www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc
Page 1
Titles you can't find anywhere else
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Titles you can't find anywhere else
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Titles you can't find anywhere else
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
BARISAN DAN DERET
PENGERTIAN BARISAN DAN DERET Barisan yaitu susunan bilangan yang didapatkan dari pemetaan bilangan asli yang dihubungkan dengan tanda “,”. Jika pada barisan tanda “,” diganti dengan tanda “+”, maka disebut deret. Barisan banyak macamnya, tetapi yang akan dipelajari yaitu barisan Aritmetika dan barisan Geometri.
1. BARISAN DAN DERET ARITMETIKA (HITUNG) 1.1 BARISAN ARITMETIKA Barisan Aritmetika yaitu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambahkan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda atau selisih dan dilambangkan dengan b. Contoh-contoh barisan Aritmetika : 1) 1,3,5,.... 2) 0,5,10,... 3) 100,97,94,... 4) 3 2 , 7 2 , 11 2 ,...
bedanya b = ... bedanya b = ... bedanya b = ... bedanya b = ... .
Suku ke-n barisan aritmetika
Jika suku pertama = U 1 = a dan beda = b, maka :
U n = a + (n – 1) b
U n : suku ke-n barisan aritmetika a : suku pertama n : banyak suku b : beda/selisih
b = U n − U n −1
Contoh 1 : Tentukan beda dari : a) 1,5,9 Jawab :
1 b) 10, 8 ,7,... 2 a) ………….
b) ………….
Contoh 2 : Tentukan suku ke-50 ke-50 dari barisan 2,5,8, ..... ! Jawab :
……………
Contoh 3 : Tentukan banyak suku suku dari barisan barisan 50,47,44,...,-22 ! Jawab :
…………..
Titles you can't find anywhere else
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Titles you can't find anywhere else
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Contoh 4 : Tentukan rumus suku suku ke-n dari barisan barisan 1,5,9,... ! Jawab :
…………….
Contoh 5 : Pada barisan Aritmetika diketahui U 5 = 21 dan U 10 = 41 . Tentukan U 15 ! Jawab :
…………….
LATIHAN SOAL
1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut ! a) 3.5.7,... c) 20,17,14,... 1 b) 1, 1 ,2,... d) 5 2 , 4 2 , 3 2 ,... 2 2. Tentukan suku yang diminta diminta ! a) 4,10,16,... suku ke-25 b) 20 3 , 18 3 , 16 3 ,... suku ke-40 3. Tentukan unsur yang diminta diminta pada barisan Aritmetika berikut : a) b = 4, U 6 = 21 , a = ... b) a = -5, U 20 = 33 , b = ... c) a = 9, b = -2, U n = −19 , n = ... d) U 4 = 1 , U 7 = −8 , a = ... , b = ... e) U 3 = 7
1
, U 6 = 15 , U 10 =... .. . 2 4. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlahnya 21 dan hasilkalinya 280, maka tentukan ketiga bilangan itu ! 5. Tentukan x jika x+1, 2x, x+7 membentuk barisan aritmetika aritmetika ! 6. Ali pada bulan Januari 1999 menabung Rp. 100.000. Tiap awal bulan Ali menabung Rp.25.000. Tentukan jumlah tabungan Ali pada bulan April 2000 jika bunganya tidak diperhitungkan !
1.2 DERET ARITMETIKA Jika pada barisan aritmetika tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat deret aritmetika. Jadi pada deret berhubungan dengan jumlah barisan. Jumlah n suku pertama deret aritmetika
S n = U 1 + U 2 + U 3 + ....... + U n −1 + U n S n = a + (a + b) + (a + 2b) + .......... + (U n − 2b) + (U n − b) + U n S n = U n + (U n − b) + (U n − 2b) + ....... + (a + 2b) + (a + b) + a + 2S n = (a + U n ) + (a + U n ) + (a + U n ) + ........ + (a + U n ) + (a + U n ) + (a + U n )
2S n = n(a + U n )
Titles you can't find anywhere else
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Titles you can't find anywhere else
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Sn =
S n =
1 2
1 2
n( a + U n )
n[2a + (n − 1)b]
, karena U n = a + ( n − 1)b , maka :
S n : jumlah n suku pertama
U n = S n − S n −1 Contoh 1:
Hitunglah jumlahnya ! a) 1+3+5+...sampai 50 suku b) 2+5+8+...+272
Jawab :
a) …………….. b) …………….
