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OPERACIONES UNITARIAS EN INGENIERIA QUIMICA
constituye la primera capa de sólidos depositados. El filtrado puede ser inicialmente turbio pero luego se hace claro. El turbio se devuelve al tanque que contiene la suspensión para ser filtrado de nuevo. Coad yuvantes
de
f iltración
Los sólidos muy tinos o mucilaginosos, que forman una torta densa e impermeable, obstruyen rápidamente cualquier medio filtrante que sea suficientemente suficientemente para retenerlos. La filtración práctica de estos materiales exige que la porosidad de la torta aumente de forma que permita el paso del líquido con una velocidad razonable. Esto se realiza añadiendo un coadyuvante nte de de tal tal como tie tierra de dia diatome omeas, per perlit lita, celulo lulosa sa de mad madera purificada purificada u otros materiales materiales porosos inertes inertes a la suspensión suspensión antes de la filtración. filtración. El coadyuvante de filtración puede separarse después de la torta de filtración disolviendo los sólidos o quemando el coadyuvante. Si los sólidos no tienen valor, se desechan junto con el coadyuvante. Otra forma de utilizar un coadyuvante de filtración es mediante to, es decir, depositando una capa del mismo sobre el medio filtrante antes de comenzar la operación. En los filtros discontinuos la capa del material es generalmente delgada, mientras que en un filtro continuo con pretratamiento, tal como se ha indicado anteriormente, dicha capa es gruesa y la parte superior de la misma se retira de forma continua con una cuchilla rascadora para exponer una superficie de filtración fresca. .
FUNDAMENTOS DE LA FILTRACION
La filtración es un ejemplo especial del flujo a través de medios porosos que se ha estudiado en el Capítulo 7 para casos en los que las resistencias al flujo son constantes. En filtración resistencias resistencias aumentan con el tiempo a medida que el medio filtrante se va obstruyendo o se forma una torta de filtración, de forma que es preciso modificar las ecuaciones del Capítulo 7 para tener en cuenta este hecho. Las principales magnitudes de interés son la velocidad de flujo a través del filtro y la caída de presión en la unidad. A medida que transcurre el proceso, o bien disminuye disminuye la velocida velocidad d de flujo o aumenta la caída caída de presión. presión. En la llamada filtración filtr ación a presió pr esión n la caída de presión permanece constante y la velocidad de flujo va disminuyendo con el tiempo; menos frecuente es que la presión aumente progresivamente para dar lugar a la llamada filtr ació n a velo cidad cida d .
constante.
Una ecuación general para todos los tipos de filtración a presión constante fue desarrollada por Hermans y en 1935. Su ecuación es (30.8)
donde
V = volumen de líquido filtrado, o simplemente filtrado, recogido
durante el tiempo = constantes
SEPARACIONES
MECANICAS
1009
En la filtración de clarificación puede ser o 1, dependiendo del mecanismo para el cual se deposite la partícula. En la filtración de torta = 0. Para la filtración a velocidad constante la ecuación de Hermans-Bredée es
=
(30.9)
donde Ap es la caída de presión a través del filtro y tiene los mismos valores que en la Ecuación (30.8). El tratamiento que sigue se refiere fundamentalmente a la filtración de líquidos, si bien fundamentos similares son aplicables a la filtración de
Fundamentos de la Si las partículas sólidas que han de separarse obstruyen completamente los poros del medio y la velocidad de obstrucción es constante con el tiempo, el mecanismo se conoce como coludo directo, para el cual en las Ecuaciones (30.8) y (30.9) adquiere el valor 2. El colado directo se produce en raras ocasiones. Mucho más frecuente es que las partículas bloqueen parcialmente los poros dando lugar a una gradual reducción del tamaño de los mismos; este mecanismo recibe el nombre de bloqueo estándar, para el que n = Ocasionalmente, durante la transición entre la clarificación y la formación de la torta puede haber un período durante el cual n = 1, recibiendo entonces el nombre de bloqueo intermedio.
