MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Guillermo Buenaventura V.
Universidad ICESI
GUILLERMO BUENAVENTURA BUENAVENTURA VERA
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Guillermo Buenaventura V.
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MAT MATEMÁTICA S FINANCIERAS Guillermo Buenaventura V.
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CONCEPTOS
1.1 DINERO El dinero es un medio de "a#o "or el $ual se lo#ran reali%ar transa$$iones o inter$am&ios de &ienes '(o servi$ios) reem"la%ando al "ro$edimiento de true*ue de los mismos) ' de "aso a#ili%ando ' +a$ilitando las men$ionadas transa$$iones. Un individuo *ue "osea dinero l,*uido est- en $a"a$idad de $om"rar lo *ue en$uentre m-s a"ro"iado "ara su &ienestar) mientras *ue un individuo *ue a'a invertido su dinero en un &ien o en un servi$io 'a no tiene la $a"a$idad de $om"rar lo *ue desee) 'a tiene lo *ue desea&a $uando ten,a el dinero en su "oder. El dinero re"resenta) "or los tanto) el /01ER de tomar de$isiones so&re lo *ue se "uede ad*uirir) es de$ir) so&re a *u ti"o de &ene+i$io 3&ien o servi$io4 a$$eder "or "arte de su "oseedor. "oseedor. Si &ien el dinero "or s, solo no re"resenta nin#5n ti"o de &ienestar 3no se "uede o&te o& tene nerr el #o #o$e $e an ante tess de ad ad*u *uir irir ir el $o $orre rres" s"on ondi dien ente te &ien &ien o serv servi$ i$io io *u *uee se dis+rutar-4 dis+rutar-4)) s, $onstitu'e $onstitu'e una entidad entidad de #ran valor de&ido al "ode "oderr de de$isi6n de &ienestar *ue re"resenta. /ero este valor est- a"o'ado en dos instan$ias7 re$ono no$i $im mien iento *u *uee el "5 "5&l &li$ i$oo en #e #enneral eral le da al dine dinero ro)) ' - El re$o
es"e$,+i$amente a una moneda en "arti$ular 3di#amos el "eso $olom&iano) "or e8em"lo4) el $ual de"ende de la solide% e$on6mi$a del "a,s *ue lo avala.
re$ono no$i $imi mien ento to *u *uee el indi indivi vidu duoo 3o em"r em"res esa4 a4 es"e es"e$, $,+i +i$a $ame ment ntee le - El re$o $on$eeda a la "o $on$ "osi si$i $i6n 6n de "o "ose seeer diner ineroo) el $u $ual al de de"e "ennde de las las o"ortunidades de uso *ue el individuo $onsidere tener.
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Cuando un ente "oseedor de al#una $antidad de dinero se des"rende de ella "or al#5n tiem"o) est- renun$iando al "oder de$isorio de &ienestar *ue ese dinero le otor#a) ' "or lo tanto esa $esi6n tem"oral del dinero est- so"ortada "or una motiva$i6n es"e$ial) *ue es a la "ostre la "romesa de o&tener un &ene+i$io de #o$e ma'or en el +uturo *ue el *ue o' o&tendr,a $on el dinero. Esta a$$i6n de a"la%amiento del &ene+i$io est- re"resentada en un rendimiento +inan$iero *ue la $antidad ini$ial de dinero le "ro"or$iona. El rend rendim imie ient ntoo *u *uee "ro" "ro"or or$i $ion onaa el en ena8 a8en enam amie ient ntoo tem" tem"or oral al de dell dine dinero ro es el INTER9S *ue #enera el mismo.
1.2 INTERÉS 1.2. .2.1 Na Natu tura rale lezza El inters es el im"orte de al*uiler del dinero.
1.2.2 Expresión El inters se e:"resa en M0NT0 o en /0RCENTA;E del $a"ital ne#o$iado "or "er,odo. Como im"orte de al*uiler *ue es) el inters de&e re+erirse a "er,odos de tiem"o) ') se#5 se#5nn el $a"i $a"ita tall $o $om" m"rom romet etid ido) o) se "u "ued edee esta esta&l &le$ e$er er el mont montoo "e "eri ri6d 6di$ i$oo o el "or$enta8e $orres"ondiente. $orres"ondiente. E8em"l E8em"lo7 o7
Un ""rs rstam tamoo de ! mill millone oness de "esos "esos "a#a "a#a un inte inters rs del del 2< 2< mensu mensual) al) o sea) un monto de =2. mensuales "or intereses.
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1.2. 1.2.33 Tasa de Inte Interé réss ?a e:"resi6n "or$entual del inters se denomina TASA TASA 1E INTER9S. ?a tasa de inters a"li$a al $a"ital $om"rometido. E8em E8em"l "lo7 o7
Un "rs "rsta tamo mo de $ua $uatr troo mill millon ones es de "eso "esoss se $an$e $an$ela larr- en dos dos $uota $uotass semestrales i#uales de dos millones $ada una. Si la tasa de inters es del @< semestral) $al$ular los montos de inters *ue se de&en $an$elar "or "er,odo7
/er,odo
Ca"ital 3=4 Com"rometido
/rimer semestre .. Se#undo semestre 2. 2..
Tasa de Inters 3<4
Monto de Inters 3=4
@) @)
>2. !.
3N6tese *ue al +inal del "rimer semestre se a&onan =2.. al $a"ital $om"rometido en el "rstamo) "or lo tanto el saldo de $a"ital "or "a#ar "ara el se#undo semestre es de =2..4.
1.3 E!I"#$ENCI# El dinero tiene di+erente valor en el tiem"o de&ido "re$isamente al inters *ue #enera "or lo tanto no es $orre$to $om"arar o sumar o restar montos *ue ten#an di+erente u&i$a$i6n en el tiem"o solo se "ueden o"erar $i+ras *ue estn u&i$adas en el mismo momento. /ara "oder o"erar estas $i+ras de&en "osi$ionarse EDUIVA?ENTEMENTE en el mismo tiem"o. E8em"l E8em"lo7 o7
En "rin "rin$i" $i"io) io) no se se "uede "uede sa&er sa&er $u-l $u-l $i+r $i+raa tiene tiene m-s valor valor)) in#r in#resa esarr un mill6n ' medio de "esos o' o in#resar dos millones de "esos dentro de o$o meses el resultado de"ender- de la tasa de inters *ue se a"li*ue.
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1.% &OD#$ID#DES DE INTERÉS Como im"orte de al*uiler del dinero *ue es) el inters se $ausa #eneralmente "or "er,odos 3en al#unos $asos e:$e"$ionales el "er,odo lle#a a tender a $ero) #enerando una modalidad de inters $ontinuo4 "ero se a$e"ta *ue el "a#o de esos intereses $ausados se "ueda a$er en "er,odos di+erentes a los $orres"ondientes a la $ausa$i6n) dando lu#ar a la a$umula$i6n de los intereses. Cuando los intereses se a$umulan dan lu#ar a una de dos modalidades de a$umula$i6n7 - INTER9S SIM/?E) en la *ue los intereses se a$umulan sum-ndolos
sim"lemente en una $uenta a"arte del $a"ital) la *ue se $an$ela en el momento esti"ulado en el $ontrato o en la situa$i6n.
- INTER9S C0M/UEST0) en la *ue los intereses) una ve% $ausados se
llevan a la $uenta de $a"ital) de tal manera *ue son o&8eto de #enerar m-s intereses so&re ellos mismos una ve% $a"itali%ados.
Se "uede de$ir) enton$es) *ue la modalidad de Inters Com"uesto $a"itali%a los intereses $ausados) mientras *ue la modalidad de Inters Sim"le no los $a"itali%a. E8em"lo7
Un "rstamo de ! millones de "esos se "a$ta a un ao) al $a&o del $ual se $an$ela el $a"ital involu$rado ' todos los intereses $ausados $on una tasa de inters del 2< mensual. Cal$ular el monto *ue se de&e "a#ar al $a&o del ao $on $ada una de las modalidades) Inters sim"le e Inters $om"uesto7
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INTER9S SIM/?E
Ca"ital /rin$i"al Tiem"o Tasa de inters
Mes ! 2 > H @ ! !! !2
= !.. !2 meses 2 < mensual
Ca"ital Ini$ial 3=4 !.. !.. !.. !.. !.. !.. !.. !.. !.. !.. !.. !..
Final en $uentas Total "or $an$elar
Intereses Generados 3=4 2.. 2.. 2.. 2.. 2.. 2.. 2.. 2.. 2.. 2.. 2.. 2..
Ca"ital Final 3=4
Intereses A$um. 3=4
!.. !.. !.. !.. !.. !.. !.. !.. !.. !.. !.. !..
2.. .. .. @.. !.. !2.. !.. !.. !@.. 2.. 22.. 2..
!..
2.. !2..
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INTER9S C0M/UEST0
Ca"ital /rin$i"al Tiem"o Tasa de inters
Mes ! 2 > H @ ! !! !2
= !.. !2 meses 2 < mensual
Ca"ital Ini$ial 3=4 !.. !2.. !.. !.!2.@ !@.2>.2! !!.@.@ !!2.!.22 !!.@@.H !!H.!.>@ !!..2H !2!.@.2 !2.>>H.>!
Final en $uentas Total "or $an$elar
Intereses Generados 3=4 2.. 2.. 2.@.@ 2.!22.! 2.!.@ 2.2@.!2 2.22.>2 2.2H.>H! 2.>>.>! 2.>.!@ 2.>H.@ 2@.H
Ca"ital Final 3=4
Intereses A$um. 3=4
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!2.@2.!@
JJJ !2.@2.!@
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Como "uede o&servarse en los $-l$ulos anteriores) el inters *ue mes a mes #enera la modalidad de Inters Com"uesto es ma'or *ue el *ue #enera la modalidad de Inters Sim"le) de&ido a *ue el $a"ital va aumentando en la medida en *ue los intereses se le a$umulan 3se $a"itali%an4. Tam&in se o&serva $6mo el "a#o total) involu$rando el "rstamo ' los intereses al +inal del "er,odo) resulta ma'or en la modalidad de inters Com"uesto "ara las mismas $i+ras de tasa de inters ' de n5mero de "er,odos.
@
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2. INTERÉS SI&P$E 2.1 CONCEPTO ?a modalidad de inters sim"le no $a"itali%a intereses) o sea) no $onsidera Kintereses so&re los interesesL.
2.2
'OR&!$#CIONES
2.2.1 &(nt( de Intereses El monto de los intereses a$umulados se o&tiene de multi"li$ar el $a"ital "rin$i"al "or la tasa de inters "eri6di$a ' "or el n5mero de "er,odos "or los $uales se a$umula el inters.
I / : i : t I7 /7 i7 t7
E8em"lo7
Monto de los intereses 3=4 Monto del $a"ital "rin$i"al 3=4 Tasa de inters "or "er,odo 3<(!4 N5mero de "er,odos 3d,as) meses) aos) et$.4
Cal$ular el monto de inters *ue "a#a un "rstamo de =. al !)< mensual "or un "er,odo de !@ meses7 Ca"ital Tasa Tiem"o
=. !)< )! !@ "er,odos
Monto de Intereses
. : )! : !@
= !>.
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2.2.2 E)ui*alen+ia El $on$e"to de e*uivalen$ia "ermite rela$ionar montos involu$rados en el mismo ne#o$io ' u&i$ados en di+erente momento) en di+erente tiem"o.
2.2.2.1 Relación entre un monto Presente y un monto Futuro El $on$e"to de e*uivalen$ia "ermite $uanti+i$ar el monto total al *ue e*uivale 3*ue "a#a "or4 un $a"ital "rin$i"al en el +uturo "ara restituirlo in$lu'endo sus intereses. El monto +uturo e*uivalente se $al$ula sumando al monto de $a"ital "rin$i"al el monto de los intereses #enerados.
VF / I VF / : 3! i : t4 VF 7 I7 /7 i7 t7
E8em"lo7
Monto +uturo e*uivalente 3=4 Monto de los intereses 3=4 Monto del $a"ital "rin$i"al 3=4 Tasa de inters "or "er,odo 3<(!4 N5mero de "er,odos 3d,as) meses) aos) et$.4
Cal$ular el "a#o total 3o monto +uturo e*uivalente4 *ue $an$ela un "rstamo de =. al !)< mensual "or !@ meses7 Ca"ital =. Tasa !)< )! Tiem"o !@ "er,odos Monto de Intereses . : )! : !@
= !>.
Monto Futuro
= >.
. !>.
Tam&in se "uede $al$ular dire$tamente) as,7 Monto Futuro . : 3 ! )! : !@4
= >.
!
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1ado un monto +uturo es "osi&le en$ontrar el monto "resente o monto del $a"ital en el momento "resente rea$omodando $orres"ondientemente la +6rmula anterior.
V/ F ( 3 ! i : t4 V/ 7 F7 i7 t7
E8em"lo7
Monto "resente e*uivalente 3=4 Monto +uturo 3=4 Tasa de inters "or "er,odo 3<(!4 N5mero de "er,odos 3d,as) meses) aos) et$.4
Cal$ular el valor "resente de una deuda *ue de&e $an$elar =>.. dentro de !@ meses) si el inters "a$tado es del >< mensual7 Monto +uturo Tasa Tiem"o Monto /resente
2.2.2.2
=>.. >< )> !@ "er,odos >.. ( 3! )> : !@4
= !.@.2
Cálculo de la Tasa de Interés
Teniendo los dem-s trminos de la e$ua$i6n anterior) es "osi&le $al$ular la tasa de inters de e*uivalen$ia de di$as $antidades.
i 3VF ( / J !4 ( t i7 VF 7 /7 t7
Tasa de inters "or "er,odo 3<(!4 Monto +uturo e*uivalente 3=4 Monto del $a"ital "rin$i"al 3=4 N5mero de "er,odos 3d,as) meses) aos) et$.4
!!
