Los griegos, la heurística, la regla y el compás: Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática

Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática

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10 Los griegos, la heurística, la regla y el compás Liliana Eva Siñeriz  

Resumen Este trabajo aborda los problemas de regla y compás desde dos perspectivas diferentes. Una de ellas procede de los matemáticos de la Grecia clásica, la cual se interpretará desde la obra euclídea. La segunda proviene de la heurística, donde se utilizará a las construcciones geomégeométricas como instrumento para enseñar métodos de resolución de problemas.

Introducción Las construcciones con regla y compás han ocupado tradicionalmente un lugar importante en la enseñanza de la Geometría plana, ya sea por su interés práctico como como teórico. Si bien resultan adecuadas para el estudio de las figuras geométricas, son también un rico instrumento para la enseñanza de resolución de problemas, y a este doble propósito responde el diseño del presente capítulo. Mostraremos dos perspectivas distintas bajo las cuales se puede abordar esta temática: la primera de ellas proviene de la “Geometría Sintética”, la cual nos limitaremos a interpretar desde la obra euclídea, y la segunda surge desde el campo de la resolución de problemas matemáticos. En particular vamos a analizar la concepción euclídea desde el libro I de los Elementos, a modo de brindar una pincelada dirigida a ilustrar el sentido que estos problemas han tenido para un matemático

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Capítulo 10

que nos delega una presentación lógica de la Geometría en la forma de una cadena de proposiciones basadas en unas cuantas definiciones y suposiciones iniciales. Situados en el terreno heurístico, estas construcciones pueden ser utilizadas para la apropiación de modos y medios para resolver problemas. En este sentido, vamos a examinar los métodos de resolución implicados en estos problemas, a fin de aprovechar el potencial heurístico implícito en ellos. La intención es presentar algunos elementos teóricos del campo de la resolución de problemas para que puedan ser integrados a la planificación planificación de la tarea docente.

Desde la Geometría Sintética Las construcciones geométricas nos remiten a la antigua Grecia, en donde sedujeron a varios matemáticos, en la época en que la concepción de la Geometría deja de ser absolutamente pragmática y tiende a constituirse como ciencia basada en el razonamiento deductivo. Se trataba de construcciones que debían hacerse mediante intersección de rectas y circunferencias, usando sólo la regla no graduada y el compás, según Platón los instrumentos divinos. Rectas y circunferencias eran considerados por filósofos y matemáticos griegos como las curvas perfectas a partir de las cuales todas las demás construcciones debían ser posibles. Los geómetras griegos, de acuerdo a las fuentes que nos permiten conocer su obra, habían llegado a distinguir tres tipos de problemas: los planos, para cuya solución bastaban líneas rectas y circunferencias; los sólidos, que suponían el uso de secciones cónicas; los lineales, que requerían curvas más complicadas (espiral, cuadratriz, etc). Según comentarios de L. Vega en la introducción de los “Elementos”, Pappus (s. III d.C.) considera que Euclides ha ofrecido un criterio para identificar los problemas planos: “A es un problema plano sólo si es efectivamente soluble por el procedimiento de regla y compás; luego si A es un problema plano, A tiene una construcción efectiva so-












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consistían en principios instrumentales, asunciones que aglutinaban un núcleo de resultados o proposiciones conocidas en torno a una cuestión determinada. Todo esto hasta llegar a unos “elementos” fundados en principios y asunciones que tejen un cuerpo de conocimientos como una teoría deductiva. Esto es una conjetura, ya que no hay pruebas documentales por la desaparición de los tratados anteriores al de Euclides. Es así, que la solución mediante regla y compás de dos problemas recogidos en el libro I (I. 12- Construir la recta perpendicular a otra por un punto exterior; I. 23- Transportar un ángulo sobre una semirrecta), se le atribuye a un matemáticos del V a.C., por tanto la contribución plasmada en dicho tratado se reduciría a la explicitación de los supuestos de este antiguo método. Acorde a un punto de vista matemático, las construcciones de regla y compás no tienen por objetivo la realización efectiva de la construcción, sino mostrar por un encadenamiento lógico de proposiciones que algo es construible con regla y compás. Las proposiciones de Euclides van a demostrar que algo es construible con los instrumentos mencionados; las construcciones se usan en el sentido de los teoremas de existencia, o sea para demostrar que algunas entidades existen realmente. Por ejemplo se puede definir la bisectriz de un ángulo dado como la semirrecta interior al mismo que lo divide en dos ángulos congruentes, pero una definición no establece la existencia de lo que se está definiendo; ésta requiere una prueba. Para demostrar que un ángulo dado tiene una bisectriz, se muestra que esta entidad puede construirse realmente. La construcción de una entidad es la forma de demostrar su existencia Las llamadas “construcciones de regla y compás”, habrían sido para Euclides aquellas que se obtienen intersectando rectas y circunferencias, cuya existencia estaba garantizada por ciertas nociones comunes y cinco postulados: 1.

