Matemáticas Administrativas Cuadernillo de ejercicios
UNIDAD 2. Actividades formativas: formativas: Los límites y aplicación en funciones Los siguientes ejercicios son actividades actividades formativas para que el estudiante practique y refuerce sus conocimientos. conocimientos.
Actividad 1. Maximización de costo promedio El costo promedio mensual debido en una empresa de ensamble de computadoras por unidades ensambladas está dado por la siguiente función:
En donde u representa el número de unidades ensambladas. Se desea aumentar el número de unidades ensambladas. Determine el costo promedio máximo de la empresa si se aumenta la producción de unidades de ensamblaje.
Respuesta: 15,000 de unidades
Procedimiento. C(u)= 15000 + 1250 u lim C(u)= lim 15000 + lim 1250 x
∞
U
lim C(u)= 15000 + lim 1250 lim C(u)= 15000 + lim 1250 0 lim C(u)= 15000
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Actividad 2. Costo total Un restaurante bar fue clausurado por no cumplir las medidas de seguridad, las pérdidas por día están dadas por la siguiente función, en miles de pesos.
Determine cuál será el costo para el restaurante bar, conforme pasa el tiempo.
Respuesta: $692.30 pesos
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Evidencias de aprendizaje álgebra de límites y continuidad La evidencia de aprendizaje para esta unidad estará conformada por dos ejercicios:
Ejercicio 1: Cálculo de límites Relacione las funciones de la columna de la izquierda con la respuesta correcta de la columna de la derecha:
(5) (2)
(3) (1)
(4)
= 16
1.
2. 15 3. indeterminación. 4. 16 5.-17
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Ejercicio 2: Rentabilidad con límites al infinito En una zona conurbada se está construyendo un gran conjunto habitacional y se calcula que la población en x años sigue la siguiente función:
En cientos de habitantes. Cierta empresa desea construir un centro comercial para lo cual requiere al menos 20 000 pe rsonas, para que sea rentable en cualquier momento. Determine si será rentable en algún momento construir el centro comercial:
Respuesta: 125 mil personas
750 x 3 x
P ( x)
3
P ( x)
3
3
6 x 3 x
3
3
x
3
3
100 x x
4 x
3
4 x x
750 x 3 x
100 x x
6 x x
3
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750 P ( x )
lim
x
6
lim
x
2
2
100
lim
2
4
x
x
4
750 lim
2
100
6
2
4
750 x
x
x
x
lim
2
100
6
x
4
6
750
100
750 0
60 750 6
125
Conclusión: Por lo tanto llegamos a la conclusión de que la construcción del centro comercial sería rentable, ya que se calcula que sería buen negocio si el conjunto habitacional tiene al menos 22.000 habitantes y como el resultado es mucho mayor, la inversión garantiza éxito.
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UNIDAD 3. Actividad 1. Ejercicio 1. Velocidad en el cambio de los costos.
Se determinó que en una fábrica de chocolates, lo que se tiene que comprar por concepto de materia prima por semana tiene la siguiente función:
Donde c representa la cantidad de materia prima en cientos de kilos y t es el tiempo en que se tarda en hacer el pedido de materia prima en semanas. Determine la función que representa la velocidad con la que se compra la materia prima para hacer los chocolates por semana. Solución:
dc(t)=(278 e 0.162t2-4) U= 278 e (0.162t2-4) = du (0.162t2-4) dt d= 278 e (0.162t2-4) (0.324t) d= 278 (0.324t) d= 90.072t e (0.162t2-4)
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Ejercicio 2. Criterio de la primera y segunda derivada De acuerdo con los criterios de la primera y segunda derivada completa la siguiente tabla: Intervalo
Crece/Decrece
+
Crece
-
Decrece
-
Decrece
+
Crece
Intervalo
Cóncava hacia arriba o hacia abajo
-
hacia abajo
-
hacia abajo
+
hacia arriba
Ejercicio 3. Incremento de utilidad Una fábrica de lápices calcula sus util idades están dadas por la siguiente función:
Mensualmente. Si actualmente su nivel de producción es de 240 cajas de lápices por mes, determine, ¿Cómo serán los ingresos si su producción aumenta un 25%?
