MÁQUINAS DE FLUXO
Antôni Antônio o Kozlik J únior únior 2010
Índice 1. Equações fundam fundament entais ais e triângulos triângulos 2. Alturas de queda queda e elevação, potências potências e rotação rotação 3. Grandezas randezas de funcionam funcionament ento o 4. Labirintos abirintos 5. Caixas aixas espirais espirais 6. Cavitação avitação 7. Semelhança emelhança
3 22 35 52 59 66 82
Índice 1. Equações fundam fundament entais ais e triângulos triângulos 2. Alturas de queda queda e elevação, potências potências e rotação rotação 3. Grandezas randezas de funcionam funcionament ento o 4. Labirintos abirintos 5. Caixas aixas espirais espirais 6. Cavitação avitação 7. Semelhança emelhança
3 22 35 52 59 66 82
1. Conceito Toda máquina que transforma energia hidráulica (E h ) em trabalho mecânico (T m ) ou T m em E h , com variação pouco sensível do peso específico (volume específico) do fluido em escoamento, denominados de MÁQUINA HIDRÁULICA. Essas máquinas trabalham com fluidos incompressíveis como a água, óleos, etc e dependendo da transformação de energia elas são chamadas de TURBINA e BOMBA. No caso particular de fluido que pode variar o volume específico como gás (ar), até o limite inferior a 1000 mm de coluna de água, de diferença de pressão desenvolvida pela máquina, denominamos VENTILADOR, e neste caso é considerado como máquina hidráulica. No entanto, se a compressão é grande, não se pode desprezar a variação do volume específico do gás, e assim a máquina (compressor) deve ser denominada como máquina térmica.
2. Classificação As máquinas hidráulicas se apresentam apre sentam em grupos de máquinas constituídos co nstituídos de MOTORES GERADORES. No primeiro grupo a transformação ocorre da energia hidráulica (E h ) para trabalho mecânico (T m ) e nele se enquadram as TURBINAS. O segundo, ao contrário, transforma o trabalho mecânico (T m ) em energia hidráulica (E h) e neste grupo estão as BOMBAS e VENTILADORES. Como exemplo apresentamos um grupo de máquinas de uma instalação de bombeamento.
T Ee
M
G
(Motor e létrico) létrico)
(Bomba)
Eh
Figura 2.1 – Grupo de máquinas.
Neste grupo o motor elétrico é o MOTOR que transforma a energia elétrica em trabalho mecânico e a bomba é o GERADOR que transforma o trabalho mecânico em energia hidráulica. Segundo a equação de Bernoulli as máquinas hidráulicas se classificam em: -MÁQUINAS DE DESLOCAMENTO -TURBOMÁQUINAS
3
As máquinas de deslocamento, de acordo com o movimento do órgão responsável pela transformação de energias, subdividem-se em: - ALTERNATIVAS - ROTATIVAS -MISTAS A esta classe de máquinas pertencem tipos importantes utilizados em transmissões e controles hidropneumáticos. As turbomáquinas subdividem-se, de acordo com a direção principal do escoamento em: - RADIAIS - AXIAIS - DIAGONAIS - TANGENCIAIS Os quatro rotores a seguir exemplificam os tipos segundo a direção principal do escoamento:
Rotor radial
Rotor diagonal
Rotor axial
Rotor tangencial
4
Outra maneira, freqüentemente usada, para classificar as turbomáquinas é de acordo com a transformação de energias, em: - REAÇÃO - AÇÃO Nas turbomáquinas de AÇÃO toda energia do fluido é transformada em energia cinética, antes da transformação em trabalho mecânico processado pela pela máquina. Nas de REAÇÃO tanto a energia cinética como a de pressão são transformadas em trabalho mecânico e vice-versa. As turbomáquinas de Ação do grupo MOTORA largamente utilizadas são as turbinas Pelton (tangencial) e Michell (duplo efeito radial). Não existe aplicação prática de turbomáquinas de Ação do grupo GERADORA. As de Reação do grupo MOTORA mais empregadas atualmente, são as turbinas Francis (radial ou diagonal), Kaplan e Hélice (axiais) e do grupo GERADORA as bombas e ventiladores (radiais, diagonais e axiais).
3. Equações Fundamentais 3.1.
Equação Geral
A equação de EULER desempenha um papel fundamental no estudo das máquinas de fluxo. Constitui, pois, a equação básica para o desenvolvimento das bombas, ventiladores e turbinas. Ela expressa intercâmbio de energia entre o rotor e fluido (fluido e rotor). Consideraremos um rotor de bomba centrífuga de infinitas pás de espessura infinitesimal, no qual escoa um fluido incompressível, sem atrito, e de forma isenta de choque na entrada.
Figura 3.1 Rotor radial de bomba
Aplicando o princípio das quantidades quan tidades de movimentos a linha de corrente “LL”de vazão dQ, escoando pelo rotor com uma mudança de direção das velocidades de C 4 e C 5 , teremos:
= ( − ) 5
4
E considerando os momentos em relação ao eixo do rotor.
5
= ( − ) 5 5
4 4
Sendo dM – momento resultante em relação ao eixo da máquina de todas as forças as atuantes no motor L 4 L 5 – braços de momentos das velocidades C 4 e C 5 resultam integrando a expressão acima o momento de EULER.
= ( − ) 5 5
4 4
Retirando da figura 3.2 os braços em função dos raios, obtemos:
= cos 4
4
4
e
= cos 5
5
5
Figura 3.2 Rotor radial de bomba e substituindo, vem:
= ( − ) 5 5
5
4 4
4
Como P = M :
= = ( − ) 5 5
Onde
5
4 4
4
= (2n)/60 velocidade angular do rotor
6
Chamando altura teórica infinita que o rotor com infinitas pás (linhas de corrente iguais), transfere ao fluido e “Q”a vazão por unidade de peso que escoa pela bomba, esta transmitirá ao fluido uma potência: ∞
=
∞
Como as expressões anteriores representam a mesma potência trasmitida ao fluido, podemos iguala-las:
∞
( − )
=
5 5
e considerando que:
5
= = = = = 4
4
5
5
4 4
4
4
4
5
5
5
4
Resulta substituindo e simplificando:
∞
=
1
( − ) 5
5
4
4
Finalmente, como o escoamento através de um rotor de turbina tem sentido contrário ao da bomba, resulta: 1 = ± ( 5 5 4 4 ) (E.F.G.)
−
∞
Sendo o sinal “+”para máquinas geradoras e o sinal “-“ para motoras. Esta última expressão é chamada de equação de EULER ou Equação Fundamental Geral válida para máquinas radiais e axiais. A equação fundamental para máquinas axiais é um caso particular da E.F.G.:
= = = ( − )
Para axiais: Resulta: 3.2.
4
5
∞
5
4
Equação em função das velocidades U, W e C
Do triângulo de velocidade de entrada de um rotor de turbina, deduz-se da trigonometria que:
4
Como:
4
=
4
2
=
4
2
+
− 2 4
2
4 4
4
4
7
Vem:
4
2
=
− 2 4
2
4
4
Figura 3.3 Triângulo
Ou
= (
−
2
4
1
4
2
4
2
+
−
2
+
4
2
4
2
)
Da mesma maneira para saída:
5
1
2
=
5
(
5
2
+
5
2
5
)
Substituindo na equação de EULER, teremos:
∞
=
1
2 (
5
2
+
− − − 5
2
5
2
4
2
4
4
2
)
E finalmente a Equação de EULER ou Equação Fundamental Geral em função das velocidades dos triângulos de entrada e saída do rotor:
∞
= ±(
− 2 5
2
4
2
+
− 2 5
2
4
− 2
2
4
+
2
5
2
) (1.4)
Valendo o sinal “+”para geradores e p “-“para motores. A altura teórica infinita também pode ser definida pela equação de Bernoulli:
= ±( − + 2− Supondo que − = 0, resulta: = ±( − + 5
4
5
2
4
2
+
∞
5
−) 5
4
4
5
∞
4
5
− 2
2
4
2
) (1.5)
Comparando as equações 1.4 e 1.5 resulta: a ALTURA DE PRESSÃO desenvolvida pelo rotor:
∆ = ± − = ±( 2− 5
4
5
2
4
2
− + 2 4
2
5
2
)
8
e ALTURA DINÂMICA:
∆ = ±( 2− 5
2
4
2
)
4. Conceitos de ação e reação É possível a interpretação dos conceitos de AÇÃO e REAÇÃO, em função da expressão da altura de pressão: a – motores:
∆ = − = 0 a máquina é de ação ou pressão constante ∆ = − > 0 a máquina é de reação 4
5
4
5
b – geradores:
∆ = − 5
∆ = − 5
4
4
= 0 a máquina é de ação, sem aplicação prática
> 0 a máquina é de reação abrangendo, todas as aplicações
práticas existentes.
5. Equações simplificadas No dimensionamento das turbomáquinas o projetista procura sempre obter a máxima transformação de energias, e para isto é necessário considerar: a-motores:
5 = 0 (condição imposta pelo projetista)
Esta condição representa que o escoamento na saída da máquina não tem componente transversal, mas somente na direção do eixo. Com esta condição, resulta a equação simplificada:
∞
=
1
4
4
b-geradores:
4 = 0 (condição devida ao próprio contorno da máquina) Neste caso o escoamento entra no rotor sempre na direção radial e esta situação só se modificará com a adição de um sistema de aletas na entrada do rotor que causará a alteração na direção da velocidade absoluta na entrada. Desta forma fica reduzida a: 9
∞
=
1
5
5
6. Equações para condições reais de escoamento 6.1.
Introdução
Das condições impostas para a determinação das Equações Fundamentais Gerais no item 1 deste capítulo, é considerado através do rendimento hidráulico que permite avaliar a perda de pressão na troca de energias pelo rotor. Além do atrito, o efeito produzido pelo número finito de pás, também, deve ser levado em conta na correção das equações. O escoamento para um número infinito de pás conduziu as igualdades
= na entrada do rotor, e = na saída do rotor 3
4
5
6
O fluxo ao passar pelo canal é desviado pela pá, esse desvio está representado na figura 6.1 pela curvatura da pá ou pela variação da direção das velocidades relativas dos triângulos de velocidades na entrada e saída do rotor. Na fig 6.1 o desvio “ ”é a diferença entre as componentes das velocidades absolutas na direção tangencial na entrada e saída do rotor
∆
∆ = (
) Como é função da variação entre as componentes e , concluímos que 4
=
5
4
5
o desvio é diretamente proporcional a altura teórica infinita desenvolvida pelo rotor, conforme a E.F.G.
10
Figura 6.1 – Representação do desvio do fluxo
Assim analisaremos as alterações produzidas pelo número finito de pás sobre o desvio do fluxo “ ” considerando, separadamente um escoamento ideal (sem atrito) e com atrito.
∆
6.2.
Escoamento ideal
Esta análise será feita apenas para o fluxo em um rotor axial figura 6.2 por serem os efeitos idênticos aos dos radiais. O escoamento ao passar pelo rotor axial provoca uma diferença de pressões entre os lados da pá. Na entrada, devido a essa diferença de pressões, o resultado é a mudança de direção de 3 para 4 ( 3 < 4 ), não ocasionando choque no bordo de ataque da pá. Na saída, devido à diferença de pressão e as conseqüentes diferenças de velocidades, aparece o movimento relativo dentro do canal, resultando a mudança de direção das velocidades 5 para 6 ( 5 < 6 ). Desta forma, o desvio provocado pela mudança de direções 3 6 é menor que o desvio entre as velocidades 4 e 5
∆ <∆ 36
45
(ed) = extra dorso da pá (lado de maior pressão) (d) = dorso da pá (lado de menor pressão) Assim, o número finito de pás com um escoamento ideal causará uma redução do desvio da corrente e, portanto, uma redução na altura teórica
<
∞
Esta conclusão vale tanto para turbinas como para bombas, pois o comportamento do fluxo é o mesmo nos dois casos.
11
6.3.
Influência da viscosidade
Como a direção do escoamento na entrada é rigidamente predeterminada e, portanto, a altura teórica de acordo com a Equação Fundamental, depende somente da velocidade do fluxo de saída, um ângulo de entrada não adequado alterará somente as condições de entrada do fluxo sem choque. Assim, o efeito da viscosidade não modificará sensivelmente o fluxo de entrada em turbinas e bombas, com exceção dos rotores com pás bem distanciadas. A análise do escoamento na saída do rotor indica a formação de espaços mortos devidos ao deslocamento da camada limite na parte convexa da pá. Estes espaços mortos e a espessura finita das pás provocam um estrangulamento da seção no canal do rotor, conforme figura 6.3.1
Figura 6.3.1 – Fluxo com atrito em rotor axial de turbina.
Devido ao estrangulamento da seção, a velocidade 5 sofrerá um acréscimo passando para 5 ′ com conseqüente aumento das componentes 5 e 5 . Após a saída cessa a influência do fluido sobre o rotor, permanecendo constante a componente 5 igual a 6 e a componente 5 é diminuída em função do alargamento da seção “6”, passando para 6 . Desta forma, o ângulo do fluxo na saída se reduz, resultando um desvio maior e, portanto, um aumento da altura teórica para turbinas.
>
′
′
∞
E para bombas o efeito do deslocamento da camada limite é mais acentuado, devido ao fluxo desacelerado nos canais do rotor, figura 6.3.2, o que produz espaços mortos mais extensos, resultando alterações idênticas ao rotor de turbina.
12
Fig. 6.3.2 – Fluxo com atrito em rotor axial de bomba.
O desvio para bombas fica reduzido e, portanto, resulta uma diminuição da altura teórica 6.4. Efeito Final Para um escoamento real deveremos considerar essas alterações dos desvios simultaneamente. No caso das turbinas essas alterações são praticamente iguais e de efeitos contrários, o que tornam aproximadamente iguais as alturas
=
∞
=
1
4
4
Em rotores com pás distanciadas deve-se considerar no projeto um sobreângulo, que corrige a falta de orientação do fluxo. Nas bombas os dois desvios diminuem a altura teórica, provocando uma dupla redução na altura teórica
≪
∞
sendo
=
= Na prática, para geradores, a obtenção de é feita em função de um fator “a” 1
6
5
e
1
∞
5
5
(a>1) que leva em consideração as alterações citadas. Assim, as alturas teóricas, estão ligadas pela relação
= ∞
13
6.5.
Correção de
∞
para
O processo empregado na prática para o cálculo da influência do número finito de pás é o método de Pfleider. Este método calcula o fator “a” através da seguinte equação
= 1 + 2 1(1 ) ′
4 2 5
Onde
raio de entrada do rotor raio de saída do rotor Z número de pás coeficiente empírico, experimental, variável com . 4
5
′
5
Esse coeficiente pode ser obtido na tabela seguinte:
Valores de ϕ' β 5 em graus
20
Bombas c/aletas
0,76
Bombas s/aletas
0,86
3
5
0
5
0
,80
,81
,85
,90
,94
,90
,91
,95
,00
,04
Observa-se na tabela que o valor de ′ depende da existência ou não do sistema de aletas ajustáveis. Para bombas com pás radiais, adota-se 5 = 2 4 , transformando a equação em
= 1 + 83 equação válida para as pás radiais com ≥ 0,5. ′
4
5
7. Triângulos para número finito de pás. Como a redução da altura teórica somente ocorre nas bombas, apresentaremos os triângulos para este caso.
