Maldonado 2005

Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional Departamento de Matemática Educativa

Tesis que presenta:

Elika Sugey Maldonado Mejía Para obtener el Grado de Maestra en Ciencias en la Especialidad de Matemática Educativa

Dirección: Dra. Rosa María Farfán Márquez

México, D.F.

Abril de 2005.

Agradezco al Consejo Nacional de Ciencia Cienci a y Tecnología, por la beca otorgada durante cuatro semestres, con la cual, pude dedicarme de tiempo completo en mis estudios de maestría.

ÍNDICE INTRODUCCIÓN Capítulo

1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Y OBJETIVO

Página

1

- Planteamiento del problema

1

- Objetivo

6

2. MARCO TEÓRICO Y MÉTODO - Marco teórico - Método 3. ANÁLISIS DIDÁCTICO: FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

7 7 10 12

- Presencia de la función trigonométrica en los programas de estudio del nivel NMS

14

- Presencia de la función trigonométrica trigonométrica en los libros de texto

24

4. ANÁLISIS DEL DISEÑO DE LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

47

- Intenciones Intenciones del diseño aplicado a estudiantes del NMS

47

- Análisis de las preguntas del cuestionario

48

- Resultados del diseño

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5. COMENTARIOS FINALES

69

Bibliografía

Uno de los principales problemas que acontece nuestro sistema escolar, se refiere al concepto de función, pues de ella se tienen diferentes concepciones y representaciones, que por la enseñanza tradicional no se permite pasar de una representación a otra, dando lugar a que el estudiante no se apropie de este concepto. Diversas teorías se han ocupado en dar respuesta a esta problemática.

De las funciones trascendentes, como la función trigonométrica, encontramos sólo trabajos que se refieren a la construcción o al entendimiento del comportamiento de las gráficas de las funciones del tipo f ( x ) = Asen ( Bx − C ) + D , (Zúñiga, L. 1993, Hornsby, J. 1990). Respecto a la apropiación de concepto de función trigonométrica, encontramos en el medio escolar, que es presentada primero, en el contexto del triángulo rectángulo, definiéndose como

razones

. Dado que el uso que

se tiene de éstas razones no se reduce sólo a los ángulos agudos, se considera al sistema de ejes coordenados, teniendo ahora

trigonométricas de ángulos

razones

(medido en grados) de cualquier valor (negativos y positivos). A partir del círculo unitario se da la conversión de ángulos medidos en grados a radianes y de esta

i

manera tratar a las funciones trigonométricas como funciones reales de variable real.

Dada la forma de tratar a la función trigonométrica, ¿qué percibe el estudiante de este tratamiento? Nos interesamos en inferir la presencia de la función en el medio escolar, planteándonos la siguiente pregunta

¿Cómo vive la noción de función trigonométrica en nuestro sistema escolar?

A partir de la mirada de la función en el medio escolar, inferimos sobre la concepción que queda en el estudiante del concepto de función trigonométrica por medio de un cuestionario.

Puesto que hacemos un análisis didáctico, la teoría de la Transposición didáctica nos dará elementos necesarios para dar respuesta a nuestra pregunta, permitiéndonos permitiéndonos estudiar cómo se da la articulación del del saber, su progresión progresión lógica y las estructuras conceptuales. Es decir, encontrar la significación y las intenciones didácticas y concepciones que conlleva la incursión en la currícula del objeto de enseñanza, de esta forma mostramos el modo de apropiación del significado y las nociones a las que lleva la manera en cómo es presentado el objeto matemático, en nuestro caso, la función trigonométrica.

Este trabajo contiene cinco capítulos, en el primero presentamos cómo se da el planteamiento a nuestro problema de investigación y los objetivos a realizar. En el siguiente presentamos la teoría que sustenta nuestro trabajo, la teoría de la Transposición Didáctica, así como el método que llevamos a cabo para el análisis didáctico.

ii

El capítulo 3 contiene el análisis didáctico de la función trigonométrica en programas de estudio y libros de texto, que a partir de éste, realizamos un diseño con el cual inferimos sobre las concepciones que quedan en los estudiantes del concepto de función. Los resultados de este diseño los encontramos en el capítulo cinco. Y los comentarios finales respecto a la vida escolar de la función trigonométrica lo encontramos el último capítulo.

iii

Planteamiento Planteamient o del problema y objetivo.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Del estudio del sistema didáctico1, respecto al saber matemático, se ocupa nuestra disciplina, la matemática educativa, que estudia los procesos de transmisión y adquisición de los saberes en situación escolar. De manera que se propone describir y explicar los fenómenos que se originan respecto a la relación entre enseñanza y aprendizaje, afectando de manera positiva dicha relación. Al respecto, podemos encontrar diversas investigaciones, como lo mencionan (Cantoral, R. y Farfán, R. M. 2003), tratando sobre la evolución del estudio de los fenómenos didácticos que se suceden cuando los saberes matemáticos constituidos socialmente en ámbitos no escolares, se introducen al sistema de enseñanza y ello obliga a una serie de modificaciones que afectan directamente tanto a su estructura como a su funcionalidad; de manera que afectan también las relaciones que se establecen entre estudiantes y profesor. 1

Siguiendo a Chevallard, el sistema didáctico es la relación entre profesor, estudiante y saber.

1


Uno de los principales problemas que tiene nuestro sistema escolar, se refiere al concepto de función, pues, de ella se tienen diferentes concepciones y representaciones, en donde la enseñanza tradicional no permite pasar de una representación a otra, dando lugar a que el estudiante no se apropie de este concepto. concepto. Encontramos también, que la noción de función es presentada en nuestro sistema escolar actual como un procedimiento que se aplican a unos ciertos objetos llamados números (Cantoral et al. 2000).

Existen diversos estudios que se han ocupado de esta problemática, por ejemplo (Ferrarri 2001) presenta, desde algunas perspectivas teóricas, un estudio que se ha hecho del concepto de función, en el que reporta varias de las aportaciones en cuanto a la apropiación del concepto de función por parte del alumno, así como de la problemática en torno a la enseñanza de este concepto. Hablando de las funciones trascendentes, la exponencial, la logaritmo y la trigonométrica, y de una en particular, como la función trigonométrica, encontramos sólo trabajos que se refieren a la construcción o al entendimiento del comportamiento de las gráficas de las funciones del tipo

f ( x) = Asen ( Bx − C ) + D ,

(Zúñiga, L. 1993), y (Hornsby, J. 1990) presenta un método para la construcción de las gráficas de este tipo y así, promete el entendimiento de cómo afectan las constantes A, B, C y D, a la gráfica. En relación a cómo vive la función trigonométrica en el medio escolar, encontramos diversas representaciones de ella. Es decir, es presentada primero, en el contexto del triángulo rectángulo, definiéndose como razones; para ampliar el dominio de los ángulos (ángulos medidos en grados, de cualquier valor: negativos y positivos) se refiere al sistema de ejes coordenados, definiéndolas también como razones. Con el círculo unitario se hace la conversión de ángulos medidos en grados

2


a radianes, para tratar, posteriormente, a las funciones trigonométricas como funciones de variable real.

Esbozando el tratamiento escolar de las funciones trigonométricas

Usando el triángulo rectángulo se definen como razones de los lados (catetos e hipotenusa), refiriéndolas sólo con ángulos agudos, es decir, si

θ

es el ángulo,

θ

estará comprendido entre 0 y 90 grados,

hip

op

θ

ady

Por ejemplo, a las razones seno, coseno y tangente de

θ

son definidas de la forma

siguiente, op

senθ =

cos θ =

,

hip

ady hip

tan θ =

y

op ady

Como el tratamiento de las razones trigonométricas por el triángulo rectángulo se reduce a ángulos entre 0 y 90 grados, sin incluir a éstos, y el uso de ellas, en el medio escolar, se extiende a ángulos (medidos en grados) de cualquier valor, negativos y positivos, se considera el sistema de ejes coordenados. A partir del punto coordenado (ordenada, abscisa) en el plano y la distancia al origen, formando un triángulo rectángulo, como lo muestra la figura siguiente, 3


y

P( x x, y)

r θ

x

Se definen a las razones seno, coseno y tangente de

θ

, siguiendo la definición por

el triángulo rectángulo, como y

senθ = cos θ =

r

x r

tan θ =

,

y

y x

El signo que pueden tomar estas razones, depende del cuadrante en el que se encuentre el punto coordenado, es decir, el lado terminal del ángulo. Posteriormente se hace uso del círculo unitario, para mostrar los valores de las razones de ángulos cuadrantales, como 0°, 90°, 180°, 270°, etc. y

(0,1) 90°

0° (1,0) 360°

180°

(-1,0)

x

270°

(0,-1)

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También, con el círculo trigonométrico, se da el paso de los ángulos medidos en grados a radianes y de estos a reales, teniendo de esta manera, las funciones trigonométricas trigonométricas como funciones reales de variable real,

( x x, y) cos t

t

(1, 0) cos t

Por ejemplo, t está medido en radianes, considerándolo considerándolo así como real se tiene que sen t = y cos t = x

Evolución de la función trigonométrica

Triángulo rectángulo

Estático

Ejes coordenados

Variación

Círculo trigonométrico trigonométrico Ángulo medido en grados

Radianes

Función

Reales

Esquema de la evolución del concepto de función trigonométrica.

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OBJETIVO

Dada la forma de tratar a la función trigonométrica, el estudiante en la escuela ¿qué percibe de este tratamiento? De esta manera, nos interesamos en inferir la presencia de la función en el medio escolar, por lo que, nos planteamos la siguiente pregunta para este trabajo de investigación, investigación, ¿Cómo vive la noción de función trigonométrica en nuestro sistema escolar? A partir de la mirada de la función en el sistema escolar, inferimos sobre la concepción que queda en el estudiante del concepto de función trigonométrica por medio de un cuestionario. cuestionario. Por tanto, el interés estará en mirar la presencia de la función trigonométrica trigonométrica en los programas curriculares y los libros de texto, para inferir sobre: cuáles son las intenciones didácticas al llevarlo a nuestro sistema escolar y cuál es la trascendencia trascendencia de esta noción entre los estudiantes del nivel medio superior.

