INTRODUCCIÓN La separación de solido-fluido en la que las partículas sólidas de una suspensión, más densas que el fluido, se separan de este por la acción de la gravedad es el proceso de sedimentación. Esta operación es controlada por la transferencia de cantidad de movimiento. Para que la sedimentación sea viable en la práctica, el tamaño de las partículas y su concentración en la suspensión deben tener unos valores mínimos, del orden de 1-10 micras y 0,2% de solido en la suspensión. La sedimentación es usada para separar las partículas sólidas y el líquido, este último hace que tenga un movimiento ascendente y las partículas sólidas sedimenten, depositándose depositándose en el fondo donde son eliminadas en forma de lodos. La viscosidad del líquido frena las partículas sólidas, que deben vencer el rozamiento r ozamiento con el líquido en el movimiento de caída. Una aplicación de especial interés se produce en el tratamiento de aguas residuales (eliminación de arenas, de la materia particulada en un tanque de decantación primaria, de los flóculos químicos cuando se amplía la coagulación química y para la concentración de sólidos en los espesadores de fango). En Ingeniería Química es de gran aporte el proceso de sedimentación debido a la flexibilidad de sus usos, sobretodo en flujos a través de lechos empacados, fluidización, entre otras.
OBJETIVOS Objetivo general
Tener en cuenta los fundamentos de la separación por sedimentación de un fluido y una partícula, para resolver los ejercicios propuestos a continuación, debido a que es de gran importancia en la industria Química.
Objetivos específicos
Poner en práctica a través de ejercicios los conceptos de sedimentación. Conocer y entender la importancia de este proceso en Manejo de sólidos e Ingeniería Química
TALLER 1. Gotas esféricas de agua (de diámetro 3mm y temperatura 20°C) sedimentan en una atmosfera de aire a 60°C y presión atmosférica. Calcular el incremento de temperatura que experimenta cada gota durante un periodo de tiempo de 2 segundos, suponiendo que la gota cae con su velocidad de sedimentación y el flujo de calor calculado para las condiciones iniciales se mantiene durante los 2 segundos de calentamiento. R/: Datos: El sistema se encuentra a presión atmosférica. Diámetro (m) Temperatura (K) Densidad (kg/m3) Viscosidad (kg/m*s) Capacidad calorífica kJ/kg*K)
Gotas de agua 0,003 293,15 998 1,002*10-3 4,182
Aire 333,15 1,059 2,008*10-5
Datos obtenidos de la tabla A.15 y A.9 del apéndice 1 del libro de transferencia de calor y masa de Cengel
Para hallar el incremento de temperatura que experimenta cada gota durante un periodo de tiempo de dos segundos es necesario utilizar la ecuación de transferencia de calor por convección:
= ℎ = ℎ ∗
Donde Tf es la temperatura del aire y Tp la temperatura de la gota de agua. Ahora bien, para poder utilizar esta ecuación es necesario calcular el coeficiente de transferencia de calor por convección h, el cual hallamos mediante un numero adimensional conocido como Nusselt:
Donde Lc será reemplazado por el diámetro de la partícula y K es la conductividad térmica del aire el cual es 0,02807 w/mK a 60 °C (tomado de apéndice 2 tabla A.15 del libro de Cengel). Asumimos una convección natural de una gota cayendo y sabiendo que su geometría es esférica utilizamos la siguiente correlación de Nusselt encontrada en la tabla 7.9 del libro de Incropera y de Witt:
= 2+0,6 ∗, ∗
Donde Pr es el numero adimensional de Prandtl, que para el aire tiene un valor determinado de 0,7, el cual está incluido en el rango típico para los gases (0,7-1.0) (tomado de tabla 6-2 del libro de Cengel). Y donde Re es el número de Reynolds, el cual depende de la velocidad que en este caso corresponde a la velocidad terminal de sedimentación. Para calcularla el primer paso es hallar el término del diámetro (k) para saber el régimen o zona de interacción de la partícula:
∗ ∗ = ∗ 9 981, 0 59 9 , 8 ∗ 1, 0 5 9 ∗ = 0,003 ∗ ( 2,008∗10−mkg ∗s ) = 88,486 = √ 4 ∗3∗∗∗∗ = √ 4∗0,003∗9,3∗1,0859∗∗ 90981,,44 059 = 9,158 / 1,0=5 9∗0,∗03∗9,∗ 158 = =2,1448,008∗1950−
Podemos afirmar que la partícula se encuentra en el régimen de Newton debido a que está en dicho rango 69,2
Donde Cd es el coeficiente de arrastre que para el régimen de Newton es una constante equivalente a 0,44.
