Despre carte
Lucrarea, rodul experienþei unui colectiv de autori foarte experimentaþi în pregãtirea elevilor la clasã, pentru evaluãri ºi pentru concursuri, este un auxiliar ideal de alãturat oricãrui manual de matematicã de clasa a VI-a. Materia conþinutã în programa ºcolarã de clasa a VI-a este aprofundatã pe teme, fiecare debutând cu un foarte sintetic breviar teoretic urmat de exerciþii ºi probleme pentru aplicarea noþiunilor matematice. Cei care se pregãtesc pentru concursuri ºi olimpiade ºcolare au la dispoziþie, spre rezolvare, un capitol de probleme cu grad ridicat de dificultate. De asemenea, lucrarea cuprinde un capitol separat de teste de autoevaluare, unele dintre ele fiind concepute dupã modelul celor utilizate la tezele cu subiect unic. Secþiunea finalã a cãrþii conþine rezolvãrile aplicaþiilor ºi este utilã pentru verificarea promptã a valorii experienþei câºtigate de fiecare elev.
Despre autori Membrii colectivului de autori care au contribuit la alcãtuirea lucrãrii, cadre didactice de specialitate, se bucurã de competenþã profesionalã ºi o vastã experienþã la catedrã, dublate de cunoºtinþe psihopedagogice ºi metodice, punând în practicã, în activitatea didacticã de fiecare zi, conceptele privitoare la procesul educaþional, la cel de predare-învãþare, precum ºi la procesul de evaluare în cadrul disciplinei. Autorii sunt foarte cunoscuþi ºi prin alte auxiliare ºcolare publicate.
ªtefan Smarandache Victor Bãlºeanu Suzana Basarabescu Mihai Contanu Victor Pândaru
Petre Simion Victor Nicolae Aurelia Vidovici Ion Marin Valerica Niþã
Matematicã Exerciþii ºi probleme clasa a VI-a
© Editura NICULESCU, 2010 Adresa: Bd. Regiei 6D 060204 - Bucureºti, România Comenzi: (+40)21-312.97.82 Fax: (+40)21-316.97.83 E-mail:
[email protected] Internet: www.niculescu.ro ISBN 978-973-748-528-1 Toate drepturile rezervate. Nicio parte a acestei cãrþi nu poate fi reprodusã sau transmisã sub nicio formã ºi prin niciun mijloc, electronic sau mecanic, inclusiv prin fotocopiere, înregistrare sau prin orice sistem de stocare ºi accesare a datelor, fãrã permisiunea Editurii NICULESCU. Orice nerespectare a acestor prevederi conduce în mod automat la rãspunderea penalã faþã de legile naþionale ºi internaþionale privind proprietatea intelectualã.
CUPRINS Algebrã Capitolul I. Numere naturale ............................................................................................... 8 1. Mulþimea numerelor naturale ........................................................................................ 9 2. Divizor. Multiplu ......................................................................................................... 10 3. Criteriile de divizibilitate cu 10, 2, 5, 3, 9 .................................................................. 11 4. Proprietãþi ale relaþiei de divizibilitate în q ......................................................... 12 5. Numere prime ºi numere compuse ............................................................................... 14 6. Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime ................................................................................................ 15 7. Divizori comuni. C.m.m.d.c. Numere prime între ele .................................................. 16 8. Multipli comuni a douã sau a mai multor numere naturale. C.m.m.m.c. .................................................................................................... 17 Capitolul II. Operaþii cu numere raþionale pozitive .......................................................... 19 1. Forme de scriere ale unui numãr raþional. Reprezentãri prin desen sau pe axã ................................................................................................... 20 2. Numãr raþional pozitiv ................................................................................................ 21 3. Adunarea numerelor raþionale pozitive ....................................................................... 22 4. Scãderea numerelor raþionale pozitive ........................................................................ 24 5. Compararea ºi ordonarea numerelor raþionale pozitive .............................................. 25 6. Înmulþirea numerelor raþionale pozitive ..................................................................... 26 7. Împãrþirea numerelor raþionale pozitive ...................................................................... 27 8. Puterea unui numãr raþional pozitiv ............................................................................ 28 9. Ordinea efectuãrii operaþiilor ...................................................................................... 29 10. Numere raþionale pozitive scrise sub formã zecimalã ................................................. 30 11. Operaþii cu numere raþionale pozitive scrise sub formã zecimalã ............................... 31 12. Ecuaþii .......................................................................................................................... 33 13. Inecuaþii ....................................................................................................................... 34 14. Probleme care se rezolvã cu ajutorul ecuaþiilor .......................................................... 35 15. Media aritmeticã ponderatã ......................................................................................... 36 Capitolul III. Rapoarte ºi proporþii ................................................................................... 37 1. Rapoarte ....................................................................................................................... 38 2. Proporþii ....................................................................................................................... 39 3. Procente ....................................................................................................................... 41 4. Mãrimi direct proporþionale ........................................................................................ 43 5. Mãrimi invers proporþionale ....................................................................................... 46 6. Regula de trei simplã ................................................................................................... 49 7. Elemente de organizare a datelor ºi probabilitãþi ....................................................... 49 Capitolul IV. Numere întregi .............................................................................................. 51 1. Numãr întreg; reprezentare pe axã; opus; valoare absolutã ........................................ 52 2. Compararea ºi ordonarea numerelor întregi ................................................................ 52
3. Reprezentarea unui punct cu coordonate întregi într-un sistem de axe ortogonale ............................................................................................. 53 4. Adunarea numerelor întregi ......................................................................................... 54 5. Scãderea numerelor întregi .......................................................................................... 55 6. Înmulþirea numerelor întregi ....................................................................................... 56 7. Împãrþirea numerelor întregi ........................................................................................ 57 8. Puterea unui numãr întreg cu exponent numãr natural ............................................... 58 9. Ordinea efectuãrii operaþiilor ºi folosirea parantezelor ............................................... 60 10. Divizibilitatea în m ........................................................................................... 60 11. Ecuaþii în m ...................................................................................................... 61 12. Inecuaþii în m .................................................................................................... 63 13. Probleme care se rezolvã cu ajutorul ecuaþiilor .......................................................... 64
Geometrie Capitolul I. Recapitulare ºi completãri ............................................................................. 66 Capitolul II. Dreapta .......................................................................................................... 70 Capitolul III. Unghiuri ....................................................................................................... 73 Capitolul IV. Congruenþa triunghiurilor ........................................................................... 78 Capitolul V. Perpendicularitate ......................................................................................... 83 Capitolul VI. Paralelism ..................................................................................................... 87 Capitolul VII. Proprietãþile triunghiurilor ....................................................................... 90
Teste pentru pregãtirea concursurilor ºi olimpiadelor ºcolare Teste ..................................................................................................................................... 98
Teste de autoevaluare Teste - Algebrã ................................................................................................................... 108 Teste - Geometrie ............................................................................................................... 116 Teste sumative ................................................................................................................... 124
Rãspunsuri
Algebrã .............................................................................................................................. 132 Geometrie .......................................................................................................................... 142 Teste pentru pregãtirea concursurilor ºi olimpiadelor ºcolare .......................................... 148 Teste de autoevaluare ........................................................................................................ 162
ALGEBRÄ
1. Numere naturale 2. Operaþii cu numere raþionale pozitive 3. Rapoarte ºi proporþii 4. Numere întregi
8
I . N u m e r e naturale
Noþiuni teoretice Spunem cã: axb sau b | a dacã existã c i q* astfel încât a = b · c, a i q, b i q*; b este divizor al lui a dacã axb, a i q, b i q*; a este multiplu de b dacã axb, a i q, b i q*. Criterii de divizibilitate Un numãr natural este divizibil cu: 2 dacã ultima sa cifrã este parã (0, 2, 4, 6, 8); 3 dacã suma cifrelor sale este divizibilã cu 3; 9 dacã suma cifrelor sale este divizibilã cu 9; 5 dacã ultima sa cifrã este 0 sau 5; 10 dacã ultima sa cifrã este 0; 10n, n i q*,dacã ultimele n cifre ale numãrului sunt 0; 4 dacã numãrul format din ultimele douã cifre ale sale este divizibil cu 4; 25 dacã numãrul format din ultimele douã cifre ale sale este divizibil cu 25. Un numãr natural n U 2 se numeºte prim dacã are ca divizori doar pe el însuºi ºi pe 1. Proprietãþi ale relaþiei de divizibilitate în q Dacã axb, atunci a · cxb (a, b, c i q, b @ 0). Dacã axc ºi bxc, atunci (a + b)xc (a, b, c i q, c @ 0). Dacã axb ºi bxc, atunci axc (a, b, c i q, b @ 0, c @ 0). Dacã axb ºi axc, (b, c) = 1, atunci axb · c (a, b, c i q, b @ 0, c @ 0). Fie a, b i q*. Un numãr d i q pentru care d | a ºi d | b, se numeºte divizor comun al numerelor a ºi b. Fie a, b, c i q*. Un numãr d i q se numeºte cel mai mare divizor comun al numerelor a ºi b ºi se noteazã d = (a, b) dacã satisface condiþiile urmãtoare: d|a d|b c | a ºi c | b ⇒ c | d. Dacã (a, b) = 1, spunem cã a ºi b sunt prime între ele. Fie a, b i q*. Un numãr m i q* pentru care a | m ºi b | m, se numeºte multiplu comun al numerelor a ºi b. Fie a, b, c i q*. Un numãr m i q* se numeºte cel mai mic multiplu comun al numerelor a ºi b ºi se noteazã m = [a, b] dacã satisface condiþiile urmãtoare: a|m
b|m
a | c ºi b | c ⇒ m | c.
Dacã a, b i q*, atunci [a, b] · (a, b) = a · b.
9
1. Mulþimea numerelor naturale 1. a) Ordonaþi crescãtor numerele: 123, 312, 321, 132. b) Ordonaþi descrescãtor numerele: 354, 543, 435, 541, 345. 2. Calculaþi: a) 21 20 : (2 · 3 1); c) (100 25 : 5) : 5 1;
b) 36 : (25 7) + 2 · [17 3 : (2 1)]; d) 120 : [100 (4 · 15 + 4 · 5)].
3. Rezolvaþi în q ecuaþiile: a) 2x 1 = 7; b) 3x + 2 = 2x + 6; d) (2x + 1) : 3 = 5; e) 6 : (x + 1) = 2.
c) 2(x + 1) = x + 3;
4. Rezolvaþi în q inecuaþiile: a) 3x 1 T 8; b) x + 12 > 2x + 3; d) 2(x 1) < x + 1; e) 3 2x > 1 x.
c) 4(2x + 1) T 6x + 10;
5. a) Aflaþi numãrul natural care împãrþit la 5 dã câtul 2 ºi restul 3. b) Aflaþi un numãr natural ºtiind cã suma dintre dublul sãu ºi 5 este 23. c) Aflaþi un numãr natural ºtiind cã dublul sumei dintre el ºi 3 este 22. d) Aflaþi un numãr natural ºtiind cã adunând la dublul sãu 5 obþinem acelaºi rezultat ca atunci când îl adunãm cu 12. 6. a) ªtiind cã x + y = 5 ºi z = 2, calculaþi xz + yz. b) ªtiind cã x + y = 3 ºi y + z = 6, calculaþi x + 2y + z. c) ªtiind cã x + y = 5 ºi y + z = 6, calculaþi 2x + 5y + 3z. d) ªtiind cã xy + xz = 10 ºi x = 2, calculaþi y + z. 7. Determinaþi cifra nenulã x dacã: a) 1 1 1 + 1 12 = 223 ; b) 121 + 1 1 1 = 1 34 ; 8. Scrieþi ca o singurã putere: a) 24 · 25; b) 32 · 3; e) (53)2 : 56; f) 74 : 7 · 72;
c) (74)3; d) 24 · 25 : 26; g) (113)2 · 114 : 119.
9. Scrieþi ca o singurã putere: a) 43 · 24 · 8; b) 81 · 32 : 27; 6 2 d) 10 : 100 · 10 ; e) 25 · 1252 : 53; 10. Calculaþi: a) (23 · 32) : (22 · 3); d) (53 · 74)2 : (5 · 7)6;
b) (32 · 5)2 : (34 · 5); e) (44 · 9)2 : (210 · 34);
11. Calculaþi: a) (24 + 25 + 26) : 24; c) 2 · (30 + 31 + 32 + 33) : 10 1;
c) 111 + 11 2 = 345 .
c) (33)4 : 92 · 270; f) 1219 : (113)2. c) (94 · 53) : (32 · 5)3; f) (1002 · 3)3 : (26 · 512 · 32).
b) (32 + 42) : (2 · 4 3); d) (35 · 53) : (34 · 52);
10 e) (26)7 : (22)20 1; g) (1 + 2 + 3)2 : (20 + 30)2.
f) (20082009)0 + (2008 2007)100;
12. Comparaþi numerele: a) 230 ºi 320; b) 813 ºi 272; c) 351 ºi 234; 100 99 98 49 23 d) 2 2 2 ºi 4 ; e) 3 ºi 3 · 233. 13. Calculaþi: a) 1 + 2 + 3 + ... + 49; c) 51 + 52 + 53 + ... + 99;
b) 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 198; d) 48 + 50 + 52 + ... + 100.
14. Aflaþi x i q din relaþiile: a) 2x = 32; b) 3 · 22x + 1 = 24; c) 51 · 52 · 53 · ... · 5x = 5210; d) (x 1) + (2x 1) + (3x 1) + ... + (21x 1) = 441; e) x + 2x + 3x + ... + nx = n(n + 1), x i q*. 15. Aflaþi restul împãrþirii numãrului (31 + 32 + 33 + ... + 3100) prin 4. 16. Calculaþi: 2100 299 298 297 ... 21 20. 17. În câte zerouri se terminã x · y, unde x = 4n · 5n 1 ºi y = 2n · 52n + 1, n i q? 18. Determinaþi suma cifrelor numãrului 3 · 22008 · 52007.
2. Divizor. Multiplu 1. Stabiliþi valoarea de adevãr a propoziþiilor: a) 21x7; b) 72x3; c) 2 | 7; d) 41y3; e) 4 o 16; f) 30 este multiplu al lui 6; g) 36 nu este divizor al lui 72; h) 80 este divizor comun al numerelor 200 ºi 240; i) 12 are 6 divizori; j) xyx(x + y), oricare ar fi x, y i q*; k) (xz + yz)x(x+y), oricare ar fi x, y, z i q*; l) (2n + 1)x3, oricare ar fi n i q. 2. Determinaþi elementele mulþimilor: a) D3; b) D6; c) D12; d) D30; f) D20; g) D64; h) D120; i) D75; 3. Aflaþi: a) D6 N D3; d) D60 N D40;
b) D10 O D20; e) D24 O D36;
e) D21; j) D125.
c) D30 \ D6; f) D90 \ D125.
4. Determinaþi elementele mulþimilor: a) M2; b) M5; c) M12; d) M35;
11 e) multiplii lui 6 mai mici ca 25; f) multiplii lui 2 mai mari ca 10 ºi mai mici ca 25; g) multiplii lui 3 de o cifrã; h) multiplii lui 30 de douã cifre. 5. Aflaþi: a) M6 O M12;
b) M7 \ M21;
c) M2 N M10.
6. Determinaþi mulþimile: a) A = {x i q | 15xx}; b) B = {x i q | (x 1) | 20}; c) C = {x i q | 36x(2x + 3)}; d) D = {x i q | x2 | 100}; e) E = {x i q | (x + 2) | 18, x este par}. 7. Arãtaþi cã numãrul: a) n(n + 1) are ca divizor pe 2, oricare ar fi n i q*; b) 2n + 2 2n are ca divizor pe 3, oricare ar fi n i q; c) 3n + 2 + 3n + 1 + 3n este multiplu de 13, oricare ar fi n i q; d) 12 + 21 + 11 + 22 este multiplu de (x + y), oricare ar fi x, y cifre nenule. 8. Arãtaþi cã: a) 225 · 320 + 224 · 321x5; c) 123 + 231 + 312 1 12 ; e) 32n + 1 · 52n + 2 32n · 52n + 1x10; g) 71 + 72 + 73 + ... + 780x8.
b) 2100 · 3101 · 5102 2101 · 3100 · 5101x65; d) 2n + 1 · 7n + 3 2n · 7n + 1x97; f) 51 + 52 + 53 + ... + 530x31;
9. Dacã a + bx3 ºi b + cx3, arãtaþi cã: a) a + 2b + cx3; b) 2a + 5b + 3cx3, unde a, b, c i q. 10. Fie x = 2100 299 298 ºi y = 297 296 295. Arãtaþi cã: a) x + yx9; b) x yx7. 11. Arãtaþi cã numãrul 1 = 23 + 24 + 32 + 34 + 42 + 43 este par, oricare ar fi x, y, z cifre nenule. 12. Aflaþi perechile (x, y) i q D q, dacã 2x + 3y = 14.
3. Criteriile de divizibilitate cu 10, 2, 5, 3, 9 1. Stabiliþi valoarea de adevãr a propoziþiilor: a) 326x2; b) 145x10; c) 3 | 210; f) 241x2; g) 10 o 211; h) 325y5;
d) 425x5; i) 621x3.
e) 6 | 36;
2. Determinaþi elementele mulþimilor: A = {x i q | 2 < x < 20 ºi xx3}; B = {x i q | 125 T x < 131 ºi xx2}; C = {x i q* | x < 50 ºi 10 | x}; D = {x i q* | x < 24 ºi 5 | x}.
12 3. Scrieþi: a) cel mai mic numãr natural de douã cifre divizibil cu 3; b) cel mai mare numãr natural de douã cifre divizibil cu 5; c) cel mai mare numãr natural de trei cifre distincte divizibil cu 10; d) cel mai mic numãr natural de trei cifre distincte divizibil cu 2. 4. Folosind o singurã datã cifrele 0, 4 ºi 5, scrieþi toate numerele naturale divizibile cu: a) 2; b) 5; c) 10; d) 3. 5. Determinaþi toate numerele naturale de forma: a) 121 ; b) 1 1 1 ; c) 121 , divizibile cu 2. 6. Determinaþi toate numerele naturale de forma: b) 121 ; c) 111 ; d) 112 , divizibile cu 10. a) 121 ; 7. Determinaþi toate numerele naturale de forma: a) 111 ; b) 121 ; c) 121 ; d) 111 ; e) 11 1 , divizibile cu 5. 8. Determinaþi toate numerele naturale de forma: a) 121 ; b) 111 ; c) 1 1 2 ; d) 1 12 ; e) 11 2 , divizibile cu 3. 9. Determinaþi toate numerele naturale de forma: a) 11 2 ; b) 112 ; c) 11 2 ; d) 121 ; e) 1 1 1 , divizibile cu 9. 10. Aflaþi numerele de forma: a) 1 1 2 1 1 , x = 2y; c) 11 2 1 2 , y = 2x + 4;
b) 11 2 1 2 , x = y + 1; d) 11 2 1 23 , x = 7y + 2.
11. Determinaþi toate numerele naturale de forma 123 , astfel încât: a) 123 1 1 , x + y + z = 21; b) 123 1 12 , x + 2y + 5z = 7. 12. Arãtaþi cã: a) (3100 2100)x5; d) (3643 2150)x5;
b) (3101 + 7103)x2; e) (25n + 76n + 1)y2.
c) (61002 + 81002)x10:
13. Scrieþi toate numerele naturale de forma: b) 1 1 2 divizibile cu 5 ºi 9. a) 1 1 2 divizibile cu 2 ºi 9; 14. Determinaþi toate numerele naturale de forma 111 2 1 3 divizibile cu 9.
4. Proprietãþi ale relaþiei de divizibilitate în q 1. Aflaþi valoarea de adevãr a propoziþiilor: a) 31 · 20x5; b) (12a + 15b)x3;
13 c) 3 o (3a + 9b), a, b i q; d) dacã xx9, atunci xx3, oricare ar fi x i q; e) dacã xx2, atunci xx4, oricare ar fi x i q*; f) dacã 2 | x ºi 3 | x, atunci 6 | x, oricare ar fi x i q. 2. Scrieþi: a) trei divizori ai numãrului: 2a · 5b, a, b i q; b) doi divizori ai numãrului 6a + 12b, a, b i q; c) patru divizori ai numãrului 36a + 24b, a, b i q. 3. Arãtaþi cã pentru a, b, c i q*: a) dacã ax15 ºi bx10, atunci (a + b)x5; b) dacã ax32 ºi (b + c)x8, atunci (a + 2b + 2c)x16; c) dacã 13 | a ºi 14 | b, atunci 26 | ab; d) dacã axc ºi bx2c, atunci (2a + b)x2c; e) dacã ax2b ºi bx3c, atunci ax6c. 4. Aflaþi toate numerele naturale de forma: a) 1 12 1 23 ; b) 1 12 1 2 ; c) 1 1 2 1 23 . 5. Aflaþi x, y i q, ºtiind cã: a) xxy, y este par ºi x + 2y = 6; b) xx2y ºi x + y = 20; c) x | y, xx3 ºi y x = 12. 6. Arãtaþi cã pentru a, b, c i q: a) dacã (a + b)x2 ºi (b + c)x2, atunci a + 2b + cx2; b) dacã (a + 2b)x3 ºi (b + 3c)x3, atunci ax3; c) dacã (a + b + c)x5 ºi (a + 2b)x5, atunci 3a + 4b + 2cx5. 7. Arãtaþi cã: a) (2n · 5n + 1 10n + 2n+1 · 5n + 1)x7, oricare ar fi n i q; b) (3n + 1 · 5n + 1 3 · 15n + 2 · 3n · 5n + 1)x11, oricare ar fi n i q; c) (21n + 1 + 2 · 3n · 7n + 1 + 3n · 7n)x17, oricare ar fi n i q. 8. Arãtaþi cã: a) (21 + 22 + 23 + ... + 230)x7; b) (22 + 24 + 26 + ... + 2100)x5; c) (51 + 52 + 53 + ... + 52n)x30, oricare ar fi n i q; d) (31 + 32 + 33 + ... + 380)x8. 9. Aflaþi x i q, ºtiind cã: a) 3(2x + 1) | 15; b) 6x2(2x 1); c) (x + 1) | (2x + 3); d) x | 3x + 7; e) (6x + 14)x(2x + 3).
14 10. Arãtaþi cã, dacã: a) 12 1 1 , atunci 2x + yx2;
b) (x + y)x11, atunci 1 12 + 21 2 1 343 ; c) 1 123 + 12 + 1 2 1 3 , atunci 1 12 + 1 2 1 3 .
5. Numere prime ºi numere compuse 1. Stabiliþi dacã urmãtoarele numere sunt prime sau compuse: 5, 21, 73, 81, 27, 91, 59, 41, 36, 19, 31. 2. Scrieþi: a) numerele prime mai mici ca 21; b) numerele prime cuprinse între 60 ºi 84; c) numerele prime cuprinse între 87 ºi 100. 3. Scrieþi numãrul: a) 15 ca produs de douã numere prime; b) 21 ca produs de douã numere prime; c) 19 ca sumã de douã numere prime; d) 14 ca sumã de douã numere prime; e) 18 ca diferenþã de douã numere prime; f) 35 ca diferenþã de douã numere prime. 4. Aflaþi x ºi y numere prime, ºtiind cã: a) x + y = 21; b) 3x + 2y = 20;
c) 5x + 2y = 25.
5. Aflaþi numerele naturale prime x, y, z ºtiind cã: a) x + y + z = 12; b) 2x + 3y + 4z = 20. 6. Aflaþi numerele naturale x ºi y, ºtiind cã: a) x + y = 17, x este impar, iar y este prim; b) 3x + 2y = 30, iar x este prim; c) 7x + 5y = 45, iar x ºi y sunt prime. 7. Aflaþi numerele naturale prime de forma 12 dacã: a) xy = 18; b) x + y = 5, c) x y = 2. 8. a) Aflaþi toate numerele pare de forma 12 , ºtiind cã x ºi y sunt cifre prime. b) Aflaþi toate numerele naturale de forma 12 divizibile cu 3, x ºi y fiind cifre prime. 9. Aflaþi x ºi y numere prime ºtiind cã: b) x2 + xy + x = 65. a) x2 + xy = 24; 10. Sã se arate cã oricare ar fi n i q* urmãtoarele numere naturale nu sunt prime: a) 2n · 3n + 1 6n; b) 10n 1.
15
6. Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime
1. Descompuneþi în factori primi numerele: a) 12, 20, 48, 50, 72; b) 120, 360, 144, 242, 621; c) 204, 750, 2500, 78000; d) 624, 725, 2425. 2. Fie numerele: x = 22 · 3 · 54, y = 32 · 57, z = 24 · 32 · 5. Calculaþi: a) x · y; b) x · z; c) y · z; d) x · y · z; e) x2 · z; f) (x · y)2;
g) x3 · y2.
3. Aflaþi cel mai mic divizor propriu impar al numerelor: a) 36; b) 242; c) 72; d) 70. 4. Aflaþi cel mai mic divizor propriu pãtrat perfect al numerelor: a) 363; b) 56; c) 162; d) 75. 5. Aflaþi cel mai mic divizor propriu cub perfect al numerelor: a) 72; b) 250; c) 108; d) 120. 6. Aflaþi cel mai mic numãr natural x astfel încât urmãtoarele numere naturale sã fie pãtrate perfecte: a) 20x; b) 72x; c) 12x; d) 24 · 35 · 7 · x; e) 220 · 721 · 113 · x; f) 3210 · 5140 · 7301 · x. 7. Aflaþi cel mai mic numãr natural x astfel încât urmãtoarele numere naturale sã fie cuburi perfecte: a) 24 · x; b) 54 · x; c) 24 · 32 · x; d) 25 · 52 · x. 8. Aflaþi numãrul divizorilor numerelor: a) 22 · 3; b) 34 · 5; c) 2 · 52 · 7. 9. Determinaþi douã numere naturale consecutive al cãror produs este: a) 380; b) 210; c) 156. 10. Determinaþi douã numere naturale consecutive pare al cãror produs este: a) 440; b) 224; c) 288. 11. Determinaþi perechile de numere naturale (x, y) în urmãtoarele cazuri: a) x2(y + 1) = 28; b) x(2y + 1)2 = 75; 3 c) (x + 2)y = 81; d) x2(y + 1)3 = 72. 12. Determinaþi numãrul divizorilor pentru urmãtoarele numere naturale: a) 111 , unde x este prim; b) 12 + 21 , unde x + y este un numãr prim. 13. Determinaþi numerele naturale x ºi y dacã xy · yx = 800. 14. Determinaþi suma cifrelor numãrului 2n · 5n + 1 · 3.
16
7. Divizori comuni. C.m.m.d.c. Numere prime între ele 1. Scrieþi câte doi divizori comuni pentru urmãtoarele numere naturale: a) 12, 24; b) 6, 24; c) 36, 24; d) 125, 75; e) 121, 44; f) 50,120; g) 90, 45; h) 42, 35. 2. Calculaþi: a) D20 O D25; d) D25 O D40 O D15;
b) D24 O D36; e) D27 O D9 O D30.
3. Aflaþi c.m.m.d.c. al numerelor: a) 10 ºi 15; b) 12 ºi 20; d) 24 ºi 72; e) 120, 90 ºi 150; g) 125 ºi 750; h) 1200, 250 ºi 2250;
c) D12 O D18;
c) 42 ºi 70; f) 80, 140 ºi 100; i) 162, 108 ºi 180.
4. Scrieþi toate perechile de numere prime între ele din ºirul urmãtor: 7, 21, 36, 10, 25. 5. Aflaþi perechile de numere prime între ele (x, y), ºtiind cã: a) x · y = 12; b) x + y = 20; c) x + 2y = 7. 6. Aflaþi cifra x astfel încât: a) 1 11 2 34 = 5 ; b) 1 1234 35 = 2 ;
c) 12 1 3 45 = 6 ;
7. Aflaþi numerele x, y i q, ºtiind cã: a) (x, y) = 2, x + y = 22; b) (x, y) = 5, x + y = 35;
d) 1231 4 356 = 3 . c) (x, y) = 8, x + y = 24.
8. Determinaþi numerele naturale de forma: a) 12 1 1 3 ; b) 12 1 1 34 ; c) 12 1 1 34 . 9. Determinaþi numerele naturale de forma: c) 11 2 1 23 ; a) 112 1 12 ; b) 1 12 1 2 ;
d) 1 1 2 1 23 ;
e) 11 2 1 23 .
10. Aflaþi c.m.m.d.c. pentru numerelor: a) x = 2100 · 350 · 570; y = 250 · 3100 · 5120; b) x = 381 · 592 · 7104; y = 352 · 7105 · 11201. 11. Aflaþi cel mai mare numãr natural x cu proprietatea cã 120 ºi 180 se împart exact la x. 12. Aflaþi cel mai mare numãr natural x cu proprietatea cã 136 ºi 142 dau restul 2 prin împãrþirea la x. 13. Aflaþi cel mai mare numãr natural x ºtiind cã 39 împãrþit la x dã restul 3, iar 42 împãrþit la x dã restul 2. 14. Numerele 81, 42 ºi 29 împãrþite la x dau resturile 1, 2 ºi respectiv 9. Aflaþi cea mai mare valoare a acestui numãr.
17 15. Numerele 141 ºi 138 împãrþite la x dau resturile 1, respectiv 2. Aflaþi toate valorile lui x. 16. Arãtaþi cã numerele x ºi y sunt prime între ele în urmãtoarele cazuri: a) x = 2n + 1 ºi y = 3n + 2; b) x = 5n + 3 ºi y = 10n + 7; c) x = 4n + 3 ºi y = 6n + 4. 17. Fie numerele x = 2n · 3n + 1 ºi y = 2n + 1 · 3n, n i q. Aflaþi numãrul n, ºtiind cã (x, y) = 36. 18. Aflaþi numãrul n, ºtiind cã (2n + 2n + 1, 2n + 2n + 1 + 2n + 2) = 1. 19. Aflaþi numãrul n, ºtiind cã (3n · 5n + 1 + 3n + 1 · 5n + 1, 3n + 1 · 5n + 2 + 3n · 5n + 1) = 20.
8. Multipli comuni a douã sau a mai multor numere naturale. C.m.m.m.c.
1. Calculaþi: a) M12 O M18; d) M16 O M24;
b) M10 O M15; e) M14 O M49.
c) M20 O M25;
2. Scrieþi câte doi multipli comuni pentru numerele: a) 2, 7; b) 3, 4; c) 5, 10; d) 20, 15; 3. Aflaþi a) 12, d) 22, g) 60,
c.m.m.m.c. pentru numerele: 15; b) 2, 15; 121; e) 14, 7, 6; 45, 90; h) 27, 81, 180;
e) 12, 18.
c) 35, 140; f) 120, 36, 72; i) 150, 75, 125.
4. Calculaþi: a) x · y, ºtiind cã: (x, y) = 7 ºi [x, y] = 42; b) [x, y], ºtiind cã: x · y = 720 ºi (x, y) = 4; c) (x, y), ºtiind cã: x · y = 1750 ºi [x, y] = 350; d) [x, y], ºtiind cã: x · y = 315 ºi (x, y) = 3; e) x · y, ºtiind cã: (x, y) = 1 ºi [x, y] = 225. 5. Aflaþi numerele naturale x ºi y, ºtiind cã: a) x · y = 1080 ºi (x, y) = 6; b) [x, y] = 36 ºi x · y = 216; c) (x · y) = 7 ºi [x, y] = 42; d) (x · y) = 1 ºi x · y = 36. 6. Aflaþi cel mai mic numãr natural nenul x care se împarte exact la 16 ºi 24. 7. Aflaþi toate numerele naturale x, 30 T x < 70, care se împart exact la 6 ºi 15. 8. Aflaþi cel mai mic numãr natural x, x U 4, care prin împãrþirea la 5, respectiv 25, dã de fiecare datã restul 3.
18 9. Aflaþi cel mai mic numãr natural x, x U 3, care prin împãrþirea la 6, 10, respectiv 12, dã de fiecare datã restul 2. 10. Aflaþi toate numerele naturale x, 80 < x < 200, care prin împãrþirea la 15 ºi 25 dau de fiecare datã restul 7. 11. Aflaþi cel mai mic numãr natural x care prin împãrþirea la 10, 12, respectiv 15, dã resturile 8, 10, respectiv 13. 12. Aflaþi toate numerele naturale x, 100 < x < 240, ºtiind cã prin împãrþirea la 7, respectiv 11, dã resturile 4, respectiv 8.
II. Operaþii cu numere raþionale pozitive
19
Noþiuni teoretice Se numeºte numãr raþional orice numãr care se poate scrie ca fracþie ordinarã. 1 1+ = 1 12 2 ∈ 22 2 ≠ 3 (mulþimea numerelor raþionale pozitive) 2
{
}
Forme de scriere ale unui numãr raþional pozitiv Orice numãr raþional pozitiv se poate scrie sub formã zecimalã finitã sau ca fracþie ordinarã. Exemple: 14 21 = 121 5 14 3 = 13 . 166 16 Orice fracþie zecimalã periodicã simplã se poate scrie ca fracþie ordinarã. Exemple: 34516 = 3 1 7 845216 = 8 21 . 9 99 Orice fracþie zecimalã periodicã mixtã se poate scrie ca fracþie ordinarã. Exemple: 671829 = 6 12 − 1 5 734859 = 5 345 − 34 .
Ordinea efectuãrii operaþiilor În calcule cu numere raþionale pozitive ordinea operaþiilor este urmãtoarea: 1. ridicarea la putere; 2. înmulþirea ºi împãrþirea; 3. adunarea ºi scãderea. Dacã într-un exerciþiu existã paranteze (rotunde, pãtrate, acolade) se efectueazã mai întâi ceea ce se aflã în paranteza rotundã, apoi calculele din paranteza pãtratã ºi apoi calculele din acoladã. Fracþii subunitare, supraunitare, echiunitare O fracþie este: subunitarã dacã numãrãtorul este mai mic decât numitorul; supraunitarã dacã numãrãtorul este mai mare decât numitorul; echiunitarã dacã numãrãtorul este egal cu numitorul. O fracþie se numeºte ireductibilã dacã numitorul ºi numãrãtorul sunt numere naturale prime între ele. Media aritmeticã ponderatã 323 2 2 3 22 3 1113 21 4 =
1 2 + 12 22 + 111 + 11 21 , unde p 1 , p 2 , ..., p n sunt numere 1 + 12 + 111 + 11
raþionale numite ponderi.
20
1. Forme de scriere ale unui numãr raþional. Reprezentãri prin desen sau pe axã
1. Scrieþi fracþiile corespunzãtoare urmãtoarelor expresii: a) o pãtrime; b) douã cincimi; c) ºapte zecimi; d) opt cincimi; e) nouã doimi; f) cinci pãtrimi. 2. Scrieþi fracþiile corespunzãtoare fiecãrui desen: a) b)
c)
3. Reprezentaþi pe axa numerelor urmãtoarele fracþii: 1 2 3 1 2 3 1 22 1 b) 4 4 4 c) 3 3 4 a) 4 4 4 5 5 5 5 6 7 5 6 7 4. Fie segmentul AB cu lungimea de 5 cm. Poziþionaþi punctele M, N ºi P pe 1 1 1 segmentul AB astfel încât: 12 = AB, 12 = AB, iar 12 = AB. 2 2 2 5. Fie segmentul MN cu lungimea de 3 cm. Poziþionaþi punctele P ºi Q pe dreapta 1 1 MN astfel încât: 12 = MN, M i (PN), 12 = MN, N i (MQ). 2 2 6. Scrieþi: a) toate fracþiile subunitare cu numitorul 12 ºi numãrãtorul multiplu de 4; b) toate fracþiile supraunitare cu numãrãtorul 10 ºi numitorul numãr prim; c) toate fracþiile subunitare cu numitorul 21 ºi numãrãtorul putere a lui 3; d) toate fracþiile supraunitare ireductibile cu numãrãtorul 15. 7. Aflaþi n i q astfel încât fracþia: 1 1 a) sã fie subunitarã; b) sã fie supraunitarã; 21 + 3 1 11 − 2 sã fie echiunitarã. c) 1 +3 8. Determinaþi n i q astfel încât fracþiile urmãtoare sã fie numere naturale: 12 1+1 b) ; c) ; d) 11 + 2 . a) 12 ; 2 1 + 1 1 + 2 1+3 1+1 9. Stabiliþi cum sunt urmãtoarele fracþii (subunitare, supraunitare sau echiunitare): 112 1212 1 1 b) 22 ; c) 32 ; d) 34 . a) 2 ; 2 3 2 2
21
2. Numãr raþional pozitiv 1. Determinaþi numãrul natural x pentru care fracþiile urmãtoare nu au sens: 12 12 1 1 12 a) ; b) ; c) ; d) 1 3 1 − 14 ; e) 3 1 − 4536 − 1 5 . 1 21 − 3 1 −3 2. Amplificaþi urmãtoarele fracþii pentru a obþine numitorul 60: 1 12 12 1 b) ; c) ; d) . a) ; 2 23 3 23 3. Simplificaþi fracþiile urmãtoare pânã obþineþi fracþii ireductibile: 1 ⋅ 22 11 ⋅ 22 12 12 123 ; b) ; c) ; d) 34 35 ; e) . a) 23 34 45 1 ⋅2 3234 4. Aflaþi x i q astfel încât urmãtoarele fracþii sã fie echivalente: 1 2 1 1 + 2 23 1 1 −1 3453 ; 4564 ; b) c) a) 2342 ; 5 5 6 7 7 28 11 1 11 + 2 3 1 2 2342 ; 4564 ; 3453 d) e) f) . 56 7 1 +2 1 1 −6 1+7 5. Aduceþi urmãtoarele fracþii la acelaºi numitor: 1 2 b) 1 3453 2 ; c) a) 3453 ; 6 7 67 68 1 2 1 e) 1 4 2 5675 3 ; f) d) 3 4564 ; 78 92 19 23 89 2
1 2 3 1 2 g) 1 1+1 4 231 1 45 1 ; h) ; i) 3 2 1 + 4 2 5 1 + 62 6 ⋅7 6 ⋅7 8
1 1 1 2 3453 ; 16 7 8 1 21 13 4 5675 5 4 ; 2 ⋅ 82 23 ⋅ 84 2 ⋅8 1 2 33 . 4 4 1 + 2 1 1 + 1 2 21 + 2 2
6. Simplificaþi fracþiile: 1 122 321 1 2 ⋅2 3 1 + 2 + 3 + 444 + 355 b) 4 5 ; c) 1121 ⋅ 2322 ; d) ; a) 1 ⋅ 21 ; 2 + 6 + 7 + 444 + 755 1 ⋅2 1⋅2 1 ⋅2 1 1+ 1 + 2 + 3 + 444 + 155 e) ; f) 11+ + 1 1+ 2 ; 6 ⋅ 7 + 6 ⋅ 3 + 6 ⋅ 8 + 444 + 6 ⋅ 755 1 +1
1 +1 1 1 1 +1 1 +1 1 g) 11 ⋅ 2 +11+1 ; h) 11+ 2⋅ 2 1 − 11+1 ⋅ 21+1 3 1 ∈ 1 . 1 ⋅3 + 1 1 ⋅2 + 1 ⋅2 7. Arãtaþi cã urmãtoarele numere sunt naturale: 1 1+ 1 1+ 1 1 a) 1 1 ⋅ 2 1+2 − 1 1+2 ⋅ 21 ; 1 ⋅2 + 1 ⋅2 8. Determinaþi mulþimile: 12 1 = 2 ∈1 4 ∈1 5 2 12 1 = 2 ∈1 5 ∈1 6 72 + 8
{ {
}
}
1 1+ 1 1 1+2 1 b) 11+⋅22 1 − 321 + 11 ⋅12+2 . 1 ⋅ 2 + 32 + 1 ⋅ 2
{ 2 3− 2 ∈1}5 34 3 = {2 ∈ 1 5 ∈ 1}6 2
3 = 2 ∈1 4
1
22
{ {
}
{ 11 ++ 36 ∈1}5 4 1 + 25 3 = {1 ∈ 1 6 ∈ 1}8 11 + 9
12 ∈1 5 11 1 1 + 23 2 = 1 ∈1 6 ∈1 7 1 +2 2 = 1 ∈1 4
3 = 1 ∈1 4
}
9. Arãtaþi cã urmãtoarele fracþii sunt ireductibile, oricare ar fi n i q: 11 + 2 11 + 2 11 + 2 121 + 3 a) ; b) ; c) ; d) . 1 +3 31 + 4 31 + 4 41 + 1 10. Aflaþi n i q astfel încât urmãtoarele fracþii sã fie reductibile: 11 + 2 11 + 22 11 + 2 ; b) ; c) . a) 31 + 4 31 + 4 31 + 1 11. Arãtaþi cã urmãtoarele numere sunt naturale:
12 + 1 2 12 + 21 ; b) ; c) 11 + 12 + 21 + 22 . 1 1+ 2 11 + 22 12. Determinaþi cifrele x ºi y astfel încât urmãtoarele numere sã fie naturale: 11 2 11 2 112 11 11 ; b) ; c) ; d) ; e) . a) 2 23 12 2 2 a)
13. Arãtaþi cã urmãtoarele fracþii sunt echivalente: 14. Arãtaþi cã
1 1 + 22 1 1 + 22 ºi . 31 + 3 2 + 3 11 + 1 2 + 3
123 − 1 − 2 − 3 ∈1 . 12 12 + 1 3
15. Aflaþi cifrele x ºi y, ºtiind cã
12 =1. 1+ 2
3. Adunarea numerelor raþionale pozitive
1. Aduceþi la acelaºi numitor fracþiile: 1 2 a) 3453 ; b) 1 2342 1 ; 6 1 5 6 2. Aduceþi la acelaºi numitor fracþiile: 1 2 b) 1 3453 2 ; a) 3453 ; 6 21 6 78 3. Aduceþi la acelaºi numitor fracþiile: 1 1 1 1 2 31 b) ; a) 2 2 ; 4 4 3 4 5 12 5 16 1 2 1 1 2 3 ; e) d) 3 3 4 4 . 4 5 16 32 5 1
c)
1 2 3453 ; 6 1
d) 1 2342 1 . 5 6
c)
1 2 3453 ; 16 7
d) 1 3453 2 . 26 6
c)
1 2 3 ; 4 4 5 26 15
23 4. Aduceþi la acelaºi numitor fracþiile: 1 2 1 2 1 1 3 3 2 2; 2 1 b) c) ; a) 2 ; 1 4 ⋅5 4⋅5 4⋅5 4 ⋅ 5 3 ⋅ 4⋅ 5 3 ⋅ 4⋅ 5 1 2 1 1 2 3 d) ; e) . 3 3 4 4 45 65 75 156 76 166 5. Calculaþi: 1 2 a) + ; 3 3 1 1 1 e) + + ; 2 3 14 1 + 2 + 3 ; i) 45 35 36
1 2 + ; 3 3 1 23 4 + ; f) + 5 46 43 1 2 3 j) + + ; 4 25 21
b)
1 2 + ; 34 34 11 1 2 + + ; g) 3 4 5 1 2 1 k) + + . 3 4 5
c)
1 2 + ; 13 4 12 22 2 + + ; h) 3 13 1
d)
6. Calculaþi: 1 + 1 + 1 1+ 1 + 1 b) ; 1 2 ; 2 ⋅ 3 2 1 ⋅ 3 2 ⋅ 31 2 2 2 1 + 2 + 2 1 1 1 c) 1 + 2 1 + d) . 1 ; 3 ⋅ 41 ⋅ 5 3 ⋅ 51 4 ⋅ 51 2 ⋅3 2 ⋅3 2⋅3 7. Introduceþi întregii în fracþie: 1 1 a) 1 ; b) 2 1 ; c) 2 ; d) 2 1 ; e) 22 1 ; 2 3 3 3 3 1 1 1 g) 21 ; h) 21 ; i) 2 1 ; j) 2 11 . f) 2 ; 3 3 3 34 34 8. Scoateþi întregii din fracþie: 11 12 12 12 12 ; b) ; c) ; d) ; e) . a) 2 3 3 3 3
a)
9. Calculaþi: 1 2 a) 1 + ; 3 4 d) 2 1 + 3 1 ; 4 5 1 2 g) + + 4 3 ; 5 4 6
1 b) 2 + ; 3 e) 2 + 1 + 11 ; 3 4 h) 3 + 1 + 2 2 + 2 ; 34 25 45
10. Calculaþi: a) 2 + ⎡ 1 + 1 + 1 ⎤ ; ⎢⎣ 3 4 14 ⎥⎦
(
)
( )
c) 1 + 3 + ⎡ 2 + 1 + 1 ⎤ ; 4 2 ⎦⎥ ⎣⎢ 3
c) 2 1 + 2 1 ; 3 4 f) 2 1 + 1 + 1 1 ; 13 23 4 1 +21 +31 i) . 14 5 6
( ) ( )
b) ⎡ 2 1 + 3 + 1 + 4⎤ + 1 ; ⎢⎣ 4 ⎥⎦ 3 5 1 1⎤ ⎡1 d) 2 + ⎢ + 3 + + ⎥ + 1 . 5 6⎦ ⎣ 24
24 11. Fie numerele: 1 = 2 1 ; y = 3; 1 = 1 . 2 3 Calculaþi: a) x + y; b) y + z; c) x + 2y + z.
1 12 12. Fie numerele x, y ºi z astfel încât: 1 + 2 = 1 ; 1 + 2 = 1 ; 1 + 2 = . Calculaþi: 23 2 2 a) x + 2y + z; b) x + y + 2z; c) 2x + 2y + 2z. 1 2 3 144 1 1 1 1 + + + 555 + +2 +3 + 444 + 155 ; b) 1 ; 64 64 64 64 155 155 155 155 1 1 1 1 ⎞ ⎛1 2 3 44 ⎞ c) ⎜⎛ + + + 555 + ⎟ + ⎜ + + + 555 + ⎟. 177 ⎠ ⎝ 2 3 6 177 ⎠ ⎝2 3 6
13. Calculaþi: a)
14. Calculaþi: a) 1 + 1 ; 11 22
b) 1 + 1 ; 12 22
c)
1 + 1 . 1 2 1 22 2
1 2 3 144 15. Calculaþi: 14 + 11 + 12 + 222 + 1567 . 1 1 1 1
4. Scãderea numerelor raþionale pozitive 1. Calculaþi: 1 2 1 2 a) 3 ; b) 3 ; 4 4 4 4 2. Calculaþi: 1 1 a) 2 ; 3 4 123 5 4 ; e) 32 6
c)
132 ; 4 4
121 ; 3 4 1 3 2 f) ; 22 11
d)
132 . 4 4
1 32 ; 24 5 1 1 1 g) 2 2 . 3 4 13
b)
c)
d)
b) 2 1 3 4 1 ; 5 15 1 2 f) 3 + 4 5 ; 6 7
c) 1 1 + 2 1 3 1 1 ; 2 4 5 1 1 g) 2 3 + ; 4 5
12 3 2 ; 24 56
3. Calculaþi:
1 1 a) 2 3 2 ; 2 4 1 1 e) 2 3 + ; 4 15 4. Calculaþi:
( )
( 21 + 21 ) 4 ( 13 + 353 ) ; b) ( 4 61 5 3372 ) 5 ( 83 5 63 ) ; 1 1 ⎤ ⎡ ⎡ 1 1 1 ⎤ d) 12 3 ⎢ 4 3 ( 3 ) ⎥ ; e) 213 ⎢ 4 3 ( + ) ⎥ . 5 16 ⎦ ⎣ ⎣ 2 5 6 ⎦ a)
d) 2 3 1 ; 4 12 4 1 + 3 h) . 5 6 57
(
(
)
)
⎡ 11 4 2 4 1 ⎤ + 1 3 c) ⎢ ; ⎣ 15 61 16 ⎥⎦ 5
25 1 1 1 5. Fie numerele: 1 = 1 + 2 + 3 ; 1 = 2 1 3 4 1 3 1 . 2 2 2 4 4 4 Calculaþi: a) x + y; b) x y. 12 ºi 1 + 2 = 1 , calculaþi: x + 2y + z; x z. 6. a) Dacã 1 + 2 = 3 2 1 b) Dacã x + y + z = 4 ºi 1 = , calculaþi: x + y + 2z; x + y. 2 1 c) Dacã x + y + 2z = 21 ºi 1 + 2 = 2 , calculaþi: x + 2y + 3z; x + z. 3 7. Rezolvaþi în {+ ecuaþiile: 1 23 1 1 + 1 2 3 = 45 . a) 1 + = ; b) 1 2 3 = 4 ; c) 1 + 1 3 2 = 4 ; d) 36 2 4 5 5 6 8. Calculaþi: a)
9 ( 7 + 7 + 7 + 888 + 7 ) ; ( 41 + 21 + 32 + 888 + 4556 ) 455
4 1 2 455
1 . b) 12 1 2 11 2 12 2 333 2 344 4 4 4 4
9. Calculaþi: 1 1 ; a) 2 13 2 + 2 3 1 13 13 + 23 2 3
1 b) 1 2 2 . 222 111
5. Compararea ºi ordonarea numerelor raþionale pozitive 1. Comparaþi urmãtoarele numere raþionale: 1 2 11 34 2 ; a) 34 ; b) c) 1 34 2 ; 5 5 56 56 56 56
d) 1 34 2 . 25 25
2. Comparaþi fracþiile:
1 23 1 ; 4 5
b) 12 34 12 ; 5 6 3. Comparaþi numerele: a)
c) 12 34 12 ; 5 6
d) 12 34 12 . 56 75
1 34 2 11 34 2 12 45 3 1 ; b) ; c) ; d) 2 34 ; e) 1 34 2 ; f) 12 45 3 . 56 5 15 6 26 7 5 56 78 67 38 4. Ordonaþi crecãtor numerele: 1 2 3 4 5 1 2 3 45 a) 6 6 6 6 ; b) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ; c) 1 5 22 5 3 5 4 ; d) 6 6 6 . 4 4 4 4 4 7 8 47 14 3 13 4 5 6 6 7 8 28 a)
5. Ordonaþi descrescãtor numerele: 1 2 33 3 4 12 3 12 3 12 3 12 3 12 a) 5 5 5 5 ; b) ; 6 6 6 6 6 4 5 6 51 74
c)
1 424 341 ; 25 6 7 5
d)
1 6 2 6 3 6 45 . 2 7 48 89
26 1 ; 1 = 1 + 1 + 1 + 222 + 1 . 6. Comparaþi numerele: 1 = 1 + 11 + 12 + 222 + 344 3 3 3 3122 3 33 3 34 3 3 7. Stabiliþi care numãr este mai mare: 1 = 23 4 1 + 1 + 555 + 1 ; 1 = 1 + 2 + 3 + 555 + 44 . 6 7 188 2 3 6 177
(
)
6. Înmulþirea numerelor raþionale pozitive 1. Calculaþi: 1 2 a) ⋅ ; 3 4 12 ⋅ 34 f) ; 5 62
1 ⋅ 23 ; 4 35 12 ⋅ 13 g) ; 45 612
b)
12 ⋅ 3 12 ⋅ 3 ; d) ; 4 56 4 56 122 ⋅ 31 12 ⋅ 32 h) ; i) . 34 152 42 45
c)
e)
12 ⋅ 34 ; 1 56
2. Calculaþi:
1⋅2⋅3 ; 2 3 4 12 ⋅ 31 d) ; 14 5 a)
1⋅ 2 ⋅3 ; 4 45 4 11 ⋅ 2 ⋅ 3 e) ; 4 55 6 b)
12 ⋅ 2 ⋅ 1 ; 3 45 3 112 ⋅ 132 ⋅ 4 f) . 152 67 12
c)
3. Calculaþi:
1 ⋅32 ; 45 6 1 ⋅3 2 ⋅42 ; d) 56 3 4 a)
4. Calculaþi: 1 2 a) 3 ⋅ ⋅ 3 ; 4 35 1 2 d) 34 ⋅ 2 ⋅ ; 56 78 5. Calculaþi:
(
1 2 b) 3 ⋅ 2 ; 4 35 12 ⋅ 3 1 ⋅ 1 3 e) . 4 5 6
1 2 1 c) 3 ⋅ ⋅ 4 ; 5 45 6
1 ⋅ 3 ⋅2 2 ; 4 5 1 2 e) 2 ⋅ 3 ⋅ ; 34 3
1 2 c) 3 ⋅ ⋅ 4 ; 45 1 1 2 f) 2 ⋅ 3 ⋅ . 24 5
b)
) c) 24 5 ⎡⎢ 625 ( 1 + 2 ) ⋅ 6 3 ⎤⎥ ; 7 7 1⎦ ⎣ 1 2 3 2 e) ( 4 ) ⋅ ( 4 ) ; 5 6 7 28 g) ⎡( 2 1 6 1 1 ) ⋅ 23 6 4 ⎤ ⋅ 51 ; ⎢⎣ 7 27 8 9 ⎥⎦ 41 a) 3 ⋅ 1 4 2 ⋅ 3 + 2 ; 23 5 6
(
)
1 1 2 b) 3 ⋅ 2 4 4 ; 5 6 7
( ) ( ) ⎡ 1 1 2 ⎤ f) ⎢( 3 + ) ⋅ 4 1⎥ ⋅ 15 ; ⎣ 2 6 3 ⎦ h) ⎡ 1 ( 2 + 3 ) + 4⎤ ⋅ ( 4 5 4 ) . ⎢⎣ 6 74 42 ⎥⎦ 2 8
d) 1 + 1 ⋅ 2 + 1 + 1 ⋅ 3 ; 2 4 3 5
27 6. Rezolvaþi în {+ecuaþiile: a) 1 3 1 = 2 ; 4 56
b)
( 1 + 14 ) 2 3 = 13 ;
c) ⎛⎜ 1 + 1 3 11 ⎞⎟ 4 5 = 2 . 6 6 ⎠ 6 ⎝
12 ºi z = 3, calculaþi xz + yz. 7. a) Dacã 1 + 2 = 1 b) Dacã 1 + 2 = 1 ºi 1 + 2 = 1 , calculaþi 3x + 8y + 5z. 2 2 c) Dacã 1 2 2 = 1 ºi y z = 3, calculaþi (x y)(y z)(x z). 3
1 2 3 144 1 2 3 144 8. Calculaþi x · y dacã: 1 = ⋅ ⋅ ⋅ 555 ⋅ ºi 1 = ⋅ ⋅ ⋅ 555 ⋅ . 6 7 8 149 6 7 8 699 9. Calculaþi: 1 2 ⋅ ; a) 2 1 2 ⋅ 212 1 1 1 22
11 b) 22 ⋅ . 11 2 1
7. Împãrþirea numerelor raþionale pozitive 1. Scrieþi inversele urmãtoarelor numere raþionale: 1 1 1 a) ; b) ; c) ; d) 3; e) 2 1 ; f) 1 + 1 . 2 2 2 2 3 3 2. Calculaþi: a) 1 3 2 ; 4 5 e) 12 32 2 ; 4 5 3. Calculaþi:
b) 1 3 2 ; 4 5 f) 4 1 5 23 ; 6 7
1 ⋅ 2 31 1 ; 4 5 6 1 45 2 ⋅ 3 d) ; 63 7 8
122 4 12 4 3 ; 51 6 7 1 4 2 ⋅3 e) ; 35 26 2 b)
a)
4. Calculaþi: 1 21 2 a) ; b) 3 ; 2 4 3 1 5. Calculaþi: a) 1 + 2 3 44 ; 5 4
(
)
12 3 4 ; 25 g) 122 4 32 . 56 37
c)
1 c) ; 32 3
b) 1 ⋅ 2 4 3 + 5 1 ; 5 6 7 18
d) 21 3 1 ; 2
12 6 34 ⋅ 5 ; 357 78 1 1 2 f) 3 4 4 . 5 6 c)
1 d) 2 . 23 4
(
)
c) 1 1 + 2 2 5 34 ; 6 6 3
(
)
d) 1 3 2 + 1 . 4 5 4
28 6. Aflaþi un numãr raþional x ºtiind cã: 1 1 + 23 ⋅ 4 a) dublul sãu este 2 ; b) triplul sãu este . 3 4
(
7. Rezolvaþi în {+ecuaþiile:
)
( )
1 1 c) 3 ⋅ 1 + 1 = 2 ; d) 1 1 + 1 1 = 1 . a) 2 1 = 2 ; b) ⋅ 1 2 1 = 3 ; 4 3 4 4 2 3 14 8. Efectuaþi calculele: 1 + 2 + 3 + 444 + 35 8 2 + 6 + 7 + 444 + 75 1 2 3 4 55 a) ; b) 16 6 6 6 67776 ; 3 + 7 + 9 + 444 + 95 7 + 12 + 1 + 444 + 1 5 2 3 4 8 199 1 1 ⎞ 1 + 2 + 21 + 333 + 222 ⎛1 1 . c) ⎜ + 1 + 3 + 333 + 455 ⎟ 4 2 2 ⎠ 222 ⎝2 2
8. Puterea unui numãr raþional pozitiv 1. Calculaþi: a)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 1
1
1
1
1 1 1 12 ; b) ; c) ; d) 2 2 2 34
1
1
1
1
1 1 1 12 ; f) ; g) ; h) 122 2 2 3
; e)
2. Scrieþi ca o singurã putere:
()() ()(); ()(); ()() 1 2 3 1 2 13 1 1 1 1 e) ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) ; f) (1 ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) ; g) ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) ⋅ 222 ⋅ ( ) 4 3 5 4 4 15 3 3 3 3 1
2
1 ⋅ 1 b) 2 2
1
1
1
1 ⋅ 1 ; a) 2 2
1
23
1
1 ⋅ 1 c) 2 2
1
2
22
3
1
3. Scrieþi ca o singurã putere:
() () () () () () 1 1 1 1 1 12 e) ( ) 2 ( ) ⋅ ( ) ; f) ( 3 ) 4 ( 3 + ) ⋅ ( ) ; 3 3 3 5 5 2 1 a) 3
11
2
2 1 ; 3
1 b) 3
1
2 1 ; 3
2
1 c) 3
1
1
2
1 1 d) ⋅ 2 2 2
⋅ 1 ; 2
3
456
( ) ( ) 2 ( 31 ) ; 1 1 1 g) ( ) ⋅ ( ) ⋅ 222 ⋅ ( ) . 3 3 3
2
2 1 ; 3
1 d) 3
2
1
12
2 1 3
2
4. Scrieþi ca o singurã putere:
()
1
⎧⎪ ⎡ 3 ⎤ 2 ⎫⎪ d) ⎨ ⎢ 1 ⎥ ⎬ ; 2 ⎦ ⎪ ⎩⎪ ⎣ ⎭ 5. Calculaþi: 1 2 a) 1 + 1 ; 2 2
() ()
()
()
()
⎡ 2⎤ c) ⎢ 1 ⎥ ; ⎣ 2 ⎦
⎡ 2⎤ b) ⎢ 1 ⎥ ; ⎣ 2 ⎦
⎡ 2⎤ a) ⎢ 1 ⎥ ; ⎣ 2 ⎦
1 344 2 ⎫
()
⎧⎪ ⎡ e) ⎨ ⎢ 1 ⎪⎩ ⎣ 2 b)
⎤ ⎥ ⎦
⎪ ; ⎬ ⎪⎭
( 41 ) 3 ( 41 ) + 25 ; 1
2
1 3111 211 ⎫
()
⎧⎪ ⎡ f) ⎨ ⎢ 1 ⎪⎩ ⎣ 2
⎤ ⎥ ⎦
⎪ ⎬ . ⎪⎭
( ) ( ) + 31 ;
c) 1 3
.
