Memoria para desarrollo de talleres de Diseño
ASIGNATURA DE ELEMENTOS DE DISEÑO HIDRÁULICO
LECTURA & TALLER I ELEMENTOS DE DISEÑO PARA UNA CAPTACION CONVENCIONAL E. A. PACHECO Laboratorio de Hidráulica y Dinámica de Fluidos LH&DF Departamento Departamento de Ingeniería Civil - Universidad de Cuenca
[email protected]
1.
CONFIGURACION GENERAL DE UNA CAPTACION CONVENCIONAL
Se debe prever la factibilidad factibilidad para ejecución de la obra, observando para ello aspectos de accesos, caudales mínimos, facilidades de desvío de caudal durante la construcción, etc.
Las obras de captación pueden clasificarse en obras de toma por derivación directa y en obras de toma con almacenamiento. Las tomas por derivación directa captan el agua de un río sin regulación y la derivación es muy sensible a la disponibilidad de caudal en el río. Las obras con almacenamiento consisten de un cierre en el cauce del río que eleva la cota de la superficie de agua muy por encima del nivel del calado normal a fin de disponer de un volumen suficiente que permita la regulación del caudal captado por la obra.
7 8
4
De manera general para el diseño de captaciones, la obra deberá permitir captar un caudal relativamente constante e impedir la entrada de material sólido y flotante. La obra deberá permitir el paso de caudales de crecida en el cauce sin comprometer la seguridad de la misma. El diseño debe ser tal que facilite la operación y el mantenimiento. Así mismo, otros aspectos importantes tienen que ver con la estabilidad de taludes y procesos fluviomorfológicos del cauce.
6
3
Río
Específicamente para el buen desempeño de una captación mediante una obra de derivación lateral, se debería observar como requisito que el caudal a captar sea mucho menor al caudal disponible en el río y que la profundidad de flujo en el mismo no descienda de un valor mínimo necesario para un adecuado funcionamiento. Por los motivos señalados, las obras de captación de derivación directa disponen de un azud que cierra el cauce del río y que eleva el agua hasta una cota de operación que le permita disponer de un nivel de agua controlable. La captación convencional común consiste, además del del azud para control del nivel de agua, de la estructura lateral de entrada que deriva el caudal mediante un orificio o vertedero hacia las obras dispuestas para los procesos de sedimentación y conducción (Figura 1). Este tipo de captaciones son adecuadas para cauces con pendientes altas (ríos de montaña) cuyas cuencas de drenaje presentan hidrogramas de crecida de corta duración y un aumento considerable en la tasa de transporte de sedimento [1]. Dependiendo de la configuración que tendrá la obra, se deberá tener presente aspectos de ubicación relacionados con los procesos constructivos así como los de funcionalidad hidráulica. Los criterios de ubicación de la obra de captación, consideran entre otros los siguientes puntos importantes:
2
1
6
11
9
10
1 Azud de cierre del cauce 7 Compuerta de admisión 2 Compuerta de purga 8 Conducción 3 Reja de entrada 9 Zampeado 4 Desripiador 10 Muro de protección 5 Compuerta de limpieza 11 Rizberma 6 Canal de lavado Figura 1. Esquema de una captación convencional convencional con azud de cierre
No debe olvidarse además, que como recomendación general hay que ubicar la obra de toma en un tramo recto recto del cauce [2],[3]. De no ser posible aquello se podrá emplazar la obra al final de un tramo cóncavo lo cual ayuda a evitar la zona de acumulación de materia por sedimentación (Figura 2), siendo necesario cuidar los aspectos de socavación que se pudieran presentar [3]. La toma para derivación a canal dispone de un umbral cuya cota se proyecta a la cota de atarquinamiento para impedir la entrada de sedimento. zona de erosión
La ubicación debe estar en un tramo del cauce cuyo ancho sea compatible con los requerimientos de desempeño hidráulico y de economía. Se requiere espacio suficiente para el emplazamiento de obras de disipación de energía, y los desniveles topográficos mínimos para operación de compuertas de limpieza y otras estructuras de control de flujo Se requiere espacio suficiente en la margen del cauce para emplazar el desripiador y la transición. En ríos de montaña, generalmente, no se dispone de dicho espacio y es necesario recurrir a adaptaciones forzadas en los diseños que van en desmedro de la funcionalidad y seguridad de la obra.
5
zona de sedimentación
Figura 2. Sedimentación en la zona convexa
REFERENCIAS [1] Wohl E. (2000) Mountain Rivers, American Geophysical Union, Washington DC [2] Krochin S. (1978) Diseño Hidráulico, Escuela Politécnica Nacional, Segunda edición, Quito-Ecuado Quito-Ecuadorr [3] Novak P., Moffat A.I.B., Nalluri C., Narayanan R. (2007) Hydraulic Structures, McGraw-Hill
Memoria para desarrollo de talleres de Diseño 1
2.
DISEÑO DE LOS COMPONENTES DE LA CAPTACION
2.1.
0.9
REJA DE ENTRADA
0.8
Se ubica en el muro que separa el desripiador del río (Figura 1). Está provista de barrotes verticales que impiden el paso de material flotante y de piedras. Para el diseño se proyecta su funcionamiento como un vertedero cuya carga está determinada por la cota de la cresta del azud. En caudal de creciente, la reja trabaja como un orificio para lo cual debe validarse los cálculos a fin de que no se permita pasar a la conducción un caudal mayor a 1,2 veces el caudal de diseño (Qd ). El umbral de la reja se proyecta a una altura de al menos 60 cm del fondo del proyecto. Los barrotes se pueden emplazar en un plano vertical (captaciones pequeñas) o con una inclinación de entre 50° a 70° para facilitar operaciones de limpieza. Los barrotes deberán resistir el impacto de piedras y de material flotante como troncos; para ríos grandes los barrotes poseen un ancho del orden de 10cm. No se recomienda espaciamiento mayor a 20cm entre barrotes. La velocidad del flujo a través de los barrotes oscila normalmente entre 0,9 y 1,2 m/ s. Para el dimensionamiento de la reja de entrada se deberá considerar la pérdida de carga que produce su emplazamiento la cual se calcula en proporción a la altura de la carga hidrodinámica de aproximación.
