ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL (PUSHOVER) CON ETABS Dandy Roca Instituto de Ingenieria, UNAM Elaborado para el curso de Concreto II, Posgrado en Ingenieria, UNAM, impartido por Mario Rodriguez Diciembre 2013 Introducción El análisis Pushover es un procedimiento estático no lineal en el cual la magnitud de la carga estructural se incrementa gradualmente de acuerdo a un cierto patrón predefinido. Con el aumento de la magnitud de la carga, los elementos débiles y los modos de falla de la estructura son encontrados. La carga es monotónica con los efectos del comportamiento cíclico reversible, siendo calculadas mediante un criterio de fuerza-deformación monotónico modificado y con aproximaciones de amortiguamiento. El análisis estático Pushover es un intento para evaluar la resistencia real de la estructura y es una herramienta útil para el diseño basado en desempeño. Se presenta un resumen de los pasos que se utilizan en la realización de un análisis Pushover en un edificio tridimensional de concreto armado, empleando el software ETABS. 1. Crear un modelo en el ETABS de la manera usual, de la estructura a analizar (sin los datos para el análisis Pushover).
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Figura 1. Modelo tridimensional en ETABS. 2. Definir las propiedades y criterios de aceptación de las rótulas plásticas, tal como se muestra en la figura 2. El programa incluye varios tipos de rótulas por defecto que son basados en valores promedios del ATC-40 para miembros de concreto y el FEMA-273 para miembros de acero Estas propiedades pueden ser útiles para análisis preliminares pero se recomienda que el usuario defina las propiedades para un análisis final.
Figura 2. Definición de rótula para marcos.
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El pro ograma ETA ABS presentta por defeccto cuatro tippos de rótuulas para maarcos: Flexióón, Carga Axial, Fleexo-compressión y Corttante; las ccuales uno asigna de acuerdo a la ominante en n el elementto. El usuarrio puede m modificar laas propiedaddes solicittación predo definid das por defecto que se muestran m en la l figura 3.
Figura 3. Modificació ón de propieddades de la rrótula.
En lass propiedades de la rótula por flexo-compresión (PMM) el pprograma noos solicitará llos valorees del diagrama Momentto-Rotación y del diagraama de Interracción, el faactor de escaala y los criterios c de aceptación; a los cuales sig guen el form mato del ATC C-40 y FEMA A-273.
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Figura 4. Formato M- para el ingreso de las propiedades de la rótula.
Para nuestro caso ingresaremos los valores manualmente obtenidos a partir del diagrama momento-curvatura de la sección a analizar. El diagrama momento-curvatura se obtendrá usando la herramienta Section Designer que viene incluida en el programa ETABS.
Figura 5. Diagrama momento-curvatura en el Section Designer.
En el Section Designer se puede especificar las curvas esfuerzo-deformación de los materiales (concreto y acero de refuerzo), caso contrario el programa considerará los valores indicados en la definición genérica de materiales. Este diagrama momento-curvatura se aproximará con una curva bilineal, considerando el criterio de áreas equivalentes.
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160 140
Mto. ACI asociado a c=0.003 Øu=0.088m-1
120
M (t-m)
100 80
Mto. asociado a la primera fluencia (0.75MACI)
60 P=0 Ag f´c
40
S.D. Aproximación
20 0 0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
Ø (1/m)
Figura 6. Aproximación bilineal.
La curvatura última se tomará del modo de falla que ocurra en el elemento, ya sea el pandeo del refuerzo longitudinal, definido en la ecuación siguiente (Rodríguez et al. 1999):
*p u h
(1)
O el aplastamiento del concreto de acuerdo a la ecuación 2.
u
cu
(2)
c
donde cu se define como (Priestley et al. 1996):
cu 0.004 1.4 s
f yh su f cc'
y c es la profundidad del eje neutro que se puede aproximar a 3xc (Restrepo y Rodríguez, 2013) mediante: xc P 0.34 0.07 h Ag fˆc'
(4)
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A partir del momento curvatura obtenemos el diagrama momento-rotación. La abscisa de este diagrama se escalará en función de la rótula plástica obteniendo el siguiente diagrama, que es el que finalmente se ingresará al programa ETABS.
