BAB 1 PENDAHULUAN
1.1;
LATAR BELAKANG
Pad Pada
pembahasa hasan n
ini
akan
dik dikemba embang ngka kan n
metod metodaa untuk untuk meny menyata atakan kan fungsi fungsi pemak pemaksa sa sinuso sinusoida ida atau respons sinusoida dengan suatu simbol bilangan Transformasi ansformasi fasor" atau kompl ompleeks yang ang dise disebu but" t" Tr
disingkat dengan " Fasor ". Faso Fasorr adal adalah ah sebu sebuah ah bilangan yang menyatakan menyatakan Amplitudo Amplitudo dan sudut fa sa dari sebuah fungsi sinusoida. Fasor akan memberikan ciri-ciri dari sinusoida yang sama lengkapnya, seperti yang dinyatakan sebagai fungsi waktu analitik. Bekerja deng dengan an faso fasorr, dan dan buka bukan n deng dengan an dife difere rens nsia iall dan dan inte integr gral al dari dari sinu sinuso soid idaa sepe sepert rtii yang yang dila dilaku kuka kan n pada pada pembahasan-pembaha pembahasan-pembahasan san mela melaks ksan anak akan an suat suatu u
terdahulu
!,
kita
peny penyed eder erha hana naan an yang yang
menakjubkan. 1.2 RUMUSAN MASALAH
1.2.1
Apa yang dimaksud bilangan kompleks
1.2.2
Apa yang dimaksud operasi aljabar
1.2.3
Apa yang dimaksud aljabar fasor
akan sang sangat at
1.2.4
Apa yang dimaksud operasi aljabar fasor
1.3;
TUJUAN
1.3.1
#ntuk mengetahui definisi bilangan kompleks.
1.3.2
#ntuk mengetahui operasi aljabar.
1.3.3
#ntuk mengetahui definisi aljabar fasor.
1.3.4
#ntuk mengetahui operasi aljabar fasor.
1.2.4
Apa yang dimaksud operasi aljabar fasor
1.3;
TUJUAN
1.3.1
#ntuk mengetahui definisi bilangan kompleks.
1.3.2
#ntuk mengetahui operasi aljabar.
1.3.3
#ntuk mengetahui definisi aljabar fasor.
1.3.4
#ntuk mengetahui operasi aljabar fasor.
BAB 2 PEMBAHASAN 2 1 Bilanan Kom!l#s .
2.1.1. Dfinisi
Bilangan kompleks z kompleks z ialah ialah suatu pasangan terurut x,y! x,y! dari bilangan nyata x nyata x,, y, y, yang kita tuliskan z = x x, y! y! $ita namakan x namakan x bagian bagian nyata real real part ! dari z dari z dan y dan y bagian khayal khayal imaginary imaginary part ! dari z dari z dan dan kita lambangkan %e z %e z = x &m z &m z = y $ita akan mencoba memahami definisi ini secara grafis, mulai dari pengertian tentang bilangan nyata. $ita mengenal bilangan nyata bulat seperti ', (, ) dan seterusnya* bilangan nyata rasional +, +, , dan seterusnya, serta bilangan nyata irasional yang yang tida tidak k dapa dapatt diny dinyat atak akan an seba sebaga gaii rasi rasio o bila bilang ngan an bula bulat, t, seperti π yang nilainya adalah ),'//., dengan angka desimal yang tak diketahui ujungnya. 0ecara gra grafis, is, bilan langan gan nyat nyataa dapat pat diga digam mbark barkaan posisinya di suatu sumbu yang disebut sumbu nyata, nyata, seperti diperlihatkan oleh 1b.'.'.
2
2
2
2
2
2
2
2
m
-( -'
0
'
(
)
3
1b.'.'. Posisi bilangan nyata di sumbu nyata. 4injaulah suatu fungsi y = x dengan x adalah bilangan bulat. 5ika kita plot nilai fungsi y, kita akan mendapatkan gambar seperti 1b.'.(.
