La cuadratura del círculo: El trazado del cuadrado con regla y compás. El problema de la cuadratura del círculo tiene solución, utilizando un compás y una regla sin graduar. Para demostrarlo se representa la forma en que se ejecuta el trazado del cuadrado que ha sido realizado de forma manual, con la intención de mostrar que es posible encontrar la solución de este problema. Dicho trazado se realiza como se muestra en la siguiente secuencia fotográfica.
1. Partimos de una circunferencia en la que se ha trazado al azar un eje vertical.
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2. Desde los extremos de dicho eje, con el compás se marca el punto equidistante desde el cual y por el centro de la circunferencia, con la regla se marca la línea del eje horizontal, vertical al a l anterior. A continuación con el compás se marcan los puntos equidistantes de los extremos de ambos ejes, desde los cuales y pasando por el centro se marcan las líneas de los dos ejes transversales, con lo que la circunferencia queda dividida en ocho partes iguales.
3. Entre dos vértices de los ejes transversales, se traza una línea que correspondería al lado del cuadrado inscrito. Sobre la mitad inferior de dicha línea se marca el punto equidistante (d) que significa dividirla en cuatro partes iguales.
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2. Desde los extremos de dicho eje, con el compás se marca el punto equidistante desde el cual y por el centro de la circunferencia, con la regla se marca la línea del eje horizontal, vertical al a l anterior. A continuación con el compás se marcan los puntos equidistantes de los extremos de ambos ejes, desde los cuales y pasando por el centro se marcan las líneas de los dos ejes transversales, con lo que la circunferencia queda dividida en ocho partes iguales.
3. Entre dos vértices de los ejes transversales, se traza una línea que correspondería al lado del cuadrado inscrito. Sobre la mitad inferior de dicha línea se marca el punto equidistante (d) que significa dividirla en cuatro partes iguales.
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4. Desde el punto superior del eje vertical y pasando por el punto (d), se traza una línea hasta cortar la circunferencia cir cunferencia en el punto (x). Dicha línea es el primer lado de un cuadrado.
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5. Se traza una segunda línea situando la regla entre el punto anterior (x), pasando por el punto inferior del eje vertical, trasladando a la misma con el compás la medida del primer lado.
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6. Situando la regla entre el punto (x) que es el vértice formado por los dos lados, y el centro de la circunferencia se marca sobre la misma el punto (y) opuesto al anterior.
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7. Situando la regla entre el punto superior del eje vertical y pasando por el punto (y) se traza una tercera línea, a la que se traslada con el compás la misma medida que las dos líneas anteriores.
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8. Finalmente con el compás se traza una cuarta línea que une los dos extremos de las anteriores, completando de esa forma el cuadrado.
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Con estas ocho secuencias se demuestra que es posible trazar un cuadrado a partir de un círculo dado, utilizando una regla y un compás. Para confirmar que el problema de la cuadratura del círculo tiene solución, únicamente falta comparar las superficies de ambas figuras geométricas. Por resultar muy dificultoso tomar unas medidas exactas del dibujo manual, se puede ejecutar siguiendo las mismas secuencias utilizando un programa de dibujo con un ordenador, con el que se obtiene el mismo resultado final, lo que permite obtener las medidas con total precisión y realizar los cálculos necesarios para valorar los resultados.
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Para verificar estos resultados, en una hoja de cálculo se introducen los valores (expresados en centímetros) que nos proporciona el programa para el radio y el lado, y se realizan los oportunos cálculos que quedan reflejados en el siguiente cuadro:
La medida del radio de la circunferencia es de 301,61 centímetros. La medida del lado del cuadrado que se ha obtenido a partir de dicha circunferencia es de 534,659 centímetros. La medida calculada para el lado del cuadrado, cuya superficie sería exactamente igual a la del círculo, sería de 534,5898060 centímetros. La diferencia entre la medida del lado obtenido y el lado de la solución, de tan sólo 0,069194 centímetros por exceso, para una circunferencia cuyo radio real sería de más de 3 metros, y un cuadrado cuyos lados reales medirían más de 5,3 metros. Es por tanto una diferencia que, en proporción, resultaría imposible de distinguir visualmente sobre el dibujo hecho manualmente, en el cual el radio de la circunferencia es de unos 5,75 centímetros y el lado del cuadrado resultante es de unos 10,2 centímetros. La diferencia entre el 9
lado obtenido y la medida real es apenas de 0,008 centímetros, es decir, tan sólo 1 centésima de milímetro. El margen de error sobre la medida del lado exacto es del 0,013%, lo que significa que este ejemplo es una aproximación por exceso a la solución buscada. En otras épocas, en las que no existían los ordenadores, este mismo ejemplo habría suscitado los lógicos debates acerca de la exactitud o no de los resultados matemáticos, al realizarse las mediciones manualmente. Lo mismo ocurriría en la actualidad si se prescindiera de verificar los resultados utilizando las herramientas que proporcionan los programas de dibujo informático. Siguiente página: Los planos de las pirámides de Egipto Volver a la Página principal