El bloqueo estándar es el mecanismo habitual en los filtros de clarificación. Con n = la integración de la Ecuación (30.8) conduce a las siguientes ecuaciones para la filtración a presión constante
t
V
donde
=
+
= es la velocidad volumétrica de flujo a través del filtro = velocidad de flujo para = 0 = constante igual a
Una representación gráfica de V frente a es una línea recta cuando el mecanismo corresponde a bloqueo estándar. Tiene una pendiente igual a y la ordenada en el origen es A partir de la Ecuación (30.9) para la filtración a volumen constante, 1
(30.12) donde
es la caída de presión al comienzo de la filtración.
1010
OPERACIONES UNITARIAS EN INGENIERIA QUIMICA
La deducción de las Ecuaciones (30.10) y (30. ll) a partir de la ley de Poiseuille indicando el significado físico de fue por También se obtienen ecuaciones similares a las Ecuaciones (30.10) a (30.12) para colado directo y bloqueo intermedio. La Figura 30.13 muestra los resultados experimentales de ensayos de con una tela de nylon monofílamento La representación gráfica de frente a es una recta cuando 80 de acuerdo con la Ecuación pero casi siempre hay un período inicial en el que no es aplicable la Ecuación (30.11). Todas las leyes de filtración suponen que el número de partículas separadas por volumen de filtrado es constante, lo cual dista de ser cierto al comienzo de la filtración aun con medios de tela.
Fundamentos de la filtración de torta En la filtración de torta el líquido pasa a través de dos resistencias en serie: la de la torta y la del medio filtrante. La resistencia del medio filtrante, que es la única resistencia en los filtros clarificadores, normalmente sólo es importante durante las primeras etapas de la filtración de torta. La resistencia de la torta es nula al principio y aumenta con el tiempo a medida que transcurre la filtración. Si la torta se lava después de la filtración, ambas resistencias son constantes durante el período de lavado, y la del medio filtrante es generalmente despreciable. La caída total de presión en un instante cualquiera es la suma de las caídas de presión en el medio filtrante y en la torta. Si es la presión interior, la presión exterior y la presión en el límite de separación entre el medio filtrante y la torta, = Pa
=
+
+
=
0 . 3 0
0 0
Figura
50
30 13 .
.
100
150
200
250
300
Clarificación con una tela monofilamento de nylon.
(30.13)
1011
SEPARACIONES MECANICAS
donde
Ap = caída global de presión
Ap, = caída de presión en la torta Ap, = caída de presión en el medio filtrante Caída de presión a través de la torta de filtración. La Figura 30.14 muestra
esquemáticamente una sección transversal de la torta de filtración y del medio filtrante para un tiempo definido a partir del comienzo del flujo de filtrado. Para este tiempo el espesor de la torta, medido desde el medio filtrante, es El área del filtro, medida perpendicularmente a la dirección de flujo, A. Considérese la delgada capa de torta de espesor situada en la torta a una distancia L del medio filtrante. Sea la presión en este punto p. Esta capa consta de un delgado lecho de partículas sólidas a través de las cuales fluye el filtrado. En un lecho filtrante la velocidad es suficientemente baja para asegurar que el flujo es laminar. En consecuencia, se puede utilizar la Ecuación (7.18) como punto de partida para el tratamiento de la caída de presión a través de la torta, teniendo en cuenta que y que para flujo laminar en la Ecuación (7.18) es 0. Si la = velocidad del filtrado se representa por la Ecuación (7.18) se transforma en (30.14) donde
= gradiente de presión para el espesor viscosidad del filtrado = velocidad lineal del filtrado basado en el área del filtro
Dirección
del
de la mezcla
Figura 30.14. Sección transversal del medio fil y de la torta mostrando los gradientes de presión: p, presión del fluido; L, distancia desde el medio filtrante.
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OPERACIONES
= = = = =
UNITARIAS
EN
INGENIERIA
QUIMICA
superficie de una sola partícula volumen de una sola partícula porosidad de la torta constante factor de proporcionalidad de la ley de Newton
Para partículas de tamaño y forma definida dispuestas al azar, La velocidad lineal viene dada por la ecuación
= 4,167.
