Matemática Financiera
Teoría de Amortización Lic. Armando Ramírez Guzmán
Amortización
1
Matemática Financiera
Amortización Objetivos de aprendizaje •
Definir el concepto de Amortización
•
Clasificar los sistemas y modalidades de amortización amortización de prestamos
•
Identificar lo los elementos ec económicos de un cuadro de servicio de deuda
•
Elaborar de un cu cuadro de se servicio de deuda A Lim c.oArt.izRaacm ióínrez Guzmán
Interés Simple
2
Matemática Financiera
Amortización Objetivos de aprendizaje •
Definir el concepto de Amortización
•
Clasificar los sistemas y modalidades de amortización amortización de prestamos
•
Identificar lo los elementos ec económicos de un cuadro de servicio de deuda
•
Elaborar de un cu cuadro de se servicio de deuda A Lim c.oArt.izRaacm ióínrez Guzmán
Interés Simple
2
Amortización •
Es el proc proces eso o fina financ ncie iero ro medi median ante te el cual cual un una a de deud uda a u ob obliliga gaci ción ón se exti exting ngue ue progresivamente por medio de pagos periódicos incluidos en el llamado Servicio de Deuda, el que incluye además los intereses generados en cada periodo.
RK = AK + IK
• • •
•
De cad cada a pago pago,, cuota cuota o servici servicio o de de deud deuda, a, una una parte parte se apli aplica ca a cub cubrir rir el el interé interés s genera generado do por la deuda y el resto a disminuir el préstamo préstamo por pagar, deuda deuda residual o saldo saldo insoluto. Cuand Cuando o amort amortiza izamos mos una deuda deuda o una oblig obligac ación ión esta estamos mos devolv devolvie iendo ndo el impo importe rte que que se se ha recibido en préstamo. Clasificación – Por la frecuencia de pago del del servicio de deuda deuda las modalidades modalidades son: • Vencido: Vencido: cuando cuando el el pago pago se se realiza realiza al vencimi vencimiento ento de cada cada periodo. periodo. • Anticipad Anticipado: o: cuan cuando do el el pago pago se realiza realiza al al inicio inicio de cada cada perio periodo. do. • Diferido: Diferido: cuando cuando el pago pago se realiz realiza a luego luego de cierto plazo, plazo, en las modalidades con Período Diferido o Período de Gracia son aquellos, como los anteriores, que consideran periodos periodos de gracia (m), en los cuales no se amortiza el préstamo pero se puede pagar o no intereses durante el periodo diferido. Elementos de un Sistema Amortización – El importe del préstamo préstamo o VA. – El numero de pagos pagos periódicos. – El importe de los pagos pagos periódicos. periódicos. – La tasa de interés que puede ser fija o variable. – El cuadro de Servicio Servicio de Deuda. Amortización
3
Amortización •
Cuadro de Servicio de Deuda En la elaboración del cuadro de servicio de deuda solo se debe considerar el préstamo y la tasa de interés del préstamo pactada. El formato de cuadro de servicio de deuda es como sigue: n DE SD Int Amort Pago
• • • • •
Cuadro de Servicio de Deuda 0 1 2 3 …
n-1
n
n: número de periodos de la operación financiera. Cuota de Pago: es el Servicio de Deuda del periodo k (k = 0 hasta n). Cuota de Interés: es el importe por Intereses a pagar en el periodo K. Cuota de Amortización: es el importe de Amortización a pagar en el periodo K. Deuda Extinguida: es la parte del préstamo ya cancelado en el periodo K, es la diferencia entre el préstamo y la deuda residual.