6

Marco teórico y método.

MARCO TEÓRICO

Puesto que hacemos un análisis didáctico de la función trigonométrica, trigonométrica, la teoría de la transposición didáctica nos proporcionará proporcionará los elementos elementos teóricos necesarios para dar respuesta a la pregunta planteada en este trabajo.

Transposición didáctica

Los contenidos de saberes a enseñar (explícitamente: en los programas; implícitamente: por la tradición evolutiva, de la interpretación de los programas), en general preexisten al movimiento que los designa como tales. Sin embargo, algunas veces son verdaderas creaciones didácticas , suscitadas por las “necesidades “necesidades de la enseñanza” (Chevallard, Y. 1991). De tal manera que, un saber que ha sido designado como saber a enseñar, sufre a partir de entonces un conjunto de trasformaciones adaptativas que van a hacerlo 7


apto para ocupar un lugar entre los objetos de enseñanza. El trabajo que transforma un objeto de saber a enseñar, en un objeto de enseñanza, es denominado Transposición didáctica. Ésta, está conformada por el esquema siguiente:

Objeto de saber

Objeto de enseñanza

Objeto a enseñar

De esta manera el saber al trasponerlo al aula sufre algunos cambios en donde el estudiante genera ciertas concepciones en cuanto al saber en juego. Chevallard dice que un objeto de saber se trata como tal, cuando se presenta como útil para la economía del sistema didáctico, el cual lo establece como: Nociones matemáticas, que son considerados como objetos y herramientas de

estudio, poseen propiedades y tienen ocasiones de uso, es decir, son objetos de enseñanza para un matemático (que están explícitamente en programas de estudio). Por ejemplo, la función trigonométrica es tratada como objeto de estudio y también como herramienta para el estudio de otros objetos matemáticos. Nociones paramatemáticas, éstas son nociones-herramientas de la actividad

matemática las cuales son objeto de saber auxiliares que no son enseñados pero son necesarios para la enseñanza de los objetos matemáticos. Por ejemplo la conversión, en el tratamiento de las funciones trigonométricas, puesto que se utiliza para pasar de los ángulos medidos en grados a radianes o viceversa.

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Nociones protomatemáticas, estas nociones son utilizadas implícitamente en la

solución de algún problema y no son reconocidos ni como objetos de estudio, ni como herramientas para el estudio de otros objetos. Por ejemplo, la “medida” de los ángulos, esta noción es tratada implícitamente, puesto que se trabaja o con ángulos medidos en grados o medidos en radianes. Los requisitos de la transposición didáctica se encuentran satisfechos a través del proceso de preparación preparación didáctica, es decir, de la puesta en textos del saber. Teniendo entonces, en cuanto al saber: La exigencia de explicitación, la textualización textualización del saber conduce en primer lugar a la delimitación de saberes parciales, la desincretización del saber . Es decir, la división de la práctica teórica en campos de saber delimitados que dan lugar a prácticas de aprendizaje especializadas. especializadas. La despersonalización del saber , en cada una de sus prácticas, la separación del saber

y de la persona, que es requisito para la publicidad del saber. La programación de los aprendizajes y de los controles, según las secuencias razonadas que permitan una adquisición progresiva de los conocimientos expertos, es decir, la programabilidad de la adquisición del saber . En cuanto a la transmisión: La publicidad del saber , es la definición explícita, en comprensión y extensión, del saber a transmitir.

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Y por último, el control regulado de los aprendizajes según procedimientos de verificación que autoricen la certificación de los conocimientos expertos, es decir, el control social de los aprendizajes.

MÉTODO

Dado el carácter de la pregunta, planteada para este trabajo de investigación, nos hemos propuesto hacer el análisis de materiales didácticos de la siguiente manera: Programas de estudio, y los objetivos o propósitos del mismo. Consideramos cómo se presenta la función trigonométrica y las intenciones didácticas. Libros de texto, utilizados para el estudio de la función trigonométrica. trigonométrica. Para la revisión de los libros de texto, dado el interés de la revisión, hacemos el análisis siguiendo a (Ruiz, 1998): Cómo presentan el concepto de función trigonométrica; trigonométrica; si antes de presentarlos plantea algún problema para dar la definición; y qué tipo de ejercicios y/o problemas se presentan; De qué manera define a las funciones trigonométricas trigonométricas y qué tipo de ejemplos se proponen después de dar dicha definición.

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El análisis didáctico nos permite estudiar cómo se da la articulación del saber, su progresión lógica y las estructuras conceptuales. Es decir, encontrar la significación y las intenciones didácticas y concepciones que conlleva la incursión en la currícula del objeto de enseñanza, de esta forma mostramos el modo de apropiación del significado y las nociones a las que lleva la manera en cómo es presentado el objeto matemático, de modo que esto nos servirá para mostrar los efectos en la enseñanza y aprendizaje de la noción de función trigonométrica. Para dar tal resultado, contrastamos con estudiantes mediante un cuestionario, producto del análisis realizado. A continuación mostramos el esquema del método que llevamos a cabo para este trabajo de tesis.

Libros de texto

Programas de estudio

Concepto

Objetivos o propósitos

Ejercicios

Definición Ejemplos

Cuestionario

Grupo de estudiante de NMS

Vida escolar de la función trigonométrica trigonométrica Esquema del método para la realización de este trabajo.

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Capítulo 3: Análisis didáctico.

Para dar respuesta a la pregunta, ¿cómo vive la noción de función trigonométrica en nuestro sistema escolar?, escolar?, presentamos en este este capítulo, el análisis de materiales materiales en los que es introducida la noción de función trigonométrica. Puesto que la noción de función trigonométrica se incluye en la currícula del nivel medio superior (NMS), hacemos la revisión de los materiales de este nivel, como son: programas de estudio y libros de texto. Los libros que hemos considerado para la revisión aparecen como parte de la referencia bibliográfica en los programas de estudio, y desde nuestro punto de vista son los más utilizados por los profesores de este nivel para presentar la función trigonométrica. trigonométrica. De esta manera, tratamos de inferir la presencia de la noción de función trigonométrica en el sistema escolar; asimismo, de mostrar las intenciones didácticas presentes en la incursión de la función trigonométrica. trigonométrica.

12


En primer lugar, hacemos el análisis de los programas de estudio, de los cuales mostramos la secuenciación del concepto de función trigonométrica, junto con las intenciones didácticas al tratarlo como objeto de enseñanza. Posteriormente presentaremos presentaremos el análisis de libros de texto usados como herramienta didáctica. La currícula de matemáticas que revisamos es de las escuelas: Escuela Nacional Preparatoria, de la Universidad Nacional Autónoma de México, Escuela Preparatoria, de la Universidad Autónoma del Estado de México, y Centro de Estudios Científicos y Tecnológicos, del Instituto Politécnico Nacional. CURSO EN QUE SE PRESENTA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

PERIODO EN EL QUE SE PRESENTA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

ESCUELA

Escuela Nacional Preparatoria Segundo año (medio superior) M V Maatteem mááttiiccaass V (ENP) Escuela Preparatoria (EP)

Tercer semestre

Centro de Estudios Científicos Segundo semestre y Tecnológicos (CECyT)

TTrriiggoonnoom meettrrííaa GGeeoom y meettrrííaa y TTrriiggoonnoom meettrrííaa

Tabla 1. Ubicación de los programas de estudio.

Y los libros que analizamos son: [1] Baldor, J. Geometría plana y del espacio y Trigonometría. [2] Granvillle, Smith y Mikesh. Trigonometría plana y esférica. [3] Guzmán Herrera A. Geometría y Trigonometría. [4] Swokowsky-Cole. Álgebra y Trigonometría con geometría analítica. [5] Zill, D. Álgebra y trigonometría. 13


PRESENCIA DE LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA EN LOS PROGRAMAS DE ESTUDIO DEL NIVEL NMS

Para mostrar la presencia de la función trigonométrica, en la curricula de matemáticas, matemáticas, hacemos el análisis de: Programas de estudio, y los objetivos o propósitos del mismo. En donde mostramos cómo se presenta la función trigonométrica y las intenciones didácticas de este programa.

Antecedentes de de la función trigonométrica trigonométrica en el sistema escolar Las escuelas de medio superior están programadas para concluirlas en tres años que se dividen en seis semestres; y en cada semestre se tiene un curso de Matemáticas. De las escuelas que consideramos están dados por semestre; excepto la Escuela Nacional Preparatoria (ENP), pues el plan de estudios es por año. Un estudio que antecede a las funciones trigonométricas es la trigonometría presentada en el tercer año de educación media (secundaria), del que la Secretaría de Educación Pública 1 (SEP) se encarga de la organización y programabilidad de los saberes a enseñar en este nivel; este argumenta que, ... la trigonometría sigue siendo importante por sus aplicaciones en la ciencia y la tecnología y presenta numerosas situaciones interesantes que muestran las relaciones de la geometría con la aritmética y el álgebra...(SEP). En este nivel el programa de matemáticas matemáticas está constituido por áreas,

y justamente en el de geometría se presenta la trigonometría, en el que se propone que 1

Para estos datos, consultamos la página:

http://www.sep.gob.mx/wb2/sep/sep_514_matematicas.

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los alumnos conozcan y estudien las razones trigonométricas de un triángulo y las utilicen en la solución de los problemas en los que esta disciplina es tan rica, como con el cálculo de distancias inaccesibles a la medición directa (SEP). Es decir, se definen razones

trigonométricas trigonométricas (razones de los lados) de un triángulo rectángulo, únicamente para utilizarlas como medios de solución. La Escuela Nacional Preparatoria (ENP) atiende también la educación media llamándole iniciación universitaria, y de la misma manera que la SEP, en el tercer año se presenta el estudio de función trigonométrica 2, dándole una orientación para los estudiantes de ... incrementar su capacidad de raciocinio, reafirmar y enriquecer sus habilidades operatorias, comunicativas y de descubrimiento... sobre la base de un pensamiento ordenado que mejore su disposición e incremente su aptitud para resolver problemas. Partiendo de ...elementos sencillos e incorporar progresivamente mayor dificultad en los planteamientos y problemas que habrán de resolverse a través de todo el curso (PE-ENP) , , para lograr los propósitos del programa. De esta manera se orienta

hacia un aprendizaje basado en la solución de problemas incorporando gradualmente gradualmente mayor dificultad.