Contoh 2: Tentukan x jika jika 5+7+9+……+ x = 192 Jawab :
……………
Contoh 3: Tentukan jumlah bilangan antara antara 0 - 100 yang habis habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi dibagi 5 ! Jawab :
Yang habis dibagi 4 yaitu 4 + 8 + 12 12 + ……….. + 100 = S 1 =…….. Yang habis dibagi dibagi 4 dan 5 atau habis dibagi 20 yaitu 20 + 40 + 60 + 80 + 100 = S 2 = …… Jadi jumlah bilangan yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 5 = S 1 - S 2 = ……..
Contoh 4: Tentukan U 10 jika Sn = n 2 Jawab :
…………
LATIHAN SOAL
1. Tentukan jumlah dari : a) 3+6+9+ ... sampai 20 suku b) 18+14+10+ ... sampai 20 suku c) -7-3+1+ ... + 53 d) 25+21+17 + ... + 1 2. Tentukan x jika ; a) 1+3+5+ ... + x = 441 b) 1+5+9+ ... + x = 561 3. Tentukan unsur unsur yang diminta dari deret aritmetika aritmetika berikut : a) a = 2, S22 = 737, b = ... b) b=5, U10 = 46, S 15 =... c) U 4 = 9,U 7 = 18, S 10 = .. . ..
Titles you can't find anywhere else
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Titles you can't find anywhere else
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
4. Tentukan jumlah bilangan bilangan antara 100 dan 200 yang habis dibagi dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi dibagi 3 5. Tentukan U 8 jika Sn = n 2 + 2 n 6. Tentukan jarak yang ditempuh bola yang dijatuhkan pada ketinggian 20 m, jika bola pantulannya 1/2 dari tinggi semula dan pada pantulan ke-6
2. BARISAN DAN DERET GEOMETRI (UKUR) 2.1 BARISAN GEOMETRI Barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut rasio (pembanding) dilambangkan dengan r. Contoh 1: Tentukan rasio dari barisan 1,2,4,8,... Jawab : ………….. Suku ke-n barisan geometri
Jika suku pertama u1 = a dan rasio = r, maka :
U n = ar n −1
r =
Dimana
U n U n −1
Contoh 1: Tentukan suku ke-8 dari barisan :1,2,4,.. .. Jawab : …………….
Contoh 2: Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 3,6,12,... Jawab : ………………
Contoh 3: Pada barisan geometri diketahui U 3 = 4 dan U 5 = 16 . Tentukan U 8 ! Jawab : ……………….
Contoh 4: Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 13 dan hasilkalinya 27, tentukan ketiga bilangan itu ! Jawab :
Misal ketiga bilangan itu
x r
, x, xr maka
x r
. x. xr = 27
3
⇔ x = 27
⇔
x=3
Titles you can't find anywhere else
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Titles you can't find anywhere else
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
3 r
+ 3 + 3 r = 13
Jadi r =
x r
⇒
3r 2 − 10r + 3 = 0 ⇔ (3r − 1)(r − 3) = 0
1
⇒ bilangannya 9, 3, 1 3 r = 3 ⇒ bilangannya 1, 3, 9
Contoh 5: Tentukan x jika x-1, x+2 dan 3x membentuk barisan geometri ! Jawab : ……………..
LATIHAN SOAL
1.
Tentukan suku yang diminta dari barisan : a) 1,3,9,..... suku ke-7 b) 3,6,12,....suku ke-8 c) 16,8,4, ... suku ke-10
2.
Tentukan rumus suku ke-n dari barisan : 1 1 a) , ,1,.. ,.... 4 2 b) 2,2 2 ,4 , ....
3.
Tentukan unsur yang diminta dari barisan geometri berikut : a) a = 4 ,U 4 = 32 ,U 6 = ..... 1 b) b = ,U 5 = 3, a = ... 3 c) U 3 = 8,U 6 = −64 ,U 5 = ... d) U 3 = 1,U 5 = 25,U 2 =.. . ..
