Emmánuel Lizcano
IMAGINA IMA GINARIO RIO COLECTIVO COLECTIVO Y CREACIÓN MATEMÁTICA La construcción social del número, el espacio y lo imposible en China y en Grecia
Grupo: C i e n c ia i a s S o c i a le le s Subgrupo: S o c i o l o g í a / A n t r o p o l o g í a
Ed itorial itorial G edisa ofrece ofrece los siguientes títulos sobre
COMUNICACION Y SOCIOLOGIA pertenecientes a sus diferentes colecciones y series (Grupo “Ciencias Sociales”) J. M . F e r r y , D. W o l t o n
Y OTROS Janet Malcom Jo n El s t e r J a c q u e s P e r r ia u l t M. M c Lu h a n y
B . R . PO PO W E R S JEFFREY C . ALEXAND ALEXANDER ER Gr e g o r y y M a r y C a t h e r in e Ba t e s o n Is a a c J o s e p h
PA U L WATZLAWICK WATZLAWICK Y OTR OTROS OS P i e r r e B o u r d i e u E l ís e o Ve r ó n Pa u l Yo n n e t
El El nuevo espacio público El El periodistay el asesino El El cemento de la sociedad La Las máquinas de comunicar La La aldea global La Las teorías sociológicas desde la Segunda Segunda Guer Guerra ra Mun Mundial dial El El temor de los ángeles El El transeúnte y el espacio urbano La La realidad inventada Cosas dichas dichas Construir onstruir el acontecimiento acontecimiento Ju Juegos, modas y masas
M a r c Au g é
El El viajero subterráneo
M a r c Au g é
Trave Travesía sía por losjardin jardines es de Lu Luxemburgo
IMAGINA IMA GINARIO RIO COLECT COLECTIV IVO O Y CREAC CRE ACIÓN IÓN MATEMÁTICA MATEMÁTICA La construcción social del número, el espacio y lo imposible en China y en Grecia
por po r
Emmá Em mánuel nuel Lizca Lizcano no Prólogo de A ntonio Escohotado Escohotado
1.* edición, Barcelona, España, 1993
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Indice Pr
o l o g o
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INTRODUCCION
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I
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Breve relato de los orígenes y organización de esta investigación (p.l). La categ oría de ‘ne gativid ad’ (p.5). Algunas de uda s teóricas y prácticas (p.9). Capitulo I
Ciencias del hom bre y m atemáticas: crónica de una resistencia 1.1 / 1.2. 1.3. 1.4.
In-determinación sociológica de las m atem áticas Un a historia de esencias y cum plim ientos Dificultades para una antropología de las m ate m átic as La imposible hermenéutica de las matemáticas
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36 40 45 53
C a p i t u l o II
Algebra y numerología chinas: maneras de negatividad radical II. 1. 11.2. 11.3. 11.4. IX.S. 11.6. 11.7. 11.8.
El cap ítulo octavo del Jiu zhang s u a n sh u 63 El cálculo con palillos en el tablero. La materia del núm ero .. E l m éto do fa n g cheng y el ‘álge bra instrum ental’. El arte de pro du cir nada A rraigo del álgeb ra instrum ental en la lengua natural Las reg las zhenglfu (‘positivo/negativo’) El uso de las reglas zhenglfu en el con texto/an# c h e n g 93 Irreductibilida d de la estruc tura zhenglfu al modelo ‘ganancias/ .. p é rd id a s ’. L a co n stru c ció n social de la justicia m atemática La cue stión del ‘cero ’ en la m atem ática china. Lugares que sig nifican ...............................
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67 71 78 83
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97 100
11.9. Estru ctura ctu ra de ‘gru ‘gru po ’ en el conjun co njun to zh z h e n g /fu /f u A v u ’ . El ser del noser (wu) c h i n o ............ .................. ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ .......... 11.10. Zh Z h e n g y fu f u en e! lenguaje ordinario y en el imaginario cultural chino 11.1 11.11. 1. Otro s m odos de negatividad formal formal 11.1 11.122. L a opo sición , cate goría central del Lib L ib r o d e la s m u ta c io n e s ... 11.1 11.133. El com plejo sim bó lico yin com o m atriz atriz preconce ptual. Su y in ty a n g com huella huella en en el campo campo nu m érico 11.14 .14. Cua drados m ágicos , pen sam iento analógico y cong ruencia s algebraicas 11.1 1.15. ¿O pon er o restar? Espa cio simb ólico v j . espacio espacio ex ten so 11.16. El dao [tao] y el cero, goznes de opuestos. La construcción imaginaria de lo imposible 11.1 1.17. Ap éndice: Leibniz en China. Exc ursion es etnoc éntricas ...................
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C a p i t u l o III
L a epistem e g riega o los los lím lím ites ites de la abstracc ión III. III. 1. L a oposición parm eníde a ‘no -ser/ser’ y la cree ncia en el prin cipio de no-contradicción 154 15 4 111.2. El jue go de las las oposicion es. Su posib ilidad y anon adan iento en el pitagorismo 160 16 0 111.3. D onde on de A ristótele s tropieza co n el ‘ce ro’ ro ’ y asum e . (que no decide) decide) su su im po sibilidad 168 111.4. Lo s ‘número s tazon es’ de la logística ¿M eros cálc ulos? 177 111.5. El ‘álgeb ra ge om étric a’: un esp acio inh ósp ito pa ra la negativi dad. Los diorismoi o la la imposibili imposibilidad dad de con stru ir 181 111.6. A p h a i r e s i s : pen sar por abstracción y ope rar por sustracción. Los pri p rim m e ro s p rin ri n c ip io s o los lo s lím lí m ite it e s d e l s e n tid ti d o c o m ú n g rie ri e g o 194 19 4 .................................................................
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C a p i t u l o IV
Conflicto Conflicto de im ag inarios en D iofanto: el el decirse de lo indecible IV. 1. La qu iebra del ideal clásico. De la cree ncia en la razón a la razón de las las cree nc ias IV.2 IV .2.. Diofanto ‘el ‘el osc uro ’ y la crispación crispación de los los m o d e rn o s IV.3. V.3. Una Babel matem ática. ática. ¿Nuevos ¿Nuevos límites límites para el n ú m e ro ? IV.4. V.4. Diofanto o la prime ra em ergencia occidental de la negatividad matemática. Una incursió incursiónn en en lo im p en sa b le IV.5. La negatividad ‘en proceso ’ : el presentarse de la au se n c ia ........................................................................................
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2 13 221 22 1 225 232 236
IV.6. IV .6. ... ... y el ausentarse ausen tarse de la presencia: la imposible negatividad ‘como producto’ 247 24 7 IV.7. El techo de la negatividad en en la metafísica metafísica neoplatónica. neoplatónica. Im po tencia tencia de la volunt voluntad ad de po d e r 258 25 8 .....................................................................................
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C onclusiones E p i l
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og o
M ussil ussil y Stendhal Stendhal:: R azones para para no en ten de r
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B ib l
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io g r a f ía
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A María M aría Jesús y Manolo
Prólogo Aunque en gran medida aprendamos oyendo hablar a otros, acceder a una lengua ha blada desde uno mismo, a un lenguaje propio, propio, implica abordar el fondo de algún asunto y la riqueza del pormenor adherido a él. Precisamento eso hace Em m ánu el Lizcan o en el denso ensayo que presta contenido contenido a este libro. libro. El fondo del asunto es lo objetivamente veraz de la matemática, y el pormenor son tres ma temáticas de b ase no reconducible a uniformidad. uniformidad. Por lo demás, no se trata de que el pormenor pruebe o desmienta la veraci dad objetiva de cierta cierta línea, sino sino de de que proporciona o casión para minar un preju i cio sobre el que se sostiene crucialmente crucialmente la Ciencia en su conjunto: conjunto: co m o reino de la pura verdad, la matemática es el último nombre del destino. No es como lo dem ás, em pezan do p or las las ciencias ciencias llam llam adas sociales sociales;; no es una precaria balsa, a la deriva entre atribuladas dudas y sectarismo, sino un ‘lecho de dura piedra’ que sostiene sin vacilar una razón libre de (dolos. Gracias a ello cabe seguir confiando en el con ocim iento científi científico co como algo de n aturaleza aturaleza superior — y distinta— a la del acervo mítico. Sin embargo, ¿qué nos dicen los primeros principios de Euclides, los trigrahi ng , las ingeniosas adaptaciones de Diofanto? Vistos de cerca, todos mas del I C hing cuentan cosas sobre temperamentos, costumbres, componendas y, en general, concepciones del mundo. Unos, dados a lo práctico, carecen de ‘palabras vacías’ — c o m o lla ll a m a n los lo s m a tem te m á tic ti c o s c h ino in o s a n u e stro st ross v e n e rad ra d o s c o n c e p to s a b s tr a c tos— tos— , m ientras otros insisten insisten en trazarse tantos aprioris aprioris como les sea po sible; otros, por último, se comportan eclécticamente, al estilo helenístico, amando de igual modo la norma regulativa genérica y el expediente que se revela útil. Al segu ir como hilo hilo conductor el el nú m ero imaginario, imaginario, gran parte parte de e ste libro po p o n e a n te los lo s o jos jo s c ó m o las la s m a g n itu it u d e s n e g a tiv ti v a s — tan ta n efic ef icaa c e s p a ra ‘op ‘o p e r a r ’ e n ma temáticas— se ligan ligan a una precisa precisa lógica lógica subyacente, y pueden verse posterga das durante milenios mientras reine cierta ontología de la identidad, o ser emplea das desde siempre allí donde el lugar de la identidad es ocupado por una idea de fluida oposició n, articulada en torno torno a un centro hueco com o el Tao. Dicho d e o tro I
modo, m uestra cómo aquello inm aculado o transhistórico transhistórico por principio, lo lo neutro o imparcial en sí, arrastra un universo de determinaciones adicionales que arrai gan en la idiosincrasia cultural, en la sombra de algunos individuos geniales y en el simple azar. ¿Nos lleva esto a una convicción relativista? Las menciones a Spengler po p o d ría rí a n s u g e rir ri r q u e e s ta oBra oB ra a p o y a su te o ría rí a d e las la s c o n c e p c i o n e s d el m u n d o , cuyo núcleo es afirmar una radical incomunicación entre cada una. Pero la curiosa consecuencia de este relativismo es acabar postulando un deterninismo'previo, pu p u e s si b ien ie n e l m a g m a s e m á n tic ti c o no p u e d e c o n s id e ra rse rs e ú n ico ic o , lo c ie rto rt o e s q u e se po p o s tu la c o m o in e s c a p a b le e n co n fin fi n e s d e fin fi n ido id o s d e la T ie rra rr a ; r e s u lta lt a a s í q u e no hay el hombre, ni nada acorde con un espíritu humano general, aunque sí hay el musulmán y el pagano, el ario y el no ario. No N o e s to y s e g u ro d e q u e L iz c a n o se a d h ie ra a las la s tip ti p o lo g ía s d e S p e n g ler. le r. Su tesis parece ser más bien que no cerrremos prematuramente nuestras cuentas con la realidad, y partamos de "gentes concretas, con sus diferentes prejuicios, tabúes y ensoñaciones". Esa es la sustancia primera del planeta, principal fuente de invenciones y presencias, y ningún absoluto trascente desdibujará su acción; lo real real tiene en propio un com ponen te de pluralidad pluralidad y cam bio, pues una evanescente pe p e líc lí c u la s e p a ra e l d isc is c u rso rs o d e l s o b rio ri o y el d e l e b rio ri o , el d el s u e ñ o y el d e la v igil ig ilia ia,, el que enum era generalidades y el que expon e detalles. detalles. En las Es E s tra tr a ta g e m a s d e lo s re ino in o s c o m b a tie ti e n te s , un texto chino del siglo I, topé con cierto diálogo muy instructivo: — — — — — —
"¿ C u á n to p ro d u c e la a g ric ri c u ltu lt u ra ? El d é c u p lo d e la inv in v e rsió rs iónn inic in icia ial.l. ¿ Y la vent ve ntaa d e ja jad e? E l c é n tup tu p lo. lo . ¿ Y p o n e r a un p rín rí n c ip e e n el tro tr o n o ? ¡Eso ¡E so s u p e ra tod to d o c á lc u lo!" lo !"
M u ta t is m u tan ta n d is, is , la matemática corona el imperio científico, y de ello se
siguen — sin duda— incalculables incalculables rendim ientos. El más sólido es el imperio mismo, con su combinación de ramas corporativas y credo, un credo que no se pre p re s e n ta y a c o m o v e rd a d rev re v e la d a sin si n o c o m o a x io m á tic ti c a r a c io n a l, m a triz tr iz d e j u i cios sintéticos sintéticos a priori priori.. V éase, si no, la prop osició n que define la línea recta com o distancia más corta entre dos puntos. Kant la exhibe como modelo autoevidente, pa p a s a n d o p o r alto al to d e fin fi n ir q u é s ign ig n ific if icaa ‘co ‘c o r t o ’, y e v ita it a n d o a s í re c o n o c e r q u e -tra -t ra tá n dose de líneas- corto y simple son sinónimos, con lo cual el aserto viene a decir que la recta es una distancia no curva o quebrada entre dos puntos, esto es: la dis tancia sim ple o, para ser since since ros, recta. H e ahí un ejemplo ciertam ente curioso de
ju i c i o s in té tic ti c o , a jen je n o a la s o lip li p s ista is ta c irc ir c u la rid ri d a d d e l A = A . P a ra c o n trib tr ib u ir al
II
apaño, las líneas rectas o simples se dan por cosa existente a todas luces, aunque nadie haya experimentado jamás algo parecido, ni bajo el sol ni en tinieblas. El nuevo absoluto absoluto p retendió haber desbordado la edad teo lógica y la m etafí sica, y probó ese desbordamiento por una sustitución: en vez de ritos utilizaría exclusivamente métodos. Pero esos métodos son ritos orientados a confirmar la validez de tal o cual disciplina, y cuanto más nulo es el saber real incorporado a ella mayor espacio dedica a declarar su arraigo en el método experimental, su rango científi científico; co; en alguno s caso s, la parte destinada destinada a m ostrar que aquel preciso conocimiento es pura ciencia abarca el programa ente’ro de la disciplina, dejando al arbitrio de algún alma caritativa posterior -o a la diligencia infusa del pupilo pre p re s ta r a lg ú n c o n te n id o a la c á s c a ra h u e c a d e tan ta n ta p rete re te n s ió n form fo rm a l. S i le q u i t a mos al método lo que tiene de nuda fe en La ciencia, el residuo es siempre un rito que va adaptándose a sucesivas modas. No N o sin si n fu n d a m e n to , los lo s h isto is to ria ri a d o re s re c ien ie n tes te s d e l q u e h a c e r c ien ie n tífi tí ficc o h a n destacado las raíces religiosas precisas que informan el paso de la cosmovisión aristotélica a la newtoniana. El mundo-reloj que se abre paso con Galileo es una construcción que remite al omnipotente relojero, y ya desde 1952 -cuando apa rece el gran libro de E.A. Burtt sobre los basamentos metafísicos de la ciencia moderna- resulta insensato negar que la confianza en una inteligibilidad radical del universo es una trasposición directa de la vieja confianza en el legislador divino. Como luego apostillaría Whitehead, la convicción de que todo evento pu p u e d e c o n o c e rse rs e al m o d o c lá s ic o a c o m p a ñ a a un d e m iu rg o c o n c re to , c o n s tru tr u id o desde "la energía personal de Jehová y dotado con la racionalidad de un filósofo griego". Sin embargo, creo que en este proceso no se ha destacado aún en su justa p o lí t ic o de la construcción. El legado de la ciencia clá medida el condicionante po sica no es sólo un dios único que fija en algoritmos el devenir de la naturaleza, sino un mundo corpóreo des-animado, inerte, expuesto como mera ‘masa’ en trance de agregación y disgregación mecánica, donde lo rector son entes desen camados y por eso mismo trascendentes, las llamadas ‘fuerzas’. No me parece arbitrario, pues, traducir la vis vi s galileana y newtoniana por su correlato guberna tivo, y hablar allí de merum imperíum o poder omnímodo del príncipe, pues lo que en definitiva se obtiene es un cosmos-súbdito regido por las inapelables leyes de cierto soberano, aislado de sus vasallos como un emperador en su inaccesible castillo. La liquidación del automovimiento llamado p h y s i s por los griegos ins taura un universo sencillamente muerto en y para sí mismo, cuyas transiciones se cump len a golpe golpe de decreto, poniendo en lugar de la capacidad cosm ogó nica apa rejada a ca da cuerpo un. sistema de normas, cuya articulación articulación calca el désp ota absoluto. absoluto. C omo en el esque m a hobbesiano, el conjunto de los los seres sucum biría en un cataclismo cataclismo inmed iato si cada uno se condujese efectivamente efectivamente como tal, tal, en vez de conformarse con el rol de simple sombra administrada por un Leviatán provi III
dente, única entidad en sentido propio. El orden viene de fuera a dentro, jamás a la inversa. Del m ism o m odo que el soberano reduce reduce el individuo concreto a leal leal pueblo (o turba caótica), la construcción newtoniana reduce la dinámica a mecánica, imponiendo un universo meramente ideal donde en vez de singularidades, bifur caciones y turbulen cias hay Sólid Sólidos os regulares regulares euclidianos, perfectam ente indefor mables, describiendo trayectorias lineales prefiguradas por la geometría de las secciones có nicas. D e ah í que lo objetivo objetivo sea la Ley, Ley, sostenida po r el jue go de las las nunca m ejor llam llam adas ‘fuerzas’, aunque eso eso supon ga conformarse con un a objeti vidad ilusoria, ilusoria, vá lida tan sólo para el álgebra y la la fe; lo lo que m uestra com o prueb a irrefutable de adecuación al mundo real es la exactidud en el cálculo del movi m iento, sin para rse a exam inar ha sta qué Apunto la exactitud e stá vic iada p or esa pre p revv ia i d e a l iz a c ió n d e l h o riz ri z o n te , y m a s a ú n p o r la te n d e n c io s id a d d e a q u e llo ll o s instrumentos con los que pretende ser investigado. Del mismo modo que el sobe rano hace abstracción de lo que opinen sus súbditos, el constructo newtoniano hace abstracción de la cualidad para atenerse tan sólo a la cantidad, porque su incumbencia no es el cuerpo como fuente de sentido sino como masa inercial, sometida desde siempre y para siempre a una potencia incorpórea. Del mismo modo q ue el soberano considera eterna su su égida, égida, la construcción new toniana trata trata el tiem tiem po com o ma gnitud reversibl reversible, e, reduciendo todo cambio a una me ra aparien cia de tal: no hay otra irreversibilidad que su dominio. Del mismo modo que el soberano exige acatamiento incondicional, desterrando cualquier espontaneidad como contumacia o petulancia, la construcción newtoniana empieza y termina en un mundo formado por autómatas deterministas, radicalmente ajenos a cualquier actividad actividad innovadora. Por fortuna, la evolución del pensam iento científico científico no se ha detenido en una crítica superficial de tales postulados; Tras el esfuerzo por retornar al universo físico físico que de nota la obra de Einstein, Einstein, y el ejercicio de hum ildad representado por el principio de indetermina ción, el conjunto de investigaciones investigaciones hoy llam ado c ien cia del caos h a puesto en cuestión su núcleo mismo, que es el dogm a de una n atu raleza inerte. Paradigma secular de lo teórico, el desarrollo de la informática ha convertido convertido las m atem áticas en algo empírico, empírico, com parable al cepillo cepillo del carpintero y al buril del grabador. Cualquier computadora realiza en segundos operaciones de cálculo que ocuparon cientos o miles de horas a interminables estudiantes, condenados a seguir la nerviosa tiza esgrimida por un docente que llenaba piza rras sin fin, convencido de exponer así la quintaesencia del más sublime intelecto humano. Reconocidas al fin como no integrables, la inmensa mayoría de las ecuacio nes ya no se plantean como un asunto a ‘resolver’. Ahora se tratan en forma itera
tiva, dejando que ese o aquel proceso aparezca desde sí, haciendo su propio camino, en vez de pretender que el acto esquematizado por ellas se cierre en un
IV
bu b u c le d e ide id e n tid ti d a d e sp e c u lar. la r. L lam la m ativ at ivoo es ta m b ién ié n q u e s ig a fra fr a c a s a n d o la a ltiv lt ivaa pre p rete te n s ió n e x p u e s ta c o m o ‘te o ría rí a del de l c a m p o u n ific if ic a d o ’, c u y o p ro p ó s ito it o es e x p o ner absolutamente todo en taquigráficas leyes que se cuentan de sobra con los dedos de una mano: muy sencillas, muy necesarias, muy objetivas... y ridicula mente anacrónicas para definir un universo animado por tanta y tan azarosa vida. ¿Quiere esto suge rir que renunciemos al afán de cono cimiento? A m i juicio, sugiere precisamente lo contrario. El amor al conocimiento no sucumbe por coex istir con un espíritu crítico, pero el espíritu espíritu crítico crítico se pudre de raíz cuan do un híbrido híbrido de corporativismo e idealizaci idealización ón se en señorea de la realidad, pretend ién dola tan única como abstracta. Lizcano lo describe en términos claros, al afirmar que el "mito de la razón enterró la razón de los mitos". Al fin y al cabo, ¿qué es el mito sino una forma singularmente densa — musical y pictórica— pictórica— de inteligencia discursiva? La Ciencia es un mito grandioso, hermoso, digno de venerarse como norte supremo de nu estra especie. Con todo, lo que sobrecoge de esa construcción es la magnanimidad de reconocerse frágil, y este título de honor caduca cuando despliega intransigencia hacia otros otros m itos, itos, codiciando una exclusiva de la verdad que — com o es lógico— lógico— sólo puede cimentarse sobre sobre una transform transform ación de su objeto en cadáver. No N o e s p o s ib le c a lc u l a r — ni con co n e s c u a d ra ni c o n m é tod to d o s in fin fi n ite it e sim si m a le s — aquello que va inventándose a golpes de energía y suerte. Por consiguiente, la ciencia de cuño predictivo predictivo lleva en en su interior interior — sabiéndolo o no— una negación a priori del comp render en barnizada como catecismo positivista, positivista, su pro en general; barnizada pu p u e s ta s igu ig u e s ien ie n d o la e s c isió is iónn d e e sp írit ír ituu y m a teri te riaa , a q u e lla ll a re n c o r o s a o rd e n a n z a que exige "creced y multiplicaos, someted la Tierra". Dado que la Tierra somos nosotros mismos, h ora es de que esa línea línea se entienda como técnica — desde luego, todo lo lo útil útil y pasm osa que se quiera— quiera— , y que allí allí donde pretenda m onopo lizar el conocim iento sea denunciada como mito enmascarado. Sin máscara, la observación atenta del acontecer que Pitágoras llamó filo sofía — en otros lugares theoreia, co ntemplación desapasionad a del dios— es una consciente Construcción de leyendas, y en este caso de la más bella y venerable, aquélla que sin jactarse de prever goza describiendo cosmogonías. Su valor no está en ser ciencia, sino en amar sinceramente el conocimiento, la información disponible. Sólo así esquivará las servidumbres del meta-mítico, alguien para el p y r o s, fuego) no es llama regeneradora sino cosa impoluta o vir cual lo puro (de py ginal (kathará), no mancillada por semen de ningún tipo. Gracias a Lizcano, entre otros, otros, podem os estar seguros de que la m atemática no es una virgen, virgen, cuya madre lo fuese también.
A n to n io E s c o h o t a d o
V
Introducción Breve relato de los orígenes y organización de esta investigación Este estud io tiene su origen en el proyecto de traza traza r una historia de los núm e ros negativos e imaginarios, desde sus diferentes orígenes hasta nuestros días; una historia aún sin narrar, narrar, ni siquiera siquiera en su dim ensión m ás positivista o supu estam ente descriptiva. Sin embargo, nunca nos hubiéramos empeñado en un propósito tan estrecho como erudito de no estar animados por una decidida intención: indagar hasta qué pun to las m atemáticas, discurso discurso de la pu p u r e z a po r excelencia, no nacen ya armadas y enteras com o A tenea de la cabeza cabeza de Zeus; intentar ver cómo emergen contaminadas por las significaciones imaginarias colectivas que laten en la razón común propia de cada época y cada cultura. Unos objetos tan precisos como los núm eros neg ativos, los los im aginarios y el cero, adem ás de aportar un lím lím ite al al ámbito a estudiar, estudiar, prome tían ser un a buena guía para para ello. ello. L a trama de obstáculos, discre pa p a n c ia s , re s u lta lt a d o s c o n tra tr a d ic to rio ri o s, a rgu rg u m e n tos to s a fav fa v o r y e n c o n tra tr a ... .. . q u e a c o m p a ñan su penosa y zigzaguente construcción por la matemática occidental, desde Diofanto hasta fechas bien recientes, bien pudiera servir de catalizador privile giado en el que ir observando cóm o van precipitando precipitando las diferentes diferentes sensibilidades sensibilidades y modos de racionalidad de las distintas épocas de nuestra historia. Situados durante largo tiempo en lá indecisa frontera entre lo pensable y lo impensable, lo verdadero y lo falso (o ficticio), lo razonable y lo absurdo... las diferentes opera ciones y consideraciones a que estos números se van viendo sometidos (o de las que se van viendo excluidos) pueden contribuir contribuir de man era singular a perfilar perfilar los límites límites y obstáculos que la razón razón encuentra — o se se pone a sí misma— en el proceso histórico de su irse haciendo. Recíprocamente, el cúmulo de avatares (tanto en su acepción de ‘peripecias’ com o en la de ‘re-enc ‘re-enc am acio nes ’) sufridos sufridos por estos núm eros bien pudiera mostrar cóm o los distintos distintos imag inarios sociales sociales y sus modos de racionalidad racionalidad van determ i nando, en su variación, la construcción construcción de ciertos ciertos objetos m atemáticos — los los núm eros negativos negativos y los im aginarios— por añadidura apenas estudiados. ¿Por qué los excelentes matemáticos de la Grecia clásica no pueden ni verlos ? ¿Por qué viene a coincidir su primera emergencia en Occidente con la decadencia del modelo clásico? ¿Por qué, pese a ello, tiene lugar con tantas restricciones? ¿Por qué es de nuevo otro periodo de decadencia del ideal griego renacido el que alum
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bre , con Card ano y Bom belli, los número s im agin arios? ¿Por qué D escartes los condena al engañoso ámbito de ese ‘imaginario’? ¿Porqué los ilustrados deciden dar por mal planteado, o imposible de resolver, un problema que conduce a mag nitudes negativas o imaginarias, respectivamente? Al hilo de estas cuestiones se va acce diendo — y barruntando respuestas— a otras de mas calado. ¿C óm o construye cad a sociedad la barra que escinde — y enlaza— lo posible y lo imp osible, lo real y lo imaginario, lo pensable y'lo impensable, lo verdadero y lo falso? ¿Cómo lo imposible aqu í y ahora es posible allí y entonces, o viceversa? ¿Cómo se alteran estas fronteras? ¿Cómo emergen significaciones y realidades nuevas? ¿Cómo influye la imaginación social del espacio en la localización o utopización de los objetos matemáticos? Si el doble ánimo inicial (pensar los objetos matemáticos como histórica y culturalm ente determinados al tiempo que com o reveladores de los cortes y tránsi tos en las formas de racionalidad ) no nos abandonó, sí lo ha hecho la extensión pre te ndid a in ic ialm ente . Contesta r a preguntas com o las in ic ia lm ente fo rm ula das iba planteando a su vez nuevos problemas. Por un lado, ninguna explicación ‘interna’ bastaba para da r razón de las bifurcaciones, bloqueos, co rtes, sentidos y sinsentidos en tomo a los que se teje esa historia. Por otro, los factores ‘extemos’ que suelen aducirse son realmente tan exteriores a los objetos de pensamiento de los que quieren dar cuenta que, a menudo, explican po r igual un cierto re sultado (o construcción) como su contrario, o cualquier otro, o ninguno/Ex-plicar algo es des-plegar lo que está entrañado en ese algo, im-plicado en su constitución como tal algo, y no un m ero acom pañarlo por otros algos cuya contigüidad con aquél en la supuesta explicación pueda inducir un efecto retórico de fundamentación> Se imponía, pues, dejar hablar a los propios textos, a las propias prácticas, tanto en lo qu e dicen (una definición, una m anera de resolver un problema, el argum ento para un rechazo...), como en lo que no d icen (elusiones, pre-supuestos, errores...), como en lo que dicen sin querer decir (trasvase de sentidos del lenguaje ordinario al m atem ático al intentar decir algo nuevo, lapsus, observaciones de pasada ...). Muchos de los textos originales, sin embargo, son de difícil acceso o de intrinca da lectura (chino, sán scrito, latín vulgar...) y el recurso a las esca sas trad uc ciones o citas a m enudo se aca ba revelando contraindicado: el progresism o latente en ellas po ne ya en estas versiones el destino que se supone que los términos aca bará n cum pliendo, y en el m om ento menos pensado uno se arriesga a ‘sa ber’ que Aristóteles argumentaba contra un ‘cero’ que no podía conocer. Para quien, con todo, se ha formado en la lectura de estas historias y versiones, se imponía, pues, un dob le extrañamiento. Por un lado, hacia épocas y m entalidades que, aunque de la propia tradición, por distantes y distintas no c upiera sino pensarlas desd e su p ro pio interior. Por otro, hacia otras cultura s mate m áticas que perm itiera n tom ar d is tancia respecto de los pre-supuestos que la tradición m atem ática occidental — a la que, en particular, pertenece el propio investigador— asume sin pararse a analizar. El abánico de matemáticas en las que indagar se abría así aún más, como ya se había abierto el de las disciplinas teóricas desde las que pensarlas: historia de las
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m entalidades, antropología, h ermenéutica, sociología de la ciencia, filología, an á lisis de textos, las propias matemáticas... Adem ás, lo que parecía un objeto de estudio bien concreto se iba abriend o a toda una serie de preconce ptos y procedim ientos argumentativos y mo strativos de los que depend ía su comprensión cabal. ¿Cóm o afecta lo que cada cultura entien de por num era r y nombrar, para que ciertas magnitudes sean aquí innom brable s/innu merables y allí, sin embargo , perfectamente decibles? ¿T ienen todas las culturas y épocas la mism a necesidad de espacial izar los conceptos y así poder de sca rtar aquéllos para los que ‘no ha lugar’? Y, aún así, ¿es el m ismo espacio de rep resen tación el que presuponen todas ellas? ¿Es lícito suponer en todas ellas la misma aversión po r la contradicción a la que nosotros estamos habituados? ¿En qué sen tido pude decirse que d iferentes lenguas dicen lo m ismo de ‘lo m ismo ’? Si la im po sibilidad, por ejemplo, del cero en la matemática euclídea se nos presenta como corola rio de su aversión ap olínea por el vacío y el no-ser, del caos y la sinraz ón, d e los cuales el cero sería una imposible condensación metonímica, ¿qué criterio de racionalidad habrá de guiamos para tratar de explicar el cero en aquellas otras sociedades donde sí aparece? ¿Uno en el que caos y sinrazón puedan ser origen de un orden autoconstituido (E. Lizcano, 1 9 90 ,1993c)?Pero entonces ¿seráe l m ismo caos? ¿será el mismo cero? A la postre, del estudio de unos objetos matemáticos bie n concre to s ib a aflorando todo un m undo de obje to s, conceptos y proble m as conexos. O, mejor dicho, toda una colección de mundos y de formas de pensa miento diferentes. Del vasto proyecto inicial hubo de excluirse, por un lado, todo el sugerente ám bito de los números imaginarios, e incluirse, por otro, tres c ateg o rías que d eterminan d e raíz, en cada c ultura, la posibilidad o no de algo así com o magn itudes negativas: las categorías de núm ero, de espacio y la propia conc epción de lo posible. Asimismo, su indagación hubo de quedar restringida a esos tres momentos históricos claves que vertebran el grueso de esta obra. Un primer resultado de esa búsqueda del tipo de aproximación m ás adec uad o a n uestro propósito fué el de una inespe rada perplejidad. En las ya de po r sí raras ocasiones en que cualquiera de las distintas disciplinas trataban el discurso m ate m ático, la con clusión, casi invariable, era la de de cidirlo intratable. A dife ren cia de otros discursos científicos más o menos formalizados, desde los de las ciencias má s ‘duras ’ a las más ‘blan da s’, el discurso m atem ático parece ofrecer una insólita resistencia a dejarse an alizar por ellas. La crónica de esa perplejidad es la que se narra, tem atizada, en el cap ítulo I de este estudio. N i la sociología, ni la historia, ni la antropología, ni la herm enéutica, por sólo citar algunas de las metodo logías co n sideradas, llegaban a concluir otra cosa que la imposibilidad de encontrar en el interior de los objetos m atemáticos ningun a traza social, histórica o propiam ente simbó lica que los constituyera de modo efectivo, no me ramente circunstancial. En este capítulo reelaboram os lo que expusim os en E. Lizcano (1989a, 1989b), dond e conjeturábam os, adem ás, alguna de las posibles causas de esta singular resistencia. Su lectura no es imprescindible para la comprensión de las investigaciones positi vas que integran los capítulos siguientes, si bien éstas sólo cobran su sentido ínte gro desde la concien cia de qu e las matem áticas, entre nosotros, se adornan de ese
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halo protector — propio de los discursos sagrados— que las hace exce pciona l m ente im penetrables a los análisis de las ciencias hum anas. El caso ch ino, considerado en el capítulo II, aporta un distanciamiento nec e sario, no sólo respecto de los ensayos occidentales de construir las matemáticas, sino también de toda nuestra manera de entender las matemáticas y el mundo, nuestra manera de pensar, de distinguir lo posible y lo imposible, de etiquetar lo que debe ser tenido por racional. Desde ahí, las dificultades de los ensayos o cci den tales para cons truir formas determinadas de n egatividad matem ática, que no se diluyan e n la m era ausencia o en una oscura indeterminación, se manifiestan más com o propias de un cierto m odo de pensar que co m o producto de n inguna supuesta dificultad inherente a la complejidad del objeto matemático mismo. La razón de estas dificultades se explora entonces, en el capítulo III, en la especificidad de esa forma ca nónica de ma temáticas que Grecia deja establecida: la matem ática euclídea, cuyo s presupue stos (lógicos, espaciales, lingüísticos) se revelan com o un obs táculo para con struir unos objetos teóricos — los números negativos y el cero— que la matemática china, desde sus propios supuestos, construye sin embargo incluso en varios ám bitos formales. De esp ecial interés resulta entonces observar en detalle, como pretendemos en el capítulo IV, las circunstancias en que tiene lugar la prime ra ‘supe ración’ del obstáculo griego po r la m atemática alejandrina, especialmente en la obra de Diofanto; una superación que tiene lugar agónica mente: contra la m isma tradición que, sin em bargo, debe asumir para poder seguir pensando. En estos tres últimos capítulos se persigue un mismo objetivo último. Las con dicion es de po sibilidad de unos objetos tan escurridizos nos sirven de pretexto o hilo conductor desde el que tentar las fronteras de lo pensable, los límites del mundo que se construyen cada una de las tres formas de racionalidad considera das. No obstante, el sentido de nuestro recorrido es distinto en unos capítulos y en otros. En el capítulo II partimos de los propios textos matemáticos, y será dejando hablar a estos textos, explicando lo que en ellos viene presupuesto e implicado, como vaya explicitándose toda la trama simbólica que les da sentido y de la cual son exp resión tanto como ellos m ismo s contribuyen a reforzar. Po r el con trario, el capítulo III sigue un recorrido inverso en cierto sentido. A rranca de las concepciones metafísicas y simbólicas dominantes en la Grecia clásica, para sólo despu és bu scar su concreción en el trabajo efectivo de sus matemá ticos. Con ello he mo s pretend ido reprodu cir el propio m odo de discurrir, también inverso en cierto sentido, de cada una de ambas formas de pensamiento, china y griega. Lo propio de las fo rm as mas elaboradas de esta últim a es dis curr ir de lo genera l a lo concreto, de los principios y definiciones al encuentro de lo particular, ya sean conclusiones de juicios o la rotundidad de las cosas mismas. La primera, por el contrario, parece mas bien ascender desde cada singularidad irreductible, o, mas aún, no tanto ascend er por una escala de abstracciones cuanto entrelazar tales sin gu laridad es en la espesu ra de un entram ado sim bólico que las man tiene en su irre-
ductibilidad. Frente a la verticalidad, ascendente o descendente, del pensamiento por deducció n o inducció n pro pia de la episteme griega, pretendemos mostrar
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también horizontalidad del modo de pensar analógico, el trasiego de metáforas, sem ejanzas y equivalencias carácterístico de la episteme china; frente a esa vo lun tad griega de clausura, de una definición precisa que excluya todas los sentidos menos uno, esa otra apertura a una radical polisemia, a situar cada concepto/ objeto en una encrucijada de sentidos. El capítulo IV sigue un recorrido híbrido. Pese a asumir procedimientos inversos, en los dos anteriores se prim a un acercam iento estático, en el que los con flictos, mas que presentarse en el tiempo, se piensan desde el interior de cada con junto de re presenta cio nes cole ctivas, consid era do, al modo durk heim ia no, com o un todo c oherente, en el que ciertas formas se hacen posibles m ientras que la posi bilid ad de otras se blo quea. El periodo del ale jandrinism o tard ío se nos pre se nta, en cambio, como un momento agónico, en el que por las grietas del paradigma aristotélico-euclídeo, que se resquebraja como un super-yo cuyas interdicciones hubieran cristalizado en meras formalidades resecas, emergen ya, a tientas, otros para dig m as y universos sim bólicos: unos sote rrados, otros extranje ro s. Si tanto en los "Nueve capítulos del arte matemático" como en los "Elementos" de Euclides precip ita to da la sabid uría — y la in ercia — de dos tradiciones cabalm ente consti tuidas, que hacen de ambos textos obras mas bien colectivas, la "Aritmética" de Diofanto, por el contrario, expresa de modo ejemplar una lucha individual por enco ntrar un sentido, escarban do entre restos que ya lo han perdido y o rganizando materiales a los que aún no se les ha otorgado. Es en esa intersección de im agina rios colectivos, cada uno con su propia inercia y su propia coherencia, donde Dio fanto ac ierta a balbucear ciertas formas efímeras de negatividad matem ática. Y lo hace al mo do del b ñ c o l e u r d c 1que h abla Lévi-Strauss, ensam blando fragmentos heterogéneo s, residuos de diferentes discursos, ensayan do verter significados aún sin concepto en significantes ya vacíos de contenido. De ahí que tam bién nuestra exposición siga también, en este capítulo, una cierta dinámica de bricolage. De haber seguido otros caminos de ace rcamiento para cada uno de estos tres capítulos, acaso tam bién hubieran sido o tros los perfiles percibidos. En todo caso, los que así se nos han m anifestado creem os qu e justifican la decisión tomada. No está de mas advertir al le cto r sin una especia l instrucción m ate m ática que no le será en absoluto necesaria para la comprensión del libro. Salvo en el caso, bie n preciso, del desarrollo chin o de ciertas manip ula cio nes que hoy se ente nde rían com o pertenecientes a una teoría de congruenc ias, hemos procurado no reba sar el nivel de nuestra matem ática elemental. Tan sólo ese curioso — ¿sagrado?— sobrecogimiento con que a algunos se les bloquea la inteligencia habitual en cuanto se ven en presencia de unos cuantos números, puede ser un obstáculo para la com prensión de lo que sigue. Pero precisamente la intención que recorre todo el texto es la de m ostrar cóm o también las m atemáticas se construyen desde ese sa ber com ún que todos los moradores de una cultura compartimos, y que p or tanto basta ese saber común para tener acceso a cualquier construcción matemática. Como tam poco es n ecesario m ayor saber para poder discernir los límites que cad a m ate mática, cuando — como entre nosotros— se constituye en saber ejemplar, impone a la concepción del mundo.
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La categoría de negatividad. Acaso la reiteración en el texto de distintos recursos tipográficos (cursivas, diferentes tipos de com illas, etc.) y de ciertos términos que — como el de negati vidad — nunca quedan bien definidos pueda hacer la le ctu ra un ta nto sobresaltada en ocasiones. Esos sobresaltos tienen por objeto evitar esas lecturas ingenuas que pro ducen la ilusió n de ente nder, precisamente en el m om ento en que se deja de hacerlo. Los citados recu rsos tipográficos obedece n a un do ble mo tivo: por un lado, evitar en lo posible, y dentro de ciertos límites de legibilidad, las traducciones in m ediatas de ciertos términos y expresiones me diante otros más familiares pero que, por eso m ism o, arrastra n ya to da una carga de pre supuesto s y significados conno tados que no pueden sino torcer el sentido que para ellos construyen los propios textos analizados; por otro lado, resaltar críticam ente aqu ellos término s y expresio nes que, po r habituales ya en las jergas especializadas, no po dem os ev itar emplear, pero que a m enudo hacen decir algo muy distinto de lo que se quería. Eje mplo sin gular de ello es el propio o bjeto que nos ha servido de p re-texto pa ra estas investi gaciones: los ‘números negativos’, que hasta aquí hem os m encionado sin comillas com o si fueran algo con u na identidad sabida y definida, com o si — en particular— existieran como tales en alguno de los tres ámbitos culturales en cuyo estudio nos hemos centrado. Sólo desde un ideal y definitivo final de la historia, y sólo en la cree ncia de que los ‘hec hos ’ y los ‘objetos’ teóricos atraviesan las épo cas y las civi lizaciones sin irse haciendo/deshaciendo/rehaciendo en esa travesía, pueden for mularse enunciados habituales como ‘las dificultades de Diofanto con las magni tudes neg ativas’, o ‘los griegos no las adm itieron’, o ‘los matem áticos de la épo ca de los Han fueron los primeros en des-cubrirlas’. ¿Dónde, pues, estaban antes? ¿Qu é las cubría? ¿Cóm o puede no admitirse lo que no se conoce ni puede siquiera pensarse? ¿Qué destino com ún les e sta ba ya urd ie ndo la histo ria a las leiponta eid é diofánticas y a los lugares opuestos en los cuadrados mágicos de la antigua China para que ambos puedan alo ja rse, desd e su m ism a gesta ció n, bajo un únic o con cepto? ¿Qué sentido tiene decir, como hace algún prestigioso historiador de las matemáticas, que los chinos no tuvieron dificultades con ‘la idea de los números negativos’ porque estaban acostumbrados a calcular con palillos de dos colores (rojos y negros), cuando los supuestos ‘números negativos’ no eran ninguna otra cosa aparte de esos palillos (los negros)? Intentando evitar, po r tanto, la ilusión de identidad de unos ‘núm eros n ega tivos’ cuya m ítica búsqu eda de los orígenes y posteriores cu m plimientos se estu viera investigando, decidimos emplear en su lugar el término 'negatividad' y mantenerlo voluntariamente impreciso. Este término cubría, en un primer momento, el conjunto heteróclito de ‘antecedentes’, ‘embriones’ y ‘atisbos’ de núm eros negativos que suelen percibirse en tom o a la sustracción d e m agnitudes y a las ecuaciones algebraicas (coeficientes, soluciones, etc.). Proyectar retroac tivam ente un concepto a cuñado sólo mucho después puede facilitar la detección de ‘antecedentes’, pero no es su menor inconveniente el de no mostrar al inves tigador sino lo que éste ya ha puesto previamente e imped irle ap rehende r el pro
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ceso m ismo de construcción de unos objetos ma temáticos que sólo pueden incor porar los m ate ria le s que en ese m om ento tienen dis ponib le s. La categoría de negativldad fué viendo ampliado paulatinamente su campo de referencia. En la m atemá tica de inm ediata tradición euclídea no hay ciertamente ‘rastro’ de núm e ros negativos, pero sí cam pos con ceptuales (com o el de la sustracción o diferen cia, o el de ciertas técn icas ‘equ ivalentes a ’ la resoluc ión de ecua cione s) en cuyo ámbito la matemática de herencia euclídea va a construir sus formas de negatividad ¿Qué le impidió a la griega hacerlo antes? El análisis del primero de esos cam pos — el de la sustracción— nos conducirá entonces a buscar su fundamentación en un modo de pen sar articulado sobre procesos de ab stracción — y no de equivalencias, com o el chino— y sobre clasificaciones en géneros y especies (la diferencia específica sustr ae el género de la especie) —y no clasificaciones bipartitas, com o en C hina— . El segundo cam po, im bric ado en el prim ero , nos llevará a la consideración de técnicas, como la de ‘aplicación de áreas’, que resultan su -poner una cierta concepción del núm ero y del espacio de representa ción, en la cual no parece haber lugar para los referentes de negatividad hasta ahora considerados. En el otro extrem o — en el Extremo Oriente— s í encontram os desde épocas bie n te m pra nas fo rm as de ‘núm eros negativos’ bie n sem eja nte s a la que a O cci dente tanto esfuerzo le llevará ir construyendo. Formas de negatividad que no surgen propiamente de los campos antes acotados ni tampoco se derivan de un cierto concepto previo de número. Surgen directamente en un campo bien dis tinto: el de unos nombres/números/palillos opuestos que se destr uyen m u tu a mente cuando se está pretendiendo crear un vacío en el espacio de representa ción. Un espacio que, adem ás, no tiene nada que ver con el espacio extensional euclídeo, visualm ente percep tible y de-limitado, sino que es un espacio sui generis, integrado por lugares simbólicos singulares, irreductibles a una medida com ún y asociados a ciertos m om entos del tiem po 1. Exploran do ah ora desde esta nueva perspectiva, se van manifestando otras maneras de oposición no menos formalizadas, tanto dentro como fuera de lo que a priori habíamos tenido por m atemáticas: las oposiciones entre los dos carácteres básicos que com ponen los hexagram as adivinatorios del Yijing [I Ching], las de los extremos de las cruces y ‘cuadrados mágicos’ estructurados por congruencias, etc. ¿Podríamos seguir hablando de ‘núm eros nega tivos’ cuando ya no hay núm eros (como en el Yijing ) o cuando los que hay (com o los de los cuadrados m ágicos) son etiquetas proto colarias y no magnitudes? Fuertem ente arraigado s en el imaginario simbó lico chino, unos criterios prelógicos y pre-conceptuales ‘de oposición’ y ‘de equivalencia’ parecen cumplir aquí el papel de organización de la experiencia que en Grecia desempeñan los
1 Para la imbricación entre tiempo y número en el saber popular chino véase E. Lizcano (1992b).
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p rin cip io s ‘de no-contradicción’, ‘de identidad’ y ‘de abstracción’. El hallazgo de nuevos m odos de negatividad formal nos lleva así a examinar las condiciones de
posibilidad de cie rta s construccio nes te óricas, los rasg os difere ncia le s de una episteme que, como la china, funda su racionalidad en complejos simbólicos y esquemas pre-conceptuales bien distintos a los nuestros. En particular, los nudos simbólicos de la oposición yin/y ang y del dao — quicio o gozne que articula/ disuelve las oposiciones sin* participar de ellas y que se define por su no-ser (wu) — abren otr o nuevo cam po de búsqueda para la negatividad: la función estructural que en la construcción de las parejas de opuestos puedan jugar las carácterísticas del espacio de representación (constituido por lugares que signifi can, en C hina; p or exten sión de-limitada, en G recia) y la posibilidad de distinguir en su interior un vacío (el ‘hu ec o’ en el tablero de cálculo del álgebra fa n g cheng) o un centro (cuadrados mágicos congruentes) que articule las operaciones/inte racciones entre tales opuestos. De vuelta de nuevo a Grecia, con este bagaje, se trata ahora de pensar el lugar que jueg an en su episteme — y en sus m atemáticas— criterios como el de ‘op osició n’ o concep tos co m o el de ‘vac ío’ o el de ‘no-se r’, que en Ch ina se han revelado decisivos en la construcción de su negatividad, sea ésta m atemática, formal, conceptual o simbólica. A la luz de las construcciones chinas de la negatividad, lo que la ma tem ática griega construye positivam ente se m anifiesta ahora proyectando una som bra que antes nos pasaba desapercibida. ¿Cómo se piensa en la G recia clásica el ‘vacío’, d el que en Chin a em erg en distintos m odos de ‘cero’? ¿Y cómo los juegos de oposiciones, que en China pivotan sobre ese ‘cero’ al que tienen por gozne? ¿Se piensan también, al modo chino, como aspectos encontrados — pero igualmente determinados— de lo mismo, como mod os invertidos de determinación? ¿O más bien como oposición entre deter m inación y su falta (indeterm inación), lo que pa rece excluir toda posibilidad de form alización? E ste preciso ám bito chino de la negatividad se nos revelará en Grecia sumergido en la som bra del edificio de su racionalidad: es el desorden que amenaza al orden de su razón y su mundo, la indefinición que se cierne sobre la identida d que p arecen exigir sus cosas e ideas, la me ra ausencia de una p resen cia que se reclam a. La herencia de esta som bra , constituida ya en obstá culo epistemológico, forzará a la matemática posterior a tener que pensar la negatividad en términos de insostenibles ‘formas que faltan’ (Diofanto) o de impensables magnitudes que fueran ‘menos que nada’. Nuestra historia de la negatividad eng arza así en la historia de esa gran m etáfora de la luz que, según vió Heidegger, atraviesa toda la metafísica occidental. Una metáfora omnipre sente cuy a exige ncia de ilum inación, desde el m ito platónico de la caverna hasta los m aestros de la que R icoeur llamó escuela de la sospecha (Nietzsche, Freud y Marx), ha condenado a media realidad a no ser sino sombra, sombra indis tinta, som bra de nada. La categoría de negatividad ha podido, por tanto, ir enriqueciéndose en nuestro estudio gracias a no haberse definido a priori como un concepto que delim ita un prec iso cam po de o bservación y reflexión (los supuestos núm eros 20
negativos y sus supuestos antecedentes); voluntariamente imprecisa, ha sido el propio proceso de investigació n el que la ha id o construyendo. C oncluida ya ésta, sí podemos ahora decir que tal categoría integra nociones como las de diferencia, oposición, hueco (o no-ser)... Nociones que se conectan —por ‘arriba’— con co nstrucciones m etafísicas y lógicas (oposiciones pitagóricas, argumentos aristotélicos contra el vacío...) y con complejos simbólicos o matrices de racionalidad (formas de construcción del espacio, conceptualización por abstracción o por connotación...). N ociones que se engranan — por ‘ab ajo’— con ciertas prácticas e instrumentos (numerales griegos, palillos ch i nos, gnomones, tableros de cálculo...), con los espacios de representación (delim itado en G recia por las figuras, articulado en China po r lugares...), con diferentes concepciones de lo numérico (multitud de unidades, etiquetas pro tocolarias...), con ciertas técnicas de cálculo y de demostración (logística, álgebra geométrica, álgebra retórica, álgebra instrumental...). Aspectos éstos que, si en su m ayoría son m atem áticos, no hacen sino incorporar el dinam ismo de otras formas simb ólicas que p or lo común se tienen por ajenas a cualquier p ráctica m atem ática. Esta apertura de la negatívidad a nuevos co ntenidos se duplica, a su vez, con la de los acercam ientos disciplinarios antes m encionados, que a menudo han reve lado (en especial, los análisis lingüísticos) nuevas conexiones. Sin embargo, crite rios de orden práctico imponían ciertos límites a la indagación sobre esta negatividad rizomática; así hubo de q ued ar fuera, por ejemplo, el ámbito de la lógica, del que si hemos considerado ciertos registros (como el de los primeros principios en Grecia o los razonamientos por reductio ad absurdum) otros, sin embargo, han debido quedar lamentablente fuera (como el de la negación, tanto de términos com o de predicados). Ac aso una exposición q ue hubiera ma ntenido el orden que la propia inves tigación se fué dando a sí misma, según acabam os de esbozar, habría ganado en vivacidad, al transparentar su propio ir haciéndose; no obstante, hemos optado por reorganizar el m ate ria l por ám bitos cultu ra les (c hin o antiguo, griego clá sic o, alejandrino). Pero d entro de cada uno de ellos no hem os evitado aquellas remi siones a cualquiera de los otros que — bien por contraste, bien por algún tipo de filiación o bifurcación— pudieran enriquece r la reflexión en curso. C om o tam poco hem os querido separar el análisis de las fu ente s prim arias del de la s secun darias, o incluso de reflexione s actuales sob re ellas, pues a me nudo estas últimas han sesgado tanto el m odo de recibir y entender las primeras que nuestro propó sito de d ejar hablar a los textos pasaba necesariamen te por una crítica de sus ver siones, citas o descripcione s; en o casiones, incluso, el extrañam iento del com en tarista respecto del texto comentado sirve a la perfección para restituir a este último su originalidad irreductible. Por último, tampoco hemos evitado que se fueran entreverando en un m ismo epígrafe consideraciones matem áticas, filosó ficas, lingüísticas, simbólicas o sociales, pues el mostrar cómo se van haciendo las unas a las otras — y las unas en las otras— es una de las tesis básicas que aq uí mantenemos.
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Algunas deudas teóricas y prácticas Los métodos y categorías de análisis que empleamos se van perfilando, como al trasluz, tras las las con siderac iones críticas del capítulo I, aunque su constitución efectiva se lleva a cabo al hilo de los propios estudios que componen los capítulos II al IV. Conviene, no obstante, señalar aquí siquiera alguno de los principales así com o sus fuentes. Un título alternativo para este estudio bien hubiera pod ido ser el de "Una arqueología de las m atemáticas", donde se habría destacado n uestra deci dida vo luntad de distan ciam iento respecto de esa Ihistoria de las m atem ática s’ que, tras la bandera de atenerse a los meros hechos (como si los hechos fueran meros), pro yecta sobre ellos el sesgo de unas m etá fora s im plícitas que, no por habituale s y compartidas, dejan de contribuir a construir los hechos mismos: sea la metáfora bio ló gic a (e m briones, desarrollo , madure z....), sea la fluvial (c orrientes que aflu yen a un caudal central, em pantanam ientos, aceleraciones...), sea la directamen te pla tó nic a (identidad, des-c ubrim ie nto , error/opin ió n, in tu ición borrosa de ideas pre -existentes....). M. Foucault (1970, 1978) contrapone la ‘historia de los historiadores’ a lo que él llama, según la ocasión, una genealo gía o una arqueología —que aquí no nos detendrem os a distinguir— . "La historia de los historiadores — y, podemos añadir, en especial la de los historiadores de las ma temá ticas— se procu ra un pun to de apoyo fuera del tiempo; pretende juzgarlo todo según una objetividad de apo calipsis, porque h a su-puesto una verdad eterna, un alma que no m uere, una con ciencia siempre idéntica a sí misma" (1978: 18-19). Si bien la arqueología del saber , que Fou cault opon e a esa h istoria, diseña un proyecto general, impo sible — por definición— de ceñir a unas prácticas y sa bere s/podere s singula rizable s y separables (com o, p.e., las m atem áticas), los criterios que la perfilan pueden orien tar una fecunda arqueología d el sab er matemático (E. Lizcano, 1993a). Estos son, a mi entender, y reorientados hacia nuestra investigación en matemáticas, los más destacables: a) R ech azar la bú sque da del origen de los objetos y resultados matem áticos, como si hubiera un ‘lo mismo’ que estuviera ‘ya dado’, dotado de una identidad oculta a la espera de ser des-cubierta. La historia retroproyecta el presente en un pre te ndid o origen, con lo que dota a las emergencias de un destino que — com o no podía ser de otro modo— la s acabará llevando a ser lo que debían de ser. Toda narración de los orígenes es narración mítica. b) No re sta ble cer continuid ades, desarrollos, evolucio nes, acum ula cio nes... sino "mantener lo que pasó — y, añadiríamos, lo que pasa— en la dispersión que le es propia", con todos sus pliegues, fracturas, puntos de inflexión, capas hetero géneas, sustituciones, desplazamientos (Canguilhem, 1975) y obstáculos episte mo lógicos (B ach elard 1). c) Evitar historizar pretendidas esencias matemáticas que, de hecho, han sido construidas a partir de materiales dispersos y, con frecuencia, extraños al 22
ámbito de objetos, conceptos o prácticas cuyos perfiles nítidos tan sólo existen en el momento de historiarlos. Atender, por el contrario, a la proliferación y mezcla contra la que (gracias a la que) se ha conformado lo que se quiere presen tar como ‘claro y distin to’. El m atem ático, com o el científico, tiene m ás de bricoleur (LéviStrauss, 1964) que de v igía. d) Re parar en los bajos fond os, en el humus simbólico, a cuyo través las em ergencias ma temáticas anclan en el magma (Castoriadis, 198 7,198 8) del ima ginario lingüístico, el inconsc iente y las pasiones. Pre star atención a lo que pasa desapercibido o suele despreciarse (trampas, errores, disfraces, lapsus) en los pro cesos de re-c onstrucció n de ‘la verdad’ m ate m ática, que la pre senta n bro tando ya limpia y asentada sobre "un lecho de roca firme" (Lakatos, 1981: 17). Demasiadas veces lo absurdo para un estrato o momento se ha tenido por evi dente en otro —y viceversa— como para no indagar "la multitud de errores y fantasmas que lo han hecho nacer y lo habitan todavía en secreto" (Foucault, 1978: 21). e) Pe rcibir la singularidad de los sucesos (objetos, concep tos, proc edim ien tos) frente a esa teleología monótona que disuelve lo irreductible en favor de un reconocim iento tan reconfortante com o ilusorio: reconocer-nos re-conociéndolo. Fren te a la ficción de identidad que p roporciona el habitual despliegue m eta-histórico, captar las diferentes escenas/contextos en que los diferentes papeles jugados por ‘lo m is m o’ lo revelan com o re alm ente ‘otro’. f) Perfilar las siluetas de las ausencias y apreciar el modo de mira r qu e no puede verlas o las ve com o sin sentido, en lu gar de despacharlo, desd e un desde ñoso fin de la historia, como m era ignorancia, supertición o error. La verdad m ate mática no está menos necesitada de explicación que el error (Bloor, 1976). Es en esos intersticios de sentido, en las fronteras de ca da racionalidad, dond e brotan las emergencias. El concep to de ‘em ergenc ia’, que Foucault toma del H erkfu nft nietzscheano, sustituye así en adelante al de ‘origen’, desplazando la atención de aquello que el origen origina (su destino) hacia el propio proceso del originarse, hacia el privile giado mo m ento m anantial del estar emergiendo: la perspectiva de la ‘em erge ncia ’ perm ite ento nces "encontrar bajo el aspecto de un carácter, o de un concepto , la pro life ració n de sucesos a través de los cuales (g ra cia s a los cuales, contra los cua les) se ha formado" (1978: 13). Este afán arqueológico, aplicado por Foucault a ámbitos como el de la sexua lidad, la locura o las formas jurídicas, ha animado también notables estudios refe
1 G. Bachelard (1988) . Para una sucinta historia de los 'números negativos' en términos de 'ob stáculos’ véase G. Glaesner (1981). Estos obstáculos, no obstante, se entienden aquf en el sentido progresista (‘comprensiones parciales' de la ‘auténtica’ noción de ‘número relativo' que dificultan el progreso de su captación). Un a lúcida crítica y replanteamiento de esta historia en términos de obstáculos — ahora s(— en el sentido bachelardiano puede verse en Brousseau (1983).
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ridos a diferentes saberes, pero las matemáticas parecen oponerle, a él también, una e special resisten cia1. Los estudios de M. Serres (1967) son sin duda los que, en el campo de las ma temáticas, más sintonizan con el proyecto foucaultiano. Su discusión de la com ple jidad específic a que conlleva un estu dio genético de los objeto s m ate m áticos podrá no com partirse en algunos punto s, pero es de una lucidez, un rig or y una honestidad intelectual insólitos en su género. Serres piensa la historia de la matemática como un palimpsesto, sin cesar borrado y sin cesar vuelto a escribir. Por un la do, cada nuevo para digm a (el euclídeo, el cartesiano o el bourbakista, p.e.) integra en una temporalidad homogénea átomos provenientes de tiempos heterogéneos, dotándoles de nueva identidad en virtud de su redefinición en los términos de la nueva sintaxis que ca da paradigm a establece. Pero, a su vez, la lectura de cada paradigm a la hacemos necesa riamente a través de u n filtro de sentido que le es ajeno: el qu e aporta el paradigm a actua l me nte vigente, que solemos identificar con ‘la verdad m atem ática’. Así, cada co n cepto matemático tiene tres tipos de edad, a los que corresponden, al menos, tres identidades y otras tantas genealogías2: a) la de su aparición en la tradición mate m ática, b) la de cada reactivación en el sistem a establecido por cada paradigm a, y c) la gen ealogía recurrente del juicio retrógrado a que obliga la última de las reela bora cio nes del edificio matemático. Sin emba rgo, focalizar una cualquiera de estas genealogías fuerza a dese n focar las otras, pues de otro modo se distorsionarían los perfiles del objeto enfo cado (p.e., datándole del sentido incorporado por la teleología que instaura el saberlo también definido de otro m odo en un pa radigm a posterior). Lo cua l lleva a enunciar un p rincipio de in determ in ació n de la his to ria de la s m ate m áticas: cada uno de esos co rtes sincrónicos tiene su verdad. O más precisamente: "o bien conozco la posición del concepto e ignoro su velocidad, su movimiento propio que es su veredicidad, o bien conozco su velocidad e ignoro su posición". Este dilema se nos ha presentado con frecuencia en el curso de la investigación, y en ocasiones dramáticamente: saber que cierta forma de negatividad ‘acabaría dando en ser’ tal o cual conceptualización de los ‘números negativos’ no podía
1 Ya terminado este estudio, hemos conocido el de B. Rotman (1987) , donde se propone "una arqueología (en el sentido foucaultiano) y no un estudio histórico: una investigación sobre la naturaleza del cero en términos de su carácter semiótic o y de las relaciones sistém icas, estructurales y paradigmáticas de que goz a como signo entre otros signos y modos de significado" (p. x). Rotman correlaciona la introducción del cero en la cultura occidental con la aparición del punto de fuga en la pintura renacentista y la adopción de un dinero imaginario en los intercambios económicos. Pese a que comparle la sensibilidad y ciertos aspectos metodológicos que aquí también desarrollamos, y pese a que su objeto central de estudio — el cero — es también uno de los que aquí enfocamos, creemos que su om isión del caso chino le priva de una distancia crítica que le fuerza a moverse dentro de los propios presupuestos de aquella epistenie — la occidental — que se propone dcconstruir. 2 De hecho , son más, pues no sólo cada paradigma global sino cada nuevo concepto cone xo vuelve a redefinirlo.
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sino sesgar la contem plación de su construcción efectiva allí y entonces (su em er gencia), pero ignorarlo suponía renunciar a un instrumento de análisis privile giado. Como criterio general hemos dado prioridad a esa ignorancia, en aras de mantener para cada forma de negatividad el singular sentido con que emerge; aunque en ocasiones hemo s cedido a la segunda opción — conocer la velocidad e Ignorar la posición -, bien porque la filiación estuviera claramente contrastada bien porq ue acaso nin guna epojé, tal y como la exige ese ‘principio de inde term i nación’, pueda serlo del todo. El ‘program a fu e rt e ’ de so ciología del conocimiento, acometido por D. Bloo r1 y la escuela de Edimburgo, salva algunas lagunas de ese ‘intemalismo’ que puede acusar el enfoque de Serres, aunque al precio de una m enor sistematicidad. P or más que las ciencias sociales se hayan centrado en dar cuenta de las ‘patologías’ (en el ámbito del conocimiento: el error, la falsedad, la ignorancia, la desviación...), para la exigencia de simetría explicativa de esta sociología/uerfe ‘la verdad’ no resulta menos a sombrosa ni está m enos necesitada de explicación: ‘la verdad m atem ática’ arraiga en la creencia no men os que ‘el error’ echa sus raíces en la experiencia m ás fundada. Cuando D’Alembert, en el artículo Equation de la Enciclopedia, declara que las raíces negativas han sido llamadas falsa s "porque no satisfacen sino a un fa lso enuncia do de la cuestión", o cuan do, en el artículo N é g a tif tiene aún que acla rar que "decir que la cantidad negativa está po r d ebajo de nada , es avanzar una cosa que no se puede concebir" ¿no está acudiendo a la más evidente experiencia? Por otra parte, las creencias que so-portan y hacen posible una ‘verdadera’ matemática (basada en definiciones y axioma s, con criterios demostrativos, etc.), com o la euclídea, serán precisamente las que veremos bloquear la emergencia de modos de nega tividad ‘verdaderos’, como los chinos; pero éstos, a su vez, no echan sus raíces en una tan asombrosa com o imposible anticipación de los que serán ‘núm eros ne gati vos’ — con lo que las historias al uso renuncian a toda explicación — sino que arrai gan, a su vez, en creencias propias del imaginario social chino, como las anudadas en tomo al complejo simbólico yin/y ang/dao. Las diferencias en los estilos cognitivos, las metafísicas subya centes, las fron teras de lo pensable que se le imponen a cada época o cultura, la versatilidad del concepto de rigor o la relatividad de las verdades lógicas que se pre-su-ponen... determinan — para este prog ram a— distintas matemáticas, en ocasiones irreducti ble s entre sí. No podem os, sin em barg o, se guir a Blo or en su recuperació n de las princip ale s tesis em pirista s y causalistas, siquiera sea porq ue entran en fra nca con tradicción2 con el núcleo central de su programa relativista. Paradójicamente la fuerza del programa de Bloor se alimenta en la debilidad de su método. Frente a todo un ejército de científicos sociales que se ha dedicado
1 Véase principalmente D. Bloor (1976). (Las referencias de paginación lo son a la edición francesa). En especial, el cap. 5, "Une approchc naluraliste aux matémaliques", y cap. 7, "La négotiation dans la pensée matématique". 2 Com o bien ha visto, p.e., B. Tuchanska (1990).
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a produ cir "una enorm e can tidad de trabajos cuyo fin es m antener a las matem áti cas en u na perspectiva que ex cluya todo enfoque sociológico" (1976: 75), no duda en hacer suyos pensamientos bien heterogéneos. Mediante un sopesado eclecti cism o, va saltando de D urkhe im a Kuhn, de J.S. Mili a Lakatos, de Piaget a Poincaré, de J. K lein a Spengler, de W ittgenstein a Evans-Pritchard... toma ndo de cada uno tan sólo aquello que pueda contribuir a desvelar aquellas determinaciones sociales a que p ueda estar som etida la matemática. Frente a Frege, Bloo r tom a partido po r la ciertamente endeble ‘aritmética de las galletas’ de J. S. Mili. El discurso sobre Los fundam entos de ¡a aritm ética del prim ero, no tenido pre cis am ente com o re tórico, lo consid era un cla ro discurso sacerdotal, defenso r de la pureza (matemática) en peligro, lleno de im ágenes am e nazantes de invasión, penetración, ruina y confusión. Pero la objetividad libre de toda sosp echa que Frege reclam a para las matemáticas, Bloor la ve cum plida, con todas las condicio nes qu e Freg e exige, mas bien en el carác ter de ‘cree ncia institu cionalizada’ con que ciertas ideas y procedimientos matemáticos cristalizan en cada cultura. La ob jetividad ma temática es social, lo que no la libra precisamente de sospecha; su autoridad opera como la autoridad moral: induciendo la sensación de que sus reglas son ineluctables y universales. En nuestros días estas carácterísticas no lo son ya de la m oral propiam ente dicha sino que habrían venido a refu giarse en la matemática, la cual funciona así en lugar de la moral, cumpliendo aquellos papeles de coh esión social, m odelamiento de conductas, establecim iento de lo indudable y confianza en el progreso que antes la moral venía sustentando. Po r eso es tan fácil ima ginar — y practicar— diferentes códigos m orales pero no pueden im agin arse otras m ate m áticas si no es como mane ras de error, de confusión o de ignorancia. El acercam iento de S peng ler a las ma temáticas, no por casi desconocido entre nosotros ha dejado de inspirar enfoques tan dispares como el relativismo natura lista de Bloor, historias marxistas como la de Restivo o idealistas como la de C ole rus 1, o análisis ana rquiza ntes co mo los del último W ittgenstein. También para este trabajo la lectura de L a decadencia de Occid ente ha sido una fuente de suge rencias, aunque su m ención hoy no sea de buen tono para la buena educación aca démica ni para la democrática. Si bien tal vez sea precisamente su distancia res pecto de am bas in stitu cio nes la que perm itió ese desp arp ajo im agin ativo y esa radicalidad que atraviesan la obra, cuya lectura irrita tanto como fascina. Ahí los mitos de unidad, indeterminación y progreso de las matemáticas se van disol viendo a golpes, si no de demostración, sí de analogía, de fuerza evocadora. El alma de cad a cultura — la apolínea o griega, la mágica o árabe, la fáustica u occi dental ...— delim ita un universo-historia, en cuy o interior se despliegan en íntima resonancia sus formas carácterísticas: políticas, artísticas, intelectuales ... y mate máticas. E n estas últimas, cu yo estudio absorbió a Spengler durante algún tiempo, se refleja de modo paradigmático el destino de cada mónada cultural, por lo que
1 Véase nuestro capftulo I.
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no cabe universalidad ni acumulación de conocimientos matemáticos: "No hay una matemática; hay muchas matemáticas. Lo que llamamos historia ‘de la’ matemá tica, supuesta realización progresiva de un ideal único e inmutable, es, en realidad , (...) una pluralidad de proc esos cerrados en sí, indepen dientes, un nacimie nto re pe tido de distintos y nuevos m undos de la forma "1. Entre esas m atemáticas está "la matemática occidental, la m atem ática nues tra, la que nosotros, con extraña ceguera, consideramos como única matemática, como la cima y remate de una evolución de dos mil años" (1940:1: 103); pero no es más que una entre otras y, además, para Spengler, está tocando a su fin. No hay nexo entre unas m atemáticas y otras, cada una arranca de unos pre-su-puestos cu l turales específicos, de una sensibilidad propia, y desde ahí levanta su particular edificio. L a geom etría griega se prolonga menos en la geom etría cartesiana — pues ambas suponen p re-concepciones del espacio mutuamente irreductibles— que en la ciudad-estado o en la estatuaria a polínea. Un teorema de cálcu lo infinitesima l se sigue antes de la forma musical de una fuga, o de un drama de Shakespeare, que de su pretend ido antec eden te griego en el método de exhau ción de Eu doxo . La arit m ética griega es incap az de pen sar el cero y los núm eros negativos, que no ob stante conocía de los hindúes, porque literalme nte no puede ni verlos-, del mismo modo que la ma gnitud irracional es para ella á-logon porque es impensable para su forma de racionalidad. Tanto nombrar como numerar son, igual para los salvajes que para nosotros hoy, mane ras de delim itar y so-m eter los objetos, modos de construir el m undo. "El idioma de signos de una m atemá tica y la gramática de una lengua hablada tienen, en último término, la misma estructura" (1940:1: 93). Por eso para Spengler hay tantas aritméticas como lenguas, tantas geometrías y topologías como maneras han sido, son y serán de percibir el espacio, el interior y el exterior. Cada matemática forma parte de esa ilusión c olectiva — acaso sea el reflejo más prístino de ella— en que cada cultura se instituye. Y sólo en la medida en que una cultura no sabe pen sarse sino como ‘la’ cultura se atreve a decir que la suya es ‘la’ matemática. Pero la otra cara de la capac idad de sugerencia de este autor es su au sencia de rigor y de método, así como numerosas conceptualizaciones lastradas con una fuerte carga ideológica. Ortega, en la que seguramente sea su mejor obra filosófica, La idea de p rin cipio en Leibniz, prolonga la reflexión de Spengler. Opone en ella dos modos de pensar, el euc lídeo y el ca rtesiano, irreductibles entre sí, pues lo por su-puesto en cada uno es radicalm ente distinto. En el primero, las magnitudes se piensan com o cosas ; en el segundo, como relaciones: las matemáticas que arrancan de cada protoconcepción no sólo no se prolongan la una a la otra en sus desarrollos sino que son inconciliables. El vaciado cultural de la matemática griega es en Ortega bri-
1 O. Speng ler (19 40 :1: 99). Sobre su relativismo matemático, véanse, en particular, los capítulos "El sentido de los números" (vol. I, pp. 85145) y "La física fáustica y la física apolínea" (vol. II,: 239 319).
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liante y rotundo. El método axiomático-deductivo de Euclides, que servirá de modelo para toda la matemática moderna y para buena parte de la investigación científica, es un gigante con pies de barro: la falta de fundam entación , la exige ncia de evidencia para los axiom as, los lleva a coincidir con los topoi, o ‘lugares comu ne s’, y las éndoxoi u ‘opinion es reinantes’. En la axiom ática euclidea precipitan así las creencias más arraigadas en el pueblo griego, esas que son impen sables preci samente porque son ellas las-que permiten pen sar: los principios de identidad, de no contradicc ión y del tercero excluido; el criterio de abstracc ión; la visión cosista del m undo y su organización en géneros y especies, que harán de la geom etría y de la aritmé tica ciencias incom unicables, aunque am bas depend ientes del sentido de la v is ta ... En lo no dicho de la evidencia siente O rtega latir toda la colectividad, el fo n d o cole ctivo de cada matemático, una disposición genuinamente religiosa: "el pensam ie nto con que se pie nsan las pro posic iones prim era s no ra zona, es irra cio nal por tanto y, cuando m eno s, ilógico" (1979: 84). El ‘lecho de roca firme ’, en el que Lakatos veía descansar a la razón matemática, a Ortega se le muestra hecho del material de los sueños, los pre-juicios y las creencias. La aportación de C om elius Castoriadis a una arqueología de las ma temáticas también arranca de la valoración de lo imag inario en la actividad m atemá tica desde un registro sociológico. Para este autor, en lugar de flotar en el reino de la ne cesi dad absoluta, la lógica conjuntista-identitaría — cuya "consumación más rica y avanzada es el desarrollo de las m atemáticas"— hunde sus raíces en "inabarcables formaciones magmáticas". Un magma es "aquello de lo que pueden extraerse (o aquello en lo que se pueden construir) organizaciones conjuntista-identitarias en número indefinido, pero que no puede ser nunca reconstituido (idealmente) por composición conjuntista (finita o infinita) de esas organizaciones" (1988: 200). Los magmas proporcionan el humus de lo imaginarlo radical, que desborda la lógica conjuntista-identitaría y a menudo la viola. Son ejemplos de magmas la totalidad de las representaciones (recuerdos, percepciones, fantasías, conceptos...) de que es capaz una persona en un momento dado, o la totalidad de las significa ciones que podrían expresarse mediante las enunciaciones del castellano contem porá neo. N in guno de ellos se agota m edia nte sim ple s opera cio nes conju ntista identitarias : separar, clasificar, ordenar, contar... Siempre queda un residuo irre ductible, un fa n g o sem ánti co, un caos abisal, del que em ergieron esas operaciones y sus productos, que es el que carácteriza al magma. Este concepto no es cierta mente absoluto: son numerosos los casos de ámbitos magmáticos que con el tiempo se han visto conjuntizados o formalizados exahustivamente. Pero un magma actual sí es irreductible actualmente a estructuras bien determ inadas y, en cualquier caso, también hay magmas definitivamente irreductibles como, p.e., la propia activid ad de form al i zac ión, o el m agm a de las significacio nes im agin arias sociales o el de las significaciones psíquicas. Pues bien, para Castoriadis lo magmàtico es siempre denso en cualquier estructura o proceso conjuntista-identitario, y en particular en la matemática. Es decir, en cualquier entorno, po r restringido que sea, d e una op eración o concepto matemático siempre hay significaciones que exceden, cuando no violan, los prin
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cipios y operaciones que carácterizan la lógica conjustista-identitaria, a saber: los principio s de id entidad, contradicció n y te rcio exclu so, la equiv ale ncia propie dad = clase, o las relaciones de equivalencia y de buen orden. Así, la m atemá tica no puede dejar de estar sobredeterminada por el magm a de las significaciones im a ginarias de la sociedad que la construye: "no hay aritmética sin mito” (1988: 209). Al menos los magmas de la lengua ‘natural’ y de la lógica ‘espontánea’ penetran desde el principio la m atemática. Un ilustrativo ejemp lo del primer caso lo encue n tra Castoriadis en el ensay o de definición del término ‘con junto ’ po r Bou rbaki ("en un m om ento en que flaquea su coraje [formalista] y en que, pen sando qu izá en su abuela, consiente en expresarse en francés"): «Un conjunto está formado p or ele mentos susceptibles de poseer ciertas propie dades y de tener entre sí, o con ele me ntos de otros con juntos, ciertas relaciones». Los términos en cursiva en el ori ginal ya confiesan el imperativo de una cierta indefinición en la definición misma de un concepto — el de ‘con junto’— de cuyo rigor depen de el de toda la ma tem á tica moderna. Pero, bien mirado, ¿son más indefinidos los términos ‘elemento’ o ‘relación’ que los términos ‘estar formado’, ‘ser susceptible de’ u ‘otro’?. Un ejemplo del segundo caso, el del arraigo en la lógica ‘espontánea’, lo ofrecen los conceptos de ‘relación de equivalencia’ y de ‘conjunto cociente’, que formalizan las actividades e spontáneas que cua lquiera1ejecuta para p roceder a clasificar algo. Son conceptos que cualquier teoría formal no puede introducir sino en una etapa basta nte avanzada, y sin em barg o no podría darse ni el prim er paso para ela bora r esa teoría sin presuponerlos inicialmente (p.e., al dar por sentado que el lector identificará cada ‘x’ que aparezca en distintos lugares del texto y las distinguirá cuando convenga hacerlo). Así, "la construcción de la lógica conjuntista-identitaria presupone la lógica conjuntista identitaria (y ciertamente también otras cosas: lo imaginario radical)" (1988: 198). También en matemáticas el resultado está en el principio, también las matem áticas encuentran lo que previamente se ha puesto. Y eso que se ha su-puesto arraiga en los magmas simbólicos y lingüísticos que ali mentan las diferentes sociedades. Así también, Castoriadis, derivando hacia lo social el modelo biológico de Varela (1980), considera cada sociedad sumergida en un cerco ep istémico, que dis tingue lo que para ella es información y lo que és ruido, lo que es perceptible y lo que no, qué tiene significado, valor o sentido y qué es insignificante, despreciable o absurdo: "toda sociedad es una construcción, una constitución, creación de un mundo: su propia identidad no es otra cosa que ese «sistema de interpretación» (1988: 69ss.)”. Este cerco, ciertamente poroso, es el que delimita las condiciones de posibilidad de cada forma de conocim iento y de percepción; no sólo sus conte nidos concretos sino la propia configuración o matriz que los hace posibles, al tiempo que excluye la posibilidad de otros. Es lo que para Foucault (19 68) define una episteme o, para Ortega — y salvando las diferencias— , un modo de pensar.
1 Esc 'cualquiera' acaso sea menos universal de lo que prelende Castoriadis, com o tendremos ocasión de matizar al analizar los procesos "de clasificación’ en China.
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E. M orin critica la noción foucaultiana de episteme po r simplista (no admite sino una sola episteme pa ra cada cultura en c ada mom ento) y arbitraria en el esta ble cim ie nto de los cortes episté m ic os, y la fu nde con el concepto de ‘paisaje m en tal’ ( mindscape ) de Maruyama (1974), con el sentido que el término ‘paradigma’ tiene originalmente en la lingüística estructural de Hjemlslev y Jakobson, y con el que da Kuhn a ese mismo término en la segunda edición de su Estructu ra de las revoluciones científicas como "conjunto de creencias, valores reconocidos y técni cas que son comunes a los m iembros de un grupo dad o”. Con esto, "un paradigma contiene, para todos los discursos que se efectúan bajo su dominio, los conceptos fundam entales o las categorías maestras de inteligibilidad al mismo tiemp o que el tipo de relaciones lógicas de atracción/repulsión (conjunción, disjunción, implica ción u otras) entre esos conceptos o categorías. Así, los individuos conocen, pien san y actúan según los paradigmas inscritos culturalmente en ellos. Los sistemas de ideas están radicalmente organizados en virtud de paradigmas" (1991: 213). Morin asume esta noción "no sólo a pesar de su oscuridad, sino por su oscuridad, pues apunta a algo muy ra dic al, pro fundam ente sumerg id o en el in conscie nte indi vidual y colectivo". Nosotros la acogemos asimismo sin mayor precisióm, alter nánd ola incluso con las nociones de episteme, modo de pensar, imaginario social o colectivo, etc. Cu alqu ier intento de definir lo que, por debajo de las definiciones (y, más aún, por debajo de la manera de construir las definiciones), las hace posi ble s, no puede ser sino un inte nto fracasado de ante m ano o — en la medid a en que tenga éxito— una proyección de cierta manera de construir conceptos sobre cua lesquiera otras maneras posibles, que es de lo que aquí se trata de indagar. En la construcción d e los conceptos — y, en particular, los m atemáticos— a partir de los diferente s im agin arios, el le nguaje juega un papel m edia dor funda me ntal, y complejo. "L a sociedad hace el lenguaje que hace la sociedad, el hombre hace el lengu aje que hac e al hombre, el hom bre ha bla el lenguaje que le habla" (E. M orin, 1991: 162). Y el lenguaje m atem ático no constituye un universo lingüístico separado, sino que brota del lenguaje ordinario."En la matemática, apuntaba Wittgenstein, son proposiciones gram aticale s las que nos convencen". A diferencia de las ciencias em píricas, que siem pre tienen (o, m ejor dicho, p retenden tene r1) un referen te exterio r a su propio discurso, en cierto sentido pued e decirse que la mate mática se agota en su mero acontecer discursivo, es decir, es una actividad estric tamente textual, lo que la emparenta antes con la literatura que con las llamadas ciencias. Es en el texto donde efectivamente se producen las matemáticas. Una genealogía de la negatividaá a través de su construcción textual parece, pues, no sólo pertinente sino casi ineludible; no menos que la consideración de los efectos retóricos que la matemática incorpora en el hecho mismo de su decirse, que no es otro que el de su hacerse. Sin em bargo, es casi total la ausencia de aplicacione s al discu rso m atem ático de las hoy tan potentes y variadas técnicas de análisis del dis
1 Sobre la invención de una realidad referencia! por las ciencias empíricas, véase E. Lizcano (1993b).
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curso, que tan revelado ras se han mostrado en sus incursiones al interior de ciertos textos científicos. Son ba stantes los estu dios que, en los últimos añ os1, tratan la activid ad c ien tífica como una actividad constructora de textos destinados, por un lado, a crear ciertos efectos de realidad, y por otro lado, a argumentar y convencer. Por lo que las prácticas científicas serían perfectamente susceptibles de un análisis retórico: imbricación de estructuras textuales jerarquizadas, apropiación de sentidos to m a dos de otros discursos, recursos p ara la construcción de un lector mod elo, puesta en escena de d iferentes tipos de actores y otras estrategias de p ersuasión han lle vado a alguno s a calificar esto s textos como una auténtica ‘ópera c ientífica’. Estas técnicas abren otra sugestiva aproximación a una arqueología de las m atemáticas que, en lo que se nos alcan za, perm anece prácticamente inédita. La crítica de J. A. Schuster (1968) al método cartesiano como discurso ‘m ítico’ se cue nta entre las pocas de este tipo. Su análisis estructural de los textos de D escartes revela en ellos un hábil tejido de recursos literarios destinad os a crear las ilusiones de unidad, aplicabilidad, eficacia y progreso. Siguiendo técnicas afi nes a la etnom etodolo gía3, Schuster pone de m anifiesto el engarzam iento d e tres niveles de discurso entre los que se irán produciendo convenientes desplazamien tos. El prime r nivel es sistem ático y desarrolla el núcleo del método. El se gund o es la representación primitiva del ámbito vivo que se va a convertir en objeto sobre el que aplicar el método; esta representación es sui generis en el sentido ku hnian o, es decir, comp uesta por elem entos — metafísicos, conceptuales, evaluativos e instru mentales— especialmente adecuados a ese ámbito de fenómenos. El tercero lo forma el conjunto de historias, relatos, informaciones y glosas con que se redescribe el segund o u tilizando la teminología del primero. La clave de la operación mitologizante del cartesio estaría en llevar al lector/ oyen te a leer/oír en el terc er nivel. Ahí los ‘fantasmas disec ad os’ — en que se han con ven ido los ‘ob jetos des tripad os’ del ‘cam po vivo’ del segundo nivel— gozan del efecto de aplicación, que permite soportar la ilusión de que las reglas del pri mer nivel son perfectamente aplicables al segundo cuando, de hecho, tan sólo se están aplicando a las narraciones — e fecto de redescripción — sobre él del te rcer nivel, narraciones que, por decirse en términos del primero, m alamen te podrían no aplicársele. El creyente en el método ve así además confirmada su confianza mediante el efecto de progreso que se logra prolongando la anterior operación de mixtificación de los tres niveles a otras narraciones sobre nuevos objetos ‘descu bie rto s’. Y si la m anio bra se extiende a otros cam pos de re alidad difere nte s — otras
1 Vé ase, p.e., B. Latour (198 7), B. Latour y F. Baslide (1983 ), B. Latour y P. Fabbri (1977 ), S. Woolgar (1991), P. Bourdieu (1985), o M. Mulkay (1991). 2 Esa rama de la etnometodo logía — véase p.e. A. Coulon (1988) o A. Cicourel (197 3)— que son las etnomalemáticas — así p.c. M. Aschcr & R. Aschcr (1986) o U. D’Ambrosio (1985, 1989)— nos ha sido también fuente se sugerencias y, sobre todo, de prevención ante cieno etnocentrismo matemático.
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ramas de ‘la m ism a’ cienc ia u otras ciencias— lo que se obtiene es un recon for tante efecto de unidad (lo que Descartes habría hecho, p.e., con su análisis mate mático y su ciencia magnética). La voluntad de ocultamiento del procedimiento efectivo p or el que se construye el discurso m atem ático estaría, pues, en el origen m ismo del discurso m atemático com o discurso metódico. Tesis que parece abonar, desde otra prespectiva, la indagación de Szabó (1965) sobre la influencia en los pro pio s Ele m ento s de Eu clides de los procedim ientos retóricos d e la dialéctica en auge en la demo cracia griega. Tampoco dejó ese Wittgenstein iconoclasta, tan ajeno al del Tractatus, de sugerir el interés de una crítica literaria de la m atemática: "Imag ina que la dem os tración [matemática] fuera una obra literaria, una pieza de teatro. La visión de ella ¿no puede inducirm e a algo?". Este tipo de análisis se nos ha m anifestado de espe cial interés en la ma temá tica china, tanto en su más simple dime nsión léxica como en la de la estructuración de las frases y de los párrafos en ciertos pasajes claves (como los que enuncian las reglas zheng/fu), dond e los juego s de simetrías e inver siones vienen a reforzar sintácticamente el jueg o de oposiciones semá nticas que se quieren establecer. Parece que las matemáticas juga ron un papel decisivo en la con versión del au tor del Tractatus en ese otro Wittgenstein disolvente posterior. Para el prime ro, la realidad se rep resen ta fielmente en el leng uaje, el cual, para corregir y elim inar sinsentidos, tiene en la lógica un eficiente m ecanismo de control, capaz de restablecer el orden oculto tras el aparente caos gramatical. Pero, en el discurso ma temático, los hechos que se supone que habrían de correspond erse con los enu n ciados matemáticos resultan estar evidentemente construidos por el lenguaje mismo; en este singular discurso, incluso los procedimientos de validación de los enu nciad os están dentro de su propio lenguaje. Así, ‘ruedas que giran en el vacío ’, ‘jue go s de len gua je’... irán m inand o aquella fe del Tractatus en que "todas las prosiciones del lenguaje común se encuentran efectivamente, tal como son, plena me nte ordenadas desde el punto de vista lógico”. Las operaciones de desfundamentación del lenguaje y de multiplicación del lenguaje en lenguajes, que son fo rm a s de vid a, alcanzarán también al mismo len guaje m atemático que les dió el impulso inicial. Ejercicios escépticos de de s-ima ginación, al modo de los recomendados por Juan de Mairena, irán poniendo en entredicho — desde sus Observaciones sobre los funda m entos de la matemática — las más firmes convicciones matemáticas: ‘manchas ciegas’ en el cerebro, que impiden ver una solución (p. 34), caminos que hubieran sido posibles en otras his torias de las matem áticas (p. 174), absurdos de las dem ostracion es por reductio ad absurdum (p. 238), contradicciones que no se interpretan como signo de imposibi lidad sino como posibilidad de un ‘¡Haz lo que quieras!’ (pp. 211, 312), cálculos que varían según los contextos (p. 329). ¿Por qué no van a ser posibles mundos donde e sas experiencias lingüísticas sean p osibles ? De hecho, veremos que no se trata sólo de conjeturas más o menos imaginativas. Otro de los recursos p o r los q u e Wittgenstein sugiere reveladores enfoques es la que pudiéramo s llamar su ‘antropología im aginaria’, que tampoco resulta serlo tanto frente a m atemáticas com o la china.. Sus tribus fantásticas conciben com bi
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naciones formales qu e a nosotros nos pasan desapercibidas (p. 178), demu estran a golpe de órde nes (p. 193), o bien ope ran rimand o núm eros (p. 229). Es el contexto lingüístico el que da — o quita — sentido a u n cálculo, una regla, una demostración o un axiom a, y no su ad ecuación a una supuesta realidad externa o su coh erencia desde una lógica dudosamente universal. Cada lógica, como cada ju e g o de len guaje , tiene su gracia . Com o jueg os de lenguaje, las matemáticas es en el lenguaje dond e se fundan... y tam bién p or el lenguaje se desfondan. "Es esencial a las mate máticas que sus signos se usen también en lo civil" (p. 215), pues es ahí donde las pers onas in te ligente s se deja n atrapar por las redes lingüísticas. El a nclaje del dis curso m atem ático en el lenguaje natural le permite apropiarse de los recursos retó ricos de éste: "en las m atem áticas son proposiciones gram aticale s las que nos con vencen" (p. 133), son ‘tretas gramaticales’ las que bloquean ciertas asociaciones y estim ulan otras h asta presen tarlas com o identificaciones irresistibles. "¡Fíjate en el palabre o con el que convencem os a alg uien de la verd ad de una pro posición m ate m ática!" (p. 197). La verbalización de una dem ostración m atemática se empa renta así con la narración m ítica (p. 133). Por eso el discurso matemático, antes que d es criptivo o m ero encad enan te de transiciones necesarias, es sobre todo un discurso impe rativo: " ‘Tu hace s eso ’ qu iere decir: debes hace r eso; y . ‘tu no hace s eso ’ quiere decir: n o has de hace r eso" (p. 230). El decir matemático es típicam ente ilocucionario, realiza la acción denom inada po r el mero acto de enunciarla. Sus estra tegias de imposición (persuasión, seducción, provocación, intimidación...) son, pues, susc eptible s de análisis tanto gram atical como retórico. * * *
C iertam ente no son las hasta aquí referidas todas nuestras deuda s ni los m éto dos antes esb ozad os los únicos que em pleam os1, pero sí se cuentan entre las fuen tes principales d e sug erencias, bien para ensaya r ciertos análisis bien p ara m ante ner el ánimo ante algunas arriesgadas conclusiones a que esos análisis nos han llevado. La tensión de su pensamiento ha alentado nuestro esfuerzo por evitar la habitual lectura ingenua, positiva, de estas emergencias matemáticas, y por ir incorporando — a veces, medio a tientas— esas formas de crítica, análisis e inter pre ta ció n que tan fe cundas se han m anifesta do en otros ámbitos del conocim ie nto . No querem os ta m poco dejar de agra decer algunas valiosas orie nta cio nes y estímulos. En prim er lugar, a Javier Ordóñez, que acogió y alentó la tesis de do c torado que está en el origen de este libro, cuando tantas puertas se le venían cerrando. A Agustín García Calvo por sus atinadas observaciones sobre ciertos textos y término s griegos. A A ntonio Escohotado por sus sabrosos com entarios y
1 En particular, las que nos han parecido deficiencias de ciertos enfoque teóricos — y que comentamos en el capítu lo 1 — también nos han sido, no obstante, poderosas fuentes de e stímulo y refe rencia.
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críticas. A Luis C astro por su atenta lectura del m anuscrito y sus agudas sugeren cias. A Con suelo M arcos por el tiempo que le robó a la redacción de su gram ática de chino para asesorarnos sobre esa lengua tan endiablada como apasionante. A Mariano Martínez por su disposición a ceder por igual acertados comentarios y precio sos eje m pla re s de su in sólita biblioteca. A Julia Varela y Fem ando Alvarez Uría por sus frecuentes llamadas de atención hacia los registros sociológico y arqu eológ ico. A M aría José «Muñoz po r sus traduccion es del latín vu lgar que, al cabo, no tuvieron cabida. A Nieves Díaz, de la Biblioteca Nacional, y al personal de la hem eroteca y biblioteca de la UN ED, p or su diligencia en localizar materia les, algunos tan esquivos y recónd itos. Sin ellos, y sin tantos otros, no hubiera sido posib le este trabajo; aunque a ninguno de ellos cabe im putar n ingún desacie rto que pudie ra haber en el mismo.
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Capítulo I Ciencias del hombre y matematicas: crónica de una resistencia Recientemente criticaba Serres (1991) la ‘espontaneidad irreflexiva’ que suele carácterizar la concepción general de la historia de las ciencias. Como ya apu ntara Fey erab en d1, Serres observa en el origen de esta espon taneidad ac rítica un a actitud netam ente religiosa, que se acerca a los textos científicos com o a ‘tex tos sagrados’: "En el fondo esta espontaneidad tiene una raíz: la admiración beata, literal mente religiosa, aunque a veces justificada, hacia todo lo que se llama científico y que, por lo mism o, sigue siendo intocable, y una sim étrica adoración por la historia. Incluso si se pretenden ateos o liberados, nuestros contemporáneos sacrifican de buen grado an te estos dos altares o se inclinan ante esta do ble jera rq uía.(...) Son dos tabúes de nuestro tiempo. Por consiguiente, la historia espontánea de las ciencias se reduce a m enudo a una historia sacra o sacralizada." (1991: 12-13).
Esa c onclusión de Serres es la que sirve de hilo conduc tor a esta crónica de las resistencias que hemos observado en la mayor parte de de los enfoques a los que, en muy diferentes campos de las ciencias sociales, hemos acudido en dem anda de metodologías adecuadas p ara el análisis de la negatividad matemática que nos proponíamos. Sin apenas excepciones, podría decirse que las matemáticas se les presentan a las ciencias sociales como discurso sagrado2, imposible de ser penetrado por su s análisis, incluso para aquellos auto re s que tan brillante s resulta dos han conseguido frente a las tenidas por ciencias duras. El recorrido que aquí em prendem os no puede ser exhaustivo; nos limitamos a algunas de las reflexiones más sobresalientes — sea por la relevancia de sus autores, sea por la transparencia 1 Véase, p.e., P.K. Feyerabend (19 84: 88; 1985: 58 ss.). Una tesis semejante mantuvimos en E. Lizcano (1989), donde se desarrollan, en un tono periodístico, algunos de los argumentos de este capítulo. 2 Véase, p.e., cómo Mary Douglas aplica la consideración antropológica de lo sagrado al tratamiento que conce de Durkheim a las ciencias naturales, en el Prefacio de M. Douglas (19 75).
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de sus tesis— hechas d esde cam pos como la sociología, la historia, la antropolo gía, o la hermenéutica.
1.1. In-determ inació n sociológica de las m atem áticas Un doble prejuicio positivo hacia el discurso matemático parece animar a la sociología ya desde su m om ento fundacional, en el propio Discurso so bre el espí ritu po sitivo de A ugusto Com te. Por un lado, éste co nfía en que también a la socio logía, por ‘continuidad espontánea’, la matemática le confiera la positividad que ya otorgó a las ciencias de la naturaleza (1980: 125-127); y, por otro, reconoce explícitamente el papel religioso que la matemática cumple al propiciar, a través de las ciencias, las sen saciones de cohesión social y de progreso, de unión y exten sión, necesarias para que haya tanto conocimiento positivo como sociedad (1980: 36-42) —y, por tanto, conocimiento positivo de la sociedad: socio -logia — . El reverencial respeto hacia las matemáticas que m arca en su m ismo origen a las cien cias sociales parece, pues, tan justificado como interesado, y no dejará de ser su gran tabú ni aún en nuestros días. La ingenuidad del fundador de la ‘religión científica de la Humanidad’ le lleva a proclamar ese monoteísmo matemático que sociólogos posteriores procu rarán no poner tan de manifiesto. La progresiva sustitución del politeísmo por el m onoteísmo, y de éste po r la religión positiva, cuyo cu erpo dogm ático conforman las verdades científicas, tiene — para Comte— en la m atem ática el origen y el cora zón del proceso: "El principio de invariabilidad de las leyes naturales no empieza realm ente a adq uirir alguna co nsistencia filosófica sino con (...) la fundación de la astro nom íam atem ática , durante los últimos siglos del politeísmo" (1980: 33). De la mano de la ma tem ática, y con el concurso del positivism o, la obsesión com tiana por el ord en prevé en su Sistema de filosofía po sitiva la inauguración de un nuevo culto a la muerte, la superación de la "anarquía occidental" que "impulsa a los vivos a alzarse co ntra el conjunto de los muertos". U na vez así restaurado el orden social, "la historia se convertirá muy pronto en historia sagrada". Pero esa creencia en la matemática no sólo la experimenta Comte en el origen histórico de ese relevo en la fe; también es la m atemática la llam ada a aportar al nuevo credo su fundam ento dogm ático, su principio lógico, la fuente de su positividad: "A sí se llega gradu almente a descub rir la invariable jerarquía, a la vez histórica y dogmática, de igual modo científica y lógica, de las seis ciencias fundamentales: la matemática, la astronomía, la física, la química, la biología y la sociología; la pri me ra de las cuales constituye necesariamente el punto de partida exclusivo, la única cun a necesaria de la positividad racional, tanto para el individuo como para la espe cie (1980: 125)"1.
1 Los subrayados son nuestros.
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La sociología se instituye así como ciencia reclamand o de la m atemá tica el papel suste nta dor de su propia racio nalidad, papel que a ella to ca cum plir de manera ‘necesaria’, ‘única’ y ‘exclusiva’. Acaso esté ya aquí la clave de por qué las distintas ciencias del ho mb re y de la sociedad, que se irán desga jando del tronco s o c i o l ó g i c o , hayan enc ontrado tantas dificultades pa ra dar razón de un saber — el matem ático— en el que han hecho descansar la posibilidad mism a de constituirse ellas racionalmente. De hecho, la paulatina superación por la sociología de esta fase — dogm ática, universalista y progresista— inicial no conseguirá, sin em bargo, erradicar esa creencia fundacional en la matemática, que queda así no sólo in determ inad a socialm ente sino tam bién determ inante de lo social y de su es tud io1. Así, p.e., con Mannheim se disuelve buena pane de ese monoteísmo positivista; incluso si algo se le ha reprochado es un historicismo y un relativismo que procu ran anclar las producciones culturales —y, entre ellas, las propias ciencias socia les— en formaciones subjetivas y sociales históricamente determinadas: "Existe una vasta extensión de problem as que son accesibles sólo, o bien a cier tos sujetos, o bien en determ inados pe riodos históricos (...), [problemas que] só lo lle gan a ser visibles en ciertas épocas de la historia, que a través de una serie de ex pe riencias colectivas y por el desarrollo de una conveniente W eltanschauung, despejan el camino h acia ciertas percepciones" (1958: 240-1).