LA DEMOSTRACIÓN GEOMÉTRICA del problema de la cuadratura del círculo Con las ventajas que ofrece el poder utilizar un ordenador, es posible demostrar que la solución del problema de la cuadratura del círculo no solo es real, sino que además el objetivo se convierte en una tarea sumamente sencilla. Y no solamente eso, ya que la demostración geométrica podría considerarse como la solución misma de este problema. De la misma forma que existe un planteamiento matemático, generalmente aceptado, por el que se demuestra que la solución a este problema es “imposible”, basado en el valor de la constante PI, por ser considerado como un número “no construible”, resulta 10
imprescindible tener en cuenta dos premisas previas para poder demostrar “geométricamente” que la solución sí e s posible. Estas dos premisas serían las representaciones espaciales del radio de un círculo y del lado de un cuadrado, conociendo y calculando previamente sus valores numéricos correspondientes Las dos premisas que se han de dar como punto de partida para realizar la demostración, se reducen a aceptar que resulta factible efectuar una medición numérica “lo más exacta posible”
del radio de un círculo trazado al azar, y calcular la superficie del mismo, para a continuación obtener la medida “exacta” que habría
de corresponder al lado de un cuadrado que tendría la misma superficie, y trasladar dicha medida a un segmento trazado al efecto. A partir de la representación previa de un círculo y de un segmento, es posible trazar sobre dicho círculo el cuadrado que tiene la misma superficie, utilizando únicamente un compás y una regla sin graduar. De la misma forma y como ya se ha expresado con anterioridad, el mismo dibujo se puede hacer utilizando un ordenador, lo que proporciona unos resultados de gran exactitud. Con la siguiente serie de dibujos, se puede verificar la demostración que se ha propuesto.
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Dibujo 1. El círculo, el radio y el segmento
En el dibujo 1, se ha trazado un círculo con un radio al azar, cuya medida tomada con la herramienta que proporciona el programa, resulta ser de 143,2605 milímetros. Con este dato y utilizando una hoja de cálculo, se obtiene la superficie del círculo que es de 64.476,69943999 milímetros cuadrados. Se calcula la raíz cuadrada de esta cifra y se obtiene la medida del lado del cuadrado que es de 253,92262491 milímetros. Con la herramienta oportuna para trazar una línea, introduciendo exactamente esa misma cifra queda trazado un segmento (ab).
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Dibujo 2. La medida del segmento se traslada al círculo
En el dibujo 2, se toma una regla y situándola en el centro del círculo se traza un eje cualquiera. Seguidamente, con un compás se toma la medida exacta del segmento ab, y situándolo sobre el punto superior del eje vertical, se traslada esa medida hasta cortar el círculo. Finalmente, situando la regla sobre estos dos puntos, se traza la línea ab cuya medida es exactamente la misma que la del segmento.
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Dibujo 3. Sobre el círculo se completa el cuadrado buscado
En el dibujo 3, se trazan las otras tres líneas que completan los lados del cuadrado buscado. En primer lugar se sitúa la regla entre los puntos b de la línea y el punto c que marca la parte inferior del eje. Se traza una línea a la que, situando el compas en b, se traslada la misma medida del segmento ab. En segundo lugar se sitúa la regla entre el punto b y el centro del círculo y se traza una línea que marca un nuevo punto d sobre el círculo. A continuación se sitúa de nuevo la regla entre el punto a y este punto d, y se traza una línea a la que situando el compás en el 14
punto a, se traslada la medida del segmento ab. Finalmente se sitúa la regla sobre los extremos de las dos líneas y se traza la línea que completa el cuadrado.
Cuadro 1: Medidas tomadas del dibujo por ordenador
El cuadro 1 recoge las medidas tomadas del dibujo realizado por ordenador y los cálculos realizados utilizando una hoja de cálculo. Los resultados muestran la superficie del círculo calculada con el valor del radio al cuadrado por PI, y la superficie del cuadrado calculada con el valor del lado al cuadrado. Ambos datos coinciden exactamente, con lo que queda demostrado de forma geométrica que el problema de la cuadratura del círculo tiene solución.
Pedro Tomás Vela Enero 2010
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La solución lógica. Aquellos que postularon el milenario problema de la cuadratura del círculo, sin duda conocieron la forma de resolverlo. De su enunciado debería deducirse que se trata de un problema de dibujo geométrico.
El centro de una circunferencia coincide siempre con el centro de la hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo. Sobre un triángulo rectángulo se marca el punto medio de la hipotenusa y desde este punto, tomando como radio la distancia hasta uno de los extremos, con el compás se traza una circunferencia que pasa por los tres vértices.