14
7.1.
Aresta de sucção.
Uma eventual alteração na entrada é praticamente desprezível, e considerando que geralmente 4 = 0. A influência na entrada não afeta a altura teórica. O triângulo na figura 7.6.1 considera apenas a espessura das pás
Figura 7.6.1 – Triângulo de velocidade de bombas para n° finito de pás
7.2.
Aresta de pressão.
O triângulo de velocidades resultante de um escoamento congruente com pá AB5 da figura 7.6.2, se transforma no triângulo de velocidades AB5’. Os vértices “5” e “5’” dos triângulos situam-se em uma paralela a 5 , porque, a componente meridiana 5 permanece igual. A redução na altura teórica em bombas aparece devido à redução da componente da velocidade absoluta na direção tangencial, expressa por:
∆ = − 5
6
Ainda deve ser considerado que os canais, devido a espessura das pás, sofrem um estreitamento provocando um aumento da velocidade meridiana dentro do canal do rotor, portanto, logo após o rotor esta velocidade sofrerá uma diminuição, função de não mais existir a influência da espessura das pás, resultando 6 < 5 .
15
Figura 7.6.2 – Triângulos para bombas com número finito e infinito de pás.
8. Equação fundamental adimensional. Conforme analisamos anteriormente, para motores o número “finito” de pás não influem diretamente sobre a energia por unidade de massa aproveitada pelo rotor, já para geradores existe essa influência, portanto:
= =
Para motores: Para geradores:
∞
∞
Sendo a altura teórica transmitida ou absorvida pelo rotor com um número finito de pás. Assim podemos escrever:
= 1
4
4
(motores)
Para transformarmos a Equação Fundamental Simplificada em Equação Fundamental Adimensional substituiremos as velocidades e suas componentes por coeficientes de velocidades conforme definimos em outro capítulo:
= 2
� =
e
2
Com este conceito de coeficiente de velocidade e sabendo-se que:
= (motores) ou = = � 2 = � 2 = 1 � � 2 ⊾
Resulta:
⊾
4
4
⊾
4
4
4
4
Finalmente obtemos a equação fundamental adimensional: 16
⊾
� 2 (motores)
=
4
4
para geradores do mesmo modo, obtemos:
̅ �
=2
⊾
5
5
(geradores)
9. Grau de reação Como as turbomáquinas são classificadas como de AÇÃO e REAÇÃO é importante o estabelecimento de um número adimensional representativo do tipo de máquina segundo esta classificação. Este número é chamado de Grau de Reação e representa a maneira como as energias são transformadas pelo rotor. Por definição:
= ∆ (motores)
∞
=
∆ ∞
(geradores)
Impondo as hipóteses para motores:
- Canais do rotor de seção constante ( 4 = - Máxima transformação de energia ( 5 = 0)
) 5
Teremos os triângulos de entrada e saída do rotor:
(entrada)
(saída)
Figura 9.1 Triângulo de velocidades de turbina.
Como a Altura Teórica pode ser escrita da forma abaixo:
= ∆ + ∆ e substituindo a Altura Teórica na expressão do Grau de Reação, obtemos:
17
= 1 − ∆ = ∆ = −∆ sendo:
∆ = 2− 4
2
5
− 2 = 1
2
=
4
2
+
4
4
Resulta para motores:
= 1 −
2 4
5
2
= 2 4
2
4
= 1 − ��
ou
4
2
4
2 4
da mesma forma chegaríamos para bombas a:
∞
=1
−
5
2 5
ou
∞
=1
− ���
5
2 5
Através da relação que define o grau de reação também podemos concluir. 1-Se = 0 o grau de reação é zero e a máquina é de ação. 2-Se 0 < o grau de reação esta compreendido entre 0 e 1 a máquina é de reação.
∆
∆ ≤
10. Tipos de pás de geradores radiais As pás com simples curvatura de geradores radiais em função do ângulo de saída podem ser:
a- Pás curvadas para trás, quando 5 < 90 b- Pás radiais, quando 5 = 90 c- Pás curvadas para frente, quando 5 > 90
°
°
°
Na figura 10.1 representamos quatro pás enquadradas nos três casos mencionados:
18
Figura 10.1 Tipos de pás
Notamos nos triângulos de saída da figura 10.1 que a velocidade absoluta “ 5 ” cresce da pá “a” para a pá “c”, aumento que produz como conseqüência uma diminuição do rendimento total do gerador:
> > 11. Exercícios 1-A fim de se estudar a viabilidade da utilização de uma turbina em outra queda, pede-se a determinação da altura de queda e da vazão da mesma, conhecendo-se apenas os seguintes dados: -potência eficaz 889CV -rendimento total: 0,90 -rendimento hidráulico:0,94 -altura do rotor na entrada: 0,112 m -rotação:300 rpm -ângulo formado pelas vel. Tangencial e absoluta na linha de corrente média na entrada: 45 -coef. De estrangulamento na entrada: 0,90 Com a fórmula da potência obtemos a relação entre a vazão e a altura: °
19
889 =
Resultando
1000 0,90 75
= 74,08
A equação fundamental para turbinas é:
= (1⁄)
4 4
Substituindo
= , teremos: = (1⁄) ⊾
4
⊾
4
No triângulo de entrada, obtemos a relação:
45 = 1, resulta: = 4
=
4
4
Como 4 = 4 5 4 4 4 pode ser obtido pela equação da continuidade:
°
°
= Como: = = /( ) e = ( )/60 Substituindo em ⊾ = (1⁄) , resulta: = ⊾1 60 4
4
4
4
4 4
4
4 4
4
4
4
4
4 4
= 5,38 Resolvendo o sistema de equações:
= 74,08 = 5,38 Resulta: 5,38 = 74,08
= 3,71 / e = 3
74,08 3,71
= 19,97 mca
2- O cálculo do rotor de uma bomba para ser completado, depende apenas da determinação da altura da pá na saída do mesmo. Os valores já conhecidos são:
-vazão: 0,23 3 / - diâmetro do rotor na entrada: 190 mm - diâmetro do rotor na saída: 380 mm 20
- ângulos construtivos da pá na linha corrente média, respectivamente na entrada e na saída: 24 32 - altura da pá na entrada do rotor: 56 mm - coef. De estrangulação na entrada e saída do rotor: 0,90 - altura teórica infinita desenvolvida pelo rotor: 22 mca Pede-se calcular o valor faltante. Resp. 5 = 0,01 m °
°
3- Conhecendo- se os dados do rotor, abaixo relacionados, de uma turbina Francis, pede-se determinar a vazão e a altura de queda. - rendimento total e hidráulico: 0,79 e 0,81 - potência eficaz: 26CV - diâmetro do rotor na entrada:0,40 m - altura do rotor na entrada: 0,07m - coef. De estrangulamento na entrada e saída 1 - dados na linha de corrente média: - relação na entrada, entre as velocidades tangencial e meridiana: 2,5 - ângulo construtivo da pá na entrada: 90 °
Resp.
= 0,29 / e = 8,52 mca 3
21
12. Introdução É de fundamental importância para o dimensionamento e estudo do comportamento das Máquinas Hidráulicas o conhecimento das grandezas que intervém no seu funcionamento. Assim, podemos dizer que essas máquinas têm seu funcionamento definido através de três grandezas distintas, consideradas como características fundamentais das Máquinas Hidráulicas: H – Altura de queda ou elevação [m.c.a.] Q – Vazão [m3/s] N – Rotação da máquina [rpm] As duas primeiras tem uma conceituação, toda ela, calçada nos princípios da Mecânica dos Fluidos, e a última é decorrente dos princípios da Física aplicados ao estudo das M.H.. Além das grandezas fundamentais, são importantes as grandezas derivadas, como a potência hidráulica, potência eficaz e os coeficientes adimensionais básicos para os dimensionamentos. Em decorrência do exposto, procuraremos conceituar analiticamente as grandezas citadas, menos os coeficientes adimensionais que serão estudados em outros capítulos do programa.
13. Altura de queda A conceituação da altura de queda de um aproveitamento hidroelétrico, figura 13.1, composto de turbina de reação e demais equipamentos complementares, é feita através do balanço de energias (Bernoulli) entre as seções de entrada e saída da máquina. Convém notar que a seção de saída “s” foi considerada no canal de fuga, ficando o tubo de sucção como parte integrante da máquina, por se tratar de elemento que participa da transformação de energia. Assim, a altura de queda é definida como a diferença de energias, por unidade de massa, entre as seções de entrada “e” e saída “s” da máquina. Aplicando Bernoulli para ambas as seções “e” e “s”, e adotando como referência o nível de jusante, obtém-se: Seção “e”: H e =
pe
Seção “s”: H s =
ps
γ
γ
± ae + +
V s2 2g
V e2 2g
+ Z e
+ Z s
22
Figura 13.1 – Aproveitamento hidroelétrico de uma turbina de reação.
Onde: H e , H s
- energias por unidade de massa na entrada e saída da
máquina; pe
γ
ps γ
“s”;
V e2 V s2
- altura de pressão obtida no manômetro de mola, na seção “e”; - altura de pressão na superfície livre do canal de fuga, na seção
2g
2g
- altura de velocidade na seção “e”; - altura de velocidade na seção “s”;
- correção da leitura do manômetro, relativa a distância do instrumento ao centro da seção “e”. O sinal da correção depende da posição do manômetro. ae
Z e , Z s
- altura de posição das seções “e” e “s” relativas ao nível de
referência.
Efetuando o balanço de energias, obtém-se:
23
(p H − H = e
e
s
− ps )
(V +
2
e
− V s2 ) 2g
γ
+ Z e ± ae − Z s
Como na seção “s” a pressão atuante é igual à pressão atmosférica, ps γ = pa γ e, como as pressões consideradas são relativas, a altura de pressão na saída é igual a zero. Nesta mesma seção, Z s = 0 , pois consideramos o ponto da seção no nível jusante. Resulta, então: H e − H s =
pe
(V +
− V s2 )
2
e
2g
γ
+ Z e ± ae
A diferença “ H e − H s ” é conhecida como altura de queda para turbinas de reação, sob a qual a máquina trabalha: H =
pe
(V +
2
e
γ
− V s2 ) 2g
+ Z e ± ae
(2.1)
ou H =
pe
(V +
γ
2
e
− V s2 ) 2g
+ y (2.2)
= Z e ± ae é a altura medida desde o nível de jusante até o eixo do manômetro. Convém ressaltar que a Eq. 2.2 permite a obtenção da altura de queda de instalações em funcionamento. Na Fig. 13.1, representamos graficamente a altura de queda (Eq. 2.1 ou Eq. 2.2) com todas as suas parcelas. Essa maneira de determinação de “H”, é chamada de processo “manométrico” por alguns autores. Por outro lado, é necessário o conhecimento da altura de queda para projetarmos a turbina, e neste caso, é feito em função da altura bruta e das perdas de carga contínuas e localizadas na tubulação forçada: y
2
H = H b
− h pe −
V s
2g
(2.3)
onde: - altura bruta ou desnível geométrico entre os níveis de montante (na barragem) e jusante (no canal de fuga) obtida no local da queda; H b
- perda de carga (contínua e localizada) até a seção de entrada da turbina, determinada por equação de perda em função do comprimento, diâmetro e velocidade (adequada) na tubulação forçada. h pe
24
V s2 2g
- altura de velocidade no canal de fuga.
Como, às vezes, não se conhece a priori o valor de V s2 2 g e, como ele é pequeno relativamente à altura bruta, é considerado igual a zero. Assim, a Eq. 2.3 passa à forma: H = H b
− h pe (2.4)
Este processo de cálculo de “H” é denominado de “Analítico” e sua representação gráfica consta na Figura 13.1. Da mesma maneira que obtivemos a altura de queda para a máquina de reação, vamos determinar “H” para uma usina de alta queda equipada com turbina de ação, Figura 13.2.
Figura 13.2 – Usina hidroelétrica com turbina de ação .
Aplicando Bernoulli nas seções de entrada “e” e saída “s”, obtemos as alturas correspondentes: H e
=
pe γ
V e2
± ae +
2g
+ Z e
e H s
=
ps γ
2
+
V s
2g
+ Z s
25
Neste caso a seção de saída “s” é considerada no ponto em que o jato (bipartido) – após transferir sua energia para o rotor – é desviado e, por gravidade, chega ao canal de fuga. A diferença entre as energias nas seções “e” e “s” fornece a altura de queda:
(p H − H = e
e
s
− ps )
(V +
2
e
γ
− V s2 ) 2g
+ Z e ± ae − Z s
Analisando a equação acima e a Figura 13.2, podemos dizer que: ps γ
V s2 2g
=
pa
= 0 (o jato está em contato com a atmosfera)
γ
=0
(altura de velocidade pequena relativamente à altura de
pressão na entrada da turbina). Z e
posição)
= Z s (caso particular em que as duas seções se situam na mesma
Desta forma, resulta a altura de queda para a usina da Figura 13.2: H =
pe
+
γ
V e2 2g
± ae (2.5)
14. Altura de elevação Para estabelecermos o conceito de altura de elevação, consideraremos uma instalação de bombeamento com bomba “não af ogada”, isto é, ela estará instalada em um ponto acima do nível de montante (aspiração), Figura 14.1. Nessas instalações, a seção de saída está localizada na flange de saída e, a de entrada, na flange de entrada da bomba, deixando o tubo de sucção de pertencer à máquina. Desta forma as perdas de carga da tubulação de sucção não são consideradas como perdas internas da bomba, contrariamente ao que ocorre com as turbinas. Assim, a bomba somente terá a responsabilidade de fornecer energia para vencer essas perdas. Uma vez definidas as posições da entrada e saída, a altura de elevação vale a diferença entre as alturas nestas seções: H = H e
− H s
Aplicando Bernoulli na entrada e saída, obtemos: H e
=
pe γ
± ae +
V e2 2g
+ Z e
26
H s
=
ps γ
± as +
V s2 2g
+ Z s
Figura 14.1 – Instalação de bombeamento com bomba “não afogada”.
teremos:
( pe − ps ) (V e
2
H =
+
γ
− V s2 ) 2g
+ (Z e ± ae ) − (Z s ± as
(3.1)
onde: H - altura de elevação da bomba [m.c.a.]
p
γ
- altura de pressão manométrica [m.c.a.]
V 2 2 g
- altura de velocidade [m.c.a.]
