Matematica aplicada a Administração e Economia

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atemática aplicada a administração e economia apresenta uma abordagem intuitiva e de fácil compreensão, tornando-se um excelente material para utilização em sala de aula dos cursos universitários.

O autor usou de sua experiência no ensino de Administração e Ciências Humanas para buscar introduzir cada conceito matemático abstrato com um exemplo retirado de experiências comuns da vida real. Nesta edição, além de atualizações dos exemplos aplicados e também dos exercícios, muitos dos novos problemas envolvem temas atuais, como o aquecimento global, as vendas de smartphones, os encargos de cheques sem fundos e a produção de painéis solares. Além disso, foram mantidos muitos dos marcos que fizeram esta obra ser tão útil e bem recebida nas edições anteriores: • Material de revisão para reforçar as habilidades pré-requeridas de álgebra;

• Exercícios por seção para ajudar os alunos a compreender e aplicar os conceitos; • Seções opcionais de tecnologia para explorar ideias matemáticas e resolver problemas; • Seções de revisão ao final do capítulo para avaliar as habilidades de compreensão e resolução de problemas; • Características para incentivar maior exploração. Aplicações Livro-texto para as disciplinas de cálculo e matemática aplicada nos cursos de graduação em Administração e Economia.

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ISBN-13: 978-85-221-1646-1 ISBN-10: 85-221-1646-6

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9 788522 116461

MATEMÁTICA APLICADA A ADMINISTRAÇÃO E ECONOMIA

M

TRADUÇÃO DA 9ª EDIÇÃO NORTE-AMERICANA S. T. TAN

S. T. TAN


OUTRAS OBRAS

MATEMÁTICA APLICADA A ADMINISTRAÇÃO E ECONOMIA TRADUÇÃO DA 9ª EDIÇÃO NORTE-AMERICANA

S. T. TAN

MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO, ECONOMIA E CONTABILIDADE FUNÇÕES DE UMA E MAIS VARIÁVEIS Luiza Maria Oliveira da Silva e Maria Augusta Soares Machado

ESTATÍSTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO E ECONOMIA TRADUÇÃO DA 6ª EDIÇÃO NORTE-AMERICANA / 3ª EDIÇÃO BRASILEIRA Dennis J. Sweeney, Thomas A. Williams e David R. Anderson

INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA

Carlos Alberto F. Bispo, Luiz B. Castanheira e Oswaldo Melo S. Filho

PRÉ-CÁLCULO 3ª EDIÇÃO REVISTA E AMPLIADA

André Machado Caldeira, Luiza Maria Oliveira da Silva, Maria Augusta Soares Machado e Valéria Zuma Medeiros (coord.)

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MATEMÁTICA APLICADA A ADMINISTRAÇÃO E ECONOMIA Tradução da 9ª edição norte-americana

SOO T. TAN

STONEHILL COLLEGE REVISÃO TÉCNICA: RICARDO MIRANDA MARTINS Professor Doutor da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp)

TRADUÇÃO: FOCO TRADUÇÕES

Austrália • Brasil • Japão • Coreia • México • Cingapura • Espanha • Reino Unido • Estados Unidos

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SUMÁRIO Prefácio

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CAPÍTULO 1 Preliminares 1 1.1 Revisão I 3 1.2 Revisão II 15 1.3 O Sistema de Coordenadas Cartesianas 25 1.4 Retas 33 Capítulo 1 Resumo das Principais Fórmulas e Termos Capítulo 1 Questões Conceituais de Revisão 46 Capítulo 1 Exercícios de Revisão 46 Capítulo 1 Antes de Prosseguir... 48

46

CAPÍTULO 2 Funções, Limites e Derivadas 49 2.1 Funções e seus Gráficos 50 Usando Tecnologia: Representando Graficamente uma Função 63 2.2 A Álgebra de Funções 67 2.3 Funções e Modelos Matemáticos 75 PORTFÓLIO: Todd Kodet 82 Usando Tecnologia: Encontrando os Pontos de Interseção de Dois Gráficos e Modelando 2.4 Limites 97 Usando Tecnologia: Determinando o Limite de uma Função 116 2.5 Limites Unilaterais e Continuidade 118 Usando Tecnologia: Encontrando os Pontos de Descontinuidade de uma Função 132 2.6 A Derivada 135 Usando Tecnologia: Representando Funções e suas Retas Tangentes 152 Capítulo 2 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 154 Capítulo 2 Questões Conceituais de Revisão 155 Capítulo 2 Exercícios de Revisão 156 Capítulo 2 Antes de Prosseguir... 159 CAPÍTULO 3 Diferenciação 161 3.1 Regras Básicas da Diferenciação 162 Usando Tecnologia: Determinando a Taxa de Variação de uma Função 174 3.2 Regra do Produto e do Quociente 176 Usando Tecnologia: Regras do Produto e do Quociente 185 3.3 Regra da Cadeia 187 Usando Tecnologia: Determinando a Derivada de uma Função Composta 198 3.4 Funções Marginais em Economia 199 3.5 Derivadas de Ordem Superior 213 Usando Tecnologia: Determinando a Segunda Derivada de uma Função em um Ponto Dado 3.6 Diferenciação Implícita e Taxas Relacionadas 221 3.7 Diferenciais 234 Usando Tecnologia: Determinando a Diferencial de uma Função 243 Capítulo 3 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 245 Capítulo 3 Questões Conceituais de Revisão 245 Capítulo 3 Exercícios de Revisão 246 Capítulo 3 Antes de Prosseguir... 249 CAPÍTULO 4 Aplicações da Derivada 251 4.1 Aplicações da Primeira Derivada 252 Usando Tecnologia: Usando a Primeira Derivada para Analisar uma Função 4.2 Aplicações da Segunda Derivada 272 4.3 Esboçando Curvas 291 Usando Tecnologia: Analisando as Propriedades de uma Função 303

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Matemática Aplicada a Administração e Economia

4.4 4.5

Otimização I 305 Usando Tecnologia: Encontrando os Extremos Absolutos de uma Função Otimização II 320 Capítulo 4 Resumo dos Principais Termos 331 Capítulo 4 Questões Conceituais de Revisão 332 Capítulo 4 Exercícios de Revisão 332 Capítulo 4 Antes de Prosseguir... 335

319

CAPÍTULO 5 Funções Exponenciais e Logarítmicas 337 5.1 Funções Exponenciais 338 Usando Tecnologia 344 5.2 Funções Logarítmicas 346 5.3 Juros Compostos 353 Usando Tecnologia: Determinando o Valor Acumulado de um Investimento, a Taxa de Juros Efetiva e o Valor Presente de um Investimento 5.4 Derivadas de Funções Exponenciais 368 Usando Tecnologia 378 5.5 Derivadas das Funções Logarítmicas 380 5.6 Modelos Matemáticos que Usam Funções Exponenciais 388 PORTFÓLIO: Carol A. Reeb, Ph.D. 389 Usando Tecnologia: Analisando Modelos Matemáticos 400 Capítulo 5 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 402 Capítulo 5 Questões Conceituais de Revisão 403 Capítulo 5 Exercícios de Revisão 403 Capítulo 5 Antes de Prosseguir... 405

367

CAPÍTULO 6 Integração 407 6.1 Antiderivadas e as Regras de Integração 408 6.2 Integração por Substituição 422 6.3 Área e a Integral Definida 431 6.4 O Teorema Fundamental do Cálculo 440 PORTFÓLIO: Molly H. Fisher, David C. Royster e Diandra Leslie-Pelecky 441 Usando Tecnologia: Calculando Integrais Definidas 451 6.5 Calculando Integrais Definidas 452 Usando Tecnologia: Calculando Integrais Definidas para Funções Definidas por Partes 6.6 Área entre Duas Curvas 464 Usando Tecnologia: Encontrando a Área entre Duas Curvas 475 6.7 Aplicações da Integral Definida em Negócios e Economia 476 Usando Tecnologia: Aplicações em Administração e Economia / Exercícios de Tecnologia Capítulo 6 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 489 Capítulo 6 Questões Conceituais de Revisão 491 Capítulo 6 Exercícios de Revisão 491 Capítulo 6 Antes de Prosseguir... 495 CAPÍTULO 7 Tópicos Adicionais de Integração 497 7.1 Integração por Partes 498 7.2 Integração Usando Tabelas de Integrais 505 7.3 Integração Numérica 512 7.4 Integrais Impróprias 526 7.5 Volumes de Sólidos de Revolução 534 Capítulo 7 Resumo das Principais Fórmulas e Termos Capítulo 7 Questões Conceituais de Revisão 542 Capítulo 7 Exercícios de Revisão 543 Capítulo 7 Antes de Prosseguir... 544

541

CAPÍTULO 8 Cálculo de Várias Variáveis 545 8.1 Funções de Várias Variáveis 546 8.2 Derivadas Parciais 557 PORTFÓLIO: Karthik Ramachandran 559 Usando Tecnologia: Determinando Derivadas Parciais em um Ponto Dado

571

462

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Sumário

8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8

Índice Remissivo

Máximos e Mínimos de Funções com Várias Variáveis 572 O Método dos Mínimos Quadrados 583 Usando Tecnologia: Determinando a Equação da Reta dos Mínimos Quadrados 592 Máximos e Mínimos Restritos e o Método dos Multiplicadores de Lagrange 594 Diferenciais Totais 605 Integrais Duplas 612 Aplicações das Integrais Duplas 618 Capítulo 8 Resumo dos Principais Termos 625 Capítulo 8 Questões Conceituais de Revisão 626 Capítulo 8 Exercícios de Revisão 626 Capítulo 8 Antes de Prosseguir... 629 IR1

CAPÍTULOS ADICIONAIS DISPONÍVEIS EM PDF NA TRILHA CAPÍTULO ADICIONAL 9

Equações Diferenciais 631 9.1 Equações Diferenciais 632 9.2 Separação de Variáveis 638 9.3 Aplicações das Equações Diferenciais Separáveis 644 9.4 Soluções Aproximadas de Equações Diferenciais 655 Capítulo 9 Resumo dos Principais Termos 661 Capítulo 9 Questões Conceituais de Revisão 661 Capítulo 9 Exercícios de Revisão 661 Capítulo 9 Antes de Prosseguir... 663

