Manual Resolución de Problemas

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA TECNOLÓGICA DE CHILE - INACAP a

MANUAL DEL DOCENTE MATEMÁTICA APLICADA I MTES01

Matemática Aplicada I – MTES01

MANUAL DEL DOCENTE MATEMÁTICA APLICADA I MTES01 Edición 2016 Autores: Alejandro García Miño Lorena Rosas Toro Sebastián Herrera de la Piedra Ricardo Cood Corail Germán Osses Romano

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PRESENTACIÓN La Vicerrectoría Académica de Pregrado (VRAP) de la Universidad Tecnológica de Chile INACAP, ha puesto a disposición de los docentes que impartan la asignatura Matemática Aplicada I (MTES01) el Manual del Docente para Matemática Aplicada I. Matemática Aplicada I tiene dos propósitos fundamentales, primero nivelar a los alumnos de las áreas de Ingeniería en habilidades matemáticas necesarias para la vida, mediante estrategias de clase expositiva, solución de ejercicios y problemas y, segundo, contribuir en la formación técnica de los alumnos, mediante el desarrollo de destrezas que mejoren su desempeño profesional. Para ello esta asignatura busca promover el desarrollo de la competencia genérica de resolución de problemas. Competencia que busca promover en los estudiantes el desarrollo del razonamiento lógico necesario para asumir desafíos del mañana como futuro profesional. El texto del docente ofrece una propuesta didáctica para la enseñanza y aprendizaje de los contenidos presentes en el programa de estudios. La propuesta constituye una guía para organizar, orientar y complementar el trabajo pedagógico del semestre de la asignatura, pudiendo ser utilizado como material de consulta permanente. La propuesta didáctica de cada unidad del programa de estudios se realizará, a partir de experiencias de aprendizaje que involucren metodologías principalmente deductivas, donde el rol del alumno debe ser activo y participativo, adoptando el docente el rol de mediador y activador del conocimiento.

Te deseamos mucho éxito.

ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS VICERRECTORÍA ACADÉMICA DE PREGRADO UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CHILE INACAP – INACAP – 2016 2016

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ÍNDICE CAPÍTULO I: Resolución de problemas.

Página 7

CAPÍTULO II: Manipulación algebraica.

Página 43

CAPÍTULO III: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones.

Página 75

CAPÍTULO IV: Funciones polinómicas.

Página 91

CAPÍTULO V: Función exponencial y logarítmica.

Página 111

CAPÍTULO VI: Trigonometría y números complejos.

Página 134

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PLANIFICACIÓN SUGERIDA PARA LA ASIGNATURA MTES01 A continuación se muestra una planificación considerando tres clases semanales de 90 minutos cada una. SEMANA Semana 01

HORAS

ACTIVIDAD MINIMA OBLIGATORIA

Clase 01

CLASE

2

A.M.O. N°01 - A.M.O. N°02

Clase 02

2

A.M.O. N°03

Clase 03

2

A.M.O. N°04

2

A.M.O. N°05

2

A.M.O. N°06

Clase 04 Semana 02

Semana 03

Semana 04

Semana 06

Semana 07

Clase 06

2

Clase 07

2

A.M.O. N°07

Clase 08

2

A.M.O. N°08

Clase 09

2

Clase 10

2

Clase 11

Semana 09

Semana 10

Semana 11

Semana 12

2

2

2

A.M.O. N°09

2

Clase 14

2

A.M.O. N°10

Clase 15

2

A.M.O. N°11

Clase 16

2

Clase 17

2

Clase 18

2

Clase 19

2

Clase 20

A.M.O. N°12

2 2

Clase 23

2

Clase 24

2

Clase 25

2

Clase 26

2

Clase 27

2

Clase 28

2

Clase 29

2

4

2

Clase 32

2

Clase 33

2

Clase 34

2

Clase 35

2

5

A.M.O. N°13 EVALUACION SUMATIVA 03 A.M.O. N°14

A.M.O. N°15

2

Clase 31

Clase 36

EVALUACION SUMATIVA 02

2

3

Clase 22

Clase 30

OTRAS ACTIVIDADES

EVALUACION SUMATIVA 01

Clase 13

Clase 21 Semana 08

1

Clase 05

Clase 12 Semana 05

UNIDADES

EVALUACION SUMATIVA 04 A.M.O. N°16

2 5


Semana 13

Semana 14

Semana 15

Semana 16

Clase 37

2

Clase 38

2

Clase 39

2

Clase 40

2

Clase 41

2

Clase 42

2

Clase 43

2

Clase 44

2

Clase 45

2

Clase 46

2

Clase 47 Clase 48

Semana 17

Semana 18

A.M.O. N°17

EVALUACION SUMATIVA 05 A.M.O. N°18 A.M.O. N°19

2

6

2

Clase 49

2

Clase 50

2

Clase 51

2

Clase 52

2

Clase 53

2

Clase 54

2

A.M.O. N°21 EVALUACION SUMATIVA 06

OBSERVACIÓN: En el caso que la programación de la asignatura sea 2 clases a la semana, cada una de 135 minutos (3 horas pedagógicas), se recomienda adecuar las actividades respetando fecha en la cual deben ser aplicadas. En ese sentido, las sugerencias que aparecen después de cada descripción de actividad (Ver información en imagen adjunta) hacen referencia a una planificación de tres clases semanales de 90 minutos (2 horas pedagógicas) cada una.

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CAPÍTULO I

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS La necesidad de resolver problemas prácticos, científicos, filosóficos, artísticos o matemáticos, ha impulsado al hombre a lo largo de la historia, a crear y desarrollar la matemática. La actividad matemática involucra muchos más aspectos que solo definir, enunciar o demostrar propiedades. Al enfrentar los problemas que dan origen al conocimiento matemático, el hombre debió utilizar la intuición, la inventiva y la experimentación, elementos fundamentales de la creación matemática, que quedan ocultos en la exposición formal que habitualmente se nos presenta en los libros. Para comprender mejor la esencia de la matemática, es necesario experimentar los procesos inherentes a la resolución de problemas: recolectar información, descubrir relaciones, plantear conjeturas, experimentar, probar, abstraer, generalizar, etc. Hablamos de ir más allá de la ejercitación matemática y de los problemas aplicados, implica involucrase en situaciones no rutinarias, que requieran explorar distintas estrategias y nuevos métodos de solución. La matemática debe proveer de conocimientos específicos para las aplicaciones futuras, aunque en la práctica resulta muy difícil enseñar, aprender y recordar toda la matemática que se requiere para el ejercicio de una profesión. Al desarrollar otro tipo de competencias, como la resolución de problemas, se propicia la posibilidad de abordar las situaciones problemáticas que se presentan en cualquier contexto, con la capacidad de razonar las estrategias matemáticas para su solución.

APRENDIZAJES ESPERADOS 1.1.- Resuelve problemas de la disciplina y/o especialidad, utilizando estrategias que emerjan de la acción de resolver problemas, argumentando y razonando matemáticamente. (Integrada Competencia Genérica Resolución de Problemas)

CRITERIOS DE EVALUACIÓN 1.1.1.- Desarrollando y usando modelos en múltiples situaciones. 1.1.2.- Generalizando resultados a otros tipos de problemas. 1.1.3.- Vinculando o relacionando diferentes sistemas de representación. 1.1.4.- Elaborando argumentos y justificaciones que incluyan su reflexión y evidencia, convenciendo a los otros. 1.1.5.- Estableciendo propuestas de solución pertinentes. 7


CONTENIDOS 1.- Estrategias para la resolución de problemas matemáticos: - Ensayo y error. - Organización y representación de información. - Simplificación de problemas. - Analogía e inducción problemática. - Desarrollo y utilización de modelos matemáticos. - Búsqueda de regularidades matemáticas. - Razonamiento directo e indirecto. 2.- Argumentación en la resolución de problemas matemáticos: - Datos. - Justificación. - Fundamentos. - Conclusión.

3.- Comunicación de resultados de la resolución de problemas matemáticos: - Unidireccional. - Contributiva. - Reflexiva. - Instructiva.

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PLANIFICACIÓN SUGERIDA DE LA UNIDAD N°01 CAPÍTULO I – RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS SEMANA N°01

ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA (A.M.O.)

Tiempo total: 270 minutos. (6 horas pedagógicas)

ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA N°01

Tiempo de A.M.O.: 270 minutos. (6 horas pedagógicas)

Tiempo estimado: 45 minutos.

PROBLEMAS

Encuadre de la asignatura.

ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA N°02 Taller N°01: Introducción a la resolución de problemas en el aula.

Problema 01: Las ovejas. Tiempo estimado: 45 minutos. Código: RP.T01.P01


ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA N°03 Taller N°02: Resolución de problemas con enfoque aritmético. Tiempo estimado: 90 minutos.

Problema 01: Las monedas. Tiempo estimado: 20 minutos. Código: RP.T02.P01 Problema 02: El coleccionista de números. Tiempo estimado: 30 minutos. Código: RP.T02.P02 Problema 03: Las latas de Cristina. Tiempo estimado: 40 minutos. Código: RP.T02.P03

ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA N°04 Taller N°03: Resolución de problemas con enfoque en regularidades aritméticas. Tiempo estimado: 90 minutos.

Problema 01: Los fósforos. Tiempo estimado: 30 minutos. Código: RP.T03.P01 Problema 02: Los cuadriláteros. Tiempo estimado: 30 minutos. Código: RP.T03.P02 Problema 03: Las letras “T”. Tiempo estimado: 30 minutos. Código: RP.T03.P03

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SEMANA N°02 Tiempo total: 270 minutos. (6 horas pedagógicas) Tiempo de A.M.O.: 180 minutos. (4 horas pedagógicas)

ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA (A.M.O.) ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA N°05 Taller N°04: Resolución de problemas con enfoque en regularidades cuadráticas. Tiempo estimado: 90 minutos.

ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA N°06 Taller N°05: Resolución de problemas con enfoque en regularidades gráficas. Tiempo estimado: 90 minutos.

PROBLEMAS Problema 01: La pared de cubos. Tiempo estimado: 45 minutos. Código: RP.T04.P01 Problema 02: La deuda. Tiempo estimado: 45 minutos. Código: RP.T04.P02

Problema 01: Los círculos. Tiempo estimado: 45 minutos. Código: RP.T05.P01 Problema 02: Las fotógrafas. Tiempo estimado: 45 minutos. Código: RP.T05.P02

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DISTRIBUCIÓN DE ACTIVIDADES POR SEMANA

SEMANA N°01 TIEMPO ESTIMADO EN PLANIFICACIÓN SEMANAL: 270 MINUTOS. TIEMPO ESTIMADO EN ACTIVIDADES MÍNIMAS OBLIGATORIAS: 270 MINUTOS. ACTIVIDADES MÍNIMAS OBLIGATORIAS: 

A.M.O. N°01: Encuadre de la asignatura. (45 minutos) DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD: En el encuadre de la asignatura se realiza una descripción del programa de estudio de la asignatura Matemática Aplicada I. ¿CUÁNDO APLICAR ESTA ACTIVIDAD? Esta actividad debe ser aplicada al comienzo de la primera clase.



A.M.O. N°02: Taller N°01: Introducción a la resolución de problemas en el aula. (45 minutos) DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD: En esta actividad se presenta el primer problema de la Unidad de Resolución de problemas. Se trata de una situación problemática que puede ser resuelta sólo con herramientas aritméticas y permite lograr una alta motivación en los estudiantes para seguir el trabajo con el enfoque de resolución de problemas. ¿CUÁNDO APLICAR ESTA ACTIVIDAD? Esta actividad debe ser aplicada después del enfoque de la asignatura que da comienzo a la primera clase.



A.M.O. N°03: Taller N°02: Resolución de problemas con enfoque aritmético. (90 minutos) DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD: Este taller está compuesto por tres problemas que pueden ser resueltos desde la Aritmética: Las monedas, El coleccionista de números y Las latas de Cristina. Todos ellos permiten múltiples soluciones y existe la posibilidad de extenderlos hasta lograr una comprensión amplia de las situaciones planteadas. ¿CUÁNDO APLICAR ESTA ACTIVIDAD? Esta actividad debe ser aplicada al comienzo de la segunda clase, dado que es la segunda instancia en que los estudiantes se enfrentan a la resolución de problemas.



A.M.O. N°04: Taller N°03: Resolución de problemas con enfoque en regularidades aritméticas. (90 minutos) DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD: Este taller está compuesto por tres problemas de transición aritmético algebraica: Los fósforos, Los Cuadriláteros y Las letras T. El enfoque está puesto en la búsqueda de regularidades y el objetivo final es que los estudiantes encuentren una expresión algebraica lineal que permita modelar las situaciones descritas. Se espera que los estudiantes logren un conocimiento que sirva de base para el trabajo con expresiones que impliquen un cambio lineal en las Unidades de “Ecuaciones y sistemas de ecuaciones” y “Función lineal y cuadrática”. ¿CUÁNDO APLICAR ESTA ACTIVIDAD? Esta actividad debe ser aplicada al comienzo de la tercera clase, dado que es la segunda instancia en que los estudiantes se enfrentan a la resolución de problemas.

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ENCUADRE DE LA ASIGNATURA TIEMPO ESTIMADO: 45 MINUTOS.

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TALLER N°01: INTRODUCCIÓN A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN EL AULA. TIEMPO ESTIMADO: 45 MINUTOS. PROBLEMA 01: LAS OVEJAS El granjero Ramón al levantarse todas las mañanas mira por las cuatro ventanas de su casa, y en cada una de ellas siempre ve nueve ovejas. Las ovejas se encuentran distribuidas como nuestra la figura. Don Ramón es capaz de ver el potrero de enfrente y los dos potreros adyacentes situados en las esquinas.

Un día, Doña Rosa, la esposa de don Ramón, vendió una de las ovejas mientras él no se encontraba en la casa. Para que su marido no se diera cuenta de la falta de la oveja, decidió redistribuir las ovejas en los potreros de tal forma que desde cada ventana aun vieran exactamente 9 ovejas. ¿De qué manera puede ubicar doña Rosa las 23 ovejas restantes para que don Ramón pueda seguir viendo 9 ovejas desde cada una de las cuatro ventanas? Problema diseñado por el proyecto ARPA del CMM de la Universidad de Chile

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PROBLEMA CÓDIGO TIEMPO ESTIMADO ENFOQUE MATEMÁTICO

Las ovejas. RP.T01.P01 45 minutos. Aritmética.

CONTENIDOS 1.- Estrategias para la resolución de problemas matemáticos: - Ensayo y error. - Organización y representación de información. - Simplificación de problemas. - Analogía e inducción problemática. - Desarrollo y utilización de modelos matemáticos. - Búsqueda de regularidades matemáticas. - Razonamiento directo e indirecto.

2.- Argumentación en la resolución de problemas matemáticos:

SUGERENCIAS DIDÁCTICAS 

¿De qué manera puede ubicar doña Rosa las 23 ovejas restantes para que don Ramón pueda seguir viendo 9 ovejas desde cada una de las cuatro ventanas? Acto Acto seguido deben comunicar al docente lo

que han encontrado. 



- Datos. - Justificación. - Fundamentos. - Conclusión.


Los estudiantes reunidos en grupos de 3 a 4 estudiantes elegidos al azar, deben encontrar al menos una solución a la pregunta planteada en el problema:

El problema de las ovejas admite múltiples soluciones a la pregunta planteada. El docente debe motivar a los estudiantes a comunicar si han encontrado más de una solución y si no, motivarlos a analizar si es posible que exista otra. Luego que los grupos han encontrado la solución al problema, es necesario extenderlo, con el fin de descubrir al menos una solución para 22 ovejas, 21 ovejas, 20 ovejas, etc. (La fase de extensión se realiza con los grupos que ya encontrado la solución a la pregunta planteada inicialmente y su prolongación es hasta que todos los grupos la han encontrado)

Preguntas sugeridas para la extensión del problema: 

Si la Sra. Rosa vende otra oveja más. ¿De qué manera puede ubicar doña Rosa las 22 ovejas restantes para que don Ramón pueda seguir viendo 9 ovejas desde cada una de las cuatro ventanas?



Si la Sra. Rosa vende otra oveja más. ¿De qué manera puede ubicar doña Rosa las 21 ovejas restantes para que don Ramón pueda seguir viendo 9 ovejas desde cada una de las cuatro ventanas?



Si la Sra. Rosa vende otra oveja más. ¿De qué manera puede ubicar doña Rosa las 20 ovejas ovejas restantes para que don Ramón pueda seguir viendo 9 ovejas desde cada una de las cuatro ventanas?

Es importante tener en cuenta que los estudiantes podrían encontrar soluciones para una cantidad de ovejas no asignadas hasta este momento. En este caso, se recomienda trabajar con las siguientes preguntas: 

¿Cuál es el número máximo de ovejas que la señora Rosa puede vender?



¿Puede vender 7 ovejas y quedar con 17 ovejas sin que Don Ramón no se entere? 14


Lo anterior con el objeto de verificar si el estudiante ha logrado comprender cuál es el número máximo de ovejas que se puede vender y justificarlo.

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TALLER N°02: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ENFOQUE ARITMÉTICO. TIEMPO ESTIMADO: 90 MINUTOS. PROBLEMA 01: LAS MONEDAS Cinco hermanos deciden comprar un producto solo con monedas de $100 para el día de la madre. El costo del producto es de $2.000 y cada hermano aporta un número distinto de monedas. Si se considera que a mayor edad más monedas aportan, ¿Cuántas monedas entregó cada hermano? Problema diseñado por el proyecto ARPA del CMM de la Universidad de Chile

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Las monedas. RP.T02.P01 20 minutos. Aritmética.



¿Cuántas monedas entregó cada hermano? Acto seguido deben comunicar al docente lo que han encontrado. 



2.- Argumentación en la resolución de problemas matemáticos: - Datos. - Justificación. - Fundamentos. - Conclusión.



El problema de las monedas admite múltiples soluciones a la pregunta planteada. El docente debe motivar a los estudiantes a comunicar si han encontrado más de una solución y si no, motivarlos a analizar si es posible existencia de otras. Luego que los grupos han encontrado al menos una solución al problema, es necesario extenderlo, con el fin de motivar la búsqueda de todas las soluciones al problema. (La fase de extensión se realiza con los grupos que ya encontrado la solución a la pregunta planteada inicialmente y su prolongación es hasta que todos los grupos la han encontrado)


¿Cuál es la máxima cantidad que puede aportar el hermano mayor?



¿Cuántas soluciones tiene este problema?



¿Puede el hermano menor aportar más de una moneda?



Finalmente, los grupos deben dar evidencias de haber encontrado una sistematización para encontrar todas las soluciones al problema: 1 2 3 4 10 1 2 3 5 9 1 2 3 6 8 1 2 4 5 8 1 2 4 6 7 1 3 4 5 7 2 3 4 5 6

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PROBLEMA 02: EL COLECCIONISTA DE NÚMEROS

Carlos, coleccionista de números de diferentes estilos. Dentro de su colección tiene el número 1.427. La justificación de Carlos es la siguiente: “Yo colecciono el número 1.427 porque 1 + 4 + 2 = 7”

También tiene en su colección el número 358. La justificación de Carlos es la siguiente: “Yo colecciono el número 358 porque 3 + 5 = 8”

Y también tiene en su colección el número 20.529. La justificación de Carlos es la siguiente: “Yo colecciono el número 20.259 porque 2 + 0 + 2 + 5 = 9”

Dada esta relación, ¿Cuál es el número máximo de tres cifras que Carlos puede coleccionar? Problema diseñado por el proyecto ARPA del CMM de la Universidad de Chile

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El coleccionista de números. RP.T02.P02 30 minutos. Aritmética.




¿Cuál es la condición que tiene Carlos para coleccionar números? Acto seguido deben comunicar al docente sus hallazgos. 








Los grupos deben descubrir la condición que tiene Carlos para coleccionar sus números, argumentando que la suma de los dígitos anteriores a la unidad es igual a la unidad. El docente debe motivar a los estudiantes a comunicar todas las conclusiones a las que han llegado como grupo. Luego que los equipos han encontrado la solución al problema, es necesario extenderlo, con el fin de descubrir el número más grande coleccionable sin utilizar la cifra cero (La fase de extensión se realiza con los grupos que ya encontrado la solución a la pregunta planteada inicialmente y su prolongación es hasta que todos los grupos la han encontrado).


¿Cuál es el número máximo de tres cifras que Carlos puede coleccionar utilizando la cifra cero?



¿Cuál es el número máximo de tres cifras que Carlos puede coleccionar sin utilizar la cifra cero?



¿Podría Carlos tener número de dos cifras en su colección? De ser así, que características tienen dichos números.



¿Cuál es el número máximo de cuatro cifras que Carlos puede coleccionar utilizando la cifra cero?



¿Cuál es el número máximo de cuatro cifras que Carlos puede coleccionar sin utilizar la cifra cero?

Los grupos deben analizar y justificar el por qué no es posible determinar el número más grande coleccionable utilizando la cifra cero. (Hacer hincapié que la respuesta no es infinito) Además, se puede pensar en extender aún más este problema considerando lo siguiente:

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¿Podrá Carlos coleccionar un número cuya suma sea mayor que 9? Dejar por ejemplo que analicen si el número 5410 cumple con la condición de Carlos. De ser aceptada esta nueva condición, ¿habrá un número de 3 cifras que cumpla con este nuevo criterio?