La currícula de matemáticas en el NMS NMS Presentamos un esquema de los programas de la currícula de Matemáticas de las escuelas que consideramos para este estudio.

2

Aunque en los programas se presentan como funciones trigonométricas, únicamente son tratadas como razones, de los lados de un triángulo, las cuales son utilizados para la solución de problemas planteados y presentación de algunos algunos conceptos referidos referidos a razones trigonométricas. trigonométricas.

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Escuela Nacional Preparatoria (ENP) SEMESTRE 1

Escuela Preparatoria (EP)

Centro de Estudios Científicos y Tecnológicos (CECyT)

Álgebra I

Álgebra

SEMESTRE 2

Álgebra II

G y T Trriiggoonnoom Geeoom meettrrííaa y meettrrííaa

SEMESTRE 3

TTrriiggoonnoom meettrrííaa

Geometría analítica

Geometría analítica

Cálculo diferencial

Cálculo diferencial e integral

Cálculo integral

Estadística

Probabilidad y Estadística

Matemáticas Matemáticas IV (Álgebra)

M V ((G Maatteem mááttiiccaass V Geeoom meettrrííaa))

SEMESTRE 4 SEMESTRE 5 SEMESTRE 6

Matemáticas Matemáticas VI (Cálculo diferencial e integral)

Tabla 1. Esquema de los programas de estudio.

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La currícula es presentada por bloques, en los que la función trigonométrica se encuentra en el bloque de geometría. De manera que, la currícula de matemáticas sigue una secuencia en la presentación de su contenido, decimos entonces, que sigue una programabilidad de los saberes a enseñar. Las funciones trigonométricas después de presentarlas en los semestres respectivos, se hace uso de ellas en el bloque de cálculo, no interesándose en el entendimiento de este concepto, puesto que, sólo son utilizándolas como objetos, a los cuales se aplican ciertos procedimientos (Cantoral y Farfán, 1998). Sólo en el programa del CECyT, se pide hacer una revisión del círculo trigonométrico y del comportamiento comportamiento de las gráficas al variar parámetros. Los programas son establecidos por unidades, por consiguiente, sólo presentamos las que contienen criterios para el estudio de las funciones trigonométricas y con


La currícula es presentada por bloques, en los que la función trigonométrica se encuentra en el bloque de geometría. De manera que, la currícula de matemáticas sigue una secuencia en la presentación de su contenido, decimos entonces, que sigue una programabilidad de los saberes a enseñar. Las funciones trigonométricas después de presentarlas en los semestres respectivos, se hace uso de ellas en el bloque de cálculo, no interesándose en el entendimiento de este concepto, puesto que, sólo son utilizándolas como objetos, a los cuales se aplican ciertos procedimientos (Cantoral y Farfán, 1998). Sólo en el programa del CECyT, se pide hacer una revisión del círculo trigonométrico y del comportamiento comportamiento de las gráficas al variar parámetros. Los programas son establecidos por unidades, por consiguiente, sólo presentamos las que contienen criterios para el estudio de las funciones trigonométricas y con base en ellos presentamos nuestro análisis. Anotamos, en primer lugar, el estudio del contenido de los programas en el que inferimos sobre la presencia de la noción de ft, posteriormente, daremos seguimiento de los objetivos o propósitos a lograr en los programas; y de los objetivos y propósitos al estudio de función trigonométrica.

Análisis de los programas de estudio y de objetivos o propósitos Matemáticas V (ENP) Unidad 2. Funciones trigonométricas - Razones trigonométricas. - Resolución de triángulos rectángulos. 17


-

Funciones trigonométricas de dos ángulos. Ley de los senos. Ley de los cosenos. Resolución de los triángulos oblicuángulos. Razones trigonométricas para un ángulo á ngulo en cualquier cuadrante. Medida de un ángulo. Círculo trigonométrico. Funciones trigonométricas directas. - dominio, rango, periodicidad, amplitud, desfasamiento y asíntotas de la gráfica. Funciones trigonométricas inversas. Ramas principales. - dominio, rango y gráfica de las funciones trigonométricas inversas.

Se prioriza el tratamiento de procedimientos algorítmicos, algorítmicos, pues, después de definir a las razones trigonométricas, se presenta el uso de ellas en la resolución de triángulos y de problemas de aplicación. Aparecen términos como: triángulo rectángulo, plano coordenado, medida del ángulo (grados y radianes), círculo trigonométrico (para el cálculo de ángulos cuadrantales). En esta unidad se

presentan las propiedades de las funciones trigonométricas (ft) y el trazo de éstas y de las ft inversas. Trigonometría (EP) Unidad 1. Conceptos básicos. - Definición de ángulo. - Definición de triángulo. - Congruencia y semejanza de triángulos. Unidad 2. Razones trigonométricas. - Ángulo en posición normal y reducido. - Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal. - Signos de las razones trigonométricas. - Para un punto contenido en el lado terminal de un ángulo obtener las razones trigonométricas. - Determinación de las razones trigonométricas conocida una de ellas. - Valores de las razones trigonométricas de 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270° y 360°. - Valores de las razones trigonométricas de cualquier ángulo.

18


Dado el valor de una razón trigonométrica, obtener el ángulo. Unidad 3. Triángulos. - Triángulo rectángulo. - Aplicaciones con triángulos rectángulos. - Triángulo oblicuángulo. - Aplicaciones con triángulos oblicuángulos. Unidad 4. Circunferencia y círculo. - Definición de circunferencia y círculo. - Elementos notables de la circunferencia y círculo. - Área y perímetro. - Relación entre las unidades de los sistemas sexagesimal y cíclico. - Sector circular. d e un sector circular. - Aplicaciones de longitud de arco y área de - Circunferencia unitaria. - Arco reducido. - Razones trigonométricas de un arco. - Valores de las razones trigonométricas de un arco en radianes o de un número real. Unidad 5. Funciones trigonométricas. - Funciones trigonométricas reales de variable va riable real. - Gráficas de las funciones trigonométricas. Unidad 6. Identidades trigonométricas. - Definición de identidad trigonométrica. - Las ocho identidades fundamentales. - Demostración de identidades trigonométricas. - Identidades trigonométricas de argumentos compuestos. - Verificación de identidades con argumentos compuestos. - Aplicaciones de las identidades trigonométricas de argumentos compuestos a valores exactos. Unidad 7. Ecuaciones trigonométricas. - Ecuaciones trigonométricas. -

Vemos que aparece el término de razones primero y luego del tratamiento del ángulo medido en radianes (con el círculo unitario) se presentan las funciones trigonométricas como funciones reales de variable real. Posteriormente se presentan las gráficas de éstas. Se regresa a razones trigonométricas trigonométricas para presentar las relaciones entre ellas. Estas relaciones serán utilizadas para evitar procesos algebraicos engorrosos; y las funciones serán tratadas bajo otro proceso en cursos posteriores.

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Geometría y Trigonometría (CECyT) -

Circunferencia y círculo - Ángulos y arcos. - Transformación de medidas angulares de grados a radianes y viceversa.

Unidad 3. Trigonometría. - Funciones trigonométricas. - Definición. - Relación entre funciones trigonométricas. - Círculo trigonométrico. - Funciones trigonométricas inversas. - Gráficas de funciones trigonométricas (para seno, coseno y tangente). - Resolución de triángulos. - Rectángulos. - Oblicuángulos. - Ecuaciones trigonométricas.

Define primero, por medio del triángulo rectángulo, como razones, se presentan las relaciones entre estas razones, y posterior al círculo trigonométrico se tienen a las funciones como funciones reales presentando así las gráficas de éstas. En general observamos que, en los programas, para el estudio de las funciones trigonométricas, están presentes conceptos tales como: ángulo, triángulo rectángulo, sistema de ejes coordenados, círculo trigonométrico. También vemos que posterior a la definición como razones se hace uso de ellas en la resolución de triángulos, y aparecen también las relaciones entre las razones, las cuales tendrán uso como herramientas que facilitará procesos algebraicos en cursos posteriores. La siguiente tabla resumimos la presencia de la función trigonométrica en los programas de estudio, con esto queremos resaltar el tratamiento que se le da a esta función.

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ENP (UNAM)

EP (UAEM)

CECyT (IPN)

Razones trigonométricas.

Definición de ángulo.

Ángulos y arcos.

Medida de un ángulo.

Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal.

Funciones trigonométricas.

Círculo trigonométrico.

Circunferencia unitaria.

Círculo trigonométrico.

Funciones trigonométricas directas y gráficas.

Funciones trigonométricas reales de variable real.

Funciones trigonométricas inversas.

Funciones trigonométricas inversas y gráficas.

Gráficas de las funciones trigonométricas.

Gráficas de funciones trigonométricas

Esquema sobre la presencia de la función trigonométrica en el medio escolar.

21


Como vemos en la tabla, para llegar a tener a la función trigonométrica como función real de variable real, se definen primero como razones3, que involucra a ángulos medidos en grados; y con la conversión de estos ángulos medidos en grados a radianes en el círculo unitario, se definen a estas funciones como funciones reales, presentando así, las graficas de éstas. Los programas entonces siguen cierto razonamiento para presentar el estudio de estas funciones, manteniendo los mismos criterios, es decir, primero se hace el tratamiento de ellas como razones, con las cuales se hace uso,

Intenciones para para el estudio de FT


Como vemos en la tabla, para llegar a tener a la función trigonométrica como función real de variable real, se definen primero como razones3, que involucra a ángulos medidos en grados; y con la conversión de estos ángulos medidos en grados a radianes en el círculo unitario, se definen a estas funciones como funciones reales, presentando así, las graficas de éstas. Los programas entonces siguen cierto razonamiento para presentar el estudio de estas funciones, manteniendo los mismos criterios, es decir, primero se hace el tratamiento de ellas como razones, con las cuales se hace uso,

Intenciones para para el estudio de FT Observamos que los programas presentan propósitos u objetivos a cumplir al término de este, es decir, presentan la programabilidad de los saberes a enseñar. Es decir, lo que se espera en el aprendizaje de cada estudiante. Presentamos entonces los propósitos u objetivos generales del programa; y los particulares, referidos a la sección que presenta el estudio de función trigonométrica. Intenciones generales

ENP Iniciar a los alumnos en el conocimiento, la comprensión y las aplicaciones de la geometría analítica, de esta manera adquirirán la preparación necesaria para acceder a los cursos de Matemáticas del sexto año de bachillerato. Reafirmar y profundizar los conocimientos de Geometría euclidiana y trigonometría adquiridos en cursos anteriores para plantear y resolver problemas de diversas disciplinas.

