imaginar ninguna situación en la que un hombre primitivo, cazador y recolector, tuviera que manejar números de, por ejemplo, siete cifras. Pero solo tenemos que abrir un periódico, o cualquier tratado científico, para ver que esos mismos números son imprescindibles en la s ociedad actual. Es decir, los sistemas de numeración se han ido perfeccionando a medida que evolucionaban las necesidades de enumerar y calcular (comercio, construcción, estadística…), y, a la vez, cada avance ha permitido acceder a nuevos campos de la ciencia y ha traído consigo la aparición de nuevas necesidades numéricas. • Para apreciar las virtudes de nuestro sistema de numeración decimal,
conviene compararlo con otros tipos de sistemas, especialmente los aditivos. Hágase ver la dificultad de esos últimos para representar números grandes y números decimales y también para operar.
Refuerzo y Ampliación
11
Emprendimiento Se sugiere la siguiente actividad: Supón que eres un agente secreto y necesitas acordar con tu compañero una clave para escribir números del 1 al 30. ¿Serías capaz de hacerlo utilizando dos dados, uno verde y otro rojo? Explícalo.
Soluciones de “Piensa y practica” 1 19 =
2 18 =
382 = 382 = 3 18 = XVIII 43 = XLIII 98 = XCVIII 3 456 = MMMCDLVI 4 CXLIX = 149
VCCCXXXI = 5 331 —
6 A la derecha, se multiplica por 10. A la izquierda, no varía. 7 Decenas de millar.
9 2 307 037
• Del cuaderno de TRATAMIENTO DE LA DIVERSIDAD:
CCCXXVII = 327
5 Cero centenas. Cero millones.
• Del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Ampliación: Ejercicios 4 y 5 de la pág. 3.
120 =
2 523 083 =
8 3 023 456
Refuerzo: Ejercicios 1 y 2 de la pág. 2.
65 =
34 =
Se recomiendan:
Refuerzo: Ejercicios 1 a 4.
1
UNIDAD
10 3894-FBG, 3948-FBG, 4389-GFB 11 40 001 12 a) Falso b) Verdadero c) Verdadero d) Falso e) Verdadero 27
Soluciones de “Piensa y practica”
2 Los números grandes
I
1 a) Siete mil millones.
b) Tres mil ciento cincuenta y tres millones seiscientos mil.
Muchas cantidades y datos superan las nueve cifras: el número de habitantes de la Tierra (7 000 000 000), los segundos que tiene un siglo (3 153 600 000), los kilómetros de un año luz (9 460 800 000 000)… El sistema de numeración decimal permite representar cantidades tan grandes como deseemos. Aquí tienes algunos órdenes para números con más de 9 cifras, junto a algunos ejemplos:
…
S E E D N S O E L L I L I M M
S E N O L L I B
1 1
3
S E N O L L I M
8
0
0
0
0
S E R A L L I M
C
D
0
0
0
,
. , c) Nueve billones cuatrocientos sesenta mil ochocientos millones. , .
U
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
e) 1 500 000 000 000
f) 15 350 000 000 000
La Tierra tiene un volumen aproximado de un billón de kilómetros cúbicos.
:
d) … billón.
.
Un millón
•
Un billón
↔
Un millón de millones
↔
Un 1 seguido de 12 ceros.
•
Un trillón
↔
Un millón de billones
↔
Un 1 seguido de 18 ceros.
↔
Un 1 seguido de 6 ceros.
Lee las primeras líneas de esta página. Escribe cómo se leen:
3.
Copia en tu cuaderno y completa. b) Mil millones hacen un …
b) El número de segundos de un siglo.
c) Un millón de millares hacen un …
b) Ciento cuarenta y tres millones.
e) Un billón y medio. f ) Quince billones trescientos cincuenta mil millones.
un billón de billones.
i
ANOTACIONES
: :
.
d) Un millón de millones es un … 4.
El cuerpo humano tiene entre diez y setenta millones de millones de células. Expresa esas cantidades en billones.
5.
¿Cómo leerías el número expresado por un 1 seguido de 16 ceros?
6.
Los científicos calculan que los mares y océanos de la Tierra contienen tres cuatrillones de kilogramos de agua. ¿Qué crees que es un cuatrillón?
c) Dos mil setecientos millones. d) Dieciséis gigas.
i
→
a) Mil millares hacen un …
a) El número de habitantes de la Tierra.
Escribe con cifras.
5 Diez mil billones. 6 Un 1 seguido de 24 ceros
•
12
Sugerencias • Los números grandes (de seis, nueve, doce y más cifras) aparecen fre-
cuentemente en informaciones científicas, sociológicas, económicas etc.; de ahí que resulten necesarios para elaborar e interpretar mensajes relativos a medios en los que ya se mueven los escolares. • Los alumnos y las alumnas han de leer y escribir con agilidad los núme-
ros de muchas cifras y han de manejar con soltura los correspondientes órdenes de unidades (millones, miles de millones, billones...) y sus equivalencias. • También es aconsejable incidir en la diferencia que existe entre nuestro
término “billón” y el término “billion” que suele aparecer en los textos y medios de comunicación norteamericanos y que, con frecuencia, da lugar a errores en las traducciones. El “billion” equivale, contra lo que cabría esperar, a mil millones. Y quizá, para diferenciarlo del billón, y para tener un término equivalente en las traducciones, es por lo que se ha acuñado el nuevo término millardo, aunque su uso no es frecuente.
Refuerzo y Ampliación Se recomiendan: • Del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Refuerzo: Ejercicios 4 y 5 de las págs. 2 y 3. Ampliación: Ejercicio 7 de la pág. 3.
Interdisciplinariedad Se sugiere la siguiente actividad: Selecciona cuatro de los números grandes que aparecen en esta página e indica la rama científica con la que están relacionados. Por ejemplo: “Número de habitantes de la Tierra: siete mil millones (Estadística – Geografía humana).
:
,
. :
,
.
b) … millardo. .
El universo se originó El cerebro de una persona hace trece mil ochocien- joven tiene unos cien mil tos millones de años. millones de neuronas.
.
.
4 Entre 10 y 70 billones de células.
a) Veintiocho millones trescientos cincuenta mil.
28
d) 16 000 000 000
,
c) El número de kilómetros que tiene un año luz. 2.
c) 2 700 000 000
c) … millardo.
