Luiz Rijo Eletromagnetismo Com Matematica Vol1

Prefácio R °

ELETROMAGNETISMO com MATHEMATICA é fruto de 25 anos de ensino das disciplinas de Eletromagnetismo e de Métodos Elétricos e Eletromagnéticos no Curso de Pós-graduação em Geofísica do Centro de Geociências da Universidade Federal do Pará. Em virtude de Geofísica ser multidisciplinar, o universo de alunos no nosso curso de pós-graduação é muito amplo, vindo de diversas áreas do conhecimento: geologia, matemática, física, engenharia elétrica, engenharia civil e áreas a fins. Com uma platéia tão diversi ficada quanto esta, é sempre um desafio iniciar, iniciar, cada ano, o curso com novos novos alunos. Os graduados graduados em geologia chegam com conhecimentos modestos de matemática e computação, e praticamente praticamente nenhum treinamento treinamento em eletromagnetismo. eletromagnetismo. Os graduados em matemática, por sua vez, conhecem matemática formal mas, pouca experiência em computação cienti fica e em eletrom eletromag agnet netism ismo. o. Os graduagraduados em física e engenharia elétrica trazem consigo alguns conhecimentos de eletromagnetismo, mas se ressentem da falta de treinamento nos aspectos computacionais desta matéria, tão necessários às disciplinas avançadas dos métodos geofísicos elétricos e eletromagnéticos. O objetivo deste livro é, na medida do possível, suprir algumas dessas deficiências. Trata-se, portanto, de um livro básico orientado orientado tanto para a graduação em geofísica, quanto para os alunos iniciantes à pós-graduação nesta nesta área. área. Alunos Alunos de graduaçã graduaçãoo em física, matemátic matemáticaa aplicada aplicada e engenengenharia elétrica podem, igualmente, usufruir o livro como complemento às disciplinas de computação cientí fica. Sem os avanços tecnológicos em computação (hardware e software) este livro não teria sido concebido. Diferente Diferente dos livros tradicionais de eletromagnetismo, a ênfase é nos aspectos computacionais das equações de Maxwell orientados para a solução de problemas práticos. É ai que o computador entra em sena e o principal ator é o sistema Mathematica de computação simbólica, numérica e grá fica. O Mathematica é um sistema revolucionário que facilita enormemente enormemente a aprendizagem e uso da matemática tradicional. Com xi

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PREFÁCIO

ele, o trabalho, cansativo e desestimulante de efetuar cálculos e mais cálculos, assessorados por calculadoras de mão, torna-se coisa do passado, exatamente como aconteceu, no início da década de setenta, quando as primeiras calculadoras substituíram as réguas de cálculos. Com um detalhe, as calculadoras programáveis de hoje são in finitamente superiores as do passado. O livro acompanha um CD-Rom que contém os Notebooks de todos os programas desenvolvidos desenvolvidos no texto. Para minimizar minimizar repetições desnecessárias, muito deles estão restritos ao CD-Rom, indicados no texto pelo ícone (*--. O livro livro consta consta de dez capítul capítulos. os. O primei primeiro ro serve serve de vitrine vitrine aos demais. mais. Nele, as equações equações de Maxwell, Maxwell, nas formas formas integral integral e diferenc diferencial, ial, são apresentadas axiomaticamente em cinco versões diferentes, da mais geral à mais especializada, com vista à Geofísica. A forma integral re flete as idéias originais de linha de força e de fluxo de Faraday, que tanto in fluenciaram Maxwell. Por isso, acredito ser esta a melhor maneira de iniciar o estudo de eletromagnetismo. O segundo capítulo traz uma síntese das ferramentas matemáticas matemáticas necessária à decodi ficação cação das equações equações de Maxwell. Maxwell. Inicia-se Inicia-se com as integra integrais is de linha e de superfície em comum acordo com as equações de Maxwell na forma integral integral.. A partir das integrais integrais de linha e de superfície superfície se chega chega aos operadore operadores: s: rotacion rotacional al e divergê divergência ncia,, fundamen fundamentais tais na represen representaçã taçãoo diferenci diferencial al das equações equações de Maxwell. Maxwell. A transfor transformaçã maçãoo de uma forma forma para a outra se faz por intermédio dos Teoremas de Stokes e de Gauss. Por fim é apresentada uma síntese sobre séries e transformadas de Fourier, ferramentas indispensáveis para simpli ficar os problemas de eletromagnetismo O tercei terceiro ro capítul capítuloo é de cunho cunho históric histórico. o. De posse posse das ferram ferramen enta tass matemáticas, cada uma das equações de Maxwell é analisada cuidadosamente do ponto de vista histórico, físico e matemático. No final do terceiro capítulo espera-se que o leito se sinta à vontade para usar inteligentemente as equações de Maxwell e solucionar, de modo e ficiente, problemas de eletromagnetismo. A maneira como os três primeiros capítulos devem ser explorados depende do gosto de cada um. Talvez, alguns pre firam iniciar com os capítulo capítuloss dois e três e voltar voltar ocasionalm ocasionalment entee ao primeiro primeiro capítulo capítulo.. EntreEntretanto, acredito que uma visão panorâmica das equações de Maxwell serve de motivação para a preparação da base matemática, objeto do segundo capítulo capítulo.. De qualquer qualquer modo, os três primeiro primeiross capítulo capítuloss devem devem ser lidos lidos e relidos mais de uma vez para consolidar os princípios básicos do eletromagnetismo. netismo. Eles não são difíceis, difíceis, mas são sutis. sutis. Por isso, isso, no começo começo é preciso preciso perseveran perseverança, ça, persistênc persistência ia e muito muito trabalho trabalho.. Vencida encida a primeira primeira etapa, os Este Este progra programa ma se encont encontra ra no CD-Rom CD-Rom ---*) ---*)

CD - ROM

xiii demais capítulos seguirão tranqüilamente sem nenhum problema. O quarto capítulo se destina às primeiras aplicações em eletrostática. Neste caso as equações de Maxwell se dissolvem na equação de Laplace. Iniciando com as coordenadas cartesianas, as séries de Fourier Fourier desempenham papel fundamental na resolução dos problemas deste capítulo. A simetria cartesiana é muito rígida e muito particular. particular. Para se explorar outras simetrias, notadamente, cilíndrica e esférica, é preciso, antes de tudo, complementar complementar a base matemática iniciada no capítulo dois. O objetivo ob jetivo deste quinto quinto capítulo capítulo é exatamen exatamente te este. Oferecer Oferecer uma introdução introdução às funções especiais (Bessel, Airy, Sturve, Polinômios de Legendre, função erro, integral de Dalson, entre outras), às séries de Fourier-Bessel e Fourier-Legendre e às transformadas de Hankel e Laplace. O sexto capítulo continua com a eletrostática mas desta feita nos sistemas de coordenadas cilíndrica e esférica. Os problemas analisados no quarto e sexto capítulos são do tipo clássico e têm pouca importância na prática, embora possuam valor acadêmico, principalmente como motivação aos problemas mais interessantes que virão em seguida. Para solucionar problemas realmente práticos é necessário à intervenção do computador. É ai que a nova tecnologia computacional entra em sena. Entreta Entretant nto, o, é preciso, preciso, primeiro, primeiro, complem complement entar, ar, um pouco mais, o acervo de matemática iniciado nos capítulos dois e cinco. O sétimo capítulo trata exatamente exatamente deste ponto. Lá será apresentada uma introdução introdução à matemática numérica, com ênfase nos métodos dos elementos finitos e nos métodos das equações integrais de elementos de volume e de elementos de fronteiras, essenciais para a computação cientí fica. No oitavo capítulo, problemas de eletrostática impossíveis de serem resolvidos pelos métodos tradicionais dos capítulos quatro e seis são agora facilmente solucionados com a metodologia apresentada no sétimo capítulo. Tudo que foi feito até aqui é apenas a preparação do terreno para os dois últimos capítulos. capítulos. São neles que a metodologia desenvolvida desenvolvida nos capítulos anteriores mostrará toda sua beleza, utilidade e e ficácia cácia.. Os probl problema emass de eletromagnetismo aplicados à geofísica se enquadram, normalmente, em duas categori categorias. as. Os mais simples, simples, cujas fontes fontes externas externas de corrent correntee são funções senoidais e os mais complexos, em que as fontes externas são pulso de corrente. No primeiro caso se diz que o problema se encontra no domínio da freqüência freqüência e no segundo caso, caso, no domínio domínio do tempo. O nono capítulo capítulo trata dos problemas no domínio da freqüência. O décimo, e último, capítulo abrange os problema no domínio do tempo. Comumente Comumente um problema no domínio do tempo equivale equivale a vários vários problemas no domínio domínio da freqüência. freqüência. A síntese síntese é feita feita por meio das transfor transformada madass de

xiv

PREFÁCIO

Fourier e de Laplace. Os dez capítulos estão divididos em quatro categorias: a primeira é formada pelos três capítulos iniciais e formam a base conceitual do eletromagnetismo; a segunda categoria é formada pelos capítulos 2, 5 e 7 que fornecem as ferramentas ferramentas matemáticas; a terceira categoria abrange os capítulos 4, 6 e 8 que nada mais são do que laboratórios de testes das ferramentas matemáticas desenvolvidas desenvolvidas nos capítulos 2, 5 e 7 e por p or fi m, a última categoria, constituída dos capítulos nove e dez. O capítulo dez é o fecho do livro e engloba tudo que foi visto nos demais capítulos. O diagrama a seguir mostra a interdependência dos dez capítulos. Conforme o gosto do leitor há vários caminhos para se chegar aos capítulos nove e dez. Eu proponho o caminho caminho natural, natural, passando passando por todos os capítulo capítulos, s, embora longo é o mais e ficaz. As duplas setas sugerem que os capítulos 1, 2 e 3 devem ser relidos mais de uma vez. Cap. 2

Cap. 1

Cap. 3

Cap. 5

Cap. 4

Cap. 7

Cap. 6

Cap. 9

Cap. 10

Cap. 8

Figura 1: Diagrama da interdependência dos capítulos. Os dez capítulos formam material su ficient cientee para para dois dois semest semestres res.. No primeiro primeiro semestre semestre vêem-se vêem-se os capítulo capítuloss de 1 a 6. No segundo semestre semestre,, os quatro últimos capítulos. Os pré-requisi pré-requisitos tos para a leitura do livro são bastante bastante modestos. modestos. Um curso básico de cálculo vetorial e de álgebra linear é su ficiente. ciente. ConheciConhecimento de eletromagnetismo não é necessário, entretanto, o leitor com alguns conhecimentos básicos de eletricidade e magnetismo se sentirá mais à vonta vontade. de. Conhecim Conheciment entoo prévio do sistema sistema Mathematica também não é essencial, todavia é preciso ter familiaridade com o computador e algumas noções preliminares de programação (Matlab, Pascal, Fortran, C ++ etc). Os exercícios no final de cada capítulo servem de treinamento e fixação das idéias desenvolvidas no texto e também complementam alguns tópicos omitidos no livro. Os exemplos dos programas que acompanha o CD-Rom é apenas uma pequena amostra do que pode se feito. Dê asas à sua imaginação imaginação e explore novos horizontes. Não há limite para isso!

Capítulo 1

Equações de Maxwell 1.1 1.1

Intr In trod oduç ução ão

Eletromagnetismo é a parte da Física que lida com os fenômenos elétricos, magnétic magnéticos os e óticos. óticos. Eletroma Eletromagnet gnetismo ismo é o resultad resultado, o, na forma de uma teoria uni ficada, de vários séculos de experimentos com esta classe de fenômenos. menos. Em meados meados do século século XIX, graças às investi investigaçõ gações es de Ampère Ampère e Faraday, já se conhecia, experimentalmente, a inter-relação entre a eletricidade ricidade e o magnetis magnetismo. mo. Faltav altava, entreta entretant nto, o, uma teoria que uni ficasse todos estes conhecimentos. Na época, várias teorias foram propostas. Entre elas, elas, destac destacam am-se -se a de Weber Weber [2] a de Maxwell Maxwell [30], [30], [48], [48], [84]. [84]. Esta Esta última prevaleceu, por sua elegância, simplicidade e praticabilidade. De modo que hoje, ho je, eletromagnetismo eletromagnetismo é universalmente universalmente reconhecido como sinônimo de Teoria eoria Eletroma Eletromagnét gnética ica Maxwellian Maxwelliana. a. Um dos grandes grandes triunfos triunfos da teoria teoria de Maxwell é reconhecer que os fenômenos óticos também são de origem elétrica e magnética. Evidências cientí ficas e aplicações tecnológicas tecnológicas do eletromagnetismo eletromagnetismo permeiam por toda parte. Cobrem, por exemplo, desde os delicados sinais sinais elétricos do coração e do cérebro humano (e dos outros animais, evidentemente) às ínfimas radiações de fundo em microondas provenientes provenientes do Big Bang. Isto sem falar nas aplicações tecnológicas do dia-a-dia: rádio, TV, telefonia celular, computadores, sensoriamento remoto, radar, motores elétricos, usinas hidrelétricas, instrumentos óticos, raios X, eletrocardiogra fia, tomogra fia, prospecção prospecção geofísic geofísicaa de água subterrâ subterrânea, nea, exploraç exploração ão eletroma eletromagnét gnética ica de depósitos minerais, per fis elétricos de poços de petróleo, geofones etc, etc..., para citar apenas alguns poucos exemplos. exemplos. O eletroma eletromagnet gnetismo ismo também também está por trás de muitos muitos fenômenos fenômenos naturais naturais:: a aurora boreal, o eletrojato eletrojato 1

2

CAPÍTULO CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES EQUAÇÕES DE MAXWELL MAXWELL

equatorial, raios e trovões, as cores do arco-íris, o azul do céu, a luz das estrelas trelas e o luar... luar... E, por fi m, sem o eletromagnetismo não haveria a Internet. É praxe nos textos elementares, o eletromagnetismo ser apresentado de acordo com o seu desenvolvimento desenvolvimento histórico. histórico. Inicia-se com a eletrostática, eletrostática, seguida pela magnetostática, galvanismo, eletricidade e por fim as equações de Maxwell acompanhadas de algumas aplicações simples como em [20], [29], [39], [39], [44], [44], [58], [58], [60], [60], [61],[63 [61],[63],[6 ],[67] 7] e [81]. [81]. Nos textos de nível nível interm intermediá ediário rio se faz o inverso, inicia-se axiomaticamente com as equações de Maxwell e a partir delas se desenvolve todo o eletromagnetismo ([4], [13], [27], [69], [75] e [78]). Nos livros mais avançados, avançados, usa-se a formulação formulação covariant covariantee das equações de Maxwell baseada no princípio da relatividade restrita de Einstein ([6], [33], [37], [51] e [66]). Como o objetivo primordial deste livro é apresentar uma introdução aos aspectos computacionais do eletromagnetismo orientados para a Geofísica, acredito que a melhor abordagem é aquela que segue a tendência dos textos de nível nível intermediá intermediário. rio. Assim, Assim, neste neste primeiro primeiro capítulo, capítulo, as equações equações de Maxwell serão apresentadas axiomaticamente, constituindo o ponto de partida de tudo que será visto no restan restante te do livro. livro. O três próximos próximos capítulos capítulos tratam do simbolismo matemático e da interpretação física das equações de Maxwell. Os seis capítulos seguintes preparam o embasamento para os três últimos, nos quais as equações de Maxwell serão aplicadas a vários problemas práticos de eletromagnetismo. eletromagnetismo. Tudo isso com a assistência do programa aplicativo Mathematica.

1.2

Repre Re presen sentaç tações ões das das Equaç Equações ões de de Maxw Maxwell

A primeira di ficuldade que os iniciantes em eletromagnetismo enfrentam é a multiplicidade de representações das equações de Maxwell. Com um pouco de exagero pode-se até a firmar que cada livro texto de eletromagnetismo traz diferente representação representação destas equações, nem sempre equivalente equivalentes. s. Algumas são mais gerais, outras mais especializadas, dependendo dos objetivos de cada autor. autor. Os livros livros dedicado dedicadoss aos físicos físicos apresen apresentam tam formulaç formulações ões mais gerais com vista aos fundamentos da teoria eletromagnética e sua interrelação com outras áreas da Física teórica. Os de Engenharia Elétrica, por outro lado, trazem versões especializadas das equações de Maxwell voltadas às diversas aplicações tecnológicas nas áreas das telecomunicações, telecomunicações, geração e distribuição de energia elétrica. Os livros de geofísica, por sua vez, adaptam as equações de Maxwell às premissas impostas pelos fenômenos naturais e pelas propriedades elétricas e magnéticas das rochas.

1.2. REPRESEN REPRESENT TAÇÕES AÇÕES DAS EQUAÇÕES EQUAÇÕES DE MAXWELL

3

Neste primeiro capítulo serão discutidas sucintamente cinco diferentes represen representaçõ tações es das equações equações de Maxwell. Maxwell. É instruti instrutivo, vo, do ponto ponto de vista pedagógico, iniciar com a representação mais geral possível e, por meio de um processo gradativo de simpli ficações sucessivas, deduzir a formulação mais conve convenien niente te para as aplicaçõ aplicações es a serem tratada tratadass no texto. Digo instrutivo pedagogicamente, porque desta maneira torna-se muito mais fácil acompanhar acompanhar o significado físico de cada uma das equações de Maxwell, além de servir de motivação para o desenvolvimento das ferramentas matemáticas necessárias ao entendimento do eletromagnetismo e de suas aplicações. Os leitores que já têm algum conhecimento de eletromagnetismo não terão dificuldades em acompanhar este primeiro capítulo. Aqueles que estão iniciando podem começar pelo segundo e terceiro capítulos e voltar posteriormente ao primeiro. O processo de aprendizagem de eletromagnetismo é lento lento e requer requer paciênci paciênciaa e persistênc persistência. ia. Por isso, é aconselh aconselháve ávell que os três primeiros capítulos capítulos sejam lidos e relidos duas ou três vezes, mesmo por aqueles que já têm algum conhecimento da matéria. Ler e reler signi fica estudar com afinco. Os fundamentos do eletromagnetismo eletromagnetismo são bastante bastante sutis e por p or conseqüência devem ser estudados com muita dedicação. Isto, com certeza, facilitará a leitura do restante do livro. Garanto que valerá a pena o esforço, pois além de ser fundamental nesse mundo tecnológico em que vivemos, a teoria eletromagnética é belíssima na sua essência. No texto será usado o Sistema Internacional (SI) de Unidades [metro (m), quilograma (kg), segundo (s) e ampère (A)]. Além de ser o sistema adotado nas aplicações práticas, ele também tem a virtude de realçar os aspectos físicos e matemáticos da teoria eletromagnética nos moldes em que esta será apresentada aqui neste livro 1 .  e B  Campos Campos micros microscóp cópico icos s - E

1.2.1 1.2.1

O conceito de campo eletromagnético é fundamental em eletromagnetismo. Um campo eletromagnético, em uma região Ω de R3, é um ente formado  e B  que satisfazem as equações de Maxwell por dois campos vetoriais 2 E  . As duas e cujas fontes são o campo escalar 3 ρ e o campo vetorial J duas concon1

Além do sistema SI existem outros sistemas de unidades, como o CGS e o sistema Lorentz-Heavi Lorentz-Heaviside, side, comuns em livros mais avançados avançados de eletromagnetismo. eletromagnetismo. A interpretação física do eletromagnetismo depende do sistema de unidades adotado. Os exercícios no final do capítulo ajudam a entender isso. 2 Campo vetorial é uma aplicação (função) de uma região Ω de R3 em R3 . Simbolicamente, f Ω ⊂ R3 → R3 . 3 Campo escalar é uma aplicação (função) de uma região Ω de d e R3 em R. SimbolicaSimbolica3 mente, f Ω ⊂ R → R. :

:

4


stantes eletromagnéticas eletromagnéticas 0 e μ0 fazem parte da física e do balanceamento dimensional das equações de Maxwell no SI. No segundo capítulo será visto detalhadamente detalhadamente o que signi ficam campo escalar e campo vetorial do ponto de vista físico-matemático. Os dois campos vetoriais que especi ficam o campo  ( eletromagnético são: o campo elétrico E ( V /m, volts por metro) e o campo  densidade de fl uxo uxo magnético magnético B (T , tesla) 4 . As fontes de densidade fontes de corren corrente te são 3 densidade de carga arga elétric elétrica a ρ (C/m , coulomb por metro formadas pela densidade  (A/m2, ampères por metro cúbico) e pela densidade de corrente elétrica J quadrado). As constantes eletromagnéticas são a permissividade elétrica no vácuo  0 = c 2 /μ0 (farad por metro) e a permeabilidade magnética no vácuo μ0 = 4π10−7 (henry por metro), sendo a constante c = 299792458 m/s a velocidade da luz no vácuo. A interpretação física do eletromagnetismo é realçada quando se escrevem crevem as equações equações de Maxwell Maxwell na forma forma integra integrall [69]. [69]. Maxwell Maxwell usou este expediente para construir sua teoria [48]. Por isso, vamos vamos iniciar nosso estudo escrevendo escrevendo as equações equações de Maxwell Maxwell desta forma. Mas antes é preciso preciso 3 esclarecer alguns conceitos geométricos em R . Visualizemos, então, as duas superfícies orientadas ilustradas na Figura 1.1, denominadas de superfícies de Gauss. A superfície à esquerdo é uma superfície fechada e e a do lado direito é uma superfície aberta . A superfície aberta possui uma fronteira, isto signi fica que existe na borda da superfície uma curva fechada na forma de um aro. A superfície fechada, ao contrário, não tem fronteira, ela, simplesmente, encerra completamente completamente uma região do R3 , formando, ela mesma, a fronteira de uma região região tridimen tridimension sional. al. Uma superfíc superfície ie orient orientada ada signi signi fica que ela possui 5 dois lados, um interno e outro externo . Além de orientada orientadass vamos vamos exigir 6 que elas sejam suaves , isto é, em cada ponto da superfície existe um vetor unitário n ˆ, normal ao plano tangente à superfície nesse ponto, orientado positivamente de dentro para fora. A borda da superfície aberta também é orientada e a sua orientação, identi ficada pelo vetor tangente ˆt, é positiva quando percorrendo a borda, o lado esquerdo fi ca para dentro da curva. De4

 e o campo B  são bem diferentes do ponto de Veremos mais adiante que o campo E vista físico. O primeiro é um campo de força e o segunda é um campo de fluxo. Por isso, usamos dois tipos diferentes de letras para representá-los. Muitos autores, especialmente os físicos e os geofísicos especializados em geomagnetismo,  de preferem denominar o campo B de campo magnético em vez de densidade de fluxo mag . nético e representá-lo pelo símbulo B 5

Nem todas superfícies são orientáveis, um exemplo famoso é a faixa de Möbius [50], [63]. 6 Na realidade, realidade, suave por partes , união de superfícies suaves.

