GBV-ICESI-MATEMATICAFINANCIERA

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Guillermo Buenaventura V.

Universidad ICESI

GUILLERMO BUENAVENTURA VERA

Universidad ICESI 2000

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Universidad ICESI

MATEMÁTICAS FINANCIERAS Guillermo Buenaventura V.

1. CONCEPTOS 1.1 DINERO El dinero es un medio de pago por el cual se logran realizar transacciones o intercambios de bienes y/o servicios, reemplazando al procedimiento de trueque de los mismos, y de paso agilizando y facilitando las mencionadas transacciones. Un individuo que posea dinero líquido está en capacidad de comprar lo que encuentre más apropiado para su bienestar, mientras que un individuo que haya invertido su dinero en un bien o en un servicio ya no tiene la capacidad de comprar lo que desee, ya tiene lo que deseaba cuando tenía el dinero en su poder. El dinero representa, por los tanto, el PODER de tomar decisiones sobre lo que se puede adquirir, es decir, sobre a qué tipo de beneficio (bien o servicio) acceder por parte de su poseedor. Si bien el dinero por sí solo no representa ningún tipo de bienestar (no se puede obtener el goce antes de adquirir el correspondiente bien o servicio que se disfrutará), sí constituye una entidad de gran valor debido al poder de decisión de bienestar que representa. Pero este valor está apoyado en dos instancias: - El reconocimiento que el público en general le da al dinero, y específicamente a una moneda en particular (digamos el peso colombiano, por ejemplo), el cual depende de la solidez económica del país que lo avala. - El reconocimiento que el individuo (o empresa) específicamente le conceda a la posición de poseer dinero, el cual depende de las oportunidades de uso que el individuo considere tener.

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MATEMÁTICAS FINANCIERAS Guillermo Buenaventura V.

1. CONCEPTOS 1.1 DINERO El dinero es un medio de pago por el cual se logran realizar transacciones o intercambios de bienes y/o servicios, reemplazando al procedimiento de trueque de los mismos, y de paso agilizando y facilitando las mencionadas transacciones. Un individuo que posea dinero líquido está en capacidad de comprar lo que encuentre más apropiado para su bienestar, mientras que un individuo que haya invertido su dinero en un bien o en un servicio ya no tiene la capacidad de comprar lo que desee, ya tiene lo que deseaba cuando tenía el dinero en su poder. El dinero representa, por los tanto, el PODER de tomar decisiones sobre lo que se puede adquirir, es decir, sobre a qué tipo de beneficio (bien o servicio) acceder por parte de su poseedor. Si bien el dinero por sí solo no representa ningún tipo de bienestar (no se puede obtener el goce antes de adquirir el correspondiente bien o servicio que se disfrutará), sí constituye una entidad de gran valor debido al poder de decisión de bienestar que representa. Pero este valor está apoyado en dos instancias: - El reconocimiento que el público en general le da al dinero, y específicamente a una moneda en particular (digamos el peso colombiano, por ejemplo), el cual depende de la solidez económica del país que lo avala. - El reconocimiento que el individuo (o empresa) específicamente le conceda a la posición de poseer dinero, el cual depende de las oportunidades de uso que el individuo considere tener.

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Cuando un ente poseedor de alguna cantidad de dinero se desprende de ella por algún tiempo, está renunciando al poder decisorio de bienestar que ese dinero le otorga, y por lo tanto esa cesión temporal del dinero está soportada por una motivación especial, que es a la postre la promesa de obtener un beneficio de goce mayor en el futuro que el que hoy obtendría con el dinero. Esta acción de aplazamiento del beneficio está representada en un rendimiento financiero que la cantidad inicial de dinero le proporciona. El rendimiento que proporciona el enajenamiento temporal del dinero es el INTERÉS que genera el mismo.

1.2 INTERÉS 1.2.1 Naturaleza El interés es el importe de alquiler del dinero.

1.2.2 Expresión El interés se expresa en MONTO o en PORCENTAJE del capital negociado por período. Como importe de alquiler que es, el interés debe referirse a períodos de tiempo, y, según el capital comprometido, se puede establecer el monto periódico o el porcentaje correspondiente. Ejemplo:

Un préstamo de 10 millones de pesos paga un interés del 2% mensual, o sea, un monto de $200.000 mensuales por intereses.

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1.2.3 Tasa de Interés La expresión porcentual del interés se denomina TASA DE INTERÉS. La tasa de interés aplica al capital comprometido. Ejemplo:

Un préstamo de cuatro millones de pesos se cancelará en dos cuotas semestrales iguales de dos millones cada una. Si la tasa de interés es del 8% semestral, calcular los montos de interés que se deben cancelar por período:

Período

Capital ($) Comprometido

Primer semestre 4.000.000 Segundo semestre 2.000.000

Tasa de Interés (%)

Monto de Interés ($)

8,0 8,0

320.000 160.000

(Nótese que al final del primer semestre se abonan $2.000.000 al capital comprometido en el préstamo, por lo tanto el saldo de capital por pagar para el segundo semestre es de $2.000.000).

1.3 EQUIVALENCIA El dinero tiene diferente valor en el tiempo debido precisamente al interés que genera; por lo tanto no es correcto comparar o sumar o restar montos que tengan diferente ubicación en el tiempo; solo se pueden operar cifras que estén ubicadas en el mismo momento. Para poder operar estas cifras deben posicionarse EQUIVALENTEMENTE en el mismo tiempo. Ejemplo:

En principio, no se puede saber cuál cifra tiene más valor, ingresar un millón y medio de pesos hoy o ingresar dos millones de pesos dentro de ocho meses; el resultado dependerá de la tasa de interés que se aplique.

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1.4 MODALIDADES DE INTERÉS Como importe de alquiler del dinero que es, el interés se causa generalmente por períodos (en algunos casos excepcionales el período llega a tender a cero, generando una modalidad de interés continuo); pero se acepta que el pago de esos intereses causados se pueda hacer en períodos diferentes a los correspondientes a la causación, dando lugar a la acumulación de los intereses. Cuando los intereses se acumulan dan lugar a una de dos modalidades de acumulación: - INTERÉS SIMPLE, en la que los intereses se acumulan sumándolos simplemente en una cuenta aparte del capital, la que se cancela en el momento estipulado en el contrato o en la situación. - INTERÉS COMPUESTO, en la que los intereses, una vez causados se llevan a la cuenta de capital, de tal manera que son objeto de generar más intereses sobre ellos mismos una vez capitalizados. Se puede decir, entonces, que la modalidad de Interés Compuesto capitaliza los intereses causados, mientras que la modalidad de Interés Simple no los capitaliza. Ejemplo:

Un préstamo de 100 millones de pesos se pacta a un año, al cabo del cual se cancela el capital involucrado y todos los intereses causados con una tasa de interés del 2% mensual. Calcular el monto que se debe pagar al cabo del año con cada una de las modalidades, Interés simple e Interés compuesto:

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INTERÉS SIMPLE

Capital Principal = Tiempo = Tasa de interés =

Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

$ 100.000.000 12 meses 2 % mensual

Capital Inicial ($) 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000

Final en cuentas Total por cancelar

Intereses Generados ($) 2.000.000 2.000.000 2.000.000 2.000.000 2.000.000 2.000.000 2.000.000 2.000.000 2.000.000 2.000.000 2.000.000 2.000.000

Capital Final ($)

Intereses Acum. ($)

100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000

2.000.000 4.000.000 6.000.000 8.000.000 10.000.000 12.000.000 14.000.000 16.000.000 18.000.000 20.000.000 22.000.000 24.000.000

100.000.000

24.000.000 124.000.000

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INTERÉS COMPUESTO

Capital Principal = Tiempo = Tasa de interés =

Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

$ 100.000.000 12 meses 2 % mensual

Capital Inicial ($) 100.000.000 102.000.000 104.040.000 106.120.800 108.243.216 110.408.080 112.616.242 114.868.567 117.165.938 119.509.257 121.899.442 124.337.431

Final en cuentas Total por cancelar

Intereses Generados ($) 2.000.000 2.040.000 2.080.800 2.122.416 2.164.864 2.208.162 2.252.325 2.297.371 2.343.319 2.390.185 2.437.989 2486.749

Capital Final ($)

Intereses Acum. ($)

102.000.000 104.040.000 106.120.800 108.243.216 110.408.080 112.616.242 114.868.567 117.165.938 119.509.257 121.899.442 124.337.431 126.824.180

-------------------------

126.824.180

--126.824.180

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Como puede observarse en los cálculos anteriores, el interés que mes a mes genera la modalidad de Interés Compuesto es mayor que el que genera la modalidad de Interés Simple, debido a que el capital va aumentando en la medida en que los intereses se le acumulan (se capitalizan). También se observa cómo el pago total, involucrando el préstamo y los intereses al final del período, resulta mayor en la modalidad de interés Compuesto para las mismas cifras de tasa de interés y de número de períodos.

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2. INTERÉS SIMPLE 2.1 CONCEPTO La modalidad de interés simple no capitaliza intereses, o sea, no considera “intereses sobre los intereses”.

2.2

FORMULACIONES

2.2.1 Monto de Intereses El monto de los intereses acumulados se obtiene de multiplicar el capital principal por la tasa de interés periódica y por el número de períodos por los cuales se acumula el interés.

I = Pxixt I: P: i: t:

Ejemplo:

Monto de los intereses ($) Monto del capital principal ($) Tasa de interés por período (%/100) Número de períodos (días, meses, años, etc.)

Calcular el monto de interés que paga un préstamo de $500.000 al 1,5% mensual por un período de 18 meses: Capital = Tasa = Tiempo =

$500.000 1,5% = 0,015 18 períodos

Monto de Intereses =

500.000 x 0,015 x 18 =

$ 135.000

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2.2.2 Equivalencia El concepto de equivalencia permite relacionar montos involucrados en el mismo negocio y ubicados en diferente momento, en diferente tiempo. 2.2.2.1 Relación entre un monto Presente y un monto Futuro El concepto de equivalencia permite cuantificar el monto total al que equivale (que paga por) un capital principal en el futuro para restituirlo incluyendo sus intereses. El monto futuro equivalente se calcula sumando al monto de capital principal el monto de los intereses generados.

VF = P + I VF = P x (1 + i x t) VF : I: P: i: t:

Ejemplo:

Monto futuro equivalente ($) Monto de los intereses ($) Monto del capital principal ($) Tasa de interés por período (%/100) Número de períodos (días, meses, años, etc.)

Calcular el pago total (o monto futuro equivalente) que cancela un préstamo de $500.000 al 1,5% mensual por 18 meses: Capital = $500.000 Tasa = 1,5% = 0,015 Tiempo = 18 períodos Monto de Intereses = 500.000 x 0,015 x 18 =

$ 135.000

Monto Futuro =

$ 635.000

500.000 + 135.000 =

También se puede calcular directamente, así: Monto Futuro = 500.000 x ( 1 + 0,015 x 18) =

$ 635.000

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Dado un monto futuro es posible encontrar el monto presente o monto del capital en el momento presente reacomodando correspondientemente la fórmula anterior.

VP = F / ( 1 + i x t) VP : F: i: t:

Ejemplo:

Monto presente equivalente ($) Monto futuro ($) Tasa de interés por período (%/100) Número de períodos (días, meses, años, etc.)

Calcular el valor presente de una deuda que debe cancelar $3.000.000 dentro de 18 meses, si el interés pactado es del 3% mensual: Monto futuro = Tasa = Tiempo = Monto Presente =

$3.000.000 3% = 0,03 18 períodos 3.000.000 / (1 + 0,03 x 18) =

$ 1.948.052

2.2.2.2 Cálculo de la Tasa de Interés Teniendo los demás términos de la ecuación anterior, es posible calcular la tasa de interés de equivalencia de dichas cantidades.

i = (VF / P - 1) / t i: VF : P: t:

Tasa de interés por período (%/100) Monto futuro equivalente ($) Monto del capital principal ($) Número de períodos (días, meses, años, etc.)