1
2 1 43
2
3
34
29
() () () () ( ) ( ) () () 1
( ) () ( () () () () ( ) ( )
3 1 ⎤ + 1 ⎥2 1 ; 3 ⎦ 3 1 2 1 5 21 6 3 g) 4 + ; 7 7 28 2 1 3 1 42 ; i) 5 5 6
⎡ 1 d) ⎢ ⎣ 3
2
+ 1 3
)
1 1 1 ⎡ ⎤ e) ⎢ 1 1 3 1 ⎥ ⋅ 2 ; f) 1 + 1 1 ; 2 ⎦ 4 2 3 ⎣ 2 1 2 3 4 h) 1 2 1 2 1 2 1 ; 3 3 3 3 12 3 1 1 2 11 3 1 j) 1 + + . 4 5 6
6. Calculaþi:
( ) ( ) ( ) ( ) ⎤⎥⎦ ⋅ 1 + 2 + 22 + 333 + 2 ; ⎡ ⎤ ⎡ b) ⎢ 2 ⋅ ( 1 ) + 2 ( 1 ) + 333 + 2 ( 1 ) ⎥ 4 ⎢( 1 ) + ( 1 ) + 333 + ( 1 ) 5 5 ⎦ ⎣ 5 5 5 ⎣ 5 c) ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 333 2 ( 1 ) . 4 4 4 4 1
⎡ a) ⎢ 1 ⎣ 2
2
+ 1 + 1 2 2 1
3
+ 333 + 1 2
2
1
2
311
34
3
312
3
4
311
5
67
41
⎤ ⎥; ⎦
9. Ordinea efectuãrii operaþiilor
1. Calculaþi:
1 + 1⋅2 ; 3 4 e) 3 1 4 2 + 1 3 4 1 ; 5 5 1 2. Calculaþi: a)
( 16 3 26 ) 4 5 ;
14253 ; 6 3 6 1 2 3 f) 3 + 4 ; 5 6 36
c) 1 ⋅ 1 + 1 ; 2 3 12 g) 12 1 3 1 4 1 . 5 6 7
b)
d) 1 ⋅ 2 + 3 4 2 ; 5 6 7 1
c) 2 3 ( 1 4 1 ) ; d) (1 1 2 1 1 ) ⋅ 34 ; ) 2 15 5 6 1⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎛ 1 1 1 1 2 g) ( 3 4 5 ) ⋅ ( + ) ; e) ⎜ + ⎟ 2 ⎜ + ⎟ ; f) ( 1 + 2 1 ) 3 ( 1 4 1 ) ; 5 3 15 6 5 2 6 17 3 ⎠ ⎝3 3 ⎠ ⎝3 1 1 1 1 1 2 3 2 i) ( + ) ⋅ ( + ) . h) (1 2 2 ) 3 ( 4 2 2 ) ; 4 5 6 7 4 5 6 6 a)
1
(
1 2 ⋅ 56 b) 3 4 ; 6 37
1
2
3. Calculaþi:
() () ⎡ ⎤ d) ⎢ 1 4 23 5 ( 3 ) ⎥ 4 6 3 ; 7 38 9 ⎣ ⎦ 39 1 1 1 1 g) (1 2 ) 3 ( + ) ; 4 5 6 4 a)
1 3
1
+ 1 2
1
⋅2; 1
1
2
() ( )
⎡ 1 ⎤ b) ⎢ 1 4 1 + 2 ⎥ ⋅ 23 ; 5 67 ⎦ 8 ⎣ 5 e) ⎡⎢ 1 + 1 ⋅ 12 4 1 ⎤⎥ 5 3 ; ⎣ 6 7 8 9⎦ 9
(
)
h) 12 3 ⎡13 1 + 1 ⎤ 4 1 . ⎢⎣ 5 65 ⎥⎦ 12
( ) ( ) 4 73 5 383 ; 1 1 12 f) ( 3 ) 4 ; 2 5 6 c)
1 2
1
⋅ 2 6 1
1
30 4. Calculaþi:
(
)
⎡ 1 ⎛ 1 1 ⎞⎤ b) 13 4 ⎡⎢ 1 + 1 1 ⋅ 2 4 1⎤⎥ ; a) ⎢ 2 ⎜ 1 2 2 ⎟ ⎥ ⋅ 3 ; 4 4 ⎠⎦ ⎝4 ⎣ 5 2 6 ⎦ ⎣ 1 2 1 ⎤ 3 ⎡12 1 2 1 + 1 ⎤ ⎡ 1 c) ⎢1 + 2 ; d) ⎡⎢ 1 + 2 3 1 3 1 ⎤⎥ ⋅ 2 3 13 1 ; 2 ⎣ 4 56 71 ⎥⎦ ⎢⎣ 4 8 15 ⎥⎦ ⎣ 4 5 6 12 ⎦ 1 1 ⎡ 1 1 2 1⎤ e) ⎢ 2 3 1 ⋅ 3 ⎥ 4 2 3 1 . 5 6 7 18 9
⎣ ⎦ 5. Calculaþi:
(
(
)
)
2+ 1 3; a) 45 2 6
(
b)
() () 1
2
12 1 2 1 3 3 3 d) ; 12 1 + 1 4 34 56
(
)
)
(
()
() (); 1 3
1
2
2 1 3 4
)
( )
1
12 1 3 3 c) ; 4 + 1 53 16
3 1 4 11 ) ⋅ 2 ( 5 6 7 e) . 1 + 1 ⋅ 18 ( 9 7) 6
6. Calculaþi: 1 1 1 1 1 1 1 a) 1 + 2 + 3 + 444 + 155 6 1755 8 95 8 7 8 444 8 1 ; 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 b) 2 3 + 2 4 + 2 5 + 666 + 2177 . 8 3 4 99
(
)(
)
10. Numere raþionale pozitive scrise sub formã zecimalã 1. Transformaþi în fracþii zecimale: 12 2 3 143 5 8 61 8 1753 a) 19 8 199 8 19 8 1999 8 ; 19 192 19
1 5 2 5 3 5 1 5 3 5 41 5 41 5 3 ; 4 6 47 146 67 46 8 9 1 8 23 8 425 8 673 8 243 d) . 29 29 29 29 22
b)
c) 1 7 2 7 13 7 4 7 52 7 36 ; 5 5 8 5 11 55 2. Transformaþi în fracþii ordinare: a) 0,4; 1,2; 12,4; 0,03; 41,3; 714,21; 1,07; b) 0,(3); 0,(6); 1,(61); 2,(36); 0,(123); 1,(721); c) 0,1(6); 2,2(3); 0,21(6); 3,1(63); 6,12(36); 3.12(3); 7,1(42). 3. Comparaþi numerele: a) 1 ºi 1,4; b) 2,1 ºi 2,11; e) 7,432 ºi 7,431; f) 1,3 ºi 1,(3); 4. Ordonaþi crescãtor numerele: a) 2,3; 2,31; 2,(3); 2,4; 2,35;
c) 5,41 ºi 5,5; g) 1,2(6) ºi 1,26;
d) 21,04 ºi 21,4; h) 3,(65) ºi 3,(63).
b) 3,61; 3,(6); 3,(63); 3,62; 3,7.
31 5. Determinaþi a 2009 - a zecimalã a numerelor de mai jos: a) 1,5; b) 0,21; c) 0,(6); d) 4,(73); e) 7,(213); f) 9,21(3); g) 31,7(63). 6. Determinaþi partea întreagã ºi partea fracþionarã a numerelor urmãtoare: a) 0,23; b) 7,2; c) 0,(64); d) 1,3(7); e) 0,2(46); f) 1,7(3). 7. Reprezentaþi pe axã urmãtoarele numere zecimale: a) 1,2; 1,8; 1,4; 1,5; b) 5,12; 5,2; 5,15; 5,17; 5,16. 8. Aflaþi cifra x din relaþiile: a) 12 ( 1 ) + 32 ( 1 ) + 42 ( 1 ) = 52 ( 5 ) ;
b) 12 (31 ) + 12 ( 4 1 ) + 555 + 12 ( 6 1 ) = 72 ( 89) .
11. Operaþii cu numere raþionale pozitive scrise sub formã zecimalã
1. Calculaþi: a) 3,1 + 4,5; b) 2,4 1,1; c) 3,27 + 1,05; d) 0,412 + 5,103; e) 1,75 0,35; f) 4,21 0,3; g) 4,95 1,36; h) 1,73 0,8; i) 9,26 1,101. 2. Calculaþi: a) (3,21 1,3) + 0,4; b) (7,41 0,1) (2,3 + 0,4); c) (36 1,41) 10,3; d) 10 (1,4 0,4); e) 4,25 (1,3 + 2,7); f) (9,45 1,4) (3,4 + 1,9); g) 1 + (0,1 + 0,2 + 0,3); h) (9,4 + 7,3) 2,41. 3. Calculaþi: a) 231 − 1 ; 14
b) 123456 1 ; c) 1 + 0,(6); 7
f) 1,(6) + 0,(3);
g) 6,(31) + 6,(3);
d) 21 3,(63); e) 23 4 5 1 ; 6 1 2 34 1 h) 2,41 0,(6); i) ( ). 5
4. Calculaþi: a) 1 + 234 + 135 ; 6 d) 9,63 [0,(4) + 1,(6)];
b) 2 3 45 ( 6) 3 1 ; c) 2 1 3 452 ; 7 6 1 e) 2345 6 6 713 ( 4) 6 8395 ;
(
)
f) 123( 4 ) + 521( 6 ) 7 1 ; g) ⎡⎣12 ( 3 ) 4 52 ( 6) ⎤⎦ 4 ⎡⎣52 ( 7 ) 4 52 ( 8 ) ⎤⎦ . 8 5. Calculaþi: a) 4,3 · 2; b) 2,21 · 4; c) 3,36 · 0,01;
32 d) 4,21 · 10;
e) 9,63 · 1000;
g) 7 · (1,1 1,01);
h) 10 (3,6 + 4,1) · 0,2;
1 f) ( 231 + 431) ⋅ ; 5 i) (0,4 + 0,6) · 3 + 4,21.
6. Calculaþi: a) 0,4 · 0,(3); d) 1,(8) · 0,9; g) 9,09 · 1,(7); 7. Calculaþi: a) 41 : 2; e) 9,41 : 100; i) 11,3 : 4;
b) 2 1 ⋅ 1342 ; 5 e) 27,21 · 1,(6);
f) 7,02 · 0,2(7);
h) ⎡⎣34 ( 5 ) + 34 ( 6 ) ⎤⎦ ⋅ 12 ; 77
1 i) ⎡⎣234 + 23 ( 54) ⎤⎦ ⋅ . 6
b) 3,61 : 10; f) 7,32 : 0,1; j) 7,4 : 6;
8. Efectuaþi calculele: a) 1 2 34 ( 5 ) ; b) 12 3 451( 6 ) ; 17 6
c) 0,(5) · 1,2;
c) 2,21 : 4; g) 9,4 : 0,01; k) 9,21 : 0,3;
1 c) ⎡⎣234 + 23 ( 4 ) ⎤⎦ 5 ; 6
d) 4,32 : 0,2; h) 76,42 : 0,02; l) 12,6 : 0,06. d) 7,2 : [1,(6) 0,(3)];
(
)
1 1 e) 2,(63) : (0,1 + 0,8); f) (1,6 + 2,4) : (2,(4) + 0,(3)); g) (123 4 125 ) 6 7 4 . 8 3 9. Calculaþi: a) 0,13; b) 0,022; c) 0,54; d) 0,72; e) 1,22; f) 1,52.
10. Scrieþi cu o singurã putere: a) 1,62 · 1,63; b) 2,14 : 2,1; c) 0,71 · 0,72 · 0,73 · 0,74; 2 3 4 4 3 d) (1,5 ) · (1,5) ; e) 0,3 · 0,3 : 0,3; f) [(41,2)3]4 : 41,23; g) {[(0,4)2]3}4 : (0,4)10; h) (0,12 · 0,13)9; i) 0,92 · 0,92 : (0,9)3; 3 4 5 4 8 4 5 6 10 j) (4,2 · 4,2 ) : [(4,2) ] ; k) (1,2 · 1,2 : 1,2 ) · 1,23. 11. Calculaþi: a) 2,1 : 0,12 0,02; b) (0,12 + 0,13) · 103; c) (9,6 1,22) : 102; d) (4,2 2,2)2 : 0,4; e) 9,6 4,2 2,1 : (2,1 0,7)); f) (0,2 + 0,22 + 0,23): 0,4. 12. Calculaþi: a) ⎡12 ( 3 ) 4 52 ( 5) ⋅ 6 1 ⎤ ; ⎢⎣ 17 ⎥⎦ 12 3 452 + 45 1 + 657 3 1 c) ( ); 4
b) (1,2 0,3)2 · 1,(6); d) 1,3(6) · (1,4 0,2) : 1,(7);
1 e) [(4,7 0,52) : 10 + 1] : 4; f) ⎣⎡12 ( 3 ) + 12 ( 4) + 12 ( 5 ) ⎦⎤ ⋅ ; 13
{
1
1
g) ⎡⎣ 23 ( 4 ) ⎤⎦ + ⎣⎡ 23 ( 5 ) ⎦⎤ + ⎣⎡ 23 ( 6 ) ⎦⎤
(
1
} 7 ( 14 + 81 + 191 ) ;
)
1 1 1 h) ( 2314 131 4 1) ⋅ 5136 ( 7 ) 4 + ; 6 2 8 i) [9,(6) 3,(6)]2 : [2,1(3) + 3,2(3) + 0,2(3)].
33
12. Ecuaþii 1. Care dintre elementele mulþimii A = {0,2; 6,1; 0,6; 7,4; 0,53} sunt soluþii pentru urmãtoarele ecuaþii: a) x 2,l1 = 4; b) 2x = 1,2; c) 10x 1,3 = 4; d) 0,4 : x = 2; e) x 0,3 = 7,1? 2. Rezolvaþi în {+ ecuaþiile: a) x + 1,4 = 2,8;
b) x 3,1 = 0;
d) 4,9 x = 1,21;
e) x 1,(3) = 0,2;
g) 17,01 x = 11,01;
h)
1 + 1 = 23 1 ; 4
3. Rezolvaþi în {+ ecuaþiile: 1 a) 2x = 15; b) 1 2 = 34 5 ; 6 1 e) 1,(8) : x = 1,(3); d) 1 2 = 345 ; 6 g) 2,4x = 0,24; h) 0,2x = 38; 4. Rezolvaþi în {+ ecuaþiile:
c) 1 + 1 = 234 ; 5 1 f) 1 + = 2 ; 23 i) 1 2 1 = 34 ( 5) . 3
1 c) 23 ( 4 ) 1 = 1 ; 5 f) 10x = 17; 1 i) 2 1 = 345 . 6
a) 2x 0,9 = 1,1;
b) 23 1 + 1 = 245 ; 5
d) 3x 9,1(6) = 10,1(3);
e) 0,02x 6,01 = 8,03;
g) 0,001x 7,002 = 8,1;
h) 31 9x = 7.
5. Rezolvaþi în {+ ecuaþiile: a) 1,2x + 2,5x = 74;
b) 7x 0,5x + 1 = 14;
c)
c) 2 1 1 + 34 ( 5 ) = 1 1 ; 2 6 1 2 f) 3 1 + = 4 ; 5 6
1 1 + 1 1 3 1 = 12 ; 4 5 5
1 2 d) 34 ( 5) 1 + 1 = ; e) 9,2x 0,1x 2,1x = 2,1; f) 9,7x + 0,3x 1,4 = 17,1. 6 7 6. Rezolvaþi în {+ ecuaþiile: a) 0,5x + 7,5x 1 = 2x + 7,4; c) 1 1 1 3 2 + 1 1 1 = 145 1 + 15 ; 6 7 7 e) 7,2 9,5x = 0,5x 0,8; 7. Rezolvaþi în {+ ecuaþiile: a) 10(x + 1,2) = 16,4; c) (2x + 17) : 6,2 = 102; e) 0,(2)·(3x 0,1) = 0,(7);
b) 7x 15 = 3x + 21; d) 1,(6)x + 4,1 = 1,(3)x + 9,6; f)
1 1 2 1 = 1 + 34 56 . 7
b) (x + 5,6) : 10 = 1,2; d) 2,1 : (2x + 1) = 0,7; f) 1,(7) : (0,1x 1) = 2,(8).
34 8. Rezolvaþi în {+ ecuaþiile: a) 2[0,(6)x + 1] = 3[1,(3)x + 0,3]; b) 12 ⋅ ( 1 + 13 4 1 5 4 1 ) = 631( 2 1 5 637 1 + 137 1 + 631) ; 4 c) 341( 5 1 + 64 7 ) = 34 7 1 + 12 8 341 ; 6 d) 1,(7) (x + 0,(5)) = 0,(7).
(
)
9. Rezolvaþi în {+ ecuaþiile: 1 +1 + 1 = 1 + 2 a) ; b) 1 + 1 + 2 = 3 ; c) 45 6 1 + 1 1 2 = 21 + 3 ; 3 4 5 4 5 26 7 34 1 + 1 1 + 2 d) 34 ( 1) 1 + ; e) 141( 5 ) 1 6 1 + 1 = 1 + 23 . = 35 6 13 73 10. Rezolvaþi în {+ ecuaþiile: a) 0,1x + 0,2x + 0,3x + ...+ 0,9x 0,4 = 8,6; b) 0,1x + 0,2x + 0,3x + ... + 2,5x = 6,5.
{
13. Inecuaþii
}
1. Fie mulþimea 1 = 1 2 3452 67432 8741 . Care din elementele mulþimii A verificã 9 inecuaþiile: a) 1 + 1 < 1 1 ; b) x 0,5 T 4,1; c) 0,1x 1 > 5,6; d) 1 ⋅ ( 1 2 1)13 ? 2 3 4 2. Rezolvaþi în q inecuaþiile: a) 1 2 1 113 4 ; b) x + 9,4 < 11,6; c) 1,(6) + x < 3,(3); 5 1 22 d) x 1,2 < 0,1; e) 1 + < ; f) x 0,(12) T 2,(15). 3 4 3. Rezolvaþi în q inecuaþiile: 1 a) 21 1 1 ; b) x : 2,1 < 10; 2 1 1 2 d) 1 1 < + ; e) 102x T 0,04; 3 4 3 4. Rezolvaþi în q* inecuaþiile: a) 2 1 + 345 1 3 1 ; b) 0,2x + 6,1 T 10,2; 5 d) x 1,6 < 2,1; e) 10x 4,1 < 2,5; g) 1 1 4 2 1 23 ; 5 6 5
c) x : 0,1 T 0,3; f) x : 1,4 T 2.
c) 7,2 + 2x < 10;
f) 1 1 1 + 1 < 12 ; 3 3 4 h) 0,3(x) + 1,(6) T 2,(7).
35 5. Rezolvaþi în q inecuaþiile: a) 3(x 1,2) < 12,3; b) 2,1(x + 1) < 8,4;
c) (x 6,3) : 3 T 1,23;
( )
d) 2x + 3,1(x 1) < 10,1; e) 4,2 + 3(x + 1,(2)) T 15,4; f) 2 1 + 1 1 13 . 3 6. Rezolvaþi în q* inecuaþiile: a) 1,2x 1 T 0,2x + 3; b) 2x 7,21 T 0,5x + 0,2; c) x + 0,1x + 6 T x 0,1x + 7,1; d) 1,2(x + 0,1) < x + 0,7; e) 0,(5)x 1,(6) T 0,(2)x + 2,(3); f) 1 ( 1 + 23 4 ) < 1 + 45 ; 4 g) 234 1 + 1 1 + 235 < 235 1 + 1236 . 7
14. Probleme care se rezolvã cu ajutorul ecuaþiilor 1. Aflaþi un numãr raþional pozitiv ºtiind cã: a) adunat cu 4,1 dã 7,2; b) diferenþa dintre el ºi 0,14 este 1,5; 1 c) scãzut din 1 dã 1 ; 2 2 1 d) dublul sãu este ; 2 e) treimea sa este 0,2(3). 2. Aflaþi un numãr raþional pozitiv ºtiind cã: 1 1 este ; a) diferenþa dintre dublul sãu ºi 2 2 1 b) suma dintre el ºi sfertul lui 5 este ; 2 c) cincimea diferenþei dintre el ºi 2,1 este 7,2; d) dublul sumei dintre el ºi 2,(6) este 11,4. 3. Aflaþi douã numere raþionale pozitive ºtiind cã: a) suma lor este 20,4 iar diferenþa lor este 1,2; b) suma lor este 7,5, iar unul dintre numere este cu 0,5 mai mare decât celãlalt; c) diferenþa lor este 20,25, iar unul dintre numere este de 6 ori mai mare decât celãlalt. 4. Trei copii au împreunã 50,5 lei. Aflaþi câþi lei are fiecare dacã primul copil are cu 5,5 lei mai mult decât al doilea ºi de 2 ori mai puþini lei decât al treilea. 5. O carte ºi un stilou costã impreunã 30,4 lei. Aflaþi preþul cãrþii ºi al stiloului, ºtiind cã preþul cãrþii reprezintã 1 din preþul stiloului. 2
36 6. Aflaþi perimetrul unui dreptunghi ºtiind cã lãþimea reprezintã iar lungimea este egalã cu sfertul lui 36,36 cm.
1 din lungime, 2
15. Media aritmeticã ponderatã
1. Determinaþi media aritmeticã ponderatã a numerelor: a) 3 ºi 9 cu ponderile 1 ºi 2; b) 2,1 ºi 3 cu ponderile 10 ºi 2; c) 2,4 ºi 1,3 cu ponderile 3 ºi 6; d) x = 4,1, y = 2,2 ºi z = 4,2 cu ponderile p1 = 1, p2 = 2, p3 = 3; e) x = 4, y = 9 ºi z = 2,4 cu ponderile p1 = 1,4, p2 = 3, p3 = 2. 2. Determinaþi numãrul raþional a, ºtiind cã media aritmeticã ponderatã a numerelor x1 = a, x2 = 2a, x3 = 3a cu ponderile p1 = 1, p2 = 2 ºi p3 = 3 este 14. 3. Determinaþi media aritmeticã ponderatã a numerelor x1 = 2, x2 = 2x1, x3 = 2x2, 1 1 1 1 x4 = 2x3 cu ponderile 12 = 2 13 = 2 2 11 = 3 2 14 = 1 3 4 4 4 4 4. Determinaþi numerele raþionale x ºi y, ºtiind cã x = 2y, iar media aritmeticã ponderatã a numerelor x ºi y cu ponderile 2 ºi 3 este 21. 5. ªtiind cã media aritmeticã ponderatã a numerelor x1, x2 ºi x3 cu ponderile p, 2p ºi 3p este 5, calculaþi x1 + 2x2 + 3x3. 6. ªtiind cã media aritmeticã ponderatã a numerelor a, b ºi c cu ponderile 2, 2 ºi 1 este 2, iar a + b + c = 7, determinaþi a + b. 7. La un test elevii unei clase au obþinut urmãtoarele rezultate: 2 elevi au luat nota 5, 8 elevi au luat nota 7, 5 elevi au luat nota 8, 2 elevi au luat nota 9, iar un elev a obþinut nota 10. Care este media pe clasã? 8. La un magazin alimentar s-a fãcut o aprovizionare cu mere de 3 tipuri: 20 kg cu 3 lei/kg, 30 kg cu 4 lei/kg ºi 50 kg cu 5 lei/kg. Care este preþul mediu al unui kilogram de mere? 9. Aflaþi numerele raþionale x, y ºi z ºtiind cã x = 12y + 1, z = 5y, iar media lor aritmeticã ponderatã cu ponderile 1, 3 ºi 5 este 9.
37
I II. Rapoarte ºi proporþii Noþiuni teoretice Prin raportul numerelor a ºi b se înþelege fracþia Egalitatea a douã rapoarte se numeºte proporþie.
1 , b ≠ 0. 2
Proprietatea fundamentalã a proporþiei În orice proporþie produsul mezilor este egal cu produsul extermilor. 1 2 = ⇒ 1 ⋅ 3 = 4 ⋅ 21 . 4 3 b ºi c se numesc mezi; a ºi d se numesc extremi. Procente
1 ⋅2. 122 Raportul cu numitorul 100 se numeºte raport procentual, se noteazã
p% din 2 =
ºi se citeºte p la sutã. Mãrimi direct proporþionale {x1, x2, ..., xn} d.p. {a1, a2, ..., an} dacã:
1 = 11 233
1 1 1 = 2 = 111 = 1 2 2 ∈12 2 2 3 . 3 32 31
Regula de trei simplã Exemplu: Un elev plãteºte pentru trei caiete 6 lei. Cât va plãti elevul pentru 5 caiete? d.p. 1 = 2 ⇒ 1 = 2 ⋅ 3 = 456789 3 caiete ............ 6 lei . 3 1 1 5 caiete ............ x lei Mãrimi invers proporþionale {x1, x2, ..., xn} i.p. {a1, a2, ..., an} dacã:
1 1 1 = 2 = 111 = 1 2 2 ∈12 2 2 3 . 4 4 4 3 32 31
Regula de trei simplã Exemplu: Doi muncitori terminã o lucrare în trei zile. În câte zile terminã aceeaºi lucrare 6 muncitori? i.p. 2 m ............ 3 zile 6 m ............ x zile
1 = 1 3 1 = 1 ⋅ 2 = 4 56789
2
Probabilitatea unui eveniment 1 2 = 1234526789 25 6 57 9 59 6 . 1234526789 25 6 57 6
38
1. Rapoarte 1. Scrieþi raportul numerelor: a) 2 ºi 7; b) 0,1 ºi 0,4; e) 0,(6) ºi 0,(3);
f) 7,1(2) ºi 2,1(5);
c) 1 45 23 ; 3 6 g) 1 1 23 4 1 . 5 16
2. Aflaþi valoarea raportului numerelor: a) 25 ºi 45; b) 21 ºi 35; d) 1 23 1 ; e) 2 1 34 1 1 ; 4 5 5 2 1 1 2 1 g) 7,3(2) ºi 0,1(3); h) 1 3 45 6 ⋅ 3 ; 7 8 8 8
( )
3. Scrieþi raportul lungimilor: a) 2 cm ºi 8 cm; b) 0,2 cm ºi 0,5 dm; d) 0,3 dm ºi 0,02 dam; e) 3 km ºi 4 hm.
d) 11 34 22 ; 2 1
c) 4 ºi 0,2; f) 1,(3) ºi 0,(6); i) 22 · 3 · 53 ºi 24 · 32 · 5. c) 2,4 cm ºi 5 mm;
4. Dacã: a) 1 = 12 ºi y = 2, aflaþi x; b) 1 = 1 ºi y = 15, aflaþi x; 2 2 1 1 c) = 12 3 ºi x = 14, aflaþi y; d) = 1 ºi x = 18, aflaþi y. 2 2 2 5. Fie un pãtrat cu latura de 8 cm. Aflaþi raportul dintre: a) latura pãtratului ºi perimetrul pãtratului; b) perimetrul pãtratului ºi latura acestuia; c) perimetrul pãtratului ºi aria acestuia. 6. Fie un dreptunghi cu lungimea de 10 cm ºi lãþimea de 6 cm. Aflaþi raportul dintre: a) lãþime ºi lungime; b) aria ºi perimetrul dreptunghiului; c) lungimea ºi perimetrul dreptunghiului; d) lãþimea ºi aria dreptunghiului. 7. Aflaþi douã numere raþionale pozitive, ºtiind cã: 1 a) raportul lor este , iar suma lor este 75; 2 1 b) raportul lor este , iar diferenþa lor este 20. 2 8. Aflaþi raportul: 1 1 1 1 1 1 1 2 2 a) , ºtiind cã: 2 = 1 34 = 2 ; b) , ºtiind cã: = , = 34 = . 2 2 2 2 2 2 3 5 1 5 3 6
39 9. ªtiind cã a)
1 ; 2
1=1 , calculaþi: 2 2 1+ 2 b) 1 1 ; c) ; 22 2 + 11
11 = 2 , calculaþi: 32 1 1+ 2 a) 1 ; b) 11 ; c) ; 2 1+ 2 12 11. Fie x, y, z iq*. Calculaþi:
d)
1+ 2 ; 11 2 2
d)
11 2 2 . 1 + 12
e)
11 + 2 . 22 3 1
10. ªtiind cã
1+ 2 1+ 2 2 + 2 3456 1 + = 1 ; 2 1 2 1 7 2 11 + 2 22 + 3 3 3 + 1 + + 5 6789 + 3 + 1 = 4 . b) 1 2 3 1 2 3 2 a)
2. Proporþii
1. Stabiliþi dacã urmãtoarele rapoarte formeazã o proporþie: 1 2 12 3 42 1 ; b) 1 45 23 ; c) a) 34 ; 56 5 6 6 7 728 72 18 123 1 34 12 12 3 ; e) 4 56 ; f) 3 45 ; d) 256 257 6 126 7 428
2 3+ 1 4 g) 56 4 ; 7 8+ 3 4
1+1 h) 3 4 67 1 +2 13
2 21 5 ; i) 34 ( 5) 78 6 ; 31 34 ( 9 ) 6 + 1 3 2
2. Formaþi câte o proporþie cu numerele: a) 2; 15; 6; 5; b) 1; 2; 0,1; 0,2; 3. ªtiind cã 1 = 1 , calculaþi: 2 2 11 2 2 1+ 2 11 ; b) ; c) ; a) 22 31 2 2 211
d)
1 2 1 j) 1 1⋅ 2 34 1 ⋅ 23 . 1 ⋅2 1⋅2
c) 10; 0,(5); 0,(7); 14.
11 ; 11 + 21
e)
11 + 21 ; 11 ⋅ 21
f)
11 + 21 . 1 22
1 , ºtiind cã: 2 1 + 2 11 1 + 12 2 1 + 12 2 11 + 22 1 1 =1 = ; c) = ; d) = ; e) a) ; b) = . 12 2 3 12 2 3 11 + 2 3 31 4 2 5 21 + 3 2 4 5. ªtiind cã: 1+ 2 11 + 2 2 3 1+ 2 2 1 + 12 = 4 56758769
; b) ; a) = 3 456476589 2 + 31 1 + 32
1 + 2 11 + 2 11 2 3 1 + 22 . c) = 4 56758769
1+ 2 21 1 2
4. Aflaþi raportul
40 6. Aflaþi x din proporþiile: 1 1 1 2 b) = ; a) = ; 2 3 1 3 1 = 23 1 = 12 ; f) ; e) 4 1 3 4 1 1 1 2 j) = ; i) = ; 2 3 1 3 7. Aflaþi x din proporþiile:
e)
)
⎡⎣12 ( 3 ) 4 121( 3 ) ⎤⎦ ⋅ 56 12 ( 7 ) = ; 1 12 ( 8)
8. Aflaþi x din proporþiile: 11 = 2 1 = 23 ; ; b) a) 3 4 41 5
1 = 2 ; 3 1 24
e)
11
i)
( 23 4 + 235 ) = 12 ;
1 = 23 b) ; 1 42 5
1
6
⎡ 123( 4 ) + 123( 5) ⎤⎦ 6 123( 7 ) 1 k) ⎣ ; = 3 81 8 1 = 1. m) 23 ( 354 6 35 1 7 8 ) ⋅ 9 4
11 = 23 ; 34 5 + 346 2 2 7
9. Aflaþi x din proporþiile:
1 +1 = 2 a) ; 3 4
12 ( 3 ) + 42 ( 5 ) 124 + 12 6 = ; 1 123
13 1 4 2 52 4 2 6 6 g) = 7 8; 1 9 ( 8 )
12 1 12 1 3= 4; h) 1 1 1+ 3 12 1 31 4 15 6 1 j) ; = 78 5 + 789
d)
c) 1 = 1 ; 2
( )
1 +21 3 1 ( 2 4) 5 1 ; f) = 2⋅(1 7 1 ) 6 4 12
l)
1=1 ; 2 3 1 1 h) = ; 2 3 12 = 3 l) . 4 1 d)
12 1 121 b) 5 6 = 3 4 ; 1 5
a) 1 = 12 ; 341 5 1+1 1 2 3; = d) 1 4 5 61 5
(
1=2 ; 1 3 12 = 23 g) ; 1 4 12 = 1 k) ; 3 4 c)
c)
1 = 21 ; 342 5 1+1 3 4= 2 . f) 5 61
1⋅1 1 + 1 4 = 2 3; c) 2 3 5
41 1 +1 = 1 + 2 ; 3 4 11 = 11 + 1 g) ; 2 3 d)
11 2 3 = 4 ; 5 31 1 1 1 2 = 23 h) 1 ; 1 + 2 24
1 +1 = 2 ; 1+3 4 11 2 3 = 4 i) . 1 +3 5
e)
f)
10. Aflaþi x din proporþiile: 1 = 23 + 32 ; b) 11 + 22 = 3 + 1 ; c) 11 + 21 = 2 3 ; a ºi b fiind cifre 2+3 1 11 22 ( 1 + 2 ) 11 + 22 2 3 + 3 nenule.
a)
3. Procente Aflarea a p% dintr-un numãr 1. Scrieþi sub formã de raport procentual: 123 1 1 1 1 1 1 1 ; e) ; f) ; g) 0,4; h) ; i) 0,03; j) . a) ; b) ; c) ; d) 2 2 2 23 23 23 2 31 2. Scrieþi urmãtoarele procente sub formã de fracþie ireductibilã: a) 25%; b) 50%; c) 30%; d) 120%; e) 45%. 3. Calculaþi: a) 2% din 200; d) 125% din 550;
b) 25% din 48; e) 2% din 40;
4. Calculaþi: a) 0,2% din 45; d) 1,4% din 32; g) 50,5% din 200;
b) 0,(6)% din 30; e) 33,(3)% din 45; h) 21,3% din 120;
c) 17% din 300; f) 140% din 20. c) 66,(6)% din 15; f) 1,(6)% din 6; i) 3,3% din 100.
5. Calculaþi: a) 50% din 50% din 400; b) 30% din 30% din 90; c) 10% din 50% din 28; d) 0,1% din 0,2% din 45; e) 7% din 3,(3)% din 75; f) 1% din 0,1% din 405. 6. Comparaþi: a) 30% din 120 cu 20% din 150; c) 25% din 44 cu 75% din 20;
b) 30% din 70 cu 70% din 30; d) 0,1% din 70 cu 0,2% din 50.
7. Comparaþi: a) 0,2% din 0,2% din 20 cu 0,3% din 0,4% din 50; b) 40% din 5% din 120 cu 25% din 25% din 80; c) 75% din 25% din 16 cu 7,5% din 2,5% din 160. 8. Într-o clasã sunt 24 elevi, iar 25% din ei sunt fete. a) Ce procent din numãrul copiilor reprezintã numãrul bãieþilor? b) Câte fete ºi câþi bãieþi sunt în clasã?
42 9. Un elev are de citit o carte de 50 de pagini în trei zile. În prima zi citeºte 20% din carte, a doua zi 75% din rest, iar a treia zi restul. Câte pagini a citit în fiecare din cele trei zile? 10. Un produs costã 4000 lei. Cât costã obiectul dupã: a) o scumpire de 10%; b) o ieftinire de 25%; c) o scumpire de 20% urmatã de o ieftinire de 5%; d) o ieftinire de 30% urmatã de o scumpire de 15%? 11. Care este preþul iniþial al unui obiect dacã: a) dupã o majorare de 20% obiectul costã 48 lei; b) dupã o ieftinire de 5% obiectul costã 475 lei; c) dupã douã ieftiniri succesive de 25% obiectul costã 16 lei? 12. O persoanã depune la bancã 1000 lei, dobânda anualã fiind de 5%. Ce sumã va avea persoana respectivã dupã: a) un an; b) doi ani? 13. Un cãlãtor parcurge un drum în patru zile astfel: în prima zi parcurge 25% din drum, a doua zi 30% din drumul rãmas, a treia zi 20% din drumul rãmas, iar a patra zi 84 km. a) Câþi km are drumul? b) Câþi km a parcurs în fiecare zi? 14. O persoanã depune la bancã o sumã, dobânda anualã fiind de 10%. Ce sumã a depus persoana dacã dupã doi ani va avea suma de 2420 lei?
Aflarea unui numãr când se cunoaºte p% din el
1. Aflaþi numãrul x, ºtiind cã: a) 25% din x este 12; b) 45% din x este 18; c) 75% din x este 48; d) 0,3% din x este 6; e) 1,(7)% din x este 0,16; f) 1,4% din x este 21. 2. Aflaþi numãrul x, ºtiind cã: a) 40 reprezintã 25% din x; c) 27 reprezintã 9% din x;
b) 120 reprezintã 20% din x; d) 4,5 reprezintã 90% din x.
3. Aflaþi preþul iniþial al unui obiect, ºtiind cã: a) dupã o scumpire de 10% obiectul va costa 55 lei; b) dupã o ieftinire de 20% obiectul va costa 36 lei; c) dupã o scumpire de 15% obiectul va costa 46 lei; d) dupã douã scumpiri succesive de 25% obiectul va costa 75 lei. 4. Aflaþi douã numere, ºtiind cã: a) 30% din primul numãr reprezintã 12, iar 50% din al doilea numãr este 4; b) 35% din primul numãr reprezintã 42, iar suma lor este 121; c) primul numãr reprezintã 25% din al doilea, iar suma lor este 55.
43 5. Un elev are de rezolvat un numãr de exerciþii în trei zile. În prima zi a rezolvat 20% din temã, adicã 5 exerciþii, a doua zi 40% din temã, iar a treia zi restul de exerciþii. a) Câte exerciþii are tema? b) Câte exerciþii a rezolvat în fiecare din cele trei zile? 6. Preþul unei cãrþi este de 23 lei ºi reprezintã 46% din preþul unui stilou. Aflaþi cât costã stiloul?
Raport procentual 1. Aflaþi cât la sutã reprezintã: a) 5 din 25; b) 6 din 60; e) 15 din 125; f) 35 din 3,5;
c) 4 din 16; g) 60 din 7,2.
d) 20 din 5;
2. Într-o bibliotecã sunt 300 cãrþi din care 60 sunt de matematicã, 105 de beletristicã, iar restul sunt de englezã. Cât la sutã din numãrul total reprezintã cãrþile de matematicã, beletristicã, respectiv englezã? 3. Aflaþi cât la sutã reprezintã x din y, ºtiind cã: 1 1 a) = ; b) 3x = 7y; c) 2x y = x + 3y. 2 2 4. Un numãr x reprezintã 20% din alt numãr y. Aflaþi cât la sutã reprezintã: a) 2x din y; b) x din 4y; c) x din (x + y). 1 5. Aflaþi raportul 2 , ºtiind cã: a) 20% din x = y; b) 35% din x = 15% din y; c) 125% din 5% din x este egal cu 45% din 20% din y.
6. a) Preþul iniþial al unui obiect este de 350 lei, iar dupã o scumpire costã 392 lei. Aflaþi cu cât la sutã s-a majorat preþul produsului. b) Preþul iniþial al unui obiect este de 150 lei, iar dupã o ieftinire costã 120 lei. Aflaþi cu cât la sutã s-a micºorat preþul produsului. 7. Dupã o scumpire de 20% urmatã de o ieftinire de 25% preþul unui obiect este de 18 lei. a) Care este preþul iniþial al obiectului? b) Cu cât la sutã trebuie majorat preþul obiectului pentru ca acesta sã fie de 22 lei?
4. Mãrimi direct proporþionale 1. Un creion costã 4 lei. a) Completaþi urmãtorul tabel: Num12342567895 1
25 3 56 4
2
4
7
44 b) Cu ajutorul tabelului deduceþi cã preþurile sunt direct proporþionale cu numãrul de creioane. c) Realizaþi graficul dependenþei proporþionale.
2. a) Completaþi tabelul:
x y = 2x
1
2
3
4
b) Realizaþi graficul dependenþei proporþionale.
c) Cu ajutorul tabelului deduceþi cã valorile lui y sunt direct proporþionale cu valorile lui x. 3. Stabiliþi dacã între mulþimile urmãtoare existã relaþia de proporþionalitate directã: a) A = {2; 3; 4} ºi B = {4; 6; 8}; b) A = {0,1; 0,3; 0,6} ºi B = {1; 3; 6}; c) 1 = 1 4 2 4 3 ºi B = {2; 4; 6}; 5 6 7 d) A = {0,(2); 0,(3); 0,(5) ºi B = {1,(2); 1,(3); 1,(5)}.
{
}
4. Aflaþi numerele x, y ºi z, ºtiind cã sunt direct proporþionale cu numerele: a) 2; 3; 6 ºi x = 6; b) 16; 5; 10 ºi y = 10; 1 2 1 2 1 34 1 = 1 ; d) 0,1; 0,3; 0,5 ºi y = 0,6. c) 5 6 7 15 5. Aflaþi numerele x, y ºi z ºtiind cã sunt direct proporþionale cu: a) 4; 7; 8 ºi k = 3; b) 1,2; 1,3; 1,4 ºi k = 20; c) 1 2 1 34 1 34 1 = 1 ; 5 6 7 18 1 d) 1,(6); 0,(3) ºi 1,(3) ºi 1 = , unde k este coeficientul de proporþionalitate. 2
45 6. Aflaþi numerele x, y ºi z, ºtiind cã ele sunt sunt direct proporþionale cu: a) 2; 5 ºi 3 ºi cel mai mic este 6; b) 7; 9 ºi 10 ºi cel mai mare este 30. 7. Aflaþi numerele x, y ºi z, ºtiind cã ele sunt sunt direct proporþionale cu: a) 2; 9 ºi 18 ºi x + y + z = 58; b) 1 2 1 34 1 34 1 + 2 + 3 = 1 ; 5 6 7 c) 0,4; 0,7; 0,5 ºi x + y + z = 3,2. 8. Aflaþi numerele x, y ºi z, ºtiind cã ele sunt sunt direct proporþionale cu numerele: 1 1 1 a) 3; 6; 9 ºi 2x + y z = 36; b) 21 2 345 1 + 6 2 + 7 3 = 78 ; 9 7
c) 0,1; 0,2; 0,3; ºi 3x y + z = 12; d) 2; 3; 5 ºi x · y + z2 = 279; e) 0,(3); 0,(5); 0,(7) ºi 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12 . 3 9. a) Împãrþiþi numãrul 120 în pãrþi direct proporþionale cu 12, 11 ºi 7. b) Împãrþiþi numãrul 48 în pãrþi direct proporþionale cu numerele 3; 5; 7; 9. 10. Numerele x, y ºi z sunt direct proporþionale cu numerele 2; 3 ºi 5. a) Aflaþi cât la sutã reprezintã numãrul x din suma celor trei numere. b) Aflaþi cât la sutã reprezintã numãrul x din y + z. 11. Aflaþi numerele x, y ºi z, ºtiind cã: a) {x 1; y 2; z 4} d.p {2; 3; 4}ºi x + y + z = 34; b) {2x 4; y; z 1} d.p {6; 3; 4}ºi x + y + z = 43; c) {x 1; y 2; z 3} d.p {1; 2; 3}ºi 2x + 3y z = 55. 12. Aflaþi numerele naturale x, y, z ºi t, ºtiind cã sunt sunt direct proporþionale cu divizorii lui 6 ºi xy + yz + zt = 234. 13. Aflaþi numerele x, y ºi z, ºtiind cã: a) {x; y} d.p {3; 2} ºi {y; z} d.p. {4; 9}, iar x + y + z = 19; b) {x; y} d.p {4; 3} ºi {y; z} d.p. {6; 2}, iar x + y z = 12. 14. Aflaþi numerele x, y ºi z, ºtiind cã: 3x = 2y ºi 6x = 5z, iar x2 + yz = 280. 15. Aflaþi numerele x, y ºi z, ºtiind cã: {10; 6; 4} d.p. {x; y; z}ºi x + y + z = 5. 16. Aflaþi numerele x, y ºi z, ºtiind cã: {1; 3; 5} d.p. {x 1; y 2; z 3} ºi 1222 3=1. 3 17. Aflaþi perimetrul ºi aria unui dreptunghi, ºtiind cã dimensiunile sale sunt direct proporþionale cu numerele 1,2 ºi 2,4, iar diferenþa acestora este 12 cm. 18. Aflaþi perimetrul unui triunghi, ºtiind cã laturile acestuia sunt direct proporþionale cu numerele 3, 4 ºi 5, iar diferenþa ultimelor douã este de 3 cm.
46 19. Aflaþi lungimile laturilor unui triunghi ºtiind cã sunt direct proporþionale cu numerele 0,4; 0,6 ºi 0,8, iar perimetrul triunghiului este de 18 cm. 20. Fie numerele x = 2a + 5b ºi y = 3a + b; ºtiind cã numerele a ºi b sunt direct proporþionale cu 3 ºi 5, aflaþi: 1 a) valoarea raportului 2 ; b) cât la sutã reprezintã numãrul x din x + y. 21. Aflaþi numerele x, y ºi z ºtiind cã {x, y} d.p. {4; 5}, y reprezintã 25% din z, iar media lor aritmeticã este 174. 22. Aflaþi numerele x, y ºi z ºtiind cã {x, y} d.p. {4; 7}, 4z = 3x, iar pãtratul sumei celor trei numere este 49. 23. Aflaþi numerele a, b ºi c ºtiind cã: {a + b; b + c; c + a} d.p. {6; 8; 4}, iar a2 + b2 + c2 = 140. 24. Aflaþi numerele a, b ºi c ºtiind cã: {a b; b c; c + a} d.p. {2; 4; 8} ºi (a b)(b c) = 72.
5. Mãrimi invers proporþionale 1. Un muncitor terminã o lucrare în 12 ore. a) Completaþi tabelul:
123456muncitori 123456758
1 12
2
3
4
b) Cu ajutorul tabelului deduceþi cã numãrul de muncitori este invers proporþional cu numãrul de ore. c) Realizaþi graficul dependenþei proporþionale.
2. a) Completaþi tabelul: x =
1
2
4
1 2
b) Realizaþi graficul dependenþei proporþionale.
8
47 c) Cu ajutorul tabelului deduceþi cã valorile lui x sunt invers proporþionale cu valorile lui y. 3. Stabiliþi dacã între mulþimile urmãtoare existã o proporþionalitate inversã: a) A = {2; 3; 6} ºi B = {6; 4; 2}; b) A = {4; 8; 6} ºi B = {12; 6; 8}; c) 1 = 1 2 1 2 1 34 2 = 5262 1 ; 5 6 7 5 d) A = {0,1; 0,3; 0,4} ºi B = {12; 4; 3};
{
}
{ }
{
}
e) 1 = 1 1 21 1 21 1 34 2 = {52627} . 5 6 7 4. Scrieþi trei numere invers proporþionale cu numerele: 1 1 1 a) 2; 15; 10; b) 3; 6; 9; c) 4; 5; 10; d) 2 2 ; 3 4 5
e) 0,1; 0,4; 0,8.
5. Aflaþi numerele x, y ºi z, ºtiind cã sunt invers proporþionale cu numerele: c) 0,(3); 0,(6); 0,(7) ºi z = 9. a) 1 2 1 2 1 34 1 = 5 ; b) 2; 6; 9 ºi y = 18; 5 6 7 6. Aflaþi numerele x, y ºi z, ºtiind cã sunt invers proporþionale cu numerele: b) 2; 7 ºi 15 ºi k = 35; a) 1 2 1 345 1 45 1 = 1 ; 6 7 7 c) 0,4; 0,6; 0,8 ºi k = 4,8; d) 0,(2); 0,(4) ºi 0,(6) ºi 1 = 1 . 12 7. Aflaþi numerele x, y ºi z, ºtiind cã: a) {x; y; z} i.p. {2; 3; 4} ºi x + y + z = 26 ; 1 1 1 b) { 12 22 3} 345653 2 2 374 1 + 2 + 3 = 118 ; 8 9
c) {x; y; z} i.p. {0,(4); 0,(8); 0,(6)} ºi x + y + z = 39.
{
}
8. Aflaþi numerele x, y ºi z, ºtiind cã: a) { 12 22 3} 345653 1 2 1 2 1 374 8 1 + 9 2 3 = ; 9 b) {x; y; z} i.p. {0,2; 0,5; 0,9} ºi x + 2y z = 71; c) {x; y; z} i.p. {2; 3; 6} ºi 3x + 2y + z = 28.
{
}
1 2 1 34 1 . 5 6 17 b) Împãrþiþi numãrul 121 în pãrþi invers proporþionale cu numerele 3; 6 ºi 9.