5


z

z

V V

S S

y x

y x

(a)

(b)

Figura Figura 1.1: Superfície Superfíciess de Gauss: (a) superfície superfície fechada fechada orientada orientada,, (b) superfície aberta orientada. nominamos de S a superfície aberta e de ∂S a sua borda, isto é, a fronteira de S . Do mesmo mesmo modo denominamo denominamoss de V a região do R3 encerrada pela superfície fechada ∂V . Assim, Assim, o símbolo símbolo ∂ identifica as fronteiras, seja da superfície aberta S ou da região fechada V . Cabe salientar que estas superfícies são objetos matemáticos e portanto virtuais, sem nenhum signi ficado físico, a priori. Desse modo, quando digo visualizar me re firo visualizar na mente, mente, de olhos olhos vendado vendados. s. Tente ente isto! isto! Embora Embora virtuais, virtuais, estas superfícieis superfícieis desempenham o papel de sensores para se ”detectar ” o campo eletromagnético. nético. Se, à primeira primeira vista, vista, tudo isto parece parece abstrato, abstrato, não se desanime. desanime. Tudo será devidamente esclarecido nos segundo e terceiro capítulos. De posse das superfícies orientadas orientadas que acabamos de idealizar, as equações de Maxwell, em sua formulação formulação mais geral, se escrevem da seguinte maneira,

Z   E n ˆds Z  ∂  E n ˆds ∂t Z  n ˆds Z  ∂ 0

· ·

=

∂V

Z

 B

∂S μ0

·ˆ tdl −

0

· ·

S

Z ρdv, Z 

(1.1)

V

=

J · n ˆds,

(1.2)

S

B·

= 0,

(1.3)

B·n ˆds

= 0.

(1.4)

∂V

Z

∂S

 · · ˆ E dl + tdl +

∂t

S

Coulomb, a segunda, a lei lei de A primeira equação representa a lei de Coulomb Ampère , a terceira, a lei de Gauss e a quarta, a lei de Faraday . No terceiro

6


capítulo será analisado, analisado, detalhadamente, detalhadamente, o porquê p orquê dessas denominações. denominações. Estas equações são absolutamente gerais, são válidas tanto no vácuo quanto em qualquer tipo de meio (isotrópicos, biisotrópicos, anisotrópicos, bian e B  isotrópicos, lineares, lineares simples e não-lineares) 7 . Os cam campo poss E são conhecidos como campos desta denominaç denominação ão é campos microscópicos microscópicos . A razão desta porque eles são expressos em termo de forças (efeitos) e não em termos das fontes (causas). As integrais acima são de três tipos: integral de linha C f · ˆtdl, integral de superfície S g · ˆ nds e integral de volume V pdv. Boa parte do capítulo dois será dedicada a estas integrais. É recomendável parar por alguns instantes e apreciar atentamente as quatro equações 8 que acabamos acabamos de apresen apresentar. tar. Elas formam formam um conjunto conjunto harmonioso e de belíssima simetria. Equações matemáticas não são apenas arranjos embaralhados embaralhados de símbolos. Muito pelo contrário, contrário, elas normalmente transmitem mensagens codi ficadas cadas de como a natureza funciona funciona.. Uma vez entendi entendidas, das, revelam revelam beleza b eleza e simplici simplicidade dade dos segredos segredos da natureza natureza.. Para Para apreciar isto, é preciso saber decodi ficar a mensagem contida em qualquer equação e reconhecer precisamente precisamente o papel de cada um dos seus símbolos. No próximo capítulo veremos como decodi ficar as equações de Maxwell. Como recompensa, teremos o prazer de apreciar a simplicidade e coerência destas equações e ao mesmo tempo preparar o terreno para o restante do livro. Observando-se atentamente as equações (1.1 - 1.4), veri fica-se que elas formam dois pares de duas equações. O primeiro par é formado pela lei de Coulom Coulombb e pela lei de Ampére Ampére.. O segundo segundo par, pela lei de Gauss Gauss e pela  aparece lei de Faraday araday.. No primeiro primeiro par, (1.1 (1.1 - 1.2), 1.2), o campo elétrico E  dividido multiplicado por 0 nas integrais de superfície e o campo B dividido por μ0  e B  /μ /μ0 não são meras operna integral integral de linha. linha. Estas Estas combina combinações ções 0 E C /m2 ações algébricas. Formam Formam novos campos vetoriais vetoriais cujas dimensões são C/m (coulomb (coulomb por metro quadrado) e A/m (ampère por metro), respectivamente respectivamente.. As fontes de corrente estão no lado direito do primeiro par de equações. No segundo par não existem fontes e as integrais de linha e de superfícies atuam  e B  . Note  /μ  têm algo diretamente nos campos E Note que que os campo camposs B /μ0 e E em comum, eles aparecem nas integrais de linha nas leis de Ampère e de  e B  aparecem nas integrais de superfícies na Faraday. araday. Analogamente, 0 E lei de Coulomb e na lei de Gauss, respectivament respectivamente. e. Dessas observações observações vê-se que o segundo par de equações tem a mesma estrutura do primeiro par, com

R

7

R

R

Mais adiante veremos o que signi ficam meios isotrópicos, biisotrópicos, anisotrópicos, bianisotrópicos, bianisotrópicos, lineares, lineares simples e não-lineares. não-lineares. 8 Na realidade são oito equações: uma da lei de Coulomb, três da lei de Ampère, uma da lei de Gauss e três da lei de Faraday.


7

a ressalva que as fontes de corrente só aparecem no primeiro par. A falta de simetria no lado direito dos dois pares de equações deve-se ao fato de não haver na natureza cargas magnéticas isoladas. Todas essas observações que acabamos de fazer serão minuciosamente analisadas no quarto capítulo do livro. É importante citar que em muitos textos de eletromagnetismo as quatro equações equações de Maxwell Maxwell não seguem seguem a mesma mesma seqüência seqüência apresent apresentada ada aqui. É comum encontrar as leis de Faraday e Ampère grafadas em primeiro lugar e as de Coulomb e de Gauss por último. Ou ainda, a lei de Coulomb e a lei de Gauss vêm em primeiro lugar e as de Faraday e Ampère logo em seguida. Há muitas muitas outras outras combinaçõe combinaçõess em voga. voga. Na verdade verdade há 4! = 24 maneira maneirass diferen diferentes tes de permutar permutar as equações de Maxwell! Maxwell! Por Por mera curiosida curiosidade de eu já fiz uma pesquisa e identi fiquei 24 livros textos de eletromagnetismo, um para cada uma dessas dessas permutaç permutações. ões. A seqüência seqüência apresenta apresentada da acima, acima, além de sua simplicidade e elegância facilita a interpretação interpretação físico-matemática físico-matemática das equações de Maxwell e corrobora com as formulações mais avançadas destas equações9 . Curiosamente Curiosamente ela coincide com a seqüência cronológica no desenvolvimento volvimento do eletromagnetismo. eletromagnetismo. Todavia, do ponto p onto de vista computacional computacional não importa a ordem seqüencial das equações. 1.2.2 1.2.2

 e H  Campos Campos macro macroscó scópico picos s D

Como já foi dito antes, a representação das equações de Maxwell (1.1 - 1.4),  e  , é absolutamente geral. Ela tem em termo dos campos microscópicos E e B a vantagem de ser compacta 10 e de desvendar a física do eletromagnetismo numa linguagem linguagem matemática simples simples e elementar. Elas são tão simples e tão concisas que as propriedades propriedades elétricas do meio passam por despercebidas. As constantes constantes dimensionais dimensionais  0 e μ 0 representam o vácuo e portanto nada dizem a respeit respeitoo de qualque qualquerr meio meio físico físico.. Assim Assim,, a questã questãoo é saber saber onde as informaçõe formaçõess sobre sobre o meio interve intervenien niente te se manifesta manifestam.na m.nass equações. equações. É fácil fácil  descobrir descobrir.. Basta observ observar que as fontes de corrent correntee ρ e J correspondem à totalida totalidade de das fontes, fontes, externas externas e interna internas. s. No vácuo vácuo apenas fontes fontes exterexternas são permitidas. permitidas. Em qualquer qualquer outro meio, cargas cargas elétricas elétricas (livres e de 9

No espaço-tempo tetradimensional, o primeiro par forma uma única equação tensorial. rial. O segundo par equiva equivale le a uma segunda equação equação tensoria tensorial, l, [51], [66]. [66]. No espaço espaço tridimensional, as duas equações tensoriais se desacoplam nas quatro equações vetoriais apresentadas apresentadas no texto. Usando-se uma linguagem matemática mais so fisticada as quatro equações vetoriais podem ser reduzir a uma única equação no espaço-tempo tetradimensional, [6], [62]. 10

Veja a nota de rodapé anterior.

8


polarização) constituem efetivamente efetivamente fontes fontes internas. Em outras palavras, os meios, com exceção do vácuo, são constituídos por cargas elétricas que se deslocam na presença de campos eletromagnéticos. Estes deslocamentos podem se dar a grandes distâncias (na escala atômica) ou serem in finitamente pequenos. No primeiro caso, as fontes são chamadas de livres (livres para se deslocar) e no segundo caso são denominadas fontes de polarização. Veremos no quato capítulo que essas fontes de polarização dão origem  (C/m 2, coulomb por metro aos campos eletromagnéticos eletromagnéticos mascroscópic m ascroscópicos os D  (A/m, ampère por quadrado) chamado de densidade de fl uxo uxo elétrico e H metro) denominado de campo magnético. Com estes novos campos, veremos que as equações de Maxwell podem ser reescritas da seguinte maneira,

Z  n ˆds Z  ∂ n nd ˆ ds ∂t Z  n ˆds Z  ∂ D·

=

∂V

Z

 ·ˆ H tdl −

∂S

D·

S

Z ρ dv Z  V

=

f

(1.5)

J f ˆds, f · n

(1.6)

S

B·

= 0,

B·n ˆds

= 0,

(1.7)

∂V

Z

∂S

 ·ˆ E dl + tdl +

∂t

(1.8)

S

 f em que ρ f e J respectivamente, a densidade de cargas elétricas livres e e f são, respectivamente, a densidade de correntes elétricas livres . Note que apenas apenas o primeiro primeiro par de equações equações foi re-arrumad re-arrumadoo e o segundo não, devido devido à ausência ausência de fontes. fontes. É importante importante deixar claro que este sistema de equações de Maxwell, (1.5 - 1.8), é absolutamente equivalente ao primeiro sistema (1.1 - 1.4). É interessante  e 0 E  e observar a equivalência entre as dimensionalidades dos campos D  e B  /μ analogamente entre os campos H /μ0 . 1.2.3 1.2.3

 =  E  e B  =  - integral Meio Me io simp simple les, s, D = μ H

As equações (1.5 - 1.8) são muito gerais para as aplicações tecnológicas do eletroma eletromagnet gnetismo ismo.. A razão disto é que as propried propriedades ades elétricas elétricas e magmagnéticas néticas dos meios ainda não se fazem fazem transparecer transparecer nestas nestas equações. equações. São exatamente as propriedades intrínsecas do meio o elo entre os campos mi e  e os campos macroscópicos H  e  . O inter-relacionamen croscópicos E e B e D inter-relacionamento to entre estes campos se faz por intermédio de relações chamadas constitutivas e obviamente elas dependem das características elétricas e magnéticas de cada meio. Em geral, as relações constitutivas constitutivas são bastante abrangentes abrangentes e


9

complexas [37]. Entretanto, Entretanto, nos meios ditos simples as as relações constitutivas  =   e  = μ  [27] se reduzem à relações de proporcionalidade do tipo D = E e B = μ H [27]. Em muitos casos de interesse prático, os meios se comportam como meios simples. É o caso, por exemplo, dos meios geológicos 11 . As ”constan ”constantes” tes” elétr elétricas icas  e μ são denominadas, respectivamente, de permissividade permissividade elétrica e permeabilidade permeabilidade magnética magnética do mei meio. o. A unida unidade de dimensional dimensional de  é F /m, (farad por metro) e de μ é H/m (henry por metro). O termo ”constan ”constante” te” embora embora corriqueir corriqueiro, o, não é apropriado, apropriado, pois  e μ não são constantes propriamente ditas e sim campos escalares de finidos em regiões de R3 . Apenas no vácuo elas são constantes e coincidem numerica e dimensionalmente dimensionalmente com  0 e μ 0 , respectivamente. respectivamente. Levando em consideração as relações constitutivas para meios simples, as equações (1.5 - 1.8) se reduzem a

Z  E n ˆds Z  ∂ E n ˆds ∂t Z  μH n ˆds Z  ∂ ·

=

∂V

Z

 ·ˆ H tdl −

∂S

·

S

Z ρ dv, Z  V

=

f

J f ˆds, f · n

(1.9) (1.10)

S

= 0,

(1.11)

μH ·n ˆds = 0.

(1.12)

·

∂V

Z

∂S

 ·ˆ E dl + tdl +

∂t

S

É importante atentar que esta versão das equações de Maxwell é muito mais restritiv restritivaa do que as duas anterior anteriores. es. Isto é, elas não são equivalen equivalentes tes àquelas. àquelas. Com efeito, efeito, esta nova nova versão versão só é válida álida para meios meios simples, simples, enquanto que as anteriores são verdadeiras em qualquer situação. 1.2. 1.2.4 4

 =  E  e B  =  - diferencial = μ H Meio Me io simple simples, s, D

Não obstante a forma integral das equações de Maxwell, (1.9 - 1.12) ser, no meu entendimento 12 , a formulação mais conveniente de se introduzir o eletromagnetismo, ela, a bem da verdade, não é totalmente apropriada para se resolv resolver er problemas problemas práticos práticos de eletroma eletromagnet gnetismo ismo.. A razão razão disto disto é que estes são mais fáceis de serem resolvidos na forma de equações diferenciais. Assim, é preciso transformar as equações de Maxwell da forma integral para 11

No terceiro capítulo discutiremos um pouco mais sobre relações constitutivas mais complexas. 12 A forma integral não só facilita compreender a física do eletromagnetismo como serve de motivação para o desenvolvimento do aparato matemático necessário para se trabalhar com o eletromagnetismo eletromagnetismo..

10

CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DE MAXWELL

a forma diferencial. Heuristicamente, isto é alcançado tornando as superfícies S e ∂V , da Figura 1.1, arbitrariamente pequenas e usar ferramentas matemáticas apropriadas para proceder o limite. Os capítulos dois e três serão dedicados precisamente a esta questão. Dito isto, vamos adiantar as equações de Maxwell na representação diferencial que correspodem às equações (1.9 - 1.12) na forma integral,  = E   − ∂ E = ∇ × H ∂t  = ∇ · μH   + ∂ μH = ∇ × E ∂t ∇·

ρf ,

(1.13)

 f , J

(1.14)

0,

(1.15)

 0.

(1.16)

Aqui também, a primeira equação é denominada de lei de Coulomb, a segunda é chamada lei de Ampère, a terceira, representa a lei de Gauss e finalmente a quarta é a lei de Faraday. Como ja foi dito, nos segundo e terceiro capítulos veremos como transformar as equações de Maxwell da forma integral, (1.9 - 1.12), para a forma diferencial, (1.13 - 1.16) e como prêmio, teremos oportunidade de desvendar a física do eletromagnetismo. Se as funções que caracterizam os meios (  e μ) forem contínuas e os  e H  forem diferenciáveis as duas formas - integral (1.9 - 1.12) e campos E diferencial (1.13 - 1.16) - serão absolutamente equivalentes do ponto de vista matemático. Se falhar qualquer uma dessas hipóteses, as equações (1.9 1.12) deixam de ter sentido matemático e por conseqüência perdem sentido físico também. Então, o que fazer neste caso? Recorrer às equações na forma integral, visto que elas funcionam independentemente da continuidade de   e H  serem ou não diferenciáveis. Em verdade, basta que essas e μ e de E funções sejam contínuas por partes 13 para que a forma integral das equações de Maxwell funcione perfeitamente. Fazendo-se as superfícies S e ∂V tenderem para zero, veremos, no terceiro capítulo, que nas regiões onde há descontinuidade de dois meios as 13

A grosso modo, funções contínuas por partes são aquelas com um número finito de descontinuidades limitadas. No segundo capítulo veremos uma definição mais precisa.

1.2. REPRESENTAÇÕES DAS EQUAÇÕES DE MAXWELL

11

equações de Maxwell na forma integral, (1.19 - 1.22), se reduzem a

³ ´   n ˆ  E  E ³ ´   H H n ˆ ³ ´   μ H n ˆ μ H ³E  E  ´ n ˆ ·

×

·

1

×

2

= ρs ,

(1.17)

2

 s , = J

(1.18)

2

2

= 0,

(1.19)

−

2

=  0.

(1.20)

1− 2

1

1−

1

−

1

em que ˆn é o vetor unitário normal à superfície que separa os dois meios e ρ s  s são as densidades super ficiais de cargas e correntes, respectivamente. Os e J subscritos 1 e 2 indicam os meios limítrofes à superfície de descontinuidade, como ilustra a Figura ?? . Observando atentamente as equações (1.17 - 1.20) nota-se que elas lembram as equações (1.13 - 1.16). De fato, basta substituir o operador nabla  f e ρf por J  s e ρs e ∇ pelo vetor n ˆ, fazer ∂/∂t igual a zero, substituir J considerar no lugar dos campos a sua diferença. Na literatura, as equações de Maxwell (1.17 - 1.20) são denominadas de condições de fronteiras entre dois meios de propriedades elétrica e magnética distintas. De todo que foi dito, chegamos à seguinte conclusão. A forma integral das equações de Maxwell é o ponto de partida para a dedução das equações na forma diferencial e das condições de fronteiras. Estas como já foi dito, são as equações que efetivamente são usadas na solução de problemas de eletromagnetismo. Assim, a partir de agora vamos nos concentrar apenas na forma diferencial das equações de Maxwell e nas condições de fronteiras. Neste capítulo, não precisamos mais das equação de Maxwell na forma integral. Por enquanto, elas já fizeram a sua parte. 1.2.5

 (t) e H  (t) Domínio do tempo: E

As equações (1.13 - 1.16) ainda são bastante gerais para os objetivos deste livro. Precisamos, por exemplo, identi ficar qual o termo que representa a antena transmissora de energia eletromagnética. Em geofísica, esta questão é de suma importância, uma vez que o uso do transmissor é fundamental para a ”comunicação” com a terra.  f pode ser decomposta em duas partes. Uma, A densidade de corrente J  T x, que energiza a antena do transmissor e a outra parte, denominada de J  i , que flui dentro do meio onde o campo eletromagnético se propaga. Esta J segunda parte, chamada de correntes induzidas,.são de dois tipos: corrente

12


Meio 2

s2

m2

s1

m1

Meio 1

Figura 1.2: Descontinuidades de  e μ entre dois meios separados por uma superfície suave. de deslocamento e correntes de condução ou ôhmicas. Os meios onde as correntes de deslocamto sobressai às ômicas, são chamados de dielétricos. Caso contrário, são chamados de condutores. Nos bons condutores a permissivida elétrica é praticamente igual a 0 , enquanto que as correntes de condução  i = σ E  , em que σ é a condutividade do meio em satisfazem a lei de Ohm, J siemens por metro ( S/m). Como foi dito acima, as equações (1.13 - 1.16) são ainda muito genéricas para os nossos objetivos. Para simpli ficá-las vamos supor que as propriedades  e μ não variam com o tempo. Esta hipótese é bastante razoável, principalmente em geofísica. Assim, podemos, finalmente, escrever, ∇·

 = ρf , E

  −  ∂ E − σ E  = J  tx, H ∂t  = 0, ∇ · μH   + μ ∂ H =  0. ∇ × E ∂t  f foi desdobrada em J  tx + σE  . em que a densidade de corrente J ∇×

(1.21) (1.22) (1.23) (1.24)

Normalmente nos meios condutivos a permissividade é praticamenteAs equações de condições de fronteiras (1.17 - 1.20) não precisam ser modi ficadas. Mas, é preciso que se faça uma resalva. Embora a condutividade σ não apareça diretamente nas equações de condições de fronteiras, ela in na interface diretamente interfere no comportamento do campo elétrico E

1.2. REPRESENTAÇÕES DAS EQUAÇÕES DE MAXWELL

13

de dois meios de condutividades diferentes. Descontinuidade nas condutividades geram cargas nas interfaces dos meios e por conseqüência a componente normal do campo elétrico é descontínua na interface, mesmo sendo contínuas a permissividade elétrica e a permeabilidade magnética dos dois meios. Descontinuidade em σ resulta em acúmulo de cargas na interface de descontinuidade. O termo ρ s em (1.17) também leva em conta essas cargas, mesmo que  seja contínua. Em geofísica os efeitos das descontinuidades na condutividade são muito mais proeminentes do que os da permissividade elétrica e da permeabilidade magnética. Ademais, se as condutividades dos dois meios forem fi nitas, como é o caso em geofísica, a densidade de corrente  s é identicamente nula. de superfície J Dito isto, vamos repetir as equações (1.17 - 1.20),

³ ´   n ˆ  E  E ³ ´   H H n ˆ ³ ´   H n ˆ μ H ³E  E  ´ n ˆ ·

1

2

2

= ρs ,

(1.25)

1−

2

=  0,

(1.26)

1−

μ2

2

= 0,

(1.27)

1

−

2

=  0.

(1.28)

1

−

×

·

1

×

A exemplo de  e μ , a condutividade elétrica σ geralmente não varia com o tempo, embora em alguns casos isolados isto pode acontecer. Via de regra,  tx injetadas no transmissor variam com o tempo. Quando a as correntes J  tx é do tipo pulsos de corrente costuma-se dizer que variação temporal de J  T x, E  o problema está no domínio do tempo . No caso particular em que J  são independentes do tempo, as equações de Maxwell se desacoplam e H em equações mais simples dando origem à magnetostática . No caso extremo de haver somente cargas estacionárias, apenas o campo elétrico sobrevive e neste caso tudo se resume à eletrostática . 1.2.6

Domínio da freqüência:

E (ω )

e

H (ω )

A riqueza do eletromagnetismo está na variação temporal das correntes e dos campos elétrico e magnético. Entretanto, na maioria dos problemas práticos  T x (t) é bem simples. Senoidal, de eletromagnetismo a variação temporal de J por exemplo. Além de sua simplicidade, a variação senoidal pode ser usada para reconstituir qualquer pulso de corrente. Por isso, a variação senoidal desempenha papel importantíssimo em eletromagnetismo. Em virtude da  T x (t) é senoidal, os campos elétrico linearidade das equações de Maxwell, se J e magnético também o são. Nesse caso se diz que eles estão no domínio

14


da freqüência ou

que os campos são harmônicos [27]. Para distinguir um domínio do outro, vamos usar letras maiúsculas em negrito, sem seta, para expressar as correntes Jtx e os campos E e H no domínio da freqüência. Para distinguir a densidade de cargas livres nos dois domínios usaremos, simplesmente, os símbolos ρ f no domínio do tempo e ρ f (ω) no domínio da freqüência. No terceiro capítulo será visto que no domínio do tempo a derivada com relação ao tempo é equivalente a multiplicar pelo fator iω, no domínio da freqüência. Aqui, ω significa freqüência angular (radianos por segundo) e i é a constante imaginária ( i2 = −1). Veremos também como transformar as equações de Maxwell de um domínio para o outro. Feitas essas observações, as equações de Maxwell (1.21 - 1.24), no domínio de freqüência, têm a seguinte aparência, E = ρf (ω) , ∇ × H − (σ + iω) E = JT x , ∇ · μH = 0, ∇·

∇ × E + iωμ H

= 0.

(1.29) (1.30) (1.31) (1.32)

Analogamente, as relações de fronteiras (1.25 - 1.28) se transformam em n ˆ· (1 E1 −²2 E2 )

= q s (ω) ,

= 0, n ˆ· (μ1 H1 − μ2 H2 ) = 0, n ˆ × (H1−H2 ) n ˆ × (E1 −E2 )

= 0.

