DAFTAR ISI
DAFTAR ISI........................................... ISI................................................................. .............................................. .............................................. ........................... .....
1
1.
PENDAHULUAN................................................................................................
2
2.
ISI DAN PEMBAHASAN 1. REGRESI LINIER SEDERHANA 1.1 Hubungan Antarvariabel
3
…………………………………………………
1.2 Persamaan Garis Regresi Linier Sederhana
3
……………………………...
2. PENDUGAAN DAN PENGUJIAN KOEFISIEN REGRESI 2.1 Kesalahan Baku Regresi dan Koefisien Regresi Sederhana
4
………….....
2.2 Pendugaan Interval Koefisien Regresi (Parameter A dan B)
..
5
.
6
.
7
..
8
..
8
.
8
..
9
…………..
2.3 Pengujian Hipotesis Koefisien Regresi (Parameter A dan B)
………….
3. PERAMALAN (PREDIKSI) 3.1 Peramal Tunggal
………………………………………………………..
3.2 Peramalan Interval Individu
……………………………………………
3.3 Peramalan Interval Rata-rata
…………………………………………...
4. KOEFISIEN KORELASI LINIER SEDERHANA 4.1 Pengertian Koefisien Korelasi (KK)
…………………………………….
4.2 Jenis-jenis Koefisien Korelasi
…………………………………………..
5. HUBUNGAN KOEFISIEN KORELASI DENGAN KOEFISIEN REGRESI...................................... REGRESI............................................................ ............................................ ......................
10
6. PENDUGAAN DAN PENGUJIAN HIPOTESIS KOEFISIEN KORELASI POPULASI ( ) 6.1 Pendugaan Koefisien Korelasi Populasi
..
11
...
12
……………………………...
6.2 Pengujian Hipotesis Koefisien Korelasi Populasi ( )
………………..
7. REGRESI DAN KORELASI LINEAR DATA BERKELOMPOK 7.1 Regresi Linier Data Berkelompok
...
14
..
14
……………………………………. …………………………………….
7.2 Koefisien Korelasi Linier Data Berkelompok
………………………… …………………………
3.
PENUTUP 1.
Kesimpulan.........................................................................................
15
DAFTAR PUSTAKA.................................... PUSTAKA.......................................................... .............................................. ........................... ...
16 1
1.
PENDAHULUAN
Metode analisis yang telah dibicarakan hingga sekarang adalah analisis terhadap data mengenai sebuah karakteristik atau atribut (jika data itu kualitatif) dan mengenai sebuah variabel, diskrit ataupun kontinu (jika data itu kuantitatif). Tetapi sebagaimana disadari, banyak persoalan atau fenomena yang meliputi lebih dari sebuah variabel. Misalnya: berat orang dewasa laki-laki sampai taraf tertentu bergantung pada tingginya, tekanan semacam gas bergantung pada temperatur, hasil produksi padi tergantung pada jumlah pupuk yang digunakan, banyak hujan, cuaca dan sebagainya.
Akibatnya, terasa perlu untuk mempelajari analisis data yang terdiri atas banyak variabel. Jika kita mempunyai data yang terdiri atas dua atau lebih variabel, adalah sewajarnya untuk mempelajari cara bagaimana variabel-variabel itu berhubungan. Hubungan yang didapat pada umumnya dinyatakan dalan bentuk persamaan matematik yang menyatakan hubungan fungsional antara variabelvariabel. Studi yang menyangkut masalah ini dike nal dengan analisis regresi. Hubungan fungsional antara variabel-vabiabel telah diuraikan dalam analisis regresi ditinjau bagaimana persamaan regresi-regresi linier, nonlinier dan linier ganda ditentukan dan juga bagaimana pengujian terhadap parameter-parameter dilakukan. Persoalan berikutnya yang dirasakan perlu, jika data hasil pengamatan terdiri dari banyak variabel, ialah berapa kuat hubungan antara variabel-variabel itu terjadi. Dalam kata-kata lain, perlu ditentukan derajat hubungan antara variabel-variabel. Studi yang membahas tentang derajat hubungan antara variabel-variabel dikenal dengan nama analisis korelasi. Ukuran yang dipakai untuk mengetahui derajat hubungan, terutama untuk data kuantitatif dinamakan koefisien korelasi.
2
2.
ISI DAN PEMBAHASAN
1.
REGRESI LINIER SEDERHANA 1.