CAPÍTULO ADICIONAL 10

Probabilidade e Cálculo 665 10.1 Distribuições de Probabilidade de Variáveis Aleatórias 666 Usando Tecnologia: Esboçando um Histograma 678 10.2 Valor Esperado e Desvio Padrão 679 PORTFÓLIO: Gary Li 682 Usando Tecnologia: Encontrando o Valor Médio e o Desvio Padrão 10.3 Distribuições Normais 695 Capítulo 10 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 706 Capítulo 10 Questões Conceituais de Revisão 706 Capítulo 10 Exercícios de Revisão 707 Capítulo 10 Antes de Prosseguir... 708



Polinômios de Taylor e Séries Infinitas 709 11.1 Polinômios de Taylor 710 11.2 Sequências Infinitas 720 11.3 Séries Infinitas 727 11.4 Séries com Termos Positivos 739 11.5 Série de Potências e Série de Taylor 748 11.6 Mais Informações sobre a Série de Taylor 757 11.7 Método de Newton 764 Usando Tecnologia: Método de Newton 773 Capítulo 11 Resumo das Principais Fórmulas e Termos Capítulo 11 Questões Conceituais de Revisão 774 Capítulo 11 Exercícios de Revisão 775 Capítulo 11 Antes de Prosseguir... 776

693

774

Funções Trigonométricas 777 12.1 Medidas de Ângulos 778 12.2 As Funções Trigonométricas 783 12.3 Diferenciação das Funções Trigonométricas 791 Usando Tecnologia: Analisando Funções Trigonométricas 802 12.4 Integração de Funções Trigonométricas 804 Usando Tecnologia: Calculando Integrais de Funções Trigonométricas

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Matemática Aplicada a Administração e Economia Capítulo 12 Resumo das Principais Fórmulas e Termos Capítulo 12 Questões Conceituais de Revisão 812 Capítulo 12 Exercícios de Revisão 813 Capítulo 12 Antes de Prosseguir... 814

APÊNDICE A A.1 A.2 A.3 A.4

A Inversa de uma Função 816 Gráficos de Funções Inversas 818 Funções que Possuem Inversas 818 Determinando a Inversa de uma Função

B.1 B.2

Formas Indeterminadas 821 As Formas Indeterminadas 0/0 e ⬁/⬁ e a Regra de l’Hôpital

C.1

Distribuição Normal Padrão

819

APÊNDICE B

APÊNDICE C Respostas

829

826

821

811

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PREFÁCIO Matemática Aplicada a Administração e Economia é destinado ao uso em um curso introdutório de cálculo de dois semestres ou três trimestres para estudantes de Administração e Ciências Humanas. Ao preparar a 9a Edição, levei em conta dois objetivos antigos: (1) escrever um texto aplicado que motivasse os alunos e (2) constituir uma ferramenta de ensino útil para professores. Por trás disso está a minha crença de que a matemática é parte integrante do nosso dia a dia. Entre as lições mais importantes que aprendi durante os muitos anos de ensino em cursos de graduação de matemática, chamou-me a atenção uma delas: é que a maioria dos estudantes – desta ou de outras áreas – responde melhor quando conceitos e resultados matemáticos são introduzidos por meio de ilustrações da vida real. Em minha experiência no ensino de Administração e Ciências Humanas, também aprendi que muitos alunos chegam a esses cursos com algum grau de conhecimento. Esse saber me levou a adotar nos meus livros uma abordagem intuitiva. Como vocês verão, busco introduzir cada conceito matemático abstrato com um exemplo retirado de experiências comuns da vida real. Só após expressar a ideia, tento dar-lhe uma maior precisão, impedindo a perda do rigor matemático no tratamento intuitivo. Outra lição aprendida com meus alunos é que sua motivação é maior quando as aplicações partem de seus campos de interesse e de situações cotidianas. Esse é um dos motivos por que vocês verão em meus textos vários exercícios construídos com dados retirados de jornais, revistas e outras mídias. Tento introduzir tópicos de interesse atual, como o mercado de medicamentos redutores de colesterol, financiamento de casas, licitações de direitos de transmissão na televisão a cabo, domicílios com conexões de banda larga, ou vendas anuais do Starbucks, buscando manter o livro atrativo para todos os meus leitores.

A ABORDAGEM Nível de Apresentação Minha abordagem é intuitiva, e os resultados são enunciados informalmente. No entanto, tomei cuidados especiais para garantir que essa abordagem não comprometa o conteúdo e a precisão matemática. Abordagem de Resolução de Problemas A abordagem de resolução de problemas é destacada durante o livro. Diversos exemplos e aplicações ilustram cada novo conceito e resultado. Especialmente, os alunos são ajudados a formular, resolver e interpretar os resultados dos problemas que envolvem aplicações. Como os alunos geralmente têm dificuldade em estabelecer e resolver problemas matemáticos, uma maior atenção é dada para ajudá-los a dominar essas habilidades: ■ ■ ■

■

No início do texto, os alunos praticam o estabelecimento de problemas matemáticos (veja a Seção 2.3). Orientações são dadas para ajudar a formular e resolver problemas de taxas relacionadas na Seção 3.6. No Capítulo 4, duas seções abrangem os problemas de otimização. Na primeira, as técnicas de cálculo são utilizadas para resolver problemas em que a função a ser otimizada é dada (Seção 4.4); na segunda, são tratados os problemas de otimização que requerem a etapa adicional de formulação do problema (Seção 4.5). No Capítulo 9, “Equações Diferenciais”, os alunos são novamente incentivados a estabelecer problemas que envolvem aplicações (veja a Seção 9.1), antes de serem apresentados aos métodos de solução desses problemas nas Seções 9.2-9.4.

Introdução Intuitiva aos Conceitos Quando adequado, os conceitos matemáticos são introduzidos com exemplos reais do cotidiano. Abaixo estão alguns dos tópicos que são introduzidos dessa maneira: ■ Limites: O Movimento de um Maglev ■ A álgebra de funções: O Déficit Orçamentário Norte-Americano ■ A Regra da Cadeia: A População de Norte-Americanos com 55 Anos ou Mais ■ Diferenciais: Calculando Pagamentos Hipotecários ■ Funções crescentes e decrescentes: A Economia de Combustível de um Automóvel ■ Concavidade: O Crescimento Populacional nos Estados Unidos e no Mundo

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Pontos de inflexão: O Ponto de Retorno Decrescente Esboço de curvas: O Índice Dow Jones na “Segunda-feira Negra” Funções exponenciais: Distribuição de Renda da Família Norte-Americana Área entre duas curvas: Economia de Petróleo com Medidas Conservativas Aproximando integrais definidas: O Fluxo Cardíaco

Conexões Um exemplo (o maglev) é utilizado como fio condutor ao longo do desenvolvimento do cálculo - desde os limites até a integração. O objetivo aqui é mostrar aos alunos as conexões entre os conceitos apresentados: limites, continuidade, taxas de variação, a derivada, a integral definida, e assim por diante. Motivação A ilustração do valor prático da matemática nas áreas aplicadas é um objetivo da minha abordagem. Muitas das aplicações são baseadas em modelos matemáticos (funções) que construí utilizando dados retirados de diversas fontes, incluindo jornais atuais, revistas e internet. As fontes são dadas no texto desses problemas aplicados. Modelagem Acredito que uma das habilidades importantes que um aluno deve adquirir é a habilidade de traduzir um problema real em um modelo matemático que pode oferecer a compreensão sobre esse problema. Na Seção 2.3, o processo de modelagem é discutido, e pede-se aos alunos que utilizem os modelos (funções) construídos com base em dados reais para responder às questões. Os alunos adquirem uma experiência prática ao construir esses modelos nas seções Usando Tecnologia.

NOVIDADES DESTA EDIÇÃO Incentivando Aplicações da Vida Real Entre as muitas novidades e atualizações dos exemplos aplicados e dos exercícios, estão os problemas que envolvem o aquecimento global, a solvência dos fundos fiduciários do Instituto de Seguridade Social dos Estados Unidos, o Índice de Preço de Imóveis Case-Shiller, as vendas de smartphones, os encargos de cheques sem fundos, a produção de painéis solares, a tática de cobertura do México, o Índice de Gini, os usuários do Facebook, o público de e-books, o crescimento das cooperativas de crédito, o tempo de espera para um show nas “Fontes de Bellagio” e os usuários de telefone celular na China.

EXEMPLO APLICADO 2 Aquecimento Global O aumento de dióxido de carbono (CO2) na atmosfera é uma das principais causas do aquecimento global. A curva de Keeling, cujo nome é em homenagem a Charles David Keeling, um professor do Scripps Institution of Oceanography, fornece a quantidade média de CO2, medida em partes por milhão em volume (ppmv), na atmosfera, de 1958 a 2010. Ainda que os dados estivessem disponíveis para cada ano nesse intervalo, construiremos a curva com base apenas nos seguintes pontos de dados selecionados aleatoriamente. Ano Quantidade

1958

1970

1974

1978

1985

1991

1998

2003

2007

2010

315

325

330

335

345

355

365

375

380

390

O diagrama de dispersão associado a esses dados encontra-se na Figura 18a. Um modelo matemático que fornece uma aproximação da quantidade de CO2 na atmosfera durante esse período é dado por A(t)

0,012313t 2

0,7545t

313,9

(1

t

53)

Modelagem com Dados Como na edição anterior, os exercícios de modelagem com dados são encontrados em várias seções Usando Tecnologia em todo o texto. Aqui, os alunos podem realmente ver como são construídas algumas das funções encontradas nos exercícios. Muitas dessas aplicações foram atualizadas, e alguns exercícios novos foram adicionados.

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Prefácio

Conectando-se à Tecnologia Toda a arte nas seções “Usando Tecnologia” foi refeita. As telas da calculadora científica agora mostram as escalas numeradas em ambos os eixos, tornando mais fácil para os alunos a utilização e a compreensão desses gráficos. Muitas das aplicações nos exemplos e exercícios das seções Usando Tecnologia foram atualizadas.