(1.33) (1.34) (1.35) (1.36)

Para concluir, é oportuno observar que as equações de Maxwell no domínio do freqüência são bem mais simpli ficadas que todas outras anteriores no domínio do tempo. Isto será visto detalhadamente no quaro capípulo.

1.3

Sumário

Na segunda metade do século XIX foram propostas várias teorias para explicar numa única abordagem os fenômenos elétricos, magnéticos e óticos, até então conhecidos. Entre todas elas, a de Maxwell é a mais popular por sua simplicidade e versatilidade, tanto do ponto de vista teórico como prático. Inicialmente, Maxwell propôs vinte equações que posteriormente, após a sua morte, aos 48 anos, foram reescritas por Heaviside em oito equações que deram origem as quatro equações vetoriais universalmente

15

1.3. SUMÁRIO i c r o

M s

e

M ac

r o

s c

o

p

m

a

C

ó

s Sim p l e e i o s

M

n i o d o T e m

m í o

D

o

D

i c o s

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o

da F r e q i o ü

n í

m

p

ê

n

c

a

i

Figura 1.3: Diagrama das simpli ficações sucessivas das equações de Maxwell. conhecidas como equações de Maxwell. Estas equações podem ser representadas tanto na forma integral como diferencial. A forma integral é mais conveniente para visualizar o conteúdo físico das equações. Por outro lado, a representação diferencial é mais vantajosa para se fazer os cálculos Neste primeiro capítulo, fizemos um vôo panorâmico sobre as equações de Maxwell. Nos dois próximos capítulos aterrissaremos para apreciar os detalhes. No vôo panorâmico foram apresentadas cinco versões das equações de  Maxwell. A primeira versão tratou apenas dos campos microscópicos E  , sem levar em consideração nenhuma informação, a priori, sobre as e B propriedades elétricas e magnéticas dos meios intervenientes. Na segunda  e versão os meios já se fazem presentes por meio dos campos macroscópicos D  , embora ainda de modo camu flado. Estas duas versões são absolutamente H equivalentes e são demasiadamente gerais para os nossos objetivos. Por isso, na Figura 1.3, o círculo correspondente a estas duas versões abrange todos os demais círculos ligados às versões mais especializadas. As equações da terceira versão são bem mais restritivas, porque elas só funcionam em meios lineares simples, enquanto que as das duas versões anteriores são válidas para quaisquer tipo de meio. Nesta terceira versão as equações de Maxwell são apresentadas tanto na forma integral como na

16


forma diferencial. Nos meios em que as fontes são contínuas as duas formulações são equivalentes. Se isto não acontece, a forma integral continua válida mas a diferencial não. É preciso nesse caso complementar as equações na forma diferencial com as condições de fronteira, as quais nada mais são do que o limite das equações de Maxwell na forma integral na vizinhança de pontos de descontinuidade das fontes internas do meio. Assim, para se resolver um problema típico de eletromagnetismo usam-se as equações de Maxwell na forma diferencial complementadas pela condições de fronteira onde o meio apresenta descontinuidades em suas propriedades elétricas e ou magnéticas. Na quarta versão, além das propriedades  e μ, a condutividade σ tam f em bém entra em jogo. Isto se deve à separação das correntes livres J  i = σE  , no meio e nas correntes J  T x no transmissor. correntes induzidas, J Em muitas aplicações as correntes no transmissor são do tipo pulsos de correntes. Usa-se o termo domínio do tempo quando a energização é deste tipo. Em virtude desta particularidade a quarta versão é mais simpli ficada que as anteriores, em que a variação temporal é geral. Na última versão, a mais simpli ficada de todas, as equações de Maxwell também envolve o tempo, porém de maneira bastante especial. O tempo, agora, varia de forma senoidal com uma freqüência fi xa, e por isso se diz que as equações estão no domínio da freqüência. O mais interessante de tudo isso é que em muitos casos a solução de um problema no domínio do tempo se reduz a vários problemas simples no domínio da freqüência. Sinceramente, é possível que o leitor, principalmente os iniciantes ao eletromagnetismo, não tenha absorvido completamente todas as nuanças discutidas neste primeiro capítulo. Mas, eu espero que o leitor esteja agora suficientemente motivado para juntos descobrirmos os segredos do eletromagnetismo. A final de contas o propósito deste primeiro capítulo é servir de motivação para o desenvolvimento dos dois próximos capítulos. Lá, tenho certeza que tudo ficará transparente, claro como o dia!

1.4

Exercícios

1. No Sistema Internacional de medidas usa-se os símbolos L (metro), M (quilograma), T (segundo) e A (ampère) para representar as unidades de comprimento, massa, tempo e corrente, respectivamente. Sabendose que força é massa vezes aceleração (segunda lei de Newton), que campo elétrico é força por unidade de carga e que corrente é carga por unidade de tempo:

17

1.4. EXERCÍCIOS • Verifique que a representação MLT −3 A−1 (volt/m),

 é dimensional de campo elétrico E

• Use

a lei de Faraday (1.4) para mostrar que a representação  é MT −2 A−1 dimensional da densidade de fluxo magnético B (tesla),

• Use

a lei de Coulomb (1.1) para mostrar que a representação dimensional de  0 é M −1 L−3 T 4A2 (farad/m)

• Use

a lei de Ampère (1.2) para mostrar que a representação dimensional μ 0 é M LT −2 A2 (henry/m)

•

Use estes resultados e conclua que as representações dimensionais  e B/μ  0 são, respectivamente, L−2 T A (coulomb/m 2 ) e de 0 E L−1 A (ampère/m).

O objetivo desse exercício é convencer o leitor que os campos vetoriais  e B/μ  0 são fisicamente diferentes dos campos E  e B  . Esta difer0 E ença é crucial para o entendimento do signi ficado físico das equações de Maxwell. 2. Em analogia com as equações (1.13 - 1.16), justi fique que na formação diferencial as equações (1.1 - 1.4) correspondem a  = ρ, 0 E  ∂ 0 E  B  , = J ∇× − μ0 ∂t  = 0, ∇ · B   + ∂ B =  0,. ∇ × E ∂t ∇·

(1.37) (1.38) (1.39) (1.40)

Sugestão: em matemática e especialmente em física é muito importante ser hábil no reconhecimento de padrões, analogias, simetrias etc. Use a sua criatividade! 3. Repita o exercício 1 usando no lugar das equações (1.4), (1.1) e (1.2) as equações (1.40), (1.37) e (1.38). 4. No sistema de unidades CGS — centímetro, grama, segundo, ues (unidade eletrostática) e uem (unidade eletromagnética) — as equações de Maxwell

18


(1.1 - 1.4) se escrevem assim:

Z  E n ˆds Z  1 ∂ E n ˆds c ∂t Z  B n ˆds Z  1 ∂ ·

Z 4π ρdv, Z  4π

=

∂V

Z

 · ˆ B tdl −

∂S

·

(1.41)

V

=

c

S

J · n ˆds,

(1.42)

S

= 0,

(1.43)

B · n ˆds = 0.

(1.44)

·

∂V

Z

∂S

 · ˆ E tdl +

c ∂t

S

em que V e S são as mesma superfícies ilustradas na Figura ??.  O símbolo c representa a velocidade da luz no vácuo. O campo E  é comumente chamado de é denominado campo elétrico e o campo B campo magnético. A unidade de campo elétrico é gauss. E a do campo magnético? Analise cuidadosamente as equações (1.41 - 1.44) antes de responder a esta questão. 5. Com base no exercício anterior quais as unidades dos campos macroscópi e H  no sistema CGS? cos D 6. Em analogia com o sistema SI justi fique que no sistema CGS, as equações de Maxwell na forma diferencial correspondentes às equações (1.41 - 1.44) são  = E   − 1 ∂ E = ∇×B c ∂t  = ∇·B   + 1 ∂ B = ∇ × E c ∂t ∇·

4πρ,

(1.45)

4π  J, c 0,

(1.46) (1.47)

 0.

(1.48)

7. Mostre que no vácuo e na ausência de fontes externas, as equações de Maxwell (1.45 - 1.48), no sistema de unidades CGS se reduzem a  = E   − 1 ∂ E = ∇×B c ∂t  = ∇·B   + 1 ∂ B = ∇ × E c ∂t ∇·

0,  0,

(1.49)

(1.50)

0,

(1.51)

 0.

(1.52)

19

1.4. EXERCÍCIOS

Note a perfeita simetria, a menos de um sinal. (lei de Coulomb lei de Gauss; lei de Ampère ←→ lei de Faraday).

←→

8. Mostre que no SI as equações de Maxwell (1.37 - 1.40), no vácuo e na ausência de fontes externas têm a seguinte forma:  = E  1 ∂ E  c = × B ∇ − c ∂t  = ∇ · cB   + 1 ∂c B = ∇ × E c ∂t ∇·

0,

(1.53)

 0,

(1.54)

0,

(1.55)

 0.

(1.56)

e portanto, são simétricas também. Para os físicos, a presença de simetria é um dos dotes essenciais da natureza. 9. Continuando o exercício anterior, mostre que na presença de fontes as equações de Maxwell no SI podem ser escritas assim:  = E   − 1 ∂ E = ∇ × cB c ∂t  = ∇ · cB   + 1 ∂c B = ∇ × E c ∂t ∇·

(0 c)−1 (ρc) ,

(1.57)

 , (0 c)−1 J

(1.58)

0,

(1.59)

 0.

(1.60)

Qual a unidade SI do termo (0 c)−1 ? 10. Mostre que no SI, a razão entre

E (ω) e H (ω) é

a mesma de (0 c)−1 .

11. Verifique que no sistema natural de unidades de Heaviside-Lorentz, em que c = 1 =  0 (adimensional), as equações de Maxwell são expressas assim:  = E   − ∂ E = ∇×B ∂t  = ∇·B   + ∂ B = ∇ × E ∂t ∇·

ρ,

(1.61)

 , J

(1.62)

0,

(1.63)

 0.

(1.64)

20


12. Justi fique com base nos exercícios acima que o sistema CGS e o sistema de Heaviside-Lorentz podem ser vistos como casos especiais do SI. 13. Sabendo-se que ∇ · ∇ × E = 0, mostre que num meio homogêneo a lei de Gauss está contida na lei de Faraday. Sugestão: use as equações (1.31 - 1.32). 14. Em analogia ao exercício anterior e sabendo-se que ∇ · ∇ × E = 0, será que a lei de Coulomb está contida na lei de Ampère? Sugestão: use as equações (1.29 - 1.30). 15. Mostre que num meio homogêneo ( σ ,  e μ constantes) e sem fontes externas, as quatro equações de Maxwell no domínio da freqüência (1.29 - 1.32) se resumem a (σ + iω) E = 0, ∇ × E + iωμ H = 0.

∇×H−

(1.65) (1.66)

Capítulo 2

Cálculo Vetorial 2.1

Introdução

É impressionante que com apenas quatro equações 1 pode-se deduzir absolutamente tudo sobre eletricidade, magnetismo, radiação eletromagnética e ótica. Isto se deve ao fato que por trás das quatro equações de Maxwell se esconde uma linguagem matemática especi ficamente construída para lidar com o eletromagnetismo. É isto mesmo, é a pura verdade! Boa parte do cálculo vetorial foi desenvolvida, nas últimas décadas do século XIX, para destrinchar a teoria eletromagnética deixada por Maxwell, ([30], [32], [84]). Naquela época, o cálculo vetorial ainda não existia como tal e o eletromagnetismo foi o grande impulsionador para que ele tomasse forma e se desenvolvesse2 . Compreender cada termo, cada símbolo que compõe as equações de Maxwell é o ponto de partida para quem almeja familiarizar-se com o eletromagnetismo. Não é preciso ir muito longe, a linguagem se resume a alguns poucos itens de matemática, dos quais destacam-se: integrais de linha e de superfície de campos vetoriais e integrais de volume de campos escalares ; os operadores : rotacional, divergência e gradiente ; os teoremas de Stokes, de Gauss e de Green e por fim, algumas noções básicas sobre as séries e transformadas de Fourier 3 . Este capítulo tem por objetivo fazer uma revisão sucinta destes tópicos. Mais importante que o rigor matemático é a interpretação física de cada um destes assuntos. Por isso, a ênfase será 1

Na verdade, são oito equações escalares reunidas em quatro equações vetoriais. No quarto capítulo contaremos um pouco desta fascinante história. 3 Outros tópicos de matemática serão adicionados a esta lista no decorrer do livro. Por enquanto, estes são suficientes para a decodi ficação das equações de Maxwell. 2

21

22

CAPÍTULO 2. CÁLCULO VETORIAL

na concepção física, voltada sempre para o eletromagnetismo. Os detalhes matemáticos e operacionais ficarão a cargo do Mathematica 4 que é um sistema sofisticado de software de computação simbólica, numérica e grá fica que facilita imensamente o trato com questões matemáticas na ciência e na tecnologia.

2.2

Campo Vetorial e Campo Escalar

Os conceitos de campo vetorial e de campo escalar são fundamentais em eletromagnetismo. Para se saber, realmente, do que se tratam estes objetos, é preciso, em primeiro lugar, caracterizar o que seja um vetor. É exatamente esta a nossa primeira tarefa. 2.2.1

Vetores

De fi nimos 5

um vetor geométrico tridimensional, ou simplesmente vetor , como sendo um terno (x1, x2 , x3) de números reais. Denotamos um vetor geométrico por uma letra minúscula em negrito. Exemplos: e = ( √ 13 , 7, π). O vetor x = (x1 , x2 , x3 ) também pode ser escrito assim x = (x,y,z). Se c é um número real e a = (a1 , a2 , a3 ) um vetor, de fi nimos ca como sendo o vetor (ca1 , ca2, ca3 ). Dados o vetor a = (2, −3, 8) e o número c = 9, então c a = (18, −27, 72). A constante real c é denominada escalar . Vejamos agora como adicionar vetores. Se a e b são dois vetores, digamos, a = (a1 , a2 , a3) e b = (b1 , b2 , b3 ), então de fi nimos a + b como sendo√ o vetor (a1 + b1 , a2 + b2, a3 + b3).√ Por exemplo, dados a = (−1, π, 5) e b = ( 2, 4, −3), então a + b = (−1 + 2, π + 4, 2). Observa-se que as seguintes regras da adição são satisfeitas: • (a + b) + c = a + (b + c), • a + b = b + a, • c(a + b) = c a + cb, • Se c1 e c2 são escalares, então (c1 +c2 )a = c 1a+c2 a e (c1 c2 )a = c1 (c2 a) , 4

Para facilitar a leitura do texto, usaremos o artigo masculino ”o” para indicar o sistema Mathematica e o artigo feminino ”a” quando se referir à matemática propriamente dita. 5 Uma definição mais ampla de vetor será vista no oitavo capítulo, com a introdução dos espaços vetoriais. Até lá, esta definição provisória de vetor satisfaz plenamente aos nossos objetivos imediatos.

23

2.2. CAMPO VETORIAL E CAMPO ESCALAR • Seja 0 = (0, 0, 0), então 0 + a = a + 0 = a , a ,

∀

• Seja

−a = (−1)a então a + (−a) = 0.

Os símbolos x, y e z que formam o vetor (x,y,z) são denominados de componentes do vetor. O conjunto de todos os vetores (tridimensionais) é denominado de R3, também conhecido como o espaço tridimensional. No caso particular em que a terceira componente é identicamente igual a zero, o vetor (x,y, 0) assume a forma bidimensional (x, y). O conjunto de todos os vetores bidimensionais é denotado de R2 e é geometricamente identi ficado como o plano. Da mesma maneira, se as duas últimas componentes do vetor são identicamente nulas, o vetor (x, 0, 0) adquire a forma unidimensional (x) ou simplesmente x, sem parêntese. O conjunto desses vetores unidimensionais se confunde com o próprio conjunto R dos números reais, conhecido como a reta. Neste último caso é preciso não confundir um vetor x com a componente x e com um escalar x . z

z (x, y, z)

a

y x

(a)

y x

(b)

Figura 2.1: Visualização geométrica de um vetor: (a) representação de um ponto no espaço (b) um segmento de reta orientado. Em virtude das três primeiras regras de adição que acabamos de ver, pode-se reescrever um vetor de R3 da seguinte maneira: a = (a1 , a2, a3 ) = a 1 (1, 0, 0) + a2 (0, 1, 0) + a3 (0, 0, 1)

ou mais sucintamente ˆ, a = a1 î + a2ˆj + a3k

em que î = (1, 0, 0), ˆj = (0, 1, 0), ˆk = (0, 0, 1) são denotados vetores unitários, também chamados de vetores canônicos.

24


Do ponto de vista geométrico, um vetor pode ser interpretado de duas maneiras distintas: (a) um ponto no espaço tridimensional e (b) um segmento de reta orientado, como ilustra a Figura 2.1. A interpretação geométrica é um recurso que facilita a visualização de quantidades físicas representadas por vetores. É apenas uma imagem hipotética. O que realmente deve ser levado em consideração são as propriedades algébricas do vetor. Dependendo da motivação física que se tem no momento, escolhe-se uma ou outra interpretação geométrica. Em eletromagnetismo teremos oportunidade de usar freqüentemente ambas representações. 2.2.2

Produto escalar e produto vetorial

Além das operações de adição de vetores e produto de um vetor por um escalar há duas outras operações com vetores que são muito importantes em eletromagnetismo. Uma é denominada de produto escalar, também chamado de produto interno, e a outra, é conhecida como produto vetorial ou produto externo. Vejamos, primeiro, o produto escalar 6 . Dados os vetores a = (a1 , a2 , a3 ) e b = (b1 , b2 , b3 ) de fi ne-se escalar ou produto interno de a e b da seguinte maneira : a · b = a 1 b1 + a2 b2 + a3 b3 .

o produto

(2.1)

O produto escalar satisfaz as seguintes propriedades: • a · b = b · a, • a· (b + c) = a · b + a · c = (b + c) ·a, • Se c é um escalar, então (ca) ·b = c (a · b) = a · (cb) , • Se a = 0 é o vetor nulo, então a · a = 0, se não a · a > 0.

Diretamente relacionado ao conceito de produto interno destaca-se o de norma de um vetor. A norma ou módulo de um vetor a = (a1 , a2 , a3 ), simbolizada por k ak, é o escalar: √ kak = a · a = a21 + a22 + a23 . (2.2) 6

q

Uma definição mais ampla do produto interno será dada no oitavo capítulo.

25

2.2. CAMPO VETORIAL E CAMPO ESCALAR

A norma nada mais é do que o comprimento geométrico do vetor. Notese que kak 6 = 0 se a 6 = 0 . O co-seno do ângulo entre dois vetores a e b é de fi nido pela seguinte relação: a·b cos θ = . (2.3) kak kbk

É instrutivo veri ficar que esta identidade é consistente com o conceito intuitivo de ângulo entre dois vetores interpretados geometricamente. Com efeito, tomemos dois vetores não colineares a = (a1 , a2 ) e b = (b1 , b2 ) no plano xy como ilustra a Figura 2.2.

y b

b a 2

a

2

 b a

b

1

a 1

x

Figura 2.2: Dois vetores não colineares do plano xy. Observando-se a Figura 2.2 tem-se cos θa =

a1 a b b , sin θa = 2 , cos θb = 1 e sin θb = 2 . (2.4) kak kak kbk kbk

Substituindo estas quatro expressões na identidade trigonométrica, cos θ = cos (θb

− θa) = cos θa cos θb + sin θa sin θb,

resulta cos θ =

a1 b 1 a2 b 2 + . kak kbk kak kbk

Lembrando-se que a · b = a 1 b1 + a2 b2 , a expressão acima se reduz a a · b = k ak kbk cos θ,

26


e portanto, idêntica à fórmula (2.3). Com um pouco de imaginação e visão espacial, pode-se estender o mesmo raciocínio a dois vetores co-planares tridimensionais. Dois vetores não nulos são perpendiculares se, e somente se 7 , a · b = 0. De fato, como kak e kbk são ambas diferentes de zero, conclui-se de (2.3) que θ é igual a π/2. Por outro lado, se θ = π/2, então, a · b = 0 em virtude de (2.3). De posse do produto interno, vejamos, agora, do que se trata o produto externo ou vetorial. O produto vetorial de dois vetores a = (a1 , a2 , a3 ) de fi nido pela expressão a × b = (a2b3

e

b = (b1 , b2 , b3) é

−a b ,a b −a b ,a b −a b ), 3 2

3 1

1 3

1 2

2 1

(2.5)

em que o vetor a × b é perpendicular ao plano que contém os vetores a e b, e cuja orientação segue a regra da mão direita, a ser descrita mais adiante.

Ao contrário do produto interno que é um escalar, o produto vetorial é um vetor 8 . O produto vetorial é fundamental no estudo do eletromagnetismo. Por isso, apresentaremos agora uma discrição geométrica para esclarecer a de finição (2.5). Sejam a e b dois vetores não nulos no plano xy que formam entre si um ângulo θ = 6 0, como ilustra a Figura 2.3. Substituindo os valores dos senos e co-senos fornecidos pelas expressões (2.4) na identidade trigonométrica: sin θ = sin (θb

− θa) = sin θb cos θa − sin θa cos θb,

resulta sin θ =

a1 b2 kak kbk

− kaak kb bk , 2 1

ou, simplesmente, (2.6) O lado direito desta expressão corresponde à área do paralelogramo ilustrado na Figura 2.3 e o lado esquerdo é idêntico à terceira componente do a1 b2

7

− a b = kak kbk sin θ. 2 1

A locução ”se, e somente se”, significa que dadas duas hipóteses p e q, p implica q e q implica p. Em outras palavras, p e q são condições necessárias e suficientes para que ambas sejam verdadeiras. Definições, normalmente, satisfazem a condição ”se, e somente se”. 8 Na realidade trata-se de um pseudovetor no jargão da matemática mais avançada, [66]. Aqui não é preciso distinguir vetor, de pseudovetor.