Procedemos a calcular el número de Reynolds:
Podemos observar que este número de Reynolds obtenido nos confirma que la partícula se encuentra en el régimen de Newton ya que se encuentra en el rango 1000
Ya obtenido el número de Reynolds podemos calcular el número de Nusselt:
= 2+0,6=∗122,428788,95, ∗ 0,7 ℎ 22,2788∗= 0,0∗2807w/mK ℎ = ℎ = 208,40553,0 3/ = 208,45 3 ∗ 0, 0= 000,22382587333,15293,15 = ∆ = ∗ = 998= 1,4 ∗16∗1 ∗0−0,03 0,2358 ∆= 1,=43,1∗91990−/ ∗4,182 ∗∆ ∆ = 3,999 ∗ 2
Con este dato ya podemos obtener el coeficiente de transferencia de calor por convección a partir de:
Calculamos la transferencia de calor del aire hacia la gota es férica es la siguiente:
Este calor de convección es el calor que recibe cada gota de agua. Ahora bien, este calor lo igualamos a la ecuación de calor que involucra la capacidad calorífica para despejar el incremento de la temperatura:
Donde la masa de la gota esférica de agua es:
Reemplazando en la ecuación de calor:
A los dos segundos nos da que , entonces las partículas de agua incrementan su temperatura en aproximadamente 8 K.
2. La medición de la velocidad de sedimentación de una esfera puede utilizarse para determinar experimentalmente la viscosidad de un líquido, bajo ciertas condiciones, en la forma siguiente: a) Calcular la viscosidad del líquido A (densidad 980 kg/m3) si una esfera de 4mm de diámetro y densidad 1120 kg/m 3 sedimenta en él con velocidad de 0.9 cm/s. b) Calcular la viscosidad del líquido B (densidad 1045 kg/m3) si una esfera de 8mm de diámetro y densidad 1200 kg/m 3 sedimenta en él con velocidad de 9cm/s. c) Explique por qué no se puede aplicar este método en régimen de Newton. R/: Datos
a. Liquido A Diámetro (m) Densidad (kg/m3) Velocidad (m/s)
980
Esfera 0,004 1120 0,009
Para hallar la viscosidad del líquido A bajo las condiciones dadas anteriormente, partimos de la fórmula de velocidad terminal de sedimentación de la cual es despejada la viscosidad, pero se hace necesario suponer un régimen, en este caso asumimos el régimen de Stoke debido a que es el que está en función de la variable que necesitamos ( ):
La cual queda:
= ∗18∗ ∗ = ∗ 18∗ ∗ = 9,8/ ∗0,00418∗0,∗009/120980/ = 0,1355 ∗
Para asegurarnos que el dato de la viscosidad es correcto, el siguiente paso es verificar el régimen asumido, para ellos hallamos el número de Reynolds:
= ∗ ∗
= 980 ∗0,0,130504m∗skg∗0,0 9 = 0,26
Comprobamos que el régimen escogido es válido debido a que el resultado del número de Reynolds es menor que 1 (Re<1) lo que indica que el valor de la viscosidad hallado es correcto.
b. Liquido B Diámetro (m) Densidad (kg/m3) Velocidad (m/s)
1045
= ∗ 18∗ ∗ = 9,8/ ∗0,00818∗ 0∗,019/20 1045/ = 0,06 ∗ = ∗ ∗ = 1045 ∗00,0,0608m∗skg ∗0,09 = 12,54 = √ 4 ∗3∗∗∗C d
Esfera 0,008 1200 0,09
Para este caso, como en el ítem a. también es necesario suponer el régimen de Stoke:
A partir de este valor de la viscosidad, verificamos a través de Reynolds si el régimen asumido es el ideal:
Podemos observar que Re>1, por tanto, el régimen de Stoke no aplica para este caso. Ahora bien, siguiendo el orden asumimos el régimen intermedio, del cual obtenemos:
Donde CD es el coeficiente de arrastre de la partícula, y para el régimen intermedio tiene un valor de:
= 24 1+0.15∗. = √ 3∗4 ∗∗24 1∗+ 0.15∗ 0.687 = 3∗ ∗ ∗244∗ ∗1 +∗0.15∗ ∗ ∗0.687 0.09 = 3∗120 ∗ 1200 ∗4∗9.02.0408∗8∗00..00908∗1 +102001045 .15 ∗ 1200 ∗0.008∗0.090.687
Reemplazamos la formula anterior en la ecuación de la velocidad de sedimentación.