3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1b.'.(. Plot y = x Pada 1b.'.(. ini sumbu mendatar adalah sumbu nyata di mana bilangan-bilangan nyata di posisikan. 0umbu tegak juga merupakan sumbu nyata di mana bilangan-bilangan nyata yang merupakan nilai y diposisikan. Bidang yang dibatasi oleh kedua sumbu6nyata ini disebut bidangnyata. $ita lihat di bidang-nyata ini bahwa kita hanya dapat menggambarkan nilai y sampai pada x 7 8, karena untuk x 9 8 kita tidak mendapatkan nilai y yang berupa bilangan nyata. :alaupun kita tidak mendapatkan nilai y yang nyata untuk x negatif, namun x untuk x yang negatif dapat didefinisikan sebagai suatu bilangan imajiner khayal!.
5ika didefinisikan bahwa
−' = j maka
− = −'× = −'× = j( − ; = −'×; = j) − <' = j; −'88 = j'8 dst. 0ekarang kita dapat memandang j sebagai sebuah operator* artinya jika j beroperasi pada bilangan nyata 3 misalnya, kita mendapatkan bilangan imajiner j3 dan jika beroperasi pada bilangan nyata b kita mendapatkan bilangan imajiner jb. 0umbu tegak pada 1b.'.(. dapat diubah menjadi sumbu imajiner untuk memosisikan bilangan imajiner sehingga sumbu-sumbu yang membatasi bidang sekarang adalah sumbu nyata diberi tanda %e! dan sumbu imajiner diberi tanda &m!* bidang yang dibatasi oleh kedua sumbu ini disebut bidang kompleks . 5ika setiap titik di bidang kompleks menunjukkan posisi bilangan-kompleks x,, y! dengan x adalah komponen nyata dan y adalah komponen imajiner-nya sebagaimana dikatakan dalam pendefisian bilangan kompleks yang diberikan di awal sub-bab ini.
2.1.2 Prn$a%aan Bilanan Kom!l#s
5ika setiap bilangan-nyata mempunyai satu nilai, maka suatu bilangan-kompleks juga mempunyai satu nilai
namun satu nilai ini terdiri dari dua komponen yaitu komponen nyata dan komponen imajiner. 5adi satu bilangan kompleks z merupakan jumlah dari komponen nyata dan komponen imajiner dan dituliskan z = a + jb dengan a bilangan nyata, b juga bilangan nyata, dan jb adalah bilangan imajiner. Perhatikan 1b.'.). yang merupakan plot dari satu bilangan kompleks z . &m jb
z = a + jb
ρ θ a
%e
1b.'.). %epresentasi grafis bilangan kompleks. Bentuk penulisan bilangan kompleks seperti '.'! disebut bentuk sudut siku. 0ebutan ini mudah difahami jika kita melihat 1b.'.) di mana z merupakan sudut siku dari segitiga siku-siku dengan sisi a dan jb. Bilangan kompleks z juga dapat ditulis dengan cara lain, yaitu dengan melihat panjang penggal garis yang menghubungkan titik asal dengan z, yang dalam 1b.'.). diberi nama ρ, dan sudut yang dibentuk oleh garis ini dengan sumbu nyata yang pada 1b.'.). diberi tanda θ. =ari 1b.'.). jelas terlihat bahwa a = ρ cos θ dan b = ρ sin θ
'
sehingga bilangan kompleks z dapat dituliskan sebagai z = ρcos θ + j sin θ!
'.!
0udut θ disebut argumen ditulis arg >! dan penggal
garis yang menghubungkan titik > ke titik awal disebut modulus. =ari 1b.'.). jelas bahwa
−
'b arg z = θ = tan
'.3! a
sedangakan modulus > adalah ρ modulus z = ρ =
a( + b(
'.?!
=engan demikian maka '.(! dapat ditulis sebagai z = a( + b( cos θ + j sin θ!
'.