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De esta forma, la hipotenusa de un triángulo rectángulo es a la vez el eje o el diámetro de la circunferencia que pasa por sus tres vértices. Esta singularidad tan simple nos muestra un detalle de gran importancia, y es que si desde los extremos de cualquier eje de una circunferencia se trazan dos líneas rectas que convergen en un mismo punto situado en el perímetro circular, dichas líneas forman siempre un ángulo recto. Esta curiosa propiedad tiene como resultado que desde cualquier eje de una circunferencia se pueden trazar un número ilimitado de líneas rectas con las que se pueden construir cuantos cuadrados se deseen, cuyas superficies van a ir en aumento de forma progresiva, desde la del cuadrado inscrito, que es menor 17
que la de la circunferencia, hasta la del cuadrado circunscrito que es mayor. Por lógica se deduce que, al menos uno de esos cuadrados, tendrá la misma superficie que la del círculo. Esta propiedad se completa cuando se comprueba que todas esas líneas y sus cuadrados correspondientes se pueden trazar utilizando un compás y una regla sin graduar.
Se da la curiosidad de que esta propiedad era conocida por los antiguos maestros constructores de las pirámides de Egipto, a quienes hay que atribuir la autoría del famoso problema, cuyo origen sería precisamente este conocimiento. No hay que descartar por tanto que los citados maestros egipcios conocieran también la solución de este problema, si se tiene en cuenta que las pirámides regulares, semejantes a las de Egipto, se pueden diseñar partiendo de una circunferencia y utilizando únicamente un compás y una regla sin graduar.
¿Cómo se construye un cuadrado a partir de la circunferencia?
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Resulta muy sencillo obtener cualquier cuadrado partiendo de una circunferencia. Basta con trazar un eje o diámetro cualquiera (a-c), y desde el punto superior del mismo (a), trazar una línea hasta cortar la circunferencia en un punto (x) y desde ese mismo punto, trazar otra línea (x-c) hasta el punto opuesto del mismo eje (c). Estas dos líneas forman siempre un ángulo recto y junto con el citado eje un triángulo rectángulo, a partir del cual se construye fácilmente un rectángulo o un cuadrado. Con este conocimiento tan elemental, el siguiente objetivo consiste en conocer las diferentes formas con las que se puede trazar un número ilimitado de cuadrados, para encontrar aquél 19
cuya superficie ha de ser igual a la del círculo, resolviendo así el histórico problema, cuya solución es posible encontrar, cuando menos desde una deducción lógica.
Desde el punto superior del eje (a) hasta cualquier otro punto situado en el perímetro circular (b-c) comprendido entre el lado del cuadrado inscrito y el lado del cuadrado circunscrito, se pueden trazar un número ilimitado de líneas, una de las cuales (a-x) será el lado de un cuadrado cuya superficie es igual a la del círculo. 20
Es muy probable que los antiguos egipcios, los constructores de las pirámides, tuvieran conocimiento de esta curiosa peculiaridad, sobre la relación existente entre la circunferencia y el cuadrado. Sin duda ninguna que Leonardo da Vinci conoció este “secreto”, muy bien guardado durante milenios, y en lugar de
revelarlo públicamente, lo hizo a través de un genial dibujo, lleno de marcas y de claves, como si de un enigma se tratara, posibilitando de esa forma que ese “secreto” pudiera transmitirse
en el tiempo para conocimiento de todos aquellos que adivinaran el “acertijo”.
Para demostrar de una forma lógica que la solución a este problema es posible, basta con dibujar a partir de una circunferencia los dos cuadrados muy específicos: El cuadrado inscrito y el circunscrito. Para ello, se trazan dos ejes o diámetros de la circunferencia, uno vertical y otro horizontal, ambos perpendiculares entre sí. Uniendo los cuatro vértices de ambos ejes se obtiene un cuadrado inscrito, de lado (a-b). A continuación, con la misma medida de lado que la del eje o diámetro, se traza el cuadrado circunscrito, de lado (a-c).
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El razonamiento es muy simple: El cuadrado inscrito tiene una superficie menor que la del círculo, mientras que la del circunscrito es mayor. En consecuencia y como ya se ha mostrado, desde el vértice superior del eje vertical (a) hasta cualquier punto situado sobre el perímetro circular del cuadrante comprendido entre las medidas de los lados de ambos cuadrados (b-c), se pueden trazar un
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número ilimitado de líneas, cuyas medidas aumentan de forma progresiva, desde la medida del lado del cuadrado menor, hasta la del mayor. De dicha progresión, con toda lógica, se desprende que al menos una de las líneas ha de tener la medida del lado de un cuadrado cuya superficie será igual a la del círculo dado. El trazado del hipotético cuadrado se realiza como sigue:
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Desde el punto superior del eje vertical (a) hasta un punto situado en el citado perímetro circular (b-c), se traza la línea (a-x) que tendrá la misma medida que el lado de un cuadrado cuya superficie será igual a la del círculo dado. Se traza una nueva línea desde el punto (x) pasando por el punto inferior del eje vertical (c) prolongándola. Con el compás, se toma la medida del primer lado (x-a) y se traslada sobre la prolongación de la línea (x-c), con lo que se obtiene el segundo lado del cuadrado. Desde el vértice inferior (x) se traza la línea que pasa por el centro de la circunferencia, hasta marcar un nuevo punto (d) sobre la misma. Desde el vértice superior (a) y pasando por el nuevo punto (d) se traza otra línea, a la cual se traslada con el compás la misma medida del lado inicial (a-x), formando el tercer lado del cuadrado. Finalmente, se unen los dos puntos extremos de los lados anteriores, trazando el cuarto lado, con el que queda completado el cuadrado.