Pero esa determinación que cada Weltanschauung impo ne a ciertas formas de razón y de sensibilidad, se torna indeterminación en lo que se refiere a la razón y a la sensibilidad matemáticas: "La na turaleza particular del conocim iento político, en contraste con las cien cias exactas, proviene de la inseparabilidad, en esta esfera, entre el conocim iento y los intereses o motivaciones. En política, el elemento racional está emparentado de un modo inherente con el irracional..." (1958: 265).
Lo cual no puede hacerse extensivo al conocimiento matemático: "En este tipo de conocimiento [el matemático] es cierto que su génesis no tiene nada que ver con los resultados(1958: 381)". Estamos ante un conocimiento separado de una realidad también separada. El discurso m atemático, en contraste con los me n cionados, no e m parenta con lo irracional, es racionalidad pura, sin som bra de inte reses ni mo tivaciones. Se trata de un discurso cuyos resultados, com o afirm a Man^ nheim, nada tienen que ver con su génesis. Por eso su historia es perfectamente lineal, es la historia de una gradual correción de errores y de un progresivo descu brim ie nto ; "Dos periodos de la historia del conocimiento humano sólo se distinguirían entre sí por el hecho de que en el periodo anterior ciertas cosas eran desconocidas
1 Véase, p.e., S. Andrcski (1972).
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todavía y ciertos errores persistían aún; lo cual fue com pletam ente co rregido por el conocimiento posterior. Esta relación simple entre un periodo de conocimiento pri mitivo e incompleto y otro pos terior com pleto puede ser aprop iada en gran p arte para las ciencias exactas (...); sin embargo, para las ciencias culturales ..." (1958: 356).
Para las ciencias exactas parece bastar una explicación en término s de ‘sim ple’ acum ula ció n de verd ades; a eso queda re ducid o el re la tiv ism o de un rela tivista cultural cuando de pen sar las m atemáticas desde lo social se trata. Ellas m arcan el umbral do nde su sociología del conocimiento debe inte rrum pirse1. Ante las mate máticas, la prevención de M annheim ya será norma en toda u na variada gam a de científicos sociales; muy rara será, en verdad, la ocasión en que no veamos ai sociólogo retroceder ante el m ero asomo de violación po r su crítica de el impensa ble m atemático. La posterior sociología de la ciencia extiende ciertamente la crí tica mannheimiana de las ciencias del espíritu a las de la naturaleza, pero no se frena menos ante las matem áticas. Para no m ultiplicar los ejemplos , reduzcám onos a uno de los m ás radicales de entre los actuales: el de S erge M oscovici. P ara este psico-soció lo go (1 988) son los mismísim os objeto s físicos — no sólo su conceptualización— los que se crean por la acción de las teorías físicas, y mueren con ellas, en ciertos m om entos históricos. La causa de e sta creac ión/destrucción de la naturaleza por el discurso está, según Moscovici, en el tipo de lenguaje que han venido utilizando Jales teorías: el lenguaje ordinario, que, c argado d e m em oria, no es apto para el conocimiento. L enguaje de conocim iento sólo puede se rlo propia m ente el matemático, pues, al carecer de mem oria, sobrevuela el tiemp o y los cuer pos, el nacim ie nto y la m uerte. Sólo el lenguaje m ate m ático es le nguaje no dete r minado, y será por tanto el único que pueda librar al conocimiento de las determina ciones del tiem po y la subjetividad. En la de Castoriadis veíamos antes una de las pocas sociologías que sí ensa yan un análisis de las raíces que la ma temáticas pudieran ech ar en las formac iones sociales. Al ser el discurso m atemático ‘denso ’ en diversos m agm as (com o los de las significaciones lingüísticas y las imaginarias), no puede h abe r eme rgencia suya que no arrastre consigo, a modo de ganga, residuos del imaginario social: ‘no hay m atemá tica sin m ito’. De aq uí deriva Castoriadis una doble c rítica. U na, lúcida y radical, de la sociedad contemporánea ; la otra apunta a la matem ática, aunq ue ésta se nos antoja bastante más tímida, cuando no abortada, sobre todo tras unas expec tativas tan ambiciosas como las que parecía abrir el anterior planteamiento. El mundo moderno —constata Castoriadis— ha hecho de la aritmética un mito, ha exorbitado el peso de la dimensión conjuntista-identitaria hasta el punto de que "esta pseudoracionalidad funciona en definitiva como la única significación ima ginaria explícita que puede cim entar la institución, legitimarla, m antene r unida la sociedad" (1988: 214). Se ha cumplido el ideal positivo de Cam te. P or eso, rompe r el mo nopolio que las matem áticas han obtenido en la urdim bre de representaciones 1 Véase D. Bloor ( 1973).
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que configuran el im aginario social se le muestra como una tarea política urgente oara el logro de una sociedad autónom a, no enajenada en una sola dime nsión — la que consagra lo que es — de su im agin ar radical. Pero su crítica de las matemáticas, no la de su función social sino la de su misma institución como un discurso entre otros (al margen del rango jerárquico que haya llegado a alcanzar entre ellos), no pasa de vagas afirmaciones ge nerales que luego no concreta, o bien contradice, o incluso niega cuando, p uesto a concre tar, le puede más la fascinación por el formalismo matemático que por la crítica. Así, por un lado: "Las operaciones ‘lógicas y físicas’ por las cuales toda sociedad se remite al primer estado natural, lo organiza y lo utiliza, están siempre sujetas a significaciones imaginarias sociales que son ‘arbitrarias’ y radicalmente diferentes en las diferentes sociedades” (1988: 71). y, sin embargo, "es necesario lo determinado y lo necesario para que cualquier sociedad funcione y hasta para que ella pued a presentarse a sí mism a sus signifi caciones propiamente imaginarias" (p. 209). Será la propia institución de la socie dad la que al cabo ech a sus raíces en la lógica conjuntista-identitaria, que q ueda así in-determ inada de puro determinante. Si para Bachelard, como v eremos, es la arit mética la que funda la razón, para Castoriadis funda rá hasta la mism a imag inación. La ‘arbitrariedad’ y ‘diferencia radical’ de los imaginarios sociales, que por un mom ento parecieron ir a determinar la necesidad identitaria, acaban hilvanándose en torno a una lógica com ún y ‘necesariamente n ece saria’(!), realizada ejem plar mente en las matemáticas e indispensable hasta para la misma representación de las significaciones imaginarias. Más aún, si lo magmàtico era siempre ‘denso’ en la dime nsión conjuntista-identitaria, con lo que la m atemática qued aba magmati za da, C astoriadis tam bién po stula la inmersión inversa: la lógica conjuntista-iden titaria es siempre ‘den sa’ en cu alquier magm a de trama s imag inarias. Po r sumer gido que se esté en cualquier punto (pero ¿hay ‘puntos’ en los magmas?) de cualquiera de los magm as donde enraizan las significaciones ima ginarias, siempre se encontrarán elementos de tipo conjuntista-identitario. Nos encontramos ante "una esencial e inexpugn able dimen sión no sólo del lenguaje sino de toda vida y toda actividad soc ial" (p. 221).. Si no había aritmé tica sin m ito, lo que a Ca storiadis parece fascinarle decisiva mente es que, "más im portante aún, no hay mito (o poem a, o música) sin aritmética" (p. 205). Y si bien declara ‘inde cidib le’ la cuestión sobre si esa densidad existe real mente o tan sólo la pon e él, lo cierto es que no cesa de recrearse en m atem atizar — ¡y en términos bourbakistas!— sin que ello aporte mayor precisión o rigor. Así, aplica conceptos topológicos — como el de denso — a lo im agin ario radical, inter preta la meta física kantiana en térm in os de ultrafiltros (p. 199)... y hasta ensaya un desarrollo bien detallado de ¡una teoría axiomática de magmas!, a imitación de las axiomáticas más formalizadas de la teoría de conjuntos (p. 200-2). En lugar de fijarse en el m om ento en qu e se instituye (o se destituye, según el caso) cada m odo
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de d iscurso matem ático, que es cuando focaliza sobre él el entramado d e imágenes inconscientes que pueblan ese humus del que nacen las significaciones imaginarias, Castoriadis pa rece contentarse con haberlo m encionado en pass'ant y centrarse, en camb io, en el m om ento hipostasiado en que "todas las entidades m atemáticas están perfecta m ente determ inadas" (p. 195). Y desde ahí pro yectar re troactivamente sobre la historia toda el mito moderno de la matemática como "un código sentado en el puro legein" (p. 231). No será entonces de e xtrañar que las más diferentes h is torias de las m atem áticas se narren como historias del cumplim iento de un destino, el destino de una razón pura universal que, como no podía ser de otro modo, viene a coincidir con la del Occidente moderno. 1.2. U na histo ria de esencias y cum plim ientos Cua ndo ya la historia, que de tantas verdades definitivas ha dado cuenta, des moronaba esa imagen de edificio de una sola pieza que con la Ilustración había cob rado la ciencia; cuando — tras las huellas de Bachelard, Kuhn o Feye rabend— ya la ciencia se m ostraba como reconstrucción a posteriori de conjeturas y p rácti cas que no tenían por costumbre obed ecer a ningún método ni esca par a las deter minaciones irracionales e inconscientes que moldean cualquier otro aspecto del sabe r y del hacer hum anos... tan sólo la historia de la matem ática, com o señ alara La katos (1981: 67-8), se mantenía aún com o h istoria sagrada: "La historia de la matemática ha sido distorsionada por filosofías falsas aún má s de lo que lo ha sido la historia de la ciencia. Dicha historia todavía es con side rada p or mucho s com o una acumu lación de verdades eternas; las teorías o los teore mas falsos son desterrados al oscuro limbo de la prehistoria o se los archiva como lamentables errores que sólo tienen interés para los coleccionistas de curiosidades. De acu erdo con ciertos historiadores de la matemática, la historia de las matem áticas en sen tido propio empieza con aquellas obras que se conforman a los estánda res que ellos consideran definitivos. Otros descienden hasta las edades prehistóricas sólo para entresacar de la basura fragm entos luminoso s de la verdad ete rn a”.
Un significativo botón de m uestra, extraído de la sin em bargo fo rm idable H is toria genera l de las ciencias, dirigida por R. Taton: "Siendo el esquema babilonio [para resolver ecuaciones de 2o grado] idéntico a la fórmula de hoy, tenemos por fuerza que adm itir que es el resultado de un esfuerzo racional"1. Tam bién en cue s tiones m atem áticas, al extranjero no se le concede otra posibilidad de racionalidad que la que, en su espejo, es reflejo de lanuestra. G. Sarton, uno de los principales impulsores de la historia de la ciencia como disciplina de pleno derecho, llega incluso a estab lece r un "teorem a de la historia de la ciencia" (sic ) que m arcará toda la historiografía matem ática posterior: 1 R. Labal y E.M. Bruins en R. Talón (1 9 88 :1: 127).
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"Definición. La ciencia es conocimiento positivo sistematizado, o lo que ha sido tenido por tal en las diferentes épocas y en los diferentes lugares. Teorem a. La adquisición y sistematización del conocimiento positivo son las únicas actividades humanas que son verdaderam ente acumulativas y progresivas. Corolario. L a historia de la ciencia es la única h istoria que puede ilustrar el progreso de la hum anidad"
Aún más claro: "L a historia de la ciencia es la historia de la unidad del gén ero hum ano, de su sublim e designio, de su gradual reden ción ”1. Lug ar de m anifestación de unas verdades — las verdades m atemáticas— que lo son desde siempre, la histo ria lo es de su revelación progresiva. No le falta a Sartén ni el inevitable santoral científico al modo comtiano: comparados con los conquistadores de territorios, movidos por ‘viles intereses’, "los matem áticos no son ángeles ni santos — algunos de ellos fueron bribones— pero por lo menos no trataron de asesinar, explotar o esclavizar a sus sem ejantes; sus transgresiones fueron sin imp ortancia, mientras que sus propósitos fundam entales fueron nobles y sagrados: sus conquistas fueron espi rituales, conquistas de la razón pura con un alcance infinito" (1960: 6). Unicamente parece desentonar en este cuadro esa admisión, en la ‘Defini ción’ anterior, de "lo que ha sido tenido por tal [por conocimiento positivo siste matizado] en las diferentes épocas y en los diferentes lugares". Pero debe enten derse bien, no como una puerta abierta a otras matemáticas (que se suponen imposibles) sino com o un tic liberal. Cuando de verdad se pone a historiar la m ate m ática, esas otredades ya pasan a ser "adulteraciones y desviaciones" — ¿respecto de qué norma?— que llegaron a dom inar "la me nte no sólo de la gente vulgar e inculta sino también la de los astrónom os, incluso Brahe y Kepler" (p. 78). O la de los mejores m atemá ticos del mom ento, qué, como Stifel, de sus cálculos deducían el fin del mundo: "es posible que su mente se alterara por excesiva beatería, pero muchos otros hombres del periodo fueron tan locos como él" (p. 81). Adulteracio nes m entales o dem enc ia colectiva, cualquier hipótesis vale para explicar los ‘erro res’ de cada época, mientras que ninguna es necesaria para los ‘aciertos’, que se imponen como dotados de un dinamismo propio e intemporal. La historia de la matemática resulta así doblemente edificante. Es historia de la edificación d e la verdad y también historia de la edificación en la verdad, al ir mo strando, por con traste, lo que no es sino error y superstición, la sombra de "la imbecilidad de la me nte humana" que gracias a ella se revela com o tal. La denuncia de Lakatos no iba, pues, desencaminada. Pero cuando pudiera esperarse que de ella se siguiera una cierta desacralización, nos encontramos con que la denuncia apuntaba más bien a ciertos elementos exteriores que pudieran corromper esa historia sagrada. Es necesario volver al interior, sin referencias cul turales exteriores; tan sólo basarse en el propio diálogo interno del discurso mate mático. "Al con siderar la historia de la ciencia, si nos ponem os a ver cóm o se han pro ducid o alg unas de las refu ta cio nes [de hip óte sis] más célebre s, te nem os que concluir bien que algunas de ellas son m anifiestamente irracionales, bien que d es 1 Citado por Dictionary o f Scienlific Biographies ( 1981: 11 & 12: 109).
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cansan en p rincipios de racionalidad radicalmente dife ren tes"1. Pero com o tanto una posible fundamentación irracional de la ciencia como una proliferación de racionalidades parecen ser meros impensables, la historia de la matem ática habrá de ser enton ces ‘racionalm ente reconstruible’ desd e criterios exclusivam ente inter nos, según patrones propios de objetividad. Y si "...historiadores respetables han dicho alguna vez que la suerte de reconstrucción racional intentada aquí es una caricatura de la historia real.—del modo en que las cosas ocurrieron realmente (...)— igualme nte podría decirse que tanto la historia como el mo do en que las cosas ocurrieron realmente sólo son caricaturas de la reconstrucción racional." (Lakatos, 1981: 16). Qu e sociólog os, psicólogos e historiadores se entreteng an, si les place , en ara ñar la superficie del pulido discurso matemático; no podrán entrar en él, pues se basta a sí m ism o para proporc io narse un "le cho de ro ca firm e" (1981: 17). La lúcida crítica lakatosiana al formalismo — por necrófilo, amigo d e tratar sólo con cadáve res ya fríos— y a la "image n autoritaria, infalible e irrefutable de las ma te máticas", que ha "constituido la orgullosa fortaleza del dogmatismo" (1978: 1920), le conduce, al cabo, a una reescritura incesante de su historia que, como la neolengua orwelliana, borra toda huella ‘externa’* toda contaminación de elemen tos profanos. Lo cu al tiene, entre otras ventajas, la de que allí donde a los m atem á ticos que en la historia han sido se les presentan auténticos m ons truos (ma gnitude s i-racionales o imaginarias, series insumables o funciones sin derivada) sobre los que proyectan sus demonios particulares y colectivos, a Lakatos sólo le asaltan mo nstruos aleg res y confiados, edificantes ejercicios de estilo: erizos po liédricos o mujeres embarazadas que no por ello tienen dos cabezas, aberraciones de salón sobre las que afinar su muy racional "método de ajuste de mon struos". Las sugerencias d e Spen gler para una historia relativista de las m atemáticas han tenido sus posteriores cultivadores, aunque po r lo general la m erm a en la bri llantez del m aestro no se ha visto compensada con el deseab le aum ento de rigor. Un desarrollo sistemático de las hipótesis de Spengler sobre las matemáticas lo intenta Colerus (1972-73), pero su Breve Histo ria de la s m ate m átic as sólo añade a las vulgatas al u so las salpicaduras de cierta fraseolog ía spe nglerian a y la carica tura de alguno de sus tópicos m ás célebres (biologismo, almas epocales...); a cam bio, pie rd e de vista el rico entramado que despliega la vasta eru dic ió n exhib id a en La decadencia de O ccid ente , para acabar traicionand o a su au tor en lo m ás íntimo: sus mónadas culturales se acaban resolviendo en "la mónada de las mónadas, Dios", y el lúcido escep ticism o de aquel maestro de escuela desem boca en su dis cípulo en el habitual paseo heroico po r la historia de "la gloriosa y auténticam ente soberana ciencia de la matemática" (vol. II; 197). Otra vez nos sale al paso aquel nuevo monoteísmo y aquella historia sagrada con que soñara Comte y que advir tiera Serres. 1 I. Lakatos, "Falsificalion and the Melodology o f Scientific R esearch Programmes", en I. Lakatos y A. Musgrave (eds.) (1970: 114).
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A ese otro speng leriano qu e es Ortega, al que v eíamos indag ar las fuentes de la matem ática aristotélico-euclídea en el conjunto de creencias qu e aluneníaiL— de las que ‘m am a’— el m odo de pensar griego, parece abandonarle toda distancia crítica al encarar ya la m atem ática que arranca de D escartes y L eibniz. C on éstos, los ‘prejuicios’ y la ‘sinrazón’ dejan bruscamente de deslizarse bajo el suelo de las m atemáticas. La ma temá tica moderna ya no ‘m am a’, como la griega, de l sub suelo inconsciente de su época; por el contrario, parece descender ya en tera en "la revelación con que Descartes fue favorecido" (1979: 14). Para ese burgués ilus trado que no de jaba de se r Ortega, la razón b urguesa ya no es otra razón histórica, como la griega o cualquier otra, sino mera razón moderna, ‘la’ razón por exce lencia. Si en sus prolongac iones idea listas la iconoc lastia de Spe ngler nos ha traído de nuevo la fe progres ista en el avance lineal, mo nolítico y universal de una m ate má tica incondicionada, an áloga decepción apo rtará también su prolongación apa rentem ente inversa. La m oda m arxista de los años 60 y 70 y la esclerosis escolás tica que le permitió alcanzar prestigio y poder académico, hacen ya casi imp osible leer una historia actual de la matem ática donde no aparezcan u na crisis económ ica o un auge del com ercio que, salpicados ad hoc, acom pañen a éste o a aquél desarrollo matemático. Menos habitual es hacer, como Sal Restivo y R. Collins (1982: 277), de esas salpicaduras programa y, menos aún, "asumiendo el objetivo de Spengler de explicar las matemáticas en términos de las particulares formas sociales e históricas en que se producen". Restivo rescata a Spengler de su apropiación por el nacismo, despojándole de ‘almas colectivas’ y metáforas naturalistas, para traducirle en términos de relaciones de producción y de lucha de clases. Ahí ya las matemáticas, como "todas las actividades humanas, pueden conc ebirse com o estrategias enraizad as en la lucha po r la supervivencia, el poder y el privilegio” (1983: 130). Pero con esta inversión, todo lo que en Spe ngler era pasió n por la dif erencia y por la s in te r-dete rm in acio nes de cada im agin ario cultu ral, en su revisión económ ico-m aterialista se acaba subsum iendo en la u niversa lidad de sus determinaciones favoritas: necesidades prácticas, expansiones com erciales, estrategias de dom inio... que, al cabo, sólo pueden da r cue nta de los diferentes grados de desarrollo, más o menos progresados, de una sola y verda dera matemática. Pero lo más grave es que tales determinaciones no determinan nada, de tanto determinarlo todo. Así, p.e., la invención del cero por la matemática hindú y su énfasis en los grandes núm eros se explican com o "símbolos de un a retórica m atem ática destinad a a aterra r a los oyentes en una actitud religiosa" (1982: 282) de la que saca ba provech o la clase sacerdotal dom inante. De donde una de dos: o bien las restantes c ivilizaciones antiguas que, com o la egipcia o la m esopotámica, sí ignoraban esos símbolos carecían de clase sacerdotal dominante (!); o bie n su supuesta estrategia del terror pasaba por el uso de otros sím bolo s, con lo que volvemos al principio: ¿por qué sólo los hindúes manejaban precisamente esos símbolos?. O tro tanto pu ede decirse de la supuesta ‘incapacidad para la abs tracción’ de la m atem ática clásica china, que para Restivo habría venido forzada
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por una cla se intele ctual dom inante em peñada en m antener la nota ció n m ate m á tica ligada a la escritura ideográfica, cuya dificultad la hacía inaccesible a ‘las m asa s’. Ca bría, sin em barg o, ob jetar que en al caso chino la tal ‘incap acidad pa ra la abstracción’ bien pudiera verse —con algo menos de etnocentrismo— como ‘capacidad para no abstraer’ y que emergencias como la de los ‘números negati vo s’ (en la que ni repara) surgen p recisam ente ligadas a modos pop ulares de cál culo y adivinación. P or análogo método de e xplicaciones externas un iversales, el divorcio mano/cerebro, que impone la división del trabajo en las oligarquías griegas, y la expansión comercial ‘dan cuenta’ del tópico ‘milagro matemático griego’: al parecer, todas las restantes civilizaciones desconocían la división del trabajo. Las ‘necesidad es práctica s’ — cálculos com erciales, agrim ensura, adm i nistración, etc.— son el pen últim o refugio explicativo de este m aterialism o tan extendido como grosero. Poco im porta que para ello los conceptos de ‘nece si da d ’ y de ‘pr ác tica’ hayan de e stirarse hasta el punto de alojar la arbitrariedad y la inutilidad más flagrantes. Con tal de que se sigan llamando ‘necesidades p rácticas’, caben desde la s especulaciones m ís ticas hasta los usos — ¿de efecto retroactivo?— que sólo generaciones posteriores sabrán dar a lo que nació de necesidades estrictamente formales (p.e., la teoría de grupos). El último refu gio metodológico lo procurará el recurso a la dialéctica. Acaso así pueda decirse que "los infinitesim ales, engendrados primeram ente en los debates de teólogos y escolásticos, se introdujeron [con Newton y Leibniz] en el proceso productivo" sin v iolar no obstante nin gún principio del m ate ria lism o his tórico. Cuando hace falta para que el prejuicio m arxista funcioné, se pone a la super estructura determinando a la infraestructura y se recurre a la negación de la negación. Este singular método permite construir historias de las matemáticas como la de Ribnikov, donde puede asistirse al despliegue de "las leyes objetivas del desa rrollo de las m atem áticas". En tan sólo diez páginas (1987: 9-19) se presenta todo un catecismo sobre necesidades prácticas retroactivas, luchas de clases donde "lo nuevo irresistiblemente vence" (bastando con entender por ‘lo nuevo’ lo que acabará venciendo), o el "heroísmo de los científicos" (de nuevo el uni versal santoral com tiano) y "ante todo de los científicos naciona les". En su pre tensión de verdad exclusiva p ara "la ciencia m arxista-leninista con la aplicación del m aterialism o dialéctico", cab en enunciados tan poco idealistas com o ”la lle gada de la Edad Media" (p. 118) o que las teorías matemáticas preceden al m étodo m atem ático (p. 9). Tras sem ejante declaración de p rincipios, el resto de la obra ya puede entregarse a reproducir sin mayor obstáculo las habituales y espontáneas ‘descripciones’ positivistas. Como señala Clastres (1981: 170), estas m etodologías "bailan una robusta danza cuyos grandes zuecos claveteados golpean con rudeza el suelo de la investigación”. Ese "penoso lenguaje de madera", articulado por auténticas categorías bulldozer, no es, sin embargo, pri vativo del marxismo, y se extiende en particular a otros intentos de emprender una antropología de las ma temáticas.
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13. Dificultades pa ra un a antropología de las m atemáticas Una disciplina que, en principio, parece po der ofrecer enfoques y m etodolo gías especialm ente adecua das a un a arqueología de las matemáticas es la antropo logía; en especial, a partir de los estudios de Lévy-Bruhl y de Lévi Strauss. La m atemática occidental m oderna se rige — o, al menos, así supone hacerlo— por los princip io s de id entidad, no contradicció n y tertio excluso, qu e sirven de criterio ya para la definició n de sus concepto s, ya para la construcció n de sus d em ostracio nes. Para nuestro propósito no es tan interesante que últimam ente se hayan construido otras lógicas de laboratorio, que suspenden o matizan alguno de esos principios, cuanto que esas desviaciones hayan podido da r lugar a otras lógicas — y a otras matemáticas— culturalm ente enraizadas y compartidas por poblaciones enteras o épocas históricas concretas. Para Lév y-Bruhl, el pen sam iento primitivo se basa en el ‘principio de pa r ticipación’, según el cual un ser puede ser a la vez él mismo y otro (un hom bre y su animal totèmico, p.e.) o estar sin contradicción en dos lugares (p.e., donde duerme y allí donde transcurre su sueño). Lo que no implica que se trate de un pensam ie nto aló gico ni antilógic o, sin o que no se re stringe, com o el nuestro, a evitar la con tradicción: "lo que es pa ra nosotros im posible o absurdo, es admitido a veces por la me ntalidad prim itiva sin percibir en ello la me nor dificultad". Así, en la medida en que las distinciones posible/imposible o admisible/absurdo determinan los modos y contenidos matemáticos, se entronca el discurso mate mático en el imaginario cultural, cuyas vicisitudes iría compartiendo. No sólo diferenciando un imaginario prim itivo y otro civilizado, sino asumiendo, como ya hiciera Bergson, que la lógica del primero subsiste en los pliegues de la del segundo. La antropología parece ponernos de esta manera en condiciones de pensar no sólo otras m ate m átic as — com o ya hic ie ra con otras m ora le s u otras razones— , unas m atemáticas que ya no fueran me ros tanteos em píricos o ‘inge nuas desviaciones’ de la nuestra, sino también el absurdo de tantas evidencias que se tuvieron por tales o la evidencia de tantos absurdos que fueron dejando de serlo al correr de las épocas. Esta imbricación de lógicas también es patente para Lévi-Strauss. Incluso su com paración de la actividad científica con la mág ico-mítica del bricoleur (1964: 24-43) (obligado como está a trabajar con residuos lingüísticos y a elaborados que él va articulando a su manera para dotarlos de significaciones nuevas) debería ser aún más relevante para la m atem ática, pues ésta — al mane jar un material estricta mente lingüístico— no ha de so m eterse, como sí las ciencias empíricas, a la ter quedad de unos hechos supuestamente exteriores. En lo que tiene de mitología fósil, de imaginario congelado, el discurso matemático es campo bien abonado para el análisis antropoló gic o. D e él puede decirse, y con m ayor razón, lo que Schelling afirma del lenguaje en general: "Estamos casi tentados de decir que el lenguaje [matemático] es una mitología privada de su vitalidad, una mitolo gía, por así de cirlo, exan güe, y que sólo ha con
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servado en estado abstracto y formal lo que la mitología contiene en estado vivo y concreto"1.
Y también Nietzsche (1990: 27) intuye en las matemáticas el precipitado de una actividad poética desecada, el residuo acartonado de las metáforas que estu vieron en su origen y luego cayeron en el olvido para dejar a la vista tan sólo su esqueleto desencarnado: "El gran edificio de los conceptos ostenta la rígida regularidad de un columbarium romano e insufla en la lógica el rigor y la frialdad peculiares de la matemática. Aquél a quien envuelve el hálito de esta frialdad, se resiste a creer que también el concepto, óseo y octogonal como un dado y, como tal, versátil, no sea mas que el residuo de una metáfora".
Pero el hombre olvida esa metáfora que "si no (es) la madre, sí (es) sin em bargo, la abu ela'1de cualqu ier concepto, y en particular de los conceptos m ate má ticos. R esca tar del olvido a la abuela sólo es una operación desm itologizante en la medida en qu e su descendencia — los fríos conceptos m atemáticos— ha hecho de es e olvido un m ito: el mito de la verdad sin tiempo ni lugar de las ma temáticas, el mito de su independencia de los orígenes. Pero tal rescate sería mas bien una operación propiamente mitologizanie, pues restituiría a las matemáticas la savia poética, artística, popular, de ese "fogoso to rrente primordial" que está en los orí gene s de sus conc eptos y operaciones. Y, efectivamente, el desafío de una antropo logía de las ma temáticas tamb ién ha sido aceptado recientemente, aunque tan sólo en casos bien excepcionales. Sobre los esperanzadores comienzos de esa nueva disciplina que es la etnomatemática sobrevuela, no obstante, esa sombra etnocéntrica que hace p rim ar el saber mod erno sobre ‘la velocidad del co nce pto’ (según la disyuntiva del ‘principio de indeterminación matemática’ de Serres) por encima del análisis interior de su emergencia. El acercamiento del matemático-antropólogo R.L. W ilder es, ciertam ente, un caso extrem o, pero significativo. Su propósito inicial es bien cercano al nuestro: "Los propios m atemáticos parecen inclinados a ignorar u olvidar la naturaleza cultural de su trabajo y ae m pap arsc de la sensación de que losc on cep tos con los que tratan tienen una ‘realidad ’ exterior al medio cultural, en una suerte de m undo plató nico de las ideas. Así, a algunos m atemáticos parece faltarles el atisbo que los físicos m odern os sí han alcanzado: recono cer que incluso sus observaciones, tanto como sus con ceptos, están teñidos por el observador. ¿Cuánto m ás no será éste el caso de las ma temáticas, do nde lo conceptual ha ido ganando primacía sobre lo observable? (...) Me he pro puesto estud iar la subcultura matem ática desde el punto de vista del antro pólogo más qu e del matem ático'1(1987: XII y XIV).
1 F. W. Schelling, Iniroduciion à (1982: 62). El corchete es nuestro.
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la philosophie de la mythologie, citado por G. Bachelard
Así, si los antropólogos parecen retroceder ante el ‘mito matemático’ ¿por qué no avanzar los propios matemáticos pertrechados de una metodología antro pológica como la de aquéllos?. Pero aquí es donde el mate mático evidencia sus carencias y, sobre todo, esa falta de sen sibilidad que sí ha ido superando la antro pología. ¿Cóm o puede em prenders e un análisis antropoló gico de las matemáticas a partir de un m odelo teórico que incorpora una parte de d ía s com o elemento fijo incorporado al modelo de análisis? La matemática, que se quería culturizar, queda así, por hipótesis, naturalizada, y a antes de em pezar siquiera a pensarla. La herra mienta analítica de W ilder — que, con todo, al menos la tiene— es una fantástica mezcla de álgebra vectorial y darwinismo. El sistema cultural se concibe como un sistema de ve ctore s1, cad a uno de los cuales (agricultura, religión, intereses petro líferos,...) está dotado de magnitud (número de personas concernidas, dinero a su disposición, etc.) y sentido (!). El subsistem a cultural qu e constituyen las m atem á ticas se representa po r un sub sistem a de vectores (geom etría, algebra, topología...) del anterior, y su evoluc ión da lugar a una serie orde nad a de sistemas vectoriales en la que los vectores crecen en ma gnitud en distintas proporciones: en una époc a el vector geom étrico crece ráp idam ente m ientras que los otros perman ecen virtual mente estáticos, en otra época el vector del análisis empieza a acelerar su creci miento..." (1981: 16). El c riterio para seleccionar tales vectores corta por lo sano: están determ inado s po r la relación de disciplinas incluidas en la clasificación de las ciencias matemáticas de la M ath em atical R eview. Pertrechado de un modelo mate mático tan particular para sond ear el sustrato no-m atemático de las matemáticas, y apostado en una perspectiva tan transcultural como ésa, no es de extrañar que sólo se llegue a ver lo que se veía venir. Basta "pasar por alto pequeños detalles" (sic), como todas las matemáticas que en el globo y la historia han sido, salvo las occiden tales más m oderna s (es decir, pasar por alto todas las matemáticas que sus citarían el interés de cualq uier antropólogo si supiera cómo poder pensarlas desde su disciplina), para que el modelo funcione. Por si no fuera ya bastante el sesgo del modelo, la fuerza que Wilder supone dinamizan do a los pocos vectores que ya quedan tras semejante reducción resulta ser la tan ‘universal’ str uggle f o r life: la lucha entre las especies matemáticas señala la suma y resta de vectores — "justo como en la evolución biológica"— , cuyo catálogo de supervivientes podemos ojear en la M ath ematical Review. Al cabo, lo que parecía poder dar al traste con la historia de la matemática como his toria sagrada, mediante una hábil conjunción con la biología consigue presentar esa historia sagrada com o auténtica historia natural. Las "diez leyes que — para W ilder— gobiernan la evolución (sic) de las matemáticas" (pp. 126-148) podría firmarlas el intemalismo más estricto: la ‘cultura exterior’ no cumple más papel que el de retardar/acelerar el progreso de unos conceptos, métodos y teorías que desde siempre estuvieron ya ahí, más o menos larvados, y que a la postre habían de term inar triunfando. Tras un viaje de recorrido nulo, la que emp ezó como cru 1 Al modo del sistema de análisis concebido por L.A. While (1975).
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zada contra "el platonism o típico de los m atemáticos" termina po r otear un paisaje ma temático qu e, lejos de de berse a las culturas que lo levantaron, pre-existe a ellas y, atravesándolas, se les impone desde fuera: "Po r ejem plo, cuando los números complejo s ‘levantaron sus feas cabe zas ’ no fueron c onside rados respetables pero, com o insistieron a lo largo del tiempo en intro ducirse en las matem áticas respetables, finalmente se les encon tró alojam iento: ellos lo forzaron literalmente” (p. 17).
¿Cómo iba a verse desde esa perspectiva que los ‘números complejos’ no nacieron ya siendo números, sino operaciones (y, por tanto, sin cabeza que levan tar), y m eno s aún números complejos, concep to que no aparece sino al final de un a serie de transformacio nes, fusiones y abdicaciones conce ptuales de raíz netam ente cultural? ¿Cómo ese teleologismo matemático puede admitir que la ‘respetabili dad ’, y m ás la de un conce pto, no es algo que éste conqu ista si lucha lo bastante, sino un valor que tan pronto se le otorga com o se le niega en función de los vaive nes axiológicos? Porque los supuestos complejos fueron bien respetables, aún cuando ‘feos y de scab eza dos ’, para la estética manierista a cuyo calor se con jetu raron. Y sólo les perdió el respeto, antes de recuperarlo de nuevo, pero ya siendo otra cosa, el posterior racionalismo burgués, para el que tan sólo eran ‘imagina rios’. Ante la seguridad que aportan modelos tan fuertes, como éste platònicodarwiniano, ¿para qué molestarse siquiera en ir a los textos donde los presuntos hechos ocurrieron?. S iendo los hechos matemáticos puros hechos textuales, acon tecimientos que transcurren en los textos, asombra constatar cómo historiadores, sociólogos o antropólogos de las matemáticas suelen recurrir a versiones moder nas, cuando no a meras descripciones generales, en vez de ir a leerlos allí donde todavía están emergiendo: en los propios textos donde se han ido diciendo/ haciendo. Aunque la antropología de Cassirer sea más filosófica que, ciertamente, de campo, de su excepcional erudición, de la amplitud de sus conocim ientos m atem á ticos, de su sensibilidad hacia el hombre como ‘animal simbólico’, y de su volun tad de pon er en relación todos los elementos — artísticos, científicos, lingüísticos, mitológicos... ¡y matemáticos!— de la trama de simbolizaciones que le constitu yen como tal, no parecería mucho esperar que el discurso matemático saliera un tanto relativizado. Sin embargo, del encuentro entre su fascinación por ‘la’ mate mática y los tópicos del idealismo alemán no saldrá sino una matemática que se concluye como "la verdad, a secas", voz privilegiada del espíritu qu e p eno sa pero irrefrenablem ente se de spliega en el curso de la historia. Com o sue le ocurrir, tam bién en C assirer los fines está n ya escritos en los medio s, el m éto do de búsqueda prefigura lo s ra sgos del hallazgo, si es que éste no se va construyendo al hilo mismo de la aplicación del método. Como en aquel cuadro de Magritte, el paisaje esta pintado en los añicos del cristal de la ventana conceptual: categorías trascen dentales, entendimiento puro, concepto "exacto" de número, principio dialéctico
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del progreso, emancipación de la razón de las ataduras de la sensibilidad y de la intuición... no pueden tran spa ren tar más paisaje que el que desde el principio h abía de verse. El concepto de número es el que guía la crítica cassireriana; su tratamiento simbólico actúa efectivamente como vector disolvente, relativizador, aunque al cabo la distinción de diferentes ‘funciones simbólicas’ (‘expresiva’ en el número del lenguaje natural, ‘intuitiva’ en el número mágico-mítico y ‘significativa’ en el de las ciencias) permita al núm ero — ahora ya en su concepción m atem ática moderna y, por tanto, heg elianam ente definitiva— ir escapando a toda esa ca dena de determinaciones sim bólicas p ara resurgir como "el núm ero en sí". Sin em bargo, la insólita amplitud de su propósito, y del recorrido que le lleva — no ob stante— a tan previsibles conclusiones, ofrecen notables sugerencias. La ‘función mitológica’ (E. Cassirer, 1976: II: 180 ss.) del número asigna a cada núm ero un tono em otivo y un co ntenido intuitivo particulares, que im pregna n Id numerado hasta el punto de q ue d os representaciones que participen de ‘el c ua tro’, p.e.. como la cruz y los puntos cardinales, tienen m ás esencia com ún qu e la que puedan com partir ‘el cu atro ’ y ‘el tres’. "Ha sta en la esfera más b aja (sic ) del pensam iento mítico", la m ágic a, el aura que ro dea a cada número le aís la de los otros tanto como le vincula a su mundo particular. Estamos en las antípodas del ‘número m oderno’, al que no parecen afectar sus muy diferentes fund am entaciones — Cantor, Dedekind, F rege, Russell, Peano, Hilbert,...— para que C assirer lo considere com o algo al fin "absolutamente hom ogéneo y uniforme”, pura serie de unidades equivalentes, indisting uibles entre sí, cuya significación universal es fun damento de una legalidad igualmente universal (tan ‘universal’ como la legalidad mecá nica o la denrfocrática, cuy as masas, que se constituyen también po r la m ism a época, no son menos hom ogé neas y uniformes, pura serie de unidades equivalentes e indistinguibles). M ás aún, C assirer pone buen cuidado en sentar que no estamo s ante dos aritméticas, una mágica y otra... ¿burguesa? Eso sería algo "que, de ser tomado en serio, tendría que destruir la unidad metodológica de la matemática" (III: 466), lo cual, como diría Ortega, es impensable... porque es precisamente lo que permite pensar... a cierto tipo de pensam iento. Sin em bargo, esta función m ito lógica del núm ero es la que v eremos operar en la emergenc ia de esa forma de negatividad china que, establec iendo afinidades m ágicas y cosm ogónicas entre ciertos números, construye una serie de oposiciones en un grupo cociente que no tendrá correlato en la matemática ‘significativa’ europea hasta veinte siglos más tarde. Como si careciera de una razón de peso que argumentara por sí sola esta tajante escisión, C assirer se ap resura a am ontonar ‘explicaciones’, com o co nfiando en que su amontonamiento, aunque contradictorio, dé cuenta de lo que no alcan zaba cada un a por sepa rado (I: 185). Primera explicación: no se trata de una mate mática mágica y otra m oderna, con lo que resultarían dos m atemáticas, sino de una "concepción mágica" y de "la concepción matemática": los números, operaciones, cálculos, métodos y reglas de la primera no son propiamente tales. Comoquiera que una afirmación así parece dem asiado fuerte, pues desde los m ismísimo s pita góricos hasta num erosos m atemáticos ya del s. XVII trabajan con una y otra m ate
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máticas sin saber que son d os, o que la una lo es pero la otra no, inm ediatamen te aparece como segunda explicación la del doble pen sar orwelliano, u na suerte de esquizofrenia específica que habría afectado tan sólo a los matemáticos pero durante veintitrés siglos enteros: el mejor algebrista del Renacimiento, "Cardano, representa del m odo m ás particular e históricame nte interesante este tipo de doble pensam ie nto " (acaso los núm ero s im agin arios, que él trajo al ser com o quantitas vere soph istica, no fueran sino uno más de sus delirios esquizoides y todo el álge bra m odern a a la que ellos dan pié — Wessel, Argand, Gauss, H am ilto n...— deba su origen a la tardía invención del manicomio). Tampoco esta explicación debe pare cerle de re cib o y le fa lta tiempo a Cassire r p ara acum ula r una te rcera , ya defi nitiva: en el estercolero del nú m ero m itológico ya palpitaba la ‘larva’ del ‘núm ero puro’, "esfo rzándose por escapar a la estrechez y constreñim iento de la cosm ovisión inmediata, cósico-sensible, para orientarse hacia una concepción total ( sic ) universal (sic) más libre (sic)". Este ‘larvismo ’ es luga r común com partido por los ya de por sí escasos estu diosos que se aventuran a rebuscar las raíces de las matemáticas escarbando en el humus cultural del que se n utren. Todo su escrúpulo se aplica a no tirar el niño con el agua del baño, dando por supuesto que el niño nació siendo ya niño y que el agua del baño sólo vale para tirarse. Así, de los dos m ome ntos propios de cualquier pro ceso sim bolizador, el de focalización (o condensación, en tom o a u na cierta repre sentación, de cierto de sajuste concep tual) y el de evocación (de contenidos, cons cientes o inconscientes, proyectados sobre el foco), tan sólo se retiene el primero y se desprecian del segundo cuantas proyecciones originarias pudieran alterar las actuales del propio estudioso, que así puede ver — allí y entonces— lo que sus creencias — aquí y ahora— requieren para confirmarse como un iversales y nece sarias, para garantizar, en este caso, "que el concepto exacto (sic) de n úm ero pued a tomar forma" (I: 197).. El recorrido de Ca ssirer por las lenguas m ás exóticas (I: 195-223), para con templar cómo cada una de ellas construye eso que acabará siendo "el núm ero", nos muestra m algré lui una Babel matem ática fascinante: series numéricas diferentes según el verbo que p ropicia la acción de co ntar (lengua klamath) o los rasgos de lo contado (lengua tsimshia ); im posibilidad literal de num erar sin toca r (los bakairi ); núm eros colectivos no desag regables en un idades adicionables (como los que per m iten a los abipones sab er si falta una res en un rebaño de quinienta s sin saber co n tarlas una por una) y en eso sem ejantes a los de nuestra arimética transfinita; indis tinciones gramaticales entre singular y plural (lenguas altaicas) o distinciones graduales mucho más sutiles que la m arcada por aquella simple polaridad ( como la distinción singular/dual/plural-limitado/plural-múltiple); formas verbales cuya conjugación ignora el número de sujetos que ejecutan la acción pero es sensible al de objetos sobre los que recae (lengua nuba) o al carácter múltiple o reiterado de la acción m isma (lengua tagala)-, o aritméticas basadas en series finitas de núm eros ‘naturales’, como la serie "1, 2, 3 ó 4, muchos" de los kiwai. Este caleidoscopio aritmético-lingüístico ciertamente "apunta a todo menos a lá hom ogeneidad", p ero a la postre:
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"...la suma suma d e todas e sas perspectivas particul particulares ares,, y en cierto mod o unilateraunilaterales, que el lenguaje adopta respecto del concepto de número, viene a constituir en última instancia una totalidad y una relativa unidad" (I: 198).
De esta manera nos las habernos con una suerte de meta-aritmética, capaz de sumar incluso lo que acaba de reconocer como "todo menos homogéneo": esas unidades suyas que serían las aritméticas aritméticas históricas concretas. Qu e tal su s u p e raritmética no sólo no sea contradictoria sino que tampoco sea otra aritmética entre las demás debe de contarse entre las ventajas de hablar ‘en última instan cia’. Au nque la tal ‘últim ‘últim a instan cia’ no pase de ser la me ra universalización universalización de una forma forma bien co ncreta de razón, y en particular particular de una bien c oncreta aritm aritm é tica, tica, que ha declarado im pens ables, po r borrosas, borrosas, a las las restantes. restantes. V eamos un sig nifica nificati tivo vo ejemp lo. En las lenguas m alayo-polinesias la categ oría gramatical del número no marca el plural respecto de un singular no marcado, como ocurre en las indoeu ropeas, sino que la forma no marcada del sustantivo sustantivo indica un núm ero que rebasa nuestro singular pero no alcanza nuestro plural; así, ‘hombre’ no designa ni a un hom bre con creto ni al al conjunto de todos los homhres, al homb re en abstracto sino, como el mismo Cassirer traduce, a "hombres a quienes se ha visto y se eenoce"; los equivalentes a nuestros singular y plural se forman m a r ultiplicidad indiferenciad a’ m ediante adición, bien cando eso que él con sidera ‘m ultiplicidad de partículas individualizantes bien de nombres colectivos. Pero el referente empírico de esa forma no marcada, que la percepción burguesa no sabe ‘diferen ciar’, es hien cenereto para el hablante de estas lenguas, es más, ese referente funda los mismísimos criterios de unidad y de diferencia: se trata del hecho de la comunidad. Donde ciertas lenguas, y sus aritméticas, pre-su-ponen la comu nidad, y no el individuo, individuo, com o eleme nto social social y conc eptual básico, otras, otras, que sí han toma do la Ba stilla, stilla, lo que po p o n e n b a jo su pensamiento y su aritmética, so po p o rtá rt á n d o lo s , e s un p lu r a l i n te g ra d o p o r a g re g a c ió n d e s in g u la re s in d iv id u a le s , indivisibles, homogéneos, intercambiables y sumables. Se trata de pre-juicios o pr p r e -c o n c e p to s d if e r e n t e s , e n a b s o lu t o d e q u e a q u e lla ll a s le n g u a s " a ú n n o h a n d e c i dido entre ambos" (singular o plural), como si alguna necesidad les hubiera de com pelir a hac erlo1. erlo1. El recorrido de Cassirer, en un tercer momento (III; 331-471), por la mate mática moderna puede ya así ser un apacible paseo por el jardín de las ‘formas
1 Una considera consideración ción semejante semejante de loc olec tivo com o unidad, unidad, social social y aritmé aritméti tica, ca, se se da en la len yoruba, hablada por unos treinta millones de habilanles entre Nigeria y Togo. Según H. Watson gua yo yoruba proyectan la di(1990), esas construcciones verbales — no adjetivas — que son los números yo mensión comunitaria comunitaria sobre los objetos. D e modo que su sistema sistema numeral numeral no com ienza con el ‘uno’ sino con agregados, de los que sólo después, por un proceso de desagregación o sustracción, se van produciendo fractura fracturas, s, mediante el uso concurrente de las bases veinte, die z y cinco. Quedan así desautorizadas izadas generalizaciones generalizaciones ap resuradas com o las de Cassirer o las las de M. Ascher y R. Ascher (1986), para quienes "todas las palabrasnúmeros son nombres dados a 1, 1+1, 1+1+1, etc." (p.126). Sólo el inconsciente scient e democrático dem ocrático de la burguesía burgue sía ilustrada ilustrada dará dará carta carta de naturaleza naturaleza a una construcción d e lo numéric n uméricoo tan tan ideológicam ente sesgada. sesgada.
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matemáticas puras’, al abrigo de la exuberante jungla simbólica primitiva y de las am enazad oras resonancias de la m atemática m ítico-mágica. ítico-mágica. A quí ya no habrá ni determinaciones lingüísticas ni proceso simbolizador propiamente dicho: de repente ha desaparecido todo el caudal de evocaciones magmáticas inconscien tes y se ha accedido "al campo de la significación y validez puras" (III: 334). Aunque se siga em pleando, por inerci inercia, a, el término 'símbolo m atem ático’, en rea lidad nos hemos asentado en el plácido ámbito del sig s ig n o , donde el sentido ya transita sin sin zoz obras po r las amplias autopistas de lo arbitrario, linea l, sintáctico y codificado sin ambigüedad. El programa formalista de Hilbert será el que rea lice este ideal, pues permite "asegurar para siempre el poder estatal de la mate m ática frente a todos los golpes de estado estado qu e se han han inten tado co ntra el análisis análisis clásico" (III: 450). Que, en el m ejor de los casos, casos, tal tal programa sólo funcione con lo encontrado, como el m ismo Ca ssirer reconoce, pero sea sea incapaz de dec ir nad a sobre el encon matem ático, pod ría ser una seria seria objeción objeción p ara este tipo tipo de idealismos idealismos teleoteleotrar matem lógicos si pa ra ellos ellos la construcción construcción no se redujera redujera a mero en cuentro, sim ple des cubrimiento de lo que siempre estuvo ahí previamente cubierto. Desd e el presente hipostasiado, toda indagación sobre el subsuelo matemático está definitivamente condenada al fracaso, pues "en las matemáticas los nuevos hechos no aparecen simplemente junto a los viejos, sino que alteran y transforman interiormente el aspecto de éstos, im prim iéndo les otra otra forma de conocim iento" (III: (III: 464), al "expli"explicitar su esencia" (III: 459). Como prueba la sucesiva aparición de ‘elementos idea les’ (números irracionales, magnitudes imaginarias, elementos impropios...), cada nuevo co ncepto redistribuye redistribuye signif significad icados os y reorganiza sentidos, sentidos, rem ueve el suelo que alimentó a cuantos aparecen ahora relacionados con él y borra así cualquier rastro suyo. N o dis-curso , sino re-curso, la m atem ática no tiene tiene o tra génesis que su génesis lógica. El símbolo matemático es justo el anti-símbolo: congela el fluir de evocaciones que despertó un problema abierto, petrifica la reverberación de signi ficados que se movilizaron en su solución y obtura todo el trasiego de sentidos en que consiste propiamente la actividad simbólica. La actividad matemática se nos acaba reveland o "com o un a y la misma, misma, com o totalidad totalidad indestructible" indestructible" (III (III:: 470), y en consecuencia inanalizable. Es al final de tan extenso viaje cuando descubri F iloo s o fía fí a d e l a s f o r m a s s i m mo s que la inclusión inclusión de las formas matem áticas en una Fil sitio. N o es posible bólicas no ten ía otra función que la de m ostrar que no era ése su sitio. su crítica ni su su interp reta ción ; más aún, no tiene tiene n se ntido1 ntid o1.. '..JJna.actualización de los dalos, y también de las tesis, de Cassirer puede verse en T. Crump (1990)„.Aquf el a priori universalista neokantiano se ve remozado con sus versiones piagetiana y chomskiana. U na sensibilidad mas atenta atenta a las las diferencias que a este este tipo de re ducciones a una última instancia, instancia, que se postula com o apriori. es propia propia de las recientemente llamadas etnoc iencias. Pero, una una vez más, como señala d'Ambrosio, apenas se hecho nada en el campo de las etnomatemáticas; y, por desgracia, lo poco que se hecho se orienta preferentemente — y paterna pate rnalme lmente nte— — a m ostrar ostrar cómo los pueblos primitivos son capaces también de unos grados de abstracción matemática que, por su seme jan ja n za con co n los nuest nu estros ros,, son so n ‘dign ‘di gnos os'' de hom ho m olog ol ogac ació ión. n.
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1.4. La imposible hermenéutica de las matemáticas Una aproximación lingüística, semiótica o incluso hermenéutica al discurso ma temático acaso pud iera — como antes sugerimos— aportar un análisi análisiss privile giado giado capaz de vencer tantas resistencias como ha venido ofreciendo ofreciendo a otras otras disci pli p linn a s. D e h e c h o , y a se v ie n e n h a c ie n d o c o n fo rtu rt u n a a p ro x im a c io n e s d e e s t e tip ti p o hacia los discursos de las ciencias tenidas por más duras. Veíamos cómo análisis como los de Latour, Fabbri y Bastide muestran cómo los recursos retóricos con los que se elabora el discurso científico científico en poco diferencian sus argumentos d e los del discurso político, cómo su consideración retórica revela, en lo que parecerían sus objetos objetos m ás específicos, todo un trabajo trabajo de construcción literari literariaa que rebosa sen tidos tidos prestados de otros discursos, cómo — en fin fin— — se trata trata nada más, y nada menos, que d e obras literarias, de textos de ficción pletóricos pletóricos de artificios artificios verbales . Si esto esto es así para una s cien cias qu e se suponen ha blan de algo exterior a su prop io discurso, a lo cual se deben, cuánto más no habrá de serlo para un discurso que, como el ma temático, no nace con e sa deuda y goza de mucha m ayor libertad libertad para ir construyendo, en el propio acontecer discursivo, sus personajes/objetos y la trama trama argum ental de sus interacciones. Lo cual no quiere quiere decir que, como quería Cantor, Cantor, su libertad sea abso luta, pues esa m isma indeterm indeterm inación de sus referentes, esa vaciedad referencial de sus formas, lo atan de un modo singu lar al trasiego trasiego sim bó b ó lic li c o q u e teje te je el im a g in a rio ri o so c ial ia l q u e lo v a a lu m b ra n d o , h a c ié n d o lo m u c h o m á s pe p e rm e a b le a sus su s flu fl u jos jo s inc in c o n s c ie n te s . Sin emb argo no es ésta la orientación orientación do m inante en las las relaciones relaciones entre los los saberes del lenguaje y ese lenguaje que es el matemático. Salvo, una vez más, estimulantes excepciones, en lugar de aplicarse a su análisis suelen sumarse al pro p ro c e s o d e s u e d ific if ic a c ió n c o m o p a la b ra s a g ra d a . E l s u y o p a re c e s e r un m a t r i m o nio de conveniencia, en el que esos saberes inhiben su probada capacidad de pe p e n e tra tr a c i ó n , y se c o m p r o m e t e n a g u a rd a r la i m p e n e t r a b ilid il id a d m a te m á tic ti c a , a cambio de que ésta les preste la matriz que los alumbre como saberes científicos (teoría de conjuntos y teoría de grafos para las gramáticas formales, lógicas modales para el análisis textual de mundos p osibles, osibles , fórmulas estadísticas para recuentos sin cuento,...). A fin de que no parezca dejación, a lo que sí contribui rán tales disciplinas es a perfilar unos análisis lingüísticos ad hoc —aséptica mente formalizados para esta ocasión— que permitan desplazar la cuestión de los fundamentos al interior del mismo discurso que, tras las últimas crisis, busca fundam entación. Bien enten dido que, en el curso curso de estos estos trabajos, menos de ins pe p e c c i ó n q u e d e r e h a b i lit li t a c ió n , s e rá e l p r o p io tra tr a t a m i e n to l in g ü ís t i c o el e n c a r g a d o de borrar toda huella (retórica, etimológica, semántica, heurística ...) que delate en él el magmàtico origen y la temblorosa vida de los materiales, métodos y argumentos originales, hasta que todo el edificio produzca la impresión de estar so-portado por su propia azotea. Para Wittgenstein, estos acercamientos funda mentan las matemáticas "tanto como la roca pintada sostiene al castillo pintado" (1987: 319). Según él, ‘la irrupción’ —por ejemplo— de esa ‘maldición’ que es la lógica matemática no sólo no acierta a fundar las matemáticas sino que, como
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efecto perverso, "ha instaurado una interpetación superficial de nuestras formas de lenguaje corriente" (1987: 251). Estudios como el que describíam describíam os de S chuster no no pueden ir más allá del an á lisis lisis estructural de los desliza m iento s entre los distintos niveles niveles del discu rso (m ate otros ins mático, extra-matemático y más o menos m atemático) pues renuncian a otros trumentos teóricos teóricos más potentes — semióticos, hermenéuticos o simbólicos— que acaso sí permitan hacerlo. ¿Dónde está ese ‘discurso vivo’ del segundo nivel que Schuster distingue, en el cual se transparenta la práctica efectiva del hacer mate mático, antes de que el propio matem ático, o su su posteridad, posteridad, hayan tenido tiem tiem po de reescribirlo? reescribirlo? Ciertam ente ese discurso discurso apenas ha sobrevivido, sobrevivido, sepultado sepultado bajo toneladas de reelaboraciones. C ualquier ciencia emplea no pocos de sus esfuerzos esfuerzos en la orwe lliana lliana tarea de reescribir la historia historia de su hacerse en términos de hechos ya cerrados y afirmaciones afirmaciones limpias, borrando borrando c ualquier huella huella desde la que pu eda rastrearse rastrearse el tem blor de su con strucción1. strucción1. Pero e sa excursión excursión arqu eológica — que ha des-cubierto tantos tantos rastros rastros en las ciencias ciencias naturales naturales,, siguiendo a pioneros com o Foucault o Bach elard— se enm araña hasta casi casi la opacidad opacidad cuando las señales que se persiguen son las del discurso matemático, pues en él el trabajo de reescritura no es sólo una operación añad ida sino sino que em papa también el efectivo efectivo hacerse de la matemática misma. Cada nuevo objeto matemático crea, como apuntaba Serres (1967), inmediatamente una perspectiva desde la que ya no es posible ver en su irreductibilidad a los que, en su entorno, le precedían, reducidos ahora ya a meros casos particulares de la extensión que aquella irrupción ha hecho posible. El texto ‘origin al’ nos llega llega a través de una triple mixtificación: mixtificación: la(s) del prop io autor; otra y a s a b e ; análoga que, desde sus actuales categorías, categorías, pone en marcha el lector que ya y toda la serie de sucesivas reelaboraciones formales que nos han llevado a sa s a b e r que lo allí expuesto en realidad no es más que... Por eso, en cierto sentido, una arqueología de las matemáticas exigiría no saber más matemáticas que aquéllas que se focalizan en un momento dado, pero sí saber, en cambio, todo lo que ellas ignoran ignoran que está concu rriendo rriendo en ese mom ento. La savia vital vital del discurso m atem ático, por la que fluye fluye todo el caudal im agi nario de su ir haciéndose, late entre los pligues de lo no-dicho, lo por-supuesto y lo dicho-como-sin-querer, lo aún no sometido a la reelaboración del tercer nivel que distingue Schuster: desde los errores ‘ingenuos’ hasta la ‘arbitraria’ elección de los nom bres, pasando p or los come ntarios ntarios ‘superfluos’ superfluos’ j^toda la colección de ‘nimied ades’ que tanto suelen despreciar los los m atemáticos como nerviosos les pone pa p a ra rse rs e a h a b la r d e e lla ll a s. A l igu ig u al q u e e n l a p r o p ia e v o luc lu c ión ió n del de l s e n tid ti d o d e e se adjetivo adjetivo — ‘nim io’— io’— , hoy pa sa por in-signif in-significant icantee lo que que en su m om ento estaba cargado de un significado ‘exc esivo ’ (jiimius ), lo lo que de cía demasiado. Este exceso de significado significado — que com pens a el defecto defecto de rigor, rigor, imposible imposible en el mo m ento de la emergencia— de las las m atemáticas en sta st a tu s .n a s c e n d i es, sin embargo, terreno bien abonado pa ra su tratamiento simbólico po r las las llamadas llamadas ciencias de la interpreta
1 Véase, p.e., B. B. Lalour Lalour (198 7) y S. Woolga Woolgarr (1991).
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ción. ción. Lo que la formalización po sterior desechará como sobras, una vez qu e haya s e n tid ti d o en términos de estricta sintaxi acotado el se sintaxiss formal, es precisame nte la ganga cultural en la qu e p recipita su se originario. Es ahí donde las fo s e n ti d o originario. f o r m a s matemá ticas ticas revelan revelan (en su propio interior y no por condicionam ientos m eram ente ex ter nos, a menudo tan superficiales) su carácter de productos culturales concretos; al tiempo tiempo que son testigos testigos privilegiados privilegiados de la mentalidad — epocal e individual— que está en su origen. Tanto el vacío que a spiran a colma r (el (el del problem a que las trae a ser) como la in-determinación e in-materialidad de los materiales con que pre tenden hacerlo, son recep tácu los tan vigorosos al al meno s como los los del arte o los los mitos mitos para focalizar sobre ellos ellos todo tipo de de elaboraciones simbólicas inc onscien tes. El simbolismo matemático, así considerado, refleja insólitas resonancias de su contexto cultural, al que contribuye a interpretar/construir tanto como de él recibe interpretación/ constitución. constitución. Ello no obstante, los tratamientos al uso del simbolismo matemático siguen la extravant extravantee n orm a de ma ntenerse po r entero entero ajenos al caudal de estudios sobre el simbolismo en general. Aqu í, una vez m ás, se se creará para el discurso discurso m atem ático una herm enéutica específica específica que, entreverada de logicismo, logicismo, aleje cualqu ier riesgo riesgo de ag rietamien to pa ra su su cará cter m onolítico y, y, a ser posible, lo con firme aú n má s. Sin embargo, cualquier concepción del simbolismo puede alojar con holgura las formas formas m atemáticas entre las las form form as simbólicas; simbólicas; aunque después — com o vere mos— las pocas que así lo hacen retrocedan retrocedan de nuevo ante ellas ellas.. Para Dan Sperber, cuya concepción se encuentra ciertamente entre las más comprensivas, la función simbólica no es sólo interpretativa sino también cognitiva tiva;; viene a com plem entar — que no a oponerse— al disposi dispositivo tivo concep tualizado r cuando éste resulta insuficiente. Y esta es precisamente la situación del matemá tico tico cuando tantea la formulación de una nueva idea o la solución solución a un p roblema. En el origen del desencad enarse de la actividad actividad sim bólica siempre siempre hay, para Sper ber, be r, un p r o b le m a c u y a so lu c ió n c o n c e p tua tu a l e s — ¿ p o r el m o m e n to ? — d e fic fi c ie n te. te . El dispositi dispositivo vo sim bólico no o pera, pues, con unos objetos específicos específicos — los ‘sím bo b o lo s 7— ni se lim li m ita it a a u n a m e r a d e s c o d ific if icaa c ión ió n s e m io ló g ic a , p u e s a c tú a " m á s a llá ll á y más acá de una comunicación codificada" (1978: 148), sino que dispara u n a derla manera maner a de responder cuando no se dispone de conceptos ad hoc hoc.. Así, p.e„ el problem a de evocar directamen te el recuerdo recuerdo de un olor, olor, imposible de resolver con un concepto adecuado pues no hay campo semántico para los olores, desata todo un com plejo de evocaciones que se representan representan en él: él: es su papel focalizador de evocaciones y representaciones el que le hace cumplir una función simbólica. carácterísticos icos de la actividad Fo F o c a liz li z a c ió n y evocación son así los dos m om entos carácteríst simbólica, mom entos que en Sp erber se se corresponden corresponden m ás o menos con los de con densación y desplazamiento en Freud, que a su vez Lacan asocia con las a ctivida des metonímica y metafórica que para Jakobson estructuran todo lenguaje. En el pró p ró x im o c a p ítu ít u lo ten te n d r e m o s o c a s ió n d e o b s e rv a r e n d e ta lle ll e c ó m o a m b o s m o m e n tos del proceso sim bolizador operan en un ámbito para el que tamp oco h ay previa mente un campo semántico específico: el de la negatividad m m atemática en C hina. y in /y a n g /d a o el que se Aquí será el complejo complejo sim bólico bólico que denominamos como yin
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evoq ue al focaliza r la construcción de negatividades formales como la zheng/fu/w u o la de las congruencias en los cuadrados mágicos. Pues no sólo la matemática china, sino la historia entera dé las matemáticas está a travesada po r nuevas emergencias o po r problema s cuya solución conceptual va fracasando — y fracasando de manera distinta — en distintas épocas, culturas, escuelas e individuos. Cada una de estas situaciones sería perfectamente suscepti ble de un análisis simbòlici» en el sentido general antes aludido. Incluso cuando, al cabo, se acierta con una determinada conceptualización que por el m om ento cierra el prob lem a, ésta suele pe rma necer en estado insatisfactorio durante cierto tiem po, hasta su cabal formalización, momento en el que, ya sí, estrictamente codificado, el sím bolo matemático se toma signo (por más que la marca simbólica suela dejar casi siem pre en él una hu ella rastreable). No es, pues, de extrañar que para m uchos de los problem as que S perber considera típicos desencadenantes de actividad sim bólica pueda encontrarse sin dificultad un correla to matemático: a) la ausencia de carácterización enciclopédica de los olores es análoga a la sufrida en su momento por los ‘irra cio nale s’, los ‘negativos’ o los ‘infinitamente pequeños’; b) la contra dicción entre principios lógicos elem entales activa el mism o tipo de elaboraciones simb ólicas ante la paradoja de los leopardos-cristianos de los d o n é y ante las para dojas de la teoría de conjuntos; c) las interpretacione s simbó licas que sie mpre des ata la mala inteligencia de un concepto no se inhiben cuando el concepto es mate má tico ni cuan do son matem áticos quienes lo ma lentienden, com o ha ocurrido con los números negativos, p.e., desde Chuquet hasta el Ensayo para in troducir en la fil osofía el concepto de magnitud negativa de Kant; d) aberraciones sintácticas generadoras de ‘expresiones referenciales sin referencia’ están en el origen de monstruos mitológicos, como el centauro, igual que en el de monstruos matemáti cos, como aquel ‘centauro ontològico’ que eran para Leibniz las magnitudes ima ginarias: el significante cuyo referente medieval era la operación ‘raíz cuadrada’ ("lado criando cuadrado" para nuestro matemático Pedro Núñez) era entonces inconcatenable sintácticamente con un término negativo (¿un cuadrado cuyo lado fuera menos que nada ?). Los ejemplos podrían mu ltiplicarse, pero todos ellos tie nen en común que: "...las manifestaciones del simbolismo cultural violan sistemáticamente los mismos principios universales del saber enciclopédico, hasta el punto de que cuando parecen oponerse y contradecirse focalizan todavía mejor en la misma dirección, esclarecen mediante las mismas paradojas campos de evocación de contornos seme jantes, campos en que cadacultura pone lo que sabe; campos que cada individuo recorre según su temor y su deseo” (1978: 171). La actividad matemática parece instalarse así plenamente en el ámbito de la actividad simbólica en general, por lo que podría sorprender que, tras un minu cioso recorrido po r los estudios sobre el tema, aquél la resulte omitida tan escr upu losa como sistem áticamente. Aunque la sorpresa ya no es tanta cuando h istoriado res, sociólogos y antropólogos nos han habitua do ya a parecidas defeccion es. Pero
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más significativo, si cabe, es que los escasísimos autores que sí ensayan una hermeneútica simbólica de las matemáticas emprendan ésta para acabar negando, implícita o explícitamente, la posibilidad de esa tarea. Parecería que el discurso m atem ático es ininterp retable ha sta para los profesiona les de la interpretación, que es el discurso separado por excelencia, lo que ni siquiera para sus textos sagrados llegó a dec larar la exég esis bíblica. Los casos de René A lleau y Gastón Bachelard, en los que a continuación nos detendremos, son de especial relevancia por la que han adqu irido sus nom bres y po r la diversidad de las razones que c ada un o de ellos aduce. La ‘sim bólica ge nera l’ de R ené Alleau, em inente discípulo de G. Durand, se pro pone reabrir el estudio de los símbolos allí d onde Cassire r lo había cerrado defi nitivamente, y lo hace con el manifiesto propósito de volver a someter a su disci plina el quehacer m ate m ático. El hech o de que los sím bolo s su fran un pro ceso de desecación del flujo polisémico qu e les da vida (un proceso de progresivo enfria miento que tamb ién ha llevado a su análisis hermené utico a congelarse en semio logía) no es, segú n A lleau (1982: 18), razón suficiente para olvidar el curso de su formación desde ‘orígenes experimentales arcaicos’ y limitamos a "concentrar todos nuestros medios analíticos en las consecuencias y los resultados, en las for mas y los productos": E sta autolimitación crítica habría afectado especialmente a los simbolismo s científico y m atemático, que si bien ob edecen a una lógica de la identidad, no se acaban rem itiendo menos a una lógica de la analogía, de la que la prim era es tan sólo un caso límite: "Cuan do la ma temática aparece como un inmen so depósito de estructuras abs tractas, o bien la simbólic a como una fuente inag otable de estructuras analógicas, no debe olvidarse que estas formas no existen en s í mismas ni por sí mismas indepen dientem ente del proceso lógico que las constituye en la lengua de la matemática y en la de la simbólica, ni sin ciertos contenidos experimentales e intuitivos iniciales.”
(1982: 20). Pero la reivindicación de un mismo tipo de análisis para cualquier discurso simbó lico, inclu ido el ma temático, basada en su com ún hacerse desde un ‘incon s ciente infra-humano’ a través de una misma lógica analógica, se acabará reve lando un mero pretexto para conseguir que a las ciencias de la interpretación se les recono zca igual ‘dignidad epistemológica’ — o sea, prestigio académico— que a las m atem áticas. La lógica de la identidad po drá ser un caso límite de la ana lógica y responder, por tanto, a las mismas operaciones; pero la matemática, pro ducto de la primera , esc apa rá al alcance de ‘la sim bó lica’, que es la denom inación de A lleáít para la ciencia sob re la segunda. Las artes que pe rmiten a la simb ólica de sentrañ ar "las diversas modificaciones del sentido y de sus alteraciones a través del tiempo" no alcanz arán a aquélla. Una cop iosa literatura seguirá llam ando sím bolo a ese sím bolo m atem ático que, para ella, ya no simb oliza nada, y Alleau lle gará hasta pergeñar un término especial, el de ‘sintema’, con el que poder apar carle al margen del tráfico de las resonancias simbólicas: el sintema matemático
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es un "signo ‘arbitrario’ y ‘convencional’ cuyo sentido unívoco y constante está fijado voluntariamente" (p. 49). Cada sintema matemático no está ya al final de un proceso de degradación significativa, en cuyo curso ha ido perdiendo signifi cado s para acabar con sólo uno, com o apun ta Durand que ocurre con los sím bolos cristalizados en meras alegorías, sino que obedece a una lógica que inesperada mente nada tiene que ver con la simbólica ‘general’. El ámbito de aplicación de ésta se define precisamente por la exclusión de los símbolos matemáticos para centrarse en los que sí son "foco de acum ulación y de conc entración de im ágenes y de sus ‘cargas’ afectivas y emocionales, vector de orientación analógica de la intuición, campo de imantación de similitudes antropológicas, cosmológicas y teológicas evocadas" (p. 27). Los simbolismos matemáticos merecen , po r el con trario, una ciencia ad hoc, la ‘sintemática’, cuya ortopédica denominación ya pare ce basta rs e por sí sola para descargarlos de afectos y emociones y desiman tarlos de la meno r adherencia evocadora. El mismo Alleau no esconde el propó sito del nombre: "desem barazarlos, por una abstracción específica, de ciertas con fusiones ( sic) de tipo lingüístico" (p. 103), de "todo residuo conceptual o intuitivo". ¿A quién podrá ya extraña r su alianza contra natura con B ourbaki (p. 103), precisamente en el m om ento fundador de esta nueva rama de la ‘ciencia de la interpretación’ que se define por su renuncia a interpretar? Esta curiosa rama de la herm enéutica es toda u na anti-hermenéutica, dedicada a borrar los rastros cuy o seguim iento es profesión del h ermenéuta: la co-fusión de evocac iones en las "con-fusiones de tipo lingüístico", la ‘preñ ez’ de sentidos que c arácteriza al sím bolo y de la que Alleau quie re ‘desem barazarle’, el exám en de "los re siduos con ceptuales e intuitivos" donde late el imaginario colectivo. Toda la capacidad de penetració n herm enéutica en los textos sagra dos pare cie ra vale r sólo para aque llos textos que y a no son sagrados, para aquéllos en los que ya no cree el hermeneuta. Declarar, en cambio, im pene trable el texto matemático ¿no es el recono ci miento más manifiesto de su sacralidad efectiva'} El azar — o el inconsciente herm enéutico traicionado— le jue ga una mala pasada a Alleau al seleccionar, com o ejem plo pio nero de ‘sinte m atizació n’, la del quím ico sueco T.O. Bergm ann para las sustancias fisico-químicas. Éste habría ele gido "voluntaria y arbitrariamente", según Alleau, ciertos carác teres :—sintemas— para lo s ácidos (u na cruz), los álc alis (un círculo rajado por un diám etro) y las sales (un círculo vacío ) que por prim era vez perm itirían a la química em peza r a liberarse de los residuos de las teorías alquím icas y de toda su carga simb ólica. Lá stim a que a Ba chelard, del que Alleau se reclam a discípulo, le hubiera dado ya p or someter a psicoanálisis justo a esos símbolos, haciéndoles confesar un origen sexual inconsciente casi evidente: el ácido-mascu lino penetra en la base/álcali-feme nina para dar lugar a una sal neutra, que to davía se conocía co mo ‘herm afrodita’ en el s. XVII. Para descubrir la carga simbólica de los supuestos sintemas no hace falta buscarle los tres pies freudia nos al gato de la racio nalidad pura, basta con irse a leer directamente los textos , como éste del s. XVII que Bachelard trae a colación, en el que se diluyen las fronteras entre la química y las evocaciones, entre el sintema y el símbolo:
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"El ácido se fermenta con el álcali, ya que un a vez ha introducido su peque ña punta [la cruz] en alguno de sus poros [el c írcu lo rajado], y sin haber perdido toda vía su mov imiento, hace esfuerzos por empujar más allá. Po r este me dio amplía las par tes, de m odo que el poco ácido que hay en el álcali, al no encontrarse ya tan apretado, se une a su liberador, para sacudir conjuntamente el yugo [círculo vacío] que le había impuesto la naturaleza"1
M as tam bién el psicoanálisis del pensamiento científico que propone Bac helard, y que con tan ta fortuna aplica a las ciencias de la naturaleza, viene a estre llarse co ntra el pensam iento m atemático. Pese a testimonios tan explícitos com o el de Poincaré2, que llega a hablar de "dos egos" (consciente e inconsciente) para explicar cómo construye/se-le-construyen las matématicas en la cabeza, tampoco al racionalismo b achelardiano le cabe la menor duda sobre el alojam iento del dis curso m atem ático en el olim po de la razón pura, en el que ni al propio psico aná lisis pare ce esta rle perm itid o bucear. Más aún, es justam ente la absolu ta inm uta bilid ad de la m atemá tica la que, p ara el análisis bachelardiano (1981: 144), funda la m is mísima p osibilidad d e la razón: "No dudamos en exponer nuestra tesis del modo más extremado a fin de que qued e bien clara (...) La aritmética no es, com o tam poco la geometría, la promoc ión natural de una razón inmutable. La aritmética no está fundada en la razón. Es la doc trina de la razón la que está fundada en la aritmética elemental".
La m atem ática es, pues, el inconsciente del inconsciente. Ella es la que nos perm ite pensar antes de ponernos a pensar (que es lo que, para Ortega, define la creencia). Su discu rso, fundam ento de cu alquier otro, escapa, por necesidades de la prop ia razón, a tod a crítica. Y si la razón se funda en la arimética, cualquier vio lación de ésta será necesariamente desvarío de aquélla, por lo que habrá de ser la pro pia razón la que haya de corregirse: "Si la aritm ética, en remotos desarro llos, llegara a revelarse contradictoria, habría que reform ar la razón p ara borrar la co n tradicción". De este modo queda negada cualquier posibilidad de acceso ‘racional’ al subsuelo m atemático. A caso uno de los ejemplos más extremos de esa interdic ción fundamental que parece resguardar a la matemática de cualquier análisis que, sin ser estrictam ente interno, quiera seguir siendo racional pue da enco ntrarse en la ‘herme neú tica cibernética’ de Leo Apostel. En lugar de em plear el form ida ble ars enal herm enéutico elabora do por G. D ura nd (1 984) para sum erg irse en el ‘régimen nocturno’ de la imaginación matemática, Apostel (1964: 8) se mani fiesta literalmente ‘entusiasmado’ al descubrir, en todas las familias de símbolos 1 Citado por G. Bachelard (1988: 1956). 2 El papel delerm inam e del mom ento de elaboración inconscienle (olvidos, asociaciones libres, transferencias...) en la génesis del discurso malemálico está ampliamente considerado, a partir sobre todo de los testimonios de H. Poincaré, en la ya clásica obra de J. Hadamard (1949).
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que aquél distingue, una m isma estructura algebraica con la que pretende poder "integrar las perspectivas de un Ricoeur y las de un Lévi-Strauss dentro de un bourbakis m o am plia do" . Con ello no hace sino cabalg ar sobre el sueño de LéviStrauss (1958: 242), cuando éste se lam enta de que "hay poca esperanza de que la m itología com parada pued a desarrollarse sin recurrir a un simbolismo de ins piració n m ate m ática". La definitiva mitificatión del álgebra que sugiriera Serres había de pasar, efectivame nte, po r la algebraización de los m itos. El fracaso de este proy ecto 1no lo ha sido, sin embargo, del ideal reductor que lo sopona, y el estatismo de los m odelos algebraicos se ha visto recientemente sustituido po r el falso dinam ismo 2 de la teoría de catátrofe s3. No podem os deja r de indicar, sin em barg o, que si hemos podid o llevar a cabo una crítica, má s o m enos acertada, de las resistencias que a estos autores parecen opon er las m atemá ticas, ello se ha debido a que al menos ellos s í han a frontado la posibilid ad de su análisis, habitualm ente evitada. Y no es menos cie rto, por otra parte, que si nos hemos dete nid o en su le ctu ra no ha sido só lo por un m ero afá n crítico, sino porque en ellos hemos encontrado también numerosas sugerencias que nos han orientado en los estudios que integran los próximos capítulos.
1 Véase M. SelzLauriére (1988). 2 Sobre el estatismo platónico subyacente a la teoría de catástrofes puede verse I. Ekeland (1984), p p . 95130. 3 Véase, p.c., M. Perrin (19 86).
Capítulo II Algebra y numerología chinas: maneras de negatividad radical La distancia que sep ara los modos de pensar chino y occidental, o indo euro peo, a m enudo se perc ib e com o ab rumado ra. Los pre -supuestos y pre -c oncepto s, los caracteres gráficos de su lengu a y los instrumentos m anejados por sus m atem á ticos, lo que se entiende por sab er y los procesos de conoc imiento, la espec ificidad de sus formas de discurso, los modos de definición y argumentación, su cosmovisión, lo que se entiende por matemáticas y la manera de construirlas... parecen tan alejados de los nuestros que acaso fuera necesario proced er a un ensayo de co m prensión general de to dos esto s aspectos para, sólo después, poder acercam os ya a sus matemáticas y acabar, por fin, centrándonos en aquellos problemas y desarro llos en los que emerja algún m odo de negatividad formal. Hemos optado, sin embargo, por una disposición inversa. En primer lugar, cualquier intento de com prensión global de la cultura china — incluida su m atem á tica— se nos antoja amb icioso en exceso y corre fácilmente el riesgo de ex tra viarse. Segundo, ese camino que va de lo general-abstracto a lo singular-concreto traicionaría el proceder habitual de la sensibilidad y el pensamiento chinos. Ter cero, cualqu ier lectura de la negatividad matem ática que se siguie ra de un análisis general previo no podría ya traer sino una lectura sesgada desde un principio. Arrancarem os, pues, del dictum concreto de ciertos textos matemáticos en los que se construyen las primeras mane ras de negatividad. Sólo al hilo de su propio dis curso iremos aportando las que nos parezcan claves (lingüísticas, matemáticas, simbólicas...) para su cabal comprensión/interpretación. Diferentes singularidades de la episteme china irán surgiendo así, no como datos fijos y a priori desde los que desc ende r indistintamente sobre unas situaciones u otras, sino com o resp ues tas o contextos po sibles desde los que dar sentido a los problemas y s olucione s que: ofrecen los propios textos, con los que se entreveran para recupe rarse en sucesivas ocasiones desde una perspectiva cada vez más amplia y compleja. En este ánimoj los contrastes con circunstancias análogas en la matemática y el pensamiento grie gos — o de tradición suya— que aquí se vayan sugiriendo tampoco son objeto de una consideración separada, sino que se van apuntando al hilo de su oportunidad. 61
El capítulo octavo de los "Nueve capítulos del arte matemático" (Jiu zhang su ansh u)' es el prim er texto propiam ente m atem ático (con todas las reservas que una restricción así conlleva) en construir cierta form a de negatividad : la que lla maremos zhenglfu lw u. Este texto, y los comentarios de Liu Hui, son nuestro punto de arranque (II. 1.). Pero ta le s textos dis ta n m ucho ser transpare nte s para el lector occidental, y una traducción apresurada e inm ediata puede — y suele— llevar a erra r de lleno en su interpre tación. En pa rticu lar (11.2.), el uso en los cál culos de un os palillos impo rtados de saberes no ma tem áticos, com o las artes adi vinatorias, incorporan a su manipulación matemática unos presupuestos y unas posibilidades opera toria s bie n distin to s de los que tra nsporta n los numera les alfabé ticos o los segme ntos num éricos de la m atem ática griega; y otro tanto ocu rre con la construcc ión del espacio físico — el tablero de cálculo— sobre el que se despliegan esas operaciones, que quedan condicionadas por él. El método fa n g cheng (II.3.), en cuyo curso aparecen esos palillos negros (fu) a los que apresuradamente se llama ‘números negativos’, tiene ya él mismo por objeto lo que sería toda una aberración para la episteme griega: hacer desaparecer (jin) palillos para poder contr uir vacíos (wu), lugares singulares marcados por una ausencia de marca. Al basarse este método en un álgebra que distingue los luga res por la carga simbólica que cr,da uno incorpora, lo propio sería hablar de un ‘álgebra simbólica’; no obstante, este término ya se ha acuñado para el álgebra que, en Occidente, sustituye al ‘álgebra retórica’, aunque tal denominación no pueda ser mas desafortunada pues se oto rg a a unos sím bolo s que, convertid os en m eros signo s, ya nada simb olizan. Po r ello hablarem os, para la china, de ‘álgebra instrumental’. Pues bien, la originalidad de tal álgebra se muestra (II.4.) íntima m ente so lidaria de la disposición espacial y la configuración estructural de la len gua china. Estab lecid a esta serie de contextos, podemos re tom ar los textos un tanto irres ponsablem ente traducid os en II. 1. y ensayar una prim era le ctu ra crítica (II.5.) en la que se plantean los problemas centrales de este capítulo. La observación deta llada de cóm o op eran efectivamente las reglas zheng/fu (positivo/negativo’) (II.6.) nos mue ve a des ech ar (11.7.) alguna de las ‘ex plicac ione s’ — com o la que recurre al m odelo ganan cias/pérdidas — mediante las que se ha pretendido dar cuenta de la ‘asom brosa preco cidad ’ con que aparecen los números negativos en la matemá tica china. El insólito papel que cumple el hueco que queda (o, mejor, se hace) en el tablero de cálculo con ocasión del álgebra fa n g cheng nos lleva a replantear las habituales consideraciones sobre el ‘cero’ en la matemática china (II.8.). Su exis tencia se mostrará indisociablemente ligada a aquella concepción del espacio en términos de lugares cargados de significado, así como su inexistencia en Grecia se emparenta con la pre-concepción de un espacio homogéneo y extenso. El no-ser chino, como ese puro hueco (wu) que es su ce ro.es una form a de ser de pleno dere cho para su modo de pensar, hasta el punto de que ese vacío significante es el que
1 En adelante, los "Nueve capítulos".
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vertebra todo su campo numérico (II.9.) aportando a la mera colección de palillos zh eng/fu lo que hoy y aquí llamaríamos una estructura de grupo. El por qué de que los matemáticos de los Han hubieran elegido precisa mente esos nombres, y no otros, de cuantos ofrecía el amplio repertorio léxico chino antiguo, no puede dejar de cargar significativamente esos nuevos objetos m atem áticos, proye ctand o sobre ellos significados y articulacione s propios de su imag inario cultural. D esde ah í acced em os a otro nivel de co m prensión (11.10.) de este modo de negatividad radicalm ente distinto de su (in)comprensión en el pen samiento griego, como muestra una exégesis comparada de estos términos con los incluidos en la tabla de los op uestos pitagóricos. Con ello, no se revela ya tan insólita la profusión de maneras de negatividad en diferentes contextos de la m atem ática china (II. 11.). Los orígenes de esta div ersidad , en vivo contraste con su total ausencia en la matemática griega clásica, se indagan en las fuentes mis mas de la episteme ch ina, en los nudos sim bólicos desde cuya trama se van per filando las categorías matrices del modo de pensar chino: en ese texto sin pala bras que es el "Lib ro de las m uta cio nes" ( Yijing ) (11.12.) y en el complejo simbólico yin/y ang (11.13.). Desde ahí, todo —incluidos los números— se apre cia a la ma nera de escindido/com -puesto por oposiciones en su mism a raíz (rad i cales), oposiciones cuy a articulación tiene como go zne o quicio ese modo d eter minado de no-ser que es el dao [ta o ] (11.16.). En el horizonte que abre esta perspectiv a herm enéutica, desde la matriz del com plejo sim bólico yin /y an g/dao , ni el modo de nega tividad zhenglfu/wu ni los otros con siderad os en ciertos ám bi tos específicamente matemáticos resultan ser los únicos bien formalizados. Ahora se revelan como tales otras formas de negatividad formal que suelen verse ignoradas en las ‘historias de la matemática china’, acaso por emerger en ciertos tipos de discurso (mágico, cosmogónico, ritual, adivinatorio...) tenidos por seudo-cie ntíficos. Es el caso de las dis posic io nes num éric as en cru z o en cua drado (11.14.), articuladas (internamente) por congruencias numéricas y (entre sí) por isom orfismos (11.15.). En ellas se m uestra de m ane ra ejem plar la actividad de unos criterios ‘de oposición’ y ‘de equivalencia’ que cumplen para la racio nalidad china el papel que juegan en Grecia los prin cip io s ‘de identidad’ y ‘de no-c on tradicc ión’ (11.16.). Por último, estas cons ideracion es se prolongan en un divertimento en torno al Yijing (HJ7.) sugerido por uno semejante que en su día imaginara L eibniz. II. 1. El ca pítu lo oc tavo del J iu zh a n g su a n sh u El texto clave para la comprensión de la negatividad en la m atemática china se encuen tra en los com entarios de Liu Hui al capítulo octavo — llam ado fa n g cheng — de los "Nuev e capítulos". Allí, en el contexto del m étodo de ‘cálculo en el tablero’, Liu Hui (fl. s. III d.C.) hace observar que:
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"Cuando se consideran dos expresiones, podemos obtener resultados opuestos, para los que hemos de usar los nombres zheng y fu como designaciones1. Para los núme ros zheng usam os palillos de cálculo rojos, mientras que los núm eros fu se representan por palillos negros. De m anera alternativa, un número zheng puede cambiarse en uno fu cuando se colo ca un palillo inclinado sobre él. En el cálculo en el tablero, donde están implicados palillos tanto rojos como negros, hay un método para m anipular núm eros en las colum nas de la izquierda y de la derecha. Este m étodo no es del todo el mismo que el procedimiento normal dé adición y sustracción. Si un numeral es rojo o negro está determinado en realidad p or reducciones mutuas (xiang xiao). Para llevar a cabo la adi ción o sustracción de números que ocupan las correspondientes posiciones en diferentes columnas, hay dos reglas sobre tipos diferentes de adición y sustracción."2 Estas reglas — las zh eng f u s h u — , d e cu y o c o m e n ta rio p o r L iu H u i nos o c u p a re m o s m ás ad elan te , in d ic an có m o su m ar y re s ta r n ú m ero s zheng y n ú m e r o s /u , tanto entre sí com o de wu1. L a ‘regla de su stracc ión ’ dice: "Cuando los nom bres son el mismo'1, efec tuar la sustracción; cu ando los nom bres son diferentes, efe ctu ar la suma. Un número5 zheng emparejado con wu se hace /« y un número fu emparejado con wu se hace zh en g." Y, sim étricam ente, la ‘regla de adición ’ prescribe: "Cuando los nombres son diferentes, efectuar la sustracción; cuando los nom bres son el mism o, efe ctu ar la suma.
1 Los términos zheng y fu pueden traducirse, en una primera y grosera aproximación, por 'positivo' y 'negativo', respectivamente. Pero todo lo que así se gana en capacidad de comprensión, se pierde también en capacidad de comprensión; pues se corre el riesgo de comprenderlos en el mismo sentido que tuvo que entenderlo Diofanto —como ‘esencia ausente’ o ‘forma fallante'— y toda la epistem e de herencia griega. Comoquiera que aquí no tenem os otro propósito que el de intentar entender la forma de negalividad que les es propia a esos términos desde dentro del singular contexto cultural que les presta sentido, optamos por mantener los términos chinos originales (y ya bastante se pierde con su mera transcripción alfabética), en la confianza de que posteriores análisis sean los que les vayan atribuyendo el significad o y la función que allí y entonces debieron tener. 2 Qian Baocong (1963 : 2256). Esta edición de los "Diez clásico s matem áticos” (Suanjing slii shu) contiene los "Nueve capítulos del arte matemático" (Jiu zhang suansliu), con inclusión de los comentarios de Liu Hui y los de Li Chungfeng. Bai Shangshu (1983) llevó posteriormente a cabo una edición crítica exhaustiva de los "Nueve capítulos". Nuestra versión lo es — mientras no se indique otra cosa— a partir de los fragmentos de la traducción al inglés que, desde esas ediciones, han hecho Lam LayYong y A ng TianSc (1987). 3 La traducción de h u por ‘cero’ está sujeta, mientras no la analicemos en detalle, a las mismas restricciones que acabamos de establecer. Aunque no sólo los términos zheng, fu y wu merecen una consideración especial, sí mantendremos sólo para ellos la transcripción original, por no hacer de la lectura una auténtica carrera de obstáculos. 4 Esto es, ambos zheng o ambos fu. 5 El ideograma que Lam Lay-Yong (1987: 237) traduce por 'nú m ero ', para J.-C. Martzloff (1988: 188), y refiriéndose a estas mismas reglas, son las 'varillas' o ‘palillos' de cálculo. Para una detallada discusión sem ántica de lo que se entiende por ‘número’ véanse nuestros epígrafes II.6. y ss.
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Un número zheng emparejado con wu se hace zh en g y un número fu empare ja do co n wu se hace fu .”
La interpretación de estos textos-clave será el objeto de los próximos epígra fes, pues ninguno de los términos que acabamos de utilizar tiene'un significado evidente. No lo tienen, por supuesto, los términos técnicos zheng, f u y w u, pero tampoco aquellos otros de uso más común, como la distinción entre ‘nombre’ y ‘núm ero’ — que veremo s que no es tal— o el propio concepto de ‘m étodo’. Los "Nueve capítulos", de los que se desconoce tanto el autor como la fecha de com posición, se consideran el texto fundacional de la m atemática china, aunque los conceptos y técnicas que incluye parecen constituir más bien el punto culmi nante de desarrollos y prácticas anteriores a nuestra era. En la introducción que le dedica Liu Hui ( ca . 263 d.C.) advierte que Zhan g Can g y Geng Shoucang, en tiem pos de la din astía de los Prim ero s Han (202 a.C . a 9 d.C .)', ya habían hecho una revisión au m entad a de la versión original. Li Yan y Du Shiran (1987: 35) sitúan su redacción definitiva en tomo a los comienzos de nuestra era. Los posteriores comentarios de Liu Hui incluyen clasificaciones, apoyos teóricos, precisiones de lenguaje, procedim ientos alternativos a aquéllos que le parecen farragosos, ajustes de soluciones sólo aproximadas, así como diagram as que ilustren — en su caso— las consideraciones espaciales. Por todo ello sus comentarios han pasado a formar parte del texto clásic o de los "N ueve capítulo s", del que constituyen la princip al fuente de estudio. Posteriormente los "Nueve capítulos" fueron incorporado s com o uno de los "Diez clásicos m atemáticos" (Suanjing shi shu) que se estudiaban ofi cialmente en el Departam ento de M atemáticas que en el año 656 se constituyó en el seno de la Acad em ia Nacional. Los com entarios que Li Chunfeng añ adió en esta 1 Es habitual que las referencias cronológicas chinas lo sean respecto de sus distintas dinastías políticas; hábito que aquí respetaremos pues tiene más sentido atenemos al tiempo interior que a una cronología ajena que, como la nuestra, no puede dejar de proyectar paralelismos del todo impertinentes. La siguiente es una sucinta periodización. Dinastía de los XIA (22051767? ó 19891558, según las fuentes). Los SHAN G, depués YIN (17661112? ó 15581051). Los ZHOU occidentales ( t i l l ó 1050771); a esta época se remonta el "Libro de las m utaciones" (Yijing). Los ZHOU orientales (770 256). Al final de esta época se desarrollan unos elementos de dialéctica, sofística y lógica formal. Los Reinos Guerreros (453221). Los QIN (221206) integran el primer imperio unitario; predominio taoísta de corte antiintelectual. Los primeros HAN o Han occidentales (206 a.C.9 d.C.). Los HAN posteriores o Han orientales (23 220). El confucianism o sustituye al taoísmo, aunque éste se mantiene latente; época de libre crítica y, en sus postrimerías, de valoración de la originalidad y la belleza formal; de los primeros Han datan los "Nueve capítulos..." Los Tres Reinos (220280). Los JIN occidentales (265316). Las Seis Dinastías (3165^9); época de Invasiones y desmembramientos que se ha asimilado a nuestra Edad Media; predominio de un taoísmo religioso y de trabajos exegéticos; en matemáticas es un periodo fundamentalmente teórico. Los SUI (589618); reunificación del imperio. Los TANG (618907); preponderancia budista. Las Cinco Dinastías (907960). Los SONG del Norte (9601126) y los SONG del Sur (11271279). Dinastía mongola de los YUAN (12801368). Durante estas dos dinastías se da una reacción antibúdica de signo neoconfuciano; se tiene por el periodo de mayor esplendor de la matemática china. Los M1NG (136 81644); periodo escolástico que e n su final ve la llegada de los misioneros jesuítas. Dinastía manchú de los QING (16441911), que contempla varios renacimientos.
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ocasión son de poca importancia y, en cualquier caso, no creyó necesario hacer ning un o al cap ítulo 8o (fang cheng) que aquí nos ocupa, segurame nte por conside rar los comentarios de Liu Hui lo bastante completos. En este cap ítulo se ha querido encontrar el prim er ‘preced ente’ de ‘números negativos’ de entre todas las culturas. Su contenido no sólo daría testimonio de que "C hina es seguram ente la prim era civilización que usa cantidades negativas" sino tam bién de qu e "los aniiguos chinos tenían un claro concepto de los núm eros negativos y eran capaces de aplicarlos a consideraciones matemáticas tal y como nosotros lo haríamos hoy en día"1. Con todo lo cierta que es esa afirmación en cierto sentido , no lo ac ab a de tener — o lo tiente en exceso— el discutir la cuestión de prioridad en el ‘de s-cub rim iento’ de los ‘núme ros negativos’ en términos del ‘claro co nce pto’ que de ellos pu diera tener una cultura u otra según su grado de semejanza con el uso que ‘nosotros haríamos’ de ellos ‘hoy en día’._Es_eipropio juicio de valo r que ahí queda im plícito el que construye, además, el hecho mismo cuy a originalidad se pretende investigar. Presupo ne la existencia de un os ‘núm e ros neg ativos’ trascenden tes, cuyo ‘claro conc epto’ sería percibido con ma yor o m eno r nitidez por unas ma temáticas u otras; y presupon e, no menos, que todas las matemáticas posibles orientan necesariamente sus distintos puntos de partida en un m ismo sentido, lineal y universal, que ha de acabar convergiendo antes o des pués, anticip ándose o re trasándose, hacia ‘lo que nosotros haríam os hoy en día’. N o por habituale s estas suposic io nes deja n de serlo ni de actu ar com o hipóte sis latentes, que no pueden sino cargar de elementos exteriores una negatividad tan distante de la nuestra como la china. C on el objeto de poner en suspenso cua lquier pre-juic io de ese tipo, nos centrarem os en el estu dio deta llado de cie rtos texto s y prácticas, y especia lm ente en la m anera concre ta en que el capítulo fa n g cheng construye 'y m aneja su negatividad, en cómo pu ede ésta entenderse en el preciso contexto de otras formas chinas de negatividad, y en su comparación con aque llas otras formas de negatividad que nos son más próximas, particularmente la griega. El capítulo fa n g cheng con sta de 18 problem as, que ‘correspo nden a ’ otros siete sistemas de ecuaciones lineales. En todos ellos el número de ‘ecua ciones’ coincide con el de ‘incógnitas’ (hay ocho de 2x2, seis de 3x3, dos de 4x4, y uno de 5x5) salvo el problema número 13, que consta de 5 ecuaciones con 6 incógnitas. El método ( sh u ) general utilizado para resolver estos siste mas es el llamado ‘método fa n g cheng' (fa ng cheng shu), que da nombre al capítulo. Como ocurre con tantos términos chinos, y más aún con los más anti guos, la traducción de los términos fa n g y cheng no es fácil de precisar. Según la discusión filológica que recoge Martzloff (1988; 233), el término 'fang' se ha interpretado como ‘a derecha y a izquierda’ (por el filólogo del s. XI Song 1 L. LayYong y A. TianS e (1987: 223). También para J. Necdham (1959: 111: 26) "ésta es la más temprana aparición de las cantidades negativas en cualquier civilización"; su uso se extendería después, desde los sistemas de ecuaciones lineales a las ecuaciones cuadráticas, probablemente en tiempos de Zu Kenzhi (tsu ChhungChih] (fl. ca. 500 d.C.), y desde luego en los de Liu Yi [Liu I] (s. XI/XII).
