Standar Kompetensi
5. Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri
dalam pemecahan Problem.
Kompetensi Dasar :
5. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang
berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas
trigonometri
A. NILAI PERBANDINGAN DAN FUNGSI TRIGONOMETRI.
INDIKATOR
1) Menentukan nilai perbandingan trigonometri (sinus, kosinus,
tangen, kotangen, sekan, dan kosekan suatu sudut) pada segitiga
siku-siku.
2) Menentukan nilai perbandingan trigonometri (sinus, kosinus, dan
tangen) dari sudut khusus.
3) Menentukan nilai perbandingan trigonometri (sinus, kosinus, dan
tangen) dari sudut di semua kuadran.
4) Mengubah koordinat kutub ke koordinat Cartesius, dan sebaliknya.
5) Menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana
A.1. UKURAN SUDUT DALAM DERAJAT DAN RADIAN.
Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan
beberapa Problem matematika yang menyangkut ukuran sudut diharapkan
peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman
belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media
interaktif.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal
berikut ini:
Pengantar materi:
Dalam setiap pembicaraan tentang trigonometri tidak terlepas dari apa
yang dinamakan ukuran sudut. Pada hakekatnya ukuran sudut sering
dinyatakan dalam dua hal, sebagai berikut:
A.1.1. UKURAN DERAJAT. Y
Jika Titik A bergerak mengelilingi keliling lingkaran
penuh, berarti titik A menempuh sudut 360o
A
Jika bergerak setengah putaran penuh, berarti
X
Titik A menempuh sudut ......... o
Jika bergerak seperempat putaran penuh, berarti
Titik A menempuh sudut ......... o
Jika titik A menempuh sudut 30o, maka A bergerak
mengelilingi keliling lingkaran putaran = ......
putaran.
Sehingga dapat ditarik hubungan ukuran derajat sebagai
berikut:
Besar sudut 10o = putaran Besar sudut 5o =
putaran
Jadi pengertian dari: 1o = putaran penuh.
A.1.2. UKURAN RADIAN.
Y Perhatikan gambar disamping:
B
R Besar sudut AOB dapat dinyatakan
dalam :
O A
y Q Perhatikan gambar disamping ini:
R Jika panjang busur PQ sama dengan
panjang jari-jari
R Lingkaran. Maka POQ
besarnya 1 radian.
R P Sehingga 360o = ....?....
radian.
O x Telah diketahui bahwa 360o adalah
besar sudut 1 putar
an penuh. Dalam perhitungan ukuran
radian, maka:
360o = =
Jadi : 3600 = ....... radian.
1800 = ....... radian.
900 = ....... radian.
Jika mendekati maka 1 radian
= = ......... o
Problem 14:
a. Nyatakan ukuran derajat berikut ke dalam ukuran radian !
i. 60o ii. 1500 iii. 3150
b. Nyatakan ukuran radian berikut ke dalam ukuran derajat !
i. 3 radian ii. radian iii. 2
radian
Solusi:
a. i. 60o = x 2 = x 2 = radian
ii. 1500 =
...........................................................
iii. 3150 =
...........................................................
b. i. 3 radian = 3 x 180o = ........ o
ii. radian =
............................................
iii. 2 radian = 2 x 57,27o = ............... o
Problem untuk didiskusikan siswa:
1. Ubah ukuran derajat berikut ini ke dalam ukuran radian !
a. 240o b. 330o c. 310o d. 210o
e. 75o f. 20o
2. Ubah ukuran radian berikut ini ke dalam ukuran derajat !
a. rad b. rad c. rad d. 1,2 rad
e. 3,5 rad f. 0,25 rad
A.2. NILAI PERBANDINGAN FUNGSI TRIGONOMETRI.
Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan
beberapa problem matematika yang menyangkut nilai perbandingan
fungsi trigonometri diharapkan peserta didik secara mandiri
menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa
sumber referensi maupun media interaktif.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal
berikut ini:
Pengantar materi:
Nilai perbandingan fungsi trigonometri pada hakekatnya dapat
diturunkan dari konsep dasar tempat Kedudukan Titik pada koordinat
cartesius dipadu dengan teorema Phytagoras, sebagaimana dapat
diperhatikan pada gambar berikut:
Untuk setiap sudut di kuadran 1 (ao
lancip) dapat diturun-
kan pengertian Fungsi Trigonometri, yang
pada hake-
P(x, y) katnya merupakan nilai perbandingan
dari 3 sisi suatu se
gitiga siku-siku ( perhatikan segitiga
OAP ), sbb:
R y Sinus ao = Sin ao = =
=
ao Cosinus ao = Cos ao = =
=
O x A X
Tangen ao = Tan ao = = =
Disamping itu terdapat pula relasi kebalikan dari fungsi trigonometri
sebagai berikut:
Secans ao = Sec ao = = = =
Cosecans ao = Cosec ao = = = =
Cotangens ao = Cotan ao = = = =
Problem 15: B
Pada segitiga ABC siku-siku di B. Tentukan nilai-nilai
perbandingan dari fungsi trigonometri jika diketahui
24
AC = 25 cm, AB = 24 cm
C A
Solusi: 25
Dari gambar didapat: BC = = = = ........