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PROBLEMA 03: LAS LATAS DE CRISTINA Cristina ordenó las latas que tenía en dos pilas y le sobró una. Luego intentó con tres pilas y con cuatro pilas y en ambos casos le sobró una. Por último trató con cinco pilas y entonces ¡No le sobró ninguna lata! ¿Cuántas latas podría tener Cristina? Problema diseñado por el proyecto ARPA del CMM de la Universidad de Chile

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Las latas de Cristina. RP.T02.P03. 40 minutos. Aritmética.




¿Cuántas latas podría tener Cristina? 










Los grupos deben descubrir al menos una solución al problema planteado. Posteriormente deben comunicar al docente sus conclusiones. El docente debe motivar a los estudiantes a comunicar todas las conclusiones a las que han llegado como grupo. Luego que los equipos han encontrado la solución al problema, es necesario extenderlo, con el fin de descubrir algunos aspectos relevantes del problema (La fase de extensión se realiza con los grupos que ya encontrado la solución a la pregunta planteada inicialmente y su prolongación es hasta que todos los grupos la han encontrado). Como hemos mencionado anteriormente, existen Aspectos importantes a descubrir en la etapa de extensión, éstos son:



Determinar que hay infinitas soluciones al problema propuesto.



Encontrar un patrón de comportamiento para el cálculo de las soluciones. Este patrón corresponde a la diferencia de una progresión aritmética.



Descubrir alguna operatoria aritmética para calcular la Solución N°1.836.



Descubrir alguna expresión algebraica para calcular la k-ésima solución.



Determinar el número más grande coleccionable sin utilizar la cifra cero.


¿Usted encontró una solución al problema? De ser así, encuentre una nueva solución.



¿Usted encontró dos soluciones al problema? De ser así, encuentre una tercera solución. 22




¿Usted encontró tres soluciones al problema? De ser así, encuentre una cuarta solución.

Así, sucesivamente hasta que los estudiantes logren descubrir un patrón de comportamiento para el cálculo de las soluciones. Este patrón corresponde a la diferencia de una progresión aritmética. Luego, Solución N° 01: Solución N° 02: Solución N° 03: Solución N° 04: Solución N° 05:

25 latas 85 latas 145 latas 205 latas 265 latas

…

Determine la Solución N° 1836. Determine la Solución N° “k”.

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TALLER N°03: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ENFOQUE EN REGULARIDADES ARITMÉTICAS. TIEMPO ESTIMADO: 90 MINUTOS. PROBLEMA 01: LOS FÓSFOROS Se construyen triángulos con palitos de fósforos, los cuales se muestran a continuación.

a) Dibuja la fase 4. b) indica la cantidad de palitos de fósforos que son necesarios para construir la figura de la FASE 10. Problema diseñado por el equipo de Ciencias Básicas de la Universidad Tecnológica de Chile INACAP

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Los fósforos RP.T03.P01. 30 minutos. Aritmética.




Acto seguido deben comunicar al docente lo que han encontrado. 






Los estudiantes reunidos en grupos de 3 a 4 estudiantes elegidos al azar, deben encontrar la solución a las interrogantes planteadas en el problema: a) Dibujar la fase 4. b) indicar la cantidad de palitos de fósforos que son necesarios para construir la figura de la FASE 10.

El docente debe verificar que todos los estudiantes del grupo han comprendido como obtener el dibujo de la fase 4. Este hecho permite comprender como va aumentando la regularidad. El docente debe vigilar que el grupo de estudiantes haya encontrado la solución al problema, argumentado y comunicando correctamente sus conclusiones. No es importante que el alumno utilice un registro algebraico, por ejemplo una ecuación, para determinar la cantidad de palitos de fósforos de la fase 10. Luego que los grupos han encontrado la solución al problema, es necesario extenderlo, con el fin de instar a estudiante a buscar técnicas para llegar a la generalización del problema (La fase de extensión se realiza con los grupos que ya encontrado la solución a la pregunta planteada inicialmente y su prolongación es hasta que todos los grupos la han encontrado)


¿Cuál es la cantidad de palitos de fósforos que son necesarios para construir la figura de la FASE 100?



¿Cuál es la cantidad de palitos de fósforos que son necesarios para construir la figura de la FASE n?

Commented [L§1]: Se podría pensar en una extensión donde cada fase sea formar triángulos de la forma

Donde se pida encontrar la figura 10. En general la formula viene dada por

3/2∙1

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PROBLEMA 02: LOS CUADRILÁTEROS Una estructura está conformada por nodos (Representadas por círculos) y aristas (Representadas por segmentos de línea recta). Cada arista está sujeta de dos nodos como se muestra en la figura.

Se ha diseñado una secuencia basada en cuadriláteros como se muestra a continuación

Dibuja la fase 4 y completa la tabla adjunta Etapa FASE 1 FASE 2 FASE 3 FASE 4 FASE 8 FASE 15

Cantidad de cuadriláteros

Cantidad de nodos

Cantidad de aristas

Problema diseñado por el equipo de Ciencias Básicas de la Universidad Tecnológica de Chile INACAP

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Los cuadriláteros. RP.T03.P02. 30 minutos. Aritmética.

CONTENIDOS 1.- Estrategias para la resolución de problemas matemáticos:


- Ensayo y error. - Organización y representación de información. - Simplificación de problemas. - Analogía e inducción problemática. - Desarrollo y utilización de modelos matemáticos. - Búsqueda de regularidades matemáticas. - Razonamiento directo e indirecto.

Dibujar la fase 4 y completa la tabla (cantidad de nodos, cantidad de cuadriláteros y cantidad de aristas)

Etapa

3.- Comunicación de resultados de la resolución de problemas matemáticos:


Cantidad de nodos

Cantidad de aristas

FASE 1 FASE 2 FASE 3 FASE 4 FASE 8 FASE 15


Los estudiantes reunidos en grupos de 3 a 4 estudiantes elegidos al azar, deben encontrar la solución a la interrogantes planteadas en el problema:




- Unidireccional. - Contributiva. - Reflexiva. - Instructiva. 



El docente debe verificar que todos los estudiantes del grupo han comprendido como obtener el dibujo de la fase 4. Este hecho permite comprender como va aumentando la regularidad. El docente debe vigilar que el grupo de estudiantes haya encontrado la solución al problema, argumentado y comunicando correctamente sus conclusiones. No es importante que el alumno utilice un registro algebraico, por ejemplo una ecuación, para determinar la cantidad de elementos pedidos hasta la fase 8. En la fase 15 los estudiantes, pueden o no, verse en la necesidad de buscar una regla general para hallar la cantidad de nodos, cantidad de cuadriláteros y cantidad de aristas. La idea de esta fila es que el estudiante se encuentre con una fase de número pequeño pero no consecutivo a los anteriores y sienta la necesidad de buscar una regularidad cuya eficacia pueda ser comprobada de manera empírica. Luego que los grupos han encontrado la solución al problema, es necesario extenderlo, con el fin de instar a estudiante a buscar técnicas para llegar a la generalización del problema (La fase de extensión se realiza con los grupos que ya encontrado la solución a la pregunta planteada inicialmente y su prolongación es hasta que todos los grupos la han encontrado)

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Commented [L§2]: Del mismo modo anterior, se puede pensar en una generalización de la forma

Completa la tabla adjunta: Etapa


Cantidad de nodos

Cantidad de aristas

FASE 1.635 FASE N 





En la fase 1.635 el estudiante ya necesitará buscar una generalización, debido a que el uso de otro registro, podría no ser eficiente para la búsqueda de la solución.

De donde se puede pedir encontrar la figura 6 . En general la fórmula es: para los nodos y para las aristas.

1

En la fase n ya se pide explícitamente que generalicen por medio de un registro algebraico. Es necesario que el docente, utilice esta instancia para que los estudiantes comprendan la importancia de este proceso y se propicie la traducción del lenguaje natural al lenguaje algebraico. En la fase n de la columna “cantidad de aristas”, el docente notará que existen múltiples formas de anotar la relación entre número de fase y cantidad de aristas. Una posible extensión de este problema es que el docente pregunte a los estudiantes si existe otra expresión para la fase n y/o que realicen un trabajo de manipulación algebraica en la(s) expresión(es) algebraica(s) encontrada(s), de tal modo de llegar a una expresión universal, desarrollada y simplificada.

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1

2∙


PROBLEMA 03: LAS LETRAS “T” Sebastián decide formar letras “T” con cuadrados de color negro y blanco, como se muestra en l a figura.

Dibuja la fase 4 y completa la tabla adjunta Etapa

Cantidad de cuadrados negros

Cantidad de cuadrados blancos

Cantidad total de cuadrados

FASE 1 FASE 2 FASE 3 FASE 4 FASE 10


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Las letras “T”. RP.T03.P03. 30 minutos. Aritmética.




Dibujar la fase 4 y completa l a tabla adjunta

Etapa




FASE 1 FASE 2 FASE 3 FASE 4 FASE 10


Acto seguido deben comunicar al docente lo que han encontrado.







- Unidireccional. - Contributiva. - Reflexiva. - Instructiva.

Los estudiantes reunidos en grupos de 3 a 4 estudiantes elegidos al azar, deben encontrar la solución a la interrogantes planteadas en el problema:





El docente debe verificar que todos los estudiantes del grupo han comprendido como obtener el dibujo de la fase 4. Este hecho permite comprender como va aumentando la regularidad. El docente debe vigilar que el grupo de estudiantes haya encontrado la solución al problema, argumentado y comunicando correctamente sus conclusiones. No es importante que el alumno utilice un registro algebraico, por ejemplo una ecuación, para determinar la cantidad de elementos pedidos hasta la fase 4. En la fase 10 los estudiantes, pueden o no, verse en la necesidad de buscar una regla general para hallar la cantidad de cuadrados negros, cantidad de cuadrado blanco y cantidad total de cuadrados. La idea de esta fila es que el estudiante se encuentre con una fase de número pequeño pero no consecutivo a los anteriores y sienta la necesidad de buscar una regularidad cuya eficacia pueda ser comprobada de manera empírica. Luego que los grupos han encontrado la solución al problema, es necesario extenderlo, con el fin de instar a estudiante a buscar técnicas para llegar a la generalización del problema (La fase de extensión se realiza con los grupos que ya encontrado la solución a la pregunta planteada inicialmente y su prolongación es hasta que todos los grupos la han encontrado)

30



Commented [L§3]: Del mismo modo anterior, se puede pensar en una generalización de la forma

Completa la tabla adjunta: Etapa




FASE 348 FASE n







De donde se puede pedir encontrar la figura 8 . En general la fórmula es: para los negros y para los blancos.



En la fase 348 el estudiante ya necesitará buscar una generalización, debido a que el uso de otro registro, podría no ser eficiente para la búsqueda de la solución. En la fase n ya se pide explícitamente que generalicen por medio de un registro algebraico. Es necesario que el docente, utilice esta instancia para que los estudiantes comprendan la importancia de este proceso y se propicie la traducción del lenguaje natural al lenguaje algebraico. En la fase n, el docente notará que existen múltiples formas de anotar la relación entre número de fase y las cantidades solicitadas. Una posible extensión de este problema es que el docente pregunte a los estudiantes si existe otra expresión para la fase n y/o que realicen un trabajo de manipulación algebraica en la(s) expresión(es) algebraica(s) encontrada(s), de tal modo de llegar a una expresión desarrollada y simplificada.

31

∙2



A.M.O. N°05: Taller N°04: Resolución de problemas con enfoque en regularidades cuadráticas. (90 minutos) DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD: Este taller está compuesto por dos problemas de transición aritmético algebraica: La pared de cubos y La deuda. El enfoque está en la búsqueda de regularidades y el objetivo final es que los estudiantes encuentren una expresión algebraica cuadrática que permita modelar las situaciones descritas. Se espera que los estudiantes logren un conocimiento que sirva de base para el trabajo con las expresiones que impliquen un cambio cuadrático en la unidad de función lineal y cuadrática. ¿CUÁNDO APLICAR ESTA ACTIVIDAD? Esta actividad debe ser aplicada al comienzo de la segunda semana en la primera clase (si están programadas 3 clases a la semana de 2 horas pedagógicas).



A.M.O. N°06: Taller N°05: Resolución de problemas con enfoque en regularidades gráficas. (90 minutos) DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD: Este taller está compuesto por dos problemas de transición aritmético algebraica: Los círculos y las fotógrafas. El enfoque está en la búsqueda de regularidades por medio del trabajo con puntos en un plano cartesiano y el objetivo final es que los estudiantes encuentren una expresión algebraica que permita modelar las situaciones descritas. Se espera que los estudiantes logren un conocimiento que sirva de base para el trabajo con el plano cartesiano en las unidades que necesiten de estos contenidos. ¿CUÁNDO APLICAR ESTA ACTIVIDAD? Esta actividad debe ser aplicada en la segunda semana al comienzo de la segunda clase (si están programadas 3 clases a la semana de 2 horas pedagógicas), dado que es una actividad previa a la evaluación sumativa.

32



TALLER N°04: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ENFOQUE EN REGULARIDADES CUADRÁTICAS. TIEMPO ESTIMADO: 90 MINUTOS. PROBLEMA 01: LA PARED DE CUBOS Un grupo de niños construye una pared rectangular con cubos. El primer niño coloca dos cubos de base y 3 cubos de altura, utilizando un total de 6 cubos. El segundo niño agrega dos cubos de base y tres cubos de altura, completando la pared rectangular. El tercer niño agrega dos cubos de base y tres cubos de altura, completando la pared rectangular. Y así sucesivamente. ¿Cuántos cubos en la base tiene la pared construida por el décimo niño? ¿Cuántos cubos de altura tiene la pared construida por el décimo niño? ¿Cuántos cubos en total tiene la pared hasta lo construido por el décimo niño?


33



La pared de cubos. RP.T04.P01. 45 minutos. Regularidad de segundo grado.




2.- Argumentación en la resolución de problemas matemáticos: 




¿Cuántos cubos en la base tiene la pared construida por el décimo niño?



¿Cuántos cubos de altura tiene la pared construida por el décimo niño?



¿Cuántos cubos en total tiene la pared hasta lo construido por el décimo niño?

Acto seguido deben comunicar al docente lo que han encontrado.



Los estudiantes reunidos en grupos de 3 a 4 estudiantes elegidos al azar, deben encontrar la solución a la interrogante planteada en el problema:







El docente debe verificar que todos los estudiantes del grupo han comprendido como obtener la cantidad de cubos en la base de la pared construida por el décimo niño, su altura y total de cubos. Para tal fin deberán realizar un estudio de la información entregada por medio del establecimiento de regularidades entre ellas. El docente debe vigilar que el grupo de estudiantes haya encontrado la solución al problema, argumentado y comunicando correctamente sus conclusiones. No es importante que el alumno utilice un registro algebraico, por ejemplo una ecuación, para determinar la información del décimo niño. En esta fase 10 los estudiantes, pueden o no, verse en la necesidad de buscar una regla general para hallar la cantidad de cubos que tiene la base de la pared, la altura y la cantidad total de cubos. La idea de esta pregunta es que el estudiante se encuentre con una fase pequeña pero no consecutiva y sienta la necesidad de buscar una regularidad cuya eficacia pueda ser comprobada de manera empírica. Luego que los grupos han encontrado la solución al problema, es necesario extenderlo, con el fin de instar a estudiante a buscar técnicas para llegar a la generalización del problema (La fase de extensión se realiza con los grupos que ya encontrado la solución a la pregunta planteada inicialmente y su prolongación es hasta que todos los grupos la han encontrado)

34


Preguntas sugeridas para la extensión del problema: Sexagésimo segundo (62º) niño: 

¿Cuántos cubos en la base tiene la pared construida por el sexagésimo segundo (62º) niño?



¿Cuántos cubos de altura tiene la pared construida por el sexagésimo segundo (62º) niño?



¿Cuántos cubos en total tiene la pared hasta lo construido por el sexagésimo segundo (62º) niño?

Enésimo niño:









¿Cuántos cubos en la base tiene la pared construida por el enésimo (nº) niño?



¿Cuántos cubos de altura tiene la pared construida por el enésimo (nº) niño?



¿Cuántos cubos en total tiene la pared hasta lo construido por el enésimo (nº) niño?

En el trabajo con sexagésimo segundo (62º) niño el estudiante ya necesitará buscar una generalización, debido a que el uso de otro registro, podría no ser eficiente para la búsqueda de la solución. En el trabajo con el enésimo (nº) niño ya se pide explícitamente que generalicen por medio de un registro algebraico. Es necesario que el docente, utilice esta instancia para que los estudiantes comprendan la importancia de este proceso y se propicie la traducción del lenguaje natural al lenguaje algebraico. En la fase n, el docente notará que existen múltiples formas de anotar la relación entre número de niño y las cantidades solicitadas. Una posible extensión de este problema es que el docente pregunte a los estudiantes si existe otra expresión para la fase n y/o que realicen un trabajo de manipulación algebraica en la(s) expresión(es) algebraica(s) encontrada(s), de tal modo de llegar a una expresión desarrollada y simplificada.

35


PROBLEMA 02: LA DEUDA

Lucas debe pagar mensualmente cuotas de una deuda que adquirió el año 2014. Para esto decide implementar una novedosa forma de pago, con monedas de $1, que comienza en Enero de 2015 y termina en Diciembre de 2018, mostrada a continuación:

¿Cuál es el monto de la cuota correspondiente al mes de abril de 2015?


36



Deuda RP.T04.P02. 45 minutos. Regularidad de segundo grado.



¿Cuál es el monto de la cuota correspondiente al mes de abril de 2015?





3.- Comunicación de resultados de la resolución de problemas matemáticos: 



El docente debe verificar que todos los estudiantes del grupo han comprendido como el monto de la cuota correspondiente al mes de abril de 2015. Para tal fin deberán realizar un estudio de la información entregada por medio del establecimiento de regularidades entre ellas, por medio de la regularidad entre las cantidades y/o de la forma geométrica de la disposición de las monedas. El docente debe vigilar que el grupo de estudiantes haya encontrado la solución al problema, argumentado y comunicando correctamente sus conclusiones. No es importante que el alumno utilice un registro algebraico, por ejemplo una ecuación, para determinar la información del décimo niño. Luego que los grupos han encontrado la solución al problema, es necesario extenderlo, con el fin de instar a estudiante a buscar técnicas para llegar a la generalización del problema (La fase de extensión se realiza con los grupos que ya encontrado la solución a la pregunta planteada inicialmente y su prolongación es hasta que todos los grupos la han encontrado)


¿Cuál es el monto de la cuota correspondiente a septiembre de 2015?



¿Cuál es el monto de la cuota correspondiente al mes de diciembre de 2018?



¿Cuál será el monto total pagado a diciembre de 2018?



¿Cuál es el monto de la cuota correspondiente al n-ésimo mes?



¿Cuál será el monto total pagado hasta el n – ésimo mes?

37








En el trabajo con la n-ésima cuota ya se pide explícitamente que generalicen por medio de un registro algebraico. Es necesario que el docente, utilice esta instancia para que los estudiantes comprendan la importancia de este proceso y se propicie la traducción del lenguaje natural al l enguaje algebraico. En la fase n, el docente notará que existen múltiples formas de anotar la relación entre número de cuotas y el monto a pagar por ella. Una posible extensión de este problema es que el docente pregunte a los estudiantes si existe otra expresión para la fase n y/o que realicen un trabajo de manipulación algebraica en la(s) expresión(es) algebraica(s) encontrada(s), de tal modo de llegar a una expresión desarrollada y simplificada. En el trabajo con la suma de las cuotas de los meses hasta diciembre de 2018, el estudiante podrá realizarlo sumando mes a mes, sin embargo, esto no podrá realizarlo cuando se pregunta por la suma de las cuotas del n-ésimo mes, lo que resultará de mayor complejidad. Por otro lado, es importante considerar que esta secuencia es cuadrática, por lo cual, no es tan evidente la generalización de la nésima suma.

38



TALLER N°05: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ENFOQUE EN REGULARIDADES GRÁFICAS. TIEMPO ESTIMADO: 90 MINUTOS. PROBLEMA 01: LOS CÍRCULOS Lorena, destacada diseñadora gráfica, está creando una portada de una revista de ciencias, para lo cual utiliza círculos de distintos tamaños y centrados en diferentes puntos. Si Lorena quiere utilizar 6 círculos, siguiendo una regularidad gráfica, ¿Cuál podría ser la ubicación del centro de los dos círculos restantes?

REVISTA DE CIENCIAS Otoño 2016


39



Los círculos. RP.T05.P01. 45 minutos. Regularidad a partir de una representación gráfica.



¿Cuál podría ser la ubicación del centro de los dos círculos restantes?


2.- Argumentación en la resolución de problemas matemáticos: 






El docente debe verificar que todos los estudiantes del grupo han comprendido como obtener el centro de los dos círculos restantes. Es posible que realicen el dibujo de los círculos sobre el plano cartesiano, éste te hecho permite comprender como va aumentando la regularidad de una manera gráfica. El docente debe vigilar que el grupo de estudiantes haya encontrado la solución al problema, argumentado y comunicando correctamente sus conclusiones. No es importante que el alumno utilice un registro algebraico, por ejemplo una ecuación, para determinar los centros de los dos círculos restantes. Luego que los grupos han encontrado la solución al problema, es necesario extenderlo, con el fin de instar a estudiante a buscar técnicas para llegar a la generalización del problema (La fase de extensión se realiza con los grupos que ya encontrado la solución a la pregunta planteada inicialmente y su prolongación es hasta que todos los grupos la han encontrado)


Dibuje la circunferencia más grande que se puede incluir, siguiendo la secuencia, utilizando la misma grilla.



Dibuje la sucesión de todos los centros de las circunferencias.