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Li Ji) o como ‘la forma de los números’ (Yang Huí, s. XIII), aunque tanto él como otros autores modernos1se inclinan por traducirlo como ‘cuadrado’ o ‘rectáng ulo’ a causa de la figura cuadrada o rectangular con que este método obliga a dispo ner los nú m eros (que aq uí son palillos) en el tablero de cálcu lo2. El término c h e n g , que Liu Hui hace sinónimo de kuocheng, no es un término m atemático sino usado en ch ino clásico para referirse a acciones com o ‘deter minar el valor’ (de una mercancía, p.e.), ‘asignar’, ‘repartir’, etc. Así, el método fa n g cheng podría decirse como aquél ‘que consiste en repartir 1os núm eros de modo que form en un cu adra do ’ o ‘método de repartos cua drátic os’ (M artzloff), com o la ‘disp osic ión de una serie de cosas en colum nas con el pro pósit o de verific ación m u tu a’ (Lay-Y ong), o sim ple m ente com o ‘m éto do de cálculo po r tabulac ión (o en el tab lero)’ (Lay-Yong y Tian-Se). Esta es la orien tación de las traducciones habituales, si bien, considerando que va a ser el método que va a sop ortar la construcción de cierta forma de negatividad , acaso resultara más significativa la ve rsión que se sigue de la interpretación de Li Ji. Según ésta, se trataría del ‘método de asignación a derecha y a izquierda’, donde la simetría que ahí se resalta bien pudiera tenerse por un eco y soporte de esa otra sim etría que caracterizará — a diferencia de la tradición griega — la negatividad zheng/fu. Efectivamente, será una variante del método fa n g cheng la que defina las ‘reglas positivo-negativo’ (zhe ng fu shu). E stas se enuncian y com entan al final del pro blem a 3 del capítulo 8o, aplic ándose en los pro ble m as 3 al 6, 8, y 12 al 18. Los restantes sólo recurren a ‘números (palillos) zheng' y, de ellos, es el prob lem a 1 el que incluye la exposición del método fa n g cheng al tiempo que ilustra su aplica ción en la resolución del problema. Para una comprensión del método lo menos sesgada posible es conveniente un cierto conocimiento previo del sentido de alguno de los elementos que intervienen, como los ‘palillos numéricos’ o el ‘tablero de cá lculo ’. Otro s rasgos singulares del ‘álg eb ra’ china — co m o la cues tión del simbo lismo, el sign ificado de ‘incó gnitas ’ y ‘ecu ac ion es’, o el sentido del ‘ce ro’ — se entende rán me jor, por el contrario, una vez fam iliarizado s con la téc nica ‘algebraica’ del fa n g ch eng. II.2. El cálculo con palillos en el tablero. La m ate ria del nú m ero La historia de los caracteres numerales chinos se entreteje en sus com ienzos con la de los signo s em plea do s en las prácticas de adivinación. Tan sólo el contexto perm ite decid ir cuándo unas m arcas en capara zones de tortuga, unos cord eles anu dados, o ciertas manipulaciones con palillos tienen un matemático u oracular. Entre los sistemas de num eración más primitivos se encuentran uno sexagesimal y 1 Lam LayYong y Ang TianSe (19 87; 2267); Li Yan y Du Shiran (1987; 46). * Para una exposición de lo s tipos de números y de tablero usados en el fang clieng. véase más adelante.
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otro decimal, ninguno de los cuales es posicional. El primero de ellos está com puesto por dos series de signos, una con die z y otra con doce, que asociados de dos en dos dan lugar a una serie de sesenta parejas; este sistema se usaba para medir los tiempos y aún se mantiene vigente. El segundo, conocido como jiaguw en, se construye a partir de catorce signos: uno para cada uno de los nueve dígitos y los otros cinco para marcar las decenas, centenas, millares, miríadas y la conjunción ‘y ’. Los signos p ara estos nú me ros presentan m ucha s variantes y evoluciones, y se ha querido ver su origen ya en las correlaciones má gico-sapienciales del yin /y ang (así Xu Shen en el s. X) y a en las distintas configuracio nes de los trigram as adivi natorios del YijingK Otros estudios más recientes resaltan su origen ideográfico; así, el signo de la miríada es el pictograma del escorpión, cuyas hembras lucen en el caparazón una profusión de grumos cuya multitud evocaría un número muy grande. El sistema de numeración jia g uw en no es propiamente decimal, pues la cantidad de que consta cada clase viene indicada por un par de signos: el del núm ero de un idades de esa clase y el específico de la misma. Así, p.e., la expre sión de nuestro ‘7.500’ equivaldría a la serie: ‘signo del 7’ ‘signo del mil’ ‘signo del 5’‘signo del cien’. Con ello no ha lugar, como tampoco lo había en Grecia, a la cuestión d e la posición ausen te, y de hech o el ‘ce ro’2 no aparecerá — com o tal signo escrito — en la numeración china hasta la época de los Ming. Con la llegada de los jesuítas en el s. XVII se introducirá en China el sistema de nume ración y las cifras árabes. No obstante, un sistema también decimal y posicional ya estaba en uso en Ch ina desde m ucho antes; sus eleme ntos constituyentes no son caracteres propiamente gráficos sino unos palillos o varillas que son, según Li Yan y Du Shiran (1987: 14) "la clave para entender las matemáticas de la antigua C hina". Es un sistema utilizado en num erosas actividades de cálculo, y espec ialme nte en procesos que equivaldrían a lo que pa ra nosotros son técnicas algebraicas, tales como el método fa n g cheng de los "Nueve capítulos", donde es con palillos como se construye la nega tividad zheng /fu, o los ‘métodos del arte de la primordialidad celeste’ (tianyuan shu) de los algebristas de la época final de los Song. Ya desde la época de los Reinos Guerreros se han encontrado rastros de este sistema de numeración, que parece tener su origen en unas prácticas de contabili
1 Tal es, p.e., la interpretación filológica de Yan Shigu (5 81645). Véase Cheng TeK’un (1983: 169). El Yijing es más conocido entre nosotros por su nombre en el sistema de transcripción anglosajona Wade, / Ching, o en su trancripción en el sistema E.F.E.O., Yi King, que en el sistema pinyin que es el que habitualmeme utilizamos en el presente estudio (sa lvo para los nombres de ciertos autores que suelen aparecer en las bibliografías más comunes en algún otro sistema de transcripción). Este libro, en el que Leibniz creyó ver los indicios para la construcción de una matliesis universalis, será objeto de un detallado análisis en el epígrafe 11.12. con motivo de las potentes formas de negatividad que desarrolla y su posible conexión no sólo con ciertos símbolos numéricos primitivos sino, y especialmente, con las diversas formas de negatividadmatemática que aquf estamos considerando. 2 Para una discusión detallada sobre los posibles distintos ‘cer os’ en China, véase mas adelante.
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dad y adivinación basadas en el manejo de palillos. Frente al carácter ideográfico de los signos num éricos jiaguw en, estos otros tendrían una mayor independencia formal, asemejándose a sistemas como el maya o el romano. Los criterios que regulan este sistema de numeración se describen así en el "Manual matemático" del maestro Xiahou Yang (Xiahou Yang Suanjing): "Las unidad es se m antienen verticales, las decenas horizontales, las centenas de pie, los millares tumbados. Millares y decenas parecen los mismos, miríadas y centenas parecen los mismos. Una vez sobrepasado el seis, cinco está arriba; seis no acumula, cinco no permanece solo."
Es decir, los nueve signos elementales son los representados, p.e., en la pri mera serie de las dos siguientes:
1 __
1
I _
2
III
lili
mu
~r
ir
i r mr
= 3
=
¡¡ 5
_L 6
i 7
X
±
.8
9
4
La segunda serie no es más que la primera, en la que se han invertido las dis posiciones horizonta le s y verticales de las barras o palillos. Los símbolos de la p ri mera se usan para designar las unidades, centenas y, en general, las posiciones impares, mientras que los de la segunda serie designan las decenas, millares y res tantes posicione s pares. Tal alternan cia de símb olos de una y otra serie parece tene r por objeto que no se confu ndan los palillos pertenecie nte s al díg ito que ocupa una posició n con los de las posic io nes ante rior y posterior. Así, p.e., los números 18, 27 y 378 se escriben respectivam en te —UT, = "TT, III — "HT Las cifras chinas basadas en barras numerales parecen tener su origen en unos palillos que se disponían sobre un tablero de cálculo, ya mucho tiempo antes de los primeros Hany/Se ignora la relación precisa que hubiera podido haber en un principio entre numerales y palillos, si bien en torno al comienzo de las Seis Dinastías am bos sistem as estaban ya perfectamente correlacionados. En particula r, to do el cálculo — y el sim bolism o im plícito que esto s in strum ento s perm iten— del capítulo fa n g cheng se lleva a cabo mediante palillos en el tablero. M artzloff destaca que no hay tampoco constancia documental de que tal ‘tablero de cálculo’ fuera un utensilio particular "que sería a los palillos lo que el marco y las barras son al ábaco”; más bien parece que cualquier superficie pla na horizontal puede cum plir el papel de ta ble ro de cálc ulo , cuya condic ión de
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tal le vendría de ser suscep tible de acoger sobre ella los palillos co locad os según una disposición particular. Liu Hui, en sus comentarios a los "Nueve capítulos", recomienda simplemente extender una alfombra de fieltro, sobre la cual ‘se p onen’ lo s núm ero s. Los palillos que con stituyen estos números no son en absoluto un instrumento exclusivamente m atem ático. Ni el nombre ( su an o chousuan, en los "Nueve capí tulos", pero también ce, chou, chouce, suance, suanzi,...), ni la forma (cilindrica o prism ática, d e se cció n cuadra da o triang ular), ni el material (m adera, hueso, bambú, marfil, hierro o jade), ni las dimensiones, ni los usos (culinarios, adivinatorios, m onetarios, matem áticos...) son unívocos (M artzloff, 1988: 19 5)fP or medio de los palillos, la actividad m ate mática se confunde con multitud de otras actividades coti dianas. Así, el simb olism o implícito en las reglas del jueg o de palillos y tablero no sólo hace inne cesario un sim bolism o ‘algebraico’ exp lícito1sino que carga a la acti vidad m atem ática con las resonancias simbólicas que sobre los usos de tales palillo^ pro yecta el m odo de pensar chino/C om o M artzlo ff (1988: 242) ha sugerido con toda plasticidad, "si tuviéramos ante los ojos a un algebrista chino en plena activi dad, venamos a alguien atareado en manipular palillos colocados sobre el mismo suelo; de entrada, le tomaríamos por algún aficionado al juego del go, pero nunca imagin aríamo s que era álgebra lo que estaba haciendo". La im agen q ue así se evoca para describ ir a nuestro alg ebrista es la de un "matemanip ulador" que orq uesta sabios ballets matemáticos de palillos. Esta forma de operar, y el laconismo de las instrucciones — que no ‘dem ostraciones’ en el sentido griego— para hacerlo de un modo u otro según los diferentes métodos, han llevado a decir a Lay-Yong y TianSe (1987: 223) que "quizá le es más fácil a un especialista en o rdenado res entende r este m odo de lenguaje que, po r ejemplo, a un historiador que se haya em papa do en el estudio de la geom etría deductiva de la antigua G recia". Aunque no se sabe con precisión cuando empezaron a usarse estos palillos como objetos de cálculo, sí se supone que ya en la época de los Reinos Guerreros este uso era habitual entre las gentes. La utilización de este instrumento puede hacerse equivaler a la del ábaco en Occidente, que en China no se generalizará hasta muy tarde (finales de la dinastía Yuan) y siempre como me canismo derivado de las técnicas de cálculo con palillos. Las operaciones aritméticas con éstos son simples y saltan a la vista. Para sumar, p.e., 7 ( T ) y 8 ( T _) se reúnen horizon talmente los palillos horizontales (cada dos hacen uno, también tumbado, en la posició n sig uie nte ) y vertic alm ente los verticales para hacer 15 (— lllll)2. Es mediante estos palillos como encontramos la primera emergencia de la negatividaden las m atemá ticas chinas. Li Yan y Du Shiran (1 98 7:5 0) p recisan que "en los cálculos con palillos, la gente usaba palillos de sección cuadrada o negros para re fe rirse a números negativos y palillos de sección triangular o rojos pa ra los
1 Sobre la pretendida ‘ausencia de simb olismo’ en la matemática china, véase más adelante. * Sobre ejem plos de distintas operaciones aritméticas con palillos, véase Li Yan y Du Shiran (1987: 1119) para suma, resta, multiplicación y división, y pp. 5056 para rafees cuadradas y cúbicas.
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números po sitivos ; algunos pudieron haber usado disposiciones diagonales de los palillos para indic ar números negativos y disposiciones erectas [horizontales o verticales] para los núm eros positivos". Estos ‘palillos positivos’ y ‘palillos nega tivos.’ son los empleados en el método zheng fu de los "Nueve capítulos”, si bien
no podemos precisar desde cuándo venían siendo ya utilizados. Liu Hui, en sus comentarios al capítulo 8o, describe cómo hacer operativos los conceptos zlieng y fu a través de su m anipu lación con p alillos: si se dispone d e palillos de colores, los rojos representan zheng y los negros /«; y si todos los palillos son de un mismo color, entonces los números f u se indican colocando una varilla de más cruzando diagonalmente el último dígito no nulo. Re sultan, pues, de Pero grullo afirmaciones co mo la de C. B. B oye r (1968: 223), para quien "la idea de los números negativos no parece haber ocasionado muchas dificultades a los chinos, puesto que estaban acostumbrados a calcular utilizando dos co njuntos de varillas, uno de color rojo para representar núm e ros o coeficientes positivos y el otro de color negro para los negativos". Si ‘la idea de los núm eros ne ga tivos ’ estuv iera ya en algún lugar desde el que pu diera o no ‘ocasionar dificultades’, esa idea no sería otra cosa que uno de los dos conjuntos de varillas; y si no estaba en ningún lugar ideal previo, la cuestión sigue siendo la misma aunque ahora en términos de palillos y no de números: ¿po r qué los chinos, y só lo ellos, disponían de dos conjuntos de palillos de dife rentes colores que noso tros pode m os asoc iar con los ‘números ne gativos’ y los ‘positivos’? Para que este sistema fuera estrictamente posicional faltaría un signo que marcara las posiciones vacantes, pues un número como el —'T p u e d e expresar tanto 18 com o 1800, 1080, etc. N eedh am y otros estudiosos de la m atem ática china suponen que se dejaba un espac io en blanco com o m arca de las posiciones vacías, aunque M artzloff niega cualqu ier evidencia documental en que apoyar esa co nje tura. No obstante, la particularidad de los instrumentos materiales de contabilidad en Chin a no sólo hacen bien p lausible esa suposición sino que, com o verem os, casi dejan sin sentido a nuestro ‘cero posicional’. II.3. El m étod o f a n g ch en g y el ‘álgeb ra instru m en tal’. El arte de pro du cir nada Elijam os com o tradu cción la de ‘asignaciones a derecha e izquierd a’ o bien algun a de las próxim as a la que se atribuye al propio Liu Hui — ‘dispo sición de una serie de cosas en colum nas con el fin de verificación mu tua’— , este m éto do 1 tiene p or objeto el mism o que, p ara nosotros, resolver un sistema de ecu aciones 1 Tanto en la descripción de este m étodo como en la de las reglas zhengfu. que expondremos a continuación, seguimos las indicaciones de L. LayYong y A. TianSe (1987: 226 ss.)
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lineales. Dadas m cantidades a., (j = 1,2,... m) de cada una de m ‘cosas’ (wu) x. (j = 1 ,2 ,... m ) y da da s n relacio nes line ales entre tales cosa s en func ión de talesJ ca ntid ad es (a. + a.^ + + a. = b. , i = 1, ... n), se trata de calcu lar el núm ero de cada cosa. Es'de cir' se trata de resolver un sistema de n ecuaciones con m incóg nitas del tipo: a I I xI *+ a 1 2 x2 + ... + a I n i x m= b
I
a 21 x.1 + a22 x 2 + ... + a 2m x ni= b 2 a n i x 1 + a n2 x 2 + ... + a nm Xni = b Para ello, se fijan en el tablero tantas columnas como relaciones lineales (n) y tantas filas com o cos as (m). Se divide cada colum na en dos zonas: en la superior se disponen — de arriba hacia abajo— las cantidades de las cosas qu e intervienen en una cierta relación i (a.., j = 1, ... m), y en la inferior el término absoluto (shi) correspondiente b.. Las distintas colum nas se van disponiendo a su vez de derecha a izquierda. Así, el sistema anterior ofrecerá la siguiente disposición en el tablero: cosa 1
a ni . . .
a21
a II
cosa 2
a n2 . . .
a 22
a 12
cosa m
a nm . . .
a2m
a 1ni
shi
b n . .
b2
b1
Es de destacar la fundamental diferencia, en lo que al simbolismo se refiere, entre la expresión del problem a en términos de ecuaciones algebraicas y esta otra en función de la dispo sición de los datos (palillos) en el tablero de cá lculo. Todo el simbolismo que allí era necesario —o, en su defecto, toda la exposición retórica que lo supliera— aquí qued a obviado por la inequívoca colocación de cada núm ero (disposición de palillos) en el tablero. El álgebra instrumental china hace que los instrumentos sig nifiq uen. El color o grado de inclinación de los palillos, un lugar preciso en el ta blero... cum plen las funciones de los sím bolo s (de la sum a, resta, multiplicación,... incógnita, igualdad, etc.) en el álgebra simbólica occidental. Los instrumentos, su forma de distribuirse en el espacio — y, distribuyéndose, organi zad o— , la disposición relativa de los lugares que albergan — ya antes incluso de que vengan a ser llenados por una u otra (o ninguna!) cantidad— son símbolos por sí mismos. El símbolo, al contrario que en la tradición de herencia griega, no es el resultado de un proceso de abstracción sino una cualidad de los lugares concretos
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en función de unos sistemas de referencia implícitos. El espacio algebraico chino no es el espacio extensional aristotélico-euclídeo sino espacio simbólico, un espa cio que carga de significados d iferentes a sus diferentes lugares que, a su vez, vie nen determinado s por su m utu a relación inte rna1. A esta expresividad sim bólica, inh erente al propio espacio de representac ión, se añade, como señ ala Ma rtzloff, la de los ideogram as del chino clásico. Los enu n ciados o instrucciones que mediante ellos se expresan son mucho más breves, aun en su formulación literal completa, que sus correspondientes mediante el álgebra formal occidental. Por segu ir el ejem plo expuesto po r este autor, un enu nciad o del tipo 'xian jiao he', que literalmente traduciríamos por "hipotenusa-diferenciasuma", en la llamada álge bra retórica se formularía como "suma de la hipotenusa y de la diferencia (de los catetos de un triángulo rectáng ulo)", y en la llam ada á lge bra sim bólica2 se diría ‘x + (y - z)’. P ero mientras que así hemos necesitado siete símbolos (3 letras, 2 sím bolos de operación, y 2 paréntesis) en chino clásico hubie ran bastado tres caracteres ideográficos. Con toda razón puede decirse que "el chino es hasta tal punto con ciso que algebrizar llevaría paradójicamente a com pli carlo todo" (Martzloff, 1988: 249). Otra diferencia significativa, aunque de menos ca lado, está en la significación de los números dispuestos en el tablero. No se trata de números absolutos (esa ‘determinada multitud de unidades’ de la aritmética griega) sino relativos: los números comprendidos en cada columna se ven como una colección ordenada de razones o relaciones entre núm eros. L o cual permitirá, a lo largo de toda la aplica ción del método, multiplicar todos los números de una misma columna por un mismo núm ero sin que se altere el significado de aquélla. La clave del mé todo fa n g cheng está en ir obteniendo lugares vacíos en el tab lero, pa ra lo cual se proced e a multiplicar todos los elem entos de una columna po r un cierto núm ero y a efectuar a continuación ‘sustracciones sucesivas’ entre esta columna y la precedente hasta lograr vaciar un espacio. Com o explica Liu Hui en sus comentarios, los términos de una co lumn a quedan así ‘equilibrado s’ (qi tong) y los números restantes siguen siendo una colección de razones. Este proceso de vaciamiento del tablero se reitera hasta conseguir triangular (con huecos) la parte superior del tablero, de modo que en una columna quede tan sólo una ‘cosa’ arriba y el shi abajo, con lo que ya se esta en condiciones de ir obten iend o el núm ero buscado de ca da una de las ‘cosa s’.
1 Véase más adelante sobre las relaciones entre esta estructuración simbólica del espacio como soporte de la representación, las características de la lengua china y la función ‘protocolaria' de los números com o etiquetas o marcas de lugares simbólicamente cargados. 2 Estas denominaciones habituales para las ‘sucesivas fases’ del álgebra, aunque aparentemente asépticas, no dejan de llevar su carga. ¿Por qué esa inversión total del significado — etim ológico y her mcnéutico— del término ‘simbólico'cuando se usa para unos símbolos (las letras del álgebra) que se pretende que no simbolicen nada? ¿Deja el álgebra ‘simbólica ’ de activar sus propios recursos retóricos, o de persuasión, por definirse en oposición al álgebra ‘retórica'? ¿No pretende esa propia denominación un eficaz efecto retórico?
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El pro blem a 1 del capítulo 8o de los "Nueve capítulos" ilustra, a la vez que expone, el método: Problema 1 "Hay 3 m anojos de cereal de calidad superior, 2 manojos de calidad m edia y 1 manojo de calidad inferior, resultando 39 do u [de grano] como sh i; 2 manojos de calidad superior, 3 manojos de calidad m edia y 1 manojo de calidad inferior dan 34 dou como shi; mien tras que 1 manojo de calidad superior, 2 manojos de calidad me dia y 3 manojos de calidad inferior dan 26 do u como shi. E ncontrar la medida [de grano] en dou contenida en un manojo de cada una de las tres calidades de cereal."
L. Lay-Yong y A. Tian-Se distinguen nueve pasos en la explicación del método: Paso 1: "Pon er 3 mano jos de cereal de calidad superior, 2 de calidad m edia y 1 de cali dad inferior con su resultado, 39 dou, como shi en la columna de la derecha. Dispo ner las colum nas cen tral e izquierda del mismo modo que la derecha."
La d isposición de palillos en el tablero será por tanto: calidad superior
1
Il
III
calidad m edia
II
III
II
calidad inferior
III
1
sh i
= T
1 '
= mi = i r
que nosotros, por razones de comodidad, representaremos con cifras árabes: calidad superior
1
2
3
calidad media
2
3
2
calidad inferior
3
1
1
26
34
39
sh i
74
y que ‘corresp ond e’ al sistem a de ecuaciones: 3x + 2 y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26 Conviene no obstante observar que la misma materialidad de los palillos sobre el tablero refleja más adecuadamente el espíritu de concreción de este tipo de álgebra. La instrucción del Paso 1 no dice ‘escribir el número 3’ sino ‘poner 3 manojos’: se pone — que no se escribe— y se ponen manojos — que no números— cuya materialidad se corresponde con la de los palillos. El mismo ánimo de apego a la plasticidad de lo representado se expresa en la primera instrucción del siguiente paso': "tómense los cereales de lo alto de la columna derecha...". Tras ladando palillos de lugar diríase que casi se están acarreando los manojos de los que trata el problema. E ste es otro aspecto donde se evidencia cómo la abstracción china sigue un camino bien distinto de la aphairesis griega. Paso 2: "Tomar los cereales de lo alto de la colum na d erecha para m ultiplicar por todas partes (bian cheng) la columna central y proceder a [el método de] sustracciones directas (zi chu)."
La operación ‘m ultiplicar por todas partes’ (bian chen g) consiste en m ultipli car todos los elementos de una columna por un número dado. La ‘sustracción directa ’, a su vez, es la operación consistente en restar, elemento a elem ento, de la colum na central la de la derech a tantas veces co mo se a necesario para con segu ir la desaparición (jin) de los palillos situados en lo alto de esa columna central. Este pro pósito explícito de ‘hacer desaparecer’ los núm ero s, tan natural para el lector moderno (y más para el que conozca los procedimientos del álgebra matricial en la resolución de sistemas de ecu aciones), sería sin em bargo puro despropósito en la matemática aristotélico-euclídea. Liu Hui lo formula así: "El propósito del método es sustraer repetidamente los números menores de una columna de los mayores de otra columna, de manera que el número de la posi ción superior desaparezca (jin). Cuand o la posición superior se queda vacía, eso sig nifica que a la colum na le falta una cosa. Este m odo de sustracción m utua no afecta al cálculo de los números restantes, porque eliminando el número de la posición superior la cantidad de cosa afectada también es sustraída del shi. Por tanto, mediante la sustracción directa [de números] en las column as de izquierda y derecha
1 Según ahora la versión de J.C. MartzlofT (1988: 2 36).
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y mediante el exam en de los [números] positivos (zheng) y de los negativos (fu). llegamos a los resultados deseados. El propósito de primero multiplicar por todas partes (bian cheng) la columna central por el [número de] cereal de calidad superior de la columna de la derecha es equilibrar los términos (qi tong). Este equilibramiento de término s es para hacer posibles las sustracciones directas entre la columna de la derecha y la columna central."
Así, la colum na central Cv multiplicada por a^ = 3 , y restando de ella la colum na de la dere cha C ( las veces necesarias (dos en este caso) para que a^ ‘des aparezca’, se convierte en: 2 •3 3 —> 1 _34
6 -c, 9 3 102
-c,
(6- 3 )- í ( 9 - 2) - 2 — 2 (3- 1 )- 1 24 (10 2-3 9) - 39_
6- 3 9 - 2 —> 3- 1 102 - 39_
—>
5
que sim bolizarem os por: C 2 -> 3C 2 - C 1 - C1 con lo que en el tablero quedará: 1
3
2
5
2
3
1
1
26
24
39
donde es de resaltar que han desaparecido (jin) los palillos de la posición superior, pero también cóm o han lle gado a desaparecer: por un ju ego de equilib ra mie nto s o com pensa ciones de térm inos que, con la entrada en escena de las parejas de opues tos zh eng/fu (que aquí todavía Liu Hui sólo menciona), encontrará su expresión más refinada. Un proceso así, de meticulosos equilibramientos para llegar a o bte ner nada, no sólo es ajeno a la epistem e griega sino que está expresa y tajantemente impedido por ella. Es el ‘sendero inescrutable’ por el que Parménides conmina a no transitar, es el absurdo del que Aristóteles abomina cuando se enfrenta a cual quie r posible razón que e nca de ne un número a na da 1. Pues bien, en el álgebra fang
1 Véase epígrafe I1I.3.
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cheng esa razón impo sible no sólo es pensable sino que se sitúa como razón de ser
del método mismo: eq uilibrar números para obtener su desaparición. Paso 3
Indica que se proceda, análogam ente al Paso 2, a efectuar la o peración C ^ —» 3C3 - C ( , con lo que será: 3 4
5
2
8
1
1
39
24
39
Paso 4
C , -> 5 C , - C - C - C - C 3
3
2
2
2
2
y será: 3 5
2
36
1
1
99
24
39
Paso 5
Un a vez conseg uido que la parte superior del tablero (la constituida po r todas las filas menos la inferior, correspo ndien te al shi) quede de forma triangular, el texto indica que lo que q ued a en la colum na de la izquierda es el cereal de calidad inferior, tomando el número superior como fa (divisor) y el inferior como shi (dividendo). Es decir, el shi para el cereal de calidad inferior es 99, o sea, 36z = 99, con lo que un ma nojo de cereal de calidad inferior será z = 99/33 (si bien este ú ltimo paso no se da hasta el final para evitar operar con números fraccionarios). Los pasos siguientes indican cómo obtener las cantidades de las otras dos calidades de cereal por sustituciones sucesivas. Si en el tablero del Paso 4 se c alc ula 2 4 3 6 - 9 9 1 = 7 6 5 , el sh i para el cereal de grado m edio será 765/5 =15 3, con lo que y = 153/36. Y análogam ente, efectuand o la operación 3936 - 991 - 1532 = 999, el sh i para el cereal de calidad superior es 999/3 = 333, con lo que x = 333/36.
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Aunque en ningún momento se ofrezca una exposición general de este método fa n g cheng, el tipo de instruccione s que acom pañan a la resolución de este P rob lem a 1 sí perm iten extraer los criterios para resolver del mismo modo c ual quier otro problema semejante. El mismo Liu Hui entiende el método de una manera bastante flexible, pues ofrece combinaciones alternativas en las operacio nes entre columnas para el caso en que una triangulación como la anterior con duz ca a cálculos "dem asiado com plicados de llevar a cabo". Fo rm alm ente , el método no es otro que el se conocerá a partir de nuestro s. XIX com o ‘mé todo de G aus s’, debido a que éste matem ático lo desarrolló en el curso de sus estudios sobre el movimiento de los cuerpos celestes1. Pero material y genética mente ambos métodos difieren considerablemente. No puede dejar de sorprender que e ntre las eme rgencias de uno y otro pasen m ás de veinte siglos, tratándose ade más de un método aparentemente tan simple. Basándose en los reiterados consejos de los sucesivos com entaristas de los "Nueve cap ítulos", en el sentido de elegir siem pre la té cnic a que perm ita la máxim a sim plicidad en los cálculos, M artzloff (1988: 238) co njetura que "no es excesivamente sorprendente que los calculistas de los Han hayan descubierto tal técnica porque se dejaron guiar por un ‘principio del mínimo esfuerzo’". Al margen de que la rigurosa aplicación de tal principio a lo que segura mente cond uzca sea a no calcular nada — y me nos con el engorro de los palillos— , o bien hemos de admitir que ese-principio actúa en China desde los comienzos de nuestra era pero no empieza a ser operativo en Occidente hasta veinte siglos más tarde (lo que no es de fácil demostración) o bien hem os de suponer que también el ‘principio del mínimo esfuerzo’ —como las ubicuas ‘necesidades prácticas’ o el ‘auge del comercio’, tan aducidos ad hoc por ciertas sociologías de las matem áti cas— difiere de unos modos de pensar a otros, con lo que la explicación reclama al punto se r a su vez explicada. ¿Q ué im pide a la potente matemática occidental no encontrar hasta el s. XIX el ‘método más simple’ para resolver unos sistemas de ecuaciones que, no obstante, ya venían planteándose desde casi veinte siglos antes? No parece dem asiado aven turado su poner sencillamente que el ‘método de Gauss’ no era tal ‘método más simple’ para una matemática como la euclídea, que remata su forma paradigmática sin pensar el ‘cero’ (clave del método fang cheng) y que todavía en tiempos del propio G auss discute — en bo ca de Kant, p.e.— la respetabi lidad filosófica de las ‘magnitudes negativas’ (clave de la prolongación del fa n g cheng en la reglas zheng fu).
II.4. A rraigo del álgeb ra instrumen tal en la lengua natu ral La naturalidad del mé todo hab rá pues que b usca rla más bien en la particu la ridad de las formas de razón dominantes en la China de los Han. Y más concreta m ente en ciertos rasgo s específicos de su lengua, de su ma nera de entender las fun
1 Véase Hcrmann H. Goldsiine (1977: 212 ss.).
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ciones simbólica y abstractiva, y de los instrumentos materiales con los que allí y entonces se operaba de modo natural. Al margen de consideraciones culturales más amplias, de las que nos ocuparemos a propósito de la negatlvldad yin yan g, y al margen también de la específica negatlvidad zheng fu , que tratarem os con deta lle a continuación, el propio M artzloff aporta una sugeren cia1qu e parece más co n vincente que aquel sospechoso principio del mínimo esfuerzo. La disposición de los palillos en el tablero para la ejecución del método fa n g cheng progresa de arriba hacia abajo y, una vez com pletada la correspondiente colum na, de la derecha hacia la izquierda. Y esa es precisamente la disposición que en su progresión va adoptando la escritura china; colum nas paralelas que avanzan d e arriba a abajo y de izquierda a derecha. De hecho, las matrices resultantes del ‘método de Gauss’ (C. F. Gauss, 1809) son las traspuestas de las reflejadas en el fa n g cheng, como corresponde al modo occidental de expresar las ecuaciones que, a su vez, repro duce el orden en que p rogresa el texto en que los correspon dientes enunc iados se dicen en las lenguas del continente europeo: en filas que avanzan de izquierda a derech a y de arriba a abajo 3. Pero esta diferencia sólo ex plicaría la trasposición de columnas y filas en uno y otro caso, no el hecho mismo de que en un caso se pro ceda espontáneamente a expresiones —literales (álgebra ‘retórica’) o formales (álgebra ‘simb ólica’)— mientras que en el otro se haga con disposiciones simbó licas (álgebra ‘instrumental’ china). Com o observara W ittgenstein, "es esencial a la m atemá tica que sus signos se usen también en lo civil". De ‘lo civil’ extraen su organización y sentido, y a ‘lo civil’ recurren des pué s pa ra ser explicado s, esto es, para recu pera r su narratividad original. El paso del álg ebra retó rica al álgebra formal en O cciden te se lleva a cabo traduciendo uno por uno los elementos constitutivos de la frase por signos forma les (incógnitas, operadores, paréntesis, etc.), que se mantienen conectados entre sí de modo isomorfo a como lo estaban sus correlatos lingüísticos en la frase natu ral; el signo *+’, p.e., con ec ta los término s 2x y 3x J — en la ex pre sión a lgeb raica 2x + 3x3— como el v erbo ‘aña dir ’ enlaza los sintagm as no m inales ‘dos c osa s’3 y ‘tres cuadrados’ en la frase ‘añadir dos cosas a tres cuadrados’. Análoga mente, los parén tesis algebra icos traducen pausas del enun ciado literal, vengan éstas m arcadas por com as o estén tan sólo im plícitas en el ritmo de la frase, etc. Este considerable isomorfismo entre expresión algebraica y enunciado literario sé mantiene en el álgeb ra fa n g clieng, pero ahora las carac terísticas de la lengua natural traslada n al lengu aje alge braico una estructura y sentido bien diferentes. En la lengua china clásica4, sílaba, palabra y carácter gráfico tienden a con fundirse. L a sílaba es, a diferencia de las lenguas indoeuropeas — donde no jueg a 1 Mantenida también, p.e., por L. LayYong y A. TianSe (1987: 260 ). * Sobre la influencia de la estructura del lenguaje natural en el orden amiento de las expresion es algebraicas que aquél pueda soportar, véase J. Ciernen!, J. Lochhead y E. Soloway (1979); K.M. Fisher y J.I. Lipson (1985: 6669). 3 Por utilizar la exp resión de los cosisias. que subraya la sustantividad de estas eidl diofánticas. 4 Véase, p.e., P. De m iévill e (194 8) o R.A.O. Forres! (194 8).
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más qu e un papel marginal— , la unidad fonética y semántica por excelencia. Ahora bien, una misma sílaba puede corresponder a caracteres ideográficos muy diferentes, que a su vez pueden tener distintos significados. Así, la frase, o el párrafo , com o yuxta posic ió n de id eogra m as que a m enudo ta mpoco inclu yen par tículas gramáticales entre ellos, sólo adquieren un sentido preciso en función del contexto, el ritmo, la disposición recíproca de los caracteres y la estructura global que adoptan las agrupaciones de éstos (en paralelo, por inversión, etc.). Al contra rio que en las lenguas indoeuropeas, donde la palabra es vehículo de un concepto sem ánticame nte autónom o, la idea que transm ite el ideogram a no es independiente de su expresión en el lenguaje, sino una idea directamente lingüística', que sólo el contexto y la estructura total del párrafo pueden precisar. Es necesario captar pri me ro el sentido global, para pod er después — y sólo después— decidir el signifi cado y la función concreta de un sonido o carácter particular. Y ese sentido está determ inado po r factores no estrictamente sem ánticos ni gramaticales sino globa les, como los antes apun tados: ritm o, contexto, estructura, ordenam iento... Sólo así puede aportarse la precis ión de la que care ce una le ngua que no pose e una m orfo logía propia, al ser cad a ideogra m a invariable: no es necesario, ni habitual, que un nombre haya de aparecer en singular o plural, o que un verbo se enuncie en un tiemp o determ inado o con un sujeto que lo determine. La íntima conexión entre ritmo y sentido qued a expresada en el uso del mismo término — yan -— para designar la unidad léxica y la unidad rítmica. Es el ritmo el que aporta el sentido al m arcar en el texto frase y periodos, hasta el punto de que se ha afirmado que "el análisis rítmico ocupa, en chino, el lugar que en nuestras len guas ocupan el análisis gramatical y lógico"2. Así, una expresión como "shang tian wu lu ru di wu merí' (literalmente "subir-cielo-ningún-camino-bajar-tierra-ningún puerta ) se reorganiza rítm ic am ente en dos grupos de cuatro elementos cada uno y simétricos dos a dos: subir/entrar, cielo/tierra, ningún/ningún, camino/puerta. Con ello, el ritmo pautado por la simetría es el que ofrece el sentido: "ningún camino para subir al cie lo , ninguna puerta para entrar en la tierra", es decir, "no hay salida". De ahí la im portancia que en chino tienen las construccion es paralelas, sea por sim e tría, antítesis o inversión. Este último recurso es posible porque el orden en que se siguen dos ideogram as pu ede alterar su significación respectiva o su fun ción en la frase: las distintas combinaciones permitidas de un mismo grupo de ideogramas pueden dar lu gar a expresiones bien diferentes. Lo cual está en la base tanto de cier tos artificios m atem áticos , capaces — com o el tablero de calculo en el método fa n g ctieng — de hacer sim bolizar a los caracteres según su situación recíproca, como de habituales recursos po éticos; hasta el punto de que, en un poem a de la épo ca de los Tang como el siguiente —que traducimos literalmente—, los dos últimos versos puedan reflejar, com o en un espejo, los dos primeros: 1 Asf, p.e., no existe una palabra 'diez' que represente el concep to de 'decena' y lo transcriba como '10', sino tan sólo el signo ‘— * P. De miévill e y Y. Hervouet (1980: IV: 309). De e llos recogem os estas observaciones sobre el papel estructurante del ritmo.
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"Perfum e loto esmeralda agua ag itar viento fresco Agua agitar viento fresco verano jornada larga Larga jorn ad a verano fresco viento agitar agua Fresco v iento agitar agua esmera lda loto perfum e"1.
La lectura eri un sentido (desde la primera palabra hasta la última) y en el inverso (desde la última hasta la primera ) son idénticas, no obstante lo cual el sen tido de los dos prim eros versos es del todo diferente al de los dos últimos, qu e son sus inversos. Estas inversiones se dan incluso en el interior de cada pa reja de versos (p.e. agu a-agitar/ag itar-agua), alterand o así la función sintáctica de los ideogra m as implicados y distribuyendo de ma nera distinta las asociaciones con los otros ideo gramas adyacen tes. C heng Chi-hsien traduce así los dos primeros versos: "Sobre el agua de esmeralda, entre los lotos perfumados, se levanta un viento fresco / El agua se agita, el vien to trae frescor, la jom ad a de verano es larga". Según este filó logo (1972: 42), estos p aralelism os e inversiones son "una tentativa para favorecer una disposición espacial enfrentada al desarrollo temporal; ofrecen al poeta una posib ilid ad de ro m per el discurs o lineal y escapar así a la coerción del tiempo (...) Estos dos versos, que se responden de tal modo, crean un espacio estable, autó nomo y que se basta a sí mismo. (...) Introduciendo en el discurso la dimensión para digm átic a2, el poeta intenta libera r a las pala bra s de la su jeción a las opcio nes lineales, rom pe r po r un instante la cadena de la pala bra y organizar un universo de certeza que perma nezca fuera del tiempo". Esta misma estructura formal de versos que se responden y co-responden m ediante sim etrías e inversiones sintácticas es la que encontraremos en los en un ciados de las reglas z h e n g fu . En ellas, el estilo (sintáctico) viene así a reforzar — y a re producir en otro niv el— adm ira blem ente el conte nid o (s em ántico), diciendo me diante p aralelism os, simetrías y oposiciones (simbó licas, ideográfi cas) cómo operan las simetrías y oposiciones (conceptuales, matemáticas) que articulan el álgebra zheng f u . Im posible no ced er también a la asociación entre la contraposición exp uesta por C heng Chi-hsie n (tem pora lid ad/e spacialidad narrativas) y la que enfrenta la linealidad, secu encial y sintagm ática, de las ecuacione s lineales en el contexto de
1 Citado por Cheng C hihsien (19 72: 3 8), a quien seguim os también en las observaciones subsiguientes . En el m ismo número 48/4 9 de la revista Tel Quel, dedicado íntegro a China, véanse también: Ion Banu, "Philosophie social, magie et langage graphique dans le Hong-fan"', Viviane Aileton, "Écriture chinoise"; y Julia Kristeva, "La contradiclion et ses aspecls chez un auteur des Tang".^ ~ El término 'paradimático' está aquí empleado en el sentido que le da la lingüística possau s suriana. Un término está relacionado paradigmáticamente con aquellos otros con los que comparte un determinado radical, un cierto sufijo, una asociación fonética o un cierto campo semántico; la dimensión paradigmática abre así varias series de relaciones virtuales, a diferencia de la relación sintagmática, que asocia cada término con los que le acompañan en la secuencia temporal cerrada del enunciado al que pertenece.
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las lenguas indoeuropeas, con la espacialidad, holista y paradigmática, de su representación en el método fang cheng. En aquéllas, la secuencia temporal de los signos reprodu ce la de la frase, y otro tanto oc urre con los vínculos s intácticos y gramaticales. En el tablero de cálculo, la dispo sición espac ial desplieg a relacio nes paradigmáticas (ñlas = cualidades semejantes) junto a las sintagmáticas (columnas = frases), al tiem po que cada unidad (grupo de p alillos / ideogram a) significa en función de su dispo sición en el conjun to (su luga r en el tab lero) y no de su contenido semántico estricto o de una marca gramatical que la determine. Tam poco puede de jar de p ercibirse una notable an alogía entre el diálogo interno del párrafo literario chino, a través de paralelismos e inversiones, y el modo de operar fang cheng por m edio de equilibra m iento s y com pensacio nes de los tér m inos de unas columnas que, en paralelo, se determ inan m utuam ente. (La incor pora ción de la s reglas zheng fu o ’positivo/negativo’ añadirá a esta dialéctica interna un nuevo juego de oposiciones, que ahora resulta bastante menos cho cante). No es, por tanto, sólo una cuestión de ec ono m ía gráfica la que ha ce inne cesario, como apuntaba Martzloff, el simbolismo algebraico en la matemática china, sino que tal falta de necesidad arraiga más bien en la manera de distribuir significados im plícita en la prop ia estructura de su leng ua y en la singu larización de los lugares de su espacio. ^Desde esta perspectiva, lo que ahora parece sorprendente no es tanto que el álgebra matricial china haya precedido en veinte siglos a la indoe uropea c om o que ésta hay a llegado a aparecer alguna vez, en tan claro an tagonism o con las configu raciones a que parecen cond ucir sus disposiciones lingüísticas y sus concep ciones espaciales^La teoría de ma trices, em pezada a desarrollar en Europa a m ediados del s. XIX po r Ca yley y Sylv ester1, tiene su origen en los cálculos co n dete rm inantes — form ados por los coeficiente s de sistem as de ecuacio nes— llevados a cabo por Cramer, Bé zout, Vandermonde, Lagrange, Laplace y otros. Entre los trabajos pio neros sobre determinantes suelen citarse ios de L eibniz y el japo nés Seki Takakazu (1642-1708), más conocido como Seki Kowa5; el primero de ellos se mostró viva m ente interesado en los procedimientos chinos de representación simbó lica, com o demuestra su uso del Yijing para la construcció n de una mathesis universalis, mientras que el segundo era un profundo conoced or del método fang cheng. Seki Kowa, llamado el sansei o ‘ma temático sagrado ’, es tenido p or el creado r de las matémáticas wasan, basadas a su vez en las té cnic as del álg ebra tengen, que ope raban con palillos y que en tiempos de Seki Kowa ponían el énfasis en resolver ecuaciones de elevados grados mediante este artificio. Las innovaciones introduci das por él llevarán al álgebra wasan a enfrentarse con el problema del modo de 1 Véase , p.e., L. Novy (1973: 16517 2), donde se .alude a los trabajos en ruso de A.P. Juskevic en los que se destaca el uso de matrices en lugar de ecuaciones en el álgebra china. 2 Véase Th. Muir (1906).
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existencia de las rafees negativas e im agina rías1. Bien p udiera se r éste el lazo que une, com o sugiere M ikami (1914: 29), el método fa n g cher.g con la ‘tardía’ teoría de matrices europea: "nos sentimos inclinados a creer en el origen japonés de la teoría de determinantes como seguramente derivada del método de solución de ecuaciones lineales simultáneas, que los japoneses aprendieron de sus maestros chinos".
U.S. Las reglas zheng/fu (‘positivo/negativo’) El método fa n g cheng tiene ciertamente sus limitaciones. Una, cuando no todas las ecuaciones son linealm ente indepen dientes2', entonces la división que aparece al final de los cálculos ‘no es posible ’, al ser el divisor nulo. O tra, cuando intervienen grandes números, pues el método de sustracciones sucesivas puede desenc adena r entonces varios m iles de operaciones. Y, una tercera, cuando la apli cación del mé todo obligue a sustraer un número de otro m enor o de una posición vacía. L a prime ra restricción, com o observa M artzloff (1988: 23 9), no estaban en condiciones de reso lverla ni los matemáticos chinos de los Han ni siquiera los de los Yuan. Para la segunda, el mismo Liu Hui ofrece aplicaciones alternativas del mé todo. A sí, en el prob lem a 7 del capítulo 8o, en luga r de una eng orro sa iteración de su stracciones establece una simetría de operaciones entre columnas que em plea tan sólo dos m ultiplicaciones y una resta: mediante las combinaciones lineales: C -» 21C I -4 C 2 _ l C —>4C se produce la transformación:
1 Vé ase Shigeru Nakayama (1980 : 15 & 16: 74975). El autor señala que, "de la tradición pragmática china, el wasan habfa heredado la idea de que una ecuación sólo podía tener una raíz. Seki, sin embargo, introdujo la discusión en torno a las rafees negativas e imaginarias, intentando interpretar su significado. A partir de un enfoque característico del wasan. transformó y 'corrigió' tales problemas para obtener soluciones reales positivas, rechazando las implicaciones del problema original. Asi, su teoría de las ecuaciones desecha posteriores desarrollos hacia una teoría de los números negativos e imaginarios en el interior del wasan". Una reacción a sí no es 'característica del wasan', pues la encontraremos muy parecida en la Encyclo pidie de D’Alembcn y Diderot. No obstante, la disponibilidad de estos trabajos de Seki Kowa — su "Discusión sobre la esp ecific ació n de problemas" (Daijutsu bengi) y su "Clarificación de problemas imposibles" (Byodai meichi)— tan sólo en japonés, nos impide precisar más esta cuestión. 2 Es decir, cuando una de ellas puede obtenerse com o producto de otra por un cierto número.
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c2
20
>
84 80
340
c1
Pese a la evidente superioridad de este p rocedim iento, su uso no se generali zará en China hasta mil años despué s, lo que M artzloff atribuye a la dificultad inhe rente a la idea de multiplicación de cantidades negativas que el procedimiento implicaría al extenderse m ediante las reglas zheng f u qué regulan las operaciones con estas cantidades. Estas reglas se introducen para negociar la tercera dificultad mencionada, lo que los autores de los "Nueve Capítulos" consiguen "de manera sorprendente para su tiempo". Es para poder restar, en el curso del método fa n g cheng, un núm ero de otro m enor o de un hueco en el tablero para lo que los m ate máticos Han construyen una forma de negatividad que se tiene por la primera ‘apa rición’ de los ‘núm eros negativos’. La m anera tan rotund á y acabada de esta cons trucción, en contraste con su penosa y emergencia en Occidente, arroja ciertas reservas sobre la ‘dificultad’ — supuesta po r M artzloff— de extender las ope racio nes de suma y resta (para las que inicialmente se define) a la multiplicación. Más aún cuando se considera que Diofanto, cuyas construcciones son más tímidas y balbucientes, lo que enuncia de fo rm a prim era y explícita es pre cisamente la m ul tiplicación de ‘término s negativos’ . Pero esta discu sión sólo pued e hacerse desde una preciso conocim iento de las reglas zheng fu . Conviene antes destacar el carácter eminentemente práctico —y, por tanto, dúctil— d e lo que en Ch ina se entiende po r un m étodo o una doctrina, frente a las connotaciones de rigor y abstracción que suele evocar para una mentalidad occi dental, pues ahí está uno de los motivos que permitirán bordear operaciones que cualquier método rígido desc artaría por impo sibles o faltas de sentido. M arcel G ranet (1968: 18), más aten to al estudio de la m entalidad china profun da que a las ela bora ciones eru ditas, desta ca que "nunca se debe olv id ar que un a ‘do ctrin a chin a’ debe ser definida, no en tanto intenta determinar las articulaciones de un sistema dogm ático, sino en cuanto apun ta a extraer una especie de fórmula maestra o receta central". La ‘receta central’ del método fa n g cheng está en conseguir triangular a base de huecos la m atriz que define la disposic ió n de los coeficientes en el tablero de cálculo. Y a ello se va a sub ordinar hasta la prop ia consideración de los objetos que se tendrán por ‘números’. A lo cual favorecerá, sin duda, la no construcción por la m ate m ática ni por la filosofía chin as de una m eta físic a explícita del núm ero que, como en Grecia, delimite las fronteras de lo que puede pensarse como tal'. 1 La ausencia de csla m etafísica del número no es evidentemen te exclusiva de la cultura china. Pero tal ausencia, junto al tipo de problemas que la matemática china se plantea, el modo de enfocar su resolución, y las categorías conceptuales que, al dominar su manera de pensar, orientan la construcción de esa solu ción, sí parecen determinar la ‘Insólita aparición’ en China de los ‘números negativos’.
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Para Granet (1968: 26), el mo do clásico de pensar chino "ha desdeñad o los recur sos de claridad que apo rtan al espíritu una lógica de la extensión y una física de la cantidad. N o ha querido con siderar los Números, el Espac io y el Tiemp o com o si fueran abstracciones. Com o tam poco ha considerado útil constituir categorías abs tractas com o nuestras categorías de G énero, de Su stancia y de Fuerza". En este espíritu se construyen las reglas zhengfu, y en este espíritu Liu Hui ofrece asimismo otra variante del método fang cheng , que él llama "nuevo método" por oposición al "viejo método". En el problema 18, frente a quienes, inseguros ante los principios del fang cheng, se refugian en "seguir rígidam ente el [viejo] método de cálculo en el tapete [o tablero]” por más que "se enreden exce sivamente con él", Liu Hui llam a a "mirar el mé todo global con perspectiva", aten diendo derechamente a su esencia. Pero lo que aquí queremos destacar no es el detalle del ‘nuevo m éto do ’ sino el espíritu de esa ‘perspectiva’ que el matem ático chino expone a p ropósito de él: "Podemos comparar tal técnica con la de un buen cocinero. Cuando un coci nero habilidoso corta la carne de una vaca, mueve con libertad el cuchillo por el inte rior de la pieza de modo que el cuchillo permanezca añlado por mucho tiempo. Las matemáticas son como el cuchillo que actúa con eficacia y soltura en manos del co ci nero habilidoso. De este modo no sólo se hace el trabajo rápido y sin esfuerzo sino que el cuchillo está siempre afilado como al principio"1. Así tam bién el m étodo ha de ser dúctil y moverse ‘con liberta d’, adap tándose fang cheng y, en general, a los recovecos de ca da problem a en el que penetra. El toda la matem ática china parecen atender a la sugerencia de W ittgenstein (1987: 138) de adoptar instrumentos de medida blandos, dotados de una cierta elastici dad. No envarados por una meta físic a explícita del núm ero y orientados por unas categorías latentes bien d istantes del sustancialism o griego, la libertad con que los matem áticos Han van a m over el cuchillo para atajar la tercera de las lim itaciones mencionadas les llevará.a construir la negatividad zhengfu. Las zhengfu shu (o ‘reglas zhengfu ’) aparecen form uladas en cuatro sucintos enu nciado s al final del p roblem a 3 del 8o capítulo del Jiu zhang suanshu. El propio texto dice qu e se aplican a 12 de los 18 problema s que integran e ste capítulo 8o, a saber, a los problem as qu e van del 3 al 6, al 8, y del 12 al 18. No con viene perde r de vista que estas reglas tienen por objeto ‘mantener el cuchillo afilado’ de modo que p ueda hace r su trabajo ‘sin esfuerzo’, y este trabajo — com o veíamos — no es otro que el de conseguir vaciar espacios en el tablero, hacer ‘desaparecer’ (jin) palillos numera les m edia nte el ‘equilib ra m ie nto ’ (q¡ tong) de términos en colum nas paralelas; un trabajo q ue p arece quedar bloqueado en el mom ento en que las ‘sustracciones directas’ (zí chu) conduzcan a tener que restar un número de otro men or o de una posición vacía. La introducción de los términos o puestos zheng y 1 Citado por L. Lay-Yong & A. Tian-Se (1987:246).
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f u se orienta, pues, directamente a poder seguir adelante con el proceso de elimi
nación p or equilibramiento. Re cordemos cóm o Liu Hui expres a este propósito: "Cuando se consideran dos expresiones [según el método de cálculo en el tablero] podemos obtener resultados opuestos, para los que tenemos que usar los nombres zheng y fu al referirnos a ellos. Para los [nombres/números] zheng usamos palillos rojos, mientras que los [nombres/números] fu se representan por palillos negros. Como alternativa, un [nombre/número] zheng puede transformarse en uno fu cuando se coloca un palillo cruzado sobre él. En el cálculo en el tablero, cuando intervienen [nombres/números] rojos y negros, hay un método para manipularlos en las columnas de izquierda y derecha. Este método no es del todo el mismo que el pro cedimiento normal de suma y resta. El que [un nombre/número] sea rojo o negro se determina realmente por reducciones [o destrucciones] mutuas (xiang xiao). Para llevar a cabo la suma o resta de los [nombres/números] que ocupan posiciones correspondientes en columnas diferentes, hay dos reglas sobre tipos diferentes de suma y resta"1. En esta introducción a las reglas, observamos que: a) Zheng y f u son ‘nombres’ (de ciertos resultados obtenidos al operar con palillos); com o to dos los n ombre s chin os no re m iten, p or tanto , a concepto s o ideas abstra ctas previos, sino que son más bien, com o veíam os, ‘ideas lingüística s’, defi nidas antes por su función y posición en la frase y en el texto (contexto que aquí pro porc io nan las colum nas en el ta blero) que por el acota m ie nto de un campo sem ántico propio y cerrado. b) No puede, pues, decirse, en particular, que remitan a una idea previa de núm ero, de la que serían meras especificaciones — com o, p.e., lo par y lo impar— y, menos aún, pese a la opinión de Martzloff, a ninguna idea semejante a la griega de ‘multiplicidad de unidades’; en consecuencia, en la traducción optamos por obviar el término ‘número’, asociándolo al de ‘nombre’ en el suspenso de los corchetes. En sus traducciones, Martzloff y Lay-Yong / Tian-Se suelen introducir los sustantivos ‘nú m ero ’ o ‘palillos’ a los que zh eng y f u vendrían a determinar como adjetivos. Sin em bargo, en las versiones ideográficas qu e reprod uce Q ian Baocong2 no hay tales sustantivos a los que los adjetivos determinarían como la especie lo hace con el género. La ausencia de esas categorías metafísicas en el pensamiento chino tradicional tiene como correlato lingüístico la ausencia de jerarquización gram atical entre nom bres y adjetivos, que — po r otra parte— siempre m antienen un su strato verbal3. Así, nada tiene de ex trañar que e n las exp resione s ideográficas originales del Jiu zhang suanshu no aparezca nada p arecido a ‘números positivos’ 1 Cilado por L. LayYong & A. TianSc (19 87: 237 ). Las cursivas son nuestras, asf com o la traducción de ‘xiang xiao' por 'reducciones (o destrucciones) mutuas’, también habitual y mucho más expresiva que la de ’sustracciones mutuas’. 2 Q. Baocon g (1963: 225 6). Véase su reproducción mas adelante. 3 Véase, p.e., M. Granel (1968:38), o más profusamente E. Fenollosa y E. Pound (1977: 3648)
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o ‘palillos negativos’ sino, simplem ente, los ideogram as correspondientes a zheng y a fu , en los cuales qued an su bsum idas las funcione s sustantiva, adjetiva y verbal. c) Tanto zh eng como fu son nombres, nombres no de ideas sino de unos ‘resultados’ que se obtienen en el curso de las operaciones en el tablero: son las destrucciones sucesivas las que determinan que ese ‘resultado’ se nombre de un modo u otro; su ser ‘produ cto’ (y no m ero ‘pro ceso ’ que se desvanece en su prop io discurrir, como le ocurrirá a Diofanto) es la primera determinación que Liu Hui establece p ara zh eng y fu . d) L a segunda determinación se cifra en que estos nomb res aparecen inme diatame nte com o resultados ‘simé tricos’. Ninguno tiene, de entrada, un estatuto pri vilegiado respe cto al otro; el tratamien to que uno y otro reciben, tanto en esta intro ducción como en el resto del capítulo, es exquisitamente simétrico, salvo esa diferencia notacional que advierte cómo pueden distinguirse entre sí, bien por el color bien p or la ma nera de dispon er uno de los palillos en que consiste el nom bre/ número fu , que así, y sólo a estos efectos, aparece marcado respecto de zheng1 hecho, la única determinación qu e decide si un nom bre/núm ero es de un tipo u otro es la que resulta de proced er a ‘destrucciones (o reducciones) m utuas’ ixiang xiad). Las reglas que ahí anu ncia Liu Hui son las zheng fu shu. Se presentan dividi das en dos grupos: las reglas de sustracción y las reglas de adición. Para facilitar su comentario nosotros subdividiremos cada una en dos subgrupos, formado cada uno, a su vez, por un par de reglas. Como las divergencias entre Lam Lay-Yong / Ang Tian-S e y J.-C. M artzlo ff en las versiones del texto original son significativas, hemos optado por incluir ambas, indicando la de los primeros como (a) y la del segundo c om o (b). La versión (c) ‘corresp on dería’ a su transcripción en símbolos aritméticos occidentales modernos, lo cual facilita la comprensión en la misma m edida en que la distorsiona (al inc orporar inconscien tem ente presupuestos ajenos a las matemáticas Han). Regla 1: De sustracción: 1.1.1. (a) Cu ando los nom bres son los m ismo s, restar. (b) Los [palillos] del mism o nom bre se contraen ( se réduisse nt) mutuamente. (c) (+ n) - (+ m) = + (n - m) y (-n) - (- m) = - (n -m ) 1.1.2. (a) Cu ando los nom bres son diferente s, sumar. (b) Los [palillos] de nom bre diferen te se acrecientan ( j ’acroissent) mutuamente. (c) (+ n) - (- m) = + (n + m) y (- n) - (+m) = - (n + m) 1 El sentid o preciso de est e carácter marcado (y, por tanto, derivado) de/ u respecto de un zheng no marcado (y, por tanto, anterior) lo matizaremos en un análisis posterior del significado de ambos términos en el lenguaje ordinario.
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1.2.1. (a) Un número positivo (zheng) emparejado con (ru) nada (wu) se hace negativo (f u )1. (b) Si un [palillo] positivo no tiene a qué enfrentarse (wu ru), se le negativiza. (c) 0 - (+n) =*- n 1.2.2 .(a) Un número negativo (fu) empa rejado con (ru) nada (wu) se hace positiv o (zheng). (b) Si un [palillo] negativo no tiene a qué enfrentarse (wu ru), se le positiv iz a. (c) 0 - ( - n) = + n Regla 2: De adición: 2.1.1. (a) Cuando los nombres son diferentes, restar. (b) Los [palillos] de n ombres diferentes se contraen m utuamente. (c) (+ n) + (- m) = + (n - m) y (- n) + (+ m) = (n - m) 2.1.2. (a) C uan do los nom bres son los mism os, sumar. (b) Los [palillos] del mism o nom bre se acrecientan mutuam ente. (c) (+ n) + (+ m) = + (n + m) y (- n) + ( - m) = - (n + m) 2.2.1. (a) Un núm ero positivo ( zheng) emparejado con (ru) nada (wu) se hace positivo (zheng). (b) Si un [palillo] positivo no tiene a qué en frentarse (w u ru), se le positiviz a. (c) 0 + (+ n) = + n 2.2.2. (a) Un núm ero negativo (fu) em parejado con (ru) nada (wu) se hace negativo (fu). (b) Si un [palillo] negativo no tiene a qué enfrentarse (wu ru), se negativiza. (c) 0 + ( - n) = - n Estas reglas, en su versión original, aunque numeradas según los mismos cri terios anteriores, se formulaban así2: 1 La inclusión de los términos chinos entre paréntesis es nuestra. 2 Los ideogramas empleados por LayYong/TianSe son los caracteres simplificad os, posteriores a la ‘revolución cultural’. Aquí reproducimos los originales.
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Antes de a tender a los comen tarios de Liu Hui sobre estas reglas de au tor anó nimo, es de interés de stacar algunas observaciones: i) Las letras n y m de la versión (c) son ‘enteros positivos’ pa ra los que se supone q ue n > m. Los ‘no m bre s’ a los que se refieren las reglas zh e n g fu se tradu cen aquí por los signos + y - d e + n y - n . Hemos mantenido la redundancia en términos com o + n o + m, en lugar de simplemente n o m , para reprodu cir el carác ter marcado que tienen en C hina tanto zh eng com o/u ?L a simetría del tratamiento chino se traiciona en la habitual grafía occidental que establece un núm ero natural no marca do, n, al que se supon e positivo, respecto del cual el neg ativ o,- n, aparec e necesariamente marcadoVEs precisam ente esa naturalidad, tan sólo conce dida a lo positivo, la que en Occid ente pla nte ará lo negativo, antes que nada, com o proble m a o como aberración, com o algo no n atural que reclama, por tanto, un exp licación especial. A dem ás, la marca ‘— ’ que entre nosotros especifica al núm ero negativo respecto del positivo o natural no marcado, indica una cierta especificidad respe cto de un género que son del todo ajenos — género y especie— al juego de simetrías e inversiones, no sub-ordinadas sino co-ordinadas, que orientan las forma s chinas de negatividad. ii) Los enunciados ideográficos en lengua china son bastante más concisos que la propia expresión arim ética de la versión (c), pues cada uno no utiliza sino cuatro o cinco caracteres en lugar de los dieciséis, o treintaidós, que llega a em plear esa última. Este lacon ismo de la frase china queda m ejor recogido en las versiones (a).
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iii) Las versiones (b) reflejan con ma yor fidelidad el espíritu original en lo que se refiere a evitar el cará cter adjetivo de zheng y de fu respecto de un (inexis tente) concepto de número que, sin embargo, sí se sustantiva en las versiones (b). iv) Las versiones (b), sin em bargo, transm iten con m ayor vigor dos rasgos centrales, a nuestro juicio, de la negatividad china: los de simetría y de co nstruc ción mutua, o dialéctica, de elementos opuestos. El ‘reducir-se mutuamente’ y el ‘acrecentar-se mutuamente’ (reglas 1 . 1 y 2.1.-.) reflejan mejor esa interacción de opuestos q ue se contraen/expanden por efecto de su acción recíproca que la idea de ex -tracción , o sustracción a partir de un sustrato (positivo) que se supone puesto a h í previamente: idea que es la que subyace al concepto de ‘resta’ con el que las versiones (a) evocan — implícita y a nacrónicam ente — la tradición aristotélicoeuclídea. v) Así, las versiones (b) perm iten aflorar lo sobreentendido en las reglas 1.1.-. y 2.1.-., a saber, que el resultado de las operac iones tiene el nom bre — o el color— del nombre/número mayor, cuando los nombres son distintos (1.1.2. y 2.1.1.), y el nombre —o el color— común cuando los nombres son el mismo (1.1.1. y 2.1.2.). En su form ulación (b), estas reglas puede n inc luso levantar cierta perplejidad: cuand o se o rdena "restar" ¿qué debe restarse de q ué?, ¿en virtud de qué debe res tarse, en ciertos casos, el m ayo r del m enor, cuand o lo natural parece ser — si no se indic a otra cosa, com o es el caso— lo con trario? El ‘reducirse m utua m en te’ de la form ulación (b) sí parece, en cam bio, sugerir esa an ulación recíproc a de tantas un i dades/palillos zh eng como fu de modo que, un a vez reducidas todas las unidades corespondientes, el nombre/color del residuo sea el que dé nombre/color al resul tado. vi) El término wu (reglas 1.2.-. y 2.2.-.), que en (c) transcribim os po r nuestro ‘cero’ aritmético, resulta sustancializado en las versiones (a), que lo toman por ‘nada’. En (b), sin embargo, mantiene una función verbal, activa, en su acepción de ‘no tener’. Este término, para el que Martzloff y Lay-Yong / Tian-Se emplean ideogramas diferentes aunque gramaticalmente equivalentes, es una partícula neg ativa que p uede traducirse por ‘no’, ‘sin ’, ‘no hab er’, ‘no tene r’... o por los sufi jo s privativos/negativos ‘a -’, ‘in -’,... (así wu jian g significa ‘i-limitado’). Como veremos, tanto su acepción sustantivada, inerte, como la que le presta tensión y actividad, se justifican en la función matemática que de hecho cumple ese cerohueco que se dice como wu. vii) Las versiones (a) traducen la exp resión ‘wu ru' por ‘emparejado con na da ’, en el sentido de ‘operado con n ada’, sobreentendiéndose q ue esta operación es la resta en las reglas 1.2.-. (reglas de su strac ción ) y es la sum a en las reglas 2.2.. (reglas de adición). De ahí se siguen las versiones (c) correspondientes. La ver sión (b), de Martzloff, intenta primero expresar 'wu ru' como ‘ne pas avoir á en tre r’ y, ante la oscuridad de la versión, ad opta desp ués la sugerencia de Liu Hui qu e la hace equivaler a 'wu du¡', que M artzloff asoc ia con ‘ne pas avoir de vis-avis ’, que p odem os traducir por ‘no tener a qué e nfren tarse’ o ‘sin co rrelato’.
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viii) Po r lo apu ntado en los dos últimos apartado s, este wu puede recordar, en una primera y g rosera aproxim ación, al oudén o al mSdén griegos. Tanto el tér mino chino como los griegos son términos no técnicos, tomados en préstamo al lenguaje natural, donde cumplen una función gramatical de negación (los términos griegos están construidos a partir de las partículas negativas ou y me, en tanto que el chino es por sí mismo una partícula de ese tipo). Y tanto el uno como los otros parecen señalar, en su in corp ora ció n al discurso aritm ético, una ausencia de razón o relación entre aquello que significan y el número: zh eng (o fu ) "‘no tiene’ a qué enfrentarse", en el contexto de los "Nueve capítulos", del m ismo m odo en que "‘no hay’ razón ( lógon ) entre el exceso y ‘nada’ ( hyperéchei kai oudén)" en la Physic a aristotélica1. Pero ambas sin razones actúan de facto de m anera muy distinta. La aristoté lica actúa como un dato, un a priori incontrovertible. Para demostrar que no hay razón entre el vacío (kénón) y el cuerpo ( so m ato s ), Aristóteles parte de la evidencia aritmética de que tampoco la hay entre nada (médén) y el número (arithmós ), de donde, por analogía, concluye la falta de razón que se proponía demostrar en el ámbito físico. La imp osibilidad de una nada aritmética es el fundamento infundado de su — tamb ién, por tanto, im posib le— correlato físico. En las reglas 1.2.-. y 2.2.., por el contrario, la aparente ausencia de razón o de posibilidad de empareja miento (ru) entre el número/nom bre ( zh eng o fu ) y nada (wu) es una ausencia que actúa, que de hecho sí empareja, sí establece co-relación o relación entre lo uno y lo otro, y lo hace ‘negativizando’ el zh eng (1.2.1.) y ‘positivizando’ el fu (1.2.2.), o bien ‘positivizando’ el zh eng (2.2.1.) y ‘negativizando’ el fu (2.2.2.). En los dos primero s casos invierte los nombre s o cualidades (de los números), mientras que en los dos últimos los mantiene. Es sigificativo que hasta cuando wu no hace nada — com o en estos dos últim os casos — sí lo hace: positiv iz a lo positivo y negativiza lo negativo; estas dos reglas, que presentan como convención lo que debería ser evidente, tienen sin embargo el mismo estatuto codificador de una transformación que cualquiera de las otras donde la transformación no es ni mucho menos evi dente. La nada aritmética china (wu) es, por así decirlo, activa, homogénea con la cantidad (con la que puede entrar en relación) y determinante, es decir, capaz de pro ducir una orienta ció n dete rm in ada so bre aquello con lo que in teractúa, bien se a pre serv ando su orienta ció n inic ia l, bien invirtiéndola. La nada griega, por el con trario, es pasiva, heterogénea con el número —con el que no tiene soporte o sus tancia com ún— y, por tanto, incap az de inducir en él ningún tipo de determinac ión: ella es la in-determinación misma: ápeiron1. 1 Pliysica, IV.8.215^1220. Para un análisis en detalle de este pasaje, véase el epígrafe III.3. • Dejamos para los epígrafes II.8, 11.9, y 11.15 la discusión sobre: a) el sentido preciso de wu como ‘ccro\ b) su comparación con oirás formas de ‘cero’ en China, y c) su función en la metafísica china y, en particular, en el taoísmo.
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ix) L a estruc tura global del conjunto de enun ciados que constituye n las reglas zheng f u ofrece una notable similitud con la de las formas poéticas chinas antes consideradas. También aquí los juegos de paralelismos, simetrías e inversio nes contribuyen de m anera esencial a construir el sentido de unas n ociones y ope raciones que no se han definido previamente. El significado de los ideogramas princip ale s ( z h e n g ,fu , wu, ru) no está tanto dado en su (im)precisión semántica cuanto en su reiteración en construcciones sintácticas paralelas, simétricas, inver sas... En el paralelismo ap recia Cheng Chi-hsien (1972 :42) uno délo s rasgos esen ciales y originales de la poesía china, hasta el punto de qu e para ciertasuformas es obligatorio. Y si ese "paralelismo es reflejo de una con cepción esencialm ente du a lista de la vida", n inguna otra estructura discursiva hubiera resultado más adecuada para la enuncia ció n de esa noción esencia lm ente dual que es la zh eng/fu. Efectiva m ente, paralelos, y simétricos, son entre sí, p.e., los enun ciado s 1.1.1. y 1.1.2., así como los 1.2.1. y 1.2.2. (y también los paralelos, a su vez, de la regla 2). Pero esas simetrías ocurren gracias a una doble inversión ; así, el paralelismo entre 1.1.1. y 1.1.2. resulta de la inversión ‘mismos/diferentes’ seguida de la ‘res tar/sum ar’. P or el contrario, hay una aparente asim etría entre enun ciados no obs tante correlacionado s, com o el 1.1 .1. y el 2. 1. 1 ., pues a la invariancia en am bos del ‘restar/restar’ acompaña la inversión ‘mismos/diferentes’; sin embargo, aquí la segun da inversión está ausente del enunciado pues se ha operado elípticam ente al pasar de la re gla 1 a la 2, con lo que de m anera im plícita ‘su stracció n’ se ha inver tido en ‘ad ición ’. Más claro qu eda esto en, p.e., el paralelism o entre 1.2.1. y 2.2. L, donde el emparejamiento con wu invierte asimétricamente sus efectos en fu (1.2.1.) y en zheng (2.2.1.); en este caso es la inversión implícita — ‘sustracción / ad ició n’ — en la o posición ‘regla 1 / regla 2’ la qu e atribuye sen tidos op uestos a un mismo término (ru, ‘emparejado con’) que parecía romper la simetría. Con todo, Liu Hui juzga que "la gente en general piensa que el método fa n g cheng es difícil; algunos son incapaces de ir más allá de la tabulación de términos que incluyen [nombres/números] zh eng y fu " . Por ello ofrece la siguiente explica ción sobre la regla 1.1.1.: "Esto [la regla 1.1.1.] significa que [nombres/números] rojos se restan de rojos y [nom bres/núm eros] negros se restan de negros. El objeto de llevar a cabo sustrac cione s mu tuas entre columna s de números es elim inar los [números] que ocupan las posicio nes superiores. Por tanto, usad esta regla só lo cu ando los [números] de las posicio nes su periores tienen el mismo nom bre. Si tienen nombres diferentes, enton ces usad la regla siguiente [1.1.2.]" (1987: 238).
En esta sucinta explicación, Liu Hui dedica tanto al dictum de la regla como a recordar de nuevo el objetivo último que se está persiguiendo, que es "eliminar los [números] que ocupan posiciones superiores", obtener huecos en el tablero de cálculo, pues es en torno a estos huecos dond e encu entra sentido todo el jueg o de operaciones entre colores opuestos.
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El comentario de Liu Hui a la regla 1.1.2. es el siguiente: "La sustracción [de números] entre columnas se lleva a cabo cuando [los números] son de la misma clase. Si sus nombres son diferentes, [los números] no pertenecen a la m isma clase. Si no son de la m isma clase, [los núm eros] son desem e ja nte s y no pu ed en restarse tal cual. Así, cu an do un [núm ero] rojo se em pare ja con (dui ze) uno negro, el resultado es un negro; y si un [número] negro se empareja con uno rojo, el resultado es un rojo."
Y apostilla con un recordatorio semejante al anterior: "Los [números] rojos y negros de hecho se acrecientan mutuamente con el fin de su eliminación. Esta elim inación a través de sustracción y adición es para conse gu ir el shi que correspon da con un sólo item. El propósito del método es eliminar los núm eros superiore s de las columnas. No impo rta cuántos términos haya en las columnas; de lo que se trata es de llevar a cabo sustracciones y adiciones mutuas repetidamente. El principio es siempre el mism o.”
En su comentario a esta regla, vemos que para Liu Hui la división en clases (una para zh eng y otra para fu ) no conlleva heterogeneidad de los elementos a los que se les atribuyen clases distintas. Esa clasificaciín indica simplemente que, en ese caso, las operaciones entre elementos o nombres de diferentes clases no pue den rea lizarse al m odo hab itual, prescindiend o del color, sino que sufren alteracio nes, precisamente las que establece la regla. La expresión dui ze (‘se empareja con’), al igual que ocurría con la de wu ru, debe co ntextualizarse pa ra evitar su am bigüedad, de modo que se entienda ‘se resta de’ en las reglas 1.2.- y ‘sum ar a’ en las 2.2.-. Con esto, Liu Hui establece qu e nom bres difere ntes "no pueden restarse tal cual" [p.e., ( - 3) - (+ 4) no puede entenderse como 4-3 ni como 3-4] sino que "se acrecientan mutuamente" [i.e., 3 + 4 = 7]. Y si se trata de un rojo [+ 4] em parejado con — restado de— un negro [-3] el resultado ha de ser negro [i.e. -7]. Otros co mentarios, en fin, ayudan a interpretar las restantes reglas en el mismo sentido.
II.6. El uso de las reglas zhengfu en el contexto fang cheng. El primer problema del capítulo 8o de los "Nueve capítulos" donde aparecen nombres/números f u es el problema 3. A propósito de él se establecen las reglas zheng fu y se insta a aplicarlas, aunque el propio problema no se usa como ilustra ción de las reglas. Un pro blem a típico donde sí se recurre a ellas es el siguiente: Problema 8 "Al vender 2 vacas y 5 cabras para comprar 13 cerdos, hay un superávit de 1000 monedas. El dinero obtenido de vender 3 vacas y 3 cerdos da justo para com-
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prar 9 cabras. Al vender 6 cabras y 8 cerd os para co mprar 5 vacas, hay un déficit de 600 monedas. ¿Cuál es el precio de una vaca, de una cabra y de un cerdo?”
La disposición d e los datos del p roblema en el tablero de cálculo es: -5 6
3 -9
2
vacas
5
cabras
8
3
- 13
cerdos
-6 0 0
0
1000
shi
que c orresponden al sistem a de ecuaciones: 2x + 5y - 13z = 3x - 9y + - 5x + 6y +
3z =
1000 0
8 = - 600
Se observa que el número de animales vendidos, al igual que la cantidad tenida como superávit, se toma como zh eng (en tanto que ingresos), mientras que los animales comprados (pagos) y el déficit en la transacción se toman como fu . Esto ha llevado a varios estudiosos a dar por descontado, acaso un tanto precipita damente, que los conceptos de zh eng y d e /u se fundan en los de superávit/déficit, ganan cia/pérdida, etc. Ap lazando por un mo m ento la discusión de ese punto, en el Problema 8 pue den apreciarse — ya desde su primera formalización en el tablero— dos significa tivas diferencias respecto del qu e h ubiera sido su establecim iento en G recia, y par ticularmente en Diofanto: a) La prime ra está en la puesta de una ‘mag nitud negativa’ (en la tercera columna, desde la derecha) como término independiente {shi en los "Nueve capí tulos", arithmós en Diofanto), es decir, como dato o resultado parcial previo, del cual arrancad problema. La matematización de la falta o déficit no acontece en la pura transitoriedad de las opera cio nes inte rm edia s, como ocurrirá en la A rithm etica, sino que se asienta, de m anera estable, com o hecho autónom o, con capacidad para afirm arse por sí m ism o com o un hecho que se determ in a negativamente. Aque llo que Diofanto trata continuamente de e vitar aquí se m uestra de entrada. b) La segunda diferencia se refleja en la columna central. El resultado de las transacciones en la segunda relación es de sum a cero: ‘da justo’, no queda nada (wu) en el lugar dond e de bería esta r su shi. El vacío resultante es efecto de la com-
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«ensación de fuerzas opuestas (com pras/ventas, en este caso): 6 cabras y 8 cerdos, venderse, equ ilibran 5 vacas que se com pran. La transcripción autom ática de esa e0lumna en términos de ecuaciones sería 3x-9y+3z = 0. Esta forma de expresión, que concede al cero suficiente entidad com o para llenar uno de los espacios — aun que sean sim bólicos— d e la igualdad algebraica, no se utilizará en Occide nte hasta el s. XV II1. No es casua l que tanto pa ra los algebristas árabes com o para los ren a centistas la expresión natural de un a relación así h ubiera sido del tipo 3x+ 3z = 9y. Tan evidente es para éstos que ‘algo ha de ser igual a algo ’, tan natural que la rela ción fundamental de igualdad ha de vincular dos ‘algos’ (positivos, evidente mente), como para el m atemático H an resulta inmediato que ‘algo emparejado con su opuesto es igual a nada ’. Y el lenguaje formal em pleado p or cada uno — sea álgebra retórica, simbólica o instrumental— así lo expresa. Establecido así el problema, el capítulo 8o procede a resolverlo mediante las reglas zh e n gfu . Liu H ui precisa que, ap licando las reglas 1.2.- y proced iendo a la transformación CS-» 2C2 - C ( - C ( - C ( , resulta: -5 6
3
2
2
-9
5
6
-3 3
5
-5
8
3
- 13
8
45
- 13
-6 0 0
0
1000
-6 0 0
-3 0 0 0
1000
donde, para calcular 2C^ - C , se ha debido co nsiderar una operación del tipo ‘2 - 0 = 0’; así com o que, por la regla 1.2.1., 0 - 1000 = -10 00 . En otras ocasiones, el autor percibe que no es necesario proceder a sustrac ciones sucesivas, pues por la propia disposición de elementos opuestos (de color diferente) en las columnas basta con sumar dos columnas adecuadas. Así, en el Problem a 15, me diante C —> 2C + C , se tiene: 3
- 1
3
1
2 3
4
- 1
1
1
- 1
2 - 1 8
1
3
3 -
- 1
1 1
1
1 En particular, con Napier (1594 ), Bürgi (1619) y Harriot (1621). Véase, p.e., D.E. Smith (1958:11:431).
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El Problem a 6 es un ejemplo de cóm o la negatividad zhenglfu se mueve en un nivel formal que desb orda su restringida interpretación en términos de un modelo con creto c om o el de ‘gan anc ia/pérd ida’ ; si bien es cierto que, com o en todo el dis curso chino, esa formalidad no es abstracta sino que es tá siempre al servicio de una u otra interpretación concreta. Problema 6 "Si 6 dou de grano como shi se añaden a 3 manojos de cereal de calidad supe rior, esto equivale a lo. que da n 10 mano jos de cereal de ca lidad inferior. Si 1 dou de grano como shi se añade a 5 ma nojos de cerea l de calidad inferior, esto equivale a lo que dan 2 manojos dé calidad superior. Encontrar la medida de grano contenida en cada ma nojo de cereal, superior e inferior. Respuesta: 1 manojo de cereal superior contiene 8 dou y 1 manojo de cereal inferior contiene 3 dou."
El sistema de ecuaciones que parece plantearse en una transcripción inme diata sería: 6 + 3x = lOy 1 + 5y = 2x y sólo despué s, siguiend o las instrucciones de Diofanto, que luego prolongarán los algebristas árabes, se transformaría en algo como: 3x - lOy = - 6 - 2x +
5y = —1
si bien ni ese - 6 ni el -1 cabe pe nsarlos, como términos indep endientes, en nin gun a de am bas tradiciones. N o obstante, Liu Hui p recisa, desde un comienzo, que en la prime ra columna se tome el 3 como zh eng para represe ntar el cereal superior, y el 10 como f u para represe ntar el cereal inferior; y que asim ismo 6 se tome como fu para el shi. Tras instrucciones análogas para la segunda columna, el problema queda dispuesto directamente en el tablero de la siguiente manera: cereal superior
2 5 -
C.
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1
-
10
-6 C
cereal inferior shi
El que aquí se considere el cereal de una u otra calidad como zheng o como fu no se atiene, desde luego, a ningún criterio de ganancia/pérdida, que para nada aparecen en el problema, sino que parece obedecer a un criterio puramente formal y arbitrario en términos de m era oposición. Lo que ahora hay enj ue go son diferen tes calidades de un producto, y esas calidades se dan en pensar como opuestas, ge°ún su relación con el shi, para poderlas asim ilar a la oposición formal zhenglfu. ¡viada cambia, de hecho, al invertir esas asociaciones en la columna siguiente, donde se toma ‘superior’ como f u e ‘inferior’ como zheng. Lo significativo es la tendencia en el pensamiento chino a pensar en términos de oposiciones, en este caso la oposición ‘calidad superior / calidad inferior’. ¡1.7. Irreductibilidad de la estruc tura zhenglfu al modelo
‘ganancias/pérdidas*. La construcción social de la justicia matemática
Habitualmente se ha supuesto que la negatividad formal zhenglfu deriva de un modo natural del mo delo informal ‘gan ancias/pé rdidas’. Así, según Lay-Yong y Tian-Se (1987: 2 35), "el conce pto de zh eng y de fu parece hab er evolucionado a partir de ideas com o ‘gan an cia’ (de) y ‘pérdida’ (shi), como claramente m uestra el problem a 8". O según M artzloff (1988: 186), "para Liu Hui los núm eros p os i tivos y negativos se explican conc retamen te en tanto que beneficios y pérdida s". Esta interpretación le basta a Martzloff para dar cuenta también de por qué las reglas zheng f u se establecen para la adición y la sustracción pero no atienden a la multiplicación ni a la división, pues "es difícil imaginar cómo multiplicar o dividir dos pérdidas u na po r otra; ciertamente, está claro a qué corre spon dería un a pérd ida 3 veces m ayor que otra, pero ¿qué decir de una pérdid a m ultiplicada por otra? Sin m anipu laciones formales de cálculo, que se aparten del m arco conc reto, el obstáculo es difícilmente franqueable". Lamentablemente, es tan notable el rigor con que suelen estudiarse los formalismos matemáticos como la ligereza con que se pretende dar cuenta de sus fuentes informales. Si el supuesto modelo ganancias/pérdidas es tan simple y universal ¿por qué no alumbra por doquier modos de negatividad matem ática con la misma naturalidad con que lo hace en China? Y si no lo es ¿por qué o curre que se da en ciertas culturas, com o la China, y no en otras? Es cierto que una cierta interpretación del modelo ‘ganancias/pérdidas’ puede ilustra r la sim etría zhenglfu, y de hecho una interpretación así aparece en pro blem as com o el 8. Pero ésa no parece ser razón necesaria ni suficiente para ver en sólo ese m odelo tan to el origen com o la explicación de la estruc tura zhenglfu. No es necesario, puesto que zh eng y f u aparecen en otros problemas, como el 6, en los que no tiene ningún sentido su interpretación en términos de ese modelo. Además, hay otros m odos de negatividad formal en China que tampoco se dejan reducir a esa interpretación: los pre-conceptos de simetría, tensiones opuestas, inversión, reversibilidad, etc., una de cuyas más acabadas elab oracione s aritm éti cas se explícita en el álgebra zheng f u , tienen en China una raíz mucho más pro
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funda que el modelo ‘ganancias/pérdidas’; arraigan, como intentaremos argu m enta r más adelante, en la dinám ica desatada por las ancestrales categorías de yin y d e ya n g , que m ás que un modelo constituyen una ma triz de m odelos — astronó m icos, físicos, éticos, estéticos, dietéticos, m atem áticos...— , entre los cuales el modelo económico/ético de ganancias/pérdidas no pasa de ser uno más entre otros muchos. Pero, no siendo necesaria, tampoco parece ser la anterior razón suficiente, pues habla r de ese m odelo com o algo unív oco y univ ersal sólo es posible — según analizó en detalle Karl Polanyi1— desde una engaño sa proyección retros pectiva de cierta noció n abstracta de m erc ado que sólo se constituirá en el s. XIX . Desde los estudios pioneros de Marcel Mauss (1923-4), es cosa bien sabida que las relaciones de intercambio pueden ajustarse a estructuras notablemente dis tantes del modelo de equilibramiento entre pérdidas y ganancias, como ocurre con la estructura del potlach. En particular, en el m undo g riego, ¿no ex istía algo análogo a ese m odelo de ganancias/pérdidas que hu biera podido sugerir un álge bra sem eja nte a la zhen glfu ? ¿o no será, más bien, que los proceso s de equ ilibra m iento y comp ensación se ajustaban allí a otros m odelos de referencia? Tendre mos ocasión de analizar en detalle las dificultades del pensamiento griego para pensar en té rm in os de opuesto s que se re duzcan o com penetren m utu am ente . En partic ula r, re specto del m odelo que artic ule lo que se debe con lo que es debido , Paul Ricoeur (1989: 35-6) ha señalado cómo Aristóteles construye el concepto de justicia sobre el modelo de la teoría matemática de proporciones, con lo que el papel mediador entre los extremos (que en el álgebra zheng f u cumple ese wu en el que los opuestos se comp ensan) lo cum ple el térm ino me dio de una propor ción o igualdad de dos razones. Y por ese camino no puede llegarse a ninguna forma de negatividad1. Ciertam ente, alguna s concepc iones primitivas de la jus ticia en términos de com pensación de daños — como la del "ojo por ojo y diente po r diente"— pue den asociarse con el equilibramiento de opuestos implícito en el modelo ganan cias/pérdidas. En el ámbito griego, un cabal ejemplo de ello es esajusticia cós mica expuesta por Anaximandro mediante la cual los excesos de un signo y de su opuesto "se pagan mutua pena y retribución". Pero las teorizaciones que se irán impo niendo , de la mano de Platón y de A ristóteles principalm ente, divergen notablemente de ese modelo. El confinarse cada cosa en el ser que le es propio, el m antenerse cada parte (del alma, de la ciudad) en el lugar que le corresponde, será el rasgo esencial de la justicia platónica; en la estructura subyace nte — una estructu ra de orden, com o lo es una clasificación— ya no hay luga r para la sime tría y reversibilidad propias de la concepción de Anaximandro. Profundizando — y contrayendo— el m odelo pla tónico, A ristó te le s dis tingue en la "Ética a 1 K. Polanyi (1976 , 1989). Para un análisis de la evolución histórica y de los diferentes presupuestos en distintos modelos 'gana ncia/pérdida ' véase también J.M. Narcdo (1987). ■Véase en II. 15. la diferencia entre pensar un mismo cuadrado mágico al m odo chino de opos icione s y equivalencias y al m odo griego de razones y proporciones.
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Nicóm aco" (V. 5-V .7) entre justicia distributiva y ju sticia correctiva, que a su vez pone en rela ció n con una te oría del in te rc am bio económ ic o en térm in os m oneta rios (V. 8). La definición y análisis de la justicia distributiva, que es la más ele vada de am bas, se construye sobre el m odelo multiplicativo de la teoría m atem á tica de proporciones, que se soporta en el grupo multiplicativo de los racionales positiv os pero de nin gún m odo en el gru po aditiv o de los enteros (p ositivos y negativos). La original introducción aristotélica de la mediedad también aquí recoge la idea del término medio de una proporción entre dos razones. Según observa Ricoeur (1989: 35), "el mérito excluye la igualdad aritmética e impone una forma más compleja de igualdad, la igualdad proporcional (...) El plato fuerte es la puesta en relac ión de cuatro términos: dos partidarios y dos p artes; a su vez permite definir el logos de la isotés com o identidad o similitud de relac io nes: tal parte es a tal otra parte c om o el mérito del prime r pa rtidario es al mérito del otro; la operación tiene además la ventaja de dar paso a las permutaciones (persona A más parte C es a persona B más parte D lo que A es a B)"‘. Po r otra parte, la jus ticia correctiva (de rango inferior), si bien se co nstruye, a diferencia de la distributiva, según una estructura aditiva, todo hac e supo ner que incorpora las restricciones respecto de la negatividad que para esta estructura establecía, como veremos, la matemática griega. También para la justicia correc tiva, que la escolástica medieval llamará conmutativa, "podemos hablar de pro porció n, pero sola m ente aritm étic a, en el sentido de que se sustrae el exceso de uno para com pens ar la deficiencia del otro" (Ricoeur, 1989: 36). Pero ¿qué hace r si la deficiencia del otro es m ayor que el exceso del uno? Aristóteles no pa rece ni pla nte árselo : el defecto lo es necesariam ente re specto de un exceso, sólo puede quitarse de donde previam ente h abía: . Ya en la P hysic a (V. 215 b12-l 8) A ristóteles había establecido, como veremos, el pre-requisito de un sustrato o sustancia común a exceso y defecto que permita poner en relación, para equilibrarlos, al uno con el otro. Y ese punto de equ ilibram iento está fuera de toda relación/razó n (aritmética) posible: ese punto sería oudén, que, a diferencia del hueco en el tablero, queda fuera del campo numérico. Basten estas apresuradas consideracio nes para, al menos, justificar cierta reserva ante el recurso inmediato a ciertos modelos supuestamente universales, como el de ‘ganancias/ pérdidas’ o ‘exceso/ defecto’, que, sin embargo, sólo se utilizan ad hoc. Sólo cuando esos modelos se pie nsan desde la m edia ció n que su ponen las difere nte s cultura s pueden, si no explicar, sí al menos presentarse entreverados con ciertas construcciones mate máticas o con su ausencia. 1 La ‘permutación' rilada se refiere a que, dada la proporción — = —.e n t o n c e s = — B D B + D B ' La media geom étrica, B, entre dos magitudes A y C, ha de verificar que A/B = B/C , de donde A • C = B2: la frontera de la justicia distributiva es la irracionalidad. Es decir, en caso de que V A . c sea inconmensurable (o irracional) la 'distribución' es imposible. Por otra parte, se dice que B es la media aritmética entre A y C si satisface que (AB)/(BC) = A/A, es decir, AB = BC y, en consecuencia, A = 2BC. Si el defecto de una de las partes (C) es mayor que dos veces la media de ambas (2B), es la ‘corrección’ (A) la que ahora es indecible: la frontera de la justicia correctiva es la negali-
vidad.
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II.8. La cuestión del ‘cero’ en la matem ática chin a. Lugares que significan Pa ra disc utir las circunstan cias en que pu do ten er lugar el origen del ‘cero ’ en la matemática China, Martzloff (1988: 189-93) distingue tres posibles niveles en los que puede hab larse de un ‘cero ’: Io) El cero en tanto que número con un sta tu s idéntico al de cualquier otro número. 2o) El símbo lo que , escrito justam en te detrás de las unidades terminales de un número, permite multiplicar este número por la base (i.e. el ‘cero’ de 10 en un sistema de num eración de base 10). 3o) El sím bolo pa rticular que perm ite identificar la ausen cia de cierto orden de unidades (p.e. el ‘cero’ de 103). El cono cimiento en la China antigua de un cero en el prime r sentido lo des carta M atzloff, de entrada, aduciendo dos argum entos: a) nunca aparecen solucio nes nulas en los problemas chinos, y b) "las matemáticas chinas no tienen en cuenta un número cero que esté libremente sometido a operaciones como los otros números". A nuestro juicio, sin embargo, sí hay un ‘cero’ implícito en las reglas zheng fu . Un ‘cero’ que no sólo tiene "un sta tu s idéntico al de cualquier otro núm ero" sino que tiene una función estructural esencial: la de dotar a la mera colección de palillos zheng y f u de ese ‘status’ de número que al propio cero se le niega. Sin él, efectivam ente, el conjunto de esos c aracteres ca recería de estructura al no alcanzar la adición y la sustracción entre ellos el rango de ‘operación interna’. Ese hueco en el tablero al que alude wu funciona de hecho, com o vere m os, com o ‘elem ento n eutro’ para la adición, dotando al conjunto de los números zheng f u de lo que hoy llam am os ‘estruc tura de g rup o’ : {Z,+ }. No obsta nte, el sentido del rechazo de Martzloff puede encontrarse en su discusión sobre los otros tipos de cero. Tampoco habría, para este autor, rastro alguno de un cero de los otros dos niveles, pues, aduce, hasta los ss. VII-VIII no hay constancia de ningún grafismo espec ial que pu eda interpretarse en ninguno de los dos sentidos (salvo términos del lenguaje ordinario, como kong, chu, ben, duan... que indican ‘vacío’, ‘ausencia’, ‘co m ien zo ’...). En el capítulo 104 del "Tratado de astron om ía astrológica de la era Kaiyuan" (713-742 d.C.), que es traducción de otros textos astrológicos de origen hindú, se menciona el uso de un punto para marcar el orden vacío en la expresión de un número. Y no aparece un cero circular, semejante en forma al occidental y al hindú, hasta el s. XIII. De lo cual concluye Martzloff el origen hindú del cerocírculo chino, frente a quienes defienden su origen autóctono como deformación caligráfica de un c ero-cu adrad o que aparece en el s. XIII. Sólo a partir de los Ming (ss. XIV-XVII d.C.) se utilizará un ideograma especial para el cero: el carácter ling, que significa ‘gota de rocío’ en el lenguaje ordinario que y aún se usa hoy como cero. 100
Pero esta aparición tan tardía (tardía, no ya respecto de otras civilizaciones, s¡n0 —lo que es más relevante— respecto del propio desarrollo de la m atem ática china) de un c arácter espec ífico para el cero acaso no se deb a tanto a un retraso en el logro de su designación como a que tal designación fuera superflua, dadas las carecterísticas de los num erales chino s y las de sus forma s de cálculo. M artz loff es sensible a esta posibilidad y acierta a recon siderar los tres niveles apre surad am ente descartados, por si acaso en alguno de ellos hubiera podido da rse un cero en forma virtual, esto es, como representación desprovista del carácter gráfico correspon diente. S orprenden temen te, ni siquiera menciona el hueco en el tablero p ara el cál culo fa rtg cheng como un posible cero virtual, cuando, de todos los huecos, es el que m ayo r entida d y eficacia p ose e1. Po r el contrario, sí aprecia el segun do tipo de cero, bajo forma virtual, en el "Clásico aritmético de Xiaou Yang (Xia hou Yang suanjing), esc rito en torno al final de las Seis Dinastías (s. VI d.C.). En él se exp lica que para multiplicar o dividir un número por 10, 100, 1000, ó 10000 basta con hacer avanzar (jin) o hace r retroceder (fui) los palillos que representan e se núm ero una, dos, tres o cuatro posiciones en el tablero de cálculo. Si el número de ceros (uno, dos, tres ...) que siguen a un dígito en la numeración indo-arábiga indican indirectamente el valor de éste (como decena, centena, millar...), en el cálculo chino en el tablero ese valor posicional viene indicado directamente por el lugar que el dígito ocu pa en d icho tablero. Por esta razón, este segundo tipo d e cero es en China del todo superfluo. El terce r tipo de cero, el que ma rca la ausen cia de cifra en cierta posición inte rior, también habría existido, siempre en forma virtual, desde tiempos remotos. Para Needham (1959: III: 9), "antes del s. VIII, el lugar donde se necesitaba un cero se dejaba siempre vacante". Y pone los ejemplos de los procedimientos de extracción de raíces y de los números representados en el "Clásico aritmético con los cálculos listos para su uso" ( Lic heng suanjing), donde un número como 405, p.e., se escribe lili lllll. M artzlo ff, sin em barg o, es escéptico también en este punto: el lugar vacío pu diera haberse dejado para que no se mezclen los palillos de órde nes distintos, y sólo el conte xto perm ite decidirse, en ese ejemp lo, po r 405 e n lugar de hacerlo por 45. Pa rece, no obstante, que un aspecto com o éste, que afecta a la estructura mism a del sistem a de representación , no pued e dejarse al albur del grado de discriminación visual del copista o del lector. En el mismo manuscrito, los números 108 y 81 se rep resentan , resp ectivamente, por I"fTTy po r =k I .. Lo cual, para M artz lo ff, contradic e la conje tu ra de N eedham del cero-espacio, pues el hueco que en el original qu eda entre el 8 de las decenas y el 1 de las unidades 1 Menos sorprendente es el total olvid o de ese ‘cero' que veremos aparecer com o 5 6 como 10 (bajo congruencias módulo 5) en numerosos ‘cuadrados mágicos’. Como es bien sabido, la magia — y las equivalencias cosmogónicas, protocolarias, adivinatorias... a que esas congruencias dan forma numérica— y las matemáticas son disciplinas ajenas entre sf. Ya bastante tienen las historias de matemáticas exóticas con intentar homologarlas con las occidentales, como para andarse perdie ndo en ámbitos que — una vez etiquetados como supersticiones— pueden considerarse felizmente ‘superados’.