Postúlese el trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.











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Y el ser todos los ángulos rectos iguales entre e ntre sí.

5.

Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos”. (Euclides 1991, pág. 197)

Dichos postulados se presentan a continuación de veintitrés definiciones, con las que se inicia el libro I de “Los Elementos”, obra que suele fecharse hacia el s. III a.C. El primer postulado permite la construcción efectiva de la recta 1 una vez conocida su definición , presupone que nuestra regla es tan larga como deseamos, de modo que podemos trazar la recta determinada por dos puntos dados cualesquiera. El segundo establece que un segmento sólo puede prolongarse de una única manera por cada extremo, por ende dos rectas no podrán tener un segmento común. El tercer postulado tiene ciertos rasgos del primero, en este caso permite la construc2 ción del círculo luego de contar con la noción correspondiente . Los tres primeros postulados enuncian las construcciones primitivas de las cuales todas las demás de los Elementos deben componerse. Constituyen las reglas de juego de la construcción euclideana. Como restringen las construcciones sólo a aquellas que pueden hacerse en una forma admisible con regla y compás, estos dos instrumentos, así limitados, se conocen como herramientas euclideanas. Euclides justifica la construcción de ciertos objetos y postula la de otros, pero para ello sigue cierta racionalidad; las construcciones de la recta y de la circunferencia -que son las construcciones que se corresponden con los instrumentos regla y compás- se establecen por postulados, y a partir de ello se justifican las demás construcciones.

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El cuarto postulado es de naturaleza muy diferente a los tres anteriores, pues no se refiere a la posibilidad de hacer ciertas construcciones, sino que establece una propiedad de los ángulos rectos, la de ser una magnitud determinada que representa un patrón para medir los demás tipos de ángulos. Según L. Vega, Proclo (s. V d.C.) ha manifestado que este postulado posteriormente fue considerado como una noción común o axioma, e incluso ha sugerido considerarlo como tal, aunque más tarde, ese filósofo y comentarista del tratado euclídeo, lo tomará como proposición susceptible de demostración. El postulado quinto, por un lado y en cuanto al aspecto operativo, se parece a los tres primeros postulados, pues establece la existencia de puntos de intersección entre rectas. Por otro lado completa la noción 3 de paralelismo esbozada en la definición de rectas paralelas ; probablemente debido a su asociación con una definición es que se lo ha considerado en los siglos XVI y XVII como una noción común. L. Vega también señala que, según Proclo, “debe ser borrado de la lista de postulados porque se trata de un teorema lleno de dificultades, que Tolomeo se propuso resolver en un libro y cuya demostración requiere varias definiciones y teoremas” (Euclides 1991, pág 57). La historia donde se pretende bajar de su pedestal a este postulado es muy conocida, por un lado los intentos concluían en supuestos deductivamente equivalentes al mismo en el marco de la Geometría euclídea, y por otro llevaron a vislumbrar las geometrías no euclideanas. Los postulados no se demuestran y además no son evidentes para los sentidos -esta cualidad se reserva para las nociones comunes-, son una petición de acuerdo, a la que no se asiente de inmediato sino con ciertas reservas. Por eso Euclides los escribe en imperativ i mperativo, o, con el fin de señalar al lector cuáles son los poderes constructivos de los que ha de dotarse quien haya de construir los objetos geométricos que van a estudiarse en los Elementos.