9. a) Împãrþiþi numãrul 44 în pãrþi invers proporþionale cu numerele 10. Aflaþi numerele x, y ºi z ºtiind cã: a) { 12 22 3} 3454 1 2 1 2 1 63 1 1 + 2 1 + 3 1 = 117 ; 8 7 9 b) {x; y; z} i.p. {0,2; 0,5; ºi 1} ºi xy + yz zx = 63;
{
}
48
{
}
c) { 12 22 3} 3454 1 2 1 2 1 63 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 718 . 8 9
11. Numerele x, y ºi z sunt invers proporþionale cu numerele 0,4; 0,6; 0,8. a) Aflaþi cât la sutã reprezintã numãrul cel mai mic din numãrul cel mai mare. b) Aflaþi numerele x, y ºi z ºtiind cã 2x + 3y + 4z = 60. 12. Aflaþi dimensiunile unui dreptunghi, ºtiind cã: a) sunt invers proporþionale cu 1 23 1 , iar semiperimetrul sãu este de 30 cm; 4 5 b) sunt invers proporþionale cu numerele 1,(3) ºi 1,(6), iar aria sa este de 45 cm2. 13. Aflaþi numerele x, y ºi z, ºtiind cã: 1 1 1 673 1 + 2 2 + 3 3 + 1 = 89
; a) { 1 + 22 2 + 32 3 + 1} 3454 2 2 ( )( )( )
1 b) { 1 + 22 2 + 32 1 + 3} 3454 678267 92 1 3 1 + 2 + 3 = 9 .
14. Aflaþi numerele x, y ºi z, ºtiind cã: a) {x; y} i.p. {2; 4}; {y; z} i.p. {2; 6} ºi x + y + z = 20; b) {x; y} i.p. {1; 3}; {y; z} i.p. {2; 3} ºi x + y + 3z = 48.
{ {
}
}
15. Numerele x ºi y sunt invers proporþionale cu 7 ºi 9, iar z reprezintã 30% din x. Aflaþi x, y ºi z, ºtiind cã x + 9y 10z = 25. 16. Numerele x, y ºi z sunt invers proporþionale cu 0,5; 0,2 ºi 0,25. 1 a) Aflaþi valoarea raportului 1 2 . b) Aflaþi cât la sutã reprezintã z din (x + y + z). 17. Aflaþi numerele x, y ºi z, ºtiind cã sunt invers proporþionale cu inversele numerelor 2, 4, 6 ºi 8, iar media lor aritmeticã este 30. 18. Aflaþi numerele x, y ºi z, ºtiind cã sunt invers proporþionale cu numerele 1,2; 0,4 ºi 0,6 iar suma lor reprezintã 20% din 300. 19. Aflaþi numerele x, y ºi z, ºtiind cã sunt invers proporþionale cu numerele 3, 6 ºi 9 ºi 1 + 1 + 1 = 23 . 1 2 3 20. Aflaþi media aritmeticã a numerelor x, y ºi z, ºtiind cã numerele sunt invers proporþionale cu 6, 3 ºi 2, iar x + y = 12. 21. Aflaþi numerele naturale de forma 123 , ºtiind cã {a; b; c} i.p. {15; 3; 5}ºi 12311 .
49
6. Regula de trei simplã 1. Douã cãrþi costã 12 lei. Cât costã 4 cãrþi? 2. Trei stilouri costã 27 lei. Cât costã 5 stilouri? Câte stilouri se pot cumpãra cu 18 lei? 3. Trei robineþi umplu un bazin în 12 ore. Câþi robineþi umplu acelaºi bazin în 4 ore? În câte ore umplu bazinul 6 robineþi? 4. Doi muncitori terminã o lucrare în 10 ore. În câte ore terminã lucrarea 4 muncitori? De câþi muncitori este nevoie pentru ca lucrarea sã fie terminatã în 5 ore? 5. Pentru confecþionarea a trei fuste se folosesc 6 m de mãtase. Câþi metri de mãtase sunt necesari pentru a confecþiona 5 fuste? Câte fuste se pot confecþiona cu 14 m de mãtase? 6. Un automobil parcurge distanþa de 100 km în 2 ore. În câte ore parcurge automobilul distanþa de 150 km? (viteza este constantã) 7. Mergând cu viteza de 60 km/h un automobil parcurge o distanþã în 4 ore. Cu ce vitezã trebuie sã meargã automobilul pentru a parcurge aceeaºi distanþã în trei ore? 8. Trei tractoare arã o suprafaþã în 6 ore. De câte tractoare este nevoie pentru a ara aceeaºi suprafaþã în 9 ore? În cât timp arã aceeaºi suprafaþã un tractor? 9. Un muncitor executã 10 piese în 4 ore. În câte ore executã muncitorul 20 iese? Câte piese executã în 8 ore? 10. 5 muncitori terminã o lucrare în 6 ore. În câte ore terminã lucrarea 2 muncitori? De câþi muncitori este nevoie pentru ca lucrarea sã fie gata în 2 ore?
7. Elemente de organizare a datelor ºi probabilitãþi 1. Într-o clasã cu 21 elevi, la teza de matematicã s-au obþinut urmãtoarele rezultate reprezentate printr-o diagramã cu bare.
50 Completaþi tabelul.
Nota 1234567879
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2. Într-o clasã cu 30 elevi s-au obþinut la matematicã pe semestrul I urmãtoarele medii reprezentate într-un tabel: Media 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1234567879
– – – 1 3 4 6 7 6 3 Procent a) Reprezentaþi datele din tabel într-o diagramã cu bare. b) Exprimaþi în procente numãrul elevilor care au obþinut aceeaºi medie. 3. În figura alãturatã este prezentatã repartizarea culturilor pe un teren agricol de 600 ha. a) Ce procent din teren a fost cultivat cu orez? b) Câte hectare au fost repartizate fiecãrei culturi? 4. Care este probabilitatea ca la aruncarea unui zar sã obþinem: a) o faþã cu 3 puncte; b) o faþã cu un numãr par; c) o faþã cu un numãr prim; d) o faþã cu un numãr mai mare sau egal cu 5; e) o faþã cu un pãtrat perfect. 5. Se aruncã douã zaruri. Care este probabilitatea sã obþinem: a) o dublã; b) douã feþe cu numere pare; c) douã feþe a cãror sumã sã fie 5; d) douã feþe cu numere prime între ele? 6. Într-o urmã sunt bile numerotate de la 1 la 15. Care este probabilitatea ca extrãgând o bilã, aceasta sã fie: a) un numãr mai mic decât 7; b) un numãr divizor al lui 30; c) un numãr multiplu de 5; d) un numãr prim impar? 7. Într-o urmã sunt 7 bile albe, 5 bile negre ºi 8 bile roºii. Care este probabilitatea ca extrãgând o bilã, aceasta sã fie: a) albã; b) roºie; c) albã sau neagrã? 8. Într-o urmã sunt bile numerotate de la 1 la 12. Care este probabilitatea ca extrãgând douã bile, acestea sã fie: a) ambele numere pare; b) ambele numere prime? 9. Într-o urmã sunt 5 bile roºii ºi 10 bile galbene. Care este probabilitatea ca extrãgând douã bile, acestea sã fie: a) ambele roºii; b) una roºie ºi una galbenã? 10. Într-o urmã sunt 30 bile albe ºi negre. Aflaþi câte bile din fiecare culoare sunt, 1 ºtiind cã probabilitatea de a extrage o bilã albã este de . 2
I V. Numere întregi
51
Noþiuni teoretice m = mulþimea numerelor întregi m* = m \ {0} m+ = mulþimea numerelor întregi pozitive m = mulþimea numerelor întregi negative Opusul unui numãr întreg a este numãrul întreg a Exemplu: Opusul lui 3 este 3. Opusul lui 5 este 5. Modulul (valoarea absolutã) unui numãr întreg x se noteazã |x| ºi este definit ⎧ 1 1 234561 1 7 prin 8 1 8 = ⎨ . Observãm cã |x| U 0, oricare ar fi x i m. ⎩ − 1 1 2345 1 < 7 Exemplu: |4| = 4; |5| = 5; |0| = 0. Adunarea ºi scãderea numerelor întregi 1. Dacã a, b i m+ se procedeazã la fel ca la adunarea numerelor naturale. Exemplu: +2 + 5 = +7. 2. Dacã a, b i m, atunci a + b = (|a| + |b|). Exemplu: 2 3 = 5. 3. Dacã a i m ºi b i m+, |a| > |b|, atunci a + b = (|a| |b|). Exemplu: 4 + 1 = 3. 3. Dacã a i m ºi b i m+, |a| < |b|, atunci a + b = |b| |a|. Exemplu: 3 + 5 = 2. Observaþie: Semnul în faþa unei paranteze schimbã toate semnele din parantezã. Exemplu: (6 + 2) = 6 2. Înmulþirea ºi împãrþirea numerelor întregi. Regula semnelor
x + – – +
y + – + –
x·y/x:y + + – –
Exemple: +2 · (+3) = +6 (2) · (3) = +6 (4) · (+2) = 8 (+2) · (5) = 10
+4 : (+1) = +4 (4) : (+2) = 2 4 : (1) = 4 (4) : (2) = 2
52
1. Numãr întreg; reprezentare pe axã; opus; valoare absolutã
{
}
1 1. Fie mulþimea 1 = −23 43 53 3 − 6 . Determinaþi elementele mulþimilor: 2
a) A O m;
b) A O {+;
c) A O q;
d) A O m.
2. a) Reprezentaþi pe axã numerele: +2; 2; 0; 3; 4; 1. b) Scrieþi care din numerele de la punctul a) sunt pozitive ºi care sunt negative. 3. Determinaþi elementele mulþimilor: A = {x i m | 1 T x T 2}; B = {x i m | 4 < x < 1}; D = {x i m* | 5 < x T 2}. C = {x i m+ | 1 T x T 4}; 4. Scrieþi opusele numerelor: 2; 100; 4; 5; 0; 7; 1. 5. Scrieþi valoarea absolutã pentru fiecare din numerele: 2; 25; 7; 21; 12; 16. 6. Calculaþi: a) |2| + |4|; b) |3 1| |0|; e) |7 3| : |2| + |6 2| · |3|;
c) |7 + 1| + |8|; d) |3 1| · |2| + |6 4|; f) (|7 + 4| + |11|) : |3 1|.
7. Scrieþi elementele mulþimilor: A = {x i m | |x| = 9}, B = {x i q | |x| = 1}, D = {x i m | |x| = 8}, E = {x i m | |x| = x}. 8. Scrieþi elementele mulþimilor: A = {x i m | |x| T 2}, B = {x i m* | |x| < 4}, E = {x i m | |x| < 7}, D = {x i m+ | |x| T 6},
C = {x i m | |x| = 5},
C = {x i m* | |x| < 3}, F = {x i m | 1 T |x| T 2}.
9. Fie mulþimea A = {2; 1; 0; 2; 4}. Determinaþi elementele mulþimilor: M = {x i m | x = a, a i A} ºi N = {x i m | x = |a|, a i A}. 10. Calculaþi a + b + c, unde: a = |4| : |2| + |2| : |1|, b = |18| : |+9| + 2 · |+2|, c = |1 + 4| · |3| |5 + 1| : |+3|.
2. Compararea ºi ordonarea numerelor întregi 1. Comparaþi numerele: a) 2 ºi 3; b) +4 ºi +2; e) 8 ºi 8; f) |7| ºi |+7|;
c) 0 ºi 5; g) |+3| ºi |+3|.
2. Ordonaþi crescãtor numerele: a) 1, +1, 2, +2, 3, +3; b) 21, 14, 7, 35, 0;
d) 2 ºi +2;
c) |7|, 5, 3, 24, 24.
53 3. Ordonaþi descrescãtor numerele: a) 7, 6, 5, 0, 5, 10, 4; b) 7, 3, 1, 2, 4, 7; c) |+4|, |4|, 0, 7, 7, 3 ºi |+3|. 4. Scrieþi: a) cel mai mare numãr întreg de douã cifre; b) cel mai mic numãr întreg de o cifrã; c) cel mai mic numãr întreg de douã cifre; d) cel mai mare numãr întreg de douã cifre distincte; e) cel mai mic numãr întreg de trei cifre distincte. 5. Scrieþi: a) toate b) toate c) toate d) toate
numerele numerele numerele numerele
întregi negative mai mari ca 5; întregi pozitive mai mici ca 8; întregi cuprinse între 2 ºi 3; întregi mai mari sau egale cu 3 ºi mai mici ca 4.
6. Comparaþi numerele: a) x = |21| ºi y = |4|; b) x = |31 6| ºi y = |41 40|; c) x = |31 30 1| ºi y = |42 40 2|.
3. Reprezentarea unui punct cu coordonate întregi într-un sistem de axe ortogonale
1. Fie mulþimile: A = {0, 1} ºi B = {2, 1}. Determinaþi elementele mulþimilor: A D B, B D A, A D A, B D B. 2. Determinaþi coordonatele punctelor din figura de mai jos:
3. Fie punctele: A(2, 3), B(2, 2), C(4, 1), D(3, 2), E(0, 4), F(0, 2), G(2, 0), H(3, 0). a) Reprezentaþi punctele într-un sistem de axe ortogonale. b) Scrieþi punctele care se aflã pe axa Ox. c) Scrieþi punctele care se aflã pe axa Oy.
54 4. Fie punctele: A(4, 3), B(1, 1), C(7, 1) ºi D(4, 1). a) Reprezentaþi punctele într-un sistem de axe ortogonale. b) Arãtaþi cã ∆ADB \ ∆ADC. 5. Fie punctele: A(2, 1), B(5, 1), C(2, 3), D(1, 1), E(1, 4), F(3, 1). a) Reprezentaþi punctele într-un sistem de axe ortogonale. b) Arãtaþi cã ∆ABC \ ∆DEF. 6. Determinaþi coordonatele mijlocului segmentului [AB] în urmãtoarele cazuri: a) A(2, 4), B(0, 2); b) A(0, 2), B(2, 0); c) A(6, 4), B(0, 2); d) A(4, 6), B(6, 4). 7. Fie punctele: A(2, 1), B(2, 2), C(1, 2) ºi D(1, 1). a) Reprezentaþi punctele A, B, C ºi D într-un sistem de axe ortogonale. b) Stabiliþi natura patrulaterului ABCD. c) Aflaþi aria patrulaterului ABCD. 8. Fie punctele: A(3, 1), B(7, 1), C(7, 1) ºi D(3, 1). a) Reprezentaþi punctele într-un sistem de axe ortogonale. b) Stabiliþi natura patrulaterului ABCD. c) Aflaþi aria patrulaterului ABCD. 9. Stabiliþi natura patrulaterului MNPQ în cazurile: a) M(3, 1), N(8, 1), P(7, 1), Q(2, 1); b) M(0, 3), N(2, 0), P(0, 3), Q(2, 0); c) M(1, 3), N(2, 3), P(4, 1), Q(2, 1). 10. Fie punctele: A(1, 2), B(5, 2), C(5, 1). a) Reprezentaþi punctele A, B, C într-un sistem de axe ortogonale. b) Determinaþi coordonatele punctului D astfel încât patrulaterul ABCD sã fie dreptunghi. c) Aflaþi perimetrul patrulaterului ABCD.
4. Adunarea numerelor întregi 1. Calculaþi: a) (+3) + (+2); d) (7) + (8); g) (+11) + (+9);
b) (+1) + (+10); e) (+2) + 7; h) (5) + (11);
2. Calculaþi: a) (2) + (+7); d) (25) + (+17); g) (+7) + (31);
b) (+9) + (6); e) (21) + (+10); h) (4) + +7).
c) (2) + (6); f) (6) + (7); i) (20) + (31). c) (11) + (+3); f) (30) + (+34);
55 3. Calculaþi: a) 1 + (2) + (3); c) 12 + (10) + (4) + (+12); e) +4 + (4) + (5); g) 17 + (9) + (+10) + (1);
b) (5) + (+7) + (10); d) 11 + (10) + (1) + 3; f) (+100) + (21) + (22) + (7); h) 1 + (+2) + (3) + (+4).
4. Calculaþi: a) 15 + (5) + [10 + (+10) + 17]; b) 21 + (14) + [(11) + (12) + (+25)] c) +18 + (+12) + [16 24 + (3) + (+10)]; d) [6 9 + (+10)] + [(2) + (3) + (+5) + (6)]; e) [(36) + (+40) + (21)] + (3) + (4); f) [2 + (4) + (+8)] + [(3) + (4) + (5) + (+10)]. 5. Calculaþi: a) (1) + (2) + (3) + (4) + ... + (30); b) (+2) + (+4) + (+6) + ... + (+80); c) (1) + (+2) + (3) + (+4) + ... + (99) + (+100).
5. Scãderea numerelor întregi
1. Calculaþi: a) 5 (+3); b) 6 (+5); c) (3) (+2); e) 10 (3); f) (2) + (6); g) (7) (4); i) (6) (5) + (2); j) 0 (+2) (2). 2. Calculaþi: a) 0 5 + 4; d) 6 8 + 1; g) 0 8 + 6 9 + 3;
b) 7 + 3 2; e) 1 2 4; h) 9 16 + 1 20;
3. Calculaþi: a) (1 4) + (7 3); c) ( 7) + (30 10 40); e) 7 (2 9 + 15) 1; g) (11 4 3) (7 9 + 4);
d) (4) (+4); h) 21 (+4);
c) 2 1 + 6; f) 8 9 + 1; i) 70 35 5 + 1.
b) (2) + (6) (7 4); d) 27 + 3 (1 + 2 3 + 4); f) (1 + 2 + 4) (7 9 + 1); h) (40 45 + 1) (46 23 3) + (1 4 5).
4. Calculaþi: a) (24 6 8) (1 + 7 10); b) (36 40 6) (0 3 + 4 7); c) 1 [7 + 2 (3 + 6 9)]; d) 2 [10 + 1 6 (2 + 5) (7 1)]; e) 4 + [2 1 3 (11 + 12 20) 6] + 25; f) (44 43 10) + [36 (40 50) 63]; g) 17 { 2 + 4 [7 (31 30 + 1)]}; h) 26 {7 3 [21 1 (30 10 + 4)]}; i) 40 {1 4 5 + [36 40 (1 + 4 10)]}.
56 5. Calculaþi: a) |2| + |4| |5|; b) |6 2| |+4|; c) |1 4 6| (21 20 + 4) |36|; d) |(21) (24)| + |6 9|; e) 36 |1 + 2 + 4 30|; f) (72 |2| 30) (10 6 + 45). 6. Dacã a = 2 (4) + 6 ºi b = |36 40| |50|, calculaþi: a) a + b; b) a b; c) |a b|; d) |a| + |b|.
6. Înmulþirea numerelor întregi 1. Calculaþi: a) (+2) · (+6); e) (6) · (8); 2. Calculaþi: a) (2) · (+3); e) 2 · 6;
b) 2 · (4); f) (+2) · (+10); b) 6 · (1); f) 7 · (3);
3. Calculaþi: a) (3) · (2) · (4); d) (+2) · 3 · (6); g) 21 · (1) · (2); j) 10 · (100) · (1); 4. Calculaþi: a) 3 · (1 4); d) (6 1) · (4 + 2); g) (7 11) · (4); j) (21 5 6) · 2 11;
c) (+2) · (+5); g) (6) · (3);
c) (+6) · (10); g) 25 · (4);
b) (1) · (+4) · (2); e) 1 · (2) · (3) · (4); h) 2 · (3) · (4) · (1); k) 3 · (9) · 1 · (3); b) (2) · (4 7); e) 2 · (4) 3; h) 3 · (2 1) · 4; k) (1 8) · 2 25;
d) (2) · (8); h) 0 · (4).
d) (21) · (+4); h) 72 · (+2). c) +2 · (4) · (+6); f) 6 · (1) · 2 · (3); i) 4 · (8) · (2); l) (1) · (2) · (3) · (4). c) 3 · (2) + 7; f) (10 + 3) · (1); i) 7 · (3 + 1) 6; l) (1 2 3) · (4 6).
5. Folosind factorul comun, calculaþi: a) 2 · (1) + 2 · (4); b) 7 · (+3) 6 · (+3); c) 2 · (9) 3 · (9); d) 3 · 4 + (3) · (+5); e) 10 · (6) + (10) · (+5); f) 5 · (1) + 5 · (2) + 5 · (3); g) 2 · (+4) + (2) · (5) + (2) · (7); h) 3 · (4) + (3) · (+2) + (3) · (4) + (3) · 5. 6. Calculaþi: a) (2) · (3) + (2) · 3; c) 42 · (1) + (40 34); e) 2 · (3 1) · 4 6(2 + 3); g) 2 · [+1 3(1 2 4)] + 10; i) 21 3[2 · (1 4)]; 7. Calculaþi: a) (2)(6 + 1) (4);
b) (6 1 5)(3 100); d) (3 + 1)(6 + 2)(7 6); f) (10 21) · 2 3(7 1); h) 2 3[7 4(2 1)]; j) [(2 4) · (5) + 10] · 3 1. b) (2)(+3) [(2 1) · 3 + 1];
57 c) (7 10) · [36 (4 + 15) · 3] + 12; d) (36 40) · (2) 21 (3); e) (2)(2 7 5) 3(7 3 + 4); f) 3 · [2 4(2 + 5 6)]; g) (25 21 2)[2(3 6 4)]; h) [2 4(3 9)] · (2) · (6 7); i) 2[3 + 4(2 1)] 3[7 1 4(3 5)] 2(3 + 1); j) [1 4(3 2) 2] · (5) (2)[7 21 + 3 2(4 9)]. 8. Calculaþi: a) |4 1 + 3| · (2) (6); b) |6| · |3 + 1| |21 4|; c) |(3) · (2) + 1| · (1); d) |4 · (3) + 10| · |2 5 + 1|; e) 21 · |4 3 + 6| 36 · |41 27 3|; f) |4| + |5| · (1) + 7 · |3(2 1) + 7|. 9. Calculaþi: a) |32 2 30| · (2) 3[2 |6| · (2 19 + 1)]; b) |36 2(1 + 8) 25| · (1) (36 |2 4| 5); c) (25 30 + 1) · |4 + 2| [3 |4 + 6 5| · (2)]; d) 3 {4 [3(2 1) 6] + |4 + 1 20|}. 10. Fie x = 2 · |4 9| ºi y = 3 4(1 + 2). Calculaþi: a) xy; b) |x y| · (4); c) |x + y| · |x y|. 11. ªtiind cã: a) xy + xz = 6, calculaþi 2x(y + z); b) xy = 3 ºi yz = 4, calculaþi y(x z); c) 2x = 4, 3y = 6 ºi 4z = 8, calculaþi 4x + 6y 8z; d) x + y = 30 ºi z = 4, calculaþi xz + yz. 12. Calculaþi: a) (2) · (1) + (2) · (2) + (2) · (3) + ... + (2) · (20); b) 3 6 9 ... 180.
7. Împãrþirea numerelor întregi 1. Calculaþi: a) (+6) : (+3); e) (20) : (10); 2. Calculaþi: a) (6) : (+2); e) (+27) : (9);
b) (10) : (5); f) (26) : (13); b) (+21) : (7); f) (+6) : (1);
3. Calculaþi: a) 30 : (2) : 5; d) 36 : (9) · 2; g) 48 : (12) · 4;
c) (+25) : (+5); g) (+36) : (+4); c) (35) : (5); g) (+120) : (40);
d) (30) : (6); h) (+300) : (+15). d) (30) : (+2); h) 36 : (+2).
b) 21 : 3 : (7); c) 100 : (2) · (1); e) 4 · (3) : (6); f) 40 : (10) · 2; h) 90 : 30 · (1) : 3.
58 4. Calculaþi: a) 7 : (4 3); b) 20 : (1 4); d) (6 8 + 10) : (2); e) (21 4 2) : (2 3); g) 2(7 1 + 2) : (3). 5. Calculaþi: a) 6 : (2) 2; d) (9 4 10) · 5 : (25); f) 10 : (2 3) + 11 : (1);
c) 2 · (36 6) : (10); f) 72 : (2 · 3 + 3);
b) 14 : (+7) + 21; c) 3 · (4) 12; e) 7 · (3) : (7) + 4 · (7); g) 18 : (1 2) 6 : (1).
6. Calculaþi: a) 24 : (6) 25 : (5); b) (36 40) · 2 : (4) 8 : (4); c) [36 : (3 4 + 1) 2 · (6)] · 2 4 : (1); d) 40 21 : [8 (7 + 1) + 6 : (2)]; e) 25 4 : (2) · [(7 1 2) : (3 1)]; f) 100 : (19 1) 4 · [(21 5) : (4) + 2]; g) 60 : (15 5) · 2 70 : (2 4 + 16); h) (4 6 20) : ( 5 6) + 2 : (1 + 2); i) [21 (3 6) : (3)] · 2 36 : [(3) · (+4)]. 7. Dacã x = 72 : (36) + 1, y = ( 9 7) : (4), calculaþi: a) x : (y 3); b) y : x; c) y : (x). 8. Dacã: a) x + y = 42 ºi z = 2, calculaþi x : z + y : z; b) x · y + x · z = 21 ºi x = 1, calculaþi y + z; c) x(y + z) = 12 ºi x = 3, calculaþi y + z.
8. Puterea unui numãr întreg cu exponent numãr natural 1. Calculaþi: a) 24; b) (2)2; 2 f) (+6) ; g) (+5)3; 2. Calculaþi: a) (2)5; f) (+7)2;
b) 32; g) 72;
3. Calculaþi: a) (1)3 + (2)4; d) 1000 210 + 52; g) 122 + (10)2 72;
c) (3)3; h) (2)4; c) (+4)2; h) 92;
d) (1)100; i) (3)4; d) 52; i) 102;
e) (400)0; j) (+4)3. e) (1)201; j) +82.
b) 71 42; c) (3)4 92; e) 42 + (2)4; f) 62 61 60; 2 3 2 h) (8) 3 + (6) .
59 4. Scrieþi ca o singurã putere: a) (3)2 · (3)4; b) (4)2 · (4)3; 4 3 d) (2) · (+2) 2; e) (10)4 · (+10)6 · (10)1; 20 3 4 g) 8 · (8) · (+8) ; h) 96 · (9)0 · ( 9)10; 5. Scrieþi ca o singurã putere: a) (10)4 : (10)3; b) (+3)10 : (+3)7 : 3; 4 2 d) (5 ) : (5) ; e) 740 : (7)30 : (72); 11 2 g) 25 : (25) : (25) ; h)232 : (210) : (2)12; 6. Scrieþi ca o singurã putere: a) (92)4; b) (23)4; 2 3 e) (2 ) ; f) (62)5;
c) [(4)3]5; g) [(33)3]3;
7. Scrieþi ca un produs de puteri: a) [2 · ( 3)4]3; b) [(1)4 · (2)5]10; d) [(42) · (5)3]7; e) [94 · (5)3]6; 8. Calculaþi: a) 27 : (2)3 · (2)0; d) [74 · (7)2]0 · (7)2;
b) (34 · 32)3 : 316; e) 106 : (10)3 · 100;
9. Calculaþi: a) (24 · 26)2 : (2)18; c) [(54)3 : (5)10]2 : (53); e) 630 : (625) : (62)2;
c) (+5)4 · (+5)5; f) 73 · (7)4 · (+7)10; i) 72 · 74 · (7)6 · (7)3. c) 62 : (6)1; f) 420 : (4)10 : (43); i) 39 : (3)5 : (33).
d) [(7)4]5; h) [(+52)4]0. c) [62 · (7)3]5; f) [22 · (3)4 · (5)2]6. c) 54 · (5)6 : 59; f) [(4)4 : 43]5 : 43.
b) (21)5 : (21)3 : (21); d) [73 · (7)2: 74]0; f) (8)8 · (8)4 : (8)10.
10. Scrieþi ca o singurã putere: a) (3)2 · 9; b) 42 · (2)3; c) 125 : (5)2 · 53; 2 3 4 4 2 3 d) 100 · (10) : 10 ; e) 7 · (49) · 7 ; f) 273 · (9)2 · (3)4; g) 162 : (4)3 · (2)4; h) 540 : (+5)30 · (25)4 : (125)2. 11. Calculaþi: a) [(2)4 · (3)6] : [(2)3 · (3)4]; c) [732 · (5)40] : [730 · (5)39]; e) (21)4 : [(7)3 · 34].
b) [56 · (3)9] : [53 · (3)8]; d) (15)3 : (3)2 : (5)3;
12. Calculaþi: a) (1)1 · (1)2 · (1)3 · ... · (1)200; b) (2)1 · (2)2 · (2)3 · ... · (2)30 : [(2)15]31; c) 31 · 32 · ... · 360 : (27)610.
60
9. Ordinea efectuãrii operaþiilor ºi folosirea parantezelor 1. Calculaþi: a) 3 + (4) : 2; c) 72 : (22 4) : 3; e) (1)4 · (1)3 · (7) + 22 : (2); g) (2)2 · (4 : 1 + 6 3); i) [2 · (6) : 3 + 21 : (7)] · 4;
b) (1 4) · 3 7; d) 3 · (4 · 3 + 10); f) (2 + 3)2 : (1)7 36 : (2 4); h) [(2)4 · (2)8 : (2)10 + 6]2; j) 125 : (52 6 · (3)].
2. Calculaþi: a) 2 · (8) : (4) 36 : 12; b) (9 6 + 10) : (13); c) (7 + 1 + 24) : (6) 1; d) 25 (6 + 7 · 3); e) 24 (1) · [2 : (1) + 24 : (23)]; f) 7 · (1) (2) · [3 · (1) + 14 : (7)]; g) 3 · [(5)2 : 5 21 : (1) + 62]. 3. Calculaþi: a) [(2)4 : (2)2 (5)3 : 5] · (3); b) (4)2 : (4) 36 : (2) + 21; c) 252 : (25) + 3 · [17 2 · (6) + 1 32]; d) 2 · [40 : (2)2 · 5 102 : (10)]; e) 42 : (4 1 + 62 5 · 7); f) [(2)2 + (2)3 + (2)4] : (1 1)2. 4. Calculaþi: a) [24 · (3)3]5 : [(2)19 · 314]; b) [(2)0 + (2)1 + (2)2 + (2)3] : 5 4 2; c) 72 [24 (2)2 + 13] 23 + 72 : (7); d) 212 : [(3)2 · 7] 6 · [(4 2)3 + (1 + 5)2]; e) (4 1 5)3 : (3 5)2 · (2)4 : (6 + 4)2; f) [(1)5 : (1)4 5]2 : (1 2 3) 6(2 4 5).
10. Divizibilitatea în m 1. Aflaþi valoarea de adevãr a propoziþiilor: a) 25x(5); b) 7 | (21); c) 35x5; e) 50x(3); f) 21y3; g) 4 o 16; 2. Determinaþi elementele mulþimilor: a) D15; b) D20; c) D12; d) D25; 3. Determinaþi elementele mulþimilor: a) M2; b) M4; c) M5; d) M6;
d) 6 | (2); h) 36x(6). e) D24.
e) M8.
61 4. Determinaþi elementele mulþimilor: a) D2 N D3; b) D2 O D4; c) D2 \ D6;
d) D9 O D24.
5. Determinaþi elementele mulþimilor: a) M6 O M12; b) M12 \ M24; c) (M6 O M4) \ M3; 6. Scrieþi elementele mulþimilor: a) A = {x i m | 3 T x T 2, xx2}; c) C = {x i m | |x| T 5, xx(5)};
b) B = {x i m | 5 < x < 4, xx3}; d) D = {x i m* | |x| < 10, 6 | x}.
7. Determinaþi elementele mulþimilor: 1 2 1 = 2∈15 ∈1 6 3 = 2∈15 − ∈1 6 2 2 12 3 1 = 2 ∈ 1− 5 ∈ 1 6 3 = 2 ∈ 1 5 − ∈2 6 2 2
{ {
}
}
{ {
} }
{ 342 ∈ 1}6 4 4 = {2 ∈ 2 5 − ∈ 2}7 2
4 = 2 ∈2 5
8. Determinaþi elementele mulþimilor: 1 23 1 = 2∈15 ∈1 6 3 = 2∈1 5 ∈1 6 2 −2 2 +2 1 23 1 = 2∈1 5 ∈2 6 3 = 2∈1 5 ∈1 6 2−3 32 − 2 −1 1 = 2 ∈1 2 ∈ 2− 3 42
{ { {
} } }
d) M7 N M14.
{ {
} }
{ 2 +4 3 ∈2}6 24 4 = {2 ∈ 2 5 ∈ 1}6 72 + 3 4 = 2 ∈2 5
9. Determinaþi elementele mulþimilor: 1 −1 1+2 2 = 1∈13 ∈1 4 3 = 1 ∈2 3 ∈1 4 1 +1 1 −1 1 +1 21 + 3 2 = 1∈14 ∈1 5 3 = 1 ∈2 4 ∈1 6 1−2 1−2
{ {
} }
{ {
}
}
10. Aflaþi numerele x, y i m, ºtiind cã: a) x(y 1) = 0; b) (x 1)(y + 2) = 3; c) (x + 4)(y + 2) = 5; d) (2x 1 )(y 1) = 10. 11. Arãtaþi cã: a) (21 + 22 + 23 + ... + 230)x7; b) (51 + 52 + 53 + ... + 550)x6; n n+1 n n+2 c) (2 · 3 + 2 · 3 )x4, n i q*; d) (3n + 1 · 5n + 2 3n · 5n + 1)x14, n i q*.
11. Ecuaþii în m 1. Care din elementele mulþimii A = {5; 4; 2; 0; 1; 5} sunt soluþii ale ecuaþiilor: a) x 1 = 4; b) 2x = 8; c) 2x 1 = 1; d) x + 1 = 6; e) 7x + 1 = 8; f) 3x 2= 8?
62 2. Rezolvaþi în m ecuaþiile: a) x + 6 = 1; b) x 2 = 3; e) 7 (x) = 2; f) x + 1 = 5; i) 2 + x = 1; j) x 1 = 4;
c) 2 x = 4; g) 7 = 1 x; k) 9 = 20 x;
d) 8 + x = 1; h) 2 = x + 4; l) x 4 = 0.
3. Rezolvaþi în m ecuaþiile: a) 2x = 6; b) 3x = 9; d) 4x = 60; e) 15x = 30; g) 3x = 12; h) 8x = 16;
c) 20x = 100; f) 9x = 27; i) 4x = 24.
4. Rezolvaþi în m ecuaþiile: a) x : 2 = 4; b) x : (1) = 1; d) x : (2) = 5; e) x : (9) = 0; g) x : (5) = 100; h) x : (5) = 10;
c) x : 5 = 4; f) x : 1 = 8; i) x : 2 = 9.
5. Rezolvaþi în m ecuaþiile: a) 2x 1 = 3; b) 3x + 1 = 7; d) 10x + 1 = 29; e) 4x 8 = 16; g) 3x 9 = 9; h) 20x + 1 = 19;
c) 5x 1 = 16; f) 9x + 1 = 19; i) 2x + 5 = 7.
6. Rezolvaþi în m* ecuaþiile: a) 2(x 1) = 8; b) 3(x + 2) = 6; d) 7 : ( x 1) = 1; e) (x + 2) : 4 = 0; g) 10 : (x 1) = 5; h) 4 : (1 x) = 1; j) (3x + 1) : 2 = 4; k) (4x + 1) : 3 = 3;
c) 4(2 x) = 8; f) (3 x) : 3 = 1; i) (2x 1) : 3 = 1; l) 2(3x + 1) = 4.
7. Rezolvaþi în m ecuaþiile: a) 2x 1 = x + 3; d) 6x + 3 = 4x 5; g) 7x + 11 = 4x 1; j) 1 12x = 3x 29;
b) 4x + 5 = 3x 1; e) 5x 6 = 2x + 3; h) 15x + 9 = 10x 1; k) 1 + 8x = 8x + 17.
8. Rezolvaþi în m ecuaþiile: a) 2(x 1) = 3(x + 1) 6; c) 2(1 + x) = 3x; e) 2(x + 4) = x + 7; g) 7(x 1) 2(x + 1) = 2 (x + 3);
c) 2x 1 = 3x + 4; f) 10x 1 = 11x 5 ; i) 4 + 2x = x + 6;
b) 3(2x 1) = 4(x 2) + 15; d) 7 3(x + 2) = 2x 19; f) 5(x + 9) = 6(x + 8); h) 2(2x + 2) + 6(x 1) = 4(x + 1).
9. Rezolvaþi în m ecuaþiile: 1 −1 1 + 2 1 +1 1 + 2 11 + 2 1 − 3 1 = = = + ; a) ; b) ; c) 2 3 3 4 1 2 3 11 − 2 1 1 1 + 2 11 1 1 − 2 1 1+1 1 2 1−3 − = + − = + ; f) − = + d) ; e) . 3 4 5 3 3 4 1 4 1 4 25 35 10. Rezolvaþi în m ecuaþiile: a) |x 1| = 4; b) |2x + 1| = 3; c) |4x 1| = 5; d) |3x + 2| = 10;
63 e) |3 x| = 1;
f) |x + 6| = 0;
11. Rezolvaþi în m ecuaþiile: a) |2x 1| + 1 = 4; d) 2|2x + 3| 1 = 17; g) |7 |x|| = 0;
g) |x| + 4 = 6;
h) |x 4| = 2.
b) 3|x| 1 = 5; e) |x 1| + |2x 2| = 12; h) 3|2 + x| 1 = 2|x + 2| + 6.
c) 7|1 x| = 21; f) ||x| + 1| = 4;
12. Rezolvaþi în m* ecuaþiile: a) |x| + 2|x| + 3|x| + ... + 40|x| = 1640; b) |x + 1| + |2x + 2| + ... + |80x + 80| = 6480; c) |x 3 | + |2x 6| + |3x 9| + ... + |100x 300| = 5050.
12. Inecuaþii în m 1. Care din elementele mulþimii A = {3; 2; 1; 1; 2} verificã inecuaþiile: a) x 1 T 4; b) x + 2 > 0; c) 3x T 9; d) 2x + 3 < 7? 2. Rezolvaþi în m inecuaþiile: a) x + 4 T 9; b) x 1 > 2; e) 7 + x > 2; f) 2 < x + 3; i) 21 > x + 15; j) 3 < 7 + x;
c) x + 5 T 9; g) x 6 < 0; k) 7 + x > 9.
d) x 9 < 1; h) 6 U x + 1;
3. Rezolvaþi în m inecuaþiile: a) 3x T 6; b) 2x > 2; e) 2x T 4, f) 7x < 28; i) 5x < 40; j) x : 2 < 4;
c) 3x T 21; g) 5x < 20; k) x : 3 < 0.
d) x < 4; h) 2x > 2;
4. Rezolvaþi în m inecuaþiile: a) 2x 3 < 5; b) 3x 1 < 5; d) 5x + 4 U 9; e) 2x + 1 T 7; g) 1 + 2x < 9; h) 4 > 3x 2;
c) 4x + 7 T 27; f) 7x 1 T 13; i) 21 U 5x 4.
5. Rezolvaþi în m inecuaþiile: a) 2x 1 T x 4; b) 3x + 1 > x 7; c) 2(x + 2) T 3(x + 2); d) 6(x + 1) < 5x 6; e) 2(3x 1) T 4x 6; f) 3x 1 T 2(x 3); g) 7x 2 < 3(2x + 1); h) 9x 24 < 3(2x + 5); i) 2(x + 1) + 3(x + 2) T 4(x 1); j) 3(2x 1) + 2(2x + 1) < 4(5x 1) + 33. 6. Rezolvaþi urmãtoarele inecuaþii: a) 2(x + 1) < 4, în q; c) 6(x + 1) < 2x + 14, în q*; e) 4x 6 T 2x 8, în m*; g) 3(4x 6) T 7(2x 8), în m+.
b) 3x 1 < 2x 4, în m; d) 3(2x 1) U 7x + 9, în m; f) 2(x + 1) < 2x + 6, în q*;
64 7. Rezolvaþi în m inecuaþiile: a) |x| T 2; b) |x| < 3; e) |2x| T 6; f) |3x| < 9; i) |4x 3| T 5; j) 7|2x + 1| < 35; 8. Determinaþi mulþimile: A = {x i m | |x| < 2}; C = {x i m | 3 T x 1 < 2}; E = {x i q | 6 < |x| < 3};
c) |x 1| T 1; g) |1 x| T 2; k) |x + 1| 2 < 0;
d) |x + 2| < 4; h) |2x 1| T 3; l) 2|x + 3| 1 < 3.
B = {x i q* | |x 1| T 3}; D = {x i m* | 1 < 2x 1 < 3}; F = {x i m* | |3x| T 12}.
13. Probleme care se rezolvã cu ajutorul ecuaþiilor
1. Determinaþi numãrul întreg x, ºtiind cã: a) suma dintre el ºi 3 este 4; b) diferenþa dintre el ºi 2 este 1; c) triplul sãu este 12; d) cincimea sa este 15. 2. Determinaþi numãrul întreg x, ºtiind cã: a) triplul diferenþei dintre x ºi 9 este 6; b) dacã îl adunãm cu 2 obþinem acelaºi rezultat ca atunci când dublãm suma dintre el ºi 1; c) adunând la triplul sãu 2 obþinem 4; d) dublând diferenþa dintre 2 ºi x obþinem 20. 3. Determinaþi douã numere întregi x ºi y, ºtiind cã: a) suma lor este 8, iar diferenþa lor este 2; b) suma lor este 12, iar unul din numere este de 11 ori mai mare decât celãlalt; c) suma lor este 20, iar primul numãr este cu 16 mai mare decât al doilea numãr. 4. Determinaþi trei numere întregi x, y ºi z, ºtiind cã: a) x + y + z = 9, y = 2x ºi z = x + 5; b) x y + z = 25, x = y 1 ºi z = y + 2; c) x + 3y 2z = 8, x = 4z ºi y = 1 z. 5. Determinaþi numãrul întreg x, ºtiind cã dublând suma dintre dublul sãu ºi 1 obþinem acelaºi rezultat ca atunci când îl triplãm. 6. Determinaþi douã numere întregi x ºi y, ºtiind cã suma lor este 3, iar diferenþa dintre dublul primului numãr ºi triplul celui de-al doilea numãr este 19. 7. Determinaþi numãrul întreg x, ºtiind cã micºorând dublul sumei dintre x ºi 4 de 3 ori obþinem acelaºi rezultat ca atunci când scãdem din el 1. 8. Suma a patru numere întregi consecutive este 2. Determinaþi numerele. 9. Suma a n numere întregi consecutive este 35, iar diferenþa dintre cel mai mic numãr ºi cel mai mare este 6. Determinaþi numerele.
GEOMETRIE
1. Recapitulare ºi completãri 2. Dreapta 3. Unghiuri 4. Congruenþa triunghiurilor 5. Perpendicularitate 6. Paralelism 7. Proprietãþile triunghiurilor
66
Noþiuni teoretice Denumire Triunghiul
Patrulaterul
Paralelogramul
Dreptunghiul
Pãtratul
Rombul
Trapezul
Cercul
I . Recapitulare ºi completãri
1. Figuri geometrice plane Desen, elemente, proprietãþi Are 3 vârfuri, 3 laturi, 3 unghiuri. Perimetrul = a + b + c.
Are 4 vârfuri, 4 laturi, 4 unghiuri. Perimetrul = a + b + c + d.
Patrulaterul cu laturile opuse paralele. Perimetrul = 2l + 2L. Paralelogramul cu unghiurile drepte. Perimetrul = 2l + 2L; Aria = L · l. Dreptunghiul cu toate laturile de lungimi egale. Perimetrul = 4l; Aria = l2. Paralelogramul cu toate laturile de lungimi egale. Perimetrul = 4l. Patrulaterul cu douã laturi opuse paralele ºi celelalte douã neparalele. Centrul cercului este un punct, iar raza cercului este un segment cu un capãt în centrul cercului ºi celãlalt pe cerc.
67
Noþiuni teoretice Denumire
2. Corpuri geometrice Desen, elemente, proprietãþi
Paralelipipedul dreptunghic
Are 6 feþe, 8 vârfuri, 12 muchii. Muchiile fiecãrei feþe formeazã un dreptunghi. Volumul = L · l · h.
Cubul
Paralelipipedul dreptunghic cu muchiile de lungimi egale. Volumul = l 3.
Piramida triunghiularã
Are 4 vârfuri, 4 feþe, 6 muchii. Muchiile fiecãrei feþe formeazã un triunghi.
Piramida patrulaterã
Are 5 vârfuri, 5 feþe, 8 muchii.
Cilindrul Bazele sunt cercuri.
Conul Baza este un cerc.
Sfera
Centrul sferei este un punct, iar raza sferei este un segment cu un capãt în centrul sferei ºi celãlalt pe sferã.
68 Exerciþii ºi probleme 1. Desenaþi: a) un triunghi ascuþitunghic; b) un triunghi obtuzunghic; c) un triunghi dreptunghic; d) un pãtrat cu latura de 3 cm; e) un dreptunghi cu laturile de 2 cm ºi 4 cm; f) un paralelogram cu laturile de 3 cm ºi 5 cm; g) un romb cu diagonalele de 4 cm ºi 6 cm; h) un cerc cu raza de 2 cm. 2. Calculaþi perimetrul ºi aria unui: a) pãtrat cu latura de 2,7 cm; b) dreptunghi cu lungimea de 0,7 dm ºi lãþimea de 32 mm. 3. Calculaþi perimetrul unui: a) triunghi cu laturile de 0,14 m, 1 dm, 120 mm; b) paralelogram cu laturile de 9,5 cm ºi 0,2 m; c) romb cu latura de 2 1 345 . 6 4. Aflaþi aria unui: a) pãtrat care are perimetrul de 17 cm, b) dreptunghi care are lungimea de 2 ori mai mare decât lãþimea ºi perimetrul de 38,4 cm. 5. Sã se afle lungimile laturilor unui triunghi care are perimetrul de 60 cm, ºtiind cã: a) cele trei laturi au aceeaºi lungime, b) douã dintre laturi au aceeaºi lungime, iar a treia laturã are 12 cm; c) o laturã este cu 14 cm mai micã decât suma celorlalte douã laturi ºi cu 16 cm mai mare decât diferenþa lor. 6. Un dreptunghi ºi un pãtrat au aceeaºi arie. Sã se afle: a) perimetrul pãtratului, ºtiind cã dreptunghiul are dimensiunile de 3 cm ºi 12 cm; b) perimetrul dreptunghiului, ºtiind cã pãtratul are latura de 36 cm, iar lãþimea dreptunghiului reprezintã 25% din lungimea sa. 7. În desenele de mai jos sunt prezentate desfãºurãrile mai multor corpuri geometrice. Numiþi aceste corpuri ºi desenaþi-le pe caiet. a) b) c)
69 d)
e)
f)
8. Sã se afle volumul unui paralelipiped dreptunghic care are: a) lungimea de 21 cm, lãþimea de 14 cm ºi înãlþimea de 8 cm; b) lungimea de 20 cm, lãþimea egalã cu 60% din lungime, iar înãlþimea de 3 ori mai mare decât lãþimea. 9. Calculaþi volumul unui cub care are: a) lungimea muchiei de 1,6 cm; b) aria unei feþe de 25 cm². 10. Sã se afle suma lungimilor tuturor muchiilor unui paralelipiped dreptunghic care are: a) dimensiunile de 3 cm, 4 cm ºi 5 cm; b) perimetrele a trei dintre feþe de 540 cm, 600 cm, 720 cm. 11. Un cub ºi un paralelipiped dreptunghic au acelaºi volum. Calculaþi lungimea muchiei cubului ºtiind cã: a) paralelipipedul dreptunghic are dimensiunile de 4 cm, 6 cm ºi 9 cm; b) suma celor trei dimensiuni ale paralelipipedului dreptunghic este de 189 cm, lãþimea reprezentând jumãtate din lungime ºi un sfert din înãlþime. 12. Un vas cu apã în formã de paralelipiped dreptunghic are baza un pãtrat cu latura de 1,6 dm. În vas este scufundat complet un corp metalic. Calculaþi volumul corpului, ºtiind cã nivelul apei se ridicã cu 50 mm. 13. O cutie în formã de cub are grosimea pereþilor de 0,5 cm ºi muchia exterioarã de 10 cm. Sã se afle volumul interior al cutiei. 14. Desfãºurarea unui cub acoperã o suprafaþã planã cu aria de 864 cm². Aflaþi lungimea muchiei cubului.
70
I I. Dreapta
Noþiuni teoretice Denumire
Desen, elemente, proprietãþi
Punctul
D
Dreapta
A
Punctul A, notat A. Dreapta a, notatã a. Dreapta AB, notatã AB.
Trei sau mai multe puncte care aparþin aceleiaºi drepte se numesc puncte coliniare. Semidreapta
Semidreaptã închisã OA, notatã [OA. Semidreapta deschisã OA, notatã (OA. [MN ºi [MP sunt semidrepte opuse. Segmentul închis AB, notat [AB]; Segmentul deschis AB, notat (AB).
Segmentul
Punctele A ºi B se numesc capetele segmentului AB. Distanþa dintre punctele A ºi B se numeºte lungimea segmentului AB, notatã AB. Segmentele care au lungimi egale se numesc segmente congruente. CD = EF ⇔ [CD] \ [EF] Mijlocul unui segment este punctul de pe segment egal depãrtat de capetele sale. M i [PQ], PM = MQ.
Exerciþii ºi probleme 1. Desenaþi trei puncte distincte A, B, C, astfel încât: a) [AB = [AC; b) [AB ºi [AC sunt semidrepte opuse; c) C este mijlocul segmentului [AB]. 2. Desenaþi douã segmente [AB] ºi [CD], astfel încât sã fie îndeplinite urmãtoarele condiþii:
71 a) A, B, C, D sunt coliniare ºi [AB] O [CD] = ∅; b) A, B, C, D sunt necoliniare ºi [AB] O [CD] = ∅; c) [AB] O [CD] = {M}, [AM] = [MB] ºi [CM] = [MD]. 3. Desenaþi patru puncte astfel încât acestea sã determine: a) o dreaptã; b) patru drepte; c) ºase drepte. 4. Fie punctele A, B, C, D, distincte douã câte douã ºi punctul P i (AC). Enumeraþi dreptele distincte determinate de aceste puncte dacã sunt îndeplinite urmãtoarele condiþii: a) P i (BD), iar punctele B ºi D sunt situate de o parte ºi de cealaltã a dreptei AC; b) C i (PB), iar A ºi P sunt de aceeaºi parte a dreptei DC. 5. Desenaþi punctele coliniare A, B, C astfel încât: a) AB = 3 cm ºi B este mijlocul segmentului [AC]; b) AB = 2 cm, BC = 4 cm ºi B i (AC); c) AB = 5 cm, AC = 2 cm ºi B i (AC); d) AB = 4,5 cm, AC = 3,5 cm ºi C h(AB. 6. Fie date punctele coliniare A, B, C astfel încât AC + CB = AB, AC = 4 cm, AB = 10 cm. Aflaþi lungimea segmentului [MN], dacã M ºi N sunt mijloacele urmãtoarelor segmente: a) [AC], respectiv [BC]; b) [AB], respectiv [MB]; c) [BC], respectiv [AM]. 7. Pe o dreaptã se considerã punctele A, B, C, în aceastã ordine, astfel încât AC = 12 cm. Sã se afle lungimea segmentului AB dacã: a) punctul B este mijlocul segmentului [AC]; b) 12 = 1 23 ; c) 12 = 1 13 ; 2 2 d) AB BC = 2 cm; e) BC este 20% din AB. 8. Fie date punctele coliniare A, B, C, în aceastã ordine, punctul D este mijlocul segmentului [AB], iar BC = 8 cm. Sã se afle lungimea segmentului [AB] dacã: a) DC = 10 cm; b) AC = 4 · DB; c) punctul B este mijlocul segmentului [DC]; d) lungimea segmentului [AC] este cu 15 cm mai mare decât lungimea segmentului [AD]. 9. Fie A, B, C puncte coliniare, în aceastã ordine, distincte douã câte douã. ªtiind cã AB = 9 cm ºi BC = 4 cm, sã se afle distanþa dintre mijloacele segmentelor: a) [AB] ºi [BC]; b) [AB] ºi [AC]; c) [AC] ºi [BC].
72 10. Fie A, B, C, D patru puncte coliniare situate în aceastã ordine, astfel încât BC = 2 · AB, AC = 6 · CD ºi BD = 18 cm. Sã se afle: a) lungimea segmentului [AD]; b) distanþa dintre mijloacele segmentelor [AC] ºi [BD]. 11. Pe o dreaptã se considerã punctele distince A, B, C, D în aceastã ordine. ªtiind cã AC = 7 cm ºi BD = 11 cm, sã se afle: a) AD + BC; b) CD AB. 12. Fie punctele coliniare A, B, C, D, în aceastã ordine, astfel încât CD = 2 · BC, AD = 15 cm, BC = 3AB. Sã se afle distanþa dintre mijloacele segmentelor: a) [AC] ºi [BD]; b) [BC] ºi [AD]. 13. Pe o dreaptã se considerã punctele coliniare A, B, C, D, E, F, în aceastã ordine, astfel încât BC = 2AB, AD = 3BC, AE = 4CD, AF = 5DE, iar EF = 18 cm. Sã se afle distanþa dintre mijloacele segmentelor: a) [AC] ºi [BF]; b) [AC] ºi [BE]; c) [BD] ºi [CE]; d) [AE] ºi [CF]. 14. Fie date punctele coliniare A, B, C, D, astfel încât D este mijlocul segmentului [AB]. 12 1 32 23 42 = 32 + 12 a) Dacã A i (BC), arãtaþi cã 34 = . 4 4 12 + 32 23 42 = 12 1 32 . b) Dacã C i (AD), arãtaþi cã 34 = 4 4 15. Pe o dreaptã se considerã punctele A, B, C, D, E, astfel încât C este mijlocul segmentului [AB], D i [BC] ºi [DE] \ [BD]. Determinaþi valoarea raportului dintre lungimile segmentelor [AE] ºi [CD].