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— en el segundo número — es mucho m ayor que el que hay — en el primer nú mero— entre el 1 de las centen as y el 8 de las unidades. No obstante, a nuestro ju i cio, aquf es otra característica —y también de tipo posicional— del sistema de represen tación c hino la que viene a salvar esas am bigüedades. Si antes era la posi ción de un número en el tablero la que decidía su valor, ahora es la posición res pectiva de los palillos la que im pide ciertas confu siones. Al disponerse vertical mente los palillos de unidades, centenas, etc. y horizontalmente los de decenas, millares, etc. el 45 se represen ta como ^ lllll y nunca podrá confun dirse con un 405 representado por lili lllll, que en todo caso sí podría entenderse como 40005, aun que el con texto s eguram ente orien taría al copista o lector a decid ir entre inter pre ta cio nes tan ale ja das entre sí. Asim ism o, J= I será 81 (o, si no, ya pasaría a ser 8001) sea cual sea el tama ño del hueco entre A y I; así como, por mu cho que se aproxim en el I y el TJT, H ín o puede ser 18, que se representa por — UT. La p osición — de los palillos entre sí, de éstos en el tablero, etc.— respe c tiva de los carac teres, sea n escritúrales o nu m erales, es determinan te en los sis temas gráficos de representación en Ch ina. Lo cu al hace que m uchos de los cri terios occidentales para juzgar el grado de ‘evolución’ de una técnica o un m étodo resu lten aquí fuera de lugar, com o ocu rre con el caso del ‘ce ro’. Needham subraya que concep tos como el de wei (usado pa ra las disposiciones de los palillos en el tablero, desde los Han hasta lo s algebristas Song) o el de deng (‘rango’ u ‘orden’) eran fundamentales en China. El lugar —y no el lugar genérico, el Espacio, sino el lugar concreto— tiene en China una función emblemática, está cargado simbólicamente, significa. Marcel Granet (1968: 78-9)lo describe con entera precisión: "Los chinos no tenían la menor inclinación a concebir, como dos medios independientes y neutros, un Tiem po ab stracto, un Espacio abstracto. Para alo jar sus juegos de sím bolo s, prefe rían por el contrario conserv ar para las repre sentaciones ligadas del Espacio y del Tiempo, con un m áximo de atributos con cretos, una solidaridad favorable a la interacción de emblemas. (...) El Tiempo y el Espacio jamás se conciben independientemente de las acciones concretas que ejercen en tanto que complejos de emblem as solidarios, jam ás indepen dien temente de las acciones que pueden ejercerse sobre ellos por medio de emble mas destinad os a singularizarlos. (...) Estos términos [zhe y fang] no evocan ni el Esp acio en s í ni el Tiem po en sí. Zhe rem ite a la idea de circun stanc ia, de oca sión (propicia o no para una cierta acción); fa n g a la idea de orientación, de lugar (favorable o no para tal caso particular). (...) Tiempo y Espacio se imagi nan siemp re com o un conjunto de agrupam ientos, concretos y diversos, de luga res y de ocasiones".
Un lug ar vacío, com o el de una cierta po sición sin ocup ar en el tablero, no es, pues, un no-lugar, una pura in distinción, como en Grecia, sino un hueco cualifi cado, un emblema, una cifra como cualquier otra. Es más, ese hueco es singular mente operativo si, como ocurre en el álgebra zheng fu , se le designa por wu, un wu del que dice Laozi (4. a-b): 102
"Oquedad (wu) es el Too y en esa oquedad está su eficiencia o utilidad. Nunca se llega a colmar. Su profundidad parece ser origen de los diez mil seres”.
De su particular virtualidad operativa en el marco zheng fu , o en otros no menos estrictamente m atem áticos, como es la extracción de raíces, nos ocupa remo s en el próximo epígrafe. Sólo una valoración implícita del álgebra mode rna occ iden tal com o destino universal de todos los cálculos posibles pued e llevar a afirmar que "el dom inio por los algebristas Son g de la notación tipo tablero de dam as era, com o de hecho fué, un residuo aritmético que lastró el libre vuelo del simbo lismo (...) De mane ra que el auténtico éxito de los matemáticos Han al encon trar un m étodo ge ne ral para resolver ecuaciones numéricas puede explicar la ausencia posterior de una teoría de ecuaciones. El sistem a posicional, ese gran m étodo aritmético, entorpeció el simbolismo algebraico" (Needham, 1959: III: 9). Pero tal vez, como aquí nos venimos proponiend o argum entar, el simbolismo no ‘vuele libre’ — com o soña ba la palo m a kantiana— por un cie lo algebraico neutro y universal, sino que ese ‘entor pecim iento ’ es condic ió n necesaria de todo sim bolism o: arraig o de lo sim bólico en cada ima ginario social, po r el que se encuen tra determinado y, a su vez, contribuye a determinar. El p rime r nivel de ‘cero virtual’, en el que M artzloff ni siquiera repara, es un buen ejemplo de ello. Desde los presupuestos de los matemáticos Han, como desde los del taoísmo de Liu Hui, no es necesario ningún símbolo gráfico para que el vacío signifique, para qu e lo que significa tenga "un sta tu s idéntico al de c ualquier otro número", y para que ese significar induzca una estructuración cerrada y com pleta de la negativ'tdad. La función de wu com o ‘elem ento neu tro’ del grupo aditivo zhenglfu/w u es buen ejemplo de ello. II.9. E stru ctu ra de ‘g ru p o ’ en el con junto zh en g /fu /w u . El ser del no -ser ( h >u ) chino El ‘cero virtual’ del álgebra fa n g cheng, ese hueco significante en el tablero, es, con toda propiedad, un núm ero como cua lquier otro. No po r atenerse a un a pre via definición de nú me ro, que no la hay en la matem ática china, sino por su m anera efectiva de actuar, de operar, de entrar en relación con los otros números. La manera de concebir los matemáticos Han este número singular es relacional, no sustancial, como , por otra parte, lo es la manera en que conciben todos los n úm e ros. Su cero-h ueco pod ría definirse (a partir de las reglas 1.2.-. y 2.2.-. del ca pítulo 8o de los "Nu eve cap ítulos" y de su interpretación c oncreta en la resolución de pro blemas com o los antes consid era dos) como ‘el no te ner con que enfrentars e (o pe rar: sumar/restar) los otros números/nombres’ cuando, no obstante, sí han de enfrentarse/operar con ‘algo’. La contradicción evidente que este concepto encie rra no será, sin embargo, obstáculo para un modo de pensar que no incluye entre sus a priori el principio de n o-contradicción ni entiende los conceptos de un m odo abstracto, separado del m odo con creto en que actúan los objetos con ceb idos 1. Las 1 Sobre la contradicción y la abstracción en la episiem e china, véase más adelante.
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reglas 1.2-. y 2.2.-. salvarán esa contradicción teórica med iante una articulación práctica que re sulta no sólo no contradictoria, sino clave para el cie rre cohere nte de la que — sin este nuevo núm ero/nom bre— no pasaría de ser una m era colección inarticulada de núm eros/nom bres zheng y fu . Ciertamente, las reglas más generales (las 1.1.-. y las 2.1.-.) se refieren tan sólo a [números/palillos de] ‘nombres diferentes’ o ‘nombres iguales’, en cual qu ier caso a ‘no m bres’, sean éstos zh eng o fu . Lo cual parece ex cluir un ‘ce ro ’ que si por algo se carac teriza es p or no tener nombre (wu ru), como sin nombre es el dao [taoj. N o hay signo num érico o colección de palillos que ocupe n el hueco en el table ro en que él cons iste. Y la propia expresión literal con qu e aluden — que no le no m bran— a él las reglas 1.2.-. y 2.2.-. recurre al término wu, que es un a partí cu la estrictam ente negativa. El carácte r , recogido por Lay-Y ong y Tian-S e, así com o el carácter , qu e es el que reproduce Marztloff, son caracteres gra m ati calmente equivalentes (F. Mateos et al., 1977: 1062). Ambos se emplean, como veía m os, con un cierto con tenido semá ntico propio, en el sentido de ‘no ha y’ o ‘no ex iste’ , o bien com o m eras pa rtículas negativas equivalentes a nuestros ‘no ’ o ‘sin’, o bien como sufijos privativos del tipo de nuestros ‘a-’ o ‘in-’ (así wu jiang , ‘sin límites’, ‘ilimitado’; wu xing, ‘no visible’, ‘invisible’). La expresión wu ru qu e u tilizan las citadas reglas alude, po r tanto, a la situa ción en que los palilllos/nombres/números no tienen a qué enfrentarse o con qué emparejarse; situación que Lay-Yong y Tian-Se sustancializan dando a esa mera partíc ula gram atical la fu nció n sustantiva de una ‘na da’. Esta cierta susta ntivid ad así atribuida a wu, si bien fue rza su traducción en el aspecto estrictamen te lingüís tico, trayendo a w u a asemejarse a nuestro ‘vacío’ o al oudén griego, vierte fiel mente sin embargo la sustantividad form a l que ese wu tiene de hecho en las ope raciones en el tablero. Efectivamente, al carecer de nombre (wu no es nombre de nada, ni siquiera de ‘nada’), aquello a lo que wu alude parece quedar excluido no sólo del campo numérico sino del ámbito mismo de lo conceptual o concebible (recordemos cóm o, para el m odo de p ensar chino, el concepto tiene un carácter fundam ental mente lingüístico). Por ello no le son aplicables las reglas generales que regulan las operacione s entre [núm eros/palillos que sí tienen] nom bres, esto es, las reglas 1.1.-. y 2.1.-. No obstante, esta omisión se repara inmediatamente con el enun ciado de las respectivas reglas 1.2.-. y 2.2.-. Estas enuncian cómo operar con el hueco , o — más p ropiam ente — cómo op erar cuando no hay con qué operar. Las reglas 1.2.1. y 1.2.2. dicen cómo sustraer de ‘nada’, cómo sustraer de donde no h a y de qué sustraer. Las reglas 2.2.1. y 2.2.2. dicen cómo a grega r a ‘na da ’, cómo añadir cuando no hay a qué añadir. E sta aparente parado ja se refleja en la propia estructuración del conjunto de reglas zh eng fu , cuya perfecta simetría se rompe precisam ente al enuncia r unas regla s especia le s para un caso partic ula r. Tan só lo en este sentido cabe decir que el status del cero-hueco es distinto al de los otros núm eros, pues al carecer de nom bre se hace necesario añadir las especificaciones que le permitan poder conjugarse con los otros nombres/números. El tablero de cálculo funcionará de hecho com o un texto de cuyo sentido global ex traen el suyo
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los nombres y las elipsis que en él se conjugan. Una vez articulada su actividad y, por tanto, su significación en ese con texto, la función ling üística/num érica de yvu no sólo será bien precisa sino que p erm itirá cump lir la exigencia de cierrre del nuevo cam po num érico. ¿Cómo actúa ese hueco sin nombre sobre los nombres/números? Cuando el nexo/operación que le vincula a un nombre es negativo (sustracción: reglas 1.2.-.), invierte su significante, niega el nombre ( zh eng o fu ) y atribuye el nombre opuesto (fu o zheng, respectivamente). Y cuando el nexo es positivo (adición: reglas 2.2.-.), ma ntiene el significante, afirma el no mbre (zheng o fu ) y atribuye ese mismo n om bre ( zh eng o fu , respectivamen te). La ún ica dificultad en la com prensión de la lógica que subyace a esta — sólo en apariencia — doble operación parece estar en que lo que no es sino un solo operador ( ru, ‘emparejarse con’), capaz de invertirse, se tra duce como dos operadores (‘suma’ y ‘resta’) que en la tradición occidental han tenido durante siglos cargas semánticas muy alejadas del equilibrio y simetría que caracteriza a sus ‘equivalentes’ en China. Pero si estas reglas definen con precisión cómo o pera la ausencia de nom bre/ número sobre los nombres/números, queda sin embargo sin decidir qué tipo de entidad — si alguna— pueda tener ese sin nombre. A quí resalta la ‘mod ernidad’ de la matemática fa n g cheng. El cero-wu no se define por lo que es, ni como forma partic ula r de lo que es un número (esencia tampoco indagada en el pensamiento chino clásico), ni como núm ero/nom bre de una sustancia específica, por insustan cial que ésta p udiera ser. Lo que define al cero-wu no es su ser o su no-ser sino su relación, el modo singular en que opera sobre otros números/nombres. Concreta mente, la que hoy llamaríamos su función de elemento neutro del grupo aditivo de los en teros1 {Z,+}, si por tal entendem os el conjunto de los números/nom bres zheng, los f u y wu, dotados de la operación adición/sustracción (que ahora se muestra como una sóla operación, toda vez que la sustracción de un nombre/ número se ha revelado como la suma de su opuesto, tal y como se define en las reglas 1.2.-.). Esa condición de ‘elemento neutro’ se garantiza, en efecto, por las reglas 2.2.-. La 2.2.1. establecería cómo operar (sumar) wu con zh en g: "un [número/palillo] positivo (zheng) emparejado con nada (wu) se hace positivo (zheng)", esto es, "0 + (+n) = +n". Y la regla 2.2.2. definiría cómo ope rar (suma r) wu con fu : "un [número/palillo] negativo (fu) emparejado con nada (wu) se hace negativo (fu)", o sea, "0 + ( - n) = - n". El mism o tipo de definición relaciona! — que no esencial— es la que encon tra mos para los núm eros/no m bres/u o para los zh eng. Pa ra éstos últimos no hay nada parecid o a su concepción en térm inos de ‘multitud dete rm inada de unid ades’; ni para los prim ero s nin guna definición intrínse ca del tipo ‘menos que nada’, como las que dejará para su discusión la tradición griega. Los nombres/números fu (o los 1 Si consideramos — com o hace implícitamente el capítulo 8° de los “Nueve capítulos" — que los números del tablero fa n g che ng son propiamen te razones, se trataría entonces del grupo aditivo de los racionales (Q,+ ).
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zheng) se definen — a] igual que lo hacía wu — en las reglas que establecen su m odo de op erar con los demás: zheng (o fu ) y wu. La existencia, para cada elem ento de este conjunto zhenglfulw u, de un elemento opuesto (i.e., que operado con él dé wu)
no sería sino un co rolario de la regla 2.1.1.: "cuand o los nomb res son diferentes, res tar", esto es, (+ n) + ( - m ) = + (n-m) [o bien, - n) + (+ m) = - (n - m)], de donde, en particular, (+ n) + (- n) = + (n - n) [o bien, ( - n) + (+ n) = - (n - n)]. Y si es cierto que las reglas zh eng fu no establecen explícitame nte que el resultado de esta últim a operación [± (n — n) ] es wu, no lo es menos que resulta evidente para el matemático Han, pues esa es precisamente la situación a la que, como de continuo recuerda Liu Hui, se encamina todo el método: obtener huecos (wu) mediante sus tracciones sucesivas. Las reglas 2.1.1. y 1.1.2. son simétricas desde la perspectiva de que entre amb as sientan que sustracción y adición no son, en este caso, sino dos caras de un a misma ‘ley de composición interna’: la que literalmente se denomina en el texto como ‘ru' o ‘em parejarse c on ’, pese a que la división del conjunto de reglas en dos categorías — una para cad a ‘operación’— pudiera llevar a pensar otra cosa. La regla 2.1.1. m uestra que la resta es el otro nom bre de la suma "cuando los nombres [de los núm eros/pa lillos] son diferentes", pues en este caso, para efec tuar la sum a, se ordena "restar". Simétricamente, la regla 1.1.2. establece que la resta, cuando los nom bres son difere ntes, no consiste sino en sumar. Por tanto, el con junto de los nombres/números zheng y f u , junto al hueco wu, dotado de la operación ru, tiene estructura de grupo aditivo con wu com o ‘elem ento ne utro’1. Wu, en la actividad de qu e le dotan las reglas 1.2.-. y 2.2.-., es com parab le a un vidrio que actúa com o cristal o como espejo según se enfrente a una o otra cara de la operación ru. Si se enfrenta a la adición, wu es un cristal que re-produce la misma imagen que recibe; si la cara que se le enfrenta es la de la sustracción, wu es un espejo que re-produ ce la imagen simétrica de la original. Los op eradores de para le lism o, sim etría e in versión, que vim os tan ligados a la pro pia estru ctu ra de la lengu a china y que veremos presidiendo todo este modo de pensar a través de las categorías matrices del yin y el yang, rigen asimismo toda la concepción zheng!fu . Presidían toda la articulación sintáctico-visual de la enunciación de las reglas, que pueden verse unas en otras con tan sólo im agin ar cristales/e spejos colo cados entre ellas de distintas mane ras. P residían la estructura formal que esas reglas engend ran consideradas co m o axiom as, unos axiomas que han resultado ser los de un grupo aditivo. Presidirán, como veremos, otras formas matem áticas de oposición, como las cong/yi, duo/shao, o los opuestos de Z/5 en los cuadrados mágicos. Y presiden, 1 Esla interpretación de los objetos matemáticos wu. zheng y fu no fuerza su sentido primero, pretendiendo mostrar su 'modernidad' como ‘precursores’ del actual grupo aditivo de los enteros. Sencillamente, y al margen de toda interpretación progresista de la historia de las matemáticas, es la interpretación que se sigue naturalmente de situar tales objetos matemáticos como objetos lin güísticos enraizados en el cont exto cultural chino.
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como p resentamos a continuación, el modo de significar que esos términos técni cos así acuñados tenían ya en el lenguaje ordinario. 11.10. Zheng yfu en el lenguaje ordinario y en el imaginario cultura l chino La importancia de atribuir el nombre correcto es capital para la episteme china. Ya Confucio en señab a que "para gobernar un Estado lo que se necesita, en prim er lugar, es hacer correctas las denom in acio nes". Com o obse rva L. Vanderme ersch (1980: II: 270), a diferencia del modo de p ens ar occidental, para el chino: "Los fenóm enos no se representan al espíritu por concep tos en los que estarían implicados sus carac teres esenciales, sino sólo por signo s artificiales que son el nom bre de las cosas ( ming), por lo que la ciencia norma tiva del juicio se define com o el mé todo de rectificación de los nombres (zheng ming)".
El análisis de los nom bres seleccionados por los matem áticos de los Han p ara expresar esta forma de negatividad es pues, lejos de un excurso filológico, un asunto central desde el propio m odo de pensar chino. Los co nceptos sim étricos de ganancia/pérdida — apuntábamos — constitu yen tan sólo una de las posibles parejas de opuestos que pudieran yacer bajo la concepción zheng/fu. Según el "Diccionario español de la lengua china", de F. Mateos, el carácter ‘f u ’ ^ 1 ¡, (n° 1654), que tiene co m o 7* acepc ión la de ‘nega tivo’ en física y en m atem áticas (m odernas), sólo aparece en 6o lugar en su a cep ción de ‘deber, adeudar, de ud a’. Otros significados suyo s de m ayor rango son los siguientes: 1° 2.° 3.° 4.° 5.° 6.°
Llevar un a carga a la espalda, soportar. Ser derrotado, vencido. Apoyarse, confiar en. Con tiguo, cercano. Volver la espalda, violar, ofender. Deber, deuda, adeudar.
Com ún a todos estos significados es el ser re-acción a una acción, cuya fuerza y orientación com pensan; el rem itir a una cierta positividad de la que fu es reflejo, sombra, contra-imagen o complemento derivado. Fu obtiene sentido propio como sentido inducido por el de esa presencia que, al invertirla, reproduce: el peso de la carga se dibuja negativamente en la espalda que la so-porta, como la victoria se con templa invertida en la derrota, la fuerza de apoyo en la que ejerce aquello que se apoya, el confidente en la con fianza que acoge, el ofendido en la ofensa, o lo adeu dad o en la deuda. E n todos los casos se da un jue go de tensiones opuestas que, recla mándose, se compensan. Pero el sentido que fu parece encontrar, en un primer momento, fuera de sí, tampoco puede decirse que esté ‘ahí fuera’, asentado con fir-
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mez a en u na positividad que en cierra su propio sentido, del cual el de f u sólo sena un reflejo invertido. Tam bién esa positividad que en fu se refleja es, no m enos, reflejo a su vez de la negatividad de fu . L a carga no em pieza a ser propiamen te tal hasta que no d obla la espalda que la soporte, como la victoria tampoco lo es sin la correlativa — y necesa ria— derrota. Aquí, el referente formal positivo exte rior a f u también ha de acud ir a su somb ra para obtener sentido: sin suficiente sustancia propia él mismo, también él reclam a a su exterior negativo para pode r construirse ente ro1. Es e va-y-ven de rem isiones de significado se expresa con p erfecta simetría en la acepción d e /u com o ‘con tiguo’ o ‘cercano’. La relación de cercanía es del todo simétrica, en ellalos elementos en relación son del todo indiscernibles: A es tan cerc ano a B com o B lo es a A, y viceversa. Bajo esta acepc ión, positividad y nega tividad son, ex acta e indiferentemente, dos caras de lo mismo: la negatividad que ma rca a A en su relación de cercanía a un B, tom ado com o presen cia previa y posi tiva, no es otra cosa que la propia positividad de A cuand o, tom ado (lógicam ente) prim ero , actú a com o re fe re nte form al respecto del cual es B quie n resulta (lógic a mente) después cercano a A. Pero la simetría de este primer momento dialéctico se quiebra, en un segundo m om ento (aunque sólo en un segundo mom ento), con una cierta asim e tría formal que acu san las restantes acepc iones: ‘A es derro tado p or B ’ no es equ i valente — sino precisam ente opuesto— a ‘B es derrotad o por A’. Y aqu í f u sí m uestra un rango se cundario, derivado de su referente dialéctico, el cual — si bien necesita de /u para cerrar su sentido— en cierto modo puede decirse que es ante rior a él. La carga, ciertamente, sólo em pieza a ser carga cuan do.un peso dobla una espalda, pero en cierta manera (decisiva en Occidente, sólo adjetiva en China) ese peso es anterior a la espalda doblada. Esta asimetría secundaria, latente tras la relatividad fundamental en que consiste fu , se confirma en el exa men de su carácter complementario, el zheng, que en el contexto estrictamente matemático del fa n g cheng es el que actúa como referente exterior a cuyo través f u puede asociarse con ‘número negativo’. Antes de proc eder a analizar el término zheng, es interesante o bserva r que las dos formas gráficas con que se representan los nú m eros/pa lillos/u en el tablero de cálculo reproducen para la vista una imagen que evoca el sentido com partido por la mayoría de las acepciones coloquiales del término. Un palillo [de los números] f u se dispone inclinado, como inclinado está quien lleva una carga a la espalda, quien resulta vencido o se apoya en algo. Paralelam ente, los palillos zheng se colo can derechos, como ‘derecho’ es la acepción principal del término zheng en len guaje ordinario. La otra posible distinción para esos palillos [de los números] f u está en su color negro, como som bra de e sa cierta anterioridad de que d isfruta su correlato semántico positivo, opaco en ese segundo momento en que es capaz de gua rdar cierto sentido dentro de sí mismo. 1 El mism o lipo de dialéctica encontraremos en la pareja simbólica de opuestos yin/yang, de la cual — com o intentaremos mostrar — la pareja zlieng/fu no sería sino uno de sus posibles modelos.
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Efectivamente, el ca rácter utilizado para el nom bre/número zheng en el álge bra fa n g cheng es el (n° 319), del que el m enc ionad o D icciona rio ofrece las siguientes acepciones: 1.° 2.° 3.° 4.° 5.° 6.° 7.° 8.° 9.° 10.° 11.°
De recho (ni curvo , ni inclinado), recto. Exa cto, justo , preciso, correcto, recto, imparcial. Tom ar po r norma. Rectificar, enderezar, corregir. Regular, norm al, legítimo. Principa l (la esp osa , p.e.), titular. Justamente, precisamente. Puro (sin mezcla). Anverso. Presidir, gobernar, jefe . Ejec utar (una sentenc ia); castigar.
Todas estas acepciones no parecen, en un primer momento, menos necesita das que las d e /u de un correlato dialéctico del que extraigan sentido: lo derecho no se concibe sin referenc ia a lo curvo* (o inclinado), ni lo exacto sin lo inex acto, el rectificar sin el errar, etc. Pero, por otro lado, destaca no menos el rango (lógica y axiológicam ente) primero o superior de estos significados respec to de sus correla tos dialécticos, que así aparecen como derivados, subordinados o segundos: lo curvo (o inclinado) se subordina a — y deriva de— lo recto (o derecho ) com o lo excepcional a lo normal, lo híbrido a lo puro, o el gobernado al gobernante. En la medida en que fu , en su contexto algebraico, actúa como opuesto o simétrico de zheng, recibiría entonces como co nnotaciones derivadas (respecto de las acepciones de zheng antes enum erada s) las de: 1. inclinad o, curvo; 2. inexacto, incorrecto; 3. excepciona l; 4. erróneo ; 5. irregular, anorm al; 6. secund ario; 7. injus tamente; 8. impuro (con mezcla); 9. reverso; 10. ser gobernado, dirigido; 11. reci bir un castigo. Y, en efe cto, alg una de estas connota cio nes derivadas coin cid en de hecho con acepciones directas d e /u ; así ‘inclinado’ (derivada) y ‘llevar una carga a la espalda’ (directa), ‘ser derrotado’ y ‘ser gobernado’, ‘reverso’ y ‘volver la espa lda’, etc. En e ste sentido, los valores — lógicos, morales, jurídicos ... — atribuidos a zheng ofrecen notables semejanzas con buena parte del lado positiv o de la tabla pitagórica de los opuestos. Según Aristóteles ( M eta physic a: I. 5, 986*22-26), allí se oponen, como veremos, curvo (kampylon ) y recto (eythy ), múltiple (plithos ) y 1 Sobre la carga cultural que determina la naturalidad del orden de prioridad entre ‘lo derecho’ y ‘lo curvo', o entre el ‘rectificar' y el 'curvar', véase nuestro "Del recto decir y del decir ‘recio’" (E. Lizcano, 1991a), donde se comparan la razón sioux y la razón académica moderna en sus intentos por justificar la prioridad de uno sobre otro. La razón china parece estar, en este punto, más próxima a la occidental que a la sioux , salvo en los matices que se precisan más adelante.
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uno ( hén ), malo ( kakón ) y bueno ( agathón), izquierdo (aristerón ) y derecho (déxion ), oscuridad (s&o/oj) y luz (phds), femenino (thély) y masculino (árren), móvil (kinoúmenon) y estático (Sremoüi), par (ártion) e impar (perittón ), indeter minado (ápeiron ) y determinad o (peras), oblongo (heteromékes) y cuadrado (tetrá gonon). Tanto para la razón pitagórica como p ara la china de los Han, la polaridad recto/curvo pa rece regir una serie de oposiciones en las que los términos asociados al primer polo se cargan positivamente y negativamente los que se vinculan al segundo. Pero, observado esto, inmediatamente es necesario prevenir contra una simple trasposición de v alores (lógicos, ontológicos o culturales) basada e n meras semejanzas semánticas — como las que pueda haber entre ‘derecho (zheng)l doblado (fu)’ y ‘recto (eythy) / curvo (kampylon )’— o en suposiciones axiológicas que den por universales lo que tan sólo son valores locales. Así, veremos cóm o las oposiciones pitagóricas conden an, salvo excepciones, al no ser de la in-determinación a todas las asociaciones negativas: la oscuridad impide el discernimiento y definición que la luz, al dibujar perfiles y límites, sí aportará, traye nd o las cosa s a ser: alu m brán dolas 1; el m al llega, con Sócrates, a identificarse con ignorancia o incapacidad de discernir y distinguir, al tiempo que toda la obsesión socràtico-platònica por perfilar los contornos de la definición no tiene otro objetivo que el de alcanzar el bien; lo aristón es lo que se sitúa a la izquierda, y también tanto lo absurdo o fuera de razón (Sófocles, Ayante , 183) como lo siniestro o de mal agüero; lo fem enin o, tras la progresiva sustitución en Grecia y Creta de las primitivas teocracias matriarcales por aristocracias militares ma sculinas, se percibe asim ismo com o amenaza de indistinción para los contornos aún im precisos de una recién conquistada identidad m asculina2. En cada caso, al permanecer implícito el carácter positivo de la determina ción, no cabe o pon erle una determinación negativa, sino la falta de toda de termi nación, el abism o ind istinto de la m aldad, la oscuridad y el no ser. Por el contrario, la determ inación tam bién positiva que caracteriza al polo zheng en el sistem a chino de oposiciones se com plem enta — que no se anula como tal determ inación— en su opuesto fu . En fu no se bo rra la de term inac ión , sino que se mantiene, aunq ue inver tida, como determinación negativa, como re-acción a la acción que ejerce zh eng. Por decirlo m etafóricame nte, el negro de los palillos fu no confunde los palillos en una oscura indistinción sino que introduce distinción y n úm ero en la oscuridad de el otro lado. La espalda doblada no está menos determinada que la carga que la dobla, es más, está precis am ente determinada por la magnitud de esa carga. Al igual que la deud a no es sino determinación negativa del crédito otorgado, o lo apo 1 Véase, p.e., Aristóteles, De Anima. III, 5. 430 a 10 y ss. sobre la an alogía en ire la luz y el nous ‘que se hace todas las cosas’. O la contraposición plátónica entre conocimiento y opinión en términos de visión y ceguera, en República, 508d518a. La metáfora de la luz será para Heidegger la que presida toda la metafísica occidental [véase L. Amoroso, "La ’Lichtung’ de Heidegg er com o lucus a (non) lucendo", en G. Vattimo y P.A. Rovatti (cds.) (1988)]. * Véase la interpretación en este sentido de buena parte de la mitología griega en R. Graves (1967), en especial pp. 1126.
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yado lo es del apoyo. La oposición zh englfu no lo es, pues, de una positividad que se resuelve en una nada (oscuridad, vacío, mal) contra la que, al oponérsele, se define, sino de un a positividad que se determ ina en su negac ión, en la que e ncu en tra no sólo sentido sino también medida. No menos de lo que esa negatividad viene, a su vez, a determinarse también en su negación, que es la co-relativa posi tividad. Por esta razón —y esto es capital— se confunden en Grecia dos formas de negatividad que en C hina aparecen bien diferenciadas, y aqu í parece estar una de las principales claves de la em ergenc ia de una negatividad formal en este m odo de pensar. Para la episte m e ch in a/u es dete rm in ació n negativa (tan dete rm in ada como ¡a determinación positiva de zheng) mientras que es en w u donde se concentra localmente toda indeterminación. Pa ra el imaginario griego ambas formas — deter minación negativa e indeterminación local— se resuelven en lo informe de una misma indeterminación, ya sea la indefinición de lo ápeiron, la nada indistinta de médén o de oudén, o lo amorfo d e las leiponía eide (‘formas au sen tes’) diofánticas. Por eso wu, en China, al encontrarse acotado o localizado entre dos formas de determinación — positiva y negativa— , puede perm ane cer indeterminado de una manera bien determinada. Wu es aquí el eje o centro sobre el que pivotan las dos formas fundam entales, negativa y positiva, de determ inación (que en wu se anulan recíprocam ente y desde él se engendran también la una a la otra) en lugar de per cibirse como esa indistinción que, en G recia, continuam ente am enaza al ser con la pérd id a de las dete rm in acio nes (positiva s) en que el pro pio ser griego consiste . Y por eso tambié n, habie ndo distinguid o — dentro de la in dis tinció n— entre esa determinada negación q ue es wu y la determinación negativa que establece fu , pue den ahora ambas actuar e incluso interactuar. Si Aristóteles no podía concebir razón alguna que pudiera poner en relación oudén con arithmós, la matemática fang cheng, en cam bio, no sólo está en condiciones de pon er en razón los ‘respec tivos’ wu y zheng, sino de ponerla también entre w u y f u . Para el álgebra instrum ental china, ni ‘ce ro ’ es una pura indiferen cia inma ne ja ble ni la ‘m agnitud negativa’ es ese "aún m enos que nada" que, para Pascal (1976: 68), no otra co sa sino ‘na da ’ pued e ser: "Trop de vérité nous étonne (j’en sais qui ne peuvent comprendre que qui de zéro ote qu atre reste zé m ); les premiers p rincipes ont trop d ’evidence p our nous."
El recurso a los ‘primeros principios’ permite resguardar en ellos postulados tan ‘dem asiado ev ide ntes ’ que resultan falsos con sólo alterar las referenc ias espa ciales o temporales. El ‘cero’ zheng fu no es esa especie de mínimo absoluto, a cuyo contacto todo se desdibuja, y por debajo — o a la izquierda— del cual nada es ya pensable com o algo porque ahí ya toda identidad se diluye: "si de cero se qui tan cuatro, lo que queda es cero". Más bien se asem eja ese wu a la barra que une y separa, equipara y distingue, a la propia pareja zhenglfu ; es com o el eje de sime tría que, indeterminado, distribuye las determinaciones a d erecha y a izquierda, en el 111
anverso ( zheng) y el reverso (fu) de lo m ismo: ese eje de sime tría que la matem ática occidental e stablecerá cuando, separando espacio de representación y objeto repre sentado, construya las ‘coorden adas cartesianas’. Otro punto en el que se rompe la aparente semejanza entre las oposiciones zheng/fu y las pitag órica s está en las muy d istantes valoraciones que una cultura y otra atribuye n a los térm inos enfren tados . La preem inencia en Grecia de lo estático o perm anen te frente a lo m óvil o m udable, no encuentra eco en el imaginario cul tural chino. El hombre chino cree en el movimiento tanto como el griego en el reposo. La naturalidad del movimiento que expresa el principio de inercia es tan evidente en China1como penoso fue el proceso para su formulación por la física de tradición griega; así como las curvas cuya definición exige el recurso a consi deraciones dinámicas son de difícil aceptación en la comunidad matemática griega. Tan prob lem a central es p ara la razón g riega dar cuenta de la mutación y el cambio como para la china explicarse la estaticidad y la permanencia: "lo único inm utable es la m utación", reza un a vieja m áxima china, y hasta el clásico de los clásicos, el Yijing, tiene p or título el de "L ibro de las mutaciones". En con sona ncia, la va loración p ositiva de la norma, la regularidad, y la recti tud sobre la anom alía, la excepción o la desviación — movimientos todos ellos res pecto de la estaticid ad de la norm a— ta m poco encuentra correlato en China. Aquí, la atención a lo sing ular y excep cional prima sobre la búsqueda (que se revelará como construcción) de constancias y regularidades. Para Needham (1956: II: sec. 18), esta ‘esc asa m otivac ión’ del espíritu chino para indagar las leyes de la natura leza se deb e a la ause ncia de cu lto a un dios antropomórfico que previamente hubiera legislado su funcionamiento. El sentido de la inferencia podría sin duda invertirse, y d ar en cifrar en la falta de interés h acia las leyes y regularidades de la naturaleza la ausencia de motivación hacia un dios regulador. Pero en cualquier caso, como concluye Nakayama (1981: 730), "la orientación hacia lo regular y la orientación hacia lo extraordinario" caracterizan las respectivas investigaciones tradicionales, europea y china, en los ámbitos de la alquimia o de la astrología. Co m o tam bién distinguen, de un m odo m ás general, los objetivos de ambas mane ras de pen sar: "en la tradición clásica occid ental hay un vivo deseo de encajar cada fenómeno en una sola caja; aquéllas no asimilables al modelo así formado se recha zan. E n la tradició n oriental, jun to a la caja en que se agrupan todas las piezas regulares, hay muchas otras en las que pueden irse clasificando las irregularida des." Así, las m atem áticas wasan japone sas, p or ejemplo, exacebarán esta tenden cia sobrevalorando aquelllas resoluciones de problemas que lo sean ad hoc, no generalizares. Acaso exagere Marcel Granet (1968: 476) cuando declara que "yo me limitaría a caracterizar el espíritu de las costumbres chinas por la fórmula: ni Dios, ni Ley", pe ro ese espíritu sí mu estra una sensibilidad bien alejada de las con notaciones que las otras acepciones citadas de zheng pudieran evo car a través de la dualidad pitagórica: la asociaciación, intrínsecame nte positiva en O ccidente, de lo 1 Véase J. Piaget y R. García (1982: 232).
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recto con lo co-recto (sea en el ámbito del derecho, de la moral o del conoci miento), con el di-rigente o las di-rectrices ( en política o metodología), con la regularidad, la destreza, la regencia, etc. Otro tanto puede decirse de la oposición masculino/femenino, como apunta E. M. Chen (1969: 401): "Tanto el Tao Te Ching como los pitagóricos identifican lo femenino con lo indeterminado, vacío, oscuro, ilimitado, y sin forma. Pero en el Tao Te Ching lo femenino es el origen del movimiento, la vida y la unidad de las cosas, mientras que para los pitagóricos era la fuente del mal, la corrupción y la multiplicidad... Los pitagóricos identifican lo masculino como la causa de la forma y del ser (el ser viene del s er); el Tao Te Ching atribuye la causa del ser a lo femenino (el ser viene del no-ser)".
En resum en, frente al m odo de pitagórico de op osición — que, con todo, es el más próximo al m odo de pen sar chino en toda la tradición g riega (como lo es tam bién su num ero lo gía)— , la pola rid ad zheng/fu se distingue radicalmente de él en que: Io) opone determinaciones (positivas) a determinaciones (negativas) en tomo al jueg o de simetrías/inversiones que hace posible la co ncepción de una nada (wu) operativa; 2o) distingue entre negación de determinación (wu) y determinación negativa {fu), que la epistem e griega, a nuestro juic io, n o discierne; y 3°) no arrastra la asime tría con que el imaginario social occidental carga las valoraciones — éti cas, políticas, gnoseológicas, ontológicas,...— de c ada uno de los términos en o po sición, con lo que la simetría formal viene así a verse reforzada por una simetría de honda raíz cultural. II. 11. O tros m odo s de negaíividad form al Aunque nos hemos detenido especialmente en el modo zheng/f u de negatividad, por ser el más completo y significativo, no es sin embargo una formulación aislada en la antigua matemática china. Ni siquiera es propiamente la primera em ergencia de estas formalidades negativas, que aquí proliferan ciñéndose en cada caso a un tipo de problem as o de técnicas particulares. El prime r testimonio de un empleo del término fu en un sentido estrictamente m atemático se encu entra en las tablillas de bamb ú de scu biertas en Ju Yan1. En u na de ellas se registran los castigos aplicados a un soldad o por su negligencia en el servicio en la frontera a que e staba destinado. Cada castigo corresponde a una falta, que se de talla y pondera, según su gravedad, desd e uno h asta tres: 'fu yi su an' (‘un cargo’, ‘menos una cuenta’ o ‘una cuenta f u ’) expresa el valor de una falta normal. La lista de cargos que se le impu tan es la siguiente: 1 Véase L. Lay-Yong y A. Tian-Se (1987: 235-6).
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1. M enos una cuenta. 2. M enos una cuenta. 3. M enos una cuenta. 4. M enos una cuenta. 5. M enos tres cuentas. 6. M enos dos cuentas. 7. M enos dos cuentas. Total: Me nos once cuentas. D esignando cada cargo como ‘— 1’, la operación implícita es: (_ i) + (_ i) + (- 1) + (- 1) + (- 3) + ( - 2) + (-2 ) = - 11 La operación es ciertame nte elemental, pero no por ello deja de ser destacable el hecho de qu e ofrezca com o resultado un ‘núm ero negativo’ (fu), lo que la arit m ética de tradición g riega evitará m eticulosamente. Po r otro lado, pese a que tanto los datos com o el resultad o son todos ‘negativo s’, la oposición latente entre ‘car gos’ o ‘faltas’ (suan) — tenidos por negativos— y el correspondiente castigo — po sitivo— viene implícitame nte a compensarlos. Otra forma de negatividad es la que aparec e en ciertos algoritmos p ara el cál culo de raíces. En los "Nueve capítulos de escritos sobre el cálculo" (Shushu jiu zh a n g )', que data del final de la época de los Song (exactamente de nuestro 1.247 d.C.), el proce dim iento usado por Qin Jiusha o para la extracción de una raíz n-sima es semejante al que conocemos como ‘método de Homer’ o ‘regla de Ru ffini’ para la división de po linom ios2. En el prim er proble m a del capítulo 6, p.e., se trata de extraer una raíz cuarta ‘correspondiente a’ la ecuación - x4 + 15.245x2 - 6262 .506 ,25 = 0 Qin Jiushao llama shang lian al coeficiente de x2 y yu al coeficiente de x4. Al disponer inicialmente los distintos coeficientes en el tablero, hace referencia al número 15.245 como cong shang lian (c oeficiente ‘positivo ’ de x2), y al - 1 com o y i yu (coeficiente ‘negativo’ de x4)3. La distinción verbal entre cong y yi reiteraría la distinción visual entre barras numerales rojas y negras, si bien Martzloff señala lo incontrastable de esta suposición pues del Shushu jiuzhn g no se han conservado sino ediciones mon ocrom as. D e hecho, pese a que Libbrecht (1973: 202) advierte que "Ch’in Chiu-Shao [Qin Jiushao] siempre toma el término constante como 1 No confundir con los "Nueve capítulos del arle matemático". 2 Am bos matem áticos desarrolaron algoritmos semej antes a principios del s. XIX. Véase H.H. Goldstine (1977: 284). 3 Para una discusión pormenorizada del tratamiento de este problema véase Mar tzloff (1988: 2229).
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negativo", esto no se refleja así en las reproduccion es del tablero donde se resuelve este problema. En cualquier caso, la pareja de nombres cong/yi parece reservarse pa ra refe rirse a los datos del problema. U na vez que em pieza a desencadenarse el algoritmo ‘de Homer’, las referencias a esos mismos ‘coeficientes’ o ‘lados’ (lian) ya serán en términos de la pa reja de nom bres clásicos zhenglfu: el ‘coeficiente negativo de x3’ o ‘borde superior negativo’ se llama fu shang lian, el ‘borde positivo’ zheng lian, etc. Y son estos bordes, aho ra marcados com o zh eng o como fu , los que — ya en el curso de las operaciones numéricas— operan entre sí con vistas a ‘destruirse mutuamente’ (xiang xiao ), en el mismo sentido en que lo hacían en el álg eb ra/a n# cheng. Ocurre, pues, como si los diferentes nombres —que nosotros traducimos unívocamente por ‘positivo/negativo’— se ciñeran de tal modo a la situación con creta que quieren significar que , al variar ésta, hubieran de c am biar también ellos, para poder desig nar apro pia dam ente la nueva situació n. Esta conjetura parece abon arse con la aparición de otra nueva pareja de nom bres — duo/shao — en la época del e m pera dor Kangxi (n uestro s. X VII). Los inten tos de los misioneros de introducir el álgebra europea en China tropezaban con dificultades no sólo terminológicas sino también simbólicas e instrumentales. Así, para el cálc ulo con polinom io s idearo n un sistem a, al que llam aro n ji egenfang (de gen — raíz — y fa n g — cuad rado), que recuerda al álgebra de los cosistas del rena cimiento europeo y es notablemente inferior a los procedimientos utilizados por los algebristas de los Song (sólo permitía tratar con polinomios de grado reducido y con una sola variable). En la gran enciclo ped ia m atemática, el Shuli jingyu n, que se redactó a finales del reinado de Kangxi (en nu estro 1.723), las parejas de op ues tos zheng/fis y duo/shao se utilizan con independencia la una de la otra, según el contexto del método en el que aparecen. La primera se usa tan sólo en el contexto del clásico fangcheng, m ientras que la segunda se reserva para el recién construido jiegenfa ng. C om o observa M artzloff (p. 65), no hay la m enor "perspectiva globalizante que venga a unificar el concep to común del que unos y otros eran portad o res". En la matemática china emergen diversas negatividades, como si el pensar cada situación concreta bajo una categoría pre-conceptual de negatividad fuera algo natural. Por otra parte, si el análisis semántico de la pareja zh englfu permitía estable cer una neta correspond encia entre su uso en el lenguaje o rdinario y en el estricta mente m atemático, sin em bargo no parece ocurrir otro tanto con la pareja cong/yi. El término 'cong', que Qin Jiusha o em plea para los ‘números p ositivos ’, en su uso habitual tiene el significado principal de ‘partir de’, ‘originarse’, etc., por lo que puede traducirse ta m bié n por la preposició n ‘de sde’. Aunque en la le ngua chin a actual este significado se ha desplazado hacia la sustantivación del punto de par tida, el chino clásico le reservaba un significado activo, indicando con él la acción m isma de partir, de deja r atrás ese p unto de partida. Esta cierta positividad , a la que se opo ndría bien la idea del reg reso o bien la de llegada, se confirma en la segund a acepción del término: ‘dirigir’, ‘gobernar’. En esta acepción, cong es sinónimo de zheng, que también significa ‘presidir’, ‘gobernar’, ‘jefe’. Cabría, pues, esperar
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que la negatividad del ‘ser goberna do’ — mediante la qu e/« invierte la orientación positiva del ‘gobernar’ de zheng — se aloja ra también de algún m odo en yi, en tanto que opuesto a cong. N o obstante, aquí se nos escapa qué tipo de evocación hubiera podid o mover a Qin Jiu shao para sele ccio nar >7 como nom bre opuesto a cong, pues en lenguaje ordinario y i se em plea com o los verbos ‘añad ir’, ‘au m enta r’, ‘acrecen tar’, o como los adverbios ‘más’, ‘aún más’. Y tanto estas acepciones como las secundarias — ‘utilidad’, ‘enriqu ece rse’— no sólo no parecen oponerse a n inguna de las de cong sino que a lo que sí se oponen es a las evocaciones má s — occiden talm ente— inmediatas de negatividad, como serían ‘quitar’, ‘disminuir’, ‘menos’, etc. Q uede siqu iera señalada esta perplejidad. Con todo, lo que im porta resaltar es que en la m atemá tica china no sólo aflora una forma de negatividad sino varias. Una proliferación tal de negatividades for males no puede ex trañar si se tiene en cuenta que el modo de pe nsar chino procede, com o señala Granet, por correspondencias y analogías entre campos diversos que, no'Dbstante, man tienen su irreductible singu laridad, en lugar de llevar a cabo s uce sivas redu ccione s de elem ento s co m unes en un proceso de abstracc ión que deseirw boca en el conce pto com o algo sepa rado e independiente de lo concebido. El hom bre chin o no actú a de otra m anera cuando hace mate máticas. M artzlo ff (pp. 69-71) no atribuye esta actitud al humus cultural en el que indaga Granet sino a motivos estrictamente didácticos. A la retórica imperativa propia de la argumentación euclídea (modelos fijos y universales de demostración que hay que respetar en cada caso) el matemático chinó opone una retórica persuasiva, que arraiga en lo concreto y se desarrolla a partir de cada caso. Así, se distinguen los siguientes m odos típicos de argum entación en m atemáticas: a) por comp aración (de un pro ble m a con otro), b) por analo gía (p ara calc ula r la raíz cúbic a se evoca el cálculo de la raíz cuadrada), c) paso de lo particu lar a lo general a través de un prob lem a ejem plar, d) uso de pro cedim ie nto s em píric os (d eterm inació n del volum en de la esfera mediante pesadas sucesivas), e) procedimientos heurísticos (como disecciones geom étricas), f) recurso a m edios de com unicación no lingüísticos (man ipular pie zas de un puzzle, mirar una figura, etc.). Allí donde el pensamiento axiomáticoded uctivo tiende a la unificación po r vía de abstracción, el pens am iento analógicoheurístico propende a la dispersión por medio de co-relatos y co-relaciones. Los textos clásicos de la ma temá tica china son ricos en metáforas, evocaciones y alu siones a otros textos literarios. Tanto la em ergencia de varias negatividades en d is tintos contextos com o la au sencia de un formalismo unificador de todas ellas res ponde a esta te ndencia general de la episte m e china, al tiempo que m anifie sta una clara inclinación a pensar — también en m atemáticas— bajo criterios de oposición. El sustrato pre-matemático del que emerge esta profusión de negatividades deb e buscarse en las primeras m anifestaciones de la cultura china. Lo s propios tex tos matem áticos, y en particular aquéllos donde se formulan los mod os de negati vidad considerados, no cesan de dirigir explícitamente la atención hacia ellos.' Martzloff (pp. 246-7), aunque poco amigo de excursiones al exterior del discurso matem ático, señala el origen taoísta y neoconfuciano de los términos básicos del Tianyuan shu, el ‘arte de la primordialidad celeste’, que puede traducirse como
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‘arte de la incógnita’ y ‘equivaldría a’ nuestro álgebra. En los textos de los alge bristas de los Song y los Yuan no hay ningún cará cte r especial (a breviatu ra, sím bolo) para las distinta s incógnitas ni sus potencia s, que se su ponen im plícitas en la posició n que ocupan su s respectivos coeficie ntes en el ta ble ro de cálculo. Un poli nomio del tipo ao+a,x+a2x2+ ... +a„x” se asemeja más bien, en notación tianyuan, a nuestra expresión moderna: (ao, a^ a2, . . . , a„). La incógn ita {yuan ) está así siem pre ausente aunque presente en todas panes, es com o el ‘gran uno’ o la ‘unidad pri mordial’ (yuan yi) con que suele hacerse referencia al dao [ta o ]. La incógnita, como para Laozi (21b) el d a o , es algo "oscu ro y luminoso ; en su oscuridad es lum i noso porque en su interior están las formas" aunque él es "sin forma". El otro tér mino de la expresión T i a n y u a n — el tian — se usa para el térm ino in dependie nte y evocaría asimism o otra noción del pensamiento clásico qu e podría traducirse como ‘masa de energía que c ontiene en sí m isma un principio de o rganización’. El Yijing [I Ching] es —como veremos—• uno de los más potentes focos sim bólicos para la construcció n de la negatividad, en cualquiera de sus formas. Las referencias a él son también constantes en los textos donde se construye la negati vidad matemática. Liu Hui, en su introducción al Jiu zhng suanshu , donde se expone por primera vez la estructura zheng/fu, se propone "analizar los principios (xi li ) por m edio de form ulaciones verbales, (...) de m anera que quien lo lea pueda entender má s de la m itad (si guo han)". P ues bien, en tan sólo cuatro líneas hay dos referencias literales a los clásicos. Como observa Martzloff, la primera expresión es de Zhua ngzi [Chu ang Tzu], uno de los padres del taoísmo , y la otra pertenec e al Yijing. A simismo Liu Hui acusa notables influencias del neo -taoísmo de la época de los Tres Reinos. El prim er capítulo del Shushu jiuzhang , donde encontram os la pareja cong/yi, lleva el nom bre de dayan, que significa ‘el gran des arro llo’, y hace referen cia a un método de adivinización del Yijing. P ara Martzloff, preocupado habitualmente por marcar distancias entre una supuesta específica racionalidad matemática y otras formas de razón (que así pasan a serlo de sinrazón), "se con stata con facilidad que, pese a su nombre , es'te m éto do dayan no tiene n ada de irracio nal"1. Ciertam ente, la única relación que a primera vista se observa entre tal capítulo y el método adi vinatorio del mismo nombre está en que el primer problema que propone aquél pla nte a una cuestión de adivin ació n análo ga a las trata das por el Yijing. Pero razo nes de carácter sociológico y, más am pliamente, cultural permiten sospe char de tan tajante escisión entre ‘ciencias exactas’ y ‘falsas ciencias’, entre una racionalidad pura, que vendría a alo ja rse eje m pla rm ente en las m ate m áticas, y una serie de irra cionalidades circundantes, como las que se encontrarían en las artes adivinatorias. Po r un lado, com o el mism o M artzloff (p. 21) apunta, todavía en la épo ca de los Song es indiscernible el hacer matemático y el de otros saberes que —sólo después, y desde Occidente— serán tenidos por irracionales: "en la China de los 1 J.C. Martzlofl (1988: 145). Sobre la'irracionalidad 'del Yijing véase más adelante, en particular el diagnóstico de C.G. Jung sobre su inequívoca ‘salud mental'.
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Song, quienes estudian astronomía y matemáticas no podían no ocuparse tam bié n, al m ism o tie m po, de técnicas esotéric as". Efe ctivam ente , los regla m ento s sobre la enseñanza de las ciencias del cálculo en la Universidad del Estado — redactado s entre los años 1.102 y 1.106— establec ían que «todos los alum nos deben estudiar los problemas de los "Nueve capítulos", el "Gnomon" de los Zhou (...) así como las obras d^ cálculo de calendario, de adivinación y de astrología astronómica». No es fácil imaginar a una misma persona, pensando desde unas mismas categorías, con un sólo cuerpo de conceptos, procediendo a unas m ismas actividades operatorias (m anipulación de palillos)... pero distinguien do cu ándo lo hace racionalmente y cuándo irracionalm ente. M ás allá de una mera ‘transferen cia de v oca bulario’ (que ya de por sí conlleva un inev itable transporte de sentido), pare ce ra zonable conje tu ra r un m ism o m odo de pensar que pro yecta una m ism a carga de racionalidad/irracionalidad cuando se aplica a actividades y estudios asociados entre sí. Po r otro lado, como también observa M artzloff (p. 63), la ausencia de térm i nos técnicos en la matemática china obliga a ésta a recurrir sin cesar al lenguaje natural, cuyos términos y estructura importa el discurso matemático con toda su carga de amb igüedad, de particularidades y de presupuestos implícitos. Los térmi nos m atemá ticos chinos son, efectivamente: "...términos de uso general cuya multiplicidad de empleos y connotaciones sobrepasa de largo un marco que uno de buena gana imaginaría rigurosamente deli mitado, antipolisémico, como corresponde a una matemática constituida. Liu Hui y sus sucesores rechazaban establecer compartimentos, como si la realidad pudiera acotarse m ejor mediante concep tos intuitivos, amb ivalentes, mu ltiforme s, variables, aparentemente más portadores de sentido y de posibilidades de acción. La actitud china se acerca en esto al vitalismo bergson iano” .
El trasvase de sentidos entre la lengu a natural y el discu rso m atem ático, fenó meno común a todas las culturas, tiene especial incidencia en unas matemáticas que, como las chinas, eluden las definiciones técnicas, los conceptos abstractos. Ca rencia (o propiedad) que acusan los propios m atemáticos, como Liu Hui cuando confiesa la dificultad de em itir un juicio sobre el méXoáo fangc hen g por carecer de ‘palabras vacías’ (kong yan), es decir, de térm inos abstractos. De ahí la impo rtan cia de los c ontextos para ce ñir el sentido, en lugar de la precisión conce ptual que, en la tradición occidental, dibuja los contornos del significado como queriendo encerrarle, al igual que encerradas en sí mismas se supone que están las esencias a las que ese co ncepto rem ite. De ahí también la tarea de exégesis y com entarios per manentes propia de los pensadores y matemáticos chinos, que a una mirada occi dental poco avisada se le pudieran antojar enzarzados en una escolástica em pan ta nada en un mero trasiego de nom bres. De esta radical permeabilidad de la matemática china a la lengua y, a su tra vés, a toda la carga simbólica del imaginario cultural chino, no vamos a destacar aquí sino aquellos núcleos que hubieran p odido alentar más directam ente la eme r
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gencia de los distintos m odos d e negatividad en m atemáticas. En particular, el for malismo simbólico del Yijing y las elaboraciones taoístas en tomo a la tema y in / yang/ da o.
JI.12. La oposición, categ oría ce ntral del "L ibro de las mutaciones" El Yijing [/ Ching, Yi King]' o "Libro de las mutaciones", en ocasiones ten ido como el texto más antiguo de la humanidad2, en su versión más primitiva es un texto sin palabras, un texto de puros signos. Sólo dos rasgos elementales desenca denarán toda una gramática desde la cual, con el tiempo y las distintas interpreta ciones, se irán diciendo y haciendo los más variados ámbitos del mundo chino. Estos rasgos (gua [kua]) son una línea co ntinu a y otra pa rtida , que dis puestas en gru pos de tres dan lu gar a los 23 = 8 trigramas: Cualidad
Im age n
Familia
qian [ch’ien], lo Creativo
Fuerte
Cielo
Padre
kun [k’un],
Abnegado
Tierra
M adre
N om bre --------
-
-----
lo Receptivo
= =
zhen [chen], lo Suscitativo
M ovilizante
Trueno
1er hijo
--------
gan [k’an],
lo Abisal
Peligroso
Agua
2o hijo
el A quietarse
Quieto
M ontaña
3 " hijo
sun [sun],
lo Suave
Penetrante Madera
Viento,
Ia hija
li [H],
lo Adherente
Luminoso
Fuego
2* hija
dui [tui],
lo Sereno
Regocijante
Lago
3a hija
— — gen [ken], --------
--------
-----------
Estos 8 trigram as elem entales son los que, agrupados ordenadamente de 2 en 2, dan origen a los 82 = 64 hexa gram as que propiam ente con stituyen el texto del
1 Se inclu yen entre corch etes las romanizaciones con las que suelen ser más conocidos los títulos o los términos. De sólo haber una, se trata de la romanización WadeGiles. Como de costumbre, la que mantenemos es la Pinyin. 3 La elabo ración de los trigram as parece proce der de los ss. IX a! VII a.C., aunque el sistem a adivinatorio del que derivan acaso sea de antigüedad mayor. Las más tempranas glosas a los hexagramas que han llegado hasta nosotros se remontan a los ss. VII y VI a.C.
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Yijing. "En su origen, el I Chin g es un libro sin palabras; es una suce sión finita de
signos no idiomáticos con significados infinitos: un perfecto sistema algebraico", dice D. J. Vogelmann en R. Wilhelm (1982: 12). Se trata, por tanto, de un texto radicalmente polisémico, abierto a una infinidad de interpretaciones, la primera de las cuales parece que tenía una función adivinatoria. Posteriores lecturas han ido precipitando en las versiones y comentarios que constituyen lo que habitual mente se conoce como el Yijing. "Sesenta y cuatro dibujos, los hexagramas, com ponen por sí so los el verd adero texto del Yi King; todo lo demás no es más que comentario, amplificación, leyenda para ayudar al desciframiento de los emble mas adivinatorios" (Granet, 1968: 145). El significado de cada trigram a1deriva del carácter — continuo o partido— de las líneas que lo componen así como de su disposición respectiva. El de cada hexagrama, a su vez, está inducido por el de los dos trigramas que integra, por su ordenación, por el de ciertos trigramas interiores y por el de' aquel hexagrama en que éste muda por inversión de sus líneas ‘viejas’. Estas transformac iones de cier tas líneas en sus opuestas (las continuas en partidas y viceversa) tienen lugar bajo determinad as circunstancias en las que su carácter está excesivamente acentuado, o — com o dice R. W ilhelm (1982: 64)— están tan "poderosamente cargados de energía positiva o negativa" que se ponen en movimiento hacia su opuesto. Esto confiere al hexagrama una tensión capaz de hacerlo mudar en otro, expresando así el tránsito de una situación a otra, la evolución de un cierto estado de cosas: la ‘mutación’ (vi [i]). "Al suplantarse mutuamente los trazos firmes y los blandos, surge la modificación y la transformación"2. Es de destacar que, al margen'de cualquier interpretación, y —en cierto sen tido— antes que todas ellas, el Yijing lo que a rticula es un com plejo sistema formal de puros significantes. Si por algo no cabe calificarlo, como hace Vogelmann, de ‘perfecto sistema algebraico’ no es tanto por su imperfección formal cuanto por su excesiva c om plejidad, que lo hace difícilmente inscribible en ninguna de las estruc turas algebraicas occidentales modernas. En cualquier caso, se trata de un sistema pre -litera rio y pre-c onceptu al3, capaz por tanto de generar y articular distintos dis curso s según los significad os que se atribuyan a sus significantes y el sentido que se confiera a su dinámica; un sistema que dará origen a las imágenes, símbolos, ‘con ce pto s’ y relaciones fun dam entales que instituyen la epistem e china clásica. La primitiva exége sis china, al atribuir la redacción del Yijing a personajes m íti cos como Fu Hi, enfatiza su virtud fundacional del modo de pensar chino. Efectiva mente, no sólo es la m atriz de saberes hoy tenidos por seudociencias — como el adi
1 Las interpretaciones que se distribuyen en la página anterior son posteriores al ‘texto original’, integrado por tan sólo los signos de los trigramas de la primera columna. Estas interpretaciones son las recogidas por Richard Wilhelm (1982: 63). 2 Ta Chuan, El Gran Tratado. 11.2, en R. Wilhelm (1982: 375). 3 R. Wilhelm (1982: 71) constata que los ocho trigramas llevan nombres que no se usan en ningún otro contexto en la lengua china antigua, descartando la posibilidad de que tales nombres correspondieran a ideogramas o criptogramas antiguos.
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vinatorio, el má gico o el moral— sino también d e las formas más ‘hom olog ables’ de facionalidad china. En particular, es el crisol donde se firaguá su pensamiento espe culativo, ajuicio de buena parte de sus estudiosos. Para P. Demiéville e Y. Hervonet (1980: IV: 313), "con estos textos oscu ros y casi intraducibies — hasta tal punto falta vocabulario técnico en nuestras le nguas— estam os ante las fuentes vivas de la filo sofía china (...) Casi todo el v ocabulario filosófico chino se remo nta al ‘Libro de las Mutaciones’". "El Yi-king, con sus comentarios y sus apéndices, constituye la infra estructura de la metafísica china ", según N. Vandier-Nicolas (1978: 240). E sta infra estructura se edifica sobre tres categorías básicas: la de oposición, la de mutualidad o reciprocidad de los opu estos, y la del tránsito o mutación entre ellos. En el escueto cifrado del Yijing ya está im plícito el nudo de la dialéc tica ‘po si tivo/negativo’ que ahormará la episteme china y permitirá aflorar, con toda natu ralidad, las variadas formas de n egatividad ma temática. En su versión anc estral, el Yijing era un libro-oráculo que c ontestaba a las preguntas previamente formuladas. La disposición en que quedan unos palillos de aquilea (los mismos que manejan los matem áticos) lanzados po r el con sultante se traduce en la figura prec isa de uno de los 64 hexagramas, cuyo com entario sugiere una respuesta al interrogante ini cia l1. Esta respue sta era, en su form ulación más p rimitiva, un mero ‘sí’, represe n tado por un trazo largo, o un ‘no ’, que se representa ba po r un trazo p artido en d os. Progresivamente se habrían ido com binando entre sí estas respuestas elemen tales, al tiempo que las interpretaciones y los usos se van extendiendo hasta articular todo un sistema para la comp rensión del m undo. El rasgo característico que dife rencia a este sistema tanto del occidental como del hindú lo expresa R. Wilhelm (1977: 41) con una concisión qu e ahorra m ayor abundamiento: "Detalle característico y diferencial del p ensam iento chino es que, en tanto que en Europa se toma co m o pu nto de partida el ser puro, en C hina éste e s aprendido en su m utación. Se trata de una actitud intermedia entre el budismo y la filosofía o cc idental del ser. El budismo, que reduce toda existencia a mera forma fenoménica, y la filosofía del ser, que en tiende éste c om o la auténtica realidad oculta tras la apariencia del devenir, constituy en , por así decir, dos con cep cion es antitéticas."
Para el esencialismo griego, com o veremos en detalle, la oposición (aunqu e la de oposición tam poco es categoría principal en su m odo de pensar) se da en tre el ser y el no-ser, sea éste com o — impensable— ausencia de ser o com o diferen ciación posit iv a del ser (‘ser esto y no lo otro’ o ‘ser esto menos una p arte su ya ’). Desde tales pre-concepciones se hace muy difícil pensar alguna negatividad que pueda asocia rse al ‘cero’ o los ‘nú m ero s negativos’. El fenomenismo hindú, por el 1 Es digna de mención la exploración a que C.G. Jung sometió al Yijing. Instado el libro a responder com o si de un paciente s e tratara, sus respuestas llevaron al discípulo de Freud a diagnosticar que "si un ser humano hubiese dado tales respuestas, yo, como psiquiatra, habría tenido que declararlo mentalmente sano (...); no hubiera sido capaz de descubrir ningún elemento de delirio, idiotez o esquizofrenia en las cuatro respuestas"[véase el Prólogo de Jung en R. Wilhelm (1982: 2142)].
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contrario, niega cualquier esencia tras el engaño de la apariencia, su ámbito es el del n o-se r1. La e pistem e sub yacen te en el Yijing se sitúa entre ambas, afirmando lo uno y lo otro, m ás aún, lo uno en lo otro, lo que Juan de M airena llam aría la ‘ese n cial heterogeneidad del s er’. Desde aquí, una dialéctica com o la zheng/f u no será sino uno más de los m odelos en que se expresa esa categorización primordial. La conciliación de contrarios que postula el Yijing se da, según R. Wilhelm, en el transcurso del tiempo: "la idea fundamental del ‘Libro de las Mutaciones’ es que antítesis y síntesis son generadas en y por el tiempo". Sucesión y alternanc ia son sus formas de dinamismo. No es necesario, sin embargo, entender que esta conciliación ocurra en el tiempo. Num erosos análisis la consideran más bien com o constitutiva de todo un sistema de correlaciones y convergencias sincrónicas. En el extremo, C.G. Jung llega a interpretarla incluso como una negación del principio de causalidad, como un mo do de pensar bien diferente del que en O ccidente liga entre sí el ‘entonce s’ lógico, con el ‘entonces’ empírico y con el ‘entonces’ temporal2. Cada hexagrama no diría así del suced erse de los momentos sino del entrama do en que se teje el m om ento (en el que se obtiene tal hexagram a) y que hace de él algo único. No es la con-secu encia la que otorga sentido sino la co-incidencia, no el tran s-currir sino el con-currir, no la causalidad sino la casualidad: "exactamente com o la causalidad describe la secue n cia de los hechos, p ara la mentalidad china la sincronicidad trata la coinciden cia de los hechos"3. Seguramente lo más ajustado sea entender en ambos sentidos el juego de oposiciones qu e despliega el Yijing, un juego de m odulaciones s incrónicas y diacrónicas que, en su alternancia y convergencia, disponen una manera de entender el espa cio, el tiempo y las situaciones, un modo de pensa r cuya expresión teórica más elab o rada se form ula en términos de la dialéctica yin/yan g/dao.
11.13. El complejo sim bó lico yin/yang como matriz preconceptual. Su huella en el campo numérico Au nque en ninguno de los comentarios canónicos que eng rasan el Yijing apa recen exp lícitamen te los términos yin /y ang 4 , éstos se fundieron pron to con la opo
1 Un análisis del singular tratamiento del ‘cero' y de los ‘números negativos’ en la obra de Bra magupta (fl. 628 d.C.) y de Bhaskara (1114 — ca. 1185) desborda el marco de este estudio, si se pretende contextualizado y riguroso. La mejor fuente accesible para ello es H.T. Colebrooke (1817), que contiene versiones críticas a partir del sánscrito de la obra de ambos autores. ‘ La expresión catalana ‘a les hores' es una elocuen te man ifestación de tal asociación. 3 C.G. Jung en R. Wilhelm (1982: 25). Véase también al respecto R. Wilhelm y C.G. Jung (1961) y C.G. Jung Y J. Pauli (1969). Sobre los conceptos próximos de 'causalidad reticulada' y ‘causalidad sincrónica' en el modo de pensar chino, véase asimism o J. Needham (1959: II: 288). 4 Véase R. Wilhelm (1982: 68). Para este autor, el origen de ambos términos estaría en la denom inación común de cada una de las dos laderas de una montaña o de las dos vertientes de un río; la una — yin — oscura y fría, y la otra — yang — luminosa y cálida. En el "Comentario para la Decisión" (Tuan zliuan) se habla de ‘lo firme' y ‘lo blando' en lugar de ‘el yin' y ‘el yang'. Y sólo aparece ya un uso formal de estos términos en el "Gran Tratado" (De zliuan). de marcada influencia taoísta.
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sición formulada en los trazos de aquel texto. Las claves de interpretación recí pro ca que entre ambos se aportan parten de la equivalencia entre, por un lado, el trazo co ntin uo y el yang, y, por otro lado, el trazo p a rti d o y el yin . Como origen de ambos conceptos se han sugerido elaboraciones teóricas proce dentes, según unos u otros estudiosos, de los más diversos ámbitos técnicos. La pro pia tradició n china rem onta su construcción al discurso astronóm ico, apoyán dose en su mención en un calendario de la época de los Reinos Guerreros (s. III a.C.); la opos ición/alternan cia de los días y las noches, las estaciones del añ o (frío/ cálido, húm edo/seco), los puntos cardinales, etc. estarían enton ces .en el origen de la concepción yin /y ang. Para otros, este origen habría de buscarse en la teoría musical, basada en la acción concertante (diao ) de sonidos disonantes y sordos (o bien, de notas graves y baja s) con sonidos limpios y puro s (o bien, notas agudas y altas); éste es, p.e., uno de los temas preferidos de Zhuangzi [Chuang tzu o Tchouang-tseu] (ca. 369-286 a.C.), uno —junto a Laozi [Lao Tse] (s. VI o s. V a.C.)— de los dos grand es m aestros taoístas. La hipótesis que sitúa la génesis de estos términos en el discurso adivinatorio los emparenta directamente con el Yijing, pues am bos aparecen repetidamente en el Xic i [Hsi t ’zu, Hi t'seu], pequeño glosario adjunto al Yijing que, por su profundidad filosófica, se atribuía habitual mente a Kongzi [K’ung tse, K’ong-tseu o Confucio] (¿551-479 a.C.?). Un instru mento habitual entre estos adivinos constaba de unas fichas que tenían una cara convexa {yang , m asculino, sa liente) y la otra cóncava (yin, femenino, hueco). Asi mismo se encuentran referencias a la pareja yin /y ang en otros ámbitos, como en antiguos topónimos, en fórmulas rituales, etc. La propia diversidad de los lenguajes especializados a los que se quiere atri buir su acuñación, junto a la pro lifera ció n de dichos y pro verb io s antiguos donde se mencion an, parece ab on ar la tesis de Granet de que los ‘con cepto s’ yin /y ang for man pa rte esencial de la sa biduría popular; que, forjados po r la razón co mú n china, han venido a instalarse en el centro de su episteme, desde d onde pa san a vertebrar todas las ramas del saber. A semejanza de los topoi griegos, en tom o al com plejo simbólico yinl yang se teje la urdimbre de preconceptos desde los que la razón china se desencadena, pero — precisamente por ello— sobre los no sabe dar razón. En el X ic i, una de las más antiguas formulaciones de la dialéctica yin /y ang reza así: "yi yin yi yang zhe wei dao" lo que suele traducirse como: "Una vez yin, una vez yang , eso es el Dao [Tao]"
o bien: "Primero Yin, después Yang, eso es el D ao "
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Estas ve rsiones prim an la dim ensión temporal, el carácter cíclico y alternante del yin /y ang. G rane t (pp. 104 ss.), sin embargo, considera no menos legítimas tra ducciones como: "Aquí yin, all (yang, eso es el ciao”
o bien: "Un lado yin, una lado ya ng , es o es el dao "
En éstas últimas, por una parte, la supresión de las mayúsculas intenta restar énfasis a las interpretac iones occide ntalizantes del yin /y ang en términos de Sustan cias, Fuerzas o P rincipios, para ace ntuar más bien su carácter de aspectos o lados de lo mismo. Al m ismo tiempo que, por otra parte, pone el acento en una interpre tación espac ial o sincró nica exp resad a en las oposiciones ‘aqu í/allí’ y ‘por un lado / por el otro lado’. La concurrencia de estos opuestos se articula sobre un dao que entonces se asimila a la sincronía de tong [t’ong] (‘interpenetración mutua’), mientras que el dao sobre el que pivotan los opuestos ‘una vez / otra vez’ y ‘pri mero/ después’ evoca más bien la idea diacrònica de bian [pien] (‘alternancia’). Ambas lecturas, no obstante, bien pueden tenerse por modos de una tercera más lacónica y radical: "Un yin, un yang, eso es dao"
Esta ambivalencia (o, más bien, solidaridad) espacio-temporal1puede apre ciarse en cuantos aforismos antiguos ponen enjuego ambos términos, como p.e. en los temas mu sicales de Zhuang zi: "primero/aquí agudo, después/ allí grave". Ambos aspectos se integran y complementan en otro párrafo del Xic i, donde la puerta cerrada se asocia a lo femenino com o yin (la mujer —interpreta G ranet— se m an tiene en el interior de la casa y es en el interior de su cuerpo donde aloja al embrión) y la puerta abierta evoca lo m asculino com o yang (el hom bre se expande y produce, se exterioriza): "una (vez) cerrada, una (vez) abierta; es el ciclo de la evolución [pien]: un va-y-ven [wa/i£ lai] sin término, es la interpenetración mutua [t’ong]". Aquí la puerta es la imagen de un objeto único capaz de presentar dos aspectos o disposiciones en el espacio, pero también dos estados de movimiento que se des pliegan en el tiempo. Fijado el tiempo, los dos opuestos concurren en ‘interp enetra ción mutua’; fijado el espacio, discurren en un vaivén o alternancia. No se trata, pues, de decid ir entre una lectura esp acial o una temporal, como tampoco resu ltaba pertinente para el Yijing. La dialéctica yin /y ang se dispone en un espacio-tiempo solidario, es sucesión y contraste, recurrencia y con currencia3. Com o gusta de resal 1 Véase E. Lizcano (1992b). La imagen de la puerta abierta/cerrada no menciona, pero presupone, el gozne que permite esa op osición , al tiempo que la articula: el dao.
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tarse últimam ente, y ya Ne edha m (1972: 10) había apuntado, es posible que el pe n samiento chino antiguo m antuviera una concepción del espacio y del tiempo seme jante a la que pro porc io na la teoría de la relatividad, que "hayan captado algo a lo que nosotros llamaríamos un continuum espacio-tiemp o universal, en cuyo interior coexistirían un núm ero infinito de espacios-tiempos particulares, y que hayan creído que el universo debía presentarse de modo bien distinto a diversos espectadores según la posición d e ca da u no respecto a la totalidad". Ante esta polisem ia manantial de lo yin ly ang, Granet opta por tomarlos com o emblemas o rúbricas cuy a cifra m arca todo el modo de pen sar chino. Su interpre tación en términos de ‘fuerzas’1, ‘principios’, ‘sustancias’ o modos de la ‘materia’, aunque se trate de concep tos ajenos a la especulación china, son posibles pero no lo agotan. Lo yin ly ang abarca éstos y otros modelos posibles, si bien es a su vez más concreto que estas abstracciones. No se trata de un concepto abstracto y for mal, sino de un m anantial simb ólico capaz de suscitar en cada caso imágenes pre cisas que evoca n asp ectos antitéticos, contrastantes. Pa ra los sabios puede n se r dos entidades antagónicas; para los adivinos, los dos principios de toda mutación; para los astrónomos, dos categorías cosmogónicas; para la sociedad china, en general, dos complejos simbólicos altamente eficaces y siempre concretos que gobiernan tanto el pensamiento como las más diversas costumbres de la vida social2. Uno de los ám bitos donde esta pre-concepción tiene implicaciones decisivas — y, en partic ula r, en lo que a la em erg encia de la negatividad matemática se refiere— es en el ám bito lógico (o mejor, pre-lógico) don de se asientan los criterios que deciden qué se va a tener por una ‘clasificación’. La divergencia entre Grecia y China en tom o a ello ma rca sus diferencias sobre la diferencia (y, en particular, sobre la resta)', determina por qué en un caso el ámbito de lo numérico se va a mover necesariamente dentro de la positiv id ad, en tanto que en el otro caso va a disponerse, simétrica y simultáneamente, en categorías opuestas. Para el pensa miento occidental el criterio que rige toda clasificación descansa, como veremos en detalle, en un encajon am iento jerárquico de géneros y especies. Las diferencias específicas van marcando la gradación de sucesivas especificaciones que definen las clases y subclases en que consiste la clasificación. Esta cadena de ida y vuelta, 1 Esta interpretación del par yin/yang como fuerzas opuestas conduciría ‘inmediatamente’ al álgebra vectorial, la cual — para el caso de la recta real — llevaría a su vez a la op osición entre ‘números positivos’ y ‘números negativos’. El ‘cero’ de la recta real sería el origen de los vectores, gozne que articula vectores opuestos y punto en el que éstos se compensan. No obstante, aunque el vectorial es sin duda un modelo del 'sistema yin/yang', no se construye como tal en el pensamiento chino, ni hay razones para conjeturar que fuera a través de una interpretación de este tipo como construyeran los matemáticos de los Han el álgebra zhengfu. No forzaremos aquí, por tanto, este cam ino. 2 Véase la exce lente descripc ión de Granet (1968: 119122) sobre los rituales de las fiestas campesinas en la China antigua, donde los criterios para la división/encuentro entre los grupos de sexos , la caracterización de los lugares, los mitos y refranes evocados, los tiempos elegido s, y multitud de otros determinantes manifiestan la operatividad de esta oposición/concurrencia de contrarios/solidarios anclada en lo más profundo del imaginario simbólico chino. La razón última de ello estaría, a su juicio, en que "en los tiempos en que se formó la concepción del Yin y del Yang (...) el orden social descansaba, no en un ideal de autoridad, sino en un principio de rotación".
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de progresiva especificación descendente (de los géneros a las especies) y corres pondie nte abstracció n ascendente (de las especie s a los géneros), es del todo extraña a la ep isteme china. A quf es la polaridad de los emblemas yin y yang la que presid e y mueve cualq uie r disposición clasificatoría. El princip io que rige cual qu ier clasificación d e un todo se funda en la distinción inmediata de dos aspectos simétricos que, oponiénd ose, concurren y, concurriendo, se oponen. La diferencia no ex-trae (o sus-tr ae, o abs-trae) el género del interior de la especie1sino que ma rca la distinción e ntre opuestos: no se m ueve en el espacio positiv o de una sus tancia que se especifica sino — como indica Granet (1968: 117-8)— en un espacio dual de simetrías que se reclaman: "[los términos yin y yang] forman a la vez una pareja de actividades alternantes y un agrupamiento bipartito de formas alternadas. Presiden la clasificación de todas las cosas. Los chinos, en efecto, han conseguido organizar su pensamiento sin pre ocuparse verdaderamente por construir especies y géneros. Se contentan con varias reparticiones de base numérica2 y dotan, si así puede decirse, a la simple bipartición de un poder soberano en materia de clasificación". La razón de este proceder está tanto en la eficacia de la dualidad con que opera el comp lejo yinly ang, que alcanza también a operaciones formales eleme n tales com o la de clasificación, como en la aversión china a construir conceptos abs tractos, a los qu e ne cesa riam ente ha de recurrir cua lquier criterio clasificatorío qu e actúe en término s de géne ros y especies: "Los chinos no encuentran el menor placer en clasificar por géneros y especies. Evitan pensar con ayuda de conceptos que, alojados en un Tiempo y un Espacio abs tractos, definen la idea sin evocar lo real. Frente a los conceptos definidos, prefieren los símbolos ricos en afinidades" (Granel. 1968: 125). Esta actitud mental expresa — y se expresa en— las propias características de la lengua china: "Leyend o chino — sugieren E. Fenollosa y E. Pound (1977: 34)— no parece que estemos haciendo malabarismos con fichas mentales, sino que vemos las cosas llevando a cabo su propio destino". Frente al cierTe y al límite que impone toda de-fin-ición, el modo de p ensar chino dispara el juego de las a-fin-idades. F rente a la linea lidad ax iomático-deduc tiva, prefiere la concu rrencia de sem e janzas, sim etría s y oposic io nes. Fre nte a la univocidad de los conceptos claro s y distintos, la po lisemia y las resonancias. Frente a la autoconsistencia de las sustan cias, la interdependencia de los aspectos antitéticos. Frente a la estaticidad autocontenida de los sustantivos, la transitoríedad evanescente del sustrato verbal que
1 Véase epígrafe III.6. * La distinción occ idental entre los usos de los números com o cardinales, ordinales o meras marcas distributivas es de importancia muy secundaría en China. La función del número es, siguiendo a Granet (1 96 8:1 27 24 8), eminentemente ‘protocolaria’.
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se haya presente hasta en las partículas gramaticales más in-significantes. Para los citados autores, en la lengua china, "las relaciones son más reales e importantes que las cosas que por ellas se relacionan" (p. 50); por ello, "dos cosas unidas no pro ducen una terc era cosa sin o que sugieren una relación fu ndamental entre ellas; por eje m plo , el id eogra m a para ‘com ensal’ es un hom bre y un fu ego" (p. 35). Com o observa Feno llosa (p. 42), es notable que toda la precisión que la cien cia occidental busca en los sustantivos se vuelva absoluta imprecisión en el acota miento del significado de los verbos. La capac idad de significación de éstos ha ido a alojarse casi por completo en unos sustantivos inertes. Hasta el punto de que el verbo central del pensamiento occidental, el verbo ‘ser’, se convierte en el sustan tivo por excelencia, el ‘ser’. En chino, el verbo principal que correspondería al ‘ser’ tiene el significado activo de ‘tener’, y un análisis de los rasgos de su ideo grama remite a "coger con la mano algo que está en la luna". Al entenderse la dialéctica yinly ang en un sentido tan distinto tanto de la dia léctica de esencias como de la oposición entre ser/no-ser, el ámbito del número podrá desplegarse e n Chin a a am bos lados de la barra e n lugar de verse constreñid o a uno sólo: el del ser y sus especificaciones. La ‘determ inad a mu ltitud de un idad es’ que define al núm ero griego nace ya en China con la marca de la opo sición antes de em pez ar a dese ncad enarse en ‘los diez mil seres’. Así, según Lao zi (4 2a): "El Tao engendra al Uno, el Uno engendra al Dos, el Dos engendra al Tres, y el Tres engendra los diez mil seres. Los diez mil seres llevan a sus esp aldas el Yin y en sus brazos al Y a n g y el vapor de la oquedad2 queda armonizado".
Al desencadenarse del número, de lo múltiple, no le es extraña, por tanto, la oposición, sino que incluso le es propia, pues ella marca emblemáticamente toda forma de número, de multiplicidad, que así se encuentra llevando ‘a sus espaldas al yin y en sus brazos al y a n g '. El número que suscita el complejo simbólico yin / yang es naturalmente un número/nombre zheng/fu J, un número/nombre yi/cong, un número/nombre duo/shao... Y esta misma variedad de denom inaciones — se gún la actividad m atemá tica concreta en que cada uno de estos modos de negativi1 En esta imagen, la contraposición 'espaldas/brazos' manifiesta netamente el carácter sincrónico con que en este caso se considera la oposición yin/yang que viene a reforzar; enfatiza el carácter de ‘lados’ o ‘aspectos’ opuestos en que inmediatamente se reparte cualquier forma de multitud o número. 2 El carácter qi [ch'ij, que C. Elorduy traduce por ‘vapor’, está compuesto por los caracteres elemen tales del arroz y del vapor (que se supone despide aquél al cocerlo). La evanescen cia de la im agen qi se refuerza con la de chong [ch'ung] ( ‘oquedad’), para venir a sugerir aquello — ¿el ‘cer o’?— en que se resuelven los op uestos. La identificación que lleva a cabo este autor (en Lao tse / Chuang tzu, 1977: 130) con el pneunia de lo s es toicos no puede dejar de parecer forzada, sobre tod o cuando lo que viene a armonizar el ‘vapor de la oquedad es la acción concertame de los op uestos yin y yang. 3 Es de notar la proximidad semántica entre esta caracterización de yin com o algo que los diez mil seres ‘llevan a la espalda' y la principal acepción de fu en el lenguaje ordinario: 'llevar una carga a la espalda’. A lo que se añade la correspondencia entre las respectivas subordinaciones jerárquicas: el rango secundario, derivado o inducido que apreciábamos en fu respecto a ziieng, es el mism o que tiene yin respecto a yang: "El yang llama, el yin responde".
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dad emerge (álgebra fangcheng, extracción de raíces, técnicas ji e g e nfa n g ...)— es buena m uestra de esa eficacia concre ta y polisém ic a del com ple jo sim bólico yin / yang. É ste, al actuar com o paradigm a generador de m odelos formales particulares, no actúa a modo de un principio rector abstracto, en el que se reducen las diferen cias, sino como actividad sim bólica concreta. No ordena el Tiempo y el Espacio, sino los m om entos y los lugares. No se aplica com o concepto — delimitado y uní voco— a los agrupam ientos. numéricos, sino a las singulares m anipulaciones ad hoc con que los matemáticos hacen frente a ciertos problemas. La pu janza de este co m plejo simbólico salva las fronteras que en Occidente irá levantando una compulsión sui generis por la compartimentación de los sabe res. El rigor que proyecta sobre las prácticas matemáticas se extiende también a otras configuraciones formales que no se tienen por tales: conocimientos míticos, cosmogónicos, alquímicos o adivinatorios. También imbuirá en estos ámbitos estructuras form ales, com o la de grupo, que la episteme g riega no podrá con struir ni siquiera en el ám bito del sa ber que mas llega a formalizar, el del álgeb ra geom é trica. En ésta, la percep ción espacial del número com o extensión no pu ede ser sino positiva, no negativa ni nula. Lo cual hace im posible la construcció n de núm ero s opuestos en torno a un elemento neutro que caracteriza a la estructura de grupo, como será la que vertebre el espacio simbólico que definen los llamados ‘cuadra dos m ágicos’ que habitualme nte m aneja la sabiduría popular china. 11.14. C ua dra do s m ágicos, pensam iento analógico y congruencias algebraicas Incluso los que pudiéramos tener por números ‘positivos’ están afectados en China po r disposiciones alternantes, por oposiciones recíprocas, por o rientaciones contrapuestas. La disposición lineal abstracta, progresiva, de orientación única (1,2,3,4,5,...), que es la imagen que preside en Occidente la concepción de la serie numérica, se sustituye en el modo de pensar chino por una disposición cíclica, constituida por parejas contrapuestas que se hacen presentes en un espacio-tiemp o concreto. G ranet (1958: 151), tras el análisis de tres antiguos usos de la serie nu m é rica en tres contextos diferentes, ofrece el siguiente cuadro comparativo: VERANO P R 1 M A V.
7 8 5 9 6
OTOÑO Yue ling
128
FUEGO I N V I E R.
M A D E R A
2 3 5 4 1
SUR M E T A L
E S T E
7 2 8 3 5 4 9 1 6
AGUA
NORTE
H ongfa n
H o t ’ou de los Song
0 E S T E
La analogía entre los distintos contextos (estaciones, elementos físicos y orientaciones) se basa en la congrue ncia m ódulo 5 dé los números que etiquetan los objetos asociados. Por ejemplo, la asociación entre agua, otoño y norte, se exp resa en la cong ruencia entre sus cifras respectivas (1 = 6 (5), es decir, 6 _ 5 = 1). M edia nte este expediente, la serie num érica podría contin uar desple gándose indefinidam ente, pero no en línea sino en cruz (com o lo hace en el cua drado H o t ’ou). En esta disposición, 7 (ó 2) y 6 (ó 1) se oponen entre sí, como también se oponen 8 (ó 3) y 9 (ó 4), y como lo hacen los ‘aspectos’ de los que son emblem as. Tam bién en el Xic i encontram os una oposición de este tipo. Gracias a la distin ción entre líneas fijas y móviles, las líneas fundamentales (yin, par) y -----(yang, impar) se desdoblan ca da una en otras dos: el viejo yin y el joven yin , que tie nen por números respectivos el 6 y el 8 (ambos pares), y el viejo yang y el jo ven yang, a los que corresponden respectivamente el 9 y el 7 (amb os impares). Las opo siciones cru zadas de la figura ante rior enfrentan así al viejo yang (9) con el joven yin (8), y al joven yang (7) con el viejo yin (6). En la práctica adivinatoria antigua se conside raba que las líneas viejas, cargadas en exceso, eran m udables pues tendían a transformarse en sus opuestas. Para interpretar estas líneas debía recurrirse a los comentarios del duque de Zhou y considerar el hexagrama resultante de con-vertir el 9 en 8 y el 6 en 7. Una vez más, la oposición es in-versión y con-versión de con trarios, interpenetración de facetas o aspectos encontrados pero reversibles. En esta disposición en cruz de n om bres/núm eros opuestos, el 5 jueg a un papel singular. Situad o en la encru cijada, se para a los opue stos al tiem po que es a través suyo como éstos mudan entre sí. El 5 hace posible la distinción al establecer la simetría, pero también perm ite el tránsito, la operación e interacción entre los sig nos alternantes/enfrentados. Él, por su parte, eje de simetría, carece de simétrico (o, lo que es lo mism o, es su propio eleme nto simé trico); dispone un jue go del que no participa. No puede de jar de asociarse ese 5 con lo que — hoy y aquí— llama ríam os el ‘elem ento ne utro ’ o ‘ce ro’ del grupo aditivo Z/ 51. Las clases de con gruen cia (distintas del ‘cero ’) de Z/5 están representadas en ca da una de las ramas de la cruz; la clase [0] se representa en su encrucijada3. La semejanza parece acabarse aquí, pues las clases opuestas en Z/5 no se corresponden con las ramas que se enfrentan en el espacio simbólico de la cruz. Pero esto sí ocurre en otras disposicione s sim bólicas no menos clásicas, que suelen pre senta rse bajo la fo rm a de cuadra dos mágicos del tipo: 1 Z/5 = ([IJ ,[2],[3 ],[4],[5] ). Cada uno de los cinco elementos o clases del conjunto Z/5 está formado por todos los números congruentes módulo 5 con el que da nombre a la clase; asf [1] = = {1,6,11,...) , [2] = (2,7.12,...) , etc. Y [5] = [0] = {0,5,10,...). 2 El diagram a Ho t'ou de los Song se ofrece, en su versión más antigua, no con caracteres numéricos sin o con cuentas redondas. En su centro está el 5 rodeado por el 10 [10 E5 5 EE 0 (5)]. Y los redondeles que constituyen cada número son negros o blancos según ese número sea, respectivamente, yin (par) o yang (impar). Aquí, como ya ocurriera también con la pareja zheng/fu, los colores sirven para marcar ambos opuestos.
129
SUR
SUR
NORTE
NORTE
(a)
(b)
El cuadrado (a) pasa por ser1el más antiguo de cuantos se conocen. Según la tradición, habría sido com unicado a los hom bres por una tortuga del río Lo que se lo dió al mítico Yu el Grand e, fun dad or de la dinastía de los Hia. Yu, pa ra organizar el mund o, lo fué recorriendo, y la etapa que nom bra/numera cada núm ero corres ponde así tam bién a las orienta cio nes y a las esta cio nes2. En este cuadra do Lo zh ou, los cuatro enfren tam ientos p osibles (dos en la cruz principal y otros dos en la cruz formada por las diagonales) sí se corresponden con las oposiciones en Z/5. Es decir, - [7] = [3], puesto que [3]+[7] = [5] = [0]; y análogamente - [9] = [ 1 ], - [6] = [4] y -[8] = [2]. Otro tanto ocurre con el cuadrado mágico (b) si sus emblemas numéricos se asocian ahora a clases de Z/63. Ambos cuadrados son pues ‘equiva lentes ’ a los que podríamo s escribir como: SUR E S T E
SUR
+4
- 1
+3
0
-3
-2
+ 1
-4
NORTE (a)
+2
0 E S T E
E S T E
-5
+2
-4
0
+4
-2
+5
+3
-3
O E S T E
NORTE (b)
1 D. J. Struik (1963). Para mayor información sobre distintas interpretaciones y uso s de estos cuadrados simbólicos véase también M. Granel (1968: 127248). ' El com plejo espaciotiem po aparece míticamente confundido desde los com ienz os, y a él remitirá también la confusión china de los caracteres nominal, cardinal y ordinal de los números con que ese complejo se nombra, numera y enumera. 5 Con la salvedad d e que aquí no estaría representado el grupo completo, por la ausencia de una clase.
130
Ya en la épo ca de los Han, Z heng X uan lleva a cabo una exégesis rac ionalista del cuad rado (a) en término s de ciertas asignaciones num éricas con las que se eti quetan los distintos trigramas. El criterio será ahora genético, según el orden en que los trigramas se suceden unos a otros. El punto de partida es la clasificación o, mejor, bipartición — del conjunto de los trigramas atribuida al legendario rey Wen, fundador de la dinastía Zhou. Esta bipartición se basa en la interpretación num érica más exten dida en C hina para las líneas del Yijing, que acude a la oposi ción elem ental par/impar. El núm ero 2 (primer par) se asocia a la barra disco nti nua, la Tierra, lo fem enin o, lo v/n; el 3 (primer impar) a la barra con tinua, el C ielo, lo masculino, lo y a n g '. Como caracteres elementales y primeros números, refle jan la in m ediata escisió n de la unid ad en la pare ja fundam enta l de opuestos ‘2/3 ’. Mediante la suma de los números asociados a cada línea se obtiene otro número cuyo ‘asp ecto ’ — par o im par— le asigna una u otra de las dos clases opu estas en la bipartición fundamental: YANG (impar)
YIN (par)
Quian
Kun --------------
------
Hi jas (8)
-------
------
-------
Sun
(3) (3) (2)
------
Li
(2) (2) (2)
Madre o Gran Yin (6)
-------
-------
(3) - - (2) (2) ------ (3) (3) ------ (3) D ui
Padre Gran Yang; (9)
(3) (3) (3)
-------
- - (2) - - (2) (3) -------
Zhen
(2) (3) - -( 2 )
-------
-------
Gan
(3) --(2 ) (2) -------
-------
H i jos (7)
Gen
Zheng Xuan va disponiendo los trigramas según el orden en que se suceden unos a otros. Empezando por Gan (1), el ciclo sigue por Kun (2), por Zhen (3) y por Sun (4), para rem ansa rse en el centro en un 5o m om ento — al que no se asigna trigrama— y proseguir por Qian (6), Dui (7), Gen (8) y llegar a Li (9), donde vuelve a rep osa r en un 10o m om ento en el centro para reanud ar el ciclo de nuevo e indefinidamente. Este orden de su cesión co rresponde a una alternanc ia de ya n g (los trigra mas de ordinales 1,3,6,8) y de yin (los trigramas 2,4,7,9). Tras cada trigrama yan g (cuya suma de líneas es impar) viene uno y in (cuya suma de líneas es par) y vic eversa. E sta alternan cia (te m poral) es la que se dispon e (esp ac ia l mente) en el cuadrado mágico (a), cuya espacialidad antes que meramente extensional es simbólica. En el cuadrado, como veíamos, se enfrentan los opuestos en Z/5 (9 y 1, 7 y 3, 8 y 2, 6 y 4), que se corresponden con los tri1 Véase M. Granel (1968: 131, 154 ss.).
131
gramas que se co nsideran opue stos entre sí 1. Adem ás, en el espacio sim bólico del cuadrado, puede observarse una bipartición de los trigramas: 4
9
2
3
5
7
8
1
6
mediante la cual los que quedan por encima de la ‘diagonal principal’ son los yin (2,4,7,9), mientras que los que quedan por debajo son los yang (1,3,6,8). En este espacio simbólico el 5 vuelve a jugar un papel singular. En el simbo lismo aritmético chino, el 5 marca el papel central o una prioridad jerárquica. En el cuadrado de Zheng Xuan cumple, en un contexto formal, exactamente las fun ciones que se atribuyen al dao en general. Diacrónicamente, según la presentación sucesiva expuesta por Zheng Xuan, m arca el m om ento en que la tensión en la alter nancia de opuestos se remansa: "primero yin , después yang; eso es dao". El número de su(s) momento(s) no es número de ningún trigrama, pues siendo él quien g obierna — y quien re-sum e— la sucesión de los contrarios no adm ite otra con trariedad qu e la identidad. Pero esta identidad no es estática sino dinám ica: tras des can sar en el 5, se relanza el sucederse de las oposiciones h asta reposa r de nuevo en el 10, en el 15, etc. Sien do distintos cad a uno de estos aquietam ientos o anula ciones de la tensión ilimitada de los opuestos, sin embargo son siempre el mismo: todos son cong ruentes entre sí: 5 = 10 (5 ), 10 = 15 (5 ), etc. Todos ellos son la m ism a clase de equivalenc ia en 275: [0], lac las e ‘ce ro’, el ‘elem ento n eu tro’, aquél que determina las oposiciones y cuyo opuesto no es sino él mismo2. De él parece hablar Zhuangz i (XX II. 8) cuando dice: "Un ho mb re vive en el Estado Central; no es ni yin ni yang. Vive entre el Cielo y la Tierra. Ahora es hombre, luego tendrá que volver a su origen". A través del 5 y por intermedio suyo, el ciclo puede pro longarse sin límite, siem pre distinto y siempre el mismo. El cuadrad o representa también la dimensión sincrónica del comp lejo sim bó lico yinly ang/d ao: "aquí yin, allí y a n g \ eso es dao". De forma individual, determina cuatro ejes (horizontal, vertical y las dos diagonales) cada uno de los cuales une/ separa una pareja de opuestos, cada yin y su yang, tanto en Z/5 com o en la inter pretació n de los trigra mas. De m anera global, su dia gonal define una bip artic ión del espacio simbólico: arriba y a la derecha, lo y in ; abajo y a la izquierda, lo yang. 1 La aparente impropiedad de sumar unos números, los de l orden de presentación de los trigra mas, que sólo son ordinales — p.e. [1]+[9J=[5] — no lo es desde la concepción china, donde el em pleo cardinal, ordinal o protocolario de los números veíamos que es a menudo indistinto. * Por definición, en una estructura algebraica, el 'opuesto' de un número es aquél que sumado con él da como resultado el ‘elemento neutro’.
132
En uno y otro caso, el centro del cuadrado cumple una función singular: centro (geométrico) de simetría, punto de convergencia y anulación (algebraica) de los opue stos1, gozne (topològ ico) en el que se anudan/desenlazan los cam inos (los aspectos encontrados y las inversiones), lugar privilegiado donde "el vapor de la oquedad queda armonizado".
11.15. ¿O pon er o re star? E spacio simbólico vs. espacio extenso Pero co mo cobra toda su virtud esta concepción de la negatividad por el pe n samiento chino es en contraste con construcciones de la racionalidad oc cidental que a primera vista resultan ap arentem ente análogas2. Así, p.e., el pensam iento pitagó rico, donde también el jue go de las oposiciones ocupa un papel central, dond e tam bién estas oposicio nes encuentran su expresión form al primera en la oposic ió n par/ impar, donde también se somete a los cuadrados mágicos a una interpretación sim bólica (aritm ológica)... atribuirá, sin embargo, a todo ello un sentido bien difere nte, un sentido del que no puede e m erger forma alguna de negatividad. Com o piedra de toque bien puede valer ‘el mism o’ cuadrado má gico Lo zhou, que sorprendentem ente encontramos analizado con todo pormenor, y al modo p ita górico, por el jes uíta Athan asius Kircher (1601-1680). Acaso K ircher co no ciera el cuadrado a través de sus co rreligionarios, que por entonce s volvían de sus primeros viajes a China y con los que mantenía frecuentes entrevistas en Roma, o tal vez hubiera tenido conocimiento de él movido por su profundo interés en el pitago rismo cab alístico y en. la figura de Pitágoras, a quien tenía por m aestro de los m is mísimos sabios egipcios. 4
9
2
3
5
7
8
1
6
1 Tal y como también los opuestos zheng/fu ‘se destruyen (o reducen) mutuamente' (xiang xiao) en la formulación de Liu Hui. * Una analogía que es sólo aparente, y no estructural, lo que no quita para que se agite co m o un argumento mas en favor de un matematismo indiferente y proteico, supuestamente universal y natural, para el que úna fantástica naturaleza de lo numérico se iría adaptando, como la de un ser vivo, a las distintas culturas. 3 Sobre los m odos de pensar por oposición y por analogía en la episteme griega véase el magnífico estudio de G.E.R. LLoyd (1987). Pero, como veremos, ni la oposición tiene aquí el mismo sentido que en China, ni la analogía llegará a conseguir otro rango que el meramente retórico o persuasivo, cuando no directamente engañoso (sobre la condena de la metáfora y el razonamiento analógico por Aristóteles véase LLoyd, pp. 372381), ni — por supuesto — ninguna de estas dos formas de pensar tendrá otra proyección en la matemática griega que la de excluir precisamente esos ‘ceros' y esos ‘números negativos' que en China sí resultan de pensar por oposición y por analogía hasta sus últimas consecuencias.