A
donde V es el volumen de filtrado recogido desde el comienzo de la filtración hasta el tiempo Puesto que el filtrado tiene que pasar a través de toda la torta, tiene el mismo valor para todas las capas y es independiente de L. El volumen de sólidos en la capa es A(l y si es la densidad de las partículas, la masa dm de sólidos en la capa es (30.16)
dm =
Eliminando
de las Ecuaciones (30.14) y (30.16) se obtiene dp =
(30.17)
Tortas de filtración compresibles e incompresibles.
En la filtración a bajas caídas de presión de suspensiones que contienen partículas rígidas y uniformes, todos los factores del segundo miembro de la Ecuación excepto m, son independientes de L. y la ecuación es directamente integrable para el espesor de la torta. Si es la masa total de sólidos en la torta, el resultado es P o
dp = 0
(30.18) Las tortas de de este tipo reciben el nombre de incompresibles. Para utilizar la Ecuación (30.18) se define una resistencia especzji’ca de la torta, definida por la ecuación (30.19) donde (30.20)
SEPARACIONES
MECANICAS
1013
Para tortas incompresibles es independiente de la caída de presión y de la posición en la torta. La mayor parte de las tortas que se encuentran en las operaciones industriales no están formadas por partículas rígidas individuales. La suspensión consiste en una mezcla de aglomerados, o flóculos, consistentes en débiles acoplamientos de partículas muy pequeñas, y la resistencia de la torta depende de las propiedades de los flóculos en vez de la geometría de las partículas Los flóculos se depositan sobre la cara de la torta situada aguas arriba y forma un complicado entramado de para los que la Ecuación (30.17) no es estrictamente aplicable. La resistencia de tal suspensión depende del método utilizado en la preparación de la suspensión así como a la edad y temperatura del material. Por otra parte, los flóculos son distorsionados y rotos por las fuerzas existentes en la torta, de forma que los factores y varían de una capa a otra. Una torta de filtración de este tipo se denomina compresible, y en ella varía de un lugar a otro; también varía con la presión aplicada y, en algunos casos, con el tiempo. En consecuencia, la Ecuación (30.18) no es estrictamente aplicable. Sin embargo, en la práctica, la variación de con el tiempo y la localización se suele ignorar. Para los cálculos se obtiene experimentalmente un valor medio para el material que se filtra. A veces los experimentos se realizan a diferentes presiones de forma que puede correlacionarse con la caída de presión. La resistencia del medio filtrante definir, por analogía con la Ecuación mediante la ecuación Resistencia del medio filtrante.
se puede
(30.21) La dimensión de es La resistencia del medio filtrante varía con la caída de presión y con el tiempo y la limpieza del medio filtrante, pero como sólo es importante durante las primeras etapas de la filtración, casi siempre resulta satisfactorio suponer que es constante durante cualquier filtración y obtener su valor a partir de datos experimentales. Cuando se trata como una constante empírica, incluye tam bién cualquier resistencia al flujo que pueda existir en las líneas de acceso y salida del filtro. A partir de las Ecuaciones (30.19) y =
=
(30.22)
Desde un punto de vista estricto, la resistencia de la torta es una función de en vez de Durante la etapa importante de la filtración, que es cuando la y el torta tiene un espesor apreciable, es pequeño en comparación de efecto sobre el valor de al efectuar la integración de la Ecuación (30.18) sobre un intervalo en vez de puede ignorarse con toda seguridad. Por tanto, en la Ecuación (30.22) se toma como una función de Ap.