4.
Tiga bilangan bilangan membentuk membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya jumlahnya 21 dan hasilkalinya hasilkalinya 216, tentukan ketiga bilangan itu !
5.
Tentukan x jika x-4, x, 2x membentuk membentuk barisan geometri !
6.
Suatu bakteri pada pukul 20.00 jumlahnya jumlahnya 4. Tiap Tiap 10 menit sekali tiap-tiap tiap-tiap bakteri membelah membelah menjadi 2. Tentukan banyaknya banyaknya bakteri sampai pukul 21.20 !
2.2 DERET DERET GEOMETRI Jika pada barisan geometri tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat deret geometri. Jumlah n suku pertama deret geometri
S n = a + ar + ar 2 + .............. + ar n −3 + ar n − 2 + ar n −1
x
r
rS n = ar + ar 2 + ar 3 + ............. + ar n − 2 + ar n −1 + ar n -
S n − rS n = a − ar n S n =
a (1 − r n ) 1 − r
=
a (r n − 1) r − 1
,
r ≠ 1
dimana
U n = Sn − S n −1
Titles you can't find anywhere else
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Titles you can't find anywhere else
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Titles you can't find anywhere else
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Contoh 1: Tentukan jumlah 8 suku pertama dari 1+2+4+.... Jawab : ……………
Contoh 2 : Tentukan jumlah dari 1+3+9+...+243 Jawab : ………………
Contoh 3: Tentukan n jika 1 + 2 + 2 2 +....+2 n = 255 Jawab : ………………
LATIHAN SOAL
1.
Tentukan jumlah dari : 1 1 a) + + 1+ .... S 10 = ... 4 2 b) 36+18+9+.... S 6 =... c)
2 + 2 + 2 2 + ... S 8 = ...
2.
Tentukan jumlah dari : a) 1/3+1+3=....+81 b) 32+16+8+....+1/8
3.
Tentukan n jika : a) 3 + 32 + 33 + ...+3n = 363 b) 2 + 2 2 + 2 3 +...+2 n −1 = 1022
4.
Tentukan unsur yang diminta dari deret geometri geometri berikut : a) U1 = 50,U 3 = 200, S 5 = ... b) a = 1, r = 3, Sn = 29524 , n = ...
5.
5 1 c) S8 = 15 , r = , a = ..... 6 2 Jumlah penduduk suatu kota setiap 3 tahun menjadi menjadi dua kali lipat. Setelah 27 tahun jumlah jumlah penduduk menjadi 6,4 juta jiwa. Hitung jumlah penduduk semula !
2.3 DERET GEOMETRI TAK HINGGA S n =
a (1 − r n )
=
a
−
r n
1 − r 1 − r 1 − r Untuk n → ∞ maka : n Lim
Titles you can't find anywhere else
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Titles you can't find anywhere else
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Contoh 1: Hitung 1 +
1 2
+
1
+ ....
4
Jawab : ………………
Contoh 2: Hitung 1 + 3 + 9 + …. (Beri alasannya !) Jawab : ……………….
Contoh 3: Suku pertama deret geometri adalah 6. Jika jumlah sampai tak hingga sama dengan 9, maka tentukan rasionya ! Jawab : …………………….
LATIHAN SOAL
1.
Hitunglah jumlahnya dari : a. 32+16+8+…. b. 125+5+1+…. c. 12+8+16/3+….
e. 0,1+0,01+0,001+…. f. 8+2+1/2+…. g. 1+1+1+….
d. 1/2+1/3+2/9+….
h. 2 + 2 + 1 + ....
2. Tentukan unsur yang diminta dari deret geometri berikut : a. r = -2/5, S ∞ = 15 maka a = …. b. a = 2, U 3 = c.
8
U 2 = 9, U 7 =
d. U 1 + U 3 = 3.
1
9 2
maka S ∞ = ….
1 27
maka S ∞ = ….
, U 5 =
1 8
maka S ∞ = ….