•
Saldo Deudor o Deuda Residual: es el saldo por pagar del préstamo en el periodo K. Amortización
4
Sistemas Uniformes Renta Uniforme, Pago Constante o Francés • En esta modalidad las cuotas de pago, rentas o servicios de deuda son iguales o uniformes o constantes R. – Cuota de Pago: se calculan como si fuesen términos de una renta uniforme. Puede ser vencido o anticipado (el primer pago supone amortización).
i ⋅ (1 + i ) n ⋅ Anticipado: R = (1 + i ) (1 + i ) n − 1
i ⋅ (1 + i ) n – Vencido: R = VA ⋅ n + − i ( 1 ) 1
VA
– Cuota de Interés
I K
– Cuota de Amortización
AK
=
SDK
=
DE K
=
– Saldo Deudor – Deuda Extinguida Amortización
=
i ⋅ SDK
1
−
RK − I K SDK 1
−
AK
1 +
AK
−
DE K
−
5
VA n i i
30,000 US $ 6 15% TEA 1.17% TEM 5,207.00 US $
R
Fecha
Amortización
n 0 1 2 3 4 5 6
VA= 30,000 15% TEA 0
1
2
3
4
5
6
R
R
R
R
R
R
Frances o de Pagos Uniformes Vencido Pago Int Amort SD
DE
6
VA n m nPagos i i VA3 R
30,000 9 3 6 15% 1.1715%
US $ Meses Meses Meses TEA TEM
VA= 30,000 15% TEA
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
R
R
R
R
R
R
US $
Frances o de Pagos Uniformes Diferido S/I Pago Int Amort SD DE
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Amortización
7
VA n i i
30,000 US $ 6 15% TEA 1.17% TEM
R
US $
VA= 30,000 15% TEA 0
1
2
3
4
5
R
R
R
R
R
R
Frances o de Pagos Uniformes Anticipado Pago Int Amort SD
n
6
DE
0 1 2 3 4 5 6 Amortización
8
Amortización Constante o Alemán • Consiste en cancelar el importe del préstamo o principal en cuotas de amortización iguales A. – Cuota de Amortización: Resulta de dividir el importe del préstamo entre el número de cuotas de amortización.
A =
Pr éstamo Nro Cuotas de Amortización
– Cuota de Interés
I K
=
i ⋅ DE K 1
RK
=
AK
SDK
=
SDK 1
−
– Cuota de Pago – Saldo Deudor
+
I K −
−
AK
– Deuda Extinguida
DE K Amortización
=
DE K
1 +
−
AK 9
VA n i i
30,000 6 15.00% 1.1715%
A =
US $ Meses TEA TEM US $
VA= 30,000 15% TEA 0
1
2
3
4
5
6
A
A
A
A
A
A
Alemán o de Amortización Constante Pago Int Amort SD
n
DE
0 1 2 3 4 5 6 Amortización
10
Interés Constante o Americano • En esta modalidad la cuotas de Interés son iguales. – Cuota de Interés Pr éstamo I K = i ⋅se – Cuota de Amortización: amortiza el total del préstamo en el último periodo . – Cuota de Pago RK
=
AK
+
I K
– Saldo Deudor SDK
=
SDK 1 −
−
AK
– Deuda Extinguida DE K
Amortización
=
DE K
1 +
−
AK
11
VA n i i
30,000 6 15% 1.1715%
I=
US $ Meses TEA TEM US $
VA= 30,000 15% TEA
0
1
2
3
4
5
6
I
I
I
I
I
I VA
Americano o de Interes Constante Pago Int Amort SD
n
DE
0 1 2 3 4 5 6 Amortización
12
Sistemas Variables Renta Variable •
Renta Variable en Progresión Geométrica g En este modalidad las cuotas de pago, rentas o servicios de deuda son variables con igual aumento o disminución en progresión geométrica g. – Cuota de Pago: se calculan como una renta variable en PG. n (1 + i ) − (1 + g ) R = VA ⋅ (1 + i ) ⋅ n n (1 + i ) − (1 + g )
– Cuota de Interés
I K
=
i ⋅ SDK 1 −
– Cuota de Amortización AK
=
SDK
=
DE K
=
– Saldo Deudor
– Deuda Extinguida Amortización
RK − I K SDK 1
−
AK
1 +
AK
−
DE K
−
13
VA=30,000
VA nPagos i i g
30,000 6 15% 1.1715% 5%
R
US $ Meses TEA TEM
0
1
R US $
n
15% TEA
2
3
4
5
6
R ⋅ (1 + 0.05)1 R ⋅ (1 + 0 . 05 ) 2 R ⋅ (1 + 0 . 05 ) 3 R ⋅ (1 + 0 . 05 ) 4 R ⋅ (1 + 0.05) 6
Pagos Crecientes Geometricamente g Pago Int Amort SD DE
0 1 2 3 4 5 6 Amortización
14
−
1
•
Renta Variable en Progresión Aritmética G En este modalidad las cuotas de pago, rentas o servicios de deuda son variables con igual aumento o disminución en progresión aritmética G. – Cuota de Pago: se calculan como una renta variable en PA.