Δf(x)=Δy=f(x final)-f(x inicial)
Datos: 240 cajas por mes 25% = 300 cajas de aumento
U (240) =.25(240)³ + .20(240) 2 – 825000 U (240) =.25(13824000) + .20(57600) – 825000 U (240) = 3456000 + 11520 -825000
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U (240) = 2´642,520 dólares por mes
U (300) =.25(300)³ + .20(300) 2 - 825000 U (300) =.25(27000000) + .20(90000) - 825000 U (300) = 6750000 + 18000 - 825000 U (300) = 5´943,000 dólares por mes Δx=x final-x inicial Δx= 5´943,000 – 2´642,520 ΔX= 3´300,480 dólares con el incremento
Ejercicio 4. Elasticidad de la demanda La demanda de un nuevo producto de limpieza esta dado por:
En donde p es el número de productos de limpieza demandados, con de la demanda del nuevo producto. Solución:
U= 250p v= (25-5p²)
y donde Q esta dado en miles de pesos. Determine la función de elasticidad
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Evidencia de aprendizaje: Análisis Marginal Ejercicio 1 Aplicación de reglas de derivación Desarrolla las siguientes derivadas utilizando las fórmulas y reglas de derivación:
5.
Por diferencia Logarítmica.
1.
[]
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2.
3.
4.
5.
() ()()
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6.
Ejercicio 2. Ingreso real a partir del ingreso marginal Resuelve el siguiente problema. Los ingresos en una tienda de materiales de construcción por la venta de arena están dados por la siguiente función:
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En miles de pesos, semanalmente, determine los ingresos reales por la venta del costal de arena 101.
Respuesta: $ 300,000 pesos
⌊⌋⌊⌋
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UNIDAD 4. Actividad 1. Integral definida y por sustitución. Resuelva la siguiente integral definida:
01(3x2+10) dx=[3x33+10x1]01 01(3x2+10) dx= [(1)3+10(1)]-[(0)3+10(0)] 01(3x2+10) dx=1+10-0 (3x2+10) dx =11
Ejercicio 2. Integración por sustitución. Resuelva la siguiente integral por el método de sustitución:
u=x4+1 du=4x3dx 3(x4+1)(4x3) dx
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u=x4+1 du=4x3dx 3udu 3udu=3u1+11+1 + c 3udu=3u22 + c
(12x3)(x4+1)dx=3(x4+1)2 2 + c Conclusión: El uso nos ayuda para obtener más fácilmente el resultado ya que nos ayuda a ser más simplificado el procedimiento para la obtención del resultado
Actividad 2
Ejercicio 3. Función de Ingreso total a partir del ingreso marginal. Una tienda departamental tiene ingresos marginales en el departamento de perfumería de acuerdo a la siguiente función:
Donde x representa la cantidad de artículos que vende el departamento de perfumería por mes. Determine la función que representa los ingresos totales.