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Ejemplo:

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Calcular la tasa de interés mensual que se aplica a un préstamo de $1.000.000 que se cancela con $1.750.000 a los 20 meses: Capital = Monto Futuro = Tiempo =

1.000.000 1.750.000 20 meses

Tasa de Interés = ((1.750.000 / 1.000.000) – 1) / 20 = 3,75% mensual

2.2.2.3 Cálculo del Tiempo Análogamente se puede despejar la variable tiempo (número de períodos) de la ecuación anterior.

t = (VF / P - 1) / i t: VF : P: i:

Ejemplo:

Número de períodos (días, meses, años, etc.) Monto futuro equivalente ($) Monto del capital principal ($) Tasa de interés por período (%/100)

Calcular el tiempo necesario para que $10.000.000 se conviertan en $15.000.000 a una tasa del 2,5% mensual. Capital = Monto Futuro = Tasa =

10.000.000 15.000.000 1,0 % mensual

Tiempo = ((15.000.000 / 10.000.000) – 1) / 0,010 =

50 meses

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2.2.3 Tasa de Interés La tasa de interés se tiene como porcentaje por unidad de tiempo. Este período puede coincidir o no con el período que maneje el negocio. Es muy usual enunciar la tasa de interés en términos anuales (tasa nominal); si se requiere en otra base (tasa periódica) se debe convertir dividiendo la cifra entre el número de períodos que comprenda el año (12 meses, 360 días, etc.).

ip = in / n in = ip x n i p: i n: n:

Ejemplo:

Tasa de interés periódica (% por día, mes, etc.) Tasa de interés nominal (% anual) Número de períodos por año (días, meses, etc.)

Calcular la tasa mensual correspondiente a una tasa del 30% anual: Número de períodos = Tasa periódica = 30 / 12 =

Ejemplo:

12 meses por año 2,5% mensual

Calcular la tasa anual correspondiente a un interés del 7% trimestral: Número de períodos = Tasa nominal = 7 x 4 =

4 trimestres por año 28,0% anual

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3. INTERÉS COMPUESTO 3.1 CONCEPTO La modalidad de Interés Compuesto, como ya se anotó, asume la posición de que los montos de intereses generados pero no cancelados renten, así como el capital, su misma tasa de interés. Este efecto se obtiene con la acción de CAPITALIZACIÓN de los intereses causados. Cada vez que se causan y, por lo tanto se calculan, los intereses generados se llevan a la cuenta del capital, de tal modo que si no son cancelados en el momento (porque así se acordó en el contrato y no por incumplimiento de este) entran a ser objeto de devengar las tasa de interés pactada, como capital que ya son. Esta modalidad de manejo de los intereses está más acorde con el concepto de Valor del Dinero en el Tiempo que la modalidad de Interés Simple, en la cual el dinero correspondiente a los montos causados de interés no puede generar más intereses sobre sí, así sea cancelado mucho tiempo después de su causación.

3.2 ELEMENTOS Los elementos que intervienen en toda situación financiera son: - El TIEMPO (tiempo de duración del negocio y tiempo o período de capitalización de los intereses). - La TASA de interés que se aplica al período. - Los FLUJOS DE FONDOS ó FLUJOS DE DINERO que se ubican en los diferentes momentos.

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3.2.1 El Tiempo Normalmente el tiempo de duración del negocio se divide en PERÍODOS (días, meses, años, etc.) o intervalos, correspondientemente con la forma de capitalización convenida. Para el desarrollo de las equivalencias, en principio estos intervalos deben ser de igual longitud, es decir, todos los períodos deben se iguales; aunque en algunos casos se formulan modelos que atienden situaciones de períodos de diferente longitud, esta situación no se abordará en el tratamiento presentado en este documento, por considerarla de rara ocurrencia. Es usual ayudarse en el análisis de negocios con GRÁFICOS de las situaciones. El tiempo se representa en una recta numérica, cuyas divisiones corresponden a los períodos:

0

1

2

n

3.2.2 La Tasa de Interés La Tasa de Interés representa el costo del alquiler del capital involucrado en un negocio. Normalmente se representa con la letra i, y se da en porcentaje por unidad de tiempo. La tasa de interés se aplica al PERÍODO DE COMPOSICIÓN, o sea al período en el que se causan los intereses; es importante anotar que esta tasa se denomina TASA PERÍODICA, y que el período para el que ella se declara debe coincidir con el período de partición del tiempo para el negocio (años, meses, días, etc.). La tasa de interés periódica puede aplicarse en forma anticipada o vencida, según lo estipule el contrato. Es indispensable identificar la tasa en tal situación; los desarrollos de Equivalencia que se presentarán más adelante considerarán la tasa de interés como vencida, por lo tanto, si la tasa original fuere de carácter anticipado, requeriría de la conversión previa a tasa periódica vencida para operarla en los modelos que se tendrán.

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Ejemplos: 24% anual compuesta trimestralmente 26% efectiva anual 2% mensual 20% anual compuesta mensualmente de manera anticipada

3.2.3 Los Flujos de Fondos Los Flujos de Fondos representan os Ingresos y los Egresos en cada uno de los períodos de la vida del negocio. Todas las partidas de un período se agrupan y se ubican al final del mismo, por lo tanto los Flujos de Fondos estarán siempre localizados en las divisiones de la recta de tiempo, es decir en los momentos de final de período e inicio del siguiente. Por convención, los Ingresos se representan gráficamente por flechas dirigidas hacia arriba, mientras que los Egresos se representan por flechas dirigidas hacia abajo. En cada momento o período se pueden considerar los Ingresos y los Egresos por separado o bien, aprovechando que partidas de dinero ubicadas en el mismo momento reconocen el mismo nivel de valor, se pueden considerar los correspondientes Flujos Netos (Ingresos menos Egresos). Ejemplo:

La empresa Consolas del País S.A. está considerando ingresar en el negocio de los teclados de computador, para lo cual estima una inversión de $100 millones en un proyecto de cuatro años de vida, con ingresos respectivos de 180, 220, 200 y 170 millones de pesos, y con egresos de 100, 110, 120 y 150 millones de pesos. Consolas del País requiere establecer el diagrama de flujos de fondos para el proyecto: DIAGRAMA DE FLUJO DE FONDOS (FF)

180

220

200

DIAGRAMA DE FLUO FONDOS NETOS (FFN)

DE

200 80

0

110

80

50

0 4 1

100

100

2

3

4

100 110 120

150

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3.3 EQUIVALENCIA 3.3.1 Comentarios 

El concepto de Equivalencia permite “mover” Flujos de Fondos en el tiempo,

conservando su valor, según la tasa de interés asignada. 

Para los cálculos considera todos los Flujo de Fondos ubicados al final de cada período.



La tasa de Interés que se emplee debe ser PERIÓDICA VENCIDA, es decir, corresponder al período o división del tiempo que se tenga, y aplicarse al finalizar cada período. Cualquier otra modalidad de Tasa de Interés deberá ser convertida a esta antes de aplicar los modelos.



Los modelos posibilitarán poder agrupar todos los Flujos de Fondos de un negocio en un solo momento en el tiempo, para operar matemáticamente (sumar y restar) dichos flujos equivalentes y obtener un indicador único del negocio.

3.3.2 Convenciones FLUJO:

Cantidad de dinero originalmente ubicada en un momento en el tiempo.

VALOR:

Cantidad de dinero equivalente en un momento distinto al originalmente ubicado.

PRESENTE:

[P]

Fondo ubicado en el momento 0 (cero) o en un momento anterior al cual va a ser trasladado.

FUTURO:

[F]

Fondo ubicado en el momento n (último) o en un momento posterior al cual va a ser trasladado.

ALÍCUOTA:

[A]

Serie uniforme (cifras iguales) de fondos ubicados de forma consecutiva e ininterrumpida

desde el momento 1 (uno) hasta el momento n (último).

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GRADIENTE ARITMÉTICO: [G] Cantidad constante en la que crece una serie creciente de fondos ubicados de forma consecutiva e ininterrumpida desde el momento 1 (uno) hasta el momento n (último). El gradiente opera a partir del momento 2. GRADIENTE GEOMÉTRICO: [J] Fracción o porcentaje constante en el que crece una serie creciente de fondos ubicados de forma consecutiva e ininterrumpida desde el momento 1 hasta el momento n (último). El gradiente opera a partir del momento 2. P F P F

0

1

2

3

n

0

0

1

2

3

n

0

A

G

1

1

n- 2

2

3

n- 1

n

n

B B+2G B+(n-1)G

0

1

2

3

n

B B(1+J) B(1+J)2 B(1+J)n-1

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3.3.3 Equivalencia entre un flujo Presente y un flujo Futuro 3.3.3.1

Valor Futuro de un Flujo Presente

Para trasladar un flujo Presente a un valor Futuro se capitalizan periódicamente los intereses, así: P = Flujo Presente VF = Valor Futuro i = Tasa de interés para aplicar en cada período n = Número de períodos que separan los momentos de P y de VF Período

Capital al inicio del período

Intereses del período

1 2

P P (1+i)

Pxi P(1+i) i

3

P (1+i)2

P(1+i)2 i

* * * n

* * * P (1+i) n-1

* * * P(1+i)n-1i

Capital al final del período P + Pxi = P(1+i) P(1+i) + P(1+i)i = P(1+i)(1+i) = P(1+i)2 P(1+i)2 + P(1+i)2i = P(1+i)2(1+i) = P(1+i)3 * * * n-1 P(1+i) + p(1+i)n-1i = P(1+i) n-1(1+i) = P(1+i)n

Al final del período n el capital acumulado es P(1+i) n, el cual corresponde al valor futuro del respectivo flujo presente.

VF = P (1+i)n P= VF = i= n=

Flujo Presente ($) Valor Futuro ($) Tasa de interés para aplicar en cada período (% período/100) Número de períodos que separan los momentos de P y de VF

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Ejemplo:


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Un depósito de $5.000.000 se mantiene por cuatro años en una fiducia, que rinde el 1,5% mensual, capitalizando los intereses. ¿Cuánto se retira al final del contrato de fiducia? P = $5.000.000 n = 4 x 12 = 48 meses i = 1,5% = 0,015 VF = 5.000.000 x (1 + 0,015)48 = $ 10.217.391

3.3.3.2

Valor Presente de un Flujo Futuro

Despejando el valor futuro de la fórmula anterior se obtiene:

VP = F / (1+i)n F= VP = i= n=

Ejemplo:

Flujo Futuro ($) Valor Presente ($) Tasa de interés para aplicar en cada período (% período/100) Número de períodos que separan los momentos de VP y de F

Calcular el monto de la inversión en un CDT a un año, para que permita retirar una cantidad de $1.000.000 dentro de doce meses, si el título paga un interés del 1% mensual: F = $1.000.000 N = 12 meses i = 1% 0 0,01 VP = 1.000.000 / (1+ 0,01) 12 = $ 887.449

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3.3.3.3


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Tasa de Interés Equivalente

Si se tienen los valores presente y futuro de un negocio es posible calcular la tasa de equivalencia entre ellos, despejándola de la ecuación anterior:

i = (F / P) 1/n - 1 F= P= i= n=

Ejemplo:

Flujo Futuro ($) Flujo Presente ($) Tasa de interés para aplicar en cada período (% período/100) Número de períodos que separan los momentos de VP y de F

Calcular la tasa de interés anual que convierte un capital en el doble a los cuatro años: P= X F = 2X n= 4 i = (2X / X)1/4 - 1 = 21/4 – 1 = 0,1892 = 18,92% anual

3.3.3.4 Período de Equivalencia Conociendo los flujos y la tasa de interés se encuentra el período de equivalencia:

n = log (F/P) / log (1+i) F= P= i= n=

Flujo Futuro ($) Flujo Presente ($) Tasa de interés para aplicar en cada período (% período/100) Número de períodos que separan los momentos de VP y de F

log =

Función logaritmo

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Ejemplo:

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¿En cuánto tiempo se triplica un capital al 33% anual? P= F= i=