3

Esta definición se da con triángulo rectángulo y el sistema de ejes coordenados.

22


Fomentar en los alumnos la capacidad de razonamiento lógico, su espíritu crítico y el deseo de investigar para adquirir nuevos conocimientos, lo que resulta necesario para plantear y resolver numerosos problemas de aplicación, tanto en la misma Matemática como en otras disciplinas. UAEM

Comprenderá la importancia de la Trigonometría y su aplicación en las diferentes ramas del conocimiento que la involucran. Resolverá problemas cuyo modelo matemático implique soluciones trigonométricas. IPN

Que el estudiante desarrolle sus habilidades de pensamiento, como son: razonamiento, análisis, reflexión, comunicación y valoración, a través de una actitud participativa, crítica y creativa, que permita relacionar los conocimientos de la aritmética, álgebra, geometría y trigonometría, para resolver problemas surgidos de situaciones cotidianas, sociales, de la naturaleza y la tecnología, con la finalidad de desarrollar las estructuras conceptuales necesarias para validar resultados mediante demostraciones formales.

Se espera del curso tener los conocimientos conocimientos necesarios de conceptos relacionados a las ft que serán usados en cursos posteriores o en otras áreas de la matemática; es decir, el uso de estos conceptos será en resolución de problemas. De manera que se introduce el estudio de ft, de manera secuenciada, es decir llevando un ordenamiento en los saberes a enseñar, cumpliendo así, con la programabilidad del saber.

Intenciones particulares al estudio de función trigonométrica

ENP Que el alumno enriquezca los conceptos trigonométricos adquiridos anteriormente, manejándolos ahora como funciones, con sus respectivas gráficas. Que aplique estos conceptos en la resolución de problemas que le sean significativos.

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EP

Comprenderá el concepto de función trigonométrica. Graficará las funciones trigonométricas directas.

CECyT El estudiante establecerá, con los fundamentos teóricos de las funciones trigonométricas, modelos geométricos que le permitan resolver problemas.

Se presentan los objetivos particulares al estudio de función trigonométrica, de tal forma que sólo interesa que se conozcan, es decir, aprender cómo las definen. Se pierde el interés de saberlas construir, aunque uno de los objetivos de la EP es que se comprenda el concepto de ft, pero el tratamiento que se da a la ft no cumple con este objetivo, de manera que, no interesa comprender el significado de ft. Así que, de ellas sólo se hará uso como herramienta en la resolución de ejercicios planteados en cursos posteriores.

PRESENCIA DE LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA EN LOS LIBROS DE TEXTO

El análisis de los libros de texto lo hacemos siguiendo el planteamiento de (Ruiz, 1998): cómo presentan el concepto de función trigonométrica; trigonométrica; si antes de presentarlos plantea algún problema para dar la definición; y qué tipo de ejercicios y/o problemas se presentan;

24


de qué manera define define a las funciones funciones trigonométricas trigonométricas y qué tipo de ejemplos se proponen después de dar dicha definición. Con este análisis pretendemos inferir la presencia de función trigonométrica trigonométrica en los l os libros de texto.

Análisis de los libros de texto Libro [1]

Baldor (1992), no presenta ningún ejercicio o problema para introducir el concepto, sólo hace el planteamiento del trazado de un ángulo y el valor que éste puede tomar. En el capítulo 22, llamado Trigonometría, en el tema 384 - Funciones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, define de la siguiente manera

C b A

“Consideremos un triángulo rectángulo ∆ ABC.

a c

B

Las llamadas funciones o razones trigonométricas de los ángulos agudos B y C son las siguientes:

Mostramos la definición para el ángulo B SENO: Es la razón entre el cateto opuesto a la hipotenusa. Notación. Seno del ángulo B se escribe senB.

25


b

senB =

a

COSENO: Es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa. cosB =

c a

TANGENTE. Es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. tanB =

b c

COTANGENTE: Es la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto. cotB =

c b

SECANTE: Es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente. secB =

a c

COSECANTE: Es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto. a

cscB = ” b

Posteriormente, en el tema 385- Funciones y cofunciones trigonométricas de un ángulo cualquiera, define considerando los lados terminales de ángulos en un plano

coordenado de la siguiente manera, Tomemos un punto en el lado terminal y consideremos sus coordenadas y su distancia al origen. SENO: Es la razón entre la ordenada y la distancia al origen. sen α = =

AE OA

COSENO: Es la razón entre la abscisa y la distancia al origen. cos α = =

OE OA

TANGENTE: Es la razón entre la ordenada y la abscisa. 26


sen α = =

AE OE

COTANGENTE. Es la razón entre la abscisa y la ordenada. SECANTE. Es la razón entre la distancia y la abscisa. COSECANTE. Es la razón entre la distancia y la ordenada.

Vemos pues, que son consideradas como razones entre la ordenada, la abscisa y la distancia al origen de un punto en el lado terminal de un ángulo, formando así un

triángulo rectángulo, definiéndolas entonces como razones de segmentos. El capítulo 23- Funciones trigonométricas de ángulos complementarios, suplementarios, etc. son definidas como razones entre segmentos, que son trazados en el círculo

trigonométrico, formando así, triángulos rectángulos. Por ejemplo para seno se tiene que

sen a =

BD OB

=

BD r

=

BD

1

= BD.

De modo que el seno del ángulo a es el segmento BD que corresponde con el valor de la abscisa. Posterior a cada definición presenta las relaciones entre las razones, por ejemplo la reciprocidad reciprocidad entre ellas, identidades. Después de la definición le siguen ejemplos, en los que se muestra el empleo de la definición, es decir su uso, de esta manera se ejercita para el manejo de éstas, siguiendo ciertos algoritmos. Los ejemplos son del tipo:

27


Ejemplo 1: Dado un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8 cm, calcular las funciones trigonométricas del ángulo agudo mayor. Por medio del teorema de Pitágoras, calculamos la hipotenusa.

Ejemplo 2: a) Calcular las funciones trigonométricas del ángulo

∠ XOA = α

(Fig. 1), sabiendo que A(3, 4). b) Calcular las funciones trigonométricas de ángulo

∠ XOA = β (Fig

2),

sabiendo que B(2, -3) y A (3, 4)

4

0

3 2

1

x d=

-1

2

13

4

d=5

-2 1 α 0

1

x 2

-3

B (2, -3)

3

y'

Figura 1

Figura 2

Los ejercicios propuestos al término de cada capítulo presentan las mismas características. características. De esta manera el interés radica en que los estudiantes mecanicen el uso de la definición, para su uso posterior, utilizándolas como fórmulas para la resolución de los ejercicios. No aparece ningún problema de aplicación. Baldor (1992) no presenta gráficas puesto que él sólo hace el tratamiento de razones trigonométricas, de manera que los ángulos tratados son los medidos en grados.

28


Libro [2]

El primer capítulo de libro de Granvillle, Smith y Mikesh (1982) se llama Las Funciones trigonométricas, menciona que en la trigonometría se interesa en el

estudio de ciertas magnitudes llamadas funciones trigonométricas (razones trigonométricas); también menciona que el objetivo del capítulo es definir a estas funciones y hacer algunas aplicaciones elementales de ellas. Hace una presentación el trazado y el valor de ángulos. Presenta las definiciones y después de hacer relaciones entre ellas, muestra ejemplos en los que se hace un reconocimiento de las definiciones, es decir, se hace uso de las definiciones. Los ejercicios los va planteando después de dar alguna definición.. La secuencia de los ejercicios a resolver los presenta de forma que van adquiriendo mayor complejidad complejidad en la resolución de estos. Empieza definiendo las razones de un ángulo agudo por medio del triángulo rectángulo, mencionando que las razones de los lados se llaman funciones trigonométricas. trigonométricas. La definición la presenta de la siguiente manera:

senA =

cos A = B a C

tg A =

c

b

A

lado opuesto ⎛

a⎞ = ⎟; ⎜ hipotenusa ⎝ c ⎠

lado adyacente ⎛

b⎞ = ⎟; ⎜ hipotenusa ⎝ c ⎠

lado opuesto ⎛ a ⎞ ⎜ = ⎟; lado adyacente ⎝ b ⎠

csc A =

hipotenusa ⎛ c ⎞ ⎜ = ⎟; lado opuesto ⎝ a ⎠

29


sec A =

⎛ c⎞ ⎜ = ⎟; lado adyacente ⎝ b ⎠ hipotenusa

lado adyacente ⎛

b⎞ = ⎟. ⎜ lado opuesto ⎝ a ⎠

ctg A =

Para definir las razones de de cualquier ángulo medido en grados lo hace trazando ángulos, positivos y negativos, en el plano coordenado presentando la siguiente definición

sen XOB =

ordenada

cos XOB =

abscisa

tg XOB =

=

radio

r

=

radio

ordenada

sec XOB =

=

csc XOB =

y x

abscisa

=

ordenada radio

x r

abscisa

ctg XOB =

y

=

abscisa

=

ordenada

;

y r

radio

;

x

y

;

;

; r

y

.

El capítulo III- Líneas trigonométricas y gráficas, aquí se definen a partir de segmentos trazados en el círculo trigonométrico, haciendo referencia al planteamiento anterior, de manera que se tiene para seno

sen AOP =

QP OP(= 1)

= QP;

Para graficar se encuentran valores mostrándolas en una tabla, mencionando que

30


Es más conveniente, cuando se busca una función trigonométrica de un ángulo, usar la medida en grados del ángulo, y en cambio, al trazar una gráfica es preferible usar su medida me dida circular.

