MAGAZINE DE MATHEMATIQUES
Profs : ÉQUIPE ACADEMIQUE ACADEMIQUE MA TH E MA TI TIQU QUE ES
(28 juin 1875 à Beauvais - 26 juillet juillet 1941 1941 à Paris Paris)) est un mathématicien français. Il est reconnu pour sa théorie d'intégration publiée initialement dans sa dissertation Intégrale, longueur, aire à l' l'Université de Nancy en 1902. Il fut l'un des grands mathématiciens français de la première moitié du vingtième siècle.
(allemand, 1826-1866) Ce très grand mathématicien, élève de Gauss à Göttingen de Jacobi à Königsberg et de Dirichlet Dirichlet à à Berlin, fut professeur en la célèbre université de Göttingen Göttingen,, succédant à ce dernier en 1859 (Dirichlet Dirichlet avait avait lui-même succédé à Gauss quatre ans plus tôt). Riemann mourut prématurément, atteint de tuberculose à Selesca (lac Majeur, Italie) où il se soignai.
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RESUME DU COURS 1°) Définition Soient f et F deux fonctions définies sur un intervalle I. F est une primitive de f sur I si et seulement si F est dérivable sur I et pour tout réel x de I, F'(x) = f (x).
Théorème1 Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.
Théorème 2 Si une fonction f admet une fonction primitive F sur un intervalle I alors f admet une infinité de fonctions primitives sur I et qui sont toutes de la forme F + c où c désigne une constante réelle arbitraire. C’est -à-dire l’ensemble des primitives de f sur l’intervalle I est F + c ; c .
Théorème 3 Etant donnés un intervalle I, un réel a de I et un réel b. Toute fonction f continue sur I admet une unique fonction primitive F sur I telle que F(a) = b.
2°) Opérations sur les fonctions primitives Théorème 4 Etant donnés deux fonctions continues f et g sur un intervalle I de et deux réels et .
Si F et G sont respectivement deux fonctions primitives de f et g sur I alors (.F + .G) est une fonction primitive de la fonction ( .f + .g) sur I.
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3°) Fonctions primitives des fonctions usuelles Fonction f définie
Fonctions primitives F de f
sur I par
définies sur I par
I est intervalle de
a ; (a ).
x
x
x
*
*
x
+
x
\
2
k, k
\ k,
k
x
1 n 1
2 3
c ; (c ).
c ; (c ).
n 1
c ; (c ).
x
1
x
2
sin x
cos(ax+b) x
1 a
sin(ax+b) ;
(a * et b ).
x
x x
c ; (c ).
c ; (c ).
cos x + c ; (c ).
tgx c ; (c ).
x
2
cos x
sin x + c ; (c ).
x
1
(a * et b ).
3
x
2 x
x
sin x
x
1
n 1
x
x
x
x
x
x
cos x
x
2
x
x
n 1
x
1
*+
x 2 c ; (c ).
1
x
x n ; (n \-1)
x
2
x
1 x
1
x
x
x n ; (n )
x
ax c ; (c ).
x
cot gx c ; (c ).
sin(ax b) + c ; (c ).
1 a
cos(ax b) + c ; (c ).
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\x tel
ax+b =
2
que
que
ax+b = k ; k
1+tan2(ax+b) ;
x
1
x
(a * et b ).
k, k
\x tel
x
a
(1+cotan2(ax+b)) x
(a * et b ).
1 a
tan(ax b) c ; (c ).
cotan(ax b) c ; (c ).
4°) Fonctions primitives des fonctions usuelles I est un intervalle de tel que :
Fonction f
Fonctions primitives F de f sur I
u et v deux fonctions dérivables sur I.
u’+ v ’
u + v + c ; (c ).
au’ ; a réel.
au + c ; (c ).
u et v deux fonctions dérivables sur I.
u’.v + v ’.u
(uv) + c ; (c ).
u une fonction dérivable sur I et ne s’annulant pas sur I.
u’.u n ; n \-1
u une fonction dérivable sur I.
u
u une fonction dérivable et ne s’annulant pas sur I.
u
u
u une fonction dérivable et ne s’annulant pas sur I.
u
1 n 1
'
1
2
u
'
n
; n
1
1
(n 1)u
u
u une fonction dérivable et positive sur I.
u' u
u et v deux fonctions dérivables sur I et v ne s’annulant pas sur I. u et v deux fonctions telles que
u'.v v'.u v
2
( v ’ u ).u’
vu soit dérivable sur I.
4
+ c ; (c ).
u'
u une fonction dérivable et strictement positive sur I.
u n+1 + c ; (c ).
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n 1
+ c ; (c ).
2 u c ; (c ). 2 3
u u u v
c ; (c ).
+ c ; (c ).
(v u) + c ; (c ).
Section : Toute les sections Thème abordé : PRIMITIVES
Magazine de mathématiques
Durée : 3 h 42 mn
Profs : Équipe académique Mathématiques
5'
EXERCICE N°1 :
2points
a) Déterminer l’ensemble de définition de f telle que f ( x )
Date : 31 - 12 - 2015
facile x 2 2x ( x 2 x 1)2
.
b) Déterminer a et b pour que f admette une primitive F telle que F ( x )
5'
EXERCICE N°2 :
Soit f ( x )
2points
ax b x 2 x 1
.
facile
4 x 1 (2 x 1)3
a) Déterminer les réels a et b tels que : pour tout x D f, f ( x )
1 2
a
(2 x 1)2
b
(2x 1)3
b) Déterminer toutes les primitives de f sur ; .
