Manual de Filtracion

MANUAL DE FILTRACIÓN &

SEPARACIÓN

Fernando Concha Arcil, Ph.D. CENTRO DE TECNOLOGÍA MINERAL, CETTEM TECNOLOGÍA PRODUCTIVA RED CETTEC, FUNDACIÓN CHILE. UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN

WWW.MetalurgiaUCN.TK

ÍNDICE

PARTE I. FUNDAMENTOS 1.

INTRODUCCIÓN 1.1 Marco conceptual de los sistemas de separación sólido-líquido. 1.2 Operaciones de separación sólido-líquido en minería. 1.3 Mecanismo de la separación sólido-líquido. 1.4 Selección de técnicas de separación sólido-líquido. 1.5 Equipos utilizados en la separación sólido-líquido. 1.6 Referencias.

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TEORÍA DE MEZCLAS 9 2.1 Cinemática. 9 2.2 Cuerpo, configuración y tipos de mezclas 9. 2.3 Deformación y movimiento 11 Balance de masa 13. Balance de masa en una discontinuidad 16. Ecuación de difusión convectiva 16. Ecuación de continuidad y condición de salto para mezclas incompresibles 17. 2.4 Dinámica. 18 Balance de momentum lineal 18. Balance de momentum angular 20. Proceso dinámico 21. 2.5 Referencias. 22

3.

SISTEMAS PARTICULADOS 3.1 Proceso dinámico en un sistema particulado. Componente fluido 26. Presión de poros 26. Componente sólido 27. Esfuerzo efectivo del sólido 28. Presión total 29. 3.2 Fuerza de interacción en el equilibrio. 3.3 Discontinuidades. 3.4 Proceso dinámico. 3.5 Referencias.

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SEDIMENTACIÓN DE SISTEMAS PARTICULADOS 4.1 Sedimentación discreta. Fuerza hidrodinámica sobre una esfera en flujo de Stokes 34. Balance macroscópico sobre una esfera en flujo de Stokes 34. Fuerza hidrodinámica sobre una esfera en flujo de Euler 37. Fuerza hidrodinámica sobre una esfera en flujo de Prandtl 39. Coeficiente de arrastre para esferas con 0  Re  150.000 42. Velocidad de sedimentación de una esfera 45. Sedimentación de una suspensión de

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4.

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Manual de Filtración & Separación esferas 52. Sedimentación de partículas isométricas 57. Sedimentación de una suspensión de partículas arbitrarias 64. 4.2 Referencias.

5.

6.

7.

TEORÍA DE SEDIMENTACIÓN DE KYNCH 5.1 Conceptos de una suspensión ideal y de un espesador ideal. 5.2 Proceso de Kynch para la sedimentación batch. Solución por la teoría de características 79. Modos de sedimentación 82. 5.3 Proceso de Kynch para la sedimentación continua. Espesador ideal continuo: modelación de la alimentación y descarga 88. Proceso de sedimentación continua de Kynch 90. Solución por el método de características 91. Modos de sedimentación continua 92. 5.4 Estado estacionario y capacidad de un espesador ideal. 5.5 Referencias. FLUJO EN LECHO POROSO 6.1 Proceso dinámico en un lecho poroso rígido. Balances locales 104. Ecuación constitutiva de la fuerza resistiva 104. Ley de Darcy 104. Ley de Forcheimer 104. 6.2 Parámetros geométricos de un lecho poroso rígido. Ecuaciones de Forcheimer y de Darcy 109. Ecuaciones de Forcheimer y Darcy en términos de la altura piezométrica 110. 6.3 Modelo capilar de un lecho poroso rígido. 6.4 Proceso dinámico en un lecho poroso rígido. 6.5 Flujo bifásico en un lecho poroso rígido. Ecuaciones constitutivas de las presiones 116. Ecuaciones constitutivas de las fuerzas resistivas 118. Precolación en medios porosos 119. Flujo a presión en medio poroso no-saturado 119. Saturación residual y saturación efectiva 122. 6.6 Referencias.

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CONSOLIDACIÓN 128 7.1 Proceso dinámico de consolidación. 128 7.2 Teoría de Terzaghi para pequeñas deformaciones. 129 7.3 Ecuación constitutiva de la fuerza hidrodinámica 130. Ecuación constitutiva del esfuerzo efectivo del sólido 131. Proceso dinámico en términos de la porosidad 132. Proceso dinámico en términos de la presión de poros en exceso 132. Solución del problema de valor inicial y de contorno 133. 7.4 Referencias. 135

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ÍNDICE 8.

ESPESAMIENTO 8.1 Introducción. Desde la Edad de la Piedra al siglo IXX 136. La invención del espesador Dorr y el diseño de espesadores, 1900 a 1940, 138. El descubrimiento de las variables de operación de un espesador continuo, 1940-1950, 140. La era de Kynch, 1950-1970, 141. Teoría fenomenológica, 1970-1980, 142. Teoría matemática, 1980-2000, 143. 8.2 Equipos. Espesador convencional, Espesador de alta capacidad y Espesador de alta densidad 148. 8.3 Teoría de espesamiento. Proceso dinámico de sedimentación 152. Ecuaciones constitutivas 153. Ecuación de espesamiento 153. Espesamiento batch 155. Simulación y comparación con datos de la literatura 158. Espesamiento continuo 161. 8.4 Parámetros de espesamiento. Parámetros de sedimentación 167. Medición de parámetros de consolidación 169. 8.5 Capacidad y diseño de espesadores. Métodos de diseño basados en balances macroscópicos 171: a) Método de Mishler 171, b) Método de Coe y Clevenger 173. Métodos de diseño basados en el proceso de sedimentación de Kynch 177, a) Métodos de diseño basados en el proceso batch de Kynch 178: Método de Talmage y Fitch 181, Método de Oltman 183; b) Métodos de diseño basados en el proceso de Kynch continuo 184: Método de Yoshioka y Hasset 184, Método de Wilhelm y Nadie 186. Métodos de diseño basados en el modelo fenomenológico 189. 8.6 Estrategias de la operación. Estado estacionario 195. Concentración de la descarga: efecto del flujo de alimentación y de la altura del sedimento 196. Dilución de la alimentación 199. Inventario de material en el espesador 203. Capacidad máxima 205.Estados estacionarios posibles 206. Efecto del floculante sobre la capacidad de un espesador 209. 8.7 Investigación, desarrollo y transferencia tecnológica. Efecto de los floculantes en espesamiento 211. Reología de sedimentos y descarga de un espesador 212. Efecto de surfactantes y floculantes hidrófobos en la filtración. Flujo en lecho poroso compresible 213. Modelación de la alimentación 213. Espesadores de alta capacidad y alta densidad 214. Optimización de los ciclos de filtración 215. Optimización de espesadores 215. recuperación de agua en sistemas de separación sólido-líquido 215. Dinámica y control de procesos 216.

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iv 9.

Manual de Filtración & Separación FILTRACIÓN 9.1 Definición, equipos y operación. Filtración con formación de queque 222. Filtración sin formación de queque 222. Filtración profunda 223. Variables de operación 224. 9.2 Equipos para la filtración. Filtros a vacío 226: Filtro de tambor 227, Filtro de discos 227, Filtro de bandeja 229, Filtro de banda horizontal 230. Equipos de filtración a presión 230. Filtro prensa de placas verticales 231. Filtro prensa de discos 240. Filtro de vela 241. Filtros hiperbáricos 242. 9.3 Medios filtrantes. Telas 243. 9.4 Teoría de filtración. Formación de queque 248: a) Filtración a presión constante 250, b) Filtración a volumen constante 257. Secado o soplado del queque. 9.5 Parámetros de filtración. Medición de los parámetros de filtración 263: a) Porosidad del queque 264; b) permeabilidad del queque y resistencia específica del medio filtrante 267; Permeabilidad relativa 277. 9.6 Filtros continuos a vacío. Modelo de un filtro rotatorio 287: a) Formación del queque 288; b) Cambios de condiciones de operación 290; c) Deshumedecimiento del queque 291. 9.7 Referencia.

10. FLOCULACIÓN 10.1 Introducción. Coagulación 302. Floculación 305. 10.2 Floculantes poliméricos. Propiedades 307. Preparación 309. 10.3 Cinética de la Floculación. 10.4 Hidrodinámica de la floculación. Floculación en una cañería 312. Floculación en un feedwell 312. 10.5 Referencias.

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PARTE II. APLICACIONES 11. AGREGACIÓN DE PARTÍCULAS EN PROCESAMIENTO DE MINERALES 11.1 Introducción. 11.2 Agregación en Procesamiento de Minerales. Floculación 317. Floculantes poliméricos en circuitos de flotación 321.Aglomeración por aceite 326.

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ÍNDICE 11.3 Discusión. 11.4 Referencias. 12. TÉCNICAS DE FLOCULACIÓN Y METODOLOGÍAS PARA LA OPTIMIZACIÓN DE ESPESADORES 12.1 Introducción. 12.2 Caracterización de la floculación. 12.3 Caracterización de suspensiones floculadas. Medición de la velocidad de sedimentación de flóculos 338. 12.4 Rol de la hidrodinámica en la floculación 339. 12.5 Entendiendo el comportamiento de espesadores. 12.6 Diseño y operación de rastras. 12.7 Conclusiones. 12.8 Agradecimientos. 12.9 Referencias. 13. POLÍMEROS HIDRÓFOBOS DEL TIPO LÁTEX PARA LA SEPARACIÓN SÓLIDO-LÍQUIDO DE CONCENTRADOS DE FLOTACIÓN 13.1 Introducción. 13.2 Resultados experimentales. Efecto de floculantes y aglomerantes hidrófobos sobre la flotación de molibdenita 350. Efecto de aglomerantes hidrófobos sobre la floculación de calcopirita y pirita 353. Efecto del látex UBC-1 sobre la filtración de otros materiales hidrófobos 353. 13.3 Conclusiones. 13.4 Referencias. 14. CFD COMO HERRAMIENTA PARA EL DISEÑO DE ESPESADORES 14.1 Introducción. 14.2 Modelación matemática. 14.3 Simulación de la alimentación a un espesador. Dilución de la alimentación 358. Alimentación mediante tobera 361. Alimentación en feedwell 365. 14.4 Simulación de la inyección de floculantes. Inyección en tobera de dilución 368. Inyección en feedwell 369. 14.5 Simulación de las rastras. 14.6 Conclusiones. 14.7 Referencias. 15. CONCEPTOS MODERNOS DE FILTROS ROTATORIOS 15.1 Filtro de disco de alto rendimiento “Boozer”. Características notables del Boozer 377. Datos técnicos 377. Descripción y funcionamiento de los componentes importantes:

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Manual de Filtración & Separación Discos y segmentos 377; Cañerías de colección de filtrado 378; Tambor central 379. Batea del filtro 380; Cabeza de control 380. 15.2 Operación del filtro de discos Boozer. Formación del queque 381; Deshumedecimiento del queque 382; Descarga del queque 382.

16. LAVADO CON FILTRO DE BANDA HORIZONTAL 16.1 Descripción del equipo y sus aplicaciones. 16.2 Estudio de casos. 16.3 Aplicaciones de lavado del queque para remover impurezas. Mantos de Oro: La Coipa 386. Compañía Minera Escondida: Coloso 387. SQM Salar: Ácido Bórico 388. Compañía Minera Meridian: El Peñón 388. 16.4 Aplicaciones de lavado de queque para recuperar soluciones. Mantos de Oro: La Coipa 390; Compañía Minera Escondida: Coloso 390; Compañía Minera Meridian: El Peñón 390. 16.5 Conclusiones. 17. SISTEMAS DE FILTRACIÓN PARA LA DEPOSITACIÓN DE RELAVES 17.1 Introducción. Consideraciones en la construcción de un depósito de relave 392. Comparación de costos 393. 17.2 Determinación del sistema de depositación seca. Compactación de los relaves 394. Recuperación de agua 395. Precolación 395. 17.3 Tipo de equipos. Filtro prensa de doble banda 396. Filtro prensa convencional 397. Filtro de discos 397. Filtro de bandas 398. Espesador de alta densidad 398. 17.4 Instalaciones existentes. Mantos Blancos 400. El Indio 401. La Coipa, Can Can y El Peñón 401. ZCCM y Gecamines 403. 18. FILTRACIÓN HI-BAR CON VAPOR APRESIÓN 18.1 Fundamentos de la filtración con vapor a presión. Filtración convencional con vapor 408. proceso moderno de filtración con vapor a presión Hi-Bar 408. 18.2 Tecnología de filtración Hi-Bar. Concepto de la filtración Hi Bar con vapor a presión en la planta 411. 18.3 Beneficios de la filtración Hi Bar con vapor a presión. 18.4 Ensayos en el laboratorio y planta piloto. Equipos de ensayo de laboratorio 414. Planta piloto Hi Bar 414.

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ÍNDICE

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18.5 Aplicaciones de la filtración Hi Bar con vapor a presión. Desaguado de concentrados en la flotación de carbón 415. Desaguado de concentrados de minerales de hierro 416. Lavado y secado de un producto de precipitación química 416.Lavado y secado de yeso en una planta térmica 417. 18.6 Economía de la filtración Hi Bar con vapor a presión. 18.7 Conclusión. 18.8 Referencias. 19. APÉNDICES 19.1 Apéndice 1 Conversión de medidas de concentración. 19.2 Apéndice 2 Unidades de medida y Dimensiones.

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PARTE III. PROVEEDORES BOKELA CENTRO DE TRANSFERENCIA DE TECNOLOGÍA MINERAL (CETTEM) CIBA ESPECIALIDADES QUÍMICAS CONOSUR SA. DELKOR DORR OLIVER LANZCO LAROX CHILE LTDA.

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PREFACIO

Este libro pretende llenar un vacío existente en la bibliografía de los procesos extractivos de la industria minera. Temas como la conminución y la flotación han recibido gran cobertura, en tanto que los procesos de separación sólido-líquido, tales como el espesamiento y la filtración, han pasado prácticamente inadvertidos. Pareciera ser que la importancia económica de la reducción de tamaño, obviamente la etapa más costosa en el procesamiento de un mineral, y la importancia estratégica de la flotación como proceso de concentración, han relegado la última etapa del beneficio de un mineral, como es la separación sólido-líquido, a un sitial de menor relevancia. Es verdad que, cuando el tratamiento de un mineral se desarrolla normalmente, los ingenieros de proceso tienden a considerar al espesamiento y la filtración como etapas auxiliares y no fundamentales en la planta. Sin embargo, la situación cambia cuando surgen problemas en la sedimentación o filtración de concentrados o relaves, originados la mayor parte de las veces en un cambio en la composición de la mena tratada, y no es posible recuperar toda el agua necesaria en la planta o no se logra las humedades especificadas del producto. En ese momento la separación sólido-líquido cobra una importancia fundamental. Emergencias como la señalada encuentran al ingeniero débilmente preparado para enfrentarlas. Puede que se pregunten por qué en la Universidad se dio tan poca importancia a estas etapas del procesamiento de un mineral; por qué no se les enseñó estas técnicas en forma más comprehensiva. La verdad es que este “descuido académico” tiene raíces más profundas. La negligencia en esta área tecnológica de la enseñanza relacionada al campo minero es generalizada e internacional y proviene de la poca intensidad y nivel con que se enseña la mecánica y la mecánica de fluidos en las carreras de ingeniería de minas y metalurgia. Esto ha traído como consecuencia que la separación sólido-líquido raramente haya sido campo de investigación en estas disciplinas y que, por lo tanto, los académicos de estas unidades no puedan traspasar a sus alumnos estos conocimientos desde experiencias propias. La Universidad de Concepción ha dado un paso fundamental para cambiar esta situación. Por ya más de 25 años, académicos y alumnos de esta Casa de Estudio, dirigidos por el autor de este libro, han realizado investigación relevante en el campo de la separación sólido-líquido aplicado a la minería. Es así como a través de memorias de título, tesis de postgrado, investigaciones locales e investigaciones cooperativas con académicos de universidades de otros países, se ha desarrollado una teoría fenomenológica de la sedimentación que ha permitido poner al campo del viii

Prefacio

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espesamiento industrial en un marco científico y tecnológico adecuado. Marco fundamental si es que se desea enseñar esta disciplina a estudiantes o ingenieros de proceso. Tan exitosa ha sido esta labor, que la Sociedad de Ingenieros de Minas de los Estados Unidos de Norteamérica SME decidió otorgar el premio Antoine Gaudin-1998 al autor del presente libro. Por otra parte, en los últimos cuatro años se ha dedicado enormes esfuerzos al estudio y experimentación del campo de la filtración con el objetivo de formular una teoría unificada que englobe los diferentes procesos involucrados en la separación sólido-líquido. Creemos que se ha logrado. En este libro, o Manual como lo ha llamado el autor, aún cuando difiere fundamentalmente de los manuales existentes en el campo de la filtración, se pretende traspasar el conocimiento acerca del campo de la sedimentación, el espesamiento y la filtración, logrado durante todos estos años por el Grupo de Sistemas Particulados de la Universidad de Concepción. Gran parte del material presentado: teoría, formulación de modelos y resultados, son originales. En el libro se enfatiza los fundamentos teóricos y las aplicaciones por sobre el conocimiento enciclopédico de equipos y materiales. En forma consciente se ha mantenido un alto nivel científico, aún cuando ello no es estrictamente necesario para comprender los procesos y sus aplicaciones. Estimamos que este enfoque satisfará las expectativas de los diversos grupos que pudieran tener interés en el libro: estudiantes de ingeniería, estudiantes de postgrado en ingeniería, ingenieros de procesos de la industria minera, ingenieros consultores y proveedores de equipos y materiales para la industria minera. Para aquellos interesados en la teoría, se utiliza un riguroso enfoque fenomenológico basado en la teoría de mezclas de la mecánica del medio continuo, y, para aquellos interesados en las aplicaciones, se incluye problemas resueltos en la mayoría de los capítulos que ilustran el uso de la teoría en el diseño, la operación y la optimización de los procesos involucrados. Aquellos académicos interesados en la matemática detrás del fenómeno, pueden satisfacer su inquietud en el reciente libro Sedimentation and Thickening: Phenomenological Foundation and Mathematical Theory, de los autores, M.C. Bustos, F. Concha, R. Bürger y E. Tory, publicado en 1999 por Kluwer Academic Publishers, de Dodrecht, Holanda. El Manual está dividido en tres partes. La primera, que incluye toda la teoría y aquellas aplicaciones necesarias para entenderla y aplicarla, ha sido escrita enteramente por el autor. La segunda parte está formada por una serie de trabajos, solicitados a diversos especialistas de renombre, que ejemplifican las aplicaciones industriales. Finalmente la tercera parte entrega información sobre diversas empresas ligadas a la separación sólido-líquido en la minería chilena. En el capítulo 1 se entrega el marco conceptual bajo el cual se estudiará los procesos de separación sólido-líquido. Se menciona las diversas operaciones involucradas en estos procesos y los mecanismos en que se basan. Se discute brevemente la selección de técnicas de separación y los equipos utilizados. El capítulo 2 da una rigurosa, aunque limitada, presentación de la Teoría de Mezclas. Estimamos que, como los fundamentos de este libro pueden encontrarse en la mecánica de los sistemas particulados, no hay necesidad de desarrollar la termodinámica de las mezclas. El capítulo da la estructura mecánica y matemática

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Manual de Filtración & Separación

necesaria para entender los fundamentos y modelar los procesos de sedimentación y filtración. Una introducción discute las condiciones que debe cumplir un sistema multifásico para ser considerado como continuo. Luego se plantea los conceptos de componente, mezcla y configuración y se presenta las ideas de masa, deformación, movimiento, cantidad de movimiento y fuerzas para cada uno de los componentes de la mezcla. Las medidas de deformación, movimiento y velocidad de deformación llevan a balances macroscópicos y locales de masa y cantidad de movimiento y a las condiciones de salto. Finalmente, se define un proceso dinámico y la necesidad de formular ecuaciones constitutivas para definirlo completamente. En el capítulo 3 se aplican los principios de la Teoría de Mezcla a sistemas particulados constituidos por suspensiones de sólido finamente dividido en un líquido. Se comienza definiendo un proceso dinámico para el sistema particulado y las ecuaciones que éste debe cumplir. Se define la presión de poros, el esfuerzo efectivo del sólido, la concentración crítica y la fuerza de interacción sólido-fluido y se completa la teoría estableciendo ecuaciones constitutivas generales para el componente fluido y para el componente sólido. La sedimentación de sistemas particulados se trata como un proceso discreto en el capítulo 4. Se comienza estableciendo las ecuaciones que describen cuantitativamente la velocidad de sedimentación de una esfera de cualquier tamaño y naturaleza, para continuar con las suspensiones de esferas y terminar con suspensiones de partículas de forma arbitraria. El capítulo 5 describe la sedimentación de sistemas particulados como un medio continuo. Se establece los conceptos de una suspensión ideal y de un espesador ideal. La aplicación de la Teoría de Mezclas a suspensiones ideales da como resultado el proceso de Kynch para la sedimentación batch y continua. Se presenta la solución por la teoría de características y se define el concepto de Modos de Sedimentación. Finalmente se establece la ecuación que describe la capacidad de un espesador ideal. Los sistemas particulados consolidados son tratados en el capítulo 6. Se comienza estableciendo el proceso dinámico para un lecho poroso rígido. Se analiza las ecuaciones de Darcy y Forcheimer como ecuaciones constitutivas para la fuerza de interacción sólido-líquido en el escurrimiento de un fluido por el medio poroso. Se discute el concepto de permeabilidad y su modelo geométrico. A continuación se discute el flujo bifásico en un medio poroso rígido y se introduce los conceptos de capilaridad, saturación y permeabilidades relativas. Como opuesto al capítulo anterior, en el capítulo 7 se analiza los sistemas particulados compresibles. Se introduce la teoría de Terzaghi para pequeñas deformaciones y se establece las ecuaciones constitutivas para la fuerza hidrodinámica y el esfuerzo efectivo del sólido. El proceso dinámico obtenido se resuelve en términos de la presión de poros en exceso como función de la porosidad. En el capítulo 8 se analiza con profundidad el proceso dinámico de espesamiento. En una extensa introducción se presenta la historia de la sedimentación desde la Edad de la Piedra hasta hoy, enfatizando las personas e instituciones que han sido sus protagonistas. A continuación, se muestra los equipos utilizados

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industrialmente para el espesamiento. Le sigue un riguroso análisis de la teoría de espesamiento, desarrollando las ecuaciones que describen el proceso, tanto para el caso batch como para el continuo. La siguiente sección estudia en detalle los parámetros que aparecen en las ecuaciones de espesamiento y su determinación experimental. El capítulo continúa con una descripción cuantitativa de los métodos de diseño de espesadores dentro del marco de la teoría de espesamiento. Las diversas estrategias de operación se analizan a continuación y se muestra el efecto de las diversas variables en el comportamiento de un espesador industrial. Finalmente, se describe los temas de investigación relevante en el presente. La filtración es el tema del capítulo 9. Luego de una breve descripción de los diversos tipos de equipos industriales y de las telas filtrantes, se presenta la teoría de filtración. Se describe las diversas etapas de un proceso de filtración, analizando detalladamente cada una de ellas. Se estudia, a continuación, los parámetros de filtración y su determinación experimental. Finalmente se analiza, por separado, la modelación y simulación de filtros rotatorios a vacío y filtros a presión. Terminando la primera parte de este Manual, se presenta la floculación en el capítulo 10. En secciones sucesivas se introduce los conceptos de coagulación y floculación, se presenta los reactivos floculantes, se estudia la cinética e hidrodinámica de la floculación y sus aplicaciones en la operación de espesadores. La parte II del Manual contiene 8 trabajos por diversos especialistas que pretende mostrar algunas aplicaciones del espesamiento y la filtración en la industria minera. El primer trabajo lo presenta el profesor Janusz Laskowski, de la Universidad de British Columbia en Canadá en el capítulo 11 Agregación de Partículas en Procesamiento de Minerales, en el que describe los mecanismos de agregación mediante floculantes poliméricos, látex hidrófobos y aceites emulsificados. El capítulo 12 muestra un trabajo de los investigadores de CSIRO en Australia: J. Farrow, P Fawell, R. Johnston, Nguyen, M. Rudman, K. Simic, J. Swift y A. Parker, Técnicas de Floculación y metodologías para la Optimización de Espesadores. El trabajo muestra una serie de herramientas y técnicas desarrolladas para abordar los fenómenos de floculación en espesadores. Se presenta, también, el uso de CFD para predecir el comportamiento de espesadores bajo diferentes condiciones de operación. El capítulo 13, escrito por el profesor S. Castro, trata el tema de los Polímeros Hidrófobos del tipo Látex para la separación sólido-líquido de concentrados de flotación. Mediante resultados experimentales en el laboratorio se muestra el efecto de floculantes y aglomerantes hidrófobos sobre la flotación de molibdenita, floculación de calcopirita y pirita y sobre la filtración de otros materiales hidrófobos. R. Köck y F. Concha demuestran en el capítulo 14 CFD como Herramienta para el Diseño de Espesadores, como utilizar CFD para optimizar la adición de floculantes en tuberías, toberas de inyección y feedwell. Además, se muestra como utilizar esta herramienta en el diseño de rastras.

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La empresa alemana Bokela presenta en el capítulo 15 Conceptos Modernos de Filtros Rotatorios, un filtro de discos de nueva tecnología, denominado Boozer, que presenta grandes ventajas con respecto a los filtros de vacío rotatorios convencionales. En el capítulo 16 Lavado con Filtro de Banda Horizontal, la empresa Delkor muestra las aplicaciones de estos filtros en el lavado de queques de filtración. Se describe equipos y se muestra aplicaciones en diversas empresas mineras chilenas. En un segundo artículo, Delkor escribe en el capítulo 17 Sistemas de Filtración para la Depositación de Relaves. Se plantea las consideraciones que se debe tener para la construcción de un depósito de relaves. Se compara costos de diversas alternativas y se muestra los equipos que se utiliza. Finalmente se muestra ejemplos en la industria minera chilena. Como último artículo invitado, Bokela presenta la Filtración Hi-Bar con vapor a presión en el capítulo 18. Se expone los fundamentos de la filtración con vapor y las ventajas de la tecnología hiperbárica con vapor. Se muestra resultados en el laboratorio y planta piloto y aplicaciones industriales para concentrados de carbón, minerales de hierro, productos de la precipitación química y lavado y secado de yeso en una planta térmica. En la Parte III de este Manual se presenta los perfiles de las siguientes empresas en forma alfabética: Bokela; Centro de Tecnología Mineral; Ciba Especialidades Químicas Conosur, Delkor, Lanzco y Larox Chile. Como ya se dijo en un comienzo, la mayoría del material contenido en este Manual es original y fue desarrollado por el Grupo de Sistemas Particulados de la Universidad de Concepción en colaboración con investigadores del Departamento de Ingeniería Matemática de la Universidad de Concepción y el Instituto de Matemática Aplicada de la Universidad de Stuttgart en Alemania. Agradecemos sinceramente a todos aquellos que colaboraron en el desarrollo de la teoría y sus aplicaciones, sin el trabajo esforzado de los cuales no habría material que presentar. Especialmente importante fue la participación de los siguientes alumnos, la mayoría de los cuales son hoy destacados profesionales: E. Almendra, A. Barrientos, O. Bascur, A. R. Becker, A. Christiansen, H. Droguett, P. Garrido, M. Kunik, F. Melo, A. Quiero, A. Rojas, V. Soto y R. Valenzuela. La participación de los matemáticos fue fundamental para avanzar en la solución de los modelos. Se debe mencionar la colaboración de María Cristina Bustos de la Universidad de Concepción, Wolfgang Wendland y Raimund Bürger de la Universidad de Stuttgart en Alemania, Kenneth Karlsen de la Universidad de Bergen en Noruega y Elmer Tory de la Universidad de Mount Allison en Canadá. A todos ellos nuestros agradecimientos. El Editor Centro de Imagen Corporativa Fundación Chile Concepción, Febrero de 2001.

CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN MARCO CONCEPTUAL PARA LOS SISTEMAS DE SEPARACIÓN SÓLIDOLÍQUIDO La separación sólido-líquido por métodos mecánicos forma parte de una gran área de técnicas de separación de fases sólidas, líquidas y gaseosas. Este tipo de separación aparece en un extenso número de procesos industriales en los diversos campos de la economía. A ella pertenece la eliminación de agua desde suspensiones en la industria, la recuperación de agua en procesos de la minería, la purificación de aguas domiciliarias, la eliminación de polvo, la desgasificación de líquidos y la eliminación de espumas, entre muchos otros procesos. Es, entonces, pertinente poner los procesos de separación sólido-líquido dentro del contexto de las operaciones de separación de fases Las tablas N°1 y 2 muestran procesos de separación de materiales sólido, líquido y gaseoso en fase dispersa y continua. Las letras cursivas en negrita corresponden a la separación sólido-líquido que se analizará en este Manual. En los procesos de separación sólido-líquido que nos interesan, el componente líquido siempre se encuentra en fase continua mientras que el componente sólido puede estar en forma dispersa o continua. En una suspensión que se alimenta a un espesador, el sólido esta en forma dispersa en la etapa de sedimentación, pero se considera como fase continua en la etapa de consolidación. En el caso de filtración el sólido se encuentra disperso en la alimentación al filtro, pero en fase continua una vez que se formó el queque. Dentro del contexto de la separación sólido-líquido, denominaremos Sistema Particulado toda mezcla de materiales en que el sólido esté formado de partículas, estén éstas en estado disperso o continuo. Cuando las partículas forman una fase discreta, lo llamamos suspensión o dispersión y cuando están en forma continua, lo denominamos medio poroso. Asociado a sistemas dispersos estudiaremos la sedimentación y asociado a medios porosos, la filtración. En realidad, la clasificación de mezclas de materiales continuos o dispersos no tiene mayor importancia en la cuantificación de la sedimentación o filtración ya que, como veremos más adelante en este Manual, toda mezcla de sólidos y fluidos puede ser considerada una mezcla de materiales continuos si la mezcla se produce a escala

1

2


Tabla N°1 Mezcla de fases continuas y dispersas y métodos de separación Fase continua Fase dispersa

Sólido

Sólido

Líquido

Gas

Sedimentación

Sedimentación

Clarificación

Eliminación de polvo

Filtración

Filtración

Centrifugación

Molienda

Clasificación

Clasificación

Molienda Flotación Líquido

Cromatografía

Sedimentación

Sedimentación

Centrifugación Gas

Degasificación

Flotación

Cromatografía de gases

Degasificación Tabla N°2 Mezcla de dos fases continuas y su separación Fase continua Fase continua

Sólido

Sólido

Líquido

Gas

Consolidación

Degasificación de queques de filtración

Expresión Humectación de queques de filtración Líquido

Consolidación Expresión Humectación de queques de filtración

Gas

Degasificación de queques de filtración

Capítulo 1. Desarrollo Histórico

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microscópica, o si el volumen de trabajo es mucho mayor que el volumen en que se realiza la mezcla. Como ejemplo consideremos una mezcla de relaves de cobre en un espesador. Las partículas de relaves suelen tener tamaños menores a 10-4 m mientras que el espesador que los contiene posee alturas del orden de 1m y diámetros del orden de 10 a 102 m. En estos casos podemos suponer que la mezcla se compone de dos fases continuas, una sólida y una líquida. La fase sólida conserva las principales propiedades de las partículas sólidas, como su densidad, velocidad de sedimentación y compresibilidad, pero pierde el concepto de tamaño de partícula. La estructura microscópica (o de nivel de partícula) es importante al momento de cuantificar los efectos superficiales entre las fases. Se sabe, por ejemplo, que poros muy pequeños entre partículas originan fuerzas capilares cuando existen presentes las tres fases, sólida, líquida y gaseosa. OPERACIONES DE SEPARACIÓN SÓLIDO-LÍQUIDO EN MINERÍA La separación de mezclas de sólido-líquido requiere, generalmente, una secuencia de operaciones como las indicadas en la figura 1.1. Pretratamiento

Concentración

Separación

Postratamiento

Fig. 1.1 Secuencia de operaciones de separación sólido-líquido.

Cada una de estas etapas puede ser realizada de diversas maneras. El esquema que sigue muestra algunas formas de llevarlas a cabo:  Quimico   I. Pretratamiento   Fisico  

 Floculacion  Coagulacion Crecimiento de cristales

  Congelacion  Adicion de ayuda de filtrante 

Espesamiento II. Concentracion   Clarificacion  Tamizaje III. Separacion Solido-liquido   Filtracion Secado  IV. Postratamiento  Almacenamiento Fig. 1.2 Esquema de los procesos de separación sólido-líquido

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Mantener un proceso de separación sólido-líquido eficiente requiere considerar el conjunto de estas operaciones. La economía de la separación sólido-líquido en una secuencia de etapas con diferentes procesos, como se indica en la figura 1.1, depende, además de los aspectos individuales de cada etapa, en encontrar los puntos óptimos de transición entre una etapa y la otra. MECANISMOS DE LA SEPARACIÓN SÓLIDO-LIQUIDO La separación de sólido y líquidos de una mezcla se puede realizar mediante métodos puramente mecánicos y térmicos. La figura 1.3 muestra estos métodos y las operaciones o procesos a los que da origen. Las operaciones térmicas de secado y vaporización pueden separar totalmente la mezcla de sólidos y líquidos, cosa que no logra ninguna de las operaciones mecánicas. Sin embargo, las operaciones térmicas raramente se utilizan por sí solas en empresas mineras debido a su alto consumo de energía. Cuando se las utiliza, ellas van precedidas de las operaciones mecánicas mencionadas y las complementan para disminuir la humedad residual de la fase sólida. Donde sí se utiliza el secado y la vaporización es en el laboratorio para la determinación de la concentración de una suspensión o la humedad de un queque de filtración. SEPARACIÓN SÓLIDO-LÍQUIDO

OPERACIONES MECÁNICAS

OPERACIONES TÉRMICAS

TAMIZAJE

SECADO

SEDIMENTACIÓN

VAPORIZACIÓN

FILTRACIÓN

Fig. 1.3 Mecanismos de Separación sólido-líquido

Las operaciones mecánicas de separación sólido-líquido se basan en tres mecanismos, la sedimentación, la consolidación y el flujo en medios porosos. Se denomina sedimentación al proceso de asentamiento de un material sólido o líquido desde un fluido, generalmente agua o aire, desde un estado de suspensión. El proceso se observa en la naturaleza en los procesos geológicos de formación de los depósitos de rocas y minerales y, mucho más visiblemente, en la sedimentación de gotas de agua o hielo, denominada lluvia o granizo respectivamente, o en la deposición de polvo. La figura 1.2 muestra en forma esquemática la sedimentación de esferas


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sólidas en un líquido. La eficiencia de la separación depende principalmente de la magnitud del campo de fuerza de cuerpo aplicada, gravitacional o centrífuga, de la diferencia de densidades entre las partículas sólida y líquida, del tamaño de las partículas y de la viscosidad del líquido. La cantidad de líquido de una suspensión que es capaz de separar la sedimentación es toda aquella que no llena los poros del sedimento formado. La figura 1.4 muestra un esquema de partículas en sedimentación gravitatoria. Las formas de aplicar fuerzas de cuerpo, o fuerzas externas, a una suspensión se muestran en la figura 1.5.

Fig.1.4 Sedimentación de esferas en un líquido ESPESADOR GRAVITACIONAL CLARIFICADOR SEDIMENTACIÓN CENTRÍFUGA CENTRÍFUGA HIDROCICLÓN

Fig. 1.5 Fuerzas que originan la sedimentación y los equipos asociados.

Cuando el agua retenida en el sedimento es más que la deseada, se debe recurrir a la filtración. Se denomina filtración al proceso de formar un queque soportado por un medio filtrante, eliminando líquido denominado filtrado. Cuando todo el líquido de la suspensión ha pasado por el queque y los poros de éste están llenos de líquido, esto es, el queque está saturado, la formación de queque ha terminado. Para eliminar más líquido, se sopla aire a través del queque, él que desplaza al líquido disminuyendo su humedad. La fuerza impulsora de la filtración es un gradiente de presión. Este gradiente puede ser la presión hidrostática del líquido a filtrar o un gradiente de presión exterior impuesto por una bomba. Las variables más importantes en la filtración son la porosidad y la permeabilidad del queque, esto es la facilidad con que escurre el agua a través de él. La filtración puede ser ayudada o dificultada por la sedimentación. En

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general la suspensión a filtrar se impulsa hacia un recipiente y se hace pasar a través de un medio poroso denominado medio filtrante. Si el filtro es horizontal, la sedimentación de las partículas ayudaran a la filtración, en cambio si el filtro es vertical, las partículas sedimentarán en la dirección perpendicular a la dirección de la filtración. Las figuras 1.6a y 1.6b muestran estos dos casos.

líquido sólido

líquido

sólido

Fig. 1.6a Sedimentación y Filtración en la misma dirección

Fig.1.6b Sedimentación y Filtración en direcciones perpendiculares.

1.4 SELECCIÓN DE TÉCNICAS DE SEPARACIÓN SÓLIDO-LÍQUIDO La mayoría de las suspensiones concentradas que resultan de la operación de una planta de Procesamiento de Minerales, son materiales con comportamiento nonewtoniano, en muchas ocasiones de tipo visco-plásticos, que se caracterizan por tener memoria. Esto significa, que el comportamiento de una misma suspensión en la misma operación puede ser diferente si la pulpa ha sido sometida previamente a un pretratamiento o a una operación o proceso previo. En este sentido, por ejemplo, el espesamiento de una pulpa tiene gran influencia en la posterior filtración. De aquí la recomendación de optimizar los procesos de separación sólido-líquido en conjunto, en vez de tratarlos por separado o, en considerar algunos e ignorar otros. Por otra parte, una misma tarea de separación sólido-líquido puede ser realizada con secuencias de diferentes combinaciones de equipos, por lo que cualquier estudio debe considerar estas operaciones en conjunto. Operar un sistema de separación sólido-líquido requiere conocer los parámetros más importantes en su comportamiento. Para ello es necesario determinar estos parámetros en el laboratorio y formular ecuaciones constitutivas del material. Al realizar estas pruebas, es necesario tener en cuenta las propiedades de memoria que tienen las pulpas. Las suspensiones sufren lo que se denomina envejecimiento, por lo


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que es conveniente realizar los ensayos experimentales directamente en las plantas y, si se efectúan en equipos continuos, evitar la recirculación del material. 1.5 EQUIPOS UTILIZADOS EN LA SEPARACIÓN SÓLIDO-LÍQUIDO Las figuras 1.7 y 1.8 muestran los nombres de los principales equipos utilizados para la separación sólido-líquido en la industria minera, tanto en sedimentación como en filtración. SEDIMENTACIÓN Espesador Clarificador Hidrociclón Centrífuga

Fig. 1.7 Equipos que utilizan la sedimentación como mecanismo

FILTRACIÓN Gravitacional Filtro de arena Vacío Filtro de tambor Filtro de discos Filtro de bandas Filtro de bandeja Presión Filtro prensa vertical Filtro prensa horizontal Filtro de vela Presión y vacío Filtro hiperbárico

Fig. 1.8 Equipos utilizados en la separación sólido-líquido en minería

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1.6 REFERENCIAS Concha F., Marco conceptual de los Sistemas de Filtración, I Coloquio Nacional de Avances en los Sistemas de Filtrado de Minerales, Santiago 1995. Filters and Filtration Handbook, 4th Ed., Elsevier Science, Customer Support Dept., P.O.Box 291, 1000AE, Amsterdam, The Netherlands. Stahl, W., Bott, R. and Anlauf, H., Position of thickening and filtration in the general scheme of solid liquid separation processes and selection criteria for suitable separation methods, Seminario Internacional: Técnicas Modernas de Separación Sólido-Fluido en la Industria Minera, Universidad de Concepción, 1991. Wakeman, R.J. and Tarleton, E.S., Filtration Equipment Selection, Modelling and Process Simulation, Elsevier Science Inc., 665 Av. Of the Americas, New York, NY 10010, USA.

CAPÍTULO 2 TEORÍA DE MEZCLAS

Para el estudio de flujo en medios porosos rígidos y deformables y para el estudio de sedimentación o transporte de suspensiones es conveniente considerar un cuerpo como compuesto por diversos materiales. Para ello la herramienta más poderosa es la denominada Teoría de Mezclas. No existe una única Teoría de Mezclas, sino que varias de ellas, y aquí seguiremos el desarrollo iniciado por Truesdell (1965, 1960, 1984). La Teoría de Mezcla postula que cada punto del espacio puede ser ocupado simultáneamente por un número finito de diferentes partículas, una por cada componente de la mezcla. Es así como la mezcla puede ser representada por la superposición de n medios continuos, cada uno de los cuales sigue su propio movimiento con las restricciones impuestas por la interacción entre componentes. Esto significa que cada componente debe seguir las leyes de conservación de la masa y momentum modificados para incorporar términos que representen el intercambio de propiedades entre componentes. Los efectos micro estructurales deben ser incorporados a través de ecuaciones adicionales denominadas ecuaciones constitutivas. Para obtener un tratamiento racional se requiere que las propiedades de las mezclas resulten como consecuencia de las propiedades de los componentes y que las mezclas sigan las mismas leyes que son aplicables a los materiales simples. Tratamientos semejantes o alternativos pueden ser encontrados en muchos artículos, destacándose las revisiones de Bowen 1976, Atkin and Crain 1976 y Bedford y Drumheller 1983.

2.1 CINEMÁTICA 2.1.1. Cuerpo, configuración y tipos de mezcla Denominaremos mezcla a un cuerpo B constituido por n componentes

B  B , con   1, 2,..., n . Los elementos de B se denominan partículas y se denotan por p  . Cada cuerpo B ocupa una cierta región del espacio euclidiano tridimensional E, denominada configuración del cuerpo. Los elementos de las 9


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configuraciones son puntos del espacio euclidiano cuya posición está dada por el vector posición r. La posición de la partícula p   B en el espacio se puede escribir en la forma:

r    ( p ) ,

con   1,2, 3,..., n

(2.1)

Para conocer las propiedades matemáticas de   ver Bowen (1976). La configuración de la mezcla, esto es, la región del espacio ocupada por la mezcla en el tiempo t, es la unión de las configuraciones de los componentes:

b g   bB g

 Bt 

n

 1



(2.2)

t

La configuración ( Bt ) tiene un volumen Vm ( t ) denominado volumen material del cuerpo B en el tiempo t. A cada cuerpo B , y a cada una de sus configuraciones, se le asigna una propiedad continua y aditiva m   0 , denominada masa del componente , que cumple la relación:

 m bB g n

m ( B) 



(2.3)

t

 1

bg

donde m B es la masa de la mezcla. El concepto continuo de la masa permite definir la densidad de masa  mediante el proceso de límite:

b g

m  ( Pk ) , k  V ( P ) m k

 r, t  lim

con

  1, 2, 3, ..., n

(2.4)

donde Pk 1  Pk son partes de la mezcla que tienen la posición r en común. Esta densidad de masa recibe el nombre de densidad aparente. La densidad de masa permite escribir la masa del componente  en la forma:

m  ( Bt ) 

z

 (r, t )dV

(2.5)

 Vm ( t )

Si designamos por  la densidad que tendría el componente  si éste fuese el único

b g en la

componente de la configuración ( Bt ) , podemos definir la función  r, t forma:   r, t  

  r , t 

  r , t 

, con   1, 2,3,..., n

(2.6)

Capítulo 2 - Teoría de Mezclas

11

Reemplazado esta expresión en la ecuación (2.5) se obtiene: m   Bt  



Vm (t)

 dV



Vm (t)

  dV

(2.7)

Definamos el elemento de volumen material dV en la forma: dV   dV

tal que se cumpla:

b g

m  Bt 

(2.8)

z z  dV 

 Vm ( t )

 dV

 V ( t )

(2.9)

Al volumen V lo denominaremos volumen parcial del componente  y la función   r, t  recibe el nombre de fracción volumétrica del componente.

Según la expresión (2.2) el volumen de la mezcla es la suma de los volúmenes parciales de los componentes, por lo que: n

   r, t   1 

(2.10)

1

Se puede distinguir dos tipos de mezclas, homogéneas y heterogéneas. Mezclas homogéneas cumplen estrictamente la condición de continuidad del material, porque la mezcla de los componentes ocurre a escala microscópica. Estas mezclas reciben el nombre de soluciones. Para mezclas homogéneas  es la concentración del componente B . En una mezcla heterogénea, la mezcla de los componentes ocurre a escala macroscópica y, para que ellas puedan ser consideradas continuas, el tamaño del volumen de integración de las ecuaciones anteriores debe ser mucho mayor que el nivel de la mezcla. Estas mezclas se conocen con el nombre de multifásicas porque cada componente puede ser identificado como una fase distinta. En este tipo de mezclas  r, t es una medida de la estructura local del material y  recibe el nombre de densidad aparente o densidad a granel.

b g

2.1.2 Deformación y movimiento Para cada cuerpo B podemos elegir una configuración de referencia   tal que en esa configuración B sea el único componente de la mezcla (estado puro). La posición de la partícula p en estas configuraciones se denotará por R  :

R     ( p )

(2.11)

Supondremos que la expresión (2.3) tiene inversa tal que: 1 p     (R )

(2.12)


12

Movimiento de la partícula p   B es la secuencia de configuraciones en el tiempo y queda representada por la expresión:

r    ( p , t ) , Reemplazando (2.12) se obtiene:

con   1,2, 3,..., n

b g

r  f R  , t

(2.13)

donde la función f recibe el nombre de función deformación del componente  y queda expresada por: 1 f     

(2.14)

La función deformación tiene una inversa tal que:

b g

R   f1 r , t

(2.15)

Las componentes cartesianas x i de r y X i de R  reciben el nombre de coordenadas espaciales y coordenadas materiales de la partícula p   B :

r  xiei

y

R   X i e i

(2.16)

La deformación de cada componente se cuantifica a través del tensor gradiente de la deformación F definido por:

F 

f   R r , R 

con

det F  0

(2.17)

Asociados al tensor gradiente de la deformación podemos definir todas las otras medidas de deformación que hemos estudiado para materiales de un sólo componente: Q  , U  , V , C , B  y G  . La dilatación de un cuerpo multicomponente, desde su configuración de referencia a la configuración presente, se puede expresar a través del det F :

J   det F 

dV dV

(2.18)

donde dV y dV son elementos de volumen material en la configuración actual y en la configuración de referencia respectivamente. La velocidad de deformación se cuantifica a través de la velocidad v  y la aceleración a  , definidos como la primera y segunda derivada material del movimiento:


13

v 

D r  f R  , t   , t Dt

g

  1, 2, 3,..., n

(2.19)

a 

D2 r 2 f R , t ,    Dt 2 t 2

  1, 2, 3,..., n

(2.20)

b

b g

donde la derivada material D  / Dt se calcula siguiendo el movimiento del componente . Los tensores asociados a las medidas de velocidad de deformación L , D y W se definen en la forma habitual:

L 

FG 1 btrD gIIJ H3 K

FG H

 D 



b g IJK

1 trD I 3

bW g



(2.21)



velocidad de

velocidad de

velocidad de

expansión

cizalle

rotación

donde:

L  v 

(2.22)

c

h

(2.23)

c

h

(2.24)

D 

1 v   ( v  )T 2

W 

1 v  ( v  )T 2

La velocidad de dilatación queda expresada por:

b

J   det F   v 

g

(2.25)

2.1.3 Balance de masa Admitamos que los componentes de B intercambian masa entre sí y designemos por g r, t la velocidad de transferencia de masa, por unidad de volumen, al

b g

b g

componente  por todos los otros componentes. Otro nombre para g r, t es velocidad de crecimiento de la masa del componente  . Entonces, se debe cumplir el siguiente balance:  Velocidad de variación de la masa   Velocidad neta de generación de    del componente  en Vm (t)   del componente  en Vm (t)   d dt



Vm (t )

 dV





Vm (t)

g dV

Llevemos ambas integrales a la configuración de referencia para obtener:

(2.26)


14

z z z FGH b g IJK z ed i j z ed i j z ed i j

d dt

 J  dV 

V

g J  dV

V

Introduzcamos la derivada dentro de la primera integral y juntemos los términos dentro de una sola integral:

V

D  J   g J  dV  0 Dt

(2.27)

  J    J   g J  dV  0

V

      v  g J  dV  0

V

      v  g dV  0

(2.28)

Vm ( t )

Cuando todos los campos dentro de la integral son continuos podemos hacer uso del teorema de localización (Gurtin 1981) para obtener:

      v   g

(2.29)

Desarrollando la derivada material y combinando el término convectivo con el segundo término de (2.29) obtenemos:      v   g t

(2.30)

Las expresiones (2.29) y (2.30) corresponden al balance local de masa y se las conoce como ecuaciones de continuidad del componente . El balance de masa de la mezcla se obtiene sumando las ecuaciones de continuidad de todos los componentes:

 n

 1

 t

  t

  v  g n

n







 1



 1

F  I v  g GH  JK   n

n



 1



n

 

 1



(2.31)

 1

Según los postulados iniciales, la mezcla debe seguir las leyes de los materiales puros, por lo que la expresión (2.31) debe ser equivalente a:


15

    v  0 t de donde se deduce:

 n



(2.32)



 1

 b v g

(2.33)

g

(2.34)

n

v 





 1

n

0



 1

Las propiedades así definidas tienen el nombre de densidad de la mezcla  y velocidad másica de la mezcla v. La ecuación (2.34) muestra que no hay producción neta de masa en el cuerpo B Otra forma interesante del balance de masa se obtiene utilizando el teorema de localización en la ecuación (2.27):

b g

D  J   g J   0 Dt Dividiendo ambos términos por  J  y designando la velocidad de crecimiento de la masa del componente  por unidad de masa de ese mismo componente por g   g  , podemos escribir:

b g

1 D  J   g   Dt Integrando en el tiempo se obtiene:

 det F   exp

FG H

(2.35)

z

t

0

g  (  )d

IJ K

(2.36)

donde  es la densidad del componente  en la configuración de referencia. Como hemos supuesto que allí el componente  está puro, denominaremos a esta densidad la densidad material del componente. En aquellos casos particulares en que no hay intercambio de masa entre componentes, la ecuación (2.36) se reduce a:

 det F  

(2.37)


16 7.1.4 Balance de masa en una discontinuidad

Para cuerpos que presentan discontinuidades, las ecuaciones (2.29) y (2.37) no son válidas. En estos casos es necesario utilizar la versión especial del Teorema de Transporte para cuerpos con discontinuidad:

d dt

z

 dV 

Vm ( t )

z

   dV  Vm ( t ) t

b g

z

 v  ndS 

Sm ( t )

z

   dS (2.38)

SI ( t )

donde  es una propiedad extensiva cualquiera, [.] indica el salto de una propiedad en la interface,   v I  e I es la velocidad de desplazamiento de la discontinuidad y e I es el vector unitario en la dirección del movimiento de la superficie singular. Reemplazando la expresión (2.38) en el balance macroscópico de masa (2.26) se obtiene:

z

 dV  Vm ( t ) t

z

 v  ndS 

Sm ( t )

z

  dS 

SI ( t )

z

g dV

Vm ( t )

Tomando el límite de esta expresión cuando los volúmenes en torno a la discontinuidad tienden a cero resulta:

b

g

 v  e I   

(2.39)

Esta ecuación recibe el nombre de condición de salto para la masas del componente  o ecuación de Rankin-Hugoniot (Bustos et al 1999). Las condiciones de salto de la mezcla se obtienen sumando la expresión (2.39) para todos los componentes:

LM  v e OP  LM  OP MN b gQP MN PQ n

n



 



I

 1

 1

y usando los resultados de (2.32) y (2.33) se tiene:

v  e I    2.1.5 Ecuación de difusión convectiva En ocasiones es conveniente escribir las ecuaciones de continuidad de cada uno de los componentes en términos del flujo convectivo de masa. Este es el flujo asociado al movimiento de la mezcla. Como este movimiento queda descrito por la velocidad promedio v, el flujo convectivo de masa del componente , en la posición r y el tiempo t, se define por:

jc   v Si se suma y resta el flujo convectivo a la ecuación (2.30) resulta:

(2.40)


17

     v      ( v   v )  g t

(2.41)

El primer término del miembro derecho representa la diferencia entre la densidad de flujo real del componente  y la densidad de flujo convectivo. Esta diferencia recibe el nombre de flujo difusivo de masa jD y la diferencia de velocidades se denomina velocidad de difusión:

jD   u

(2.42)

u  v  v

(2.43)

En términos de los flujos convectivo jc y difusivo jD , la ecuación (2.41) puede ser escrita en la forma:

  jc     jD  g t

(2.44)

Esta expresión recibe el nombre de ecuación de difusión convectiva. Sumando (2.41) para todos los valores de  resulta:

 t

F  I   F  Iv    F  u I  g GH  JK GH  JK GH  JK  n

n





 1

n





 1

n



 1





 1

Usando resultados previos podemos concluir que:

 j   u n

n

D

 1





0

(2.45)

 1

2.1.6 Ecuación de continuidad y condición de salto de masa para mezclas de componentes incompresibles Algunas mezclas tienen componentes cuyas densidades materiales son constantes, como por ejemplo una suspensión de partículas sólidas en un líquido. En estos casos hablamos de mezclas con componentes incompresibles. Debemos estar conscientes que la mezcla misma puede ser compresible. Usando la definición de fracción volumétrica, según la ecuación (2.6), la ecuación de continuidad de cada componente y la condición de salto podemos escribirla en la forma:         v   g  t

(2.46)

     v   e I       

(2.47)


18

Como  es constante, podemos dividir estas dos expresiones por su valor y obtener la ecuación de continuidad y condición de salto para mezclas con componentes incompresibles:      v   gˆ   t

(2.48)

    v   eI       

(2.49)

Sumando para todos los componentes obtenemos:   n   n   n         v     gˆ    t  1   1   1 







 n   n    v   e I        1   1 





Definiendo la velocidad promedio volumétrica q en el forma: q

n



 v

(2.50)

1

y usando resultados anteriores podemos concluir que:  n    q   gˆ     1 



(2.51)

q 0

(2.52)

2.2 DINÁMICA 2.2.1 Balance de momentum lineal Cuando se analizan las fuerzas que actúan en cuerpos multicomponentes debemos agregar a las fuerzas de cuerpo y fuerzas de contacto, presentes en cuerpos de un solo componente, las fuerzas de interacción entre componentes y las fuerzas que surgen por el efecto del intercambio de masa entre componentes. Un ejemplo puede clarificar el sentido de este último tipo de fuerza. Supongamos un cuerpo multicomponente en movimiento. Si un componente entrega masa a otro componente lo hará como un flujo asociado a la velocidad de transferencia de masa y a la velocidad que lleva el componente que entrega la masa. Aplicando la primera ley de Euler y el principio del esfuerzo de Cauchy a cada cuerpo B , se obtiene el balance macroscópico de momentum lineal (Concha y Barrientos 1993a):


d dt

z

 v  dV 

Vm ( t )

z

T  ndS 

Sm ( t )

19

z

bb



g

 m   g v  dV

(2.53)

Vm ( t )

donde T es el tenso esfuerzo en B y se le conoce como el esfuerzo parcial, b es la fuerza de cuerpo sobre B , m  es la fuerza de interacción entre los componentes, esto es, la fuerza que todos los otros componentes ejercen sobre B y g es la velocidad de crecimiento de la masa del componente B por unidad de volumen. El primer término representa la velocidad de variación del momentum lineal del cuerpo B , el segundo término es el flujo difusivo de momentum lineal debido a las fuerzas de contacto y el tercero es la velocidad de crecimiento de momentum lineal debido a las fuerzas de cuerpo, las fuerzas de interacción y el crecimiento de la masa del componente B . El uso de los teoremas de transporte de Reynolds, de GGO (Concha y Barrientos 1993b) y de localización permiten escribir la forma local del balance de momentum lineal en las siguientes dos formas equivalentes para regiones del espacio en que las variables son continuas:

  v     v v    T  b  m   g v t

b

g b

g

 v     T  b  m 

(2.54) (2.55)

La primera de estas ecuaciones recibe el nombre de forma de conservación del balance de momentum lineal. En discontinuidades, la aplicación del teorema de transporte adecuado da como resultado la siguiente condición de salto:

b

g

b

g b

 v  v  e I    v  e I  T  e I

g

(2.56)

donde   v I  eI es la velocidad de desplazamiento de la discontinuidad y e I es el vector unitario normal a la superficie singular apuntando hacia la dirección del movimiento. Sumando la ecuación (2.54) para todos los componentes obtenemos:

 t

F  v I  F  v v I   T  b b GH  JK GH  JK   n

n



 1





n



 1







n



 1



 m   g v 

g

 1

Introduciendo resultados anteriores y comparando con la ecuación de movimiento de un material de un solo componente:

    vv    T  b t


20 se puede concluir que:

u u n

T  TI 



(2.57)



 1

T n

TI 

(2.58)



 1

b n

b

(2.59)



 1

 bm n

0



 g v 

g

(2.60)

 1

El término TI recibe el nombre de parte interior del tensor esfuerzo de la mezcla. La restricción representada por la ecuación (2.60) indica que no se produce crecimiento neto de momentum lineal y que, por lo tanto, el aumento del momentum lineal de un componente se hace a expensas de la pérdida de esta propiedad de otro u otros componentes. 2.2.2 Balance de momentum angular La aplicación del axioma de momentum angular, también conocido como segunda ecuación de Euler (Concha y Barrientos 1993c) , y el principio del esfuerzo de Cauchy a cada uno de los componentes de un mezcla, da como resultado el balance macroscópico de momentum angular:

d dt

zd

i

(r  rq )x  v  dV 

Vm ( t )

zd zd

i

(r  rq )xT  n dS

Sm ( t )



b

gi

(r  rq )x b  m   g v  dV 

Vm ( t )

z

(2.61)

p dV

 Vm ( t )

El primer término es la velocidad de variación de momentum angular del componente B ; el segundo término es el torques debido a las fuerzas de contacto; el tercer término corresponde al torque debido a las fuerzas de cuerpo, fuerzas de interacción entre componentes y fuerzas asociadas al crecimiento de masa y el último término representa el intercambio de momentum angular entre componentes. El término rq se refiere a la posición del punto Q con respecto al cual se calcula el torque de las fuerzas. Cuando las variables son continuas, el balance macroscópico de momentum angular da origen a la forma local:


21

T  TT  P

(2.62)

donde el tensor antisimétrico P tiene como vector axial a p. Sumando la expresión (2.62) para cada componente resulta:

T  T  P 





T 





Usando la ecuación (2.58) podemos escribir:

TI  TIT 

P

(2.63)

 

La expresión (2.63) representa el balance de momentum angular local para la mezcla. De acuerdo a los postulados iniciales, para que esta relación corresponda a la segunda ley de Cauchy se debe cumplir:





P  0

(2.64)

Se puede concluir, entonces, que la parte interna del tensor esfuerzo parcial es simétrica:

TI  TIT

(2.65)

En aquellos casos en que no hay intercambio de momentum angular entre componentes, P  0 , y el esfuerzo parcial es simétrico.

T  TT

(2.66)

El balance de momentum angular en una discontinuidad no da información adicional a la obtenida del balance de momentum lineal. 7.2.3 Proceso dinámico Consideremos

una

mezcla

B

formada

por

componentes

B  B

con   1,2,3, ..., n . Sobre B tenemos definidas las siguientes variables de campo: r  f ( R  , t )

(2.67)

   (r , t )

(2.68)

T  T (r, t )

(2.69)

b  b (r, t )

(2.70)

g  g ( r , t )

(2.71)

m   m  (r , t )

(2.72)


22

P  P (r , t )

(2.73)

Diremos que estas siete variables constituyen un proceso dinámico si, en las regiones donde las variables son continuas, cumplen las dos ecuaciones de campo:

     v  g t

o

    det F    exp   

 v     T  b  m 

con

TI  TIT  P

t

 gˆ 0

  (2.74) 

 ( )d  

(2.75)

y en las discontinuidades cumplen:

b g  v b v e g    b v e g  bT e g  v  e I   





 



I

 

I

 

(2.76) (2.77)

I

Se denomina proceso dinámico al conjunto de ecuaciones (2.67) a (2.77),que cuantifican un modelo fenomenológico. Tenemos siete variables expresadas en función de la posición r y el tiempo t, y solamente dos ecuaciones de campo. Esto significa que, para completar la descripción del fenómeno necesitamos cinco ecuaciones constitutivas que relacionen las variables dinámicas (fuerzas) con las cinemáticas (movimiento). Estas ecuaciones constitutivas relacionan las siguientes T , f , b , f , g , f , m  , f y P , f . variables

b

gb

gb

gb

g b

g

2.3 REFERENCIAS Atkin, R.J. and Crain, R.E., Continuum theories of mixtures: Basic theory and historical development, Q. J. Appl. Math., 29, 209-244, 1976. Bedford, A. and Drumheller, D.S., Theories of inmiscible and structured mixtures, Int. J. Eng. Sci. 21,(8), 863-960, 1983. Bowen, R.M., Theory of Mixtures. In Continuum Physics, ed. A.C. Eringen, Vol III, Academic Press 1976. Bustos, M.C. and Concha, F., On the construction of Global Weak Solutions in the Theory of Sedimentation, Mat. Meth. In Appl. Sci., 10, 1988, 248. Bustos, M.C., Concha, F., Bürger, R. and Tory, E.M., Sedimentation and Thickening, Phenomenological Foundation and Mathematical Theory, Kluwer Academic Publ., Dodrecht, The Netherland, 1999, p. 20. Concha, F. y Barrientos, A., Mecánica Racional Moderna, Vol. 2, Termomecánica del Medio Continuo, Dirección de Docencia, Universidad de Concepción, 1993a, 103114. Concha, F. y Barrientos, A., op cit., 1999b, 66-72. Concha, F. y Barrientos, A., op cit., 1999c, 105.


23

Drew, D.A., Mathematical modeling of two-phase flow, Ann. Review of Fluid Mechanics 15, 261-91, 1983. Truesdell, C., Sulle basi de la termomecanica, Rend. Acad. Lincei, 22, 33-88, 1957. Traducción al inglés en: Rational Mechanics of Materials, Int. Sci. Rev. Ser. 292-305, Gordon & Breach, New York, 1965. Truesdell, C. and Toupin, R.A., The classical field theories of mechanics. Handbook of Physics, Ed. Flügge, Vol III-1, Springer Verlag, New York, 1960. Truesdell, C., Rational Thermodynamics, Springer Verlag, 2nd. Ed., New York, 1984.

CAPÍTULO 3 SISTEMAS PARTICULADOS

3.1

PROCESO DINÁMICO EN UN SISTEMA PARTICULADO

Consideremos un conjunto de partículas sólidas íntimamente mezcladas con un fluido bajo las siguientes suposiciones: (i) Las partículas sólidas son todas pequeñas, con respecto a la vasija que las contiene, y de la misma densidad, tamaño y forma. (ii) Las partículas individuales y el fluido son incompresibles. (iii) No hay transferencia de masa entre el sólido y el fluido. (iv) La única fuerza de cuerpo es la gravedad. (v) Las partículas están contenidas en una vasija impermeable y con paredes sin fricción ante líquidos y sólidos El movimiento de cada uno de los componentes de la mezcla puede ser descrito mediante los balances de masa y momentum lineal: Balance de masa del componente:

         v   g t

Balance de masa de la mezcla

q  

(3.2)

Balance de momentum lineal:

 v     T  b  m 

(3.3)

Restricción:

 bm

(3.4)

(3.1)

2

g  1 

2

 1



g

 g v   0

En estas expresiones las variables de campo (r, t), v(r, t) y T(r, t) representan la fracción volumétrica, la velocidad y los esfuerzos del componente , b(r, t) es la fuerza ejercida por el medio ambiente sobre el componente , m(r, t) es la fuerza de interacción entre componentes y g (r , t ) mide la velocidad con que los otros componentes entregan masa al componente  por unidad de volumen. El operador   () representa la divergencia. 24

Capítulo 3. Sistemas Particulados

25

El primer término de la ecuación (3.1) la velocidad de variación de la masa del componente , el segundo es el flujo de masa del componente  y el tercero corresponde a la velocidad con que los otros componentes entregan masa al componente . En la ecuación (3.2) el término de la izquierda representa la variación espacial de la velocidad volumétrica de la mezcla y el término de la derecha, la velocidad neta de producción de masa de mezcla por unidad de masa. El primer término de la ecuación (3.2) es la aceleración del componente , mientras que los términos de la derecha representan la fuerza total ejercida sobre el componente  (de contacto, exterior y de interacción). La restricción representada por (3.4) indica que el intercambio de masa y de fuerzas entre componentes no debe crear una fuerza neta en la mezcla y que el aumento de momentum de algún componente se compensa con la pérdida de otros. En discontinuidades las expresiones (3.1) a (3.3) deben ser reemplazadas por las condiciones de salto:

      v  e I

(3.5)

   v     v  ( v  e I )  T  e I

(3.6)

en que   vs  e I es la velocidad de desplazamiento de la discontinuidad. Denominemos   1  s al componente sólido y   2  f al componente fluido. Como, en virtud de las suposiciones (i) y (ii) la densidad de cada componente es constante, se puede dividir las tres ecuaciones por este término. Por otra parte, según (iii) no hay intercambio de masa entre componentes y por (iv) la fuerza de cuerpo es la gravedad. Finalmente, según (v) el movimiento es uni-dimensional. Entonces, las ecuaciones (3.1) a (3.3) se reducen a los balances de: masa del componente sólido

   vs   0 t

masa de la mezcla:

q  0 ,

momentum lineal del fluido:

s v s  Ts  s g  m

momentum lineal sólido:

f (1  ) v f  Tf  f (1  )g  m

con

(3.7) q  v s  (1  ) v f

(3.8) (3.9) (3.10)

donde r es el vector posición, (r,t) es la fracción volumétrica de sólidos y vs(r,t), vf(r,t), Ts(r,t), Tf(r,t), m, y g son las velocidades, las fuerzas de contacto y de interacción entre componentes y el vector constante gravitacional g. En la mayoría de los casos de interés práctico, no hay aceleración en el flujo, o ésta es muy pequeña comparada con los otros términos de las ecuaciones(3.9) y (3.10). Además, la fuerza de interacción entre componentes m se puede descomponer en una fuerza estática, o de equilibrio, me y en una fuerza dinámica md , dependiente del movimiento. Con esta restricción y definiciones, las ecuaciones (3.9) y (3.10) pueden ser escritas en la forma:

26


Balance de momentum lineal del sólido:

0  Ts  s g  m

(3.11)

Balance de momentum lineal del fluido:

0  Tf  f (1  )g  m

(3.12)

3.1.1 Componente Fluido Para todo tipo de fluido, los esfuerzos pueden ser separados en una parte de equilibrio y una parte dependiente del movimiento: Tf   pf (1  )I  TfE

(3.13)

donde pf es la presión parcial, o simplemente la presión, del componente fluido y TfE es el esfuerzo viscoso del fluido. Reemplazando en la ecuación (3.13) el balance de momentum lineal del fluido resulta: p f  TfE  f 1    g  m e  m d

(3.14)

En flujos en sistemas particulados hay dos variables relacionadas con fricción. Una de ellas es el esfuerzo viscoso TfE que representa la fricción interna dentro del fluido y la otra la fuerza de interacción m, que corresponde a la fricción entre el fluido y el sólido. La experiencia demuestra (Marle, 1967; Whitaker, 1967, 1986) que la fricción fluido-fluido es mucho más pequeña que la fricción sólido-fluido y, por lo tanto puede ser despreciada en la ecuación (3.14) la que se reduce a: p f  f (1  )g  m e  m d

(3.15)

Despreciar el término viscoso en la ecuación constitutiva de los esfuerzos representados por la ecuación (3.13) equivale a considerar el fluido como un fluido elástico. 3.1.2 Presión de Poros La presión pf del fluido es una variables definida en superficies que abarca el componente fluido en su totalidad. Recordar que el componente sólido y el fluido son medios continuos superpuestos. Por esta razón, la presión del fluido no es mensurable experimentalmente, ya que solamente parte de la superficie y volumen del lecho poroso está ocupada por cada componente. La variable experimental asociada al flujo en lecho poroso es la presión de poros. En mecánica de fluidos se ha demostrado que, para una mezcla sólido-fluido, la presión del fluido es continua en superficies permeables, esto es, en superficies que dejan pasar el fluido pero retienen el sólido. Por esta razón la presión en los poros de un lecho poroso, que recibe el nombre de presión de poros "p", se puede medir mediante un manómetro. La figura 3.1 muestra la forma de medir la presión de poros:


27

p  z   f g  h  z  Manómetro

q h-L

L-z

L

h-z

h

k z

q

Fig. 3.1 Medición de la presión de poros.

Procesos que se desarrollan en sistemas particulados generalmente dependen de la presión en exceso sobre la presión hidrostática, ya que a esta presión de equilibrio el proceso llega a su fin. Es por ello que se introduce el concepto de presión de poros en exceso (sobre la hidrostática), o simplemente presión en exceso, "pe", definida por: pe  z   p  z   f g z (L  z)

(3.16)

3.1.3 Componente Sólido En general, las propiedades del componente sólido de un medio particulado dependen fuertemente de la concentración de este componente. Es así como en sistemas diluidos las partículas tienen mayor libertad de movimiento, mientras que en medios concentrados, éstas son obstaculizadas en su movimiento por la presencia de otras partículas. La variable característica que separa estas dos formas de comportamiento es la concentración crítica c, que se define como aquella concentración en que las partículas entran en contacto directo unas con otras. A concentraciones menores de la crítica el medio se denomina suspensión y toda fuerza de contacto entre partículas se efectúa por intermedio del fluido. A concentraciones mayores de la crítica el medio recibe el nombre de medio poroso, lecho poroso o sedimento y los esfuerzos en el sólido puede ser transmitidos de partícula a partícula directamente. En estos casos se forma una especia de esqueleto que transmite el esfuerzo en el sólido. Tomando en consideración estas características, supondremos que el esfuerzo en el sólido es constante para concentraciones menores que la crítica y se comporta como un sólido elástico e isotrópico para valores mayores. Por lo tanto, la componente del esfuerzo Ts puede ser descrito en términos de la presión del sólido ps en la forma (Bustos et al 1999):

28

Manual de Filtración & Separación Ts   ps I

con

 para   c  ps       ps ()  para   c

(3.17)

donde c se denomina concentración crítica. Así, el balance de momentum lineal del componente sólido se transforma en: ps  f g  m e  md

(3.18)

3.1.4 Esfuerzo efectivo del sólido Al igual que en el caso del fluido, la presión en el componente sólido no es una variable mensurable experimentalmente. Cuando una fuerza compresiva se aplica a un medio poroso a concentraciones mayores a la crítica, el esfuerzo total es soportado inmediatamente por el fluido que llena los intersticios entre las partículas aumentando la presión de los poros. El gradiente de presión establecido en el agua que llena los poros y el exterior del sedimento, esto es la presión de poros en exceso, inicia el flujo de agua desde el sedimento hacia fuera de él. Este flujo es acompañado por una disminución de la presión de poros y un traspaso progresivo del esfuerzo al esqueleto sólido. Esto, a su vez, produce una deformación del medio poroso, la magnitud de la cual, depende de la relación constitutiva entre esfuerzo y deformación del material sólido y cuya velocidad está gobernada por su permeabilidad. Se denomina consolidación del medio poroso al proceso transiente de traspaso del esfuerzo aplicado desde el agua que llena los poros lecho poroso al esqueleto sólido produciendo su asentamiento. La figura mostrada a continuación es un análogo mecánico de la consolidación. La figura 3.1 muestra las diversas longitudes que asume un resorte sometido a determinadas cargas. En la figura inferior cada resorte es sumergido en agua contenida en un cilindro con un pistón, sin fricción, y una llave. 

Figura 1: Inicialmente el sistema está en equilibrio, con la llave abierta y sin peso.



Figura 2: La llave se cierra y se coloca un peso de 20 kg. Como el agua es incompresible, la presión en el agua (presión de poros), soporta el peso total sin producir deformación en el resorte (esqueleto sólido).



Figura 3: La llave se abre y el agua sometida a presión sale como un chorro con una velocidad controlada por el exceso de presión entre el interior y el exterior (presión de poros en exceso a la hidrostática) y por la fricción entre el agua y el tubo de salida.


0 kg

0 kg

29 5 kg

10 kg

15 kg

20 kg

20

0 kg

Peso total

0

20

20

20

20

20

Presión poros

0

20

20

15

10

5

0

Presión sólido

0

0

0

5

10

15

20

Figura

1

2

3

4

5

6

7

Fig. 3.1 Representación mecánica de la consolidación.



Figura 4: A medida que el agua sale, el pistón baja en forma paulatina comprimiendo al resorte, el que comienza a asumir parte de la presión externa. Aquí asume 5 kg. y su largo es el correspondiente a la figura superior sometido a 5 kg. Entretanto el agua tiene una presión de 15 kg.



Figura 5: Sale más agua, el pistón sigue bajando, el resorte asume 10 kg. y el agua 10 kg.



Figura 6: Sigue saliendo agua, el pistón baja, el resorte asume 15 kg. y el agua solamente 5 kg.



Figura 7: El agua deja de salir del pistón. Éste ha llegado a la longitud correspondiente al peso de 20 kg., mientras que el agua no soporta ningún peso y tiene la presión estática.

El proceso completo, esquematizado por las figuras 1 a 7, ha transferido los 20 kg. de carga del pistón desde el agua al resorte, esto es, desde la presión de poros al esfuerzo efectivo del sólido. 3.1.5 Presión total La presión total pt en un sistema particulado, al igual que en el esquema mecánico anterior, es la suma de la presión soportada por el fluido mas la presión soportada por el sólido:

p t  p f  ps  p   e

(3.19)

30


donde ps y pf son las presiones de los componentes sólido y fluido de la mezcla, considerados como medios continuos superpuestos ocupando el mismo volumen, y p y e son la presión de poros y el esfuerzo efectivo del sólido definidos, el primero, sólo en el fluido contenido en los poros y el segundo sólo en el esqueleto sólido. La relación entre las variables teóricas y las experimentales se puede obtener al calcular la fuerza ejercida por el fluido en una superficie de área S:

z

p f dS 

S

z

Sf

zb

g

pdSf  p  sdS S

(3.20)

donde Sf es el área de una sección del lecho poroso conteniendo solamente fluido, S es el área total del lecho poroso que incluye el sólido y el fluido y s es la porosidad superficial. Si se supone que la porosidad superficial s (fracción de la superficie de la sección del lecho poroso formada por fluido) es igual a la porosidad volumétrica  (fracción de volumen del lecho poroso formado por fluido)  f    1   , la ecuación (3.20) se puede escribir en la forma:

z

z

(3.21)

p f  (1   )p

(3.22)

p f dS  p(1   )dS

S

S

de donde resulta:

y, usando la ecuación (3.19) se obtiene:

p s  p   e

(3.23)

Substituyendo las presiones de sólido y fluido por sus equivalentes experimentales desde las ecuaciones (3.22) y (3.22), los balances locales de momentum lineal (3.18) y (3.15) se obtiene:

3.2

  p   e  f g  m e  m d

(3.24)

  (1  )p   f (1  )g  m e  md

(3.25)

FUERZA DE INTERACCIÓN EN EL EQUILIBRIO

Consideremos el balance de fuerzas del componente fluido (3.25) en el equilibrio. En este caso sabemos que la fuerza de interacción dinámica m d  0 y que

b

g

la presión de poros es la presión hidrostática p( z )  f g L  z ) , donde L es la altura de la columna de agua. Reemplazando en (3.25) resulta: (1  )f g  p  equilibrio  f (1  )g  m e

m e  p  equilibrio

(3.26)


31

Suponiendo que la forma funcional de esta ecuación es siempre válida, podemos escribir: m e  r, t   p

(3.27)

Reemplazando (3.27) en los balances de fuerza (3.25) y (3.24) se obtiene: p   f g 

md 1 

(3.28)

 e  g 

md 1 

(3.29)

En términos de la presión de poros en exceso pe, la expresión para el fluido se reduce a: p e  

md 1 

(3.30)

Combinando (3.29) y (3.30) podemos sustituir (3.29) por:

pe   e  g 3.3

(3.31)

DISCONTINUIDADES

Es bien conocido el hecho que suspensiones desarrollan discontinuidades. Por esta razón debemos establecer las ecuaciones de salto que reemplazan a las ecuaciones de campo locales en estas discontinuidades.

3.4

   vs  e I

(3.32)

  v s    vs ( vs  e I )  (pe  f g(L  z)  e )eI 

(3.33)

PROCESO DINÁMICO

Resumiendo los resultados anteriores, se puede decir que el flujo a través de un sistema particulado puede ser representado por las siguientes variables de campo: la fracción volumétrica de sólidos (z,t), la velocidad del sólido y del fluido vs(z,t) y vf(z,t), la presión de poros en exceso pe(z,t), el esfuerzo efectivo del sólido e(z,t) y la fuerza dinámica de interacción entre el sólido y el fluido md(z,t). Se dice que estas 6 variables de campo constituyen un proceso dinámico si, en las regiones donde las variables son continuas, cumplen: 1) Las ecuaciones locales de campo:    v s   0 t

(3.34)

32

Manual de Filtración & Separación q  0 ,

con

 e  g  p e  

q  v s  (1  ) v f

md 1 

md 1 

(3.35) (3.36) (3.37)

2) En las discontinuidades cumplen las condiciones de salto:

   v s  e I   v s    vs ( vs  e I )  (pe  f g(L  z)  e )eI 

(3.38) (3.39)

3) Se debe establecer ecuaciones constitutivas para e y md para describir el comportamiento del material y completar el conjunto de seis ecuaciones que describen cuantitativamente el fenómeno:

3.5

m d  m d (, v s , q,)

(3.40)

e  e (, v s , q,)

(3.41)

REFERENCIAS

Atkin, R.J. and Crain, R.E., Continuum theories of mixtures, Basic theory and historical development, Q. J. Appl. Math., 29, 209-244 (1976). Bedford, A. And Drumheller, D.S., Theories of immiscible and structured mixtures, Int. J. Eng. Sci., 21(8), 863-960 (1983). Bowen, R.M., Theory of Mixtures. In Continuum Physics, ed. A.C. Eringen, Vol. III, Academic press (1976). Bustos, M.C., Concha, F., Bürger, R. and Tory, E.M., Sedimentation and Thickening, Phenomenological Foundation and Mathematical Theory, Kluwer Academic Publ., Dodrecht, The Netherland, 1999, 46-47. Concha, F. y Barrientos, A., Mecánica Racional Moderna. Vol. II Termomecánica del medio Continuo, Dirección de Docencia, Universidad de Concepción, 1996, 248-266. Concha, F., Bustos, M.C. and Barrientos, A., Phenomenological Theory of Sedimentation, in Sedimentation of Small Particles in Viscous Fluids, Ed. E. Tory, Computational Mechanics Publ., Southampton, 1996, p. 60. Drew, D.A., Mathematical modeling of two-phase flow, Ann. Review of Fluid Mechanics, 15, 261-91 (1983). Truesdell, C., Rational Themodynamics, Springer Verlag, 2nd. Ed., New York, 1984.

CAPÍTULO 4 SEDIMENTACIÓN DE SISTEMAS PARTICULADOS Se denomina sedimentación el asentamiento de una partícula, o una suspensión de partículas, en un fluido por efecto de una fuerza externa, que puede ser la gravedad, una fuerza centrífuga o cualquier otra fuerza de cuerpo. Por muchos años ingenieros e investigadores del campo de la Tecnología de Partículas han estado buscando una ecuación simple que relacione la velocidad de sedimentación de suspensiones de partículas en un fluido con su tamaño, forma y concentración. Un objetivo tan simple ha requerido un enorme esfuerzo y ha sido solucionado solamente en parte. Desde los trabajos de Newton (1687) y Stokes (1844) de flujo alrededor de una partícula y las investigaciones mas recientes de Lapple (1940), Heywood (1962), Brenner (1964), Batchelor (1967), Zenz (1966), Barnea y Mitzrahi (1973) y muchos otros, hasta los de Concha y colaboradores (1979-1986), han establecido una teoría heurística, esto es, basada en principios fundamentales de la mecánica, pero con un mayor o menor grado de intuición y empirismo. Estos trabajos resuelven primero la sedimentación de una partícula en un fluido y luego introducen correcciones debido a la interacción entre partículas, mediante las cuales la sedimentación de una suspensión se ve dramáticamente disminuida. Este enfoque que usa principios de la mecánica de partículas ha recibido el nombre de enfoque discreto. La sedimentación discreta ha sido exitosa para establecer ecuaciones constitutivas en los procesos de sedimentación, esto es, para establecer las propiedades de sedimentación de un determinado material particulado en un determinado fluido. Sin embargo, para analizar un proceso de sedimentación y obtener patrones de comportamiento que permita predecir capacidades de tratamiento y diseño de equipos, se ha recurrido a otro enfoque que utiliza la mecánica de medio continuo como base para analizar el movimiento de suspensiones. Este es el enfoque continuo. En este capítulo presentaremos y analizaremos el enfoque discreto.

4.1

SEDIMENTACIÓN DISCRETA

La física del proceso de sedimentación más elemental, el asentamiento de una partícula sólida en un fluido, se conoce desde hace bastante tiempo. La ecuación de sedimentación de una esfera fue propuesta por Stokes en 1851 y puede considerarse como el punto de partida de toda discusión de los procesos de sedimentación. Stokes demostró que la velocidad terminal de una esfera en un fluido es directamente proporcional a la diferencia de densidades entre el sólido y el fluido, al cuadrado del

33

34


radio de la esfera, a la fuerza de gravedad e inversamente proporcional a la viscosidad del fluido. Esta ecuación se basa en un balance de fuerzas sobre la partícula. Sin embargo, la ecuación obtenida es válida solamente para movimientos muy lentos, ya que para aquellos más rápidos es necesario desarrollar expresiones más elaboradas. El problema radica en la fuerza hidrodinámica entre la partícula y el fluido. Consideremos el flujo incompresible sobre una esfera sólida. Las ecuaciones que describen este fenómeno son las ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes (Concha y Barrientos 1993). Desgraciadamente esta última ecuación es no-lineal e imposible de resolver analíticamente en forma general. Por ello, se ha buscado mecanismos para resolverla en casos particulares. Se ha demostrado que el número de Reynolds, Re  f du  , donde , d y u son la densidad, el diámetro y la velocidad de la partícula y  es la viscosidad del fluido, expresión adimensional que representa la razón entre las fuerzas convectivas y difusivas en la ecuación de Navier-Stokes, es un importante parámetro en la caracterización del flujo. Cuando el número de Reynolds es pequeño, (Re0), como por ejemplo Re<10-3, las fuerzas convectivas pueden ser despreciadas en la ecuación de Navier-Stokes, obteniéndose lo que se denomina el flujo de Stokes. 4.1.1 Fuerza hidrodinámica sobre una esfera en flujo de Stokes Debido a la linealidad de la ecuación diferencial, la velocidad, la presión y la fuerza hidrodinámica son funciones lineales de la velocidad relativa sólido-fluido. Para la fuerza hidrodinámica, los parámetros de proporcionalidad dependen del tamaño y forma de la partícula (6R) y de la viscosidad () del fluido: FD  6Ru

(4.1)

Es usual escribir la fuerza hidrodinámica en su forma adimensional, conocida como coeficiente de arrastre: CD 

FD 1 2 f u 2 R 2

(4.2)

donde f es la densidad del fluido. Reemplazando (4.1) en (4.2) se obtiene el coeficiente de arrastre de una esfera en régimen de Stokes: CD 

24 Re

(4.3)

4.1.2 Balance macroscópico sobre una esfera en régimen de Stokes Supongamos que tenemos una pequeña esfera inmersa en un fluido y suspendida mediante un hilo. La esfera, de densidad mayor que el fluido, está en equilibrio y el balance de fuerzas sobre ella debe ser cero. Las fuerzas que actúan son: (1) la fuerza de

Capítulo 4 Sedimentación de Sistemas Particulados

35

gravedad, que atrae la esfera hacia abajo, (2) la fuerza de empuje del fluido, esto es, la fuerza ejercida por la presión en el fluido que rodea la partícula, que la impulsa hacia arriba y (3) la fuerza de resistencia del hilo que soporta la partícula. El balance de fuerzas da: 0  Fhilo  Fgravedad  Fempuje

(4.4)

0  Fhilo0  p Vp g  f Vp g

(4.5)





Fhilo  p  f Vp g  Vp g

(4.6)

Fhilo Fempuje

Fgravedad

Fig. 4.1 Equilibrio sobre una esfera sumergida en un fluido.