Piensa y practica 1.
b) 143 000 000
3 a) … millón.
Ten en cuenta
Aunque no es muy habitual, a los miles de millones también se les llama millardos. También se designa con el prefijo giga: 1 000 000 000 bytes = 1 gigabyte
:
2 a) 28 350 000
• La distancia de Sevilla a Santander.
3 Aproximación de números naturales
1
UNIDAD
• El consumo anual, en litros, de aceite en España.
Cuando un número tiene muchas cifras, es difícil de recordar e incómodo para operar. Por eso, suele convenir sustituirlo por otro más manejable de valor aproximado, terminado en ceros. Por ejemplo: ,
En España circulan 86800 000 billetes de 500
El año pasado nos visitaron 58 millones de personas.
pasado E l a ño t ro n n ues 0 v is i ta ro 96 3 4 3 pa ís 5 7 ros. t ra e x n je
.
En la puesta en común, contrastar las diferencias, seleccionar razonadamente los más fiables, etc.
Soluciones de “Piensa y practica”
Para redondear un número a un determinado orden de unidades:
Actividades para practicar la aproximación.
Redondear los datos recogidos haciéndolos manejables para, después, ponerlos en común.
¿Cuántos miles de millones de euros serán, aproximadamente?
La forma más frecuente y práctica de realizar aproximaciones es el redondeo. En la web
• El número de habitantes de Londres.
1 a) 25 000
Se sustituyen por ceros todas las c ifras a la derecha de dicho orden.
•
Si la primera cifra sustituida es m ayor o igual que cinco, se suma una unidad a la cifra anterior.
•
E jercicio resuelto
.
Aproximar el número 384 523 a las centenas de millar, a las decenas de millar y a los millares.
CENTENAS DE MILLAR
DECENAS DE MILLAR
3 8 4 5 2 3 +1
CM
=
4 0 0 0 0 0
DM
4<5
c) 40 000
3 8 0 0 0 0
b) 37 000 000
c) 275 000 000
3 8 4 5 2 3 +1
d) 99 000
2 a) 24 000 000
MILLARES
3 8 4 5 2 3
8≥5
b) 7 000
d) 213 000 000
UM 5 ≥ 5
3
3 8 5 0 0 0
APROXIMACIONES Piensa y practica 1.
Redondea a los millares estos números: a) 24 963
b) 7 280
c) 40 274
d) 99 399
2. Aproxima
3.
4. A
continuación puedes ver varias aproximaciones al precio de un piso en venta:
SE VENDE
a los millones por redondeo.
138290
a) 24 356 000
b) 36 905 000
c) 274 825 048
d) 213 457 000
Tel.: 23987688
a) ¿Cuál es más cercana al precio real? b) ¿Cuál te parece más adecuada para una información coloquial, si no se recuerda la cantidad exacta?
Haz una tabla como esta en tu cuaderno:
c) ¿Cuál identificas con un redondeo a las centenas de millar?
APROXIMACIONES NÚMERO
A LAS CENTENAS DE MILLAR
A LAS DECENAS DE MILLAR
5.
Complétala redondeando los siguientes números: 530 298
828 502
359 481
299 352 362
100 000 138 000 138 300 140 000
Un ayuntamiento ha presupuestado 149 637 rehabilitar un área deportiva.
para
¿Qué cifra darías para comunicar este dato en una conversación informal?
13
NÚMERO
A LAS CENTENAS DE MILLAR
A LAS DECENAS DE MILLAR
530 298
500 000
530 000
828 502
800 000
830 000
359 481
400 000
360 000
299 352 362
299 400 000
299 350 000
4 a) 138 300
b) 140 000
c) 100 000
5 150 000 ANOTACIONES
Sugerencias • Además de aprender el significado del término aproximar y de dominar
la técnica del redondeo de cantidades, el alumnado se ha de acostumbrar a realizar esas operaciones para expresar con propiedad, recordar o apuntar datos relativos a informaciones y resultados de cálculos que maneja de forma cotidiana. • Cuando en la televisión nos dicen que “los acertantes de 14 cobrarán
119 274 euros”, recordamos y transmitimos la información: “los de 14 cobrarán 120 000 euros”. Otra cosa será cuando un o de los afortunados vaya a hacer efectivo su premio. Ahí sí es necesaria la exactitud. • Para que el aprendizaje se incorpore a las competencias de los alumnos
y de las alumnas, podemos proponerles, como actividad, la elaboración de una lista de situaciones, como la del ejemplo, en las que el redondeo es apropiado y eficaz (precios, presupuestos, datos estadísticos de población, economía, etc.).
Refuerzo y Ampliación • Del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Refuerzo: Ejercicio 8, de la pág. 3. Ampliación: Ejercicios 7 y 8 de la pág. 7. • Del cuaderno de TRATAMIENTO DE LA DIVERSIDAD:
Refuerzo: Ejercicio 9.
Aprendizaje Cooperativo Si la programación contempla en este momento l a atención al aprendizaje cooperativo, se sugiere la siguiente actividad: Pedir a los estudiantes, individualmente o por grupos, la búsqueda (utilizando los recursos que se consideren oportunos) de varios datos concretos, con distinta dificultad, como por ejemplo: 29
1
UNIDAD
La división
Una propiedad de la división
Recuerda dos de las situaciones que resuelve la división y que aparecen frecuentemente en los problemas aritméticos:
Observa lo que ocurre cuando en una división multiplicamos el dividendo y el divisor por el mismo número:
• Se han gastado 5 625 metros cúbicos de agua para regar un parque durante 15 días. ¿Cuántos metros cúbicos se han gastado cada día?
Para regar 3 arbustos, utilizamos 24 litros de agua. ¿Qué ocurre si tenemos el doble de arbustos y el doble de litros de agua? 24 litros 48 litros
5625 112 0 7 5 00
AGUA PARA EL RIEGO DIARIO
15 375
5 625 : 15 = 375 m3 cada día
Dividir es repartir un todo entre varios, en
24 3 48 6 0 8 0 8 Al repartir el doble de litros entre el doble de arbustos, la cantidad que corresponde a cada uno no varía.
partes iguales, para averiguar cuán-
to le toca a cada uno. • El riego de un parque supone un gasto diario de 375 metros cúbicos de agua. ¿Para cuántos días hay reservas en un depósito con 5 625 metros cúbicos? 5625 1875 0 0 0
375 15
5 675 : 375 = 15 días
Si en una división se multiplican el dividendo y el divisor por el mismo número, el cociente no varía. Piensa y practica 12. Averigua
Dividir es
partir un todo en porciones iguales de un tamaño determinado, para averiguar cuántas porciones se obtienen. 13.
