Manual 2014-I 01 Matemática I (0619)

Matemática I Gestión

2

CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA I

3

ÍNDICE

Página

Presentación

4

Red de contenidos

5

Unidad de aprendizaje 1 1.1 Tema 1

: FRACCIONES

1.1.1 : Definición

8

1.1.2

Operaciones con fracciones

10

1.1.3

Aplicaciones

13

1.2 Tema 2

: TANTO POR CIENTO

1.2.1 : Definición de tanto por ciento

16

1.2.2 : Descuentos y aumentos sucesivos

18

1.2.3 : Aplicaciones comerciales del tanto por ciento

19


: TEORÍA DE EXPONENTES

2.1.1 : Potenciación : propiedades

28

2.1.2 : Radicación: propiedades

31

2.1.3 : Aplicaciones

32

2.2 Tema 4

: PRODUCTOS NOTABLES

2.2.1 : Binomio al cuadrado, diferencia de cuadrados, suma y

38

diferencia de cubos. 2.2.2 : Aplicaciones 2.3 Tema 5

43

: FACTORIZACIÓN

2.3.1 : Factor común

45

2.3.2

Por agrupación

45

2.3.3

Por productos notables

45

2.3.4

Aspa simple

47

2.3.5

Ruffini

47


: ECUACIONES

3.1.1 : Ecuaciones lineales

56

3.1.2 : Sistemas de ecuaciones lineales 2x2 :Método de eliminación

59

3.1.3 : Ecuaciones de segundo grado

65

Métodos de resolución

CIBERTEC


4

PRESENTACIÓN Matemática I pertenece a la línea formativa y se dicta en todas las carreras de la Escuela de Gestión y Negocios de la institución. Todo aquel que se dedique a los negocios necesita contar con ciertas herramientas que le permita efectuar cálculos con rapidez y eficiencia. Por ello, el curso de Matemática I pretende que el estudiante maneje los conceptos básicos y fundamentales, así como los procesos aritméticos y algebraicos resolviendo problemas aplicativos, además de ecuaciones e inecuaciones de modelos matemáticos que les permitirán, en ciclos superiores, un mayor dominio en la resolución de problemas asociados al área de gestión y negocios.

El manual para el curso ha sido diseñado bajo la modalidad de unidades de aprendizaje, las que se desarrollan durante un periodo determinado. En cada una de ellas, se hallarán los logros que debe alcanzar el alumno al final de la unidad; el tema tratado, el cual será ampliamente desarrollado; y los contenidos que deben desarrollar, es decir, los subtemas. Por último, se encuentran las actividades que deberá desarrollar en cada sesión, lo cual le permitirán reforzar lo aprendido en la clase.

El curso es teórico – práctico. En tal sentido, en cada sesión, se ha contemplado la teoría necesaria para la aplicación en la solución de los ejercicios propuestos, y como modelo encontrará varios ejercicios resueltos que le servirá de guía. La solución de ejercicios, en algunos casos, la realizará solamente el profesor quien demostrará las definiciones, propiedades, teoremas, etcétera, que intervienen en la solución del caso; en otros, el profesor los resolverá con los alumnos. Sin embargo, con la práctica directa e indirecta, los alumnos estarán en condiciones de desarrollarlos por cuenta propia. Asimismo, hallará preguntas de prácticas y/o exámenes propuestos en ciclos pasados relacionados con la sesión que se está desarrollando, las mismas que permitirán la autoevaluación y preparación antes de asistir a las evaluaciones calificadas.


CIBERTEC

MATEMÁTICA I

5

RED DE CONTENIDO

Matematica I

Primera Unidad de Aprendizaje

Fracciones Tanto por ciento Exponentes

Segunda Unidad de Aprendizaje

Productos Notables Factorización

Ecuaciones Lineales Tercera Unidad de Aprendizaje

Sistema de 2 Ecuaciones Ecuaciones de 2do Grado

CIBERTEC


6


CIBERTEC

MATEMÁTICA I

7

UNIDAD DE APRENDIZAJE

1

FRACCIONES Y TANTO POR CIENTO LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE 

Al término de la unidad, el alumno, resuelve problemas relacionados a la venta de bienes aplicando las propiedades de fracciones y tanto por ciento



TEMA 1

Fracciones

 Regla del tanto por ciento  Descuentos y aumentos sucesivos

TEMA 2

 Precio de venta, de costo, de lista, Ganancia y Pérdida.

ACTIVIDADES PROPUESTAS 

Los alumnos aplican los conceptos de fracciones.



Observan la aplicación de las consideraciones generales al tanto por ciento de acuerdo con los ejercicios resueltos por el profesor, y los aplican en Finanzas.



Resuelven los ejercicios y problemas propuestos bajo la asesoría del profesor.

CIBERTEC


8

TEMA 1: FRACCIONES 1.1.1 Fracciones, clases; operaciones y comparación

Definición: es una expresión de la forma: Donde: a y b son números enteros positivos y dicha división no es exacta. Ejemplos :

¡IMPORTANTE!

a a a   b b b Ejemplo:

2 2 2   3 3 3

¡TEN PRESENTE! Las fracciones mayores que la unidad se pueden escribir como NÚMEROS MIXTOS.


CIBERTEC

MATEMÁTICA I

9

Clasificación: a) Fracción irreductible: será irreductible MCD (a, b) es 1.

Ejemplos:

10 ; 3

5 ; 7

135 ; 16

Ya no se les puede sacar mitad, tercia o quinta a la vez.

b) Fracciones reductibles: Su el MCD (a, b) es diferente a 1. Ejemplos:

10 ; 8

15 ; 27

135 ; 165

c) Fracciones homogéneas: Son aquellas fracciones que tienen igual denominador. Ejemplos:  

1 5 13 25 , ; , 6 6 6 6

3 8 23 2 , , , 5 5 5 5

d) Fracciones heterogéneas: Son aquellas fracciones que tienen al menos un denominador diferente a los demás Ejemplos:  

CIBERTEC

2 3 1 21 , ; , 5 7 6 37

3 5 7 8 , ; , 4 2 5 9


10

Clasificación de los números racionales según su expresión decimal: Nombre Decimales exactos Decimales periódicos

Ejemplos

Cálculo de la fracción generatriz

16 4  100 25

0,16

 0,16 

0,363636…

36  0  Todas las cifras menos parte entera  0,36  99  Tantos nueves como cifras tenga el período

2,252525…

2, 25 

225  2 223  99 99

 2,34 = 2,3 + 0,0444… 2,3444…



23 4 207 4 211     10 90 90 90 90

1.1.2 OPERACIONES CON FRACCIONES: a) Adición y sustracción de fracciones 

er

1

caso: Con fracciones homogéneas:

Ejemplos: 





1 4 7 3 1 4  7  3 9      5 5 5 5 5 5 5 10 20 1 5  10  20  1 6 6       13 13 13 13 13 13 13

2° caso:

Con fracciones heterogéneas: En forma general se saca el MCM de los denominadores.

Ejemplos: a) Resolver:


3 9 3 12  90  15 87     5 2 4 20 20

CIBERTEC

MATEMÁTICA I

11

b) Resolver:

1)

3 5   7 4

2) 3

2 3 2 5 6  3 4 5

3)

3 4 1    5 7 4

b) Multiplicación y división de fracciones 

En una multiplicación de fracciones, se multiplican los numeradores y también los denominadores. Ejemplos:



¡OBSERVACIONES!



3 4 5 (3) ( 4) ( 5) 6 x x   5 7 2 (5) (7) (2) 7



3 4 5 (3) ( 4) ( 5) 5 x x   4 9 12 ( 4) (9) (12) 36

 Es conveniente simplificar antes de hacer las operaciones.  Aplicar la regla de los signos cuando hay números negativos

En la división, el procedimiento es el siguiente:



a c a d (a) (d)   x  b d b c (b) (c)

O también

a b c d

CIBERTEC

Producto de extremos Producto de medios

a b  ad c bc d


12

Ejemplos: a) Calcular:

4 7 ( 4) (8) 32   x  5 8 (5 ) (7 ) 35

o también:

4 5  ( 4) x (8)   32 7 ( 5 ) (7 ) 35 8 b) Calcular:

1) 3

1 5 2 x x2  3 4 5

2)

30 21 70 x x  18 15 45

3) 4

4 16   5 35

Comparación de fracciones 

Su las fracciones son homogéneas es mayor aquella que tenga mayor numerador

 Si las fracciones son heterogéneas, se debe convertirlas en homogéneas Ejemplos: Ordene de menor a mayor las fracciones: a)

3 1 5 6 , , , 7 7 7 7

b)

3 7 21 8 , , , 5 12 40 10



1 3 5 6    7 7 7 7



72 70 63 96 , , , 120 120 120 120


3x24 7x10 21x3 8x12 , , , 5x24 12x10 40x3 10x12



21 7 3 8    40 12 5 10

CIBERTEC

MATEMÁTICA I

13

1.1.3 APLICACIONES PRIMER BLOQUE DE APLICACIONES: 1. Calcula qué fracción de un total representa: 

La mitad de la mitad.