Presenta algunas relaciones de estas funciones, después da ejemplos tales como: Ejercicio 1. Calcular las funciones trigonométricas del ángulo A en el triángulo rectángulo cuyos catetos son a=3, b=4.

El valor que falta es el de la hipotenusa, lo calcula y siguiendo las fórmulas de la definición encuentra los valores de las funciones. funciones. Seguido de esto, muestra los signos posibles a cada cuadrante del plano coordenado, calcula los valores de las razones de ángulos específicos. Dice también que las razones tienen aplicación en la resolución de problemas en los que teniendo el valor de una razón se pueden calcular los valores de las demás, considerando las posiciones que puede tener el ángulo en el plano coordenado. Para la representación gráfica de las funciones trigonométricas lo hace por medio del círculo unitario, en el que traza las líneas trigonométricas, aplicando la definición para cualquier ángulo medido en grados las vuelve a definir. Geométricamente Geométricamente explica el cambio que tiene cada razón al variar su ángulo. Antes de graficar, presenta la gráfica de una función algebraica mostrando una regla de 4 pasos a seguir. Sigue esta misma regla para graficar la función seno y hace una discusión de la forma de la gráfica. Después de esto trata la periodicidad de las funciones. Presenta las gráficas de las otras funciones a partir del círculo unitario.

31


Libro [3]

Guzmán, H (1991), para definir no presenta algún problema, presentando primero las razones de ángulos agudos, presenta algunas relaciones de estas, antes de definir las razones trigonométricas de cualquier valor menciona características de los ángulos y traza un ángulo en el plano coordenado. La definición la presenta primero para ángulos agudos por medio del triángulo rectángulo y son definidas a partir de los lados de este, diciendo que son razones o relaciones entre sus lados.

Para definir las razones de ángulos de cualquier valor lo hace por medio del plano coordenado, que se considera la razón de la ordenada, la abscisa y la distancia al origen de un punto trazado en el lado terminal del ángulo considerado.

senθ =

ordenada

cos θ =

abscisa

P(x,y) d

y

tan θ = θ

O

-

x

cot θ =

=

distancia

d

=

distancia ordenada

=

distancia

csc θ =

distancia

=

x y

=

abscisa ordenada

y x

ordenada

sec θ =

x d

abscisa abscisa

y

y d

=

d y

Al término de cada definición presenta ejemplos de forma que se hace un reconocimiento de la definición como fórmulas aplicándolo en la resolución de éstos.

32


El círculo unitario es presentado para definir las funciones trigonométricas como segmentos que son trazados en el círculo, en el que considera los triángulos formados por estos segmentos. Y E

G C d a d i n u 1

θ

H

A

= 1 r = θ

O

B

D

F

X

Aplicando a los triángulos así formados, las definiciones de las funciones trigonométricas tenemos que:

Es decir, la definición de las razones trigonométricas, por ejemplo para seno

senθ =

AB OA

=

AB r

=

AB

1

= AB

Con el círculo unitario presenta las variaciones que tiene cada función. En el capítulo 10 Resolución de triángulos rectángulos presenta el uso de la definición de las razones en la resolución de triángulos rectángulos, ofrece ejemplos y una serie de ejercicios a resolver siguiendo los ejemplos que el autor muestra, estos son presentados de forma que van adquiriendo mayor complejidad en su resolución. En este mismo capítulo presenta las gráficas de las funciones utilizando el círculo unitario para trazarlas. Al trazar sen x hace una discusión alrededor de ésta,

33


presentando características tales como su periodicidad y amplitud; y a partir de esta gráfica construye la del coseno recordando una relación entre ambas. Las gráficas de las otras funciones las dibuja considerando el círculo unitario.

Libro [4]

Swokowsky-Cole (2002) en el capítulo 6 Funciones trigonométricas de números reales, presenta las funciones trigonométricas, dividiendo este capítulo en siete partes, el primero de ellos es el de Ángulos donde se da una explicación del trazo, lectura y valor del ángulo, los define y presenta la relación de un ángulo medido en grados a radianes, ...si el arco AP (denotado AP (denotado por AP ) de la circunferencia subtiende a θ ...si la 

longitud de AP es igual al radio r del círculo, entonces θ mide un radián, 

conforme la siguiente definición. Definición de

Un radián es la medida del ángulo central de un

radián

círculo subtendido por un arco igual en longitud al radio del círculo.

Después de dar está definición y presentar esquemas con las que trata de explicar la definición, expone la relación que hay entre grados y radianes Relación entre grados y radianes

(1) (2)

180° = π radianes

1° =

π 180

radián

≈ 0.0175 radián

180° ⎞ (3) 1 radián = ⎛⎜ ⎟ ≈ 57.2958°

⎝ π ⎠

34


En general se ofrecen los conceptos a partir de un esquema, posteriormente muestra ejemplos utilizándolos como aplicaciones. Los ejercicios se encuentran al término de cada tema del capítulo, de forma gradual en cuanto a la complejidad en la resolución de estos; presentando un gran número de ejercicios junto con problemas de aplicación. Estos ejercicios inducen a mecanizar el uso de las razones, no interesando el entendimiento de estos. El tema de Funciones trigonométricas de ángulos, presenta las razones de ángulos agudos, es decir, de ángulos comprendidos entre 0 y 90º, posteriormente de ángulos medidos en grados de cualquier valor, definiéndolas en el plano coordenado. Las funciones se presentan como las razones de los lados de un triángulo rectángulo, y como razones de los lados comprendidos por el ángulo trazado en el plano. Para definir a las razones de ángulos agudos lo hace por medio del triángulo rectángulo. Tomando a θ como como un ángulo agudo del triángulos rectángulo, y a las longitudes de los lados del triángulo lado opuesto (op), lado adyacente (ady) y la hipotenusa (hip).

hip

op

θ ady

Definición de las funciones trigonométricas de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo

senθ = csc θ =

op hip hip op

cos θ =

ady

sec θ =

hip

hip ady

tan θ = cot θ =

op ady ady op

35


Presenta algunas relaciones entre estas razones, y unos ejemplos a manera de reconocimiento de lo planteado, calculando valores de las funciones de algunos ángulos específicos. Uno de los ejemplos que presenta para mostrar el uso de estas razones es el siguiente, Ejemplo 1: Hallar valores de funciones trigonométricas de un ángulo agudo. Si

θ

es un ángulo y

cos θ =

3

, halla los valores de las funciones

4

trigonométricas de θ .

Para resolver este ejemplo, hace referencia a la definición de razones, al triángulo rectángulo y al teorema de Pitágoras para encontrar el valor del lado del triángulo faltante. Posteriormente, para definir a las razones trigonométricas de ángulos medido en grados de cualquier valor, negativos y positivos, considera el sistema de ejes coordenados, así como se aprecia en la siguiente figura:

y

P(x,y) r y

θ O

x

Q(x,0)

x

36


En éste, toma un punto coordenado del lado terminal del ángulo y la distancia de este punto al origen. Da una explicación similar para un ángulo trazado en cualquier cuadrante y define las razones haciendo referencia a la definición a partir del triángulo rectángulo. rectángulo. Definición de

Sea θ un un ángulo en posición estándar en un sistema de

las funciones

coordenadas rectangulares, y sea

P ( x, y ) cualquier

punto

trigonométricas fuera del origen O en el lado terminal de θ . de cualquier Si d (O, P) = r = x + y , entonces ángulo 2

senθ =

y

csc θ =

r

r y

2

cos θ = (si y ≠ 0) sec θ =

x

tan θ =

r r x

(si x ≠ 0)

cot θ =

y x x y

(si x ≠ 0) (si y ≠ 0)

Da una breve explicación del dominio de estas razones, mostrándolos como en la tabla siguiente Función

Dominio

seno,

coseno

todo ángulo θ

tangente,

secante

todo ángulo θ excepto excepto θ

=

todo ángulo θ excepto excepto θ

= π n = 180° ⋅ n

cotangente, cosecante

π 2

+ π n = 90° + 180° ⋅ n

Presenta ejemplos en los que se da un punto coordenado para trazar en el plano y posteriormente posteriormente aplicar las fórmulas de la definición.

37


EJEMPLO 7. Hallar valores de funciones

y

trigonométricas de un ángulo en posición

P(-15, -15, 8 )

estándar. Si

r

θ O

si

P ( −15,8 ) está

x

θ es

un ángulo en posición estándar en

un sistema de coordenadas rectangulares, y

en el lado terminal de θ , , halla los valores de las seis

funciones trigonométricas de θ .

El tercer tema es Funciones trigonométricas de números reales. Señala que en temas del cálculo y muchas aplicaciones, las funciones son dadas con números reales, de lo que dice Definición de las funciones trigonométricas de números reales

El valor de una función trigonométrica de un número real t es su valor en un ángulo de t radianes en el supuesto de que ese valor existe.

De manera geométrica da la relación entre un ángulo en radianes a reales, usando la circunferencia unitaria, Sea t un número real tal que

y s = t P(x, y )

denotemos con

θ = = t O

A(1,0) x

θ

0 < t < 2π ,

y

el ángulo (en posición

estándar) de t radianes... en donde

P ( x, y )

es

el punto de intersección de lado terminal de θ U

y la circunferencia unitaria U, en donde s es la

longitud del arco circular de A(1, 0) a

P ( x, y ) . Dada la fórmula s = r θ θ para

la longitud de un arco de circunferencia, con θ = = t y r = = 1 , vemos que s = rθ = 1(t ) = t

38


Por tanto, t se puede tomar como la medida en radianes del ángulo θ o o como la longitud del arco circular AP en U...

De esta manera dice que ... se puede asociar un punto único

P( x, y) en U con cada número real t.

Con esta explicación se considera entonces que el valor del d el ángulo en radianes será considerado en números reales. Definiendo ahora las funciones apoyándose en la circunferencia circunferencia unitaria se tiene, Definición de las Si t es un número real y P( x, y) es el punto de la funciones trigonométricas en circunferencia unitaria U que corresponde a t, términos de una entonces circunferencia unitaria sen t = y

cos t = x

tan t =

y

(si x ≠ 0) x 1 1 x csc t = (si y ≠ 0) sec t = (si x ≠ 0) cot t = (si y ≠ 0) y x y

Seguido de la definición se presentan ejemplos, en los que solo se maneja la definición usando las fórmulas en la resolución del ejemplo

Uno de los ejemplos es como el que sigue

39


Ejemplo 1. 1. Hallar valores de las funciones trigonométricas. En la figura 4 se presenta un punto P ( x, y ) en la circunferencia unitaria U correspondiente a un número real t, para π < t < 3π / 2 . Halla los valores de las funciones trigonométricas en t.