27


produto vetorial (2.5). Em outras palavras, a área do paralelogramo cujos lados são os vetores a e b é igual a norma do vetor (0, 0, a1 b2 − a2 b1). Notese que a orientação do ângulo θ é no sentido de a para b . Se o sentido fosse invertido, de b para a, o lado esquerdo da equação (2.6) teria sinal contrário e por conseqüência o vetor correspondente à área do paralelogramo tornarse-ia (0, 0, −a1 b2 + a2 b1 ). Em resumo, o produto vetorial de dois vetores a 6 0 entre si é um e b, não nulos, no plano xy, que formam um ângulo θ = vetor igual a (0, 0, a1 b2 − a2 b1 ). Portanto, o produto vetorial de dois vetores co-planares no plano xy é um vetor situado no eixo z, ou seja, perpendicular ao plano xy, e cuja orientação é positiva ou negativa conforme o ângulo θ seja de a para b ou de b para a, respectivamente.

y b

b a 2

a

2

 b a

b

1

a 1

x

Figura 2.3: Representação grá fica da norma do produto vetorial dos vetores a e b no plano xy. Se em vez do plano xy, os vetores a e b estivessem assentados no plano xz , a área do paralelogramo seria, usando o mesmo raciocínio anterior, igual a (0, a3 b1 − a1 b3, 0). Então, o produto vetorial seria um vetor, de norma igual a a 3 b1 − a1 b3 , na direção do eixo y orientado de acordo com o sentido do ângulo formado pelos dois vetores. Analogamente, se os dois vetores a e b estivessem no plano yz o produto vetorial seria (a2 b3 − a3 b2 , 0, 0) . Sabendo-se que um vetor qualquer pode ser decomposto em três vetores ortogonais aos planos cartesianos, segue da de finição (2.5) que o produto vetorial nada mais é que a composição desses três casos particulares 9 . Feitas essas considerações, podemos concluir que o produto externo de dois vetores 9

Contrário ao produto escalar, cuja de finição pode ser estendida facilmente para vetores de Rn (veja a página 32), o produto vetorial de dois vetores é uma operação restrita a vetores d R 3 . Não há sentido falar de produto vetorial de vetores do R4 , por exemplo. Por

28


não colineares é um terceiro vetor perpendicular ao plano que contém os dois primeiros e cuja norma é igual à área do paralelogramo formado por ambos. O sinal do produto vetorial depende da orientação do ângulo entre os dois vetores dados. Uma maneira prática de determinar o sinal do produto vetorial é a chamada regra da mão direita, ilustrada na Figura 2.4.

z

a

b

z a

b

a

a

y x

b

b

y

x Figura 2.4: Ilustração da regra da mão direita

A regra da mão direita nos diz que o dedo polegar da mão direita indica a direção e o sentido do produto vetorial a × b, enquanto os demais dedos acompanham a rotação do primeiro para o segundo vetor. A expressão (2.5) que de fine o produto vetorial é de difícil memorização. Um artifício prático para se ter de cor a fórmula do produto vetorial é desenvolver formalmente o seguinte "determinante", a × b = (a1 , a2 , a3 ) × (b1, b2 , b3 ) =

¯¯ ¯

¯¯ ¯

ˆ î ˆj k a1 a2 a3 . b1 b2 b3

(2.7)

O Mathematica simplifica extraordinariamente a manipulação simbólica e numérica de vetores. Um vetor no Mathematica é simplesmente uma lista de três expressões simbólicas ou numéricas entre chaves { }, no lugar dos tradicionais parênteses ( ) usados na matemática. A lista de manuais e livros básicos que tratam de vetores, com ênfase no Mathematica, é muito essa e outras razões, ainda mais fundamentais, o cálculo vetorial é inadequado para lidar com o eletromagnetismo avançado. Neste caso, ele é substituído pelo cálculo tensorial ou pelo cálculo das formas diferenciais. Há quem diga que o eletromagnetismo ilumina as formas diferenciais e estas iluminam o eletromagnetismo, [62].


29

vasta, dos quais destacamos: [22], [46], [16],[54], [68], [64], [86]. Para uma rápida introdução ao Mathematica consulte o Apêndice B no final do livro. Vejamos, agora, alguns exemplos de operações com vetores com o Mathematica . Exemplo 2.1: A adição simbólica dos vetores (a1 , a2 , a3 ) e (b1 , b2 , b3 ) é

muito simples. De fato, basta teclar os comandos: In[1]:= (*--- Adição de vetores ---*) Clear[a1, a2, a3, b1, b2, b3] a = {a1, a2, a3}; b = {b1, b2, b3}; a + b Out[4]:= {a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3}

¡ √ ¢ ¡− ¢

A adição de 2, π, 2 e

3, 31 , 1 é feita da mesma maneira:

In[5]:= (*--- Adição de vetores ---*) a = {2, Pi, Sqrt[2]}; b = {-3, 1/3, 1}; a + b In[7]:= { 1, 1/3 + π, 1 +

−

√ 2}

O produto do vetor simbólico (a1 , a2, a3 ) pelo escalar c: In[8]:= (*--- Multiplicação de um vetor por um escalar ---*) Clear[a1, a2, a3, c] a = {a1, a2, a3}; ca Out[10]:= {ca1, c a2, c a3}

¡ √ ¢

O produto do vetor 2, π, 5 pelo escalar c = −7: In[11]:= (*--- Multiplicação de um vetor por um escalar ---*) a = {2, Pi, Sqrt[5]}; c = -7

− −7π, −7√ 5}

Out[13]:= { 14,

O produto escalar de a = (a1 , a2 , a3 ) e b = (b1 , b2 , b3 ) é executado com o comando a.b: In[14]:= (*--- Produto interno ---*)

30

CAPÍTULO 2. CÁLCULO VETORIAL Clear[a1, a2, a3, b1, b2, b3] a = {a1, a2, a3}; b = {b1, b2, b3};

a·b Out[17]:= a1b1 + a2b2 + a3b3

¡

√

¢¡ ¢

O produto interno de 5, 32 , π 2 e 2, −1, 31 : In[18]:= (*--- Produto interno ---*) a = {5, 2/3, PiSqrt[2]}; b = {2, -1, 1/3};

a·b Out[20]:= 28/3 +

a

√ 2π/3

A norma do vetor a = (a1 , a2 , a3 ) é a raiz quadrada do produto escalar · . Então: a

In[21]:= (*--- Norma do vetor a ---*) Clear[a1, a2, a3] a = {a1, a2, a3}; Sqrt[a a] Out[23]:=

 a + a + a 2 1

2 2

2 3

¡

√

¢

A norma do vetor a = 5, 32 , π 2 : In[24]:= (*--- Norma do vetor a ---*) a = {5, 2/3, PiSqrt[2]}; Sqrt[a a] Out[25]:=

 229/9 + 2π

2

Para se transformar as componentes do vetor a da célula In[24] da forma simbólica para valores decimais, basta executar o comando N[a]. Portanto, In[26]:= (*--- Valor numérico do vetor a ---*) N[a] Out[26]:= {5, 0.666667, 4.44388}

O comando N[a] registra seis dígitos signi ficativos, como padrão. Para aumentar ou diminuir o número de dígitos signi ficativos usa-se o comando N[a, n], sendo n o número de dígitos desejados. Exemplos:


31

In[27]:= (*--- Valor numérico do vetor a ---*) N[a, 25] Out[27]:= {5.000000000000000000000000 0, 0.666666666666666666666666 7 4.442882938158366247015881}

In[28]:= (*--- Valor numérico do vetor a ---*) N[a, 2] Out[28]:= {5.0, 0.67, 4.4}

O valor numérico de k ak é calculado com o comando: In[29]:= (*--- Valor numérico da norma do vetor a ---*) N[Sqrt[a·a] Out[29]:= 6.72188

O produto vetorial de a = (a1 , a2 , a3 ) e teclando o comando Cross[a, b]:

b = (b1 , b2 , b3 ) é

In[30]:= (*--- Produto vetorial ---*) Clear[a1, a2, a3, b1, b2, b3] a = {a1, a2, a3}; b = {b1, b2, b3}; Cross[a, b] Out[33]:= {-a3b2 + a2b3, a3b1 + a1b3, -a2b1 + a1b2}

¡ √ ¢ ¡ ¢

O produto vetorial de 3, 51 , 7 e π, 4, 53 : In[34]:= (*--- Produto vetorial ---*) a = {3, 1/5, Sqrt[7]}; b = {Pi, 4, 3/5}; Cross[a, b] Out[35]:= {3/25

− 4√ 7, −9/5 + √ 7π, 12 − π/5}

¡

√

¢¡ ¢

O produto vetorial de 3.0, 51 , 7 e π, 4, 53 : In[37]:= (*--- Produto vetorial ---*) a = {3.0, 1/5, Sqrt[7]}; b = {Pi, 4, 3/5}; Cross[a, b]

executado

32

CAPÍTULO 2. CÁLCULO VETORIAL Out[39]:={-10.463, 6.51187, 11.3717}

O Mathematica trata números inteiros e números decimais (ponto flutuante) de forma diferente. Expressões com números inteiros são tratadas simbolicamente, enquanto que os números decimais são representados por expressões numéricas aproximadas. Os dois últimos resultados servem de ilustração deste fato. Em In[37], as componentes dos vetores a = {3, 1/5, Sqrt[7]} e b = {Pi, 4, 3/5} são todas do tipo simbólico e as componentes do vetor do resultado Out[36] também são do tipo simbólico. Por outro lado, em In[37] , a primeira componente do vetor a = {3.0, 1/5, Sqrt[7]} é do tipo ponto fl utuante e portanto o resultado Out[39] se apresenta numericamente. A regra é simples. Se um ou mais dos números de uma dada expressão for do tipo decimal (ponto fl utuante), os demais números do tipo simbólico serão automaticamente transformados em números decimais. Até o momento, nos restringimos aos vetores tridimensionais (os vetores uni e bidimensionais são casos particulares dos tridimensionais). É perfeitamente possível generalizar o conceito de vetores geométricos. Faremos isso no oitavo capítulo. Veremos, por exemplo, que se pode construir vetores com n componentes. São os chamados vetores do Rn . Pode-se, também, a partir dos conjuntos R2 e R3 construir outras classes de vetores. É o caso, por exemplo, do conjunto de pares do tipo ((x, y) , z), sendo a primeira componente um par de números reais e a segunda componente um número real. Esse conjunto é simbolizado por R2 × R e é conhecido como o produto cartesiano de R2 por R. É importante notar que R2 × R e R3 são conjunto distintos. Analogamente, pode-se construir o conjunto R3 × R formado de pares do tipo ((x,y,z) , t) . Este conjunto é importantíssimo em eletromagnetismo. Não confundir os conjuntos R3 × R e R4. O segundo representa um espaço tetradimensional e o primeiro não 10 . Um vetor também pode ser construído com números complexos em vez de números reais. Todas as operações acima de finidas para vetores reais são naturalmente estendidas para vetores com entradas complexas, com exceção de o produto escalar, que no caso complexo é o produto do primeiro vetor pelo conjugado do segundo, resultando num número real. O produto escalar é sempre um número real. O conjunto de vetores complexos tridimensionais 10

O espaço R 4 é fundamental em eletromagnetismo avançado. Enquanto que, no eletromagnetismo mais básico (como o deste livro) o espaço R 3 × R é o que normalmente se usa. A razão é que no eletromagnetismo avançado, também conhecido como eletrodinâmica, não se distingue fisicamente a componente tempo (na verdade, tempo vezes a velocidade da luz) das três componentes espaciais, constituindo assim o chamado espaço-tempo. No eletromagnetismo elementar, tempo e espaço são tratados separadamente.

2.3. INTEGRAIS DE LINHA, DE SUPERFÍCIE E DE VOLUME

33

é simbolizado por C3 . De posse do conceito de vetores, vamos retornar ao nosso ponto de partida e esclarecer o que signi fica campo escalar e campo vetorial. No primeiro capítulo, as equações de Maxwell foram apresentadas em termo de campo escalar (densidade de carga, condutividade, permissividade elétrica e permeabilidade magnética) e campos vetoriais (campo elétrico, campo magnético, densidade de fl uxo elétrico, densidade de fl uxo magnético, densidade de corrente). Nunca é demais lembrar que os conceitos de campo escalar e campo vetorial são vitais em eletromagnetismo. Tudo que será visto daqui para frente dependerá direta ou indiretamente desses dois tipos de campo. Dito isto, vamos às de finições. Um campo escalar ψ é uma função de Ω ⊂ R3 em R. Isto é, a cada ponto (vetor) de uma região Ω ⊂ R3 associa-se um número (único) real. Um exemplo de campo escalar é a densidade ρ de carga elétrica de uma região do espaço tridimensional. Um campo vetorial f é uma função de Ω ⊂ R3 em R3 . Isto significa que a cada ponto de uma região Ω ⊂ R3 associa-se um vetor (único) de R3 .  e o campo magnético Exemplos de campos vetoriais são o campo elétrico E  , definidos numa região Ω do espaço tridimensional. Campo elétrico e H campo magnético podem ser complexos. Neste caso, eles são funções de Ω ⊂ R3 em C3 . Quando se deseja enfatizar que os campos elétrico e magnético variam com o tempo é apropriado usar funções de Ω × I ⊂ R3 × R em R3 ou em C3 . A cada ponto do espaço tridimensional associa-se um vetor que varia também no tempo (ou na freqüência). No texto, campo escalar e campo vetorial são simbolizados, indistintamente, por letras maiúsculas e minúsculas. No caso de campo vetorial a letra é sempre em negrito, no caso do campo escalar a letra é do tipo normal.

2.3

Integrais de Linha, de Superfície e de Volume

A motivação física de integral de linha vem da mecânica. Mais especi ficamente, do conceito de trabalho realizado por uma força ao deslocar um corpo ao longo de um percurso no espaço tridimensional. Por sua vez, a idealização da integral de superfície está relacionada ao conceito de fluxo de um fluído através de uma superfície contida no espaço tridimensional. Integrais de volume associam-se a campos escalares. Em eletromagnetismo, integrais de linha e de superfície não correspondem exatamente a trabalho e a fluxo, no mesmo sentido da mecânica. Mesmo assim, a visão mecanicista destas integrais é muito útil e facilita entender

34


os fenômenos eletromagnéticos. Grosso modo, ela está por trás das idéias seminais de linhas de força e de fluxo de Faraday, que tanto in fluenciaram Maxwell.

2.3.1

Integral de linha de um campo vetorial

Em mecânica, quando um corpo é deslocado sob a ação de uma força, se diz que a força ou o agente que exerceu a força realizou trabalho. O leitor já deve ter visto, no curso elementar de Física, que se sob a ação de uma força f constante (em módulo, direção e sentido), um corpo experimenta um deslocamento d , no mesmo sentido dessa força, o trabalho w realizado por f é dado por w = f · d.

Quando a direção do vetor que representa a força f forma um ângulo θ com a direção do deslocamento d, a força que efetivamente contribui para deslocar o corpo é a componente tangencial f t de f ao longo da direção de d, ou seja, tangente à direção do deslocamento, Figura 2.5.

f 

d

Figura 2.5: Deslocamento d de um corpo sob a ação de uma força f . Se o deslocamento não se faz em linha reta, mas ao longo de um percurso curvilíneo, o trabalho é obtido substituindo o percurso por uma linha poligonal constituída de trechos lineares arbitrariamente pequenos. A linha poligonal é construída unindo-se pontos da curva, dois a dois seqüencialmente, como ilustra a Figura 2.7. A seguir, faremos essas idéias heurísticas um pouco mais precisas do ponto de vista matemático.

2.3. INTEGRAIS DE LINHA, DE SUPERFÍCIE E DE VOLUME ^

z ^

t

p2

35

z

t

^

t

p1 x

y

y x

(a)

(b)

Figura 2.6: (a) Grá fico de uma curva simples e suave, (b) grá fico de uma curva não-simples. ^

t

z ^

t

p2 l n (xn , yn , z n )

p1

^

t

y

x

Figura 2.7: Aproximação de uma curva suave por um caminho poligonal. Uma curva é uma aplicação 11 α(t) = (x (t) , y (t) , z (t)) definida num intervalo da reta, t0 ≤ t ≤ t1 e tomado valores em R3 . Uma curva simples é aquela cujo grá fico12 não se intercepta em ponto algum, como o da Figura 2.6a. Caso contrário, a curva é dita não-simples, Figura 2.6b. Uma curva simples é chamada suave quando as funções componentes x (t) , y (t) e z (t) são diferenciáveis no intervalo [t0 , t1 ]. Isso signi fica que em cada ponto onde a curva é diferenciável existe um vetor ˆt tangente, como ilustrado na Figura 2.6a. A variável independente t é comumente chamada de parâmetro e a função α(t) é denominada curva parametrizada pelo parâmetro t. Uma mesma curva pode adimitir várias parametrizações, ([11], [50]). Uma curva 11

A palavra aplicação é sinônimo de função, mapeamento entre dois conjuntos. O gráfico de uma curva é o traço de sua imagem em R3 . Não confundir uma curva com seu grá fico. A curva é uma função e o gráfico é simplesmente a sua representação geométrica no espaço. 12

36


orientada é uma curva onde se especi fica um sentido de percurso. A orientação da curva é dita positiva quando coincide com a do intervalo [t0 , t1 ], caso contrário é dita negativa 13 . Um caminho C é a união de uma ou mais curvas suaves e orientadas. Um caminho pode deixar de ser suave nos pontos de junção de duas curvas contíguas. Em outras palavras, um caminho é uma função suave por partes. De acordo com a Figura 2.7, o trabalho em cada um dos trechos lineares da poligonal que aproxima o percurso suave é igual ao produto da componente tangencial f t da força f , pelo comprimento do elemento ∆ln. Somando-se a contribuição de todos os segmentos da poligonal, tem-se N

w '

X

f t (xn, yn , zn ) ∆ln .

n=1

Considerando-se o número N de segmentos da poligonal um inteiro arbitrariamente grande e fazendo o valor máximo de ∆ln suficientemente pequeno, podemos escrever N

w=

lim

N →∞ max ∆ln →0

X

f t (xn , yn , zn ) ∆ln =

n=1

Z C

f t (x,y,z) dl,

sendo o caminho C o limite da poligonal. Ademais, quando o valor máximo de ∆ln aproxima-se de zero, a componente tangencial f t tende para f · ˆt e por conseqüência podemos reescrever a integral do trabalho, da seguinte maneira, w =

Z

f (x,y,z) · ˆ tdl.

(2.8)

C

Como foi dito antes, usamos o conceito de trabalho apenas como motivação para especi ficar integrais do tipo (2.8). Integrais desse tipo são denominadas de integrais de linha de um campo vetorial f ao longo de um caminho C , independentemente do signi ficado físico do campo vetorial. Integrais de linha são muito comuns em matemática, física, engenharia e geofísica. Elas são fundamentais em eletromagnetismo. Mais do que isto, elas formam um dos pilares mestres do eletromagnetismo. Dados o caminho C e o campo vetorial f , contínuo em C , como proceder para calcular a integral (2.8)? Para responder a essa questão, é preciso, 13

A orientação do intervalo [t0 , t1 ] é dita positiva quando se dá de t0 para t1 , e é dita negativa quando se dá no sentido contrário.


37

z l l l + l

r

^

t

r

r + r

y

x Figura 2.8: Visualização dos incrementos unitário t.

∆r

e

∆l

e do vetor tangente

b

primeiro, determinar o vetor tangente unitário ˆt e efetuar o produto interno f · ˆ t. É exatamente isto o que faremos agora. Observando a Figura 2.8, que mostra um pequeno segmento do grá fico de um curva, podemos escrever ∆r ∆l

=

∆x

∆y

∆l

∆l

î +

ˆj +

∆z ∆l

ˆ, k

(2.9)

em que ∆l representa o incremento do comprimento de arco que liga dois pontos quaisquer do grá fico. Substituindo ∆x, ∆y e ∆z por

− x (l) , y (l + ∆l) − y (l) , z (l + ∆l) − z (l) ,

∆x

= x (l + ∆l)

∆y

=

∆z

=

e fazendo ∆l tender para zero, veri fica-se facilmente que ∆r/∆l em (2.9) tem como limite o vetor tangente unitário. Mais precisamente, ˆ t =

dx dy dz ˆ î + ˆj + k . dl dl dl

(2.10)

Substituindo esta expressão de ˆt em (2.8), resulta

Z

∙ dx

¸

dy dz ˆ î + ˆj + k dl. f (x,y,z) · dl dl dl C

Finalmente, reescrevendo o campo vetorial f em termos de suas funções ˆ e sabendo-se que dx, dy componentes f x (x,y,z)î + f y (x,y,z)ˆj + f z (x,y,z) k

38


e dz são equivalentes aos diferenciais reduz a

Z C

dy dx dz dl dl, dl dl e dl dl,

f x dx + f y dy + f z dz.

a integral acima se

(2.11)

Esta é a fórmula que se usa no cálculo de integrais de linha. Na verdade, ela ainda precisa passar por uma ligeira transformação, antes de ser efetivamente utilizada nos cálculos. O segredo é empregar a parametrização t, do caminho, para transformá-la em uma integral ordinária no intervalo dy dz t0 < t < t 1. Consegue-se isto, fazendo dx = dx dt dt, dy = dt dt e dz = dt dt. Com efeito, podemos escrever

Z µ t1

Integral de linha :=

t01

dx dy dz f x (t) + f y (t) + f z (t) dt dt dt

¶

dt. (2.12)

O sinal da integral é positivo se a orientação do caminho for idêntica a do sistema de coordenadas, caso contrário, o sinal será negativo 14 . A não ser em casos muito simples, o cálculo de integrais de linha por meio da integral.(2.12) é demasiadamente laborioso e cansativo. É precisamente aqui que o Mathematica faz uma grande diferença. Ele transforma cálculos trabalhosos, enfadonhos e desestimulantes em uma emocionante e prazerosa ”viagem”. Na linguagem do Mathematica , a integral (2.12) é traduzida ipsis litteris na função 15 integralDeLinha[x, y, z, t, fx, fy, fz, t0, t1] a seguir, em que x, y, z são as coordenadas de um ponto arbitrário na curva; t é o parâmetro de parametrização; fx, fy, fz são as componente do campo vetorial f (x,y,z) e t0 e t1 representam os extremos do intervalo de de finição do parâmetro t. 14

Em muitos livros de cálculo, a integral de linha (2.8) de um campo vetorial é de finida intuitivamente a partir do conceito de trabalho em mecânica, exatamente como foi feito aqui. Com esta difinição, a fórmula computacional (2.12) é obtida de modo natural. No entanto, nos livros mais avançados, especialmente os de geometria diferencial, a de finição é dada de trás para frente. Em outras palavras, a integral de linha de um campo vetorial é definida axiomaticamente pela expressão (2.11) e a interpretação física (2.8) vem em segundo plano, como um mero detalhe. Mais a frente, veremos por quê é feito assim. 15 Também chamada de procedimente.


39

In[1]:= (*--- integralDeLinha[ ] calcula integrais de linha ---*) integralDeLinha[x_, y_, z_, t_, fx_, fy_, fz_, t0_, t1_]:= Module[{ }, Integrate[fxD[x, t] + fyD[y, t] + fzD[z, t], {t, t0, t1}]

Assim, para se calcular a integral de linha é su ficiente fazer a parametrização do caminho e acionar a procedimento IntegralDeLinha[...] 16 , e pronto! Aqueles que já tiveram oportunidade de calcular integrais de linha pelos métodos tradicionais, fi carão surpresos e grati ficados com a simplicidade do Mathematica em encarar este tipo de cálculo. Sem exageiro, podemos dizer que o método convencional de cálculo de integrais de linha é coisa do passado, tais como a régua de cálculo e o cartão perfurado Holleritrh17 . Vejamos, agora, alguns exemplos interessantes. y 0

2

-2

6

z 4 2 0 -2

-1

0 x

1

2

Figura 2.9: Caminho helicoidal no espaço tridimensional.

Exemplo 2.2: Dados o campo vetorial f = 6xyxî +(2y + xz)ˆj+(xy ˆ e o caminho helicoidal parametrizado por α(t) = (2sin(t) , 3cos(t), 4z )k t/3) em que 0 t 21, calcular a integral de linha.