La mitad de la tercera parte.



La tercera parte de la mitad.



La mitad de la cuarta parte.

2. Para preparar un pastel, se necesita: 

1/3 de un paquete de 750 g de azúcar.



3/4 de un paquete de harina de kilo.



3/5 de una barra de mantequilla de 200 g.

Halla, en gramos, las cantidades que se necesitan para preparar el pastel. 3. Un depósito contiene 150 l de agua. Se consumen los 2/5 de su contenido. ¿Cuántos litros de agua quedan? 4. De una pieza de tela de 48 m se cortan 3/4. ¿Cuántos metros mide el trozo restante? 5. Una familia ha consumido en un día de verano: 

Dos botellas de litro y medio de agua.



4 botes de 1/3 de litro de zumo.



5 limonadas de 1/4 de litro.

¿Cuántos litros de líquido han bebido? Expresa el resultado con un número mixto. 6. ¿Cuántos tercios de litro hay en 4 l? 7. Un cable de 72 m de longitud se corta en dos trozos. Uno tiene las 5/6 partes del cable. ¿Cuántos metros mide cada trozo? 8. Una caja contiene 60 bombones. Eva se comió 1/5 de los bombones y Ana 1/2.

CIBERTEC



¿Cuántos bombones se comieron Eva, y Ana?



¿Qué fracción de bombones se comieron entre las dos?


14

9. Ana ha recorrido 600 m, que son los 3/4 del camino de su casa al instituto. ¿Qué distancia hay de su casa al instituto? 10. Dos automóviles A y B hacen un mismo trayecto de 572 km. El automóvil A lleva recorrido los 5/11 del trayecto cuando el B ha recorrido los 6/13 del mismo. ¿Cuál de los dos va primero? ¿Cuántos kilómetros llevan recorridos cada uno?

S E G U N D O B L O Q U E D E A P L I C AC I O N E S :

11. La corporación Graña y Montero de su presupuesto total destino los 3/7 en una de sus unidades de negocio ¿Cuánto es dicho

presupuesto

total? , si las otras

unidades de negocio recibieron un total de 42 000 soles

12. Una empresa destina los 2/9 de su presupuesto total al área de Marketing, los 3/5 del resto al área de RRHH. Si el área de Finanzas recibió el resto que es de 28 000 soles. Halle el presupuesto total.

13. Pedro reparte su dinero entre sus tres hijos Juan, Pedro y María : 

Juan recibe la tercera parte del dinero.



Pedro recibe los 2/5 del dinero restante



María recibe lo que queda

Si lo que reciben Juan y María suman 1100 soles ¿Cuánto es lo que le tocó a Pedro?

14. Si pierdo 3/7 de mi dinero y recupero los 2/5 de lo perdido tendría ahora 520 soles ¿Cuánto tenía al inicio?

15. Una empresa obtiene una ganancia equivalente a los 2/3 de lo invertido, luego invierte el monto perdiendo sus


¾ partes. Si después de ciertas medidas

CIBERTEC

MATEMÁTICA I

15

adoptadas por la gerencia adquieren un préstamo equivalente a los 2/5 de lo que le quedaba, tendrían 7000 soles ¿Cuánto fue lo que se invirtió en un inicio?.

16. Una corporación invierte los doce quinceavos de su presupuesto en una de sus unidades de negocio y el resto del presupuesto que asciende a 96000 soles para sus otras unidades de negocio. Halle el presupuesto asignado por esta corporación.

17. La corporación Graña y Montero asigna los tres séptimos de su presupuesto a su unidad de negocio de construcción, los dos novenos del resto lo destina a su otra unidad que es petróleos y de lo que queda asigna su cuarta parte para gastos extras. Halle el presupuesto total de esta corporación si lo que destino a su primera unidad de negocio y lo que asigno a gastos extras asciende a

34 000 dólares.

18. En un negocio el primer día se pierde los dos quintos del dinero que se invirtió, el segundo día se perdió los dos séptimos de lo que quedaba de la inversión. Si al siguiente día se recuperó la mitad de lo que se perdió el primer día, se tendrá en total 4400 soles ¿Cuánto dinero se invirtió en un inicio?

19. Una persona gasta su dinero de la siguiente manera: los 2/3 en alimentos, los 3/7 del resto en pasajes; los 8/35 del resto en ropa y lo que queda, que es 54 nuevos soles los ahorra. Determinar qué cantidad de su dinero destina para los alimentos.

20. Lolo reparte su fortuna entre sus 4 hijos, al mayor le da la mitad, al segundo le da 1/3 del resto, al tercero le da 1/4 de lo que queda. Si el último de los hijos recibió 600 nuevos soles, ¿Cuánto recibió el segundo de los hijos?

21. Un granjero reparte su herencia entre sus 4 hijos. El primero recibe un tercio de la herencia, el segundo la mitad del resto, el tercero recibe un sexto de la herencia y al cuarto hijo le correspondió $50 000.00. ¿Cuánto recibió el 2do hijo? Y, ¿Cuánto fue el monto de la herencia? CIBERTEC


16

TEMA 2: TANTO POR CIENTO 1.2.1 Definición: Es el número de partes que se consideran de las cien partes en que ha sido dividida una cantidad.

Ejemplo:

Si se toma 7 partes de las 100 partes en que se dividió una cantidad equivale a decir que se ha tomado el 7 por ciento del total y se denota: 7% del total

EQUIVALENCIAS NOTABLES

Ejemplo: 

Si de un presupuesto que asciende a 40000 soles se ha gastado 10000 soles equivale a decir que se ha gastado la cuarta parte del total, es decir el 25%.



Si un depósito se tiene 205 litros de una mezcla y resulta que uno de sus ingredientes consta de 41 litros equivale a decir que este ingrediente es la quinta parte del total es decir el 20%.


CIBERTEC

MATEMÁTICA I

17

A la pregunta ¿A qué tanto por ciento de B es? la respuesta se obtiene de la siguiente forma:

Ejemplo : ¿20 que tanto por ciento es de 160? Respuesta

Ejemplo: Hallar el 25% del 30% del 60% de 2600. Resolución: Las palabras de y del se reemplazan por la multiplicación. Se tiene:

OPERACIONES CON PORCENTAJES: Halla:

20%A + 30%A + 48%A

Resolución: Podemos observar que se trabaja sobre una misma cantidad (A) en este caso se puede sumar los tanto por ciento:

(

)

Nota: Si se trabajaba sobre cantidades diferentes no se podría sumar los tantos por cientos

PRIMER BLOQUE DE APLICACIONES: 1. Halle : 35% 480 + 25% 120 – 60% 225 2. ¿120 que tanto por ciento de 400 es? 3.

¿el 30% de 1450 es?

CIBERTEC


18

4. Halle el 25% del 10% del 75% de 32000 5. Halle el 30% del 60% del 10% de 12000. 6. La cantidad de azúcar en una mezcla es de 180g. Si el tanto por ciento de azúcar en dicha mezcla es del 40% determine el peso total de la mezcla 7. Si a un número se le aumenta 1/3 de su valor y luego 1/5 del nuevo valor. ¿Qué tanto por ciento del total aumentó? 8. De los 400 estudiantes que rindieron un examen de matemáticas, 140 lo reprueban. ¿Cuál es el tanto por ciento de estudiantes que aprobó dicho examen? 9. Pedrito piensa y dice: Si gasto el 60% del dinero que tengo y gano el 40%de lo que me quedaría, perdería 132 nuevos soles ¿Cuánto dinero tengo? 10. Tres personas se reparten una herencia del modo siguiente: el primero hereda el 45%; el segundo, el equivalente al 60% del primero; el tercero, el equivalente a 1/3 del segundo. Si quedó un saldo de S/. 38 000, halle la herencia

1.2.2 Descuentos y aumentos sucesivos Es cuando a una cantidad se le aplica más de un descuento o aumento, por lo cual se puede utilizar la siguiente fórmula: Descuento:

 100  D1 100  D2 100  D3 ...  Du    100% n 1 100   Donde: D1, D2, D3,… Son los descuentos sucesivos n: Es el número total de descuentos Du: Es el descuento único equivalente a todos los descuentos realizados.