Si en un instante se corta el hilo, se produce un desbalance de las fuerzas y, de acuerdo a la ley de Newton, la partícula debe acelerar. La aceleración inicial se puede obtener del nuevo balance de fuerzas en la que ya no existe la resistencia del hilo. La figura 4.2a muestra este nuevo balance. Una vez que la partícula se pone en movimiento aparece una nueva fuerza, la fuerza de arrastre entre el sólido y fluido que se opone al movimiento y que es proporcional a la velocidad relativa entre el sólido y el fluido, y como este último está inmóvil, es la velocidad que adquiere la partícula.

Fe= fVpg

Fe= fVpg

Fd=-6Ru Fg=-pVpg

Fig. 4.2a Antes del movimiento.

u(t)

Fg=-pVpg

Fig. 4.2b Inicio de movimiento.

36

Manual de Filtración & Separación ma (t  0)  Vp g  g p

a( t  0) 

 Fgravedad  Fempuje  Farrastre

ma(t)

p Vp a(t)  Vp g  6Ru(t) a(t) 

 g p



9 2p R 2

(4.7)

u(t)

Debido al aumento de la velocidad u con el tiempo, el segundo término de (4.7) crece mientras el primero permanece constante, llegando un momento en que el segundo término de (4.7) se hace igual al primero y, por lo tanto la aceleración se anula. La velocidad a la cual se anula la aceleración se denomina velocidad terminal u y es una característica de la partícula y del fluido. Despejando u desde (4.7) y denominándola u resulta: u 

2 R 2 g 1 d 2g  9  18 

(4.8)

Esta expresión se conoce como ecuación de Stokes, es válida parra pequeños números de Reynolds y fue deducida por este investigador en 1851. Ejemplo 1 Calcular la velocidad terminal de sedimentación de una esfera de cuarzo de densidad 2.65 g/cm3 y 10m de diámetro en agua a 20 °C. La viscosidad del agua a 20°C es de 0.01 g/cm-s, entonces, aplicando la ecuación (4.8) resulta: u(10) 

1 (2.65  1.00)  (10 10000) 2  981  9.0  103 cm / s 18 0.01

Dinámica de la sedimentación La ecuación (4.7) representa la dinámica de la sedimentación gravitacional. Ordenemos y escribamos explícitamente:   u(t)

cuya solución es:

u(t) 

1 18p d

2

u(t) 

 g0 p

 18 1 d 2 g   1  exp   2 18    pd

 t  

(4.9)


37

El término entre paréntesis dentro del exponencial se denomina número de Stokes y el término que multiplica el paréntesis en término de la derecha es la velocidad de Stokes, como vimos en (4.8).

Ejemplo 2 Determinar cuanto tiempo necesita una partícula de 10, 50 y 100m para llegar a la velocidad terminal. La figura siguiente muestra la evolución de las velocidades de las esfera versus el tiempo al aplicar la ecuación (4.9). La velocidad terminal para d=100, 50 y 10 m es de 0.624, 0.216 y 0.0345 cm/s y el tiempo para llegar a estos valores es de 0.0067, 0.017 y 0.0005 segundos, según la ecuación (4.8). Como esto tiempos son muy cortos, generalmente no se los toma en cuenta y se supone que una partícula llega a su velocidad terminal instantáneamente.

1.00000

Velocidad en cm/s

d=100 m

d=50 m 0.10000

d=10 m

0.01000 0.0001

0.001

0.01

Tiempo en segundos

Velocidad de sedimentación versus tiempo. 4.1.3 Fuerza hidrodinámica sobre una esfera en flujo de Euler Cuando el número de Reynolds tiende a infinito (Re), las fuerzas viscosas desaparecen y la ecuación de Navier-Stokes se transforma en la ecuación de Euler de flujo invíscido (Gurtin 1981). En este caso la componente tangencial de la velocidad sobre la superficie de la esfera es una función lineal de la velocidad relativa sólidofluido y la componente radial es nula:

38

Manual de Filtración & Separación 3  u  ()   sen  u y 2 

ur  0

(4.10)

pero la presión ya no es lineal y responde a la ecuación de Bernouilli (Batchelor 1967): p( )  1 2 f u 2  p  1 2 f u 2 =constante

  u 2  1 p()  p  f u 2  1        u   2  

(4.11)

La presión adimensional, o coeficiente de presión sobre la esfera, definida por: Cp   p( )  p  (1 2) f u 2 queda expresada para el régimen de Euler por: 9 Cp  1  sen 2  2

(4.12)

La figura 4.3 muestra esta relación en forma gráfica, donde p() y u son la presión y la velocidad para un ángulo  sobre la superficie de la esfera y p y u corresponde a los valores de estas variables en el flujo lejos de la esfera. 1.5

Coeficiente de presión Cp

1

0.5

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-0.5

-1

-1.5

Angulo  en radianes

Fig. 4.3 Coeficiente de presión en función de la distancia sobre la superficie de la esfera en un flujo invíscido (Schlichting 1968, p21).

Para un flujo invíscido estacionario la fuerza de arrastre es cero. Esto se debe a que, no habiendo viscosidad en el fluido no hay fricción con la partícula y el efecto de la presión se anula debido a la simetría de la esfera.


39

4.1.4 Fuerza hidrodinámica sobre una esfera en flujo de Prandtl Cuando el número de Reynolds tiene valores intermedios, las fuerzas convectivas tienen el mismo orden de magnitud que las fuerzas viscosas, y el flujo puede dividirse en dos partes, un flujo invíscido lejano a la partícula y un flujo viscoso muy cerca de ella donde la viscosidad juega un papel importante. Esta figura forma la base de la Teoría de Capa Límite (Schlichting 1968). En el flujo sin viscosidad externo (a la capa límite) se puede aplicar las ecuaciones de Euler y la distribución de velocidad y presión se puede obtener de la ecuación de las ecuaciones (4.10) y (4.11). En la capa límite y, debido a la viscosidad, se establece un importante gradiente de concentración que permite que la condición de no-deslizamiento del fluido respecto al sólido se cumpla en la superficie de la partícula. La pérdida de energía en la capa límite, originada por la disipación viscosa, retarda el flujo y, en un cierto punto de la superficie de la esfera el flujo cambia de dirección ayudado por el gradiente de presión adverso que allí existe. Este fenómeno fuerza al fluido hacia fuera, alejándolo de la superficie de la esfera y produciendo lo que se conoce como separación de la capa límite. La separación de la capa límite sobre una esfera ocurre a un ángulo, denominado ángulo de separación, dado por (Lee and Barrow, 1968):

s  214 Re 0.1

para 24
(4.13)

El valor del ángulo de separación es de s=155.7 para Re=24 y s=85.2 para Re=10.000. Para valores del Reynolds excediendo 10.000, el ángulo de separación disminuye lentamente desde s=85.2 para llegar a 84° y mantenerse en este valor hasta Re150.000 (Tomotika 1937, Fage 1937, Amai 1938, Cabtree et al 1963). Debido a la separación de la capa límite, la región de líneas de corriente cerrada detrás de la esfera contiene un anillo de vórtice que aparece a Re24. La figura 4.4. muestra una situación similar para el flujo alrededor de un cilindro, donde se aprecia la separación de la capa límite y la formación de una estela. El grosor “”de la capa límite se define como la distancia desde la superficie hasta el lugar en que la velocidad v ha alcanzado el 99% de su valor del flujo externo invíscido y se ha determinado que es proporcional a Re-0.5. Es así como en el punto de separación el grosor de la capa límite se puede expresar en la forma:

   01 2 R Re

(4.14)

McDonald (1954) da un valor de 0  9.06 . Taneda (1956) calculó el tamaño de la región cerrada detrás de la esfera y concluyó que para Re >130 el anillo de vórtice comienza a oscilar y que a número de Reynolds mayores el fluido rompe la zona cerrada formando una estela.

40


La separación de la capa límite previene la recuperación de la presión en la parte posterior de la esfera, más allá del punto de separación, resultando una distribución asimétrica, con una mayor presión en el frente que en la región posterior de la esfera. La figura 4.6 muestra el coeficiente de presión sobre la esfera en un flujo invíscido y en capa límite. Se observa que después del punto de separación la presión, a números de Reynolds cercanos a Re150.000, tiene un valor aproximadamente constante, denominado presión base, igual a p*b  0.4   (Fage 1937, Lighthill 1963, p.108, Goldstein 1965, pp. 15 y 497, Schlichting 1968, p. 21).

Fig. 4.4 Flujo alrededor de un cilindro a varios números de Reynolds.

Fig.4.5 Tamaño de la zona de vórtices detrás de una esfera a números de Reynolds intermedios. (Taneda 1956).


41

1.5

Coeficiente de presión Cp

1

0.5

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-0.5

-1

-1.5

Angulo  en radianes

Fig. 4.6 Coeficiente de presión en función de la distancia sobre la superficie de la esfera en un flujo invíscido y en capa límite.

La asimetría de la distribución de presión sobre la esfera explica el origen de la fuerza hidrodinámica de forma, la magnitud de la cual está directamente relacionada con la posición del punto de separación. Mientras más atrás se encuentre el punto de separación en la esfera, menor será la fuerza de interacción. Para una esfera sumergida en un fluido a alto número de Reynolds, el punto de separación se mantiene constante para un amplio rango de números de Reynolds superiores a 10.000, como ya hemos visto, y debido a ello, la fuerza de interacción debe permanecer relativamente constante, excepto cuando el régimen de flujo cambia de laminar a turbulento. Al mismo tiempo la fuerza de interacción viscosa debido a la fricción dentro de la capa límite disminuye en proporción al Re 1 2 . De estas consideraciones se puede observar que a números de Reynolds del orden de 1.000, la fuerza de interacción viscosa ha disminuido lo suficientemente para que su contribución a la fuerza de interacción total sea despreciable. Es así como entre Reynolds del orden de 10.000 y 150.000 el coeficiente de arrastre as aproximadamente constante e igual a C D  0.44 . Para números de Reynolds mayores a 150.000 el carácter del flujo cambia tornándose turbulento en el frente de la esfera. El aumento de la energía cinética que la turbulencia trae, permite que el flujo en la capa límite pueda avanzar mas lejos en la superficie de la esfera, corriendo el punto de separación a valores cercanos a 110° y haciendo que la presión base aumente. Estos fenómenos traen como consecuencia una disminución brusca de la fuerza hidrodinámica, la que a Reynolds mayores aumenta nuevamente a una mayor velocidad. La figura 4.7 muestra un gráfico de datos

42


experimentales del coeficiente de arrastre, o fuerza hidrodinámica adimensional, considerados estándares, versus número de Reynolds. Estos datos muestran el efecto indicado. 1000.00

Coeficiente de arrastre CD

100.00

10.00

1.00

0.10

0.01 1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

Número de Reynolds Re

Fig. 4.7 Coeficiente de arrastre CD versus número de Reynolds Re, según datos estándares de Lapple and Shepherd (1940). Ver también Perry (1963, p. 5.61).

4.1.5 Coeficiente de arrastre para una esfera con 0>1, C D  0.44 . Con el objetivo de encontrar una ecuación general que relacione el coeficiente de arrastre y el número de Reynolds, utilizaremos el concepto de capa límite y recordaremos que, para una posición determinada en la superficie de la esfera, la presión dentro de la capa límite es igual a la presión existente inmediatamente fuera de ésta antes del punto de separación, y es una constante después de este punto. Recordemos también que tanto el punto de separación como la presión base son constantes. Consideremos un sistema formado por una esfera de radio R y su capa límite de espesor  sumergidos en un flujo a alto número de Reynolds Abraham 1970). Aproximemos por a  R   al radio de este sistema, según se muestra en la figura 4.8 Fuera de la esfera de radio "a", y hasta el punto de separación, el flujo es invíscido y la distribución del coeficiente de presión está dada por (4.12):


43

Fig. 4.8 Modelo físico para una esfera en flujo en capa límite.

9 Cp  1  sen 2  2

Por lo tanto, dentro de la capa límite, y hasta el punto de separación, la distribución de presión estará dada por: 1  9  p( )  f u 2  1  sen 2   2  2 

(4.15)

y más allá del punto del punto de separación esta será: 1 p( )  f u 2 p*b 2

(4.16)

Sobre el sistema de radio "a" en consideración, esfera más capa límite, la fuerza hidrodinámica se reduce al arrastre de forma debido a la presión, ya que la viscosidad está confinada dentro del interior de la esfera de radio "a". Por lo tanto la fuerza hidrodinámica está dada por: FD 



Sa

p( ) cos dS

(4.17)

El elemento de superficie de la esfera de radio a en coordenadas esféricas es: dS  a 2sendd

Donde  es la coordenada azimutal. Reemplazando en (4.17) obtenemos: FD 

2



0

0

 

p( )sen cos dd

(4.18)

44


Integrando (4.17) en  resulta: FD  2a 2





0

p( )sen cos d

(4.19)

Como el valor de p es diferente antes y después del punto de separación, dividamos la integral en dos partes, de 0 a s y de s a : FD  2a 2  



s

0

p( )send(sen) 





s

p()send(sen)  

Sustituyendo los valores de p() de (4.15) y (4.16) para cada caso e integrando resulta: 9 1 1  FD  a 2f u 2  sen 2 s  sen 4 s  p*b sen 2 s  16 2 2 



(4.20)



Reemplazando a=R+ y definiendo la función f s , p*b en la forma:





1 9 1 f s , p*b  sen 2 s  sen 4 s  p*bsen 2 s 2 16 2

(4.21)

podemos escribir(4.20) en la forma: 2

  FD  f u R  1   f s , p*b R  2



2



(4.22)

En términos del coeficiente de arrastre podemos escribir:   C D  2f s , p*b  1   R 





2

(4.23)

Definiendo el nuevo parámetro C0 en la forma:



C0  2f s , p*b



(4.24)

y reemplazando la razón /R de (4.14), podemos escribir finalmente: CD 



C0 s , p*b



0   1  1 2  Re  

2

(4.25)

Si calculamos el valor de C0 para s=84° y p*b  0.4 , se obtiene f  84, 0.4   0.142 y C0 resulta ser C0  0.284  0.28 . Usando este valor y el valor de 0=9.06, obtenemos: 9.06   C D  0.28  1  1 2   Re 

2

(4.26)


45

La expresión (4.26) representa el coeficiente de arrastre para una esfera en régimen de capa límite. Una comparación de la simulación con esta función y los datos experimentales estándar se muestra en la figura 4.8. Los datos experimentales estándar de Lapple and Shepherd (1940) para partículas esféricas se muestran en la tabla 4.1. y figura 5.7.

4.1.6 Velocidad de sedimentación de una esfera Hemos visto, que cuando una partícula sedimenta a velocidad terminal se establece un balance entre las fuerzas de gravedad, fuerzas de empuje y fuerza hidrodinámica en la forma: Fgravitacional  Fempuje  Fhidrodinamica  0

por lo tanto: Fhidrodinamica    Fgravitacional  Fempuje   peso neto de las partículas FD     p Vp ( g)  f Vp g   Vp g

(4.27)

donde  es la diferencia de densidades entre sólido y fluido. La expresión (4.27) implica que la fuerza hidrodinámica para partículas en sedimentación se conoce de antemano y es independiente de la forma de la partícula. Para una partícula esférica resulta: 4 R 3g 3

(4.28)

FD 4 dg  2 2 3 f u 2 1 2 f u R

(4.29)

FD 

y el coeficiente de arrastre será: CD 

donde d=2R es el diámetro de la esfera. Como el número de Reynolds está definido por: Re 

duf f

(4.30)

mediante la combinación de éste y el coeficiente de arrastre, se puede definir dos números adimensionales (Heywood 1962):  4 f g  3 C D Re 2   d  3  2  f  

Re  3 f2  3  u CD  4 f g 

(4.31)

46

Manual de Filtración & Separación Tabla 4.1 Coeficiente de arrastre en función del número de Re* Re 0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1 2 3 5 7 10 20 30 50 70 100 200 300 500 700 1000 2000 3000 5000 7000 10000 20000 30000 50000 70000 100000 200000 300000 500000 700000 1000000 3000000

CD 240.00 120.00 80.00 49.50 36.50 26.50 14.60 10.40 6.90 5.30 4.10 2.55 2.00 1.50 1.27 1.07 0.77 0.65 0.55 0.50 0.46 0.42 0.40 0.39 0.39 0.41 0.45 0.47 0.49 0.50 0.48 0.42 0.20 0.08 0.10 0.13 0.20

CDRe2 2.4 4.8 7.2 12.4 17.9 26.5 58.4 93.6 172.5 259.7 410.0 1.02E+03 1.80E+03 3.75E+03 6.22E+03 1.07E+04 3.08E+04 5.85E+04 1.38E+05 2.45E+05 4.60E+05 1.68E+06 3.60E+06 9.63E+06 1.91E+07 4.05E+07 1.80E+08 4.23E+08 1.23E+09 2.45E+09 4.80E+09 1.68E+10 1.80E+10 2.10E+10 4.90E+10 1.30E+11 1.80E+12

*Lapple and Shepherd 1940.

Re/CD d*=(CDRe2)1/3 u*=(Re/CD)1/3 4.17E-04 1.34 7.47E-02 1.67E-03 1.69 1.19E-01 3.75E-03 1.93 1.55E-01 1.01E-02 2.31 2.16E-01 1.92E-02 2.62 2.68E-01 3.77E-02 2.98 3.35E-01 1.37E-01 3.88 5.15E-01 2.88E-01 4.54 6.61E-01 7.25E-01 5.57 8.98E-01 1.3 6.38 1.10 2.4 7.43 1.35 7.8 1.01E+01 1.99 15.0 1.22E+01 2.47 33.3 1.55E+01 3.22 55.1 1.84E+01 3.81 93.5 2.20E+01 4.54 259.7 3.13E+01 6.38 461.5 3.88E+01 7.73 909.1 5.16E+01 9.69 1.40E+03 6.26E+01 11.19 2.17E+03 7.72E+01 12.95 4.76E+03 1.19E+02 16.82 7.50E+03 1.53E+02 19.57 1.30E+04 2.13E+02 23.51 1.79E+04 2.67E+02 26.18 2.47E+04 3.43E+02 29.12 4.44E+04 5.65E+02 35.42 6.38E+04 7.51E+02 39.96 1.02E+05 1.07E+03 46.73 1.40E+05 1.35E+03 51.92 2.08E+05 1.69E+03 59.28 4.76E+05 2.56E+03 78.09 1.50E+06 2.62E+03 114.47 5.95E+06 2.76E+03 181.23 7.00E+06 3.66E+03 191.29 7.69E+06 5.07E+03 197.40 1.50E+07 1.22E+04 246.62


47

1000,00


100,00

10,00

1,00

0,10

0,01 0,01

0,1

1

10

100

1000

10000


100000 100000 1E+07 0

Fig. 4.9 Coeficiente de arrastre versus número de Reynolds. La línea continua corresponde a la simulación con la ecuación (4.26) y los círculos a datos estándar de Lapple y Shepherd (1940).

Concha y Almendra (1979a) definieron los parámetros característicos del sistema sólido-fluido P y Q: 13

 3 f2  P   4 f g 

(4.32) 13

 4 f g  Q  2  3 f 

(4.33)

de forma que las ecuaciones (4.31) y se pueden escribir en la forma: 3

d CD Re     d *3 P 2

(4.34)

3

Re  u      u *3 CD  Q 

(4.35)

Las expresiones (4.34) y (4.35) definen un tamaño d* y una velocidad u* adimensionales, que son características del sistema sólido-fluido. Multiplicando estas dos ecuaciones podemos verificar que:

48

Manual de Filtración & Separación Re  d * u *

(4.36)

Reemplazando las expresiones (4.25) y (4.36) en (4.34) obtenemos (Concha y Almendra 1979a): 2

  0 2   u *d * d *  C0  1  12   u * d *    3

u * d * 0  u *d *

12



d *3 2 0 C10 2

Resolviendo esta ecuación algebraica de segunda grado obtenemos: 12  1 20   4 32  1  1 2 2 d *   1 u*   4 d *   C 0 0   

2

(4.37)

12   1 4 0  3 2   2  d*  C0 u * 1   1  1 2 u *     C0 4   

2

(4.38)

La primera ecuación se conoce con el nombre de ecuación de Concha y Almendra para una esfera. Estas dos ecuaciones son generales, para esferas sedimentando a cualquier número de Reynolds. La primera ecuación permite calcular la velocidad de sedimentación de una partícula de diámetro adimensional d* y la segunda permite calcular el diámetro adimensional de una partícula que adquiere una velocidad de sedimentación adimensional de u*. Para el caso de la esfera, podemos introducir los valores de C0=0.28 y 0=9.06, para obtener: u* 



20.52 1  0.0921d *3 2 d*







12



1

d*  0.07u *2 1  1  68.49u *3 2



2

(4.39)



12 2

(4.40)

La figura 4.9 muestra la comparación entre los valores de sedimentación simulados y los calculados desde los datos experimentales estándar (ver Tabla 4.1).


49

1,00E+03

Velocidad adimensional u*

1,00E+02

1,00E+01

1,00E+00

1,00E-01

1,00E-02 1,E-01

1,E+00

1,E+01

1,E+02

1,E+03

1,E+04

1,E+05

Diámetro adimensional d*

Fig. 4.9 Velocidad adimensional versus tamaño adimensional para la sedimentación de esferas según la ecuación (4.39) y comparación con datos experimentales estándar de Cd versus Re de Lapple and Shepherd 1940.

Ejemplo 3 Para realizar cálculos de sedimentación de partículas esféricas es necesario conocer los parámetros de tamaño P y velocidad Q, que dependen de las propiedades del sólido y del fluido. Construya una tabla para estos parámetros en función de la densidad del sólido. Suponga que la densidad del agua es de 1 g/cm3 y su viscosidad 0.01 g/cm-s.



La definición de P y Q es P  3f2 4f g



13



Q  4 f g 32f



13

. El

resultado se muestra en la tabla de la página siguiente.

Ejemplo 4 Calcular la velocidad de sedimentación de esferas de cuarzo de densidad 2.65 g/cm3 de los siguientes diámetros: 10 m, 50 m, 100 m, 300 m, 500 m, 1 mm 5 mm y 1 cm a 20 °C. La ecuación que predice la velocidad de sedimentación es: u* 



20.52 1  0.0921d *3 2 d*



12



2

1 ,

con

d*  d P y u  Q  u *

50


Tabla de resultados del ejemplo 3. s (g/cm3) f (g/cm3) f (g/cms) 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95 2.00 2.05 2.10 2.15 2.20 2.25 2.30 2.35 2.40 2.45 2.50 2.55 2.60 2.65 2.70 2.75 2.80 2.85 2.90 2.95 3.00 3.05 3.10 3.15 3.20 3.25 3.30

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100

s (g/cm3) f (g/cm3)

P (cm)

Q (cm/s)

9.1470E-03 7.9906E-03 7.2600E-03 6.7396E-03 6.3422E-03 6.0245E-03 5.7622E-03 5.5404E-03 5.3492E-03 5.1819E-03 5.0338E-03 4.9013E-03 4.7817E-03 4.6730E-03 4.5735E-03 4.4820E-03 4.3974E-03 4.3189E-03 4.2457E-03 4.1772E-03 4.1129E-03 4.0524E-03 3.9953E-03 3.9413E-03 3.8901E-03 3.8415E-03 3.7952E-03 3.7511E-03 3.7089E-03 3.6686E-03 3.6300E-03 3.5929E-03 3.5574E-03 3.5232E-03 3.4902E-03 3.4585E-03 3.4279E-03 3.3983E-03 3.3698E-03 3.3422E-03 3.3154E-03 3.2895E-03 3.2644E-03 3.2400E-03 3.2164E-03

1.0933E+00 1.2515E+00 1.3774E+00 1.4838E+00 1.5767E+00 1.6599E+00 1.7354E+00 1.8049E+00 1.8694E+00 1.9298E+00 1.9866E+00 2.0403E+00 2.0913E+00 2.1400E+00 2.1865E+00 2.2311E+00 2.2741E+00 2.3154E+00 2.3553E+00 2.3940E+00 2.4314E+00 2.4677E+00 2.5029E+00 2.5372E+00 2.5706E+00 2.6032E+00 2.6349E+00 2.6659E+00 2.6962E+00 2.7258E+00 2.7548E+00 2.7832E+00 2.8111E+00 2.8384E+00 2.8651E+00 2.8914E+00 2.9172E+00 2.9426E+00 2.9676E+00 2.9921E+00 3.0162E+00 3.0400E+00 3.0633E+00 3.0864E+00 3.1091E+00

3.35 3.40 3.45 3.50 3.55 3.60 3.65 3.70 3.75 3.80 3.85 3.90 3.95 4.00 4.05 4.10 4.15 4.20 4.25 4.30 4.35 4.40 4.45 4.50 4.55 4.60 4.65 4.70 4.75 4.80 4.85 4.90 4.95 5.00 5.05 5.10 5.15 5.20 5.25 5.30 5.35 5.40 5.45 5.50 5.55

f (g/cms)

P (cm)

Q (cm/s)

0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100 0.0100

3.1934E-03 3.1711E-03 3.1494E-03 3.1282E-03 3.1076E-03 3.0876E-03 3.0681E-03 3.0490E-03 3.0304E-03 3.0123E-03 2.9945E-03 2.9772E-03 2.9603E-03 2.9438E-03 2.9276E-03 2.9118E-03 2.8963E-03 2.8811E-03 2.8663E-03 2.8517E-03 2.8375E-03 2.8235E-03 2.8098E-03 2.7963E-03 2.7831E-03 2.7702E-03 2.7575E-03 2.7450E-03 2.7328E-03 2.7207E-03 2.7089E-03 2.6973E-03 2.6858E-03 2.6746E-03 2.6635E-03 2.6527E-03 2.6420E-03 2.6315E-03 2.6211E-03 2.6109E-03 2.6009E-03 2.5910E-03 2.5812E-03 2.5716E-03 2.5622E-03

3.1314E+00 3.1535E+00 3.1752E+00 3.1967E+00 3.2179E+00 3.2388E+00 3.2594E+00 3.2798E+00 3.2999E+00 3.3198E+00 3.3394E+00 3.3588E+00 3.3780E+00 3.3970E+00 3.4158E+00 3.4343E+00 3.4527E+00 3.4709E+00 3.4889E+00 3.5067E+00 3.5243E+00 3.5417E+00 3.5590E+00 3.5761E+00 3.5931E+00 3.6098E+00 3.6265E+00 3.6430E+00 3.6593E+00 3.6755E+00 3.6915E+00 3.7075E+00 3.7232E+00 3.7389E+00 3.7544E+00 3.7698E+00 3.7850E+00 3.8002E+00 3.8152E+00 3.8301E+00 3.8449E+00 3.8596E+00 3.8741E+00 3.8886E+00 3.9029E+00

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Tabla de resultados del ejemplo 4 d (m) 1 10 50 100 300 500 1000 5000 10000

d* 2.7832E-02 2.7832E-01 1.3916E+00 2.7832E+00 8.3497E+00 1.3916E+01 2.7832E+01 1.3916E+02 2.7832E+02

u*oo 3.37E-05 3.35E-03 7.84E-02 2.80E-01 1.55E+00 2.91E+00 5.83E+00 1.90E+01 2.86E+01

uoo (cm/s) 9.4E-05 9.3E-03 2.2E-01 7.8E-01 4.3E+00 8.1E+00 1.6E+01 5.3E+01 8.0E+01

Reoo 9.3798E-07 9.3189E-04 1.0916E-01 7.7900E-01 1.2970E+01 4.0473E+01 1.6214E+02 2.6373E+03 7.9666E+03


51

Para calcular velocidades de sedimentación a otras temperaturas es necesario disponer de la densidad y viscosidad del fluido en esas condiciones. El gráfico que sigue muestra correlaciones de estas variables entre 0 y 100°C (Droguett 2000). 2.50E-04

0.018 0.016

viscosidad agua (g/cm-s)

y = 5E-07x + 0.0002

0.012

2

R = 0.9996

1.50E-04

0.01 0.008 1.00E-04 0.006 0.004

viscosidad aire (g/cm-s)

2.00E-04

0.014

5.00E-05

2

y = 9E-07x - 0.0002x + 0.0156 2

R = 0.9983

0.002 0

0.00E+00 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Temperatura (ºC)

Fig. 4.10 Viscosidades del agua y aire a diversas temperaturas. 1.005

1.40E-03

y = -3E-06x + 0.0013 1.000

2

R = 0.9931

1.20E-03

1.00E-03 3

0.990

densidad aire (g/cm )

3

densidad agua (g/cm )

0.995

0.985

8.00E-04

0.980 6.00E-04

0.975 0.970

4.00E-04 2

y = -4E-06x - 6E-05x + 1.0004

0.965

2

R = 0.9993

2.00E-04

0.960 0.955

0.00E+00 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Temperatura (ºC)

Fig. 4.10 Densidades del agua y aire a diversas temperaturas.

52


Las correlaciones para las viscosidades con la temperatura T en °C son: agua  9.0  107 T 2  2.0  10 4 T  1.56  10 2 ( g / cm  s)

(4.41)

aire  5.0  107 T  2.0  10 4 (g / cm  s)

(4.42)

Las correlaciones para las densidades con la temperatura T en °C son: agua  4.0  10 6 T 2  6.0  10 5 T  1.0004 (g / cm3 )

(4.43)

aire  3.0  106 T  1.3  103 (g / cm3 )

(4.44)

Ejemplo 5 Calcular la velocidad de sedimentación de una esfera de cuarzo de 300 m en agua a 60 °C. Considere: agua  0.982 g / cm3 , agua  6.84  103 g / cms , P  2.796  10 3 , Q  2.4903 d* 

300  10.730 10000  2.796  103

u *  2.14 y u   2.14  2.4903  5.34 cm s .

4.1.7 Sedimentación de una suspensión de esferas Cuando una esfera que sedimenta se encuentra rodeada de otras esferas se produce entorpecimiento en el asentamiento de cada una de ellas. Al trasladarse una partícula de una posición a otra, puede encontrar ocupado el nuevo lugar y colisionará con la partícula que lo ocupa desviándose de su trayectoria. Mientras más partículas existan en la suspensión mayor oportunidad existirá para que se obstaculicen entre ellas. El resultado es que la velocidad efectiva de sedimentación disminuirá al aumentar la concentración de la suspensión. Como la obstaculización en la sedimentación de una partícula depende del volumen del espacio ocupado y no de su masa, la variable apropiada para describir este fenómeno es la fracción del espacio ocupada por el sólido, esto es, la fracción volumétrica de sólidos. Concha y Almendra (1979b) postularon que para una suspensión de partículas esféricas, todas de la misma densidad y diámetro, la ecuación (4.39) sigue siendo válida con parámetros P y Q reemplazados por P() y Q(). Para mostrar que se trata de la suspensión usemos las letras U* y D* en vez de u* y d* de una partícula individual: U* 



20.52 1  0.0921D *3 2 D*



12



1

2

(4.45)


53

donde supondremos que: D* 

d P 

U* 

y

u Q 

(4.46)

Es costumbre considerar las propiedades de una suspensión, tal como la viscosidad, como el producto de la misma propiedad del fluido y una función de la concentración. Siguiendo este ejemplo, supongamos que las propiedades P() y Q() de la suspensión se relacionan con las propiedades del sólido y fluido en la forma: P     Pf p   

Q     Qf q   

y

(4.47)

Entonces, reemplazando en (4.46) resulta: D* 

d* fp 

y

U* 

u* fq   

(4.48)

Con estas definiciones, la ecuación (4.45) se puede escribir en la forma: u* 



20.52 f p    f q    1  0.0921f p3 2d *3 2 d*



12



1

2

(4.49)

Esta expresión, conocida con el nombre de ecuación de Concha y Almendra para suspensiones de esferas, permite calcular la velocidad de sedimentación de partículas de cualquier tamaño a cualquier concentración. Para ello es necesario conocer los parámetros fp() y fq(). Expresiones asintóticas para la velocidad Para valores pequeños del número de Reynolds, Re0, se cumplen las siguientes expresiones para (4.39) y (4.49):  1

0.0921d *3 2 32

0.0921d *

f p3 2

 1

Tomando en cuenta estas consideraciones, las ecuaciones (4.39) y (4.49) se reducen a: 2

 0.0921  2 2 u*  20.52   d * f p    fq    2   2

u*

 0.0921   20.52  d *2   2 

En esta expresión hemos usado los símbolos u* y u* para indicar la velocidad de una partícula en un medio infinito y la misma partícula en una suspensión. El cuociente entre estas dos expresiones resulta ser:

54

Manual de Filtración & Separación u*  f p2    f q    u*

Para Re0

(4.50)

Haciendo una deducción similar para valores altos del número de Reynolds, Re, para (4.39) y (4.49) se cumple:  1

0.0921d *3 2 32

0.0921d *

f p3 2

 1

y las ecuaciones (4.39) y (4.49) se reducen a: u*  20.52x0.0921xd *1 2 f p1 2    f q    u*  20.52x0.0921xd *1 2

El cuociente entre estas dos expresiones es:

Para Re

u*  f p1 2    f q    u*

(4.51)

Formas funcionales para fp() y fq() Varios autores han presentado ecuaciones para expresar la velocidad de sedimentación de suspensiones en función de la velocidad de sedimentación de una partícula en un medio infinito y la concentración. La tabla 4.1 muestra algunas de estas expresiones. Tabla 4.2 Expresiones para las velocidades de sedimentación asintóticas R. y Zaki fp()

(1-)-1.51

fq()

(1-)0.64

Concha y Almendra

Massarani

1 3   (1  )(1  0.75 )  2 3 3 4 1.83   (1    1.2 ) (1  1.45) 

4 1 3   (1  ) (1  0.75 )  2 3 3 1.83   (1    1.2 ) (1  1.45) 



2 3

1 3



 0.087 1  0.751 3 exp  2.37(1  )     1.83   1  1.45     

   

2 3

1  0.75   0.087 exp  2.37(1  )    4

1 3

1  1.45 1.83

1 3

 

La figura 4.10 muestra la velocidad adimensional U* para suspensiones de esferas de cualquier tamaño y densidad versus el tamaño adimensional D*. Esta curva es universal.


55

La figura 4.11 muestra una simulación de la velocidad de sedimentación adimensional u* de partículas de tamaño adimensional d* para varios valores de la concentración. Esta figura puede ser usada para analizar el estado de flujo en un lecho poroso.

Figura 4.10. Velocidad adimensional U* para suspensiones de esferas de cualquier tamaño y densidad versus el tamaño adimensional D*, junto a datos experimentales (Concha y Almendra 1979).

Veremos mas adelante que para un medio poroso la velocidad de percolación q está dada por: q  vs  (1  )v r

(4.52)

donde q  vs  (1  )vf y v r  vs  vf es la velocidad relativa sólido-fluido. Para un flujo bifásico esta velocidad de percolación recibe el nombre de velocidad volumétrica. La figura 4.11 separa el plano en tres regiones, la región de lecho fijo entre el eje de las abscisas y =0.585, la región de lecho fluidizado entre 0.585>>0 y la región de transporte hidráulico o neumático entre =0 y el eje de las ordenadas. Wen and Yu (1966) y Barnea and Mednick (1975) muestran que la velocidad inicial de fluidización corresponde a una concentración de =0.585.

56

Manual de Filtración & Separación 1.00E+02

=0,3


1.00E+01

=0,2

1.00E+00

=0,4 1.00E-01

=0,1 =0,5 1.00E-02

=0

1.00E-03

=0,585

1.00E-04

0.01

0.1

1

10

100

1000

Diámetro adimensional d*

Fig. 4.11 simulación de la velocidad de sedimentación adimensional u* de partículas de tamaño adimensional d* para varios valores de la concentración a 20°C.

Consideremos como un ejemplo que un flujo en un lecho poroso, formado por partículas esféricas de tamaño adimensional d*=1, el fluido percola a través del lecho a una velocidad adimensional dada por u* a una temperatura de 20°C. Si la velocidad u* aumenta su valor, éste se puede calcular de la figura 4.11 trazando una recta vertical en d*  1 . El fluido percolará a través del lecho fijo hasta que se alcance la velocidad u*  2.9  104 , momento en el cual el lecho se expandirá. El lecho permanecerá fluidizado al aumentar la velocidad hasta u*  2  102 y de ahí en adelante las partículas comenzarán a dejar el lecho al aumentar su velocidad.

Ejemplo 5 Calcular la velocidad de sedimentación de una suspensión de monotamaño de esferas de 150 m a 15 °C con una concentración de 40% de sólidos en peso. Los parámetros son:  

40  0.20 2.65  (100  40)  40

agua  0.9959 ,  agua  0.01280 , P  4.2385  103 , Q  3.0329

f p (0.2)  1.40066 , f q (02)  0.86692

Capítulo 4 Sedimentación de Sistemas Particulados d* 

150  3.5390 4.2385  103

u* 

20.52 f p    f q    1  0.0921f p3 2d *3 2 d*



57



12



1

2

u *  0.423 y u  0.423  3.0329  0.128 cm s

Ejemplo 6 Calcular la velocidad de fluidización de una suspensión monotamaño de partículas de cuarzo de 150 m de diámetro y densidad 2.65 g/cm3 a 15°C y una concentración de 40% de sólidos en peso. Calcular, además, a que velocidad de precolación las partículas indicadas comenzarán a ser transportadas. La velocidad de precolación es q  vs  (1  )v r . Como v r  u , y a la velocidad de transporte   0 , q(0)   u(0) . Del problema anterior podemos calcular: q  (1  0.20)  1.28  1.024 cm s

El transporte comenzará cuando la concentración tienda a cero. Como d*  3.539 , u *  0.423 y q  u(0)  1.28 cm s

4.1.8 Sedimentación de partículas isométricas Las partículas no-esféricas tienen un comportamiento diferente a las esféricas durante la sedimentación. Mientras que las partículas esféricas caen en una trayectoria vertical, las partículas no-esféricas, vibran rotan y siguen una trayectoria espiral. Varios autores han estudiado la sedimentación de partículas isométricas, esto es, partículas con un alto grado de simetría tales como tetraedros, octaedros y dodecaedros, con tres ejes de simetría mutuamente perpendiculares e iguales. Entre ellos Wadell (1932, 1934), Pettyjohn and Christiansen (1948) and Christiansen and Barker (1965). Sus trabajos indican que las partículas isométricas siguen trayectorias verticales a números de Reynolds pequeños, pero rotan, vibran y tienen trayectorias helicoidales para números de Reynolds entre 300 y 150.000. Pettyjohn y Christiansen (1948) demostraron que la velocidad de sedimentación de partículas isométricas en régimen de Stokes se podía describir mediante la siguiente expresión:     0.843log   ue  0.065 

up

(4.53)

donde ue es la velocidad de sedimentación de una esfera que tiene el mismo volumen que la partícula (esfera equivalente), entonces:

58

Manual de Filtración & Separación ue 

d 2e g 18f

(4.54)

en esta expresión de es el diámetro equivalente o diámetro de la esfera equivalente. Para el rango de números de Reynolds entre 2.000
4 d e g 3 f C D

(4.55)

con el coeficiente de arrastre CD dado por: C D  5.31  4.88

(4.56)

Como hemos dicho, por sobre Re=300, las partículas comienzan a rotar y oscilar. Para tomar en cuanta este comportamiento, Barker (1951) sugirió introducir como nueva variable la densidad de la partícula. Él propone la siguiente corrección: C D  ,     1 18CD   

(4.57)

donde  es el cuociente de densidades entre el sólido y el fluido:    p f . Los datos de Pettyjohn y Christiansen (1948) y de Barker (1951) se pueden graficar según la figura 4.12.

Fig. 4.12 Datos de Pettyjohn y Christiansen (1948) y de Barker (1951) graficados como coeficiente de arrastre versus número de Reynolds, utilizando como tamaño el diámetro equivalente.


59

Coeficiente de arrastre y velocidad de sedimentación Toda la información anterior se puede usar para desarrollar una ecuación que describa el coeficiente de arrastre y la velocidad de sedimentación de una partícula isométrica (Concha y Almendra 1979b). Supongamos que las ecuaciones (4.25) y (4.38) son válidas para partículas isométricas, con valores de C0 y 0 como funciones de la esfericidad  y del cuociente de densidades  (Concha y Barrientos 1986):    ,    C D  ,    C 0  ,    1  0 1 2  Re   u*p

2

12 2   1  0  ,     4 32   1  d *  1    1 2  ,    2  ,    4 d *   C 0 0   

(4.58) 2

(4.59)

Donde el número de Reynolds queda definido con el diámetro equivalente. Supongamos, además, que se cumple: C 0  ,    C0 f A    f C   

(4.60)

 0  ,    0 f B    f D   

(4.61)

donde C0 y 0 son los parámetros para una esfera. Hemos ya demostrado, que para una esfera a Re0, la velocidad se puede aproximar por: u*e 

d*2 e C0 02

(4.62)

Del mismo modo para una partícula isométrica tenemos: u*p 

d*2 e C 0  ,   02  ,  

(4.63)

Como el diámetro de es el mismo para la esfera y la partícula, reemplazando (4.60) y (4.61) en (4.63) y haciendo el cuociente entre (4.63) y (4.62) resulta: Re0

u *e u e   f A    f B2    f C    f D2    u*p u p

Por otra parte para Re, se puede comprobar que:

(4.64)

60

Manual de Filtración & Separación C D  ,   CD



  ,   C 0

(4.65)

C0

y reemplazando la expresión

C D  ,    f A    fC    CD

Re,

(4.66)

Para determinar las funciones fA, fB, fC y fD, usaremos las ecuaciones propuestas por Pettyjohn y Christiansen (4.53) y (4.56) y (4.57) por Barker (1951). De (4.64) y (4.53) podemos escribir: 

f A    f B2    f C    f D2     0.843log 

f A    f C     1 1|8

   0.065 

5.42  4.75 5.42  4.75

(4.67)

(4.68)

De (4.57) y (4.68)se puede concluir que:

fA   

5.42  4.75 0.67

(4.69)

f C     1 18

(4.70)

Como en régimen de Stokes no hay efecto de la densidad, (4.67) implica que:

f D2     f C1      1 18

y

f D      1 36

(4.71)

por lo tanto  5.42  4.75   fB     0.843log  0.67 0.065  

1 2

(4.72)

Coeficiente de arrastre y velocidad de sedimentación modificados Introduciendo los valores de fA, fB, fC y fD en la ecuación (4.58) podemos escribir:     C D ,  0   C0 1    fA   fC   Re  f B )f D       





 



 

2

(4.73)


61

Definiendo el coeficiente de arrastre modificado CDM y el número de Reynolds modificado ReM en la forma:

CDM 

C D  ,  

(4.74)

fA   fC  

 Re   f B2    f D2    

ReM   

(4.75)



Si se grafica todos los datos experimentales como CDM versus ReM se obtiene la curva unificada de la figura 4.13.

Fig. 4.13 Datos experimentales de Pettyjohn y Christiansen (948) y Barker (1951) graficados como CDM versus ReM par partículas isométricas.

Un resultado similar se obtiene para la velocidad de sedimentación. Definiendo el diámetro equivalente adimensional unificado d*eM y la velocidad adimensional modificada u*M en la forma:

d*eM





d*e  ,   f A1 2    f B2    f C1 2f D2   



23

(4.76)

62


u*eM

u*p  ,    f B   f D  

(4.77)

La curva unificada de u*pM versus d*eM para los datos de Pettyjohn y Christiansen (1948) y de Christiansen y Barker (1965) se muestra en la figura 4.14.

Fig. 4.14 Curva unificada de u*pM versus d*eM para los datos de Pettyjohn y Christiansen (1948) y de Barker (1951) se muestra en la figura 4.14.

Los datos experimentales que se utilizaron para desarrollar las expresiones anteriores consisten en 419 puntos, incluyendo datos de esferas, cubos, octaedros y tetraedros y cubren el siguiente rango de parámetros: 0.1 cm

1.6 cm

1.7 g/cm3

<s<

11.2 g/cm3

0.67

<<

1

<s<

1.43 g/cm3

9x10-3 g/cm-s <<

900 g/cm-s

5x10-3

2x104

3

0.87 g/cm

Con los siguientes valores para la esfericidad (Happel and Brenner 1965): Esfera

=1.000

Octaedro cúbico

=0.906


63

Octaedro

=0.846

Cubo

=0.806

Tetraedro

=0.670

Ejemplo 7 Calcular la velocidad de sedimentación de un cubo de cuarzo de 1mm de lado, densidad 2.65 g/cm3 en agua a 25°C. Por definición la esfericidad es la razón entre la superficie de la esfera equivalente y la superficie de la partícula. Para un cubo de lado a la superficie y volumen son Scubo  6a 2 y Vcubo  a 3 . La esfera equivalente tiene el mismo volumen a3, por lo que su diámetro será: d e   6V  

13



La esfericidad es: fA   

  6 

23

6a 2



 6a 3  a2



13

  6  a 13

13

    6

 0.806

5.42  4.75 5.42  4.75  0.806   2.3754 5.42  4.75 5.42  4.75

   5.42  4.75  0.843log fB      0.065   5.42  4.75  0.67581

1 2

0.806   5.42  4.75  0.806   0.843log  5.42  4.75 0.065  

f  4.0 106  252  6.0  105  25  1.0004  0.9964 (g / cm3 )  2.65  f C      1 18     0.9964 

1 18

 0.9473

1 36

 2.65  f D     1 36     0.9964 

 1.0274

 0  ,    9.08  f B ( )f D ( )  9.08  0.6758  1.0275  6.305

C 0  ,    0.28  f A ( )f C ( )  0.28  2.3753  0.9471  0.6299

agua  9.0 107  252  2.0 104  25  1.56  102  0.0112 ( g / cm  s) 13

 3 f2  P   4 f g 

13

  3  0.01122    4(2.65  0.9964)  0.9964  980.1 

 0.003877

1 2

64

Manual de Filtración & Separación 13

 4 f g  Q  2  3 f  d* 

13

 4  (2.65  0.9964)  0.0112  980.1    3  0.99642  

 2.900

de 0.1   25.79 P 0.003877

12 2   1  0  ,     4 * 32   up  d * 1  1   1 2    4 d *   C0  ,    02  ,     

 6.0557     25.796 

2

2

2

12    4  25.7962 3  1   1   9.07 (1/ 2) 2    0.6299   6.3050   

u p  Q  u*  2.9  9.07  26.3 cm / s

4.1.9 Sedimentación de una suspensión de partículas arbitrarias En un estudio realizado por Concha y Christiansen (1986) se realizó experimentos de fluidización con tres tipos de partículas, caliza (densidad 2.71), cuarzo (densidad 2.64) y arena de río (densidad 2.70 a 2.79). Los datos experimentales obtenidos se entregan en la tabla 4.3 y la figura 4.16 muestra el coeficiente de arrastre para estas partículas en función del número de Reynolds, usando el diámetro equivalente como medición del tamaño.

CD 

4 d e g 3 f u p2

Concha y Christiansen (1986) extendieron la validez del coeficiente de arrastre y de la velocidad de sedimentación definidas para una suspensión de esferas, para ser utilizadas para una suspensión de partículas de forma arbitraria. Para ello, realizaron experimentos de fluidización con tres tipos de partículas irregulares, mostradas en la tabla 4.3, y usaron el concepto de esfericidad ya definido para partículas isométricas. Es así como estas variables pueden ser definidas en la forma:   , ,    1  0  , ,    C D  ,  ,    C 0 Re1 2  

2

12 2    1  0  , ,     4 * 32  u p  , ,    d *  1 1   1 2     C0  , ,    02  , ,    4 d*   

(4.78) 2

(4.79)


65

Tabla 4.3 Velocidades de fluidización de partículas de forma arbitraria en agua a 20°C. de

p

cm

(g/cm3)

Re

up() cm/s =0.0

=0.1

=0.2

=0.3

=0.4

Caliza 0.0148

2.71

1.87

1.273

0.820

0.490

0.248

-

0.0216

2.71

4.89

2.282

1.517

0.961

0.512

0.244

0.0306

2.71

11.2

3.627

2.523

1.682

0.981

0.496

0.0443

2.71

25.2

5.725

4.159

2.909

1.879

1.056

0.0615

2.71

46.3

7.583

5.835

4.353

2.939

1.853

0.0956

2.71

86.6

10.181

8.045

6.182

4.579

3.056

0.1239

2.71

163

13.285

10.763

8.505

6.512

4.643

0.1859

2.71

324

17.556

14.294

11.631

8.940

6.873

0.2374

2.71

492

20.873

17.210

13.870

10.967

8.779

0.3292

2.71

811

24.802

21.051

17.526

14.238

11.385

0.5060

2.71

1111

27.629

23.672

19.914

16.371

13.570

0.0138

2.64

1.62

1.186

0.708

0.386

0.187

-

0.0207

2.64

4.46

2.171

1.372

0.821

0.411

-

0.0286

2.64

9.48

3.336

2.152

1.319

0.698

0.330

0.0420

2.64

22.1

5.290

3.665

2.432

1.423

0.743

0.0600

2.64

43.1

7.238

5.253

3.672

2.428

1.329

0.0834

2.64

78.8

9.509

7.292

5.428

3.732

2.334

0.1192

2.64

144

12.210

9.791

7.659

5.688

3.865

0.1732

2.64

279

16.213

13.258

10.587

8.204

6.111

0.2373

2.64

457

19.494

16.107

13.088

10.344

7.883

0.3338

2.64

767

23.143

19.594

16.268

13.174

10.327

0.4005

2.64

1031

25.926

22.095

18.477

15.086

11.937

0.0354

2.70

15.0

4.277

3.005

2.025

1.190

0.625

0.0425

2.70

23.1

5.473

3.919

2.698

1.716

0.930

0.0586

2.72

43.5

7.486

5.601

4.050

2.665

1.588

0.0833

2.76

85.6

10.354

7.992

5.984

4.275

2.791

0.1196

2.79

165

13.983

10.930

8.359

6.168

4.342

0.1735

2.79

322

18.712

14.386

10.979

8.605

6.495

0.2344

2.79

5.9

21.874

17.192

13.333

10.636

8.192

0.3287

2.79

848

25.980

20.882

16.807

13.617

10.681

0.4018

2.79

1208

30.277

23.819

19.382

15.741

12.380

Cuarzo

Arena

66

Manual de Filtración & Separación 10000,00 =0.4


1000,00

Caliza Cuarzo

=0.3

Arena

=0.2 100,00

=0.1 =0.0

10,00

1,00

0,10 0,1

1

10

100

1000

10000


Fig. 4.16 Coeficiente de arrastre para suspensiones de partículas irregulares de para partículas de caliza, cuarzo y arena en función del número de Reynolds, usando el diámetro equivalente como medición del tamaño a cinco valores de concentración (Concha y Christiansen 1986).

donde  es la esfericidad,  el cuociente de densidades del sólido y el fluido y  la concentración de sólido. Al igual que en el caso de suspensiones de esferas y de partículas isométricas, supondremos que las contribuciones de estos parámetros se puede separar:   ,  ,    C f    f    f    C 0 0 A C E

(4.80)

 0  , ,    0f B    f D    f F   

(4.81)

y que los valores de fA a fD son los definidos por las expresiones (4.69), (4.72), (4.70) y (4.71). Concha y Christiansen (1986): fA   

5.42  4.75 0.67

   5.42  4.75 fB     0.843log  0.67 0.065  

1 2

f C      1 18 f D     1 36

Basados en los datos de la tabla 4.3 encontraron las siguientes expresiones para las funciones fE y fF:

Capítulo 4 Sedimentación de Sistemas Particulados    f E  1  2.2315    1  

67

0.89957

(4.82) 1.4191

 1  f F  1  1.6556    1  

(4.83)

Obviamente que los parámetros numéricos de las dos expresiones anteriores son solamente válidos para las partículas cuyos datos están en la tabla 4.3.

Factor de forma hidrodinámico Uno de los problemas encontrados para usar estas ecuaciones es que los valores de la esfericidad geométrica, de terminada para las partículas por cualquier método, no ha podido ser correlacionado con los valores de la velocidad de fluidización o sedimentación, como por ejemplo con los valores de la tabla 4.3. Por ello Concha y Christiansen (1986) definieron una esfericidad hidrodinámica efectiva. Para ello, usaron las ecuaciones fA a fD, definidas para partículas isométricas, y re-calcularon el valor de la esfericidad de los datos de la tabla 4.3. Como la forma de estas partículas no era igual para todo el rango de tamaños, se escribió la esfericidad hidrodinámica como una función del tamaño de partícula. En el caso de los datos de la tabla 4.3 esa función fue:   A0  A1d e  A 2d e2

(4.84)

con los valores de A0, A1 y A2 indicados en la tabla 4.4. Según los cálculos anteriores, la esfericidad hidrodinámica efectiva de una partícula de forma arbitraria quedaría definida como: "la esfericidad de una partícula isométrica que sufre el mismo arrastre (volumen) y tiene la misma velocidad de sedimentación que la partícula". Tabla 4.4 Parámetro

Caliza

Cuarzo

Arena

A0

0.81540

0.87806

0.80399

A1

-0.27614

-1.13983

0.04100

A2

-0.03624

1.56763

-0.33082

Error relativo %

1.5

1.2

1.6

Coeficiente de arrastre y velocidad de sedimentación modificados Se puede obtener una correlación única para el coeficiente de arrastre y la velocidad de sedimentación de suspensiones de partículas de forma arbitraria, definiendo un coeficiente de arrastre modificado y una velocidad de sedimentación modificada:

68

Manual de Filtración & Separación C DM 

C D  ,  

(4.85)

f A    fC    f E   

  Re Re M   2  2 2  fB   fD   fF     d*eM 

u*pM 

f

(4.86)

d*e  ,  

   fC    f E    

13

A

f

f

2 B

23

(4.87)

1 3

(4.88)

   f D2    f E2    

u*p  ,  

2 B

   f D2    f F2    

13

f

A

   fC    f E    

Las figuras 4.17 and 4.18 muestran las correlaciones unificadas para los datos de la tabla 4.3.

Coeficiente de Arrastre Modificado CDM

1,0E+03

1,0E+02

1,0E+01

1,0E+00

1,0E-01 1,0E-01

1,0E+00

1,0E+01

1,0E+02

1,0E+03

1,0E+04

Número de Reynolds Modificado ReM

Fig. 4.17 Coeficiente de arrastre unificado versus número de Reynolds modificado para partículas de caliza, cuarzo y arena (Los mismos datos de la figura 4.16 de Concha y Christiansen 1986)

Ejemplo 8 Calcular la velocidad de fluidización de una suspensión de 35% de sólidos en peso de partículas de cuarzo de 250 micrones y densidad 2.65 g/cm3 en agua a 25°C. Del problema 7 tenemos la siguiente información:


69


100

10

1

0.1 1

10

100

1000

Tamaño adimensional d*

Fig. 4.18 Velocidad de sedimentación unificada versus tamaño modificado para partículas de caliza, cuarzo y arena. (Concha y Christiansen 1986)

f  0.9964 g cm3 , s  2.65 g cm3 , f  0.0112 g cms , P  0.003877 , Q  2.900 f A ()  2.3754 , f B ()  0.67581 , f C ()  0.9473 , f D ()  1.0274



0.9964  35  0.1684 2.65  (100  35)  0.9964  35  0.1684  f E  1  2.2315    1  0.1684 

0.89957

 1.5305 1.4191

 0.1684  f F  1  1.6556  0.1684     1  0.1684 

 1.0207

 0  , .   9.08  f B ( )f D ( )f F     9.08  0.6758  1.0275  1.0207  6.4357

C 0  ,    0.28  f A ( )f C ( )f E     0.28  2.3753  0.9471  1.5305  0.9641 d* 

d 250  104   6.448 P 3.877  103

70


12 2    1  0  , ,     4 * 32  = u p  , ,    d *  1 1   1 2     C0  , ,    02  , ,    4 d*   



2  1  6.4357    

4

6.448

  

1

4   6.4357 

32

 0.96411 2  6.4357 2

12

   

2

  1  2.44  

v r  u  Q  u *p  2.9  2.44  7.076 cm s La velocidad de fluidización q está dada por: q  (1  )v r  (1  0.1684)  7.076  5.884 cm s

La dirección del flujo es contraria al de sedimentación de las partículas.

4.2

REFERENCIAS

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72


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CAPÍTULO 5 TEORÍA DE SEDIMENTACIÓN DE KYNCH ___________________________________________________ Tal como se mencionó en el capítulo anterior, para analizar un proceso de sedimentación y obtener patrones de comportamiento que permitan predecir capacidades de tratamiento y diseño de equipos, es necesario utilizar el enfoque de la mecánica del medio continuo. Por ellos, recurriremos a los desarrollos del capítulo de Teoría de Mezclas para desarrollar la modelación de suspensiones en sedimentación. La teoría que aquí se presenta se basa en la propuesta por Kynch en 1952 y desarrollada por Bustos y Concha en 1990 (Concha and Bustos 1991, 1992, Bustos et al 1999). 5.1

Conceptos de suspensión ideal y espesador ideal.

Consideremos la sedimentación de una mezcla de partículas sólidas y un fluido, contenidos en una vasija y supongamos que se satisfacen las propiedades para que el sistema sólido-fluido pueda ser considerado dos medios continuos superpuestos. Definamos por vs y vf las velocidades del sólido y del fluido respectivamente. Las suposiciones son: 1.

Todas las partículas sólidas son pequeñas, del mismo tamaño, forma y densidad.

2.

El sólido y el fluido de la mezcla son incompresibles.

3.

No hay transporte de masa entre componentes.

4.

La velocidad relativa sólido-fluido u  v s  v f en la mezcla es una función de la concentración de sólidos solamente.

5.

La concentración de las partículas es la misma en toda la sección transversal de la vasija.

La suposición 1, junto a la 3, permiten establecer una velocidad única para el componente sólido y la suposición 2 define densidades materiales constantes para cada componente. La suposición 4, clave en la teoría de Kynch (1952), lleva implícita la suposición que las fuerzas convectivas son despreciables. Una mezcla que cumple las propiedades 1 a 4 recibe el nombre de suspensión ideal (Shannon and Tory 1966, Bustos et al 1990, Concha and Bustos 1992) y puede

73

74


ser considerada como una superposición de medios continuos con dos componentes incompresibles. La suspensión ideal es un modelo de material de mucha utilidad. Tiene una connotación similar a la de un gas ideal en la termo-mecánica. No existe material real que sea una suspensión ideal, pero hay muchos materiales que, en casos especiales, se comportan como una suspensión ideal. La teoría de mezclas permite obtener un modelo matemático de una suspensión ideal que describe en forma muy aproximada lo que sucede a una suspensión de pequeñas esferas de vidrio (Shannon and Tory 1966), o de cualquier otro material que sea incompresible, como por ejemplo las pulpas de concentrados de cobre sin flocular que siguen bastante de cerca el modelo de una suspensión ideal. La concentración  de la suspensión es, en general, una función de las tres dimensiones del espacio y del tiempo, sin embargo, la suposición 5 permite describir la sedimentación como un fenómeno uni-dimensional, tal que   z, t  , esto es, que depende de una coordenada espacial y del tiempo. Esta suposición define el concepto de un espesador ideal como una vasija sin efecto de paredes (Shannon and Tory 1966, Bustos et al 1990, Concha and Bustos 1992) y donde la alimentación y descarga se representan como fuentes y sumideros superficiales. Hasta el momento todos los trabajos relacionados a la sedimentación, ya sean de suspensiones ideales o no, utilizan el concepto de espesador ideal. Esto se debe a que la modelación de la alimentación a un espesador industrial y de su descarga es muy complicada y que, a pesar de ello, se ha demostrado con herramientas modernas, tales como la Mecánica de Fluidos Computacional, que la distribución de concentraciones en estos equipos es sensiblemente unidimensional. (ver figura 5.1).

Fig. 5.1 Distribución de concentración en un espesador industrial de 100 m de diámetro tratando relaves de cobre. Simulación mediante CFD usando el código Fluent.

Ecuaciones de campo La sedimentación de una suspensión ideal en un espesador ideal puede ser descrita mediante la concentración de la suspensión z, t  , expresada como fracción

75

Capítulo 5 Teoría de Sedimentación

volumétrica de sólidos, y las velocidades de los componentes sólidos v s ( z, t ) y fluido

v f ( z, t ) . Estas variables de campo deben obedecer los balances locales de masa, según las ecuaciones (2.48):     vs   0 t z   1     (1  )vf   0 t z

(5.1) (5.2)

Las expresiones (5.1) y (5.2) reciben el nombre de ecuaciones de continuidad del componente sólido y del componente fluido respectivamente. Soluciones para estas ecuaciones de conservación son generalmente discontinuas. Esto quiere decir, que en la suspensión se pueden formar discontinuidades y que las ecuaciones (5.1) y (5.2) son válidas solamente en aquellas regiones donde la concentración es continua. En las discontinuidades, según (2.49), se debe cumplir: 

 vs    (1  )vf     (1  )

(5.3)

Estas expresiones se denominan ecuaciones de salto o condiciones de salto. Sumando las dos expresiones (5.1) y (5.2) se obtiene la ecuación de continuidad de la mezcla: q 0 z

(5.4)

q  0

(5.5)

y de (4.7) resulta:

donde q(z,t) es la velocidad promedio volumétrica de la suspensión, definida por: q  vs  (1  )vf  0

(5.6)

En términos de la velocidad relativa sólido-fluido u  v s  v f , la velocidad volumétrica puede ser expresada por: q  vs  (1  )u

(5.7)

La ecuación (5.4)implica que la velocidad volumétrica es una función del tiempo solamente q  q(t) . Las ecuaciones (5.4) y (5.5) pueden sustituir ventajosamente los balances de fluido (5.2) y (5.3)

76


Multiplicando la expresión (5.7) por  y, definiendo las densidades de flujo f  , t   v s y f b      1    u , podemos escribir la densidad de flujo de sólidos en la forma: f  , t   q  f b   

(5.8)

esto es, la densidad de flujo de sólidos total consiste en la suma de una parte lineal q, correspondiente al movimiento global de la mezcla y una parte no-lineal fb  , que describe el movimiento relativo local. Cuando se describe la sedimentación en un espesador ideal cerrado que denominaremos columna de sedimentación, la velocidad volumétrica es igual a cero, q  0 , ya que no hay alimentación ni salida, por lo que de (5.8) resulta:

bg

b g bg

f , t  f b 

(5.9)

A esta densidad de flujo la denominaremos densidad de flujo batch. Usando la definición de f  vs , la ecuación de continuidad del componente sólido y la condición de salto se pueden escribir en la forma:  f ( , t )  0 t z 

(5.10)

f 

(5.11)

Esta expresión recuerda que, generalmente, las soluciones de un proceso de sedimentación no son únicas y es necesario disponer de un criterio para elegir la solución admisible. Más adelante se comprenderá el significado de esta idea. El criterio mas usado es la condición de entropía de Lax que dice que (Bustos and Concha 1988b):

  



 

f '     ,   f ' 

(5.12)

Cuando la velocidad de desplazamiento de la discontinuidad cumple (5.12) estrictamente se denomina una onda de choque. Si cualquiera de las igualdades se satisface, se tiene una discontinuidad de contacto.

5.2

PROCESO DE KYNCH PARA LA SEDIMENTACIÓN BATCH

Cuando una suspensión ideal sedimenta bajo el efecto de la gravedad en una columna de sedimentación se puede distinguir las siguientes etapas en el proceso. a)

Antes de comenzar la sedimentación la suspensión se homogeniza por agitación, de manera que su concentración es constante.


77

b)

Cuando la sedimentación comienza, todas las partículas caen a la misma velocidad, de manera que se forma una interfaz agua-suspensión en la parte superior de la columna, la que desciende a la misma velocidad que lo hacen las partículas. Esta etapa se denomina sedimentación dificultada (hindered settling).

c)

Las partículas que llegan al fondo de la columna se acumulan haciendo que la concentración aumente rápidamente hasta ocupar toda la superficie disponible. El material en estas condiciones recibe el nombre de sedimento y su concentración es . La superficie del sedimento, o interfaz suspensiónsedimento, se mueve hacia arriba a medida que nuevas partículas se le incorporan.

d)

En un punto determinado de la columna, pero bajo la interface de aguasuspensión, la concentración de la suspensión permanece fija o aumenta con el tiempo.

e)

Utilizando un instrumento para medir concentraciones, como el de Been and Sills (1981), se podría seguir el movimiento de una determinada concentración  en la columna. El movimiento sería necesariamente hacia arriba a una velocidad denominada velocidad de propagación de la onda de concentración .

f)

En un determinado instante y a una cierta altura la interfaz agua-suspensión se encontrará con la interfaz suspensión-sedimento. Las coordenadas de ese evento se denominan tiempo crítico y altura crítica y ellas definen el punto crítico en el cual termina la sedimentación.

La figura 5.2 muestra un gráfico de las interfaces agua-suspensión y suspensiónsedimento en función del tiempo. Este gráfico recibe el nombre de curva de sedimentación.

Fig. 5.2 Curva de sedimentación mostrando las interfaces. (a) agua-suspensión; (b) suspensión-sedimento; (c) agua-sedimento.

78


Con base a esta descripción deduciremos un modelo para la sedimentación batch de una suspensión ideal. Consideremos la sedimentación batch en una columna de sedimentación que contiene una suspensión con una altura inicial z=L a una concentración homogénea =0. Para la sedimentación batch se debe agregar dos suposiciones a las 5 indicadas con anterioridad, lo que totaliza 7: 1.


2.


3.


4.


5.

La concentración de las partículas es la misma en toda la sección transversal de la vasija.

6.

La suspensión tiene una concentración inicial homogénea.

7.

En el fondo de la columna hay un incremento continuo y rápido de concentración desde la inicial 0 a la final  .

Bajo estas suposiciones son válidas la ecuación de continuidad y condición de salto siguientes:  fb (  )  0 t z



para 00

 f b ()  

(5.13) (5.14)

La expresión (5.13) es una ecuación hiperbólica cuasi-lineal. Para esta ecuación, las suposiciones 6 y 7 permiten establecer las condiciones iniciales y de contorno:

b g b0, t g   b L, t g  

 z,0   0 para 0  z  L

(5.15)



para t  0

(5.16)

L

para t  0

(5.17)

Las concentraciones  L ,  0 y   son constantes y satisfacen  L  0   0     1 . Las densidades de flujo batch de las suspensiones ideales cumplen las siguientes propiedades: fb (  )  0 para  entre 0 y   , fb ( 0)  f b (   )  0 , fb' ( 0)  0 y fb' (   )  0 (5.18)

79


Como

f b    z



df b     d

z

 f b'   

 , la ecuación (5.13) se puede escribir en la z

forma:  '   f b   0 t z

(5.19)

De las expresiones anteriores podemos concluir que la sedimentación de una suspensión ideal puede ser descrita por la fracción volumétrica de sólidos   z, t  y depende de la forma funcional de la densidad de flujo de sólidos f b    . Estas dos funciones constituyen un Proceso de Sedimentación Batch de Kynch (PSK), si en la región del espacio z-t, con 0  z  L y t  0 donde  es continua, obedecen la ecuación (5.19), la desigualdad (5.14) en las discontinuidades y las condiciones iniciales y de contorno (5.15) a (5.17).

5.2.1 Solución por la teoría de características Escrita en esta forma, la ecuación de la sedimentación batch se puede tratar como un problema de valor inicial y se resuelve mediante el método de características. Según Courant and Hilbert (1963), en el dominio (z,t) donde la ecuación (5.19) es válida, se pueden trazar líneas llamadas características que cumplen las siguientes condiciones: dt dz d  '  1 f b   0

(5.20)

donde z y t son las coordenadas de . Entonces la ecuación (5.19) puede ser reemplazada por: d  0, y

dz  f b'    dt

(5.21)

que indican que la concentración  es constante a lo largo de las características de pendiente dz dt  f b'    , donde ésta representa la velocidad de propagación de ondas de concentración constante . Para  constante, f b'    también es constante y, en estas condiciones, las características son líneas rectas. Las condiciones de contorno se transforman ahora en condiciones iniciales en la forma: 0    z, 0    0   

para

Lz

para 0  z  L para z0

(5.22)

80


Como las condiciones para z  0 , 0  z  L y z  L son constantes, y las características que emanan del eje de las ordenadas son paralelas y tienen pendientes constantes f b'  0  , f b'  0  y f b'    respectivamente (ver figura 5.2). Por otra parte, se debe notar que f b'  0  , f b'  0  y f b'    son las tangentes en =0, 0 y  a la curva de





densidad de flujo f b    versus ,   0, 0  y  0, *0 son las cuerdas trazadas desde 0 a 0 y de 0 a *0 respectivamente, donde *0 es la concentración del punto de tangencia a la curva desde 0. Ejemplo Considere la sedimentación de una suspensión ideal caracterizada por la curva de flujo de la figura 5.3. La solución de la ecuación (5.19) se construye trazando las características que emanan del eje de las ordenadas. Cuando estas características se cruzan se forma una discontinuidad con velocidad de propagación dada por . Específicamente para la discontinuidad agua-suspensión se tendrá:   0, 0  

f b  0   f b  0  0  0



f b  0  0

 v s  0 

(5.23)

Las características de pendiente f b'    llenan la base del plano z-t y cortan a las características de pendiente f b'  0  formando una nueva discontinuidad de pendiente: 

   



0 , *0



 

f b *0  f b  0 

(5.24)

*0  0

donde f b *0 , *0 son las coordenadas del punto de tangencia a la curva de flujo, de

   

la cuerda que pasa por el punto f b 0 , 0 . Entre la característica de pendiente f b'    que sale del origen y la discontinuidad dada por (5.24), se puede trazar un abanico de características de pendiente variable que corresponden a las tangentes a la curva de flujo entre las concentraciones *0 y . Se puede observar que la discontinuidad dada por(5.24) es una discontinuidad de contacto. El triángulo formado por la onda de choque (5.23) y la discontinuidad de contacto (5.24) está lleno de características de pendiente f b'  0  . Finalmente, las características de concentración   0 y *0     se cortan









formando una serie de ondas de choque de pendiente  *0 ,0 a   , *0 .

81


Fig. 5.2 Determinación gráfica de los parámetros de sedimentación de la curva de densidad de flujo de sólidos.

Finalmente la altura final del sedimento se obtiene del siguiente balance macroscópico: SL0  Sz   , de donde resulta:

z 

0 L 

(5.25)

La figura 5.3 muestra la forma de calcular los parámetros en la curva de densidad de flujo y la curva de sedimentación muestra el plano z-t dividido por tres discontinuidades entre las cuales las características indican las concentraciones allí existentes.

Fig. 5.3 Solución por el método de características de un problema de sedimentación.

82


5.2.2 Modos de Sedimentación En su trabajo, Kynch (1952) habló de modos de sedimentación, como maneras en que una suspensión puede sedimentar, pero sin definir claramente el significado de éstos. El concepto estricto fue dado por Bustos y Concha (1988) y Concha y Bustos (1991) que definieron Modo de Sedimentación (MS) como los posibles Procesos de Sedimentación Batch de Kynch (PSK) que una suspensión ideal puede cumplir. Los modos de sedimentación están enteramente determinados por la ecuación constitutiva para la densidad de flujo de sólidos y por la concentración inicial de la suspensión y reflejan la forma como la suspensión pasa de una concentración inicial 0 a la concentración final . Consideremos las dos regiones de concentración constante 0 y  bajo la interface agua-suspensión en una columna de sedimentación, (por ejemplo ver figura 5.3). Mientras para una función de densidad de flujo de sólidos f b    con un punto de inflexión, existen solamente 3 MS, para una función con dos puntos de inflexión los MS son 5. El tipo de MS depende de cómo están separadas las zonas de concentración constante 0 y : 

MS-1 una onda de choque.



MS-2 una discontinuidad de contacto seguida por una onda de rarefacción.



MS-3 una onda de rarefacción.



MS-4 dos discontinuidades de contacto separadas por una onda de rarefacción.



MS-5 una onda de rarefacción seguida por una discontinuidad de contacto.

En todos los casos, e independiente del tipo de MS, el estado final es un sedimento de concentración  y altura z   0 L  con una capa de agua sobre él. El tiempo para llegar a este estado se denomina tiempo crítico y se denota por tc. a) El Proceso de Sedimentación Batch de Kynch es un MS-1 El PSK es un MS-1 si 0  ** 0 (ver figura 5.2). La figura 5.3 muestra la ' ' solución para MS-1. Como 0  ** 0 y f b  0     0 ,    f b    , se forma una

onda de choque z 2  t  de ecuación:

z 2  t     0 ,   t ,

0  t  tc

(5.26)

El tiempo crítico se puede obtener de: tc 

L   0 ,      0, 0 

(5.27)

83


b) El Proceso de Sedimentación Batch de Kynch es un MS-2 El PSK es un MS-2 si **   0  a en una curva de flujo con un punto de

   

** inflexión (ver figura 5.5). Al trazar una tangente desde  f b  0  , 0  a f b ** 0 , 0

se forma una discontinuidad de contacto z 2  t  para 0   

*0

, porque 0  **   0

y *0   . La ecuación de esta discontinuidad es:

 

z 2  t   f b' *0 t , para 0  t  t1

  

(5.28)



donde f b' *0   0 , *0  f b'  0  . Para valores mayores a *0 , de *0     , hay un aumento continuo de concentración desde *0 a  . (ver figura 5.4). El tiempo t1 ,correspondiente al término de la sedimentación a concentración 0 , está dado por: t1 

L

f b'

(5.29)

     0,   *0

0

y el tiempo crítico tc: tc 

0 L  f b'   

Fig. 5.4 Solución global para un MS-2,

(5.30)

**   0  a .

c) El Proceso de Sedimentación Batch de Kynch es un MS-3 El PSK es un MS-2 si 0  a en una curva de flujo con un punto de inflexión. En este caso 0  *0 y hay un aumento continuo de concentración desde 0 a  . Los tiempos t1 y tc están dados por:

84

Manual de Filtración & Separación t1 

L

f b'

(5.31)

      0,   0

0

y el tiempo crítico tc: tc 

0 L  f b'   

Fig. 5.5 Solución global para un el caso de un MS-3, con

(5.32)

0  a .

Fig. 5.6 Parámetros de la curva de flujo con dos puntos de inflexión para el caso de un MS-3, 0  a .

85


d) El Proceso de Sedimentación Batch de Kynch es un MS-4 El PSK es un MS-4 si **   0  a en una curva de flujo con dos puntos de





 

inflexión. (ver figura 5.6). Como *0  *    y  0 , *0  f b' *  f b'  0  , se forman dos discontinuidades de contacto con las ecuaciones:

     t para 0  t  t

z 2  t   f b' *0 t para 0  t  t1

(5.33)

z3  t   f b'

(5.34)

* 

c

Desde la concentración 0 habrá un brusco aumento de concentración a *0 , luego un paulatino aumento a * y nuevamente un brusco aumento desde este valor a  . Los tiempos t1 y tc , con t1
tc 

L

f b'

     0,   *0

(5.35)

0

0 L

 

 f b' *

(5.36)

Fig. 5.7 Curva de flujo con dos puntos de inflexión para el caso de un MS-4,

**    0  a . e) El Proceso de Sedimentación Batch de Kynch es un MS-5 El PSK es un MS-5 si a  0  * en una curva de flujo con dos puntos de inflexión. (ver figura 5.8). En este caso habrá un cambio continuo de concentraciones

86


desde 0 a * y luego un salto de concentración a  . La discontinuidad de contacto tiene por ecuación:

 

z3  t   f b' * t , para 0  t  t c

(5.37)

con el tiempo t1
L

f b'

tc 

      0,   0

(5.38)

0

0 L

 

 f b' *

(5.39)

Fig. 5.8 Curva de flujo con dos puntos de inflexión para el caso de un MS-5,

a  0  * . 5.3 PROCESO DE KYNCH PARA LA SEDIMENTACIÓN CONTINUA La sedimentación continua se lleva a cabo en un espesador, estanque cilíndrico con la alimentación de pulpa en un tubo central, conocido como “feedwell”, en la parte superior y una descarga del sedimento, también central en la parte inferior. Una estructura metálica soporta las rastras que barren el fondo del estanque para descargar el sedimento. El agua recuperada en el proceso sale del equipo por un rebalse en toda la periferia del estanque. La figura 5.9 muestra un esquema de un espesador industrial continuo. Desde los trabajos de Coe y Clevenger (1916) se ha establecido que se puede distinguir cuatro zonas en un espesador continuo.


87

Zona I La zona I corresponde al de agua clara que se recupera y se ubica en la parte superior del espesador, por encima del feedwell. Esta región recibe el nombre de zona de agua clara. Zona II Debajo del agua clara se forma una región de concentración constante, denominada “zona de sedimentación constante” (hindered settling zone).

Fig. 5.9 Esquema de un espesador industrial continuo.

En una operación normal, la pulpa que entra a un espesador se diluye, por lo que la zona II tiene una concentración mucho menor que la concentración de la alimentación. Este hecho es ignorado muy frecuentemente, especialmente debido a las aseveraciones de Mishler (1912) y de Coe y Clevenger (1916). Fue Comings (1954) quien descubrió mediante experimentos en el laboratorio que la concentración de la zona II depende del flujo de sólidos en la alimentación y es independiente de la concentración de ésta. A medida que el flujo de alimentación aumenta, aumenta la concentración de la zona II, pero esta concentración llega a un límite, y flujos mayores no aumentan esta concentración sino que llevan el sólido en exceso al rebalse. Esto significa que la zona II tiene un límite de capacidad para aceptar sólido. Coe y Clevenger (1916) llamaron a este límite la “capacidad de tratamiento de sólido” (solid handling capacity). Veremos más adelante que esta concentración, que recibe el nombre de concentración conjugada, se puede determinar con la teoría de Kynch. Zona III Bajo la zona de sedimentación constante está la zona III, denominada “zona de transición”, porque lleva la concentración del espesador desde la concentración conjugada a la concentración del sedimento. Esta transición puede efectuarse mediante una onda de choque, mediante una discontinuidad de contacto, mediante una onda de rarefacción o la combinación de éstas.

88


Zona IV Finalmente la zona IV corresponde al “sedimento”. Cuando las partículas que forman la suspensión están bien dispersas, como por ejemplo en suspensiones ideales, el sedimento tiene una concentración única y característica del material. Al contrario, cuando las partículas que forman la suspensión están floculadas, el sedimento sufrirá compresión y seguirá eliminando agua dependiendo del peso que soporta, por lo que se forma un gradiente de concentración. En este capítulo se analizará solamente las suspensiones ideales, dejando para los capítulos 7 y 8 las suspensiones floculadas.

5.3.1 Espesador ideal continuo: modelación de la alimentación y descarga Tomar en consideración el efecto de la alimentación, movimiento de las rastras y de la descarga es una complicación innecesaria para la modelación matemática de un espesador. Se ha demostrado mediante herramientas modernas como la mecánica de fluidos computacional (CFD) que, independiente del tipo de flujo, axi-simétrico o tridimensional, que se establece en un espesador, la distribución de concentraciones es unidimensional en la dirección vertical. La figura 5.1 muestra la distribución de concentraciones en un espesador de relaves de una planta de flotación de cobre. Estos resultados permiten simplificar el modelo geométrico de un espesador y justifican usar el concepto de Espesador Ideal Continuo (EIC) (Concha and Bustos 1992). Como en un EIC las variables dependen solamente de la coordenada z y el tiempo, es necesario establecer condiciones en la entrada y la descarga que satisfagan esta condición. QR

Zona I

QF, F Zona II

Zona III Zona IV

QD,D Fig. 5.10 Espesador Ideal Continuo (RIC).

(1)

Alimentación

La alimentación al espesador se diluye rápidamente y se esparce a toda el área del equipo. Por ello supondremos que la alimentación entra a través de toda el área del

89


espesador y que se diluye instantáneamente. Para el modelo diremos que el EIC es alimentado mediante una fuente superficial en z  L . Ver figura 5.6. Si Q F  t  es el

caudal o flujo volumétrico, F  t  la concentración y f F  t  la densidad de flujo de sólidos de la alimentación (flujo volumétrico de sólidos por unidad de tiempo y unidad de área del espesador) y S es el área del espesador, entonces se cumple que: fF  t  

Q F  t  F  t  S

(5.40)

Como ya hemos dicho, el flujo de alimentación que entra al espesador se mezcla y diluye con el flujo de agua clara producida. Por esta razón la concentración de la suspensión, inmediatamente bajo la interface agua-suspensión es distinta y menor que la concentración de la alimentación L (t)    L, t)   F  t  . Sin embargo, la única fuente de sólidos es la alimentación, por lo que la densidad de flujo de sólidos debe ser continua en la alimentación: f k    L, t    f F  t  

 Q F  t  F  t  S

(5.41)

La densidad de flujo de sólidos en la alimentación puede ser controlada externamente a través de QF(t) y F(t) (2)

Descarga La descarga del EIC se realiza a través de un sumidero superficial. Si Q D  t  es

el caudal o flujo volumétrico, D  t  la concentración y f D  t  la densidad de flujo de sólidos de la descarga, resulta: fD  t  

 Q D  t  D  t  S

(5.42)

El sedimento sale por la descarga en z=0 sin mezclarse con otra fuente, por lo que allí tanto la densidad de flujo de sólidos f k    0, t   como la concentración   0, t  son iguales a las del flujo de descarga: f k    0, t    f D  t  

  0, t   D  t 

 Q D  t  D  t  S

(5.43) (5.44)

Si la concentración de la descarga es menor que la de alimentación, se dice que el EIC se vacía.

90


(3)

Rebalse

En una operación normal, el rebalse no contiene partículas sólidas. Esto significa que el sólido está restringido a la zona de sedimentación 0  z  L . Si por cualquier motivo las partículas sólidas pasan de la suspensión a la zona de agua clara, se dice que el espesador se rebalsa. El caudal de agua se puede calcular mediante un balance macroscópico: Q R  Q F  QD  Q F

D  F   F  QD D D F

(5.45)

La velocidad volumétrica del agua en la zona I será:

qR  t  

5.3.2

QR  t  S

(5.46)

Proceso de Sedimentación Continua de Kynch

Con base a esta descripción, deduciremos un modelo para la sedimentación continua de una suspensión ideal en un Espesador Ideal Continuo (EIC). Consideremos la sedimentación en un EIC que contiene una suspensión con una concentración inicial   z, 0   I  z  con 0

2.