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El cuadrado tiene la misma superficie que la del círculo.
Con este razonamiento tan elemental, se ha mostrado una hipótesis mediante la cual el problema de la cuadratura del círculo, si bien fue demostrado matemáticamente que resulta imposible de resolver, aparentemente si tiene una solución geométrica que, al menos por lógica, resulta en teoría posible. Todos los dibujos se han realizado con un programa de dibujo informático, de la misma forma que se trazarían manualmente utilizando un compás y una regla sin graduar. 25
Queda finalmente por determinar cómo o de qué forma, se podrá trazar esa primera línea del lado de un cuadrado. Planteado de una forma muy elemental, si por un punto pasan un número infinito de líneas rectas, por dos puntos únicamente pasa una línea. En base a ello y partiendo siempre de un primer punto conocido (a), situado en el vértice de un eje cualquiera de la circunferencia, es necesario encontrar un segundo punto por el que trazar esa primera línea buscada. Un punto que ha de estar situado a lo largo de la hipotética línea (a-x), o en su prolongación. Dentro o fuera del círculo. Lógicamente, para encontrar el citado segundo punto, es preciso localizar el trazado de otras dos líneas, rectas o curvas, a partir de otros puntos previamente señalados en el círculo, de forma que se corten entre sí exactamente en el punto buscado. En los dibujos realizados manualmente, son muchas las formas de trazar los cuadrados que, ante la dificultad de realizar mediciones exactas, se podrían aceptar como soluciones. Si los mismos dibujos se ejecutan con un ordenador, se pone de manifiesto la dificultad para encontrar ese punto exacto, ya que las posibilidades que existen para el trazado de las dos líneas que se han de cortar en ese punto, son prácticamente infinitas.
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Con la posibilidad de utilizar ordenadores, encontrar esa solución exacta se ha transformado en una cuestión secundaria y marginal , ya
que del problema de la cuadratura del círculo, lo realmente imposible será superar en genialidad la solución que Leonardo da Vinci plasmó en su famoso dibujo de El Hombre de Vitruvio. La solución de Leonardo y otras formas de buscar esa solución, así como otros aspectos referidos a este tema, se describen en el libro publicado en Internet, cuya versión en formato pdf puede descargarse en la siguiente dirección: http://www.bubok.com/libros/10058/EL-SECRETO-DE-LACUADRATURA-DEL-CIRCULO Página siguiente: La demostración geométrica Volver a la Página principal Pedro Tomás Vela Mayo de 2009
LOS PLANOS DE LAS PIRÁMIDES DE EGIPTO La Pirámide de Kefrén.
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Pirámide de Kefrén
Esta pirámide fue erigida por Kefrén, cuarto faraón de la IV Dinastía y su finalización está datada hacia el año 2520 a. de C. Las medidas de los lados de su base son de 215,25 metros y su altura es de 143,50 metros. Conocidas esas medidas reales, obtener un plano o esquema similar al que pudo haber sido utilizado para el diseño de esta pirámide, es relativamente sencillo. Para ello, basta con tomar la medida de la mitad del lado de su base y sumarla a la medida de la apotema del triángulo de una de sus caras, para obtener la medida del radio de una circunferencia, a partir de la cual se ha de desarrollar un plano a escala. La medida de la mitad del lado es 107,625 y la medida de la apotema es de 179,375 metros. La suma de ambas medidas es igual a 287,00 metros. Con esa medida de radio a escala, se traza una circunferencia y se ejecutan los mismos pasos que fueron detallados en un capítulo anterior, con las proporciones que se señalan. Los recordamos brevemente: Se trazan los cuatro ejes de la circunferencia y sobre el eje vertical se marca con el compás la medida de 1,5 radios. Con dicha
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medida se traza un cuadrado haciendo que el centro de éste coincida con el de la circunferencia. Se dividen los lados del cuadrado en cuatro partes iguales cada uno y se unen los puntos opuestos entre sí, formando 16 pequeños cuadrados interiores. Los cuatro cuadrados del centro forman la base de la pirámide. Desde cada uno de los cuatro vértices hasta los puntos donde los ejes vertical y horizontal cortan a la circunferencia, se trazan las líneas de los cuatro triángulos que forman las caras de la pirámide. La medida de la altura se obtiene trasladando con el compás la medida de una apotema, desde la base hasta la línea vertical sobre el centro del cuadrado. El resultado es el siguiente dibujo:
Esquema del plano de la Pirámide de Kefrén.