'!. 0uatu bilangan kompleks dinyatakan dalam bentuk sudut siku z ' = )+ j 0udut dengan sumbu nyata adalah
θ' = tan−' )! ≈ 3),'o Pernyataan z ' dapat kita tuliskan z ' = )( + ( (cos3),'o + j sin 3),'o ) = 3(cos3),'o + j sin 3),'o ) (!. 0uatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai z ( = '8(cos (8o + j sin (8o ) Pernyataan ini dapat kita tuliskan o o z ( = '8(cos (8 + j sin (8 ) ≈ '88,; + j8,)! = ;, + j),!
ρ =
a( + b(
merupakan nilai mutlak, karena ia adalah panjang penggal garis. =ua atau lebih bilangan kompleks bisa saja memiliki nilai ρ yang sama akan tetapi dengan sudut θ yang berbeda* atau sebaliknya mempunyai nilai θ sama akan tetapi memiliki ρ yang berbeda. =ua bilangan kompleks sama besar jika mereka mempunyai baik ρ maupun θ yang sama besar, atau dengan kata lain memiliki bagian nyata dan bagian imajiner yang sama besar.. ilai negatif dari suatu bilangan kompleks adalah nilai negatiCe dari kedua komponennya. 5adi jika z = a + jb maka − z = −a − jb . Perhatikan representasi grafis pada 1b.'.. &m z = a + jb
jb
ρ θ +'<8o
θ %e
ρ − = − −
a
z a jb 1b.'.. egatif dari suatu bilangan kompleks.
'!. 5ika z ' = + j? maka z ( = − z ' = − − j? (!. 0udut dengan sumbu nyata
θ' = tan−'? ! = 3?,)o θ( = 3?,)o +'<8o = ()?,)o )!. z ' dapat dinyatakan sebagai z = ( + ?( (cos3?,)o + j sin 3?,)o ) = @,((cos3?,)o + j sin 3?,)o )
− z ' = @,((cos3?,)o +'<8o ! + j sin3?,)o +'<8o !)
= j?'
@,((− 8,33 − j8,<)) = −),;? −
Konjugat Bilangan Kompleks. $onjugat dari suatu bilangan kompleks z adalah bilangan kompleks z * yang memiliki komponen nyata sama dengan z tetapi komponen imajinernya adalah negatif dari komponen imajiner z.
5ika z = a + jb maka z ∗ = a – jb
Perhatikan 1b.'.3.
&m
'.
z = a + jb
jb
ρ θ %e
− a θ z ∗ = a − jb − jb 1b.'.3. $ompleks konjugat.
'!. 5ika z = 3+ j? maka
z ∗ = 3 − j?
(!. 0udut dengan sumbu nyata
θ = tan−'? 3! = 38,(o θ∗ = −38,(o )!. z dapat dinyatakan sebagai z = 3( + ?( (cos38,(o + j sin 38,(o ) = @,<(cos38,(o + j sin 38,(o ) z
∗
= @,<(cos38,(o − j sin 38,(o )
!. 5ika z = −3 − j? maka z ∗ = −3 + j?
&m z ∗ = −3 + j? %e z = −3 − j? 3!. 5ika z = 3− j? maka z ∗ = 3 + j? &m z ∗ = 3 + j? %e z = 3 − j?
2.2 &!rasi'&!rasi Al(a)ar 2.2.1 Pn(*mla+an ,an Pn*ranan Bilanan Kom!l#s
$arena bilangan kompleks terdiri dari dua komponen maka operasi penjumlahan harus dilakukan pada kedua komponen. Dasil penjumlahan dua bilangan kompleks merupakan bilangan kompleks yang komponen nyatanya merupakan jumlah komponen nyata dan komponen imajinernya juga merupakan jumlah komponen imajiner. =emikian pula selisih dua bilangan kompleks adalah bilangan kompleks yang komponen nyatanya merupakan selisih komponen nyata dan komponen imajinernya juga merupakan selisih komponen imajiner. z ' + z ( = a' + jb'! + a( + jb( ! = a' + a( ! + jb' + b( ! (.'! z ' − z ( = a' + jb'! − a( + jb( ! = a' − a( ! + jb' − b( !