3.


4.


5.

La sedimentación se efectúa en un espesador ideal continuo

6.

La alimentación y la descarga son consideradas como fuente y sumidero superifical respectivamente.

7.

Inicialmente el EIC tiene una concentación I  z  .

Diremos que la sedimentación continua de una suspensión ideal en un EIC queda descrita por las variables de campo: concentración de sólido   z, t  y por la velocidad volumétrica q  z, t  y por la ecuación constitutiva (curva de densidad de

flujo) f k  f k    z, t   . Estas funciones constituyen un Proceso de Sedimentación

Continuo de Kynch (PSCK) si, en las regiones de z-t donde las variables son continuas cumplen las ecuaciones de campo:

91

Capítulo 5 Teoría de Sedimentación  ´   f k   0 t z

para 0  z  L , t>0

dq  z, t  dz

0

(5.47) (5.48)

y en las discontinuidades satisfacen las condiciones de salto: 

 f k ( )   

q  0

(5.49) (5.50)

y, además, satisfacen las condiciones iniciales:   z, 0   I  z 

(5.51)

Para una gran mayoría de casos experimentales, la curva de densidad de flujo f k    es una función con un punto de inflexión. Si a es la concentración en el punto de inflexión y  es la concentración del sedimento, la función densidad de flujo de sólidos debe cumplir las siguientes propiedades: 

f k  , t   q  t    f b     0 , 0    



f k  0, t   0



f k'  , t   0 , 0    a

(5.53)



f k'  , t   0

(5.54)



f k''  , t   0 , a    

(5.55)

(5.52)

La figura 5.11 muestra la función densidad de flujo de sólidos con un punto de inflexión.

5.3.4 Solución por el método de características La solución a la ecuación (5.47) es   constante a lo largo de características con pendiente dz dt  f k'  , t  dada por: f k'  , t   q  t   f b'   

(5.56)

De la ecuación (5.48) se sabe que q(t) es independiente de la coordenada z. Para simplificar la solución, en adelante supondremos que q=constante, por lo que las características serán líneas rectas, y que la condición inicial consta de dos estados solamente:

92


Fig. 5.11 Función densidad de flujo de sólidos con un punto de inflexión y tres valores de la velocidad volumétrica q.

 I  z    L  

para c  z para c  z

(5.57)

El valor de L se puede calcular de las ecuaciones (5.41) y (5.52): f F  qL  f b  L  t  

5.3.5

(5.58)

Modos de sedimentación continua

En forma similar al caso batch, se denomina Modo de Sedimentación Continuo (MSC) a los diferentes Procesos de Sedimentación Continuos de Kynch (PSCK). Los MSC dependen enteramente de la función de densidad de flujo y de la condición inicial. La figura 5.12 muestra varios parámetros de la curva de densidad de flujo con un punto de inflexión. El tipo de MSC depende de cómo están separadas las zonas de concentración constante 0 y . Para una función de flujo con un punto de inflexión, solamente existen tres MSC (Concha and Bustos 1991): 

MS-1 una onda de choque.



MS-2 una discontinuidad de contacto seguida por una onda de rarefacción.



MS-3 una onda de rarefacción.

93


Fig. 5.12 Parámetros de la curva de densidad de flujo con un punto de inflexión.

El Procesos de Sedimentación Continuos de Kynch es un MSC-1 Tenemos aquí cuatro casos: 1) Si f k'     0 y L  s , se forma una sola onda de choque de ecuación: z1  t   c    L ,   t , con f k'  L     L ,    f k'   

(5.59)

la solución para el PSCK será un MSC-1 y el espesador se vacía. (Ver figura 5.12 para definiciones y figura 5.13 para la solución).

Fig. 5.13 Solución global para un MSC-1 con

f b'     0 y L  s .

94


2) Si f k'     0 y L  s , se forma una sola onda de choque de ecuación: z1  t   c , con f k'  L     L ,    f k'   

(5.60)

la solución para el PSCK será un MSC-1 y el espesador llega a un estado estacionario con una descarga de concentración  . (ver figura 5.10 para la solución). 3) Si f k'     0 y L  s  **  , se forma una sola onda de choque de ecuación igual a (5.59) pero con   L ,    0 , la solución para el PSCK será un MSC-1 y el espesador se rebalsa. (Ver figura 5.12 para definiciones y figura 5.14 para la solución).


f b'     0 y L  s .


f k'     0 y L  s .

95


4) Si f k'     0 y L  **  , se forma una sola onda de choque de ecuación igual a

(5.59) y con   L ,    0 . La solución para el PSCK será un MSC-1 y el espesador se vacía. (ver figura 5.16 para la solución). El valor de t1 será: t1  t  

c    L ,  

(5.61)


f k'     0 y L  ** .

El Procesos de Sedimentación Continuos de es un MSC-2 Tenemos aquí también cuatro casos: 1) Si f k'     0 y **   L  a , se forma una discontinuidad de contacto de ecuación:

 





 

z1  t   c  f k' *L t , con f k'  L    L , *L  f k' *L  0

(5.62)

Hay un cambio brusco de  L a *L y luego un aumento continuo de concentración hasta  . La concentración de descarga es de  para todo t. Al tiempo t=t1 el EIC se rebalsa, con t1 dado por (ver figura 5.17): t1 

Lc

 

f k' *L

(5.63)

96



f k'     0 y **    L  a .

** Si f k'     0 y **    L   M , se forma una discontinuidad de contacto de

2)

ecuación

igual

f k'

L , *L

 L    

a

la

de

(5.62),

ya

que

tenemos

    . Hay un cambio brusco de  f k'

*L

L

que

M  *L

y

a *L y luego un aumento

continuo de concentración hasta  . La concentración de descarga es de  hasta t2 y luego decrece continuamente hasta  L entre t 2  t  t1 de manera que el espesador se vacía. Los tiempos t1 y t2 están dados por (ver figura 5.18a): t1 





c L , *L



y

t2 

f k'

c   



(5.64)



* * ' 3) Si f k'     0 y L  ** M , se tiene que L  M y  L , L  f k  M   0 , por lo

que el PSCK es un MCS-2, formándose una discontinuidad de contacto horizontal de ecuación: z1  t   c y

z2  t  

f k'

c   

(5.65)

El espesador llega al estado estacionario con dos concentraciones, L y M, (ver figura 5.18c).

4) Si



f k'     0



* y ** M  L  a  L , se tiene que

 

* ** M   L  a   L

y

0   L , *L  f k' *L , (ver figura 5.19). Se forma una discontinuidad de contacto de

ecuación igual a la de (5.62). La concentración sufre un cambio brusco de L a *L y



** ** f k'     0 y a) **   L  M , b) D  M ,c) L  M .

* Fig. 5.19 Solución global para un MSC-2 con ** M  L  a  L .

97

98


 

luego aumenta continuamente hasta  . Como f k' *L  0 , el EIC se rebalsa en el tiempo t=t1 de ecuación: t1 



Lc

 L , *L



(5.66)

El Procesos de Sedimentación Continuos de es un MSC-3 Nuevamente tenemos cuatro casos: 1) Si f k'     0 y a  L   , se tiene f k'  a   f k'  L   f k'     0 , por lo que la concentración cambia continuamente desde L a  constituyendo un MSC-3.Para el tiempo t=t1 el EIC se rebalsa (ver figura 5.20a y 5.20b):

t1 

Lc f k'

 

(5.67)

L

Fig. 5.20 Solución global para un MSC-3 con f k'     0 y a  L   .

2) Si f k'     0 y a  L  M , se tiene que f k'     f k'  M   f k'  L  , por lo que se formará una onda de rarefacción desde la concentración  L a  constituyendo un MSC-3. El EIC se rebalsa después del tiempo t  t1 dado por (5.67), (ver figura 5.20c).


99

Fig. 5.20 Solución global para un MSC-3 con c) f k'     0 y L  M .

3) Si f k'     0 y L  M , resulta que M     y f k'  L   f k'  M   0  f k'    , por lo que se forma un gradiente continuo de concentración entre L a  . La descarga tiene concentración  hasta t2 y luego disminuye continuamente a M , de modo que el espesador se vacía, (ver figura 5.20d):

Fig. 5.20 Solución global para un MSC-3 con d) f k' ()  0 y L  M .

4) Si f k'     0 y  M   L , se tiene f k'   M   0  f k'   L   f k'    , (ver figura 5.21), por lo que se forma un gradiente continuo de concentración entre  L a  . La solución es un MCS-3 y como f k'     0 , el espesador se vacía en t=t1:

100

Manual de Filtración & Separación t1 

f k'

c  L 

t2 

f k'

c   

(5.68)


f k'     0 y a   L   M .

5.4

ESTADO ESTACIONARIO Y CAPACIDAD DE UN ESPESADOR IDEAL En el estado estacionario la ecuación (5.47) se reduce a: df k    dz

 0 , para 0  z  L

(5.69)

de donde se deduce que la densidad de flujo de sólidos es constante en todo el EIC en el estado estacionario. El estudio de los MSC para suspensiones ideales caracterizadas por un punto de inflexión en la función densidad de flujo de sólidos, permiten observar que existen solamente dos condiciones para obtener estados estacionarios. La primera se obtiene para con un MSC-1 para f k'     0 con L  s y D   , ver figura 5.10 y la segunda con un MSC-2 para f k'     0 con L  ** M y D  M , ver figura 5.14. En ambos casos se puede escribir las siguientes ecuaciones: f k     q  f bk    y f k  D   qD

Reemplazando la segunda ecuación en la primera y aplicándola a la concentración L, tenemos: f k  L  

f k  D  D

L  f bk  L 

101

Capítulo 5 Teoría de Sedimentación f k  L  L



f k  D  D



f bk  L  L

Como en el estado estacionario la densidad de flujo es una constante, f k  L   f k  L 

y f bk  L  L    0, L    I  L   vs  L  , donde  I  L  es la pendiente inicial de la curva de sedimentación batch de una suspensión ideal de concentración L , podemos escribir la expresión anterior: f F   I  L 

1

(5.70)

 1 1      L D 

Como por definición la densidad de flujo de sólidos f F   F sS y el área unitaria UA  S F , finalmente podemos escribir para la capacidad F S y el área unitaria UA como:

 1 F 1 1 1   s I  L  y AU     s  I  L   L D  S  1 1      L D 

(5.71)

Tal como hemos mencionado, hay dos casos de estados estacionarios dependiendo de si f k'    es mayor o menor que cero. Si f k'     0 , L  s y D   , por lo que la expresión (5.71) se transforma en:  1 F 1 1 1   s  I  s  y AU     s  I  s   s   S  1 1      s  

(5.72)

Si f k'     0 , L  ** M y D  M , por lo que la expresión (5.71) se transforma en:  1 F 1 1 1   s  I ** y AU   **   M ** S  1 1  s  I M  M M   **    M M 

 

 

(5.73)

En el capítulo 8 tendremos la oportunidad de utilizar esta ecuación y comentar su aplicabilidad. Aquí solamente mencionaremos que la mayoría de los investigadores en este campo (Fitch 1996, Shannon and Tory 1996, Hasset 1968, Ecklund and Jenqvist 1975, Wilhelm and Nadie 1979 y Galvin and Waters 1987) supusieron que la

102


concentración de la descarga de un espesador ideal era    M , el valor del máximo local de la curva de flujo. Ellos justificaron este aumento de concentración en la descarga desde  M a  como un salto de concentración (considerando que solo la densidad de flujo de sólidos era continua). Al contrario, como hemos visto en este capítulo, la concentración de descarga, que en el inicio del período transiente de operación era  , disminuye su valor con el tiempo hasta llegar a  M en el estado estacionario. Como en los tiempos en que se desarrolló la teoría de Kynch, se suponía que esta teoría era aplicable a pulpas floculadas, es indudable que la confusión se produjo porque para una pulpa compresible, efectivamente la concentración aumenta paulatinamente desde la concentración crítica hasta la de descarga. La teoría de Kynch, fuera de predecir correctamente el comportamiento de suspensiones incompresibles, forma parte de una teoría más general, la que sí es válida para suspensiones compresibles. Además, el ejercicio de construir la solución gráfica de un proceso de sedimentación de Kynch, permite comprender más fácilmente el comportamiento y la forma de determinar los parámetros en las pulpas compresibles. Toda persona que desee comprender la teoría fenomenológica de sedimentación, debe primero entender la teoría de Kynch.

5.5 REFERENCIAS Bustos, M.C. and Concha, F., 1988a, On the construction of global weak solutions in the Kynch theory of sedimentation, Math. Meth. Appl. Sci., 10, 245-264. Bustos, M.C. and Concha, F., op. cit. 1988b, 248. Bustos, M.C., Concha, F. and Wendland, W., 1990. Global weak solutions to the problem of continuous sedimentation of an ideal suspension, Math. Meth. Appl. Sci., 13, 1-22. Concha, F. and Bustos, M.C., Settling velocities of particulate systems, 6. Kynch sedimentation processes: batch settling, Int. Jl. Mineral Process., 32, 1991, 193-212. Concha, F. and Bustos, M.C., Settling velocities of particulate systems, 7. Kynch sedimentation processes: continuous thickening, Int. Jl. Mineral Process., 34, 1992, 3351. Bustos, M.C., Concha, F., Bürger, R. and Tory, E.M., Sedimentation and Thickening: Phenomenological Foundation and Mathematical Theory, Kluwer Acad. Publ., Dodrecht, The Nethelands, 1999, 111-148. Concha, F. and Bustos, M.C., 1991. Settling velocities of particulate systems, 6. Kynch sedimentation processes: batch settling, Int. J. Mineral Process., 32, 193-212. Concha, F. and Bustos, M.C., 1992. Settling velocities of particulate systems, 7. Kynch sedimentation processes: continuous thickening, Int. J. Mineral Process., 34, 35-51. Kynch, G.J., 1952. Theory of sedimentation. Trans. Farad. Soc., 48, 166-175.

CAPÍTULO 6 FLUJO EN LECHO POROSO En 1856 Darcy propuso la primera correlación experimental para el flujo de un fluido viscoso incompresible a través de un medio poroso formado por partículas sólidas. Darcy estableció una relación lineal entre el flujo volumétrico por unidad de área y la caída de presión a través del lecho. Forcheimer (1901) observó que la correlación de Darcy no es universalmente válida, sino que su aplicabilidad se restringe a flujos lentos y propuso una extensión de esta relación para flujos mayores. Desde entonces, las regiones de flujo a bajas velocidades se denominan flujo de Darcy y las de alta velocidad, flujo de Forcheimer. Además del trabajo de estos dos pioneros del tema, han contribuido a él Kozeny (1927) y Carman (1937). La mejor manera de analizar el flujo a través de medios porosos es dividirlo en dos partes dependiendo de si la matriz de partículas sólidas, a través de la cual escurre el fluido, es rígida o deformable. En ambos casos el resultado es útil como fundamento de la industria de procesos, la primera en la filtración y la segunda en el espesamiento. En este capítulo se desarrollará los fundamentos del flujo en un medio poroso rígido basándose en la Teoría de Mezclas. 6.1 PROCESO DINÁMICO EN UN LECHO POROSO RÍGIDO Consideremos un conjunto de partículas sólidas a través del cual escurre un fluido. Las 5 suposiciones expresadas con anterioridad en el capítulo 3 son válidas: (i) Las partículas sólidas son todas pequeñas, con respecto a la vasija que las contiene, y de la misma densidad, tamaño y forma. (ii) Las partículas individuales y el fluido son incompresibles. (iii) No hay transferencia de masa entre el sólido y el fluido. (iv) La única fuerza de cuerpo es la gravedad. (v) Las partículas están contenidas en una vasija impermeable y con paredes sin fricción ante líquidos y sólidos Agreguemos ahora que: (vi) Las partículas forman un esqueleto sólido rígido e inmóvil. Una mezcla de partículas y fluido que obedece las restricciones establecidas por (i) a (vi) se denomina lecho poroso incompresible y puede ser descrito con las 103

104


ecuaciones derivadas en la sección anterior. Como en este caso el fluido es el único componente activo, es conveniente usar la porosidad  como variable en vez de la fracción volumétrica de sólidos :   1   . Por otra parte la velocidad del sólido vs  0 . 6.1.1

Balances locales El flujo a través de un lecho poroso rígido puede ser descrito mediante los balances de masa y momentum lineal para el fluido y mezcla. Del capítulo 3, y tomando en cuenta las indicaciones anteriores, podemos escribir: Balance de masa del componente fluido

   v f   0 t

Balance de masa de la mezcla:

q  0 , con

Balance de momentum lineal del fluido: p e  

(6.1) q  v f y vs  0

md 

(6.2) (6.3)

donde r es el vector posición, (r, t)  1  (r , t)  es la porosidad del lecho, v f (r, t) es la velocidad del fluido, q(r, t) es la velocidad volumétrica de la mezcla, en esta caso, la velocidad espacial del fluido, pe (r, t) es la presión de poros en exceso y m d (r, t) es la fuerza resistiva que el fluido ejerce sobre el sólido. 6.1.2

Ecuación Constitutiva de la fuerza resistiva Es razonable suponer que la fuerza resistiva, originada por el flujo del fluido a través del lecho poroso, es una función de la porosidad  y de la velocidad relativa entre el sólido y el fluido vr: m d  m d  , v r 

(6.4)

La función más general para md es de la forma:

m d    , v r  v r donde el coeficiente de resistencia   , v r

(6.5)

 puede ser expandido en serie de Taylor en

la forma:   , v r    0     1    v r   2    v r  ...... 2

6.1.3

(6.6)

Ley de Darcy Si la velocidad relativa sólido-fluido es pequeña, es posible conservar solamente el primer término de la expansión en serie del coeficiente de resistencia, dando como resultado:

Capítulo 6. Flujo en Lecho Poroso

105

m d   0    v r

(6.7)

La expresión (6.7) recibe el nombre de Ley de Darcy y corresponde a una relación lineal entre la fuerza hidrodinámica y la velocidad relativa entre el fluido y del esqueleto sólido. Sustituyendo la Ley de Darcy en el balance de momentum lineal del fluido (6.3) se obtiene: p e 

  

(6.8)

vr

6.1.4

Ley de Forcheimer Si la velocidad relativa sólido-fluido adquiere valores mayores, es necesario utilizar otro término de la expansión en serie del coeficiente de resistencia, entonces:

m d    0     1    v r  v r

(6.9)

Esta es la Ley de Forcheimer. Sustituyendo en el balance de momentum lineal del fluido obtenemos:      1     p e   0  vr  vr    

(6.10)

Esta ecuación representa el balance de fuerzas en el flujo a través de un lecho poroso a velocidades mayores. 6.2 PARÁMETROS GEOMÉTRICOS DE UN LECHO POROSO RÍGIDO Para relacionar los parámetros i con la geometría del lecho poroso, apliquemos la ecuación (6.10) al caso bien conocido de flujo horizontal en un lecho poroso rígido de porosidad  constante. Ver figura 6.1, donde q  qk , con q  0 y p e   pe z  k :

pe=po pe=pL

q

q 0 k

z

z=L

Fig. 6.1 Medición de parámetros de resistencia en un lecho poroso rígido homogéneo horizontal.

106


Como  es constante, de la ecuación (6.1), se deduce que la velocidad del fluido es constante y la velocidad espacial, o velocidad de percolación, q  v f también es constante. Por otra parte como v s  0 y v r   v f , el balance de momentum lineal se puede escribir de (6.10) en la forma: p e   ( )  (  )    0 2  1 3 q q z    

(6.11)

Integrando esta ecuación con las siguientes condiciones de frontera: pe  z  0   p 0 y pe  z  L   p L , donde p e  p 0  p L , obtenemos:



pL

p0

       dp    0 2  1 3 q  q k   



L

dz

0

      p L  p0  pe    0 2  1 3 q  qL    

(6.12)

Dividiendo ambos miembros de (6.12) por qL, resulta: 1 p e  0    1      3 q q L 2 

(6.13)

Graficando la ecuación (6.13) con q como abscisa y p e qL como ordenada se

bg

obtiene una línea recta en que el valor de la ordenada para q  0 es  0   2 y la

bg

pendiente de la recta es 1   . 3

7.4E+05

7.3E+05

pe/qL en g/s-cm3

7.2E+05

7.1E+05

7.0E+05

6.9E+05

6.8E+05

6.7E+05 0

10

20

30

40

50

60

Velocidad de percolación q en cm/s

Fig. 6.2 Mediciones de los parámetros geométricos de un lecho poroso rígido formado por partículas de cuarzo de 28/35 mallas (Massarani 1984).


107

Se acostumbra a escribir ambos parámetros en términos del coeficiente de permeabilidad k() y propiedades del fluido. Según Massarani (1984):

bg

0    2  k

bg

y

bg

bg bg

1  c  f 3  k

(6.14)

donde k es la permeabilidad, medida en Darcy (1 Darcy=10-3 cm2). Con estas definiciones, los parámetros de la recta en la figura 6.2 son: el valor de la ordenada

bg

para q  0 es  k  y la pendiente de la recta es f c   

k    . Tanto k como c

son funciones de . El orden de magnitud de k() y c() pueden observarse en la tabla 6.1. Tabla N° 6.1 Orden de magnitud de k() y c (Massarani 1984) 

Medio

k () [cm2] -12

Arenisca de petróleo

0.03

1.0x10

Placa metálica porosa

0.26

1.0x10-7

Concentrado de cobre

0.43

5.0x10

-9

Arena de cuarzo de 28/35 mallas

0.42

1.5x10-6

0.40

-4

Balotines de vidrio de 6mm

4.0x10

c() [-] 3x105 15

1.7 0.49

Con las definiciones (6.14), la ecuación (6.11) se puede escribir en la forma más conocida:   pe  c()  q q    f  k() z k()  

(6.15)

Integrando esta expresión se obtiene:  c  1 pe q   f q L k  k 

(6.16)

Para describir la funcionalidad de la permeabilidad k y del parámetro c con la porosidad se ha propuesta varias ecuaciones, entre ellas las más conocidas son las de Kozeny (1927) y Carman (1937), de Ergun (1952) y de Massarani (1989) (ver próxima sección). Ejemplo 1 (Massarani 1999) Para un medio poroso constituido por arena de 14/20 mallas en tamaño, de esfericidad   0.6 , consolidada con Araldit, de longitud L  2.1 cm y una sección

108


transversal de 16.8 cm2 con una porosidad de =0.37, calcular los parámetros de permeabilidad k() y c(). Ensayos de flujo a través del medio poroso dieron el siguiente resultado:

q(cm/s)

6.33

7.47

10.2

12.7

15.2

17.7

20.3

23.9

p (cm Hg)

4.69

6.24

10.4

15.2

21.2

28.0

35.9

48.9

La presión en cm de mercurio debe transformarse a unidades cgs usando la expresión: p  Hg gh  13.595  980.7  h g cms 2

donde h está en cm de Hg. Con los datos de la tabla siguiente se puede obtener el gráfico: q (cm/s) 6.33 7.47 10.18 12.66 15.20 17.73 20.26 23.93

P (cmHg) 4.69 6.24 10.37 15.15 21.07 28.02 35.89 48.90

P g/cms2 P/qL (g/scm3) 6.2530E+04 4.7040E+03 8.3196E+04 5.3035E+03 1.3826E+05 6.4674E+03 2.0199E+05 7.5976E+03 2.8092E+05 8.8007E+03 3.7358E+05 1.0034E+04 4.7851E+05 1.1247E+04 6.5196E+05 1.2974E+04

p/qL g/scm

3

16000

11000

6000 y = 470.57x + 1697.8 2

R = 0.9996

1000 0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

Velocidad de percolación q cm/s

Del gráfico podemos escribir:

25.00

30.00


109

p  470.57q  1697.8 qL

de donde podemos obtener los parámetros: k  

 0.0118   6.95  10 6 cm 2  p qL q 0 1697.8

c   k   

 p q L   1.24 2



6.1.1

Ecuaciones de Forcheimer y de Darcy Si substituimos los valores de 0 y 1 desde (6.14) en (6.9) y en (6.11) se obtiene: md 

  f k()c( ) q 1   k() 

p e  

 q  

  f c( ) k() q  1  q   k()  

(6.17)

(6.18)

Esta última expresión se denomina ecuación de Forcheimer. El segundo término de los paréntesis de (6.17) y (6.18) tiene la forma de un número de Reynolds. Definiendo el número de Reynolds de percolación en la forma: Re* 

f c() k    q 

(6.19)

podemos escribir ambas ecuaciones en la forma: md 

 1  Re* q k()

p e  

 1  Re* q k()

(6.20)

(6.21)

El número de Reynolds de percolación mide la desviación de la fuerza resistiva de la ley de Darcy. Efectivamente si Re*<<1, la ecuación (6.20) se transforma en la ley de Darcy: md 

 q k()

y (6.21) se reduce a la ecuación de Darcy:

(6.22)

110

Manual de Filtración & Separación p e  

 q k()

(6.23)

Ejemplo 2 Para los datos del problema 1, definir si el régimen es de Darcy o Forcheimer. Para decidir debemos calcular el número de Reynolds para los valores extremos de velocidad: Re* 

Re* 

f c( ) k    q  f c( ) k    q 



1.23  6.84  106  6.33  1.73 0.0118



1.23  6.84  10 6  23.93  6.52 0.0118

Como en ambos casos el número de Reynolds es mayor a 1, el régimen es de Forcheimer. 6.1.2

Ecuaciones de Forcheimer y Darcy en términos de la altura piezométrica En ocasiones es conveniente expresar las ecuaciones de Darcy o Forcheimer en términos de la altura piezométrica, en vez de la presión de poros en exceso. Como pe  f g  h  h 0  , donde f gh 0 es la presión hidrostática, reemplazando en (6.21) resulta: h  

 1  Re* q f gk()

Definiendo la conductividad hidráulica K(), medida en cm/s, mediante la expresión:

K(  ) 

f gk(  ) 

(6.24)

Las ecuaciones de Forcheimer y de Darcy se transforman en: h  

1 1  Re* q K()

(6.25)

h  

1 q K()

(6.26)

6.3 MODELO CAPILAR DE UN LECHO POROSO RÍGIDO El modelo capilar de un medio poroso rígido, también conocido como modelo de Blake-Kozeny o Carman-Kozeny, se basa en considerar los poros del lecho como un


111

conjunto de tubos capilares de sección transversal arbitraria. Se supone que el fluido sigue la ley de Poiseuille. Para este flujo el gradiente de presión está dado en términos de la velocidad promedio en los tubos v por: p e  

 v R 2h

La velocidad promedio en los tubos v corresponde a la velocidad intersticial vf, por lo que v  q  y la ecuación se transforma en: p e  

 q R 2h

(6.27)

donde Rh es el radio hidráulico, definido como el área de sólido mojada por el fluido, dividida por el perímetro del tubo sólido mojado y  es la tortuosidad, un factor adimensional que depende de la sección transversal del ducto en el atado. Entonces, para un lecho de partículas: Rh 

área mojada L x perímetro mojado L



volumen de poros / volumen del lecho sup erficie de partículas / volumen del lecho



       Sp / V Sp (1  ) / V(1  ) (1  )Sp / Vp (1  )S

donde S es la superficie específica por unidad de volumen de lecho. Reemplazando esta expresión en la ecuación (6.27) obtenemos: p e  

(1  ) 2  S 2 q 3

de aquí resulta que la permeabilidad queda expresada por: k( ) 

3 (1  ) 2  S 2

(6.28)

Si las partículas fueran esféricas, entonces la superficie específica quedaría expresada por S  6 d p y la permeabilidad por: k( ) 

3d 2p 36(1  )2 

(6.29)

donde dp es el diámetro de la esfera. Cuando las partículas no son esféricas se puede usar el concepto de esfericidad . Este se define como la razón entre la superficie de una partícula y la superficie de su

112


esfera equivalente, esto es, de aquella esfera que tiene el mismo volumen de la partícula. Entonces:

Por lo tanto:



Se Se Vp Se Ve 6 d e    Sp Sp Ve Sp Vp S

S

6 d e

(6.30)

donde de es el diámetro equivalente volumétrico, es decir, el diámetro de una esfera que tiene el mismo volumen que la partícula. En este caso, la permeabilidad resulta ser: k( ) 

3d 2e  2 36(1  ) 2 

(6.31)

También es posible utilizar el diámetro volumétrico-superficial, o diámetro de permeabilidad, para describir la superficie específica S de un medio poroso. Según la definición:  S S V

 x f (x)dx    1 x  f (x)dx   f (x)dx     x f (x)dx   f (x)dx  x  2

3

S

S

S

V

V

V

1 x12

(6.32)

x12 es el tamaño de permeabilidad ya que, junto a los factores de forma superficial S

y volumétrico V permiten calcular la superficie específica S . Sustituyendo (6.32) en (6.28) obtenemos (Concha 1973): k( ) 

2 3x12

(1  ) 2  S  V 

(6.33)

2

Tabla 6.2 Valores del parámetro  Tipo de conducto



Referencia

Circular

2

Becker (1963)

Elíptico

2.00-2.46

Becker (1963)

1.67

Becker (1963)

5

Coulson y Richardson (1968)

Triangular equilátero Lecho de partículas con 0.3  0  0.5

Otros modelos propuestos son los de Ergun (1952) y de Massarani (1989) son: 3  d e  k   170(1  ) 2 2

Modelo de Ergun para 0.35<<0.45:

(6.34)


113 c  

Modelo de Ergun para 0.35<<0.45:

0.143 3 2

(6.35)

Modelo de Massarani (1989):

1 c   3 2 

0.37 0.01   k0   k 0   0.13    0.10     k   k   

0.98

, k 0  106 cm 2 

(6.36)

Ejemplo 3. Para los datos del ejemplo 1, calcular la permeabilidad mediante los modelos de Kozeny-Carman, Ergun y Massarani. El diámetro equivalente correspondiente a la malla promedio x m es d e  0.986x m (Concha y Aravena 1973). El tamaño de las mallas promedio de la malla es igual a x m  833  1168  986.4 m , luego d e  0.986  986.4  972.6 m Kozeny-Carman: 3d 2e  2 (0.37)3  (972.6  104 )2  (0.6)2   6.53  106 cm 2 k   36(1  )2  36  (1  0.37) 2  5 Ergun: k   c  

3  d e  

2

150 1   

2



(0.37)3  (972.6  104  0.6) 2  7.83  106 cm 2 150  (1  0.37) 2

0.143 0.143   0.635 32  (0.37)3 2

Massarani: 1 c   (0.37) 3 2

0.37 0.01  106   106     0.10  0.13   6  6   6.95  10   6.95  10   

0.98

 0.744

6.4 PROCESO DINÁMICO EN UN LECHO POROSO RÍGIDO El escurrimiento estacionario de un fluido newtoniano en un lecho poroso rígido queda representado por las siguientes variables de campo (r,t), q(r,t) y pe(r,t). Estas variables constituyen un proceso dinámico si cumplen las siguientes ecuaciones: (r, t)   0

p e  

y

q (r , t)  q 0

 1  Re* q0 k(0 )

(6.37) (6.38)

114


donde Re*  f c( 0 ) k( 0 ) q 0  y donde 0, k(0) y c(0) son la porosidad, permeabilidad y parámetro de resistencia del lecho poroso, mientras que f y  son la densidad y viscosidad del fluido y pe es la presión de poros en exceso a la hidrostática. Si el escurrimiento es lento, la ecuación (6.38) se reduce a: p e  

6.5

 q0 k( 0 )

(6.39)

FLUJO BIFÁSICO EN UN LECHO POROSO RÍGIDO

El flujo conjunto de un líquido y un gas en un medio poroso es de gran importancia en muchos procesos, tales como la filtración, el escurrimiento en suelos y la recuperación de petróleo. En esta sección analizaremos el escurrimiento de agua y aire en un medio poroso rígido, tal como se presenta en la fase de deshumidificación o soplado en el proceso de filtración. Los primeros trabajos en esta línea fueron presentados en el ámbito del escurrimiento de agua en suelos no-saturados por Raats y Klute (1968). Consideremos un lecho poroso rígido por el cual escurre una mezcla de agua y aire. Las seis suposiciones de la sección 6.1 siguen siendo válidas. La porosidad del sólido es  y definiremos como "s" la fracción de volumen de poros del sólido que contiene agua y la denominaremos saturación. Por lo tanto, la fracción de aire contenida en los poros será (1-s). Entonces, las fracciones de agua y aire contenida en la mezcla sólido-fluido serán s y (1-s). Al igual que antes, el sólido se considerará inmóvil y v s  0 . Los balances locales generales son: Balance de masa:

    v    0 t

(6.40)

Donde  y v  son la densidad de masa y velocidad del componente  del medio poroso. Para una mezcla aire líquido podemos escribir: Para el líquido:    s Para el aire:

  a (1  s)

Para el sólido:   s (1  ) Con estas definiciones, los balances de masa para los componentes resultan ser: Para el agua

   s     sv    0 t

(6.41)

Capítulo 6. Flujo en Lecho Poroso Para el aire:

115

  a (1  s)    a (1  s) v a   0 t

(6.42)

Como el medio poroso es rígido, no hay movimiento del sólido. Sumando las expresiones (6.41) y (6.42) se obtiene la ecuación de continuidad de la mezcla de fluidos:    v   0 t

con  y v definidos por:     s  a (1  s)

(6.43)

v    q   a q a

(6.44)

q   sv  y q a  (1  s) v a

(6.45)

donde

Balance de momentum lineal:  v   T  b   m

(6.46)

donde v  , T , b  , y m son la aceleración, los esfuerzos, la fuerza de cuerpo y la fuerza de interacción para cada componente. Para la mezcla de un líquido y aire en el medio poroso tenemos: Para el agua:

 sv   T   sg  m 

(6.47)

Para el aire:

a (1  s) v a  Ta  a (1  s)g  m a

(6.48)

donde m  y m a son las fuerzas de interacción entre componentes. Consideremos flujos lentos en estado estacionario, tal que los términos de aceleración sean despreciables. Además, tomaremos en cuente el hecho que la fricción entre fluidos es mucho menor que aquella de interacción entre éstos y el sólido y, por ello, despreciaremos los esfuerzos extra del líquido y del aire. Con estas simplificaciones las ecuaciones de momentum se reducen a:  p     s g  m 

(6.49)

p a  a (1  s) g  m a

(6.50)

Sumando estas dos expresiones resulta la ecuación tradicional de un fluido, para una mezcla sólido-fluido: p  g  m

(6.51)

116


donde     s  a (1  s) es la densidad de la mezcla de fluidos, m    m   m a  , es la fuerza que la mezcla de fluidos ejerce sobre el sólido y p  pa  p  es la presión total.

6.5.1 Ecuaciones constitutivas de las presiones Las presiones p y pa son variables asociadas a cada componente considerado como medio continuo que ocupa todo el espacio de la mezcla. Por esta razón ellas no son variables mensurables experimentalmente. Si denominamos p a la presión de poros, esto es, la presión del líquido en los poros y pg la presión mensurable del aire, ambos valores experimentales, se debe cumplir que: p  sp y

pa  (1  s)pg

(6.52)

Cuando se encuentran en un tubo capilar tres fases, como el caso de un líquido, que moja al sólido, y un gas, que no lo moja, se genera una fuerza en la frontera de las tres fases, denominada fuerza capilar, que depende de las tensiones interfaciales de los tres componentes. En general, la diferencia de presión entre la fase gaseosa y la fase líquida se denomina presión capilar y depende de la tensión superficial del líquido y del radio de curvatura del menisco. La presión capilar está dada por la ecuación de Young-Laplace (Schubert 1982): 1 1 p c  p g  p   g     r1 r2 

(6.53)

donde  g y  son la tensión superficial y la densidad del líquido, respectivamente y r1 y r2 son los radios de curvatura del menisco. Como un ejemplo, coloquemos los extremos de cuatro tubos capilares de diferente diámetro interior en un líquido que moja la superficie del sólido, el líquido se eleva en los capilares a alturas diferentes, como se indica en la figura 9.20a. Para un capilar, el radio de curvatura es d/2 y la ecuación (6.53) se reduce a pc  4  g (1 d)cos  , donde  es el ángulo de contacto. La magnitud de la fuerza capilar será f c  pc

 d 4  , esto es, 2

f c  d cos  . La altura a la que asciende el

líquido depende del balance entre la fuerza capilar y la fuerza gravitacional, con f g    d 2 h la magnitud de esta fuerza, resultando en h   g cos    d . Es así como el líquido sube más alto en los capilares más finos.


a)

117

b)

Fig. 6.3 Capilaridad: a) Tubos capilares verticales, b) Tubos capilares horizontales.

Si los tubos capilares se colocan en posición horizontal sumergidos totalmente en el líquido y se les aplica un gradiente de presión p, el líquido escurrirá por cada tubo con un flujo volumétrico Q de acuerdo a la ecuación de Poiseuille, p  8LQ R 4 . Si los tubos llenos de líquido se alzan fuera del líquido y se los coloca en posición horizontal en una corriente de aire bajo un gradiente de presión p L , como se indica en la figura 6.3b), se establecerá un balance entre la fuerza del aire f aire  pd 2 4 L y las fuerzas capilares f capilar  d cos  . Si la fuerza del aire es mayor que la capilar, el aire desplazará al líquido, como en los tubos 1) a 2), pero cuando las fuerzas estén equilibradas no habrá escurrimiento, ver tubos 3) y4). El diámetro del capilar cuando esto ocurre se obtiene d  4L cos  p . Aumentando la presión, el diámetro del tubo que permanecerá saturado disminuye. Volviendo ahora a un medio poroso, consideremos el modelo capilar, en el cual se supone que el medio está constituido por un conjunto muy grande de capilares de diversos diámetros distribuidos al azar. Si el medio poroso está saturado de un líquido mojante y sometido a un gradiente de presión, todo el líquido fluirá por los capilares de acuerdo a su diámetro y a las propiedades del líquido. Si el medio saturado es sometido ahora a una corriente de aire, el aire desplazará el líquido de los capilares grandes y no de los más pequeños, dependiendo de la magnitud del gradiente de presión. Cuando se alcanza el equilibrio, el aire circulará solamente por los capilares grandes, mientras los más pequeños permanecen saturados de líquido. De esta forma el líquido circulará tanto por los capilares grandes como por los pequeños. Por los pequeños el líquido seguirá la ley de Darcy, mientras que por los capilares grandes fluirá en un espacio anular entre las paredes del tubo y el flujo de aire. Finalmente, por los capilares más pequeños no habrá flujo y el líquido permanecerá estancado debido a las fuerzas capilares. Para un gradiente de presión determinado, habrá una cantidad de líquido mojante retenido en los tubos capilares, que dependerá del gradiente de presión del aire, del tamaño de los capilares y de la tensión interfacial. Esta cantidad de líquido constituye la saturación residual designada por s. Para un medio poroso no saturado, la presión capilar es función de la saturación, además de las variables antes mencionadas. La figura 6.4 muestra una curva típica de presión capilar versus saturación.

118

Manual de Filtración & Separación 4.5 4

Presión Capilar pc (bar)

3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Saturación s

Fig. 6.4 Presión capilar versus saturación para un concentrado de cobre. Los círculos son datos experimentales de un concentrado de cobre y la línea la ecuación (6.54). 1

 s s pc  p50      1 s 

(6.54)

donde p50 , s y  son constantes. Para detalles ver ecuaciones (6.71) a (6.73). 6.5.2 Ecuaciones constitutivas de las fuerzas resistivas Es sabido que las fuerzas de interacción entre un sólido y un fluido son mucho mayores que las fuerzas entre fluidos. Este hecho permite suponer que las ecuaciones constitutivas para las fuerzas resistivas son función de la porosidad, de la saturación y de las velocidades relativa entre los componentes fluidos y el sólido. Como el sólido está inmóvil, la velocidad relativa entre los fluidos y el sólido serán las de los fluidos mismos. Entonces:   (,s)  (,s)  m   q  , ,s    0 2  1 3 q   q     

(6.55)

  (,s)  (,s)  m a  q a , ,s    0 2  1 3 q a  q a    

(6.56)

Reemplazando las expresiones (6.52), (6.55) y (6.56) en las ecuaciones (6.49) y (6.50) resulta:   (,s)  (,s)    sp    sg   0 2  1 3 q   q     

(6.57)


119

  (,s)  (,s)    (1  s)pg   a (1  s) g   0 2  1 3 q a  q a    

(6.58)

Desarrollando (6.57) resulta:

6.5.3 Percolación en medios porosos La percolación en medios porosos es un proceso lento, por lo que se puede despreciar el término cuadrático de la velocidad en la ecuación (6.57) de momentum del líquido. Escribamos la ecuación en la forma: sp  ps   sg 

 0 (,s) q 2

(6.59)

La precolación es un fenómeno regido por gravedad en que no existe gradiente de presión externo. Por ello podemos despreciar el primer término de(6.59) en comparación con el segundo: ps   sg 

 0 (,s) q 2

(6.60)

Despejando la velocidad volumétrica del líquido, tenemos: q  

1  3ps   3sg   0 (,s)

Definiendo la conductividad hidráulica K(,s) y la difusividad hidráulica D(,s) en la forma: K(,s) 

 3sg  0 (,s)

y

D(,s) 

3 p  0 (,s)

(6.61)

como g  gk , la velocidad de percolación se puede escribir en la forma: q   K(,s)k  D(,s)s

(6.62)

Esta ecuación es conocida en la literatura como ecuación de Darcy-Buckingham (Massarani 1997).

6.5.4 Flujo a presión en medio poroso no-saturado Cuando el gradiente de presión es más importante que el gradiente de saturación  p z  s z  y  pg z  s z  , podemos despreciar el gradiente de saturación de las ecuaciones de momentum lineal (6.57) y (6.58). El resultado es:   (,s)  (,s)  p    g   0 3  1 4 q   q  s  s 

(6.63)

120

Manual de Filtración & Separación   (,s)   (,s) p g  a g   30  41 qa  qa   (1  s)  (1  s) 

(6.64)

Definiendo las permeabilidades relativas k  (,s) y k a (,s) y los parámetros adimensionales c r (,s) y c ra (,s) , de cada componente en la forma: k  (,s) 

  k()  0 (,s)  3s

y k a (,s) 

c  ( ,s) 

k( )  0 ( ,s) 4s

y

 a k() 0 (,s) 3 (1  s)

(6.65)

k( ) a 1 ( ,s)  4 (1  s)

(6.66)

ca ( ,s) 

donde k() es la permeabilidad del medio poroso, que depende exclusivamente de la estructura de éste y es independiente del tipo de fluido y régimen de flujo. Con estas definiciones podemos escribir:    c (,s) q  q p    g      k()k (s)  k()   

(6.67)

  a c (,s)a qa  qa p g    a  k()k a (s)  k()  

(6.68)

En la ecuación (6.68) hemos tomado en consideración que el gradiente de presión del aire es mucho mayor que el peso del aire en el lecho. Si el flujo es lento, esto es si se cumple que i ci (,s) k() q i  1 , para i  , a , las ecuaciones (6.67) y (6.68) se reducen a: p    g 

p g  

 q k()k  (,s)

a qa k()k a  ,s 

(6.69)

(6.70)

De acuerdo a su definición, la permeabilidad relativa puede ser determinada, midiendo el flujo del fluido respectivo en un medio no saturado y en uno saturado. Tobinaga y Freire (1980) dan los resultados que se muestran en la figura 6.5 para la permeabilidad relativa del agua en el flujo de una mezcla de aire y agua por varios suelos. Se observa que las permeabilidades relativas medidas resultaron ser independientes de las propiedades del suelo y se las puede escribir, para todos los casos estudiados por ellos, en términos de la saturación en la forma: k   s   1.36  106  exp 13.6s 


121

Fig. 6.5 Permeabilidad relativa k  del agua en el flujo de una mezcla de agua y aire en suelos no-saturados. (Tobinaga y Freire 1980).

Ejemplo 4 Experiencias de flujo de agua en un lecho poroso incompresible de área 1.96x10-3 m2, espesor 3.5x10-3 m, porosidad =0.44 dio una permeabilidad de k()=3.13x10-8 m2. Un soplado posterior a presión de 4 bares y viscosidad de 2.1|x10-5 Pa-s por 60s desplazó una masa da agua, de densidad 1000 kg/m3 y viscosidad 1.2x103 Pa-s. Se pudo correlacionar los volúmenes de agua y aire en el tiempo mediante las funciones: Vfiltrado 19.119753  2.4962155  ln(t) (cm 3 ) Q aire



1 (l / h) 0.012528241  0.027846883  (t) 0.5

donde el tiempo está en segundos. Calcular la permeabilidad relativa del agua y del aire en función del tiempo y ajustar una función a ambos parámetros. La ecuaciones para el flujo de agua y aire en el soplado están dadas por (6.67) y (6.68). Para un determinado tiempo podemos integrar estas ecuaciones para dar: g p  q  (t)   q g (t)  L k()k  (t) k()k g (t)  L    Q  (t) 3.5  10 3 1.2  10 3 2.4962155  k  (t)     14 6   p k( ) S 4 3.1  10 10  1.96  103  t  

 

122


  L   a Q a (t) 3.5  103 2.1  10 5  1 1       k a (t)     14 6     0.5       p k( ) S 4 3.1 10 3.6 10  0.01253 0.027847 t        

El resultado se observa en la figura. 1 4

3

2

kl = 173.52s - 503.15s + 546.05s - 262.65s + 47.22 2

Permeabilidad relativa del agua ka

R = 0.9991

0.5

0 0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Saturación s

Permeabilidad relativa del agua

6.5.5

Saturación residual y saturación efectiva La saturación efectiva se define al sistema bifásico y queda expresada por: se 

1 s 1  s

(6.71)

donde s es la saturación residual. La saturación efectiva se puede correlacionar con la presión capilar a través de una ecuación logística:  1  s   pc    1   se    1  s    p50    

1

(6.72)

Donde p50 es el valor de pc para se=0.5 y   2.1972 ln(p 25 p75 ) . Para la saturación podemos escribir entonces:

 pc p50   1   pc p50  

s  s   (1  s  ) 

(6.73)


123

Permeabilidad relativa del aire k a

6.1E-05

5.1E-05

4.1E-05

3.1E-05

2.1E-05

ka = -0.0041s4 + 0.0122s3 - 0.0138s2 + 0.0068s - 0.0012

1.1E-05

R2 = 0.9997

1.0E-06 0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Saturación s

Permeabilidad relativa del aire.

Ejemplo 5 Durante la etapa de formación del queque, en un proceso de filtración, el agua retenida en el queque saturado fue de 34.3 cm3. A continuación se aplicó progresivamente presiones crecientes y se colectó el filtrado recibido. Los resultados se muestran en la tabla siguiente: Volumen de filtrado cm3 0.00 0.50 0.29 0.30 3.67 0.32 6.86 5.71 0.69

Saturación s 1 0.985 0.977 0.968 0.861 0.852 0.652 0.486 0.466

Presión capilar pc bar 0.0 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 1.0 2.0 4.0

Graficando los datos obtenemos la figura que sigue. Del gráfico se obtiene s   0.466 . Para calcular los parámetros utilizamos la ecuación (6.72) para la saturación efectiva se obteniendo la columna 2 de la tabla y el gráfico que sigue.

124

Manual de Filtración & Separación 4.5 4.0

Presión Capilar pc (bar)

3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Saturación s

Curva de capilaridad. 1.00 0.90

Saturación (s-sr)/(1-s r)

0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

Presión capilar pc en psi

Modelación de la presión capilar.

Del gráfico se obtiene el valor de p50  0.78 como el valor de pc para s   0.5 y el

valor de  de   2.1972 ln  p 25 p75   2.95 . La línea del gráfico de presión capilar versus saturación corresponde a la simulación con los parámetros obtenidos.

Capítulo 6. Flujo en Lecho Poroso p 0.0 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 1.0 2.0 4.0

(s-s)/(1-s) 0 0.0272777 0.0430987 0.0594654 0.2596836 0.2771413 0.6513912 0.9623568 1.0000000

125 Simulación 0 0.0177253 0.0563189 0.1223785 0.2121819 0.3156200 0.6754547 0.9414613 0.9920178

s+(1-s)xa/(1+a) 1.00000000 0.99053472 0.96992573 0.93464988 0.88669485 0.83145895 0.63930719 0.49725967 0.47026248

La saturación residual s se relaciona al balance entre la fuerza de presión y la fuerza capilar. La variable adimensional que relaciona estas fuerzas es el número de capilaridad. Este número ha sido definido en diferentes formas. Por ejemplo, de las definiciones en la sección 6.2.1 de este Manual, se puede obtener el siguiente número de capilaridad Nc: Nc  K

d  p   cos 

(6.74)

donde K es una constante. La recta de la figura 6.6 muestra la dependencia de la saturación residual del número de capilaridad, la se puede expresada por (Brown 1955): s 

1 0.264 Nc 86.3

Fracción de Humedad residual

1

0.1

0.01 1.00E-07 1.00E-06 1.00E-05 1.00E-04 1.00E-03 1.00E-02 1.00E-01 Número de capilaridad Nc

Fig. 6.6 Saturación residual s versus índice de capilaridad Nc para lechos porosos de gran espesor (Brown 1955).

126


Los valores pequeños de saturación residual corresponden a medios de alta porosidad, mientras que los valores altos pertenecen a medios de baja porosidad. En general podríamos escribir: s   kN c n

(6.75)

donde k y n se pueden obtener de un gráfico como el de la figura 6.6. Wakeman (1976) definió el número de capilaridad en la forma: N cap 

av x 2  p 

1  av 

2

L

donde av es la porosidad promedio del queque, x es el tamaño promedio de las partículas, p es la presión de poros, L es el espesor del lecho poroso y  es la tensión superficial del sólido. Con esta definición del número de capilaridad, Wakeman propones la siguiente correlación para la humedad residual para una variedad de queques incompresibles: 0.49 s   0.155 1  0.031N cap 

(6.76)

Fracción de Humedad residual sr

1.000

0.100 1.00E-05

1.00E-04

1.00E-03

1.00E-02

1.00E-01

Número de capilaridad Ncap

Fig. 6.7 Humedad residual versus número de capilaridad según Wakeman (1974).

Del gráfico se puede concluir que para números de capilaridad menores que 2.6x10-5 el queque queda completamente saturado y es imposible desplazar agua de él.


127

6.6 REFERENCIAS Becker, R., Integration des equations du mouvement d'un fluide visqueux incompressible, Handbuch der Physik VIII/2, Springer Verlag, 1-384 (1963). Brown, G.G., Operaciones Básicas de la Ingeniería Química, Ed. Marín, S.A., Barcelona, 1955, 232-235. Concha, F., Operaciones Mecánica, Apuntes de clase, Universidad de Concepción, 1937. Darcy, H., Les Fontaines Publiques de la Ville de Dijon, Dalmont, París (1856). Carman, P.C., Trans. Inst. Chem Eng., London, 15, 150 (1937). Coulson, J.M., Trans. Inst.Chem. Eng., London, 27, 237-253 (1949). Ergun, S., Fluid flow through packed columns, Chem. Eng. Prog. 48, 89 (1952). Kozeny, J., Sitzber. Abad. Wiss. Wien, Math. Naturw. Klasse 136 (Abt.Iia), 271 (1927). Massarani, G., Problemas em sistemas particulados, Ed. Edgard Blucher Ltda, Río de Janeiro, (1984). Massarani. G., Aspectos da fluidodinámica em meios porosos, Revista brasileira de Engenharía, Número Especial, 1989, 96pp. Schubert, H., Kapillarität in porösen Feststoffsystemen, Springer-Verlag, Berlin, 1982, 55-64. Wakeman, R.J., 1976. Vacuum deliquoring and residual saturation of incompressible filtercakes, Int. Jl. Miner. Process. 5, 193-206.

CAPÍTULO 7 CONSOLIDACIÓN ___________________________________________________ Cuando se aplica una carga compresiva sobre un sedimento saturado con agua, el esfuerzo total es soportado inmediatamente por el agua que llena los intersticios entre las partículas, llamada presión de poros, aumentando la presión en los poros. El gradiente de presión que se establece entre esta agua y el agua en el exterior, que se denomina presión de poros en exceso, inicia un flujo de agua hacia fuera del sedimento. Este flujo de agua es gobernado por la permeabilidad del medio poroso y va acompañado de una disminución de la presión de poros. En estas condiciones, para soportar el esfuerzo aplicado al sedimento, parte de él debe ahora ser soportado por la estructura del sólido. Esto, a su vez, produce la deformación del sólido, la magnitud de la cual depende de las propiedades esfuerzo-deformación del sedimento. De acuerdo a esta descripción, se denomina consolidación al proceso transiente de traspaso del esfuerzo aplicado desde el agua que llena los poros del sedimento al esqueleto de éste. El capítulo 3 analiza las fuerzas que intervienen en un proceso en consolidación.

7.1

PROCESO DINÁMICO DE CONSOLIDACIÓN

Consideremos una mezcla de partículas y un fluido con las siguientes propiedades: (i)

Las partículas sólidas son todas pequeñas, con respecto a la vasija que las contiene, y de la misma densidad, tamaño y forma.

(ii)

Las partículas individuales y el fluido son incompresibles.

(iii)

No hay transferencia de masa entre el sólido y el fluido.

(iv)

La única fuerza de cuerpo es la gravedad.

(v)

Las partículas están contenidas en una vasija impermeable y con paredes sin fricción entre el líquido y el sólido.

(vi)

Las partículas forman un esqueleto sólido compresible y móvil.

Tal mezcla puede ser considerada una superposición de dos medios continuos interactivos que denominaremos sedimento. Un sedimento sometido a consolidación es un medio poroso compresible descrito por las variables de campo: la porosidad (z,t)=(1-), la velocidad del fluido 128

Capítulo 7 Consolidación

129

vf(z,t), la velocidad volumétrica de la mezcla q  z, t   v f  1    v s , la presión de poros en exceso pe(z,t), el esfuerzo efectivo del sólido e(z,t) y la fuerza dinámica de interacción entre el sólido y el fluido md(z,t). Se dice que estas 6 variables de campo constituyen un proceso dinámico si, en la región 0  z  L cumplen (ver capítulo 3): (1) Las ecuaciones locales de campo:     v f   0  t z

(7.1)

dq  0 , donde q  v f  1    v r  v s  v r dz

(7.2)

pe m  d z 

(7.3)

pe e    1    g z z z

(7.4)

(2) las ecuaciones constitutivas: m d  md  , v f ,q 

(7.5)

e  e  , v f ,q 

(7.6)

(3) las condiciones iniciales y de contorno: pe  z,0   C,

p e  h, t   0 ,

e  h, t   0 ,

pe z

0

(7.7)

z 0

donde P es la presión externa aplicada y h es la coordenada de la superficie del sedimento. En estas ecuaciones vr es la velocidad relativa sólido-fluido y g la constante de aceleración de gravedad. Integrando la ecuación (7.4) usando las condiciones iniciales y de contorno (6.7b) y (6.7c) resulta: pe  z   e  z   g  1    z    h  z  dz  C

(7.8)

7.1.1 Teoría de Terzaghi para pequeñas deformaciones En esta sección analizaremos la consolidación causada por fuerzas externas aplicadas al sedimento de magnitud mucho mayor que el peso de éste. Terzaghi (1943) fue el primer investigador que formuló una teoría de consolidación. A las suposiciones (i) a (vi) él agregó: (vii) El sedimento es isotrópico y está completamente saturado. (viii) El flujo de agua desde el sedimento sigue las leyes de Darcy.

130

Manual de Filtración & Separación (ix)

El sedimento sufre solamente pequeñas deformaciones.

(x)

El peso del sedimento es despreciable en comparación con la carga externa aplicada.

(xi)

La base del sedimento es impermeable y su extensión es muy grande.

Un sedimento que se comporta según las suposiciones (i) a (xi) recibirá el nombre de sedimento ideal. La figura 7.1 muestra un esquema del problema de Terzaghi.

C

vf

Fig. 7.1 Esquema de un sedimento ideal en consolidación bajo una fuerza externa. La suposición (x) permite suponer que el peso del sedimento es despreciable, por lo que la ecuación (7.8) se reduce a: p e  z   e  z   C

(7.9)

donde C es la presión externa.

7.1.2 Ecuación constitutiva de la fuerza hidrodinámica. La suposición (viii) reduce la ecuación constitutiva de la fuerza de interacción a la función lineal de Darcy. Ver las ecuaciones (6.7) y (6.14a) md     

2 vr k 

(7.10)

Sustituyendo esta expresión en el balance de momentum lineal del fluido (7.3), obtenemos: pe   vr z k   

Como no hay flujo hacia fuera del sistema sedimento-agua, q=0 y v r   v f (1  ) . Reemplazando en la expresión anterior podemos escribir: v f  

1    k    pe 

z

(7.11)


131

Usando la ecuación (7.9), podemos sustituir el gradiente de presión por el gradiente de esfuerzo del sólido: v f 

1    k    e 

z

(7.12)

1    k    de   

d z

7.1.3 Ecuación constitutiva del esfuerzo efectivo del sólido. El comportamiento de suelos bajo compresión se puede expresar mediante una relación entre la fracción de huecos "e" y el esfuerzo efectivo del sólido e. La figura 7.2 muestra una ecuación constitutiva típica.

e

e0 e

e0

e

e

Fig. 7.2 Ecuación constitutiva para el esfuerzo en un suelo sometido a fuerzas externas.

La suposición (ix) supone una función lineal entre la fracción de hueco y el esfuerzo efectivo de sólidos, tal como se verifica para pequeñas deformaciones de e0 a e en la figura 7.2. Denominando coeficiente de compresibilidad a la tangente a la curva y designándola por "av", resulta: av  

de donde se deduce que:

de d

con a v  0 eeo

(7.13)

132

Manual de Filtración & Separación d e 1  de av

(7.14)

Esta Expresión representa la compresibilidad del medio poroso. Definiendo la fracción de huecos “e”, como la razón del volumen de huecos al volumen de sólidos en un medio poroso, podemos establecer que: e

y

 e y por lo tanto   1   1     e

de 

1

1   

2

d

(7.15)

(7.16)

Reemplazando (7.16) en (7.14) obtenemos: d e 1  2 d a v 1   

(7.17)

7.1.4 Proceso dinámico en términos de la porosidad Ahora podemos reemplazar (7.17) en la ecuación (7.12) para obtener: v f  

k 

 a v 1     z

(7.18)

Definiendo el coeficiente de consolidación C para pequeñas deformaciones por:

Cv 

k  o 

a v 1   o  

(7.19)

Reemplazando (7.19) en (7.18) y el resultado en la ecuación de continuidad (7.1) obtenemos la ecuación de consolidación en términos de la porosidad:       Cv t z  z 

7.1.5 Proceso dinámico en términos de la presión de poros en exceso La expresión (7.17) podemos escribirla en la forma: d   1    a v de 2

D esta expresión y de (7.9) se puede deducir que:

(7.20)


133  p 2  1    a v e t t  pe 2  1    a v z z

(7.21)

Reemplazando estas expresiones en la ecuación de consolidación (7.20) se obtiene finalmente: pe  2 pe  Cv t z 2

(7.22)

Esta ecuación, clásica en mecánica de suelos y denominada ecuación de Terzaghi, permite obtener la relajación de la presión de poros cuando se somete un suelo a una carga externa. 7.1.6 Solución del problema de valor inicial y de contorno. Las condiciones iniciales y de contorno para la presión de poros en exceso son:

pe  z,0   P

(7.23)

pe  h 0 , t   0

(7.24)

pe z

(7.25)

0 z 0

Esta última condición se obtiene de hacer m d  0, t   0 en la ecuación (7.3). Para obtener la solución del problema conviene poner la ecuación (7.22) en forma no dimensional. Definiendo las variables adimensionales: z*  z h , p*e  pe P y t*  t t 0 , podemos escribir:  t *  t 0 t ,  z *  h z ,  2 z *2  h 2  2 z 2 y

definiendo t 0  h 2 C v , obtenemos al reemplazar en la ecuación y condiciones iniciales y de contorno: p*e  2 p*e  t * z *2

(7.26)

p*e  z*,0   1

(7.27)

p*e 1, t *  0

(7.28)

p*e 0 z * z*0

(7.29)

134


Para resolver este problema se usa le método de separación de variables. Definiendo p*e  F  z * G  t * , al sustituir en la ecuación diferencia (7.26) resulta: G" t * G  t *



F" z * F  z *

 A 2

donde A es una constante. De aquí se puede establecer las siguientes dos ecuaciones: F"  z *   A 2 F  z  y G"  t *   A 2G  t *

(7.30)

cuyas respectivas soluciones son: F  z *  C1 cos Az *  C2senAz *

(7.31)

G  t *  C3 exp   A 2 t *

(7.32)

de modo que la solución de la ecuación (7.26) es:

p*e  z *   C4 cos Az * C5senAz * exp   A 2 t *

(7.33)

donde C 4  C1C3 y C5  C 2C3 . Aplicando las condiciones de contorno se obtiene finalmente:    2n  1   2   2  1n    2n  1   p    cos  z *  exp     t *      2 2 n  0  2n  1         

* e

(7.34)

pe* t*=0

t*=0.9

Figure 7.3 muestra la solución no-dimensional de la consolidación según Terzaghi.

Tal como hemos mencionado en varias oportunidades, la consolidación es una parte esencial de la geomecánica o mecánica de suelos y el desarrollo de este capítulo sigue los procedimientos de esas disciplinas. Sin embargo, la consolidación también es parte esencial de la teoría de espesamiento.


135

Cuando una suspensión sedimenta, produce en el fondo de la columna de sedimentación un sedimento que debe soportar el peso del material que sobre él se deposita. Este peso produce la consolidación del sedimento en forma similar a lo expuesto en este capítulo. La diferencia estriba en que la carga a que es sometido el sedimento durante el espesamiento es su propio peso sin tener una cara externa. Esto hace que las presiones de poro sean mucho menores que en el caso de la geomecánica. Por otra parte, las deformaciones sufridas por el sedimento en espesamiento no pueden ser consideradas pequeñas, pues las suspensiones floculadas pueden comprimirse a varias veces su volumen inicial. Se puede decir, entonces, que el proceso de consolidación es bastante diferente en un espesador que en un suelo que sufre una carga. Por esta misma razón el tratamiento del proceso se realiza en forma diferente. En vez de resolver una ecuación de difusión en términos de la porosidad o la presión en exceso de poros, se llega una ecuación de difusión convectiva en términos de la concentración volumétrica del medio poroso. Este proceso lo analizaremos en detalle en el capítulo 8.

7.2 BIBLIOGRAFÍA Bowles, J.E., Manual de Laboratorio de Suelos en la Ingeniería Civil, McGraw Hill Latinoamericana S.A., Bogotá, 1980. Das, B.M., Principles of Geotechnical Engineering, Thomson Information/Publishing Group, PWS-Kent Pub. Co., Boston, 1990, 248-253. Taylor, D.W., Fundamentos de la Mecánica de Suelos, Continental, México, 1969. Terzaghi, K., Theoretical Soil Mechanics, John Wiley & Sons, New York, 1943.

CAPÍTULO 8 ESPESAMIENTO

8.1 INTRODUCCIÓN 8.1.1

Desde la Edad de la Piedra al siglo IXX

La invención del espesador Dorr en 1905 y su introducción en las plantas concentradoras de Dakota del Sur en los Estados Unidos de Norteamérica, pueden ser mencionada como el punto de partida de la era moderna de espesamiento en América. Por esta razón la historia del espesamiento se puede ligar estrechamente con el devenir del siglo 20. Pero dejémoslo claro desde el comienzo, el espesamiento no es un proceso moderno y, por cierto, no fue desarrollado en América. Cada vez que una mena es beneficiada para obtener un concentrado, se ha utilizado dos procesos en forma inseparable, la trituración y lavado. Existe evidencia de beneficio de oro durante la dinastía Egipcia, aproximadamente 2.500 años AC. Las referencias más antiguas sobre trituración y lavado de oro, es la del geógrafo griego Agatharchides referido a Egipto 113 AC y la de Ardillon (1897), autor del libro “Las minas de Laurion en la antigüedad”, en la que describe el proceso usado extensivamente en las instalaciones griegas entre los años 500 a 300 AC. A. J. Wilson (1994)describe, la extracción de oro y cobre en el Mediterráneo, desde la caída de las dinastías egipcias hasta la Edad media y el renacimiento. Agrícola, en su libro "De re Metallica” describe, in 1556, varios métodos para lavar oro, plata, estaño y otras menas metálicas. Él describe estanques de sedimentación usados como clasificadores, como jigs, como espesadores y como estanques de decantación. Estos aparatos operaban en forma "batch" o semi-continua. Una descripción típica, extraída de De Re Metallica es la siguiente: “Para concentrar cobre en Neusohol en los Carpatos, la mena se trituraba, se lavaba y se hacía pasar por tres estanques agitadores-lavadores. Las partículas finas eran lavadas a través de harneros en el estanque lleno de agua, donde las partículas finas pasaban por el tamiz y sedimentaban al fondo del estanque. En un cierto estado de llenado del estanque con sedimento, se abría la salida del estanque y se permitía que el agua saliera. Posteriormente el sedimento era removido con palas y llevado a un segundo y luego a un tercer estanque donde el proceso completo se repetía". El concentrado de cobre, que sedimentaba en el último estanque se sacaba y fundía".

136

Capítulo 8 Espesamiento

137

Fig.1 Sedimentadores según Agrícola (1556).

El desarrollo del Procesamiento de Minerales desde una actividad primitiva a una calificada se debe, principalmente, a los Sajones en Saxen, Alemania y a los "Cornishmen" en Cornwell, Inglaterra, a comienzos del siglo 16. Entre estos dos países se estableció un fructífero intercambio de tecnología que duró mucho tiempo. Pero fue en Saxen donde Agrícola escribió su libro De Re Metallica, la primara gran contribución a la comprensión y desarrollo de la industria minera publicado en 1556 en

138


Latín y muy luego traducido al alemán e italiano. El libro de Agrícola tuvo un tremendo impacto, no solamente en la industria minera, sino que en la sociedad en general y continuó por 300 años siendo un texto para mineros y metalurgistas. Aparte de su inmenso valor como manual, la mayor influencia de "De Re Metálica" fue en preparar el terreno para un sistema de educación en minería la que, con varias modificaciones, fue adoptada mas tarde internacionalmente. Mientras en Rusia la primera Escuela de Minas se estableció en 1715 en Protzavodsk, la Academia de Minas de Freiberg, fundada en 1765, fue la más importante. Veinte años mas tarde se fundó la Escuela de Minas de París, la que no adquirió importancia sino muchos años después. A pesar de la prolongada e intensa transferencia tecnológica establecida entre Saxen y Cornwall, los británicos estaban atrasados en la educación en técnica y, en el siglo 19, no podían ofrecer ninguna escuela para estudiar esta disciplina. La Royal School of Mines fue fundada en Londres en 1851 y la Camborn School of Mines, cuyo prospecto fue presentado en 1829, solamente fue establecida 1859, cuando la producción minera de Cornwall estaba declinando y los mineros de esa región estaban emigrando en masa a los Estados Unidos, Australia y Sudafrica. El descubrimiento de oro en California en 1948 y en Nevada algunos años mas tarde, sorprendió a los norteamericanos mal preparados para labores mineras, en las que trabajaban con palas y platos extrayendo oro en la misma forma que lo habían hecho los egipcios 5.000 años antes. Los únicos mineros profesionales en el continente Americano en aquella época eran los que venían de Freiberg o de otras escuelas Europeas. La primera Universidad Norteamericana en establecer la disciplina de minas y metalurgia fue la de Colombia en Nueva York en 1864. Luego se creó la Colorado School of Mines en Golden, Colorado en 1874. Hoy día mas de 40 Universidades ofrecen cursos en Minas y Metalurgia en los Estados Unidos de Norteamérica. Es evidente de estas referencias que, mediante el uso del lavado y el sorteo, los egipcios y los griegos en la antigüedad y los alemanes e ingleses, en la Edad Media usaban el efecto de la diferencia de densidades de los varios componente de una mena y usaban la sedimentación en procesos que actualmente denominaríamos de clasificación, sorteo, clarificación y espesamiento. Sin embargo, no hay evidencia que ellos distinguieran entre estos tres distintos procesos.

8.1.2

La invención del espesador Dorr y el diseño de espesadores, 1900 a 1940

La clasificación, la clarificación y el espesamiento, todos envuelven la sedimentación de una sustancia sólida particulada en una segunda sustancia líquida, pero el desarrollo de cada uno de estos procesos ha seguido pasos diferente. Mientras la clarificación tiene que ver con suspensiones muy diluidas, la clasificación y el espesamiento deben usar pulpas más concentradas. Tal vez por esta razón, la clarificación fue el primer proceso susceptible a una modelación matemática. El trabajo de Hazen (1904) es el primer análisis de los factores que afectan la sedimentación de partículas sólidas en una suspensión diluida en agua. El trabajo demuestra que el tiempo no es un factor en el diseño de estanques de sedimentación,


139

sino que las porciones de sólido removidas son proporcionales al área superficial del estanque, a las propiedades físicas de las partículas y es inversamente proporcional al flujo volumétrico al estanque. En un comienzo la clasificación utilizaba equipos que simulaban los estanques de clarificación, agregando dispositivos para la extracción del sedimento formado en el fondo de los estanques. Por esta razón los primeros modelos matemáticos de la clasificación se basan en la teoría de Hazen de estanques de sedimentación. La introducción de los clasificadores hidráulicos, basados en la sedimentación obstaculizada en campos gravitacionales y, finalmente, la introducción de la clasificación centrífuga en hidrociclones, separó las teorías, pero el mecanismo de separación de las partículas sigue siendo la sedimentación obstaculizada debido a una fuerza de cuerpo. Es bien sabido que en Procesamiento de Minerales las aplicaciones preceden a la ciencia. Esto, es por cierto, es verdadero en el caso del espesamiento, en el que el espesador continuo fue inventado en 1905, mientras que la primera referencia a las variables que afectan la sedimentación fue hecha en 1908. Como el espesador Dorr fue inventado para realizar la separación sólido-líquido en el proceso de la cianuración de oro, la sedimentación de suspensiones conteniendo finas partículas de este metal apareció como interesante. Varios autores Nichols (1908), Ashley (1909), Forbes (1912), Mishler (1912, 1917), Clark (1915), Ralston (1916), Free, E.E., (1916) and Coe and Clevenger (1916) estudiaron el efecto de la concentración de sólidos y del electrolito, el grado de floculación y la temperatura en el proceso de sedimentación. La mayor parte de estos estudios introdujo confusión en la comprensión del fenómeno de asentamiento y fue Mishler (1912), el superintendente de la planta concentradora de la "Tigre Mining Company" en el desierto de Sonora en Méjico, el primero de demostrar mediante experimentos que la velocidad de sedimentación de la pulpa es diferente para suspensiones diluidas que para las concentradas. Mientras la velocidad de asentamiento de suspensiones diluidas es generalmente independiente de la altura de la columna de sedimentación, sedimentos densos son gobernados por diferentes leyes y, en este caso, la velocidad de asentamiento incrementa aumentando la altura de la columna. Basado en estas observaciones Mishler propuso una ecuación mediante la cual se podía obtener la capacidad de un espesador industrial basado en experiencias realizadas en el laboratorio. Él tomaba en consideración solamente las concentraciones de entrada y salida del equipo industrial. En 1916 Coe and Clevenger desarrollaron en forma independiente una ecuación similar a la de Mishler, pero indicaron que no necesariamente la concentración de la alimentación debía aparecer en la fórmula, sino que aquella concentración de valor intermedio entre la alimentación y descarga que producía la mínima "capacidad de tratamiento", acuñando este término que siguió utilizándose de aquí en adelante. Ellos recomendaron que se encontrara esta concentración mediante ensayos batch de laboratorio. Después de estas tres importantes contribuciones de comienzos del siglo 20, la invención del espesador continuo y los métodos de diseño, la década del 30 fue una de expansión de esta tecnología. Varios autores (Adamson and Glasson 1925, Egolf and McCabe 1937 Ward and Kammermeyer 1940, Work and Kohler 1940), trataron de

140


describir la velocidad de sedimentación de suspensiones mediante la extensión de la ecuación de Stokes o mediante ecuaciones empíricas pero, en realidad, no se realizó ninguna contribución importante en esta década. Steward and Roberts dan una muy buena idea del estado del arte en el campo del espesamiento en esos días en una revisión realizada en 1933. En ella decían: "La teoría básica es antigua, pero modificaciones a ella y sus limitaciones sólo han sido parcialmente realizadas. La compresión de la teoría es especialmente incompleta en el caso de suspensiones floculadas. Se dispone de métodos de diseño de equipos, pero la innovación y el invento de nuevas máquinas requieren de la investigación de los interesantes fenómenos que se observan en la práctica y que medida que nuevos problemas que aparezcan sean resueltos".

8.1.3

El descubrimiento de las variables de operación de un espesador continuo, 1940-1950

En la década del 40, la Universidad de Illinois se tornó muy activa en investigación en el campo de espesamiento. Por lo menos 10 tesis fueron realizadas en este período. Ejemplos de estos trabajos son: "El espesamiento continuo de pulpas carbonato de calcio; Sedimentación y espesamiento de pulpas; Espesamiento de pulpas de arcilla; Velocidad limitante en el espesamiento continuo". El mecanismo de sedimentación continua fue estudiado en el laboratorio para explicar el comportamiento de espesadores industriales. Comings y colaboradores describieron sus descubrimientos en un importante trabajo en 1954. Ellos demuestran la existencia de cuatro zonas en un espesador continuo. Una zona superior de agua clara, una zona de sedimentación, una zona de compresión y una zona de acción de las rastras. La conclusión más importante, expresada por primera vez, es que, en un espesador continuo en el estado estacionario, la concentración de la zona de sedimentación es constante y depende del flujo y no de la concentración de alimentación. Demostraron que a bajos flujos de alimentación, los sólidos sedimentan rápidamente a muy pequeña concentración, independientemente de la concentración de la alimentación. Cuando el flujo de alimentación se aumenta, también aumenta la concentración de la zona de sedimentación, llegando a un valor definido cuando se obtiene la mayor capacidad posible del espesador. Si, en estas circunstancias, se aumenta el flujo de alimentación, la concentración de la zona de sedimentación permanece constante y el exceso de sólidos sale por el rebalse. Se verificó que, en la mayoría de los casos, la alimentación se diluía a una concentración desconocida al entrar al espesador. Otro descubrimiento fue que, para una mismo flujo de alimentación, la concentración de descarga se podía controlar aumentando o disminuyendo la altura del sedimento, correspondiendo a un aumento o disminución del tiempo de residencia del material en el equipo. Otra contribución de aquella época fue el trabajo de Roberts (1949) quien postuló la hipótesis empírica de que la velocidad de eliminación de agua de una pulpa en compresión es, en todo momento, proporcional a la diferencia en la cantidad de agua presente en ese momento en el sedimento y aquella residual al final del proceso. Esta proposición se utiliza hoy día como un método de determinar la concentración crítica de una pulpa.


8.1.4

141

La Era de Kynch, 1950-1970

Desde la invención del espesador Dorr hasta el establecimiento de las variables que controlan la operación del equipo, el único trabajo cuantitativo fue el método de diseño de Mishler/Coe y Clevenger. Este método de diseño se basa en un "balance macroscópico" del sólido y fluido en el espesador. No existía una teoría de sedimentación que fundamentara el método. En 1952 Kynch, un matemático de la Universidad de Birmingham en Gran Bretaña, presentó su celebrado trabajo “Una teoría de sedimentación”. En él propone una teoría cinemática de la sedimentación basada en la propagación de ondas de concentración en la suspensión. La suspensión es considerada como un medio continuo y el proceso de sedimentación es representado por una ecuación diferencial de derivadas parciales hiperbólica de primer orden. Kynch demuestra que, conociendo la concentración inicial de la suspensión y la densidad de flujo del sólido, esto es, el producto de la concentración y la velocidad de sedimentación de suspensiones de diversas concentraciones, se puede obtener una solución de la ecuación por el método de características, resultando en zonas en que la concentración varía en forma continua, denominadas ondas de rarefacción y en discontinuidades denominadas ondas de choque. El trabajo de Kynch tuvo una tremenda influencia en el desarrollo del espesamiento en adelante. Cuando Coming se trasladó a la Universidad de Purdue, la investigación en espesamiento continuó allí por otros 10 años. Tres Tesis de doctorado fueron realizadas por De Haas, Stroupe and Tory, en las que analizaron la teoría de Kynch y probaron su validez mediante experimentos con suspensiones de pequeñas esferas de vidrio, todas del mismo tamaño y densidad, que ellos denominaron "suspensiones ideales". Sus resultados que demostraban la validez de la teoría de Kynch para las suspensiones ideales fueron publicados en una serie de artículos conjuntos entre 1963 y 1966. La publicación de Kynch también motivó a la industria a explorar la posibilidad de esta nueva teoría en el diseño de espesadores. Nuevamente la empresa Dorr fue un paso adelante en sus contribuciones al espesamiento, al desarrollar un método de diseño de espesadores basado en la teoría de Kynch. Este método, que recibió el nombre de "método de diseño de Talmage & Fitch" (1955), consistía en realizar un solo ensayo de sedimentación y, utilizando la teoría de Kynch, deducir el área mínima necesaria de un espesador para tratar la pulpa en cuestión. Experiencias realizadas por varios investigadores, entre ellos, Yoshioka y colaboradores (1957), Hassett (1958, 1961, 1964a, 1964b, 1968), Shannon y colaboradores (1963), Tory (1965), Shannon and Tory (1965, 1966) y Scott (1968), demostraron que, mientras la teoría de Kynch era aplicable exactamente a suspensiones ideales, ese no era el caso para suspensiones floculadas que sufrían compresión. Yoshioka and Hassett en sus varios trabajos desarrollaron un método de diseño basado en la curva de densidad de flujo continuo de sólidos. Una interesante publicación que ha sido pasada por alto en la literatura de espesamiento es el trabajo de Behn (1957). Este trabajo, por su naturaleza, estaba

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adelantado a su tiempo y habría sido bien recibido en los años 70. Behn fue el primer investigador en relacionar la compresión en el espesamiento con el proceso de consolidación estudiado en la ingeniería civil con relación al comportamiento de los suelos. Es interesante indicar que la solución de la ecuación de consolidación de Behn da como resultado la ecuación formulada empíricamente por Roberts en 1949. En 1954 Richardson and Zaki proponen una ecuación empírica para describir la velocidad de sedimentación de una suspensión de cualquier concentración y en 1962 Michaels and Bolgers proponen una generalización de esta expresión. Un trabajo que fue escrito en 1975, pero que pertenece a la era de Kynch, es la publicación de Petty en la que extiende la teoría de Kynch a la sedimentación continua y en la que se propone por primera vez una condición de contorno adecuada en el fondo del espesador, lo que no es un problema trivial. Muchos años más tarde Bustos y Concha, en diversos trabajos que indicaremos mas adelante, formalizaron y completaron la teoría de suspensiones ideales.

8.1.5

Teoría Fenomenológica, 1970-1980

Aún cuando fue Behn quien en 1957 aplicó por primera vez la teoría de consolidación a la compresión de pulpas compresibles, fue Mompei Shirato y colaboradores (1970) quienes resolvieron por primera vez la ecuación combinada de sedimentación-consolidación usando coordenadas materiales y obteniendo curvas de sedimentación y perfiles de presiones de poro. Si este trabajo hubiese recibido mayor atención en su tiempo, el desarrollo de una teoría fenomenológica del espesamiento habría seguido de inmediato. Tomó otros cinco años para que Adorjan (1975, 1976) presentara una teoría ad-hoc de sedimentación-compresión, dando el primer método realmente satisfactorio para el diseño de espesadores y para que Smiles (1976a, 1976b) presentara su enfoque integral. Sin embargo, fue Kos (1975) quien delineó la sedimentación basado en la teoría de mezclas de Truesdell (1957), seguido por Thacker y Lavelle (1976), pero quienes le dieron una estructura formal adecuada a la sedimentación fue un grupo de investigadores brasileños. Más o menos en la misma época, Dixon (1977a, 1977b, 1978) publicó una serie de trabajos y conclusiones erróneas. Una investigación fuerte e importante en sedimentación, y en el campo de los medios porosos en general, se llevaba a cabo en Brasil en los años 70. Desgraciadamente ésta raramente fue publicada en revistas internacionales, pero está bien documentada en revistas y anales de congresos locales. En COPPE, la Escuela de Graduados de la Universidad federal de Río de Janeiro varios investigadores y estudiantes graduados estaban involucradas en la aplicación de una herramienta matemática nueva, la Teoría de Mezclas de la mecánica de medios continuos a los sistemas particulados. Entre ellos y, para mencionar solamente algunos de ellos se encontraban G. Massarani, A Silva Telles, R. Sampaio, I. Liu, J. Freire, S. Tobinaga, L. Kay and J. D’Avila (Telles 1977, D’Avila 1976a,1976b, 1978). Ellos estaban especialmente interesados en la aplicación en los fundamentos del flujo en lechos


143

poros. Esta teoría dio al espesamiento y a la filtración una estructura científica rigurosa. Más o menos en el mismo tiempo, y con estrechos lazos al grupo brasileño, investigadores de la Universidad de Concepción, en Chile comenzaron a trabajar en la misma dirección. Sus resultados fueron presentados en las Tesis de Ingeniería de O. Bascur (1976) y de A.Barrientos (1978), y en el XII Congreso Internacional de Procesamiento de Minerales en São Paulo, Brazil en 1977 y en la Engineering Foundation Conference on Particle Technology en New Hampshire, USA, en 1980. Estos trabajos han continuado hasta la actualidad a través de Tesis de Ingeniería de R. Becker (1982), A. Quiero (1994) y R. Valenzuela (1994) y de doctorado de P. Garrido (2000).

8.1.6

Teoría Matemática, 1980-2000

A fines de la década de los 70 y durante los 80, varias publicaciones demostraron que el modelo fenomenológico del espesamiento, basado en la Teoría de Mezclas, había sido bien aceptado por la comunidad científica internacional. Entre ellos se puede citar los trabajos de Concha y Barrientos (1980), Buscall and White (1987), Azurais y colaboradores (1988), Landman y colaboradores (1988), Bascur (1989), David and Russel (1989), Kytömaa (1990). A pesar que la teoría de mezclas hizo un buen trabajo en unificar la sedimentación de suspensiones dispersas con la de las suspensiones floculadas, una vez que se establecieron las ecuaciones constitutivas apropiadas y, en esta forma, creó un modelo robusto mediante el cual se podía simular el asentamiento de cualquier suspensión, el análisis matemático de este modelo no existía. Los ingenieros en general estiman que la matemática es una herramienta útil para resolver problemas específicos, pero muchos de ellos creen que los fundamentos de la disciplina de Procesamiento de Minerales son puramente físicos y que la matemática corresponde a una etapa posterior en el desarrollo de la teoría. Cuando ésta finalmente comienza, puede ser rigurosa pero, establecer la teoría es una tarea extramatemática. Truesdell dijo en 1966 que las características de una buena teoría son que los conceptos físicos se traducen en matemáticos desde el comienzo y que la matemática se usa tanto para formular la teoría como para obtener soluciones. Embebido en las ideas de Truesdell y convencido de que la única forma de avanzar en el establecimiento de una teoría rigurosa y completa del espesamiento era interesar a matemáticos en este tema, se inició una fructífera colaboración entre las Facultades de Ingeniería y de Ciencias Físicas y Matemáticas en la Universidad de Concepción, la que luego se extendió al Instituto de Matemática de la Universidad de Stuttgart en Alemania y al Departamento de Matemática y Ciencias de la Computación de la Universidad de Mount Allison en Sacksville, Canadá. y recientemente al Instituto de Matemática de la Universidad de Bergen en Noruega Protagonistas de estos trabajos son M.C. Bustos, A Barrientos y F. Concha de Concepción, W. Wendland, R. Bürger y M. Kunik de Stuttgart, E.Tory de Sacksville y K. Karlsen de Bergen. El resultado de esta colaboración de 20 años es: a) La formulación rigurosa y el análisis matemático de

144


los procesos de sedimentación de suspensiones ideales en columnas de sedimentación y espesadores ideales, tema del capítulo 5, b) La formulación rigurosa y el análisis matemático de los procesos de sedimentación de suspensiones floculadas en columnas de sedimentación y espesadores industriales, tema del presente capítulo, c) La extensión de la teoría a modelos axi-simétricos, d) El primer modelo de un espesador de alta capacidad, e) La formulación rigurosa y el análisis matemático de los procesos de sedimentación de suspensiones poli-dispersas y f) La formulación de ecuaciones constitutivas para la velocidad de sedimentación de partículas individuales y suspensiones, tema del capítulo 4. Los temas indicados por c) a e) se analizan en la sección 8.7 del presente capítulo. 8.2

EQUIPOS.

