EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
OBJETIVOS
01
Valor Actual y Futuro
02
Flujo de dinero e intereses
Valor del dinero en el tiempo
Corresponde a la rentabilidad que un agente económico exigirá por no hacer uso del dinero en el periodo 0 y posponerlo a un periodo futuro Sacrificar consumo hoy debe compensarse en el futuro. Un monto hoy puede al menos ser invertido en el banco ganando una rentabilidad. La tasa de interés (r) es la variable requerida para determinar la equivalencia de un monto de dinero en dos periodos distintos de tiempo La sociedad es un participante más que también tiene preferencia intertemporal entre consumo e inversión presente y futura.
Valor del dinero en el tiempo ...continuación... Ejemplo Un individuo obtiene hoy un ingreso (Y0) de $1.000 por una sola vez y decide no consumir nada hoy. Tiene la opción de poner el dinero en el banco. a) ¿Cuál será el valor de ese monto dentro de un año si la tasa rentabilidad o de interés (r) que puede obtener en el banco es de 10% ? 1.000 * (0,1) = 100 (rentabilidad) 100 + 1000 = 1.100 (valor dentro de un año)
Periodo 0 (Año 0)
$1.000
Si r = 10%
Periodo 1 (Año 1)
$1.100
Diagrama de Efectivo
VR A
A
A
A
A
Año
Dirección descendente de flechas egresos (salidas)
0
P
1
2
3
4
5
Dirección ascendente de flechas ingresos (entradas)
i= 10%
P= Inversión del proyecto en el momento de ahora “cero” A= Flujos de caja del proyecto A= Ingresos – egresos VR= Valor de rescate del proyecto I= Costo de oportunidad
Cálculo del valor futuro y presente de un pago único VALOR FUTURO Año: 0
Sólo 1 periodo
1
VA
VF
VF VA * 1 r
Donde:
r = tasa de interés
Año: 0
Si son 3 periodos
1
2
3
VF
VA
VF VA * 1 r 1 r 1 r VA1 r
3
Caso General:
VF VA * 1 r
n
Cálculo del valor futuro y presente de un pago único VALOR ACTUAL Caso 1 periodo
Año: 0
1
VA
VF VA
Año: 0
Caso 3 periodos
Donde:
r = tasa de interés
2
3
VF
VA VA
Caso General:
1
VF 1 r
VF VF 1 r * 1 r * 1 r 1 r 3
VF VA n 1 r 7
Cálculo del valor futuro y presente de un pago único
Cálculo del valor futuro de un pago único Ecuación financiera o modelo matemático de capitalización compuesta
P= Valor presente o stock inicial N= Número de periodos ( por lo general en años) en que la cuenta ganará intereses. i= Tasa de interés expresada generalmente en porcentaje anual F= Valor futuro al cabo de “n” años.
Cálculo del valor presente de un pago único Ecuación financiera o modelo matemático de descuento compuesto
Cálculo del valor futuro y presente de un pago único Ejemplo VF :
a) Si se tiene $1.000 hoy y la tasa de interés anual es de 12%. ¿Cuál será su valor al final del tercer año? Año Año Año Año
0: 1: 2: 3:
1.000 1.000 * (1+0,12) = 1.120 1.120 * (1+0,12) = 1.254 1.254 * (1+0,12) = 1.405
Alternativamente: VF= 1.000 * (1+0,12)3 = 1.000 * 1.4049 = 1.405
Cálculo del valor futuro y presente de un pago único Ejemplo VA:
b) Si en cuatro años más necesito tener $ 3.300 y la tasa de interés anual es de 15%. ¿Cuál es el monto que requiero depositar hoy para lograr la meta? Año Año Año Año Año
4: 3: 2: 1: 0:
3.300 3.300 / (1+0,15) = 2.869,6 2.869,6 / (1+0,15) = 2.495,3 2.495,3 / (1+0,15) = 2.169,8 2.169,8 / (1+0,15) = 1.886,8
Alternativamente: VA= 3.300 / (1+0,15)4 = 1.000 / 1,749 = 1.886,8
10
Cálculo del valor futuro y presente de un pago único Ejemplos VF y VA:
Caso especial c) Si los $1.000 de hoy equivalen a $1.643 al final del año 3. ¿Cuál será la tasa de interés anual? VF=
1.000 * (1+r)3 = 1.643 (1+r)3 = 1,64 (1+r) = (1,64)1/3
1+r = 1,18 r = 0,18
11
Interés Simple % Es el interés por devengado o cobro linealmente proporcional al capital, a la tasa de interés y al número de periodos de interés por los que el principal se impone.