133
El caso es q ue nuestro jesu ita afronta este cuadrado con el propósito de inves tigar "sobre los misterios de estos números". Lo denomina ‘sello de Saturno’ por ser su núm ero (de casillas) el 9. Aq uí aparece una primera y notable diferencia. El número característico de un cuadrado lo entiende Kircher como agregación de unidades (casillas), indistintas y por tanto sumables. Así, el número del sello de Saturno es el 9 po rque 9 es el n úm ero total de sus lugares interiores. Pero para que estos lugares hayan podido ser sumables han debido concebirse como homogé neos, es decir, no como lugares propios o moradas singularizadas sino como zonas de un solo territorio, apartamentos de un mismo edificio. Frente a esta espa cialidad barroca, en esto aún euclídea, si algún núm ero carac teriza al cuadrado Lo zhou en la exégesis china no podría ser otro que el 5, por el papel estructural — y estructu ra nte — que juega en el complejo de relacio nes que se establecen. En un caso, lo determinante son los objetos — y objetos abstractos (casillas)— ; en el otro, las relaciones —y relaciones en tomo a un centro — . La explicación de la génesis de ese 9 característico explícita aún más el carácter abs tracto de esa espacialidad. Pa ra el pensam iento visual-euclídeo de Kirch er1, el 9 que caracteriza al sello de S aturno "se produce aplicando la fuerza del 3 sobre sí m ismo ” (1984: 71). Se trata de la dynamis: ‘potencia’ en el sentido energético pero también ‘potencia cua dra da ’ o ‘elev ar al cua drad o’ en la traducción qu e solía hace rse del tér mino y de su uso por la m atem ática griega. El 9 es la dynamis de 3 porqu e 3 2= 9. El 3 se despliega, se expand e en el espacio para alum brar el cuadrado de superficie 9 que lo tiene por lado (‘lado criando cuadrado’, como escribía expresivamente el ma temático po rtugués P ero N unes poco antes que nuestro jesuita): O
O
O
o
o
o
o
o
o
El espacio que delimita el cuadrado surge así como extensión homogénea, descualificada, de la potencia del número. Son las unidades indistintas que inte gran esa ‘multitud’ en número de 3 las que se expanden hasta alcanzar una ‘multi tud’ de nueve. El arithmós que los griegos definen como ‘determinada multitud de unidades’ es esencialmente extensión, y en esa mera extensión es donde se va a ju gar el se ntido de los núm ero s. Una interpretación bien distin ta es la que veíamos que h acía Zheng X uan sob re la génesis del cuadrado Lo zh ou. Ahora éste se des pliega por a iram ie n to sim bólico; no en un só lo gesto ( ‘la fuerza del 3’) sino por la disposición sucesiva de lugares concretos y singulares, cargados de cualidades em blemáticas, que van adquiriendo núm ero/nombre en la progresión, alternante y cíclica, de la serie num érica en tom o a un centro. 1 Véase I. Gómez de Liaño (1986).
134
Una vez generado el espa cio1 cuadrado — sea com o extensión de-fin-ida sea como trama sim bólica— , la siguiente diferenc ia surge en el modo de articular su estructuración interna. Toda la ‘misteriosa dispos ición de los núm eros’ que d esc u bre Kircher se escondía tras el hecho de que, agru pados por filas o por colu m nas o en diago nal, al sum ar cad a tripleta de números s iem pre se obtiene 15. Sien do cada número extensión (de la m ultitud concreta de unidade s indistintas que co ntiene), la operación /relación ‘na tura l’ entre ellos no puede ser sino la ‘sum a’, la extensión total de sus extensiones. En la exégesis china, en cambio, cada número del cua drado es em blema o signo, se refiere — en la interpretación de Zheng X uan— a un trigrama y al complejo de significados que éste evoca, o bien —en el mito del Lo zh ou — a los lu gares-m om ento s que ord enan el mundo. En consecuencia , la ope ración/relación que entre ellos se establece es m anifestación de un orden: espa cial mente, refleja la división del mundo en nueve regiones; temporalmente, expresa la emergencia sucesiva y alternante de las estaciones, de lo yin y de lo yang. P or eso la relación interna fund am ental entre los números no es de suma sino de oposición, ¿cómo su m ar lugares singulares o situaciones d iferentes?1 El espacio chino — sea la casa, el universo, el lugar de la fiesta o el cua drado mágico— está m arcado sim bólicam ente y, muy en especia l, está marcado por lugares que se oponen/inte rp enetran en tom o a un centro. Todos estos espacios concretos, que son articulación de lugares distintos, son a su vez isom orfos: sus lugares se co-responden y su nom bre es el núm ero común — media nte congru encia s— a todos los lu gares así a socia dos. Y también se conservan, mediante esos isomorfismos, sus relaciones internas princip ale s, cuale s son las de oposició n. La propia ‘su m a’ im plícita en el cuadrado chino só lo se parece a la de K ircher en el nombre. La primera es una relación entre opuestos, la segunda lo es entre ‘multitudes’. La primera es una ‘ley de composición interna’, pues al operar con clases de congruencia mantiene siempre el resultado de la operación en el interior de Z/5; la segunda es una ‘operación externa’, pues actúa sobre el conjunto {1,2,...,9} y tom a valores ‘natu rales’ exteriores a él. La prime ra repite sus resu lta dos cíclicam ente, viniendo a remansarse en un centro; la segunda dispara indefini dam ente la serie numérica. Para disponer los números en el cuadrado, Kircher sigue ciertamente un orden, pero — a diferencia del seguido por Zheng X uan— es del todo in-significante, meramente mnemotécnico. Según sus indicaciones, se deben ir colocando los números de tres en tres, en orden ascendente, en las sucesivas líneas oblicuas del siguiente rombo: 1 Con lodo , ésta de 'ser generado' es una característica común al espacio chino y al griego. A diferencia del espa cio 'moderno', cartesiano (que es algo dado, estático, receptáculo al que irán luego a alojarse números y figuras, y por tanto anterior a ellos), aquellos dos van brotando como resultado de una tensión, de un dinamismo interno a los números: sea ‘la fuerza dél 3’ sea la concurrencia/alteran cia yiii/yang. 2 "Por muchas vueltas que le doy — decía Mairena— no hallo manera de sumar individuos" (A. Machado, 1973: 10).
135
1 2
4 7
5 8
3 6
9 y después los cuatro números de las esquinas "se transfieren al lugar vacío opue sto" (p. 82), con lo que se obtiene el cuadrad o al que él llam a ‘ternario’. El criterio de disposición seguido no pasa, pues, de ser un artificio para el recuerdo, sin ningún significado propio. Com o tam poco tienen otro significado más allá del estricta m ente espacial los citados térm inos ‘vac ío’ y ‘opue sto’. Ese vacío no cum ple una función s imbó lica ni estructural (ambas satisfechas por el vacío (wu) en el tablero de cálculo del fangcheng), es un mero espacio no ocupado al que, por tanto, puede ‘transferirse’ o desplazarse un número. El uso del término ‘opuesto’ es — además de tan falto de significado como el de ‘vacío ’— im propio: el ‘lugar vacío opu esto’ es propiam ente el ‘lugar vacío más distante en línea recta’, una pura refe rencia extensional. Un segundo uso que hace Kircher de la oposición no es más expresivo (aunque sí lo sea precisame nte por ello): el 5 es ‘término m ed io’ porque los ‘opue stos’ (1 y 9, 2 y 8, 3 y 7,4 y 6) ‘eq uid istan ’ de él, es decir: 1+9 _ 2 + 8 _ 3 + 7 _ 4 + 6 22 2 2 '
De modo que los ‘opuestos’ no son sino los extremos de un segmento de longitud 10 que tiene en el 5 su punto m edio: extensión indistinta, un vez más, do nde la op o sición no es tal sino mero límite o borde del espacio considerado. La tercera y última form a de oposición a la que Kircher pudiera haber atendido, la de lo par y lo impar, también se desvanece en su consideración del número como agregado extenso de un idades positivas: "puede observarse cóm o siempre entre dos números pare s hay un im par, que sumado a ellos da 15". Todo el arcano del te m ario, to da la misteriosa ‘razón de la construcción’ se jugaba, al cabo, en la pura extensión: seg mentos, sumas, distancias... El papel central que juega el 5 en la topología y en el álgebra del cuadrado Lo zhou traduce, en cam bio, una centralidad simbólica. Situado en el centro de la década, rige la disposición y la estructura de ésta. La disposición circu lar que obliga a adoptar a los res tantes números les fuerza a abandonar la disposición lineal para adoptar otra que expresa simultáneamente circularidad (alternancia) y oposición ( contraste). En otras ocasiones es el uno el que cumple este papel axial. A partir de la asociaciación de lo yin con lo par y lo ya ng con lo impar, ciertos desaiTollos excluyen al uno de la categoría de número, 136
pgto por razones bien distintas a las griegas. Para éstas, el uno no puede ser número por
¡g contradicción que implica ser unidad a la vez que multiplicidad de unidades. En China, como observa Granet (1968:23 2) la razón está en que el uno: "...es el pivote, que no es ni yin ni ya ng , sino aquello por lo que se encuentra ordenada la alternanc ia del yin y del yang ; es el cuadrado central que no cuenta, pero que (com o el m edio del que los autores taofstas dicen que, gra cias a s u va cío, puede hacer girar la rueda) go bierna el giro".
Eso es exac tam ente lo qu e hace el 5 (que no es sino el ‘cero’ de Z/5) en la exégesis de Zheng Xuan del Lo zh ou. P or la misma razón, los enfoques que excluyen al uno excluyen también al dos del cam po num érico: el dos es la pareja, caracterizada por la alternancia y la simetría, y también por la interacción o comunión de opuestos, ¡o que no quiere dec ir su sum a. El dos es la dualida d que el ‘vacío’ del uno h ace p osi ble. La función efectiva de ese uno se entiende así m ejor desde nuestra categoría de ‘cero’, sea el ‘cero’ que en la disposición espacial de los números los separa/une a derecha y a izquierda, sea el ‘cero’ de Z/5, sea el ‘cero’ que —elemento neutro de los enteros— define las oposicion es al tiempo que gobie rna la operación e ntre los opuestos. Ese 5 ó ese uno que, en el límite del cam po num érico, actúan com o ‘ceros’ (algebraicos) o ejes de simetría (geométricos) en cuyo tomo pivotan los opuestos, cumplen a su vez la mism a función que el hueco o espacio vacío que sirve de gozne para todas las operaciones del álgebra fa ngeheng. Este hueco activo que es el ‘no tener a qué em pare jarse’ (wu ru) y a sí induce una bipartición explícita de los núm e ros — zlieng/fu — que evoca inmediatamente la tardía bipartición occidental de los enteros en ‘positivos/negativos’. Ese uno que tanto G recia como C hina singularizan, no es sin embargo el mismo uno: el chino actúa como ‘cero’, y se abre in-mediatamente a la oposición yin /y ang, el griego dice del límite de lo que es (monadas ), y lo que de él brota es la multitud positiva en que intrínsecamente consiste el número. Tenemos, pues, toda una constelación de modos de negatividad m atemática que reflejan, en distintos contextos formales, la actividad del complejo simbólico yin /y ang/d ao. Si la polaridad yin /y ang se proyecta en las diversas formas d e o po sición consideradas, su articulación — espacial, temporal y algebraica — sólo es posible media nte el papel de gozne que, a sem ejanza de aquellos ‘ceros’, juega el tercer término: el dao. La a sociación que hacía G ranet entre el vacío de los taoístas y ese elemen to central en cualquier concepción china de lo numérico m erece, pues, una may or atención. 11.16. El dao [tao] y el cero, goznes de opuestos. La construcción im agin aria de lo imposible El taoísmo desarrolla exhaustivamente la reflexión sobre lo que hace posible la articulación de la dialéctica yin /y ang: esa dialéctica sólo adquiere sentido en tom o al dao. Suele traducirse el término 'dao' po r ‘vac ío’, ‘oqu eda d’, ‘aus enc ia’... 137
lo que p uede llevar engañ osam ente bien a atribuirle significados de ciertos térmi nos griegos próxim os, bien algún otro contenido semántico propio. Sin embargo, la reflexión taoísta sobre el dao desarrolla un pensamiento radicalmente negativo, dice lo que el dao no es. O, en caso de aludirlo positivamente, lo hace mediante con tradiccion es y parado jas. D e sus múltiples usos o posibles interpretaciones aquí nos ceñirem os a a quéllos qu e p uedan haber influido en la concepción china de la negatividad, se a ofreciendo* un soporte sim bólico para articula r el ‘ce ro’ y los ‘núm eros op ue sto s’ sea abriend o un a forma de razón que no se some te al principio de n o-contradicción. Si el complejo simbólico yin /y ang fecunda las más variadas escuelas de pen sam iento y los más dive rsos saberes y prácticas, otro tanto ocurre con el dao, aunque es el taoísm o la c orriente de p ensam iento que lo sitúa en el centro de su reflexión. Frente al confuc ianismo , m oralizad or y reglamentista, racionalista y respetuoso con las jerarquías sociales, el taoísmo "ilustra la tendencia anárquica y libertaria [del espíritu ch ino]: es la poe sía, la m ística, la paradoja y el cinism o"1. Los tenidos por sus grandes maestros son Laozi [Lao tse] y Zhuangzi [Chuang tzu], cuyos libros (seguramente reelaboraciones de textos anteriores) se conocen bien por el mismo nom bre que el de sus autores, bien, respectivamente, por los títulos Daodajing [Tao te ching] y N anhuajing [Nan hua ch ing], El pensamiento de estos clásicos de la épo ca de los Reinos Gu erreros (453-221 a.C.)2verá un renacimiento en tiempos de los Tres R einos (22 0-280 d .C.), a través de autores como Xi K ang, W ang Pi, He Yan o Guo Xian. M atemáticos com o Liu Hui — el teorizador por excelencia de la nega tividad zhenglfu/ru — sufriero n, según Wing-tsit Chan (1969: 314 ss.), una notable influencia de este n eo-taoísm o, así como de los primeros clásicos taoístas. La abun dan cia de referencias a Zhuang zi p or parte de Liu Hui ha llevado a M artzloff (1988: 63) a supon er una com unid ad de puntos de vista entre el m atemático y "el filósofo antiracionalista de la C hina antigua que se distinguió por su inclinación a la intui ción y a la espontaneidad, por su desconfianza frente a las palabras y la lógica". De las dificultades para ceñir la noción de dao desde conceptualizaciones occidentales — seguram ente no menores que las tenidas para construir el ‘cero’— da una idea el habitual recurso a términos que sólo significan en el contexto de me tafísicas o religiones o cciden tales. Pa raF erra ter M ora (1979: IV: 3190), "el Tao pare ce ser a la vez el ser y el no ser: el no ser se refiere a la esencia, y el ser a la función". C. E lordu y (197 7: 13), por su parte, juz ga qu e "al Tao se le puede traducir por logos (...); no el logos de S. Juan, pala bra del Padre, sino más bien el logos estoico, Ser Supremo y auto r de los seres, su razón, su verda d y su vida". La s ‘defi niciones’ por esta forzada vía analógica podrían multiplicarse. Para Granet se trata de una concepción foijada por la razón común china, de donde la tomarán las diferentes escuelas. Antes de que éstas, y en especial el confu-
1 P. Dcn úévillc c Y. Hcrvouct (1980: 314). O * Laozi, caso de haber vivido, se supone contem porán eo de Confu cio (s. VI a.C.); a Zhuangzi se le sitúa aproximad am ente entre los años 369 y 286 a.C.
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pja nism o, le incorporen es a carga m oral y po lítica que es la que m ayor eco ha tenido, cn su acepción más primitiva el dao habría tenido una función cosmo gónica y lógica, que a su vez Granet deriva de la organización social. E sta función es la de eje, centro, quicio o gozn e que distribuye, articula y concilia los aspectos contrastantes a que alude el complejo yinlyang. Si éste evoca la imagen de dos ám bitos dispuestos simé jncamente a ambos lados de un eje central, el dao es ese eje: "el m edio y el centro de
las equivalencias y los contrastes, de las atracciones y las repulsiones, de las hierogamias alternantes que constituyen la evolución giratoria del universo" (1968: 267). La ya mencionad a sentencia del Xic i — ‘un yin , un yang; eso es dao ' — recoge la más antigua de sus ‘definiciones’ conceptuales. Sus antecedentes pre-conceptuales pue den rastrearse en la imagen del centro ‘neutro’ sobre el qu e pivotan los brazos de las cruces numéricas, simples o gamadas, o en la de ese otro centro de los cuadrados mágicos que dispone el juego de las oposiciones, o en la imagen de la bisagra que articulaba un instrumento de adivinación formad o p or una tablilla cuadrada (Tierra) y otra redonda (Cielo), o también — ya en el lenguaje técnico de los adivinos— en la expresión de la mutación a que se ven so metidas las líneas fuertes de los hexa gramas cuando se invierten en sus opuestas. Una vez que ya se va construyendo el pensa miento erudito de las escuelas, es la taoísta la que con más énfasis su braya estas ace p ciones originales de c arácter pred om iantem ente físico y lógico . Para Laozi (1 Ia- 1 l b): "Treinta radios convergen en el centro de una rueda, pero es su hueco lo útil para el carro. De la arcilla se fabrican las vasijas, pero es su vacio lo que hace posible su uso. Se agujerean muros y ventanas en los muros de una casa, pero es su vano lo que permite habitarla. Así, pues, en el ser centramos nuestra atención, pero es en el no ser [wu] donde reside la utilidad".
Dos son las figuras retóricas a que recurren tanto Laozi como Zhuangzi para pre sentar el dao: la negación y la parado ja o la contrad icción1. Po r vía negativa, la carac terización del da o recorre toda la esca la de negaciones p osibles: el dao no es pensable, no es decible, no es perceptible, n o es una cosa. Si algo es, el dao es ‘no’ (wu)2. Efec tivamente, es ininteligible: "entender el dao es penetrar en la oscuridad" (Laozi, 41b); es incognoscible: "conocerle es como no conocerle, no conocerle es ya conocerle" (Zhuangzi, XXIV. 18). Tam poco es decible; ya en la primera sen tencia del Daodejing: "el dao que puede ser expresado, no es el dao perpetuo; el nombre que puede ser nom brado no es el nombre perpetuo" ( I a); "quien al ser preguntado por el dao, intenta res 1 La distinción entre paradoja y contradicción se ajusta más al mod o de pensar occidental que al chino. La contradicción se juega en un mismo nivel de discurso, afirmando de un mismo sujeto un predicado y su negación. Lo paradójico ('contrario a la opinión com ún', ‘parecer lo que no es y ser lo que no parece’) pone en contradicción dos niveles de discurso, el del ser y el del parecer/aparecer, que la cpisleme china no distingue m ayorm ente (a! menos, la que no a cusa influencias budistas). 2 Sobre el valor gramatical del término wu. véase su consideración a propósito de su uso en la oposición zJieng/fu del álgebra fangclieng [epígrafes U.S. y 11.10.].
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ponder, ignora lo que es el dao" (Zhuangzi, XXII. 12); el dao es sin nombre, anónim o1. Tampoco los sentidos dan noticia suya: "invisible porque los ojos no le pueden ver, imperceptible porque los oídos no le pueden oír; porque no se le puede atrapar se le llama impalpable" (Laozi, 14a). Pero tampoco se trata de un algo que no pueda pen sarse, ni decirse, ni percibirse: el dao, com o reitera Laozi (2a, 14b, 40b) es ‘no cosa ’ (wu wu)2. Por eso las imágenes no explícitamente negativas con que en otras ocasiones se evoca el dao sí lo son de mo do implícito: caos, silencio, soledad, vacío, oquedad. El recurso a la parado ja en los textos taoístas para referirse al dao es, si cabe, aún más frecuente que el camino de la negación simple. Toda la obra de Laozi y de Zhuangzi es casi un homenaje a la contradicción, un despliegue de paradojas. El dao es así "la forma sin forma, la figura sin figura; es claro-oscuro y, de frente, no le ves la cara, y, por detrás, no le ves las espaldas" (Laozi, 14b); "progresar en él es retroceder; subir a su altura, vulgarizarse; abismo profundo de la verdad más alta" (Laozi, 41 b). Todo el cap ítulo II de Zh uangz i se dedica a pen sar sobre/contra la identidad, y se cierra con un pasaje célebre: "Hace tiempo Zhuangzi soñó que era mariposa. Revoloteaba gozosa; era una mariposa y estaba muy contenta de serlo. No sabía que era Zhuangzi. D e pronto, se des pierta. Era Zhuangzi, y se asom braba de serlo. Ya no le era posible averiguar si era Zhuangzi, que soñaba ser mariposa, o era la mariposa, que soñaba ser Zhuangzi” (II. 12).
Una de las diferencias básicas entre la episteme china y la griega radica en el muy distinto papel que en cada u na jueg a el principio de no-contradicción. E ste prin cipio, primero para el modo de pensar griego, dará un sesgo característico a toda la matemática de tradición helénica y, en particular, se utilizará en ella como recurso argumentativo que ‘dem ues tra’ lo absurdo de los ‘núm eros negativos’ o de los ‘ima gina rios’. Acaso, incluso, la adm isión o no de un principio tan capital com o éste per mita hablar de ma temáticas incon mensurables o irreductibles en el sentido kuhniano. Si las formulaciones abstractas y el recurso a prim ero s princip io s no fueran tan aje nos al modo de pe nsa r chino, podría decirse que el ‘principio yin /y a n g ’ niega, si no invierte, el principio de no-contradicción. En cierto sentido, de la dia léc tica yinly ang se deriva una tajante negación de la afirmación parm enidea — ‘lo que es es, y lo que no es no e s’— que sienta el principio de no-contradicción. Desde aquella dialéctica puede decirse — en ese cierto sentido — que ‘lo que es, no es’ y que ‘lo que no es, es’. De manera que lo que en G recia es condición imperativa, que instau ra la frontera mas allá de la cual es imposible realidad y pensamiento, en China, por el contrario, es mas bien invitación a seguir pensand o, a poner mas realidad. Aquí, realidad y pen samiento extraen su energía de la tensión que late en el nudo de la contradicción. 1 Esta caracterización se repite en Laozi 14b, 25b, 32b, 41c... ‘ Aunque la romanización es la misma, no deben confundirse el carácter V u ’ que viene a significar ‘cosa’, ‘objeto’, con el carácter de igual transcripción que se usa como partícula negativa ('no', ‘sin’, ’a', ‘in’). Este último es e l que considerábamos a propósito del hueco en el tablero fangeheng y también el que se repite de con tinuo en todas estas caracterizaciones negativas del dao.
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La asunción o no del principio de no-contradicción traza rumbos bien dife rentes para los m odos de pen sar chino y europeo, p ermitiéndoles o impidiéndoles alojar como bien construidos ciertos conceptos, enunc iados o formas de argum en tación. En China, ciertamente, tam poco c abe hab lar de unos principios ‘de co ntra dicción’ y ‘de no-identidad’ contrarios a los ‘de no-contradicción’ y ‘de identidad’ propios del pensam ie nto aristo té lico-e uclídeo, com o tam poco se sienta un ‘princi pio de sim ultaneid ad’ (que Jung opone al ‘de causalid ad’), siquiera sea porq ue no existe la categoría de ‘principio’ ni en el ámbito lógico ni en el ontològico. La asunción de la contradicción o la violación del principio de identidad no son en China disposiciones mentales sistemáticas pero tampoco bloquean el curso de la razón. En cualquier caso, su uso siempre está s ubordinado al paradigma de alter nancia/convergencia de los opuestos. Algunos autores modernos, como X. Jiang (1992), han querido conciliar el principio de no-c ontradic ció n, en los térm in os en que lo form ula Aristóteles, con las paradojas taoístas, sobre todo a partir de su elaboración por la Escuela de los Nombres o Escuela de los Lógic os, que se ha com parado a la sofística griega. Para ello señalan que los filósofos chinos distinguen tres suertes de contrarios (según grados, contextos y tiempos) que Aristóteles confunde. Esta matización les per mite discernir sentidos en los que la contradicción no es necesariamente falsa, pudie ndo incluso llegar a ser tautoló gica. Pero mas bie n nos parece que no se trata tan sólo de una diferencia de m atiz, de una m ayor sensibilidad de la episteme china hacia los m odos de la contradicción, sino que bajo cada una de ambas con cepcio nes alienta una voluntad diferente. Para el imaginario chino la contradicción es un estím ulo dirigido al pensam iento, un acicate para segu ir pensando, una llamada de atención hacia lo que Machado llamaba la esencial h eterogeneidad del ser , mien tras que pa ra el paradigm a aristotélico-euclídeo la contradicción expresa — a la vez que ocu lta so pretexto de imp erativo lógico— una decidida voluntad de zanjar la cuestión, de elim inar una de las alternativas, de h acer luz por el sencillo expediente de con den ar a la som bra de lo impo sible la posib ilidad op ue sta1. En Grecia, el prin cipio de no-contradicción e s voluntad de aniquilamiento-, 1 Como lo muestra explícitamen te el que los razonamientos por 'reducción al absurdo’, derivados del principio de nocontradicción, tengan su origen en Grecia en la voluntad de acallar al adversario en las disputas mantenidas en la polis. Véan se epígrafes III.1 y III.6. 2 Aunque pertenecientes a otra geografía y otro tiempo, las reflexiones de K. Nishida (195 8,19 87) y K. Nishitani (1982) sobre la nada y la contradicción en el pensamiento y la pintura japonesas ilustran con toda plasticidad estas consideraciones. El fuego, a cuya esencia pertenece el quemar, no se quema a sí mismo: consiste, pues, en su propia contradicción, en no ser lo que es. De igual modo, la técnica de ‘lanzar la tinta’, típica de la pintura Ch'an, esparce el eidos de lo representado ‘a los cuatro vientos’. N. Bryson ("The Gaze in thè expanded field", en H. Foster (ed.), 1988: 87109) compara esta disolución del sujeto y del objeto que se opera bajo la categoría de sùnyatà (‘vacío’, ‘radical nopermanencia’, ‘oscuridad’ o ‘nada’) con los intentos de dcscentramiento de Sartre y Lacan. En el primero, el ser no se construye contra el no ser sino que se hace con lo que no es (él), y de esta construcción resulta armonía. En los segundos, la dispersión de sujeto y objeto se percibe como amenaza de desastre. Observa en ellos e l mismo terror que el que veremos en Grecia ante la sola conjetura de la violación de los principios de identidad y nocontradicción.
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Al analizar ciertas formas poéticas chinas, Julia Kristeva (1972: 62) señala que "este tipo de contradicción (identidad y diferencia entre A y B, actuan do sobre una lista de items) se opone a la concepción indo-europea de la estructuración trià dica establecida por Dumézil. Si hay un tercer elemento que interviene entre los dos términos del núcleo de la contradicción, se trata de sustancias reducidas a polv o, de infinitésimos de la unid ad pulv eriz ada y que partic ip an de los dos ele mentos del núcleo para asegurar su mutua interpenetración, la coalescencia y la infinitización plural en un infinito disec ado -discern ido en un torbellino de átom os, de espe cies y de rasgos: se trata de escarcha , arena , brum a,flores, árboles, o ‘carac teres escritos en la superficie del agua ” ’. En C hina, la contradicción no reclam a un tercer elemento que supere los opuestos, como en las dialécticas occidentales, ni exige la exclusión de uno de ellos, como en los razonamientos por reductio ad absurdum (que se contarán entre los preferidos para refutar en E uropa la posibili dad d e núm eros negativos o im aginarios). W ittgenstein (1987: 211) se preguntaba "¿por qué u na operación de cálculo, hecha con un fin práctico, de la que re sulta una contradicción, no ha de d ecir simplem ente: «H az lo que quiera s?"1. Allí donde el pensam ie nto de tradic ión griega decid e no poder seguir pensando hasta no haber elim inad o uno de los con trarios, la epistem e chin a prefiere fundirlos, interpen etrarlos, ‘pulverizando’2 lo que se interponga entre ellos, reduciéndolo poéticamente a bru m a, arena, escarcha... y matemáticamente a cero. "De la interpenetración de Cielo ( ya n g ) y Tierra (yin) llueve dulce rocío", decía Laozi (32a). Y no es casual que el carácter ling — con el que desde los M ing hasta hoy se designa al cero— en lenguaje común signifique literalmente ‘gota de rocío’3: punto efímero donde los opuestos; encontrándose, se re-suelven. Granet (p. 276) aporta una de las claves princip ale s de la separació n entre am bas episte m es sobre este punto: "Sobre la distinción [occidental] entre lo M ismo y lo Otro, prima [en China] la antítesis de lo Equivalente y de lo Opuesto. Las realidades y los emblem as se susci tan por simple resonancia cuando son equivalentes; se producen rítmicamente cuando son opuestos (...) El Yin y el Yang no se oponen a la manera del Ser y del No-Ser, ni siqu iera a la man era de los G éneros. Lejos de co ncebir una contradicció n entre dos aspectos yin y ya ng , se adm ite que se com plem entan y se cincelan (ich 'eng) uno a otro, así en la realidad co mo en el pe nsamiento".
A la dialéctica Uno/Otro, Ser/No-Ser, gobernad a en la epistem e g riega por los princip io s de identidad y de no-c ontradic ció n, apenas le concede in te ré s la razón china; cuando no se mueve en sus antípodas. Allí, la distinción entre ser y no ser, el ser como de-fin-inición y de-terminación y el no ser como ausenc ia de esos lími
1 Sobre la contradicción com o apertura a lo posible en W ittgenstein, véase E. Lizcano (1989b: 144147). 2 Nueva imagen relórica de la "destrucción mutua' (xiang xiao) o de la 'desaparición' (jin) con que Liu Hui evocaba la anulación de los opuestos zlieng/fu en el hueco (wu) del tablero de cálculo; o del remanso en ese 'cero' de Z/5, donde cíclicamente se disuelven las tensiones opuestas. 3 Véase J.C. Martzloff (1988: 192).
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tes; aquí, las distincion es — con cretas, no abstractas— yin /y ang articuladas sobre el no ser de su dao. Cu ando de a quí se pasa a allí, todo un aspecto de la realidad — de los dos en que aquí consis te — se desvanece en el im posible no ser. Y la uti lidad que el dao cifraba en su bien d eterminado no ser se desdibuja en el abismo de indeterm inación de to da esa m itad aniquilada: de ‘figura sin figura’ pasa a mero ‘sin figura’, de ‘forma sin forma’ a sólo ‘sin forma’: ese caos amorfo e indistinto que para el griego amenaza la coraza de toda identidad. El propio Zhuangzi (II. 6) pare ció apre cia rlo así: "El esple ndor y pro speridad de la distinción del es y del no es vino con la decadencia del Tao”. El mencionado capítulo II de su obra, titulado ‘La identidad de los seres’, es todo él una refutación de la distinción entre ser y no ser. Su párrafo 4 arranca de las habituales disputa s entre los letrados ju (confucianos) y los discípu los de M ozi: "Hacen es el no es del otro y no es el es del otro (...) Mejor les fuera acabar de entenderlo claramente d e una vez. En las cosas mismas no existe el aquello no es ; en las cosas no existe esto no es." Por eso el sabio sigue otro camino; para él: "(...) todo es es. Esto es también aquello, y aquello es también esto. En esto unifica al es y al no es. En aquello unifica al es y al no es (...) El punto en que el esto y el aquello no tienen su pareja es el quicio del Tao. El quicio está, desde el principio, en el centro del círculo y desde allí puede corresponder a todo sin deficiencia. El es. en aquella unidad, no es deficiente. El no es, en aquella unidad, también es sin defi ciencia." (II. 4-5). En este texto, de un a sorpren dente co ncisión m etafísica, resaltan dos m otivos: uno, la crítica de la abstracción, el otro, la imagen del dao como ‘quicio’. En pri mer lugar, la distinción ‘es/no es’ es abstracta y, por tanto, falaz; se disuelve en las cosas, en lo concreto. L a profusión de deícticos m ueve continuame nte la atención hacia lo concreto. Es en lo c oncreto, en esto y en aquello, allí donde los opuestos se encu entran , donde tam bién reside el ‘qu icio’ del dao. Porque tampo co el dao es una abstracción, ni lo que conjuga son abstracciones como el ser y el no ser. Cada cosa, cada situación, cad a contexto tiene su dao. En el Xic i, como apun ta Granet (1968: 269), el cono cim iento del dao se considera como la ciencia de las ocasione s y de los lugares concretos. O también, en imagen de Zhuangzi (II. 5), "el dao se hace andando por é l"1. En segundo lugar, las imágenes del dao que ofrece Zhuangzi son exactam ente las mismas que hemos encontrado en distintos modos de emergencia en las mate máticas chinas de lo que que hemos llamado negatividad. Son imágenes equivalen tes a otras habituales en el primitivo taoísmo: la ‘gota de rocío’, el ‘centro donde convergen los radios de la rue da’, el ‘hueco de la vasija’ o el ‘río que divide a dere cha y a izquierda para volver luego a junta rse’ (Laozi, 3 4 a). Estas imágen es se irán concentrando en el m ismísimo eje del complejo yin /y ang al hilo del des arrollo de la escu ela taoísta y sus distintos renac imientos, pero ya en Zhuangzi tienen un carácter 1 Curiosa versión taoísta del machadiano "caminante no hay camino...".
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manantial que parece alcanzar a contextos tan distantes como el matemático. Ese ‘quicio del dao' e n el que esto o aquello — siempre com puestos por aspecto opues tos— ‘no tienen su pa reja ’ ¿no lo volvemos a encon trar en el hueco del tablero fa n gcheng, donde los nombres/númervs opuestos zhenglfu ‘no tienen su pareja’ (wu ru)1 Ese ‘centro del círcu lo’ que ‘corresponde a todo ’ y donde hasta el no-es lo es ‘sin deficiencia’ (a diferencia del pensamiento griego, que no lo imaginará sino com o ‘care nc ia’ o ‘ause ncia ’) ¿no es el centro del ciclo que va trazando Zhen g Xuan para construir el cuadra do num érico Lo zho ul ¿no es ese ‘cero’ de Z/5 que ‘no tiene pareja ’, que pese a su ‘no ser’ es ‘sin deficiencia’, y q ue ‘co-responde’ desde el ‘cen tro*-a los opuestos que desd e todas las direcciones le reclam an? 1 Estas imágenes arquetípicas, incluso cuando se proyectan en modelos forma les, no se go biernan po r los principios de iden tidad y no -contradicción, sino por los princip io s — o, más pro piam ente , criterios— de equiv ale ncia y de oposición. Si en G recia aque llos principios van a determinar la con strucción de los conceptos m ate máticos y qué resultados sean admisibles o desechables, en China los criterios ‘de equ ivalenc ia’ y ‘de o posició n’ no lo determinan m eno s (si no como tales prin cip io s, sí como m atrices pre-conceptua les). En las disposiciones sim bólicas de los números en cruz, el criterio de equivalencia rige el emplazamiento de números congruentes en un m ismo brazo de la cruz, y el criterio de oposició n los distribuye en los brazos enfrentados de los cuadrados mágicos. Y toda la figura pivota en tomo a esa ‘gota de rocío’ o ‘centro’ que es el ‘cero’ del ‘grupo cociente’ definido por la relación de equivalencia simbólica. En el álgebra fa ngclieng, el criterio de equivalencia preside tanto las sustituciones de unas columnas por otras como las resonancias entre la pare ja zhenglfu y cuale squiera d e las formulaciones análogas; y el criterio de oposi ción distingue esos nombres/números en opuestos, articulándolos en torno a un hueco en e l que los o puestos ‘no tienen su pareja’ pero que — lejos de trascenderlos, aunq ue lejos tam bién de anon adarse — es un hueco ‘sin deficiencia’, un hueco que se afirma en su negación (wu) y opera de gozne e ntre ellos. 11.17 A péndice: L eibniz en Ch ina. Ex cursiones etnocé nticas La o rganización de los 64 hexagramas del Yijing po r com binación de dos sig nos elementales, su carácter de sistema dinámico (unos mudan en otros, reco rriendo ciclos completos) y su pretensión de validez para interpretar cualquier situación posible sugirió a Leibniz (1961: 176) un método bien simple para esta 1 Asimismo es también isomorfo al dao y a estos distintos ’ceros ’ (centros o huecos ) el término liun-tun, que suele traducirse por ’cao s’. Si, como verem os, en Grecia — y en casi toda la tradición occid ental— se asociará al vacío y es percibido como am enaza (de indeterminación y pérdida de identidad, o sea. de muerte), en los clásicos taofstas se concibe, por el contrario, como fuente de otros órdenes posibles, como manantial de posibilidades, en total sintonía con las modernas teorías físicas, biológicas, etc. sobre sistemas alejados del equilibrio [véase E. Eoyang (1989)]. Véanse también N. J. Girardot (1983), D. L. Hall (1978) y E. Lizcano (1993c).
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ble cer ese ars characteristica que, a modo de mathesis unlversalis, pe rmitiera que, "cuando haya disputa entre las gentes, podamos decir: «Calculemos, para ver quién tiene razón»". Al sustituir el trazo continuo ( yang ) por 1 y el disc ontinuo (yin) por 0 , y expresar entonces los números en sistema binario, Leibniz se asombra de que, "quedando los números reducidos a sus más simples principios, como el 0 y el 1, aparezca por doquier un orden maravilloso, (...) periodos que siempre vuelven a comenzar". Comoquiera que el texto (1971: 226-7) donde Leibniz comunica las circunstancias de su hallazgo es apenas conocido, vale la pena traducirlo en sus párrafos más significativos: "Lo que hay de sorprend ente en este cálculo es que esta aritmé tica med iante 0 y 1 viene a contener el misterio de las líneas de un antiguo Rey y Filósofo lla mado Fohy [Fu Xi], que se cree que vivió hace más de cuatro mil años y al que los chino s con sidera n com o el Fundado r de su Im perio y de sus ciencias. (...) Los chinos han perdido la significación de los Kova [kua o trigramas] o Alineam ien tos de Fohy, acaso desde hace más de mil años, y han hecho comentarios debajo de ellos, donde h an buscado no sé qué sentidos alejados, de manera que ha hecho falta que la verdadera explicación les viniera ahora de los europeos. Así fué: Apenas hace algo más de dos años que envié al R. R Bouvet, Jesuíta Francés célebre que perm anece en Pekín, mi manera de contar por 0 y 1, y no le hizo falta más para reconocer ahí la clave de las figuras de Fohy. Así, al escribirme el 14 de noviem bre de 1701, me envió la gran figura de este Príncipe Filósofo que co n tiene hasta 64, y ya no queda lugar a dudas sobre la verdad de nuestra interpre tación, de modo que puede decirse que este Padre ha descifrado el enigma de Fohy, con ayuda de lo que yo le había comunicado. Y como estas figuras acaso sean el más antiguo monumento científico que haya en el mundo, esta restitución de su sentido, tras un intervalo de tiempo tan grande, parecerá tanto más curiosa".
Nada más lejos, pues, de nuestra intención que in te nta r aquí otra ‘restitu ció n de sentido’ que acaso lo extravíe aún más que la leibniziana. Conviene sospechar de las ‘verdaderas explicaciones’ cuando ‘hace falta que vengan los europeos’ a aportarlas. Y más aún si vienen a reforzar las propias obsesiones. El ámbito de la negatividad parece espec ialmente abonado p ara estos dislates. Valga como e jem plo ilustre, por no salim os del mundo del + y el -, el arg um ento aducido por Guid o Grandi (1671-1742) — y com partido en parte por el propio Leibniz— en favor de la creación ex nihilo '. Este profeso r de m atemáticas de la universidad de Pisa ob te nía por dos cam inos distintos la suma de la serie 1 - 1 + 1 - 1 + ... Po r una lado, de la igualdad: l - x + x-- - x 35 + . . . =
1 1+ X
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1 Véase M. Kline (1972: 445-6). .
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resulta, para x = 1: 1— 1+ 1— 1+
. .. =
1/2
Pero, p or otro lado: (I - 1) + (1 - 1) + ... = 0 de donde (1 — 1) + (1 — 1) + . . . = 1/2
es decir, la sum a de nadas produ ce algo, a saber 1/2. El mund o, po r tanto, pudo ser creado de la nada. Si Leibniz hubiera observado una mínima cautela en su interpretación del Yijing, en luga r de indagar en C hina la mítica búsqued a de un lenguaje universal pre babélico (Steiner, 1980), no habría deja do de preguntarse ciertas cuestiones: ¿a qué operación entre los trazos chinos corresponden sumas como 1 + 0 = 1 6 1 + 1 = 0 ? ¿qué significa el *+’ en + = ? ¿qué relación gu arda el núm ero de cada línea con el número total del hexagrama? ¿cómo puede compaginarse la noconm utatividad o riginal de las líneas de los hexagramas con la conmutatividad del álgebra (0,1} ? ¿dónde q ue da la distinción entre líneas jóven es y viejas, y la inver sión de éstas últimas en sus contrarias? El álgebra que pued a albergar el Yijing en su interior es seguram ente dem asiado com pleja para que ni la forma lización de Leibniz ni tampo co n ingun a otra de entre las estructuras algebraicas actuales pued a venir a alojarla. Ya Gran et (1968: 269) advertía sobre la inadecuación de tom ar el dao por m era sum a aritmética de dos signos opuestos simbolizados por el par yin /y ang, así como contra el excesivo espíritu combinatorio de Leibniz al buscar en la composi ción de los ideogramas chinos un álgebra de caracteres básic os1. Hechas estas necesarias precisiones, vamos sin embargo a dejarlas por un m om ento de lado y ensayar otra lectura algebraica del Yijing que, sin la meno r pre tensión de cálculo universal al modo leibniziano, sí tiene al menos a su favor el conservar algo del sentido del texto original, pues no pone en jue go una oposición abstracta y ajena como la 0/1 sino las oposiciones par/impar, yin /y ang, fu lzheng, negro/rojo, — /+ ... que sí pertenecen al propio acervo cultural y ma temático chino. Tras su llegada a China, los jesuítas intentaron transcribir las matemáticas europeas de la época a las formas de simbolización que allí eran habituales (p.e. ¿debían esc ribirse las ecuac iones vertical u horizontalemente?). P ara las ecuaciones algebraicas, en lugar de adaptarlas a la potente forma de cálculo en el tablero, ensa yaron diversas versiones literales. La que se conserva en el "Nuevo m étodo de álge-------
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1 Esc espfriru, sin embargo, no parece haberse perdido. Thomas Crump (1990: 10), p.e., no vacila en delectar en el 'sistema binario' del Yijing un antecedenle de los trabajos de von Newman sobre ordenadores.
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bra" (A’embala xinfa), escrito hacia 1710, traduce los signos europeos + y - por una b arra entera y una b arra partida, respectivame nte1. Buscando el m ejor m odo de traducir la op osición entre el más y el menos al modo de p ensar de chino, dieron con la oposición yin ly ang tal y com o se expresa form almente en los trazos del Yijing: en las ecuacione s, el lo transcribían com o ‘ ’ y el *+’ como * ’. Reco giendo esta sugerencia, podemos recordar ahora la clasificación bip ar tita de los trigrama s que se atribuye al rey Wen: --------
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YANG (impar)
YIN (par)
Quian
Kun
Madre o Gran Yin (6)
--(2) --(2) --(2) H i ja s (8)
(3) (3) --(2 ) -------
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Sun
(3) --(2) ------ (3)
— —(2) (3) ------ (3)
-------
Dui
- - -------
(2) - - ( 2 ) (2) ------ (3) <3) - - ( 2 )
Zhen
Padre Gran Yang; (9)
(3) ------ (3) ------ (3) ------
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Li
Gan
(3) (2) - -( 2 )
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Hi jos (7)
Gen
En la exégesis china clásica, la atribución de los signos par e impar a los tra zos elem entales p ermitía, me diante la atribución al trigrama del signo (par o impa r) resultante de la sum a de los signos de sus líneas, caracterizar a su vez cada trigram a com o par (femenino, yin ) o impar (masculino, yang) según muestra la figura ante rior. Pue s bien, si en lugar de m arcar las líneas y con los signos 3 y 2 lo hacemos con los signos + y - (o zh eng y fu ), respectivamente, y si en lugar de tom ar la suma com o ley de composición de signos (par e impar) tomam os el pro ducto d e los signos + y - según el criterio habitual
entonces el signo (+ ó -) asociado a cada trigrama induce en ellos una bipartición que coincide con la del rey Wen: m ultiplicando los tres signos de las líneas de cad a trigrama, los trigramas yin son ahora ‘negativos’ y los yang son ‘positivos’. Ciertamente, en ningún documento hemos encontrado mencionado este modo de asignación y operación, ni las reglas de multiplicación de signos se for-
Véase J.C. Martzloff (1988: 107) y C. Jami (1986).
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muían en China hasta mucho después del rey Wen. No obstante, de tantas simili tudes como se dan entre la tem a sim bólica yin ly ang/d ao y la ma temática zheng/ful wu parece seg uirse que la trama de modelos isomo rfos (emblematizados po r núme ros y regidos por equivalencias y oposiciones) sobre la que descansa el modo de pensar chin o bien podría alo ja r otro m odelo equiv ale nte , com o el aquí ensayado. Aca so, entonce s, las reglas de m ultiplicación de los signos no sean una adqu isición tan tardía de la matem ática ch ina, pues ya e starían implícitas en el propio Yijing. Acaso, entonc es, tampoco la ima ginaria pre-visión de esas reglas que aqu í hemos conjeturado en los trigramas del rey Wen sea un mero divertimento, sino m ás bien otra m anera de d ecir lo mismo: una vuelta de tuerca más en ese arte de ir ajustando las ‘denominaciones correctas’ al hilo del eterno va-y-ven de lo mismo.
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Capítulo III La episteme griega o los límites de la abstracción El m odo de pen sar griego, al tiem po que funda lo que la posterioridad occi dental, y progresivamen te universal, entenderá por ‘ma tem áticas’, erige también, como som bra del edificio cuyo s cim ientos instaura, una frontera de interdiccion es e impensables con tra/desde los que habrá de levantarse el pens am iento posterior, y en particular el pensam iento matemático. Veremos cóm o, en p rime r lugar (III.l), la posición central que en el imag ina rio sim bólico chino o cupa la oposición yin /y ang (que escinde inme diatam ente toda realidad, incluida la numérica, en parejas de opuestos), en el griego lo ocupará la oposición ser/no-ser. E ste punto de arranque, que queda sentado en Parm énides y asum irá en lo esencial el pe nsam iento clásico, fuerza al ám bito num érico a alber garse en sólo uno de ambos lados de la barra, en el del ser; con ello, los números y m agnitudes vendrán a com partir la sustanciaüdad, estaticidad, plenitud y extensionalidad que carácterizan la concepción griega del ser, es decir, no podrán ser sino positiv os, sea com o ‘mu ltitud de unida des’ sea com o ‘me dida de ’ un algo. Por otro lado, aquí tienen su origen principios apenas vigentes en la racio nalid ad china, como es el principio de no-contradicción, cuya ambigüedad pero firme asenta m iento será decisivo en el b loqueo de la negatividad, tanto po r lo que o rienta este modo de pensar como por los argumentos que permitirá sustentar. El imaginario griego cree en los nítidos contornos del ejdos con la m isma firmez a que el chino lo desdibuja sin ces are n su negación. Tras sólo seña lar estos a spectos, en los que irán abundand o sucesivos epígra fes, se rastrean aqu ellos ám bitos donde hubiera podido esperarse la emergenc ia de alguna forma de negatividad. Por un lado, ámbitos en los que la m atem ática china sí construye efectivamente negatividades. Así, el presidido por la categoría ‘de oposición ’, represen tado singularm ente po r el pitagorismo (III.2), y el que g ira en tomo al ‘no’ (‘nada’, ‘vacío’, ‘no-ser’), donde prima la reflexión de los atomistas y, sobre todo, los argumentos en contra esgrimidos por Aristóteles (III.3). Cada uno a su manera, ni un camino ni el otro conducen en Grecia a forma alguna de negatividad, si no es que la bloquean implícitamente. 149
Por otro lado, se exploran otros dos ámbitos en cuyo interior se construirán posteriorm ente, aunque ahora desd e la propia tradición griega, ciertas form as de negatividad. Uno es el de la logística (III.4), cuya concepción pragmática de lo num érico pudiera hab er liberado a los cálculos de toda carga me tafísica y permitido la manipulación práctica de entidades asemejables al ‘cero’ o a los ‘números nega tivos’. Pero inclu so lo que, a primera vista, pudieran pare cer meros cálculos resultan culturalmente cargados: no hay cálculos que sean meros , cada cálculo —por prác tico que se quiera — lleva la huella del im aginario social que lo desencadena. El otro ámbito es el del ‘álgebra geométrica’ (1II.5), donde el método de aplicación de áreas plantea problemas ‘equivalentes a’ ecuaciones de segundo y tercer grado en las que la tradición posterior observará —ya desde otra sensibilidad— modos de negatividad sobre los que construirán las ‘magnitudes imaginarias’. Pero tampoco el espacio en qu e se construye este álgebra es un espacio libre, indeterminado, sino que es un espa cio c onstruido por los presupuestos de tal álgebra, un espacio que no aloja a los seg m entos y a los cuerpos sino que bro ta de ellos, dibujando sus contor nos, impidién doles vaciarse en su negación. La considerac iónpo r otra parte, de los diorismoi, o investigación de las condiciones en que un problema tiene o no solu ción, alcanza una cima de la racionalidad matemática griega al volverla sobre sí m isma para ex plorar sus propios límites. Pero esa cim a es también un techo, pues, al investigar las co ndicion es de posibilidad en que pued en enco ntrar respuesta cier tos problem as, insta ura — o descubre— también una frontera más allá de la cual su episteme no puede pensar, pone límites al territorio de lo que tendrá como posible y, a la vez, instituye la región de su propia imposibilidad (la cual incluye, cierta mente, una imposible negatividad). Por último, se señ alan (11.6.) ciertos rasgos de la epistem e griega que se ma ni fiestan bajo estos ámbitos y determinan, a nuestro juicio, la imposible emergencia de la negatividad. Se trata de: a) una cierta concepción del espacio de representa ción como espacio extenso, con el consiguiente pre-requisito de perceptibilidad sensible para objetos, procedimientos y determinación de las condiciones en que la solución a un problema se tiene por existente o representable; y b) un modo de pensar que procede por abstracció n, a partir de lo que de com ún se muestra a los sentidos; es decir, un proceso de ordenación del mundo, y de los saberes, gober nado por la determ inación progresiva de géneros y especies. Frente al pensamiento por analo gía y por o posic ió n, propios de la e piste m e chin a, el pensam iento por abs tracción (aphairesis ) carga definitivamente el alcance de la sustracción (aphaire sis ). La operación de la resta no puede llegar adonde tam poco puede hacerlo la de abstracción. Y toda esa parte de realidad que así resulta inalcanzable, se decidirá inexistente en virtud del principio de no-contradicción. Con todo, ningu na de estas indagaciones se agota en el presente capítulo; será en el siguiente, ya ceñido a las condiciones conc retas en que sí tiene lugar de modo efectivo la primera emegencia de cierta negatividad formal en Occidente, cuando buena parte de lo que ahora se esboza tenga ocasión de profundizarse gracias a la mayor concreción del objeto. ***
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Tal vez sea el acontecimiento de los Hamacas ‘irracionales’ el que con más nitidez haya puesto de manifiesto estos problemas. Y tal vez a ello se deba la pro fu sión de estudios que ha suscitado. Su escandalosa irrupción e n el seno de la cultura griega obliga a ésta a la prodigiosa tarea de repen sar los lím ites de su p ropia form a dé racionalidad en el preciso momento de empezar a consolidarla. Sus intentos de someter a razón lo que no se sujeta a razón ni proporción alguna — á logos — , así como la búsqueda de caminos alternativos que permitan evitar hablar de aquello para lo que no hay palabra s — álogos — , ex hiben con precisión to da la potencia de este mod o de pensar, pero también alguno de sus límites más significativos. En cu alquier caso, la propia condición de p roblem a que para la razón griega adquiere la cuestión de los irracionales es signo de su perceptibilidad parai esa forma de razón. Se trata de un obstáculo que es capaz de percibir, siquiera sea cortio contradicción con sus pre-supuestos, y al que intenta ha cer frente con los ins trumentos m atemáticos que puede construir, dentro — claro está— de lo que su propio cerc o cultura l perm ite pensar. Buen eje m plo de ello es el abandono de la po tente te oría pitagórica de pro porc iones cuando se observ a que el pro cedim ie nto de antaphairesis que conlleva puede desembocar, com o en el caso de m agnitudes inconmensurables, en un proceso indefinido. Y, pese a que la nueva definición de pro porcio nalidad aportada por Eudoxo perm ite evitarlo, Euclides re trasará su introducción todo lo posible (no lo hará hasta el Libro V de los "Elementos"). Hasta entonces, interpreta una proporción numérica del tipo x/a = b/c como una igualdad de sup erficies: x • c = a • b. Lo cual, si salva un o bstáculo técn ico (aun que ciertamente anclado en uno más profundo: la aversión griega a lo falto de límite), consolidará otro que actuará como auténtico obstáculo epistemológico para la em ergencia de la negatividad: la presunción de extensionalidad (longitudes, áreas, volúmenes...) de los datos, procedimientos y soluciones aceptables en un pro blema, es decir, su geom etriz ació n. La cuestión de la negatividad se sitúa así en un ám bito bien diferente. D e ella veremos que ni siquiera se hará cuestión, pues — si en algún sentido puede decirse que esté a h í — pasa inadvertid a. La ra cio nalidad griega clá sic a no choca con la negatividad, como sí topó con la irracionalidad, porque no tiene modo de adver tirla, siquiera fuera como contradicción o sinsentido. Su pensamiento visual no puede ni verla. Lo que otras formas de razón, herederas d e la óptica griega, habrán de afrontar como el obstáculo de la ausencia, aquí tan sólo es ausencia de obstá culo. Se trata de un p roblem a que — literalmente— no tiene lugar. No que atente contra la razón, la percepción o el discurso, sino que es impensable desde esa forma de razón, imperceptible para esa sensibilidad, indecible desde ese discurso. Acaso por ello los aná lisis de las dificultades griegas para pen sar la negativi dad sean tan escasos, y más aún en el ámbito de su matemática. Aquí no cabe siquiera rastrear esos ‘gérmenes’ o ‘intuiciones embrionarias’ que tanto apetecen las historias ‘prog resista s’ y que tan abonado sue lo enc uentran, p or ejemp lo, en los inconme nsurables com o ‘anteceden te’ del cálculo infinitesimal. Lo á-logon des bord a el discurso pero encuentra en éste no só lo nom bre sino m odos de habla r de ello y perífrasis desde las que abordarlo (no otra cosa que una gran perífrasis es
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toda la teoría de proporciones de Eudoxo). La negatividad no sólo supone una ausencia en el discu rso sino tam bién ausencia de discurso, com o p onen de relieve las piruetas semánticas a las que — como consideraremos en detalle— Diofanto se verá obligado para conseguir nombrar lo innombrable (‘lo que falta’: leipsis), que él mismo opone a la existencia (‘lo positivo’: hyparx is ). Si las construcciones efectivas de las matemáticas de tradición griega, desde la árabe hasta la europea, no sfe entienden sin aqu élla1, no men os cierto es qu e ta m poco pueden ente nders e sus modos de afrontar, rechazar o construir la negatividad sin considerar las dificultades heredadas de la tradición clásica. Éste es el caso de los hab ituales análisis — sean más o me nos positivistas, idealistas o ma terialis tas— , pa ra los que se trata de una m era ‘laguna ’ del gènio griego, de un ‘esta dio ’ en el ‘desarrollo’ de las matemáticas que ‘aún no’ ha alcanzado a alumbrar los ‘números negativos’, como si éstos formaran parte de algún continente remoto en el que las expediciones helénicas no consiguieron desembarcar. Así, para Bourbaki (1972: 102-3), "Euclides, en sus Ele m ento s, se limita exclusivamente a tratar problemas [algebraicos] que pueden resolverse de esta manera [i.e. con regla y compás]”, por lo que puede decirse que "la teoría de la ecuación de segundo grado (...) se perfecciona durante toda la Edad Media (núm ero de raíces, raíces negativas, caso imp osible, raíz doble)". P ero ¿es Euclides quien ‘ se limita a’ o más bien se encu entra él mismo lim itado por un cerco c ultural que le impone restricciones como la menc ionada? Más aún ¿cóm o puede ‘perfec cionarse’ una ‘teoría de la ecuación de segundo grado’ que no existe como tal en la Grecia clásica? ¿Puede llamarse ‘perfeccionamiento’ a la construcción de unos objetos teóricos que, co m o Tos ‘números negativos’, carecen de todo sen tido desde los presupuestos de esa racionalidad supuestamente perfeccionada? Más bien pare ce que, en lo que a la negatividad se refiere, la ma temática g riega está pe rfec tame nte rema tada, pues no deja abierto ningún problema que — como sí ocurre con los irracionales— la posterioridad pued a venir a resolver. ¿Cóm o, si no, una ma te m ática unánim eme nte tenida por mediocre y falta de rigor, como la del medioevo euro peo , h abría sido capaz de ‘perfecc ionar’ los logros del ‘genio g riego ’?. A la misma ausencia de respuesta aboca el otro extremo de la ‘explicación’ historicista —el materialista—, cuyo idealismo corre parejo, en este punto, con el form alismo bourbakista. Según Aleksandrov y otros (19 73 :1:59), "los griegos esta ban ya en posesión de gran parte del material del álgeb ra elemental contemporánea, pero no, en cam bio, de los siguientes elementos esenciales: los número s negati vos...". El material de estos materialismos no parece tener otra función que la de arrasar cualqu ier diferencia entre los distintos m ateriales para p oder así integrarlos en un tod o ideal, y necesariamente transhistórico, del cual cada época — unas ‘ya’,
1 Más aún: "Nunca ha habido, y hasta que no lo veamos nunca creeremos que pueda haber, un sistema de geometría merecedor de tal nombre, que suponga ninguna desviación materia! (no hablamos de correcciones o extensiones o desarrollos) del plan establecido por Euclidcs", escribía De Morgan en 1848 y asume Sir Thonias L. Hcath (1956) en el Prefacio de la mas prestigiosa versión actual de los "Elementos".
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otras ‘aún no’— iría toma ndo ‘pose sión’ progresivamen te. Pero ¿có m o va a poseer la matemática griega ninguna parte, por material que se quiera, de un álgebra -la contemporánea- de la que le son ajenos desde los métodos hasta los propios presu puesto s? ¿Para qué m atemática olím pic a resultan ‘esencia le s’ los números negati vos? No, desde luego, pa ra la ma temá tica griega, para la que no só lo hubieran sido inesenciales sino perfectam ente innecesarios. Es, pues, un flagrante anacronismo limitarse a señalar lo que la matemática griega no ‘des-cubrió’, como si ya estuviera oculto en algún lugar del tiempo o del espacio. Bu scarem os m ás bien en aquello que sí hizo positivamen te, en el ed i ficio conceptual y metodológico que ella levantó, los rasgos del material con el c u a l— y contra el cual— las m atemáticas que le son deudoras se verán forzadas a construir sus formas de negatividad ; tantearemos los perfiles de la som bra de cuyo seno emergerá. Pues en la medida en que ese edificio se constituye para otros modos de pensar posteriores en modelo de lo que habrá de ser tenido por ma temáticas, en paradigm a de ¡a matemática, será p recisame nte su insólito nivel de perfección y rigor el que actúe com o poderoso obstáculo epistem ológico para la construcción de sus formas de negatividad. Salvo matemáticas arraigadas en imag inarios sociales del todo ajenos al griego clásico — como las chinas, las jap o nesas o las hindúes— , las matem áticas de D iofanto, las árabes, las de la Europa medieval, las renacentistas o las ilustradas habrán de hacerse en esa encrucijada de su propio im aginario c olectivo y el super-yo del ideal clásico. En o casiones este conflicto entre el legado clásico y las nuevas significaciones emergentes, que aún no se han constituido —o no llegarán nunca a constituirse— coherentemente com o p aradigm a alternativo, pero que en cualquier caso ya no se corresponden con unas significaciones ideales que han quedado congeladas, acon tece de forma singular en la obra de ciertos matemáticos. En Diofanto o Cardano, por eje m plo , la tensión entre significaciones latentes y construcciones explícitas les llevará a permitirse, en un nivel de con ciencia residual o instrumen tal, operaciones e incluso formulaciones que, sin embargo, a un nivel consciente se censuran más o menos abiertamente. Serán necesarios ciertamente los que Perménides (B.6, 5) llama "hombres de dos cabezas" para poder pensar la negatividad después de la exclusión eleática del no-ser del ám bito de lo pensable. Sólo así podrán entenderse (tal es, al menos, una de las principales tesis que aquí proponemos) ciertos rasgos comunes a las emergencias en Occidente de los diferentes modos de negatividad. Como es, por ejemplo, su coincidencia con mo m entos de deb ilitam iento del ideal euclídeo, en particular, y clásico, en general; momentos en que nuevas significaciones imaginarias se abren camino por entre las grietas del paradig ma h eredado, sorteand o el deber ser que éste im ponía a su hac er matemático. En esos momentos se desdibuja la frontera entre lo que se tiene por posible e im posible, real e im agin ario, verdadero y falso, que es y que no es, natural y artificio, evidente y necesitado de argumentación, racional y absurdo, positivo y negativo... y en esa tierra de nadie se van abriendo paso nuevas significaciones y desbloqueando sentidos obstruidos. Razón por la cual lo negativo se formula en estas coyunturas siempre de form a balbuciente, a m enudo contradictoria, com o sen
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tido casi sinsentido, fruto frágil de una negociación — inconsciente en sus inicios— entre significaciones im aginarias heterogéneas, cuando no irreductibles o antagóni cas. Razón a simism o po r la cual a la forma de racionalidad — y, en particular, de racionalidad matemática— dominante se le aparece la negatividad, en cada una de esas en crucijadas, com o amen aza, como el presentarse de una som bra ha sta enton ces indiscernible, ante la que no po drá reaccionar sino también negativamente. Así, po r ejem plo, esos entes imposibles para la m atemática euclidea que son/ no-son las raíces cuadradas de números negativos serán recibidos —una vez libe rados por la fantasía manierista de finales del siglo XVI— como si se tratase de m eros d elirios, núm eros ‘ima ginarios ’ para Descartes, ‘anfibios entre el ser y el nose r’ pa ra Leibn iz, ‘fantásticos, porque sólo existen en la im agin ació n’ para Euler, ‘absurdos’ para Carnot, ‘ininterpretables’ para Boole, ‘sin sentido’ para Cauchy, ‘una impensable no-cosa’ para Lambert... No puede ser casual un despliegue tal de valoraciones negativas de la negatividad, una vez que la tradición occidental ha de hacer frente a su emergencia. C omo tampoco es insignificante que, para calificar a lo que parecerían ser unos meros objetos matemá ticos, se recurra a una gama de adjetivos que barre tan diversos ámbitos semánticos: el psicológico (‘imaginarios’), el lógico (‘absurdos’), el ontològico ( ‘no-ser’, ‘no-cosa’), el estético (‘fantásticos’), el hermenéutico (‘ininterpretables’, ‘sin sentido’), el gnoseolò gico (‘impensables’) y hasta el biológico (‘anfibios’). ¿Qué especie de obstáculo o de tabú en tomo a la negatividad deja en herencia el modo de pensar griego, que su trans gresión afecta tan profundamente a su forma misma de racionalidad?. Buscaremos, ciertamente, la respuesta en sus matemáticas, unas matemáticas que así se nos van revelelando entreveradas —desde esta singular perspectiva— tanto con el núcleo de la reflexión filosófica explícita como con los presupuestos implícitos en qu e am bas — filosofía y m atemáticas— descansan, con aquellas creencias que, desde el fondo de la episteme griega, bloquean la emergencia de cualquier modo de negatividad. III. 1. La oposición pa rm en íde a ‘no-se r/ser’ y la creenc ia en el principio de no-contradicción Si en China la pareja 'yin/yang' proporciona el sustrato simbólico desde el que construir diferentes modos de oposiciones num éricas, y la categoría vacía ‘wu’ (sobre la que pivota la oposición yin /y ang) determina un ‘no’, ‘hueco’ o ‘centro’ qu e da se ntido a los respectivos ‘cero s’ que permiten hacer operativas esas ope ra cione s, en G recia será otro tipo de distinción el que oriente de raíz su m odo de pen sar: la distinción ser/no-ser. Por decirlo brevemente, y en un evidente abuso de len gua je, podría decirse que, en esta transición — ciertamente ideal— de un modo de pensar a otro, tanto la dete rm in ació n yin (de la oposición yin/y ang) como la deter minación wu van a caer ambas del lado izquierdo de la oposición griega no-ser/ser. Esto es, tanto yin como wu van a perder su carácter determinado (que les hace discemibles entre sí) y determinante (de oposiciones formales, p.e.) para ingresar en
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el ámbito de la indeterminación, po r cuyo sum idero el m odo de pensar griego eva cúa todo cuan to se opon e al lado derecho de la barra, que es el del ‘se r’. C om o noser,/« y wu se fundirán aqu í en u na y la misma indistinción, dond e el ‘vacío’ físico, la ‘nada’ aritmética o la m era posibilidad de 'me nos que n ada’ (a que ah ora quedan reducidos los nom bres/ números que descansaban sobre el lado yin y que los diorismoi griegos rechazarán — con toda ‘razón’— por impensab les) se confunden en la indefinición del no-ser. Del o tro lado de la b arra (manteniendo este paralelismo abusivo), el ám bito del ser se solapa con el del yang. Y el jueg o de biparticiones (‘positivo’/'nega tivo’) que yang proyec taba en su interacción con yin pierde su sentido, toda vez que la barra del par no-ser/ser só lo separa y no comunica ambos lados, co mo sí ocurre con la barra del yin /y ang. Así, la bipartición pre-conceptual de la que arranca toda conceptualización china se sustituye en Grecia por la única distinción posible: el jue go de clasi ficaciones a que dan pié las determina ciones sucesivas del ser (pues del otro lado, del del no-ser, no cabe determinación), es decir, la procesió n de géne ros y especies (al mod o aristotélico) o de hipóstasis del uno (al modo platónico); una procesión que ya cae necesariamente del único lado de la barra en el que aqu í cabe la determinación y, por tanto, el pensamiento y el número: el lado de la positiv id ad del ser. La simetría que preside el paradigm a chino es ahora asimetría radical. B uena parte del m ejo r pensam ie nto griego se entregará a negar, no sólo la im posib ilid ad de tránsito entre un lado y otro de la barra que se para el par ‘no -ser/se r’, sino tam bién entre las sucesivas diferencias que van especificando el ser (ley de ‘incomu nicabilidad de los géneros’, p.e.). La barra griega es intransitiva e intransitable, pues ni une/separa ám bitos homogéneos (es más, de un la do hay in dete rm in ació n y del otro determinación, en lugar de dos modos de determinación opuestos) ni existe elem ento identificable alguno que pu diera ejercer de quicio que articulara la interacción de n o-ser y ser, como wu articulaba la acción recíproca de yin y yang. Si el texto clave que conden sa el soporte pre-conceptual de la episteme c hina lo fijábamos en la sentencia del Xici: "Un [aspecto] yin, un [aspecto] yang: eso es d ao"
el que ahora constituirá la columna vertebral del modo de pensar griego será el célebre pasaje de Parménides: "Ea, y yo te diré (guarda tú la palabra que oigas) las vías que solas ver com o vías de búsqued a cabe: la una, la de que es y que no puede ser que no sea. es ruta de fe y de fiar (pues la verdad la acompaña); la otra, la de que no es y que ha de ser que no sea, ésa — te aviso— es senda de toda fe desviada: que lo que no es ni podrás conocerlo (eso nunca se alcanza) ni en ello pensar."1
1 Las citas de Parménides lo son de la versión de A. G" Calvo (1981 ).
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Tal es "el corazón sin temblor de la bienredonda verdad" que revela la diosa. Como tampoco en China el complejo simbólico yin/y ang/d ao, no se trata aquí de un me ro pensam iento sino de algo que funda la posibilidad del pensam iento m ismo y que, por tanto, lo excede. Se trata de una creencia, en su sentido más profundo: algo que no es pe nsable porque es aquello que permite pon erse a pensar. Que "[ser] es y que no puede ser que no sea" no es algo que ponga ahí Parménides ni ningún otro griego: es algo que se impone desde el m agm a de signifi caciones pre-racionales sobre el que se erige la racionalidad clásica, determinand o decididam ente sus fronteras. Se trata de una revelación de la diosa, de la que Parménides se limita a hacerse eco. Es una convicción que le viene de fuera, con toda la carga de m andatos e interdicciones propias de la pa labra sagrada: "Debe ser cosa el decir y el saber: pue s cabe se r algo; ma s no s er nada no cabe; en lo cual me ditar te aconsejo; pues de esa vía de busca te rechacé la primera .’’
La primera gran formulación de la metafísica del ser, que fundamentará el cuerpo principal de la racionalidad griega, brota de la tajante distinción entre lo que ‘ca be ’ y lo que ‘no ca be ’, lo que ‘es posible ’ y lo que ‘no se pue de ’. El ám bito de posibilidad que cubre lo decible y lo pensable dibuja los dominios del ser. Más allá, en la impo sible región d onde ni el discurso ni el pens am iento tienen sobre qué descansar, lo que se aloja es precisamente la negatividad. La ‘imposibilidad’ de lo negativo no es, sin em bargo, una co nclusión racio nal de ese monumento a la razón que es el poema parmenídeo, sino un pre-su puesto de la racionalidad que en él se va a desplegar: se pone pre via m ente debajo del acto de pensar y, por tanto, de sus consecuencias. Y se pone imperativamente: ‘debe s er’, ‘te ord en o’, ‘no te p er m ito 1... No es fácil recon oce r aqu í a ese " pen sa dor que no conoce otro deseo que el de conocer, ni siente otra fuerza que la de la lógica" (K. Reinhardt, 1916: 256). Sino más bien a alguien que, sobrecogido por "una auténtica exp eriencia religiosa", como apunta Jaeg er (1952: 99), se siente for zado a da r testim on io del m isterio que le ha sido revelado: el m isterio de la ide nti dad del ‘ser’ y el tabú del ‘no ser’, tabú de influencia decisiva en la ausencia de tratamiento de la negatividad también en el pen sam iento m atem ático2.
1 Estas variantes mas explícitamente imperativas son las recogidas en otras versiones, com o las consideradas en C. Eggcrs y V.E. Juliá (1978). ■El principio de identidad que aquí se le impone co mo evide ncia a P arménides, y que ahormará toda la episteme occidental (aunque no, como hemos visto, la china), será el que habrá de verse socavado para que entidades como el ‘cero’ puedan, aunque penosamente, llegar a construirse. Para definir el ‘cero', Frege (1974 : 87), padre de la fundamentación lógica de la aritmética en términos modernos, se verá obligado a violentar el principio de identidad con un escorz o que sól o puede entenderse de sde la tradición parmenídea: "Como no hay nada que caiga bajo el concepto ‘no idéntico cons igo m ism o’, defino el cero como sigue: 0 es el número que pertenece al concepto ‘no idéntico consigo mismo’".
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Para dar con el sustrato simbólico, de creencia arraigada en el im aginario preracional g riego que sopo rta este tabú no es necesario rastrear la presencia de nin gún Dios oculto tras el Ser parmenídeo, pues, al decir de Jaeger (1952: 110), "el elemento religioso está más en la form a en que al homb re le ha afectado su descu brim ie nto (...) que en nin guna cla sificación del obje to de su in dagació n com o divino". Aunque tampoco hace falta seguramente recurrir a las religiones de los misterios, como h ace Jaeger, para dar cuen ta del poso de creencias de que se nutre el nuevo racionalismo. Basta buscar, siguiendo a Ortega, en los idola fo n e idola tribus que se imponen, como auténticas ‘fantasías catalépticas’ o evidencias ineluctables, al modo de pensar clásico: "no el hombre que «comprende la cosa», sino la cosa que «comprime al hombre», se «graba» en él, lo «sella» — phantasía typosis en psych é"].
De cu antas derivaciones que de este planteam iento parm enídeo se siguen para la negatividad, nos detendremos ahora en el principio de no-contradic ción, tan secunda rio — cuando no violable— pa ra la epistem e china como cen tral para la de tradición helénica; una centralidad que dista mucho de ser una opción racional del pensamiento griego, pues se instala precisamente como pre-juic io o ju ic io previo que perm ite a ese pensam iento em itir juicio s. L a c o n jun ció n de este principio con ese ‘sen sualism o ’ de ‘sentido com ú n’ que ya señalaron Koyré u Ortega, ampara la raíz del obstáculo epistemológico que aquí nos ocupa. En Aristóteles — y su legado— se funden ambos, por antitéti cos que pudieran parecer, y lo hacen de forma ejemplar como principios incuestionados e incuestionables. Pero no se funden como efecto de una singu lar construcción intelectual sino, justo al contrario, como decantación concep tualizada de creencias firmemente arraigadas en el imaginario cultural. En palabras de O rtega (p. 242): "El carácter «convincente» o impositivo —cataléptico— de las sensaciones y de ciertas propo siciones máx imas venía a aquéllas y a éstas de que era «opinión reinante», «lugar común », creer en los sentidos y creer en el principio de [no-]co ntradicción. E ran éstas dos « verdades tradicionales», dos usos colectivos. De aq uí que se aceptasen como «evidentes» precisamente porque nadie se hacía cuestión de ellos".
Las dificultades de Aristóteles con la negatividad quedan lúcidamente expu estas en el d etallado análisis de O rtega (pp. 171-197) sobre el capítulo 3o del libro IV de su M eta físic a, donde el estagirita se debate entre la imposibilidad de pro bar el princip io de no-contradic ció n, com o corresponde a su ser princip io , y el imperativo de argum entar lo evidente de su evidencia:
1 J. Ortega y Gasset (1979: 24 4). En loq ue sigue nos hacemos eco de su excelen te análisis sobre el papel de las creencias en lo que £1 llama modo de pensar griego y, en particular, en el modo de pensar cucKdeo.
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"Nosotros acabamo s de asumir (nyn eiléphamen) como imposible que el ente sea y juntamente no sea. y mediante esto (diá touto) hemos mostrado (edeíxamen) que es el principio más seguro de todos” (IV, 3, 1006*3-5).
No se trata, es cla ro , de una prueba (apódeixis ) sino de una ‘mostración’, de un ‘hacer ver’ ( deíxis ). A ristóteles sabe qu e no tiene sentido inten tar siquiera pro bar un princip io , por lo que sü deíxis, observa Ortega (p. 179), es "una prueba que no acaba de ser prueba, pero que es una prueba". De hecho, el párrafo anterior ma nifiesta que tal principio también se le aparece a Aristóteles como conclusión de un a demostración que, si no hace explícitame nte, sí se le hace implícitamente a partir de la pro pia definición de princip io , q ue cum ple cabalm ente el enuncia do del de. no-contradicción : "El principio más firme de lodos será aquél con respecto al cual es imposible padec er error. Ten drá que ser el m ejor conocido, necesario y no-hipotético . Ahora bien; un principio que es necesario aceptar para com pre nder cualq uie r en te, no es hipotético. Y lo que es necesario para conocer cualquier ente es necesario que se tenga conocido de antemano" ( M etaphysica , IV, 3, 1005b14 ss.).
Pero, con todo, aún am enaza con la posibilidad de problarlo: "... y, si de alguna s cosas no se debe buscar dem ostración, ¿acaso pueden de cir nos qué principio la necesita menos qu e ésie? Pero se puede dem ostrar por refutación también la posibilidad de esto [que una mism a cosa sea y no sea al mism o tiempo], con sólo que d iga algo el adversario; y, si no dice nada, es ridículo tratar de discutir con quien no puede d ecir nada, en tanto que no puede decirlo" (IV, 4, 1006*10-14).
Lo m ás sorprend ente, com o observa O rtega, no es ya la ‘pr ue ba ’ im plícita del princip io de no-c ontradic ció n, sino que se ‘pruebe’ ta m bién el princip io de todas las pruebas. Y, más aún, que así resulte com o principio del con oce r lo que em pezó queriendo sentarse como principio del ser. Pero acaso sea más significativa aún la reacción inmmediata de Aristóteles, tras su forcejeo con el principio de no-contradicción: la agresividad
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(hómoios y pliylOi), aunque la
una creencia amenazada, la ‘protesta religiosa’ de un ‘fondo colectivo’ que ve puesta en tela de ju icio una de sus más arraigadas e vid encias. El m ism o Aristótele s así parece asum irlo en algún mom ento: "Todos los que demuestran reducen [sus demostraciones] a este [principio] como a creencia última (eschálen dóxan); pues es ésta, por naturaleza (physei), princip io (arché) también de todos los demás axiomas." (Metaphysica, IV, 3, 1005b32-34).
Los órdenes religioso (‘creencia última’), fisico (‘por naturaleza’) y lógico (‘principio’) se encuentran aquí profundamente entrelazados. Algunos1han que rido ver en esta confusión la inmadurez de un ‘Aristóteles joven’ para el que demostrar significaba, ante todo, refutar; inmadurez que superaría una vez cons truida su propia silogística. Bochenski aduce ciertos pasajes de los Analíticos- en los que puede formarse un silogismo tanto con premisas contradictorias com o con trarias (p.e. partir de que toda ciencia y ninguna ciencia es m oralmente buena, para concluir que, po r tanto, ninguna ciencia es ciencia), es decir, pasajes dond e A ris tóteles m ismo viola el principio de no-contradicción3. Por m ucho qu e estos casos sean excepc ionale s (en uno de los silogismos adu cidos incluso se encu entra un tér mino medio que es un nombre individual), no parece arrojar mucha luz sobre el asunto el hecho de que el propio Aristóteles pase, con esto, a engrosar las filas de los vegetales a los que antes había condenado al silencio. Con todo, A ristóteles no hace sino inauguar, tam bién en esto, una larga tradi ción de desconcierto y confusión (entre la dimensión ontològica y la lógica) en tomo a uno de los aspectos de lo que hemos llamado el tabú de la negatividad. Baste citar la retahila de improperios que dedica el propio Parm énides a quienes transitan el camino del no ser, donde los "mortales que no saben nada se tuercen, cabezas de a dos: que falta de tino en sus pechos les traza derecha la idea torcida; y van arrastrados, sordos y ciegos al par, pasmados, tropa indistinta...”. No será de extrañar que los razonamie nto s por reductio ad absurdum , basa dos en este principo, se cuenten entre los preferidos por la tradición de herencia euclídeo-aristotélica para d em ostrar la evidente imposibilidad de ‘algo m eno r que nada’. No cabe mejor modo de argumentación para ir encontrando conclusiones ‘absurdas’ o ‘imposibles’ que reafirmen el pre-juicio que provisionalmente, y no sin paten te malestar, se hab ía supuesto negado. Será en nom bre de su obsesiva ‘ex i gencia de claridad’ como Lazare Camot, p.e., se apreste a demostrar que "para obtener realme nte una cantidad negativa aislada, h abría que quitar (retrancher ) de
1 Véase, p.e., 1. M. Bochenski (1976: 7375), 2 Analyticaposteriora, A 11,77*1018, y Analyticapriora, B 15, 3 Com o también lo viola, según observa A. Escohotado, la misma construcción aunque ésta sf es central en su pensamiento.
ousía-morphé,
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cero una cantidad efectiva, sacar (óter) algo de nada: operación imposible". El argumento, que toma de d’Alembert y le parece ‘sin réplica’, es el siguiente: "Sea, dice, esta proporción 1 :- 1 ; si la notación com batida fuera cierta, es dec ir si -1 fucra men or que 0, con m ás razón sería m enor que 1, luego el segundo término de esta proporción deb ería ser menor que el tercero; es decir, que 1 debería ser me nor que - 1; de donde - 1 sería a la vez me nor y ma yor que 1; lo que es con tradicto rio"1.
Ciertam ente pu ede o bjetarse que lo que C arnot usa mal no es el principio de no-contradicción sino la teoría de proporciones, pe ro esa objeción sólo es tal des pués de saber lo que ‘realmente’ son los números negativos. Mientras que el pro ble m a es en verd ad pro ble m a, es decir, en el m om ento mismo en que se está inten tando determinar la posibilidad o no de algo, el principio de no-contradicción puede convertirse en el m éto do ideal para le gitim ar lógicamente todo tipo de pre juic ios. El m ismo d ’Alem bert juga rá con la irresponsab ilidad de ese ‘imp osible’ que se acaba concluyendo, para rehacer a su gusto el enunciado de partida. Si el resul tado ‘imp osible’ de una ecuación es un número negativo o fa lso , será señal de que en el enunciado que da origen a la ecuación debemos sustituir ‘añadir’ (o sus aná logos) por ‘sustraer’ (o sus análogos), y viceversa. Pero si el ‘imposible’ es un número imaginario (una especie de imposible de segundo orden, pues hay "dife rentes especies de imp osibilidad"2) el enunciado de p artida no tendrá enm ienda y habrá de declararse directame nte absurdo: no es la conclusión lo ‘imposible’ sino ¡el pro pio prob lem a planteado! A estos callejones sin salida llevan los únicos cam i nos por los que, tras la huella de Parménides, permitirá la diosa transitar al pensa miento griego. No obstante, también se esbozaron otras vías alternativas, como la ensaya da po r el pitagorismo.
III.2. El jue go de las oposiciones. Su p osibilidad y ano nad anien to en el pitagorism o Pueden distinguirse dos modos griegos de acceso al ser, que se ejemplifica rían en Pármenides y Aristóteles. El primero procede dialécticamente, por nega ción del no-ser y, al tiempo, de las cosas sensibles. El segundo, abstractivamente, a partir precisam ente d e la atribución de s ustanc ialidad a las cosas sensibles que el prim ero negaba; a este partir de lo sensible en el pro ceso del conocim ie nto — que analiza rem os en su deta lle en III.6— es a lo que llamarem os, siguiend o a Ortega, ‘sensualismo’ griego. En ambos casos, sea por anonadamiento explícito del no-ser
1 L. Cam ot (1803); cit. por G. Glacscr (1981: 3256). 2 Véase la voz "Equaiion” en la edición de 1756 de la Encyclopédie.
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sea por imposibilidad implícita en la superabundancia del ser, es el propio nervio del pensamiento, no su dictum, el que excluye categóricamente toda posible alu sión a cualquier forma de negatividad que no sea para, negándola, afirmarse a sí mismo. La falta de un pensamiento de la falta no es así, en Grecia, una fa lta de pen samiento ni una fa lta del pensam iento: ni esa ‘lagun a a colm ar’ ni ese ‘erro r ex cu sable’ con que suelen ‘explicar’ las historias de la matemática la ausencia de ‘núm eros neg ativos’ en la ma tem ática griega. La ausenc ia de la ausen cia más bien ha de buscarse en la som bra imp osible de una sobredeterminac ión de la presen cia. En este punto el modo de pensar griego no es incorrecto, lo cual no quiere decir — en la línea de una sociología fu e rte del conocimiento— que como pensa mien to ‘correcto ’ no esté m enos nec esitado de explicac ión que el ‘falso’. M ás aún cuando ciertas ‘incorrecciones’ suyas han de revelarse extraordinariamente fructí feras y es, en cam bio, su ‘corre ció n’ la que está precisam ente en el origen de c ier tos obstáculos epistemológicos con los que h abrá de vérselas la construcción m ate má tica de la negatividad. Pu es ésta habrá de levantarse, ciertamente, contra ambos pre-juic ios — el de ‘se nsualism o’ y el de ‘no ser del no-s er’— qué, como hemos visto, fundamentan, a través del modo de pensar griego, también su matemática. Pero habrá de levantarse, y no menos, a partir de am bos prejuicios, asumiéndolos, pues fo rm an parte de la única matem ática, te nid a por tal, en la que la tradic ió n aceptará moverse. El dilema en el que veremos debatirse a cuantos matemáticos afronten la negatividad será el de cóm o negoc iar la erradicación de aquellos pre juic io s, ya ero sio nados por su recepció n en un medio cu ltural difere nte, sin derruir con ello todo el edificio formal que so-portan. De hecho, el propio pensamiento griego no dejó de aportar una potente reflexión en este sentido, si bien es cierto que, a nuestro juicio, de una forma residual, cuando no a contrapelo, respecto de su corriente principal. Nos refe rim os a la cadena de pensa miento que une a Anaxim andro con los pitagóricos, Herá clito , un cie rto Plató n y los ato m istas; una cadena a cuyos esla bones se les han atrib uid o, significativamente, fu ertes influencias orientale s. Las categorías de ‘oposición’ o de ‘vacío’, que se mostraron decisivas para las cons trucciones chinas de m odos formalizados de negatividad, juegan un papel central también en esta caden a de pensamiento. En particular, les son comunes u na serie de rasgos de especial relevancia para nuestro propósito: a) la negatividad — s ea como privación, oposición, contrariedad o puro no -ser— es elemento fun dante de su concepción del cosmos, frente al culto a la positividad, completitud, reposo y de-term inación q ue com parte el grueso de la concepción clásica; b) frente a la estaticidad y conse cuente esp acialización (que, en m atemáticas será geometrización) del cosmo s clásico, el suyo es un cosmos hecho de tiempo y sucesión alternante de opuestos (Ham ilton h ará una lectura temporal, en clave neokantiana, de los núm e ros complejos, cuando todos los esfuerzos estaban dirigidos a su representación espacial); c) sus conceptos fundamentales están concebidos, y a menudo e xplícita me nte definidos, negativamente , lo que para el griego no orientalizado es sig no de imperfección e insuficiencia; d) todos ellos parecen haber sufrido, de un modo u
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otro, un poderoso influjo de formas orientales de pensamiento, formas en las que sí tuvo cabida un a cierta formulación de la negatividad matemática. Ca da uno de estos rasgos aparece ya en el célebre fragmento de Anaximandro: "Principio y elemento de todas las cosas es lo ápeiron (...) El nacimiento a los seres existentes les viene de aquello en lo que convierten al perecer, según la necesi dad; pues se pagan mutua pena y retribución por su injusticia según el orden del tiempo" Según D iógenes Laercio, Anaximan dro inventó el gnom on (para conocer los solsticios, las horas, las estacione s y los equin occ ios) y tamb ién construy ó diferen tes relojes. Su imagen de contrarios brotando de la pura in-determinación, en la que al cabo se resuelven y de la que adquieren sentido, es una imagen que, de haber alimentado una matemática, bien podría haber albergado una negatividad formal aná loga a la china. En Anax imadro, el ausentarse (com o la leipsis en D iofanto, que despu és se traducirá por ‘minus’) es un proceso tan operativo como el presentarse (aunq ue éste segundo apa recerá so brevalorado en Diofanto, ya bajo influenc ia aristotélico-euclídea, como hyparxis : existencia positiva, entendida como forma de atribución que le corresponde al 'se r’). La potencia generadora de la negatividad es simétrica, y de signo opuesto, a la de la positividad, ambas se co-relacionan y definen — más aún, se generan— mutuam ente. La una no es sino la sobreadundancia de la otra. El ‘ex ceso’ y el ‘de fec to’ de la una sobre la otra no privileg ia ninguno de los do s posibles sentidos: la ‘injusticia’ o predom inio de lo positivo es tan posi ble — y ‘necesario’— com o su inverso. Ambos tienen sentido en la doble acepción del término: ambos sig nific an en igual medida y ambos están orientados, en direc ciones opuestas. Mejor dicho, no tanto tienen sentido cuanto son ellos, a través del juego de su ‘mutua retribución’, los que dan sentido: es precisamente de esa tensión entre ambos de donde adviene el sentido. Por último, ese ‘pagarse mutua p ena’ se resu elv e en anula ción re cíp roca, en pérdid a de la dete rm in ació n — posi tiva o negativa, por exceso o por defecto — que, orientándoles, les daba el ser; es de jus ticia que se equilibren m ediante su disolución en lo ápeiron. Un ápeiron que, por ser principio , re la nza in cesantem ente el ju ego de los excesos, defe cto s y anu laciones que también sin cesar en él se resuelven. Dos rasgos carácterísticos del pitagorismo hubieran tal vez podido orientar esta dialéctica hacia algún modo de negatividad formal, com o de hecho sí lo hicie ron en China unos rasgos bien sem ejantes. Po r un lado, la prima cía concedida a la aritmética sobre la geometría, frente a la geometrización que carácterizará a la m atem ática aristotélico-euclídea. P or otro, el ‘libre’ jueg o de op osiciones en el que se articula y define su concepto de número. Detengámonos en uno y en otro. Pa ra Arquitas de Tarento (428-365 a.C .) sólo la aritmética, y no la geom etría, puede su m in istrar dem ostracio nes satisfactorias. Si éste era el enfoque pre dom i nante entre los matemáticos de sólo una generación antes del nacimiento del método axiomático, para Neugebauer no cabe duda de que las matemáticas hasta aq uí desarrolladas, de clara influencia meso potám ica, no podían ser muy diferentes
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de las que después enco ntrarem os en los alejandrinos, como Herón y D iofanto. Y no conviene olvidar que será en éstos donde em ergerá la primera articulación fo r mal de la negatividad en Oc cidente. El evitamiento de los inconm ensurables, y la aversión a tratarlos m ediante un procedimiento atom ista, habrá de ser lo que trun que el ejercicio de esta matemática hasta su recuperación casi cinco siglos más tarde. En el contexto de esta supremacía del dominio del número sobre el de la extensión abstracta, la escu ela pitagórica más próxim a a lo que despué s se co no cerá como aritmología1desarrolla una desenfrenada especulación numérica, un puro juego form al donde lo s núm ero s no se someten al freno de ser ‘núm ero d e ’ o ‘medida de’ un algo, cuyo m odo d e sòr le condiciona, sino que, por el contrario, son los núme ros en su esen cia, definida por sus solas relacion es recíproca s, los qu e imponen su modo de se r a las cosas. Hasta el punto de que, para esta escuela, cosas diferentes "serán las mismas entre sí, puesto que la misma especie.(eidos ) de núm ero les pertenece "2. Co m pa rtir, po r ejem plo, el eidos de la ‘du alidad ’ asem eja más entre sí a dos parejas heterogéneas de objetos— como { a ^ a j y {b ,, b j — que la semejanza derivada de su hom ogeneidad en tanto que objetos — com o {a ,, a j y {a ,, a2, a3)— pero escind idida por el abismo que separa a quienes pa rticipan de la ‘dualidad’ de quienes lo hacen de un eidos distinto, com o sería la ‘trialidad ’. Otro tanto puede decirse de los números ‘pares’ e ‘impares’, ‘amigos’ y ‘enemigos’ o cualesquiera de las muchas divisiones de los números habituales en sus escuelas y que se fundaban en su prop ia estructura interna o en sus relaciones recíprocas, en vez de hacerlo en su ser ‘número de algo’. Para el pitagorismo, como apunta : K lein3, "la secuencia de los núm eros representa no una cadena lineal cuyo s lazos son todos ‘de la misma esp ec ie’ sino un ‘orde nam iento’, en el sentido de que cada núm ero precede o sigue según el orden de su ser, i.e., está relacionado com o an te rior o po sterior". Este número responde antes al criterio ‘de equivalencia’, que veíamos predo minar en China, que al ‘de abstracción’, que en Grecia fuerza al número a ser núm ero de algo; es más etique ta de una clase que m ultitud de unidades. Se asem eja al número ‘protocolario’ que en C hina engendra clases de congruencias en los cua drados mágicos, donde sí tiene sentido pensar úna clase como ‘opuesta de’ otra respecto de un ‘centro’. Este número, que no tiene un referente empírico in mediato, será también el que veremos em erger de nuevo en distintas épocas ‘cre puscula res’ de Occidente : en la Ale ja ndría de Diofa nto, en el ‘oto ño de la Edad
1 Ver A. Delatte (1915 :1 39 ). Una formulación elaborada de la 'aritmología' (q ue, por otra parte, no recibirá tal nombre hasta el siglo XVII) no se desarrollará sino más tarde.de la mano de neopitagóri cos y ncoplatónicos. Aunque tampoco dejará de ejercer su influjo en el seno de la tenida por ciencia respetable [véase, p.e., su decisivo papel en Kcplcr en A. Kocsllcr (1985)). 2 Aristóteles, Metaphysica, X1V.6.1093*1112. 3 J. Klein (1968: 66). Su exce lente análisis de la suposición, en toda la matemática griega, del número como 'número de algo' parece, sin embargo, eludir importantes diferencias, como ésta del número pitagórico.
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Media’ de Chuquet, en el ‘amaneramiento’ del vigor renacentista... Momentos todos ellos de emergencia de diferentes especies de ‘números negativos’ y ‘canti dades sofisticadas’ o ‘números imaginarios’. Momentos todos ellos, también, de fervoroso cultivo de esp ecu lacione s tan ‘poco científicas’ co m o las aritmológicas. Sin embargo, a diferencia de un Diofanto, un Chu quet o un Cardano, ese cierto desentendimiento de qué cosa deba ser el contenido em pírico del núm ero no conduce al pitagorismo, ni en sus variantes más elucubrativas, a la formu lación de nada que pudiera asemejarse a las construcciones negativas chinas ni a las de cualquiera de los autores mencionados. Y ello no porque aquél des conociera desarrollos algebraicos semejantes a los que a éstos condujeron a conjeturarlas, pues entre los problemas que investiga se cuentan algunos que ‘se corresponden’ cabalmente con ecuaciones algebraicas (como la "división de un segmento en media y extrema razón" que ‘equivale a’ resolver la ecua ción x2 = a2 - ax ) que ya resolvieran los babilonios. P ese a todo, tam bién al p ensam iento pit agórico se le im pone el m odo dom inante en G recia de pensar lo num érico. El segundo rasgo a ludido como una posible vía de ade ntramien to pitagórico en la negatividad lo perfila la potencia que otorgan al libre ju eg o formal de la opo sición. Así lo muestra, por ejem plo, su postulación de la ex istenc ia de algo tan anti empírico (para la empiria griega) como una contra-tierra ( antichthon ); conjetura que se sigue rigurosam ente de una estricta especulación nu m érica (que el número de cuerpos celestes coincidiera con el de la sagrada ‘tetractis’): "Y, si en algún punto faltaba algo, se apresuraban a añadirlo, para que toda su doctrina fuese coherente. Así, por ejemplo, puesto que la Década parece ser algo per fecto y abarcar toda la naturaleza de los números, dicen que también son diez los cuerpos que se mueven por el cielo y, siendo sólo nueve los visibles, ponen como décimo la anti-tierra.”1 La cara de la tierra en la que vivimos se mantiene siempre de espaldas al fuego central y a la contra-tierra, en su m ovim iento alrede dor del centro. El antich thon no sólo se construye por inferencia deductiva de una exigencia de completitud y coherencia de una estructura numérica, sino que el resultado de tal construcción es fundamentalmente negativo, en un doble sentido: primero, atenta contra toda evide ncia sensorial, pues añ ade al no verse el no pode r verse, dad a su necesaria dis posició n en el espacio ; segundo, e sta disposició n se define por su sim etr ía respecto de la positivid ad de la tierra y su orientación e n sen tido opuesto a ésta respecto de un centro teórico3. La semejanza con posteriores construcciones occidentales de
1 Aristóteles, Metaphysica, 986*612. (La cursiva es nuestra). 2 El tal ‘fuego cc ntr al' (pyr ; también Mamado 'hogar', h e s t i a , 'hogar del todo', lieslia loO pantós. y 'guardián de Zeus', Diós fhylaké) también parece ser un constructo teórico distinto del Sol visible, pues, como afirma Filolao (Aristóteles, De Cáelo, II, 13), también éste debía girar en tomo a aquél.
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los ‘números negativos’, o con la propia de los cuadrados mágicos chinos, no puede deja r de destacar. La in exis te ncia de tal artefa cto negativo no resta un ápic e de rigor a su deducción formal, como tampoco lo harán más tarde las múltiples declaraciones de inexistencia de los distintos ‘números imposibles’. Pero será bien otro el cam ino que siga e ntre los pitagóricos la especulación numérica. Efectivamente, en ellos volvemos a encontrar un tratamiento del dinamismo oposicional de Anaximandro, articulado, en diversos modos, con el no-ser, si bien ahora ya integrado en un sistema formal que permite esquemas deductivos. Tam bién para ello s es la te nsió n entre lo de-term in ado (o lim itado o de-fin id o [peras]) y su opuesto (lo in-de -term inad o, i-limitado o in-de-finido [ápeiron ]), el principio, tanto del pen sar como del ser. L a pu esta en límites de lo que carecía de ellos trae a las cosas a ser, com o la pu esta en términos (de -terminac ión) de aque llo para lo cual no los había permite el pensamiento. Lo ápeiron es así condición de posibilidad tanto del ser de las cosas co m o del pe nsar y, por lo tanto, en sí mismo es tanto pura nada como m ero impensable : el vacío. Un v acío que sirve para "d istingu ir las natu ralezas, de modo q ue es una separación y división de las cosas que están unas jun to a otras"1. La arm onía que a sí surge de la tensión de los opuestos se cons igue al precio de una drástica ruptura de la sim etría entre ellos: m ediante cierta forma de a no nadam iento literal (es de cir de reducción a una ‘na da’) de los elem entos del lado negativo de la tab la3 (ápeiron , múltiple, izquierdo, femenino, par, móvil, oscuro, curvo, malo, oblongo). Este ano nadam iento será el que haga posible la emerg en cia, en el resplandor de toda su positiv id ad, de sus respectivos opuestos: p éras, Uno, derecho, masculino, impar, estático, luminoso, recto, bueno, cuadrado. Opo siciones que Platón aún com pletará, significativam ente, con las parejas ign o rancia/conocimiento ( epistéme ) ( Cármides, 166e) e injusto/justo ( Gorgias, 454b, 460e). Es a precisa distribución, en la célebre ‘tabla de op uestos’, de elem entos é ti cos, culturales, antropológicos, físicos y simbólicos, ligados entre sí de esa manera y no de otra, así como el hecho de que sus correlativas formas m atem áticas asocia das sean también p recisam ente ésas y no otras, es una fuente inapreciable de inda gación sobre las conno taciones socio-culturales de la m atemática pitagórica que no creemos lo bastante explorada, pero que nos alejaría ahora demasiado de nuestro objeto inm ediato. D os observacione s, en otro sentido del me ncionado, son las que aquí conviene apuntar. La una, sobre el carácter intínsecamente positivo del con cepto de número que de esta concepción se deduce. La otra, en tomo a la radical diferencia que separa esta tabla de las análogas que elabora un pensam iento como el chino, cuya armonía ocurre, no anonadando, sino precisamente operativizando el lado izquierdo, la negatividad.
