Matematica exercitii si probleme pentru clasa a VI a Algebra-Geometrie.pdf

MATEMATICă — exerciţii şi probleme pentru clasa a VI-a

ediţie electronică Cum puteţi folosi cartea

În cuprins, dând click pe titlul temei, respectiv subtemei, vă duce direct la conţinutul temei sau subtemei respective.

Apoi, din interiorul cărţii, după ce aţi rezolvat exerciţiul sau problema, un click pe titlul temei sau subtemei vă duce la partea de răspunsuri şi rezolvări corespunzătoare.

Revenirea se face tot printr-un simplu click pe titlu.

În conformitate cu programa în vigoare 5097/09.09.2009 Seria

Bun la Mate

Marinela Canu Ion Ghica Adrian Ciupitu Constantin Saraolu

Ion Cheşcă Gheorghe Drugan Florentina Enea Mariana Saraolu

MATEMATICÃ exerciţii şi probleme pentru clasa a VI-a

ediţie electronică Algebră Geometrie

 Copyright 2013, 2008, 2007 Editura CABA Toate drepturile sunt rezervate. Nicio parte din această carte nu poate fi reprodusă sau transmisă în orice formă sau prin orice mijloace fără acordul prealabil scris al Editurii CABA.

ISBN electronic 978-973-7672-89-6

Referenţi ştiinţifici: prof. gr. I Constantin Apostol, Râmnicu Sãrat Culegere: Oana Georgescu Tehnoredactare: Daniel Anastasiu, Cãtãlin Tuþã Redactare: Sorin Cernescu, Marius Bucur Copertã: Daniel Anastasiu Ilustraþie copertã: Elisabeta Gedö Seria: Bun la mate

e-Mate VI Format 16,5 × 23,5 cm

e-00006

Publicat: ianuarie 2013

Informaţii şi comenzi: Editura CABA Telefon fix: Fax: Telefon mobil:

021/327.32.44 031/804.08.87 021/327.32.44 0723/563.570 0747/048.670

site: www.edituracaba.ro e-mail: [email protected] adresă poştală: OP 39 – CP D4, cod 021711 sector 2, Bucureºti

Cuprins AlgebrÃ 1

Mulţimea

numerelor Naturale

1.1. Operaţii cu numere naturale; reguli de calcul cu puteri ......................................10

1.1.1. Înmulţirea a două puteri care au aceeaşi bază .............................................10

1.1.2. Împărţirea a două puteri care au aceeaşi bază .............................................11

1.1.3. Scrierea sub formă de putere a unui număr natural.....................................12

1.1.4. Înmulţirea şi împărţirea a două puteri care au acelaşi exponent ��13

1.1.5. Operaţii cu puteri. Ordinea efectuării operaţiilor . .......................................14

1.1.6. Ultima cifră a unei puteri a unui număr natural ............................................16 1.2. Divizor, multiplu......................................................................................................... 17 1.3. Criteriile de divizibilitate cu 10, 2, 5, 3, 9 ................................................................ 19 1.4. Proprietăţi ale relaţiei de divizibilitate în N............................................................. 21 1.5. Numere prime. Numere compuse............................................................................. 23 1.6. Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime �� 24

Divizori comuni ai două sau mai multor numere naturale; c.m.m.d.c. 1.7. Numere prime între ele �� 26 1.8. Multipli comuni ai două sau mai multor numere naturale; c.m.m.m.c. �� 28

Evaluare............................................................................................................................ 31

5

2

MULŢIMEA

2.1.

NUMERELOR RAŢIONALE POZITIVE

Fracţii echivalente; fracţie ireductibilă. Noţiunea de număr raţional. Forme de scriere a unui număr raţional�� 34

2.2. Adunarea numerelor raţionale pozitive�� 38 2.3. Scăderea numerelor raţionale pozitive�� 42 2.4. Înmulţirea numerelor raţionale pozitive�� 44

2.5.

Ridicarea la putere cu exponent natural a unui număr raţional pozi.tiv; reguli de calcul cu puteri �� 47

2.6. Împărţirea numerelor raţionale pozitive�� 48 2.7. Ordinea efectuării operaţiilor cu numere raţionale pozitive�� 50 2.8. Media aritmetică ponderată a unor numere raţionale pozitive�� 52 2.9.

Ecuaţii în Q+ �� 53

2.10.

Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor �� 57

Evaluare��58

3

Rapoarte

şi proporţii

3.1. Rapoarte�� 60 3.2. Procente. Rezolvarea de probleme în care intervin procente�� 64

3.3.

Proporţii, proprietatea fundamentală a proporţiilor; aflarea unui termen necunoscut dintr-o proporţie. Proporţii derivate �� 67

3.4. Mărimi direct proporţionale. Regula de trei simplă �� 72 3.5. Mărimi invers proporţionale. Regula de trei simplă �� 75 3.6.

6

Elemente de organizare a datelor şi probabilităţi. Reprezentarea datelor prin grafice �� 78

Evaluare �� 84

4

Numere

4.1.

întregi

Mulţimea numerelor întregi ; opusul unui număr întreg; reprezentarea pe axa numerelor �� 88

4.2. Modulul unui număr întreg (valoarea absolută) �� 89 4.3. Compararea şi ordonarea numerelor întregi �� 90 4.4. Adunarea numerelor întregi; proprietăţi. Scăderea numerelor întregi �� 92 4.5. Înmulţirea numerelor întregi; proprietăţi. Împărţirea numerelor întregi �� 95

4.6.

Divizibilitatea în . Mulţimea multiplilor unui număr întreg; mulţimea divizorilor unui număr întreg �� 98

Puterea unui număr întreg cu exponent număr natural. Reguli de calcul cu puteri �� 100 4.7.

4.8. Ordinea efectuării operaţiilor şi folosirea parantezelor �� 103 4.9.

Ecuaţii în  �� 105

4.10. Inecuaţii în  ��

107

4.11. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor ��

109

Evaluare �� 110

Geometrie 1

DREAPTA

1.1.

Punct, dreaptă, plan, poziţiile unui punct faţă de o dreaptă, puncte coliniare, semidreaptă, segment de dreaptă, semiplan �� 112

1.2.

Lungimea unui segment, distanţa dintre două puncte, segmente congruente, mijlocul unui segment �� 114

Evaluare �� 117

7

2

Unghiuri

2.1.

Definiţie, notaţii, elemente, interiorul unui unghi, exteriorul unui unghi, unghi nul, unghi alungit �� 122

Măsurarea unghiurilor, construirea cu raportorul a unui unghi de 2.2. măsură dată. Clasificarea unghiurilor. Unghiuri congruente. Operaţii cu măsuri de unghiuri �� 125 2.3. Unghiuri adiacente. Bisectoarea unui unghi �� 128 2.4. Unghiuri complementare. Unghiuri suplementare �� 131 2.5. Unghiuri opuse la vârf. Unghiuri în jurul unui punct �� 134

Evaluare �� 137

3

Congruenţa 3.1.

triunghiurilor

TRIUNGHIUL: definiţie, elemente, tipuri de triunghiuri. Perimetrul şi semiperimetrul triunghiului. Unghi exterior unui triunghi �� 142

3.2. Construcţia triunghiurilor �� 146 3.3. Congruenţa triunghiurilor �� 148 3.4. Cazurile de congruenţă a triunghiurilor oarecare �� 150 3.5. Metoda triunghiurilor congruente �� 152

Evaluare �� 156

4

Perpendicularitate 4.1. Drepte perpendiculare; oblice; distanţa de la un punct la o dreaptă �� 158 4.2. Înălţimea în triunghi. Concurenţa înălţimilor într-un triunghi �� 162 4.3. Criteriile de congruenţă a triunghiurilor dreptunghice �� 164

4.4.