0.7 0.6 0.5
d/e 0.4
60° 50°
0.3 0.2
40°
30°
20°
0° 10°
0.1 0 0
1
2
3
4
5
K6e
Figura 4. Factor de corrección para flujo esviajado según Mosonyi
B. Siendo an el área neta de la estructura de la reja y ag el área total, Creager ha propuesto para la determinación del coeficiente de pérdidas el valor calculado con la siguiente expresión
=1.450.45( )()
(3)
CÁLCULO DE LA PÉRDIDA DE CARGA EN LA REJA DE ENTRADA
C. Otra expresión que se puede emplear para el cálculo de la pérdida a través de una reja es la siguiente
Si V representa la velocidad de flujo al llegar a la reja de entrada, la pérdida de carga en la reja hR se calcula como
ℎ =
ℎ =
expresión en la cual:
(1)
El coeficiente c se establece en función de: la forma de los barrotes, su rugosidad, la relación entre el espesor d y su espaciamiento e, la inclinación del plano en el que están los barrotes , y del ángulo que forma el muro con la corriente del cauce ( =0 si la corriente llega perpendicular) [1]. A. Para cálculo de la pérdida, ( =0) Kirschmer [2] ha propuesto la siguiente ecuación
ℎ = ⁄
(2)
(4)
V: Velocidad de acercamiento en m/s 2 g: Aceleración de la gravedad (m/s ) K 1: Valores de atascamiento K1 = 1 para rejas limpias 2 K 1 = (100/C) para rejas atascadas y C= % de sección de paso que subsiste en el atascamiento máximo tolerado (60-90%, para velocidades menores de 1,20 m/s) K 2 : Valores referentes a la sección horizontal de los barrotes (Figura 5) K 3 : Valores de sección de paso ente barrotes (Tabla 1) e: Espacio entre barrotes d: espesor de barrotes z: ancho (luz) de los barrotes h: altura sumergida de los barrotes 0.5d
El coeficiente depende de la sección transversal del barrote seleccionado (Figura 3). hR 2 4 , 2 =
V
,
7 6 , 1 =
9 7 , 1 =
valores de para = 0 por O. Kirschmer
Figura 3. Esquema para cálculo de pérdida en la reja
Para flujo esviajado ( >0), la Figura 4 indica el factor K e para corregir la perdida calculada para diferentes valores del ángulo de la corriente con respecto al eje de la reja
d 5 = z
0 0 , 1 = 2
7 3 , 0 = 2
K
K
d
d
6 7 , 0 = 2
K
4 7 , 0 = 2
K
e
Figura 5. Valores de K 2 para la ecuación (4)
Memoria para desarrollo de talleres de Diseño
REFERENCIAS n (z/4)[(2/e)+(1/h)] 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.4 2.0 3.0
0.1 245 230 221 199 164 149 137 134 132
0.2 52 48 46 42 34 31 28 27 28
0.3 18.2 17.4 16.6 15.0 12.2 11.1 10.3 9.9 10.0
0.4 8.25 7.70 7.40 6.60 5.50 5.00 4.60 4.40 4.50
e/ (e+d) 0.5 0.6 4.00 2.00 3.75 1.87 3.60 1.80 3.20 1.60 2.70 1.34 2.40 1.20 2.25 1.15 2.20 1.13 2.24 1.17
0.7 0.97 0.91 0.88 0.80 0.66 0.61 0.58 0.58 0.61
0.8 0.42 0.40 0.39 0.36 0.31 0.29 0.28 0.28 0.31
0.9 0.13 0.13 0.13 0.13 0.12 0.11 0.11 0.12 0.15
1.0 0.00 0.01 0.01 0.01 0.02 0.02 0.03 0.04 0.05
Tabla 1. Tabla para estimación de K 3 para la ecuación (4)
El muro en el cual se ubica la reja puede estar emplazado perpendicularmente a la dirección del azud, sin embargo se recomienda que tenga cierta inclinación para mejorar las condiciones hidráulicas. De esta manera, si se denomina V r a la velocidad media en el río, y V R a la velocidad de entrada a la reja, tendremos la siguiente relación empírica como criterio de diseño V r
= −
(5)
REFERENCIAS [1] Schoklitsch A. (1968) Handbook of Hydraulics Structures, Editores Gustavo Gili S.A. Barcelona-España [2] Kirschmer O. (1926) Untersuchungen über den gefällsverlust an Rechen, Mittteilungen des hydraulischen Institutes der Technischen Hochschule München y Berlin, R. Oldenburg, Cuaderno 1, p. 21
2.2.
[1] Chow V. T. (2009) Open channel hydraulics, McGraw-Hill Book Company, Cap 11, p. 304 [2] Chanson H. (1999) The hydraulics of open cannel flow, John Wiley&Sons Inc, Cap 8, p. 199
2.3.
TRANSICIÓN
Para conectar la salida del desripiador con el canal o túnel de la conducción, se proyecta una transición hidráulica en la cual el cambio de sección se hace de forma gradual a fin de evitar perturbaciones en el flujo y minimizar las pérdidas de carga. Para ello, el diseño no debe presentar ángulos agudos ni cambios bruscos de dirección y se puede proyectar la transición de forma alabeada y con curvas suaves aunque esto encarezca la obra. Para la longitud de la transición se considera como criterio de partida que el ángulo máximo entre el eje del canal y la alineación entre la entrada y a la salida no exceda los 12,5° El tipo de pérdidas a considerarse en el diseño de una transición obedecen a dos factores: fricción y conversión [1] Las pérdidas por fricción son pequeñas y pueden ser despreciadas en cálculos preliminares y en transiciones de longitudes cortas. De ser necesario calcularlas se puede emplear una ecuación de flujo uniforme como Manning o Chézy . Las pérdidas por conversión Δy’ son por lo general mucho mayores que las de fricción y son un factor importante en el diseño de una transición. Se expresan en términos del cambio de energía de velocidad Δhv entre las secciones consideradas. La pérdida por conversión en la superficie de agua está dada por [1],[2]: Para una contracción
Δy’ = (1+C ) i Δhv
(6)
Para una expansión
Δy’ = (1-C o ) Δhv
(7)
DESRIPIADOR