Hubungan Antarvariabel Hubungan antarvariabel dapat berupa hubungan linier ataupun hubungan tidak
linier. Misalnya, berat badan laki-laki dewasa sampai pada taraf tertentu bergantung pada tinggi badan, keliling lingkaran bergantung pada diametern ya, dan tekanan gas bergantung pada suhu dan volumenya. Hubungan-hubungan itu bila dinyatakan dalam bentuk matematis akan memberikan persamaan-persamaaan tertentu. Untuk dua variable, hubungan liniernya dapat dinyatakan dalam bentuk
persamaan linier, yaitu:
Keterangan :
Y, X = variabel a, b = bilangan konstan (konstanta) Hubungan antara dua variabel pada persamaan linier jika digambarkan secara grafis ( scatter diagram), semua nilai Y dan X akan berada pada suatu garis lurus. Dalam ilmu ekonomi, garis itu disebut garis regresi. Karena antara Y dan X memiliki hubungan, maka nilai X dapat digunakan untuk menduga atau meramal nilai Y. Dalam hal ini, X disebut variabel bebas, yaitu variabel yang nilai-nilainya bergantung pada variabel lain. Hubungan antarvariabel yang akan dipelajari disini hanyalah hubungan linier sederhana, yaitu hubungan yang hanya melibatkan dua variabel (X dan Y) dan berpangkat satu. 2. Persamaan Garis Regresi Linier Sederhana Regresi yang berarti peramalan, penaksiran, atau pendugaan pertama kali
diperkenalkan pada tahun 1877 oleh Sir Francis Galton (1822-1911) sehubungan dengan penelitiannya terhadap tinggi manusia. Penelitian tersebut membandingkan antara tinggi anak laki-laki dan tinggi badan ayahnya. Analisis regresi juga digunakan untuk menentukan bentuk hubungan antar variabel. Tujuan utama dalam penggunaan analisis itu adalah untuk meramalkan atau memperkirakan nilai dari satu variabel dalam hubungannya dengan variabel yang lain yang diketahui melalui persamaan garis regresinya. 3
Untuk populasi, persamaan garis regresi linier sederhananya dapat dinyatakan
dalam bentuk:
Keterangan:
rata-rata Y bagi X tertentu. konstanta atau parameter atau koefisien regresi populasi
Karena populasi jarang diamati secara langsung, maka digunakan persamaan
regresi linier sederhana sampel sebagai penduga persamaan regresi linier sederhana
populasi. Bentuk persamaannya adalah
Keterangan: = penduga bagi
variabel terikat (variabel yang diduga) = variabel bebas (variabel yang diketahui) = penduga parameter A dan B = koefisien regresi sampel = intersep (nilai Y, bila X = 0)
= slop (kemiringan garis regresi) Persamaan
satuan maka variabel Y akan mengalami peningkatan atau penurunan sebesar 1
memberikan arti jika variabel X mengeluarkan satu b.
Untuk membuat peramalan, penaksiran, atau pendugaan dengan persamaan regresi, maka nilai dan b harus ditentukan terlebih dahulu. Dengan metode kuadrat terkecil
∑ ∑ ̅̅̅ ̅ ̅
(least square), nilai dan b dapat ditentukan dengan rumus berikut.
2.
PENDUGAAN DAN PENGUJIAN KOEFISIEN REGRESI 2.1 Kesalahan Baku Regresi dan Koefisien Regresi Sederhana
Kesalahan baku atau selisih taksir standar merupakan indeks yang digunakan untuk mengukur tingkat ketepatan regresi (pendugaan) dan koefisien regresi (penduga) atau mengukur variasi titik-titik observasi di sekitar garis regresi. Dengan kesalahan baku, batasan seberapa jauh melesetnya perkiraan kita dalam meramal data dapat diketahui. Apabila semua titik observasi berada tepat pada 4
garis regresi maka kesalahan baku akan bernilai sama dengan nol. Hal itu berarti perkiraan yang kita lakukan terhadap data sesuai dengan data yang sebenarnya, Berikut ini rumus-rumus yang secara langsung digunakan untuk menghitung kesalahan baku regresi dan koefisien regresi. 1. Un tuk r egresi, kesalahan bakunya dir umu skan:
∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑
2. Un tuk koefi sien r egresi
(penduga ), kesalahan baku nya dir umuskan :
3. Un tuk koefi sien r egresi
(penduga ), kesalahan baku nya dir umuskan :
2.2 Pendugaan Interval Koefisien Regresi (Parameter A dan B)
Pendugaan interval bagi parameter A dan B menggunakan distribusi t dengan derajat kebebasan (db) = n 2. –
1. Pendugaan in ter val un tuk parameter A
Untuk parameter A, pendugaan intervalnya menggunakan:
Atau dalam bentuk sederhana:
Artinya: dengan interval keyakinan diulang-ulang,
kasus pada interval
dalam jangka panjang, jika sampel sampai dengan interval
akan berisi A yang benar.