Aumento:

 100  A1 100  A2 100  A3 ...  Au    100% n 1 100   Donde: A1, A2, A3,… Son los aumentos sucesivos n: Es el número total de aumentos Au: Es el aumento único equivalente a todos los aumentos realizados.


CIBERTEC

MATEMÁTICA I

Dos descuentos sucesivos del 40% y 20% equivalen a un descuento único de:

 100  40100  20  Du    100 % 2 1 100    6080  Du    100 %  100  Ejemplos: Du  48  100%

19

Dos aumentos sucesivos del 20% y 30% equivalen a un aumento único de:

NÚMEROS RACIONALES Du  52%

 100  20100  30  Au    100 % 2 1 100    120 130   Au    100 %  100  Au  156  100% Au  56%

Nota: El signo (+) nos indica aumento, por lo que los Por ejemplo: El signo (-) nos indica el descuento, por lo que aumentos sucesivos del 30% y 20% equivalen a Roberto compra un refrigerador hacen 3 descuentos sucesivos del 20%, 20% y los 1. descuentos sucesivos del 40% yy le 20% un aumento único del 56%. 30%. Endescuento lugar de estos descuentos, pudieron haberle hecho uno solo. ¿De cuánto equivalen a una únicotres de 52%. sería este descuento? Solución:

 100  20100  20100  30  Du    100 % 31 100  

Du = [ 44,8 – 100 ]% = -55,2 %  El descuento único sería de 55,2 %. 2. El director del programa académico de Cibertec le dice a un profesor de la carrera de Computación: “Por tu esfuerzo, durante el año pasado, voy a sugerir que te otorguen tres aumentos sucesivos del 30%, 10% y 20% en el presente año”. ¿A qué aumento único equivale? Solución:

 100  30100  10100  20  Au    100 % 31 100   Au   171,6  100%  71,6 %  El aumento único equivale 71,6 %.

1.2.3 Aplicaciones comerciales: precio de venta, precio de costo, precio de lista, descuento y ganancia a. Precio de lista ( PL ) Es la cantidad de dinero que el vendedor deseaba obtener b. Precio de venta (PV)

CIBERTEC


20

Es la cantidad de dinero que paga un consumidor por los bienes y/o servicios que recibe. Su fórmula es: c. Precio de costo (PC) Es el precio por la compra de una mercancía. . d. Ganancia y pérdida (G y P) i. Ganancia.- Es la utilidad que se obtiene al vender un bien y/o servicio. ii. Pérdida.- Es el monto que se pierde al vender por debajo del precio costo.

Relación entre los precios:

Nota: 

Generalmente las ganancias y pérdidas se expresan como un tanto por ciento del precio de costo



Generalmente los aumentos y descuentos se expresan como un tanto por ciento del precio de lista

Problemas de refuerzo teórico: 1. Si al vender uno de mis libros de matemática a S/.35.00, gano S/.10.00, ¿cuál es el porcentaje de ganancia? Resolución: (i)

Según fórmula:

Pv  Pc  G

, entonces :

35 = Pc + 10,

Luego Pc = S/.25 (ii) Como G está en función de Pc, luego: %G 

10  0.4 ; 25

por tanto %G = 40 % 2. Calcule el precio de venta de un Televisor LCD, si costó S/.4 000 y al vender se perdió el 20%. Resolución:


CIBERTEC

MATEMÁTICA I

21

(i)

Calculamos la pérdida: 20%(4 000) = S/.800.00

(ii)

Según fórmula:

Pv  Pc  Pe , se tiene: Pv = 4000 – 800

Por lo tanto, el precio de venta fue: Pv= S/. 3 200.00

3. ¿A cuánto asciende la venta de un departamento que costó $60 000.00, si se quiere ganar el 25%? Resolución (i)

Calculamos la ganancia: 25%(60 000) = S/.15 000.00

(ii)

Según fórmula:

Pv  Pc  G , se tiene: Pv = 60 000 + 15 000

Por lo tanto, el precio de venta fue: Pv= S/. 75 000.00

4. Determine el porcentaje de utilidad o pérdida, conociendo el precio de costo e importe de la venta, si en el 2007 la empresa ATAJA obtuvo una utilidad de S/.50 000.00 y, al año siguiente, su utilidad se incrementó a S/. 80 000.00. ¿Cuánto fue el porcentaje de incremento? Resolución: Como el incremento es de S/. 30 000.00, entonces: %Incremento =

30000  0,375 80000

Por lo tanto, el porcentaje de incremento es de 37.5%.

5. Calcule el costo de un artículo que se vendió en S/. 6 000.00, con un 20% de utilidad (ganancia) Sol:

CIBERTEC

(i)

Según fórmula:

Pv  Pc  G

(ii)

Resolviendo:

Pc = S/. 5 000.00

, entonces : 6 000 = Pc + (20% Pc)


22

6. Si el precio de lista de un perfume de Ebel es de S/.65.00, calcule el precio de venta si el perfume tuvo un descuento del 30%. Resolución:

(i) (ii)

Pl  Pv  D

Como: , entonces: 65 = Pv + (30% Pv) Resolviendo: Pv = S/. 50.00

Problemas propuestos para la clase 1. Compré un artículo a $54. ¿A cómo debo 2. Vendiendo un libro por $1.44 se gana el vender para ganar el 30% del precio de

20% del costo. ¿Cuánto costó el libro?

costo más el 10% del precio de venta?

3. Un señor vendió dos casas en $15000 cada 4.

Carmen quiere vender su escritorio que le

una. En la primera ganó el 25% y en la

costó $270 y ganar el 20% del precio de

segunda perdió el 25%. ¿En este negocio

costo más el 10% del precio de venta más

ganó o perdió?

$81.


CIBERTEC

MATEMÁTICA I

23

5. ¿A cómo debo vender mi computadora que 6. ¿Qué precio se debe fijar a un artículo que me costó $ 2 700 para ganar el 20% del

costó $420 para que aún descontando el

precio de costo, más el 10% del precio de

20% se gane el 40%?

venta, más $180?

Problemas propuestos para la casa 1) No quise vender una casita cuando me ofrecían por ella $3840, con lo cual hubiera ganado el 28% del costo y algún tiempo después tuve que venderla por $3750 ¿Qué porcentaje del costo gané al hacer la venta?

2) Compré un auto a $10 000. ¿A cómo debo vender para ganar el 25% del precio de costo más el 10% del precio de venta, más $1 200 en trámites documentarios?

3) ¿A cómo debo vender un televisor LCD que me costó S/. 840 para ganar el 20 % del precio de costo, más 10 % del precio de venta, más S/ 64 por gastos administrativos?

4) Un vendedor le hace a un cliente descuentos sucesivos del 15% y 20% sobre un producto de $200. ¿Cuánto pagó dicho cliente por su compra? Por motivos económicos, decide vender el producto ganando el 25%, más $16. ¿A cuánto debería venderlo?

5) Gabriel desea comprar un auto usado y reclama un descuento. La tienda accede a su pedido y le otorga 3 descuentos sucesivos sobre el precio de venta del 20%, 10% y 5%.

CIBERTEC


24

Él observa que el descuento efectivo ha sido de $ 474. ¿Cuál será el precio de venta de dicho auto?

6) ¿Cuál es el precio de lista de un artículo, que tuvo un descuento del 10% al venderlo, si el costo del artículo es de $28 y la ganancia es el 20% del precio de compra más el 20% del precio de venta?

7) Julio compró un objeto que vendió después a 300 nuevos soles y obtuvo una ganancia igual al 14% del precio de compra más el 5% del precio de venta. ¿Cuánto costó el objeto?

8) Se venden dos caballos en $9,600 c/u. En uno de ellos se gana el 20% y en el otro se pierde el 20%. ¿Se ganó o se perdió, y cuánto?