X 3X 33% = 0,33

n = log (3X/X) / log (1+ 0,33) = 0,477 / 0,124 = 3,85 años

3.3.4 Valor Presente y Valor Futuro de varios Flujos de Fondos Es de sentido común deducir que para obtener el Valor Presente de varios Flujos futuros se deben obtener los valores presentes de cada uno de ellos y después, todos ubicados en el momento 0 (cero), se deben sumar algebraicamente (positivos los valores presentes de los ingresos, negativos los valores presentes de los egresos). Asimismo, para obtener el Valor Futuro de varios flujos de momentos anteriores se deben obtener los valores futuros de cada uno de ellos y después, todos ubicados en el momento n, se deben sumar algebraicamente: n

FF j / (1 + i ) j

VP = j = 1 n-1

VF = j = 0

VP = VF = i= n= FF j = =

FF j X (1 + i) n-j

Valor Presente ($) Valor Futuro ($) Tasa de interés para aplicar en cada período (% período/100) Número de períodos que separan los momentos de VP y de VF Flujo de Fondos en el momento j ($) Sumatoria de términos

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Ejemplo:


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Su empresa debe cancelar tres partidas de impuestos, la primera de $15 millones dentro de tres meses, la segunda de $12 millones dentro de seis meses y la tercera de $8 millones dentro de ocho meses. ¿Cuánto dinero debe depositar hoy en un fondo de mutuo que otorga un interés del 2% mensual, de tal modo que pueda retirar exactamente el valor de los pagos en los momentos indicados? FF3 = FF6 = FF10 = i =

$15.000.000 $12.000.000 $ 8.000.000 2% = 0,02

VP = 15.000.000 / (1+0,02)3 + 12.000.000 / (1+0,02)6 + 8.000.000/ (1+0,02) 10 = $ 31.353.278 Ejemplo:

Un empleado necesita contar con $5.000.000 dentro de dos años para realizar un viaje alrededor del mundo. Estima que puede aportar a un fondo de inversiones que genera el 1.85% mensual de interés sumas de $1.500.000 dentro de 10 meses y de $2.500.000 dentro de 20 meses. Hoy tiene en su poder una suma de $1.000.000, de la cual aportará inmediatamente al fondo lo necesario para que pueda lograr su propósito dentro de dos años, y el resto lo gastará en vestuario. ¿Cuánto dinero puede gastar hoy comprando vestidos? VF24 = FF20 = FF10 = FF0 = i =

$5.000.000 $2.500.000 $1.500.000 X 1,85% = 0,0185

5.000.000 = 2.500.000 (1+0,0185) 24-20 + 1.500.000 (1+0,0185)24-10 + X (1+0,0185) 24-0 5.000.000 = 2.500.000 X1,01854 + 1.500.000X1,018514 + XX1,018524 5.000.000 = 4.629.054 + X (1,5526) X = 238.919 Excedente = 1.000.000 – 238.919 = $ 761.081 para gastar en vestuario

23



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Aunque con fórmulas anteriores se pueden resolver todos los casos de equivalencia, existen otras que atienden al manejo rápido de series conformadas de flujos de fondos en el tiempo, como son las alícuotas y los gradientes, las cuales se discuten a continuación.

3.3.5 Equivalencia de flujos Alícuotas o Anualidades 3.3.5.1 Concepto La Alícuota es el monto de cada cuota homogénea (o fija) que conforman una serie ininterrumpida de flujos de fondos, dada desde el momento 1 hasta el momento n inclusive. Esta serie Alícuota suele llamarse también de Anualidades, por corresponder en muchos casos a negocios divididos en períodos anuales. Sin embargo, se prefiere el nombre de Alícuota para evitar la disonancia al nombrar períodos distintos al año (es mejor referirse a “alícuota mensual” que a “anualidad mensual”, por ejemplo).

3.3.5.2 Valor Presente de una serie Alícuota Aplicando el resultado de formular como Valor Presente un conjunto de Flujos de Fondos se puede derivar la expresión que relaciona la serie Alícuota con el Valor Presente: n

VP = 

FF j / (1 + i ) j

j = 1

n

VP =



A / (1 + i ) j

j = 1

24



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n

VP = A



1 / (1 + i ) j

j = 1

VP = A [ 1/(1+i) + 1/(1+i)2 + 1/(1+i)3 + … + 1/(1+i)n-1 + 1/(1+i)n ] Multiplicando ambos lados de la expresión anterior por el término (1+i), lo cual es un artificio matemático, se tiene:

(1+i) VP = A [ 1 + 1/(1+i) + 1/(1+i) 2 + … + 1/(1+i)n-2 + 1/(1+i)n-1 ] Restando entre sí las dos últimas expresiones se tiene, por anulación de términos semejantes con signo contrario:

(1+i) VP - VP = A [ 1 - 1/(1+i)n ] Y, simplificando:

(1 + i – 1) VP = A [ (1+i)n - 1 ] / (1+i)n i VP = A [ (1+i)n - 1 ] / (1+i)n O sea,

VP = A VP = A= i= n=

[ (1+i)n - 1 ] / [ i (1+i)n ]

Valor Presente ($) Monto de cada Alícuota ($) Tasa de interés para aplicar en cada período (% período/100) Número de períodos de la serie Alícuota

25



Ejemplo:

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Para cancelar un préstamo al 2,5% mensual Ud. tiene que pagar 20 cuotas mensuales de $256.589 cada una; ¿cuánto dinero le prestaron? A = $256.589 i = 2,5% = 0,025 n = 20 meses VP = 256.589 x [(1+0,025)20 – 1] / [0,025 (1+0,025)20] VP = $ 4.000.000

3.3.5.3 Alícuota de un Flujo Presente De la última fórmula se puede calcular el Valor de la Alícuota cuando se desconoce, teniendo la cifra del monto del Capital principal o Flujo Presente:

VA = P VA = P= i= n=

Ejemplo:

[ i (1+i)n ] / [ (1+i)n - 1]

Valor de la Alícuota ($) Flujo Presente ($) Tasa de interés para aplicar en cada período (% período/100) Número de períodos de la serie Alícuota

Su amiga Zoila Alegría compró un automóvil Zamda de $20 millones, cancelando $9 millones y financiando el resto al 1,49% mensual por tres años, pagadero en alícuotas mensuales. ¿Cuál es el monto de cada alícuota, sin incluir la cuota del costo de los seguros? P= n= i=

20.000.000 – 9.000.000 = $11.000.000 3 x 12 = 36 meses 1,49% = 0,0149

VA = 11.000.000 [0,0149 (1+0,0149) 36] / [(1+0,0149)36 – 1] VA = $ 397.014

26



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3.3.5.4 Alícuota y Valor Futuro Para encontrar la equivalencia entre Alícuota y Valor Futuro se emplea la equivalencia entre Alícuota y valor Presente y luego entre Valor Presente y valor Futuro. En la práctica este procedimiento se utiliza cuando el caso lo requiere, directamente con las cifras del mismo, aunque es posible encontrar las relaciones algebraicas como fórmulas, así:

VF = P (1+i)n VP = A [ (1+i)n - 1 ] / [ i (1+i)n ] VF = A (1+i)n [ (1+i)n - 1 ] / [ i (1+i)n ] VF = A VF = A= i= n=

[ (1+i)n - 1 ] / i

Valor Futuro ($) Monto de cada Alícuota ($) Tasa de interés para aplicar en cada período (% período/100) Número de períodos de la serie Alícuota

Y, por consiguiente:

VA = F VA = F= i= n=

Ejemplo:

i / [ (1+i)n - 1 ]

Valor de la Alícuota ($) Flujo Futuro ($) Tasa de interés para aplicar en cada período (% período/100) Número de períodos de la serie Alícuota

Encontrar el monto del pago único que debería efectuar Zoila Alegría, del ejemplo anterior, si contratase la modalidad de cancelar todo el préstamo al final de los tres años en lugar de hacerlo por alícuotas: A = $397.014 i = 1,49% = 0,0149 n = 36 meses

27



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Una alternativa es encontrar VP y luego VF: VP = 397.014 x [(1+0,0149)36 – 1] / [0,0149 (1+0,0149)36] = 11.000.000 VF = 11.000.000 x (1+0,0149)36 = $ 18.733.959 Otra alternativa de cálculo es encontrar VF directamente de A: VF = 397.014 x [(1+0,0149)36 – 1] / 0.0149 = $ 18.733.959 3.3.5.5 Valor Presente de una Alícuota a Perpetuidad Un caso de mucha utilidad en Finanzas es considerar la vida del negocio como perpetua (en la realidad, plazos mayores a 20 años en Colombia y a 50 años en Estados Unidos se pueden considerar como tales; más adelante se discutirá esta situación). De la fórmula que relaciona partidas presentes (P) y alícuotas (A) se puede obtener la relación que interesa ahora, aplicando límites:

VP = A

[ (1+i)n - 1 ] / [ i (1+i)n ]

Dividiendo numerador y denominador entre (1+i)n:

VP = A

[ (1+i)n - 1 ] /(1+i)n / [ i (1+i)n ] / (1+i)n

VP = A

[ 1 - 1/(1+i)n ] / i

Tomando el límite cuando n tiende a infinito:

lím

n

VP =

A lím n {[1 - 1/(1+i)n ] / i}

lím

n

VP =

A [1 - 1/(1+i) ] / i

lím

n

VP [1 - 1/  ] / i

28



lím

n

VP





lím

n

VP





VP

n

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[1 - 0 ] / i

/ i



= A/i

VP = Valor Presente ($) A = Monto de cada Alícuota ($) i= Tasa de interés para aplicar en cada período (% período/100) n =  (infinito) número de períodos de la serie Alícuota

Ejemplo:

Una compañía norteamericana emite bonos perpetuos, los cuales pagan un cupón (monto de interés) de $USD 90 anuales. Hallar el precio actual de cada bono si la tasa de interés de los bonos para hoy es del 8% anual: A = $USD 90 i = 8% anual = 0,08 n=  VP = 90 / 0,08

= $USD 1.125

3.3.5.6 Valor Presente de una Alícuota Anticipada La Alícuota anticipada se da al comienzo de cada período; por lo tanto, la serie comienza en el momento 0 y termina en el momento n-1, es decir, la serie se ha desplazado un momento hacia la izquierda frente a la serie alícuota normal que se viene tratando. Esto quiere decir que cuando se halle el Valor Presente con la fórmula tradicional, este queda posicionado en el momento – 1, debiéndose multiplicar por el factor (1+i) para levarlo al momento 0:

29



VP = A

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[ (1+i)n - 1 ] / [ i (1+i)n ]

VP = Aa (1+i)

x

[ (1+i)n - 1 ] / [ i (1+i)n ]

VP = Aa

[ (1+i)n - 1 ] / [ i (1+i)n-1 ]

VP = Aa

[ (1+i)n - 1 ] / [ i (1+i)n-1 ]

Y,

VAa = P [i (1+i)n-1] / [ (1+i)n - 1] VP = Aa = i= n=

Ejemplo:

Valor Presente ($) Monto de cada Alícuota pagadera anticipadamente ($) Tasa de interés para aplicar en cada período (% período/100) Número de períodos de la serie Alícuota

Para cancelar un préstamo al 2,5% mensual Ud. tiene que pagar 20 cuotas mensuales anticipadas de $256.589 cada una; ¿cuánto dinero le prestaron? Aa = $256.589 i = 2,5% = 0,025 n = 20 meses VP = 256.589 x [(1+0,025)20 – 1] / [0,025 (1+0,025)20-1] VP = $ 4.100.000

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3.3.5.7 Plazo Muerto y Período de Gracia PLAZO MUERTO es un período en el cual no se hacen pagos ni se contabilizan intereses en el caso de un préstamo. Para efectos de calcular las cuotas se debe correr (sin modificación) el capital o Flujo Presente o Principal desde el momento 0 hasta el final del plazo muerto, mientras que el número de períodos para pago de cuotas se disminuye justamente en el número de períodos que contenga el plazo muerto. PERÍODO DE GRACIA es un intervalo de tiempo durante el cual no se efectúan pagos de un préstamo, pero sí se contabilizan intereses. Para efectos de calcular las cuotas se debe mover el Principal hasta el final del período de gracia, ajustándolo como un Valor Futuro desde el momento inicial.

