Matemática Financiera Anualidades Ordinarias

ANUALIDADES O RENTAS En matemáticas financieras, la expresión “anualidad” se emplea para indicar el sistema de pago

de sumas fijas a intervalos iguales. La palabra anualidad se utiliza por costumbre desde sus orígenes. Así se usa en las anualidades contingentes, en las que interviene la probabilidad anual de vida de las personas. En finanzas, anualidad no significa pagos anuales sino pagos a intervalos iguales. Por consiguiente, se consideran anualidades a los dividendos sobre acciones, los fondos de amortización, los pagos a plazos, los pagos periódicos de las compañías de seguro, y de forma más general, los sueldos y todo tipo de rentas. La expresión anualidad puede cambiarse por la de rentas, series uniformes, pagos periódicos, amortizaciones u otros, según el caso caso y las costumbres locales. En este texto se conserva el nombre de anualidad para el estudio general de todo tipo de pagos periódicos; así, el interesado no tendrá modificaciones de lenguaje al estudiar las anualidades contingentes y, con ellas, los seguros de vida.

Definición. Se denomina renta a una sucesión de pagos (cobros periódicos anuales, semestrales, trimestrales, mensuales, etc.) que pueden ser por cantidades generalmente constantes y que pueden ser cobrados o pagados al inicio o al final de cada cada periodo. Cada pago o depósito estará sujeto sujeto a un interés compuesto por el tiempo que comprende la renta. Cuando los pagos son diferentes o alguno de ellos es diferente de los demás, la anualidad toma, según el caso, los nombres de anualidades variables o anualidades impropias.

Clasificación De Las Anualidades Los factores financieros que intervienen en las anualidades y sus formas de pago determinan diferentes tipos de anualidades. A fin de llevar a cabo un estudio organizado, es necesario elaborar una clasificación y dar su correspondiente definición.

Renta El valor de cada pago periódico recibe el nombre de renta. Período de `pago o período de renta es el tiempo fijado entre dos pagos sucesivos. intervalo que transcurre entre el comienzo del primer Tiempo o plazo de una anualidad El intervalo período de pago y el final del último es el tiempo de una anualidad.

Renta anual Es la suma de los pagos hechos en un año correspondiente a la renta anual. Tasa de una anualidad El tipo de interés fijado es la tasa de anualidad y puede ser nominal o efectiva. Según el tiempo, las anualidades se agrupan en dos clases: anualidades ciertas o anualidades eventuales o contingentes. Anualidades ciertas son aquellas cuyas fechas inicial y terminal se conocen por estar estipuladas en forma concreta.

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Anualidades contingentes son aquellas en las que el primer pago o el último, es decir, la fecha inicial y/o la fecha final dependen de algún suceso predecible, pero cuya fecha de realización no puede fijarse. terminar el Anualidades inmediatas Éstas son aquellas cuyo primer pago se efectúa al iniciar o terminar primer período.

Anualidades Ciertas Ordinarias o vencidas Inmediatas Diferidas

Anticipadas Inmediatas Diferidas

Cada una de las distintas formas de anualidades presenta variantes en la forma de calcular sus valores, según el número de pagos en el año y número de períodos de capitalizaciones anuales que estipule el tipo de interés. coincide con el periodo Anualidades simples Se definen como aquellas cuyo periodo de pago coincide de capitalización. última cuota, es Valor De Las Anualidades. El valor de la anualidad que se calcula al final de la última el valor futuro de ésta. El valor de la anualidad calculado al comienzo, es su valor presente. Estos valores pueden, también, calcularse en fechas intermedias; en tal caso, se refieren a valor futuro de la parte vencida o valor presente de las las anualidades por vencer. Así, por ejemplo, una renta de $ 2 000 pagaderos cada final de año durante 6 años, tendrá valor futuro F al finalizar los 6 años, y tendrá un valor presente P, en su fecha inicial. 1