Consiste en una cámara para retener piedras que alcanzaron a pasar entre los barrotes y que no deben entrar al canal. La velocidad en el desripiador debe ser relativamente baja y el paso hacia el canal se realiza mediante un vertedero sumergido. Entre la reja de entrada y el vertedero de salida puede formarse un resalto sumergido por lo cual la longitud del desripiador deberá ser por lo menos igual a la longitud estimada para el resalto hidráulico. La longitud del resalto hidráulico deberá ser revisada para el caudal maximizado a permitirse en la conducción ( 1,2 Qd ). También se debe contrastar dicha longitud con la que se obtiene al proyectar una transición lineal entre el vertedero de la reja de entrada y el vertedero de la salida del desripiador con un ángulo entre el eje longitudinal y la alineación no mayor a 12,5° [1] y se seleccionará la mayor longitud obtenida con la aplicación de estos dos criterios. Para eliminar el material del fondo del desripiador, al final de este debe dejarse una compuerta que permita el flujo a través de un canal de desfogue hacia el río. El canal debe tener una gradiente suficiente para conseguir una velocidad de lavado alta (no menor a 2 m/s). Para un diseño más depurado, se deberá calcular la velocidad capaz de arrastrar el material retenido en el desripiador, velocidad que es función del diámetro representativo del material y de su peso específico sumergido [2]. Para el dimensionamiento del desripiador, se debe considerar además las pérdidas de carga que se producen. Un criterio simple es asumir una pérdida de 10% de la carga H sobre el vertedero de entrada. Sin embargo, se recomienda validar este cálculo con el valor de pérdidas que se obtendría al considerar las pérdidas por conversión a lo largo de la obra (ver diseño de la transición)
2
2
donde Δhv = (V in - V out ) / 2g es el cambio en energía de velocidad y C i y C o son coeficientes de entrada y de salida cuyos valores recomendados para diseños seguros [1],[2] se dan en la siguiente tabla: Tipo de transición En curva (alabeada) Con cuadrantes de círculo Recta Extremos cuadrados
C i 0,10 0,15 0,30 >0,30
C o 0,20 0,25 0,50 0,75
Tabla 2. Coeficientes para pérdidas por conversión
REFERENCIAS [1] Chow V. T. (2009) Open channel hydraulics, McGraw-Hill Book Company, Cap 11, pp. 304-305 [2] French R. H. (2007) Open channel hydraulics, Water Resources Publications LLC, 2007, Mc Graw Hill, pp. 220, 452-453
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Se indica a continuación de manera general una posible configuración del perfil longitudinal para el proyecto de desripiador y transición de una captación convencional: Cota de la cresta del azud
z2 por cambio de sección a lo largo del desripiador
z1= hR +pérdidas por cambio de sección
Nivel normal de operación
z3=por cambio de sección
Compuerta de admisión
a la salida del desripiador
H
h
Velocidad de aproximación a la obra
H
V1
P1
V2
P2 Fondo del cauce
P3
P4
TRANSICION DESRIPIADOR
Figura 5. Esquema del perfil de flujo para diseño (Reja de entrada, Desripiador y Transición)
EJEMPLO DE APLICACIÓN 1: DIMENSIONAMIENTO DE LA REJA DE ENTRADA Y EL DESRIPIADOR Para ello se considerará la pérdida en la reja de entrada y la pérdida por conversión. Se ha elegido, por ejemplo, la ecuación de Kirschmer , con barrotes de sección rectangular =2,42 y para un ángulo = 50° . La velocidad de llegada a la reja (1,04 m/s) se calculó con el ancho neto del vertedero y la altura de la reja H=1,00. Este cálculo arroja para la pérdida el valor de 0,024 m. Para la pérdida
3
Caudal de diseño para captación Qd = 1,911 (m /s) Velocidad proyectada en el río V r = 0,7 m/s
Se selecciona P1 = 1,00 m H = 1,00 m P2 = 1,00 m
Se establece un valor inicial de 10cm (10% de H) para la pérdida total Z 1 debido a la reja de entrada y al cambio de sección. Se calcula el valor para el coeficiente del vertedero, se ha tomado para el ejemplo la ecuación de Konovalov :
=0,4070,045 + [10,285+ ]√ 2
por turbulencia, ecuación (6) se toma en cuenta el cambio de velocidad entre la velocidad de aproximación de flujo Qd /Btotal /(H+P1 )= 0,39 m/s y la velocidad de llegada a la reja. Para un coeficiente de contracción C i=0,3 (Tabla 2) se obtiene Δy’ =0,062m
La pérdida total calculada en la entrada hR + Δy’ resulta de 0,09 . Este cálculo indica que el dimensionamiento antes establecido para el vertedero de entrada está del lado de la seguridad.
(8) De acuerdo a la ecuación (5), para una velocidad del río de 0,7 m/s se calcula la inclinación del muro de la reja como sigue:
Resultando Mo = 2,04
= arc cos (V r / V R ) = 47,9 °
Se calcula el coeficiente de sumergencia (Ecuación de Bazin):
=1,05 10,2 ⁄
(9)
Resultando S = 0.58 Se calcula a continuación el ancho neto del vertedero requerido 3 para el paso del caudal de 1,911 m /s. Para ello se ha considerado adicionalmente el efecto por contracciones laterales en el ancho del vertedero.
= 0,2 .
(10)
de donde resulta B = 1,83 m Se elige barrotes de 5 cm de espesor (d ) que serán espaciados e= 15cm entre sí. Con ello se establece el número de barrotes requeridos en la reja: n° de barrotes N= B/e - 1 = 11,2 12 barrotes Se calcula el ancho total que deberá tener la reja: Btotal = B + N x d = 2,43 m
A continuación se verifica la pérdida a través de la reja:
Para el desripiador se opta por mantener la carga H=1,00m sobre el vertedero de salida y se asume como condición de diseño que el fondo del inicio de la transición se encontrará 50cm sobre el fondo del desripiador. Partiendo con unos valores iniciales para las pérdidas Z 2 y Z 3 se establece los valores para P3 y P4 así como el ancho requerido para el vertedero a la salida del desripiador. Mediante iteración c on un coeficiente C i =0,3 se establece las
pérdidas finales por conversión, resultando: Coeficientes para vertedero: Mo= 2,086 S = 0,492
Ancho para el vertedero de salida del desripiador: B1= 2,061m Z 2 = 0,02 m Z 3 = 0,03 m
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A continuación se verifica las condiciones de resalto hidráulico en el desripiador:
Longitud requerida para el desripiador:
Para ello se calcula los calados contraído y conjugado:
Esta longitud cumple además con el requerimiento de tener alineaciones con un ángulo menor a 12,5° respecto al eje entre la entrada y la salida del desripiador.