Solución: Como nos dan el ingreso marginal necesitamos calcular la integral para obtener el ingreso total por lo que tenemos: I(x)=I'(x)= dI=28X3-14x dx(x4-x2)3=74x3-2x dx(x4-x2)3
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Para resolver la integral utilizamos la técnica de integración por sustitución, con lo que tenemos: u=x4-x2 du=(4x3-2x)dx La integral está completa continuamos con la sustitución de la variable u quedando de la siguiente manera: I(x)=74x3-2x dx(x4-x2)3=7duu3 Ahora solamente hay que resolver la integral 7duu3 Ente caso para resolver la integral pasamos la variable u en el numerador con exponente de signo contrario, quedando la expresión de la siguiente manera: I(x)=7u-3du Ahora realizando la integración se tiene: I(x)=7 u-3+1-3+1+C=-7u-22+C Ahora se regresa la variable u en el denominador, cambiando nuevamente el signo del exponente con lo que se tiene: I(x)=-72u2 +C El último paso es cambiar la variable u por su valor respecto a x con lo que se tiene: I(x)=-72(x4-x2)2 +C Al no vender no hay ingresos por lo que la constante de integración es cero con lo que nos queda: I(x)=-72(x4-x2)2 Por lo tanto la función que representa los ingresos totales de la venta de perfumes al mes es de:
I(x)=-72(x4-x2)2
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Conclusión: El uso de las integrales en el área económico-adminis trativos son de suma importancia ya que pueden tener aplicaciones en el cálculo de la utilidad total, costo total ó calcular el ingreso total que ocasiona alguna venta, en este caso de perfumes y que arroja la siguiente función : I(x)=-72(x4-x2)2
Ejercicio 4. Concepto de aplicación en las matemáticas financieras Relacione las funciones de la columna de la izquierda con la respuesta correcta de la columna de la derecha: ( 6 )
Representa a las existencias de cualquier artículo, material o recurso utilizado en una organización para los procesos de fabricación y/o distribución.
1.
Agotamiento de recursos.
( 1 )
Se presenta cuando los ingresos son menores a los costos las ganancias de la empresa se pierden y empieza.
2.
Costo capital.
( 10 ) Son los elementos de carácter material, tecnológico o humano que sirven para desarrollar una tarea específica donde se quiere llegar a un
3.
objetivo final.
( 9 )
Permite realizar la actividad de la empresa de manera eficiente y va desde la maquinaria del área de proceso hasta las computadoras del área
4.
Costo de operación. Costos de
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de oficinas.
mantenimiento.
( 5 )
Es el proceso por el cual de manera continua se in crementa la cantidad acumulada de bienes de capital y está en funció n del tiempo.
5.
Formación de capital.
( 4 )
Son los generados por tener un artículo en inventario, incluye costos de capital invertido, de deterioro, obsolescencia, robos, impuesto y seguros, así como espacio, ins talación, depreciación del edificio y equipo de almacén, etc.
6.
Inventario.
( 2 )
Es el costo de compra menos el valor de recuperación.
7.
Recurso humano.
( 8 )
Permite destinar las cantidades de dinero para realizar diversas actividades tales como los pagos, compras, salarios, entre otros.
8.
Recurso material.
( 3 )
Incluye a los costos de propiedad y mantenimiento de equipos.
9.
Recurso tecnológico.
( 7 )
Corresponde al personal con que cuenta la compañía o empresa para desarrollar las actividades con apoyo de los recursos tecnológicos.
10. Recursos.
EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE OBTENCIÓN DE FUNCIONES A PARTIR DE LAS MARGINALES versión 1
La evidencia de aprendizaje para esta unidad estará conformada por dos ejercicios: • Ejercicio 1 Integración por partes • Ejercicio 2 Costo total a partir del costo marginal • Los estudiantes enviarán el documento al portafolio de evidencias y usted lo evaluará y retroalimentará. Ejercicio 1. Integración por partes. Resuelva la siguiente integral por partes:
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∫ ∫ ∫ ∫ Ejercicio 2. Costo total a partir del costo marginal Durante un análisis marginal se determinó que en el almacén de producto terminado la función de costo marginal estaba dada por:
En pesos, determine el costo de al macenar 146 artículos, si se sabe que los costos fijos del almacén son de 73.
∫ EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE OBTENCIÓN DE FUNCIONES A PARTIR DE LAS MARGINALES versión 2 Ejercicio 1. Integración por partes Resuelva la siguiente integral por partes:
∫ ∫
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∫( ) ∫ ∫ Ejercicio 2. Costo total a partir del costo marginal
Durante un análisis marginal se determinó que en el almacén de producto terminado la función de costo marginal estaba dada por:
En pesos, determine el costo de almacenar 165 árboles de navidad artificiales, si se sabe que los costos fijos del almacén son de 5.
∫