Dibuje la sucesión de todos los radios de las circunferencias.



Generalice las coordenadas de los centros de las circunferencias

40


PROBLEMA 02: LAS FOTOGRAFAS Claudia y Camila deciden caminar por un parque para sacar fotografías. Las ubicaciones de ellas cuando tomaron las primeras tres fotografías se muestran a continuación:

¿Cuál será la ubicación de Claudia y Camila para tomar la cuarta fotografía? Problema diseñado por el equipo de Ciencias Básicas de la Universidad Tecnológica de Chile INACAP

41



Las fotógrafas. RP.T05.P02. 45 minutos. Regularidad a partir de una representación gráfica.



¿Cuál será la ubicación de Claudia y Camila para tomar la cuarta fotografía?




Los estudiantes reunidos en grupos de 3 a 4 estudiantes elegidos al azar, deben encontrar la solución a la pregunta planteada en el problema:





El docente debe verificar que todos los estudiantes del grupo han comprendido como obtener la ubicación de Claudia y Camila para tomar la cuarta foto. Es posible que realicen el dibujo de las coordenadas sobre el plano cartesiano, éste hecho permite comprender como va aumentando la regularidad de una manera gráfica. El docente debe vigilar que el grupo de estudiantes haya encontrado la solución al problema, argumentado y comunicando correctamente sus conclusiones. No es importante que el alumno utilice un registro algebraico, por ejemplo una ecuación, para determinar la ubicación para tomar esta fotografía. Luego que los grupos han encontrado la solución al problema, es necesario extenderlo, con el fin de instar a estudiante a buscar técnicas para llegar a la generalización del problema (La fase de extensión se realiza con los grupos que ya encontrado la solución a la pregunta planteada inicialmente y su prolongación es hasta que todos los grupos la han encontrado)


¿Cuál será la ubicación de Claudia y Camila para tomar la séptima fotografía?



¿Existirá un lugar en común donde Claudia y Camila tomen la misma fotografía en el mismo instante? De ser así, mencione cuál es el lugar y qué número de fotografía es.

42


CAPÍTULO II

MANIPULACIÓN ALGEBRAICA El álgebra es una de las herramientas más potentes que ha creado el ser humano para el desarrollo del pensamiento matemático. En álgebra las letras se utilizan como símbolos, que representan a números que no conocemos o que no queremos especificar. La ventaja del álgebra es que permite escribir de forma concisa y sin ambigüedades expresiones que, en lenguaje verbal, resultan extensas e imprecisas. El álgebra se inició con el estudio de las ecuaciones, que hasta el siglo XVI se reducía a describir, de forma verbal, los pasos involucrados en la resolución de algunos casos particulares de ecuaciones. La generalización de los métodos de resolución solo fue posible con la incorporación de un invento notable: el álgebra simbólica. El matemático hindú Al-Khwarizmi (siglo IX d.C), que escribió el primer tratado de ecuaciones, trabajaba de forma retórica, resolvía la ecuación de la siguiente forma:

 10=39

“Debes tomar la mitad del número de raíces, que en este caso es 5, multiplicarlo por sí

mismo, obtienes 25, al que le sumas el número 39, con resultado 64. Tomas la raíz cuadrada de este número que es 8 y le restas la mitad de las raíces y obtienes 3, que es el valor buscado”

Con el simbolismo algebraico podemos resumir toda esta información en una fórmula, la solución de la ecuación cuadrática del tipo

 =  =    −  es

APRENDIZAJES ESPERADOS 2.1.- Resuelve problemas de la disciplina y/o especialidad, que involucren manipulación algebraica. (Integrada Competencia Genérica Resolución de Problemas)

CRITERIOS DE EVALUACIÓN 2.1.1.- Traduciendo un enunciado escrito en lenguaje natural a una expresión algebraica y viceversa. 2.1.2.- Valorizando expresiones algebraicas mediante operatoria en los números reales.

43


2.1.3.- Despejando un término literal en función de otros términos presentes en una expresión algebraica. 2.1.4.- Reduciendo expresiones algebraicas mediante propiedades de términos semejantes y eliminación de paréntesis. 2.1.5.- Simplificando y operando fracciones algebraicas. 2.1.6.- Utilizando estrategias que emerjan de la acción de resolver problemas. 2.1.7.- Elaborando argumentos y justificaciones que incluyan su reflexión y evidencia, convenciendo a los otros. 2.1.8.- Estableciendo propuestas de solución pertinentes.

CONTENIDOS 1.- Estrategias, argumentación y comunicación de resultados en la resolución de problemas matemáticos. 2.- Expresiones algebraicas: - Traducción de lenguaje algebraico a lenguaje natural y viceversa. - Valorización de expresiones algebraicas. - Expresiones algebraicas literales. - Fórmulas generales y de especialidad. - Reducción de términos semejantes. - Productos algebraicos. - Reducción de paréntesis. - Simplificación de expresiones algebraicas. - Operaciones de fracciones algebraicas.

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PLANIFICACIÓN SUGERIDA DE LA UNIDAD N°02 CAPÍTULO II – MANIPULACIÓN ALGEBRAICA SEMANA N°03 Tiempo total: 270 minutos. (6 horas pedagógicas) Tiempo de A.M.O.: 180 minutos. (4 horas pedagógicas)

ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA (A.M.O.) ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA N°07 Taller N°01: Adición y sustracción de expresiones algebraicas con álgebra geométrica.

PROBLEMAS Problema 01: Adición y sustracción con álgebra geométrica. Tiempo estimado: 90 minutos. Código: MAN.ALG.T01.P01


ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA N°08 Taller N°02: Multiplicación de expresiones algebraicas con álgebra geométrica.

Problema 01: Multiplicación de expresiones algebraicas con álgebra geométrica. Tiempo estimado: 90 minutos. Código: MAN.ALG.T02.P01




ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA (A.M.O.) ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA N°09 Taller N°03: Multiplicación y división de fracciones algebraicas. Tiempo estimado: 90 minutos.

ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA (A.M.O.) ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA N°10 Taller N°04: Adición y sustracción de fracciones algebraicas.

PROBLEMAS Problema 01: Multiplicación y división de fracciones algebraicas I. Tiempo estimado: 45 minutos. Código: MAN.ALG.T03.P01 Problema 02: Multiplicación y división de fracciones algebraicas II. Tiempo estimado: 45 minutos. Código: MAN.ALG.T03.P02

PROBLEMAS Problema 01: Adición y sustracción de fracciones algebraicas I. Tiempo estimado: 20 minutos. Código: MAN.ALG.T04.P01


Problema 02: Adición y sustracción de fracciones algebraicas II. Tiempo estimado: 25 minutos. Código: MAN.ALG.T04.P02


Problema 01: Operatorias combinadas de fracciones algebraicas I. Tiempo estimado: 30 minutos. Código: MAN.ALG.T05.P01

Taller N°05: Operatorias combinadas de fracciones algebraicas. Tiempo estimado: 90 minutos.

Problema 02: Operatorias combinadas de fracciones algebraicas II. Tiempo estimado: 30 minutos. Código: MAN.ALG.T05.P02 Problema 03: Operatorias combinadas de

45


fracciones algebraicas III. Tiempo estimado: 30 minutos. Código: MAN.ALG.T05.P03

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A.M.O. N°07: Taller N°01: Adición y sustracción con el uso de álgebra geométrica. (90 minutos) DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD: En este taller utilizaremos representaciones geométricas para la introducción a la manipulación algebraica, enfocado en la adición y sustracción. La metodología propuesta permite pasar de lo concreto a lo abstracto con el apoyo de representaciones que sirvan de fundamento a la introducción de nociones y procedimientos para el aprendizaje aprendizaje de álgebra. ¿CUÁNDO APLICAR ESTA ACTIVIDAD? Esta actividad debe ser aplicada al comienzo de la segunda unidad, dado que es una actividad diseñada para que el estudiante adquiera intuitivamente la noción de las operatorias algebraicas (suma y resta).



A.M.O. N°08: Taller N°02: Multiplicación de expresiones algebraicas con el uso de álgebra geométrica. (90 minutos) DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD: En este taller utilizaremos representaciones geométricas para la introducción a la manipulación algebraica, enfocado en la multiplicación. La metodología propuesta permite pasar de lo concreto a lo abstracto con el apoyo de representaciones que sirvan de fundamento a la introducción de nociones y procedimientos para el aprendizaje aprendizaje de álgebra. ¿CUÁNDO APLICAR ESTA ACTIVIDAD? Esta actividad debe ser aplicada al comienzo de la clase 08, dado que es una actividad diseñada para que el estudiante adquiera intuitivamente la noción de multiplicación algebraica.

47



TALLER N°01: ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN CON ÁLGEBRA GEOMÉTRICA. TIEMPO ESTIMADO: 90 MINUTOS. PROBLEMA 01: ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN CON EL USO DE ÁLGEBRA GEOMÉTRICA Las representaciones a utilizar constan de varios cuadrados grandes, cuadrados pequeños y rectángulos, en colores negro o blanco, como se muestra a continuación:

Los cuadrados pequeños se deben considerar con una unidad de medida igual a la longitud de su lado, es decir 1, siendo su área 1, también podemos considerar que de acuerdo al color (negro o blanco) estemos hablando de 1 o -1, respectivamente.

1

-1

1∙=

En los rectángulos, la longitud de uno de sus lados es 1 y consideramos que el otro lado es x, entonces el área sería , además podríamos convenir que se acuerdo al color negro o blanco) se haga referencia a o respectivamente.



 −

48




−

Finalmente, el cuadrado mayor tiene como longitud de su lado el lado mayor del rectángulo, o sea x, entonces con él se pueden representar y de acuerdo al color o , negro o blanco respectivamente.



 − 



−

La actividad constituye una propuesta para la enseñanza de la adición y sustracción de expresiones algebraicas, pasando por cuatro momentos: MOMENTO I: Adición y sustracción de números enteros. MOMENTO II: Adición y sustracción de expresiones algebraicas lineales. MOMENTO III: Adición y sustracción de expresiones algebraicas cuadráticas. MOMENTO IV: Adición y sustracción de expresiones algebraicas lineales y cuadráticas.

49


MOMENTO I: ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Comprueba el resultado de las siguientes operaciones utilizando representaciones geométricas. Para la adición debes utilizar la idea de “agregar” y para la sustracción la idea de “quitar”. Realiza el dibujo del procedimiento al lado de cada

situación: Ejemplo:

Problema

Problema geométrico

−

Solución geométrica

Solución



1) ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS A) B) C) D)

23= 5 −2 −2 −3=−5 4  − 4 = 0 −2 −2  3 = 1

2) SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS A) B) C) D)

3−2=1 1−1=0 2−3=−1 2 – –3 –3 = 5

50


MOMENTO II: ADICIONES Y SUSTRACCIONES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS LINEALES 3) ADICIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS LINEALES A) B) C) D)

23=5 =2 − = 0 −32=−

4) SUSTRACCIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS LINEALES A) B) C) D)

2−= 2−3=− −3−2=−5 −3−− =−2

51


MOMENTO III: ADICIONES Y SUSTRACCIONES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS CUADRÁTICAS 5) ADICIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS CUADRÁTICAS A) B) C) D)

2 3 = 5  2 = 3 − = 0 −32 = −

6) SUSTRACCIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS CUADRÁTICAS A) B) C) D)

−3−2 =−5 3 −2 =  −5 −−2  =−3  − = 0

52


MOMENTO IV: ADICIONES Y SUSTRACCIONES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS LINEALES Y CUADRÁTICAS 7) ADICIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS CUADRÁTICAS A) B) C) D)

2 −33 −6 2 = 5 −92  22 = 3 2 − 4 −4=0 −3 5−2 −6 =−5 11

53



Adición y sustracción con el uso de álgebra geométrica. MAN.ALG.T01.P01 90 minutos. Lenguaje algebraico.


SUGERENCIAS DIDÁCTICAS Sugerencias para la aplicación del problema en aula: 

2.- Expresiones algebraicas. Traducción de lenguaje algebraico a lenguaje natural y viceversa.











La actividad debe ser trabajada en grupos de tres estudiantes elegidos al azar. Vale la pena insistir que el trabajo con representaciones geométricas no podrá reemplazar el trabajo del docente en el aula y el uso de otros procedimientos de enseñanza, pero si pueden ayudar en las etapas iniciales de construcción del conocimiento. La actividad es una secuencia didáctica que sirve de introducción a la manipulación algebraica. En el momento 1, actividad 1A debe surgir la idea de neutro aditivo. Es importante hacer notar esta situación para que los estudiantes la puedan utilizar en los ejercicios siguientes. Es importante que los estudiantes descubran que existen distintas formas de expresar un mismo número entero para que en la sustracción puedan comprender muchos procedimientos que generalmente se aprender de manera mecánica sin entender. Si el docente desea que los estudiantes construyan sus materiales concretos para el desarrollo de la actividad, es importante hacer notar que el lado del cuadrado pequeño es uno de los lados de las regletas (rectángulos) y el otro lado de éstas es el lado del cuadrado mayor: Otro detalle importante es que con los cuadrados pequeños no se puede cubrir de manera exacta el largo de los rectángulos ni con éstos se puede cubrir de manera exacta los lados del cuadrado grande. Al final de la actividad, el docente debe realizar un plenario donde se ponga en evidencia aquellos errores y obstáculos más frecuentes en el proceso de enseñanza y aprendizaje del álgebra y justificarlos por medio de las representaciones geométricas.


Si consideramos que la medida del lado del cuadrado pequeño es x y la medida del cuadrado grande es y ¿Cuál es el área del rectángulo?

54



TALLER N°02: MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON ÁLGEBRA GEOMÉTRICA. TIEMPO ESTIMADO: 90 MINUTOS. PROBLEMA 01: MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON DE ÁLGEBRA GEOMÉTRICA Las representaciones a utilizar constan de varios cuadrados grandes, cuadrados pequeños y rectángulos, en colores negro o blanco, como se muestra a continuación:

Los cuadrados pequeños se deben considerar con una unidad de medida igual a la longitud de su lado, es decir 1, siendo su área 1, también podemos considerar que de acuerdo al color (negro o blanco) estemos hablando de 1 o -1, respectivamente.

1

-1

1∙=

En los rectángulos, la longitud de uno de sus lados es 1 y consideramos que el otro lado es x, entonces el área sería , además podríamos convenir que se acuerdo al color negro o blanco) se haga referencia a o respectivamente.



 −

55




−

Finalmente, el cuadrado mayor tiene como longitud de su lado el lado mayor del rectángulo, o sea x, entonces con él se pueden representar y de acuerdo al color o , negro o blanco respectivamente.



 − 



−

La actividad constituye una propuesta para el aprendizaje de la multiplicación de expresiones algebraicas, pasando por cuatro momentos: MOMENTO I: Multiplicación de números enteros MOMENTO II: Multiplicación de monomios MOMENTO III: Multiplicación de monomio por polinomio. MOMENTO IV: Multiplicación de polinomio por polinomio.

56


MOMENTO I: MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Comprueba el resultado de las siguientes operaciones utilizando representaciones geométricas. Para la multiplicación debes utilizar la idea de “veces”. Realiza el dibujo del procedimiento al lado de cada situación: Ejemplo:

Problema

Problema geométrico

−∙ A) B) C) D)

Solución geométrica

Solución

−

2∙3=6 −2∙3=−6 1∙1=1 −1∙−1=1

MOMENTO II: MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS A) B) C) D)

2∙=2 3∙2=6  ∙2=2  2∙3=6

MOMENTO III: MULTIPLICACIÓN DE MONOMIO POR POLINOMIO A) B) C) D)

1 =   323 = 6 9 3 2 =36 − 3 = − −3

MOMENTO IV: MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS A) B) C) D) E)

 1 1 =  21  2 3 =  56  2 −2 =  −4  −5 3 =  −2−15 2234 = 6 148

57



Multiplicación de expresiones algebraicas con álgebra geométrica. MAN.ALG.T02.P01 90 minutos. Lenguaje algebraico.


SUGERENCIAS DIDÁCTICAS Sugerencias para la aplicación del problema en aula:

2.- Expresiones algebraicas.



Traducción de lenguaje algebraico a lenguaje natural y viceversa.









La actividad debe ser trabajada en grupos de tres estudiantes elegidos al azar. Vale la pena insistir que el trabajo con representaciones geométricas no podrá reemplazar el trabajo del docente en el aula y el uso de otros procedimientos de enseñanza, pero si pueden ayudar en las etapas iniciales de construcción del conocimiento. La actividad es una secuencia didáctica que sirve de introducción a la multiplicación y factorización de expresiones algebraicas. Los estudiantes deben pasar por cada una de ellas. Si el docente desea que los estudiantes construyan sus materiales concretos para el desarrollo de la actividad, es importante hacer notar que el lado del cuadrado pequeño es uno de los lados de las regletas (rectángulos) y el otro lado de éstas es el lado del cuadrado mayor: Otro detalle importante es que con los cuadrados pequeños no se puede cubrir de manera exacta el largo de los rectángulos ni con éstos se puede cubrir de manera exacta los lados del cuadrado grande. Al final de la actividad, el docente debe realizar un plenario donde se ponga en evidencia aquellos errores y obstáculos más frecuentes en el proceso de enseñanza y aprendizaje del álgebra y justificarlos por medio de las representaciones geométricas.

Preguntas sugeridas para la extensión del problema: Si consideramos que la medida del lado del cuadrado pequeño es x y la medida del cuadrado grande es y, representa: (x+y)2 (x+y)(x-y) 

¿Cuál es el rectángulo que puede configurarse para representar el ²+ ²+ + + ? ¿Cuál es la expresión polinomio algebraica en factores que representa el área de este rectángulo?

    

58



A.M.O. N°09: Taller N°03: Multiplicación y división de fracciones algebraicas. (90 minutos) DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD: En este taller se propone trabajar con dos problemas asociados a la multiplicación y división de fracciones algebraicas. El objetivo es que los estudiantes asocien los contenidos previos como factorización, simplificación, multiplicación y división de fracciones algebraicas. ¿CUÁNDO APLICAR ESTA ACTIVIDAD? Esta actividad debe ser aplicada al final de la cuarta semana, asumiendo que el docente trabajó los siguientes tópicos: factorización, simplificación, multiplicación y división de fracciones algebraicas. Se recomienda que este problema sea aplicado previo al tratamiento de operaciones combinadas, dado que esta actividad es una oportunidad para la asociación de contenidos previos.

59



TALLER N°03: MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS. TIEMPO ESTIMADO: 90 MINUTOS. PROBLEMA 01: MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Compruebe que el resultado de la siguiente operación es 1.

2∙ 3−4 4 710 ÷ 2−3 3  −25 ÷ −5

60



Multiplicación y división de fracciones algebraicas I. MAN.ALG.T03.P01 45 minutos. Multiplicación y división de fracciones algebraicas.



2.- Expresiones algebraicas. - Valorización de expresiones algebraicas. - Expresiones algebraicas literales. - Fórmulas generales y de especialidad. - Reducción de términos semejantes. - Productos algebraicos. - Reducción de paréntesis. - Simplificación de expresiones algebraicas. - Operaciones de fracciones algebraicas.





La actividad debe ser trabajada en grupos de tres estudiantes elegidos al azar. Es importante que esta actividad sea la primera que combine las operaciones de división y multiplicación con la simplificación de fracciones algebraicas, de esta manera evitamos que el problema se transforme en ejercicio. Al final de la actividad, el docente debe realizar un plenario donde se ponga en evidencia aquellos errores y obstáculos más frecuentes en el proceso de enseñanza y aprendizaje del álgebra, como por ejemplo la simplificación de términos algebraicos sin la factorización previa u otras dificultades que se puedan presentar en el momento.






=

Determinar el valor de la expresión algebraica, de existir, cuando . Determinar el valor de la expresión algebraica, de existir, cuando . Determinar el valor de la expresión algebraica, de existir, cuando

0 =1 =−5

61


PROBLEMA 02: MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS II





Compruebe que es equivalente a , donde

2 ∙ −4 ÷ 2  = −2    −1  −2  = 21

62



Multiplicación y división de fracciones algebraicas II. MAN.ALG.T03.P02 45 minutos. Multiplicación y división de fracciones algebraicas.








La actividad debe ser trabajada en grupos de tres estudiantes elegidos al azar. Es importante que esta actividad sea la segunda que combine las operaciones de división y multiplicación con la simplificación de fracciones algebraicas, pero la primera que relacione expresiones algebraicas a través de una equivalencia. Así, conserva la característica de problema y evitamos que se transforme en ejercicio. Al final de la actividad, el docente debe realizar un plenario donde se ponga en evidencia aquellos errores y obstáculos más frecuentes en el proceso de enseñanza y aprendizaje del álgebra, como por ejemplo la simplificación de términos algebraicos sin la factorización previa u otras dificultades que se puedan presentar en el momento.

Preguntas sugeridas para la extensión del problema:     

  

  

=5 =−4 =−1 =2

Determinar el valor de y , de existir, cuando . Determinar el valor de y , de existir, cuando Determinar el valor de y , de existir, cuando Determinar el valor de y , de existir, cuando Incentivar a los alumnos continuar con los ejercicios propuestos en el manual del estudiante.