Z - altura geométrica [m]
a – altura de instalação do instrumento [m]
“s” – índice representativo da entrada “e” – índice representativo da saída
27
Os sinais ( ± ) da correção “a” da leitura de altura de pressão dependem da posição do instrumento de medida, relativamente ao centro da seção. Quando, nas instalações de bombeamento, o tubo de ligação do vacuômetro contiver apenas “ar”, a correção “a s ” do vacuômetro será igual a zero. Isto pode ser conseguido através da abertura da torneira de três vias instalada no medidor, que deixará entrar ar neste tubo. Assim, a Eq. 3.1 pode ser escrita:
(p H =
e
− ps )
(V +
γ
2
e
− V s2 ) 2g
+ y (3.2)
sendo y = (Z e ± ae ) − Z s, para as = 0, a distância entre o centro do manômetro e o centro da seção de entrada da bomba. Como foi considerado para turbinas, este processo de obtenção da altura é chamado de “manométrico”. Pelo exposto, vimos que essas grandezas são determinadas através da medição na instalação em operação, porém na escolha da máquina ou projeto, não dispomos da instalação e a altura de elevação é obtida em função da altura estática ou bruta mais as perdas de carga nas tubulações de sucção e recalque: H = H est + h ps + h pe
(3.3)
onde: - altura estática de sucção, é a distância entre os reservatórios de sucção (NM) e elevação (NJ); H est
- perda de carga contínua e localizada na tubulação de sucção/recalque, obtida pela equação universal de perdas em função da vazão e comprimento das tubulações. h p
As vezes, é necessária a determinação da altura do centro da seção de entrada da bomba até o nível de aspiração. Da figura 14.1 retiramos essa altura: hs = H s − h ps
(3.4)
onde: hs
- altura estática de sucção [m]
H s
- altura manométrica de sucção [m.c.a.]
h ps
- perda de carga na tubulação de sucção [m.c.a.]
28
As equações Eq. 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4 estão graficamente representadas na figura 14.1. Veremos agora a altura de elevação para uma instalação de bombeamento com bomba “afogada”, figura 14.2. Aplicando Bernoulli nas seções de saída e entrada da bomba, obtemos por diferença a altura de elevação:
( pe − ps ) (V e
2
H =
+
− V s2 ) 2g
γ
+ (Z e ± ae ) − (Z s ± as )
Figura 14.2 – Instalação de bombeamento com bomba “afogada”
Convém frisar que, neste caso, apresentamos uma instalação cuja pressão na entrada é positiva, no entanto, ela poderá ser tanto positiva como negativa, dependendo da contrapressão sobre a bomba e a perda de carga na tubulação de sucção. Considerando que a pressão na entrada é positiva, conforme mostra a figura 14.2, a correção “a s ” será diferente de zero. Levando em conta essa correção, o nível de referência passando pelo centro da seção de entrada ( Z s = 0 ), e a figura 14.2, escrevemos:
(p H =
e
− ps ) γ
(V +
2
e
− V s2 ) 2g
+y
sendo y = (Z e ± ae ) − (± as ), valor que dependerá da posição dos instrumentos de medida de pressão. No caso os dois são manômetros. Os dois procedimentos utilizados para a definição da altura de elevação são
29
chamados de “manométrico” para as Eqs. 3.1 e 3.2, e “analítico” para as Eqs. 3.3 e 3.4.
15. Vazão A altura de queda ou elevação e a “vazão” são as principais grandezas fundamentais no processo de transformação de energias das Máquinas Hidráulicas. A Mecânica dos Fluidos define a vazão como o volume de fluido, na unidade de tempo, que passa através de uma seção transversal da máquina: Q=
V e t
(4.1)
onde: Q
- vazão [m3/s]
V e
- volume escoado [m3]
t – tempo [s] A vazão é determinada com base no princípio da conservação de massa: dQ = V ⋅ dA = K
(4.2)
Considerando que o movimento através da máquina é permanente e a incompressibilidade do fluido, resulta a fórmula prática da Equação da Continuidade: Q = V ⋅ A = K
(4.3)
Onde: A
- área da seção transversal ao escoamento
V – velocidade média normal à seção considerada A Eq. 4.3 é aplicável à seções com superfícies planas na entrada e saída das máquinas e também para não planas no seu interior.
16. Potências Sabemos da física que potência é o trabalho realizado por uma força, na unidade de tempo, sendo as mais importantes para as Máquinas Hidráulicas a:
30
• •
Potência hidráulica e Potência eficaz
Aplicando o conceito físico, definimos que a potência hidráulica é o produto do peso do fluido que escoa pela máquina, na unidade de tempo ( Q⋅ γ ), pela altura de queda ou elevação. Assim, podemos escrever: Ph
= Q⋅ γ ⋅ H [Kgm/s] (5.1)
Usualmente, obtemos essa potência em cv ou KW, dividindo a Eq. 5.1 respectivamente por 75 ou 102. É natural que ocorram perdas hidráulicas no interior das M.H. e perdas mecânicas originadas pelo atrito mecânico que ocorrem externamente entre as suas partes fixas e girantes. Assim, nem toda a energia cedida ou recebida pelo fluido pode ser transformada em trabalho mecânico no eixo da máquina. Desta forma a potência eficaz é assim escrita: Pef = Ph ± P
(5.2)
onde: Pef
- potência eficaz no eixo da máquina
Ph
- potência hidráulica
P
- potência perdida
O sinal “+” é válido para geradores e “-“ para motores. Sendo a determinação destas perdas bastante difícil, é usual adotar-se uma outra grandeza denominada rendimento total, a qual permite avaliar essas perdas: Ph
= Pef ⋅ η t ±1 (5.3)
Onde: η t
- rendimento total
O duplo sinal do expoente, nesta expressão, tem o mesmo significado, refere-se à aplicação do rendimento para máquinas motoras (-) e para geradoras (+), o que adoraremos em toda a matéria. Essas perdas e rendimentos serão objeto de estudo mais detalhado em outro capítulo do programa.
31
17. Rotação Para máquinas geradoras (bombas e ventiladores), a rotação é fornecida pelo motor de acionamento, o qual, se for elétrico, opera sempre com rotações pré-estabelecidas (assíncronas). No caso das máquinas motoras (turbinas), correntemente são acopladas a alternadores que devem trabalhar com rotações síncronas. Essa rotação síncrona é determinada pela equação: n⋅ n ) ( f = p
Onde:
60
n p
→ número
de PARES de pólos do alternador
(5.4)
f - freqüência da rede
] n p
- número de pares de pólos do alternador
n - rotação
Em geral para os nossos sistemas interligados de energia elétrica, a freqüência é de 60c/s, resultando: n
=
3600
n p
(5.5)
Por outro lado, a potência pode ser expressa em função da rotação: P
1
= ⋅ M ⋅ n 9,55 t
onde: M t
- momento torçor no eixo da máquina
1 9,55
- constante de conversão da rotação de rad/s para rpm
como: M t = F ⋅ b 1
resulta: P = ⋅ F ⋅ b⋅ n 9,55 sendo: F - força aplicada ao rotor
32
b - braço de alavanca do momento torçor
Considerando que para uma determinada queda, a potência e, conseqüentemente, a força aplicada ao rotor são constantes, resultando o seguinte: b⋅ n = K
Analisando essa constância, concluímos que a rotação é inversamente proporcional ao tamanho da máquina, definindo-a como grandeza fundamental para a escolha da máquina. Tendo em vista essa dependência, a máquina de alta rotação exige alternador, ou motor acionador, menores e mais econômicos. Porém, com o aumento da rotação poderão surgir problemas mecânicos no funcionamento das turbomáquinas.
18. Exercício Solicita-se a determinação do desnível entre o nível de aspiração e o do reservatório elevado, e o afogamento necessário da bomba para vazão de 0,020 m3/s, conhecendo-se os seguintes dados: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Altura de pressão na saída da bomba: +40 m.c.a. Altura de pressão na entrada da bomba: +2 m.c.a. Diâmetro na sucção: 0,1 m Diâmetro do recalque: 0,075 m Perda de carga na sucção: 1,22 m.c.a. Perda de carga no recalque: 4,00 m.c.a. H est = 39,22 − 4,00 − 1,22 = 34 m
A determinação do afogamento é feita em função da altura estática de sucção h s (Eq. 3.4): h s= H s − h ps
Como a altura manométrica de sucção é obtida pela soma da altura de pressão mais a altura de velocidade na entrada da bomba, obtemos: H s
=
ps γ
2
+
V s
2g
+ Z s + as = 2,00 + 0,33 + 0, 3 = 2,63
m.c .a.
e hs
= 2,63 + 1,22 = 3,85
m.c .a.
7. Croqui da instalação:
33
Aplicando Bernoulli ou a Eq. 3.2:
( pe − ps ) (V e
2
H =
+
− V s2 ) 2g
γ
+y
Calculamos as várias parcelas da equação: V s
V e
= =
0,020
As 0,020
Ae
2
= 2,55 = 4,54
y
y
m s
m s
→ →
V s
2g
= 0,33
m.c .a.
= 1,05
m.c .a.
V e2 2g
= (Z e ± ae ) − (Z s ± as )
= (0,50 ± 0,30) − (0 ± 0,30) = 0,50
m
Substituindo os valores obtidos na Eq. 3.2, resulta: H = 40 − 2 + 1,05 − 0,33 + 0,50 = 39,22 m.c .a.
Em função de H e das perdas de carga na sucção e recalque calculamos pela Eq. 3.3 a altura estática pedida: H = H est + h pe + h ps H = 34 + 1,22 + 4,00 = 39,22 m
34
19 – Grandezas de funcionamento
e
= 3,50
= 2,25
3
/
20 – TIPO DE INSTALAÇÃO A adoção da instalação de turbine depende do estudo de viabilidade entre a caixa espiral ou caixa aberta. Até 4,0 m, para pequenas turbinas é viável a instalação com caixa aberta.
21 – POTÊNCIAS 21.1 – POTÊNCIAS HIDRAULICA
ℎ =
( . . ) 75
=
(2,25.1000.3,50) 75
= 105
21.2 – POTÊNCIA NO EIXO
O rendimento total, para turbinas pequenas, deve ser adotado entre os valores de 0,75 e 0,85, e o rendimento mecânico entre 0,87 e 0,96. Adotaremos:
ℎ ℎ = 0,81
e
=
=
=
0,81 0,90
= 0,90
= 0,90
.
35
Assim resulta:
= 0,81.105 = 85,05
22 – ESCOLHA DO TIPO Altitude de instalação: 750 m Temperatura da água: 25 ᵒ C Altura barométrica hb = 10 hb = 10
−
−
0,0012. HL
0,0012.750 = 9,1 mca
hv obtido do gráfico de altura de vaporização e peso específico da água hv = 0,28
− − − − − −− − 1/2
=
= 4,768. 10
12
.
4
9,46. 10 9 .
hsm áx = hb
3
5/4
.
+ 7,593. 10 6 .
σlim . H = 8,82
hv
2
−
1,555. 10
σlim .3,5
3
.
+ 0,165
Com base na expressão acima organizamos a tabela que permitirá a escolha da turbina: n s
− −
= 4,768. 10
12
.
4
=
−
9,46. 10 9 .
n rpm 400 360 300 240
3
ns 770 693 577 462
P ef 1 2 H 5 4
⋅n
− −
+ 7,593. 10 6 .
σ lim
0,827 0,685 0,507 0,352
2
−
1,555. 10
3
.
+ 0,165
hsmax m 5,9 6,4 7,0 7,5
Segundo G. Hutarew a faixa de melhor rendimento está entre n s de 500 a 600 para turbinas axiais.
36
Escolhemos então a de ns = 577 com rotação de n = 300 rpm, uma vez que as alturas de sucção resultaram maiores que a altura de queda, portanto sem problemas de cavitação. Em função do gráfico de Meerwarth intitulado “Alturas máximas de quedas nominais de turbinas Kaplan (Hélice) e número de pás” do F.G.T. obtemos: Z=6
23 – ROTAÇÃO UNITÁRIA
√ √ =
1
=
300
3,5
= 160,36
24 – VAZÃO UNITÁRIA
1
=
=
2,25 3,5
= 1,20
25 – COEFICIENTES DE VELOCIDADES Com o ns = 577 no gráfico de Quantz/Meerwarth intitulado “Elementos para prédimensionamento de turbinas Francis e Kaplan” do F.G.T obtemos:
= 1,719; = 0,690
4
= 0,530;
2
= 0,304;
37
26 – DIÂMETRO EXTERNO
= 84,6.
= 84,6.
1
1,719 160,36
= 0,906
27 – DIÂMETRO INTERNO
=
.
0,690
=
1,719
. 0,906 = 0,364
28 – ALTURA DO SISTEMA DIRETOR
2
=
0,072.
1
2.
1,2
= 0,072.
0,304.0,906
= 0,314
29 – DIÂMETROS E COEFICIENTES DE VELOCIDADES INTERMEDIÁRIOS Para a determinação dos diâmetros intermediários adotamos quatro turbinas parciais, resultando a vazão:
− − − =
4
=
2,25 4
= 0,56
3
/
A velocidade meridional sem considerar as espessuras das pás será: 4
= 4.
2
.(
4
=
2)
= 4.
4
2. .
=
2,25
. (0,9062
0,3642 )
4,15
2.9,81.3,50
= 4,15
/
= 0,501
Para o cálculo dos diâmetros intermediários, utilizamos a equação da continuidade:
+1
=
2
4. .
4
Aplicando a equação, resulta:
38
1
= 0,906
= 0,691
2
= 0,552
Com diâmetros e a equação abaixo, são calculados os coeficientes de velocidades:
=
1( 1)
= 1,527
(
. .
60. 2. .
) = 1,309
2( 2)
= 1,046
39
30 – TRIANGULOS DE VELOCIDADES Considerando C m4 = 0,531 e η h=0,90 obtemos os elementos do triângulos de velocidades: η h = 2⋅
u=
u ⋅ ∆c u
π ⋅ D⋅
n
60
∆ ̅ ℎ� � − ∆ ̅ − 10° = = 5° = 0° = =
∞
2.
4
=
(
2
∞
D U
ΔC u/2 β∞
W∞
(m) (-) (-) (º) (-)
e 0,907 1,719 0,131 19,6 1,584
=
4,
( )
4
(
1 0,806 1,527 0,147 21,7 1,435
∞
)
m 0,691 1,309 0,172 25,0 1,254
2 0,552 1,046 0,215 31,2 1,025
i 0,364 0,690 0,326 47,8 0,700
40
41
31 – ELEMENTOS DA PÁ Hipótese de cálculo: Essas hipóteses permitem obter um formato de pá mais adequado e elementos da pá variando de forma contínua da secção “e” até “i”. a – li = 0,56.le (adotar no intervalo 0,50 a 0,65) b- (te/le) = 0,95 (obtido no gráfico abaixo em função do ns =577)
42
− e
= 0,039
á
á
= 0,019
Essas espessuras podem ser obtidas de três maneiras: c.1 – Por cálculo através da Resistência dos Materiais c.2 – Através de bibliografia especializada c.3 – Por comparação com outros projetos d – Adotar variação exponencial de ymáx:
− − − − − − − =
á
4.