División exacta y división entera
375 15
375 15
c) 5 309 : 7
d) 7 029 : 26
e) 49 896 : 162
f ) 80 391 : 629
: 12
•
:3
17.
5 625 = 375 · 15
d) 75 : 15
e) 90 : 15
f ) 180 : 15
Decimos que esta división es exacta.
g) 180 : 30
h) 240 : 30
i) 390 : 30
División exacta (el
e) La división cumple la propiedad conmutativa. 18.
D 0 •
d c
El dividendo es igual al divisor por el cociente. D = d · c
División entera (el resto es distinto de cero).
En la web
• Actividades para practicar el cálculo mental con divisiones. • Actividades para practicar las divisiones.
D r
d c
El dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto. D = d · c + r
15.
Resuelve sin lápiz ni papel. a) Repartimos 150 gramos de mortadela en tres bocadillos. ¿Cuántos gramos pondremos en cada uno?
:
b) Colocamos 36 kilos de manzanas en 3 cestas. ¿Cuántos kilos van en cada cesta? c) Hemos recorrido, por la autopista, 240 kilómetros en tres horas. ¿Cuántos kilómetros por hora son?
¿Qué observas?
resto es cero).
¿Verdadero o falso?
d) Al multiplicar por 3 el dividendo y el divisor, el cociente aumenta al triple.
Una división puede ser exacta o entera dependiendo del valor del resto. •
Calcula y compara los resultados. Después, reflexiona y contesta. a) (50 : 10) : 5
50 : (10 : 5)
b) (36 : 6) : 2
36 : (6 : 2)
d) ¿Cuántos minutos son 180 segundos? 19.
Un granjero recoge 1 274 huevos, los envasa en bandejas de 30, y las bandejas, en cajas de 10. ¿Cuántos huevos quedan sin completar una bandeja?
¿Cumple la división la propiedad asociativa?
¿Cuántas bandejas quedan sin completar una caja?
16
Sugerencias • Los alumnos ya deben dominar el algoritmo de la división, aunque apro-
vecharemos este epígrafe para detectar posibles lagunas en su aprendizaje que bloquearían la adquisición de contenidos posteriores.
38
36 : (12 : 3)
:
Decimos que esta división es entera.
1 00 0 12
c) Si es exacta, al multiplicar por dos el dividendo, el cociente se hace el doble.
Realiza en tu cuaderno las operaciones como se indica en los esquemas.
5 700 = 375 · 15 + 75
b) El resto es siempre menor que el divisor. c) 300 : 12
(36 : 12) : 3
53 15
a) El cociente debe ser mayor que el divisor.
:4
32
el término que falta en cada división:
39
8
b) 180 : 12
14.
16. Averigua
Divide mentalmente, por partes, igual que se hace en el ejemplo.
a) 60 : 12
Pero si en el depósito hubiera 5 700 metros c úbicos, tendría reservas, igualmente, para 15 días, pero sobraría algo de agua. 5700 1950 0 7 5
b) 713 : 31
96
En el ejemplo anterior, con 5 625 metros cúbicos se regaba el parque exactamente durante 15 días, y no sobraba nada de agua. 5625 1875 0 0 0
el cociente y el resto en cada división:
a) 96 : 13
17
• Del cuaderno de TRATAMIENTO DE LA DIVERSIDAD:
Refuerzo: Ejercicios 6, 7 y 12. Ampliación: Ejercicios 14 a 19.
• Los conceptos de división se revisarán mediante la propuesta de activi-
dades en contextos adecuados (resolución de problemas): – La división como reparto: consiste en averiguar cuántos elementos corresponden a cada parte cuando un conjunto se va a dividir en un número determinado de partes iguales. – La división como partición: consiste en averiguar cuántas partes de un determinado tamaño se pueden hacer con los elementos de un con junto. Este concepto requiere especial atención por presentar mayor dificultad.
Soluciones de “Piensa y practica” 12 a) c = 7;
c) c = 758; r = 3
d) c = 270; r = 9
e) c = 308; r = 0
f ) c = 127; r = 508 b) 15
c) 25
d) 5
e) 6
f) 12
g) 6
h) 8
i) 13
Se observa que la división no cumple la propiedad asociativa. 15 a) 1; 25
b) 3; 12 La división no cumple la propiedad asociativa. 16
DIVIDENDO DIVISOR
Refuerzo y Ampliación Se recomiendan: • Del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Refuerzo: Ejercicios 6 y 7 de la pág. 9. Ampliación: Ejercicios 4 y 5 de la pág. 9.
b) c = 23; r = 0
14 Los resultados son 1 y 9.
• El epígrafe se completa con una propiedad importante de la división:
¿Qué ocurre al multiplicar el dividendo y el divisor por el mismo número? Los estudiantes pueden interiorizarlo a través de ejemplos contextualizados y de simple operativa. Será importante responder también a la pregunta: ¿ Qué ocurre con el resto? La aplicación de esta propiedad será fundamental para justificar los algoritmos de la división con divisores decimales, y enlazará con otros contenidos como la equivalencia y la simplificación de fracciones.
5
13 a) 5
• Las relaciones entre los términos de la división exacta y entera se afian-
zarán con su comprobación y aplicación en situaciones concretas (por ejemplo, con la prueba de la división).
r =
→
17 a) Falso
→
834
26 b) Verdadero
18 a) 50 g
c) 80 km/h
c) Verdadero
d) Falso
e) Falso
b) 12 kg d) 3 minutos
19 Quedan 14 huevos sin completar una bandeja. Quedan dos bandejas
sin completar una caja. 31
5 Expresiones con operaciones combinadas
UNIDAD
1
E jercicio resuelto
Resolver, con una calculadora de cuatro operaciones. ¿Por qué?
a) 40 – 12 : 4 + 2 · 3 Secuencia de teclas:
Orden en que han de hacerse las operaciones
Escribe un número de dos cifras, a b . Escribe el número cambiando el orden de las cifras, b a . Suma ambos números y divide el resultado entre la suma de las dos cifras, a + b. ( a b + b a ) : (a + b) = ¿…? ¿Qué obtienes? Averigua por qué.