Los espesadores son equipos típicos que no han cambiado mucho su apariencia desde la invención del espesador Dorr en 1905. Se han hecho más grandes, se han construido de diferentes materiales, tales como madera, acero o cemento y se ha mejorado y modernizado el sistema de tracción de las rastras, pero los elementos esenciales continúan siendo los mismos. La figura 8.1 muestra el espesador Dorr. Se puede distinguir el estanque cilíndrico correspondiente al cuerpo del espesador, la bandeja de alimentación (feedwell), la canaleta de rebalse (overflow launder), las rastras (rakes)y la abertura de descarga discharge opening), todos ellos elementos comunes a cualquier espesador.

Fig. 8.1 Espesador Dorr inventado en 1905.

En general el estanque de un espesador es cilíndrico. Las unidades pequeñas, de menos de 30 metros, se construyen en acero o madera y las unidades mayores, hasta 120 metros de diámetro, en concreto. La base del estanque se construye del mismo material que el cilindro, excepto en los espesadores grandes, en los cuales algunas


145

veces se usan bases de tierra (Hsia and Reinmiller 1977). La forma de la base es un cono, destinado a permitir una mejor evacuación del material depositado. La bandeja de alimentación, o feedwell, es un cilindro concéntrico al estanque y de pequeño diámetro, cuyo objetivo principal es permitir una buena distribución de la alimentación al espesador, pero también sirve para mejorar la mezcla de la pulpa y el floculante y, en muchos casos para diluir la alimentación. El cilindro puede tener bafles internos y agujeros para la entrada de agua de dilución (Cross 1963). Más sobre este tema se discutirá en la sección 8.7.

Fig. 8.2 Esquema de un feedwell con dos tubos tangenciales de alimentación y bafles internos.

Fig. 8.3 Feedwell con dos tubos tangenciales de alimentación.

146


Las rastras, que pueden tener una gran variedad de formas, principalmente en la forma de soporte, tiene por objetivo llevar el material depositado en el fondo del espesador hacia la abertura de descarga. Las rastras giran a velocidades del orden de xx rpm. Un resultado secundario de las rastras es la formación de canales a su paso por el material depositado, por los cuales escurre agua, permitiendo un aumento de la concentración del sedimento. La tracción de las rastras puede ser a través de un motor central ubicado en la parte superior del eje o periférica, con el motor montado sobre rieles en el borde del estanque del espesador. En varios modelos de espesadores existen mecanismos para levantar las rastras cuando el torque en el motor se hace excesivo.

Fig. 8.4 Feedwell de dos entradas y rastra de tracción central.

Fig. 8.5 Rastra de tracción periférica.


147

Fig. 8.6 Mecanismo de tracción periférico para la rastra de la figura 8.2

Fig. 8.7 Esquema de rastras con tirantes alzadores.

Fig. 8.8 Rastras con tirantes alzadores.

Las canaletas de rebalse en la periferia del espesador tiene por objetivo evacuar el agua recuperada a una velocidad suficientemente baja para evitar el arrastre de partículas finas. Un flujo de aproximado a 0.1 m3/min de agua por metro lineal de canaleta es adecuado. La mayoría de las canaletas tienen pequeños vertederos que permiten controlar mejor el flujo de agua.

148


Fig 8.9 Canaleta de rebalse típica mostrando los vertederos.

8.1.7

Espesador convencional. Espesador de alta capacidad y espesador de alta densidad.

Manteniendo la misma forma estructural y los mismos elementos principales, los espesadores pueden ser de tres tipos. (1) espesadores convencionales, (2) espesadores de alta densidad y (3) espesadores de alta capacidad. La figura 8.10 muestra el esquema de estos tres tipos de espesadores.

Alta capacidad

Alta densidad

Convencional

Fig. 8.10 Esquema de espesadores convencionales, de alta densidad y de alta capacidad. El espesador convencional se caracteriza porque su bandeja de alimentación se encuentra en la parte superior del equipo y, al entrar al espesador, el flujo de alimentación se mezcla con parte del agua recuperada y se diluye a un valor denominado concentración conjugada. Esta suspensión diluida sedimenta a velocidad constante formando un manto de altura variable, para transformarse en sedimento en la parte inferior del equipo. La figura 8.11 muestra un espesador convencional.


149

F

A

A

B C

C D

Fig. 8.11 Esquema de un espesador C:.convencional. A: agua clara; B: suspensión; C: sedimento.

Fig. 8.12 A: agua clara; sedimento.

El espesador de alta capacidad tiene como parte distintiva una bandeja de alimentación muy profunda que descarga el flujo de alimentación bajo el nivel del sedimento. Al mezclarse la alimentación y sedimento forma una suspensión mayor a la de la alimentación y mayor o igual que la concentración crítica. Es por esta razón que en los espesadores de alta capacidad no existe una zona de sedimentación, la que, como veremos más adelante es la que restringe la capacidad del espesador. Muchas veces se recicla parte de la descarga del espesador de alta capacidad con el objetivo de aumentar la concentración de la alimentación antes de producir la mezcla con el sedimento. El resultado es que, generalmente, estos espesadores tienen mayor capacidad que los convencionales. Sin embargo, se ha demostrado que los espesadores de alta capacidad, cuyo tiempo de residencia está en el orden de minutos, en vez de horas para los convencionales, son intrínsecamente inestables y, por lo tanto, difíciles de operar y controlar. Las figuras 8.12 y 8.13 muestran esquemas de un espesador de alta capacidad. El espesador de alta densidad es un espesador convencional o de alta capacidad, pero de mucho mayor altura. Esta altura adicional permite obtener una gran presión sobre el sedimento que descarga del equipo y, por lo tanto, obtener una concentración de descarga muy grande. En muchos casos, estos espesadores tienen un cono pequeño, de modo de ayudar a evacuar la descarga. La figura 8.14 muestra un de espesador de alta densidad.

150


Fig. 8.13 Esquemas de un espesador de alta capacidad.

Fig. 8.13 Esquema de un Espesador de alta densidad

Capítulo 8 Espesamiento 8.3

151

VARIABLES DE ESPESAMIENTO.

El espesamiento consiste en una secuencia de dos fenómenos, la sedimentación y la consolidación. Los fenómenos de sedimentación y consolidación tienen comportamiento físico diferente, por lo que es necesario analizarlos por separado.

Sedimentación La sedimentación de partículas individuales o suspensiones de partículas fue analizado en los capítulos 4 y 5. Ella consiste en el asentamiento de unidades, ya sean partículas individuales o flóculos, debido a la fuerza de gravedad. Al sedimentar las diversas partículas de una suspensión interaccionan entre si obstaculizando su trayectoria y disminuyendo la velocidad de asentamiento que tendrían cada partícula individualmente. Durante la sedimentación las partículas están rodeadas de fluido y la interacción entre ellas se verifica a través de ese fluido. Como dos partículas no pueden ocupar el mismo sitio simultáneamente, se dice que la interacción es estérica e hidrodinámica.

Sedimentación

Consolidación

Fig. 8.13 Modelo físico de la sedimentación y consolidación.

Consolidación La sedimentación finaliza cuando las partículas individuales, llegan al fondo de la columna de sedimentación o del espesador y comienzan a descansar unas sobre otras. Si estas partículas son incompresibles, como sucede por ejemplo con concentrados de cobre cuando no se usa floculante, el proceso de espesamiento termina ahí. Sin embargo, si las partículas son compresibles, como es el caso relaves de cobre floculados, el peso de los flóculos comienza a afectar a los flóculos inferiores comprimiéndolas y exprimiendo el agua que permanece en el interior de estos. Este fenómeno de eliminación de agua por compresión se denomina consolidación.

152


La consolidación es un campo muy importante en la Geotécnica, disciplina que estudia el comportamiento de la tierra cuando sobre ella se construyen obras tales y como casas y edificios. En estos casos la fuerza aplicada al material en consolidación es externa (peso de la obra). Mayores detalles sobre este campo se encuentran en el capítulo 7. En sedimentación, la situación es diferente, ya que la fuerza que actúa sobre el sedimento es el peso del material mismo que constituye el sedimento. La concentración de la suspensión que separa la sedimentación y la consolidación se denomina concentración crítica y el tiempo cuando ésta comienza se llama tiempo crítico. En vista de la descripción anterior, las principales propiedades de un sedimento son su permeabilidad y su compresibilidad. Se denomina permeabilidad del sedimento la facilidad con que un fluido puede penetrarlo y atravesarlo. La compresibilidad del sedimento mide su facilidad de disminuir en volumen cuando se le aplica una fuerza. Las variables asociadas a estas propiedades son la presión de poros y el esfuerzo efectivo de sólidos. Mayor información sobre estos conceptos están descritos en el capítulo 3.

8.3.1 Proceso dinámico de sedimentación Se puede decir que las propiedades principales de una suspensión en sedimentación son (1) la resistencia que el fluido opone a la sedimentación de las partículas, (2) la permeabilidad del sedimento y (3) la compresibilidad del sedimento. Estas propiedades tienen asociadas las siguientes variables de campo: Concentración, como fracción volumétrica de sólidos

  z, t 

Densidad de flujo de sólido

f  , t 

Velocidad volumétrica de la suspensión

q(t)

Presión de poros en exceso

pe  z, t 

Esfuerzo efectivo del sólido

e   

Las variables que describen la sedimentación constituyen un proceso dinámico de sedimentación si, en las regiones donde las variables son continuas, cumplen: Las ecuaciones locales de campo:

   v s  0 t z

(8.1)

q  0 , con q  v s  1    v r z

(8.2)

b g


153

e m  g  d z 1 

(8.3)

p e e   g z z

(8.4)

En las discontinuidades cumplen las condiciones de salto:

   v s  e I

(8.5)

  vs    v s ( v s  e I )    (pe  f g(L  z)  e )e I 

(8.6)

Se establecen ecuaciones constitutivas para e y md: m d  m d (, v r )

(8.7)

e  e (, v r )

(8.8)

donde vr es la velocidad relativa sólido-fluido. 8.3.2 Ecuaciones constitutivas El movimiento de los flóculos a través del fluido involucran fuerzas dinámicas de interacción que dependen de las variables expresadas en la ecuación (8.7). Como las partículas son pequeñas, el movimiento es lento y se puede suponer una relación funcional lineal entre la fuerza hidrodinámica y la velocidad relativa sólido-fluido: md      v r

(8.9)

Por otra parte, la experiencia ha demostrado que el esfuerzo efectivo del sólido se puede expresar como una función de la concentración solamente: e  e   

(8.10)

constante <c 'e        c  0

(8.11)

con la propiedad:

donde 'e     de d .

8.3.3 Ecuación de espesamiento Reemplazando estas dos últimas expresiones en la ecuación (8.3) resulta:

154

Manual de Filtración & Separación    e vr  g  z 1 

Obteniendo vr desde (8.2), podemos escribir:     vs  q e  g  1  1  z

Despejando vs y multiplicándolo por  resulta: 2 1    g  1 e     vs  q   1      g z  2

Diferenciando e    con respecto a , podemos escribir: 2 1    g  'e      1      g z   2

vs  q 

(8.12)

Definamos el parámetro fbk en la forma: f bk     

2 1    g 2

  

(8.13)

de modo que la expresión (8.12) se puede escribir en la forma:  '      vs  q  f bk     1  e   g z  

(8.14)

Reemplacemos (8.14) en (8.1) y obtendremos: '     f    e        q  f bk        bk  t z z  g z 

(8.15)

Definiendo un coeficiente de dispersión  en la forma: 0      f bk    'e     g 

  c 

(8.16)

entonces la ecuación diferencial que representa el proceso de espesamiento es:         q  f bk            t z z  z 

(8.17)


155

La ecuación (8.17) es una ecuación diferencial parabólica degenerada. Recibe este nombre porque para valores de <c ella se transforma en la ecuación diferencial hiperbólica:     q  f bk      0 t z  f k     0 t z

(8.18)

donde la función f k    es la función densidad de flujo de sólidos de Kynch. Podemos reconocer esta ecuación como la ecuación de Kynch (ver ecuaciones (5.47) y (5.56)) para espesamiento continuo. Este resultado es de la más grande importancia, ya que indica que, para suspensiones floculadas, la ecuación de Kynch sigue siendo válida en aquellas regiones donde la concentración es menor a la concentración crítica.

8.3.4 Espesamiento batch Con el objetivo de tener una mejor descripción del proceso de sedimentación batch de una suspensión floculada, repitamos, y completemos, las etapas del proceso ya descritas en el capítulo 5. Cuando una suspensión floculada sedimenta bajo el efecto de la gravedad en una columna de sedimentación se puede distinguir las siguientes etapas en el proceso. a) Antes de comenzar la sedimentación la suspensión se homogeneiza por agitación, de manera que su concentración es constante. b) Cuando la sedimentación comienza, todas las partículas caen a la misma velocidad, de manera que se forma una interfaz agua-suspensión en la parte superior de la columna, la que desciende a la misma velocidad que lo hacen las partículas. Esta etapa se denomina sedimentación dificultada (hindered settling). c) Las partículas que llegan al fondo de la columna y rápidamente ocupan toda la superficie disponible. En ese momento los nuevos flóculos se acumulan sobre los anteriores presionándolos y haciendo que su concentración aumente De ahí en adelante se dice que el sedimento se encuentra en compresión o consolidación. La superficie del sedimento, o interfaz suspensión-sedimento, con una concentración igual a la crítica ya que no hay flóculos descansando sobre ella, se mueve hacia arriba a medida que nuevas partículas se le incorporan. d) En un punto determinado de la columna, pero bajo la interface de aguasuspensión, la concentración de la suspensión permanece fija o aumenta con el tiempo. e) Utilizando un instrumento para medir concentraciones, como el de Been and Sills (1981), se podría seguir el movimiento de una determinada

156

Manual de Filtración & Separación concentración  en la columna. El movimiento sería necesariamente hacia arriba a una velocidad denominada velocidad de propagación de la onda de concentración . f) En un determinado instante y a una cierta altura la interfaz agua-suspensión se encontrará con la interfaz suspensión-sedimento. Las coordenadas de ese evento se denominan tiempo crítico y altura crítica y ellas definen el punto crítico en el cual termina la sedimentación y comienza la consolidación. g) En un tiempo suficientemente largo, la consolidación termina y estableciéndose en la columna un gradiente de concentración desde la concentración crítica hasta la concentración máxima lograda.

La figura 8.14 muestra la curva de sedimentación con las interfaces agua-suspensión y suspensión-sedimento y curvas de concentración constante en el sedimento.

Fig. 8.14 Curva de sedimentación para un relave de cobre mostrando las interfaces agua-suspensión, suspensiónsedimento y curvas de concentración constante (Bürger and Concha 1998).

Para el espesamiento batch la ecuación (8.17) se reduce a:  f bk             t z z  z 

(8.19)

Del comentario a) se deduce la condición inicial y la condición de contorno para z=L y valores de t mayores a cero. De la ecuación(8.14) cuando se hace vs=0 se deduce la condición de contorno en la base de la columna:   z, 0   0 , para 0  z  L

(8.20)

  L, t   0 ,

(8.21)

para t  0


157

f bk        

  0, para 0  t z z 0

(8.22)

En la sección 8.4 se muestra como determinar los parámetros f bk    y e    . Las figura 8.15 muestra estos parámetros para una suspensión de carbonato de calcio floculada y la figura 8.16 muestra f bk    y     para un relave de cobre. La solución del problema de sedimentación batch con los parámetros de la figura 8.16 se muestran en las figuras 8.14 y 8.16. 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

3.500E+05

-5.00E-07

3.000E+05

-1.00E-06

2.500E+05

y = 4.40E+01e2.20E+01x

-1.50E-06 de/d

Densidad de flujo de sólidos m/s

0.00E+00

-2.00E-06 -2.50E-06

2.000E+05 1.500E+05

-3.00E-06

1.000E+05

-3.50E-06

5.000E+04

-4.00E-06 0.000E+00 0.200

-4.50E-06 Fracción volumétrica de sólidos

Función densidad de flujo de sólidos

0.250

0.300

0.350

0.400

0.450

0.500

Fracción volumétrica de sólidos

Esfuerzo efectivo del sólido

Fig 8.15 Parámetros de espesamiento para una suspensión floculada de carbonato de calcio.

Densidad de flujo de sólidos

Coeficiente de difusión

Fig 8.16 Parámetros de espesamiento para un relave de cobre, Bürger and Concha 1998).

158


Perfil de concentraciones

Perfil de presiones de poro en exceso

Fig. 8.17 Simulaciones de la sedimentación de un relave de cobre a patir de la solución de la ecuaciones (8.19) a (8.22), (Bürger and Concha 1998).

8.3.5

Simulación y comparación con datos de la literatura.

El poder de simulación del modelo fenomenológico de sedimentación desarrollado en esta sección ha sido demostrado por el grupo de investigadores liderado por Concha (Bürger and Concha 1999, Bürger et al 1999 y Garrido et al 1999). A continuación se muestran algunos de estos resultados.

Simulación

Experimental

Fig.8.18 Comparación de una simulación con los resultados experimentales de Been and Sills (1981) para un suelo arcilloso.


a)

159

b)

Fig. 8.19 Simulación y datos experimentales de a) Tiller et al 1980, b) Bergström 1992.

a) Perfil de concentración

b) Perfil de presiones de poros en exceso

Fig. 8.20 Comparación de la simulación y datos experimentales de Been y Sills (1981) experiencia N°11, (Garrido et al 2000).

a) Curva de sedimentación

b) Perfil de concentración para t=22.000 s.

Figura 8.21 Comparación de la simulación y datos experimentales de Holdich and Butt's (1997), (Garrido et al 2000).

160


Fig. 8.22 Comparación de simulaciones y datos experimentales de suspensiones de caolín publicadas por Dreher (1998). a) t=0.052dís, b) t=0.312 días, c) t=0.87 días, d) t=2.13 días, e) 3.91 días y f) 13.27 días (Bürger et al 2000).


161

La comparación de simulaciones de sedimentación batch con datos experimentales mostrada en las figuras anteriores muestran que el modelo fenomenológico aproxima bastante bien los resultados experimentales, tanto de curva de sedimentación como de perfiles de concentración y presión de poros en exceso.

8.3.6

Espesamiento continuo

Para analizar el espesamiento continuo es conveniente estudiar por separado el estado estacionario del transiente, ya que para el régimen estacionario las ecuaciones de campo se simplifican significativamente y no es necesario utilizar la ecuación parabólica degenerada (8.17) que representa el espesamiento en general.

Ecuaciones de campo en el estado estacionario Las ecuaciones que representan el estado estacionario de un espesador continuo se las puede deducir eliminando la dependencia del tiempo en las ecuaciones (8.1) a (8.4), llegando al resultado:  '      f  0, con f  vs  q  f bk     1  e   z g z  

(8.23)

q 0 z

(8.24)

pe e   g z z

(8.25)

En las discontinuidades cumple la condición de salto: 0

(8.26)

Se observa que en el estado estacionario tanto la densidad de flujo de sólidos f como la velocidad volumétrica q son constantes a lo largo del espesador y pueden ser determinados desde las condiciones de contorno. Además, las discontinuidades, si existen, no se mueven. Las condiciones de contorno para un espesador ideal ya fueron presentadas en el capítulo 5, para el caso de sedimentación continua de suspensiones ideales. Para las suspensiones floculadas estas condiciones son iguales y las reproduciremos a continuación: (1) Alimentación La alimentación al espesador se diluye rápidamente y se esparce a toda el área del equipo. Por ello supondremos que la alimentación entra a través de toda el área del espesador y que se diluye instantáneamente. Para el modelo diremos que el EIC es

162


alimentado mediante una fuente superficial en z=L. Ver figura 8.23. Si Q F  0 es el caudal o flujo volumétrico, F la concentración y f F la densidad de flujo de sólidos de la alimentación (flujo volumétrico de sólidos por unidad de tiempo y unidad de área del espesador) y S es el área del espesador, entonces se cumple que: fF 

Q F  F S

El flujo de alimentación entra al espesador se mezcla y diluye con el flujo de agua clara producida. Por esta razón la concentración de la suspensión, inmediatamente bajo la interface agua-suspensión es distinta y menor que la concentración de la alimentación L    L   F . Sin embargo, la única fuente de sólidos es la alimentación, por lo que la densidad de flujo de sólidos debe ser continua en la alimentación: f  L  fF 

Q F F S

La densidad de flujo de sólidos en la alimentación puede ser controlada externamente a través de QF y F (2) Descarga La descarga del EIC se realiza a través de un sumidero superficial. Si Q D  0 es el caudal o flujo volumétrico, D la concentración y f D la densidad de flujo de sólidos de la descarga, resulta: fD 

Q D  D S

El sedimento sale por la descarga en z=0 sin mezclarse con otra fuente, por lo que allí tanto la densidad de flujo de sólidos f    0   como la concentración   0  son iguales a las del flujo de descarga: f    0   fD 

Q D D , con   0   D S

Si la concentración de la descarga es menor que la de alimentación, se dice que el EIC se vacía. La velocidad volumétrica en la descarga es: qD 

QD S

por lo que también podemos escribir:

f    0    f D  q D D , con   0   D


163

(3) Rebalse En una operación normal, el rebalse no contiene partículas sólidas. Esto significa que el sólido está restringido a la zona de sedimentación 0
D  F   F  QD D D F

La velocidad volumétrica del agua en la zona I será:

qR 

QR S

De estas expresiones se pueden establecer las condiciones de contorno como: f    L   fF 

Q F F S

(8.27) QR

Zona I

QF, F Zona II

Zona III Zona IV

QD,D Fig. 8.23 Espesador Ideal Continuo (EIC). Zona I agua, Zona II suspensión a concentración constante, Zona II suspensión a velocidad variable y Zona IV zona de consolidación.

f    0   fD 

Q D D  q D D , con   0   D S

(8.28)

La solución en el estado estacionarios será, entonces: f  z   fF  fD

(8.29)

164

Manual de Filtración & Separación q(z)  q D 

fF D

(8.30)

Si la concentración de alimentación es menor que la crítica F  c , al entrar al

espesador la suspensión floculada se diluirá a la concentración   L  para la cual

f    L    f k    L   y, por lo tanto la suspensión floculada a concentraciones menores

a la crítica se comporta exactamente igual a una suspensión ideal y la concentración en   L  se puede obtener de la ecuación implícita de Kynch (5.58): q D   L   f bk  L   f F

(8.31)

El espesador tendrá una zona superior (zona II en figura 8.23) con la concentración constante L . Dependiendo del tipo de Modo de Sedimentación Continua existirán un gradientes de concentración (zona III en la figura 8.23) o saltos desde L a la concentración crítica c , que será la parte superior del sedimento. Por su parte el sedimento tendrá un gradiente de concentraciones (zona IV en figura 8.23) desde la concentración crítica c en la interfaz suspensión-sedimento y D justo en la descarga. Este gradiente de concentraciones se puede obtener de la ecuación (8.23) con f  f F  q D D : g z d  '  q D   f bk    f F  dz e    f bk   

(8.32)

Integrando con la condición de borde   0   D  f F q D se obtiene el perfil de concentración: z    





D

'e    f bk   

d g  q D   f bk     f F 

(8.33)

La figura 8.24 b) muestra tres estados estacionarios calculados mediante la ecuación (8.33). Existencia de un estado estacionario Para que se produzca sedimentación en un espesador, la concentración de la suspensión debe aumentar hacia abajo, esto es, el gradiente de concentración debe ser negativo d dz  0 . De la ecuación (8.32) se observa que: g z d  '  q D   f bk     f F   0 dz e    f bk   

y como, se debe cumplir que: q D   f bk     f F


165

Si denominamos función densidad de flujo de sólidos extendida de Kynch a la función dada por: f k     q D   f bk    , para L    D

(8.34)

f k     f F , para L    D

(8.35)

La figura 8.24 muestra tres estados estacionarios válidos para un flujo volumétrico de descarga constante, en los que la recta que representa f=fF está por sobre la curva f k    entre la concentración crítica y la concentración de descarga. 7

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6 6



0.0E+00

-5.0E-06

-1.0E-05

-1.5E-05

5

4

3

2

1

0

-2.0E-05

0


a) Densidad de flujo de sólidos

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


b) Perfil de concentraciones

Fig. 8.24 Tres estado estacionarios para una velocidad volumétrica q (flujo volumétrico de descarga por unidad de área) y tres flujos de alimentación fF.

Estas figuras confirman que, en el estado estacionario, se establece una concentración constante igual a L y un salto desde esta concentración a la concentración crítica, para luego aumentar gradualmente hasta la concentración de descarga. La concentración de descarga queda establecida por la intersección de las rectas f  f F y f  q D  . Se observa, también, que a medida que la recta f  f F se

acerca a la curva f  f k    en la figura a), el nivel de sedimento aumenta en la figura b) La figura 8.25 muestra tres estados estacionarios válidos y uno inválido para un espesador controlado para mantener una concentración de descarga constante.

166


Densidad de flujo de sólidos en m/s

-2.00E-06 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

-7.00E-06

-1.20E-05

-1.70E-05

-2.20E-05


Fig. 8.25 Dos estados estacionarios válidos y uno inválido para tres flujos volumétricos de descarga y la misma concentración de descarga.

6

5

fF=-2.42E-5 m/s

Altura en m

4

3

2 fF=-1.50E-5 m/s fF=-1.00E-5 m/s

1

0 0

0.1

0.2

0.3

0.4


Fig. 8.26 Perfil de concentraciones para los estados estacionarios de la figura 8.25.

Capítulo 8 Espesamiento 8.4 8.4.1

167

PARÁMETROS DE ESPESAMIENTO Parámetros de sedimentación

La cuantificación de la sedimentación se hace a través de la concentración de la suspensión, medida como fracción volumétrica de sólidos, y por la densidad de flujo de sólidos, definida como el producto de la concentración y la velocidad de la suspensión. Se realiza pruebas de sedimentación batch a distintas concentraciones, midiendo la velocidad de asentamiento de la interface agua-suspensión con el tiempo. La tabla N° 8.1 muestra un ejemplo de datos de suspensiones de carbonato de calcio. Para estos datos las curvas de sedimentación se muestran en la figura 8.27. Tabla N° 8.1 Datos de velocidad de sedimentación de carbonato de calcio FI=0,265

FI=0,044

Altura en m

Tiempo en s 0 1080 1368 1692 1980 2556 3132 6120 9720 15120 22320 36720 51120 65520 79920 94320 108720 123120 137520 151920 166320 -0,0000307 0,103 -3,1621E-06

0,338 0,336 0,335 0,331 0,329 0,326 0,319 0,312 0,301 0,291 0,277 0,274 0,264 0,257 0,252 0,247 0,243 0,238 0,235 0,232 0,230 -0,00000144 0,265 -3,816E-07

0,338 0,292 0,284 0,274 0,265 0,247 0,230 0,172 0,162 0,150 0,139 0,127 0,122 0,118 0,117 0,115 0,115 0,115 0,113 0,113 0,113

FI=0,017

Altura en m

Tiempo en s 0 1080 1332 1620 1908 2520 3096 6120 9720 15120 22320 36720 51120 65520 79920 94320 108720 123120 137520 151920 166320 -0,0000797 0,044 -3,5068E-06

0,338 0,210 0,186 0,162 0,144 0,112 0,096 0,079 0,073 0,064 0,061 0,057 0,056 0,056 0,054 0,054 0,054 0,054 0,054 0,054 0,054

0.35 FI=0,265

0.30 0.25 0.20 0.15

FI=0,103

0.10 FI=0.044

0.05 FI=0,017

0.00

0

50000

100000

150000

200000

Altura en m

Tiempo en s 0 468 720 1008 1908 2520 5508 9108 14508 21708 36108 50508 64908 79308 93708 108108 122508 136908 151308 165708 180108 0,000143 0,017 -0,000002431

0.40

Altura m

Tiempo en s 0 1692 2304 3204 6804 10404 15804 23004 37404 51804 66204 80604 95004 109404 123804 138204 152604 167004 181404 195804 210204 v s= = f k=

FI=0,103

Altura en m

250000

Tiempo s

Fig. 8.27 Curva de sedimentación de carbonato de calcio a diferentes concentraciones

0,338 0,128 0,076 0,051 0,044 0,041 0,037 0,030 0,029 0,029 0,028 0,028 0,027 0,027 0,027 0,026 0,026 0,025 0,025 0,025 0,025

168


La velocidad inicial de sedimentación de cada concentración aparece en detalle en las figuras 8.28. 0.150

0.330 FI=0.103

0.100

Serie1

=0.20

0.290

Serie1 =0.017

Altura en metros

Altura en metros

0.310

0.050

0.270 0.250 0.230

y = -1.43E-04x + 1.89E-01 2 R = 9.45E-01

y = -3.07E-05x + 3.26E-01 2 R = 1.00E+00

0.210

0.000

0.190

0

500

1000

1500

0

1000

Tiempo en segundos

2000

3000

4000

Tiempo en segundos

Fig. 8.28 Velocidades iniciales de sedimentación, a) y b).

0.250

0.350

Altura en metros

0.340

0.150

0.100

y = -7.97E-05x + 2.94E-01 2 R = 9.93E-01

0.050

0.330

0.320

y = -1.44E-06x + 3.38E-01 R2 = 9.01E-01

0.310

0.000 0

500

1000

1500

2000

0.300

2500

0

2000

4000

Tiempo en segundos

6000

8000

10000

Tiempo en segundos

Fig. 8.28 Velocidades iniciales de sedimentación, c) y d). 0

1.50E-04

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.00E+00


-5.00E-07

1.00E-04 Velocidad*(-1)

Altura en metros

Serie =0.265 1

Serie1 =0.044

0.200

y = 1.72E-04x1.56E+01 R2 = 9.99E-01

5.00E-05

-1.00E-06 -1.50E-06 -2.00E-06 -2.50E-06 -3.00E-06 -3.50E-06 -4.00E-06

0.00E+00 0.6

0.7

0.8

0.9

1

Porosidad

a) Correlación de Richardson y Zaki

1.1


b) Curva de densidad de flujo

Fig. 8.29 Parámetros de sedimentación: Velocidad de sedimentación versus porosidad y densidad de flujo de sólidos versus concentración.


169

Graficando las velocidades iniciales de sedimentación en función de la porosidad se puede obtener los parámetros de la ecuación de Richardson y Zaki y de la densidad de flujo de sólidos. Para el ejemplo resulta (Fig. 8.29): v s ()  1.72 *10 4 (1  )15.6

f k ()  1.72 *10 4 (1  )15.6

8.4.2 Parámetros de consolidación La consolidación se produce debido al peso que soportan las capas de sedimento. Por una parte los efectos de la consolidación se observan en la presión en exceso de poros y por la otra, en el perfil de concentraciones. Por ello, la ecuación constitutiva del esfuerzo efectivo del sólido se puede calcular midiendo estas dos variables. La Tabla N° 2 muestra el perfil de la presión en exceso de poros y el perfil de concentración en la consolidación de un sedimento de carbonato de calcio. Tabla N°8.2 Presión de poros en exceso y concentración Altura m 0.000 0.075 0.110 0.150 0.190 0.250 0.450 0.650 0.850

Presión pe Pa

Concentración 

1775 1773 1750 1700 1640 1500 1000 500 0.000

0.325 0.300 0.275 0.250 0.200 0.150 0.100 0.050 0.000

La figura 8.30 muestran los perfiles de la tabla N° 8.2. 0.9

1

0.7

0.8

0.6

0.7

0.5 0.4 0.3

Tiempo 9000 Tiempos9000 s

0.9

Tiempo 9000 s

Altura en metros

Altura en m

0.8

0.6 0.5 0.4 0.3

0.2

0.2

0.1

y = -56.206x3 + 10.788x2 - 0.5786x + 0.9502 R2 = 0.9947

0.1 0

0 0

500

1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 Presión de poros en exceso en Pa

a) Presión de poros en exceso

0

0.1

0.2 0.3 Fracción volumétrica de sólidos

b) Perfil de concentraciones

Fig. 8.30 Perfiles de presión de poros en exceso y de concentración

0.4

170


De esta información el gradiente del esfuerzo efectivo de sólidos se obtiene en la forma: dpe  g       dz d dz ' e

(8.36) t  constante

El resultado obtenido de la correlación es: 'e     44exp  22 

(8.37)

y, por lo tanto el esfuerzo efectivo de sólidos para este caso será: e     2exp  22 

(8.38)

Como la expresión (8.36) se basa en la diferenciación gráfica, y ésta no es muy precisa, es más conveniente obtener otra expresión que no involucre diferenciación. De: e p   e    z  g z z

integrando para un tiempo t constante se obtiene:



e  z 

0

d   

pe  z 

0

d  g     d z

zc

como e  z c   0 y pe  z c   0 , integrando resulta: 3.500E+05 3.000E+05 2.20E+01x

y = 4.40E+01e

de/d

2.500E+05 2.000E+05 1.500E+05 1.000E+05 5.000E+04 0.000E+00 0.200

0.250

0.300

0.350

0.400

0.450

0.500


Fig. 8.30 Esfuerzo efectivo del sólido en función de la concentración


171

e    z     pe  z   g     d , para t=constante z

zc

(8.39)

Finalmente si se aplica la expresión (8.39) para un tiempo muy largo, cuando la consolidación haya terminado, pe  z,    0 y la expresión se reduce a: e    z    g     d , para t= z

zc

(8.40)

Talvez el método más cómodo para determinar el esfuerzo efectivo del sólido sea el basado en la medición del perfil de concentración final de un sedimento y utilizar la ecuación (8.40). Sin embargo, el método tiene la desventaja de que se debe esperar hasta que la consolidación termine completamente y la percolación de fluido cese por completo. Por otra parte, con este método se obtiene una sola curva de e versus  , mientras que utilizando la información adicional del perfil de presión de poros se puede obtener una curva de e versus  para cada tiempo de medición y, por lo tanto, una mucho mejor estimación de la funcionalidad de e    .

8.5 CAPACIDAD Y DISEÑO DE ESPESADORES El diseño de un nuevo espesador o la capacidad de un espesador existente se calcula para el funcionamiento en el estado estacionario. Desde 1912 a la fecha se ha desarrollado numerosos métodos de diseño de espesadores, los que pueden ser clasificados dependiendo de los fundamentos utilizados para su desarrollo. Podemos distinguir métodos basados en balances macroscópicos, en el proceso batch de Kynch, en el proceso continuo de Kynch y en el método fenomenológico. Cada uno de estos métodos tiene las limitaciones impuestas por la teoría que le sirvió de base. En esta sección analizaremos estos métodos de diseño.

8.5.1

Métodos de diseño basados en balances macroscópicos

Los primeros métodos propuestos para calcular la capacidad de un espesador continuo están basados en un balance macroscópico alrededor del equipo.

a)

Método de Mishler

Consideremos un espesador en el estado estacionario con un flujo másico de sólidos en la alimentación dado por F [MT-1], una concentración de alimentación de DF [-] expresada como dilución, esto es, la razón de masa de líquido a masa de sólido, un flujo másico de descarga D [MT-1], una concentración de descarga de DD [-] y un flujo másico de rebalse de O [MT-1]. Un balance de sólidos y agua da: Sólido:

FD

(8.41)

Agua:

FDF = DDD + O

(8.42)

172


Despejando el flujo másico de agua O y transformándolo en flujo volumétrico QO se obtiene: QO 

F  DF  DD 

(8.43)

f

Según Mishler (1912) el caudal de agua QO en un espesador continuo debe ser igual al producto de la velocidad de agua formada en una columna de sedimentación por su área S, para una suspensión de la misma concentración que la alimentación. Como la velocidad de aparición de agua en la columna es igual a la velocidad de descenso de la interface agua-suspensión, R, la expresión (8.43) se puede escribir en la forma: S

F  DF  DD 

(8.44)

f R

F DF O vs

vs

vs

D DD Fig. 8.31 Balance macroscópico de masa según Mishler (1912) y Coe and Clevenger (1916).

Mishler usó las unidades de toneladas cortas/día para F, pies/min para R y lb/pie3 para f, y escribió la expresión (8.44) en la forma: S  0.0222

F  DF  DD  f R

, en pie 2

(8.45)

El método de diseño de Mishler consiste en medir en el laboratorio la velocidad de asentamiento R  DF  de la interface agua-suspensión en una pulpa de la misma concentración que la alimentación al espesador y usar la ecuación (8.45). Este balance tiene implícita la suposición que la concentración en la zona II es la de la alimentación. Ésta es la falla del método, ya que la concentración de la suspensión en sedimentación en el espesador no es la de la alimentación, por lo que la velocidad R estaría mal calculada.


173

Ejemplo 1 Diseñar con el método de Mishler un espesador para procesar 1200 tpd de carbonato de calcio de densidad 2.5 t/m3 con una concentración de alimentación de 49.3 % de sólidos en peso. Se desea una concentración de descarga de 52.4% de sólidos en peso. La velocidad de sedimentación del material de alimentación es de – 1.22X10-6 m/s y la densidad del agua es 1 t/m3. La relación entre dilución y concentración está dada por: D  f (1  ) s  . AU  

 DF  DD 



f R

(1.0286  0.9158)  1.0700 m 2 tpd 6 1.22  10  3600  24

S  1.0700  1200  1283.9 m 2

La tabla que sigue muestra los resultados usando el método de Mishler.

b)



Dk

DD

vs

AU

F

S

-

-

-

m/s

m /tpd

tpd

m

0.280

1.0286

0.9158

-1.22E-06

1.070

1200

1283.9

2

2

Método de Coe y Clevenger

Coe y Clevenger (1916) realizan el mismo balance de masa que Mishler, figura 8.31 pero indican que la concentración dentro del espesador no es la de la alimentación. Ellos argumentan que dentro del espesador hay diferentes concentraciones y que, en la zona de sedimentación II se establecerá una suspensión de tal concentración que tenga la mínima velocidad de sedimentación. Todas las otras concentraciones desaparecerán a medida que se establece el estado estacionario. Es así como la suspensión de alimentación de concentración DF [-] pasa por diferentes

concentraciones Dk [-] antes de salir del espesador a concentración DD , por lo tanto el balance de Coe y Clevenger será: Sólido:

FD

(8.46)

Agua:

FDk = DDD + O

(8.47)

Despejando el flujo másico de agua O y transformándolo en flujo volumétrico QO se obtiene: QO 

F  Dk  DD  f

(8.48)

174

Manual de Filtración & Separación S

F  Dk  DD 

(8.49)

f R

Como la concentración de la zona II no se conoce de antemano, es necesario realizar ensayos de sedimentación batch a distintas concentraciones, calcular el área con la ecuación (8.49) y elegir la máxima área encontrada. Coe y Clevenger usaron las unidades de lb/pie3 para la densidad del líquido f , pie para la velocidad R y la capacidad F por área S, resulta en lb/h-pie2. Con estas unidades escribieron:  R  D F  min  62.35 D k S Dk - DD 

 2  , en lb hora pie 

(8.50)

Definiendo el Área Unitaria (AUo) como el recíproco del flujo por unidad de área, tenemos:  D - DD AU o  max  0.01604 k Dk  R  Dk  

 2  en pie lb / hora 

(8.51)

Taggart (1927) y Dalstrohm y Fitch (1985) usaron f  62.4l lb pie 3 , la velocidad R en pie/h, dando el área unitaria en pie2 por toneladas cortas por día:  D - DD AUo  max  1.33 k Dk  -R  Dk  

 2  en pie ton corta / dia 

(8.52)

Ejemplo 2 Diseñar con el método de Coe y Clevenger un espesador para procesar 1200 tpd de carbonato de calcio. Se desea una concentración de descarga de 52.4% de sólidos en peso. La tabla 8.1 de este Manual da los resultados de pruebas de sedimentación. Concentración % sólidos en peso

Velocidad de sedimentación vs m/s

49.3

-1.22E-6

47.4

-1.44E-6

22.3

-3.07E-5

10.3

-7.97E-5

4.1

-1.43E-4

La relación entre dilución y concentración P en % de sólidos en peso está dada por: D  (1  P) P


175



Dk

DD

vs

AU

F

S

-

-

-

m/s

m /tpd

tpd

m

0.280 0.265 0.103 0.044 0.017

1.0286 1.1094 3.4835 8.6909 23.1294

0.9158 0.9158 0.9158 0.9158 0.9158

-1.22E-06 -1.44E-06 -3.07E-06 -7.97E-05 -1.43E-04

1.070 1.556 0.968 1.129 1.798

1200 1200 1200 1200 1200

1283.9 1867.7 1161.6 1354.9 2157.5

AU  D k   

2

 Dk  DD   (23,1294  0.9158)  1.798 m 2 f R  Dk  1.22  10 6  3600  24

2

tpd

De acuerdo al método de Coe y Clevenger, se debe elegir el área mayor encontrada, que para este caso es S=2157.5 m2. Con el objetivo de tener una referencia futura expresaremos la capacidad y el Área Unitaria, según Coe y Clevenger, con las variables utilizadas en el modelo fenomenológico, s en kg/m3 y I en m/s, y la denominaremos Área Unitaria Básica AUo :    s I  k   F  en TPD m 2  min  86.4 k  1 1  S   k D     1 1 1  2 AU o  max  1.1574 *102     en m TPD k       s I k k D  

(8.53)

(8.54)

Para Coe y Clevenger (1912) la altura del espesador no tiene importancia si la descarga tiene una concentración menor que la crítica, excepto para permitir una amplia profundidad de agua limpia. Por otra parte, cuando la descarga es más concentrada es necesario disponer en el espesador una capacidad suficiente de sedimento para que el tiempo de residencia de ésta sea suficiente para permitir llegar a la concentración de descarga deseada. Para calcular la altura de la zona de compresión denominemos t* el tiempo para llegar a la concentración de descarga deseada en una prueba batch. Dividamos el intervalo de tiempo [0,t*] en n intervalos t  t i 1  t1 . La altura zi de cada intervalo se puede calcular de zi  Vi S con i=1,2,...n, donde Vi es el volumen de sedimento de densidad promedio i y S es el área de la columna de sedimentación. El volumen Vi  Ft i i i , donde F es el flujo másico de sólidos al espesador. Entonces:

176


Fig. 8.32 Cálculo de la altura de un espesador según Coe y Clevenger (1914).

zi 

Ft i , i  1,2..., n i iS

 1   AUo

  t i      i  i  f  

La altura total será:

z c  i z i  1     AUo 





t i

         , i  1, 2..., n i

i

i

(8.55)

f

En estas expresiones i  i1  i . A esta altura zc Coe y Clevenger recomiendan agregarle 0.50 a 1 m para acomodar la alimentación y la zona I de agua clara.

Ejemplo 3 Para los datos del problema 2, calcular la altura del espesador necesaria. El Área Unitaria encontrada es de AU o  1.80 m 2 tpd para una descarga de 52.4 % de sólidos en peso. En términos de fracción en volumen tenemos:


177

0.350 =0,103

Altura m

0.340

0.330

0.320

0.310

0.300 0

4000

8000

12000

16000

20000

24000

28000

32000

36000

40000

Tiempo s



52.4  0.297 2.6  (100  52.4)  52.4

Aplicando la ecuación (8.55) obtenemos: Zi cm

i

0.338 0.331 0.328 0.324 0.319 0.315 0.311 0.308 0.305 0.302 0.300

 0.105 0.106 0.107 0.109 0.111 0.112 0.113 0.114 0.115 0.116

ti s 0 4000 8000 12000 16000 20000 24000 28000 32000 36000 39000 Hc (m)=

zi m 0 0.211 0.209 0.206 0.203 0.200 0.197 0.195 0.192 0.190 0.142 1.944

La altura del sedimento debe ser de 1.94 m. Si se le agrega 1.5 m para la alimentación y agua clara, resulta una altura total del espesador de 3.5 m.

8.5.2

Métodos de diseño basados en el proceso de sedimentación de Kynch

El establecimiento de la teoría de Kynch en 1952 indujo a varios investigadores, tales como W.P. Talmage, B. Fitch, J.H. Wilhelm, Y. Nadie, H. Oltmann, N.J. Hasset y N. Yoshioka (Bustos et al 1999) a usar esta teoría como base para el diseño de

178


espesadores. El método utilizado universalmente hasta entonces era el método de Coe y Clevenger (1916) y ellos consideraba que requería muchas pruebas de laboratorio y demasiado tiempo. Se buscaba algún otro método más rápido y la teoría de Kynch daba esta oportunidad. Para describir los métodos de diseño que surgieron de este grupo de investigadores, separémoslos en aquellos basados en la sedimentación batch y aquellos basados en la sedimentación continua. Para estudiar la teoría de Kynch en detalle ver el capítulo 5. a)

Métodos de diseño basados en el proceso batch de Kynch

Consideremos una suspensión ideal sometida a sedimentación batch. La teoría de Kynch dice que la concentración de la suspensión   z, t  se puede predecir desde la ecuación diferencial hiperbólica en las regiones en donde ella es continua:  f     0 t z

(8.56)

y de la condición de salto:



f   ,

con         

  ,  



(8.57)

El requisito para obtener la solución es conocer la funcionalidad de f  f    y las condiciones iniciales y de contorno. En una curva de sedimentación, como la de la figura 8.33, la tangente a la interfaz Z/T corresponde a la discontinuidad agua-suspensión y es igual a la velocidad de sedimentación de la suspensión de concentración :  I       0,   

f    f  0  0



f   

 vs    

Z T

(8.58)

y las rectas que unen el punto (0,0) con los puntos (zk,tk) son las características de ' pendiente f bk  k  . La concentración de la suspensión k, correspondiente esta recta se obtiene del volumen total de sólidos W0 por unidad de área presente en la columna. Este valor está dado por: W0  0 L

(8.59)

Durante la sedimentación este volumen de sólidos por unidad de área debe atravesar una sección de la columna que posee concentración k, esto es la característica de ' concentración k. Como esta característica se mueve hacia arriba a velocidad f bk  k  , W0 queda dado por: W0 

  v    f tk

k

0

s

k

' bk

 k   dt


179

Fig. 8.33 Curva de sedimentación.

Z z  k   k  T tk

  tk 

De la figura 8.33 se observa que: Z T   Z  z k  t k , por lo que al reemplazar en la ecuación anterior se obtiene: W0  k Z

(8.60)

Combinando las ecuaciones (8.59) y (8.60), resulta que la concentración  k queda dada por:  k  0

L Z

(8.61)

Este análisis se puede repetir para varias tangentes como en la figura 8.34. De la teoría de Kynch se puede concluir que, conociendo la curva de sedimentación batch para una suspensión ideal y trazando tangentes a esta curva, se





puede determinar el par  k , v s   k  para 0   k  c . Ver figura 8.34. Conocidos los valores de la concentración y velocidad de sedimentación, se puede aplicar la ecuación de Coe y Clevenger (1916).

180


Fig. 8.34 Método de Kynch para determinar la concentración y velocidad de sedimentación de una suspensión mediante un solo ensayo batch.

Ejemplo 4 Diseñar con el método de Kynch un espesador para procesar 1200 tpd de carbonato de calcio, de densidad 2.5 t/m3 con una concentración de alimentación de 49.3% de sólidos en peso. Se desea una concentración de descarga de 52.4% de sólidos en peso. Se dispone de una curva de sedimentación para la concentración de 10.3% de sólidos en volumen.

0,4 0,35

10.3% en peso

10.3% en volumen

Altura en m

0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

Tiempo en s

Trazado de tangentes a la curva de sedimentación según el método de Kynch.


181

De acuerdo a la teoría de Kynch, la altura correspondiente a una concentración determinada se puede calcular con la ecuación (8.61), de donde resulta: Zk  L

0 k

Tk

0

k 

m

s





0,338

2850

0,044

0,0440

-1,186E-04

0,7596

1200

911,5

0,300

3500

0,044

0,0496

-8,571E-05

0,9130

1200

1095,6

0,250

4400

0,044

0,0595

-5,682E-05

1,1034

1200

1324,1

0,200

5650

0,044

0,0744

-3,540E-05

1,3314

1200

1597,7

0,150

8500

0,044

0,0991

-1,765E-05

1,7887

1200

2146,4

0,140

10000

0,044

0,1062

-1,400E-05

2,0323

1200

2438,8

Zk

vs m/s

AU 2

m /tpd

F

S

tpd

m

2

De acuerdo con este método, el área de espesador es de S=2438.8 m2. Es posible escribir este método en la forma siguiente. Como  I  k   Z T , k  0 L Z y D  0 L Z D , reemplazando en la ecuación (8.54), resulta (ver figura 8.35):

 T  ZD   2 AU o  max  1.1574 *102 1    en m tpd Z L Z    s 0  

(8.62)

Método de Talmage y Fitch Talmage y Fitch (1955) se basaron en la figura 8.35 para escribir: Z Z  ZD  T tu

(8.63)

donde ZD es la tangente a la curva de sedimentación para la concentración de descarga D y tu es la intersección de la tangente Z-T con la horizontal trazada desde ZD. La coordenada ZD se obtiene desde ZD  0 L D . Reemplazando (8.63) en (8.62) y observando que el máximo de tu es tU , se obtiene la simple relación:  t  t AUo  max  u   U Z   L  s 0 L  s 0 

(8.64)

182


Fig. 8.35 Construcción de Talmage y Fitch I (1955)

AU o  1.1574 *102

tU s  0 L

en m 2 tpd

(8.65)

El método de diseño de Talmage y Fitch consiste, entonces, en: 1.

Realizar una prueba de sedimentación con una concentración "intermedia" (discutiremos más adelante lo que esto significa).

2.

Dibujar la curva de sedimentación.

3.

Calcular la altura ZD desde ZD  0 L D .

4.

Trazar una línea horizontal desde ZD hasta cortar la curva de sedimentación. Esta intersección define la coordenada tU.

5.

Usar la expresión AU  t U s0 L para calcular el área unitaria. Si se usan unidades métricas, utilizar la ecuación (8.65).

Como el método de Talmage y Fitch está destinado a todo tipo de pulpas, incompresibles o compresibles, en algunos casos la recta horizontal trazada desde ZD no corta a la curva de sedimentación. En estos casos Talmage y Fitch recomiendan trazar la tangente Z-T para la concentración crítica c y obtener tU como intersección de esta recta con la horizontal trazada desde ZD. Ver figura 8.36.


183

Fig. 8.36 Construcción de Talmage y Fitch II (1955) y Oltman (Fitch and Stevenson 1976).

Método de Oltman Con la experiencia, Fitch y Stevenson (1976) encontraron que el área obtenida con la concentración crítica era muy grande y adoptaron una modificación empírica propuesta por Oltman, ingeniero de la Dorr Oliver. Sin justificación, Oltman propone reemplazar la tangente a la curva de sedimentación para la concentración crítica por la recta trazada desde el punto (L,0) pasando por el punto (zc,tc). Ver figura 8.36. Tanto el método de Talmage y Fitch II como en el método de Oltman se basan en el conocimiento de la concentración crítica y en la suposición (errónea) que la pulpa compresible a la concentración de la descarga cumple la teoría de Kynch.

Ejemplo 4 Diseñar con el método de Talmage y Fitch y el de Oltmann un espesador para procesar 1200 tpd de carbonato de calcio, de densidad 2.5 t/m3 con una concentración de alimentación de 49.3% de sólidos en peso. Se desea una concentración de descarga de 52.4% de sólidos en peso. Se dispone de una curva de sedimentación para la concentración de 10.3% de sólidos en peso. Se sabe que la concentración crítica es de alrededor de 42.8% en peso. Las alturas ZD y Zc son respectivamente: ZD= 0.0486 y Zc=0.0647. De acuerdo a la teoría de Talmage y Fitch, se puede construir la siguiente figura que sigue. Como ambos valores quedan por debajo de la curva, no se puede utilizar ni el método de Talmage y Fitch ni el de Oltmann.

184


0,4

0,35

10.3% en peso

Altura en m

0,3

0,25

0,2

0,15

0,1

Zc=0,0647

0,05

ZD=0,0486 0 0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000 10000

Tiempo en s

Construcción de Oltman

b)

Métodos de diseño basados en el proceso de Kynch continuo

En el capítulo 5 se estudió la teoría de Kynch para un proceso de sedimentación continuo. En la sección 5.2.3 y figuras 5.14a y 5.14c se demuestra que la capacidad de un espesador ideal tratando una suspensión ideal y su área unitaria están dadas por:  1 F 1 1 1   s  I ** y AU0   **   M ** S  1 1  s  I M  M M    **   M M 

 

 

(8.66)

donde M y ** M son la concentración del punto máximo de la curva de densidad de flujo continuo y concentración conjugada respectivamente. La concentración de descarga es igual a D  M . Este método implica el conocimiento de la curva de densidad de flujo. Ver figura 5.14 a) y c).

Método de Yoshioka y Hasset Yoshioka (1957) propuso un método de diseño de espesadores basado en el conocimiento de la curva de densidad de flujo batch y su relación con la densidad de flujo continua y con la concentración de descarga (ver capítulo 5, sección 5.2.4): f k     q  f bk    y f k  D   f F  qD

(8.67)


185

de aquí se puede escribir: f bk     f F  q

(8.68)

La ecuación (8.68) representa una recta en el gráfico f bk    versus , donde la pendiente es q y la intersección con el eje de las ordenadas es fF. Según (8.67) la pendiente q  f F  D . Yoshioka grafica (-fbk) versus . Entonces la ecuación (8.68) se transforma en: f bk     f F  q

(8.69)

La figura 8.39 muestra este gráfico.

M D

Fig. 8.37 Método de diseño de Yoshioka y Hassett.

El método de diseño se puede resumir de la siguiente forma. Para una concentración de  D  0.4 , trazamos la tangente a la curva de flujo batch partiendo del punto (0,0.4). Esta recta de pendiente "q" es tangente a la curva en    M , como

hemos visto, y corta al eje de las ordenadas en f D  f F  f bk  D  . Este valor da la capacidad del espesador.

Ejemplo 5 Diseñar con el método de Yohioka y Hassett un espesador para procesar 1200 tpd de carbonato de calcio, de densidad 2.5 tom3 con una concentración de alimentación de 49.3% de sólidos en peso. Se desea una concentración de descarga de 52.4% de sólidos en peso. Se dispone de la curva de densidad de flujo del material. Las concentraciones de alimentación y descarga son:  F  0.280 y  D  0.306 .

186


Densidad de flujo de sólidosX(-1) m/s

5,00E-06

4,00E-06

3,00E-06

-fF=2,59E-06

2,00E-06

1,00E-06

0,00E+00 0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4


Construcción de Yoshioka.

La capacidad será S 

F 1200   2145m 2 6 f F  s  3600  24 2.59  10  2.5  3600  24

Hassett (1958) se dio cuenta de un problema de interpretación en la concentración de descarga. La figura 8.39 muestra, según la teoría de Kynch, que en el estado estacionario existirán solamente dos concentraciones en el espesador la concentración  M y la concentración conjugada ** M . Hassett dice:"...De esta forma, la teoría predice la ausencia de las concentraciones de alimentación y descarga dentro del espesador, lo que significa que debe haber un crecimiento abrupto en la concentración de descarga en el momento de la descarga....". La teoría desarrollada en el capítulo 5 demuestra que el razonamiento de Hassett es erróneo y que el problema estriba en que las suspensiones que él analizó son compresibles y no cumplen las ecuaciones de Kynch. La teoría está correcta, pero para suspensiones ideales y no para suspensiones compresibles.

Método de Wilhelm y Naide Wilhelm y Nadie (1979) también parten de la sección 5.2.4 del capítulo 5 para escribir una ecuación similar a la (8.67) para el estado estacionario: f k     q  f bk     qD

Diferenciando esta expresión con respecto a  para    M , resulta: q  f bk'  M 

(8.70)


187

' y reemplazando en la expresión anterior tenemos f bk  M    f bk     f bk'  M  D ,

la que, aplicada a la concentración   M , da como resultado: ' f bk  M  M  f bk  M   f bk'  M  D

(8.71)

Ahora, si suponemos que la velocidad de sedimentación del sólido se puede expresar en la forma: v s      a b

(8.72)

la densidad de flujo de sólidos f bk    se puede escribir como f bk     a1 b y su derivada en   M como: b f bk'  M   a(1  b)M

(8.73)

Reemplazando (8.73) en (8.71) y despejando M resulta: M 

b 1 D b

(8.74)

Reemplazando ahora M de (8.74) y f bk'  M  de (8.73) en (8.70) resulta: b

 b 1  b q  f bk'  M   a(1  b)   D b  

(8.75)

Como en el estado estacionario f F  qD , utilizando (8.75) llegamos al resultado: 1 b

 b 1  f F  ab(1  b)    b 

1D b

(8.76)

y el área unitaria AU0: 1  b 1  AU0  s ab  b 

b 1

Db 1

(8.77)

La expresión f bk     a1 b representa a la función densidad de flujo de sólidos solamente en una pequeña región de concentración, por lo que la curva completa debe ser representada por una serie de expresiones válidas en esos pequeños tramos. Es así como se obtendrá una ecuación (8.77) para cada tramo de concentración, como se observa en la figura 8.40. Wilhelm y Nadie concluyen que se debe tomar el máximo valor encontrado para (8.77).

188


Velocidad de sedimentación x(-1) m/s

1,00E+02

1,00E+01

1,00E+00

1,00E-01

1,00E-02

1,00E-03

1,00E-04 0,001

0,01

0,1

1

Porosidad

a) Velocidad de sedimentación 2,00E+00

1,50E+00

2

Area Unitaria AU en m /tpd

AU=1,815

1,00E+00

5,00E-01

0,00E+00 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6


b) Área unitaria Fig. 8.38 Diseño de espesadores según Wilhelm y Nadie (1979).

Ejemplo 6 Diseñar con el método de Wilhelm y Nadie un espesador para procesar 1200 tpd de carbonato de calcio, de densidad 2.5 t/m3 con una concentración de alimentación de 49.3% de sólidos en peso. Se desea una concentración de descarga de 52.4% de sólidos en peso. Se dispone de la curva de densidad de flujo del material. Las concentraciones de alimentación y descarga son: F=0.280 y D=0.306.


189

Velocidad de sedimentación x(-1) m/s

1,00E+02

1,00E+01

-1,16E-01

y = 7,20E+00x

-5,88E-01

y = 1,17E+00x

-1,36E+00

y = 1,25E-01x 1,00E+00

-2,99E+00

y = 3,87E-03x 1,00E-01

y = 1,18E-04x-5,21E+00

1,00E-02

y = 2,02E-06x

-8,58E+00

1,00E-03

y = 2,85E-08x-1,34E+01

1,00E-04 0,001

0,01

0,1

1

Porosidad

Velocidad de sedimentación. 2.50E+03 S=2180 m 2

Area en m

2

2.00E+03

1.50E+03

1.00E+03

5.00E+02

0.00E+00 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6


Área Unitaria

El método de Wilhelm y Nadie da un valor de S  2180 m2 para el Área Unitaria.

8.5.3

Métodos de diseño basados en el modelo fenomenológico

En la sección 8.3.6 sobre espesamiento continuo, hemos mostrado que, para que en un espesador continuo exista un estado estacionario, es necesario que se cumpla la relación:

190

Manual de Filtración & Separación f F  q D   f bk    , para L    D

(8.78)

donde fF es la densidad de flujo de sólidos de la alimentación y f k    es la curva de densidad de flujo de Kynch extendida. Como q  f F D , reemplazando en (8.78) se cumple para el estado estacionario: fF 

fF   f bk    , para L    D D

Dividiendo por  y ordenando se obtiene: fF 

f bk     , para L    D 1 1   D

(8.79)

Capacidad Por definición s f F   F S y  I     f bk     , donde F es la capacidad del espesador como flujo másico de sólido y S es el área del espesador, entonces: F s I    , para L    D en unidades ML2 T 1  S 1 1  D

(8.80)

Área Unitaria Usando el concepto de área unitaria AU  S F : AU 

1 1 1   s  I      D

 2 1  , para L    D en unidades L TM 

(8.81)

Como esta expresión debe ser válida para todo L    D , y f bk     I    y nos interesa el mayor área unitaria encontrada, podemos escribir:  1 1 1 AU  max    L D       D   s I

       1  1       max    L D  s f bk     D  

(8.82)

Comparando esta expresión para el área unitaria con (8.54), derivada por Coe y Clevenger (en nuestra nomenclatura), podemos decir que, la teoría fenomenológica indica que, el área unitaria para un espesador tiene que ser mayor o igual que el Área Unitaria Básica de Coe y Clevenger. AU  AU 0 

F0 (Coe & Clevenger) S

(8.83)


191

Notar que el área unitaria básica AU0 depende, para cada concentración, de la concentración de descarga D y de la densidad de flujo de sólidos batch f bk    y es independiente de la compresibilidad del sedimento. Denominemos AU0  , D  a la función: AU0  ; D  

    1  s f bk     D  1

(8.84)

La figura 8.41 muestra la función AU0  , D  , para una concentración de descarga

D  0.3

y

una

función

densidad

de

flujo

de

sólidos

batch

f bk     6.05*10  1    , en m s . Notar que, aunque la función tiene un máximo local de AU0=18.37 m2s/kg para   0.2107 , el máximo global es de AU0=55.5 m2s/kg (0.642 m2/TPD) para   L  0.0135 . 4

12.59

Fig. 8.41 Diseño de un espesador según la teoría fenomenológica, con la función AU0  ; 0.3 .

Altura Dijimos en los párrafos anteriores, que el Área Unitaria es independiente de la compresibilidad del sedimento. Esto se refiere al Área Unitaria Básica AU0, ya que la teoría solamente dice que el Área Unitaria propiamente tal AU debe ser mayor que la básica. Cuanto mayor, depende de la compresibilidad del sedimento. De acuerdo a la sección 8.3.6, la altura del sedimento zc se puede calcular en función de la concentración  para un espesador en el estado estacionario desde: zc 



c

D

'e    f bk   

d g z  f F  q D   f bk    

(8.85)

donde D es la concentración de descarga y c la concentración crítica. La altura total del espesador debe contemplar la altura "zc" para el sedimento, la altura "h" para la zona de sedimentación y la altura "c" para el agua clara:

192

Manual de Filtración & Separación H  c  h  zc

(8.86)

Los valores de c y h son arbitrarios. La altura de agua clara varía generalmente entre 0.5 a 1.0 m y, teóricamente, la altura de h debería ser cero, esto es, no se necesita altura para la sedimentación. Como esta altura incluye la zona de alimentación, conviene dejar alrededor de 0.5 m para ella. Adorjan (1975,1976) fue el primer investigador en utilizar el método fenomenológico para el diseño de espesadores. Aunque su deducción no es la misma que se hizo en la sección anterior, el resultado es el mismo. Adorjan dice que un espesador operando en las condiciones límites, esto es cuando en la expresión (8.83) se utiliza el signo igual, se requiere una altura de sedimento muy grande, por lo que éste se debe operar a sólo una fracción  del flujo de alimentación. A  lo denominó factor de carga: 

Como F  F0

F , con 0<  1 F0

AU 

AU 0  AU0 

(8.87)

(8.88)

Adorjan relacionó el factor de carga al factor de seguridad empleado por otros investigadores. Nosotros preferimos asociar el factor  a la altura adecuada en el espesador para proveer un rango de capacidades en torno a la nominal.

Ejemplo 7 Usando el modelo fenomenológico, diseñar un espesador para procesar 1200 tpd de carbonato de calcio, de densidad 2.5 t/m3 con una concentración de alimentación de 49.3% de sólidos en peso. Se desea una concentración de descarga de 52.4% de sólidos en peso. Se dispone de la curva de densidad de flujo del material. Las concentraciones de alimentación y descarga son  F  0.280 y  D  0.306 . En la sección 8.4 de este Manual se determinó los parámetros de espesamiento del carbonato de calcio, dando como resultado:

f bk ()  1.72  104 (1  )15.6 m s e     2.0exp  22  Pa

Reemplazando la densidad del sólido, la concentración de descarga y la función densidad de flujo de sólidos en (8.84) y pasando de m/s a m/d se obtiene: AU 0  ;  D  

1     1  ; con  L     D 4 15.6  2.5  3600  24   1.72x10   (1  )  0.306 

Graficando el área unitaria básica AU0 y la densidad de flujo de sólidos de alimentación fF en función de la concentración  se obtiene:


193

10 9

Area Unitaria Básica m2/tpd

8 7 6 5 4

AU0=1.75 m 2/tpd 2

AU0=1.26m /tpd

3 2 1

L=0.301 0 0

0,1

0,2

0,3

0,4


Área Unitaria Básica versus concentración. 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,00E+00

-1,00E-06


fF=-2,65E-6 m/s -2,00E-06

L=0,0301

-3,00E-06

-4,00E-06

-5,00E-06

-6,00E-06

fF=-3.73E-6 m/s

-7,00E-06

-8,00E-06


Densidad de flujo de sólidos versus concentración.

El máximo valor del Área Unitaria obtenida entre las concentración conjugada y la de descarga es de 1.75 m2/tpd correspondiente a la fracción volumétrica de sólidos de   0.25 . A este valor corresponde f F  2.65  106 m / s . El área total de espesador es de S  1.75  1200  2100 m 2 .

194


0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,00E+00


q=-8,66E-6 m/s -1,00E-06

D=0.306 Serie1 Serie5

fF=-2.65E-6 -2,00E-06

-3,00E-06

-4,00E-06

-5,00E-06


Capacidad máxima según el método fenomenológico

6

fF=-2.65E-6 m/s; q=-8.66E-6 m/s

5

Altura en m

4

3

2

1

0 0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35


Perfil de concentraciones para el espesador diseñado.

Debemos comprobar dos hechos para concluir que el espesador está bien diseñado. En primer lugar debemos chequear que se puede obtener un estado estacionario con el espesador diseñado y el flujo y concentración de descarga deseados. En segundo lugar, debemos establecer si se puede manejar el flujo en un espesador de 6 m de altura, dejando 1 metro para el agua clara y la alimentación. Las figuras anteriores muestran que el estado estacionario es posible ya que la densidad de flujo de alimentación está por sobre a la curva de flujo.


195

A continuación se hace una comparación de todos los métodos de diseño analizados en el Manual. Resumen de los resultados de los diferentes métodos de diseño Método de diseño

Área Unitaria Área en m2

Mishler

1.070

1284

Coe y Clevenger

1.798

2158

Kynch

2.032

2439

-

-

Yoshioka y Hasset

1.787

2140

Wilhelm y Nadie

1.815

2180

Fenomenológico básico

1.750

2100

Talmage y Fitch

Es interesante comparar los resultados de los diversos métodos de diseño de espesadores. Exceptuando el método de Mishler, todos los otros métodos dan valores de Área Unitaria similares. Sin embargo, no hay que engañarse, ya que los métodos basados en la teoría de Kynch son muy dependientes del resultado de la prueba específica con la que se hizo el cálculo. Si este ensayo experimental no fue bien realizado, o si la concentración de la suspensión con que se hizo la prueba no fue bien elegida, el resultado va a ser malo. El método de Coe y Clevenger tiene la ventaja de que son varios los ensayos realizados, de modo que se puede observar la tendencia de los ensayos individuales y detectar una falla experimental. El método fenomenológico tiene la ventaja adicional, que los posibles errores experimentales de los ensayos no se transmiten al diseño, ya que se ajusta la mejor curva de densidad de flujo a los datos experimentales y con este modelo se realiza el cálculo del Área Unitaria. Con la posibilidad de calcular la altura del espesador mediante los datos de compresibilidad se completa este método.

8.6

ESTRATEGIAS DE OPERACIÓN

8.6.1 Estado estacionario En la sección 8.3 indicamos las condiciones que se deben cumplir para que un determinado espesador llegue a un estado estacionario, esto es, que la densidad de flujo de sólido cumpla la condición f k ()  f F para la concentración comprendida entre la concentración de descarga y la concentración conjugada L    D . En el estado estacionario se cumple: f F  qD

(8.89)

196


donde f F  Q F F S es la densidad de flujo de alimentación, definida como el flujo de sólidos en la alimentación por unidad de área del espesador y q es la velocidad volumétrica q  Q D S , definida como el flujo volumétrico de pulpa en la descarga por unidad de área del espesador. El perfil de concentración, según la expresión (8.33), queda expresado por: 'e ()f bk ()d D g q  q  f ()  D  bk

z()  



(8.90)

8.6.2 Concentración de la descarga: efecto del flujo de alimentación y de la altura del sedimento Si suponemos que las condiciones de operación se encuentran dentro de los límites en los que puede existir un estado estacionario, de (8.89) se puede observar que la concentración de la descarga depende de las variables fF y q. Si mantenemos constante la densidad de flujo de alimentación fF, la concentración de descarga se puede variar manipulando q, esto es, variando el flujo volumétrico de la descarga. En los espesadores que descargan por gravedad esto se consigue cambiando los anillos de la descarga y en aquellos que disponen de bombas de velocidad variable, ajustando la velocidad al valor requerido. La figura 8.39 muestra el rango de concentraciones de descarga admisibles para un valor determinado de la velocidad volumétrica q. Si, estando en un estado estacionario con f F  qD , disminuimos q a q1 , habrá un desbalance entre el sólido que entra y el que sale del espesador. Por ello se acumulará sólido en el equipo y aumentará el nivel del sedimento. El mayor peso acumulado hará que la pulpa en el fondo del espesador se comprima más y aumente la concentración de descarga. Ahora, el nuevo y menor caudal de descarga Q D  q1S llevará más sólido por lo que éste llegará a igualar a la masa de sólido de alimentación, estableciéndose un nuevo estado estacionario f F  q1D1 con un mayor nivel de sedimento y una mayor concentración de descarga. Si, por el contrario, aumentamos q a un valor q 2 , saldrá más sólido del espesador del que entra, por lo que el inventario de sólidos disminuirá junto con el nivel de sedimento. La menor carga de sólidos hará que la concentración de descarga disminuya hasta llegar al nuevo estado estacionario dado por f F  q 2 D2 con un menor nivel de sedimento y una menor concentración de descarga. Un efecto similar tiene el cambio de caudal o concentración de la alimentación manteniendo el caudal volumétrico de la descarga constante. En ambos casos es necesario restringir los cambios dentro de aquellos que llevan a un estado estacionario.


197

Fig. 8.42 Rango admisible de concentraciones de descarga para una velocidad volumétrica determinada igual a q=-1.5x10-5 m/s, c=0.23, fbk=-6.05x10-4(1-)11.59m/s, (Bürger et al 1999).

Ejemplo 8. Supongamos que tenemos una pulpa cuyos parámetros de espesamiento son: f bk ()  6.05  104 (1  )12.59 m / s

y

0  e ()   2 5.35  exp 17.9  N / m

para   c =0.23 para   c  0.23

Alimentemos un espesador de 60 m de diámetro y 6 m de altura con los siguientes flujos másicos de sólidos, en tph, de FF=152.5, 178.1 y 203.5 a una concentración de PF=21.7 % de sólidos en peso. Calcular para los correspondientes estados estacionarios, la concentración de descarga y sus respectivos nivel de sedimento, manteniendo el flujo volumétrico de descarga constante en 203.54 m3/h. La densidad del sólido es de 2.5 t/m3. FF (tph)  3600  s (ton / m3 )  f F (m / s)  S(m 2 ) Q D (m3 / h)  3600  S(m 2 )  q(m / s)   f  P /  (s  (100  P)  f  P 

f F  q D

S  D2 4 El nivel del sedimento se obtiene resolviendo la ecuación (8.90):

198

Manual de Filtración & Separación zc 



0.23

96.123exp 17.9   6.05  104 (1  )11.59 d 1.5  g  qD  q  6.05  104 (1  )11.59 

D

La tabla y figura 8.40 muestran los resultados obtenidos utilizando las ecuaciones anteriores.

F tph

fF m/s

QD m3/h

q m/s



% sol peso

zc

203.5 178.1 152.7

-8.0E-06 -7.0E-06 6.0E-06

203.54 203.54 203.54

-2.0E-05 -2.0E-05 -2.0E-05

0.40 0.35 0.30

6.3E+01 5.7E+01 5.2E+01

oo 0.93 0.35

En la tabla se muestra los resultados. Con la mayor alimentación el espesador se rebalsa y sólo se obtiene estados estacionarios con 178.1 y 152.7 tph.

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


0.00E+00

-1.00E-05


Fig. 8.43 Efecto del flujo de alimentación en la concentración de descarga para un mismo valor del flujo volumétrico de descarga.


199

6

5

Altura en m

4

3

2

1

0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


Perfil de concentraciones para los datos de la figura anterior.

8.6.3

Dilución de la alimentación.

En todo espesador convencional la alimentación se diluye al entrar al espesador, como hemos demostrado en la sección 8.3.6. Consideremos un espesador alimentado con un flujo volumétrico QF , una concentración F y un flujo volumétrico de descarga QD. La densidad de flujo de alimentación será f F  Q F F S y la velocidad volumétrica q  Q D S . Para obtener un estado estacionario se debe regular QD de modo que q  f F D , esto es Q D  Sf F D . Si la concentración de alimentación es menor que la crítica, en la zona de alimentación regirá la ecuación de Kynch para el espesamiento continuo, entonces para z=L: qL  f bk  L   f F

(8.91)

Como se puede observar en la figura, la concentración en z=L, denominada concentración conjugada, no es la de alimentación y tampoco es arbitraria y depende de la densidad de flujo de alimentación fF y de la velocidad volumétrica q. El valor de L se obtiene resolviendo la ecuación implícita (8.91). Ejemplo 9 Consideremos una suspensión de partículas de densidad 2.5 g/cm3 caracterizada por la siguiente función densidad de flujo batch f bk ()  6.05  104 (1  )12.59 . Calcular la concentración conjugada L para la operación de un espesador de 60 m de

200


diámetro alimentado con una pulpa de concentración PF=27.1% de sólidos en peso, para FF=183 tph y caudal de descarga QD=203.5 m3/h. 0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6


0.00E+00

D

-5.00E-06

L F

-1.00E-05

-1.50E-05


Fig. 8.44 Dilución de la alimentación.

6

5

Altura en m

4

3 L=0.01709

2

1

0 0

0.1

0.2

0.3


Fig. 8.45 Dilución de la alimentación.

La ecuación a resolver es: qL  f bk  L   f F

0.4


201

qL  6.05 104 L (1  L )11.59  f F fF 

q

 FF 183   7.2 *106 m / s 3600 * s *S 3600 * 2.5* 2827

Q D 203.5   2.0 *105 m / s 3600 *S 3600 * 2827

El resultado es: L  0.01709 , esto es: 4.17% de sólidos en peso. Como en la mayoría de los casos la pulpa que entra a un espesador se diluye, cabe la pregunta si tuviese alguna ventaja el diluir la pulpa antes de alimentarla al espesador. Efectivamente podemos indicar dos ventajas. En primer lugar, una pulpa concentrada que entra a una zona diluida, lo hace como una corriente de densidad, de modo que su distribución para formar una zona homogénea en el espesador tomará un cierto tiempo. Esto puede evitarse si la concentración de la alimentación es similar a la reinante en la zona superior del espesador. En segundo lugar, el floculante se introduce en la alimentación al espesador, por lo que si la pulpa sufre una dilución, el agua contenida en ésta se mezclará con agua del espesador, y su contenido de floculante deberá diluirse nuevamente, lo que podría causar problemas en su distribución. Por otra lado, la dilución de la alimentación requiere agua, la que generalmente es escasa en las plantas de procesamiento de minerales y, por lo demás, los espesadores están destinados a concentrar las suspensiones y no diluirlas. Estas dos necesidades contrapuestas se solucionan si se introducen mecanismos en la alimentación a espesadores que permitan una autodilución de la pulpa de entrada. Para ello se utiliza el agua de rebalse del propio espesador. Los mecanismos más utilizados para diluir la alimentación se muestran a continuación.

Dilución por Rebalse Debido a la mayor densidad de la pulpa de la alimentación con respecto al agua, el nivel del agua de rebalse es siempre mayor que el nivel de la pulpa en el feedwell, como se indica en la figura. z11  z 2 2  z33 ,con z3  z1  z 2 z1  (z agua  z 2 )

donde  es la densidad de pulpa. Esto permite derivar parte del agua de rebalse a la pulpa de alimentación a través de aberturas en el feedwell. La cantidad de agua traspasada al feedwell será constante e independiente de las condiciones de alimentación.

202


Fig. 8.46 Dilución de la alimentación por rebalse del agua de rebalse, (Folleto Supaflow de Outokumpu Group Co.).

Fig. 8.47 Diseño de ventanas en el feedwell para diluir la alimentación, (Catálogo Supaflow de Outokumpu Group Co.).

Dilución por Jet Cuando se inyecta un flujo a alta velocidad en un flujo estanco, el chorro succiona agua del medio y lo incorpora a su flujo. La cantidad de agua succionada


203

depende del diámetro del chorro y de su velocidad. Este hecho se aprovecha para diluir el flujo de alimentación a un espesador, como se muestra en la figura siguiente. La altura del cajón de alimentación de la pulpa permite regular la velocidad del chorro y. Por lo tanto, la cantidad de dilución agua succionada. La figura siguiente muestra la forma de implementar este mecanismo por una empresa manufacturera.

Fig. 8.48 Dilución mediante jet Eductor, (Catálogo Supaflow de Outokumpu Group C.).

Fig. 8.49 Diseño de un sistema de dilución mediante Jet, E-Duc (Catálogo EIMCO Process Equipment Co.).

8.6.4

Inventario de material en el espesador

Se denomina inventario del espesador el tonelaje de pulpa almacenado en su interior. Este inventario consiste en una suspensión de concentración conjugada L y un sedimento de concentración variable entre c    D . Entonces el inventario está dado por:

204

Manual de Filtración & Separación   M E  gS  L  z c  L  

c

 D

 'e ((z))f bk ((z))   f F  q(z)  f bk ((z))  

(8.92)

Ejemplo 10 Supongamos que tenemos una pulpa cuyos parámetros de espesamiento son: f bk ()  6.05  104 (1  )12.59 m / s 0 para   c = 0.23  e ()   5.35  exp 17.9  m / s para   c = 0.23

y

Alimentemos un espesador de 60 m de diámetro y 6 m de altura con un flujo másico de sólidos, en tph, de FF=178.1 y 152.7 a una concentración de PF=21.7 % de sólidos en peso, obteniéndose concentraciones de descarga de 57.4 y 61.0 % de sólidos en peso. La densidad material del sólido es de 2.5 t/m3. Calcular el inventario de sólidos en el espesador en los dos estados estacionarios indicados y graficar las curvas de flujo y perfiles de concentración. FF (tph)  178.1  3600  2.5  f F  2827 f F  7.0  106 m / s FF (tph)  196.0  3600  2.5  f F  2827 f F  7.7  106 m / s D  1  57.4 /  (2.5  (100  57.4)  1  57.4   0.350 D  1  61.0 /  (2.5  (100  61.0)  1  61.0   0.390 q

f F 7.0  106 7.7  10 6    2.0  105 m / s D 0.350 0.39 zi  L



M E  gS

zi  i 

zi  0

Las concentraciones conjugadas resultan ser L  0.01316 y 0.01476 . El resultado se muestra en la tabla y figura que sigue:

F tph

fF m/s

QD m3/h

q m/s



zc

Inventario t

178.1 196.0

-7.00E-06 -7.70E-06

203.54 203.54

-2.00E-05 2.00E-05

0.35 0.39

0.93 3.91

2437.4 9175.4


205

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6


0.0E+00

-1.0E-05


Densidad de flujo versus concentración 7 6

Altura en m

5 4 3 2 1 0 0

0.1

0.2

0.3

0.4


Perfil de concentraciones

8.6.5

Capacidad máxima

De acuerdo a la sección 8.5.3, el área unitaria básica de un espesador se puede obtener de la función G  , D  , para L    D , definida en la forma: G  , D  

   m2  1  s f bk ()  D  kg s 1

Invirtiendo esta expresión y expresándola en t/h, obtenemos el tonelaje unitario TU:

206

Manual de Filtración & Separación TU  , D  

3600s f bk () tph m 2     1    D 

(8.93)

El tonelaje unitario máximo que puede ser tratado por un espesador se obtiene del valor mínimo de la función TU  , D  para valores de L    D : Fmax  S  TU min  , D  ;

L    D

(8.94)

Ejemplo 11 Para los datos de los ejemplos anteriores, determinar la capacidad máxima Fmax , en tph, del espesador de 60 m de diámetro para las concentraciones de descarga de 57.4 y 61% de sólidos en peso. D 

57.4  0.350 2.5  (100  57.4)  57.4

D 

61.0  0.385 2.5  (100  61.0)  61.0

TU  ,0.350  

3600  2.5  6.05  104    (1  )12.59     1    D 

tph m 2

Usando esta expresión podemos construir las curvas de la figura 8.41. La figura 8.41 muestra funciones TU  , D  para L    D , para las concentraciones de descarga de D  0.35 y D  0.385 , dando un valor único de 0.07 tph/m2. Como el área del espesador es de 2827 m2, el tonelaje máximo capaz de ser procesado es de 197.9 tph. Sin embargo, del problema anterior observamos que con 196 tph se tiene una altura de 4 metros de sedimento, lo que parece razonable como máximo.

8.6.6 Estados estacionarios posibles Hemos visto que la alimentación generalmente se diluye a la concentración conjugada al entrar al espesador. Por otra parte, un espesador queda muchas veces limitado por la velocidad de sedimentación de la suspensión existente inmediatamente bajo el nivel del agua de rebalse, esto es, por la concentración conjugada como se ve en la figura 8.41. Finalmente, un estado estacionario sólo se obtendrá si la densidad de flujo de alimentación fF está por sobre la curva de flujo fk().


207

3.00E-01

Tonelaje Unitario TU tph/m2

2.50E-01

2.00E-01

D=0.3.5

1.50E-01

1.00E-01

Tumin=7.0E-2 tph/m 2

5.00E-02

D=0.3.85

L

0.00E+00 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Fracción volumétrica de sólidos

Tonelaje Unitaria TU máximo capaz de ser procesado.