9) Un comerciante compra un artículo consiguiendo un descuento de 30% del precio de lista, ¿cuál es el porcentaje del precio de venta con respecto al precio de lista si el comerciante gana el 20% del precio de costo? 10) ¿A cómo debo vender mi computadora que me costó $ 1 450 para ganar el 20% del precio de costo, más el 10% del precio de venta, más $110 por gastos administrativos? Para cualquier consulta sobre el tema, puede revisar las siguientes páginas Web:  http://mevytenlinea.inea.gob.mx/puel/cursos/fracciones/modulo/curso.htm Aquí encontrará un curso práctico aplicativo de fracciones, porcentajes y magnitudes proporcionales.  http://www.ematematicas.net/porcentajes.php?a=1&tp=7 Aquí hallará ejercicios y problemas relativos al tema.


CIBERTEC

MATEMÁTICA I

25

Resumen  numerador

Fracciones:

a F  b  denominador (b  0)

Propiedad fundamental sobre porcentajes Todos los problemas de porcentajes pueden, al final, reducirse a una expresión como: P% de N = R Precio de venta.- Es la cantidad de dinero que paga un consumidor por los bienes y/o servicios que recibe. Su fórmula es:

Pv  Pc  G Precio de costo.- Es el precio por la compra de una mercancía. Pueden ser de dos clases: Ganancia y pérdida  Ganancia.- Es la utilidad que se obtiene al vender un bien y/o servicio.  Pérdida.- Es el monto que se pierde al vender por debajo del precio costo. Precio de Lista.- Es el precio que figura en el catálogo al que debe venderse un bien y/o servicio. Su fórmula es:

Pl  Pv  D

CIBERTEC


26


CIBERTEC

MATEMÁTICA I

27


2 FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA BÁSICA LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE Al término de la unidad, el alumno, simplifica expresiones algebraicas aplicando la teoría de exponentes, los productos notables y los métodos de factorización en los problemas planteados, utilizando el método de solución más adecuado que le permita reducir la expresión

TEMARIO * Teoría de exponentes -

Potenciación

-

Radicación

* Productos notables -

Propiedades

* Factorización - Factor común - Agrupando términos - Evaluación binómica

ACTIVIDADES PROPUESTAS 

Los alumnos aplican las leyes del álgebra básica



Los alumnos identifican qué ley van a utilizar y explican cada paso realizado.



Por equipos, trabajan los ejercicios y se comprueban los resultados obtenidos.

CIBERTEC


28

2.1 TEMA 3: TEORíA DE EXPONENTES 2.1.1 POTENCIACIÓN: Propiedades

b b  b  b ..........   b

 bn =

" n" veces

n n n  b n b ..........  Kbn = b   b " K" veces

Leyes de potenciación:

1.

a0 = 1 ,  a  R , a  0 ,

2.

am . an = a m + n am

3.

4.

5.

6.

7.

8.

an

 a m n , a  0

a- n = a   b

1 an

n

, a0 n

b    , a  0, b  0 a

(a . b )n = an . bn a   b

n



an bn

,b  0

(am )n = am n = (an )m


CIBERTEC

MATEMÁTICA I

29

Ejemplos:

CIBERTEC


30

Ejercicios propuestos para la clase 2 x  3  2 x  2 2 x  5  4.2 x b) Simplifica: P   3  2x 4.2 x  2

1) a) Simplifica : 06 216.353.803 45 M  4 9 2  16 15 .14 .30

2) a) Calcula:  0.6

E   32

  0.6

  8



b) Halla:

 1  R     3 

    

3



2   5

2

4     23 



1

 1    10 

1 1  2

 

1

 3 40 2 x  3  3 2 x 1  12 2 x  2  1  3 3 5  64 3) Efectúa: (a) S    .  32   22 2 x 1  2 x  2

(b) Calcula el valor de:

M 


2 x 5

2 x  4  36(2 x 2 )  2 x  4  4(2 x 1 )  6(2 x 1 )

CIBERTEC

MATEMÁTICA I

31

4) Simplifica:

5) Simplifica::

(

(

)

(

) )

√

2.1.2 RADICACIÓN: Propiedades n

n: índice a: radicando b: raíz

a b

: operador Leyes de Radicación:

9.

n

a

1 an

m 10.

11.

n m

a

n ab  n a .n b

12. n

13.

CIBERTEC

a n

a b

m n



n

a

n

b

,b  0

a  mn a


32

Potenciación

Radicación

exponente raíz

índice base

radicando

potencia

2.1.3 APLICACIONES 1) Halla X + M si:

X

12  48  300 75  147

 32

3 / 5

M=

 64



1 / 3 1 / 3

2) ( a ) Simplifica :

√

√ √

(b)

√ √

5 x 3  7 y  2 x y Si 5  7 , Calcule el valor de: 7 y 1  5 x 1

3) Calcula:

 a )  2n  1  


4

 31  n   3 3 1 

9n  1

CIBERTEC

MATEMÁTICA I

b)

4) Halle P

CIBERTEC

33

1  2 4    2   1  1     3   5 27 32        

x  5  3x  5 7 P  x5 75  x  35  x


34

Problemas propuestos para la casa 1)

Simplifique la siguiente expresión: 1/ 2

 1   3  2   2  4  1           5  11    3  2)

0

5n  3  5n    5n  1  .5  

   

1 / 2 1 / 3 6

   

Calcule B si:

    

  32 



5

 64   1 3

3 9 4

27

1 3

0

. 125

Reduzca:

a  a  a   a  a  2 3

5

5

3

6)

3

  

2n 3  2n 22 B 2 2n 2 5)

     

Reduzca la siguiente expresión:

 50  42  9  8   64   4)

x 1

Halle el valor de A si

5 4 A  516

3)



3 6 x 1  23 x  3 9 3x  4 2 2 x

3 3



x

92 x  138 x 69 x  46 x

Calcule el valor de E + F, si:


CIBERTEC

MATEMÁTICA I

35

E 3

2

0 27

52

9 8

 125

 0 , 3 3 3...

7) Simplifique: 5 x 1 2 x 1 x 2x  20  2 . 4  2 . 4  2 Ex  4   23.4 x  4 x  

4

8)

2 2 2

2 

1 1 / 2 2

Halle K, si :

 K   4932 

1 252

CIBERTEC

 x 2 21  12   2 2  35x  20x 1

x2

x2


36

Resumen de Potenciación y Radicación Potenciación  a0 = 1 ,  a  R , a  0 ,

Radicación 

 am . an = am + n 

a

m

a

n

 a m n , a  0

a

m



n m

a

n

1 an

, a0 

a n

n ab  n a .n b

n

b    , a  0, b  0 a

n



a b

 (a . b )n = an . bn n

a an     n ,b  0 b

1 an

p n pn  a . b  n a .b

 a- n = a    b

n



m n



n

a

n

b

,b  0

a  mn a

b

 (am )n = am n = (an )m

 Si desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes páginas.  http://espanol.geocities.com/jefranco_2000mx/EXPONENTES.htm Aquí encontrará información de la Teoría de Exponentes.  www.sectormatematica.cl/ppt/Raices.pps En esta página, encontrará ejercicios sobre potenciación, radicación y racionalización.


CIBERTEC

MATEMÁTICA I

37

Problemas variados de tanto por ciento y teoría de exponentes Problemas de tanto por ciento 1. En una granja, la peste porcina mata al 18 % de los cerdos, y quedan 164. ¿Cuántos han muerto? 2. Un banco prestó a otro 300.000 euros al 18 % mensual. La cantidad devuelta ha sido de 462 700 euros ¿Cuánto tiempo ha tardado el segundo banco en devolver el préstamo? 3. Una impresora cuesta 215 euros sin IVA y 249,40 euros con IVA. ¿Qué porcentaje de IVA presenta? 4. En la última subida de precios del autobús, el billete sencillo ha pasado de 1,10 euros a 1,16 euros y el bonobús de diez viajes ha pasado de 4,70 euros a 4,91 euros. ¿Qué tanto por ciento de subida han sufrido el billete sencillo y el bonobús? 5. Si depositamos 300 euros en una cuenta y el banco nos ofrece un 2,5 % anual sobre la cantidad que hay al principio de cada año, ¿qué ganancia obtendremos al cabo de un año? ¿Y después de 4 años? 6. Una botella de aceite sube su precio un 20 %. La botella cuesta finalmente 4,08 euros. ¿Cuánto costaba antes de la subida? 7. Un póster costaba 4,80 euros. Tras una subida, este precio es el 80 % del precio final. ¿Cuál es el precio final del póster? 8. Una mercancía se encareció en un 10 % y luego se abarató también un 10 %. ¿Cuándo vale menos: antes o después de todo el proceso?