Al resolver expresiones con operaciones combinadas, debes ten er en c uenta las normas del lenguaje matemático. Estas normas aseguran que cada expresión tenga un significado y una solución únicos.
40 ≤ 12 / 4 µ 2 * 3 ≤Ñ
Observa el orden de actuación en las siguientes expresiones. Los resultados son diferentes a pesar de estar formadas por los mismos números y operaciones. 48 : 3 + 5 – 2 · 3
48 : (3 + 5) – 2 · 3
48 : 3 + (5 – 2) · 3
16 + 5 – 6
48 : 8 – 6
16 + 3 · 3
21 – 6
6–6
16 + 9
0
40 - 12 =/ 4 ≤ 2 * 3 ≤Ñ
Opera como en los ejemplos. (17 – 5) : 3 = 12 : 3 = 4
•
14
2
c) 21 : (3 + 4) + 6
9
d) 26 – 5 · (2 + 3) + 6
7
e) (14 + 12) : 2 – 4 · 3
1
Resuelve mentalmente y compara los resultados.
f ) 2 · (6 + 4) – 3 · (5 – 2)
11
a) 2 + 3 · 4
(2 + 3) · 4
g) 30 – 6 · (13 – 4 · 2)
0
b) 6 – 2 · 3
(6 – 2) · 3
h) 3 · [13 – 3 · (5 – 2)]
12
c) 15 – 4 · 3
(15 – 4) · 3
d) 5 · 2 + 4
5 · (2 + 4)
e) 2 · 15 – 10
2 · (15 – 10)
Después, a las multiplicaciones y a las divisiones.
c) 5 + 6 : 3
d) 15 – 10 : 5
Por último, a las sumas y a las restas.
e) 4 · 2 + 7
f ) 4 · 6 – 13
•
g) 15 : 3 + 10
Si un empleado eventual ha trabajado este mes 12 jornadas de 7 horas, con tarifa normal, y 5 jornadas con 6 horas de tarifa normal y 3 de tarifa nocturna, ¿cuántas horas ha trabajado en todo el mes? Lo podemos resolver con dos expresiones:
12 · 7 + 5 · (6 + 3) 84 + 5 · 84 +
45
2.
normal
9
en 12 jornadas
nocturna
en 5 jornadas
12 · 7 + 5 · 6 + 5 · 3 =
12 · 7 + 5 · (6 + 3) =
= 84 + 30 + 15 = 129
= 84 + 5 · 9 = 84 + 45 = 129
3.
Solución: Ha trabajado, en total, 129 horas.
b) 13 – 4 · 3
h) 5 · 6 – 18
6.
Calcula, siguiendo los pasos del ejemplo. 4 · 5 – 3 · 4 – 2 = 20 – 12 – 2 = 8 – 2 = 6
•
129 A prende a usar la calculadora
a) 4 · 6 + 3 · 6 – 25
b) 3 · 5 – 12 + 3 · 6
c) 6 · 3 – 4 – 7
d) 28 – 4 · 5 + 3
Introduce en la calculadora esta secuencia: 2 + 3 * 4 =
e) 6 · 5 – 10 + 8 : 4
f ) 19 + 10 : 2 – 8 · 3
Aunque te parezca extraño, según la máquina que utilices puedes obtener en pantalla dos soluciones diferentes, 20 o 14.
g) 15 : 3 + 4 · 2 + 3 · 4
h) 4 · 7 – 4 · 2 – 3 · 5
{∫“≠} La calculadora hace las operaciones en el orden en que van entrando.
4.
Observa el ejemplo y calcula.
{∫‘¢} La calculadora hace primero el producto. Es decir, respeta la prioridad
de las operaciones. 2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14 Como ves, no todas las calculadoras tienen la misma lógica interna. Averigua de cuál de los dos tipos es la tuya y tenlo en cuenta cuando la utilices.
Escribe una expresión que resuelva cada enunciado y calcula la solución. a) Una furgoneta transporta 8 cajas de plátanos, 20 de naranjas y 6 de manzanas. Las cajas de plátanos pesan 15 kilos, y las de naranjas y manzanas, 8 kilos. ¿Cuántos kilos de fruta transporta la furgoneta? b) Un supermercado hace un pedido de 20 packs de leche entera, 15 de leche desnatada y 10 de semidesnatada. Cada pack contiene seis cajas de litro. ¿Cuántas cajas van en el pedido? c) En una cafetería hay 15 mesas, 55 sillas y 12 taburetes. ¿Cuántas patas hay en total? (: las mesas y las sillas son de 4 patas, y los taburetes, de 3).
4 · (7 – 5) – 3 = 4 · 2 – 3 = 8 – 3 = 5
•
(2 + 3) · 4 = 5 · 4 = 20
Resuelve, indicando los pasos seguidos, y comprueba la solución que se da a la derecha. Si no coincide, repasa el ejercicio. b) 3 · 8 – 8 : 4 – 4 · 5
a) 8 + 5 · 2
•
129
{∫∫∫∫∫∫‘«}
a) 6 · 4 – 2 · (12 – 7)
Primero, a los paréntesis.
•
84 + 30 + 15
5.
12 – 2 · 4 = 12 – 8 = 4
•
En las expresiones con operaciones combinadas, hemos de atender:
12 · 7 + 5 · 6 + 5 · 3
Piensa y practica
25
Problema resuelto
{∫∫∫∫∫∫¢«}
Compruébalo.
1.
15
b) (40 – 12) : 4 + 2 · 3 Secuencia de teclas:
a) 2 · (7 – 3) – 5
b) 3 · (10 – 7) + 4
c) 4 + (7 – 5) · 3
d) 18 – 4 · (5 – 2)
e) 8 – (9 + 6) : 3
f ) 22 : (7 + 4) + 3
g) 5 · 2 + 4 · (7 – 5)
h) 18 : 2 – 2 · (8 – 6)
d) Un granjero envasa 1 500 huevos en cajas de 10 unidades, otros tantos en cajas de 6 unidades, y una partida de 300 huevos de producción ecológica, también en cajas de 6 unidades. ¿Cuántas cajas ha llenado?