VA = P= i= n= PM = PG =

Ejemplo:

VA = P

[ i (1+i)n-PM ] / [ (1+i)n-PM - 1]

VA = P

(1+i)PG [ i (1+i)n-PG ] / [ (1+i)n-PG - 1]

VA = P

[ i (1+i)n ] / [ (1+i)n-PG - 1]

Valor de la Alícuota ($) Flujo Presente ($) Tasa de interés para aplicar en cada período (% período/100) Número total de períodos para el préstamo Plazo Muerto (períodos) Período de Gracia (períodos)

Hallar el Valor de la Alícuota mensual que paga un préstamo de $10.000.000 a cinco años, con un interés mensual del 2% y con: a) Un plazo muerto de un año b) Un período de gracia de un año

31


a) P = n= i = PM =


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$10.000.000 5 x 12 = 60 meses 2% 12 meses

VA = 10.000.000 [0,02 (1+0,02)60-12] / [(1+0,02)60-12 – 1] VA = $ 326.018 b) P = n= i = PG =

$10.000.000 5 x 12 = 60 meses 2% 12 meses

VA = 10.000.000 [0,02 (1+0,02)60] / [(1+0,02)60-12 – 1] VA = $ 413.470

32



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3.3.6 Equivalencia de Gradientes

3.3.6.1

Gradiente Aritmético

3.3.6.1.1 LA SERIE DE CUOTAS DEL GRADIENTE ARITMÉTICO

0

G

1

2

3

n

B B+G

B+2G B+(n-1)G

La manera de formar una serie de cuotas con Gradiente Aritmético es como sigue: Momento 1 2 3 4 . . . n

Cuota

Expresión

FF1 FF2 FF3 FF4 . . . FFn

B B+G B + 2G B + 3G . . . B + (n-1)G

= = = =

=

En general:

FF j = B + (j-1) G

33



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3.3.6.1.2 EQUIVALENCIA DEL GRADIENTE ARITMÉTICO Para convertir la serie de la porción del Gradiente Aritmético a una serie Alícuota es posible deducir matemáticamente la siguiente relación de equivalencia:

A* = G {1/i - n / [(1+i)n – 1]} A* = G= i= n=

Valor de la Alícuota equivalente a la serie de Gradientes ($) Monto del Gradiente Aritmético ($) Tasa de interés para aplicar en cada período (% período/100) Número total de períodos para el negocio

Nótese que A* representa solo la serie Alícuota del Gradiente, sin incluir la base (B) o monto de alícuotas iguales a la primera cuota, lo que reemplaza la serie inicial por dos series de cuotas, como se muestra en el gráfico: 0

G

1

2

3

n

B B+G

B+2G B+(n-1)G

0

1

2

3

n

B

A* El Valor de la Alícuota equivalente al plan completo está dado por la suma de las dos series, como se expresa a continuación:

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VA = B + A* VA = Valor de la Alícuota equivalente a la serie completa de cuotas ($) B = Monto de la primera cuota de la serie original de cuotas ($) A* = Valor de la Alícuota equivalente a la serie de Gradientes ($)

La relación anterior se emplea como paso intermedio para encontrar uno de los valores Presente (VP), primera cuota (B) o Gradiente (G), según el caso, aplicando adicionalmente una de las fórmulas de equivalencia entre Alícuota y Valor Presente. Ejemplo:

Encontrar el valor del préstamo que tomó el señor Luis Zea Bueno y que le representa un plan de 72 pagos mensuales cuya primera cuota se tasa en $300.000, incrementándose en $10.000 mensuales, si la tasa de interés que se aplica es del 2% mensual: B = $300.000 G = $10.000 n = 72 i = 2% A* = 10.000 (1/0,02 – 72/[(1+0,02)72 – 1)] = $ 272.234 VA = 300.000 + 272.234 = $ 572.274 VP = 572.274 [(1+0,02)72 – 1] / [0,02 (1+0,02)72 ] = $ 21.735.772

Ejemplo:

¿Cuál es el monto de la última cuota que pagará el señor Zea Bueno del ejemplo anterior? B = $300.000 G = $10.000 n = 72 FF72 = 300.000 + (72 - 1) 10.000 = $ 1.100.000

35


Ejemplo:


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La empresa TOPALFIN Ltda. accede a un préstamo de $500.000.000 que pagará por ocho años al 2% mensual, comprometiendo un plan de pagos en el que la primera cuota será de $10.000.000. Calcule : a) La cifra del monto del gradiente mensual. b) El monto correspondiente a la última cuota de pago. a)

P = $500.000.000 i = 2% mensual n = 8 x 12 = 96 meses VA = 500.000.000 [0,02 (1+0,02) 96] / [(1+0,02)96-1] VA = $ 11.756564 B = $10.000.000 A* = VA - B A* = 11.756.564 - 10.000.000 = $ 1.756.564 G = A* / {1/i - n / [(1+i)n – 1]} G = 1.756.564 / { 1/0,02 - 96 / [(1+0,02)96 – 1] } G = $ 53.009

b) Ejemplo:

FF96 = 10.000.000 + (96 – 1) 53.009 = $ 15.035.870

Si para el caso del ejemplo anterior, TOPALFIN asumiera un gradiente de $100.000 mensuales, calcular: a) El monto correspondiente a la primera cuota. b) El monto correspondiente a la última cuota de pago. a)

P = $500.000.000 i = 2% mensual n = 8 x 12 = 96 meses VA = 500.000.000 [0,02 (1+0,02) 96] / [(1+0,02)96-1] VA = $ 11.756564 G = $100.000 A* = 100.000 { 1/0,02 - 96 / [(1+0,02)96 – 1] } = $ 3.313.699

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B = VA - A* B = 11.756.564 - 3.313.699 = $ 8.442.865 b)

3.3.6.2

FF96 = 8.442.865 + (96 – 1) 100.000 =

$ 17.942.865

Gradiente Geométrico

3.3.6.2.1 LA SERIE DE CUOTAS DEL GRADIENTE GEOMÉTRICO 0

1

2

3

n

B B(1+J) B(1+J)2

B(1+J)

n-1

La manera de formar una serie de cuotas con Gradiente Geométrico es como sigue: Momento 1 2 3 4 . . . n En general:

Cuota

Expresión

FF1 FF2 FF3 FF4 . . . FFn

B B (1+J) B (1+J)2 B (1+J)3 . . . B (1+J)n-1

= = = =

=

FFk = B (1+ J)k-1

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3.3.6.2.2 EQUIVALENCIA DEL GRADIENTE GEOMÉTRICO Para convertir la serie completa de cuotas con Gradiente Geométrico a un solo momento en el tiempo es posible deducir matemáticamente la siguiente relación de equivalencia con el Valor Presente:

VP = B [1/(J-i)] {[(1+J)/(1+i)]n – 1} VP = B= J= i= n=

Ejemplo:

Valor Presente ($) Monto de la primera cuota Valor del Gradiente Geométrico (%/100) Tasa de interés para aplicar en cada período (% período/100) Número total de períodos para el negocio

Encontrar el valor del préstamo que tomó el señor Bruno Zea Malo y que le representa un plan de 72 pagos mensuales cuya primera cuota se tasa en $300.000, incrementándose en 1% por mes, si la tasa de interés que se aplica es del 2% mensual: B= J= i= n=

$300.000 1% = 0,01 2% = 0,02 72

VP = 300.000 [1/(0,01-0,02)] {[(1+0,01)/(1+0,02)]72 – 1} VP = $ 15.241.310 Ejemplo:

¿Cuál es el monto de la última cuota que pagará el señor Bruno Zea del ejemplo anterior? B= J= i= n=

$300.000 1% = 0,01 2% = 0,02 72

FF72 = 300.000 (1+0,01)72-1 =

$ 608.049

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Ejemplo:


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La empresa NAPALFIN Ltda. accede a un préstamo de $500.000.000 que pagará por ocho años al 2% mensual, comprometiendo un plan de pagos en el que cada cuota será 1,3% más alta que la anterior. Calcule: a) b)

El monto correspondiente a la primera cuota. El monto correspondiente a la última cuota de pago.

a)

P= i= J= n=

$500.000.000 2% = 0,02 1,3% = 0,013 8 x 12 = 96 meses

B = P / ( [1/(J-i)] {[(1+J)/(1+i)]n – 1} ) B = 500.000.000 / ([1/(0,013-0,02)] {[(1+0.013)/(1+0,02)]96-1}) B = $ 7.235.679 b)

FF96 = 7.235.679 (1 + 0,013) 96 – 1=

$ 24.681.787

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3.4 TABLAS DE AMORTIZACIÓN 3.4.1 Concepto Cuando se tienen planes de pago tipo Alícuota o tipo Gradiente para un préstamo, es posible construir una Tabla de Amortización, una estructura matricial en la cual se muestran discriminadamente los movimientos (saldos, intereses, pagos y abonos a capital) en cada uno de los períodos involucrados.

3.4.2 Elaboración Los cálculos para los pagos se realizan conforme a las fórmulas tratadas anteriormente. Los cálculos de actualización por período son iterativos, y se resumen, de manera genérica en las siguientes fórmulas:

INTt = SIt x (1 + i) ABt = At – INTt SFt = SIt – ABt SIt+1 = SFt INTt = ABt = At = SIt = SFt = i=

Ejemplo:

Monto de los intereses del período t ($) Monto del abono a capital para el período t ($) Monto del pago para el período t ($) Saldo de capital al comienzo del período t ($) Saldo de capital al final del período t ($) Tasa de interés para aplicar en cada período (% período/100)

Elaborar la Tabla de Amortización para un préstamo de $100 millones a cinco años, pagadero en anualidades vencidas con una tasa de interés del 30% anual: P= n= i=

$100.000.000 5 años 30% anual

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VA = 100.000.000 [0,30 (1+0,30) 5] / [(1+0,30)5 – 1] = $ 41.058.155 TABLA Capital Inic. Tasa Períodos Cuota PERÍODO

1 2 3 4 5

$ 100,000,000 30% 5

$ 41,058,155

INICIO

FIN AL

FINAL

FINAL

FINAL

Capital ($)

Intereses ($)

Cuota ($)

Abono ($)

Saldo ($)

$ 41,058,155 $ 41,058,155 $ 41,058,155 $ 41,058,155 $ 41,058,155

$ 11,058,155 $ 14,375,601 $ 18,688,282 $ 24,294,766 $ 31,583,196

$ 100,000,000 $ 88,941,845 $ 74,566,244 $ 55,877,962 $ 31,583,196

$ 30,000,000 $ 26,682,554 $ 22,369,873 $ 16,763,389 $ 9,474,959

$ 88,941,845 $ 74,566,244 $ 55,877,962 $ 31,583,196 $0

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3.5 MANEJO DE TASAS DE INTERÉS 3.5.1 Concepto de Tasa de Interés La tasa de interés representa el importe del alquiler del dinero, como ya se dijo al comienzo de esta obra. Dado que los montos de intereses son dinero lo mismo que el capital, este importe se presenta normalmente como un porcentaje que se aplica al capital por unidad de tiempo; a este valor se le denomina tasa de interés. Como ya se estableció en la sección donde se trabajó el tema de equivalencia, para poder operar la tasa de interés, es decir para poder aplicar las fórmulas de equivalencia, es necesario que la base del tiempo para la tasa coincida con el período o longitud del intervalo de la línea del tiempo entre momentos consecutivos. A esta presentación de la información del interés se le llama tasa periódica. El período puede ser finito (día, mes, bimestre, trimestre, semestre, año, etc.) o infinitesimal (cuando tiende a cero), en cuyo caso el tratamiento toma el nombre de interés continuo, y es asistido por una serie de formulaciones que no se tratarán en este documento por considerarlo un tema muy especializado y de poca utilización en nuestro medio. Además de contar con la información del interés en tasas periódicas se pueden manejar otras formas, como la tasa nominal y la tasa efectiva, las cuales se discuten enseguida.