Mediatoarea unui segment; proprietăţi; construcţia mediatoarei unui segment cu rigla şi compasul; concurenţa mediatoarelor laturilor unui triunghi �� 166

4.5. Simetria faţă de o dreaptă (simetria axială) �� 168 8

Bisectoarea unui unghi; proprietatea punctelor de pe bisectoarea unui unghi; 4.6. construcţia bisectoarei unui unghi cu rigla şi compasul; concurenţa bisectoarelor unghiurilor unui triunghi �� 170 Evaluare �� 172

5

Paralelism

5.1.

Drepte paralele (definiţie, notaţie); construirea dreptelor paralele prin translaţie. Axioma paralelelor �� 174

5.2. Criterii de paralelism �� 175

Evaluare �� 182

6

Proprietăţi

ale triunghiurilor

6.1. Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi; unghi exterior unui triunghi �� 186 6.2. Teorema unghiului exterior �� 188 6.3. Mediana în triunghi; concurenţa medianelor unui triunghi �� 190

Evaluare �� 191 6.4. Triunghiul isoscel; proprietăţi �� 193 6.5. Triunghiul echilateral; proprietăţi �� 196 6.6. Triunghiul dreptunghic; proprietăţi �� 198

Evaluare �� 201

RĂSPUNSURI ŞI REZOLVĂRI �� 204

9

mulţimea numerelor

1 NATURALE

prof. Dana Radu ºi Eugen Radu

1.1.

Operaţii cu numere naturale; reguli de calcul cu puteri

1.1.1.

Înmulţirea a două puteri care au aceeaşi bază

Notă teoretică Pentru a, m, n numere naturale (a ≠ 0), avem: am · an = am+n . Deci, produsul puterilor aceluiaşi număr natural este o putere a acelui număr în care exponentul este suma exponenţilor factorilor. 1. 2. 3.

Care dintre următoarele propoziţii sunt adevărate? a) „33 · 35 = 38“; b) „59 · 57 = 516“; c) „47 · 43 = 421“; d) „94 · 96 = 924“; e) „318 · 318 = 33“; f) „74 · 7 = 75“; g) „68 · 6 = 69“; h) „37 · 32 = 99“; i) „65 · 63 = 368“; j) „124 · 125 = 122“; k) „456 · 454 = 451“; l) „46 · 44 = 1610“; m) „43 · 48 = 44 · 47“; n) „9 · 98 = 96 · 93“; o) „55 · 57 = 56 · 56“; p) „98 · 97 = 93 · 912“; r) „4n · 46 = 4n + 6“; s) „23 · 2n = 23 + n“; t) „6m · 64 = 6m + 4“; u) „3m · 36 = 3m + 6“; v) „78 · 7m = 7m + 8“. Scrieţi sub formă de putere cu baza 2: b) 24 · 23; a) 23 · 27; e) 24 · 2 · 25; d) 2 · 28; g) 26 · 22 · 27.

c) 25 · 26 · 274; f) 25 · 2 · 29;

Scrieţi sub formă de putere cu baza 3: b) 36 · 34; a) 34 · 35; e) 37 · 316; d) 3 · 373; 9 0 h) 34 · 380 · 3 · 33; g) 3 · 3 ;

c) 313 · 37; f) 3 · 33 · 3; i) 35 · 36 · 366 · 36.

 4. Ştiind că a) 3x + 1; 10

3x

= a, calculaţi în funcţie de a următoarele puteri: b) 3x + 2; c) 2 · 3x + 2. Capitolul 1. Mulţimea numerelor naturale

5. Ştiind că 2x = a, calculaţi în funcţie de a următoarele puteri de numere naturale: b) 2x + 2; c) 2x + 3; d) 2x + 4; e) 3 · 2x + 1. a) 2x + 1;

1.1.2.

Împărţirea a două puteri care au aceeaşi bază

Notă teoretică Pentru a, m, n numere naturale (m ≥ n, a ≠ 0), avem: am : an = am – n. Deci, câtul puterilor aceluiaşi număr natural este o putere a acelui număr natural în care exponentul este diferenţa dintre exponentul deîmpărţitului şi exponentul împărţitorului. 1. Stabiliţi care dintre următoarele propoziţii sunt adevărate: b) 59 : 57 = 52; c) 417 : 413 = 414; a) 613 : 65 = 68; d) 194 : 196 = 192; e) 1318 : 1318 = 13; f) 174 : 174 = 1; g) 68 : 6 = 67; h) 317 : 312 = 315; i) 83 : 82 = 8; j) 195 : 193 = 19; k) 65 : 63 = 36; l) 124 : 122 = 122; 6 4 6 4 m) 45 : 45 = 90; n) 4 : 4 = 16; o) 48 : 44 = 42; p) 88 : 87 = 83 : 82; r) 9a : 98 = 9a – 8; s) 5m : 52 = 5m − 2; t) 4n : 46 = 4n − 6; u) 23 : 2n = 23 − n. 2. Scrieţi sub formă de putere cu baza 2: b) 27 : 22; a) 234 : 27; d) 248 : 218; e) 24 : 2a; 12 x g) 2 : 2 .

c) 24 · 26 : 22; f) 2a : 24;

3. Scrieţi sub formă de putere cu baza 3: b) 36 · 34 : 310 · 37; a) 34 · 35 : 32; d) 3 · 33 : 3 · 39 : 37; e) 334 · 38 : 3 · 33;

c) 3 · 36 · 34 : 310; f) 35 · 37 : 36 · 36.

 4. Scrieţi sub formă de putere cu baza 5: a) 53 · 5n : 53 + n; b) 5m : 54; d) 58 : 5m; e) 5m + 8 · 59 : 58.

Matematicã pentru clasa a VI-a, Algebră

c) 5m : 56;

11

1.1.3.

Scrierea sub formă de putere a unui număr natural (puterea unei puteri)

Noţiuni teoretice Pentru a, m, n numere naturale (a ≠ 0), avem: (am) = am · n. Deci, puterea unei puteri a unui număr natural este o putere a acelui număr în care exponentul este produsul exponenţilor. n

1. Scrieţi sub formă de putere cu baza 2: b) (25)6; c) (23)8; a) (23)4; f) 49; g) 48; e) (27)11; j) 166; k) 327; i) 83; n) (47)2; o) (43)4; m) 422; 32 3 3 s) 2 . r) (16 ) ;

d) (278)0; h) 87; l) 322; p) (82)3;

2. Scrieţi sub formă de putere cu baza 3 următoarele puteri: b) (35)6; c) (30)8; d) (38)2; a) (33)4; 1 2 9 7 f) 9 ; g) 9 ; h) 273; e) (9 ) ; j) 817; k) (817)2; l) (93)4; i) 276; n) (813)3. m) (92)3; 3. Stabiliţi valoarea de adevăr a următoarelor propoziţii: 2

a) „ 23 = (23)2“;

b) „(33)2 = (32)3“;

c) „(52)3 = 56“;

d) „(46)2 = 224“;

e) „(93)2 = (33)6“;

f) „48 = (28)2“. 

4.

Ştiind că 3x = a , calculaţi în funcţie de a următoarele puteri de numere naturale: b) 32x + 2; a) 32x; d) 32x + 1; c) 33x + 3; x f) 9x + 1; e) 9 ; g) 27x + 1.

5.