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Cal$ular la tasa de inters mensual *ue se a"li$a a un "rstamo de =!.. *ue se $an$ela $on =!.H. a los 2 meses7 Ca"ital Monto Futuro Tiem"o
!.. !.H. 2 meses
Tasa de Inters 33!.H. ( !..4 !4 ( 2 >)H< mensual
2.2.2.3 Cálculo del Tiempo An-lo#amente se "uede des"e8ar la varia&le tiem"o 3n5mero de "er,odos4 de la e$ua$i6n anterior.
t 3VF ( / J !4 ( i t7 VF 7 /7 i7
E8em"lo7
N5mero de "er,odos 3d,as) meses) aos) et$.4 Monto +uturo e*uivalente 3=4 Monto del $a"ital "rin$i"al 3=4 Tasa de inters "or "er,odo 3<(!4
Cal$ular el tiem"o ne$esario "ara *ue =!.. se $onviertan en =!.. a una tasa del 2)< mensual. Ca"ital Monto Futuro Tasa
!.. !.. !) < mensual
Tiem"o 33!.. ( !..4 !4 ( )!
meses
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2.2.3 Tasa de Interés ?a tasa de inters se tiene $omo "or$enta8e "or unidad de tiem"o. Este "er,odo "uede $oin$idir o no $on el "er,odo *ue mane8e el ne#o$io. Es mu' usual enun$iar la tasa de inters en trminos anuales 3tasa nominal4 si se re*uiere en otra &ase 3tasa "eri6di$a4 se de&e $onvertir dividiendo la $i+ra entre el n5mero de "er,odos *ue $om"renda el ao 3!2 meses) > d,as) et$.4.
i " in ( n in i " : n i "7 in7 n7
E8em"lo7
Tasa de inters "eri6di$a 3< "or d,a) mes) et$.4 Tasa de inters nominal 3< anual4 N5mero de "er,odos "or ao 3d,as) meses) et$.4
Cal$ular la tasa mensual $orres"ondiente a una tasa del >< anual7 N5mero de "er,odos Tasa "eri6di$a > ( !2
E8em"lo7
!2 meses "or ao 2)< mensual
Cal$ular la tasa anual $orres"ondiente a un inters del H< trimestral7 N5mero de "er,odos Tasa nominal H :
trimestres "or ao 2@)< anual
!>
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3. INTERÉS CO&P!ESTO 3.1 CONCEPTO ?a modalidad de Inters Com"uesto) $omo 'a se anot6) asume la "osi$i6n de *ue los montos de intereses #enerados "ero no $an$elados renten) as, $omo el $a"ital) su misma tasa de inters. Este e+e$to se o&tiene $on la a$$i6n de CA/ITA?IOACIPN de los intereses $ausados. Cada ve% *ue se $ausan ') "or lo tanto se $al$ulan) los intereses #enerados se llevan a la $uenta del $a"ital) de tal modo *ue si no son $an$elados en el momento 3"or*ue as, se a$ord6 en el $ontrato ' no "or in$um"limiento de este4 entran a ser o&8eto de deven#ar las tasa de inters "a$tada) $omo $a"ital *ue 'a son. Esta modalidad de mane8o de los intereses est- m-s a$orde $on el $on$e"to de Valor del 1inero en el Tiem"o *ue la modalidad de Inters Sim"le) en la $ual el dinero $orres"ondiente a los montos $ausados de inters no "uede #enerar m-s intereses so&re s,) as, sea $an$elado mu$o tiem"o des"us de su $ausa$i6n.
3.2 E$E&ENTOS ?os elementos *ue intervienen en toda situa$i6n +inan$iera son7 - El TIEM/0 3tiem"o de dura$i6n del ne#o$io ' tiem"o o "er,odo de
$a"itali%a$i6n de los intereses4.
- ?a TASA de inters *ue se a"li$a al "er,odo. - ?os F?U;0S 1E F0N10S 6 F?U;0S 1E 1INER0 *ue se u&i$an en los
di+erentes momentos.
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3.2.1 El Tie,p( Normalmente el tiem"o de dura$i6n del ne#o$io se divide en /ERQ010S 3d,as) meses) aos) et$.4 o intervalos) $orres"ondientemente $on la +orma de $a"itali%a$i6n $onvenida. /ara el desarrollo de las e*uivalen$ias) en "rin$i"io estos intervalos de&en ser de i#ual lon#itud) es de$ir) todos los "er,odos de&en se i#uales aun*ue en al#unos $asos se +ormulan modelos *ue atienden situa$iones de "er,odos de di+erente lon#itud) esta situa$i6n no se a&ordar- en el tratamiento "resentado en este do$umento) "or $onsiderarla de rara o$urren$ia. Es usual a'udarse en el an-lisis de ne#o$ios $on GRÁFIC0S de las situa$iones. El tiem"o se re"resenta en una re$ta numri$a) $u'as divisiones $orres"onden a los "er,odos7
!
2
n
3.2.2 $a Tasa de Interés ?a Tasa de Inters re"resenta el $osto del al*uiler del $a"ital involu$rado en un ne#o$io. Normalmente se re"resenta $on la letra i- ' se da en "or$enta8e "or unidad de tiem"o. ?a tasa de inters se a"li$a al /ERQ010 1E C0M/0SICIPN) o sea al "er,odo en el *ue se $ausan los intereses es im"ortante anotar *ue esta tasa se denomina TASA /ERQ01ICA) ' *ue el "er,odo "ara el *ue ella se de$lara de&e $oin$idir $on el "er,odo de "arti$i6n del tiem"o "ara el ne#o$io 3aos) meses) d,as) et$.4. ?a tasa de inters "eri6di$a "uede a"li$arse en +orma anti$i"ada o ven$ida) se#5n lo esti"ule el $ontrato. Es indis"ensa&le identi+i$ar la tasa en tal situa$i6n los desarrollos de E*uivalen$ia *ue se "resentar-n m-s adelante $onsiderar-n la tasa de inters $omo ven$ida) "or lo tanto) si la tasa ori#inal +uere de $ar-$ter anti$i"ado) re*uerir,a de la $onversi6n "revia a tasa "eri6di$a ven$ida "ara o"erarla en los modelos *ue se tendr-n.
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E8em"los7 2< anual $om"uesta trimestralmente 2< e+e$tiva anual 2< mensual 2< anual $om"uesta mensualmente de manera anti$i"ada
3.2.3 $(s 'lu(s de '(nd(s ?os Flu8os de Fondos re"resentan os In#resos ' los E#resos en $ada uno de los "er,odos de la vida del ne#o$io. Todas las "artidas de un "er,odo se a#ru"an ' se u&i$an al +inal del mismo) "or lo tanto los Flu8os de Fondos estar-n siem"re lo$ali%ados en las divisiones de la re$ta de tiem"o) es de$ir en los momentos de +inal de "er,odo e ini$io del si#uiente. /or $onven$i6n) los In#resos se re"resentan #r-+i$amente "or +le$as diri#idas a$ia arri&a) mientras *ue los E#resos se re"resentan "or +le$as diri#idas a$ia a&a8o. En $ada momento o "er,odo se "ueden $onsiderar los In#resos ' los E#resos "or se"arado o &ien) a"rove$ando *ue "artidas de dinero u&i$adas en el mismo momento re$ono$en el mismo nivel de valor) se "ueden $onsiderar los $orres"ondientes Flu8os Netos 3In#resos menos E#resos4. E8em"lo7
?a em"resa Consolas del /a,s S.A. est- $onsiderando in#resar en el ne#o$io de los te$lados de $om"utador) "ara lo $ual estima una inversi6n de =! millones en un "ro'e$to de $uatro aos de vida) $on in#resos res"e$tivos de !@) 22) 2 ' !H millones de "esos) ' $on e#resos de !) !!) !2 ' ! millones de "esos. Consolas del /a,s re*uiere esta&le$er el dia#rama de +lu8os de +ondos "ara el "ro'e$to7 1IAGRAMA 1E F?U;0 1E F0N10S 3FF4
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22
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1IAGRAMA 1E F?U0 F0N10S NET0S 3FFN4
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3.3 E!I"#$ENCI# 3.3.1 C(,entari(s •
El $on$e"to de E*uivalen$ia "ermite KmoverL Flu8os de Fondos en el tiem"o) $onservando su valor) se#5n la tasa de inters asi#nada.
•
/ara los $-l$ulos $onsidera todos los Flu8o de Fondos u&i$ados al +inal de $ada "er,odo.
•
?a tasa de Inters *ue se em"lee de&e ser /ERIP1ICA VENCI1A) es de$ir) $orres"onder al "er,odo o divisi6n del tiem"o *ue se ten#a) ' a"li$arse al +inali%ar $ada "er,odo. Cual*uier otra modalidad de Tasa de Inters de&er- ser $onvertida a esta antes de a"li$ar los modelos.
•
?os modelos "osi&ilitar-n "oder a#ru"ar todos los Flu8os de Fondos de un ne#o$io en un solo momento en el tiem"o) "ara o"erar matem-ti$amente 3sumar ' restar4 di$os +lu8os e*uivalentes ' o&tener un indi$ador 5ni$o del ne#o$io.
3.3.2 C(n*en+i(nes F?U;07
Cantidad de dinero ori#inalmente u&i$ada en un momento en el tiem"o.
VA?0R7
Cantidad de dinero e*uivalente en un momento distinto al ori#inalmente u&i$ado.
/RESENTE7
/
Fondo u&i$ado en el momento 3$ero4 o en un momento anterior al $ual va a ser trasladado.
FUTUR07
F
Fondo u&i$ado en el momento n 35ltimo4 o en un momento "osterior al $ual va a ser trasladado.
A?QCU0TA7
A
Serie uni+orme 3$i+ras i#uales4 de +ondos u&i$ados de +orma $onse$utiva e ininterrum"ida
desde el momento ! 3uno4 asta el
!H
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momento n 35ltimo4. GRA1IENTE ARITM9TIC07 G Cantidad $onstante en la *ue $re$e una serie $re$iente de +ondos u&i$ados de +orma $onse$utiva e ininterrum"ida desde el momento ! 3uno4 asta el momento n 35ltimo4. El #radiente o"era a "artir del momento 2. GRA1IENTE GE0M9TRIC07 ; Fra$$i6n o "or$enta8e $onstante en el *ue $re$e una serie $re$iente de +ondos u&i$ados de +orma $onse$utiva e ininterrum"ida desde el momento ! asta el momento n 35ltimo4. El #radiente o"era a "artir del momento 2. P ' / F
0
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3.3.3 E)ui*alen+ia entre un lu( Presente un lu( 'utur( 3.3.3.1
Valor Futuro de un Flujo Presente
/ara trasladar un +lu8o /resente a un valor Futuro se $a"itali%an "eri6di$amente los intereses) as,7 / Flu8o /resente VF Valor Futuro i Tasa de inters "ara a"li$ar en $ada "er,odo n N5mero de "er,odos *ue se"aran los momentos de / ' de VF /er,odo
Ca"ital al ini$io del "er,odo
! 2
/ / 3!i4
>
/ 3!i42
n
/ 3!i4 nJ!
Intereses del "er,odo /:i /3!i4 i
/3!i42 i /3!i4nJ!i
Ca"ital al +inal del "er,odo / /:i /3!i4 /3!i4 /3!i4i /3!i43!i4 /3!i42 /3!i42 /3!i42i /3!i423!i4 /3!i4> nJ! /3!i4 "3!i4nJ!i /3!i4nJ!3!i4 /3!i4n
Al +inal del "er,odo n el $a"ital a$umulado es /3!i4 n) el $ual $orres"onde al valor +uturo del res"e$tivo +lu8o "resente.
"' P 415i6n / VF i n
Flu8o /resente 3=4 Valor Futuro 3=4 Tasa de inters "ara a"li$ar en $ada "er,odo 3< "er,odo(!4 N5mero de "er,odos *ue se"aran los momentos de / ' de VF
!
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E8em"lo7
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Un de"6sito de =.. se mantiene "or $uatro aos en una +idu$ia) *ue rinde el !)< mensual) $a"itali%ando los intereses. Cu-nto se retira al +inal del $ontrato de +idu$ia / =.. n : !2 @ meses i !)< )! VF .. : 3! )!4 @ = !.2!H.>!
3.3.3.2
Valor Presente de un Flujo Futuro
1es"e8ando el valor +uturo de la +6rmula anterior se o&tiene7
"P ' 7 415i6n F V/ i n
E8em"lo7
Flu8o Futuro 3=4 Valor /resente 3=4 Tasa de inters "ara a"li$ar en $ada "er,odo 3< "er,odo(!4 N5mero de "er,odos *ue se"aran los momentos de V/ ' de F
Cal$ular el monto de la inversi6n en un C1T a un ao) "ara *ue "ermita retirar una $antidad de =!.. dentro de do$e meses) si el t,tulo "a#a un inters del !< mensual7 F =!.. N !2 meses i !< )! V/ !.. ( 3! )!4 !2 = @@H.
2
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3.3.3.3
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Tasa de Interés !ui"alente
Si se tienen los valores "resente ' +uturo de un ne#o$io es "osi&le $al$ular la tasa de e*uivalen$ia entre ellos) des"e8-ndola de la e$ua$i6n anterior7
i 3F ( /4 !(n J ! F / i n
E8em"lo7
Flu8o Futuro 3=4 Flu8o /resente 3=4 Tasa de inters "ara a"li$ar en $ada "er,odo 3< "er,odo(!4 N5mero de "er,odos *ue se"aran los momentos de V/ ' de F
Cal$ular la tasa de inters anual *ue $onvierte un $a"ital en el do&le a los $uatro aos7 / W F 2W n i 32W ( W4 !( J ! 2!( ! )!@2 !@)2< anual
3.3.3.# Per$odo de !ui"alencia Cono$iendo los +lu8os ' la tasa de inters se en$uentra el "er,odo de e*uivalen$ia7
n lo# 3F(/4 ( lo# 3!i4 F / i n
Flu8o Futuro 3=4 Flu8o /resente 3=4 Tasa de inters "ara a"li$ar en $ada "er,odo 3< "er,odo(!4 N5mero de "er,odos *ue se"aran los momentos de V/ ' de F
lo#
Fun$i6n lo#aritmo
2!