−

2

≤ ≤

16

Os tês pontos representam sibolicamente os argumentos do procedimento. Tenho certeza que a maioria dos leitores nunca viram uma régua de cálculo e, nem tão pouco, um cartão perfurado. Eu ainda guardo, saudosamente, a minha régua de cálculo, que me foi muito útil na década de sessenta do século passado. Guardo também alguns cartões perfurados, dos milhares que usei no início da década de setenta. 17

40


Primeiro, vamos contruir o grá fico do caminho helicoidal da Figura 2.9. Para isto basta digitar os comandos: In[2]:= (*--- Figura 2.9, caminho helicoidal ---*) ParametricPlot3D[{2 Sin[t], 3 Cos[t], t/3}, {t, 0, 21}, AxisLabel -> {"x", "y", "z"}];

Antes de se usar o Mathematica para computar a integral de linha, ve jamos, a título de curiosidade, como seria feito o cálculo pelo método tradicional apresentado nos livros de cálculo. O primeiro passo seria substituir as coordenadas parametrizadas, x = 2 sin (t) , y = 3 cos (t) e z = t/3, nas expressões das três componentes, f x = 6xyz, f y = (2y + xz) e f z = xy − 4z 2 do campo f . Isto corresponde a mudança das variáveis x,y, z pela variável t. Em seguida seriam calculadas as derivadas, em relação ao parâmetro t, de cada coordenada da parametrização. Por fim, as coordenadas do campo, em função do parâmetro t, e as derivadas seriam substituídas na fórmula (2.12) da integral de linha. Seguindo esses passos e após algumas simples manipulações algébricas, chegaríamos à seguinte integral ordinária,

¡

¢

Z

21

2 (12sin(t)cos2 (t) t + (6 cos (t) + sin(t) t + 3 0 4 2 (6sin(t)cos(t) t )dt. 9

−

(2.13)

Cada termo dessa integral pode ser facilmente calculado pelos métodos tradicionais de resolução de integrais de uma variável, ([3], [25]). Resolvidas as integrais, chega-se ao valor −660.669 correspondenta à integral de linha em questão18 . Como se vê, esse processo manual é um tanto quanto trabalhoso e chato. Com integrais mais complicadas, o trabalho pode se tornar insuportável. Talvez seja por isso, que a maioria dos livros de cálculos se restringem a exemplos simples, do tipo acadêmico, sem nenhum interesse prático. Com o auxílio do programa Mathematica , o panorama é outro. De fato, o cálculo de integrais de linha não passa de alguns simples comandos na tela do monitor do computador. Com efeito, é preciso apenas digitar as expressões do campo vetorial e da curva parametrizada e executar a função integralDeLinha[...] . Simples, não é? Portanto, 18

Nesse livro usamos o ponto decimal no lugar da vírgula para manter a compatibilidade de notação com o Mathematica .


41

In[3]:= (*--- Integral de linha ao longo do caminho helicoidal da Figura 2.9 ---*) Clear[x, y, z, t] {fx, fy, fz} = {6xyz, 2y + xz, xy - 4z^2}; {x, y, z} = {2Sin[t], 3 Cos[t], t/3}; {integralDeLinha[x, y, z, t, fx, fy, fz, 0, 21]

Instantaneamente, o computador nos fornece o seguinte resultado da integral de linha, em notação simbólica,

−8185/12 − 126 Cos[21] + 17 Cos[42]/4 − 42 Cos[63] + 6 Sin[21]+

In[6]:=

21 Sin[42]/2 + 2 Sin[63]/3

Para se obter o valor numérico desta expressão simbólica basta evocar o seguinte comando19 : In[7]:= (*--- Valor numérico do resultado do exemplo anterior ---*) N[%] Out[7]:= -660.669

O sinal negativo deve-se ao fato do caminho ter sido percorrido no sentido horário, e portanto, contrário ao sentido anti-horário do sistema xyz de coordenadas. Exemplo 2.3: Com o campo mesmo vetorial f = 6xyxî +(2y + 2 ˆ xz)ˆj+(xy 4z )k e o caminho helicoidal amortecido parametrizado por α(t) = (t2 /50sin(t) , t2 /50cos(t), t) em que 0 t 8π , calcular a inte-

−

≤ ≤

gral de linha neste percurso. Primeiro, vamos construir o grá fico do caminho helicoidal amortecido da Figura 2.10. Para isto basta digitar os comandos: In[8]:= (*--- Figura 2.10, caminho helicoidal amortecido ---*) ParametricPlot3D[{t^2/50 Sin[t], t^2/50 Cos[t], t}, {t, 0, 8 Pi}, AxisLabel -> {"x", "y", "z"}]; 19

O sinal % significa o resultado anterior. O comando N[%] calcula o valor numérico do resultado anterior.

42

CAPÍTULO 2. CÁLCULO VETORIAL y

5

10

0 -5 - 10

20 z 10

0 - 10

-5 x

0

5

Figura 2.10: Caminho helicoidal amortecido. Agora, vejamos o cálculo da integral de linha ao longo do caminho helicoidal amortecido da Figura 2.10. Aplicando como no exemplo anterior a função integralDeLinha[...] temos In[9]:= (*--- Integral de linha ao longo do caminho helicoidal amortecido da Figura 2.10 ---*) Clear[x, y, z, t] {fx, fy, fz} = {6xyz, 2y + xz, xy - 4z^2}; {x, y, z} = {t^2/50 Sin[t], t^2/50Cos[t], t}; {integralDeLinha[x, y, 6z, t, fx, fy, fz, 0, 8 Pi] Out[12]:= -2 π (-393680 - 6075 π + 43620960 π 2 - 907200 π 3 - 1349224 π 4 + -5529600 π 5 + 21233664 π 6 )/1265625 In[13]:= (*--- Valor numérico do resultado do exemplo anterior ---*) N[%] Out[13]:= -124451.

Foi dito acima que uma mesma curva pode admitir mais de uma parametrização. Um tipo de parametrização muito comum, principalmente nos livros de geometria diferencial, é a parametrização por comprimento de arco, conhecida por reti ficação da curva. Dada um curva α(t) = (x(t), y(t), z(t))


43

em que t 0 6 t 6 t, o seu comprimento s é expresso por:

Z °° t1

s =

t0

°° Z q

dα(t) dt = dt

t1

(x )2 + (y )2 + (z )2 dt. 0

0

0

(2.14)

t0

O próximo exemplo ilustra como o valor da integral de linha independe da parametrização do caminho..

1 0. 75

y 0. 5 0. 25 0 1

0. 75 z

0. 5

0. 25 0 1 1. 2 x

1. 4

Figura 2.11: Grá fico da curva parametizada α (t) = (cosh t, sinh t, t) em que 0 6 t 6 1. Exemplo 2.4: Dados o campo vetorial f = 6xyxî + (2y + xz)ˆj + (xy ˆ e a curva α(t) = (cosh t, sinh t, t) em que 0 4z )k t 1, vamos neste 2

≤ ≤

−

exemplo calcular a integral de linha com duas parametrizações diferentes: α(t) e α(s) em que s é o comprimento de arco. Para começar, vamos traçar o grá fico de α(t), ilustrado na Figura 2.11. Procedendo como o caso da hélice, vem: In[14]:= (*--- Figura 2.10, curva alfa ---*) ParametricPlot3D[{Cosh[t], Sinh[t], t}, {t, 0, 1}, AxisLabel -> {"x", "y", "z"}];

Feito o grá fico, vamos, agora, computar a integral de linha com a primeira parametrização. Então:

44

CAPÍTULO 2. CÁLCULO VETORIAL In[15]:= (*--- Integral de linha ao longo da curva alfa(t) da Figura 2.11 ---*) Clear[x, y, z, t] {fx, fy, fz} = {6xyz, 2y + xz, xy - 4z^2}; {x, y, z} = {Cosh[t], Sinh[t], t}; {integralDeLinha[x, y, z, t, fx, fy, fz, 0, 1] // Simplify Out[18]:= 1/24 ( 73 + 36Cosh[1] + 15Cosh[2]

−

36Sinh[1] + 6Sinh[2] + 12Sinh[3])

− 4Cosh[3]−

Agora vamos recalcular a mesma integral usando a parametrização pelo comprimento de arco. Para isso, é preciso, primeiro, determinar esta nova parametrização. Empregando-se (2.14) vem:

Z p √ Z − ¡ √ ¢ ³ ³ ³ √ ´´ ³ ³ √ ´´ t

sinh2 τ + cosh2 τ + 1dτ =

s =

0

t

2

cosh τ dτ =

√

2 sinh t,

0

onde se usou a identidade cosh2 τ sinh2 τ = 1. Dai, se conclui que t = arcsinh s/ 2 e por conseqüência, a parametrização pelo comprimento de arco é expressa assim: α(s) = cosh arcsinh s/ 2

, sinh arcsinh s/ 2

³ √ ´´

, arcsinh s/ 2

√

,

em que 0 6 s 6 2sinh(1) . De posse desta nova parametrização, vamos ao cálculo da integral de linha: In[19]:= (*--- Integral de linha ao longo da curva alfa(s) da Figura 2.11 ---*) Clear[x, y, z, t] {fx, fy, fz} = {6xyz, 2y + xz, xy - 4z^2}; {x, y, z} = {Cosh[ArcSinh[s/Sqrt[2]]], Sinh[ArcSinh[s/Sqrt[2]]]], ArcSinh[s/Sqrt[2]]}; integralDeLinha[x, y, z, t, fx, fy, fz, 0, Sqrt[2] Sinh[1]] // FullSimplify Out[22]:= ( 16+ e (9 + e (72

−

3

− 146 e + 21 e

+ 8 e4 )))/(48 e3 )

Opa! Os resultados Out[18] e Out[22] parecem bem diferentes. Calma! Eles são absolutamente idênticos, pois a diferença entre ambos é zero. Com efeito,


45

In[23]:= (*--- Comparação dos resultados Out[12] e Out[16] ---*) Out[18] - Out[22] // Simplify {fx, fy, fz} = {6xyz, 2y + xz, xy - 4z^2}; Out[23]:= 0

Uma das maneiras mais prática e elegante de construir uma curva em R3 é por meio da interseção de duas superfícies no espaço tridimensional. Neste terceiro exemplo, vamos construir uma curva denominada Viviani, formada pela interseção da esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 com o cilindro (x − 1)2 + y 2 = 1 no primeiro quadrante, [14]. Em seguida vamos calcular a integral de linha do campo vetorial {f x = 4x3 − 2yz 2 , √ f y = 7xy2 z , f z = yz 3 / 7}, do ponto (2, 0, 0) ao ponto (0, 0, 2), ao longo da curva Viviani. Exemplo 2.5:

Primeiro, é preciso parametrizar a curva Viviani. Isto é, devemos determinar α(t) = (x (t) , y (t) , z (t)) em relação a um certo parâmetro t, Como as coordenadas x (t) e y (t) da Viviani coincidem com as coordenadas x (t) e y (t) do cilindro, podemos simplesmente escrever x(t) = 1+cos t, y(t) = sin t; −π ≤ t ≤ π . Agora, para se obter a componente z (t) usa-se a equação da esfera intersectada pelo cilindro. Assim,

p q − −

z = ± 4 = ± 4

√

x2

−y

2

(1 + cos t)2

2

− sin

t

= ± 2 2cos t = 2 sin (t/2) .

−

Logo, a parametrização da curva Viviani é expressa pela curva parametrizada, α(t) = (1 + cos t, sin t, 2sin(t/2)) em que −π ≤ t ≤ π . Antes de calcular a integral de linha ao longo da Viviani, seria interessante dar uma olhada no grá fico da curva. Para isso, vamos traçá-lo em duas etapas. Na primeira, serão desenhados apenas o semicírculo da base do cilindro e os arcos que formam o primeiro oitante da esfera, como ilustra a Figura 2.12. Assim, In[26]:= (*--- Figura 2.12, traço do cilindro e do primeiro oitante da esfera ---*) semicirculo = {1 + Cos[t], Sin[t], 0}; oitante = {{0, 2 Cos[t/2], 2 Sin[t/2]}, {2 Cos[t/2], 0, 2 Sin[t/2]},

46

CAPÍTULO 2. CÁLCULO VETORIAL {2 Cos[t/2], 2 Sin[t/2], 0}}; ParametricPlot3D[Evaluate[Join[{semicirculo, oitante]], {t, 0, Pi}, AxisLabel -> {"x", "y", "z"}, ViewPoint -> {6, 4, 1}];

x 2

1. 5

1

0. 5

0

2

1. 5

z

1

0. 5

0 0

0. 5

1 y

1. 5

2

Figura 2.12: Traços do cilindro e do oitante da esfera no plano xy no primeiro oitante. Agora, vamos completar a Figura 2.12, incluindo também a curva Viviani, resultante da interseção do oitante da esfera com o cilindro, este último representado apenas pelo o seu traço no plano xy : In[28]:= (*--- Figura 2.13, gráfico da curva Viviani ---*) semicirculo = {1 + Cos[t], Sin[t], 0}; oitante = {{0, 2 Cos[t/2], 2 Sin[t/2]}, {2 Cos[t/2], 0, 2 Sin[t/2]}, {2 Cos[t/2], 2 Sin[t/2], 0}}; viviane = {1 + Cos[t], Sin[t], 2 Sin[t/2]}}; ParametricPlot3D[Evaluate[Join[{semicirculo}, oitante,{viviane}]], {t, 0, Pi}, AxisLabel -> {"x", "y", "z"}, ViewPoint -> {6, 4, 1}];

Obtém-se, assim, o grá fico da curva Viviani, majestosamente exibida na Figura 2.13.


2

1. 5

x 1

0. 5

47

0

2

1. 5

z

1

0. 5

0 0

0. 5

1 y

1. 5

2

Figura 2.13: A interseção de um cilindro com o oitante da esfera forma a curva Viviani. Voltando ao cálculo da integral de linha e procedendo como no exemplo anterior, podemos escrever 20 : In[33]:= (*--- Integral de linha ao longo da curva Viviani ---*) Clear[x, y, z, t] {fx, fy, fz} = {4x^3- 2 y z^2, 7 x y^2 z, y z^3/Sqrt[7]}; {x, y, z} = {1 + Cos[t], Sin[t], 2 Sin[t/2]}; integralDeLinha[x, y, z, t, fx, fy, fz, 0, Pi] Out[36]:=

−656/45 + 2π + π/√ 7

O resultado é exato. Eis aqui um valor aproximado com seis casas decimais: In[37]:= (*--- Valor numérico do resultado do exemplo anterior ---*) N[%] Out[37]:= -7.10718

Exemplo 2.6: Neste quarto exemplo vamos calcular a integral de linha do campo vetorial { f x = 3x2 6yz , f y = 2y + 3xz , f z = 1 4xyz 2 }, do

−

20

−

É claro que para se fazer o cálculo da integral de linha não haveria necessidade de traçar o gráfico do caminho. Fizemos isso apenas para ilustrar o gráfico de uma curva formada pela interseção de duas superfícies de R3 . De qualquer modo, uma boa figura é uma grande ajuda na solução de qualquer problema em matemática [59]. Diz o ditado popular que uma figura vale por mil palavras.

48


ponto (0, 0, 0) ao ponto (1, 1, 1) ao longo de quatro caminhos distintos, assim discriminados: • α(t) = (x(t) = t , y (t) = t2 , z (t) = t3 ) em que 0

≤ t ≤ 1,

• união dos percursos: {de (0, 0, 0) a (1, 0, 0) no eixo x}, {de (1, 0, 0) a (1, 1, 0) no eixo y} e {de (1, 1, 0) a (1, 1, 1) no eixo z }, • união dos percursos: {de (0, 0, 0) a (1, 0, 0) no eixo x}, {de (1, 0, 0) a (1, 0, 1) no eixo z} e {de (1, 0, 1) a (1, 1, 1) no eixo y }, • α(t) = (x(t) = t, y(t) = t, z(t) = t) em que 0 (0, 0, 0) a (1, 1, 1) .

≤ t ≤ 1, diagonal de

Para facilitar a visualização espacial dos quatro caminhos decidimos mostrar os grá ficos em duas fi guras separadas. Os grá ficos do primeiro e segundo caminhos estão representados na Figura 2.14 e os dos dois últimos, na Figura 2.15. Vejamos, então, os grá ficos dos dois primeiros caminhos: y 0. 75 0. 5

1

0. 25 0 1 0. 75 z 0. 5 0. 25 0 0 0. 25 0. 5 x

0. 75 1

Figura 2.14: A curva suave é o caminho 1 e a curva linear por partes é o caminho 2. In[38]:= (*--- Figura 2.14, gráfico dos caminhos 1 e 2 ---*) Clear[t] caminho1 = {t, t^2, t^3};


49

caminho2 = {{t, 0, 0}, {1, t, 0},{1, 1, t}}; ParametricPlot3D[Evaluate[Join[{caminho1}, caminho2]], {t, 0, 1}, AxisLabel -> {"x", "y", "z"}];

De forma análoga, podemos traçar os grá ficos dos dois outros caminhos: In[42]:= (*--- Figura 2.15, gráfico dos caminhos 3 e 4 ---*) Clear[t] caminho3 = {{t, 0, 0}, {1, 0, t}, {1, t, 1}]; caminho4 = {t, t, t}; ParametricPlot3D[Evaluate[Join[caminho3, {caminho4}]], {t, 0, 1}, AxisLabel -> {"x", "y", "z"}];

y 0. 75 0. 5

1

0. 25 0 1 0. 75 z 0. 5 0. 25 0 0 0. 25 0. 5 x

0. 75 1

Figura 2.15: A curva linear por partes é o caminho 3 e a diagonal é o caminho 4. Feitos os grá ficos, vamos agora calcular as integrais de linha em cada um dos quatro caminhos: • Integral no primeiro caminho: α(t) = (x (t) = t, y (t) = t 2 , z (t) = t 3); 0 t 1:

≤ ≤

50

CAPÍTULO 2. CÁLCULO VETORIAL In[46]:= (*--- Integral de linha ao longo do caminho 1 ---*) Clear[x, y, z, t] {fx, fy, fz} = {3x^2- 6yz, 2y + 3xz, 1 - 4xyz^2}; {x, y, z} = {t, t^2, t^3}; integralDeLinha[x, y, z, t, fx, fy, fz, 0, 1] Out[49]:= 2

• Integral no segundo caminho, constituído dos trechos: (de (0, 0, 0) a (1, 0, 0) no eixo x) união (de (1, 0, 0) a (1, 1, 0) no eixo y) união (de (1, 1, 0) a (1, 1, 1) no eixo z ):

In[50]:= (*--- Integral de linha ao longo do caminho 2 ---*) Clear[x, y, z, t] {fx, fy, fz} = {3x^2- 6yz, 2y + 3xz, 1 - 4xyz^2}; {x, y, z} = {t, 0, 0}; trecho1 = integralDeLinha[x, y, z, t, fx, fy, fz, 0, 1] {x, y, z} = {1, t, 0}; trecho2 = integralDeLinha[x, y, z, t, fx, fy, fz, 0, 1] {x, y, z} = {1, 1, t}; trecho3 = integralDeLinha[x, y, z, t, fx, fy, fz, 0, 1] trecho1 + trecho2 + trech3 Out[53]:= 1 Out[55]:= 1 Out[57]:= -1/3 Out[58]:= 5/3

Os resultados parciais Out[53], Out[55] e Out[57] correspondem, individualmente, a cada um dos trechos do caminho 2. O resultado final, Out[58] , é obtido totalizando os três resultados parciais. • Cálculo da integral no terceiro caminho, constituídos dos trechos: {de (0, 0, 0) a (1, 0, 0) no eixo x} união {de (1, 0, 0) a (1, 0, 1) no eixo z } união {de (1, 0, 1) a (1, 1, 1) no eixo y }:

In[59]:= (*--- Integral de linha ao longo do caminho 3 ---*) Clear[x, y, z, t] {fx, fy, fz} = {3x^2- 6yz, 2y + 3xz, 1 - 4xyz^2};


51

{x, y, z} = {t, 0, 0}; trecho1 = integralDeLinha[x, y, z, t, fx, fy, fz, 0, 1] {x, y, z} = {1, 0, t}; trecho2 = integralDeLinha[x, y, z, t, fx, fy, fz, 0, 1] {x, y, z} = {1, t, 1}; trecho3 = integralDeLinha[x, y, z, t, fx, fy, fz, 0, 1] trecho1 + trecho2 + trech3 Out[62]:= 1 Out[64]:= 1 Out[66]:= 4 Out[67]:= 6

• E por fim, o cálculo da integral no quarto caminho: α(t) = (x (t) = t, y (t) = t, z (t) = t) em que 0 t 1:

≤ ≤

In[68]:= (*--- Integral de linha ao longo do caminho 4 ---*) Clear[x, y, z, t] {fx, fy, fz} = {3x^2- 6yz, 2y + 3xz, 1 - 4xyz^2}; {x, y, z} = {t, t, t}; integralDeLinha[x, y, z, t, fx, fy, fz, 0, 1] Out[71]:= 6/5

Os resultados das integrais de linha nos quatro caminhos são, respectivamente, 2, 5/3, 6 e 6/5. Bem diferente um do outro, não é? Este é um resultado razoável, pois é de se esperar que o valor da integral de linha de um campo vetorial qualquer seja efetivamente dependente da geometria do caminho. Será que é sempre assim? Ou existem campos vetoriais especiais em que o valor da integral de linha independe do caminho? A resposta é afirmativa. De fato, existe uma classe de espaços vetoriais em que isto realmente acontece. Vejamos, então, um exemplo: Exemplo 2.7: Com os mesmos quatro caminhos do exemplo anterior, vamos considerar, agora, um outro campo vetorial, expresso por f x = 5y3 z+ 4x cos y , f y = 15xy2 z 2x2 sin y, f z = 5xy3 cos z/3 e recalcular as quatro

integrais de linha.