Teoría de exponentes y radicación N 1.- Calcule el valor de: M

M

2 x 5

x x 92  138 Nx 69 x  46 x

2 x  4  36(2 x 2 )  2 x  4  4(2 x 1 )  6(2 x 1 )

2.- Encuentre A+B

A=

CIBERTEC

2

5 164

1 1 / 2

 1  2 4           5  11    3  3

B=

5

0

5n  3  5n  n 1 5 5

 


38

3.- Halle K

 32 K   49 Si 

252

4.- Si :

A

 x 2 21  12   x2 x2  35  20 1

1

x2

x2

      

2 x  4  36 2 x 2  2 2 x 3  4 2 x 1  6 2 x 1



2 x 5

y

2 n 1

Bn

n2

4 4

Halle

n

AB

5.- Halle el valor de M si:

M

 81   2 1

1

 243 

0 , 2 1

 3 1   164 2 1   1    16         27  

2.2 TEMA 4: PRODUCTOS NOTABLES 1. BINOMIO AL CUADRADO (SUMA)

a

 b2  a 2  2ab  b 2

EJEMPLOS: 1. 2. 3.

x

 72  x 2  2(x) (7)  7 2  x 2  14x  49

  3x  

x 2




2

2 2 2 2   (3x )  2 (3x )      5 5 5

3

2  (x 2 ) 2



2

 9x 2 

12 4 x  5 25

2 2 4 2 2( x ) ( 3 )  ( 3 )  x  2 3 x  3

CIBERTEC

MATEMÁTICA I

39

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA EL ALUMNO Halle el binomio que da origen a cada trinomio cuadrado perfecto. 1. 2.

1



2



2  x 2  2 2 x  2

 x2  x 

4

2. BINOMIO AL CUADRADO (DIFERENCIA)

a

 b2  a 2  2ab  b 2

EJEMPLOS: 1.

x

 12  x 2  2(x) (1)  1  x 2  2x  1 2

2.

3.

2

1 1  1 1 2 2  y    y  2 ( y)       y  y  2 4  2 2

x

2



7



2

 ( x 2 ) 2  2x 2 7 

 7

2

 x4  2 7x2  7

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA EL ALUMNO Halle el binomio que da origen a cada trinomio cuadrado perfecto: 1.



2

 x2

2.



2

 x2



3.



2

 x2



 2 3x  4 3

x 

2x 

3

4 9

1 2

3. PRODUCTO DE LA SUMA DE DOS TÉRMINOS POR LA DIFERENCIA DE LOS MISMOS TÉRMINOS (DIFERENCIA DE CUADRADOS)

(a  b)

CIBERTEC

(a  b)  a 2 

b2


40

EJEMPLOS:

x



 8x  8  x 2  64



x



(4  6x 3 y 2 ) (4  6x 3



6

x 



6  x2  6 y 2 )  16  36x 6

y4

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA EL ALUMNO: Observe y escriba directamente el producto de los binomios 1. 2.

y

y

3.

 0.2y  0.2   3

3x

 y

 3





 y  1 3x 2  y  1 

2

4. PRODUCTO DE BINOMIOS QUE TIENEN UN TÉRMINO COMÚN

a



ba



c  a 2  b  c a  bc

EJEMPLOS:

x 2. x 1. 3.

y

3

 7x

 9  x 2  16x  63

 6 x  5  x 2  11x  30



  

 1 y3  6  y3

2

 y6

 5y 3  6  5y 3  6

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA EL ALUMNO Observe y escriba directamente el producto de los binomios: (x – 1) (x + 8)

= _______________________________

(x – 5) (x – 2)

= _______________________________

5. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

a3 + b3 = (a + b) (a2– ab + b2) CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA I

41

Suma de cubos

a3 – b3 = (a – b) (a2+ ab + b2)

Diferencia de cubos

EJEMPLOS:

x 3  27  ( x  3 )( x 2  3 x  9 ) y 3  8  ( y  2 )( y 2  2 y  4 )

CIBERTEC


42

Problemas propuestos para la clase I. Efectúe:

1. ( x 6  125 )  _______________________________________________________ 2. ( y 12  27 )  _______________________________________________________ 3. ( 3 y  1 )( 3 y 2  3 y  1 )  ___________________________________________ 3 4. ( 3 x  3 y )( x 2  3 xy  3 y 2 )  ____________________________________

2. Efectúe: a) R  5 m  m2  n10 .5 m  m2  n10 b) (x + y)² (x² - xy + y²) – (x – y)² (x² + xy + y²)² a) (a + 2) (a – 2) (a² - 2a + 4) (a² + 2a + 4) 2

2.

3.

Si

x

Simplifique:

1   x 1   x    2  1 calcule: A   2   2 2   2

2

(3a  2b) 2  (3a  2b) 2  10a 2 (a  b)(a  b)  2b 2

4. Si x + y = xy = 4; calcule x² + y²


CIBERTEC

MATEMÁTICA I

43

APLICACIONES

1. Siendo

x=2+

3;

3

y=2-

Calcule: A = (x – y) (x² + xy + y²) + y(3x² + 3xy + 2y²)

2. Sabiendo que:

3. Simplifique:

x y  2 y x

E

calcule:

x  y 2x  y  3x  y x  y

a  b3  a  b 3 a  b 2  a  ba  b  a  b2

4. Si la suma de dos números es 5 y la suma de sus cuadrados es 21, halle la suma de sus cubos.

5. Si: a  2

y b  8 , halla el valor de:

2 2  a  b a3  b3  [ a  b  a  b ] M

a4  b4

6. Determine el valor de E , si a  2 .









E  a  1a  1 a  1 a  1 7. Reduzca: x

CIBERTEC

2

2

2

2

3

1 3



 5x  5  x  1x  2x  3x  4 2


44

2 2  a 2   a b  2  a b  2    b              4       b   b a   a   b a    P 2 2 3 3  a 3  3         b     a    b    b   b   a    a      

8. Simplifique:

2

Resumen de productos notables a, b, c  R

 Productos Notables:

I.

a

 b2  a 2  2ab  b 2

II.

a

 b2  a 2  2ab  b 2

III. (a  b)

(a  b)  a 2 

b2

IV. (a  b )  a  3a²b  3ab²  b 3

3

V. (a - b )  a - 3a²b  3ab² - b 3

VI.

a

3

 b  c

2

3

3

 a 2  b 2  c 2  2ab  2ac  2bc

VII. a3 + b3 = (a + b) (a2– ab + b2) VIII. a3 – b3 = (a – b) (a2+ ab + b2) IX.



3



a b

a 3 b



3





a  b ab



a 2  3 a.b  3 b 2  a  b

X. Legendre:





(a  b) 2  (a  b) 2  2 a 2  b 2



a  b2  (a  b) 2  4ab



 Si desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes páginas.  http://www.sectormatematica.cl/ppt/Productos%20notables.ppt Aquí encontrará ejercicios relativos al tema.  http://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables Aquí encontrará ejercicios relativos al tema.


CIBERTEC

MATEMÁTICA I

45

2.3 TEMA 5: FACTORIZACIÓN Definición. Es un procedimiento por el cual se transforma un polinomio dado en un producto indicado de sus factores.

Casos: 2.3.1 FACTOR COMÚN: Ejemplo: Factorice: 3x3 y + 9x² y² + 6 xy3 Sol:





3 x y x 2  3x y  2 y 2   Factor Común

Se puedefactorizar es otro caso.