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E8em"lo7
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En $u-nto tiem"o se tri"li$a un $a"ital al >>< anual / F i
W >W >>< )>>
n lo# 3>W(W4 ( lo# 3! )>>4 )HH ( )!2 >)@ aos
3.3.% "al(r Presente "al(r 'utur( de *ari(s 'lu(s de '(nd(s Es de sentido $om5n dedu$ir *ue "ara o&tener el Valor /resente de varios Flu8os +uturos se de&en o&tener los valores "resentes de $ada uno de ellos ' des"us) todos u&i$ados en el momento 3$ero4) se de&en sumar al#e&rai$amente 3"ositivos los valores "resentes de los in#resos) ne#ativos los valores "resentes de los e#resos4. Asimismo) "ara o&tener el Valor Futuro de varios +lu8os de momentos anteriores se de&en o&tener los valores +uturos de $ada uno de ellos ' des"us) todos u&i$ados en el momento n) se de&en sumar al#e&rai$amente7 n
'' 7 41 5 i 6
"P 8 ! nJ!
'' 8 41 5 i6 n9
"' 8
V/ VF i n FF 8
Valor /resente 3=4 Valor Futuro 3=4 Tasa de inters "ara a"li$ar en $ada "er,odo 3< "er,odo(!4 N5mero de "er,odos *ue se"aran los momentos de V/ ' de VF Flu8o de Fondos en el momento 8 3=4 Sumatoria de trminos
22
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E8em"lo7
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Su em"resa de&e $an$elar tres "artidas de im"uestos) la "rimera de =! millones dentro de tres meses) la se#unda de =!2 millones dentro de seis meses ' la ter$era de =@ millones dentro de o$o meses. Cu-nto dinero de&e de"ositar o' en un +ondo de mutuo *ue otor#a un inters del 2< mensual) de tal modo *ue "ueda retirar e:a$tamente el valor de los "a#os en los momentos indi$ados FF> FF FF! i
=!.. =!2.. = @.. 2< )2
V/ !.. ( 3!)24 > !2.. ( 3!)24 @..( 3!)24 ! = >!.>>.2H@ E8em"lo7
Un em"leado ne$esita $ontar $on =.. dentro de dos aos "ara reali%ar un via8e alrededor del mundo. Estima *ue "uede a"ortar a un +ondo de inversiones *ue #enera el !.@< mensual de inters sumas de =!.. dentro de ! meses ' de =2.. dentro de 2 meses. Xo' tiene en su "oder una suma de =!..) de la $ual a"ortarinmediatamente al +ondo lo ne$esario "ara *ue "ueda lo#rar su "ro"6sito dentro de dos aos) ' el resto lo #astar- en vestuario. Cu-nto dinero "uede #astar o' $om"rando vestidos VF2 =.. FF2 =2.. FF! =!.. FF W i !)@< )!@ .. 2.. 3!)!@4 2J2 !.. 3!)!@4 2J! W 3!)!@42J .. 2.. W!)!@ !..W!)!@! WW!)!@2 .. .2. W 3!)24 W 2>@.! E:$edente !.. 2>@.! = H!.@! "ara #astar en vestuario
2>
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Aun*ue $on +6rmulas anteriores se "ueden resolver todos los $asos de e*uivalen$ia) e:isten otras *ue atienden al mane8o r-"ido de series $on+ormadas de +lu8os de +ondos en el tiem"o) $omo son las al,$uotas ' los #radientes) las $uales se dis$uten a $ontinua$i6n.
3.3.: E)ui*alen+ia de lu(s #l;+u(tas ( #nualidades 3.3.%.1 Concepto ?a Al,$uota es el monto de $ada $uota omo#nea 3o +i8a4 *ue $on+orman una serie ininterrum"ida de +lu8os de +ondos) dada desde el momento ! asta el momento n in$lusive. Esta serie Al,$uota suele llamarse tam&in de Anualidades) "or $orres"onder en mu$os $asos a ne#o$ios divididos en "er,odos anuales. Sin em&ar#o) se "re+iere el nom&re de Alícuota "ara evitar la disonan$ia al nom&rar "er,odos distintos al ao 3es me8or re+erirse a Kal,$uota mensualL *ue a Kanualidad mensualL) "or e8em"lo4.
3.3.%.2 Valor Presente de una serie &l$cuota A"li$ando el resultado de +ormular $omo Valor /resente un $on8unto de Flu8os de Fondos se "uede derivar la e:"resi6n *ue rela$iona la serie Al,$uota $on el Valor /resente7 n
V/ Σ
FF 8 ( 3! i 4 8
8 !
n
V/
Σ
A ( 3! i 4 8
2
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8 ! n
Σ
V/ A
! ( 3! i 4 8
8 !
V/ A !(3!i4 !(3!i42 !(3!i4> Y !(3!i4nJ! !(3!i4n Multi"li$ando am&os lados de la e:"resi6n anterior "or el trmino 3!i4) lo $ual es un arti+i$io matem-ti$o) se tiene7
3!i4 V/ A ! !(3!i4 !(3!i4 2 Y !(3!i4 nJ2 !(3!i4nJ! Restando entre s, las dos 5ltimas e:"resiones se tiene) "or anula$i6n de trminos seme8antes $on si#no $ontrario7
3!i4 V/ J V/ A ! J !(3!i4n Z) sim"li+i$ando7
3! i !4 V/ A 3!i4n J ! ( 3!i4n i V/ A 3!i4n J ! ( 3!i4n 0 sea)
"P #
< 415i6n 9 1 = 7 < i 415i6n =
V/ Valor /resente 3=4 A Monto de $ada Al,$uota 3=4
2
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i n
E8em"lo7
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Tasa de inters "ara a"li$ar en $ada "er,odo 3< "er,odo(!4 N5mero de "er,odos de la serie Al,$uota
/ara $an$elar un "rstamo al 2)< mensual Ud. tiene *ue "a#ar 2 $uotas mensuales de =2.@ $ada una $u-nto dinero le "restaron A =2.@ i 2)< )2 n 2 meses V/ 2.@ : 3!)242 ! ( )2 3!)242 V/ = ..
3.3.%.3 &l$cuota de un Flujo Presente 1e la 5ltima +6rmula se "uede $al$ular el Valor de la Al,$uota $uando se des$ono$e) teniendo la $i+ra del monto del Ca"ital "rin$i"al o Flu8o /resente7
VA / VA / i n
E8em"lo7
/ n i
i 3!i4n 7 3!i4n J !
Valor de la Al,$uota 3=4 Flu8o /resente 3=4 Tasa de inters "ara a"li$ar en $ada "er,odo 3< "er,odo(!4 N5mero de "er,odos de la serie Al,$uota
Su ami#a Ooila Ale#r,a $om"r6 un autom6vil Oamda de =2 millones) $an$elando = millones ' +inan$iando el resto al !)< mensual "or tres aos) "a#adero en al,$uotas mensuales. Cu-l es el monto de $ada al,$uota) sin in$luir la $uota del $osto de los se#uros
2.. .. =!!.. > : !2 > meses !)< )!
VA !!.. )! 3!)!4 > ( 3!)!4> !
2
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VA = >H.!
3.3.%.# &l$cuota y Valor Futuro /ara en$ontrar la e*uivalen$ia entre Al,$uota ' Valor Futuro se em"lea la e*uivalen$ia entre Al,$uota ' valor /resente ' lue#o entre Valor /resente ' valor Futuro. En la "r-$ti$a este "ro$edimiento se utili%a $uando el $aso lo re*uiere) dire$tamente $on las $i+ras del mismo) aun*ue es "osi&le en$ontrar las rela$iones al#e&rai$as $omo +6rmulas) as,7
VF / 3!i4n V/ A 3!i4n J ! 7 i 3!i4n VF A 3!i4n 3!i4n J ! 7 i 3!i4n VF A VF A i n
3!i4n J !
7i
Valor Futuro 3=4 Monto de $ada Al,$uota 3=4 Tasa de inters "ara a"li$ar en $ada "er,odo 3< "er,odo(!4 N5mero de "er,odos de la serie Al,$uota
Z) "or $onsi#uiente7
VA F VA F i n
E8em"lo7
i 7 3!i4n J !
Valor de la Al,$uota 3=4 Flu8o Futuro 3=4 Tasa de inters "ara a"li$ar en $ada "er,odo 3< "er,odo(!4 N5mero de "er,odos de la serie Al,$uota
En$ontrar el monto del "a#o 5ni$o *ue de&er,a e+e$tuar Ooila Ale#r,a) del e8em"lo anterior) si $ontratase la modalidad de $an$elar todo el "rstamo al +inal de los tres aos en lu#ar de a$erlo "or al,$uotas7 A =>H.!
2H
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i !)< )! n > meses Una alternativa es en$ontrar V/ ' lue#o VF7 V/ >H.! : 3!)!4> ! ( )! 3!)!4 > !!.. VF !!.. : 3!)!4> =
[email protected]>>. 0tra alternativa de $-l$ulo es en$ontrar VF dire$tamente de A7 VF >H.! : 3!)!4> ! ( .! =
[email protected]>>.
3.3.%.% Valor Presente de una &l$cuota a Perpetuidad Un $aso de mu$a utilidad en Finan%as es $onsiderar la vida del ne#o$io $omo "er"etua 3en la realidad) "la%os ma'ores a 2 aos en Colom&ia ' a aos en Estados Unidos se "ueden $onsiderar $omo tales m-s adelante se dis$utir- esta situa$i6n4. 1e la +6rmula *ue rela$iona "artidas "resentes 3/4 ' al,$uotas 3A4 se "uede o&tener la rela$i6n *ue interesa aora) a"li$ando l,mites7
V/ A
3!i4n J ! 7 i 3!i4n
1ividiendo numerador ' denominador entre 3!i4n7
V/ A
3!i4n J ! (3!i4n 7 i 3!i4n ( 3!i4n
V/ A
! J !(3!i4n
7 i
Tomando el l,mite $uando n tiende a in+inito7
[! J !(3!i4n 7 i\
l,m
nω
V/
A l,m n
l,m
nω
V/
A ! J !(3!i4 7 i
ω
ω
2@
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l,m l,m l,m
nω
V/ V/
nω
V/
nω
"P
=
! J !(ω 7 i Α ! J 7 i
=
Α
=
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Α
1
7 i
#7 i
n
V/ Valor /resente 3=4 A Monto de $ada Al,$uota 3=4 i Tasa de inters "ara a"li$ar en $ada "er,odo 3< "er,odo(!4 n ω 3in+inito4 n5mero de "er,odos de la serie Al,$uota
E8em"lo7
Una $om"a,a norteameri$ana emite &onos "er"etuos) los $uales "a#an un $u"6n 3monto de inters4 de =US1 anuales. Xallar el "re$io a$tual de $ada &ono si la tasa de inters de los &onos "ara o' es del @< anual7 A =US1 i @< anual )@ n ω V/ ( )@
=US1 !.!2
3.3.%.' Valor Presente de una &l$cuota &nticipada ?a Al,$uota anti$i"ada se da al $omien%o de $ada "er,odo "or lo tanto) la serie $omien%a en el momento ' termina en el momento nJ!) es de$ir) la serie se a des"la%ado un momento a$ia la i%*uierda +rente a la serie al,$uota normal *ue se viene tratando. Esto *uiere de$ir *ue $uando se alle el Valor /resente $on la
2
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+6rmula tradi$ional) este *ueda "osi$ionado en el momento !) de&indose multi"li$ar "or el +a$tor 3!i4 "ara levarlo al momento 7
V/ A
3!i4n J ! 7 i 3!i4n
V/ Aa 3!i4 : 3!i4n J ! 7 i 3!i4n V/ Aa
3!i4n J ! 7 i 3!i4nJ!
V/ Aa
3!i4n J ! 7 i 3!i4nJ!
Z)
VAa / i 3!i4nJ! 7 3!i4n J ! V/ Aa i n
E8em"lo7
Valor /resente 3=4 Monto de $ada Al,$uota "a#adera anti$i"adamente 3=4 Tasa de inters "ara a"li$ar en $ada "er,odo 3< "er,odo(!4 N5mero de "er,odos de la serie Al,$uota
/ara $an$elar un "rstamo al 2)< mensual Ud. tiene *ue "a#ar 2 $uotas mensuales anti$i"adas de =2.@ $ada una $u-nto dinero le "restaron Aa =2.@ i 2)< )2 n 2 meses V/ 2.@ : 3!)242 ! ( )2 3!)242J! V/ = .!.
>
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3.3.%.( Pla)o *uerto y Per$odo de +racia /?AO0 MUERT0 es un "er,odo en el $ual no se a$en "a#os ni se $onta&ili%an intereses en el $aso de un "rstamo. /ara e+e$tos de $al$ular las $uotas se de&e $orrer 3sin modi+i$a$i6n4 el $a"ital o Flu8o /resente o /rin$i"al desde el momento asta el +inal del "la%o muerto) mientras *ue el n5mero de "er,odos "ara "a#o de $uotas se disminu'e 8ustamente en el n5mero de "er,odos *ue $onten#a el "la%o muerto. /ERQ010 1E GRACIA es un intervalo de tiem"o durante el $ual no se e+e$t5an "a#os de un "rstamo) "ero s, se $onta&ili%an intereses. /ara e+e$tos de $al$ular las $uotas se de&e mover el /rin$i"al asta el +inal del "er,odo de #ra$ia) a8ust-ndolo $omo un Valor Futuro desde el momento ini$ial.
VA / i n /M /G
E8em"lo7
VA /
i 3!i4nJ/M 7 3!i4nJ/M J !
VA /
3!i4/G i 3!i4nJ/G 7 3!i4nJ/G J !
VA /
i 3!i4n 7 3!i4nJ/G J !
Valor de la Al,$uota 3=4 Flu8o /resente 3=4 Tasa de inters "ara a"li$ar en $ada "er,odo 3< "er,odo(!4 N5mero total de "er,odos "ara el "rstamo /la%o Muerto 3"er,odos4 /er,odo de Gra$ia 3"er,odos4
Xallar el Valor de la Al,$uota mensual *ue "a#a un "rstamo de =!.. a $in$o aos) $on un inters mensual del 2< ' $on7 a4 Un "la%o muerto de un ao &4 Un "er,odo de #ra$ia de un ao
>!