63



A.M.O. N°10: Taller N°04: Adición y sustracción de fracciones algebraicas. (45 minutos) DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD: En este taller se propone trabajar con dos problemas asociados a la suma y resta de fracciones algebraicas. El objetivo es que los estudiantes asocien los contenidos previos como factorización, simplificación, multiplicación, división, suma y resta de fracciones algebraicas. Es importante que esta actividad no sea la primera que involucre la suma y resta de fracciones algebraicas, pero se recomienda que sea la primera que relacione expresiones algebraicas a través de una equivalencia. De esta manera conservamos la característica de problema y evitamos que se transforme en ejercicio. ¿CUÁNDO APLICAR ESTA ACTIVIDAD? Esta actividad debe ser aplicada en la clase 14, asumiendo que el docente trabajó los siguientes tópicos: factorización, simplificación, multiplicación, división, suma y resta de fracciones algebraicas. Se recomienda que este problema sea aplicado de tal manera que sea una oportunidad para la asociación de contenidos previos.



A.M.O. N°11: Taller N°05: Operaciones combinadas de fracciones algebraicas. (90 minutos) DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD: En este taller se propone trabajar con tres problemas asociados a la suma y resta de fracciones algebraicas. Es importante que esta actividad sea la primera que combine las operaciones de multiplicación y resta de fracciones algebraicas, de esta manera evitamos que el problema se transforme en ejercicio. ¿CUÁNDO APLICAR ESTA ACTIVIDAD? Se recomienda aplicar esta actividad al final de la semana 05, asumiendo que los contenidos asociados a este problema hayan sido trabajados por el docente de manera previa, salvo la suma y resta de fracciones algebraicas.

64



TALLER N°04: ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS. TIEMPO ESTIMADO: 45 MINUTOS. PROBLEMA 01: ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS I





Compruebe que es equivalente a , donde

1   2 − 2−  =  2  44  −4  = 2 630 1420

65



Adición y sustracción de fracciones algebraicas I. MAN.ALG.T04.P01 20 minutos. Adición y sustracción de fracciones algebraicas.








La actividad debe ser trabajada en grupos de tres estudiantes elegidos al azar. Es importante que esta actividad no sea la primera que involucre la suma y resta de fracciones algebraicas, pero se recomienda que sea la primera que relacione expresiones algebraicas a través de una equivalencia. De esta manera conservamos la característica de problema y evitamos que se transforme en ejercicio. Al final de la actividad, el docente debe realizar un plenario donde se ponga en evidencia aquellos errores y obstáculos más frecuentes en el proceso de enseñanza y aprendizaje del álgebra, como por ejemplo el cálculo del común denominador algebraico u otras dificultades que se puedan presentar en el momento.

Preguntas sugeridas para la extensión del problema:   

   

Determinar el valor de y , de existir, cuando Determinar el valor de y , de existir, cuando Determinar el valor de y , de existir, cuando

=2 =−1 =0

66


PROBLEMA 02: ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS II

   − 

Compruebe que

es igual a cero, considerando las siguientes expresiones algebraicas:

 = 2−1 3

 = 31 5

19−2  = 5815

67



Adición y sustracción de fracciones algebraicas II. MAN.ALG.T04.P02 25 minutos. Adición y sustracción de fracciones algebraicas.








La actividad debe ser trabajada en grupos de tres estudiantes elegidos al azar. Es importante que esta actividad no sea la primera que involucre la suma y resta de fracciones algebraicas, pero se recomienda que sea la primera que relacione expresiones algebraicas a través de la verificación de un resultado dado (en este caso cero). De esta manera conservamos la característica de problema y evitamos que se transforme en ejercicio. Al final de la actividad, el docente debe realizar un plenario donde se ponga en evidencia aquellos errores y obstáculos más frecuentes en el proceso de enseñanza y aprendizaje del álgebra, como por ejemplo el cálculo del común denominador algebraico u otras dificultades que se puedan presentar en el momento.

Preguntas sugeridas para la extensión del problema:   

     

=0 =−3

Determinar el valor de , y , de existir, cuando Determinar el valor de , y , de existir, cuando Incentivar a los alumnos continuar con los ejercicios propuestos en el manual del estudiante.

68



TALLER N°05: OPERATORIAS COMBINADAS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS. ALGEBRAICAS. TIEMPO ESTIMADO: 90 MINUTOS. PROBLEMA 01: OPERATORIAS COMBINADAS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS I Resuelva

2−6∙

, considerando las siguientes expresiones algebraicas:

 =  − 3

 =  − 9

 = 2 3

69



Operatorias combinadas de fracciones algebraicas I. MAN.ALG.T05.P01 30 minutos. Operatorias combinadas de fracciones algebraicas.








La actividad debe ser trabajada en grupos de tres estudiantes elegidos al azar. Es importante que esta actividad sea la primera que combine las operaciones de multiplicación y resta de fracciones algebraicas, de esta manera evitamos que el problema se transforme en ejercicio. Al final de la actividad, el docente debe realizar un plenario donde se ponga en evidencia aquellos errores y obstáculos más frecuentes en el proceso de enseñanza y aprendizaje del álgebra, como por ejemplo la jerarquía de las operaciones u otras dificultades que se puedan presentar en el momento.


No se presentan extensiones para este problema.

70


PROBLEMA 02: OPERATORIAS COMBINADAS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS II Resuelva la siguiente multiplicación

   −1∙ −1  1  −1

71



Operatorias combinadas de fracciones algebraicas II. MAN.ALG.T05.P02 30 minutos. Operatorias combinadas de fracciones algebraicas.








La actividad debe ser trabajada en grupos de tres estudiantes elegidos al azar. Es importante que esta actividad sea la primera que combine las operaciones de multiplicación, suma y resta de fracciones algebraicas, de esta manera evitamos que el problema se transforme en ejercicio. Al final de la actividad, el docente debe realizar un plenario donde se ponga en evidencia aquellos errores y obstáculos más frecuentes en el proceso de enseñanza y aprendizaje del álgebra, como por ejemplo la jerarquía de las operaciones u otras dificultades que se puedan presentar en el momento.


Incentivar a los alumnos continuar con los ejercicios propuestos en el manual del estudiante.

72


PROBLEMA 03: OPERATORIAS COMBINADAS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS III

Compruebe que

1

es equivalente a la operación

1   )÷  1 ( 1 1  21

73



Operatorias combinadas de fracciones algebraicas III. MAN.ALG.T05.P03 30 minutos. Operatorias combinadas de fracciones algebraicas.






La actividad debe ser trabajada en grupos de tres estudiantes elegidos al azar. Es importante que esta actividad sea la primera que involucre la suma, división y multiplicación de fracciones algebraicas, pero se recomienda que sea la primera que relacione expresiones algebraicas a través de la verificación de un resultado dado (en este caso ). De esta manera conservamos la característica de problema y evitamos que se transforme en ejercicio.

 1



Al final de la actividad, el docente debe realizar un plenario donde se ponga en evidencia aquellos errores y obstáculos más frecuentes en el proceso de enseñanza y aprendizaje del álgebra, como por ejemplo la jerarquía de las operaciones u otras dificultades que se puedan presentar en el momento.


No se presentan extensiones para este problema.

74


CAPÍTULO III

ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES El periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se caracterizó por la invención gradual de símbolos y la resolución de ecuaciones. Dentro de período se desarrolló la llamada álgebra geométrica por los griegos (300 a. de C.), rica en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas. La introducción de la notación simbólica asociada a Viète (1540-1603), marca el inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notación. En este momento, el álgebra se convierte en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teoría de los "cálculos con cantidades de distintas clases" (cálculos con números racionales enteros, fracciones ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones). Para llegar al actual proceso de resolución de la ecuación de 3.000 años.

   = 

han pasado más

Los egipcios dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid -1.650 a. de C. y el de Moscú -1.850 a, de C.) multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría de ellos son de tipo aritmético y respondían a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ningún objeto concreto. En éstos, de una forma retórica, obtenían una solución realizando operaciones con los datos de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones. Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de la forma:

 

= =0 

donde , y eran números conocidos y la incógnita que ellos denominaban aha o montón. Por otro lado, los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen, sin que tuvieran relación con problemas de medida.

75


Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos:

1/4 ℎ   = 7    ℎ = 10   ℎ  4=28  =10 3 = 18 =6 =4

Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una y observaban que la solución podía ser: = 20, = 30. Para comprobarlo utilizaban un método parecido al de eliminación. En nuestra notación, es

restando la segunda de la primera, se obtiene

, es decir,

e

.

APRENDIZAJES ESPERADOS 3.1.- Resuelve problemas de la disciplina y/o especialidad, que involucren ecuaciones lineales, ecuaciones cuadráticas y sistemas de ecuaciones lineales. (Integrada Competencia Genérica Resolución de Problemas)

CRITERIOS DE EVALUACIÓN 3.1.1.- Determinando la solución de un problema propuesto que involucra una ecuación de primer grado, analizando la pertinencia de la solución. 3.1.2.- Determinando la solución de un problema propuesto que involucra ecuación de segundo grado, analizando la pertinencia de la solución. 3.1.3.- Resolviendo problemas generales y relativos a la especialidad mediante sistemas de ecuaciones lineales, analizando la pertinencia de las soluciones. 3.1.4.- Resolviendo problemas mediante sistemas de ecuaciones lineales, expresando la solución de manera gráfica. 3.1.5.- Utilizando estrategias que emerjan de la acción de resolver problemas. 3.1.6.- Elaborando argumentos y justificaciones que incluyan su reflexión y evidencia, convenciendo a los otros. 3.1.7.- Estableciendo propuestas de solución pertinentes.

CONTENIDOS 1.- Estrategias, argumentación y comunicación de resultados en la resolución de problemas matemáticos.

76


2.- Ecuaciones: - Planteamiento de ecuaciones. - Ecuaciones de primer grado. - Ecuaciones de segundo grado. 3.- Sistemas de ecuaciones lineales: - Planteamiento de sistema de ecuaciones - Resolución de sistemas de ecuaciones. - Representación gráfica de sistemas de ecuaciones lineales.

77


PLANIFICACIÓN SUGERIDA DE LA UNIDAD N°03 CAPÍTULO III – ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES SEMANA N°07 Tiempo total: 270 minutos. (6 horas pedagógicas) Tiempo de A.M.O.: 90 minutos. (2 horas pedagógicas)


ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA (A.M.O.) ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA N°12 Taller N°01: Lenguaje Algebraico, ecuaciones y sistema de ecuaciones.

PROBLEMAS Problema 01: La persecución I. Tiempo estimado: 90 minutos. Código: EC.T01.P01


ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA (A.M.O.) ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA N°13 Taller N°02: Lenguaje Algebraico, ecuaciones y sistema de ecuaciones.

PROBLEMAS Problema 01: La persecución II. Tiempo estimado: 90 minutos. Código: EC.T01.P01


78




A.M.O. N°12: Taller N°01: Lenguaje Algebraico, ecuaciones y sistema de ecuaciones. (90 minutos) DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD: Este taller constituye una secuencia didáctica para el planteamiento de Ecuaciones de primer grado y Sistemas. Se espera que los estudiantes generen modelos de ecuaciones de primer grado y sistemas a partir de una situación de cambio lineal, para luego ser utilizados como herramienta en la unidad de “Funciones lineales y cuadráticas”

¿CUÁNDO APLICAR ESTA ACTIVIDAD? Esta actividad debe ser aplicada al comienzo de la tercera unidad, dado que es una oportunidad para descubrir la relación entre las formas lineales, ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones lineales y representación gráfica de sistemas de ecuaciones lineales, de manera intuitiva. En algunas planificaciones esta actividad puede ser aplicada al final de la semana 06, posterior a la evaluación sumativa 02.

79



TALLER N°01: LENGUAJE ALGEBRAICO, ECUACIONES Y SISTEMA DE ECUACIONES. TIEMPO ESTIMADO: 90 MINUTOS. PROBLEMA 01: LA PERSECUCIÓN I Un grupo de asaltantes ha perpetrado un robo a las 10:00 hrs en una estación de servicios ubicada en el kilómetro 20 de la Ruta 5 Sur, momento en el cual, los empleados presionan el botón de alarma que conecta con una patrulla carretera ubicada en el kilómetro cero de la ruta, iniciando la persecución en dirección al sur. Los delincuentes escapan a una rapidez promedio de 1, 5 kilómetros por minuto, mientras que la patrulla los persigue a una rapidez promedio de 1,7 kilómetros por minuto.

Cinco minutos después llega un policía al lugar del delito y se une a la persecución en una motocicleta a una rapidez constante de 1,8 kilómetros por minuto. a) De acuerdo a esta información, complete la siguiente tabla.

Tiempo

Ubicación delincuentes

Ubicación patrulla

Ubicación policía motorista

0 min 1 min 2 min 3 min 4 min 5 min 6 min

20 km

0 km

0 km

b) Encuentre una relación entre la rapidez de los vehículos y la ubicación de los mismos. Justifique su respuesta. c) Indique la ubicación de los delincuentes, patrulla y policía motorista a los 25 minutos

Tiempo


Ubicación patrulla


25 min



d) Encuentre una expresión algebraica que describa la ubicación de los delincuentes en un tiempo .



e) Encuentre una expresión algebraica que describa la ubicación de la patrulla en un tiempo .



f) Encuentre una expresión algebraica que describa la ubicación del policía motorista en un tiempo .

80


g) Represente gráficamente la ubicación, en kilómetros, de los delincuentes en función del tiempo, en la grilla que se muestra a continuación.

h) ¿Cuál es el desenlace de la historia policial? Justifique su respuesta.

81



La persecución I. EC.T01.P01 90 minutos. Lenguaje algebraico, ecuaciones lineales y sistema de ecuaciones lineales.


SUGERENCIAS DIDÁCTICAS Sugerencias para la aplicación del problema en aula:

2.- Ecuaciones:

Este problema constituye una secuencia didáctica para el planteamiento de ecuaciones de primer grado. Esta actividad se ha considerado de gran relevancia para el desarrollo de la habilidad de modelar.

- Planteamiento de ecuaciones. - Ecuaciones de primer grado. - Ecuaciones de segundo grado.

Se espera que el estudiante logre una comprensión cabal de este objeto matemático a través de su planteamiento, con el fin de comprender y abordar procesos de resolución posteriormente.

3.- Sistemas de ecuaciones lineales:



- Planteamiento de sistema de ecuaciones - Resolución de sistemas de ecuaciones. - Representación gráfica de sistemas de ecuaciones lineales.

Los estudiantes reunidos en grupos de 3 a 4 estudiantes elegidos al azar, deben encontrar la solución a las preguntas planteadas en el problema:

a) De acuerdo a esta información, complete la siguiente tabla.





Tiempo


0 min 1 min 2 min 3 min 4 min 5 min 6 min

20 km

Ubicación patrulla 0 km

Ubicación policía motorista 0 km

Esta primera pregunta tiene como objetivo que el estudiante observe las regularidades presentes en el problema. El docente debe verificar que todos los estudiantes del grupo han completado la tabla en cada tiempo definido, con el fin de comprender la situación. El docente debe incentivar a los estudiantes, a través de preguntas dirigidas, a que descubran la razón de cambio de todos los vehículos, pudiendo formalizar este concepto de manera grupal o general, para ser utilizado en unidades posteriores.

b) Encuentre una relación entre la rapidez de los vehículos y l a ubicación de los mismos. Justifique su respuesta. 

Esta pregunta tiene por objetivo que el estudiante encuentre una expresión que relacione la rapidez de los vehículos y su ubicación. El docente debe vigilar que el grupo de estudiantes haya encontrado la solución al problema, argumentado y comunicando correctamente sus conclusiones. No es importante que el alumno utilice un registro algebraico, por ejemplo una ecuación, para determinar la relación 82


entre la rapidez de los vehículos y la ubicación.

c) Indique la ubicación de los d elincuentes, patrulla y policía motorista a los 25 minutos Tiempo


Ubicación patrulla


25 min 

Esta pregunta tiene como propósito que el estudiante sienta la necesidad de recurrir a un modelo algebraico para encontrar la ubicación de la patrulla y el policía motorista a los 25 minutos. Para tal fin, tiene como base las relaciones encontradas en las preguntas anteriores. El estudiante podría tomar la decisión de construir una tabla o directamente buscar un modelo algebraico, a través del uso de las relaciones encontradas en las preguntas anteriores.

d) Encuentre una expresión algebraica que describa la ubicación de los delincuentes en un tiempo .



e) Encuentre una expresión algebraica que describa la ubicación de la patrulla en un tiempo .



f) Encuentre una expresión algebraica que describa la ubicación del policía motorista en un tiempo .











Estas preguntas tienen por objetivo que el estudiante encuentre expresiones algebraicas que relacionen la ubicación de ciertos elementos en un tiempo t : ubicación de los delincuentes, ubicación de la patrulla y ubicación del policía motorista. El docente debe vigilar que el grupo de estudiantes encuentre las expresiones algebraicas, para luego comunicar y argumentar correctamente sus conclusiones a sus compañeros y docente. En estas preguntas es importante el uso de un registro algebraico para determinar la relación entre la rapidez de los vehículos y la ubicación. Una vez que el grupo ha comunicado sus resultados, el docente debe instar a los estudiantes a argumentar la validez de sus resultados. Esto podría a través de preguntas dirigidas.

g) Represente gráficamente la ubicación, en kilómetros, de los delincuentes en función del tiempo, en la grilla que se muestra a continuación.

83






En esta última actividad, el estudiante debe representar gráficamente la situación. Ello permitirá aumentar su comprensión del problema, abordándolo desde múltiples registros. Es recomendable que el docente realice preguntas de profundización con el fin de indagar si el estudiante comprende que significado tienen las trayectorias.

h) ¿Cuál es el desenlace de la historia policial? Justifique su respuesta. 





En esta pregunta el estudiante debe analizar la situación en su totalidad. Para ello cuenta con todo el trabajo realizado en las preguntas anteriores. Si ha comprendido realmente lo que ha realizado, no tendrá problemas en entregar una conclusión correcta. Existen múltiples estrategias para resolver el problema. No es necesario que sea un procedimiento algebraico. Es posible que el estudiante recurra a otros registros, el algebraico, numérico, gráfico, etc. para sacar conclusiones. Dentro de las posibles estrategias se encuentra que los estudiantes realicen una tabla de valores para comparar los tiempos y las distancias recorridas, para luego concluir que se encuentran en el kilómetro 65, el motorista y los asaltantes. Otra estrategia sería que los estudiantes utilizaran las ecuaciones que modelan la ubicación de los delincuentes, de la patrulla y del policía motorista, reconociendo que la solución buscada es la intersección de estas expresiones.

84



A.M.O. N°13: Taller N°02: Lenguaje Algebraico, ecuaciones y sistema de ecuaciones. (90 minutos) DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD: Este taller constituye una secuencia didáctica para el planteamiento de Ecuaciones de primer grado y Sistemas. Se espera que los estudiantes generen modelos de ecuaciones de primer grado y sistemas a partir de una situación de cambio lineal, para luego ser utilizados como herramienta en la unidad de “Funciones lineales y cuadráticas”

¿CUÁNDO APLICAR ESTA ACTIVIDAD? Esta actividad debe ser aplicada al comienzo de la semana 08, dado que es una oportunidad para complementar los contenidos previos trabajados en esta unidad: formas lineales, ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones lineales y representación gráfica de sistemas de ecuaciones lineales.

85



TALLER N°02: LENGUAJE ALGEBRAICO, ECUACIONES Y SISTEMA DE ECUACIONES. TIEMPO ESTIMADO: 90 MINUTOS. PROBLEMA 01: LA PERSECUCIÓN II Se sabe que el rendimiento del vehículo de los asaltantes y la patrulla es de 12 kilómetros por litro de combustible, mientras que el de la motocicleta es 22 kilómetros por litro. La cantidad inicial de combustible es 12, 15 y 8 litros, para el vehículo de los asaltantes, patrulla y motocicleta, respectivamente. a) De acuerdo a esta información, complete la siguiente tabla.

Distancia recorrida

0 km 2 km 4 km 6 km 8 km 10 km 12 km

Combustible que queda en el vehículo delincuentes 12 litros

Combustible que queda en el vehículo patrulla 15 litros

Combustible que queda en el vehículo motorista 8 litros

b) Encuentre una relación entre la distancia recorrida por los vehículos y la cantidad de combustible que queda en los mismos. Justifique su respuesta. c) Indique la cantidad de combustible que queda en los tres vehículos a los 30 kilómetros.

Distancia recorrida

Combustible que queda en el vehículo delincuentes

Combustible que queda en el vehículo patrulla

Combustible que queda en el vehículo motorista

30 km d) Encuentre una expresión algebraica que relacione la cantidad de combustible que queda en el vehículo de los delincuentes para una distancia .



e) Encuentre una expresión algebraica que relacione la cantidad de combustible que queda en el vehículo patrulla para una distancia .



f) Encuentre una expresión algebraica que relacione la cantidad de combustible que queda en el vehículo del motorista para una distancia .



g) Represente gráficamente la cantidad de combustible que queda en los vehículos en función de la distancia recorrida, en la grilla que se muestra a continuación.

86


h) ¿Cuál es el desenlace de la historia policial bajo estas condiciones? Justifique su respuesta. Problema diseñado por el equipo de Ciencias Básicas de la Universidad Tecnológica de Chile INACAP

87



La persecución II. EC.T02.P02 90 minutos. Lenguaje algebraico, ecuaciones lineales y sistema de ecuaciones lineales.

CONTENIDOS 1.- Estrategias, argumentación y comunicación de resultados en la resolución de problemas matemáticos. 2.- Ecuaciones: - Planteamiento de ecuaciones. - Ecuaciones de primer grado. - Ecuaciones de segundo grado.