Sehingga nilai-nilai fungsi trigonometri dapat diturunkan, sebagai
berikut:
Sin A = = = ....... Sin C = = =
.......
Cos A = = = ....... Cos C = = =
.......
Tan A = = = ....... Tan C = = =
.......
Sec A = = = ....... Cosec C = =
= .......
Sekarang bagaimana kita menentukan nilai fungsi trigonometri untuk
sudut-sudut khusus atau istimewa, dan perlu diketahui bahwa yang
dimaksud sudut istimewa adalah nilai-nilai sudut pada kuadran I
diantaranya 0o , 30o , 45o , 60o dan 90o
C Pada segitiga ABC siku-siku di
B sama kaki dengan panjang sisi
siku-sikunya p, berarti AB = BC = p
Sehingga didapat AC = = = .....
p dan sudut A = 45o
p Sehingga didapat:
A B Sin A = Sin 45o = = = =
CosA = Cos 45o = = = =
C Tan A = Tan 45o = = =
........
Pada segitiga ABC siku-siku di B dengan AB =
p, A = 60o ,
D Maka C = ….. o
Dibuat ABD = 60o , maka ADB = ......o
dan CBD = …..o
60o
A B Karena A = 60o =
ABD, maka segitiga ABD sama sisi, se-
hingga AB = AD = …… = p
Karena C = CBD, maka segitiga BCD sama kaki, sehingga BD
= …… = ……..
Akibatnya AC = AD + CD = …… + ….. = …… dan BC = = …….
Sin A = sin 60o = = = …… Sin C = sin 30o =
= = ……
Cos A = sin 60o = = = …… Cos C = Cos ....o =
= = ……
Tan A = sin ....o = = = …… Tan C = Tan ....o =
= = ……
Dari beberapa temuan di atas dapat dibuat tabel dan coba lengkapilah
tabel berikut:
"Fungsi "0o "30o "45o "60o "90o "
"Cos "......." "......."......."......."
" ".. " ".. ".. ".. "
"Tan "......."......."......."......." "
" ".. ".. ".. ".. " "
"Sec "......."......."......."......."......."
" ".. ".. ".. ".. ".. "
"Cosec "......."......."......."......."......."
" ".. ".. ".. ".. ".. "
"Cotan "......."......."......."......."......."
" ".. ".. ".. ".. ".. "
Problem 16:
Tanpa menggunakan kalkulator dan alat lain, tentukan nilai dari:
sin 30ocos 60o + cos 30o sin 60o
Solusi:
sin 30ocos 60o + cos 30o sin 60o = (½x ..... ) + ( ...... x ...... )
= ....... + ...... = ........
Problem untuk didiskusikan siswa:
1. Tentukan nilai perbandingan fungsi trigonometri lengkap dari
gambar di bawah ini !
C Q
C
a 3
B P
p 2
10 5
B
6
R A c
A
2. Tentukan nilai dari :
a. Tan 30o + cos 45o – sin 45o d. cos 30o cos 60o – sin
30osin 60o
b. sin 30o + cos 60o + tan 45o e. sin 60o tan 30o + tan
60ocos 30o
c. cos2 45o + 2 cos 45o – f.
3. Hitunglah unsur-unsur yang belum diketahui dari segitiga ABC
jika diketahuiC= 90o
dan: a. A= 15o dan a = 10 cm b. B= 70o
dan c = 20 cm
4. D
4cm Tentukan nilai p dari gambar
disamping !
p
C
30o
A 10 cm B
5. P Pada gambar disamping, jika Q = 60o
dan QR = 8 cm
, APQ = ASP = PRS = 90o
Tentukan panjang PQ, PR, PS dan QS
!
R
A S Q
A.3. RELASI SUDUT FUNGSI TRIGONOMETRI.
Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan
beberapa Problem matematika yang menyangkut relasi/hubungan sudut
fungsi trigonometri diharapkan peserta didik secara mandiri
menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa
sumber referensi maupun media interaktif.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal
berikut ini:
Pengantar materi:
A.3.1. Tanda-tanda fungsi trigonometri di berbagai kuadran.
Dengan mengingat kembali definisi fungsi trigonometri dan
juga memperhatikan letak kaki sudut di kuadran tertentu,
terdapat perbedaan tanda positif dan negatif pada setiap
unsur x dan y, sehingga memiliki pengaruh pada nilai
perbandingan fungsi trigonometri, coba perhatikan gambar dan
tabel dibawah ini:
y
" Kuadran II "Nilai "Kuadran "
"Kuadran I "Perban- " "
" "dingan " "
"x < 0 , y … 0 x > 0 "Trigo- " "
", y > 0 "nometri " "
"R … 0 R >" " "
"0 " " "
"x " " "
" " " "
"x … 0 , y …0 x … 0 ," " "
"y … 0 " " "
"R … 0 R ... " " "
"0 " " "
"Kuadran III Kuadran " " "
"IV " " "
" " "I "II "III "IV "
" " "x "y "x "y "
" "Cosinus "+ " "- " "
" "Tangen "+ " " "+ "
A.3.2. Relasi sudut fungsi trigonometri di berbagai kuadran.
y
Perhatikan gambar di
samping, nampak bahwa
P' P hasil pencerminan
Titik P terhadap sumbu y, di
dapat titik P' dan seterusnya,
sehingga diturunkan
nilai sudut di berbagai kuadran
yang mempunyai
(180 - ) x korelasi satu
sama yang lainnya, seba gai berikut:
(180 + ) (360 - )
atau (-)
"Kuadran II "Kuadran I "
" " "
"Sin (180 - ) = Sin "Sin "
" "Cos "
"Cos (180 - ) = - Cos "Tan "
" " "
"Tan (180 - ) = - Tan " "
" " "
" " "
"Kuadran III "Kuadran IV "
" " "
"Sin (180 + ) = - Sin "Sin (360 - ) = - Sin "
" " "
"Cos (180 + ) = - Cos "Cos (360 - ) = Cos "
" " "
"Tan (180 + ) = Tan "Tan (360 - ) = - Tan "
" " "
A.3.3. Relasi sudut yang saling berkomplemen di berbagai kuadran.
Dengan menggunakan aturan refleksi/pencerminan terhadap garis
y = x & y = -x
dari suatu titik P(x, y) yang membentuk sudut , kita
dapat turunkan relasi dari beberapa sudut yang saling
berkomplemen, sebagai berikut:
"Kuadran II "Kuadran I "
" " "
"Sin (90 + ) = Cos "Sin (90 - ) = Cos "
" " "
"Cos (90 + ) = - Sin "Cos (90 - ) = Sin "
" " "
"Tan (90 + ) = - Cotan"Tan (90 - ) = Cotan "
" " "
" " "
"Kuadran III "Kuadran IV "
" " "
"Sin (270 - ) = - Cos "Sin (270 +) = - Cos "
" " "
"Cos (270 - ) = - Sin "Cos (270 +) = Sin "
" " "
"Tan (270 - ) = Cotan"Tan (270 +) = - "
" "Cotan "
Problem 17:
1. Tanpa menggunakan kalkulator dan alat lain, tentukan nilai
dari:
a. sin 120o b. Cos 300o – Tan 135o c. Sec2 210o
2. Jika sin 44o = 0,695 dan cos 46o = 0,719, maka
tentukan nilai dari fungsi trigono-
metri berikut ini (tanpa bantuan alat hitung) !
a. cos 226o b. Sin 224o – sin 316o
Solusi:
1. a. Sin 120o = ( ingat 120o berada pada kuadran II
sehingga Sin + )
Sin 120o = Sin ( 180 - ...... )o = Sin .....o
=
b. Cos 300o – Tan 135o = Cos ( 360 - ..... ) – Tan (180 -
.... ) = Cos ..... – ( -Tan .... )
= ......... - ........ = ..........
c. Sec2 210o = Sec2 ( 180 + ..... )o = ( Sec …..o )2
= ……2 = ……
2. Diketahui : sin 44o = 0,695 dan cos 46o = 0,719
Ditanya : a. cos 226o b. Sin 224o – sin
316o
Jawab :
a. cos 226o = (berada di
kuadran II berkomplemen )
cos 226o = cos ( 270 - ..... )o = - sin 44o = - ……….
b. Sin 224o – sin 316o = Sin ( 270 - ..... )o - Sin
(270 + ....)o = - cos ..... – cos ......