5ika s' = ( + j) dan s( = ) + j maka s' + s( = ( + j)! + )+ j! = 3 + j@ s' − s( = ( + j)! − )+ j! = −'− j'
2.2.2 Pr#alian Bilanan Kom!l#s
Perkalian dua bilangan kompleks dialksanakan seperti halnya kita melakukan perkalian jumlah dua bilangan, yaitu dengan malakukan perkalian komponen per komponen. z '! z ( ! = a' + jb'!a( + jb( ! = a'a( + jb'a( + jb'a( − b'b( (.(! = a'a( + ( jb'a( − b'b( =
maka × z ∗ adalah 5ika z z ∗ z ( ' ' ' ∗ z × z = a + jb!a − jb! ' ' = a( − jba + jba + b(
(.)!
= a( + b(
5ika z ' = ( + j) dan z ( = )+ j maka z '! z ( ! = ( + j)!)+ j! = ? + j; + j; −'( = −? + j'<
(
∗
=
= ( − j)
= ( + j) dan z z maka
5ika z '
(
'
( z '! z '∗ ! = ( + j)!( − j)! = − j? + j? + ; = −3 + ; =
5adi perkalian suatu bilangan kompleks dengan konjugatnya akan menghasilkan bilangan nyata. 0ifat ini
akan kita manfaatkan dalam melakukan pembagian bilangan kompleks. 2.2.- Pm)aian Bilanan Kom!l#s
Dasil bagi suatu pembagian tidak akan berubah jika pembagian itu dikalikan dengan '. =alam mencari hasil bagi dua bilangan kompleks, kita kalikan pembagian ini dengan ' dan bilangan ' ini kita pilih sama dengan rasio konjugat bilangan kompleks pembagi dengan dirinya sendiri. =engan cara demikian kita akan memperoleh suatu pembagian di mana bilangan pembaginya adalah bilangan nyata. a( − a' + z
' = jb'
×
jb(
− z (
a( + jb( a( jb(
a'a( + b'b(! + jb'a( − = b(a'! ( a( + b ( (
5ika z ' = ( + j) dan z ( = )+ j maka ( + )− ? +'(! + j−< + ;! z ' j) j =
z (
×
)− )+ j j
=
)( + (
' < + ' = j ( (3 3
2.2. Prn$a%aan Bilanan Kom!l#s Bn%*# Polar
Pernyataan bilangan kompleks bentuk sudut siku adalah seperti yang kita pakai untuk menyatakan definisi bilangan kompleks, yaitu z = a + jb . Bentuk polar diturunkan dari bentuk sudut siku melalui
(.)!
relasi geometri sederhana. %elasi '.)!, '.3!, dan '.?!, yaitu dan ω = ρsin
σ = ρcosθ
θ
−
'ω
(+
ρ= σ
θ=
(
ω
dan tan
σ Eemungkinkan pengubahan dari bentuk sudut siku ke bentuk polar dan juga sebaliknya. Bentuk polar diturunkan dari fungsi eksponensial kompleks yang akan kita lihat lebih dulu. Fungsi Eksponensial Kompleks. $ita telah mengenal fungsi eksponensial nyata. 5ika x adalah bilangan nyata maka fungsi ekponensial y = e x
merupakan fungsi ekponensial nyata* y memiliki nilai nyata. kompleks z = σ + adalah jθ maka didefinisan 5ika z bilangan fungsi eksponensial kompleks z = eσ+
e
= eσ cos θ + j sin
jθ!
θ! *
(.!
dengan eσ adalah fungsi eksponensial riil e jθ = cos θ + j sin Eelal identitas ui Guler, kompleks (.! dapat kita tuliskan
Fung eHponensi θ si al
e z = eσe jθ
(.3!
Bentuk Polar. %elasi (.3! memberikan memberikan jalan untuk representasi bilangan kompleks dalam bentuk polar
z = ρe jθ
(.?!
Eodulus z nilai absolut! adalah ρ, ditulis 2 z 2
σ( + θ(
=ρ=
dan argumen z kita dituliskan juga sebagai ∠ z . Perhatikan representasi grafis 1b.(.'. &m z
ρ θ
%e 1b.(.'. z = ρe jθ * arg z = ∠ z = θ .