2

2 000

2 000

3

4

5

6

años

0 2 000

2 000

2 000

2 000

Transcurridos 2 años se tiene una fecha intermedia que separa la parte vencida de la anualidad, de la parte por vencer, tal como se muestra en la gráfica. El cálculo de los valores de anualidades puede hacerse a partir de un caso general, en el que se





Valor Futuro Y Valor Presente De Las Anualidades Simples Ciertas Ordinarias Inmediatas Inmediatas Este tipo de anualidades es el más frecuente y, por eso, cuando se dice simplemente anualidad, se supone que se trata de una anualidad simple cierta ordinaria inmediata. La tasa de interés es, por lo general, una tasa de interés nominal anual. Si la tasa dada es nominal sin especificación de período de capitalización, la tasa efectiva en el periodo de pago es el cociente entre la tasa nominal y el número anual de pagos.

Símbolos utilizados para las anualidades A = pago periódico de una anualidad o renta i = tasa efectiva por periodo de capitalización j = tasa nominal anual m = número de capitalizaciones en el año j (m) = tasa nominal con m periodos de capitalizaciones al año n = número de periodos de pago F = monto de una anualidad o su valor a futuro P = valor actual o presente de una anualidad

Cálculo Del Valor A Futuro Los pagos A efectuados al final de cada periodo ganan interés compuesto, hasta la fecha final. Estableciendo la ecuación de equivalencia para la fecha final como fecha focal, se tiene, entonces: F n -1 0

1

2

A

A

n períodos

v A

A

A

A

A

A





Los valores futuros respectivos de los pagos A comenzando por el último serán: A, A(1  i), A(1  i)2 ,.... A(1  i)n



2



A(1  i)n

1



.

El valor futuro total de F de la anualidad es igual a la suma de los valores futuros producidos por las distintas rentas A, o sea: 2

F  A  A(1  i)  A1  i



n 2

...  A 1  i



n 1

A 1  i

Los términos del segundo miembro forman una progresión geométrica de n términos, razón (1+ i) y primer término A. Al aplicar la fórmula:

 r n  1 S  A   r  1  

Entonces:

 1  i   1 F  A   i   1 1    

Luego:

 1  in  1 F  A   i  

n

En notación estándar

F



AF / A,i%,n

(Se pide F dados: el pago periódico A, la tasa i % por periodo y el número n de períodos). Si el valor de cada pago A es de una unidad monetaria, el valor futuro F corresponde al valor futuro de una anualidad de uno por periodo, el cual se denomina factor de valor futuro de una anualidad. n

Notación algebraica

1  i i

1



factor de valor futuro

Notación estándar F / A,i%,n factor de valor futuro 





cálculos financieros que se efectúan utilizando tablas; por esta razón, es necesario ejercitarse en su uso.

Cálculo del Valor Presente El valor presente de una anualidad es aquella cantidad P de dinero con sus intereses compuestos que, en el tiempo de la anualidad, proporcionará un valor futuro equivalente al de la anualidad. Al formar la ecuación de equivalencia, y utilizar como fecha focal la fecha final, se tiene: P

F

1

2

A

A

n-2

n-1

n períodos

0 A



P 1 i

Si:



P 1 i

Entonces:

n



n





A

F

 1  in  1  A   i  

 1  in  1 n P  A  1  i i   P

Luego:

1  1  in   A   i  

Notación estándar P = A (P/A, i%, n) (Se pide P, dados el pago periódico A, la tasa i% por período y el número de períodos) Si el valor de cada pago A es de una unidad monetaria, el valor presente P corresponderá al valor presente de una anualidad de uno por período y se expresa por el factor de valor presente de una anualidad de $1. Notación algebraica



1 1 i i

n





factor de valor presente

Notación estándar P = A (P/A, i%, n) = factor de valor presente.