3.- Sistemas de ecuaciones lineales:

SUGERENCIAS DIDÁCTICAS Sugerencias para la aplicación del problema en aula: Se espera que el estudiante logre una amplia comprensión del planteamiento de ecuaciones a través de su planteamiento, con el fin de comprender y abordar procesos de resolución posteriormente. 


a) De acuerdo a esta información, complete la siguiente tabla.

- Planteamiento de sistema de ecuaciones - Resolución de sistemas de ecuaciones. - Representación gráfica de sistemas de ecuaciones lineales.

Distancia recorrida

0 km 2 km 4 km 6 km 8 km 10 km 12 km 



Combustible que queda en el vehículo delincuentes 12 litros

Combustible que queda en el vehículo patrulla 15 litros

Combustible que queda en el vehículo motorista 8 litros

Esta primera pregunta tiene como objetivo que el estudiante observe las regularidades presentes en el problema. El docente debe verificar que todos los estudiantes del grupo han completado la tabla en cada tiempo definido, con el fin de comprender la situación. El docente debe incentivar a los estudiantes, a través de preguntas dirigidas, a que descubran la razón de cambio del combustible de todos los vehículos, pudiendo formalizar este concepto de manera grupal o general, para ser utilizado en unidades posteriores.

b) Encuentre una relación entre la distancia recorrida por los vehículos y la cantidad de combustible que queda en los mismos. Justifique su respuesta. 

Esta pregunta tiene por objetivo que el estudiante encuentre una expresión que relacione la distancia recorrida por los vehículos y la cantidad de combustible que queda en cada uno de ellos. El docente debe vigilar que el grupo de estudiantes haya encontrado la solución al problema, argumentado y comunicando correctamente sus 88


conclusiones. No es importante que el alumno utilice un registro algebraico, por ejemplo una ecuación, para determinar la solución al problema.

c) Indique la cantidad de combustible que queda en lo s tres vehículos a los 30 kilómetros. Distancia recorrida

Combustible que queda en el vehículo delincuentes

Combustible que queda en el vehículo patrulla

Combustible que queda en el vehículo motorista

30 km 

Esta pregunta tiene como propósito que el estudiante sienta la necesidad de recurrir a un modelo algebraico para encontrar la cantidad de combustible disponible en el vehículo de los delincuentes, la patrulla y el policía motorista a los 30 kilómetros. Para tal fin, tiene como base las relaciones encontradas en las preguntas anteriores. El estudiante podría tomar la decisión de construir una tabla o directamente buscar un modelo algebraico, a través del uso de las relaciones encontradas en las preguntas anteriores.

d) Encuentre una expresión algebraica que relacione la cantidad de combustible que queda en el vehículo de los delincuentes para una distancia .



e) Encuentre una expresión algebraica que relacione la cantidad de combustible que queda en el vehículo patrulla para una distancia .



f) Encuentre una expresión algebraica que relacione la cantidad de combustible que queda en el vehículo del motorista para una distancia .

 

Estas preguntas tienen por objetivo que el estudiante encuentre expresiones algebraicas que relacionen la cantidad de combustible en cada vehículo para una distancia recorrida .









El docente debe vigilar que el grupo de estudiantes encuentre las expresiones algebraicas, para luego comunicar y argumentar correctamente sus conclusiones a sus compañeros y docente. En estas preguntas es importante el uso de un registro algebraico para determinar la relación entre la cantidad de combustible en cada vehículo y sus distancias. Una vez que el grupo ha comunicado sus resultados, el docente debe instar a los estudiantes a argumentar la validez de sus resultados. Esto podría a través de preguntas dirigidas.

g) Represente gráficamente la cantidad de combustible que queda en 89


los vehículos en función de la distancia recorrida, en la grilla que se muestra a continuación.





En esta última actividad, el estudiante debe representar gráficamente la situación. Ello permitirá aumentar su comprensión del problema, abordándolo desde múltiples registros. Es recomendable que el docente realice preguntas de profundización con el fin de indagar si el estudiante comprende que significado tienen las trayectorias.

h) ¿Cuál es el desenlace de la historia poli cial bajo estas condiciones? Justifique su respuesta. 





En esta pregunta el estudiante debe analizar la situación en su totalidad. Para ello cuenta con todo el trabajo realizado en las preguntas anteriores. Si ha comprendido realmente lo que ha realizado, no tendrá problemas en entregar una conclusión correcta. Existen múltiples estrategias para resolver el problema. No es necesario que sea un procedimiento algebraico. Es posible que el estudiante recurra a otros registros, el algebraico, numérico, gráfico, etc. para sacar conclusiones. Dentro de las posibles estrategias se encuentra que los estudiantes realicen una tabla de valores para comparar el rendimiento y las distancias recorridas, para luego concluir que la patrulla atrapa a los asaltantes, dado que el motorista se queda sin combustible. Otra estrategia sería que los estudiantes utilizaran las ecuaciones que modelen la cantidad de combustible que queda en los vehículos según la distancia recorrida: delincuentes, de la patrulla y del policía motorista, reconociendo que la solución buscada es la intersección de estas expresiones.

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CAPÍTULO IV

FUNCIONES POLINÓMICAS El filósofo griego Aristóteles (384 a.C) afirmaba que los cuerpos caen a una velocidad proporcional a su peso. Aún hoy en día muchas personas creen que un objeto pesado debe caer más rápido que uno liviano. Galileo Galilei (1564-1642) verificó experimentalmente que el peso no influye en la aceleración de los cuerpos en caída libre. La distancia recorrida por un objeto en caída libre depende del tiempo, a través de la fórmula

 = 2 En esta expresión interviene uno de los conceptos más importante de la matemática, las funciones. La idea de función se origina a partir del estudio de los fenómenos de cambio, a partir del siglo XVII los matemáticos comienzan a matematizar los fenómenos de cambio, reconociendo que en la naturaleza no existe fenómeno que escape a la variación. En esta época la ciencia se sitúa en una concepción determinista de la realidad, se asume que es posible predecir los fenómenos de la naturaleza a través de leyes matemáticas. Newton (1642-1727) con sus leyes del movimiento aporta la concepción de que aunque no se puedan entender las causas de los fenómenos naturales, si se puede encontrar las leyes generales que los gobiernan, solo falta descubrirlas. El determinismo se instaló como el paradigma dominante en las ciencias hasta que a principios del siglo XX la relatividad de Einstein y el principio de incertidumbre de Heisenberg rompen la ilusión de una naturaleza determinista. El concepto de función tiene relación con una práctica natural del ser humano, tratar de predecir los fenómenos que lo rodean. El determinar con precisión como varían ciertas magnitudes dependiendo de otras y establecer los modelos matemáticos que las rigen es lo que le da sentido al estudio de las funciones.

APRENDIZAJES ESPERADOS 4.1.- Resuelve problemas de la disciplina y/o especialidad, que involucren funciones polinómicas de grado 0, 1 y 2. (Integrada Competencia Genérica Resolución de Problemas)

CRITERIOS DE EVALUACIÓN 4.1.1.- Representando funciones polinómicas de grado 0, 1 y 2, en forma tabular, gráfica, literal y analítica describiendo sus características generales.

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4.1.2.- Calculando razones trigonométricas mediante la circunferencia unitaria, explicando su estrategia de resolución. 4.1.3.- Utilizando estrategias que emerjan de la acción de resolver problemas. 4.1.4.- Elaborando argumentos y justificaciones que incluyan su reflexión y evidencia, convenciendo a los otros. 4.1.5.- Estableciendo propuestas de solución pertinentes.

CONTENIDOS 1.- Estrategias, argumentación y comunicación de resultados en la resolución de problemas matemáticos. 2.- Funciones: - Definición de función. - Criterio de la recta vertical. - Imagen y preimagen. - Dominio y recorrido. - Variable dependiente e independiente. 3.- Funciones polinómicas: - Definición de función polinómica. - Intersección de funciones polinómicas de grado 0, 1 y 2 con ejes coordenados. - Representación gráfica de funciones polinómicas de grado 0, 1 y 2.

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PLANIFICACIÓN SUGERIDA DE LA UNIDAD N°04 CAPÍTULO IV – FUNCIONES POLINÓMICAS SEMANA N°09 Tiempo total: 270 minutos. (6 horas pedagógicas) Tiempo de A.M.O.: 180 minutos. (4 horas pedagógicas)


ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA (A.M.O.) ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA N°14 Taller N°01: Funciones lineales. Tiempo estimado: 180 minutos.

ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA (A.M.O.) ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA N°15 Taller N°01: Funciones cuadráticas. Tiempo estimado: 180 minutos.

PROBLEMAS Problema 01: La práctica de motociclismo. Tiempo estimado: 90 minutos. Código: FUN.LIN.T01.P01 Problema 02: El suministro de agua potable. Tiempo estimado: 90 minutos. Código: FUN.LIN.T01.P02

PROBLEMAS Problema 01: El lanzamiento de un objeto. Tiempo estimado: 90 minutos. Código: FUN.CUA.T01.P01 Problema 02: La temperatura. Tiempo estimado: 90 minutos. Código: FUN.CUA.T01.P02

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A.M.O. N°14: Taller N°01: Funciones lineales. (180 minutos) DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD: Este taller constituye una secuencia didáctica para la introducción de la noción de función lineal. Las situaciones planteadas tienen como objetivo que los estudiantes trabajen con funciones lineales en sus representaciones verbal, gráfica, analítica y numérica (a través de tablas), coordinadas entre sí para lograr una mayor comprensión de este contenido matemático. La primera de ellas “Práctica de motociclismo” entrega la información a través de tablas y las preguntas están

dirigidas para que el estudiante trabaje con imágenes, preimágenes, representación gráfica y encontrar el modelo algebraico. La segunda de ellas “El suministro de agua potable” entrega dos modelos gráficos que representan el valor del

consumo de agua potable en dos empresas. Las preguntas están intencionadas para encontrar los modelos algebraicos que representan cada uno de los gráficos, para luego realizar comparaciones de ellos haciendo uso de los sistemas de ecuaciones como herramienta para el trabajo con las funciones lineales.

¿CUÁNDO APLICAR ESTA ACTIVIDAD? Esta actividad debe ser aplicada al comienzo de la cuarta unidad, dado que es una actividad de descubrimiento de elementos asociados a funciones lineales, lo que además permite asociar contenidos previos a esta unidad.

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TALLER N°01: FUNCIONES LINEALES. TIEMPO ESTIMADO: 180 MINUTOS. PROBLEMA 01: LA PRÁCTICA DE MOTOCICLISMO. En una práctica de motociclismo, previo a una competencia regional, se observó la distancia recorrida de algunos competidores en un tiempo determinado. La organización de la competencia entregó la información a través de tablas de resumen que indican el tiempo de carrera y la distancia recorrida, en horas y kilómetros, respectivamente. Considerando la información de los competidores 1, 2 y 3. Competidor N°1 Horas Kilómetros 0 0 1 30 2 60 3 90 4 120 5 150 6 180 7 210 8 240

Competidor N°2 Horas Kilómetros 0 60 1 80 2 100 3 120 4 140 5 160 6 180 7 200 8 220

Competidor N°3 Horas Kilómetros 0 220 1 200 2 180 3 160 4 140 5 120 6 100 7 80 8 60

a) Asumiendo que los competidores mantienen el mismo desempeño, estima su posición al cabo de: -

9 horas

-

10 horas

-

16 horas

b) Plantea una expresión algebraica que relacione el tiempo y la posición de cada competidor al cabo de x horas. c) Si el taller mecánico se encuentra en el kilómetro 300. ¿Al cabo de cuántas horas de entrenamiento pasará por él cada competidor? d) Existe algún punto de encuentro entre los competidores. e) Representa en un mismo plano cartesiano la información correspondiente a los tres competidores. Luego realiza una breve descripción de la información plasmada en él.

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f) Explique la razón de cambio (Cambio de la distancia recorrida en un tiempo determinado) que caracteriza el desempeño de los competidores 1, 2 y 3. Problema diseñado por el equipo de Ciencias Básicas de la Universidad Tecnológica de Chile INACAP

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Práctica de Motociclismo FUN.LIN.T01.P01 90 minutos. Función lineal.


SUGERENCIAS DIDÁCTICAS Sugerencias para la aplicación del problema en aula: -

2.- Funciones: - Definición de función. - Criterio de la recta vertical. - Imagen y preimagen. - Dominio y recorrido. - Variable dependiente e independiente.


a) Asumiendo que los competidores mantienen el mismo desempeño, estima su posición al cabo de: -

9 horas

-

10 horas

-

16 horas

Esta primera pregunta tiene como objetivo que el estudiante observe las regularidades presentes en la situación. El docente debe verificar que los estudiantes del grupo han estimado la posición de las motocicletas al cabo de 9, 10 y 16 horas con la finalidad de que descubran un patrón de comportamiento de las trayectorias de todos los competidores, pudiendo formalizar esta situación de manera grupal o general, para ser utilizada en la pregunta posterior.

b) Plantea una expresión algebraica que relacione el tiempo y la posición de cada competidor al cabo de x horas. Esta pregunta tiene como finalidad que los estudiantes encuentren una igualdad que relacione las variables, tiempo y posición, de cada competidor al cabo de x horas. El docente debe verificar que todos los estudiantes del grupo han comprendido como se construye la representación algebraica de una función lineal a partir del registro numérico (tabla). Para ello debe incentivarlos a través de preguntas dirigidas: ¿Qué variables están presentes en el problema?, ¿Qué letra has utilizado para definir cada variable?, ¿Por qué has utilizado una igualdad? ¿Cómo llegaste a esa conclusión?, etc.

c) Si el taller mecánico se encuentra en el kilómetro 300. ¿Al cabo de cuántas horas de entrenamiento pasará por él cada competidor? Esta pregunta tiene como finalidad que el estudiante trabaje con una situación donde a partir de una imagen debe encontrar una preimagen. Es necesario que el docente estimule a los estudiantes a utilizar la

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expresión algebraica de la pregunta anterior o en su defecto relacionarla con la estrategia encontrada.

d) Existe algún punto de encuentro entre los competidores. En esta pregunta los estudiantes podrán utilizar la estrategia que estimen más conveniente o cercana, pudiendo ser ésta aritmética. No obstante es importante que el docente estimule al estudiante a utilizar las expresiones algebraicas encontradas en la pregunta b)

e) Representa en un mismo plano cartesiano la información correspondiente a los tres competidores. Luego realiza una breve descripción de la información plasmada en él.

En esta pregunta hemos incluido la representación gráfica de la función lineal, para que el estudiante logre un análisis.

f) Explique la razón de cambio (Cambio de la distancia recorrida en un tiempo determinado) que caracteriza el desempeño de los competidores 1, 2 y 3. Esta pregunta final está enfocada en el parámetro m de la función lineal .

 = -

Luego que los grupos han encontrado la solución al problema, es necesario extenderlo, con el fin de instar a estudiante a buscar técnicas para llegar a la generalización del problema (La fase de extensión se realiza con los grupos que ya encontrado la solución a la pregunta planteada inicialmente y su prolongación es hasta que todos los grupos la han encontrado)

PROBLEMA 02: EL SUMINISTRO DE AGUA POTABLE

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La empresa Aguas Cordillera S.A. (Línea segmentada) y Aguas del Mar (Línea continua) ofrecen sus servicios sanitarios de acuerdo a la representación gráfica mostrada a continuación.

Suponiendo que el precio a pagar está en pesos, a) ¿Cuál es el valor del metro cúbico de agua de cada una de las empresas? b) ¿Cuál es el cargo fijo de que cobra cada una de las empresas? c) ¿Cuál es el valor a pagar por un cliente de la Empresa Aguas Cordillera si consume 4 metros cúbicos? d) ¿Cuál es el valor a pagar por un cliente de la Empresa Aguas del Mar si consume 8 metros cúbicos? e) ¿Cuál es el cobro que realiza Aguas Cordillera si se consumen 25 metros cúbicos de agua? f) Si un cliente de la empresa Aguas del Mar pagó $6.354, ¿Cuántos metros cúbicos de agua consumió? g) Determine un modelo lineal que relacione el valor a pagar según los metros cúbicos de agua consumida para cada una de las empresas. h) ¿Cuál de las dos empresas de agua es más conveniente económicamente? i) ¿Cuál es el punto de intersección entre ambas funciones lineales y cuál es su interpretación?



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100



El suministro de agua potable. FUN.LIN.T01.P02 90 minutos. Función lineal.



Este problema tiene como objetivo el trabajo con la representación gráfica de la función lineal. A partir de este registro el estudiante tendrá la posibilidad de transitar hacia otros, con la finalidad de aumentar su comprensión de esta función.

-



a) ¿Cuál es el valor del metro cúbico de agua de cada una de las empresas? b) ¿Cuál es el cargo fijo de que cobra cada una de las empresas? Estas preguntas iniciales están formuladas para que los estudiantes comprendan la situación a través del análisis de la gráfica. Para ello deben comprender que cada variable (metro cúbicos y costo) está representada en uno de los ejes de coordenadas cartesianas y que la información de cada compañía de agua está representada por una línea segmentada o una línea continua. El docente debe verificar que todos los estudiantes del grupo han respondido correctamente estas preguntas. En la pregunta a) el estudiante debe encontrar el valor del metro cúbico de cada compañía: Aguas Cordillera S.A. y Aguas del Mar ($50 y $100, respectivamente). En la pregunta b) el estudiante debe encontrar el valor del cargo fijo de cada compañía: Aguas Cordillera S.A. y Aguas del Mar ($1.400 y $850, respectivamente). El docente puede incentivar la discusión dentro del grupo a través de preguntas dirigidas: ¿El valor a pagar en cada compañía de agua tiene una variación constante?, ¿El valor del metro cúbico que han encontrado en cada compañía es siempre el mismo?, ¿Qué representa gráficamente el valor del cargo fijo? Etc.

c) ¿Cuál es el valor a pagar por un cliente de la Empresa Aguas Cordillera si consume 4 metros cúbicos? d) ¿Cuál es el valor a pagar por un cliente de la Empresa Aguas del Mar si consume 8 metros cúbicos? e) ¿Cuál es el cobro que realiza Aguas Cordillera si se consumen 25 metros cúbicos de agua? 101


Estas preguntas están formuladas para que los estudiantes trabajen el concepto de imagen a través de la representación gráfica de la función lineal. En las preguntas c) y d) se solicita imágenes que es posible obtener a partir del gráfico, lo que limitará el trabajo de los estudiantes a identificar visualmente el valor de 5 metros cúbicos en Aguas Cordillera S.A. y 8 metros cúbicos Aguas del Mar a través de la gráfica ($1.600 y $1.650, respectivamente). En cambio en la pregunta e) esto no es posible. Los estudiantes deben buscar estrategias para lograr dicho objetivo, jugando la predicción un rol de gran relevancia. Acá los estudiantes podrían utilizar métodos numéricos o algebraicos. El docente puede incentivar la discusión dentro del grupo a través de preguntas dirigidas: ¿Qué representan gráficamente los valores encontrados? Si el estudiante ha utilizado un método numérico para encontrar la respuesta a la pregunta e) se puede preguntar ¿Existe alguna otra estrategia para obtener el valor del consumo de cada compañía de agua.

f) Si un cliente de la empresa Aguas del Mar pagó $6.354, ¿Cuántos metros cúbicos de agua consumió? Esta pregunta está formulada para que los estudiantes trabajen el concepto de preimagen a través de la representación gráfica de la función lineal. Dado que el valor a pagar es bastante mayor a los que se encuentran en la gráfica, los estudiantes deben buscar alguna estrategia para encontrar la preimagen del valor $6.354. Si los estudiantes presentan alguna dificultad para encontrar el valor, el docente podría incentivar la búsqueda de regularidades con valores que se encuentren en la gráfica a través de preguntas: Si un cliente de la empresa Aguas del Mar pagó $2.150, ¿Cuántos metros cúbicos de agua consumió?, o de otros valores que se encuentren en la gráfica pero que la preimagen no sea un número entero: Si un cliente de la empresa Aguas del Mar pagó 2.230, ¿Cuántos metros cúbicos de agua consumió?

g) Determine un modelo lineal que relacione el valor a pagar según los x metros cúbicos de agua consumida para cada una de las empresas. Esta pregunta tiene como finalidad que los estudiantes encuentren una igualdad que relacione las variables, el valor a pagar según los x metros cúbicos de agua consumida para cada una de las empresas. El docente debe verificar que todos los estudiantes del grupo han comprendido como se construye la representación algebraica de una función lineal a partir de de la representación gráfica. Para ello debe incentivarlos a través de preguntas dirigidas: ¿Qué variables están presentes en el problema?, ¿Qué incógnita has utilizado para definir cada variable?, ¿Por qué has utilizado una igualdad? ¿Cómo llegaste a 102


esa conclusión?, etc.

h) ¿Cuál de las dos empresas de agua es más conveniente económicamente? En esta pregunta los estudiantes podrán utilizar la estrategia que estimen más conveniente, pudiendo ser ésta visual, aritmética o algebraica. El estudiante podrá argumentar que a partir del punto de intersección de las representaciones gráficas de las dos funciones que aparece en la imagen existe un cambio en la conveniencia en las tarifas de ambas compañías. El docente debe estimular el establecimiento de relaciones entre las expresiones algebraicas que definen a las tarifas de cada compañía y el punto de intersección encontrado de manera visual.