III. Unghiuri
73
Noþiuni teoretice Denumire Unghiul
Desen, elemente, proprietãþi Figura geometricã formatã din douã semidrepte cu aceeaºi origine se numeºte unghi. Unghiul AOB este notat rAOB. Semidreptele [OA ºi [OB se numesc laturile unghiului. Punctul O se numeºte vârful unghiului.
Unghiul alungit Unghiul ale cãrui laturi sunt semidrepte opuse se numeºte unghi alungit sau unghi cu laturile în prelungire. Mãsura unui unghi alungit este egalã cu 180°. Unghiul nul
Unghiul propriu Unghiuri congruente
Unghiuri adiacente
Unghiuri suplementare
Unghiul ale cãrui laturi sunt semidrepte identice se numeºte unghi nul. Mãsura unghiului nul este egalã cu 0°. Un unghi care nu este nici alungit ºi nici nul se numeºte unghi propriu. Unghiurile care au mãsurile egale se numesc unghiuri congruente. m(rAOB) = m(rA′O′B′) ⇒ ⇒ rAOB \ rA′O′B′
Douã unghiuri proprii care au vârful comun, o laturã comunã, iar celelalte douã laturi situate de o parte ºi de alta a dreptei care conþine latura comunã se numesc unghiuri adiacente. rAOB ºi rBOC sunt unghiuri adiacente. Douã unghiuri proprii care au suma mãsurilor egalã cu 180° se numesc unghiuri suplementare. m(rAOB) + m(rPQR) = 180°
74 Denumire
Desen, elemente, proprietãþi
Unghiuri complementare
Douã unghiuri proprii care au suma mãsurilor egalã cu 90° se numesc unghiuri complementare. m(rAOB) + m(rPQR) = 90°.
Unghi drept
Unghiul care are mãsura de 90° se numeºte unghi drept. m(rAOB) = 90°.
Unghi ascuþit
Un unghi propriu a cãrui mãsurã este mai micã de 90° se numeºte unghi ascuþit. m(rAOB) < 90°.
Unghi obtuz
Un unghi propriu a cãrui mãsurã este mai mare de 90° se numeºte unghi obtuz. m(rAOB) > 90°.
Unghiuri opuse la vârf
Douã unghiuri proprii ale cãror laturi sunt semidrepte opuse, se numesc unghiuri opuse la vârf. Unghiurile opuse la vârf sunt congruente. rAOB \rCOD ºi rBOC \rAOD.
Bisectoarea unui unghi propriu
Semidreapta situatã în interiorul unghiului, având originea în vârful unghiului, care formeazã unghiuri congruente cu laturile unghiului, se numeºte bisectoarea unghiului. [OP este bisectoarea rAOB ⇒ m(rAOP) = m(rBOP).
Unghiuri în jurul unui punct
Trei sau mai multe unghiuri care au acelaºi vârf, astfel încât orice punct al planului ce nu aparþine niciuneia din laturile lor, aparþine interiorului unui singur unghi, se numesc unghiuri în jurul unui punct. Suma mãsurilor unghiurilor în jurul unui punct este de 360°.
75
Exerciþii ºi probleme 1. Fie date punctele coliniare A, B, C, în aceastã ordine, ºi punctul D, care nu aparþine dreptei AB. Sã se afle mãsurile unghiurilor rABD ºi rBDC ºtiind cã: a) m(rABD) = m(rBDC); b) m(rABD) este cu 70° mai micã decât m(rBDC); c) m(rABD) este un sfert din m(rBDC); d) m(rABD) este de opt ori mai mare decât m(rBDC). 2. Fie dat unghiul alungit rAOB ºi punctele C, D situate de aceeaºi parte a dreptei AB. Sã se afle: a) m(rAOC) = m(rCOD) = m(rDOB); b) m(rCOD) = 3 · m(rAOC) ºi m(rDOB) = 20°. 3. Fie date punctele coliniare A, B, C, în aceastã ordine, iar D ºi E douã puncte situate de aceeaºi parte a dreptei AB. Dacã m(rDBE) = 2m(rABD) = = 2m(rCBE), calculaþi mãsurile unghiurilor rABE ºi rCBD. 4. Fie date punctele coliniare A, B, C, în aceastã ordine, iar M ºi P douã puncte situate de o parte ºi de cealaltã a dreptei AB. ªtiind cã m(rABP) = 90° ºi 1 (1123 ) 2 = , sã se afle m(rPBM). 1 (1324 ) 3 5. Se considerã unghiul rAOB ºi (OA′ semidreapta opusã semidreptei (OA. ªtiind cã m(rAOB) este 60% din m(rBOA′), calculaþi mãsurile unghiurilor rAOB ºi rA′OB. 6. Se considerã unghiurile rAOB ºi rBOC cu mãsurile de 75°, respectiv 50°. Sã se afle m(rAOC), dacã punctele A ºi C sunt: a) de aceeaºi parte a dreptei OB; b) de o parte ºi de cealaltã a dreptei OB. 7. Fie date unghiurile adiacente rAOB ºi rBOC, iar (OD bisectoarea unghiului rAOC. ªtiind cã m(rBOD) = m(rAOB) = 23°30′30′′, sã se afle m(rAOC). 8. Aflaþi mãsura unghiului format de bisectoarele a douã unghiuri adiacente, dacã mãsura unghiului format de laturile necomune este de: a) 150°; b) 97°; c) 112°37′; d) 132°43′20′′. 9. În interiorul unghiului rAOB se considerã punctele C ºi D astfel încât (OC este bisectoarea unghiului rAOB, iar (OD este bisectoarea unghiului rBOC. ªtiind cã m(rAOD) = 87°, sã se afle mãsurile unghiurilor rAOB, rBOC ºi rBOD. 10. În exteriorul rAOB se considerã punctele C ºi D, astfel încât (OA este bisectoarea unghiului rBOC, iar (OB este bisectoarea rAOD. Dacã m(rCOD) = = 141°, sã se afle mãsura unghiului rAOB.
76 11. Bisectoarele a douã unghiuri adiacente formeazã un unghi cu mãsura de 54°. Aflaþi mãsurile celor douã unghiuri ºtiind cã: a) cele douã unghiuri au aceeaºi mãsurã; b) diferenþa dintre mãsurile celor douã unghiuri este de 16°; c) raportul dintre mãsurile celor douã unghiuri este egal cu 5. 12. Aflaþi mãsura unghiului format de bisectoarele a douã unghiuri adiacente: a) complementare; b) suplementare. 13. Aflaþi mãsurile a douã unghiuri complementare dacã: a) diferenþa dintre mãsurile celor douã unghiuri este de 42°; 1 b) raportul dintre mãsurile celor douã unghiuri este ; 2 c) mãsura unui unghi este 125% din mãsura altui unghi. 14. Aflaþi mãsurile a douã unghiuri suplementare dacã: a) mãsura unui unghi este egalã cu mãsura celuilalt unghi; b) mãsura unui unghi este jumãtate din mãsura celuilalt unghi; 1 c) mãsura unui unghi este din mãsura celuilalt unghi. 2 15. Diferenþa dintre mãsurile a douã unghiuri este de 32°. Aflaþi mãsurile celor douã unghiuri dacã acestea sunt: a) complementare; b) suplementare. 16. Aflaþi mãsura unui unghi dacã: a) complementul sãu reprezintã 10% din suplementul sãu; b) suma dintre complementul sãu ºi suplementul sãu este de 190°. 17. Aflaþi mãsurile unghiurilor formate de douã drepte concurente dacã: a) trei dintre unghiuri sunt congruente; b) douã dintre unghiuri sunt complementare; c) diferenþa dintre mãsurile a douã unghiuri este de 74°; d) suma mãsurilor a douã unghiuri este 146°. 18. Determinaþi mãsura unui unghi dacã: a) suplementul complementului sãu are mãsura de 130°; b) complementul suplementului sãu are mãsura de 20°. 19. Fie date n unghiuri congruente în jurul unui punct. Sã se afle mãsurile unghiurilor dacã: a) n = 3; b) n = 4; c) n = 5; d) n = 6; d) n = 15. 20. Fie date n unghiuri în jurul unui punct, ale cãror mãsuri sunt exprimate, în grade, prin numere naturale consecutive. Sã se afle mãsurile unghiurilor dacã: a) n = 3; b) n = 5; c) n = 9.
77 21. Unghiurile rAOB, rBOC, rCOA sunt unghiuri în jurul punctului O. Sã se afle mãsurile celor trei unghiuri dacã: a) 4 · m(rAOB) = 3 · m(rBOC) = 6 · m(rCOA); b) m(rAOB) este jumãtate din m(rBOC) ºi cu 60° mai micã decât m(rAOC); c) m(rCOB) este cu 10° mai mare decât m(rAOB) ºi cu 10° mai micã decât m(rAOC); d) m(rAOC) reprezintã 60% din m(rBOC) ºi 75% din m(rAOB). 22. În jurul punctului O se considerã unghiurile rAOB, rBOC, rCOD ºi rDOA astfel încât 4 · m(rAOB) = 3 · m(rBOC); 4 · m(rCOD) = m(rBOC), iar 1 (1123 ) 1 (1421 ) 2 1 (1123 ) = . Sã se afle: 3 a) mãsurile celor patru unghiuri din jurul punctului O; b) mãsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor rAOB ºi rCOD. 23. În jurul unui punct O se considerã unghiurile rAOB, rBOC, rCOD, rDOA, astfel încât m(rBOC) = 2 · m(rAOB); m(rCOD) = 3 · m(rAOB) ºi m(rDOA) = 2 · m(rBOC). Sã se calculeze: a) mãsurile celor patru unghiuri în jurul punctului O; b) mãsura unghiului dintre bisectoarele unghiurilor rAOB ºi rAOD.
78
I V. Congruenþa triunghiurilor
Noþiuni teoretice Denumire
Desen, elemente, proprietãþi
Triunghiul
Figura geometricã formatã din reuniunea a trei segmente determinate de trei puncte ncoliniare se numeºte triunghi. Elementele triunghiului: laturile: [AB], [AC], [BC]; unghiurile: rBAC, rABC, rACB.
Triunghiul echilateral
Triunghiul care are toate laturile congruente se numeºte triunghi echilateral: AB = AC = BC = l.
Triunghiul isoscel
Triunghiul care are douã laturi congruente se numeºte triunghi isoscel: AB = AC.
Triunghiul ascuþitunghic
Triunghiul care are toate ungiurile ascuþite se numeºte triunghi ascuþitunghic. m(rBAC) < 90°; m(rABC) < 90°; m(rACB) < 90°.
Triunghiul dreptunghic
Triunghiul care are un unghi de 90° se numeºte triunghi dreptunghic. m(rBAC) = 90°; [AB] ºi [AC] se numesc catete; [BC] se numeºte ipotenuzã.
Triunghiul obtuzunghic
Triunghiul care are un unghi obtuz se numeºte triunghi obtuzunghic. m(rBAC) > 90° Triunghiuri congruente Douã triunghiuri care au cele ºase elemente respectiv congruente se numesc triunghiuri congruente.
[AB] \ [A′B ′]; [AC] \ [A′C ′]; [BC] \ [B ′C ′]; ⇔ ∆ABC \ ∆A′B ′C ′ rA \ rA′; rB \ rB ′; rC \ rC ′
79 Cazurile de congruenþã ale triunghiurilor oarecare Cazul LUL (laturã, unghi, laturã) Douã triunghiuri care au câte douã laturi ºi unghiurile cuprinse între ele respectiv congruente sunt congruente. [AB] \ [A′B ′]; [AC] \ [A′C ′]; rA \ rA′ ⇒ ∆ABC \ ∆A′B ′C ′ Cazul ULU (unghi, laturã, unghi) Douã triunghiuri care au câte o laturã ºi unghiurile alãturate ei respectiv congruente sunt congruente. [BC] \ [B ′C ′]; rB \ rB ′; rC \ rC ′ ⇒ ∆ABC \ ∆A′B ′C ′ Cazul LLL (laturã, laturã, laturã) Douã triunghiuri care au laturile respectiv congruente sunt congruente. [AB] \ [A′B ′]; [AC] \ [A′C ′]; [BC] \ [B ′C ′] ⇒ ∆ABC \ ∆A′B ′C ′ Cazul LUU (laturã, unghi, unghi) Douã triunghiuri care au câte o laturã, unghiul opus ei ºi un unghi alãturat ei, respectiv congruente sunt congruente. [AB] \ [A′B ′]; rB \ rB ′; rC \ rC ′ ⇒ ∆ABC \ ∆A′B ′C ′ Metoda triunghiurilor congruente Pentru a demonstra cã douã segmente sau douã unghiuri sunt congruente, le încadrãm în douã triunghiuri a cãror congruenþã poate fi demonstratã. Dacã segmentele sau unghiurile respective sunt elemente omoloage în triunghiuri congruente, atunci ele sunt congruente.
80 Exerciþii ºi probleme 1. Sã se construiascã un triunghi care are: a) douã laturi cu lungimile de 2 cm ºi 3 cm, iar unghiul dintre ele de 50°; b) o laturã de 3 m, iar unghiurile alãturate ei de 40° ºi 60°; c) cele trei laturi cu lungimile de 2,5 cm, 3 cm ºi 3,5 cm. 2. Sã se construiascã un triunghi isoscel care are: a) laturile congruente de 4 cm, iar unghiul dintre ele de 30°; b) baza de 3 cm, iar unghiurile alãturate ei de 35° ºi 45°; c) douã laturi cu lungimile de 4 cm ºi 2 cm. 3. Sã se construiascã un triunghi dreptunghic: a) isoscel cu catetele de 2 cm; b) care are lungimile catetelor de 3 cm ºi 4 cm; c) care are un unghi ascuþit de 60°, iar ipotenuza de 5 cm. 4. Sã se construiascã un triunghi echilateral care are perimetrul de 12 cm. 5. Un triunghi ABC are perimetrul de 60 cm. Sã se determine lungimile laturilor triunghiului dacã: a) AB este cu 5 cm mai mare decât AC ºi cu 5 cm mai micã decât BC; b) BC reprezintã 150% din AB ºi 120% din AC; c) AC este medie aritmeticã între AB ºi BC, iar BC este cu 12 cm mai mare decât AB. 6. Un triunghi isoscel are perimetrul de 80 cm. Sã se afle lungimile laturilor triunghiului dacã: a) lungimea unei laturi este jumãtate din lungimea altei laturi; b) diferenþa dintre lungimile a douã laturi este de 25 cm. 7. Triunghiurile ABC ºi ABD au latura AB comunã, iar vârfurile C ºi D sunt situate de o parte ºi de cealaltã a dreptei AB. Sã se arate cã cele douã triunghiuri sunt congruente dacã: a) [AC] \ [AD] ºi rCAB \ rDAB; b) [AC] \ [BD] ºi rCAB \ rDBA. 8. Pe laturile [AB] ºi [AC] ale triunghiului isoscel ABC cu AB = AC, se considerã punctele M, respectiv N, astfel încât [BM] \ [CN]. Sã se demonstreze cã: a) [BN] \ [CM]; b) ∆BMC \ ∆CNB. 9. Se considerã rXOY, rYOZ, rZOX unghiuri congruente în jurul punctului O. Pe semidreptele (OX, (OY, (OZ se considerã punctele A, B, respectiv C, astfel încât [OA] \ [OB]\ [OC]. Sã se demonstreze cã triunghiul ABC este echilateral.
81 10. Fie date segmentele [AB] ºi [CD], astfel încât [AC] O [BD] = {O}, [AO] \ \ [OB], [CO] \ [DO]. Sã se arate cã [AC] \ [BD] ºi [AD] \ [BC]. 11. Se considerã triunghiul isoscel ABC cu [AB] \ [AC]. Pe laturile (AB) ºi (AC) se considerã punctele D ºi E astfel încât rABE \ rACD. Sã se arate cã: a) [BE] \ [CD]; b) rBEC \ rBDC. 12. Triunghiul dreptunghic ABC are m(rBAC) = 90°, AB = 2 cm, AC = 4 cm. Prelungim latura [AC] cu AD = 2 cm, A i (CD), iar latura [AB] cu BE = 2 cm, B i (AE). Comparaþi DE cu BC. 13. În interiorul triunghiului isoscel ABC cu [AB] \ [AC] se considerã punctul P, astfel încât [BP] \ [CP]. Dacã AP O BC = {M}, sã se arate [BM] \ [MC]. 14. Fie P un punct în exteriorul triunghiului isoscel ABC, cu [AB] \ [AC], astfel încât [PB] \ [PC]. Sã se demonstreze cã (AP este bisectoarea rBAC. 15. Fie dat unghiul propriu rXOY împreunã cu bisectoarea sa (OZ. Pe semidreptele (OX, (OY, (OZ se considerã punctele A, B respectiv C astfel încât rOCA \ \rOCB. Demonstraþi cã: a) ∆AOC \ ∆BOC; b) [AD] \ [DB], unde AB O OC = {D}. 16. Triunghiurile ABD ºi BCD au latura (AB) comunã, iar vârfurile A ºi C situate de o parte ºi de cealaltã a dreptei BD. ªtiind cã rABD \ rCDB ºi rADB \ \rCBD, sã se arate cã: a) ∆ABD \ ∆CDB; b) ∆ADC \ ∆BCA; c) [AO] \ [OC], unde AC O BD = {O}. 17. Pe laturile (OX ºi (OY ale unghiului propriu rXOY se considerã punctele A, B respectiv C, D astfel încât [OB] \ [OD] ºi [OA] \ [OC]. Arãtaþi cã: a) ∆BOC \ ∆DOA; b) ∆DAB \ ∆BCD; c) triunghiurile BOD ºi AOC sunt isoscele, unde AD O BC = {O}. 18. Fie O mijlocul segmentului [AB]. De aceeaºi parte a dreptei AB se construiesc triunghiurile echilaterale AOC ºi BOD. Dacã AD O CO = {P} ºi BC O OD = = {Q}, sã se demonstreze cã: a) ∆AOC \ ∆BOD; b) [BC] \ [AD]; c) [OP] \ [OQ]. 19. În triunghiul ABC, M este mijlocul laturii BC, P este mijlocul segmentului [AM], iar CP O AB = {Q}. Dacã [AC] \ [MC], sã se arate cã: a) (CQ este bisectoarea unghiului rACB; b) ∆AQM este isoscel.
82 20. Fie date punctele coliniare A, B, C, în aceastã ordine. De o parte ºi de alta a dreptei AC se considerã punctele D ºi E, astfel încât ∆BCE \ ∆BCD. Stabiliþi dacã: a) [AE] \ [AD]; b) [EM] \ [MD], unde AC O ED = {M}. 21. În interiorul triunghiului isoscel ABC, cu [AB] \ [AC], se considerã punctele D ºi E astfel încât rCAD \ rDAE \ rEAB ºi [AD] \ [AE]. Sã se demonstreze: a) [CD] \ [BE]; b) [CE] \ [BD]; c) (AP este bisectoarea unghiului rBAC. 22. Fie date punctele coliniare A, B, C, D, în aceastã ordine. De o parte ºi de alta a dreptei AB considerãm punctele M, N, astfel încât ∆MAB \ ∆NAB. Sã se arate cã: a) rMBC \ rNBC; b) [MC] \ [NC]; c) [MD] \ [ND]; d) [MO] \ [NO], unde AD O MN = {O}.
V. Perpendicularitate
83
Noþiuni teoretice Denumire Drepte perpendiculare
Drepte oblice
Desen, elemente, proprietãþi Douã drepte concurente care formeazã un unghi drept se numesc drepte perpendiculare. Dacã douã drepte sunt perpendiculare atunci ele formeazã patru unghiuri drepte. aub Douã drepte concurente care nu sunt perpendiculare se numesc oblice.
Distanþa de la un punct la o dreaptã
Distanþa de la un punct la o dreaptã este lungimea segmentului determinat de punct ºi piciorul perpendicularei din acel punct pe dreaptã. d(A, g) = AB
Mediatoarea unui segment
Perpendiculara în mijlocul unui segment pe dreapta determinatã de acesta se numeºte mediatoarea segmentului. Dreapta d este mediatoarea segmentului [AB]. Orice punct al mediatoarei unui segment este egal depãrtat de capetele segmentului; orice punct egal depãrtat de capetele unui segment se aflã pe mediatoarea segmentului.
Meditoarele laturilor unui triunghi
Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concurente. Punctul de concurenþã este egal depãrtat de vârfurile triunghiului (el este centrul cercului circumscris triunghiului). OA = OB = OC
84 Denumire
Desen, elemente, proprietãþi
Bisectoarele unghiurilor unui triunghi
IA′ = IB ′ = IC ′
Bisectoarele unghiurilor unui triunghi sunt concurente. Punctul de concurenþã al bisectoarelor unghiurilor unui triunghi este egal depãrtat de laturile triunghiului (el este centrul cercului înscris în triunghi).
Cazurile de congruenþã ale triunghiurilor dreptunghice Cazul IC (ipotenuzã, catetã) Douã triunghiuri dreptunghice care au ipotenuzele ºi câte o catetã respectiv congruente sunt congruente. m(rA) = m(rA′) = 90°; [BC] \ [B ′C ′]; [AB] \ [A′B ′] ⇒ ∆ABC \ ∆A′B ′C ′ Cazul CC (catetã, catetã) Douã triunghiuri dreptunghice care au catetele respectiv congruente sunt congruente. m(rA) = m(rA′) = 90°; [AB] \ [A′B ′]; [AC] \ [A′C ′] ⇒ ∆ABC \ ∆A′B ′C ′ Cazul IU (ipotenuzã, unghi) Douã triunghiuri dreptunghice care au ipotenuzele ºi câte un unghi ascuþit respectiv congruente sunt congruente. m(rA) = m(rA′) = 90°; [BC] \ [B ′C ′]; rC = rC ′ ⇒ ∆ABC \ ∆A′B ′C ′ Cazul CU (catetã, unghi) Douã triunghiuri dreptunghice care au câte o catetã ºi un unghi ascuþit respectiv congruente sunt congruente. m(rA) = m(rA′) = 90°; [AB] \ [A′B ′]; rB = rB ′ ⇒ ∆ABC \ ∆A′B ′C ′
85
Exerciþii ºi probleme 1. Se considerã unghiurile rAOB, rAOC ºi rBOC formate în jurul punctului O. Sã se demonstreze cã AO u OC în urmãtoarele situaþii: a) m(rAOB) = m(rBOC) = 135°; b) 6 · m(rAOC) = 10 · m(rBOC) = 2,5 · m(rAOB); c) mãsurile unghiurilor rAOC, rAOB, rBOC sunt direct proporþionale cu 3, 4, 5. 2. Fie date unghiurile rAOB, rBOC, rCOD, rAOD formate în jurul punctului O. Sã se stabileascã dacã OC u OD în urmãtoarele situaþii: a) cele patru unghiuri sunt congruente; b) m(rAOB) = m(rBOC) ºi 10 · m(rCOD) = 15 · m(rBOC) = 6 · m(rAOD); c) mãsurile unghiurilor rAOB, rBOC, rCOD, rAOD sunt direct proporþionale cu 2; 1,75; 2,25; 3. 3. Demonstraþi cã bisectoarele a douã unghiuri adiacente suplementare sunt perpendiculare. 4. Fie date unghiurile opuse la vârf rAOB ºi rCOD, astfel încât punctele B ºi C sunt de o parte ºi de cealaltã a dreptei AD. Sã se demonstreze cã bisectoarele unghiurilor rAOB ºi rAOC sunt perpendiculare. 5. Triunghiurile ABC ºi DBC sunt situate de aceeaºi parte a dreptei BC. ªtiind cã AB u BC, DC u BC ºi AB = DC, sã se arate cã: a) AC = DB; b) punctele B ºi C sunt egal depãrtate de dreptele AC, respectiv BD. 6. Triunghiurile MNP ºi NPQ sunt situate de o parte ºi de alta a dreptei NP. ªtiind cã MN u NP, QP u NP ºi MN u PQ, sã se arate cã: a) MP = NQ; b) punctele N ºi P sunt egal depãrtate de dreptele MP ºi NQ; c) punctul O este mijlocul segmentului [NP], unde NP O MQ = {O}. 7. Triunghiurile ABC ºi ADC sunt situate de o parte ºi de alta a dreptei AC. ªtiind cã m(rABC) = m(rADC) = 90° ºi AB = AD, sã se arate cã: a) ∆BDC este isoscel; b) dreapta AC este mediatoarea segmentului [BD]. 8. Fie date triunghiurile echilaterale ABC ºi BCD situate în semiplane diferite faþã de dreapta BC. Sã se demostreze cã: a) semidreapta (AD este bisectoarea unghiului rBAC; b) dreapta AD este mediatoarea segmentului [BC]. 9. Fie date punctele coliniare M, N, P ºi Q (în aceastã ordine), cu MN = NP = = PQ. De aceeaºi parte a dreptei MQ se considerã punctele A ºi B, astfel încât AM u MQ, BQ u MQ, AM = BQ = 2 · MN. Sã se demonstreze cã:
86 a) AN = BP; b) rNBP \ rNAP; c) triunghiul BPC este isoscel, unde C este mijlocul segmentului [AM]. 10. Triunghiurile ABC ºi DBC sunt situate în semiplane diferite faþã de dreapta BC. Dacã AB = AC, DB u AB ºi DC u AC, sã se demonstreze cã: a) semidreapta (AD este bisectoarea unghiului rBAC; b) dreapta AD este mediatoarea segmentului [BC]. 11. Fie date triunghiurile congruente ABC ºi A′B ′C ′. Sã se demonstreze cã distanþa de la A la BC este egalã cu distanþa de la A′ la B ′C ′. 12. Se considerã segmentele [AC] ºi [BD] având acelaºi mijloc, punctul O. Dacã AC u BD, sã se demonstreze cã: a) AB = BC = CD = DA; b) punctul O este egal depãrtat faþã de dreptele AB, BC, CD, DA. 13. Fie date segmentele congruente [AB] ºi [CD] având acelaºi mijloc, punctul O. Sã se demonstreze cã: a) punctele A ºi B sunt egal depãrtate faþã de dreapta CD; b) punctul O este egal depãrtat faþã de dreptele AD ºi BC. 14. Triunghiul ABC are AB = 4 cm, AC = 6 cm, iar mediatoarea laturii [BC] intersecteazã pe AC în punctul P. Sã se afle perimetrul triunghiului PAB. 15. Fie dat triunghiul isoscel ABC cu AB = AC ºi BC = 6 cm. Mediatoarea laturii AB intersecteazã dreapta AC în P. Dacã perimetrul triunghiului PAB este 24 cm, sã se afle perimetrul triunghiului PBC. 16. În triunghiul isoscel ABC cu AB = AC, mediatoarele laturilor [AB] ºi [AC] se intersecteazã în punctul O. Sã se demonstreze cã: a) ∆AOB \ ∆AOC; b) dreapta AO este mediatoarea segmentului [BC]. 17. În triunghiul ABC notãm cu I centrul cercului înscris în triunghi. Dacã ID u AB, D i (AB), IE u AC, E i (AC) ºi BD = EC, sã se arate cã triunghiul ABC este isoscel. 18. În triunghiul obtuzunghic ABC cu m(rBAC) > 90°, mediatoarea laturii BC intersecteazã dreapta AB în P ºi dreapta AC în Q. Demonstraþi cã: a) triunghiurile PBC ºi QBC sunt isoscele; b) rPBQ \ rPCQ; c) dreapta PQ este mediatoarea segmentului [AD]. 19. Fie dat triunghiul ABC cu AB > AC. Pe segmentul (AB) se considerã punctul P astfel încât AP = AC, iar pe semidreapta (AC se considerã punctul Q astfel încât AQ = AB. Dacã PQ O BC = {D}, sã se demonstreze cã: a) ∆ABC \ ∆AQP; b) ∆DBP \ ∆DQC; c) (AD este bisectoarea unghiului rBAC.
VI. Paralelism
87
Noþiuni teoretice Denumire
Desen, elemente, proprietãþi
Drepte paralele
Douã drepte dintr-un plan care nu au nici un punct comun se numesc drepte paralele (a t b).
Axioma lui Euclid
Printr-un punct exterior unei drepte trece o paralelã la acea dreaptã ºi numai una.
Unghiuri formate de douã drepte paralele tãiate de o secantã Douã drept paralele formeazã cu orice secantã unghiuri: alterne intene congruente: r1 \ r7; r2 \ r8; alterne externe congurente:r4 \ r6; r3 \ r5; corespondente congruente: r1 \ r5; r2 \ r6; r3 \ r7; r4 \ r8; interne de aceeaºi parte a secantei suplementare: m(r1) + m(r8) = 180°; m(r2) + m(r7) = 180°; externe de aceeaºi parte a secantei suplementare: m(r4) + m(r5) = 180°; m(r3) + m(r6) = 180°. Criterii de paralelism
Perpendicularitate ºi paralelism
Douã drepte care formeazã cu o secantã o pereche de unghiuri alterne interne congruente sau alterne externe congruente sau corespondente congruente sau interne de aceeaºi parte a secantei suplementare sau externe de aceeaºi parte a secantei suplementare sunt paralele. Într-un plan, dacã douã drepte sunt perpendiculare pe o a treia dreaptã, ele sunt paralele. a u c; b u c ⇒ a || b. Într-un plan, dacã o dreaptã este perpendicularã pe una dintre douã drepte paralele, atunci ea este perpendicularã ºi pe cealaltã; a u b; c || b ⇒ a u c.
88 Denumire Unghiuri cu laturile paralele
Desen, elemente, proprietãþi Douã unghiuri cu laturile paralele sunt congruente sau suplementare.
rABC \ rCDE;
m(rA′B ′C ′) + m(rC ′D′E ′) = 180°.
Exerciþii ºi probleme 1. Se considerã douã drepte paralele tãiate de o secantã. Sã se determine mãsurile celor opt unghiuri formate dacã: a) unul dintre unghiuri are mãsura de 50°; b) douã dintre unghiuri au suma mãsurilor de 84°; c) douã dintre unghiuri au suma mãsurilor de 216°; d) mãsura unui unghi este cu 16° mai mare decât mãsura altui unghi; e) mãsura unui unghi este de douã ori mai micã decât mãsura altui unghi; f) douã dintre unghiuri au media aritmeticã a mãsurilor de 47°; g) diferenþa dintre mãsurile a douã unghiuri este de 28°; h) mãsura unui unghi reprezintã 20% din mãsura altui unghi. 2. Douã drepte tãiate de o secantã formeazã opt unghiuri congruente. Stabiliþi dacã dreptele sunt paralele. 3. Se considerã segmentele [AB] ºi [CD] având acelaºi mijloc, punctul O. Sã se demonstreze cã: a) AD || BC; b) AC || BD. 4. Triunghiurile dreptunghice ABC ºi DBC au cateta BC comunã, iar vârfurile A ºi D, A ≠ D, sunt situate de aceeaºi parte a dreptei BC. ªtiind cã ∆ABC \ \ ∆DCB, sã se arate cã AD || BC. 5. Fie date punctele coliniare A, B, C (în aceastã ordine) ºi punctele M, N situate de aceeaºi parte a dreptei AC, M ≠ N, astfel încât ∆MAB \ ∆NBC. Demonstraþi cã: a) MA || NB ºi MB || NC; b) MN || AC. 6. Se considerã punctele coliniare A, B, C, D (în aceastã ordine) ºi punctele M, N situate de o parte ºi de alta a dreptei AD astfel încât ∆MAB \ ∆NCD. Stabiliþi dacã: a) MB || CN ºi MA || DN; b) MC || BN; c) MD || AN.
89 7. Douã drepte paralele sunt tãiate de o secantã. Determinaþi mãsurile celor opt unghiuri formate în urmãtoarele situaþii: a) trei dintre unghiurile formate au media aritmeticã a mãsurilor de 80°, douã dintre ele având mãsuri diferite; b) mãsura unui unghi este egalã cu suma mãsurilor altor trei unghiuri. 8. În triunghiul ABC, paralela prin A la BC intersecteazã paralela prin B la AC în punctul D. Demonstraþi cã: a) ∆ABC \ ∆BAD; b) mijloacele segmentelor [AB] ºi [DC] coincid. 9. Demonstraþi cã douã drepte paralele care intersecteazã alte douã drepte paralele, determinã pe acestea segmente congruente. 10. Sã se demonstreze cã paralelele duse prin vârfurile unui triunghi la laturile opuse determinã un triunghi în care vârfurile triunghiului dat sunt mijloacele laturilor. 11. În triunghiul ABC notãm cu M ºi N mijloacele laturilor [AB], respectiv [AC]. Pe semidreptele (CM ºi (BN considerãm punctele D, respectiv E, astfel încât CM = MD ºi BN = NE. Arãtaþi cã: a) AD || BC; b) punctele D, A, E sunt coliniare. 12. În exteriorul triunghiului echilateral ABC se construiesc triunghiurile echilaterale A′BC, B ′AC, C ′AB. Stabiliþi dacã: a) punctele C ′, A, B′ sunt coliniare; b) triunghiul A′B ′C ′ este echilateral; c) A′A u BC. 13. În exteriorul triunghiului ABC se considerã punctul D astfel încât DA || BC ºi DC || AB. Sã se demonstreze cã bisectoarea unghiului rBAC este paralelã cu bisectoarea unghiului rACD. 14. Fie date dreptele paralele f ºi g. Pe dreapta f se considerã punctele A ºi B, iar pe dreapta g, punctele C ºi D, astfel încât AB = CD. Sã se demonstreze cã: a) AC || BD; b) bisectoarea unghiului rCAB este perpendicularã pe bisectoarea unghiului rACD.
90
VII. Proprietãþile triunghiurilor
Noþiuni teoretice Denumire Unghiurile unui triunghi
Desen, elemente, proprietãþi Suma mãsurilor unghiurilor unui triunghi este 180°. m(rA) + m(rB) + m(rC) = 180° Dacã un triunghi are un unghi drept sau obtuz, celelalte douã unghiuri sunt ascuþite. Un triunghi poate avea cel mult un unghi obtuz.
Unghi exterior unui triunghi
Un unghi adiacent ºi suplementar unui unghi al unui triunghi se numeºte unghi exterior al triunghiului. Un unghi exterior unui triunghi are mãsura egalã cu suma mãsurilor unghiurilor triunghiului neadiacente lui. m(rACD) = m(rA) + m(rB)
Înãlþimile triunghiului
Segmentul determinat de un vârf al unui triunghi ºi piciorul înãlþimii din acel vârf se numeºte înãlþime a triunghiului. [AA′], [BB ′], [CC ′] sunt înãlþimile triunghiului ABC. Înãlþimile unui triunghi sunt concurente într-un punct numit ortocentrul triunghiului.
Medianele triunghiului
Segmentul determinat de un vârf al unui triunghi ºi mijlocul laturii opuse acestuia se numeºte medianã. [AM], [BN], [CP] sunt medianele triunghiului ABC. Medianele unui triunghi sunt concurente într-un punct numit centrul de greutate al triunghiului. Centrul de greutate este situat, pe fiecare medianã, la o treime de bazã ºi douã treimi de vârf. 12 = 1 ⋅ 13 3 23 = 2 ⋅ 13 . 4 4
91 Denumire Aria triunghiului
Desen, elemente, proprietãþi Aria unui triunghi este jumãtate din produsul dintre lungimea unei laturi ºi lungimea înãlþimii corespunzãtoare acelei laturi. Aria unui triunghi dreptunghic este egalã cu semiprodusul lungimilor catetelor sale.
12 ⋅ 13 12 ⋅ 33 ′ . 3123 = 12 ⋅ 33′ ; 4123 = ; 4123 = 1 1 1 Proprietãþile triunghiului isoscel
Unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente. AB = AC ⇒ rABC \rACB Dacã un triunghi are douã unghiuri congruente el este isoscel. rABC \rACB ⇒ AB = AC Într-un triunghi isoscel mediana, bisectoarea ºi înãlþimea corespunzãtoare bazei coincid. Dacã într-un triunghi o medianã este ºi bisectoare, el este isoscel. BD = DC ºi rBAD \rCAD ⇒ AB = AC. Dacã într-un triunghi o medianã este ºi înãlþime, el este isoscel. BD = CD ºi AD u BC ⇒ AB = AC. Dacã într-un triunghi o mediatoare conþine un vârf al triunghiului, el este isoscel. A aparþine mediatoarei [BC] ⇒ AB = AC. Dacã într-un triunghi o bisectoare este ºi înãlþime, el este isoscel. AD u BC ºi rBAD \rCAD ⇒ AB = AC. Într-un triunghi isoscel medianele, respectiv înãlþimile ºi bisectoarele corespunzãtoare laturilor congruente sunt congruente.
Proprietãþile triunghiului echilateral
Fiecare unghi al unui triunghi echilateral are mãsura de 60°. AB = BC = AC ⇒ m(rA) = m(rB) = = m(rC) = 60°.
92 Denumire
Desen, elemente, proprietãþi Dacã un triunghi are toate unghiurile congruente, el este echilateral. rA \rB \rC ⇒ AB = AC = BC Într-un triunghi echilateral mediana, bisectoarea ºi înãlþimea corespunzãtoare oricãrei laturi coincid ºi sunt incluse în mediatoarea laturii respective. Un triunghi isoscel cu un unghi de 60° este echilateral. Într-un triunghi echilateral: medianele sunt congruente; înãlþimile sunt congruente; bisectoarele sunt congruente.
Proprietãþile triunghiului dreptunghic
Într-un triunghi dreptunghic mediana corespunzãtoare ipotenuzei are lungimea egalã cu jumãtate din cea a ipotenuzei: 12 = 1 ⋅ 34 . 2 Centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic este situat în mijlocul ipotenuzei. Unghiurile ascuþite ale unui triunghi dreptunghic isoscel au fiecare mãsura de 45°. Dacã un triunghi dreptunghic are un unghi de 45°, el este ºi isoscel. Dacã un triunghi dreptunghic are un unghi de 30°, cateta opusã lui are lungimea egalã cu jumãtate din cea a ipotenuzei: 12 = 1 ⋅ 32 . 2 Dacã într-un triunghi dreptunghic o catetã are lungimea egalã cu jumãtate din cea a ipotenuzei, unghiul opus ei are mãsura de 30°.
Simetria faþã de o dreaptã
Douã puncte distincte sunt simetrice faþã de o dreaptã dacã dreapta este mediatoarea segmentului determinat de cele douã puncte. O dreaptã este axã de simetrie a unei figuri geometrice dacã simetricul fiecãrui punct al figurii aparþine, de asemenea, acesteia.
93
Exerciþii ºi probleme 1. Sã se determine mãsura unghiului rA al triunghiului ABC ºtiind cã: a) m(rB) = 46° ºi m(rC) = 62°; b) m(rA) = m(rB) = m(rC); c) m(rB) + m(rC) = 98°; d) m(rA) = m(rB) + m(rC). 2. Calculaþi mãsurile unghiurilor unui triunghi ABC ºtiind cã: a) m(rA) este cu 10° mai mare decât m(rB) ºi cu 25° mai micã decât m(rC); b) m(rB) este de 2 ori mai micã decât m(rC) ºi de 3 ori mai mare decât m(rA); c) m(rC) reprezintã 75% din m(rA) ºi 150% din m(rB). 3. Determinaþi mãsurile unghiurilor unui triunghi ºtiind cã: a) sunt direct proporþionale cu 5, 6, 7; b) sunt direct proporþionale cu 0,6; 1,5; 0,9; c) sunt invers proporþionale cu 0,(3); 0,75; 1,5. 4. Determinaþi mãsurile unghiurilor unui triunghi ºtiind cã sunt exprimate (în grade) prin: a) trei numere naturale consecutive; b) trei numere naturale pare consecutive. 5. Sã se afle mãsurile unghiurilor unui triunghi isoscel care are: a) suma mãsurilor unghiurilor alãturate bazei de 100°; b) mãsura unui unghi de 110°; c) diferenþa dintre mãsurile a douã unghiuri de 120°. 6. Sã se afle mãsurile unghiurilor ascuþite ale unui triunghi dreptunghic ºtiind cã: a) sunt congruente; b) raportul dintre ipotenuzã ºi o catetã are valoarea 2; c) sunt direct proporþionale cu 2 ºi 3; d) sunt invers proporþionale cu 4 ºi 5; e) diferenþa dintre mãsurile lor este de 28°; 1 f) valoarea raportului dintre mãsurile lor este ; 22 g) mãsura unui unghi reprezintã 140% din mãsura celuilalt. 7. Determinaþi mãsurile unghiurilor exterioare ale triunghiului ABC ºtiind cã: a) m(rA) = 47° ºi m(rB) = 61°; b) m(rB) = m(rC) = 35; c) triunghiul este echilateral; d) triunghiul este dreptunghic isoscel; e) 20 · m(rB) = 15 · m(rA) = 12 · m(rC).
94 8. Fie dat triunghiul ABC cu m(rBAC) = 72°, m(rACB) = 56° ºi D un punct pe latura (BC). Sã se afle mãsurile unghiurilor triunghiului ABD dacã: a) (AD este bisectoare a triunghiului; b) [AD] este înãlþime în triunghi. 9. În triunghiul ABC, m(rBCA) = 37°, iar D este un punct pe latura (BC). Sã se afle mãsurile unghiurilor triunghiului ABD dacã: a) AD este mediatoare a triunghiului; b) [AD] este medianã a triunghiului ºi 2 · AD = BC. 10. În triunghiul ABC notãm cu H ortocentrul triunghiului. Sã se determine m(rBHC) dacã: a) m(rBAC) = 48°; b) m(rBAC) = 112°. 11. În triunghiul ABC notãm cu I centrul cercului înscris în triunghi. Sã se afle m(rBIC) dacã: a) m(rBAC) = 54°; b) m(rBAC) = 90°; c) m(rBAC) = 134°. 12. În triunghiul dreptunghic ABC cu m(rBAC) = 90°, notãm cu O centtrul cercului circumscris triunghiului. Dacã AC = OC, sã se afle mãsurile unghiurilor triunghiului AOB. 13. În triunghiul echilateral ABC notãm cu G centrul de greutate al triunghiului. Sã se afle mãsurile unghiurilor triunghiului AGC. 14. Se considerã triunghiul ABC cu înãþimile [AD] ºi [BE], D i BC, E i AC. a) Dacã BC = 8 cm, AD = 6 cm, BE = 4 cm, calculaþi AC. b) Dacã BC = 12 cm, AC = 18 cm, BE = 10 cm, calculaþi AD. c) Dacã triunghiul are aria de 60 cm2, BC = 15 cm, AC = 10 cm, calculaþi AD ºi BE. 15. Prin vârfurile triunghiului ABC se construiesc dreptele paralele la laturile opuse, care determinã triunghiul DEF. Sã se calculeze valoarea raportului dintre aria triunghiului ABC ºi aria triunghiului DEF. 16. Fie dat triunghiul ABC cu mediana [AM], M i (BC). Sã se demonstreze cã: a) triunghiurile ABM ºi AMC au aceeaºi arie; b) punctele B ºi C sunt egal depãrtate de dreapta AM. 17. În triunghiul ABC notãm cu G centrul de greutate al triunghiului ºi cu M mijlocul laturii [BC]. Dacã aria triunghiului ABC este de 144 cm2, sã se determine ariile triunghiurilor: a) ABM; b) BGM; c) AGC. 18. În triunghiul ABC se considerã înãlþimea [AD], D i (BC) ºi bisectoarea (CE, E i (AB). Dacã triunghiul AEP este echilateral, AD O CE = {P}, sã se
95 determine: a) mãsurile unghiurilor triunghiului ABC; b) valoarea raportului dintre BD ºi DC. 19. În interiorul triunghiului isoscel ABC cu AB = AC, se considerã punctul D astfel încât m(rBDC) = 112°. Sã se afle mãsurile unghiurilor triunghiului ABC dacã punctul D este: a) centrul cercului înscris în triunghi; b) centrul cercului circumscris triunghiului; c) ortocentrul triunghiului. 20. Pe laturile (AB), (AC), (BC) ale triunghiului echilateral ABC, se considerã punctele D, E, respectiv F astfel încât AD = BF = CE. Sã se demonstreze cã triunghiul DEF este echilateral. 21. Fie dat triunghiul isoscel ABC cu AB = AC ºi m(rBAC) = 120°. Mediatoarea laturii [AC] intersecteazã dreapta AB în D ºi dreapta BC în E. Demonstraþi cã: a) triunghiul ADC este echilateral; b) triunghiul BDC este dreptunghic; c) triunghiul AEC este isoscel. 22. În triunghiul isoscel ABC cu AB = AC ºi m(rBAC) = 40°, notãm cu D simetricul punctului B faþã de AC ºi cu E simetricul punctului C faþã de AB. Dacã BD O EC = {P} ºi EB O DC = {Q}, sã se demonstreze cã: a) triunghiul AED este isoscel; b) punctul P este centrul cercului înscris în triunghiul QED; c) m(rAEQ) = m(rAPD); d) punctele A, P, Q sunt coliniare; e) BC || ED. 23. În triunghiul dreptunghic ABC, m(rA) = 90°, notãm cu D mijlocul laturii BC. Dacã P ºi Q sunt simetricele punctului D faþã de AC, respectiv AB, sã se demonstreze cã: a) punctele P, A, Q sunt coliniare; b) PQ || BC; c) PQ = BC; d) BQ = PC; e) dreptele AD, BP ºi QC sunt concurente. 24. În exteriorul triunghiului echilateral ABC se considerã punctul D astfel încât DB u AB ºi DC u BC. Bisectoarea unghiului rBDC intersecteazã BC în E ºi AB în F. a) Sã se demonstreze cã triunghiul BEF este echilateral. b) Sã se determine valoarea raportului dintre perimetrele triunghiurilor BEF ºi ABC.
96 25. În triunghiul dreptunghic ABC cu m(rBAC) = 90° ºi BC = 2AC, notãm cu O centrul cercului circumscris triunghiului ºi cu I centrul cercului înscris în triunghi. Sã se afle mãsurile unghiurilor triunghiului AOI. 26. Un triunghi dreptunghic are mãsura unui unghi ascuþit de 15°. Sã se alfe valoarea raportului dintre ipotenuzã ºi înãlþimea corespunzãtoare ipotenuzei. 27. În exteriorul triunghiului ascuþitunghic isoscel ABC (AB = AC) se construiesc triunghiurile echilaterale ABD ºi AEC. Sã se arate cã: a) DC = BE; b) AP u BC, unde BE O DC = {P}. 28. Fie dat triunghiul ABC în care (AD este bisectoare, D i (BC). Paralela prin B la AD intersecteazã dreapta AC în P, iar paralela prin C la AD intersecteazã dreapta AB în Q. Sã se demonstreze cã BC = PQ. 29. Fie dat triunghiul ABC cu m(rBAC) = 120°. Pe bisectoarea unghiului rBAC se considerã punctele P ºi Q astfel încât AP = AB ºi PQ = AC. Sã se demonstreze cã: a) triunghiul ABP este echilateral; b) ∆PBQ \ ∆ABC; c) triunghiul BCQ este echilateral. 30. Fie dat triunghiul isoscel ABC cu AB = AC. Pe latura (AC) se considerã punctul D, iar pe dreapta AB se considerã punctul E, B i (AE), astfel încât CD = BE. Dacã DE O BC = {P}, sã se demonstreze cã triunghiurile PAD ºi PAE au aceeaºi arie.
TESTE PENTRU PREGÄTIREA CONCURSURIL OR CONCURSURILOR ÖI OLIMPIADEL OR OLIMPIADELOR ÖCOL ARE ÖCOLARE
98
Testul 1
1. Arãtaþi cã: a) dacã n iq ºi numerele n + 1 ºi 2n + 3 nu sunt divizibile cu 3, atunci 4n + 5 este divizibil cu 3; b) numãrul A = 101 + 102 + 103 + ... + 10n + 9n2 19n este divizibil cu 27, oricare ar fi n iq*; c) nu se pot numerota muchiile unui cub de la 1 la 12 astfel încât suma numerelor corespunzãtoare celor 3 muchii care pleacã din acelaºi vârf sã fie constantã. 2. Fie a iq, 2 = 11 + 2 ºi 2 = 1 1 + 2 . 3 3 1 a) Sã se afle valorile lui a pentru care ∈1 . 2 b) Sã se arate cã dacã x iq, atunci ºi y i q ºi reciproc, dacã y iq, atunci ºi x i q. 3. Pe tablã sunt scrise numerele 1, 2, ..., 1987. La fiecare pas avem voie sã ºtergem orice douã numere ºi în locul lor sã scriem restul împãrþirii sumei lor la 7. Dupã un numãr de paºi, pe tablã rãmân scrise douã numere, dintre care unul este egal cu 987. Care este numãrul al doilea? 4. Punctul M1 este mijlocul segmentului [AB], M2 este mijlocul lui [AM1] ºi aºa mai departe. Dacã AB = 211 · 3 cm, aflaþi lungimea segmentului [AM10].
Testul 2 1. Fie a, b, c, d patru numere naturale. ªtiind cã împãrþind pe a la b, pe b la c ºi pe c la d, se obþine de fiecare datã câtul ºi restul 2, arãtaþi cã: a) a U 38; b) dacã S = a + b + c + d, atunci S + 3 este divizibil cu 5. 2. Se considerã numerele: 1 = 11 + 1 1 + 222 + 1 1 ºi 1 = 11 + 11 + 222 + 11 . 31 33 45 13 11 14 a) Sã se afle primele douã zecimale ale numãrului a. b) Sã se arate cã 1 < 1 < 1 . 2 2 3 3. Pe segmentul [AB] se iau punctele M1, M2, ..., M20, astfel încât AM1 = M1B, M1M2 = M2B, M2M3 = M3B, ..., M19M20 = M20B. a) Dacã AB = x cm, calculaþi lungimile segmentelor [AM 1], [M 1M 2], ..., [M 19M20]. 1 1 1 1 212 3 1 b) Folosind eventual punctul a) arãtaþi cã: + 1 + 3 + 12 = 12 . 2 2 2 2 2 4. Pe fiecare faþã a unui cub este înscris un numãr natural nenul, iar fiecãrui vârf al cubului îi corespunde suma numerelor de pe cele trei feþe ce se întâlnesc
99 în acel vârf. Ce numere naturale consecutive sunt înscrise pe feþele cubului dacã suma numerelor a douã vârfuri opuse este 2007?
Testul 3 1. Aflaþi toate tripletele de numere naturale (m; n; p), p ≠ 0, pentru care numãrul x = 2m+p · n + 6n+p · m + 6 este pãtrat perfect. 2. Calculaþi: 1 + 1 1 1 + + 222 + a) ; 1+ 3 1+ 3 + 4 1+ 3 + 4 + 5 1 + 3 + 4 + 222 + 3667
(
) (
)
1 2 3 4553 ⎤ 3 + 6 + 7 + 999 + 4557 ⎡ b) ⎢ 1557 8 + + + 999 + ; 2 3 6 4556 ⎥⎦ 2 3 6 4556 ⎣
c) pãtratul lui a ºtiind cã 12 (31 ) + 12 ( 41 ) + 555 + 12 ( 61 ) = 1 . 3. Pot fi aºezate numerele 1, 2, 3, ... 20 în vârfurile ºi mijloacele muchiilor unui cub, astfel încât numerele situate în mijloacele muchiilor sã fie egale cu media aritmeticã a numerelor situate în capetele aceleiaºi muchii? 4. Semidreptele [Oz ºi [Ot sunt interioare unghiului rxOy. Dacã m(rxOy) = = 100° ºi m(rxOt) = m(ryOz) = 75°, arãtaþi cã bisectoarele unghiurilor rxOy ºi rzOt coincid.
Testul 4 1. Dacã împãrþim numãrul natural n la 6, obþinem câtul x ºi restul 5, iar dacã-l împãrþim pe n la 9, obþinem câtul y ºi restul 8. a) Sã se arate cã x ºi y sunt prime între ele ºi x + y nu este pãtrat perfect. b) Sã se afle restul împãrþirii lui n la 18. 2. a) Sã se determine numerele a, b, c ºtiind cã + 4c = 69.
1 = 2 = 3 ºi 3a + 5b + 1+2 1+3 2+3
1 b) Dacã 1 = 1 + 1 + 1 + 222 + ºi 1 = 11 + 11 + 11 + 222 + 1 1 , 1⋅ 3 3 ⋅ 4 4 ⋅ 5 3667 ⋅ 3668 1 3 4 3556 arãtaþi cã B A < 1. 3. Dacã numerele raþionale pozitive a, b, c sunt invers proporþionale cu numerele 1 11 21 3 1 21 1 31 raþionale pozitive x, y, z ºi 1 + 1 + 1 = 1 , sã se arate cã 1 + 1 + 1 = 1 . 2 3 1 3 2 1 4. Unghiurile rAOB ºi rAOC sunt neadiacente ºi OB u OC. Sã se determine mãsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor rAOB ºi rAOC.
100
Testul 5 1. Fie Sn = 3 + 3 + 3 + ... + 3 , n iq*. a) Arãtaþi cã pentru n = 2008 numãrul S2008 este divizibil cu 12. b) Arãtaþi cã pentru orice n impar numãrul Sn nu este divizibil cu 12. c) Aflaþi n pentru care Sn = 120. 2
3
n
2. a) Sã se arate cã numãrul 22008 + 1 nu poate fi scris ca sumã de douã numere prime. b) Dacã a, b, c sunt numere pozitive, atunci sã se arate cã: 1< 1 + 2 + 3 < 2 . 1+2 2+3 3+1 3. Fie punctele coliniare A, B, C astfel încât distanþa dintre mijloacele segmentelor [AB] ºi [BC] sã fie egalã cu 6 cm. a) Sã se afle lungimea segmentelului [AC]. b) Dacã lungimea segmentului [AB] exprimatã în centimetri este numãr natural 12 = 3 nenul, iar , cu t iq*, sã se afle probabilitatea ca t sã fie numãr prim. 24 4. Avem pe o masã ºapte pahare, toate cu gura în jos. La fiecare pas putem sã întoarcem oricare patru dintre ele. Este posibil ca dupã un numãr de paºi toate cele ºapte pahare sã ajungã cu gura în sus?
Testul 6 1. Fie x, y im* astfel încât 3x + 11y = 33. a) Sã se arate cã numãrul x + 2y 1 este divizibil cu 5. b) Sã se afle cea mai micã valoare a numãrului |x y|.