Cálculo de la Renta en una Anualidad Simple Cierta Ordinaria. Es frecuente la necesidad de conocer el importe de pagos periódicos, para lograr determinado resultado; así, por ejemplo: ¿Cuál es el pago mensual que debe hacerse para cancelar el valor de una propiedad, en cierto número de años?, ¿Qué cantidad de dinero habrá que colocar periódicamente, en un fondo de amortización, para cancelar una obligación a largo plazo? ¿Con qué cuotas periódicas puede cancelarse una mercancía, conocido su valor de contado y la tasa de interés? En esta parte se pueden plantear dos problemas, según se conozca el valor futuro por cancelar en la fecha futura o el valor presente por cancelar, mediante pagos periódicos.

a)

Cálculo de la renta cuando se conoce el valor futuro:  1  in  1 F  A   i  

De la fórmula: 

  n  (1  i)  1

Se obtiene

A  F 

i

En notación estándar A = F (A/F, i%, n) El factor

i (1 i) 

n



1



( A / F, i%,n) recibe el nombre de factor del

fondo de amortización, que

corresponde al valor de la renta de una anualidad cuyo valor futuro ascenderá a una unidad monetaria, después de n pagos, a la tasa i por período de pago.

b)

Cálculo de la renta, cuando se conoce el valor presente

De

Se obtiene

1  1  in   i  

P  A 



 n  1  (1  i) 

A  P 

En notación estándar A = P (P/A, i%, n)

i







Cálculo del tiempo o Plazo de una Anualidad Cuando se conoce el valor futuro, puede calcularse el valor de n (el número de pagos); se utiliza:  1  in  1 F  A   i   iF





A 1  i



n



A 1  i



n





A

iF  A

log log A  n log log1  i  log logiF  A n log log1  i  log logiF  A   log log A n



log logiF  A   log log A log log1  i

Cuando se conoce el valor presente, puede calcularse el valor de n (el número de pagos); se utiliza: 1  1  in  P  A   i   iP



 A  A

A 1  i

n



n

1  i

 A  iP

log log A  n log log1  i  log( A  iP) n log log1  i  log log A  log( A  iP)





3. Una compañía vende vende refrigeradoras refrigeradoras con una cuota cuota inicial de $100 y 16 cuotas mensuales de $50. Si se carga el 15% con capitalización mensual, hallar el valor de contado. 4.

Una persona persona debe pagar una anualidad de $ 6 000 000 trimestrales trimestrales durante 10 años. Si no efectúa los 4 primeros pagos, ¿cuánto debe pagar al vencer la quinta cuota, para poner al día su deuda, si la tasa de la operación es del 10%, con capitalización trimestral?

5. Una persona debe pagar durante 10 años una anualidad anualida d de $ 5 000 semestrales pactados al 8% nominal. nominal. Al efectuar efectuar el noveno pago, desea desea liquidar el saldo con un pago único. ¿Cuánto debe debe pagar en la fecha fecha del noveno pago, para liquidar la deuda? 6. Al cumplir 10 años años su hijo, el padre decide consignar semestralmente $ 2 000, en una cuenta de ahorros, que paga el 9% nominal. Si hace estas consignaciones durante 5 años consecutivos, calcular la cantidad que tendrá en su cuenta el hijo al cumplir 21 años . 7. Calcular los depósitos depósitos semestrales necesarios necesarios en una una cuenta de seguros que paga 8% con capitalización semestral, para obtener en 5 años un capital de $ 20,000. 8. Calcular los pagos por semestre vencido, vencido, necesarios necesarios para cancelar el valor de $100,000 de una propiedad comprada a 8 años de plazo con un interés del 9% capitalizable semestralmente. semestralmente. 9. ¿Cuántos pagos semestrales semestra les se $ 600 deberán hacerse para cancelar una





abonos semestrales. semestrales. Hallar el valor de los nuevos pagos, si i es la tasa pactada es del 10% convertible semestralmente.