160 140 120
M (t-m)
100 80
IO
LS
CP
60 40 20 0 0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
p (rad)
Figura 7. Diagrama Momento-Rotación plástica.
El ATC-40 propone valores para los niveles de desempeño en sus tablas del 11.3 al 11.10 para diversos elementos.
p p Lp
(5)
p u y
(6)
L p 0.08 L 0.022 f yh d bl 0.044 f yh d bl
(7)
Adicionalmente para elementos verticales, se ingresará el diagrama de interacción para los diversos niveles de carga axial, conservando la convención de signos (negativo = compresión).
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Figura 8. Diagrama de interacción obtenido del Section Designer.
En el ingreso de los valores del P-M se debe poner especial cuidado en las ordenadas pues el Section Designer proporciona diferente carga axial para cada ángulo (PM2, P’M3), mientras que en la definición de las rótulas se requiere una misma ordenada para cada ángulo (P,M2,M3).
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Figura 9. Definición del diagrama de interacción.
3. Localizar las rótulas en el modelo, seleccionando uno o más elementos frame (vigas, columnas) y asignándoles una o más rótulas en sus posiciones según corresponda, como se muestra en la figura 11. En cada elemento, previamente se deberá modificar la inercia efectiva, obtenida de la primera pendiente de la curva bilineal del diagrama momento-curvatura. E I ef
M
(8)
8
Figura 10. Factor de modificación Ief/Ig
Las rótulas en los elementos frame se ubicarán en la cara de apoyo, fuera de la zona rígida, expresada como fracción de la longitud total.
Figura 11. Asignación de rótulas.
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4. Definir el caso de carga Pushover. En el ETABS mas de un caso de carga Pushover puede ser corrido en el mismo análisis. También un caso de carga Pushover puede empezar desde las condiciones finales de otro caso de carga Pushover que fue previamente corrido en el mismo análisis. Los casos de carga Pushover pueden ser controlados por fuerza, es decir empujadas hasta cierto nivel de fuerza predefinido, o pueden ser controlados por desplazamiento, es decir empujado hasta un desplazamiento especificado. La fuerza lateral se aplicará al edificio siguiendo un perfil que aproxidamente asemeje la distribución de las fuerzas inerciales en un sismo. ETABS permite los siguientes patrones de carga para utilizarse en el análisis Pushover: -
Aceleración uniforme en una dirección especificada.
-
Forma modal, que puede ser utilizado si mas del 75% de la masa total participa en el modo fundamental en la dirección considerada (FEMA-273)
-
Caso de carga estática definido por el usuario, que presenta una variación lineal vertical que puede ser uniforme (rectangular), triangular (varía desde cero en la base hasta un máximo en el techo) o proporcional a las fuerzas de inercia de entrepiso compatibles con la distribución del cortante de entrepiso tal como lo hacen los códigos de diseño.
La figura 12 muestra el cuadro de diálogo con los parámetro a definir para un caso de carga Pushover.
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Desplazamiento objetivo
Control por desplazamiento Nudo de control
Patrón de carga
Figura 12. Datos para la definición de un caso no lineal estático (Pushover).
El análisis Pushover controlado por desplazamiento, requiere un nudo de control en el edificio Se recomienda considerar el nudo de control como el centro de masa en el techo del edificio. El desplazamiento del nudo de control debe igualar o exceder el desplazamiento objetivo. Un procedimiento para evaluar el desplazamiento objetivo es el obtenido del diseño por desplazamiento a partir de una distorsión de entrepiso objetiva (límite inferior) de acuerdo a los reglamentos de diseño (Rodriguez et al, 2013). dr Dr
Dr
H
(9)
(10)
11
Sd
(11)
Reemplazando las ecuaciones (9) y (10) en (11), tenemos la siguiente expresión: Sd
dr H
(12)
Donde: Dr y dr son la distorsión global y la distorsión máxima de entrepiso respectivamente. y son el factor que relaciona el desplazamiento de un sistema de 1GDL y un sistema de MGDL; y la ductilidad por desplazamiento del sistema estructural, respectivamente.