Ştiind că 5x = a, calculaţi în funcţie de a următoarele puteri: b) 52x + 2; a) 5x + 1; d) 252x + 1; c) 25x + 1; f) 125x + 1. e) 125x;

12

Capitolul 1. Mulţimea numerelor naturale

1.1.4.

Înmulţirea şi împărţirea a două puteri care au acelaşi exponent (puterea unui produs / cât)

Noţiuni teoretice Pentru a, b, n numere naturale; a, b ≠ 0, avem: (a · b)n = an · bn (a : b)n = an : bn Deci, puterea unui produs este egală cu produsul puterilor, respectiv puterea unui cât este egal cu câtul puterilor. 1. Stabiliţi valoarea de adevăr a următoarelor propoziţii:

a) „610 = 210 · 310“;

b) „25 · 55 = 105“;

c) „43 · 53 = 203“;

d) „43 + 53 = 93“;

e) „248 = 68 · 48“;

f) „57 · 3 = 217“.

2. Stabiliţi valoarea de adevăr a următoarelor propoziţii:

a) „610 = 1810 : 310“;

b) „255 : 55 = 255“;

c) „403 : 53 = 83“;

d) „143 − 53 = 93“;

e) „48 = 168 : 4“;

f) „157 : 37 = 50“.

3.

Calculaţi: a) (23 · 53) : (22 · 5); c) (73 · 153) : (72 · 53); e) (33 · 24)3 : (22 · 3)5; g) (123 : 43)7 : (92 · 3)4.

b) (43 · 53) : (22 · 52); d) (24 · 33)2 : (22 · 35); f) (73 · 53)4 : (356)2;

4.

Aflaţi numărul de zerouri în care se termină numărul: b) 9 · 23 · 53; a) 25 · 55; d) 43 · 53 · 7; c) 11 · 223 · 54; f) (242 · 53)2 : (22 · 55); e) 23 · 153 · 42 · 53; 31 4 3 2 5 h) 165 · 257; g) (5 · 2 ) : (2 · 5) ; i) 16 · 18 · 252.


13

1.1.5.

Operaţii cu puteri. Ordinea efectuării operaţiilor

1.

Să se calculeze: a) 63 + 32; b) 42 – 32 – 12; c) 132 : 18; d) 165 : 86; e) 87 : 49; f) 2556 – 5102; g) 33 + 23 – 52; h) 352 − 72 · 52; i) 452 : 92 · 52; j) 2266 : (1132)3; k) 53 + 12 : 22 − 52; l) 49 : 72 − 1 3400; m) 32 + 42 − 52; n) 52 + 122 – 132; o) 1100 + 1001 − 2000; p) 41 + 152 − 112.

2.

Să se calculeze: a) 01 : 10 + 24 : 42; b) 39 : 33 : 93; c) 416 : 164 : 44 : 22; d) 23 + 27 : 25 · 2; e) 2 · 27 : 25 + 33; f) 210 : (3 · 25 + 25); g) (9 − 9 : 9 + 96 : 96 − 9) · 90; h) (21 − 12) · (32 − 23) · (42 − 24) · (25 − 52) · (26 − 62) · (27 − 72); i) 211 · 39 + 39 · 210 − 610; j) 27 · 54 + 104 − 9 · 104; k) 816 : (2 · 22 · 410)2; l) (25)2 : (23)3; m) (41994 · 5 + 41995) : (41994 + 41994); n) (105 −104): (104 −103); o) (22 · 24)2 : 46; p) 164 : 85 : 21 : 20; q) 273 : 92 : 3 – 950 : 8125; r) 27 · 113 − 333; s) 64 · 1116 : 2226; t) (23)7 − (27)3 + 334 − 917.

14


3.

Să se arate că: a) 23 + 23 − 24 = 0; b) 27 + 27 = 28; c) 33 + 33 + 33 = 34; d) 45 + 45 + 45 + 45 = 46; e) 2100 + 2100 = 2101; f) 320 + 320 = 2 · 320; g) 510 + 510 + 510 + 510 + 510 = 511; h) 3187 + 2 · 3187 = 3188; i) 21000 + 21000 = 21001; j) 2n + 2n = 2n + 1; k) 3n + 3n + 3n = 3n + 1; l) 5n + 4 · 5n = 5n + 1; m) 5 · 27n + 22 · 3n · 9n = 33n + 2, pentru orice n natural. 

4.

Calculaţi: a) (3 · 512 + 2 · 512) : 511; b) (106 − 105) : (105 − 104); c) ( 22 · 3 · 73)10 : ( 220 · 310 · 730); d) 20062006 – 20062005 · 2005 – 20062005; e) 19963 − 19962 · 1995 − 1996 · 1995 − 1996; f) 7710 – 779 · 76 – 778 · 76 – 778; g) 8681 – 8680 · 85 – 8679 · 85 – 8678 · 85 – 8678; h) 6 · 21993 – 2 · 21994 − 21994.

5. Să se afle suma cifrelor numărului: 101997 + 2 · 101995 − 1. 6. 7.

Să se calculeze: a) 1 + 1 + 2 + 22 + 23 – 24; b) 1 + 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 − 26; c) 32 + 2 · 32 + 2 · 33 + 2 · 34 + 2 · 35 + 2 · 36 − 37; d) (1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28) : (29 − 1); e) (231 + 232 + 233 + 234 + … + 236) : 231; f) (20 + 20 + 21 + 22 + … + 299) : 2100. Aflaţi restul r al împărţirii numărului natural d la numărul natural î în fiecare dintre cazurile următoare: a) d = 15 · 915; î = 2 · 915; b) d = 17 · 493; î = 5 · 493; c) d = 11 · 539; î = 2 · 538.


15

1.1.6. 1.

Ultima cifră a unei puteri a unui număr natural

Să se afle ultima cifră a numerelor: a) 120; 67134; 55191; b) 534; 7543; 12543; 34590; 165124; c) 634; 5643; 92643; 43623.

2. Să se afle ultima cifră a numerelor: a) 29; c) 521999; 3.

b) 2586; d) 312312.

Să se afle ultima cifră a numerelor: a) 35; c)36485; e) 2344.

b) 380; d) 5631 999;

4. Să se afle ultima cifră a numerelor: a) 45; c) 9445;

b) 460; d) 89499.

5. Să se afle ultima cifră a numerelor: a) 75; c) 1 557475;

b) 7760; d) 67102.


b) 178120; d) 48994.


b) 2960; d) 499990.

8. 9.

Aflaţi cifra unităţilor următoarelor numere: a) 11 989 + 21989 + 31989 + 41989; b) 123123 + 321321; c) 1 9891989 + 1 9891990; d) 21 + 22 + 23 + … + 21996; e) 7 + 72 + 73 + 74 + … + 72 008. Cu câte zerouri se termină numerele: a) X = 24 · 172 · 53; b) Y = 45 · 323 · 511; c) Z = 163 · 92 ·2252?