Se toman las medidas de este dibujo, para cada una de las líneas señaladas y se verifica que coinciden con las medidas reales de la Pirámide de Kefrén, tal como figuran en el siguiente cuadro 29
Si se comparan las relaciones entre algunas de las medidas de las líneas del dibujo, las características que hay que destacar, en el diseño de un plano de esta pirámide, son las recogidas en los tres apartados inferiores del cuadro anterior. (1) La relación entre el lado del cuadrado de la base y la altura, es que la medida de ésta es igual a la medida del lado, multiplicado por 4 y dividido por 6. (2) La altura es igual a la mitad de la medida del radio de la circunferencia utilizada. (3) El radio de esa circunferencia es igual a la medida del lado del cuadrado base, multiplicado por 8 y dividido por 6. Además, como ya se ha indicado, la medida del radio de la circunferencia utilizado en el dibujo, es igual a la suma de las medidas de la mitad del lado de la base, más la apotema de una de las caras. La medida de los lados del cuadrado base, es exactamente la mitad que la de los lados del cuadrado obtenido a partir de la medida del radio de la circunferencia, con la proporción ya indicada La conclusión que se puede extraer sobre lo expuesto, es que la pirámide de Kefrén fue diseñada con un plano o esquema semejante, trazado a partir de una circunferencia y guardando unas proporciones muy definidas. 30
La Gran Pirámide de Keops.
Pirámide de Keops
La Gran Pirámide de Keops, es una de las siete maravillas del mundo antiguo, que destaca por su perfección arquitectónica y por sus dimensiones excepcionales. Es la pirámide por excelencia, una pirámide perfecta. Ha sido objeto de intensos y numerosos estudios, a pesar de lo cual, se sigue manteniendo rodeada de misterios e incógnitas, así como de numerosas teorías que pretenden explicar todo aquello que sigue resultando inexplicable para los conocimientos y avances tecnológicos de nuestra época, ya que, en el fondo o en el subconsciente, nos resulta imposible aceptar que nuestros antepasados tuvieran unos conocimientos o utilizaran unas técnicas que aún hoy día, siguen siendo desconocidas, o sin haber encontrado una explicación lógica que los haga comprensibles. 31
La Gran Pirámide fue construida en la meseta de Gizeh, en una época que no se ha concretado, por ser esta una circunstancia que sigue causando una gran discrepancia entre muchos de los expertos egiptólogos que sustentan teorías muy diversas, acerca de un dato tan significativo como sería el datar la antigüedad de esta gran obra. El faraón Keops, a quien se atribuye su construcción, reinó entre los años 2551-2528 a de C. Sin embargo, algunos de los expertos mencionados datan su construcción hasta en 3000 años antes, es decir, hace unos 7500 años. Muchos son los misterios que rodean el mundo de los antiguos egipcios, que sigue fascinando a un número cada vez mayor de personas en todo el mundo. Y si de misterios se trata, los que mayores controversias han venido causando a lo largo de muchas décadas, están relacionados precisamente con la Gran Pirámide, especialmente en lo referido a la forma en que fue construida y también a su finalidad, ya que es considerada una tumba funeraria por unos, o como un templo sagrado por otros; también hay quienes afirman que era un observatorio astronómico, o incluso que sería una máquina para generar algún tipo de energía. Heródoto, historiador griego, considerado Padre de la Historia, preguntó a los habitantes egipcios sobre la construcción de esta pirámide, en un viaje que realizó a Egipto en el siglo V a. de C., y esto es lo que transmitió: “Esta pirámide fue construida así: con forma escalonada que algunos llamaban “zócalos” y otros “terrazas”. Cuando la construyeron así, en un primer momento elevaron las piedras con máquinas formadas de pequeñas piezas de madera. Las alzaban desde el suelo hasta la primera hilera de escalones; cuando la piedra llegaba, era colocada sobre otra máquina que estaba preparada en la primera grada, y desde ella eran arrastradas hasta la segunda hilera por otra máquina; o había tantas máquinas como número de los escalones, o retiraban la máquina porque era solo una y 32
transportable, la irían llevando hasta cada fila sucesivamente, cada vez que descargaban la piedra más arriba. Lo cuento de las dos maneras tal y como se me relató. La parte más alta de la pirámide fue terminada primero y después completaron las partes siguientes, pero al final de todo terminaron la partes del suelo, que eran las más bajas de todas.”
De la construcción de esta obra tan grandiosa, tan sólo algunos pequeños relatos como el que antecede, escritos miles de años después, han llegado hasta nuestros días. Un relato escueto y simple que no ofrece una explicación suficiente que permita comprender la técnica utilizada, o cómo se construyó realmente dicha pirámide. Con relación a esta circunstancia hay numerosas teorías, sobre la necesidad de que habrían de existir rampas externas o internas, imprescindibles para la elevación de los pesados bloques de piedras. Lo que resulta una evidencia innegable, es que la Gran Pirámide es una excepcional obra arquitectónica, por la perfecta orientación que guarda respecto de los cuatro puntos cardinales, por la perfección de sus proporciones, del cuadrado de su base, del ángulo de inclinación de sus caras y especialmente por la precisión en la estructura de las galerías y de las cámaras construidas en su interior. Sin duda, en un hecho incuestionable que aquellos que la diseñaron y la construyeron, tenían grandes conocimientos sobre Astronomía, Geodesia, Ingeniería y sobre todo de Geometría. Aunque sólo sea una hipótesis, pero es probable que el diseño de esta pirámide, pudo haber tenido igualmente algún tipo de relación con la circunferencia, ya que según se afirma, el valor de PI está contenido de alguna forma en sus medidas y proporciones.