El círculo unitario es usado también para graficar las funciones, en el que presenta la variación del seno y coseno en cada cuadrante, definiendo función periódica. Para graficar hace el cambio de t por x, teniendo por ejemplo, y = sen x

Traza los valores mostrados en una tabla y obtiene la gráfica recordando cómo varia el seno y como tiene periodo 2 π , dice entonces que se repite tanto a la izquierda como a la derecha. La gráfica del coseno es presentado de manera similar. Para trazar la gráfica de la tangente presenta un teorema sobre la paridad e imparidad de las funciones. funciones. Las gráficas de las otras funciones las obtiene a partir de las tres anteriores, utilizando la reciprocidad entre ellas. Se tiene entonces que el concepto de función trigonométrica sólo quede aprendida como fórmulas, pues de ella sólo se hará uso para algunas aplicaciones o se usará en la resolución de problemas, y en cursos posteriores se deben conocer estas funciones, por ejemplo en cálculo diferencial e integral.

40


Libro [5]

Zill D, en el capítulo 6 presenta como primer tema aparece el trazado de ángulos, así como la conversión de ángulos medidos en grados a radianes. En la sección 6.2 Funciones trigonométricas de ángulos agudos en triángulos rectángulos, muestra la

definición de acuerdo a las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, definiéndola como razones, como se aprecia en el cuadro siguiente, Las seis funciones trigonométricas de un ángulo agudo θ en un triángulo rectángulo se definen así: ,

csc θ =

hip

cos θ =

ady

,

sec θ =

hip

tan θ =

op

,

cot θ =

senθ =

op hip hip ady

op ady ady op

Posteriormente presenta algunas relaciones que hay entre las razones definidas, dando antes un ejemplo en el que se plantea el empleo de la definición. Presenta una serie de ejercicios al término de esta sección, prevaleciendo ejercicios para ejercitar el manejo de la definición planteada. En la siguiente sección se presentan aplicaciones aplicaciones de la trigonometría a triángulos rectángulos, rectángulos, presentando al final de esta sección una serie de ejercicios de aplicación. En la sección 6.4 Funciones trigonométricas de ángulos generales extiende el dominio del ángulo, medido en grados, a cualquier valor, mencionando que muchas aplicaciones de la trigonometría incluyen ángulos que no son agudos. Define ahora, a partir de un ángulo marcado en el plano coordenado de la siguiente manera, 41


y

P(x, y)

r

y

θ

O

x

x

Sea θ un ángulo en posición normal, y sea P(x, y) cualquier punto distinto de (0, 0) en el lado terminal de

θ .

Si r =

x 2 + y 2

es la distancia entre (0,

0) y (x, y), entonces las seis funciones trigonométricas de θ se definen como: senθ =

y

cos θ =

x

tan θ =

y

r

,

r x

, x ≠ 0

csc θ =

r

sec θ =

r

cot θ =

x

y x y

, y ≠ 0 , x ≠ 0 , y≠0

A esta definición le siguen ejemplos en los que se hace referencia a la definición dada, al termino de la sección da una serie de ejercicios. Dada las características de éstos, se orienta a la algoritmia en el manejo de la definición. El resto del capítulo trata sobre la resolución de triángulos, y al final de éste se da otra serie de ejercicios como repaso de lo visto en el capítulo. En el capítulo 7, Zill D. en la sección 7.1 Funciones circulares, menciona que dado que en cálculo y otros cursos se considera a las funciones trigonométricas con dominios a los números reales, es necesario definirlas a en números reales, como: El valor de cada función trigonométrica para un número real t se define como su valor en un ángulo de t radianes, si ese valor existe.

42


Es decir, Sean (x, y) las coordenadas de P, como se indica en la figura. y Pt (x, y) = (cos t, sen t )

t

(1,0) x

Retoma la definición dada para ángulos de cualquier valor, teniendo ahora: sen t = y r = y 1 = y,

csc t = r y = 1 y , y ≠ 0

cos t = x r = x 1 = x,

sec t = r x = 1 x ,

x≠0

tan t = y x ,

cot t = x y

y≠0

x≠0

A partir de la explicación del rango del seno y del coseno expone las funciones, mencionando mencionando que el dominio de estas funciones es el conjunto de los reales. f (t ) = sen t

y

g (t ) = cos t

De manera que Zill D. escribe como funciones, posterior a la definición dada a partir del círculo unitario. Después, ofrece un ejemplo, continuando con algunas propiedades de las ft y al término de esta sección presenta una serie de ejercicios y por la cantidad, se sobreentiende sobreentiende que es para ejercitar sobre lo planteado en esta sección. En la sección 7.2 Gráficas de las funciones trigonométricas menciona que para un mejor entendimiento de las funciones trigonométricas es examinar sus gráficas, 43


mostrándolas (seno y coseno) a partir de la circunferencia unitaria. Para graficar la función tangente, lo hace considerando el conciente de seno y coseno, tabulando y marcando los puntos. Resaltamos que Zill va retomando las relaciones y propiedades que muestra, relacionándolas en los ejemplos presentados, después de las gráficas. Posteriormente Posteriormente da una serie de ejercicios, asentando lo definido en la sección. Hay una sección en la que muestra el comportamiento de las gráficas, junto con ejemplos y ejercicios de aplicación.

Comentarios finales En general los libros antes de empezar a hablar de las funciones, presentan las características de un ángulo, para posteriormente definirlas como razones de los lados de un triángulo rectángulo o de las magnitudes en el plano coordenado. Para mostrar a las funciones trigonométricas como funciones reales de variable real, lo hacen por medio de la circunferencia unitaria, por ésta también se trazan las gráficas de las funciones, cabe mencionar que Baldor en ningún apartado del libro las presenta, por tanto no menciona propiedades de las funciones, solo menciona las variaciones de las razones. En la siguiente tabla mostramos un resumen de cómo definen a las funciones trigonométricas, en los libros analizados, en un triángulo rectángulo y en una circunferencia circunferencia unitaria.

44


LIBRO DE TEXTO

Swokowski, Swokowski, E. y Cole, J. (2002). Álgebra y trigonometría trigonometría con geometría analítica.

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

CÍRCULO UNITARIO

las funciones “Sea θ un “Presentaremos un ángulo en posición estándar en un sistema de trigonométricas como se originaron coordenadas rectangulares, y sea P(x,y) cualquier punto históricamente: como razones de los lados fuera del d el origen O en el lado terminal de θ ”. ”. (x y y en el de un triángulo rectángulo”. dominio de números reales)

Baldor, J. A. (1992). “Consideremos el triángulo rectángulo Geometría plana y del ABC. Las llamadas funciones o razones espacio y Trigonometría trigonométricas de los ángulos agudos B y C son las siguientes...”. (y empieza a definirlas como la razón entre los lados del triángulo)

“Tracemos el círculo trigonométrico... Consideremos un ángulo cualquiera a, en el primer cuadrante y tracemos (segmentos, formando triángulos) . Aplicando las definiciones ya dadas de las funciones trigonométricas, tenemos:...”(definidas por segmentos)

Granvillle, W., Smith, P. y Mikesh, J. (1982). Trigonometría plana y esférica.

“La Trigonometría comienza por enseñar “Es conveniente emplear una representación geométrica la naturaleza exacta de esta dependencia, y de los valores de las funciones por medio de segmentos de para este objeto emplea las razones de los recta dirigidos, llamados líneas trigonométricas...”. lados. Estas razones se llaman funciones trigonométricas”.

Guzmán Herrera A. (1991) Geometría y Trigonometría.

Las funciones trigonométricas de un “...aplicando a los triángulos así formados, las triángulo rectángulo son las razones o definiciones de las funciones trigonométricas tenemos relaciones entre sus lados que:...las funciones trigonométricas son segmentos rectilíneos”. Como razones de las longitudes de los El valor de cada función trigonométrica para un número lados de un triángulo rectángulo. real t se define como su valor en un ángulo de t radianes, si ese valor existe.

Zill D. (1992) Algebra y Trigonometría

Cómo definen los libros a partir del triángulo rectángulo y del círculo unitario.

45


Encontramos que se prevalece el dominio algorítmico de las razones por la infinidad de ejercicios y problemas que se presentan después de definir a las funciones trigonométricas ( razones) o de presentar relaciones relaciones entre ellas. En la presentación de las funciones trigonométricas en los materiales (libros y programas) revisados, vemos que siguen un orden, es decir que se sigue una programabilidad del saber. En ambos casos, no se explicita el paso que hay de la

relación de radianes a reales, de manera que ya definida a la función como función real, se retoman a las razones para ejercicios de aplicación.


Encontramos que se prevalece el dominio algorítmico de las razones por la infinidad de ejercicios y problemas que se presentan después de definir a las funciones trigonométricas ( razones) o de presentar relaciones relaciones entre ellas. En la presentación de las funciones trigonométricas en los materiales (libros y programas) revisados, vemos que siguen un orden, es decir que se sigue una programabilidad del saber. En ambos casos, no se explicita el paso que hay de la

relación de radianes a reales, de manera que ya definida a la función como función real, se retoman a las razones para ejercicios de aplicación.

46

Capítulo 4. Análisis del diseño.

INTENCIONES DEL DISEÑO APLICADO A ESTUDIANTES DEL NMS Realizamos un cuestionario con la intención de mostrar las concepciones que quedan en los estudiantes, de la noción de función trigonométrica.

Con el cuestionario, no intentamos evaluar los resultados, sino, tratamos de inferir sobre las concepciones, en cuanto a la noción de función trigonométrica que tienen los estudiantes, considerando que, la concepción del “sujeto” nos refiere los conocimientos que éste tiene sobre un objeto, que son originados como consecuencia de los procesos de enseñanza-aprendizaje en el seno del sistema didáctico. Esto es, el resultado de un intercambio permanente de los sujetos con las situaciones de enseñanza o con su entorno (Ruiz L., 1998).