La tasa de interés (i)
Definición de las variables en la valoración del capital financiero P= Stock inicial, valor actual S(F)= Stock final, valor futuro A= Flujo constante, series de sumas de dinero consecutivos e iguales en fin de periodo N= Número de periodos de interés, años, semestres, trimestres, meses o días i= Tasa de interés por periodo de interés, porcentaje anual, porcentaje mensual, etc. t= Tiempo expresado en periodos, años, meses, días, etc.
Tasas de interés compuesta y simple
...continuación
Tasa de interés equivalente Si se tiene una tasa de interés anual ra , la tasa de interés mensual equivalente rm, puede ser calculada usando las siguientes expresiones: Con interés compuesto:
rm 1 ra
Con interés simple:
rm
1 12
1
ra 12
Este ejemplo se hace extensivo a cualquier unidad de tiempo. 13
Tasas de interés simple Tasa de interés simple Concepto poco utilizado en el cálculo financiero, es de fácil obtención, pero con deficiencias por no capitalizar la inversión periodo a periodo. El capital invertido es llevado directamente al final sin que se capitalice periodo a periodo con los intereses ganados
VF VA * (1 r * n)
VF VA 1 r * n
VF = Monto acumulado (valor final) VA = Inversión inicial (valor actual) r = tasa de interés del periodo n = número de períodos
(1+r*n) : Factor acumulación simple
1 (1+r*n) : Factor descuento simple
Tasas de interés compuesta Tasa de interés compuesta Corresponde al mismo concepto asociado a la conversión de un valor actual (VA) en un valor final (VF) y viceversa. El monto inicial se va capitalizando periodo a periodo, así por ejemplo, luego del primer periodo se suma el capital más los intereses ganados y este total es el que gana intereses para un segundo periodo.
VF VA * 1 r
n
VF VA n 1 r
VF = Monto capitalizado (valor final) VA = Inversión inicial (valor actual) r = tasa de interés del periodo n = número de períodos
(1+r) n : Factor de capitalización 1 (1+r) n : Factor de descuento
Ejemplos de Tasas de interés Ejemplo tasa interés compuesta versus tasa interés simple
Si se tiene $1.000 hoy y la tasa de interés anual es de 12%. ¿Cuál será su valor al final del tercer año? Con tasa interés compuesta: C = 1.000 * (1+0,12)3 = 1.000 * 1,4049 = 1.405 1000
1120 1+r
1254 1+r
1405 1+r
Intereses ganados: Año 1: $ 120 Año 2: $ 134 Año 3: $ 151
Con tasa interés simple: C = 1.000 * (1+0,12*3) = 1.000 * 1,36 = 1.360 1000
1360 1+r*3
Intereses ganados: Año 1: $ 120 Año 2: $ 120 Año 3: $ 120
SERIES UNIFORMES Una serie o anualidad es una corriente de flujos de efectivo anual, mensual o equivalentes. Estos flujos de efectivo pueden ser entradas por el rendimiento obtenido sobre inversiones o salidas de fondos invertidos para obtener rendimientos futuros.
Clasificación de las series uniformes Cuando un préstamo P se empieza a pagar desde el primer periodo ( en su etapa final)
0
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
….
n
Flujos Flujo inmediato anticipado Cuando un préstamo P se empieza a pagar desde el primer periodo ( en su etapa inicial). A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
….