3.
e – Adotar a variação linear de “l”:
=
1 + 2.
Obtenção das constantes das equações adotadas: = .
=
2
4
/0,95 = 0,500
=(
1
= ( ln (
á
3
=
= 0,475
)/(
=
)
) = 0,4052
2.
ln (
( ln (
á
á
)
= 0,1325
))/(
4.
)
)=
1,3243
= 0,0651
43
Seções
e
1
m
2
i
(m)
0,907
0,806
0,691
0,552
0,364
(-)
0,331
0,411
0,548
0,839
1,863
= . /
(-)
0,475
0,422
0,362
0,289
0,191
+
(m)
0,500
0,459
0,412
0,356
0,280
(-)
0,950
0,920
0,877
0,812
0,681
(-)
0,314
0,378
0,481
0,682
1,270
587
587
587
624
624
0,019
0,022
0,025
0,030
0,039
0,038
0,048
0,061
0,084
0,139
0,580
0,733
0,947
0,563
0,881
1,4
1,6
2,0
3,7
7,7
18,1
20,1
23,0
27,5
41,5
0,475
0,431
0,380
0,316
0,210
30,0
30,6
31,5
32,8
33,0
D
ℎ � � − ⁄ − ⁄ ′
=
=
/( .
1
∞
)
2.
t/l
′
=
. /
Perfil (escolhido) =
á
3.
á
=(
á
/
/ )/( (
=
=
′
4.
á
/ )
) /0,092 á
∞
= . cos ( ) ′
2 = 114,591. /2.
(m)
44
32 – GRÁFICO DE VERIFICAÇÃO O objetivo deste gráfico é verificar se os valores calculados da pá variam de forma contínua relativamente às seções.
33 – ANGULOS DAS ALETAS AJUSTAVEIS 33.1 – Entrada O ângulo de entrada pode assumir valores diferentes dependendo do tipo de instalação e forma da aleta. a – Instalação com caixa espiral: αe
é função dos dados da caixa espiral 45
b – Instalação com caixa aberta: b.1 – α e é igual a 90ᵒ (escoamento sem perda). b.2 – α e depende do ângulo de saída da aleta e seu eixo é retilíneo (escoamento com perda). Neste dimensionamento adotaremos a solução b.2 αe será determinado no desenho do sistema diretor.
33.2 – Saída O ângulo de saída depende do momento de velocidade do rotor:
ℎ ∴ =
(
)=
(2. .
60. . .
(2. . )
2.
= 0,984
. 0,95)
2
/
= 1,16
= 50°
34 – DIMENSOES DAS SEÇÕES DA PÁ
⁄ á
= .
á
á
.(
)
Exemplo para o ponto x = 30 na seção “e”:
Seção “e” GO 587: x (mm) y (mm)
0 2
= 0,30.0,500 = 0,150
= 0,580.0,500.6,55/100 = 0,019
50 12
150 19
250 18
350 13
450 7
500 3
46 14
138 22
229 20
321 15
413 8
459 3
41 16
124 25
206 24
289 17
371 9
412 4
Seção “1” GO 587: x (mm) y (mm)
0 2
Seção “m” GO 587: x (mm) y (mm)
0 2
46
Seção “2” GO 587: x (mm) y (mm)
0 8
36 24
107 30
178 27
249 18
320 7
356 1
28 31
84 39
140 34
196 23
252 9
280 1
Seção “i” GO 587: x (mm) y (mm)
0 10
47
35 – GABARITOS DOS PERFIS DAS PÁS Escala 1:x
48
36 – PROJEÇÃO E VISTA LATERAL DO ROTOR Escala 1:x
37 – SISTEMA DIRETOR – ALETAS AJUSTÁVEIS 37.1 – Aletas Ajustáveis Para máquinas pequenas (Hélice ou Kaplan) adotar preliminarmente:
⁄ 1
= 0,75
0,85
49
Em função do recobrimento das aletas, resultou 22ᵒ30’ entre aletas e:
⁄
′
= 360 22 ° 30 = 16
37.2 – Perfil da aleta
50
38 – PLANO MERIDIANO ESQUEMÁTICO DA TURBINA
As dimensões com foram obtidas através da comparação com outros projetos semelhantes.
51
39. LABIRINTOS 39.1.
INTRODUÇÃO
No capítulo referente a perdas vimos que existe na máquina hidráulica uma fuga de fluido, devida a diferença de pressões entre a entrada e saída do rotor. Essa fuga ocorre através dos labirintos, que são os espaços mínimos entre o rotor e as pastes fixas da máquina. A função dos labirintos é minimizar a fuga de fluido e impedir o atrito sólido entre as partes fixas e rotor. O escoamento na entrada (3) ou na saída (6) do rotor, conforme seja turbina ou bomba, perde uma parcela de vazão que divide-se em duas partes e . A parcela passa pelo labirinto “ ” para fora da máquina. Essa parcela poderá ser muito pequena, dependendo do tipo de labirinto situado entre o eixo e a caixa da máquina (engaxetamento e selo mecânico). A outra parcela , para turbinas, passa pelo labirinto “ ” escoando para o tubo de sucção, sem participar da troca de energias. Para bombas recircula entre a saída e entrada do rotor, passando pelo labirinto “ ”. Na figura 39.1 mostramos os labirintos e as direções das parcelas de fuga de fluido.
Figura 39.1 – Labirintos
39.2.
FORMAS DE LABIRINTOS
Existem várias formas de labirintos, dependendo da pressão e natureza do líquido com que a máquina vai trabalhar. Os labirintos são formados por anéis de desgaste renováveis, alojados na parte fixa da máquina ou no rotor ou em ambos. Esses anéis permitem diminuir a folga e substituição deles quando gastos, sem que esse desgaste afete diretamente as partes fixas e móveis (rotor) da máquina. Os anéis de desgaste são, normalmente, de materiais menos resistentes que o da máquina. Na figura 39.2 apresentamos alguns labirintos com os anéis de desgaste
52
Figura 39.2 – Formas de labirintos com anéis de desgaste.
53
39.3.
CÁLCULO DA FUGA
Como a parcela da vazão de fuga é muito pequena ou nula, a fuga de fluido será determinada através de expressão semelhante a dos medidores de vazão.
= . . . . � 2 . . ∆
(3.1)
Onde, - vazão que recircula na bomba ou a vazão perdida na turbina;
- coeficiente empírico função do número de Reynolds e da forma do labirinto; D - diâmetro do labirinto e - vão do labirinto;
∆
- diferença de altura de pressão atuante sobre o labirinto
O valor de pode ser obtido, para labirintos lisos, pela expressão
=
1
� 0,02 . ⁄ + 1,5
(3.2)
Onde é o comprimento do labirinto. O valor do vão “e” deve ser menor possível, a fim de permitir uma estanqueidade, e maior que os possíveis deslocamentos do eixo, segundo dados experimentais, podemos adotar
= (0,5 1,5). ⁄1000 Onde D deve ser considerado em mm. Na figura 39.3 mostramos o vão e o comprimento do labirinto
Figura 39.3 – Vão e comprimento do labirinto
54
A diferença de altura de pressão atuante sobre o labirinto depende da altura de pressão entre a entrada e saída da máquina
∆
=
52 − 42 + 42 − 52 ± 2.
Valendo o sinal (+) para bombas e (-) para turbinas, menos a altura de energia, provocada pela rotação do fluido contido entre o rotor e a parte fixa da máquina. Neste local o fluido tem junto ao rotor e a parte fixa da máquin. Neste local o fluido tem junto ao rotor a mesma velocidade tangencial, e junto a parte fixa a velocidade tangencial é nula. Assim, para efeito de cálculo o fluido tem em termos médios, a velocidade tangencial ⁄2, resultando
∆ℎ =
±(ℎ 5 − ℎ 4 ) = ± [ (5 ⁄2)2 − (5 ⁄2)2 ]⁄2 = ±(52 −
42 )/8
A diferença entre as alturas de pressão ∆ e ∆ℎ é que atuará sobre o labirinto
∆
=
∆
± (ℎ 5 − ℎ 4 )
Valendo (-) para bombas e (+) para turbinas. Uma vez conhecidos todos os elementos da Eq. 3.1, podemos determinar a vazão de fuga .
55
40. EXERCÍCIOS 4.1 – Determinar a vazão de fuga e o rendimento volumétrico de uma turbina que opera com 12 m.c.a de queda e vazão de 0,665 3 /, conhecendose os seguintes dados: - velocidade tangencial na entrada do rotor: 11,95 m/s; - velocidade tangencial na saída do rotor: 9,05 m/s; - velocidade relativa na entrada do rotor: 4,46 m/s; - velocidade relativa na saída do rotor: 10,20 m/s
O vão é obtido em função dos dados experimentais:
= (0,5 1,5). ⁄1000 Adotaremos para o diâmetro médio de 370 mm
= 1,5 . 370/1000 = 0,555 mm O comprimento do labirinto é a soma dos comprimentos parciais:
= 10 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 35
Com os calores de “e” e “ ” obtemos através da Eq. 3.2 o coeficiente empírico:
=
1
� 0 ,02 . 35⁄0,555 +
1,5
= 0,602
A altura de pressão remanescente atuante sobre o labirinto é obtida pela expressão:
∆
=
∆
± (ℎ 5 − ℎ 4 ) (1)
Onde
56
∆
=
(11,952
−
9,052 )
19,62
+
10,22 − 4,462
(ℎ 4 − ℎ 5 ) =
E
19,62 11,952 − 9,052 78,48
= 7,393 . . .
= 0,776 . . .
Substituindo os valores calculados na equação (1) obtemos:
∆
= 7,393 − 0,776 = 6,617 . . .
A vazão de fuga é determinada pela Eq.3.1:
= 0,602 . .0,37 . 0,555 . 10−3 . � 2 .6.617 = 0,0034 3 / Com a vazão de fuga o rendimento volumétrico pode ser obtido
=
− 0,665 − 0,0034 = = 0,99 0,665
57
4.2 – Determinar para a bomba, com os dados abaixo relacionados a vazão de fuga e o rendimento volumétrico. - rotação: 3.450; -diâmetro de entrada do rotor: 110 mm; -diâmetro de saída do rotor: 220 mm; -altura do rotor na saída: 8,5 mm; -vazão: 0,025 3 /; -rendimento hidráulico: 0,8; -adotar para o vão o valor médio; -desprezar a espessura das pás do rotor; -canais do rotor de seção constante; -croqui do labirinto;
58
41. INTRODUÇÃO A condição básica do escoamento é a distribuição uniforme da vazão em toda a circunferência de entrada e saída do sistema diretor. Esta distribuição é obtida através da caixa espiral. O cálculo da caixa espiral devido as forças centrífugas e Bernoulli, deve ser feito com base numa velocidade média não constante para todas as seções da espiral. Assim, a velocidade média diminuirá com o aumento da seção da caixa espiral, desde que a condição básica seja mantida. Como existe, simetria do fluxo em relação ao eixo na entrada ou saída do rotor, também na caixa espiral esta condição deverá permanecer. Este raciocínio conduz, para cada ponto da caixa espiral, que a equação do vórtice vale: Vu . r = K (1.1) Ou seja, que o produto da componente tangencial da velocidade pelo raio é constante. A caixa é utilizada na maioria das máquinas hidráulicas, com exceção das turbinas de baixa queda em que é possível sua instalação em caixa aberta e em bombas e ventiladores axiais. O procedimento a seguir vale para bombas, turbinas e ventiladores.
42. EQUAÇÃO GERAL Consideraremos o corte segundo um plano meridiano localizado sob um ângulo qualquer θ em rela ção ao início da caixa espiral de uma bomba, conforme figura 42.1a.
Figura 42.1 - Planos de bomba
No plano meridiano, figura 42.1b, consideraremos a área elementar = Onde: b es – largura da caixa espiral dr – altura da área elementar correspondente a uma pequena variação do raio r
∙
59
Nesta área elementar a velocidade perpendicular é de acordo coma Equação 1.1.
=
E assim poderemos escrever a vazão elementar que passa pela área elementar considerada:
= ∙ ∙ � A vazão parcial correspondente ao ângulo θ passar á entre os limites r’’ e R e será obtida pela integração entre esses limites.
= ∫ = ∫ ∙ (/) "
"
(2.1)
Como existe uma proporcionalidade entra a vazão qualquer e seu ângulo θ definidor da posição da seção, podemos escrever:
= ( ) ∙ 360
(2.2)
°
Onde Q é a vazão total que passa pela caixa espiral θ oângulo e medido em graus. Igualando-se as equações 2.1 e 2.2, obtemos
= 360 ∫ ∙ °
(2.3)
"
A equação 2.3 define a variação deθ em função de r, ou seja, a forma da caixa espiral, uma vez escolhida a variação de b es em função de r. Para as máquinas sem aletas, caso comum dos bombas, a determinação do vórtice K, considerando α 4 e α 5 = 90o, é feita pela expressão:
= ∙ 5
6
E substituindo C u6 , obtido pela equação fundamental
= (1/) ∙ ∙ 6
5
Resulta = 9,55 /
∙
Para o caso em que existe o sistema diretor com aletas entre a caixa espiral de seção circular e o rotor, o cálculo de K é feito em função da velocidade na entrada ou saída da caixa espiral. Esta velocidade para máquinas de um estágio vale aproximadamente:
= 0,10 0,20 . (2) = 0,15 0,25. (2)
1/2
1/2
para bombas centrífugas, Para turbinas,
Valores que crescem com a vazão Q. Com esta velocidade e o considerando que na maior seção da caixa espiral θ = (360 ), podemos 60
escrever 2.ρ e360 = D E ’, sendo ρ e o raio da seção nesta posição e D E ’ o seu diâmetro, figura 42.2, impondo valores para D E ’, através de cálculo iterativo obteremos o valor de D E ’ que permitirá o cálculo de K.
Figura 42.2 – Caixa espiral de bomba no plano normal
Supondo a velocidade C E atuante no ponto 4 da caixa espiral da figura 42.2, e impondo um valor de D E ’ entre r” e D E , como primeira tentativa, podese comprovar a condição 2.ρ e360 = D E ’, através da equação que será deduzida no item a seguir.
43. CAIXA ESPIRAL COM SEÇÃO CIRCULAR Este formato der seção é muito utilizado para turbinas e bombas. Para a aplicação da equação 2.3 é necessário o estabelecimento da variação de b es em função de r. Através da figura 43.1.1 definimos esta variação.