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7. Falência de Banco O banco Haven Trust de Duluth, no estado da Georgia, fundado em 2000, aumentou rapidamente seu portfólio de investimentos de risco no setor imobiliário, apesar de muitos alertas dos órgãos reguladores. O banco faliu em dezembro de 2008. O volume de empréstimos imobiliários do banco, em relação ao percentual de seu capital, é estimado pela função f 1t 2 ⫽ ⫺5,92t 4 ⫹ 58,89t 3 ⫺ 165,75t 2 ⫹ 56,21t ⫹ 629 10 ⱕ t ⱕ 52

onde t ⫽ 0 corresponde ao início do ano 2003. a. Trace o gráfico de f, usando a janela retangular [0, 5] ⫻ [0, 650]. b. Mostre que em nenhum momento, durante o período compreendido entre o início do ano 2003 até o começo de 2008, o montante de financiamento imobiliário, em relação ao percentual do capital do banco, ficou abaixo de 415%. Observação: A porcentagem máxima recomendada pelos órgãos reguladores em 2008 era de 100%. Fonte: FDIC Office of Inspector General.

Variedade de Tipos de Problema Questões de memorização, questões de falso ou verdadeiro e questões conceituais foram adicionadas ao longo do texto para aprimorar os conjuntos de exercícios. Soluções Cuidadosamente Concebidas O Manual Completo de Soluções foi completamente renovado. Todas as novas artes foram criadas para o manual, e as soluções foram revisadas e simplificadas para facilidade de uso. Como em edições anteriores, as soluções para todos os exercícios foram escritas pelo autor. Gráficos Aprimorados As ilustrações tridimensionais na Seção 7.5 e no Capítulo 8 foram rez feitas para que os aluz f (x, y) nos vejam com maior facilidade os conceitos descritos em 3D. Por z k exemplo, a Figura 7 na Seção 8.1 agora mostra 0 y o traço do gráfico de z = x k f (x, y) f (x, y) e o plano z = k e C sua projeção sobre o (a) A curva de nível C com a equação f (x, y) k é projeção do traço de f no plano z k sobre o plano xy plano xy (Figura 7a) e a curva de nível correspondente (Figura 7b).

y

f (x, y)

k

C

0

x

FIGURA 7

(b) A curva de nível C

Mudanças Específicas de Conteúdo ■ Os Exemplos 4, 7b e 10c foram adicionados à Seção 1.1. ■ O Exemplo Aplicado 4 na subseção “Usando Tecnologia” da Seção 2.2 foi refeito. Os gráficos de déficit orçamentário que são utilizados como motivação para a introdução da Seção 2.2, “A Álgebra de Funções”, foram refeitos para refletir os números atuais de déficit. Um novo exercício conceitual gráfico foi adicionado na Seção 2.2. Na Seção 2.3, “Funções e Modelos Matemáticos”, foram construídos novos modelos para os quatro primeiros exemplos aplicados – Encargos de Cheques Sem Fundo, Aquecimento Global, Ativos do Fundo Fiduciário do Instituto de Seguridade Social e Custos de Direção.

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■

■

■

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Os Exemplos Aplicados 8 nas Seções 3.1 e 3.3 foram modificados. Na Seção 3.4, a subseção sobre a Elasticidade da Demanda foi reescrita e a discussão simplificada. Na Seção 3.6, “Diferenciação Implícita e Taxas Relacionadas”, dois novos exemplos foram adicionados. O Exemplo 5 ilustra o processo de encontrar implicitamente a segunda derivada de uma função, e o Exemplo Aplicado 6 é uma aplicação econômica utilizada para introduzir a taxa marginal de substituição técnica (TMST). No Capítulo 4, as curvas orçamentárias utilizadas para motivar os extremos relativos foram atualizadas para refletir o déficit atual. Sete novos exercícios gráficos foram adicionados ao Conjunto de Exercícios 4.2, incluindo Boatos de uma Corrida ao Banco e o Índice de Preço de Imóveis Case-Shiller. A aplicação Idade Média de Automóveis, utilizada para motivar o conceito de extremo absoluto na Seção 4.4, foi atualizada. O Exemplo Aplicado 7 nessa seção também foi modificado. Do Capítulo 5 ao 7, várias aplicações novas e únicas foram adicionadas aos conjuntos de exercícios. Entre estas, Roubo Farmacêutico, Lobby Federal, Total de Procedimentos de Substituição de Joelho, Tática de Cobertura do México, Déficit do Reino Unido, Gastos do Consumidor em Entretenimento e Custos Médicos para os Veteranos. Na Seção 5.3, os exemplos e os exercícios foram atualizados para refletir as atuais taxas de juros mais baixas. A Seção 5.4 é agora introduzida por um novo modelo para a distribuição de renda nos Estados Unidos em 2010. Duas novas aplicações no Índice de Gini nos Estados Unidos foram adicionadas ao conjunto de exercícios 7.2 para a integração numérica. A ilustração tridimensional na Seção 7.5 e no Capítulo 8 foi refeita. Os novos gráficos tornam a visão dos conceitos descritos em 3D mais fácil para os alunos.

CARACTERÍSTICAS CONFIÁVEIS Além das novas características, mantivemos muitos dos marcos que fizeram esta série ser tão útil e bem recebida nas edições anteriores: ■ ■ ■ ■ ■

Material de revisão para reforçar as habilidades pré-requeridas de álgebra Exercícios por seção para ajudar os alunos a compreender e aplicar os conceitos Seções opcionais de tecnologia para explorar ideias matemáticas e resolver problemas Seções de revisão ao final do capítulo para avaliar as habilidades de compreensão e resolução de problemas Características para incentivar uma maior exploração

A Revisão de Álgebra Oferece aos Alunos um Plano de Ação Um Exercício de Diagnóstico antecede a revisão de álgebra. Cada questão é referenciada pela seção e pelo exemplo no texto em que o tópico relevante pode ser revisado. Os alunos podem usar esse exercício para diagnosticar seus pontos fracos e revisar o material conforme necessário.

Testes de Conhecimento 1. a. Avalie a expressão: 16 3/2 27 (i) a b (ii) 3 9 B 125

b. Reescreva a expressão usando somente expoentes positivos: (x 2 y 1 )3 (Expoentes e radicais, Exemplos 1 e 2, páginas 6-7) 2 3 x 2. Racionalize o numerador B yz 3 (Racionalização, Exemplo 5, página 7)

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Prefácio

Revisão de Álgebra Posicionada Onde os Alunos Mais Precisam Notas de revisão de álgebra bem posicionadas, vinculadas ao capítulo de revisão, aparecem ao longo do texto em lugares onde os alunos mais precisam. Estas são indicadas pelo ícone (x2) .

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EXEMPLO 6 Calcule: lim

11

hS0

1

h h

Solução

Fazendo h tender a zero, obtemos a forma indeterminada 0/0. Em seguida, racionalizamos o numerador do quociente multiplicando numerador e denominador pela expressão 1 11 h 1 2 e obtemos 11

h h

1 11

1

h

1 21 11

h1 11 h 1 h 1 h1 11 h 1 2 h h1 11 h 1 2 1 11 h 1

h

12

1 1a

12

1b2 1 1a

(x2) Veja página 19. 1b 2

a

b

Portanto, lim

hS0

11

h h

1

Testes de Conhecimento Oferecendo aos alunos um feedback imediato sobre os conceitos- 7.1 Testes de Conhecimento -chave, os Testes de 2 Conhecimento dão iní- 1. Calcule x ln x dx. 2. Desde a inauguração da Ryan’s Express no início de cio a cada conjunto de 2009, o número de passageiros (em milhões) que voam nessa companhia tem crescido a uma taxa de exercícios ao final da seção. Suas soluções R1t2 0,1 0,2te completas podem ser encontradas no final de cada seção de exercícios. 0,4t

Questões Conceituais Desenvolvidas para testar a compreensão dos conceitos básicos 7.1 Questões Conceituais discutidos na seção, as Questões Conceituais 1. Escreva a fórmula de integração por partes. 2. Explique como você escolheria u e dv quando se utiliza encorajam o estudante a fórmula de integração por partes. Ilustre a sua resposta a explicar os conceitos aprendidos com suas próprias palavras.

lim

hS0

11

1 h

1

1 11 1

1 2

passageiros/ano (t 0 corresponde ao início de 2009). Supondo-se que essa tendência se mantenha até 2013, determine quantos passageiros voaram pela Ryan’s Express por esse tempo. As soluções dos Testes de Conhecimento 7.1 podem ser encontradas na página 504.

com x 2e x dx. O que acontece se você inverter suas escolhas de u para d√?

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Exercícios Cada seção de exercícios contém um amplo conjunto de problemas de natureza computacional rotineira, seguidos por um extenso conjunto de problemas orientados para aplicações.

7.1

Exercícios

Nos exercícios 1 a 26 encontre cada integral indefinida.

1.

xe 2x dx

2.

xe

3.

1 x/4 xe dx 2

4.

6 xe3x dx

6.

1e

5. 7. 9. 11.

1e x 1x

x 1x

x 1x

x 2 2 dx

1 2 e x dx 12

3/2

5 dx

8. dx

10. 12.

1x

x1x

x

21.

x 2 2 dx

x

42

3

2

x ln 2x dx

15.

x 3 ln x dx

16.

1x ln x dx

ln x dx x3

20.

ln x dx

ln 1x e

1x

ln x e d√

1 2 dx

dx.

x 2e

23.

25.

x

dx

Dica: Integrar por partes duas vezes.

dx

Dica: Primeiro faça a substituição u por partes.

2

14.

18.

24.

dx

dx

x ln 2x dx

1x ln 1x dx

22.

3 2 e 3x dx

3x 12x

ln x dx x2

Dica: Sendo u

13.

17.

19.

dx

1x; em seguida integre

x1ln x 2 2 dx

Dica: Integre por partes duas vezes.