10. Aflaţi ultimele 40 de cifre ale numărului 67039. 11. Fie a = 26 · 28 · 517 şi b = 240 · 58 · 76. a) În câte zerouri se termină produsul a · b? b) Care este ultima cifră diferită de zero a produsului a · b? 12. Care sunt ultimele 2007 cifre ale numărului 99902006? 16


1.2. Divizor. Multiplu Noţiuni teoretice 

La împărţirea exactă dintre două numere naturale, împărţitorul îl vom numi divizor pentru deîmpărţit, iar deîmpărţitul multiplu pentru împărţitor. De asemenea, câtul poate fi la rândul său divizor pentru deîmpărţit iar acesta multiplu pentru cât. De exemplu, pentru împărţirea 14 : 2 = 7, numărul 2 este divizor al numărului 14, iar 14 este multiplu pentru 2. Acelaşi lucru îl putem spune despre numărul 7, care este divizor al deîmpărţitului 14, iar acesta este multiplu pentru 7.  În general: a | b se citeşte: „a divide b“, „a este divizorul lui b“, „b se divide cu a“ sau „b este multiplul lui a“ şi înseamnă că există numărul natural c astfel încât a · c = b. Observaţie: Divizor poate fi orice număr natural diferit de 0; 0 este divizor numai al lui 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Scrieţi mulţimea divizorilor numerelor: 2; 5; 6; 8; 10; 18; 24; 32; 45; 90. Scrieţi mulţimea divizorilor proprii ai numerelor: 16; 25; 49; 100. Scrieţi primii patru multipli nenuli ai numerelor: 4; 5; 10; 12; 25. Scrieţi primele cinci elemente ale mulţimilor M7; M11; M12; M15; M20. Scrieţi multiplii numărului 14 cuprinşi între 10 şi 75. Notăm Dn = {x ∈ N | x | n}. Aflaţi:

a) D28  D35;

b) D9  D15;

e) D12 \ D36;

f) D48 \ D27.

c) D12  D86;

d) D27  D36;

7. Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiilor: a) „3 | 6“; c) „412“; e) „1272“; g) „3 | 3 612“; i) „2073“; k) „6  2“;

b) „82“; d) „79“; f) „5  105“; h) „5117“; j) „72010“; l) „ab | abab“.

8. Se dă mulţimea A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Găsiţi mulţimea B = {a ∈ A | 20 este multiplul lui a}.  9. Se dau mulţimile: A = {x ∈ N | x ∈ M15, x < 100} şi B = {x ∈ N | x ∈ M6, 15 < x  75}. a) Enumeraţi elementele mulţimilor. b) Calculaţi: A  B; A  B; A \ B; B \ A. 10. Scrieţi numărul natural mai mic decât 28, care are cel mai mare număr de divizori. Matematicã pentru clasa a VI-a, Algebră

17

11. Determinaţi elementele mulţimilor: A = {x ∈ N | x | 24}; B = {x ∈ N | 22x}; C = {x ∈ N | x | 36 şi x < 15}; D = {x ∈ N | x | 12 şi 3x + 1  10}; E = {x ∈ N | x – 3 | 21}; F = {x ∈ N | 27(2x + 1)}. 12. Stabiliţi dacă media aritmetică a tuturor divizorilor naturali ai numărului 24 este o valoare naturală.  13. Fie: A = {x ∈ N | x | 8}; B = {y ∈ N | y = 2x – 1, x ∈ A}; C = {z ∈ N | z = x2, x ∈ A}. a) Determinaţi elementele celor trei mulţimi; b) Efectuaţi: A  B; B  C; A  C; B \ A. 14. Aflaţi x ∈ N astfel încât: a) x | 2; b) x + 3 | 15; c) 2x – 3 | 15. 15. Stabiliţi valoarea de adevăr a următoarelor propoziţii: a) „Dacă 9 este un divizor al numărului natural n, atunci n este un multiplu al lui 3“. b) „Dacă numărul natural p este multiplu al lui 5, atunci p este divizibil cu 10“. 16. a) Câte numere de trei cifre îl au ca divizor pe 9? b) Câte numere de patru cifre sunt multipli ai lui 13? 17. Determinaţi mulţimile: 3 A = x ∈ N* | ∈ N ; x 12 ∈N ; B = x ∈ N* | x 10 C = x ∈ N* \ {1}| ∈N . x −1

{ { {

18

} }

}


1.3. Criteriile de divizibilitate cu 10, 2, 5, 3, 9 Noţiuni teoretice Un număr este divizibil:  cu 2, dacă ultima cifră este cifră pară, adică 0; 2; 4; 6; 8.  cu 5, dacă ultima cifră este 0 sau 5.  cu 10, dacă ultima cifră este 0.  cu 4, dacă ultimele două cifre formează un număr divizibil cu 4.  cu 25, dacă ultimele două cifre formează un număr divizibil cu 25 sau sunt zerouri.  cu 3, dacă suma cifrelor care îl formează este un număr divizibil cu 3.  cu 9, dacă suma cifrelor care îl formează este un număr divizibil cu 9. 1. Scrieţi numerele naturale divizibile cu 10 cuprinse între 201 şi 300. 2. Precizaţi valoarea de adevăr a propoziţiilor: a) „10 | 300“; b) „8010“; c) „10 | 101“; d) „10 | 0“; e) „3 | 111“; f) „2163“; g) „3  450“; h) „3 | 223“; i) „5  75“; j) „855“; k) „5 | 490“; l) „05“; / m) „2 | 24“; n) „2  75“; o) „2 | a34, a ≠ 0“. 3. Găsiţi toate numerele de forma a32b divizibile cu 10. 4. Determinaţi toate numerele de forma a7a7a divizibile cu 2. 5. Scrieţi numerele cuprinse între 151 şi 176 divizibile cu 5. 6. Determinaţi numerele de forma 3aa divizibile cu 5. 7. Găsiţi cel mai mic şi cel mai mare număr natural de forma: a) a4b5; b) 3xy5; c) abc (a ≠ b ≠ c) divizibil cu 5. 8. Aflaţi numerele de forma: a) 40x; b) x5x; c) 4xx; d) x12 divizibile cu 3, unde x este cifră. 9. Găsiţi toate numerele de forma 1x8 divizibile cu 9. 10. Fie a = 23b un număr natural. Aflaţi cifra b, ştiind că: a) 2 | a; b) 3 | a; c) 5 | a; d) 10 | a. 11. Să se găsească toate numerele de forma 21x divizibile cu: a) 2; b) 3; c) 4; d) 5; e) 9; f) 10. Matematicã pentru clasa a VI-a, Algebră

19

 12. Fie mulţimea: A = {4 140; 690; 435; 7 218; 5 700; 1 032; 21 165; 205; 108}. Aflaţi elementele mulţimilor: C = {x ∈ A | x3}; B = {x ∈ A | 2 | x}; D = {x ∈ A | x5}; E = {x ∈ A | 10 | x}; G = {x ∈ A | x5 şi 2  x}. F = {x ∈ A | 2 | x şi 3  x}; 13. Să se găsească toate numerele de forma 3xy25.

14. Aflaţi mulţimea A = {x ∈ N | 3x < 28, x este multiplu de 2}. 15. Cu ajutorul cifrelor 2, 8, 9 şi 5, folosite o singură dată, scrieţi cel mai mic şi cel mai mare număr divizibil cu: a) 2; b) 3; c) 5.  16. Arătaţi că: a) 10 | 819 + 2 · 818;

b) 2 | 910 – 99;

c) 5 | 611 + 610 + 3 · 69;

d) 3 | 411 + 410 + 49;

e) 3 | 2p · 5p + 1 + 28, p ∈ N. 17. Arătaţi că: a) S = 1 + 2 + 3 + ... + 200 este divizibilă cu 2. b) S = 1 + 21 + 22 + 23 + ... + 249 este divizibilă cu 5. c) S = 31 + 32 + 33 + ... + 32006 este divizibilă cu 10. 18. Aflaţi numerele de forma 3b2a divizibile cu 5 şi care au suma cifrelor egală cu 11 (a ≠ b). 19. Câte numere de forma ab2 sunt divizibile cu 2? Dar de forma a2b? Dar de forma 2ab? 20. a) Arătaţi că numerele a = 2n · 5n + 2 – 7 şi b = 2n + 1 · 5n + 7 sunt divizibile cu 9. b) Arătaţi că 9 | 2n + 2 · 5n + 2n · 5n + 1 – 2n + 1 · 5n + 2, pentru n ∈ N. 21. Să se arate că: a) 5 | (7363 – 3361); b) 10 | (22003 – 8137); c) 100 | A, unde A = 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · ... · 19 · 20. 22. Arătaţi că numărul N = ab93 + 5 · ab este divizibil cu 3. 20