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a4 / n i /M
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=!.. : !2 meses 2< !2 meses
VA !.. )2 3!)24 J!2 ( 3!)24J!2 ! VA = >2.!@ &4 / n i /G
=!.. : !2 meses 2< !2 meses
VA !.. )2 3!)24 ( 3!)24J!2 ! VA = !>.H
>2
Guillermo Buenaventura V.
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3.3.> E)ui*alen+ia de 0radientes
3.3.'.1
+radiente &ritmético
>.>..!.! ?A SERIE 1E CU0TAS 1E? GRA1IENTE ARITM9TIC0
0
1
2
3
n
/
0 /50 /520 /54n9160
?a manera de +ormar una serie de $uotas $on Gradiente Aritmti$o es $omo si#ue7 Momento ! 2 > . . . n
Cuota
E:"resi6n
FF! FF2 FF> FF . . . FFn
B BG B 2G B >G . . . B 3nJ!4G
En #eneral7
FF 8 B 38J!4 G
>>
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>.>..!.2 EDUIVA?ENCIA 1E? GRA1IENTE ARITM9TIC0 /ara $onvertir la serie de la "or$i6n del Gradiente Aritmti$o a una serie Al,$uota es "osi&le dedu$ir matem-ti$amente la si#uiente rela$i6n de e*uivalen$ia7
A G [!(i J n ( 3!i4n !\ A G i n
Valor de la Al,$uota e*uivalente a la serie de Gradientes 3=4 Monto del Gradiente Aritmti$o 3=4 Tasa de inters "ara a"li$ar en $ada "er,odo 3< "er,odo(!4 N5mero total de "er,odos "ara el ne#o$io
N6tese *ue A re"resenta solo la serie Al,$uota del Gradiente) sin in$luir la &ase 3B4 o monto de al,$uotas i#uales a la "rimera $uota) lo *ue reem"la%a la serie ini$ial "or dos series de $uotas) $omo se muestra en el #r-+i$o7 0
1
2
3
n
/
0 /50 /520 /54n9160
0
1
2
3
n
B
#? El Valor de la Al,$uota e*uivalente al "lan $om"leto est- dado "or la suma de las dos series) $omo se e:"resa a $ontinua$i6n7
>
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VA B A VA Valor de la Al,$uota e*uivalente a la serie $om"leta de $uotas 3=4 B Monto de la "rimera $uota de la serie ori#inal de $uotas 3=4 A Valor de la Al,$uota e*uivalente a la serie de Gradientes 3=4
?a rela$i6n anterior se em"lea $omo "aso intermedio "ara en$ontrar uno de los valores /resente 3V/4) "rimera $uota 3B4 o Gradiente 3G4) se#5n el $aso) a"li$ando adi$ionalmente una de las +6rmulas de e*uivalen$ia entre Al,$uota ' Valor /resente. E8em"lo7
En$ontrar el valor del "rstamo *ue tom6 el seor ?uis Oea Bueno ' *ue le re"resenta un "lan de H2 "a#os mensuales $u'a "rimera $uota se tasa en =>.) in$rement-ndose en =!. mensuales) si la tasa de inters *ue se a"li$a es del 2< mensual7 B =>. G =!. n H2 i 2< A !. 3!()2 H2(3!)24 H2 !4 = 2H2.2> VA >. 2H2.2> = H2.2H V/ H2.2H 3!)24H2 ! ( )2 3!)24 H2 = 2!.H>.HH2
E8em"lo7
Cu-l es el monto de la 5ltima $uota *ue "a#ar- el seor Oea Bueno del e8em"lo anterior B =>. G =!. n H2
>
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FFH2 >. 3H2 J !4 !. = !.!. E8em"lo7
?a em"resa T0/A?FIN ?tda. a$$ede a un "rstamo de =.. *ue "a#ar- "or o$o aos al 2< mensual) $om"rometiendo un "lan de "a#os en el *ue la "rimera $uota ser- de =!... Cal$ule 7 a4 ?a $i+ra del monto del #radiente mensual. &4 El monto $orres"ondiente a la 5ltima $uota de "a#o. a4
/ =.. i 2< mensual n @ : !2 meses VA .. )2 3!)24 ( 3!)24J! VA = !!.H B =!.. A VA J B A !!.H. J !.. = !.H. G A ( [!(i J n ( 3!i4 n !\ G !.H. ( [ !()2 J ( 3!)24 ! \ G = >.
&4 E8em"lo7
FF !.. 3 !4 >. = !.>.@H
Si "ara el $aso del e8em"lo anterior) T0/A?FIN asumiera un #radiente de =!. mensuales) $al$ular7 a4 El monto $orres"ondiente a la "rimera $uota. &4 El monto $orres"ondiente a la 5ltima $uota de "a#o. a4
/ =.. i 2< mensual n @ : !2 meses VA .. )2 3!)24 ( 3!)24J! VA = !!.H G =!. A !. [ !()2 J ( 3!)24 ! \ = >.>!>.
>
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B VA J A B !!.H. J >.>!>. = @.2.@ &4
3.3.'.2
FF @.2.@ 3 !4 !.
= !H.2.@
+radiente +eométrico
>.>..2.! ?A SERIE 1E CU0TAS 1E? GRA1IENTE GE0M9TRIC0 0
1
2
3
n
B B3!;4 B3!;42
B3!;4 nJ!
?a manera de +ormar una serie de $uotas $on Gradiente Geomtri$o es $omo si#ue7 Momento ! 2 > . . . n
Cuota
E:"resi6n
FF! FF2 FF> FF . . . FFn
B B 3!;4 B 3!;42 B 3!;4> . . . B 3!;4nJ!
En #eneral7
FF] B 3! ;4]J!
>H
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>.>..2.2 EDUIVA?ENCIA 1E? GRA1IENTE GE0M9TRIC0 /ara $onvertir la serie $om"leta de $uotas $on Gradiente Geomtri$o a un solo momento en el tiem"o es "osi&le dedu$ir matem-ti$amente la si#uiente rela$i6n de e*uivalen$ia $on el Valor /resente7
V/ B !(3;Ji4 [3!;4(3!i4n !\ V/ B ; i n
E8em"lo7
Valor /resente 3=4 Monto de la "rimera $uota Valor del Gradiente Geomtri$o 3<(!4 Tasa de inters "ara a"li$ar en $ada "er,odo 3< "er,odo(!4 N5mero total de "er,odos "ara el ne#o$io
En$ontrar el valor del "rstamo *ue tom6 el seor Bruno Oea Malo ' *ue le re"resenta un "lan de H2 "a#os mensuales $u'a "rimera $uota se tasa en =>.) in$rement-ndose en !< "or mes) si la tasa de inters *ue se a"li$a es del 2< mensual7 B ; i n
=>. !< )! 2< )2 H2
V/ >. !(3)!J)24 [3!)!4(3!)24 H2 !\ V/ = !.2!.>! E8em"lo7
Cu-l es el monto de la 5ltima $uota *ue "a#ar- el seor Bruno Oea del e8em"lo anterior B ; i n
=>. !< )! 2< )2 H2
FFH2 >. 3!)!4H2J!
= @.
>@
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?a em"resa NA/A?FIN ?tda. a$$ede a un "rstamo de =.. *ue "a#ar- "or o$o aos al 2< mensual) $om"rometiendo un "lan de "a#os en el *ue $ada $uota ser- !)>< m-s alta *ue la anterior. Cal$ule7 a4 &4
El monto $orres"ondiente a la "rimera $uota. El monto $orres"ondiente a la 5ltima $uota de "a#o.
a4
/ i ; n
=.. 2< )2 !)>< )!> @ : !2 meses
B / ( 3 !(3;Ji4 [3!;4(3!i4n !\ 4 B .. ( 3!(3)!>J)24 [3!.!>4(3!)24 J!\4 B = H.2>.H &4
FF H.2>.H 3! )!>4 !
= 2.@!.H@H
>
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3.% T#/$#S DE #&ORTI@#CIAN 3.%.1 C(n+ept( Cuando se tienen "lanes de "a#o ti"o Al,$uota o ti"o Gradiente "ara un "rstamo) es "osi&le $onstruir una Ta&la de Amorti%a$i6n) una estru$tura matri$ial en la $ual se muestran dis$riminadamente los movimientos 3saldos) intereses) "a#os ' a&onos a $a"ital4 en $ada uno de los "er,odos involu$rados.
3.%.2 ElaB(ra+ión ?os $-l$ulos "ara los "a#os se reali%an $on+orme a las +6rmulas tratadas anteriormente. ?os $-l$ulos de a$tuali%a$i6n "or "er,odo son iterativos) ' se resumen) de manera #enri$a en las si#uientes +6rmulas7
INTt SIt : 3! i4 ABt At INTt SFt SIt ABt SIt! SFt INTt ABt At SIt SFt i
E8em"lo7
Monto de los intereses del "er,odo t 3=4 Monto del a&ono a $a"ital "ara el "er,odo t 3=4 Monto del "a#o "ara el "er,odo t 3=4 Saldo de $a"ital al $omien%o del "er,odo t 3=4 Saldo de $a"ital al +inal del "er,odo t 3=4 Tasa de inters "ara a"li$ar en $ada "er,odo 3< "er,odo(!4
Ela&orar la Ta&la de Amorti%a$i6n "ara un "rstamo de =! millones a $in$o aos) "a#adero en anualidades ven$idas $on una tasa de inters del >< anual7 / n i
=!.. aos >< anual
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VA !.. )> 3!)>4 ( 3!)>4 ! = !.@.! TABLA Capital Inic. $ 100,000,000 Tasa 30% Períodos 5 Cuota PERÍODO
1 2 3 4 5
$ 41,058,155
INICIO
F I N AL
F I NAL
FINAL
F I NAL
Capital ($
Intereses ($
Cuota ($
A!ono ($
"aldo ($
$ 100,000,000 $ 88,941,845 $ 74,566,244 $ 55,877,962 $ 31,583,196
$ 30,000,000 $ 26,682,554 $ 22,369,873 $ 16,763,389 $ 9,474,959
$ 41,058,155 $ 41,058,155 $ 41,058,155 $ 41,058,155 $ 41,058,155
$ 11,058,155 $ 14,375,601 $ 18,688,282 $ 24,294,766 $ 31,583,196
$ 88,941,845 $ 74,566,244 $ 55,877,962 $ 31,583,196 $0
!
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3.: &#NEO DE T#S#S DE INTERÉS 3.:.1 C(n+ept( de Tasa de Interés ?a tasa de inters re"resenta el im"orte del al*uiler del dinero) $omo 'a se di8o al $omien%o de esta o&ra. 1ado *ue los montos de intereses son dinero lo mismo *ue el $a"ital) este im"orte se "resenta normalmente $omo un "or$enta8e *ue se a"li$a al $a"ital "or unidad de tiem"o a este valor se le denomina tasa de inters. Como 'a se esta&le$i6 en la se$$i6n donde se tra&a86 el tema de e*uivalen$ia) "ara "oder o"erar la tasa de inters) es de$ir "ara "oder a"li$ar las +6rmulas de e*uivalen$ia) es ne$esario *ue la &ase del tiem"o "ara la tasa $oin$ida $on el "er,odo o lon#itud del intervalo de la l,nea del tiem"o entre momentos $onse$utivos. A esta "resenta$i6n de la in+orma$i6n del inters se le llama tasa "eri6di$a. El "er,odo "uede ser +inito 3d,a) mes) &imestre) trimestre) semestre) ao) et$.4 o in+initesimal 3$uando tiende a $ero4) en $u'o $aso el tratamiento toma el nom&re de inters $ontinuo) ' es asistido "or una serie de +ormula$iones *ue no se tratar-n en este do$umento "or $onsiderarlo un tema mu' es"e$iali%ado ' de "o$a utili%a$i6n en nuestro medio. Adem-s de $ontar $on la in+orma$i6n del inters en tasas "eri6di$as se "ueden mane8ar otras +ormas) $omo la tasa nominal ' la tasa e+e$tiva) las $uales se dis$uten ense#uida.
3.:.2 Naturaleza de las Tasas de Interés ?a de$lara$i6n de una tasa de inters lleva im"l,$ita dos elementos7 Causa$i6n7 In+orma el momento en el $ual el inters se $ausa o tiene lu#ar se#5n se a'a esti"ulado en el $ontrato o "or el ne#o$io en $uesti6n. A*u, el monto de inters se $al$ula ' se da "or $ierto) "ero no ne$esariamente se $an$ela sino *ue se "uede a$umular aditivamente 3Inters Sim"le) si se a$umula sin $a"itali%arse4 o se "uede $a"itali%ar 3Inters Com"uesto4.
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Ca"itali%a$i6n7 In+orma el momento en el $ual el inters $al$ulado o a$umulado aditivamente se lleva a $a"ital) o sea) se $a"itali%a. Ri#urosamente no tiene *ue e:istir $oin$iden$ia entre los "er,odos de Causa$i6n ' de Ca"itali%a$i6n 3"uede "ensarse) "or e8em"lo) en una tasa de inters del 2< mensual $a"itali%a&le trimestralmente4 sin em&ar#o) ' tal ve% "or lo im"r-$ti$o *ue se tornar,an los $-l$ulos en ese am&iente) se tiene "r-$ti$amente en la totalidad de las situa$iones una $oin$iden$ia de los dos "er,odos) en $u'o $aso se le denomina "er,odo de Com"osi$i6n7 C0M/0NER CAUSAR ' CA/ITA?IOAR N6tese *ue en el $aso de Inters Sim"le no a' Ca"itali%a$i6n ' "or lo tanto no a' Com"osi$i6n) solo e:iste Causa$i6n. El Inters Com"uesto) "or el $ontrario) se $onstru'e so&re el $on$e"to de Com"osi$i6n7 INTER9S SIM/?E INTER9S C0M/UEST0
CAUSACIPN C0M/0SICIPN
CAUSACIPN CA/ITA?IOACIPN
A5n a' m-s $onsidera$iones desde el -n#ulo de la Causa$i6n) el inters "uede e:i#irse al ven$imiento o anti$i"adamente) se#5n se esti"ule en el $ontrato 3as, $omo el $anon de arrendamiento se a$ostum&ra $o&rar anti$i"adamente o el salario se a$ostum&ra "a#ar al ven$imiento del "er,odo4) $on lo *ue se "uede resumir la naturale%a del inters en el si#uiente es*uema7 CA/ITA?IOACIPN TASA 1E INTER9S
Sin 3Sim"le4 Con 3C0M/UESTA4 Continua /ERIP1ICA
CAUSACIPN
Anti$i"ada VENCI1A
En la "r-$ti$a) los modos *ue se "resentan $on letras ma'5s$ulas ne#ras en el es*uema anterior son $l-si$os ' se entienden K"or de+e$toL es de$ir) si una tasa no se de$lara sim"le) entiende C0M/UESTA si no se de$lara $ontinua) se entiende /ERIP1ICA si no se de$lara anti$i"ada) se entiende VENCI1A.