Figura 43.1.1 – Caixa espiral com seção circular
61
2
ρe
2
bes = ( ) + (r 2 Ou
∙
bes = 2 [ρe 2
− x) − (r − x) ] 2
2 1/2
Considerando que o limite inferior da caixa espiral é o ponto mais próximo do eixo e substituindo-se a expressão de b es na equação 2.3, obtemos: θ = 360°
x+r
K
�Q . 2 − [r − (r − x) ] . drr e
1 2 2
2
x r
Resolvendo a integral, resulta: θ = 720°
. π[x − (x − ρ K
2
2
e
Q
(2.4)
)
Como x = r” + ρe a equação 2.4 passa a ser escrita da seguinte forma: θ = 720°
. π{r" + ρ − [r"(r" + 2ρ )] K
Q
1/2
e
e
(2.5)
}
No dimensionamento é preferível a determinação do raio ρ e . Assim, é conveniente isolar da equação 2.5 ρ e , passando a equação para a seguinte forma: ρe =
+ [2. r"(θ°/B)].1/2 θ°
(2.6)
B
Sendo B = 720°. π.K/Q
(turbinas)
O valor de B é obtido em função de Q = 2.π.r 5 .b 5 .C m5 e K = r 5 .C u5 para bombas: B = 360°.
Cu5 b5 . Cm5
A equação 2.6 para θ = 360º permite obter o raio da seção máxima da caixa espiral: ρe360 =
+ [r". Q/(π. K)] Q
2.π.K
1/2
(2.7)
44. CAIXA ESPIRAL COM SEÇÃO RETANGULAR Este formato de seção é largamente utilizado em caixas espirais de ventiladores, onde a largura b es é constante. Esta constância pouco influi no rendimento da máquina, devido a acomodação do fluido, no caso ar ou gás, na
62
seção retangular. Normalmente para redução de tamanho da máquina (rotor + caixa espiral) usa-se b es = 3 a 5.b 5 . Apresentaremos na figura 44.2.1 os tipos comuns de seções de caixa espiral.
Figura 44.2.1 – Diferentes tipos de seções de caixa espiral
O tipo “c” é uma caixa espiral denominada de interna, ocupando menor espaço possível, o seu dimensionamento além das equações que será desenvolvida a seguir, necessita de outras condições que não serão apresentadas aqui. Considerando b es = constante, Q = 2.π.r 5 .b 5 .Cm5 e K = r 5 .C u6 a equação 2.3 é escrita da seguinte forma:
. . = 2. . . . 2. .
°
5
5
6
5
5
"
Simplificando, e integrando, obtemos
= . . . ln /" Ou = /" Fazendo: = 2. . 6
°
5
5.
.
5 . 6
5
°
°
Sendo “N” o número adotado de seções da caixa espiral e “i” um número que varia de 0 a N. Determinando a velocidade C m5 em função da vazão, C u6 através da Equação Fundamental e adotando um número “N” de seções, podemos obter o contorno externo da caixa espiral pela equação:
. .(2. . ) = ". 5
5 6
(2.8)
63
45. EXERCÍCIOS Determinar os raios das seções da caixa espiral de uma turbina Francis com as seguintes características: - altura de queda: 6,0 mca; - raio inicial da caixa espiral: 0,155m; - vazão: 0,070 m3/s. Inicialmente calcularemos a velocidade na entrada do injetor da caixa espiral, adotando um coeficiente da velocidade teórica de 0,205.
= 0,205(2. . )
1/2
= 0,205(2.9,81.6)1/2 = 2,22
/
Com a velocidade C E determinamos o diâmetro de entrada do injetor.
= (4.. )
1/2
=
0,07 �4 ×× 2,22 = 0,20
Para o cálculo do diâmetro de entrada da caixa espiral impomos as seguintes condições: - a velocidade no ponto 4 da figura 2.2 é igual a C E ; - o valor inicial de D E ’ deve ser adotado entre valores de r” e D E . Utilizando a Equação 2.6 e as expressões B = 720º.π.K/Q e K = (r”+ D E ’), obtemos por cálculo iterativo o valor de D E ’:
DE’
K
B
(1)
(2)
ρe
2ρ e
0,16
0,6993
22,596
0,0159
0,0702
0,0861
0,172
0,17
0,7215
23,314
0,0154
0,0691
0,0845
0,169
0,169
0,7193
23,242
0,0155
0,0693
0,0848
0,169
- (1)= θo/B - (2)= (2.π. θo/B)1/2 Obtido a condição D E ’= 2. ρ e = 0,169 m, podemos calcular os raios da caixa espiral para qualquer valor de θ. θo
90 180 270 360
θo /23,242 0,0039 0,0077 0,0116 0,0155
(2.r”. θo /23,242) 0,0346 0,0490 0,0600 0,0693
ρe 0,0385 0,0567 0,0716 0,0848
Determinar o contorno da caixa espiral de seção retangular para um rotor de ventilador com as seguintes características: - altura do rotor na saída (b 5 ): 18 mm; - componente da velocidade absoluta na direção tangencial logo após a saída do rotor (C u6 ): 82,7 m/s ; - largura da caixa espiral (b es ): 100 mm (valor adotado); - raio inicial da caixa espiral: 340 mm; - velocidade meridional na saída do rotor (Cm5 ): 35,0 m/s.
64
Aplicando a equação 2.8 e considerando N = 8, resulta:
= ".
2
( 5
5 ) 6
Substituindo os valores dados na equação acima, obtemos:
/" =
0,0598
= 1,0616
Com esta expressão determinamos os raios que definem o contorno da caixa espiral:
Pontos (i) 0 2 4 6 8
θo (graus) 0 90 180 270 360
R/r”
R (mm)
1,000 1,127 1,270 1,432 1,614
340 383 431 486 549
65
46. INTRODUÇÃO O funcionamento das bombas e turbinas, de acordo com as especificações de projeto ou exigências da instalação, depende principalmente das condições de sucção. Essas condições podem provocar o fenômeno denominado cavitação. Segundo Bernoulli, a ocorrência do fenômeno é freqüente em locais de alta velocidade. Portanto, pode ocorrer cavitação em pontos localizados, independentemente das condições de sucção. Este fenômeno consiste na formação de bolhas de vapor e gases, em regiões de mínima pressão no interior de uma máquina hidráulica. As bolhas aparecem no escoamento quando é atingida a pressão de vaporização do líquido na temperatura do escoamento, o decréscimo desta “pressão mínima” favorece o aumento do volume das bolhas, provocando a diminuição da eficiência hidráulica. Quando essas bolhas alcançam regiões de mais elevada pressão elas condensam violentamente, liberando o espaço ocupado pelas bolhas onde o líquido é impelido por sua pressão, produzindo exagerados choques.
47. ALTURA DE SUCÇÃO Nas instalações de bombas e turbinas duas alturas de sucção podem ser definidas: altura estática de sucção válida para bombas e turbinas. Ela representa a diferença entre um ponto do rotor (normatizado pela ABNT, fig. 47.1) e o nível de aspiração, para bombas ou de jusante para turbinas. A outra é a altura manométrica de sucção, somente para bombas, definida como a energia total relativa que atua na entrada da bomba, medida em metros de coluna líquida. A ABNT, a fim de evitar questionamentos entre compradores e fabricantes de máquinas hidráulicas, estabeleceu através de normas como deve ser medida essa altura estática de sucção. A figura 47.1 apresenta varias posições de máquinas e a respectiva altura estática de sucção.
66
Figura 47.1 – Alturas estáticas de sucção
Aplicando Bernoulli entre os pontos 1 e 2 da figura 47.2, obtemos: p 2 / ϒ + V 2 /2g + Z 2 = p 1 / ϒ + V 2 /2g + Z 1 – h ps E considerando:
Figura 47.2 – Bomba não afogada
Z 1 = - h s (altura estática de sucção) h ps = perda de carga na sucção 67
Z 2 = 0; V 1 2/2g = 0
e
Resulta
p 2 /ϒ + V 2 2/2g = -h s – h ps
p 1 /ϒ = 0.
Conforme definição anterior, podemos escrever a altura manométrica de sucção: H s = p 2 /ϒ + V s 2/2g
(processo manométrico)
Ou
(processo analítico)
H s = - (h s + h ps )
Para instalação com bomba afogada:
Figura 47.3 – Bomba afogada
p 2 /ϒ + V 22/2g + Z 2 = p 1 /ϒ + V 1 2/2g + Z 1 - h ps Considerando: Z 2 = 0;
p 1 /ϒ = 0;
V 12/2g = 0 e Z 1 = h s
resulta p 2 /ϒ + V s 2/2g = - h s - h ps ficando definida a altura manométrica de sucção pelos dois processos: H s = p 2 / ϒ + V2 2/2g H s = h s -h ps
(manométrico) (analítico)
Nas duas instalações das figuras 47.2 e 47.3 ficou bem evidenciado a importância da altura estática de sucção (h s ), a qual permite a determinação de H s pelo processo analítico, e define a posição de instalação da bomba, relativamente ao nível de aspiração (montante). Tanto para bombas como para
68
turbinas o h s define a posição de instalação das máquinas, o que resulta a importância desta grandeza.
48. COEFICIENTE DE CAVITAÇÃO E NPSH Considerando a instalação da figura 47.1 para estabelecermos a energia disponível absoluta. Essa energia é representada pela energia total absoluta acima da pressão de vaporização na entrada da bomba. Com o objetivo do não atendimento da pressão mínima, é necessário que a energia disponível seja maior do que a correspondente a de energia de vaporização h v = p v / ϒ: H sd > h v Pela definição a energia relativa na entrada será, então: H sd = p 2 / ϒ + V 22/2g - p v / ϒ
(3.1)
Aplicando Bernoulli entre os pontos (1) e (2) da figura 47.1 resulta: p 2 / ϒ + V 22/2g + Z 2 = p 1 / ϒ + V 12/2g + Z 1 - h ps
(3.2)
Para que as alturas de energias sejam absolutas é necessário que: p1/ ϒ = pb/ ϒ = hb Combinando as equações (3.1) e (3.2) e considerando que: V 1 2/2g = 0; Z 2 = 0; Z 1 = - h ps Resulta: H sd = h b – h v – h s – h ps
(3.3)
Onde: H sd – energia disponível absoluta na entrada da bomba acima da pressão de vaporização; h b - altura barométrica local; h g – altura medida no barômetro em mm de Hg; H L – altitude local no nível de jusante/montante;
69
h v – altura de vaporização obtida em função da temperatura do líquido bombeado; h s – altura estática de sucção; h ps – perda de carga na tubulação de sucção. Definindo σlim = H sd / H como coeficiente de cavitação de THOMA, e
ainda considerando que para a mínima energia disponível acima de h v , a altura manométrica deverá assumir um valor limite, a equação para bombas, será: H slim = h b – h V – σ lim .H
(3.4)
É de uso corrente o NPSH (Net Positive Suction Head), ele representa a energia disponível absoluta na entrada da bomba acima da pressão de vaporização. Como H sd e o NPSH definem a mesma energia disponível acima de h v, podemos escrever: H sd = NPSH e σlim = NPSH/H A expressão para bombas se transforma em: H slim = h b – h v – NPSH
(3.5)
A condição para que a bomba funcione livre de cavitação é necessário que, para uma determinada vazão: NPSH d ≥ NPSH Sendo: NPSH = energia disponível absoluta requerida pela bomba; NPSH d = energia disponível absoluta fornecida pela instalação. NPSH d = h b – h v – h s – h ps (3.6) No cálculo do NPSH d deve-se considerar o sinal correspondente da altura de sucção, como positivo (+) abaixo e como negativo (-) acima do nível de aspiração. Considerando que H s = h s + hp s a equação (3.5) passa a ser escrita sob a forma: H slim = h b – h v – h ps – NPSH
(3.7)
Para turbinas a altura manométrica máxima de sucção é igual a altura estática máxima de sucção, porque as perdas de carga na sucção são da inteira responsabilidade da turbina, resultando a equação para este tipo de máquina: h slim = h b – h V –σ lim .H
(3.8)
70
A determinação do coeficiente ão né σ e do NPSH, teoricamente precisa, porque depende de vários fatores de difícil obtenção, isto fez com que pesquisadores e fabricantes obtivessem σ e NPSH através de experimentos e testes em modelos reduzidos. Adota- se normalmente σ lim e NPSH de 15 a 30% maior do que o correspondente a queda pré-fixada nas grandezas consideradas nos testes. Para turbinas o aspecto da curva obtida, é:
Figura 48.1 – Curva de η t = f ( σ )
σ i = Coeficiente início de cavitação σ c = Coeficiente crítico de cavitação Os valores de σ lim recomendados para turbinas FRANCIS e HÉLICE
(KPLAN) podem ser obtidos de gráficos ou fórmulas, apresentaremos apenas a fórmula de MEERWARTH, válida para n s de 160 a 800: 0,165
σ lim = 4,678E-12.n s 4 – 9,460E-9.n s 3 + 7,593E-6.n s 2 – 1,555E-3.n s +
Para bombas a curva resultante do teste tem o mesmo aspecto da curva para turbinas:
Figura 48.2 – Curva de H = f (NPSH)
71
Os valores do NPSH são obtidos nas curvas características da bomba fornecidas pelo fabricante da turbomáquina, conforme curva da f igura 49.4. Como NPSH é igual a σ lim .H, pode-se também obter o seu valor através de fórmulas empíricas em função da rotação específica referida a potência: a) Bombas radiais e axiais: STEPANOFF : ESCHER-WISS:
NPSH = 2,20.E-4.n s 4/3.H
NPSH = 2,16.E-4.n s 4/3.H
b) Bombas axiais: STANDARDS OF HIDRAULIC INSTITUTE NPSH = 2,05.E-4. n s 4/3.H As equações 3.7 e 3.8 permitem a determinação da posição da turbomáquina, relativamente ao nível de aspiração (montante) para bomba e ao jusante para turbina. Analisando a Eq. 3.7 é possível concluir: h slim = h b – (h V + h ps + NPSH) Quando h b > (h V + h ps + NPSH) Resulta h slim > 0 O que indica que a bomba poderá produzir uma depressão equivalente a diferença entre h b e (h V + h ps + NPSH). Neste caso a bomba deverá ser instalada, com uma altura máxima, acima do nível do reservatório de aspiração e, quando: h b < (h V + h ps + NPSH) resulta: h slim < 0 isto indica que a bomba somente poderá operar com uma determinada contrapressão equivalente a diferença entre (h V + h ps + NPSH) e h b. Nesta situação a bomba deverá ser instalada, com uma altura mínima, abaixo do nível do reservatório de aspiração. Da mesma forma a Eq. 3.8 determina a posição da turbina em relação ao nível de jusante, sua analise definirá as duas posições possíveis: h slim = h b – (h V +σ lim .H) quando resulta
h b > (h V + σ lim .H) h slim > 0
o que significa que a turbina devera ser instalada, com uma altura máxima, acima do nível de de jusante e quando h b < (h V + σ lim .H) resulta h slim < 0
72
Indicando que a turbina deverá ser instalada, com uma altura mínima, abaixo do nível de jusante, provocando na saída da turbina uma contrapressão que elevará a pressão neste local.