1.4. Proprietăţi ale relaţiei de divizibilitate în N Noţiuni teoretice 1) 2) 3) 4) 5)

1 | a, pentru oricare a ∈ N. a | 0, pentru oricare a ∈ N. Propoziţia 0 | 0 este adevărată. a | a, pentru oricare a ∈ N. Dacă a | b şi b | a, oricare ar fi a, b ∈ N, atunci a = b. Oricare ar fi a, b, c ∈ N, a.î. a | b şi b | c are loc a | c sau ca; citim „c se divide cu a“. Exemplu: 2 | 6 şi 6 | 18. Atunci 2 | 18. Observăm că 18 se divide cu toţi divizorii lui 6, adică 1, 2, 3 şi 6.

6) Oricare ar fi d, a, b ∈ N a.î. d | a şi d | b are loc d | a + b şi d | a – b. 7) Oricare ar fi d, a ∈ N a.î. d | a are loc d | m · a, oricare ar fi m ∈ . 8) Oricare ar fi d, a, b ∈  a.î. d | a şi d | b are loc

d | na + nb şi d | na – nb oricare ar fi m, n ∈ . Observaţii:  Afirmaţia „Dacă suma mai multor numere naturale se divide cu un număr natural, atunci şi fiecare termen al sumei se divide cu acel număr natural“ este falsă. Contraexemplu: 3 | (7 + 5) şi totuşi 3  5 şi 3  7.  Enunţul „Dacă fiecare termen al unei sume de numere naturale nu se divide cu un acelaşi număr natural, atunci suma nu se divide cu acel număr natural“ este tot o propoziţie falsă. Contraexemplu: 2  3 şi 2  5 şi totuşi 2 | (3 + 5).  Vom nota cu D = mulţimea divizorilor numărului natural a, iar cu a Ma = mulţimea multiplilor numărului a; aceştia sunt de forma a · k, k ∈ N.  Pentru un număr natural dat, 1 şi numărul însuşi se numesc divizori improprii, restul divizorilor se numesc divizori proprii.

1. Folosind proprietăţi ale relaţiei de divizibilitate, stabiliţi dacă: a) „2 | 26 + 42“; b) „2 | 438 – 256“; c) „2 | 70 + 29“; d) „3 | 315 + 101“; e) „3 | 27 + 213“; f) „2 | 113 + 237 + 44“; g) „2 | 12 · 17“. 2. Fie a, b ∈ N şi x = 12a + 28b. Arătaţi că: a) 2 | x; b) 4 | x; c) dacă 3 | b, atunci 6 | x. Matematicã pentru clasa a VI-a, Algebră

21

3. Fără a efectua calculele, stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiilor: a) „3 | 125 · 423“; b) „13 | 27 · 39 + 39 · 17 – 392“; d) „10 | 141 · 127“; c) „5  1013 – 2470“; e) „2 | 123 · 11“. 4. Dacă 18 | a, ce alţi divizori mai are a? 5. Arătaţi că: a) Suma a două numere naturale impare este divizibilă cu 2. b) Suma a trei numere consecutive este divizibilă cu 3. c) Suma a cinci numere naturale consecutive se divide cu 5. 6. Adevărat sau fals? a) „Dacă 5 | m şi 5 | n, atunci 5 | m + n.“ b) „Dacă m şi n sunt numere naturale nenule şi produsul m · n se divide cu 10, atunci unul dintre numere se divide cu 5 şi unul cu 2.“ c) „Există un număr natural care este divizibil cu toate numerele naturale nenule.“  7. Arătaţi că orice număr, care fiind împărţit la 51 şi dă restul 34, este divizibil cu 17. 8. Dacă 5 | 7 · a, a ∈ N*, arătaţi că: a) 5 | 28 · a;

b) 5 | 14 · a.

9. Arătaţi că dacă a = 3x şi b = 3y, atunci x + y | a + b. 10. Arătaţi că: a) Numărul 5n + 2 – 5n + 1 – 5n este multiplu de 19, oricare ar fi n ∈ N*. b) Numărul 2n + 4 – 2n + 2 + 2n este multiplu de 13, oricare ar fi n ∈ N*.

11. Dacă 3 | 16x, x ∈ N*, arătaţi că 3 | x37.

12. Dacă 9 | xyz, arătaţi că 9 | n, unde n = x37 + 2y6 + 72z.

13. Demonstraţi că: a) 384 – 224 se divide cu 5; 14. Arătaţi că: a) 27 | (2n + 4 + 2n + 3 + 2n + 1 + 2n); c) 24 | (11 · 5n – 4 · 5n + 1 + 5n + 2).

b) 9100 – 7100 este divizibil cu 10. b) 31 | (52n + 1 + 25n + 1 + (5n) ); 2

15. Aflaţi numerele de forma ab, ştiind că numărul x = 7n + 3 – 18 · 7n + 1 + ab este divizibil cu 31.  16. Determinaţi x ∈ N, astfel încât: a) x | 2x + 5; c) x + 5 | x + 8; 22

b) x + 1 | x + 8; d) x + 1 | 2x + 10. Capitolul 1. Mulţimea numerelor naturale

17. Arătaţi că numărul A = ab0ab0, cu a ≠ 0, este divizibil cu 7, 11 şi 13. 18. Arătaţi că: a) (x + y + z) | ( xyz + yzx + zxy ); b) 11 | (2 · aa + 3 · xx + 5 · yy ). 19. Arătaţi că: a) dacă 3 | 2x + y, atunci 3 | 5x + 4y; b) dacă 9 | x + 5y, atunci 9 | 8x + 40y; c) dacă 13 | 5x + 7y + 8z şi 13 | x + y + 2z, atunci 13 | 2x + 4y + 2z. 20. Aflaţi numerele de forma xy ştiind că numărul a = 33n + 2 + 4 · 27n + xy este divizibil cu 13.

1.5. Numere prime. Numere compuse Noţiuni teoretice Numim număr prim un număr natural care are exact doi divizori, pe 1 şi pe el însuşi. Numerele naturale care nu sunt prime se numesc numere compuse. Observaţii:  Numărul 1 nu admite decât un divizor, deci nu este nici prim, nici compus.  Toate numerele prime, cu excepţia lui 2, sunt numere naturale impare. Numărul 2 este singurul număr prim par.  Pentru a stabili că un număr este prim, se fac împărţiri succesive ale numărului dat la numere prime luate în ordine crescătoare şi dacă nicio împărţire nu s-a făcut exact până când câtul a devenit mai mic decât împărţitorul, atunci numărul dat este prim. 1. Scrieţi toate numerele prime până la 100. Încercaţi să le reţineţi! 2. Verificaţi dacă 103, 119, 149 sunt numere prime sau compuse. 3. Scrieţi mulţimea divizorilor primi ai fiecăruia dintre numerele naturale: 52; 63; 99; 377; 2006. 4. Suma a două numere prime este 103. Găsiţi numerele. 5. Suma dintre un număr prim şi unul impar este egală cu 2007. Aflaţi numerele. 6. Scrieţi ca sumă de numere prime numerele naturale: 7; 18; 39; 88. 7. Determinaţi numerele prime a şi b, ştiind că 5 · a + 18 · b = 64. 8. Aflaţi elementele mulţimii: A = {x ∈ N | x număr natural prim şi 19  x < 57}. 9. Suma a două numere naturale prime este cel mai mare număr natural de două cifre. Aflaţi numerele. 10. Produsul dintre un număr prim şi un număr impar este 334. Aflaţi numerele. Matematicã pentru clasa a VI-a, Algebră