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Con respecto a las nociones comunes, llamadas axiomas por otros geómetras, podemos decir que se distinguen por su calidad de principios, no sólo verdaderos y evidentes, sino también indemostrables; además, y según las pautas aristotélicas, estos deberían tener un alcance más general que el limitado por el campo temático de una ciencia determinada. El conjunto de nociones comunes también llevó a generar algunas diferencias entre los matemáticos helenísticos. Por un lado, parece ser que hubo un intento de Apolonio de demostrar alguna de estas nociones comunes. Por otro lado, hubo algunos comentadores y editores de este tratado que añadieron nuevos axiomas acerca de las relaciones de igualdad y desigualdad, a los cuales Proclo sugiere rechazar para no aumentar el número de axiomas sin necesidad. Las cinco nociones comunes admitidas en la obra euclídea son: i) Las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí. ii) Y si se añaden cosas iguales a cosas iguales, los totales son iguales. iii) Y si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales. iv) Y las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí. v) Y el todo es mayor que la parte . (Euclides 1991, págs. 199-201)

En forma inmediata a establecer sus postulados y nociones comunes, Euclides presenta una serie de problemas y teoremas, a los cuales algunos traductores de este tratado les dan el nombre de proposiciones. Según la tradición griega un problema se diferenciaba de un teorema. Un problema representaba un objeto geométrico a hacer, por ejemplo la construcción de una figura; en cambio un teorema era una proposición a establecer acerca de una característica esencial – propiedad, relación – de los objetos matemáticos construidos o dados. La índole de las proposiciones geométricas también dio lugar a varias contro-














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Pappus usa el término “problema” en el sentido de una indagación en la que se plantea hacer o construir algo, y el término “teorema” como una indagación en la que se investigan las consecuencias y las implicaciones implicaciones necesarias de ciertas hipótesis. Asimismo, Proclo al comentar el primero de los libros de Euclides, expresa que los “problemas” abarcan la generación, división, substracción o adición de figuras, y en término generales, los cambios que se realizan en ellas, y que los “teoremas” exhiben los atributos esenciales de cada una. Además indica que las cosas que se plantean como problema hay que hacerlas o crearlas, ya que puede ser posible que sean distintas a lo que dice el enunciado, y a diferencia de ello, las cosas que se plantean como teoremas son de un modo y eso es lo que hay que mostrar. Para ilustrar estas ideas Proclo comenta que “construir un triángulo equilátero sobre una recta” es un problema, pues sobre una recta también se pueden construir triángulos no equiláteros, en cambio “inscribir un ángulo recto en un semicírculo” es un teorema puesto que no hay que crear ya que siempre que se dibuje un ángulo inscripto en un semicírculo será recto, y efectivamente efectivamente eso es lo que ha de probarse. La distinción entre problema y teorema puede percibirse en la organización del conjunto de proposiciones de los Elementos de Euclides; en él tanto los problemas como los teoremas se presentan como proposiciones, pero basta con remitirse a la última línea de la demostración correspondiente para poder discriminarlos –en los problemas se concluye con la frase “que era lo que había que hacer”, y en los teoremas con “que era lo que había que demostrar”–. No obstante los problemas también contienen demostraciones, en las que se muestra que la











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Capítulo 10 1) Enunciado ( prótasis prótasis): formulación en términos generales de lo que se considera dado y de lo que se busca probar (proposición del objeto a construir si es un problema, o del aserto a establecer si es un teorema). 2)Exposición ( ékthesis): presentación de lo dado o introducción de un caso determinado de aplicación del enunciado mediante la cláusula “sea …” y uso de letras para designar los elementos del caso. 3) Determinación o delimitación ( diorismós): especificación del objeto de la prueba por referencia al caso expuesto; en los problemas esto se lleva a cabo mediante la fórmula “lo que se requiere es …” y en los teoremas mediante “digo que …”. Por diorismo también se entiende delimitación de las condiciones de posibilidad de la prueba; cuando tiene este significado se suele poner como apéndice del enunciado del problema. 4) Preparación ( kataskeué ): ): disposición de construcciones y relaciones, a partir de lo dado y en orden a la obtención del resultado propuesto. 5) Demostración ( apódeixis): proceso demostrativo que consiste en la derivación de consecuencias sobre la base de los conocimientos previos, ya sean definiciones, postulados, axiomas, o proposiciones sentadas en pruebas anteriores. 6) Conclusión ( sympérasma): aserción de que se ha satisfecho el diorismós en el caso de un problema o reiteración del enunciado en el caso de un teorema como confirmación de que el objeto de la prueba ha sido establecido. Viene marcada con “por consiguiente”. La conclusión en los problemas se remata con la cláusula “que era lo que había que hacer”, y en los teoremas con “que era lo que había que demostrar”. (Euclides 1991, págs. 35-37)