Physica, 1V.6, 2l3b226. 2 Véase Aristóteles, Metaphysica, I.5 ,986 a22 y ss. Véase asimism o, en nuestro epígrafe 11.10., 1 Aristóteles,
la comparación del sentido de estas oposiciones en Grecia y en China.
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La ‘determinación’ pitagórica, como ‘puesta en límites’, no puede ser otra cosa que determinación positiva, pues para este pensa m iento lo opuesto a ella no es una determinación negativa sino su falta, la in-determinación. ‘Determinación nega tiva’ e ‘inde term inac ión’ vienen as í a confundirse, com o bien hace patente, de mod o implícito, Aristóteles en el p asaje antes parcialmente citado: "También los pitag óricos han dicho que el vacío existe y que ingresa en el cielo mism o desde el aire infinito, com o si [el cielo] inspirara también al vacío, el cual dis tingue las na turalezas [de las cosas]; de modo qu e el vacío es una cierta separación y división entre las cosas que están unas junto a otras. Y esto sucede primera men te con los números, pues el vacío divide la naturaleza de ellos"1.
El vacío es así condición de posibilidad de la separación y consecuente dis tinción, es decir, de la nume ración misma. A la positividad del núm ero sólo cabe opo nerse, com o neg atividad, la in-distinción: el vacío, nada. Sólo en el campo de lo positivo es posible la determin ación y separación, sólo en el cam po de lo posi tivo tiene sentido el número, un número que en consecuencia es, por su propio pro ceso de construcció n, ‘núm ero positiv o’. L a positiv id ad agota el cam po num é rico. Sólo de ella puede haber epistéme. El ámbito de la negatividad se sumerge así en el pozo de lo in-distinto, lo fuera de toda medida: el vacío in-menso, una región des-m esurada y, por tanto, imp ensable. De quien se hubiera acercado a ella podría , con m ayor razón, haber afirm ado Pappus ( Ele m ento s , X, 63-64) lo que dice de quien se adentró en la ‘irracionalidad’ y a quien la leyenda ahogó en un naufragio: "Emigra de acá para allá en el mar de la no-identidad (careciendo toda simili tud de cualidad o accidente), inm erso en la corriente de la generación y la destruc ción, donde no hay patrón de medida".
Si no pudo llegar a decirlo es porque, así como la ‘irracionalidad’ sí llegó a ser pensable para la episteme griega, aunque no diera con los medios adecuados para re solv er su s aporías, la negatividad, por el contrario, era in-mediatamente imp ensab le. No tend ría el me nor sentido, desde este planteam iento, que en la tabla pitagórica de los opuestos apare cie ra nin guna fo rm a de negatividad jugan do un papel sim étric o al del ‘nú m ero (p ositiv o)’. La distinció n, el pensam ie nto , só lo es posible en el se no de lo distinguib le : en el in te rio r del cam po numérico (positivo, por tanto). Y así la fo rm a prim aria de oposición num érica es la que se da entre ‘lo p ar’ ( ártion ) y ‘lo impar’ (perittón), las dos clases elementales cuyo estudio deter m inará todo lo que cabe, en el ce rco cultural de la ep istem e griega, bajo la etiqueta 1 Physicn, IV.6, 2 I3b (la cursiva es nuestra). No tiene aquí relevancia la discusión en lomo a si tal 'vacío' es o no identificado con el 'aire', para lo que pueden consultarse J. Bumet (1945: 51); W. Burkert (1962 :33), y H.F. Ch em iss (1 96 4: 39 ss.). Sobre la proyección aritmética del vacfo, véase nuestro epígrafe siguiente.
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de aritm ética. L o par irá así a colm ar el lado izquierdo de la tabla, com o algo aún susceptible de división, mientras que lo impar lo hará en el derecho1. Po dría aducirse que no hacía falta ir a bucear tan abajo, al fondo m ismo de lo ápeiron, pa ra dar con el sesgo d ecididam ente positivo del concepto pitagórico de número. Es de sobra conocido el carácter material, físico, que los pitagóricos le atribuyen. Según Aristóteles ( M eta physica, 1.6,987b), mientras Platón m antiene su existencia aparte de las cosas sensibles, "ellos afirman que las cosas mismas son números". Y más explícitamente ( M eta physic a, XII.6, 1080b): "Los pitagóricos (dicen que el número es) uno, el matemático, pero afirman que no está separado sino que las sustancias sensibles están com puestas de él. Sos tienen, en efecto, que el cielo íntegro está fabricado de números, aunq ue no de uni dades abstractas, ya que piensan qu e las unidades tienen magnitudes".
Pero cifrar en esa sustan cialida d del núm ero la dificultad griega para pe n sar la negatividad sería tanto co m o no considerarla m ás que eso, una dificultad, y, como tal dificultad, algo superable desde esa misma forma de pensamiento. De hecho, el núm ero platónico, sí estará decididam ente separado d é la s su stan cias sensibles, sin que p or ello sea más capaz de com prender la negatividad. Es más bien la necesidad lógica — para esa forma de pensar— implícita en la pro pia concepción del núm ero y del ser la que obliga a que, cualquiera que sea la modalidad de número que desde ella se piense, éste no pueda ser sino ‘número positiv o’, expresión que aquí resu lta obviam ente re dundante . Y esa m is m a necesidad es la que fuerza a la epistem e griega a excluir de su ám bito cualqu ier acercaniento racional a lo que para otras epistemes es ‘el cero’ o ‘el vacío’ com o objeto teórico discernible y, en consecuencia, susceptible de ser sometido a operaciones formales2. La aritmética p itagórica verá así sobreponerse, a un cierto carácter diná mico y tempo ral que pudiera sub yac er en su metafísica, un marcado sesgo es tá tico y de espacialidad extensa. Sus números se desplegarán espacialmente de un modo natural, aún antes de qu e la crisis de los inconm ensurab les otorgue el dom inio de lo num érico al imperio de la geom etría. Los ‘núm eros figurad os’, por ejem plo, expli citan nítidam en te esa extensionalid ad im plícita en el núm ero pitagórico:
1 C. Eggers Lan y V.E. Juliá (1978: 22 930 ), observan que en textos anteriores, de Hom ero y Hesíod o principalmente, las connota ciones de 'par' e 'impar' son opuestas a alguno de los valores que les atribuye la rec opilación aristotélica. También Burkert (1962: 41 3), observa cóm o "claramente ártion lleva co nsigo la connotación positiva en e l uso normal de la lengua, mientras que perittón arrastra la connotación negativa, la transgresión de la norma". Nada de lo cual afecta a lo aquí mantenido de la pertenencia de ambos a un ámbito m is profundo de positividad. 2 Sobre el abismo que media entre construir una aritmética desde el ‘uno’ o desde el ‘ser’ , al modo griego, o desde el 'cero' o el 'vacío' tomado como conjunto discernible, según una forma de racionalidad que alcanzará su cénit a ñnales del s. XIX y principios del s. XX. véase A. Badiou (19 90).
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o o o o
1
4= 2x2
o o o o o o o o o
9 = 3x3
o o o o
o o o o
o o o o
o o o o
16 = 4x4
o o o o o
1 3= 1+2 6= l+ 2+ 3
(Fig. 1)
o o o o o o o o o
10=1+2+3+4
(Fig. 2)
Los ‘nú m eros cu ad rad os’ — 4, 9, 16, ... (Fig. 1)— reciben el nom bre de su forma de distribución espacial. Y otro tanto sucede con los ‘números triangulares’ (Fig. 2), ‘oblongos’, ‘pentagonales’, etc. La presuposición de un espacio de repre sentación extenso, y no simbólico como el chino, ahoga así la posible formalización de esa negatividad que p udiera latir en el pitagorism o, tanto en su concepción del núm ero com o en el juego de sus oposicion es1.
III.3. D on de A ristótele s tropie za con el ‘c e ro ’ y asu m e (que no decide) su im posibilidad La presencia de la negatividad , tan sólo latente en el pitagorismo, será en la singu lar razón h eraclítea donde encuentre su expresión m ás rotunda. En ella no es con ceb ible la prese nc ia sin la ausencia, la identidad sin la alteración, el suc eder sin el sucederse, la determinación sin su falta: el ser sin el no-ser. Para Heráclito no cabe realidad ni pensamiento que no descanse sin reposo en la íntima conexión entre positividad y negatividad. Con él, como apunta Éscohotado (1975:70), "se pro duce una com pre nsió n acabada del poner y el suprim ir, de lo positivo y lo nega tivo". La negatividad no es aquí mera falta, carenc ia o defecto (de esa d etermina ción de la que surge la distinción como presencia necesariamente positiva) sino el fundamento mismo del presentarse, la propia fuente de la positividad, con la que comparte idéntico dinamismo y cualidades. Para Heráclito, según Aristóteles (Ethica Nicomachea, VIII.2, 1155b): "Lo contrapuesto concuerda y de los discordantes se forma la más bella armo nía, y todo se engendra por la discordia." Es sorprendente el paralelismo entre alguna de las imágenes empleadas por Heráclito para sugerir la completa correlación y obediencia a las mismas leyes de una po sitividad/negatividad que sólo en apa riencia son dos, y aqu ellas otras imá genes que veíamos en Laozi y en Zhuangzi, o las que pondrá en jue go Kant para presenta r la negatividad como algo del todo razonable para la razón ilustrada. En su "Ensayo para introducir en filosofía el concepto de magnitud negativa", publi
1 Vé ase en 11.15 el estud io comparativo de los distintos tratamientos, al modo ch ino y al pitagórico. de un ‘mismo’ cuadrado mágico.
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cado originalmente en 1763, Kant cifra la auténtica dimensión filosófica de la negatividad matem ática en su ca rácter no sólo determinante de la positividad sino también determinado, tan determinad o com o lo es ésta. La ‘ma gnitud negativa’ no se carácteriza por su carenc ia o defecto de determinación sino por su determ ina ción en otro sentido. Esa eficacia de la oposición, que permite discernir con la misma precisión en ambos lados de lo que la oposición separa/une, es precisa mente la ‘magnitud negativa’. La sombra, dirá Kant, no está hecha del defecto de luz, sino de la posición de un obstáculo en la transmisión de la luz. La oposición, lejos de sumirse en la indistinción, contiene posición. La negatividad no sólo no naufraga en el m ar de la no identidad sino que está sujeta a igual razón y m edida que la positividad a la que se opone. Según Kant (1949:83), "una magnitud es negativa respecto de otra m agnitud en tanto que no puede unirse a ella más qu e por una oposición, es decir, en tanto que una hace desaparecer en la otra una m agnitud igual a ella misma". Si tal plante am iento con tiene evidentes resonanc ias heraclíteas, el filósofo de Éfeso resuena aún más en las imágenes poéticas con las que el de Königsberg (pp. 84-85) evoca la negatividad: "Diremos, siguiendo el método de las matemáticas, que la muerte es un naci miento negativo, la caída una ascensión negativa, la vuelta una marcha negativa... (pero también) el nacimiento (es) una muerte negativa." Son las mismas metáforas que encontramos, casi literalmente expresadas, en Heráclito, aunque en Kant- es la oposición matemática positivo/negativo la que da sentid o a las op osiciones concretas. Ese ser ‘la caída una ascensión nega tiva’ ¿no es la "arm onía prop ia del tender en direcciones op uestas, com o la del arco y la lira", que evoca Heráclito (B.51)? Y la identificación, por oposición, de nacimiento y muerte ¿no es la misma que se opera en "inmortales mortales, mo rtales inm ortales, viviendo éstos la muerte de aquéllos, muriendo aq uéllos la vida de éstos" (B .62)? Po drían m ultiplicarse los fragmen tos, por otra parte bien conocidos, en que los opuestos participan de un mismo y sólo dinamismo m ediante el cual se prestan m utua determ inación por contraposición de fuerzas. Fragmentos en los que Kant bien podría encontrar un fundamento común que es el que, para él (p. 88), da razón filosófica de las ‘magnitudes negativas: "existe una fuerza m otriz, pero el movim iento consecuente es destruido p or una fuerza opuesta". Pero nada habrá más contrario a la orientación principal del pensamiento griego, que se constituirá en torno a la influencia de Platón y Aristóteles (y a su conjunción m atem ática en Eu clides), que esta afirmación kantiana de la negati vidad com o princ ipio activo y simé trico respec to de la positividad, un a negativi da d do tada d e su pro pia energ ía, que va más allá de la m era privación de ser, de sustancia o de determinación. Para Platón ( B anquete , 187a), "es un absurdo inmenso decir que la armonía diverja o que se dé a partir de cosas divergentes; lo que [H eráclito] probab leme nte quiso decir es que...". Análoga consideración
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de ‘ab surd o’ y análog os ens ayos de corrección se repetirán sin cesa r a propósito de la negatividad matemática un vez que ésta emerja en Occidente. Como aná loga es tamb ién, com o vim os, la reacción de A ristóteles ante los que piensan con dos cabezas. Con dos cabez as, com o Heráclito, parece pensar también la episteme china, cuando, p .e., piensa el mov imiento como resultado de la acción de fuerzas opues tas. J. Piag et y R. Ga rcía señalan que m ientras que para la epistem e griega lo natu ra l es el reposo, la perseverancia en el ser y la permanencia, y su gran problema será explicar el movimiento, la alteración y el cambio, para la china los supuestos se invierten. Da ndo po r supue sto el deven ir bajo la constante acción de contrarios, su pregun ta girará en tom o a la posibilidad del reposo, entendido com o detención del m ovimiento. L a ‘violen cia’ que el griego reclama para dar razón de cualquier alteración de l estado de re pos o que correspon de a un cuerpo en su ‘lugar na tural’, es invo cada po r el chino para intentar exp licar esa insólita interrupción de la acción de los contrarios que es capaz de fijar estancias y congelar identidades. Los men cionados autores destaca n cóm o el principio de inercia, im pensable para la tradi ción griega hasta que Galileo la violenta en su misma médula (aunque no tanto como para superar la evidencia del m ovim iento circular por su proxim idad con el reposo), es mera cuestión de sentido común para el modo de pensar chino, cinco siglos antes del co mienz o d e nuestra era: "La cesación del movimiento se debe a una fuerza opuesta. Si no hay fuerza opue sta, el mov imiento n unca se detendrá. Esto es tan cierto como qu e una vaca no es un caballo."1
Con Platón Y Aristóteles esta orientación, de algún modo subyacente a los orientalizados Anaximandro, Heráclito y pitagóricos, se trunca definitivamente. El juego del hacerse/deshacerse de los opuestos el uno en el otro —y desde el otro— se sustituye por ese otro juego del llegar al ser de unas formas pletóricas de determ inación, inm utables e idénticas a sí mismas. Sólo de ellas cabe epistéme propia m ente , fu era de ellas nos adentram os en el engañoso terreno de la opinión, cuyo conten ido es algo interm edio entre el ser y el no-ser. Platón distingue en El sofista entre un ‘no-ser’ que es lo opuesto o contrario del ‘ser’, la pura ‘nada’ sobre la que es imposible pensar, y un ‘no-ser’ que es diferente del ‘ser’ en tanto en que es un ‘ser est o’ y ‘no -ser lo otro ’. Así, cada ser se con trapo ne de dos m ane ras con el no-ser, pues, por un lado, no es una nada y, por otro, no es otro que él. La genial aportación de Aristóteles al introducir la mediación permite salvar la contrad icción qu e surge en la dialéctica platónica frente al problem a del tránsito y el devenir. El pa so de la privación a la forma sólo evita ser paso tam bién del noser al ser si en el tránsito está presente un tercero que, como sustrato, permanece en el cam bio y lo hace posible sin contradicción. La otra cara de la moneda mos
1 Citado por J. Piaget y R. García (1982: 232).
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trará cómo, con este recurso a un sustrato mediador, la oposición se desvanece aún más ante la rotundidad de una perman encia que, en última instancia, subsum e por com ple to el deven ir. En uno y otro caso la dialéctica de ser y no-ser es, cuando menos, absoluta m ente asim étrica. La actividad de la negatividad se limita al ám bito de la positivi dad, com o mera condición de po sibilidad de ésta. La n egación hace posible el seresto po r no-ser-aquello, decide la posibilidad de distinción entre presen cias p o siti vas y el paso de unas a otras, permite la determinación del ser-esto de cada ser de igual mo do que el núm ero es necesariame nte ‘núm ero de algo’ (de ‘alg o’ que es): número positivo. El verdadero lugar de la oposición está en el seno de la positivi dad, haciéndola operativa. Con Platón y Aristóteles la determinación irrumpe, efectivamente, en el ser indeterminado de Parménides, pero para ir perfilando, de un lado, el desencadenarse de los géneros y las especies, mientras que, del otro, que da tan sólo la indeterm inación del no-ser, incap az de razón ni medida. Este noser, en luga r de situarse con precisión en ese quicio ch ino donde se articulan deter minaciones opuestas, se desdibuja aquí en la bruma de la indefinición que se extiende más allá de la frontera del ser. La opción alternativa desde la que evitar las aporías eleáticas es la adoptada por los ato mistas. Ante la tesitura de renunciar, de un modo u otro, al devenir y a la multiplicidad, o aceptar el ser del no-ser, Leucipo y Demócrito optan sin amba ges por esto último: "Leucipo y su compañero Demócrito dicen que son elementos lo pleno ( p ié res ) y lo vacío ( kenón ). a uno de los cuales llam an se r y al otro no-ser; y, de éstos, pien san que lo llen o y só lido es el ser y lo vacío el no-ser (por lo cual dicen también que el ser no es en m ayor me dida que el no-ser, pues tampo co el cuerpo es en mayor me dida que el vacío)" ( M etaphysica . I.4.985b5-9)
Aq uí el no-ser se afirma de modo pleno, rotundo; no com o ‘no ser esto’ o ‘no ser todavía aquello’ sino siendo, en su pura vacuidad, ‘en no menor medida que’ el ser. El kenón disfruta de no m eno r existencia efectiva que los átom os en toda su positivid ad, no es m era care ncia sino algo positivo. Para ellos, según Cappeletti (1979:41), "la consideración del ‘no-ser’ como algo positivo se plantea como una con secu enc ia de la reación con tra el eleatismo ; el ‘no-se r’ no es ya el estricto co n tradictorio del ‘ser’ sino más bien su contr arío ; al igual que los pitagóricos, Leucipo pen só el ‘no -ser’ no com o una negación sino com o una contra-afirmación del ‘ser’". Y ello sin dejar de tratarse del mismo no-ser que Platón descartó por impen sable y contra el que Aristóteles despliega tal batería de argumentos1que ha sido
1 Véase, p.e., Pliysica, IV.4, 221b1829; 1V.6, 213M5, IV.8, 215* ss., etc. Una clasificación de estos argumentos contra el vac ío puede verse en D. Furley (1987:1 881 93). Una discusión mas detallada puede seguirse en T. Heath (1949:115120).
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calificado (Furley, 1987:189) como "un extremista en su rechazo de la aceptación de la existencia del vacío en el universo". Estos argumentos son todos ellos no tanto estrictamente lógicos cuanto de corte sensualista, basados ya en el preconcepto de lugar ya en las dificultades del movimiento. De tales argumentos cabe destac ar dos, el uno po r vincular analógicamen te el vacío con lo que pudiera ser el ‘cero ’ — que consideraremo s m ás adelante— y el otro por ejemplificar redond a mente cómo el modo de proceder por reductio ad absurdum permite rechazar com o lógicam ente impo sible cualquier atentado a los pre-juicios comp artidos por la sociedad de quien lo utiliza. Em pecemos por este último. Tras observar Aristó teles ( P hysic a , IV.8.216‘11-21) que un cuerpo de mayor peso que otro se mueve con mayor rapidez, induce que otro tanto debería ocurrir al moverse a través del vacío. "Pero esto es imposible; pues ¿qué motivo tiene el uno para moverse más rápido que el otro?". E fectivamente, argumenta, el cuerpo m ayor puede dividir un me dio lleno a ca usa de su forma o de su fuerza; en el vacío "po r lo tanto, todos los cuerpos tendrían la misma velocidad: lo cual es imposible". No es de extrañar que Heath (1949:119) se haga eco de la ironía de W icksteed a este respecto: "Es ator mentador encontrar a Aristóteles llegando realmente al hecho, familiar en los mo dernos laboratorios, de que una plum a y una moneda, por tom ar el ejemplo clá sico, caerán al mism o paso a través del vacío, pero tratándolo com o un a reductio ad absurdum".
Esa forma de negatividad que es el vacío parece repugn ar de m anera especial a la epistem e griega. A ristóteles afirma en De g eneraticne el corruptione (315*35) que Demócrito se ha "distinguido de todos los demás por su método" y, de hecho, su obra se recibe entre las acusacion es de plagio (de A naxá goras y Pitágor'as, prin cipalmente) y la indiferencia o el desprecio. El mismo Lucrecio (De natura rerum, IV, 20) confesará que la mayoría se aparta del vacío ‘con horror’. Aunque no ha llegado a no sotros ninguna versión de la que debió ser extensa obra m atemática de Demócrito ("Sobre los números", "Sobre la geometría”, "Sobre tangencias", "Sobre proyecciones" y "Sobre los irracionales"), la influencia en ella de su con cepción atomista debió ser decisiva. Su heterodoxo recurso a ‘técnicas infinitesi m ale s’ justifica tanto el juic io aristotélico que le distingue del resto po r su método com o la imp opularidad de una m atemática que no retrocede ante algoritmos ilimi tados. Arquímedes le atribuye el cálculo del volumen de la pirámide si bien, dice, no con siguió dem ostrarlo rigurosam ente, invalidación que B oyer (1986:115-6) ha atribuido a su empeño en seguir utilizando razonamientos basados en la ‘infinidad de in finitésim os’ cuan do, tras las paradójas eleáticas y la crisis de los inconm ensu rables, ya habían caído en pleno descrédito. Con todo, tampoco esta otra contra corriente intelectual abocará a ninguna articulación formal de la negatividad. Pese a que la reformulación ep icúrea del atomism o sea ya abiertamente sen sualista (con la paradoja añadida de que para salvar la experiencia de los sentidos se afirme la existencia de algo — el vacío— inexperimentable para ningún sentido), su postulación original es estrictamente lógica: se limita a desarrollar una de las posib ilid ades que deja abiertas el dilem a parm eníd eo. Y, aunque te nga la osadía de prolo ngar pre cis am ente esa posib ilid ad que el m odo de pensar griego declara ra
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jnip ensable , no por ello deja así de echar sus raíces en el cora zón m ism o de ese mo do de pensar. Po r ello el kenón de L eucipo y Dem ócrito es formal, pero no for jnalizable; artic ula (las posib les com bin acio nes de los átomos) pero no es artic ula ble; perm ite la distin ció n y el discern im ie nto , pero él m ismo es in distinto e indis cernible. Su postulación d ialéctica com o negación del ser proyectará sobre el vacío Jo que incon scientem ente se atribuía al ser, para negar sólo lo que de m anera exp lí cita eran atributos de ese ser. En particular, el vacío descansa rá — pese a su pre ten sión de carec er de otro funda me nto que el estrictamen te lógico— en dos pre-juicios que bloquean su posible ma nipulación como negatividad formal: p or un lado, un cierto modo de soterrada extensionalidad de origen sensual, por otro, una tajante estanqueidad respecto del ser. El primero parece poder asimilarse a las razones p or las que ‘el cero ’ está au sente de la mate m ática griega; el segundo, a las que darían cuenta de la imp osibilidad de ‘núme ros negativos’ para esta form a de pensar. Respec to del prime r rasgo, frente al ser com o extensión plena, com o p ié res, lo kenón no se construirá como inextenso sino como extensión no colmada, como espacialidad vacía. Por eso puede Aristóteles construir sus argumentos sobre la base de la fo rm a de espacialidad que cabría su ponérsele . Y por eso podrá después Epicuro identificarlo, ya sin trabas, a la vaciedad de la pura extensión, haciendo oponerse a los cuerpos (somata), ya no lo kenón, que D em ócrito equiparab a al noser (me ón), sino el esp acio sin más: topos. M erece la pen a desta car el pasaje, antes mencionado, donde Aristóteles (Physica, IV.8.215b12-19) argum enta la.imp osibilidad del vacío basándose precisamente en la evidente imposibilidad de una nada que bien pudiera ser ‘el cero’, si tal cosa tuviera alguna cabida en la aritmética griega1: "Pero no hay ninguna razón en la que el vacío (kenón) sea excedido por los cuerpos, igual que nada (médérí) no está en razón alguna con un número. Pues 4 exce de a 3 en 1. y a 2 en más [qu e 1], y a 1 en todavía m ás de lo que excede a 2; pero cuando llegamos a nada- (mídenos) no hay razón algun a en la que 4 lo exceda, pues el número que excede debe dividirse en el exceso y el número que es excedido, así que 4 debería ser la suma del exceso y nada (oudén). Por esto, tampoco una línea excede a un punto (en ninguna razón), porque no está hecha de puntos. Similarmente el vacío no puede estar en razón algu na con lo lleno.”
El tipo de razon am iento que em plea Aristóteles es analógico: no hay razón en la que los cuerpos excedan al vacío, de ‘igual modo que’ (hósper) n ada no está en razón alguna con el número. Los cuerpos (somata) o lo lleno (pleres ) son al número (aríthmós) como el vacío (kenón) es a nada (medén, oudén). Y de la falta de razón entre nada y número, que se propone demostrar, concluirá analógica
1 Lo que no quiere decir que fuera desconocido para los griegos, pues parece improbable que Pilágoras ignorara su uso entre los babilonios.
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mente igual falta de razón entre el vacío y los cuerpos. Para probar la tesis física basta, pues, probar la análo ga tesis m ate m ática, lo cual hace Aristó te le s por una suerte*de ind ucc ión frustrada. Toma un cierto a r i t h m ó s (una cierta ‘multitud deter minada de u nida des ’), como el 4, y hace observar que 4 es tá en razón (aditiva) con 3 pues lo exc ede en 1 (4 = 3+1). También está 4 en razó n con 2 pues lo exced e en más (lo exced e en 2, ya que 4 = 2+2). Y, si seguim os descen diendo , 4 está también en razón con 1, pues lo excede en todavía más (lo excede en 3, ya que 4 = 1+3), Llegados a este punto, si siguiéramos desc endiend o, pare cería debe r plantearse, al menos como problema, si también 4 está en razón con nada (m e d é n ), pues lo excede en todav ía más aún (lo excede en 4, ya que 4 = ‘ m e d é n ’+ 4, según la pro gresión que v eníam os llevando). Pero aquí Aristotéles no se plantea un p roblema sino que topa con una evidencia: no hay razón algun a en la que 4 ex ceda a nada. Para él no tiene el menor sentido nuestro 4+0 o el 4+‘hueco’ del álgebra fa n g cheng. En esa progresión heurística (que no dem ostrativa), el de scenso progresivo de los excesos o residuos (3,2,1,...) encuen tra un lím ite que lo es de todo el cam po num érico y, en g eneral, de toda la episteme griega. ‘N ad a’ ya no es algo hom ogé neo con el número, pues "el número que excede debe dividirse en el exceso y el número que es excedido", es decir, debe poder obtenerse como suma de ambos. Entre 4 y 3 (ó 4 y 2, ó 4 y 1) sí hay razón porque, al compartir ambos un sustrato común, puede hablarse de un exceso (h y p e r o c h e n ) o diferencia de uno respecto al otro; ese sustrato es el que permite ponerlos en razón o relación: agregarlos, exce derse entre sí, sustraerse el uno de! otro. La imposibilidad (que Aristóteles ni siquiera concluye , pues la da po r sentada: la asume , se le im pone desde ese exterior que es la creencia objetivada) de poner también en razón 4 y ‘nada’ revela así la pre suposic ió n de que entre am bos no cabe m edia ció n, que no com parten ningún sustrato que ha ga po sible pensar la diferencia o el exce so de uno respec to del otro. Sin un su s tra to común, la su stra c ció n carece de todo sentido; con lo que damos con uno de los principales obstáculos —el su stancialista— que el m odo de pensar griego opone a la n e g a t i v i d a d . Sin perjuicio de un estudio más detenido, que emprendemos a propósito de la concepción del número en Diofanto, observamos ya que los límites a la n e g a t i v i d a d en la aritm ética griega se imponen por esa supo sición de ma terialidad o sustancialidad del núme ro, como también tendrem os oca sión de ver (III.5.) que — en lo que a la n e g a t i v i d a d tam bién se refiere— los límites de su ‘álgebra geo m étrica’ están marcados por ese m odo de s ustancialidad que es la extensionalidad del espa cio griego de representación: tamp oco tiene ahí ningún sentido s u s tr a e r un segmento de nada o de otro segmento menos extenso que él, como dejarán de manifiesto los más variados d i o r i s m o i . Volviendo de nuevo al argumento aristotélico, es de señalar que la cuestión física del vacío, que era la que allí se planteaba (y que, con todo, sí era un pro ble m a), re sulta rechazada no mediante el re chazo de su análo go m atem ático (,m é d é n ) sino rechazan do la situación m isma en que é ste pu diera darse, una situa ción de la que ni se hace problem a pues no tiene razón de ser. La f a lta de ra zó n que afecta a este imposible ‘cero’ se manifiesta así, para la episteme griega, siendo de un orden distinto al de la irracionalidad de los incon m ens urab les: éstos son un pro
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blema, aquél no alc anza ni a serlo. Esa ‘nada’ no resulta excluida del cam po num é rico, com o se intentó hacer con los inconm ensurables, sino que se supone excluida de antemano, como evidencia incuestionable. Es esa exclusión la que, asumida com o creencia, funda argum entos com o el anterior contra el vacío, pero nunc a es ella conclusión de argumento alguno. La h abituales traducciones de oudén o medén por ‘cero’1bloquean una con sideración c om o la anterior, que sin embargo se nos an toja decisiva. A ristóteles no está hablando de un algo (y mucho menos de ‘cero’) que no pueda ponerse en razón con el núm ero, pues su sólo tener nombre, su se r susta ntivo, ya podría ser un indicio para la existencia de ese sustrato o susta ncia com ún que se da por supuesto que no existe. Incluso la traducción por ‘nad a’, que aquí hemos propuesto, acaso también sea excesiva. Tanto oudén como medén no pasan de ser meras partículas gramaticales negativas o privativas, sin referente alguno, insustanciales, que el mismo Aristóteles u tiliza — incluso en el propio pasaje citado, entrem ezcladas con su acepción de ‘nad a’— com o el ‘no’ de ‘no ha y’ o com o ‘tam po co ’. Lo que así se supone sin razón tiene su correlato lingüístico en apenas m erecer nom bre; está tan falto de la sustancia que pudiera quedarle como residuo de una diferencia, como lo está de sustantivo que lo albergue y del que pudiera predicarse algo con sentido. Esta heterogeneidad o sin-razón radical entre el número y nada estaba ya implícita en la Definición V.4. de Euclides: "Dos magnitudes se dice que están en razón la una a la otra cuando pueden, al multiplicarse [o tomar múltiplos], excede r una a otra"2. Esta razón es la que no es posible establecer, p.e., entre un segmento y una superficie, dado que nunca un segmento, sumado a sí mismo un cierto núm ero n de veces (o sea, multiplicado por un cierto número n), dará como resul tado superficie alguna: se trata de magnitudes heterogéneas. Por eso dice también Aristóteles que "tampoco una línea excede a un punto, porque no está hecha de punto s". Y a esa razón es a la que se refiere A ristó te le s en el com ie nzo de su arg u me nto contra el vacío: "igual que na da (medén) no está en razón alguna con ningún núm ero". Lo qu e sienta Euclides es la heterogeneidad de puntos, líneas y superfi cies, la imposibilidad de que operen entre sí; lo que supone Aristóteles es la hete roge neida d de ‘nada ’ y núm ero, la impo sibilidad, por tanto, de que operen en tre sí, de que puedan sumarse o restarse, de que ‘nad a’ pueda ser el exceso o la diferencia de un nú me ro respecto de otro. Así, pese a la seme janza gramatical con que tanto Liu Huí co m o Aristóteles aluden a cierta ‘nada’ aritm ética (wu para el primero, oudén o mSdén para el segundo), la función efectiva de ambas es del todo dife rente: el w u de Liu Hui opera con los números y resulta también de operaciones
1 Por ejemplo, la de Les Belles Lettres o lad eT .H. Heath (1949:1167 ). Este último llega incluso a traducir oudén por el símbolo 'o', que no aparecerá hasta la matemática helenística. 2 Aq uíT. Heath (19 49:11 7) parece tener otro lapsus al incluir el corolario "pues ningún mú ltiplo de cero pued e exceder a 1 ni a ningún número" en la me nción que, a propósito del pasaje aristotélico, hace de la deñnición 4' de Euclides.
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entre números. Ese wu no necesita del pre-requisito sustancialista griego que le exigiría un sustrato com ún con el número. O bien, visto desde los respectivos espa cios de representación, wu sí tiene cabida (como hueco) en el espacio simbólico del tablero de cálculo, en el que son los lugares los que significan, mientras que para oudén no hay lug ar en el espacio extenso donde — al igual que los segm entos o las superficies— se despliega el núm ero griego. El otro pre-juic io atomis’ta subyacente al no-ser, al cual h acíam os referen cia, afecta a su total asimetría respecto de lo que son atributos explícitos del ser. Los átom os qu e constituyen a éste se distinguen en razón de su figura, orden y posición; su infinitud está sujeta al núm ero de sus combinaciones que generan los cuerpos. En el vacío, por el contrario, no cabe figura, orden posición ni número, tan sólo falta de distinción. "Com o no hay ninguna diferencia en lo que es nada, no hay nin guna en el vacío", dice Aristóteles ( P hysic a , IV.8, 215*9-10). El dominio del núm ero h abrá de caer, pues, del otro lado, porque es allí dond e están los cuerpos, lo num erable. No hay o tra comu nidad ni otro m odo de tránsito entre uno y otro que esa vaga extensionalidad estática e inoperante que, sin querer, se les supone a ambos desde el fondo de la episteme griega. El precio que paga el atomismo por dar cierta positividad al no -ser es el de desanim arlo por com pleto, haciéndo lo está tico y pasivo, mera condición de posibilidad de lo otro que él, con el que no man tiene ningún intercambio ni tensión. El atomismo, al cabo, cumple de modo e jem pla r esa operació n griega m edia nte la cual "se constitu ye una regió n del ser y, al m ismo tiempo, se decide ya que esta región ag ota el ser (...) pues e lla representa el paradigm a de lo que verd adera m ente es (óntós ón) en tanto que todo lo demás es acc idente, ilusión y error o imitación deficiente o ‘m ateria’ am orfa y ese ncialm ente ‘pasiva’" (Castoriadis, 1988:198-9). Y también se calificarán como ‘accidente’, ‘ilusión’ o ‘err or’ los planteam ientos que lleven a ‘números neg ativos’ cua ndo , una vez construido para ellos un cierto modo de ser, la matemática de tradición griega pro cure inte grarlos ra cio nalm ente. Hasta el vacío está por tanto, en G recia, contam inado de sustanc ia, pero no lo suficiente com o para conc ede rle com partir ese mínimo s ustrato con el ser que le permitiera tener algo en común con él (y, en consecuencia, también el cero con el núm ero) ni, menos a ún, para conced erle el dinam ismo que pe rm itiera una interacción. P ero acaso pu dieran enco ntrarse en el mundo griego ciertos rastros de una matemática común o universal, ciertas regiones no cargadas por esos presupuestos que orienta n su especulación teórica, cierta m atem ática popular donde la mera práctica, las desnudas exigencias de los cálculos empíricos pudieran alum brar otro tipo de núm ero y opera ciones que la te oría pro scrib e. Sin embargo, ni siquiera en los meros cálculos de la logística, abandonados en manos de esclavos y mercaderes, pueden encontrarse esas puras prácticas con tables que liberaran a los números griegos de los mismos presupuestos que arrastran sus cabezas pensantes. Estas no hacen sino asumir y teorizar a partir de unos p rejuicios que encu entran ya ahí, sustentando un cierto m odo colectivo de pensamiento.
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III.4. Los ‘núm eros taz on es’ de la logística. Los lugares y los cuerpos Otra vía posible de acceso a la negatividad podría haberse abierto cam ino en Grecia, efectivamente, a través de lo que se denom inaba logística o cálculo prác tico. De hecho, son ciertas formas vulgares de contabilidad las que conducen a otras culturas, como la china o la medieval, a algún m odo de formulación negativa en m atemáticas. Pero en G recia la gravedad alcanzada p or la especu lación filosó fica relega al rango de simples nim iedades las cuestiones técnicas sobre el modo de calcular. La misma autonomía respecto de los problemas prácticos que hace posib le la aritm ética y la geom etría com o cie ncia s, m antiene a éstas a dis tancia del cálculo ordinario. O bien, cuando se intenta pensar la logística racionalmente, se pro yecta n so bre ella los mismos a priori que fundamentan a aquellas ciencias, incorporando — como apunta Klein (1968:119)— todo ese "complejo de conoci mientos 'naturales' que están implicados en una actividad precientífica pertene ciente al ámbito de la opinión y vienen soportados por una comprensión preconceptual del mundo". Así se obturan las posibilidades que a la emergencia de la negatividad pudiera ofrecer precisamente el proceder informal de una logística incontrolada.
La finalidad estrictam ente p ráctica de la logística y su falta de fundamentación teórica conc reta parecen perm itirle, en efecto, un a libertad en la m anipulación numérica que es inaceptable para la episteme griega, llegando a atentar contra algun o de sus principio s básicos, com o el de la esen cia indivisible de la unidad. El uno, excluido de la serie n um érica por el pitagorismo y el platonism o, no sólo es tenido como un número más por la logística sino que ésta lo hace susceptible de división, obteniendo de él fracciones unitarias al modo egipcio. Este fracciona miento de la unidad de cálculo choca tan frontalmente con la pura e indivisible mónada noética que a Platón sólo le merece burla quien opera tal desatino: "Cuantos tienen conocimiento de esas cosas [del número y de su esencia] se bu rlan de quien trata de dividir la unidad en sí. y no lo permiten. Y si tú la divides, ellos la multiplican, temerosos de que el uno no parezca el uno sino una multiplici dad de partes."1
Esa división del uno que efectúa la logística lleva a la paradoja de que, divi diéndolo, se m ultiplica, pues cada una de las partes en que res ulta dividido es otro uno igual al original, lo cual — com o es bien sabido— es imposible. Para el modo de pensar griego, la facilidad con la que actúa la logística no deja de ser sospe chosa, ha sta el punto de que — como den unciará Arquitas— las cosas sobre las que trata parece dejarlas más claras que la geometría e incluso llega a tener éxito allí dond e hasta la geo metría fracasa2. 1 República, 525e (la cursiva es nuestra). Véase también - Citado por T. Heath (1981:1:14).
Parménides 143a y El Sofista 245a.
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Tratando a m bas del nú mero, hay sin embargo todo un abismo entre el arte del cálculo con núm eros (logistiké ) y la aritmética (aríthmetiké ) o estudio teórico de las propiedades del número. Se ha mantenido incluso que aquélla estaba abando nada en manos de los esclavos, como corresponde a un mero cómputo mecánico rutinario, viniend o la división entre ambas d isciplinas a reflejar la correspondiente división de clases sociales. Boyer (1968:38), p.e., justifica el que Arquímedes, com o caso excep cional, "se rebajara a contribuir a la logística" po r el hecho d eq u e en aquel m om ento se estaba produciendo la transición del sistem a jónico de num e ración al ático, lo cual habría atraído su interés. De su ínfimo rango respecto a la aritm ética da una" idea el con ocido Scholium al Cármides: "La logística es la ciencia que trata con las cosas nu meradas, no con números; no toma el núm ero en su esencia, sino que presupone el uno como unidad y el objeto numerado como número (...) [La logística investiga] el número mélités [de melón, oveja] y el nú m ero phia li te s [de phiá lé , tazón], (...) Su asunto es todo lo que se pued e numerar. Sus ramas incluyen los llamados métodos griego y egipcio de multiplica ciones y divisiones, de sum as y descom posiciones de fracciones..." (165e)
La p ráctica del cálc ulo sólo tiene interés para Platón ( R epúbli ca, 52 5b ss.) en la medida en que se transcienda su uso vulgar y se "utilice para adquirir conoci m iento y no para traficar con ella". Sólo si "no es de uso exclusivo de com erciantes y chamarileros, ni se ciñe tan sólo a las compras y a las ventas", si no se permite "de ningún modo que nadie presente el ejemplo de números corpóreos y sensi bles", sólo ento nces "puede conducir el alm a hacia lo alto y obligar a ra zonar sobre los números". J. Klein ded ica m ás de un centenar de excelentes páginas (1968:1 -113) a pre cisar los vínculos teóricos que unen/separan a la logística de la aritmética. Según él, en Platón se daría un proyecto de doble división entre una logística teórica y una logística práctica, encabalgadas sobre una aritmética teórica y otra práctica. Ambas disciplinas teóricas tendrían por objeto, frente a sus respectivamente opuestas artes prácticas, no las cosas en tanto que percibidas por los sentidos sino las puras e indivisibles unidades a las que sólo se puede acceder por el pensa miento. Tal proyecto sería abandonado por el neoplatonismo para quedar ‘redu cido’ a la distinción, más sobria y tajante, entre una aritmética teórica, referida a las especies o ideas (ei dé) de los números, y una logística práctica, ceñida estric tamente a su m ateria (hylé ) . Con ello, se trataba de evitar la paradoja, antes enun ciada, derivad a del inevitab le uso práctico de fracciones de la unidad, que as í pod ía considerarse divisible sólo en su materialidad; y al mismo tiempo se procuraba, no menos insatisfactoriamente, a djudicar una posición no am bigua a la teoría de pro porc io nes, que in terfería con las operaciones de div isión y multip licació n. Las fuentes claves para la comprensión de esta escisión están en los comentarios de Proclo a Euclides, en el citado sc holium al Cármides de Platón y en los sc liolia de Olimp odoro al Gorgias platónico. En este último se m arcan las distancias con toda nitidez: 178
"Debe entenderse que ex iste la siguiente diferencia: la aritmética trata sobre las especies de los núm eros, m ientras que la logística lo hace sobre su materia. Hay dos especies de n úmeros: lo par y lo impa r (...) La materia de los núm eros, por otro lado, es la multitud de las unidades [que deben en cada caso ser contadas o calculadas]. Por ejemplo, la multiplicación , tal com o cuatro veces cuatro, cinc o ve ces cinco, etc. [afecta a este m aterial]."1
La logística — y con e lla buena parte de lo que hoy consideramos m atemáti cas elementales, com o la m ultiplicación, la división, las fracciones y los problem as verbales que ‘co ndu cirían ’ a ecuac iones— es así arrojada al infierno de la materia, a ese mundo miserable de esclavos y com erciantes, donde sólo cabe opinión e inte reses y no ciencia verdadera. Es a abso luta marginación, social e intelectual, es la que le perm ite a la logística llevar adelante operaciones severamente proscritas por el nuevo mito de la razón que está construyendo esa nueva estirpe de sabios con aspiraciones de gobierno y de refundamentación de las nuevas formas de organi zación política. Pero e llo no le libra de ma ntenerse atenida a esas otras creencias pro fu ndas que la te n bajo to do el m odo de pensar griego, sea erudito o popular. Relegada al engañoso m undo de los sentidos, la logística no es, ciertame nte, sus ceptible de elabora ción te órica en sus operacione s concretas, lo cual, si bien le libra de ciertas pre-concepcion es qu e condicionan a aquélla, la conden a al desnud o sen sualismo del contar ‘cosas’ y operar con ‘cosas’, a moverse con unos ‘números tazones’ de los que difícilmente cabría esperar ninguna forma de negatividad mientras tales ‘cos as’ sigan co nstruyéndose desde una forma de percepción fund a mentalm ente visual y táctil, con la rotunda positividad de los tazones. P orque un tazón no es un tazón, al menos inmediatamente. Para el taoísmo, por ejemplo, el tazón o vasija, no es su m ateria visible o tangible, sino el vacío determinado p or la materialidad del continente, la posibilidad de c ontener que éste inaugura; un vacío que no es informidad sino la forma de todos los contenidos posibles. "Con arcilla — dice Laozi (1 l b y 1 l c)— se m old ean las vasijas, pero es de su oquedad de lo que depende su uso. (...) En el ser centramos nuestro interés, pero del no ser depende la utilidad". Lo que define al tazón , su esen cia (si tal conce pto tuviera algún sentido para este modo de pensar) es el hueco. El interés que centra la ate nció n de los sen tidos no agota ni define la cosa, sino — como m ucho— sólo un a mitad de ella; la otra mitad, la fund am ental, no es perceptible, y significativamen te el taoísmo ha bla siempre de ella en términos de vacío, oquedad, abismo... esa forma de determ ina ción qu e para el griego no lo es, que es no ser. A Aristóteles, acaso el más próximo de todos los pensadores griegos a ese conocim iento común que Platón d esprecia por ser propio de cham arileros y com er ciantes, ese vacío le repugn a hasta el punto de necesitarlo perm anentem ente lleno. "Así como todo cuerpo está en algún sitio, así en cua lquier sitio hay algún cuerpo", hasta el extremo de que "si ese cue rpo crece, el sitio debe crec er solidariam ente co n
1 Citado por J. Klein (1968:13).
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él"1. No ya el vacío (ai que no sólo no se le concede la virtualidad de su función sino que además es directamente impensable), sino el lugar no es concebible sin el cuerpo q ue lo oc upa. A unque "el lugar debe ser algo aparte de los cuerpos", pues es evidente que d os cuerpos distintos no pueden ocupar el mismo lugar, "el lugar no es algo algo ap arte de c ad a cosa individual"2. El lugar se define po r la cosa que lo habita, y se agota en ella. Lo cual no es sólo opinión suya sino "de la mayoría de la gente". In cluso los objetos matem áticos necesitan de un lugar, que es el lugar de algún cuerpo. Las tres dimensiones del espacio —longitud, anchura y profun didad— son los bordes "por los que cada cuerpo está limitado". Y cuando consi dera que esas dim ensione s son seis (izquierda y derecha, arriba y abajo, delante y detrás), no son dim ensiones d e un espacio ajeno al objeto, como el cartesiano, ni atribuidas por el sujeto, según se sitúe éste respecto al objeto, sino que son dimen siones objetivas, propias del ob jeto m ismo, pues "arriba no es lo que un o considere sino allí don de el fuego y los objeto s ligeros son llevados". Del mismo -modo, entes matemáticos como los puntos, las líneas o las superficies son siempre algos que a su vez son los bordes d e algo, aquello que pone término a ese algo y, de-term inán dolo, le perm ite no ser mera nada, pura indeterminación. "Si debe h aber un lugar para el cuerpo, ta m bié n debe haberlo para la su perficie y para todos los otros lím i tes del cuerpo (...); donde antes había superficies planas de agua, ahora debe haber superficies de aire". Pero tan significativas com o las afirmaciones y razona m ientos expresos del estagirita lo son sus esfuerzos por distinguir el lugar del cuerpo que lo ocupa, señal aún más eviden te de que ambos se le confunden de con tinuo, de su dificultad de pensar el lugar sin el cuerpo. Para el sentido común griego, el tazón es el tazón y el aire de dentro, el aire de dentro; cada uno ocupa el lugar que, limi tándolo, lo define y no ha lugar a andar mezclando las cosas. Esa solidaridad entre el lugar y el cuerpo, entend ido co m o lo realmente existente, llega al punto de que lo que se tiene p or absurdo o impo sible a m enudo se adjetiva, incluso en el discurso ma temático griego, como átopon, sin lugar. Pre-juicio que ha llegado íntegro h asta nosotros cuan do de scartamos la posibilidad de algo o la im procedencia de un razo namiento con un tajante "¡no ha lugar!". No es que la m ate rialidad de los números ta zones de la logística griega sea más material que la madera o el hueso de los números palillos del álgebra china. Pero sí es bien distinta la carga imaginaria que soporta una materia y otra. Propia me nte, se trata de dos m aterias. L a una, hospitalaria con la negatividad; la otra, pic tóricamente positiva. La materialidad de los meros cálculos es así diferente por entero en cad a uno de ambos modos de pensar. No sólo la matemática mas sofisti-
1 Las siguientes citas lo son de Physica. IV.I.208a27209a30. 2 Por otra parte, aquí emparen ta Aristóteles con e sa tradición china que carga a los distintos lugares de una fuerza inmanente que los singulariza. Si bien en China esa singularidad del lugar es mas bien protocolaria, simbólica, y en Aristóteles es la pujanza física que al lugar le confiere el vigor del elem ento que le es propio, que le tiene com o lugar natural. "El movim iento de los cuerpos simples naturales, como el fuego o el agua, muestra no sólo que el lugar es algo sino que también tiene poder o fuerza (...) El poder del lugar debe ser maravilloso".
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cada, sino la de ‘la cuen ta de la vieja’ (sea logística o cálculo con p alillos) son dife rentes en sociedades diferentes. El sentido común es común a una sociedad, no a esa abstracción q ue es la hum anidad, en la que habitan ideas pero no viejas. Puede uno preguntarse, con Boyer (1968:66), "si una separación tan nítida [entre logística y aritmética en Grecia] fue una desventaja o no para el desarrollo histórico de la matemática" en su conjunto, pero la respuesta es claramente nega tiva en lo que afec ta a la posib le eme rgencia de alguna forma de negatividad m ate mática. Será con Diofanto donde ésta surja, al aplicar un nuevo modo de reflexión teórica a la logística práctica. No porqu e tal logística viniera a presentarse entonce s en una imposible desnudez, sino porque los pre-juicios griegos que la cubrían Co mejor, la constituían) llegarán muy debilitados a los días de Diofanto, al tiempo que esos días h abrán a prend ido a convivir con otros pre-juicios extraños — y aún contradictorios entre sí— cuya amalgama proporcionará suelo cultural abonado para otras form as de im agin ació n matemática. Otro cam ino posible de sde el que evitar (hipotéticamen te) la paradoja inevi table (prácticame nte) del fraccionamiento por la logística de unas m ónadas indivi sibles, es el empren dido por Aristóteles y retomado por Euclides: sum ergir el uno ‘separado ’ de Platón en las cosas m ismas, haciendo ah ora de él una simple unidad de me dida que puede ‘abstraerse’ de esas mismas cosas. Como unidad de m edida es, por una lado, indivisible, pero puede sin embargo tomarse, por otro lado, del tamaño que convenga para poder medir un número exacto de veces el objeto que se desee medir. Con ello, observa Klein (1968:122), "nada impide ahora cambiar de unidad de medida en mitad de un cálculo y transformar todas la partes fracció nales de la unidad original en números‘enteros’ consistentes en nuevas unidades de medida; de este modo incluso las fracciones pueden tratarse ahora ‘de una ma nera científica’". R esulta claro que la imagen subyac ente a esta posibilidad de fraccionamiento ya no es la del punto monàdico sino la del segmento rectilíneo, siempre divisible y po r lo tanto de tamaño arbitrario, que se toma ahora com o un i dad de medida. Por lo que la ‘solución’ aristotélico-euclídea llevará, junto al pro ble m a de los ‘in conm ensurable s’, a una decisiva geometriz ació n de la aritm ética; una geometrización que, como a continuación veremos, conlleva su obstáculo específico para unas formas de negatividad que no sólo hubieran podido enco ntrar ahí su fuente (como, de hecho, la encontraron en otras aritméticas no geometrizadas) sino que, bien al contrario, una vez intuidas, se resistirían a los intentos de geom etrización po r me dio de los cuales se quería darles carta de naturaleza ‘autén ticam en te’- m atem ática. III.5. El ‘álg eb ra geo m étrica’: un espacio inhóspito p ara la negatividad. Los diorismoi o la imposibilidad de construir La conmoción producida por las magnitudes que no se someten a razón y las para doja s im plicadas en las opera ciones de la lo gís tica quiebra n el m odo pitagò rico-platònico de representación mental e inauguran otra manera bien distinta de 181
pensar en m ate m áticas. La unid ad noética y los ‘número s natura le s’ y sus razones resultan inapropiados para dar cuenta de las propiedades más elem entales. El ato mismo numérico ha sido sometido además a la demoledora crítica de los eleatas que, en opinión de Tannery (1887: 217-261), habría estado dirigida directamen te contra él. Surge una nueva forma de percepción basadá en la continuidad y la extensión; la m agnitud extensa sustituye al núm ero discreto y sus relaciones inter nas, el segm ento desplaza a los guijarros o p s e p h o i en el corazón del sistem a con ceptual. "En tiempos de Eu clides — observa Boyer (1968: 84)— tiene lugar un com pleto cam bio en el punto de vista (...) En los E le m e n to s hasta los mismos ‘ente ros’ se representan por líneas. El reino del número sigue teniendo la propiedad de la discreción, pero el mundo de las magnitudes continuas (que incluye la mayor parte de las m ate m áticas pre-h elé nic as y pitagóricas) es algo aparte del núm ero y deb ía ser tratado po r el mé todo geom étrico". Un m étodo éste que durante siglos se identificará sin más con l a m a t e m á t ic a en su globalidad. Con la n u e v a matemática los algoritmos numéricos, que permitían a babi lonios y pitagóricos resolver problemas en los que hoy podemos ver implícitas ecu acion es que im plican ‘núm eros negativos’, habrán de ser interpretados m o r e g e o m é tr ic o . La que d esde Zeu then 1se conoce como ‘álgebra geo m étrica’ reem p laza a una posible ‘álgebra aritm ética’, lo cual im pone severa s restricciones al campo numérico y a las posibilidades operatorias. Por ejemplo, la imposibi lidad de sumar o restar números de distintas especies (los correspondientes a líneas, áreas o volúmenes), lo que exigirá ahora una estricta homogeneidad en los términos de las ‘ecuaciones’. O la identificación del simple número con un segmento de línea, que lleva a Euclides (en los libros VII, VIII y IX de los ":-Uementos") a designar un número como el segmento AB, definido por sus extre mos, y a sustituir expresiones como ‘es múltiplo de’ o ‘es un factor de’ por las respectivamente e q u i v a l e n t e s ‘es medido por’ o ‘mide a’. O la reinterpretación de la teoría de proporciones en términos de superficies, de modo que una pro porción o igualdad entre dos ra zones num éricas x : y y a : b habrá ahora de leerse como igualdad de las superficies determinadas por los números cuadra dos x • b e y- a. Si ciertos s in s e n tid o s babilónic os, com o el de sum ar áre as y longitudes, eximían a las operaciones de obedecer a una lectura estrictamente geom étrica, con lo que se abrían otras posibilidades formales, ahora estas pos i bilidades quedan cerr adas. La solución de los tres grandes problemas clásicos de la antigüedad (la dup licación del cubo, la trisección del ángulo, y la cuadratura del círculo, que ya intentara resolver, según Plutarco, Anáxágoras) se reemprenderá ahora desde esta nueva perspectiva. Así, p.e., la ‘duplicación del cubo’ parece que ya Hipó crates de Chios la había asim ilado — en términos de la teoría pitagórica de pro porcio nes— a la búsqueda de dos media s geom étric as, x e y, entr e dos m agnitu
1 H. G. Zeuthen (1886) se inspira para tal denominación en la teoría de números 'figurados', en la forma de desarrollo de la teoría de proporciones y en las ilustraciones habituales tanto en aritmética como en logística.
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des dadas, a y 2a, esto es, que verifiquen la proporción con tinua a:x = x:y = y:2a (que ‘es equivalente’ a la ecuación x3 = 2a1). Bajo el nuevo estilo geométrico, este mismo problema llevará a M enecm o a construir por primera vez las seccio nes cónicas, de las que es la p aráb ola la que satisaface la anterior prop orció n (las magnitudes x e y buscadas ‘corresponden’1al punto (x.y) de intersección de las dos parábolas x2 = ay e y2 = 2ax , que e videntem ente se expresarán en término s de relaciones entre segm entos). La con structibilidad e interpretabilidad g eom étrica es así pre-condición de un método que se heredará no ob stante com o universal, un método que somete tanto a los objetos como a las operaciones entre ellos a la lógica de la extensionalidad euclídea. El dom inio de la visión se impone a cualesquiera otras consideraciones de tipo especulativo u operativo, aunque en un segundo momento, como vimos, procure ocultarse bajo razonam ie nto s no constructivos co mo el que pro cede por reducción al absurdo (un absu rdo que lo será, evidentemente, para el punto de vista geométrico). La ausencia en que, desde la positividad de la extensión, consiste la negatividad no puede por tanto — y literalmente— ni verse, lo que en este caso será tanto como no pode r pensarse. En particular, la resolu ción algorítm ica de la ‘form a norm al’ de la ecuación cuadrática (x2 + q = px), a la que los bab ilonios solían redu cir los problem as qu e implicaban sumas y productos de dos ma gnitudes, dará lugar a una de las cons trucciones más clásicas del ‘algebra geométrica’: el método canónico de resolu ción ‘por aplicación de áreas’. Este método tiene para nosotros un especial inte rés por contener imp lícitam ente — y, claro es, desde otros presupuestos— la posibilid ad de las que después se conocerá n com o ‘m agnitudes im aginarias’. Veamos cóm o esa posibilidad no lo es en realidad para los presupu estos del álg e bra geom étric a. En una formulación bastante general, se trata de ‘aplicar’ a un segm ento dado AB un rectángu lo AH que sea igual a un cuad rado dado y qu e ‘ex ce da ’ a (fig. 1.1.) ‘difiera’ de (fig. 1.2.)— el rectáng ulo AH en un cuad rado DM. B D K
M
H
A K
D
X
H
(ax + x2 = b2)
(ax - x2 = b2)
Fig. 1.1.
. Fis. 1.2.
B X
M
1 La decisión de entrecomillar expresione s del tipo ‘se corresponde con ’, ‘equivale a’, 'es lo m ismo que’, ‘es decir’, etc. pretende resaltar la ilegitimidad —en cierto sentido— de establecer esos c orrelatos entre lenguajes matemáticos que no comparten los mismos presupuestos. Es ese cierto sentido el que precisamente queremos destacar.
183
Este problema ‘equivale’ al siguiente: dado un segmento AB (= a), encontrar otro segm ento D B (= x) tal que el rectáng ulo A H (= ax + x2 en el caso del ‘exc eso ’, ó = ax - x2 en el del ‘de fecto ’) sea igual a un cua drado da do (b2). Es decir, dadas dos magnitudes, a y b, encontrar una tercera, x, tal que (1) ax + x2 = b2, o bien (2) ax — x2 = b2. Veamos cómo se solía resolver el caso (2) (Fig. 1.2.) o caso ‘por defec to’, pues en el otro no cabe la posibilidad de ningún forma de n e g a t i v i d a d . Para ello se requie re el teore m a de la prop osición II.5 de los "Elem entos": "Si una línea recta [AB] se corta [ en G y en D] en segmentos iguales [AC = CB = p] y desiguales [AD = p+q, DB = p-q], entonces el rectángulo contenido po r los seg mentos desiguales [AH = (p+q)(p-q)], junto con el cuadrado [LG = q2] sobre la línea recta que un e los pu ntos d e corte [C y D], es igual al cua drado [p2] de la m itad [AB/2 = CB = p]" (Fig. 2). C
p K
D
q p—q
B
q2
M
H
L E
F
G
Fig. 2 Es decir, se trata de demostrar que AH + LG = CF O, lo que es ‘lo mismo’, que (p+q)(p-q) + q2 = p2 Y, en efecto: AH = AL + CH = CM + CH = (CH + DM ) + HF = CF - LG Así, la ‘aplicación de áreas por defecto’ (caso (2)) se resuelve como muestra la Fig. 3: C
D
a/2
X X
K
L
H
M
P E Fig. 3 184
G
F
Sea C el punto medio del segmento AB (= a) y sea CP, de longitud b, per pendicular a AB en C. L a circunferencia con centro en 'P y ra dio a/2 corta rá a AB evidentemente sólo si b < a/2!— en un punto D. Pues bien, las magn itudes AD y DB son las buscadas como lados del rectángulo que se quería ‘aplicar’. En efecto, basta trazar el rectángulo A BM K de ancho BM = BD y com pletar el cu a drado DBMH. Entonces: por la proposic ió n 11.5: A D • D H + CD 2 = C B 2 y como CB2 = (a/2)1 = PDy por el ‘teorema de Pitágoras’ PD 5 = PC 2 + CD2 será A D • D H = P C2 ‘es decir’ ax - x2 = b2 Es de resaltar que para pod er encontrar el punto D que permite aplicar la pro posición II.5 de los "Elemento s" es necesario que la distancia PC (= b) sea m enor que el radio, a/2, de la circunferen cia con cen tro en P, pues en caso contrario dicha circunferencia no corta a la recta AB. C om o observa Heath ( 19 8 1:1: 152), "de otro modo la solución es imposible". Es así el propio método de ‘aplicación de áreas’, que carga su evidencia en la percepc ión v isual, el que excluye naturalmente ciertas situaciones. En particular, la posibilidad de que b sea m ayor que a/2. Pero es p reci samente esta posibilidad la que , para nosotros, haría que la ecuación ax - xJ = b 2 tuviera un disc rim inan te (a/2 )2 - b2 = [(a/2) - b] • [(a/2) + b] negativo y, en co nse cuencia, ambas ‘soluc ion es’ (x = a/2 ± [(a/2)2 - b2]l/2) fueran ‘im aginarias’. Pero no es sólo el modo visual de resolución de estos problemas el que cierra el camino hacia ciertas soluciones. Es la propia manera de plantear el problema la que deja de antemano sin sentido a las que, desde otro planteamiento, posterior mente, también se tendrán com o soluciones posibles. Co m o hemos visto, los prob le mas de ‘aplicación de á rea s’ tratan de buscar los lados de un rectángulo que s atisfaga ciertas condiciones. Y nada, por tanto, más natural que el encontrar lo que se busca: ciertas magnitudes extensas susceptibles de ser tomadas como lados de un rectán185
guio, es decir, ‘positivas’. La pre-sup osición de las carácterísticas de lo busc ado y el método de búsqueda determinan así positivamente los rasgos de la solución, blo queando cualquier posible em ergenc ia de la negatividad. No obsta nte, no se trata de un tipo de problema ni de un método, éste de ‘aplicación de áreas’, original de la nueva ‘álgebra geomé trica’, sino que ya Eudem o, según Proclo, lo data de antiguo: "Estas cosas, dice Eudemo, son antiguas, habiendo sido descubiertas por la Musa de los pitagóricos, me refiero a la aplicación de áreas (parabolé ton jórión), a su exceso (hyperbolé) y a su defecto (élleipsis). Fué de los pitagóricos de qu ienes los posteriores geó metras [i.e. Apolon io de Perga] tomaron los nombres, que en tonces transfirieron a las así llamadas líneas cónicas, llamando a una de ellas parábola (aplicación), a otra hipérbola (exceso), y a la tercera elipse (defecto), en tanto que aquellos divinos hom bres de antaño vieron las cosas significadas por estos nombres al construir, en un plano, áreas sobre una línea recta finita dada."1
No se trata, por tanto, de un m étodo nuevo de la m ate m ática geom etriz ante que se convertirá en clásica, sino de una sensibilidad p rofundamente arraigada, que ahora se consolida en la matemática griega. El texto tiene el interés adicional de vincular este m étodo con la resolución por seccion es cónicas que, bajo los mismos pre supuestos, se desarrolla rá posteriorm ente. El papel central del método de ‘aplicación de áreas’ en el ‘álgebra geomé trica’ le viene de su capacidad para efectuar operaciones que, en sus versiones logística y aritmética, h abían qu eda do faltas de fundam ento. Y en hacerlo sin incu rrir con ello en nuevas paradojas. Como observa Heath, era "un sustituto efectivo del álgebra moderna". Permite multiplicar un núm ero cua lquiera de factores linea les reduciendo el resultado al produc to de tan sólo dos, es decir, a un rectángulo, y no violar así el principio de dimensionalidad. P ermite asimismo dividir c 1produc to de dos factores lineales por un tercero. Y, al transform ar cualqu ier superficie en un rectángulo ("Elementos" 1.45), y a este rectángulo en un cuadrado ("Elementos" 11.14), hace p osib le el ‘equivalen te a ’ extraer la raíz cuadrada. Y pe rmite también ‘resolve r’ ecua cione s con ‘raíces neg ativas’ me diante el exp ediente qu e Heath, en un evidente abuso de lenguaje y de conceptos, resum e del siguiente mo do: "En los casos en que una ecuación cuadrática tiene una raíz negativa — o ambas— los grie gos la transforman en o tra que tenga una raíz positiva — o ambas— (mediante el equivalente de sustituir -x por x); así cuando una raíz es positiva y otra negativa, resuelven el problema en dos partes, distinguiendo los dos casos". En el libro VI de los "Elem entos" Eu clides am plía el ámbito de los problemas de aplicación de áreas a cualquier paralelogramo. Las proposiciones 28 y 29 plan tean: "A plicar a una línea recta dad a un paralelogram o igual a una figura rectilínea dada y deficiente (o excedente) en una figura paralelográmica similar a un parale logram o dado". Y en VI.27 plantea el quid de la cuestión, ha ciendo explícita la exi
1 Citado por T. Heath (1981: I: 150).
186
gencia de un diorismós, o determ inación de las condiciones de po sibilidad de una solución en el caso de deficiencia: "La figura rectilínea dad a debe (en ese c aso) no ser m ayor que el paralelogramo trazado sobre la m itad de la línea recta y similar al defecto." Sin entrar a quí a d em ostra rlo1, esbo cem os la situación (fig. 4): H i
Fig. 4 Sea AB el segmento dado y D el paralelogram o al que el defecto debe ser simi lar. Sobre la mitad EB de AB se levanta el paralelogramo GEBF, similar a D. Se traza la diagonal GB y se com pleta el paralelogramo HABF. Por cualquier punto T de HA se traza una paralela a AB que cortará a la diagonal GB en un punto Q, y se traza la recta PQS paralela a TA. El paralelogramo AQ es un paralelogramo aplicado a AB y que difiere en un paralelogramo similar a D. Este último paralelogramo es igual al gnomon OQPFBE, que habrá de construirse de modo que sea igual a la figura rectilínea dada C. Com o advierte Heath, "el gnom on evidentemente no p uede ser m ayo r que el paralelogram o EF, y por tanto la figura rectilínea dad a C no debe ser m ayo r que el paralelogram o", que es lo que garantiza el diorismós de VI.27. Si hacemos, ahora fuera del modo de pensar euclídeo, AB = a, QS = x, y es b:c la ra zón de los lados de D, ento nces SB = (b/c) • x. Y si m es una cie rta cons tante, la ecu ación ‘corresp on die nte ’ es m • [ax - (b/c)x2] = c; cuyas solucion es son: r x = (c /b ) ■(a /2 ) ± (c /b ) L
c b
c 4
mJ
Pa ra qu e éstas sean ‘reale s’ es nece sario que
Véase T. Healh ( 19 81 :1: 394 ss.).
187
que es precisame nte la cond ición de posibildad asegurada p or el diorismós VI.27. De nuevo encontram os aquí la imp osibilidad de v isualizar una cierta situación con vertida en cond ición de posibilidad de ex istencia; ex istencia que, en consecuencia, le es negada a la negatividad. En otras ocasiones E uclides no hace explícito el diorismós requerido. A sí, en el libro "S obre las divisiones .(de las figuras)" las prop osicion es 19 y 20 ofrecen la solución geométrica de un problema de aplicación de áreas por defecto que ‘correspo ndería’ a la ecuac ión kx - x2 = k. La om isión del diorismós revela lo evi dente que es para Euclides, que lo da por supuesto. Pues, como advierte Heath (1 9 8 1 :1: 428), tal omisión "se sub sana fácilmente". Lo que a quí también excluye la evidencia es la posibilidad de ‘raíces ima ginarias’. Proclo, en su Comentario sobre Euclides, atribuye el origen del uso del tér mino diorismós en m atem áticas a León, discípulo d e Ne oclides, que debió ser algo más joven que Euclides: "Él inventó los diorismoi (cuyo objeto es determinar) cuánd o el problema que se investiga es de posible solución y cuándo es imposible" (66.20-2). Más adelante lo define como criterio para saber "si lo que se busca es imp osible o posible y hasta dónd e es realizable y de cuántos modo s" (202.3). Para Heath (1981:1: 319) la necesidad de determinar, previamente al intento de cons trucción de la solución de un problem a, las condiciones de po sibilidad de tal cons trucción debía haberse advertido ya con bastante anterioridad. Hem os visto cómo aparecían diorismoi en los libros 1 y 11 de los "E lem entos", que son d e clara in spi ración pitagórica, y también hace referencia a ellos Sócrates en su diálogo con Menon ( M enon, 87a ss.) en tom o a las condiciones de posibilidad de una investi gación sobre la naturaleza de la virtud: "Te pido, al menos, que tu omnímoda autoridad me conceda examinar por hipótesis si la viitud se pue de ense ñar o no. Y tomo estas palabras ‘por hipótesis’ en el sentido de los geóm etras. Cu ando se les pregun ta, por ejem plo, a propósito de una superficie, si tal triángu lo p uede inscribirse en tal círculo, un geóm etra responderá: «No sé aún si esta superficie se presta a ello; pero creo opo rtuno, para determinarlo, razonar por hipótesis de la manera siguiente: si se dan tales condiciones, el resultado será éste, y en determ inada s otras condicion es, será tal otro. A sí, pues, por hipótesis puedo decirte lo que ocurrirá resp ecto de la insc ripción del triángulo en el círculo, si será posible o no»".
El m encionado prob lem a de inscribir un triángulo en un círculo remite, una vez más, a una aplicación de áreas por defecto, y su consideración ‘por hipótesis’ hace referencia a los diorismoi que determinan la posibilidad de solución, ‘es decir’ a las condiciones que aseguren el signo positivo del discriminante de la ecuación ‘correspondiente’, impidiendo raíces ‘imaginarias’. Volvemos a encon trar la exigencia de un diorismós, com o investigación de los límites de posibilidad, en la proposición 4 del libro II de Arquímedes "Sobre la esfera y el cilindro". Pero ahora en torno a la posible solución de una ‘ecuación cúb ica’. El problem a trata de "cortar una esfera dad a por un plano de m anera que 188
Jos volúmenes de los segmen tos estén en una proporción dada". Sigam os a H eath y9 81 : II: 43 -467) en su discusión. Si m :n es esa proporción, h la altura de uno de los segmentos, y r el radio de la circunfere ncia, el problem a ‘corresp ond e a ’ resolyer la ecua ción cúbica en h: hJ - 3 r h 2 + - ^ - r 3 = 0 m+n
(1)
jJ bien A rq uím edes ‘la ’ trata com o un caso partic ula r de la ecuació n más general1: x2(a - x) = be2
(2)
x3 - ax2 + be2 = 0
(3)
‘o se a’
Para la situación correspondiente a (2) plantea Arquímedes el diorismós siguiente: "si el proble m a se plantea de esta forma general, requiere un diorismós, pero si se añaden las condic io nes que concurren en este caso [i.e. en la proposic ió n 4] no se ne ces ita ningún diorismós" (porque entonces la solución siempre es po si ble). La discusió n, que Arq uím edes deja "p ara el final”, se ha perd id o del te xto tal y como ha llegado a nuestros días, pero parece ser la misma que Eutocio recoge después y que aquí exponem os. La ecuación (2) se resuelve por intersección de la parábola de ‘ecuación’ y = = (c2/a)2 y con la hipérbola re cta ng ula r (a - x)y = ab. El diorismós se plantea en términos de hallar el m áximo valor de x2(a - x) para que (2) tenga solución (evi dentemente ‘rea l’), concluyén dose qu e ese valor se alcanz a para x = (2/3)a. Para ello de m uestra que (a) si be 2. = (4/27)a3 las curvas se tocan en x = (2/3)a, y (b) si be2 < (4 /2 7)a 3 hay dos solu cio nes ( ‘re ales’). Pero esto siempre sucede en (1) pues en ese caso, co m para ndo (1) y (3), be2 = (m /m+ n)4r3, y basta con q ue es a m agnitud no sea m ayo r que (4/27)a3, lo que en (1) equivale a (4/27)(3r)3 = 4 r3. Y evide nte mente siemp re será (m /m+ n)4r3 < 4 r3. Lo que este diorismós excluy e es la situación en la que po dría darse b e2 > > (4/27)a3. Pero del ‘significado’ de esta exclusión sólo nos puede dar una idea
1 Ecuación que, claro está, Arquímedes plantea en términos de proporciones. Se trata de dividir un segme nto A D en dos partes, AM y M D, de manera que M D : (una longitud dada) = (una superficie dada): AM2. 2 Es de destacar que, así com o los problemas ‘correspondientes a' ecuaciones cu adráticas se resuelven por el método de 'aplicación de áreas', los que ’corresponderían a' ecuaciones cúbicas no recurren a la que sería una exte nsión natural del método anterior (una cierta ‘aplicación de v olúm enes’) sino a la intersección de secciones cónicas.
189
cabal el análisis general de la ecuación cúbica que se hará a partir de las discu siones de los algebristas italianos del s. XVI. Desde esa perspectiva extemporá nea, dada la ecuación cúbica general (con coeficientes ‘reales’): ax3 + bxJ + ex +d = 0
(4)
m ediante el cam bio de variable x = y + a , con a = - b/3a, la ecuac ión queda de la forma: y3 + py + q = 0
(5)
a la que siem pre puede reducirse la ecuación (4). Las carácterísticas de las tres raíces de esta ecuación, como hoy sa be mos, depen den d e los valores de la magnitud
de manera que: (i) si R > 0 : (5) tiene un a raíz real y dos complejas conjugadas. (ii) si R = 0 : (5) tien e las tres raíces reales, una de ellas doble. (iii) si R < 0 : (5) tiene las tres raíces reales y distintas. Este ú ltimo caso es el que se co noc erá com o ‘caso irredu cible’. Aunque en él las tres raíces son reales, su cálculo mediante la expresión:
pasa por la consid eració n de la raíz cúbic a de núm ero s co mplejos. Consideremos ahora la ecuación (3), a que ‘correspondía’ el problema de Arquímedes, como una ecuación del tipo (4) y ‘traslademos’ a ella la discusión anterior. Me diante el camb io de variable x = y + a/3 la ecuac ión (3) quedará, de forma análoga a la (5):
(6)
190
con lo que, operando: 2
3
R = i - + | ^ = (2 7 b c2 - 4 a 3) b c J de donde: R > 0 si be2 > (4/27) a3 R = 0 si be2 = (4/27)a3 R < 0 si be2 < (4/27)a3 Pues bien, el diorismós que Arquím edes p resenta en términos geom étricos ‘se corresp onde ’ pun tualm ente con las situaciones num éricas que ofrece esta discusión algebraica. E n el ca so (a), donde e ra be3 = (4/27)a3, el punto en que se tocan las cur vas corresponde a la raíz doble de (ii). En el caso (b), donde era be < (4 /2 7 )a \ las soluciones de Arqu íme des son dos de las tres de (iii); aqu í el método geom étrico de Arquím edes le permite hace r frente al ‘caso irreductible’ evitando la que después se verá como inexplicable paradoja de llegar a números ‘reales’ pasando por otros ‘imag inarios’. Por último, el caso excluido por el diorismós arquimediano, aquél en que be2 > (4 /27 )a \ se co rresponde con el (i), que es el único en que la ecuación (3) tendría dos raíces complejas. Observamos así en Arquímedes uno de los más vigorosos esfuerzos de la razón griega por pen sar los propios límites de su epistem e, aunque esta empresa no la acom ete sólo en la investigación de los lím ites de po sibilidad de solución de pro ble m as o diorismoi. La m atemática griega clásica es esencialmente estática, ceñida a la figura/imagen /idea ( eidos ) de contorno s fijos y nítidam ente definidos, del todo solidaria con las precisas determinaciones que perfila la percepción visual (edon = = ‘yo v i’)1, una m atem ática que evita cualquier consideración que suponga m ovi miento o indefinición. Pero las consideraciones cinéticas de Arquímedes (como las que le perm iten, en "S obre la espiral", encontrar la tangente a una curva — cuyo ‘pare ntesc o’ con el cálculo diferenc ial suele subraya rse— o la mism a definición de la ‘espiral’ como el lugar plano de un punto que, partiendo del punto final de un rayo o semirrecta, se m ueve uniformemente sobre su punto final) parecen querer rebasar ya, aho ra en otro aspe cto, su propio cerco cultural. El descu brimiento de "El Método", perdido durante siglos, en 1906 ha permitido conocer el enfoque ‘m ecán ico’ que subyace a m uchas de sus construcciones. Tal ocurre, p.e., en el cál culo de un área por suma de segmentos rectilíneos o en el recurso al equilibram iento de líneas, como pueden equilibrarse pesos en un a balanza, para el cálculo de un segmento parabólico. Como el mismo Arquímedes reconoce en esa obra,
1 Véase epígrafe 1II.4.
191
tales procedimientos infringen claramente los requisitos clásicos de rigor. Ciertas dinámicas y cierta ‘falta de rigor’ serán también dos factores clave que converge rán en intentos posteriores para dar razón de la negatividad matemática, pero en Arquímedes, como hemos visto, ésta queda obturada de raíz por los mismos diorísmoi que, al tiempo que indagan las fronteras de lo impensable y lo imposible, trazan sus confines — en lo qu e a la negatividad se refiere— con aún m ayor deter minación. La exploración de distintos diorismoi irá juga nd o un papel cada vez mayor en la matem ática griega. A sí, de la importancia que les conced e A polonio (262?190? a.C.) da una idea la mención explícita que va haciendo de ellos en los breves resúmenes con que, a modo de prefacio, comienza cada uno de los libros de sus "Cónicas". No se trata ya de requerimientos ad hoc, insertados circunstancial mente jun to a un problem a concreto, para determinar, al hilo de la construcción de su solución, las condiciones de posibilidad de ésta; ahora se trata de un plan siste mático de investigación que incluye, desde un principio, la indagación de los lími tes de su posibilidad de solución y del número de soluciones posibles, en su caso. En el «Prefacio General» que precede al Libro I de las "Cónicas" anuncia: "El segundo libro contiene las propiedades de los diám etros y de los ejes de las secciones [cónicas] así como de las asíntotas, con otras cosas general y necesaria mente usad as para de termin ar los límites de posibilidad (diorismoi)"
Y en el «Prefacio» al Libro IV: "Contiene [este libro] una discusión de la cuestión: en Cuántos puntos como máximo pued en las se cciones cónicas co rtarse en tre sí y a la circunferencia de un círculo, en el supuesto de que no coincid an p or completo, (...) Estos teoremas son de considerable utilidad tanto para la síntesis de problem as como para los diorismoi. Nicoteles, en efecto, a propó sito de su discusión con Conon, no ve qué utilidad puedan tener los descubrimientos de Con on de cara a los diorismoi; sin embargo, está equivocado en es to, pues aunq ue sea posi ble. sin usa r de ellos en abso luto , lleg ar a resultados co ncern ie ntes a los límites de posibili dad, en cua lquier caso sum inistran al lector medios para observar ciertas cosas, p.e., que son posibles varias o tántas solucio nes , o que no es posible ninguna solu ción; y con ocer eso con antelación asegu ra una base satisfactoria a las investigaciones."1
La investigación sistemática de Apolonio le permite cono cer de antemano, no sólo cuándo un cierto problema tendrá una solución (la solución), sino si puede haber varias y cuántas serán, lo que se le escapará a Diofanto pese a disponer de un sim bolismo formalm ente ‘más potente’. Pero esa m isma sistematicidad dibuja con m ayor nitidez los límites de la episteme griega en lo tocante a la negatividad. El antiguo método de ‘aplicación de áreas’, con su diorismós establecido ad hoc para cada prob lem a particular, podía excusar la consideración de otras soluciones
1 Citado por T. H ca lh(1 98 l: II: 130-1).
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— y, entre ellas, las ‘im posib le s’— toda vez que, encontrada una, se te nía ya la solución. Pero la exploración exhaustiva de todas las soluciones posibles ya no puede dejar lu gar a duda re specto a la necesaria imposibilidad de las soluciones ‘im po sibles ’. No ha y m ás so lucione s que las ‘posibles’ y de su existencia da cuenta la posibilidad de su construcción efectiva en términos de contactos entre las dis tintas curvas. No nos dete ndrem os en el estu dio de alguno de los muchos pro blem as en los que Apolonio recurre a diorismoi que explícitamente ‘excluyen’ soluciones ‘imposibles’ (mejor dicho, que aseguran que ‘no hay’ solución o que ‘no hay más q u e’ tantas), pues los lím ites de posibilidad se siguen estableciend o en los términos ya conocidos de comparación de áreas o longitudes, posición relativa de varios punto s, etc . es decir, en térm in os de construcciones capaces de visualizació n. De hecho, la clasificación y estudio por Apolonio de las cónicas tiene su origen en el mé todo de ‘aplicación de área s’, que ya expusimos con cierto detalle. Los mismos nombres de las distintas secciones cónicas, que seguramente se remontan a los pitagóricos, así lo manifie sta n: la ‘elipse’ ( de élleipsis o ‘deficiencia’, ‘falta’) corre spon de a la aplica ción ‘por defec to’, la ‘hipérb ola’ (de hyperbole o ‘exceso’, ‘exageración’) a la aplicación ‘por exceso’, y la ‘parábola’ (de parabole o ‘com paración’) para la aplicación ‘ex acta ’. Para desb orda r el cerco perceptual de la razón griega no bastará siquiera el tratamiento ‘moderno’ que da Apolonio a las secciones cónicas, utilizando los que suelen considerarse ‘antecedentes’ claros de la geometría analítica cartesiana: ejes coordenados (aunque solidarios a las figuras y no indepen dientes de ellas), ‘ecuaciones’ (en términos de magnitudes) referidas a los ejes, la consideración de opuestas para referirse a la doble rama de la hipér bola , etc. El esp acio , com o bie n fundam entó A ristóteles, lo es d e los cuerpos como las coordenadas de Apolonio lo son asimismo de las figuras, inherentes a ellas y solidarias con ellas, incapaces, por tanto, de orientar ninguna form a de negatividad. Con los diorismoi, efectivam ente, el modo griego de razón alcanza en m ate m áticas un tech o, en el doble sentido de la expresión. Se alza has ta la m ayor altura posib le al explo ra r de m anera siste m ática los límites del ámbito de lo pensable , al conv ertir en o bjeto de con siderac ión la posibilidad m isma de la exploración: "si lo que se busca es imposible o posible y hasta dónde y de cuántos modos". Pero el mismo movimiento de búsqueda naturaliza, como seguramente no podía ser de otro modo, esos límites, sentando como imposible cuanto no cae bajo el dominio de su específica form a de racionalidad. Y estos diorismoi bloquean implícitam ente cualquier forma de negatividad, pues imposible es, como hemo s visto en los ejem plo s desarrollados, determ inar ciertos puntos cuando cie rtas construccio nes geométricas lo impiden evidentemente (una circunferencia cuyo radio no alcanza una longitud dada, do s c urvas que no llegan a cortarse...). N o debe o lvidarse que una de las expresiones mas habituales mediante la que se asume la imp osibilidad de algo es la de calificarlo com o átopon, sin lugar, sin posibilidad d e visualizarse. El se r proc ede de su e-v iden cia, de su ser para la vista. Y el que una solución lo sea
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depen de de su cap acidad de m ostrarse, de saltar a la vista. No es que el ‘álgebra geométrica’ griega excluya o evite las ‘raíces imaginarias’ o los ‘números negati vos’, como en ocasiones se afirma; lo que se excluye o evita son las condiciones mismas en las que tales formas de negatividad podrían haberse suscitado. Al garantizar las condiciones bajo las que es posible una construcción geométrica efectiva, el diorismó s no declara imposibles ciertas soluciones sino ciertos proble mas, cuyo planteamiento mismo carece de sentido. Situación del todo diferente a la que se verán abocados los m atemáticos de la Ilustración cuando, al obtener raí ces negativas, declaren el sinsentido que se ocultaba en el problem a y alteren los términos en que éste se enun ciaba para — ahora sí— evitar esas soluciones ‘impo sibles’. Son dos formas de ‘imposibilidad’ bien distintas: la una, por el carácter constructivo de su mé todo, no puede siquiera abo car a ciertas situaciones, no puede ver ciertos caminos, excluidos necesariamente y de antemano en su posibilidad mism a; la otra, po r el carácter ‘sim bólico ’ de su m étodo, sí abo ca a esas situaciones antes oc luidas, y será la dificultad para ‘interpre tar’ las soluciones (a las que aho ra necesariamente lleva un cálculo estrictamente formal) la que mu eva a con cluir la imp osibilidad de algo que, sin em bargo, en cierta m anera — formal— sí ha sido posible.
III.6 A phairesis : pensar ‘por abstracción’ y o perar ‘por sustracción’. Los prim eros principios o los límites del sentido com ún griego .
Cuantos obstáculos a la emergencia de la negatividad hemos considerado hasta aquí, acaso descansen en sólo dos carácterísticas, aunque íntimam ente liga das, que marcan de raíz la episteme griega. Se trata de un modo de pensar que: a) pro cede ‘por abstracción’ y b) lo hace a partir d e las cosas sensib le s (lo que Ortega llama el ‘sensualismo’ griego); un modo de pensar que opera clasificando la reali dad y los saberes sobre ella en una sucesión de géneros y especies. De un modo general, quedan así incomunicadas la.aritmética y la geometría, como saberes sobre la ma gnitud disc reta y la continua, respe ctivame nte; y en p articular, se exige tanto de una com o de otra un carácter sustancial que, aportando un sustrato com ún,1 perm ita tanto sustra er el género de la especie como una m agnitud de otra. En el m odo de pen sar aristotélico-euclídeo es la misma acción, expresa da por el mismo verbo (aphairéó ), la qu e da lugar a la diferencia específica y a la diferencia de mag nitudes. Se sustraen magnitudes como se abstrae el género de la especie: sepa rando algo de donde, necesariamente, había más. Para el griego, sustraer es abs traer, dos modos de una misma actividad extractiva. Se trata, pues, de una operación intrínsecamente positiva. No puede sustraerse de donde ‘no hay’, como tampoco pu ede sustraerse más de lo que ‘ya ha y’. Y la herencia de este parad igma encam inará la indagación occidental sobre la negatividad en térm inos de po sibili-’ dad/imposibilidad de sustracció n. Si comparamos estos procesos de ordenación del pensamiento y la realidad con los que en C hina cump len funciones análogas, podrían correlaciona rse el pro-
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cede r ‘po r abstrac ción ’ con el hacerlo ‘por analo gía’ o ‘por equivalencia’. El de s encadenamiento de g én em s y especie s (soportadas por un sustrato com ún) a q ue el prim ero da lu gar se correspondería, en el se gundo, con las biparticiones (articula das por un gozne interpuesto) inducidas por un criterio general ‘de oposición’. El prim ero obliga a la negatividad a moverse en el terreno del ‘sustraer’, de lo que ‘falta’, la ‘au sen cia’, la ‘nada ’ y el ‘menos que na da’ ; el segundo, presc inde de su s tratos y separacio nes, y lleva a la negatividad a moverse en términos de op osicio nes, analogías (congru encias), sime trías y ejes o ‘goz nes ’ que las articulen. En la base de ese m odo de pensar por abstracción e imbricación en gé neros y especies está — y volvemos aquí a seguir a Ortega— ése su carácter ‘sensu alista’ y ‘cosista’, que, a partir de la percepción sensible de unas supuestas ‘cosas ahí’1, va extrayendo de ellas los conce ptos, construidos por lo que hay de común en ellas. Un proceso que O rtega llama, no sin malicia, ‘por abstracción com unista’. Te ne mos ahí un primer m om ento del papel determinante jugad o por la sensación. P ero ¿cómo determ inar que lo com ún a una colección de triángulos es su ‘triangularidad’ y no, por ejemplo, su color? Porque ésa es su comunidad respecto de un ‘punto de vista ’, el de la figura, que los distingue de los cuadrado s y no de los trián gulos de otro color. Otro tanto o curre con la primera definición de Euclides: "Pun to es lo que no tiene partes o lo que no tiene magnitud". Ninguna de esas dos defini ciones perm ite distinguir el punto de cualesq uiera otras cosas que no tengan pa rtes o magnitud, como el alma. Dios o ‘lo que no hay’. Ambas, observa Ortega (1979: 93), "dan por supue sto, y de puro suponerlo no lo expresan, que vamos a hablar de lo extenso (...) y más concretamente que lo tenemos delante, que lo vemos', supo nen además qu e eso que vemo s lo vemos como un todo, y que lo dividimos en pa r tes; supone n que con un a de esas partes medim os el todo, y nos propon en que b us quemo s una parte tan pequeñ a que ya no tenga partes y que no pueda ser med ida con ningun a otra porque es me nor que cualquier otra", lo cual implica buena parte de la geometría antes de empezar siquiera. Análogo anclaje en la visión tiene el axioma VIII de Euclides: "Magnitudes que coinciden entre sí, esto es, que llenan exactam ente el mism o espacio, son iguales". Y también remite igualmente a la pr e suposición d e evidencia de un concepto, el de magnitud, que no ha sido definido antes. Los ejemplos podrían multiplicarse. El requ isito de visibilidad no es tan sólo un presupuesto implícito en el que descansa esta forma de pensar. Tal condición se pone explícitamente, incluso en matemáticas. Así, Aristóteles, en su Physica (II.9. 200*16-19): "Si la línea es lo que reconocemos que es a partir de nuestra intuición visual, • entonc es el ángulo suma de un triángulo es dos ángulos rectos".
Aristóteles, como subraya Heath (1949: 45), no cesa de referirse al carácter sensual de la magnitud, asociándola directamente con la imagen del cuerpo que se
1 Sobre el carácter siempre construido de cualesquiera ‘cosas ahí' ví ase E. Lizcano (1993b ).
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ofrece a la vista y se manifiesta dimensionalmente: la magnitud "es continua de una, o dos, o tres ma neras" ( M eta physic a, A. 13.1020*11); "todo cuerpo tiene pro fundidad, que es la tercera [clase de] magnitud" ( De Anim a, 11.11.423*21). Los "Elementos” de Euclides recogen este mismo espíritu, viniendo también a funda mentarse, según J. J. Gray (1990: 651) "en asunciones, a menudo bajo forma de dedu cciones, que reflejan creencias sobre el espacio físico". Desde esta c oncep ción ‘sensualista’ no tiene ningún sentido nada que pudiera evocar una magnitud negativa. En De Sensu et Sensib ili (3.400*26-8) se afirma: "No es posible que ninguna magnitud pueda ser invisible, sino que toda mag nitud es visible a una cierta distancia".
Así, la ma nera aristotélica de entender el proceso de abstracción ten drá —a diferencia, en este respecto, del modo platónico— repercusiones bien directas en el tratamiento posterior de la negatividad : "Fuera de las magnitudes sensibles, nada existe separadamente: es en las for mas sensibles donde se encuentran los inteligibles, lo que se dice en abstracción, todos los estados y propiedades de las cosas sensibles" {De Anima, II. 11.432*3-6).
O bien, con un ejem plo especialmente plástico: "Lo que se dice en abstracción se dice como lo chato: si se toma la nariz chata en tanto que tal, no hay ninguna separación; pero si se piensa en acto su concavidad, entonces se la piensa separadame nte sin la carne en la que se encuentra. A sí los obje tos matem áticos, aunqu e no tengan existencia separada, se piensan com o separados, cuando se los piensa en tanto que tales” {De Anima, II. 11.43la l2 - 17).
En estos y otros textos semejantes, el término utilizado por Aristóles —que traducimos por abstración — es el de aphairesis, y es el m ismo que E uclides usará también para referirse a la operación de sustracció n, ya sea de núm eros ya de mag nitudes. Así, en las proposiciones 6 y 7 del libro VII de los "Elementos": "Si un número es la misma parte (o las mismas partes) de un número que el número sustraído lo es del número sustraído, el resto será la mism a parte (o las mis mas partes) del resto que el todo lo es del todo".
Y, para magnitudes ahora, al desarrollar la concepción de Eudoxo, la propo sición 19 del libro V dice: "Si una ma gnitud entera es a una magnitud entera cóm o la magnitud sustraída es a la magnitud sustraída, el resto será al resto como el todo es al todo".
El sustantivo aphairesis proviene del verbo aphairéó, que se usaba en len guaje ordinario en las acepciones de ‘sacar’ o ‘extraer’ algo de algo, ‘separar’ algo 196
de una cosa, ‘arrancar’, ‘privar’, etc. Lo que el matemático griego puede sustraer — y, por ta nto , ta mbié n lo que le es im posible sustraer— se revela así, a través del lenguaje, anclado en el imaginario social de su cultura, un imag inario que A ristó teles sistema tiza ejemplarmen te. J.-L. G ardies (1989: 66), indagando las imp lica ciones que para la construcción del número tienen las diferencias entre el sentido moderno y el aristotélico-euclídeo de la abstracción, observa este origen com ún de la abstracción aristotélica y la sustracción euclídea, y señala cómo en uno y otro caso se requieren dos condiciones. Así, la abstracción: "...permite pasar del concepto de-‘león’ al de ‘cuadrúpedo vivíparo’, de éste al de ‘animal sanguíneo’, y de éste al de ‘animal’, por la doble razón de que estos con ceptos son homogéneos (pues, como diríamos hoy, todos ellos corresponden a con juntos de individuos o a predicados de individuos) y que, al tener los primeros una comprensión más rica que los siguientes, el paso de los unos a los otros resulta cada vez de una suerte de extracción''. Del m ismo modo, para pode r sustraer un núm ero (o una magnitud) de otro (o de otra) hace falta, en primer lugar, que ambos sean homogéneos, y, en segundo lugar, que aquél del que se sustrae teng a ‘una com prensión m ás rica ’ qu e aquél que es sustraído, es decir, que el primero sea mayor (que comprenda mas unidades o mayor extensión) que el segundo. Si de la especie ‘hombre’ ( = ‘animal racional’) abstraigo/sustraigo el género ‘anim al’ queda com o residuo o exceso la diferencia específica: el ser ‘racional’. De igual modo que si de 4 sustraigo/abstraigo 3 queda como residuo o exceso la diferencia: 1. Esquemáticamente, la analogía podría representarse así: minuendo
s u s t ra e n d o d i f e r e n c i a
‘ c u a t r o ’ - ‘ tr e s ’ = ‘u n o ’
osea
‘ h o m b r e ’ - ‘a n im a l ’ = ‘ ra c i o n a l’ o sea e sp ec ie
g én er o
' c u a t r o ’ = ‘ tre s ’
+ ‘u n o ’
‘h o m b r e ’ = ‘a n i m a l ’ + ‘r a c i o n a l’
d i fe r en ci a específica
Po r eso, en el pasaje co m entado en III.3 de la Physic a aristotélica era impo sible que se obtuviera ‘nada’ como exceso resultante de una operación de sustrac ción. Sustraer un núm ero (o una magnitud) de otro (o de otra) es así una operación en todo sem ejante a la de extraer/ab straer el género de la especie. Y será, por tanto, el mismo tipo de imposibilidad el que prive de sentido tanto a la operación de sus traer un núm ero (o magnitud) may or de uno (o de una) m enor como a la operación de abstraer la especie ‘hombre’ del género ‘animal’, y no al revés. Pues, en este caso, el anterior esquem a analógico sería:
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‘tres’ - ‘cu at ro’ = ?
o sea
‘tres’ = ‘cua tro’ + ?
‘an im al’ - ‘ho m bre ’ = ?? o sea
‘an im al’ = ‘ho m bre ’ + ??
Restar, por tanto, 4 de_3, que tan natural resulta para la antigua episteme china, es para un m odo de p ensar que, como el griego, clasifica en gén eros y espe cies, tan absurdo como intentar obtener el concepto de animal a base de agregar otro con cepto al co ncepto de hombre. Pues está claro que el ‘ho m bre’ (especie) sea un ‘animal racional’ (género + diferencia específica), pero el ‘animal’ es un ‘hom bre ¿qué?’. N o hay modo. Am bas operacio nes son puros disparate s, ta nto ‘ló gic os’ como de ‘sentido común’. No en vano Diofanto, como veremos, intentará evitar pensar en térm in os de aphairesis para articular algún tipo de leipsis o ‘falta’, intentando co n ello da r alguna ca bida a la posibilidad de cierta negatividad que su tradición le niega. Para Aristóteles ( Tópica, XI.6.143b8), la especie se constituye cuando al género se añade la diferencia (específica), el residuo que había quedado cuando operábamos por abstracción/sustracción. Por eso el movimiento inverso al de aph ai resis (abstracción) es el de prosthesis', si el primero va de la especie al género, o del conce pto más rico al más pobre, el segundo procede del géne ro a la especie, del concepto más pobre al más rico en determinaciones (la prosth esis añade al sustr ato genérico la diferencia de la que resulta la especie). Y por eso, análoga me nte, la operación inversa a la aph ai resis (resta o sustracc ión) es la p ro s thesis (suma o ad ición)1(la prosth esis añade al sustr aendo la diferencia de la que resulta el m inuendo ). En este sentido también, A ristóteles dice que en m atemáticas se habla por ap hai resis mientras que en física se hace por prosth esis . Esta forma de clasificación por géneros y especies está estrechamente unida al decisivo pap el que señalábam os para la percepción visual en la construcción de la m atem ática griega. C onviene aho ra añadir que ese papel no se agota en la cons trucción de conceptos, sino que se extiende a todo el proceso de demostración o pru eba, com o ha señala do A. Szabó (1960, 1965, 1977). Para éste (1 960: 34), el origen de lo que se entiende por ‘de-mostración’ es una ‘mostración’, una ‘exhibi ción’ o ‘poner a la vista’: "Uno de los términos técnicos más comunes en el lenguaje matemático griego es el verbo deíknymi, que aparece como frase final en cada demostración de Euclides. (...) Sabemos que los griegos conocían el ‘antiguo’ significado del verbo deíknymi
1 J.L. Gardies (19 89: 67, n. 4), aclara que Euclides sue le preferir el término synthesis, por cuanto el 'poner juntas' dos cantidades hace más patente la conmutatividad de la suma que el ‘añadir’ la una a la otra. El uso de prósthesis como 'adición' o 'suma', y el de prostithémi como'sumar’, es sin embargo no menos habitual; así, p.e., cuando Sócrates se pregunta en el Fedon (96e 710) por e¡ sentido que pudiera tener sumar uno y uno.