23

 11. Daţi cinci exemple de perechi de numere prime a căror sumă este număr natural de forma aa. 12. Determinaţi numărul natural a, astfel încât a · (10 + a) să fie număr prim. 13. Determinaţi a, cifră, astfel încât numerele: a; 3a; 5a şi 7a să fie prime. 14. Arătaţi că suma dintre un număr de două cifre şi răsturnatul său nu poate fi un număr prim.  15. Arătaţi că numerele următoare nu pot fi prime: a) p = 23n · 53n + 1 + 4; b) q = 10n – 1; c) r = ab + ba + 5a + 5b. 16. Determinaţi numerele prime a, b, c care verifică relaţiile: a) a + 2b + 6c = 38; b) 4a + b + 8c = 46. 17. Aflaţi n ∈ N, astfel încât numărul (n – 3)(n + 3) să fie prim.

18. Stabiliţi dacă A = 284 + 385 + 786 este prim sau compus.

19. Scrieţi cel mai mare, respectiv cel mai mic număr natural compus format din trei cifre distincte. 20. Scrieţi numărul 108 ca produs de două numere naturale. Câte soluţii are problema?

1.6.

Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime

Noţiuni teoretice 

Orice număr natural poate fi scris ca un produs de numere naturale prime.

 Scrierea unui număr natural ca produs de numere naturale prime se numeşte descompunerea în factori primi.  Considerăm numărul natural A ca având descompunerea de forma: A = ap · br · cs, unde a, b, c sunt numere prime iar p, r, s exponenţii puterilor. Numărul de divizori naturali ai numărului A este (p + 1)(r + 1)(s + 1).

1. Descompuneţi în factori primi numerele: a) 10; 100; 15; 50; 36; 49; 600; 1 300. b) 340; 1 690; 12 012; 4 284; 288; 576; 270 000. 2. Fie numerele x = 22 · 3 · 5; y = 2 · 32 · 7; z = 3 · 52 · 7. Scrieţi sub formă de produse de puteri de numere prime: a) x · y; b) x · z; c) y · z; d) x · y · z. 24


3. Fie numerele: x = 24 · 33 · 55; y = 32 · 54; z = 23 · 33 · 55. Scrieţi sub formă de produse de puteri de numere prime: a) x : y; b) x : z; c) z : y; d) x : z · y; e) x · y : z. 4. Folosind descompunerea în factori primi, aflaţi x, y, z şi t din egalităţile: b) 2x · 3y = 72; c) 2x · 3y · 5z = 900; a) 3x = 27; d) 22x · 33x · 5z = 2 160; e) 2x · 3y · 7z · 11t = 8 316. 5. Aflaţi numărul divizorilor naturali ai numerelor: 5; 7; 6; 8; 54; 72; 216; 324; 676; 1 200; 64 000; 20 400; 34 · 52 · 7; 25 · 3 · 11 · 13. 6. Aflaţi numărul divizorilor numerelor: a = 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 10 · 100; b = 24 · 25 · 27 · 28. 7. Determinaţi numerele prime a şi b, ştiind că suma lor este 30, iar produsul lor este 221. 8. Scrieţi toate numerele naturale prime de două cifre care au suma cifrelor 10. 9. Aflaţi numerele ab şi cde, pentru care ab · cde = 2 369. + ab + ... +  ab = 1 024. 10. Determinaţi a şi b ∈ , dacă ab  a termeni

 11. Descompuneţi în factori primi numerele: a = 362 · 35 + 362;

b = 442 + 552 + 332;

c = (25 + 15)(25 – 15) + 152.

12. Aflaţi cel mai mic număr care înmulţit cu 351 ne dă un pătrat perfect. 13. Aflaţi x ∈ N, dacă a este un număr prim şi a2x are 17 divizori. 14. Aflaţi numărul ab, prim, ştiind că: a) ab · ba = 1 462;

b) ab · cd = 437;

c) ab · cde = 3 441.

15. Aflaţi suma cifrelor numărului xyzt, dacă xy · zt = 247. 16. Aflaţi un număr de trei cifre ştiind că produsul cifrelor sale este 252. 17. Comparaţi numerele: a = 527 – 526 şi b = 2 · 341 – 5 · 340 + 339.  18. Rezolvaţi în N ecuaţia: 7x + 7x + 1 + 7x + 2 = 19 551. 19. Fie dat numărul n = 310 · 25 + 37 · 24. a) Descompuneţi în factori primi numărul n. b) Aflaţi cel mai mic număr a, astfel încât câtul împărţirii dintre n şi a să fie un pătrat perfect.

20. Demonstraţi că 10 | x2005 + yn, oricare ar fi n ∈ N*, unde x = 24 şi y = 36. Matematicã pentru clasa a VI-a, Algebră

25

1.7.

Divizori comuni ai două sau mai multor numere naturale; c.m.m.d.c. Numere prime între ele

Noţiuni teoretice Cel mai mare divizor comun a două numere a şi b este un număr natural d, nenul, care are proprietăţile: 1) d | a şi d | b. 2) dacă există un alt divizor comun d1 al numerelor a şi b, d1 | a şi d1 | b atunci d1 | d. C.m.m.d.c. a două numere a, b se notează (a; b). Pentru aflarea c.m.m.d.c. procedăm astfel:  descompunem numerele în factori primi;  luăm toţi factorii primi comuni, o singură dată, la exponentul cel mai mic şi îi înmulţim între ei.

▪

Dacă c.m.m.d.c. este egal cu 1, (a ; b) = 1, numerele a, b se numesc prime între ele sau relativ prime. Observaţii: Două numere naturale consecutive sunt prime între ele.  Două numere impare consecutive sunt prime între ele.  Oricare două numere prime sunt prime între ele. 

▪ Având în vedere faptul că resturile ce se pot obţine prin împărţirea unui număr natural la un alt număr natural nenul n, pot fi: 0; 1; 2; ...; n – 1 (deoarece restul este strict mai mic decât împărţitorul), orice număr natural poate fi scris sub una dintre formele: 2n ; 2n + 1; 3n ; 3n + 1 ; 3n + 2; 4n ; 4n + 1 ; 4n + 2 ; 4n + 3; 5n ; 5n + 1 ; 5n + 2 ; 5n + 3; 5n + 4 ş.a.m.d. 1. Aflaţi c.m.m.d.c. al numerelor: a) 20; 25; c) 18 ; 36; e) 32; 36; g) 5; 8 ; 9; i) 24; 40; 72; k) 200; 300; 400; m) 130; 260; 390; 650; o) 825; 375; 1 350; r) 25 600; 121 000; 1 690; 324 000. 26

b) d) f) h) j) l) n) p)

75; 60; 10; 12; 5; 15; 20; 12; 24; 36; 128; 120; 324; 1 200; 1 440; 360; 216; 324; 540; 1 323; 2 016; 2 268;


2. Calculaţi mintal: a) (6; 9); c) (14; 21; 28); e) (3; 6; 9; 12; 15); g) (100; 1 000; 10); i) (6; 12; 18).

b) d) f) h)

(5; 15); (4; 8; 12); (15; 30; 45); (16; 20; 32);

3. Scrieţi toate produsele de numere prime între ele ce se pot forma cu numerele: 2; 3; 6; 9; 15. 4. Se dă mulţimea A = {1 617; 1 125; 1 490; 1 122}. Găsiţi perechile de numere prime între ele. 5. Aflaţi x ∈ N, astfel încât:

( ) b) ( 2x6; 3) = 1; c) ( 73x; 5) = 1.

a) 215x; 2 = 1;

6. Scrieţi trei numere naturale care au cel mai mare divizor comun 27. 7. Aflaţi perechile de numere prime între ele a căror sumă este 12. 8. Produsul a două numere naturale este 108. Aflaţi numerele. Câte soluţii are problema? 9. Aflaţi cifrele x şi y, astfel încât: a) 12 | 3x2y;

c) 18 | 12xy;

b) 15 | 23yx;

d) 6 | 1x2y.