1 2. Fie 1 = 1 + 1 + 1 + 222 + ºi 1 = 1 + 1 + 1 . 1⋅ 3 4 ⋅ 5 6 ⋅ 7 888 ⋅ 1999 231 234 1333 1 < 1 <1 . a) Arãtaþi cã a = b. b) Arãtaþi cã: 2 3. În triunghiul ABC avem AD u BC, D i (BC), P i (AB) ºi M mijlocul lui [BC]. ªtiind cã m(rBMP) = 60°, m(rBAD) = 2m(rDAC) ºi [MP] \ [DC], sã se determine mãsurile unghiurilor triunghiului ABC. 4. Un cerc este împãrþit în 6 sectoare ºi numerele 1, 0, 1, 0, 0, 0 sunt scrise în fiecare sector ca în figura alãturatã. Este permis sã adunãm 1 la numerele din orice douã sectoare adiacente? Este posibil sã obþinem toate numerele egale?
101
Testul 7 1. Fie n iq* astfel încât n, 3n 1, 3n + 1 ºi 6n + 1 nu sunt divizibile cu 5. Sã se arate cã: a) 7n + 2 este divizibil cu 5; b) n + 4 nu este pãtrat perfect.
{
}
2. a) Sã se arate cã mulþimea 1 = 112 5 113 5 114 5666 conþine un singur numãr 7 2 3 natural. 1 = 212 , unde a, b iq*. Sã se afle valoarea minimã a b) Fie egalitatea 1+3 2 1 raportului . 2 123 < 3 + 3 + 3 + 666 + 3 < 4225 c) Arãtaþi cã: . 3227 4 1 71 5 1 42211 4221 3. Se considerã un cub în care muchiile se numeroteazã cu numerele 4, 8, 12, ..., 44, 48. În fiecare vârf se calculeazã suma muchiilor care pleacã din acel vârf. Se pot numerota muchiile în aºa fel încât toate aceste sume sã fie egale? 4. Fie triunghiul ABC, dreptunghic în A ºi punctul D i (BC). Perpendiculara în D pe dreapta BC intersecteazã dreptele AC ºi AB în E, respectiv F. a) Sã se arate cã dreptele BE ºi FC sunt perpendiculare. b) Dacã, în plus m(rABC) = 60°, sã se arate cã perimetrul patrulaterului ABDE este mai mare decât lungimea segmentului [FC].
Testul 8
1. a) Produsul a n numere întregi este egal cu n, iar suma lor este numãr par. Demonstraþi cã n se divide cu 4. b) Fie n un numãr întreg care se divide cu 4. Demonstraþi cã pot fi gãsite n numere întregi, astfel încât produsul lor sã fie egal cu n, iar suma lor sã fie parã. 2. Fie 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 222 + 1 . 34 56 51 57 86 1 2 a) Demonstraþi cã <1< . 34 5 1 b) Dacã 2 = , p, q iq, (p, q) = 1, demonstraþi cã p este divizibil cu 89, ºi q 3 este par. 3. Pe o tablã scriem numerele de la 1 la 2007. Printr-o operaþie înþelegem sã ºtergem douã numere oarecare de pe tablã ºi în locul lor scriem modulul diferenþei celor douã numere. Sã se arate cã dupã 2006 operaþii, pe tablã rãmâne un numãr par.
102 4. Fie n unghiuri formate în jurul unui punct (n iq, n U 3). Dacã mãsurile celor n unghiuri sunt n numere naturale pare consecutive, atunci sã se afle toate valorile posibile pentru n.
Testul 9
1. Aflaþi: a) elementele mulþimii A = {(x, y) im D m | xy 2y + x = 8}; b) restul împãrþirii numãrului N = 20 + 21 + 22 + ... + 272 la 7; c) k iq, ºtiind cã: 17 + 19 + 21 + ... + k = 1700 + k.
1+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 . 2 34 56 176 364 762 214 886 566 494 1 2 13 23 < 1 . b) Arãtaþi cã: ⋅ ⋅ ⋅ 444 ⋅ 5 16 71 181 18 c) Fie numerele întregi a, b ºi c cu proprietatea cã 3a + 7b + 27c = 0. Arãtaþi cã numãrul b(a + 9c) este divizibil cu 21.
2. a) Calculaþi:
3. Într-un pãtrat cu latura de 10 cm s-au marcat 201 puncte. Sã se demonstreze cã existã trei puncte care se gãsesc într-un pãtrat cu latura 1 cm. 4. În triunghiul ABC cu laturile distincte douã câte douã, înãlþimea [AE] intersecteazã bisectoarea unghiului rB în M. Dacã m(rB) este media aritmeticã a mãsurilor celorlalte unghiuri ale triunghiului ABC, atunci sã se arate cã 3 · BM = 2 · AE.
Testul 10 1. a) Stabiliþi dacã existã n iq astfel încât numãrul x = 7n + 2002 sã fie pãtrat perfect. b) Arãtaþi cã numerele 3n + 2 ºi 5n + 3 sunt prime între ele, oricare ar fi n iq. c) Dacã numerele întregi a, b, c verificã relaþia 5a + 2b = 3c, sã se arate cã numãrul (a + b)(b + c)(c + a) se divide cu 30.
1 5 2 5 3 56665 4332 5 4333 . 47 48 97 33 8 3317 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 444 ⋅ 555 + 1 b) Arãtaþi cã fracþia este ireductibilã. 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 444 ⋅ 1666 + 1
2. a) Scrieþi în ordine crescãtoare:
{
}
c) Demonstraþi cã numãrul fracþiilor ireductibile din mulþimea 2 = 1 4 2 45554 1 3 1 4 1 1 1 n iq, n > 2, este numãr par. 3. Pe tablã este scris numãrul 123456789. O operaþie înseamnã sã alegem douã cifre cãrora sã li se scadã câte o unitate ºi sã li se schimbe locurile (de exemplu: 1234 56789 → 123436789 → ...). Este posibil ca dupã un anumit numãr de operaþii sã obþinem numãrul 120234521?
103 4. Fie triunghiul ABC, punctul M i (AB) astfel încât AB = 3AM ºi punctul P i (CM) astfel încât MP = AM. Dacã m(rCMB) = 60°, demonstraþi cã BP u MC.
Testul 11
1. a) Sã se arate cã numãrul a = 24011 + 22007 + 2 este divizibil cu 18 ºi cu 22005 + 1. b) Determinaþi media aritmeticã a numerelor prime a, b, c care verificã egalitatea 2a + 3b + 4c = 30. c) Rezolvaþi în numere întregi ecuaþia: xy 2x 3y 5 = 0. 11 1 2 1 3 1 1 1 12 2. a) Arãtaþi cã suma numerelor 2 = + + ºi 2 = 1 este numãr 2 3 2 4 2 3 natural, oricare ar fi n iq. 1 + 2 + 11 22 < 11 + 2342 b) Arãtaþi cã , oricare ar fi a, b iq. 1 + 2 + 2562 11 + 11572 c) Arãtaþi cã numãrul 1 = 1 + 2 ⋅ 1 + 2 + 3 ⋅ 1 + 2 + 3 + 4 ⋅ 555 ⋅ 1 + 2 + 3 + 555 + 1671 1+ 7 1+ 7 + 2 1+ 7 + 2 + 8 1 + 7 + 2 + 555 + 311 este numãr natural pãtrat perfect.
3. Pe o tablã este scris numãrul 12. În fiecare minut numãrul se înmulþeºte sau se împarte fie la 2, fie la 3, iar rezultatul se scrie pe tablã în locul numãrului iniþial. Sã se arate cã numãrul scris pe tablã exact dupã o orã, nu poate fi egal cu 54. 4. Triunghiul ABC este dreptunghic în A ºi m(rB) < m(rC). Se ºtie cã existã un punct D astfel încât BD || AC, m(rACD) = m(rABC) ºi 2AB = CD. a) Arãtaþi cã m(rABC) = 30°. b) Fie M mijlocul lui [CD]. Arãtaþi cã MA || BC.
Testul 12
1. Calculaþi: a) restul împãrþirii numãrului 1 = 123455566655 1 232 4 la 47. 1
2345
b) exponentul lui 2 din descompunerea în factori a numãrului x = 1 · 22 + + 1 · 2 · 32 + 1 · 2 · 3 · 42 + ... + 1 · 2 · 3 · ... · 49 · 502 + 2; c) 11 ( 2 ) + 21 ( 3 ) + 31 ( 1 ) , ºtiind cã x, y, z sunt cifre în baza zece ºi x + y + z = 18. 2. a) Aflaþi n i q*, ºtiind cã suma numerelor naturale pare cuprinse între n2 n + 1 ºi n2 + n + 1 este egalã cu 1342. b) Fie a ºi b numere înregi. Sã se arate cã 13 divide pe 2a + 3b dacã ºi numai dacã 13 divide pe 2b 3a; 1 1 + 1 + 222 + 1 + 2 = 2 + 1 c) Dacã a, b iq* ºi + , unde n iq*, sã se arate cã a = b. 3 3 +1 3+2
104 3. În triunghiul isoscel MNP cu m(rM) = 120° se noteazã cu D mijlocul laturii [MN]. Perpendiculara din D pe NP intersecteazã dreapta MP în E. Bisectoarea unghiului rPED intersecteazã [NP] în F. Sã se arate cã: a) PE = 3MD; b) NE u MP; c) FN = FP.
1 + 2 1 34 = 1 1 32 + 4 = 131 + 2 + 4 . 4 2 1 ( 1 + 2 )( 1 + 3 )( 2 + 3 ) . Determinaþi valoarea raportului 123 b) Dacã a, b, c reprezintã lungimile laturilor unui triunghi, sã se arate cã 11 + 2 = 12 + 3 = 13 + 1 triunghiul este echilateral dacã ºi numai dacã avem . 11 2 2 12 2 3 13 2 1
4. a) Fie numerele a, b, c i {+ astfel încât
Testul 13 1. Se considerã numerele a = 10x + 7 ºi b = 5x + 2, x iq. a) Sã se arate cã (a + b)(a b) este multiplu de 15. b) Aflaþi câtul ºi restul împãrþirii lui a la b. 2. a) Sã se arate cã ecuaþia x2 5y2 = 200 nu are soluþii în mulþimea numerelor întregi. 1 + 1 + 333 + 1 1 2 , oricare ar fi n iq*. b) Sã se arate cã: 1 +1 1 + 4 51 6 c) Arãtaþi cã: 12 3 ⋅ ⎛⎜ 1 2 1 + 1 2 1 + 1 2 1 + 444 + 11 2 11 2 ⎞⎟ = 11 . 5 3⋅ 5 ⎠ 5 ⎝ 5 3 6 7 8 15 3. Se considerã numerele de la 1 la 101. a) Este posibil sã împãrþim cele 101 numere în douã grupe astfel încât suma numerelor dintr-o grupã sã fie egalã cu suma numerelor din cealaltã grupã? b) Sã se arate cã împãrþind cele 101 numere în 10 grupe existã o grupã în care apar cel puþin 3 numere ce conþin cifra 1. 4. Fie ABC un triunghi cu unghiurile rB ºi rC ascuþite, AD u BC, D iBC ºi [AE bisectoarea unghiului rBAD (EiBC). Sã se arate cã dacã [AC] \ [CE], atunci triunghiul ABC este dreptunghic.
Testul 14
1. Arãtaþi cã: a) 37 divide 123 dacã ºi numai dacã 37 divide 123 , unde a, b, c, sunt cifre în baza zece; b) dacã a, b, c iq*, atunci A = 3a + 4b + 5c ºi B = 2a + 5b + 8c, atunci 7 divide A dacã ºi numai dacã 7 divide B; c) dacã 23 divide 3a + 13b + 8c ºi 23 divide a + b + c, atunci 23 divide 4a + 8b + 6c, unde a, b, c iq.
105 2. Sã se arate cã: a) dacã suma a 11 numere naturale distincte este 70, atunci produsul lor se divide cu 420; 1 2 3 45 44 < 1 b) ⋅ ⋅ ⋅ 666 ⋅ ⋅ ; 7 8 9 4 1 1 c) 1 1 + 1 + 1 + 222 + 1 1( 1 + 1) 1 + 1 + 222 + 1 , pentru orice numãr natural nU1. 3 4 1 3 4 1 +1
(
)
(
)
3. Fie triunghiul ABC. Bisectoarea [AD, D i(BC), a unghiului rBAC intersecteazã perpendiculara în C pe dreapta AC în E. a) Dacã m(rB) = 60° ºi triunghiul CDE este isoscel, sã se afle mãsurile unghiurilor rBAC ºi rACB. b) Dacã triunghiul CDE este echilateral sã se afle mãsura unghiului rABC. 4. Suma mai multor numere întregi consecutive este egalã cu (591). Numãrul termenilor nenegativi este cu 5 mai mic decât numãrul termenilor negativi. Câþi termeni are suma?
Testul 15
1. a) Media aritmeticã a nouã numere raþionale pozitive nenule, direct proporþionale cu numerele 8, 9, 10, ..., respectiv 16, este un numãr natural. Sã se arate cã dintre cele nouã numere, cel puþin unul este natural. 11 22 33 b) Fie x, y, z i{*+ astfel încât 1 1 + 3 3 = 2 2 + 3 3 = 2 2 + 1 1 . 1 + 12 + 23 Calculaþi: 1 + 1 2 3 2 3 . 1 1 1 2. a) Câte soluþii în q* D q* are ecuaþia: 1 + 2 = 1221 ? b) Sã se afle câte numere naturale mai mici decât 1000 au ultima cifrã diferitã de zero. Arãtaþi cã suma inverselor acestor numere este mai micã decât 25. 3. În interiorul triunghiului echilateral cu latura de lungime 1 cm se aflã cinci puncte distincte douã câte douã. Sã se arate cã existã cel puþin douã puncte cu distanþa între ele mai micã decât 0,5 cm. 4. Fie triunghiul ABC ºi EF || BC, E i(AB), F i(AC). Sã se demonstreze cã AB = BC, dacã ºi numai dacã BE + EF = BC.
TESTE DE AL UARE AUTOEV UTOEVAL ALU
Teste - Algebrã Teste - Geometrie Teste sumative
108
Teste - Algebrã Testul 1 Subiectul I (45 de puncte) - Scrieþi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului: 1 1 a) 2 3 este ...; b) 2 ⋅ 1 3 1 este ... 2 4 4 2 2. Cel mai mic numãr natural nenul divizibil cu: a) 3 este ...; b) 2 ºi 5 este ...
5p 5p
3. Fie numerele: a = 50 ºi b = 75. a) 2a b = ...; b) (a; b) = ...
5p
4. Dacã triplul lui x este 12, atunci x = ...
5p
5. Elementele mulþimii A = {x iq | 12 < x < 30, x este pãtrat perfect} sunt ... 5 p 6. Numerele naturale x pentru care fracþia: 1 +1 este subunitarã sunt ... a) 2 1 +1 b) este echiunitarã sunt ... 21 7. a) Dacã 121134 atunci x i {...}. b) Dacã 12 1113 atunci x i {...}. 8. Soluþia ecuaþiei 1 + 1 = 2 este ... 2 9. Divizorii naturali ai lui 12 mai mici ca 9 sunt ...
2,5 p 2,5 p 2,5 p 2,5 p 5p 5p
Subiectul al II-lea (45 de puncte) - Scrieþi rezolvãrile complete. 1. a) Determinaþi toate numerele naturale de forma 1 1 2 divizibile cu 15. 7,5 p b) Arãtaþi cã (2n · 3n+1 + 2n+1 · 3n)x5, n iq. 7,5 p 2. Rezolvaþi în q ecuaþiile: a) 2x + 1 = x + 7;
1 + 12 = 1 + 2 . 3 2 3. Aflaþi x, y, z iq, ºtiind cã x + 2y + 4 z = 6, iar x este un numãr prim. b)
15 p 15 p
Testul 2 Subiectul I (45 de puncte) - Scrieþi numai rezultatele. 1. Fie mulþimile: A = {x iq | 1 < x T 7, xx2}, B = {x iq* | x < 8, xx3}. a) A O B = {...}; b) A \ B = {...}. 5p 2. Multiplii naturali ai lui 6 mai mici ca 15 sunt ...
5p
109 3. Dintre numerele 1,(2) ºi 1,21 mai mare este ...
5p
4. Rezultatul calculului: a) 0,3 0,15 este ...;
5p
b) 1,(3) 1 este ...
5. Fie numerele naturale x, y, z cu proprietãþile x + y = 4 ºi y + z = 6. a) x + 2y + z = ...; b) 2x + 5y + 3z = ...
5p
6. Soluþia numãr raþional a ecuaþiei: a) x 0,1 = 0 este ...; b) x + 1 = 1,6 este ...
5p
7. Dacã (x 1) | 3, x iq*, atunci x i{...}.
5p
8. Fie numerele x = 12, y = 27. a) (x; y) = ...; b) [x; y] = ...
5p
9. Soluþiile numere naturale ale inecuaþiei 2x 1 < 3 sunt ...
5p
Subiectul al II-lea (45 de puncte) - Scrieþi rezolvãrile complete. 1. Calculaþi: 1⎞ 1 ⎛1 1 1 1 1 15 p b) 2 ⎜ + + 2 ⎟ 3 . a) 12 + 3 2 ; 2 4 13 5 2 2 ⎠ 4 ⎝ 2. Simplificaþi fracþiile: 1 1+ 1+ 2 11 ⋅ 22 ⋅ 33 15 p b) 1 +1+1 +1+12 2 1 ∈ 1 . a) 2 1 1 ; 1 ⋅2 ⋅3 1 +1 3. Aflaþi cel mai mare numãr natural x cu proprietatea cã 16 ºi 22 împãrþite la x dau resturile 2, respectiv 1. 15 p
Testul 3
Subiectul I (45 de puncte) - Scrieþi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului: 1 1 1 1 2 a) + 2 este ...; b) 3 ⋅ este ... 3 4 5 3 4 2. 25% din 0,4 = ...
5p 5p
3. Într-o urnã sunt bile numerotate de la 1 la 20. a) Probabilitatea ca alegând o bilã, aceasta sã reprezinte un numãr prim 2,5 p este ... b) Probabilitatea ca alegând o bilã, aceasta sã reprezinte un numãr pãtrat perfect este ... 2,5 p 1 +1 = 2 5p 4. Dacã , atunci x = ... 3 4 5. Fie numerele a = 25 · 34 ºi b = 24 · 33. 1 a) a · b = ...; b) = ... 5p 2
110
{
}
6. a) 1 = 2 ∈ 1 2 1 ∈ 1 = {333} 2 b) Dacã (2x 1) | 6, x iq, atunci x i {...}. 7. Forma zecimalã a numãrului
1 este ... 2
2,5 p 2,5 p 5p
1<1 , x iq, atunci x i {...}. 2 2 9. Dacã 1 + 2 = 1 ºi z = 4, atunci x · z + y · z = ... 2 8. Dacã
5p 5p
Subiectul al II-lea (45 de puncte) - Scrieþi rezolvãrile complete. 1. Calculaþi: 1 1 1 a) 2 + 3 4 5 ; b) ⎡ 1 + 1 ⋅ 2 + 1 + 1 ⋅ 3⎤ 415 ; c) 1 1 + 2 1 + 33314 1 . 15 p 3 6 7 2 2 2 8 6 ⎦⎥ ⎣⎢ 6 7 2. Aflaþi numerele x, y ºi z ºtiind cã sunt direct proporþionale cu 2,5, respectiv 7 ºi 2x + 5y z = 88. 15 p
( ) (
)
3. Aflaþi douã numere raþionale pozitive ºtiind cã suma lor este 1,5, iar 15 p unul dintre numere este cu 0,3 mai mare decât celãlalt.
Testul 4 Subiectul I (45 de puncte) - Scrieþi numai rezultatele. 1. Fie numãrul 1,(12). a) A doua cifrã dupã virgulã a numãrului este ... b) A 57-a cifrã dupã virgulã a numãrului este ... 1 1 2. Dacã 2 = 2 , atunci: 1 = ...; b) 3x 2y = ... a) 2
2,5 p 2,5 p
5p
3. Douã creioane costã împreunã 10 lei. Cinci creioane costã împreunã ... lei. 5p 4. Numerele x ºi y sunt direct proporþionale cu 2 ºi 5. Numãrul x reprezintã ... din y. 5p 5. Fie numerele x = 21 + 22 + 23 ºi y = 22 + 24. 1 a) Simplificând fracþia 2 obþinem ... b) y x = ... 6.
1 din 120 = ... 2
7. Dacã suma dintre dublul lui x ºi 3 este 9, atunci x = ...
5p 5p 5p
111 8. Un pãtrat are latura de 6 cm. Raportul dintre perimetrul pãtratului ºi aria sa este egal cu ... 5p 9. Dacã 20% din x este 4, atunci x = ...
5p
Subiectul al II-lea (45 de puncte) - Scrieþi rezolvãrile complete. 1. Calculaþi: 1+1 1 2 a) 2 3 + 1 + ; 1 2 4 +1 2 5
7,5 p
b) suma numerelor x ºi y unde 1 = 1 + 1 + 1 + 222 + 1 ; 1 = 1 + 2 + 3 + 555 + 4 . 7,5 p 2 3 6 17 3 4 5 16 2. Aflaþi cifra x în urmãtoarele cazuri: b) 12 1 + 1 2 3 + 32 1 = 425 . a) 1 1 − 2 = 22 ; 15 p 3 1 3. Aflaþi numerele x, y ºi z, ºtiind cã sunt invers proporþionale cu numerele 1 15 p 0,2; 0,5, respectiv ºi x · y z2 = 100. 2
Testul 5 Subiectul I (45 de puncte) - Scrieþi numai rezultatele. 1. Dacã x | 3, x iq, atunci x i {...}.
5p
2. Rezultatul calculului: a)
( 12 ) + ( 12 ) 1
1
este ...;
b) 1,(12) 0,(6) este ...
5p
1 din 3. Un elev are de rezolvat 30 probleme în 2 zile. În prima zi rezolvã 2 temã, iar a doua zi restul. 2,5 p a) În prima zi elevul a rezolvat ... probleme; 111 2,5 p b) În ziua a doua a rezolvat din temã. 2 4. O carte costã 50 lei. a) Dupã o scumpire de 10% cartea va costa ... lei. 2,5 p 2,5 p b) Dupã o ieftinire de 30% cartea va costa ... lei.
{
}
5. 1 = 2 ∈ 1 1 2 223 = {444} .
5p
6. Dintre numerele 1,12 ºi 1,8 mai mare este ... 1 7. Raportul a douã numere x ºi y este , iar suma lor este 18. 2 112 a) x = ... ºi y = ... b) Valoarea raportului 1 + 2 este ...
5p
5p
112 8. A = {x iq | 3 T x < 11 ºi xx3}= {...}. 9. Dacã y este egal cu 20% din x, atunci
5p
1 = ... 2
5p
Subiectul al II-lea (45 de puncte) - Scrieþi rezolvãrile complete. 1. Aflaþi numerele x, y ºi z ºtiind cã 1 = 1 y, y este egal cu 20% din z, iar 2 15 p x + y + z = 180. 2. Arãtaþi cã: a) 123 1 2312 , oricare ar fi cifrele x, y, z, x @ 0, y @ 0; b) 12 + 2 este un numãr par, oricare ar fi cifrele x, y, x @ 0.
( )( )( ) ( )
3. Calculaþi: 12 1 ⋅ 1 2 1 ⋅ 1 2 1 ⋅ 333 ⋅ 12 1 . 4 5 6 7
7,5 p 7,5 p 15 p
Testul 6 Subiectul I (45 de puncte) - Scrieþi numai rezultatele. 1. Dacã 1 1123 , atunci x = ... 2. Descompunerea în factori primi a numãrului 18 este ... 3. Rezultatul calculului: a) ⎛⎜ 1 + 11 ⎞⎟ ⋅ 2 este ...; ⎝2 2 ⎠
b) (0,1 + 0,2) · 10 este ...
5p 5p
5p
1 ∈1 , x iq, atunci x i {...}. 5p 1 1 =2 5p 5. Dacã , atunci x = ... 31 4 6. Probabilitatea ca alegând un numãr din mulþimea A = {x iq | 2 T x T 10}, acesta sã fie numãr prim este ... 5p
4. Dacã
7. Numerele x ºi y sunt direct proporþionale cu primele douã numere naturale prime ºi 2x + y = 35. 1 = 111 5p a) x = ... ºi y = ...; b) 22 8. Dacã x + y = 5 ºi y + 3z = 6, atunci: a) x + 2y + 3z = ...; b) 1 1 2 = 333 4 1 52 9. Soluþia raþionalã a ecuaþiei x : 1,4 = 100 este x = ...
5p 5p
113 Subiectul al II-lea (45 de puncte) - Scrieþi rezolvãrile complete. 1. Într-o clasã sunt 24 elevi, iar 25% sunt fete. a) Ce procent din numãrul elevilor reprezintã numãrul bãieþilor? b) Câte fete ºi câþi bãieþi sunt în clasã? 2. Calculaþi:
(
)
a) 2 ⋅ ⎡⎢ 1 11 + 1 ⋅ 13 4 1⎤⎥ ; ⎣5 2 5 ⎦
b) 1 + 2 + 3 + 666 454 7 7 7 7
7,5 p 7,5 p
15 p
1 1 1 ºi , iar y reprezintã 2 2 2 15 p din z. Aflaþi numerele x, y ºi z dacã x + y + z = 51.
3. Numerele x ºi y sunt invers proporþionale cu
Testul 7 Subiectul I (45 de puncte) - Scrieþi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului: a) 2 3 + 4 este ...; b) 12 : 3 2 este ... 2. Dacã |x| < 2, x im*, atunci x i {...}.
5p 5p
11 2 2 3 = , atunci: 1+ 2 1 1+ 2 = 111 a) 1 = 111 ; b) 5p 21 + 2 2 4. Într-o urnã sunt 2 bile albe ºi 3 bile negre. Probabilitatea ca extrãgând o bilã, aceasta sã fie: a) albã este ...; b) neagrã este ... 5p 3. Dacã
5. Soluþia ecuaþiei x + 1 = 2, x im este ...
5p
6. Dintre numerele 3 ºi 4 mai mare este ... 1 1 7. Dacã = , atunci: 2 1 a) x2 = ...; b) 20 x2 = ...
5p
8. Dacã x · (y + z) = 12 ºi x = 3, atunci y + z = ...
5p
9. A = {x im | 2 T x < 1} = {...}.
5p
Subiectul al II-lea (45 de puncte) - Scrieþi rezolvãrile complete. 1. Calculaþi: a) (1)3 + [(2)5 · (2)4 : (2)7 7] (4); b) (1 2 3)2 : (9) (7 1 + 5) · 3. 2. Rezolvaþi în m ecuaþiile: a) 2(2x + 1) x = 2x + 4;
b) |x + 1| + |2x + 2| = 12.
5p
7,5 p 7,5 p 15 p
114 3. Un produs costã 80 lei. 5p a) Cât va costa produsul dupã o majorare de 10%? b) Cât va costa produsul dupã o majorare de de 10% urmatã de o ieftinire de 25%? 5p c) Cu cât la sutã trebuie majorat preþul iniþial al produsului pentru ca 5p acesta sã fie de 100 lei?
Testul 8 Subiectul I (45 de puncte) - Scrieþi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului: a) |4 + 1| : 3 1 este ...;
b) 33 : 3 + 1 este ...
2. Mulþimea soluþiilor inecuaþiei 1 x < 4, x im este {...} 3. 6 muncitori terminã o lucrare în 4 ore. a) Trei muncitori terminã lucrarea în ... ore. b) Pentru ca lucrarea sã fie gata în 2 ore este nevoie de ... muncitori.
5p 5p 2,5 p 2,5 p
4. 15% din 80 = ...
5p
5. Dacã x(y z) = 4 ºi xy = 2, atunci xz = ...
5p
6. Dacã |x| = 3, atunci x i {...}.
5p
7. Dacã
11 = 2 , atunci x = ... 3 4
5p
8. Dacã numerele x ºi 3 sunt direct proporþionale cu 4 ºi 2, atunci x = ...
5p
9. Dacã x + y = 20 ºi y este egal cu 20% din 20, atunci: a) y = ...; b) x = ...
5p
Subiectul al II-lea (45 de puncte) - Scrieþi rezolvãrile complete. 1. Fie mulþimile A = {x im | |x 1| T 2} ºi B = {x im | 3 < 2x 1 T 1}. 7,5 p a) Determinaþi elementele mulþimilor A ºi B. b) Determinaþi elementele mulþimilor A \ B ºi B \ A. 7,5 p 2. Numerele x, y ºi z sunt invers proporþionale cu 1 2 1 34 1 , iar x + 2y z = 20. 5 6 7 7,5 p a) Determinaþi numerele x, y ºi z. 7,5 p b) Ce procent reprezintã x din z? 3. Rezolvaþi în m ecuaþiile: a) |2x 1| 3 · |2x 1| = 10; b) (x 1) + (x 2) + (x 3) + ... + (x 20) = 230.
7,5 p 7,5 p
115
Testul 9 Subiectul I (45 de puncte) - Scrieþi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului: 1 2 a) 1 3 este ...; b) 25% din 40 este ...; c) |1 + 5| : (2) este ... 4 5 2. Soluþia numãr raþional pozitiv a ecuaþiei 1 − 23456 = 1 este ... 7 3. Dacã x = |1 + 4 + 5| · 2, atunci 20% din x este ...
(
1 2 3 4. Fie numerele raþionale: 1 = ⋅ + 3 4 4 a) x + y = ...; b) x : y = ...
) ºi 1 = 12 13 .
5p 5p 5p
5p
5. Raportul numerelor 1,(3) ºi 2,(3), este ...
5p
6. Dintre numerele x = |1 + 4 | : 3 ºi y = 2, mai mare este numãrul ...
5p
7. Dacã x reprezintã 30% din y, atunci
1 = 111 2
1+ 2 1 = 12 3 , atunci 1 2 2 = 111 2 9. Dacã 2a + 6b + 4c = 20, atunci a + 3b + 2c = ... 8. Dacã
Subiectul al II-lea (45 de puncte) - Scrieþi rezolvãrile complete. 1. Calculaþi: 1 ⎛1 1 ⎞ 1 a) 0,4 · 10 0,2 · 1,2 1; b) 2 ⋅ ⎜ 3 1 ⎟ 4 ; 5 ⎝6 6 ⎠ 7 c) [(3)4 : (3)3 5] : (2).
5p 5p 5p
10 p 5p
2. Rezolvaþi în {+ eculaþiile: 1 1 + 2 4 2 = 1 + 23 ; b) 2(x + 1) + 3(2x + 1) 7x = 11. a) 15 p 5 6 7 3. Aflaþi numerele x, y ºi z, ºtiind cã: {x, y} d.p. {4; 5}, {y, z} i.p. {2; 4} ºi 15 p x + y + z = 46.
116
Teste - Geometrie Testul 1 Subiectul I (48 de puncte) - Scrieþi numai rezultatele. 1. Desenaþi: 4p a) un pãtrat cu latura de 3 cm; b) un dreptunghi cu lungimea de 5 cm ºi lãþimea de 3,5 cm; 4p c) douã cercuri cu razele de 2 cm, respectiv 3 cm, iar distanþa dintre 4p centre de 4 cm. 2. Desenaþi un cerc ºi un triunghi care sã aibã: a) trei puncte comune; b) cinci puncte comune; c) ºase puncte comune.
4p 4p 4p
3. Un dreptunghi are lungimea de 6 cm, iar lãþimea reprezintã o treime din lungime. Calculaþi: a) lãþimea dreptunghiului; 4p b) perimetrul dreptunghiului; 4p c) aria dreptunghiului. 4p 4. Desfãºurarea unui cub acoperã o suprafaþã planã de 150 cm2. Sã se afle: a) lungimea muchiei cubului; 4p 4p b) aria unei feþe a cubului; 4p c) volumul cubului. Subiectul al II-lea (42 de puncte) - Scrieþi rezolvãrile complete. 1. Un dreptunghi are lungimea de douã ori mai mare decât lãþimea. Dacã lungimea dreptunghiului se mãreºte cu 2 cm, iar lãþimea se mãreºte cu 5 cm, atunci aria dreptunghiului creºte cu 82 cm2. Sã se afle: a) perimetrul dreptunghiului iniþial; b) aria dreptunghiului iniþial. 14 p 2. Un bazin are formã de paralelipiped dreptunghic cu baza pãtratã. În bazin se aflã 64 m 3 de apã care reprezintã 80% din bazin. ªtiind cã înãlþimea bazinului este de 5 cm, sã se afle: 14 p a) capacitatea bazinului; b) latura bazei. 3. Pentru vopsirea tuturor feþelor unui cub sunt necesare 4,5 kg de vopsea. ªtiind cã pentru a vopsi 3 m2 este necesar 1 kg de vopsea, sã se afle: a) lungimea muchiei cubului; b) volumul cubului. 14 p
117
Testul 2 Subiectul I (48 de puncte) - Scrieþi numai rezultatele. 1. Desenaþi punctele coliniare A, B, C, D astfel încât: a) B i (AD) ºi D i (BC); b) C i (AB) ºi B i (CD); c) C este mijlocul segmentului [AD], iar B este mijlocul segmentului [AC]. 2. Fie date punctele coliniare A, B, C, în aceastã ordine, astfel încât AB = 3 cm ºi BC = 2 cm. Sã se determine: a) lungimea segmentului [AC]; b) distanþa dintre mijloacele segmentelor [AB] ºi [BC]; c) distanþa dintre mijloacele segmentelor [AB] ºi [AC].
4p 4p 4p
4p 4p 4p
3. Desenaþi patru puncte distincte A, B, C, D astfel încât acestea sã determine: 4p a) o dreaptã; 4p b) 4 drepte; 4p c) 6 drepte. 4. Se considerã trei puncte coliniare distincte A, B, C în aceastã ordine. Determinaþi: a) [AB] O [BC]; 4p b) [AB O [CB; 4p 4p c) (BC N (AC). Subiectul al II-lea (42 de puncte) - Scrieþi rezolvãrile complete. 1. Fie date punctele coliniare A, B, C, D în aceastã ordine, astfel încât segmentele [AD] ºi [BC] au acelaºi mijloc, punctul M. ªtiind cã MC = 2 cm ºi AM = 10 cm, sã se afle lungimile segmentelor: 14 p a) [BD]; b) [AD]. 2. Pe o dreaptã se considerã punctele A, B, C, D, E, F, G, H în aceastã ordine, astfel încât AB = BC = CD ºi DE = EF = FG = GH. Dacã AH = 18 cm, sã se determine lungimea segmentului [BE] astfel încât: 7p a) punctul D sã fie mijlocul segmentului [AH]; b) punctul D sã fie mijlocul segmentului [CF]. 7p 3. Fie date punctele coliniare A, B, C, D astfel încât C este mijlocul segmentului [AB], 7 · DB = 3 · DA ºi AD = 21 cm. Sã se afle: 7p a) lungimea segmentului [CD]; 7p b) distanþa dintre mijloacele segmentelor [AD] ºi [BD].
118
Testul 3 Subiectul I (48 de puncte) - Scrieþi numai rezultatele. 1. Dreptele AB ºi CD sunt concurente în punctul O astfel încât m(rBOC) este jumãtate din m(rAOC). Sã se afle: 4p a) m(rAOB); b) m(rAOD); 4p 4p c) m(rBOD). 2. Douã unghiuri adiacente rAOB ºi rBOC au bisectoarele (OX, respectiv (OY. ªtiind cã m(rAOB) = 36°43′, iar m(rBOC) = 81°, sã se afle: a) m(rAOC); 4p b) m(rCOX); 4p c) m(rXOY). 4p 3. Sã se afle mãsura unui unghi, ºtiind cã: a) complementul sãu are mãsura de 40°; b) suplementul sãu are mãsura de 70°; c) suplementul sãu este de trei ori mai mare decât complementul sãu.
4p 4p 4p
1 1 324 1 1 425 11 1 1 sunt unghiuri congruente în 526 1 621 4. Unghiurile 123 1 . Sã se afle: jurul punctul O, iar (OX este bisectoarea unghiului 123 a) m(rAOB); 4p 4p b) m(rCOE); 4p c) m(rXOD).
Subiectul al II-lea (42 de puncte) - Scrieþi rezolvãrile complete. 1. Fie date unghiurile adiacente rAOB ºi rBOC astfel încât bisectoarele lor (OX, respectiv (OY formeazã un unghi cu mãsura de 75° ºi 3m(rBOC) = = 2m(rAOB). a) Determinaþi m(rAOB) ºi m(rBOC); 7p b) Dacã în interiorul unghiului rAOC se considerã punctul P astfel încât m(rXOP) = 90°, demonstraþi cã (OP este bisectoarea unghiului rYOC. 7 p 1 1 324 1 1 425 1 1 521 1 1 astfel 2. În jurul punctul O se considerã unghiurile 123 încât m(rDOC) = 2m(rAOB), m(rAOB) + m(rDOC) = m(rAOD) + +m(rBOC) ºi m(rBOC) reprezintã 80% din m(rAOD). Sã se calculeze: 7p a) mãsurile celor patru unghiuri; 7p b) mãsura unghiului dintre bisectoarele unghiurilor rBOC ºi rCOD.
3. Fie date punctele coliniare A, O, B în aceastã ordine. De aceeaºi parte a dreptei AB se considerã punctele distincte C ºi D astfel încât unghiul rAOC este complementul unghiului rCOD, iar unghiul rBOC este
119 suplementul unghiului rCOD. Sã se determine: 7p a) mãsurile unghiurilor rAOC, rCOD ºi rDOB; b) mãsura unghiului rTOB unde (OT este bisectoarea unghiului rAOC. 7 p
Testul 4 Subiectul I (48 de puncte) - Scrieþi numai rezultatele. 1. Fie dat triunghiul ABC. Determinaþi: a) latura opusã unghiului B; b) unghiurile alãturate laturii AC; c) unghiul opus laturii BC.
4p 4p 4p
2. Determinaþi perimetrul unui triunghi: a) echilateral cu lungimea laturii de 6 cm; 4p b) isoscel cu douã laturi de 2 cm ºi cea de-a treia cu lungimea de 5 cm; 4 p c) care are media aritmeticã a lungimilor laturilor de 8 cm. 4p 3. Sã se construiascã: a) un triunghi dreptunghic isoscel cu lungimile catetelor de 3 cm; 4p b) un triunghi echilateral cu lungimea laturii de 4 cm; 4p c) un triunghi care are lungimea unei laturi de 6 cm, iar unghiurile 4p alãturate ei de 40° ºi 30°. 4. Dacã ∆ABC \ ∆MNP, AB = 6 cm, BC = 4 cm, AC = 7 cm, sã se specifice: a) lungimile laturilor triunghiului MNP; 4p b) congruenþele dintre unghiurile celor douã triunghiuri; 4p c) valoarea raportului dintre segmentele [AD] ºi [ME], unde punctele D ºi E sunt mijloacele laturilor [BC], respectiv [NP]. 4p Subiectul al II-lea (42 de puncte) - Scrieþi rezolvãrile complete. 1. Fie date punctele coliniare A, B, C în aceastã ordine, cu AB = BC. De aceeaºi parte a dreptei AB se considerã punctele distincte D ºi E astfel încât rDBA\rEBC ºi [DB] \ [EB]. Sã se stabileascã dacã: a) [DA] \ [EC]; b) rADC \rAEC. 14 p 2. În exteriorul triunghiului ABC se considerã punctul D astfel încât rABC \ \rDCB, rACB\rDBC, iar punctele A ºi D se aflã de aceeaºi parte a dreptei BC. Sã se demonstreze cã: a) ∆ABC \ ∆DCB; b) [OB] \ [OC], unde AC O DB = {O}. 14 p 3. În triunghiul isoscel ABC cu [AB] \ [AC], (AD este bisectoarea unghiului rBAC, D i (BC). Pe laturile (AB) ºi (AC) se considerã punctele E, respectiv F astfel încât rADE \rADF. Sã se arate cã: a) ∆ADE \ ∆ADF; b) [BF] \ [CE]. 14 p
120
Testul 5 Subiectul I (48 de puncte) - Scrieþi numai rezultatele. 1. Sã se construiascã un triunghi dreptunghic care are: a) lungimea catetelor de 2 cm ºi 3,5 cm; b) lungimea ipotenuzei de 6 cm ºi un unghi ascuþit de 45°; c) lungimea unei catete de 3 cm ºi a ipotenuzei de 5 cm.
4p 4p 4p
2. Fie unghiurile rAOB, rBOC, rCOA formate în jurul punctului O, astfel încât OA u OB ºi rAOC \ rBOC. Determinaþi: a) m(rAOB); 4p b) m(rAOC); 4p c) m(rCOX), unde (OX este bisectoarea unghiului rAOB. 4p 3. În triunghiul dreptunghic isoscel ABC cu m(rBAC) = 90°, notãm cu D mijlocul laturii [BC]. Sã se arate cã: a) ∆ACD \ ∆ABD; 4p 4p b) m(rBAD) = 45°; c) AD este mediatoarea laturii [BC]. 4p 4. Unghiurile rAOB ºi rBOC sunt adiacente suplementare, AO u OB ºi [AO] \ [OC]. Sã se determine: a) m(rBOC); 4p b) m(rAOC); 4p c) valoarea raportului dintre [AB] ºi [BC]. 4p Subiectul al II-lea (42 de puncte) - Scrieþi rezolvãrile complete. 1. Fie A, B, C, D puncte coliniare în aceastã ordine. Dacã [AB] \ [CD], iar punctul P se aflã pe mediatoarea segmentului [BC], sã se demonstreze cã: a) ∆PAB \ ∆ PDC; 7p b) distanþa de la B la PD este egalã cu distanþa de la C la PA. 7p 2. În exteriorul triunghiului ascuþitunghic ABC se construiesc triunghiurile isoscele AMB ºi ANC astfel încât AM u AC, AB u AN, AB \ AM ºi AC \ AN. Sã se arate cã: a) rMAB\rNAC; 7p b) [BN] \ [CM]. 7p 3. În triunghiul ABC considerãm bisectoarea AD cu D i BC. Perpendicularele din B ºi C pe dreapta AD intersecteazã dreptele AC, respectiv AB în punctele E, respectiv F. Demonstraþi cã: a) punctele D, E, F sunt coliniare; 7p b) [BC] \ [EF]. 7p
121
Testul 6 Subiectul I (48 de puncte) - Scrieþi numai rezultatele. 1. Se considerã douã drepte paralele tãiate de o secantã. Sã se determine mãsurile celor opt unghiuri formate dacã: 4p a) unul dintre unghiuri are mãsura de 37°; 4p b) mãsura unui unghi este cu 23° mai micã decât mãsura altui unghi; 4p c) raportul dintre mãsurile a douã unghiuri este egal cu 3. 2. În triunghiul dreptunghic isoscel ABC cu m(rBAC) = 90°, notãm cu M mijlocul laturii BC. Sã se demonstreze cã: a) AM u BC; 4p b) mediatoarea laturii [AB] este paralelã cu AC; 4p c) mediatoarea segmentului [AM] este paralelã cu BC. 4p 3. Segmentele [AB] ºi [CD] au acelaºi mijloc, punctul O. Sã se arate cã: a) AC || BD; b) AD || BC; c) punctele C ºi D sunt egal depãrtate faþã de dreapta AB.
4p 4p 4p
4. Pe laturile [AC] ºi [BC] ale triunghiului ABC se considerã punctele M, respectiv P, astfel încât MP || AB. Dacã m(rCMP) reprezintã 50% din m(rAMB), iar m(rABC) = m(rMPB), sã se afle: 4p a) m(rAMP); 4p b) m(rBAC); c) m(rABC). 4p Subiectul al II-lea (42 de puncte) - Scrieþi rezolvãrile complete. 1. În exteriorul triunghiului isoscel ABC, cu [AB] \ [AC], se considerã punctele D ºi E astfel încât A i (DE), DE || BC, [AD] \ [AE] \ [BC]. Sã se demonstreze cã: 7p a) ∆ABD \ ∆BAC; 7p b) [BE] \ [CD]. 2. Fie dat triunghiul dreptunghic ABC cu m(rBAC) = 90° ºi (AD bisectoarea unghiului rBAC, D iBC. Paralelele prin B ºi C la AD intersecteazã dreptele AC ºi AB în punctele M, respectiv N. Demonstraþi cã: a) MB || NC; 7p 7p b) [MN] \ [BC]. 3. Fie date dreptele paralele d ºi g. Pe dreapta d se considerã punctele A, B, iar pe dreapta g punctele C, D, astfel încât (AD este bisectoarea unghiului rBAC ºi [AB] \ [CD]. Sã se arate cã: a) AC || BD; 7p b) AD u BC. 7p
122
Testul 7 Subiectul I (48 de puncte) - Scrieþi numai rezultatele. 1. Sã se afle mãsurile unghiurilor unui triunghi: a) echilateral; b) dreptunghic isoscel; c) ºtiind cã sunt direct proporþionale cu 10, 12, 14.
4p 4p 4p
2. Pe latura [BC] a triunghiului ABC se considerã punctele D, E, F, astfel încât BD = DE = EF = FC. Dacã aria triunghiului ABD este de 7 cm2, sã se afle ariile triunghiurilor: a) ABC; 4p b) ABF; 4p c) AEC. 4p 3. Triunghiul dreptunghic ABC dreptunghic în A are m(rABC) = 30°. Dacã M este mijlocul ipotenuzei, sã se afle: a) m(rAMC); 4p 4p b) valoarea raportului dintre [AC] ºi [BC]; 4p c) valoarea raportului dintre ariile triunghiurilor AMC ºi AMB. 4. În triunghiul isoscel ABC cu AB = AC, [AM] este medianã, M i (BC), iar [BN] este înãlþime, N i (AC). ªtiind cã m(rNBC) = 20°, sã se afle mãsurile unghiurilor triunghiului: 4p a) ABC; 4p b) ABN; c) AMC. 4p Subiectul al II-lea (42 de puncte) - Scrieþi rezolvãrile complete. 1. În triunghiul ABC dreptunghic în A, considerãm un punct D i (BC) ºi notãm cu E, F simetricele punctului D faþã de dreptele AB, respectiv AC. Arãtaþi cã: 14 p a) punctele E, A, F sunt coliniare; b) FC || BE. 2. Fie dat triunghiul oarecare ABC. Pe dreapta BC se considerã punctele D ºi E astfel încât B i (DC), C i (BE), AB = BD ºi AC = CE. Dacã M ºi N sunt mijloacele segmentelor [AD], respectiv [AE], iar MB O NC = {Q}, sã se demonstreze cã: a) triunghiul QDE este isocel; b) (AQ este bisectoarea unghiului rBAC. 14 p 3. Pe înãlþimea (AD), D i BC, a triunghiului isoscel ABC, AB = AC, se considerã punctul P. Dreptele BP ºi CP intersecteazã AC ºi AB în punctele E, respectiv F. Sã se arate cã: a) triunghiul BPC este isoscel; b) AD u EF. 14 p
123
Testul 8 Subiectul I (48 de puncte) - Scrieþi numai rezultatele. 1. Pe latura [BC] a triunghiului echilateral ABC se considerã punctele D ºi E astfel încât rBAD \ rDAE \ rEAC. Sã se afle mãsurile unghiurilor triunghiului: a) ABD; b) ADE; c) ADC. 12 p 2. Fie dat triunghiul dreptunghic ABC cu m(rBAC) = 90° ºi BC = 6 cm. Sã se afle distanþa dintre: a) centrul cercului circumscris ºi ortocentrul triunghiului; 4p 4p b) centrul de greutate ºi centrul cercului circumscris triunghiului; 4p c) centrul de greutate ºi ortocentrul triunghiului. 3. Un unghi exterior unui triunghi isoscel are mãsura de 50°. Sã se afle: a) mãsurile unghiurilor triunghiului; 4p 4p b) mãsurile celorlalte unghiuri exterioare ale triunghiului; c) mãsura unghiului ascuþit format de bisectoarele unghiurilor alãturate 4p bazei. 4. În triunghiul ABC cu m(rBAC) = 50° ºi m(rABC) = 60°, notãm centrul cercului circumscris cu O, centrul cercului înscris cu I ºi ortocentrul cu H. Sã se afle: 4p a) m(rBOC); 4p b) m(rBIC); c) m(rBHC). 4p Subiectul al II-lea (42 de puncte) - Scrieþi rezolvãrile complete. 1. Fie dat triunghiul dreptunghic ABC cu m(rBAC) = 90° ºi m(rACB) = 75°. Se construiesc înãlþimea AD, bisectoarea AE ºi mediana AF. Sã se determine: a) mãsurile unghiurilor triunghiului ACF; 7p b) valoarea raportului dintre lungimile segmentelor [EF] ºi [ED]. 7p 2. În triunghiul ABC cu m(rBAC) = 60°, BD ºi CE sunt înãlþimi, D i (AC), E i (AB), iar M este mijlocul laturii [BC]. a) Determinaþi m(rEMD). 7p b) Demonstraþi cã triunghiul EMD este echilateral. 7p 3. În exteriorul triunghiului echilateral ABC considerãm punctul P astfel încât PB u AB ºi PC u AC. 7p a) Demosntraþi cã (AP este bisectoarea unghiului rBAC. b) Determinaþi valoarea raportului dintre ariile triunghiurilor ABC ºi PBC. 7 p
124
Teste sumative Testul 1 Subiectul I (48 de puncte) - Scrieþi numai rezultatele. 1. Numerele de forma 11 divizibile cu 2, dar nedivizibile cu 5 sunt ....
4p
2. Dacã x ºi y sunt numere naturale astfel încât x · y = 420 ºi (x; y) = 4, 4p atunci [x; y] = ... 3. Fracþiile supraunitare cu numãrãtorul 4 sunt ...
4p
11 + 1 2 obþinem ... 21 + 2 2 1 1 5. Dintre numerele ºi mai mare este numãrul ... 2 2 1 +1 = 2 , atunci x = ... 6. Dacã 1+3 4 7. Fie date punctele coliniare A, B, C, D în aceastã ordine. Dacã AB = 7 cm, AC = 11 cm, iar punctul C este mijlocul segmentului BD, atunci: a) lugimea segmentului BC este egalã cu ... cm; b) lungimea segmentului BD este egalã cu ... cm; c) lungimea segmentului AD este egalã cu ... cm. 4. Simplificând fracþia
4p 4p 4p
4p 4p 4p
8. Fie date unghiurile adiacente suplementare rAOB ºi rBOC cu m(rAOB) = = 70°. Dacã semidreptele (OX ºi (OY sunt bisectoarele unghiurilor rAOB, respectiv rBOC, atunci: a) mãsura unghiului rBOC este egalã cu ... °; 4p b) mãsura unghiului rCOY este egalã cu ... °; 4p c) mãsura unghiului rXOY este egalã cu ... °. 4p Subiectul al II-lea (42 de puncte) - Scrieþi rezolvãrile complete. 1. Arãtaþi cã:
(
)
a) 123 + 231 + 312 112 , oricare ar fi cifrele nenule x, y ºi z;
7p
b) {2n · 3n; 2n+1 · 3n+1; 2n+2 · 3n+2} d.p. {2n1 · 3n 2; 2n · 3n 1; 2n+1 · 3n}, oricare ar fi n iq, n U 2. 1 1 2. Determinaþi elementele mulþimilor: 2 = 1 ∈1 2 < ; 1 = 2 ∈13 1 < 1 < 2 . 3 3 4 2 4 3. În triunghiul isoscel ABC cu AB = AC ºi m(rBAC) = 120°, notãm cu D mijlocul laturii [AB]. Dacã perpendiculara din D pe BC intersecteazã dreapta AC în punctul E, sã se arate cã: a) triunghiul EBC este dreptunghic; b) aria triunghiului ADE este o ºesime din aria triunghiului EBC.
{
} {
}
7p 14 p
7p 7p
125
Testul 2 Subiectul I (48 de puncte) - Scrieþi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului: a) 1 2 1 + 1 este ...; 3 4 b) (3)2 · 34 : (3)3 este ...
2p
2. Opusul numãrului 2 este ...
4p
3. Un sfert dintr-un numãr reprezintã ...% din el.
4p
5. Soluþia ecuaþiei 0,3x = 0,6, x i { este ... 11 2 3 6. Numerele naturale x pentru care fracþia este subunitarã sunt ... 4 7. În jurul punctul O se considerã unghiurile rAOB, rBOC, rCOA. Dacã m(rAOB) = m(rBOC) = 2 · m(rCOA), atunci: a) suma mãsurilor celor trei unghiuri este de ... °; b) mãsura unghiului rAOB este de ...°; c) mãsura unghiului rAOC este de ...°.
4p
2p
1 1 4. Dacã numerele x ºi y sunt invers proporþionale cu 23 , iar x + y = 55, 4 5 atunci: 2p a) x = ... ºi y = ...; b) x : 2 + y : 3 = ... 2p
4p
4p 4p 4p
8. Fie dat triunghiul dreptunghic ABC cu m(rBAC) = 90°. Dacã mãsura unghiului exterior cu vârful în B este de 150°, atunci: a) mãsura unghiului rABC este de ... °; 4p 4p b) mãsura unghiului rACB este de ...°; c) valoarea raportului dintre lungimile segmentelor [BC] ºi [AD] este 4p de .... Subiectul al II-lea (42 de puncte) - Scrieþi rezolvãrile complete. 1. Calculaþi: 2 1+1 3 4 4 5 ; a) 6 7 1+1 2 7
( )
( )
b) [(3)2 · (5)3]2 : [(3)4 · (5)2] : 5.
14 p
2. O persoanã depune la bancã suma de 200 lei, dobânda anualã fiind de 10%. a) Ce sumã va avea persoana la bancã dupã un an? 7p b) Peste câþi ani persoana va avea în bancã suma de 242 lei? 7p
126 1 1 324 1 1 425 1 1 521 1, 3. În jurul punctului O se considerã unghiurile 123 astfel încât m(rBOC) = 2 · m(rAOB), 4 · m(rAOD) = 3 · m(rDOC), iar m(rDOC) reprezintã 120% din m(rBOC). Sã se afle: a) mãsurile celor patru unghiuri; 7p 1 1 123 12 425 b) mãsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor . 7p
Testul 3 Subiectul I (48 de puncte) - Scrieþi numai rezultatele.