18
19
• Del cuaderno de TRATAMIENTO DE LA DIVERSIDAD:
Sugerencias • El lenguaje matemático, como cualquier otro lenguaje, requiere un
aprendizaje secuenciado y exige tiempo. La interpretación y la producción de expresiones aritméticas con operaciones combinadas y paréntesis no resulta obvia para los estudiantes. Por el contrario, la experiencia nos demuestra que se le ha de dedicar una atención especial para no incurrir en errores de aprendizaje que perturbarán avances posteriores. • Para analizar las distintas expresiones y contrastar sus diferencias, se re-
comienda utilizar esquemas que saquen a la luz la estructura de las mismas, como muestran los ejemplos. Es importante que los estudiantes, tras calcular el valor de una expresión a través del desarrollo de su estructura, se acostumbren a expresar todos los pasos mediante sucesivas igualdades presentadas en horizontal. • También resulta interesante el análisis del comportamiento de distintas
calculadoras al realizar operaciones combinadas. Presentando dos máquinas, una que respete la prioridad de las operaciones y otra, más simple, que opere en el orden de entrada, les sorprenderá observar que la misma secuencia de teclas arroja en cada una resultados diferentes: – Máquina que respeta la prioridad: 4 + 6 × 3
→
22
– Máquina que opera en el orden de entrada: 4 + 6 × 3
→
30
La conclusión es que para utilizar con garantía una calculadora, hemos de conocerla a fondo y tener en cuenta su modo de funcionamiento.
Refuerzo y Ampliación Se recomiendan: • Del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Refuerzo: Ejercicios 1, 2 y 3 de la pág. 10. Ejercicios 4, 5, 6 y 7 de la pág. 11. Ampliación: Ejercicios 1, 2, 3, 4 y 5 de la pág.12. Ejercicios 6, 7, 8, 9 y 10 de la pág. 13. 32
Refuerzo: Ejercicio 10. Ampliación: Ejercicios 20 y 21.
Soluciones de “Piensa y practica” 1 a) 18
b) 1
c) 7
d) 13
e) 15
f ) 11
g) 15
h) 12
2 a) 14 y 20
b) 0 y 12
d) 14 y 30
c) 3 y 33
e) 20 y 10
3 a) 17
b) 21
c) 7
d) 11
e) 2
f)0
g) 25
h) 5
4 a) 3
b) 13
c) 10
d) 6
e) 3
f)5
g) 18
h) 5
5 a) 14
e) 1 6 a) 328 kilos
c) 316 patas
b) 2
c) 9
d) 7
f ) 11
g) 0
h) 12
b) 270 cajas d) 450 cajas
7 APROXIMACIONES I
Ejercicios y problemas
D
10.
Escribe en el sistema aditivo egipcio cada uno de estos números: a) 48
b) 235
c) 2 130
a) 87
b) 425
c) 2 600
d) 54 528
11.
Escribe el número “cincuenta y siete” en, al menos, tres sistemas de numeración.
PESO
VALOR
(toneladas)
(miles de €)
Copia en tu cuaderno y completa la tabla.
441 696
1 087 368
445 115
781 169
886 811
1 868 537
19 000 000
399 675 000
399 700 000
400 000 000
12.
Estos son los números de varias habitaciones en un hotel de playa: 401
A LOS MILLONES
235
724
231
a) Una de ellas está al f inal del pasillo. ¿Cuál es?
2 830 554
b) Otra está en la última planta. ¿Qué número tien e?
19 270 000
c) Verdadero :
PESO APROXIMADO
FRESCO
442 000 000
CONGELADO
445 000 000
.
887 000 000
TOTAL
: EUROS APROXIMADOS
.
1 100 000 000 800 000 000
:
:
:
·
c) 9900-JMA es más antiguo. 99 coches. .................
·
·
·
·
:
,
.................
b) 724
:
1: 900 000 000 :
:
:
i ii
.
·
·
·
·
....
...................... .... ·
·
.
....
c) 235 y 231 .
·
es la tercera. 13 La· que más · se aproxima ·
c) Mil veces un millón hacen un giga.
— Cuesta casi trescientos mil euros.
d) Cien gigas hacen un billón.
— Cuesta doscientos y pico mil.
:
e) Un billón tiene un millón de millones.
— Cuesta doscientos noventa mil.
:
.
· .
: : ANOTACIONES
·
:
, (cientos de millones) , ,
b) 99 coches.
b) Cien millones son mil cente nas de millar.
¿Verdadero o falso? a) Un millón equivale a mil centenas.
:
·
.
: :
11 a) Después, 9901-JMA. Anterior, 9899-JMA.
i
e) Verdadero
:
·
·
:
(millones de kg)
Lees, en un anuncio, que una vivienda se vende por 293 528 . Unos días después lo comentas con un amigo, pero no te acuerdas exactamente del precio. ¿Cuál de las siguientes expresiones elegirías para transmitir la información? Explica por qué.
13.
:
.
l i li
·
. ·
10
12 a) 235
.
d) Falso
. :
c) ¿Cuáles de ellas están a la misma altura?
399 675 000
·
:
¿Cuántos coches se matricularon entre ambos?
.
,
.
b) Verdadero
9 17 millones
Esta es la matrícula de cierto coche:
¿Cuál de los dos es más antiguo?
APROXIMACIONES
8.
19 300 000
0273-JMC
Una estrella, A, está a una distancia de c inco años luz, y otra, B, a cinco billones de kilómetros. ¿Cuál de las dos está más lejos?
A LAS CENTENAS DE MILLAR
19 270 000
8 a) Falso
c) Otro coche tiene esta matrícula:
¿Cuántos ceros son en cada caso?
NÚMERO
3 000 000
,
b) ¿Cuántos coches se matricularon aún con las mismas letras?
b) … un trillón?
7.
La tabla contiene algunos datos sobre el consumo de pescado en España durante el año 2008:
9900-JMA
a) … un billón?
6.
2 800 000
.
a) ¿Cuál es la matrícula del coche que se matriculó inmediatamente después? ¿Y la del anterior?
¿Cuántas cifras necesitas para escribir…
5.
Según publicó un periódico cairota, la población de la capital de Egipto, en junio del año 2013, era de 16 794 464 habitantes. Si te preguntaran por esa cifra y no te acordaras de la cantidad exacta, ¿qué responderías?