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como 'visualizar de modo concreto’ ya desde tiempos de Platón. Por otro lado, es sabido que los primeros pitagóricos consideraban la geometría como istorie, i.e., como una ciencia inseparable de la visión". Un claro ejemplo lo encontramos en el célebre pasaje del M enón platónico (82b-85e), donde Sócrates plantea cómo el esclavo sabe geometría sin saberlo. Más explícito, si cabe, lo es aún en el Cratilo (430e), cuando S ócrates se ve en la necesidad de ac larar que al mo strar un retrato no e stá utilizando el término deixai en el sentido de ‘dem ostra ción ’ sino en el de ‘mo stració n’: "Y entie ndo po r deixai hacer entrar por el sentido de la vista”. Ciertamen te los m odos de demostración fueron evolucionando, como e studia Szabó, en el sentido de un abando no de este carácter empírico-ilustrativo, p ero no tanto para sustituirlo po r otro cuanto p ara ‘ocu ltar’ su origen directame nte pe rcep tivo, reconstruyendo a posteriori, con procedimientos indirectos, teoremas que pre via m ente había n sid o enuncia dos y (d e-)m ostra dos con apoyo visual. Cabe incluso pensar que, en cierto sentido que precisaremos más adelante, esta evolu ción refuerza aún m ás el crucial papel de la visión en lo que se tendrá p or pensable, por decib le y por d em ostrable en la m ate m ática euclídea. Procediendo así a partir de extractos sensuales, cuyo carácter común decide su consideración desde un cierto punto de vista, se van construyendo formas supe riores de comu nidad — los géneros— respecto de los que las otras — especies— se determinan por especificación. Es c arácterístico, pues, de esta form a de p ensa r el hacerlo en géneros y especies qu e, en relación m utua de co ntinente a contenido, se van imbricando jerárquicam ente. Lo cual tendrá — como ad vierte Ortega— sobre el modo euclídeo de hace r matemáticas, y en especial sobre el obstáculo que entra ñará para la eme rgencia de la negatividad, "un influjo sustancial; a saber: un influjo negativo: el de im ped ir (...) la expansión de la matem ática, obligá ndole a fingir que pensaba ‘cosas’ y que las pensaba por absta cció n com unis ta, en género s y espe cies". En lug ar de defin ir ‘la cosa ’, y al definirla crearla, este proced er apu nta a re cono cer la supuesta ‘co sa’ como proviniente de un afuera en el que se supone su existencia y al que tenemos acceso por información sensorial. Aquí radicará la diferencia decisiva entre este modo de pensar y el modo moderno: "los antiguos pie nsan desde el ser, al paso que los modernos, com enzando por D escarte s, pie n san desd e el pensar, de sde las «ideas»" (1979: 109). Pero ca da especie no puede ser pensada desde el género, pues a éste siempre le añade algo nuevo: su especificidad, por lo qu e que nec esita sus conc eptos — defi niciones y axiom as— específicos. Ca da ciencia, po r tanto, en luga r de arran car de princip io s genera le s, que lo so n del género, habrá de hacerlo desde sus princip io s específicos, que así la cierran sobre sí misma y la incomun ican de todas las demás. Es la ‘ley de inco m unicabilidad de los géne ros’, que establece la estanqueidad re s pectiva de aritm ética y geom etría . El abismo entre el lugar del núme ro y e l n ú m e r o del luga r que así se abre determ inará también decisivamente la oclusión de la nega tividad. Incluso relaciones cuyo nombre es el mismo —como las de ‘igual’,
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‘mayor’ o ‘menor’— tendrán significados irreductibles en aritmética y en geome tría. La prohibición aristotélica es rotunda: "No puedes, por lo tanto, cuando se trate de probar algo, pasar de un género a otro; e.g. no puedes probar una proposición geométrica mediante aritmética. Pues tres cosas se requieren en una demostración: (1) la conclusión que va a demostrarse, (2) los axiomas, esto es, ios axiomas de los que [parte la prueba], (3) el género o asunto subyacente, cuyas propiedades y atributos esenciales se clarifican por la demostración. Ahora bien, las cosas de las que parte la prueba (los axiomas) pueden ser las mismas (cualquiera que sea el asunto); pero donde el género es diferente, como en aritmética y geometría, no es posible aplicar la demostración aritmética a propiedades de magnitudes, salvo si las magnitudes son números. Hay, sin embargo, casos en los que tal transferencia sí es posible, como se explicará más adelante. Ahora bien, la demostración aritmética tiene su propio género, al que se refiere, y asi mismo lo tienen las demás ciencias. Por tanto es necesario que el género sea el mismo, bien absolutaménte, bien en algún respecto, si quiere transferirse la demos tración; de otro modo la transferencia es imposible, pues los términos extremo y medio deben tomarse del mismo género" (Analy ticaposteriora. I. 6-7.75*35-b17). La extensión de la cita permite atender a las razones por las que aritmética y geo m etría son incom unicables, pero también al enunciado, como de pasada, de una curiosa salvedad: la demostración arimética no puede aplicarse a las magnitudes (evidentemente geométricas) salv o que las magnitudes sean números. Si cabe la posibilidad de que las m agnitudes sean núm ero s, por ahí se comunic arían ambos géneros. Heath (1949: 45) ño cree que Aristóteles se plantee la posibilidad de que las magnitudes puedan ser números y destaca cómo la cantidad (posón) se divide tajantemente (Categoriae, c. 6) en continua (o magnitud) y discreta (o número). ¿P odría ser entonces ese posón el elem ento super-genérico que sirviera de llave de paso entre los género s estancos? La cuestión no es baladí pues la em erg encia rena centista de h n e g a t i v i d a d va a p asar precisamente por la exclusa que esa llave cie rra, como también lo hará — aunque po r otro camino— la geometría analítica de Vieta o Descartes. En ocasiones Aristóteles (Metaphysica, E. 1. 1026*23-7) apunta un puente do nde acaba de prohibirlo: "Puede plantearse la cuestión de si la filosofía primera es universal o trata con algún género particular o alguna clase de cosas. Pues ni siquiera en las ciencias mate máticas es el método uno y él mismo; geometría y astronomía, p.e., tratan con cierta clase de cosas, pero la ciencia universal de las matemáticas es común a todas las ramas". O también (Metaphysica, K. 7. 1064b8-9): "Pues cada una de las ciencias matemáticas se refiere a unos géneros distintos, pero la matemática universal es común a todos". 200
Aqu í Heath (1949: 223) sí sugiere que la analogía que m ejor se ajusta a esta ‘m atemática universal’ que "Aristóteles parece tener en la cabeza es nuestro álge bra". Pero ése es pre cis am ente un paso que no p uede dars e desde este m odo de pen sar. "Existe un co ncep to de can tidad, y A ristóteles lo define en el libro de la M eta fís ica", observa O rtega (1979; 118), "pero este conce pto es de por sí inoperante. La geometría empieza con el concepto de «magnitud — m égethos — o cantidad conti nua; por tanto, con una especie, lógicamente h ablando. ¿P or qué sólo ésta es hábil para obte ner proposic io nes verd adera s? Porq ue es lo último com ún en este orden que en las cosas sensibles puede encontrar la abstracción ‘comunista’. La pura y genérica cantidad escap a ya a la sensación: la pu ra ca ntidad ya no es una «cosa»". Pero el pásaje m ás significativo de Aristóteles a este respecto no es el aduc ido por Ortega sino el siguiente de los Analíti cos p osterio res (I. 5. 74*16-b4): "Otro caso es el teorema sobre proporciones, donde se pueden tomar los térmi nos alternativamente; este teorema solía probarse en tiempos de forma separada para números, para líneas, para sólidos y para tiempos. Pero como no había ningún nom bre que comprendiese todas esas cosas como una, me refiero a números, longitudes, tiempos y sólidos, que difieren en especie unos de otros, eran tratados por separado. Ahora, sin embargó, la proposición se prueba de modo universal; pues la propiedad no pertenece a los objetos en tanto que líneas o en tanto que números, sino en tanto que teniendo un carácter particular que se supone poseen de modo universal". En este punto roza Aristóteles el límite del cerco de este modo de pensar. Sin dud a se está refiriendo a la nueva teoría de proporciones desarrollada po r Eudoxo para salvar las aporías a que, tras la irru pció n de los inconm ensurable s, conducía la tradicional teoría de propo rciones pitagórica. Ya vimos cómo Eu clides presenta ambas por separado, con diferentes colecciones de definiciones y sin establecer ninguna conexión entre ellas, ni siquiera cuando — como en X.5— se enfrenta a una proporción en la que la razón de dos magnitudes es la misma que la que hay entre dos números. Aristóteles pone el dedo en la llaga al referirse a cierto ‘carácter particular’ que de ‘m odo universal’ poseen tanto magnitudes co m o números. Pero si la negatividad pertenecía al ám bito de lo innom brable, ahora estamos ante lo innom inado: ‘no ha bía ningún n om bre’ capaz de alojar sem ejante he terogene idad1. Tam poco acierta a da r con uno tras la relativa unificación que proporciona la nueva teo ría de pro porcio nes. Heath observ a que "Aristóteles no dic e qué térm ino genera l se usaba en su tiempo para cubrir las cuatro categorías de cosas; posiblemente ningún tér m ino h abría obtenido un ac uerdo definitivo (...); si él hubiera sugerido un o presu miblemente habría sido po són, cantidad, cuanto". Lo cual no deja de parecer dem asiado aventurado, cuando a caba de rechaz ar la posibilidad de que Aristóteles hubiera podido pensa r las magnitudes como núm eros. No, ese posón transgenérico
1 No deja de ser chocante que aquí deríve Aristóteles la distinción de géneros de la ausencia de un nombre común , y no a la inversa.
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marca un borde cultural que no se reconstruirá hasta finales del siglo XVI. Y, aún entonces, alguien tan buen concedor de Aristóteles como Suárez seguirá negán dose a tratar el concepto genérico de ‘cantidad’, arropándose en que también el maestro lo evita y nada más mencionarla corre a subdividirla en continua y dis cre ta 1. Junto al decisivo papel de la percepción sensible en el origen del proceso de conceptualización y en el de-imbricación en géneros y especies, hay un tercer momento que sobredetermina este modo de pensar no menos profundamente. Es el del establecimiento de los principios, tanto los específicos como los primeros princip io s, q ue so porta n to do encadenam iento deductivo y que esta form a de ra cio nalidad va a justificar por su carácter evidente. En efecto, cada ciencia, cada especie, ha de partir necesariamente de una intuición básica, que la determina en su especificidad: la intuición de la magnitud extensa, en geometría, o la del número discreto, en aritmética. Esta intuición, al situarse al principio de cada especificidad, que arranca de ella, no podrá definirse ‘en g ene ral’ sino qu e ha brá de presentarse como ‘eviden cia espec ífica’: ésa su ori ginalidad será la que dé origen a la especificidad correspondiente; de ahí la proli feración de cienc ias. Los princip os específicos, definiciones y axiom as, que fundan cada ciencia que dan así sin otro fundamento que el de su evidencia. El encadenamiento progresivo en la jerarquía de géneros y especies de las definiciones y a xiom as les rem ite de continuo, por otra parte, a elem entos previos, cad a vez más g ene rales, h asta llegar a los ‘primeros p rincipios’, donde se trunca la anterior cadena regresiva y de donde descenderá, ahora en sentido inverso, el mecanismo deductivo en que consiste la prueba. No encajadas ya en ningún género, estas proposiciones primeras no necesitan —ni, en rigor, pueden— ser pro badas, lo cual no es obstá culo para que para dójicamente, como apunta Ortega (p. 85), sean "más verdad que las a ellas subsecuentes y en ellas fundadas, puesto que éstas tienen sólo una verdad derivada de aquélla, que es primitiva e ingénita a las proposiciones primeras". No es exagerado, pues, concluir que "el pensamiento con que se piensan las proposiciones primeras [de las que penderá toda verdad obtenida por m edio de prueba] no razona, es irracional por tanto y cuando menos ilógico" (p. 894). Pero esto, que — desde Godel— sabemos que es carácteristico de cualquier sistema lógico, en el caso griego nos permite una nueva vía de acceso a sus pre supue stos culturales — literalmente, sus pre-juicios— en el mom ento mismo en que se proyectan sobre sus saberes más formales, como lo son sus matemáticas, qu e quedan así im pregnadas de significaciones inconscientes. Razón por la cual el esqueleto formal de sus m atemáticas, cuando es heredado por sociedades con pre supuestos diferentes, se verá imbuido de significaciones distintas que pugnan por emerger tras las significaciones latentes conservadas. Pues, mientras para el modo de pensar moderno la justificación de la elección de unos principios primeros en
1 "Statim illam divisit in continuam et discretam ”, citado por J. Ortega (19 79 :1Í9). 202
lugar de otros se b asa en su ca pacida d generativa puram ente form al1, en su fecun didad lógica, el pensamiento euclídeo-aristotélico buscará tal justificación en su evidencia, en su ser de sentido com ún, que es una variable cultural de prim er orden. Venir avalados por la ‘opinión pública’, ser estimados como éndoxoi u ‘opi niones reinantes’, contarse, pu es,e ntre las creencias, será decisivo para constituirse en principio: "la validez del principio es un hecho social", concluye Ortega (p. 165), quien conjetura que Aristóteles tuvo su primer encuentro ‘enérgico y vivaz’ con los axiom as cuan do estab a reuniendo sus ‘lugares com unes’, con los que se le pre senta ro n confundidos3. De ahí que no d ediq ue a la cuestión de cóm o se obtienen sino una página escasa, y que apenas preste atención a la cuestión crucial de su categorización: tan pronto los denomina arché, como proto n, o como hóthen (‘de dó nde ’). ¿Para qué d etenerse en lo evidente? A hí sólo se para algún ser ‘bicéfalo’, com o H eráclito con el principio de no-contradicción, y ante ésos ya no caben argu mentos — ¿desde dónde?— sino descalificaciones ad hominem. El otro gran principio que, junto al de no-contradicción (cuyas raíces en el imag inario griego considerába m os en III. 1), dom inará este modo de pen sar es la suposición de que en los fenómenos sensibles encontramos la auténtica realidad, que así viene a identificarse con la presencia , circunstan cia a la que hemos venido llamando posit iv id ad. Es tal el grado de evidencia de este principio que A ristóteles no lo form ula explícitam ente en ningun a parte ni, por su puesto, se para a discutirlo, pero — o pre cis am ente por eso — im pre gna ta nto su obra co mo la m ate m ática de su tiempo, y lastra terminantemente el pensamiento de la ausencia, sobre el que habrá de construirse la negatividad matemática. Este necesario sustrato ‘cósico’ para lo pensable se arrastra rá , al menos, hasta el Renacim ie nto , donde la incógnita de las ecuaciones algebraicas seguirá conociéndose como ‘la cosa’, por lo que otras soluciones distintas de las ‘positivas’ a fortiori habrán de rozar lo impensa ble. ¿N o es in herente a ‘la cosa’ su positivid ad?, ¿qué sentido tiene que ‘la cosa’ sea ‘negativa’, aún en el supuesto de que ‘lo negativo’ mismo pueda tener alguno? Si —como tan bien vió Aristóteles— el ser les viene a las cosas de su capacidad para pre senta rse ¿de dónde habrá n de sacarla las ausencia s para hacerse un hueco?, ¿y qué otra cosa sino nad a podrá ser un hueco para un hueco? Parece que la propia matemática griega ya habría percibido su excesiva dependencia de una visión ‘cosista’ de la realidad, iniciando un movimiento de ocultación de esa particular génesis que la llevará a instalarse en un olimpo de meras formas se paradas de las determinaciones sociales y sensibles que la hicieron posib le . Los pre -juic io s, así recubie rtos y pro te gid os, resultan mucho mas re siste n tes, menos expuestos a cualquier posible crítica. Esta voluntad de negación de la
1 Aquí la perspicacia de Ortega para discernir las particularidades culturales implícitas en las matemáticas griegas se nubla en el punto de hacer otro tanto con las modernas. (Vé ase nuestro cap. I). 2 Ibid., p. 147. Sobre las ralees sociales de la lógica aristotélica puede verse también C. W. Mills (19 39, 1940). donde hace referencia a los estudios de De wey sobre la impronta que esta lógica arrastra de las categorías lingüísticas y estéticas dominantes en la sociedad griega.
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subjetividad social que está en su origen, este esfuerzo por enm ascarar el carácter construido de sus enunciaciones para presentarlas como descubrimientos, está en el núcleo de lo que Woolgar (1991) llama la ideología de la representación que carácterizaría a todo el proyecto científico occidental. Ya antes de Euclides, según Szabó, se habría iniciado cierto tránsito de una m atem ática em pírico-ilustrativa a otra estrictam ente teórica, donde la visión habría perd id o su papel pre ponderante . Los eje m plo s que aduce (p.e. teore m as de los "Elementos" relativos a números pares e impares) muestran cómo Euclides susti tuye los guijarros (psephoi) usados para el cálculo entre los pitagóricos por seg mentos de línea, lo que si ciertam ente da a los núme ros así representados un carác ter más abstracto (al no tener que contener una cierta cantidad de unidades) no evita en abso luto su representació n espacial y, po r tanto, visual. Sin duda, "la ten dencia era privar de su ca rácter ilustrativo incluso a los teoremas m ás obviam ente ilustrativos y verificarlos como correctos mediante pura teoría, sin usar medios ilustrativos" (Szab ó, 1960: 400). L o cual no perm ite ir más allá de ‘verificar’ unos teoremas y a antes form ulados y ‘probad os’ por el antiguo procedim iento, al que se ha ‘privado’ de sus rasgos inm ediatame nte empíricos. De hecho, Szabó no aporta ningún ejemplo de teorema nuevo que se hubiera probado según criterios ‘anti ilustrativos’ y no pudiera h aberlo sido ilustrativamente. No p asa de ser una opera ción de maquillaje u ocultamiento de una forma de posit iv id ad es pacial bajo otra forma de positividad no me nos espa cializada (si bien ahora al modo g eom étrico de las magnitudes continuas), sin debilitar en absoluto lo que A. Upinski (185: 87) llama la ‘manía de la localizació n’. ' Más relevante parece el caso en que las antiguas de-mostraciones se sustitu yen por otras qu e siguen el método indirecto o de reducción al absurdo. A unque ni los objetos matemáticos ni las manipulaciones a que se les somete pierden tam poco nada de su ín dole perc eptu al, sí desapare ce lo que de tal había en el cará cte r positivam ente constructivo de la dem ostració n directa . Suponer negado lo que se quiere probar, ded uc ir de ah í un resultado contrario a alguna de las cond icione s ini ciales y con cluir ‘po r tan to’ la ‘im pos ibilidad’ de lo que se había negad o provisio nalmente, no es ciertamente un procedimiento visualizable. Szabó (1965) conje tura dos posibles orígenes a la incorporación de este método en m atemáticas: uno, político; el otro, filosófico. Para este mate m ático húngaro , son los pro cedim ie nto s retóricos de la dialéctica al uso en la democracia g riega los que reprodu ce Euclides al construir lo que, a partir de él, se tendrá como el m étodo matem ático. Los p os tulados de los "Elem entos" corresponden a los presupuestos com unes que com par ten quienes se enfrentan en una discusión, aquéllos a p artir de los cuales ya es posi ble la controversia . Los axiomas ocupan el lugar de las concesiones que el iniciador de la disputa reclama de su antagonista. Y la argumentación por reduc ción al absurdo es un típico recurso retórico consistente en darle, por un mom ento, la razón al adversario, haciend o como si negáramos la nuestra, para derivar de ahí conclusiones que contradigan alguno de los axiomas o postulados previamente
asumidos com o razón com ún. El método m atemático se habría engen drado así por imitación de las reglas de un discurso no sólo ex terior a él sino dotado de un a voca
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ción bien singu lar: la de ano nad ar las razones del adversario al mostrarlas ajenas a las razones de la polis. Y, ya incorporado este procedimiento a los admitidos en m atemáticas, serán los supuestos compa rtidos, lo que la colectividad pone antes de ponerse a ra zonar, lo que decid a sobre qué ha de te ners e como m atem áticamente verdadero o posible. La otra génesis posible que Szabó (1960: 46) conjetura para este modo de pru eba en m ate m áticas re m ite a cie rtas maneras ele áticas. Su origen esta ría en los comienzos del poema de Parménides antes citados: la imposibilidad de transitar por la te rc era vía (la de los bic éfa lo s), que im plica ser y no-ser conjunta mente , obliga a negar lo supuesto en la segunda, el no-ser, de donde resulta afirmado el ser. La conclusión ‘imposible’ a que llegan las demostraciones por reducción al absurdo es el ‘indecible’ e ‘impensable’ de Parménides: "Lo que Parménides describe perifrásticamente en su arcaico lenguaje como ou phatón ou dé noétón [‘ni decible ni pensable’] aparece algo después en la más ele mental terminología matemática como átopon o ady'naton." N o deja de ser significativo que el tránsito del ‘arc aic o le nguaje ’ parm enídeo al ‘má s elem en tal’ de las matem áticas lo sea en el sentido de un reforzam iento de las categ orías sen sua les aristotélicas de visibilidad y capa cidad de hacerse presente o actualizarse lo que estaba en potencia. En efecto, aunque ya el noéó del eleata tiene, junto a las acepciones más intelectuales de ‘entender’ o ‘pensar^, las bien sensib les de ‘ob serv ar’ y ‘percibir’, las connotacione s de la versión ma temá tica de su negación son aún m ás físicas. De scartar algo com o ‘imp osible’ o ‘absu rdo’ cali ficándolo d e átopon es tanto como no conceder realidad ni sentido mas que a lo que ocupa un lugar (descalificación que ha llegado a nuestros días como ‘no ha lugar’). Y análogo sensualismo traduce la consideración de lo ‘imposible’ como adynaton, es decir, demasiado ‘débil’ o ‘falto de fuerzas (dynamis)' para hacerse pre sente . Así, por eje m plo , en D e Cáelo (I. 11.281*4-7) leemos: "El término ‘imposible’ se aplica a lo ‘no generado’ cuando se dice de lo que no puede generarse, en el sentido de que no estaba antes pero sí despues, e.g., la pro posición de que la diagonal es inconmensurable (con el lado)". Esta concepción acarreará notables dificultades para los posteriores intentos de ‘interpretac ión’ de las raíces cuadradas de ‘núm eros negativos’, pues — com o se reconoce en la M eta physic a (IV. 12. 1019b33-4)— "en virtud de un cam bio de significado, una ‘potencia’ en geometría se llamará de ese modo". Lo que hoy lla m aríam os ‘cuad rado de la incógnita’ se recibirá com o dynamis: hallar, pues, la raíz cuad rada de u na m agnitud será hallar el lado capaz de engend rar un cuadrado de esa ma gnitud. O, en expresión tan plástica como la de Pero Nunes en el siglo XVI, se tratará de hallar el "lado criando cuadrado". El significado de dynamis cambia, efec tivam ente, re spec to a los de la ‘poten cia’ física o la ‘posib ilidad ’ lógica, pero se ma ntiene la m ism a intencionalidad, como bien hace ver Heath: "una línea recta se dice que dynasthai una cierta superficie cuando tiene la potencia de produc ir una
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cierta superficie al hacerse cu ad rad a"1. Parece significativo que Euclides no use ese térm ino ha sta el libro X , utilizando h asta entonces el de tetrágffnon, cuadrado cuyo p roceder gen erativo está ausente. No será ento nces de extrañar que vein titantos siglos más tarde Kant (1949: 87, n. a) tenga que seguir discutiendo con sus contemporáneos en términos que perm anecen deudores de la menta lidad eu clídea: "Podría pensarse que 0-A es un caso que hemos omitido aquí. Este caso es imposible en el sentido filosófico; pues algo positivo nunca puede ser sustraído de nada. Si, en matemáticas, esta expresión es prácticamente exacta, se debe a que el cero no modifica en nada el aumento ni la disminución por otras cantidades: A+O-A equivale a A-A; el cero es perfectamente inútil. La idea que de ahí se ha sacado según la cual las magnitudes negativas serían ‘menos que nada’ es, pues, vana y absurda”. N o puede dejar de chocar que la expre sió n ‘0 - A’ sea ‘im posib le en el sen tido filosófico ’ mientras que, en el matemático, sea ‘prácticamente exacta’. ¿Por qué esa distinción y esa distancia que m edia entre la exactitud y la im posibilidad de lo mismo, según la disciplina desde la que se con sidere? ¿Q ué quita ese ‘prác ticamente’ a lo exacto de la acepción matemática? En cualquier caso, si Kant se ve obligado a argum entar lo absurdo de ‘la idea que de ahí se ha sac ado ’ es porque esa idea ma ntiene su vigencia. Y tampoco pued e dejar de choca r este tipo de razo nes en torno a la posibilidad o im posibilidad de ‘0 - A’ cuando se com paran con la inequívoca rotundidad de la que hemos designado como regla 1.2.1. del capí tulo 8o de los "Nueve capítulos" de los matemáticos Han: "Un número zheng. [‘positivo’] em parejad o con [‘restado de ’] wu [‘nada ’] se ha ce /u [‘negativo’]". O sea, ‘0 - A = -A’. En Ch ina esto es evidente en el sentido ma tem ático (sin las reservas de ningún ‘prá cticam en te’), en el filófico y en cu alquier otro. Lo posit iv o como un ‘algo’, su ‘imposible’ sustracción de ‘nada’, lo negativo como ‘menos que n ada ’ y otras supo siciones seme jantes presidirán, sin em bargo, en la tradición matemática occidental, los argumentos a favor y en contra de admitir los núme ros/magnitudes negativos y los imaginarios. Kant publica su Essai p o u r introduire en philosophie le concept de grandeu r négative en 17632, y en aún e n 1796 el matemático inglés William Frend sigue argumentando: "Las ideas de número son las mas claras y distintas de la mente humana (...). Aunque el mundo entero sea destruido, uno seguirá siendo uno y tres seguirá siendo tres; y ningún 1 T. H. Heat (1949: 207). Es en e ste sentido en el que Kircher interpreta el cuadrado mágico chino de Lo zhou, extrañándose por comp leto de la epistem e china (epígrafe 11.15). 2 En est e Ensayo de Kant, junto a sus Historia general de la naturaleza y teoría del cielo (1755) y los Primeros Principios metafísicos de una ciencia de la naturaleza (1786), cifra E. Jallcy (1990) el origen de toda la reflexión occidental sobre el concepto de oposición polar como tema filosófico explícito. En su original trabajo, Jallcy rastrea las huellas del trabajo kantiano en autores y disciplinas tan dispares como las filosofías de Fichte, Schelling y Hegel, el psicoanálisis de Freud, 1® lógica de Blanché, la fon ología de Jakobson, la antropología de Lé viStrauss o la psic ología de PiageL
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arte podrá cambiar su naturaleza. Puede ponerse una marca delante de un número, y obede cerá a ella: se someterá a ser sustraído de otro mayor que él, pero tratar de sustraerlo de un número menor que él mismo es ridículo. Y eso es lo que intentan los algebristas, que hablan de un número menor que nada (...). Eso no es sino jerigonza, que repugna al sentido común"1
Ese sentido común no lo es, com o vem os, por su universalidad, sino p re cisamente por todo lo contrario: por su particularidad, por su atenerse a las creencias com partidas por una comunidad con creta. Y el sentido del ‘rid ícu lo’ que despierta lo proyecta por igual en el pensamiento de la vida ordinaria de esa colectividad y en sus construcciones m atemáticas. El principio de no -con tradicción y los razonam ientos por reducción al absurdo no son sino la racio nalización de esa repugn ancia en los términos de la lógica y la matem ática de herencia griega. Tal principio y tales razonamientos han merecido en el pre sente siglo notables puntualizaciones, cuando no rechazos, sea desde las pro pia s m atem áticas (intuicionism o ) o la lógica (lógicas m odales y vagas), sea desde la antropología (p.e. Lévy Bruhl) o la filosofía (Wittgenstein). Para este último (198 7: 182), supo nen un a incap acidad de raíz cultural para convivir con la contradicción: "Veremos la contradicción a otra luz completamente diferente si consideramos su aparición y sus consecuencias antropológicamente, por así decirlo, que si la mira mos desde la exasperación matemática. Es decir, la veremos de otro modo si inten tamos nada más describir cómo la contradicción influye en los juegos de lenguaje, que si la miramos desde el punto de vista del legislador matemático”. No es casual que sea pensando en tom o a la posibilidad de vio lar este prin cipo, no sólo inviolable sino tam bién im pensable pa ra la matemática eleático-aristotélica, como Wittgenstein (p. 219) se topa con los números imaginarios: "Imagínate que el operar con J - 7 hubiera sido inventado por un loco que, atraído nada más que lo por paradójico de la idea, se dedica al cálculo como si fuera una especie de oficio religioso o ritual del absurdo. El imagina que pone por escrito lo imposible y opera con ello." Pa ra el loco de W ittgenstein, J - i no es menos ‘absurdo’ o ‘imposible’ que para ta nto s m ate m áticos d e los siglo s XVII y XVIII, pero los supuesto s pre-racio -' nales son distintos. M ientras que en éstos el tabú de la negatividad dice que ‘co n tradicción implica automáticamente re chaz o’, para aquél esa contradicción desata la ejecución de un ritual (de origen no menos falto de fundamento racional que el tabú), de un jue go d e leng uaje... y se pone a operar con ello.
1 W. Frend (1796: xx i) (las cursivas son nuestras). Pueden verse otros ejem plos de repugnancia en N agel (1935) , Itard (1969 ), Glaeser (188 1), Sherry (1991).
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"Quien cree que los matemáticos han descubierto una curiosa entidad, , que elevada al cuadrado da -1, ¿no puede operar perfectamente con números complejos y aplicar tales cálculos a la física? ¿Y son por eso menos cálculos ? En un sentido, ciertamente, su inteligencia se apoya en pies de barro; pero sacará con seguridad sus conclusiones y su cálculo se apoyará en pies firm es" (pp. 219-20). El barro lo es del hum us semántico de las significaciones sensualistas laten tes: nada menos que una magnitud negativa tomada como lado de un cuadrado. Pero si no miramos desde la ‘exasperación matemática’ del modo de pensar euclídeo, sí tienen sentido, efectivamente, otras opciones que también apunta Wittgenstein (p. 211): "¿Por qué una operación de cálculo, hecha con un fin práctico, de la que resulta una contradicción, no ha de decir simplemente: «Haz lo que quieras, yo, la opera ción, no decido en esto?»". H indúes y chin os p arec ieron tomarse en serio las sugerencias del vienés y sus dificultades con la negatividad fueron bastante m enores, y de índole bien distinta, qu e las occ identales . Pu es, y ésta es la segunda suposición de la tradición occiden tal imp lícita bajo el m étodo de reductio ad absurdum, de la contradicción de ser y no-ser, bajo el mismo respecto, tanto puede seguirse la negación del no-ser, al modo griego, como la del ser, al modo hindú, como ninguna de ambas, al modo chino. Pero Diofanto no nace en la India ni en China, y su desgarro por pensar cierto modo matemático de no-ser lo será por tener que hacerlo desde/contra la tajante exclusión que para la posteridad había dejado establecido el imaginario social del clasicism o griego. N ego ciar sentidos, imb uir de significados nuevos vie jo s significantes vacío s, borrar con una mano lo que se esc ribe con la otra, es el drama en que se hace una matemática que, como la suya, suele calificarse de caó tica y huérfana de todo método.
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Capítulo IV Conflicto de imaginarios en Diofanto: el decirse de lo indecible El p eriodo alejandrino tardío, que se extiende aproximadam ente entre los años 250 y 350, asiste a la quiebra definitiva de la racionalidad griega, por lo que sólo desde ésta — o desde su añoranza— puede juzgarse, como es habitual, mediante adjetivaciones negativas, com o un periodo de decadencia de la razón y de em ergen cia de irracionalism os y sinsentido s: en las costum bres, en las creencias... y también en las matemáticas. Es precisamente en un momento que a los espíritus clásicos se les presenta como mom ento de negación de la razón cuando tiene ocasión de em er ger una razón negativa, tanto en la teología y metafísica neoplatónicas como en la ma temática de Diofanto. B ajo las ruinas del apolíneo edificio de la m atemática clá sica afloran ahora otras matemáticas reprimidas (logística, misticismo aritmético) a las que se incorporan eclécticamente otras tradiciones (egipcia, babilónica); pero tanto unas como otras no pueden albergarse sino en una lengua, el griego, y bajo un paradigma, el aristotélico-euclídeo, que aún no han sido sustituidos (IV.l.). De esta ‘oscuridad’ sincrética surge un Diofanto no menos oscuro, cuya figura histórica y cuya obra, la Arih m etica, son un puro palimpsesto, sin cesar per didos y sin ce sar reconstruidos (I V.2.). La suya es una m atemá tica típica de enc ru cijada (IV.3.), en la que confluyen tradicones bien dispares, pero entre ellas la griega clásica: contra ella construirá Diofanto un singular modo de negatividad, que sin embargo sólo puede co nstruir también desde ella. Cue stiones com o el frac cionamiento de la unidad, la representación ya no necesariamente extensa de las magnitudes, o los límites inferiores del campo num érico no se abordan exp lícita mente en su Arithm eti ca, pero pueden rastrearse en lo que queda implícito en sus definiciones, reglas, modos de operar y expedientes mediante los que otorga o quita validez a ciertos resultados. En Diofanto se construyen efectivamente ciertas formas de negatividad por prim era vez en la historia de la m atemática occidental, por lo que no deja de sorp re nder tanto la escasez de estu dio s sobre ello com o el silencio de b uena parte de las historias de las matem áticas. Y en e sa co nstrucción intervienen todas la tensiones antes apuntadas: la negatividad diofántica se mo dela, se asume o se recha za por el mismo Diofánto según en qué co ndiciones o bajo qué form as (IV:4.). Pero no es lo menos significativo el hecho de que ahora
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ya sí pueda rechazarse, pues para ello ha sido necesario que previamente se haya hecho pe rceptible, esto es, qu e ciertos cam bios en la manera de concebir el espacio de rep resentac ión, cierta relajac ión en los criterios de rigor, y cierta em ancipac ión de los cálculos respecto de la exigencia de abstracción o aphairesis (y no, como suele decirse, una m ayor ‘abstracción’) hayan podido ha cer de la negatividad algo discemible. La ambigüedad de Diofanto en este asunto presenta dos caras, que hemos designado como negatividad ‘en proceso’ (IV.5.) y negatividad ‘como producto’ (IV.6.). La primera emerge en el momento, ciertamente efímero, del proceso de cálculo, pero también, como de pasada, en el escueto enunciado de la ‘regla de los sign os’ , que se pierde en el ‘Pre facio ’ a la Arih m etica entre un m ar de definiciones. Esta cara de la negatividad transita po r el texto com o si no llegara a alcanz ar nunca la entidad suficiente que le permitiera sostenerse como un hecho m atemático, sea por construcció n explícita sea por su obte nció n como un cierto producto . Los m is mos nombres que recibe (leipsis, leiponta eide) hablan de la insustancialidad de una mera ‘falta’ o de su indecisa existencia como ‘forma ausente’. Y su inconsis tencia aún se acentúa más cuando resulta oponerse a la rotunda positividad de hyparxis, que lo mismo vale como ‘existencia’ que como los ‘términos positivos’ de las ‘ecuaciones’. Esta localización de la negatividad en la frontera m isma de un cierto cerco cultural, que la hace posible con el mismo gesto que la excluye, no puede, a nuestro juicio, confe rirle la densid ad suficiente como para conso lidarse como un producto , con entidad en sí mismo. Esa negatividad ‘como producto’ aca so cab ría esp erarla, bien form ando parte de las soluciones de ciertos problema s, bien en la fo rm alización de los datos de partida o en ciertos re sultados pro visio na les de operaciones intermedias (situaciones, ambas, en las que sí aparece, p.e., en el álgebra fangcheng). Pero el carácter adjetivo de lo leiponta no llegará en Dio fanto a con seguir rem ansarse en esa cierta sustantividad de la leipsis. Esta negati vidad producida, construida, es rechazada de un modo u otro en los distintos pro ble m as de la Arithm etica que estudiamos en detalle. Cabe señalar, por último, el notable paralelism o entre esa cierta cumbre que la negatividad m atemática alcanza en Diofanto y esa otra cima de la negatividad metafísica que construye el pensa miento neo-platónico (IV.7.); cada una de ellas, a su manera, parece dibujar el techo de la episteme griega, pero es precisamente cuando más se asemejan a las construcciones chinas de la negatividad cuando más se explicitan sus radicales diferencias. * * *
En la ob ra de D iofanto tenem os ocasión de contemplar, por vez primera, de qué ma nera concreta los obstáculos epistem ológicos implícitos en el modo de pen sar aristotélico-euclídeo actúan como determinantes de la emergencia de cierta fo rm a d e negatividad matem ática. Esto ocurre en su Arih m etica en dos contextos
bien precisos. Uno, al enuncia r in te m pestivam ente la ‘regla de los sig nos’ (que hoy enunciaríamos como ‘— x - = +’, ‘+ x - = - ’, ‘- x + = y ‘+ x + = +’). El otro, al! 210
descartar explícitamente ciertas soluciones (que hoy diríam os ‘neg ativas’) de cie r tas ‘ecuaciones’, que la tradición clásica no podía descartar (sino implícitamente) por exclu ir sus diorismoi de antem ano la posibilidad siquiera de afrontar su pre sencia. A partir de un conglom erado de pre-supuestos, en parte radicalmen te diferen tes de los de la matem ática clásica, Diofanto puede hacer otra matemática. No o bs tante, al tener que ha cerlo con buena parte del instrumental (concep tual, lingüís tico,...) heredado de la tradición clásica, y aun con cierta inercia que todavía arrastran sus presup uestos, lo nuevo se dirá a menud o en él bajo las formas de lo viejo, con u na expresión a veces balbuciente, ambigu a otras, contradictoria incluso en ciertos momentos^ y siempre con apariencia negativa para la perspectiva de las diferentes tradiciones, tanto anteriores como posteriores: fa lta de rigor, ausencia de sistematicidad, inexistencia de método, inconstancia de procedimiento, p riv a ción de fundam entos... El periodo de con strucción y consolidación de la forma clásica de racionali dad en G recia suele carácterizarse p or una serie de rasgos que lo definen positiv a mente: nacimiento d el ‘espíritu científico’, rigor y sistem a en la o bservación, ela boració n del m étodo axio m ático-deductivo com o propio de las m ate m áticas, eman cipación del pensam iento racional respecto de la tradición y el mythos... El llamado periodo helenístico y, en particular, el que transcurre en tomo a los comienzos de nuestra era, se viene definiendo, por el contrario, negativamente, en un doble sentido. Por un lado, por la progresión de crisis, quiebra, decadencia y pérd id a del ideal clá sic o. Por otro, por la em erg encia de fu erzas que, desde ese ideal, se perciben como negativas: fuerzas que estimulan el auge de la i-raciona lidad a través del cultivo de pseudociencias y el resurgimiento de formas mítico-, mágicas de pensam iento que p arecían ‘superadas’. No puede dejar de llam ar la atención la in m edia ta correspondencia entre el tipo de calificación — positiv a o negativa — de cada uno de ambos periodos por la historiografía al uso y los tratamientos de la negatividad en sus respectivas m ate máticas. El periodo, clásico, de racionalidad positiva, levanta, como hemos visto, una barrera perfectamente razonable al pensamiento negativo. Una barrera que Bourbaki (1 97 2:75 ), en clave progresista, resume con toda claridad, haciendo hin capié en el carácter externo de las leyes de composición del ‘álgebra geométrica’ y en la imposibilidad que de ahí se sigue para construir un álgebra propiamente dicha, que ha de pivotar sobre leyes de composición internas: "El predominio avasallador de la Geometría (para la que está evidentemente concebida toda la teoría de magnitudes) paraliza todo desarrollo autónomo de la -notación algebraica, los elementos que aparecen en los cálculos deben siempre ser «representados geométricamente»; y, por otra parte, las dos leyes de composición que intervienen no están definidas sobre el mismo conjunto (la suma de dos razones no siempre está definida, y el producto de dos longitudes no es otra longitud sino un área), todo lo cual origina una complicación que hace casi imposible el manejo de relaciones algebraicas de grado superior al segundo". 2 11
Ese ‘estancamiento’, ‘retroceso’ o ‘parálisis’ que—para una visión irresisti blemente ascendente de la historia como la de Bo urbaki y tantas otras— sufren las técnicas algebraicas será el que se invierta, siguiendo con la misma metáfora, con el declinar del espíritu geométrico y del criterio de rigor que se había ido consoli dando. La ‘fluidificación’ de la nueva fo rm a lid a d algeb raica (si algún sentido tiene haberla supuesto ‘estancada’), y la apertura a la negatividad que de ella se va a seguir, corre pareja con el periodo de avance de las nuevas formas de irracionali dad, que así resulta ser un tiempo de racionalidad negativa : un tiem po que se abre a otras formas de razón — bien diferentes, bien s o m b r a s de la razón clásica— y que es capaz, mediante ellas, de dar razón —y razón matemática— de la negatividad por prim era vez en Occidente. No obstante , la metá fo ra del ‘rio de la his to ria ’, con su s re pre sas, acele ra cio nes, bifurcaciones y nacimientos, por más que haya olvidado su condición de metáfora hasta h aber llegado a tenerse como la naturaleza m ism a de la historia, no es capaz de d ar cuenta de esta em ergencia de la negatividad. Ni, en general, como bie n ha visto M ichel Serres (1 967), de nin guno de los m om ento s críticos en la his toria de las m atemáticas. No hay ningún cálculo algebraico que — com o pretende Bourbaki (1972: 76)— hubiera perman ecido estancado, ‘avasallado’ por la Geo metría, para ser luego liberado en estado puro por un D iofanto que "no com plicán dose con representaciones geométricas de los «números» que considera, se ve lle vado de modo n atural a desarrollar las reglas del cálculo algeb raico ab stracto (...), [como, p.e.] la «regla de los signos», primera aparición del cálculo con números negativos". ¿Qué naturalidad suprahistórica es ésa que permite a una mente en bla nco capta r de súbito la esencia de unas reglas pura s? ¿Cóm o se explica entonces la p a rti c u la r lucha de Diofanto con la negatividad, que empieza con su dificultad para encontrarle nom bre y llega hasta pasar por alto form as de negatividad que el álgebra, en su puridad, no po dría dejar de ve r ? El modo de pen sar aristotélico-euclídeo ciertam ente co nstituye un obstáculo para la construcció n aleja ndrina de la negatividad, como lo será para otras cons trucciones posteriores. P ero ese obstáculo no lo es al m odo fluvial sino más bien al bachelardiano; no es un obstáculo externo, acarreado por la ‘complejidad’ del enmarañamiento geométrico, sino interno, incorporado al propio proceso íntimo de hacer matemáticas. Diofanto, efectivamente, hace su matemática a distancia d e la griega, g racias a un m arco cultural definido negativamente respec to de ésta, lo que le permite abordar ciertos aspectos de otra manera, que después se cono cerá como algebraica. Sin embargo, no puede dejar de construir su matemática también a p a r t i r d e la griega, de la que incorpora buena parte de pre-supuestos. Su nueva técn ica puede decirse, parafraseando a Bac helard (1988: 16), que no es nueva, "ha sta es muy vieja, pues tiene la edad de los prejuicios". No en vano los días en que trabaja Diofanto se han conocido como ‘edad de plata’ (segunda m itad del s. III y prim era del s. IV) de la m atem ática griega, pue s con él y Pappus se aprecia un cierto renacer del vigor del ideal clásico. Desde los com ienzos de la era cristiana la crisis que afecta al mundo griego socava también el carácter hegemónico que en matem áticas ma ntenía el paradigma 212
euclídeo. Por las fallas de su quie bra van emergiend o otras tradicion es, unas ajenas y otras soterradas. Así, la aritmé tica neopitagórica, con una carga de renova do m is ticismo, o las ‘álgebras’ egipc ia y me sopotámica, o un cierto grado de sim bolism o abstracto (en un sentido del térm ino ‘abstracto ’ distinto del aristotélico, lo que p er mite a ese simbolismo escapar a la necesidad de verse interpretado en el modelo euclídeo), o una logística que, recuperada para la especulación teórica po r las otras disciplinas em ergentes, se abrirá a la posibilidad de un juego más libre con nú m e ros y operaciones. Todos estos factores contribuirán positivamente a perfilar el modo en ^ ue Diofanto construye la negatividad. IV. 1. L a q u ieb ra del idea l clásico. De la creenc ia en la razó n a la razón de las creencias Antes de pasar a considerar los rasgos positivos de este momento, conviene apreciar los negativos que, com o antes apuntamos, resultan no m enos esclarece dores. Además, serán estos mismos rasgos, más que los positivos, los que se repro duzcan, con asom brosa fidelidad, en esa otra decadencia del renace r griego en las postrim ería s del s. XVI bajo la cual podrá em erger esa otra fo rm a d e la negatividad que es la ‘imag inaria’. Aca so m ayor interés que una descripción forzada a d h o c de la decade ncia alejandrina lo tenga la ofrecida por una cualquiera de las mu chas his torias de la ciencia en este periodo: "El esfuerzo racionalista que alimenta el pensamiento científico tiene dos ene migos perpetuos: la credulidad y el misticismo, más o menos poderosos y peligrosos según las épocas. Ahora bien, desde el s. III a.C. y, sobre lodo, desde principios de la Era cristiana, las fuerzas irracionales se despliegan por todo el mundo griego en las más variadas formas. Mientras el espíritu de investigación metódica se veía amena zado por los progresos del escepticismo (...) las cualidades requeridas para llegar al «saber» [serán ahora] un.corazón puro, una fe ciega y, por lo menos en los animadores de esas sectas, una imaginación delirante (...). La magia conquistó los medios ilustra dos y dejó de esconderse (...), la astrología compitió con la Astronomía, la alquimia ahogó los balbuceos de la Química, la Botánica degeneró en una farmacología llena de recetas ridiculas, la Zoología se convirtió en colección de «maravillas» que porfia ban en lo fantasioso (...), se percibe un esfuerzo por sustituir las leyes naturales, es decir, las relaciones constantes entre los fenómenos, por la búsqueda de una «causa» misteriosa y universal que actúa a distancia y engendra los fenómenos."1 Al margen del evidente anacronism o que supone esgrim ir el prestigio actual de unas disciplinas entonces aún no constituidas (en el sentido que quieren con ferirles esas may úsculas de ‘Q uím ica’, ‘Biolog ía’, etc.), en men oscab o de las que
1 J. Beaujeu, "El fin de la cicn cia antigua", pp. 4514 52, en R. Talón (1988: II: 451 4). (La cursiva es nuestra).
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— sólo en el texto— se le oponen, y prescin diendo del tono de in dig nación moral que suele acom paña r a quien es ven su fe en la C ienc ia"1sacu dida por la fractura de un cierto tipo de racionalidad, la descripción acierta — conve nientem ente invertida— con los rasgos que carácterizan este mom ento (y que carácterizarán no menos el declinar del Renacimiento del s. XVI): a) la irrupción de ‘fuerzas irracionales’, esto es, de otras forma s de racion a lidad que, presentándose co mo caóticas para la matriz de racionalidad en quiebra, perm iten pensar desde otros pre -s upuesto s. Esa ‘ca usa m iste riosa y universal que actúa a distanc ia’ que nu estro m oderno lam enta ver sustituyendo a ‘las leyes natu rales’ será, p.e., la que moverá a Kepler a formular sus tres leyes sobre el movi miento de los planetas. b) el trabajo neg ativo del ‘escepticis m o’, que agudiz a las grietas de una cierta concepción del ‘método’ por las que emergerán nuevas significaciones ima ginarias ‘faltas de rigor’, como son las que llevarán a nuevas manipulaciones numéricas. c) la ‘ceg uera’ ante el sentido único impuesto por el paradigm a hasta enton ces dom inante, que así se abre a otros sentidos ob turados (como es el caso del para digm a euclídeo, cuyas de-m ostraciones descansaban en el sentido aportado por el de la visión). d) la em ergen cia de una ‘imag inación delira nte ’ que saca a la luz otras posi bilid ades de construcció n sim bólica que, en un prim er mom ento, no parecen sino delirios, como aquel imposible ‘cero’ aristotélico o esa negatividad que Diofanto no sabrá conce bir sino com o una forma de ser que c onsiste en su falta (lefosis) y se define por oposición al ser (hyparxis ). e) la sustitución del saber razon ado por ‘recetas ridiculas ’, en las cuales se cree tan só lo porque funcionan-, argumento sorprendentemente ‘moderno’ que parece, p.e., basta r a Dio fanto para presenta r, por prim era vez en Occid ente , la ‘regla de los signos’ como una simple ‘receta’ operatoria sin más justificación ‘racio na l’ que la de su funcionalidad . Pero no puede hablarse de una funcionalidad pura , pues ¿por qué creía el pensam ie nto aristo té lico-euclídeo en su s form ula cio nes si no era porque también fu ncionaban? El caso es que lo que funciona para unos no funciona para otros2. Pragmáticos y positivistas proyectan-el criterio de funcionalidad de su particular cultura com o regla universal, con lo que los distinto: modos de conocimiento les resultan clasificados en ‘racionales’, los unos, y, lo¡ otros, en mera colección de ‘recetas ridiculas’.
1 J. Beaujeu, "La ciencia helenística y romana. V isión de conjunto", p. 345, en R. Taton (1988: II: 3334). Esta indignación ante la pureza amenazada es la que Mary Douglas (1975) observa como característica de la actitud ame lo sagrado. Y sagrado es, para la tradición occidental moderna, el pensamiento científico. 2 Sobre la carga simbólica que empapa a toda funcionalidad supuestamente neutra, véase M. Sahlins (18 8).
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0 la pérdida de ‘fe en la C iencia ’, es decir, en las creencias profundas que como hemos visto— soportan determ inada manera de hacer ‘ciencia’ y que, sustituidas por otras o p or la simp le falla que ellas dejan, alumb rarán lo que más tarde se tendrán po r otras ‘cienc ias’, como es el caso del ‘álgeb ra’. g) el cuestionam iento de la naturalidad de las tenidas po r ‘leyes natu rales’, m anifestada en un a nueva sensibilidad hacia lo que — desde aquéllas— no pued e dejar de presentarse como ‘maravilloso’, excepcional o prohibido, cuando no absu rdo o errón eo, pa ra la legalidad anterior. El m odo ‘tan natural’ con qu e a Bour baki se le pre senta el re nacim ie nto (cual ave Fénix de las form as pura s) d e los pro cedimientos algebraicos es de una flagrante anti-naturalidad plagada de errores para la natu ralidad euclíd ea. Diofa nto podría habers e dirigid o a Euclides en los mismos términos que el Diablo de Dante, príncipe del Error, lo haría al papa Sil vestre: "F orse tu non pen sari c h ’io loico foss i”1. Para las nuevas form as de pensar, la razón g riega clásica debió percib irse en su arbitraria parcialidad de modo muy semejante al que refleja Morris Kline (1972: 171): "Los griegos insistieron en la prueba deductiva (...) Sin embargo, ninguna civi lización más que la griega concibió la idea de establecer conclusiones exclusiva mente por razonamiento deductivo. La decisión de exigir una prueba deductiva es del todo opuesta a los métodos que la humanidad ha utilizado en cualquier otro ámbito; es, de hecho, casi irracional, pues no es menos digno de confianza el conocimiento adquirido por experiencia, inducción, razonamiento por analogía o experimenta ción.” Pa ra este autor, los lím ites de la matem ática griega que, con la ruptura de su cerco cultural, ahora comienzan a verse rebasados, son principalmente (1972: 172 ss.): a) la imposibilidad de concebir lo irracional como número, cuya con secue nte distinción entre núm ero y ma gnitud (álgeb ra y geom etría) llevará siglos — pese a cie rta m anipula ció n num érica de los irra cio nale s por Arq uím edes, Herón y Ptolom eo— llegar a saber con-fundir; b) la exigencia de constructibilidad mediante ‘regla y compás’ para el establecimiento de la existencia de los objetos matemáticos; c) la obsesión por la precisa y exacta determinación de concep tos y pruebas, que hizo de su mayor virtud un serio defecto para una mate mática creativa; d) la progresiva complicación en las demostraciones a que lie-vaba su exigenc ia de mé todos geom étricos; e) la impregnación de sus conceptos' m atem áticos de presupu estos metafísicos, en tanto que no se tenían por construi dos sino pre-existentes; y 0 su incomprensión de lo infinitamente grande, aso ciado con la ausenc ia de forma y determinación frente a la delimitación y deter minación que tan sólo corresponde a las cosas. No puede sorprender que el
1 "Acaso no hayas tenido en cuenta que yo también soy lógico". Infierno, Canto XXVII, 122123.
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desbordamiento de estos lím ites pueda dar paso a alguna concepción de negatividad aunque sí sorprende mas que tampoco Kline, como tantos otros historia dores de las matemáticas, se pare en ello. Que la emergencia de creencias populares y de formas ‘supersticiosas’ de religiosidad pueda agrietar de tal modo un edificio tan compacto como el de la m atem ática griega no puede entenderse desde las habituales explicaciones que pre sentan a la razón derrotada por los embites de la ciega irracionalidad. U nas creen cias sólo derrotan, po r así dec irlo, a otras. Y las que soportan la raciona lidad griega mu estran ahora ser no menos irracionales que las que vienen a sustituirlas. A caso na da lo exprese m ejor que las ‘razones ’ que Platón presta al joven Protarco para com batir la sinrazón que Só crates — por supuesto, com o m era conjetura retórica— le propone a consideración: "SOCRATES: ¿ Creemos nosotros que esto que llaman universo ha sido dejado al poder de la sinrazón, del azar y del acaecer ciego, o diremos, como nuestros padres han dicho, que está ordenado y gobernado por un entendimiento y una sabiduría admirables? PROTARCO: La primera afirmación es del todo inadmisible y sorprendente, Sócrates. Me parece una blasfemia. Mientras que la segunda, la de que una mente ordena todas las cosas, es conforme al aspecto que ofrecen el mundo, el sol, la luna, los astros y todas las revoluciones celestes; y yo, por mi parte, no me atrevería nunca a decir ni a pensar de otra manera."1 Para orientar a Protarco, ya de entrada Sócrates plantea la situación de manera que la ‘hipótesis’ de la sinrazón caiga del lado de la creencia: ‘¿ creemos nosotros que...?’. La hipótesis alternativa no se presenta como una creencia sino com o un ‘hec ho’, el ‘hech o’ del orden, que adem ás resulta predica do del logos: ‘¿o diremos, por el co ntrario...?’. Pero más allá del so spech oso rec urso a la retórica como principio de racionalidad de lo racional, son aún más significativos los tres tipos de argumentos, que más bien son reacciones primarias, esgrimidos ante la efímera puesta entre paréntesis de la necesidad del orden y del gobierno: a) reli gio so: la hipótesis contraria es una ‘blasfemia’ a cuyo sostenimiento uno ‘no se atrevería nunca’, pues en ella no cabe ‘ni pensar’; b) de apelación a la tradición y la costumbre: lo que ‘nuestros padres han dicho’; y c) de sentido común: ‘el aspecto que ofrecen’ las cosas no deja lugar a la menor duda. Toda la impresio nante reflexión sobre el orden cósmico y la razón autónoma que erige la episteme griega reposa sobre la sinrazón de sus particulares creencias (religión, tradición, sentido com ún) no menos que cua lquier otra a la que se tache directame nte de ‘aza rosa, ciega e irracional’. El mismo concepto de cosmos se construye según el par ticular modelo de la polis griega: "el cosmein, el organizar la gente de armas, es
1
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Filebo, 28ce. (La cursiva es nuestra).
pro piam ente la activid ad del m onarc a o del general, y el cosmos, el ordenamiento tanto militar como político", nos recuerda E. Topitsché (1952: IV: 97). La natura leza de la naturaleza griega no sólo es la naturaleza d el gobierno sino naturaleza p ara el gobierno: naturaleza gobernable, naturaleza militarizada. Y esta creencia será la que ahora entre en conflicto con la emergencia de otras creencias latentes. Las nuevas creencias, aunque sí propiciarán un ambiente cultural que faci lite a las matemáticas liberarse de las exigencias de rigor, método y constructi bilidad que levanta ron/blo quearon a las clá sic as, no se rá n cie rta m ente las más apropiadas para fundam entar, jun to a los restos de las éstas, otras ma temáticas. La indiscrim inada m anipulación d e técnicas egipcias, babilónicas y otras propias de la logística, a menudo entreveradas de consideraciones aritmológicas y con frecuencia sentidas com o necesitadas de justificación geom étrica, distan m ucho de ofrecer la m ínima co herenc ia que parece exigible a un nuevo paradigma. Por otra parte, el modo d e pe nsar rom ano no se inclinaba precisamente, como suele resaltarse de continuo, hacia el pensamiento especulativo y formal. "Los griegos — precisaba C icerón— concediero n al geom étra los más altos honore s; y de acuerdo con ello n ada hizo más brillantes progresos entre ellos que las m atem á ticas. Pero nosotros hemos establecido como límite de este arte su utilidad para medir y con tar."1 Com o consecuencia, el status social del matem ático y el rango cultural de los saberes que cultiva se ven profundamente alterados. Con frecuencia el término matematici se aplicaa los astrólogos, reservándose el de ‘geómetras’ para los que hoy llam aríamos m atem áticos (lo que da también un a idea de la perm anencia sote rrada del ideal geométrico). Y mientras que al saber de éstos se le reconoce una utilidad pública, la astrología de los ‘matemáticos’ fue a menudo prohibida y per seguida, como en la épo ca de Diocleciano (245 -316 d.C), junto a las prácticas de otras sectas como la cristiana. El "Código de matemáticas y escritos nocivos" se seguirá aplicando, co m o seña la Klein, durante la Edad M edia. Y también análoga asociación de las matemáticas con los saberes ocultos y peligrosos se reproducirá durante el Renacimiento. La ambigüedad, tanto social y cultural como técnica, del nuevo hacer mate má tico se presta a toda suerte de ana cronismo s en la valoración, e incluso en la lec tura, que desde la actualidad suele hacerse de las obras m atemáticas de esta época. Con el Ptolomeo del Tetrabiblos emerge en toda su pujanza esa otra ma temática de origen mesopotámico que, al parecer, se había mantenido tan impermeable a las especu laciones g eom étricas de la Grecia clásica como ésta lo fue respecto a ella. Una matemática que, sin embargo, debió mantener gran influencia popular en el mundo helenístico, aunque de ella sólo tardíamente incorporarán ciertos rasgos algunos autores creativos, como Nicómaco de Gerasa (fl. ca. 100 d.C.), Herón de Alejandría (fl. ca . 100 d.C.), Ptolomeo (fl. ca. 140 d.C.) y Diofanto (fl. ca. 250
1 Citado por M. Klinc (1972: 179). (La cursiva es nuestra).
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d.C.?). U na m atemática por la que los historiadores modernos — como B oyer (1968: 190)— expresan el mismo desdén que hubieran m anifestado los clásicos: "El Tetrabiblos de Ptolomco difiere del Alma gesto no sólo como la astrologfa difiere de la astronomía, sino que cada una de ambas obras utiliza diferentes tipos de matemáticas. El segundo es un trabajo sólido y sofisticado, que hace un buen uso de la geometría sintética griega; el primero es típico de la seudociencia del momento, por su adopción de los recursos de la primitiva aritmética babilónica. A partir de las obras clásicas de Euclides, Arquímedes y Apolonio, uno puede sacar la impresión de que la matemática griega estaba exclusivamente ocupada con los más altos grados del razonamiento lógico y geométrico; pero el Tetrabiblos de Ptolomeo sugiere que el populacho (populace) en general estaba más afectado por el cálculo aritmético que por el pensamiento racional." La cita tiene un especial interés pues en ella apa rece im plícita una doble dis tinción que se repite con frecuenc ia y, en espec ial, en m om entos en los que un rela jam iento en el rigor del ideal m ate m ático — y cultural, en genera l— deja aflorar nuevos enfoques desde los que cabe pensar algún m odo de negatividad. En primer lugar, la distinción entre una ‘auténtica matemática’, ‘sólida’ y ‘sofisticada’, que se asocia con el ‘pensam iento racional’, y una ‘ma tem ática vulga r’ que indefecti ble m ente cae del la do de las ‘se udocie ncias’, q ue es — por oposic ió n al ante rior— el de la irracionalidad. Si el sujeto de la primera m atem ática son los nombres pro pio s (‘Euclides, A rq uím edes, Apolo nio ’), que suele n m ere cer un trata m ie nto más o menos heroico, el de la segunda es anónimo, ese saber popular al que se hace referencia un tanto despectivamente (populace ) y que, sin em bargo, tanto en Occ i dente co m o en Oriente, suele estar en la base de las consideracion es sobre la nega tividad matem ática. Así, en los cuadrados mágicos ch inos o en la forma popu lar de con tar con palillos, instrumentos populares am bos con los que v eíamos se constru yen d iferentes negatividades en C hina. O bien, esas otras primeras em ergencias de la negatividad en la Europa m ediev al1, que se encu entran en el Triparty (1484) de N ic olá s C huquet3 y en el trata do de aritm ética de Jean W id m an d ’Eger (1489). El reciente hallazgo de una "Aritmética" medieval en lengua provenzal3, escrita en tom o al año 1430, no sólo retrotrae la fecha de esa p rimera em ergencia sino que acentúa su sustrato popular, tanto por la lengua en q ue se dice com o po r su propó sito y con tenido (cálculos comerciales). La o tra distinción que se hace en el texto citado está íntimam ente ligada a la anterior; si algún nom bre propio —com o el de Ptolomeo— se contamin a de ma te m ática ‘vulga r’ o de ‘seud ocien cias’ alejadas del ‘pen sam iento rac ion al’, conviene entonces e stablecer una escisión esquizoide que, com o la operada en tre el Tetrabi blos y el Alm agesto , corta limpiamente entre unas obras y otras o entre unos auto 1 Aunque su emple o no será sistemático hasla la Arilhmetica integra de Slifcl, de 1544. 2 Véase, p.e., G. Flegg (ed.) (1985). 3 Véase J. Sesia no (198 4).
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res y otros, para deca ntar de un lado todo el ‘delirio’ y del otro toda la ‘racion ali dad’. Es cierto que determinadas épocas, en su conjunto, presentan efectivamente síntomas esquizoides, como consecuencia del derrumbamiento de un ‘ideal del sabe r’ y la irrupción de otros sabe res no sabidos. Pero lo que procede en tales casos es aplicar el ‘criterio de simetría’ de una sociología fue rte y rastrear — en un mismo autor, en una m isma obra, en una m isma construcción singular — tanto los delirios a que se aferran los resto s del ideal racional truncado (los del Alm agesto , por seguir con el eje m plo ) com o las razones de los nuevos saberes que em erg en como delirantes (como el Tetrabiblos), en lugar de escindir en dos a un mismo autor y aplicarle a cada una de las mitades un análisis diferente. . No otra cosa que delirio se les anto ja ría a E uclides o Apolonio la pre gunta de Herón de A lejandría por las magn itudes del d iám etro , el perímetro y el área de un círculo, conociendo la ‘suma’ de las tres. Como observa el propio Boyer (1968: 191), "el axioma de Eudo xo hu biera excluido un problema tal de la consideración teórica, pues las tres m agnitud es son de distintas dim ensiones, pero desde un punto numérico acrítico el problema tiene se ntido." Paradójicamente, la otra cara del delirio es la ampliación del ám bito del sentido, dond e un pen sam iento ‘acrítico ’ (o más libre de la presión del ‘ideal del saber’, m irado desde esa otra cara) desata n ue vos sentidos, com o serán en este caso los que permitan ir con struyend o una ‘razón algeb raica’ en op osición a la qu e, para Kline, había llegado a ser ‘sinrazón geo m é trica’. Ese sacudirse un sentido común que, como la geometría, ataba opresiva mente a la tierra encuentra su expresión en el mismo Ptolomeo: "Cuando trazo a mi gusto las tortuosas idas y venidas de los cuerpos celestes, ya no toco la tierra con mis pies: estoy en presencia del mismísimo Zeus y me harto de ambrosía, alimento de los dioses."1 El arrebato extático que experimenta Ptolomeo al perder contacto con la tie rra, pon iéndo se a traza r ‘a su gu sto’ las revoluciones celestes, es un a precisa m etá fora de la pérdida de la primacía geométrica, de la liberación de la sujeción a la forma/imagen como criterio de racionalidad. Herón, Nicómaco y Diofanto irán perfilando — pese a su s difere ncias— esa autonom ía del cam po numérico, ya apuntada en ciertos rasgos de Arquímedes y Apolonio. Para Kline (1972: 144), esta "emergencia de una aritmética y de un álgebra independientes, sin ninguna estruc tura lógica propia, plan tea lo que ha llegado a ser uno de los grandes p roble mas de la historia de las matemáticas". La aritmética, parad ójicam ente, al tiem po que se entrega a una especulación metafísica desenfrenada, irá salvando el foso que la separaba del mero cálculo utilitario, o logística, con lo que se irá sustrayendo de su servidum bre a las m ag nitudes geométricas y encontrando un cierto sentido en sí misma. La indagación sobre las posibilidades operatorias abiertas en ese campo numérico emancipado
1 Citado por C.B. Boycr (1968), p. 176, aunque con una intención bien distinta.
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[emancipado del ideal griego, pero arraigado en un imaginario mestizo (egipcio, m esopo tám ico, cristiano...)] irá constituyendo lo que — sólo retrospectiva m ente— pod rá llamarse un álgebra. El precio que h abrá de pagar será el aban do no del afán dem ostrativo a partir de axiom as, definiciones rigurosas y ‘nocio nes comunes’, aunque, por otro lado, con ellos podrá abandonar también los pre supuestos en los que, como hemos analizado, éstos se fundaban. En consecuen cia, habrá de guiarse tan sólo por una heurística aparentemente infundada y des concertante, que realmente lo será en cuanto pérdida de los fundamentos en que se apoya la matemática clásica y falta de concertación de los conceptos y proce dimientos que ésta había llegado a concertar con tanta coherencia. Así, Herón resuelve problemas de enunciado g eométrico por m étodos exclusivamente num é ricos, sin aportar la menor prueba y limitándose a narrar los pasos que va siguiendo, que era el procedim iento ‘de rece tas’ habitual entre egipcios y bab ilo nios; ya vimos cómo, p,e., no tiene el menor inconveniente en sumar longitudes y áreas, por más que ello carezca de se ntido. La rup tura del parad igm a euclídeo se man ifiesta en el pitagórico N icómac o de Gerasa en una dirección bien distinta. Éste, a diferencia de Herón, no muestra el menor interés por las aplicaciones prácticas. Nicómaco en ningún momento visua liza los números com o extensión, designándolos m ediante palabras en lugar de los pares de letras (del tipo AB, CD, etc.) con qu e se habían venido denomin ando los segmentos correspondientes. En su In troductio aritmeticae mantendrá que la serie num érica em pieza con el tres, excluyendo de ella al uno y al dos, que tienen funcio nes generadoras y, por lo tanto, pertenecen a un orden de realidad diferente. Su ‘regresión ’ a la aritmética supon e u na clara alternativa al método axiomático-deductivo, que h abía alcanzado su expresión más aca bada y su función ejem plar en la geo m etría euclídea. La ‘natura lidad’ que había llegado a adquirir ésta la reclama ahora Nic óm aco para la aritm ética, para lo cual no duda en situarla en un origen que, al tiempo que garantiza su independencia, le confiere toda una capacidad generadora de las dem ás ciencias, a las que aporta universalidad y fundamento: "...no sólo porque hayamos dicho que existe antes que todas las otras en la mente del Dios creador, como plan universal y ejemplar, en función de cuyo esquem a y ejemplo arquctfpico el creador del universo ordena sus creaciones materiales y las hace alcanzar sus propios fines; sino también porque es naturalmente anterior en nacimiento . . . " 1
En este contexto de quiebra del paradigma dominan te, no sólo en m uchos de sus aspectos fundamentales sino también en su mismo carácter fundamentador y ejemplar, es en el que puede constatarse la primera emergencia explícita de la negatividad en el seno de una tradición griega que seguirá alimentando, no obs tante, toda la matemática occidental durante siglos.
1 Citado por M. Klinc (1972: 137). (La cursiva es nuestra).
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JV.2. Diofanto ‘el osc uro’ y la crispación de los mod ernos Co ntra ese fondo de mestizaje de imaginarios colectivos, la mism a persona lidad de D iofanto se difum ina en un m ar de imprecisiones históricas. A penas sabe mos na da de su vida ni del tiem po en que trancurrió. Seg ún un epigra m a de \z An to logía Palatina atribuido a M etrodoro de Bizancio, contemp oráneo de C onstantino el Grande, sobre la tumba de Diofanto se habría grabado el enunciado de un pro ble m a a ritm étic o en cuya solució n quedaba cifra da la dura ció n de su vida: 84 años. Pero ese lap so de tiem po es el que ya no se sabe dónd e situar. Paul ve r Eeke (1959), prim er tra ducto r m odern o de los seis libros de su A rithm etica al francés, lo precisa entre finales del s. II a.C. y la mitad del s. IV d.C., lo que deja un margen de casi cinco siglos en los que podría haber vivido. A esta imprecisión se añade la provo cada p or haber sido confun dido repetidamente con otros autores por distintos estu diosos: po r Ram us con el au tor de las Harmónicas (s. II d.C.), por Bac het de Mériziac con un astróno m o de tiemp os de Nerón (s. I d.C.), po r Mo ntucla con un sofista del s. IV d.C.... Tannery se decide a conjeturar el tiempo de su florecimiento a m ediad os del s. II d.C. y actualm ente se viene situando en torno al s. III d.C. La confusión en torno a la época en que vivió y a su propia identidad se pro longa en la que rode a a su obra. De los trece libros que a nun cia en su ‘Pre facio ’ al libro I de la A rih m etic a sólo nos han llegado seis, y la pérdida de los otros siete ha dado lugar a toda suerte de especulaciones sobre su orden original y su posible contenid o. Y aun eso s sólo seis libros cono cidos han sido estudiado s y han ejercido su influencia en diferentes versiones mas o m enos apócrifas. No h a sido hasta prin cipios de este siglo cuando se ha encontrado en la biblioteca de El Escorial un manuscrito griego, anotado por Pselus, que al parecer reproduciría el texto aún no alterad o de D iofanto (P. Tannery, 1912-24). Y aún ha ce tan sólo u nos años Rosdhi R ashed (1974, 1975) enc on tró otros cuatro libros de la A rit hm eti ca, en una traduc ción árabe del s. IX, cuya versión en griego se ha perdido. Así, de los trece libros que Diofan to anu ncia en su ‘-Prefacio’ al Libro I, se conocen actu alm ente diez: seis en griego [que son los traducidos sucesivamente desde X ilander (1575) y Bachet de Méziriac (1621) hasta las versiones modernas de Paul Tannery (1893-1895), al latín, o de Paul ver Eecke (1959), al francés] y otros cuatro en árabe [que son los recientemente traducidos al francés por Rashed (1984)]. Estos cuatro pertenecen a una traducc ión que ha bría incluido siete libros — de los que los tres primeros, tam bién perd id os, coin cid iría n con los tres primeros de la versión griega— y hab rían de situarse, en el proyecto original de Diofanto, como los que ocupan los lugares del IV al VII, lo que ob ligaría a renum erar los seis libros de las habituales versiones griegas o a p artir del grie go 1. 1 En la medida en que aquí queremos centramos en un análisis lo más íntimo posible de la obra de Diofanto, en el contexto y lengua en que se construyó originalmente, nos ceñiremos —salvo indicación expresa en contrario— a los libros y a la numeración de las versiones hechas a partir de los lexios griegos conservados, y en e special a las traducciones críticas de P. Ver Eecke ( 195 9) y T. Hcath (1910).
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La ed ición de R ashed incluye unas introducciones en las que se proponen dos lecturas modernas de Diofanto. La primera, en clave de álgebra elemental, es la hab itual en los fragme ntos que las historias más o men os gene rales de las m atem á ticas de dican a este autor, y fué la predominante desde finales del s. XVI hasta prin cipios del s. XX (hasta el punto de que el cuerpo mism o de la traducción can ónica de Tannery vierte en símbolos algebraicos numerosas expresiones literales grie gas). La segunda lectura, en clave de la posterior geometría algebraica, "saca a la luz, tras la aparente diversidad de los problemas, de las soluciones y de los proce dimientos, a menudo denunciada por los historiadores, el bien restringido número de hecho de los m étodo s em plead os"1. Efectivamente, u na lectura de e ste tipo habría evitado no pocas desazones entre los lectores posteriores de la A rit hm eti ca (desaz one s que, por lo dem ás, y como veremos, no dejan también de resultar harto significativas). Pero el 'método oculto’ que así queda revelado, tan oculto que el propio Diofanto hubie ra sid o el últim o en poder sospechar su existencia, incapacita de raíz cua lquier otro intento de comprensión de la obra, escrita en el mom ento, en la coy untura c ultural, en el lenguaje y en las ma temáticas en que de hecho se escri bió. Este ‘de hecho’ y el ‘de hecho’ recién citado de Rashed se excluyen m utua mente. También — y acaso de manera muy especial— los ‘hechos’ matemáticos son constructos, y en particular, constructos de la teoría en que se encajan. Lo cual no pasa desapercibido al célebre arabista, quien advierte que tanto una interpreta ción como la otra — la algebraica y la algebraico-geomé trica— son por igual extra ñ a s a Diofanto, al que sólo podemos encontrar en su propia obra. Tanto una com o otra, com o — en una apreciación más fina— todas las versio nes de una supuesta obra ‘original’ que de hecho no pasa de ser el soporte imagi nario de versiones de versiones, son fieles muestras de las que Michel Serres (1974) llama anamnesis matemáticas, las cuales facilitan el conocimiento (en el momento de su re-construcción) en la precisa medida en que lo impiden (en el momento de su construcción). El dilema insoslayable que, desde esta perspectiva, debe afrontar cualquier hermenéutica de la A rit hm etica se enfrenta al dilema que Serres formulab a com o ‘principio de indeterminación de la historia de las matem á tica s’: cada una de las relecturas de un concepto, un m étodo o un texto matemático encierra su verdad, o más concretam ente, "o bien conozco la posic ió n del concepto e ignoro su velocidad, su movimiento propio —que es su vericidad—, o bien cono zco su velocidad e ignoro su posición". En la m edida en que efectivam ente no quepa una tercera posibilidad, aquí hemos optado decididamente por la primera forma de conocimiento, aún sabiendo que tiene por sombra una cierta forma de ignorancia. En el segundo m odo de acercamiento, cabe sin embargo distinguir dos m ovi mientos: uno, a partir de la(s) posteridad(es) de Diofanto y, el otro, partiendo de la(s) tradición(es) que le alimentan. El primer m ovimiento lee la A rit hm etica desde cua lesq uiera de las reconstruccione s posteriores, de modo retroactivo y externo, en 1 R. Rashed (1984), t. III, p. VII. (La cursiva es nuestra.)
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términos del lenguaje algebraico vigente en cada uno de esos m om entos; esta lec tura, que es la habitual, es sin duda ajena po r com pleto a Diofanto, y si aquí hem os cedido a ella en ciertos m omen tos — por no hacer su lectura en exceso farragosa— no lo hem os hecho sin continuas prevenciones y advertencias (com illas, cursivas, etc.). El otro movim iento, por el contrario, lee a Diofanto desde los discu rsos ante riores que co nfluyen en él, es decir, desde aq uellos discursos con los que él m ism o ha construido sus métodos y conceptos, por lo que su consideración no sólo no impide cono cer la posic ió n de esos m étodos y conceptos sino que viene reclam ada desde el interipr mism o de éstos, que se han constituido com o precipitado de e se movimiento. Por esta razón, tanto la ‘posición’ como este segundo tipo de ‘movi miento’ serán los ejes, y los instrumentos, sobre los que descanse nuestra lectura. Ese d oble palimpsesto (histórico y epistemológico) en que así se ha c onv er tido la Arit hm eti ca dificulta un análisis preciso de cuál hubiera podido ser su con cepción de la negatividad : no ya sólo por cóm o p udiera haberse tratado en los pro blemas de los libros perd id os, sin o por los pro pio s térm in os que re sultan seleccionados (en las diferentes versiones conservadas) para nom brarla o nom brar, en su caso, su imposibilidad. Pero ese mismo palimpsesto también ofrece un inapreciable material para entende r cómo la han reinterpretado époc as sucesivas a través de sus respectivos traductores, a los que nos referiremos más adelante. La o bra de Diofanto parece ser difícil de juzg ar despasionadam ente. Entre los historiadores de la matemática suele suscitar las mas encontradas reacciones: desde la admiración a la irritación, pasando por el olvido o por interpretaciones contrapuestas. Las diferencias en la valoración de sus técnicas pueden, por tanto, ser casi tan significativas como el estudio directo de esas técnicas. Hankel (1874; 158), por ejemplo le considera el ‘padre del álgebra’, expresión que después se hará tópica, lo cual no impide que la lectura de su obra parezc a deja rle al bo rde de un ataque nervios: "Más aún que los problemas, las soluciones [de Diofanto] son de tipos extre mad ame nte variados: es del todo impo sible hacer un catálogo siquiera aproxim ativo de los rodeos que van adoptando. En el autor no hay ningun a traza del meno r método general: para cada cu estió n recu rre a un método especial qu e, con frecu encia, ni siquiera servirá para el problema más"próximo (...) Ño tiene la calma ni la concen tración necesarias para entrar en el corazón de un sólo problema impo rtante; y a sí el lector pasa de un problema a otro con una prisa febril, como si estuviera ante una serie de adivinanzas de las que nunca consigue sacar auténtico placer (...) Sus pro blem as no parecen construidos para obedecer a ninguna necesidad científica sino tan sólo para pod er encon trar la solución, que, por tanto, se nos m uestra fragmenta
ria y superficial
La crispación en que q ueda sumido el historiador ante una obra agónica como ésta, una obra que lucha entre lo que quiere decir y el cómo se ve obligada a 1 Citado por T. Heath (1964: 54). (Las cursivas son nuestras.)
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decirlo, dice mucho de lo que su recepción significa para un espíritu clásico y metódico. El ‘auténtico placer’ que éste suele encontrar en el sosiego proporcio nado por la sujeción a la autoridad de un ‘método general’,.afianzado durante siglos, sa lta ‘febrilm en te’ en pedazos ante la continua decisión (krisis ) que supone tener que atacar cada problema mediante un ‘método especial’, ante unos juegos de ‘ad ivina nza s’ que tanto se apartan de la ‘vía regia’ de la geom etría, an te ese otro extraño p lacer que parece encontrar Diofanto en ‘no obedecer a ningun a necesidad científica’ y no atenerse sino al capricho de convenciones ad hoc, huérfanas de toda fundamentación geométrica o, cuando menos, metódica. Respecto de la tra dición, por fuerza sus soluciones han de parecer irritantemente ‘fragmentarias y superficiales’. Como apunta Bloor (1976: 131), "lo que expresa Hankel es la pru eba fe nom enoló gic a de que la obra de Diofa nto da te stim onio de un pensa m iento m atemá tico bien diferente del nuestro, tan diferente com o puedan parecernos la moral o la religión de otra cultura". De hecho, su ausencia de método no puede dejar de re cordar a las matemáticas wasan japon esas, p ara las que la gracia no está tanto en resolver un problema como en hacerlo sin recurrir a ningún mé todo general. R especto de esa gracia, que sólo se manifiesta en lo efímero y sin gular, el m étodo es una desgracia. No en vano matem áticas como las wasan se han tenido mas (S. Nakayama, 1981) por una obra de arte (como el waka, el haiku, o la ceremonia del te) que por un trabajo ‘serio’. Para Morris Kline (1972: 143), uno de los historiadores de las matemáticas más sensible a las diferencias y a las fracturas, también en Diofanto la "variedad de métodos para los distintos problemas deslumbra más que deleita". Parece que el alejan drino en cuen tra más placer en considerar en cada problem a lo que tiene de singular e irreductible, al estilo wasan, que en indagar carácterísticas comunes y arbitrar un m étodo aplicable a cuantos pudieran pertenecer a u na mism a categoría. La "variedad de ardides y artificios que em plea en los diferentes p roblem as" es tan grande que Heath (1981: II: 462) casi no encuentra otro modo de dar cuenta del método de D iofanto que reprod ucir la totalidad de su obra. En oca siones , no parece habérselas uno con un matemático sin método sino decididamente antimetódico. Y e sta esp ecie d e vo cación caó tica, de placer en el artificio po r el artificio, de pre ferenc ia de lo adjetivo frente a lo sustantivo, del ardid sobre el sistem a, de la receta heurística sobre la fundamentación razonada, parece acompañar tanto, en general, a los momentos de quiebra de un paradigma matemático y cultural dominante com o, en particular, a las diferentes em ergencias de la negatividad. Tod os éstos son rasgos que, efectivamente, volverán a carácterizar la emergencia de los ‘números imaginarios’ en la quiebra manierista del Renacimiento italiano. El Diofanto de Montucla, por el contrario, no es tanto un pensador desconcertantemente original (aunque, según este pionero en la historia de las matemá ticas, no conozcamos otra obra semejante a la suya) cuanto un exponente del m odo d e pen sar de toda una época: "no nos es posible determ inar si Diofanto fue el inventor del álgebra", observa con precau ción, pero "a partir de su obra pod e
mos hacerno s un a idea de lo que el álgebra pudo h aber sido en époc a de Diofanto' (1968:1: 315). También Nesselman (1842: 248 ss.), Tannery (1912-24: III: 158 y
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357) y Heath (1964: 111 ss.) ponen en duda la excepcionalidad de su obra, pese a que no haya llegado hasta nosotros otra parangon&ble. Klein (1968: 126), por su parte, disting ue en tre el material y la form a utilizados po r Diofanto, en un sen tido próximo al de la tensión entre los contenidos y su expresión a que hacíamos referencia: su material puede rastrearse en el Epanth em a de Tyma ridas de Paros, en Platón, en el scholium al Charmides, en los epigramas ‘aritméticos’ de la "An tología Palatina" o en la obra de H erón, si bien de su fo rm a no nos consta nin gún documento anterior a él. Efectivamente, tanto sus predecesores, como Nicóm aco de Gerasa, com o aun muchos matemáticos posteriores, como Jámblico, enuncian sus problemas de un mod o concreto, a me nudo al estilo de las narraciones mitológica s típicas de los epi gramas de la "Antología Palatina". El modo de presentación de los problemas típico de Diofanto, en desnu dos términos numéricos y de forma abstracta, es insó lito en su tiempo, hasta el punto de que suele dudarse de la correcta atribución de las escasas excepciones (como el último problema del libro IV) que se acercan a un modo de enun ciación más tradicional. Por ello, su m anera de hace r matem áticas es de un singular interés para un estudio concreto de cóm o a fecta al trabajo m ate mático la quiebra de un pa radigm a de racionalidad y de có m o operan los ob stácu los que ese paradigm a, no ob stante, ofrece a la emergencia de nuevas form ulacio nes, de las que nosotros atenderemos en especial las que afectan a la negatividad. IV. 3. U na Bab el m atem ática. ¿Nuevos límites p a ra el nú m ero? En D iofanto y su épo ca convergen tradiciones bien dispares, cuan do no anta gónicas, cuyas influencias respectivas en el autor de la Arih m etica enfatizan de modo bien diferente los distintos estudiosos. La infuencia babilónica está presente por doquier, como en el trata m ie nto num érico — y no geométrico— de casi todos sus problem as o en la m anera de resolver las ‘ecua ciones’ de segundo g rado, con una o dos ‘incógnitas’, cuya solución Euclides construyera al modo g eom étrico en el Libro II de sus "Elementos". Esta influencia ha sido destacada hasta el punto de que J. D. Swift (1956) tiene a Diofanto por el "el más puro exponente del álgebra babilónic a . También N eugebáuer (1969: 146 ss.) le consid era el últim o vástago de una tradición ‘algebraica’ babilónica que, con los árabes, incorporará tanto influencias griegas como orientales. Desde esta perspectiva, no cabe decir decir ciertamente, com o a m enudo se repite, que Diofanto sea ‘el padre del álgeb ra’. Boy er (196 8:20 ), sin em bargo, destaca su distancia tanto respecto de la mate má tica clásica griega com o de la babilónica, de la que a su juicio d ifiere en dos ras gos fundamentales: a) Diofanto busca soluciones exactas para los 150 problemas de su A rithm etica allí dond e los babilonios se conformaban con soluciones a proxi madas (en verdad, el mismo Diofanto anuncia resolver algún problema, como el V.9, p o r paris óte s o ‘ap rox im ac ión ’); y b) su concepción ‘abs tracta’ (aunqu e m ejor diríam os, y tamp oco sin reservas, formal o no-referencial) del núm ero, que supera tanto las exigencias de dim ensionalidad sensible de la matem ática euc lídea (p.e., 225
al sum ar o restar el á rea y los lados de un triángulo, o al considera r hasta la sexta pote ncia de la incógnita) pero su pera también el re querimie nto de ‘se r m edid a de’ (grano, mo nedas o extensión de terreno) a las que se some te el núm ero babilónico (aunque tam bién aq uí cabe una excepción, la del problem a V.30 referido a las can tidades de vino de distintas clases empleadas en una mezcla). O tra tradición p resente en la matem ática de la época de Diofanto es la egipcia. Su ma nipulación de las fraccione s unitarias o el recurso a las técnicas hau (‘amon tonam iento’) de cálculo, que Cantor (188 0-19 08:1:4 46 ,74 ss.)po ne de relieve, así lo atestigua. Miguel Psellus, en el s. XI, se refiere a su método como el ‘método egipcio’, calificación al parecer habitual en la escolástica. A pesar de las influen cias que puedan haber ejercido estas tradiciones, tan apartadas de las griegas, no pare ce habers e hecho, sin embargo, bastante hincapié en una dete rm in ació n fu n damental que no puede dejar de filtrar cualquier innovación, sea conceptual o téc nica: pese a todas sus heterodoxias formales y pese a esa cierta desvinculación de la lengua natural que se m anifiesta en el emp leo de ‘sím bolos ’, tanto ese lenguaje primario que es el siste m a de numeración, como el le nguaje técnico en que se hacen sus matemáticas, como el lenguaje ordinario en que se dic en, son los tres griegos; lo cual res ultará decisivo para su consideración de la negativiclad. Su relación con la tradición geométrica griega no es menos compleja, aun que sólo sea por las razones lingüísticas apuntadas. Por un lado, su expresión en la misma lengua en que Euclides y Aristóteles habían pulido muchos de sus tér minos carga semánticamente alguno de los conceptos claves de Diofanto. Por otro, la ya posible co ncep ción de otros objetos teóricos y de otros proced imientos deductivos, de bida a la incidencia de otras epistemes, habrán de decirse en él con aquellas palabras pero ahora cargadas de un sentido y una intención diferentes. Con todo, la falta de una integración coherente de los distintos cam inos que con vergen/divergen en esta encrucijada cultural salpica la Arithm etica de casi tantas excep ciones, cuan do no contradicciones, como conclusiones puedan irse estable ciendo, com o hem os visto que ocurría, p.e., con los rasgos diferenciales que co n cluía Boyer. Así, las potencias de las cantidades desconocidas toman su nombre de las figuras geométricas ‘correspondientes’ en el ‘álgebra geométrica’: ‘x2’ se repre senta p or Ar y le llama ‘cua drad o’ (dynamis), ‘x3’ por Kv y le llama ‘cubo’ ( kybos ) ... pero la serie sigue más allá de toda intuición espacial, y para denominar a las irrepresentables potencias siguientes se ve obligado a construir una serie de neo logismos que no pueden, sin embargo, evitar una connotación espacial ya sin sen tido: ‘x4’ se representará por Av A y le llama ‘cuadrado-cuadrado’ (dynamo dynamis), ‘x5’ por AKVy le llama ‘cuadrado-cubo’ y, por último, ‘x6’ por K Kv y le llama ‘cubo-cubo’. La intuición espacial sensible, que había limitado a tres el número de las ‘potencias’ en la tradición clásica, se ve así rebasada, pero sigue latente en el lenguaje y en ciertos presupuestos que éste soporta tanto como expresa. C on frec uen cia las cuestiones de lenguaje más que só lo cuestiones de len guaje son nada m enos que cuestiones de lenguaje, y la pervivencia en él de ciertos
términos, hábitos o estructuras refuerza ciertos pre-conceptos con tanto mayor
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vigor cuanto más latentes se m antenga n1. De sde esta perspectiva, nada más e nga ñoso, por simp le en exceso, q ue esa habitual consideración de la obra de Diofanto como el primer ejemplo de un ‘álgebra sincopada’ que, mediante la progresiva construcción de ciertas a breviaturas y ‘símb olos’ , iría pe rm itiendo el tránsito sos e gado y sin fracturas entre un ‘álgeb ra retórica’, qu e todavía sólo usa palabras para expresarse (como la de Herón o la babilónica), y un ‘álgebra simbólica’ o estadio final del álgebra, que ya no precisa del lenguaje común , pues sus ‘símb olos’ nada simbolizan. No debe olv id ars e que, en época de Dio fanto (c om o ta m poco en los sig lo s sucesivos, ni seguram ente en ningún caso), no cabe hablar de una decad encia lineal del modo de pensar geométrico al que iría sustituyendo una progresiva implanta ción del que Ortega (1979: 45) llama ‘modo de pen sar algebraico’. Para un a atenta mirada arqueológica, éste parece un momento especialmente habitado por fractu ras, solapam ientos, rupturas locales, pervivencias de v iejos significados bajo nu e vas formas de enunciación p ero también em ergencias de nuevos sentidos bajo for mas de expresión y a gastadas; unos sentidos que así se mue stran — a los ojos modernos no menos que a los clásicos— caóticos, fragmentarios, inconexos, sin saber dar razón de sí m ismos o encontrándola en la propia funcionalidad ciega de las operaciones en tomo a las cuáles se anudan. De la plena vige ncia del más puro espíritu de E uclides y Apolonio, en el pre ciso mom ento en que D iofanto está transgrediendo alguno de sus supuestos funda mentales, da testimonio la obra de Pappus, que com pone su Synagoge a finales del s. III d.C. En ella volvemos a encontrar intacto todo el rigor lógico y geométrico que adornó a los clásicos, distinguiendo con precisión tan sólo entre problemas ‘planos’, ‘sólidos’ y ‘lineales’, resolubles los primeros con sólo rectas y circunfe rencias, los segundos mediante secciones cónicas y los últimos por medio de otros tipos de curvas. Pero ahora el clasicismo de Pappus se ve obligado a sacar a la luz alguno de sus postulados latentes, mostrando así su otra cara en la condena que debe hac er de las extra-vagancias de un Herón o un Diofanto: "nada hay que esté contenido en más de tres dimensiones", aunque "algunos hombres algo anteriores a nosotros se han permitido interpretar cosas así, que no significan absolutam ente nada com prensible, hablando del producto del contenido de tales y tales líneas por el cuadrado de éstas o el contenido de aquéllas"2. Por otra parte, la antigua distinción entre logística y aritmética parece haber quedado ya abandonada, aunque su fusión diste mucho de haberse articulado en tomo a una teoría coherente. Por un lado, consideraciones impensables para la ‘cien cia del num ero en sí’, com o el tratam iento de la unidad o de las fraccion es como números, se incorporan en ocasiones a la especulación aritmética. E inver1 Asf, para Diofanto, la primera potencia de un número se seguirá diciendo como 'lado de un cuadrado' (pleura loü iclrasonfíit), lo que hará de la concepción de ‘raíz cuadrada’ que de ahf se sigue un obstáculo — como veremo s— insalvable, aún desde el ecle ctic ism o diofántico, para cualquier percepción de la negalividael imaginaria. 2 Citado por C. Boye r (1968: 209 ). (La cursiva es nuestra.)
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sámente, las reglas prácticas y las tablas de ejercicios útiles , comunes en la logís tica, habían aban dona do poco a poco su carácter concreto, hasta el punto de que, según P. Ve rE ek e (195 9: X VII), "en la época de Diofanto, el cálculo había adq ui rido ya una forma abstracta de la que surgía una aritmética lo bastante diferente com o para pód er calificarla de ‘logística nueva’ o ‘álgebra de los grieg os’ ". Incluso es probable que, al ca lor de la pujante efervescencia religiosa, a esa fusión se añ a diera también un a cierta motivación aritmológica que, si bien en ningún m om ento se hace explícita en D iofanto, sí lleva a alguno s estud iosos (K. Vogel, 1981: 116) a preguntarse si entre sus objetivos no se contaría el "investigar las propieda des de los núm eros y ex plorar los m isterios que han brotado a su alrededor". A las influencias de las tradiciones egipcia, babilónica, logística y aritmética que suelen aducirse com o explicación del concepto ‘abstracto’ de núm ero en Dio fanto, Tannery (1912-24: II: 535-7) antepone el influjo del modo de pensar cris tiano, apoyado en la conjetura de que el Dionisio al que se dedica la Arit hm etica es el San Dionisio que fue obispo de Alejandría. Según este autor, ese Diofanto cristiano habría tratado de desnudar el modo de enunciación verbal que, en tomo a mitologías paganas, era habitual en los problemas de cálculo, reconvirtiéndolo en formulaciones ‘abstractas’. Frente a todo ello, y p ese a que el enunciado y el tratamiento de todos los pro blem as es exclusivam ente num éric o1, Klein, por su parte, consid era que la incor poració n de pro cedim ie nto s ‘algebra icos’ es en Dio fa nto tan só lo apare nte y super ficial, por lo que su obra se inscribiría cabalmente en aquella tradición griega que ya se había propuesto, desde Platón, la elaboración de una ‘logística teórica’. Su excelente análisis de la A rih m etica se orienta, en consecuencia, a "comprenderla de la única manera en que parecería comprensible para los griegos" (1968: 127), con lo que las tensiones internas que atraviesan esa obra se van atribuyendo, no a la enc rucijada cultural en q ue se escribe, sino a las diferen cias entre los presup ues tos de las tradiciones logística, platónica, aristotélica y neoplatónica, todas ellas deudoras de una sola ascen denc ia griega. Esa encruc ijada de sen tidos, no menos fragmentarios y contrapuestos que sus valoraciones actuales, a rranca ya en Diofanto de su m isma concepc ión del ámbito de lo numérico. En el ‘Prefacio’ a su Arithm etica sienta una definición d e núm ero que reproduce casi literalmente la definición VII.2 de Euclides. Según ésta, "el número es una pluralidad de unidades"; y para Diofanto: "Como sabes, entre otras cosas, que los números (arithmoi) están formados po r una cierta cantidad de uni dades..." En el mismo sentido de número concebido como multitud de unidades apuntaría, según Klein (1968: 130), su uso del signo formado por una M con un circulito encim a (M), que D iofanto coloca siempre antecediendo al ‘núm ero cono cido’ (o término independiente de la ‘ecuación’). Este signo se introduce así en el ‘Prefacio’:
1 Aquí, una vez más, se impone otra excepción, la del problema V.10, único caso en que Dio* fanto, conforme a la tradición euclídea, representa un número por un segmento de Ifnea.
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"Hay también una marca distintiva [además de las de las potencias y la de la incógnita o arithmós] para el invariante de núm eros determ inad os, es decir, para la unidad, y esta ma rca es M que tiene por índice , o sea, M."
Para Klein, esa letra M sería la inicial de monas , y no — como defienden N esselm ann, Tannery y Heath — un m ero sig no insignificante, usado para separa r el ‘invariante de núme ros determ inados ’ (o'nú m ero conocido’) del coeficiente de la incógnita adyacente y evitar así su confusión. Esta concepción del núm ero como ‘multitud’ es la que, unid;1al concepto platónico del ‘uno’ como ‘lo que no tiene partes’ (que Euclides re coge en la definició n VII. 1: "la unidad es aquello p or lo q ue cada cosa se dice que es una"), excluiría automáticam ente al uno del campo num é rico para evitar la contradicción que supondría pe nsar lo indivisible co m o m ultitud. Sin embargo, D iofanto no parece tener inconveniente en fra c tu ra re se uno e inco r porarlo así al re in o del núm ero , d e lo com puesto de partes. No sólo opera sin re m il gos con la fracción (mórion) de la unidad, tan fa m iliar a los cálculos egipcios, sino que en algunos problemas se plantea explícitamente la manera en que la unidad puede partirse: el pro ble m a V.31 pide "dividir la unid ad (monada ) en dos partes (dyo mória) tales que...". Incluso la incógnita y sus potencias aparecen como d eno minadores de esas fracciones unitarias, con lo que obtienen sus nombres como derivados de los de aquéllas: así, si el cubo de la incógnita (‘x3’) es kybos, su inverso (‘1/x3’) se llama kybostón. El ‘uno’ ha perdido su carácter de arché hasta el punto de que ahora resulta incluso engendrable: "Todo núm ero multiplicado por una fracción que tiene ese núm ero com o den om inador, da la unidad", advierte en el ‘Pre facio ’, lo que su pone de cir que la unidad, partida en un cierto núm ero de par tes, puede ser reconstruida reagrupando tales partes en la cantidad que indica ese cierto número. Pero la unidad no sólo se puede dividir y engendrar, sino también multiplicar: "Siendo la unidad invariable y siempre constante, su expresión multi plicada por sí m ism a seguirá sie ndo la m isma expresió n". Pese al atentado que operaciones com o ésas suponen para el m odo de pensar pla tó nic o, para Klein (1968: 132) no sólo no hay ahí la menor contradicció n sino que tampoco resta un.ápice de rigor teórico, apodeíctico, al trabajo de Diofanto: basta consid erar la unid ad al m odo peripaté tico, com o mónada obte nid a por abs tracción y capaz de comportarse como unidad de medida de tamaño arbitraria m ente selec cionab le (y, en este sentido, pero sólo en éste, divisible). De este m odo , el núm ero entendido com o ‘cierta cantidad de un idades’ no excluiría de su ámbito al ‘uno’ ni a las ‘fracciones’ (moría), pues aquél siempre podría entenderse com o ‘una cierta cantidad de fracciones’, tomadas éstas ahora como nueva unidad de medida. Aunque el argum ento es formalmente correcto y salva a Diofanto de con trad icció n,si bien al precio de enraizarle por co m pleto en la tradición aristotélicoeuclídea, no parece qu e ese objetivo deba antepo nerse al de intentar entender u na obra que se hace en el cruce — contradictorio ¿p or qué no?— de tradiciones que se solapan sin llegar a articularse en una teoría coherente. La A tihm etica y su época más parecen responder a una forma relajada de razón, abierta ahora a la contradic ción y a la no-identidad, que a aquella racionalidad seca e identitaria que ab om i
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naba de la contradicción, y que aquí se ha secado doblemente al haberse perdido el esp íritu que la anim aba. D e hecho, hay tan sólo un problem a (el V.10) en toda la colección de laArilimetica en el que Diofanto represente, al viejo estilo euclídeo, un núm ero po r un segmento de línea; en todos los demás la concepción subyacente a los enunciad os y a los cálculos se emparenta directame nte con las otras tradicio nes m encionad as, aunq ue ello se contradiga abiertamente con ciertas definiciones explícitas de la propia Aríthm etica y con los presupuestos de otras tradiciones, com o la neoplatónica, en las que bebe. Jámblico (ca . 240-325) recuerda, en su "Introducción a la «Arithmetica» de Nic óm aco", que ya los esto ic os de la escuela de Crisipo habían definido la unidad como ‘pluralidad una’ en un intento por salvar la contradicción. Y él mismo se seguirá esforzan do todav ía por conciliar los conceptos de unidad y de núm ero, para ló que recurre a una definición indefinida — que atribuye a algunos pitagóricos— según la cual el uno s ería ‘lo intermedio entre el núm ero y sus parte s’, una especie de frontera ( methórion) entre la serie (descendente) de los números y la serie (ascenden te, al ir descen diendo los denominadores) de las fracciones: ¿á p eiro n ? ... 4, 3, 2, ¿1? 1/2, 1/3, 1/4 ... ¿ápeironl
De las dificultades para que am bas series se cierren incorporan do así a la fron tera (el ‘uno ’) de la que emanan y a la que abocan, da buena idea la com pleja pro cesión de hipóstasis, genios, dioses y demonios, tanto de las religiones populares griegas como de otros misterios orientales, con que se irán densificando las ema nac iones p lotinian as (véase ep ígrafe 1V.7). Otra ‘frontera’ problemática se perfila p o r abajo , al ir aum entando los deno minadores, y a ella alude el scholium anónimo de Jámblico, en referencia a Dio fanto precisam ente : "Así Diofan to en sus ‘partes fraccionarias’ , pues las fracciones pro gre san en su dis m in ució n avanzando hacia el infinito (áp eiro n) "1. Nuestro ‘cero’, ahora apuntado como ápeiron, y no como medén ni como oudén, perfila otro límite del campo numérico, que difícilmente puede, por tanto, identificarse, como quiere Klein, con el de los ‘racionales positivos’. No obstante, no deja de chocar la ausencia en Diofanto, pese a la innegable influencia babilónica, de una marca p ara la ausencia, qu e sin embargo ya había hecho en ocasiones su aparición en el m undo alejandrino tardío. En este punto, la potencia conde natoria de lo ápei ron y lo medén de la tradición clásica encontrará un inesperado refuerzo en el mo do de num eración utilizado po r la logística, no obstante haberla excluido de la reflexión teórica. C om o v im os a prop ósito de las dificultades de Aristóteles con el ‘ce ro’ (III.3). en la m atem ática griega clásica no hay lugar para un cero aritmético. Tam poco lo habrá en la logística p ara un cero posicional. L a m atemática babilónica, pa ra mar car la au sen cia de una cifra, o bien deja su lugar en blanco o bien lo m arca con un 1 Citado por J. Klein (1968: 137).