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A.M.O. N°15: Taller N°01: Funciones cuadráticas. (180 minutos) DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD: Este taller constituye una secuencia didáctica para la introducción de la noción de función cuadrática. Las situaciones planteadas tienen como objetivo que los estudiantes trabajen con funciones cuadráticas en sus representaciones verbal, gráfica y analítica. Coordinadas entre sí para lograr una mayor comprensión de este contenido matemático. La primera de ellas “El lanzamiento de un objeto” entrega el modelo algebraico y las preguntas están dirigidas para

que el estudiante trabaje con imágenes, preimágenes, máximos y la representación gráfica. La segunda de ellas “La temperatura” e ntrega dos modelos algebraicos que representan la temperatura de dos ciudades, uno lineal y uno cuadrático. Las preguntas están direccionadas a la comparación de ambos modelos y contemplan además el trabajo con el registro algebraico.

¿CUÁNDO APLICAR ESTA ACTIVIDAD? Esta actividad debe ser aplicada al comienzo del contenido de funciones cuadráticas, dado que es una actividad de descubrimiento de elementos asociados a este tipo de función. Además permite relacionar las funciones lineales y cuadráticas en todas sus representaciones.

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TALLER N°01: FUNCIONES CUADRATICAS. TIEMPO ESTIMADO: 180 MINUTOS. PROBLEMA 01: EL LANZAMIENTO DE UN OBJETO Un objeto es lanzado hacia arriba desde una azotea que se encuentra a 19 metros de altura. Llega a un punto máximo de altura y cae al suelo. La función que modela la altura del objeto en un tiempo (en segundos) está dada por

ℎ  ℎ =−0.8 −9.52.5

a) ¿Cuál es la altura del objeto a los 2 segundos? b) ¿Puede el objeto alcanzar una altura mayor que en el inciso a)? De ser así, ¿Cuál es dicha altura y en qué tiempo ocurre? c) ¿Cuál fue la altura máxima a la cual llegó el objeto? d) ¿En qué tiempo el objeto llegó a su máxima altura? e) ¿En qué tiempo el objeto llega al suelo? f) Realice un bosquejo de la representación gráfica de la función.


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El lanzamiento de un objeto. FUN.CUA.T01.P01 90 minutos. Función cuadrática.



Este problema tiene como objetivo el trabajo con la representación algebraica de la función cuadrática. A partir de este registro el estudiante tendrá la posibilidad de transitar hacia otros, con la finalidad de aumentar su comprensión de esta función.

-



a) ¿Cuál es la altura del objeto a los 2 segundos? ¿A los 3 segundos? 3.- Funciones polinómicas: - Definición de función polinómica. - Intersección de funciones polinómicas de grado 0, 1 y 2 con ejes coordenados. - Representación gráfica de funciones polinómicas de grado 0, 1 y 2.

Esta primera pregunta tiene como objetivo que el estudiante analice el comportamiento de la función dada por medio de la búsqueda de imágenes. El docente debe verificar que todos los estudiantes del grupo hayan comprendido el problema y debe incentivar a que validen sus resultados entre ellos.

b) ¿Puede el objeto alcanzar una altura mayor que en el inciso a)? De ser así, ¿Cuál es dicha altura y en qué tiempo ocurre? -

Esta pregunta tiene como objetivo que el estudiante busque, bajo cualquier estrategia, un valor mayor para la altura que en el anterior problema. Además, es necesario que el estudiante encuentre la preimagen del valor mencionado. El docente debe verificar que todos los estudiantes del grupo hayan comprendido el problema y debe incentivar a que validen sus resultados entre ellos.

c) ¿Cuál fue la altura máxima a l a cual llegó el objeto? -

Esta pregunta tiene como objetivo que los estudiantes realicen una búsqueda de una imagen que sea la mayor existente. El docente debe evitar entregar el concepto del vértice antes de que los estudiantes encuentren la solución. De ninguna manera el docente debe entregar la solución al problema. Es muy probable que los estudiantes entreguen como solución la imagen de t = 3 o t = 4, puesto que acostumbran a evaluar en números enteros. Ante tal situación, se recomienda activar la resolución del problema preguntando la imagen de 3,1 para que observen que existe una imagen mayor que la de t = 3 y t = 4. Es importante recalcar que el docente debe incentivar al desarrollo de estrategias propias, validando aquellas que estén debidamente fundamentadas.

-

Es probable que los estudiantes utilicen métodos no algebraicos para

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encontrar la solución a la pregunta en cuestión, sino más bien el ensayo y error.

d) ¿En qué tiempo se produjo la altura máxima? -

Esta pregunta busca como objetivo complementar el problema anterior, siendo importante que el estudiante discrimine entre el valor de una imagen y de una preimagen.

e) ¿En qué tiempo el objeto llega al suelo? Esta pregunta tiene como objetivo que los estudiantes realicen una búsqueda de una preimagen que sea la correspondiente a una altura cero. El docente debe evitar entregar el concepto de ecuación de segundo grado antes de que los estudiantes encuentren la solución. De ninguna manera el docente debe entregar la solución al problema. Es muy probable que los estudiantes entreguen como solución la imagen de t=0, pudiendo no discriminar entre la imagen y preimagen. Ante tal situación, se recomienda activar la resolución del problema preguntando ¿Qué variable representa la imagen? ¿Qué variable representa la preimagen? ¿Qué nos están preguntando: una imagen o una preimagen? Es importante que el docente incentive el desarrollo de estrategias propias, validando aquellas que estén debidamente fundamentadas.

f) Realice un bosquejo de la representación gráfica de la función.

En esta pregunta hemos incluido la representación gráfica de la función lineal, para que el estudiante realice un análisis de ese registro.

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PROBLEMA 02: LA TEMPERATURA La temperatura de dos ciudades durante 10 horas seguidas (

0≤≤10  ==22 − 9−2 

), fue modelada por las siguientes funciones

Temperatura Ciudad N°1: Temperatura Ciudad N°2:

a) Represente gráficamente ambos modelos en la siguiente grilla.

b) ¿Existe algún horario en que las temperaturas son iguales? De ser así, ¿Cuál es el horario y cuál es la temperatura correspondiente? c) ¿Existe algún horario en la cual la temperatura de la ciudad N°1 sea 20°C? De ser así, ¿Cuál es el horario? d) ¿Existe algún horario en la cual la temperatura de la ciudad N°2 sea 20°C? De ser así, ¿Cuál es el horario? e) ¿Cuál es la temperatura máxima de la Ciudad N°1 y en qué horario se produce? f) ¿Cuál es la temperatura máxima de la Ciudad N°2 y en qué horario se produce? Problema diseñado por el equipo de Ciencias Básicas de la Universidad Tecnológica de Chile INACAP

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La temperatura. FUN.CUA.T01.P02 90 minutos. Función cuadrática.



Este problema tiene como objetivo el trabajo con la representación gráfica de las funciones, lineal y cuadrática a partir de una situación de cambio en la temperatura de dos ciudades.

-



a) Represente gráficamente ambos modelos en la siguiente grilla.

3.- Funciones polinómicas: - Definición de función polinómica. - Intersección de funciones polinómicas de grado 0, 1 y 2 con ejes coordenados. - Representación gráfica de funciones polinómicas de grado 0, 1 y 2.

Esta pregunta inicial está formulada para que los estudiantes comprendan la situación a través del análisis de la gráfica. Para ello deben comprender que cada variable (tiempo y temperatura) está representada en uno de los ejes de coordenadas cartesianas. El docente debe estimular a los estudiantes a establecer conexiones entre la representación algebraica de las funciones dada inicialmente y la representación gráfica

b) ¿Existe algún horario en que las temperaturas son iguales? De ser así, 109


¿Cuál es el horario y cuál es la temperatura correspondiente? En esta pregunta los estudiantes podrán utilizar la estrategia que estimen más conveniente, pudiendo ser ésta gráfica, aritmética o algebraica. No obstante es importante que el docente estimule al estudiante a utilizar las expresiones algebraicas dadas en el problema para analizar aquellas temperaturas iguales en ambas ciudades.

c) ¿Existe algún horario en el que la temperatura de la ciudad N°1 sea 20°C? De ser así, ¿Cuál es el horario? Esta pregunta tiene como objetivo que los estudiantes se enfrenten a situaciones sin solución real. El docente debe incentivar a los estudiantes a justificar matemáticamente su respuesta, tanto con su representación gráfica, como también con la aplicación de la ecuación de segundo grado.

d) ¿Existe algún horario en el que la temperatura de la ciudad N°2 sea 20°C? De ser así, ¿Cuál es el horario? Esta pregunta tiene como objetivo que los estudiantes se enfrenten a situaciones cuya solución pasa por determinar una preimagen a partir de una imagen dada. El docente debe incentivar a los estudiantes a justificar matemáticamente su respuesta, tanto con su representación gráfica, como también con la aplicación de la ecuación de primer grado.

e) ¿Cuál es la temperatura máxima de la Ciudad N°1 y en qué horario se produce? Esta pregunta tiene como objetivo que los estudiantes encuentren el máximo de una función cuadrática y la preimagen en la cual sucede. El docente debe incentivar a los estudiantes a justificar matemáticamente su respuesta, tanto con su representación gráfica, como también con la aplicación del vértice de una función cuadrática.

f) ¿Cuál es la temperatura máxima de la Ciudad N°2 y en qué horario se produce? Esta pregunta tiene como objetivo que los estudiantes se enfrenten a situaciones cuya solución no se puede calcular a través de una formula. Se espera que los estudiantes encuentre la solución ubicando el máximo de la función en uno de los extremos del intervalo en el cual está definida. El docente debe incentivar a los estudiantes a justificar matemáticamente su respuesta, tanto con su representación gráfica, como también con la aplicación de la restricción del dominio en una función lineal.

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CAPÍTULO V

FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA Los logaritmos se inventaron alrededor de 1590 por John Napier (1550-1617) y Jobst Bürgi (1552-1632) de manera independiente. Napier, cuyo trabajo tuvo mayor influencia, era un lord escocés, de carácter muy reservado cuyos vecinos pensaban que tenía un pacto con el diablo. Su enfoque de los logaritmos era muy diferente al nuestro; se basaba en la relación entre secuencias aritméticas y geométricas y no en la actual como función inversa (recíproca) de las funciones exponenciales. Las tablas de Napier, publicadas en 1614, contenían los llamados logaritmos naturales y eran algo difíciles de usar. Un profesor londinense, Henry Briggs, se interesó en las tablas y visitó a Napier. En sus conversaciones, ambos desarrollaron la idea de los logaritmos comunes y Briggs convirtió las tablas de Napier en las tablas de logaritmos comunes que fueron publicadas en 1617. Su importancia para el cálculo fue inmediatamente reconocida y alrededor de 1650 se imprimían en lugares tan lejanos como China. Dichas tablas siguieron siendo una poderosa herramienta de cálculo hasta el advenimiento de las calculadoras manuales de bajo precio alrededor de 1972, lo que ha disminuido su importancia como instrumento de cálculo, pero no su importancia teórica. Un efecto colateral de la invención de los logaritmos fue la popularización de la notación del sistema decimal para los números reales. Las tablas de logaritmos se fueron perfeccionando a través de los años, y fueron utilizadas en los cálculos y en la enseñanza hasta hace relativamente poco tiempo. La era de la computación fue haciendo que las tablas fueran más fáciles de elaborar, pero también las hizo innecesarias, pues ahora es más simple presionar un par de teclas en la calculadora, que buscar mantizas y características. Con el nacimiento del Cálculo Infinitesimal, las funciones exponencial y logarítmica comienzan a tener importancia desde un punto de vista teórico, al comenzar a ser estudiadas sus propiedades diferenciales. La importancia teórica de estas funciones ha invadido casi la totalidad de las áreas de la Matemática, sobre todo aquellas en que las nociones del cálculo diferencial e integral están presentes. Por otro lado, su importancia desde un punto de vista aplicado va mucho más allá de su uso en los cálculos numéricos. Estas funciones ya no se enseñan más como simple herramienta de cálculo numérico, sino como base de modelos sofisticados y poderosa herramienta teórica en diferentes áreas del quehacer científico.

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APRENDIZAJES ESPERADOS 5.1.- Resuelve problemas de la disciplina y/o especialidad, que involucren funciones exponenciales y logarítmicas. (Integrada Competencia Genérica Resolución de Problemas)

CRITERIOS DE EVALUACIÓN 5.1.1.- Representando funciones exponenciales y logarítmicas, en forma tabular, gráfica, literal y analítica describiendo sus características generales. 5.1.2.- Resolviendo problemas generales y relativos a la especialidad que involucra un análisis completo de funciones exponenciales y logarítmicas, analizando la pertinencia de las soluciones. 5.1.3.- Utilizando estrategias que emerjan de la acción de resolver problemas. 5.1.4.- Elaborando argumentos y justificaciones que incluyan su reflexión y evidencia, convenciendo a los otros. 5.1.5.- Estableciendo propuestas de solución pertinentes.

CONTENIDOS 1.- Estrategias, argumentación y comunicación de resultados en la resolución de problemas matemáticos. 2.- Funciones exponenciales y logarítmicas: - Definición de función exponencial y logarítmica. - Representación gráfica de funciones exponenciales y logarítmicas. - Cálculo de imágenes y preimágenes de funciones exponenciales y logarítmicas.

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PLANIFICACIÓN SUGERIDA DE LA UNIDAD N°05 CAPÍTULO V – FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA SEMANA N°12 Tiempo total: 270 minutos. (6 horas pedagógicas) Tiempo de A.M.O.: 90 minutos. (2 horas pedagógicas)

ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA (A.M.O.) ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA N°16 Taller N°01: Funciones exponenciales. Tiempo estimado: 90 minutos.

PROBLEMAS Problema 01: La compra de una camioneta. Tiempo estimado: 30 minutos. Código: FUN.EXP.T01.P01 Problema 02: El carbono 14. Tiempo estimado: 30 minutos. Código: FUN.EXP.T01.P02 Problema 03: La inversión bancaria. Tiempo estimado: 30 minutos. Código: FUN.EXP.T01.P03


ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA (A.M.O.) ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA N°17 Taller N°02: Funciones logarítmicas. Tiempo estimado: 90 minutos.

PROBLEMAS Problema 01: Los terremotos, la relación entre magnitud y energía liberada. Tiempo estimado: 30 minutos. Código: FUN.LOG.T02.P01 Problema 02: “La eliminación de un fármaco hipnótico en el organismo”

Tiempo estimado: 30 minutos. Código: FUN.LOG.T02.P02 Problema 03: Vida útil de un tubo fluorescente Tiempo estimado: 30 minutos. Código: FUN.LOG.T02.P03

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A.M.O. N°16: Taller N°01: Funciones exponenciales. (90 minutos) DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD: Este taller constituye una secuencia didáctica para la introducción de la noción de función exponencial. Las situaciones planteadas tienen como objetivo que los estudiantes trabajen con situaciones que impliquen un cambio exponencial, a través de sus representaciones verbal, gráfica, analítica y numérica (a través de tablas), con el objetivo de aportar a la comprensión de este contenido matemático. Se presentan 3 problemas: La compra de una camioneta, El carbono 14 y La inversión bancaria.

La primera de ellas “La compra de una camioneta” entrega la información a través del planteamiento verbal de una situación de decrecimiento exponencial donde se expone el mecanismo a través del que ocurre el devalúo de un vehículo. Las preguntas están dirigidas para que el estudiante trabaje con imágenes, preimágenes, representación gráfica y la búsqueda del modelo algebraico. La segunda de ellas “El carbono 14” entrega un modelo algebraico de decrecimiento exponencial que relaciona las

variables masa y tiempo de un fósil con el fin de determinar su fecha de muerte. Las preguntas están dirigidas para que el estudiante trabaje con imágenes, preimágenes y representación gráfica. La tercera “La inversión bancaria” entrega dos modelos gráficos de crecimiento exponencial que representan el valor

de una inversión de dinero en dos entidades bancarias que ofrecen distinto interés mensual. Las preguntas están dirigidas para que el estudiante trabaje con imágenes, preimágenes, representación gráfica y la búsqueda de un modelo algebraico para cada una de las curvas.

¿CUÁNDO APLICAR ESTA ACTIVIDAD? Esta actividad debe ser aplicada al comienzo de la quinta unidad, dado que es una actividad de descubrimiento de elementos asociados a funciones exponenciales y sus aplicaciones, lo que además permite asociar contenidos previos a esta unidad.

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TALLER N°01: FUNCIONES EXPONENCIALES. TIEMPO ESTIMADO: 90 MINUTOS. PROBLEMA 01: LA COMPRA DE UNA CAMIONETA Roberto compró el 2 de Enero de 2014 una camioneta 4x4 nueva en $ 12.000.000. Por ser un vehículo nuevo, al 2 de Enero de 2015 se deprecia (pérdida de valor) un 20% de su valor inicial. De ahí en adelante, cada mes se deprecia un 1,2%. a) Por problemas económicos Roberto necesita vender su camioneta. Si quisiera hacerlo el 2 de Octubre de 2016. ¿Cuál sería su precio de venta? b) Roberto ha estimado que desea conservar su camioneta sólo hasta que su precio sea (exactamente) $8.000.000. ¿En qué año y mes podrá venderla a ese valor? c) ¿Cuántos meses habrá que esperar para que el valor de la camioneta sea la décima parte del valor de compra? d) Realiza un gráfico que represente la información correspondiente al precio de la camioneta a partir del 2 de Enero del año 2015. Luego realiza una breve descripción de la información plasmada en él. e) Encuentre el modelo exponencial que permite calcular el valor de la camioneta 4x4 a partir del 2 de enero de 2015. Problema diseñado por el equipo de Ciencias Básicas de la Universidad Tecnológica de Chile INACAP

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La compra de una camioneta. FUN.EXP.T01.P01 30 minutos. Función exponencial.


SUGERENCIAS DIDÁCTICAS Sugerencias para la aplicación del problema en aula: Este problema constituye una secuencia didáctica para la introducción de la noción de función exponencial. La situación planteada inicia el estudio del cambio exponencial a través de su representación verbal, transitando posteriormente por la gráfica, analítica y numérica (a través de tablas), con el objetivo de aportar a la comprensión de este contenido matemático. Se espera que el estudiante logre una comprensión cabal de este objeto matemático a través de su planteamiento, con el fin de comprender y abordar procesos de resolución posteriormente. 


a) Por problemas económicos Roberto necesita vender su camioneta. Si quisiera hacerlo el 2 de Octubre de 2016. ¿Cuál sería su precio de venta? Esta pregunta busca que el estudiante se familiarice con la situación a través del estudio del decrecimiento exponencial del valor de un vehículo. Esto puede ser a través de métodos aritméticos, gráficos o algebraicos. Posterior a la respuesta de los estudiantes, el docente podría introducir el concepto de imagen de una función. Nota: Dado que esta actividad es de descubrimiento no es necesario que se haga notar al estudiante que la situación corresponde a un modelo exponencial, ni mucho menos que se vuelva el objetivo la búsqueda de un modelo algebraico.

b) Roberto ha estimado que desea conservar su camioneta sólo hasta que su precio sea (exactamente) $8.000.000. ¿En qué año y mes podrá venderla a ese valor? c) ¿Cuántos meses habrá que esperar para que el valor de la camioneta sea la décima parte del valor de compra? Las preguntas c) y d) están dirigidas al trabajo con el concepto de preimagen de una función exponencial. A partir del trabajo con la variable dependiente (valor del vehículo), el estudiante debe encontrar el tiempo de venta del vehículo. Esto puede ser a través de métodos aritméticos, gráficos o algebraicos.

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Posterior a la respuesta de los estudiantes, el docente podría introducir el concepto de preimagen de una función.

d) Realiza un gráfico que represente la información correspondiente al precio de la camioneta a partir del 2 de Enero del año 2015. Luego realiza una breve descripción de la información plasmada en él. Esta pregunta tiene como finalidad que el estudiante realice un análisis de la representación gráfica de una situación de cambio exponencial decreciente. Posterior a la respuesta de los estudiantes, el docente podría introducir el trabajo con la gráfica de la función exponencial: corte con el eje vertical, dominio, recorrido, etc.

e) Encuentre el modelo exponencial que permite calcular el valor de la camioneta 4x4 a partir del 2 de enero de 2015. Esta pregunta está orientada a encontrar un modelo algebraico que permita relacionar el tiempo y el valor del vehículo. A esta altura del trabajo con el enfoque de resolución de problemas los estudiantes serán capaces de encontrar el método más adecuado para formular la regularidad pedida.

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PROBLEMA 02: EL CARBONO 14. La aplicación más conocida del Carbono-14 es el método de datación o determinación de la edad de un vestigio orgánico basado en la cantidad de carbono radiactivo que contiene. La masa de carbono 14 de cualquier fósil disminuye a un ritmo exponencial, que es conocido. Sabiendo la cantidad de carbono 14 que debería contener un fósil si aún estuviese vivo (semejante a la de la atmósfera en el momento en el que murió) y la que realmente contiene, se puede conocer la fecha de su muerte. La variación de la masa de cierta cantidad de carbono 14 de un fósil a través del tiempo puede calcularse, aproximadamente, aplicando el siguiente modelo:

= ∙0,886 : :       ñ   ó  :       Texto Extraído de: https://sites.google.com/site/483funcionexponencial/actividades-funcion-exponencial

a) Supongamos que se encontró un fósil cuya masa de carbono 14 cuando estaba vivo era de 400 gramos. ¿Cuánto quedará de esa cantidad a medida que vaya transcurriendo el tiempo? b) Completa la siguiente tabla usando el modelo algebraico, considerando que se encontró un fósil cuya masa de carbono 14 cuando estaba vivo era de 500 gramos. Tiempo (en miles de años) 0 5 10 15 20 25 30

Masa (en gramos)

c) Construye un gráfico de la situación usando los datos de la tabla. Luego realiza una breve descripción de la información plasmada en él.