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3.:.3 Den(,ina+i(nes de la Tasa de Interés Se#5n la manera en la *ue una tasa de inters "ro"on#a la in+orma$i6n se le denomina de una de estas tres maneras7 /eri6di$a7 ?a tasa $orres"onde al "er,odo de $om"osi$i6n 3< "or d,a) mes) &imestre) trimestre) semestre) ao) et$.4. Al#unos se$tores la $ono$en $omo Tasa E+e$tiva /eri6di$a 3e+e$tiva diaria) e+e$tiva mensual) e+e$tiva trimestral) et$.4) "ero a*u, se denominar- sim"lemente Tasa /eri6di$a. Nominal7
Es la e:"resi6n anuali%ada de la Tasa /eri6di$a) $onta&ili%ada "or a$umula$i6n sim"le de ella. El tratamiento $orres"onde al *ue se "resent6 en la se$$i6n de Tasas de Inters en el $a",tulo de Inters Sim"le.
E+e$tiva7
Es la e:"resi6n e*uivalente de una tasa "eri6di$a en la *ue el "er,odo se a$e i#ual al un ao ' la $ausa$i6n siem"re se da al ven$imiento. Al#unos se$tores em"lean el nom&re de Tasa E+e$tiva "ara a"li$arla a un "er,odo distinto del ao 3e+e$tiva diaria) e+e$tiva mensual) e+e$tiva trimestral) et$.4) "ero a*u, no se em"lear- esta denomina$i6n) la $ual la llamaremos sim"lemente Tasa /eri6di$a. ?a tasa E+e$tiva se $ono$e tam&in $omo Tasa E+e$tiva Anual) Tasa Anual E+e$tiva o a5n Tasa Anual.
Adi$ionalmente) $omo 'a se indi$6) la tasa de&e de+inir la +orma en *ue se $ausa el inters7 Anti$i"ada7 Cuando el inters se $ausa en +orma anti$i"ada en el "er,odo. Ca&e anotar *ue la Tasa E+e$tiva no "uede darse) "or de+ini$i6n en +orma anti$i"ada) es de$ir n( e:iste una Tasa E+e$tiva Anti$i"ada. Ven$ida7
Cuando el inters se $ausa en +orma ven$ida en el "er,odo. Ca&e anotar *ue la Tasa E+e$tiva es siem"re ven$ida ' "or lo tanto esta 5ltima "ala&ra se omite en su de$lara$i6n.
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3.:.% Clases de Tasas de Interés 1e a$uerdo $on lo tratado en el numeral anterior se "ueden e:"resar $in$o $lases de tasa de inters7 •
TASA PRI,-IC& VENCI1A 1E INTER9S) e:"resando la +orma de INTER9S /ERIP1IC0 VENCI10.
•
TASA PRI,-IC& 1E ANTICI/A1A 1E INTER9S) e:"resando la +orma de INTER9S /ERIP1IC0 ANTICI/A10.
•
TASA /*I&0 VENCI1A 1E INTER9S) e:"resando la +orma de INTER9S N0MINA? VENCI10.
•
TASA /*I&0 ANTICI/A1A 1E INTER9S) e:"resando la +orma de INTER9S N0MINA? ANTICI/A10.
•
TASA FCTIV& 1E INTER9S) e:"resando la +orma de INTER9S EFECTIV0.
En resumen) la nota$i6n de estas $lases de tasas "ara e+e$tos de la e:"osi$i6n en este do$umento es la si#uiente7
i "v inv ie i "v i "a inv ina ie
i "a ina
Tasa de inters "eri6di$o ven$ido 3< "or "er,odo ven$ido4 Tasa de Inters "eri6di$o anti$i"ado 3< "or "er,odo anti$i"ado4 Tasa de inters nominal ven$ido 3< anual) $om"uesto "or "er,odo ven$ido4 Tasa de inters nominal anti$i"ado 3< anual) $om"uesto "or "er,odo anti$i"ado4 Tasa de inters e+e$tivo 3< anual e+e$tivo4
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3.:.: De+lara+ión de las Tasas de Interés Cuando se lee una tasa de inters) normalmente no se en$uentra e:"resada $on "ala&ras la modalidad de la $ual se trata) esta se o&tiene de la in+orma$i6n *ue a$om"aa a las $i+ras de "or$enta8e) normalmente en si#las. E8em"lo7
>< a.m.v. re"resenta una tasa de inters del >< anual $om"uesto mensualmente ' $ausada al ven$imiento de $ada "er,odo.
?a in+orma$i6n se estru$tura en CAM/0S ' en SIG?AS si#uiendo al si#no de "or$enta8e 3<47
3.%.%.1 Campos >...!.! TASAS N0MINA?ES El "rimer $am"o siem"re tendr- una a. o la "ala&ra anual) re"resentando *ue es una tasa anuali%ada. El se#undo $am"o lleva la si#la o la "ala&ra $orres"ondiente al "er,odo de $om"osi$i6n 3"or e8em"lo ,. o ,ensual) si#ni+i$ando *ue el "er,odo de $om"osi$i6n $orres"onde al mes4. El ter$er $am"o $ontiene la in+orma$i6n $orres"ondiente al momento de $ausa$i6n del inters llevar- una a. 3o la "ala&ra anti+ipad(4 si el inters es anti$i"ado) o una *. 3o la "ala&ra *en+id(4 o sim"lemente se de8a va$,o 3in+orma$i6n K"or de+e$toL4 si el inters es ven$ido. E8em"lo7
2< a.&.v. re"resenta un inters del 2< anual $om"uesto &imestralmente al ven$imiento. >< a.s.a. re"resenta un inters del >< anual $om"uesto semestralmente ' $ausado anti$i"adamente) o sea) al $omien%o de $ada "er,odo. 2< a.m. re"resenta un inters del 2< anual $om"uesto mensualmente al ven$imiento.
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>...!.2 TASAS /ERIP1ICAS No llevan el "rimer $am"o de las tasas nominales) o sea) n( tienen la si#la a. o la "ala&ra anual si#uiendo al si#no de "or$enta8e 3<4) "or*ue no son tasas anuali%adas. ?os dos $am"os su&si#uientes tienen la misma $onnota$i6n de los $am"os se#undo ' ter$ero de las tasas nominales. E8em"lo7
< &.v. re"resenta un inters "eri6di$o ven$ido del <) $on un "er,odo e*uivalente al &imestre. !< s.a. re"resenta un inters del !< semestral $ausado al $omien%o de $ada semestre. 2)2< m. re"resenta un inters "eri6di$o del 2)2< mensual) $ausado al ven$imiento de $ada mes.
>...!.> TASA EFECTIVA Se re$ono$e *ue una tasa es e+e$tiva $uando solo tiene una de estas si#las7 a.e.) a.) e. E8em"lo7
e.a.)
Son de$lara$iones de tasas e+e$tivas anuales7 2>< a.e. 2< a. >< e.a. 2@< e.
3.%.%.2 ilas TASA EFECTIVA Una tasa se denota e+e$tiva si des"us del si#no de "or$enta8e lleva una de estas e.a. si#las7 a.e. e. solamente a. solamente
H
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TASAS N0MINA?ES Z /ERIP1ICAS Una tasa es Nominal o es /eri6di$a si se determina $on si#las di+erentes a las $onsi#nadas inmediatamente antes. /rimer $am"o7
a. anual 0tra si#la
si#ni+i$a *ue la tasa es anuali%ada 3nominal4. si#ni+i$a *ue la tasa es anuali%ada 3nominal4. si#ni+i$a *ue la tasa es "eri6di$a.
Se#undo $am"o 3o /rimer $am"o) si la tasa es "eri6di$a) es de$ir no lleva la si#la de anuali%a$i6n47 1etermina el "er,odo de $om"osi$i6n7
d. ,. B. t. s. a. d;a ,es Bi,estre tri,estre se,estre anual
diario mensual &imestral trimestral semestral anual diario mensual &imestral trimestral semestral anual
Ter$er $am"o 3o Se#undo $am"o) si la tasa es "eri6di$a) es de$ir no lleva si#la de anuali%a$i6n47 1etermina el modo de $ausa$i6n7 a. *. Si se omite E8em"lo7
22< e.a. 2>< a.m.v. 2< a.&.a. 2< a.s. < t.v. 2< m.a.
anti$i"adamente al ven$imiento al ven$imiento
si#ni+i$a 22< e+e$tiva anual si#ni+i$a 2>< anual mes ven$ido si#ni+i$a 2< anual &imestre anti$i"ado si#ni+i$a 2< anual semestre ven$ido si#ni+i$a < trimestral ven$ido si#ni+i$a 2< mensual anti$i"ado
@
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3.:.> E)ui*alen+ia de la Tasas de Interés 3.%.'.1 Tasa Periódica y Tasa ominal Como se esta&le$i6 en el tratamiento del Inters Sim"le) la Tasa Nominal re"resenta la anuali%a$i6n de la Tasa /eri6di$a "or a$umula$i6n sim"le de esta en $ada "er,odo. /or lo tanto) la Tasa Nominal se o&tiene multi"li$ando la Tasa /eri6di$a "or el res"e$tivo n5mero de "er,odos $ontenidos en el ao si la Tasa /eri6di$a es anti$i"ada) la Tasa Nominal tam&in lo ser-) ' vi$eversa ' si la Tasa /eri6di$a es ven$ida) la Tasa nominal tam&in lo ser-) ' vi$eversa7
i "v i "a inv inv i "v7 inv7 i "a7 ina7 n7
E8em"lo7
inv ( n ina ( n i "v : n i "v : n
Tasa de inters "eri6di$a ven$ida 3< "or d,a) mes) et$.4 Tasa de inters nominal ven$ida 3< anual4 Tasa de inters "eri6di$a anti$i"ada 3< "or d,a) mes) et$.4 Tasa de inters nominal anti$i"ada 3< anual4 N5mero de "er,odos "or ao 3> d,as) !2 meses) et$.4
En$ontrar la tasa "eri6di$a $orres"ondiente a una tasa nominal del 2< a.m.v.7 inv 2< a.m.v. n !2 meses "or ao i "v 2< ( !2 2< m.v.
E8em"lo7
En$ontrar la tasa nominal $orres"ondiente a una tasa "eri6di$a del !< s.a.7 i "a !< s.a. n 2 semestres "or ao i "v !< : 2 2< a.s.a.
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3.%.'.2 Tasa Vencida y Tasa &nticipada En la modalidad de inters anti$i"ado) el monto de intereses se "a#a o se $a"itali%a al $omien%o del "er,odo. /ara en$ontrar la e*uivalen$ia $on el inters ven$ido se em"lea la no$i6n de e*uivalen$ia entre un +lu8o "resente ' un +lu8o +uturo "ara un "er,odo) $omo si#ue7 / W i "a W / W 3!Ji "a4
0
1
FW ?a tasa de inters a"are$e $omo un des$uento al monto del Flu8o /resente) ' "or lo tanto no tiene "or *u a"are$er al +inal. A"li$ando el $on$e"to de E*uivalen$ia se tiene7 F / 3!i "v4 Reem"la%ando "or las e:"resiones de F ' de /7 W W 3!Ji "a4 3!i "v4 !
3!Ji "a4 3!i "v4
! i "v ! ( 3!Ji "a4 i "v ! ( 3!Ji "a4 ! i "v 3! ! i "a4 ( 3!Ji "a4 0 sea)
i "v i "a ( 3!Ji "a4 i "v7 i "a7
Tasa de inters "eri6di$a ven$ida 3< "or d,a) mes) et$.4 Tasa de inters "eri6di$a anti$i"ada 3< "or d,a) mes) et$.4
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1e la misma manera es "osi&le des"e8ar el valor de i "a7 ! 3!Ji "a4 3!i "v4 ! J i "a ! ( 3!i "v4 i "a ! J ! ( 3!i "v4 i "a 3! i "a J !4 ( 3!Ji "a4 0 sea)
i "a i "v ( 3!i "v4 i "v7 i "a7
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Tasa de inters "eri6di$a ven$ida 3< "or d,a) mes) et$.4 Tasa de inters "eri6di$a anti$i"ada 3< "or d,a) mes) et$.4
En$ontrar la tasa "eri6di$a ven$ida e*uivalente a una tasa del < t.a.7 i "a < ) i "v < ( 3! )4 )!H< t.v.
E8em"lo7
En$ontrar la tasa "eri6di$a anti$i"ada e*uivalente a una tasa del < s.v.7 i "v < ) i "a < ( 3! )4 @)2< s.a.
Ca&e anotar *ue la e*uivalen$ia entre tasas anti$i"ada ' ven$ida solo se da "ara tasas "eri6di$as. 1e e$o la Tasa Nominal solo sirve "ara en$ontrar la res"e$tiva Tasa /eri6di$a ' no "uede ser o"erada dire$tamente &a8o el $on$e"to de E*uivalen$ia.