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian ketinggian 100 m . Bola memantul 3/5 dari tinggi tinggi semula. semula. Hitung jarak seluruhnya yang ditempuh bola sampai bola berhenti
4.
Jika sisi bujur sangkar terbesar pada gambar di samping 8 cm, maka tentukan jumlah luas keseluruhan bujur sangkar jika diteruskan hingga tak terhingga jumlahya.
3. NOTASI SIGMA Untuk mempersingkat bentuk penjumlahan yang sifatnya mempunyai sifat keteraturan digunakan
Titles you can't find anywhere else
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Titles you can't find anywhere else
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
5
Contoh 1 : Tentukan bentuk penjumlahan dan nilainya dari
∑ (2k + 1) k =1
5
Jawab :
∑ (2k + 1)
= …………………
= …………
k =1
Contoh 2 : Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan penjumlahan 1 + 4 + 7 + ……. … …. + 28 Jawab : 1 + 4 + 7 + ……. + 28 = …………..
Jika batas bawah diubah maka otomatis rumus sigmanyapun akan berubah. Jadi rumus sigma sifatnya tidak unik. k
k + c
n =0
n =c
∑ xn = ∑ xn
−c
5
Contoh 3 : Ubahlah
∑ (4k + 3)
menjadi bentuk sigma dengan batas bawah 7 !
k = 0
Jawab :
5
5+ 7
12
k = 0
k = 7
k = 7
∑ (4k + 3) = ∑ 4(k − 7) + 3 = ∑ (4k − 25)
LATIHAN SOAL
1.
Tulislah dalam bentuk penjumlahan dari : 7
a.
∑ (5k − 4) k =1 7
b.
∑i
2
i =3 10
c.
∑ (−1)
ki
3k
k =1 6
d .
n
∑n+2 n =0 n
e.
∑ 2 xk k =1
2. Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan berikut : a. 2 + 5 + 8 + ...... + 74
b. − 1 − 5 − 9 − ...... − 41 10 17
26
101
Titles you can't find anywhere else
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Titles you can't find anywhere else
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
3. Ubahlah bentuk bentuk sigma berikut dengan batas bawah bawah = 5 8
a.
∑ (3k − 4) k = 0 10
b.
∑ (10 − 2n) n =3 10
c.
∑2
x
x = 7 n
d .
i −1
∑i + 2 i=0
4. INDUKSI MATEMATIKA Induksi matematika adalah salah satu bentuk pembuktian suatu rumus dalam matematika dengan menggunakan pola bilangan asli. Misalkan Pn suatu pernyataan dan n ∈ Asli sedemikian sehingga : 1. P n benar untuk n = 1 2. Misal P k benar dimana k sembarang bilangan antara 1 dan n sehingga menyebabkan P k +1 benar pula, maka P n benar untuk n ∈ Asli. Hal ini bisa digambarkan dengan penataan kartu berdiri yang dijajarkan dengan jarak yang sama sehingga jika kartu yang pertama jatuh maka semua kartu akan jatuh pula. Contoh 1 : Buktikan 1 + 2 + 3 + ..... + n =
n 2
(n + 1) dengan menggunakan induksi matematika !
Jawab : Untuk n = 1 (suku (suku pertama) maka 1 =
1 2
(1 + 1) benar.
Misal untuk sembarang n = k maka 1 + 2 + 3 + ..... + k =
k 2
(k + 1) benar.
Sehingga untuk n = k+1 :
1 + 2 + 3 + ...... + k + (k + 1) = Jadi 1 + 2 + 3 + ..... + n =
n 2
k 2
(k + 1) + (k + 1) =
2
(k + 1) +
(n + 1) benar untuk n ∈ Asli.
LATIHAN SOAL
Buktikan dengan induksi matematika !
1. 2 + 4 + 6 + ..... + 2n = n(n + 1) 2. 1 + 3 + 5 + ....... + (2n − 1) = n 2 3. 2 + 7 + 12 + ....... + (5n − 3) =
k
n(5n − 1) 2
4. 10 + 8 + 6 + ..... + (12 − 2n) = 11n − n 2
2(k + 1) 2
=
k + 1 2
(k + 2) benar.