Eisalkan suatu bilangan kompleks z 7 '8 e j8,3. Eodulus bilangan kompleks ini adalah 2 z 2 7 '8 dan argumennya
∠ z 7 8,3 rad. Bentuk sudut sikunya adalahI z = '8 cos8,3 + j sin 8,3! =
'8 8,<< + j8,
&m z = 3e j8,3 '8
8,3 rad %e
Eisalkan suatu bilangan kompleks z 7 )J j. Eodulus z adalah 2 z 2 = ρ = )( + ( = 3 −' = 8,;) ∠ θ = = Argumennya adalah z tan rad . ) %epresentasi polar adalahI z 7 3e j8,;)
&m z = 3e j8,;) 3 8,;) rad %e
Eisalkan suatu bilangan kompleks z = −( + j8 . Eodulus z adalah 2 z 2 = ρ = + 8 = ( . Argumen θ = tan−'(8 − () = ± tidak bernilai tunggal. $ita harus berhati-hati menentukan argumennya. =i sini kita harus memilih θ 7 π rad karena komponen imajiner 8 sedangkan komponen nyata −(. %epresentasi polar adalah z = (e jπ . &m
z = (e jπ
%e
−(
Eisalkan suatu bilangan kompleks
z = 0 − j( .
Eodulus z adalah 2 z 2 = ρ = 8 + = ( . Argumen θ = tan−'(− ( 8) =
−π ( *
komponen imajiner 8
sedangkan komponen nyata −(. %epresentasi polar adalah z = (e− jπ ( . &m
%e
z = (e− jπ (
− j( 2.2./ Manfaa% Bn%*# Polar
Perkalian dan Pembagian Bilangan Kompleks. %epresentasi polar dari bilangan kompleks mempermudah operasi perkalian dan pembagian.
(
z '! z ( ! = ρ'e jθ' ρ(e jθ( = ρ'ρ(e jθ' +θ( !
(.@ ! z
'
jθ
ρ 'e
=
z (
ρ' e jθ'
'
−θ ( !
=
ρ
e
jθ
(
ρ
(
(
Eisalkan bilangan kompleks z ' 7 '8 e j8,3 dan z ( 7 3 e j8,
. z
j8,3 ×3e j8, = 38e j8,;
z '
= '8e
( j8,3
z '
'8e
j8,'
=
z (
= (e
3e
j8,
Konjugat Kompleks. $onjugat dari suatu bilangan kompleks yang dinyatakan dalam bentuk sudut siku, diperoleh dengan mengganti j dengan − j seperti diperlihatkan secara grafis pada 1b.(.(.a* hal ini telah kita pelajari.
&m
&m
z = ρe jθ
z =σ + jθ
θ %e
%e
−θ z ∗ = σ +
z ∗ = ρe− jθ
jθ a!
b!
1b. (.(. Bilangan kompleks konjugat. 5ika dinyatakan dalam bentuk polar, sudut argumen konjugat berlawanan dengan argumen bilangan kompleks asalnya, seperti diperlihatkan secara grafis oleh 1b.(.(.b.
2.- Bilanan Kom!l#s *n%*# Mn$a%a#an F*si Sin*s
Berikut ini kita akan melihat pemanfaatan bilangan kompleks untuk menyatakan fungsi sinus. 4indakan demikian ini kita jumpai dalam analisis rangkaian listrik. 2.-.1 F*nsi Sin*s
0inyal listrik sebagai fungsi waktu yang berbentuk sinusoidal adalah y = Asinωt ! dengan A adalah amplitudo simpangan maksimum!, ω adalah frekuensi sudut ω = (π f dengan f frekuensi siklus. amun pernyataan sinyal sinus sering dilakukan menggunakan fungsi cosinus yaitu bentuk pernyataan yang dianggap normalI y = Acosωt − θ! ).(! jika puncak pertama fungsi terjadi pada ωt K 8 dan θ disebut sudut fasa.
a! y = Acosωt
y = Acosωt − θ! b!