26.

x ln 1x

1 2 dx

Dica: Primeiro, faça a substituição u por partes.

ln x dx 1x

x

1; depois integre

Usando Tecnologia Usando Os recursos opcionais de TECNOLOGIA Usando Tecnologia aparecem após os exercícios da Apesar de a prova estar fora do escopo deste livro, pode ser demonstrado que uma funseção. Eles podem ser utilição exponencial da forma f(x) bx, onde b 1, cresce mais rápido que qualquer funzados em sala de aula, caso ção de potência t(x) x n, para qualquer número real positivo n. Para visualizar esse desejado, ou como material resultado no caso especial da função exponencial f(x) ex, podemos usar uma calculadora com recursos gráficos e fazer ambos os gráficos de f e t (fixados alguns valores para estudo individual. Aqui, de n) no mesmo plano cartesiano em uma janela retangular apropriada e observar que a calculadora científica é o gráfico de f está acima do gráfico de t. usada como uma ferramenta na resolução de problemas. EXEMPLO 1 Use uma calculadora com recursos gráficos para fazer os gráficos de (a) f(x) ex e t(x) x3 nos mesmos eixos cartesianos na janela retangular [0, 6] Essas seções são escritas no [0, 250] e (b) f(x) ex e t(x) x5 na janela retangular [0, 20] [0, 1.000.000]. formato tradicional exemSolução plo-exercício, com resposa. Os gráficos de f(x) e x e t(x) x 3 na janela retangular [0, 6] [0, 250] estão estas dadas ao final do livro. boçados na Figura T1a. b. Os gráficos de f(x) e x e t(x) x 5 na janela retangular [0, 20] [0, 1.000.000] Ilustrações com telas de calestão esboçados na Figura T1b. culadoras científicas são 250 1 000 000 usadas extensivamente. Seguindo o tema da motivação por meio de exemplos da vida real, muitas aplicações 6 20 com fontes estão incluídas. 0 0 Os alunos podem construir (a) Os gráficos de f(x) e e (b) Os gráficos de f(x) e e g(x) x na janela retangular g(x) x na janela retangular seus próprios modelos utiliFIGURA T1 [0, 6] [0, 250] [0, 20] [0, 1,000,000] zando dados reais em diversas seções Usando Tecnologia. Estes incluem modelos para o crescimento da indústria indiana de videogame, gastos com planos de saúde, proprietários de TiVo, teor de nicotina dos cigarros, segurança do computador, jogos on-line, entre outros. Um Índice de Orientações de Tecnologia está incluído ao final do livro para referência. x

3

x

5

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Prefácio

Explorando com Tecnologia Concebidas para explorar conceiExplorando com tos matemáticos e esclarecer TECNOLOGIA ainda mais os exemplos, as quesPara comprovar visualmente o fato de a expressão (1 1>m)m aproximar-se tões opcionais de Explorando do número e 2,71828. . . à medida que m cresce ilimitadamente, faça o grácom Tecnologia aparecem ao fico de f(x) (1 1>x)x, utilizando uma janela retangular adequada no visor longo do corpo principal do texto de sua calculadora, e observe que f(x) se aproxima de 2,71828... com o aue servem para que os estudantes mento crescente do valor de x. Use ZOOM e TRACE para encontrar o valor aprimorem sua compreensão dos de f(x) para valores grandes de x. conceitos e teoria apresentados. Geralmente, uma solução gráfica ou numérica é acrescentada à solução de um exemplo no texto. Resumo das Principais Fórmulas e Termos Cada seção de revisão inicia com o Resumo, que destaca equações e termos relevantes com remissão do número da página para fácil revisão.

Resumo das Principais Fórmulas e Termos

Capítulo 5 FÓRMULAS

1. Função exponencial com base b

y

2. O número e

e

3. Função exponencial com base e

y

e

4. Função logarítmica com base b

y

log b x

5. Função logarítmica com base e

y

ln x

6. Propriedades inversas de ln x e e x 7. Juros compostos (quantia acumulada)

ln e x A

8. Taxa de juros efetiva

reff

9. Juros compostos (valor presente)

P

10. Juros compostos contínuos

A

11. Derivada de uma função exponencial 12. Regra da cadeia para função exponencial 13. Derivada de uma função logarítmica 14. Regra da cadeia para funções logarítmicas

TERMOS logaritmo comum (346) logaritmo natural (346) juros compostos (354) diferenciação logarítmica (382)

Questões Conceituais de Revisão As Questões Conceituais de Revisão oferecem aos estudantes a possibilidade de verificar seu conhecimento das definições e dos conceitos básicos apresentados em cada capítulo.

bx

x

x e

eln x

a1

r b m

A a1

Pert

d u 1e 2 dx

d ln 0 x 0 dx

d ln 0 u 0 dx

x

r mt b m r m b 1 m

P a1

d 1e x 2 dx

2,71828p

mt

ex eu

du dx 1 x 1 du u dx

crescimento exponencial (389) crescimento constante (389) decaimento exponencial (390) decaimento constate (390)

meia-vida de uma substância radioativa (391) função logística de crescimento (394)

Questões Conceituais de Revisão

Capítulo 5 Preencha as lacunas.

1. A função f(x) xb (b, um número real) é chamada função bx, onde b ________, enquanto a função t(x) ________, e b ________, é chamada de função ________. 2. a. O domínio da função y 3x é ________, e sua imagem é ________. b. O gráfico da função y 0,3x passa pelo ponto ________ e é decrescente em ________. 3. a. Se b 0 e b 1, então a função logarítmica y logb x tem domínio ________ e imagem ________; seu gráfico passa pelo ponto ________. b. O gráfico de y logb x é decrescente se b ________ e crescente se b ________. 4. a. Se x

1 m b m

lim a 1

mS

0, então eln x

________.

compostos continuamente, por t anos, então um valor principal de P dólares terá um valor acumulado de A ________ dólares. e f (x), onde f é uma função diferenciável, 8. a. Se t(x) então t (x) ________. b. Se t(x) ln f(x), onde f(x) 0 é uma função diferenciável, então t (x) ________. 9. a. No modelo de crescimento exponencial irrestrito Q Q0ekt, Q0 representa a quantidade presente ________, e k é chamada constante de ________. b. No modelo de decaimento exponencial Q Q0e kt, k é chamado constante de ________. c. A meia-vida de uma substância radioativa é o ________ necessário para que a substância decaia até a ________ ________ de sua quantidade original.

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Exercícios de Revisão Oferecendo uma revisão contínua do material do capítulo, os Exercícios de Revisão contêm exercícios computacionais rotineiros seguidos por problemas aplicados.

Exercícios de Revisão

Capítulo 5

1. Desenhe no mesmo plano cartesiano os gráficos das funções exponenciais definido pelas equações a. y

2

b. y

x

1 x a b 2

Nos exercícios 2 e 3, reescreva as equações usando logaritmos.

2 2. a b 3

3

27 8

3. 16

3/4

0,125

5. ln 1x

12 12

2 ln 4

ln 12x

42

ln 2

Nos exercícios 6 a 8, dado que ln 2 x, ln 3 y, e ln 5 z, expresse cada um dos logaritmos dados em termos de x, y e z.

6. ln 30

Antes de Prosseguir... Encontrados no final de cada revisão do capítulo, os exercícios de Antes de Prosseguir oferecem aos estudantes a chance de verificar se dominaram as habilidades computacionais básicas desenvolvidas no capítulo.

7. ln 3,6

9. Represente o gráfico da função y

Capítulo 5

8. ln 75 log2 (x

1).

13. Quanto tempo levará para um investimento de US$ 10.000 crescer para US$ 15.000, se o investimento rende uma taxa de juros de 6% ao ano, capitalizada trimestralmente? 14. Encontre a taxa de juros nominal que rende uma taxa de juros efetiva a 8% ao ano capitalizada trimestralmente.

3).

Antes de Prosseguir...

100 40 para t. 1 2e0,3t 2. Encontre a quantia acumulada depois de quatro anos, considerando-se que US$ 3.000 foram investidos a 8% ao ano, capitalizados semanalmente. 1. Resolva a equação

3. Encontre o declive da reta tangente no gráfico de f 1x 2 e1x. 4. Encontre a taxa na qual y

Explore e Discuta As questões opcionais de Explore e Discuta podem ser usadas em sala de aula ou atribuídas como atividade extraclasse. Essas questões geralmente requerem mais esforço e reflexão do que os exercícios usuais. Elas também podem ser utilizadas para adicionar um componente de escrita às aulas ou como projetos de equipe.

log3 (x

12. Qual é a taxa de juros necessária para um investimento de US$ 10.000 crescer para a quantia de US$ 12.000 em três anos, se os juros são capitalizados trimestralmente?

Nos exercícios 4 e 5, resolva as equações para a variável x.

4. log4 12x

10. Represente o gráfico da função y

11. A soma de US$ 10.000 é depositada em um banco. Qual será a quantia na conta depois de dois anos, se o banco paga uma taxa de juros composto de 6% ao ano (a) diariamente (supondo 365 dias por ano) e (b) continuamente.

x ln(x2

1) varia em x

1.

5. Encontre a segunda derivada de y

e2x ln 3x.

6. A temperatura de uma xícara de café no tempo t (em minutos) era T 1t2

70

ce

kt

Inicialmente, a temperatura do café era de 200 ºF. Três minutos depois, era de 180 ºF. Quando a temperatura do café estará em 150 ºF?

Explore e Discuta

O preço médio da gasolina na bomba ao longo de um período de três meses, durante o qual houve uma escassez temporária de petróleo, é descrito pela função f definida no intervalo [0, 3]. Durante o primeiro mês, o preço foi crescente em uma taxa crescente. Começando o segundo mês, a boa notícia foi que a taxa de crescimento diminuiu, apesar de o preço do combustível ainda estar aumentando. Esse padrão continuou até o final do segundo mês. O preço da gasolina atingiu o pico em t 2 e começou a cair a uma taxa crescente até t 3. 1. Descreva os sinais de f (t) e f (t) sobre cada um dos intervalos (0, 1), (1, 2) e (2, 3). 2. Faça um esboço que mostre um gráfico plausível de f sobre [0, 3].