(
)
1. Dacã 1 123 = 4 , atunci x i{...} 2. Rezultatul calculului: 1 1 a) 1 2 este ...; 3 4
b)
4p
1 din 50 este ... 23
4p
3. Dacã |x 1| < 2, x im*, atunci x i{...}.
4p
4. Divizorii naturali ai numãrului 6 sunt ... 1 5. Soluþia raþionalã a ecuaþiei 2 1 3 1 = este ... 2 6. Pentru a confecþiona 3 rochii este nevoie de 9 m de mãtase. a) Pentru a confecþiona 2 rochii sunt necesari ... m de mãtase. b) Cu 12 m de mãtase se pot confecþiona ... rochii.
4p 4p 2p 2p
7. Fie dat triunghiul dreptunghic ABC cu m(rBAC) = 90°. Dacã m(rACB) reprezintã 25% din m(rABC), iar M este mijlocul ipotenuzei, atunci: a) mãsura unghiului rACB este egalã cu ... °; 4p b) mãsura unghiului rABC este egalã cu ... °; 4p c) mãsura unghiului rAMC este egalã cu ... °. 4p 8. Fie date unghiurile adiacente complementare rAOB ºi rBOC. Dacã m(rAOB) este jumãtate din m(rBOC), atunci: 4p a) mãsura unghiului rAOB este egalã cu ... °; 4p b) mãsura unghiului rBOC este egalã cu ... °; c) mãsura unghiului dintre bisectoarele celor douã unghiuri este egalã cu ... °. 4p Subiectul al II-lea (42 de puncte) - Scrieþi rezolvãrile complete. 1. Deteminaþi elementele mulþimilor: 1 = 2 ∈ 1 3 121 ∈ 2 ºi 2 = 1 ∈ 1 2 1 + 1 ∈ 2 . 1 31 2
{
}
{
}
14 p
2. Aflaþi aria unui dreptunghi, ºtiind cã lãþimea reprezintã 80% din lungime, iar perimetrul acestuia este 36 cm. 14 p
127 3. Se considerã punctele coliniare A, B, C, D în aceastã ordine, M mijlocul segmentului AB, N mijlocul segmentului CD, P mijlocul segmentului MN. Lungimea segmentului CD reprezintã 50% din lungimea segmentului AB, lungimea segmentului MP reprezintã 150% din lungimea segmentului PC, iar MC = 60 cm. Sã se afle: a) lungimea segmentului AD; b) lungimea segmentului MN. 14 p
Testul 4 Subiectul I (48 de puncte) - Scrieþi numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului: a) (2)4 : (2)3 2 este ...; b) 70% din 20 este ...
2p 2p
2. Dacã 11 + 22 = 11 , atunci x + y = ...
4p
3. Elementele mulþimii A = {x iq | 2 < x < 9, xx4} sunt ...
4p
4. D21 O D14 = {...}.
4p
1 34 22 mai mare este numãrul ... 5 5 1 6. Soluþia raþionalã a ecuaþiei 21 + = 3 1 + 1 este ... 3 7. În triunghiul ABC, G este centrul de greutate, iar M mijlocul laturii [BC]. Dacã aria triunghiului ABC este de 90 cm2, atunci: a) aria triunghiului ABM este egalã cu ... cm2; b) aria triunghiului BGM este egalã cu ... cm2; c) valoarea raportului dintre lungimile segmenelor AG ºi GM este egalã cu ... 5. Dintre numerele
4p 4p
4p 4p 4p
8. Fie M, N i (AB) astfel încât MN = 2 · AM, NB = 3 · AM. Dacã MB = 30 cm, atunci: 4p a) lungimea segmentului AM este egalã cu ... cm; b) distanþa dintre mijloacele segmentelor AM ºi MN este egalã cu ... cm; 4 p c) distanþa dintre mijloacele segmentelor MB ºi AB este egalã cu ... cm. 4 p Subiectul al II-lea (42 de puncte) - Scrieþi rezolvãrile complete. 1. Calculaþi: 1 1 1 ⎤ 8 1 + 2 + 3 + 777 + 44 ⎡ 1 a) ; b) ⎢155 6 1 + + + 777 + . ⎥⎦ 2 3 9 2 3 155 155 ⎣ 1+ 1 1+ 1 2
(
) (
)
14 p
2. Aflaþi numerele x, y ºi z ºtiind cã: {x + 1; y + 2; z + 3} d.p. {1; 2; 3;}, iar 14 p x + y + z = 30.
128 3. Se considerã unghiul rXOY cu mãsura de 45° ºi A i (OX. Punctele B, C, D aparþin semidreptei (OY astfel încât 7 · m(rACB) = 5 · m(rACD) ºi m(rOAB) = m(rBAC) = m(rCAD). Sã se demonstreze cã: 7p a) triunghiul AOD este dreptunghic isoscel; b) triunghiul ABC este isoscel. 7p
Testul 5 Subiectul I (48 de puncte) - Scrieþi numai rezultatele. 1. Dacã 11213 , atunci x i{...}.
4p
2. Rezultatul calculului: (2)3 · (3)2 : (2)3 este ...
4p
3. Dacã 2x + y + 3z = 10 ºi x + 2z = 5, atunci x + y + z = ...
4p
4. Fie numerele x = 22 · 33 ºi y = 23 · 32 a) (x; y) = ...; b) [x; y] = ...
4p
5. Numãrul 20 reprezintã ... % din numãrul 200.
4p
2 +1 + 1 +1 = 2 1 , atunci 1 + 1 = 222 2 1 3 1 2 7. În exteriorul triunghiului echilateral ABC se considerã punctul D astfel încât triunghiul ADC este isoscel de bazã [CD]. Dacã m(rDAC) = 40°, atunci: a) mãsura unghiului rBAD este egalã cu ... °; b) mãsura unghiului rABD este egalã cu ... °; c) mãsura unghiului rBDC este egalã cu ... °. 6. Dacã
4p
4p 4p 4p
8. Dacã douã laturi ale unui triunghi isoscel au lungimile de 8 cm ºi 16 cm, atunci: a) cea de-a treia laturã a triunghiului are lungimea de ... cm; 4p 4p b) perimetrul triunghiului este egal cu ... cm; c) aria pãtratului care are acelaºi perimetru cu cel al triunghiului este 4p egalã cu ... cm2. Subiectul al II-lea (42 de puncte) - Scrieþi rezolvãrile complete. 1. Efecutaþi calculele: a) [(3)2 · (5)3] : [(3) · (5)2] 25;
(
)
4p
b) 1 2 ⎡ 1 + 1 + 1 ⋅ 3 4 1 ⎤ ; 5 ⎢⎣ 6 5 3 17 ⎥⎦
5p
c) 23 ⋅ ⎜⎛ 1 + 11 + 12 + 13 ⎝4 4 4 4
5p
⎞ ⎟⋅4 . ⎠
2. Aflaþi numerele naturale x ºi y ºtiind cã (x; y) = 2 ºi x + y = 8.
14 p
129 3. Fie dat triunghiul echilateral ABC cu centrul O. În exteriorul triunghiului se considerã punctul E astfel încât EC || AO ºi EB || CO. Dacã AO O BE = ={F}, sã se arate cã: a) triunghiul EFC este echilateral; b) [AF] \ [BE]. 14 p
Testul 6
Subiectul I (48 de puncte) - Scrieþi numai rezultatele. 1. Probabilitatea ca la aruncarea unui zar sã obþinem o faþã cu un numãr divizor la lui 10 este ... 4p 2. Elementele mulþimii A = {x im+ | 2x 1 T 3} sunt ...
4p
3. Dacã x · y = 2 ºi y · z = 3, atunci y(x + z) = ...
4p
4. Numerele naturale prime cuprinse intre 20 ºi 30 sunt ...
4p
(
)
5. Dacã 1 121 = 3 , atunci x i{...}.
4p
6. Dacã [x; y] = 36 ºi x · y = 216, x, y iq, atunci (x; y) = ...
4p
7. Triunghiul ABC este isoscel, AB = AC, iar D este mijlocul bazei. Dacã m(rBAC) = 50°, atunci: a) mãsura unghiului rABC este egalã cu ... °; 4p 4p b) mãsura unghiului rADC este egalã cu ... °; c) mãsura unghiului rBAD este egalã cu ... °. 4p 8. Punctele E ºi F sunt picioarele înãlþimilor din B, respectiv C în triunghiul ABC. Dacã AB = 6 cm, AC = 8 cm ºi BE = 3 cm, atunci: 4p a) aria triunghiului ABC este egalã cu ... cm2; b) lungimea segmentului CF este egalã cu ... cm; 4p c) mãsura unghiului rBAC este egalã cu ... °. 4p Subiectul al II-lea (42 de puncte) - Scrieþi rezolvãrile complete. 1. Calculaþi: 1 2 3 4 566 14 p b) 57 7 7 7 78887 . a) ⎜⎛ 1 + 11 + 12 ⎟⎞ 2 1 ; 5 1 2 3 99 3 ⎠ 4 ⎝3 3 2. Aflaþi numerele x, y ºi z, ºtiind cã x este de 2 ori mai mare ca y, y este cu 14 p 5 mai mare ca z, iar media lor aritmeticã este 5. 3. Se considerã unghiurile adiacente rAOB ºi rBOC astfel încât m(rAOB) = = 126°, iar mãsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor rAOB ºi rBOC este egalã cu 108°. Sã se afle: a) mãsura unghiului AOC; 7p b) mãsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor rAOC ºi rDOC, 7p unde (OD este semidreapta opusã semidreptei (OB.
130
Testul 7 Subiectul I (48 de puncte) - Scrieþi numai rezultatele. 1. Rezolvând în m ecuaþia 3x 1 = 7, obþinem soluþia ...
4p
2. Dacã 3x(2x 1), x iq, atunci x i{..}.
4p
3. Dintre numerele (2)3 ºi (3)2 mai mare este numãrul ...
4p
1 este ... 2 5. Dacã suma dintre dublul lui x ºi sfertul lui 4 este 5, atunci x = ... 4. Scris sub formã zecimalã numãrul
6. Dacã numerele x ºi y sunt direct proporþionale cu 2, respectiv 5, atunci 1 = 111 2 7. Fie date triunghiurile echilaterale ABC ºi DBC. Dacã AD O BC = {O}, atunci: a) mãsura unghiului rABD este egalã cu ... °; b) mãsura unghiului rDOC este egalã cu ... °; c) valoarea raportului dintre lungimile segmentelor [BD] ºi [OC] este egalã cu ...
4p 4p 4p
4p 4p 4p
8. Fie dat triunghiul ABC. Dacã M, N, P sunt mijloacele laturilor AB, AC, respectiv BC, atunci: a) valoarea raportului dintre perimetrul triunghiului MNP ºi perimetrul 4p triunghiului ABC este ...; b) valoarea raportului dintre aria triunghiului MNP ºi aria triunghiului 4p ABC este ...; 4p c) m(rBMN) + m(rABC) = ... Subiectul al II-lea (42 de puncte) - Scrieþi rezolvãrile complete. 11 + 2 1. Arãtaþi cã fracþia este ireductibilã oricare ar fi n iq. 31 + 2
14 p
2. Un cãlãtor are de parcurs un drum în trei zile: în prima zi parcurge 20% din drum, în ziua a doua 30% din drumul rãmas, iar în ziua a treia 28 km. 7p a) Câþi km are drumul? 7p b) Câþi km a parcurs în fiecare din primele douã zile? 3. În triunghiul dreptunghic ABC cu m(rBAC) = 90°, (BD este bisectoarea unghiului rABC, D i (AC), iar AM este medianã, M i (BC). ªtiind cã AM u BD, arãtaþi cã: 7p a) triunghiul AMB este echilateral; 7p b) triunghiul BDC este isoscel.
131
RÄSPUNSURI
Algebrã Geometrie Teste pentru pregãtirea concursurilor ºi olimpiadelor ºcolare Teste de autoevaluare
132
Algebrã I . N u m e r e naturale
1. Mulþimea numerelor naturale 1. a) 123 < 132 < 312 < 321; b) 543 > 541 > 435 > 354 > 345. 2. a) 17; b) 32; c) 18; d) 6. 3. a) 4; b) 4; c) 1; d) 7; e) 2. 4. a) {0; 1; 2; 3}; b) {0; 1; ...8}; c) {0; 1; 2; 3}; d) {0; 1; 2}; e) {0; 1}. 5. a) 13; b) 9; c) 8; d) 7. 6. a) 10; b) 9; c) 28; d) 5. 7. a) 1; b) 4; c) 3. 8. a) 29; b) 33; c) 712; d) 23; e) 50; f) 75; g) 111. 9. a) 213; b) 33; c) 38; d) 106; e) 55; f) 1112. 10. a) 6; b) 5; c) 9; d) 49; e) 64; f) 192. 11. a) 7; b) 5; c) 7; d) 15; e) 3; f) 2; g) 9. 12. a) 230 < 320; b) 813> 272; c) 351 > 234; d) 2100 299 298 = 449; e) 323 > 3 · 233. 13. a) 1225; b) 9900; c) 3675; d) 1998. 14. a) 5; b) 1; c) 20; d) 2; e) 2. 15. 0. 16. 1. 17. 3n. 18. 6.
2. Divizor. Multiplu 1. a) A; b) A; c) F; d) A; e) F; f) A; g) F; h) F; i) A; j) F; k) A; l) F. 2. a) {1; 3}; b) {1; 2; 3; 6}; c) {1; 2; 3; 4; 6; 12}; d) {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}; e) {1; 3; 7; 21}; f) {1; 2; 4; 5; 10; 20}; g) {1; 2; 4; 8; 16; 32; 64}; h) {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 15; 20; 24; 30; 40; 60; 120}; i) {1; 3; 5; 15; 25; 75}; j) {1; 5; 25; 125}. 3. a) D6; b) D10; c) {5; 10; 15; 30}; d) D20; e) D12; f) {2; 3; 6; 9; 10; 15; 30; 45; 90}. 4. a) {0; 2; 4; ...}; b) {0; 5; 15; ...}; c) {0; 12; 24; ...}; d) {0; 35; 70; ...}; e) {0; 6; 12; 18; 24}; f) {12; 14; 16; 18; 20; 22; 24}; g) {0; 3; 6; 9}; h) {30; 60; 90}. 5. a) {0; 12; 24; ...} = M12; b) {7; 14; 28; 35; ...}; c) M2. 6. a) {1; 3; 5; 15}; b) {2; 3; 5; 6; 11; 21}; c) {0; 3}; d) {1; 2; 5; 10}; e) {1; 3; 5; 15}; b) {2; 3; 5; 6; 11; 21}; c) {0; 3}; d) {1; 2; 5}; d) {0; 4; 16}. 7. a) Produsul a douã numere naturale consecutive este întotdeauna divizibil cu 2; b) 2n · 3x3; c) 3n · 3x3; d) 22(x + y)xx + y. 8. a) 224 · 320 · 5x5; b) 2100 · 3100 · 5100 · 65x65; c) 37 · 3(x+ + y + z)x37; d) 2n · 7n+1 · 97x97; e) 32n · 52n · 70x10; f) (5 + 54 + ... + 528) · 31x31; g) 8(7 + 73 + ... + 779)x8. 9. a) (a + b) + (b + c)x3; b) 2(a + b) + 3(b + c)x3. 10. 295 · 9x9. 11. 22(x + y + z)x2. 12. (1; 4); (4; 2); (7; 0).
3. Criterii de divizibilitate cu 10, 2, 5, 3, 9 1. a) a: b) F; c) A; d) A: e) A; f) F; g) A: h) F; i) A. 2. a) {3; 6; 9; 12; 15; 18}; b) {126; 128; 130}; c) {10; 20; 30; 40}; d) {5; 10; 15; 20}. 3. a) 12; b) 95; c) 980; d) 102. 4. a) 450; 540; 504; b) 450; 540; 504; c) 450; 540; d) 540; 450; 504; 405. 5. a) 210; 212; 214; 216; 218; b) 202; 404; 606; 808; c) 120; 122; 124; 126; 128. 6. a) 120; b) 300; c) 900; d) 110; 210; 310; 410; 510; 610; 710; 810; 910. 7. a) 110; 115; b) 350; 355; c) 720; 725; d) 300; 355; e) 585. 8. a) 210; 213; 216; 219; b) 300; 333; 366; 399; c) 702; 732; 762; 792; d) 234; 534; 834; e) 126; 156; 186. 9. a) 189; b) 603; c) 144; d) 207; e) 171. 10. a) 231; 432; 633; 834; b) 170; 675; c) 176; 278; d) 260. 11. a) 795; 975; 885; b) 130; 320; 510; 700. 12. a) U(3100 2100) = 5; b) U(3101 + 7103) = 6; c) U(61002 + 81002) = 0; d) U(3643 2150) = 5; e) U(25n + 76n+1) = 1. 13. a) 900; 702; 504; 306; 108; b) 630; 135. 14. x i {1; 4; 7}.
4. Proprietãþi ale relaþiei de divizibilitate în q 1. a) A; b) A; c) F; d) A; e) F; f) A. 2. a) 2; 5; 10; b) 2; 3; c) 2; 3; 4; 12. 3. a) a = 15k, k iq*; b = 10l; l iq* ; a + b = 15k + 10l; b) a = 32k; k iq* ; b + c = 8l; l iq*, a + 2b + 2c = 32k + 2 · 8lx16; c) a = 13k; k iq*; b = 14l; l iq*; a · b = 13 · 14kl; d) a = k · c; k iq*; b = 2cl; l iq*, 2a + b = 2kc + 2cl; e) b = 3kc; k iq*; a = 6klc, l iq*. 4. a) 210; 240; 270; 225; 255; 285; b) 720; 750; 780; 702; 732; 762; 792; 714; 744; 774; 726; 756; 786; 708; 738; 768; 798; c) 270; 570; 870. 5. a) (2; 2); b) (16; 4); c) (3; 15); (12; 24); (6; 18). 6. a) a + b = 2k; k iq*; b + c = 2l; l iq*; a + 2b + c = 2k + 2l; b) (b + 3c)x3 ⇒ bx3 ⇒ ax3. c) a + b
133 + c = 5k; k iq*, a + 2b = 5l; l iq*; 3a + 4b + 2c = 10k + 5l. 7. a) 2n · 5n · 14x7; b) 3n · 5n · 22x11; c) 21n · 34x17. 8. a) 7(2 + 24 + ... + 228)x7; b) 5(22 + 26 + ...+298)x5; c) 30(1 + 52 + ...+52n2)x30; d) 40(3 + 35 + ...+ 377)x8. 9. a) {0; 2}; b) {1; 2}; c) 0; d) {1; 7}; e) 1. 10. a) 2 1 1 ⇒ y = par ⇒
(
(2x + y )x2; b) 12 + 21 = 11( 1 + 2 ) 1 121 ; c) 123 + 12 + 3 ⇒
(
2
+
)
1
)
1
1 ⇒ (111x + 11y + z)x3 ⇒ (11y + z)x3
1.
5. Numere prime ºi numere compuse 1. Numere prime: 5; 73; 59; 41; 19; 31; numere compuse: 21; 81; 27; 91; 36. 2. a) 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; b) 61; 67; 71; 73; 79; 83; c) 89; 97. 3. a) 15 = 3 · 5; b) 21 = 3 · 7; c) 19 = 2 + 17; d) 14 = 11 + 3; e) 18 = = 23 5; f) 35 = 37 2. 4. a) (2; 19) b) (2; 7); c) (3; 5). 5. a) (2; 3; 7); b) (3; 2; 2). 6. a) (15; 2); b) (2; 12); c) (5; 2). 7. a) 29; b) 41; c) 31; 53; 97. 8. a) 22; 32; 52; 72; b) 27; 72; 57; 75. 9. a) (3; 5); b) (5; 7). 10. 6n · 2; b) 10n 1x3.
6. Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime
1. a) 12 = 22 · 3; 20 = 25 · 5; 48 = 24 · 3; 50 = 2 · 52; 72 = 23 · 32; b) 23 · 3 · 5; 360 = 23 · 32 · 5; 144 = 24 · 32; 242 = 2 · 112; 621 = 33 · 23; c) 204 = 22 · 3 · 17; 750 = 2 · 3 · 53; 2500 = 22 · 54; 78000 = 24 · 3 · 53 · 13; d) 624 = 24 · 3 · 13; 725 = 52 · 29; 2425 = 52 · 97. 2. a) x · y = 22 · 33 · 511; b) x · z = 26 · 33 · 55; c) y · z = = 24 · 34 · 58; d) x · y · z = 26 · 35 · 512; e) x2 · z = 28 · 34 · 55; f) (x · y)2 = 24 · 36 · 522; g) x3 · y2 = 26 · 37 · 526. 3. a) 3; b) 11; c) 3; d) 5. 4. a) 121; b) 4; c) 9; d) 25. 5. a) 8; b) 125; c) 27; d) 8. 6. a) 5; b) 2; c) 3; d) 21; e) 77; f) 21. 7. a) 9; b) 4; c) 12; d) 10. 8. a) 6; b) 10; c) 11. 9. a) 19 · 20; b) 14 · 15; c) 12 · 13. 10. a) 20 · 22; b) 14 · 16; c) 16 · 18. 11. a) (1; 27); (2; 6); b) (75; 0); (3; 2); c) (1; 3); (79; 1); d) (3; 1). 12. a) 8; b) 4. 13. x = 2; y = 5. 14. 6.
7. Divizori comuni. C.m.m.d.c. Numere prime între ele 1. a) 3; 6; b) 2; 3; c) 4; 12; d) 5; 25; e) 1; 11; f) 10; 5; g) 5; 15; h) 1; 7. 2. a) D5; b) D12; c) D6; d) D5; e) D3. 3. a) 5; b) 4; c) 14; d) 24; e) 30; f) 20; g) 125; h) 50; i) 18. 4. (7; 36) = 1; (7; 10) = 1; (7; 25) = 1; (21; 10) = 1; (21; 25) = 1; (36; 25) = 1. 5. a) (1; 12); (3; 4); b) (1; 19); (3; 17); (7; 13); (9; 11); c) (1; 3); (3; 2); (5; 1). 6. a) {1; 3; 5; 7; 9}; b) {1; 3; 4; 6; 7; 9}; c) {1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9}; d) {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. 7. a) (2; 20); (4; 18); (6; 16); (8; 14); (10; 12); b) (5; 30); (10; 25); (15; 20); c) (8; 16). 8. a) 120; 126; b) 375; c) 396. 9. a) 120; 150; 180; 105; 135; 165; 195; b) 210; 240; 270; 222; 252; 282; 204; 234; 264; 294; 216; 246; 276; 228; 258; 288; c) 372; 672; 972; 276; 576; 876; d) 120; 420; 720; 220; 520; 820; 324; 624; 924; 126; 426; 726; 228; 528; 828; e) 180; 280; 380; 480; 580; 680; 780; 880; 980. 10. a) 250 · 350 · 570; b) 352 · 7104. 11. 60. 12. 2. 13. 4. 14. 20. 15. 4. 16. a) Fie d = (2n + 1; 3n + 2); d | 2n + 1 ºi d | 3n + 2; d | 6n + 3 ºi d | 6n + 4; d | (6n + 4) (6n + 3) ⇒ d | 1 ⇒ d = 1. 17. (x; y) = 2n · 3n = 6n = 36; n = 2. 18. 0. 19. 0.
8. Multipli comuni a douã sau mai multor numere naturale; c.m.m.m.c. 1. a) M36; b) M30; c) M100; d) M48; e) M98. 2. a) 14; 28; b) 12; 36; c) 10; 30; d) 30; 60; e) 36; 72. 3. a) 60; b) 30; c) 140; d) 242; e) 42; f) 360; g) 180; h) 720; i) 750. 4. a) 294; b) 180; c) 5; d) 105; e) 225. 5. a) (6; 180); (12; 90); (18; 60); (30; 36); b) (6; 36); (12; 18); c) (7; 42); (14; 21); d) (1; 36); (4; 9). 6. 48. 7. 30; 60. 8. 28. 9. 62. 10. 82; 162. 11. 58. 12. 151; 228.
134
I I. Operaþii cu numere raþionale pozitive
1. Forme de scriere ale unui numãr raþional. Reprezentãri prin desen sau pe axã
1 1 1 1 1 1 1 1 1 14 24 3 12 3 12 3 12 3 12 ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) . 2. a) ; b) ; c) . 6. a) ; b) ; 2 2 23 2 2 2 2 2 2 56 56 56 4 5 6 7 14 24 3 12 3 12 3 12 3 12 3 12 3 12 3 12 3 12 ; d) . 7. a) {0; 1; 2; 3; 4}; b) {0; 1; 2}; c) {8}. 8. a) {0; 3; 8}; c) 51 51 51 1 4 5 6 7 11 18 15 11 12 2312 b) {0; 1}; c) {0; 1; 3}; d) {0}. 9. a) subunitarã; b) 11 subunitarã; c) 2 echiunitarã; d) supraunitarã. 2 1 4512 1. a)
2. Numãr raþional pozitiv 1 1 1 1 1 ; b) ; c) ; d) ; e) . 4. a) 1; b) 13; 2 2 2 2 ⋅ 32 2 ⋅ 32 1 1 1 12 1 c) 3; d) 5; e) 1; f) 10. 6. d) ; e) ; f) ; g) ; h) . 7. a) 3 iq; b) 3 iq. 8. A = {1; 3; 7; 21}; 2 23 2 3 22 B = {2; 8}; C = {1}; D = {1; 2; 3; 6}; E = {1; 3;}; F = {0; 4}; G = {0; 1; 3; 7}, H = {1}. 9. a) Fie d = (2n + 3; n + 1) ⇒ d | (2n + 3) ºi d | (2n + 2) ⇒ d | [(2n + 3) (2n + 2)] ⇒ d | 1 ⇒ d = 1. b) Fie d = (2n + 5; 3n + 7) ⇒ d | (2n + 5) ºi d | (3n + 7) ⇒ d | (6n + 15) ºi d | (6n + 14) ⇒ d | [(6n + 15) (6n + 14)] ⇒ 11( + 2 ) = 1∈ 1 ; d | 1 ⇒ d = 1. 10. a) n = 5k 3; k iq*; b) n = 31k 18; k iq*; c) n = 5k 3; k iq*. 11. a) 11( + 2 ) b) 5x + y + 10 iq; c) 22 iq. 12. a) {0; 5}; b) {2; 5; 8}; c) (3; 0); (6; 0); (9; 0); (1; 2); (4; 2); (7; 2); (2; 4); (5; 4); (8; 4); (3; 6); (6; 6); (9; 6); (1; 8); (4; 8); (7; 8); d) )3; 0); (6; 0); (9; 0); (1; 5); (4; 5); (7; 5); e) (8; 0); 1 (6; 2); (4; 4); (2; 6); (0; 8); (9; 8). 13. Ambele fracþii sunt echivalente cu . 13. 3 iq. 15. x = 2; y = 7. 2 1. a) {0}; b) {2}; c) {8}; d) {0; 1}; e) {2; 3}. 3. a)
3. Adunarea numerelor raþionale pozitive 5. a) c)
1 1 1 12 1 12 11 123 12 12 12 1 11 ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) ; j) ; k) . 6. a) ; b) ; 2 2 2 2 23 34 2 24 34 13 34 2 23
1 1 1 1 12 11 12 12 12 12 123 121 1 ; d) . 7. a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) ; j) . 8. a) 2 ; 2 23 2 2 3 2 1 3 3 3 45 34 3
1 1 1 1 12 12 1 12 123 112 12 12 122 b) 1 ; c) 2 ; d) 2 ; e) 2 . 9. a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) . 2 3 3 3 3 3 2 34 45 34 34 3 34 12 12 12 12 12 12 12 12 12 10. a) ; b) ; c) ; d) . 11. a) ; b) ; c) . 12. a) ; b) ; c) 5. 13. a) 101; b) 5051; 3 3 3 3 3 3 3 34 3 1+ 2 1+ 2 1+ 2 c) 99. 14. a) 1112 ; b) 12 12 ; c) 12112 . 15. 400.
4. Scãderea numerelor raþionale pozitive 1 1 1 1 1 123 121 1 1 1 12 1 ; b) 1; c) ; d) 3. 2. a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) . 3. a) ; b) ; c) ; 2 2 2 2 23 24 3 22 2 2 34 2 1 12 12 12 12 12 12 12 123 123 12 d) ; e) ; f) ; g) ; h) . 4. a) ; b) ; c) ; d) ; e) . 5. a) 8; b) 7. 6. a) ; 2 3 3 34 34 31 34 34 14 42 3 1 12 4 13 12 4 33 1 12 12 1 1 123 ; b) ; c) . 7. a) ; b) ; c) ; d) . 8. a) 2007; b) 22 . 9. a) ; 23 5 5 5 5 23 3 3 2323 ( 1 + 2 ) 45 2 b) 1. 1. a)
135
5. Compararea ºi ordonarea numerelor raþionale pozitive 1<2 11 > 12 1 > 2 1 > 2 1 1 12 > 12 12 < 12 12 > 12 ; b) ; c) ; d) . 2. a) > ; b) ; c) ; d) . 3 3 32 32 34 34 23 23 2 3 3 4 3 4 34 53 11 < 2 12 > 3 1 <2 1 1 < 2 12 > 3 1 2 3 4 5 3. a) ; b) ; c) ; d) 2 < ; e) ; f) . 4. a) < < < < ; 13 4 24 5 34 3 3 34 56 45 36 3 3 3 3 3 1 <1< 1<1< 1 1 2 33 4 1 2 3 < 45 11 > 2 > 3 > 4 > 1 b) ; c) < < < ; d) < < . 5. a) ; 12 3 4 5 2 5 35 6 7 6 7 46 14 5 5 5 5 5 12 > 12 > 12 > 12 > 12 1 2 1 >3 1 23 > 4 > 5 b) ; c) > > ; d) > . 6. x > y. 7. x < y. 3 4 5 65 31 4 5 34 6 6 78 27 1 1. a)
6. Înmulþirea numerelor raþionale pozitive 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 11 ; b) ; c) ; d) ; e) 24; f) 6; g) ; h) ; i) . 2. a) ; b) 1; c) 1; d) ; e) ; f) . 2 2 2 2 23 2 2 2 3 2 2 1 1 12 12 11 12 12 11 1 12 12 12 ; d) ; e) . 4. a) ; b) ; c) ; d) ; e) 87; f) . 5. a) ; b) ; 3. a) ; b) ; c) 2 2 34 3 2 1 3 2 2 34 34 34 1 12 1 12 12 1 1 12 121 123 1 c) ; d) ; e) ; f) ; g) 8; h) . 6. a) ; b) ; c) . 7. a) 34; b) ; c) . 8. . 2 23 12 3 231 2 2 34 13 1 231 1 9. a) ; b) 1. 1111 1. a)
7. Împãrþirea numerelor raþionale pozitive 1 1 1 1 1 1 1 1 12 123 1 ; b) ; c) 4; d) ; e) ; f) . 2. a) ; b) ; c) ; d) 21; e) ; f) 3; g) . 3. a) ; 2 2 2 23 2 2 2 23 1 45 2 12 1 1 1 12 1 1 1 1 123 12 1 12 b) ; c) ; d) ; e) ; f) . 4. a) ; b) ; c) ; d) 2. 5. a) ; b) ; c) ; d) . 6. a) ; 34 23 2 2 3 2 2 23 2 34 34 2 13 12 1 1 1 . 7. a) ; b) 18; c) 1; d) . 8. a) 1; b) 100; c) . b) 1 22 23 2 1. a)
8. Puterea unui numãr raþional pozitiv
( ) ( ) ; c) ( 21 ) ; d) ( 21 ) ; 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 e) ( ) ; f) ( ) ; g) ( ) . 3. a) ( ) ; b) ( ) ; c) ; d) ( ) ; e) ( ) ; f) ( ) ; g) ( ) . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 12 1 1 1 1 1 1 =2 . 5. a) ; b) ; c) ; d) ; e) 2; 4. a) ( ) ; b) ( ) ; c) ( ) ; d) ( ) ; e) ( ) ; f) ( ) 2 2 23 3 2 2 2 2 2 3 1
1. a)
1 1 12 1 12 123 123 1 1 ; b) ; c) ; d) 1; e) ; f) ; g) ; h) . 2. a) ; b) 2 2 23 2 31 122 34 214 41 1
11
1
f)
1234
12
1
12
123
1
1222
12
1
2
2
1
2
1234
1
1 123 12 12 1 1 1 ; g) ; h) ; i) ; j) . 6. a) 3; b) ; c) 2 . 425 23 345 2 2 12 2
9. Ordinea efectuãrii operaþiilor 1 1 1 1 12 12 12 1 123 1 12 ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) . 2. a) ; b) ; c) 98; d) ; e) 2; f) 44; g) ; 2 2 23 23 3 1 3 2 2 2 34 1 12 1 12 123 1 12 1 12 1 12 123 h) ; i) . 3. a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) 1. 4. a) ; b) ; c) ; 23 3 23 1 45 23 31 234 34 2 3 451 1 12 12 1 1 12 12 12 d) ; e) . 5. a) ; b) ; c) ; d) ; e) . 6. a) 51; b) . 2 3 34 23 23 33 34 344 1. a)
136
10. Numere raþionale pozitive scrise sub formã zecimalã 1. a) 1,7; 0,07; 0,3; 0.123; 0,05; 0,081; 14,53; b) 0,5; 1,4; 1,15; 0,08; 0,06; 4,84; 5,25; 0,375; c) 0,(3); 2,(3); 1 1 12 1 123 ; ; ; 1,(5); 2,(6); 3,(36); 1,(21); d) 0,1(3); 1,2(6); 2,11(3); 3.12(6); 1,2(63). 2. a) ; ; 2 2 3 233 24 1 23 14 135 467 643 8493 12342 123 1 2 134 7 23 7 51 7 624 ; ; b) 7 7 ; c) 2 4 2 99 99 4 44 . 3. a) 1 < 1,4; b) 2,1 < 255 122 8 8 99 11 888 999 < 2,11; c) 5,41 < 5,5; d) 21,04 < 21,4; e) 7,432 > 7,432; f) 1,3 < 1,(3); g) 1,2(6) > 1,26; h) 3,(65) > 3, (63). 4. a) 2,3 < 2,31 < 2,(3) < 2,35 < 2,4; b) 3,61 < 3,62 < 3,(63) < 3,(6) < 3,7. 5. a) 0; b) 0; c) 6; d) 7; e) 1; f) 3; g) 3. 6. a) parte întreagã 0, parte fracþionarã 0,23; b) parte întreagã 7, parte fracþionarã 0,2; c) parte întreagã 0, parte fracþionarã 0,(64). 8.a) 2; b) 1.
11. Operaþii cu numere raþionale pozitive scrise sub formã zecimalã 1. a) 7,6; b) 1,3; c) 4,32; d) 5,515; e) 1,4; f) 3,91; g) 3,59; h) 0,93; i) 8,159. 2. a) 2,31; b) 4,61; c) 24,29; d) 9; e) 0,25; f) 2,75; g) 1,6; h) 14,29. 3. a) 7; b) 23,01; c) 1,(6); d)
121 1 12 123 ; e) ; f) 2; g) 34 ; h) ; 11 12 55 344
1 11 12 1212 121 123 1 . 4. a) 2,2; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) . 5. a) 8,6; b) 8,84; c) 0,0036; d) 4,21; 23 23 34 344 345 42 2 1 123 1 12 123 12 121 1 e) 9630; f) 1,44; g) 0,63; h) 8,46; i) 7,21. 6. a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; 23 45 2 13 42 34 34 2 12 i) . 7. a) 20,5; b) 0,361; c) 0,5525; d) 21,6; e) 0,0941; f) 73,2; g) 940; h) 3821; i) 2,825; j) 1,2(3); 334 1 123 11 12 123 12 1 k) 30,7; l) 210. 8. a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) . 9. a) 0,001; b) 0,0004; c) 0,0625; 2 11 23 3 22 34 23 d) 0,49; e) 1,44; f) 2,25. 10. a) 1,65; b) 2,13; c) 0,710; d) 1,510; e) 0,38; f) 41,29; g) 0,414; h) 0,145; i) 0,9; i)
j) 4,23; k) 1,233. 11. a) 209,98; b) 11; c) 0,0816; d) 10; e) 3,9; f) 0,62. 12. a) e) 0,691; f)
1 12 123 12 ; g) ; h) ; i) . 2 13 145 3
12 12 1 123 ; b) ; c) ; d) ; 31 13 23 455
12. Ecuaþii 12 12 12 12 ; f) 0,7; g) 6; h) 0,6; i) . 3. a) 7,5; b) 0,2; c) ; d) 1,04; e) ; 34 3 3 13 1 123 12 1 f) 1,7; g) 0,1; h) 190; i) 7. 4. a) 1; b) 0,11; c) ; d) ; e) 702; f) ; g) 15102; h) . 5. a) 20; b) 2; 23 34 13 2 12 1 12 123 c) ; d) ; e) 0,3; f) 1,85. 6. a) 1,4; b) 9; c) ; d) 1,65; e) 0,8; f) . 7. a) 0,44; b) 6,4; c) 301,5; 3 2 3 24 123 11 1 1 1 12 1 d) 1; e) 1,2; f) . 8. a) ; b) ; c) 4,1; d) . 9. a) 0; b) 1; c) 7; d) ; e) . 10. a) 2; b) . 24 23 23 2 23 23 2 2. a) 1,4; b) 3,1; c) 0,25; d) 3,69; e)
13. Inecuaþii 2. a) {0; 1}; b) {0; 1; 2}; c) {0; 1} d) {0; 1}; e) {0; 1; 2; 3; 4}; f) {0; 1; 2}. 3. a) {0}; b) {0; 1; 2; ...; 20}; c) {0}; d){0; 1}; e) {0}; f) {0; 1; 2}. 4. a) ∅; b) { 1; 2; ...; 20}; c) {1}; d) {0; 1; 2; 3}; e) ∅; f) {1}; g) {1}; h) {1; 2; 3}. 5. a) {0; 1; 2; 3; 4; 5}; b) {0; 1; 2}; c) {0; 1; 2;...;9}; d) {0; 1; 2}; e) {0; 1; 2}; f) {0; 1}. 6. a) {1; 2; 3; 4}; b) {1; 2; 3; 4}; c) {1; 2; 3; 4; 5}; d) {1; 2}; e) {1; 2;...;12}; f) {1; 2;...;14}; g) {1; 2;...;13}.
137
14. Probleme care se rezolvã cu ajutorul ecuaþiilor 11 1 1 1 1 12 ; d) ; e) . 2. a) ; b) ; c) 38,1; d) . 3. a) 10,8; 9,6; b) 4; 3,5; c) 24,3; 12 2 23 2 2 34 4,05. 4. 14; 8,5; 28. 5. a) 6,08; 24,32. 6. 24,24.
1. a) 3,1; b) 1,64; c)
15. Media aritmeticã ponderatã 1. a) 7; b)
1 1 122 123 12 ; c) ; d) ; e) . 2. 6. 3. . 4. 30; 15. 5. 30. 6. 3. 7. 7,(4). 8. 4,3 lei. 9. 25; 2; 10. 2 2 34 45 34
I II. Rapoarte ºi proporþii
1. Rapoarte 1. a)
1 1 1 1 123 12 1 1 1 123 1 ; b) ; c) ; d) ; e) 2; f) ; g) . 2. a) ; b) ; c) 20; d) 2; e) ; f) 2; g) ; h) ; 2 2 2 2 342 34 2 2 2 45 23
12 1 12 1 12 1 1 1 . 3. a) ; b) 4; c) ; d) ; e) . 4. a) 20; b) 60; c) 70; d) 4. 5. a) ; b) 4; c) . 6. a) ; 31 2 3 23 3 2 2 2 12 1 1 1 1 1 1 1 ; c) ; d) . 7. a) 45 ºi 30; b) 50 ºi 30. 8. a) ; b) 1. 9. a) ; b) ; c) ; d) 5; e) . b) 3 23 12 2 2 2 2 23 1 2 2 12 12 2 1 1 12 11 12 10. a) ; b) ; c) ; d) . 11. a) 1 + 2 + 3 = 4 ; b) 3 + 2 + 1 + 3 = 1 . 2 11 2 13 i)
2. Proporþii 12 ( 3 ) 12 ( 4 ) 3 123 1 = 23 1 1 1 12 12 1 = ; b) 4 = 124 ; c) . 3. a) ; b) 7; c) ; d) ; e) ; f) . 4. a) 3; b) ; 4 3 2 2 23 344 223 2 51 56 1 1 1 12 1 1 1 12 1 1 1 1 ; b) ; c) . 6. a) ; b) ; c) ; d) ; e) 8; f) 5; g) ; h) ; i) ; c) ; d) 16; e) . 5. a) 2 2 23 11 2 2 2 3 2 2 2 2 1 1 1 12 12 1 1 123 j) ; k) 34; l) . 7. a) 7; b) 3; c) 12; d) ; e) ; f) 192; g) ; h) ; i) 2; j) ; k) 1620; l) ; 2 2 2 3 345 2 12 14 1 12 1 12 12 1 12 1 ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) . 9. a) 9; b) 3; c) 25; d) 2; e) ; f) 1; g) 2; h) 3; i) 8. m) . 8. a) 2 3 2 3 1 2 3 2 1 10. a) 33; b) ; c) 5. 2
2. a)
3. Procente Aflarea a p% dintr-un numãr 1. a) 80%; b) 175%; c) 50%; d) 30%; e) 1%; f) 16%; g) 40%; h) 2%; i) 3%; j) 40%. 2. a)
1 1 1 ; b) ; c) ; 2 2 23
1 1 1234 1 ; e) . 3. a) 4; b) 12; c) 51; d) ; e) ; f) 28. 4. a) 0,09; b) 0,6; c) 10; d) 0,448; e) 15; f) 0,1; 2 23 5 2 g) 101; h) 25,56; i) 3,3. 5. a) 100; b) 8,1; c) 1,4; d) 0,00009; e) 0,175; f) 0,00405. 6. a) 36 > 30; b) 21 = 21; c) 11 < 15; d) 0,07 < 0,1. 7. a) 0,00008 < 0,0006; b) 2,4 < 5; c) 3 > 0,3. 8. a) 75%; b) 6 fete, 18 bãieþi. 9.10; 30; 10. 10. a) 4400; b) 3000; c) 4560; d) 3220. 11. a) 40; b) 500; c) 48. 12. a) 1050; b) 1102,5. 13. a) 200; b) 50; 45; 21. 14. 2000. d)
138 Aflarea unui numãr când se cunoaºte p% din el 1. a) 48; b) 40; c) 64; d) 2000; e) 9; f) 3500. 2. a) 160; b) 600; c) 300; d) 5. 3. a) 50; b) 45; c) 40; d) 48. 4. a) 40; 8; b) 120; 1; c) 11; 44. 5. a) 25; b) 10; 10. 6. 50.
Raport procentual 1. a) 20; b) 10; c) 25; d) 400; e) 12; f) 1000; g) 833,(3). 2. a) 20; 35; 45. 3. a) 40; b) 233,(3); c) 400. 4. a) 40; b) 5; c) 16,(6). 5. a) 5; b)
1 12 ; c) . 6. a) 12; b) 20. 7. a) 20; b) 10. 2 34
4. Mãrimi direct proporþionale 12 12 1 12 12 1 ; d) 0,2; 0,6; 1. 5. a) 12; 21; 24; b) 24; 26; 28; c) ; 3 4 15 34 56 147 1 2 3 1 1 1 d) 4 4 . 6. a) 6; 15; 9; b) 21; 27; 30. 7. a) 4; 18; 36; b) 2 2 ; c) 0,8; 1,4; 1. 8. a) 36; 72; 108; 5 5 5 3 4 5 1 1 2 b) 12 32 ; c) 3; 6; 9; d) 6; 9; 15; e) 34 4 . 9. a) 48; 44; 28; b) 6; 10; 14; 18. 10. a) 20; b) 25. 11. a) 7; 11; 4 5 5 1 2 16; b) 14; 12; 17; c) 11; 22; 33. 12. 3; 6; 9; 18. 13. a) 6; 4; 9; b) 8; 6; 2. 14. 10; 15; 12. 15. 3 3 4 . 5 5 12 1 4 2 4 33 16. . 17. l = 12; L = 24. 18. 36 cm. 19. 4 cm, 6 cm, 8 cm. 20. a) ; b) 68,(8). 21. 72; 90; 360. 23 5 5 5 1 2 22. 34 4 . 23. 2; 10; 6. 24. 21; 15; 3. 3 3 4. a) 6; 9; 18; b) 32; 10; 20; c)
5. Mãrimi invers proporþionale 1 2 12 3 12 ; e) 80; 20; 10. 5. a) 2; 3; 4; b) 54; 18; 12; c) 123 3 4 . 6. 4; 3 1 1 2 12 1 1 12 3 2; 6; b) . 7. a) 12; 8; 6; b) 16; 32; 64; c) 12 2 3 . 8. a) 9; 18; 27; b) 45; 4 24 ; c) 12; 8; 6; d) 3 4 15 4 5 1 4. a) 15; 2; 3; b) 6; 3; 2; c) 5; 4; 2; d)
18; 10; c) 6; 4; 2. 9. a) 8; 12; 24; b) 66; 33; 22. 10. 4; 6; 8; b) 15; 6; 3; c) 4; 8; 16. 11. a) 50%; b) 10;
12 12 12 345 ; 5. 12. a) 12 cm; 18 cm; b) ; 6 cm. 13. a) 5; 1; 7; b) 8; 0; 20. 14. a) 12; 6; 2; b) 24; 8; . 3 3 6 12 1 1 12 12 1 15. 23 3 . 16. a) ; b) 36,(36)%. 17. 12; 24; 36; 48. 18. 10; 30; 20. 19. . 20. 8. 21. 153. 4 5 2 13 34 56
6. Regula de trei simplã 1. 24 lei. 2. 45 lei; 2 stilouri. 3. 9 robineþi; 6 ore. 4. 5 ore; 4 muncitori. 5. 10 metri; 7 fuste. 6. 3 ore. 7. 80 km/h. 8. 2 tractoare; 18 ore. 9. 8 ore; 20 piese. 10. 15 ore; 15 muncitori.
7. Elemente de organizare a datelor ºi probabilitãþilor 2. a) media 4 : 3,(3)%; media 5 : 10%; media 6: 13,(3)%; media 7 : 20%; media 8 : 23,(3)%; media 9 : 20%; media 10 : 10%. 3. a) 15%; b) grâu; 150 ha; orz 60 ha; orez 90 ha; porumb 60 ha; floarea soarelui 240 ha. 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 1 1 . 6. a) ; b) ; c) ; d) . 7. a) ; 4. a) ; b) ; c) ; d) ; e) . 5. a) ; b) ; c) ; d) 2 2 2 2 2 2 2 2 23 2 23 2 2 23 1 1 1 1 1 12 b) ; c) . 8. a) ; b) . 9. a) ; b) . 10. 10 albe, 20 negre. 2 2 22 22 12 31
I V. Numere întregi
{
139
1. Numãr întreg; reprezentare pe axã; opus; valoare absolutã
} { } {}
1 1 1 1. a) 234 4 2 5 ; b) 23 45 ; c) ; d) {1; 2}. 2. b) pozitive: +2; 3; negative: 2; 4; 1. 3. A = {1; 3 6 2 0; 1; 2}; B = {3; 2; 1}; C = {1; 2; 3; 4}; D = {4; 3; 2; 1; 2}. 4. 2; 100; 4; 5; 0; 7; 1. 5. |2| = 2; |25| = 25; |7| = 7; |21| = 21; |12| = 12; |16| = 16. 6. a) 6; b) 2; c) 16; d) 6; e) 14; f) 11. 7. A = {9; 9}; B = {1}; C = {5}; D = ∅; E = q. 8. A = {2; 1; 0; 1; 2}; B = {3; 2; 1; 1; 2; 3}; C = {2; 1; 1; 2}; D = {1; 2; 3; 4; 5; 6}; E = {6; 5; 4; 3; 2; 1}; F = {2; 1; 0; 1; 2}. 9. M = {2; 1; 0; 2; 4}; N = {0; 1; 2; 4}. 10. 23.
2. Compararea si ordonarea numerelor întregi 1. a) 2 > 3; b) +4 > +2; c) 0 > 5; d) 2 < +2; e) 8 > 8; f) |7| = |+7|; g) |+3| > |3|. 2. a) 3 < 2 < <1 <+1 < +2 < +3; b) 35 < 21 < 0 < 7 < 14; c) 24 < 5 < 3 < |7| < 24. 3. a) 10 > 5 > 0 > 4 > >5 > 6 > 7; b) 7 > 4 > 2 > 1> 3 > 7; c) 7 > |4| > 3 > 0 > |+3| > |+4| > 7. 4. a) 99; b) 9; c) 99; d) 98; e) 987. 5. a) 4; 3; 2; 1; b) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; c) 1; 0; 1; 2; d) 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3. 6. a) x > y; b) x > y; c) x = y.
3. Reprezentarea unui punct cu coordonate întregi într-un sistem de axe ortogonale
1. A D B = {(0; 2) ; (0; 1); (1; 2); (1; 1)}. 2. A (2; 1); B(1; 4); C(2; 2); D(5; 0); E(0; 4); F(4; 3); G(4; 2); H(3; 1). 3. b) G; H; c) E; F. 6. a) (1; 3); b) (1; 1); c) (3; 3); d) (5; 5). 7. b) pãtrat; c) 9 u.a. 8. b) dreptunghi; c) 8 u.a. 9. a) paralelogram; b) romb; c) trapez. 10. b) D(1; 1); c) 14 u.
4. Adunarea numerelor întregi 1. a) +5; b) +11; c) 8; d) 15; e) +9; f) 13; g) +20; h) 16; i) 51. 2. a) +5; b)+3; c) 8; d) 8; e) 11; f) +4; g) 24; h) +3. 3. a) 6; b) 8; c) 14; d) 19; e) 5; f) +50; g) 17; h) +2. 4. a) 3; b) 9; c) 3; d) 11; e) 24; f) 0. 5. a) 465; b) 1640; c) 50.
5. Scãderea numerelor întregi 1. a) 2; b) 11; c) 5; d) 8; e) 13; f) 8; g) 3; h) 17; i) 3; j) 0. 2. a 1; b) 8; c) 3; d) 13; e) 7; f) 0; g) 8; h) 26; i) 31. 3. a) 1; b) 7; c) 27; d) 26; e) 2; f) 6; g) 2; h) 24. 4. a) 8; b) 4; c) 8; d) 10; e) 18; f) 26; g) 16; h) 32; i) 49. 5. a) 1; b) 0; c) 30; d) 18; e) 13; f) 9. 6. a) 38; b) 54; c) 54; d) 54.
6. Înmulþirea numerelor întregi 1. a) 12; b) 8; c) 10; d) 16; e) 48; f) 20; g) 18; h) 0. 2. a) 6; b) 6; c) 60; d) 84; e) 12; f) 21; g) 100; h) 144. 3. a) 24; b) 8; c) 48; d) 36; e) 24; f) 36; g) 42; h) 24; i) 64; j) 1000; k) 81; l) 24. 4. a) 15; b) 6; c) 13; d) 14; e) 5; f) 7; g) 16; h) 12; i) 20; j) 9; k) 39; l) 12. 5. a) 10; b) 3; c) 9; d) 27; e) 10; f) 30; g) 16; h) 3. 6. a) 0; b) 0; c) 36; d) 8; e) 38; f) 40; g) 34; h) 7; i) 51; j) 59. 7. a) 14; b) 2; c) 75; d) 10; e) 4; f) 18; g) 28; h) 52; i) 68; j) 33. 8. a) 2; b) 5; c) 7; d) 132; e) 375; f) 19. 9. a) 294; b) 26; c) 15; d) 19. 10. a) 70; b) 12; c) 51.11. a) 12; b) 7; c) 20; d) 120. 12. a) 420; b) 5490.
140
7. Împãrþirea numerelor întregi 1. a) 2; b) 2; c) 5; d) 5; e) 2; f) 2; g) 9; h) 20. 2. a) 3; b) 3; c) 7; d) 15; e) 3; f) 6; g) 3; h) 18. 3. a) 3; b) 1; c) 50; d) 8; e) 2; f) 8; g) 16; h) 1. 4. a) 1; b) 4; c) 6; d) 2; e) 3; f) 24; g) 4. 5. a) 5; b) 19; c) 24; d) 1; e) 25; f) 13; g) 0. 6. a) 1; b) 4; c) 16; d) 47; e) 29; f) 3; g) 1; h) 4; i) 43. 7. a) 1; b) 4; c) 4. 8. a) 21; b) 21; c) 4.
8. Puterea unui numãr întreg cu exponent numãr natural 1. a) 16; b) 4; c) 27; d) 1; e) 1; f) 36; g) 125; h) 16; i) 81; j) 64. 2. a) 32; b) 9; c) 16; d) 25; e) 1; f) 49; g) 49; h) 81; i) 100; j) 64. 3. a) 15; b) 9; c) 0; d) 23; e) 0; f) 29; g) 93; h) 73. 4. a) 36; b) (4)5; c) 59; d) 28; e) 1011;f) 717; g) 827; h) 916; i) 715. 5. a) 101; b) 32; c) 61; d) 52; e) 78; f) 47; g) 258; h) 210; i) 31. 6. a) 98; b) 212; c) 415; d) 720; e) 26; f) 610; g) 327; h) 50. 7. a) 23 · 312; b) 140 · 250; c) 610 · (7)15; d) 414 · 521; e) 924 · 518; f) 212 · 324 · 512. 8. a) 16; b) 9; c) 5; d) 49; e) 1000; f) 16. 9. a) 4; b) 21; c) 5; d) 1; e) 6; f) 64. 10. a) 34; b) 27; c) 52; d) 103; e) 711; f) 317; g) 26; h) 512. 11. a) 18; b) 375; c) 245; d) 3; e) 7. 12. a) 1; b) +1; c) 1.