1b.).'. Fungsi sinusoidal dinyatakan dengan fungsi cosinus. =engan bentuk normal ini maka fungsi y = Asinωt ! dituliskan sebagai y = Acosωt − π (! di mana θ 7 π( pada 1b.).'.b.
2. Fasor
$ita mengenal pernyataan suatu bilangan kompleks yang berbentuk z = Ae jθ = A(cos θ + j sin θ)
).
=engan pernyataan bilangan kompleks ini maka fungsi cosinus dan sinus dapat dinyatakan sebagai fungsi eksponensial kompleks, yaitu Acos θ = %e Ae jθ = komponen nyata dari z , dan ). ! Asin x = &m Ae jx = komponen imajiner dari z $arena sinyal sinus dalam analisis rangkaian listrik dituliskan dalam bentuk normal sebagai fungsi cosinus, dapat ditetapkan bahwa hanya bagian riil dari bilangan kompleks Ae jx saja yang diambil untuk menyatakan sinyal sinus. Lleh karena itu sinyal sinus y 7 Acosωt Jθ! dapat kita tulis sebagai y = Acosωt + θ! = %e Ae jωt +θ! = %e Ae jθe jωt jθe jωt
= Ae
tanpa harus menuliskan keterangan %e lagi. 5ika kita bekerja pada suatu frekuensi ω tertentu untuk seluruh sistem rangkaian, maka faktor e jωt pada pernyataan fungsi sinus ).3! tidak perlu dituliskan lagi. $ita dapat menyatakan fungsi sinus cukup dengan mengambil besar dan sudut fasa-nya saja. 5adi sinyal sinus v = A cosωt + θ! dinyatakan dengan 0 = Ae jθ
Pernyataan sinyal sinus dengan bilangan kompleks ini disebut fasor yang biasa dituliskan dengan huruf tebal dengan garis di atasnya. Fasor ini merupakan bilangan kompleks dan dapat digambarkan secara grafis seperti
terlihat pada 1b.).(. 1ambar grafis seperti ini disebut diagram fasor. &m 2A2
0
θ %e 1b.).'. Fasor 0 = Ae jθ 5adi dengan notasi fasor, kita hanya memperhatikan amplitudo dan sudut fasa dari suatu sinyal sinus, dengan pengertian bahwa frekuensinya sudah tertentu. $arena kita hanya memperhatikan amplitudo dan sudut fasa saja, maka fasor dapat kita tuliskan dengan menyebutkan besarnya dan sudut fasanya. Pengertian ini ekiCalen dengan modulus dan argumen pada bilangan kompleks. 5adi penulisan fasor dalam bentuk yang juga kita sebut bentuk polar adalah = Ae jθ ditulis 0
sebagai
0
= A∠θ
).@
Fasor 0 = A∠θ kita gambarkan dalam bidang kompleks, seperti terlihat pada 1b.).'. Panjang fasor adalah nilai mutlak dari amplitudo A. Penulisan fasor dalam bentuk polar, dapat diubah ke bentuk sudut-siku, yaitu I 0
= A∠θ = A (cos θ + j sin θ)
0ebaliknya, dari pernyataan dalam bentuk sudut-siku dapat diubah ke bentuk polar
).
− +
a b
0 = a + jb =
'b
(
(
∠
tan
).;! a
4ransformasi timbal balik antara pernyataan dalam bentuk sudut-siku dan bentuk polar, memudahkan kita dalam melakukan operasi-operasi fasor yang akan kita lihat berikut ini, yang pada hakekatnya sama seperti operasi aljabar pada bilangan kompleks yang sudah kita pelajari. 2..1 &!rasi Fasor Perkalian Fasor. Perkalian fasor mudah dilakukan bila fasor dituliskan dalam bentuk polar.
∠θ 5ikaA = A' dan B = B∠θ( maka = AB∠θ' + A 1 =B θ( !
).'8!
Dal ini mudah difahami, karena jika kita menuliskan A
= Ae
jθ
'
jθ dan B = Be ( jθ jθ ( = ABe jθ' = Ae ' Be
+θ
( ! = AB∠θ + θ (
maka ' Pembagian Fasor. Pembagian fasor mudah dilakukan bila fasor dituliskan dalam bentuk polar.