Repite la tabla, aproximando los datos a los millones de kilos y a los cientos de millones de euros.
Expresa en números romanos.
3.
4.
9.
B
C
2.
2 830 554
Utilidades de los números
Traduce al sistema decimal estos números del antiguo Egipto: A
A LOS MILLONES
NÚMERO
Sistemas de numeración 1.
A LAS CENTENAS DE MILLAR
: :
. :
20
Pensamiento crítico Se sugiere la siguiente actividad: Describe una situación, un hecho o un objeto que sería imposible sin la ayuda de los números y explica qué ocurriría sin su existencia.
Interdisciplinariedad Se sugiere la siguiente actividad: Infórmate y responde: ¿qué es un código alfanumérico? Escribe tres ejemplos de código alfanumérico explicando su estructura y su utilidad.
Soluciones de “Ejercicios y problemas” 1 a) 57
b) 234
c) 2 540 2 a)
d) 3 430 000 b)
3 a) 87 = LXXXVII
c) 2 600 = MMDC
c)
b) 425 = CDXXV d) 54 528 =
LIV
4 Decimal: 57; Romano: LVII; Egipcio: 5 a) 13 cifras, 12 ceros
b) 19 cifras, 18 ceros
6 La estrella A está más lejos que la B. 33
UNIDAD
Ejercicios y problemas ¿Verdadero o falso?
27.
B: 2 puntos por los de operaciones.
d) 3 · (2 + 5) – 13
C: 3 puntos por los ejercicios teóricos. D: 3 puntos por cada problema.
e) 2 · (7 + 5) – 3 · (9 – 4)
A
B
5
4
Comprueba tus soluciones:
3
4
4
5
Investiga: Si en una división multiplicas el dividendo y el divisor por el mismo número, el cociente no varía. Pero ¿qué le ocurre al resto?
a) 2; b) 11; c) 47; d) 8; e) 9; f ) 14; g) 9; h) 11
2
2
9
g) 3 · 5 – 3 · (10 – 4 · 2)
Interpreta, describe, exprésate 33.
Opera. b) 2 · 4 + 6 d) 5 · 7 – 5
e) (5 + 6) · 4
f) 5 + 6 : 3
g) (19 – 7) : 2
h) 18 – 7 · 2
Calcula. a) 8 + 7 – 3 · 4
b) 8 : 4 + 7 – 3
c) 15 – 2 · 3 – 5
d) 10 – 12 : 6 – 4
e) 22 – 6 · 3 + 5 g) 36 – 8 · 4 – 1
f ) 8 + 10 : 5 – 10 h) 11 – 2 – 9 : 3
i) 4 · 7 – 13 – 2 · 6
j) 15 : 3 + 7 + 4 : 2
k) 5 · 4 + 12 – 6 · 4 m) 5 · 6 – 4 · 7 + 2 · 5
l) 12 : 4 – 1 – 6 : 3 n) 9 : 3 + 8 : 4 – 7 : 7
ñ) 8 · 8 – 4 · 6 – 5 · 8
o) 18 : 2 – 12 : 3 – 6 : 2
II. La clase de música tiene 50 alumnos matriculados, pero hoy han faltado 4 y otros 16 han ido a un concierto. III. Ernesto compró una camiseta de 16 y una gorra de 4 , y pagó con un billete de 50 . IV. En el hotel han pernoctado 50 clientes. Hoy entran 16 nuevos y salen 4.
34.
b) 50 – 16 + 4
c) 50 – (16 + 4)
d) 50 – (16 – 4)
e) 50 + (16 – 4)
f ) 50 + 16 – 4
C
-
5
-
9
-
1 + 14 · 4
13 -
17 -
15 · 4 – 3
21 -
D
6
Resolución
Escribe una expresión, combinando operaciones y datos, para calcular los puntos que lleva acumulados cada uno de esos tres alumnos.
1.º 168 : 2 = 84 3.º 137 · 2 = 274
2.º 84 · 4 = 336 4.º 336 + 274 = 610
5.º 714 – 610 = 104
6.º 104 : 4 = 26
Aprende a resolver problemas Un mayorista en alimentación compra 150 sacos de patatas de 30 kg por 2 000 . Después, al seleccionar la mercancía desecha 300 kg y envasa el resto en bolsas de 5 kg, que vende a 4 la bolsa. ¿Qué ganancia obtiene? Comprueba que has entendido el enunciado.
¿Qué compra? ¿Cuánto pesa cada saco? ¿Cuánto le cuesta la compra? ¿Qué hace después? ¿Qué vende y a qué precio? ¿Qué preguntan? Piensa el camino que vas a seguir para resolver el problema. ¿Qué necesitas saber?
¿Te vendría bien saber cuántos kilos envasa?
— Sí. Calcularé los kilos que compra y les quitaré los que desecha: Compra: 150 sacos × 30 kilos = 4 500 kilos Embolsa: 4 500 – 300 = 4 200 kg
¿Podría ahora calcular las bolsas que llena?
— Es fácil, dividiendo los kilos entre lo que va en una bolsa: Llena: 4 200 : 5 = 840 bolsas
Y sabiendo las bolsas que llena, ¿puedes calcular el dinero que ingresa?
— Claro, 840 bolsas, a 4 euros la bolsa, son: Ingresa: 840 · 4 = 3 360
Por último…
— ¡Ya termino yo! La ganancia es: Ingresos – Gastos: 3 360 – 2 000 = 1 360 Solución: El mayorista obtuvo una ganancia de 1360 euros.
¿Con cuál o cuáles de las expresiones de abajo se calcula el decimoquinto término de esta serie?: 1 + 15 · 4
35.
B
a) 50 – 16 – 4
1
Escribe, en cada caso, una expresión cuyo resultado sea el peso de la balanza: A
Asocia cada enunciado con dos de las expresiones de abajo: I. En el autobús urbano iban 50 personas. En la primera parada bajan 16 y suben 4.
a) 2 · (4 + 6) c) 8 : (7 – 5)
Lee el enunciado del problema y observa su resolución. Después, explica el significado de cada operación y lo que se obtiene en cada resultado parcial. En una granja hay caballos, vacas y gallinas. En total hemos contado 714 patas, 168 cuernos y 137 picos. ¿Cuántos caballos hay en la granja?
37.