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Prefácio

Portfólios As experiências no mundo real de uma variedade de profissionais que utilizam a matemática no local de trabalho são narradas nas entrevistas do Portfólio. Entre os entrevistados estão Gary Li, um associado na JPMorgan Chase, e Todd Kodet, Vice-Presidente Sênior de Suprimentos da Earthbound Farm.

PORTFÓLIO

XIX

Carol A. Reeb, Ph.D. CARGO Pesquisadora Adjunta INSTITUIÇÃO Estação da Marinha Hopkins, Universidade de Stanford

Historicamente, pensava-se que os oceanos proporcionariam uma ilimitada fonte de pesca a baixo custo. No entanto, em um mundo onde a população humana excede 6 bilhões de pessoas, a pesca excessiva impulsionou um terço de toda a pesca marinha para um estado de colapso. Como uma geneticista em pescaria na Estação da Marinha Hopkins, estudo populações marinhas para colheitas comerciais e uso modelos exponenciais no meu trabalho. A equação que determina o tamanho da população que cresce ou decai exponencialmente é xt x0ert, onde x0 é a população inicial, t é o tempo e r é o crescimento ou declínio constante (positivo para crescimento e negativo para declínio). Essa equação tanto pode ser usada para estimar a população do passado quanto a do futuro. Sabemos que a demanda por produtos da pesca cresce conforme a população cresce, causando assim, eventualmente, o declínio da população ma-

rinha. Por conta de a diversidade genética estar ligada ao tamanho da população, a função exponencial é útil para modelar mudanças na população de pesca e seus conjuntos genéticos ao longo do tempo. Curiosamente, funções exponenciais podem, também, ser usadas para modelar o aumento do valor de mercado de frutos do mar nos Estados Unidos ao longo dos últimos 60 anos. Em geral, o preço dos frutos do mar tem crescido exponencialmente, embora o preço tenha sido brevemente estabilizado em 1995. Embora as curvas exponenciais sejam importantes no meu trabalho, nem sempre são a melhor opção. As curvas exponenciais são mais bem aplicadas em prazos curtos, quando o meio ambiente e o mercado são ilimitados. Para longos períodos, a função logística de crescimento é mais adequada. Em minha pesquisa, selecionar o modelo mais exato exige a análise de diversas possibilidades. Michel Le Tallec; (inset) © Rich Carey/Shutterstock.com

MATERIAIS DE ENSINO (www.webassign.net) Exclusivo da Cengage Learning, Enhanced WebAssign oferece um extenso programa on-line para incentivar a prática, tão importante para o domínio de conceitos. Feedback imediato e facilidade de uso são apenas duas razões pelas quais o sistema de atividades extraclasse é o mais utilizado no ensino superior. O Enhanced WebAssign permite que você atribua, receba, dê notas e registre atividades via web e inclui links para conteúdos específicos ao texto, exemplos de vídeo e tutoriais específicos ao problema. Agora, este consagrado sistema de atividades extraclasse foi aprimorado para incluir o YouBook, um e-book personalizável com recursos de realce, anotações e pesquisa, bem como links para recursos de multimídia.

ENHANCED WEBASSIGN

CENGAGE YOUBOOK

YouBook é um e-book interativo e personalizável. Incluindo todo o conteúdo da 9a edição de Matemática Aplicada a Administração e Economia de Tan, o YouBook possui uma ferramenta de edição de texto que permite que professores modifiquem a narrativa do livro conforme necessário. Com YouBook, os professores podem rapidamente reordenar seções e capítulos inteiros ou ocultar qualquer conteúdo não ensinado para criar um e-book que combina perfeitamente com seus conteúdos programáticos. Os professores podem ainda personalizar o texto por meio da publicação de links da web. Outros recursos de mídia incluem: figuras animadas, videoclipes, realces, notas e muito mais! YouBook está disponível no Enhanced WebAssign. SOLUTION BUILDER (www.cengage.com/solutionbuilder) Esse banco de dados on-line para professores oferece as soluções completas para todos os exercícios no texto, incluindo as questões em Explorando com Tecnologia e em Explore & Discuta. Solution Builder permite criar cópias personalizadas e seguras (em formato PDF) que correspondem exatamente aos problemas dados em sala de aula.

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AGRADECIMENTOS Gostaria de expressar meus agradecimentos pessoais a cada um dos revisores da 9a Edição, cujas diversas sugestões ajudaram a melhorar em muito este livro. Mario Borha Moraine Valley Community College Sarah Clark South Dakota State University Mark Crawford Waubonsee Community College Charles Cunningham James Madison University James Hager The Pennsylvania State University George Hurlburt Corning Community College Herbert Kasube Bradley University Anton Kaul California Polytechnic State University– San Luis Obispo Gloria M. Kittel University of West Georgia Mark S. Korlie Montclair State University Linda E. Nash Clayton State University

Tejinder Neelon California State University—San Marcos Katherine Pedersen Southeastern Louisiana University Mari Peddycoart Lone Star College—Kenwood Shahla Peterman University of Missouri—St. Louis Yvonne Sandoval Pima Community College Gordon H. Shumard Kennesaw State University Edward E. Slaminka Auburn University Michael Threapleton Centralia College Lisa Yocco Georgia Southern University Laurie Zack High Point University

Agradeço também aos seguintes revisores, cujos comentários e sugestões para edições anteriores moldaram a forma atual desta edição. Paul Abraham Kent State University—Stark James Adair Missouri Valley College Jill Britton Camosun College Debra D. Bryant Tennessee Technological University Michelle Dedeo University of North Florida Scott L. Dennison University of Wisconsin—Oshkosh Christine Devena Miles Community College Andrew Diener Christian Brothers University Mike Everett Santa Ana College Kevin Ferland Bloomsburg University

Tao Guo Rock Valley College Mark Jacobson Montana State University—Billings Sarah Kilby North Country Community College Murray Lieb New Jersey Institute of Technology Lia Liu University of Illinois at Chicago Rebecca Lynn Colorado State University Mary T. McMahon North Central College Daniela Mihai University of Pittsburgh Kathy Nickell College of DuPage Carol Overdeep Saint Martin’s University

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Prefácio

Mohammad Siddique Virginia Union University Dennis H. Risher Loras College Brian Rodas Santa Monica College Dr. Arthur Rosenthal Salem State College Abdelrida Saleh Miami Dade College

XXI

Stephanie Anne Salomone University of Portland Mohammed Rajah Miracosta College Jennifer Strehler Oakton Community College Ray Toland Clarkson University Justin Wyss-Gallifent University of Maryland at College Park

Também gostaria de agradecer a Tao Guo pelo esplêndido trabalho de revisão deste texto. Agradeço às equipes de edição, produção e marketing da Brooks/Cole – Richard Stratton, Laura Wheel, Haeree Chang, Andrew Coppola, Cheryll Linthicum e Vernon Boes – por toda a ajuda e apoio durante o desenvolvimento e a produção desta edição. Agradeço a Martha Emry e Barbara Willette, que fizeram um trabalho excelente em garantir a exatidão e a legibilidade desta edição. Simplificando, a equipe com que tenho colaborado é extraordinária, e eu realmente agradeço por todo o seu esforço e trabalho árduo. S. T. Tan

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SOBRE O AUTOR SOO T. TAN completou a sua graduação no Massachusetts Institute of Technology, seu mestrado na University of Wisconsin-Madison e o seu Ph.D. na University of California em Los Angeles. Ele publicou diversos trabalhos em Teoria do Controle Ótimo, Análise Numérica e Matemática Aplicada às Finanças. Ele também é autor de uma série de livros de Matemática.

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PRELIMINARES

© Yuri Arcurs 2010/Shutterstock.com

As primeiras duas seções deste capítulo contêm uma breve revisão de álgebra. Em seguida, introduzimos o sistema de coordenadas cartesianas, que permite representar os pontos do plano por meio de pares ordenados e números reais. Isso, por sua vez, possibilita calcular a distância entre dois pontos algebricamente. Este capítulo também trata do estudo das retas. A inclinação da reta é parte importante no estudo do cálculo.

Quanto dinheiro é necessário para adquirir pelo menos 100 000 ações da Starr Communications Company? Corbyco, um grande conglomerado, deseja adquirir no mínimo 100 000 ações da empresa. No Exemplo 11, página 21, você verá como a gerência da Corbyco determina quanto dinheiro será necessário para a aquisição.

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Use este teste para identificar eventuais dificuldades no uso da álgebra necessária para o material de cálculo a seguir. A seção de revisão e os exemplos que ajudam a relembrar as ferramentas necessárias para resolver o problema estão indicados após cada exercício. As respostas são encontradas logo após o teste.

Testes de Conhecimento 1. a. Avalie a expressão: 16 3>2 27 (i) a b (ii) 3 9 B 125

2. 3.

4.

5. 6.

7.

8.

b. Reescreva a expressão usando somente expoentes positivos: 1x2 y1 2 3 (Expoentes e radicais, Exemplos 1 e 2, páginas 6-7) x2 Racionalize o numerador 3 3 B yz (Racionalização, Exemplo 5, página 7) Simplifique as seguintes expressões: a. 13x 4 10x 3 6x 2 10x 32 12x 4 10x 3 6x 2 4x2 b. 13x 42 13x 2 2x + 32 (Operações com expressões algébricas, Exemplos 6 e 7, páginas 8-9) Fatore completamente: a. 6a 4b 4c 3a 3b 2c 9a 2b 2 b. 6x 2 xy y 2 (Fatoração, Exemplos 8-10, páginas 9-11) Use a fórmula quadrática para resolver a seguinte equação: 9x 2 12x 4 (Fórmula quadrática, Exemplo 11, páginas 12-13) Simplifique as seguintes expressões: 1t 2 42 12t 42 1t 2 4t 42 12t 2 2x 2 3x 2 a. b. 2x 2 5x 3 1t 2 42 2 (Expressões racionais, Exemplo 1, página 16) Efetue as operações indicadas e simplifique: 3x 2x 6 # x 2 6x 9 3x 2 3 a. b. 2 2 x3 x 9 x 2 x 1 (Expressões racionais, Exemplos 2 e 3, páginas 16-18) Efetue as operações indicadas e simplifique: 1 x2 9 x x

1 a.

b.

x13x 2 12 x1

#

3x 3 5x 2 x x1x 12 13x 2 12 1/2

(Expressões racionais, Exemplos 4 e 5, páginas 18-19) 3 9. Racionalize o denominador: 1 21x (Racionalização de frações algébricas, Exemplo 6, página 19) 10. Resolva as desigualdades: a. x 2 x 12 0 (Desigualdades, Exemplo 9, página 20) b. 03x 4 0 2 (Valor absoluto, exemplo 14, página 22) Respostas: 64 27

b.