Nos centraremos en las tres primeras proposiciones del libro I












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La proposición 1 se deriva de la primera de las nociones comunes y de los postulados 1 y 3. En ella se justifica la construcción del triángulo equilátero, se demuestra que tal objeto es construible o, dicho de otro modo, se garantiza mediante una prueba que existe tal objeto. La proposición 2 prueba que es posible la construcción de un segmento congruente a otro segmento dado, habiendo determinado previamente uno de los extremos del segmento buscado. Presentaremos la prueba de esta proposición, la cual discurre por los pasos canónicos que Proclo identifica. Cabe señalar que la expresividad original es diferente a la terminología técnica y simbología que conocemos, la cual corresponderá a momentos posteriores del desarrollo de la Matemática. Haremos una reproducción de dicha prueba, manteniendo la estructura original de resolución pero utilizando la terminología estándar que hoy nos resulta familiar, para facilitar la comunicación de estas ideas. I.2. Transportar un segmento a un punto dado (como extremo). Sean a y bc respectivamente el punto y el segmento dado. Lo que se requiere es situar en el punto a un segmento congruente al dado (Figura Nº 01). ∆

Construir el triángulo equilátero abq [I.1] Prolongar en línea recta qa y qb [Post. 2] Describir el círculo C( b, bc ) y a su vez describir el círculo C( q,











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Por consiguiente en el punto dado a se ha colocado un segmento

af congruente al segmento dado bc . Q.E.F. (Quod erat faciendum = Que es lo que había que hacer)

c q

b a

e

f

Figura Nº 01: Construcción referida al problema I.2.

La proposición 3 significa, en versión moderna, transportar un segmento sobre una semirrecta dada. Esto queda más claro en la versión de Beppo Levi (1947) del tratado euclideo, que expresa esta proposición en los siguientes términos “Dados dos segmentos, cortar del mayor un












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bases operativas del procedimiento de construcción con regla y compás. Los dos primeros nos indican lo que podemos podemos hacer con una regla euclideana; el tercero nos indica lo que podemos hacer con el compás euclideano, se nos permite describir la circunferencia de centro dado y que tenga a partir de él, un segmento rectilineo como radio, o sea describir la circunferencia de centro dado y que pase por un punto dado. La regla es ilimitada, sin marcas y tiene sólo un borde; el compás es un instrumento que sólo traza circunferencias de centro dado pasando por un punto dado. Ningún instrumento ha de usarse para transportar distancias. Esto significa que la regla no puede marcarse, y que el compás ha de tener la característica que si una de sus patas se levanta del papel, el instrumento se cierra; podríamos imaginarlo como un compás que “se cierra o se abre cuando nos salimos del plano”, es decir pierde su amplitud al salirnos del plano, de ahí el nombre de compás colapsable que le dieron los anglosajones. A diferencia de éste, el compás moderno conserva su abertura y por tanto puede utilizarse para transportar distancias. Puede parecer que el compás moderno es más potente que el compás euclídeo pero no es así. En Eves H. (1969) se encuentra una referencia al respecto, se indica que cualquier construccción que pueda efectuarse con un compás moderno también puede llevarse a cabo (tal vez por un camino más largo) por el compás euclídeo. En otras palabras, el compás euclídeo y el moderno resultan equivalentes. Para probar esto, es suficiente probar que podemos con el compás euclídeo construir una circunferencia dados un centro y un radio. En efecto con la proposición 3 se demuestra la equivalencia de los mismos, ya que a partir de ella podemos usar el compás como transportador de segmentos. Dicha pro-