n
Flujo diferido vencido Cuando un préstamo P siempre empieza a devolverse después de m periodos, pero desde el término del periodo ( m+1) A
0
1
2
3
m m+1
A
A
A
………
A
A
A
A
n
SERIES UNIFORMES Flujo diferido anticipado Cuando un préstamo P siempre se empieza a devolver después de m periodos, pero desde el inicio del periodo ( m+1) A
0
1
2
3
A
m m+1
A
A
………
A
A
A
A
n
Ecuación simplificada para calcular el valor futuro de una serie uniforme
, Factor de capitalización de la serie (FCS)
VALOR PRESENTE DE UNA SERIE VALOR PRESENTE DE UNA SERIE Ecuación financiera para calcular el valor presente de una serie uniforme
Ecuaciones simplificadas para calcular el valor presente de la serie uniforme
Factor de actualización de la serie (FAS)
ANUALIDADES Considere un flujo (F1) (anualidad) por montos iguales que se paga al final de todos los años por un período de tiempo n a una tasa r Año:
0
Flujos Actualizados: F1
(1+r)
F1
(1+r)2
F1
(1+r)3
F1
(1+r)n-1
F1
(1+r)n
1
2
3
n-1
n
F1
F1
F1
F1
F1
ANUALIDADES El Valor Actual de esa anualidad (F1) que implica la suma de todos esos flujos actualizados al momento 0 se define como: VA F1 *
1 (1 r )
F1 *
1 (1 r )
2
... F1 *
(1 r ) n 1 F1 * r * (1 r ) n
1 (1 r ) n VA F1 * r
1 (1 r )
n
ANUALIDADES Como contrapartida al valor actual de un flujo se tiene: El Valor Final de una anualidad (F1) que implica la suma de todos esos flujos llevados al periodo n y se define como: VF F1 * (1 r )
n
F1 * (1 r )
n 1
... F1
(1 r ) n 1 VF F1 * r
ANUALIDADES Ejemplo anualidad: Suponga usted pagó cuotas mensuales de $250.000 por la compra de un auto durante 2 años (24 meses) a una tasa de 1% mensual. ¿ Cuál fue el valor del préstamo?
1 (1 0,01) 24 VA 250.000 * 3.186.508 0,01
24
ANUALIDADES Ejemplo anualidad: Suponga usted trabajará durante 30 años, su cotización en la AFP será de $20.000 mensuales, si la AFP le ofrece una rentabilidad mensual de 0,5% ¿ Cuál será el monto que tendrá su fondo al momento de jubilar?
(1 0,005)360 1 VF 20.000 * 20.090.301 0,005
25
ANUALIDADES Ejemplo anualidad: Suponga usted comprará una casa que vale hoy $20.000.000 y solicita al banco un crédito por el total del valor a 15 años plazo (180 meses). La tasa de interés es de 0,5% mensual. ¿ Cuál deberá ser el valor del dividendo mensual ? n 1 ( 1 r ) Si: VA F * 1 r
Así:
26
Entonces:
r F1 VA * 1 (1 r ) n
0,005 F1 20.000.000 * 168.771 180 1 (1,005)
Cálculo de sumas futuras Calcular el depósito necesario para acumular una suma futura La ecuación que permite calcular el valor de A serie uniforme o pago para acumular una suma futura, se obtiene despejando el valor de A de la ecuación:
El valor entre corchete recibe el nombre de : Factor de depósito al fondo de amortización o acumulación
Fórmula abreviada:
Cálculo del valor de la serie A conociendo su Valor presente Cálculo del valor de la serie A conociendo su Valor presente Partiendo de la ecuación del valor presente de la serie:
Despejando el valor de A en la ecuación :
Factor de recuperación de capital
Fórmula abreviada:
Resumen
RESUMEN
ANUALIDADES Perpetuidad Considérese un flujo (F1) (anualidad) por montos iguales que se paga a perpetuidad. Perpetuidad corresponde a un periodo de tiempo lo suficientemente grande para considerar los flujos finales como poco relevantes dado que al descontarlos al año 0 son insignificantes. El Valor actual de esa anualidad se define como:
F1 VA r
ANUALIDADES Ejemplo perpetuidad: Suponga usted es de esos afortunados que decide jubilar a los 50 años y recibirá una renta vitalicia de $50.000 mensuales hasta que muera. La tasa de interés relevante es de 1% mensual y la empresa que le dará la renta supone una “larga vida” para usted (suponen podría llegar a los 90, o tal vez 95 o porqué no 100 años). ¿ Cuál es el valor actual del fondo que la empresa debe tener para poder cubrir dicha obligación?