Energía aguas arriba E o = 2,01 m Calado contraído del resalto y 1= 0,129 m Calado conjugado del resalto hidráulico y 2 = 0,926m
Al ser el calado y 2 menor que la profundidad P3+H, se indica sumergencia del resalto hidráulico Para determinar la Longitud del resalto se ha tomado la ecuación de Silvester:
= 9,75 1,
(11)
Resultando Lr = 5,64 Longitud de caída de chorro libre:
. 2 =
Lr +Lch =6,22 m
Canal de lavado del desripiador: A continuación se dimensiona el canal de lavado para el desripiador de alto = P3. Se fija un ancho tentativo de 0,75m con lo cual la velocidad de flujo en el canal resulta de 2,88 m/s (>2 m/s). Para una rugosidad proyectada de n = 0,03, la pendiente necesaria para el canal será de So=0,045. Finalmente se comprueba el caudal de evacuación por la compuerta de lavado. Para ello se emplea la ecuación del flujo a través de una compuerta. La carga Hc se establece como H+P3. Para el coeficiente de contracción C c en secciones rectangulares, para una carga Hc y calado de salida a, se puede usar la expresión:
C c = 0,245 (a / H c )
3,74
+ 0,62
[0,1< a / Hc <0,95 ]
(13)
(12) 3
donde y = 0,5 H + P1 V = velocidad en la reja Lch = 0,577 m
Con C V =0,95 y C C =0,63 el caudal en la compuerta es de 2,1 m /s > Qd . El tiempo necesario para evacuar el volumen del desripiador sobre el nivel del vertedero P3 se estima en t=73 s.
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Anexo Configuración de una captación convencional con azud de cierre
1 Azud de cierre del cauce 2 Compuerta de purga 3 Reja de entrada 4 Desripiador 5 Compuerta de limpieza 6 Canal de lavado 7 Vertedero del desripiador 8 Plataforma de compuertas
9 Transición al canal 10 Compuerta de admisión 11 Conducción 12 Zampeado 13 Dentellones 14 Muro de protección 15 Aliviaderos de excesos 16 Canal de evacuación
Figura 1. Esquema de una captación convencional Adaptado de Krochin S.
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ASIGNATURA DE ELEMENTOS DE DISEÑO HIDRÁULICO
LECTURA & TALLER II ELEMENTOS DE DISEÑO PARA UNA CAPTACION CONVENCIONAL (CONTINUACIÓN) E. A. PACHECO T. Laboratorio de Hidráulica y Dinámica de Fluidos LH&DF Departamento de Ingeniería Civil - Universidad de Cuenca
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EJEMPLO DE APLICACIÓN 2: DISEÑO DE UNA TRANSICIÓN
3
Para el caudal de diseño del ejemplo Qd = 1,911 (m /s) se procede con el dimensionamiento del canal de la conducción. Para ello se establecerá una conducción en canal abierto con pendiente de 5‰ revestido de concreto (n=0,014) de sección rectangular de 1,00 m de ancho en la base.
hv1 y´
hv2
y1 y2c
Calado normal en el canal (ecuación de Manning ) Figura 7. Esquema preliminar del perfil para la Transición
y 2 = 0,824 m Fr = 0,816 (flujo subcrítico)
Se establece que la cota inicial de la superficie de agua al inicio de la transición con referencia al fondo del desripiador será de P3+H-Z 3 que resulta en 1,852m. Con las dimensiones de la base tanto en la entrada de la transición y del canal de conducción, se calcula la longitud requerida para tener alineaciones con un ángulo (menor a 12,5°). Para el diseño en planta de la transición (nivel superior) se propone arcos de circunferencia de radio R de acuerdo al esquema de la Figura 6.
Para una transición de entrada se establece la pérdida parcial en diferentes abscisas ( X ) de acuerdo a la siguiente ecuación parabólica 0 X 0,5 L 0,5 L X L
L
Para ello, siendo B2 el ancho del canal de salida y considerando arcos de circunferencia, resulta
0 X 0,5 L 0,5 L X L Figura 6. Esquema para el diseño en planta de la Transición
De la configuración geométrica indicada resulta
⁄ = 4 ⁄ = 4 cos
Así mismo, una vez estimada las velocidades a la entrada y salida de la transición, se calcula la pérdida total por conversión esperada con un coeficiente C i = 0,15 (arco de circunferencia, Tabla 2) [1]. Los datos iniciales para el diseño de la transición serán: 1.00 0.824 2.062 0.824 0.927 2.318 0.044 0.274
2
B2
B
y 1 y 2 A1 A2 V 1 V 2 hv 1 hv 2
2
y’ parcial = 2 y’ Total X / L 2 2 y’ parcial = y’ Total - 2 y’ Total (L-X) / L
Para el cálculo de la transición, Tabla 3, se procede estableciendo secciones intermedias (columna 1 y 2) , a cada una de las cuales se asigna el valor parcial de pérdida por conversión y’ parcial (columna 3). Se determina la velocidad media en la sección y el área de flujo correspondiente (columna 6 y 7) de cada abscisa establecida. El siguiente paso es definir la geometría en planta que tendrá la transición en su nivel superior en cada sección.
R
Para distribuir la pérdida por conversión y’ se establece la forma que tendrá la superficie de agua a lo largo de la transición. Esta configuración obedece a una forma parabólica [1], [2], [3].
B1 2.06 T 1 2.06 T 2 (canal) 1.00 L transición 2.39 (se adopta 3m) C i 0.15 0.265 y’ Total n transición 0.014
2
2 0.5
0,5 T x = L tan R + (R -X ) + 0,5 B2 2 2 0.5 0,5 T x = R – [R -(L-X) ] + 0,5 B2
En la columna 9 se indica los valores dados (variación proporcional) para el calado de flujo a lo largo de la transición, empezando en el calado de 1m (asumido para el diseño) y terminando en el valor de 0,824m (calado normal en el canal) . Los valores para el ancho en el fondo (columna 10) se establecen de acuerdo al área de flujo requerida de la columna 7. En el ejemplo se ha incluido el cálculo de la pérdida por fricción (columna 11 a la 14) utilizando la ecuación de Manning.