9. Ordinea efectuãrii operaþiilor ºi folosirea parantezelor 1. a) 5; b) 22; c) 3; d) 6; e) 5; f) 5; g) 4; h) 100; i) 4; j) 23. 2. a) 1; b) 1; c) 4; d) 10; e) 24; f) 5; g) 186. 3. a) 87; b) 35; c) 8; d) 120; e) 4; f) 3. 4. a) 6; b) 17; c) 44; d) 137; e) 8; f) 36.
10. Divizibilitatea în m 1. a) A; b) A; c) A; d) F; e) F; f) F; g) F; h) A. 2. a) {G1; G3; G5; G15}; b) {G1; G2; G4; G5; G10; G20}; c) {G1; G2; G3; G4; G6; G12}; d) {G1; G5; G25}; e) {G1; G2; G3; G4; G6; G8; G12; G24}. 3. a) {0; G2; G4...}; b) {0; G4; G8...}; c) {0; G5; G10...}; d){0; G6; G12...}; e) {0; G8; G16...}. 4. a) {G1; G2; G3}; b) {G1; G2}; c) ∅; d) {G1; G3}. 5. a) {0; G12; G24...}; b) {G12; G36; G60...}; c) ∅; d) {0; G7; G14; G21...}. 6. a) {2; 0; 2}; b) {3}; c) {0; G5}; d) {G6}. 7. a) {G1; G2; G3; G6}; b) {G1; G3}; c) {1; 2; 3; 4; 6; 12}; d) {1; 2; 5; 10}; e) {1; 3; 9}; f) {1; 2}. 8. A = {4; 0; 2; 6}; B = {13; 7; 5; 4; 3; 1; 2; 3; 5; 11}; C = {0; 1; 4}; D = {3; 9}; E = {1; 0; 1; 2}; F = {2; 0}; G = {1; 2}. 9. A = {3; 2; 0; 1}; B = {0; 2; 4}; C = {1; 1; 3; 5}; D = {0; 1; 3; 4; 6; 10}. 10. a) (0; 1); b) (2; 1); (0; 5); (4; 1); (2; 3); c) (3; 3); (5; 7); (1; 1); (9; 3); d) (1; 11); (3; 3); (2; 1). 11. a) 7(2 + 24 + ...+ 228)x7; b) 6(5 + 53 + ... + 549)x6; c) 2n · 3n+1 · 4x4; d) 3n · 5n+1 · 14x14.
11. Ecuaþii în m 2. a) 7; b) 5; c) 6; d) 7; e) 5; f) 4; g) 8; h) 2; i) 3; j) 5; k) 29; l) 4. 3. a) 3; b) 3; c) 5; d) 15; e) 2; f) 3; g) 4; h) 2; i) 6. 4. a) 8; b) 1; c) 20; d) 10; e) 0; f) 8; g) 500; h) 50; i) 18. 5. a) 1; b) 2; c) 3; d) 3; e) 2; f) 2; g) 0; h) 2; i) 6. 6. a) 3; b) 0; c) 0; d) 6; e) 2; f) 6; g) 1; h) 3; i) 1; j) 3; k) 2; l) 1. 7. a) 4; b) 6; c) 5; d) 4; e) 3; f) 4; g) 4; h) 2; i) 10; j) 2; k) 1. 8. a) 1; b) 5; c) 2; d) 4; e) 1; f) 3; g) 5; h) 1. 9. a) 7; b) 21; c) 7; d) 8; e) 3; f) 10. 10. a) {3; 5}; b) {2; 1}; c) {1}; d) {4}; e) {2; 4}; f) {6}; g) {2; 2}; h) ∅. 11. a) {1; 2}; b) {2; 2}; c) {2; 2}; d) {6; 3}; e) {3; 5}; f) {3; 3}; g) {7; 7}; h) {9; 5}. 12. a) {2; 2}; b) {3; 1}; c) {2; 4}.
141
12. Inecuaþii în m 2. a) {...; 4; 5}; b) {3; 4; ...}; c) {...; 3; 4}; d) {...; 6; 7}; e) {4; 3; ...}; f) q; g) {...; 4; 5}; h) {...; 8; 7}; i) {...; 4; 5}; j) {3; 2; ...}; k) {3; 4; ...}. 3. a) {...; 1; 2}; b) {2; 3; ...}; c) {...; 8; 7}; d) {3; 2;...}; e) {2; 1; ...}; f) {...; 2; 3}; g) {...; 6; 5} ; h) q; i) {9; 10;...}; j) {...; 10; 9}; k) m. 4. a) {...; 2; 3};
b) { ...; 0; 1}; c) {...; 4; 5}; d) q*; e) {...; 5; 4}; f) {...; 2; 3}; g) {...; 0; 1}; h) {...; 0; 1}; i) {...; 4; 5}. 5. a) {...; 4; 3}; b) {3; 2; ...}; c) {2; 1; ...}; d) {...; 14; 13}; e) {...; 3; 2}; f) {...; 6; 5}; g) {...; 3; 4}; h) {...; 11; 12}; i) {...; 13; 12}; j) {2; 1; ...}. 6. a) {0}; b) {...; 5; 4}; c) {1}; d) {...; 13; 12}; e) m; f) q*; g) {19; 20; ...}. 7. a) {2; 1; 0; 1; 2}; b) {2; 1; 0; 1; 2}; c) {0; 1; 2}; d) {5; ...; 1};
e) {3; 2; ...; 3}; f) {2; 1; ...; 2}; g) {1; 0; 1; 2; 3}; h) {1; 0; 1; 2}; i) {0; 1; 2}; j) {2; 1; 0; 1}; k) {2; 1; 0}; l) {4; 3; 2}. 8. A = {1; 0; 1}; B = {1; 2; 3; 4}; C = {2; 1; 0; 1; 2}; D = {1}; E = {0; 1; 2}; F = {4; 3; 2; 1; 1; 2; 3; 4}.
13. Probleme care se rezolvã cu ajutorul ecuaþiilor 1. a) 7; b) 1; c) 4; d) 75. 2. a) 7; b) 4; c) 2; d) 12. 3. a) 3; 5; b) 11; 1; c) 2; 18. 4. a) 1; 2; 6; b) 27; 26; 24; c) 20; 6; 5. 5. 2. 6. 2; 5. 7. 1. 8. 2; 1; 0; 1. 9. 2, 3; ...; 8.
142
Geometrie I. Recapitulare ºi completãri
2. a) 10,8 cm; 7,29 cm2; b) 20,4 cm; 22,4 cm2. 3. a) 36 cm; b) 59 cm; c) 25 cm. 4. a) 18,0625 cm2; b) 81,92 cm2. 5. a) 20 cm; b) 24 cm; 24 cm; 12 cm; c) 15 cm; 22 cm; 23 cm. 6. a) 24 cm; b) 180 cm. 7. a) piramidã triunghiularã; b) cub; c) cilindru; d) paralelipiped dreptunghic; e) con; f) piramidã patrulaterã. 8. a) 2352 cm3; b) 8640 cm3. 9. a) 40,96 cm3; b) 125 cm3. 10. a) 48 cm; b) 3720 cm. 11. a) 6 cm; b) 54 cm. 12. 1280 cm3. 13. 729 cm3. 14. 12 cm.
II. Dreapta 1. a)
; b)
; c)
2. a)
; b)
; c)
3. a)
; b)
; c)
4. a)
5. a) 6. a)
, AC, BD, AB, AD, BC, CD; b)
; b)
; c)
; d)
, 5 cm; b)
, MN = 2,5 cm;
c) , MN = 3,5 cm. 7. AB + BC = AC = 12 cm. a) AB = 6 cm; b) 3 cm; c) 4 cm; d) 7 cm; e) 10 cm. 8. a)
, AB = 4 cm; b) AC = AB + BC ⇒ 2 · DB + 8 = 4 · DB ⇒ DB = 4 cm
⇒ AB = 8 cm. c) 24 cm; d) 14 cm. 9. a) 6,5 cm; b) 2 cm; c) 4,5 cm. 10. a) 25,2 cm; b) 5,4 cm. 11. a) AD + + BC = AB + 2BC + CD = 7 cm + 11 cm = 18 cm. b) CD AB = 11 cm 7 cm = 4 cm. 12.
a) 5,25 cm; b) 3,75 cm.
13. AB = 1 cm, BC = 2 cm; CD = 3 cm, DE = 6 cm, EF = 18 cm. a) 2 cm; b) 5 cm; c) 4 cm; d) 10,5 cm. 14. a) b) 15.
12 = 1 . 34
1. a)
12 1 32 = 31 = 34 12 + 32 1 12 + 13 1 12 + 1 14 = = = 24 ; ; 2 2 1 1 1 ( 12 13 ) 13 = 2 14 2 13 = 34 . , 12 + 34 = 31 = 34 ; 23 13 = 1 1 2 2 2 ,
III. Unghiuri m(rABD) = m(rDBC) = 90°; b) 55°; 125°; c) 36°; 144°; d) 20°; 160°. 2. a)
m(rAOC) = m(rCOD) = m(rBOD) = 60°; b) 120°.
143 3. 135°. 4.
6. a)
7.
m(rPBM) = 170°. 5.
m(rAOB) = 67°30′; m(rA′OB) = 112°30′.
m(rAOC) = 25°; b)
m(rAOC) = 125°.
1 (1425 ) = 1 (14 23 ) = 23° ;
m(rAOC)= 94°2′. 8. a)
b) 48°30′; c) 56°18′30′′; d) 66°21′40′′. 9.
10.
b)
m(rAOB)= 116°; m(rBOC) = 58°; m(rBOD)= 29°.
m(rAOB)= 47°. 11. a)
m(rAOB) = 62°; m(rBOC) = 46°; c)
12. a) 45°; b) 90°. 13. a)
c)
m(rAOB) = m(rBOC) = 54°;
m(rAOB) = 40°; m(rBOC) = 50°.
m(rAOB) = 24°; b) m(rBOC) = 66°; 14. a) 90°; b)
m(rAOB) = 18°; m(rBOC) = 90°.
m(rAOB) = 36°; m(rBOC) = 54°; m(rAOB) = 60°; m(rBOC) = = 120°; c) 80°; 100°.
15. a) 29°; 61°; b) 74°; 106°. 16. a) 80°; b) 40°. 17. a) 90°; b) 45°; 45°; 135°; 135°; c)
m(rAOD) = m(rBOC)= 53°; m(rAOB) = m(rCOD) = 127°. d) 73°; 107°.
18. a) 40°; b) 110°. 19. a) 120°; b) 90°; c) 72°; d) 60°; e) 24°. 20. a) 119°; 120°; 121°; b) 70°; 71°; 72°; 73°; 74°; c) 36°; 37°, ..., 44°. 21. a)
m(rAOB) = 120°; m(rAOC) = 80°; m(rBOC)
= 160°; b) 75°; 150°; 135°; c) 110°; 120°; 130°; d) 90°; 120°; 150°.
144 22. a)
m(rAOB) = 90°; m(rBOC) = 120°; m(rCOD) = 30°; m(rAOD) = = 120°; b) 180°.
23. a) 36°; 72°; 108°; 144°; b) 87°.
IV. Congruenþa triunghiurilor 5. a) 15 cm; 20 cm; 25 cm; b) 16 cm; 20 cm; 24 cm; c) 14 cm; 20 cm; 26 cm. 6. a) 16 cm; 32 cm; 32 cm; b) 10 cm; 35 cm; 35 cm. 7. a)
8.
∆ACB \ ∆ADB (cazul LUL) ⇒ [BC] \ [BD]; rABC \ rABD; rACB \ rADB ; b) ∆ACB \ ∆BDA (cazul LUL) ⇒ [BC] \ [AD]; rABC \ rBAD; rACB \ rBDA .
a) ∆ABN \ ∆ACM (cazul LUL); b) Cazul LLL. 9.
m(rXOY) =
= m(rYOZ) = m(rZOX) = 120°; ∆AOB \ ∆BOC \ ∆COA (cazul LUL). 10.
∆AOC \ ∆BOD; ∆AOD \ ∆BOC (cazul LUL).
11. a) ∆ABE \ ∆ACD (cazul ULU); b) ∆BDC \ ∆CEB (cazul LLL).
12.
∆ABC \ ∆ADE (cazul LUL). 13. ∆ABP \ ∆ACP (cazul LLL) ⇒ rBAP \rCAP. Se demonstreazã cã: ∆ABM \ ∆ACM (cazul LUL). 14.
15.
a) În ambele situaþii se demonstreazã cã: ∆PAB \ ∆PAC (cazul LLL).
a) Cazul ULU; b) ∆AOD \ ∆BOD (cazul LUL).
16. a) Cazul ULU; b) Cazul LLL; c) ∆BOC \ ∆DOA (cazul ULU) sau: ∆AOB \ ∆COD (cazul ULU). 17.
a) Cazul LUL; 18. b) Cazul LLL; c) ∆AOB \ ∆COD.
a) Cazul LLL; b) ∆ACB \ ∆BDA; c) ∆APO \ ∆BQO.
145 19.
21.
a) ∆CAP \ ∆CMP; b) ∆AQC \ ∆MQC.
20.
a) ∆ABE \ ∆ABD; b) ∆ECM \ ∆DCM.
a) ∆ABE \ ∆ACD; b) ∆ABD \ ∆ACE; c) ∆ABP \ ∆ACP.
22. a) ∆MBC \ ∆NBC; b) ∆MBD \ ∆NBD; c) ∆MOA \ ∆NOA.
V. Perpendicularitate 1 (1123 ) 1 (1423 ) 1 (1124 ) 234° 1. a) m(rAOC) = 360° 135° 135° = 90°; b) , deci = = = 5 3
avem m(rAOC) = 90°; c) = 90°. 3.
5 54
5 678
6 2
1 (1123 ) = 1 (1124 ) = 1 (1423 ) ; 1 (1123 ) = 234° , deci m(rAOC)= 2 56 2 3 4 1 (1526 ) = 1 (16123 ) + 1 (16423 ) = 2346 ° = 54° .
5. a) ∆ABC \ ∆DCB (cazul CC); b) Fie BE u AC ºi CF u BD; ∆BCF \ ∆CBE ⇒ BE = CF (cazul I.U.). 6. a) ∆MNP \ ∆QPN (cazul CC); b) Dacã NA u MP ºi PB u NQ, atunci ∆ANP \ ∆BPN (cazul I.U.). 7. a) ∆BAC \ ∆DAC (cazul I.C.); b) Punctele A ºi C sunt egal depãrtate de capetele segmentului. 8. a) ∆ABD \ ∆ACD (LLL) ⇒ rBAD \rCAD. 9. a) ∆AMN \ ∆BQP (cazul CC); b) ∆ANP \ ∆BPN (cazul LUL); c) ∆CMP\ ∆PQB (cazul CC). 10. a) ∆ABD \ ∆ACD (cazul I.C.); b) AB = AC; DB = DC ⇒ AD mediatoarea lui [BC]. 11. ∆ABD \ ∆A′B ′D ′ (cazul I.U.) ⇒ AD = A′D ′, unde D ºi D ′ reprezintã picioarele perpendicularelor pe BC, respectiv B ′C ′. 12. a) ∆ABO \ ∆ADO \ ∆CBO \ ∆CDO (cazul C.C.); b) vezi problema 11. 13. ∆OAD \ ∆OBC. 14. AP + PB = AC. 15. PPBC = PPAB + BC. 16. a) Cazul LLL; b) AB = AC ºi OB = OC ⇒ punctele A ºi O se aflã pe mediatoarea [BC]. 17. ∆ADI \ ∆AEI (I.C.) ⇒ AD = AE. Cum BD = EC, avem AB = AC. 18. a) Punctele P ºi Q sunt egal depãrtate faþã de B ºi C. b) ∆PBQ \ ∆PCQ (LLL); c) ∆ABQ \ ∆DCQ (ULU); ∆PAQ \ ∆PDQ (LLL). 19. a) Cazul LUL; b) Cazul LUU; c) ∆APD \ ∆ACD (LLL.).
VI. Paralelism 1. a) 50°; 130°; b) 42°; 138°; c) 108°; 72°; d) 82°; 98°; e) 60°; 120°; f) 47°; 133°; g) 76°; 104°; h) 30°; 150°. 2. Toate cele opt unghiuri au mãsura de 90°. 3. a) Fie DC O AB = {O}. ∆AOD \ ∆BOC (LUL) ⇒ rADO \rBCO ⇒ AD || BC. 4. AB u BC ºi DC u BC ⇒ AB || DC ⇒ rBAC \rDCA; ∆ABC \ ∆CDA (LUL) ⇒ rACB \rDAC. 5. a) ∆MAB \ ∆NBC ⇒ rMAB \rNBC ⇒ MA || NB. b) MA || NB ⇒ rAMB \rMBN; ∆MAB \ ∆BNM (LUL) ⇒ rABM \rBMN. 6. a) ∆MAB \ ∆NDC ⇒ rMBA \rNCD ⇒ MB || CN; b) m(rMBC) = 180° m(rMAB); m(rNBC) = 180° m(rNCD); rMAB \rNCD ⇒ rMBC \rNCB ⇒ MC || BN. c) Se demonstreazã cã ∆MBD \ ∆NCA.
146 7. a)
1+1+ 2 ⎫ = 12°⎪ 7 ⎬ ⇒ 1 = 32°4 2 = 562° ; b) y = x + x + x; x + y = 180° ⇒ 1 + 2 = 512° ⎪⎭
x = 45°, y = 135°. 8. a) Cazul ULU; b) rDAB \rABC ⇒ AD || BC; ∆AOD \ ∆BOC (ULU), unde AB O CD = {O}. 9. Fie a || b, c || d, cu a O c = {A}, a O d = {D}, b O c = {B}, b O d = {C}. Avem ∆ABD \ ∆CDB. 10. Vezi problema 9. 11. a) ∆MAD \ ∆MBC; b) Se demonstreazã cã AD || BC ºi AE || BC. 12. a) ∆BAC ′ \ ∆ABC ⇒ rBAC ′ \rABC ⇒ AC ′ || BC. Analog: AB ′ || BC. b) Vezi problema 10. c) ∆A′AC ′ \ ∆A′AB ′ (LLL). 13. Fie AA′ bisectoarea unghiului rBAC ºi CC ′ bisectoarea unghiului rACD. Se demonstreazã cã rA′AC \rC ′CA. 14. a) ∆ACB \ ∆BDC; b) (AP ºi (CP sunt bisectoarele unghiurilor rBAC, respectiv rACD. Construim PQ || f. Avem: rPAB \rAPQ; rAPQ \rQAP ⇒ rQCP \rQAP. Analog rQCP \rQPC. Cum m(rCAB) + m(rACD) = 180°, avem m(rPAC) + + m(rPCA) = m(rQPA) + m(rQPC) = 90°.
VII. Proprietãþile triunghiurilor 1. a) 72°; b) 60°; c) 82°; d) 90°. 2. a) 55°; 45°; 80°; b) 18°; 54°; 108°; c) 80°; 40°; 60°. 3. a) 50°; 60°; 70°; b) 36°; 90°; 54°; c) 90°; 60°; 30°; d) 108°; 48°; 24°. 4. a) 59°; 60°; 61°; b) 58°; 60°; 62°. 5. a) 50°; 50°; 80°; b) 110°; 35°; 35°; c) 140°; 20°; 20°. 6. a) 45°; b) 30°; 60°; c) 36°; 54°; d) 40°; 50°; e) 31°; 59°; f) 24°; 66°; g) 37°30′; 52°30′. 7. a) 133°; 119°; 108°; b) 145°; 145°; 70°; c) 120°; d) 135°; 90°; e) 120° ; 135°; 105°. 8. a) 36°; 52°; 92°; b) 38°; 52°; 90°. 9. a) 53°; 37°; 90°; b) 53°; 53°; 74°. 10. a) m(rBHC) = 42°; b) m(rBHC) = 68°. 11. a) m(rABC) + m(rACB) = 180° 54° = 126°; m(rIBC) + m(rICB) = 126° : 2 = 63°; m(rBIC) = = 180° 63° = 117°; b) 135°; c) 157°. 12. 120°; 30°; 30°. 13. 120°; 30°; 30°. 14. a) 12 cm; b) 15 cm;
1 12 ⋅ 34 1 3 52 ⋅ 34 . 16. a) Fie AD u BC, D i BC; din 3123 = ºi 143 = 2 2 2 12 ⋅ 34 1 1 12 ⋅ 56 ºi BM = CM rezultã AABM = AACM ; b) Fie BE u AM, CF u AM; din 1123 = 143 = 2 2 AABM = AACM rezultã BE = CF. c) 4 cm; 6 cm. 15.
1 2 1 1 1 1 17. a) AABM = 72 cm2; b) 1123 = ⋅ 1413 = ⋅ 23 = 34567 ; c) 1123 = ⋅ 1143 = ⋅ 233 = 34567 . 8 8 8 8 18. a) 30°; 60°; 90°. b) 3. 19. a) 68°; 68°; 44°; b) 62°; 62°; 56°; c) 56°; 56°; 68°. 20. Se demonstreazã cã: ∆ADE \ ∆BFD \ ∆CEF. 21. a) Fie DE O AC = {F}. DE este medianã ºi înãlþime în ∆DAC ⇒ DA = DC; m(rDAC) = 60° ⇒ ∆DAC echilateral. b) m(rBCD) = 90°; c) EF medianã ºi înãlþime în ∆AEC. 22. a) ∆AEC ºi ∆ABD sunt isoscele ⇒ AE = AC ºi AB = AD. b) m(rEDB) = m(rBDQ) = 20°; m(rDEC)= = m(rQEC) = 20°; c) ∆AEC isoscel ⇒ m(rEAB) = m(rBAC) = 40°; m(rAEC) = 50°; m(rAEQ) = 70°. Fie DB O AC = {N}. În ∆APN avem: m(rAPN) = 180° 90° 20° = 70°. d) punctele P ºi Q se aflã pe bisectoarea rBAC; e) m(rBCE) = m(rCED) = 20°. 23. a) Fie DQ O AB = {E} ºi DP O AC = {F}; ∆CDF \ ∆DBE (I.U.) ⇒ BE = DF; ∆DBA isoscel ⇒ BE = EA; ∆AFP \ ∆QEA (CC) ⇒ m(rEAQ) + + m(rFAP) = 90°; m(rQAP) = 90° + 90° = 180°; b) ∆AEQ \ ∆BED (C.C.) ⇒ m(rAQE) = m(rBDE); c) AQ = BD ºi AP = DC; d) CD = CP ºi BD = BQ. 1 24. a) m(rEBD) = 30°; m(rCDB) = 60°; m(rCED) = 60°; b) . 25. m(rACB) = 60°, m(rOAB) = 30°; 2 m(rIAO) = 45° 30° = 15°. ∆AOC echilateral, (CI bisectoare ⇒ IA = IO ⇒ ∆IAO isoscel. Mãsurile
147 unghiurilor ∆IAO sunt: 15°; 15°; 150°. 26. Fie m(rABC) = 15° ºi AD u BC. Notãm cu M mijlocul [BC].
1 În ∆ADM avem: m(rAMD) = 30° ⇒ 12 = ⋅ 13 . Raportul 2 este egal cu 4. 27. a) ∆DBC \ ∆ECB; b) Se demonstreazã cã PB = PC. Punctele A ºi P sunt egal depãrtate faþã de punctele B ºi C. 28. Se demonstreazã cã triunghiurile APB ºi AQC sunt isoscele. 29. a) ∆ABP este isoscel cu un unghi de 60°; b) Cazul LUL; c) BQ = BC ºi m(rCBQ) = 60°. 30. Construim DF || AB. Deoarece ∆DFC este isoscel, avem DC = DF = BE. Demonstrãm cã: ∆BEP \ ∆FDP ºi deci AP este medianã în ∆AED.
148
Teste pentru pregãtirea concursurilor ºi olimpiadelor ºcolare Testul 1
1. a) Din faptul cã n + 1 ºi 2n + 3 nu sunt divizibile cu 3 deducem cã n = 3k + 1, k iq. Deci 4n + 5 = 4(3k + 1) + 5 = 12k + 9 = 3(4k + 3). b) Numãrul A se scrie astfel: A = (101 + 102 + ... + 10n n) + (9n2 18n) = (101 1) + (102 1) + ... + (10n 1) + 9n(n 2) = 9 + 99 + ... + 222 + 9n(n 2) = 9 · [1+
12324 + 11 + ... + 1 2324 + n(n 2)] = 9 · [B + n(n 2)], unde B = 1 + 11 + ... + 12324 . Vom arãta cã B + n(n 2) 1 123456
222
222
1 123456
1 123456
este divizibil cu 3. Într-adevãr, dacã notãm cu S(B) suma cifrelor lui B, atunci S(B) = 1 · 1 + 2 · 1 + ... + n · 1 = + 1) ⋅ 1 1 ( 1 + ) 21 ( 1 3 2 ) 1 ( 1 + + 21 3 4 ) 51 ( 1 3 ) , iar 2 ( 3 ) + 1 ( 1 3 2 ) = . Deci B + n(n + = = 2 2 2 2 2 2) = 3k, k iq ºi A = 9 · 3k = 27k. c) Fie S1, S2, S3, ..., S8 sumele corespunzãtoare celor 8 vârfuri ale cubului. =
(
Dacã S1 = S2 = ... = S8 = k, atunci S1 + S2 + ... + S8 = 8k. Dar S1 + S2 + ... + S8 = 3(1 + 2 + ... + 12) = = 3⋅
(1 + 12 ) ⋅ 12 = 3 ⋅ 13 ⋅ 4 = 2 ⋅ 31 ⋅ 13 , care nu este multiplu al lui 8.
2 2. a) a = 1; b) Numerele x ºi y sunt simultan naturale dacã ºi numai dacã a = 7k + 1, k iq.
3. Suma numerelor scrise pe tablã este: 1 = 1 + 5 + 6666 + 1234 =
(1 + 1234 ) ⋅ 1234 = 994 · 1987 = 7 · 142 ·
5 ·1987, adicã S este divizibilã cu 7 ºi vom arãta cã S rãmâne divizibilã cu 7 dupã fiecare pas fãcut. Într-adevãr,
dacã x ºi y sunt numerele ºterse ºi r restul împãrþirii lui x + y la 7, atunci avem: x + y = 7k + r, 0 T r < 7. Noua sumã S1 = S (x + y) + r = S (7k + r) + r = S 7k. Numãrul rãmas pe tablã: 987 = 7 · 141 este divizibil cu 7 ºi nu poate fi rest al împãrþirii cu 7. Deci cel de-al doilea numãr rãmas este un asemenea rest ºi cum acest rest trebuie sã fie divizibil cu 7, înseamnã cã el este zero. 4. Din aproape în aproape gãsim cã: 12 = 1 ⋅ 132 12 2 = 1 ⋅ 12 = 1 ⋅ 1 ⋅ 13 = 12 ⋅ 13 . Deci 3 3 3 3 3 1 1 12 2 = 2 ⋅ 13 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 4 . 2 2
Testul 2 1. a) a = 2b + 2, b U 3; b = 2c + 2, c U 3; c = 2d + 2, d U 3. Deci a = 2(2c + 2) + 2 = 4c + 6 = 4(2d + 2)+ + 6 = 8d + 14. Dar d U 3 ⇒ 8d + 14 U 8 · 3 + 14 = 38 ⇒ a U 38. b) S = a + b + c + d = (8d + 14) + + (4d + 6) + (2d + 2) + d = 15d + 22, iar S + 3 = 15d + 25 = 5(3d + 5). 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 2 1 obþinem: 1 < 34 ⋅ 31 = 34 2 31 , 1 < 31 ⋅ 33 = 31 2 33 , 2. Folosind egalitatea 31 33 1 ( 1 + 1) 1 1 + 1
1 < 1 = 1 2 1 ⇒ 1 < 1 2 1 + 1 2 1 + 333 + 1 2 1 = 1 2 1 1 87 81 81 88 45 67 87 67 . Deci, 1 < 62 = 23245 (1). 671 45 ⋅ 67 45 67 1 1 1 1 1 < 1 = 1 2 1 1 < 1 = 1 2 1 ⇒1> 1 2 1 + , ..., Din 1 > 31 ⋅ 33 = 31 2 33 , 51 55 31 331 33 ⋅ 34 33 34 341 34 ⋅ 31 34 31 1 1 1 1 1 1 + 2 + 333 + 2 = 2 . Deci 1 > 12 > 12 = 32 = 32 > 32 = 3 4 adicã 1 > 1 = 44 45 67 61 41 61 13⋅ 53 11 ⋅ 53 33⋅ 53 563 572 57 23 = 0,02173... (2). ...,
a) Din (1) ºi (2) rezultã cã primele douã zecimale ale lui a sunt 0 ºi 2, adicã a = 0,02 ... 1 < 1 = 1 2 1 3 1 < 1 = 1 2 1 3 4443 1 < 1 = 1 2 1 ⇒ 1 < 1 2 1 + 1 2 1 + b) 5 16 16 11 161 5 ⋅ 16 5 16 111 16 ⋅ 11 16 11 151 17 ⋅ 15 17 15
149 +333 + 1 4 1 = 1 4 1 = 12 . Deci 1 < 12 < 12 = 3 = 3 < 3 = 1 . 15 16 6 16 6 ⋅ 16 4 ⋅ 14 4 ⋅ 15 4 ⋅ 4 51 52 16 Din
1 > 1 = 1 2 1 3 1 > 1 = 1 2 1 3 4443 1 > 1 = 1 2 1 ⇒ 1 > 1 2 1 + 1 2 15 11 11 151 15 ⋅ 11 15 11 111 11 ⋅ 16 11 16 171 17 ⋅ 65 17 65
2 1 + 333 + 1 2 1 = 1 2 1 = 1 . Deci 1 > 1 ⇔ 1 < 23 ºi cum 1 < 1 ⇔ 1 > 12 rezultã 12 < 1 < 34 . 14 15 46 16 46 46 1 23 1 12 1 12 < 1 < 34 ⇒ 5 < 1 < 1 ⇒ 5 < 5 < 1 < 1 1 <1< 1 1 Avem astfel: ºi 12 < < 34 , deci rezultã 62 2 64 37 2 3 36 37 2 3 23 24 1 ⇒1< 1< 1. 2 2 3 1 3. a) 231 = 1 , 21 2 2 = 12 1 2221 213 2 24 = 124 ; b) Dacã facem x = 1, atunci avem: AM1 + M1M2 + ... + 1 3 3 1 + 1 + 444 + 1 + 1 = 1 ⇒ 1 + 1 + 444 + 1 = 1 3 1 = + M19M20 + M20B = 1. Înlocuind obþinem: 2 2 2 2 22 22 22 22 12 − 2 = . 12 4. Suma numerelor din douã vârfuri opuse ale cubului este egalã cu suma numerelor înscrise pe cele 6 feþe ale cubului. Fie n + 1, n + 2, ..., n + 6 cele 6 numere naturale consecutive înscrise pe feþele cubului. Avem + 2) ⋅ 2 = 3445 ; 3 6n = 2007 21; 6n = 1986; n = 331. Deci cele 6 numere sunt: 331, 332, 333, 334, 335, 336.
deci: (n + 1) + (n + 2) + ... + (n + 6) = 2007; 6n + (1 + 2 + ...+ 6) = 2007; 2 1 +
(
Testul 3 1. Dacã p U 2, atunci: x = 2 · (2
m + p 1
·n+2
n + p 1
· 3n + p · m + 3). ªi cum m + p 1 U 1, n + p 1 U 1,
rezultã cã numãrul din parantezã este impar ºi x nu poate fi pãtrat perfect. Cum p ≠ 0, rãmâne sã analizãm cazul p = 1. În acest caz, obþinem: x = 2 · (2m · n + 2n · 3n+1 · m + 3) ºi pentru ca paranteza sã fie numãr par este necesar ca m = 0 sau n = 0 (dacã m ºi n sunt simultan nule sau simultan nenule, atunci numãrul din parantezã este impar). Dacã m = 0, atunci x = 2 · (20 · n + 2n · 3n+1 · 0 + 3) = 2(n + 3) ºi x este pãtrat perfect numai dacã n + 3 = 2k2, adicã n = 2k2 3, k iq ºi k U 2. În acest caz obþinem tripletele: (0; 2k2 3; 1) ºi x = (2k)2, k iq, k U 2. Dacã n = 0, atunci: x = 2(2m · 0 + 20 · 31 · m + 3) = 2(3m + 3) = 6(m + 1) ºi x este pãtrat perfect numai dacã m + 1 = 6t2, adicã m = 6t2 1, t iq*. În acest caz obþinem (6t2 1, 0, 1) ºi x = (6t)2, t iq*.
1 + 1 1 1 1 1 + 222 + = + + 222 + = 1+ 3 1+ 3 + 4 1 + 3 + 4 + 222 + 3556 (1 + 3 ) ⋅ 3 (1 + 4) ⋅ 4 (1 + 3556) ⋅ 3556 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 2⋅ + + 333 = 2 ⋅ 4 + 4 + 333 + 4 = 2⋅ 4 1 = 2 ⋅ 5 5⋅ 6 2778 ⋅ 2779 2 5 5 6 2778 2779 2 2779
2. a)
(
) (
) (
)
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 3 6 7 1223 4 1 1225 1 2 3 4553 4557 = 1⋅ = ; b) ⎢ 1557 8 + + + 999 + ⎥ 2 + 3 + 6 + 999 + 4556 = 1 ⋅ 1223 1223 2 3 6 4556 1222 232222 4 ⎥ 1222 232222 4 ⎢ ⎢⎣ ⎥⎦ 1223 1223
(
) (
1234256
( )( )( )
(
) (
)
1234256
) (
)
= ⎡⎢ 1 8 1 + 1 8 2 + 1 8 3 + 999 + 1 8 4553 ⎤⎥ 3 + 6 + 7 + 999 + 4557 = 3 + 6 + 7 + 999 + 4557
2 3 6 4556 ⎦ 2 3 6 4556 2 3 6 4556 ⎣
150
(
)
(12 + 1) + ( 32 + 1) + 444 + ( 52 + 1 ) = 1 6 1 + 2 + 3 + 777 + 4553 = 4 ; c) 26 (11 ) + 26 ( 31 ) + 444 + 26 ( 51 ) = 1 ⇔ 8 1 2 4552 55 ⇔ ( 2 + 32 + 444 + 52 ) + 51 = 55 1 ⇔ 2 ( + 3 + 444 + 5 ) = 52 1 ⇔ + 3 + 444 + 5 = 51 ⇔ 67 = 51 ⇔ a = 5 ºi a2 = 52 = 25. 3. Aºezarea nu este posibilã pentru cã, pe de o parte numerele situate în vârfurile cubului trebuie sã fie toate impare sau toate pare, iar pe de altã parte 1 ºi 20 nu pot fi aºezate decât în vârfurile cubului, ele nefiind medii aritmetice de douã numere din mulþimea {1, 2, 3, ..., 20}. 4. Calculãm: m(rxOz) = m(rxOy) m(ryOz) = 100° 75° = 25°. m(ryOt) = m(rxOy) m(rxOt) = 121123 3 , = 100° 75° = 25°. Fie [Ou bisectoarea lui rtOz. m(rxOu) = m(rxOz) + m(rzOu) = 25° + 4 121123 3 ⇒ m(rxOu) = m(ryOu) ⇒ [Ou este bisectoarea m(ryOu) = m(ryOt) + m(rtOu) = 25° + 4 unghiului rxOy.
Testul 4
1 = 1 2 + 2⎫ 33 + 4 1. Avem: . Dar x iq ºi deci y = 2k + 1, k iq. ⎬ ⇒ 12 + 2 = 5 3 + 6 ⇒ 72 = 33 + 4 ⇒ 2 = 7 1 = 5 3 + 6⎭
1 ( 2 + 3) + 3 = 1 + 24 ∈ 1 . a) Fie d iq astfel încât d | x ºi d | y, adicã: d | 2k + 1 ºi 2 d | 3k + 2, de unde d | 2(3k + 2) 3(2k + 1) = (6k + 4) (6k + 3) = 1. Deci d |1 ⇒ d = 1, adicã x ºi y sunt
Obþinem: 2 =
prime între ele. b) n = 6 · x + 5 = 6 · (3k + 2) + 5 = 18k + 17. Deci restul împãrþirii lui n la 18 este 17. 2. a) a = 6; b = 3; c = 9. b) A are 2006 termeni, iar B are 2007 termeni. În acest fel avem:
( ) ( )
1 ⎞ = 1 + 1 1 2 1 + 1 1 2 1 + 333 + 2 ⎟ 1⋅ 4 ⎠ ⎝ 5 4⋅5⎠ ⎝ 46681 4667 ⋅ 4668 ⎠ 1 4 4 1 5 5 4 1 2 1 = 1 2 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 333 + 1 ⋅ 1 + 1 4556 4556 4557 4 4 ⋅1 8 8 ⋅ 4 4556 4556 ⋅ 4557 < 1. 2
2 = 11 + ⎛⎜ 11 2 1 ⎞⎟ + ⎛⎜ 11 2 1 ⎞⎟ + 333 + ⎛⎜ 1
(
1
⎝4
) (
)
3. Avem ax = by = cz = t, t i{+*. Rezultã pe rând: 2 =
5
1
3=
6
1
4=
7
1 1 1 . ªi cum 11 + 21 + 3 1 = 1 , 2 3 1
1 1 1 1 1 11 21 31 11 obþinem: 2 1 ⋅ 1 + 2 1 ⋅ 31 + 2 1 ⋅ 31 = 1 , adicã: 1 + 1 + 1 = 1 . 3 1 2 4 2 1 2 3 2 4. Unghiul format de bisectoarele a douã dintre unghiurile rAOB, rAOC, rBOC are mãsura egalã cu
jumãtate din mãsura celui de al treilea unghi. Deci, în acest caz, unghiul cerut are mãsura egalã cu jumãtate din mãsura lui rBOC, adicã
12° = 34° . 5
Testul 5 1. a) S2008 = (3 + 3 ) + (3 + 3 ) + ... + (3 1
2
3
4
2007
+ 32008) = (31 + 32) + 32(31 + 32) + ... + 32006 · (31 + 32) =
=12(1 + 32 + ... + 32006). b) Dacã n = 2k + 1, k iq, atunci obþinem: S2k+1 = 31 + (32 + 33) + (34 + 35) + ... + (32k + 32k+1) = 3 + 3·(31 + 32) + 33 · (31 + 32) + ... + 32k 1 · (31 + 32) = 3 + 12(3 + 33 + ... + 32k1). 11 +1 2 3 2 3 = 11 +1 2 3 2 4 = 11 +1 2 1 ; Sn = 120 ⇔ 3n+1 3 = 240 ⇔ 3n+1 = 243 ⇔ 3n+1 = 35 ⇔ c) 11 = 123 4 4 n + 1 = 5 ⇔ n = 4. 2. a) Presupunem cã existã p ºi q numere prime astfel încât 22008 + 1 = p + q. Cum p + q este impar, înseamnã cã unul dintre numerele prime p sau q este egal cu 2. Fie p = 2; atunci q + 1 = 22008 ⇒ q = 22008 1 = = 2(4)502 1 = 16502 1. Numãrul q are ultima cifrã 5 ºi este mai mare ca 5, deci nu este prim. Presupunerea facutã este falsã. Deci 22008 + 1 nu poate fi scris ca sumã de douã numere prime.
151 b) Avem: a > 0; b > 0; c > 0. Atunci: Deci
1 + 2 + 3 > 1 2 3 + + = 1+ 2+ 3 =1. 1+ 2 2+3 3+ 1 1+2+3 1+2+3 1+ 2+3 1+2+3
1 + 2 + 3 >1 1 + 2 + 3 = ( 1 + 2) 1 2 + ( 2 + 3 ) 1 3 + (1). Pe de altã parte: 1+2 2+3 3+1 1+2 2+3 3+1 1+2 2+3
(2 1 2 +3 3 ) + (2 1 3 +1 1 ) + (21 2 +2 1 ) = 3 1 ( 2 +3 3 + 3 +1 1 + 2 +2 1 ) (2). Dar: 1 + 2 + 3 > 1 ⇒ 2 ( 1 + 2 + 3 ) < 21 ⇒ 3 2 ( 1 + 2 + 3 ) < 3 2 1 = 4 (3). 3+ 1 1+2 3+2 3+ 1 1+2 3+2 3+1 1+2 3+2 +
( 1 + 2) 1 2 = 1+2
Din (2) ºi (3) rezultã cã:
1 + 2 + 3 <2 1 + 2 + 3 <1 . Din (1) ºi (4) rezultã cã: 1 < . 1+2 2+3 3+1 1+2 2+3 3+1
3. a) Dacã A, B, C sunt coliniare, atunci distanþa dintre mijloacele a douã dintre segmentele [AB], [AC], [BC] este egalã cu jumãtate din lungimea celui de al treilea segment. Deci AC = (2 · 6) cm = 12 cm. b) Distingem douã cazuri: Cazul 1: AC = AB + BC = 12 cm. În acest caz avem:
12 = 3 ⇒ 12 = 3 ⇒ 12 = 3 ⇒ 24 12 + 24 3 + 1 12 3 + 1
12 ( 1 + 1) 3 12 = 121 = = 12 3 12 ; AB iq ⇔ t + 1|12 ⇔ t + 1 i {2; 3; 4; 6; 12} ⇔ t i {1; 2; 3; 5; 11}. 1 +1 1 +1 1 +1 12 = 3 ⇒ 12 = 3 ⇒ 12 = 3 ⇒ Cazul 2: AC = AB BC = 12 cm. În acest caz avem: 24 12 1 24 3 1 2 23 3 1 2 12 ( 1 3 1) + 12 12 12 1 ⇒ 23 = = 12 + 23 = ; AB iq ⇔ t 1|12 ⇔ t 1 i {1; 2; 3; 4; 6; 12} ⇔ t i {2; 1 31 1 31 1 31 23
3; 4; 5; 7; 13}. Deci t i {1; 2; 3; 4; 5; 7; 11; 13}, iar probabilitatea ca t sã fie prim este
1=2 . 3 4
4. Asociem fiecãrui pahar aºezat normal numãrul (1), iar fiecãrui pahar rãsturnat îi asociem (+1). Iniþial, când paharele sunt toate rãsturnate, produsul celor 7 numere asociate paharelor este egal cu (+1), iar dupã ce intoarcem 4 pahare, produsul celor 7 numere este egal cu (1) · (1) ·(1) ·(1) ·(+1) ·(+1) ·(+1) = (+1). La fiecare repetare a operaþiei produsul celor ºapte numere va fi egal cu (+1) pentru cã numãrul factorilor negativi va fi mereu par. Deci nu putem ajunge sã avem toate paharele aºezate normal pentru cã atunci produsul celor 7 numere ar fi egal cu (1).
Testul 6 1. Din 3x + 11y = 33, deducem cã x = 11a, a i m*. Atunci: 3 · 11a + 11y = 33 ⇔ 3a + y = 3 ⇔ y = 3(1 a). a) x + 2y 1 = 11a + 6(1 a) 1 = 11a + 6 6a 1 = 5(a 1); b) |x y| = |11a 3(1 a)| = |11a 3 + 3a| = |14a 3|. Valoarea minimã a lui |x y| este | 3| = 3 ºi se obþine pentru a = 0, adicã x = 0 ºi y = 3.
1 1 1 1 1 1 1 2 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 333 + 2. a) Numãrul a se mai scrie: 1 = 2 + 2 + 2 + 333 + 1 4 5 6 7 8 999 1
1 4 5 6 7 + 1 + 1 2 3 ⋅ 1 + 1 + 1 + 444 + 1 = 1 + 1 + 1 + 444 + 1 + 1 + 1 + 444 + 1 2 555 1666 3 7 8 1666 1 3 9
66
61 63 1666
(
(
)
) (
)(
)
2 1 + 1 + 1 + 333 + 1 = 1 + 1 + 333 + 1 = 1 . Deci a = b. 1 4 5 677 671 674 1777 1 1 1 1 1 1 + + 444 + + > + 1 + 444 + 1 = 233 = 1 . Deci 1 > (1). b) 1 = 231 235 666 1333 1333 1333 1333 1333 5 2
1222223222224 12223421+1= 422 567869
1 1 < 1 + 1 + 444 + 1 = 233 < 1 . Deci a < 1 (2). Din (1) ºi (2), rezultã cã: < 1 < 1 . 2 231 231 231 231
122232224 22 1234256
152 3. Fie N mijlocul lui [BD]. Avem: 45 = 14 1 15 = 12 1 13 = 12 1 13 = 23 . Dar DC = MP ºi 2 2 2 2 12 atunci 13 = . În triunghiul PNM avem: MP = 2MN ºi m(rPMN) = 60°. 1 Rezultã cã m(rPNM) = 90° ºi deci PN || AD. Cum N este mijlocul lui [BD] ºi PN || AD, rezultã cã P este mijlocul lui [AB] ºi deci [MP] este linie mijlocie în triunghiul ABC. Rezultã cã PM || AC ºi deci m(rACB) = m(rPMB) = 60°. În continuare obþinem cu uºurinþã m(rDAC) = 30°, m(rBAD) = 2 · 30°= = 60°, m(rBAC) = 90° ºi m(rABC) = 30°. 4. Notãm cele 6 sectoare cu S1, S2, S3, S4, S5, S6, ca în figura alãturatã. Fie A = S1 + S3 + S5 ºi B = S2 + S4 + S6. Iniþial A B = 2 0 = 2, iar dupã primul pas, atât A cât ºi B cresc cu o unitate. Deci A B = 3 1 = 2. Diferenþa A B rãmâne aceeaºi, egalã cu 2, dupã fiecare repetare a operaþiei, aºa cã nu putem obþine numere egale în cele 6 sectoare pentru cã atunci diferenþa A B ar fi egalã cu zero.
Testul 7 1. Numãrul 7n + 2 este una din formele 5k, 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3, 5k + 4, k iq. Dacã 7n + 2 = 5k + 1 ⇒ 5n + 2n + 1 = 5k ⇒ 5 | 2n + 1 ⇒ 5 | 3(2n + 1) ⇒ 5 | 6n + 5 2 ⇒ 5 | 2(3n 1) ⇒ 5 | 3n 1 (1). Dacã 7n + 2 = 5k + 2 ⇒ 7n = 5k ⇒ 5 | n (2). Dacã 7n + 2 = 5k + 3 ⇒ 5n + 2n 1 = 5k ⇒ 5 | 2n 1 ⇒ 5 | 3(2n 1) ⇒ 5 | 6n 5 + 2 ⇒ 5 | 2(3n + 1) ⇒ 5 | 3n +1 (3). Dacã 7n + 2 = 5k + 4 ⇒ 5n + 2n 2 = 5k ⇒ 5 | 2(n 1) ⇒ 5 | n 1 ⇒ 5 | 6(n 1) ⇒ 5 | (6n 5 1) ⇒ 5 | 6n 1 (4). Cum (1), (2), (3), (4) contrazic ipoteza deducem cã 7n + 2 = 5k, k iq. b) Din 7n + 2 = 5k ⇒ 5n + 2n + 2 = 5k ⇒ 2(n + 1) = 5(k n) ⇒ 5 | n + 1 ⇒ n + 1 = 5p, p iq. Deci n = 5p 1, iar n + 4 = 5p + 3 ºi ultima cifrã a lui n + 4 este 3 sau 8.
{
}
112 + 3 6 112 + 4 6 112 + 5 67776 112 + 1 6777 2. a) Mulþimea A se scrie: 2 = ºi 112 + 1 ∈ 1 ⇔ n | 991 ºi cum 1 3 4 5 1 n U 2, iar 991 este numãr prim, rezultã n = 991. Deci mulþimea A are un singur element care este numãr
1 = 2 1 2 ⇔ 12 = 1 + 3 ⋅ 2 1 2 ⇔ 32 = 21 + 45 112 + 112 = 3 ( )( ) . b) . 1+3 2 112 Deducem cã a = 4x ºi b = 3y, x, y iq*. Obþinem astfel: 4 · 3y = 3 · 4x + 12 ⇔ y = x + 1. 1 1 este ºi se Atunci: 1 = 1 2 = 1 2 = 1 ⋅ 2 1 1 ⋅ 2 = 3 . Deci valoarea minimã a raportului 2 2 3 4 4 4( 2 + 2) 4 2 + 2 4 3 4 obþine pentru a = 4 ºi b = 6. 1 1 1 1 < 1 + 1 + 222 + 1 = 1 3 1 + 1 3 1 + 222 + 1 3 1 = c) 1 + 1 + 1 + 222 + 4667 ⋅ 4668 1 4 4 5 4668 4667 4 5 8 46671 4 ⋅ 1 5 ⋅ 4 1 2334 = 15 = (1). 2336 2336 1 + 1 + 1 + 222 + 1 > 1 + 1 + 222 + 1 = 1 3 1 + 1 3 1 + 222 + 1 3 1 = 1 3 4778 ⋅ 4779 4 5 5 6 4778 4779 4 41 51 6 1 47781 4 ⋅ 5 5 ⋅ 6 123 < 3 + 3 + 3 + 666 + 3 < 4225 1 1223 4 1 1225 621 4 = = = (2). Din (1) ºi (2) obþinem: 3227 . 5227 5227 5227 1223 41 71 5 1 42211 4221 3. Elementele mulþimii {4; 8; 12; ...; 44; 48} în numãr de 12, sunt toate multipli ai lui 4. Deci orice sumã care
natural ºi acela este
are ca termeni elemente ale acestei mulþimi este multiplu al lui 4. Dacã sumele obþinute în cele 8 vârfuri ale
153 cubului ar avea valoarea comunã K, atunci K trebuie sã fie multiplu al lui 4. Pe de altã parte avem: (1 + 12 ) ⋅ 12 = 1 2 ( 3 + 4 + 12 + 555 + 34 ) = 41 ⇔ 2 ⋅ 3 ⋅ (1 + 2 + 6 + 555 + 12 ) = 41 ⇔ 1 + 2 + 6 + 555 + 12 = 1 ⇔ , 2 adicã k = 6 · 13 care nu este multiplu al lui 4. Deci rãspunsul este negativ. 4. a) E este ortocentrul triunghiului BCF. 12 + 34 + 32 + 14 = 12 + 14 + 34 + 32 = b) 51 + 53 + 63 + 16 = 1 1 1 1 1 1 = 12 + 12 = 112 = 12 . 1 1 1
Testul 8
1. a) Fie a1, a2, ..., an cele n numere întregi care au produsul egal cu n ºi suma parã. Dacã n ar fi impar, atunci a1, a2, ..., an ar fi toate impare ºi o sumã de numere impare, având un numãr impar de termeni nu poate fi parã. Deci n este par ºi dacã el n-ar fi divizibil cu 4, atunci doar unul din numerele a1, a2, ..., an ar fi par (fãrã a fi divizibil cu 4), iar celelalte sunt impare. Dar ºi în acest caz suma celor n numere este impar. Deci n este divizibil cu 4. b) Fie n = 4k, k iq*. Cele n numere întregi care sã aibã produsul egal cu n ºi suma parã pot
1232 4 ( )
fi: 11 2 12323232444323 . Într-adevãr, suma celor n numere este: 1 = 12 + 1 + 2122 + 2 +2 2322 + 333 + 22 + 42 = 12 + 1 + 3 4 ( 112 ) 3456
2 3452
12 = 21 + 2 = 21 + 31 = 41 , iar produsul lor este: 1 = 12 ⋅ 1 ⋅ 212324 ⋅ 2⋅ 2⋅ 333 ⋅ 2⋅ 2 = 42 = 3 . ( 1 12 )3456
2. Avem: 1 > 1 + 1 + 444 + 1 = 12 = 3 (1) ºi 1 < (2). + + 444 + = 2< 3= 35 35 35 35 35 3 56 56 56 122 23222 4 56 25
122232224 12 345678
12345 +6=6789
1 <1<2 1 = 1 . b) Fracþia se amplificã cu un numãr impar (numitorul sãu Din (1) ºi (2) rezultã cã: 34 5 23 41 ⋅ 5 conþine, în comparaþie cu celelalte fracþii, cea mai mare putere a lui 2). Atunci, celelalte 11 fracþii se vor amplifica cu numere pare. Deci numãrãtorul va fi impar, în timp ce numitorul este par ºi rãmâne par dupã
1 , p, q iq*, (p, q) = 1, atunci q este par. Pe de altã parte S se 3 scrie: 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 23 45 65 63 61 67 68 69 62 6
66 64 1 1 1 1 1 1 = 23 ⋅ + + + + + 43 ⋅ 56 76 ⋅ 73 71 ⋅ 72 78 ⋅ 79 74 ⋅ 7 77 ⋅ 75 . ªi cum 89 este numãr prim, iar produsul 39 · 40 · 41 · ... · 49 · 50 nu conþine printre factorii sãi pe 89, rezultã cã p este divizibil cu 89. orice eventualã simplificare. Deci dacã 2 =
(
(
)(
)(
)(
)( )
)(
)
3. Dacã S este suma numerelor scrise iniþial pe tablã, iar S1 este suma numerelor obþinute dupã prima
⎧ 1 1 2 23 4567 3 1 2 . Deci S1 ºi S2 sunt de aceeaºi paritate ºi operaþie, atunci: 11 = 1 1 ( 3 + 2 ) + 3 1 2 = ⎨ ⎩ 1 1 2 33 4567 3 < 2 ( + 2334 ) ⋅ 2334 = 335 ⋅ 2334 , adicã S este parã înseamnã cã suma numerelor scrise pe tablã va cum 1 = 2 fi mereu parã, iar numãrul rãmas pe tablã dupã 2006 operaþii va fi par. 4. Fie k + 2, k + 4, ..., k + 2n, mãsurile celor n unghiuri, k fiind numãr natural par. Atunci avem: (k + 2) + (k + 4) + ... + (k + 2n) = 360 ⇔ kn + n(n + 1) = 360 ⇔ n · (k + n + 1) = 360. ªi cum 360 = 23 · 32 · 5, mulþimea divizorilor naturali are (3 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1) = 4 · 3 · 2 = 24 elemente. Deci existã 12 scrieri ale lui 360 ca produs de douã numere naturale. Dar n < k + n + 1, iar n ºi k + n + 1 sunt de paritãþi diferite (k fiind par). Înseamnã cã doar 5 din cele 12 scrieri sunt convenabile ºi acestea sunt: 3 ·120; 5 · 72; 8 · 45; 9 · 40; 15 · 24. În final gãsim n i{3; 5; 8; 9; 15}.