A su vez reemplazamos las variables de Reynolds:
Podemos observar que sería de alta complejidad despejar la viscosidad de la anterior ecuación, por ello, a través de una calculadora CASIO fx-991LAX y aplicando el comando
= 0.02242 ∗ 1=200 ∗∗0.008∗∗0.09 = =038..025342
de SOLVE obtuvimos un valor de
.
El siguiente paso es comprobar que el régimen intermedio es el correcto. Reemplazamos en la ecuación de Reynolds:
Del resultado anterior podemos comprobar que 1
c. Este método no es aplicable para el régimen de Newton porque las ecuaciones de éste no involucran la propiedad de la viscosidad, la cual es la variable que necesitamos resolver.
3. La suspensión afluente a un sedimentador con una concentración de 435 kg/m 3 está formado por partículas irregulares con una esfericidad de 0.6 y densidad de partícula de 1250 kg/m3 y agua a 28°C. Calcule el tamaño de las partículas separadas, si el sedimentador tiene una capacidad de 3 kg/(m 2s)-1. Nota: Capacidad= (velocidad de sedimentación) (Concentración de solidos)
Datos Concentración de solidos: 435 kg/m3 Partículas irregulares con esfericidad: 0.6 Densidad de la partícula: 1250 kg/m3 Capacidad del sedimentador: 3 kg/m2*s
Agua 28°C: Densidad (
Viscosidad (
: 996.31 kg/m3 : 0.0008 kg/m*s
R/:
= = 3435 ∗ = 0.006896 / = √ 4 ∗ ∗3∗∗∗Cd = 4 ∗3∗∗∗ ∗Cd∗ =
El primer paso es calcular la velocidad de sedimentación, así:
Debido a que no tenemos el tamaño de la partícula, es necesario encontrar una relación que nos involucre el coeficiente de arrastre (CD) con el número de Reynolds, para poder utilizar la gráfica de la curva estándar del coeficiente de arrastre. Para esto, dividimos la ecuación de la velocidad de sedimentación entre la ecuación del número de Reynolds.
= 4 ∗3∗∗∗ ∗Cd∗ = 4 ∗3∗∗ ∗ = 4∗9.83∗∗0.996.00381∗ ∗ 0.1205006899966.31
Reemplazamos los datos obtenemos la relación entre las dos variables:
= =8.184.16462∗2
La anterior relación obtenida es también una función lineal la cual podemos trazar sobre la gráfica del coeficiente de arrastre vs Reynolds, con el objetivo de apreciar la intercepción de esta con la curva que contenga la esfericidad de 0.6. El punto donde se interceptan será el número de Reynolds de nuestro caso. Re 0.1 1 10
Cd 0.814662 8.14662 81.14662
Podemos observar que el número de Reynolds correspondiente en este punto es de aproximadamente 4. Con este dato podemos obtener el diámetro equivalente en esfera volumen de las partículas sólidas:
∗= ∗ 4∗∗0.0008 = ∗= 4. 6=57996.56∗1031∗−0.0 06896 4.65756∗10−
El diámetro equivalente esfera-volumen de las partículas sólidas es de
.
CONCLUSIÓN
Pudimos apreciar que la sedimentación libre nos permite calcular las propiedades de los fluidos como la viscosidad. Se notó que es pertinente hacer la modelación de la sedimentación con base a partículas esféricas en el seno de un fluido, puesto que por medio de la esfericidad se pueden relacionar formas no esféricas con esféricas Es correcto denotar la importancia a la transferencia de calor que se da entre el fluido y las partículas sedimentadas, ya que, la temperatura es una variable importante en todo proceso industrial