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3.%.'.3 3.%.'.3 Tasa ecti ecti"a "a y Tasa Periódi Periódica ca ?a Tasa E+e$tiva re"resenta una Tasa /eri6di$a Ven$ida en la $ual el "er,odo es e:a$tamente un ao. /ara desarrollar la e*uivalen$ia $on la tasa "eri6di$a se su"one *ue un ao $onsta de n "er,odos7 /W "er,odos 0
1
2
n
F W 3!i "v4n /W ao 0
1
F W 3!ie4 Con la misma inversi6n / W) al $a&o de un ao se de&e tener la misma $antidad $antidad de dinero F en los dos "lanes "resentados en el di&u8o de +le$as7 W 3!i "v4n
W 3!ie4
! ie 3! i "v4n 1es"e8ando i e se tiene7
ie 3! i "v4n J ! ie7 i "v7
Tasa e+e$ e+e$ttiva iva de inter nters s 3< anua anual4 l4 Tasa de inte inter rss "er "eri6 i6di di$a $a ven$ ven$id idaa 3< 3< "or "or d,a) d,a) mes) mes) et$.4 et$.4
1es"e8ando i "v se tiene7
i "v 3! ie4!(n J ! ie7 i "v7
Tasa e+e$ e+e$ttiva iva de inter nters s 3< anua anual4 l4 Tasa de inte inter rss "er "eri6 i6di di$a $a ven$ ven$id idaa 3< 3< "or "or d,a) d,a) mes) mes) et$.4 et$.4
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E8em E8em"l "lo7 o7
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CuCu-ll es la tasa tasa e+e$t e+e$tiv ivaa an anua uall $o $orr rres es"o "ond ndie ient ntee a un unaa tasa tasa del del 2< mensual i "v 2 < mensual )2 n !2 meses ( ao ie
E8em"l E8em"lo7 o7
3! )24!2 ! )2@2 2)@2< e.a.
Cu-l Cu-l es es la tasa tasa trime trimestr stral al $orr $orres" es"ond ondien iente te a una tasa tasa del del 2< 2< e.a. e.a. ie 2 < e.a. )2 n trimestres ( ao i "v 3! )24!( ! )2 )>< t.v.
3.%.'. 3.%.'.## Ruta Ruta de !ui" !ui"ale alenci nciaa de Ta Tasas Aun*ue "ueden derivarse m-s e$ua$iones de rela$i6n) las +ormula$iones anteriores de e*uivalen$ia de tasas se $onsideran +undamentales ' dan lu#ar a la Ruta de E*uivalen$ia de Tasas ^) la $ual no es m-s *ue un as"e$to nemot$ni$o "ara reali%ar $onversi6n de $ual*uier $lase de tasa de inters a $ual*uiera otra de una manera sen$illa7
RUTA 1E EDUIVA EDUIVA?EN ?ENCIA CIA 1E TASAS TASAS^ m "er,odos "or ao
inv
i "v
ina
i "a
"er,odos "or ao
ie
i "v
inv
i "a
ina
^ 7 1iseo del autor
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En$ont En$ontrar rar la la tasa tasa nom nomina inall mes mes ven$id ven$idoo e*uiv e*uivale alente nte a una una tasa tasa del del >< >< a.s.a.7 ina m in"
>< a.s.a. 2 se semestres ( ao !2 meses ( ao
Con m 2 se "asa de una tasa tasa nominal a un un tasa e+e$tiva) atendiendo atendiendo a la ruta de e*uivalen$ia de tasas7 i "a >< ( 2 !< s.a. i "v !< ( 3!J)!4 !H)< s.v. ie 3! 3!)! )!H H4 42 ! >@)!< e.a. Aora) $on !2 se "asa de la tasa e+e$tiva a la $orres"ondiente tasa nominal ven$ida7 i "v 3!)>@!4!(!2 ! 2)H< m.v. inv 2)H : !2 >2)< a.m.v. a.m.v.
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3.:. C(,p(si+ión de Tasas de Interés 3.%.(.1 oción ?a $om"osi$i6n de tasas de inters se da $uando dos o m-s tasas de&en ser a"li$adas simult-neamente. Esta $om"osi$i6n "uede ser aditiva) en el $aso de TASAS MIWTAS o "uede ser multi"li$ativa) en el $aso de TASAS C0M/UESTAS /0R CAMBI0 1E BASE 3o tasas de di+erente &ase4.
3.%. 3.%.(. (.22 Tasas sas *i4t *i4tas as Una tasa es mi:ta $uando se de$lara $omo la suma de dos tasas) #eneralmente una Tasa Varia&le ' otra Tasa Fi8a. E8em"lo7
i 1TF < es una tasa mi:ta) donde a la tasa de la 1TF 3varia&le) se#5n el mer$ado4 se le adi$iona una "or$i6n +i8a de $in$o "untos "or$entuales.
El "ro"6sito "r-$ti$o de esta modalidad es evitar el ries#o *ue el movimiento de las tasas de inters del mer$ado le $on$ede a un $ontrato de "rstamo $on tasa +i8a) so&retodo en el lar#o "la%o si las tasas del mer$ado su&ieren $on el tiem"o) *uien entre#a el dinero en "rstamo in$urrir,a en una "rdida real de valor) ' *uien re$i&e el dinero "erder,a valor si las tasas del mer$ado des$endieren en el tiem"o. /ara el $-l$ulo de la tasa $om"uesta de&e tenerse en $uenta lo si#uiente7 •
?as dos tasas 3Fi8a ' Varia&le4 de&en re+erirse al mismo "er,odo antes de sumarse.
•
Normalmente se a$e"ta la de$lara$i6n de la tasa Fi8a $omo la #u,a) de&iendo $onse#uir la in+orma$i6n de la tasa Varia&le Varia&le en esa &ase.
•
?a tasa e*uivalente #lo&al se o&tiene sim"lemente sumando las $i+ras de las dos "artes 3Fi8a ' Va Varia&le4 estando en el mismo mismo "er,odo &ase.
•
Si se re*uiere $ono$er la Tasa E+e$tiva #lo&al) de&e resolverse "rimero la adi$i6n ' lue#o llevarse a esta modalidad ' no sumar las $orres"ondientes tasas e+e$tivas 3el resultado no es e:a$tamente i#ual4.
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E8em"lo7
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En$ontrar la tasa e*uivalente a 1TF < a.t.v.) $ono$iendo *ue la tasa 1TF "ara inversiones trimestrales est- en el !2< e.a.7 /rimero se de&e o&tener la tasa nominal de la 1TF ie !2< e.a. n trimestres ( ao i "v 3!)!24!( ! 2)@H< t.v. inv 2)@H< : !!)< a.t.v. Aora se "uede reali%ar la adi$i6n de tasas7 i !!) !H)< a.t.v.
E8em"lo7
/ara el e8em"lo anterior) en$ontrar la tasa e+e$tiva e*uivalente7 inv !H)< i "v !H)< ( )>H< t.v. ie 3!)>H4 ! !@)@< e.a.
3.%.(.3 Tasas Compuestas por Cam5io de 6ase Una tasa es $om"uesta) #eneralmente "or dos tasas) $uando una de ellas se de$lara so&re una &ase monetaria di+erente a la &ase de de$lara$i6n de la tasa ori#inal) de&iendo $ontar enton$es $on la tasa de rela$i6n entre las dos &ases monetarias veamos7 Sean7
iU Tasa de inters &asada en la divisa iC Tasa de in$remento de "re$io de la divisa +rente a la moneda lo$al i Tasa de inters e*uivalente &asada en la moneda lo$al W Monto ini$ial en moneda lo$al Z Tasa de $am&io ini$ial 3moneda lo$al ( divisa4 F 3W(Z4 3!iU4n 0
1
2
n
3en divisa4
/W 3en moneda lo$al4
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/ W Tasa de $am&io ini$ial Z / W(Z F 3W(Z4 3!iU4n
3$i+ras en moneda lo$al4 3moneda lo$al ( divisa4 3$i+ras en divisa4 3$i+ras en divisa4
Tasa de $am&io +inal Z 3!iC4n F 3W(Z4 3!iU4n Z 3!iC4n F W 3!iU4n 3!iC4n F W 3!iU4 3!iC4n
3moneda lo$al ( divisa4 3$i+ras en moneda lo$al4 3$i+ras en moneda lo$al4 3$i+ras en moneda lo$al4
/ero) F W 3!i4n
3$i+ras en moneda lo$al4
Enton$es) W 3!i4n W 3!iU4 3!iC4n 3!i4n 3!iU4 3!iC4n 3!i4 3!iU4 3!iC4 0 sea)
i 3!iU4 3!iC4 ! iU Tasa de inters &asada en la divisa 3<4 iC Tasa de in$remento de "re$io de la divisa +rente a la moneda lo$al 3<4 i Tasa de inters e*uivalente &asada en la moneda lo$al 3<4
E8em"lo7
Cu-l es la tasa e*uivalente en "esos de una inversi6n *ue #ana el < anual en d6lares) se es"era *ue la tasa de in$remento del "re$io del d6lar +rente al "eso sea de !< anual iU < iC !< i 3!)4 3!)!4 !
2)>< anual
3N6tese *ue este resultado es un tanto ma'or *ue la suma sim"le de las tasas 3< !< 2<4) el $ual es un mtodo m-s r-"ido) "ero im"re$iso de $om"oner este ti"o de tasas4.
H
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E8em"lo7
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Cu-nto "uede retirar al $a&o de dos aos de un de"6sito de un mill6n de "esos *ue #enera un inters del !)2< mensual en UVR) si se es"era *ue el UVR in$remente su "re$io a ra%6n de )< mensual iU !)2< iC )< i 3!)!24 3!)4 ! / =!.. n 2 meses F !.. 3!)2!!4 2
2)!!< mensual = !..@@
3.%.(.# Tasas Reales y Tasas Corrientes Una TASA C0RRIENTE 1E INTER9S) llamada "or los e$onomistas TASA N0MINA? 3aun*ue no $onnota lo mismo *ue la Tasa Nominal +inan$iera4) se re+iere a una tasa de inters so&re moneda $orriente) es de$ir) sin de"urarle el e+e$to de la in+la$i6n. Una TASA REA? 1E INTER9S) llamada tam&in TASA 1EF?ACTA1A "or los +inan$istas re"resenta una tasa de inters so&re moneda $onstante o de+la$tada) es de$ir) *ue esta tasa est- li&re del e+e$to de la in+la$i6n. ?a rela$i6n entre las tasas $orrientes ' las tasas reales se o&tiene de la rela$i6n de $om"osi$i6n de tasas de di+erente &ase) donde la tasa de in+la$i6n 3i + 4 aora re"resenta la tasa de $am&io de "re$ios 3i C4 de ese modelo) mientras *ue la tasa real 3iR 4 aora) re"resenta la tasa en la divisa 3i U4 de ese modelo7
i 3!iU4 3!iC4 ! i 3!iR 4 3!i+ 4 ! Z) $omo lo *ue se re*uiere normalmente es en$ontrar i R ) esta se des"e8a7
@
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iR 3!i4 ( 3!i+ 4 ! iR i i+
E8em"lo7
Tasa Real de inters 3<4 Tasa Corriente de inters 3<4 Tasa de in+la$i6n 3<4
Cu-l es la tasa real de un C1T *ue "a#a el !2< anual de inters) si la in+la$i6n se estima en un )< anual i i+
!2< )<
iR 3!)!24 ( 3!)4 J ! E8em"lo7
2)2@< anual
Cu-l es la tasa real de una $uenta de aorros *ue "a#a el )< anual de inters) si la in+la$i6n se estima en un )< anual i i+
)< )<
iR 3!)4 ( 3!)4 J ! J2)H< anual
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3.> E"#$!#CIAN DE NE0OCIOS 3.>.1 C(n+ept(s 3.'.1.1 /5jeti"o El o&8etivo de la Evalua$i6n de ne#o$ios es $ali+i$ar si un ne#o$io es o no es +a$ti&le desde el "unto de vista +inan$iero antes de de$idir tomarlo. Esto es) "redeterminar si un ne#o$io "ro"uesto en "arti$ular $onviene o no $onviene 3solo desde el "unto de vista +inan$iero4 a una "ersona 3natural o 8ur,di$a4.
3.'.1.2 Tipos de eocio E:isten dos ti"os de ne#o$io7 INVERSIPN7
Cuando al ini$io del mismo 3normalmente en el momento $ero4 se de&e reali%ar un e#reso #rande de +ondos 3Inversi6n Ini$ial4 $on la mira de re$u"erar $omo &ene+i$ios el valor de di$a ero#a$i6n ' a5n m-s durante la vida del ne#o$io) re$u"era$i6n *ue est- re"resentada "or +lu8os de +ondos en su ma'or,a "ositivos 3o in#resos netos4 FFN 8 BENEFICI0S
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1
2
3
n
FFN J I
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FINANCIACIPN7 Cuando el ne#o$io "resenta el #ran in#reso al $omien%o 3se re$i&e el dinero en "rstamo4 ' los +lu8os de +ondos re"resentan los e#resos $orres"ondientes a los "a#os de intereses ' a&onos al $a"ital re$i&ido en "rstamo7 FFN /
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n
FFN 8 /AG0S
3.'.1.3 Costo de /portunidad El Costo de 0"ortunidad se de+ine $omo el $osto 3o "rdida de &ene+i$ios4 *ue re"resenta renun$iar a tomar otra alternativa "or $om"rometerse $on el ne#o$io en estudio. En un ne#o$io de INVERSIPN el Costo de 0"ortunidad e*uivale al &ene+i$io de8ado de "er$i&ir "or la alternativa m-s renta&le) *ue no im"li*ue ries#o ni es+uer%o adi$ional) al ne#o$io en estudio. En un ne#o$io de FINANCIACIPN el Costo de 0"ortunidad e*uivale al $osto del dinero de la alternativa m-s e$on6mi$a al ne#o$io en estudio. El $osto de o"ortunidad "ara una "ersona 3natural o 8ur,di$a4 de"ende del am&iente 3mer$ado4 en el $ual se en$uentre ' de su "osi$i6n relativa +rente a ese am&iente 3inversionista) deudor) "oseedor de o"ortunidades) et$.4.
!
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E8em"lo7
A&el 0&eo) un $iudadano $om5n *ue no tiene deudas) #an6 =! millones 8u#ando a la ?oter,a. Su $osto de o"ortunidad estre"resentado "or la renta&ilidad *ue le "ro"or$iona invertir el dinero en un C1T) la aleternativa via&le m-s "r6:ima a l. Con esta alternativa $om"ara toda o"ortunidad de ne#o$io *ue se le "resentare.