−

−

• Integral no primeiro caminho, α(t) = (x (t) = t, y (t) = t 2 , z (t) = t 3 ) em que 0 t 1 :

≤ ≤

52

CAPÍTULO 2. CÁLCULO VETORIAL In[72]:= (*--- Integral de linha ao longo do caminho 1 ---*) Out[75]:= 5 + 2 Cos[1]

21

− Sin[1]/3

• Integral no segundo caminho constituído dos trechos: (de (0, 0, 0) a (1, 0, 0) no eixo x) união (de (1, 0, 0) a (1, 1, 0) no eixo y) união (de (1, 1, 0) a (1, 1, 1) no eixo z ): In[76]:= (*--- Integral de linha ao longo do caminho 2 ---*) Out[76]:= 2

−2(1 − Cos[1]) Out[82]:= 5 − Sin[1]/3 Out[84]:= 5 + 2 Cos[1] − Sin[1]/3 Out[81]:=

• Integral no terceiro caminho constituído dos trechos: {de (0, 0, 0) a (1, 0, 0) no eixo x} união {de (1, 0, 0) a (1, 0, 1) no eixo z } união {de (1, 0, 1) a (1, 1, 1) no eixo y }: In[85]:= (*--- Integral de linha ao longo do caminho 3 ---*) Out[88]:= 2 Out[90]:=

−Sin[1]/3

Out[92]:= 3 + 2 Cos[1] Out[93]:= 5 + 2 Cos[1]

− Sin[1]/3

• Finalmente, o cálculo da integral no quarto caminho, C (t) = (x (t) = t, y (t) = t, z (t) = t) em que 0 t 1:

≤ ≤

In[94]:= (*--- Integral de linha ao longo do caminho 4 ---*) Out[97]:= 5 + 2 Cos[1]

− Sin[1]/3

O valor numérico correspondente a este resultado simbólico é: In[98]:= (*--- Valor numérico do resultado do exemplo anterior ---*) N[%] Out[98]:= 5.80011 21

O símbolo o livro.

indica que o restante do código se encontra no CD-Rom que acompanha


53

Observa-se que os valores das integrais de linha nos quatro caminhos são todos iguais 22 a 5 + 2 cos(1) − sin(1)/3, ou aproximadamente 5.80011. Ao contrário do exemplo anterior, o valor da integral, agora, independe do caminho. Por quê? Bom, a resposta será dada logo em breve. O fato de integrais de linha de certos campos vetoriais não dependerem do caminho é de fundamental importância em eletromagnetismo. Dizer que a integral de linha de um campo vetorial não depende do caminho é equivalente a dizer que o valor da integral de linha ao redor de um caminho fechado é identicamente zero. Com efeito, basta ir e voltar por dois caminhos diferentes que ligam dois pontos quaisquer do espaço. Mais adiante, como já disse, veremos como identi ficar campos vetoriais que possuem essa propriedade importantíssima. Mas antes, vamos falar um pouco de nosso próximo assunto: integrais de superfície. 2.3.2

Integral de superfície de um campo vetorial

A motivação física da integral de superfície de um campo vetorial se prende ao conceito de fluxo de um fluido através de uma superfície no espaço tridimensional. Para se ter uma idéia mais concreta desta analogia, vamos idealizar a seguinte experiência. Suponhamos um fluido de densidade ρ escoando com velocidade uniforme v através de uma superfície S . Deseja-se saber qual a quantidade de fl uido que atravessa uma determinada seção ∆S , da superfície, perpendicular à direção de escoamento do fluido. Sabe-se que uma certa quantidade de fluido num cilindro de comprimento v∆t e seção transversal ∆S atravessa a seção ∆S no intervalo de tempo ∆t. Observandose a Figura 2.16a, o volume desse cilindro é igual a v ∆t∆S . Assim, o cilindro contém um total ρv ∆t∆S de fl uido. A vazão através de ∆S é igual a ρv ∆S , ou seja, é a quantidade de fluido por unidade de tempo. No caso, mais interessante, em que a direção do escoamento do fluido é oblíqua à seção ∆S , a vazão passa a ser ρv ∆S cos θ, sendo θ o ângulo entre o vetor velocidade v e o vetor unitário ˆn, normal à ∆S , apontando para fora do cilindro, no mesmo sentido do escoamento do fluido, veja Figura 2.16b. Como v cos θ é igual a v · n ˆ, a expressão da vazão torna-se ρ v · n ˆ∆S. Suponhamos, agora, uma superfície suave S contida no espaço tridimensional onde escoa um determinado fluido como mostra a Figura 2.17a. Fazendo-se uma partição poligonal 23 da superfície S , a vazão através de uma 22

Em português a abreviatura de seno é "sen", mas neste livro usaremos a abreviatura "sin"por questão de compatibilidade com o Mathematica . 23 Uma partição poligonal de uma superfície é uma subdivisão da superfície em p equenos retalhos poligonais contíguos, comumente do tipo triangular ou do tipo retangular.

54

CAPÍTULO 2. CÁLCULO VETORIAL v

 S

v

^ n

 S

v  t

^ n



v  t (a)

(b)

Figura 2.16: Fluxo através de uma seção ∆S : a) direção do fluxo normal à superfície, b) direção do fluxo oblíqua à superfície.

z

z

 S

^ n

S

(xn , yn, z n )

y x

^ n

y x

(a)

(b)

Figura 2.17: (a) Ilustração do escoamento de um fluido através de uma superfície suave. (b) Partição poligonal da superfície. das faces poligonais ∆sn é, conforme o argumento acima, aproximadamente igual a ρ (xn , yn, zn) v (xn, yn , zn )· n ˆ∆sn , sendo (xn , yn , zn ) o ponto no centro da face ∆sn e n ˆ o vetor unitário normal à face neste ponto, como ilustra a Figura 2.17b. Somando-se as vazões em cada face, obtém-se a vazão total, através da superfície poligonal, denominada também de fl uxo. Portanto, N

uxo através de S :=

fl

X

ρ (xn, yn , zn ) v (xn, yn , zn ) · n ˆ∆sn .

n=1

Supondo o número N de faces um inteiro arbitrariamente grande e fazendo o valor máximo de ∆sn suficientemente pequeno, então, podemos


55

escrever, N

uxo através de S : =

fl

=

lim

N →∞ max ∆sn →0

Z

X

ρ (xn, yn , zn) v (xn , yn, zn ) · n ˆ∆sn

n=1

ρ (x,y,z) v (x,y,z) · n ˆds.

(2.15)

S

Se S for uma superfície fechada e o fl uxo que sai for maior que o fl uxo que entra na região limitada pela superfície, o valor da integral é considerado positivo. Caso contrário, o valor é negativo. Obviamente, se o fluxo que entra for contrabalançado pelo fluxo que sai, o valor da integral será zero. Se cognominarmos ρ (x,y,z) v (x,y,z) por f (x,y,z) na integral (2.15) podemos escrever Fluxo através de S :=

Z

f · n ˆds.

(2.16)

S

Foi dito acima que a integral de linha é um dos pilares mestres do eletromagnetismo. Um outro pilar mestre é a integral do tipo 2.16, denominada integral de superfície de um campo vetorial f . É conhecida, também, como fl uxo de um campo vetorial f através de S, mesmo que f não represente qualquer escoamento de fluido, propriamente dito. O campo vetorial f (x,y,z) é normalmente denominado de densidade de fl uxo. Intuitivamente, esta integral nos dá a idéia de escoamento de algo através de uma superfície, mesmo que não haja efetivamente deslocamento de matéria. Digamos que ela representa o fl uxo de um escoamento de algo virtual, como, por exemplo, o da  . No quarto capítulo teremos muito o que densidade de fluxo magnético B falar sobre isto. Uma vez esclarecido o signi ficado físico da integral (2.16), nos resta desenvolver um procedimento prático para a computação de fluxos de campos vetoriais através de uma superfície S , orientada e suave por parte. Mas o que é uma superfície orientada e suave por parte? São aquelas em que faz sentido falar sobre traspassação de fluxos de um lado para outro. A seguir, faremos estas noções de orientação e suavidade de superfícies um pouco mais precisas do ponto de vista matemático. No primeiro capítulo já tocamos ligeiramente nesse assunto de superfície orientada. Lembre-se que uma superfície pode ser aberta ou fechada. Diz-se que uma superfície é aberta quando ela tem uma fronteira, caso contrário, ela é dita fechada. Uma superfície aberta é dita orientada quando possui dois lados. Existem superfícies abertas com apenas um lado. O exemplo

56


Figura 2.18: A faixa de Moebius possui apenas uma face mais notório de uma superfície aberta não-orientada é a faixa de Moebius, ilustrada na Figura 2.18. Para traçar a faixa de Moebius usamos os seguintes comandos, [87]: In[1]:= (*--- Figura 2.18:

Faixa de Moebius ---*)

<
Tal como as superfícies abertas que só possuem um lado, existem, igualmente, superfícies fechadas — aquelas que não possuem fronteira — em que não é possível identi ficar nehuma região interna ou externa à superfície. Nesse caso, não faz sentido falar em algo que está dentro ou fora da região limitada pela superfície. Aqui, é absolutamente falsa a idéia intuitiva de que uma superfície fechada sempre encerra um determinado volume. Um exemplo clássico é a garrafa de Klein, ilustrada soberbamente na Figura 2.19. Portanto, a garrafa de Klein é um exemplo de um superfície fechada não-orientada. Ela pode ser construída a partir de duas faixas de Möebius, [80]. In[3]:= (*--- kleinBottle[expr] calcula o gráfico da garrafa de Kein ---*) In[13]:= *--- kFigura 2.19:

Garrafa de Klein ---*)

Uma superfície é dita suave 24 quando é possível traçar um plano tan24

Tecnicamente, suave significa que as funções coordenadas da parametrização da superfície possuem derivadas parciais contínuas no seu domínio de de finição. Intuitivamente, uma superfície suave é uma superfície lisa, sem ranhuras e sem rupturas.


57

Figura 2.19: A garrafa de Klein é uma superfície fechada não-orientada. Não se pode sair nem entrar numa garrafa de Klein, pois não existem nem dentro nem fora. Nenhum fl uido pode ser armazenado por ela! É como diz o poeta: quem está fora não entra, quem está dentro não sai. Não sai porque não entrou e não entrou porque não saiu! gente25 a qualquer um dos seus pontos. Segundo essa de finição, as superfícies de uma esfera e de um toro são suaves, a de um cone, não. No caso do cone, é impossível traçar um plano tangente no seu vértice. Com exceção do vértice, a superfície do cone é suave em qualquer outro ponto. Uma superfície é dita suave por partes quando é formada pela junção de várias partes suaves. Nas emendas dos diferentes retalhos suaves que formam uma superfície suave por partes, a superfície deixa de ser suave. Um exemplo típico de uma superfície suave por partes é a superfície de um cubo, formada por seis faces planas. Nas arestas do cubo, a superfície deixa de ser suave. O cone também é uma superfície suave por partes, por conta de um único ponto. A superfície do cubo, por outro lado, possui uma in finidade de pontos (nas arestas) onde ela deixa de ser suave. Uma superfície suave ou suave por partes orientada em R3 pode ser aberta ou fechada . Ela é aberta quando possui uma fronteira formada por uma curva ou caminho fechado 26 . A superfície é fechada quando não possui 25

Plano tangente à uma superfície é um plano de finido por dois vetores não colineares tangentes, individualmente, à duas curvas traçadas sobre a superfície que se interceptam no ponto de tangência. 26 Um caminho C (t) = (x (t) , y (t) , z (t)); t0 < t < t1 , é dito fechado quando C (t0 ) =

58

CAPÍTUL CAPÍTULO O 2. CÁLCULO CÁLCULO VETORIA VETORIAL L

z

z

^ n

^ n

y x

y

x

( a)

Figura Figura 2.20: Superfície Superfície suave suave de aberta.

3

R

(b)

. a) superfície fechada, b) superfície

fronteira. A Figura 2.20 destaca a diferença entre uma superfície fechada e uma superfície aberta. Nas superfícies fechadas e suaves, convenciona-se a orientação positiva como sendo no sentido de dentro para fora. Nesse caso, a orientação é caracterizada por um campo de vetores unitários norma normais is 27 à superfície apontando de dentro dentro para fora (Figura (Figura 2.21a). 2.21a). z

^ n ^ n

z

^ n

^ n

y

y x

(a)

^ n

x

(b)

Figura 2.21: Orientação Orientação de superfícies suave suave por parte. a) superfície fechada, fechada, b) superfície aberta. A orientação de uma superfície aberta é um pouco mais sutil. A orientação é dita positiva quando quando o caminho fechado que constitui a fronteira da superfície e o campo de vetores unitários normais à superfície satisfazem a C (t (t1 ) . Intuitivamente, isto signi fica que o início e o fim do gráfico da curva coincidem no mesmo ponto. 27 Normal à superfície signi fica normal ao plano tangente à superfície.

59

2.3. INTEGRA INTEGRAIS IS DE LINHA, DE SUPERF SUPERFÍCIE ÍCIE E DE VOLUME VOLUME

regra regra da mão direita. direita. Dito Dito de outra maneira, maneira, o campo de vetores vetores unitários unitários normais à superfície aponta na direção do polegar enquanto que o caminho fechado da borda da superfície, percorrido no sentido anti-horário, acompanha os demais dedos da mão direita, como ilustrado na Figura 2.21b. 28 A orientação de uma superfície suave por parte coincide com a orientação orientação de cada uma de suas partes suaves, como mostra a Figura 2.21. Nota-se que nas arestas de contato das partes suaves, o campo de vetores unitários deixa de existir.

z ^ k



^ n



 ^ j

^ i

y x Figura 2.22: Vetor normal à superfície junto com os co-senos diretores. Tendo resolvido a questão de como orientar uma superfície, voltemos, agora, à questão do cálculo do fluxo de um campo vetorial f contínuo através de uma superfície suave S ⊂ R3 . Primeiro Primeiro,, vamos vamos expressar expressar o campo de vetores normais à superfície em termos dos co-senos diretores como ilustra a Figura 2.22. Simbolicamente, vem: ˆ, î + cos β ˆj + cos γ k n ˆ = cos αî +

(2.17)

Substituindo esta expressão do vetor n ˆ em (2.16), obtém-se: uxo :=

fl

Z ³ S

´³

que, efetuado o produto interno, se reduz a uxo =

fl

Z S

28

´

ˆ · cos αî + ˆ ds, f x î + î + f yˆj + f z k î + cos β ˆj + cos γ k

f x cos α + f + f y cos β + f + f z cos γds.

(2.18)

Um artifício prático para se identificar à orientação positiva de uma superfície aberta é imaginar que andando sobre a fronteira, o braço esquerdo aponta para o lado de dentro do percurso.

60


Esta expressão pode ser reescrita de forma mais simples se observarmos que as projeções, nos três planos cartesianos, de um pequeno retângulo ∆s tangente à superfície têm as seguintes formas: ∆s cos α = ∆y ∆z

,

= ∆z ∆x ∆s cos β =

Fazendo-se o retângulo reduzem a: ds cos α = dydz = dydz ,

∆s

e

= ∆x∆y. ∆s cos γ =

su ficientemente pequeno, essas projeções se

ds cos β = dzdx = dzdx e

ds cos γ = dxdy. = dxdy.

(2.19)

Substituindo estas três identidades na integral (2.18), chega-se a seguinte fórmula para a integral de superfície, Fluxo

:=

Z S

f x dydz + dydz + f f y dzdx + dzdx + f z dxdy.

(2.20)

É importante enfatizar que essa expressão da integral integral de superfície sup erfície de um campo vetorial é absolutamente absolutamente equivalente equivalente à fórmula fórmula (2.16). Tanto é assim que muitos autores, principalmente os de livros de cálculo mais avançado, preferem preferem o caminho caminho inverso inverso ao apresen apresentad tadoo aqui. aqui. De finem, de modo axiomático, a integral de superfície de um campo vetorial f = (f x , f y , f z ) pela fórmula (2.20) e a partir desta fórmula chegam à integral.(2.16) como uma simples ilustração do signi ficado físico físico da integr integraa de superfície. superfície. Todavia, odavia, temos a convicção que o conceito de integral de superfície vista de forma intuitiva, como uma espécie de fluxo, é o caminho mais simples e didático para os iniciantes em eletromagnetismo. Chama Chamamo moss à atenç atenção ão para para a semelh semelhanç ançaa estrut estrutura urall entre entre a integ integra rall de linha e (2.11) e a integr integral al de superfície superfície (2.16) de um campo vetorial. vetorial. Ambas têm a mesmas características, com a ressalva que na primeira os diferenciais são unidimensionais enquanto que na segunda, os diferenciais são bidimensionais bidimensionais 29 29

Essa analogia não é uma mera casualidade. Existe uma teoria matemática avançada ariedades, que unifica e generaliza os conceitos de integral de chamada de Cálculo em Variedades, linha linha e de superfície superfície de campos vetoria vetoriais. is. Ela se baseia baseia no fato que se fizermos ω = f x dx + f y dy + dy + f f z dz ou ω = f = f x dydz + dydz + f f dzdx + f dxdy , qualquer uma das duas integrais y z  pode ser escrita indistintamente como M ω , em que M representa um caminho ou uma = f x dx+ dx + f y dy + f z dz é denominada superfície, conforme o caso. Na integral de linha, ω = f denominada de 1-forma e = f x dydz + f y dzdx + f z dxdy é chamada de 2-forma . e na integral de superfície, ω = f O domínio M de integração, seja um caminho orientado da integral de linha, seja uma superfície orientada da integral de superfície, é denominado, indistintamente, de variedade ou manifold em R 3 . Tudo isso pode ser facilmente generalizado para R n com as n-formas .

61


Vimos anteriormente que para simpli ficar o cálculo da integral de linha de um campo vetorial vetorial se usou uma mudança de variável variável por meio da parametrização α(t) = (x (t) , y (t) , z (t)) do caminho, que resultou na substituição dy dz dos diferenciais dx,dy e dz em (2.11) por dx dt dt, dt dt e dt dt em (2.12). Com isso, a integral de linha foi transformada em uma integral ordinária no intervalo de de finição do parâmetro t . Aproveitando Aproveitando a analogia entre integrais integrais de linha e de superfície de um campo vetorial é natural proceder com a integral de superfície da mesma maneira como foi feito com a integral de linha. Inicia-se com a parametrização da superfície para transformar a integral de superfície em uma integral dubla numa numa região do plano. É isto o que faremos agora. Seja, então, a parametrização 30 ϕ(u, v) = (x (u, v) , y (u, v) , z (u, v)) da superfície S. Usando-se os parâmetros parâmetros u e v é fácil mostrar que os diferenciais dydz, dydz, dzdx dzdx e dxdy se escrevem do seguinte modo 31 , dydz = dydz =

∂ (y, (y, z ) ∂ (z, (z, x) ∂ (x, (x, y) dudv, dudv, dzdx dzdx = dudve e dxdy = dxdy = dudv, ∂ (u, (u, v) ∂ (u, (u, v) ∂ (u, (u, v)

(2.21)

em que os termos: ∂ (y, (y, z ) = ∂ (u, (u, v)

e

¯¯ ¯

∂y ∂u ∂z ∂u

∂y ∂v ∂z ∂v

¯¯ ¯

∂ (z, (z, x) = ∂ (u, (u, v)

,

∂ (x, (x, y) = ∂ (u, (u, v)

¯¯ ¯

∂x ∂u ∂y ∂u

∂x ∂v ∂y ∂v

¯¯ ¯

,

¯¯ ¯

∂z ∂u ∂x ∂u

∂z ∂v ∂x ∂v

¯¯ ¯

,

são os determinantes Jacobianos com respeito às variável u e v ([11], [19], [23], [35]) . A interpretação geométrica vem em primeiro lugar e a interpretação física vem depois, reforçadas pela simplicidade, estética e beleza da teoria das formas diferenciais [11], [19], [23], [23], [70]. Esta é a razão razão dos comentá comentários rios feitos feitos a pouco e no rodapé 15 na página página 38, sobre a preferência de alguns autores em de finir integral de linha pela fórmula (2.11) e integral integral de superfície pela fórmula fórmula  (2.20). Isto porque na teoria avançada avançada elas são casos particulares particulares da formula formula mais geral. M ω supracitada. 30 É necessário que as funções componentes x (u, v), y (u, v) e z (u, v) da parametrização da superfície S ⊂ R3 sejam continuamente diferenciáveis assim como suas funções inversas. 31 Uma maneira heurística de justificar os diferenciais (2.21) é calcular formalmente o ∂y ∂z ∂z du + du + ∂y dv e dz = dz = ∂u du + du + ∂v dv e usar as seguintes regras algébricas: produto de dy = ∂u ∂v ∂y ∂y ∂z ∂z du ∂v dv = dv = ∂u ∂v dudv , dudu = dudu = dvdv dvdv = = 0 e dudv = dudv = −dvdu. Com isso obteríamos dydz = dydz = ∂u   ∂y ∂z ∂y ∂z ∂y ∂z ∂y ∂z ∂y ∂z ∂y ∂z dudu + ∂u ∂v dudv + dudv + ∂v ∂u dvdu + ∂v ∂v dvdv dvdv = = ∂u ∂v − ∂v ∂u dudv. Analogamente ∂u ∂u    ∂x ∂y − ∂y ∂x  dudv. Esta ∂z ∂x ∂z ∂x mostrar-se-ia que dzdx = ∂u ∂v − ∂v ∂u dudv e dxdy = ∂u sta ∂v ∂v ∂u brincadeira algébrica torna-se coisa séria quando devidamente analisada através da álgebra exterior com formas diferenciais diferenciais [23].

62


Substituindo em (2.20) as expressões de dydz, dzdx e dxdy dadas por (2.21) obtém-se:

Integral de superfície : =

Z µ D

∂ (y, (y, z) ∂ (z, (z, x) ∂ (x, (x, y ) f x + f y + f + f z ∂ (u, (u, v) ∂ (u, (u, v) ∂ (u, (u, v)

¶

dudv

(2.22)

sendo D o domínio de de fi nição nição da parametrização ϕ da superfície S

Em virtude da mudança mudança de variávei variáveis, s, a componente f x (x,y,z) x,y,z) do campo vetorial corresponde, na realidade, à f x (x (x (u, v) , y (u, v) , z (u, v)) ou, simplesmente, f x (u, v). O mesmo mesmo pode ser dito dito com relaçã relaçãoo às duas outras outras componentes f y (u, v) e f z (u, v). O sinal da integral é positivo se a orientação de S coincidir com a orientação de D, caso contrár contrário, io, o sinal sinal é negativ negativo, o, ([11], [19]). [19]). Por isso, isso, não usamos o valor absoluto dos jacobianos, como é de praxe nos livros elementares de cálculo. Mais uma vez, é bom observar a similaridade estrutural entre a integral de linha (2.12) (2.12) e a integral integral de superfície superfície (2.22) (2.22) de um campo vetorial vetorial.. Em (2.12) as derivadas das componentes da parametrização do caminho correspondem, em (2.22), aos determinantes Jacobianos da parametrização da superfície. No resto, a analogia é perfeita, com a ressalva que uma é unidimensiona mensionall e a outra outra bidimens bidimensiona ional.l. O aprendiza aprendizado do da matemát matemática ica é imenimensamente facilitado quando se consegue enxergar padrões que uni fica idéias aparentemente desconexas à primeira vista. Simplicidade, beleza e estética sempre acompanham a uni ficação de idéias e teorias em matemática e física. Se o cálculo de integrais de linha feito manualmente já não é tão simples, ples, o que dizer dizer das integr integrais ais de superfíc superfícies ies?? Não é bom nem pensar! pensar! É exatamente aqui que o Mathematica mostra toda a sua força. Quanto mais desafiador for o cálculo da integral, maior o poder mágico do Mathematica . Tal como foi feito com as integrais de linha, para se computar integrais de superfície é su ficiente traduzir, ipsis litteris, em linguagem do Mathematica a fórmula (2.22). Assim:

63

2.3. INTEGRA INTEGRAIS IS DE LINHA, DE SUPERF SUPERFÍCIE ÍCIE E DE VOLUME VOLUME In[14]:= In[14]:= (*--- integralDe integralDeSuper Superficie ficie[expr [expr] ] calcula calcula integrais integrais de superfície superfície ---*) integralDe integralDeSuper Superficie ficie[x_, [x_, y_, z_, u_, v_, fx_, fy_, fz_, u0_,

u1_, v0_, v1_]:= v1_]:= Module[{j Module[{jacobi acobianoYZ anoYZ, , jacobiano jacobianoZX, ZX, jacobianoX jacobianoXY}, Y}, jacobianoY jacobianoYZ Z = Det[Outer[ Det[Outer[D, D, {y, z}, {u, v}]]; jacobianoZ jacobianoZX X = Det[Outer[ Det[Outer[D, D, {z, x}, {u, v}]]; jacobianoX jacobianoXY Y = Det[Outer[ Det[Outer[D, D, {x, y}, {u, v}]]; Integrate[ Integrate[fx fx jacobianoY jacobianoYZ Z + fy jacobiano jacobianoZX ZX + fz jacobianoX jacobianoXY, Y, {u, {u, u0, u0, u1}, u1}, {v, {v, v0, v0, v1}] v1}]] ]

Vamos, agora, apresentar apresentar alguns exemplos interessantes interessantes para mostrar ao leitor como a função integralDeSuperficie[...] é usada no cálculo de fluxo de campos vetoriais de maneira muito simples, para não dizer, trivial. Os comentários feitos sobre integrais de linha no terceiro parágrafo da página 38, se aplicam aplicam integralm integralment entee às integrais integrais de superfície superfície.. Desculpe-m Desculpe-mee pelo circunlóquio. Nos exemplos que se seguem serão apresentados muitos grá ficos tridimensiona mensionais is paramet parametriza rizados. dos. Para Para traçá-los traçá-los é preciso, preciso, de início, início, carregar carregar o pacote Add On: ParametricPlot ParametricPlots3D s3D . Isto é feito assim:, In[15]:= In[15]:= (*--- Ativa o pacote pacote Parametric ParametricPlot3 Plot3D D -*)

<
Exemplo 2.8: Vamos começar com um exemplo elementar a ao mesmo tempo assaz elucidativo. elucidativo. Dados o retângulo de vértices (2, (2, 1, 1), (2, (2, 1, 1), ˆ (1, (1, 1, 0) e (1, (1, 1, 0) e o campo vetorial f = aî + î + bˆj +ck, calcular o fluxo

−

−

através através da superfície superfície do retângul retângulo. o. Este problema problema é tão trivial trivial que não é preciso fazer contas, e muito menos usar o Mathematica . Mesmo assim, vale a pena investigá-lo detalhadamente. Para facilitar a análise do problema, é instrutivo, em primeiro lugar, visualizar o grá fico do retângul retânguloo em questão. questão. Vamos, amos, então, então, fazer a paraparametrização da superfície do retângulo e usar o Mathematica para traçar o seu grá fico. Sabendo-se Sabendo-se que a equação equação do plano plano 32 que passa pelos qua32

A equação do plano que passa por três pontos, (x1 , y1 , z1 ), (x2 , y2 , z2 ) e (x3 , y3 , z3 ) ,

 x − x  x − x  x −x

1

não colineares é dada pelo determinante:

2

1

3

1

y y2 y3

−y −y −y

1

1 1

z z2 z3

−z −z −z

1

1 1

  = 0.0 . 