De esta manera correspondemos los resultados obtenidos con los del análisis de programas curriculares y los libros de texto, analizados en el capítulo anterior.

47


El propósito de este cuestionario es de inferir sobre la noción de función trigonométrica en estudiantes del NMS.

Por tanto, esperamos tener como resultado el cómo el estudiante se enfrenta ante una situación en la que está involucrada la función trigonométrica.

El diseño es realizado basándonos en el contenido de los programas de estudio, al igual que el de los libros de texto analizados, el diseño contiene entonces, de acuerdo a nuestro criterio 1, lo elemental, en cuanto a la noción de función trigonométrica, en un estudiante al término del curso.

Elegimos dos grupos de estudiantes (del NMS) para la aplicación del instrumento, que los consideramos de acuerdo a las escuelas de los programas que analizamos, éstas son: uno de la UNAM con 19 estudiantes en el último semestre y otro del IPN con 38 estudiantes de tercer y cuarto semestre, ambos grupos habían tomado el curso en el que se les presenta la función trigonométrica. trigonométrica.

Con los resultados obtenidos en la aplicación del cuestionario, intentamos completar nuestro estudio, el de mostrar la presencia de la noción de función trigonométrica en el sistema escolar.

ANÁLISIS DE LAS PREGUNTAS DEL CUESTIONARIO Si consideramos que las intenciones de los programas llevan al estudiante a comprender el significado del concepto, se espera que resuelvan sin dificultad los

1

Según lo establecido en los programas de estudio y libros de texto.

48


ejercicios planteados. A continuación, presentamos el análisis del cuestionario siguiendo este criterio.

El diseño realizado consta de cinco preguntas y en algunas se pide que argumenten, con la intención de lograr la concepción del estudiante. De acuerdo al criterio de las preguntas las dividimos en tres partes.

Primera parte: Planteamiento de razón trigonométrica.

1. a) Dado cot B =

3 4

, ¿cuál es el seno, el coseno y la tangente del ángulo B?

b) ¿Cuál es el valor de sen

π

2

, cos

π

2

? Argumente.

Se espera que el estudiante resuelva sin mucha dificultad, ya que los libros y los programas de estudio del análisis del capítulo anterior, incitan el uso de la definición, como fórmulas en la resolución de infinidad de ejercicios de este tipo, prevaleciendo entonces la algoritmización como resultado en la solución de este tipo de ejercicios. Entonces para el inciso ( a), se hará el reconocimiento de la definición de ft como razones entre los lados de un triángulo rectángulo.

Para el inciso (b), se esperaría que la respuesta y el argumento se dieran con base en el círculo unitario. Ya que, por el análisis de libros y programas, cuando el ángulo es expresado en radianes, se hace por medio del círculo unitario. Pretendemos entonces que el argumento nos dé pauta a esto.

49


Segunda parte: Estableciendo la relación entre ángulos, en grados y en radianes.

2. Encuentra el valor de a) cos

π

2

=

b) cos90° = c) sen

π

6

=

d) sen30° = ¿Existe alguna relación entre las respuestas de a), b), c) y d)? Argumenta tu respuesta.

Se espera que distingan la igualdad del ángulo dado en grados y en radianes, argumentando las formas (medidas) en que se puede expresar un mismo ángulo, es decir, la relación que existe entre el ángulo en grados y en radianes. Al tratar a los ángulos en radianes en el círculo trigonométrico, se está dando la relación con números reales, dado que, teniendo un ángulo medido en radianes (como x), entonces se tiene a la función seno definida en reales, es decir, que a cada x real le corresponde un número real ( sen x ). Por tanto, esperamos que el

argumento nos dé evidencia de la concepción del estudiante en cuanto a esta relación.

Tercera parte: Comprensión de las propiedades de la función trigonométrica.

La tercera parte comprende tres preguntas, con la intención de reflexionar sobre las propiedades de la función trigonométrica como: periodo, dominio, rango, periodicidad, amplitud, desfasamiento y asíntotas de las gráficas. Esperando que la programabilidad de la adquisición del saber sea el adecuado, entonces los estudiantes

no tendrán dificultad en la graficación de las funciones. Si el círculo unitario no se

50


viera sólo como una más de las representaciones de las ft, éste sería útil para mostrar parte de las propiedades de las gráficas. Por tanto, las preguntas las desarrollamos de la siguiente manera.

3. Para qué valor de x se satisface sen x = 5 .

En esta pregunta, el estudiante debe responder especificando el rango de sen x, se esperaría que respondiera que no existe un x que pueda satisfacer la igualdad. Aunque, siguiendo el análisis de libros y programas, es evidente que el resultado no se dará de esta forma, pues el interés está en el trabajo algorítmico del uso de ft. Por tanto, cuando se presenta este tipo de ejercicios se incita a un proceso algebraico y el uso de la calculadora, para así, dar el resultado.

4. Para qué valores de x, se satisface que sen x = cos x . Argumenta tu respuesta graficando sen x y cos x .

Si los programas y los libros de texto atendieran a que el estudiante comprendiera ft, entonces, éste contestaría señalando en las gráficas2 los valores de x que cumplen con la igualdad. En este caso el estudiante debe saber las propiedades de las gráficas. Al pedirles que argumenten con las gráficas, se espera entonces, que por medio de éstas, el estudiante mostrará su concepción de ft.

5. Grafica tan x y explica explica sus propiedades.

Al igual que en la anterior, se espera que con esta pregunta se pueda inferir sobre la concepción del estudiante en cuanto a la noción de función trigonométrica.

2

Gráficas dibujadas correctamente en el mismo plano.

51


Se espera entonces, para dar respuesta a cada pregunta, se haga uso del triángulo rectángulo, y del círculo unitario, de la misma forma que los ángulos en grados y en radianes, sin llegar a una relación en cada uno de estos elementos. Por tanto, no se tratará de función trigonométrica pero no definida en reales.

RESULTADOS DEL DISEÑO Mostramos los resultados en general, posteriormente reflexionamos reflexionamos sobre éstos. La descripción de cada pregunta la presentamos a continuación:

Análisis de los resultados de los estudiantes de NMS de la UNAM El grupo de la UNAM presentó, en su mayoría, dificultades en la solución de los ejercicios planteados. Podría tenerse como motivo que esta noción matemática es vista a inicios del tercer semestre y los estudiantes estaban por terminar el sexto semestre. La idea que de función trigonométrica tenían fue demasiado imprecisa, pues, también el uso de la herramienta tecnológica (calculadora) fue inconsistente, dado que era indistinto para ellos el teclear el ángulo en grados o en radianes, por tanto, el resultado fue otro.

El esquema siguiente ilustra lo anterior, a nterior,

52


que en realidad lo que hace es evaluar ¾ en seno, coseno y tangente. Y para el inciso (b)

Evalúa incorrectamente y el argumento se refiere por una parte al valor de

π

y por

otra, sobre el resultado al evaluar incorrectamente en la calculadora. Tenemos entonces, que para el estudiante es indistinto tener el argumento en grados o radianes.

53


Para los ejercicios restantes, mencionamos que en su mayoría no los resolvieron y otros pocos trataron de resolverlos sin tener éxito.

Ahora, si retomamos el contenido de los programas vemos que aparecen todos los conceptos que se presentan en el cuestionario, de modo que, si el programa es abordado completamente, los estudiantes debieron de haber contestado correctamente en su mayoría.

Unidad 2. Funciones trigonométricas - Razones trigonométr trigonométricas. icas. - Resolución de triángulos rectángulos. - Funciones trigonométricas de dos ángulos. - Ley de los senos. - Ley de los cosenos. - Resolución de los triángulos oblicuángulos. - Razones trigonométr trigonométricas icas para un ángulo en en cualquier cualquier cuadrante. cuadrante. - Medida de un ángulo. - Círculo trigonométrico. Funciones trigonométricas trigonométricas directas. directas. - Funciones - dominio, rango, periodicidad, amplitud, desfasamiento y asíntotas de la gráfica. - Funciones Funciones trigonométricas trigonométricas inversas. inversas. - Ramas principales. - dominio, rango y gráfica de las funciones trigonométricas inversas.

Además de que el objetivo para esta unidad es:

Que el alumno enriquezca los conceptos trigonométricos adquiridos anteriormente, manejándolos ahora como funciones, con sus respectivas gráficas. Que aplique estos conceptos en la resolución de problemas que le sean significativos.

Entonces, reconocemos que si los programas siguieran una programabilidad adecuada, en cuanto al concepto de función trigonométrica, los estudiantes contestarían correctamente el cuestionario.

54


Cabe mencionar, que al término del tiempo destinado para resolver el cuestionario y haber visto rápidamente lo hecho por los estudiantes, se preguntó que cuál había sido la dificultad; algunos comentaron que no recordaban cómo se resolvía (de ahí que el uso de la calculadora no fue de mucha ayuda en la resolución), y otros más que su profesor no había abordado este tema.

Por otro lado, de los libros3 que analizamos, por ejemplo en el de Baldor sólo se trata de razones, con las cuáles únicamente se prevalece en el tratamiento algorítmico. Es decir, la utilidad de este libro pretende en el conocimiento de las relaciones entre las razones trigonométricas, sin razonar en la noción matemática. Por tal motivo, en este análisis sólo nos enfocamos a los resultados obtenidos con el grupo de estudiantes del NMS del IPN.

Análisis de los resultados del grupo de estudiantes de NMS del IPN La mayoría de los estudiantes en las preguntas uno y dos resolvieron correctamente. Para la pregunta tres no se contestó en su mayoría como se esperaba de la misma manera que para las preguntas cuatro y cinco. A continuación, hacemos la revisión de los resultados por pregunta.