49. EFEITOS DA CAVITAÇÃO A implosão das bolhas poderá causar sérias erosões no metal (EROSÃO CAVITAL), ruído, vibrações e a queda brusca das grandezas características de funcionamento da máquina. Com a diminuição da pressão no interior da máquina o coeficiente de cavitação σ” “ ten de a zero, fazendo com que as bolhas de vapor cresçam formando eventualmente nuvens de bolhas. Isto afeta o desempenho hidráulico, o rendimento cai e quando a extensão da cavitação é grande a queda é violenta, esse ponto é freqüentemente chamado de “COLAPSO”, conforme figura 49.1.
Figura 49.1 – Curva de η t = f ( σ )
Funcionando a máquina sob tais condições (abaixo de σ I ), próximo das zonas de implosão o metal é submetido a grandes choques, provocando a erosão no rotor. Esta erosão é agravada simultaneamente por efeitos eletroquímicos. Uma das maneiras de se avaliar a extensão da cavitação nas máquinas, é medindo os pesos perdidos por erosão cavital. O gráfico a seguir mostra a evolução dos pesos perdidos em função do tempo em que a máquina foi submetida à cavitação:
73
Figura 49.2 – Evolução de pesos perdidos na cavitação
No tempo de incubação a perda de peso é pequena, acentuando rapidamente com o desprendimento de pedaços de metal. Para um desempenho econômico das bombas e turbinas, elas devem operar o mais próximo possível do ponto de cavitação, mais sem correr o risco de queda do rendimento ou erosão cavital. Eventualmente, as máquinas podem ser forçadas a operar com cavitação, neste caso é usual construir o rotor com materiais resistentes como aço puro ou ligas de alumínio e bronze. A erosão poderá ocorrer também em máquinas hidráulicas que operam com óleo, sistemas de força e válvulas, porém não com tão graves efeitos como na água. Na temperatura e pressão normal a água contém 2% de ar e o óleo 10%. A presença de ar nas bolhas tende a amortecer os choques provocados pela cavitação, razão pela qual no óleo os efeitos são amortecidos. O efeito da cavitação nas características de funcionamento das bombas pode ser visualizado através da curva do rotor de uma bomba centrífuga, com rotação constante, figura 49.3.
Figura 49.3 – Curva característica H = f (Q)
Na curva observa-se que, com a abertura progressiva do registro no recalque, e a bomba funcionando com valores não adequados de h s ou h ps ou h v , a altura de elevação nos pontos críticos A ou B ou C, começa a diminuir e em seguida cai bruscamente. Neste ponto a vazão deixaria de aumentar, nem com maior abertura do registro. Nas bombas diagonais e axiais a queda de altura de elevação não é tão brusca como nas bombas radiais. Além da queda brusca da altura de elevação e diminuição da vazão, o rendimento também sofre uma queda. Finalmente, apresentamos na figura abaixo as curvas características de uma bomba, na qual podemos ver que ela requer “X” metros de energia absoluta NPSH acima de h v a fim de operar livre de cavitação, com uma determinada vazão “Q”.
74
Figura 49.4 – Característica de bomba
50. CASOS TÍPICOS DE INSTALAÇÕES A. Turbina não afogada
h slim > 0
Figura 50.1 – Turbina instalada acima do nível de jusante
B.
Turbina afogada
h slim < 0
75
Figura 50.2 – Turbina instalada abaixo do nível de jusante
C.
Bomba não afogada (reservatório aberto)
h slim > 0
Figura 50.3 – Bomba instalada acima do nível de aspiração
D.
Bomba afogada (reservatório aberto)
h slim < 0
76
Figura 50.4 – Bomba instalada abaixo do nível de aspiração
E. Bomba não afogada (reservatório fechado)
h slim > 0
Figura 50.5 – Bomba instalada acima do nível de aspiração
F.
Bomba afogada (reservatório fechado) h slim < 0
77
Figura 50.6 – Bomba instalada abaixo do nível de aspiração
Observamos que as bombas e turbinas não precisam, necessariamente serem instaladas na máxima ou mínima altura de sucção calculada, mas observar estes valores máximos e mínimos é necessário conforme as condições locais e tipo de instalação da turbomáquina. Para as turbinas devemos considerar que com a instalação na h slim a altura de pressão na entrada da máquina fica diminuída. Desta forma a turbina deverá recuperar mais energia na saída do rotor, o que levaria a um aproveitamento um pouco menor da energia disponível, devido ao rendimento de recuperação do tubo de sucção.
51. EXERCÍCIOS 1) A Usina Hidroelétrica do Salto Hidra, tendo em vista a grande variação do nível jusante, é dotada de uma comporta basculante em seu canal de fuga, com o fim de manter em qualquer época do ano as condições ótimas de sucção. Com o funcionamento da referida usina, em uma dada época do ano, constatou-se que a turbina, para a vazão nominal de 300 m3/s e altura estática de sucção negativa de 0,50m , somente produzia a potência de 35.000 C.V., muito aquém da nominal. Face a potência produzida, pergunta-se a causa, conhecendo-se os seguintes elementos: Altura nominal de queda: 12 m.c.a.; Rotação nominal: 80 rpm; Temperatura da água: 20 oC; Altitude local: 1000m; Rendimento total: 90%. • • • • •
Como a turbina está produzindo menos potência é possível que as condições de sucção não estejam atendidas, portanto devemos calcular a altura estática limite de sucção no ponto nominal e comparar com a altura estática de funcionamento. Com a equação 3.8 calculamos: h slim = h b – h V –σ lim .H h b = 10 – 0,0012 x 1.000 = 8,8 m.c.a.
78
h V = 0,24 m.c.a. (obtido no F.G.T. pág. 21 em função da temperatura) Para a obtenção o σlim é necessário o cálculo de n s : n s = P efn1/2/H n 5/4).n Pef = 1.000.Qn.Hn...../75 = 1.000 x 300 x 12 x 0,90 / 75 = 43.200 CV
Comparando-se a altura estática de sucção de funcionamento e a limite mínima admitida pela turbina obtemos a causa: h Sfunc = - 0,50m
A altura de elevação nominal: 20 m.c.a.; Vazão nominal: 100 m3/h; Rotação da Rendimento total : 0,65; Temperatura da água: 20 oC; Altitude local: 900m; Perdas de carga na sucção: 1,0 m.c.a.
Pede-se a altura estática limite de sucção, para o bom funcionamento da bomba. Calculamos inicialmente a altura manométrica de sucção: Usando a Eq. 3.7: h slim = h b –h v – h ps – NPSH Em função da altitude local, obtemos: h b = 10 – 0,0012.H L = 10 – 0,0012 x 900 = 8,92 m.c.a. em função da temperatura, retiramos do gráfico do F.G.T. na pág. 21 a altura de vaporização: h v = 0,24m.c.a. a potência eficaz: Pef = 1.000 x 20 x 0,028/(75 x 0,65) = 10,0 CV. Para o cálculo de NPSH, determinamos o n s , considerando as grandezas nominais da máquina: n s = (P ef 1/2/H5/4).n = (101/2/205/4) x 3.450 = 258 Com base no n s e na equação da Escher-Wiss, obtemos: NPSH = 2,16.E-4. n s 4/3.H = 2,16 x 10-4 x 2584/3 = 7,09 m.c.a. Então, h slim = 8,92 – 0,24 – 1,0 - 7,09 = 0,59 m 79
A bomba poderá, no máximo, ser instalada 0,59 m acima do nível de aspiração. 3) Uma bomba instalada em uma indústria, trabalha bombeando água limpa a 15oC e viscosidade cinemática de 1.E-6 m 2/s, desde um reservatório cujo nível dinâmico encontra-se a 1,40m abaixo do eixo da bomba, até outro que distribue o líquido a váriso pontos da fábrica. Para a vazão de 25 L/s o NPSH requerido pela bomba é de 3,56 m.c.a. A pressão barométrica do local onde está instalada a indústria é de 698 mm Hg. Por motivo de reforma das instalações, haverá necessidade de alterar a altura estática de sucção de 1,40m para 3,00m, devendo ser verificado se nesta situação mais desfavorável, não ocorrerá cavitação. Caso ela ocorra, pede-se para verificar se a alteração do diâmetro da tubulaçãode sucção de 4” para 5” solucionará o problema, já que existe em quantidade suficiente no estoque de tubos de ferro fundido, bem como cotovelos de 90º raio lngo na entrada da bomba e uma válvula de pé na extremidade mergulhada no reservatório de aspiração. • •
Rugosidade do tubo de ferro fundido de 4”: 0,000610 m; Rugosidade do tubo de ferro fundido de 5”: 0,000122 m.
Para verificar se épossível a alteração de hs, deve-se comparar o NPSH d da nova situação com o NPSH requerido pela bomba. No cálculo do NPSH d usamos a Eq. 3.6: NPSH d =h b – h v – h s – h ps Em função da leitura do barômetro, determinasmos: h b = (10,33/760).h g = (10,33/760) x 698 = 9,49 m.c.a. em função da temperatura do líquido bombeado obtemos na pág. 21 do F.G.T.: h v = 0,17 m.c.a. o cálculo da perda de carga é feito pela equação: h ps = L (L v /D s ).V s 2/2g cálculo do número de Reynolds: Rey = (Vs/Ds)/10-6 = (3,18 x 0,1)/10-6 = 3,2 x 105 A rugosidade relativa será: D s /K =0,1/0,000610 = 163 Com o número de reynolds e a rugosidade relativa obtemos, na pág. 28 do F.G.T o coeficiente de atrito: f = 0,033 o comprimento virtual (L v ) será a soma do comprimento da tubulação com o equivalente do cotovelo raio longo e com o comprimento equivalente da válvula de pé. 80
comprimento da tubulação: 4,0 m comprimento equivalente do cotovelo raio longo: 2,1 m comprimento equivalente da válvula de pé: 23,0 m Portanto, L v = 4,0 + 2,1 + 23,0 = 29,1 m Entrando com os valores acima na equação de perda, obtemos: h ps = 0,033 x (29,1/0,1) x 0,52 = 4,99 m.c.a O valor do NPSH d para h s = 3,0 m, será: NPSH d = 9,49 – 0,17 – 3,0 – 4,99 = 1,33 m.c.a. Comparando o NPSH d com o NPSH: NPSH d = 1,33 mca < NPSH = 3,56 mca Concluimos que a bomba cavitará para esta nova altura estática de sucção. Como o resultado não atende as necessidades, deveremos recalcular o NPSH d para a tubulação de 5”, da mesma forma acima: h b = 9,49mca; h v = 0,17mca; h s = 3,0 m; V s = 2,04 m/s; R ey = 2,6 x 105; D s /K = 1024 => f=0,021; H ps = 1,31 mca. NPSHd = 9,49 – 0,17 – 3,0 – 1,31 = 5,01 mca Comparando NPSH d = 5,01 mca > NPSH = 3,56 mca Concluimos que a substituição da tubulação de 4” para 5” resolverá o problema da instalação.
81
52. Modelos reduzidos de Máquinas Hidráulicas Para determinar o comportamento de um protótipo de máquina hidráulica a partir de resultados obtidos experimentalmente em um modelo reduzido construído em uma escala geométrica qualquer, há que se fazer inicialmente as seguintes considerações: a) O modelo há de ser geometricamente semelhante ao protótipo. E evidente que, se esta condição não for cumprida, a comparação de resultados entre modelo e protótipo é impossível. b) O modelo há de ser dinamicamente semelhante ao protótipo. Para que seja possível uma comparação de resultados entre modelo e protótipo, os fluxos ou linhas de corrente, em ambos, também devem ser semelhantes, o que implica em se determinar a relação das demais grandezas envolvidas no fenômeno, como, por exemplo, velocidades, acelerações, forças, etc.