REFERENCIAS [1] Chow V. T. (2009) Open channel hydraulics, McGraw-Hill Book Company, Cap 11, pp. 304-310 [2] French R. H. (2007) Open channel hydraulics, Water Resources Publications LLC, Mc Graw Hill, pp. 452-466 [3] U.S.Bureau of reclamation (1952) design and construction manual, design supplement N°3, Vol.X
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Estación
Abscisa
y´
hv
hv
V
A
0.5T
y
0.5B
Rh
S f
0
0.00
0.0000
0.0000
0.0438
0.927
2.062
1.031
1.000
1.031
0.508
0.00042
h f
h f
C sup
C fondo
1.852
0.852
1
0.30
0.0053
0.0046
0.0484
0.974
1.961
1.021
0.982
0.976
0.501
0.00047
0.00013
0.00013
1.847
0.864
2
0.60
0.0212
0.0184
0.0622
1.105
1.730
0.990
0.965
0.803
0.484
0.00063
0.00016
0.00030
1.831
0.866
3
0.90
0.0477
0.0414
0.0852
1.293
1.478
0.937
0.947
0.623
0.456
0.00093
0.00023
0.00053
1.804
0.857
4
1.20
0.0847
0.0737
0.1174
1.518
1.259
0.863
0.930
0.491
0.422
0.00143
0.00035
0.00089
1.766
0.837
5
1.50
0.1324
0.1151
0.1589
1.766
1.082
0.766
0.912
0.421
0.388
0.00216
0.00054
0.00142
1.718
0.806
6
1.80
0.1801
0.1566
0.2003
1.983
0.964
0.668
0.894
0.409
0.359
0.00301
0.00078
0.00220
1.670
0.775
7
2.10
0.2171
0.1888
0.2326
2.136
0.894
0.594
0.877
0.426
0.339
0.00378
0.00102
0.00322
1.632
0.755
8
2.40
0.2436
0.2118
0.2556
2.239
0.853
0.541
0.859
0.452
0.324
0.00441
0.00123
0.00445
1.604
0.745
9
2.70
0.2595
0.2257
0.2694
2.299
0.831
0.510
0.842
0.477
0.315
0.00484
0.00139
0.00584
1.587
0.745
10
3.00
0.2648
0.2303
0.2740
2.319
0.824
0.500
0.824
0.500
0.311
0.00500
0.00147
0.00731
1.580
0.756
Tabla 3. Cuadro de cálculo para diseño de la Transición
2.00
1.50 1.00
1.50 0.50
) m ( o d1.00 a l a C
m o h0.00 c n A
-0.50
0.50 -1.00 0.00
-1.50 0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
Abscisa de la transición (m)
Figura 8. Perfil de la superficie de agua y del fondo de la Transición
3.50
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
Abscisa de la transición (m)
Figura 9. Proyecto en Planta para la Transición
3.00
3.50
Memoria para desarrollo de talleres de Diseño
ASIGNATURA DE ELEMENTOS DE DISEÑO HIDRÁULICO
LECTURA & TALLER III ELEMENTOS DE DISEÑO PARA UNA CAPTACION CONVENCIONAL (CONTINUACIÓN) E. A. PACHECO T. Laboratorio de Hidráulica y Dinámica de Fluidos LH&DF Departamento de Ingeniería Civil - Universidad de Cuenca
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2.4.
VALIDACIÓN DEL DISEÑO PARA CRECIDA
Una vez que se ha dimensionado los diferentes componentes de la captación para caudal de diseño, es necesario verificar el desempeño que tendrá la obra ante un evento hidrológico que provoque una crecida en el río. Este análisis permitirá establecer la necesidad de obras complementarias como aliviaderos de excesos y canales de evacuación. Luego de la transición, la entrada de agua a la conducción se encuentra regulada por una compuerta de admisión (7 en la Figura 1 ), sin embargo, debido al evento de crecida, necesariamente entrará un mayor caudal a la captación.
De manera general se puede seguir los siguientes pasos para el proceso de comprobación con caudal de crecida:
El incremento máximo a permitirse hacia la conducción, se establece en el rango de 10 a 20%. Con el caudal mayorado, se verificará los nuevos niveles de agua provocados por la sumergencia de la compuerta de admisión y el cálculo de validación se hará hacia aguas arriba a fin de establecer la cota que adquirirá la superficie de agua en la reja de entrada ( Figura 10). Esta cota permitirá establecer el caudal a ser descargado a través del azud e identificar los requerimientos para su diseño.
Carga máxima sobre el azud
-
Se define el caudal máximo a permitirse en la conducción (incremento de 10 a 20% del caudal de diseño captado)
-
Se calcula la carga requerida en la compuerta de admisión para el caudal mayorado
-
De establecerse necesario, se calcula las pérdidas en la transición y en el desripiador (conversión y fricción), así como la pérdida correspondiente en la reja de entrada que trabaja como orificio. Estas pérdidas son generalmente bajas y pueden despreciarse para un diseño seguro
-
Se establece la cota del nivel de agua a la entrada de la reja que servirá para definir la carga máxima sobre el azud (Figura 10)
Nivel de la superficie de agua en crecida
Nivel normal de operación
H
Hc P1
y máx en canal
Fondo del cauce
TRANSICION DESRIPIADOR
Figura 10. Esquema para validación del diseño en crecida
EJEMPLO DE APLICACIÓN 3: VALIDACIÓN DEL DISEÑO PARA CRECIDA
3
Para el caudal de diseño del ejemplo Qd = 1,911 (m /s) se define el 3 caudal máximo en la conducción Qmay = 2,293 (m /s) con el cual se tendrá el calado ymáx =0,955 m en el canal de pendiente 0,005 para un coeficiente de rugosidad de Manning de 0,014.
El coeficiente de velocidad corresponde al rango entre 0,95 – 0,99 para aristas rectas y redondas [1], [2]. Para un diseño conservador se puede adoptar el valor de 0,95.
Cálculo de la carga sobre la compuerta de admisión
C c = 0,245 (a / H c )
Siendo C v y C c los coeficientes de velocidad y de contracción respectivamente, y siendo A el área de la abertura de la compuerta, se establece mediante la ecuación de flujo a través de una compuerta: Q = C v C c A (2 x 9,81 x H)
0,5
en donde H representa la carga neta sobre la compuerta: 2
H = Hc – y máx + V / 2g
Para el coeficiente de contracción C c en secciones rectangulares, para una abertura a de la compuerta), se puede usar la expresión
3,74
+ 0,62
0,1< a / Hc <0,95
Nota importante: El coeficiente de contracción permite estimar el valor del calado contraído en el canal (aguas abajo de la compuerta, con el cual se calcula el número de Froude correspondiente a fin de chequear aspectos relacionados al resalto hidráulico.
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Los cálculos arrojan los siguientes resultados calado aguas abajo (y máx ) abertura compuerta (y canal ) base del canal C v Hc compuerta a/H= C c calado contraído F r Calado conjugado
0,955 0,824 1,00 0.95 1.994 0.413 0.629 0.518 1.96 1,20
Para el ejemplo, la cota de la superficie de agua detrás de la compuerta se establece en 2,757 m. Se procede a calcular la pérdida por conversión en la transición. Para ello se asume un valor inicial para la misma con la cual se calcula las velocidades medias de entrada y salida; y mediante un proceso iterativo se define la cota de la superficie de agua al inicio de la transición.