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De hecho, lo que si resulta posible es realizar un diseño del esquema o plano que podría corresponder al de esta pirámide, trazado a partir de una circunferencia, y verificar que las medidas obtenidas del dibujo, comparadas con las medidas reales, son de una gran aproximación y muestran también una relación de proporciones especialmente significativa. En cualquier caso, lo que si puede afirmarse es que el método que pudo haber sido utilizado para el diseño del plano o esquema de la pirámide de Keops, no se corresponde con el modelo que se ha mostrado en los capítulos anteriores, referido a cómo habría sido realizado el diseño de la pirámide de Kefrén y de algunas otras pirámides en Egipto. Siguiendo el trazado a escala que se desarrolla a continuación, utilizando para ello una circunferencia cuyo radio sea igual a la suma de la mitad del lado de la base, más la apotema de una de sus caras, se obtienen unas medidas que son de una gran aproximación, respecto a las medidas reales de la Gran Pirámide. El desarrollo del dibujo para realizar el esquema mencionado, se ejecuta con los siguientes pasos: 1. Partiendo de que se trata de un supuesto, el diseño de la pirámide de Keops pudo haber sido realizado a partir de una circunferencia, en la cual se trazan los dos ejes perpendiculares, el vertical y el horizontal y los dos ejes transversales, de forma que quede dividida en ocho partes iguales. Trazando las líneas que unen los vértices de forma consecutiva de dichos ejes se forma un octógono. 2. Para obtener el cuadrado de la base, se trazan las líneas que unen los vértices de cuatro de los lados de forma alterna de dicho octógono, hasta los vértices de sus lados opuestos, formándose en el centro un cuadrado que es la base de la pirámide.
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El lado del cuadrado de la base tendrá la misma medida que el lado del octógono. 3. Desde cada uno de los cuatro vértices del citado cuadrado, se trazan las líneas hasta los vértices de los ejes horizontal y vertical, respectivamente, formando los cuatro triángulos de las caras de la pirámide. 4. Desde un punto medio del lado del cuadrado de la base, con el compás se traslada la medida de la apotema del triángulo de una de sus caras, hasta marcar el punto (h) sobre el eje vertical al centro del cuadrado, con lo cual se obtiene la medida de la altura de la pirámide. La figura resultante es la siguiente:
Esquema del plano de la pirámide de Keops.
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El lado de la base mide 230,36 metros. La mitad del lado mide 115,18 y la apotema mide 186,43. La suma de ambas medidas es de 301,61 metros. Trazando una circunferencia con la misma medida de radio indicada, se obtienen para el resto de las diferentes líneas, las medidas que se detallan en el siguiente cuadro:
Comparación de las medidas de la Pirámide de Keops
Al comparar las medidas obtenidas a partir del dibujo con las medidas reales atribuidas a la pirámide, apenas difieren en unos pocos centímetros. La relación entre el lado del cuadrado de la base y la altura de la pirámide (1) es que la medida de ésta, es igual a la medida del lado multiplicado por 4 y dividido por 2*PI (6,2832). O lo que es lo mismo, el perímetro de la base es igual al perímetro de una circunferencia, cuyo radio es igual a la altura de la pirámide. Recordemos que, en esta misma relación en la pirámide de Kefrén, la altura es igual al perímetro de la base dividido por 6. Se destaca este detalle, en razón a que la diferencia de la relación entre la base y la altura de las dos pirámides, corresponde al factor decimal de PI: La altura está en función del perímetro de los cuadrados de las bases que se dividen por 6,2832 en la de Keops y por 6 en la de Kefrén. Finalmente, destacar que la característica más importante, sobre la relación de proporciones entre la circunferencia y la 36
pirámide de Keops, es que el lado de la base tiene la misma medida que el lado del octógono.