La tabla lleva la cuenta de la tarea entregada:
f) 4 · (7 – 5) + 3 · (9 – 7) h) 2 · 3 + 5 · (13 – 4 · 3)
29.
31.
c) 5 · (11 – 3) + 7
e) La propiedad conmutativa se cumple solo para los números pares.
Operaciones combinadas
30.
b) 5 + 3 · (8 – 6)
En clase de matemáticas se acumulan puntos por el trabajo realizado. A: 1 punto por cada ejercicio de operaciones simples.
36.
a) 30 – 4 · (5 + 2)
c) Multiplicar por diez es lo mismo que multiplicar dos veces por cinco. d) Multiplicar por diez es lo mismo que multiplicar primero por cinco y después por dos.
28.
Calcula.
32.
a) Al multiplicar un número por tres obtenemos el mismo resultado que si le sumamos su doble. b) Tres veces quince es lo mism o que quince ve ces tres.
1
…
16 · 4 – 3
¿Cuál o cuáles de las expresiones aritméticas llevan a la solución de este problema?: En el supermercado se han vendido esta mañana 24 kilos de manzanas a 2 /kg, 12 melones a 4 euros la pieza, y 13 piñas a 2 euros cada una. ¿Cuánto se ha ingresado en caja por la venta de esas frutas? a) 24 · 12 + 4 · 13 + 2
b) 24 · 2 + 12 · 4 + 13 · 2
c) (24 + 13) · 2 + 12 · 4
d) (24 + 13 + 2) · (2 + 4)
22
23
37 1.º El número de vacas es igual a la mitad del número de cuernos:
Soluciones de “Ejercicios y problemas” 27 a) Verdadero
b) Verdadero
c) Falso
d) Verdadero
e) Falso
28 El resto queda multiplicado por el mismo número. 29 a) 20
Vacas 2.º Patas de vaca
→
→
168 : 2 = 84
84 · 4 = 336
3.º El número de patas de gallina es el doble que el de picos:
b) 14
c) 4
d) 30
f) 7
g) 6
h) 4
4.º Patas de vaca + patas de gallina
30 a) 3
b) 6
c) 4
d) 4
e) 9
f) 0
g) 3
h) 6
5.º El número de patas de caballo es igual al total de patas menos las de vaca y de gallina:
i) 3
j) 14
k) 8
l) 0
m) 12
n) 4
ñ) 0
o) 2
e) 44
Patas de gallina
Patas de caballo
→
137 · 2 = 274
→
→
336 + 274 = 610
714 – 610 = 104
6.º El número de caballos se obtiene dividiendo el dato anterior entre 4:
31 a) 9 + (3 – 1) = 11
Caballos
→
104 : 4 = 26
b) 9 – (3 + 1) = 5 32 a) 2
b) 11
c) 47
d) 8
e) 9
f ) 14
g) 9
h) 11
33 I
→
II
Aprende a resolver problemas
b) y d)
En este apartado, mediante el seguimiento de un ejemplo, se pretende ofrecer a los estudiantes modelos, estrategias y pautas para resolver problemas:
a) y c)
– Detenerse en la comprensión del enunciado.
→
III
→
a) y c)
Aclarar lo que se sabe y lo que se desea averiguar.
IV
→
e) y f)
No empezar hasta haber interiorizado el enunciado.
34 1 + 14 · 4 y 15 · 4 – 3
Decidir qué datos y qué pasos intermedios son necesarios para llegar a la solución.
35 b) y c) 36 Luisa
→
Marcos Adela
– Reflexionar sobre el proceso.
5 · 1 + 4 · 2 + 6 ·3
→
→
3 · 1 + 4 · 2 + (4 + 5) · 3
2 · 2 + (2 + 9) · 3
– Describir el proceso. Explicar el significado de cada operación y del dato que se obtiene con ella. – Presentar la solución. 35
El número 100 sí es un número cuadrado.
Taller de matemáticas
I
Infórmate e investiga Números con geometría •
•
•
, ,
Los números 1, 3, 6 y 10 se pueden representar con una distribución de puntos en forma de triángulo, como puedes ver a la derecha. Por eso se llaman números triangulares . ¿Cuáles serán los tres siguientes? Dibújalos.
,
, 1
3
6
, .
10
También hay números cuadrados . ¿Cuáles crees que son los cuatro primeros? ¿Será cuadrado el número 100? ¿Por qué? ¿Qué número asocias a la figura de la derecha? ¿Serías capaz de dibujar alguno más del mismo tipo? Si más arriba has visto números triangulares y números cuadrados, ¿cómo llamarías ahora a estos últimos?
100 : • El número 22. Es un número pentagonal.. Otros números pentagonales
Piensa y deduce
son:
·
Los ábacos aparecen en muchas culturas a lo largo de la historia. Los griegos, los fenicios, los romanos y los chinos los usaban.
:
.
El más potente de todos es el ábaco chino, como el que aparece en la ilustración de la derecha con el número 13 900. ¿Ves el número?
·
: :
•
¿Qué número se ha representado en cada uno de estos ábacos?
· .
. ·
· :
:
:
.
emprender r e d n e r p a
:
.
Investiga
· ·
.
35
Descifra los movimientos de fichas realizados para sumar en el ábaco 326 + 15.
· ·
·
· ,
.
,
.
Piensa y deduce
,
.
. ,
, .
,
Analizar, observar relaciones, lanzar hipótesis y comprobarlas,. descubrir . leyes generales de comportamiento, son capacidades y recursos imprescindibles en el quehacer matemático.
•
a) 341 – 15
·
51
.
.
Dibuja, de la misma forma, los movimientos de e stas operaciones:
·
b) 563 + 361
26
Estas actividades, en las que los estudiantes se enfrentan a una dificultad adecuada a su nivel, pero sin presentación teórica, suelen ser bien aceptadas y se adaptan al trabajo en grupo y al aprendizaje entre iguales.
Infórmate e investiga
Una vez descubierto el funcionamiento del ábaco, conviene dejar constancia por escrito de las conclusiones.
Números con geometría
Las relaciones entre los números naturales y la geometría siempre han despertado la curiosidad de los matemáticos. Aprovechando este hecho, se presentan de manera informal los números triangulares, cuadrados y pentagonales, incitando al alumnado al descubrimiento y a la generalización.