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Desde la heurística Lo propio de la heurística es el estudio de los modos de comportamiento al resolver problemas y los medios que se utilizan en el proceso de resolverlos, que son independientes del contenido y que no suponen garantía de que se obtenga la solución. Según Polya (1962), las construcciones con regla y compás son apropiadas tanto para familiarizar al estudiante con las figuras geométricas como para instruirlo en resolución de problemas; y por esta última razón aborda la discusión de estos problemas. En su libro queda al descubierto la intención de presentar un “método general”, que si bien es anunciado en el primer tomo, años más tarde tampoco se concreta su presentación en el segundo tomo. Dicho libro está dedicado al estudio de algunos métodos generales para la elaboración de planes, o modelos generales de procedimientos que son propios de problemas particulares. Acorde a una perspectiva heurística, los problemas de regla y compás pertenecen a una clase de problemas en la que están implicados ciertos métodos de resolución, por lo cual pueden ser utilizados para la enseñanza de la resolución de problemas en el aula. En este sentido, “regla y compás” es un componente para el que va a trabajar resolución












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Método de los Dos Lugares Iniciaremos Iniciaremos el tratamiento de las construcciones y métodos subyacentes mediante el siguiente problema “Construir un triángulo dados los tres lados”

Si bien en el sistema euclideano hay suficientes razones para restringir el problema al triángulo equilátero, nosotros abordaremos un problema más general, cuya solución es análoga. Pero antes de focalizar el método de resolución, analicemos el problema teniendo en cuenta sus partes principales: datos, incógnita y condición. Los datos son tres segmentos. La incógnita es una figura geométrica, un triángulo. La condición especifica que los tres segmentos dados deben ser los lados del triángulo buscado. La condición especifica cómo la incógnita está ligada a los datos, de ahí la importancia de la misma. Si comparamos nuestro problema con el siguiente: “Construir un triángulo dadas sus tres alturas”, observamos que los datos de éste son también tres segmentos, la incógnita es la misma figura geométrica, un triángulo; pero la conexión entre la incógnita y los datos es diferente, lo que hace que los problemas sean











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Enunciemos los pasos de esta construcción, ampliamente conocidos. Transportamos el segmento A y llamamos a sus extremos b y c. Dibujamos dos circunferencias, una con centro en c y radio B, la otra con centro en b y radio C . El punto a será uno de los dos puntos de in∆

tersección de ambas circunferencias. El triángulo abc es una solución del problema; observemos que dicho problema podría no haber tenido solución. Tratemos de descubrir el modelo implícito en el procedimiento anterior. Al trazar el segmento A localizamos dos vértices del triángulo buscado (vértices b y c) entonces sólo resta hallar el tercer vértice. Es decir que transformamos el problema propuesto en uno equivalente pero diferente al inicial. En este nuevo problema: -

la incógnita es un punto, el tercer vértice del triángulo a construir.

-

los datos son dos puntos ( b y c) y dos segmentos ( B y C ). ).

-

la condición requiere que el punto buscado esté a la distan-












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Aquí podemos percibir un modelo, el cual será de gran utilidad en la resolución de problemas geométricos de construcción. “Método de los Dos Lugares” 1) Reducir el problema a la construcción de un punto. 2) Dividir la condición en dos partes de modo que cada parte suministre un lugar geométrico para el punto incógnita; i ncógnita; cada lugar debe ser circular o rectilíneo .

En el segundo paso del método se incluye una característica esencial de los lugares l ugares geométricos geométricos a considerar: considerar: éstos deben ser circulares o rectilíneos. Esta restricción resulta previsible ya que estamos en el mundo de la regla y el compás. El término “lugar” significa esencialmente lo mismo que el término “conjunto”; definimos el conjunto (o lugar) enunciando una condición que sus elementos (puntos) deben satisfacer, o una propiedad que











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mente nos llevará a descubrir los lugares geométricos implicados en estos problemas. Vamos a ilustrar esta modalidad de uso del método con un nuevo ejemplo. Sea el siguiente problema: “Dadas tres rectas que se cortan dos a dos, construir una circunferencia tangente a dos de ellas y con centro en la tercera recta”