E8em"lo7
?ola Mentor tiene una deuda de =2 millones. ?a tasa de inters de la misma re"resenta su $osto de o"ortunidad. Cual*uier in#reso adi$ional lo destinar,a a $an$elar "arte de su deuda) a no ser *ue "udiera rentar un inters ma'or *ue el de ella.
3.'.1.# 0a Tasa de /portunidad 7i89 ?a Tasa de 0"ortunidad re"resenta la tasa de inters $orres"ondiente al Costo de 0"ortunidad. En un ne#o$io de INVERSIPN re"resenta la ma'or tasa de renta&ilidad) entre#ada la alternativa de inversi6n m-s atra$tiva $on el mismo nivel de ries#o ' $orres"onde a la Tasa M,nima de Retorno A$e"ta&le 3TMRA4 "ara el ne#o$io 3"ro'e$to4 en estudio. En un ne#o$io de FINANCIACIPN re"resenta la menor tasa de $osto de las +uentes de "rstamos ' $orres"onde la Tasa M-:ima de Costo A$e"ta&le 3TMCA4 "ara el ne#o$io en estudio. E8em"lo7
/ara A&el ?o&eo) el "ersona8e del e8em"lo de la se$$i6n anterior) *ue #an6 un "remio de =! millones) la Tasa de 0"ortunidad $orres"onde al inters *ue le $on$eden los C1Ts) o sea la 1TF) *ue a$tualmente es de a"ro:imadamente !2< e.a.
E8em"lo7
/ara ?ola Mentor) del e8em"lo de la se$$i6n anterior) la Tasa de 0"ortunidad $orres"onde a la del inters de los "rstamos &an$arios) *ue en la a$tualidad es de a"ro:imadamente 2< e.a.
2
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3.>.2 "al(r Presente Net( 4"PN6 3.'.2.1 Concepto El Valor /resente Neto re"resenta el INCREMENT0 de la RIDUEOA 3o tenen$ia o VA?0R 1E ?A EM/RESA4 medido en 1INER0 ACTUA? 3"esos de o'4 si se toma el ne#o$io en estudio. /ro$edimentalmente el V/N se o&tiene llevando todos los Flu8os de Fondos estimados 3desde el momento $ero asta el momento n4 del ne#o$io al momento $ero 3a$tual4 des$ontados 3o tra,dos4 $on la Tasa de 0"ortunidad.
3.'.2.2 Facti5ilidad Si el V/N es "ositivo *uiere de$ir *ue se #enerar- ri*ue%a o valor $on la a$e"ta$i6n del ne#o$io. Si el V/N es ne#ativo se "erder- ri*ue%a) o sea se destruir- valor $on la a$e"ta$i6n del ne#o$io.
V/N V/N F
FACTIB?E N0 FACTIBIB?E
3.'.2.3 Formulación ?a +ormula$i6n matem-ti$a $orres"onde a la des$ri"$i6n del V/N7 FFN 8
0
FFN J I
1
2
3
n
NEG0CI0 1E INVERSIPN
>
Guillermo Buenaventura V.
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FFN /
Universidad ICESI
NEG0CI0 1E IFINANCIACIPN 0
1
2
3
n
FFN 8
n
V/N Σ FFN 8 ( 3! i 4 8 8
V/N FFN V/ 3FFN 84)
8 !
n
n
V/N FFN Σ FFN 8 ( 3! i 4 8 8 !
FFN JI FFN / V/N V/ FFN 8
INVERSIPN FINANCIACIPN
Valor /resente Neto Valor /resente Flu8o de Fondos Neto del "er,odo 8
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E8em"lo7
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Cal$ular el V/N de un ne#o$io de la em"resa ?A INVERTI1A S.A.) re"resentado en una inversi6n de !. millones de "esos *ue #enera unos +lu8os de +ondos estimados de !) ) ) ' ! millones de "esos $orres"ondientemente en $ada uno de los $in$o aos de vida del "ro'e$to) $on i 2< anual.
!
0
!
1
2
3
I !.
V/N J!. !(3!)24 (3!)24 2 (3!)24> (3!)24 !(3!)24 V/N J!. @H
J!2
V/N J = !2.. Esto *uiere de$ir *ue el ne#o$io no es +inan$ieramente +a$ti&le) "or*ue los &ene+i$ios *ue se es"era #enerar tra,dos a valor "resente no re$u"eran si*uiera la inversi6n ini$ial) re"resentando una "rdida neta de =!2 millones.
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3.>.3 Tasa Interna de Ret(rn( 4TIR6 3.'.3.1 Concepto ?a Tasa Interna de Retorno 3TIR4 re"resenta la renta&ilidad de los +ondos *ue "ermane$en en el ne#o$io. /ara un ne#o$io de Inversi6n la TIR es la tasa de inters *ue #enera el $a"ital *ue "ermane$e invertido 3no se a re$u"erado4 en l. /ara un ne#o$io de Finan$ia$i6n la TIR es la tasa de inters *ue se "a#a "or el saldo de deuda.
3.'.3.2 Facti5ilidad Un ne#o$io de Inversi6n es +inan$ieramente +a$ti&le si la renta&ilidad *ue o+re$e 3TIR4 es ma'or *ue la renta&ilidad *ue se o&tuviese alternativamente 3i4)' es no +a$ti&le en $aso $ontrario. Un ne#o$io de Finan$ia$i6n es +inan$ieramente +a$ti&le si la tasa de inters *ue se "a#a "or los saldos de deuda 3TIR4 es menor *ue la *ue se "a#ase "or las +uentes alternativas de +inan$ia$i6n 3i4.
INVERSIPN7
TIR i TIR F i
FINANCIACIPN7 TIR i TIR F i
FACTIB?E N0 FACTIBIB?E N0 FACTIB?E FACTIBIB?E
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3.'.3.3 Formulación /artiendo del entendimiento de *ue el "unto de indi+eren$ia +inan$iero 3en el *ue da i#ual tomar o no el ne#o$io4 se tiene $uando la renta&ilidad del ne#o$io es i#ual al $osto de o"ortunidad) o sea) TIR i) la +ormula$i6n de TIR se da en trminos de en$ontrar una tasa i tal *ue si ella +uera la tasa de o"ortunidad 3KiL4) el ne#o$io ser,a indi+erente) o sea) *ue su Valor /resente ser,a $ero 3V/N 4.
TIR TIR V/N
V/N Tasa interna de Retorno Valor /resente Neto
?a e:"resi6n V/N re"resenta un "olinomio de #rado n7 V/N FFN FFN!(3!i4 FFN2(3!i42 FFN>(3!i4> . . . FFN n(3!i4n) En el $ual no se "uede des"e8ar la varia&le i) ' es solu&le solo "or mtodos numri$os) $omo Ensa'o ' Error. Solo en el $aso en el *ue no e:istan +lu8os intermedios entre los +lu8os de los momentos $ero 3/4 ' n 3F4) es "osi&le dedu$ir "or E*uivalen$ia 3ver se$$i6n >.>.>.>4 la rela$i6n7
TIR F ( / !(n J ! TIR / F
E8em"lo7
Tasa interna de Retorno Flu8o de +ondos en el momento Flu8o de +ondos en el momento n
En$ontrar la TIR "ara el $aso de la em"resa ?A INVERTI10RA del e8em"lo anterior7
H
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V/N J!. !(3!i4 (3!i4 2 (3!i4 > (3!i4 !(3!i4 El o&8etivo es ensa'ar $on valores de i asta *ue se $onsi#a un valor de V/N mu' $er$ano a $ero7 I 3<4
V/N 3=mills.4
! !> !
!2) J!2
?os dos 5ltimos datos son $er$anos a $ero ' de si#no $ontrario) "ermitiendo utili%a un "ro$edimiento de inter"ola$i6n7 ! !> 2< de di+eren$ia en la tasa de inters $ausa 3J!24 2 mills. de di+eren$ia en el Valor /resente Neto 3J!24 !2 mills. se $ausan $on una di+eren$ia en la tasa de inters de 7 2< !2(2 )< TIR E8em"lo7
3a"ro:.4
!< J )<
!)<
El +ondo mutuo de inversiones SINF0N10) "romete reinte#ra = dentro de $in$o aos "or $ada =! invertido o' sin retiros "ar$iales durante este "er,odo. Cu-l es la TIR de di$a inversi6n / =! F = n aos TIR 3(!4!( ! >H)H< anual.
@
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Eer+i+i(s S1G
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INTER9S SIM/?E
!.
Cal$ule el monto de los intereses *ue "a#a un "rstamo de =. "or un ao al 2< mensual. 3Res". =!.4
2.
Cal$ule el monto de intereses *ue Ud. 1e&e "a#ar "or un $rdito estudiantil de =.. otor#ado "or $uatro aos al !< mensual. 3Res". =2..4
>.
Ud. Com"ra un televisor Su"erEva "or =>.@. $an$elando =@. al momento de $errar el ne#o$io ' $om"rometiendo el saldo a ! meses $on un inters del !)< mensual. Cu-nto "a#ar- "ara $an$elar ese $om"romiso 3Res". =>.H.4
.
Ud. ne$esita $an$elar un valor de =2.. dentro de seis meses. Cuenta $on =2.2. o') los *ue "uede $olo$ar a una tasa de inters sim"le del 2< mensual. Cal$ule el monto de dinero *ue le +altar- o le so&rar- dentro de 3Res". So&ran =2.4 seis meses al $an$elar la $i+ra men$ionada.
.
Cal$ule el valor de la tasa de inters *ue "ermitir,a $an$elar e:a$tamente la 3Res". !)@<4 $i+ra del "a#o a seis meses en el "ro&lema .
.
Cu-ntos aos de&e "ermane$er una inversi6n al 2< anual de inters sim"le "ara do&lar el $a"ital 3Res". aos4
H.
Cu-l es el inters trimestral $orres"ondiente a una tasa del 2< anual 3Res". < trimestral4
@.
Cu-l es la tasa nominal de un inters del 2)< mensual
.
Esta&le$er la tasa nominal de un "rstamo de =.. *ue "a#a =@. de intereses en ! meses. 3Res". 2< anual4
!.
Cal$ular el monto *ue $an$ela un "rstamo de =!.. de $a"ital ini$ial "or un "la%o de 2H d,as a un inters del 2< anual. 3Res". =!.!2.HH@4
3Res". >< anual4
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!!.
Ele$trodomsti$os _an#a desea esta&le$er la tasa nominal *ue de&e a"li$ar a sus $rditos 3e*uivalentes al < del "re$io de venta4) de tal modo *ue el monto de inters *ue a"li$a en el "la%o de @ meses re"resente el !2< del "re$io de venta. 3Res". >< anual4
!2.
Cal$ule la tasa de inters mensual sim"le e*uivalente a una tasa de inters del 2< mensual $om"uesta. 3Res". 2)2> < mensual4
H
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INTER9S C0M/UEST07 EDUIVA?ENCIA
!.
En el "lan BUENABUE?0 usted de"osita un mill6n de "esos $ada ao a "artir del momento de ins$ri"$i6n) asta $om"letar $uatro de"6sitos) $uando re$i&e un t,tulo a nom&re de su "rimer nieto) *uien lo "uede redimir al $um"lirse aos de a&er reali%ado el "rimer de"6sito. Si el "lan o+re$e un rendimiento del 2< anual) $al$ule el monto *ue le $orres"onder- a su nieto. 3R(. =>LH.`2@.4
2.
En el "ro&lema anterior) $al$ule el monto +inal si usted de"osita los $uatro millones de "esos de una ve%. 3R(. =L2!.!2`H@.4
>.
Fidu$iaria TUTE?AR o+re$e un +ondo *ue renta el @< semestral. a. Cal$ule el monto *ue retira un aorrador *ue invierte =! millones "or siete aos. &. 0tro inversionista $olo$a =! millones en el +ondo) retirando = millones a los $in$o aos ' el resto tres aos m-s tarde. Cal$ule el valor de este 5ltimo retiro.
.
Cal$ular el valor de la "artida de un +ondo de "ensiones "ara una o+i$ina #u&ernamental *ue estima ne$esitar !) ! ' 2 millones de "esos "ara dentro de !) !! ' !> aos res"e$tivamente) si se es"era un rendimiento del 2< anual.
.
Asumiendo el "re$io de la UVR o' en =!!2) ' una in+la$i6n "romedia del !< anual) $al$ule el "re$io de la UVR dentro de ! aos. 3R(. =H)@4
.
Un vie8o ami#o de su a&uelo *uiere saldar una deuda de =!. *ue $ontra8o $on l a$e aos ' *ue nun$a $an$el6. Cal$ule el monto a$tual *ue Ud. le su#iere "a#ar) $onsiderando una tasa del 2< anual. R(. =H`.2>4
H.
Cal$ule el monto de la deuda *ue tiene un estudiante al $a&o de su "ost#rado) $uando a re$i&ido un "rstamo de millones de "esos de "arte del ICTEST "ara estudiar en el e:tran8ero "or tres aos) si el inters "a$tado es del !2< anual. 3R(. =`!H.!24
H!
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@.
Un $omer$iante a"rove$a los e:$edentes de su ne#o$io "ara reali%ar de"6sitos en su $uenta de aorros) *ue renta el !< mensual) as,7 = `. al a&rir su $uenta) =!`2>. a los seis meses ' =`. $uatro meses des"us. Cal$ule el monto del inters #anado ' el $a"ital reunido al ao de a&er a&ierto la $uenta.
.
Cu-ntos "esos de&e "a#ar dentro de un ao "ara $an$elar $om"letamente una deuda $ontra,da "or . d6lares) si la tasa de $am&io o' es de =2.(US=) ' se es"era *ue su&a al 2< anual 3R(. =!2`.4
!.
Usted reali%a o' un de"6sito de $ien millones de "esos en un +ondo *ue o"era en d6lares ' *ue renta el < anual en esta moneda. Cu-nto dinero en "esos retirar- dentro de $in$o aos) si es"era una tasa de in$remento de la tasa de $am&io del 2H< anual
!!.