5ika
=
A∠θ'
dan
=
B∠θ(
mak a
!
A
B
A∠θ A
'
A
D =
).''!
∠θ − θ (!
= =
B∠θ
'
B ( B Dal ini juga mudah difahami. 5ika kita menuliskan A
= Ae
jθ
'
dan Ae
B
= Be
(
− A jθ jθ
jθ
'
maka D =
jθ
e ' e
=
jθ
A −θ ! A ( = e ' (
∠θ − θ (!
=
' B jθ( B e
B
B
Penjumlahan dan Pengurangan Fasor. Lperasi penjumlahan ataupun pengurangan lebih mudah dilakukan jika kita menuliskan fasor dalam bentuk sudut-siku. = a( +
5ika maka
A 1
= a' + jb' =A
B jb(
dan +B = (a' + a( ) + j(b' + b( ) b
=
(a
+ a
)( + (b
+ b
)(
∠−
tan ' '
+ b
( + a
).'(!
'
(
'
a
(
'
(
D = A − B = (a' + jb') − (a( + jb( )
− b b ' ( ) − − ∠ − ( = (a a ) + (b b ( tan ' − a a ' ( ' ( ' ( 5ika fasor dinyatakan dalam bentuk polar, kita ubah dulu ke bentuk sudut siku untuk mudah dijumlahkan dikurangkan 5ika A = A∠θ' dan B = B∠θ( maka = A + B = ( Acos θ' + B cos θ( ) + j( Asin θ' + B sin θ( ) ).')! D = A − B = ( Acos θ' − B cos θ( ) + j( Asin θ' − B sin
θ( ) 5ika dituliskan dalam bentuk sudut-siku, nilai negatif fasor adalah negatif dari masing-masing komponen riil dan imajiner. &m A
A
θ %e
− A
A∗
1b.'(.(. Fasor dan negatifnya serta konjugatnya 5ika = a' + jb' maka − = −a − A
A
'
− 5ika
A
= a + jb maka A M = a
'
'
jb ' '
=alam bentuk polar, = A∠θ 5ika maka −
= A∠( θ +'<8o ) = A∠( θ −'<8o )
dan Fasor Dengan Sudut Fasa siku dari fasor dengan sudut ;8 o dan 8o adalah
).'! M
= A∠ −
θ o
o
Bentuk sudut-
= A∠;8o = jA * = B∠ − ;8o = − jB
*
).'3!
= ∠0o =
a!. v't ! = '8 cos388t − 3o ! Pernyataan fasor sinyal sinus ini dalam bentuk polar dan bentuk sudut siku adalah = '8∠ − ata 3o u
' o o ' = '8cos−3 ! + j'8sin−3 ! = @,8@ − j@,8@ b!. v( t ! = '3cos388t + )8o ! Pernyataan fasor sinyal sinus ini dalam bentuk
polar dan bentuk sudut siku adalah =
'3∠)8o
Atau
(
= '3cos)8 o ! + j'3sin)8 o ! = '(,;; + j@,3 (
c!. i't ! = − cos'888t Pernyataan fasor dalam bentuk polar dan bentuk sudut siku adalah = − cos8o ! − jsin8o !
=
−∠0o
= −
atau
'
'
d!. i( t ! = )cos'888t − ;8o ! Pernyataan fasor dalam bentuk polar dan bentuk sudut siku adalah ( = )∠ − ;8o atau ( = )cos−;8o ! + j)sin−;8o ! =
− j) e!. ) = ' + ( dari c! dan d! Fasor hanya dapat dijumlahkan jika frekuensinya sama. $arena kedua arus dalam soal e! ini berfrekuensi sama maka fasornya dapat kita jumlahkan ) = ' + ( = − − j). Dasil penjumlahan ini dapat kita ubah kembali dalam bentuk polar menjadi
−' − ) ) =
−
(
( +
∠
o
−)!
.!
= 3∠
tan
('?, ;
− =0
f!. ! '
=
2 M*
(
!