3.5.2 Naturaleza de las Tasas de Interés La declaración de una tasa de interés lleva implícita dos elementos: Causación: Informa el momento en el cual el interés se causa o tiene lugar según se haya estipulado en el contrato o por el negocio en cuestión. Aquí el monto de interés se calcula y se da por cierto, pero no necesariamente se cancela sino que se puede acumular aditivamente (Interés Simple, si se acumula sin capitalizarse) o se puede capitalizar (Interés Compuesto).

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Capitalización: Informa el momento en el cual el interés calculado o acumulado aditivamente se lleva a capital, o sea, se capitaliza. Rigurosamente no tiene que existir coincidencia entre los períodos de Causación y de Capitalización (puede pensarse, por ejemplo, en una tasa de interés del 2% mensual capitalizable trimestralmente); sin embargo, y tal vez por lo impráctico que se tornarían los cálculos en ese ambiente, se tiene prácticamente en la totalidad de las situaciones una coincidencia de los dos períodos, en cuyo caso se le denomina período de Composición: COMPONER = CAUSAR y CAPITALIZAR Nótese que en el caso de Interés Simple no hay Capitalización y por lo tanto no hay Composición, solo existe Causación. El Interés Compuesto, por el contrario, se construye sobre el concepto de Composición: INTERÉS SIMPLE INTERÉS COMPUESTO

CAUSACIÓN COMPOSICIÓN

CAUSACIÓN CAPITALIZACIÓN

Aún hay más consideraciones; desde el ángulo de la Causación, el interés puede exigirse al vencimiento o anticipadamente, según se estipule en el contrato (así como el canon de arrendamiento se acostumbra cobrar anticipadamente o el salario se acostumbra pagar al vencimiento del período), con lo que se puede resumir la naturaleza del interés en el siguiente esquema: CAPITALIZACIÓN TASA DE INTERÉS

Sin (Simple) Con (COMPUESTA) Continua PERIÓDICA

CAUSACIÓN

Anticipada VENCIDA

En la práctica, los modos que se presentan con letras mayúsculas negras en el esquema anterior son clásicos y se entienden “por defecto”; es decir, si una tasa no

se declara simple, entiende COMPUESTA; si no se declara continua, se entiende PERIÓDICA; si no se declara anticipada, se entiende VENCIDA.

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3.5.3 Denominaciones de la Tasa de Interés Según la manera en la que una tasa de interés proponga la información se le denomina de una de estas tres maneras: Periódica: La tasa corresponde al período de composición (% por día, mes, bimestre, trimestre, semestre, año, etc.). Algunos sectores la conocen como Tasa Efectiva Periódica (efectiva diaria, efectiva mensual, efectiva trimestral, etc.), pero aquí se denominará simplemente Tasa Periódica. Nominal:

Es la expresión anualizada de la Tasa Periódica, contabilizada por acumulación simple de ella. El tratamiento corresponde al que se presentó en la sección de Tasas de Interés en el capítulo de Interés Simple.

Efectiva:

Es la expresión equivalente de una tasa periódica en la que el período se hace igual al un año y la causación siempre se da al vencimiento. Algunos sectores emplean el nombre de Tasa Efectiva para aplicarla a un período distinto del año (efectiva diaria, efectiva mensual, efectiva trimestral, etc.), pero aquí no se empleará esta denominación, la cual la llamaremos simplemente Tasa Periódica. La tasa Efectiva se conoce también como Tasa Efectiva Anual, Tasa Anual Efectiva o aún Tasa Anual.

Adicionalmente, como ya se indicó, la tasa debe definir la forma en que se causa el interés: Anticipada: Cuando el interés se causa en forma anticipada en el período. Cabe anotar que la Tasa Efectiva no puede darse, por definición en forma anticipada, es decir no existe una Tasa Efectiva Anticipada. Vencida:

Cuando el interés se causa en forma vencida en el período. Cabe anotar que la Tasa Efectiva es siempre vencida y por lo tanto esta última palabra se omite en su declaración.

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3.5.4 Clases de Tasas de Interés De acuerdo con lo tratado en el numeral anterior se pueden expresar cinco clases de tasa de interés: 

TASA PERIÓDICA VENCIDA DE INTERÉS, expresando la forma de INTERÉS PERIÓDICO VENCIDO.



TASA PERIÓDICA DE ANTICIPADA DE INTERÉS, expresando la forma de INTERÉS PERIÓDICO ANTICIPADO.



TASA NOMINAL VENCIDA DE INTERÉS, expresando la forma de INTERÉS NOMINAL VENCIDO.



TASA NOMINAL ANTICIPADA DE INTERÉS, expresando la forma de INTERÉS NOMINAL ANTICIPADO.



TASA EFECTIVA DE INTERÉS, expresando la forma de INTERÉS EFECTIVO.

En resumen, la notación de estas clases de tasas para efectos de la exposición en este documento es la siguiente:

ipv inv ie ipv = ipa = inv = ina = ie =

ipa ina

Tasa de interés periódico vencido (% por período vencido) Tasa de Interés periódico anticipado (% por período anticipado) Tasa de interés nominal vencido (% anual, compuesto por período vencido) Tasa de interés nominal anticipado (% anual, compuesto por período anticipado) Tasa de interés efectivo (% anual efectivo)

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3.5.5 Declaración de las Tasas de Interés Cuando se lee una tasa de interés, normalmente no se encuentra expresada con palabras la modalidad de la cual se trata, esta se obtiene de la información que acompaña a las cifras de porcentaje, normalmente en siglas. Ejemplo:

30% a.m.v. representa una tasa de interés del 30% anual compuesto mensualmente y causada al vencimiento de cada período.

La información se estructura en CAMPOS y en SIGLAS siguiendo al signo de porcentaje (%): 3.5.5.1 Campos 3.5.5.1.1 TASAS NOMINALES El primer campo siempre tendrá una a. o la palabra anual, representando que es una tasa anualizada. El segundo campo lleva la sigla o la palabra correspondiente al período de composición (por ejemplo m. o mensual, significando que el período de composición corresponde al mes). El tercer campo contiene la información correspondiente al momento de causación del interés; llevará una a. (o la palabra anticipado ) si el interés es anticipado, o una v. (o la palabra vencido) o simplemente se deja vací o (información “por defecto”) si el interés es vencido.

Ejemplo:

24% a.b.v. representa un interés del 24% anual compuesto bimestralmente al vencimiento. 30% a.s.a. representa un interés del 30% anual compuesto semestralmente y causado anticipadamente, o sea, al comienzo de cada período. 26% a.m. representa un interés del 26% anual compuesto mensualmente al vencimiento.

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3.5.5.1.2 TASAS PERIÓDICAS No llevan el primer campo de las tasas nominales, o sea, no tienen la sigla a. o la palabra anual siguiendo al signo de porcentaje (%), porque no son tasas anualizadas. Los dos campos subsiguientes tienen la misma connotación de los campos segundo y tercero de las tasas nominales. Ejemplo:

4% b.v. representa un interés periódico vencido del 4%, con un período equivalente al bimestre. 15% s.a. representa un interés del 15% semestral causado al comienzo de cada semestre. 2,2% m. representa un interés periódico del 2,2% mensual, causado al vencimiento de cada mes.

3.5.5.1.3 TASA EFECTIVA Se reconoce que una tasa es efectiva cuando solo tiene una de estas siglas: e.a., a.e., a., e. Ejemplo:

Son declaraciones de tasas efectivas anuales: 23% a.e. 20% a. 30% e.a. 28% e.

3.5.5.2 Siglas TASA EFECTIVA Una tasa se denota efectiva si después del signo de porcentaje lleva una de estas e.a. siglas: a.e. e. solamente a. solamente

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TASAS NOMINALES Y PERIÓDICAS Una tasa es Nominal o es Periódica si se determina con siglas diferentes a las consignadas inmediatamente antes. Primer campo:

a. anual Otra sigla

= = =

significa que la tasa es anualizada (nominal). significa que la tasa es anualizada (nominal). significa que la tasa es periódica.

Segundo campo (o Primer campo, si la tasa es periódica, es decir no lleva la sigla de anualización): Determina el período de composición:

d. m. b. t. s. a. día mes bimestre trimestre semestre anual

= = = = = = = = = = = =

diario mensual bimestral trimestral semestral anual diario mensual bimestral trimestral semestral anual

Tercer campo (o Segundo campo, si la tasa es periódica, es decir no lleva sigla de anualización): Determina el modo de causación:

a. = v. = Si se omite = Ejemplo:

22% e.a. 23% a.m.v. 24% a.b.a. 25% a.s. 6% t.v. 2% m.a.

anticipadamente al vencimiento al vencimiento

significa 22% efectiva anual significa 23% anual mes vencido significa 24% anual bimestre anticipado significa 25% anual semestre vencido significa 6% trimestral vencido significa 2% mensual anticipado

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3.5.6 Equivalencia de la Tasas de Interés 3.5.6.1 Tasa Periódica y Tasa Nominal Como se estableció en el tratamiento del Interés Simple, la Tasa Nominal representa la anualización de la Tasa Periódica por acumulación simple de esta en cada período. Por lo tanto, la Tasa Nominal se obtiene multiplicando la Tasa Periódica por el respectivo número de períodos contenidos en el año; si la Tasa Periódica es anticipada, la Tasa Nominal también lo será, y viceversa; y si la Tasa Periódica es vencida, la Tasa nominal también lo será, y viceversa:

ipv = ipa = inv = inv = ipv: inv: ipa: ina: n:

Ejemplo:

inv / n ina / n ipv x n ipv x n

Tasa de interés periódica vencida (% por día, mes, etc.) Tasa de interés nominal vencida (% anual) Tasa de interés periódica anticipada (% por día, mes, etc.) Tasa de interés nominal anticipada (% anual) Número de períodos por año (360 días, 12 meses, etc.)

Encontrar la tasa periódica correspondiente a una tasa nominal del 24% a.m.v.: inv = 24% a.m.v. n = 12 meses por año ipv = 24% / 12 = 2% m.v.

Ejemplo:

Encontrar la tasa nominal correspondiente a una tasa periódica del 10% s.a.: ipa = 10% s.a. n = 2 semestres por año ipv = 10% x 2 = 20% a.s.a.

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3.5.6.2 Tasa Vencida y Tasa Anticipada En la modalidad de interés anticipado, el monto de intereses se paga o se capitaliza al comienzo del período. Para encontrar la equivalencia con el interés vencido se emplea la noción de equivalencia entre un flujo presente y un flujo futuro para un período, como sigue: P = X – ipa X P = X (1-ipa)

0

1

F=X La tasa de interés aparece como un descuento al monto del Flujo Presente, y por lo tanto no tiene por qué aparecer al final. Aplicando el concepto de Equivalencia se tiene: F = P (1+i pv) Reemplazando por las expresiones de F y de P: X = X (1-ipa) (1+ipv) 1=

(1-ipa) (1+ipv)

1 + ipv = 1 / (1-ipa) ipv = 1 / (1-ipa) – 1 ipv = (1 – 1 + ipa) / (1-ipa) O sea,

ipv = ipa / (1-ipa) ipv: ipa:

Tasa de interés periódica vencida (% por día, mes, etc.) Tasa de interés periódica anticipada (% por día, mes, etc.)

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De la misma manera es posible despejar el valor de ipa: 1 = (1-ipa) (1+ipv) 1 - ipa = 1 / (1+ipv) ipa = 1 - 1 / (1+ipv) ipa = (1 + ipa - 1) / (1-ipa) O sea,

ipa = ipv / (1+ipv) ipv: ipa:

Ejemplo:

Tasa de interés periódica vencida (% por día, mes, etc.) Tasa de interés periódica anticipada (% por día, mes, etc.)

Encontrar la tasa periódica vencida equivalente a una tasa del 4% t.a.: ipa = 4% = 0,04 ipv = 4% / (1 – 0,04) = 4,17% t.v.

Ejemplo:

Encontrar la tasa periódica anticipada equivalente a una tasa del 9% s.v.: ipv = 9% = 0,09 ipa = 9% / (1 + 0,09) = 8,26% s.a.

Cabe anotar que la equivalencia entre tasas anticipada y vencida solo se da para tasas periódicas. De hecho la Tasa Nominal solo sirve para encontrar la respectiva Tasa Periódica y no puede ser operada directamente bajo el concepto de Equivalencia.