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OPERACIONES
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Al utilizar la Ecuación (30.22) es conveniente sustituir la velocidad lineal del filtrado, y la masa total de sólido en la torta, por funciones de el volumen total de filtrado recogido durante el tiempo La Ecuación (30.15) relaciona y un balance de materia relaciona Si c es la masa de partículas depositadas en el filtro por unidad de volumen de la masa de sólidos en el filtro en el tiempo es y
= Vc Sustituyendo de la Ecuación (30.15) y ción se obtiene
(30.24)
de la Ecuación (30.24) en la Ecua-
dt
(30.25)
Cuando Ap es constante, las únicas variables son = 0, V = 0 y Ap = Ap,; por tanto,
Filtración a presión constante.
V y
Cuando
(30.26) La Ecuación (30.25) puede pues escribirse así dt
1
(30.27) (30.28)
donde
La Ecuación (30.27) puede compararse con la Ecuación (30.11) para filtros Es, además, consistente con la forma integrada de la ecuación de con = 0 y = La integración de la Ecuación (30.27) entre los límites (0, 0) y (t, V) conduce a
t
V
0
(30.29)
La concentración de sólidos en la suspensión que entra como alimentación del filtro es ligeramente inferior a puesto que la torta húmeda incluye líquido suficiente para llenar sus poros, y el volumen real de filtrado, es ligeramente menor que el líquido total contenido en la suspensión original. Si se desea, se puede corregir esta retención de líquido en la torta aplicando balances de materia. Así, sea la masa de torta húmeda, incluyendo el filtrado retenido en sus huecos, y la masa de torta seca lavando la torta libre de material soluble y secándola. Por otra parte, sea la densidad del filtrado. Por tanto, si es la concentración de sólidos en la suspensión, en kilogramos por metro cúbico de líquido de alimentación del filtro, los balances de materia conducen a
=
(30.23)
SEPARACIONES
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MECANICAS
Por tanto, una representación gráfica de frente a será una línea recta de pendiente y ordenada en el origen A partir de una representación gráfica y las Ecuaciones (30.26) y (30.28) se pueden calcular los valores de y en la forma que se indica en el Ejemplo 30.2. Ecuaciones empíricas para la resistencia de tortas. Realizando experimentos a
presión constante para varias caídas de presión se puede encontrar la variación de con Si es independiente de Ap, la torta es incompresible. Generalmente aumenta con Ap, ya que la mayor parte de las tortas son, por lo menos en alguna medida, compresibles. Para tortas altamente compresibles aumenta rápidamente con Ap. Se pueden utilizar ecuaciones empíricas para ajustar los datos experimentales de Ap en función de siendo la más frecuente (30.30)
=
donde y con constantes empíricas. La constante es el coeficiente de compresibilidad de la torta. Si vale cero es incompresible, mientras que valores positivos corresponden a tortas compresibles. Su valor generalmente está com prendido entre y La Ecuación (30.30) no deberá utilizarse en un intervalo de caídas de presión muy diferente del empleado en los experimentos realizados para evaluar y Tabla 30.2.
Datos
para el Ejemplo 30.2
Ensayo número
II I
II
V
IV
Volumen de filtrado
1 9, 0
1 9, 0
1 4, 0
1 4, 0
72,0 37,0 76,0 02.0 34,0
17,0 69,0 23,0
15,0 73,0
59,0
63,0 4475 34,0 32,0
1
SEPARACIONES
MECANICAS
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0 0
Figura 30.16.
2000
4000
Gráfica de
6000
8000
frente a Ap para el Ejemplo 30.2.
A partir de los valores de y de la Tabla 30.3, se obtienen los correspondient es valor es de y a partir de las Ecuaciones (30.26) y (30.28). Por tanto x
=
Ap
x
x
0,474 x
=
x =
Ap
x
x
0
La Tabla 30.3 muestra los valores de y para cada ensayo, calculados por el método de mínimos cuadrados. En todos los casos se ha omitido el primer punto del Ensayo 1 que no cae sobre la representación lineal. En la Tabla 30.3 se dan los valores de y R,. La Figura 30.16 es una representación gráfica de frente a La Figura 30.17 es una representación logarítmica de frente a Ap. Los puntos definen perfectamente una linea recta, de forma que la Ecuación (30.30) es adecuada pa ra re pr es en ta r en fu nc ió n de Ap . La pe ndi en te de la lí ne a, qu e es el va lo r de pa ra esta torta, es La torta es sólo ligeramente compresible. La constante se puede calcular leyendo las coordenadas de un punto conveniente situado sobre la línea de la Figura 30.17 y calculando por la Ecuación (30.30). Por ejemplo, cuando Ap = 1000, = x y =
Ap,
x
=
x
Figura 30.17. Representación log-log de frente a Ap para el Ejemplo 30.2.