'
'
M 02 ( (
= '8∠ − 3o !×−∠0o ! =
M −8∠ − 3o =0 2
! '
'
' = '3∠)8o !×)∠;8o ! =
3∠'(8o
M
!
=0 2 (
( (
0
*N
'
= 0(
g!. N = 2'
'
( 2( '8∠ − 3o
0 '=
=−(.3∠ − o
− ∠0o " = ' '
0
'3∠ ) o 8
= 3∠ −
?8o
( = )∠;8 o
" =
2(
(
Kons#*nsi Prn$a%aan Sin$al Sin*s ,alam Fasor
$arakteristik piranti dalam rangkaian listrik dinyatakan oleh hubungan antara arus dan tegangannya. #ntuk resistor , induktor, dan kapasitor hubungan tersebut adalahI %esistor I v # = #i # =
&nduktor I v
$apasitor I i =
di $
$ $
).'?! dt dv atau v ' i dt dt = ∫
#, $, dan berturut-turut adalah resistansi, induktansi, dan kapasitansi dari piranti yang bersangkutan. %elasirelasi ini adalah relasi di mana tegangan maupun arus merupakan fungsi waktu. 5ika tegangan dan arus dinyatakan dalam bentuk fasor maka harus dilakukan penyesuaian pada relasi tegangan-arus elemen tersebut. Resistor. 5ika arus pada resistor adalah
i # t ! = % #m cosωt + θ! = % #me jωt +θ! maka tegangannya adalah e
t ! = t ! = # #% m v #i # # 5ika dinyatakan dalam fasor maka #
jωt +θ !
=
0 #
#
).'@!
Dubungan arus dan tegangan resistor ini mirip dengan hubungan tegangan dan arus jika dinyatakan sebagai fungsi waktu. Induktor. #ntuk induktor, jika arus induktor adalah e
jωt +θ
t ! =
cosωt + θ! $ = % $ i % $ m m maka tegangan induktor adalah di $ d ( % $me
t ! v t ! = $ $
jωt +θ!
!
=
jωt ) jω $ % me +θ! !
= $
dt
dt
=alam bentuk fasor, $
0
=
jω $
$
2 $
= j& 2 $
= "
$ 2 $
).'
dengan I & $ = ω $ dan " $ =
jω $
5adi dengan pernyataan sinyal dalam fasor, hubungan tegangan dan arus induktor tidak lagi berbentuk hubungan diferensial, melainkan berbentuk linier dengan faktor proporsionalitas sebesar " $ 7 j& $ * & $ disebut reaktansi induktif , " $ disebut impedansi induktor . Kapasitor. #ntuk kapasitor, jika tegangan kapasitor adalah e
t ! = cosωt + θ! m jωt +θ! v ' m = ' maka arus kapasitor adalah jω jωt jωt +θ! ) = ' d (' me m e +θ! ! t ! = dv = dt i dt
yang dalam bentuk fasor dapat kita tuliskan sebagai =
2
ata jω 0 u =
= =
'
dengan & I
"
−
0 jω
).'; !
j
=
j& ω
' ω
" =
= dan −
j
ω
0eperti yang kita peroleh pada induktor, hubungan tegangan dan arus kapasitor tidak lagi berupa hubungan integral, melainkan berupa hubungan linier dengan faktor proporsionalitas sebesar " 7 j& * & kita sebut reaktansi kapasitif , " kita sebut impedansi kapasitor .
BAB - PENUTUP
Fasor adalah bilangan kompleks yang tetap, biasanya
dinyatakan
dalam
bentuk
eksponensial,
mewakili amplitudo kompleks magnitudo dan fasa! dari fungsi sinusoid dari waktu. Fasor digunakan oleh ahli elektronik
untuk
mempermudah
perhitungan
yang
melibatkan sinusoid, dimana persamaan diferensial dapat diubah ke aljabar. &mpedansi dari unsur sirkuit dapat didefinisikan sebagai perbandingan tegangan fasor yang membentangi unsur dengan arus fasor yang mengaliri unsur, seperti yang ditetapkan oleh amplitudo relatif serta fasa dari