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3.5.6.3 Tasa Efectiva y Tasa Periódica La Tasa Efectiva representa una Tasa Periódica Vencida en la cual el período es exactamente un año. Para desarrollar la equivalencia con la tasa periódica se supone que un año consta de n períodos: P=X períodos 0

1

2

n

F = X (1+ipv)n

P=X

año 0

1

F = X (1+i e) Con la misma inversión P = X, al cabo de un año se debe tener la misma cantidad de dinero F en los dos planes presentados en el dibujo de flechas: X (1+ipv)n = X (1+ie) 1 + ie = (1 + ipv)n Despejando ie se tiene:

ie = (1 + ipv)n - 1 ie: ipv:

Tasa efectiva de interés (% anual) Tasa de interés periódica vencida (% por día, mes, etc.)

Despejando ipv se tiene:

ipv = (1 + ie)1/n - 1 ie: ipv:

Tasa efectiva de interés (% anual) Tasa de interés periódica vencida (% por día, mes, etc.)

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Ejemplo:


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¿Cuál es la tasa efectiva anual correspondiente a una tasa del 2% mensual? ipv = 2 % mensual = 0,02 n = 12 meses / año ie =

Ejemplo:

(1 + 0,02)12 – 1 = 0,26824 = 26,82% e.a.

¿Cuál es la tasa trimestral correspondiente a una tasa del 24% e.a.? ie = 24 % e.a. = 0,24 n = 4 trimestres / año ipv = (1 + 0,24)1/4 – 1 = 0,05525 = 5,53% t.v.

3.5.6.4 Ruta de Equivalencia de Tasas Aunque pueden derivarse más ecuaciones de relación, las formulaciones anteriores de equivalencia de tasas se consideran fundamentales y dan lugar a la Ruta de Equivalencia de Tasas @, la cual no es más que un aspecto nemotécnico para realizar conversión de cualquier clase de tasa de interés a cualquiera otra de una manera sencilla:

RUTA DE EQUIVALENCIA DE TASAS @ m períodos por año

inv

ipv

ina

ipa

ñ períodos por año

ie

ipv

inv

ipa

ina

@ : Diseño del autor

53


Ejemplo:


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Encontrar la tasa nominal mes vencido equivalente a una tasa del 30% a.s.a.: ina = m= ñ= inp =

30% a.s.a. 2 semestres / año 12 meses / año ?

Con m = 2 se pasa de una tasa tasa nominal a un tasa efectiva, atendiendo a la ruta de equivalencia de tasas: ipa = 30% / 2 = 15% s.a. ipv = 15% / (1-0,15) = 17,65% s.v. ie = (1+0,1765)2 – 1 = 38,41% e.a. Ahora, con ñ = 12 se pasa de la tasa efectiva a la correspondiente tasa nominal vencida: ipv = (1+0,3841)1/12 – 1 = 2,75% m.v. inv = 2,75 x 12 = 32,95% a.m.v.

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3.5.7 Composición de Tasas de Interés 3.5.7.1 Noción La composición de tasas de interés se da cuando dos o más tasas deben ser aplicadas simultáneamente. Esta composición puede ser aditiva, en el caso de TASAS MIXTAS o puede ser multiplicativa, en el caso de TASAS COMPUESTAS POR CAMBIO DE BASE (o tasas de diferente base).

3.5.7.2 Tasas Mixtas Una tasa es mixta cuando se declara como la suma de dos tasas, generalmente una Tasa Variable y otra Tasa Fija. Ejemplo:

i = DTF + 5% es una tasa mixta, donde a la tasa de la DTF (variable, según el mercado) se le adiciona una porción fija de cinco puntos porcentuales.

El propósito práctico de esta modalidad es evitar el riesgo que el movimiento de las tasas de interés del mercado le concede a un contrato de préstamo con tasa fija, sobretodo en el largo plazo; si las tasas del mercado subieren con el tiempo, quien entrega el dinero en préstamo incurriría en una pérdida real de valor, y quien recibe el dinero perdería valor si las tasas del mercado descendieren en el tiempo. Para el cálculo de la tasa compuesta debe tenerse en cuenta lo siguiente: 

Las dos tasas (Fija y Variable) deben referirse al mismo período antes de sumarse.



Normalmente se acepta la declaración de la tasa Fija como la guía, debiendo conseguir la información de la tasa Variable en esa base.



La tasa equivalente global se obtiene simplemente sumando las cifras de las dos partes (Fija y Variable) estando en el mismo período base.



Si se requiere conocer la Tasa Efectiva global, debe resolverse primero la adición y luego llevarse a esta modalidad y no sumar las correspondientes tasas efectivas (el resultado no es exactamente igual).

55



Ejemplo:

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Encontrar la tasa equivalente a DTF + 6% a.t.v., conociendo que la tasa DTF para inversiones trimestrales está en el 12% e.a.: Primero se debe obtener la tasa nominal de la DTF ie = 12% e.a. n = 4 trimestres / año ipv = (1+0,12)1/4 – 1 = 2,87% t.v. inv = 2,87% x 4 = 11,49% a.t.v. Ahora se puede realizar la adición de tasas: i = 11,49 + 6 = 17,49% a.t.v.

Ejemplo:

Para el ejemplo anterior, encontrar la tasa efectiva equivalente: inv = 17,49% ipv = 17,49% / 4 = 4,37% t.v. ie = (1+0,0437)4 – 1 = 18,68% e.a.

3.5.7.3 Tasas Compuestas por Cambio de Base Una tasa es compuesta, generalmente por dos tasas, cuando una de ellas se declara sobre una base monetaria diferente a la base de declaración de la tasa original, debiendo contar entonces con la tasa de relación entre las dos bases monetarias; veamos: Sean:

iU = Tasa de interés basada en la divisa iC = Tasa de incremento de precio de la divisa frente a la moneda local i = Tasa de interés equivalente basada en la moneda local X = Monto inicial en moneda local Y = Tasa de cambio inicial (moneda local / divisa) F = (X/Y) (1+iU)n 0

1

2

n

(en divisa)

P=X

(en moneda local)

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P= X Tasa de cambio inicial = Y P= X/Y F = (X/Y) (1+iU)n

(cifras en moneda local) (moneda local / divisa) (cifras en divisa) (cifras en divisa)

Tasa de cambio final = Y (1+iC)n F = (X/Y) (1+iU)n Y (1+iC)n F = X (1+iU)n (1+iC)n F = X [(1+iU) (1+iC)]n

(moneda local / divisa) (cifras en moneda local) (cifras en moneda local) (cifras en moneda local)

Pero, F = X (1+i)n

(cifras en moneda local)

Entonces, X (1+i)n = X [(1+iU) (1+iC)]n (1+i)n = [(1+iU) (1+iC)]n (1+i) = (1+iU) (1+iC) O sea,

i = (1+iU) (1+iC) – 1 iU = Tasa de interés basada en la divisa (%) iC = Tasa de incremento de precio de la divisa frente a la moneda local (%) i = Tasa de interés equivalente basada en la moneda local (%)

Ejemplo:

¿Cuál es la tasa equivalente en pesos de una inversión que gana el 9% anual en dólares, se espera que la tasa de incremento del precio del dólar frente al peso sea de 15% anual? iU = 9% iC = 15% i = (1+0,09) (1+0,15) – 1

= 25,35% anual

(Nótese que este resultado es un tanto mayor que la suma simple de las tasas (9% + 15% = 24%), el cual es un método más rápido, pero impreciso de componer este tipo de tasas).

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Ejemplo:


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¿Cuánto puede retirar al cabo de dos años de un depósito de un millón de pesos que genera un interés del 1,2% mensual en UVR, si se espera que el UVR incremente su precio a razón de 0,9% mensual? iU = 1,2% iC = 0,9% i = (1+0,012) (1+0,009) – 1 P = $1.000.000 n = 24 meses F = 1.000.000 (1+0,0211)24 =

= 2,11% mensual $ 1.650.898

3.5.7.4 Tasas Reales y Tasas Corrientes Una TASA CORRIENTE DE INTERÉS, llamada por los economistas TASA NOMINAL (aunque no connota lo mismo que la Tasa Nominal financiera), se refiere a una tasa de interés sobre moneda corriente, es decir, sin depurarle el efecto de la inflación. Una TASA REAL DE INTERÉS, llamada también TASA DEFLACTADA por los financistas representa una tasa de interés sobre moneda constante o deflactada, es decir, que esta tasa está libre del efecto de la inflación. La relación entre las tasas corrientes y las tasas reales se obtiene de la relación de composición de tasas de diferente base, donde la tasa de inflación (i f ) ahora representa la tasa de cambio de precios (i C) de ese modelo, mientras que la tasa real (iR) ahora, representa la tasa en la divisa (iU) de ese modelo:

i = (1+iU) (1+iC) – 1 i = (1+iR) (1+if ) – 1 Y, como lo que se requiere normalmente es encontrar i R, esta se despeja:

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iR = (1+i) / (1+if ) – 1 iR = i= if =

Ejemplo:

Tasa Real de interés (%) Tasa Corriente de interés (%) Tasa de inflación (%)

¿Cuál es la tasa real de un CDT que paga el 12% anual de interés, si la inflación se estima en un 9,5% anual? i = if =

12% 9,5%

iR = (1+0,12) / (1+0,095) - 1 = Ejemplo:

2,28% anual

¿Cuál es la tasa real de una cuenta de ahorros que paga el 6,5% anual de interés, si la inflación se estima en un 9,5% anual? i = if =

6,5% 9,5%

iR = (1+0,065) / (1+0,095) - 1 = -2,74% anual

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3.6 EVALUACIÓN DE NEGOCIOS 3.6.1 Conceptos 3.6.1.1 Objetivo El objetivo de la Evaluación de negocios es calificar si un negocio es o no es factible desde el punto de vista financiero antes de decidir tomarlo. Esto es, predeterminar si un negocio propuesto en particular conviene o no conviene (solo desde el punto de vista financiero) a una persona (natural o jurídica).

3.6.1.2 Tipos de Negocio Existen dos tipos de negocio: INVERSIÓN:

Cuando al inicio del mismo (normalmente en el momento cero) se debe realizar un egreso grande de fondos (Inversión Inicial) con la mira de recuperar como beneficios el valor de dicha erogación y aún más durante la vida del negocio, recuperación que está representada por flujos de fondos en su mayoría positivos (o ingresos netos) FFN j = BENEFICIOS

0

1

2

3

4

n

FFN0 = - I0

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FINANCIACIÓN: Cuando el negocio presenta el gran ingreso al comienzo (se recibe el dinero en préstamo) y los flujos de fondos representan los egresos correspondientes a los pagos de intereses y abonos al capital recibido en préstamo: FFN0 = P

0

1

2

3

4

n

FFN j = PAGOS

3.6.1.3 Costo de Oportunidad El Costo de Oportunidad se define como el costo (o pérdida de beneficios) que representa renunciar a tomar otra alternativa por comprometerse con el negocio en estudio. En un negocio de INVERSIÓN el Costo de Oportunidad equivale al beneficio dejado de percibir por la alternativa más rentable, que no implique riesgo ni esfuerzo adicional, al negocio en estudio. En un negocio de FINANCIACIÓN el Costo de Oportunidad equivale al costo del dinero de la alternativa más económica al negocio en estudio. El costo de oportunidad para una persona (natural o jurídica) depende del ambiente (mercado) en el cual se encuentre y de su posición relativa frente a ese ambiente (inversionista, deudor, poseedor de oportunidades, etc.).

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Ejemplo:

Abel Obeo, un ciudadano común que no tiene deudas, ganó $100 millones jugando a la Lotería. Su costo de oportunidad está representado por la rentabilidad que le proporciona invertir el dinero en un CDT, la aleternativa viable más próxima a él. Con esta alternativa compara toda oportunidad de negocio que se le presentare.

Ejemplo:

Lola Mentor tiene una deuda de $20 millones. La tasa de interés de la misma representa su costo de oportunidad. Cualquier ingreso adicional lo destinaría a cancelar parte de su deuda, a no ser que pudiera rentar un interés mayor que el de ella.