2. Pendugaan in ter val un tuk par ameter B
Untuk parameter B, pendugaan intervalnya dirumuskan:
5
Atau dalam bentuk sederhana:
Artinya: dengan interval keyakinan diulang-ulang,
dalam jangka panjang, jika sampel
kasus pada interval
sampai dengan interval
akan berisi B yang benar.
2.3 Pengujian Hipotesis Koefisien Regresi (Parameter A dan B)
Pengujian hipotesis bagi parameter A dan B menggunakan uji t , dengan langkahlangkah pengujian sebagai berikut: 1. M enentu kan for mul a hi potesis
1.
2.
Untuk parameter A:
Untuk parameter B: ,
mewakili nilai B tertentu, sesuai hipotesisny.
, jika
, berarti pengaruh X terhadap Y adalah positif.
, jika
, berarti pengaruh X terhadap Y adalah negatif.
, jika
, berarti X mempengaruhi Y.
3. M enentu kan taraf n yata ( ) dan ni l ai t tabel.
Taraf nyata dan nilai t tabel ditentukan dengan derajat bebas (db) = n 2. –
4. M enentukan k r iteri a penguji an
1.
diterima apabila
ditolak apabila
2.
diterima apabila
ditolak apabila
3.
diterima apabila
ditolak apabila
atau
6
4. M enentukan ni lai uj i statistik
1.
Untuk parameter A
2.
Untuk parameter B
3. M embuat kesimpu lan
Menyimpulkan apakah
diterima atau ditolak.
Catatan: 1.
Dari kedua koefisien regresi A dan B, koefisien regresi B, yaitu
koefisien regresi sebenanya adalah yang lebih penting, karena dari koefisien ini, ada atau tidak adanya pengaruh X terhadap Y dapat diketahui. 2.
Khusus untuk koefisien regresi B, pengujian hipotesisnya dapat juga
̅ ∑ ̅
dirumuskan sebagai berikut:
3.
PERAMALAN (PREDIKSI)
sebagai penduga memiliki nilai yang mungkin sama atau tidak sama dengan nilai
sebenarnya. Untuk membuat
sebagai penduga yang dapat dipercaya, maka dibuat
pendugaan bagi Y dengan menggunakan penduga
itu sendiri. Dengan demikian,
sebagai penduga dapat digunakan sebagai peramalan atau prediksi. Ada tiga bentuk peramalan sehubungan dengan penduga berikut.
tersebut, yaitu sebagai
3.1 Peramal Tunggal
Peramalan tunggal atau prediksi titik dirumuskan:
7
3.2 Peramalan Interval Individu
̅ ∑ ∑
Peramalan interval individu atau prediksi interval bagi Y dirumuskan:
= nilai untuk X = X 0
3.3 Peramalan Interval Rata-rata
̂ ̂ ̅ ̂ ∑ ∑
Peramalan interval rata-rata atau prediksi interval bagi E(Y) dirumuskan:
4.
KOEFISIEN KORELASI LINIER SEDERHANA 4.1 Pengertian Koefisien Korelasi (KK)
Koefisien korelasi merupakan indeks atau bilangan yang digunakan untuk mengukur keeratan (kuat, lemah, atau tidak ada) hubungan antarvariabel. Koefisien korelasi ini memiliki nilai antara -1 dan +1 1.
.
Jika KK bernilai positif, maka variabel-variabel berkorelasi positif. Semakin dekat nilai KK ini ke +1 semakin kuat korelasinya, demikian pula sebaliknya.
2.
Jika KK bernilai negatif, maka variabel-variabel berkolerasi negatif. Semakin dekat nilai KK ini ke -1 semakin kuat korelasinya, demikian pula sebaliknya.
3.
Jika KK bernilai 0 (nol), maka variabel-variabel tidak menunjukkan korelasi.
4.
Jika KK bernilai +1 atau -1, maka variabel menunjukkan korelasi positif atau negatif yang sempurna. Untuk menentukan keeratan hubungan/korelasi antarvariabel tersebut, berikut ini diberikan nilai-nilai dari KK sebagai patokan>
1. KK = 0, tidak ada korelasi. 2. 0 < KK
0,20, korelasi sangat rendah/lemah sekali. 8
3. 0,20 < KK 4. 0,40 < KK 5. 0,70 < KK
0,40, korelasi rendah/lemah tapi pasti. 0,70, korelasi yang cukup berarti/sedang. 0,90, korelasi yang tinggi/kuat.