5. Correr el análisis Pushover. En el menú Analize seleccionar Run Static Nonlinear Analysis. Ud. previamente necesitará correr el análisis estático y si desea el análisis dinámico. 6. Presentar la curva Pushover, como se muestra en la figura 13. Desplegar el menú Display y seleccionar Show Static Pushover Curve, le permitirá ver la curva e imprimir en un archivo tipo texto, una tabla con las coordenadas (desplazamiento, cortante) de cada paso de la curva Pushover y un resumen de las rótulas en cada estado (IO, LS, CP).
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Figura 13. Curva Pushover.
La curva pushover se puede convertir al formato Espectro de Respuesta DesplazamientoAceleración (ADRS, por sus siglas en inglés, véase ATC-40). Espectros de Respuesta 0.50 Espectro Capacidad Espectro Demanda 0.40
Límite NTCS
a (g)
0.30
0.20
0.10
0.00 0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
Drift
Figura 14. Curva Pushover en formato ADRS.
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Para convertir una curva Pushover (desplazamiento-cortante) a desplazamiento-aceleración, dividimos el cortante entre el peso del edificio, mientas que para convertir la aceleración a desplazamiento, usamos la siguiente relación. Sa 2 Sd
Sd
(13)
T2 Sa 4 2
(14)
En el ETABS se puede modificar interactivamente la magnitud del espectro de demanda y la información del amortiguamiento y ver inmediatamente el nuevo espectro de capacidad. El punto de desempeño para una serie de valores dados, está definido por la intersección de la curva de capacidad y una curva de demanda. 7. El programa ETABS permite revisar los desplazamientos en los nudos y las fuerzas en los elementos en cada paso, mientras se aprecia la formación secuencial de las rótulas que van cambiando de color de acuerdo al nivel de solicitación. Estos valores de fuerzas y desplazamientos pueden ser capturados en tablas mediante el menú Display, seleccionando Show Tables y luego eligiendo una de las opciones en Analysis Results. Para edificios que están siendo rehabilitados es fácil investigar los efectos en los diferentes esquemas de reforzamiento, como cambios de rígidez y resistencia en las propiedades de los miembros, así como el detallado del reforzamiento y la modificación de los criterios de aceptación de las rótulas.
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Referencias: ATC, 1996. Seismic Evaluation and Retrofit of Concrete Buildings, Volume 1, ATC-40 Report, Applied Technology Council, Redwood City, California. FEMA, 1997. NEHRP Guidelines for the Seismic Rehabilitation of Buildings, Developed by the Building Seismic Safety Council for the Federal Emergency Management Agency (Report No. FEMA 273), Washington, D.C. FEMA, 2000. NEHRP Prestandard and Commentary for the Seismic Rehabilitation of Buildings, Developed by the American Society of Civil Engineers for the Federal Emergency Management Agency (Report No. FEMA 356), Washington, D.C. FEMA, 2005. NEHRP Improvement of Nonlinear Static Seismic Analysis Procedures, Developed by the Applied Technology Council for the Federal Emergency Management Agency (Report No. FEMA 440), Washington, D.C. Goel, Rakesh K. and Chopra, Anil K. Evaluation of Modal and FEMA Pushover Analyses: SAC Buildings. Habibullah, Ashraf and Pyle, Stephen. Practical Three Dimensional Nonlinear Static Pushover Analysis, Structure Magazine, Winter 1998. Lawson, R. Scott; Vance, Vicki and Krawinkler, Helmut. Nonlinear Static Push-over Analysis – Why, When, and How?. 5th U.S. National Conference on Earthquake Engineering, July 1994. Panagiotakos, Telemachos and Fardis, Michael. Deformations of Reinforced Concrete Members at Yielding and Ultimate. ACI Structural Journal, Vol. 98, No 2, March-April 2001. Paulay, T. Seismic Design of Concrete Structures, The Present Needs of Societes. Eleventh World Conference on Earthquake Engineering. Paper No. 2001. Quick Pushover Analysis Tutorial, 1998. SAP2000 - Computers and Structures, Inc. Berkeley, California, USA. Restrepo, José and Rodríguez, Mario. On the Probable Moment Strength of Reinforced Concrete Columns. ACI Structural Journal, Vol. 110, No 4, July-August 2013. 15
Rodríguez, Mario; Botero, Juan C. and Villa, Jaime. Cyclic Stress-Strain Behavior of Reinforcing Steel Including Effect of Buckling. Journal of Structural Engineering, Vol. 125, No 6, June, 1999.
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