1 x 6y 3

a. (i)

3.

a. 5x 4 20x 3 12x 2 14x 3

4.

(ii)

3 5

1.

a. 3a 2b 2 12a 2b 2c ac 3 2

2.

x 3

z 1 xy

b. 9x 3 18x 2 17x 12

b. 12x y2 13x y 2

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Preliminares

5.

2 2 11 12 2 ; 11 12 2 3 3

7.

a. 2

8.

a.

9.

b.

x2 x3

b.

3x12x 3 2x 12

41t 2 42

1t 2 42 2

1x 2 2 2 1x 3 1 2

x 1x 22 1x 3 2 311 21x 2

1.1

6. a.

b.

x 21 3x 2 13x 2 5x 1 2 1x 12 2

10. a. [4, 3]

1 4x

2 b. c , 2 d 3

Revisão I

As seções 1.1 e 1.2 revisam alguns conceitos e técnicas básicas de álgebra que são essenciais para o estudo do cálculo. O material desta revisão ajudará nos exemplos e exercícios deste livro. Agora você poderá ler todo o material e fazer os exercícios das áreas em que se sentir “enferrujado”, ou poderá revisar o material conforme sua necessidade enquanto estuda o texto. O Teste de Conhecimento que precede esta seção auxiliará na identificação da extensão da dificuldade.

A Reta Real O sistema de números reais é composto pelo conjunto dos números reais, juntamente com as operações usuais de adição, subtração, multiplicação e divisão. Podemos representar números reais geometricamente por pontos em uma reta real ou reta coordenada. Essa reta pode ser construída da seguinte forma: escolha arbitrariamente um ponto em uma reta para representar o número 0. Esse ponto é denominado origem. Se a reta for horizontal, um ponto a uma distância conveniente à direita da origem é escolhido para representar o número 1. Isso determinará a escala numérica. Cada número real positivo se encontra a uma distância apropriada à direita da origem, e cada número real negativo se encontra a uma distância apropriada à esquerda da origem (Figura 1) Origem

Direção negativa –4

–3

–2

– 2

–1

Direção positiva 0

1 1 2

2

3

4

x

3

FIGURA 1 A reta real

Uma correspondência biunívoca é estabelecida entre o conjunto de todos os números reais e o conjunto dos pontos na reta, ou seja, exatamente um ponto na reta é associado a cada número real. Do mesmo modo, exatamente um número real está associado a cada ponto na reta. O número real que está associado a um ponto na reta real é denominado coordenada daquele ponto.

Intervalos Neste livro, frequentemente focaremos a atenção em subconjuntos do grupo de números reais. Por exemplo, se x denota o número de carros fabricados diariamente por uma linha de montagem, x deve ser não negativo, ou seja: x 0. Além disso, suponha que a gerência tenha decidido que a produção diária não poderá exceder 200 carros. Então, x deverá satisfazer a desigualdade 0 x 200.

3

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De forma geral, os seguintes subconjuntos de números reais nos interessam: intervalos abertos, intervalos fechados e intervalos semiabertos. O conjunto de todos os números reais que se encontram estritamente entre dois números fixos a e b é denominado intervalo aberto (a, b). Esse intervalo consiste em todos os números reais x que satisfazem a desigualdade a x b, sendo denominado “aberto” por não conter nenhum de seus extremos. Um intervalo fechado contém ambos os extremos. Portanto, o conjunto de números reais x que satisfazem a desigualdade a x b é o intervalo fechado [a, b]. Note que colchetes são usados para indicar que os extremos estão incluídos no intervalo. Intervalos semiabertos contêm apenas um dos extremos. Portanto, o intervalo [a, b) é o conjunto de números reais x que satisfazem a x b, enquanto o intervalo (a, b] é descrito pelas desigualdades a x b. Exemplos destes intervalos finitos estão ilustrados na Tabela 1.

TABELA 1 Intervalos finitos

Intervalo Aberto: 1a, b 2 Fechado: 3a, b 4 Semiaberto: 1a, b 4 Semiaberto: 3a, b 2

Gráfico

Exemplo x

a

b

a

b

x

x a

b

x a

b

(2, 1) 31, 24 1 12, 34 312, 32

x –3 –2 –1

0

1

2

3

–3 –2 –1

0

1

2

3

–3 –2 –1

0

1

2

3

1

2

3

x

x 1 2

x –3 –2

– 12 0

Além de intervalos finitos, encontraremos intervalos infinitos. Exemplos de intervalos infinitos são as semirretas (a, ), [a, ), (, a) e (, a] definidas pelo conjunto de números reais que satisfaz x a, x a, x a e x a, respectivamente. O símbolo , denominado infinito, não é um número real. Esse símbolo é usado com objetivo de notação, juntamente com a definição de intervalos infinitos. A notação (, ) é usada para o conjunto de todos os números reais x. Assim, de acordo com essa definição, as inequações x representam qualquer número real x. Intervalos infinitos estão ilustrados na Tabela 2. TABELA 2 Intervalos infinitos

Intervalo 1a, 2 3 a, 2 1, a 2

Gráfico

Exemplo x

a x a x a

1, a 4

x a

12, 2 31, 2 1, 1 2

x –1

0

1

2

–1

0

1

2

–1

0

1

2

– 12 0

1

2

x

x

1, 12 4

x

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Preliminares

Expoentes e Radicais Lembre-se de que se b é qualquer número real e n é um inteiro positivo, então a expressão bn (lê-se “b à potência n”) é definida como o número

# ... #b b#b b n b# n fatores

O número b é denominado base, e o expoente n é denominado potência da expressão exponencial bn, por exemplo, 25 2 # 2 # 2 # 2 # 2 32

e

2 2 2 8 2 3 a b a ba ba b 3 3 3 3 27

Se b 0, definimos b0 1

Por exemplo, 20 1 e 1p 2 0 1, mas a expressão 00 é indefinida. Além disso, lembre-se de que se n é um inteiro positivo, então a expressão b1/n é definida como o número que, quando elevado à n-ésima potência, é igual a b. Portanto, 1b 1/n 2 n b

n

Tal número, caso exista, é denominado raiz n-ésima de b, representado por 2b. Se n for par, a raiz n-ésima de um número negativo não é definida. Por exemplo, a raiz quadrada de 2 (n 2) não é definida já que não há nenhum número real b de modo que b2 2. Igualmente, dado um número b, mais de um número poderá ser sua raiz n-ésima, segundo nossa definição. Por exemplo, ambos 3 e 3 elevados ao quadrado resultam 9, e cada um poderia ser a raiz quadrada de 9. Então, para evitar ambiguidades, definimos b1/n como a raiz n-ésima positiva de b sempre que existir. Portanto, 19 91/2 3. Por isso, a calculadora lhe mostra 3 quando utilizada para calcular 19 . Além disso, lembre-se de que se p>q (onde p e q são positivos inteiros e q 0) é um número racional na forma simplificada, então a expressão b p/q é definida como núq mero 1b 1/q 2 p ou, equivalentemente, 2b p, sempre que existir. Por exemplo, 23/2 121/2 2 3 11,4142 2 3 2,8283

Expressões envolvendo expoentes racionais negativos são resolvidas pela definição b p/q

1 b p/q

Portanto, 45/2

1 1 1 1 1/2 5 5 5/2 32 4 14 2 2

As regras que definem a expressão exponencial an, onde a > 0, para todos os valores racionais de n estão apresentadas na Tabela 3. As três primeiras definições na Tabela 3 também são válidas para valores negativos de a. A quarta definição é válida para valores negativos de a apenas quando n é ímpar. Assim, 3 182 1/3 2 8 2 18 2 1/2 não possui valor real

n é ímpar. n é par.

Por fim, é possível provar que an está bem definido para todos os números reais n. Por exemplo, usando uma calculadora com a tecla y x , vemos que 212 2,665144.

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TABELA 3 Regras para a definição de an

Definição de an (a ⬎ 0)

Definição de an (a ⬎ 0)

Exemplo

Expoente inteiro: se n é um inteiro positivo, então

an a a a . . . a (fatores n de a)

25 2 2 2 2 2

Expoente fracional: a. Se n é um positivo inteiro, então a1/n

(5 fatores)

32

a0 1

n

2a

161/2 116 4

denota a raíz enésima de a.

a m>n 2a m 1 2a 2 m n

70 1

(00 não está definido.) Expoente negativo: Se n é um inteiro positivo, então 1 an

ou

b. Se m e n são inteiros positivos, então

Expoente nulo: se n é igual a zero, então

a n

Exemplo

3 82>3 1 2 82 2

n

4

c. Se m e n são inteiros positivos, então

(a 0)

62

1 62

1 36

a m/n

1 a

m/n

1 93/2 1 27

93/2

(a 0)

As cinco leis de exponenciação estão listadas na Tabela 4 TABELA 4 Leis de Exponenciação

Lei

Exemplo

1. a m a n a mn 2.

am a mn an

x 2 x 3 x23 x 5 1a 0 2

x7 x 74 x 3 x4

3. 1a m 2 n a mn

1x 4 2 3 x 43 x12

4. 1ab 2 n an bn a n an 5. a b n b b

12x 2 4 24 x 4 16x 4 x 3 x3 x3 a b 3 2 8 2

1b 02

Essas leis são válidas para quaisquer números reais a, b, m e n sempre que as quantidades são definidas. Lembre-se, 1x 2 2 3 x 5. A equação correta é 1x 2 2 3 x 23 x 6.