Las pérdidas en el desripiador serán mucho menores y se las puede despreciar. Se analiza ahora el flujo en la reja de entrada para las condiciones de crecida. Para el ejemplo se ha despreciado las pérdidas por flujo a través de barrotes y se considera a la reja como un orificio sumergido de ancho igual al ancho neto de la reja y de altura igual a la altura total de la reja. Se establece la carga requerida a la entrada de la reja a fin de que el caudal corresponda al caudal mayorado que entrará a la conducción a (altura de la reja)
1,00
b (ancho neto en la toma)
1,83
C v (coeficiente de velocidad)
0,95
H máx (carga antes de la reja)
2.051
a/Hmáx =
0.488
C c (coeficiente de contracción)
0.637
De esta manera, la carga máxima proyectada sobre el azud será:
cota agua antes compuerta
2.757
pérdida transición
0.069
calado inicio transición (cota )
2.83
REFERENCIAS
v1
0.393
[1] Streeter V. L., Wylie E. B. (2000) Mecánica de los Fluidos, McGraw-Hill, 2000, Cap. 9, p. 362
v2
1.150
H máx – a = 1,051 m
[2] Street R., Vennard J. K., Watters G. (1995) Elementary Fluid Mechanics, John Wiley & Sons, Cap 14, pp. 659,664
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ASIGNATURA DE ELEMENTOS DE DISEÑO HIDRÁULICO
LECTURA & TALLER IV ELEMENTOS DE DISEÑO PARA UNA CAPTACION CONVENCIONAL (CONTINUACIÓN) E. A. PACHECO Laboratorio de Hidráulica y Dinámica de Fluidos LH&DF Departamento de Ingeniería Civil - Universidad de Cuenca
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2.5.
DISEÑO DEL AZUD
CAUDAL DE DISEÑO PARA EL AZUD Cuando se realiza la intervención en un cauce con una obra que obstaculice el flujo natural, es responsabilidad del diseñador incorporar al estudio los factores relevantes a vulnerabilidad y riesgo que impliquen pérdida de vidas humanas, daños a la propiedad civil hacia aguas abajo y la pérdida de la inversión misma para el proyecto. El caudal a ser utilizado para el diseño del azud se denomina caudal de crecida o avenida de proyecto. Para obras de gran importancia o que impliquen un almacenamiento considerable de volumen de agua (presas) [1], el caudal de diseño para el proyecto corresponde al caudal máximo probable que se define como el mayor evento que puede suceder de acuerdo al análisis de las probabilidades de ocurrencia simultánea de los factores que intervienen en los procesos lluvia-escorrentía para un área de drenaje considerada. De manera especial, para regiones en las cuales no se dispone de un registro suficiente de aforos para un cauce, es necesario considerar el análisis de ocurrencia de la precipitación máxima probable. Adoptar un caudal de diseño menor al que corresponde a la avenida máxima probable, es una decisión que obedece a diversas consideraciones. Para obras en las cuales un estudio de vulnerabilidad establezca que tan solo corre peligro la obra, se podrá descartar la ocurrencia de un evento extremo y proceder para el diseño c on un caudal de menor magnitud (mayor probabilidad de ocurrencia). Se disponen en la literatura de procedimientos para la selección correcta de un caudal de crecida para un proyecto [1] y de muchos métodos para el análisis de frecuencia de eventos [2], [3].
=
(14)
Los coeficientes K y n dependen de la velocidad de aproximación del flujo y de la pendiente del paramento de aguas arriba. En la Figura 12 se indican los valores que adoptan las constantes en función de la relación de energía de velocidad y carga total sobre el azud (ha /Ho) y para diferentes pendientes ( horizontal/vertical ) del paramento de aguas arriba. En la Figura 13 se indican las relaciones para definir el diseño del perfil correspondiente a la porción de aguas arriba. ha
Ho
H Cima de la cresta del azud
X
Y
P CL
Figura 11. Elementos de diseño para el perfil hidrodinámico del azud Adaptado de [1]
DESCARGA SOBRE EL AZUD De manera general, el caudal de diseño (avenida de diseño), será igual a la suma del caudal de descarga sobre el azud y el caudal de diseño mayorado para la captación. La descarga sobre el azud estará determinada por la carga total sobre el mismo (H), por el ancho efectivo disponible para el flujo (B) y por el coeficiente de descarga del azud (M). La carga quedará definida por la cota de la superficie de agua establecida en el análisis de crecida para la captación (sección 2. 4), mientras que el ancho efectivo dependerá de la disponibilidad física, topografía y de la configuración del emplazamiento del azud en el cauce. En el coeficiente de descarga influyen varios factores como: profundidad de llegada, pendiente del paramento aguas arriba del azud, forma del perfil que tenga el azud, y la influencia del calado de aguas abajo.