¡El octógono! Casualmente es la figura que Leonardo da Vinci parece sugerir en su dibujo con la figura humana: Las dos posiciones distintas de brazos y piernas, parecen señalar unos ejes que suponen una división en ocho partes. ¿Puede tener algún sentido relacionar esta clave de Leonardo con la Gran Pirámide y el problema de la cuadratura del círculo? Aspectos referidos a este “secreto” se describen en el libro
publicado en Internet, cuya versión en formato pdf y con los dibujos en color, puede descargarse sin ningún coste en la siguiente dirección: http://www.bubok.com/libros/10058/EL-SECRETO-DE-LA-CUADRATURA-DELCIRCULO
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EL ENIGMA DE LAS DOS PIRÁMIDES DE GIZEH EN EGIPTO
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Las dos pirámides más famosas de la meseta de Gizeh son muy semejantes, pero no presentan ninguna evidencia aparente, como para considerar que están relacionadas entre sí de alguna forma. Sin embargo, las pequeñas diferencias señaladas en el capítulo anterior, podrían no ser fruto de la casualidad por lo que en consecuencia, responderían a unos esquemas de diseño perfectamente estudiados y planificados. Al comparar los esquemas de los planos de las dos pirámides, buscando una posible relación entre sus medidas o proporciones, podemos encontrarnos con unos resultados que, cuando menos, no dejaran de ser sorprendentes.
Esquema del plano de la Pirámide de Kefrén Recordemos brevemente que para obtener el esquema del plano de esta pirámide, se parte de una circunferencia inicial cuyo radio a escala, es la suma de la mitad del lado de la base más la apotema del triángulo, una suma que es igual a 287,0000 metros.
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Sobre el dibujo del esquema de esta pirámide, tal como quedó en al capítulo 21, se traza una segunda circunferencia, desde el centro del cuadrado, pasando por los ocho puntos marcados sobre sus lados. Se forma un círculo sombreado como el que aparece en la siguiente imagen.
Círculo sombreado en el esquema de la pirámide de Kefrén.
Esquema del plano de la Pirámide de Keops Recordemos igualmente el dibujo utilizado para obtener el esquema de la pirámide de Keops, en el que se parte del trazado de una circunferencia inicial con un radio a escala de 301,6185 metros., igual a la suma de la mitad del lado del cuadrado de la base, más la apotema del triángulo de una de sus caras. Se traza el dibujo tal como se señaló en el capítulo anterior, para finalmente trazar las líneas que unen los cuatro vértices de los triángulos, para formar un cuadrado inscrito sombreado como el que aparece en la siguiente imagen.
Cuadrado inscrito en el esquema de la pirámide de Keops.
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Las medidas correspondientes de cada una de las líneas, obtenidas a partir de los dibujos de ambos esquemas, son las reflejadas en el siguiente cuadro. Se puede verificar que las medidas de los dibujos son de una gran aproximación, respecto a las medidas reales de ambas pirámides. El dato correspondiente del radio en el esquema de la pirámide de Keops (301,6185 metros), ha sido ajustado en las dos últimas cifras decimales en 0,0085 metros, de forma intencionada, con el propósito de realizar los cálculos con cifras decimales de 4 dígitos. En la siguiente imagen, se muestran juntos los esquemas de las dos pirámides, tal como han sido trazados y con las mismas medidas que figuran en el cuadro anterior. El esquema de la izquierda corresponde a la pirámide de Kefrén, con el círculo sombreado que pasa por los ocho puntos de los lados del cuadrado. El esquema de la derecha, corresponde a la pirámide de Keops, con el cuadrado inscrito sombreado, formado entre los cuatro vértices de los triángulos que forman las caras.
El enigma de las dos pirámides.
El resultado que pone de manifiesto la relación de estas dos figuras, es que el círculo sombreado en el esquema de la pirámide de Kefrén, tiene una superficie igual a la del cuadrado sombreado en el esquema de la pirámide de Keops. En el siguiente cuadro se detallan las medidas correspondientes al radio de la circunferencia y al lado del cuadrado, ambos sombreados, así como los cálculos realizados.
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Las superficies del círculo y del cuadrado son iguales.
¿Un enigma o una casualidad? Los cálculos reflejan el resultado expresado, según el cual, al comparar los esquemas de estas dos pirámides, las superficies del círculo y del cuadrado que se trazan a partir de los mismos, son iguales. De entre los datos señalados, conviene resaltar dos detalles relevantes: Que los cálculos se han realizado con 4 decimales y que los resultados son tan exactos debido al ajuste de 0,0085 metros (8,5 milímetros), que, como se ha señalado, se ha efectuado en la medida del radio de la circunferencia del esquema de la pirámide de Keops; un ajuste insignificante si se tiene en cuenta que se hace sobre una medida total de casi 302 metros. También ha de valorarse que las medidas reales utilizadas, correspondientes a los lados de las bases en ambas pirámides, han sido tomadas a partir de sus valores medios, con lo cual resulta cuando menos sorprendente que del resultado expresado la diferencia de ambas superficies sea de 0,0613 metros cuadrados, un valor despreciable si se compara con el valor de las superficies totales de las dos figuras, que es de unos 182.000 metros cuadrados. Este hecho sorprendente puede ser una simple casualidad, o puede significar un enigma, ya que puede ser una extraordinaria y desconocida relación, entre las proporciones y medidas con las