Ejemplo 12 Considere un espesador cuyos parámetros de espesamiento son los dados en el ejemplo 10. Para una alimentación de concentración 21.7%, y una descarga deseada de 60.5% de sólidos, ambos expresados en peso, establezca cual de los siguientes flujos de descarga 50.9, 152.6 y 305.2 m3/h resultan en estados estacionarios. Las concentraciones de alimentación y descarga deben ser expresadas como fracciones volumétricas mediante la ecuación:   f  P /  (s  (100  P)  f  P  , resultando F=0.10 y D=0.38. Las velocidades volumétricas son q=QD/S, dando q1=5*10-6, q2=1.5*10-5y q3=3*10-5m/s. La figura muestra dos estados estacionarios posibles y uno cuya densidad de flujo de alimentación es demasiado alto. Los dos estados estacionarios posibles se obtienen con fF1=-1.90*10-6 y fF2=5.70*10-6 m/s, correspondiente a 48.3 y 145.0 tph de sólidos de alimentación. La densidad de flujo de fF3=-1.14*10-5 m/s, correspondiente a 289.9 tph, es imposible porque corta la curva de flujo. La figura 8.43 muestra los perfiles de concentración para estos tres casos.

208

Manual de Filtración & Separación 0,000 0,00E+00

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

0,700

q1=5E-6

-5,00E-06 Densidad de flujo de sólidos fk

0,600

-1,00E-05

q2=1.5E-5

-1,50E-05

-2,00E-05

q3=3E-5

F=0.1

D=0.38

-2,50E-05 Fracción volumétrica de sólidos

Dos estados estacionarios posibles con q1 y q2 y uno imposible con q3 .

7

6

Altura m

5

F1=289.9 tph

4 F1=145.0 tph 3

2

1 F1=48.3 tph 0 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4


Fig. 8.43 Perfiles de concentración para los dos estados estacionarios con capacidades de 48.3 t/h y 145/t/h y para el tonelaje de 281.9 t/h en que el espesador se rebalsa.


209

8.6.7 Efecto del floculante sobre la capacidad de un espesador Consideremos un caso en que se realizan pruebas de sedimentación de caliza, de densidad =2.5 g/cm3, molida a 58% -200 mallas, con dosis de 3, 4.5, 6, 9 y 12 g/t de poliacrilamida como floculante y concentraciones de 2.5, 6.0, 11.6 y 30.6 % de sólidos en peso. Calculando las velocidades iniciales de sedimentación y, mediante ellas, las densidades de flujo de sólido se obtiene los resultados de la figura (Garrido y Concha 1999.

0

0,1

0,2

0,3

0,00E+00


-5,00E-05

0 gr/ton

-1,00E-04

3 gr/ton 4.5 gr/ton

-1,50E-04

12 gr/ton fbk)=uoo(x)**(1-)

31

6 gr/ton -2,00E-04

9 gr/ton -2,50E-04

Fracción volumética de sólidos

Fig. 8.43 Densidad de flujo de sólidos versus fracción volumétrica de sólidos, representando el efecto de la concentración de sólidos y la dosificación de floculante sobre mineral de carbonato de calcio, con u  (x)  9.60 *106 x  1.19 *10 4 x 2  3.76 *103 x  5.73*10 4 , donde x es la dosis de floculante en g/t de mineral.

Con estas correlaciones se puede estimar la capacidad de un espesador continuo para obtener una descarga con la concentración 37% de sólidos en peso (=0.190), a las tres siguientes dosificaciones de floculante 0, 3 y 9 g/t. Para cada uno de ellas la densidad de flujo de Kynch es f bk  u  (x) *  *(1  )31 . Dosis gr/t

u m/s

q m/s

fF m/s

F/S tph/m2

0

5.73*10-4

-5.89E-5

1.12E-5

0.101

3

1.43*10-3

-1.12E-4

2.12E-5

0.191

9

-2

-1.80E-5

3.42E-5

0.308

2.10*10

210


donde F / S  f F  s  3600 en tph/m2. La figura 10 muestra la capacidad máxima de espesamiento para las tres dosificaciones de floculante, 0, 3 y 9 g/t.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,00E+00 -5,00E-06

fF=1.12E-05


-1,00E-05 -1,50E-05 fF=2.12E-05 -2,00E-05 -2,50E-05 -3,00E-05

fF=3.42E-05

-3,50E-05

Serie1 3 gr/ton -4,00E-05

Serie2 9 gr/ton

-4,50E-05

Serie3 0 gr/ton

-5,00E-05 Fracción volumétrica de sólidos

Fig8.44 Capacidad máxima de espesamiento para una descarga con =0.190 y dosis de 0, 3 y 9 g/t.

El hecho que un cambio de dosificación de floculante influya en los parámetros de espesamiento de forma tal que la capacidad del espesador cambie significativamente, como es el caso mostrado anteriormente, en que la capacidad se duplico y triplicó al pasar de 0 a 3 y 9 g/t respectivamente, muestra que la adición de floculante es una variable de suma importancia que no puede ser dejada sin control.

8.7 INVESTIGACIÓN, DESARROLLO Y TRANSFERENCIA TECNOLÓGICA Aunque el campo de la separación sólido-líquido ha recibido gran atención en el último tiempo, con estudios fundamentales en espesamiento, los que han permitido establecer la dinámica del proceso y con adelantos en el diseño de nuevos equipos de filtración, especialmente los filtros a presión continuos, éste continua siendo un área deficitaria en conocimientos y deficitaria en la aplicación de conocimientos bien establecidos en otros campos de la ciencia. Es así como los fundamentos de la


211

floculación no han sido suficientemente asimilados en el procesamiento de minerales y la selección de reactivos y su dosificación sigue siendo empírica. El rol de los reactivos surfactantes y floculantes hidrófobos tampoco ha sido suficientemente estudiado en su efecto en el deshumedecimiento de queques de filtración. Aspectos fundamentales del espesamiento como la caracterización reológica del sedimento no ha recibido la atención necesaria. Esto ha impedido obtener modelos adecuados para el diseño, operación y control de las rastras. El flujo en lecho poroso compresible y su aplicación a la filtración a presión necesita estudio. Finalmente, la comprensión de la operación correcta de un espesador no está completa. Es necesario estudiar y modelar la alimentación y la descarga y el concepto de un espesador de alta capacidad aún no ha sido dilucidado. La optimización y control de sistemas de filtración continua y espesadores continua siendo un problema vigente y la recuperación de agua en las plantas de procesamiento de mineras es uno de los problemas actuales que se agudizarán en el futuro. En las siguientes secciones analizaremos estas deficiencias.

8.7.1 Efecto de los floculantes en el espesamiento El campo de la fisicoquímica nos ha entregado un conocimiento bastante detallado de la interacción coloidal entre partículas, de la estructura de los agentes coagulantes y floculantes y de la cinética de floculación. Parte de ello lo hemos resumido en el Capítulo 10 de este Manual. Sin embargo, la aplicación de estos reactivos en el proceso de espesamiento no es del todo conocido. Los ensayos que se realizan normalmente para dosificar floculantes en el espesamiento determinan la velocidad de sedimentación del sólido a diversas concentraciones de sólidos y cantidades de floculante. Esto significa que el efecto de floculantes en la velocidad de sedimentación es bien conocido. A pesar de ello, pienso que no se ha tomado debida conciencia del efecto de interacción entre concentración de sólidos y concentración de floculantes. En este sentido hemos indicado que es necesario construir las curvas de densidad de flujo de sólidos para las distintas dosis de floculantes y en esta forma conocer el efecto que el floculante tiene en los parámetros de esta función u  y n de f bk ()  u  (1  ) n . Hasta donde hemos podido establecer, la dosificación de floculante afecta solamente a u  , pero es posible que no sea así en todos los casos. Lo que aún no se ha estudiado es el efecto cuantitativo de la dosificación de floculantes en las características del sedimento, especialmente en su reología, esto es en su compresibilidad y en su cizalle. Este conocimiento es fundamental, ya que estas características del sedimento influyen en la concentración de la descarga y en el torque de las rastras. Otro aspecto importante de considerar, es que la adición de floculante se utiliza como una de las variables de control de un espesador. Es, por lo tanto, fundamental conocer su acción dinámica.

212


8.7.2 Reología de sedimentos y descarga de un espesador Relacionado con el punto anterior está el problema de conocer el comportamiento reológico de los sedimentos de un espesador. No es frecuente que los ensayos que se realizan para diseñar un espesador incluyan pruebas de reología de la suspensión, ni que el control metalúrgico del equipo incluya este tipo de pruebas. Esto contrasta con el gran cuidado que pone el operador en el control del torque en los espesadores. Ellos saben que una sobre carga de las rastras puede ser desastrosa y, por lo tanto, trabajan a valores de torque muy por debajo de los que el sistema motriz del espesador puede tolerar. Un conocimiento de la reología del sedimentos y un conocimiento del efecto de esta reología en el torque de las rastras es una información que sería de gran importancia para el control metalúrgico del proceso de espesamiento. Hay algunos intentos de establecer relaciones en este campo pero es necesario más investigación en este campo. Estos estudios reológicos pueden ser complementados con modelación fenomenológica del movimiento de las rastras de un espesador y de simulación mediante Mecánica de Fluidos Computacional (CFD), tal como se mostró en el III Coloquio de Filtración y Separación realizado en Santiago en 1999 (Köck y Concha 1999) y en el capítulo 14 de este Manual.

8.7.3 Efecto de surfactantes y floculantes hidrófobos en la filtración Tal como lo hemos indicado en los Capítulos 9 y 11, la filtración se realiza en etapas secuenciales cuyos fundamentos son diferentes. En primer lugar, las variables que influyen en la formación del queque no son las mismas que son importantes en la expresión de éste o en el soplado. Es así como en la última etapa debemos reconocer que propiedades del sistema sólido-líquido-gas, tales como la saturación, la presión capilar, la tensión superficial del líquido y el ángulo de contacto trifásico son de primordial importancia. Es natural entonces, que agentes que varíen estas propiedades tendrán efecto en la etapa de deshumedecimiento, desaguado o soplado, como se la suele llamar. El efecto de surfactantes es reconocido en el campo de la filtración, pero no hay estudios sistemáticos que muestren cuantitativamente el cambio de las condiciones superficiales del sólido, de la presión capilar y, en definitiva de la permeabilidad del queque, como tampoco existen métodos que predigan el efecto de reactivos que producen beneficio en el deshumedecimiento de queques de filtración (Laskowski 2000). En general, el procedimiento empleado es el de probar reactivos directamente en la filtración, sin estudiar los mecanismos mediante los cuales el efecto se realiza. Hay aquí un interesante campo de investigación para establecer métodos eficaces de probar reactivos para la filtración.

Capítulo 8 Espesamiento 8.7.4

213

Flujo en lecho poroso compresible

Los fundamentos de la filtración que hemos presentado en este Manual están basados en la teoría de flujo en un medio poroso rígido. Todos sabemos que durante la filtración el queque sufre deformaciones debido a la compresión, pero también sabemos que en la mayoría de los casos de filtración este efecto se puede despreciar. Es así, por ejemplo, que en la filtración a vacío los esfuerzos compresivos a los que está sometido el queque son pequeños y, por lo tanto, también las deformaciones, las que pueden ser despreciadas. En la filtración a presión la situación es diferente. Aquí hay etapas en que el queque puede ser consideradas incompresible y otras en que definitivamente es compresible. La formación del queque se realiza con un crecimiento paulatino y sin mucha deformación de éste. También en la etapa de soplado el queque puede ser considerado incompresible, pero en la etapa de expresión, éste definitivamente se deforma violentamente. En este trabajo hemos superado este problema tomando en consideración que la etapa de expresión es muy corta y que en ella no se elimina una cantidad significativa de agua, comparada con la etapa de formación del queque, ni es capaz de llegar a las humedades que se logran con el soplado. Por esta razón, lo que hemos hecho en este Manual, es considerar el queque como incompresible, tanto para las etapas de formación del queque como para la etapa de soplado, pero en cada una de estas etapas la porosidad es diferente. Hemos considerado que lo que hace la etapa de expresión es reducir la porosidad desde aquella válida en la formación del queque a aquella válida en el soplado, eliminando, por cierto, la cantidad de agua asociada a esta reducción de porosidad. Cuando hay variaciones significativas de porosidad durante la formación del queque, es posible considerar una porosidad media y variables asociadas a esta porosidad media. Un análisis riguroso de la etapa de expresión en la filtración, considerando la porosidad como variable, ha sido realizado por Shirato (Shitrato et al 1986). Sin embargo, este enfoque no ha llegado a ser aplicado en la práctica de la filtración por falta de soluciones numéricas de las ecuaciones que constituyen el modelo. Un importante paso en el desarrollo de la teoría de filtración con compresión se dio recientemente con el trabajo de Bürger et al (2000) que presenta una completa solución de la filtración con sedimentación y expresión mediante simulación numérica. Por otra parte, actualmente se está utilizando técnicas novedosas para resolver problemas complejos en flujo en medios porosos. Con métodos como los autómatas celulares es posible establecer ecuaciones constitutivas que predicen la permeabilidad variable de un medio cuando está sometido a esfuerzos que cambian su porosidad. Esta línea de trabajo es muy interesante y novedosa.

8.7.5 Modelación de la alimentación En la sección sobre operación de espesadores hemos mencionado la importancia que tiene la manera de alimentar un espesador con relación a la auto dilución, a la

214


mezcla del floculante y a la dispersión del sólido que trae el flujo de alimentación. El diseño del feedwell tiene una importancia fundamental en este sentido. El flujo de alimentación a un espesador, que siempre entra en un ambiente de una concentración de sólidos diferente, puede ser considerado como una corriente de densidad que penetra en un fluido de otra densidad y debe dispersarse. Estudios semejantes son numerosos en el campo de la hidráulica, especialmente relacionados con la desembocadura de ríos en el mar o de poluyentes en una masa de agua. Esta analogía no ha sido estudiada en los espesadores y aparece como muy atractivo realizarla. Para ello es posible utilizar técnicas de CFD (ver capítulos 12 y 14 de este Manual).

8.7.6 Espesadores de alta capacidad y alta densidad Los espesadores de alta capacidad tuvieron un auge hace algunos años pero parece que, en general, no cumplieron con las expectativas puesta en ellos. Se esperaba un aumento de capacidad de 5 a 10 veces la de un espesador convencional, lo que no lograron. Por otra parte, estos espesadores han demostrado ser muy difícil de controlar, por lo que en muchas faenas han sido discontinuados. Con el tiempo, se ha podido demostrar que lo que se creía era efecto de este tipo de espesadores en el aumento de capacidad se debía a una mejora sustancial en la forma de adición y en la cantidad de floculante agregado. Es así como una del empresas que diseñó e impulso originalmente los espesadores de alta capacidad, ahora denomina con este nombre a espesadores convencionales que proveen una muy buena acción de floculantes y auto dilución que han mejorado la capacidad de estos tipos tradicionales de espesadores. Aquí llamaremos espesadores de alta capacidad, como se vio en la sección de quipos del capítulo 8, a aquellos equipos que son alimentados por debajo de la capa de sedimento y que tienen por característica la ausencia de una zona de sedimentación. Existe solamente un trabajo publicado sobre teoría de espesamiento de alta capacidad (Concha, Bustos y Barrientos 1995) y es un trabajo preliminar. Es necesario estudiar con más detalle este tipo de espesadores y establecer sus ventajas y desventajas en forma cuantitativa. Especialmente es necesario estudiar la dinámica del proceso ya que, en este caso, el control automático es fundamental. Los espesadores de alta densidad fueron introducidos en la industria del aluminio para obtener descargas muy concentradas en forma de pastas. Este ejemplo ha interesado a la industria del cobre y aparece como muy atractivo estudiar el comportamiento de estos espesadores para concentrados y relaves con el fin de recuperar el máximo de agua en las plantas de procesamiento de minerales. Este requerimiento se hace cada día más necesario. Los espesadores de alta densidad son espesadores con alimentación convencional, esto es en un feedwell que descarga en un medio más diluido que la alimentación, pero que tienen una altura mucho mayor que los espesadores convencionales. La altura de un espesador grande convencional es de alrededor de 7 metros, mientras que la de un espesador de alta densidad puede ir de 9 a 15 metros. Esta altura, junto con un menor diámetro, un cono más pronunciado para


215

favorecer la descarga y rastras especialmente diseñadas, permite tener un nivel más alto de sedimento y, por lo tanto, llegar a una mayor concentración de sólidos en la descarga. Las condiciones de operación y la dinámica de estos equipos no han sido estudiados para la industria del cobre y es un tema relevante en la actualidad.

8.7.7 Optimización de los ciclos de filtración En general, la mayoría de las plantas de procesamiento de minerales realizan optimización de sus procesos y, entre ellos, del proceso de filtración. También existen empresas proveedoras de equipos que realizan este tipo de trabajo en forma muy eficiente, tales como los auspiciadores de este proyecto y empresas especialistas en el tema como Bokela y Cettem. Sin embargo, existe una necesidad de aplicar principios más rigurosos, tales como los expuestos en este Manual, y técnicas más modernas de optimización. Para ello es necesario desarrollar un conjunto de actividades y acciones que permitan demostrar la bondad de este nuevo enfoque. 8.7.8 Optimización de espesadores La experiencia ha demostrado que hay numerosos espesadores en muchas empresas mineras nacionales que no operan en forma eficiente y que requieren, para mejorar su eficiencia, de un estudio de optimización. Este trabajo requiere del estudio de los parámetros de espesamiento de la pulpa, de la cuantificación de reactivos floculante y su adición, de la forma de alimentación y dispersión del floculante, de la autodilución, de la forma de la descarga, de la reología del sedimento y del funcionamiento de las rastras, de la medición de variables como concentración de descarga, de presión del fondo, de nivel de sedimento, de turbidez del agua. Con esta información se puede cuantificar la respuesta dinámica del proceso a perturbaciones y se puede establecer estrategias de control metalúrgico y control automático.

8.7.9 Recuperación de agua en sistemas de separación sólido-líquido Cada día se hace más necesaria la recuperación de agua en los procesos de concentración de minerales y esta acción se torna crítica en aquellas grandes empresas en que se pretende aumentar en forma significativa la producción y donde el suministro de agua es limitado. Los procesos de separación sólido-líquido que se utilizan actualmente para estos fines tienen sus limitaciones, en algunos casos económicas, como en la filtración que se hace muy costosa para materiales como relaves, o en otros limitaciones técnicas, como en la descarga de espesadores cuyo material debe ser transportado por tuberías o canaletas a su destino, sea este los filtros de concentrado o el depósito de relaves. Aparece como muy pertinente hoy día un estudio para mejorar la recuperación de agua de las plantas re-diseñando circuitos de separación sólido-líquido, cambiando los sistema de transporte y utilizando equipos diferentes a los actuales, como por ejemplo los espesadores de alta densidad.

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8.7.10 Dinámica y control de proceso La mayor parte de los espesadores tienen, desde su diseño y construcción, asociados instrumentos de medición de algunas variables y sistemas de control. En la sección 8.2 de este Manual se ha discutido en detalle este hecho. Sin embargo, estos sistemas de control no están asociados, o sus puntos de control regulados, por la dinámica del proceso. En general ellos son ajustados empíricamente. Hace falta estudios de la dinámica de espesamiento, de la característica de cada material, del comportamiento de los diversos esquemas de control y de la introducción de nuevos instrumentos para la medición de variables importantes que actualmente, por falta de medición, deben ser consideradas perturbaciones.

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CAPÍTULO 9 FILTRACIÓN 9.1

DEFINICIÓN, EQUIPOS Y OPERACIÓN

Filtración es el proceso de separación sólido-fluido mediante el cual el sólido es separado del fluido en una suspensión haciéndolo pasar a través de un lecho poroso, denominado medio filtrante. El lecho retiene las partículas mientras que el fluido pasa a través del medio filtrante y recibe el nombre de filtrado. Para establecer el flujo a través del medio filtrante es necesario aplicar un gradiente de presión como fuerza impulsora. Existen varias formas para aplicar este gradiente de presión, por ejemplo: 1) la gravedad, 2) el vacío, 3) una presión, 4) un vacío y una presión combinados, 5) una fuerza centrífuga y 6) un gradiente de saturación. La mayor parte de estas formas de aplicar presión da lugar a diferentes tipos de equipos de filtración, los que se reciben el nombre de filtros. Se puede distinguir tres clases de filtración: a) la filtración con formación de queque, b) la filtración sin formación de queque y c) la filtración profunda.

9.1.1 Filtración con formación de queque La filtración con formación de queque se caracteriza porque el sólido de la suspensión es retenido en la superficie del medio filtrante como una capa denominada queque. Esto se produce naturalmente cuando los poros del medio filtrante tienen un tamaño menor que las partículas. Cuando este no es el caso, es necesario cubrir el medio filtrante con una delgada capa de material fibroso, denominado ayuda de filtración, que bloquea el paso de las partículas a través del medio filtrante. En este tipo de filtración, el flujo de suspensión es perpendicular a la superficie del medio filtrante. La filtración con formación de queque se utiliza para suspensiones que poseen más de un 10% de sólidos en volumen y es, sin duda, el proceso de filtración más importante en la industria minera y en la industria de procesos en general. 9.1.2 Filtración sin formación de queque Cuando el flujo de la suspensión es paralelo a la superficie del medio filtrante, éste aún retiene las partículas sólidas. Sin embargo, el flujo de la suspensión produce una tasa de cizalle muy alto, la que previene la formación de una capa de sólidos retornándolos a la suspensión. En esta forma el líquido atraviesa el medio filtrante 222

Capítulo 9 Filtración

223

mientras que el sólido permanece en la suspensión aumentando su concentración con el tiempo. Este tipo de filtración es útil cuando se desea concentrar una suspensión sin que sea necesario un producto de baja humedad. Aún cuando la filtración sin formación de queque puede ser utilizada en la separación sólido-líquido, es principalmente utilizada en la filtración de gases polvorientos. PULPA

p>p0

QUEQUE MEDIO FILTRANTE

FILTRADO

p=p0

Fig. 9.1 Filtración con formación de queque

FILTRADO

CONCENTRADO

ALIMENTACION

FILTRADO Fig. 9.2 Filtración sin formación de queque

9.1.3 Filtración profunda. Para la filtración de partículas muy finas en suspensiones diluidas se utiliza comúnmente filtros que tienen medios filtrantes de poros mayores que las partículas pero de grandes espesores. Las partículas penetran en el interior del medio filtrante y son capturadas por las fibras o partículas que constituyen el medio filtrante. Este tipo de filtro pierde su capacidad de filtración después de un cierto tiempo y es necesario limpiar el medio filtrante eliminando las partículas desde su interior, o sustituir el filtro

224


por uno nuevo. Dos ejemplos de filtración profunda son los filtros de arena para piscinas y los filtros de aire en automóviles. SUSPENSIÓN Medio Filtrante

FILTRADO Fig. 9.3 Filtración profunda

Las condiciones en que se realiza una filtración depende de muchos factores, entre los cuales destacan:  Las propiedades del fluido, tales como su densidad, viscosidad y corrosividad.  La naturaleza del sólido, tal como su tamaño, forma y distribución de tamaño.  Las propiedades de la suspensión, tales como su concentración y compresibilidad.  La cantidad de material a tratar.  El valor del material y si el material valioso es el sólido, el fluido, o ambos.  Si es necesario lavar el queque.  Si es importante o no la contaminación del producto.

9.1.4 Variables de Operación Las principales variables en un proceso de filtración pueden ser separadas en: variables de entrada, variables de salida, parámetros, perturbaciones y variables controlables. El esquema indicado en la figura 9.30.

Capítulo 9 Filtración Granulometría del sólido

225

PERTURBACIONES

DISEÑO

S P

Distribución de tamaño QF (t)

ENTRADA S

 F (t)

QP (t)

VARIABLES

SALIDA S

OPERACIÓN

VARIABLES DE CONTROL

(1- P) (t))

PARAMETROS

t1 ,t2 , t3 Agitación

, K(), (e), f,  f ,  P  P

Fig. 9.4 Variables en filtración.

Variables de entrada

: Flujo QF(t) y concentración F(t).de entrada de suspensión,

Variables de salida

: Flujo de descarga QP(t) y humedad (1-P)(t).del queque,

Variables de diseño

: Área de filtración S y gradiente de presión P,

Variables de control

: Tiempo de filtración tf, de lavado tl y de secado ts, magnitud de la agitación.

Parámetros

: Porosidad , permeabilidad k() y compresibilidad e del queque, densidad f y viscosidad f del filtrado, densidad P y forma P de las partículas

Perturbaciones

: Granulometría del sólido.

La mayoría de los equipos de filtración, sean continuos o discontinuos, trabajan en ciclos de formación del queque, lavado, secado y descarga:  Formación del queque: La magnitud de material depositado en el medio filtrante depende del gradiente de presión, de la concentración de la suspensión y del tiempo de succión. En este ciclo hay un flujo continuo de filtrado a través del medio filtrante y del queque.  Lavado del queque: La necesidad de lavar el queque depende del objetivo perseguido por el proceso de filtración. El lavado se efectúa para eliminar impurezas del queque o para recuperar líquidos valiosos. El lavado del queque

226

Manual de Filtración & Separación implica calcular la cantidad mínima de agua necesaria para desplazar el líquido de los poros y el tiempo necesario.  Secado del queque: Secado del queque es aquella etapa en que el agua retenida en los poros del queque es desplazada soplando aire o succionado aire de la atmósfera. Para controlar esta etapa es necesario conocer la cantidad de agua retenida en el queque. El criterio para seleccionar la humedad residual del queque es económico, cuando no es una restricción del equipo.  Descarga del queque: El desprendimiento del queque y su descarga es de gran importancia para una operación eficiente. En el caso de filtración a vacío la descarga es muy simple y consiste en raspar las telas y eliminar el producto por gravedad. En el caso de filtración a presión, o filtración hiperbárica, la descarga se complica por la necesidad de mantener la presión en la cámara, de modo que es necesario tener válvulas que permitan presurizar y despresurizar la zona de descarga en ciclos controlados.

9.2

Equipos para la filtración

Los equipos que utilizan presión en vez de vacío, deben usar mecanismos mucho más complicados, especialmente para la alimentación y la descarga. Esta ventaja de los filtros de vacío los ha hecho tradicionalmente muy populares en la industria minera y en la industria de procesos en general. La principal desventaja de los filtros a vacío es la obvia limitación en el máximo gradiente de presión disponible para el proceso, el que depende de la presión atmosférica local. Como la mayoría de las industrias mineras se encuentran situadas en montañas a gran altitud, algunas a más de 4.000 metros de altura, el gradiente de presión disponible es muy pequeño. Esta limitación y los grandes y recientes avances tecnológicos en mecanismos y sistemas de control, han introducido los filtros a presión y los han transformado en un producto preferido en la industria minera en la actualidad. Una alternativa interesante es la combinación de ambos tipos de filtros, esto es, los filtros de vacío y los de presión. Si un típico filtro de vacío se introduce en una cámara presurizada, se pude incrementar el gradiente de presión a los valores considerados óptimos para la filtración. Estos filtros se denominan filtros hiperbáricos y combinan la sencillez de construcción y operación de un filtro de vacío con la ventaja de mayores presiones de los filtros a presión.

9.2.1 Filtros a vacío Hay cuatro tipos de filtros a vacío: el filtro de tambor, el filtro de discos, el filtro de bandeja y el filtro de banda horizontal. Mientras los tres primeros son capaces de producir queques con humedades de hasta 12 a 18% el filtro de bandas logra llegar a


227

humedades menores, del orden de 8 a 10%. A continuación describiremos brevemente cada uno de estos equipos.

Filtros de tambor El filtro de tambor consiste en un tambor rotatorio con su parte inferior sumergida en la suspensión. La superficie del tambor está cubierta por un medio filtrante denominado tela filtrante. La suspensión es succionada desde el interior del tambor, donde se ha generado un vacío. Mientras el filtrado pasa al interior del tambor y es evacuado a través de tuberías apropiadas, el sólido es retenido en la superficie cilíndrica formando un queque. A medida que el tambor rota, las secciones de superficie que estaban sumergidas en la suspensión emergen de ésta, haciendo que aire sea succionado debido al vacío interior, lo que seca al queque. Durante el giro es posible lavar el queque rociando agua en su superficie y permitiendo que se seque de la misma forma anterior. Una vez completado un giro, y antes de entrar nuevamente en la suspensión, un mecanismo raspa la superficie descargando el queque en una tolva. A continuación se inicia un nuevo ciclo de filtrado-secado-lavado-secado-descarga.

Fig. 9.5 Filtro de tambor.

Filtros de discos El filtro de discos consiste en un eje central que soporta un número determinado de discos, cada uno de los cuales está conectado a un equipo de vacío. Los discos tienen su parte inferior sumergida en la suspensión, de manera similar al caso del filtro de tambor. Cada disco está cubierto de una tela filtrante y, al igual que en el filtro de tambor, trabaja en ciclos de filtrado-secado-lavado-secado y descarga a medida que el sistema de discos va girando. En los filtros de disco el lavado es más difícil de realizar. La ventaja de este equipo en comparación al filtro de tambor, es su gran superficie por unidad de área de piso ocupada, ya que cada disco permite filtrar por ambas caras y se puede acomodar un número bastante grande de discos en un solo equipo. Otra ventaja es la forma modular por sectores en que están construidos los discos, lo que permite mayor facilidad y flexibilidad en el cambio de telas.

228


Vista del filtro

Detalle de un sector de un disco

Fig. 9.6 Filtro de discos.

Una variante de estos filtros de discos, son los filtros cerámicos. Los filtros cerámicos en apariencia y funcionamiento son muy similares a los filtros de discos convencionales. La diferencia estriba en que los sectores que componen los discos son placas de un material cerámico micro poroso como elemento filtrante, basado en óxido de aluminio.

Fig. 9.7 Filtro de discos cerámicos.


229

Existen dos tipos de placas cerámicas disponibles. El primer material posee poros de 1,5 micrones con un punto de capilaridad de 1,6 bar y el segundo posee poros de 2,0 micrones con un punto de capilaridad de 1,2 bar. Al sumergirse los discos dentro de la tina con pulpa, tienen una acción capilar iniciando el proceso de desaguado sin fuerza externa.

Fig. 9.8 Placa de filtro cerámico.

Los sólidos contenidos en la pulpa se acumulan en la superficie del disco y el desaguado continúa mientras queda líquido presente. La filtración capilar es un método de filtración que combina las ventajas del filtro convencional de vacío por su construcción simple similar y el efecto capilar. Los filtros cerámicos son utilizados para la filtración de concentrados de cobre y minerales industriales.

Filtros de bandeja El filtro de bandeja consiste en una serie de bandejas abiertas ubicadas horizontalmente en un plano que rota alrededor de un eje central vertical. Las bandejas están formadas por numerosos sectores en forma de trapecio inclinados hacia el eje central que conectan con una válvula común bajo el centro del equipo. El queque puede ser lavado mediante chorros de líquido una vez terminada la filtración. Es posible realizar un lavado co-currente. La descarga del queque se lleva a cabo mediante un tornillo espiral que lo arrastra hacia el centro, o por volteo de las bandejas. El filtro se adapta muy bien a materiales granulares a grandes concentraciones. La principal desventaja es que las bandejas se utilizan solamente por un lado, por lo que el equipo requiere un espacio de suelo considerable por unidad de producción.

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Fig. 9.9 Filtro de bandeja horizontal.

Filtros de banda horizontal El filtro de banda horizontal semeja una correa transportadora, donde la banda está formada por una tela filtrante. La mayor ventaja de este filtro es la flexibilidad en la selección de la longitud de los ciclos de filtración-lavado-secado. En la sección II tendremos ocasión de analizar este filtro en mayor detalle.

Fig.9.10 Filtro de banda horizontal.

9.2.2 Equipos de filtración a presión La filtración en equipos tradicionales, tales como filtros rotatorios y filtros de banda, están siendo menos aceptables en la industria minera y a menudo son considerados inadecuados debido a su alto contenido de humedad, obligando a hacer


231

uso de secadores antes de obtener un producto final. Es así como los filtros de presión son considerados de una tecnología largamente reconocida como un método confiable y eficiente para lograr más bajas humedades y mejores rendimientos demostrando ser una solución eficaz para este problema. Los filtros a presión son equipos inherentemente discontinuos. Al igual que los filtros rotatorios trabajan en ciclos, pero al contrario de estos, deben detenerse para cargar la suspensión y para descargar el queque seco. En La filtración a presión podemos identificar tres tipos de equipos: filtros prensa de placas verticales, filtros prensa de placas horizontales y filtro prensa de disco.

Filtro prensa de placas verticales En los filtros de presión de placas verticales la separación toma lugar en cámaras formadas entre las superficies de drenaje de placas filtrantes moldeadas que se mantienen unidas entre sí. Estas placas poseen orificios para la alimentación de la pulpa y el drenaje líquido filtrado, las placas están fijas entre sí mediante una presión hidráulica, están montadas verticalmente sobre y entre dos barras laterales o suspendidas de vigas. Estas barras o vigas están conectadas en un extremo a un cabezal fijo o alimentador, mientras que por el otro extremo están conectados a un cabezal de cierre.

Fig. 9.11 Filtro de placas verticales.

Las placas se comprimen entre sí mediante un arreglo de cierre de un pistón hidráulico en cuyo extremo se encuentra el cabezal móvil que empuja ordenadamente las placas contra el cabezal fijo, formando así una sola unidad filtrante compuesta por el grupo de placas de filtración.

232


Fig. 9.12 Esquema de un filtro-prensa.

El mecanismo de acción de un filtro-prensa se puede describir de la siguiente forma: El cabezal (G) y el soporte terminal (H) son sostenidos por rieles de las barras de soporte (I) diseñados especialmente (ver figura 9.9). El pistón hidráulico (D) empuja las placas de acero (E) contra las placas de polietileno (F) cerrando la prensa La pulpa es bombeada a las cámaras (A) rodeadas por el medio filtrante (B). Al bombear, la presión se incrementa forzando al líquido a atravesar la tela, haciendo que los sólidos se acumulen y formen un queque (C). El filtrado pasa a través de las telas y es dirigido hacia los canales de las placas y puertos de drenado (J) del cabezal para la descarga. Este filtrado típicamente contendrá menos de 15 ppm (mg/l) de sólidos en suspensión. La torta es fácilmente removida haciendo retroceder el pistón neumático, relajando la presión y separando cada una de las placas, para permitir que el queque compactado caiga desde la cámara. La cámara que contiene el queque, está formada de una de las dos formas siguientes, por dos placas ahuecadas que conforman una cámara o por dos placas niveladas en el medio con un marco para el queque (similar a un marco de fotografía). La cara de ambos lados de las placas de filtración poseen una superficie de drenaje en forma de ranuras o pepitas para permitir que el líquido filtrado drene por detrás de las telas filtrantes, permitiendo su evacuación a través de ojales situados en las esquinas inferiores de las cámaras. Sobre cada una de las dos superficies de la placas están instaladas telas de filtración. Estas telas están unidas al ojal alimentador fijadas por pernos o difusores impermeables.


233

LAVADOR DE TELAS

SOPORTE DE TELAS

CABEZA MOVIBLE CONDUCTOR DE CABEZA MÓVIL CONDUCTOR DEL SACUDIDOR DE TELA CONTROL HIDRÁULICO

SACUDIDOR MECÁNICO DE TELAS ENLACE DE PLACAS

PLACAS

CILINDROS DE CERRADO HIDRAULICO CANAL DE DESAGÜE

CONDUCTOR HIDRÁULICO

Fig. 9.13 Esquema de un filtro de placas verticales.

Las etapas consecutivas del proceso de filtración no comprenden la utilización de compresión mecánica de la pulpa o queque en las cámaras filtrantes. El proceso cíclico de la filtración por presión en los filtros de placas verticales consta de las siguientes fases: 

Cerrado: Las placas son comprimidas a alta presión mediante un pistón hidráulico para evitar fuga de material por entre las placas y sellar las cámaras filtrantes.



Alimentación: La alimentación de la pulpa se realiza por el ojal alimentador, o núcleo del cabezal fijo, donde la pulpa de concentrado es bombeada a lo largo de toda la longitud del filtro hasta llenar las cámaras de filtración. Como la pulpa fluye bajo presión, las partículas sólidas comienzan a distribuirse entre ambas caras de la tela filtrante formando una capa inicial de torta de filtro o pre-revestimiento. Esta capa de pre-revestimiento se transforma en el medio real de filtración y, a medida que la filtración continúa, el espesor de ésta aumenta gradualmente hasta que los queques de ambos lados del filtro se tocan o se unen. El bombeo continúa obteniendo una compresión del queque formado, el que se detiene una vez que el flujo de líquido es prácticamente nulo. Es en este punto en que la bomba alimentadora se detiene.



Limpieza: La limpieza del residuo de pulpa que queda retenido en el interior del núcleo se realiza mediante agua a presión en contracorriente. El agua que queda retenida en el núcleo se elimina con aire comprimido. Esta etapa dura alrededor de 45 segundos.



Soplado: Aire a alta presión es introducido a las cámaras lo que genera un desplazamiento de la humedad retenida en los poros del queque.

234


ALIMENTACIÓN

DESCARGA DE FILTRADO Fig. 9.14 Etapa de alimentación.

DESCARGA DE FLUIDO DESPLAZADO

AIRE DE SOPLADO

Fig. 9.15 Etapa de soplado.



Descarga: Una vez terminadas las etapas de filtración y compresión, se abre las compuertas de la tolva receptora del queque en la parte inferior del filtro. Las placas del filtro se separan por retracción del pistón al accionar de un cilindro hidráulico. El queque cae sobre una correa transportadora por simple gravedad.



Lavado: Antes de comenzar un nuevo ciclo, las compuertas de la tolva receptora del queque, son automáticamente cerradas para realizar el lavado de telas con agua y así eliminar las partículas de concentrado adheridas y mantener limpias las superficies de las placas y telas. Así se evita la posible colmatación o taponamiento de los poros de las telas y se reduce el desgaste por abrasión.


235

PLACAS TELAS FILTRANTES QUEQUE COMPUERTAS DE DESCARGA

Fig. 9.16 Etapa de descarga del queque.

La figura 9.14 muestra la fotografía de un filtro prensa de placas verticales.

Fig. 9.17 Filtro prensa de placas verticales.

Filtro prensa de placas horizontales Recientemente se ha desarrollado un tipo de filtro a presión semi-continuo que ha encontrado un mercado importante en las empresas mineras. Este sofisticado equipo combina las dos características más buscadas por la industria minera, una baja humedad y gran capacidad. La flexibilidad en la capacidad también es importante ya que los hace convenientes para empresas mineras grandes y pequeñas.

236


Este tipo de filtro prensa consiste básicamente en una cámara filtrante horizontal situado dentro de un marco de estructura principal. Por la forma de su diseño, permite la incorporación de cámaras adicionales montadas unas sobre otras, permitiendo incrementar el área de filtración sin generar un aumento en el área de piso de la instalación. Cada una de estas cámaras de filtración posee sellos inflables en ambos extremos, los que se dilatan durante la operación para sellar la cámara. Las cámaras se encuentran fijas a la estructura y no poseen movimiento durante la operación de filtrado. Cada cámara posee una correa filtrante montada sobre un rodillo impulsor en cada extremo, operando independientemente de las otras correas que posee el equipo. Cada rodillo posee un motor hidráulico que acciona la correa durante la operación de descarga del queque. En la parte superior de cada cámara se encuentra instalado un diafragma de goma flexible que es utilizado para comprimir la suspensión y el queque, siendo éste el encargado de formar y reducir la humedad del queque.

Fig. 9.18 Filtro prensa de placas horizontales.

La secuencia operacional para la filtración por presión en placas horizontales, es como sigue: Cerrado: Se desarrolla un inflado de los sellos de extremos mediante una presurización con agua para evitar fugas de las cámaras del filtro.


237

Fig. 9.19 Cerrado y sellado de las cámaras.



Alimentación: La pulpa es bombeada a presión hacia la cámara del filtro a una determinada presión. Una vez llena la cámara, la alimentación se corta. La etapa de alimentación va acompañada de una filtración incipiente, ya que la presión disminuye a medida que las cámaras se van llenando.

Fig. 9.20 Etapa de alimentación.



Limpieza: En forma opcional se limpia el residuo de pulpa que queda retenido: La etapa propiamente tal de en el interior del cabezal principal de alimentación.



Compresión formación del queque comienza con la compresión de la suspensión mediante un diafragma de goma, utilizando una presión de agua. Una vez terminado el período de formación del queque, comienza la expresión que produce una disminución de la porosidad del queque, eliminando una mayor cantidad de líquido. La alta presión permite el uso de tela de tramado denso que incrementa la eficiencia de la filtración.

Fig. 9.21 Etapa de formación de queque y expresión por compresión

238

Manual de Filtración & Separación  Retracción del diafragma: Una vez terminada la expresión con diafragma, se admite aire que es soplado a través del queque saturado con la finalidad de desplazar el líquido allí retenido y ayudar a la retracción del diafragma.

Fig. 9.22 Etapa de soplado del queque.



Lavado del queque: La solución de lavado es alimentada por bombeo dentro de la cámara del filtro formando un volumen parejo sobre el queque. Debido a que la torta yace plana y sin resquebrajaduras, el agua para el lavado se distribuye homogéneamente El lavado de queque es completamente opcional y puede ser utilizada o rechazada mediante una simple reprogramación del PLC.

Fig. 9.23 Etapa de lavado del queque.



Segunda compresión: Se presiona al diafragma nuevamente para forzar la solución de lavado a pasar a través del queque, desplazando el líquido retenido en éste casi por completo. Luego de esto, la misma presurización del diafragma exprime el queque filtrado y lavado para extraer el máximo de solución de lavado de queque.

Fig. 9.24a Etapa de segunda compresión.


239

Fig. 9.24b Etapa de segunda compresión.

 Segunda soplado y retracción del diafragma: Después de la segunda expresión, se sopla el queque con aire comprimido por segunda vez, retrayendo el diafragma y reduciendo la humedad final del queque. Al controlar el tiempo de inyección de aire, es posible regular el porcentaje de humedad final en el queque.

Fig.9.25 Segunda soplado y retracción del diafragma.



Descarga del queque: Los sellos se retraen y se descarga el queque accionando la correa del filtro después que se ha completado la etapa de soplado de aire. La puerta desviadora se abre y permite la entrada del queque al buzón de descarga.

Fig. 9.26 Descarga del queque seco.



Lavado de la correa: Antes de comenzar un nuevo ciclo, se realiza un lavado a la correa y, durante el movimiento de retroceso de ésta, al interior de la

240

Manual de Filtración & Separación cámara con la puerta desviatoria cerrada para evitar que caiga líquido junto con el queque descargado. La correa se detiene regresando a su posición original y el ciclo se repite automáticamente.

La figura 9.27 muestra un ejemplo de filtro prensa de placa horizontal.

Fig. 9.27 Filtro prensa Larox.

Filtro prensa de discos El filtro prensa de disco, consiste en una sola cámara, situada sobre una correa transportadora que, a su ves, es el medio filtrante. Un pistón hidráulico provee la fuerza para producir la filtración. Las etapas de operación del filtro son las siguientes:  Alimentación: Con la cámara sellada, la suspensión es bombeado a su interior, permitiendo el paso del líquido a través del medio filtrante. Éste es recolectado a través del plato fijo inferior. Las partículas sólidas son retenidas por el medio.  Compresión: Cuando ya no es posible la incorporación de más suspensión a la cámara, ésta es comprimida contra el medio con la ayuda de gas o aire comprimido, forzando al líquido a pasar a través del sólido conformando un queque suficientemente seco.  Descarga del queque: Finalmente, el pistón hidráulico, asciende liberando al queque seco el cual es transportado por la correa para su posterior tratamiento, quedando de esta forma disponible para un nuevo proceso.


Cerrado de las cámaras.

Filtración.

241

Alimentación al filtro.

Descarga del queque.

Fig. 9.28 Esquema de detalle en ciclos de un filtro a presión semi-continuo.

Filtro de vela Un tipo de filtro que puede ser clasificado como de filtración sin formación de queque es el filtro de vela. Éste consiste en una serie de tubos de acero perforados revestidos de una tela filtrante, o tubos de material cerámico poroso. La suspensión se bombea por la parte exterior de los tubos y el filtrado se colecta en el interior de los tubos. Estos filtros n0 no utilizados muy frecuentemente en la industria minera, por lo que no daremos detalles de ellos.

242


Fig. 9.29 Filtros de vela a presión.

9.2.3 Filtros hiperbáricos Los filtros de vacío tienen como gradiente de presión limitante 0.8 atmósferas en las condiciones más favorables, esto es, a nivel del mar. Si son utilizados en zonas muy altas este gradiente baja drásticamente. Un desarrollo interesante fue realizado en la Universidad de Karlsruhe en Alemania. En la década del 80 un grupo de investigadores liderados por el Prof. Dr. Werner Stahl estudiaron y desarrollaron un sistema de filtración en el cual introdujeron un filtro de vacío dentro de una cámara de presurizada, aumentando de esta forma el gradiente de presión. En esta forma nació el filtro hiperbárico. El equipo consiste en un filtro a vacío, ya sea de disco, tambor o banda, inmerso en una cámara de presión. Como en todos los filtros a presión, la descarga constituye un problema. Con este tipo de filtros se puede obtener humedades de 8% y menores.

Fig. 9.30 Filtro hiperbárico.

Capítulo 9 Filtración 9.3

243

MEDIOS FILTRANTES

Un medio filtrante puede ser definido como cualquier material permeable sobre el cual, o en el cual, son separados los sólidos del fluido durante el proceso de filtración. Por consiguiente, el principal rol del medio filtrante es provocar una buena separación entre los componentes de una suspensión con el mínimo consumo de energía. En orden a realizar una cuidadosa selección de un medio filtrante se deben tomarse en cuenta muchos factores. Uno de los primeros estudios de distintos medios filtrantes fue realizado por Flood (1966), quien clasificó los medios filtrantes como medios de tipo superficie, en el cual las partículas en suspensión son principalmente retenidas sobre el medio y medios de tipo profundo, en que las partículas penetran en los poros, donde son retenidas. Estos últimos medios se usan principalmente para la clarificación de líquidos. En los últimos 20 años, Purchas y Hardman (Purchas 1981) han realizaron estudios de medios filtrantes y los clasifican según la tabla 9.1. El medio filtrante se caracteriza de acuerdo a diversas propiedades físicas (mecánicas) y químicas. Purchas identifico 20 propiedades divididas en tres categorías. a) Propiedades orientadas a la máquina.

(Tabla 9.2).

b) Propiedades orientadas a la aplicación. (Tabla 9.3). c) Propiedades especificas de filtración. (Tabla 9.4).

9.2.1 Telas Las telas filtrantes más comunes son hechas de material textil, de fibra natural o sintética. Existen tres tipos de medios sintéticos usados en la industria de la filtración, a) Tejido: puede ser de tela cruzada o satín, ya que éste aumenta la resistencia a la tracción, b) No tejido: consiste en ensamblar varias capas de fibras y c) Compósitos: Tabla 9.1. Resumen generalizado de medios filtrantes clasificados de acuerdo a su rigidez (Purchas, 1981) Principales tipos Fabricación sólida

Subdivisiones

Pantallas de alambre . bobinados de alambre. Anillos apilados. Hojas metálicas Perforadas. Tejido de alambre. Medios porosos rígidos Cerámicos Carbón Plásticos Cartuchos Fabricación de laminas Camas aglutinadas. Hilo bobinado

Partícula más pequeña retenida (m) (aprox.) 100 100 5 100 5 <1 10 10 3 2 2

244


(continuación) Principales tipos Hojas plásticas Membranas Medios tejidos Medios no tejidos Medios holgados

Subdivisiones Monofilamentos tejidos Hojas porosas Poliméricas Cerámicas Metálicas Fibras de hilo Monofilamentos Multifilamentos Hojas de filtro Papel (celulosa y vidrio) Polimeros Fibras Polvos

Partícula más pequeña retenida (m) (aprox.) < 0.1 < 0.1 0.2 5 10 <10 10 5y7 10 1 <1

poliuretanos (polímeros micro porosos regulados) que han dado muy buen resultado. Básicamente, las características que se debe tener en cuenta son: 1. Condiciones Térmicas y Químicas: En condiciones térmicas y químicas los polímeros son los medios más adecuado para el medio filtrante. Los más usados son polipropileno(PP), polietileno (PET) y poliamida (PA). 2. Requerimientos en la Filtración: Los principales requerimientos de la filtración son: claridad en el filtrado (es decir una alta eficiencia de retención de partículas finas), rendimiento, contenido de humedad en el queque, efectiva liberación del queque (de fácil desprendimiento), baja resistencia al paso del fluido y alta resistencia a la abrasión. 3. Consideraciones con respecto al equipo: Es importante donde se va a usar el medio filtrante: el tipo de pulpa, volumen del producto, contenido de sólidos requeridos, así como si es filtración a presión o vacío. 4. Costos: El costo del medio, así como su vida útil es de vital importancia. Este ítem puede decidir el tipo de medio a utilizar. Tabla 9.2. Propiedades del medio filtrante orientadas a la máquina (Purchas 1980) Propiedades orientadas a la máquina: relacionadas con las limitaciones del uso de un medio filtrante en un tipo especifico de filtro. Rigidez Resistencia al estiramiento Resistencia al cree Estabilidad en los bordes Resistencia a la abrasión Estabilidad a la vibración Dimensiones compatibles Habilidad para ser fabricados Función de sellado


245

Tabla 9.3. Propiedades específicas de filtración en medios filtrantes (Purchas y Hardman 1980 y 1994) Propiedades específicas de filtración que determinan la capacidad del medio en un proceso especifico de filtración. Partícula más pequeña retenida. Eficiencia de retención.

Importante cuando se requiere una remoción de partículas del 100 %. Se debe tener en mente que el tamaño de las partículas depende de la técnica utilizada para su medición. 

Concentracion de particulas en el filtrado Concentracion de particulas en la suspension a filtrar

Una eficiencia de retención del 100 % corresponde al punto de corte de la tela (cut–off). La eficiencia de retención depende de la forma y tamaño de partículas, estructura del medio, velocidad de alimentación, entre otros. Resistencia al flujo.

La resistencia al flujo depende de la estructura del medio filtrante y es a menudo reportado como la medida de permeabilidad, o resistencia específica, a condiciones especificas de flujo.

Capacidad ensuciamiento.

Cantidad de sólidos (suciedad) retenida en el medio filtrante sin exceder una cierta caída de presión a través del filtro.

Tendencia a obturación

Asociada al material que no es removido del medio usando los procedimientos normales de limpieza, causando un incremento en la resistencia al flujo de filtrado.

Descarga del queque

Facilidad de remoción del queque del medio filtrante

Tabla 9.4. Propiedades orientadas a la aplicación del medio filtrante (Purchas, 1980) Aplicación orientadas a las propiedades del medio filtrante. Compatibilidad del medio filtrante con el ambiente. Estabilidad química y térmica

Datos técnicos entregados por el fabricante.

Estabilidad biológica

Relacionada a la acumulación y crecimiento biológico en la superficie de las telas. Fibras naturales son más propensas a la degradación biológica que las sintéticas.

Estabilidad Dinámica

Derramamiento de fibras y migración de fragmentos de las telas en el filtrado, característica crítica en algunas aplicaciones.

Características absorbentes

Absorción de líquido y posterior hinchamiento durante el proceso de filtración, lo que se traduce en una disminución de la permeabilidad.

246


(continuación) Aplicación orientadas a las propiedades del medio filtrante. Compatibilidad del medio filtrante con el ambiente. Mojabilidad Afecta la presión requerida para iniciar el flujo inicial a través del medio. Pequeñas cantidades de impureza, alteran significativamente esta propiedad. Características de estática

Factor importante para suspensiones de baja conductividad eléctrica. Aditivos antiestáticos son utilizados para reducir este efecto.

Disponibilidad

Corresponde a la disposición del medio filtrante como de las partículas que retuvo después de que se descarte.

Capacidad de reutilización

Muchos medios pueden ser utilizados y re-usados. El planteamiento para lograr estos son diseñados en el ciclo de operación de muchos filtros.

Costo

El costo de un medio filtrante puede variar mucho y tiene que ser evaluado considerando la vida útil del mismo.

Los principales daños que puede sufrir la tela pueden deberse a deformación estructural, estiramiento, fatiga a la flexión y a daños térmicos y químicos. Los primeros son el resultado de un mal diseño y a aspectos operacionales, tirón muy fuerte durante la descarga del queque o tensiones fuertes al inicio del ciclo o de la alta presión de agua usada en el lavado de la tela. Con respecto a los daños químicos (pH y corrosividad) y térmicos, estos son subsanados eligiendo una tela adecuada para el proceso en que va a ser usada. La siguiente tabla muestra las características de distintos materiales. Tabla 8.5. Atributos químicos y térmicos de fibras, Hardman 1994) Resistencia a: Temperatura Ácidos Bases de operación máxima (ºC) Polipropileno 910 95   Polietileno 950 85   Poliester (PBT) 1280 100   Poliester (PET) 1380 100   Poliamida 6.6 1140 110   Poliamida 11 1040 100   Poliamida 12 1020 100   PVDC 1700 85   PVDF 1780 100   PTFE 2100 150+   PPS 1370 150+   PVC 1370 80   PEEK 1300 150+       muy bueno;    bueno;   aceptable;  pobre Tipo Fibra

Densidad (kg/m3)

Agentes oxidantes             

Hidrólisis             


247

Cabe señalar que a la tela se le realiza procesos finales de estabilización que aseguran una estabilidad dimensional y regulación de la permeabilidad. Un ajuste preciso de su permeabilidad se obtiene a través de tratamientos térmicos llamados calendering. Comparaciones entre las permeabilidades de diferentes medios filtrantes pueden ser hechas aplicando la ley de Darcy para datos de flujos versus caída de presión. Un baño y modificación superficial hace que el queque se desprenda sin mayor problema de la superficie. Las principales características técnicas de los medios filtrantes son:               

trama peso/área Permeabilidad al aire Permeabilidad al agua Porosidad Resistencia a la tensión fácil descarga del queque mínima resistencia al flujo mínima humedad del queque máxima vida útil de la tela menor tendencia a la colmatación (obstrucción) espesor de la tela resistencia a la temperatura Resistencia al pH capacidad de suciedad.

En conclusión, podemos ver que existe una infinidad de medios filtrantes dependiendo de la aplicación, por lo que la selección de un medio especifico debe tomar en cuenta muchos factores. Esto hace necesario realizar distintos ensayos de laboratorio para observar el comportamiento del medio filtrante y así poder evaluar su comportamiento dependiendo de la aplicación. Entendiendo el importante rol que juega el medio filtrante en el proceso de filtración, queda claro que una mala elección acarreara resultados perjudiciales para la filtración, traduciéndose en aumentos de costos, pérdidas de tiempo y un proceso ineficiente.

9.4

TEORÍA DE FILTRACIÓN

Dependiendo del tipo de material a filtrar y de la magnitud del gradiente de presión el queque formado durante la filtración puede permanecer rígido o puede comprimirse. En general, los concentrados de cobre y otros metales, especialmente cuando no se utiliza floculante en su espesamiento, son materiales incompresibles. Al contrario, los relaves de flotación son siempre floculados antes de espesar. Por esta razón son materiales compresibles. Por otra parte, cuando estos relaves son filtrados, lo que no ocurre frecuentemente, se utiliza filtración a vacío, por lo que el gradiente de

248


presión aplicado es pequeño y nuevamente el material puede ser considerado incompresible en esas circunstancias. Es así como en la mayoría de los casos de filtración en plantas de procesamiento de minerales se puede considerar al queque de filtración como incompresible y es aplicable la teoría de flujo en un lecho poroso rígido. En caso contrario, es necesario introducir la consolidación o expresión del queque. Consideremos un proceso de filtración con las siguientes restricciones: i)

Las propiedades de la suspensión, del filtrado y del queque son constantes.

ii)

El queque formado es incompresible.

iii) La superficie de filtración es plana. iv) La velocidad de percolación del filtrado a través del queque y del medio filtrante es muy lenta. La suposición ii) permite considerar el queque como un lecho poroso rígido, lo que significa que el sólido contenido en el queque no se mueve. La suposición iii) implica que, en el caso de superficies curvas, como en los tambores rotatorios, el diámetro del tambor debe ser muy grande comparado con el grosor del queque. La suposición iv) permite utilizar la ecuación de Darcy como velocidad de percolación. La filtración, ya sea en filtros continuos o discontinuos, se lleva a cabo en etapas. Por lo menos se distinguen dos etapas fundamentales en el proceso: a) la formación de queque, que incluye el bombeo de la suspensión al filtro y la compresión de la suspensión sobre el medio filtrante (por medio de aire a presión o de un diafragma o émbolo) hasta el momento en que desaparece la suspensión y el queque se encuentra totalmente saturado; b) desaguado del queque, que se lleva a cabo succionando o soplando aire a través del queque y, de esta forma, desplazando el agua por el aire. Filtraciones más sofisticadas incluyen etapas adicionales tales como: c) la expresión, que consiste en presionar el queque ya saturado mediante una membrana o émbolo impermeable eliminando parte del agua por reducción de la porosidad del queque (estruje). Esta etapa solamente es útil en materiales compresibles. Otra etapa es d) el lavado del queque, que permite eliminar materiales indeseables o recuperar materiales valiosos del queque.

9.4.1 Formación del queque. Formalmente, el proceso de filtración queda descrito por las siguientes variables de campo (ver capítulo 3): la porosidad del queque (z,t), la velocidad del filtrado q(z,t) y la presión en exceso a la hidrostática pe(z,t). Estas tres variables constituyen un proceso de filtración simple si cumplen las siguientes ecuaciones (6.25): ( z, t )   0

(9.1)

q (z, t)  q (t)

(9.2)


249 p e  

 q k  0 

(9.3)

donde  0 es constante y q es una función del tiempo solamente. pem pe p0

p2

p1

Filtrado

Suspensión queque

Medio filtrante

z

k

lm

l

Fig. 9.14 Filtración con queque plano, donde

p1  pe  pem  0 y p 2  pem  p0  0 .

Las condiciones de contorno son: p e (  m )  p 0

(9.4)

p e ((t))  p e

(9.5)

donde p e es el valor de la presión en exceso a la hidrostática en la interfaz entre el queque y la suspensión z  (t) , y p0 es el valor en la interfaz entre el filtrado y el medio filtrante z   m Denominaremos proceso de filtración simple a un proceso de filtración con queque incompresible. El término simple se refiere a que, en este caso, las ecuaciones de campo son las más simples que es posible establecer. En la filtración a vacío, el filtro está parcialmente sumergido en la suspensión que es alimentada al estanque del filtro mediante una bomba. Se trata de mantener esta suspensión lo más homogénea posible mediante agitación. Por ello, en este tipo de filtración, el gradiente de presión aplicado es constante y el flujo de filtrado depende de la resistencia ofrecida por el medio filtrante más el queque, que crece en espesor con el tiempo. En el caso de la filtración a presión, la alimentación a filtros se lleva a cabo mediante bombas centrífugas que impulsan la suspensión. Esto lleva a que el caudal que llega el filtro y

250


la presión a la que es sometida la suspensión depende de las características de la bomba. La figura 9.15 muestra curvas características de una bomba centrífuga.

Presión

Flujo

Fig. 9.15 Curvas características de una bomba centrífuga.

Cuando la bomba inicia su acción hay poca resistencia en el filtro por lo que hay una baja presión y un caudal alto y relativamente constante. Más adelante durante el proceso la resistencia va aumentando a medida que crece el queque, por lo que aumenta la presión haciéndose asintótica un determinado valor máximo, mientras que disminuye el caudal según la curva característica. La curva de la figura se puede aproximar por dos rectas, una horizontal y una vertical. Esto significa que se puede inicialmente aproximar la alimentación a filtros y el filtrado, como un proceso a volumen constante de filtrado, seguida de un proceso con presión constante. Por esta razón es costumbre analizar la filtración en estas dos condiciones, presión constante y volumen constante.

a)

Filtración a presión constante

Como indicamos en los párrafos anteriores, durante la fase avanzada de la filtración en equipos en que la suspensión se alimenta al filtro mediante una bomba centrífuga la presión se mantiene relativamente constante. Analicemos este caso. Designemos por p0 la presión en z   m , por pem la presión en z  0 y por p e la presión en z  (t) , con p1  pe  pem  0 y p 2  pem  p0  0 , de modo que: p e  pe  p0  p1  p 2  0

(9.6)


251

Cada una de estas caídas de presión es constante y positiva, por lo que integrando la ecuación (9.3) a través del medio filtrante con q(t)  q(t)k , y q  0 , y p e   dp e dz  k , se obtiene:  p e k   qk k



p0

p em

dp e 



0

p0  pem  p 2 

m

 q(t)dz k

 ( m )q(t) km

m q(t) km

(9.7)

donde km y  m son la permeabilidad y espesor del medio filtrante respectivamente y q(t) es el flujo de filtrado por unidad de área (velocidad espacial o velocidad de precolación). Integrando ahora la ecuación (9.3) a través del queque resulta:



pe

pem

dp e 



pe  p em 

p1 

( t )

0

 q(t)dz k

 (t)q(t) k  0 

 (t)q(t) k  0 

(9.8)

donde k   0  y   t  son la permeabilidad y espesor del queque respectivamente. Reemplazando las ecuaciones (9.7) y (9.8) en el gradiente total de presión a través del queque y del medio filtrante (9.6) resulta:  (t)  p e    m   q(t)  k m k  0  

(9.9)

El caudal de filtrado Q(t) se puede expresar en términos de la velocidad de percolación q y del volumen de filtrado Vf (t) : Q(t)  q(t)S 

dVf (t) dt

(9.10)

donde S es el área de filtración. Reemplazando (9.10) en la ecuación anterior obtenemos:

252

Manual de Filtración & Separación  (t)  dVf (t) p eS    m   k  m k   0   dt

(9.11)

Tiempo de filtración Para llegar a una ecuación práctica que relacione el espesor ( t ) , la masa m s ( t ) del queque producido y el volumen de filtrado obtenido Vf ( t ) con el tiempo de filtración, observemos que el contenido de sólido del queque es igual al contenido de sólido de la suspensión asociado al filtrado producido en el tiempo t. Por lo tanto: Fracción volumétrica de sólidos en la suspensión 0 : 0 

volumen del sólido Volumen de suspensión



volumen delsólido Volumen de líquido + volumen del sólido

El volumen de líquido es igual al volumen de filtrado producido mas el líquido retenido en el queque. Entonces, la concentración 0 será: 0 

m   0 , t  s

 Vf (t)  S(t)0   m  0 , t 

(9.12)

s

Por otra parte, la masa del queque es igual al volumen del queque por la densidad del sólido:

b g b

g

m  0 , t  s 1   0 S

(9.13)

Reemplazando (9.13) en la ecuación anterior y despejando ( t ) o m   0 , t  obtenemos: (t) 

0 Vf (t) 1  0   0 S

m  0 , t  

0 1   0  1  0   0

(9.14)

s Vf (t)

(9.15)

Las expresiones (9.14) y (9.15) dan las relaciones entre grosor del queque, masa de éste y volumen de filtrado. Reemplacemos ahora la expresión (9.14) en la ecuación (9.11) para dar: p eS  

F GH k

m m



I JK

0 dVf Vf ( t ) S(1   0   0 )k  0 dt

b g

(9.16)


253

La única variable en esta expresión es el volumen de filtrado. Integrando entre 0 y t y entre 0 y Vf, resulta: Sp e d   0



t



Vf

0

m d  km



Vf

0

0 1 d 2S (1  0   0 )k  0 

Sp e 0 1  t  m Vf  Vf2  km 2S (1  0   0 )k   0 

(9.17)

Espesor del queque Reemplacemos Vf de (9.14) en (9.17) para dar, después de algunos arreglos:  2  2k   0 

k  0  0 m pe t0 2 km  1  0  0 

(9.18)

Cuya solución es: 12 2    0 2pe m    m   (t)  k  0      t   km    k m  k   0  1  0   0   

(9.19)

b g

Usando las relaciones entre ( t ), Vf ( t ) y m  0 , t en esta última ecuación podemos escribir: 12 2    0 2pe m    m     m  0 , t   sS 1   0  k   0    t   km    k m  k   0  1  0   0   

1  0   0 Vf (t)  Sk   0  0

12 2    0 2pe m    m      t     km    k m  k   0  1  0   0   

(9.20)

(9.21)

Las expresiones (9.19), (9.20) y (9.21) representan el grosor del queque, su masa y el volumen de filtrado obtenido por unidad de tiempo de filtración. Estas expresiones pueden ser simplificadas si se desprecia la resistencia específica del medio filtrante R m   m k m . Las tres expresiones se reducen a:

F 2 I F 1     IJ ckb gh V ( t )  SG J G H K H  K 12

12

f

0

0

0

12

0

p1e 2 t1 2

(9.22)

254


F 2I mb , t g   b1   gSG J H K F 2 I F  IJ ( t )  G J G H K H1    K

12

0

s

12

0

p1e 2 t1 2

(9.23)

0

ckb gh

12

0

12

0

0

0

0

12

0

0

12

FG  IJ ckb gh H1    K p1e 2 t1 2

(9.24)

Es importante fijarse que cada uno de estos parámetros, volumen de filtrado, masa del queque y su espesor son directamente proporcionales a la raíz de la presión y a la raíz del tiempo de filtración. Las ecuaciones desarrolladas en la sección anterior son válidas para la filtración en el estado estacionario, esto es una vez que se ha formado el queque. Esto significa que solamente son válidas para el tiempo final de la formación del queque y son perfectamente válidas para el lavado del queque. En el período de formación del queque el flujo de filtrado no es constante. Inicialmente, la filtración es muy rápida cuando hay muy poco sólido depositado en el medio filtrante. A medida que el queque empieza a engrosar el flujo de filtrado disminuye. Cuando la cantidad de sólido que se deposita por unidad de tiempo es pequeña en comparación al espesor del queque, el flujo de filtrado se hace constante. En ese momento las ecuaciones desarrolladas son válidas aún cuando sólido siga depositándose en el queque. 3500

3000

2500

2000

1500

1000 Modelo Da tos experim entales

500

0 0

20

40

60

80

1 00

120

tiem po de fo rmación de que que (s.)

Fig. 9.16 Modelación etapa de formación de queque en la etapa de prensado en un filtro a presión.

En la figura 9.16 se observa que el volumen de filtrado aumenta inicialmente en forma proporcional al tiempo y que más tarde esta proporcionalidad disminuye a t1/2. Este comportamiento se puede demostrar en la siguiente forma. La ecuación de Darcy sigue siendo válida durante todo el período de filtración, por lo que podemos escribir:  (t)  pe    m   q(t) k  m k  0  

(9.25)


255

Como se ha supuesto que el queque es incompresible, su porosidad permanecerá constante durante todo el período de formación por lo tanto, las únicas variables en (9.25) son (t) y q(t) . Recordemos que hemos supuesto que la caída de presión es constante. Inicialmente el espesor del queque es muy pequeño y su resistencia al flujo también pequeña. Es así como el flujo de filtrado es máximo y constante al inicio de la filtración. Supongamos que el espesor del queque es cero, por lo que (9.25) se reduce a: pe  

m q(t) km

Como q es igual a q  1 S   Vf t  , la ecuación anterior se aproxima a: pe  

 m Vf k m St

de donde concluimos que: Vf 

Spe  m t  km

Esto significa que inicialmente el volumen de filtrado es una función lineal del tiempo. La figura 9.16 confirma este resultado. Se observa que durante los primeros 20 segundos de filtración el volumen aumenta en forma proporcional al tiempo para luego disminuir esta proporcionalidad a t1/2. La ecuación clásica de la filtración, (9.21), utilizada para la determinación de parámetros, es válida cuando el queque se ha formado en su mayor parte de modo que el aumento de espesor es despreciable y el flujo de filtrado q se hace constante. La ecuación (9.20) se puede interpretar también como el tiempo necesario para filtrar una masa ms de sólido: 2 1 2  0 ms  m    m    2 pe   t         sS 1  0  k  0  k m   k m    k  0  1  0  0 

(9.26)

Ejemplo 1 (Massarani 1978) Calcular el área necesaria de un filtro prensa para filtrar 10.000 l/h de una suspensión de 5% en peso de carbonato de calcio de densidad igual a 2.6g/cm3. El filtro debe operar a 20°C y 40 psi de presión. Ensayos en el laboratorio con una muestra de la suspensión en un filtro de 500cm2 de área, presión de 40 psi dio un queque de 3.2 cm de espesor y un filtrado. El % en peso de sólidos en el queque es de 60.2. Cálculo de los parámetros de filtración: De (9.17) podemos escribir:

256

Manual de Filtración & Separación 0   m 1 t Vf    Vf Spe  k m 2S (1  0   0 )k   0 

  

La figura que sigue muestra los valores necesarios para calcular Rm y k():

R m  7.1 103  500  (106  40 /14.5) / 0.01  1.06  109 cm 1 0 

5  0.0198 2.6  (100  5)  5

(de la suspensión)

q 

60.2  0.368 2.6  (100  60.2)  60.2

(del queque)

 0  1  0.368  0.632

 1   0.01  14.5 k   0    6    6  10   500  40  10

0.0198   1    10 2     4.12  10 cm 2 500 1 0.0198 0.632        

0.03

0.025

t/Vf

0.02

0.015

0.01

t/Vf = 1E-06Vf + 0.0071 2

R = 0.9977 0.005

0 0

5000

10000

15000

20000

Vf

Cálculo de las permeabilidades del queque y medio filtrante

Cálculo del área de filtración De la ecuación (9.25) se puede calcular el área en función del flujo volumétrico de filtrado a tratar.


257  (t)  Q S   m   k  m k   0   p e

 103   2777 cm3 s Q  10000   3  3.6 10     2777  14.5  2 S  0.01  1.06  109  3.2 4.12  109      88842 cm 6 40 10   

S  8.88 m 2

b)

Filtración a volumen constante

La filtración a volumen constante se lleva a cabo en las etapas iniciales de equipos en que la pulpa es impulsada al filtro por una bomba centrífuga o durante la operación con bombas de desplazamiento positivo.. En este caso el flujo volumétrico de filtrado es constante. La ecuación (9.9) sigue siendo válida, ahora con pe como variable y q constante:  (t)  p e (t)    m   q k  m k  0  

  Q pe (t)S    m    k m k( 0 )  S donde Q es el flujo volumétrico constante de filtrado. De esta última ecuación se puede despejar el valor del espesor del queque: (t) 

Sk( 0 )  k( ) pe (t)  m 0 Q km

m s (t) 

Ss 1   0  k( 0 ) Q

pe (t) 

(9.27)  m s 1   0  k( 0 ) km

(9.28)

Por otra parte el valor del flujo de filtrado se obtiene de datos de la bomba.

Ejemplo 2 (Wakeman y Tarleton 1999) Se realizó una experiencia en el laboratorio con un filtro de 45 cm2 de área a 70 kPa de presión. La razón de pesos del queque húmedo y seco fue de 1.34. Las densidades del sólido, filtrado y pulpa de alimentación son respectivamente: s  2640 kg m3 , f  1000 kg m3 y o  132 kg m3 y la viscosidad del filtrado es

258


  0.01 poises . La producción de filtrado en el tiempo se muestra en la tabla que sigue. Tiempo t en s

Volumen en cm3

Tiempo t en s

Volumen en cm3

0

0

457

285

170

141

527

320

275

200

589

341

340

230

660

370

390

252

Calcule el tiempo necesario para obtener un espesor de queque de 4.5 cm Fracción volumétrica de la alimentación: o 

o  f 1320  1000   0.195 s  f 2640  1000   4.5 cm

Espesor del queque deseado:

Existe una relación directa entre la masa de sólido depositada en el queque, la concentración de la suspensión, la porosidad del queque y el volumen de filtrado. De la ecuación (9.14) podemos escribir: 0 (t) 1  Vf (t) 1  0   0 S

Por lo tanto

(t) 0.195 1   0.01307 Vf (t) 1  0.195  0.473 202.5

de donde se puede construir la tabla: t s 0

V cm3 0

l cm 0

170 275

141 200

1.8 2.6

340

230

3.0

390

252

3.3

457

285

3.7

527 589

320 341

4.2 4.5

660

370

4.8


259

El espesor del queque de 4.5 cm se obtiene en 589 s.

9.4.2 Secado o soplado del queque Durante el período de formación del queque se elimina la mayor parte del líquido de la suspensión. Finalizada esta etapa, que se caracteriza porque la superficie del queque se ve seca, los poros de éste están llenos de líquido, esto es, están saturados. Este líquido solamente se puede eliminar utilizando secado o soplado y mediante la expresión, o con la combinación de estos métodos. En la filtración a vacío la etapa de secado consiste en la succión de aire a través del queque para desplazar el líquido, mientras que en la filtración a presión el secado se produce mediante el soplado de aire a través del queque, lo que recibe el nombre de soplado. La expresión es un procedimiento totalmente diferente, en la que se aplica una presión sobre el queque mediante una superficie impermeable. Aunque el queque puede ser considerado incompresible en la etapa de formación, se comprime bajo la alta presión ejercida por esta superficie, exprimiendo líquido desde su interior. El fenómeno es similar al de estrujar de una esponja saturada de agua, y su mecanismo es simplemente la reducción de volumen de los poros por la compresión. Este tipo de mecanismo se analizará por separado. Durante la etapa de secado o soplado en una filtración, escurren simultáneamente dos fluidos a través del queque, el líquido y el aire. En general el primero moja al sólido. El aire desplaza al líquido pero deja una película de líquido adyacente al sólido, retenida por fuerzas capilares, que impide el contacto de éste con el aire. Es así como el aire fluye por los espacios vacíos encontrando un medio poroso de propiedades diferentes al del medio poroso seco. El líquido modifica el volumen disponible y la forma de los poros por los que circula el aire. Se denomina saturación s la fracción del volumen de poros de un queque ocupada por el líquido. Esto significa que la saturación varía entre 0s1. Si s  0 , el queque está seco y si s  1 , el queque está lleno de líquido o saturado. En el cálculo del flujo de aire a través de un queque húmedo, se utiliza la teoría de flujo bifásico en medios porosos, considerando una permeabilidad modificada para cada fluido que pasa por el queque. Para el escurrimiento de cada fluido se utiliza una corrección para la permeabilidad k() basada en la saturación. Se denomina permeabilidad relativa del fluido al cuociente entre el flujo de fluido en un queque nosaturado y el flujo del mismo fluido en un queque saturado con el mismo fluido bajo el mismo gradiente de presión:

260


k  0s  p e  z k  0 ,s  k   0 ,s   q  (0 ,s) q  ( 0 ,s  1)   k   0  pe k  0    z

k  0s  pg g z k  0 ,s   k g   0 ,s   q g ( 0 ,s) q g ( 0 ,s  0)  k  0  pg k  0  g z

(9.29)

(9.30)

De esta forma se puede utilizar la ecuación de Darcy para el flujo en queque nosaturado usando los parámetros del caso saturado. Para el escurrimiento del líquido y gas se tiene:

q (s)  

q g (s)  

k    0 ,s  k   0  

k g   0 ,s  k   0  g

p e

(9.31)

p g

(9.32)

La permeabilidad relativa debe ser determinada experimentalmente. La figura 9.17 muestra la permeabilidad relativa de un gas y un líquido mojante en un medio poroso. Si se sopla aire por el medio poros, en un comienzo escurrirá solamente líquido y luego escurren líquido y gas en conjunto. Cuando la saturación del líquido es inferior a la saturación residual s  , fluye solamente aire por el queque. El líquido es retenido en el interior del medio poroso por las fuerzas capilares. Para utilizar las curvas de permeabilidad relativa, tales como las mostradas en la figura 9.17, se les debe ajustar función: k i ( 0 ,s)  f i  s,s  

con i  ,a

(9.33)

donde s es la saturación y s es la saturación residual y el índice i se refiere al fluido que escurre.


261

0.6

Permeabilidad relativa kl y ka

0.5 líquido aire 0.4

0.3

0.2

0.1

0.0 0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Saturación

Fig. 9.17 Curvas de permeabilidad relativa para el escurrimiento de agua y aire en un queque de concentrado de cobre.

Tiempo de soplado Consideremos la ecuación de soplado (9.31) integrémosla para obtener:  p e     Rm   q   k( 0 )k  ( 0 ,s) 

(9.34)

Durante el período de soplado, el grosor del queque  permanece constante y es igual a   ms S 1   0  . La cantidad de agua contenida en el queque en cada instante t es S 0s(t) , donde la saturación es inicialmente igual a 1 y disminuye con el tiempo. Entonces, el volumen de filtrado obtenido al tiempo t durante el soplado será Vf (t)  S 0 (1  s(t)) y su derivada q S  dVf dt  S 0 ds dt . Reemplazando en la expresión anterior obtenemos:



t

0

p e d   



s

   R 1

0

m



   d k( 0 )k  ( 0 , ) 

pe  t  R m 1  s   0 k  0 

d

1

 f   ,  s



(9.35)

0

La ecuación (9.35) da el tiempo necesario para llegar a una saturación s bajo un gradiente de presión p e . La integral se puede calcular una vez que se conoce la función k  ( 0 ,s)

262


Flujo de aire Como en filtración a presión, el gradiente de presión es mucho mayor al gradiente de saturación, éste último se puede despreciar (ver sección 6.5.4 de este Manual), de modo que para calcular el flujo de aire necesario para llegar a una saturación s se puede integrar (9.32) directamente para obtener:  p e     Rm   qg  g  k( 0 )k g ( 0 ,s) 

de donde el flujo de aire Qg  Sq g resulta ser:

 Sp e    Qg   Rm       k(0 )f g (0 ,s)   g 

1

(9.36)

donde a y b, n y m son los parámetros que describen la permeabilidad relativa del aire. En estas ecuaciones Rm y S son un parámetros del equipo, s , k  0  y 0 son parámetros característicos del medio poroso, f y  son propiedades del fluido y pe ms y h son parámetros operacionales. La humedad del queque es la razón de masa de agua a masa total expresado en porcentaje, por lo que la relación entre humedad h y saturación s es: h  100

 f  0s f 0s  s 1  0 

y

s

s 1   0 h f 0 100  h

(9.37)

Una vez integrada la ecuación (9.36), podemos reemplazar la saturación por la humedad y disponer de una ecuación del tiempo de soplado necesario para llegar a una humedad determinada.

9.5

PARÁMETROS DE FILTRACIÓN Y SU MEDICIÓN

En la figura 9.13 hemos esquematizado las diversas variables que influyen en el proceso de filtración son. Las separamos en: variables de entrada, el flujo y concentración de la pulpa de alimentación; variables de salida, la capacidad, espesor y humedad del queque producido; variables de diseño, área y pérdidas de carga en el equipo; variables de control, presión aplicada, tiempos de formación del queque, de lavado, prensado y soplado, temperatura, pH, aditivos, agitación de la pulpa; perturbaciones, tamaño y distribución de tamaño del sólido y parámetros, porosidad, permeabilidad y compresibilidad del queque, saturación residual. En la sección anterior hemos desarrollado relaciones entre estas variables en términos de los parámetros. Para completar la información necesaria para simular el


263

proceso de filtración es necesario establecer las dependencias de los parámetros de las propiedades del sólido y del líquido y de las perturbaciones al proceso.

2.5.1 Medición de los parámetros de filtración Numerosas empresas han desarrollado instrumentos para la medición de los parámetros de filtración y todos ellos tienen una estructura similar. Aquí describiremos el instrumento FILTRATEST, diseñado por la firma Bokela, mediante el cual hemos realizado las medidas que se muestran en los ejemplos de este Manual. El FILTRATEST es una celda a presión que permite realizar la filtración de suspensiones por presión positiva de gas desde 0 hasta 10 bar (150 psi), por lo que se puede simular cualquier proceso de filtración a vacío o presión. El equipo tiene un área de filtración es de 19.63 cm2 y dispone de una camisa de agua que le permite trabajar a temperatura controlada. Un conjunto de rotámetros permite medir el flujo de aire, cuya presión se regula y mide mediante un manómetro digital. El filtrado es recolectado en una balanza digital cuya señal se envía directamente a un computador portátil que registra la masa de filtrado en cada instante de tiempo. Esta característica hace posible un estudio detallado de la fase de formación del queque, de la fase de soplado (secado) y de la del prensado. La transportabilidad del equipo hace posible la realización de pruebas de filtración directamente en la planta, lo que evita cualquier modificación de las propiedades de la pulpa. Un software especialmente diseñado para este instrumento permite determinar exactamente el tiempo de formación del queque, el tiempo de prensado, el tiempo de soplado, el flujo de aire y el peso del filtrado en el tiempo. El software calcula automáticamente la resistencia específica del queque y del medio filtrante y las permeabilidades relativas del agua y del aire de soplado. Las dos figuras que siguen muestran un esquema del instrumento y sus conexiones a los elementos periféricos.

Fig. 1 Pantalla inicial del software del FILTRATEST.

264


Flujómetro

Acondicionador de señales ROTA

Cable Ribbon PR50-50F Bloque conector CB-50LP DAQCard-700

Interfase RS-232 Balanza electrónica

Computador Laptop

Fig. 2 Esquema de conexiones del FILTRATEST y periféricos.

a)

Porosidad del queque

La porosidad del queque está determinada principalmente por el tamaño, distribución de tamaño y disposición de las partículas que forman el empaquetamiento. Para comprender mejor el efecto de estas variables en la porosidad, tomemos el ejemplo del empaquetamiento de esferas. La porosidad de un lecho de esferas de un solo tamaño es independiente del tamaño de las esferas y depende exclusivamente del tipo de empaquetamiento. En la tabla 9.xx (Wakeman y Tarleton 1999)se muestra valores calculados para la porosidad con diferentes tipos de empaque. Empaquetamiento

Cúbico Orto-rómbico Tetragonal Romohedral

Número de coordinación

Porosidad 

3

0.7766

4

0.6599

5

0.5969

6

0.4764

7

0.4388

8

0.3955

9

0.3866

10

0.3019

11

0.2817

12

0.2595


265

Se puede observar que, dependiendo del empaque, la porosidad puede variar desde 0.26 a 0.78, esto es 3 veces. Porosidades encontradas en queques de filtración son frecuentemente cercanas a 0.40. Lechos de esferas con distribución de tamaño pueden tener permeabilidades aun menores que los monotamaños, ya que las esferas más pequeñas pueden ocupar los espacios dejados por las esferas mayores. Varios investigadores han propuesto ecuaciones para calcular la porosidad de lechos con esferas de distintos tamaños (Concha 1990), sin embargo es preferible la determinación experimental de la porosidad del queque en cada caso. La porosidad del queque de un filtro industrial generalmente se determina sacando una muestra del queque y midiendo el volumen y el peso del queque seco. En un equipo de laboratorio es posible conocer la porosidad del queque en el momento en que el queque se ha formado y está totalmente saturado. En ese instante se puede realizar un balance de agua y atribuir la diferencia entre el volumen de agua contenida en la suspensión a filtrar y el volumen del filtrado recuperado al agua que está llenando los poros del queque y que, por lo tanto, mide la porosidad. Cualquier método que permita determinar el espesor del queque en cada instante de una filtración, permite calcular la porosidad del queque, ya que el área de filtración es conocida y la masa de sólido contenida en el queque también es conocida.

