BAB I. PENDAHULUAN A. Latar belakang Besaran Vektor dapat disajikan dengan menggunakan suatu bilangan real, kemudian diikuti dengan sistem suatu yang sesuai. Secara geometri, besaran vektor dapat disajikan dengan ruas garis berarah. Panjang ruas garis menyatakan panjang atau besar vaktor, sedangkan arah anak panah menunjukan arah vaktor. Di dalam vektor terdapat berbagai bagian yang diantaranya aljabar vektor, vektor di dalam bidang dua dimensi, vektor dalam bidang tiga dimensi, perkalian skalar 2 vektor, pembagian ruas garis dalam perbandingan bagian, tiga titik segaris (kolinier), tiga garis sebidang (koplanar), dan lainlain. Di dalam makalah ini lebih ditekankan mengenai pembagian ruas garis dalam perbandingan bagian, tiga titik segaris (kolinier), dan tiga garis sebidang (koplanar).
1
B. Rumusan masalah
1. Bagaimanakah Bagaimanak ah pembagian ruas garis dalam perbandingan bagian dii dalam vector ? 2. Bagaimanakah tiga titik titik segaris segaris (kolinier) (kolinier) itu ? 3. Bagaimanakah Bagaimanak ah tiga garis sebidang (coplanar) itu ?
2
BAB II. ISI A. Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan Bagian Bagian Misalkan titik C terletak pada ruas garis AB, sehingga titik C membagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n, maka AC : CB = m : n atau AC : AB = m : (m + n) seperti gambar di bawah ini.
m
A
n
C
B
Dalam perbandingan AC : CB = m : n terdapat dua kasus yaitu : a. Tititk C membagi AB di dalam
A
m
C
n
B
AC : CB = m : n b. Titik C membagi AB di luar m
A
C n
AC : CB = m : -n
3
1. Perbandingan ruas garis dalam bentuk vektor A m
a
C
c O
n b
B
Vektor posisi titik A dan B berturut-turut adalah a dan b. Titik C pada ruas garis AB dengan perbandingan m : n atau AC : CB = m : n. Jika vektor posisi titik C adalah c, maka vektor c ditentukan dengan cara : c=a+
⃗
⃗
c=a+
c=a+
c=
c=
(b – a)
contoh : Vektor posisi titik A dan titik B berturut-turut adalah a dan b. Pada ruas garis AB, tandailah titik C sehingga AC : CB = 1 : 3, tentukan vektor posisi titik C,?
4
Jawab :
Misalkan vektor posisi titik C adalah c, maka c =
1b 3a 1 3
1
4
b 3a
2. Perbandingan ruas garis dalam bentuk koordinat Dari Perbandingan ruas garis dalam bentuk vektor didapatkan rumus untuk vektor posisi C adalah c =
, maka dapat juga ditentukan
rumus untuk vector posisi di R 2 dan R3 sebagai berikut :
Jika A(x 1, y 1) dan B (x 2, y 2) di, R2 maka c =
Koordinat titik C adalah C
{}{}
2 Jika A(x 1, y 1, 1, z1) dan B (x 2, y 2, z2) di, R maka c =
Koordinat titik C adalah C
5
Contoh : 1. Tentukanlah koordinat titik P yang terletak pada garis AB jika: jika: (10, 4, 5), dan AP : PB = 3 : 1 A(2, 0, 1), B (10, Jawab : P
P
Jadi titik p(8, 3, 4) 2. Tentukanlah koordinat titik P pada garis hubung hubung A(2, 3, 4) dan (6, 7, 8) di dalam dan di luar dengan perbandingan 1 : 3. B (6, Jawab :
Untuk titik P membagi AB di dalam dengan perbandingan 1 : 3, berlaku AP : PB
1 : 3.
Koordinat titik P dapat kalian tentukan dengan cara berikut. P P
() ()
Jadi koordinat titik P
Untuk titik P membagi AB di luar dengan perbandingan 1 : 3, berlaku AP : PB = 1 : -3. Koordinat titik P dapat kalian tentukan sebagai berikut :
P P
() ()
Jadi titik P
6
B. Tiga titik titik segaris segaris (kolinier) (kolinier) Definisi Titik-titik segaris (kolinear (kolinear)) adalah titik-titik yang terletak pada satu garis (titik-titik yang tidak terletak pada satu garis disebut titik-titik tak segaris (nonkolinear)). Sebuah titik dan sebuah garis dapat terjadi sebuah titik tersebut terletak pada sebuah garis tersebut atau sebuah titik tersebut tidak terletak pada sebuah garis tersebut. Jika sebuah titik terletak pada suatu garis, maka dapat juga dikatakan garis tersebut melalui sebuah titik. Jika sebuah titik tidak terletak pada suatu garis, maka dapat dikatakan sebuah titik di luar sebuah garis.
Pada gambar di atas: titik K, titik L, titik P, dan titik R merupakan titik-titik yang tidak terletak pada suatu garis. Keempat titik tersebut tidak terletak pada garis g maupun garis h, atau dapat dikatakan keempat titik tersebut di luar garis g maupun garis h. Namun titik M, titik O, dan titik Q, ketiganya terletak pada garis g. Sedangkan titik S, titik O, dan titik N, ketiganya terletak pada garis h. Tampak juga titik O terletak pada garis g maupun garis h.