2.3.2 POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS: Ejemplo: Factorice:

a 2 b  b 2 c  c 2 a  a 2 c  b 2 a  c 2 b  2abc

Sol : = (a² b + b² a ) + (c² a + c² b ) + c (a² + 2 ab + b² ) * = a b ( a + b ) + c² (a + b ) + c ( a + b ) (a + b ) = ( a + b ) a b  c 2  ca  cb 



= (a + b ) [ a ( b + c ) + c ( b + c ) ] = (a + b ) ( b + c ) ( a + c ) 2.3.3 POR IDENTIDADES O POR PRODUCTOS NOTABLES EN FORMA INVERSA: Ejemplos : a) ( a² + 2 a b + b² ) = ( a + b)² = (a + b ) ( a + b ) b)

(a - b ) ( a² + a b + b²) = a3 - b3

c) x 2  4 x  4  x  2  x  2x  2 2



 

d) x  y  x 2  xy  y 2  x3  y 3



e)  y ²  4 y ²  4  y  16 4

CIBERTEC


46

Problemas propuestos para la clase 1) Factorice: a) 3x2y2-6x2y = b) (3a – b) (a – b – 1) + (a + b) (a – b – 1) – (2c – 3b) (a – b – 1) =

c) 2p (p – 1) + q(1 – p) + 2 (p – 1) =

2) Factorice: a) xa2 + y2b + y2a2 + xb = b) 4xz + 2yz – 2xp – yp = c) x3 – 4x2 + x – 4 =

3) Factorice: a) x2 + 10xy + 25y2 = b) 4y2 – 9x2 = c) 8x3 – 27y3 = d) 9m2 + 6m + 1 = e) 4x2 – 12xy + 9y2 =


CIBERTEC

MATEMÁTICA I

47

2.3.4 POR ASPA SIMPLE:

Trinomio de la forma x2n + bxn + c = (xn + k1) (xn + k2) n  N donde:

k1 . k 2 = c k1 + k2= b

Ejemplo: Factorice

x² - 6x + 5 = 0 k1  

+ k2x= b

x

5   Vemos que: 1  (-5) (-1) = 5 (-5) + (-1) = -6

ok ok

 x² - 6x + 5 = 0  (x - 5 ) ( x - 1) = 0 

NOTA: Este trinomio se puede factorizar sólo cuando su Discriminante (D) es un cuadrado perfecto (ie, tiene raíz cuadrada exacta)

Trinomio de la forma ax2n + bxn + c = (a1 xn + k1 ) (a2 xn + k2 ) donde :

a1 . a2 = a k1 . k 2 = c a1 k2 + a2 k1= b

Ejemplo: Factorice:12 x² - xy - 6y² = 0  

3x

2y

4x

 3y

  Vemos que: 

( 3 ) ( 4 ) = 12 ; ( 2 ) (-3 ) = - 6 ; (3x) (-3y) + (4x) (2y) = -9xy + 8xy = -xy  12x² - xy - 6y² = 0  (3x + 2y ) (4x - 3y) = 0

2.3.5 POR DIVISIÓN DE BINOMIOS (RUFFINI): Permite factorizar polinomios en una sola variable. Consiste en formar una serie de binomios que admitan como término común a la variable y como

CIBERTEC


48

segundos términos a los divisores del término independiente. De dichos binomios se tomarán aquellos que den división exacta empleando RUFFINI.

Ejemplo: Factorice: x4 + 6x3 - 5x² - 42x + 40  Posibles factores:

divisores de:

(x  1) (x  2) (x  4) (x  5) (x  8) ….….. …………………………………………… ……………………………………………

1 +2 +4

40

5 8  10

 20  40

En forma práctica: Ruffini

1

2

1

6

-5

-42

40



1

7

2

-40

1

7

2

-40

0



2

18

40

1

9

20

0

x² + 9x + 20   x 5

x

4


 (x - 1) (x - 2) (x + 5) (x + 4)

CIBERTEC

MATEMÁTICA I

49

Problemas propuestos para la clase 1) Factorice: a) x2+5x-6 b) x2-5x-14 c) 3x2-21x+18 d) 45x2-38xy+8y2

2) Factorice: a) x2-2xy+y2+3x-3y+2 b) y2-4xy+4x2-3y+6x c) x2-y2+2yz-z2-8x+16

3) Factorice: a) t3-6t2+11t-6 b) x4-6x3-x2+54x-72 c) 2x5-17x4+51x3-58x2+4x+24

CIBERTEC


50

EJEMPLOS DIVERSOS DE FACTORIZACIÓN EJERCICIOS DESARROLLADOS COMPLEMENTARIOS Simplifique: 1)

4x 2  1 E= 8 xy  4 y

2)

E

sol 

x  11  y  1  x  y  1

2 x  12 x  1  2 x  1 4 y2 x  1 4y

sol

E

  y  1x  1 1  x  1 y  1

Efectúe:

3x  1 x  3  5x  2 5x  2

3)

E

4)

xy  2 y 2 x 2  2xy  y 2 . E= 2 x  xy x 2  2xy

sol

E

3x  1  x  3 3x  1  x  3 2 x  4   5x  2 5x  2 5x  2

yx  2 y x  y 2 yx  y  yx  2 y  x  y 2 .   Sol: E = xx  y  xx  2 y  xx  y xx  2 y  x2


CIBERTEC

MATEMÁTICA I

51

Problemas propuestos para la casa Efectúe: 1)

2y  6 x2  x  2 y  3 x  2x  3

2)

m3  m 2 x 2  25  5  x 5  x  m 2

3)

x 2  36 x  6x  6  x4 2x  8

4)

6m  10m p  8p  16 2



2m

p  42

5)

m 2  2m m  1 m  2  m 1 m  4 5m  10

6)

m10 x  10 m 4   5x  50 25 m3

7)

Factorice: E = (x + 3) (x + 2) (x + 1) + (x + 2) (x + 1) + (x + 1)

8)

Factorice: a)

x8 - 82x4 + 81

b) (x2 - y2)9 - (x + y)7 (x - y)11 9)

Factorice: E = ( x + y )9 ( x - y )5 - (x2 - y2)7

10)

Factorice: a) E = 64 x12 y3 - 68 x8y7 + 4x4y11 b) x3 + (2a + b)x2 + (a2 + 2ab ) x + a2b

11)

Factorice: a) x8 - y8 b) x6 - y6

CIBERTEC


52

Problemas variados 1. Simplifica:

(

)[ (

)

(

) ]

2. Simplifica (

)(

)

(

)(

)

)(

)

(

)(

)

3. Simplifica:

( 4.

Simplificar

[(

)

(

) ] )

(

5.

Simplificar:

6.

Simplifica :

(

)

(√

√ )(√

√ )

4 x 4  4 x 2 y 2  4 x 3 y  4 xy 3  y 2 x 2  y 4 E 2 x  y x  y  7.

Halle E:

E=

   a 2 x 2  a 2 x  6a 2  x 2  x  6  1 1    4 4   2  2 2  2 a 2  1 x  3   





8. Simplificar :

a7 a  a  6   a  10 a  25  E  a2  a  9   a  2a  35   2

2

2


2

CIBERTEC

MATEMÁTICA I

53

Resumen  Factorizar.- Es modificar un polinomio a productos de factores.  Clases: 1. Factor común.- Cuando los términos de un polinomio tienen algo en común. 2. Por Agrupación.- Esta técnica va de la mano con factor común. Consiste en juntar 2 o más términos con algo en común. 3. Por identidades.- Es lo mismo que productos notables. Ejemplo: Un trinomio cuadrado perfecto se convierte a un binomio cuadrado. 4. Por aspa simple o doble.- Será por aspa simple en todos los casos cuando la suma de sus coeficientes del polinomio da cero; y por aspa doble lo ideal es que necesitan seis términos; pero se puede utilizar con cinco, por que se debe completar con cero. 5. Ruffini.- Sirve para factorizar polinomios de grado tres o mayor. Para usarla, se debe tener presente que el polinomio debe ser ordenado y completo.  Si desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes páginas.  http://sipan.inictel.gob.pe/av/ Aquí encontrará casos de factorización y otros.  http://www.matematicastyt.cl/Algebra/Polinomios/Factorizacion/pag1.htm Aquí encontrará ejercicios desarrollados de factorización y otros.

CIBERTEC


54


CIBERTEC

MATEMÁTICA I

55


3 ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE Al término de la unidad, el alumno resuelve ecuaciones de primer y segundo grado, así como sistemas de ecuaciones lineales, con dos incógnitas, aplicando propiedades y métodos algebraicos

TEMARIO Ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales 2x2 Ecuaciones de segundo grado ACTIVIDADES PROPUESTAS 

Los alumnos desarrollan, por equipos de tres integrantes, los ejercicios propuestos en el manual.