154 Testul 9 1 ( 1 + 2) + 3 11 + 4 ⇔2= ⇔ 2 = 1 + 3 6 1 ≠ 52 , 1 +2 1 +2 1 +2 x im ⇔ y + 1 | 6 ⇔ y + 1 i {6; 3; 2; 1; 1; 2; 3; 6} ⇔ y i {7; 4; 3; 2; 0; 1; 2; 5}. În final obþinem: 1. a) 21 5 1 1 + 2 = 4 ⇔ 2 ( 1 + 2) = 1 1 + 4 ⇔ 2 =
A = {(1; 7; (0; 4); (1; 3); (4; 2); (8; 0); (5; 1); (4; 2); (3; 5)}. (observaþie: cazul y = 1 conduce la o propoziþie falsã, adicã 0 = 6). b) N are 73 de termeni ºi îi grupãm dupã cum urmeazã: N = 20 + (21 + 22 + 23) + (24 + 25 + 26) + ... + + (270 + 271 + 272) = 1 + 2 · (1 + 21 + 22) + 24 · (1 + 21 + 22) + ... + 270 · (1 + 21 + 22) = 1 + 7 · (2 + 24 + ... + 270) = 7p + 1. Deci restul împãrþirii lui N la 7 este 1. c) Fie k = 2n + 1, n iq. Atunci relaþia datã se mai scrie: 12 + 13 +2 41 + 555 + 41 6 1222 32222 41 = 1277 ⇒ ( 1 1 23234 )51 +3= ( 1 26 ) 789 8
(12 + 31 4 1) ⋅ ( 1 4 5 ) = 1266
; (n + 8)(n 8) = 1700. Dar 1700 = 22 · 52 · 17 ºi are (2 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1)= 3 = 18 divizori naturali. Deci existã 9 scrieri ale lui 1700 ca produs de douã numere naturale. Aceste scrieri sunt: 1 · 1700; 2 · 850; 4 · 425; 5 · 340; 10 · 170; 17 · 100; 20 · 85; 25 · 68; 34 · 50. Ultima scriere, 34 · 50 = (42 8) · (42 + 8), este singura care convine. Deci (n 8)(n + 8) = (42 8)(42 + 8). Obþinem n = 42 ºi k = 2 · 42 + 1 = 85. 2. a) Suma datã se mai scrie: 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 14 14 ⋅ 15 15 ⋅ 16 16 ⋅ 17 17 ⋅ 88 88 ⋅ 89 + 1 + 1 = 1 ⋅ 1 3 1 + 1 3 1 + 1 3 1 + 444 + 1 3 1 + 1 3 1 = 1 ⋅ 1 3 1 = 12 . 56 ⋅ 57 57 ⋅ 81 8 1 9 9 12 56 57 57 81 8 81 81 1 2 13 23 4 15 61 25 171 9 2 = ⋅ ⋅ ⋅ 888 ⋅ ⋅ b) Fie numerele: 1 = ⋅ ⋅ ⋅ 888 ⋅ . Cele douã numere au, fiecare, câte 4 15 61 171 2 13 64 23 174 1 2 234 < 2 ⇔ 13 factori. Comparându-le, factor cu factor, constatãm cã a < b. Într-adevãr, < ⇔ 2 5 2 2+ 4 1 1 1 1 1 1 1 ⇔ ( 1 2 3 )( 1 + 3 ) < 1 ⇔ 1 + 3 ⋅ 1 2 3 ⋅ 1 2 3 < 1 ⇔ 1 2 3 < 1 , ceea ce este evident.
(
) (
)
În general:
1 1 2 < 1 ⇔ 1 1 2 1 + 2 < 1 1 ⇔ 11 + 2 1 1 2 1 1 2 1 < 11 ⇔ 1 1 1 2 1 < 11 ( )( ) . 2 1+2
Deci avem:
1 < 2 7 3 < 14 7 8887 35 < 161 ⇒ 1 ⋅ 3 ⋅ 888 ⋅ 35 < 2 ⋅ 4 ⋅ 888 ⋅ 161 ⇒ 1 < 2 . 2 3 14 15 161 162 2 14 161 3 15 162
( ) ⇒ 1 < 171 .
Din 1 < 2 ⇒ 11 < 12 = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 14 ⋅ 15 ⋅ 61 ⋅ 888 ⋅ 34 ⋅ 35 ⋅ 171 = 1 < 1 ⇒ 11 < 1 2 3 14 15 61 62 35 171 172 172 177 17
1
c) Din 3a + 7b + 27c = 0, deducem cã: 3(a + 9c) = 7b ºi deci 3 | b, 7 | a + 9c, adicã: b = 3x, a + 9c = 7y, x, y im. Atunci: b(a + 9c) = 3x · 7y = 21xy. 3. Împãrþim pãtratul în 100 pãtrãþele cu latura 1, cazul cel mai nefavorabil fiind acela în care fiecare pãtrãþel conþine 2 puncte, adicã cele 100 de pãtrãþele conþin 200 de puncte. În mod evident, cel de-al 201-lea punct se va afla într-unul din cele 100 de pãtrãþele (conform principiului cutiei) ºi acel pãtrãþel conþine 3 puncte. 1 +1 2 1 1 1 1 = 1 =1 1 1 +1 2 1 ⇒ ⇒ 21 3 4. Avem: 1 3 2 1 =2 2 1 +2 3 1 +2 1 1 ⇒ 12 1 1 = 345° ⇒ 2 1 1 = 65° . 12 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Atunci avem: 12 = 32 ⇒ 12 + 24 = 32 + 24 ⇒
12 + 12 = 34 ⇒ 112 = 2 34 . 2
155 Testul 10 1. a) Numãrul x = 7n + 2002 = 7(7n1 + 286) este divizibil cu 7 ºi nu este divizibil cu 49. b) Fie d iq, astfel încât d | 3n + 2 ºi d | 5n + 3. Rezultã cã: d | 5(3n + 2) 3(5n + 3) = (15n + 10) (15n + 9) = 1 ⇒ d | 1 ⇒ d = 1. c) Din 5a + 2b = 3c ⇒ 5a + 5b = 3c + 3b ⇒ 5(a + b) = 3(b + c) ⇒ 5 | b + c ºi 3 | a + b ⇒ b + c = 5x ºi a + b = 3y, x, y im. Pe de altã parte, tot din 5a + 2b = 3c, rezultã cã: 8a + 2b = 3c + 3a ⇒ 2(4a + b) = = 3(a + c) ⇒ 2 | a + c ⇒ a + c = 2z, z iq. Deci (a + b)(b + c)(c + a) = 3y · 5x · 2z = 30xyz.
1 = 2+3 = 2 + 3 = 4 + 4 1 = 2+3 = 2 + 3 = 4 + 4 , . ..., 45 2 ⋅ 3 2 ⋅ 3 2 ⋅ 3 3 2 43 2 ⋅ 3 2 ⋅ 3 2 ⋅ 3 3 2 1222 = 1223 + 4 = 1223 + 4 = 1 + 1 . Deci: 1222 < 1223 < 555 < 2 < 3 < 4 . 2246 2278 96 1 16 2256 1223 ⋅ 4 1223 ⋅ 4 1223 ⋅ 4 4 1223 b) Fie d iq, astfel încât d | 999! + 1 ºi d | 1000! + 1. Rezultã cã d | 1000(999! + 1) (1000! + 1) = (1000!+ 2. a)
+ 1000) (1000! + 1) ⇒ d | 999 ºi cum d | 999! + 1 ⇒ d | 1 ⇒ d = 1. c) Dacã n este impar, atunci n 1 este par ºi elementele mulþimii M pot forma
1 12 perechi de forma 3
( 12 2 2 12 1 ) , aceste perechi fiind:
⎛ 1 1 2 1 +3⎞ 3 4 1 1 3 4 2 4 1 1 2 45556 ⎜ 2 4 2 ⎟ . Dacã n este par, atunci n 1 este impar ºi elementele lui M ⎜ 1 1 1 1 1 1 ⎟⎟ ⎜ ⎝ ⎠ 1 1 2211 112 1 formeazã perechi de forma 2 2 plus fracþia (reductibilã) 2 = . În ambele cazuri vom arãta 2 1 2 1 112 este ireductibilã, atunci ºi fracþia este ireductibilã. Într-adevãr, fie d iq, astfel cã, dacã fracþia 2 1 încât (d | n k ºi d | n) ⇒ d | n (n k) = k. Avem deci: (d | k, d | n, (n; k) = 1) ⇒ d = 1.
(
)(
)
(
)
112 este ireductibilã. Deci mulþimea M conþine perechi de fracþii ireductibile, adicã un 1 numãr par de fracþii ireductibile. 3. Pe poziþiile impare, ale numãrului scris pe tablã, se aflã cifre impare: 1, 3, 5, 7, 9, în timp ce pe poziþiile pare se aflã cifre pare: 2, 4, 6, 8. Din exemplul dat constatãm cã aceastã situaþie rãmâne neschimbatã dupã ce efectuãm operaþia indicatã ºi asta pentru cã, diminuând cele douã cifre cu o unitate ele îºi schimbã paritatea, dar schimbându-ºi locul se revine la situaþia iniþialã (din punctul de vedere al paritãþii precizate mai sus). Asta înseamnã numãrul 120234521 nu poate fi obþinut deoarece a treia cifrã (adicã pe o poziþie imparã) Adicã ºi fracþia
este o cifrã parã: cifra zero. 4. Fie N mijlocul lui [MB]. Avem: 12 = 31 = 14 = 45 = 1 ⋅ 35 . 2 Deci: MP = MN; m(rPMN) = 60° ⇒ ∆MNP echilateral ⇒ 34 = 14 = 12 ⇒ 1 (1132 ) = 23° ⇒ 23 ⊥ 15 . 4
Testul 11 1. a) Numãrul a = 24011 + 22007 + 2 = 2(24010 + 22005 · 2 + 1) = 2(24010 + 22005 + 22005 + 1) = 2 · [22005(22005 + + 1) + (22005 + 1)] ) = 2 · (22005 + 1)(22005 + 1). Deci a este divizibil cu 22005 + 1. Vom arãta cã 22005 + 1 este divizibil cu 3. Într-adevãr avem: 1 + 21 + 22 + 23 + ... + 22004 = 22005 1 ⇒ 2 + 1 + 21 + 22 + 23 + ... + 22004 = = 22005 + 1 ⇒ (2 + 1) + (21 + 22) + (23 + 24) + ... + (22003 + 22004) = 22005 + 1 ⇒ 3 + 2(1 + 2) + 23(1 + 2) + ... + 22003(1 + 2) = 22005 + 1 ⇒ 3(1 + 2 + 23 + ... + 22003) = 22005 + 1, de unde rezultã cã 3 divide 22005 + 1 ⇒ 22005 + 1 = 3k, k iq. Atunci: a = 2 · 3k · 3k = 18k2, adicã 18 divide a.
156 b) Din relaþia datã rezultã imediat b = 2. Apoi obþinem a + 2c = 12, ceea ce conduce la a = 2 ºi c = 5. 1 Deci media aritmeticã a numerelor a, b, c este = 234 . c) Ecuaþia datã se mai scrie: x(y 2) = 3y + 5 ºi cum 5 11 + 2 (cazul y = 2 conduce la o propoziþie falsã, 0 = 11). y ≠ 2, obþinem: 2 = 134 x im ⇔ y 2 | 3y + 5 ⇔ y 2 | (3y + 5) 3(y 2) = (3y + 5) (3y 6) ⇔ y 2 | 11 ⇔ y = 2 i {11;1; 1; 11} ⇔ y i {9; 1; 3; 13}. În final obþinem: (x, y) i {(2; 9); (8; 1); (14; 3); (4; 13)}.
(
)
1 2 ⎛ 11 11 12 1 ⎞ ⎛ 13 11 ⎞ 14 + 12 13 1 1 1 ( 1 + 2) 1 1 1 2 + = + . 2. a) 2 1 3 = ⎜ + + 1 ⎟ + ⎜ 1 ⎟ = 3 5⎠ ⎝ 5 4 ⎠ 3 5 3 5 ⎝ 3 4 ªi cum n(n + 1) este multiplu al lui 2, oricare ar fi n iq, iar n(n2 1) este multiplul lui 3, oricare ar fi n i
q, rezultã cã a b iq, oricare ar n iq. b) Este suficient sã comparãm mai întâi numerele 11300 cu 5450 ºi apoi 5720 cu 11480. Avem pe rând: 11300 = (112)150 = (121)150, 5450 = (53)150 = (125)150. 122 < + 2 + 2342 ⇒ + 2 + 342 < , în timp ce membrul drept este fracþie +2+2 supraunitarã. Într-adevãr: 5720 = (53)240 = 125240, 11480 = (112)240 = 121240.
Deci
122
<1
342
⇒ +2+
Deci
23
> 11
453
⇒ 11 +
122
23
1 23 > 11 + 22453 ⇒ 11 + 453 > 2 . c) Arãtãm mai întâi cã: 1 + 3 + 5 + ... + 1 + 22
+ (2n 1) = n2. Aflãm mai întâi numãrul termenilor din membrul stâng: (2n 1 1) : 2 + 1 = (2n 2) : 2 + + 1 = n 1 + 1 = n. Atunci: 1 + 4 + 5 + 666 + ( 21 3 1) =
(1 + 21 3 1) ⋅ 1 = 11 . Folosind relaþia precedentã, obþinem:
2 1 1 1 1 11 21 31 4551 ⋅ ⋅ ⋅ 666 ⋅ , 1 = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 666 ⋅ 1 ⋅ 455 , 1 ⋅ 2 2⋅ 3 3 ⋅ 4 455 ⋅ 451 (5 + 1 ) ⋅ 1 (5 + 2) ⋅ 2 (5 + 3 ) ⋅ 3 (5 + 455) ⋅ 455 1 1 1 1 123 1123 ⋅ 14 ⋅ 24 ⋅ 3 4 ⋅ 444 ⋅ 5664 1 23 1 23 33 4 3 4 1= = 1 . 4 4 4 4 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 444 ⋅ 566 ⋅ 561 1 ⋅ 561 . Deci 1 = 1 ⋅ 15 = 123 = 1 = 1
1=
(
(
)
)
(
)
3. Suma exponenþilor din descompunerea lui 12 = 22 · 3 este egalã cu 2 + 1 = 3, adicã imparã. Dupã primul minut aceastã sumã devine parã, dupã al doilea devine din nou imparã ºi aºa mai departe. Deci dupã o orã, adicã dupã 60 minute, suma exponenþilor trebuie sã fie imparã. Dar 54 = 2 · 33 are suma exponenþilor 1 + 3 = 4, adicã parã ºi deci nu poate fi 54 numãrul obþinut dupã o orã. 4. Figura alãturatã ilustreazã enunþul problemei. ABDE este dreptunghi ºi
(
)
12 ⇒ 1 213 1 = 23° . deci 23 = 45 = 4 Dar, din ipotezã m(rDCE) = m(rABC) ⇒ m(rABC) = 30°. b) Avem m(rBCF) ⇒ m(rCBF) = 30° ⇒ BF = CF. Pe de altã parte:
(
)
(
)
1 = 1 132 1 = AF = AB BF; FM = CM CF; ºi cum AB = CM, BF = CF ⇒ AF = FM ⇒ 1 123 =
(
1 123° 4 5 123
) = 123° 4 163° = 73° = 83 . În acest fel, dreptele MA ºi BC formeazã cu secanta MC
6 6 6 unghiuri alterne interne congurente. Rezultã cã MA || BC.
157 Testul 12 1. a) n + 1 = 1269 · 10 ⇒ n + 1 = 47 · 27 · 10n ⇒ n = 47 · 27 · 10n 1 ⇒ n = 47 · 27 · 10n 47 + 46 ⇒ n
n = 47 · (27 · 10n 1) + 46. Deci restul împãrþirii lui n la 47 este 46. b) x = 1 · 2 · 2 + 1 · 2 · 3 · 3 + 1 · 2 · 3 · 4 · 4 + ... + 1 · 2 · 3 · ... · 49 · 50 · 50 + 2 = 2! (3 1) + 3! (4 1) + + 4! (5 1) + ... + 50!(51 1) + 2 = 3! 2! + 4! 3! + 5! 4! + ...+ 51! 50! + 2! = 51!. Deci x = 51!. 12 ⎡ 12 ⎤ ⎡ 12⎤ ⎡ 12 ⎤ ⎡ 12 ⎤ Atunci exponentul lui 2 din descompunerea lui x este dat de: ⎢⎡ ⎥⎤ + ⎢ 1 ⎥ + ⎢ 2 ⎥ + ⎢ 3 ⎥ + ⎢ 4 ⎥ = 25 + ⎣ 3 ⎦ ⎣3 ⎦ ⎣3 ⎦ ⎣3 ⎦ ⎣3 ⎦
+ 12 + 6 + 3 + 1 = 47. c) 163 2 4 + 263 3 4 + 3 63 1 4 = 1 + 2 + 3 +
1 + 2 + 3 123 1 + 2 + 3 4 12 ⋅ 15 = = = 728 9 9 9
2. a) Numerele n2 n + 1 ºi n2 + n + 1 sunt impare, oricare ar fi n iq. Atunci, cel mai mic termen a sumei cerute este n2 n + 2, iar cel mai mare este n2 + n = n2 n + 2n.
(122222222 ) ( 2322222222 ) ( 24)
Deci: 2 = 1 1 1 1 + 2 + 11 1 1 + 3 + 444 + 1 1 1 1 + 21 =
(1
1
2
1 23245676
=
(
)
1 1 + 2 + 11 1 1 + 21 ⋅ 1
=
( 21
1
)
+ 2 ⋅1 2
=
) . Deci S = n(n + 1) = 1342. Dar 1342 = 2 · 11 · 61 ºi avem patru scrieri ale lui 1342 ca produs
1 11 + 2
2
de douã numere naturale. Aceste scrieri sunt: 1 · 1342; 2 · 671; 11 · 122; 22 · 61. Dintre aceste douã scrieri, una singurã convine: n(n2 + 1) = 11 · 122, n(n2 + 1) = 11 · (112 + 1). Rezultã: n = 11. b) Fie x = 3b + 2a, y = 2b 3a ºi z = x + 5y = 3b + 2a + 5(2b 3a) = 3b + 2a + 10b 15a. Deci z = 13(b a). Avem cã 13 divide z, ºi cum z = x + 5y, înseamnã cã 13 divide x dacã ºi numai dacã 13 divide y.
( )(
)
(
)
c) Relaþia datã se mai scrie: 1 2 1 + 1 + 1 2 1 + 333 + 1 + 2 2 1 = 4 . Membrul stâng are n + 1 paranteze. 3 3 +1 3+2 1 1 2 + 1 1 2 + 222 1 2 2 + ( 1 + 1) 2 ( 2 + 1) + 333 + ( 1 + 3 ) 2 ( 2 + 3 ) = 4 . Adicã În continuare obþinem: 2 2 +3 2 2 +1 2+3
(
)
+ 1 1 2 = 3 ⇔ ( 1 1 2 ) ⋅ 2 + 2 + 444 + 2 = 3 . ªi cum a doua parantezã este diferitã de zero, rezultã 2+3 2 2 +2 2+3 a b = 0 ⇔ a = b. 3. Triunghiul DEM are: m(rEDM) = m(rEMD) = 60° ⇒ ∆DEM este echilateral ⇒ 13 = 14 = 34 = 12 . 1 a) PE = MP + EM = MN + EM = 2MD + MD = 3MD. b) În triunghiul DEN avem: 34 = 32 = 12 ºi m(rEDN) = 120°, 1 de unde rezultã m(rDEN) = m(rDNE) = 30°. În acest fel avem: m(rNEP) = m(rNED) + m(rDEM) = = 30° + 60° = 90°. Deci NE u MP. c) În triunghiul ENF, înãlþimea EH este ºi bisectoare. Rezultã cã EN = EF ºi cum m(rNEF) = 60°, rezultã cã ∆NEF este echilateral. În acest fel avem m(rFEP) = m(rFPE) = 30° ⇒ EF = FP. ªi cum EF = NF ⇒ EF = NF = FP. 12 − 1 31 2 + 3 + 4 3 4. a) Avem: 2 + 3 − 14 = 2 − 13 + 4 = −12 + 3 + 4 = = 2 − 1 4 2 + 3 − 14 = 2 − 1 ⇒ 4 3 2 2+ 3+4 4
158 1+2 −3 = 1−3 ⇒ 1+2 = 1⇒ a + b= 2c. În mod analog obþinem: a + c = 2b ºi b + c= 2a. Atunci: 4 4 ( 1 + 2 )( 1 + 3 )( 2 + 3 ) = 13 ⋅ 12 ⋅ 11 = 2123 = 2 . b) Pornind de la ºirul de rapoarte egale dat, obþinem: 123 123 123 1 + + 1 2 ( ) 23 + 1 = 21 + 2 = 22 + 3 = = 1 . Din 11 + 2 = 2 ⇒ 2a + b = 6a 3b ⇒ 4b = 4a ⇒ 23 3 1 21 3 2 22 3 3 3 + 1 + 2 11 3 2 b = a etc.
Testul 13 1. a) (a + b)(a b) = (10x + 7 + 5x + 2)(10x + 7 5x 2) = (15x + 9)(5x + 5) = 15 · (5x + 3)(x + 1). b) 10x + 7 = 2(5x + 2) + 3. Dacã x U 1, atunci 5x + 2 U 5 · 1 + 2 = 7 > 3. În acest caz câtul este 2 ºi restul 3. Dacã x = 0, atunci a = 7 ºi b = 2. În acest caz câtul este 3 ºi restul 1. 2. a) Observãm cã x2 este divizibil cu 5 ºi cum 5 este numãr prim, rezultã cã x = 5a, a im. Înlocuind în ecuaþie, obþinem: 25a2 5y2 = 200 ⇔ 5a2 y2 = 40. Constatãm cã ºi y2 este divizibil cu 5, adicã y = 5b, b im. Avem astfel: 5a2 25b2 = 40 ⇔ a2 = 5b2 + 8 ⇔ a2 = 5(b2 + 1) + 3. Ultima cifrã a lui a2 este 3 sau 8, ceea ce este imposibil. Deci ecuaþia nu are soluþii în mulþimea numerelor întregi. b) Avem:
(
)(
)
1 + 1 + 222 + 1 = 1 + 1 + 222 + 1 + 1 + 1 + 222 + 1 1 1 + 1 = 1 +1 1 + 3 41 1222 1 + 1 12+32222 3 34 1 12222 31 + 1 32 132222 +3 42 1 31 41 4 1 1234256
=1+1=2. 3 4 5 c) Membrul stâng mai poate fi scris ºi astfel:
1 1234256
( )
⎡ ⎤ 12 3 ⋅ ⎢ 1 ⋅ ⎜⎛1 + 1 + 11 + 444 + 1123 ⎟⎞ 2 1 ⋅ ⎜⎛1 + 1 + 11 + 444 + 1123 ⎟⎞⎥ = 12 3 ⋅ 1 2 1 ⋅ ⎜⎛1 + 1 + 11 + 444 + 1123 ⎟⎞ = 5 3 ⎝ 5 5 5 ⎠ 3 ⎝ 5 5 5 ⎠⎦ 5 ⎠ ⎣5 ⎝ 5 5 1 1 12 1 12 1 5 = 12 1 ⋅ 5 = 12 ⎛ 12 1 ⎞ = 12 1 + 1 = 1 4 = 12 3 ⋅ 3 2 5 ⋅ ⎜ ⎟ 1 5 ⋅ 3 12 1 5 ⎝ 51 ⎠ 51 51 5 5 3. a) Nu este posibil pentru cã suma numerelor de la 1 la 101 este imparã. Într-adevãr: 1 + 3 + 4 + 555 + 121 =
(1 + 121) ⋅ 121 = 123 ⋅ 121 = 61 ⋅ 121
. 3 3 b) Pentru numerele de la 1 la 101 existã 21 care conþin cifra 1. Acestea sunt: 12132112142555216241271255526121332131 . 122322 4 12324 12 345676
8 345676
Conform principiului cutiei existã o grupã, din cele 10 grupe, în care sã se afle 3 numere ce conþin cifra 1. 4. Avem: m(rBAE) = m(rDAE) = x; m(rAEC) = m(rCAE) = y. Din triunghiul ADE, dreptunghic în D obþinem: x + y = 90°. ªi cum m(rBAC) = m(rBAE) + m(rCAE) = x + y = 90°, rezultã cã triunghiul ABC este dreptunghic în A.
159 Testul 14 1. a) Stabilim o relaþie între numerele 123
2
231 ; 12 ⋅ 123 = 12 ⋅ (1221 + 122 + 3 ) = 12221 + 1222 + 123 =
= (1221 + 122 + 3 ) + 3333 = 123 + 3333 . Deci: 12 ⋅ 123 3 231 = 45 ⋅ 65 ⋅ 1 etc. b) Cãutãm o relaþie între A ºi B; 3A B = 3(3a + 4b + 5c) (2a + 5b + 8c) = 9a + 12b + 15c 2a 5b 8c = 7a + 7b + 7c = 7(a + b + c). Deci 3A B = 7(a + b + c) etc. c) Avem: 23 | 3a + 13b + 8c; 23 | a + b + c ⇒ 23 | (3a + 13b + 8c) 3(a + b+ c) = 5(2b + c) ⇒ 23 | 2b + c. Avem astfel: 23 | a + b + c; 23 | 2b + c ⇒ 23 | 4(a + b + c) + 2(2b + c) = 4a + 8b + 6c. 3. a) Vom arãta cã produsul P al celor 11 numere conþine factorii 3, 4, 5 ºi 7. Presupunem, pe rând, cã printre factorii lui P nu se aflã nici un multiplu al lui 3, 4, 5, ºi 7. Cele mai mici sume posibile, pentru fiecare caz în parte, sunt: 11 = (1 + 5 + 3 + 666 + 12 ) 7 ( 3 + 2 + 8 + 15 + 14) =
(1 + 12 ) ⋅ 12 7 ( 3 + 14) ⋅ 4 = 19 ⋅ 7 8 ⋅ 4 = 132 7 4 = 81 > 9
, 5 5 (1 + 12 ) ⋅ 12 6 ( 2 + 13 ) ⋅ 4 = 18 ⋅ 9 6 7 ⋅ 4 = 1 8 6 32 = 71 > 9
11 = (1 + 3 + 4 + 555 + 12 ) 6 ( 2 + 7 + 13 ) = , 3 3 ( + 2) ⋅ 2 5 6 = 8 ⋅ 2 5 6 = 89 > 87 11 = ( + 3 + 444 + 2) 5 ( 6 + 7 ) = ; 3 (1 + 12 ) ⋅ 12 5 6 = 13 ⋅ 7 5 6 = 68 − 6 = 61 > 694 11 = (1 + 2 + 3 + 444 + 12 ) 5 6 = 2 De fiecare datã am obþinut o sumã mai mare ca 70. Înseamnã cã P este divizibil cu 3 · 4 · 5 · 7 = 420, deoarece 3, 4, 5, 7 sunt prime între ele, douã câte douã.
1 2 3 45 677 b) Fie 1 = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 666 ⋅ 45 ⋅ 44 ºi 1 = ⋅ ⋅ ⋅ 888 ⋅ ⋅ . 9 44 676 7 8 9 4 1 Atât a cât ºi b au 50 de factori ºi comparând a cu b, factor cu factor, gãsim cã a < b. Într-adevãr:
1<2 , 2 3
1 < 2 7 8887 33 < 455 ⇒ 4 ⋅ 1 ⋅ 888 ⋅ 33 < 6 ⋅ 2 ⋅ 888 ⋅ 455 ⇒ a < b ⇒ a2 < ab. 2 9 455 454 6 2 455 1 9 454 Deci 11 < 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ ⋅ 78 ⋅ 79 ⋅ 77 ⋅ 1
⇒ 11 < 1 < 1 ⇒ 1 < 1 . 2 3 4 5 6 8 79 77 1
1 1 1 1 1
1
1 1 1 1 Notând + + 222 + = 1 , inegalitatea datã devine: 1 (1 + 2 )1( 1 + 1) 2 + ⇔ 1 + 12 121 + 13 2 + 1 3 4 2 1 +1
(
)
⇔ 1 + 12 112 + 2 + 1 ⇔ 11 2 + 1 . Revenind la notaþia fãcutã obþinem:
( )( )
( )
111 + 1 + 1 + 444 + 1 ⇔ (13 1) + 1 3 1 + 1 3 1 + 444 + 13 1 15 ⇔ 1 + 2 + 444 + 1 3 115 . 1 1 1 2 6 2 6 2 6 Egalitatea are loc pentru n = 1. 3. a) În figura alãturatã avem: m(rABC) = 60°, m(rACB) = y, m(rBAD) = = m(rCAD) = x ºi m(rACE) = 90°. Triunghiul CDE poate fi isoscel numai în douã cazuri. I) CD = DE ⇒ m(rDCE) = m(rDEC) = 90° y ºi cum m(rCDE) = m(rADB) = x + y, avem: 2(90° y) + x + y = 180° ⇔ 180° 2y + x + y = 180° ⇔ x = y. ªi cum 2x + y + 60° = 180°, obþinem 3x = 120° ⇔ x = 40. Deci în acest caz avem: m(rBAC) = 80° ºi m(rACB) = 40°. II) CE = DE ⇒ m(rDCE) = m(rCDE), adicã 90 y = x + y ⇒ x = 90 2y.
160 ªi cum 2x + y = 120°, obþinem: 2(90° 2y) + y = 120° ⇔ y = 20°. În acest caz avem: m(rACB) = 20° ºi m(rBAC) = 100°. b) În figura alãturatã avem: m(rBAD) = m(rCAD) = x, m(rABC) = z, m(rACB) = y, m(rDCE) = = m(rCDE) = m(rDEC) = m(rADB) = 60° ºi m(rACE) = 90°. Atunci y = 90° 60° = 30°; x = 90° 60° = 30°; z = 180° (30° + 60°) = 90°. 4. Fie 0, 1, 2, ..., n termeni nenegativi ºi 1, 2, 3, ..., n, (n + 1), (n + 2), ..., (n + 6) termeni negativi ai sumei ºi cum suma este (591) obþinem:
( 1 + 2) ( 1 + 3 ) 444 ( 1 + 5 ) = 672 ⇔ 51 (2 + 3 + 444 + 5 ) = ( + 2 ) ⋅ 2 = 34 ⇔ 2 1 + 5 = 34 ⇔ 1 = 43 21 +
672 ⇔
. Deci suma are 95 + 100 = 195 termeni.
5
Testul 15 1. a) Fie a1, a2, a3, ..., a9 cele 9 numere raþionale pozitive nenule. 13 14 11 1 1 + 1 + 11 + 111 + 12 22 = = = 111 = 2 = 3 4 = = 22 = 2 3 2 ∈ 1 . 4 2 56 57 4 + 2 + 56 + 111 + 57 (57 + 4 ) ⋅ 2 58 ⋅ 2 58 8 1 Deci: 1 = 2 ⇒ 11 = 2 . 12 12
Avem:
b) Avem ºirul de rapoarte egale:
22 = 11 = 3 3 = 22 + 11 + 33 = 4 . 11 + 33 22 + 3 3 22 + 11 2( 22 + 11 + 33 ) 2
11 2 2 = 3 ⇒ 4 2 = 1 1 + 4 35 = 3 ⇒ 6 1 = 22 + 43 ⇒ 4 2 7 6 1 = 11 7 22 ⇒ 6 2 = 8 1 11 + 43 2 22 + 4 3 2 ⇒ 11 4 3 = 3 ⇒ 9 3 = 2 2 + 1 1 ⇒ 6 1 7 9 3 = 4 3 7 1 1 ⇒ 8 1 = 32 3 = 3 ⇒ 6 1 = 2 2 + 4 35 22 + 43 2 22 + 11 2 ⇒ 6x = 12z ⇒ x = 2z , iar din 6x = 9y ⇒ 2x = 3y. Atunci 2. a) Ecuaþia datã este echivalentã cu: 2 =
1 + 12 + 23 1 + 21 + 1 31 = = =2. 1 + 12 4 23 1 + 21 4 1 21
1 1221 ⋅ ( 3 1221) + 12211 1221 ⇔2= ⇔ 2 = 1221 + 1221 . 3 1221 3 1221 3 1221
x iq ⇔ y 1001 | 10012. Dar 10012 = 72 · 112 · 132, adicã 10012 are 27 divizori naturali. Înseamnã cã ecuaþia are 27 soluþii în q* D q*. b) Suma cerutã se scrie:
(
) (
) (
)
1 = 1 + 1 + 222 + 1 + 1 + 1 + 222 + 1 + 1 + 222 + 1 + 1 + 1 + 222 + 1 + 222 + 1 . 3 3224 4 11 13 31 44 151 153 23222222 355 444 122 122222 214 3222222 4 122222 4 ( 889
) 91 1 2345367
1 2345367
(
)(
)(
)
( 8889
) 918 1
2345367
Deci: 1 < 1 + 2 ⋅ 1 + 21 ⋅ 1 + 215 ⋅ 1 = 1 + 6 + 21 + 21 = 313 < 345 = 34 . Deci S < 25. 3 15 155 15 15 15 15 3. Liniile mijlocii ale triunghiului echilateral cu latura 1 împart triunghiul în patru triunghiuri echilaterale cu 1 latura ºi conform principiului cutiei, în unul din aceste patru triunghiuri se aflã cel puþin douã puncte ºi 2 1 distanþa dintre aceste douã puncte este mai micã decât . 2
161 4. În figura alãturatã avem: FM = EB, F i (EM). Dar BC = BE + EF = FM + EF = EM. ªi cum BC || EM ⇒ BEMC paralelogram ⇒ MC = EB = FM ⇒ m(rMFC) = m(rMCF) = x. Dar ºi m(rAFE) = x ºi cum EF || BC rezultã cã m(rBCA) = m(rAFE)= = x (unghiuri corespondente). Totodatã din MC || AB ºi AC secantã, rezultã cã: m(rBAC) = m(rFCM) = x. Deci m(rBAC) = m(rACB) = x rezultã cã triunghiul ABC este isoscel de bazã [AC]. Reciproca rezultã uºor.
Teste de autoevaluare
162
Teste - Algebrã Testul 1
Subiectul I
1
2
3
4
a
b
a
b
a
b
12 3
0
3
10
25
25
5
6
7
a
b
a
8
9
b
4 {16; 25} {0} {1} {0; 5} {0; 3; 6; 9} 3 {1; 2; 3; 4; 6}
Subiectul al II-lea 1. a) 120; 420; 720; 225; 525; 825; b) 2n · 3n · 5nx5. 2. a) 6; b) 18. 3. (2; 0; 1); (2; 1; 0); (2; 2; 0).
Testul 2
Subiectul I
1 a
2
3
4
b
a
5 b
{6} {2; 4} {0; 6; 12} 1,(2) 0,15 0,(3)
6
a
b
a
10
24
0,1
7
8
b
9
a
0,6 {2; 4}
b
3
108 {0; 1}
Subiectul al II-lea 1 12 1 1. a) ; b) 7. 2. a) ; b) . 3. 7. 2 3 2
Testul 3
Subiectul I
1
2
a
b
1 23
2
3
0,1
4
a
b
3 4
2 4
3 5
5
6
a
b
29 · 37
6
a
7
{1; 5} {0; 1; 2}
0,5 {0; 1}
Testul 4
1 a 2
2 b
a
1
1 2
3
4
5
b
a
b
0
3 45
6
25
40
Subiectul al II-lea 12 1. a) ; b) 9. 2. a) 3; b) 3. 3. 50; 20; 30. 3
9
b
Subiectul al II-lea 12 ; b) 1,1; c) 60. 2. 8; 20; 28. 3. 0,9; 0,6. 1. a) 34 Subiectul I
8
6
7
8
9
90
3
2 1
20
2
163 Testul 5
Subiectul I
1
2
{1; 3}
3
4
5
a
b
a
b
a
b
1 2
3 11
20
1
55 lei
35 lei
6
7 a
{1; 4; 7}
Testul 6
Subiectul I
1
2
0
2 · 32
3
4
a
b
1 2
3
5
6
3 2
{1; 2}
7
1 4
9
{3, 6, 9}
1 3
b
1,8 8; 10
Subiectul al II-lea. 1. 18; 27; 135. 2. a) 100xx5; b) 10x + 2y este par. 3.
8 1 4
1 . 2
8
9
a
b
a
b
10; 15
3 4
11
1
140
Subiectul al II-lea. 1. a) 75%; b) 6 fete; 18 bãieþi. 2. a) 44; b) 4140. 3. 9; 18; 24.
Testul 7
Subiectul I
1
2
a
b
–1
–6
3
{–1; 1}
4
5
a
b
a
b
1 2
34 32
4 1
5 1
6
3
7
–3
a
b
16
4
7
8
8
9
–4
{–2; –1}
Subiectul al II-lea 1. a) 11; b) 26. 2. a) 2; b) {5; 3}. 3. a) 88 lei; b) 66 lei; c) 25.
Testul 8
Subiectul I
1
2
a
b
0
–8
3
{–2; –1}
4
a
b
8
12
12
5
–2
6
{–3; 3}
6
9
6
a
b
4
16
Subiectul al II-lea 1. a) A = {1; 0; 1; 2; 3}; B = {0; 1}; b) A \ B = {1; 2; 3}, B \ A = ∅. 2. a) 20; 40; 80; b) 25%. 3. a){2; 3}; b) 1.
Testul 9
Subiectul I
1
2
a
b
c
1 2
10
–2
1
3
3,2
4 a
b
1
1
5
6
7
8
9
2 3
x
1 45
11
–10
Subiectul al II-lea. 1. a) 2,76; b) 6,5; c) 4. 2. a) 1,7; b) 6. 3.16; 20; 10.
164
Teste - Geometrie Testul 1 Subiectul I: 3. a) 2 cm; b) 16 cm; c) 12 cm2. 4. a) 5 cm; b) 25 cm2; 125 cm3. Subiectul al II-lea: 1. a) 36 cm; b) 72 cm2. 2. a) 80 m3; b) 4 m. 3.a) 1,5 m; b) 3,375 m3.
Testul 2 Subiectul I: 2. a) AC = 5 cm; b) 2,5 cm; c) 1 cm. 3. a) c)
; b)
. 4. a) {B}; b) [AC]; c) (AC.
Subiectul al II-lea: 1. a) 12 cm; b) 20 cm. 2. a) 8,25 cm; b) 9 cm. 3. Sunt posibile douã cazuri. Dacã B i (CD), atunci: a) 15 cm; b) 6 cm. Dacã D i (CB), atunci: a) 6 cm; b) 15 cm.
Testul 3 Subiectul I: 1. a) 180°; b) 60°; c) 120°. 2. a) 117° 43′; b) 99°21′30′′; c) 58°51′30′′. 3. a) 50°; b) 110°; c) 45°. 4. a) 72°; b) 144°; c) 180°. Subiectul al II-lea: 1. Vezi figura alãturatã. a) 90°; 60°; b) m(rYOP) = 90° m(rXOY) =15°; m(rPOC) = m(rAOC) 90° m(rAOX) = 15°. 2. a) 60°; 80°; 120°; 100°; b) 100°. 3. a) 45°; 45°; 90°; b) 157°30′.
Testul 4 Subiectul I: 1. a) [AC]; b) rBAC, rACB; c) rBAC. 2. a) 18 cm; b) 12 cm; c) 24 cm. 4. a) MN = 6 cm; NP = 4 cm; MP = 7 cm; b) rA \ rM; rB \ rN; rC \ rP; c) 1. Subiectul al II-lea: 1. a) ∆DAB \ ∆ECB (LUL) ⇒ DA = EC. b) ∆DAC \ ∆ECA (LUL) ⇒ rADC \ rAEC. 2. a) [BC] \ [CB]; rABC \ rDCB; rACB \ rDBC ⇒ ∆ABC \ ∆DCB (ULU); b) ∆ABC \ ∆DCB ⇒ [AB] = [DC]; rBAC \ rCDB. Din m(rABD) = m(rABC) m(rDBC); m(rACD) = m(rBCD) m(rACB); rABC \ rBCD; rDBC \ rACB rezultã rABD \ rDCA. Din rABO \ rDCO; [AB] \ [DC]; rBAO \ rCDO rezultã ∆AOB \ ∆DOC (ULU) ⇒ [OB] \ [OC]. 3. a) [AD] \ [AD]; rEAD \ rFAD; rADE \ rADF ⇒ ∆ADE \ ∆ADF (ULU). b) ∆ADE \ ∆ADF ⇒ [AE] \ [AF]. Din [AB] \ [AC]; [AF] \ [AE]; rBAF \ rCAE ⇒ ∆ABF \ ∆ACE (LUL) ⇒ [BF] \ [CE].
Testul 5
Subiectul I: 2. a) 90°; b) 135°; c) 180°. 3. a) [AB] \ [AC]; [BD] \ [CD]; [AD] \ [AD] ⇒ ∆ABD \ ∆ACD (LLL). b) ∆ABD \ ∆ACD ⇒ rBAD \ rCAD. Din m(rBAD) + m(rCAD) = 90° ºi m(rBAD) = m(rCAD) ⇒
165 m(rBAD) = m(rCAD) = 45°. c) ∆ABD \ ∆ACD ⇒ rADB \ rADC; m(rADB) + m(rADC) = 180°; m(rADB) = m(rADC) ⇒ m(rADB) = m(rADC) = 90° ⇒ AD u BC. Din AD u BC ºi [BD] \ [DC] rezultã cã AD este mediatoarea segmentului BC. 4. a) 90°; b) 180°. 12 = 1 c) [AO] \ [OC]; rAOB \ rCOB; [BO] \ [BO] ⇒ ∆AOB \ ∆COB (LUL) ⇒ [AB] \ [BC] ⇒ . 23 Subiectul al II-lea: 1. a) P aparþine mediatoarei [BC] ⇒ [PB] \ [PC]; P aparþine mediatoarei [AD] ⇒ [PA] \ [PD]. Din [PA] \ [PD]; [PB] \ [PC]; [AB] \ [CD] ⇒ ∆PAB \ ∆PDC (LLL). b) rEAC \ rFDB; [AC] \ [BD]; m(rAEC) = m(rDFB) = 90° ⇒ ∆EAC \ ∆FDB (IU) ⇒ [CE] \ [BF]. 2. a) m(rMAB) = 90° m(rBAC); m(rNAC) = 90° m(rBAC) ⇒rMAB\rNAC. b) [AM] \ [AB]; [AC] \ [AN]; rMAC\rNAB ⇒ ∆AMC \ ∆ANB (CC) ⇒ [MC] \ [NB]. 3. a) ∆ABN \ ∆AEN (CU)⇒ AD mediatoarea segmentului BE ; ∆AFM \ ∆ACM (CU) ⇒ AD mediatoarea segmentului FC. Din [BD] \ [DE]; [FD] \ [DC]; [BF] \ [EC] ⇒ ∆BDF \ ∆EDC (LLL) ⇒ rBDF \ rEDC ⇒ D, E, F coliniare. b) [AF] \ [AC]; [AE] \ [AB]; rFAE \ rCAB ⇒ ∆AFE \ ∆ACB (LUL) ⇒ [EF] \ [BC].
Testul 6 Subiectul I: 1. a) 37°; 143°; b) 78°30′; 101°30′; c) 45°; 135°. 2. a) ∆ABM \ ∆ACM ⇒ rAMB \ rAMC (LLL). Din rAMB \ rAMC; m(rAMB) + m(rAMC) = 180° ⇒ m(rAMB) = m(rAMC) = 90° ⇒ AM u BC. b) Fie d mediatoarea laturii [AB]. d u AB; AC u AB ⇒ d || AC. c) Fie g mediatoarea [AM]. g u AM; BC u AM ⇒ g || BC. 3. a) ∆AOC \ ∆BOD (LUL) ⇒ rOAC \ rOBD ⇒ AC || BD. b) ∆AOD \ ∆BOC (LUL) ⇒ rOAD \ rOBC ⇒ AD || BC; c) Fie DP u AB ºi CQ u AB; ∆POD \ ∆QOC (IU) ⇒ [DP] \ [QC] . 4. a) 120°; b) 60°; c) 90°. Subiectul al II-lea: 1. a) [AD] \ [BC]; [AB] \ [BA]; rDAB \ rABC ⇒ ∆ABD \ ∆BAC (LUL). b) ∆ABD \ ∆BAC ⇒ [BD] \ [AC]. Din [BD] \ [AC]; [AB] \ [AC] ⇒ [AB] \ [BD]. Analog se demonstreazã cã [AC] \ [CD]; ∆BAD \ ∆CAE (LLL) ⇒rBDA \ rCEA; din rBDE \ rCED; [DE] \ [ED]; [BD] \ [CE] ⇒ ∆BDE \ ∆CED (LUL) ⇒ [BE] \ [CD]. 2. a) m(rAMB) = m(rACN) = 45° ⇒ MB || NC; b) [AM] \ [AB]; [AN] \ [AC] ⇒ m(rMAN) = = m(rBAC) = 90° ⇒ ∆AMN \ ∆ABC ⇒ [MN] \ [BC]. 3. a) AB || CD ⇒ rBAD \rADC. Cum rCAD \rBAD, avem rCAD \ \rADC; ∆CDA \ ∆BAD (LUL) ⇒ rCAD \ rADB ⇒ AC || BD. b) ∆ABC \ ∆ACD (ULU) ⇒ [AB] \ [AC] ºi [DC] \ [DB]. Punctele A ºi D fiind egal depãrtate de capetele segmentului BC vor fi situate pe mediatoarea acestuia, deci AD u BC.
Testul 7
Subiectul I: 1. a) 60°; b) 45°; 45°; 90°; c) 50°; 60°; 70°. 2. a) 28 cm 2; b) 21 cm2; c) 14 cm2. 3. a) 60°; b) 2; c) 1.
166 Subiectul al II-lea: 1. Fie AB O ED ={M}ºi AC O DF = {N}. a) ∆ADE isoscel ⇒ rEAM \ rDAM. ∆ADF isoscel ⇒ rDAN \ rFAN. m(rBAD) + m(rDAC) = 90° ⇒ m(rEAB) + m(rFAC) = 90°. Deci: m(rEAF) = 180° ⇒ E, A, F coliniare. b) Din BE = BD ⇒ ∆EBD isoscel; CD = CF ⇒ ∆CDF isoscel; ED || AC ⇒ rEDB \rACD; deducem cã rBED \ rBDE \ rDCN \rFCN . Din rBED \ rFCA; ED || AC ⇒ EB || FC. 2. a) QM mediatoarea [AD] ⇒ QD = QA; QN mediatoarea [AE] ⇒ QA = QE, deci QD = QE. b) ∆QAC \ ∆QEC (LLL) ⇒rQAC \ rQEC. Din ∆QAB\ ∆QDB (LLL) ⇒rQAB \rQDB. ∆QDC isoscel ⇒rQDE \rQED. Deci: rQDB \ rQAB \rQEC \ rQAC. 3. a) În ∆PBC, PD este înãlþime ºi medianã, deci ∆PBC isoscel. b) ∆ABE \ ∆ACF (ULU) ⇒ AE =AF, de unde EF || BC. BC u AD; EF || BC ⇒ EF u AD.
Testul 8 Subiectul I: 1. 20°; 60°; 100°; b) 80°; 80°; 20°; c) 40°; 60°; 80°. 2. a) 3 cm; b) 1 cm; c) 2 cm. 3. a) 130°; 25°; 25°; b) 155°; c) 25°. 4. a) 100°; b) 115°; c) 130°. Subiectul al II-lea: 1. a) 75°; 75°; 30°. b) ∆AEF este isoscel cu m(rEAF) = m(rEFA) = 30°. ∆ADE este dreptunghic cu 12 = 31 = 1 ⋅ 14 = 1 m(rDAE) = 30°. . 14 14 14 2. a) ∆EBC dreptunghic cu m(rBEC) = 90°; [EM] medianã ⇒ 34 = 12 . 1 12 ∆DBC dreptunghic cu m(rBDC) = 90°; [DM] medianã ⇒ 34 = . 1 123° 4 5 (1 23 ) Deci: EM = DM. b) ∆DMC: 5 (1452 ) = ; 6 123° 4 5 (1 23 ) ∆EMB: 5 (1452 ) = ; m(rEMD) = 180° m(rDMC) m(rEMB) = 60°. Din 6 m(rEMD) = 60°; EM = MD ⇒ ∆EMD echilateral. 3. a) ∆ABP \ ∆ACP (IC) ⇒rBAP \rCAP. Fie AP O BC = {O}. ∆BOP : BP = 2 · OP. 12 ⋅ 34 3 1 = 34 = 2 . ∆ABP : AP = 2 · BP = 4 · OP. ∆123 = 3∆243 12 ⋅ 45 45 1
167
Teste sumative Testul 1
Subiectul I
1
2
32; 34; 36; 38
3
4
12 121 3 4 5
105
5
4 5
6
6 5
7
2
8
a
b
c
a
b
c
4
8
15
110
55
90
Subiectul al II-lea 1. a) 111(x + y + z)x37; b) k = 18. 2. A = {0; 1; 2; 3}; B = {2; 3}. 3. a) m(rABC) = m(rACB) = 30°; m(rBDF) = m(rEDA) = 60°; m(rEAD) = 180° 120° = 60° ⇒ ∆EDA echilateral. ED = BD = DA ⇒ ∆BEA dreptunghic. b) Dacã M este mijlocul segmentului AC, atunci AE = AM = MC. ABAE = ABAM = ABMC , iar AEBD = AEDA. 1 23 1 23 1 23 = = =1 1345 2 ⋅ 14 3 2 ⋅ ( 4 ⋅ 1 23 ) 3 .
Testul 2
Subiectul I
1
2
a
b
3
–27
3
2
4
25
5
a
b
22; 23
22
6
7 a
2
{0; 1} 360
8
b
c
a
b
c
144
72
30
60
2
Subiectul al II-lea 1 ; b) 125. 2. a) 220 lei; b) 2 ani. 3. a) m(rAOB) = 50°; m(rBOC) = 100°; m(rCOD) = 120°; 1. a) 23 m(rDOA) = 90°; b) 175°.
Testul 3
Subiectul I
1
2
{0; 2; 3; 5; 6; 8; 9}
3
4
5
6
7
8
a
b
a
b
a
b
c
a
b
c
1 2
3 15 {1; 2} {1; 2; 3; 6} 4 2
6
4
18
72
144
30
60
45
Subiectul al II-lea 1. a) A = {G1; G2; G4}; B = {1; 0; 2; 3}. 2. 80 cm2. 3. a) 108 cm; b) 72 cm.
Testul 4
Subiectul I
1
2
a
b
–4
14
7
3
4
{4; 8} {11; 17}
5 11 2
6 1 3
7
8
a
b
c
a
b
c
45
15
2
6
9
3
168 Subiectul al II-lea 1 1. a) ; b) 1. 2. 5; 10; 15. 2 3. a) 5 ⋅
(1123) = (1124) = 234° ⇒
(1123) = 6 ⋅ (1124 ) ⇒
6 5 27 m(rACB) = 75° ºi m(rACD) = 105°. Notãm m(rOAB) = m(rBAC) = = m(rCAD) = x. În ∆ABO : m(rABO) = 135° x; în ∆ABC: m(rABC) = 105° x ⇒ (135° x) + (105° x) = 180° ⇒ x = 30° ⇒ m(rOAD) = 90°. b) m(rABC) = 105° 30° = 75°; m(rACB) = 75° ⇒ ∆ABC este isoscel.
Testul 5
Subiectul I
1
2
{3; 6; 9}
9
3
4
4
5
a
b
36
216
6
7
1 2
10
8
a
b
c
a
b
c
100
40
30
16
40
100
Subiectul al II-lea 1 ; c) 40. 2. (2; 6); (6; 2). 3. a) EC || AO ⇒ m(rBCE) = 90°; BE || OC ⇒ m(rCBE) = 30°. 1. a) 10; b) 23 În ∆CBE : m(rCEB) = 180° 90° 30° = 60°; m(rECF) = 90° 30° = 60°; deoarece m(rCEF) = = m(rECF) = 60°, triunghiul ECF este echilateral; b) ∆ABF \ ∆BCE (CU) ⇒ AF = BE.
Testul 6
Subiectul I
1 1 2
2
3
1; 2
1
4
5
23; 29
6
{1, 3, 4, 7, 9}
7
6
8
a
b
c
a
b
c
65
90
25
12
4
30
Subiectul al II-lea 1 1 1. a) ; b) . 2. x = 10, y = 5, z = 0. 3. a) m(rAOC) = 144°; b) 18°. 2 122
Testul 7
Subiectul I
1
–2
2
{0, 1, 2}
3
(–3)2
4
4,5
5
2
6 1 2
7
8
a
b
c
a
b
c
120
90
2
3 1
3 4
180°
Subiectul al II-lea 1. Fie d = (2n + 1; 3n + 1); d | (2n + 1) ºi d | (3n + 1) ⇒ d | 3(2n + 1) ºi d | 2(3n + 1) ⇒ d | [(6n + 3) (6n + 2)] ⇒ d | 1 ⇒ d = 1. 2. a) 50 km; b) 10 km; 12 km. 3. a) ∆ABM: BE bisectoare ºi înãlþime ⇒ AB = MB; ∆ABC: m(rBAC) = 90°; AM medianã ⇒ AM = BM = CM. Rezultã cã ∆ABM este echilaleral. b) ∆BDC: m(rDBC) = m(rDCB) = 30°.