Problema adaptado por el equipo de Ciencias Básicas de la Universidad Tecnológica de Chile INACAP

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El carbono 14. FUN.EXP.T01.P02 30 minutos. Función exponencial.


SUGERENCIAS DIDÁCTICAS Sugerencias para la aplicación del problema en aula: Este problema constituye una secuencia didáctica para el trabajo con la noción de función exponencial. La situación planteada inicia el estudio del cambio exponencial a través de su representación gráfica, transitando posteriormente por la gráfica y numérica (a través de tablas), con el objetivo de aportar a la comprensión de este contenido matemático. Se espera que el estudiante logre una comprensión cabal de este objeto matemático a través de su planteamiento, con el fin de comprender y abordar procesos de resolución posteriormente. 


a) Supongamos que se encontró un fósil cuya masa de carbono 14 cuando estaba vivo era de 400 gramos. ¿Cuánto quedará de esa cantidad a medida que vaya transcurriendo el tiempo? Esta pregunta está formulada para que los estudiantes realicen un estudio de la situación, asignando distintos períodos de tiempo hasta que logren una comprensión del problema. Posterior a la respuesta de los estudiantes, el docente podría tratar el concepto de preimagen de una función exponencial.

b) Completa la siguiente tabla usando el modelo algebraico, considerando que se encontró un fósil cuya masa de carbono 14 cuando estaba vivo era de 500 gramos. Tiempo (en miles de años) 0 5 10 15 20 25 30

Masa (en gramos)

Esta pregunta busca que el estudiante se familiarice con el modelo algebraico a través del estudio del decrecimiento exponencial de la masa de carbono 14 en un fósil. Esto puede ser a través de métodos aritméticos, gráficos o algebraicos.

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c) Construye un gráfico de la situación usando los datos de la tabla. Luego realiza una breve descripción de la información plasmada en él. Esta pregunta tiene como finalidad que el estudiante realice un análisis de la representación gráfica de una situación de cambio exponencial decreciente. Posterior a la respuesta de los estudiantes, el docente podría trabajar el trabajo con la gráfica de la función exponencial: corte con el eje vertical, dominio, recorrido, etc.

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PROBLEMA 03: LA INVERSIÓN BANCARIA. Juan y Alfredo han decidido abrir cuentas de ahorro en distintas entidades bancarias. Juan invertirá en el Banco Mundial con un 6,5% de interés mensual (Línea segmentada) y Alfredo en el Banco Cordillera con un 3% de interés mensual (Línea continua), de acuerdo a la representación gráfica mostrada a continuación.


Suponiendo que el precio a pagar está en pesos, a) ¿Cuál es el monto de inversión inicial de Juan y de Alfredo? b) ¿A cuánto asciende la inversión de Juan si su dinero permanece en el banco 11 meses? c) ¿A cuánto asciende la inversión de Alfredo si su dinero permanece en el banco 1 año 8 meses? d) Si Alfredo desea tener su dinero hasta obtener $ 1.000.000 ¿Cuántos meses permaneció su dinero en el banco? e) Realiza una tabla que compare el avance de las inversiones de Juan y Alfredo en un año (mes a mes). f) Basándote en la gráfica. ¿En qué período de tiempo ambos amigos tienen la misma inversión? Pruébalo algebraicamente. g) Determine un modelo lineal que relacione el tiempo y el valor de la inversión de Juan y de Alfredo en sus respectivos bancos.

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La inversión bancaria FUN.EXP.T01.P03 30 minutos. Función exponencial.


SUGERENCIAS DIDÁCTICAS Sugerencias para la aplicación del problema en aula: Este problema constituye una secuencia didáctica para el trabajo con la noción de función exponencial. Se entrega dos modelos gráficos de crecimiento exponencial que representan el valor de una inversión de dinero en dos entidades bancarias que ofrecen distinto interés mensual. Las preguntas están dirigidas para que el estudiante trabaje con imágenes, preimágenes, representación gráfica y la búsqueda de un modelo algebraico para cada una de las curvas. La situación planteada inicia el estudio del cambio exponencial a través de su representación gráfica, transitando posteriormente por la gráfica y numérica (a través de tablas), con el objetivo de aportar a la comprensión de este contenido matemático. Se espera que el estudiante logre una comprensión cabal de este objeto matemático a través de su planteamiento, con el fin de comprender y abordar procesos de resolución posteriormente. 


a) ¿Cuál es el monto de inversión inicial de Juan y de Alfredo? Esta pregunta está formulada para que los estudiantes realicen un estudio de la situación a través de la gráfica. Para ello deben poner atención al corte con el eje y.

b) ¿A cuánto asciende la inversión de Juan si su dinero permanece en el banco 11 meses? c) ¿A cuánto asciende la inversión de Alfredo si su dinero permanece en el banco 1 año 8 meses? Las preguntas b) y c) buscan que el estudiante se familiarice con la situación a través del estudio del crecimiento exponencial del valor de una inversión bancaria. Esto puede ser a través de métodos aritméticos, gráficos o algebraicos. Posterior a la respuesta de los estudiantes, el docente podría introducir el concepto de imagen de una función.

d) Si Alfredo desea tener su dinero hasta obtener $ 1.000.000 ¿Cuántos meses permaneció su dinero en el banco?

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La pregunta d) está dirigida al trabajo con el concepto de preimagen de una función exponencial. A partir del trabajo con la variable dependiente (valor de la inversión), el estudiante debe encontrar el tiempo de inversión. Esto puede ser a través de métodos aritméticos, gráficos o algebraicos.

e) Realiza una tabla que compare el avance de las inversiones de Juan y Alfredo en un año (mes a mes). f) Basándote en la gráfica. ¿En qué período de tiempo ambos amigos tienen la misma inversión? Pruébalo algebraicamente. Las preguntas e) y f) tienen como finalidad que el estudiante realice un análisis de la representación numérica (tabla) y gráfica de una situación de cambio exponencial creciente. Posterior a la respuesta de los estudiantes, el docente podría trabajar el trabajo con la gráfica de la función exponencial: corte con el eje vertical, dominio, recorrido, etc.

g) Determine un modelo lineal que relacione el tiempo y el valor de la inversión de Juan y de Alfredo en sus r espectivos bancos Esta pregunta está orientada a encontrar un modelo algebraico que permita relacionar el tiempo y el dinero invertido. A esta altura del trabajo con el enfoque de resolución de problemas los estudiantes serán capaces de encontrar el método más adecuado para formular la regularidad pedida.

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A.M.O. N°17: Taller N°02: Funciones logarítmicas. (90 minutos) DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD: Este taller constituye una secuencia didáctica para la introducción de la noción de función logarítmica. Las situaciones planteadas tienen como objetivo que los estudiantes trabajen con situaciones que impliquen un cambio logarítmico, a través de sus representaciones verbal, gráfica, analítica y numérica (a través de tablas), con el objetivo de aportar a la comprensión de este contenido matemático. Se presentan 3 problemas: Los terremotos, Los fármacos y Vida útil de un tubo fluorescente. La primera de ellas “Los terremotos, la rel ación entre magnitud y energía liberada” entrega un modelo algebraico que

relaciona las variables magnitud y energía liberada de un terremoto con el fin de lograr la compresión de esta situación que corresponde a un cambio logarítmico. Las preguntas están dirigidas para que el estudiante trabaje con imágenes, preimágenes y representación gráfica. La segunda de ellas “La eliminación de un fármaco hipnótico en el organismo” entrega un modelo algebraico que

relaciona las variables: tiempo y cantidad de fármaco presente en el organismo, a través de un modelo algebraico, con el fin de lograr la comprensión de esta situación que corresponde a un cambio logarítmico. Las preguntas están dirigidas para que el estudiante trabaje con imágenes, preimágenes y representación gráfica. La tercera “Vida útil de un tubo fluorescente” entrega un modelo logarítm ico representado de manera gráfica, que

relaciona las horas de duración y porcentaje de vida útil de un tubo fluorescente. Las preguntas están dirigidas para que el estudiante trabaje con imágenes, preimágenes y la representación gráfica, por medio de la estimación de la información contenida en ella.

¿CUÁNDO APLICAR ESTA ACTIVIDAD? Esta actividad debe ser aplicada al comienzo del contenido de funciones logarítmicas, dado que es una actividad de descubrimiento de elementos asociados a este tipo de función. Además permite relacionar las funciones logarítmicas y exponenciales en todas sus representaciones.

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TALLER N°02: FUNCIONES LOGARÍTMICAS. TIEMPO ESTIMADO: 90 MINUTOS. PROBLEMA 01: LOS TERREMOTOS, LA RELACIÓN ENTRE MAGNITUD Y ENERGÍA LIBERADA. La magnitud de los terremotos se puede modelar de acuerdo al siguiente modelo logarítmico:

 =  −11,8 1,5 donde M(E) es la magnitud del terremoto en la escala de Richter (de 0 a 10) y E la energía liberada (expresada en ergios)

a) Encuentra la magnitud de un terremoto si su energía liberada fue de:    

0,000009 ergios 0,0001 ergios 0,1 ergios. 0,9 ergios

b) Calcula la energía liberada (E) (en notación científica) para los siguientes terremotos:     

ESPAÑA (Granada) año 1956 magnitud 5 EEUU (California) año 1992 de magnitud 7,5, CHILE (Valdivia) año 1960 de magnitud 9,5. INDONESIA (Sumatra) año 2004 de magnitud 9,3. EE.UU (Alaska) año 1964 de magnitud 9,2.

c) ¿Cuántas veces mayor fue el terremoto en Chile que el de Indonesia en cuanto a la energía liberada? d) ¿cuántas veces es más intenso un terremoto de magnitud 9 en la escala de Richter que otro de magnitud 7? e) Construye un gráfico que represente la información correspondiente a la magnitud y energía liberada por un terremoto. Luego realiza una breve descripción de la información plasmada en él. Problema diseñado por el equipo de Ciencias Básicas de la Universidad Tecnológica de Chile INACAP

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Los terremotos. FUN.LOG.T02.P01 30 minutos. Función logarítmica.


SUGERENCIAS DIDÁCTICAS Sugerencias para la aplicación del problema en aula: Este problema constituye una secuencia de aprendizaje para la introducción de la noción de función logarítmica. Se entrega un modelo algebraico que relaciona las variables magnitud y energía liberada de un terremoto con el objetivo de aportar a la comprensión de este contenido matemático a través de una situación de modelación matemática. Se espera que el estudiante logre una comprensión cabal de este objeto matemático a través de su planteamiento, con el fin de comprender y abordar procesos de resolución posteriormente. • Los estudiantes reunidos en grupos de 3 a 4 estudiantes elegidos al

azar, deben encontrar la solución a las preguntas planteadas en el problema:

a) Encuentra la magnitud de:



de un terremoto si su energía liberada fue

• 0,000009 ergios • 0,0001 ergios • 0,1 ergios. • 0,9 ergios Esta pregunta busca que el estudiante se familiarice con la situación a través del estudio de un cambio logarítmico de la magnitud de un terremoto. Posterior a la respuesta de los estudiantes, el docente podría introducir el concepto de imagen de una función logarítmica.



b) Calcula la energía liberada siguientes terremotos:

(en notación científica) para los

• ESPAÑA (Granada) año 1956 magnitud 5 • EEUU (California) año 1992 de magnitud 7,5, • CHILE (Valdivia) año 1960 de magnitud 9,5. • INDONESIA (Sumatra) año 2004 de magnitud 9,3. • EE.UU (Alaska) año 1964 de magnitud 9,2. La pregunta b) está dirigida al trabajo con el concepto de preimagen de una función logarítmica. A partir del trabajo con la variable dependiente (M) magnitud de un terremoto, el estudiante debe encontrar la variable independiente (E) energía liberada. Esto puede ser a través de métodos aritméticos, gráficos o algebraicos.

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Posterior a la respuesta de los estudiantes, el docente podría introducir el concepto de preimagen de una función.

c) ¿Cuántas veces mayor fue el terremoto en Chile que el de Indonesia en cuanto a la energía liberada? d) ¿cuántas veces es más intenso un terremoto de magnitud 9 en la escala de Richter que otro de magnitud 7? Las preguntas c) y d) tiene una doble finalidad, por una parte están orientadas a continuar el trabajo con preimágenes, y por otra parte para analizar la relación existente entre magnitud y energía liberada de un terremoto.

e) Construye un gráfico que represente la información correspondiente a la magnitud y energía liberada por un terremoto. Luego realiza una breve descripción de la información plasmada en él. Esta pregunta tiene como finalidad que el estudiante realice un análisis de la representación gráfica de una situación de cambio logarítmico. Posterior a la respuesta de los estudiantes, el docente podría introducir el trabajo con la gráfica de la función logarítmica: corte con el eje vertical, dominio, recorrido, etc.

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PROBLEMA 02: LA ELIMINACIÓN DE UN FÁRMACO HIPNÓTICO EN EL ORGANISMO. Existen fármacos llamados “fármacos hipnóticos” que son sedantes o anestésicos, como por ejemplo, paracetamol,

lidocaína, lorazepam, diazepam, entre muchos otros. Su efecto comienza cuando estos llegan al torrente sanguíneo y después nuestro organismo los elimina.

El modelo de eliminación de un fármaco está dado por

log( C (t ))

horas, C(t) es la cantidad presente del fármaco en cualquier instante t,



log( C 0 )

C 0

K 

2,303



t , donde t es el tiempo en

es la cantidad o dosis inicial del fármaco y K es la

contante de eliminación del fármaco. Si se administra a un adulto 250 mg de paracetamol con una constante de eliminación 0,43. Responde las siguientes situaciones: a) Encuentre el modelo algebraico que permita modelar esta situación. b) ¿Cuántos mg de paracetamol hay presente a las 0,5; 1; 2 y 3,5 horas? b) ¿En cuántas horas la cantidad presente de paracetamol es de 150 mg, 200 mg? c) ¿Cuántos mg de paracetamol ha absorbido el cuerpo entre 2,5 y 5,5 horas? d) ¿En cuánto tiempo los mg de paracetamol son absorbidos completamente? i) Si considera C = 0 mg ¿Es posible calcular t? ii) Si considera C = 1 mg ¿Es posible calcular t? e) Construye un gráfico que relacione la información presente en el problema. Luego realiza una breve descripción de la información plasmada en él.


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La eliminación de un fármaco hipnótico en el organismo FUN.LOG.T02.P02 30 minutos. Función logarítmica.


SUGERENCIAS DIDÁCTICAS Sugerencias para la aplicación del problema en aula: Este problema constituye una secuencia de aprendizaje para el trabajo con la noción de función logarítmica. Se entrega un modelo algebraico que relaciona las variables: tiempo en horas, cantidad de fármaco en cualquier instante, su dosis inicial y constante de eliminación. El objetivo es aportar a la comprensión de este contenido matemático a través de una situación de modelación matemática. Se espera que el estudiante logre una comprensión cabal de este objeto matemático a través de su planteamiento, con el fin de comprender y abordar procesos de resolución posteriormente. • Los estudiantes reunidos en grupos de 3 a 4 estudiantes elegidos al

azar, deben encontrar la solución a las preguntas planteadas en el problema:

Si se administra a un adulto 250 mg de paracetamol con una constante de eliminación 0,43. Responde las siguientes situaciones: a) Encuentre el modelo algebraico que permita modelar esta situación. Esta pregunta está orientada a encontrar un modelo algebraico que permita relacionar la cantidad de fármaco presente en el organismo y el tiempo transcurrido desde su administración. Para ello, los estudiantes deben utilizar las constantes presentadas: dosis inicial y constante de eliminación para simplificar la expresión algebraica que representa la eliminación del fármaco. Si se administra a un adulto 250 mg de paracetamol con una constante

“

de elimi nación 0,43” , es necesario reemplazar K



C 0



250mg y

0,43 , en el modelo logarítmico:

log( C (t ))



log( C 0 )

K 

2,303



t

A esta altura del trabajo con el enfoque de resolución de problemas los estudiantes serán capaces de encontrar el método más adecuado para formular la regularidad pedida.

b) ¿Cuántos mg de paracetamol hay presente a las 0,5; 1; 2 y 3,5 horas? d) ¿Cuántos mg de paracetamol ha absorbido el cuerpo entre 2,5 y 5,5 horas?

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Las preguntas b) y d) buscan que el estudiante se familiarice con la situación a través del estudio de un modelo logarítmico que relaciona la cantidad de medicamento en el organismo en un instante t. Esto puede ser a través de métodos aritméticos, gráficos o algebraicos. Posterior a la respuesta de los estudiantes, el docente podría introducir el concepto de imagen de una función.

c) ¿En cuántas horas la cantidad presente de paracetamol es de 150 mg, 200 mg? e) ¿En cuánto tiempo los mg de paracetamol son absorbidos completamente? i) Si considera C = 0 mg ¿Es posible calcular t? ii) Si considera C = 1 mg ¿Es posible calcular t? Las preguntas c) y e) están dirigidas al trabajo con el concepto de preimagen de una función logarítmica. A partir del trabajo con la variable dependiente (cantidad de medicamento en un instante t), el estudiante debe encontrar la variable independiente (el tiempo de eliminación del fármaco). Esto puede ser a través de métodos aritméticos, gráficos o algebraicos. Posterior a la respuesta de los estudiantes, el docente podría introducir el concepto de preimagen de una función.

f) Construye un gráfico que relacione la información presente en el problema. Luego realiza una breve descripción de la información plasmada en él. Esta pregunta tiene como finalidad que el estudiante realice un análisis de la representación gráfica de una situación de cambio logarítmico. Posterior a la respuesta de los estudiantes, el docente podría introducir el trabajo con la gráfica de la función logarítmica: corte con el eje vertical, dominio, recorrido, etc.

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PROBLEMA 03: VIDA ÚTIL DE UN TUBO FLUORESCENTE. Cuando se instala un tubo fluorescente nuevo, la emisión de luz es muy grande, pero el flujo luminoso va disminuyendo paulatinamente debido al uso, la presencia de polvo y de la limpieza del mismo tubo. Las horas de uso H de un tubo fluorescente en función del porcentaje de vida útil lo podemos calcular mediante un modelo logarítmico cuya representación gráfica se muestra a continuación:

Utilizando la información contenida en el gráfico, contesta las siguientes preguntas: a) Interpreta la información presente en gráfico, relacionando las variables horas de uso y porcentaje de vida útil de un tubo fluorescente. b) ¿Cuántas horas de vida útil (aprox.) tiene un tubo fluorescente nuevo? c) Estima el porcentaje de vida útil de un tubo fluorescente con 300 horas de uso. d) Estima las horas de uso de un tubo fluorescente cuyo porcentaje de vida útil es del 50%. e) Una empresa decide cambiar los tubos de su oficina cuando el porcentaje de vida útil sea del 40%. Si los tubos están encendidas 22 días del mes y 10 horas cada día. ¿Cada cuántos meses (aprox.) se deberían cambiar las lámparas?


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PROBLEMA CÓDIGO TIEMPO ESTIMADO ENFOQUE MATEMÁTICO CONTENIDOS 1.- Estrategias, argumentación y comunicación de resultados en la resolución de problemas matemáticos. 2.- Funciones exponenciales y logarítmicas: - Definición de función exponencial y logarítmica. - Representación gráfica de funciones exponenciales y logarítmicas. - Cálculo de imágenes y preimágenes de funciones exponenciales y logarítmicas.

Vida útil de un tubo fluorescente. FUN.LOG.T02.P03 30 minutos. Función logarítmica. SUGERENCIAS DIDÁCTICAS Sugerencias para la aplicación del problema en aula: Este problema constituye una secuencia de aprendizaje para el trabajo con la noción de función logarítmica. Se entrega una representación gráfica que relaciona las variables: tiempo de uso en horas y porcentaje de vida media de un tubo fluorescente. El objetivo e aportar a la comprensión de este contenido matemático a través de una situación de modelación matemática. Se espera que el estudiante logre una comprensión cabal de este objeto matemático a través de su planteamiento, con el fin de comprender y abordar procesos de resolución posteriormente. • Los estudiantes reunidos en grupos de 3 a 4 estudiantes elegidos al

azar, deben encontrar la solución a las preguntas planteadas en el problema: La tercera “Vida útil de un tubo fluorescente” entrega un modelo

logarítmico representado de manera gráfica, que relaciona las horas de duración y porcentaje de vida útil de un tubo fluorescente. Las preguntas están dirigidas para que el estudiante trabaje con imágenes, preimágenes y la representación gráfica, por medio de la estimación de la información contenida en ella.

Utilizando la información contenida en el gráfico, contesta las siguientes preguntas: a) Interpreta la información presente en gráfico, relacionando las variables horas de uso y porcentaje de vida útil de un tubo fluorescente. b) ¿Cuántas horas de vida útil (aprox.) tiene un tubo fluorescente nuevo? Estas preguntas tiene como finalidad que el estudiante realice un análisis de la representación gráfica de la situación de cambio logarítmico. Posterior a la respuesta de los estudiantes, el docente podría introducir el trabajo con la gráfica de la función logarítmica: corte con el eje vertical, dominio, recorrido, etc.

c) Estima el porcentaje de vida útil de un tubo fluorescente con 300 horas de uso. La pregunta c) está dirigida al trabajo con el concepto de preimagen de una función logarítmica. A partir del trabajo con la variable dependiente (horas de uso), el estudiante debe encontrar la variable independiente (porcentaje de vida útil).