= -2 cos ....... = - ..............
A.3.4. Menentukan nilai perbandingan trigonomeri.
Menentukan nilai fungsi trigonometri di berbagai kuadran jika
salah satu nilai fungsinya diketahui harus memperhatikan
aturan nilai fungsi yang berlaku di masing-masing kuadran.
Problem 18:
Jika sin A = dan 90o < A < 180o (kuadran II) maka
Tentukan nilai dari:
a. cos A b. Tan A c. sec2 A d. 1 –
cotan2A
Solusi:
Karena A pada kuadran II, maka x < 0 dan y > 0 maka R >
0
sin A = = , maka didapat y = 4 dan R = 5
sehingga x =
maka x = = = ....... dan didapat :
a. cos A = = c. sec2 A = [ sec
A ]2 = []2 =
b. Tan A = = d. 1 – cotan2A = 1
- []2 = 1 - = ....
CATATAN: Khusus penggunaan alat bantu kalkulator untuk
menentukan nilai fungsi
trigonometri, diharapkan guru
mendemontrasikan dan menuntun siswa
ke arah aplikasi klakulator sebagai alat bantu
hitung.
Problem untuk didiskusikan siswa:
1. Tanpa alat bantu, tentukan nilai dari:
a. tan 240o (sin 30o + cos 45o) c. tan 120o – cotan 30o + sec
330o
b. tan ( sin + cos ) d. tan - cotan
+ sin + cos
2. Jika diketahui A = , maka nilai dari : sin A – cos A +
tan2 A adalah ........
3. Jika diketahui cos 15o = k, maka tentukan nilai dari Sin 15o
!
4. Jika sin A = dan A sudut lancip maka tentukan nilai dari :
a. sin A – 2 cos A b. Cos2 A – 2 sin2 A c.
cosec A – ½ cotan A
5. Jika tan B = dan B sudut tumpul 9pada kuadran III) maka
tentukan nilai dari:
a. cos B – sin B b. Cos2 B – 2 tan2 B c. sec
B – 2 cotan B
A.4. TEMPAT KEDUDUKAN TITIK (KOORDINAT KUTUB).
Tempat kedudukan titik pada hakekatnya dapat dinyatakan dalam fungsi
trigonometri dan biasa dikenal dengan Koordinat kutub, sistem ini
dapat diturunkan dari hubungan pengertian dasar nilai perbandingan
fungsi trigonometri sebagaimana bagian terdahulu.
Jika terdapat titik dalam koordinat Kartesius P ( x, y ) dapat
diubah menjadi koordinat Kutub sebagi berikut P ( R , o ) di
mana R = jari-jari dan o sudut yang dibentuk R terhadap
sumbu datar.
y Perhatikan gambardi samping:
P(x, y) Telah diketahui bahwa:
Sin o = maka y = R
...........
R y R
=
o Cos o = maka x =
..... cos o
O x X
Tan o = maka o =
anti tan
Problem 19:
Nyatakan ke dalam koordinat kutub A( -1 , )
Solusi:
A( -1 , ) didapat x = -1 dan y = berarti o
berada pada kuadran II.
Maka R = = = = .......
Dan o = anti tan = ……o sehingga didapat P ( R,
o ) P ( …. , …..o )
A.5. PERSAMAAN TRIGONOMETRI DASAR.
Persamaan trigonometri pada hakekatnya sama saja dengan persamaan
linier maupun kuadrat, di mana Himpunan Solusinya merupakan nilai-
nilai x yang memenuhi persamaan tersebut, bedanya dalam persamaan
trigonomeri nilai pengganti x merupakan suatu sudut, beberapa
bentuknya: sin x = c , cos x = c , tan x = c dst, dan c
Bil. Real.
Problem 19:
Tentukan Himpunan Solusi dari: sin x = ½ pada 0o x
360o
Solusi:
sin x = ½ karena sin x nilainya + maka x berada dalam
kuadran I atau II, sehingga:
i). sin x = sin 30o (Kuadran I) ii). sin x = sin
(180 – 30)o (Kuadran II)
x = ....o k. 360o x
= ....o k. 360o
untuk k = 0 ( x = 30o untuk k = 0
( x = ....o
k = 1 ( x = 390o (Tidak memenuhi)
Jadi: HP = { 30o , ......o }
Problem untuk didiskusikan siswa:
1. Nyatakan ke dalam koordinat kutub beberapa titik berikut ini:
a. (2, 2) b. (-3 , 3) c. (-1, )
d. (-3, -3)
2. Nyatakan ke dalam koordinat katesius beberapa titik berikut ini:
a. (4, 60o) b. (3, 240o) d. (5, ) d.