64


1 0. 75 0. 5z 0. 25 -1

0

- 0. 5 0 y

0. 5 12

1. 75

1. 5

1. 25

1

x

Figura Figura 2.23: Superfície Superfície orientada orientada do retângul retânguloo que passa pelos pontos pontos (2, -1, 1), (2, 1, 1), (1, 1, 0) e (1, -1, 0). 0). A face oculta oculta é o lado lado positiv positivoo da superfície. tro pontos dados no enunciado do problema é − x + z + z + 1 = 0, pode-se, facilmen facilmente, te, escrever escrever a parametr parametrizaç ização ão do retângul retânguloo da seguinte seguinte maneira maneira:: ϕ (u, v) = (u,v, −1 + u + u)) em que 1 ≤ u ≤ 2 e −1 ≤ v ≤ 1. De posse da parametrização é muito simples traçar o grá fico do retângulo, ilustrado na Figura 2.23. Com efeito: In[16] In[16]:= := (*--(*--- Figura Figura 2.23: 2.23:

Retêng Retêngulo ulo de vértic vértices es (2,1,1 (2,1,1), ), (2,-1, (2,-1,1), 1),

(1,-1,0) (1,-1,0) e (1,1,0) (1,1,0) ---*) Parame Parametri tricPl cPlot3 ot3D[{ D[{u, u, v, -1 + u}, {u, 1, 2}, {v, -1, 1}, AxesLabel AxesLabel -> {”x”, {”x”, ”y”, ”z”}, ViewPoint ViewPoint -> {4, 4, 1}]; 1}];

Para se calcular o fluxo através da superfície limitada pelo retângulo é preciso, antes de tudo, especi ficar em que sentido o fluxo de dá em relação à superfície. Ou seja, é necessário determinar a orientação da superfície, ou melhor, melhor, escolher escolher qual dos dois lados é o positiv positivo. o. Observ Observando-se ando-se a Figura Figura 2.23 vamos eleger o lado visível do retângulo como sendo o lado positivo. Note que esta orientação é compatível com o critério da mão direita, em que o percurso ao redor da fronteira do retângulo acompanha os pontos (2, (2 , 1, 1), (2, (2, −1, 1), (1, (1, −1, 0) e (1, (1, 1, 0), nesta nesta ordem. Observe Observe que a orientaçã orientaçãoo do retângulo é no sentido horário, enquanto que o domínio D da parametrização é orient orientado ado no sentido sentido anti-ho anti-horári rário. o. Decidida Decidida a orienta orientação ção da superfície superfície,, estamos prontos para calcular o fl uxo através da superfície retangular. Para tanto precisamos apenas executar a função integralDeSuperficie[...] . Assim, podemos escrever


65

In[17]:= In[17]:= (*--- Cálculo Cálculo da integral integral de superfíci superfície e ---*) Clea Clear[ r[a, a, b, c, u, v] {fx, {fx, fy, fy, fz}: fz}:= = {a, {a, b, c}; c}; {x, y, z} = {u, v, -1 + u} integr integralD alDeSu eSuper perfic ficie[ ie[x, x, y, z, v, u, fx, fy, fz, 2, 1, 1, -1] Out[20]:= 2a

− 2c

É oportun oportunoo nos deter deter um pouco e analis analisar ar este resultad resultado. o. Antes Antes de tudo, note que a orientação da superfície retangular é oposta à do domínio D = {1 ≤ u ≤ 2, − 1 ≤ v ≤ 1}. Isto Isto implica implica que o sinal sinal da integ integra rall é negativo. Para fazê-lo positivo, como manda o enuciado do problema, basta mudar a orientação do retângulo ou a orientação do domínio D. Optamos pela segunda opção. É por isso que as variáveis u e v aparecem permutadas na lista de argumentos da função integralDeSuperficie[...]. Finalmente, vamos analisar o resultado apresentado em Out[20]. Vê-se que o fluxo é independente da componente f y = b do campo vetorial, pois a projeção do retângulo no plano xz é uma reta, e portanto desprovida de área. área. Em virtude virtude da simplici simplicidade dade da geometria geometria do retângulo, retângulo, é fácil fácil ver que o fluxo que atravessa a superfície é equivalente a soma dos fluxos nas ˆ, (Figura 2.23). Se direções x e z no sentido positivo de î e no negativo de k a > c, o fluxo será positivo e se dará de trás para frente do retângulo. Por outro lado, se a < c, o fluxo será negativo e o escoamento se fará no sentido oposto. Obviamente, se a = c = c , o fluxo total será zero. ˆ, determinar o fl uxo Exemplo 2.9: Dado o campo campo vetorial vetorial f = î + î + ˆj + k através da superfície S , parametrizada por ϕ (u, v) = (u2 + v 2 , u2 v 2 , uv) uv) em que 0 u 1 e 0 v 1.

≤ ≤

−

≤ ≤

Para iniciar, fi xemos a orientação de S em em concordância com a orientação de D( D (u, v) = {0 {0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1}. Assim, o lado positivo coincide com a face visível da superfície, exibida na Figura 2.24 e desenhada segundo dois ângulos ângulos de visão visão diferent diferentes es para auxiliar auxiliar a visuali visualização zação tridimens tridimensiona ional.l. O traçado dos grá ficos da Figura 2.24 é feito com os seguintes comandos: In[21] In[21]:= := (*--(*--- Figura Figura 2.23: 2.23:

Superf Superfíci ície e aberta aberta orientad orientada a ---*) ---*)

p1 = Parame Parametri tricPl cPlot3 ot3D[{ D[{u^2 u^2 + v^2, v^2, u^2 - v^2, v^2, u v}, {u, 0, 1}, {v, 0, 1}, AxesLabel AxesLabel -> {”x”, {”x”, ”y”, ”z” }, ViewPoint ViewPoint -> {-4, {-4, -1, 5},}, 5},}, DisplayFunction -> Identity];

66

CAPÍTUL CAPÍTULO O 2. CÁLCULO CÁLCULO VETORIA VETORIAL L 0 0. 5

1 0. 75 0. z 5 0. 25 0

1x

1 0. 75 0. z5 0. 25 20 1. 5

1. 5 2

-1

- 0. 5

0 y

0. 5

1 0. 5

1

y

0

1

- 0. 5

0. 5

x

-1 0

Figura 2.24: Superfície suave vista de dois ângulos diferentes. A face visível é o lado positivo da superfície. p1 = Parame Parametr tricP icPlot lot3D[ 3D[{u^ {u^2 2 + v^2, v^2, u^2 - v^2, v^2, u v}, {u, {u, 0, 1}, {v, 0, 1}, AxesLabel AxesLabel -> {”x”, {”x”, ”y”, ”z”}, ViewPoint ViewPoint -> {-2, {-2, -2, 2}, DisplayFunction -> Identity] Show[GraphicsArray[{p1,p2}, DisplayFunction -> $DisplayFunction];

Como no caso anterior, aplicando a função integralDeSuperficie[...] determina-se facilmente o fluxo. Logo: In[22]:= In[22]:= (*--- Cálculo Cálculo da integral integral de superfície superfície ---*) Clear[u, Clear[u, v] {fx, {fx, fy, fy, fz}: fz}:= = {1, {1, 1, 1}; 1}; {x, y, z} = {u^2 + v^2, u^2 - v^2, uv}; integr integralD alDeSu eSuper perfic ficie[ ie[x, x, y, z, v, u, fx, fy, fz, 0, 1, 0, 1] Out[25]:=

−2/3

Exemplo 2.10: . Nos dois exemplos exemplos anteriore anterioress as superfícies superfícies foram do

tipo aberta, agora vamos calcular o fluxo através de uma superfície fechada. ˆ, o nosso obCom o campo vetorial f = −xz 2 î + î + x2 (z − y )ˆj − y (2x (2x − yz) yz ) k jetivo é determinar o fluxo através da superfície formada por uma esfera √ 2 2 2 2 x + y + z = a secionada pelo plano x + x + y y + + (z ( z − a 2/2) = 0. O plano interceptante forma um disco cuja parametrização é dada por √ √ ϕ1 (u, (u, v) = (u cos v, u sin v, a 2/2), em que 0 ≤ u ≤ a 2/2 e 0 ≤ v ≤ 2π ,


67

1 y/ a 0. 5 0 - 0. 5 -1 0. 5 z/ a 0 - 0. 5 -1 -1 - 0. 5 0 x/ a

0. 5 1

Figura 2.25: Superfície suave por partes formada por uma superfície esférica secionada por um plano horizontal. enquanto que a parametrização da esfera interceptada interceptada é dada por ϕ2 (u, (u, v) = 33 (a sin u cos v, a sin u sin v, a cos u), sendo π /4 ≤ u ≤ π e 0 ≤ v ≤ 2π . De posse da parametrização das duas superfícies parciais, o traçado do gráfico, ilustrado na Figura 2.25, é imediato com o Mathematica . Com efeto, In[26] In[26]:= := (*--(*--- Figura Figura 2.25:

Superf Superfíci ície e da esfera esfera secionad secionada a por

um plano horizontal horizontal ---*)

33

Neste livro, convencionamos os sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas de acordo com as seguintes figuras:

z

z ( , , z )

(r , ,  ) 

z 

x



y



r

y

x

u,v,z) Naturalmente, outros símbolos também podem ser usados, como por exemplo (u,v,z) ( r,u,v)) para coordenadas esféricas. para as coordenadas cilíndricas e (r,u,v

68


Tratando-se de uma superfície suave suave por p or partes, o fl uxo total é composto pela soma dos fluxos em cada uma das partes suaves (a esfera interceptada e o disco interceptor) que formam a superfície. Logo, podemos escrever: In[30]:= In[30]:= (*--- Cálculo Cálculo da integral integral de superfície superfície ---*) Clea Clear[ r[x, x, y, z, u, v] {fx, {fx, fy, fz}:= fz}:= {-x {-x z^2, z^2, x^2 (z - y), y), -y(2 x-y x-y z)}; z)}; {x, y, z} = {u Cos[v] Cos[v], , u Sin[v] Sin[v], , Sqrt[2 Sqrt[2]/2 ]/2}; }; fluxoD fluxoDisc isco o = integr integralD alDeSu eSuper perfic ficie[ ie[x, x, y, z, v, u, fx, fy, fz, 0, a Sqrt[2 Sqrt[2]/2 ]/2, , 0, 2Pi]; 2Pi]; {x, y, z} = {a Sin[u]Cos[v Sin[u]Cos[v], ], a Sin[u]Sin[v Sin[u]Sin[v], ], a Cos[u] Cos[u]}; }; fluxoE fluxoEsfe sfera ra = integr integralD alDeSu eSuper perfic ficie[ ie[x, x, y, z, v, u, fx, fy, fz, Pi/4, Pi/4, Pi, 0, 2Pi]; 2Pi]; fluxoE fluxoEsfe sfera ra = integr integralD alDeSu eSuper perfic ficie[ ie[x, x, y, z, v, u, fx, fy, fz, fluxoSupe fluxoSuperfici rficie e = fluxoDisco fluxoDisco + fluxoEsfer fluxoEsfera a Out[33]:= a5 π/

¡ √ ¢ 16 2

√

−2a π/15 π/15 − 43a 43a π/(240 π/(240 2) √ Out[36]:= −2a π/15 −7a π/ 60 2 Out[35]:=

5

2

5

5

¡ ¢

Os resultados parciais Out[33] e Out[35] correspondem aos fluxos através do disco e da esfera intercept interceptada, ada, respectiv respectivamente. amente. O fluxo total Out[36] resulta da soma destes dois fluxos parciais. Como o raio a é maior que zero, o fl uxo é sempre negativo, isto é, de fora para dentro da superfície. Concluise daí que as fontes de fluxo se localizam localizam fora da superfície superfície fechada fechada.. No interior, existem apenas sorvedouros. Exemplo 2.11: Neste exemplo simples vamos vamos calcular o fluxo do campo 2 2 ˆ através da superfície vetorial f = xz î + î + x y z ˆj +y(2x (2x + yz) yz )k sup erfície cilíndrica 2 2 x + y = 4 limitada pelos planos z = 2 e z = 2.

¡ ¢ ¡ −¢

−

A superfície cilíndrica fechada encontra-se graciosamente ilustradas na Figura Figura 2.26. 2.26. Ela é formada formada por três porções: o círculo círculo basal, basal, a superfície superfície lateral cilíndrica e o círculo do topo. Feitas estas observações, observações, o fl uxo total é composto pela soma das integrais de superfície em cada uma dessas partes. Para se traçar a Figura 2.26 e fazer o cálculo do fl uxo é preciso dispor da parametrização de cada uma das porções que compõem a superfície. Procedendo como nos exemplos anteriores, podemos escrever as parametrizações, de cada uma das partes, da seguinte maneira 34 : 34

Lembre-se que a parametrização de uma superfície (ou de uma curva) é uma simples


y

69

2 1

0 -1 -2 2 1 z

0 -1 -2 -2 -1 0 x

1 2

Figura 2.26: Superfície cilíndrica fechada no teto e na base. ϕb (u, (u, v) = (u ( u cos v, u sin v, 2) em que 0 u 1, 2π v 0, ϕc (u, (u, v) = (2 cos cos u, 2sin u, v) em que 0 u 2π, 2 v 2, ϕt (u, (u, v) = (u cos v, u sin v, 20 em que 0 u 1, 0 v 2π , em que os subscritos b, c e t denotam, respectivamente, base, superfície cilíndrica

−

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ − ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

lateral lateral e teto do cilindro cilindro secionado. secionado. Note Note que nas parametr parametrizaçõ izações es dos círculos da base e do teto, o parâmetro v varia em direções opostas, para que ˆ e os vetores normais à base e ao teto tenham sinais contrários, isto é, −k ˆ, respectivamente. Para se traçar o grá fico da superfície esta distinção de +k sinal é irrelevante, mas, para o cálculo do fl uxo ela é vital, pois a orientação da superfície superfície se dá de dentro dentro para fora da superfície. superfície. Dito isto, isto, podemos traçar o grá fico da Figura 2.26: In[37] In[37]:= := (*--- Figura Figura 2.26: 2.26:

Superf Superfíci ície e

cilínd cilíndric rica a fechad fechada a ---*) ---*)

Os fluxos através do círculo da base, da superfície cilíndrica lateral e do círculo do teto se somam para compor o fluxo total. total. Portan Portanto, to, podemos escrever: In[42]:= In[42]:= (*--- Cálculo Cálculo do fluxo através através da superfíci superfície e

mudança de variáveis. variáveis. O leitor tem que se conscientizar conscientizar disto e pro curar descobrir a parametrização que melhor se coaduna ao problema a ser resolvido. É mister usar diferentes sistemas de coordenadas para tirar proveito da simetria do problema. A arte de formular a parametrização de uma superfície não é difícil, todavia, é preciso praticar um pouco para se obter experiência, como tudo na vida.

70

CAPÍTUL CAPÍTULO O 2. CÁLCULO CÁLCULO VETORIA VETORIAL L cilíndrica fechada---*) Clea Clear[ r[x, x, y, z, u, v] {fx, fy, fz}:= {xz^2, x^2y - z, y(2x + yz)}; {x, {x, y, z} = {uCos[v] {uCos[v], , u Sin[ Sin[v] v], , -2}; -2}; fluxoBase fluxoBase = integralDe integralDeSuper Superfici ficie[x, e[x, y, z, v, u, fx, fx, fy, fy, fz, fz, 0, 2, 2Pi, 2Pi, 0] {x, y, z} = {2Cos[ {2Cos[u], u], 2Sin[u], 2Sin[u], v}; fluxoCili fluxoCilindric ndrico o = integralDe integralDeSuper Superficie ficie[x, [x, y, z, v, u, fx, fx, fy, fy, fz, fz, 0, 2Pi, 2Pi, -2, -2, 2] {x, {x, y, z} = {uCos[v] {uCos[v], , u Sin[ Sin[v] v], , 2}; 2}; fluxoTeto fluxoTeto = integralDe integralDeSuper Superfici ficie[x, e[x, y, z, v, u, fx, fx, fy, fy, fz, fz, 0, 2, 0, 2Pi] 2Pi] fluxoSupe fluxoSuperfici rficie e = fluxoBase fluxoBase + fluxoCilin fluxoCilindro dro + fluxoTeto fluxoTeto Out[45]:= 8π

112π/3 3 Out[47]:= 112π/ Out[49]:= 8π

160π/3 Out[50]:= 160π

Em contraste com o exemplo anterior, anterior, agora o fluxo é positivo. Portanto, Portanto, ele escoa através da superfície de dentro para fora. Isto indica que as fontes de fluxo se situam no interior do cilindro. Exemplo 2.12: Apertando um pouco o centro do cilindro da Figura

2.26, como se este fosse de borracha, obtém-se um hiperbolóide (Figura 2.27). 2.27). Vamos amos ver o que acontece acontece com fluxo do mesmo campo vetorial do exemplo anterior após feita esta deformação. A parametrização do hiperbolóide é expressa por: ϕh (u, (u, v) = (cos u − v sin u, sin u + v + v cos u, v) em que 0 ≤ u ≤ 2π e −2 ≤ v ≤ 2. O teto e a base não mudaram, portanto a parametrização de ambos não se altera. De posse da parametrização parametrização das três superfícies, é simples traçar o grá fico do hiperbolóide fechado (Figura 2.27). Com efeito: In[51] In[51]:= := (*--(*--- Figura Figura 2.27:

Superf Superfíci ície e hiperb hiperbóli ólica ca fechad fechada a no topo topo e

na base base ---*) ---*)

Da mesma maneira como no caso anterior é simples calcular o fato, é só repetir o mesmo procedimento: In[56]:= In[56]:= (*--(*--- Cálculo Cálculo do fluxo através do hiperbolói hiperbolóide de

uxo. De

fl


y 1 0

71

2

-1 -2 2 1 z 0 -1 -2 -2 -1 0 x

1 2

Figura 2.27: Hiperbolóide fechado na base e no topo. fechado ---*) Out[59]:= 8π Out[61]:= 912π/125 Out[63]:= 8π Out[64]:= 2912π/125

Como era de se esperar, os fluxos através dos círculos da base e do teto não foram alterados. Todavia, o fluxo através da parede lateral do hiperbolóide diminuiu com relação ao do cilindro. Este é um resultado coerente, pois com a diminuição do volume — do cilindro para o hiperbolóide — a quantidade de fontes internas diminuiu um pouco, é claro. Exemplo 2.13: Apertando ainda mais a cintura do hiperbolóide, chega-

se a um cone de duas folhas (Figura 2.28). Mantendo o mesmo campo vetorial, vamos calcular o fluxo através dessa nova superfície fechada. A parametrização da superfície lateral do hiperbolóide é expressa por: ϕcc (u, v) = (v cos u, v sin u, v) em que 0 ≤ u ≤ 2π e −2 ≤ v ≤ 2. A parametrização da base e a do teto já são conhecidas. De posse da parametrização das três superfícies, podemos traçar facilmente o grá fico da superfície fechada do cone de duas folhas, mostrado majestosamente na Figura 2.28: In[65]:= (*--- Figura 2.28:

Superfície fechada de um cone de

72

CAPÍTULO 2. CÁLCULO VETORIAL y 1 0

2

-1 -2 2 1 z

0 -1 -2 -2 -1 0 x

1 2

Figura 2.28: Superfície cônica de duas folhas fechada na base e no topo. duas folhas ---*)

Procedendo como no caso anterior, calcula-se facilmente o do cone. Portanto,

uxo através

fl

In[70]:= (*--- Cálculo do fluxo através do cone fechado de duas folhas ---*) Out[73]:= 8π Out[75]:= 16π/5 Out[77]:= 8π Out[78]:= 96π/5

É claro que os fluxos parciais através da base e o teto continuam inalterados. Afinal de contas, os círculos da base e do topo não foram afetados pela deformação do hiperbolóide no cone. Já o fluxo através da parede lateral diminuiu ainda mais, em virtude da redução acentuada do volume limitado pela superfície do cone. Menor o volume, menor o número de fontes internas. Os resultados destes três últimos exemplos parecem bem coerentes, pois, intuitivamente, é razoável que o valor do fluxo dependa da geometria da superfície atravessada pelo fluxo. Será que este raciocínio é válido em geral? Ou será que existem campos vetoriais cujos fluxos não dependem da geometria da superfície fechada? Os próximos exemplos mostram que


73

isto pode acontecer, de fato. Para tanto vamos considerar o campo vetoˆ e repetir os últimos três rial f = (2x + y)î − 3y − z 2 /3 ˆj + x − 3y2 + z k exemplos.