50.000 VA 5.000.000 0,01
En rigor, usando la fórmula de valor actual de una anualidad (no perpetua) se tendría: Si vive 90 años: VA=$ 4.957.858 Si vive 95 años: VA=$ 4.976.803 Si vive 100 años: VA=$ 4.987.231 Todos muy cercanos a $5 millones
INFLACION Y TASAS DE INTERES Inflación: Aumento sostenido en el nivel general de precios. Normalmente medido a través del cambio en el IPC En presencia de inflación (π) , la capacidad de compra o poder adquisitivo de un monto de dinero es mayor hoy que en un año más. Periodo 0
Periodo 1
(Año 0)
(Año 1)
$100
$100 Si π = 25%
INFLACION Y TASAS DE INTERES La tasa de interés (conocida como tasa nominal) deberá incorporar: A. La rentabilidad exigida para hacer indiferente un monto ahora o en el futuro (valor dinero en el tiempo) (tasa real) B. Diferencial que cubra la inflación y mantenga el poder adquisitivo (tasa inflación) La ecuación que relaciona las tasas nominal y real, es conocida en la literatura con el nombre de igualdad de Fischer:
1 i 1 * 1 r B
33
A
Donde
i = tasa de interés nominal r = tasa de interés real = Tasa de inflación
INFLACION Y TASAS DE INTERES RESUMEN: 2 conceptos: * Costo de oportunidad (tasa interés real) * Poder adquisitivo (inflación) Paso 1: Valora costo de oportunidad, tasa de interés de 10% Si r = 10% Año 1
Año 0
$1000
$1100
Paso 2: Valora costo de oportunidad y además; Mantiene poder adquisitivo, inflación de 25% Año 1
$1100 34
Si
π = 25%
Año 1
$1375
INFLACION Y TASAS DE INTERES
Ejemplo: Si tengo $ 500 y un banco me ofrece una tasa de interés nominal anual del 37,5% y me encuentro en una economía donde la inflación es del 25% anual. ¿ Cuál es la tasa real correspondiente ? ¿ Cuánto es mi capital nominal al final del año ?
35
INFLACION Y TASAS DE INTERES Si: ( 1 + i ) = ( 1 + ) * ( 1 + r ) Donde =0,25 y i =0,375 Entonces: (1+0,375) = (1+0,25)*(1+r) (1+r) = 1,1 r = 10% Si el capital inicial es C0 = $ 500 Entonces: C1 = C0*(1+i) = 500*(1,375) C1= $ 687,5
36
INFLACION Y TASAS DE INTERES Nota importante
La evaluación de proyectos utiliza tasas de interés reales y por tanto flujos reales, de esta forma se evita trabajar con inflaciones que normalmente tendrían que ser estimadas a futuro con el consiguiente problema de incertidumbre.
37
INFLACION Ejemplo: Inflactar Si costos de inversión de un proyecto formulado en el año 2001 son $7.000 millones pero éste será ejecutado a partir de enero del 2003. Se deberá actualizar (inflactar) dicho costo según variación en Indice de Precios al Consumidor (IPC):
Si:
IPC promedio 2001 = 108,67 IPC promedio 2002 = 111,38 Así:
Costot Costot 1 * (1 cambioIPC ) CambioIPC
Costo 38
t
IPC t 1 IPC t 1
7 . 000 * (1 (
111 , 38 1) 7.174,6 108 , 67
INFLACION Ejemplo: Deflactar
Si costos de inversión de un proyecto formulado en el año 2002 son $15.000 millones pero se necesita saber cual habría sido su costo real en el año 2001 Se deberá deflactar dicho costo según variación en Indice de Precios al Consumidor (IPC): Si: Así:
IPC promedio 2001 = 108,67 IPC promedio 2002 = 111,38
Costot Costot 1 * (1 cambioIPC ) Costot 1
CambioIPC
39
Costot (1 cambioIPC )
IPC t 1 IPC t 1
Costo
t 1
15 . 000 14.635 111 , 38 1) (1 ( 108 , 67
Cálculo de Intereses Fórmulas de interés que relacionan una serie de gradiente uniforme con sus valores presente y anual
1
2
N-1 N-2
3
G
(N-3)G
2G
Nota: No hay pago al final del primer periodo
(N-2)G (N-1)G
Pagos gradientes ( típicos)
P= G(P/G,i%,N)
Serie Anual Uniforme Equivalente
Simplificando:
Pg =? 1 d
Pg= Valor presente de la serie escalonada en el año 1 d= Representa la cantidad de dólares en el año 1 g = Representa la tasa de crecimiento geométrico
2
3
4
n
EJERCICIO 1
Ejercicio 1: El Ing. Juan Pérez va a invertir $150 000 a 3 años con un interés con un interés compuesto de 18 % anual, capitalizable cada año. ¿Cuánto va a recibir al vencimiento de la inversión? Solución: Capital Inicial= $ 150 000 Tasa de interés= 18 % anual
año
intereses en simple
0
saldo con interés simple
intereses en compuesto
$150,000
saldo con interés compuesto $150,000
1
$27,000
$177,000
$27,000
$177,000
2
$27,000
$204,000
$31,860
$208,860
3
$27,000
$231,000
$37,595
$246,455
Diferencia entre saldos = $ 15 455
EJERCICIO 2 Ejercicio 2: Compare el interés devengado por 500 dólares durante 10 años a un interés simple del 8% con el que devenga la misma cantidad en 10 años con un interés compuesto anual del 8%. Solución : Interés simple Datos:
Entonces: Interés compuesto Ahora:
Entonces:
EJERCICIO 2 Finalmente:
2(a) Se pide calcular el interés devengado al 3º año por el método compuesto.