53. Teoria das Máquinas Hidráulicas Geometricamente Semelhantes 53.1. Semelhança Geométrica
Consideremos duas máquinas hidráulicas geometricamente semelhantes MH`` e MH`, trabalhando sob alturas de queda ou elevação H`` e H` respectivamente, e com diâmetros D`` e D`. A relação entre os diâmetros será λ = D′ D′, o que implica em λ 2 = A′ A′ . A relação chama-se razão de semelhança Cinemática. 53.2. Semelhança Cinemática
Considerando semelhantes os triângulos de velocidades traçados a partir dos pontos homólogos M`` e M`, situados sobre as pás de duas máquinas hidráulicas MH`` e MH` geometricamente semelhantes, tem-se: K =
U ′ U ′
=
W ′ W ′
=
C ′ C ′
82
FIGURA 53.2.1 – Máquinas geometricamente semelhantes
A relação K chama-se razão de semelhança cinemática e é constante para qualquer posição homologa dos pontos M`` e M`. Aplicando a equação de EULER (ou Equação Fundamental das Máquinas Hidráulicas) às duas máquinas hidráulicas, consideradas, por exemplo, como motoras, tem-se:
(
) = (C ′
(
) = (C ′ − W ′ − U ′ )− (C ′ ( H ′ − φ ′) = K ( H ′ − φ ′)
2 g H ′ − φ 1′
2 4
2 g H ′ − φ 1′
− W 4′2 − U ′42 )− (C ′52 − W 5′2 − U ′52
2
2
4
2
4
2
4
5
− W 5′ 2 − U ′52
2
1
1
Por ser, genericamente, H t = η h ⋅ H ou H t = ( H − φ 1 ) e, lembrando que: 1) H`` e H` são as alturas de queda; 2) φ` 1 e φ`` 1 são as perdas internas, de origem puramente hidráulica, podendo ser consideradas proporcionais ao quadrado das velocidades. φ 1′ = const . C ′ e φ 1′ = const . C ′ 2
2
φ 1′ = K ⋅ φ 1′ por ser K = 2
C ′ C ′
substituindo, resulta: H ′ − φ 1′ = K 2 ⋅ H ′ − K 2 ⋅ φ 1, H ′ − K 2 ⋅ H ′ = − K 2 ⋅ φ 1 + K 2 ⋅ φ 1
H ′ 1 2 H ′ − K ⋅ H ′ = 0 e, K = H ′ 2
53.3. Igualdades dos Rendimentos
Retornando ao teorema de Euler, tem-se: H ′t =
[(C ′ − W ′ + U ′ )− (C ′ − W ′ + U ′ )] 2 g
H ′t =
[(C ′ − W ′ + U ′ )− (C ′ − W ′ + U ′ )] 2 g
1
2
2
4
1
2
4
2 4
2
4
2
2 4
4
2
5
2
5
2 5
5
2
2 5
5
Sendo H t = η h ⋅ H , resulta: η ′h
=
[(C ′ − W ′ + U ′ )− (C ′ − W ′ + U ′ )] 2 g ⋅ H ′ 1
2
4
2
4
2
4
2
5
2
5
2
5
83
η ′h
=
[(C ′ − W ′ + U ′ )− (C ′ − W ′ + U ′ )] 2 g ⋅ H ′ 1
2 4
2
2 4
4
2 5
2
5
2 5
A relação entre os numeradores é K 2, que é a mesma que a dos denominadores, concluindo-se então que: η ′h
= η ′h
Este resultado pode ser extendido aos rendimentos totais η ′h e η ′h das duas máquinas hidráulicas, porque eles são obtidos multiplicando-se os rendimentos hidráulicos pelos rendimentos mecânicos η ′m e η ′m , os quais são muito próximos da unidade. Em conseqüência, praticamente, tem-se: ′ = η ′t
η t
54. Escalas de semelhança A semelhança de duas máquinas hidráulicas MH` e MH`` é finalmente caracterizada por dois coeficientes e por uma igualdade entre os rendimentos: λ − razão de semelhança geométrica K − razão de semelhança cinemática η ′t = η ′t
O coeficiente λ pode ser fixado arbitrariamente e o coeficiente K depende das alturas de queda ou elevação sob as quais irão funcionar as duas máquinas. Como a queda do modelo, a ser construído, vai ser fixada de conformidade com as disponibilidades técnicas do laboratório, fica implícito que o coeficiente K também pode ser fixado arbitrariamente. Este tipo de semelhança em que o projetista tem dois graus de liberdade – fixação dos coeficientes λ e K – recebe o nome particular de semelhança de Combe-Rateau e permite a obtenção das seguintes escalas: 1. De velocidades: U ′ = w′ ⋅ R′
com
w′ =
U ′ = w′⋅ R′
com
w′ =
π ⋅ n′
30 π ⋅ n′
30
Dividindo membro a membro, resulta: U ′
n R = ′ ⋅ ′ , ou U ′ n′ R′
K =
n′ n′
⋅ λ
84
n′ = n′⋅
K
(3.1)
λ
2. De vazões: Genericamente, tem-se: Q′ = C ′ ⋅ A′ e Q′ = C ′⋅ A′ . Dividindo membro a membro, tem-se: Q′ Q′
=
C ′ A′
⋅
C ′ A′
Q′ = Q′⋅ K ⋅ λ 2
(3.2)
3. De potências: Genericamente, tem-se P ′ = Q′ ⋅ H ′ e P ′ = Q′⋅ H ′. Dividindo membro a membro, tem-se: P ′
Q H = ′⋅ ′ P ′ Q′ H ′
ou P ′ = P ′⋅ K ⋅ λ 2 ⋅ K 2
P ′ = P ′⋅ K 3 ⋅ λ 2
(3.3)
4. De momentos: Genericamente, tem-se: P ′ = M ′ ⋅ w′ e P ′ = M ′⋅ w′ . Dividindo membro a membro, tem-se: P ′ P ′
=
M ′ w′
⋅
M ′ w′
ou K 3 ⋅ λ 2
=
M ′ = M ′⋅ K 2 ⋅ λ 3
M ′ M ′
⋅ K ⋅
1 λ
(3.4)
5. De rendimentos: η ′t = η ′t
(3.5)
55. Restrições ao emprego da Teoria A teoria das máquinas hidráulicas geometricamente semelhantes permite determinar, com excelente aproximação, as principais características de uma grande turbina protótipo, por exemplo, partindo de resultados de ensaios efetuados sobre uma pequena turbina padrão ou modelo. Mas esta teoria não é de um rigor absoluto e certamente haverá pequenos desvios entre o protótipo e o modelo. Estes desvios podem ser favoráveis – como é o caso dos rendimentos – ou muito inquietantes – como nos fenômenos de cavitação.
85
56. Teoria dos escoamentos mecanicamente semelhantes A teoria dos escoamentos mecanicamente – geometricamente, cinematicamente e dinamicamente – semelhantes elimina estes desvios que são devidos ao fato de que a teoria das máquinas hidráulicas geometricamente semelhantes não levou em conta a viscosidade do fluido e a rugosidade interna dos componentes da máquina, através dos quais se processa o escoamento. Quando um fluido escoa através de duas máquinas hidráulicas geometricamente semelhantes obedece as leis da mecânica dos fluidos pesados, incompreensíveis e viscosos, que permitem afirmar: Dois escoamentos E`` e E` são mecanicamente semelhantes quando se efetuam, segundo trajetórias geometricamente semelhantes e, existe em pontos homólogos, entre cada grandeza, uma relação constante ou escala: l * − para comprimento C * − para velocidade p* − para pressão ρ * − para massa específica ν * − para viscosidade cinemática
t * − para tempo
A equação que rege ambos os escoamentos é a de NAVIER-STOKES, e para que eles sejam mecanicamente semelhantes é necessário que se verifique a seguinte igualdade: p* ρ * ⋅ l *
=1 =
C *2 l *
=
ν * ⋅ C *
l *2
(5.1)
Desta igualdade resultam, três condições particularidades: 1. Condição de MACH:
p′ ⋅ g ′ 1 2 12 C *2 p* C ′ τ ′ C ′ H ′ = = = ; 12 ; l * ρ * ⋅ l * C ′ p′⋅ g ′ C ′ H ′ τ ′
(5.2)
2. Condição de FROUDE: C *2 l *
= 1;
D′ 1 2 = C ′ D′
C ′
(5.3)
86
3. Condição de REYNOLDS: C *2 l *
=
ν * ⋅ C *
l *2
;
C ′
ν D = ′⋅ ′ C ′ ν ′ D′
(5.4)
A teoria dos escoamentos mecanicamente semelhantes obriga que as três condições sejam verificadas simultaneamente. Verifica-se facilmente que a combinação da condição de FROUDE e de REYNOLDS conduz a:
D′ 3 2 = ν ′ D′
ν ′
Para obedecer esta igualdade, muitos laboratórios usam ar nos modelos reduzidos, o qual é cerca de treze vezes menos viscoso que a água, o que implica em uma relação D′ D′ no máximo igual a aproximadamente 5,5. Se, por exemplo, D′ D′ = 10 , seria necessário usar um fluido 33 vezes menos viscoso que a água. Tal fluido, além de volátil, é de preço muito elevado.
57. Eliminação das condições de FROUDE/REYNOLDS O escoamento, na maioria das máquinas hidráulicas, é realizado sob altas pressões (escoamento em carga) e é extremamente turbulento. Assim sendo, a condição de FROUDE, bem como a de REYNOLDS, podem deixar de ser consideradas, porque neste caso, da Eq. 5.1 desaparece o termo unitário e, porque as perdas de carga h p = ξ ⋅ C 2 com 2 ξ = f ( ρ , µ , l ,...) não são influenciadas por ν , passando-se a ter h p = K ⋅ C . Relacionando as perdas do protótipo e do modelo, tem-se: h p′ h p′
=
C ′ 2 C ′2
Sendo h p uma grandeza da mesma natureza que H, conclui-se que ambas obedecem apenas a condição de MACH:
H ′ 1 2 (6.1) = C ′ H ′
C ′
que já havia aparecido na teoria das máquinas hidráulicas geometricamente semelhantes. Nestas condições, portanto, as teorias conduzem as mesmas conclusões: o projetista tem dois graus de liberdade e os rendimentos são iguais.
87
58. Fórmulas de transposição de rendimentos Quando as condições estabelecidas procedentemente não são rigorosamente observadas (regime não totalmente turbulento), deve-se fazer a correção dos rendimentos, principalmente nas turbinas FRANCIS, pois as perdas passam a ser influenciadas pela viscosidade e pela rugosidade, que jamais obedecerá a escala λ . Há diversas fórmulas experimentais, entre as quais: 1. Fórmula V de CAMMERER: 1,4 +
1 − n′ 1 − n′
= 1,4 +
1
( D′)
12
(7.1)
1
( D′)
12
2. Fórmula II de MOODY:
D′ 1 4 H ′ 1 10 1 4 1 20 = ⋅ = λ ⋅ K 1 − n′ D′ H ′ 1 − n′
(7.2)
59. Rotação específica e rotação específica referida à vazão Considerando-se duas máquinas hidráulicas geometricamente semelhantes cujos escoamentos obedecem aos critérios de semelhança de Combe-Rateau, tem-se: n′ = n′⋅ K ⋅
1 λ
(8.1) e P ′ = P ′⋅ K 3 ⋅ λ 2 (8.2)
Se uma destas máquinas, por exemplo MH`, trabalhar sob uma altura de 1.0 m.c.a. e produzir a potência de 1,0cv com o mesmo rendimento da MH``, tem-se: H ′ = 1,0m.c.a. λ = P ′
12
P ′ = 1,0cv
e sua rotação será :
⋅ K −3 2; n′ = n′⋅ K ⋅ K 3 2 ⋅ P ′ −1 2 n′ = n′ ⋅ P ′1 2 ⋅ H ′ −5 4 (8.3)
e
À velocidade de rotação n`, deu-se a designação de rotação específica da máquina hidráulica protótipo ou MH``. Se houver uma comparação entre as máquinas hidráulicas MH` e MH``, ou MH` e MHn, e resultar para n` sempre o mesmo valor, pode-se concluir que duas máquinas hidráulicas em semelhança de Combe-Rateau
88
possuem a mesma rotação específica, cujo símbolo é n s . Suas dimensões, no sistema métrico são rpm C V 1 2 m −5 4 . Alguns autores consideram n s em rpm, porque a potência e a altura unitária possuem módulo unitário, mas dimensão tal que torna n s e n com a mesma dimensão. Outros autores utilizam o quociente n s /n e chamam-no de coeficiente de rotação específica, sem dimensão. Analogamente à obtenção de n s , pode-se obter n q , chamado correntemente de rotação específica referida à vazão. Assim, se uma das máquinas hidráulicas anteriormente referidas trabalhar nas condições de H`=1,0m.c.a. e Q`=1,0m 3/s, tem-se:
[
]
n′ = n′⋅ Q′ −1 2 ⋅ K 3 2 ou n′ = n′ ⋅ Q′1 2 ⋅ K −3 4
Suprimindo os índices, resulta: nq
= n ⋅ Q1 2 ⋅ H −3 4
Para condições particulares de τ = 1.000 kgf m 3 e η t = 100% , tem-se a seguinte relação entre as duas rotações específicas: 1
τ ⋅ Q⋅ H 2 −5 4 1 3 n s = n ⋅ ⋅ H = 3,65⋅ n ⋅ Q 2 ⋅ H 4 75⋅ 1,0 ou seja: n s
= 3,65⋅ nq
A rotação específica referida à vazão é muito utilizada no estudo das bombas hidráulicas e ventiladores, enquanto que a rotação específica n s é mais utilizada no estudo das turbinas hidráulicas.
60. Coeficientes Adimensionais Além da rotação específica ns de grande importância no estudo das máquinas hidráulicas, há outros coeficientes que desempenham papel semelhante, relacionando outras grandezas que interferem no funcionamento das máquinas hidráulicas. São definidos os seguintes coeficientes: 60.1.
Coeficiente de pressão
(ψ )
De uso corrente no estudo das bombas hidráulicas e ventiladores. Da equação fundamental ou de EULER, tem-se:
89
=
H t ∞
1
C u5 ⋅ u5 g
2η h
H =
Fazendo
C u 5
2 g ⋅ a
C u5 ⋅ u5
H t =
H η h
(9.1.1)
(
= ξ ⋅ u5 , pode-se escrever H = ψ u52 2 g e:
2 g ⋅ H u5 = ψ com: ψ =
= a⋅ H t
H t ∞
1
2
(9.1.2)
2⋅ η h ⋅ ξ a
Para o caso de bombas hidráulicas, o coeficiente de pressão é apresentado sob a forma: 2 g ⋅ H
ψ =
(9.1.3)
u52
e, para ventiladores: ψ =
2⋅ ∆ p
(9.1.4)
ρ ⋅ u5
2
por ser ∆ p = τ ⋅ H e τ = ρ ⋅ g , com ∆ p em Kgf m 2 e ρ em Kgf ⋅ s2 ⋅ m −4 e variável com a altitude e temperatura. Os gráficos I e II no final do capítulo fornecem os valores de em função de n s e n q para bombas radiais e ventiladores. 60.2.
Coeficiente de velocidade tangencial (u5 )
Coeficiente de uso corrente no estudo das turbinas hidráulicas. Resulta da aplicação da teoria da semelhança a duas turbinas, uma das
( )
12
quais trabalha sob queda de 1,0m.c.a.. Sendo K = U ′ U ′ = H′ H ′ , pode-se
(
)
12
fazer U ′ U ′ = 2 g ⋅ H ′ 2 g ⋅ H ′ . Se H`=1,0m.c.a., U ′
(2 g ⋅ H ′)
12
= U ′ (2 g ⋅ 1) . 12
Fazendo U ′ (2 g ⋅ H ′ ) = u e particularizando para a saída, resulta: 12
U 5
=
U 5
(
1
)
2 g ⋅ H
(9.1.5) 2
O gráfico III no final do capítulo fornece os valores de U 5 em função de n s para turbinas de reação.
90
60.3.
Relação entre os coeficientes de pressão
(ψ ) e de
velocidade tangencial (U 5 )
Substituindo na equação 9.1.5 o valor da velocidade tangencial dado em 9.1.2, obtém-se: 1
U 5
2 g ⋅ H 2 ψ = 1 (2 g ⋅ H ) 2
resultando:
1 U 5 = ψ 60.4.
1
2
(9.3.1)
Ceoeficiente de vazão (ϕ )
Utilizado no estudo as bombas e ventiladores, sob a forma: ϕ =
4Q π ⋅ D5 ⋅ u5 2
Sua obtenção resulta da aplicação da equação da continuidade a um contorno de estudo especial, conforme se mostra a seguir: π ⋅ D5
2
Q = π ⋅ D5 ⋅ b5 ⋅ C m 5
ou
Q = ϕ ⋅
4
e
4⋅
⋅ u5
Igualando as duas equações, resulta: ϕ = 4 ⋅
C m 5 b5
⋅
u5 D5
C m 5
com
u5
= ϕ ′
b5 D5
= ϕ ′
Para que o coeficiente de vazão obedeça a igualdade apresentada, deve ser escrito sob a forma: ϕ =
4Q π ⋅ D5 ⋅ u5 2
(9.4.1)
Alguns autores eliminam a constante eliminam a constante 4 ⋅
b5 D5
π ,
outros, como B. Eck,
. Assim, resulta ϕ ′ = ϕ ′ . Os gráficos I e II no final
do capítulo apresentam os valores de radiais e ventiladores.
em função de n s e n q para bombas
91
60.5.
Coeficiente de velocidade meridional (coef. de
gasto ou passagem) (C m 5 )
No caso das turbinas é bastante utilizado o coeficiente de velocidade meridional, cuja origem teórica é a mesma apresentada para o coeficiente de velocidade tangencial:
=
C m 5
C m 5 1
(2 gh)
(9.5.1) 2
O gráfico III no final do capítulo fornece os valores de C m 5 em função de ns para turbinas de reação. 60.6.