(6, )
3. Tentukan Himpunan Solusi persamaan trigonometri berikut ini:
a. sin x = ½ c. cos x = -½ e. Tan
x =
b. 2 sin x = - d. cos 2x = ½ f. 3
tan 3x = -
A. Berilah tanda silang pada huruf yang memuat jawaban paling tepat !
1. Jika tan A = 7/24 , A sudut lancip, maka nilai sin A. cos A = ….
a. 168/625 b. 131/625 c. 124/625 d. 24/175 e. 7/175
2. Koordinat cartesius titik (4, 300o) adalah .…
a. (2 , 6) b. . (2 , -6) c. (-2 , 6) d.
(-2 , -6) e. (-6 , 2)
3. Koordinat cartesius titik (6, 45o) adalah …..
a. (3, 3) b. (3, 3) c. (3, 3)
d. (6, 6) e. (3, 3)
4. Koordinat kutub dari titik (9, 9) adalah ....
a. (9, 30o) b. (9, 60o) c. (18, 60o)
d. (18, 30o) e. (4, 30o)
5. Nilai dari cos2 (1200o) = .....
a. 0 b. ¼ c. ½
d. ½ e. ¾
6. Diketahui = 3,1416, maka jika 60o dinyatakan dalam radian =
....
a. 2,0944 b. 1,5708 c. 1,0472
d. 0,9425 e. 0,7854
7. Hitung harga cos + cos = .... (tanpa menggunakan tabel)
a. 2 b. 3 c. 5
d. 6 e. 6
8. cos = ....................
a. 6 - 2 b. 6 + 2 c.
2 - d. 2 - 6 e. 6 -
9. Nilai dari adalah ....
a. 2 - 4 b. 2 - 6 c. 4 - 2 d. 2 +
2 - 4 e. 6 + 2
10. jika tg = ( A lancip) maka sin A = ....
a. b. c. d.
e.
11. Bila dan tan α = maka sin α = .....
a. b. c. d.
e.
12. jika cos A = 0,8 maka tg A adalah ....
a. b. c.
d. e.
13. bila tg ½ x = t maka sin x adalah ....
a. b. c. d. e.
\
14. Sin + Sin = ....
a. 2 sin A b. 2 cos A c. 2 sin 2A d. 2 cos 2A
e. 0
15. Diketahui Siku-siku di C. Jika Cot A = , nilai
a. b. c. d.
e.
16. Nilai x yang memenuhi persamaan : cos 2x = , untuk 00 < x < 3600
adalah ....
a. 300 dan 600 b. 600 dan 1200 c. 600 dan 1500
d. 1200 dan 1500 e. 1200 dan 2400
17. Nilai x yang memenuhi persamaan 2cos x – 1 = 0, dalam interval 0
x 2 adalah ….
a. dan c. dan e.
dan
b. dan d. dan
18. Himpunan penyelesaian persamaan 2cos (2x +) = , dengan
0 x adalah ….
a. {, } c. {, }
e. {, }
b. {, } d. {,
}
19. Jika dan , maka nilai
a. b. c. d. e.
20. Diketahui Siku-siku di C, CD tegak lurus pada AB dan
DE tegak lurus pada AC, jika sudut BAC = ( , maka DE = ….
a. a (sin ( - sin 3 ()
b. b (sin ( + sin 3 ()
c. c (cos ( - cos 3 ()
d. c (cos ( + cos 3 ()
e. a (cos ( - cos 3 ()
B. Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar !
1. Tentukan nilai dari tg !
2. Tentukan titik p (4, ) dalm koordinat kartesius !
3. Jika cosec dan lancip, tentukan sin dan ctg!
4. Tentukan himpunan penyelesaian dari : a. Tan x = -1 , untuk 00 < x
< 3600
b. Sin (2x - ½() = ½ 2 , untuk 00 < x <
3600
5. Sederhanakan : a. Cos ( π + a ) = .... b. Sin ( π – a ) = ....
c. Tg ( 2π – a ) = ....
B. ALJABAR (PERHITUNGAN DASAR) FUNGSI TRIGONOMETRI.
Kompetensi Dasar :
. Merancang model matematika dari Problem yang berkaitan dengan
perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri.
INDIKATOR
1) Menggambar grafik fungsi trigonometri dengan menggunakan tabel dan
lingkaran satuan
2) Membuktikan identitas trigonometri sederhana.
-----------------------
C
D
A
B
E
(