AUTOEVALUACIÓN 1. Una persona deposita $ 5,000 cada final de año en una cuenta de ahorros que paga el 8% de interés, Halle la suma que tendrá en su cuenta al cabo de 10 años, cuando efectué el último depósito. 2. Calcule el valor de contado de un equipo equipo industrial comprado comprado de la siguiente manera; $ 6,000 de contado, y 12 pagos trimestrales de $ 2,000 con 12% de interés, capitalizable trimestralmente. trimestralmente. 3. Calcule el valor de contado de un grupo grupo electrógeno industrial industrial comprado comprado de la siguiente manera: $ 14,000 de cuota inicial, $ 1,600 mensualmente durante 2 años y 6 meses, con un último pago de $ 2,500, si se carga el 12% con capitalización mensual. 4. Una mina en explotación explotación tiene una producción producción anual anual de $8´000,000 $8´000,000 y se estima que se agotará agotará en 10 años. Halle el valor valor presente de la producción producción si el rendimiento del dinero es del 8% 5. Una mina en explotación tiene una producción anual de $12´000,000 y se estima que al agotarse la mina en 15 años, habrá activos recuperables por valor de $2´500,000. Halle el valor valor presente de la producción si el rendimiento rendimient o del dinero es del 8% y de los activos recuperables son del 2% 6. Calcular el valor de contado contado de una propiedad propiedad vendida vendida en las siguientes siguientes condiciones: $ 20,000 al contado; $1.000 por mensualidades vencidas durante





cantidad se consignará en una cuenta de ahorros que paga 8% nominal anual. Hallar el valor futuro en los 5 años y el valor presente del contrato de alquiler. 9. En el momento de nacer nacer su hijo, un señor señor depositó $ 1,500 1,500 en una cuenta que que abona el 8% de interés, dicha cantidad se consigna cada cumpleaños. Al cumplir 12 años, aumento sus consignaciones a $ 3,000. Halle el valor del dinero que tendrá a disposición su hijo a la edad de 18 años. 10. Una persona deposita $ 1,000 al final de cada mes, en una cuenta que abona el 6% de interés, capitalizable mensualmente, Calcule el saldo de la cuenta al cabo de 20 años. 11. Halle el valor presente de una renta de $ 5,000 mensuales, mensual es, que se recibirá durante los próximos 15 años, con un interés del 6% capitalizable mensualmente. 12. Hallar el valor futuro y el valor presente de una anualidad de $ 5,000, pagaderos semestralmente durante 7 años 6 meses al 6,6%, capitalizable semestralmente. 13. Una compañía tiene una obligación, cuyo monto es de $3´000,000, para ser cancelado en 10 años, y por ello establece reservas anuales que se depositarán en un fondo que abona el 7%. Halle el valor de la reserva anual. 14. ¿Qué suma debe depositarse anualmente, en un fondo que abona el 6%, para proveer la sustitución de los equipos de una compañía minera, cuyo costo es de $8´000,000 y el periodo de vida útil es de 6 años, si el valor de salvamento se estima en un 15% del costo. 15. Una compañía co mpañía minera compra un terreno terre no cuyo valor es e s de $480,000 al contado. Se pagó $150,000 al contado y el saldo en 18 cuotas mensuales, con un interés del 16% convertible mensualmente. Halle el valor de las cuotas mensuales.





19. Una máquina cuyo valor de contado es de $ 480 000 puede adquirirse con cuota inicial de $80,000 y 12 pagos mensuales de $ 40 000 cada uno. Halle la tasa convertible mensualmente. 20. Una persona necesita reunir $ 100 000 en 8 años, y con este propósito realiza depósitos iguales cada fin de año, en un banco que abona el 6% de interés. Transcurrido 4 años, el banco eleva la tasa al 8%. Halle el valor de los depósitos anuales, antes y después de que el banco eleva la tasa de interés.

Matemática Financiera Anualidades Ordinarias

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