Realizamos la figura de análisis para visualizar los datos e indagar las relaciones entre datos e incógnita (Figura Nº 03). Damos el problema por resuelto, dibujamos una circunferencia tangente a M y y N con con centro en L, y marcamos lo conocido. L

M

o














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El lugar geométrico de los puntos que equidistan de M y N es la D' de los ángulos determinados por dichas rectas. unión de las bisectrices D y D' Luego o pertenece a la intersección de la recta L con el conjunto D ∪ D' D'. Ahora sólo resta hacer la construcción recorriendo el camino inverso. En este caso encontramos dos puntos que cumplen la condición, y para hallar los radios de sendas circunferencias se requiere el trazado de la perpendicular por cada uno de estos puntos. Hay una extensa gama de problemas de construcción que se corresponden con este modelo. Vamos a delimitar su campo de acción a aquellos casos en que el análisis del problema culmina en una recta que forma un cierto ángulo con otra, en una determinada circunferencia o en alguna de las siguientes construcciones, que llamaremos elementales:











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Hay problemas en los que se da uno de los lugares y sólo es necesario buscar el lugar restante, como es el caso del problema que hemos utilizado para ilustrar la aplicación del método. En algunos problemas los dos lugares son construcciones muy diferentes; en cambio en otros problemas son análogas, como en el primer problema planteado, que involucraba circunferencias. Hay problemas en los que la incógnita es un punto y se halla de forma inmediata como intersección de los dos lugares implicados; en cambio en otros problemas, tal como el último ejemplo tratado, será necesario hacer algún otro trazado utilizando dicho punto para construir la figura final. Todos estos son aspectos a considerar a la hora de diseñar acti-












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La construcción de uno de dichos triángulos, por ejemplo bpc implica el Método de los Dos Lugares, a partir de esta construcción el problema original se traduce en determinar un vértice ( a) de la figura incógnita, que se obtiene mediante la intersección de dos lugares inmediatos ( pc y C( b )). b,C )). La resolución de estos problemas consiste básicamente en hacer un bosquejo de la incógnita que se requiere, lo cual permite visualizar la información y descubrir alguna figura que puede construirse en forma inmediata y que además resulta útil en la solución del problema original, y luego a partir de ella se procede procede a resolver el problema. problema. Polya se refiere al método de la siguiente manera “Trata de descubrir alguna parte de la figura o alguna figura relacionada, la cual puedas construir, y la pue-











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figura semejante a la misma. La solución siempre implica construcciones acordes a las invariantes geométricas de la homotecia, como son el trazado de líneas paralelas o la copia de ángulos. Polya (1962) presenta este método con un ejemplo que culmina con un comentario general “Si no puedes construir la figura requerida, piensa en la posibilidad de construir una figura semejante a la misma”. Por otra parte, Scandura (1977) hace un análisis del método, para lo cual trata problemas en los que los objetos geométricos que se requiere construir son diferentes, aunque el espíritu del método queda en evidencia. Vamos a intentar descubrir los pasos de dicho método mediante el siguiente problema: “Inscribir un cuadrado en un triángulo dado”












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Enunciaremos los pasos del método subyacente de la siguiente forma: “Método de la Figura Semejante” 1) Construir una figura semejante a la figura incógnita. 2) Tener en cuenta otra parte de la condición y construir un segmento X que se corresponda por una homotecia a un segmento auxiliar X’ de la figura semejante construida, el cual permita la construcción de la figura buscada mediante el trazado de paralelas. 3) Construir la figura incógnita teniendo construida la fig ls













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rísticas y las tareas de gestión implicadas en la resolución de esta clase de problemas, fue posible precisar las competencias que se ponen en juego al abordarlos. abordarlos. Nos limitamos limitamos sólo a hacer mención mención de estos aspectos, ya que están fuera de los propósitos de este trabajo.

Comentarios finales












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sea homotético al de la figura semejante ya construida, lo cual nos va a permitir construir la figura que buscamos a partir de la figura semejante. Lo fundamental del método no es hacer un figura semejante, sino que es hacer una figura semejante pero sabiendo cómo se utilizará para construir la figura requerida; es decir, construir una figura semejante que ya esté enlazada con la que se quiere construir gracias a un análisis previo.











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Los griegos, la heurística, la regla y el compás: Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática

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