6. 0,90 < KK < 1,00, korelasi sangat tinggi; kuat sekali, dapat diandalkan. 7. KK = 1, korelasi sempurna. 4.2 Jenis-jenis Koefisien Korelasi
Jenis-jenis koefisien korelasi yang sering digunakan adalah koefisien korelasi Pearson, koefisien korelasi Rank Spearman, koefisien korelasi Konteingensi, dan koefisien penentu (KP). 1. Koefi sien Kor elasi Perason
Koefisien korelasi ini digunakan untuk mengukur keeratan hubungan antara dua variabel yang datanya berbentuk data interval atau rasio. Disimbolkan
∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑
dengan r dan dirumuskan:
Nilai dari koefisien korelasi (r) terletak antara -1 dan +1
.
1. Jika r = +1, terjadi korelasi positif sempurna antara variabel X dan Y.
2. Jika r = -1, terjadi korelasi negatif sempurna antara variabel X dan Y. 3. Jika r = 0, tidak terdapat korelasi antara variabel X dan Y. 4. Jika 0 < r < +1, terjadi korelasi positif antara variabel X dan Y. 5. Jika -1 < r < 0, terjadi korelasi negatif antara variabel X dan Y. 2. Koefi sien K orelasi Rank Spearman
Koefisien korelasi ini digunakan untuk mengukur keeratan hubungan antara dua variabel yang datanya berbentuk data ordinal (data bertingkat).
∑
Disimbolkan dengan r s dan dirumuskan:
Keterangan: d = selisih ranking X dan Y n = banyaknya pasangan data
9
3. Koefi sien K orelasi Konti ngensi
Koefisien korelasi ini digunakan untuk mengukur keeratan hubungan antara dua variabel yang datanya berbentuk data nominal (data kualitatif). Disimbolkan dengan C dan dirumuskan:
Keterangan: = kai kuadrat
= jumlah semua frekuensi
4. Koefi sien Penentu (K P) atau K oefi sien D eter mi nasi (R)
Apabila koefisien korelasi dikuadratkan, akan menjadi koefisien penentu (KP) atau koefisien determinai, yang artinya penyebab perubahan pada variabel Y yang datang dari variabel X, sebesar kuadrat koefisien korelasinya. Koefisien penentu ini menjelaskan besarnya pengaruh nilai suatu variabel (variabel X) terhadap
naik/turunnya
(variasi)
nilai
variabel
lainnya
(variabel
Y).
Dirumuskan:
Keterangan: KK = koefisien korelasi
Nilai koefisien penentu ini terletak antara 0 dan +1
.
Jika koefisien korelasinya adalah koefisien korelasi Pearson (r), maka
[∑ ∑∑ ][∑ ∑∑ ∑ ]
koefisien penentunya adalah:
Dalam bentuk rumus, koefisien penentu (KP) dituliskan:
5.
HUBUNGAN KOEFISIEN KORELASI DENGAN KOEFISIEN REGRESI
Antara koefisien korelasi (r) dan koefisien regresi (b), terdapat hubungan. Hubungan
tersebut dalam bentuk rumus dituliskan:
∑ ∑
10
6.
∑ ∑
PENDUGAAN DAN PENGUJIAN HIPOTESIS KOEFISIEN KORELASI POPULASI ( )
Koefisien korelasi populasi dari variabel X dan Y yang keduanya merupakan variabel
random dan memiliki distribusi bivariat, dirumuskan:
()
Cov (X,Y) =
= E(XY) E(X). E(Y) –
Dalam prakteknya, koefisien korelasi populasi ( ) tidak diketahui, namun
dapat diduga dengan koefisien korelasi sampel (r ). Dengan demikian, r merupakan penduga dari .
6.1 Pendugaan Koefisien Korelasi Populasi
Pendugaan koefisien korelasi populasi (interval keyakinan
) menggunakan
distribusi Z. Pendugaannya dapat dilakukan dengan terlebih dahulu mengubah koefisien korelasi sampel r menjadi nilai Zr , yang dalam bentuk persamaan
√
dituliskan:
Variabel Zr akan mendekati distribusi normal dengan rata-rata dan varians sebagai berikut:
Untuk
Atau:
, pendugaan intervalnya secara umum dirumuskan:
11
Dengan melakukan transformasi nilai
, maka diperoleh pendugaan interval
bagi koefisien korelasi populasi ( ) dengan tingkat keyakinan
Selain menggunakan pendugaan interval
.
, interval bagi koefisien korelasi
populasi ( ) dapat pula dibuat dengan menggunakan tabel hubungan antara Z r dan r .