Ejemplo 3 Para determinar la porosidad de un queque en un filtro Larox PF, se tomó una muestra con un tubo cilíndrico de 5 cm de diámetro. El espesor de la muestra era de 35 mm. El peso una vez secado el sólido fue de 147 g y la densidad del sólido 3.87 g/cm3 . La porosidad del queque es: 147 3.87   1  0.45   52 4  3.5





Ejemplo 4 Durante una prueba de filtración en un equipo de laboratorio se utilizó 138.7 g de un concentrado de cobre de densidad 4.3 g/cm3 disperso en agua a una concentración de 72.2% de sólidos en peso. Se estableció el tiempo de formación de queque, en que desapareció la suspensión y el queque se encontraba totalmente saturado, en t1=42.7 s. En ese punto el volumen de filtrado recuperado era de 20.6 cm3. Calcular la porosidad del queque. 

Vfq Vsq  Vfq



 (100  72.2)

72.2)  138.7   20.60  0.50  (100  72.2) 72.2)  138.7   20.60  138.7 *100 72.2

Para queques compresibles, por ejemplo para relaves floculados, la porosidad del queque es una función de la presión aplicada. Esta relación se da mediante una ecuación constitutiva, obtenida desde información experimental. Las principales

266


relaciones propuestas son del tipo potencial o exponencial, de las cuales se da tres ejemplos:

  1  ps

(9.38) 1

p    1    s  1  

(9.39)

  1   ln ps

(9.40)

Ejemplo 5 Un relave de flotación fue filtrado en un filtro de banda a vacío (0.75 bares) obteniéndose un queque de porosidad   0.493 . Se realizó pruebas de filtración en el laboratorio con el relave para obtener la compresibilidad del queque. Los resultados se muestran en la tabla. Se desea estimar cual sería la porosidad del queque del mismo material si se filtra en un filtro hiperbárico a 3 bares de sobre-presión y en un filtro Larox PF a 6 bares de presión. Los datos de compresibilidad del relave se grafican en la figura que sigue y permiten proponer la siguiente ecuación constitutiva para la compresibilidad del queque   0.484p 0.0611

La simulación con esta ecuación da: (3.75)  0.484(3.75) 0.0611  0.446 (6)  0.484(6) 0.0611

 0.434

presión de sólido (bar)

Altura del queque (cm.)

0.8

2.90

1.0 1.5

2.87 2.81

2.0

2.77

2.7

2.73

3.0

2.71

3.5

2.70

4.0

2.68

4.7

2.66

5.0

2.63

5.5 6.0

2.62 2.61


267

Porosidad

0.50

0.45

= 0.4843p

-0.0611

2

R = 0.9907

0.40 0

1

2

3 4 Presión (bar)

5

6

7

Compresibilidad del queque.

b)

Permeabilidad del queque y Resistencia Específica del Medio Filtrante

El medio filtrante es un componente esencial en los equipos de filtración. Es un medio poroso heterogéneo, con poros de diferentes tamaños y geometría, cuya estructura puede causar grandes variaciones en la forma en que se depositan las partículas y grandes variaciones en la distribución del flujo de líquido en la superficie. Una tela de filtración, no sólo debe retener las partículas sólidas y producir un filtrado limpio, sino que debe resistir todas las solicitaciones que le imponga el equipo. Por ello, a las propiedades de resistencia específica se debe agregar la de resistencia mecánica.

Determinación experimental Para determinar la permeabilidad k    del queque y la resistencia específica del medio poroso R m , escribamos la ecuación (9.16) en la forma: t R   0  m  2 Vf (t) Vf (t) Spe 2S pe 1  0  0  k  0 

(9.41)

donde R m   m k m ,  m y km son el espesor y la permeabilidad del medio filtrante, información que en general no se conoce.

268

Manual de Filtración & Separación Graficando t Vf (t) versus Vf (t) , se puede calcular la resistencia especifica del

medio filtrante R m y la permeabilidad del queque k  0  . Si b=tg es la pendiente de la recta obtenida y a es su intersección con el eje de las ordenadas, los parámetros serán: 0 p S 1  Rm  a  e (9.42) k  0    2  b 2S pe 1  0   0 Ejemplo 6 (Wakeman y Tarleton 1999) Se realizó una experiencia en el laboratorio con un filtro de 45 cm2 de área a 70 kPa de presión. La razón de pesos del queque húmedo y seco fue de 1.34. Las densidades del sólido, filtrado y pulpa de alimentación son respectivamente: s  2640 kg m3 , f  1000 kg m3 y o  132kg m3 y la viscosidad del filtrado es   0.01 poises . La producción de filtrado en el tiempo se muestra en la tabla que sigue. Fig. 3 Determinación de las resistencias específicas del medio filtrante y del queque. Tiempo t en s Volumen en cm3 Tiempo t en s Volumen en cm3 0

0

457

285

170

141

527

320

275

200

589

341

340

230

660

370

390

252

Calcule las resistencias específicas del medio filtrante y del queque.

Fracción volumétrica de la alimentación: o 

Razón masa del queque húmedo y seco % sólido en peso del queque:

X

o  f 1320  1000   0.195 s  f 2640  1000 ms  mf  1.34 ms ms 1   0.746 ms  m f 1.34


269

Fracción de sólidos en peso del queque: f X 0.746    0.527 s 1  X   f X 2.64  (1  0.746)  0.746   1    1  0.527  0.473

Porosidad del queque:

Graficando t/V versus V se obtiene la figura que sigue, de la cual resultan los parámetros:

t/V en s/cm

3

2.0

1.0

t/V = 0.0025V + 0.8895 2 R = 0.9831 a=0.8895 b=0.0025 0.0 0.0

100.0

200.0

300.0

400.0

3

Volumen cm

Cálculo de las permeabilidades del queque y medio filtrante.

Resistencia específica del medio filtrante: Rm  a 

k  

pS 7.0  105  45  0.88946   2.80  109 cm 1  0.01

0 1  1 0.01 0.195   8.44  1010 cm 2 2 2 5 b 2S p 1  0   0.00246 2  45  7  10 1  0.194  0.473

Resistencia específica del queque: 

 0.784   5.33  109 cm 1 k    8.44  1010

270


Ejemplo 7 Determinar la resistencia específica del medio filtrante y la permeabilidad del queque que se espera para la filtración de un concentrado de cobre en un filtro Larox PF. Se conoce los siguientes datos: Parámetros

Filtro Larox PF

3

Densidad del sólido, g/cm

3.87 3

Densidad del filtrado, g/cm

1.0

Concentración de pulpa de alimentación, % de sólidos en peso

78.0

Viscosidad del filtrado, kg/m-s

0.0012

Tamaño de partículas

Análisis granulométrico

Temperatura de la pulpa, °C

20

pH de la pulpa

9.1

Presión en formación de queque, bar

2

Presión de soplado, bar

4

Espesor del queque, mm

3.6

Tamaño de la malla

Tamaño promedio x

Masa retenida

m

g

35/48

365

2.32

0.024

48/65

252

0.77

0.008

65/100

178

1.87

0.019

100/150

126

7.75

0.079

150/200

89

16.22

0.165

200/270

63

27.15

0.277

270/400

45

23.73

0.242

-400

31

18.27

0.186

98.15

1.000

SUMA

f3(x)

Se realizó un ensayo de laboratorio en el equipo FILTRATEST (ver más adelante en esta sección) con un área de filtración de 19.63 cm2. La muestra de 156.78 g de sólido en una pulpa de 78 % de sólidos en peso se colocó en el equipo y se filtró a 2 bares por 39.76 segundos. Se determinó el volumen de filtrado obtenido en el tiempo. Esta información se muestra en el gráfico que sigue.


271

Datos de la experiencia de laboratorio Espesor del queque, mm

36

Peso del queque húmedo, g

168.28

Peso del queque seco, g

156.78

Tiempo de formación del queque t1, s Área del FILTRATEST cm

39.76

2

19.63

14

3

Volumen filtrado (cm )

12 10 8 6 4 V=-0.078517+(112.29+11.617*t)

2

0.5

2

R =0.992

0 0

10

20

30

40

50

tiempo de formación de queque t en (s.)

Volumen de filtrado versus tiempo para los datos del ejemplo 4.

Agua final en queque:

168.28  156.78  11.50 g

Humedad final:

h final  100  11.50 11.50  156.78   6.83%


 1

Saturación en t1:

s 1

Agua en queque en t1:

0.43  19.63  3.6  30.16 g

Humedad en t1

h t1  100  0.43  1  19.63  6.3  17.92%

Agua total:

201.48  156.78  44.70 g

Agua en filtrado en t1:

44.70  30.16  14.54 .g

Agua final en filtrado:

44.70  11.50  33.20 .g

156.78

3.87

19.63  3.6

 0.43

272


Concentración alimentación: 0  77.81/(3.87  (100  77.81)  77.81)  0.48 Si se grafica los datos experimentales de volumen de filtrado versus tiempo en la forma t/Vf versus Vf, se obtiene el gráfico que sigue.

6

4

3

t/Vf (s/cm )

5

3 2

y = 0.031x + 2.3536

1

y = 0.0861x + 1.8243

2

R = 0.0885

2

R =1

0 0

2

4

6

8

10

12

14

3

Volumen filtrado (cm )

t/Vf versus Vf para los datos experimentales.

Del gráfico se puede observar que la dispersión de datos no permite obtener una buena correlación (línea punteada) entre las variables, cuyo coeficiente de regresión es sólo R2=0.0885. Esta dispersión se debe a que las pequeñas variaciones de los datos originales se amplían al ser presentados en la forma de este gráfico. Para solucionar el problema conviene obtener una correlación de los datos originales y construir el segundo gráfico con la correlación obtenida. En el gráfico Vf versus tiempo se incluye la correlación obtenida, que da un coeficiente de regresión de R2=0.992. En la figura de t/Vf versus Vf también se muestra la simulación (línea llena) construida con la correlación de la figura anterior. Los valores de a y tg son : a 1.8243 (s / cm6 )

y

b  tg  0.0861(s / cm3 )

Usando las expresiones (9.42) se obtiene los siguientes parámetros para la experiencia en el FILTRATEST: Rm  a 

k  0  

peS 2  105  19.63  1.8243   5.97  108 cm 1  0.012

0 1   2 tg 2S pe 1  0  

Capítulo 9 Filtración 

273 1 0.012 0.42  4.32  109 cm 2 2 5 0.0861 2  (19.63)  2  10 1  0.48  0.43

Efecto del tamaño de partículas La ecuación de Kozeny-Carman para la permeabilidad de un medio poroso se presentó en la ecuación (6.33): k  0  

3d e2 2

36 1   

2

Esta ecuación permite observar que la permeabilidad de un queque de filtración depende directamente de las características de las partículas que lo forman a través de dos parámetros, el tamaño promedio de las partículas de (diámetro equivalente) y su forma (esfericidad ), e indirectamente a través del parámetro  y la porosidad. Ésta última depende, como ya hemos visto, del tamaño, distribución de tamaño y disposición de las partículas que forman el empaquetamiento. La principal variable de operación que influye en la permeabilidad es la presión a través de la porosidad.

Ejemplo 8 Para los datos del ejemplo 7, predecir la permeabilidad de un queque de filtración de un filtro Larox PF trabajando a 6 bares con la ecuación de KozenyCarman, incluyendo el efecto de la presión sobre la porosidad. A 4 bares de presión la porosidad del queque fue de   0.43 . Como el concentrado de cobre es prácticamente incompresible, podemos suponer que a 2 y 6 bares la porosidad será la misma. Supondremos una esfericidad de   0.7 para el concentrado de cobre. El análisis granulométrico del concentrado se muestra en la tabla de la página siguiente. El diámetro equivalente es (Concha et al 1973): d e  0.69  x12  0.69  54.18  37.39 m

Según Coulson y Richardson (1968),   5 , entonces: k  0  

3d e2  2

36 1   

2



 0.433  (37.39  104 )2 (0.5)2 36  5  (1  0.43)2

El cálculo da un valor bastante aproximado al experimental. El tamaño promedio volumétrico-superficial es: x12  1 1.85E  2  54.18 m

 4.75  109 cm 2

274


Tamaño de Tamaño promedio la malla x m

f3(x)

xf3(x)

f3(x)/x

g

35/48

365

2.32

0.024

8.89

6.67E-5

48/65

252

0.77

0.008

1.98

3.11E-5

65/100

178

1.87

0.019

3.39

1.07E4

100/150

126

7.75

0.079

9.95

6.27E-4

150/200

89

16.22

0.165

14.71

1.86E-3

200/270

63

27.15

0.277

17.43

4.39E-3

270/400

45

23.73

0.242

10.88

5.37E-3

-400

31

18.27

0.186

5.77

6.00E-3

98.15

1.000

72.99

1.85E-2

SUMA

c)

Masa retenida

Saturación residual y curva de capilaridad

La presión de entrada y saturación residual son dos parámetros importantes para la determinación de las condiciones de operación de un filtro industrial. Se denomina presión de entrada la mínima presión necesaria para comenzar a desaguar un queque saturado. Su importancia es que da una cota inferior para la presión de soplado. La saturación residual es aquella que no disminuye al aumentar la presión. Este parámetro da una cota superior para la presión de soplado y una cota inferior para la humedad posible de obtener.

Ejemplo 9. Calcular la presión de entrada y la saturación residual para los siguientes datos de un concentrado de cobre de densidad s  3.87 g / cm3 . pe

Vf filtrado V líquido en queque Porosidad Saturación

0.00

16.47

26.3

0.43

1.00

0.20

17.07

25.7

0.43

0.98

0.40

22.84

19.9

0.43

0.76

0.45

24.32

18.5

0.43

0.70

0.47

26.17

16.6

0.43

0.63

0.50

27.09

15.7

0.43

0.60


275

(continuación) pe

Vf filtrado V líquido en queque Porosidad Saturación

0.55

27.79

15.0

0.43

0.57

0.60

28.39

14.4

0.43

0.55

0.65

28.56

14.2

0.43

0.54

0.70

28.57

14.2

0.43

0.54

0.80

28.57

14.2

0.43

0.53

0.90

28.86

13.9

0.43

0.53

1.00

28.89

13.9

0.43

0.51

1.50

29.32

13.5

0.43

0.50

2.00

29.58

13.2

0.43

0.50

2.50

28.58

13.2

0.43

0.50

3.00

29.58

13.2

0.43

0.50

Los datos de la tabla se pueden graficar como se muestra en la figura siguiente. De la figura que sigue se desprende que los valores de la presión de entrada y saturación residual son: pentrada  0.37 bares s

 0.39

De la curva de capilaridad se observa que basta con soplar a 2 bares para eliminar el agua del queque hasta llegar a una saturación de 0.39. Como la porosidad del queque es de   0.43 , la humedad mínima final del queque se puede calcular con la ecuación (9.38): h  100

f s 1  0.43  0.39  100  7.07 % f s  s 1    1  0.43  0.39  3.87  (1  0.43)

La saturación residual depende de varios factores, principalmente de la porosidad del queque y de su espesor, del tamaño promedio de las partículas, de la caída de presión a través del queque y de la tensión superficial del filtrado.

Correlación para la saturación residual Según Wakeman, ver Capítulo 6 ecuaciones (6.74) y (6.75), la saturación residual se puede calcular en términos del número de capilaridad mediante las siguientes ecuaciones:

276

Manual de Filtración & Separación 3.50

Presión de soplado, bares

3.00 2.50 2.00 1.50 1.00 0.50 0.00 0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.10

Saturación, s

Curva de capilaridad para los datos del ejemplo 6. 0.49 s   0.155 1  0.031N cap 

N cap 

2 3av x12 pe

1  av 

2



donde N cap es el número de capilaridad,  av y  son la porosidad promedio y el espesor del queque, x12 es el tamaño promedio volumétrico-superficial de las partículas, pe es la caída de presión a través del queque y  es la tensión superficial del líquido.

Ejemplo 11 Determinar la saturación residual para el queque del ejemplo 10. La información necesaria es: 2

av  0.43 , x12  54.18 m , p  2  106 dinas cm , L  3.6 cm y   72 dinas cm N cap 

2 3av x12 p

1  av 

2

L

(0.43)3   54.18  104   2  106 2



1  0.43

2

 3.6  72

 0.0544

0.49 s   0.155 1  0.031  N cap   0.155 1  0.031 (0.055)0.49   0.175


277

El valor obtenido mediante la correlación de Wakeman es aproximadamente la mitad del experimental de s   0.39 .

Permeabilidad relativa Definimos con anterioridad la permeabilidad relativa en el tiempo t como la razón entre la permeabilidad del agua y del aire para ese tiempo y la permeabilidad del queque saturado. Esta última es una propiedad del medio poroso exclusivamente. Para calcular las permeabilidades relativas del agua y del aire durante la etapa de soplado, es necesario conocer los flujos de agua y aire en función del tiempo durante esta etapa. Ejemplo 12 Se desea determinar las permeabilidades relativas del líquido y el aire en un proceso de filtración de concentrados de cobre. Para ello se realizó experiencias en el FILTRATEST con una pulpa de alrededor de 73% de sólidos en peso. Las condiciones experimentales fueron: p  6 bares , área del filtro S  6.55 cm 2 , temperatura 20 °C, viscosidad del líquido   0.01 g cm  s , viscosidad del aire   0.000187 g cm  s , densidad del concentrado s  4.50 g cm3 . Después de terminada la filtración, el queque húmedo se peso dentro de un envase dando 50.98 g y se procedió a secarlo. El queque seco con el envase pesó 47.68 g y el envase solo 4.41 g. La formación del queque tuvo una duración de 37 segundos liberando 5.79 g de agua. Luego se procedió a exprimir al queque durante 38 segundos a 7.5 bares eliminando 4.56 g de filtrado. Finalmente se sopló aire a 6 bares durante121 segundos eliminando 1.99 g adicionales de filtrado. La recolección de filtrado se hizo según lo indicado en la tabla que sigue y la saturación residual se muestra en la curva de capilaridad. Etapa

t t2 t3 s s s 0 Formación 36.69 0 Expresión 75.00 38.31 0 120.57 Soplado 195.57 Total

Vftotal g 0 5.79 10.35 12.34 12.34

Vfformación g 0 5.79 5.79

Vfprensado g 0 0 4.56 4.56

Vfsoplado g 0 0 0 1.99 1.99

Vlíquido en queque cm3 15.64 9.85 5.29 3.3

El primer paso en el cálculo es realizar el balance de masa: Soplado: Volumen de filtrado producido:

Vf soplado  1.99 cm 3

Masa de sólido en queque:

M solido queque  43.27  4.41  47.68 g

278


Etapa de formación de queque Vf t/ Vf tiempo t Vf Tiempo t s g Vf (sim) cm3 s g Vf (sim) cm3 2.14 0.01 0.0491 214.000 20.43 3.35 3.4339 4.18 0.25 0.2932 16.720 22.47 3.75 3.7740 6.21 0.68 0.6570 9.132 24.50 4.06 4.0966 8.24 1.14 1.0682 7.228 26.53 4.48 4.4042 10.27 1.56 1.4913 6.583 28.56 4.70 4.6979 12.31 1.93 1.9115 6.378 30.60 4.99 4.9798 14.34 2.34 2.3170 6.128 32.63 5.27 5.2481 16.37 2.65 2.7064 6.177 34.66 5.48 5.5051 18.40 3.00 3.0788 6.133 36.69 5.79 5.7514

t/ Vf 6.099 5.992 6.034 5.922 6.077 6.132 6.192 6.325 6.337

Vsolido  queque  47.68 / 4.5  9.62 cm 3

Volumen de sólido en queque:

Volumen de líquido en queque final: Vliquido queque  50.98  47.68  3.30 cm3 Volumen de líquido en queque saturado antes de soplar: Vliquido queque  3.3  1.99  5.29 cm3

4.0

Presión capilar bar

3.0

2.0

1.0

soo=0.535 0.0 0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Saturación

Curva de capilaridad

0.9

1.0

1.1


279

Volumen total de queque:

Vqueque  5.29  9.62  14.91 cm3

Espesor del queque:






Vqueque S



14.91  2.276 cm 6.55

Vliquido  queque Vqueque



5.29  0.355 114.91

Líquido total: Vtotalliquido  Vliq queque final  Vf  finalsoplado  3.30  12.34  15.64 cm3 0 

Concentración pulpa:

Vsolido 9.62   0.381 Vliq  total  Vsolido 9.62  15.64

Humedad final: h  100 

M liquido queque M solido queque  M liquido queque

Saturación final:

s

 100 

Vliq queque Vliq quequesaturado

3.30  7.09% 43.27  3.30 

3.30  0.624 5.29

Prensado: Volumen de sólido en queque:

Vsolido queque  9.62 cm3

Volumen de filtrado en prensado:

Vf  prensado  4.56 cm3

Volumen de líquido en queque después de prensar: Vliquido queque  5.29 cm3

Volumen total de queque después de prensar: Vqueque  5.29  9.62  14.91 cm 3 Espesor del queque después de prensar:



Porosidad del queque después de prensar:  

Vqueque S



14.91  2.276 cm 6.55

Vliquido queque Vqueque



5.29  0.355 5.29  9.62

Formación del queque Volumen de sólido en queque:

Vsolido queque  9.62 cm3

Volumen de filtrado en formación del queque:

Vf formacion  5.79 cm3

280

Manual de Filtración & Separación Volumen de líquido en queque saturado: Vliquido queque  15.64  5.79  9.85 cm3

Volumen queque:

Vqueque  9.62  9.85  19.47 cm 3

Espesor del queque:



Vqueque S

Porosidad del queque antes del prensado:  



19.47  2.972 cm 6.55

Vliquido queque Vqueque



9.85  0.506 19.47

La tabla que sigue resumen los resultados. FORMACIÓN

cgs

Densidad s=4.5 Area (cm2)=6.55 p (bar)=6.00E+06 espesor(cm)=2.972 filtrado(Pa-s)=0.01 X0=73.45

SOPLADO

cgs

Densidad s=4.5 Area (cm2)=6.55 p (bar)=6.00E+06 espesor(cm)=2.276 aire(Pa-s)=1.87E-04 X0=73.45

0=0.381

0=0.381

=0.506 Vfiltrado=5.79 Vfiltrado-final=12.34 Vqueque=19.47 Vsólido-queque=9.62 Vlíquido-queque=9.85 Vfiltrado-expresión=4.56 Vtotal-líquido=15.64 Vtotal-suspensión=25.26 Vlíquido-final-queque=3.30 hfinal%=7.09 s=0.335 Msólido=43.27

=0.355 Vfiltrado-form=5.79 Vfiltrado-final=12.34 Vqueque=14.91 Vsólido-queque=9.62 Vlíquido-queque=5.29 Vfiltrado-expresión=4.56 Vtotal-líquido=15.64 Vtotal-suspensión=25.26 Vlíquido-final-queque=3.30 hfinal%=7.09 sfinal=0.624 Msólido=43.27

Permeabilidad del queque Para calcular la permeabilidad del queque, se procede a modelar el flujo de filtrado. De la tabla “Etapa de formación de queque” podemos extraer los datos para obtener la correlación.


281

7

6

0.5

Volumen de filtrado Vf cm

3

Vf=exp(a+b/t ) 5 a=3.265809415 b=-9.18533905

4

3

2 Datos experimentales Correlación 1

0 0

5

10

15

20

25

30

35

40

Tiempo s

Correlación del volumen de filtrado con el tiempo en la formación del queque.

Del modelo se grafica t/Vf versus Vf resultando en la figura siguiente, de donde se obtiene los valores de a  4.9604 y b  0.2422 . Con estos valores se calcula la permeabilidad y la resistencia específica del medio filtrante: k() 

0  1 1 0.01 0.381  2   2 6 b 2S p 1  0   0. 2422  (6.55)  6  10 1  0.381  0.506

 2.69619  1010 cm 2

50 Datos Serie2 Lineal (Serie2)

45 40

t/Vf s/cm

3

35 30

t/Vf = 0.2422Vf + 4.9604 2

R = 0.9804

25 20 15 10 5 0 0

1

2

3

4

5

6

Volumen de filtrado cm

7

8

9

10

3

Cálculo de las permeabilidades del queque y medio filtrante.

282

Manual de Filtración & Separación Rm  a 

pS 6  106  6.55  4.9604   1.95  1010 cm 1 0.01 

Permeabilidad relativa Las tres primeras columnas de la tabla que sigue muestra los datos de soplado. Es necesario modelar el volumen de filtrado y el flujo de aire. La figura siguiente muestra el flujo de filtrado versus el tiempo. 2.50

Volumen de filtrado en soplado cm3

Datos experimentales simulación 2.00

1.50 c

Vf=a+bt 2

R =0.990

1.00

a=-0.048167781

0.50

b=0.5437304 c=0.27787257 0.00 0

20

40

60

80

100

120

140

Tiempo de soplado s

Correlación del volumen de filtrado en el soplado.

De esta correlación se puede calcular el flujo de filtrado en el tiempo como la derivada de la ecuación anterior. Este flujo más el flujo de aire en función del tiempo se muestran en la tabla y en las figuras siguientes.

Qf=cbt

3

Flujo de filtrado en el soplado cm /s

0.100 (c-1)

b=0.54373044 c=0.27787257

0.050

Simulado

0.000 0

50

100

Tiempo de soplado s

Correlación del flujo de filtrado en el soplado.

150


283

t2

Vf (soplado)

Vf (sim)

Qaire

Q aire (sim)

Qfiltrado

kel

kea

s

cm3

cm3

cm3/s

cm3/s

cm3/s

cm2

cm2

0 2.04 4.07 6.1 8.13 10.17 12.2 14.23 16.26 18.29 20.33 22.36 24.39 26.42 28.46 30.49 32.52 34.55 36.58 38.62 40.65 42.68 44.71 46.75 48.78 50.81 52.84 54.87 56.91 58.94 60.97 63.0 65.04 67.07 69.1 71.13 73.16 75.2 77.23 79.26 81.29 83.33 85.36 87.39 89.42 91.46 93.49 95.52 97.55 99.58 101.62 103.65 105.68 107.71 109.75 111.78 113.81 115.84 117.87 119.91 120.57

0.00 0.48 0.76 0.83 0.89 0.99 1.04 1.09 1.09 1.14 1.19 1.19 1.26 1.33 1.33 1.38 1.38 1.43 1.43 1.43 1.48 1.48 1.53 1.58 1.67 1.67 1.67 1.66 1.67 1.71 1.71 1.71 1.71 1.76 1.76 1.76 1.76 1.76 1.76 1.76 1.76 1.76 1.80 1.80 1.80 1.85 1.85 1.85 1.85 1.89 1.89 1.90 1.89 1.93 1.94 1.94 1.99 1.99 1.99 1.99 1.99

0.00 0.61 0.75 0.85 0.93 0.99 1.04 1.09 1.13 1.17 1.21 1.24 1.27 1.30 1.33 1.36 1.38 1.41 1.43 1.45 1.47 1.49 1.51 1.53 1.55 1.57 1.59 1.61 1.62 1.64 1.66 1.67 1.69 1.70 1.72 1.73 1.74 1.76 1.77 1.78 1.80 1.81 1.82 1.83 1.85 1.86 1.87 1.88 1.89 1.90 1.92 1.93 1.94 1.95 1.96 1.97 1.98 1.99 2.00 2.01 2.01

0.00 18.67 15.69 14.07 13.42 12.93 12.93 13.03 13.07 13.07 13.10 12.89 13.03 13.00 12.89 13.07 13.07 12.89 12.96 13.10 13.07 13.03 12.89 13.31 13.24 13.31 13.35 13.28 13.35 13.42 13.42 13.35 13.31 13.31 13.38 13.35 13.31 13.35 13.31 13.46 13.35 13.21 13.24 13.35 13.24 13.35 13.62 13.74 13.66 13.66 13.74 13.66 13.78 13.78 13.70 13.62 13.70 13.70 13.82 13.62 13.62

0.00 12.60 12.75 12.84 12.90 12.95 12.99 13.03 13.05 13.08 13.10 13.12 13.14 13.16 13.18 13.19 13.21 13.22 13.23 13.24 13.25 13.26 13.27 13.28 13.29 13.30 13.31 13.32 13.33 13.33 13.34 13.35 13.36 13.36 13.37 13.38 13.38 13.39 13.39 13.40 13.40 13.41 13.41 13.42 13.42 13.43 13.43 13.44 13.44 13.45 13.45 13.46 13.46 13.47 13.47 13.47 13.48 13.48 13.48 13.49 13.49

0.0903 0.0548 0.0409 0.0333 0.0283 0.0248 0.0222 0.0202 0.0185 0.0172 0.0160 0.0150 0.0142 0.0135 0.0128 0.0122 0.0117 0.0112 0.0108 0.0104 0.0100 0.0097 0.0094 0.0091 0.0089 0.0086 0.0084 0.0082 0.0080 0.0078 0.0076 0.0074 0.0072 0.0071 0.0069 0.0068 0.0067 0.0065 0.0064 0.0063 0.0062 0.0061 0.0060 0.0059 0.0058 0.0057 0.0056 0.0055 0.0054 0.0054 0.0053 0.0052 0.0051 0.0051 0.0050 0.0049 0.0049 0.0048 0.0048 0.0047

5.22818E-11 3.17496E-11 2.37047E-11 1.92638E-11 1.63881E-11 1.43699E-11 1.28583E-11 1.16778E-11 1.07266E-11 9.93805E-12 9.27796E-12 8.71364E-12 8.22482E-12 7.79472E-12 7.41639E-12 7.07910E-12 6.77622E-12 6.50252E-12 6.25263E-12 6.02555E-12 5.81719E-12 5.62523E-12 5.44688E-12 5.28223E-12 5.12897E-12 4.98591E-12 4.85201E-12 4.72578E-12 4.60767E-12 4.49637E-12 4.39127E-12 4.29137E-12 4.19717E-12 4.10777E-12 4.02277E-12 3.94185E-12 3.86434E-12 3.79071E-12 3.72035E-12 3.65303E-12 3.58823E-12 3.52640E-12 3.46705E-12 3.41003E-12 3.35494E-12 3.30217E-12 3.25134E-12 3.20234E-12 3.15506E-12 3.10920E-12 3.06510E-12 3.02247E-12 2.98123E-12 2.94111E-12 2.90244E-12 2.86496E-12 2.82862E-12 2.79335E-12 2.75896E-12 2.74804E-12

1.36768E-10 1.38396E-10 1.39350E-10 1.40027E-10 1.40555E-10 1.40983E-10 1.41346E-10 1.41661E-10 1.41938E-10 1.42187E-10 1.42411E-10 1.42616E-10 1.42805E-10 1.42980E-10 1.43142E-10 1.43294E-10 1.43437E-10 1.43571E-10 1.43699E-10 1.43820E-10 1.43935E-10 1.44044E-10 1.44150E-10 1.44250E-10 1.44346E-10 1.44438E-10 1.44527E-10 1.44613E-10 1.44696E-10 1.44775E-10 1.44853E-10 1.44928E-10 1.45000E-10 1.45070E-10 1.45139E-10 1.45205E-10 1.45270E-10 1.45333E-10 1.45394E-10 1.45453E-10 1.45512E-10 1.45568E-10 1.45624E-10 1.45678E-10 1.45731E-10 1.45783E-10 1.45833E-10 1.45883E-10 1.45932E-10 1.45979E-10 1.46026E-10 1.46072E-10 1.46117E-10 1.46161E-10 1.46204E-10 1.46246E-10 1.46288E-10 1.46329E-10 1.46369E-10 1.46382E-10

krl 1.000 0.194 0.118 0.088 0.071 0.061 0.053 0.048 0.043 0.040 0.037 0.034 0.032 0.031 0.029 0.028 0.026 0.025 0.024 0.023 0.022 0.022 0.021 0.020 0.020 0.019 0.018 0.018 0.018 0.017 0.017 0.016 0.016 0.016 0.015 0.015 0.015 0.014 0.014 0.014 0.014 0.013 0.013 0.013 0.013 0.012 0.012 0.012 0.012 0.012 0.012 0.011 0.011 0.011 0.011 0.011 0.011 0.010 0.010 0.010 0.010

kra 0 0.507 0.513 0.517 0.519 0.521 0.523 0.524 0.525 0.526 0.527 0.528 0.529 0.530 0.530 0.531 0.531 0.532 0.532 0.533 0.533 0.534 0.534 0.535 0.535 0.535 0.536 0.536 0.536 0.537 0.537 0.537 0.538 0.538 0.538 0.538 0.539 0.539 0.539 0.539 0.539 0.540 0.540 0.540 0.540 0.541 0.541 0.541 0.541 0.541 0.541 0.542 0.542 0.542 0.542 0.542 0.542 0.543 0.543 0.543 0.543

La permeabilidad efectiva del líquido y del aire se determina de:       Q  (t)  k   efect (t)      p   S       a Q a (t)  k   efect (t)      p   S 

y se muestran en la tabla anterior y la figura siguiente.

sat

Sat reducida

s

(s-soo/(1-soo)

0.909 0.856 0.843 0.832 0.813 0.803 0.794 0.794 0.784 0.775 0.775 0.762 0.749 0.749 0.739 0.739 0.730 0.730 0.730 0.720 0.720 0.711 0.701 0.684 0.684 0.684 0.686 0.684 0.677 0.677 0.677 0.677 0.667 0.667 0.667 0.667 0.667 0.667 0.667 0.667 0.667 0.660 0.660 0.660 0.650 0.650 0.650 0.650 0.643 0.643 0.641 0.643 0.635 0.633 0.633 0.624 0.624 0.624 0.624 0.624

0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.

805 691 663 638 598 577 557 557 537 516 516 488 459 459 439 439 419 419 419 398 398 378 358 321 321 321 325 321 305 305 305 305 285 285 285 285 285 285 285 285 285 268 268 268 248 248 248 248 232 232 228 232 215 211 211 191 191 191 191 191

284

Manual de Filtración & Separación 20.00 18.00

14.00

3

Flujo de aire cm /s

16.00

12.00 10.00

Qa=a+blnt

8.00

2

R =0.991 a=12.448972

6.00 b=0.21718605 4.00 Datos experimentales Simulado

2.00 0.00 0

20

40

60

80

100

120

140

Tiempo de soplado s

Correlación del flujo de aire en el soplado.

Permeabilidad del líquido kl y del aire ka cm

2

1.6E-10

1.4E-10

1.2E-10

1.0E-10

8.0E-11

6.0E-11 líquido aire

4.0E-11

2.0E-11

0.0E+00 0.600

0.650

0.700

0.750

0.800

0.850

0.900

0.950

Saturación s

Permeabilidades efectivas del líquido y del aire.

La saturación se calcula de: s

Vliquido  total  Vf  total (t) Vliquido  total  (Vf  formacion  Vf  exp resion )



20.36  Vf  total (t) 20.36  (7.51  6.14)


285

Finalmente las permeabilidades relativas se obtienen de las siguientes ecuaciones: k k k    efect y k a  a efect k() k() y el resultado se incluye en la misma tabla anterior. Una vez determinados estos valores, se puede graficar las permeabilidades relativas en función de la saturación. La saturación reducida se calcula en términos de la saturación residual s   0.535 mediante la ecuación: sr 

s  s 1  s

El resultado se entrega en la tabla anterior. Las funciones que representan a las permeabilidades relativas se muestran en la figura y ecuaciones siguientes. k   s r   exp  4.466256  4.4661532  s r2  k a  sr  

0.55207243  0.55208459  s r 1  0.91554001  s r  0.07642878s 2r

0.6

Permeabilidad relativa kl y ka

0.5 líquido aire 0.4

0.3

0.2

0.1

0.0 0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Saturación

Permeabilidades relativas del líquido y del aire.

1.0

286


Permeabilidad reducida del líquido k l y del aire k a

1.0 líquido aire correlación líquido aire

2

ka=(a+csr)/(1+bsr+dsr )

0.9

a=0.55207243

0.8

b=-0.91554001 0.7

c=-0.55208459 d=-0.076422878

0.6 0.5 0.4

2

kl=exp(a+bsr ) 0.3

a=-4.466256 0.2

b=4.4661532 0.1 0.0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Saturación residual sr=(s-soo)/(1-soo)

Correlación para las permeabilidades relativas.

9.6

FILTROS CONTINUOS A VACÍO

La filtración a vacío ha sido y sigue siendo un proceso importante en las empresas mineras y en los inicios y gran parte del siglo XX fue el único proceso aplicado. En este tipo de filtración, la pulpa es alimentada a un estanque, en el cual se encuentra sumergido el filtro propiamente tal, por el lado del medio filtrante que se encuentra a presión atmosférica. El otro lado del medio filtrante está conectado a un mecanismo que produce vacío y mantiene una diferencia de presión entre ambos lados del medio filtrante. La diferencia de presión impulsa el filtrado a través de medio filtrante dejando el sólido adherido al medio filtrante en la forma de un queque. La diferencia de presión máxima teórica posible en este tipo de filtros es de 1 atmósfera, sin embargo las pérdidas en el equipo y, principalmente la altura sobre el nivel del mar a que se encuentre la concentradora restringe este valor severamente, siendo frecuentemente de 0.6 a 0.8 bares. Es así como la filtración a vacío se lleva a cabo a caída de presión pequeña y constante, por lo que el queque producido puede ser considerado incompresible. Como ya hemos visto, existen varios tipos de filtros a vacío en el mercado, principalmente los filtros rotatorios, de discos y tambor, los filtros de banda y los filtros de bandeja. La selección del tipo de filtro para cada operación depende principalmente del tipo de material a filtrar. Pulpas con partículas gruesas son muy difíciles de mantener en suspensión por lo que se las trata preferentemente en filtros de banda, filtros de tambor con alimentación superior y en filtros de bandeja. Pulpas de materiales finos se filtran principalmente en filtros de discos o de tambor.


287

Para todos estos tipos de filtro de vacío de que utilizan telas como medio filtrante una de las componentes importantes del costo es el consumo de aire, con demandas de potencia de entre 2 a 15 kW/m2 de área de filtración (Henriksson 2000). Como alternativa al uso de telas filtrantes, algunos filtros de discos utilizan membranas cerámicas construidas en base a alúmina. La característica de esta cerámica es su tamaño pequeño y homogéneo de poros, del orden de 2 micrones, que produce una succión capilar de acuerdo con la ley de Young-Laplace (ver sección 6.5.1 de este Manual). Esta acción permite al filtrado fluir a través del medio poroso con una mínima ayuda de vacío e impide el paso de aire. Por esta razón la energía consumida por estos filtros para mantener el vacío mucho menor, con demandas de potencia de sólo 0.05 kW/m2 de área filtrante (Henriksson 2000). El principal problema de estos filtros es el bloqueo del medio poroso cerámico con pequeñas partículas de sólido, los que deben ser eliminados mediante lixiviación con ácido concentrado.

9.6.1 Modelo de un Filtro Rotatorio Consideremos un filtro rotatorio a vacío, como por ejemplo un filtro de discos o de tambor, girando a N revoluciones por minuto. El tiempo tR , en minutos, que dura cada revolución será t R  1 N . Si I es la fracción de este tiempo correspondiente a la etapa de formación de queque, el tiempo total de filtración en minutos por cada revolución del filtro será: I N

Tiempo de formación de queque

tF  I  tR 

Tiempo de deshumedecimiento

t D  (1  I)  t R 

T rev

(9.43)

1 I T / rev N

(9.44)

Supongamos que el filtro está sumergido en la suspensión hasta una altura h, ver figura 9.16

 h

Fig. 9.16 Filtro rotatorio a vacío

288


La fracción I del tiempo correspondiente a la formación de queque, debe ser igual a la fracción de superficie de filtración sumergida en la suspensión, esto es: I

a)

 , 360

tF 

 1 360 N

T rev

y

 1  t D  1   360  N

(9.45)

Formación del queque

La relación entre el volumen de filtrado producido y el tiempo de formación de queque está dada por la ecuación (9.15): Vf2 (t f )  2Sk()R m

1  0   2S2 k()pe 1  0   Vf (t f )  tF  0 0  0

Sustituyendo (9.43) y (9.45) se obtiene, por revolución del filtro: Vf2 (N)  2Sk    R m

2S2 k    p e 1  0    1  0   Vf (N)  0 0  0 360N

ordenando S2  Vf (N)N  2S2 k()R m (1  0  )  Vf (N)N  2S2 k() p e 1  0     0      0  0 N2  S N S 360N    2

(1  0  )  Vf (N)N  2k()p e 1  0    N  Vf (N)N  0    2k()R m N   S S 360 0  0     2

Velocidad de percolación Es fácil ver que el término (Vf S) N corresponde al volumen de filtrado por unidad de área producido en N revoluciones del filtro por unidad de tiempo, esto es, la velocidad de percolación qf.( L3 L2 T ): q f (t) 

Vf N 3 2 L LT S

(9.46)

Remplazando en la expresión anterior, se obtiene una ecuación algebraica de segundo grado para la velocidad de percolación q f (t) en función de la velocidad de rotación del filtro en el período de formación de queque: q f2 (t)  2k()R m N

cuya solución es:

(1  0  ) k()Npe 1  0     q f (N)  0 0  0 180

(9.47)


289

12  (1  0  )  2 p e 0   -1 q f (t)  Nk()  R m    R m  LT 0 k() (1  0  ) 180N   

(9.48)

Flujo másico El flujo másico de queque está relacionado con el volumen de filtrado mediante la ecuación (9.14), por lo que resulta: m s (t) 

s 0 (1  ) Sq (t) 1  0    f

(9.49)

Reemplazando en (9.48) obtenemos el flujo másico: 12   pe 0   -1 2 ms (t)  s (1  )Sk()N  R m    R m  MT k( ) (1 ) 180N       0   

(9.50)

Si la resistencia del medio filtrante puede ser despreciada, las ecuaciones (9.48) y (9.50) se reducen a: 12

 k() p e (1  0  ) N  q f (t)     0 180  

LT-1

(9.51)

12

 k()pe 0 N  ms (t)  s (1  )S    (1  0  ) 180  

MT-1

(9.52)

Las ecuaciones (9.48) a (9.52) permiten calcular la capacidad de un filtro a vacío rotatorio, donde k() es la permeabilidad del queque de porosidad , 0 es la fracción volumétrica de sólidos de la suspensión a filtrar, s es la densidad del sólido,  es la viscosidad del filtrado, pe es la caída de presión total a través del filtro (medio filtrante y queque), N es el número de revoluciones por minuto del filtro y  es el ángulo sustentado por la parte del filtro sumergida en la suspensión. Es conveniente separar en las ecuaciones (9.51)y (9.52) aquellas variables que son propiedades del sólido, fluido y suspensión y aquellas que son del queque y las variables de operación. 12

 1 (1  0  )  q(t)    0  

Propiedades de la suspensión



12



   N  p e 180  

Propiedades del queque

Variables de operación

 k() 

12

(9.53)

290


 1 0 (1  ) 2  ms (t) sS     (1  0  ) 



 k() 

12

12



N    p e  180  

(9.54)

Espesor del queque La relación entre el flujo de sólidos en el queque y el espesor de éste está dada por la ecuación (9.12), de donde resulta: (t) 

m s (t f ) s (1  )SN

(9.55)

L rev

Reemplazando en (9.50) y (9.54), dependiendo si se desprecia o no la resistencia del medio filtrante, obtenemos por revolución: 12   p e 0   2 (t)  k()  R m    Rm  k() (1  0  ) 180N    12

12

1  0   12  (t)      k()    p e  180N     (1  0  ) 

b)

(9.56)

(9.57)

Cambio de condiciones de operación Consideremos un filtro rotatorio operando en las condiciones ( pe1 , N 1 ) dando

una capacidad y espesor del queque de (ms1 , 1 ) y en las condiciones de operación

( pe 2 , N 2 ) , con espesor del queque de (ms2 ,  2 ) . El espesor del queque por revolución es: (N) 

ms 1 s (1  )S N

y por lo tanto:  2 (N 2 ) m s2 N1  1 (N1 ) m s1 N 2

Si exigimos que en ambas condiciones de operación 1 y 2, los espesores del queque permanezcan iguales,  1   2 , se desprende que: m s2 N 2  m s1 N1

Por otra parte, el cuociente de masa producida se puede obtener de (9.54):

(9.58)


291 12

ms1  pe1N1    ms2  pe2 N 2 

(9.59)

reemplazando (9.58) en (9.59) da como resultado: 12

m s1  pe1    m s2  p e2 

(9.60)

Las expresiones (9.58) a (9.60) permiten calcular la capacidad de un filtro rotatorio ante un cambio de condiciones de operación, conociendo la capacidad anterior.

c)

Deshumedecimiento del queque

El deshumedecimiento del queque se produce por succión de aire desde el ambiente mediante el sistema de vacío. El tiempo de deshumedecimiento, que designamos con t D , corresponde a la fracción (1  I) del tiempo t R , y está dado por (9.45):  1  t D  1  T rev   360  N

La humedad final del queque depende de cantidad de material a tratar en este tiempo y de la permeabilidad relativa del material a filtrar. El tiempo de deshumedecimiento está dado por:   1  0     R m 1  s   1    k  0   360  N pe 

d

1



 k  ,   s



que relaciona la velocidad de rotación con la saturación final. El flujo de aire durante el deshumedecimiento está dado por:

 Spe Qg      g

   Rm     k()k g (,s)  

1

(9.61)

En estas ecuaciones k i ( 0 ,s)  f i  s,s   , con i  ,a son las formas funcionales de las permeabilidades relativas del líquido y aire.

Ejemplo 13 Un filtro rotatorio, cuya velocidad es de N=0.03 Hz, produce 27 m3/h de filtrado. A que velocidad debe ser operado el filtro para obtener 54 m3/s, si el filtro funciona al mismo vacío y se desprecia la resistencia del medio filtrante.

292


Como la masa de filtrado es proporcional a la masa de sólido en el queque (ver ecuación (9.15)), y las caídas de presión son iguales, según (9.59) podemos escribir: 12

Q2  N 2    Q1  N1 

de donde resulta: Q  N 2  N1   2   Q1 

2

2

 54   (0.03  60)     7.2 rpm  27 

Ejemplo14 Un filtro rotatorio de tambor de 3 m2 de área funciona a una presión interna de 30 kN/m2 y con un 30 % de su superficie sumergida en la suspensión. La presión atmosférica es de 1.013x105 N/m2. Calcular la capacidad del filtro y la humedad final del queque cuando el tambor gira a 0.5 rpm. El queque es incompresible y la tela filtrante tiene una resistencia igual a la de un queque de 1 mm de espesor. Datos: Ángulo sumergido

  120

Superficie

S  3 m2

Velocidad de rotación

N  0.5 rpm

Porosidad de la torta

  0.400

Permeabilidad de la torta

k()  5  1013 m 2

Densidad del sólido

s  2000 kg m3

Densidad del filtrado

f  1000 kg m3

Viscosidad del filtrado

  103 Ns m 2

Viscosidad del aire

g  1.85  10 5 Ns m 2

Concentración de la suspensión

20% en peso

Espesor del queque

  2.3 cm

Permeabilidad relativa del líquido k   s r   exp  4.466256  4.4661532  s r2  Permeabilidad relativa del aire

k a  sr  

0.55207243  0.55208459  s r 1  0.91554001  s r  0.07642878s r2


293

Saturación residual

s   0.535 .

Humedad final

h  18%

Producto s 1   h 2 1  0.4 18   0.659 f  100  h 1 0.4 100  18

Saturación final:

s

Saturación residual final:

sr 

s  s 0.659  0.535   0.266 1  s 1  0.535

Tiempo de una rotación:

tR 

1 60   120 s N 0.5

Tiempo de formación del queque

tF 

120  120  40 s 360

Tiempo de deshumedecimiento:

 120  t D  1    120  80 s  360 

Tiempos de filtración

Capacidad: Resistencia del medio filtrante Rm 

0.1 mm m 2 k()

 1  103   1    2  107 cm 1 13   2   5  10   10 

La capacidad del filtro está dada por (9.20): 12     2pe 0 2 m  , t   sSN 1    k     R m  t  Rm  k    1  0         733 g s  63.3 tpd

Espesor del queque De la ecuación (9.55) tenemos: 

ms 733   2.44 cm s 1    SN 2  (1  0.4)  3  104  8.33  103

294


El flujo de filtrado es: Qf 

m s 1  0   1  2686.80 cm3 s 1  s 0  2.69  103 m3 s

Humedad del queque La ecuación (9.34) relaciona el flujo de filtrado con la permeabilidad relativa:  p e     Rm   q   k( 0 )k  ( 0 ,s) 

Despejando la permeabilidad relativa del líquido se obtiene: k   ,s  

  pe  q  R m  k   

2.44  7.1  105  3  104   2  107   5  10 9  3  0.01  2.69  10   0.632 

Como la ecuación constitutiva de la permeabilidad relativa del filtrado está dada por: k   s r   exp  4.466256  4.4661532  s r2 

Despejando la saturación reducida sr resulta:  ln k   ,s   (4.466256  sr    4.4661532  

0.5

 ln(0.632)  4.466256    4.4661532  

0.5

 0.947

La saturación final será: s  s   s r  (1  s  )  0.535  0.947  (1  0.535)  0.975

y finalmente la humedad es: h  100

f s 1  0.4  0.975  100  24.5 % 1 0.4  0.975  2  (1  0.4) f s  s 1   

Flujo de aire La permeabilidad relativa del aire está dada por:

Capítulo 9 Filtración k a  sr   

295

0.55207243  0.55208459  s r 1  0.91554001  s r  0.07642878s2r 0.55207243  0.55208459  0.947  0.454 1  0.91554001  0.947  0.07642878  (0.947) 2

El flujo de aire a través del queque está dado por: 1

 Sp e N    Qg    R m    k( )k ( ,s )    a a r     3 104  7.1105  8.33  103   2.44  7     2 10   4 9 1.85  10 5  10  0.454     3 4 3  875 cm s  8.75 10 m s

1

 75.6 m3 d 9.7

FILTROS A PRESIÓN

Tal como se indicó en la sección 9.1.5 los filtros a presión funcionan en forma semi-continua, esto es en etapas, formando un ciclo de filtrado. La pulpa es alimentada a las cámaras de filtración, espacios cerrados entre la tela permeable filtrante y un diafragma impermeable, desde un manifold por tantas mangueras como cámaras del filtro. Tan pronto como se cierran todas las cámaras, se bombea la pulpa, la que se distribuye uniformemente a través de la superficie horizontal de la tela en todas las cámaras. Cuando las cámaras se encuentran llenas, se bombea aire a alta presión detrás de los diafragmas. Esto inicia la filtración a presión en todas las cámaras. Aun cuando la filtración se inicia simultáneamente con el llenado de las cámaras, la formación de la torta se prolonga hasta el final de la etapa de prensado (expresión). Terminada esta etapa, se sopla aire sobre la torta para desplazar el agua retenida en sus poros. La torta puede ser descargada en ese momento, o puedes ser lavada, prensada y secada nuevamente. Terminado el proceso, cilindros hidráulicos abren el conjunto de placas para descargar el queque. En la tabla que sigue se muestra un ciclo típico de un filtro a presión (Droguett 2000). En la tabla Se puede observar que los tiempos de cada etapa del ciclo se pueden dividir entre el tiempo utilizado efectivamente en la filtración, llamado tiempo de filtración y el tiempo de operación del equipo que no contribuyen a la filtración y que reciben en nombre de tiempo muerto. En el ejemplo dado, 265 s corresponden al tiempo de filtración y 249 s al tiempo muerto. Es importante recalcar que cuando se desea optimizar un filtro a presión, se debe mejorar no solamente el tiempo de filtración, sino que se debe intentar disminuir el tiempo muerto.

296

Manual de Filtración & Separación ETAPA

FUNCIÓN

TIEMPO s

1

Cierre de las placas

50

2

Alimentación (llenado de cámaras)

85

3

Lavado del tubo de alimentación.

13

4

Lavado de mangueras de alimentación.

50

5

Prensado (expresión).

80

6

Liberación de aire comprimido

5

7

Abertura y cierre de tubo de desagüe

30

8

Soplado de la torta.

100

9

Drenaje de presión

10

10

Abertura de válvula de alimentación

1

11

Descarga de la torta y lavado de tela

18

12

Lavado de la tela

72

14

Total ciclo

514

Ejemplo 14 Con los datos del ejemplo 12 y para una temperatura de 20 °C, viscosidad del líquido   0.01 g cms , viscosidad del aire   0.000187 g cm  s , densidad del líquido de 1.00 g/cm3 y densidad del concentrado s  4.50 g cm3 , calcule la capacidad del filtro, en tpd para producir un queque con 8.5% de humedad aplicando una presión de aire de 6 bares para la formación de queque y soplado y de 7.5 bares para un prensado de 75 segundos, con un queque de espesor igual a 3.0 cm antes de prensar, en un filtro prensa de banda horizontal con un área de filtración de 144 m2. La alimentación y formación del queque toma 85 segundos. Del resultado obtenido en el problema 12 y datos adicionales tenemos: Etapa de formación del queque: p e  6  106 N m 2

  3.0 cm  0  0.520 R m  9.80  109 cm 1

k()  1.55  1010 cm2 S  144 m 2


297

Etapa de expresión: p e  7.5  106 N m 2

Reducción de la porosidad de  0  0.520 a

  0.362

Etapa de soplado: p e  6  106 N m 2   0.362

Correlación de las permeabilidades relativas reducidas k   exp  4.466256  4.4661532  s 2r  ka 

0.55207243  0.55208459  s r 1  0.91554001  s r  0.07642878sr2

s   0.535

Como el volumen del sólido es constante en el queque antes y después del prensado, podemos escribir: Vs  V1 (1  1 )  V2 (1   2 )

y como V    S , resulta:  2  1 

1  1 1  0.520  3.0   2.26 cm 1  2 1  0.362

Tiempo de soplado: Para la humedad deseada de 8.5%, la saturación es de: s

s 1   0 h 4.5 1  0.362 8.5   0.737 1 0.362 100  8.5 f  0 100  h

sr 

s  s  0.737  0.535   0.4344 1  s 1  0.535

De la expresión (9.35) y la función de permeabilidad relativa del líquido con a  4.466256 y b  4.4661532 , calculamos el tiempo de soplado para obtener un 8.5% de humedad final en el queque:

298

Manual de Filtración & Separación ts 

 0 p e

 0  pe 

  1  s   R m 1  s    k   0   

d  2 s r exp  a  b 



1

1

   1  s     1  R m 1  s      k   0    2b exp  a  b2     0.43

0.01  2.26  0.362  2.26  (1  0.535)   9.80  109  (1  0.737)   6 6  10 1.55  1010  

2  exp  4.466256  4.4661532       2  4.4661532    0.43 1

 91.7 s

Flujo de aire: El flujo de aire se calcula con la ecuación (9.36):

 Sp e    Qg   Rm      g  k( 0 )f g ( 0 ,s)   

1

1

    Sp e      1.24 106 cm3 s  1.24 m3 s  Q gs   R   g   m    a  cs r   k(0 )  2     1  bs r  ds r   

Consumo de aire: Va  Qa  t 3  1.24  91.7  113.8 m3

Capacidad del filtro: El tiempo de un ciclo es de: t  t a lim. formacion  t prensado  t soplado  t muerto  85  80  92  249  506 s

Esto significa que por cada ciclo de 506 s, se forma queque por sólo 85 s. Masa por ciclo:


299 12

12

 2  0 m   0 , t   s 1   0  S         1  0   0 

 k  

 2   4.5  (1  0.506)  144  104     0.01 

12

0

p1e 2 t1 2

0.5

0.5

0.381 0.5   10 0.5 6 0.5    1.55  10    6  10   85   1  0.381  0.506 

 2.356  107 g ciclo  2.356  107  3600 / 506 t ciclo  167.6 tph

9.8

REFERENCIAS

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300


Tiller, F.M. and Yeh, C.S., The role of porosity in Filtration. Part XI, Filtration followed by expression, AIChE J., 33(8), 1987, 1241-1256. Tiller, F.M. and Hsyung, N.B. and Cong, D.Z., The role of porosity in Filtration. Part XII, Filtration with Sedimentation, AIChE J., 41(5), 1153-1164. Wakeman, R.J. and Tarleton, Filtration: Equipment Selection, modeling and process Simulation, Elsevier Sci., Oxford, 1999, 81-82. Wakeman, R.J. and Tarleton, E.S., Filtration: Equipment Selection, modeling and process Simulation, Elsevier Sci., Oxford, 1999a, 23.

CAPÍTULO 10 AGREGACIÓN DE PARTÍCULAS POR FLOCULACIÓN 10.1 INTRODUCCIÓN El procesamiento de una mena para transformarla en un material valioso, tal como un concentrado de un mineral metálico o un mineral industrial, implica realizar una serie de operaciones consecutivas con el objetivo de liberar las especies valiosas de la mena, concentrarlas, separarlas del agua en que generalmente están suspendidas y secarlas. El paso más importante, ya sea porque sin él no existe proceso que recupere los materiales valiosos o porque es el más costoso de todos, es la reducción de tamaño. Es esencial disminuir el tamaño de las partículas de la mena hasta un punto tal en que las especies útiles se encuentren separadas del material estéril o ganga. Solamente así los procesos de concentración o separación podrán funcionar. A medida que las menas de alta ley se agotan, es necesario beneficiar materiales cada vez más pobres, que tienen por característica tener una diseminación más fina y, por lo tanto, requieren un mayor grado de molienda para su liberación. Por otra parte, es sabido que la flotación, uno de los procesos de concentración más utilizados en la actualidad, es más efectiva con partículas de un rango de tamaño intermedio. Partículas muy grandes, aunque estén liberadas, no pueden ser suspendidas por los agitadores de las celdas y las burbujas no son capaces de llevarlas a la espuma. Por otra parte, las partículas muy finas, denominadas lamas, perjudican la eficiencia de la flotación por varias razones que aquí no discutiremos. También es de conocimiento general que el tamaño de las partículas de una suspensión es una variable importante en los procesos de separación sólido-líquido, ya que suspensiones muy finas sedimentan y filtran muy lentamente. Se llega así a una situación en que, por un lado es necesario moler más fino para liberar las partículas y por el otro, al hacerlo se perjudica el propio proceso de concentración y las operaciones posteriores. La solución que se ha encontrado para este problema consiste en moler tan fino como sea necesario y luego aglomerar las partículas para crear entes mayores que puedan ser procesadas adecuadamente. Los aglomerantes se utilizan ocasionalmente en la flotación (ver capítulo 11 de este Manual) pero tienen su mayor aplicación en los procesos de separación sólido-líquido. Al aglomerarse, las partículas de una suspensión crecen en tamaño y adquieren una mayor velocidad de sedimentación, esencial para lograr una buena separación mediante espesamiento. Los aglomerados forman también queques de filtración más permeables que los de las partículas individuales, acelerando todo el proceso de filtración. Se puede distinguir tres procesos de agregación que se utilizan en la industria minera, la coagulación, la floculación y la agregación hidrófoba. Estos procesos se distinguen por sus mecanismos de agregación. 301

302


10.1.1 Coagulación Se denomina coagulación al proceso de agregación de partículas de una suspensión basado en la reducción de la repulsión ínter partícula, ya sea por neutralización de la carga superficial o por compresión de la doble capa eléctrica que rodean a todas las partículas en un electrolito. La figura 10.1 muestra la distribución de potencial de una partícula en un electrolito.

Fig. 10.1 Distribución de potencial alrededor de una partícula con carga eléctrica en un electrolito.

La interacción entre partículas en una dispersión se debe a dos tipos de fuerzas. Una fuerza atractiva de muy corto alcance, denominada fuerza de Van der Waals, y una fuerza repulsiva, de mucho mayor alcance, debido a la carga eléctrica superficial que poseen las partículas. Las fuerzas de Van der Waals dan origen a un potencial de atracción en la partícula dado por la siguiente expresión: VA  

d1d 2 H d1  d 2 12h

(10.1)

donde d1 y d2 son los diámetros de las partículas, h es la distancia entre partículas, H es la constante de Hameker-London (para dos esferas de cuarzo del mismo tamaño es aproximadamente A10-20).

CAPÍTULO 11 Floculación

303

La estabilidad de los coloides, que les permite no sedimentar en un campo gravitacional, se puede explicar por esta fuerza electrostática repulsiva que constituye una verdadera barrera para que las partículas se acerque lo suficiente como para que actúen las fuerzas atractivas de Van der Waals. El potencial de repulsión electrostática VE están dados por (Hogg et al 1966 ): VE 

1  exp  h   d1d 2   2 2  21 2 ln    1   2 ln 1  exp  2h   (10.2) d1  d 2 8  1  exp  h    





donde  es la constante dieléctrica del líquido, 1 y 2 son los potenciales superficiales



de las partículas 1 y 2 y  es el largo de Debye dado por:  1  2q 2 z 2 c 0  r kT



12

,

donde q, z y c son la carga, la valencia y la concentración de los iones en solución, 0 es la permitividad del espacio vacío y r es la constante dieléctrica de la solución. Las figuras 10.2 y 10.3 muestran en forma esquemática el potencial electrostático de una partícula suspendida en un electrolito.

Fig. 10.2 Esquema de la distribución de iones y potenciales alrededor de una partícula inmersa en un electrolito.

Fig. 10.3 Energía potencial de repulsión versus distancia para dos partículas de una suspensión.

304


Se sabe que la coagulación de partículas coloidales, con tamaños menores a 0.1m, está dominada por las fuerzas de London-Van der Waals y el movimiento browniano. Las fuerzas de interacción entre partículas ha sido cuantificada por la teoría de Derjagin-Landau-Verwey-Overbeek (DLVO). Esta teoría indica que el potencial resultante de la atracción de Van der Waals VA y repulsión electrostática da como resultado lo que se muestra en la figura 10.4.

Fig. 10.4 Energía potencial total versus distancia entre dos partículas mostrando cuatro tipos de interacción: A) coagulación rápida, B) coagulación secundaria débil, C) coagulación con barrera de energía y D) dispersión espontánea.

En el caso A, las partículas no experiencian fuerza repulsiva y caen directamente en el mínimo primario, el sistema es totalmente inestable y las partículas sufren una coagulación rápida irreversible. En el caso B, la repulsión produce un potencial máximo (Vmax) bastante alto lo que previene que las partículas coagulen espontáneamente, pero permite una coagulación débil en el potencial mínimo secundario (Vmin). Estos flóculos pueden re-dispersarse con facilidad La curva C muestra un potencial máximo lo suficientemente alto para prevenir la floculación. La curva D representa un sistema con fuerzas repulsivas tan grandes que impiden la floculación en toda circunstancia resultando en un sistema disperso estable. La barrera Vmax y el mínimo Vmin se pueden disminuir disminuyendo la repulsión electrostática mediante un aumento de la fuerza iónica de la solución, lo que disminuye el largo -1 de la doble capa eléctrica, o disminuyendo la carga superficial mediante la adición de contraiones. En general las partículas minerales suspendidas en agua poseen una carga superficial negativa por lo que la adición de cationes multivalentes, tales como Al3+, Fe3+, Fe2+, Ca2+ o Mg2+, las neutralizan y permiten su acercamiento y la actuación de


305

las fuerzas atractivas y, por lo tanto, su agregación formando coágulos. La condiciones de coagulación se pueden cuantificar a través del potencial  , que mide la magnitud del potencial electrostático en la superficie de las partículas (medido, por ejemplo, por electroforesis). Se denomina potencial  crítico al potencial bajo el cual las partículas coagulan. Las óptimas condiciones de coagulación se obtendrían en el punto isoeléctrico (=0). También se ha establecido empíricamente que la concentración crítica de iones para producir la coagulación es proporcional a z-2, donde z es la valencia del catión. Las suspensiones de partículas presentes en las diversas etapas del procesamiento de un mineral son de un tamaño mucho mayor que aquellas de un sistema coloidal. El rango de tamaño para lo que se denomina finos o lamas en procesamiento de minerales es de 1 a 10 m y las fuerza dominantes en tal sistema son las fuerzas inerciales ocasionadas por la convección forzada de un agitador o bomba y por la velocidad de sedimentación. Estas condiciones de flujo pueden conferir enorme energía a las partículas la que les permitiría sobrepasar la barrera de fuerzas repulsivas entre partículas sin necesidad de neutralizar la carga. Una agitación demasiado violenta dispersaría las partículas y la coagulación no se produciría. El resultado de estos dos tipos de coagulación, por neutralización de la carga superficial y aquel que sobrepasa la barrera de energía por medios hidrodinámicos, es distinto ya que en el primer caso se obtiene un agregado neutro mientras que en el segundo el agregado tiene carga eléctrica. La velocidad de coagulación queda descrita por la teoría de SmoluchowkiMüller (Laskowski y Pugh 1992, Gregory 1986). Designando por N el número de partículas, Ec la eficiencia de colisión, k la constante de Boltzman y  la viscosidad del líquido y T su temperatura, se puede escribir: dn 4 Ec kT   k c n 2 , donde k c  dt 3

(10.3)

La eficiencia de colisión, con valores de 0 a 1, depende de la estabilidad del coloide o suspensión, con el valor de Ec=1 para un sistema completamente estabilizado. Integrando la ecuación anterior, se obtiene: n  n0

1 1  n0kct

(10.4)

donde n0 es la concentración inicial de partículas. 10.1.2 Floculación La agregación de partículas mediante la adsorción de largas cadenas de polímeros en varias partículas se denomina floculación. De acuerdo a la forma en que el polímero actúa sobre las partículas se pueden distinguir diferentes formas de floculación.

306


La más importante, denominada floculación por puente, se produce por adsorción de una cantidad muy pequeña de polímero de larga cadena sobre varias partículas simultáneamente, produciendo puentes de hidrógeno entre el polímero y iones de oxígeno presentes en la superficie de partículas contiguas en el flóculo. Este tipo de floculación produce flóculos muy fuertes. A mayores concentraciones que las necesarias para la floculación, el floculante se adsorbe completamente en una partícula dejando poca oportunidad para adsorberse en otras partículas y re-estabilizando la suspensión. Por esta razón, existe una dosificación óptima para los floculantes poliméricos.

Fig. 10.5 Floculación por puente de hidrógeno. A) Floculación de varias partículas; b) re-estabilización por exceso de floculante.

Si dos o más polímeros lineales se adsorben sobre las partículas, se forma una red de tipo gel con forma de retículo tridimensional. En este caso el proceso de agregación recibe el nombre de floculación en red. El estricto control en la adición de floculante, lineales o ramificados, puede producir flóculos muy compactos conocidos como pelets. A este proceso se le llama floculación en pelet. Estos tres tipos de floculación están presentes con todo tipo de floculantes, neutros, catiónicos o aniónicos. En el caso de los neutros, o no-iónicos, es el único mecanismo presente. La acción de polímeros catiónicos sobre partículas cargadas negativamente es algo similar al proceso de coagulación, en que la neutralización de las cargas superficiales predomina por sobre la formación de puentes. Esta agregación recibe el nombre de floculación electrostática. Este proceso se debe distinguir de la secuencia de coagulación electrostática de una suspensión seguida por una floculación por puente. La industria minera utiliza más frecuentemente los polímeros aniónicos como floculantes que los catiónicos o los neutros. En este caso la adsorción se produce por enlaces covalentes o por reacción química en la superficie de las partículas y la aglomeración recibe el nombre de floculación por enlace de sal. De todos estas mecanismos de agregación, la floculación por puente es la más importante. Cuando se desea elegir un floculante para un proceso de agregación, el tipo de sólido, su carga superficial y los electrolitos presentes en la solución determinarán el reactivo necesario y el tipo de floculación.

CAPÍTULO 11 Floculación 10.2

307

FLOCULANTES POLIMÉRICOS: PROPIEDADES Y PREPARACIÓN

10.2.1 Propiedades Los floculante poliméricos son reactivos orgánicos con moléculas de cadena larga y pesos moleculares de 106 g o más. Pueden ser naturales, como los polisacáridos almidón, dextrina y agar-agar y coloides proteínicos como la cola animal, caseina, gelatina y alginatos, o sintéticos basados en materiales acrílicos provenientes de derivados del petróleo, tales como las poliacrilamidas de alto peso molecular. La ventaja de los floculantes sintéticos es que su estructura molecular, en términos de su contenido químico como peso molecular y su grado de hidrólisis, o ionocidad, pueden ser diseñada a voluntad de acuerdo a las necesidades encontradas en la industria. Como son producidos a partir de materias primas químicas, su calidad es más consistente que la de floculantes naturales. Además, pueden ser diseñados de pesos moleculares mucho mayores que los encontrados en la naturaleza, lo que les da una ventaja técnica y económica. En la figura 10.6 se muestra la estructura de tres tipos de floculantes poliméricos basados en poliacrilamidas.

Fig. 10.6 Diversos tipos de floculantes derivados de la poliacrilamida.

La figura 1) muestra la poliacrilamida pura que exhibe propiedades neutras en solución. La figura 2) muestra co-polímeros de acrilamida con grupos acrilatos, que le dan carácter aniónico al floculante. El número de estos grupos le da el grado de anionicidad al reactivo. La figura 3) también muestra co-polímeros, pero esta vez de carga positiva. La acción de estos floculantes depende de su ionicidad. Los polímeros en general accionan formando puentes de hidrógeno, como ya hemos visto, pero los polímeros iónicos reaccionan, además, por interacción electrostática. Por esta razón la elección del floculante adecuado para una cierta tarea dependerá del potencial y de la carga superficial de las partículas sólidas como de las condiciones fisicoquímicas de la

308


solución que la afectan, tales como el pH y la fuerza iónica. Otros ejemplos de polímeros sintéticos son:  No-iónicos:

óxido de polietileno; polivinil alcohol.

 Aniónicos:

poliestireno-sulfonato de sodio

 Catiónico:

poietilenamina; cloruro de dialidimetil-amonio.

La tabla 10.1 muestra floculantes poliméricos del tipo de la figura 10.6, sus propiedades y sus aplicaciones en diversas industrias. Los pesos moleculares de estos polímeros van de 6 a 20 millones Tabla 10.1 Tipo de floculantes poliméricos basados en poliacrilamida (Stockhausen 2000) Tipo de polímero Neutros Aplicaciones

Aniónicos leve <30%

Agua Potable Agua Industrial Minería: Carbón/Mineral Agua de Lavado Concentrados de Flotación Relaves de Flotación Licores de Lixiviación Suspensiones de bio-tecn. Industria Química Salmueras Ácidas Salmueras Alcalinas Pigmentos Inorgánicos Pigmentos Orgánicos Procesamiento de Metales Industria del Papel Industrial/Municipal:Aguas Sanitarias Lodos frescos Lodos digeridos Lodos sobrantes

Catiónicos

medio fuerte 50%

>75%

leve <30%

medio fuerte 50%

>75%


309

Las características más importantes de los floculantes poliméricos son su peso molecular, la naturaleza de su grupo funcional, especialmente en el caso de grupos iónicos, la densidad de carga. La densidad de carga depende del número de grupos ionizables y el grado de ionización. La carga queda determinada en el proceso de síntesis del reactivo y el grado de ionización depende de la naturaleza del grupo iónico y de las condiciones de la solución. Grupos fuertemente ionizados, tales como los sulfonatos o las aminas cuaternarias, están totalmente cargados en la mayoría de los casos. Grupos débilmente ionizados, tales como carboxilos y aminas terciarias, son afectados por el pH de la solución. Polímeros aniónicos con grupos carboxílicos no se cargan totalmente hasta que el pH se lleva a valores mayores de 6. En soluciones más ácidas el grado de ionización se reduce. Polímeros catiónicos, basados en grupos de aminas terciarias, muestran una carga reducida cuando el pH es mayor que 8. Cuando partículas cargadas negativamente entran en contacto con polímeros noiónicos o aniónicos, no hay floculación a menos que se agregue cationes, como pro ejemplo Ca2+. Este ión promueve la adsorción del polímero sobre la superficie de la partícula al unirse simultáneamente con los grupos aniónicos del polímero y con los sitios negativos de la superficie del mineral. Un ejemplo de este efecto se encuentra en la floculación de caolín con polímeros aniónicos. El caolín no es floculado en soluciones de NaCl, pero flocula al modo de puente en presencia de una pequeña cantidad (1-2 mM) de iones Ca2+. Existe una densidad de carga eléctrica óptima de los poli electrólitos para la floculación por puente. Por ejemplo, la floculación de suspensiones con poliacrilamida mejora a medida que el peso molecular del polímero aumenta y existe un valor óptimo de hidrólisis de alrededor de 30%. Un aumento de la hidrólisis produce la repulsión mutua de diversos segmentos del polímero con el efecto que la cadena hidrocarbonada se endereza expandiéndose. Simultáneamente, el aumento de ionicidad disminuye la adsorción del polímero sobre las partículas negativas. El valor óptimo de hidrólisis es el mejor compromiso entre estas dos tendencias. Los polímeros que tienen carga opuesta a las partículas se adsorben fuertemente debido a la atracción iónica. En estos casos las cadenas de poli-electrolitos adquieren una configuración plana sobre la superficie de las partículas reduciendo considerablemente las posibilidades de una adsorción por puente. Los polímeros catiónicos se utilizan ampliamente para la floculación de partículas negativas y la neutralización de la carga explica totalmente el mecanismo de floculación. La condición óptima de floculación, en este caso, corresponde a la neutralización de las cargas. Un exceso de floculante puede re-estabilizar la suspensión dándole una carga positiva a las partículas. Los mejores floculantes para esta tarea son polímeros con la mayor carga eléctrica, siendo su peso molecular un factor secundario.

10.2.2 Preparación Las empresas proveedoras de floculantes ofrecen estos productos en diversas formas, frecuentemente como gránulos, emulsiones o soluciones acuosas. Como los floculantes son utilizados normalmente en soluciones muy diluidas, es conveniente

310


preparar una solución madre con una concentración entre 0.5 y 1% de floculante en peso. Para su uso esta solución se diluye nuevamente a valores de 0.01 a 0.1% en peso según sea necesario. Cuando se prepara una solución madre a partir de floculante en forma granulada, es importante que cada gránulo individual sea mojado con agua de manera evite la formación de grumos que se disuelven muy lentamente. Para preparar solución al 0.5% echar 497.5 ml de agua destilada en un matraz. Agitando intensamente agregar 2.5g de floculante granulado lentamente, gránulo por gránulo, de modo que sean succionados por el vórtice del formado por la agitación. Terminado este proceso, disminuir la agitación lentamente hasta que no se produzca turbulencia, pero que las partículas permanezcan en suspensión. Después de algunos minutos, los gránulos comienzan a hincharse y la solución se torna viscosa y luego de 60 minutos de agitación debiera haber una solución homogénea. La solución madre lista puede ser guardada en una botella cerrada y utilizada por aproximadamente 2 meses. La solución madre se prepara en forma similar para floculantes en forma de emulsión. En este caso, el líquido se adiciona lentamente al agua agitada en forma de un hilo fino. La volumen de líquido se calcula con la densidad de la emulsión. Si no se dispone de otra información usar la densidad de 1 g/cm3. En este caso se debe agitar la mezcla por al menos 20 minutos. Floculante provistos en forma de solución acuosa se los puede diluir directamente a la concentración deseada vertiéndolos en agua destilada mientras se los agita suavemente. El tiempo de mezcla necesario es sólo de algunos minutos. 10.3 CINÉTICA DE LA FLOCULACIÓN La velocidad a la que se produce la floculación está gobernada principalmente por la velocidad de colisión de las partículas, pero también por la fracción de superficie cubierta por el floculante. Cuando la colisión de partículas se produce por agitación mecánica o hidrodinámica, la floculación se dice ortocinética. De acuerdo con Healy y La Mer (1966) y Gregory (1986), en la floculación ortocinética los flóculos se forman a una velocidad dada por: dn   k( )k  Ec ,  ,d  n 2 dt

donde

k()  (1  ) y k  E c ,  ,d  

(10.5) 16 E c  d 3 3

(10.6)

donde  es la cobertura de superficie por floculante, d es el diámetro del flóculo y k es un parámetro que depende de la eficiencia de colisión Ec, la velocidad de cizalle  y del tamaño de partícula d. Esta expresión indica que la óptima cobertura de floculante es de =0.5, por lo tanto k  1 4 para la dosificación óptima de floculante. Si logramos establecer las condiciones en que se produzca una cobertura óptima de floculante, la cinética de floculación en estas condiciones se puede escribir en la forma:


311 dn 4    d 3Ec n 2 dt 3

(10.7)

Para valores constantes de  , d y Ec , integrando (10.7) se puede obtener la el número de partículas restantes en el tiempo t: n

n0 1   4n 0  E c d 3 3 t

(10.8)

Utilizando la relación entre el número de partículas restantes n y concentración de estas partículas de la suspensión como fracción volumétrica de sólidos, tenemos   4 3 d 3n y reemplazando en la ecuación anterior se obtiene 

0 1   0  E c   t

(10.9)

Definamos el grado de floculación mediante la expresión:   G f  100  0   0  G f  100

entonces

(10.10)

0  E c t   0  E c t

(10.11)

Suponiendo que la eficiencia de floculación es del 100%, el grado de floculación depende solamente de la velocidad de cizalle. La figura que sigue muestra el grado de floculación en el tiempo para varias velocidades de cizalle. 100,0 90,0

=100 s-1

Grado de Floculación %

80,0 70,0

=50 s

-1

60,0 50,0

=10 s-1

40,0 30,0 20,0

=1 s-1

10,0 0,0 0

5

10

15

20

25

30

Tiempo en segundos

Grado de floculación en el tiempo para varias velocidades de cizalle.

312


Se puede observar que la intensidad de agitación del fluido, cuantificado a través de la velocidad de cizalle influye fuertemente en el tiempo necesario para obtener una buena floculación. Por ejemplo se necesita 5 y 10 segundos para obtener una floculación del 95% con velocidades de cizalle de 100 y 50 s-1, mientras que con velocidades menores de 10 s-1no se logra más que un 84% en .

10.4 HIDRODINÁMICA DE LA FLOCULACIÓN Los parámetros  y Ec dependen de las condiciones hidrodinámicas en que efectúa la floculación. El valor de la eficiencia de colisión Ec depende de las condiciones de estabilidad de la suspensión a flocular. Una suspensión totalmente desestabilizada tiene un Ec=1. Este es el caso de la mayoría de las suspensiones de minerales, ya que tienen un tamaño mucho mayor que el coloidal. Para un caso particular el valor de Ec solamente se puede establecer empíricamente. La velocidad de cizalle se puede establecer de la hidrodinámica del problema. Como ejemplo veremos los casos de floculación en una cañería y en un estanque agitado.

10.4.1 Floculación en una cañería En un tubo circular, donde Q es el caudal y D es el diámetro de la cañería, ambos en unidades homogéneas, la velocidad de cizalle promedio se puede aproximar por:  

Q D3

(10.12)

Por ejemplo, una tubería de 12” con una velocidad de 2 m/s, la velocidad de cizalle es de   0.14 0.33  5 s 1 .

10.4.2 Floculación en un feedwell Köck y Concha (1999) presentaron la modelación de un feedwell característico mediante CFD, usando el código Fluent. En el trabajo se determinó que la velocidad de cizalle promedio en el aparato es muy pequeña, del orden de 1s-1.

Ejemplo 1. Calcular el grado de floculación en función del tiempo para un espesador con una alimentación de Q=2450 m3/h a una concentración de 25% de sólidos en peso. Suponga que la eficiencia de floculación es de Ec=85% y que la velocidad de cizalle es de   1, 20, 50 s 1 .


313

El flujo es: Q  2450 / 3600  0.681 m3 s y la concentración volumétrica de sólidos es: 0  25  2.5 * (100  25)  25   0.118 . La ecuación a resolver es: G f  100

0  E c t 0.130 *  * 0.85 * t  100    0 E c t   0.130 *  * 0.85 * t

100.0 90.0 =50 s-1

Grado de floculación en %

80.0 =20 s-1

70.0

=10 s-1

60.0 50.0 40.0 30.0 20.0

=1 s-1

10.0 0.0 0

10

20

30

40

50

60

Tiempo en segundos

Grado de floculación versus tiempo para una eficiencia de floculación de 85% y diversos valores de la velocidad de cizalle.

En el ejemplo se observa la importancia de la agitación en el grado de floculación. La tabla muestra los resultados

Grado de floculación en % Tiempo s

 =50 s

 =20 s-1

 =10 s-1

 =1 s-1

0

0

0

0

0

5

89.8

80.5

63.8

15.0

10

94.6

89.2

77.9

26.0

15

96.3

92.5

84.1

34.4

20

97.3

94.3

87.6

41.3

50

99.0

97.6

90.4

67.4

-1

314


Mientras con una buena agitación de   20 s 1 a   50 s 1 se llega a valores sobre 90% de floculación en menos de 15 segundos, agitaciones de   1 s 1 a   10 s 1 logran grados de floculación de sólo 38 a 86% para el mismo tiempo.

10.5 REFERENCIAS La Mer, V.K. and Healy, T.W., 1963. Adsorption-Flocculation reactions of macromolecules at the solid-liquid interface, Rev. Par. Appl. Chem., 13, 112. Gregory, J., Flocculation, 1986. In Progress in Filtration and Separation 4., R.J. Wakeman (ed.), Elsevier, pp. 83-90. Hogg, R., Healy T.W. and Fuerstenau, D.W., 1966. Trans. Faraday Soc., 62, 1638. Laskowski, J.S and Pugh, R.J., 1992. Dispersion stability and dispersing agents. In Colloid Chemistry in Mineral Processing, Ed. J.S. Laskowski and J. Ralston, Elsevier, New York, 115-171. Gregory, J., 1986. Flocculation. In Progress in Filtration and Separation 4., Ed. R.J. Wakeman, Elsevier, New York, 55-99. Stockhausen Degussa-Hüls Group, 2000. Auxiliaries for the Mining Industries, Business Unit for Water Treatment catalog. La Mer, V.K., 1966. Disc. Faraday Soc., 42, 248.

CAPÍTULO 11 AGREGACIÓN DE PARTÍCULAS EN PROCESAMIENTO DE MINERALES

Janusz S. Laskowski University of British Columbia Vancouver, B.C., Canada.

RESUMEN Debido a la fineza con que generalmente se debe moler para obtener la liberación de las especies mineralógicas útiles en el procesamiento de un mineral, se dificulta tanto el proceso de concentración como los procesos de separación sólidolíquido. Por esta razón en la mayoría de los casos se debe recurrir a la agregación de las partículas, lo que se consigue mediante el uso de floculantes. Estos son productos macromoleculares formados por polímeros iónicos de cadena larga y son utilizados comúnmente en el espesamiento y filtración de relaves del proceso de flotación. Debido a su naturaleza iónica, estos floculantes producen flóculos hidrofílicos que son incompatibles con la flotación. Por ello, cuando es necesario la agregación en los circuitos de flotación, sólo se puede incorporar aglomerantes que produzcan flóculos hidrofóbicos. Por esta misma razón, para la separación sólido-líquido de concentrados de flotación, es conveniente utilizar floculantes hidrófobos.

315

316


11.1 INTRODUCCION La separación de especies valiosas del material desechable en las rocas solamente se puede realizar si los granos de minerales se encuentran como partículas discretas liberadas. A medida que la ley de las menas disminuye, las especies minerales se encuentran cada vez más finamente diseminadas en la roca. La liberación se obtiene mediante reducción de tamaño en circuitos de trituración y molienda. Desgraciadamente es imposible obtener una liberación total sin producir una gran cantidad de material fino indeseable. Los resultados de la separación dependen fuertemente del tamaño de las partículas y, como en todos los procesos de separación, existe un rango de tamaño óptimo para la concentración. Las recuperaciones de materiales muy finos y muy gruesos, que están fuera de este rango óptimo, son bajas. Por lo tanto para lograr una recuperación global satisfactoria es necesario controlar cuidadosamente el tamaño de las partículas procesadas. Las operaciones unitarias en el procesamiento de partículas finas se pueden dividir en conminución, concentración, desaguado y clarificación. Ver figura 1.