7'
EXERCICE N°3 :
Soit la fonction f ( x ) (x 1)
2points
facile
1 2 x 1
1°) Déterminer D l’ensemble de définition de f , puis montrer que pour tout x de D on a :
f ( x ) a 2x 1
b
2 x 1
, avec a et b deux réels à déterminer. 1 2
2°) Déterminer les primitives de f sur ; .
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15'
EXERCICE N°4 :
Soit f ( x )
3points
Date : 31 - 12 - 2015
facile
1 . x(1 x )
1°) Montrer que f admet des primitives sur 0;1 . 2°) Soit F la primitive de f sur qui s`annule pour x =
3 4
et g la fonction définie sur 0; par g( x ) F (cos²x ) .
2
a) Montrer g est dérivable sur 0; puis calculer g´. 2
b) Montrer que pour tout x de 0; on a : g( x ) 2x . 3 2
25'
EXERCICE N°5 :
5points
Soit f la fonction définie sur 0, par : f ( x )
Moyen
1 et F la primitive de f sur 0, qui s’annule en 1 x 2
zéro. par H( x ) F (tan x ) . 2 a) Montrer que H est dérivable sur 0, et déterminer H ' x . 2 b) En déduire que pour tout x 0, : H (x ) x . 2
1°) Soit H la fonction définie sur 0,
c) Calculer alors F (1).
1 x F . 1 2 x x
2°) Soit G la fonction définie sur 0, par : G( x ) F
a) Montrer que G est dérivable sur 0, , et déterminer G ' x .
1 2
1 3
b) En déduire que : F F
4
6
.
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EXERCICE N°6 :
25'
Date : 31 - 12 - 2015
5points
Soit f la fonction définie sur IR par : f ( x ) 1
1 x 1 2
Moyen
.
1°) a) Dresser le tableau de variation de f .
b) Tracer la courbe C de f dans un repère orthonormé O , i , j . 2°) Soit F la primitive de f sur IR qui s’annule en zéro. a) Montrer que F est impaire. b) Montrer que pour tout x 0, : x F ( x ) 2x . c) En déduire la limite de F en
.
d) Dresser le tableau de variation de F.
par : G( x ) F (cos x ) . 2
3°) Soit G la fonction définie sur 0,
a) Dresser le tableau de variation de G.
b) Donner l’allure de la courbe de G sur autre repère orthogonal O , i , j .( on prend F (1) 1,9 )
EXERCICE N°7 :
30'
5points
Soit la fonction f définie sur 1,1 par : f ( x )
1 1 x
2
Moyen
.
1°) Prouver l’existence et l’unicité d’une primitive notée F de f x telle que F (0) = 0. 2°) Montrer que la fonction F est impaire.
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Date : 31 - 12 - 2015
, par : G( x ) F (sin x ) . 2 2
3°) Soit G la fonction définie sur
, et déterminer G’(x). 2 2 2 , 2 ; G( x ) x .
a) Montrer que G est dérivable sur b) En déduire que : pour tout x
2 3 ; F 2 . 2 2 x IR* \ 1 , et calculer H’(x). 4°) Soit la fonction H( x ) F . Montrer que H est dérivable sur 1 x 1 2
c) Calculer F ; F
30'
EXERCICE N°8 :
Soit f : 2;2 IR x
5points
Moyen
x 2 4 x 2 .
1°) Étudier les variations de f et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé O ;i j . 2°) Prouver que f admet une primitive sur 2;2 . Soit F la primitive de f sur 2;2 telle que F(0)=0 .
; par g( x ) F(2sin x ) . 2 2
3°) Soit g la fonction définie sur I =
a) Montrer que g est dérivable sur I. b) Calculer g '( x ) et g(0) . 4°) Déterminer une primitive de chacune des fonctions g1 et g2 définie sur IR par: g1( x ) sin x .cos2 x
et g2( x ) cos2 x 5°) En déduire g(x) et calculer F (–2)–F (2).
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EXERCICE N°9 :
40'
5points
Soit f la fonction définie sur ,1 par : f ( x )
Date : 31 - 12 - 2015
Moyen
2 et F la primitive de f sur ,1 qui x 2 2x 2
s’annule en 1. x 1°) On désigne par G la fonction définie sur 0, par G( x ) F 1 tan .
2
a) Montrer que G est dérivable sur 0, et calculer G ' x . b) Déterminer G(x) pour tout x 0, puis calculer F (0) .
x . x 1
2°) Soit H la fonction définie sur ,1 par : H( x ) F ( x ) F
a) Montrer que H est dérivable sur ,1 et calculer H ' x .
x F ( x ) . 1 x
b) En déduire que pour tout x ,1 on a : F
1 2n 1 3°) Soit u la suite réelle définie sur IN par : un F . n 1 k n k 1
1
1
a) Montrer que pour tout n IN et k n, n 1,.....,2nona : F F F . n k 2n b) En déduire la limite de un en
.
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EXERCICE N°10 :
30'
5points
Date : 31 - 12 - 2015
Moyen
Soit f la fonction définie sur 0; par f ( x ) 1 cos x . 1°) Montrer que f est une bijection de 0; sur 0; 2 . (On notera f 1 la fonction réciproque de f )
2°) Montrer que f 1 est dérivable sur 0; 2 et expliciter ( f 1 )'( x ) .
3°) Soit g la fonction définie sur 2; 2 par g( x )
2
et G la primitive de g sur 2; 2 qui 2 x 2
s’annule en zéro. a) Calculer la dérivée de la fonction H : x
b) Montrer que pour tout x
EXERCICE N°11 :
g( x ) g( x ) . En déduire que g est paire.
0, 2 ; G( x ) f 1( x ) . En déduire G(1).
10'
2points
Moyen
Déterminer une fonction polynôme P dont la fonction dérivée est : P’(x) x 2 – 5x+6 et dont le maximum relatif est le double du minimum relatif.
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