CIBERTEC


56

3.1 TEMA 6: ECUACIONES 3.1.1 ECUACIONES LINEALES Forma general:

ax + b = 0 ; a  0

Solución: x = - b/a Tipos: a) Ecuaciones lineales o enteros: Ejemplo: Halle el valor de x: a) 5x - (4x + 3) = 7x - (2 + 3x) + 25

Solución:

5x - 4x - 3 = 7x - 2 - 3x + 25 5x - 4x - 7x + 3x = 3 - 2 + 25 - 3 x = 26  x = 26/-3

b) 7x² + 15 = (5x - 2) (3x + 7) - (4x - 1) (2x + 11)

 x = - 18/13 b)

Ecuaciones fraccionarias: Se obtiene el MCM cuidando que el denominador nunca sea cero. Ejemplo: Halle el valor de x: 3 2 1 a) Resuelva:  2x  1  (3x  1)  2x  2 3 6 Resolución: M.C.M = 6 Divide el MCM entre cada denominador y su resultado multiplica a su respectivo numerador: - 9 (2x + 1) - 4(3x - 1) = 12x + 1 - 18x - 9 - 12x + 4 = 12x + 1 - 18x - 12x - 12x = 9 - 4 + 1 - 42 x = 6 x = - 1/7 b)

23b  x x  b 4b  x    5b 5 7 4

Resolución: M C M = 140 x=8b Problemas desarrollados:


CIBERTEC

MATEMÁTICA I

57

a) A un alumno le preguntaron la hora y responde “son los 5/7 de lo que falta para terminar el día”. ¿Qué hora es? Resolución:

5

24  x  7 5 5 x  x  ( 24 ) 7 7 7x  5x  120 x

12 x  120 x  10  son las 10 a.m.

b) Las edades de una madre y 2 hijos suman 60 años. Halle la edad del menor de los hijos, sabiendo que el mayor tiene 3 veces la edad del menor y la madre el doble de la suma de sus hijos. Resolución: Madre Hijo mayor Hijo menor

=M = H1 = H2

M + H1 + H2 = 60

 H2 = 5 años

c) Una persona tiene S/ 20 000 y otra S/ 7 500. Cada una ahorra anualmente S/. 500. ¿Dentro de cuántos años la fortuna de la primera será el doble de la segunda? Resolución: Sea “x” el de años que ahorra cada persona. -

Ahorro total de cada persona 500x capital + ahorro de la 1ra persona: 20 000 + 500x capital + ahorro de la 2da persona: 7 500 + 500x

Entonces 20 000 + 500x = 2 [7 500+500x] 20 000 + 500x = 15 000 + 1000x 5 000 = 500x 10 años = x

CIBERTEC


58

Problemas propuestos para la clase 1) Resuelva los siguientes ejercicios: a) 5x – (7x – 4) – 2 = 5 – (3x + 2)

b) 2 x 

3x  2 x  1 4 x  1   4 2 3

2) Resuelva

23x  5 34 x  5 57  2 x  4 x  5    4 12 3 18

3) Un profesor le dice a su alumno: el doble de mi edad, aumentado su mitad, en sus 2/5, en sus 3/10 y en 40, suma 200 años. ¿Cuántos años tengo?

4) Resuelva la ecuación:

5x  53x  62  7 x  23x  5  23x  64 x  6

5) Resuelva la ecuación:

 x 2  64   x 3  2 x 2  4 x  x 4  8x x 1 23  x    2   2   2 .  x  2   x  16 x  64  x  6 x  16 x  2 x  3x  10


CIBERTEC

MATEMÁTICA I

59

3.1.2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2X2 Sistema:

Se llama así a un conjunto de ecuaciones que se verifican para un mismo valor de las incógnitas. Ejemplo:

x + 3y = 10 ... (I) 4x - y = 1 ... (II)

Métodos de resolución: a) Por eliminación (Adición algebraica) Ejemplo: Resuelva el sistema: x + 3y = 10 …………….  4x - y = 1 ……….……  Resolución: La ecuación  queda igual a ecuación  por 3

x=1



Así, en

: :

x + 3y = 10

12x - 3y = 3 13x = 13

Este valor se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones. :

1 + 3y = 10 3y = 9  y=3

b) Por sustitución: Se despeja cualquier variable de una de las ecuaciones y se reemplaza en el otro. Ejemplo: Resuelva el sistema: x + 3y = 10 …………….. 4x - y = 1 …..…………. Resolución: De la ecuación : x = 10 - 3y en   4 (10 - 3y) - y = 1 40 - 12y - y = 1 - 13y = - 39 y=3

en la ecuación 

Así, x + 3 (3) = 10 x+9 = 10 

x=1

c)

Por igualación: Consiste en despejar la misma variable en ambas ecuaciones y luego se igualan (pueden ser también constantes).

CIBERTEC


60

Ejemplo:

Resuelva el sistema:

x + 3y = 10 ……………  4x - y = 1………………. Resolución: De  x = 10 - 3y De  4x = 1 + y x

=

 10 - 3y

=

 Son iguales

1 y 4 1 y 4

40 - 12y = 1 + y - 13y

= - 39

y

=

39  13

y=3 

en :

x + 3 (3) = 10

x=1

Nota: Al resolver, por cualquiera de los 3 métodos, el resultado no cambia.

Ejercicios desarrollados: 1. Juan ahorra en billetes de S/. 50 y S/. 100. Para hacer un obsequio a su madre por su cumpleaños, abre la alcancía y logra contar 200 billetes que hacen un total de S/. 14 000, suma con la cual compra el presente. Después de agradecer la madre tan noble gesto, le pregunta: Juanito, ¿cuántos billetes de S/. 50 y cuántos de S/. 100 ahorraste? Resolución: a) Representación Número de billetes de S/. 50 : Número de billetes de S/. 100 :

x y

x + y = 200 Sistema 50x + 100y = 14 000

b) Solución del sistema: Valor de y: -100x – 100y = -20 000 50x + 100y = 14 000 -50x = - 6 000 x = 120

x + y = 200 120 + y = 200 y = 80

Respuesta: CARRERAS PROFESIONALES

CIBERTEC

MATEMÁTICA I

61

Ahorró 120 billetes de S/. 50 y 80 billetes de S/. 100. 2. El resultado de una prueba escrita de Matemática Discreta I es como sigue: los 2/3 de alumnos aprobados son igual al triple de los desaprobados más 4. Si al número de aprobados se quita el quíntuplo de desaprobados, resulta 2. ¿Cuántos alumnos aprobaron la prueba y cuántos desaprobaron? Resolución: a) Representación Número de alumnos aprobados : x Número de alumnos desaprobados : y 2/3x = 3y + 4 Sistema x – 5y = 2 b) Resolución del sistema: Valor de x: 2x x – 5y 2x – 9y -2x + 10y y en ():

= 9y + 12 = 2 ..................... () = 12 = -4 = 8

x – 5 (8) = 2 x = 40 + 2 x = 42

Respuesta: Aprobaron 42 alumnos y desaprobaron 8. Problema propuesto 1. Por ventas del día de una bodega, se contabilizó 160 billetes por un monto de 5000 soles entre billetes de S/.10, S/.50 y S/.100. Si la mitad del número de billetes de S/.10, más la cuarta parte del número de billetes de 100 es igual a los 11/8 del número de billetes de 50, ¿cuántos billetes de cada denominación se contabilizó? Respuesta: 100 de S/.10, 40 de S/.50, 20 de S/.100.

CIBERTEC


62

Problemas propuestos para la clase 1) Resolver el siguiente sistema

2) Resolver el siguiente sistema

1 1 x 4 y . 3 4 4x  3y .

2x + 3y = 7 5x - 7y = 3

1

3) Resuelva los siguientes sistemas determinados en x e y: a)

2x  5 3 3x  5 4

 

4 y  2  5 y3 6

x

b)

2 x  3y  5 b  a 3x  2 y  a  5b

y

4) Resuelva: 4) Resuelva:

1 xy 1 xy

 

1 xy 1 xy

a b

3 2   12. 1 x 1 y 5 3   1. 1 x 1 y

1

6) El perímetro de un rectángulo es 56 m. Si el largo disminuye en 2 m. y el ancho aumenta en 2 m, la figura se convierte en un cuadrado. Halle el lado mayor.

7) Juan dice a Pedro: “Dame S/ 18 000 y así tendré el doble de dinero que tú”. Y Pedro le contesta: “Más justo es que tú me des S/ 15 000 y así tendremos los dos igual cantidad”. ¿Cuánto tenía Pedro?


CIBERTEC

MATEMÁTICA I

63

8) Divida el número 1000 en dos partes, tales que si de los 5/6 de la primera se resta de la segunda, se obtiene 10. Calcule la segunda parte.

CIBERTEC


64

Problemas propuestos para la casa I. Resuelva:

13 7 5 1  2x 4 4 24  3 5

1)

x

2)

x

1 2



1 2  5  2x 3 6

3)

x  m x  2m xm   x 2 3 n

4)

mx nx   2m 2  x mn mn

x

5) El numerador de una fracción es dos unidades menor que el denominador. Si añadimos una unidad a cada elemento de la fracción, la nueva fracción excede en 1/15 a la original. ¿Cuál es dicha fracción original?