0.56
3:3 2:3 0.52
K 0.48
0.44 0.00
0.04
0.08
0.12
0.16
0.20
0.16
0.20
ha / Ho 1.88
1.84
Vertical 1:3
n 1.80
Por razones de estabilidad, el azud obedece a una geometría trapezoidal en la cual, para optimizar la descarga sobre el mismo, se practica un perfil hidrodinámico que se aproxime a la forma que posee el perfil inferior de la lámina que sale por un vertedero de pared delgada. La forma de la sección de un azud se ha estudiado de manera extensa [4], [5] sin embargo para la mayoría de condiciones se puede indicar relaciones como en la Figura 11 [1] en donde la porción de aguas arriba se define como una curva simple y una tangente o como una forma circular compuesta. La porción de aguas abajo obedece a la relación:
2:3 1.76
3:3
1.72 0.00
0.04
0.08
0.12
h a / Ho
Figura 12. Factores K y n para diseño del perfil hidrodinámico del azud Adaptado de [1]
Memoria para desarrollo de talleres de Diseño 0.28 0.55
0.26
0.50
0.24
Xc / Ho
0.45
1:3
0.40
0.22
2:3 R/ Ho
3:3
0.20
0.35
0.30
0.18
0.25
0.16 0.00
0.04
0.08
0.12
0.16
0.2
ha / Ho
0.20
0.15 0.00
0.12
0.04
0.08
0.12
0.16
0.20
h a / Ho
0.10
Cima de la cresta del azud
Xc 1:3 0.08
Yc Yc / Ho
R2
2:3 0.06
R1 R2 3:3
0.04
El centro de curvatura para R 2 se localiza en la intersección de los arcos i ndicados
0.02 0.00
0.04
0.08
0.12
0.16
0.2
ha / Ho
Figura 13. Relaciones para el diseño del perfil de aguas arriba Adaptado de [1]
DISIPACIÓN DE ENERGÍA Debido a la diferencia de cotas de la superficie libre de agua creada por el azud, para controlar los efectos de erosión en el lecho y de socavación por el aumento de velocidad del flujo, se debe proyectar una obra de disipación. El proceso de disipación de energía considera varios aspectos según el sitio donde puede ocurrir [6], así se tiene: -Disipación sobre el perfil del azud -Disipación en el chorro de caída libre (si existe) -Disipación en el impacto en el cuenco de amortiguación -Disipación en el cuenco mismo -Disipación en el río
En pequeñas obras, una de las maneras más comunes para lograr disipación es mediante la conformación de un cuenco de amortiguación como en el zampeado (Figura 13 y 14 ), cuyo fondo se encuentra a una cota que permita la sumergencia del resalto hidráulico, que se crea al pie del azud, para de esta manera conseguir pasar de flujo supercrítico a flujo subcrítico en condiciones compatibles con el régimen del río. La configuración de la obra de disipación dependerá en gran medida de la susceptibilidad del material que constituye el cauce y del caudal en consideración. Si bien el diseño se establece para el caudal de crecida, se debe realizar una validación para caudales de menor regularidad hidrológica con los cuales el calado del río aguas abajo no presente condiciones favorables para la s umergencia del resalto. Para el diseño de un cuenco de disipación, se establece el calado contraído (y 1 ) y el calado conjugado del resalto hidráulico (y 2 ). El diseño se dirige a establecer la profundidad necesaria (e) para conseguir que el calado del río proyectado para el caudal de análisis sea mayor al calado conjugado. Se debe caracterizar de manera adecuada las condiciones del resalto hidráulico que se produce en el
zampeado en términos de eficiencia de disipación. Se debe además atender al valor que adquiere el número de Froude en la sección de flujo supercrítico a fin de que el mismo no se encuentre en el rango de 2,5 a 4,5 que corresponde a un resalto oscilante [7], [8]. Aunque el diseño de un cuenco de disipación basado en el concepto de sumergencia del resalto hidráulico funciona bien y con relativa eficiencia para condiciones definidas, no se debe descartar otras alternativas que permitan optimizar aspectos de economía en la obra, así se tiene: -Cuencos estandarizados con bloques de impacto y umbrales (Figura 13) -Disipadores de cubetas curvas, lisas y ranuradas -Tanques de resalto hidráulico espacial -Tanques de amortiguación con un r égimen superficial de resalto
Bloque de caída
Bloque de impacto
Umbral
Fr>4.5 V<18 m/s
Figura 13. Cuenco de amortiguación estandarizado Tipo USBR IV [8]
Memoria para desarrollo de talleres de Diseño La
b
Lb
Z
P1 Lecho del cauce
Rizberma Azud
Da
e
Cuenco de disipación de energía
Dc
t Db Figura 14. Esquema general de la configuración del azud y la o bra de disipación de energía
CONFIGURACIÓN PRELIMINAR DE LA OBRA Como una guía preliminar para el predimensionamiento de los elementos que constituyen la obra (Figura 14 ), se indica a continuación proporciones tentativas en función de la carga neta (z) que incide en el azud [9]. Parámetro
Criterio de predimensionamiento
Da
(0,75 a 0,80) Z
Db
(1,0 a 1,5) Z
Dc
0,3 Z > 1m
La
Hasta 6Z
Lb
(2 a 3) Z
Tipo de Material
Coeficiente de fricción f r
Roca
0,6 – 0,7
Grava
0,5 – 0,6
Arena
0,4 – 0,5
Limo
0,3 – 0,4
Arcilla
0,2 – 0,3
Tabla 5. Valores guía para el coeficiente de fricción
Tabla 4. Proporciones tentativas de prediseño
E1
La longitud final para Lb deberá ser tal que en ella se pueda desarrollar el resalto hidráulico en condición de sumergencia en base de la profundización e. Para las dimensiones finales de los dentellones se deberá analizar las condiciones de filtración (ver Análisis de Flujo).
W R E2
S
T
ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DEL AZUD Una vez que se ha establecido la geometría que tendrá el azud, es necesario realizar un análisis de su estabilidad, a fin de verificar que no se produzca hundimiento, deslizamiento o volcamiento. Para el análisis se consideran como relevantes las fuerzas de presión E , la fuerza de rozamiento R, el peso propio del azud W , y las fuerzas de subpresión S (Figura 15). Como fuerzas adicionales, las mismas que se consideran en obras mayores, se indican entre otras: -Peso de sedimento acumulado en el paramento de aguas arriba -Oleaje -Fuerzas térmicas y de interacción azud-cimentación -Fuerzas sísmicas
La fuerza debido a la presión que ejerce el agua en el paramento de aguas arriba es contrarrestada por la fuerza de rozamiento establecida entre la superficie de cimentación del azud y el lecho del cauce. Para el cálculo de la fuerza de rozamiento se debe considerar la fuerza de subpresión. R= f r (W-S)
Para el coeficiente de fricción f r existen valores establecidos de acuerdo al material que constituye el lecho del cauce
Figura 15. Esquema de las fuerzas primarias para diseño del Azud
La relación entre la fuerza actuante de presión y la fuerza resistente de rozamiento resulta en un factor de seguridad SF recomendado entre 1,2 y 1,4 R = SF x E
Para el cálculo de la fuerza debido a la presión, se considera la presión horizontal externa y si el paramento es inclinado se debe tomar en cuenta la fuerza vertical ejercida por el peso del agua. Para situaciones en las que se debe considerar la fuerza de presión E 2 debido al agua que se encuentra en el interior del terreno (Figura 15) se debe tener en cuenta además los aspectos de diseño estructural que indiquen si dicho elemento deberá ser considerado como elemento resistente a la fuerza en cuestión. El análisis para deslizamiento debe hacerse también para una superficie de falla del terreno idealizada en el plano a-a que se establece entre la parte inferior del dentellón y la junta constructiva que conecta la obra con el zampeado (Figura 15) Para el análisis a volcamiento en obras menores, el factor de seguridad (relación entre Momentos resistentes y Momentos actuantes) se establece entre 1,3 a 1,5.