(1 + i ) n − 1 G (1 + i ) n − 1 n VA = R ⋅ + − n n (1 + i ) n i ⋅ (1 + i ) i i ⋅ (1 + i ) – Cuota de Interés
I K
=
i ⋅ SDK 1 −
– Cuota de Amortización AK
=
– Saldo Deudor
SDK
=
DE K
=
– Deuda Extinguida Amortización
RK − I K SDK 1
−
AK
1 +
AK
−
DE K
−
15
Prestamo 30,000 US $ nPagos 6 Meses i 15% TEA i 1.1715% TEM G 350 US $
VA=30,000 15% TEA
0
1
2
3
4
5
6
R R+500
R
US $
R+2*500 R+3*500 R+4*500 R+(6-1)*500
Pagos Crecientes Aritmeticamente G Pago Int Amort SD
n
DE
0 1 2 3 4 5 6 Amortización
16
•
Suma Dígitos En este sistema las cuotas de pago, rentas o servicios de deuda son variables, primero se calcula la cuota de amortización en función a un factor de amortización multiplicado por el digito del periodo de amortización VA – Factor de Amortización Factor = ∑ digitos periodos de Amortización
AK
– Cuota de Amortización
=
Factor ⋅ nk
Donde k = 1,2,3,..., n – Cuota de Pago – Cuota de Interés – Saldo Deudor – Deuda Extinguida
Amortización
RK
=
I K
AK
=
+
I K
i ⋅ SDK 1 −
SDK
=
DE K
=
SDK 1
−
AK
1 +
AK
−
DE K
−
17
VA n i i
30,000 6 15.00% 1.1715%
Factor
US $ Meses TEA TEM US $
Dig
1 2 3 4 5 6 21 Amortización
n
Pago
Suma Digitos Int Amort
SD
DE
0 1 2 3 4 5 6 18
Con periodos variables • En este modalidad los periodos de pago o de servicios de deuda variables. – Cuota de Pago: se calcula con periodicidad diaria según sea Renta Uniforme, Renta Variable en PG o Renta Variable – Cuota de Interés, se calcula por los días transcurridos entre nk nk 1 fechas. Periodo de i I K = SDK 1 ⋅ (1 + i) − 1 −
−
– Cuota de Amortización AK
=
RK − I K
– Saldo Deudor
SDK
=
SDK 1
– Deuda Extinguida
DE K
=
DE K
Amortización
−
−
−
1 +
−
AK
AK 19
VA i i
30,000 US $ 15% TEA 0.03883% TED
R
US $
VA= 25,000
03-May
27-Jun
02-Ago
0
55
91
R
R
R
29-Sep 149 Días
R
55 91 149
Fecha 03-May 27-Jun 02-Ago 29-Sep Amortización
n
0 55 36 58 149
Pagos Uniformes con Periodos Variables Pago Int Amort SD 7,716.13 0.00 7,716.13 22,283.87 7,716.13 480.93 7,235.20 15,048.66 7,716.13 211.80 7,504.33 7,544.33 7,716.13 171.80 7,544.33 0.00 30,864.54 864.54 30,000.00
DE 7,716.13 14,951.34 22,455.67 30,000.00 20
Renta Uniforme Vencida con tasa de interés y periodos variables
– Cuota de Pago: se calcula la Renta Uniforme R 1 con la i1 y n1, luego se calcula el saldo deudor al momento del cambio de tasa de interés, con este saldo deudor y i 2 y n2 se calcula la nueva R2. – Cuota de Interés