Diagrama de efectivo
EJERCICIO 2
2(b) Se pide calcular el capital del cliente al 8º año. Utilice el método de actualización.
De acuerdo con la ecuación financiera, nos sale:
Por el método de actualización:
EJERCICIO 3 - Tasa de interés efectiva y nominal Ejercicio 3 : Si la tasa nominal anual es del 56% con capitalización trimestral, ¿cuál es la tasa efectiva mensual?
Solución: Datos: Siguiendo la relación:
Luego:
EJERCICIO 4 - Tasa de interés efectiva y nominal Ejercicio 4 : ¿Cuál es el interés por un capital de $ 5 000 en 35 días con un interés del 8% efectivo anual? Solución
Solución :
Del diagrama, se tiene la siguiente ecuación financiera:
Ahora:
EJERCICIO 5 - Cálculo del valor presente de un serie de pagos
Ejercicio 5 : ¿Qué valor de A hace que los dos flujos de efectivos anuales de la figura sean equivalentes a un interés compuesto del 10% anual? 200 i =10 % 100
100
100
150
A
A
A
0
1
Solución:
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
EJERCICIO 4 - Tasa de interés efectiva y nominal
Como los flujos de efectivo son equivalentes:
EJERCICIO 6 - Series Uniformes
Ejercicio 6.1: Parte del ingreso que genera una maquina se coloca a un fondo de amortización a fin de poder reemplazar una vez que se desgaste. Si se depositan $500 anuales a una tasa de interés del 6% ¿Cuántos años hay que conservar la maquina antes de poder comprar la nueva con un costo de $10000? Solución:
EJERCICIO 6 - Series Uniformes
RESPUESTA: Para poder comprar una maquina nueva de $10000 es necesario conservar la maquina conservar la maquina que usamos actualmente por un periodo de 13.53 años. Ejercicio 6.2 : Usted ha obtenido un préstamo de $10000 a una tasa de interés del 15%. Se efectuaran pagos iguales durante un periodo de 3 años (el primer pago al final del primer año). a)El pago anual será de (), b) El pago de interés del segundo año de (). Solución:
EJERCICIO 6 - Series Uniformes
Final del Periodo
Amortización
Interés
Cuota
0
Balance $10000
1
$2879.77
$1500
$4379.77
$7120.23
2
$3311.74
$1068.03
$4379.77
$3808.49
3
$3808.49
$571.27
$4379.77
0
• I1=Pxi • I1=10000x0.15=1500
• I1=Pxi • I1=7120.23x0.15=1068.03
• a1=4379.77-1500 • a1=2979.77
• a1=4379.77-1068.03 • a1=3311.74
Primer Año
Segundo Año
• I1=Pxi • I1=3808.49x0.15=571.27
Tercer Año
RESPUESTA: El pago de interés del segundo año es de $1068.03
EJERCICIO 7 - Cálculo del valor futuro de una serie uniforme
Ejercicio 7.1 : Suponga que se depositan 1000 dólares en una cuenta bancaria al final de cada trimestre durante los próximos 10 años. Determine el valor futuro al final de los 10 años si la tasa de interés es del 8% compuesto: a)Trimestralmente b)Mensualmente
F
0
Solución:
1
2
3
…
40
A=$1000; j=8%
a)
(2% de efectivo trimestral)
EJERCICIO 7 - Cálculo del valor futuro de una serie uniforme De la fórmula:
b)
De la fórmula (0.67 % efectivo mensual)
Calculamos la tasa efectiva trimestral:
Ecuación Financiera:
EJERCICIO 8 - Valor presente de una serie uniforme Ejercicio 8.1: Un aparato eléctrico que tiene un precio de contado de $ 12,000 se compra a crédito bajo las siguiente condiciones: Interés mensual 3%, pago de seis mensualidades iguales, las primeras tres mensualidades se pagan al final de los meses 1,2, y 3, se suspenden los pagos en los meses 4, 5,6, y 7 y las últimas tres mensualidades se cubren al final de los meses 8,9 y 10. Calcular el valor de cada una de las seis mensualidades. Solución:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
$ 12000
A = $ 339.85 El monto a pagar mensualmente es de $339.85.