Mena

Agua reciclada conminución separación clarificación Agregación selectiva

desaguado

Agregación no selectiva

Fig. 1 Diagrama de flujo simplificado de una planta de procesamiento de minerales

La reducción de tamaño es necesaria para liberar las especies valiosas y la separación es fuertemente dependiente del grado de liberación. Sin embargo, la separación se empeora y la separación sólido-líquido (espesamiento y filtración) se hace más difícil cuando las partículas son muy finas. En estos casos la agregación de partículas puede

CAPÍTULO 11. Agregación en Procesamiento de Minerales

317

ser beneficiosa para ambos procesos. La figura 1 muestra la relación de los procesos de agregación de partículas con las operaciones. Mientras la agregación selectiva se lleva a cabo en la operación de separación, en que las propiedades finales de los agregados son de primordial importancia, como es el caso de la flotación, la agregación noselectiva se realiza en el circuito de desaguado y las propiedades de los agregados son de menor importancia. Queda en evidencia, entonces, que la diferencia entre estos dos procesos de agregación es la selectividad. En el primer caso se desea un agregado selectivo que involucre solamente a las especies valiosas, mientras que para la separación sólido-líquido, mientras menos selectivos son los agregados mejor.

11.2 AGREGACIÓN EN PROCESAMIENTO DE MINERALES Existen muchos métodos para aumentar el tamaño de partículas sólidas (Capes & Darcovich 1997). En el caso de la separación sólido-líquido el método más utilizado es la floculación (bridging) con reactivos poliméricos, los que son solubles en agua y, por lo tanto, son hidrofílicos. Por otra parte, las partículas sólidas también pueden ser agregadas por un segundo líquido, inmiscible en el agua, presente en el proceso. Este tipo de agregación se denomina aglomeración por aceite y consiste en que un aceite hidrocarbonado se utiliza para aglomerar partículas hidrófobas suspendidas en agua (Capes 1989, Laskowski 1992) dando por resultado un aglomerado hidrófobo. Existe un nuevo material aglomerante de tipo latex, denominado floculante hidrófobo, que actúan en forma intermedia entre los floculantes y la aglomeración por aceite. Las partículas de latex son hidrofóbicas y operan en forma similar al aceite aglomerante. La tabla 1 muestra una clasificación del fenómeno de agregación como función de la mojabilidad del sólido y el tipo de aditivo químico (Laskowki & Castro).

11.2.1 Floculación Es aceptado universalmente que el mecanismo de acción para agregar partículas pequeñas en suspensión usando polímeros como floculantes es la formación de puentes. Se considera que la formación de puentes es la consecuencia de la adsorción de segmentos de las macromoléculas del floculante en la superficie de más de una partícula, que las liga en flóculos sueltos. La cobertura incompleta de la superficie de estas partículas asegura que, durante la colisión de estos flóculos con otros, haya suficiente espacio disponible en las partículas para adsorber segmentos de las cadenas adsorbidas a otras partículas (Hogg 1984). Es importante notar que la adsorción y floculación no son procesos separados y secuenciales, sino que ocurren simultáneamente (Hogg 1999). La adición de diferentes dosificaciones y tipos de mezcla a que es sometida la suspensión dan como resultado tamaños de flóculos y velocidades de sedimentación muy diferentes (Keyes & Hogg 1979, Hogg et al 1993). Kitchner (1972) indicaba que el mérito de los floculantes poliméricos es su habilidad para producir flóculos más grandes y fuertes que los que se puede obtener por coagulación. Aún cuando teóricamente los floculante pueden ser aplicados a una suspensión directamente o después de desestabilizarla por coagulación, se sabe por

318


experiencia que los floculante no son muy efectivos con suspensiones estables, por lo que es preferible utilizar previamente coagulantes para desestabilizarlas (Kitchner 1972, Wright & Kitchner 1976). Tabla 1 Fenómenos de agregación como función de la mojabilidad del sólido y tipo de aditivo químico Tipo de aditivo Mojabilidad del

Propiedades

sólido

resultantes Crecimiento de tamaño

Latex hidrófobo

Aceite emulsificado

Si

No

No

Hidrofílico

-

-

Mecanismo

Adsorciónbridging

-

-

Crecimiento de tamaño

Si

Si

Si

Hidrofílico

-

Hidrofílico

Adsorciónbridging

Hidrófobo

Bridging por líquido inmiscible

Crecimiento de tamaño

Si

Si

Si

Mojabilidad del flóculo

Hidrofílico

Hidrófobo

Hidrófobo

Adsorciónbridging

Coagulación hidrófoba

Bridging por líquido inmiscible

Sólido hidrofílico Mojabilidad del flóculo

Sólido levemente Mojabilidad del flóculo hidrófobo Mecanismo

Sólido hidrófobo

Floculante hidrofílico

Mecanismo

El caso más típico de uso de floculantes en procesamiento de minerales es la separación sólido-líquido (agregación no-selectiva en la figura 1). Generalmente están presentes partículas muy pequeñas, frecuentemente arcillas como en el caso de colas de flotación, y floculante de poliacrilamida. Aún cuando las poliacrilamidas se las presenta como floculantes no-iónicos, la verdad es que la mayoría de las versiones comerciales de estos productos son poliacrilamidas hidrolizadas (o co-polímeros de la acrilamida y ácido acrílico). Como resultado, ellas contienen algunos grupos carboxílicos, los que se cuantifican a través del grado de anionionicidad (100% para una poliacrilamida totalmente hidrolizada, que corresponde al ácido poliacrílico). Esto significa que las propiedades de tales floculantes dependen no solamente del peso molecular sino que también de grado de anionicidad. (Rogers & Poling 1978). La aplicación de floculante poliméricos en la separación sólido-líquido será ilustrada a través de los resultados obtenidos por Sworska et al (2000) con relaves de Syncrude. La figura 2 muestra el efecto de la dosificación de Percol 727 (floculante de poliacrilamida con 30% de anionicidad) y del pH en la velocidad inicial de


319

sedimentación de los relaves de Syncrude (en su mayoría minerales de arcilla, tales como caolinita e ilita).

120

7

100 Percol 727, ppm

isr, m/h

6 5 4 3 2 1

80 60

7

40

8

20 0 0

2

4

6

8

10

12

14

pH

Fig. 2 Efecto de la dosificación de Percol 727 y del pH en la velocidad inicial de sedimentación de los relaves de Syncrude (Sworska et al 2000).

La figura 3 muestra la concentración de sólido remanente en suspensión después de que se completara la sedimentación de la experiencia mostrada en la figura 2. Comparando ambas figuras revela que la floculación en un medio ácido produce una buena velocidad de sedimentación y un bajo contenido de sólidos en el líquido sobrenadante. Se sabe que las suspensiones de arcilla tienden a coagular en soluciones ácidas y, por lo tanto, la floculación en dichas condiciones es muy buena. De acuerdo con Hogg (1999), cuando se agrega un floculante a una suspensión estable se obtiene como resultado una distribución bimodal de partículas-flóculos, con flóculos grandes junto a partículas sólidos dispersas. Las figuras 2 y 3 muestran que esto sucede en suspensiones alcalinas en la que las arcillas son estables. Esta situación cambia radicalmente si se adiciona previamente cationes multivalentes (como pro ejemplo Mg2+ o Ca2+) para desestabilizar la suspensión. La figura 4 muestra los resultados de introducir iones magnesio en la suspensión.

320


120

Solid %

Percol 727, ppm

0.5

0.3

100

0.8

1 1.3

80 1.5

60 1.8

40

2.0 2.3

20

2.5

0 0

2

4

6

8

10

12

14

pH

Fig. 3 Concentración de sólido remanente en suspensión en la solución sobrenadante después de que se completara la sedimentación en función de la dosificación de Percol 727 y del pH.

100

isr, m/h

9

90

Mg2+, 0.008 mol/dm3

1 80

3 Percol 727, ppm

70

5 60

7

50

11

40

13 30 20 10

15

0 0

2

4

6

8

10

12

14

pH

Fig. 4 Efecto de la dosificación de Percol 727 y del pH en la velocidad inicial de sedimentación de los relaves de Syncrude en presencia de 8x10-3 mol/dm3 de iones Mg2+ (Sworska et al 2000).

Los resultados obtenidos con la adición de Mg2+ no son muy diferentes que aquellos sin este ión, pero en presencia de Mg2+ las velocidades de sedimentación más


321

altas se encuentran en el rango alcalino. La figura 5muestra la diferencia más significativa: la desestabilización del sistema por coagulación en la presencia de cationes multivalentes produce una buena floculación y, ahora, el dominio de las altas velocidades de sedimentación coincide con el de las más bajas concentraciones de sólido en la solución sobrenadante. Esto coincide con las ideas de Wright & Kitchner (1976) que encontraron que las pulpas de montmorillonita pueden hacerse filtrable con una combinación de coagulantes (por ejemplo, sales de Mg2+) y un floculante polimérico con el óxido de polietileno, PEO. Este floculante es muy interesante y Scheiner et al (Brown & Scheiner 1983, Scheiner & Stanley 1985) desarrollaron un proceso en el cual producían flóculos con PEO de alto peso molecular, les permitían agrandarse por medio de agitación y luego los separaban en harneros. Se ha indicado que estos flóculos no se destruían al ser mojados por una lluvia de agua. Los floculante más comúnmente utilizados en el espesamiento y filtración son los de poliacrilamidas. Estos floculante mejoran dramáticamente la velocidad de filtración pero, como son macromolécula hidrofílicas, ellos no reducen la humedad del queque. Es natural que la humedad del queque sería menor si los flóculos fueran hidrófobos. En este contexto, el PEO difiere de las poliacrilamidas.

140

Mg2+, 0.008 mol/dm3

Solid %

1

Percol 727, ppm

120 100

0.5

80 60

0.3

40 20 0 0

2

4

6

8

10

12

14

pH

Fig. 5 Efecto de la dosificación de Percol 727 y del pH en la concentración de sólidos de la solución sobrenadante después de completa la sedimentación, en presencia de 8x10-3 mol/dm3 de iones Mg2+ (Sworska eta al 2000).

11.2.2 Floculantes poliméricos en circuitos de flotación Aún cuando la flotación como proceso queda fuera del ámbito de este Manual, es interesante mostrar la aplicación de la floculación en la flotación, ya que ella está íntimamente relacionada a las propiedades superficiales de los flóculos. Para discutir

322


estas aplicaciones es necesario primero tener información sobre las propiedades superficiales de los flóculos, las que raramente son estudiadas. Palmes & Laskowski (1993) realizaron estudios comparativos de floculación con dos tipos de carbón y diversos floculantes, concluyendo que los resultados de floculación dependían tanto del tipo de floculante como de las propiedades superficiales del carbón. El análisis de las dos muestras de carbón bituminoso no revelaron diferencia significativa entre ellas. Tabla 2 Análisis de dos muestras de carbón bituminoso Muestra

FD-4

FD-13

Ceniza

8.4

9.4

Contenido de humedad %

0.71

2.84

Contenido de materia volátil %

19.74

22.43

78.3

74.4

dmmf

Carbón fijo FC

,%

Sin embargo, la acidez total de las muestras desmineralizadas fue de 0.04 meq/g para la muestra FD-4 y 1.22 meq/g para la muestra FD-13 y sus humedades de equilibrio eran de 0.94% para la primera y 4.59% para la segunda (Laskowski & Yu 2000). Estos ensayos revelaron que la muestra FD-13 estaba oxidada y debiera ser hidrofílica. Mediciones de ángulo de contacto en muestras pulidas de estos carbones mostraron que la muestra FD-4 tiene av  80 y rec  50 , mientras que la muestra FD-13 tiene av  45 y rec  25 (Pawlik et al 1997). Estos resultados confirman que mientras la muestra de carbón FD-4 es hidrófoba la muestra FD-13 es hidrofílica. La figura 6 muestra el efecto del floculante Polyacrilamida (PAM), Floculante semi-hidrófobo (F1029-D), del óxido de polietileno (PEO) y del floculante hidrófobo (UBC-1) en la floculación de las dos muestras de carbón finamente molidas (Laskowski & Yu 1998, Laskowski & Yu 2000). El floculante semi-hidrófobo F1029D fue descrito por Attia et al (1987) como un co-polímero de acrilamida (85%), acrilato de sodio (5%) y 2-etilhexil ester del ácido acrílico (10%). Los resultados revelan que, mientras los PAM floculan ambas muestras bastante bien, los floculantes F1029-D y PEO floculan la muestra FD-4 muy eficientemente pero no son tan eficientes con la muestra FD-13 y el floculante MBC-1 flocula muy bien la muestra FD-4 pero no flocula absolutamente la muestra FD-13 (el floculante hidrófobo FR-7A se comporta igual que el UBC-1). De estos resultados se puede concluir que las propiedades de la superficie de los carbones es importante en la habilidad de floculantes de agregar las partículas. El floculante hidrofílico PAM no es selectivo y flocula ambas muestras, pero los floculantes hidrófobosUBC-1 y FR-7A solamente floculan las partículas hidrófobas. Los floculante F1029-D y PEO se comportan en forma intermedia. Se puede concluir que los floculantes PAM son útiles en la separación sólido-líquido, pero en flotación solamente se puede usar los floculantes hidrófobos tipo latex.

CAPÍTULO 11. Agregación en Procesamiento de Minerales 120

80

Flocculation, %

Flocculation, %

FD-4

FD-4

100 80 60

FD-13

40

PAM

20

60

F-1029D 40

FD-13 20

b

a

0

0 0

100

200

300

400

500

600

700

0

100

PAM Dosage, g/t

300

400

500

600

700

100 80

Flocculation, %

80

Flocculation, %

200

F1029-D Dosage, g/t

100

FD-4 60

PEO

40 20 0

323

FD-13 0

100

200

300

400

PEO Dosage, g/t

600

60

UBC-1 40 20

c 500

FD-4

FD-13 700

0

0

100

200

300

400

d 500

600

700

UBC-1 Dosage, g/t

Fig. 6 Efecto de la dosificación de floculante en la agregación de muestras ultrafinas de carbones FD-4 y FD-13 con a) PAM, b) con F1029-D, c) con PEO y d) con UBC-1

Los resultados de la figura 6 están en perfecto acuerdo con los resultados obtenidos con PEO por Rubio y Kitchener. Experimentos de adsorción y floculación de suspensiones de sílice mostraron que PEO se adsorbe en sílice hidrofóbica (formada por calentamiento a 500-600°C) y la flocula fuertemente (Rubio & Kitchner 1976). La buena floculación de minerales inherentemente hidrófobos (tales como talco, grafito y algunos sulfuros) y minerales hidrófobizados por tratamiento previo (por ejemplo de malaquita y crisocola con Na2S) llevan al concepto de floculación selectiva basada en la diferencia de mojabilidad de las partículas sólidas (Rubio & Kitchner 1977, Rubio 1981). Esta acción es obviamente de naturaleza diferente que la floculación selectiva resultante de la interacción química entre una macromolécula hidrofílica y una superficie sólida (ejemplo adsorción de almidón sobre hematita) y que llevan a la formación de flóculos hidrofílicos. También vale la pena mencionar que los resultados de la figura 6 están en pleno acuerdo con los de Gochin et al (1985) que informa que PEO flocula muy eficientemente suspensiones de antracita pero era completamente ineficiente para flocular suspensiones de antracita oxidada. En la separación sólido-líquido se requiere que la floculación produzca un aumento de tamaño de las partículas para aumentar la velocidad de sedimentación y velocidad de filtración. En la flotación, se requiere que la floculación sea selectiva y que los flóculos producidos sean suficientemente hidrófobos para ser flotables. Mientras el primer requerimiento es obvio, el segundo necesita mayor discusión.

324


Pikkat-Ordynskyi & Ostryi (1972) y Williams & Unlu (1978) informaron que floculantes comerciales, tales como dextrinas y otros polisacáridos, actúan como depresores en la flotación de carbón. La figura 7 muestra ángulos de contacto sobre antracita en presencia de diversos polímeros (Pradip & Fuerstenau 1987). Gebhard & Fuerstenau (1984) estudiaron la flotación de hematita con dodecil sulfonato de sodio. La hematita se vuelve hidrófoba y flota muy bien con este reactivo. Sin embargo la adición de 1-2 ppm de PAM o PAA (ácido poliacrílico) es suficiente para reducir el ángulo de contacto desde valor iniciales de 80-90° a prácticamente 0° (ver figura 8). Usando hematita muy fina (80% bajo 2 m) Gebhard & Fuerstenau (1986) demostraron que, a bajas dosis de PAA (hasta 30 mg/m2 de superficie sólida), se podía mejorar significativamente la flotación de este material. Laskowski & Castro (1999) muestran el efecto de floculantes comerciales (Nalco 9809) sobre la flotación de molibdenita, indicando que ésta se deprime con estos floculantes (ver figura 9). 70

Anthracite

Flocculation, %

60 50

PAM & PAA

40 30

Separan NP10, m.wt. 106 Magnafloc 905N, m.wt. 107 Methocel F 4M, m.wt.90,000

20 10 0

0

300

600

900

1200

1500

1800

PAM Dosage, g/t

Fig. 7 Efecto de (PAM) y (PAA) e hidroxilpropil celulosa (Methocel) en el ángulo de contacto de antracita a pH 6.0-6.8 (Pradip & Fuerstenau 1987). Contact Angle, degrees

100

Hematite 80

10-3 mol/dm3 NaCl 10-3 mol/dm3 SDS pH 4.1

60

Receding 40 20

Advancing 0 0

1

2

3

4

5

PAM Concentration, mg/dm 3

Fig. 8 Efecto de la concentración de PAM sobre la mojabilidad de discos comprimidos de hematita, equilibrada con 10-3 M de dodecilsulfonato de sodio (Gebhard & Fuerstenau 1984).


325

100

Mo recovery, %

0 2 5 10

80

60

30

40 20

40

60

Mean particle size, mm

Fig. 9 Efecto del tamaño de partícula y dosificación del floculante Nalco 9809 en la flotación de molibdenita con ispX=28 g/t, MIBC=36 g/ton, pH=11. (Laskowski & Castro 1999).

Como todos estos resultados provienen de diferentes fuentes y laboratorios, se puede concluir que el uso de floculantes comerciales de tipo polielectrolito es nocivo en los circuitos de flotación. Aunque no existe suficiente evidencia del efecto de floculantes semi-hidrófobos en la flotación, se puede esperar que ellos no sean tan dramáticos. Hasta la fecha se ha probado varios aglomerantes hidrófobos, también llamados floculantes hidrófobos, incluyendo latex de poliestireno (Littlefair & Loqwe 1986), latex FR-7A (Attia et al 1987) y latex UBC-1 (Laskowski eta al 1995). Estos aglomerantes se preparan por polimerización-emulsión. Los filmes que se obtienen por evaporación de los látices FR-7A y del UBC-1 son hidrófobos dando ángulos de avanzada de av  60 en ambos casos. Las partículas hidrofóbicas de estos aglomerados están cargadas negativamente en agua (Castro et al 1997, Laskowski & Castro 1999, Laskowski & Yu 2000). La figura 6 también muestra los resultados de floculación usando UBC-1 y demuestran claramente que este reactivo flocula selectivamente las partículas de carbón hidrófobas. Ensayos posteriores de filtración también corroboraron esta conclusión (Laskowski & Yu 1998, Laskowski & Yu 2000). Ensayos de floculación confirman que productos comerciales PAM, tales como Magnafloc 139 y Nalco 9809, y los floculantes hidrófobos utilizados agregan las partículas de molibdenita (Laskowski & Castro 1999). Sin embargo, como muestran los resultados de la figura 9, la flotación de molibdenita fina fue deprimida en presencia de polielectrolitos, mientras que la adición del floculante hidrófobo UBC-1 mejora la flotación (ver figuras 10 y 11). La diferencia entre los dos aditivos, PAM y UBC-1, es obvia. Ambos agregan las partículas de molibdenita. Sin embargo el PAM produce flóculos hidrofílicos que empeoran la flotación mientras que el UBC-1 da flóculos hidrófobos que la mejoran.

Manual de Filtración & Separación Mo recovery and grade, %

326 100

%R, 12  m %G, 8  m

80 60

%G, 12  m

40

%R, 8  m

20

pH=11

0 0

50

100

150

200

250

300

350

Agglomerant dosage, g/l

Mo recovery and grade, %

Fig. 10 Efecto de la dosificación del aglomerante UBC-1 sobre la flotación de partículas finas de molibdenita de 8 a 12 m en tamaño.(Castro et al 1997).

100

%R, with UBC-1 80

%R, no UBC-1 60

%G, with UBC-1

%G, no UBC-1

40 5

6

7

8

9

10

11

12

pH

Fig. 11 Efecto del pH sobre la flotación de partículas finas de molibdenita de 8 a 12 m en tamaño con y sin latex UBC-1 a 300 g/t y MIBC=12 g/t (Laskowski & Castro 1999).

11.2.3 Aglomeración por aceite Otro proceso de agregación que no solamente aumenta el tamaño del sistema particulado, sino que produce un producto final hidrófobo es la aglomeración con aceite (ver tabla 1). En este proceso, gotas de aceite se adsorben sobre partículas hidrófobas. Este conjunto de partícula y gota colisiona con otros conjuntos similares produciendo agregados de mayor tamaño. Los parámetros de operación más importante en este proceso son la cantidad de aceite, las características del aceite, la propiedad de las superficies y la intensidad de la agitación (Capes 1989). Este proceso solamente es posible si las partículas son suficientemente hidrófobas como para ser mojadas selectivamente por el aceite cuando se encuentran suspendidas en agua. Laskowski (1992) indica que en general en flotación se utiliza aceites insolubles en agua: para


327

20

0

g/t only for hydrophobic agglomeration using UBC-1 200 400 600 800 1000

1200

15

10

UBC-1 Kero-DDA Emulsion

5

Kerosene only Kero-DDS Emulsion 0

0

5

10

15

20

Oil Dosage, %

25

100

Combustible Recovery, %

Ash Content of Agglomerates, %

mejorar la adhesión de partículas hidrófobas a las burbujas (flotación por emulsión), para aumentar el tamaño de partículas muy pequeñas (flotación de aglomerados) o para aumentar el tamaño de las partículas hasta un punto tal que los aglomerados puedan ser separadas por un harnero (aglomeración por aceite). La figura 12 muestra el efecto del kerosén, del kerosén emulsificado en presencia de surfactantes aniónicos (dodecilsulfonato de sodio, DDS) o catiónico (dodecilamina, DDA) y del latex UBC-1 en la aglomeración hidrofóbica de carbón bituminoso ultrafino (menos de 45 m). Laskowski demostró (Laskowski & Yu 1998, 2000) que la emulsificación del kerosén mediante una intensa agitación produce gotas de alrededor de 20 m en tamaño, mientras que la adición de 1% de surfactante reduce el tamaño de gotas a 1.5 a 2 m. Los productos de aglomeración fueron recuperados en un tamiz de 400 mallas, seguido por secado. Como lo demuestra la figura 12, la aglomeración por aceite y la agregación con latex UBC-1 son muy similares.

30

0

g/t only for hydrophobic agglomeration using UBC-1 200 400 600 800 1000

1200

Kero-DDS Emulsion Kero-DDA Emulsion

98

UBC-1 96 94

Kerosene only

92 90

0

5

10

15

20

25

30

Oil Dosage, %

Fig. 12. Comparación del tratamiento de muestras de carbón FD-4 ultrafinas por aglomeración con aceite, aglomeración con kerosén emulsificado y aglomeración con latex UBC-1. La emulsión de Kero-DDA fue preparada emulsificando kerosén con 5.4x104 M de solución acuosa de DDA. Kero-DDS fue preparado emulsificando kerosén con 3.4x10-4 M de solución acuosa de DDS.

La recuperación de material combustible es alta en ambos casos, sin embargo la dosificación de aceite es mucho mayor que la del floculante hidrófobo. Como está bien establecido que solamente las partículas muy hidrofóbicas pueden ser aglomeradas con aceite y que ambos procesos, aglomeración con aceite y floculación hidófoba, dan resultados similares, la hipótesis de que ambos procesos se basan en los mismos principios es plausible. Por otra parte, como los dos procesos dan como resultado aglomerados hidrofóbicos, ambos pueden ser incorporados en circuitos de flotación para mejorar la recuperación de partículas muy finas.

328


11.3 DISCUSIÓN En este trabajo se muestra la existencia de varios grupos de aditivos aglomerantes caracterizados por propiedades superficiales bien diferentes. Los polielectrolitos de alto peso molecular por ser adsorbidos por varias partículas a la vez, produciendo su agregación, son utilizados como floculantes. Como las macromoléculas adsorbidas son hidrofílicas, el agregado resultante también lo es. Estos polímeros pueden ser utilizados en flotación a muy bajas concentraciones siempre que floculen selectivamente las especies valiosas de la mena. La utilización de PEO, que forma parte de estos floculantes, es aún incierta y debe ser más estudiada. Las poliacrilamidas han encontrado una aplicación muy diferente en la flotación de fosfatos. En este proceso, se separa silvita de halita por flotación con aminas primarias de cadena larga en una solución saturada de salmuera (6 M en KCl y NaCl). Para llevar adelante el proceso es necesario deslamar previamente la suspensión. En una aplicación (Cormode 1985, Perucca & Cormode 1999) estas lamas (ilita, anhidrita y dolomita) son floculadas selectivamente con PAM, para luego removerlas por flotación con aminas. Los flóculos producidos por PAM son hidrófobos y pueden flotar (Alonso & Laskowski 1999). Aparentemente la flotabilidad de los flóculos bajo estas condiciones resultan de las diferencias en solubilidad en electrolitos muy concentrados. Esto confirma que, en general, el fenómeno de floculación también es determinado por la interacción entre polímero y solvente (agua). Esto generalmente es ignorado a pesar que juega un importante papel en muy variadas condiciones de alta fuerza iónica. Los latex hidrofóbicos se adsorben solamente sobre partículas hidrofóbicas por el mecanismo de coagulación hidrofóbica. Por ello el proceso es selectivo y los flóculos resultantes son también hidrófobos. La aglomeración por aceite emulsificado resulta de la adhesión de gotas de aceite sobre las partículas hidrófobas suspendidas en agua. Por lo tanto el proceso es selectivo y los aglomerados son hidrofóbicos. Como se muestra en la figura 1, los aditivos para la agregación pueden ser usados en dos operaciones unitarias diferentes de los circuitos de procesamiento de minerales. Para los circuitos de concentración sólo se puede utilizar la agregación selectiva. Si el proceso es flotación, los agregados deben ser, además, hidrófobos. Para estas aplicaciones se puede recomendar tanto la aglomeración de partículas finas con aceite (flotación-aglomeración) como con floculantes hidrófobos. En la separación sólido-líquido se utiliza generalmente floculantes hidrofílicos. Esto se justifica plenamente en el espesamiento y filtración de colas de flotación pero su uso es dudoso para concentrados de flotación. Los concentrados de flotación son hidrófobos por naturaleza y, por lo tanto, pueden ser fácilmente aglomerados con aceite o floculantes hidrófobos. Estos aditivos pueden no solamente mejorar la velocidad de filtración, sino que pueden reducir la humedad del queque. La práctica de utilizar floculante comunes (hidrofílicos) en el desaguado de concentrados de flotación, que ya son hidrófobos, no parece una práctica razonable y debe ser re-examinada.


329

Finalmente es conveniente recalcar que en las plantas de procesamiento de minerales se utiliza diferentes tipos de aditivos químicos tales como colectores, espumante y controladores de pH en flotación y floculantes en el espesamiento y filtración. Aunque polímeros solubles en agua altamente hidrofílicos utilizados como floculantes no son incompatibles con la flotación, se debe tomar en cuenta que, estando la flotación y separación sólido-líquido en el mismo circuito de agua, y con la presente tendencia a la utilización de altas cantidades de floculantes en el espesamiento, es muy importante la posibilidad de acumulación de altas concentraciones de floculante en el agua reciclada. Por esta razón es siempre mejor utilizar aditivos compatibles con el proceso de flotación cuando ello es posible.

11.4 REFERENCIAS Alonso, E.A. and Laskowski, J.S., 1999. Selection of polymers used as slime modifiers in potash ore flotation. In J.S. Laskowski (ed.), Polymers in Mineral Processing-Proc. 3rd. UBC-McGill Int. Symp., 405-420, Met. Soc. of CIM, Montreal. Attia, Y.A., 1985, Cleaning and desulfurization of coal suspensions by selective flocculation. In Y.A.Attia (ed.) Processing & Utilization of High Sulfur Coals, 267285. Elsevier, Amsterdam. Brown, P.M.and Scheiner, B.J., 1983.Dewatering of coal-clay waste slurries from preparation plants, Us Bureau of Mines RI, N°8824. Capes, C.E., 1989. Liquid phase agglomeration: process opportunities for economic and environmental challenges. In K.V. Sastry & M.C. Fuerstenau (eds.) Challenges in Mineral Processing, 237-252, SME, Littleton. Castro, S.H., Stocker, R and Laskowski, J.S., 1997. The effect of hydrophobic agglomerant on the flotation of fine molybdenite particles. In Hoberg and Blottnitz (eds.) Proc. 20th Int. Mineral Processing Congress, 3, 559-569. GMDB, Aachen. Cormode, D.A., 1985. Insoluble slimes removal from sylvinite ore by selective flocculation and flotation. 87th Annual CIM Meeting, CIMM, Vancouver. Gebhard, J.E. and Fuerstenau D.W., 1984. The effect of preadsorbed polymers on adsorption of sodium dodecylsulfonate on hematite. In M.J. Rosen (ed.). Structure/Performance Relationship in Surfactants. 253, 291-310, Amer. Chem. Soc., Washington D.C. Gerbhard, J.E. and Fuerstenau D.W., 1986. Flotation behavior of hematite fines flocculated with polyacryl acid, Minerals and Metallurgical Processing, 3, 164-170. Gochin, R.J. Lekili, M and Shergold, H.L., 1985. The mechanism of flocculation of coal particles by polyethylen oxide, Coal Preparation, 2, 19-34. Hogg, R., 1984. Collision efficiency factors for polymer flocculation, J. Coll. Interf. Sci., 102, 232-236.

330


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CAPÍTULO 12 TECNICAS DE FLOCULACION Y METODOLOGIAS PARA LA OPTIMIZACION DE ESPESADORES

JB Farrow, PD Fawell, RRM Johnston, TB Nguyen, M Rudman, K Simic and JD Swift AJ Parker Cooperative Research Centre for Hydrometallurgy CSIRO Minerals, Box 90 Bentley, Western Australia 6102.

RESUMEN El Centro de Investigación Cooperativa A.J. Parker para la Hidrometalurgia ha desarrollado proyectos de optimización de la tecnología de espesadores desde 1988 a través de la Asociación Australiana para la Investigación en las Industrias Mineras (AMAIRA) con el apoyo de 25 empresas australianas y extranjeras. Estos proyectos han dado como resultado una serie de herramientas de investigación y de técnicas para abordar los fenómenos de floculación y espesamiento. Estudios en el laboratorio y en plantas industriales se han concentrado en dilucidar cómo afectan a la floculación, y por lo tanto al espesamiento, factores claves tales como la intensidad y la duración de la mezcla de pulpa y floculante y la concentración de sólidos presente. Se desarrolló un completo modelo de mecánica de fluidos computacional (CFD) para predecir posibles comportamientos en espesadores industriales bajo diversas condiciones de operación, con base en estudios de laboratorio de floculación y en el diseño y flujos en el equipo. La aplicación de este modelo de CFD ha producido beneficios significativos en la operación de espesadores, llegando en un caso a doblar su capacidad. Esta sección presenta una revisión de los trabajos realizados en estos proyectos, concentrándose en las herramientas de investigación desarrolladas, en la naturaleza de la información que se ha adquirido y en las implicaciones para el comportamiento de los espesadores industriales. También se presentará brevemente los problemas que se investigan en la actualidad.

332

CAPÍTULO 12 Técnicas de Floculación

333

12.1 INTRODUCCION El espesamiento es una de las etapas claves en muchos procesos hidrometalúrgicos. Es una operación de separación sólido-líquido cuyo principio es muy simple y consiste en producir el agregamiento de las partículas finas de una suspensión mediante un floculante aumentando de esta forma su tamaño y permitiendo que ellas sedimenten bajo el efecto de la gravedad produciendo un licor claro y un sedimento denso. Tradicionalmente el problema de la floculación se ha enfocado en forma ad hoc en la industria minera, buscando el lugar óptimo de adición y realizando modificaciones al feedwell para lograr una mejor operación. Para buscar una forma de mejorar el entendimiento de los fenómenos fundamentales que ocurren en el espesamiento, el Centro Paker inició en 1988 el proyecto P266 financiado por AMIRA, denominado Mejorando la Tecnología de Espesadores. Las primeras etapas de la investigación se enfocaron a desarrollar técnicas de medición de las propiedades de los flóculos, que se forman en espesadores industriales bajo diferentes condiciones de operación, y en desarrollar métodos para modificar la estructura de dichos flóculos para optimizar el comportamiento de los equipos. Un resultado importante de esta etapa fue la identificación de la influencia dominante que tiene la agitación, utilizada para mezclar el floculante con la pulpa, en las propiedades de la suspensión floculada y, por lo tanto, en el comportamiento del espesador. El prototipo de la cámara de cizalle (shear vessel) desarrollada en este proyecto (Farrow and Swift 1996) ha resultado ser una importante herramienta de laboratorio para estudios de floculación. Etapas siguientes del proyecto se dedicaron a establecer la relación entre las condiciones de mezcla, utilizada para flocular la alimentación, y comportamientos del espesador tales como capacidad, concentración de la descarga y consumo de floculante. Se utilizó estudios de laboratorio junto a trabajo en planta para determinar el significado de la intensidad de mezcla, tiempo de residencia y otros factores en el estado de floculación alcanzado con diversas suspensiones de minerales. Al mismo tiempo, se estudió las condiciones hidrodinámicas en los feedwells mediante CFD, validando los resultados con mediciones en planta usando trazadores y realizando un muestreo. Comparando los resultados de la floculación en el laboratorio y en las plantas industriales, se concluyó que había mucho margen de optimización en las condiciones de floculación industrial en los feedwells. Un resultado tangible de este nuevo conocimiento fue la modificación realizada a uno de las empresas patrocinadoras, en la cual se dobló la capacidad de espesamiento ahorrando la instalación de un nuevo espesador durante la expansión de la planta (Kahane et al 1997). Trabajos en la empresa Westralian Sands en Capel, Western Australia, mostraron el efecto de la floculación en el feedwell tiene en el comportamiento de un espesador de relaves. Un espesador fue utilizado como control para comparar su

334


comportamiento con el de otros espesadores de la planta en los que se cambiaron las condiciones hidrodinámicas de floculación. Estos resultados a escala industrial confirmaron la gran sensibilidad del espesamiento a las condiciones hidrodinámicas durante la floculación, pero también demostraron la compleja influencia que tienen la concentración de la suspensión, el reciclo de líquido, el perfil de intensidad de agitación y el tiempo de agitación tienen sobre el estado de agregación de la suspensión. Actualmente un grupo de químicos, ingenieros de proceso y especialistas en CFD investigan una serie de nuevos fenómenos de interés. Este trabajo es patrocinado por 18 empresas mineras y de manufactura de espesadores. Una de las nuevas líneas de investigación enfatiza el mejoramiento de la habilidad de los modelos CFD para predecir el comportamiento de espesadores a escala industrial incorporando la modelación de la formación y ruptura de flóculos a distintas condiciones hidrodinámicas. Mediciones en una tubería en condiciones turbulentas han permitido obtener datos de cinética de floculación en un amplio rango de condiciones de agitación bien caracterizadas. Otra dirección de la investigación es el estudio de la acción de las rastras. El objetivo, en este caso, es encontrar las mejores estructuras y configuraciones de las rastras para promover la densificación, aumentar el flujo de descarga y minimizar el torque. Relacionado con este trabajo de laboratorio, se realiza visitas a plantas para evaluar el desempeño de nuevos diseños de espesadores, estudios de consolidación de sedimentos y la medición de la cinética de floculación de productos de las plantas. En este trabajo se muestra algunas de las herramientas desarrolladas y aplicadas al estudio del proceso de floculación y utilizadas para optimizar el comportamiento de espesadores industriales. Se dará información sobre la naturaleza de estas herramientas, de la información obtenida mediante su uso y de las implicaciones que ellas tienen en el desempeño de espesadores industriales.

12.2 CARACTERIZACIÓN DE LA FLOCULACION A pesar del extensivo uso de floculantes de alto peso molecular en el procesamiento de minerales, las propiedades físicas de éstos no son bien conocidas. En particular, poco se sabe de la distribución de su peso molecular, debido a la dificultad de caracterizar polímeros de cadena larga sensitivos al cizalle. Esta información es esencial para entender y predecir el comportamiento del floculante. La técnica de fraccionamiento en campo de flujo (FFF) se ha usado con éxito para determinar la distribución de peso molecular de floculantes (Hecker et al 1999, 2000). En contraste a la cromatografía de columna de relleno, la FFF hace uso de un canal abierto de pequeña área menor a 0.01m2 (limitando el cizalle y reduciendo las pérdidas por adsorción) por el cual se hace pasar un fluido en flujo laminar. La separación se obtiene como resultados de la aplicación de un flujo perpendicular cruzado. La especies más pequeñas son capaces de difundir en contra del flujo cruzado y, por lo tanto, ocupar líneas de corriente de mayor velocidad del fluido y ser separadas de las especies mayores. Esta técnica permite realizar separaciones en un amplio rango de

335


pesos moleculares. La utilización de dispersión de láser en multi-ángulo (MALLS) como detector permite la determinación directa del peso molecular de cada volumen eluído. Se ha observado una clara relación entre el peso molecular y el tiempo de elusión, la que ha demostrado ser independiente del tipo de polímero. La figura 1 muestra mediciones de pesos moleculares de dos polímeros utilizados como floculantes comerciales. Se puede observar la gran amplitud de pesos moleculares encontrada en cada producto.

1.5 3 1.0 DRI Señal (Volts)

Floculante No. 1

Floculante No. 2

0.5

DRI 2 Señal (Volts) 1

0

106

107 Mw de MALLS

108

0

Fig. 1 Distribución del peso molecular de dos floculantes comerciales noiónicos medidos por la técnica FFF combinada con MALLS. Muestran la respuesta del refractómetro.

La elución puede complicarse por la presencia de polímero aglomerado, hecho encontrado en varias soluciones de poliacrilamida. Estos aglomerados pueden ser eliminados median un control cuidadoso de la composición de la solución (Hecker et al 2000). Se examinó varios floculante mediante la técnica del FFF, cada uno de ellos resultando en perfiles de elución diferentes. Esta información se ha utilizado para explicar porqué floculantes del mismo peso molecular promedio se comportan en forma tan diferente. La distribución de peso molecular obtenida por FFF ligada a la caracterización de agregación descrita anteriormente, dan la base para la predicción del comportamiento de floculantes a partir de propiedades físicas inherentes de ellos.

336


12.3 CARACTERIZACIÓN DE SUSPENSIONES FLOCULADAS La efectividad de la mayoría de los espesadores en la industria minera descansa en la capacidad de reactivos químicos, floculantes, de agregar las partículas finas de la suspensión de alimentación formando flóculos. La floculación de una suspensión produce flóculos de diversos tamaños y densidades y exhibe una gran irregularidad de forma. Ver figura 2. Estas propiedades tienen un profundo efecto en las propiedades de desaguado de la suspensión, controlando la velocidad de sedimentación, la consolidación y la reología del sedimento. La medición de las propiedades de flóculos en una suspensión es compleja debido a la naturaleza frágil de los flóculos y se debe cuidar que la técnica de medición no altere su tamaño o estructura.

Alto

Agregado denso pequeño

Agregado poroso grande

densidad Agregado

Bajo Pequeño

Tamaño agregado

Grande

Fig.2 Esquema del tamaño y densidad de flóculos producido por floculación de una suspensión mineral antes de espesar

Medición de la distribución de tamaño de flóculos Se ensayó una serie de métodos de determinación de la distribución de tamaño de los flóculos, incluyendo métodos estándar tales como dispersión de láser (Malvern, Mastersizer) y sedimentación (Sedigraph). Ninguno de estos fue exitoso debido a la fractura de los flóculos dentro del sistema de medición. Más éxito se obtuvo con un método nuevo denominado Medición de la reflectancia de un foco concentrado (FNRM), el que permite la caracterización de tamaño in situ de agregados entre 1 y 1000 µm en amplio rango de concentraciones de sólido. El principio en que se basa esta técnica está esquematizado en la figura 3.

337


Laser beam

Probe at 45° angle to turbulent, well-mixed flow

Beam splitter Optics rotating at a fixed high velocity

Sapphire window

Fig. 3 Medición de la distribución de tamaño flóculos mediante la técnica FNRM.

Se enfoca un rayo láser a través de una ventana de zafiro y se barre a una velocidad constante sobre las partículas de una suspensión que pasa a lo largo de la ventana. La duración de la luz reflejada se puede correlacionar a un tamaño (largo de cuerda) del flóculo. Barriendo varios miles de agregados por segundo, es posible determinar la distribución de tamaño de los agregados. La técnica de FBRM puede indicar el grado de floculación bajo diferentes condiciones de dosificación, de mezcla o de cualquier otra. La figura 4 muestra un ejemplo en que la distribución determinada por FBRM para flóculos formados con la misma dosificación pero diferentes condiciones de mezcla se comparan con la distribución de tamaño de las partículas sin flocular. 16

100 rpm 200 rpm

14

75 rpm 50 rpm

12 10 Cuentas

8 6

Sin flocular

(%) 4 2 0 1

10

100

1000

Largo de cuerda (µm)

Fig. 4 Comparación de la distribución de la distribución de tamaño de las partículas sin flocular con la distribución de tamaño de flóculos, determinados in situ, formados con la misma dosificación pero distintas condiciones de agitación en una cámara de cizalle.

338


Esta técnica también se usó en forma exitosa en espesadores industriales para la determinación el grado de floculación en diferentes partes del feedwell. Lo más importante es que se obtuvo una correlación directa entre la longitud promedio de cuerdas y la velocidad de sedimentación (Hecker et al 1999b). Es así como la utilización de la técnica FBRM para determinar las condiciones en que se obtiene el máximo tamaño promedio de flóculo ofrece una nuevo enfoque para optimizar la operación de un espesador para una determinado sistema pulpa-floculante.

12.3.1 Medición de la velocidad de sedimentación de flóculos La claridad del rebalse es un criterio clave en muchas operaciones de procesamiento de minerales, especialmente en aquellos los procesos de sedimentación gravitacional que preceden la precipitación (refinerías Bayer), electrodeposición (refinerías de cobre y de zinc) o extracción por solventes (hidrometalurgia del cobre o del níquel). El rebalse de espesadores con mucho material sólido puede ser detectado fácilmente mediante el uso de un sistema de video/magnificación que mide el tamaño y velocidad de sedimentación de los sólidos bajo condiciones quasi-estáticas (Farrow et al 1993). Así se puede identificar si el alto contenido de sólidos se debe a (1) una mala floculación, (2) flotación de los agregados por burbujas, (3) floculante no disperso, ojo de pez, (partículas que se ven pegadas a un glóbulo de gel), (4) ruptura de flóculos (evidenciado por la presencia de flóculos pequeños de baja velocidad de sedimentación) o (5) cortocircuito de la alimentación al rebalse (indicando la presencia de agregados que sedimentan más rápidamente que el promedio de la velocidad de ascenso del agua en el espesador). Mediciones indicando este último diagnóstico fueron hechas en el espesador de una refinería de zinc bajo condiciones normales de operación. Ver figura 5. 4

Velocidad de

3 2

sedimentación individual (m/h)

1 0 0

20

40

60

80

100

120

140

160

Tamaño (µm)

Fig.5 Distribución de la velocidad de sedimentación con el tamaño individual de flóculos en el rebalse de un espesador de concentrados de zinc en “condiciones normales de operación”. La línea horizontal es la velocidad del flujo ascendente de agua.


339

Mediciones mostraron más tarde que la causa de la alta presencia de sólidos en el rebalse era el cortocircuito, ya que la mayoría de las partículas tenían una velocidad de sedimentación mayor que la del agua en ascenso, en varios casos de hasta 8 veces, la velocidad de ésta (línea segmentada en la figura 5) La presencia de estos agregados en el rebalse indican que existen corrientes de cortocircuito de la alimentación al rebalse con velocidades de hasta ocho veces la del agua. Con CFD se pudo detectar que la causa del cortocircuito era la gran asimetría de la descarga del feedwell abierto en el fondo, debido al ángulo de entrada de la cañería de alimentación (Johnston et al 1998) como se ve en la figura 6.

Fig. 6 Flujo estacionario en un espesador mostrando un significativo flujo radial desde el feedwell hacia el rebalse (cortocircuito hacia el rebalse) obtenido mediante CFD.

12.4 ROL DE LA HIDRODINÁMICA EN LA FLOCULACION Como ya se ha mencionado en reiteradas oportunidades en este trabajo, las condiciones de mezcla utilizadas para poner en contacto el floculante con la pulpa de alimentación es crítica para lograr una eficiente floculación, y por lo tanto, una operación adecuada del espesador. En este proyecto se desarrolló la cámara de cizalle (shear vessel, ver figura 7) para proveer información sobre como afecta las condiciones de agitación al fenómeno de floculación (Farrow and Swift 1996). El instrumento está basado en una geometría Couette y se basa en poner en contacto el floculante y la suspensión en el espacio entre cilindros concéntricos. La intensidad de agitación se selecciona cambiando la velocidad de giro del cilindro interior. El tiempo de mezcla se varía cambiando el flujo o cambian el punto en que se agrega el floculante (puerto 1 a 4 en la figura 7). Un ejemplo de la información que se puede obtener con la cámara de cizalle es la que entrega la figura 8. Los datos muestran que la eficiencia de floculación (velocidad de sedimentación y turbidez residual) dependen fuertemente de la intensidad de la mezcla (velocidad de rotación) durante el contacto entre el floculante y

340


la suspensión. Los diferentes floculantes tienen requerimientos diferentes de intensidad de mezcla para un comportamiento eficiente debido, sin duda, a las diferentes Heating fluid

Thermostat jacket

Heating fluid

Stirrer

Variable drive

Insulated flocculant tank

Rotating inner cylinder

Port 4 Port 3 Port 2 Port 1

Feed

Heating fluid Nephelometer probe

Heating fluid Thermostatted feed tank

V By-pass

Analysis column V

P

To waste

Fig. 7 Esquema de una cámara de cizalle para la determinación del efecto de las condiciones de agitación en el comportamiento de floculantes.

características de adsorción en la superficie de minerales. La intensidad de la mezcla durante la floculación es un parámetro muy importante que se debe considerar cuando se estudia el comportamiento de un espesador industrial (Farrow and Swift 1996).

0.5

Initial 0.4 solids settling 0.3 flux

Flocculant A Flocculant B

(t m-2 h-1) 0.2 0.1 0 0

100

200

300

400

Rotation speed (rpm)

Fig. 8a Información entregada por la cámara de cizalle sobre el comportamiento de floculantes. Velocidad de sedimentación en función de la intensidad de agitación.

341

CAPÍTULO 12 Técnicas de Floculación 800 Flocculant A 600

Flocculant B

Turbidity (NTU) 400

200

0 0

100

200

300

400

Rotation speed (rpm)

Fig. 8b Información entregada por la cámara de cizalle sobre el comportamiento de floculantes. Turbidez en función de la intensidad de agitación. La turbidez indica presencia de sólidos.

También se desarrolló un reactor de tubo lineal para investigar la cinética floculación, permitiendo la identificación del tiempo óptimo para de mezcla del floculante con la alimentación. Con esta técnica, el floculante se introduce en la cañería por donde fluye la suspensión a una cierta velocidad. El tamaño de los agregados se mide más adelante mediante FBRM para determinar la velocidad a la que crecen los agregados y se rompen bajo determinadas condiciones de operación. Un ejemplo del tipo de información que se obtiene con este método se muestra en la figura 9. Aquí se muestra la velocidad de cambio del tamaño medio de cuerdas como función del tiempo de reacción bajo dos condiciones de floculación.

150 Curva a

Largo Cizalle alto

de cuerda 100

Curva b

promedio (µm)

Cizalle bajo

50

0 0

10

20

30

40

50

60

Tiempo de reacción (s) Fig. 9 Velocidad de crecimiento y ruptura de flóculos en un reactor tubular lineal en condiciones de a) alto cizalle y b) bajo cizalle.

342


Bajo condiciones de cizalle alto (curva a), el tamaño promedio de los agregados crece rápidamente desde 30 µm hasta 130 µm en 15 segundos, antes que comience a dominar la ruptura de flóculos, llevando a una permanente disminución del tamaño. En las condiciones de bajo cizalle (curva b), el crecimiento del tamaño de agregados es mucho más lenta, aumentando a 100 µm en 50 segundos sin evidencia de ruptura de flóculos. Esta diferencia en la velocidad de crecimiento de los flóculos tiene gran importancia en el comportamiento de los espesadores industriales. Un comportamiento óptimo sólo se obtendrá si la reacción de floculación se completa (alcanzando los agregados el tamaño máximo) en el feedwell antes que la suspensión pase al cuerpo del espesador. Para la floculación sometida a alto cizalle se necesitaría 15 segundos en el feedwell antes que la suspensión sea descargada al espesador, según la figura 9, mientras que para una suspensión sometida a bajo cizalle el tiempo necesario es de por lo menos 50 segundos (para el tipo de floculante, concentración de sólidos y dosificación correspondiente a la figura 9). Como conclusión se puede decir que un elemento clave en el diseño de los feedwells es proveer un rango de condiciones hidrodinámicas y un suficiente tiempo de reacción, desde que se introduce el floculante hasta el instante en que la pulpa de alimentación es descargada al cuerpo del espesador.

12.5 ENTENDIENDO EL COMPORTAMIENTO DE ESPESADORES Dentro del proyecto AMIRA para el mejoramiento de la tecnología de espesamiento se desarrolló un modelo bifásico de CFD para estudiar el comportamiento de la pulpa en los feedwells (Johnson et al 1996; Kanane etal 1997). El modelo requiere la entrada de la geometría del feedwell y las condiciones de operación, tales como, flujos, concentración de sólidos y densidad y viscosidad del líquido. Se requiere hacer varias simplificaciones tales como, suponer un solo tamaño y densidad de partícula. Se ha incorporado una ecuación de adsorción de floculante para describir la interacción partícula-floculante. Una vez establecido el campo de velocidad, el modelo de CFD entrega la distribución de velocidad de cizalle, la distribución de concentraciones de sólido y perfil de adsorción de floculante en el feedwell y en la región del espesador adyacente a éste. Ejemplos particulares de feedwells se muestra en la figura 10 (distribución de velocidad de cizalle), figura 11 (distribución de concentración de sólidos) y en la figura 12 (perfil de la concentración de floculante libre). Mediante esta información se puede realizar diseños o modificaciones del diseño de feedwells tomando en cuenta el diámetro y el ángulo de entrada de la tubería de alimentación de la pulpa.

343

CAPÍTULO 12 Técnicas de Floculación Plan view

Feed entry

Side Elevation

Fig. 10. Predicción con CFD de la distribución de velocidad de cizalle en un feedwell industrial. El tono más claro representa la mayor velocidad de cizalle mientras que el más oscuro representa la zona de menor cizalle.

El modelo también es una poderosa herramienta para localizar el punto de adición de floculante en el feedwell, pero requiere entendimiento del comportamiento de floculación (figura 8) y de la cinética de floculación (figura 9) para una determinada combinación de suspensión-floculante. Un aspecto importante del trabajo de modelación con CFD es la validación a escala industrial. Esta validación implica comparar las simulaciones con muestreos realizados en diferentes posiciones del feedwell de espesadores industriales en los que se ha inyectado trazadores (preferentemente líquidos y sólidos) en el flujo de alimentación que entra en el feedwell. Se ha encontrado que los resultados del muestreo confirman las predicciones (Kahane et al 1997).

344


Fig. 11 Predicción con CFD de la distribución de concentración de sólidos en cinco planos dentro del feedwell. El tono más claro representa la menor concentración, mientras que el más oscuro la mayor. En el fondo del feedwell se observa recirculación de líquido. La alimentación se muestra con una flecha.

Fig. 12 Predicción con CFD del perfil de adsorción de floculante en cinco planos dentro del feedwell. El tono más claro representa la mayor concentración de floculante no adsorbido y el tono más oscuro la concentración menor de floculante no adsorbido.


345

La aplicación de estas técnicas de modelación con CFD han dado como resultado mejoramientos significativos en espesadores industriales. Sin embargo, el modelo está aún en un estado de desarrollo primario y uno de los objetivos del último proyecto AMIRA para el mejoramiento de la tecnología de espesamiento es mejorar la capacidad predictiva del modelo CFD, especialmente incorporando mejor información cinética de la floculación. Un ejemplo de cómo se utilizó el modelo para mejorar el comportamiento de espesadores industriales en Worsley Alumina Limited (Collie, Western Australia) ha sido descrito por Kahane et al (1997). En este trabajo se modelo con CFD y se realizó estudios de trazadores con iones de litio para dar información de los patrones de flujo y del comportamiento del floculante en el circuito de lavado en contracorriente de Worsley. Con base en esta información, se relocalizaron las adiciones de floculante en el flujo de dilución natural producida en la parte baja del feedwell. Este cambio resultó en una mucho mejor dilución del floculante antes de la mezcla con la pulpa de alimentación. Este mejoramiento más el rediseño del feedwell dobló la capacidad de los espesadores, reduciendo en tres los nuevos espesadores requeridos para un plan de expansión y, por lo tanto, reduciendo el costo de capital.

12.6 DISEÑO Y OPERACIÓN DE RASTRAS A pesar que el diseño de las rastras y su operación es un aspecto importante en el comportamiento de un espesador, ellos han recibido poca atención en la literatura. Actualmente se lleva a cabo un estudio de los fenómenos básicos involucrados en el diseño de las rastras. El enfoque contempla pequeños ensayos físicos para complementar los modelos de CFD. Los ensayos físicos permiten obtener datos confiables para la validación de los modelos de CFD y proveen, además, información sobre el flujo alrededor de componentes de las rastras y de las estructuras soportantes que no se pueden obtener fácilmente con CFD. En los experimentos físicos se utilizó carbopol como fluido para simular el comportamiento no-newtoniano (generalmente de tipo shear thinning) de las pulpas minerales. Aspectos reológicos, tales como tixotropía y compresibilidad, son despreciados en los experimentos, pero pueden ser modelados en el computador y, de esta forma, extendiendo la validez y utilidad del modelo may allá de los experimentos simples. Eventualmente, esta información se utilizará en el diseño e implementación de modelos de CFD de una estructura completa de rastras paras ser incluidas en el modelo global de espesadores con CFD. Un ejemplo de la modelación con CFD del flujo alrededor de las rastras de un espesador se muestra en la figura 13.

346


Fig.13 Predicción con CFD del fluido moviéndose a lo largo de las superficies de las paletas de rastras.

12.7 CONCLUSIONES El apoyo de varias compañías mineras, empresas manufactureras de espesadores y empresas productoras de reactivos químicos en una serie de proyectos de investigación para el mejoramiento de la tecnología de espesadores, ha dado como resultado nuevas herramientas para tratar la floculación y su efecto sobre el comportamiento de espesadores. Estas herramientas han identificado los factores claves (tales como la intensidad y duración de la mezcla) que afectan la floculación y, por lo tanto, la eficiencia del espesador. El desarrollo de un modelo amplio de CFD ha permitido predecir el comportamiento en escala industrial de un espesador bajo diversas condiciones de operación, conociendo la geometría, flujos y comportamiento de la floculación obtenidas en el laboratorio. Los beneficios de esta investigación han llegado a los patrocinadores con herramientas y técnicas para la identificación de los mejores lugares para colocar la alimentación de floculante y para evaluar el impacto de las modificaciones de diseño de los feedwells. Sin embargo, aún es necesario continuar con la investigación para llegar a disponer de una metodología suficientemente robusta para resolver el amplio rango de problemas encontrados en los procesos de separación sólido-líquido en las empresas mineras.

12.8 AGRADECIMIENTOS Se agradece el financiamiento otorgado por las empresas: Alcoa of Australia, Baker Process, Bateman Process, BHP, Billiton, Centaur Mining & Exploration, Cytec, Dorr-Oliver, Hydro Aluminium, Kidd Creek Mines, Meriwa, Mim Holdings, Nabalco, Nalco Chemicals, North Limited, Pasminco, Queensland Alumina, Queensland Nickel,


347

Río Tinto, SNF, Supaflo Technologies, Western Mining, Westralian Sands, Worsley Alumina al proyecto AMIRA Mejoramiento de la Tecnología de Espesadores. Esta investigación también ha recibido el apoyo financiero del programa de gobierno Australian Government’s Cooperative Research Centre (CRC), a través del Parker Centre for Hydrometallurgy, lo que agradece.

12.9 REFERENCIAS J.B. Farrow and J.D. Swift, Int. J. Min. Process., 46, 1996, 263-275. R.B. Kahane, P. Schwarz and R.R.M. Johnston, International Conference on Computational Fluid Dynamics in Minerals and Metals Processing and Power Generation, 3-5 July, Melbourne, Australia, 1997, p109-117. R. Hecker, P.D. Fawell, A. Jefferson and J.B. Farrow, J. Chromatogr. A, 837, 1999a, 139-151. R. Hecker, P.D. Fawell, A. Jefferson and J.B. Farrow, accepted in Chemical Eng. J., 2000. J.B. Farrow and L.J. Warren, in B. Dobias (Ed.), Coagulation and Flocculation Theory and Application. Marcel Dekker, New York, Chapter 9, 1993. R. Hecker, L. Kirwan, P.D. Fawell, J.B. Farrow, J.D. Swift, and A. Jefferson, to be presented at: The Use of Polymers in Mineral Processing, 3rd UBC-McGill Bi-annual Symposium on Fundamentals of Mineral Processing, Quebec City, August 22-26, 1999b. R.R.M. Johnston, P. Schwarz, M. Newman, M. Kershaw, J.B. Farrow, K. Simic and J.D. Swift, Lead and Zinc Processing Symposium, Calgary, 16-19 August, 1998. J.B. Farrow and J.D. Swift, 4th International Alumina Quality Workshop, Darwin, Australia, 2-7 June 1996, p. 355-363. R.R.M. Johnston, T.V. Nguyen, P. Schwarz and K. Simic, 4th International Alumina Quality Workshop, Darwin, Australia, 2-7 June, 1996, p. 467-475.

CAPÍTULO 13 POLÍMETROS HIDRÓFOBOS DEL TIPO LÁTEX PARA LA SEPARACIÓN SÓLIDO-LÍQUIDO DE CONCENTRADOS DE FLOTACIÓN

S.H. Castro Departamento de Ingeniería Metalúrgica Universidad de Concepción. Fax: 41-243418; [email protected]

RESUMEN En el presente trabajo se muestran avances con un nuevo tipo de reactivos, denominados aglomerantes hidrófobos, estos son polímeros del tipo látex que forma finas dispersiones coloidales hidrófobas en medio acuoso y son capaces de aglomerar en forma selectiva partículas minerales también de carácter hidrófobo. Estos reactivos abren un interesante potencial de aplicación en espesadores de concentrados. Pruebas de aglomeración de molibdenita fina muestran que los aglomerados resultantes flotan mejor que las partículas sin agregación (unitarias), contrariamente al efecto producido por polímeros hidrofílicos del tipo poliacrilamidas. Por otro lado, ensayos de velocidad de filtración y mediciones de humedad del queque con muestras de carbón intrínsicamente hidrófobo, muestran ventajas en ambas operaciones. Sobre esta base, se discute conceptualmente la floculación y la aglomeración hidrófoba y el posible campo de aplicación de estos nuevos reactivos.

348

CAPÍTULO 12. Polímeros hidrófobos tipo Látex

349

13.1 INTRODUCCIÓN En minería las operaciones de separación sólido / líquido son muy importantes, principalmente el espesamiento y la filtración. En el espesamiento es frecuente el uso de aditivos químicos, denominados floculantes, para inducir la agregación de las partículas finas y, de este modo, aumentar su velocidad de sedimentación. Para los espesadores de relaves de flotación se emplea normalmente polímeros del tipo poliacrilamidas de alto peso molecular. Estos reactivos son polímeros hidrofílicos que se fijan a partículas de ganga mediante enlace de puente de hidrógeno entre los grupos amidos del floculante (-CONH2) y los grupos silanoles (-SiOH) de la superficie mineral. Se acepta que el mecanismo de floculación es por puentes, es decir, un segmento del polímero se adsorbe primero sobre una partícula mineral unitaria, y los segmentos restantes de la misma cadena lo hacen sobre otras partículas, completando el mecanismo de puente y estructurando un flóculo. En estos espesadores, en que el objetivo es recuperar agua y el sólido se descarta hacia el tranque de relave, la naturaleza hidrofílica/hidrofóbica de los flóculos es intrascendente. Sin embargo, para espesadores de concentrados, dónde el mineral continúa procesándose, ya sea en etapas de flotación, filtración o secado, las características de majamiento de los flóculos pueden ser de gran importancia. El uso de estos floculantes en espesadores de concentrados de flotación puede presentar algunas contraindicaciones como, por ejemplo, en el caso de aquellos concentrados que alimentan una planta de molibdeno, debido a que las poliacrilamidas exhiben efectos depresantes sobre la molibdenita (Castro and Laskowski, 1997). También es de conocimiento general de los operadores, que usar floculantes del tipo poliacrilamida en concentrados que poseen un porcentaje alto de ganga fina (lamas), puede producir el bloqueo de las telas de los filtros. De aquí surge la ventaja de los aglomerantes hidrófobos, que se caracterizan por formar flóculos también hidrófobos, a diferencia de los floculantes convencionales que forman flóculos hidrofílicos. En los últimos años, ha surgido un nuevo tipo de polímeros, que reciben el nombre de aglomerantes hidrófobos (Attia, et al. 1987; Laskowski et al., 1995; Laskowski and Castro, 1999; Vigdergauz et al. 1999). Se trata de polímeros del tipo látex, es decir, de emulsiones de polímeros de estireno-butadieno en proporciones variables y sintetizados por el método de polimeración en emulsiones. Es así como se obtiene una emulsión concentrada, con ayuda de un emulsificante, de un látex con grados variables de hidrofobicidad y que es fácilmente dosificable por dilución. Por otra parte, Misra y Smith (1999) han informado la efectiva floculación de minerales y carbón fino con biopolímeros hidrófobos derivados de microorganismos, como alternativa a los polímeros hidrófobos sintéticos. En el presente trabajo se muestra las características de agregación que exhiben estos polímeros y las ventajas que puede tener el uso de un aglomerante hidrófobo sobre un floculante convencional en el manejo de la agregación de partículas finas de minerales hidrófobos, como es el caso de concentrados de flotación. Especial énfasis se

350


pone en destacar la importancia que las características hidrófilicas/hidrofóbicas de los flóculos tienen aguas abajo del espesamiento.

13.2 RESULTADOS EXPERIMENTALES Para conocer las características de agregación del aglomerante hidrófobo y su influencia en el proceso de flotación y en la separación sólido-líquido, se realizó una serie de experiencias de floculación, flotación y filtración. El aglomerante hidrófobo utilizado en las experiencias de laboratorio es una dispersión coloidal de partículas esféricas, menores de 1 micrón, de un polímero hidrófobo tipo látex sintetizado en los laboratorios de la Universidad de British Columbia (UBC-1) en, Vancouver, Canadá. La dispersión acuosa es de color blanco (ver figura 1) y da un ángulo de contacto de avance de 60 grados medido sobre un film obtenido por evaporación.

a). 10.000x sin MIBC

b). 10.000x. con MIBC (Stocker, 1995)

Fig. 13.1 Foto micrografías al microscopio electrónico del látex UBC-1 en ausencia y presencia de metil isobutil carbinol como agente dispersante.

En la figura 13.1 se muestra microfotografías de la dispersión del látex hidrófobo UBC-1 empleado en este trabajo tomadas en el microscopio electrónico (R. Stocker, 1995). Se aprecia una tendencia de las partículas a la forma esférica y tamaños del orden de 0.1 micrones. Mayores detalles sobre los materiales utilizados y las condiciones de las pruebas de flotación, floculación y filtración son descritos por Castro and Laskowski ( 1997) y Laskowski and Castro (1999).


351

13.2.1 Efecto de floculantes y aglomerantes hidrófobos sobre la flotación de molibdenita. En la figura 13.2 se muestra el efecto depresante que tienen floculantes del tipo poliacrilamida sobre la flotación de molibdenita.

Fig. 13.2 Efecto de un floculante convencional sobre la flotación de diferentes fracciones de tamaño de molibdenita Castro and Laskowski (1997).

Este efecto es bien conocido en la práctica industrial, razón por lo cual se evita el uso de floculantes en los espesadores de concentrado colectivo Cu-Mo que alimentan a las plantas de molibdenita. Lo mismo ocurre con espesadores intermedios dentro de la planta de molibdeno. En la actualidad no hay reactivos floculantes alternativos que sean compatibles con la flotación de molibdenita. La misma situación puede proyectarse al procesamiento de cualquier otro mineral con flotabilidad natural, como por ejemplo, el carbón, que en general se depresan por adsorción de polímeros hidrofílicos. En la Fig. 13.3 se muestra comparativamente el efecto de un polímero convencional (Magnafloc E-24) y de un látex hidrófobo (UBC-1) sobre la eficiencia de floculación de molibdenita fina. Se aprecia que ambos tipos de aditivos son capaces de agregar las partículas de molibdenita, aumentando su velocidad de sedimentación.

352


Fig.13.3. Efecto de un floculante y un aglomerante hidrófobo sobre la floculación de dispersiones de molibdenita fina, Laskowski and Castro (1999).

En la figura 13.4 se muestra el efecto del UBC-1 sobre la flotación de partículas finas de molibdenita aglomeradas previamente con este látex. Se puede apreciar que la fracción bajo 8 micrones mejora su flotación debido al aumento de tamaño por aglomeración, de lo que se concluye, que los aglomerados resultantes son también hidrófobos. Esta conducta contrasta con lo observado en la figura 3, donde el aumento de tamaño se logró con un floculante convencional. De lo anterior se puede concluir que los floculantes del tipo poliacrilamidas generan flóculos hidrofílicos que depresan la flotación de molibdenita, mientras que los látex hidrófobos forman aglomerados hidrófobos que mejoran la flotación de molibdenita fina.

Fig.13.4. Efecto promotor del látex UBC-1 sobre la flotación de fracciones finas de molibdenita (Castro and Laskowski, 1997).


353

13.2.2 Efecto de aglomerantes hidrófobos sobre la floculación de calcopirita y pirita. En la figura 13.5 se muestra los resultados publicados por Vidgergauz et al (1999), sobre el efecto floculante del látex SKS-300X sobre dispersiones de calcopirita y pirita en presencia y ausencia de xantatos.

Fig. 13.5. Influencia del látex SKS-300X sobre la floculación de calcopirita y pirita. (Vigdergauz, et al. 1999).

13.2.3 Efecto del látex UBC-1 sobre la filtración de otros materiales hidrófobos. En las figuras 13.6 y 13.7 se muestra el efecto del aglomerante hidrófobo UBC-1 sobre la velocidad de filtración y humedad de queque de un carbón de características hidrófobas (Laskowski and Castro, 1999). Con UBC-1 se obtiene una mayor velocidad de filtración y una reducción en la humedad del queque filtrado. Esto se explica por la naturaleza hidrofóbica de los aglomerados formados en este caso. De lo anterior se puede concluir que al aglomerar partículas hidrófobas con un aglomerante hidrófobo, se consigue no sólo una mayor velocidad de drenaje de agua durante el filtrado, sino una humectación menor del queque filtrado. Estos fenómenos son coherentes con los conceptos de agregación e hidrofobicidad conseguidos con los látex.

354


Fig. 13.6 Efecto del UBC-1 sobre la velocidad de filtración de una muestra hidrofóbica de carbón (Laskowski and Castro, 1999).

Fig. 13.7 Efecto del UBC-1 sobre la humedad del queque filtrado para el mismo carbón mostrado en la Fig.6 (Laskowski and Castro, 1999).

13.3 CONCLUSIONES 1.

Los aglomerantes hidrófobos son específicos, en el sentido de que agregan sólo partículas hidrofóbicas, a diferencia de los floculantes convencionales que pueden agregar tanto partículas hidrofílicas como hidrofóbicas.

2.

Las propiedades hidrofílicas/hidrofóbicas de los flóculos no son significativas para la velocidad de sedimentación, pero sí son muy significativas para las etapas posteriores al espesamiento, como son la flotación y la filtración. Esto es especialmente válido cuando se manejan partículas hidrofóbicas, ya sean naturalmente hidrofóbicas o hidrofobizadas por reactivos colectores.

13.4 REFERENCIAS Attia, Y.A., Yu, S. and Vecci, S. 1987. Selective Flocculation Cleaning of Upper Freeport Coal with a Totally Hydrophobic Flocculant., Flocculation and Biotechnology and Separation Systems (Y. Attia, Ed.), Elsevier, pp.547-564. Castro, S.H. and Laskowski, J.S. 1997. The Effect of Hydrophilic and Hydrophobic Polymers on Molybdenite Flotation. Proc. 5th Southern Hemisphere Meeting on Mineral Technology., Buenos Aires-Argentina, Intemin., pp.117-120. Castro, S.H., Stocker, R. and Laskowski, J.S. 1997. The Effect of Hydrophobic Agglomerant on the Flotation of Fine Molybdenite Particles. Proc. XX International Mineral Processing Congress (H. Hoberg and H. Blottnitz, Eds.) GmdB, Aachen, Vol.3, pp.559-569. Laskowski, J.S. and Castro, S.H. 1999. Aggregation of Inherently Hydrophobic Solids Using Hydrophobic Agglomerants and Flocculants. (Proc. 38th Annual Conference of Metallurgists of CIM)., Polymers in Mineral Processing (J.S. Laskowski, Ed.), pp.293308.


355

Laskowski, J.S., Yu, Z. and Zhan, Y. 1995. Hydrophobic Agglomeration of Fine Coal. Proc. 1st UBC-McGill Bi-Annual International Symposium. Processing of Hydrophobic Minerals and Fine Coal (J.S. Laskowski and G. Poling, Eds.)., The Metallurgical Society of CIM., pp.245-258 Misra, M. and Smith, R.W. 1999. Hydrophobic Biopolymers for Flocculation of Minerals. (Proc. 38th Annual Conference of Metallurgists of CIM)., Polymers in Mineral Processing (J.S. Laskowski, Ed.), pp.281-291. Stocker, R. 1995. Mejoramiento de la Flotabilidad de Molibdenita Fina por Agregación Hidrofóbica con una Dispersión Coloidal de Latex. Memoria de Título, Departamento de Ingeniería Metalúrgica, Universidad de Concepción. Vigdergauz, V.E., Schrader, E.A., Stepanov, S.A., Kuznetsov, V.L. and Antonova, E.A. 1999. Selective Flocculation of Coal and Sulfide Minerals by the emulsions of Synthetic Polymers. (Proc. 38th Annual Conference of Metallurgists of CIM)., Polymers in Mineral Processing (J.S. Laskowski, Ed.), pp.265-279

CAPÍTULO 14 CFD COMO HERRAMIENTA PARA EL DISEÑO DE ESPESADORES

Rodolfo Köck y Fernando Concha Laboratorio de Mecánica de Fluidos Computacional & Experimental, Universidad de Concepción, Casilla 53-C, Correo 3, Fax: 56-41-230759, E-mail: [email protected]

RESUMEN Tradicionalmente el diseño de espesadores consiste en el cálculo del área necesaria para la sedimentación de la pulpa a una determinada concentración de descarga y la elección de equipos de los muchos ofrecidos por distintos fabricantes. La aplicación de Mecánica de Fluidos Computacional puede cambiar este panorama, ya que esta herramienta permite elegir detalles constructivos de la alimentación y descarga del espesador. Usando la modelación numérica del flujo en un espesador, es posible determinar los patrones en el equipo y en el los dispositivo de alimentación. La información obtenida permite elegir el mejor sistema de introducción de floculante y de dilución de la alimentación. El flujo alrededor de las rastras permite comparar la resistencia ofrecida por distintos diseños y, finalmente, correlacionar el resultado con el torque medido. El CFD se presta para el rediseño y la optimización de espesadores.

356

CAPÍTULO 14 CFD como herramienta para el diseño de Espesadores

357

14.1 INTRODUCCIÓN El diseño de espesadores es un tema bastante antiguo que comienza cuando Mishler (1912) propuso un método para calcular la capacidad de un espesador realizando pruebas de laboratorio y, por lo tanto, es el primer ingeniero que relaciona la sedimentación batch con el espesamiento continuo. Cuatro años más tarde Coe y Clevenger (1916) proponen su afamado método de diseño de espesadores que se utiliza hasta el presente con bastante éxito. La formulación de la Teoría de Kynch (1952) para la sedimentación batch permitió el desarrollo de una serie de métodos de diseño de espesadores, basados en la realización experimental de un sólo ensayo de sedimentación y el análisis de la curva de sedimentación obtenida de los datos experimentales. Es así como se conoce el Método de Kynch (Concha y Barrientos 1993), de Talmage y Fitch (1955) y el método de Oltman (Fitch y Stevenson 1977). Por otra parte, la teoría de Kynch para un espesador continuo permitió el desarrollo de métodos de diseño como los de Yoshioka y Hasset (Yoshioka 1957, Hasset 1958). Finalmente, el desarrollo de la teoría fenomenológica de sedimentación trajo aparejado el método de diseño de Adorjan (Adorjan 1976, Concha y Barrientos 1993, Bustos et al 1999). Todos estos métodos de diseño tienen por objetivo calcular el área necesaria de un espesador para tratar un cierto tonelaje diario de una pulpa determinada. Algunos de estos métodos permiten el cálculo de la altura del espesador, pero la mayoría solamente provee el diámetro. Es así como después de calcular las dimensiones del espesador, el ingeniero debe elegir entre los diversos modelos de espesadores ofrecidos por las empresas fabricantes. En los últimos años la herramienta matemática denominada Modelación Numérica ha permitido simular los patrones de flujo en equipos de proceso, lo que se ha facilitado con el desarrollo de códigos comerciales, tales como FLUENT, CFX, FIDAP u otro. El presente trabajo tiene por objetivo mostrar cómo la Modelación Numérica permite evaluar la calidad de diseño de un espesador determinado o diseñar detalles de la alimentación y descarga de un espesador. (ver además el capítulo 12).

14.2 MODELACIÓN MATEMÁTICA La modelación matemática del flujo en un espesador se basa en la Teoría de Mezclas de la Mecánica de Medios Continuos (Bustos et al 1999), modelando el flujo de partículas y el flujo de agua como una mezcla con densidades características El flujo turbulento en un espesador es modelado mediante las ecuaciones de continuidad y momentum del componente sólido y líquido. La viscosidad turbulenta se describe mediante el modelo k-. Este modelo de turbulencia incorpora la producción, convección, difusión y disipación de energía cinética turbulenta, donde k representa la

358


energía cinética y  es la razón de disipación. El balance de energía turbulenta está dado por:  Velocidad de cambio  de la energía   

 Flujo por  convección   



 Flujo por   difusion   



 Fuente o sumidero   

Esta relación representa a un sistema de dos ecuaciones diferenciales, una para la energía cinética y otra para la disipación. A estas ecuaciones es necesario agregar condiciones iniciales y de contorno. La simulación fue llevada cabo con el programa FLUENT utilizando el modelo k- para describir el flujo turbulento con mallas no estructuradas. Las simulaciones fueron realizadas en condición estacionaria. La trayectoria de una gota o partícula, según sea el caso, se predice por integración del balance de fuerzas que actúan sobre ella. Este balance de fuerzas es el siguiente:

Variación en la   Fuerza de  Fuerza de  Fuerza de  cantidad de movimiento arrastre   gravedad   aceleració n del fluido         La fuerza de arrastre por unidad de masa puede ser expresada en función de la geometría de la partícula (que a sido supuesta como esférica), de su número de Reynolds, de la densidad y del coeficiente de arrastre. Este último también se calcula en función del número de Reynolds y de la forma de la partícula. La fuerza requerida para acelerar el fluido que rodea a la partícula se determina a partir de la relación de densidades y diferencia de aceleraciones. Debido a que el flujo en el interior del espesador es turbulento es posible predecir las trayectorias de las gotas o partículas utilizando la velocidad media del fluido o incluir el valor instantáneo de la fluctuación de la velocidad del fluido. Para predecir la dispersión de las partículas debido a la turbulencia se emplean modelos estocásticos. Para cada uno de los casos analizados anteriormente y por cada diámetro de partícula considerado se calcularon 10 trayectorias.

14.3 SIMULACIÓN DE LA ALIMENTACIÓN A UN ESPESADOR El feedwell de un espesador tiene múltiples objetivos. Entre ellos destacan: (1) recibir la alimentación y evitar que entre con mucha velocidad al espesador, (2) diluir la alimentación, (3) producir la mezcla floculante y material sólido a sedimentar y permitir su floculación.

14.3.1 Dilución de la alimentación Desde hace mucho tiempo los operadores de espesadores se dieron cuenta que es conveniente diluir la alimentación antes que ésta entre al espesador. La teoría de espesamiento permite demostrar que, en la mayoría de los casos, la pulpa de alimentación a un espesador se diluye espontáneamente al entrar al equipo. La concentración que se obtiene se denomina concentración conjugada y se la puede predecir de la teoría.


359

De acuerdo a la teoría de sedimentación, ver sección 8.3.6 del capítulo 8, la suspensión en sedimentación en un espesador continuo cumple la ley de Kynch, mientras que el sedimento muestra efectos de compresión. Por esta razón, la concentración de la suspensión en sedimentación, inmediatamente bajo la zona de agua clara, se puede calcular conociendo la densidad de flujo de sólidos de la alimentación y la función continua de Kynch:

f F  q L  f bk ( L ) donde fF es la densidad de flujo de alimentación, que es conocida, q es el flujo volumétrico de descarga por unidad de área del espesador, también llamado velocidad volumétrica, que es constante a lo largo del espesador y también es conocida, L es la concentración buscada y fbk(L) es la densidad de flujo batch de Kynch. Esta ecuación se resuelve por L. En forma gráfica, la solución se muestra en la figura 4.

Fig. 14.1 Curva de densidad de flujo de Kynch indicando  L  0.00983, c  0.23 y D  0.36 .

De la figura 14.1 se desprende que existe una concentración definida de sólidos L a la cual se diluirá la alimentación a su entrada al espesador. Por lo tanto, es de interés para la empresa que la pulpa sea inyectada al espesador a una concentración lo más cercana a L , a fin de acelerar el proceso de dilución y evitar tiempos muertos innecesarios. Sin embargo, alimentar a esos niveles implica un aumento sustancial en el volumen de agua empleada, con los subsecuentes aumentos en los costos del transporte, almacenamiento y tratamiento de las aguas residuales. Por esta razón la pulpa se alimenta a concentraciones mayores que se designa con F. La solución a este problema consiste en re-utilizar el agua de rebalse de los espesadores en la dilución de la pulpa inyectada de manera de bajar el porcentaje de sólidos de F a L.

360


Existen muchas formas de diluir la alimentación y ellas son generalmente objeto de patentes. Dos ejemplos se dan en las figuras 14.2 a 14.4. Por su mayor complejidad tecnológica se analiza el alimentador E-duc de la empresa Eimco.

Fig. 14.2 Sistema de alimentación E-duc de Eimco.

Fig. 14.3 Sistema Supaflo de Outokumpu.


361

Fig. 14.4 Esquema de dilución del Supaflo.

14.3.2 Alimentación mediante una Tobera El sistema E-duc de Eimco diluye la alimentación por medio de una tobera ubicada lo mas alto posible en el espesador, pero siempre bajo la superficie del agua como se muestra en la figura 14.5. Q1 Q2 Q2

L

Q3

q D Fig. 14.5 Esquema de operación de dilución E-duc.

F

362


Consideremos un flujo de alimentación de 50% de sólidos en peso. Las características del problema son:

Flujo de entrada, m3/hr

2450

Diámetro tubería salida, mm

988

Concentración entrada 

0.33

Diámetro tubería entrada, mm

760

Diámetro boquilla entrada, mm

520

Conicidad de boquilla

30º

El problema fue resuelto con FLUENT utilizando un modelo monofásico en base a agua que indica el volumen de arrastre o dilución. Se consideró el efecto gravitatorio y la superficie libre fue modelada como pared lisa (slip condition) tal como se muestra en la figura 6.

pared

pared Velocidad entrada Presión salida

pared pared presión salida

Figura 14.6. Esquema del modelo 3d de una tobera de dilución. Los resultados fueron los siguientes:

Flujo másico entrada

Flujo másico de dilución

Flujo másico diluido

682 kg/s

747 kg/s

1430 kg/s

Para el caso de un fluido bifásico, con una concentración de alimentación de F=0.33, densidad del sólido de 2.7 y de 2450 m3/hr se tendría:


363

Concentración final L

Concentración final fracción en peso xL

Reducción en concentración

0.071

0.17

48 %

La altura de elevación requerida para lograr el mencionado comportamiento de la tobera se obtiene de la simulación efectuada, al igual que la distribución de velocidades (ver figuras 14.7 y 14.8), distribución de la fracción de pulpa (figura 14.9), distribución de la granulometría (figura 14.10) e intensidad de la turbulencia (figura 14.11).

Fig. 14.7. Contornos de presión en tobera de dilución (cuadrante superior).

Fig. 14.8. Contornos de magnitud de la velocidad en tobera de dilución (corte vertical).

364


Fig. 14.9. Distribución de concentraciones en tobera.

Fig. 14.10. Distribución de la granulometría de la pulpa en interior del ducto de mezcla.

Fig. 14.11. Contornos de intensidad de turbulencia.


365

14.3.3 Alimentación en feedwell El feedwell corresponde a la cámara de pre-dilución y homogeneización de la pulpa de manera de facilitar la dinámica de la sedimentación. Un buen feedwell debe garantizar una salida pareja y fluida de la pulpa en todas direcciones. Se ha simulado dos modelos de feedwell corrientes: con un ducto de alimentación y con dos ductos de acuerdo a lo mostrado en la figura 14.12.

Fig. 14.12 Plano esquemático del feedwell convencional simulado.

Las simulaciones bifásicas fueron desarrolladas para dos tipos de espesador, contemplando agua y otro fluido miscible con una densidad y viscosidad equivalentes a la de una pulpa corriente. En la figuras 14.13 y 14.14 se presentan los patrones de flujo, en base a la granulometría de la pulpa inyectada, para ambos casos convencionales. Los resultados de la simulación bifásica de los feedwell se muestran en las figuras 14.15 y 14.16.

Fig. 14.13. Granulometría de la pulpa en feedwell convencional de 1 entrada.