3.6.1.4 La Tasa de Oportunidad (i*) La Tasa de Oportunidad representa la tasa de interés correspondiente al Costo de Oportunidad. En un negocio de INVERSIÓN representa la mayor tasa de rentabilidad, entregada la alternativa de inversión más atractiva con el mismo nivel de riesgo y corresponde a la Tasa Mínima de Retorno Aceptable (TMRA) para el negocio (proyecto) en estudio. En un negocio de FINANCIACIÓN representa la menor tasa de costo de las fuentes de préstamos y corresponde la Tasa Máxima de Costo Aceptable (TMCA) para el negocio en estudio. Ejemplo:

Para Abel Lobeo, el personaje del ejemplo de la sección anterior, que ganó un premio de $100 millones, la Tasa de Oportunidad corresponde al interés que le conceden los CDTs, o sea la DTF, que actualmente es de aproximadamente 12% e.a.

Ejemplo:

Para Lola Mentor, del ejemplo de la sección anterior, la Tasa de Oportunidad corresponde a la del interés de los préstamos bancarios, que en la actualidad es de aproximadamente 25% e.a.

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3.6.2 Valor Presente Neto (VPN) 3.6.2.1 Concepto El Valor Presente Neto representa el INCREMENTO de la RIQUEZA (o tenencia o VALOR DE LA EMPRESA) medido en DINERO ACTUAL (pesos de hoy) si se toma el negocio en estudio. Procedimentalmente el VPN se obtiene llevando todos los Flujos de Fondos estimados (desde el momento cero hasta el momento n) del negocio al momento cero (actual) descontados (o traídos) con la Tasa de Oportunidad.

3.6.2.2 Factibilidad Si el VPN es positivo quiere decir que se generará riqueza o valor con la aceptación del negocio. Si el VPN es negativo se perderá riqueza, o sea se destruirá valor con la aceptación del negocio.

VPN > 0 VPN < 0

FACTIBLE NO FACTIBIBLE

3.6.2.3 Formulación La formulación matemática corresponde a la descripción del VPN: FFN j

0

FFN0 = - I0

1

2

3

4

n

NEGOCIO DE INVERSIÓN

63



FFN0 = P

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NEGOCIO DE IFINANCIACIÓN 0

1

2

3

4

n

FFN j

n

VPN =  FFN j / (1 + i ) j j = 0

VPN = FFN0 + VP (FFN j),

j=1

n

n

VPN = FFN0 +  FFN j / (1 + i* ) j j = 1

FFN0 = -I0 FFN0 = P VPN = VP = FFN j =

INVERSIÓN FINANCIACIÓN

Valor Presente Neto Valor Presente Flujo de Fondos Neto del período j

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Ejemplo:


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Calcular el VPN de un negocio de la empresa LA INVERTIDA S.A., representado en una inversión de 1.000 millones de pesos que genera unos flujos de fondos estimados de 100, 400, 400, 500 y 100 millones de pesos correspondientemente en cada uno de los cinco años de vida del proyecto, con i* = 20% anual.

400 400 500 100

0

100

1

2

3

4

5

I0 = 1.000

VPN = -1.000 + 100/(1+0,20) + 400/(1+0,20) 2 + 400/(1+0,20)3 + 500/(1+0,20)4 + 100/(1+0,20)5 VPN = -1.000 + 874

=

-126

VPN = - $ 126.000.000 Esto quiere decir que el negocio no es financieramente factible, porque los beneficios que se espera generar traídos a valor presente no recuperan siquiera la inversión inicial, representando una pérdida neta de $12 millones.

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3.6.3 Tasa Interna de Retorno (TIR) 3.6.3.1 Concepto La Tasa Interna de Retorno (TIR) representa la rentabilidad de los fondos que permanecen en el negocio. Para un negocio de Inversión la TIR es la tasa de interés que genera el capital que permanece invertido (no se ha recuperado) en él. Para un negocio de Financiación la TIR es la tasa de interés que se paga por el saldo de deuda.

3.6.3.2 Factibilidad Un negocio de Inversión es financieramente factible si la rentabilidad que ofrece (TIR) es mayor que la rentabilidad que se obtuviese alternativamente (i*),y es no factible en caso contrario. Un negocio de Financiación es financieramente factible si la tasa de interés que se paga por los saldos de deuda (TIR) es menor que la que se pagase por las fuentes alternativas de financiación (i*).

INVERSIÓN:

TIR > i* TIR < i*

FINANCIACIÓN: TIR > i* TIR < i*

FACTIBLE NO FACTIBIBLE NO FACTIBLE FACTIBIBLE

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3.6.3.3 Formulación Partiendo del entendimiento de que el punto de indiferencia financiero (en el que da igual tomar o no el negocio) se tiene cuando la rentabilidad del negocio es igual al costo de oportunidad, o sea, TIR = i*, la formulación de TIR se da en términos de encontrar una tasa i tal que s i ella fuera la tasa de oportunidad (“i*”), el negocio sería indiferente, o sea, que su Valor Presente sería cero (VPN = 0).

TIR TIR = VPN =

VPN = 0 Tasa interna de Retorno Valor Presente Neto

La expresión VPN = 0 representa un polinomio de grado – n: VPN = 0 = FFN 0 + FFN1 /(1+i) + FFN 2 /(1+i)2 + FFN3 /(1+i)3 + . . . + FFN n /(1+i)n, En el cual no se puede despejar la variable i, y es soluble solo por métodos numéricos, como Ensayo y Error. Solo en el caso en el que no existan flujos intermedios entre los flujos de los momentos cero (P) y n (F), es posible deducir por Equivalencia (ver sección 3.3.3.3) la relación:

TIR = (F / P)1/n - 1 TIR = P= F=

Ejemplo:

Tasa interna de Retorno Flujo de fondos en el momento 0 Flujo de fondos en el momento n

Encontrar la TIR para el caso de la empresa LA INVERTIDORA del ejemplo anterior:

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VPN = -1.000 + 100/(1+i) + 400/(1+i) 2 + 400/(1+i)3 + 500/(1+i)4 + 100/(1+i)5 El objetivo es ensayar con valores de i hasta que se consiga un valor de VPN muy cercano a cero: I (%)

VPN ($mills.)

0 10 13 15

500 125,6 40 -12

Los dos últimos datos son cercanos a cero y de signo contrario, permitiendo utiliza un procedimiento de interpolación: 15 – 13 = 2% de diferencia en la tasa de interés causa 40 – (-12) = 52 mills. de diferencia en el Valor Presente Neto 0 (-12) = 12 mills. se causan con una diferencia en la tasa de interés de : 2% 12/52 = 0,46% TIR Ejemplo:

(aprox.)

= 15% - 0,46% =

14,54%

El fondo mutuo de inversiones SINFONDO, promete reintegra $5 dentro de cinco años por cada $1 invertido hoy sin retiros parciales durante este período. ¿ Cuál es la TIR de dicha inversión? P = $1 F = $5 n = 5 años TIR = (5/1)1/5 – 1 = 37,97% anual.

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Ejercicios S1:

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INTERÉS SIMPLE

1.

Calcule el monto de los intereses que paga un préstamo de $600.000 por un (Resp. $144.000) año al 2% mensual.

2.

Calcule el monto de intereses que Ud. Debe pagar por un crédito estudiantil (Resp. $2.400.000) de $5.000.000 otorgado por cuatro años al 1% mensual.

3.

Ud. Compra un televisor SuperEva por $3.800.000 cancelando $800.000 al momento de cerrar el negocio y comprometiendo el saldo a 10 meses con un interés del 1,9% mensual. ¿Cuánto pagará para cancelar ese compromiso? (Resp. $3.570.000)

4.

Ud. necesita cancelar un valor de $2.500.000 dentro de seis meses. Cuenta con $2.250.000 hoy, los que puede colocar a una tasa de interés simple del 2% mensual. Calcule el monto de dinero que le faltará o le sobrará dentro de (Resp. Sobran $20.000) seis meses al cancelar la cifra mencionada.

5.

Calcule el valor de la tasa de interés que permitiría cancelar exactamente la (Resp. 1,85%) cifra del pago a seis meses en el problema 4.

6.

¿Cuántos años debe permanecer una inversión al 25% anual de interés simple (Resp. 4 años) para doblar el capital?

7.

¿Cuál es el interés trimestral correspondiente a una tasa del 24% anual? (Resp. 6% trimestral)

8.

¿Cuál es la tasa nominal de un interés del 2,5% mensual?

9.

Establecer la tasa nominal de un préstamo de $4.000.000 que paga $800.000 (Resp. 24% anual) de intereses en 10 meses.

10.

Calcular el monto que cancela un préstamo de $1.000.000 de capital inicial (Resp. $1.152.778) por un plazo de 275 días a un interés del 20% anual.

(Resp. 30% anual)

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11.

Electrodomésticos Kanga desea establecer la tasa nominal que debe aplicar a sus créditos (equivalentes al 60% del precio de venta), de tal modo que el monto de interés que aplica en el plazo de 8 meses represente el 12% del (Resp. 30% anual) precio de venta.

12.

Calcule la tasa de interés mensual simple equivalente a una tasa de interés del (Resp. 2,235 % mensual) 2% mensual compuesta.

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Ejercicios S2: .

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INTERÉS COMPUESTO: EQUIVALENCIA

1.

En el plan BUENABUELO usted deposita un millón de pesos cada año a partir del momento de inscripción, hasta completar cuatro depósitos, cuando recibe un título a nombre de su primer nieto, quien lo puede redimir al cumplirse 60 años de haber realizado el primer depósito. Si el plan ofrece un rendimiento del 26% anual, calcule el monto que le (R/. $3”076.994´028.000) corresponderá a su nieto.

2.

En el problema anterior, calcule el monto final si usted deposita los cuatro (R/. $4”210.102´780.000) millones de pesos de una vez.

3.

Fiduciaria TUTELAR ofrece un fondo que renta el 8% semestral. a. Calcule el monto que retira un ahorrador que invierte $10 millones por siete años. b. Otro inversionista coloca $10 millones en el fondo, retirando $5 millones a los cinco años y el resto tres años más tarde. Calcule el valor de este último retiro.

4.

Calcular el valor de la partida de un fondo de pensiones para una oficina gubernamental que estima necesitar 100, 150 y 200 millones de pesos para dentro de 10, 11 y 13 años respectivamente, si se espera un rendimiento del 24% anual.

5.

Asumiendo el precio de la UVR hoy en $112, y una inflación promedia del 10% anual, calcule el precio de la UVR dentro de 15 años. (R/. $467,85)

6.

Un viejo amigo de su abuelo quiere saldar una deuda de $1.000 que contrajo con él hace 50 años y que nunca canceló. Calcule el monto actual que Ud. le sugiere pagar, considerando una tasa del 25% anual. R/. $70´064.923)

7.

Calcule el monto de la deuda que tiene un estudiante al cabo de su postgrado, cuando ha recibido un préstamo de 40 millones de pesos de parte del ICTEST para estudiar en el extranjero por tres años, si el interés (R/. $56´197.120) pactado es del 12% anual.

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8.

Un comerciante aprovecha los excedentes de su negocio para realizar depósitos en su cuenta de ahorros, que renta el 1% mensual, así: $5´550.000 al abrir su cuenta, $1´230.000 a los seis meses y $6´000.000 cuatro meses después. Calcule el monto del interés ganado y el capital reunido al año de haber abierto la cuenta.

9.

¿Cuántos pesos debe pagar dentro de un año para cancelar completamente una deuda contraída por 50.000 dólares, si la tasa de cambio hoy es de (R/. $125´000.000) $2.000/US$, y se espera que suba al 25% anual?

10.

Usted realiza hoy un depósito de cien millones de pesos en un fondo que opera en dólares y que renta el 6% anual en esta moneda. ¿Cuánto dinero en pesos retirará dentro de cinco años, si espera una tasa de incremento de la tasa de cambio del 27% anual?

11.