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OPERACIONES
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QUIMICA
La Ecuación (30.30) para esta torta es
=
x
P
Filtración continua. En un filtro continuo, como el de tipo de tambor rotativo, la alimentación, el filtrado y la torta se mueven con velocidades continuas estacionarias. Sin embargo, las condiciones en un elemento particular cualquiera de la superficie filtrante no son de régimen estacionario sino transitorio. Siguiendo, por ejemplo, un elemento de tela filtrante desde el momento en que entra en el tanque de suspensión hasta que se desprende la torta y queda de nuevo limpio, es evidente que el proceso consta de varias etapas en serie (formación de la torta, lavado, secado, y descarga), en cada una de las cuales las condiciones cambian progresiva y continuamente. Sin embargo, la caída de presión a través del filtro durante la formación de la torta se mantiene constante. Por tanto, las anteriores ecuaciones para la filtración discontinua a presión constante se pueden aplicar a los filtros continuos introduciendo algunas modificaciones. Si es el tiempo real de filtrado (es el tiempo que un elemento de filtro está sumergido en la suspensión), a partir de la Ecuación
t =
v 2
40
donde Ves el volumen de filtrado recogido durante el tiempo la Ecuación (30.31) se obtiene
(30.3 1) Despejando V de
(30.32) S us titu yen do los val ore s de y de las Ecuaciones (30.26) y (30.28) y dividiendo por se llega a la ecuación V
do nd e
+
(30.33)
= velocidad de recolección de filtrado A = área sumergida del filtro
La Ecuación (30.33) puede escribirse en función de la velocidad de producción de sólidos y de las características del filtro: tiempo del ciclo velocidad de giro del tambor y del área total del filtro A,. Si la fracción de tambor sumergido es
t = ft, = f n
SEPARACIONES MECANICAS
La velocidad de producción de sólidos, de acuerdo con la Ecuación V
= c
Puesto que = total del filtro es
1019
es (30.35)
la velocidad de producción de torta dividida por el área
Ap
+
(30.36)
La resistencia del medio filtrante incluye la de cualquier porción de torta no retirada por el mecanismo de descarga y que pasa al siguiente ciclo. Cuando el medio filtrante se lava después de descargar la torta, generalmente es despreciable y la Ecuación (30.36) se transforma en (30.37) Si la resistencia específica de la torta varía con la caída de presión de acuerdo con la Ecuación la Ecuación (30.37) puede para dar (30.38) Las Ecuaciones (30.36) y (30.37) se aplican tanto a filtros continuos de vacío como a filtros continuos de presión. Cuando es la Ecuación (30.37) predice que la velocidad de flujo de filtrado es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la viscosidad y del tiempo del ciclo. Esto se ha observado experimentalmente con tortas gruesas y elevados tiempos del ciclo”; sin embargo, con ciclos de tiempo cortos esto no se cumple y es preciso utilizar la relación más complicada correspondiente a la Ecuación En general, la velocidad de filtración aumenta con la velocidad de giro del tambor y disminuye con el tiempo del ciclo debido a que la torta formada sobre la superficie del tambor es más delgada. Para velocidades superiores a un cierto valor crítico, la velocidad de filtración ya no aumenta con la velocidad sino que permanece constante, y la torta tiende a ser muy húmeda y difícil de descargar. El área de filtro que se requiere para una velocidad de filtración dada se calcula en la forma que se indica en el Ejemplo 30.3. Ejemplo 30.3. Un filtro rotativo continuo, con un 30 por 100 de inmersión, ha de utilizarse para filtrar una suspensión acuosa de que contiene Ib de sólidos po r pi e cú bi co de ag ua (2 36 La ca íd a de pr es ió n se rá de 20 pu lg Hg . Si la tor ta de filtración contiene por 100 de humedad (sobre base seca), calcúlese el área de filtro que se requiere para filtrar 10 galones por minuto de suspensión cuando el tiempo de ciclo del filtro es de 5 minutos. Supóngase que la resistencia específica de la
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OPERACIONES
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QUIMICA
torta es la misma que en el Ejemplo 30.2 y que la resistencia del medio filtrante despreciable. La temperatura es de 20 “C.