9
10
EJERCICIO 9 - Serie de gradiente uniforme aritmética Ejercicio 9.1: El señor Jaime Pérez está planeando hacer una contribución a la universidad de la cual es egresado. Él desearía donar hoy una cantidad de dinero, de modo que la universidad pueda apoyar estudiantes. Específicamente, desearía proporcionar apoyo financiero para las matrículas de cinco estudiantes por año durante 15 años en total (es decir, 16 becas), efectuando la primera beca de matrícula de inmediato y continuando en intervalos de 1 año. El costo de la matrícula en la universidad es de $3800 anuales y se espera que se mantenga en esa cantidad durante 2 años más. Después de ese momento, sin embargo, el costo de la matrícula aumentará en $30 por año. Si la universidad puede depositar la donación y obtener un interés a una tasa 8%, ¿Cuánto debe donar el señor Pérez?
Pago por año Año
Pago
Año
Pago
0 1 2 3 4 5 6 7
$3,800 $3,800 $3,800 $3,830 $3,860 $3,890 $3,920 $3,950
8 9 10 11 12 13 14 15
$3,980 $4,010 $4,040 $4,070 $4,100 $4,130 $4,160 $4,190
EJERCICIO 9 - Serie de gradiente uniforme aritmética
Como podemos darnos cuenta, esta serie compuesta se puede descomponer en otras dos claramente notables: una simple serie de pagos de 3800 desde el año 0 hasta el año 15, y otra con gradiente aritmético de $30 desde el año 1 hasta el año 15 (posteriormente habrá que llevarla al año 1). P=PA+PG Paso 1: Se debe trabajar con la serie uniforme con A=$3800, el esquema de calculo del valor actual de serie funciona a partir del año 1, por ello adicionamos el 3800 del año 0.
EJERCICIO 9 - Serie de gradiente uniforme aritmética Paso 2 :Se debe con el gradiente aritmético de G=$30, desde el año 1, luego trasladarlo con un factor de actualización
Paso 3: Calculamos el total que el señor Pérez debe donar
El monto calculado es por alumno, por lo tanto el monto total debe ser $187688.15 Rpta: El monto total donado por el señor Pérez vale en la actualidad $187688.15
EJERCICIO 10 - Serie geométrica Ejercicio 10.1 : Un padre de familia desea que su hijo de 7 años estudie una profesión. En la Universidad donde él desea inscribirlo normalmente las carreras duran 8 semestres y la colegiatura semestral actualmente es de $20,000 y crece por razón de la inflación un 10% semestral. Para lograrlo el padre de familia decide ahorrar una cantidad anual durante 10 años, empezando al final del octavo cumpleaños de su hijo. Si la cuenta de ahorros le da el 15% anual de intereses y el primer pago de colegiatura se hará al final de la primera mitad del año 18 del ahorro, ¿De qué tamaño deben ser las anualidades que se depositan en dicha cuenta de ahorros de modo que al pagar la última colegiatura se agote este ahorro?
Solución:
EJERCICIO 10 - Serie geométrica PASO 1: Debemos calcular la mensualidad del último semestre del año 17. La fórmula financiera es: El número de semestres son 22 semestres F=P (F/P, 10%,22) F= 20000(1.10)22=162805.50
PASO 2: Debemos calcular la tasa de interés semestral (1+1.15)(1/5)= (1+i) i=0.0724
PASO 4. Calcular el valor de A PASO 3. Debemos calcular el valor presente A=P(A/P, 15%,10) P=A
P=162805.5 (8.1676) = 132970.202
A=1329730.202
EJERCICIO 11 - Combinación de fórmulas financieras Ejercicio 11 : David Kapamagan obtuvo un préstamo de un banco para financiar una pequeña embarcación de pesca. Los términos del préstamo bancario le permiten diferir los pagos durante seis meses y luego efectuar 36 pagos mensuales iguales. El préstamo original fue por 3000 dólares con una tasa de interés del 12% compuesto mensualmente. Tras 16 pagos mensuales, David se encontró en problemas financieros y acudió a una compañía de préstamos para obtener ayuda. Por fortuna tal compañía se ofreció a pagar toda su deuda si él les pagaba 73.69 dólares mensuales durante 40 meses. ¿Qué tasa de interés mensual está cobrando la compañía de préstamos por la transacción? Solución
EJERCICIO 11 - Combinación de fórmulas financieras Capitalizando $ 3000