Escoja la mejor alternativa para reclamar el premio QIR-KKO, que acaba de ganar, contando con que Usted puede rentar el dinero al 20% anual: A) Recibir cinco millones de pesos hoy, B) Recibir $10 millones dentro de tres años, C) Recibir $20 millones dentro de seis años, D) Recibir $5 millones dentro de tres años y $10 millones dentro de seis años.

12.

Con una tasa de inflación promedia del 18% anual, para los últimos 40 años en Colombia, establezca a cuánto dinero de hace 40 años equivalen (R/. $1.332,66) $1 millón de hoy.

13.

Una póliza de capitalización de $10 millones hoy promete devolver $100 millones dentro de 10 años. Calcule el depósito equivalente en un fondo mutuo que renta el 20% anual, y escoja la mejor opción para un ahorrador.

14.

Un ahorrador invierte $5 millones cada año por espacio de tres años en un fondo que renta el 21% anual. Calcule el capital que tendrá dentro de 10 años en el fondo si no retira entretanto ningún dinero.

15.

Un usuario de préstamos de vivienda ha tomado una deuda el 2 de enero de 1999, con un año de gracia. La liquidación de la deuda según el sistema UPAC el 2 de enero de 2000 arroja un valor de $90.000.000. Calcule el valor de reliquidación según el sistema UVR, si se tiene que la

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corrección monetaria por UAC es del 28% anual, mientras que para el UVR es del 10% anual. 16.

Usted va a ausentarse del país durante cinco años, pero desea depositar en una cuenta de ahorros una cantidad de dinero tal que a su regreso cuente con $100 millones. Calcule el monto que debe depositar si espera que la cuenta le rente un 11% anual.

17.

Calcule en cuánto puede venderse un bono de $3 millones pagaderos en el momento de su redención, exactamente dentro de dos años, si el interés que da el mercado de bonos es del 12% anual.

18.

Calcule el valor de cada una de las tres cuotas anuales que depositadas en un fondo que renta el 15% anual permiten retirar $10 millones dentro de 10 años.

19.

Un automóvil se compra hoy en $20 millones; se espera que dentro de cinco años se pueda vender en $20 millones. Calcular el consumo de capital en $ de hoy, si el valor del dinero se tasa en el 20% anual.-

20.

Usted debe pagar un préstamo de $10 millones en cuatro cuotas semestrales de $3.500.000. Calcule el depósito equivalente que debe hacer en un fondo que le reconoce el 1% mensual para pagar dicho préstamo. Calcule el sobrecosto del préstamo den $ de hoy.

21.

Determine el monto de la alícuota anual que paga un préstamo de $50 millones al 2% mensual por 6 años.

22.

Calcule el monto del principal que tasa una alícuota mensual del $100.000 por 10 años a un interés del 1,5% mensual.

23.

Usted decide manejar su propio fondo que llama MINIETO, depositando cada año la suma de $1 millón en una cuenta de ahorros que rinde el 10% anual. Calcule el monto que puede retirar su nieto dentro de 40 años.

24.

Calcular el valor de la alícuota que paga un préstamo de $100 millones por 60 meses, suscrito al 2% mensual los primeros tres años y al 3% mensual el resto.

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25.

Calcule el valor de la anualidad que paga un préstamo de $100 millones a cinco años, si el interés para el primer año es del 10% y va incrementándose en 5% cada año.

26.

Para el problema anterior, calcule la tasa única equivalente a las cinco tasas que se cobran en él.

27.

Calcule el valor de cada pago mensual de un préstamo de $50 millones por cinco años, al 2% mensual, si la alícuota de los últimos dos años se debe calcular como el doble de la alícuota correspondiente a los tres primeros años

28.

Calcule el valor de la alícuota mensual que paga un préstamo en 12 meses, con un interés del 2% mensual, si ella se debe pagar anticipadamente cada período.

29.

Calcule el monto del préstamo al que se le aplica una tasa del 1,5% mensual, si el pago anticipado por cuota fija se tasa en $100,000 por mes, durante 24 meses.

30.

La financiera BLANDO & COBRA le otorga un préstamo a su empresa por $1.000 millones para cancelar a 10 años con un plazo muerto de un año y un interés del 2% mensual. a. Calcule el valor de la alícuota mensual correspondiente. b. Calcule el valor del pago único equivalente al final de los 10 años.

31.

Resuelva el problema anterior si el plazo muerto se cambia por un período de gracia. Explique por qué, para la misma tasa de interés, es más conveniente tomar un préstamo con plazo muerto que con período de gracia.

32. 33.

Calcule la alícuota mensual que paga un bono a perpetuidad de $1 millón, con un interés del 2%.

34.

Calcule el precio de un bono a perpetuidad que paga cupones de $100.000 trimestrales, si la tasa de interés en el mercado es del 4% trimestral.

35.

El Fondo de Pensiones LALOCURA ofrece tres planes básicos que debe escoger la persona en el momento de ingresar al fondo, todos bajo los mismos aportes:

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A: Cuota única de jubilación de $200.000.000 al cumplimiento de los requisitos. B: Mesada de $3.000.000 durante 10 años. C: Mensualidad fija de $2.200.000 hasta su muerte (suponga perpetuidad). Escoja el plan más conveniente para Usted, si espera que la tasa de interés cuando se jubile sea del 1% mensual. 36.

Usted suscribe una inversión de capital por cinco años que le entrega un alícuota anual a un interés del 14% anual; los pagos recibidos los reinvierte en una cuenta de ahorros al 6% anual hasta el final de los cinco años. a. Calcule el porcentaje de incremento de la cifra inicialmente invertida. b. Calcule la tasa de interés equivalente para la inversión.

37.

Diga cuál de los planes de inversión es más atractivo y por qué: A: Inversión al 16% anual por cuatro años. B: Mitad de la inversión al 20% anual por cuatro años y mitad de la inversión al 12% anual por cuatro años.

38.

Calcule el número de períodos para el cual el valor presente equivalente se hace igual a 10 veces la alícuota, a un interés del 2%.

39.

Calcule el monto final equivalente del siguiente plan de inversiones: 10 depósitos mensuales de $1 millón cada uno, un año sin movimientos y luego 10 depósitos mensuales de $2 millones cada uno, si el fondo gana 2,5% mensual.

40.

Calcule el valor presente de un préstamo a cinco años que establece un gradiente aritmético de $20.000 mensuales sobre su primera cuota de $120.000, con una tasa de interés del 2% mensual.

41.

Calcule los respectivos montos de las cuotas anuales números 1, 5 y 10 de amortización de un préstamo por $100 millones pagaderos a 10 años, a una tasa de interés del 10% anual y gradiente de $500.000 por año.

42.

Calcule le valor del gradiente aritmético para un préstamo de $80 millones a 10 años y con una tasa de interés del 1,5% mensual, si se requiere que la primera cuota sea de $400.000. Calcule el monto de la última cuota.

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43.

Resuelva el problema anterior, considerando un período de gracia de un año.

44.

Resuelva el problema 42, considerando un plazo muerto de 18 meses.

45.

Calcule el valor presente de un gradiente geométrico del 5% por 20 trimestres, sobre una primera cuota de $200.000, con una tasa de interés del 4% trimestral.

46.

Calcule el valor de la primera cuota de un préstamo de $25 millones por ocho años, al 2,1% mensual, de tal manera que se mantenga un gradiente geométrico del 1% mensual.

47.

Muestre porqué en Colombia, para pagos a más de 20 años se puede considerar técnicamente el período como infinito.

48.

Entre los planes de pago por alícuota, gradiente aritmético y gradiente geométrico: a. Explicar cuál paga mayor cuota que los demás al comienzo del período de amortización. b. Explicar cuál paga mayor cuota que los demás al final del período de amortización.

49.

Explique si el aumento del precio de la UVR corresponde a un gradiente aritmético o a un gradiente geométrico.

50.

Explique si la inflación sigue un patrón de gradiente aritmético o de gradiente geométrico.

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Ejercicios S3:

1.

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INTERÉS COMPUESTO: MANEJO DE TASAS

Calcule la tasa de interés efectiva (efectiva anual) de cada una de las siguientes tasas nominales: a. b. c. d. e.

36% anual semestre vencido 30% anual mes vencido 30% anual 25% a.b.v. 20% a.t.v.

f. g. h. i. j.

15% (235 días).v. 7,5% a.s.v. 24% a.t.v. 12% a.m.v. 18% a.d.v.

2. Calcule la tasa efectiva de interés de cada una de las siguientes tasas periódicas: a. b. c. d. e.

5% b.v. 7,5% t.v. 15% s.v. 2% m 60% bianual

f. g. h. i. j.

4% b.a. 8% t.a. 2% m.a. 0,01 d.a. 10% s.a.

3. Calcule la tasa efectiva de interés de cada una de las siguientes tasas nominales: a. b. c. d. e.

30% anual trimestre anticipado 28% anual anticipado 36% anual mes anticipado 18% a.d.a. 24% a.m.a.

f. g. h. i. j.

30% a.s.a. 24% a.t.a. 24% a.b.a. 25% anual bienio antic. 12% a.b.a.

4. Encuentre la tasa nominal semestre vencido de: a. 25% anual b. 30% anual trimestre vencido c. 36% anual mes vencido

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5. Exprese la tasa de interés del 42% anual mes vencido en sus equivalentes: a. Periódica mensual b. Efectiva anual c. Anual semestre vencido

d. Anual bimestre anticipado e. Periódica trimestral

6. Realice las siguientes transformaciones: a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. ñ. o. p. q. r.

28% a.t.v. a efectiva 28% a.t.v. a semestral anticipada 22% efectiva a a.m.v. 30% efectiva a bimestral 30% efectiva a bimestral 26% a.s.v. a a.m.a. 26% a.s.v. a a.b.a. 26% a.s.v. a a.s.a. 26% a.s.v. a a.a. 26% a.s.v. a efectiva 26% a.s.v. a a.b.v. 26% a.s.v. a a.m.v. 14% a 90 días a efectiva 2% a 22 días a efectiva 0,09% diario a mensual 0,09% diario a efectiva 0,09% diario a a.m.v. 40% a.m.v. a efectiva 40% a.m.v. a a.s.v.

7. Para cada una de las tasas que se enumeran a continuación, establezca las correspondientes tasas a) efectiva, b) nominal vencida y c) nominal anticipada: 40% anual bienio vencido 40% efectiva anual 40% a.s.v. 40% a.t.v. 40% a.m.v. 40% a.d.v. 40% a.d.a. 40% a.m.a. 40% a.t.a.

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40% a.s.a. 40% a.a.a. 40% anual bienio anticipado 8. Calcule la tasa efectiva anual correspondiente a cada una de las siguientes tasas mixtas: a. b. c. d. e. f. g. h. i.

DTF + 6% e.a. DTF + 6% a.t.v. DTF + 8% a.m.v. DTF + 0% a.t.v. Prime Rate + 1% e.a. Prime Rate + 3% a.t.a. Prime Rate + 1% s.v. Libor + 3,5% e.a. Libor + 4% a.s.v.

DTF = 10,37% a.t.v. DTF = 11% a. Prime Rate = 8,75% e.a. libor = 5,5% a.s.a.

j. Libor + 3% a.s.a.

9. Calcule la tasa efectiva anual en pesos de cada una de las siguientes tasas compuestas: a. 11% e.a. en UVR Crecimiento UVR = 0,9% mensual b. 9% e.a. en dólares Crecimiento T.Cambio = 24% anual c. 6% s.v. en UVR Prime Rate = 8,75% e.a. en dólares d. 14% a.m.v. en UVR e. 4% t.v. en dólares f. 12% a.m.a. en dólares g. Prime Rate + 4% a.t.v. en dólares h. Prime Rate + 6% e.a. en dólares i. 10% a.m.v. en UVR 10. Encuentre las tasas reales de: a. b. c. d. e.

46% anual, con inflación del 16% anual 11% anual, con inflación del 8,5% anual 20% a.m.v., con inflación del 8% anual 20% a.a.a., con inflación del 8% anual 1% m.v., con inflación del 9% anual

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GBV-ICESI-MATEMATICAFINANCIERA

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