es
SOLUCIÓN
Se utilizará la Ecuación (30.38). Los valores que se necesitan para sustituir son
x 144 = 1414
= =
=
1
x 60 = 300 s
-1
A partir del Ejemplo 30.2 =
x
pies/lb
=
Por otra parte, = 1
=
x
=
El valor de c se obtiene a partir de la Ecuación (30.23). La concentración de la suspensi ón es Puesto que la torta contiene 50 por 100 de humedad, = 2. Sustituyendo en la Ecuación (30.23) se obtiene
= 1 D es pe ja nd o
=
(2
d e l a E cu ac ió n ( 30 .3 8) re su lt a
=
(30.39)
La velocidad de producción de sólidos es igual a la velocidad de flujo de suspensión multiplicada por su concentración c. Por tanto, puesto que la densidad del es 10
=
1
1
+
= 0,302
1
Sustituyendo en la Ecuación (30.39) se obtiene
x = 0,302
2 x
x
x
x
x
x
x
= F i l t r ac i ó n
lineal
a
ve l o cida d
co ns t an t e
.
Si el flujo de filtrado es constante, la velocidad
también lo es y V A
At
(30.40)
SEPARACIONES
Sustituyendo de la Ecuación (30.24) y ción (30.19) se transforma en
MECANICAS
de la Ecuación
1021
la Ecua-
(30.41)
La resistencia específica de la torta se deja en el primer miembro debido a que es función de Ap para el caso de tortas Si se conoce en función de Ap,, y si Ap,, la caída de presión a través del medio filtrante se puede estimar, se puede utilizar directamente la Ecuación (30.41) para relacionar la caída global de presión con el tiempo cuando la velocidad de flujo del filtrado es constante. Sin embargo, se puede utilizar más directamente esta ecuación si se acepta la Ecuación (30.30) para relacionar con Si se sustituye de la Ecuación (30.30) en la Ecuación y si Ap, se sustituye por (Ap resulta = (Ap
(30.42)
Nuevamente el método más sencillo para corregir la caída global de presión, teniendo en cuenta la caída de presión a través del medio filtrante, es suponer que la resistencia de dicho medio no varía durante una filtración a velocidad tnte. Por tanto, según la Ecuación Ap, también es constante en la Ecuación (30.42). Puesto que las únicas variables en la Ecuación (30.42) son Ap y la ecuación puede escribirse así (Ap donde
=
(30.43)
está definida por (30.44)
Lavado de tortas de filtración. Para lavar el material soluble que pueda quedar retenido por la torta de filtración se utiliza un disolvente miscible con el filtrado. Siendo el agua el líquido de lavado más habitual. Dos aspectos importantes en el diseño y operación de un filtro son la velocidad de flujo del líquido de lavado el volumen de líquido que se requiere para reducir el contenido de soluto en la torta hasta un grado deseado. Aunque son aplicables los principios generales que se comentan a continuación, las cuestiones no pueden resolverse completamente sin
La concentración puede también variar con la caída de presión. Durante la operación permanece constante en vez de según la Ecuación puesto que varía con la presión, también varía cuando es significativo en comparación con la unidad. La variación de con la presión se puede ignorar teniendo en cuenta las demás aproximaciones que se hacen en la teoría general de filtración.