3

Los libros son el de Baldor A. y el de Swokowky E. éstos son libros de trigonometría que aparecen en la bibliografía del del programa

55


Pregunta 1. Hemos mencionado que se haría el reconocimiento de la definición como razones, de los lados de un triángulo rectángulo, de esta manera los estudiantes han resuelto en su mayoría correctamente (inciso a), por ejemplo:

Para b) ¿Cuál es el valor de sen

π

2

, cos

π

2

?, en general, el resultado fue correcto,

pero, el argumento que dieron se basó en la conversión que hicieron de radianes a reales. Diciendo por ejemplo,

56


1.-Como el valor

π

2

está dado en radianes tendríamos que convertir a

grados y la fórmula para convertir conver tir es x ⋅

180

entonces deducimos que

π π

2

⋅

180

=

180

π

2

=

90

sen 90 = 1 cos 90 = 0

Sólo tres de los 38 estudiantes hicieron referencia al círculo unitario para argumentar, por ejemplo, un estudiante hizo lo siguiente,

Aunque, de igual manera los tres estudiantes, hicieron la conversión de radianes a grados para mostrar su resultado.

Pregunta 2 57


En general los estudiantes contestan correctamente, pero también hacen la conversión de radianes a grados para dar el resultado. Ellos notan que se está hablando del mismo ángulo, por ejemplo, argumentan de la siguiente manera:

Sí, porque son los mismos ángulos, lo diferente es que uno están dados en radianes y tenemos que convertir a grados. Con la fórmula 180

y así multiplicas tus radianes con la fórmula.

π

Hasta aquí, podemos decir que se tiene la necesidad de hacer la conversión de radianes a grados para resolver.

Pregunta 3 Todos en general evaluaron en la calculadora, derivando de éste su resultado. Los resultados obtenidos difieren, por lo que las respuestas las dividimos en 3 secciones. Una tercera parte de los estudiantes el resultado lo dan con base en el rango de seno, por ejemplo:

Otra tercera parte de estudiantes, al no obtener un valor al evaluar

5 en sen-1,

concluyen que x tiene infinitos valores. Y el resto de estudiantes muestran algún otro resultado.

Pregunta 4 58


La mayoría de los estudiantes dan un solo valor, aunque al graficar muestren mas valores,

59


Cabe resaltar que el valor o los valores son dados da dos en grados y algunos al graficar lo hacen también en grados. Algunos se apoyaron de una calculadora graficadora para mostrar las gráficas, teniendo un poco de dificultad con el dominio de éstas al copiarlas.

Algunos otros estudiantes sólo dan los valores de x, considerando el siguiente esquema, suponemos que puede ser una forma de cómo el profesor muestra la relación que existe entre seno y coseno.

60


El estudiante sólo percibe lo que “ve” sin reflexionar sobre las bondades de este esquema; vemos también que se utilizan grados y no radianes.

En su mayoría los estudiantes no presentan las graficas correctas, por ejemplo

61


Puesto que al tratar las gráficas de seno y coseno tratamos con funciones de las cuales se tiene un dominio y un rango para éstas, es así que hasta lo que hemos mostrado de los resultados del cuestionario para los estudiantes no hay un entendimiento en cuanto a la noción de función trigonométrica, ya que al tratar de graficar dibujan el plano coordenado en grados y reales. De tal forma que, como mostramos en el análisis de los libros, se prioriza en el tratamiento algorítmico en la solución de triángulos, tratando sólo ángulos en grados.

Pregunta 5 En su totalidad el grupo de estudiantes no logró escribir algunas de las propiedades de la función tangente, únicamente tres estudiantes de 38 lograron graficar, pero con ayuda de la calculadora graficadora, sin dar algún argumento y las gráficas que presentaron son como las siguientes:

62


Otros seis estudiantes más dibujaron la gráfica pero en su argumento aparecen expresiones en grados, al igual que en la gráfica, por ejemplo:

63


64


Y dentro de estos seis estudiantes uno indica la asíntota, relacionándola con infinito,

El resto de estudiantes, que fue la mayoría, o no contestaron, o intentaron graficar tabulando, sin llegar a tener éxito, por ejemplo,

65


Resaltamos que, para graficar lo hacen tabulando (en grados). Esto puede ser a causa de que los libros de texto que revisamos incitan en la algoritmización de las razones trigonométricas, en donde se induce a calcular valores de ángulos específicos de estas razones.

Comentarios Comentarios finales Retomando los resultados del cuestionario de ambos grupos y dado que son diferentes, miremos cuáles son las intenciones de cada escuela para haber tenido este resultado. Por ejemplo, los propósitos del programa del NMS de la UNAM, se tiene que:

Reafirmar y profundizar profundizar los los conocimientos de Geometría euclidiana y trigonometría adquiridos en cursos anteriores para plantear y resolver problemas de diversas disciplinas.

66


Fomentar en los alumnos la capacidad de razonamiento lógico, su espíritu crítico y el deseo de investigar para adquirir nuevos conocimientos, lo que resulta necesario para plantear y resolver numerosos problemas de aplicación, tanto en la misma Matemática como en otras disciplinas.

Y para el programa del d el IPN tenemos

Que el estudiante desarrolle sus habilidades de pensamiento , como son: razonamiento, análisis, reflexión, comunicación y valoración, a través de una actitud participativa, crítica y creativa, que permita relacionar los conocimientos de la aritmética, álgebra, geometría y trigonometría, para resolver problemas surgidos de situaciones cotidianas, sociales, de la naturaleza y la tecnología, con la finalidad de desarrollar las estructuras conceptuales necesarias para validar resultados mediante demostraciones formales.

Vemos que las intenciones son diferentes, en uno se intenta hacer algo con los estudiantes, mostrándoles sus necesidades sobre el saber; mientras que en el otro, se deja que el estudiante haga, que sea parte su aprendizaje. Deducimos entonces de esto, la diferencia de resultados.

De los estudiantes en general, en las preguntas cuatro y cinco tuvieron dificultades para resolver. La intención de estas preguntas era identificar el tratamiento que se hacía de las funciones trigonométricas. Vemos entonces, que al tratar a las funciones trigonométricas con funciones reales, se tienen serias dificultades para tratarlas como tal, puesto que en el tratamiento escolar de las funciones como funciones reales, cuando se pasa de radianes a reales, no se hace explícito.

Podemos entonces decir, que los estudiantes no logran profundizar el concepto de función trigonométrica, puesto que no hacen diferencia, cuando se les presenta la función como función real. Esto lo muestra claramente los resultados de la pregunta 4 y 5 del cuestionario. Ellos tratan por igual a los grados con los reales.

67


Esto también es una consecuencia, como mostramos en el análisis del capítulo anterior, el tratamiento que se le da a la función trigonométrica es sólo de tener conocimiento de ella para después hacer uso de ella, ya sea como objeto o como una herramienta en la presentación de cursos posteriores. Puesto que ésta sólo es utilizada sin necesidad de ser comprendida. c omprendida.

68

Capítulo 4. Análisis del diseño

Dado que la función trigonométrica es una noción matemática, un objeto de estudio que se encuentra en la currícula currícula de matemáticas, matemáticas, y que, posteriormente posteriormente es utilizada como herramienta para el estudio de otros objetos matemáticos, consideramos consideramos importante analizarla, desde un punto de vista didáctico. Asumimos entonces, que la presencia de la función trigonométrica sigue una programabilidad del saber a enseñar dado que se encuentra explícitamente en los

programas de estudio siguiendo una secuencia razonada 1, por ejemplo, a la función trigonométrica la antecede la noción de función y los conceptos de la geometría euclidiana, que algunos de los conceptos de esta geometría son necesarios para el estudio de la función trigonométrica. En el análisis realizado de programas, en general, para el estudio de la función trigonométrica, están involucrados los términos como ángulos, triángulo 1

Pero no por ello la más adecuada, como lo muestra los resultados del cuestionario aplicado a los estudiantes.

68


rectángulo, razones trigonométricas, círculo unitario, que después de éste, se hace el estudio de las gráficas así como sus propiedades. En los libros de texto consultados, encontramos la presencia también de los conceptos mencionados, que, al definir las razones trigonométricas y de presentar ejemplos en los que se hace uso de la definición, se muestran las relaciones entre estas razones, las cuales son utilizadas la resolución de problemas o ecuaciones algebraicas, que posteriormente tendrán uso como herramienta para facilitar soluciones. A partir de la relación de los radianes a los números reales, se definen a las funciones trigonométricas como funciones reales de variable real. Esta relación no se hace explicita en el medio escolar, Conversión Ángulo medido en grados

Radianes

Reales

Relación no explícita

Triángulo rectángulo Ejes coordenados

Círculo trigonométrico

Función

Esquema de la vida escolar de función trigonométrica

Así lo reflejan las concepciones de los estudiantes, y el análisis de programas y libros de texto.

69


Por ejemplo, en los resultados del grupo de la UNAM, estudiantes que estaban por terminar el NMS, tuvieron dificultad de resolver los ejercicios planteados. El conocimiento que ellos tenían sobre las razones trigonométricas no fue suficiente para contestar correctamente, puesto que un sólo estudiante logró contestar al inciso (a), de la pregunta 1, (Fig. 1).

Figura 1.

Este mismo estudiante, para el inciso (b), responde también con un triángulo rectángulo, como se aprecia en la figura siguiente

70


Señalamos que este estudiante no concibe a las funciones trigonométricas como funciones reales, puesto que no distingue la expresión dada en radianes. De manera tal, que no contesta el resto de los ejercicios. De los resultados de los estudiantes del IPN, tenemos que ellos recientemente habían cursado la materia en la que se presenta la función trigonométrica, que en general contestaron correctamente a los dos primeros ejercicios, pero para los dos últimos ejercicios, que se relaciona a la función trigonométrica en sí, no logran contestar acertadamente. acertadamente. Decimos entonces, que los estudiantes no conciben a la función trigonométrica como tal, puesto que para ellos es indistinto el tratamiento que se da en cuanto a razón trigonométrica (definidos a partir de ángulos medidos en grados) y a función trigonométrica, dado que al graficar, ellos lo hacen sin considerar la relación2 que se ha dado de radianes a reales, considerando a los grados de la misma manera. Esto plantea un problema de interés para futuras investigaciones en Matemática Educativa.

2

Esta relación no se hace explícita en el medio escolar, como lo mencionamos en el esquema anterior.

71

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Maldonado 2005

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