Relação entre os coeficientes de pressão, vazão e
velocidade meridional. C m 5
De 9.4, vem: ϕ =
C m 5 u5
=
u5
1
(2 g ⋅ H )
(
C m 5
60.7.
)
1
2 g ⋅ H
=
ψ
=
C m 5 u5
=
2
ϕ 1
2
C m 5
1ψ
1
, de onde: 2
(9.6.1)
2
Coeficientes de diâmetro e ligeireza
De uso corrente no estudo de ventiladores, os coeficientes de diâmetro e ligeireza são obtidos pela comparação de um ventilador qualquer com outro que trabalha sob ϕ e unitários, admitidas algumas hipóteses simplificadoras. Sejam os dois ventiladores, tais como apresentados abaixo:
Fig. 60.7.1 – Ventiladores axiais
92
Conforme já visto, tem-se ψ ′ = 2 g ⋅ H ′ u′52 , que pode ser escrito sob a forma H ′ = ψ ′ ⋅
u′52
2 g , ou, já que representa uma altura de velocidade, como segue: H ′ = C ′ 2 2 g . Igualando as duas expressões de H``, tem-se:
= ψ ′ ⋅ u′52 (9.7.1)
C ′ 2
Do esquema dos dois ventiladores, resulta: C ′ = C ′ Do coeficiente de vazão, obtém-se: Q′ = ϕ ′ ⋅ u′5 ⋅
π ⋅ D′5
Da equação da continuidade, tem-se: Q′ = C ′ ⋅
4
π ⋅ D′
4
2
2
(9.7.2)
Igualando as duas expressões de Q``, resulta: π ⋅ D′5
2
4
π ⋅ D′5
ϕ ′ ⋅ u′5
2
=
4
2
⋅
C ′
D′5 2 C ′ ou = D′5 ϕ ′ ⋅ u′5
De 9.7.1, vem: C ′ 2 = ψ ′ ⋅ u′52. Substituindo, finalmente, resulta ( D′5 D′5 ) = ψ ′1 4 ϕ ′1 2 . Eliminando os índices e estendendo a quaisquer dois ventiladores semelhantes, tem-se: δ =
D′ D′
1
=
ψ 4 1
ϕ
(9.7.3)
2
forma clássica de apresentação do coeficiente de diâmetro e que indica quantas vezes um protótipo é maior que um modelo que tem ϕ e unitários. Analogamente a equação 9.7.1, pode-se escrever: C ′ = ψ ′⋅ u′5
Para um modelo em que ψ = 1, resulta C ′ = u′5 . Sendo C``=C`, 1 conforme se observa no esquema dos dois ventiladores, e C ′ = ψ ′ 2 ⋅ u′5 , conforme a Eq. 9.7.1, resulta: C ′ = u′5
π ⋅ D′52 ⋅ n′
Sendo u′5 = e u′5 = 60 as duas expressões, resulta:
1
= C ′ = ψ ′ 2 ⋅ u′5 (9.7.4) π ⋅ D′52 ⋅ n′
60
e, dividindo, membro a membro,
u′ D′5 ⋅ n′ u′
=
D′5 ⋅ n′
93
Substituindo o valor de u′5 dado em 9.7.3, tem-se: D′5 ⋅ n′ = 1 ψ 2 ⋅ u′5 D′5 ⋅ n′ u′5
Substituindo D′5 D′5 pelo coeficiente de diâmetro, obtém-se: n′ n′
=
ϕ 1 2
1
⋅
ou
ψ 1 4 ψ 1 2
n′ n′
=
ϕ 1 2 ψ 3 4
Finalmente, fazendo n′ n′ = σ , obtém-se um coeficiente que indica quantas vezes um protótipo é mais rápido que um modelo unitário e que correntemente é apresentado sob a forma: σ =
ϕ 1 2
(9.7.5)
ψ 3 4
A vinculação destes coeficientes com diversas máquinas hidráulicas foi realizada por CORDIER através de pesquisas recentes (1955) que demonstraram que existe uma faixa contínua em que estão agrupados máquinas hidráulicas de alto rendimento, segundo as coordenadas. O gráfico II, no final do capítulo, apresenta os valores de σ e δ em função de n q para ventiladores e, o gráfico IV, as curvas de CORDIER, válidas para qualquer tipo de máquina.
61. Igualdade dos coeficientes adimensionais entre máquinas hidráulicas Como já se viu anteriormente, obedecidas as condições de CombeRateau, pode-se afirmar que duas máquinas hidráulicas semelhantes apresentam o mesmo valor de n s . O mesmo deve valer para os coeficientes adimensionais. Se não, vejamos:
H ′ K = = U ′ H ′ U ′
1
2
1
U ′ 2 U ′ ou = H ′ H ′
1
2
e
U ′ 1
(2 g ⋅ H ′)
= 2
U ′ 1
(2 g ⋅ H ′)
2
, de onde U ′ = U ′
Ora, se U ′ = U ′ também será ψ ′ = ψ ′ e assim por diante.
94
62. Escolha do tipo de máquina hidráulica 62.1.
Turbinas
As grandezas características Q e H sempre devem ser conhecidas. Deve-se, a seguir, arbitrar uma rotação para a turbina. Entretanto, este procedimento requer uma certa experiência do projetista. Para auxiliá-lo nesta tarefa os construtores apresentam gráficos relacionando “limites” de emprego de determinado tipo de turbina em função da altura de queda e respectivo valor de n s . Conhecido então este valor limite de n s , pode-se determinar a rotação máxima da turbina. Convém lembrar que geralmente as turbinas são acopladas diretamente aos alternadores, os quais, por razões de ordem econômica terão rotações síncronas compreendidas entre 60 e 720 rpm. Quanto mais próxima a velocidade estiver do limite superior, tanto mais econômicas, turbina e alternador e tanto mais leves. Entretanto, cuidados especiais devem ser tomados, relativamente a influência da força centrífuga que cresce com o quadrado da velocidade e que tende a desintegrar a turbina e o alternador. O rendimento também é influenciado pela rotação específica e conseqüentemente pela rotação escolhida, conforme apresentado no gráfico V no final do capítulo. Outro fator a influenciar o valor da maior velocidade de rotação diz respeito à cavitação. E evidente que a velocidade escolhida deve conduzir a uma altura de sucção menor do que o valor máximo admissível. O gráfico VI no final do capítulo relaciona os limites de emprego de determinado tipo de turbina, com a máxima altura de queda e respectivo valor de n s . 62.2.
Bombas
Da mesma forma que nas turbinas, devem ser conhecidas as grandezas características Q e H. O gráfico VII apresentado no final do capítulo relaciona os diversos tipos de bombas com as grandezas características Q e H. Escolhido o tipo, a rotação máxima admissível pode ser fixada segundo o Instituto de Hidráulica dos EUA que fornece os limites da rotação específica referida a azão para diversos valores da altura de elevação, conforme o gráfico VIII apresentado no final deste capítulo. Para fixar a rotação deve-se ter em conta, partindo do valor limite de ns: 1. Tipo do motor acionador 2. Velocidades elevadas conduzem a bombas pequenas e motores mais baratos 3. O rendimento da bomba varia com a rotação específica, conforme o gráfico IX apresentado no final do capítulo
95
62.3.
Ventiladores
Como nas demais máquinas hidráulicas, devem ser conhecidos preliminarmente a vazão e a pressão, mas não existem ainda curvas relacionando a pressão com o valor da rotação específica, sendo necessário utilizar-se outras indicações para determinação do tipo mais adequado. Sabe-se, por exemplo, que os ventiladores, segundo acordo entre construtores admitem, incrementos de pressão de até 0,250 kg/cm 2 ou 2500mm de coluna d’água, ou seja, 1,25, a relação de pressão entre a seção de entrada e a de saída. Além deste limite, a compressibilidade do fluido (ar ou gás), deve ser levada em conta e a máquina passa a ser tratada como um turbocompressor. Assim, o valor da pressão desejada é um indicador do tipo de ventilador a ser utilizado: • Ventiladores de baixa pressão (axiais – grandes vazões) de 0,02 a 0,08 kgf/cm2 – 200 a 800 mm.c.a. • Ventiladores de alta pressão (radiais – médias e pequenas vazões) de 0,08 a 0,250 Kgf/cm2 – 800 a 2500 mm.c.a. Entre os valores extremos destas indicações, desenvolvem-se os ventiladores de ação hélico-cintrífuga ou mista. Outro elemento auxiliar na determinação do tipo diz respeito ao serviço que o ventilador vai realizar, conforme se observa abaixo: 62.3.1.
Ventiladores axiais:
Insulflam ar ou gás 62.3.2.
Ventiladores radiais: ar condicionado
Baixa pressão renovação de ar refrigeração por ar
Média pressão
aspiração de poeiras e cavacos transporte pneumático − pequenas alturas e trechos curtos
fornos Cubilot Alta pressão queimadores de óleo transporte pneumático − grandes alturas e trechos longos
A estes diversos tipos de ventiladores, correspondem faixas de valores superiores da velocidade específica referida a vazão, estabelecidas pelos fabricantes e constantes no gráfico II, no final do capítulo. A partir destas indicações – pressão e faixa de valor superior de n q – pode-se determinar a rotação a ser adotada. Sendo, entretanto, a faixa de 96
valores superiores ou limites de n q bastante ampla, mais de uma rotação normalmente pode ser utilizada. Se o acoplamento motor elétrico e ventilador é direto, as rotações são limitadas apenas às assíncronas, mas nos casos de acionamento indireto, um número ilimitado de rotações pode ser adotado. Há necessidade, então, de se estudar outros fatores que influenciam na escolha da rotação definitiva de trabalho. Estes fatores são inerentes ao tipo de ventilador e as características operacionais. Relativamente ao tipo de ventilador, deve-se considerar: 1. Valor do ângulo β 4 de entrada da pá. Segundo Stepanoff – Turbo Blowers - β 4 deve estar compreendido entre 32 ° e 35° para que sejam mínimas as perdas por choque na entrada. 2. Valor do ângulo β 5 de saída da pá. Segundo o mesmo autor β 5 pode variar de 25° a 90°, sendo que na prática adoram-se valores compreendidos entre 40 ° e 52° para evitar o descolamento e um desenvolvimento muito longo da pá. 3. O valor do rendimento é influenciado diretamente pela rotação adotada, conforme se verifica no gráfico X no final do capítulo. Relativamente às características operacionais, considera-se: 1. O custo do motor acionador. 2. O nível de ruído desejado. Sabe-se que o ruído aumenta progressivamente com o valor da velocidade u 5 , a partir de 30m/s. 3. O espaço disponível para a instalação do ventilador, o que é função do valor de D 5 . Conforme se observa da explanação feita, muitos fatores influenciam na escolha do tipo e na determinação da rotação de trabalho de um ventilador. Além dos conhecimentos teóricos, a experiência do projetista desempenha um fator decisivo na fixação destas variáveis.
63. Predimensionamento 63.1.
Turbinas
1. Através da classificação de Cayere, na qual são relacionados modelos de turbinas que, funcionando sob 1,0 m.c.a. de queda, produzem 1,0 cv, de diâmetro conhecido e com rotação específica n s . É possível, então, determinar o diâmetro do protótipo sabendo que: λ =
D′ D′
e λ = P ′
1
2
−3
⋅ H
4
2. Através de procedimentos mais modernos que fornecem os valores dos coeficientes adimensionais em função de n s para máquinas que apresentam elevados valores de rendimento. O predimensionamento é 97
feito como segue, sabendo-se que os coeficientes C m4 e u 4 são tabelados em função de n s :
U =
π ⋅ D′ ⋅ n′
60
ou D′ =
60⋅ U ′ π ⋅ n′
60⋅
e D′ =
π ⋅
U ′ 1
(2 g ⋅ H ′)
2
n′ 1
(2 g ⋅ H ′)
=
2
60⋅ U ′ π 1 ⋅ n1′ 2 g 2
( )
por ser n1′ = n′ ( H ′) . Sendo U ′ = U ′, resulta: 12
D′ =
C ′m 4
b′4
=
88,4 ⋅ U ′ n1′
Q π ⋅ D′4 ⋅ b′4
=
Q1′⋅ ( H ′ )
1
2
π ⋅ D′4 ⋅ b′
1 2 Q H ⋅ ( ) ′ ′ 1 1 (2 g ⋅ H ′ ) 2
Q1′ = = 1 1 (2 g ) 2 ⋅ π ⋅ D′ ⋅ C ′ 2 π ⋅ D′4 ⋅ C ′m 4 ⋅ 2 g ( ) 4 m4 1 (2 g ⋅ H ′ ) 2
sendo C m′ 4 = C m′ 4 , resulta: b′4
=
0,072⋅ Q1′ D′4 ⋅ C m′ 4
O gráfico XI apresenta a classificação de Cayère, e o gráfico III relaciona os coeficientes adimensionais U e C m com n s . Ambos são apresentados no final do capítulo. 63.2.
Bombas
Em função de n s podem ser obtidos os coeficientes e ϕ e através de suas expressões matemáticas determinando o valor do diâmetro e da rotação. Os coeficientes ϕ e são encontrados no gráfico I no final do capítulo, em função de n s . 63.3.
Ventiladores
O procedimento é idêntico ao das bombas, evidentemente com a utilização do gráfico II, especial para ventiladores, o qual é apresentado no final do capítulo, relacionando ϕ e com n q . 98
64. Determinação do número de unidades e da rotação dos grupos Se determinada instalação hidroelétrica estiver equipada com mais de uma unidade motriz, é válido escrever: n sinst
−5
1
= n ⋅ P inst 2 ⋅ H
4
Sendo a potência repartida igualmente entre as máquinas, ou entre os jatos de uma turbina de ação, tem-se: n s1máq
−5
= n ⋅ P inst 2 ⋅ H 4 ⋅ (i 1
ou j
1
)
2
Dividindo ambas as expressões, membro a membro, resulta:
(i
ou j
1
)
2
=
n sinst n s1máq
O desenvolvimento desta expressão é feito obedecendo aos critérios abaixo: 1. Obtém-se n s em função da altura, para uma máquina. 2. Arbitra-se um rendimento e calcula-se P inst . 3. Arbitra-se rotações correspondentes a um número de pares de polos compreendidos entre 5 e 60, ou seja, de 720 a 60rpm. 4. Calcula-se tantos “i” quantas forem as rotações arbitradas. 5. Aproxima-se “i” para o inteiro mais próximo. 6. Recalcula-se n s , P inst e nt . 7. Dentre as soluções encontradas, seleciona-se aquelas com rendimentos satisfatórios. 8. Determina-se o custo das soluções selecionadas. 9. Calcula-se a produção devida a estas soluções. 10. Determina-se o tempo de amortização. 11. Dentre as soluções de menor tempo de amortização, verifica-se o valor da altura de sucção. 12. Somente agora estará fixado o nº de unidades e a rotação. 1máq
inst
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