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Las presiones intersticiales de agua en la cimentación de una obra como resultado del flujo de agua a través de discontinuidades, originan fuerzas de empuje o de subpresión que se contraponen a la fuerza debida al peso propio de la obra. Estas fuerzas no deben despreciarse puesto que tienden a levantar la obra y disminuir los efectos de las fuerzas resistentes ( peso y rozamiento). La distribución teórica de presiones dentro del sistema se considera homogénea y se puede establecer a partir de la red de flujo. Aunque las distribuciones de presiones están regidas por la naturaleza y frecuencia de las discontinuidades presentes y son localmente indeterminadas, para pequeñas obras, la distribución real curvilínea se puede idealizar como una distribución lineal cuyos valores extremos corresponden a los valores de presión externos establecidos. En base del establecimiento de los valores de subpresión, se calcula el espesor necesario para el zampeado (t) a fin de que el mismo no sea levantado ni agrietado. Considerando sumergido al zampeado, el balance entre el peso de un tramo de longitud L de peso específico z y la subpresión en un punto (h) plantea lo siguiente: W= z L t W > (h)L de donde
cual se parte de considerar que el gradiente hidráulico es constante. En el método se desarrolla la longitud total (L) de circulación de agua en la fundación ( plataforma de aproximación, dentellones, zampeado ) en la cual se establece la variación lineal de la presión. De esta forma, considerando la conductividad hidráulica K del suelo, de acuerdo a la ley de Darcy, se tendrá como velocidad de flujo:
=
(15)
y la longitud permitida para no tener una velocidad que provoque tubificación quedará en función de un coeficiente empírico que incluirá las propiedades del material
=
(16)
El coeficiente C ha sido sujeto de experimentación y en la Tabla 6 , se presenta el rango obtenido según varios autores: Material Arena fina y limo Arena media Cando rodado-grava-arena Suelo arcilloso
Bligh 15-18 9-12 4-9 6-7
Lane 7-8,5 5-6 2,5-4 1,6-3
Komov 8-10 6-7 3-6 3-6
Tabla 6. Valores para coeficiente C
t > h / z Nota: -El espesor t del zampeado es calculado variable sin embargo se recomienda 30 cm como valor mínimo -Se recomienda considerar un factor de seguridad para t del orden de hasta 1,35 - Para disminuir el espesor del zampeado se puede considerar el empleo de barbacanas a fin de aliviar la subpresión. Se recomienda que el caudal a 3 circular en cada una de las barbacanas no sea mayor a 0,3 m /s. Las barbacanas deben ser emplazadas de manera alternada en el piso del zampeado - Al pie del azud el zampeado debe resistir el impacto del agua, este espesor requerido se puede calcular en función del caudal unitario q con la siguiente expresión [9]: 0,5
0,25
t = 0,2 q Z
FLUJO DE AGUA BAJO LA OBRA En el diseño se debe prestar atención al estudio de las condiciones de flujo en el subsuelo en la zona de influencia de la obra. El estudio se realiza sobre las hipótesis establecidas para flujo bidimensional en medios porosos. La sobreelevación del agua debida al azud produce un flujo por debajo de la presa y del zampeado, flujo que de ser excesivo provocaría tubificación causada por el gradiente hidráulico del flujo de infiltración bajo la base del piso de la obra que hace que la tasa de infiltración aumente, lo cual causará lavado del suelo que crea a su vez una erosión progresiva y que termina por debilitar la cimentación. El diseño debe apuntar a minimizar el fenómeno de tubificación mediante la disminución del gradiente de salida; para ello se incrementa la longitud de flujo aumentando la longitud de contacto ( plataforma de acercamiento aguas arriba ), mediante dentellones que son pantallas impermeabilizantes y mediante drenes (Figura 14). El empuje aguas arriba del azud se equilibra con el peso del agua por encima de la plataforma de acercamiento, pero para aguas abajo, en el diseño se debe considerar la condición más desfavorable, es decir cuando el zampeado esté seco. A. Método de Bligh Para dar solución al problema de filtración, existen varios procedimientos. Uno de ellos es el método de Bligh (1912), en el
B. Método de Lane [10] Considera la diferencia en la permeabilidad en el suelo. Siendo que el coeficiente de permeabilidad en sentido horizontal es mayor que el correspondiente en sentido vertical se establece que en la filtración vertical se disipa mayor presión. En un estudio experimental en 336 presas, Lane (1935) obtuvo un factor de 3 estableciendo para la longitud de ruptura compensada Lrc la siguiente relación:
= ⁄3 >
(17)
Siendo LH la suma de longitudes de contactos horizontales o menores a 45°, y LV la suma de longitudes de los contactos verticales o con inclinaciones mayores a 45° Para el coeficiente C , Lane propuso la siguiente Tabla: Material Arena fina y limo Arena fina Arena media Arena gruesa Grava fina Grava media Grava gruesa Boleo-grava Arcilla blanda Arcilla medianamente blanda Arcilla dura Arcilla muy dura
C 8,5 7,0 6,0 5,0 4,0 3,5 3,0 2,5 3,0 2,0 1,8 1,6
Tabla 7. Valores para coeficiente C, Lane (1935) Nota: -El método es recomendado para presas de hasta 10m de altura con cargas de agua de hasta 6m - Para la aplicación correcta del método se asume que las juntas entre dentellones y la plataforma no permite el paso del agua -La distancia horizontal entre dos dentellones consecutivos debe ser al menos mayor a 2 veces la altura del dentellón más largo
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REFERENCIAS [1] United States Department of the Interior-Bureau of Reclamation (1987) Design of small dams, A water resources technical publication, third edition, Washington, D.C.
[5] Bureau of Reclamation (1948) Studies of Crests of Over fall Dams, Bulletin 3, Part VI, Hydraulic Investigations, Boulder Canyon Project Final reports [6] Novak P., Moffat A.I.B., Nalluri C., Narayanan R. (2007) Hydraulic Structures, McGraw-Hill
[2] Chow V. T. (1994) Applied Hydrology, McGraw-Hill Book Company, Cap 12, pp. 391-417
[7] Chow V. T. (2009) Open channel hydraulics, McGraw-Hill Book Company, Cap 15, pp. 386-390
[3] Wurbs R. A., James W. P. (2002) Water Resources Engineering, Prentice Hall Inc., Upper Saddle River, Cap 7, pp. 408-452
[8] French R. H. (2007) Open channel hydraulics, Water Resources Publications LLC, 2007, Mc Graw Hill, pp. 439-447
[4] U.S. Army Corps of Engineers (1952) Corps of Engineers Hydraulic Design Criteria, Office of the Chief of Engineers, Waterways Experiment Station, Vicksburg, Miss
[9] Krochin S. (1978) Diseño Hidráulico, Escuela Politécnica Nacional, Segunda edición, Quito-Ecuador [10] Lane E. W. (1935) Security for under seepage: Masonry dams on earth foundation, trans. Am. Soc. Civil Engineers. Vol. 100