Os diversos exemplos a seguir ilustram o uso das leis de exponenciação. EXEMPLO 1 Simplifique as expressões: a. 13x 2 2 14x 3 2

b.

165/4 161/2

c. 162/3 2 3

d. 1x 3y 2 2 2

e. a

y 3/2 2 b x 1/4

Solução

a. 13x 2 2 14x 3 2 12x 23 12x 5

Lei 1

b.

Lei 2

165/4 4 165/41/2 163/4 1 2 16 2 3 23 8 1/2 16

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c. 162/3 2 3 612/32132 62 36

Lei 3

d. 1x 3y 2 2 2 1x 3 2 2 1 y 2 2 2 x 132122y 122122 x 6y 4 e. a

y4 x6

Lei 4

y 3/2 2 y 13/22 122 y 3 x 1/2 b x 1/4 x 1/2 y3 x 11/42 122

Lei 5

Podemos também usar as leis de exponenciação para simplificar expressões envolvendo radicais, como ilustrado no exemplo a seguir. EXEMPLO 2 Simplifique as expressões. (Supondo que x, y e n são positivos) 4

a. 216x 4y 8

b. 212m3n # 23m5n

c.

3 2 27x 6 3 2 8y 3

Solução

4 a. 2 16x 4y 8 116x 4y 8 2 1/4 161/4 # x 4/4y 8/4 2xy 2

b. 212m3n # 23m5n 236m8n 2 136m8n 2 2 1/2 361/2 # m4n 6m4n 3 127x 6 2 1/3 3x 2 271/3x 2 227x 6 c. 3 2y 18y 3 2 1/3 81/3y 2 8y 3

Se um radical aparecer no numerador ou denominador de uma expressão algébrica, normalmente tentamos simplificar a expressão eliminando o radical do numerador ou denominador. Esse processo, chamado racionalização, está ilustrado nos dois exemplos a seguir. EXEMPLO 3 Racionalize o denominador da expressão Solução

3x 2 2x EXEMPLO 4 Expresse

3x

3x . 2 1x

# 2x 3x 2x2 3x 2x 3 2x

2 2x 2x

2 2x

2x

2

1 1/2 x como um radical e racionalize o denominador da ex2

pressão obtida. Solução

1 1/2 1 # 2x 2x x 2 2x 2 2x 2x

EXEMPLO 5 Racionalize o numerador da expressão Solução

3 1x . 2x

3 2x 3 2x # 2x 3 2x 2 3x 3 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2 2x

Operações com Expressões Algébricas Em cálculo, trabalhamos frequentemente com expressões algébricas como: 2x 4/3 x 1/3 1

2x 2 x

2 1x

3xy 2 x1

2x 3 2x 1

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Uma expressão algébrica da forma ax my n, onde o coeficiente a é um número real m e n são inteiros não negativos, é chamada de monômio, o que significa que constitui um único termo. Por exemplo, 7x2 é um monômio. Um polinômio consiste em um monômio ou na soma de dois ou mais monômios. Por exemplo, em x 2 ⫹ 4x ⫹ 4

x3 ⫹ 5

x 4 ⫹ 3x 2 ⫹ 3

x 2y ⫹ xy ⫹ y

todos são polinômios. O grau do polinômio é a maior potência 1m ⫹ n2 das variáveis que aparecem no polinômio. Termos constantes e termos contendo os mesmos fatores variáveis são denominados termos semelhantes. Os termos semelhantes podem ser combinados adicionando-se ou subtraindo-se seus coeficientes numéricos. Por exemplo, em: 3x ⫹ 7x ⫽ 10x e

1 7 xy ⫹ 3xy ⫽ xy 2 2

a propriedade distributiva dos números reais ab ⫹ ac ⫽ a1b ⫹ c2 é usada para justificar este procedimento. Para adicionar ou subtrair duas ou mais expressões algébricas, primeiro remova os parênteses e então combine os termos semelhantes. A expressão resultante é escrita em grau decrescente, da esquerda para a direita. EXEMPLO 6 a. 12x4 ⫹ 3x3 ⫹ 4x ⫹ 62 ⫺ 13x4 ⫹ 9x3 ⫹ 3x2 2 ⫽ 2x4 ⫹ 3x3 ⫹ 4x ⫹ 6 ⫺ 3x4 ⫺ 9x3 ⫺ 3x2 ⫽ 2x4 ⫺ 3x4 ⫹ 3x3 ⫺ 9x3 ⫺ 3x2 ⫹ 4x ⫹ 6 ⫽ ⫺x4 ⫺ 6x3 ⫺ 3x2 ⫹ 4x ⫹ 6

b. 2t ⫺ 5t ⫺ 3t ⫺ 12t ⫺ 12 4 ⫹ 46 ⫽ 2t 3 ⫺ 5t 2 ⫺ 3t ⫺ 2t ⫹ 14 ⫹ 46 ⫽ 2t 3 ⫺ 5t 2 ⫺ 3⫺t ⫹ 14 ⫹ 46 3

Remova os parênteses.

Combine os termos semelhantes.

2

⫽ 2t 3 ⫺ 5t 2 ⫹ t ⫺ 1 ⫹ 46 ⫽ 2t 3 ⫺ 5t 2 ⫹ t ⫹ 36 ⫽ 2t 3 ⫺ t 2 ⫺ t ⫺ 3

Remova os parênteses e combine os termos semelhantes em colchetes. Remova os colchetes. Adicione os termos dentro das chaves. Remova as chaves.

Note que, quando a expressão algébrica no exemplo 6b foi simplificada, os símbolos de agrupamento mais interno foram removidos primeiro, isto é, os parênteses ( ) foram removidos por primeiro, em seguida os colchetes [ ] e, por último, as chaves {}. Quando multiplicamos expressões algébricas, cada termo de uma expressão é multiplicado pelo de outra. O resultado algébrico da expressão é então simplificado. EXEMPLO 7 Efetue as operações indicadas: a. 1x2 ⫹ 12 13x2 ⫹ 10x ⫹ 32

c. 1e t ⫹ e⫺t 2 e t ⫺ e t 1e t ⫺ e⫺t 2

Solução

b. x a 300 ⫺

1 1 3 1 x ⫺ y b ⫹ y a 240 ⫺ x ⫺ y b 4 8 8 8

a. 1x2 ⫹ 12 13x2 ⫹ 10x ⫹ 32 ⫽ x2 13x2 ⫹ 10x ⫹ 32 ⫹ 113x2 ⫹ 10x ⫹ 32 ⫽ 3x4 ⫹ 10x3 ⫹ 3x2 ⫹ 3x2 ⫹ 10x ⫹ 3 ⫽ 3x4 ⫹ 10x3 ⫹ 6x2 ⫹ 10x ⫹ 3

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1 1 3 1 x y b y a 240 x y b 4 8 8 8 1 1 1 3 300x x 2 xy 240y xy y 2 4 8 8 8 1 3 1 x 2 y 2 xy 300x 240y 4 8 4

b. x a 300

c. 1et et 2 et et1et et 2 e2t e0 e2t e0 e2t e2t e0 e0 11 Lembre-se de que e 0 1. 2 Algumas fórmulas frequentemente usadas em cálculos algébricos estão apresentadas na Tabela 5. TABELA 5 Algumas fórmulas úteis de produtos

Fórmula

Exemplo

1a b2 2 a2 2ab b2

12x 3y2 2 12x2 2 212x213y2 13y2 2

1a b2 2 a2 2ab b2

14x 2y2 2 14x2 2 214x212y2 12y2 2

1a b21a b2 a2 b2

12x y212x y2 12x2 2 1y2 2

4x2 12xy 9y2

16x2 16xy 4y2 4x2 y2

Fatoração Fatoração é o processo de decomposição de uma expressão algébrica como produto de outras expressões algébricas. Por exemplo, aplicando a propriedade distributiva, podemos escrever: 3x2 x x 13x 12

Para fatorar uma expressão algébrica, primeiro verifique se há termos em comum. Se houver, então o maior fator comum é colocado em evidência. Por exemplo, o fator comum da expressão algébrica 2a2x 4ax 6a é 2a porque 2a2x 4ax 6a 2a ax 2a 2x 2a 3 2a 1ax 2x 32

EXEMPLO 8 Fatore o maior fator comum em cada expressão: a. 3t 2 3t d. 4x1x 1 2 1/2

b. 2x3/2 3x1/2 c. 2ye xy 2xy3exy 1 2x 2 a b 1x 1 2 1/2 2 2

2

Solução

a. 3t 2 3t 3t1t 12 b. 2x3/2 3x1/2 x1/2 12x 32 2 2 2 c. 2ye xy 2xy3e xy 2yexy 11 xy2 2 1 d. 4x1x 1 2 1/2 2x 2 a b 1x 1 2 1/2 4x1x 1 2 1/2 x 2 1x 1 2 1/2 2 1/2 x1x 1 2 341x 1 2 1/2 1x 1 2 1/2 x4

9

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x1x 1 2 1/2 341x 1 2 x4 x1x 1 2 1/2 14x 4 x 2 x1x 1 2 1/2 13x 4 2

Aqui selecionamos 1x 1 2 1/2 como o maior fator comum, pois é a maior potência de (x 1) contida em cada termo algébrico. Em particular, observe que 1x 1 2 1/2 1x 1 2 1/2 1x 1 2 1/2 1x 1 2 1/21/21/2 1x 1 2 1/2

Às vezes, uma expressão algébrica pode ser fatorada reagrupando-se e reorganizando-se seus termos para que um fator comum possa ser fatorado. Essa técnica é ilustrada no Exemplo 9. EXEMPLO 9 Fatore: a. 2ax 2ay bx by

b. 3x 1y 4 2 1y 6x

Solução

a. Primeiro, coloque em evidência o fator comum 2a dos dois primeiros termos e o fator comum b dos dois últimos. Assim, 2ax 2ay bx by 2a1x y 2 b1x y 2

