Ciudad de México, 19/09/17
Tarea No. 1 Mapeo entre los planos complejos S y Z. 1
M. Infante-Jacobo
Ingeniería de Control | IE-Sección Mecatrónica | CINVESTAV
Resumen
En este trabajo se presentan algunos resultados del mapeo de puntos del plano-S en tiempo continuo hacia el plano-Z en tiempo discreto.
1.
Obje Objettivo ivos
Observar la relación existente entre los planos complejos S y Z. Graficar dicha relación mediante el espacio existente entre las bandas primarias del plano S al plano Z en los semiplanos izquierdo y derecho, amortiguamiento constante, frecuencia constante y razón de amortiguamiento constante.
2.
Desa Desarr rrol ollo lo y anál anális isis is de res resul ulta tado doss A continuación se muestran los resultados del mapeo entre el plano-S y el plano-Z mediante la transformación
z = e T s .
En la Figura 1 Figura 1(a) (a) se muestra el mapeo de la primera franja (las demas vuelven a caer en el el mismo lugar) del semi-plano izquierdo en S, la cual abarca de − ω2 a ω2 , con ωs = 2T π y T = 1 utilizando la transformación antes mencionanda hacia el plano-Z (Ver Figura 1 1(b)). (b)). Nótese que los colores y simbolos en cada segmento de gráfica corresponden a su equivalente en la figura de la derecha. En la Figura 2 se muestra el mapeo de la primer franja del semiplano derecho en S hacia el plano complejo Z. Nótese que en la Figura 2 2(a) (a) solo se mapea hasta el valor de 2 en el eje real ( σ ), dado que un valor mayor, no permite visualizar de forma correcta el mapeo en el plano Z, sin embargo, se entiende que entre mas se avance hacia el valor de infinito en el eje real σ , el radio del circulo exterior en el plano Z en la Figura 2(b) aumenta también hacia infinito. En la Figura 3 se muestra que para cada factor σi en el plano-S, le corresponde un circulo de radio eσ centrado en el origen del plano-Z. Con este ejemplo se observa claramente, que para valores positivos de σ, se mapean en circulos de radio mayor al circulo unitario en el plano-Z. Para valores de frecuencia constante ω = ωi en el plano-S, como se observa en la Figura 4, se mapea al plano-Z en lineas rectas que salen del origen con un ángulo θ = ω i T en radianes radianes y que tienden tienden al infinito. infinito. Nota: Dicho ángulo debe ser medido a partir del eje real positivo. Por ultimo, en la Figura 5 se muestra el resultado para una razón constante de amortiguamiento ζ , cuyo plano-S está descrito mediante: s = −ωtan(β ) + jω j ω (1) s
s
i
y al ser mapeado al plano-Z se transforma en una espiral que inicia en 1 y acaba en 0. 1
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1
1
4
0.8 3
0.6 2 0.4
1
z 0.2 m I j s i x a 0 x e l p m o C−0.2
ω j s i x a x 0 e l p m o C
−1
−0.4 −2 −0.6
−3 −0.8
−4 −10
−8
−6
−4 Real axis
−2
−1 −1
0
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real axis Re z
4
σ
x 10
(a)
(b)
Figura 1: Mapeo de la banda primaria en la parte izquierda del plano-S hacia el plano-Z mediante la transformación z = e T s . 4
8
3
6
2
4
1
−1
2 z m I j s i x a 0 x e l p m o C −2
−2
−4
−3
−6
ω j s i x a x 0 e l p m o C
−4 −0.5
0
0.5
1 Real axis
1.5
2
−8 −8
2.5
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
Real axis Re z
σ
(a)
(b)
Figura 2: Mapeo de la banda primaria en la parte derecha del plano-S hacia el plano-Z mediante la transformación z = e T s . Notese que solo se mapeó hasta 2 en el plano S, con lo cual se aprecia el crecimiento hacia infinito del circulo exterior.
Referencias [1] Benjamin C. Kuo. Digital control systems. (HRW series in electrical and computer engineering), University of Illinois, Urbana, 1980, PP 84-88.
2
4
2
3
1.5
2
1
1
−1
0.5 z m I j s i x a 0 x e l p m o C −0.5
−2
−1
−3
−1.5
ω j s i x a x 0 e l p m o C
−4 −0.8
X: −0.5 Y: 0
−0.6
X: 0 Y: 0
−0.4
−0.2
0 Real axis
X: 0.5 Y: 0
0.2
0.4
0.6
X: 1 Y: 0
X: 0.6065 Y: 0
−2 −2
0.8
X: 1.649 Y: 0
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Real axis Re z
σ
(a)
(b)
Figura 3: Mapeo de valores constantes de la parte real del plano-S(a) hacia el plano-Z(b)
4
x 10 3.5
2
3
X: −2 Y: 3.142
1.5
2.5 1 X: 4052 Y: 7017
2
ω j s i x a x e l p m o C
0.5 z m I j s i x a 0 x e l p m o C −0.5
1.5 X: −2 Y: 1.047
1
0.5
X: 4052 Y: −7017
0 −1 −0.5 X: −2 Y: −1.047
−1.5
−1
−1.5 −10
−8
−6
−4
−2
0 Real axis
2
4
6
8
−2 −2.5
10
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
Real axis Re z
σ
(a)
(b)
Figura 4: Mapeo de valores constantes de frencuencia del plano-S(a) hacia el plano-Z(b)
3
1
1.5 4
x 10
20
1
18
0.8
16
0.6
14
0.4
12 ω j s i x a x 10 e l p m o C 8
z 0.2 m I j s i x a 0 x e l p m o C−0.2
X: −2.679 Y: 10
6
−0.4
4
−0.6
2
−0.8
0 −6
−5
−4
−3 Real axis
−2
−1
−1 −1
0
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real axis Re z
σ
(a)
(b)
Figura 5: Mapeo de la razón de amortiguamiento constante para β = 15o del plano-S(a) hacia el plano-Z(b)
4