I K
=
i ⋅ SDK
1
−
– Cuota de Amortización – Saldo Deudor
AK SDK
= =
RK − I K SDK 1 −
−
AK
– Deuda Extinguida DE K = DE K 1 + AK −
Amortización
21
a. VA n1 i1 i1 R1
30,000 6 15% 1.1715%
US $ Meses TEA TEM US $
b. VA3 n2 i2 i2 R2
US $ 4 Bimestres 1% TEM 2.0100% TEB US $
Pagos Uniformes Vencido Tasa y Periodo Variable Fecha n Pago Int Amort SD DE 03/05/12
0 1 2 3
Pagos Uniformes Vencido Tasa y Periodo Variable Fecha n Pago Int Amort SD DE 0 1 2 3 4
Amortización
22
Cuota Simple y Doble en Fechas – Cuota de Pago VA=30,000 Fecha
3/5/12
3/6/12
3/7/12
3/8/12
0
1
2
3
4
5
6
R
2R
R
R
R
31
61
92
123
153
n
A Valor Actual
3/9/12 3/10/12 3/11/12 3/12/12
3/1/13
3/2/13
3/3/13
3/4/13
3/5/13
7
8
9
10
11
12
R
2R
R
R
R
R
R
184
214
245
276
304
335
365
– Cuota de Interés: se calcula por los días transcurridos entre fechas. n n Periodo de i I K = SDK 1 ⋅ (1 + i ) − 1 k − k −1
−
– Cuota de Amortización
AK
=
RK − I K
– Saldo Deudor
SDK
=
SDK 1
– Deuda Extinguida
DE K
=
DE K
Amortización
−
−
1 +
−
AK
AK 23
VA i i nPagos R 2R
30,000 15.00% 0.03883% 12
US $ TEA TED meses
2,304.91 US $ 4,609.81 US $
Fecha 03/05/12 03/06/12 03/07/12 03/08/12 03/09/12 03/10/12 03/11/12 03/12/12 03/01/13 03/02/13 03/03/13 03/04/13 03/05/13 Amortización
Cuotas Dobles Pago Int Amort
n
31 30 31 31 30 31 30 31 31 28 31 30
2,304.91 4,609.81 2,304.91 2,304.91 2,304.91 2,304.91 4,609.81 2,304.91 2,304.91 2,304.91 2,304.91 2,304.91
363.23 328.70 287.89 263.47 231.00 213.64 182.21 134.71 108.43 73.88 54.83 26.69
1,941.67 4,281.11 2,017.02 2,041.44 2,073.90 2,091.27 4,427.60 2,170.19 2,196.47 2,231.03 2,250.08 2,278.22 30,000.00
SD 30,000.00 28,058.33 23,777.22 21,760.20 19,718.76 17,644.86 15,553.59 11,125.99 8,955.80 6,759.32 4,528.30 2,278.22 0.00
DE 0.00 1,941.67 6,222.78 8,239.80 10,281.24 12,355.14 14,446.41 18,874.01 21,044.20 23,240.68 25,471.70 27,721.78 30,000.00
24
Tasa de Costo de Crédito TCC •
Es la tasa de interés efectiva que hace equivalente el flujo de ingresos y el flujo de egresos derivados de la operación de crédito, es decir en el flujo de caja de la deuda aparte del préstamo y de los intereses calculados a la tasa del préstamo hay que considerar las comisiones y retenciones originadas por la operación de crédito.