Soluciones
• Ábaco de la izquierda
Ábaco de la derecha
→ →
257 18 400
Soluciones
• Los tres siguientes números triangulares son:
Investiga Para la realización de esta actividad conviene que el estudiante disponga de un ábaco que le facilite el descubrimiento por experimentación y ensayo-error. Se recomienda la realización individual o en pequeño grupo, sin instrucciones previas, con posterior puesta en común. Soluciones
15
21
28
a)
3 4 1
3 3 11
3 2 6
• Los cuatro primeros números cuadrados son:
– 15
b)
– 15
3+1 9
5 6 4
5 6 3
+ 361
1
4
9
+ 360
16 6+6 9
5 12 4
9 2 4
6 2 4
+ 300
+ 300
37
1
UNIDAD
Soluciones de la autoevaluación 1 El sistema de numeración decimal es posicional. Los sistemas egipcio
y romano son aditivos.
Entrénate resolviendo problemas Reflexiona, ensaya y sé organizado •
•
•
•
Si escribes todos los números impares entre el 100 y el 200, ¿cuántas veces habrás usado la cifra 6?
•
¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar utilizando solamente las cifras 1, 2, y 3?
¿Cuántas veces utilizarás la cifra 5 si escribes todos los capicúas de tres cifras?
En la web
Completa en tu cuaderno la siguiente tabla:
ROMANO
DECIMAL
MMMXLII
3 042
MMCDXLVIII
2 448
IV DXXVIII
4 528
EGIPCIO
ROMANO
DECIMAL
4.
a) 1 528 + 35 + 482
b) 4 321 + 189 – 1 387
c) 324 · 28
d) 3 611 : 157
Copia en tu cuaderno y calcula los términos que faltan. a) 154 ·
Di si cada uno de los sistemas es aditivo o posicional. ¿Cuál es la diferencia?
= 462
c) 30 275 :
4 528 5.
= 35
= 180
c) 4 000 :
La extensión de Brasil es de 8 514 877 km 2.
•
6.
b)
d) 1 508 =
· 125 + 8
= 40
b)
· 100 = 27 000
d)
: 10 = 38
– La población de Australia es de 22 687 427 habitantes.
a) 12 + 3 · 5 – 2
Luisa ha recibido un premio de seiscientos ochenta y cinco mil cuatrocientos veintisiete euros.
c) 19 – 5 · (10 – 7) + 4 · 7 d) 10 · [7 · 5 – (4 + 6 · 3)]
•
La población de Australia es de veintidós millones seiscientos ochenta y siete mil cuatrocientos veintisiete habitantes.
•
a) Expresa con letras las cantidades que están dadas con cifras, y viceversa. b) Redondea a las decenas de millar. c) Redondea al orden de unidad que consideres más adecuado para que la información sea razonable e indica a qué orden has redondeado.
7.
8.
– El caudal de este río es de doscientos nueve mil cuatrocientos ochenta y siete metros cúbicos por s egundo. – Luisa ha recibido un premio de 685 427 euros.
Realiza las siguientes operaciones combinadas:
El caudal de este río es de 209 487 m3/s.
•
2 a) La extensión de Brasil es de ocho millones quinientos catorce mil
ochocientos setenta y siete kilómetros cuadrados.
: 27 = 98
Copia en tu cuaderno y rellena los huecos. a) 18 ·
Observa estas cantidades:
Resoluciones de estos ejercicios.
Calcula.
3.
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
2.
EGIPCIO
¿Cuántos números capicúas de dos cifras hay? ¿Y de tres cifras?
Autoevaluación 1.
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Coloca los números del 1 al 9, uno por casilla, de forma que todos los tríos alineados sumen 15.
b) 7 · 3 – 4 · 2 + 2
Tienes un buen montón de monedas de 50, 20 y 10 céntimos. ¿De cuántas formas diferentes puedes juntar un euro? Justifica tu respuesta. Un hortelano tiene dos campos con 165 y 213 manzanos, respectivamente. Espera cosechar, por término medio, 35 kg de manzanas por árbol. Al recoger la cosecha, la empaquetará en cajas de 10 kg y la venderá a un almacén que le paga a 3 la caja. ¿Qué cantidad espera ingresar por la venta de manzanas? 27
b) La extensión de Brasil es de 8 510 000 km 2. – El caudal de este río es de 210 000 m3/s. – Luisa ha recibido un premio de 690 000 euros. – La población de Australia es de 22 690 000 habitantes. c) – La extensión de Brasil es de 8 500 000 km 2 (redondeo a las centenas de millar). – El caudal de este río es de 210 000 m3/s (redondeo a las decenas de millar). – Luisa ha recibido un premio de 700 000 euros (redondeo a las centenas de millar).
Entrénate resolviendo problemas Se incluyen en este apartado una serie de problemas o retos, independientes de formulaciones teóricas y del programa de contenidos, cuyo ob jetivo es practicar estrategias de elaboración personal en la resolución de problemas de lógica matemática. El estudiante recurrirá, por supuesto, a sus conocimientos matemáticos, pero también a la experimentación, al tanteo, al descubrimiento por ensayo-error, o a cualquier otro camino que le lleve a la solución. Se pretende, además, ofrecer un espacio, fuera de programa, en el que, mediante actividades o situaciones más distendidas, experimentar el placer de razonar y superar retos.
– La población de Australia es de 22 700 000 habitantes (redondeo a las centenas de millar). 3 a) 2 045
b) 3 123
c) 9 072
d) 23
4 a) 3
b) 2 646
c) 865
d) 12
5 a) 10
b) 270
c) 100
d) 380
6 a) 25
b) 15
c) 32
d) 130
7 De 10 formas diferentes:
Soluciones
• La cifra 6 se habrá usado cinco veces (161, 163, 165, 167, 169).
50 · 2, 50 + 2 · 20 + 10, 50 + 20 + 3 · 10, 50 + 5 · 10, 20 · 5,
• De dos cifras hay 9, y de tres cifras, 90.
20 + 4 + 10 · 2, 20 · 3 + 10 · 4, 20 · 2 + 10 · 6, 20 + 10 · 8, 10 · 10.
• La cifra 5 se utiliza 29 veces.
8 Espera ingresar 3 969 €.
• Hay 27 números distintos. ANOTACIONES
1 6
7
2
5
8
4 9
38
3
ANOTACIONES
39