Es$o8a la me8or alternativa "ara re$lamar el "remio DIRJ__0) *ue a$a&a de #anar) $ontando $on *ue Usted "uede rentar el dinero al 2< anual7 A4 Re$i&ir $in$o millones de "esos o') B4 Re$i&ir =! millones dentro de tres aos) C4 Re$i&ir =2 millones dentro de seis aos) 14 Re$i&ir = millones dentro de tres aos ' =! millones dentro de seis aos.
!2.
Con una tasa de in+la$i6n "romedia del !@< anual) "ara los 5ltimos aos en Colom&ia) esta&le%$a a $u-nto dinero de a$e aos e*uivalen =! mill6n de o'. 3R(. =!.>>2)4
!>.
Una "6li%a de $a"itali%a$i6n de =! millones o' "romete devolver =! millones dentro de ! aos. Cal$ule el de"6sito e*uivalente en un +ondo mutuo *ue renta el 2< anual) ' es$o8a la me8or o"$i6n "ara un aorrador.
!.
Un aorrador invierte = millones $ada ao "or es"a$io de tres aos en un +ondo *ue renta el 2!< anual. Cal$ule el $a"ital *ue tendr- dentro de ! aos en el +ondo si no retira entretanto nin#5n dinero.
!.
Un usuario de "rstamos de vivienda a tomado una deuda el 2 de enero de !) $on un ao de #ra$ia. ?a li*uida$i6n de la deuda se#5n el sistema U/AC el 2 de enero de 2 arro8a un valor de =...
H2
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Guillermo Buenaventura V.
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Cal$ule el valor de reli*uida$i6n se#5n el sistema UVR) si se tiene *ue la $orre$$i6n monetaria "or UAC es del 2@< anual) mientras *ue "ara el UVR es del !< anual. !.
Usted va a ausentarse del "a,s durante $in$o aos) "ero desea de"ositar en una $uenta de aorros una $antidad de dinero tal *ue a su re#reso $uente $on =! millones. Cal$ule el monto *ue de&e de"ositar si es"era *ue la $uenta le rente un !!< anual.
!H.
Cal$ule en $u-nto "uede venderse un &ono de => millones "a#aderos en el momento de su reden$i6n) e:a$tamente dentro de dos aos) si el inters *ue da el mer$ado de &onos es del !2< anual.
!@.
Cal$ule el valor de $ada una de las tres $uotas anuales *ue de"ositadas en un +ondo *ue renta el !< anual "ermiten retirar =! millones dentro de ! aos.
!.
Un autom6vil se $om"ra o' en =2 millones se es"era *ue dentro de $in$o aos se "ueda vender en =2 millones. Cal$ular el $onsumo de $a"ital en = de o') si el valor del dinero se tasa en el 2< anual.J
2.
Usted de&e "a#ar un "rstamo de =! millones en $uatro $uotas semestrales de =>... Cal$ule el de"6sito e*uivalente *ue de&e a$er en un +ondo *ue le re$ono$e el !< mensual "ara "a#ar di$o "rstamo. Cal$ule el so&re$osto del "rstamo den = de o'.
2!.
1etermine el monto de la al,$uota anual *ue "a#a un "rstamo de = millones al 2< mensual "or aos.
22.
Cal$ule el monto del "rin$i"al *ue tasa una al,$uota mensual del =!. "or ! aos a un inters del !)< mensual.
2>.
Usted de$ide mane8ar su "ro"io +ondo *ue llama MINIET0) de"ositando $ada ao la suma de =! mill6n en una $uenta de aorros *ue rinde el !< anual. Cal$ule el monto *ue "uede retirar su nieto dentro de aos.
2.
Cal$ular el valor de la al,$uota *ue "a#a un "rstamo de =! millones "or meses) sus$rito al 2< mensual los "rimeros tres aos ' al >< mensual el resto.
H>
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Guillermo Buenaventura V.
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2.
Cal$ule el valor de la anualidad *ue "a#a un "rstamo de =! millones a $in$o aos) si el inters "ara el "rimer ao es del !< ' va in$rement-ndose en < $ada ao.
2.
/ara el "ro&lema anterior) $al$ule la tasa 5ni$a e*uivalente a las $in$o tasas *ue se $o&ran en l.
2H.
Cal$ule el valor de $ada "a#o mensual de un "rstamo de = millones "or $in$o aos) al 2< mensual) si la al,$uota de los 5ltimos dos aos se de&e $al$ular $omo el do&le de la al,$uota $orres"ondiente a los tres "rimeros aos
2@.
Cal$ule el valor de la al,$uota mensual *ue "a#a un "rstamo en !2 meses) $on un inters del 2< mensual) si ella se de&e "a#ar anti$i"adamente $ada "er,odo.
2.
Cal$ule el monto del "rstamo al *ue se le a"li$a una tasa del !)< mensual) si el "a#o anti$i"ado "or $uota +i8a se tasa en =!) "or mes) durante 2 meses.
>.
?a +inan$iera B?AN10 C0BRA le otor#a un "rstamo a su em"resa "or =!. millones "ara $an$elar a ! aos $on un "la%o muerto de un ao ' un inters del 2< mensual. a. Cal$ule el valor de la al,$uota mensual $orres"ondiente. &. Cal$ule el valor del "a#o 5ni$o e*uivalente al +inal de los ! aos.
>!. >2.
Resuelva el "ro&lema anterior si el "la%o muerto se $am&ia "or un "er,odo de #ra$ia. E:"li*ue "or *u) "ara la misma tasa de inters) es m-s $onveniente tomar un "rstamo $on "la%o muerto *ue $on "er,odo de #ra$ia.
>>.
Cal$ule la al,$uota mensual *ue "a#a un &ono a "er"etuidad de =! mill6n) $on un inters del 2<.
>.
Cal$ule el "re$io de un &ono a "er"etuidad *ue "a#a $u"ones de =!. trimestrales) si la tasa de inters en el mer$ado es del < trimestral.
>.
El Fondo de /ensiones ?A?0CURA o+re$e tres "lanes &-si$os *ue de&e es$o#er la "ersona en el momento de in#resar al +ondo) todos &a8o los mismos a"ortes7
H
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Guillermo Buenaventura V.
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A7 Cuota 5ni$a de 8u&ila$i6n de =2.. al $um"limiento de los re*uisitos. B7 Mesada de =>.. durante ! aos. C7 Mensualidad +i8a de =2.2. asta su muerte 3su"on#a "er"etuidad4. Es$o8a el "lan m-s $onveniente "ara Usted) si es"era *ue la tasa de inters $uando se 8u&ile sea del !< mensual. >.
Usted sus$ri&e una inversi6n de $a"ital "or $in$o aos *ue le entre#a un al,$uota anual a un inters del !< anual los "a#os re$i&idos los reinvierte en una $uenta de aorros al < anual asta el +inal de los $in$o aos. a. Cal$ule el "or$enta8e de in$remento de la $i+ra ini$ialmente invertida. &. Cal$ule la tasa de inters e*uivalente "ara la inversi6n.
>H.
1i#a $u-l de los "lanes de inversi6n es m-s atra$tivo ' "or *u7 A7 Inversi6n al !< anual "or $uatro aos. B7 Mitad de la inversi6n al 2< anual "or $uatro aos ' mitad de la inversi6n al !2< anual "or $uatro aos.
>@.
Cal$ule el n5mero de "er,odos "ara el $ual el valor "resente e*uivalente se a$e i#ual a ! ve$es la al,$uota) a un inters del 2<.
>.
Cal$ule el monto +inal e*uivalente del si#uiente "lan de inversiones7 ! de"6sitos mensuales de =! mill6n $ada uno) un ao sin movimientos ' lue#o ! de"6sitos mensuales de =2 millones $ada uno) si el +ondo #ana 2)< mensual.
.
Cal$ule el valor "resente de un "rstamo a $in$o aos *ue esta&le$e un #radiente aritmti$o de =2. mensuales so&re su "rimera $uota de =!2.) $on una tasa de inters del 2< mensual.
!.
Cal$ule los res"e$tivos montos de las $uotas anuales n5meros !) ' ! de amorti%a$i6n de un "rstamo "or =! millones "a#aderos a ! aos) a una tasa de inters del !< anual ' #radiente de =. "or ao.
2.
Cal$ule le valor del #radiente aritmti$o "ara un "rstamo de =@ millones a ! aos ' $on una tasa de inters del !)< mensual) si se re*uiere *ue la "rimera $uota sea de =.. Cal$ule el monto de la 5ltima $uota.
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>.
Resuelva el "ro&lema anterior) $onsiderando un "er,odo de #ra$ia de un ao.
.
Resuelva el "ro&lema 2) $onsiderando un "la%o muerto de !@ meses.
.
Cal$ule el valor "resente de un #radiente #eomtri$o del < "or 2 trimestres) so&re una "rimera $uota de =2.) $on una tasa de inters del < trimestral.
.
Cal$ule el valor de la "rimera $uota de un "rstamo de =2 millones "or o$o aos) al 2)!< mensual) de tal manera *ue se manten#a un #radiente #eomtri$o del !< mensual.
H.
Muestre "or*u en Colom&ia) "ara "a#os a m-s de 2 aos se "uede $onsiderar t$ni$amente el "er,odo $omo in+inito.
@.
Entre los "lanes de "a#o "or al,$uota) #radiente aritmti$o ' #radiente #eomtri$o7 a. E:"li$ar $u-l "a#a ma'or $uota *ue los dem-s al $omien%o del "er,odo de amorti%a$i6n. &. E:"li$ar $u-l "a#a ma'or $uota *ue los dem-s al +inal del "er,odo de amorti%a$i6n.
.
E:"li*ue si el aumento del "re$io de la UVR $orres"onde a un #radiente aritmti$o o a un #radiente #eomtri$o.
.
E:"li*ue si la in+la$i6n si#ue un "atr6n de #radiente aritmti$o o de #radiente #eomtri$o.
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Eer+i+i(s S3G
!.
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INTER9S C0M/UEST07 MANE;0 1E TASAS
Cal$ule la tasa de inters e+e$tiva 3e+e$tiva anual4 de $ada una de las si#uientes tasas nominales7 a. &. $. d. e.
>< anual semestre ven$ido >< anual mes ven$ido >< anual 2< a.&.v. 2< a.t.v.
+. #. . i. 8.
!< 32> d,as4.v. H)< a.s.v. 2< a.t.v. !2< a.m.v. !@< a.d.v.
2. Cal$ule la tasa e+e$tiva de inters de $ada una de las si#uientes tasas "eri6di$as7 a. &. $. d. e.
< &.v. H)< t.v. !< s.v. 2< m < &ianual
+. #. . i. 8.
< &.a. @< t.a. 2< m.a. )! d.a. !< s.a.
>. Cal$ule la tasa e+e$tiva de inters de $ada una de las si#uientes tasas nominales7 a. &. $. d. e.
>< anual trimestre anti$i"ado 2@< anual anti$i"ado >< anual mes anti$i"ado !@< a.d.a. 2< a.m.a.
+. #. . i. 8.
>< a.s.a. 2< a.t.a. 2< a.&.a. 2< anual &ienio anti$. !2< a.&.a.
. En$uentre la tasa nominal semestre ven$ido de7 a. 2< anual &. >< anual trimestre ven$ido $. >< anual mes ven$ido
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. E:"rese la tasa de inters del 2< anual mes ven$ido en sus e*uivalentes7 a. /eri6di$a mensual &. E+e$tiva anual $. Anual semestre ven$ido
d. Anual &imestre anti$i"ado e. /eri6di$a trimestral
. Reali$e las si#uientes trans+orma$iones7 a. &. $. d. e. +. #. . i. 8. ]. l. m. n. . o. ". *. r.
2@< a.t.v. a e+e$tiva 2@< a.t.v. a semestral anti$i"ada 22< e+e$tiva a a.m.v. >< e+e$tiva a &imestral >< e+e$tiva a &imestral 2< a.s.v. a a.m.a. 2< a.s.v. a a.&.a. 2< a.s.v. a a.s.a. 2< a.s.v. a a.a. 2< a.s.v. a e+e$tiva 2< a.s.v. a a.&.v. 2< a.s.v. a a.m.v. !< a d,as a e+e$tiva 2< a 22 d,as a e+e$tiva )< diario a mensual )< diario a e+e$tiva )< diario a a.m.v. < a.m.v. a e+e$tiva < a.m.v. a a.s.v.
H. /ara $ada una de las tasas *ue se enumeran a $ontinua$i6n) esta&le%$a las $orres"ondientes tasas a4 e+e$tiva) &4 nominal ven$ida ' $4 nominal anti$i"ada7 < anual &ienio ven$ido < e+e$tiva anual < a.s.v. < a.t.v. < a.m.v. < a.d.v. < a.d.a. < a.m.a. < a.t.a.
H@
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< a.s.a. < a.a.a. < anual &ienio anti$i"ado @. Cal$ule la tasa e+e$tiva anual $orres"ondiente a $ada una de las si#uientes tasas mi:tas7 a. &. $. d. e. +. #. . i.
1TF < e.a. 1TF < a.t.v. 1TF @< a.m.v. 1TF < a.t.v. /rime Rate !< e.a. /rime Rate >< a.t.a. /rime Rate !< s.v. ?i&or >)< e.a. ?i&or < a.s.v.
1TF !)>H< a.t.v. 1TF !!< a. /rime Rate @)H< e.a. li&or )< a.s.a.
8. ?i&or >< a.s.a.
. Cal$ule la tasa e+e$tiva anual en "esos de $ada una de las si#uientes tasas $om"uestas7 a. !!< e.a. en UVR Cre$imiento UVR )< mensual &. < e.a. en d6lares Cre$imiento T.Cam&io 2< anual $. < s.v. en UVR /rime Rate @)H< e.a. en d6lares d. !< a.m.v. en UVR e. < t.v. en d6lares +. !2< a.m.a. en d6lares #. /rime Rate < a.t.v. en d6lares . /rime Rate < e.a. en d6lares i. !< a.m.v. en UVR !. En$uentre las tasas reales de7 a. &. $. d. e.
< anual) $on in+la$i6n del !< anual !!< anual) $on in+la$i6n del @)< anual 2< a.m.v.) $on in+la$i6n del @< anual 2< a.a.a.) $on in+la$i6n del @< anual !< m.v.) $on in+la$i6n del < anual
H