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que fueron construidas las dos pirámides citadas, cuyo significado sería que estarían vinculadas entre sí con el problema de la cuadratura del círculo, y quizás también, tras este enigma podría ocultarse la solución del problema. Podría existir una vinculación intencionada en la construcción de ambas pirámides, o podría ser una extraña e incomprensible casualidad. De significar un enigma, sería otro más de los muchos y extraordinarios misterios que rodean a las pirámides del antiguo pueblo egipcio. Detrás de las muchas teorías que existen acerca de la pirámide de Keops, hay misterios que parecen no tener explicación. Sin embargo, tras cada uno de esos misterios se encuentran acciones de antepasados nuestros, de seres humanos que realizaron unas obras colosales y a la vez geniales, algunas de las cuales nos parecen incomprensibles porque nos resultan difíciles de explicar, o porque las explicaciones que se intentan dar, se alejan de la realidad y de la intención para las que fueron construidas, ya que muy probablemente, fueran obras que responden a actuaciones elementales, sencillas, basadas en la lógica y la naturalidad, y en unos conocimientos que con el transcurso del tiempo, dejaron de utilizarse y por ello se perdieron. Aspectos referidos a este “secreto” se describen en el libro
publicado en Internet, cuya versión en formato pdf y con los dibujos en color, puede descargarse sin ningún coste en la siguiente dirección: http://www.bubok.com/libros/10058/EL-SECRETO-DE-LA-CUADRATURA-DELCIRCULO
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EL SECRETO DE LA CUADRATURA DEL CÍRCULO La coincidencia casi matemática de los cálculos que se desprenden de la comparación de las medidas de los esquemas o planos de estas dos pirámides, reflejarían lo que ya es sobradamente conocido, y es que sus constructores tenían unos conocimientos extraordinarios en materias como la Geometría y la Arquitectura, aunque cueste creer que en lo referido a este problema, quisieran dejar una constancia tan oculta o secreta, y a la vez tan magnificada del mismo, como si hubieran tenido la seguridad de que nunca se lograría descubrir o llegar a comprender esta extraña relación que parece existir entre ambas pirámides. Alguna de las consecuencias de todo este planteamiento, es que no resultaría muy aventurado pensar que Leonardo da Vinci, pudo haber tenido acceso a informaciones o documentos relacionados con los maestros constructores egipcios, si se tiene en cuenta la semejanza existente entre el trazado del dibujo de Vitruvio, con el trazado del esquema de la pirámide de Kefrén y de otras pirámides semejantes. Del citado dibujo se ha visto como Leonardo ocultó el “secreto” cuyo conocimiento hace posible el comprender como se
puede buscar la solución del problema.
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Sin embargo el verdadero Secreto de la Cuadratura del Círculo, parece que está contenido en las Dos Pirámides de Gizeh y más concretamente en la relación de sus medidas. Un “secreto muy bien guardado” que significaría la constatación del origen del
milenario problema. En el siguiente dibujo, aparecen representados los esquemas superpuestos de ambas pirámides. Sobre el esquema de la pirámide de Kefrén que representa el círculo, se ha trasladado el correspondiente al esquema de la pirámide de Keops que representa el cuadrado inscrito, formando así lo que podría denominarse como la “Figura Plena de la Cuadratura del Círculo”.
Figura Plena de la Cuadratura del Círculo.
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Una Figura que contendría en su trazado completo, un círculo y un cuadrado que tienen la misma superficie. En un capítulo anterior, se han mostrado los pasos necesarios y las proporciones precisas, para ejecutar el trazado con el que se obtiene la circunferencia sombreada del esquema de la pirámide de Kefrén, es decir, como se trazaría la primera fase de esta Figura Plena. La siguiente fase, necesaria para encontrar la “hipotética”
solución de este enigma, consistiría en encontrar los pasos necesarios para obtener la circunferencia y el cuadrado inscrito del esquema de la pirámide de Keops, teniendo en cuenta que el trazado completo, pueda realizarse utilizando un compás y una regla sin graduar. Como ya se ha indicado, Leonardo da Vinci realizó el dibujo de Vitruvio utilizando unas fases y unas proporciones muy similares a las del esquema de la Pirámide de Kefrén: Partiendo de una circunferencia inicial, para trazar un cuadrado con el que obtener una segunda circunferencia. A continuación, de la relación de las medidas de los radios de ambas circunferencias, se obtiene el centro y la medida del radio de una tercera circunferencia, en ese caso con un radio de medida intermedia para, perfectamente encajada con el cuadrado, marcar los puntos por donde se ha de trazar el cuadrado final. Para el trazado de la supuesta Figura Plena, la primera fase resultaría ser idéntica. En la fase siguiente, el objetivo sería obtener el radio de una tercera circunferencia, en este caso de radio mayor que las otras dos, cuyo cuadrado inscrito tendría la misma superficie que la circunferencia inicial de la primera fase. Una Figura Plena que puede ser trazada en su conjunto utilizando un compás y una regla sin graduar, y que resultaría ser la solución del problema de la cuadratura del círculo. Tal como se ha reflejado en uno de los capítulos anteriores, el trazado completo de la primera fase de la misma, podría realizarse en cualquiera de los dos sentidos, es decir, partiendo de la 45