10. Determinaţi numerele naturale de forma abcc divizibile cu 15, ştiind că a + b = 7. 11. Aflaţi cel mai mare divizor comun al numerelor x şi y: a) x = 27 · 52 – 33 şi y = 32 · 33 – 92; b) x = 25 + 43 şi y = 43 + 124 : 12; c) x = 163 – 162 şi y = 143 + 142.  12. Să se afle perechile de numere a şi b, pentru care: b) a · b = 540 şi (a; b) = 6; a) a + b = 168 şi (a; b) = 24; d) a · b = 864 şi (a; b) = 12. c) a + b = 165 şi (a; b) = 15; 13. Împărţind pe rând numerele 177, 613 şi 300 la acelaşi număr natural se obţin resturile 9, 13 respectiv 12. Aflaţi împărţitorul. 14. Aflaţi cel mai mare, respectiv cel mai mic număr natural la care pot fi împărţite numerele 427, 241 şi 362, astfel încât să se obţină resturile 7, 1 şi 2. 15. Un dreptunghi are dimensiunile egale cu 42 cm şi 72 cm. Aflaţi numărul minim de pătrate ce pot acoperi exact suprafaţa dreptunghiului. Matematicã pentru clasa a VI-a, Algebră

27

 16. Arătaţi că următoarele perechi de numere sunt prime între ele, oricare ar fi n ∈ N: a) 2n + 3 şi 3n + 4; b) 2n + 3 şi 5n + 7; c) 5n + 3 şi 3n + 2; d) n + 3 şi 2n + 5; e) 3n + 2 şi 4n + 3; f) n + 1 şi n + 2. 17. Aflaţi x, y ∈ N, astfel încât x2y – 5x2 = 300. 18. Aflaţi x şi y cunoscând că au diferenţa 15 şi că y este divizor al lui x. 19. Aflaţi numerele naturale a, dacă: a) (a + 1; 18) = 2a – 7;

b) (3a + 2; 48) = a + 6.

Probleme de olimpiadă 1. Împărţind 2 301, 3 004, 3 559 la un număr natural se obţine acelaşi rest nenul. Să se afle numărul. (Etapa locală, Galaţi, 1994) 2. Aflaţi c.m.m.d.c. al numerelor: a) [(20 · 25200) · (2100 · 103)] : (2100 · 5400 · 250); b) 6 + 2 · [(3 · 52 – 22 · 18 : 32 + 3 · 11) : 22].

1.8.

(Etapa locală, Maramureş, 1992)

Multipli comuni ai două sau mai multor numere naturale; c.m.m.m.c.

Noţiuni teoretice Cel mai mic multiplu comun a două numere a şi b este un număr natural m, care are proprietăţile: 1) a | m şi b | m; 2) dacă există un alt multiplu m1 al numerelor a şi b, a | m1 şi b | m1, atunci m | m1. C.m.m.m.c. a două numere a, b se notează cu [a; b]. Pentru a afla c.m.m.m.c. a două sau mai multor numere naturale, procedăm astfel:  descompunem numerele în factori primi;  luăm factorii primi comuni şi necomuni o singură dată, la exponentul cel mai mare şi îi înmulţim între ei. ▪ Produsul a două numere naturale a şi b este egal cu produsul dintre (a; b) şi [a; b]. 1. Aflaţi primele cinci elemente ale mulţimilor: M2; M3; M5; M7. 2. Aflaţi cele mai mici trei elemente ale mulţimilor: a) M2  M4; b) M3  M9; c) M5  M10; d) M2  M3  M6. 28


3. Aflaţi cel mai mic multiplu comun pentru fiecare dintre grupele următoare de numere: a) 3; 6; 9; b) 4; 8; 12; c) 5; 10; 20; d) 2; 5; 7; e) 15; 30; 105; f) 130; 260; 390; 520; g) 1 260; 840; 700. 4. Produsul a două numere naturale este 972, iar cel mai mic multiplu comun al lor este 108. a) Aflaţi c.m.m.d.c. al lor. b) Aflaţi numerele. 5. Aflaţi c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. ai numerelor: a) 90; 120; 240; b) 135; 45; 270; c) 372; 180; 450; d) 270; 405; 810; e) 7 200; 360; 1 800; 420. 6. Determinaţi numărul natural n, 200 < n < 300, care se divide cu 4, 5 şi 6. 7. Calculaţi [x; y] · (x; y) pentru: a) x = 180 şi y = 54; c) x = 630 şi y = 360;

b) x = 225 şi y = 60; d) x = 210 şi y = 140. 

8. Aflaţi numerele a şi b, ştiind că: a) [a; b] = 196 şi (a; b) = 7; c) (a; b) = 8 şi a · b = 2 204;

b) [a; b] = 420 şi (a; b) = 21; d) [a; b] = 384 şi a · b = 3 072.

9. Să se afle cel mai mic număr natural care împărţit la 6, respectiv 21 dă acelaşi rest 5 şi câtul diferit de zero. 10. Calculaţi c.m.m.m.c. al numerelor x = 812 + 348 şi y = (33) + (39) . 15

5

11. Aflaţi cel mai mic număr natural care împărţit la 18, 12 şi 15 dă restul egal cu 11, 5 respectiv 8. 12. Aflaţi numerele naturale mai mici decât 300, care împărţite pe rând la 4, 12 şi 15 dau restul 3. 13. Aflaţi numerele naturale x, 150 < x < 500, care împărţite la 6, 8 şi 15 dau restul 4. 14. La o etapă a olimpiadei de matematică a participat un număr de elevi. Dacă aceştia erau aşezaţi în săli câte 18, 24 sau 30, rămâneau mereu 5 elevi fără locuri, acest număr fiind minim. Câţi elevi au participat la concurs? 15. Să se determine cel mai mic număr natural care împărţit la 8 dă restul 7, împărţit la 9 dă restul 8, iar împărţit la 10 dă restul 9.

(Etapa locală, Arad, 1993) 16. Aflaţi numărul natural care are exact trei divizori şi produsul lor este egal cu 343. 17. Aflaţi numărul natural n care are exact trei divizori, iar suma celor trei divizori este 133. Matematicã pentru clasa a VI-a, Algebră

29

 18. Se dă numărul A = 36 · 18n + 1 – 2n · 9n + 1 – 3n + 2 · 6n + 2, unde n ∈ N. Pentru n = 0, respectiv n = 1, să se afle c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. al numerelor obţinute. 19. Un număr natural împărţit la 18 dă restul 5 şi împărţit la 11 dă restul 7.

Aflaţi cel mai mic număr natural care îndeplineşte condiţiile date.