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Posterior a la respuesta de los estudiantes, el docente debe trabajar el concepto de domino y preimagen de una función logarítmica a través de su representación gráfica.

d) Estima las horas de uso de un tubo fluorescente cuyo porcentaje de vida útil es del 50%. Esta pregunta está dirigida al trabajo con el concepto de imagen de una función logarítmica. A partir del trabajo con la variable independiente (porcentaje de vida útil), el estudiante debe encontrar la variable dependiente (horas de uso). Posterior a la respuesta de los estudiantes, el docente debe trabajar el concepto de recorrido e imagen de una función logarítmica a través de su representación gráfica.

e) Una empresa decide cambiar los tubos de su oficina cuando el porcentaje de vida útil sea del 40%. Si los tubos están encendidas 22 días del mes y 10 horas cada día. ¿Cada cuántos meses (aprox.) se deberían cambiar las lámparas? Esta pregunta está diseñada para conectar la información presente en las preguntas anteriores a través de una situación de modelación. Para dar respuesta los estudiantes deben estimar la información presente en el gráfico.

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TRIGONOMETRÍA Y NÚMEROS COMPLEJOS La trigonometría, al igual que cualquier otra rama de la matemática, fue el resultado de la labor de muchos matemáticos. Su historia se remonta a los astrónomos babilónicos de los siglos V y IV a.c., quienes acumulado una cantidad de datos astronómicos y astrológicos permitirían a los matemáticos griegos construir la trigonometría gradualmente. El aporte de los griegos fue un estudio sistemático de las relaciones entre los ángulos centrales (o sus arcos correspondientes) en un círculo y las longitudes de las cuerdas que los subtienden. Los astrónomos de la época Alejandrina ya habían empezado a trabajar en problemas que apuntaban de una manera cada vez más urgente a la necesidad de establecer sistemáticamente relaciones entre los ángulos y las cuerdas. Estas relaciones les permitieron calcular, a través de las proporciones, el tamaño de la Tierra y las distancias relativas al Sol y a la Luna. Hiparco de Nicea (140 a.C.), es considerado como el padre de la trigonometría, en efecto durante varios siglos los griegos se habían dedicado a estudiar las relaciones entre rectas y circunferencias y habían aplicado estas relaciones a gran cantidad de problemas astronómicos, pero de todo ello no había resultado nada que pudiera llamarse una trigonometría más o menos sistemática. Todo parece indicar que a mediados del siglo II a.C. fue armada la primera tabla trigonométrica por obra del astrónomo Hiparco de Nicea. Sin embargo no es sino hasta principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje. A mediados de éste siglo Isaac Newton, utilizando series infinitas, encontró la serie para el sen(x) y series similares para el cos(x) y la tan(x). Finalmente, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler encontró la relación entre las propiedades trigonométricas y los números complejos.

APRENDIZAJES ESPERADOS 6.1.- Resuelve problemas de la disciplina y/o especialidad, que involucren conceptos y aplicaciones de trigonometría y números complejos. (Integrada Competencia Genérica Resolución de Problemas)

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CRITERIOS DE EVALUACIÓN 6.1.1.- Calculando razones trigonométricas utilizando la calculadora y tabla de ángulos notables, para dar respuesta a un problema, justificando su decisión. 6.1.2.- Calculando razones trigonométricas mediante la circunferencia unitaria, explicando su estrategia de resolución. 6.1.3.- Resolviendo problemas generales y relativos a la especialidad que involucra conceptos y aplicaciones de trigonometría en el plano, analizando la pertinencia de las soluciones. 6.1.4.- Resolviendo problemas generales y relativos a la especialidad que involucra la utilización del teorema del seno y del coseno, analizando la pertinencia de las soluciones. 6.1.5.- Reconociendo números complejos en distintas representaciones (cartesiana, polar, exponencial), para dar respuesta a un problema, justificando su decisión. 6.1.6.- Transformando números complejos de una representación a otra, explicando su estrategia. 6.1.7.- Realizando operaciones en los números complejos, aplicando propiedades, explicando su estrategia. 6.1.8.- Resolviendo problemas de la especialidad mediante la operatoria de números complejos en sus diversas formas, analizando la pertinencia de las soluciones. 6.1.9.- Utilizando estrategias que emerjan de la acción de resolver problemas. 6.1.10.- Elaborando argumentos y justificaciones que incluyan su reflexión y evidencia, convenciendo a los otros. 6.1.11.- Estableciendo propuestas de solución pertinentes.

CONTENIDOS 1.- Estrategias, argumentación y comunicación de resultados en la resolución de problemas matemáticos. 2.- Trigonometría en el triangulo rectángulo: - Razones trigonométricas. - Razones trigonométricas de ángulos notables. - Identidades trigonométricas básicas. - Funciones - Funciones trigonométricas inversas.

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3.- Teoremas fundamentales: - Teorema del seno - Teorema del coseno 4.- Números complejos: - Notación - Módulo - Conjugado - Argumento 5.- Representaciones: - Binomial - Cartesiana - Polar - Exponencial - Gráfica - Operaciones - Aplicación a la especialidad.

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PLANIFICACIÓN SUGERIDA DE LA UNIDAD N°06 CAPÍTULO VI – TRIGONOMETRÍA Y NÚMEROS COMPLEJOS SEMANA N°15 Tiempo total: 270 minutos. (6 horas pedagógicas) Tiempo de A.M.O.: 135 minutos. (3 horas pedagógicas)

ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA (A.M.O.) ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA N°18 Taller N°01: Trigonometría en el triángulo rectángulo.

PROBLEMAS Problema 01: Las razones trigonométricas de ángulos notables. Tiempo estimado: 45 minutos. Código: TRIG.T01.P01


Problema 02: El cuadro de distancias. Tiempo estimado: 45 minutos. Código: TRIG.T01.P02


Problema 01: El lote 38. Tiempo estimado: 45 minutos. Código: TEO.SEN.COS.T02.P01

Taller N°02: Teorema del seno y coseno. Tiempo estimado: 45 minutos.



ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA (A.M.O.) ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA N°20 Taller N°03: Números complejos.

PROBLEMAS Problema 01: Las potencias de la unidad imaginaria. Tiempo estimado: 45 minutos. Código: COMPL.T03.P01


ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA (A.M.O.) ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA N°21 Taller N°04: Números complejos.

PROBLEMAS Problema 01: El dibujo oculto. Tiempo estimado: 90 minutos. Código: COMPL.T04.P01


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A.M.O. N°18: Taller N°01: Trigonometría en el plano. (90 minutos) DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD: En este taller se propone el trabajo con las razones trigonométricas definidas en el triángulo rectángulo. En el primer problema se propone la construcción geométrica de las razones trigonométricas de ángulos de 30º, 45º y 60º. Las de 30º y 60º a partir de un triángulo equilátero y Las relaciones de 45º a partir de un triángulo rectángulo isósceles (presentado como extensión). En el segundo problema, se propone trabajar con una aplicación sobre un mapa, en la cual deben utilizar los resultados obtenidos en el problema anterior. ¿CUÁNDO APLICAR ESTA ACTIVIDAD? Esta actividad debe ser aplicada al comienzo de la sexta unidad, dado que es una actividad de descubrimiento de las razones trigonométricas en ángulos notables y posteriormente la aplicación de las mismas.



A.M.O. N°19: Taller N°02: Teorema del seno y coseno. (45 minutos) DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD: En este taller se espera que el estudiante ponga en juego conocimientos matemáticos, desde la geometría y la trigonometría. Los conocimientos matemáticos en juego, podemos señalar: teorema del seno, teorema del coseno, propiedades de triángulos y cuadriláteros, áreas y perímetros, entre otros. ¿CUÁNDO APLICAR ESTA ACTIVIDAD? Esta actividad debe ser aplicada al final de la semana 15, posterior al aprendizaje de las razones trigonométricas en el triangulo rectángulo y a los teoremas fundamentales del seno y coseno. Esta es una actividad que permite el trabajo con una aplicación en la cual deben utilizar el teorema del seno y coseno para la solución del mismo.

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TALLER N°01: TRIGONOMETRÍA EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO. TIEMPO ESTIMADO: 90 MINUTOS. PROBLEMA 01: LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES Se definen las siguientes relaciones en un triángulo rectángulo:

Seno de un ángulo agudo en un tr iángulo rectángulo. En todo triángulo rectángulo, el seno de un ángulo agudo corresponde a la razón entre la medida del cateto opuesto al ángulo y la medida de la hipotenusa. Se anota sen y entre paréntesis se anota el ángulo con el que se desea trabajar, también llamado argumento:

     =     ℎ EJEMPLO: En el triángulo ABC,

sen( )

b 

a

Coseno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. En todo triángulo rectángulo, el coseno de un ángulo agudo corresponde a la razón entre la medida del cateto adyacente (que está junto) al ángulo y la medida de la hipotenusa. Se anota cos y entre paréntesis se anota el ángulo con el que se desea trabajar, también llamado argumento:

      =     ℎ

139


EJEMPLO: En el triángulo ABC, cos( )

c 

a

Tangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. En todo triángulo rectángulo, la tangente de un ángulo agudo corresponde a la razón entre la medida del cateto opuesto al ángulo y la medida del cateto adyacente (que está junto al ángulo). Se anota tan y entre paréntesis se anota el ángulo con el que se desea trabajar, también llamado argumento:

       =       EJEMPLO: En el triángulo ABC, tan(  )

c 

a

ACTIVIDAD: En el triángulo equilátero ABC de lado 5 cms. de la figura, se ha trazado la altura CD dividiéndolo en dos triángulos rectángulos congruentes, ACD y BCD.

∆

∆

a) Determina el valor numérico del b) Determina el valor numérico del c) Determina el valor numérico del

30º 60º 30º 60º 30º 60º y del

.

y del

.

y del

.


PROBLEMA

Las razones trigonométricas de ángulos notables. 140


CÓDIGO TIEMPO ESTIMADO ENFOQUE MATEMÁTICO

TRIG.T01.P01 45 minutos. Trigonometría en el triángulo rectángulo.


SUGERENCIAS DIDÁCTICAS Sugerencias para la aplicación del problema en aula: Este problema constituye una secuencia didáctica para la introducción a la Unidad de Trigonometría. Es importante señalar que el objetivo es que el estudiante tenga un primer acercamiento intuitivo al primer contenido de la unidad: las razones trigonométricas. La actividad propone la construcción geométrica de las razones trigonométricas de ángulos de 30º, 45º y 60º. Las de 30º y 60º a partir de un triángulo equilátero y Las relaciones de 45º a partir de un triángulo rectángulo isósceles (presentado como extensión). Se espera que el estudiante logre una mayor comprensión de este objeto matemático a través de los fundamentos concretos que implica la aplicación de la actividad, con el fin de comprender y abordar procesos de resolución posteriormente. 


En el triángulo equilátero ABC de lado 5 cms., se ha trazado la altura CD dividiéndolo en dos triángulos rectángulos congruentes, ACD y BCD.

∆

a) Determina el valor numérico del b) Determina el valor numérico del c) Determina el valor numérico del

30º 60º 30º 60º 30º 60º y del

.

y del

.

y del

.

∆

141


Para hallar la solución a las preguntas planteada, los estudiantes deben comprender las definiciones propuestas para el seno, coseno y tangente. Para encontrar la solución es necesario que encuentren la medida de la altura trazada en el dibujo por medio del teorema de Pitágoras y que logren determinar que el punto D, divide al lado AB en dos trazos de igual medida. Posteriormente aplicar las definiciones y encontrar las razones pedidas.

Preguntas sugeridas para la extensión del problema: Se sugiere continuar La actividad con las razones trigonométricas básicas de uno de los ángulos de 45º presentes en un triángulo rectángulo isósceles. 

ACTIVIDAD:

Dado el triángulo isósceles EFG, cuyos lados congruentes miden 3 cms.

a) Determina el valor numérico del b) Determina el valor numérico del c) Determina el valor numérico del d) Determina el valor numérico del

45º 45º. 45º. 0º

.

.

Al finalizar la actividad, a modo de formalización de la actividad, el profesor debe introducir el contenido de razones trigonométricas.

142


PROBLEMA 02: EL CUADRO DE DISTANCIAS

Marius, un excursionista inglés, desea visitar 5 ciudades de Sudamérica.     

Ciudad A: Ubicada en Venezuela. Ciudad B: Ubicada en Perú. Ciudad C: Ubicada en Argentina. Ciudad D: Ubicada en Brasil. Ciudad E: Ubicada en Brasil.

Al buscar información sobre la distancia entre ellas, Marius encuentra lo siguiente: Las ciudades B, C y E, equidistan entre sí. La ciudad D se encuentra en la mitad del camino entre la ciudad C y E.  

Completa la siguiente Tabla de Distancias para ayudar a Marius. Ciudad

A

A

0 km

B

B

D

E

0 km

C D

C

0 km 2.373 km

0 km

E

0 km


143


PROBLEMA CÓDIGO TIEMPO ESTIMADO ENFOQUE MATEMÁTICO CONTENIDOS 1.- Estrategias, argumentación y comunicación de resultados en la resolución de problemas matemáticos.

El cuadro de distancias. TRIG.T01.P02 45 minutos. Trigonometría en el triángulo rectángulo. SUGERENCIAS DIDÁCTICAS Sugerencias para la aplicación del problema en aula:

2.- Trigonometría en el triangulo rectángulo: - Razones trigonométricas. - Razones trigonométricas de ángulos notables. - Identidades trigonométricas básicas. - Funciones - Funciones trigonométricas inversas.

144



TALLER N°02: TEOREMA DEL SENO Y COSENO. TIEMPO ESTIMADO: 45 MINUTOS. PROBLEMA 01: EL LOTE 38 La figura muestra el plano de emplazamiento de un terreno. La información que contiene, se obtuvo de un levantamiento que se hizo en terreno. ¿Cuánto debería pagar alguien que quiera comprarlo, si media hectárea cuesta $8.500.000 y cercarlo cuesta $1.500 el metro?

145



El lote 38. TEO.SEN.COS.T02.P01 45 minutos. Teorema del seno y coseno.


SUGERENCIAS DIDÁCTICAS Sugerencias para la aplicación del problema en aula: Esta actividad está desarrollada para aplicar el contenido de teorema del seno y teorema del coseno.

3.- Teoremas fundamentales: - Teorema del seno - Teorema del coseno

Es importante que el estudiante sepa discriminar cuando hacer uso de los teoremas del seno y teorema del coseno dadas las condiciones del problema. Con este problema se espera que el estudiante ponga en juego conocimientos matemáticos, desde la geometría y la trigonometría. Los conocimientos matemáticos en juego, podemos señalar: teorema del seno, teorema del coseno, propiedades de triángulos y cuadriláteros, áreas y perímetros, entre otros. 


La figura muestra el plano de emplazamiento de un terreno. La información que contiene, se obtuvo de un levantamiento que se hizo en terreno. ¿Cuánto debería pagar alguien que quiera comprarlo, si media hectárea cuesta $8.500.000 y cercarlo cuesta $1.500 el metro?

En este problema los estudiantes ya han trabajado con el teorema del seno y del coseno, pero la situación está diseñada con un cuadrilátero. El docente debe insistir que ellos ya tienen las herramientas para que los estudiantes no se desmotivados por creer que no es posible dado que sólo conocen teoremas para triángulos. Para encontrar la solución, los estudiantes deben trazar una diagonal desde el ángulo de 76,87º al ángulo 63,48º formando dos triángulos 146


convenientes, lo que ya significa un paso hacia la trigonometría. Luego podrían seguir el siguiente procedimiento: 





Calcular la medida de la diagonal usando teorema del coseno, luego asigna medidas correctas a los dos ángulos que quedan en cada esquina usando teorema del seno. Calcula todas las medidas del cuadrilátero usando teorema del seno o teorema del coseno para encontrar el perímetro y la cantidad de alambre necesario. Calcula el perímetro del terreno y utiliza proporciones para encontrar la cantidad de alambre necesario para cercar el terreno.

147



A.M.O. N°20: Taller N°03: Números complejos. (45 minutos) DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD: En este taller tiene como objetivo el descubrimiento de las potencias de la unidad imaginaria. Si bien esta información puede ser entregada al estudiante al comenzar la unidad, creemos que es una oportunidad para que ellos descubran las potencias y sus regularidades asociadas. ¿CUÁNDO APLICAR ESTA ACTIVIDAD? Esta actividad debe ser aplicada al comienzo del contenido de números complejos, dado que es una actividad de descubrimiento de las potencias de la unidad imaginaria.

148



TALLER N°03: NÚMEROS COMPLEJOS. TIEMPO ESTIMADO: 45 MINUTOS. PROBLEMA 01: LAS POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA En el conjunto de los números imaginarios, la unidad imaginaria es una potencia, se puede proceder de la siguiente manera:

 =   =  ∙  =√ −1∙√ −1 = √ −1 = − De acuerdo a lo anterior, ¿Cuál es el resultado de



√ −1





y se representa por . Cuando se desea elevar a

?

OBSERVACIÓN: Los resultados solamente pueden ser

, −,  , −

.


149



Las potencias de la unidad imaginaria. COMPL.T03.P01 45 minutos. Números complejos.



Este problema tiene como objetivo el descubrimiento de las potencias de la unidad imaginaria. Si bien esta información puede ser entregada al estudiante al comenzar la unidad, creemos que es una oportunidad para que ellos descubran las potencias y sus regularidades asociadas.

-

Los estudiantes reunidos en grupos de 3 a 4 estudiantes elegidos al azar, deben realizar los cálculos propuestos y descubrir la regularidad asociada a las potencias imaginarias.

4.- Números complejos: - Notación - Módulo - Conjugado - Argumento

5.- Representaciones: Algunas sugerencias a considerar son las siguientes: - Binomial - Cartesiana - Polar - Exponencial - Gráfica - Operaciones - Aplicación a la especialidad.







El docente debe motivar a los estudiantes a comunicar todas las conclusiones a las que han llegado como grupo.



Luego que los equipos han encontrado la solución al problema , es necesario extenderlo, con el fin de descubrir las potencias a la cuarta, a la quinta, etc. Como hemos mencionado anteriormente, existen aspectos importantes a descubrir en la etapa de extensión, éstos son:



Verificar que existe solo cuatro posibles resultados para las potencias de .



Encontrar un patrón de comportamiento para el cálculo de las potencias. Este patrón está determinado por el exponente de .



Descubrir alguna operatoria aritmética para calcular otras.



Descubrir alguna expresión algebraica para calcular la k-ésima potencia.





  ,

, entre

Preguntas sugeridas para la extensión del problema:

 



Calcule

.



Calcule



Encuentre una regularidad para calcular las potencias de la unidad imaginaria.

.

150


. .



Calcule



Calcule



Descubre alguna expresión algebraica para calcular la k-ésima potencia.

151



A.M.O. N°21: Taller N°04: Números complejos. (90 minutos) DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD: En este taller tiene como objetivo el trabajo con la representación gráfica de los números complejos, así como las operaciones entre ellos. A partir de este registro el estudiante tendrá la posibilidad de transitar hacia otros, con la finalidad de aumentar su comprensión de este objeto matemático. ¿CUÁNDO APLICAR ESTA ACTIVIDAD? Esta actividad debe ser aplicada posterior al trabajo con operaciones de números complejos, siendo una oportunidad para que el estudiante ejercite dichas operaciones y represente los puntos en el plano complejo.

152



TALLER N°04: NÚMEROS COMPLEJOS. TIEMPO ESTIMADO: 90 MINUTOS. PROBLEMA 01: EL DIBIJO OCULTO Pedro dejó un dibujo oculto en un plano complejo, para lo cual definió los siguientes números complejos:

=−14 =−5−7 =11−14 =−1612  = 3 180° =−10  = 8√ 2 225° =−510 =1−2 Luego, definió los siguientes puntos

 = ∙−||/2 =2−−  =   ̅  310  =     ̅  =    = 4 −  = ̅  =   =  =  2 2 153




Finalmente, el dibujo se encuentra al unir los puntos

Utilizando el plano complejo de la página siguiente, ¿Cuál es el dibujo oculto que dejó Pedro?


154



El dibujo oculto. COMPL.T04.P01 90 minutos. Números complejos.



Este problema tiene como objetivo el trabajo con la representación gráfica de los números complejos, así como las operaciones entre ellos. A partir de este registro el estudiante tendrá la posibilidad de transitar hacia otros, con la finalidad de aumentar su comprensión de este objeto matemático.

-

Los estudiantes reunidos en grupos de 3 a 4 estudiantes elegidos al azar, deben realizar los cálculos propuestos y descubrir el dibujo oculto.

4.- Números complejos: - Notación - Módulo - Conjugado - Argumento

5.- Representaciones: - Binomial - Cartesiana - Polar - Exponencial - Gráfica - Operaciones - Aplicación a la especialidad.

Este trabajo está destinado a la ejercitación de las operaciones de los números complejos, y cada una de ellas está definida a continuación: 

 = ∙−||/2 En esta operación se involucra la suma, resta, multiplicación, módulo y parte imaginaria de números complejos. El resultado es



 = −186 =2−−

En esta operación se involucra la resta y multiplicación escalar de números complejos. Además, es necesario transformar la notación a rectangular. El resultado es 

  =   ̅  

=−18

En esta operación se involucra la suma, multiplicación escalar y conjugado de números complejos. El resultado es 

=−4−15

 =     ̅

En esta operación se involucra la suma y conjugado de números complejos. El resultado es

=10



 = +  En esta operación se involucra la suma, parte real y división de números complejos. El resultado es

=106



 = ̅ − 155

Manual Resolución de Problemas

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