7
Pada gambar tersebut, dapat dikatakan: titik M, titik O, dan titik Q merupakan tiga buah titik yang kolinear, kolinear, karena ketiganya terletak pada satu garis; yaitu garis g. Demikian juga titik S, titik O, dan titik N,merupakan tiga buah titik yang kolinear, kolinear, karena ketiganya terletak pada satu garis; yaitu garis h. Berdasarkan kondisi tersebut berarti titik M dan titik N merupakan dua buah titik yang tidak kolinear (non-kolinear), karena masing-masing terletak pada garis yang berbeda. Begitu pula pasangan titik M dan titik S, titik N dan titik Q, Q , titik S dan titik t itik Q, merupakan pasangan-pasangan pasangan-pasangan titik yang tidak kolinear (non-kolinear). (non-kolinear).
C. Tiga garis garis sebidang (koplanar)
1. Titik yang coplanar Titik-titik dikatakan koplanar ( coplanar ) atau sebidang jika dan hanya jika ada suatu bidang yang memuat semua titik tersebut.
Pada gambar diatas, titik R, titik S, dan titik T merupakan tiga buah titik yang non-kolinear, dan ketiganya terletak pada satu bidang, yaitu bidang
. Dengan demikian, titik R, titik S, dan titik T dikatakan
sebagai tiga buah titik yang koplanar. koplanar. Sedangkan titik V tidak terletak pada bidang-. Oleh karena itu titik R, titik S, titik T, dan titik V, merupakan empat buah titik yang non-koplanar. non-koplanar. 8
2. Garis yang coplanar Dua buah garis dapat terjadi keduanya sebidang atau taksebidang. Jika dua garis sebidang, maka dapat terjadi keduanya berpotongan atau sejajar. Jika dua buah garis tak-sebidang, maka keduanya dikatakan bersilangan. Dua buah garis berbeda dikatakan saling sejajar jika dan hanya jika keduanya koplanar dan dan tidak berpotongan. berpotongan. Dua buah garis berbeda dikatakan saling bersilangan jika dan hanya jika keduanya non-koplanar.
Pada Gambar di atas: garis k, garis h, dan garis m, ketiganya dikatakan coplanar, karena ketiganya terletak pada satu bidang, yaitu
pada bidang . Garis h dan garis k saling sejajar dan keduanya terletak pada satu bidang. Garis k dan garis m berpotongan di titik Q dan keduanya terletak pada satu bidang. Begitu juga garis h dan garis m berpotongan di titik P dan keduanya terletak pada satu bidang. Garis n
tidak terletak pada bidang , sehingga dapat dikatakan garis n di luar
9
bidang . Garis g memotong/ menembus bidang
tepat di satu titik, yaitu
titik R. Hal tersebut dikatakan garis g juga tidak terletak pada bidang .
Garis g tidak terletak pada bidang , tetapi garis m terletak pada
bidang . Oleh karena itu dikatakan garis g dan garis m bersilangan.
Garis g tidak terletak pada bidang , tetapi garis k terletak pada bidang . Oleh karena itu dikatakan garis g dan garis k bersilangan. Garis g tidak
terletak pada bidang , tetapi garis h terletak pada bidang . Oleh karena itu dikatakan garis g dan garis h bersilangan. bersilangan. Demikian pula untuk garis n dan garis m, garis n dan garis h, garis n dan garis k, masing-masing merupakan pasangan garis yang bersilangan, karena masing-masing tidak terletak pada bidang yang sama.
10
BAB III. PENUTUP
A. KESIMPULAN Dari isi makalah yg telah dibuat dapat disimpulkan sebagai berikut : 1. Misalkan titik C terletak terletak pada ruas garis garis AB, sehingga titik C membagi membagi ruas garis AB dengan perbandingan perbandingan m : n, maka AC : CB = m : n atau AC : AB = m : (m + n), Dalam perbandingan AC : CB = m : n terdapat dua kasus yaitu : c. Tititk C membagi AB di dalam AC : CB = m : n d. Titik C membagi AB di luar AC : CB = m : -n 2. Vektor posisi titik A dan B berturut-turut adalah adalah a dan b. Titik C pada pada ruas garis AB dengan perbandingan m : n atau AC : CB = m : n. Jika vektor posisi titik C adalah c, maka vektor c ditentukan dengan rumus c=
{}{}
3. Jika A(x 1, y 1) dan B (x 2, y 2) di, R2 maka c =
Koordinat titik C adalah C
2 4. Jika A(x 1, y 1, 1, z1) dan B (x 2, y 2, z2) di, R maka c =
Koordinat titik C adalah C
11
5. Titik-titik segaris (kolinear) kolinear) adalah titik-titik yang terletak pada satu garis (titik-titik yang tidak terletak pada satu garis disebut titik-titik tak segaris (non-kolinear)). 6. Titik-titik dikatakan koplanar ( coplanar ) atau sebidang jika dan hanya jika ada suatu bidang yang memuat semua titik tersebut. t ersebut. 7. Suatu garis dikatakan dikatakan coplanar, coplanar, jika jika garis itu terletak terletak pada satu bidang. bidang.
12