20. Să se afle cel mai mic număr natural, nenul, care împărţit la numerele naturale a, a + 1, a + 2 dă respectiv resturile a – 2, a – 1, a, unde a, a + 1, a + 2 sunt numere prime între ele două câte două (a ≠ 0), a fiind cel mai mic posibil. (Etapa locală, Vaslui, 1993)

30


EVALUARE Testul 1 1. Descompuneţi numărul 864 în factori primi. Câţi divizori naturali are?

Dar divizori proprii? Dar improprii? Menţionaţi cinci divizori proprii.

(2 p)

2. Aflaţi numărul natural 23x, unde x este o cifră, dacă: a) este divizibil cu 2; b) este divizibil cu 2; c) este divizibil cu 5; d) este divizibil cu 10; e) este divizibil cu 2 şi cu 3.

(0,5 p) (0,5 p) (0,5 p) (0,5 p) (0,5 p)

3. Demonstraţi că numărul 104 + 8 este divizibil cu 6.

(1,5 p)

4. Determinaţi perechea de numere (x ; y) pentru care 2x · 3y = 24.

(1,5 p)

5. Arătaţi că diferenţa dintre un număr natural şi suma cifrelor sale este un număr (1,5 p) natural divizibil cu 9. Se acordă 1 punct din oficiu. Timp de lucru efectiv: 30 minute.

Testul 2 1. Aflaţi c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. al numerelor 476 şi 266. Verificaţi proprietatea [a; b] · (a; b) = a · b.

(1,p)

2. Aflaţi cel mai mare număr natural format din trei cifre care împărţit la 24 dă câtul 25.

(2 p)

3. Arătaţi că numărul 11n + 2 – 11n + 1 + 11n se divide cu 111, n ∈ N. Ce alţi divizori poate avea numărul dat?

(2 p)

4. Determinaţi y ∈ N, astfel încât y + 2 | 2y + 7.

(2 p)

5. Dacă la un număr de trei cifre se adaugă de 5 ori cifra sutelor, de 4 ori cifra zecilor şi (2 p) de 6 ori cifra unităţilor, arătaţi că se obţine un număr divizibil cu 7. Se acordă 1 punct din oficiu. Timp de lucru efectiv: 30 minute.


31

Testul 3 1. Fie mulţimea M = {1; 2; 3; 5; 6; 9; 15; 18}. Enumeraţi elementele mulţimilor: A = {x | x ∈ M şi x | 12}; B = {y | y ∈ M şi 2 | y}: C = {z | z ∈ M şi z = 3 · k, k ∈ N}; D = {t | t ∈ M şi t6}.

(2 p)

2. Aflaţi cel mai mic număr natural care împărţit pe rând la 2, 3, 5 şi 7 dă acelaşi rest. (1,5p) 3. Demonstraţi că, dacă 11 | bc, atunci 11 | abca. 4. Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiei:

„(211

·

75

+

28

·

75)9“.

(1,5 p) (2 p)

5. Dacă A = 25 · 37 · 57 şi B = 25 · 54 · 73, calculaţi câte zerouri au la sfârşit numerele

(2 p)

A, B şi A · B.

Se acordă 1 punct din oficiu. Timp de lucru efectiv: 30 minute.

Testul 4 1. Stabiliţi care dintre următoarele perechi de numere sunt prime între ele: a) 51 şi 289; b) 12 şi 35; c) 441 şi 529.

(0,5 p) (0,5 p) (0,5 p)

2. Determinaţi cel mai mic număr natural nenul, pe care dacă-l împărţim la 13 obţinem (1,5 p) câtul egal cu restul. 3. Aflaţi valorile lui a astfel încât numărul a3 să aibă exact 4 divizori. 4. Ştiind că 2 | 13x + 3y, demonstraţi că 2 | 3x + y şi reciproc. 5. Arătaţi că numărul:

(2 p) (2 p)

A = (5 + 3 · 38 + 256 : 226) : [5 + (72)6 : 712 · 39 + (215) ] + 105 105 : (3 · 5 · 7) – 2 0070

este divizibil cu 143.

2

(2 p) Se acordă 1 punct din oficiu. Timp de lucru efectiv: 30 minute.

32


Testul 5 1. Fie mulţimea: A = {x ∈ N | x divide 18} şi B = {x ∈ N | 2x – 7 divide 15}. Calculaţi: A  B; A  B; A \ B. 2. Arătaţi că diferenţa a două numere având sumele cifrelor egale este divizibilă cu 9. 3. Aflaţi cel mai mic număr natural care împărţit la 13, respectiv 17 dă restul egal cu 5. 4. Determinaţi numerele de forma ab pentru care numărul x = 52n · 62n – 32n + ab se divide cu 9.

(2 p) (1,5 p) (1,5 p) (2 p)

5. a) Arătaţi că numărul P = 3n + 3n + 1 + 3n + 2 + 3n + 3 este divizibil cu 10, (1 p) oricare ar fi n ∈ . 2 3 200 b) Demonstraţi că 10 | 3 + 3 + 3 + ... + 3 . (1 p) Se acordă 1 punct din oficiu. Timp de lucru efectiv: 45 minute.

Testul 6 1. Dacă numerele x şi y, prin împărţirea la 100 dau resturile 27 şi respectiv 38, cât va fi restul împărţirii lui (a + b) la 100?

(1,5 p)

2. Aflaţi toate numerele mai mici decât 150 care împărţite la 4, 6 respectiv 8 dau (1,5 p) resturile 3, 5 respectiv 7. 3. Determinaţi numerele prime a, b, c, pentru care 2a + 3b + 4c = 30. (2 p) 4. Determinaţi numerele de forma 3xy divizibile cu 5 şi care nu sunt divizibile cu 3.

(2 p)

5. Care este cel mai mic număr de elevi care se pot aşeza în coloane de 2, 3, 4 şi 5 (2 p) elevi? Se acordă 1 punct din oficiu. Timp de lucru efectiv: 45 minute.


33

2

MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE POZITIVE

prof. Ion Cheºcã

Fracţii echivalente; fracţie ireductibilă. 2.1. Noţiunea de număr raţional. Forme de scriere a unui număr raţional Notă teoretică Fracţiile ordinare Atunci scriem

2 4 = . 3 6

2 4 şi sunt echivalente, deoarece 2 · 6 = 3 · 4. 3 6

1. Arătaţi că următoarele fracţii sunt echivalente: 1 3 5 10 a) , ; b) , ; 3 9 2 4 2006 26 2 d) 1 003, ; e) , ; 2 39 3 2. Sunt echivalente fracţiile? 0 1 21 3 a) , ; b) , ; 19 19 14 2 102 102 144 169 , ; e) , ; d) 103 103 12 13

10 4 , ; 5 2 201 f) , 67. 3 c)

9 12 , ; 4 5 1141 f) , 163. 7 4 3. Stabiliţi care dintre fracţiile următoare sunt echivalente cu fracţia : 10 40 2 12 b) ; c) ; a) ; 100 7 30 222 2004 2 ; e) ; f) . d) 555 5010 6 c)

4. Arătaţi că următoarele fracţii reprezintă acelaşi număr raţional. 10 25 505 21 3 33 2 4 6 a) , , ; b) , , ; c) 5, , , . 2 5 101 77 11 121 7 14 21

34

Capitolul 2. Mulþimea numerelor raþionale pozitive

Dacă ți-a plăcut, intră pe www.elefant.ro/ebooks descarcă volumul și citește mai departe!

Matematica exercitii si probleme pentru clasa a VI a Algebra-Geometrie.pdf

Recommend Documents