366


Estas simulaciones permiten caracterizar el flujo de la pulpa y la distribución de partículas en su interior. Además, es posible verificar si el diseño cumple o no con los requerimientos de homogeneización de la pulpa, lo que se traducirá en un menor tiempo de sedimentación a la salida. Recordemos que al igual que en la tobera de predilución, la pulpa debe ser diluida hasta el valor característico de L.

Fig. 14.14. Granulometría de la pulpa en feedwell convencional de 2 entradas.

Fig. 14.15. Fracción volumétrica de la pulpa a la salida de un feedwell convencional.


367

Fig. 14.16. Fracción volumétrica de la pulpa a la salida de un feedwell de alta capacidad.

14.4 SIMULACIÓN DE LA INYECCIÓN DE FLOCULANTES Uno de los costos significativos asociados al proceso de espesamiento lo constituye el floculante. Por esta razón es conveniente optimizar su utilización. En este sentido el punto de adición del floculante a la pulpa es de primordial importancia para garantizar una buena mezcla con la alimentación. Múltiples son los métodos ofrecidos en la industria para la inyección de floculantes, pero existen pocos estudios respecto de su eficiencia. A continuación, a modo de ejemplo, se analiza dos métodos. El primero corresponde a inyección de floculante en la tobera de dilución y el segundo de inyección en feedwell, como se muestran en las figuras 14.17 y 14.18.

Fig. 14.17. Inyección en tobera.

Fig. 14.18. Inyección en feedwell.

368


14.4.1 Inyección en tobera de dilución. De las figuras anteriores es posible observar que la distribución de tamaños y concentración de partículas de mineral en la cañería de mezcla no es homogénea. Por otra parte, existen zonas de mayor y menor turbulencia en la tobera. La inyección en la tobera debe ser tal que no se pierda floculante al agua que rodea la tobera. Se debe buscar el aprovechamiento de las zonas de alto cizalle y turbulencia que se forman en el interior de la cañería de mezcla, dado que en estas zonas el floculante podrá alcanzar su mejor mezcla. Las inyecciones son simuladas por medio de un fluido de densidad 0.6 g/cm3 ubicadas en lugares arbitrarios de la tobera de acuerdo a la figura 14.19. Cañería de inyección de floculante Ducto de mezcla

65

1

Tobera de alimentación

Puntos de inyección

2

3 4

Fig. 14.19. Ubicaciones posibles para la inyección de floculante en tobera de dilución.

El recorrido de las partículas será afectado por a las componentes variables de la velocidad o turbulencia. Se consideró un cálculo estocástico para 10 recorridos posibles. Los resultados se muestran en las figuras 15 a 20.

Fig. 14.20. Inyección del floculante en el punto 1.




Fig. 14.24. Inyección del floculante en el 5.

369


Fig. 14.25. Inyección del floculante en punto el punto 6.

Al comparar los casos de inyección en la tobera de dilución se advierte que las alternativas de inyección 5 y 6 seguidas por la 2 y 3 resultan ser las más beneficiosas por cuanto permite un mayor grado de contacto entre el floculante y las partículas de menor tamaño. Las inyecciones 1 y 4 deben ser evitadas en lo posible.

14.4.2 Inyección en feedwell. Respecto de la inyección de floculante directamente en el feedwell, se puede observar que las partículas pequeñas tienden a permanecer más tiempo en el interior sin sedimentar y que éstas se concentran en la zona cercana a la admisión. Luego, la inyección de floculante debe ser llevada a cabo en esa zona para garantizar la formación de flóculos a partir del fino y para evitar el arrastre del floculante por el chorro principal de partículas gruesas. Al inyectar en el feedwell se busca aprovechar el alto nivel de turbulencia existente dentro de la cámara para la mezcla del floculante. La posición seleccionada

370


en la modelación también es arbitraria y se muestra en la figura 14.26. El feedwell modelado es de una entrada.

Ducto de inyección de pulpa

1 2

Ducto de inyección de floculante

Feedwell

Fig.14.26. Posiciones de inyección de floculante al interior del feedwell.

De las figuras 14.13, 14.14 y 14.27 se puede ver claramente que las partículas de menor tamaño (fino) ocupan rápidamente la zona superior del feedwell sin sedimentar.

Fig. 14.27. Distribución de la granulometría de la pulpa al interior del feedwell.

De lo anterior se desprende que el floculante inyectado al interior del feedwell debe subir inmediatamente y atacar las partículas de fino en suspensión. Por otra parte, la inyección del floculante debe estar ubicado de tal forma de no ser arrastrado por el chorro principal de pulpa. Un ejemplo es el mostrado en las figuras 23 y 24.


371

Fig. 14-28. Distribución del floculante inyectado en los puntos 1 y 2.

Fig. 14.29. Distribución del floculante inyectado en el punto 2.

14.5 SIMULACIÓN DE LAS RASTRAS Las rastras son unas estructuras de acero que se “arrastran” por el fondo del espesador y que tienen por objeto facilitar el escurrimiento del concentrado hacia el ducto de salida del espesador. Todas estas estructuras de acero son móviles y posibles de ser izadas fuera del lecho de concentrado cuando el torque para desplazarlas se torna excesivo.

372


press outlet wall



wall

. Fig. 14.30 Esquema de rastras de un espesador.

El diseño de estos implementos tiene un gran grado de inseguridad por cuanto se desconocen los perfiles de presión sobre la estructura para las diferentes condiciones de operación. Por otra parte, también es desconocido es el grado de interferencia de las rastras en el proceso de sedimentación al existir posibles flujos secundarios ascendentes en sus cercanías. Sólo se sabe que la presencia de rastras aumenta la posible concentración que se puede obtener en la descarga. La simulación del efecto de las rastras en el fondo del espesador se llevó a cabo considerando un solo fluido de viscosidad variable en función de la altura. La velocidad de giro es de 0.5 rpm. Los resultados obtenidos en la simulación se pueden ver en las figuras 14.31 y 14.32. La simulación del efecto sobre las rastras mostrado en estas figuras permite visualizar las zonas de máximo cizalle y la distribución de presiones sobre la estructura. Se pueden llevar a cabo simulaciones para diferentes condiciones de operación (variaciones en la densidad y viscosidad) para una geometría dada permitiendo así estimar los requerimientos de potencia del sistema. Por otra parte es posible estudiar el efecto de esta estructura en el lecho de mineral de manera de determinar las velocidades máximas de operación que no producen el levantamiento del mineral sedimentado.


Fig. 14.31 Contornos de velocidad de deformación y líneas de flujo de la pulpa.

373

Fig. 14.32. Contornos de presión sobre la estructura y vectores de velocidad.

14.6 CONCLUSIONES Las simulaciones llevadas a cabo dejan claramente en manifiesto que es posible aplicar con éxito la técnica CFD en el área de sedimentación y separación SólidoFluido. Los resultados obtenidos pueden ser aprovechados directamente en la etapa de diseño del espesador para mejorar su rendimiento, lo que se puede traducir en menores requerimientos de potencia (rastras), menor tiempo de sedimentación (tobera de dilución y feedwell) y menores costos de operación derivados del ahorro del floculante (inyección en tobera y feedwell).

14.7 REFERENCIAS Adorjan, L.A., Determination of thickener dimensions from sediment compression and permeability test results, Trans. Inst. Min. Met., London, 85, 1976, C157-163. Bustos, M.C., Concha, F., Bürger, R. And Tory, E.M., Sedimentation and Thickening: Phenomenological Foundation and Mathematical Theory, Kluwer Acdemic Publishers, Dordrecht, Holland, 1999. Coe, H.S. and Clevenger, G.H., Methods for determining the capacity of slime settling tanks, Trans. AIME, 55, 1916, 356-385. Concha, F. and Barrientos, A., A critical review of thickener design methods, KONA Powder and Particle, 11, 1993, 79-104. Fitch, E.B. and Stevenson, D.G., Gravity Separation Equipment. In Solid-liquid separation equipment scale-up, Ed. D.B. Purchas, Uplands Press Ltd., Croydon, England, 1977. Fluent Inc. “User’s Guide for Fluent”, Volume 2 Release 4.0, Fluent Incorporated, 1996.

374


Griebel, M Dornseifer, T. and Neunhoeffer T., Numerical Simulation in Fluid Dynamics, SIAM monographs on mathematical modeling and computation, 1997. Hasset, N.J., Design and operation of continuous thickeners, Ind. Chem., 1958, 489494. Köck, R, y Concha F., CFD como herramienta para el diseño de espesadores, III Coloquio Nacional de Filtración y Separación, Santiago, 4-5 de Noviembre, 1999, 116. Mishler, R.T., Settling slimes at the Tigre Mill, Eng. Mining J., 94 1912, (14) 643-646. Talmage, W.P. and Fitch, E.B., Determining thickening unit area, Ind. Eng. Chem., 47, 1955, 38-41. Wilhelm, J.H. and Nadie, Y., Sizing and operating thickeners, SME Annual Meeting, Preprint N°79-30, New Orleans, February 1079, 18-22. Yoshioka, N., Hotta, Y., Naito, S. And Tsugami, S., Continuous thickening of homogeneous floculated slurries, Chem. Eng. Japan, 21, 1957, 66-74.

CAPÍTULO 15 CONCEPTOS MODERNOS DE FILTROS ROTATORIOS

Ingenieurgesellschaft für Mechanische Verfahrenstechnik mbH. Gottesauer Str. 28, 76131 Karlsruhe, Germany · Tel. +49 721 96456-0, Fax: -10, e-mail: [email protected]

RESUMEN Los filtros rotatorios de vacío fueron el tipo de filtros utilizados tradicionalmente en la industria minera por su simple construcción y su fácil operación. Sin embargo, desde hace ya algún tiempo y debido su baja eficiencia, ellos han sido sustituidos por filtros hiperbáricos y filtros a presión. Recientemente, Bokela ha diseñado filtros rotatorios de discos, tambor y de bandeja de diseño innovativo que pueden cambiar esta situación. En este trabajo se presenta el detalle de construcción y operación del filtro de discos Boozer y sus ventajas comparativas.

375

376


15.1 FILTRO DE DISCO DE ALTO RENDIMIENTO “BOOZER” Boozer es un Filtro Rotatorio de Discos de Vacío diseñado por Bokela para la filtración de grandes flujos de materiales en la industria minera del cobre, hierro, plomo, zinc, níquel, carbón, alúmina y otras). El diseño innovador del Boozer impone un nuevo estándar para los filtros de discos que le permite mostrar una extraordinaria eficiencia, gran flexibilidad y una operación confiable y económica.

BOKELA Disc Filter, Type "BOOZER"

Fig. 1 Vista frontal y lateral de Filtro de Discos Boozer.

CAPÍTULO 15 Conceptos Modernos de Filtros Rotatorios

377

15.1.1 Características notables del Boozer Las excelentes características hidráulicas del Boozer dan como resultado un filtro de gran capacidad y economía: 

Más de un 100% de capacidad comparado con filtros de discos convencionales.



2 a 4% de menos humedad en el queque.



Para muchas aplicaciones, una capacidad de bomba de vacío similar a la de un filtro convencional, produce una mayor diferencia de presión a través de la tela filtrante en un 100%.



Mayor velocidad de rotación. Cuando para los filtros convencionales la velocidad de rotación es de 3 rpm máxima, para el Boozer llega hasta 5 rpm.



Mayor confiabilidad y flexibilidad operacional. Notable reducción de los problemas de operación tales como colmatación de la tela de filtración, descarga incompleta del queque, remoción incompleta del filtrado y rehumedecido del queque de filtración.

15.1.2 Datos Técnicos El Filtro de Discos Boozer se caracteriza por los siguientes detalles: ITEM Número de discos Área de filtración Diámetro de los discos Número de segmentos por disco Sujeción de los segmentos Volumen de filtrado retenido en segmentos Peso de un segmento: estándar/liviano Cañerías del filtrado Diseño de la batea

DETALLE 1/2/3 40 / 80 / 120m2 5.5 m 30 Palanca o bayoneta 7.5 l/m2 28 / 18 kg Gran tamaño con forma trapezoidal (f=2.1 °/)* Batea común con agitador o batea individual Porcentaje de sumergimiento del disco 50% Velocidad del filtro Hasta 5 rpm Descarga del queque Mediante golpe de aire (sincronizada exactamente mediante una válvula) *f=sección de la cañería de filtrado conectada al área de filtración.

15.1.3 Descripción y Funcionamiento de los componentes importantes a)

Discos y Segmentos

Cada disco tiene un diámetro de 5.6 m y posee 30 segmentos montados en el tambor central. Los segmentos han sido diseñados para ser extremadamente finos y livianos. El volumen específico de un segmento es de sólo 7.5 l/m2 de área filtrante, mientras que un filtro convencional tiene 20 a 40 l/m2. Este pequeño volumen y las condiciones optimizadas de escurrimiento en los segmentos son un prerrequisito para

378


una baja pérdida de carga y una descarga de queque efectiva. A pesar del gran tamaño del segmento, su peso es muy pequeño, 28 kg para el segmento estándar y 18 kg para el diseño más avanzado. El diseño especial del pie del segmento provee una conexión estable y segura al barril central, permitiendo un montaje y desmontaje muy rápido de los segmentos.

Fig. 2 Alternativas de sujeción de los segmentos: palanca y bayoneta.

Fig. 3. Detalle de la sujeción tipo bayoneta.

b)

Cañerías de colección de Filtrado y Tambor Central

Cada segmento del filtro montado sobre el tambor central está conectado a una cañería de colección de filtrado. Las 30 cañerías de colección de filtrado están arregladas dentro del tambor central y conectan los segmentos de los filtros a los sistemas de vacío y de aire comprimido, este último para la descarga del queque. Dependiendo del número de discos hay 1, 2 o 3 segmentos unidos a una cañería de colección de filtrado. En contraste a los filtros convencionales, las cañerías de colección de filtrado del Boozer no son circulares sino que tienen una sección trapezoidal, lo que resulta en un mayor diámetro efectivo para el flujo que su similar convencional. El valor característico del parámetro f (f=razón entre el área de la sección de la cañería de filtrado y el área de filtración conectada) en el filtro Boozer es de entre f=2.1 a 3%, mientras que los filtros convencionales tienen valores de entre 0.4 a 0.8% aproximadamente.

CAPÍTULO 15 Conceptos Modernos de Filtros Rotatorios c)

379

Tambor Central

El tambor rotatorio central tiene un diámetro de 1100 mm y se encuentra en la batea del filtro. Dos rodamientos lo soportan, uno de rodillos por el lado del sistema motriz y uno de deslizamiento por el lado de la cabeza de control. La combinación especial de materiales en el rodamiento de deslizamiento, el sello especial del rodamiento y la lubricación permanente de los rodamientos asegura una operación segura y sin problemas por años.

Fig 4. Tambor central con los huecos para los segmentos.

Fig. 5. Sujeción de los segmentos al tambor central.


380

d)

Batea del Filtro

La suspensión a filtrar se alimenta a la batea del filtro. El Boozer se manufactura en dos versiones, con una batea común o con bateas individuales. Para las dos versiones la sumerjencia de los filtros en la pulpa es del 50%.

Fig. 6. Diseño de la batea del filtro con sus versiones común e individual

En el modelo de batea común, un agitador homogeniza la suspensión evitando la sedimentación o clasificación de las partículas. La alta diferencia de presión efectiva en la superficie de la tela del filtro mantiene al sólido en el queque a pesar de la agitación reinante en la suspensión. El vertedero de la batea está diseñado de manera de evitar derramamiento de suspensión al piso. La cubierta de los rodamientos del tambor central y el agitador están situados en la pared vertical de la batea. Para el diseño de batea individual no se utiliza agitador y la las partículas se mantienen en suspensión con la agitación producida por el movimiento de rotación del disco. Cada una de las bateas del Boozer está conectada a un gran rebalse común que asegura un intercambio fácil de pulpa entre bateas a la altura de emergencia de los discos. Este diseño asegura que todos los discos funcionen al mismo nivel de pulpa y, visto de arriba, los filtros de batea individual se ven idénticos a los de batea común. El rebalse de ambos diseños, de batea individual y común, permite el flujo de toda la pulpa de alimentación si la válvula de desagüe estuviese cerrada.

e)

Cabeza de Control

La cabeza de control es la conexión entre las cañerías colectoras de filtrado dentro del tambor central rotatorio y las cañerías estáticas de filtrado que lo llevan al estanque de filtrado. La cabeza de control asegura que las diversas etapas del filtrado, tales como la

CAPÍTULO 15 Conceptos Modernos de Filtros Rotatorios

381

formación del queque, el deshumedecimiento y la descarga del queque, se realicen como etapas separadas del proceso. Para ello, la cabeza de control tiene dos placa de control, una móvil conectada a las cañería colectoras de filtrado que rota alrededor del eje central y una fija que determina la posición de las diversas etapas del proceso. En esta forma cada segmento del filtro conecta a las sucesivas etapas del proceso a medida que el filtro rota.

Fig. 7. Cabeza de control del Boozer.

La cabeza de control está diseñada para separar la mezcla de filtrado y aire que llega, en un flujo de aire y otro de líquido. Como la pérdida de carga en un flujo bifásico aire/líquido es aproximadamente 10 veces mayor que aquellas de cada fase separada, este nuevo diseño reduce significativamente la pérdida de carga en el sistema. Por otra parte, el diseño impide el paso de filtrado, proveniente de la zona de formación del queque, a la zona de deshumidificación.

15.1.4 Operación del Filtro de Discos Boozer Durante una vuelta del filtro de disco, cada segmento pasa por los siguientes etapas del proceso: formación, deshumidificación y descarga del queque. La duración de cada una de estas etapas se establece en la placa de control de la cabeza de control, ajustando las secciones del proceso. a) Formación del queque: Tan pronto como un segmento está completamente sumergido en la suspensión, éste es conectado a la bomba de vacío por medio de una cañería de colección de filtrado y la cabeza de control. En ese momento comienza la etapa de formación de queque. Las partículas del sólido se depositan en la tela filtrante mientras que el filtrado es succionado hacia el interior del segmento y fluye hacia el estanque recibidor de filtrado del área de formación de queque. Como la sumerjencia es del 50%, la zona de formación de queque es grande, lo que lleva a altas tasas de

382


producto sólido y de filtrado. El gran número de segmentos asegura la formación de un queque homogéneo en el disco. b) Deshumedecimiento del queque: Cuando el segmento emerge fuera de la suspensión, el queque es secado por el aire succionado de la atmósfera a través del queque y medio filtrante por el sistema de vacío. El aire y el filtrado fluyen por las cañerías de colección de filtrado y por la cabeza de control hacia el estanque recibidor de filtrado de la zona de deshumedecimiento. La homogeneidad del queque permite un deshumedecimiento uniforme y el gran tamaño de las cañerías produce pequeñas pérdidas de carga y, por lo tanto, altas diferencias de presión en los segmentos. c) Descarga del queque: Después de pasar por la zona de deshumedecimiento, el queque se descarga un poco antes que el segmento se sumerja nuevamente el la suspensión. Cuando la cañería de colección de filtrado en la cabeza de control se alinea perfectamente con la abertura de la sección de descarga en la placa de control fija, se insufla aire comprimido a 0.5 bar por el segmento, inflando la tela filtrante. El queque se desprende y cae en el chute de descarga. Una válvula de control permite el control electrónico del momento exacto en el que se debe dar el golpe de aire, en forma de pulso, para la descarga del queque. Este método contrasta con el tradicional de insuflar aire a baja presión durante toda la etapa. Después de la descarga del queque el segmento se sumerge nuevamente en la suspensión reiniciando un nuevo ciclo de filtración.

Fig. 8 Descarga eficiente del Filtro de Discos Boozer asegura un 100% de desprendimiento de la tela.

CAPÍTULO 16 LAVADO CON FILTRO DE BANDA HORIZONTAL

C.E. Williams Delkor (South America) Ltd. Av. C. Colon 4733 Las Condes, Santiago, Chile

16.1 DESCRIPCIÓN DEL EQUIPO Y SUS APLICACIONES El filtro de banda es un equipo muy sencillo compuesto por un marco de acero que soporta un conjunto de rodillos, sobre los cuales gira una banda transportadora de caucho natural u otro elastómero. La banda transportadora se mueve sobre 2 correas de desgaste y se suspende sobre un sistema de agua o aire para evitar desgaste por causa de la fricción. Sobre la banda transportadora está la tela de filtración, que puede ser de monofilamento o punzando. La superficie de filtración consiste en una zona de formación de queque seguida por una zona de secado. Si se requiere, pueden existir varias etapas de lavado y al final del filtro, antes de la descarga del queque, una área de secado. Los filtros de banda se fabrican con áreas desde 1m2 hasta 154m2. Dependiendo de las características del material a filtrar, la estructura puede ser fabricada en varios materiales de construcción. La banda transportadora puede ser soportada por un sistema de agua o de aire, dependiendo del tamaño del filtro, de las condiciones ambientales o del proceso en la planta. Tal como el diseño del filtro de banda, las aplicaciones de este filtro también son flexibles. Por ejemplo, el filtro puede ser usado para filtrar relaves con el objetivo de su depositación en seco, o se puede filtrar materiales para recupera el agua y permitir un transporte manejable de los sólidos. Además, los filtros de banda son usados en aplicaciones de lavado donde existen dos distintas razones, por una parte recuperar soluciones de valor y por la otra remover impurezas del queque. La empresa pionera en el desarrollo y aplicación de los filtros de banda horizontales es Delkor, quien posicionó este equipo en el mercado mundial. Desde de sus primeras aplicaciones en el año 1974, varios cambios y desarrollos han sido 383

384


efectuados para mejorar su funcionalidad y aumentar su eficiencia. Estos adelantos en la tecnología le han permitido ofrecer equipos más robustos que los primeros filtros . La sólida estructura de soporte tiene una duración por sobre los 30 años y las bandas transportadoras duran alrededor de10 años, siendo solamente la tela y correas de desgaste los elementos de recambio. En un comienzo, los filtros de banda tenían dos o tres bandas transportadoras con algunas complicaciones en la coordinación de los movimientos del conjunto. Esto significaba baja eficiencia y pérdidas de vacío. En la actualidad se fabrican en una sola banda transportadora de hasta 4.8 m de ancho, mejorando la capacidad y eficiencia de filtración. Otros cambios como ranuras inclinadas de la banda, estructura inclinada del filtro, telas desarrolladas especialmente para Delkor y la adición de correas de desgaste y rieles de sacrificio del sello de vacío han mejorado el filtro de banda horizontal para hacerlo líder en el mercado. Como consecuencia de todo este desarrollo, Delkor ha fabricado un filtro de banda de 154 m2, el más grande existente en el mercado internacional. Su éxito como empresa lo demuestran los más de 20.000m2 de área de filtración instaladas y la construcción de la planta de filtro de banda más grande del mundo con 26 filtros de 80m2. Ver Figura 1.

Fig. 1 Planta con filtros de banda horizontales más grande del mundo con 26 filtros de 80 m2 cada uno.

En el campo de la separación sólido-líquido siempre ha existido la necesidad de lavar el queque para recuperar soluciones de valor o para remover impurezas. Aunque el filtro de banda horizontal es muy flexible en sus aplicaciones, su propósito original estaba dirigido a aplicaciones de lavado. El filtro de banda ofrece una eficiencia de lavado máxima con un uso mínimo de agua. Por ejemplo, logra 60% de mayor eficiencia de lavado que los espesadores de decantación en contracorriente (CCD), los que requieren grandes cantidades de agua para lavar por dilución. Con un área de lavado horizontal plana, que es ideal para este propósito, los filtros de banda también logran una eficiencia de lavado superior a los filtros de tambor y discos, que tienen superficies curvadas y verticales respectivamente.

CAPÍTULO 17. Lavado con Filtro de Banda Horizontal

385

100.00

Eficiencia de lavado (%)

80.00

60.00

40.00

20.00

0.00 0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

Cuociente de desplazamiento

CCD

FBH

Fig. 2 Comparación de la eficiencia de lavado de queque en un filtro de banda horizontal y en espesadores en contracorriente (CCD).

16.2 ESTUDIO DE CASOS En Chile existen numerosas empresas que utilizan filtros de banda horizontales. Por ejemplo, Delkor ha concretado más de 40 instalaciones desde 1981. De estas instalaciones, se ha seleccionado 5 para estudiar aplicaciones de lavado de queque. Las aplicaciones seleccionadas han sido divididas en dos categorías, aquellas cuyo objetivo es remover impurezas y aquellas cuyo objetivo es recuperar la solución. Las Tablas 1 y 2 resumen estas 5 aplicaciones. TABLA 1 Aplicaciones de lavado para remover impurezas Ubicación Mantos de Oro: La Coipa Meridian: El Peñón

Tamaño de filtros

Proceso

12 de 100 m2 Lavado de relaves de oro para remover cianuro. 3 de 54 m2 2

Lavado de relaves de oro para remover cianuro.

Escondida: Coloso

2 de 63 m

Lavado de concentrado de cobre para remover cloruro.

SQM Salar: Ácido Bórico

1 de 6 m2

Lavado de sales con agua desmineralizada.

2

2 de 4 m

386


Tabla 2 Aplicaciones de lavado para recuperar solución Ubicación

Tamaño de filtros

Mantos de Oro:

12 de 100 m

Recuperación de solución de oro.

3 de 54 m2

Recuperación de soluciones de Oro.

1 x 63 m2

Lavado de concentrado de cobre para recuperar el amoníaco y recircularlo al proceso de lixiviación.

La Coipa Meridian: El Peñón Escondida:

Proceso 2

Coloso

16.3 Aplicaciones de lavado de queque para remover impurezas. 16.3.1 Mantos de Oro: La Coipa En la Compañía Minera Mantos de Oro, Planta La Coipa, existen 12 filtros de banda horizontal Delkor de 100m2. Cada uno es alimentado con 70-80 tph de relaves de oro, cuyos queques son sometidos a dos etapas de lavado. El objetivo de la segunda etapa de lavado es remover el cianuro remanente en los relaves antes de depositarlos.

Fig. 3 Tres de los doce filtros de banda Delkor de La Coipa de 100 m2 cada uno.


387

En este caso, los relaves son lavados con agua industrial y con solución estéril del proceso Merrill Crowe, con una eficiencia de lavado de 94% y de recuperación de cianuro de entre 95 y 96%. Los filtros logran reducir la cantidad de cianuro a un nivel tal que permiten que los relaves sean depositados sin causar efecto ambiental negativo alguno. En el caso de La Coipa, la cantidad de cianuro recuperado paga los costos de operación de la planta de filtros.

16.3.2 Compañía Minera Escondida: Coloso La Compañía Minera Escondida tiene instalados 3 filtros de banda Delkor de 63 m2 en su planta de Coloso, Antofagasta. Dos de estos filtros son utilizados para lavar el concentrado de cobre y eliminar el cloruro y reactivos de flotación. Aun cuando actualmente la planta ha dejado de operar, es interesante describir su operación por el interés que tiene este tipo de aplicación. La figura 4 es una ilustración de esta instalación.

Fig. 4 Vista de la Planta de filtros de banda Delkor de Minera Escondida en Coloso.

Cada filtro es alimentado con 30-35 tph de concentrado de cobre. Los filtros tienen 2 etapas de lavado, en las que el queque es lavado con 20-30 m3/hr de agua desmineralizada para eliminar las impurezas. Las etapas de lavado se realizan en contracorriente. El primer lavado se hace con la solución de filtrado que ha sido reciclada de la segunda etapa y esta última se lleva a cabo con el agua desmineralizada. Esta aplicación de lavado logra una eficiencia mayor al 99% y el producto final contiene menos de 20 ppm de cloruro.

388


16.3.3 SQM Salar: Ácido Bórico SQM Salar posee 3 filtros de banda Delkor instalados en la planta ácido bórico. Dos de ellos son de 4m2 y uno de 6m2. En esta aplicación las sales son lavadas para remover el cloruro. Los filtros tratan 50 toneladas por día de sales que vienen desde un cristalizador. Los 3 filtros trabajan en serie. El primer filtro es alimentado desde el cristalizador. Su descarga es re-pulpeada con agua destilada y alimentada al segundo filtro. La descarga de éste, también es re-pulpeada con agua destilada y es alimento al tercer filtro. Cada filtro tiene sólo una etapa de lavado con razones de desplazamientos entre 0.8-1:1. En los primeros 2 filtros, las sales son lavadas con solución de filtrado re-circulada de la etapa siguiente y el tercer filtro es lavado con agua desmineralizada. La alimentación a filtración contiene más de 3000ppm de cloruro y, gracias a la alta eficiencia de lavado de los filtros, el cloruro se reduce a menos de 100ppm. La Figura 5 muestra un esquema de la configuración de los 3 filtros instalados en SMQ Salar.

Fig. 5 Proceso de filtración y lavado en contracorriente con filtros de banda Delkor en SMQ Salar.

16.3.4 Compañía Minera Meridian: El Peñón La planta El Peñón de la Compañía Minera Meridian cuenta con 3 filtros de banda Delkor de 54m2. Cada filtro trata 40 a 50 tph de relaves de oro, aplicando 2 etapas de lavado en co-corriente. Uno de los objetivos de tener 2 etapas de lavado, es remover el cianuro de los relaves antes de depositarlos para evitar efectos ambientales negativos. Los filtros alcanzan una eficiencia de recuperación del 95% lo que, junto a las etapas de lavado en espesadores en contracorriente, da una eficiencia global mayor a 99%. La figura 6 muestra dos vistas de estos filtros.


Fig. 6 Filtros de banda horizontal Delkor de 54 m2 cada uno en la Planta El Peñón de Minera Meridian.

389

390


16.4 Aplicaciones de lavado de queque para recuperar soluciones 16.4.1 Mantos de Oro: La Coipa Los 12 filtros de banda horizontal Delkor de 100m2, mencionados anteriormente, tienen dos etapas de lavado, de la cual la primera tiene el objetivo de recuperar el oro en solución de los relaves. La figura 3 es una ilustración de los filtros instalados en La Coipa. Los relaves de oro pasan primero por una etapa de lavado con solución estéril. Este sistema esta asociado con tres etapas de lavado CCD, usando espesadores Delkor de Alta Capacidad. La recuperación total lograda es de 99.5% de oro y plata en solución. 16.4.2Compañía Minera Escondida: Coloso Uno de los tres filtros de 63m2 instalados en Coloso, ver figura 4, es utilizado para recuperar el amoníaco y cobre en la solución residual de lixiviación del concentrado de cobre, para luego reciclarla al proceso de lixiviación-extracción por solvente-electro-obtención. El filtro recibe 50-60tph de concentrado de cobre y tiene 2 etapas de lavado. Con una razón de lavado equivalente a la solución que sale con el queque, se logra una eficiencia de lavado mayor al 95%, recuperando el 98-99.8% del cobre soluble. El principal beneficio del filtro es que permite una buena recuperación 2

de Cu  NH3 4 con el mínimo uso de agua, lo que significa cero emisión de soluciones, con un balance de agua que se mantiene en el proceso minimizando la dilución de la solución PLS enviado a SX.

16.4.3 Compañía Minera Meridian: El Peñón Cada uno de los tres filtros de banda horizontal Delkor de 54m2 instalados en la planta El Peñón de la Compañía Minera Meridian, tiene dos etapas de lavado, cuyo objetivo es recuperar el oro en solución de los relaves. Esta etapa de lavado está asociada con tres etapas de lavado CCD con espesadores Delkor. La eficiencia de lavado total es de 99%. En la figura 6 se puede ver la instalación de los filtros en El Peñón.

16.5 CONCLUSIONES La principal ventaja que ofrece el filtro de banda horizontal es la alta eficiencia de lavado con un uso mínimo de solución de lavado. Los beneficios asociados son: 

Produce menor volumen de filtrado



Logra más altas concentraciones de filtrado


391



Reduce los costos de tratamiento de la solución de filtrado.



Alta eficiencia de lavado con sólo un desplazamiento (donde el agua de lavado entrando es igual al agua contenida en el queque).



Permite un diseño de planta con cero emisiones de solución.

CAPÍTULO 17 SISTEMAS DE FILTRACIÓN PARA LA DEPOSITACIÓN DE RELAVES

D.N. Minson y C.E. Williams Delkor (South America) Ltd. Av. C. Colon 4733 Las Condes, Santiago, Chile

17.1 INTRODUCCIÓN 17.1.1 Consideraciones en la construcción de un Depósito de Relaves Una parte importante en un proyecto minero es la selección de la mejor forma de depositar los relaves provenientes de la operación actividad, investigación que debe ser hecha por un Ingeniero Geotécnico. Esta investigación debe considerar: 

La liquefacción del embalse por movimientos sísmicos.



La percolación de las soluciones de descarte a través de fallas geológicas.



Control de la entrada y salida de agua del área del embalse.



Erosión y contaminación de ríos y suelos.



Topografía del área de depositación y restricciones del volumen depositado.



Localización del nivel freático.

Por otra parte, después de la construcción de la planta es necesario considerar todos los recursos necesarios para monitorear la operación del depósito. La decisión a favor de una depositación seca de los relaves involucra inversiones adicionales en equipos, pero tiene ventajas en el largo plazo: 

Eliminación del riesgo de liquefacción del embalse.

392

Capítulo 17 Sistemas de Filtración para la Depositación de Relaves 

Eliminación de la percolación.



Facilidad de control del escape da agua.



No hay riesgo de pérdida del embalse por erosión.



Se eliminan los costos por murallas de retención.



Se puede depositar mayor cantidad de material en una menor área.

393

17.1.2 Comparación de Costos Las tablas 1.1 y 1.21 comparan los costos de depósitos de relaves húmedos, utilizando hidrociclones para la construcción de las paredes, con los de depósitos de relaves secos. El objetivo de este estudio preliminar es analizar la potencialidad de cambiar desde un sistema convencional húmedo a un sistema de depósitos seco. No se incluyó un análisis financiero, pero las estimaciones preliminares demuestran que un sistema seco puede ser económicamente viable. Tabla 1. Costos de un depósito de relaves húmedo ITEM

COSTO EN US$

Costos de capital Excavación; relleno; drenaje; tuberías; etc. Total

748.000

Costos de Operación (8 años en total) Espesamiento

5 US c/ton

Bombeo

40US c/ton

Recuperación de agua

40 US c/ton

Mantención y otros

12 US c/ton

Total

4.250.000

Costo de capital para nuevo depósito (después de 8 años) COSTO TOTAL PARA 1500 tpd

748.000 5.750.000

393

394

Manual de Filtración & Separación Tabla 2. Costos de un depósito de relaves seco ITEM

COSTO EN US$

Costos de capital Planta de filtros, espesadores, transportadora; etc. Total

1.452.000

Costos de Operación (8 años en total) Espesamiento

5 US c/ton

Filtro de banda

50 US c/ton

Transportadoras/camiones

20 US c/ton

Recuperación de agua

4 US c/ton

Mantención y otros

5 US c/ton

Total

2.800.000

Costo de capital para nuevo depósito (después de 8 años) Depósito tiene vida de 20 años COSTO TOTAL PARA 1500 tpd

0 4.250.000

17.2 DETERMINACIÓN DEL SISTEMA DE DEPOSITACIÓN SECA El primer factor a considerar es la motivación del usuario para considerar un sistema seco. Objetivos tales como el costo del agua, restricciones en el área para el depósito y las propiedades geofísicas del lugar, guían en la selección del equipo más económico.

17.2.1 Compactación de los relaves En aquellos lugares en que existen problemas topográficos, como escape de agua, o problemas geofísicos, tales como fallas en la base del nivel friático, la construcción de embalses húmedos puede ser problemática. Productos filtrados pueden ser compactados a un punto tal que sean impermeables. Esto reduce las posibilidades de percolación, erosión por agua o liquefacción como resultado de actividad sísmica. Los relaves filtrados generalmente mantienen una humedad de entre un 10 a un 15%. Aunque los equipos de filtración para relaves rara vez llegan a este nivel de humedad, si produce un material que se puede compactar a un nivel de humedad adecuado de 2 a 10 días. Esto ocurre como resultado de depositación subterránea, la que ocurre cuando la superficie del depósito está en contacto con la atmósfera. El

Capítulo 17 Sistemas de Filtración para la Depositación de Relaves

395

efecto del sol y del viento, además de la ayuda de maquinarias de movimiento de tierra, permite que el producto se seque y alcance densidades de compactación. El material compactado tiene la ventaja adicional que puede ser apilado a alturas significativas, permitiendo una utilización más eficiente del área del embalse. La tabla 31 identifica las rutas de proceso alternativas y su efectividad para producir un material compactado. La inversión de capital se refiere solamente al costo de equipos y no considera los costos por el área de depositación de los relaves. Tabla 3. Comparación del costo de equipos versus método de desaguado1 Equipos

% de sólidos

Inversión de capital

Efectividad para la compactación

en peso

US$

Espesadores

50-60

330.000

No

Espesadores de alta densidad

65-75

450.000

No

Espesadores de alta densidad (finos) y Filtros (gruesos)

70-75

700.000

Depende de la razón fino/grueso

Filtros de vacío

75-83

900.000

Después de 10 días

Filtros de presión

80-87

2.000.000

Después de 2 días

17.2.2 Recuperación de agua Los equipos de sedimentación y filtración tienen la ventaja de retornar agua a la planta inmediatamente. Los embalses también recuperan agua, pero esta agua almacenada en el área del embalse restringe el volumen disponible para deposición de los relaves. También hay un costo de energía necesaria para bombear el agua desde el embalse a la planta. La tabla 4 muestra la reutilización de agua estimada para las alternativas de desaguado para una planta de flotación1.500 tpd. 17.2.3 Percolación Los relaves compactados no liberan volúmenes significativos de licor. Generalmente el licor surge a la superficie del material y se evapora. El licor restante se mantiene impregnando los sólidos compactados como líquido de saturación. De esta manera se minimiza la contaminación de aguas subterráneas.

395

396


Tabla 4. Comparación del uso de agua versus tipo de equipo utilizado1 Equipo

Cantidad de agua utilizada m3/ton ROM

Inversión de capital

Espesadores

1-1.3

330.000

Húmedo

Espesadores de alta densidad

0.6

450.000

Húmedo

Espesadores de alta densidad (finos) y Filtros (gruesos)

0.4

700.000

Depende de la razón fino/grueso

Filtros de vacío

0.25

900.000

Seco

Filtros de presión

0.18

2.000.000

Seco

Tipo de relave

US$

Nota: No considera agua recuperada desde el embalse. 17.3 TIPOS DE EQUIPOS Como una regla práctica, las restricciones de las áreas de embalse requieren que el producto sea filtrado. Cuando las limitaciones se refieren al agua, una combinación de espesador-filtro es la más favorable. Las opciones típicas de equipos se muestran a continuación.

17.3.1 Filtro prensa de doble banda El filtro prensa de dos bandas tiene, como su nombre lo indica, dos bandas (telas) que pasan entre rodillos y aplican directamente presión y cizalle sobre la pulpa retenida como un sándwich entre las dos telas. Este equipo solamente sirve para pulpas compresibles. Aunque el equipo ofrece una baja inversión de capital inicial, existen dos altos costos de operación involucrados. El cizalle ejercido constantemente sobre el sándwich de pulpa produce desgaste de las fibras de la tela, siendo la vida útil de ésta de entre 10 y 15 días. Por otra parte, se necesita grandes cantidades de floculante, hasta 300 g/ton, para generar un sedimento compresible. Las humedades finales son similares a las obtenidas por un sistema de vacío.


397

Fig. 1. Filtro Prensa de doble banda Delkor, de 2m de ancho, utilizada para sedimentos compresibles.

17.3.2 Filtro Prensa Convencional El filtro prensa es conocido principalmente para filtración de productos químicos o de concentrados. El ciclo de filtrado requiere que las cámaras de presión sean llenadas y vaciadas. Esto significa que el tiempo dedicado efectivamente a la filtración es sólo una fracción del ciclo total. Por esta razón, estos filtros tienen una capacidad relativamente pequeña. Como resultado de esto, los costos de capital y operacionales por tonelada suelen ser altos, pero la humedad obtenida es baja.

Fig. 2 Filtro de Prensa de cámara de 1500x1500, para finos de carbón.

17.3.3 Filtro de Discos Los filtros de discos a vacío son muy conocidos en el ambiente minero. La experiencia ha demostrado que la capacidad de los filtros de discos es 30 a 60% menor a la de los filtros de banda. Como resultado, los costos operacionales son mayores, en tanto que las humedades son similares.

397

398


17.3.4 Filtro de Bandas Este filtro utiliza una banda horizontal accionada por una polea. El vacío es producido a través de aberturas en la banda. Como la capacidad por tonelada es alta, el equipo ha sido aceptado en general como el más económico para filtrar relaves. Aun cuando la humedad es similar a la de los filtros de discos, se ha encontrado que los filtros de banda producen una humedad 1 a 2% menor.

Fig. 3 Filtro de banda horizontal Delkor

17.3.5 Espesador de Alta densidad El espesador de alta densidad (HD) es similar en su construcción a un espesador convencional, pero se basa en una mayor altura, mayor tiempo de residencia y mayor uso de floculante para obtener una mayor recuperación de agua. Aunque este equipo no produce fácilmente material para compactación, genera una pasta que puede servir adecuadamente para relleno subterráneo con una mayor recuperación de agua. El costo de capital y el costo unitario de operación es bajo para este equipo, sin embargo, las propiedades altamente plásticas de la pasta producida pueden crear dificultades en el bombeo . Por esta razón se debe utilizar bombas de desplazamiento positivo, las que requieren una gran inversión (más de 1 millón de dólares) y un alto costo de operación, lo que, frecuentemente, hacen este procedimiento antieconómico. La figura 4 muestra un esquema de este equipo y la tabla 5 resume los costos de capital y de operación. El análisis considera un escenario de 8 años tratando relaves de una planta de flotación de 1.500 tpd, excluyendo el cálculo de NPV.


399

Fig. 4 Esquema de un Espesador Delkor de Alta Densidad para rellenado subterráneo.

Tabla 5 Comparación del costo de capital y operacional para diferentes sistemas de desaguado Equipo

Humedad

Costo Equipo

Costo Operacional

Costo Total

% en peso

US$

US$/ton

8 años de operación

Filtro Prensa de doble Banda

20

700.00

1.955

10.900.000

Filtro Prensa

15

2.000.000

0.913

6.800.000

Espesador HD

35

450.000

0.382

2.500.000

Filtro de discos

22

900.000

0.760

4.900.000

Filtro de banda

21

886.000

0.395

2.900.000

En la tabla se muestra que el filtro de banda horizontal es la alternativa más económica globalmente.

17.4 INSTALACIONES EXISTENTES Existen varias instalaciones de deposición de relaves que utilizan filtros de banda para una depositación seca. Entre ellas destacaremos tres instalaciones en Chile, una en Zambia y una en Zaire. La tabla 6 muestra las plantas que se analizará.

399

400

Manual de Filtración & Separación Tabla 6 Instalaciones de desaguado de relaves utilizando filtros de banda Planta

País

Capacidad tpd

Mantos Blancos

Chile

10.000

3 de 100 m2

La Coipa

Chile

18.000

12 de 100 m2

Zambia

50.000

26 de 80 m2

Gecamines

Zaire

7.000

6 de 80 m2

El Peñón

Chile

2.000

3 de 54 m2

ZCCM

N° de filtro y tamaño

17.4.1Mantos Blancos En Mantos Blancos se ha filtrado los relaves desde el comienzo de los años 80. En aquel tiempo, el alto costo del agua fresca motivó la necesidad de recuperar agua adicional.

Fig. 5 Diagrama de flujo del tratamiento de los relaves de Mantos Blancos.

Los relaves de flotación son clasificados en hidrociclones separando los finos de los gruesos. Los finos son llevados a un espesador, parte de cuya descarga se junta con los gruesos del hidrociclón y son filtrados en tres filtros de banda de 100 m2. La otra parte de la descarga del espesador se bombea al depósito de relaves. La proporción de finos no filtrados varía de modo de minimizar el costo global de la filtración y del agua fresca. Originalmente se utilizaba filtros de discos, los que subsecuentemente fueron reemplazados por filtros de banda. Otro factor importante que determinó la necesidad de filtrar los relaves, fue la estabilidad del suelo. El alto contenido de sal en el área de deposición de relaves significaba que la deposición húmeda podría causar problemas serios de disolución de las sales e inestabilidad del suelo bajo el embalse.


401

La tabla 7 resume los costos operacionales de Mantos Blancos. Es de interés observar el costo de operación de 0.35 US$/ton de los filtros. Este cae dentro del rango indicado en la tabla 5. El costo de espesadores, transporte de pulpa y de mantención del embalse suma aproximadamente 0.15 US$/ton. Tabla 7 Resumen de costos de operación en Mantos Blancos2 Operación

Relaves de flotación

Tipo de relaves

Combinación de gruesos y finos del ciclonaje

Queque de filtración

19% de humedad

Costo de operación

0.3 US$/ton ROM

Humedad final del depósito

26% Humedad

Requerimientos de agua de la planta

0.43 m3/ton ROM

El consumo de agua incluye 0.03 m3/ton ROM perdida con el concentrado de flotación de óxidos. 17.4.2 El Indio3 La Compañía Minera El Indio cambio en 1986 su deposición de relaves desde deposición húmeda a deposición seca por falta de espacio adecuado. La topografía requería la construcción de una pared de retención para el embalse con depositación húmeda con una vida útil de 8 años y un túnel de 5 km para desviar una corriente subterránea de agua. El Indio escogió la filtración para aumentar la vida útil de este embalse, en el cual se depositarían relaves hasta una altura de 60 m. La opción por filtración dio una inversión de capital menor comparada con la construcción de la nueva pared del embalse húmedo con una vida más corta. El Indio utilizaba filtros de prensa para producir un material con 19% de humedad, filtrando 70% de los relaves. El resto se enviaba al antiguo embalse húmedo. La planta terminó sus operaciones en 1997. 17.4.3 La Coipa, Can Can y El Peñón En las plantas La Coipa, Can Can y El Peñón se depositan los relaves en embalses secos para minimizar la percolación de soluciones con cianuro hacia las aguas subterráneas debido a fallas geológicas. Se pudo haber considerado circuitos de espesadores en contracorriente para recuperar las soluciones, pero las restricciones impuestas al embalse húmedo favorecía el uso de filtros de banda, el queque de los cuales contenía atrapado en su interior menos de 20 ppm de CN.

401

402


Después del espesamiento, la mayoría las soluciones conteniendo el oro y el cianuro son lavadas en el queque. Por esta razón, 45% del área de filtración está dedicado al lavado del queque. Ver figura 6.

Fig. 6 Diagrama de flujo de la operación de la Coipa.

En La Coipa, los relaves se transportan hacia abajo y se desparraman usando un apilador tripper-car RAHCO. La operación de la planta pretende producir un queque con una humedad de 21%, el que reduce su humedad a sólo 13% después del método de apilarlo. Modificaciones a éste método podría reducir aún más la humedad a 11%.

Fig. 7 Tres filtros de banda Delkor de 100 m2 de los relaves de flotación en La Coipa.


403

La tabla 8 muestra un resumen de la operación. No hay detalles de los costos de operación, pero es suficiente decir que la recuperación del CN paga por la operación de los filtros. Se debe recordar que, debido a que parte del filtro está dedicado a lavar, las ton/área de filtro se ve disminuida. Tabla 8. Resumen de la operación de relaves en La Coipa4 Operación

Residuo de la lixiviación del oro

Tipo de relaves

Filtración de relaves

Queque de filtración

21% humedad

Costo de operación

Pagado por la recuperación de CN

Requerimiento de agua de la planta

0.27 m3/ton ROM

El consumo de floculante de diseño era de 20 a 30 g/ton ROM. Sin embargo, éste se ha reducido a 15 g/ton, lo que se puede atribuir a la optimización del diagrama de flujo y al efecto de alimenta el filtro con sedimento del espesador que ya estaba floculado.

17.4.4 ZCCM y Gecamines Las plantas ZCCM y Gecamines, en Zambia y Zaire respectivamente, usan filtración y lavado, principalmente para recuperar cobre y cobalto después de la lixiviación de los relaves. Estos son luego depositados. Las soluciones ácidas son enviadas a Extracción por Solvente.

17.5 ESTUDIO DE CASOS Delkor participó recientemente de un estudio, junto a una importante compañía de ingeniería de los Estados Unidos de Norteamérica, para un cliente Norteamericano. El objetivo del estudio fue buscar un método de incrementar la producción, sin la necesidad de instalar una nueva infraestructura de captación de agua. Este estudio se separó en tres fases:5 

Fase 1. Trabajo de investigación preliminar sobre relaves rougher/cleaner para 7 diferentes muestras de mineral. En este trabajo el orden de magnitud de las cifras que identificaban la capacidad de la planta y los costos de operación



Fase 2. Ensayos más detallados para verificar velocidades de sedimentación y tiempos de filtración sobre los relaves. Estos resultados fueron usados para el diseño de detalle.

403

404

Manual de Filtración & Separación 

Fase 3. Trabajo de investigación sobre la separación de grueso/finos, para identificar una forma de desaguar los relaves a menor costo.

Fases 1 y 2: Diseño del Espesador y Filtro La base del diseño fue el esquema típico para relaves de flotación de un espesador seguido por un filtro de banda: Carga de sólido

: 15 ton/dia-m2

Planta de espesadores

: 2 Espesadores de alta capacidad

Uso de floculante

: 20 g/ton

Densidad de la descarga:

: 53% sólidos en peso (espesadores de alta densidad hubiesen alcanzado 57-60% de sólidos en peso).

El diseño de los filtros de banda se basó en los resultados de la investigación de la fase 2. Sin embargo, los resultados de la fase 1 estaban a un 10% del valor del diseño final. Humedad del queque

:

23%

Tamaño de planta de filtros

:

8 filtros de banda horizontal (uno standby)

Uso de floculante

:

40 g/ton

Costo de operación

:

0.203 US$/ton ROM (incluido floculante)

El alto contenido de mica de los relaves relativamente gruesos, produjo descargas de los espesadores mas densos y queques más secos que los esperados. El costo del polímero utilizado como floculante puede llegar a ser un 70% del costo total de depositar el relave en el embalse. Por esta razón se investigó el tipo de polímero y su dosificación. Discusiones posteriores con proveedores de reactivos indicaron que una mezcla de coagulantes (para neutralizar el efecto de la mica) y surfactantes de bajo costo también podía ser considerado.

Fase 3: Trabajo de Separación de gruesos y finos El diagrama de flujo consideraba la separación de los relaves de flotación rougher/cleaner en hidrociclones. La descarga del hidrociclón alimentaría el filtro de banda y el rebalse se enviaría a un espesador de alta capacidad. La descarga de este espesador podría ser depositado separadamente o puesto "encima" del queque de filtración en la sección final del filtro de banda.


405

Los ensayos de filtración produjeron un queque con 17.5% de humedad, los que combinados con los finos provenientes del espesador daban una humedad final de 28% en peso. Los ensayos depositando los finos del espesador sobre el queque de filtración en la parte final del filtro de banda produjo una humedad final combinada de 21%. Como conclusión, estos resultados definieron diagramas de flujo alternativos. La selección de equipos y costos de operación de éstos se muestran en la tabla 9. Tabla 9. Comparación desaguado de relaves

de

alternativas

de

Humedad combinada del relave

25%

28%

21%

Costo de operación US$/ton ROM

0.15

0.07

0.15

17.6 CONCLUSIONES El uso combinado de hidrociclones, espesadores de alta capacidad y filtros de banda permite reducir el costo de desaguar relaves de flotación a menos de US$0.10/ton ROM. Esto produce humedades de relave satisfactorios para aumentar la capacidad de la planta sin necesidad de abastecimiento adicional de agua. Si la justificación de la depositación de relaves fuese motivada por restricciones en el depósito de relaves, se debería producir un relave compactable. Para ello, se precisaría un producto más seco de 21 a 23% de humedad y el costo de tratamiento aumentaría a 0.15 a 0.20 US$/ton ROM. 17.7 COMENTARIOS No es común la depositación de relaves con humedades residuales menores, principalmente porque ello demanda una inversión adicional de capital al comienzo del proyecto. Sin embargo, esta inversión puede tener un beneficio a largo plazo en términos de un mejor control de los recursos hídricos y de la contaminación de las aguas subterráneas. Además, el mejor uso del área de embalse que produce esta alternativa, evita los posibles problemas ambientales originados a futuro por requerimiento de sitios adicionales para la depositación de relaves. Desde el punto de vista de los equipos, el uso de filtros de banda horizontal para el desaguado de relaves es la ruta más comúnmente utilizada. La tecnología actual ha permitido el desarrollo de filtros con una gran área unitaria, hasta 154 m2. Ello ha permitido tener plantas de gran capacidad, tales como las de ZCCM en Zambia, que trata 50.000 ton/día de relaves.

405

406


17.8 REFERENCIAS [1] Desarrollos Ltda., Ingenieros Consultores E.H Smith, Comunicación privada. [2] Rosas, O., Empresa Minera Mantos Blancos, comunicación privada. [3] Desarrollos Ltda, Ingenieros Consultores, Compañía Minera El Indio, comunicación privada. [4] G. Bush, Compañía Minera Mantos de Oro, planta la Coipa, comunicación privada. [5] C.E. Williams, Informe Final de estudio de Casos, Delkor South America Ltd., Octubre de 1998.

CAPÍTULO 18 FILTRACIÓN HI-BAR® CON VAPOR A PRESIÓN

BOKELA Ingenieurgesellschaft für Mechanische Verfahrenstechnik mbH Gottesauer Str. 28, D-76131 Karlsruhe, Germany.

RESUMEN La filtración con vapor a presión, o tecnología de filtración Hi-Bar® con vapor, es el proceso de filtración continua a presión más avanzada existente en el mercado. El proceso y su concepto han sido desarrollados con base a la gran experiencia en filtración de la empresa Bokela. La filtración moderna con vapor a presión combina la física del desaguado mecánico con el proceso de secado térmico. La filtración hiperbárica con vapor a presión se realiza en filtros rotatorios y da como resultado mínimas humedades y otros beneficios tales como: menor consumo de gas, una muy buena utilización de la energía, lavado y eliminación de contenidos solubles mediante un flujo pistón de condensado. Los fundamentos del proceso, los equipos para el laboratorio y planta piloto, como el diseño de plantas son descritos en este capítulo con ejemplos prácticos.

407

408 18.1.

Manual de Filtración & Separación FUNDAMENTOS DE LA FILTRACIÓN CON VAPOR A PRESIÓN

18.1.1 Filtración convencional con vapor En trabajos previos de filtración con vapor el objetivo era reducir el contenido de humedad del queque disminuyendo la viscosidad del filtrado y la fuerza de interacción sólido-líquido. El contenido de humedad mc de un queque de filtración es función de varias variables:

mc  f  L , h 2c p, t 2  donde L es la viscosidad del filtrado, hc es el espesor del queque, p es la caída de presión a través del queque y t2 es el tiempo de desaguado. Como la viscosidad disminuye al aumentar la temperatura del líquido, el vapor se utilizaba como fuente de energía para calentar el líquido. Por esta razón se instalaban campanas sobre los filtros rotatorios para captar el vapor que se hacía pasar por los poros del queque. Pero antes que el vapor penetrara en el queque, éste se desaguaba haciendo pasar aire por lo que los poros del queque quedaban parcialmente llenos de aire. Esto significa que al introducir vapor, una mezcla de éste y aire pasaban por el queque, dando por resultado una máxima temperatura en el queque muy por debajo de la temperatura del vapor. 18.1.2 Proceso moderno de filtración con vapor a presión Hi-Bar® En contraste a la filtración convencional con vapor, el nuevo proceso de filtración con vapor a presión usa solamente vapor para eliminar el agua del queque. En primer lugar, el objetivo de la filtración Hi-Bar® es sobrepasar la presión capilar en los poros del queque. Para explicar este nuevo proceso, ver figura 1, consideremos la operación de un filtro rotatorio en el proceso de filtración con vapor a presión. El queque es formado a la temperatura natural de la pulpa de alimentación es inmediatamente introducido en una cabina de vapor al emerger de la suspensión. El la cabina existe una atmósfera de vapor sobrecalentado que produce el fenómeno de frente condensado y que se puede describir en la siguiente forma [1]:  El vapor se condensa en la superficie fría del queque y la entalpía de condensación calienta la superficie del éste hasta que la temperatura alcanza la de condensación.  El licor madre y el condensado son forzados a través del queque debido a la diferencia de presión de filtración. En los poros grandes, que se desaguan más rápidamente que los poros pequeños, el vapor se condensa y el condensado los llena completamente. Debido a este efecto, todos los poros susceptibles a ser desaguados por una diferencia de presión (de acuerdo a su tamaño de poros) estarán llenos de condensado y por lo tanto se formará un frente de condensado que es presionado a través del queque hacia el medio filtrante como una capa homogénea de condensado, esto es como un flujo pistón de condensado. Este

CAPÍTULO 21. Filtración Hi-Bar con vapor a presión

409

fenómeno previene la formación de las ramificaciones denominadas “fingering” [2]

Fig. 1: Modelo de “frente de condensación”  Mientras el “frente de condensado” se mueve a través del queque, la mayor parte del licor madre es reemplazada por condensado, y partes más cercanas al medio filtrante que aún permanecen frías toman contacto con el vapor se calientan con el vapor que se condensa. Este mecanismo combina transferencia de masa y calor entre el queque y el vapor.  Cuando el frente de condensado llega al medio filtrante se corta el suministro de vapor antes que éste escape libremente a la atmósfera. En ese momento el queque ha adquirido la temperatura del vapor y sale da la cabina de vapor.  En ese momento se sopla aire comprimido a través del queque caliente y predesaguado, obteniéndose un muy efectivo secado térmico. Debido a la energía almacenada en el queque, gran parte del líquido residual se evapora es removido por el flujo de aire comprimido. S. Gerl y W. Stahl [3, 4] han investigado en este campo en años recientes y han aclarado el mecanismo de la filtración con vapor a presión, que constituye los fundamentos de la tecnología patentada por BOKELA. Estos estudios experimentales muestran que la combinación de pre-desaguado logrado por el vapor condensado y el siguiente secado con el aire comprimido lleva a humedades residuales extremadamente bajas.

410


18.2 TECNOLOGÍA DE FILTRACIÓN HI-BAR® En su versión estándar la filtración Hi-Bar® utiliza aire comprimido para llevar adelante el proceso. Sin embargo la filtración Hi-Bar® con vapor a presión utiliza vapor sobresaturado tanto para desaguar el queque como para lavarlo. Este proceso está protegido por una patente de Bokela. Los filtros Hi-Bar® de discos o tambor se montan en una vasija presurizada, la que se llena de aire comprimido. Para la filtración con vapor una cabina de vapor cubre parcialmente la superficie del filtro, formando un ambiente separado de puro vapor en la vasija. Diseñados con base en un know-how sobre proceso y equipos, ambas versiones de filtración Hi-Bar® son caracterizadas por los siguientes detalles:  Proceso de filtración continua con filtros rotatorios de tambor o discos.  Todas las partes motrices están instaladas fuera de la vasija a presión.  Gran diferencia de presión, hasta p = 6 bar  Tecnología confiable para la descarga del queque.  Descarga del queque por soplado inverso de aire (este aire comprimido está disponible para la filtración). Los tipos de filtros Hi-Bar® (ver Tabla 1) son particularmente adecuados para la filtración masiva, pero también sirven para la filtración de pequeños flujos de material. El diseño especial de los aparatos provee características hidráulicas excelentes para obtener grandes capacidades, remover completamente el filtrado y descargar en la mejor forma el queque. La filtración Hi-Bar® se ha diseñado especialmente para lograr filtraciones sofisticadas con requerimientos difíciles, tales como lavado del queque, extracción de solutos o simplemente evitar la quebradura del queque. Tabla 1 Tamaño de los filtros de Discos y Tambor para la filtración Hi-Bar® Filtros de Discos Hi-Bar®

Filtros de Tambor Hi-Bar®

Area de Filtración

Numero de Discos

Area de Filtración

Diámetro del Tambor

[m²]

[-]

[m²]

[m]

15

1

10

3.0

30

2

20

3.0

45

3

30

3.0

60

4

90

6

120

8


411

18.2.1 Concepto de la filtración Hi-Bar® con vapor a presión en la planta Para tomar una decisión con respecto al uso de vapor en la filtración Hi-Bar® , se estudia el comportamiento de la pulpa utilizando aire comprimido. Si estos resultados no cumplen con los objetivos en cuanto a humedad residual del queque, lavado, extracción de contaminantes, flujo de gas y quebraduras en el queque, o si el producto de la filtración debe ser posteriormente secado, se aplica la filtración con vapor. En la filtración Hi-Bar® con vapor a presión, el desaguado y el lavado del queque se realiza con vapor sobresaturado. Para este efecto se cubre el área del filtro rotatorio (disco o tambor) con una cabina Con este propósito, el área de vapor del filtro rotatorio (disco o tambor) se cubre y se sella con una cabina de vapor (ver figura 2) que separa la zona de vapor del interior de la vasija a presión que está llena de aire a presión. De esta manera una vasija de presión estándar sin un aislamiento térmico costoso cumple todos los requerimientos y las unidades dentro de la vasija no están expuestas al vapor a alta temperatura. Generalmente la cabina de vapor cubre el queque desde que éste emerge de la pulpa hasta que el vapor y escapa libremente del queque y que el queque es lavado, desaguado y calentado con un mínimo consumo de energía. Esto constituye la primera etapa del proceso. Después de dejar la cabina de vapor el queque se seca hasta su humedad final haciendo pasar aire comprimido, lo que constituye la segunda etapa del proceso.

Fig. 2: Filtro de discos Hi-Bar® con cabinas de vapor El diseño de la cabina se caracteriza por los siguientes elementos: La cabina está inmersa en la pulpa y un sistema de control mantiene una presión un poco mayor en la cabina de vapor que en la cámara de aire, de modo que éste no pueda penetrar a la zona de vapor. La cabina cubre al queque desde el momento que éste emerge de la suspensión hasta que el vapor sale libremente del queque. El tamaño de la zona de vapor puede ser adaptado a los requerimientos de procesos con diferentes materiales.

412


En caso de ser necesario, la cabina de vapor puede cubrir al queque completamente hasta el punto de descarga. La cabina de vapor previene las pérdidas de vapor por condensación en las paredes de la vasija. La condensación de vapor también se previene en la superficie de la pulpa ya que cada disco (en el caso de filtros de disco) está equipado con una cabina de vapor individual y separada. Este concepto mantiene el área de contacto entre el vapor y la pulpa en un mínimo. La superficie de la pulpa es mantenida en contacto con el aire comprimido para impulsar la formación de queque. 18.3 BENEFICIOS DE LA FILTRACIÓN HI-BAR® CON VAPOR A PRESIÓN Muy baja humedad residual La gran diferencia de presión, hasta p=6 bar, proporciona un desaguado intenso del queque sobrepasando la presión capilar de hasta los poros más pequeños. Simultáneamente, la menor viscosidad del concentrado y el filtrado,

Fig. 3 Diagrama de flujo para filtración Hi-Bar® con vapor a presión debido al aumento de temperatura, mejora el desaguado mecánico. Después de que el vapor atraviesa el queque recalentado, éste se deshumedece haciendo pasar aire comprimido a través de él. Debido a la alta temperatura que ha adquirido el queque, este aire permite la evaporación rápida del líquido residual. Una disminución adicional de humedad por vaporización, llegando prácticamente a cero, se obtiene durante la descarga debido a la alta temperatura del queque.


413

La filtración Hi-Bar® con vapor a presión utiliza la energía del vapor para un muy rápido y eficiente secado del queque debido a la gran área de intercambio de masa y energía dentro del queque. Por otra parte, esta forma de secado del queque es muy conveniente ya que éste no está expuesto a esfuerzos mecánicos ni térmicos. El recalentamiento del queque no daña el proceso. Lavado y extracción El condensado puro y caliente tiene una gran solubilidad para poluyentes sólidos o líquidos o para cualquier otro contenido del queque de filtración, por lo que éstos son extraídos, fundidos, disueltos y eliminados. También se mejora el lavado del queque debido a que la formación del frente de condensación, que impidiendo la introducción de aire en el queque, se mueve como un flujo pistón reemplazando el licor madre completamente en el queque.

Benefits of the Hi-Bar Steam Pressure Filtration optimal mechanical dewatering washing out

no gas consumption

extraction diminishing of crack building careful drying

Fig. 4 Beneficios de la filtración Hi-Bar® con vapor a presión Se evita las quebraduras de queque La fractura de queques de filtración se produce debido a las fuerzas interfaciales de tensión especialmente cuando está constituido de partículas utrafinas. Durante la filtración con vapor se reduce drásticamente la influencia de la tensión superficial ya que el licor madre (filtrado) es reemplazado por el condensado, ambos con tensiones superficiales similares. Por esta razón se reduce las quebraduras del queque e, incluso, se evita como se ha demostrado en muchos casos.

414


Se evita la emisión de gases Si se desea evitar la emisión de gases durante la filtración, la zona de vapor se debe extender hasta la descarga del queque y la filtración se puede llevar a cabo sin consumo de aire. Es así como la filtración Hi-Bar® con vapor a presión es especialmente útil para filtración con problemas de evacuación de aire. 18.4 ENSAYOS EN EL LABORATORIO Y PLANTA PILOTO Para determinar las características de filtración de una suspensión se debe llevar a cabo ensayos en laboratorio para medir todos los datos necesarios bajo condiciones ideales. Si estos ensayos son exitosos, las condiciones encontradas se verifican en la planta bajo condiciones reales de operación con una planta piloto móvil de filtración Hi-Bar® con vapor a presión. 18.4.1 Equipos de ensayo de Laboratorio El rango de operaciones de un filtro de planta es simulado en laboratorio con filtración con aire comprimido y vapor a presión variando lo parámetros relevantes. Estos ensayos entregan información sobre la capacidad de tratamiento de sólidos tales como la diferencia de presión óptima, el consumo de aire y/o vapor, el consumo de agua de lavado, el tiempo de formación del queque, el tiempo de desaguado, el acondicionamiento de la suspensión y la tela de filtración recomendada. Los ensayos de filtración con aire comprimido son realizados en el equipo FILTRATEST. Este es un equipo de laboratorio portátil que consiste en una celda de filtración, con chaqueta de calentamiento de 20 cm2 de área de filtración y una presión máxima de trabajo de 10 bar. Para la filtración con vapor a presión se diseñó un equipo de laboratorio especial con 20 cm2 de área de filtración y presiones máximas de 16 bar y temperaturas de vapor de 210°C. Ambas unidades son portátiles y están equipadas de todas las más modernas tecnologías de mediciones existentes, de modo que todos los datos son registrados electrónicamente. Los datos recogidos permiten calcular la capacidad del filtro, la humedad del queque, el consumo de gas y vapor de la planta de filtración Hi-Bar® con vapor a presión. 18.4.2 Planta piloto Hi-Bar® La planta piloto móvil consiste en un filtro rotatorio Hi-Bar® (de discos o de tambor, de acuerdo con la demanda del cliente) instalado en una vasija a presión. La unidad está diseñada tanto para la filtración con aire comprimido como para utilizar vapor a presión con un máximo de p=6 bar. La plata piloto está equipada con todos los equipos periféricos tales como recibidor de filtrado, compresores, bombas, unidad de acondicionamiento de la pulpa y control automático.


415

Los ensayos pilotos se llevan a cabo para verificar los resultados de los ensayos de laboratorio bajo condiciones reales de operación. En los ensayos pilotos se puede verificar y optimizar el funcionamiento del proceso y de parámetros tales como diferencia de presión, velocidad del filtro, disposición de las cabinas de vapor, comportamiento del medio filtrante, descarga del queque Estos datos proveen información para un escalamiento eficaz a la tamaño industrial. 18.5 RESULTADOS DE LA FILTRACIÓN HI-BAR® CON VAPOR A PRESIÓN La filtración Hi-Bar® con vapor a presión muestra ventajas cuando se desea bajos niveles de humedad, un secado cuidadoso, un lavado efectivo y la remoción de contaminantes en el queque. Estas demandas provienen principalmente del mundo minero, de la industria del carbón y de la industria química, del alimento y del medio ambiente. En estos mercados la filtración Hi-Bar® con vapor a presión muestra ventajas supremas, como se verá a continuación en un estudio de casos. 18.5.1 Desaguado de concentrados en la flotación de carbón Los finos de carbón se procesan tradicionalmente mediante la flotación. El tamaño de partículas del concentrado está en el rango de 35%- 40% menor a 63µm. El concentrado se desaguaba por medios mecánicos con filtros a vacío o con filtración continua a presión. Para tener un producto competitivo, la humedad del queque no debe sobrepasar el 10%. Como éstas tecnologías tradicionales de separación sólidolíquido no cumplen con el requerimientos de humedad estipulado, el queque debe ser secado térmicamente para obtener el producto de la calidad deseada. La implementación de filtración Hi-Bar® con vapor a presión permitió eliminar la etapa de secado. Para el concentrado 1 indicado en la tabla 2, el contenido de humedad es reducido por la filtración a vapor desde 19.5% a 8.5% , lo que significa una reducción de agua de 149 kg por tonelada de sólidos. Este resultado se obtiene con un consumo de vapor de 92 kg per tonelada de sólidos, lo que significa que 0.62 kg de vapor son necesarios para remover 1 kg de agua. Este resultado muestra un rendimiento energético mucho mayor que el secado térmico. Para el concentrado 2, el contenido de humedad se reduce desde 18% a 9.5%, y 105 kg de agua son removidos por tonelada de sólido. El consumo de vapor es de 0.67 kg por kg de agua removida. Este resultado muestra que con la filtración Hi-Bar® con vapor a presión se logró el objetivo de un máximo de 10% de humedad en el queque en una sola etapa, evitando el secado térmico, lo que redujo el costo de energía y de inversión de modo significativo.

416


Tabla 2 Comparación de resultados de desaguado con filtración a presión y filtración Hi-Bar® con vapor a presión de dos concentrados de carbón

Desaguado de finos de carbón con filtración Hi-Bar con vapor a presión Comparación de tecnologías de filtración Concentrado de carbón 1 Hi-Bar Presión Filtro discos SPF*

Technical data

Concentrado de carbón 2 Presión Filtro discos

Hi-Bar SPF*

Area filtrante

(m²)

120

146

120

85

Capacidad de sólido

(t/h)

100

100

70

70

(bar)

2,5

2,5

2

2,5

Contenido de humedadad

Diferencia de presión

(wt-%)

19,5

8,5

18

9,5

agua por 1t de soólidos

(kg/t)

242

93

196

105

Flujo de gas

(m³/h)

4500

1600

3500

2100

(t/h)

0

9,2

0

7

(kg/kg)

-

0,62

-

0,67

Consumo de vapor vapor / kg agua removida

* SPF = filtration con vapor a presión

18.5.2 Desaguado de concentrados de minerales de hierro La hematita se beneficia mediante flotación produciendo un concentrado con una distribución de tamaño de 95% menos a 44µm y 35% menor a 5 µm. El concentrado es desaguado en filtros rotatorios de discos a vacío con campanas de vapor, produciendo un material de 12.5% de humedad a 585 kg/m2h. Este producto debe ser peletizado, pero como la peletización requiere una humedad máxima de 9% , debe sufrir un previo secado térmico. Este concentrado tiene tendencia a fracturase durante la filtración. Para cumplir los objetivos de un aumento de producción de la planta, se pensaba instalar un filtro adicional con capacidad para 230t/h. Ensayos de filtración Hi-Bar® con vapor a presión demostraron que se podía aumentar la capacidad de la planta a 2500kg/m²h (cinco veces la de la filtración a vacío), disminuir la humedad a 9% y, simultáneamente, eliminar el problema de fractura del queque mediante esta tecnología. Es así como un solo filtro de 120m² puede procesar mediante la filtración Hi-Bar® con vapor a presión 300 t/h con el requerimiento de humedad. Este resultado se obtuvo con un consumo pequeño de aire de 37.5 m³/m²h y de vapor de 38 kg per tonelada de sólidos con una diferencia de presión de p=6 bar y un espesor de queque de 7 mm. 18.5.3 Lavado y secado de un producto de precipitación química Los productos de precipitación de una determinada planta química se separan de su licor madre mediante centrífugas. Se producen aproximadamente 5 t/h de precipitado el que es lavado y desaguado en seis centrífugas. El producto de las


417

centrífugas tiene un tamaño de 30% menos 71 m. El objetivo de la planta es obtener una humedad bajo el 4 % y un buen lavado del queque que dejen en él menos de 100 ppm de licor madre. Los altos costos de mantención, la baja disponibilidad de las centrífugas y el alto valor de la humedad residual obtenida en la planta decidió el hacer un estudio en el laboratorio y planta piloto de filtración Hi-Bar® con vapor a presión. Los ensayos demostraron que la filtración Hi-Bar® con vapor a presión podía cumplir fácilmente los objetivos señalados. Con un consumo muy económico de vapor de sólo 90 kg/ton de sólidos, la humedad podría llegar al 2% y el lavado dejaba un queque con 50 ppm de licor madre. Un filtro Hi-Bar® con vapor a presión de 7 m² de área es suficiente para una producción de 5 t/h del precipitado que actualmente es tratado en 6 centrífugas. Debido a que la diferencia de presión que se utiliza en la vasija del Hi-Bar® es de sólo 1.1 bar el producto es tratado muy suavemente lo que produce menos quebrazón de cristales de manera tal que después de la filtración sólo el 13% de las partículas tiene un tamaño menor a 71 m. 18.5.4 Lavado y secado de yeso en una planta térmica En la desulfurización de los gases de una planta térmica se produce 230 t/d de yeso que es lavado y desaguado en un filtro de tambor a vacío de 18 m2 y luego es secado térmicamente. La gran cantidad de sólidos finos causa problemas en la filtración y el contenido de humedad, el contenido de cloruros del queque lavado y el contenido de sólidos en el filtrado están en el límite superior tolerable. Resultados mediante filtración Hi-Bar® con vapor a presión mostraron que la humedad del queque se podía reducir por debajo del valor de la demanda. Con la misma diferencia de presión de p=3.5 bar de una filtración Estos 100 kg de vapor desplazan los 300 kg de agua por tonelada de sólidos que entran al secador térmico. La cantidad de energía requerida en el secador térmico se podía reducir a menos de la mitad. Adicionalmente se mejoró el lavado del queque resultando en un mejor producto. Hi-Bar® sin vapor y un consumo de vapor de 100 kg por tonelada de sólidos la humedad del queque se podía reducir de 34 % (515 kg de agua por 1000 kg de sólidos). Table 3 Resultados de la filtración a vacío SPF para yeso Filtration of FGD-gypsum with the Hi-Bar steam pressure filtration Comparison of filter technologies filter area [m²] pressure difference [bar] steam consumption [kg/t solids] moisture content [wt-%] chloride content in the cake [mg/kg] filtrate solids [%]

Vacuum Filter

Hi-Bar SPF

18 0,7 11 100 1,5

10 1,5 80 3 50 0,3

418


18.6 ECONOMÍA DE LA FILTRACIÓN HI-BAR® CON VAPOR A PRESIÓN La economía de la filtración Hi-Bar® con vapor a presión se puede demostrar para el caso de la filtración de concentrados de carbón reportada en la sección 4.1. Esta filtración reduce significativamente los costos debido a que no es necesario recurrir al secado térmico. En la tabla 5 se muestra los resultados de la filtración a presión sin vapor pero con secado térmico y la filtración Hi-Bar® con vapor a presión. Con el uso de vapor se logró la meta de humedad de 10% para ambos concentrados con un consumo económico de aire y vapor. Para el concentrado 1, el costo de energía se reduce un 59% de los 1.25 a 0.50 millones de US$ por año. Para el concentrado 2, el costo de energía se reduce un 59% de los 0.68 a 0.42 millones de US$ por año. Tabla 5 Comparación del costo de energía para la filtración a presión con y sin vapor Factibilidad del desaguado de concentrados de carbón mediante SPF

Comparción de costos de energía en US$ Concentrado de carbón 1 Presión Hi-Bar Filtros discos SPF

Energy costs

Concentrado de carbón 2 Presión Hi-Bar Filtros discos SPF

air compression

(DM/a)

104.000

40.500

69.500

steam production

(DM/a)

0

483.000

0

thermal dryer

(DM/a)

1.163.500

total energy costs relation of energy costs

(DM/a) (%)

1.267.500 100%

0 523.500 41%

6.140.000 683.500 100%

50500 367.500 0 168.000 61%

* SPF= Filtración Hi-Bar con vapor a presión

La superioridad económica de la filtración Hi-Bar® con vapor a presión demostrada con estos datos es evidente aún cuando sólo se toman en cuenta los costos de energía en la comparación, sin tomar en cuenta los costos de inversión y de operación del sacado térmico.

18.7 CONCLUSIÓN La filtración Hi-Bar® con vapor a presión combina un proceso de desaguado mecánico con un proceso de secado térmico con una alta sinergia que lleva a queques extremadamente secos, reducciones de aire y vapor significativos y una excelente extracción de sólidos y lavado del contenido líquido del queque. Estas características


419

hacen de la filtración Hi-Bar® con vapor a presión un proceso muy atractivo para la industria minera, pero también para la industria química, de alimentos y en la protección ambiental. Es especialmente atractiva para el procesamiento de grandes tonelajes, pero también muy adecuada para pequeños tonelajes o filtraciones sofisticadas con condiciones y restricciones complicadas. El proceso de filtración Hi-Bar® con vapor a presión puede ser ensayado para cada material en el nivel de laboratorio y planta piloto en condiciones industriales. Tanto el equipo de laboratorio como el piloto pueden ser transportados a las empresas mineras para realizar el trabajo encualquier parte del mundo. Una de las características destacables de la filtración Hi-Bar® con vapor a presión es la simpleza del diseño en planta con componentes bien probados que aseguran una operación confiable. 18.8 REFERENCIAS [1] R. Bott, Th. Langeloh: Steam Pressure Filtration - advanced version of the continuous pressure filtration (Hi-Bar® Filtration); Aufbereitungs-Technik 37 (1996) Nr. 4 [2] L. Paterson: Dispersion and fingering in miscible and immiscible fluids within a porous medium, Powder Technology, 36, 1986 [3] S. Gerl, W. Stahl: Dewatering of coal and ore concentrate filter cakes by steam pressure filtration; XX International Mineral Processing Congress, 1997, Aachen [4] S. Gerl, W. Stahl: Improved dewatering of coal by steam pressure filtration; Coal Preparation, 1996, Vol. 17

CAPÍTULO 19 APÉNDICES

APÉNDICE 1 CONVERSIÓN DE MEDIDAS DE CONCENTRACIÓN Definiciones: Densidad del sólido

p

f    p   f X   D

Densidad del fluido diferencia de densidades Fracción de sólidos en peso Fracción de sólidos en volumen Densidad de pulpa Dilución



  f p  f



f X  p 1  X   f X



f f  p D

X 

p f  

p    f 

 1  1 D

420

APÉNDICES

421



p f

p 1  X   f X

 f   

 p f 1  D  p D  f

D  

f 1    p  1 X X f   p     p    f 

422


APÉNDICE 2 UNIDADES DE MEDIDA Y DIMENSIONES NOMBRE

SÍMBOLO

Longitud

l

Masa

m

Densidad



Tiempo

t

Velocidad

v

Aceleración

a

Fuerza

F

Presión

p

422

mks m 1 10-2 0.305 kg 1 10-3 0.454 kg/m3 1 10-3 16.00 s m/s 1 10-2 0.305 m/s2 1 10-2 0.305 Newton (N) kg-m/s2 1 10-5 4.444 Pascal (Pa) N/m2 1 0.1 0.680 1.013x105 1.013x105 105

UNIDAD cgs cm 102 1 30.5 g 103 1 454 g/cm3 103 1 16x103 s cm/s 102 1 30.5 cm/s2 102 1 30.5 dina g-cm/s2 105 1 4.444x105 2

dina/cm 10 1 6.80 1.013x106 1.013x106 106

DIMENSIÓN otra pie 3.28 3.28x10-2 1 lbm 2.205 2.205x10-3 1 lbm/pie3 6.249x10-2 6.249x10-5 1 s pie/s 3.28 3.28x10-2 1 pie/s2 3.28 3.28x10-2 1 Poundal lbf 32.2xlbm-pie/s2 0.225 2.25x10-6 1 psi lb f/in2 14.7psi=750 mmHg 1.47psi 1 psi 1Torr=1atm=14.7psi= =760 mmHg 1 bar=14.5psi

L

M

ML-3

T LT-1

LT-2

MLT-2

ML-1T-2

APÉNDICES NOMBRE

423 SÍMBOLO

Torque

Tq

Viscosidad dinámica



Viscosidad cinemática



mks N-m 1 10-7 1.355 Pa-s N-s/m2 1 0.1 4.724x10-4 m2/s 1 10-4 9.295x10-2

UNIDAD cgs dina-cm 107 1 1.355x107 Poise dina-s/cm2 10 1 4.724x10-3 Stokes cm2/s 104 1 9.295x102

DIMENSIÓN otra lb f-pie 0.738 7.38x10-8 1 Poundal-s lbf-s/pie2 2.1168x10 3 2.1168x10 2 1

ML2T-2

ML-1T-1

L2T-1 pie2/s 10.758 1.0758x10 5 1

APÉNDICE 2

UNIDADES DE MEDIDA Y DIMENSIONES NOMBRE

SÍMBOLO

Longitud

l

Masa

m

Densidad



Tiempo

t

Velocidad

v

Aceleración

a

Fuerza

F

Presión

p

mks m 1 10-2 0.305 kg 1 10-3 0.454 kg/m3 1 10-3 16.00 s m/s 1 10-2 0.305 m/s2 1 10-2 0.305 Newton (N) kg-m/s2 1 10-5 4.444 Pascal (Pa) N/m2 1 0.1 0.680 1.013x105 1.013x105 105

UNIDAD cgs cm 102 1 30.5 g 103 1 454 g/cm3 103 1 16x103 s cm/s 102 1 30.5 cm/s2 102 1 30.5 dina g-cm/s2 105 1 4.444x105 2

dina/cm 10 1 6.80 1.013x106 1.013x106 106

422

DIMENSIÓN otra pie 3.28 3.28x10-2 1 lbm 2.205 2.205x10-3 1 lbm/pie3 6.249x10-2 6.249x10-5 1 s pie/s 3.28 3.28x10-2 1 pie/s2 3.28 3.28x10-2 1 Poundal lbf 32.2xlbm-pie/s2 0.225 2.25x10-6 1 psi lb f/in2 14.7psi=750 mmHg 1.47psi 1 psi 1Torr=1atm=14.7psi= =760 mmHg 1 bar=14.5psi

L

M

ML-3

T LT-1

LT-2

MLT-2

ML-1T-2

Unidades de Medida y Dimensiones

NOMBRE

423

SÍMBOLO

Torque

Tq

Viscosidad dinámica



Viscosidad cinemática



mks N-m 1 10-7 1.355 Pa-s N-s/m2 1 0.1 4.724x10-4 2

m /s 1 10-4 9.295x10-2

UNIDAD cgs dina-cm 107 1 1.355x107 Poise dina-s/cm2 10 1 4.724x10-3 Stokes cm2/s 104 1 9.295x102

DIMENSIÓN otra lb f-pie 0.738 7.38x10-8 1 Poundal-s lbf-s/pie2 2.1168x10 3 2.1168x10 2 1

ML2T-2

ML-1T-1

L2T-1 2

pie /s 10.758 1.0758x10 5 1

Manual de Filtracion

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