6) Se debía repartir 1 800 soles entre cierto número de personas: cuatro de ellas renunciaron a su parte con lo cual a cada una de las restantes le tocó 15 soles más. ¿Cuántas personas eran originalmente?

II. En cada caso, resuelva el sistema a)

b)

5 x  4 y  2 x  y  1 4x  5 y  7

5 x  29  7 y d) x

3 e)

y 0 2

2 x  7 y  41 x 2 y 79   7 3 21

10 x  3 y  8

1  5y  7 3 c) 5 2 y   x 3



2x  2 y   35  2  x  7 y 

7x 

f)

1  2x  4,5 y    x  10 y   2 

III. PROBLEMAS a) La suma de dos números es 191. Si el mayor se divide por el menor, el cociente es 4 y el residuo es 16. La diferencia de dichos números es:


CIBERTEC

MATEMÁTICA I

65

b) Un padre le dice a su hijo: “Hace 8 años, mi edad era el cuádruplo de la edad que tú tenías, pero dentro de 8 años sólo será el doble”. ¿Qué edad tiene el hijo?

3.1.3 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Forma general es:

donde a, b, c son constantes y a  0.

ax² + bx + c = 0

Ejemplo: 2x² + 3x - 5 = 0 ; vemos que a = 2 b=3 c = -5 Además, toda ecuación de segundo grado tiene 2 raíces o soluciones. Métodos para hallar dichas raíces: M1) Fórmula general:

x1 , x 2 



 b  b 2  4ac 2a

raices o soluciones

Para ver si las raíces o soluciones son reales o imaginarias, se analiza el DISCRIMINANTE ( = b² - 4ac) Casos: 1. Si  > 0 ; las raíces serán reales y diferentes.

Así;

x1 

 b  b 2  4ac ; 2a

x2 

 b  b 2  4ac 2a

2. Si  = 0 ; las raíces serán reales e iguales. Así;

x1  x 2  

b 2a

3. Si  < 0 ; las raíces serán complejas conjugadas.

(No tienen solución real)

Ejemplos desarrollados: Resuelva: Solución:

2x² + 3x - 5 = 0 a = 2 , b = 3 , c = -5

 Analizando discriminante ()

CIBERTEC


66

 = b2 - 4ac  = 3² - 4(2) (-5)  = 49



 > 0 estamos en el primer caso.

 x1 

x2 

 3  49 2( 2 )  3  49 22 





37 4 37 4

1



5 2

El conjunto solución es { ( 1, -5/2) }

M.2) Por factorización: Método ya conocido Ejemplo: Resuelva: 2 x² + 3x - 5 = 0 Sol. 2 x² + 3x - 5  

x 2x

x  1  0  x  1  1  ( x  1)( 2x  5 )  0 5 5 2x  5  0  x   2 

M.3) Completando cuadrados: Para aplicar este método, el coeficiente de x² siempre debe ser UNO. Ejemplo: Resuelva: x² + 4x - 6 = 0 2

4 4  2  2 

2

Solución: x 2  4 x        6  0

x  22  4  6  0

x  2 2


 x 1  2  10  10  x  2   10   x 2  2  10

CIBERTEC

MATEMÁTICA I

67

Problemas propuestos para la clase 1) Resuelva empleando la fórmula general. a) x2+ 5x + 7 = 0

b) 25x2 - 10x + 2 = 0

2) Resuelva empleando factorización. a) 4x2- 12x + 9 = 0

b) 7x2+ 6x = 16

3) Resuelva completando cuadrados: a) x2- 8x - 7 = 0

CIBERTEC

b) 2x2- 12x + 5 = 0


68

4) Resuelva :

(

Resuelva:

)

(

)

(

)

(

(

)

)(

)

Propiedades de las raíces Dada la ecuación cuadrática ax²

+ bx + c = 0, con raíces x1, x2

se tiene las siguientes

propiedades de sus RAÍCES:

   c  2. PRODUCTO x .x  1 2 a   3. DIFERENCIA x  x   a  1 2 

b 1. SUMA x  x   a 1 2

Donde: *) x1, x2 son raíces *) a, b, c son coeficientes *)  es el discriminante

Ejemplos: Dada la ecuación: x² + 9x + 8 = 0

Halle:

a) Suma de raíces

b) Diferencia de raíces c) Producto de raíces

Solución:


CIBERTEC

MATEMÁTICA I

69

b 9    9 a 1 9  4(1)(8)  DIFERENCIA   7 a 1 c 8 PRODUCTO    8 a 1

SUMA  

2

CIBERTEC


70

Problemas propuestos para la clase 1) En la ecuación: ax² - (a - 5)x + 1 = 0, el producto de las raíces es igual a la diferencia de las mismas. Halle la mayor raíz. Resolución

2) Dada la ecuación 3x2 - 5x + k - 1 = 0 Con raíces x1 y x2 que cumplen:

1 x1



1 x2

 2. Calcule k = ?

Resolución

3) Halle m de 3x2 + mx + 2 = 0, de modo que la ecuación cuadrática tenga en su conjunto solución que una raíz sea el triple de la otra. Resolución

4) Halla la suma de raíces de :

5) En la ecuación: 2ax2 - (a - 1)x + 1 = 0 El producto de las raíces es igual a la diferencia de las mismas. Halle la raíz menor. Resolución


CIBERTEC

MATEMÁTICA I

71

Problemas propuestos para la casa ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Resuelva: 1)

x  2x  4  5 x  3x  5 12

2)

(3x - 1) (3x + 1) = x²

3)

5x² + 3x = 0

4)

6x (x + 1) = 5 (x² + x)

5)

Resuelva empleando la fórmula general. a) x² + 5x + 2 = 0 b) 3x² + 7x + 2 = 0 c) 4x² - 20x + 25 = 0 d) (a - 1) x² + 2ax + (a + 1) = 0 e) ax² + (a + 1) x + 1 = 0

6) I.

Resuelva x factorización.

II. Resuelva completando cuadrados.

a) x² - 8x – 9 = 0

a) x2+6x-8 = 0

b) x² + 3x + 2 = 0

b) 4x2-5x-1=0

c) 2x² - 5x + 2 = 0

c) 3x2-6x-1=0

d) 4x² - 12x + 9 = 0

d) 3x2+5x+1=0

e) 3x² + 19x + 6 = 0

e)

8x  3 16



x2 3

7) ¿Qué valores debe tomar <> para que las raíces de la ecuación (k-1)x2 - (k+3)x + 2m + 1 = 0 difieran en 3?

CIBERTEC


72

Resumen  Ecuación Lineal.- Es un polinomio de grado uno y, por lo tanto, tiene una sola respuesta o raíz. Esta puede ser: a) Entera.- Cuando los términos no tienen denominadores b) Fraccionaria.- Cuando los términos tienen denominadores iguales o diferentes. Para resolverlas se halla el MCM.  Ecuaciones de segundo grado.- Es un polinomio de grado dos; por lo tanto, tiene dos soluciones o raíces. Las forma de resolverlas son las siguientes: a)

Por fórmula general.- Esta resuelve cualquier trinomio de grado dos, x1 , x 2 

está dado por:



 b  b 2  4ac 2a

raices o soluciones

b) Por Factorización.- Cuando el Discriminante es un cuadrado perfecto. c) Completando cuadrado.- Se utiliza cuando el coeficiente de la variable de mayor grado es UNO. Consiste en sacar la mitad del coeficiente del término lineal y a éste resultado elevarlo al cuadrado. En todos los casos, primero se agrega y luego se quita. Por esta razón, algunos autores a este método lo llaman “pon y quita”.  Propiedades de la raíces.- Están dadas por la relación existente entre las raíces y los coeficientes de la ecuación cuadrática. Esta son las siguientes: Dada la ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0, con raíces x1, x2 se tiene

b 1. x  x    a  c 2. x .x   a  3. x  x   a   1

2

1

1

2

Donde: *) x1, x2 son raíces *) a, b, c son coeficientes *)  es el discriminante

2

 Si desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes páginas.  http://www.portalplanetasedna.com.ar/Ec2Grado.htm Aquí encontrará información sobre ecuaciones de 2do grado.  http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/p_e.html En esta página encontrará información relativa al tema.


CIBERTEC

Manual 2014-I 01 Matemática I (0619)

Recommend Documents