¡

¢ ¡

¢

Exemplo 2.14: Iniciando com o cilindro do Exemplo 2.11 e procedendo

do mesmo modo como antes, vem: In[79]:= (*--- Cálculo do fluxo através da superficie cilindrica fechada ---*) Out[82]:= 20π

−16π Out[86]:= −4π Out[84]:=

Out[87]:= 0

Uau! O fluxo total é igual a zero. O fluido que entra pela base e pela parede lateral do cilindro sai integralmente pelo teto. Conclui-se daí que as fontes de fluxo encontram-se fora da região limitada pelo cilindro. Exemplo 2.15: Deformando o cilindro no hiperbolóide do Exemplo

2.12 e procedendo de forma análoga, vem In[88]:= (*--- Cálculo do fluxo através do hiperboloide fechado ---*) Out[91]:= 20π

−16π

Out[93]:=

Out[95]:= -4π Out[96]:= 0

Interessante! O fluxo total continua nulo, independentimente da deformação do cilindro no hiperbolóide. Exemplo 2.16 Deformando-se o hiperbolóide no cone de duas folhas do

Exemplo 2.13, o valor do fluxo permanece igual a zero. De fato: In[97]:= (*--- Cálculo do fluxo através do cone fechado de de duas folhas ---*) Out[100]:= 20π

−16π

Out[102]:=

Out[104]:= -4π

74


1 0. 5 z 0 - 0. 5 -1

2

0 -2 0

y

-2

x 2

Figura 2.29: Superfície toroidal. Out[105]:= 0

O leitor poderia questionar que estes exemplos não foram bem escolhidos, pois se não há fontes no interior do cilindro, com maior razão, não deveria haver fontes no interior do hiperbolóide e nem tão pouco dentro do cone de duas folhas. Em outras palavras, não seria novidade que os fluxos continuassem sendo zero, mesmo após as deformações do cilindro no hiperbolóide e deste no cone. O leitor tem razão. Por isso, vamos analisar outro exemplo, partindo de uma superfície fechada completamente diferente das três anteriores. Exemplo 2.17 : Continuando com o mesmo campo vetorial, vamos de-

termiar o fluxo através da superfície toroidal da Figura 2.29, parametrizada por ϕ (u, v) = ((2 + cosu)cos v, (2+cos u)sin v, sin u), em que 0 ≤ u ≤ 2π e 0 ≤ v ≤ 2π}. De posse da parametrização, o traçado do grá fico do toro é feito assim: In[106]:= (*--- Figura 2.29:

Superfície toroidal---*)

Clear[u, v] toro = {(2 + Cos[u]) Cos[v], (2 + Cos[u]) Sin[v], Sin[u]}; ParametricPlot3D[Evaluate[toro], {u, 0, 2 Pi}, {v, 0, 2 Pi}, AxesLabel -> {”x”, ”y”, ”z”}];


75

O cálculo do fluxo é bem simples por se tratar de uma superfície suave e conexa. Portanto, In[109]:= (*--- Fluxo através da superfície toroidal ---*) Clear[x, y, z, u, v] {fx, fy, fz}:= {2x + y, -3y + z^2/3, x + 3y^2 + z}; {x, y, z} = {(2 + Cos[u]) Cos[v], (2 + Cos[u]) Sin[v], Sin[u]}; integralDeSuperficie[x, y, z, u, v, fx, fy, fz, 0, 2Pi, 0, 2Pi] Out[112]:= 0

Ótimo, o fluxo continua sendo zero, não obstante a diferença entre a geometria do toro e das três superfícies anteriores. O leitor cético poderia retorquir, a firmando que o toro é muito simétrico e portanto ele não constitui ainda um bom exemplo para convencê-lo que o fl uxo seria zero qualquer que fosse a superfície fechada. Tudo bem! O leitor sempre tem razão. Vamos, então, mostrar um exemplo radical. Para tanto escolhemos a superfície fechada de um caracol, ilustrada magni ficamente na Figura 2.30. Realmente, trata-se de uma superfície exótica e totalmente assimétrica. Exemplo 2.18: Continuando com o mesmo campo vetorial vamos com-

putar o fluxo através da superfície do caracol, fechada por um disco na extremidade mais larga. Para iniciar, precisamos da parametrização da superfície lateral e a do disco que tampa o caracol. A primeira é expressa por ϕca (u, v) = (u cos u[4+ cos(u + v)]/10, u sin u[4 + cos(u + v)]/10, u sin(u + v)/10), em que 0 ≤ u ≤ 4π e 0 ≤ v ≤ 2π de acordo com [85] e a segunda é dada por ϕd (u, v) = (5 − u cos u, 0, u sin u), em que 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 2π. De posse da parametrização do caracol e do disco é fácil traçar o grá fico mostrado na Figura 2.30. Com efeito: In[113]:= (*--- Figura 2.30:

Superfície fechada do

caracol ---*)

O cálculo do fl uxo através da superfície do caracol fechado segue o mesmo procedimento de antes. Então: In[114]:= (*--- Cálculo da integral do fluxo através do caracol fechado ---*) Out[120]:= 4π5 /1875

76


z

1 0 -1

-4 -2 5

0

y

2. 5 x

2

0 - 2. 5 4

Figura 2.30: Superfície fechada do caracol. 5

−4π /1875

Out[122]:=

Out[123]:= 0

Formidável, o fl uxo que entra pelo disco sai integralmente pela superfície lateral do caracol. O fluxo total continua sendo nulo. Definitivamente, podemos conjecturar que o fl uxo do campo vetorial f = ˆ será sempre zero, independente da (2x + y)î −(3y − z 2/3)ˆj +(x − 3y2 + z)k geometria da superfície fechada em questão. Na verdade, o fl uxo será sempre zero independente da forma e das dimensões da supperfície. Isto signi fica que as fontes que criam o campo estão localizadas no in finito! Dizer que o valor absoluto da integral de superfície de um campo vetorial não depende da geometria de uma dada superfície aberta é equivalente a dizer que o valor do fl uxo através de qualquer superfície fechada orientada é identicamente zero. Por exemplo, os valores absolutos dos fluxos através do disco e do caracol do Exemplo 2.18 são absolutamente iguais e assim, não dependem da geometria dessas duas superfícies. Para provar esta verdade teríamos de testar todas as possíveis superfícies fechadas e orientadas ou desenvolver uma maneira mais prática de fazer isto. É óbvio que a primeira alternativa é inexeqüível. Então, não nos resta outra possibilidade a não ser encontrar um outro método mais simples para provar que o valor da integral independe da geometria da superfície. Isto nos faz lembrar a questão formulada na página 53 com respeito à integral de linha. Naquela ocasião, se questionava se dado um campo vetorial, a integral de linha seria ou não dependente do caminho. Campos vetoriais em que integrais de linha são


77

independentes do caminho e em que integrais de superfície independem da geometria da superfície, são campos muito especiais e desempenham papel relevante em eletromagnetismo. Mais adiante falaremos bastante sobre isto, e então, desenvolveremos algumas ferramentas matemáticas que facilitarão identificar rapidamente esses campos vetoriais especiais. 2.3.3

Integral de volume de um campo escalar

As integrais de linha e de superfície se aplicam a campo vetoriais, enquanto que integrais de volume se destinam a campo escalares. Assim, dado o campo escalar ψ (x,y,z) contínuo numa região V ⊂ R3, a integral

Z

ψ (x,y,z) dV ,

(2.23)

V

é denominada de integral de volume .

Na prática, a função ψ (x,y,z) representa uma densidade volumétrica de alguma grandeza física, enquanto a integral de volume, por sua vez, mede a quantidade total desta grandeza na região V ⊂ R3 . Por exemplo, a integral de volume da densidade de carga elétrica ρ (x,y,z) , numa determinada região do espaço, mede a quantidade total de carga elétrica encerrada nesta região. O primeiro passo a ser tomado para se calcular a integral 2.23 é de finir uma parametrização adequada para região V . Isto signi fica, como sabemos, substituir as variáveis x, y e z por outras variáveis, digamos r, u e v, para transformar a integral de volume em três integrais iteradas, normalmente mais simples de serem calculadas. Com isso, a integral de volume toma a forma:

Z Z Z v1

v0

u1

u0

s1

ψ[x(r,u,v), y(r,u,v), z(r,u,v]

s0

∂ (x,y,z) drdudv , ∂ (r,u,v)

(2.24)

em que ∂ (x,y,z) /∂ (r,u,v) é o jacobiano da transformação do domínio da integral.

O jacobiano é expresso pelo determinante, ([11], [35]), ∂ (x,y,z) = ∂ (r,u,v)

¯¯ ¯¯

∂x ∂r ∂x ∂u ∂x ∂v

∂y ∂r ∂y ∂u ∂y ∂v

∂z ∂r ∂z ∂u ∂z ∂v

¯¯ ¯¯

.

78


A exemplo das integrais de linha e de superfície, a integral de volume também é fácil de ser calcula com o Mathematica . Para tanto, basta traduzir literalmente a fórmula 2.24. Portanto, In[1]:= (*--- integralDeVolume calcula integrais de volume ---*) integralDeVolume[x_, y_, z_, r_, u_, v_, funU_, r0_, r1_, u0_, u1_, v0_, v1_]:= Module[{jacobiano}, jacobiano = Det[Outer[D,{x, y, z}, {r, u, v}]] // Simplify; Integrate[funU jacobiano, {r, r0, r1}, {u, u0, u1}, {v, v0, v1}]]

Vejamos dois exemplo simples de uso da função integralDeVolume[...] : Exemplo 2.19: Qual a quantidade de vinho que cabe no cálice exibido na da Figura 2.31, parametrizado por ϕ (r,u,v) = (r sin2u sin v, r sin2u cos v, 2r sin u) em que 0 6 r 6 1, π/10 6 u 6 π/3 e 0 6 v 6 2π?

−

O gráfico do cálice é feito assim: In[2]:= (*--- Figura 2.31: Cálice de vinho ---*) Clear[u, v] ParametricPlot3D[{Sin[2u] Sin[v], Sin[2u] Cos[v], 2 Sin[u]}, {u, -Pi/8, Pi/3}, {v, 0, 2 Pi} AxesLabel -> {”x”,

”y”,

”z”}];

Para se determinar a quantidade de vinho, basta fazer ψ (x,y,z) = 1 e calcular o volume do cálice. Note que o parâmetro u varia de 0 a π/3 que corresponde à taça do cálice. Portanto, In[4]:= (*--- Cálculo da quantidade de vinho ---*) Clear[u, v, z, r, u, v, funP] funPn = 1; P{x, y, z} = {r Sin[2u] Sin[v], r Sin[2u] Cos[v], 2 r Sin[u]}; integralDeVolume[x, y, z, r, u, v, funU, 0, 1, 0, Pi/3, 0, 2 Pi]

√

Out[7]:= 3 3π/10

Exemplo 2.20: Determinar a integral de volume do campo escalar ψ (x,y,z) = z sinh[x] + y no torso cilíndrico ilustrado na Figura 2.32 constituído pelo cilíndrico x2 +y2 = 1, limitado pelos planos z = 0 e 3x 2z+6 = 0.

−

2.3. INTEGRAIS DE LINHA, DE SUPERFÍCIE E DE VOLUME y

1- 1 0. 5

- 0. 5

0

79

x 0

0. 5

1

- 0. 5 -1

1 z 0

Figura 2.31: Cálice de vinho É fácil veri ficar que a parametrização do torso cilíndrico secionada pelos planos z = 0 e 3x − 2z + 6 = 0, é: ϕ (r,u,v) = (r cos u, r sin u, 3v(1 + r/2cos u)) em que 0 6 r 6 1, 0 6 u 6 2π , 0 6 v 6 1. Daí, é imediato construir o grá fico do torso em questão. In[8]:= (*--- Figura 2.32:

Torso cilindrico ---*)

Sem muita conversa, a integral de volume é computada assim: In[13]:= (*--- Cálculo da integral de volume ---*) Clear[u, v, z, r, u, v, funU] funUn = Sinh[x] + y; {x, y, z} = {rCos[u], r Sin[u], 3 v (1 + r/2 Cos[u]}; integralDeVolume[x, y, z, r, u, v, funU, 0, 1, 0, 2 Pi, 0, 1] Out[6]:= 39πBesselI[2, 1]

O resultado 9π BesselI[2, 1] significa 9π I2 (1), ou seja, o valor no ponto 1, da função modificada de Bessel de primeira espécie e ordem dois multiplicada por 9π . As funções de Bessel serão estudadas datalhadamente no sexto capítulo. Muitos outros exemplos de integral de volume serão vistos no decorrer do livro. Embora a integral de volume tenha sido de finida para campos escalares em R3 é praxe se usar a mesma denominação para integrais em R2 . Usase também, nesse caso, o termo integral de área, mas, integral de volume é

80


4

3

z

2

1

0 -1 1

-0. 5 0. 5

0 0 y

- 0. 5

0. 5 - 11

x

Figura 2.32: Torso do cilindro x2 + y 2 = 1, limitado pelos planos z = 0 e 3x − 2z + 6 = 0. mais apropriado. Portanto, não confundir integral de volume em uma região Ω ⊂ R2 com a integral de superfície de finida anteriormente.

2.4

Os operadores: Curl, Div e Grad

No primeiro capítulo, as equações de Maxwell foram apresentadas de duas maneiras distintas: na forma integral e na forma diferencial. Das duas, a forma integral é a mais adequada na conceituação dos fundamentos físicos do eletromagnetismo. Ela serve também de ponto de partida para se obter as equações na forma diferencial, que é, normalmente, a forma empregada na solução de problemas práticos de eletromagnetismo. As equações de Maxwell na formatação diferencial, contêm dois operadores: o rotacional e a divergência . O primeiro é denotado pela abreviatura Curl 35 e o segundo pela abreviatura Div . Além desses dois operadores, há um terceiro operador denominado de gradiente ou simplesmente Grad , que embora não conste das equações de Maxwell, desempenha, também, papel fundamental em eletro35

Em português a abreviatura do rotacional é Rot . No entanto, neste livro vamos usar a abreviatura Curl por questão de compatibilidade com o Mathematica .

81

2.4. OS OPERADORES: CURL, DIV E GRAD

magnetismo. O operador rotacional é a ferramenta apropriada para testar se a integral de linha de um campo vetorial depende ou não do caminho. Por outro lado, o operador divergência permite saber se o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é zero ou não. Estas questões foram levantadas no final da seção anterior e, como foi dito naquela ocasião, são importantíssimas em eletromagnetismo. Um operador é uma aplicação 36 entre dois espaços vetoriais ou entre um espaço vetorial e um escalar e vice-versa. O operador rotacional transforma um espaço vetorial em um segundo espaço vetorial. O operador divergência transforma um espaço vetorial em um espaço escalar e o operador gradiente transforma um espaço escalar em um espaço vetorial. A Tabela 2.1.sintetiza essas operações. Tabela 2.1: Operadores: Curl, Div e Grad Operador

Integral

Campo

Curl Div Grad

de linha vetorial de superfície vetorial de volume (R2 ) escalar

Campo

⇒ vetorial ⇒ escalar ⇒ vetorial

= = =

Estes três operadores guardam estreitas relações com as integrais de linha e de superfície. Na verdade, o operador rotacional é descendente da integral de linha de um campo vetorial ao longo de um caminho fechado. O operador divergência, por sua vez, associa-se ao fl uxo de um espaço vetorial através de uma superfície fechada e orientada. Finalmente, o gradiente surge da integral de um campo escalar multiplicado por um campo de vetores unitários normais à superfície de integração. Nas próximas três subseções, estes operadores serão estudados minuciosamente 37 , ([63], [65], [ ?]). 36

Lembre-se que aplicação é um termo genérico usado em matemática para designar função, funcional, operador, mapeamento, etc. 37 A maioria dos livros em eletromagnetismo pressupõe que o leitor tenha conhecimento prévio de alguns tópicos de cálculo avançado. Infelizmente nem sempre isto acontece. Por ser pré-requisito fundamental no estudo do eletromagnetismo decidimos apresentar um resumo detalhado destes tópicos, com ênfase nos seus aspectos físicos. É um resumo longo e até certo ponto repetitivo, mas acredito que vale a pena estudá-lo cuidadosamente. Repetir, repetir e repetir . . . , é assim que se aprende na prática. Lembre-se que "água mole em pedra dura, tanto bate até que fura".

82 2.4.1

CAPÍTULO 2. CÁLCULO VETORIAL Rotacional

Foi dito acima que o rotacional e a integral de linha de um campo vetorial num caminho fechado têm muito em comum. Com efeito, o rotacional de um campo vetorial num ponto (x,y,z) é concebido como sendo o limite do quociente entre a integral de linha, do campo vetorial, ao longo de um caminho fechado — centrado em (x,y,z) — e a área circunscrita pelo caminho, quando esta tende a zero. A partir dessa idéia básica, vamos formalizar a de finição matemática do operador rotacional e em seguida deduzir fórmulas práticas para o cálculo deste operador nos três sistemas usuais de coordenadas (cartesianas, cilíndricas e esféricas) Dados um campo vetorial de finido numa região Ω do espaço R3 e um caminho C em torno de um ponto (x,y,z) qualquer desta região, e com a ajuda da Figura 2.33, o perador rotacional é de finido da seguinte maneira:

Seja C um caminho fechado em torno de um ponto (x,y,z) e seja n ˆ o vetor unitário neste ponto, normal à superfície ∆S circunscrita pelo caminho C . Então, o rotacional, no ponto (x,y,z), do campo vetorial f diferenciável é um vetor na direção n ˆ de norma igual a

1 (curl f ) ·n ˆ = lim ∆S →0 ∆S

Z

f · ˆ tdl.

(2.25)

C

em que ˆ t é o campo de vetores tangentes ao caminho C.

Como acontece na maioria das de finições em matemática, esta de finição de rotacional não é intuitiva à primeira vista, e nem tão pouco, reveladora de algum conteúdo físico. Mesmo assim, não se desanime. Mais adiante veremos que por trás desta de finição fria se esconde algo maravilhoso. Na verdade, na prática, não se usa diretamente esta de finição, e sim, fórmulas mais simples a partir dela. A seguir veremos como obter estas fórmulas nos três sistemas de coordenadas: cartesianas, cilíndricas e esféricas.

83

2.4. OS OPERADORES: CURL, DIV E GRAD z ^ n

C

>

^t z

y

x y

x

Figura 2.33: Caminho fechado C em torno do ponto (x,y,z). Coordenadas Cartesianas

Consideremos o espaço vetorial f = (f x , f y , f z ) e o caminho retangular C x constituído pela união dos lados C 1 , C 2 , C 3 e C 4 do retângulo centrado no ponto (x,y,z) e situado num plano vertical perpendicular ao eixo x, como ilustra a Figura 2.34. Suponhamos, ainda, que os lados do retângulo sejam suficientemente pequenos para que o campo vetorial seja praticamente constante ao longo de cada um desses lados.

z  y

c 2 c 3

<

<

c 1

<

<

 z

c 4

z x

y

y

x Figura 2.34: Caminho quadrangular fechado, centrado no ponto (x,y,z) num plano vertical perpendicular ao eixo x . A integral de linha do campo vetorial f em torno do caminho retangular C x é a soma das integrais em cada um dos lados do retângulo. Simbolica-

84


mente,

Z

Z Z Z Z Z Z Z µ ¶

f .ˆ tdl

C x

f .ˆ tdl

=

C 1 ∪C 2 ∪C 3 ∪C 4

f .ˆ tdl +

=

f .ˆ tdl +

C 1

f .ˆ tdl.

f .ˆ tdl +

C 2

C 3

C 4

Iniciando com o lado C 1 podemos escrever f .ˆ tdl =

C 1

C 1

∆y

f z dz ' f z x, y +

2

,z

∆z

,

(2.26)

em que o campo vetorial é considerado constante ao longo do lado C 1, o qual, por hipótese, é su ficientemente pequeno. Da mesma maneira, a integral ao longo do lado C 3 pode ser escrita assim:

Z

µ Z − − Z Z

f .ˆ tdl =

C 3

C 3

f z dz '

f z x, y

−

∆y

2

,z

¶

∆z

.

(2.27)

O sinal negativo da integral vem de C 3

f z dz =

C 3

f z

dz dl, dl

e do fato que dz/dl = −1. Adicionando-se (2.26) e (2.27) resulta

Z

f .ˆ tdl

'

C 1 ∪C 3

=

∙

µ ³

f z x, y +

f z x, y +

∆y

2

∆y

2

1 ∆S

Fazendo-se acima torna-se

f .ˆ tdl '

C 1 ∪C 3 ∆y

e

∆z

,z

,z

∆y

f z x, y

f z x, y

2

∆y

2

³

f z x, y +

∆y.

∆y

2

Como

,z

,z

∆y ∆z

∆S = ∆y ∆z

´− ³

f z x, y

∆y

∆z

,z

∆y

após se ter multiplicado e dividido por retângulo, podemos escrever

Z

¶ − µ − ¶¸ ´− ³ − ´ −

∆y

2

,

é a área do

,z

´

.

tenderem, simultaneamente, a zero, a expressão

1 lim ∆S y

∆ →0 ∆z →0

Z

C 1 ∪C 3

f .ˆ tdl =

∂f z . ∂y

(2.28)

85

2.4. OS OPERADORES: CURL, DIV E GRAD

Procedendo de modo análogo com relação aos lados C 2 e C 4 obtemos

Z Z

Z − Z ∙ µ −

f .ˆ tdl =

C 2

e

f y dy '

C 2

f .ˆ tdl =

C 4

f y x,y,z +

f y dy ' f y x,y,z

C 4

Adicionando estas duas integrais, vem

Z

f .ˆ tdl '

C 2 ∪C 4

µ ¶ − µ − ¶ ¶ − µ − ¶¸

f y x,y,z +

∆z

Z

f .ˆ tdl '

C 2 ∪C 4

¡ − Z

2

f y x,y,z +

Fazendo, como no caso anterior, lim ∆y →0 ∆z →0

1 ∆S

∆y

e

∆z

2

∆z

2

∆y

∆y

f y x,y,z

Multiplicando e dividindo o lado direito por ∆y ∆z , obtemos 1 ∆S

∆z

∆z

∆z

2

,

.

∆z

2

∆y

.

, e lembrando-se que

¢− ¡

f y x,y,z ∆z

−

∆z

2

¢

∆S =

.

tenderem a zero, resulta

f .ˆ tdl =

C 2 ∪C 4

y − ∂f . ∂z

(2.29)

A integral de linha do campo f , ao longo do caminho fechado C x = C 1 ∪ C 2 ∪ C 3 ∪ C 4 , dividida pela área, arbitrariamente pequena, ∆S é a soma de (2.28) e (2.29). Portanto, 1 lim ∆S y

∆ →0 ∆z →0

Z

C x

f .ˆ tdl =

∂f z ∂y

− ∂∂zf y .

(2.30)

Esse resultado nos diz que o limite do quociente da integral de linha do campo vetorial f em torno do caminho fechado arbitrariamente pequeno C x – centrado no ponto (x,y,z) – pela a área circunscrita pelo caminho, é igual a diferença entre as derivadas parciais ∂f z /∂y e ∂f y /∂z . Note que o lado esquerdo de (2.30) nada mais é do que o lado direito da de finição (2.25) aplicada ao caminho particular C x . Observe a simetria cruzada entre os subscritos das componentes f z e f y que fazem parte das duas derivadas parciais, e as variáveis y e z de derivação. Note também que os subscritos y e z se referem ao plano que contém o caminho C x , o qual, por sua vez, é perpendicular ao eixo x. De acordo com a regra da mão direita, a orientação de ∆S = ∆y ∆z é positiva e concorda com a orientação positiva do caminho C x dada por +î .

Luiz Rijo Eletromagnetismo Com Matematica Vol1

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