Amortización
25
Bibliografía •Aliaga Valdez, Carlos. Matemáticas Financieras: Un enfoque practico. Prentice Hall – Pearson Educación. 1ª Edición, Colombia. 2002: Capítulo 14. •Vento Ortiz, Alfredo. Finanzas Aplicadas. Universidad del Pacifico. 6ta Edición. Lima. 2004: Capítulo IV y V.
Amortización
26
Mapa Conceptual Amortización Amortización
Francés Renta Uniforme
Alemán Amortización Constante A =
Pr éstamo Nro Cuotas de Amortización
Vencido i ⋅ (1 + i ) n R = VA ⋅ n (1 + i ) − 1 AK = RK − I K Amortización
Americano Interés Constante I K
=
n RK
=
I K
=
i ⋅ SDK 1
SDK
=
SDK 1
DE K
=
DE K
AK + I K −
−
Renta Variable
−
1 +
−
AK
AK
Con periodos variables
i ⋅ Pr éstamo
Anticipado
PG
PA
Diferido C/I S/I 27
Matemática Financiera
Fondo Acumulado Objetivos de aprendizaje •
Definir el concepto de fondo acumulado
•
Clasificar los sistemas y modalidades de fondo acumulado
•
Identificar los elementos económicos de un cuadro de fondo acumulado
•
Elaborar de un cuadro de fondo acumulado Amortización Lic. A. Ramírez Guzmán
Interés Simple
28
Fondo de Acumulado • • •
•
Es el proceso financiero mediante el cual realizando una serie de depósitos o abonos periódicos durante un plazo " n “, los cuales generan intereses a una tasa " i " por período, se desea acumular un monto o un fondo o un valor futuro. Un fondo de amortización es una reserva de dinero que se realiza con el fin de realizar grandes pagos que se deben realizar al cabo de un tiempo. Clasificación – Por el tipo de deposito: • Renta Uniforme. • Renta Variable: en progresión geométrica o aritmética. • Renta Irregular. – Por la frecuencia del deposito: • Vencido: cuando el deposito se realiza al vencimiento de cada periodo. • Anticipado: cuando el deposito se realiza al inicio de cada periodo. • Diferido: cuando el deposito se realiza luego de cierto plazo. • Irregular. Elementos de un Fondo de Acumulado – El valor futuro. – Fecha del depósito. – El numero de depósitos periódicos. – El importe de los depósitos periódicos. – La tasa de interés por periodo, que puede ser fija o variable. – El cuadro de Fondo de cumulado. Amortización
29
Fondo Acumulado •
Cuadro de Fondo Acumulado El formato de cuadro de Fondo Acumulado es como sigue: Fondo de Amortización Fecha
n
Pago
Interés
Adición al Fondo
Fondo Acumulado
0 1 2 3 : n
• • • • • •
Fecha: del depósito. n: número de periodos de la operación financiera. Cuota de Pago: es el Depósito del periodo k (k = 0 hasta n). Cuota de Interés: es el importe por Intereses ganados en el periodo K. Adición al Fondo AF: es la suma del importe del Pago e Intereses del periodo K. Fondo Acumulado FA: es el monto de dinero que se va acumulando al periodo K, resulta de sumar el FAK-1 mas la AFK. Amortización
30
VF nPagos i i
50,000 6 8.00% 1.9427%
US $ Trim TEA TET
R
7,937.70 US $
VF=50,000
0
1
2
3
4
5
6
R
R
R
R
R
R
Fondo de Amortización Pago Uniforme Vencido Fecha
n
Cuota de Interés
Cuota de Pago
Adición al Fondo
Fondo Acumulado
0 1 2 3 4 5 6 Amortización
31
VF nPagos i i R
50,000 6 8% 1.9427%
US $ Trim TEA TET US $
VF=50,000
0
1
2
3
4
5
R
R
R
R
R
R
6
Fondo de Amortización Pago Uniforme Anticipado Fecha
n
Cuota de Interés
Cuota de Pago
Adición al Fondo
Fondo Acumulado
0 1 2 3 4 5 6 Amortización
32