Sendo (x y) comum a ambos os termos do polinômio, podemos fatorá-lo. Portanto, 2a1x y2 b1x y 2 12a b 2 1x y 2

b. 3x1y 4 2 1y 6x 3x 1y 2 1y 6x 4 1y13x 2 2 213x 22 13x 22 1 1y 2 2

Reorganize os termos Fatore os termos comuns

Como visto anteriormente, o primeiro passo para fatorar um polinômio é encontrar seus fatores comuns. O passo seguinte é expressar o polinômio como produto de uma constante por um ou mais polinômios primos. Algumas fórmulas úteis para a fatoração de binômios e trinômios estão apresentadas na Tabela 6 TABELA 6 Fórmulas de produto usadas na fatoração

Fórmula Diferença de dois quadrados: x2 y2 1x y2 1x y2

Exemplo x2 36 1x 62 1x 62 8x2 2y2 214x2 y2 2 212x y2 12x y2 9 a6 13 a3 2 13 a3 2

Trinômio quadrado perfeito: x2 2xy y2 1x y22 x2 2xy y2 1x y22

x2 8x 16 1x 422 4x2 4xy y2 12x y22

Soma de dois cubos: x3 y3 1x y2 1x2 xy y2 2

z3 27 z3 1323 1z 32 1z2 3z 92

Diferença de dois cubos: x3 y3 1x y2 1x2 xy y2 2

8x3 y6 12x23 1y2 23 12x y2 2 14x2 2xy2 y4 2

Os fatores de um polinômio de segundo grau com coeficientes inteiros px 2 qx r

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são (ax b)(cx d), onde ac p, ad bc q e bd r. Como apenas um número limitado de escolhas é possível, podemos usar o método de tentativa e erro para fatorar polinômios que possuem essa forma. Por exemplo, para fatorarmos x2 – 2x – 3, primeiro observamos que os únicos termos de primeiro grau possíveis são 1x

2 1x

2

Já que o coeficiente de x2 é 1

Em seguida, observamos que o produto dos termos constantes é (3). Temos então as fatorações: 1x 12 1x 3 2 1x 1 2 1x 3 2

Olhando novamente para o polinômio x2 2x 3, vemos que o coeficiente de x é 2. Verificando qual das duas equações fornece 2 como coeficiente de x, vemos que Coeficientes dos termos internos Coeficientes dos termos externos 앗 앗

112 11) 112 132 2

Coeficientes dos termos internos Coeficientes dos termos externos 앗 앗

11 2 11 2 11 2 132 2

Fatores Termos externos 앗 앗 1x 12 1x 32 앖앖 Termos internos Termos externos 앗 앗 1x 12 1x 32 앖앖 Termos internos

e concluímos que a fatoração correta é

x2 2x 3 1x 1 2 1x 3 2

Com a prática, você irá descobrir rapidamente que pode efetuar muitos desses passos mentalmente, e a necessidade de escrever todo o processo será eliminada. EXEMPLO 10 Fatore: a. 3x2 4x 4

b. 3x2 6x 24

c. 3t 2 192t 195

Solução

a. Usando o método de tentativa e erro, descobrimos que a fatoração correta é 3x2 4x 4 13x 2 2 1x 2 2

b. Visto que cada termo possui o fator comum 3, temos

3x2 6x 24 31x2 2x 8 2

Usando o método de fatoração de tentativa e erro, descobrimos que Assim, temos

x2 2x 8 1x 4 2 1x 2 2

3x2 6x 24 31x 4 2 1x 2 2

c. Como cada termo tem o fator comum – 3, temos

3t 2 192t 195 31t 2 64t 65 2

Usando o método de fatoração de tentativa e erro, descobrimos que Portanto,

1t 2 64t 652 1t 65 2 1t 1 2

3t 2 192t 195 31t 652 1t 1 2

11

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Raízes de Equações Polinomiais Uma equação polinomial de grau n na variável x é uma equação da forma an x n an1x n1 a0 0 onde n é um inteiro não negativo e a0, a1, . . . , an são números reais com an 0. Por exemplo, a equação 2x 5 8x 3 6x 2 3x 1 0 é uma equação polinomial de grau 5 em x. As raízes de uma equação polinomial são precisamente os valores de x que satisfazem a referida equação*. Uma maneira de encontrar as raízes de uma equação polinomial é fatorar o polinômio e então resolver a equação resultante. Por exemplo, a equação polinomial x 3 3x 2 2x 0 pode ser reescrita na forma

x1x2 3x 2 2 0

ou

x1x 12 1x 2 2 0

Como o produto de dois números reais pode ser igual a zero se, e apenas se, um (ou ambos) dos fatores for igual a zero, temos x0

x10

ou

x20

onde vemos que as raízes desejadas são x 0, 1 e 2.

A Fórmula Quadrática Geralmente, encontrar as raízes de uma equação polinomial não é uma tarefa fácil. Mas as raízes de uma equação quadrática (uma equação polinomial de grau 2) são encontradas por fatoração ou utilizando-se as seguintes fórmulas quadráticas.

Fórmula Quadrática

As soluções para a equação ax 2 bx c 0 (a 0) são dadas por x

b 2b 2 4ac 2a

Observação Caso você use a fórmula quadrática para resolver uma equação quadrática, primeiro verifique se a equação se encontra na forma canônica ax 2 bx c 0.

EXEMPLO 11 Resolva as seguintes equações quadráticas: a. 2x2 5x 12 0

b. x2 3x 8

Solução

A equação está na forma padrão (canônica), com a 2, b 5 e c 12. Usando a fórmula quadrática, encontramos 5 252 412 2 112 2 b 2b 2 4ac 2a 212 2 5 1121 5 11 4 4

x

*Neste livro, consideraremos apenas as raízes reais de uma equação.

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4

ou

13

3 2

Essa equação também pode ser resolvida por fatoração. Portanto, vemos em 2x 2 5x 12 12x 32 1x 4 2 0

que as raízes desejadas são x 32 ou x 4, como obtido anteriormente. b. Primeiro reescrevemos a equação na forma padrão x 2 3x 8 0, onde vemos que a 1, b 3 e c 8. Usando a fórmula quadrática, encontramos 3 232 411 2 18 2 b 2b 2 4ac 2a 211 2 3 141 2

x

Ou seja, as soluções são 3 141 3 141 1,7 e 4,7 2 2 Nesse caso, a fórmula quadrática se mostra bastante útil!

1.1

Exercícios

Nos exercícios 1 a 6, mostre o intervalo em uma reta numérica

1. (3, 6) 6 1 4. c , d 5 2

2. (2, 5]

3. [1, 4)

5. (0, )

6. (, 5]

Nos exercícios 7 a 22, calcule a expressão

7. 272/3 1 0 b 9. a 15

8. 84/3 10. 1 7 2

1/2 6

1 1/3 2 11. c a b d 8

1 2 3 12. c a b d 3

85 # 82 1 13. a 2 b 8

9 1/2 14. a b 16

15. 11252/321/2

3 16. 226

172 17. 118

8 18. A 27

165/8161/2 19. 7/8 16

93,5 # 92,5 0,5 20. a b 92

21. 161/4 81/3

22.

3

62,5 # 61,9 61,4

Nos exercícios 23 a 32, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique sua escolha.

23. x4 2x4 3x4

24. 32 22 62

25. x3 2x2 2x6

26. 33 32 35

24x 27. 24x3x 13x

28. 122 32 2 2 64

1 1 29. 3 64 4

30.

31. 11,21/2 21/2 1

32. 52/3 1252 2/3 25

43/2 1 2 24

Nos exercícios 33 a 38, reescreva a expressão usando apenas expoentes positivos

33. 1 xy2 2 35.

3x 1/3 x 1/2

37. 120(s t)3

34. 3s1/3 2s7/3

36. 24x 1 # 29x 3 38. 1 x y2 1 x1 y1 2

Nos exercícios 39 a 54, simplifique a expressão. (Suponha que x, y, r, s e t são positivos.)

39.

x 7/3 x 2

40. 149x2 2 1/2 5x 5/2y 3/2

41. 1 x2y3 2 1 x5y3 2

42.

x 3/4 43. 1/4 x

44. a

45. a

2/3 x3 6 b 27y

2x 3/2y 7/4 x 3y 2 2 b z2

46. a 16

ex e

x2

b

1/2

capa.matematica3.final3.pdf

1

09/06/14

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atemática aplicada a administração e economia apresenta uma abordagem intuitiva e de fácil compreensão, tornando-se um excelente material para utilização em sala de aula dos cursos universitários.

O autor usou de sua experiência no ensino de Administração e Ciências Humanas para buscar introduzir cada conceito matemático abstrato com um exemplo retirado de experiências comuns da vida real. Nesta edição, além de atualizações dos exemplos aplicados e também dos exercícios, muitos dos novos problemas envolvem temas atuais, como o aquecimento global, as vendas de smartphones, os encargos de cheques sem fundos e a produção de painéis solares. Além disso, foram mantidos muitos dos marcos que fizeram esta obra ser tão útil e bem recebida nas edições anteriores: • Material de revisão para reforçar as habilidades pré-requeridas de álgebra;

• Exercícios por seção para ajudar os alunos a compreender e aplicar os conceitos; • Seções opcionais de tecnologia para explorar ideias matemáticas e resolver problemas; • Seções de revisão ao final do capítulo para avaliar as habilidades de compreensão e resolução de problemas; • Características para incentivar maior exploração. Aplicações Livro-texto para as disciplinas de cálculo e matemática aplicada nos cursos de graduação em Administração e Economia.

Trilha é uma solução digital, com plataforma de acesso em português, que disponibiliza ferramentas multimídia para uma nova estratégia de ensino e aprendizagem.

ISBN-13: 978-85-221-1646-1 ISBN-10: 85-221-1646-6

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9 788522 116461


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TRADUÇÃO DA 9ª EDIÇÃO NORTE-AMERICANA S. T. TAN

S. T. TAN


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