6.2 Pengujian Hipotesis Koefisien Korelasi Populasi ( ) 1. Un tuk asumsi
=
Pengujian hipotesis dengan asumsi
menggunakan distribusi t sebagai uji
statistiknya. Prosedur pengujiannya adalah sebagai berikut:
√ √
1. Menentukan formula hipotesis
(tidak ada hubungan antara X dan Y)
(ada hubungan positif)
(ada hubungan negatif) (ada hubungan)
2. Menentukan taraf nyata ( ) bserta t tabel, dengan derajat bebas (db)=n-2 atau
3. Menentukan kriteria pengujian 1. Untuk
dan
1.
diterima jika
2.
ditolak jika
3. Untuk
:
,
dan
1.
diterima jika
2.
ditolak jika
3. Untuk 1.
diterima jika
2.
ditolak jika
:
,
dan
:
,
atau
3. Menentukan nilai uji statistik
12
4. Membuat kesimpulan Menyimpulkan
diterima atau ditolak (sesuai dengan kriteria pengujian).
5. Un tuk asumsi
Pengujian hipotesis dengan asumsi
menggunakan distribusi Z sebagai
uji statistiknya. Prosedur pengujiannya adalah sebagai berikut: 1. Menentukan formula hipotesis (
)
(
)
(
)
(
)
2. Menentukan taraf nyata ( ) beserta Z tabel atau
3. Menentukan kriteria pengujian 1. Untuk
dan
1.
diterima jika
2.
ditolak jika
2. Untuk
dan
1.
diterima jika
2.
ditolak jika
3. Untuk
dan
1.
diterima jika
2.
ditolak jika
:
,
:
,
:
,
atau
3. Menentukan nilai uji statistik
4. Membuat kesimpulan
Menyimpulkan H 0 diterima atau ditolak (sesuai dengan kriteria pengujian).
13
7.
REGRESI DAN KORELASI LINEAR DATA BERKELOMPOK 7.1 Regresi Linier Data Berkelompok
Untuk data yang tersusun dalam distribusi frekuensi bivariabel (data berkelompok
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ̅ ̅∑ ̅ ∑
dengan dua veriabel), persamaan regresi linearnya berbentuk:
Dengan
Keterangan:
M = rata-rata hitung sementara, biasanya diambil titik tengah dengan frekuensi
terbesar. = interval kelas X = interval kelas Y = frekuensi kelas X
= frekuensi kelas Y
7.2 Koefisien Korelasi Linier Data Berkelompok
Untuk data yang tersusun dalam distribusi frekuensi bivariabel, koefisien
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
korelasinya dirumuskan:
14
3.
PENUTUP 1. Kesimpulan
Korelasi merupakan hubungan antara dua kejadian dimana kejadian yang satu dapat
mempengaruhi
eksistensi
kejadian
yang
lain,
Misalnya
kejadian
X
mempengerahui kejadian Y. Apabila dua variable X dan Y mempunyai hubungan, maka
nilai
variable
X
yang
sudah
diketahui
dapat
dipergunakan
untuk
memperkirakan/menaksir atau meramalkan Y. Ramalan pada dasarnya merupakan perkiraan/taksiran mengenai terjadinya suatu kejadian(nilai suatu variabel) untuk waktu yang akan datang. Variable yang nilainya akan diramalkan disebut variable tidak bebas (dependent variable), sedangkan variabel C yang nilainya dipergunakan untuk meramalkan nilai Y disebut variable bebas (independent variable) atau variable peramal (predictor) atau seringkali disebut variable yang menerangkan (explanatory).
Jadi jelas analisis korelasi ini memungkinkan kita untuk mengetahui suatu di luar hasil penyelidikan, Salah satu cara untuk melakukan peramalan adalah dengan menggunakan garis regresi. Untuk menghitung parameter yang akan dijadikan dalam penentuan hubungan antara dua variabel, terdapat beberapa cara, yaitu: koefisien detreminasi, koefisien korelasi. Apabila terdapat data berkelompok menggunakan koefisien data berkelompok dan bila menggunakan data berganda maksudnya variabel bebas yang mempengaruhi variabel terikat ada dua, maka menggunakan koefisien berganda.Sedangkan regeresi di bagi menjadi dua, yaitu regresi linier dan regresi non linier. Dimana regresi linier juga dibagi menjadi dua yakni regresi linier sederhana dan regresi linier berganda
15
DAFTAR PUSTAKA
Hasan, Ikbal. 2003. Pokok-pokok Materi Statistik 2. Jakarta: Bumi Aksara. Sudjana. 2005. Metoda Statistika. Bandung: Tarsito
16