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signo específico. Pe ro ni el sistema de nu me ración ático, ni el jón ico o alejandrino (de carácteres alfabéticos) qué le iría sucediendo, son sistemas propiamente posicionales de numeración (salvo en la repetición de ciertas letras para números ma yores que m il). L o cual tam bién excluye la posibilidad de un ‘ce ro’ en ese sen tido, siquiera meramente notacional, que podría darle el marcar una posición no ocupada. H eath (19 81 :1:39 ), en su defensa frente a Tannery y a Cantor de la mayor utilidad del segundo sistema respecto del primero, advierte que: "El único inconveniente real de l sistema alfabético era la ausencia de un signo para 0 (cero); pues el 0 pa ra oudemia o oudén que encontram os en Ptolomeo sólo se utilizaba en la notación de fracciones sexagesimales y no como parte de un sistema de num eración. Si hubiera hab ido un signo, o signos, para indicar la ausencia de un número de una denominación particular (p.e. unidades o decenas o centenas) los símb olos griegos podrían haber servido com o sistema posicional apenas menos efec tivo que el nuestro".
Lo que para He ath es ‘el único inconven iente’, desd e una valoración de su uti lidad para el cálculo, adquiere sin embargo una relevancia especial cuando lo que se valora es la posibilidad , para un m odo de pensar, ya se a de identificar la ausen cia, ya sea de o perar con ella de alguna manera. Es la influencia babilónica la que, ya en plena decadencia alejandrina, introduce esa aberración para la percepción geom étrica, tan cargada de plenitud y significaciones espaciales. Kline (1972: 132) remonta al s. III a.C. los primeros papiros griegos donde aparecen ciertos signos pa ra el ‘cero’ — como ÜO, 0 ó ü — , que se rv irían, com o en el periodo seléucida de los babilonios, para desig nar cifras ausentes. A diferen cia de Heath, este autor atri buye a Pto lo m eo el uso del sig no 0 para m arc ar la ausencia de una c iñ a tanto a mitad com o al final de un a exp resión n umérica. En cu alqu ier caso, son de destacar tanto la emergencia de una nueva forma de percepción, que permite identificar y m arcar la ausencia de cifra, com o la imposibilidad, incluso para esa nueva manera de mirar, de pensar esa marca como número y, en consecuencia, someterla a las operaciones habituales entre números. El número, pese a todo, sigue siendo ‘número de’, una ‘cierta cantidad de unidades’, por mucho que el rigor en la con cepción de tales unida des se hu biera relajado hasta el p unto de llegar a incluir entre ellas sus propias partes o fracciones. El ‘progreso en la disminución’ del nuevo campo numérico extendido parece encontrar en el cero un mínimo absoluto, más allá de toda posible reflexión teórica pero más allá también de toda manipulación operatoria en el interior de una quimérica logística que no consistiera sino en meros cálculos. En D iofanto se expre sa de m odo privilegiado el mito babélico de la confusión de lenguas, en su versión matemática. Los lenguajes matemáticos de las distintas tradiciones que convergen en su obra son a menudo incompatibles o intraducibies los unos a los otros. Incluso la posibilidad misma de una tal traducción supondría la existencia latente de un lenguaje matem ático com ún que permitiera el trasiego de unos significados a otros, de lo que no hay la menor evidencia. Ver, por tanto,
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en D iofanto, com o su ele hac erse, al padre de un álgebra universal que, a través del arte llulliana o la mathesis universalis leibniziana, llegaría hasta las formalidades universales de un Bourbaki o un Chomsky, sólo puede hacerse —como denuncia Steiner (1988: 77 ss .)— d esde la previa creencia mítica en un único lengu aje pri migenio que, perdido tras el caos babélico, encontrara en la matemática su posibi lidad de reconstrucción ejemplar.
IV.4. Diofanto o la prim era emergencia occidental ' de la negatividad matemática. Una incursión en lo impensable Por muchas distinciones que hayamos de hacer en cuanto al modo concreto en que D iofanto trata la negatividad , se imponen de entrada una serie de observa ciones que, a modo de anticipación de algunas de las principales conclusiones, harán innecesaria la posterior insistencia en ciertas precisiones y matizaciones. (a) En Diofanto, por primera vez en la historia de la matem ática esc rita en lengua griega, acontece n c iertas formas de negatividad. Esta primera em ergencia es en sí m isma lo ba stante significativa y desconcertante com o para no quedar en a bso luto ensom brecid a po r el rechaz o a que Diofanto mismo la somete, aunque tan sólo sea en ciertas ocasiones bien precisas. Lo relevante es que si Diofanto puede recha zarla bajo cierto aspecto — y aceptarla bajo otro— es porque previamente ha podido tenerla como objeto de con sideración. La tradición griega clásica ni siquiera había podid o iniciar el gesto que la apartara, pues había establecido previamente con toda precaución las condic io nes que hacían im posible su emergencia. Para que ahora sí pueda p re se ntarse, y sólo secundariamente asumirse o negarse (según el aspecto con que se presente), ha brá he cho falta que la crisis que tiene lugar durante los siglos del periodo ale ja ndrino altere dos marcos fundamentales. Por un lado, el m arco de representación y operación simbólicos, que — en el caso de las ma temá ticas— supondrá una cierta sustitución de la figura geométrica por el número , del aspecto visual de la re pre sentació n por uno más inte riorizado y menos sensible, del seguimiento continuo — interpretable paso a pa so — de la construcción de la solución a un problema (donde cada pa so ha de ser visualizable) por la se paració n y autonomía del procedimiento operativo, cuyos pasos parciales — ahora dentro del cam po numérico— no reclam an ser interp re tables uno a uno en ningún modelo concreto: con tal de que el resultado tenga sentido no hay por qué pedirle otro tanto a cada operació n de las que conducen a él, pues éstas no tienen otro motor que su propia lógica y dinámica internas. Paía ello, evidentemente, ha sido necesaria un a fractura — o, al menos, un debilitamiento— d e los lazos que vinculan al significante con el significado, de modo que esa cierta autonomía del signo no prive de sentido a su interacción con otros signos también separados ahora del proceso abstractivo que los mantenía referencialmente ligados. Por otro lado, aunque en íntima conexión con lo anterior, se altera el marco perc eptu al. La cadena de mediacio nes inm ediatamente aprensibles, a cuya exhaus
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tiva construcción se dedica toda la impresionante obra aristotélica, pasa a admitir lagunas, huecos de sentido. El mismo relajamiento del pensamiento ‘racional’ que perm ite volver a admitir, tanto en el pro ceso del ser c om o en el del pensar, m edia ciones ‘irracionales’ (como la profusión de emanaciones neoplatónicas o una acción a distancia que no necesita que la causa del movimiento actúe continua m ente sobre su objeto) parece perm itir tam bién que los lazos interm edios que ligan el planteam iento de un problema con su solución (las operaciones de cálculo) pu e dan asim ismo man tenerse sin necesidad de ‘dar razón’ de ellos. Ciertamente hay en esto un notable pragmatismo: no importa dem asiado la coherencia teórica de los pasos que se den para obte ner un resultado, si éste re sulta ser válido; pero no es menos cierto que la exigencia de continua interpretabilidad geométrica de estos pasos no era menos pra gm ática por el hecho de que la utilidad, o inclu so la nece sidad, viniera decidida en término s del mode lo aristotélico-euclídeo . El fácil exp e diente explicativo que distingue entre épocas de predom inancia teórica y otras de prio ridades utilitarias es dem asia do simple: lo rele vante es el modo de pensar que decide qué es práctico en ese mom ento, el m odo de pensar que determina, en unas épo cas pe ro tamb ién en las otras, tanto la reflexión teó rica como lo que se tiene p or útil, válido o práctico. (b) Da toda la impresión de que D iofanto no procede a una construcción efectiva y explícita de cierta negatividad, en ninguna de sus formas. Mas bien pare ce que ésta se le im pone, le viene de un cierto afuera que él se lim ita a asumir, nego ciar y dar cauce operativo. Com o veremos a continuación, Diofanto no ofrece definición alguna de qué cosa vaya a entender por esa leipsis de la que, sin em bargo, form ula las reglas para operar con ella, ni argumenta en ningún m om ento por qué opera con ella del m odo en que lo hace y no de otro; como tampoco da mayores razones en que fundar, o siquiera justificar, la exclusión de otras particulares formas de negatividad, cuando así lo hace. Ni siquiera los distintos contextos en que aparece b ajo una u otra form a aportan apenas información adicional. La negatividad es pa ra él un hecho — a un que m ejor sería decir una acción — ya construid o, que se encuentra ahí dado, y que él se limita a incorporar operativamente a su trabajo matemático. (c) Es sorprendente el frecuente silencio — sea po r ignorancia, olvido o falta de apreciación— de la historiografía más com ún sobre esta primera em ergencia de la negatividad en la matemática occidental. Sobre todo si se compara con los ríos de tinta que se han vertido ante la em ergenc ia de otras cuestiones fronterizas, com o la de los inconmensurables o la de las reformulaciones del ‘postulado de las para lelas ’. La m ayor parte de las historias de las ma tem áticas, e incluso las del álgebra, suelen pasar aquélla por alto, y aún numerosos estudios centrados en la obra de Diofanto no hacen referencia a ella sino de pasada, sin pararse a considerar un asunto tan — literalmente— extraordinario con un m ínimo detenimiento. Acaso tal olvido no sea sino con secuencia de ese o tro más general que sufre la obra en tera de Diofanto. Paul ver Eeke, prim er traductor suyo al francés, den un cia que, efectivamente, "la doctrina diofántica está com pletamente igno rada po r la m ayor parte de los m atemáticos de n uestro tiem po, incluso por los m ás instruidos";
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lo que no le impide a él mismo cifrar su admiración en algo tan exterior a su obra com o "hab er alumb rado el gen io de Ferm at (...) e inspirado a Vieta y Euler" (1959: Prefa cio ). B oyer (1968: 204) explica tal ignorancia por haber quedado al margen de la corriente central de la m atem ática griega, lo que más bien parece que debería ser un acicate para su estudio. Pero, fuera por lo que fuere, no parece ser tampoco ajeno a ello tanto lo ferragoso de la A rih m etica com o su resistencia a ser analizada según los estereotipos ya acuñ ados para la ma temática clásica. (d) Por último , y anticipando la que acaso fuera conclusión más nítida, podemos distinguir grosso m odo en la Aritlu netica dos formas fundamentales de negatividad, en con exión con lo apuntado en (a): una negatividad dinámica, tran sitiva o en proceso, y una negatividad estática, sustantiva o como producto . Hem os calificado de negatividad ‘en p roce so’ a la que se presen ta en el ‘Pre facio’ a la Arithm etica, al enunciarse la que después se conocerá como ‘regla de los signos’. Su condición de proceso, frente a la de producto , se dice aquí en un doble sentido. Por un lado, se trata de una negatividad que no reflexiona sobre sí m ism a, que no se detiene a decirse, ni para construirse ni siquiera para enunciarse: es una negatividad que se ‘usa’ pero no se ‘menciona’; en este sentido, es irre flexiva por cuanto irresponsable, no d a razón alguna de sí m isma ni de su forma de pro ceder: ella es pre cisam ente su fo rm a de pro ceder, nada más que eso , el mero trascurrir en toda su fluidez; no se encierra en ningún concepto o definición, sino que se dice en el hacerse/deshacerse de las operaciones a las que se la somete y de las que apenas pu ede d istinguirse. E ste ‘ap en as’ se justifica en que esta negatividad tiene al menos un nombre, lo que ya le presta una cierta sustantividad. Si bien, el recibir el nom bre que recibe (leipsis ) y no otro, p arece v enir a qu erer sustraerle esa mínim a entidad que el m erecer nom bre parecía otorgarle. Esta forma de negatividad lo es ‘en proceso’ también en un segundo sentido: en tanto que sólo se mu estra cuando Diofanto procede a efectuar operaciones. No aparece nunca al final de un proceso operatorio, como producto producid o, po r así decirlo, ni al principio, como producto su-puesto o dato del problema. Tan sólo aflora, para volver a sumergirse, en el hacerse de los cálculos, pero nunca en su resultado o producto, en aquello a que el proceso de operar aboca: en la solución del problema planteado. La segunda forma de negatividad diofántica a que h acíamos referencia apa recería en este m om ento conc lusivo, do nde se detiene el irreflexivo fluir de los cál culos y el proceso se rem ansa y cierra en su producto . Un p roducto que es el resul tado de la actividad, entre otras, de la anterior forma de negatividad. Un producto, sin embargo, sobre el que, ahora sí, ya tiene tiempo de detenerse el pensar reflexivo. Y, tras pensarlo, lo rechaza. Lo que se p one ah í, ya sea como so lución ya como dato del problem a, ya no es la actividad ciega (no olvidemos que ahora los números no se ven, ni com o nú me ros figurados ni com o segm entos de línea) de las operaciones numéricas sino un ‘hecho’, que —como todo ‘hecho’— debe poder ser tenido com o tal, o — lo que es lo mismo— debe pode r ser construido, tener sen tido. Y aquí, de nuevo, ante el hecho consumado, vuelve a tener ocasión de mani
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festarse y actuar todo el filtro cultural —racional y a-racional— que determina el m odo de pe nsar de Diofanto. Efectivamente, Diofanto no tiene el menor inconveniente en admitir la negatividad en proceso, más aún, co m o adelantábam os en (b), no tiene siquiera ocasión de admitirla o no, pues ni se lo plantea: se le impone la evidencia de su funciona lidad. Ni siquiera es una negatividad que ya supone, sino que se p o ne a sí misma en el mero enunciarse de unas reglas que, al decir cóm o opera, dicen todo lo que puede decirse de ella. Por el contrario, la segunda fo rm a de negatividad, la negati vidad producid a, aquélla a laq u e ‘pod ría’1llevar el curso de las operaciones num é ricas, es rechazad a explícitam ente por D iofanto. Y, en ese rechaz o, tan significativo es el que lo haga —y el m odo y los términos en que lo hace— como el que esté en condiciones de hacerlo: poder declarar como ‘imposible’ o ‘absurdo’ un resultado requiere la posibilidad previa, bloqu eada p or el modo de pensar clásico, de su co n sideración, de esa identidad mínim a que le perm ita sostenerse — al menos por un m om ento y aunque sea para d eclarar inmediatamente su sinsentido—- como objeto de atención. Es precisamente en e sta dob le tensión entre la asunción y el rechazo, por un lado, y el proceso y su producto (o, en cierto sentido, la operación y el número), por otro, donde convergen las dete rm in aciones cultura le s que modelan la negativi dad en época de Diofanto. Ahí se perfilan los obstáculos epistemológicos que una tradición matemática, com o la griega clásica, opone a la asunción de u na negativi dad que se presenta ahora co m o producto, no de un proceso de abstracción de una realidad em pírica supuestamen te exterior al sujeto, sino del propio aco ntecer de un cálculo autónomo. Pero también son obstáculos de la mism a índole los que aportan el material con el que se construye esa forma precisa de negatividad que sí se adm ite, si bien esta admisión será ah ora posible gracias a la interferencia con otros mo dos de pensar. Lo que en la epistem e aristotélico-euc lídea hay de obstáculo pa ra la construccción de la negatividad está tan presente en una como en otra forma de negatividad, aunque —a nuestro juicio— la ‘irreflexión’ de la primera, su ‘insustancialidad’ le permite ofrecer menos superficie para ser moldeada por esa epis teme, aún dominante. Y en este pasar desapercibida para esta forma de razón pue den injertarse otras razones que potencian su emergencia, sea porque valoran esa forma de transitoriedad insustancial en que ella consiste (la fe en las meras ‘recetas práctic as’ o la auto nom ía que llega a alc anzar la pro lifera ción de hip óstasis inte r medias en el n eoplatonismo m ás barroco, por pone r sólo dos ejemplos de los ras gos culturales de este m om ento antes citados) y que no podía ser sino impensable para el re alism o sustancia lista clá sic o, sea porq ue sim plemente han socavado los fundamentos que le prestaban a este sustancialismo una supuesta naturalidad.
1 Este ‘podría hace referencia, evidentem ente, al ámbito de posibilidad que se abre a cierto modo de pensar 'moderno', bien distinto del modo en que 'lo posible’ se ofrece a la consideración de Diofanto, para quien, como veremos, los cá lculos ‘no pueden', literalmente, llevar a ciertos resultados ‘imposibles’.
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A unque a quí conviene hacer una precisión importante: la quiebra de un paradigma de raciona lidad lo que perm ite emerger son los sentidos que podían aportar otros para dig m as y que la hegem onía del prim ero obtu ra ba, pero nunca nin guna especie de ‘realidad en s í’ o ‘natural’ (que, en nues tro caso, serían los ‘núm eros negativos ’, idealmente pre-existentes) y tan sólo n ecesitada de la caída de un cierto velo cul tural para pode r mostrarse tal cual era. Los m atices y torsiones con qu e se va alum bra ndo esa nueva fronte ra de sentido que es la negatividad, algunos de los cuales se perderán e irán siendo sustituidos por otros, para sólo recientemente quedar encerrados bajo un cierto perfil — de los varios que ado ptaron— com o ‘números negativos’, es un buen ejemplo de ello. IV.5. La negatividad ‘en proceso’: el prese ntarse de la ausencia... En el ‘Prefacio’ a la A rit hm eti ca 1aparece el texto clave de Diofanto sobre la que aquí hemos llamado negatividad ‘en proceso’. Este párrafo irrumpe intempes tivamente en el cu rso del ‘Prefac io’, intercalado tras una exhaustiva enumeración de los resultados de los productos de las distintas potencias (hasta la sexta) y sus inversos, y antes de una serie de recomendaciones prácticas. No viene precedido por nin guna definición ni mención explícita sobre qué cosa deba entenders e por esa forma de negatividad que es la leTpsis, que aquí traduciremos por ‘falta’, de la cual el texto pasa a formular las reglas de su funcionamiento: "Falta (leipsis) multiplicada por falta hace (poiei) presencia (hyparxin), falta multiplicada por presencia hace falta, y la marca de la falta es una 4* truncada e inver tida, esto es. A." Pa ra saber de qué se habla, es capital inten tar un análisis filológico de los tér minos que Diofanto elige (o, mejor dicho, recoge del lenguaje heredado, sea ‘alge braico’, sea filosófico, se a natu ral, si bien aq uél no puede cote ja rse con ningún otro texto m atemático sem ejante de la época) para nomb rar esas formas de negatividad y de posit iv id ad. Ante la ausencia de traducciones al castellano, reproducimo s una al francés y otra al inglés que ¡lustran tanto los problemas de traducción (y, por tanto, de comprensión de los términos claves del texto) como la pérdida de sentido original que ac arrea el recu rso a ciertos términos técnicos qu e sólo llega rá a acuñar una matemática posterior, y ciertamente desde otros filtros lingüísticos y concep tuales bien diferentes. T hom as Ivor vierte al inglés el inicio del párrafo anterior del siguiente modo:
1 Véase P. Tannery (189 31 895, i. 12.1921). Reproducido en griego por T. Ivor (1968: II: 524 5). La edición de Tannery contiene e l texto griego de los seis libros de la Arithmetica y del Libro de los N úm er os Polígonos, acompañados de una nueva traducción latina que incluye notación algebraica moderna. Está elaborado a partir de los textos de los manuscritos de París, los del Vaticano, los de El Escorial y el de la Biblioteca Real de Madrid, que es el más antiguo y correcto de todos.
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"A minus mulliplicd by a minus makes a plu s, a minus multiplicd by a plu s makes a minus..."
Com o, evidentem ente, no puede ser intención de D iofanto incorporar los sig nificados de un minus y de un plu s que no se usarán h asta la posterioridad renancentista y barroca, Ivor se ve obligado a precisar que lo que ‘literalmente’ dice es: "A deficiency m ultiplied by a deficiency make s a fo rth com in g..."
La traducción france sa del m ismo párrafo por Paul ver Eeke es: "Ce qui est de manque, multiplié par ce qui est de manque, donne ce qui est positif...''
Salvando el evidente anacronism o del ‘m inus’ por leipsis, destaca en primer lugar lo que es un m ayor acuerdo sobre cómo tradu cir leipsis que ese opuesto suyo que es hÿparxis. Leipsis es ‘deficiency’, ‘ce qui manque’: deficiencia, ausencia, falta, algo que pudiendo estar presente no lo está. Klein (1968: 146) lo traduce directamente como ‘no present’. Y Heath (1981: II: 459) como ‘a wanting’, sus tantivando lo que en inglés es un adjetivo, que viene a significar ‘deficie nte’, tanto en el sentido de ‘que falta’ com o en el de que ‘es inad ecu ado ’ (su aclarac ión de que ‘en rea lida d’ significa un ‘m inu s’ no puede sino oculta r su significación emerg ente tras un concep to m oderno retroproyectado). En lenguaje común, el verbo leipó significa, en su acepción transitiva, ‘dejar’, ‘abandonar’, y como intransitivo ‘irse’ y también ‘faltar’, ‘ser insufi cie nte’, ‘om itir’ o ‘es tar inco m ple to’ '. De la ma terialid ad de e‘ se sus taerse a la pre sencia que indica leipó da un a una idea su uso por Plotino pa ra referirse al ‘hacerse invisible’ de la luna. Aristóteles no acuña leipó — ni su equivalente leipetai — como término técnico; en diversos pasajes de su Meta physica? se usa de una man era imprecisa para ha cer referencia, precisamente, a lo que aún falta por pre cisar: ‘resta’ (la posibilidad de que...), ‘no tiene’ (la potencia...), ‘queda’ (una difi cultad)... Desde este fondo de significaciones naturales se van perfilando sus usos más ceñidam ente m atem áticos. Polibio acude a él pára referirse a la acción de res tar números que indican años: "treinta años menos dos". A polonio lo utiliza para sustraer un área de otra. Y éste era también el término em pleado pa ra para la ‘apli cación de áreas p o r d efec to ', m étodo bajo el cual — como vimos— se bloqueba desde la m atemática clásica la emergencia de una forma de negatividad que ahora, desde otros presupuestos y con otros instrumentos, sí puede irse contruyendo. En un sentido semejante al de Diofanto, Ptolomeo usa en dos ocasiones5 las expresio1 Sobre alguno de los usos y significados de estos términos pueden verse el Dictionnaire GrecFrançais de A. Bailly, Hachette, 1950, y el Greek-Englisli Lexicón de Stuart Jones & McKenzie, Oxford Universily Press, Oxford, 1968. 2 Metaphysica. 1056a15, 1066b30, 1075a5,... 3 Véase T.H. Healh (1981 : II: 459 ).
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nés leipsan y leipoysan , seguidas de acusativo, y en otra leiphten p ara significar la expres ión Z r 2 — TA2. Pero sólo en Diofanto, y sólo en ese párrafo (pues en el curso de la resolución de problema s usa nad a má s que formas adjetivas o verbales de leipd ), parece d arse este uso sustantivado, do nde la leipsis aparece en sí misma, sin reclam ar qu e la falta lo sea de ‘alg o’ o que sea ‘alg o’ lo que falte. En D iofanto, efectivamente, la acción del verbo leipó se rem ansa en el parti cipio sustantivado leipsis, aun que la sustanc ia de este sustantivo con sista precisa m ente en su falta de ella, en su insustancialidad. Leip sis es lo que queda cuan do la pre sencia consum a su ausenta rse, el modo de ser más in esencial posible. (N o será casual, por tanto, que para su opuesto emplee, en el párrafo citado, el término hyparxis, que suele traduc irse tanto por ‘prese nc ia’ com o por ‘existencia’). Como adjetivo lo utilizará en expresiones del tipo leiponta eide o, literalmente, ‘forma faltante’, que en el lenguaje m oderno de ecua cione s se corresponderían con lo que llamamos ‘término negativo’. Sobre la última parte del párrafo, la referente a una marca especial para la ‘falta’, A no pa rece h aber acuerdo sobre su au tenticidad. Ver Eecke y Heath, p.e., opinan que fue añadida posteriormente por algún comentarista griego, lo que sin embargo no comparte Ivor. En cualquier caso, aunque tal marca no se introdujera aquí por Diofanto mismo, de hecho sí la utiliza en sus expresiones ‘algebraicas’ para m arcar lo s ‘térm inos’ o ‘form as’ {eide) de las ecuac iones que están afectados por un ‘signo m enos’, dando lugar a expre sio nes del tipo ‘AT8 A AT(3’ que corres pondería a 4x2 — 2x2. S í hay acuerd o, en cam bio , en tom o a la conje tu ra de Heath de qu e el origen d e este signo nada tiene q ue ver con la letra 4* invertida, sino que está en la letra griega lambda. A, inicial de leipsis, a la que se añade una iota, I , en medio. El uso de una marca así tampoco se reduce, según este autor, a Diofanto, pues Heró n em ple a en su M étr ic a una m arca m uy parecida para indicar la sustrac ción de números. Por otra parte, Rodet (1981: 99 ss.) sostuvo la posibilidad de que la marca ^ tenga su origen en un carácter de la escritura hierática egipcia que describe dos pie rn as avanzando en el sentido contrario al del acto de la escritu ra . En el papiro m atem ático publicado, por Eisenloh r en 1877, fechado en tiempos del faraón Ra.a.us, los carácteres empleados para el ‘más’ y el ‘menos’ en las ‘ecuaciones’ representan, respectivamente, dos piernas que se desplazan en el mismo sentido de la esc ritura o en el opuesto. E sta idea de direcc ione s op uestas sí es comú n a las for mas de negatividad q ue veíamo s en China. Y se rá también la imagen a la que recu rra Albert Girard en su Invention N ouvelle en l'A lgèbre (1629): "Le moins recule là où le p lu s avance". La hipótesis de Rodet introduciría así un elemento direccional que choca firontalmente con la carga sustancialista con la que se debate Dio fanto. De ser éste el conte nido q ue un espíritu g riego está tratando de tran sm itir por medio de su propia matriz conceptual y lingüística, estaríamos ante un ejemplo singular de la actuación de un obstáculo epistemológico en la emergencia de un concepto ma temático. Pero, al parecer, la conjetura de R odet está actualmen te des cartada, lo que nos lleva a asumir que Diofanto construye su negatividad lejos de un pensam iento en términos de orientaciones opuestas.
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El carác ter delicuesce nte, efímero, que revela este somero análisis del co nte nido semántico directo de la leipsis diofántica se ve confirmado por el papel que de h echo jue ga en el curso de las operaciones matem áticas en las que interviene, m arcando un a cantidad co mo ‘faltante’. Este es el modo de negatividad que deno minába mo s ‘en p roceso ’ pues Diofanto lo usará exclusivamente para operaciones intermedias que, también ellas, se van ausentando en el transcurso del cálculo que conduce a un resultado. Pero nunca una leipsis aparecerá como resultado (el ser ‘resultado* es propio, co m o verem os, de hyparxis, que es lo opuesto, por construc ción, a leipsis ). Como si su sustantividad gramatical no tuviera la bástante fuerza com o para densificar su insustancialidad semántica, no encontramos u na leipsis ni siquiera en los resultados parciales, donde el curso del cálculo se rem ansa de tanto enlanto. Ese se sgo ine senc ial, transitivo pese a su frustrada sustantivación, se ve refo r zado aún más por la carga indirecta de significado que añade a leipsis el hecho de usarse como contrapuesta a hyparxis. Pero aquí las traducciones ha bituales no sólo no m uestran el acuerdo que sí reunían en torno a leipsis sino que los términos a que vierten ese hyparxis no ayudan en nada a — e incluso impiden— com prend er la tensión conce ptual latente bajo la denominación de Diofanto. La versión francesa de hyparxis por ‘positif’ está a todas luces fuera de lugar. Respecto de la inglesa por ‘plu s’, si se entie nde com o ‘plus num ber’ o ‘nú m ero positivo’, pro yecta con igual falta de sentido un concepto moderno sobre un contenido que no respo nde a él en a bsoluto. Pe ro si ese ‘plus ’ se entiende com o la preposición ‘m ás’ que se usa, p.e ., en ‘3 más 4 igual a 7 ’, no traic io na menos la in tenció n de Dio fa nto , aunque ahora lo haga en términos al menos comprensibles desde la matriz lingüística y cultural griega. Diofanto podía haber recurrido, sin la menor dificultad, a la partícula griega kai que, bien com o conjun ción ("tres ‘jun to a’ cuatro") bien com o adverbio ("tres ‘y además’ cuatro" o "tres ‘y también’ cuatro"), era habitual en la matemática griega clásica, ya para añ adir números (treis kai téssares) ya para agre gar figuras. Tanto el propio término ka\ com o cualquier variante suya sustantivada podrían haber dado cumplida réplica a leipsis, tal y como hoy decimos "menos po r menos da ‘m ás’”. Tamb ién podía h aber recogido el sustantivo prósth esis o el verbo prosthemi, con los que también solían designarse, respectivamente, la suma y el acto de sumar. Sin em bargo, D iofanto evita una prósthesis cargada de resonancias filo sóficas que la oponían a aphairesis'. Si ésta indicaba (adem ás de la sustr acció n ) él paso de la especie al género , el movim iento de abstracció n o genera lizació n, su opuesta p rósth esis alude al paso inverso, al movimiento de concreción o especifi cación (mediante la adición de la diferencia específica). Eludiendo uno y otro tér mino, D iofanto abandon a la médula del modo de pensar aristotélico-euclídeo por 1 Véase epígrafe III.6.
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enca jonam iento de géneros y especies1y abandona, por consiguiente, la necesidad de pensar lo negativo como una operación de sustracción de donde previamente hubiera ‘algo’. En lugar de cualquiera de esos téminos que venían usándose para la sum a en la ma temática anterior, Diofanto recurre precisam ente a hyparxis, uno de los térm inos más poten tes y más cargados de sentido de tod a la lengua griega. (Lo que p arece sugerir, de paso, que si problem ática era ya la consideración de la ‘falta’, no lo es m enos la de aque llo que se pone en op osición a ella: ¿la ‘pre sencia’?). H yparxis se viene traduciendo por expresiones como ‘existencia’ (o ‘medios para existir’: ‘fortu na’, ‘riquezas’) pero también com o ‘re alidad’ y ‘su sta ncia ’ (en este último sentido lo usa, p.e., Sexto Empírico). Las acepciones del verbo del que pro cede, h y p á r c h d , hacen todas ellas referencia a la capac idad del ser para hacerse pre sente , para presenta rse o acceder a alg ún modo de presencia: ‘co m enzar’, ‘nacer’, ‘salir’, ‘resultar’...; y también ‘ser posible’ o ‘estar permitido’; así como ‘se r’, ‘es tar’ o ‘ha be r’. El ‘forthcom ing’ inglés puede ser, pues, u na buena versión en lo que tiene de algo ‘por ven ir’, que ‘va a llega r’ o está ‘po r hacerse pre sen te’ o ‘disp on ible’. Aristóteles, en la M eta physic a2, lo usa en el sen tido de ‘pertene cer a ’ o ‘ser’ (de un cierto modo), ‘ser causa de’, ‘existir’ o ‘haber’ (las cosas), (algo) ‘que es’,... Y, en su obra sobre lógica, hypárchd es el v erbo que conecta en tre sí los términos (sujeto y predicado) de un enunciado que interviene en un silogismo; en este co ntexto se ha traducido com o ‘es predicado d e’, ‘es verdad ero de ’, ‘pertenece a ’, o sim plem ente ‘es ’. El propio D iofanto le atribuye esa significación existencial en la A rithm etica cuando no lo usa de modo estrictamente técnico, matemático. As í, en el ‘Pre fac io’, es m ediante el verbo hypárchd como atribuye a la m ultitud de los números el ‘ser’ ilimitada. En la medida en que leipsis se define —aunque siempre implícita, elíptica m ente— no sólo por su cam po semántico directo, ni sólo por su modo de proceder según la regla cuando es so m etida a multiplicación, sino tam bién por su oposición a hyparxis, ocu rre que, de un modo derivado, leipsis viene a asociarse semántica mente con las correspondientes negaciones de las acepciones de hyparxis antes mencionadas, con lo que su casi inaprensible concepción directa se hace, si cabe, aún más evanescente. Leip sis denotaría entonces una reforzada incapacidad para venir a ser de algún modo determinado, para hacerse presente; una oposición al cumplimiento de las acciones designadas por ‘comenzar’, ‘salir’, ‘nacer’ o ‘resul tar’. No podrá, pues, producir tanta extrañeza que Diofanto no la acepte nunca como ‘resultado’ de un problema; aunque como, pese a todo, sí es algo, sí pueda soste ners e en su problem ático ser durante el tiem po sin tiem po de un cálculo, y ser por un m om ento ‘re sulta do’ o ‘producto ’ de una m ultip licació n (la suya por hyparxis), pues ese ‘resultado’ se desvanecerá casi inmediatamente en la opera 1 Por eso, nada mas impropio que calificar de ‘abstracta’ su álgebra, com o suele hacerse. No; Diofaiilo no abstrac/sustrae/cxtrae a partir de sustratos sensibles, y ahí está el quid de que en su Ariihmelica pueda ahora construirse cierta manera de negalividad. 2 Metaphysica, 984*75,984b30,982b22,996b20...
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ción siguiente. Tam poco po drá ahora extrañar que cuando se muestre com o ‘resul tado’ se rechace por adynaton, es decir, por ‘imposible’ b ‘absurdo’, pues como opuesta al ‘ser posible’ o ‘estar permitido’ que denota hyparxis, ella mism a es en sí ‘imposible’, algo ‘prohibido’. Asimismo, por este camino indirecto, leipsis es ‘irreal’, ‘insustancial’, ‘inexistente’, un ‘no hay’ (que también se verá rechazado explícitamente por átopos, lo que implícitamente ya estaba en su propia concep ción dire cta com o lo que se sustrae al lugar, lo que ‘no hay’ o ‘falta’). Su opo sición al uso fuerte del hypárchein en la lóg ica aristotélica, la condena, po r su parte, a ‘no pertenecer a ’ n ada,‘no ser predic able d e ’ nada, ‘no ser verdadero de’ nada. Lo que, tras todo esto, sí resulta realm ente asom broso es que, situada en el filo mism o del no-ser cuya im posiblidad hem os rastreado en la tradición clásica, sin em bargo se distingue del puro caos y la m era indeterminación para emerger activa, y cond ucir su actividad de una manera bien determinada, según reglas. Es más, su actividad es de tal condición que interactuando consigo misma (‘falta’ multiplicada por ‘falta’: leipsis epi leipsin pollaplasiastheisá) produce (poiei) nada menos que hyparxis, la determ inación misma , ese m odo preciso de ser que da acceso a la pre sencia! ¿Cómo va a extrañar que todavía Stendhal1se sintiera escandalizado por ello? Estas observaciones se ven reforzadas si atendem os al modo en que D iofanto marca — en el sentido que a este concep to da la lingüística— o deja de ma rcar cada uno de am bos términos. En efecto, D iofanto (o su comentador, si dam os crédito a pre cis io nes com o las de Heath o ver Eeke, lo que tampoco es dem asiado im por tante a este respecto) tan sólo define u na m arca para leipsis. A , mientras que para hyparxis no le parece necesario singularizar ninguna marca. De hecho, la súm a de dos térm inos se indica por su sim ple yuxtaposición, mientras que para su sustrac ción el sustraendo se hace preceder de la marca que lo identifica como ‘término faltante’. Como han apuntado los análisis fonológicos, morfológicos y léxicos, el caso marcado presenta el conjunto de las carácterísticas de la forma no marcada más una, que es la que carácteriza a aquél com o una forma no particular del caso no m arcado, que así aparece c om o genérico. En castellano, p.e., el fem enino suele ven ir ma rcado — con un a ‘a’— respecto del masculino no marcado, o el plural se m arca — con una ‘s’— respecto del singular no marcado. La ausencia de marca dice de lo dado po r supuesto, del género, respecto de lo cual la marca añade algo, especifica. En la A rit hm eti ca, el caso no marcado es hyparxis, nombre con el que se designan los ‘términos p o sitiv os', que p o r supuesto no necesitan marca. Al m ar car uno de estos ‘términos’ ( eidS ) mediante la marca A ¿qué es entonces lo que se le añade a ese hyparxis que den ota una ‘presencia’ genérica? ¿qué modo determ i nado de ‘presen tarse’ design a esa presencia marcada? Ninguno; paradójicamen te, la determ inación que añade la m arca a la presencia es su falta, la incapacidad de la presencia para hacers e ple nam ente presente.
1 Véase nuestro Epílogo.
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Para nosotros, herederos de la tradición griega, acaso no haya en ello m otivo alguno d e sorpresa, habituados como estamos a considerar, por ejemplo, un 3 (no marcado) como +3, naturalmente ; y sólo marcamos el 3 con un signo cuand o querem os esp ecificar que se trata de -3 . Pero esta naturalidad se des vanece cuan do en o tras m atemáticas, como la china, la oposición negativo/posi tivo (o mejor leipsis/hyparxis) no se asocia con la oposición marcado/no-mar cado. En la matemática china veíamos cómo ambos extremos ofrecen una perfecta sim etría, defin ié ndose cada uno de los dos por su oposición al otro. Ni en la oposición zheng/fu (en el contexto de la técnica fa n g ch en g ), ni en la d ú o / shao (de la técnica jie genfa ng), ni en la negro/rojo (de las varillas usadas en el tablero de cálculo), ni tampoco en l a , (en el contexto del Yijing ) aparece un término no marcado —con toda la connotación de naturalidad que ello conlleva— respecto del cual una ma rca específica determ inaría al otro como su falta. En las oposiciones de los cuadrados mágicos, cada uno de los opuestos tampo co se distingue del otro por un rasgo especial: la oposición se dic e en los lugares que c ada uno o cupa respecto del centro del cuadrado (m ódulo de la con gruen cia) y los opue stos se identifican por las relaciones de eq uivalen cia que los asocian con otras parejas de opuestos: en el cuadrado Lo zhou tan opuesto es 4 de 6 (respecto del m ódulo 5) com o 6 de 4. Para la m atemática china, a diferencia de la griega, la presencia de una ausencia —por decirlo en términos griegos, si bien no se correspond en p recisamente con los chinos— no supone ni may or ni menor determ inación, sustantividad o naturalidad que la ausencia de una presencia. . El párrafo del ‘Prefacio’ con que Diofanto prolonga el que enuncia la ‘regla de los signos’ dice: "Tras haberte explicado las multiplicaciones de estas formas (ei'de) que hemos expuesto más arriba, sus divisiones están claras. Es útil, pues, que quien aborde este tratado se haya ejercitado en la suma, la sustracción y la multiplicación de formas, así como en la manera de sumar formas ausentes (leiponta ei'dé ) y presentes (hypárchonta) no equipolentes1con otras formas que sean ellas mismas presentes, o incluso presentes y ausentes; en fin, en la manera de sustraer, a partir de formas presentes y de otras ausentes otras formas, ya sean presentes ya sean también presentes y ausen tes. A continuación, si resulta de un problema que ciertas formas son iguales a for mas idénticas pero no equipolentes (m i homoplüthé), habrá que sustraer de una parte y de otra2 las semejantes de las semejantes, hasta que se obtenga una sóla forma igual 1 Para respetar sus resonancias originales heñios traducido eidos por ‘forma’, cuando suele hacerse por ‘expresión’ (algebraica) o por ‘término’ (de una ecuación). Heath precisa que, en su acepción primaria, eidos se refiere a una potencia particular de la incógnita sin coeficiente, si bien Diofanto lo utiliza para referirse a dichas potencias afectadas de un coeficiente o para el ‘término independiente'. Esta lectura modernizada vertiría eidl niü homoptlthl no por ‘formas equipolentes’ sino, com o hace ver Eeke, por 'expresiones que contienen términos positivos y negativos afectados por coe ficientes diferentes'. 2 ‘Es decir’, en cada uno de los miembros de la ecuación.
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a una sola f orm a1. Si se presentan formas ausentes de alguna ma nera, sea de un a parte sea de am bas, habrá que su mar estas form as ausentes de una parte y de otra, hasta que las forma s se hagan presentes de una parte y de otra, y despué s sustraer de nuevo las sem ejantes de las semejantes hasta que quede una sola forma de una parte y de otra2. Ap lica esto con destreza a los datos de las proposiciones y, en la med ida de lo posible, hasta que tan sólo quede una única form a igual a una únic a form a. Ya te m ostraré más tarde cóm o se resuelve el caso en que quedan dos expresiones iguales a una sola.”
Esto es todo c uan to en D iofanto se refiere al mo do de operar con las ‘formas ausentes’ y ‘presentes’; el párrafo siguiente ya es para introducir la colección de pro blem as en que va a consis tir el resto de la obra. Es de señalar ta m bié n que, en lo que al tratamiento de la negatividad se refiere, ya n o vuelve a a parec er la form a sustantiva leipsis sino la variante adjetiva leiponta, que así viene a calificar un estado representado por el eidos cuya presencia o ausencia se postula. La ‘falta’, que en su primera utilización formal (en la ‘regla de los signos’ del párrafo inme diatamente anterior a éste) pareciera tener una cierta entidad en sí misma como operación — l e i p d — objetivada, se decanta en su uso concreto como ‘falta de’ algo, como determinación negativa de un eidos. Lo que Bachelard calificaría de ‘obstác ulo su stan cialista ’ carga así la concepción diofá ntica de la negatividad. No le faltará razón al m onje griego M áximo Planudio (¿12557-1310), cuando, enfa ti zando el sustanc ialismo implícito en Diofanto, advierte que éste "no dice sim ple mente ‘falta’ ( leipsin ), como si no hubiera una presencia, sino ‘una presencia que tiene una falta’ (hyparxin échousan leipsin)"*. A sus ojos, la operación sustanti vada en la ‘falta’ del p rim er párrafo citado del ‘Pre facio ’ sólo se entiend e a la luz de este segundo párrafo, desde el cual aquélla debe entenderse como determina ción de una ‘prese ncia’ que se hace inexcusable, y nunc a como operación cap az de consistir en sí m isma o siquiera como ‘forma ausen te’. No es otra la pre -c oncepció n desd e la que ra zonará Sim ón Stevin en su ‘dem ostrac ión ’ de la ‘regla de los signo s’. En 1625 publica L'A rithm étique, donde lleva a cabo la primera versión francesa de los cuatro primeros libros de la Arithmetica de Diofanto, a los que añade sus propias reelaboraciones. Ahí presenta como ‘teorema’ lo que para Diofanto era tan sólo una regla o conjunto de instruc ciones: 1 'Es decir', una ecuación del lipo ax" = b. Aunque al final de este párrafo anuncia que exp licará cóm o proceder en el ca so de que la ecuación resultante conlcn ga varias potencias de la incógnita, suele suponerse que tal exp licació n — para las ecuaciones de segundo grado— se daría en un porisniós hoy perdido. De hecho, estas ecuaciones intenta reducirlas bien a una ecuación simple bien a una cuadrática pura; aunque en varios lugares se supone conocida la forma de resolver ecuaciones cuadráticas mixtas, esto es, de los tipos ax2 + bx = c, ax2 = bx + c, y ax2 + c = bx. * Estas instrucciones tienen por objeto hacer desaparecer los ‘términos negativos' de ambos miembros de la ecuación. 3 Véase P. Tannery (18931 895: II: 139).
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"Plus multiplié par plus, donne produict plus, & moins multiplie par moins donne produict plus, & plus multiplié par m oins, ou moins m ultiplié pa r plus, donne pro duict moins".
El enunciado es tan formal como el alejandrino; ni p lu s ni moins califican o determinan ningún ‘algo’. La primera 'démonstration' que ofrece no es sino una justificación , construida sobre un ejemp lo num érico. Para que el producto de ‘8 - 5 ’ po r ‘9 - 7 ’ dé ‘6 ’ (que es el pro duc to de esas d iferen cias: ‘3’ y ‘2 ’), es necesario dispone r la multiplicación de esta m anera: 8- 5 9- 7 - 5 6 + 35 72-45
6 "donques le theoreme est veritable"! Aunque ciertamente no demuestre nada, lo relevante es que Stevin se hace problema de lo que para Diofanto, y después para la mod ernidad, parece ser una m era convención que no necesita de otra ‘dem ostra ció n’ que la de su utilidad operatoria. La ‘dem ostrac ión’ que sí exp resa todo el sustanc ialismo latente en la interpre tación ‘clásic a’ del que ahora aparece co mo ‘teo rem a’ es la que Stevin llam a "autre demonstration geometrique ": "Soit AB 8-5 (á f?avoir AD8 - DB5). P uis AC 9 -7 (á f?avoir AE9 - EC7) leur produict fera CB: ou bien felón la multiplication prec edan te ED72 - EF56 -D G 45 + + GF35, lefquelles nous dem onftrerons eftre egales á CB en cefte forte.
F
7
10
35
6
21
2
C
7
De tout le ED + GF, soubftraict EF, & DG, refte CB. Conclusion. Plus doncques multiplié par plus, donne produict plus. & moins
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multiplié par mo ins, donne produ ict plus, & plus multiplié par moins, ou m oins multiplié par plus, don ne p roduict moins; ce qu’il falloit demonftrer." 1
La demostración ahora sí es general, pero al precio de ‘retroceder’ al más puro estilo euclídeo, donde la negatividad sólo se entiende como sustracción de una cantidad m enor de una m ayor y, además, se piensa en términos de figuras espa cialmente ex tensas. Tal dem ostración, en efecto, corresponde a la s iguiente igual dad entre rectángulos: (AD - AB) • (AE - AC) = AD • AE - AB • AE - AD • AC + AC • AB Co n todo, esta interpretación está bastante m ás cargada de sustanc ia extensa que la que pudiera estar latente en las formulaciones de Diofanto. Lo marcádo como ‘ausente’ por Diofanto no son números asimilados a segmentos o superfi cies, a la manera que Stevin recoge del estilo aristotélico-euclídeo, sino ‘formas’ ( e i d é ) ; unas eidé que ya están también bien alejadas de las eidé de Apolonio. M ientras que éstas son las ‘figuras’ geom étricas de las cónicas, las de Diofa nto se refieren a las potencias de la incógnita afectadas de un coeficiente, de manera que para él son difere ntes eidé M o (doscientas unidades como ‘término indepen diente’), s 6 ( ‘2x’), AYB (‘2x2’), Kv 8 (‘4x3’) , ... s* ( ‘1/x’), AT^ ( ‘40/x2’), etc .2 Y la ‘figuratividad’ de esas potencias de la incógnita que alcanzan hasta el sexto grado 3, o la d e sus resp ectivas inversas, está tan lejos de la figuratividad del eidos geom étrico de A polonio como de aquel otro eidos pitagórico, tam bién desplegable espa cialm ente, que agru pand o a los núme ros por ‘esp ecies’ o ‘clas es’ hac ía posible que fueran. Las leiponta eidé , po r tanto, tal y como Diofanto las conc ibe no serían representables al modo geométrico ni, en consecuencia, lá de Stevin sería una dem ostración mas que — en todo caso— para algunas de las eidé implicadas, pues ‘la regla de los sign os’ se supone d efinida para todas ellas, incluso las irrepresentables al modo euclídeo. Pare ce, pues, pertinen te la precisión de Klein (1968: 144) en el sen tido de que "debemos distinguir estrictamente entre el procedim ie nto y el objeto 4; mientras que el procedimiento se aplica a las eidé que como tales son independientes de 1 Citado por G. Glaeser (1981: 312), que lo reproduce de Les Oeuvres Mathématiques, augmentez par Albert Girará, de Simón Stevin, en su edición de 1634 en Elzevier, Leyde. En la primera edición, de 1625, citada en la 'B ibliografía', que figura en la Biblioteca Nacional de Madrid no hemos podido encontrar esa demostración. 2 Convien e, sin embargo, precisar — como bien hace resaltar Klein (1981 : 1436)— que ninguna de estas eidt se corresponde co n nuestro concepto de ‘variable’ sino que se refieren cada una de ellas a un número determinado, tanto en la cantidad de unidades (monás). como en la incógnita o número buscado (arilhmós). como en cualquiera de las potencias de ésta. 3 Conviene también aclarar aquf que, aunque Diofanto define signos diferentes hasta la sexta potencia, e n la prá ctica sólo aparec en potencias mayores que la segund a en el curs o de la re so lu ción de los problemas pero nunca en los datos de partida. 4 Distinción paralela, en cierto modo, a la que aquf hemos hecho respecto de la negatividad ‘como proceso’ y ‘como producto’.
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cada ‘multitud de mónadas’ (pléthos monádón), y en este sentido ‘generales’ ( kathólou ), el objeto buscado es en cada caso un determinado número de móna das". Siguiendo esta distinción, sería bajo esa acepción instrumental de las eide como se podría hablar de ‘formas ausentes’ ( leiponta e id e ), pues —como vere mos— nunca se adm itirá la ‘falta’ como ob jeto, ya sea éste el buscado ya cualquier otra ‘multitud de m ónada s’ q u e — como ‘multitud ausente’— hubiera de intervenir objetivada en el curso de las operaciones. En este sentido pu ede de cirse con Klein (1968: 145) que el rasgo distintivo de las eide diofánticas está en que tan sólo tie nen "un significado pu ram ente ‘instrum ental’", siem pre que a tal instrumentalidad no se le dé un carácter ‘puro’ y transhistórico que ponga a salvo los instrumentos ma temáticos de toda determinación simbólica (en el sentido cultural) para preten der presentarlos como meros símbolos (ahora en el sentido matemático moderno, diam etralmente opu esto al anterior), como si pudieran pen sarse desnudos de cual quier carga imaginaria. En \aArithmetica no existe un sup uesto cálculo puro al que el derrumbe d e un cierto paradigma, com o el aristotélico-euclídeo, perm itiera aflo rar, ya limpio de toda ganga simbólica. Ni existen, latentes en ese cálculo, unos ‘núm eros neg ativos’ cuya rotunda estructura de grupo aditivo estuviera esperando ser des-cubierta tras el humus de significaciones geo m étricas donde se m antenían larvados. Precisamente en Diofanto, en quien se quiere ver —enfatizando la influencia de una ‘logística’ supuestamente intem poral— al padre de estas canti dades neutras, se m uestra de modo privilegiado la tensión latente e ntre las distintas determinac iones c ulturales que orientan una particular construcción d e la negatividad.
Otro aspecto que destaca en este segundo párrafo de Diofanto es la falta de instrucciones precisas sobre cómo operan entre sí las ‘formas faltantes’ y las ‘for mas p rese nte s’. Tan sólo el con sejo de que "es útil que quien a bord e este tratado se haya ejercitado en la suma, la sustracción y multiplicación de las mismas". Parece darse por sabido, o considerarse obvio, lo que Liu Hui, en los N ueve capítulos del arte matemático, c onside ra inexcusable precisar: los criterios para su m ar y restar entre sí ‘números positivos’ y ‘negativos’. Además, el tratamiento exquisitamente simétrico que el texto c hino da a unos y otros (distinguiend o tan sólo los casos en que los ‘nom bres’ — o ‘sign os’— sean los mismo s o distintos), co ntrasta con una cierta prevención en Diofanto hacia las presumibles dificultades que sus lectores pueden encontrar al ‘ejercita rse’ en particular con las ‘form as ausente s’: "así co mo [habrán de ejercitarse] en la m anera de sum ar formas presentes y ausentes no equi pole nte s con otras fo rm as que sean ellas mismas pre sente s, o incluso presentes y ausentes". La última parte del párrafo es ya toda una exhortación al evitamiento de la negatividad ‘com o pro duc to’, que aquí habíamos d istinguido de la negatividad ‘en pro ceso’. Tras instruir sobre cómo m ultip licar e ntre sí las distinta s com bin acio nes de ‘presencias’ y ‘faltas’, y recomendar a continuación los ejercicios de sumas y restas de ‘formas presentes’ y ‘ausentes’, las instrucciones inmediatamente siguientes lo son sobre cómo eliminar las ‘formas ausentes’ que pudieran haber resultado como residuos de tales operaciones: "si se presentan formas ausentes de alguna m anera, (...) habrá qu e sum arlas de una parte y de otra, hasta que las formas
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se hagan presentes de una parte y de otra". La presencia de una ausencia es, lite ralmente, insostenible. Tanto Diofanto como el fa n g cheng van equilibrando térmi nos para simplificar las ecua ciones pero, allí donde el objetivo del m étodo ch ino era hacer desaparecer (jin) u na presencia (la de palillos en las posiciones supe rio res del tablero) y así producir una ausencia o hueco, el propósito de Diofanto es convocar una presencia que venga a llenar la ausencia que se nombra como lei ponta e id S . Así, no será hasta pasados muchos siglos que una expresión del tipo ax2 + bx = c pueda llegar a escribirse en Occidente com o la expresión ax2 + bx + c= = 0 hoy habitu al1.
IV.6. ... y el au sentarse de la presencia: la im posible negatividad como ‘prod ucto’ Pese a las instrucciones generales para eliminar las ‘formas ausentes’ en el inicial planteam iento num érico de los problemas, D iofanto se encon trará con ellas entre las manos en el curso de ciertas operaciones encaminadas a obten er su so lu ción. Seguiremos con detalle el planteamiento y resolución de algunos — los más significativos, a nu estro juicio — de tales problemas, para ver en concreto cóm o Diofanto afronta las distintas situaciones en que debe hac er frente a tales em ergen cias. Destaca, en p rime r lugar, cómo, a diferencia de otros prob lem as ‘sem ejantes’ en China, nunca aparece entre los datos iniciales ningún tipo de ‘falta’ objetivada com o tal dato, sino — todo lo más— como la operación de sustraer. La falta apa rece siempre por primera vez en la manipulación inicial de tales datos. Un claro ejemplo de ello es el problema 1.9, que reproducimos en su totalidad2. Prob lem a 1.9 "Quitar un mismo número [x] de dos números dados [a y b], y hacerlo de manera que los restos tengan entre sí una razón dada ^ _ - = m j . Es necesario en cualquier caso que la razón dada sea mayor que la razón del ma yor al m enor de los núm eros dados [m > a/b]. Prop onem os pues quitar un mismo número de 20 y de 100 y hacerlo de man era que el m ayor resto sea el séxtuplo del más pequeño. Que el núm ero a quitar de cada número sea 1 aritmo3. Si se le quita de 100, quedan 100 unidades m enos 1 aritmo; y si se le quila de 20, quedan 20 unida des.
1 Aunque los numerales hindúes, salvo el cero, ya aparecen mencionados por Gerberto en el s. X, y aunque Máximo Planudio ya hace referencia también al cero hindú a ñnales del s. XIII, a una expresión algebraica que igu ale 'algo' a ‘cero’ no se le verá sentido hasta el s. X VII. 2 Las ‘transc ripcio nes ’ entre corchetes son nuestras. En éste y en los restan tes problem as ana li zados se siguen las indicaciones de Paul ver Eeke, salvo precisión explícita. 3 Traducimos por ‘aritmo’ el término arilhmós, referente al eidos del número buscado o incó gnita; así, ‘ 1 aritmo' se corresponde a ‘x \
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me nos 1 aritmo. Ahora bien, hace falta que el mayor resto sea el séxtup lo del men or; por tan to, s eis veces el menor serán iguales al mayor. Ahora bien, seis veces el menor dan 120 unidad es meno s 6 aritmos. lo que será igual a 100 unidades m enos 1 aritmo. Añadamos de una parte y de otra las formas ausentes, y quitemos las semejantes de las semejan tes; los 5 aritmos restantes son iguales a 20 unidades, y el aritmo se hace 4 unidades. Volvamos al planteamiento: se ha puesto el número a quitar como 1 aritmo; luego será 4 u nidades. Si se le quita de 100, quedan 96 unidades, y si se le quita de 20, quedan 16 unidades; lo que establece que el mayor es el sé xtuplo del menor."
En el 4° párrafo se em piez a plan tean do la igualdad 100-x = 6(20-x), de donde 100-x = 120-6x. Y aquí es donde "añadimos de una parte y de otra las formas ausen tes [añadiend o 6x: 100+5x = 120], y quitam os las semejantes de las sem ejan tes", con lo que queda 5x = 20. El 2o párrafo plantea a priori un diorismós que sin duda D iofanto ha deducido a posteriori com o condición de posibilidad de la solución. Efectivam ente, el plan teamiento inicial del problema pedía un aritmos x tal que - —- = m , de donde se b m - a . . . b -x , . , . . ,. segu iría x = — — p ; y si se quiere que este aritmos sea presente (o positivo ) es necesario que sea bm > a, esto es, que sea m > a/b, que es la restricción impuesta por el diorismós. En el párrafo 3o se seleccio nan, en conse cuen cia, 20 y 100 como ‘números dados’ y ‘el séxtuplo’ como razón entre sus restos, pues así se garantiza que m = 6 > a/b = 100/20 = 5. Esta es la forma habilual en que Diofanto elimina el trato con las ‘faltas’ o ‘ause nc ias’ una vez que han aparec ido. Un diorismós (o p ro sd io rism ó s, como lo llam a D iofanto) que, im puesto a continuación del enunciado, orienta los cál culos en el sentido de ir determinando valores numéricos donde no vuelvan a aparecer nuevas ‘faltas’. Encontramos diorismós de este tipo en problemas como los 1.6, 1.8, 1.9, 1.14, 1.16, 1.17, 1.19, 1.21, 1.28, II.6, etc. Así en el siguiente problema: Problema 1.5 "Repartir un número propuesto en dos números de manera que, si se suman fracciones diferentes dadas de cad a una de las partes, éstas formen un nú me ro dado."
N ada más enuncia rlo, se adviene inm ediatamente: "El número dado debe, en cualquier caso, ser tal que esté comprendido entre los dos núm eros que se obtienen al lom ar las fracciones dadas del núm ero propuesto al principio."
Si a es el núm ero propu esto y x e y los dos números en que se reparte, ten dremos el sistema de ecuaciones:
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a + y= a ■ >
H n =b
b de donde
x a-x — + m n
------
luego x =
^ (bn -a) n- m
y = a - x = —- — ( a - b m ) n- m
y, para que tanto x com o y sean ‘prese ntes’, ha de ser bn > a
y
a > bm
es decir a/m > b > a/n que es el diorísmós aducido. Estos problemas indican que Diofanto había empren dido su solución antes de transcribirlos y, habiendo tropezado con la dificultad de alguna ‘falta’, inserta a posteriori tras el enunciado las condiciones que hacen posib le su solución. Tan sólo unos pocos problemas no están así orientados previamente pa ra la elusión de ‘faltas’, y éstas irrum pen de imp rovisto en el curso de la resolución, sin que el autor se preocu pe en e llos de oc ultar al lector los pasos que le han llevado a ese callejón sin salida, ni de reintroducir el diorísmós que evite andar ese camino y preste mayor elegancia a la presentación del problema. Es en estos problemas donde podem os seguir con m ayor fidelidad el curso de las ‘ra zones’ que hubie ra podid o darse D iofanto para reem prender de otro modo su resolución. Llegado al punto en que la ‘falta’ se hace ineludible, D iofanto da marc ha atrás, y rehace las de term ina ciones iniciales que había supuesto, de m odo que — ya con las nuevas precisiones los cálculos— no encuentren ninguna ‘falta’ en su camino. Así procede, en parti cular, en aquellos problem as para cuya resolución emp lea el ‘método de falsa posi ción’, como es el siguiente. Problem a V.2 "Encontrar tres números en proporción geométrica, y tales que cada uno de ellos, aumentado en un número dado, forme un cuadrado."
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Tras po ner D iofanto 20 como el núm ero en que se aumenta, las condiciones del problema son ^ (I); X + 20 = a 2(II ); Y + 20 = p 2 (III) ; Z + 20 = 52(IV)
^ X
/ -
i
Sea X un número cuadrado que satisface la condición II. Y supongamos — según la regla de falsa posición — que es X = 16. Sea Z = x2. Por (I) será Y = 4x. Sustituyendo en (III) y (IV) se llega a: 4x + 20 = 4 y advierte Diofanto: "...lo que es absurdo , pues haría falta que 4 unidad es no sean más pequeñas que 20 unidades.”
Lo c ual obliga a replante ar aquel 16 que se h abía puesto en ‘falsa posición ’. Así, com o 16 ■1/4 = 4, y habíam os cogido 16 = X pa ra satisfa cer (II), hemos de sustituir 16 por otro cuadrado cuyo 1/4 sea > 20; es decir por un cuadrado > 80: sea éste 81. Y, así reconducidos, los cálculos evitan enfrentar el ‘absurdo’ de que ‘4 unidades no sean más pequeñas que 20 unidades". Pu es bien, la diferen cia clave entre los diorismós que establecieran Euclides, Arquímedes o Apolonio y estos diorismós diofánticos es que ahora lo que se des carta con ellos es una negatividad que previamente se ha hecho presente como ‘ausencia’ ( leipsis ). Entonces se constataba la imposibilidad sensib le de una cons trucción determinad a, lo que impedía la em ergencia de ningu na forma de negati vidad, siquiera fuera para excuirla como ‘absurda’, mientras que ahora la negati vidad emerge e fectivamente, se hace ‘presente’, y — ya una vez perceptible — se decreta su sinsentido. Para ello ha sido necesaria la colisión de dos imaginarios culturales. U no, el imag inario ecléctico de la deca den cia alejandrina, que aporta un instrum ental (num érico y ‘algebraico ’) y unas form as de percepción qu e alteran las condiciones de posibilidad en que una ‘form a’ (eidos ) puede ser pensada. Otro, el imaginario clásico aún activo, que inm ediatamente arroja sobre la nueva emergen cia todo el caudal de interdicciones que, en tomo a la negatividad, había acumu lado y racionaliza do duran te los siglos en que se había m antenido com o paradigma dominante. Suele afirmarse, entre los escasos autores que se han parado siquiera unas líneas en estos asuntos, que Diofanto admite los números negativos pero no como solució n final del problem a. Lo cual no tiene m ucho sentido pues ya advierte nada más comenzar el Libro I de su Aritlv netica que: "Como tu sabes, entre otras cosas, que los números están formados por una cierta cantidad de unidades..."
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El número de Diofanto sigue siendo, pues, intrínsecamente positivo. La leipsis no puede, en consecu encia, ser nunca un núm ero, al menos en el sentido en que Diofanto pueda entende r éste, sino una carácterística o atributo que les acon tece a las eidé en el curso de la actividad operatoria que se ejerce sobre ellas. Y hasta no siendo sino m era actividad, aún ésta se tiene po r imp osible en cuanto se rem ansa un m ínimo en el acto en que habría de cum plirse. Tal hem os visto en el Pro blem a V.2, dond e el ‘ab surd o’ se refería estrictam ente a núm eros, pues en él no entraban explícitamente en consideración elementos geométricos como sí ocurre en el siguiente, donde tampoco hay diorismós previo que evite el tropiezo con la negatividad.
Problem a VI.21 "Encon trar un triángulo rectángulo tal que su perímetro sea un cuadrado , y que este perímetro añ adido a su superficie forme un cubo."
La cuestión planteada es ciertamente poco ortodoxa: segmentos que son cua drados y que, además, añadidos a triángulos formen cubos. Para resolverla, establece com o lados del triángulo 2x y x2 1, y com o hipo tenusa x2 + 1; tras lo cual, como es habitual, fija una serie de determinaciones num éricas con las que em prende r los cálculos. Estos le conducen a que el aritmos ( V ) vale 1/7, con lo que su cuadrado será 1/49, "del cual hay que sustra er la unidad, puesto que u na de las perpendicu lares es 1 cuadrado m enos 1 unidad" (x2 - 1 = 1/49 - 1). Y sin más explic ación1procede a alterar las determinaciones num éricas iniciales para llegar a otro va lor del aritmos, qu e esta vez es x = 512/217 y y a "podem os sustraer 1 unidad de este cuadrado". Los elementos geom étricos de este problema hacen evidentemente imposible qu e pue da restarse 1 de 1/49, pues el resultado hab ría de ser uno de los lados del triángulo; aunque ahora, al haber operado con números en lugar de trazar líneas y figuras, haya podido llegar a una situación que antes n o hubiera pod ido plantearse. La situación no era la mism a en V.2, donde los núm eros no lo eran de objetos espa ciales, pero sí se les suponía allí también ese mismo soporte sustancial que hace absurda su posible negatividad. El número sigue siendo, como para Euclides, "multitud integrada por unidades" (monádon synkeimenon pléthos). Y ya se entienda la "multitud" en que consiste el número como compuesta de unidades arbitrarias de medida, al modo aristotélico-euclídeo, ya com o com puesta de mó na das indivisibles, a la manera pitagòrico-platònica, la exhuberancia de su plenitud se impone drásticamente a cualquier posible sustantivación de una leipsis que emerge con mucha menor potencia. La densidad de p lé th os es tan incompatible con la Vacuidad de leipsis com o su muchedum bre lo fuera también, en la tradición pla tó nic a, co n la unidad (monas). Si ésta no podía ser número, pues lo uno no
1 Sin explicitar en ningún mom ento nada parecido a "no podem os restar 1 de 1/49" — como pretenden J. Fauvel y J. Gray (19 87 :2 22 )— , lo cual da como por supuesto.
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puede ser m uchos, ta m poco puede serlo leipsis, pues la ‘ausencia’ no puede estar llena. La misma interdicción se levanta para ambas, monás y leipsis. Y si la pri mera consigue salvarla mediante la argucia aristotélico-euclídea que consiste en pensarla com o unid ad de m edida (d ivisible en ta nto que m edid a, aunque perm a nezca una en tanto se tom a com o patrón), la segunda no conseguirá enco ntrar otra solución de compromiso que la articulada implícitamente por Diofanto: ser una forma de es tar pero no un estado, una actividad pero no un acto, un m odo de pro ducirse pero no un producto. No es casual que el té rm in o con que Dio fa nto rechaza esa leipsis sustanti vad a1— y con el que rech aza también los resultados ‘irracionales’— sea precisa mente el de 'adynatos', qu e al tiempo q ue ‘im pos ible’ significa ‘falto de fuerzas’, ‘dé bil’ o ‘im po tente ’. L a insustan cialidad de la ‘ause ncia ’ en que la leipsis consiste es im potente ante toda la gravedad sustancial de p lé th os y de hyparxis. Tan impo tente que tan pronto se tacha de ‘imposible’ (adynatos ) como de ‘no decible’ (ou re té) o ' ab sur da ’ (átopon: ‘no ha lugar’). Aún en D iofanto, pese a su aban dono de la representación espacial como condición de posibilidad, la debilidad de la ‘ausencia’ para hacerse un sitio entre las ‘formas’ se corresponde con una no m enor debilidad para en co ntrar alojam iento en el lenguaje: mal pod ría llegar a ser decible ( r e t e ) lo que em pez ó form ulándose como opuesto a la misma p redicabilidad (hyparxis). Los p roblema s de Diofanto con lo irracional (álogos) no son m enores que con lo negativo (leipsis), y el tratam iento que concede a ambos es de hecho muy seme ja nte . También los irracio nale s se rechazarán com o re sultados, aunque sean in te r medios2. Para su evitamiento avanzará análogos prosdio ris m oi o, en caso de haberlos om itido, reh ará — una vez surgidos— las determinaciones iniciales. Y los calificativos con que se descartan son análogos a los que usa para la negatividad (átopon, adynatos, ou re te ). Aunqu e Herón no había tenido m ayor inconveniente en aceptarlos, e incluso en ensayar aproximaciones, el ple th os diofántico en que consiste el núm ero ha de ser tan determinado (o no indefinido) como hab ía de ser ple no (o no negativo)3. El rechazo de la irracionalidad-álogos se solapa así con el de la negatividadleipsis para constituir una segunda forma de negatividad, que podríamos llamar negatividad imaginaria, la cual ‘se correspondería’ con las ‘raíces cuadradas de números negativos’ ( aunque en la conceptualización diofántica habría de decirse
1 Véanse las páginas recopilados por J. Klein (1968: 1 38 31 2,17 19 ; 25 0,1 4; 251, nota; 424, 12 ss.; 20 4,1 9 ss.; 208 ,7; 210, 1 ss.; 21 2, 6 ss.; 26 4,1 2 ss., 270 ,46 ), de la edición de Tannery (1893 1895). 2 El problema 1V.31 p arece constituir una relativa excepción. Conducido a la ecuación auxiliar 3x+l 8 = 5x2, aunque su solución es irracional la utiliza para tantear la solución de la ecuación indeterminada de la que aquélla era una conjetura particular. 3 Con cepción que dominará hasta el Renacimiento. Asf Frater Federicus ( ca. 1460): "surdus num erus non esl num erus; nam num erus cst, quem unitas mensural" (un número sordo [i.e. irracional] no es un número; pues número es aquello que la unidad mide”). O Stifel en su Arithmetica integra: "irrationalis numerus non e st uerus numerus" (el número irracional no es un verdadero número).
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pro piam ente ‘lado de cuadra do ausente ’). Eso es lo que ocurre, p.e., en el pro ble m a siguiente. Problema 1.27 "Enco ntrar dos números tales que su suma y su producto formen dos núm eros dados. Es nec esario en cualquie r caso que el cuadrado de la semi-sum a de los núm eros busc ados exced a en un cuadra do al producto de esos núm eros; cosa que por lo d em ás es figurativa."
Si a y b son esos núm eros dados, y x e y los buscados, el problema plantea el siguiente sistema: x+y=a xy
=b
y el diorismós será [(x + y)/2]= — xy = nú me ro cuad rado es decir (a/2)2 — b = núm ero cuad rado • Como las soluciones del sistema son a /2 ± 7 ( a /2 ) 2-b , la exigencia del dio rismós ga rantiza tan to que esas soluciones no sean irracionales como que no sean ‘imaginarias’. , Otro tanto ocurre en el Problema 1.28, que obliga a v 2 b - a a ser un número cuadrado, eludien do simu ltáneamen te las raíces imaginarias y las irracionales. En otros casos, como en los problemas 1.30, IV.9 ó 1V.31 lo que se eluden son sólo soluciones irracionales. El prob lema siguiente es el único en el que Diofanto ofrece la solución de un a ecuación com pleta de 3“ grado, y acaso uno de los dos únicos —jun to con el VI.22— en que se elim ina (aunque aquí no explícitamente) la posibilidad de u na raíz ‘imaginaria’: ---------
Problem a VI. 17 "Encontrar un triángulo rectángulo cuya superficie, añadida a la hipotenusa, forme un cuad rado, y cuyo perímetro sea un cubo."
Tras fijar, com o de costumbre, ciertas determinaciones iniciales, llega a la ecuación
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x3+ 2x + 3 = x3+ 3x-3x2 - 1 a la que da la forma x3 + x = 4x2 + 4 y habiéndose probablemente d ado cuenta que e sa expresión equivale a x(x2+ l) = 4 (x 2+ 1) concluye sin más que la solución es 4. Las otras dos soluciones ‘posibles’ así excluidas son precisamen te las ‘im aginarias’ ± 7 -1 , si bien no hay prueba alguna de que Diofanto topara con ellas como sí topó con las ‘negativas’. De hecho, Diofanto nunca busca ‘todas las soluciones posibles’ para un pro ble m a (o ‘ecuació n’). Le basta con encontrar una: el aritm os o ‘número del pro ble m a’. P aul ver Eeke (1959: XXIII) conje tu ra que "el rechazo siste m ático de las soluciones negativas no ha permitido a D iofanto reconoce r que la ecuación cuad rá tica posee do s raíces". Pero el caso es que tampo co ofrece nunca dos raíces po siti vas. Encuentra lo que busca, que es el arithmós, esto es, un núm ero concreto que dé solución al problema; y un núm ero concreto nu nca son dos números concretos. Por eso la traducción de arítlimós por ‘incó gn ita’, y más aún por variable, traiciona las coorden adas particulares desde las que que D iofanto busca — y encuentra— la solución a sus problemas, que nunca es general sino.concreta. Diofanto define el núm ero buscado de la siguiente m anera: "El número que no posee ninguna de las particularidades precedentes [i.e., de las ‘potencias’], pero que posee en sí mismo una multitud indeterminada de unida des, se llama el ‘aritmos’, y su marca distintiva es s"
El sentido concreto de esa ‘indeterminación’ en la multitud de las unidades deli mita lo q u e Diofanto entiende p or ‘aritmo s’. Co m o advierte Ver Eeke, todos los manuscritos reproducen la que debió ser una alteración del original, y ofrecen la expresión ‘plethos monádon álogos' para esa ‘multitud indeterminada de unida des’. Ciertamente el término ‘álogos ’ no parece tener ahí mucho sentido, por su asociación con el ámbito de la irracionalidad qu e D iofanto elude tan escrupulosa me nte. Tras el hallazgo por Tannery de los m anu scritos de El Escorial, los estudio sos parecen coincidir en la restitución del término 'aóriston', que al meno s aleja a la indeterminación del ámbito semántico de lo irracional. Klein (1968: 139-141) mantiene la tesis, que aquí suscribimos, de que tal indeterminación es tan sólo ‘indeterm inación p rovision al’, en el sentido de qu e se trata de un núm ero — y ¡uno sólo!— bien con creto pero que perm anece no precisado hasta que no se haya cal culado cuál es con precisión la m ultitud que lo forma. La denominación p or Dio fanto del ‘núm ero determinado de u nid ad es', que corresponde al término indepen-
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diente de la ecuación, con el mismo término — a r i t h m ó s — pare ce refo rz ar esta interpretación. Su rechazo, pues, de las ‘soluciones negativas’ no puede impedirle enc ontrar lo que sólo tendría sentido desde un a interpretación del a r i t h m ó s como ‘variable ’ que le es del todo ajena. Por otra parte, el d i o r i s m ó s de 1.27 termina con una expresión que puede ser reveladora: " é st i d é t o ü to p l a s m a t i c ó n ", que hemos traducido — siguiendo a ver Eek e— por "co sa que por lo demás es figurativa". Distanciándose de Heath (1910: 140), que lo traduce por "esto es de la naturaleza de una fórmula”, y de Tannery (1893-1895: 62), que lo hace por "esto es formativo", ver Eeke elige el término ‘figurativo’ en el sentido de hacerse evidente mediante una ‘figura’ geométrica. Efectivamente, la condición que impone el d i o r i s m ó s se reduce a la identidad [(x + y)/2]2 - xy = [(x-y)/2p, qu e equivale al enunc iado geom étrico: ‘el cuadrado construido sobre la sem isuma de dos segm entos, menos el rectángulo que los tiene por la dos, es igual al cuadra do construid o sobre la sem id ifere ncia de am bos se g mentos’. Según esto, el motivo latente que excluiría la consideración de ‘raíces imaginarias’ sería la interpretación geométrica que estaría Diofanto haciendo implícitamente del problema, pese a que su enunciado fuera estrictamente numé rico y el modo de resolución ‘algebraico’. Esta tensión entre un modo de pen sar sustancialista, heredero de la episteme clásica griega, y otro ecléctico, que d e s c a r g a en ciertos momentos al primero (com o en la adm isión de ‘pote nc ias’ no tridime nsionales o en la consid eración for ma l de la ‘falta’) de su com pulsión por lo pleno, es la que ca rácteriza el trabajo de Diofanto. Su r u p t u r a c o n la tradición clásica lo es d e s d e la tradición clásica, a la cual incorpora como o b s t á c u l o en el m omen to mismo en que también lo supera. El dinamismo propio de ese conservarse el obstáculo en su misma superación lo hem os intentado seguir en esa dimen sión de la n e g a t i v i d a d que es la leipsis de Dio fanto. Otras dimensiones suyas, sin emba rgo, permane cen tan cargadas por el para dig m a clásico que se conse rvan en toda la plenitud que éste les legó. Tal es el caso de la que hemos llam ado ‘negatividad ima ginaria’, con la que — como hemos visto— Diofanto ni siquiera tiene oportunidad de enfrentarse, pues — ésta sí— se mantiene del todo bloqueda, sin que la incorporación de nuevos presupuestos y pro cedim iento s aporte ele m ento s para su percepció n/construcció n. Si Diofanto no tiene inconveniente en a cuñar neologismos cuan do el vocabu lario heredad o no es capaz de albergar los nuevos conceptos (así, a r i t h m o s t ó n para, la un idad dividida por el a r i t h m ó s o d y n a m ó k y b o s para la 5* ‘pote ncia ’), por más. que tamb ién éstos revelen su carga geom étrica, en otros casos la connotación o ri ginal determina por completo su significado. Ese es el caso de la ‘raíz cuadrada’, que Diofan to define — y piensa— como "lado del tetrágono [i.e. del cuadrado]" (p l e u r a t o ü t e tr a g ó n o u ) , tal y com o lo define en el ‘Prefa cio ’ al Lib ro I de \ a A r i t h metica:
"Entre los números se encuentran especialmente: los cuadrados, formados por un número multiplicado por sí mismo, el cual se llama lado del cuadrado..."
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Si la insustancialidad de la l e i p s i s le había permitido ese efímero grado de objetivación que la fijara por un momento en la actividad de su sustraerse, y ahí poder pensarla com o operació n som etida a re gla s, la ‘raíz cuadrada’ — por el con trario— no es una operación a la que se som ete a un núm ero sino un objeto rotundo: "lado del cuadrado". Así, aunque nuestra expresión V - í ya sí tiene en la terminología de Diofanto un significante capaz de alojarla (como ‘lado de una forma ausente cua drada ’), se trata sin em bargo de un sig n ific a n te v a cío d e sig n ifi cado: una forma puede ser cuadrada, una form a puede se r ausen te (l e ip o n t a e i d e ) , aunque tan sólo sea por unos breves momentos (lo que se tarda en eliminarla al pla ntear in ic ia lm ente un pro blem a), una fo rm a puede ser, por ta nto , cuadra da y ausente, pero ¿qué p odría ser su lado? ¿qué lado puede ser ése sobre el que vaya a levantarse un cuadrado q ue falta? Este será el nuevo obstácu lo — y ahora del todo impensado p or Diofanto— que la tradición clásica legue en tomo a la negatividad. Un obstáculo que no podrá enfrentar el renacim iento de la razón griega clásica en los ss. XV y XVI, pero que sí identificará y resolverá, a s u m a n e r a , el juego de escorzos, trampantojos y sin s e n tid o s que permitirá el imaginario m a n i e r i s t a de finales del s. XVI. D e nuevo aquí, el libre jue go de unos significantes que se liberan del significado que les impone una cierta episteme será el que permita emerger nuevos significados y abra nuevos campo de sentido. Sí hay un problem a — el VI.22— en que, a diferencia del VI.27, Diofanto se ve abocado a enfrentarse con raíces ‘imaginarias’. Lo sorprendente aquí es que no ve en ellas ninguna particularidad que las distinga de las irracionales, tratándolas como tales. Problema V I.22 "Encontrar un triángulo rectángulo tal que su perímetro sea un cubo, y que este perímetro, aumentado en la superficie del triángulo, forme un cuadrado." Para ello, ob serva que: "Antes hay que examinar el asunto de encontrar un triángulo rectángulo tal que, dados dos números, el perímetro del triángulo sea igual a uno de los números dados, y su superficie igual al otro número. Que los dos números sean 12 y 7, y propongamos que 12 sea el perímetro del triángulo y 7 la superficie..." Tal y como procede el texto, una vez puestos 7 y 12, si x e y son los lados de ese triángulo, será: xy = 7
2 x2+ y2 = ( 1 2 - x - y ) 2
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de dond e, sustituyendo y = 14/x, queda 172x = 336xJ + 24 y resolviendo esta ecuación al modo de D iofanto, resultaría 33 6x = 1 7 2/2 ± 7 ( 1 7 2 / 2 ) - 2 4 -3 36 por lo que, a continuació n, añade: "lo que no es siempre posible si la mitad de los aritmos [172/2], m ultiplicada por sí misma, y dism inuida en el número de cuadrad os m ultiplicado p or las unidades [24 • 336] no fuera un cuadrado."
y por tanto procede, com o es habitual, a revisar las determinaciones iniciales que había fijado en 7 y 12. D iofanto, pues, frente al lado de un cuad rado cu ya ‘supe rficie’ sería - 167 [=(172V/2)2 - 24 • 336] no reacc iona de m odo diferente a com o lo hub iera hecho ante uno de superficie + 167. Según manifiesta en este problema, la negatividad ‘imaginaria’ pertenece al mismo orden de imposibilidad que la irracionalidad. Tanto en un caso como e n otro se ha visto enfrentado a lados que no pueden en ge n drar un cuadrado, y el que ese cuadrado sea ‘ausente’ o ‘presente’ no añade para él ninguna dificultad adicional. Ya He rón h abía llegado a una situación parecida, por prim era vez — al pare cer— en la historia de la m atem ática occidental (D. R. Green, 1976: 99). En su Stereometrica (ca. 75 d.C.), tratando de construir una pirámide, se encuentra con la necesidad de calcular la longitud 781 - 144 . Com o en él no se da esa resistencia de Diofanto a las soluciones irracionales, no cabe esperar que, como Diofanto hubiera hecho, rechace esa raíz por irracional. ¿Q ué o tra salida podía entonces ar ticular? Pues no duda en in tercambiar entre sí minuendo y sustraendo y proc eder así al cálculo de 7 l4 4 - 81, que aproxima mediante 7 + 15/16. Ante la negatividad ‘im ag inaria’ la epistem e clásica no parece ofrecer, por tanto, otra alternativa que la irracionalidad (Diofanto) o el error (Herón); si bien éste, como enseñó a ap reciar Bach elard, siguiendo a Freud, n o d eja ser también significativo. Precisar que Herón procede así porque es "antinatural e irreal restar 144 de 81", com o suele supo nerse en estos casos (S. Lal, 1986: 35), es confinar la natura lidad y la realidad a la construcción que de ellas hace un cierto m odo de pensar (en este caso, el moderno). Y, de paso, condenar implícitamente a la irrealidad a otras epistemes — como la que soporta la matemática fa ngch eng — cuya fo rm a d e racio nalidad no duda en restar 144 de 81 con la misma ‘naturalidad’ con que resta 81 de 144. Sí parece significativo , po r el contrario, en el intento fallido de H erón, que , en primer lugar, estuviera en condiciones de poder resolver ‘mal’ el problema, es decir, de ver que ahí había un p roblem a (lo que no podía ver la matem ática clásica)
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y de apreciar en él un a cierta singularidad (que D iofanto no aprecia al considerarlo un mero caso de irracionalidad). Y, en segundo lugar, que el relajamiento del rigor interpretativo y dem ostrativo de la m atemá tica clásica perm ita a Herón conce der a los significantes im plicados — números y operadores (restar, extraer la raíz cua drada)— una n otable desvinculació n de los significados a que aquélla los había dejado fijados. La otra cara de este proceso de desfijación será la apertura a nuevos sentidos qu e h ará po sible la incorporación d e nuevos significados. IV.7. El techo de la negatividad en la metafísica neoplatónica.
Impotencia de la voluntad de poder Al tiempo qu e en los m atemáticos alejandrinos tardíos se está dando esa ten sión por incorpo rar a su obra, desde la tradición clásica, los eleme ntos extraños que aportan otras tradiciones matemáticas (fraccionamiento del uno, conceptualización e instrumentalización de la ‘falta’, superación del sustancialismo...), la misma tensión está concurriendo en otro ámbito de racionalidad paralelo —pero que se revelará íntimamente entreverado con el matemático, en especial en tomo a la cuestión de la negatividad — , como es el de la ló gic a y la metafísica. El pro blem a aquí es cómo integrar el nuevo Dios que ha irrumpido en toda su pujanza, proce dente de las cada vez m ás extendidas religiones mo noteístas, y en especial del cris tianismo, en el seno de un m odo de pensar que había perfilado en tomo a una razón autónoma sus propias señas de identidad. Y será en ese esfuerzo —¿imposible?— donde también em ergerá la negatividad con la misma dob le faz que se había reve lado en Diofanto: como culminación dialéctica de todo un edificio teórico que, al incorporarla, consigue trascender el sustancialismo en que había quedado blo queado, pero también como techo máximo de lo que, desde ese modo de pensar, puede te nerse por decib le , que viene a coincid ir con lo pensable. Del todo paralelas a los equilibrios con que — como v eíamos— Jám blico se esfuerza por conciliar la unidad con las series recíprocamente inversas de los números y las fracciones de esa unidad, son los de Plotino (205-270), contempo ráneo de Diofanto y del propio Jámblico, y, más tarde, los de Proclo (410-485). También en ellos la cuestión capital es cómo pensar el Uno en relación a la doble caden a — ascen dente (con -versión) y descendente (pro-cesión)— de sus hipóstasis, y cómo hacerlo de manera que no quepa contradicción con el mantenimiento simultáneo de do s principios que no pueden dejarse de darse por sentados: que el Uno se mantenga como principio radical, mas allá de las determinaciones en que consisten las cosas, pero que a la vez sea origen de todas ellas, fuente de las deter minaciones que las traen a ser, en su multiplicidad y mutación constantes. Y tamb ién en Plotino y Proclo la especulación alejandrina tardía choca — in cluso con más n itidez que la especulación ‘estrictam ente’ matem ática— con esos dos modos de negatividad que son la ‘nndn’ y la ‘falta’: aquella ‘nada’ (oudén ) con que Aristóteles analogizaba el ‘cero’, para descartarlo por no someterse a razón algun a, y aqu ella ‘falta’ (leipsis ) que D iofanto sólo podrá m anipular — que no con
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cluir— como ‘formas faltantes’ o ‘formas ausentes’ ( le í p o m a e i d e ) . L a reflexión en tomo a la n e g a t i v i d a d deriva así, en diferentes ámbitos intelectuales, de una misma presión que unos nuevos objetos de reflexión (procedentes de tradiciones orientales en las que el l ó g o s no decidía el criterio último de existencia) ejercen sobre una episteme ajena a ellos pero que intenta incorporarlos a su específica forma de razón. En una última vuelta de tuerca a aquel dilema parm enídeo del que arranc aba nuestro estudio de la n e g a t i v i d a d griega, Plotino ( E n n ea d a s . VI, 9, 3 [9]) carácteriza al Uno po r su carencia, por su pu ro no ser, por la ausencia en él de toda forma o esencia, es la ‘forma aus ente ’ por excelencia: "La maravilla, anterior a la inteligencia, es el Uno, que es no ser (me ón)'. Si del Uno pudiera decirse ‘es esto’ o ‘es aquello’, el Uno quedaría "prisio nero" de las determ inacione s que al sujeto aportan los predicados; por lo que "debe ser de m anera que el Uno no sea a quí el predicado de otra cosa; no tiene, a decir verdad, ningún nombre verdadero"1. El Uno, de la misma manera que el resultado de la acción del leipd diofántico (la leipsis ‘com o prod ucto’), rebasa el ám bito del l ó g o s para adentrarse en el re in o de lo indecible, de lo ou rete , ante el cual tam bién Diofanto se sentía im posibilitado para seguir hablando — es decir, haciendo m ate máticas, en particular— y se veía forzado a volver sobre sus pasos para orientarse de nuevo hacia una ‘solución positiva’ o ‘decible’, esto es, hacia una solución a secas. A diferencia del discurso clásico, que no podía ni verla, tanto los ma temá ticos com o los filósofos de este p eriodo s í topan con la n e g a t i v i d a d , y hacen de ella objeto — y ob jeto central — de su discurso. A unque ciertame nte, herederos tam bié n ambos discursos de los pre supuesto s de aquel otro, una vez que la entreven, reaccionan con el mism o gesto: expulsánd ola de todo discurso posible. Sólo fuera del lenguaje puede Plotino garantizar que algo se libre d e qued ar s u je to a los límites que en su tom o inm ediatam ente vienen a poner los pred icad os2. Sólo m ás allá de lo decible puede asegurarse la ausencia — en el Uno — de forma o esencia, esto es, de determinación, sin que por ello quede excluida su ex istencia 1 E. Bréhier (1919: 450). Seguim os aquí su excelente análisis que, aún prescindiendo por com pleto del discurso matemático, se centra precisamente en aquellos temas y procedimientos nuevos incorporados por el pensamiento neoplatónico que son también los que perfilan la novedad —y los límites— de la matemática diofántica: la negación como ausencia de determinación pero no por ello determinante de inexistencia, la posible idea de la nada, o la suposición de direccionalidad y reversibilidad en la procesión de las hipósiasis del uno (y, paralelamente, en la procesión de la serie numérica). ‘ Habría que precisar que esto es rigurosamente cierto para una lengua que — com o la griega— se construye sobre la estructura fundamental determinada por la cadena sujetoverbopredicado, lo que no ocurre necesariamente en toda lengua ni, por tanto, en toda matemática. Tal es el caso de la china, que no comparte, como vimos, este tipo de dificultades con la dccibitidad de la negatividad. Pero, como no puede ser de otro modo, es en griego com o P lotino hace teología y Diofanto matemáticas.
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y pued a incluso ponerse co m o principio radical. Plotino inaug ura así una ‘teología negativa’ que recogerán tanto las vertientes paganas como cristianas del neo plato nismo: "Del Uno, decimo s lo que no es, no decimo s lo que es" ( E n n e a d a s , V, 3 ,1 4 [48]). Pero este ‘no-ser’ es también carácterístico de la materia, también ella pri vada de cualquier determinación concreta, lo cual define otra orientación en la cadena de abstracciones que conducen al no-ser: el Uno está m á s a l lá del ser, así com o la nada está m á s a c á del ser. Por eso su n o-ser está preñado de n ecesidad de determinación, de anhelo por acceder al ser. Así, sólo entre dos nadas, es todo lo que es: con-vergiendo desde la nada insostenible de la materia sin forma hacia la nada del Uno, y pro-cediendo en tonces de ésta todo cuanto va accediendo a ser por determinación progresiva. Con lo cual, observa Bréhier (p. 553), "llegamos a una noción e xtraña al intelectualism o estático de los idealistas helenos; es la noción de dirección, lo que el neoplatonism o ha llamado procesión y conversión". A diferencia de la direccionalidad p eripatética (teleológica, orientada a co n cluir en lo que ya estaba dado desde el principio), la direccionalidad plotiniana es reversible: la multitud se des-pliega desde el origen y vuelve a re-plegarse en él. De modo en todo análogo a como la multitud en que consiste el número se des pliega indefinid am ente a partir del uno (su fo rm ació n se extiende al infinito, dice Diofanto al comienzo del ‘Prefacio’ al Libro I de la A r ith m e tic a ), y se repliega en él de nuevo al ir dism inuyend o los denom inadores de las fracciones en que el uno se había partido.
Nada Los dos sentidos marcados por una direccionalidad reversible son la clave de otras interpretaciones de la n e g a t i v i d a d , bien sea bajo la fo rm a d e una doble orien tación g eom étrica en tom o a un origen (que se hará posible por el cam bio en la per cepción del e spacio que se m anifestará en los ejes coordenados a partir del s. XVII europeo), bien bajo las formas aritméticas o simbólicas que hemos observado en China, o bien — sencillamente— bajo la mera composición escrita egipcia, donde la orientación de las dos pierna s and antes (que significan la sum a y la resta de can tidades) es opuesta según se quiera indicar una operación u otra. El neoplatonismo introduce un elemento d e reversibilidad direccional que ciertamente es e xtraño al m odo de p ensar griego, pero de ah í tampoco llega a emerger una forma p ropia de n e g a t i v i d a d porq ue la nueva in serc ió n se ve fo rz ada a m ante nerse dentro del cerco de ese modo de pe nsar tanto como le fuerza a éste a acogerla en su seno.
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Efectivam ente, la identificación ne oplatón ica de la ‘na da ’ o el ‘no -ser ’ con el Uno obliga a que el doble m ovim iento de despliegue/repliegue ocu rra todo él den tro del ámbito de la positividad. Sea po r descenso positivo (progresiva determ ina ción), sea por ascenso negativo (sucesión de residuos o abstractos), es el se r posi tivo el que gana o pierde atributos en su extenderse/contraerse entre la nad a y la nada. El uno — y no un ‘cero ’ impen sable — es el elem ento fronterizo sobre el que pivota toda posible contracción/distensión de lo múltiple, que así flota en medio de un a nada que, com o frontera, lo circunda por doquier. Po r decirlo en tér minos algeb raicos m oderno s, es el grupo m ultiplicativo de los racion ales positivos, con el uno como elem ento neutro, la estructura formal que subyace a — y refleja en las matemáticas de su tiempo — la especulación neoplatónica: ...4
3
2
1 1/2
1/3
1 /4 . ..
Un a especulación que e stá bien lejos de poder reflejarse en un a estructura de algún modo análoga al grupo aditivo de los enteros, con el cero como elemento neutro: ... + 4
+ 3 + 2
+
1 0 -1
-
2
-
3
-
4 ...
que es la estructura propia del álgebra zh eng/fu. Para acercarse a ésta, hab ría sido necesaria una concepción del ‘nó s er’ que lo situase como gozne de determinaciones opuestas, y no en el vértice de un proj ceso de abstracción (aph ai resis) progresiva al que se llega por sustracción (aphairesis) sucesiva de determinaciones, co m o ocurre en un neo platonismo que, incluso en su teología negativa más radical, sigue siendo deu dor de la plenitud de las for mas, por más que, com o en D iofanto, tales formas se piensen ausentes. Con P roclo la potencia de la negatividad alcanza el m áximo p unto con que perm ite pensarla la tradic ió n helena. A diferencia de la pre ocupación explícita mente religiosa que anim aba a P lotino, sus razones son propiam ente metafísicas y lógicas. En él la negatividad, lejos de esa cierta impo tencia a que la conde nab a el no poder decirse sino como el ‘esto no es aquello’ plotiniano, irrumpe con auténtica fuerza generadora. Una vez establecido que "es más bello, como hace Platón, atenerse a las negaciones" (In Parmenides: 1108:19), Proclo se plantea el valor de conocimiento de las proposiciones negativas. Atendiendo a la cualidad lógica de la proposición, sin duda "la negación es una privación y la afirmación es la presencia de una forma". Pero si nos centramos en las carácterísticas del sujeto de la propo sición, éste pued e definirse por sus cualidades po sitivas — en cuyo caso la afirm ación se im pon e sobre la negac ión— o bien pued e no serle per tinente ningúna atribución positiva — caso en el que ni la afirm ación ni la nega ción le convienen— . Así, si el ponerse com o sujeto es qued ar prisionero de una esen cia o forma (la que de él se predica), para éste m encionado sujeto no-positivo — que Proclo lla m ará el Prim ero — la in convenie ncia de la afirm ació n es ru ptu ra de la sujección a cualquier esencia; y la predicación negativa respecto de él no 261
puede entenderse com o privació n sino, m uy al contrario , com o libera ció n de las determinaciones y apertura a las posibilidades indefinidas: como una auténtica ‘voluntad de p od er’, en térm inos de B réh ier1. Pero de esa negatividad recién libertada así de la cond ena a no ser sino au sen cia, privación o falta, de esa negatividad que llega por fin ahora a adquirir toda la fuerza necesaria para presentarse positivam ente, nada pued e decirse. Para Damascio, el Primero se llam a Inefable. D e los últimos intentos de la episteme g riega por pensar la negativid ad, asum im os la conclu sió n de B réhie r (p. 474), que bie n se puede extender — com o hem os pro cura do m ostrar en deta lle— al ám bito de las matemáticas: "El intelectualismo griego admite, como único criterio de realidad, los carác positivos susceptibles de entrar como elementos de una definición; el ‘ser’ es el teres
conjunto de notas positivas que determinan lo que las cosas son (...) La idea de la nada del primer principio, que atormenta siempre su pensamiento, no es más que el símbolo de su fracaso en esta tentativa por querer expresar los conceptos nuevos".
La cadena de abstracción (aphairesis) ascend ente que va privando sucesiva m ente al se r de sus d eterminaciones no co nsigue, e n la tradición filosófica griega, salir de la positividad. Su límite está en el Uno, en el ‘género generalísimo’ o ‘género ú ltimo ’, sea éste la sustancia o el ser mism o. A lo más — en la cumb re del pensam iento negativo -, la frontera de este cerc o cultura l se alc anza en el mero ‘no’ que, en Proclo, carácteriza al Primero. De igual modo, la cadena de sustracción (iaphairesis ) pro gresiva llega tamb ién hasta el ‘un o’ ( .. . 4, 3, 2, 1 ). O, a lo más, cuan do ese ‘un o’ llega a fraccionarse (sea al mod o peripa tético de espac ializarlo y reducirlo así a una unidad de medida arbitrariamente pequeña; sea por incorpora ciones de otras culturas, com o las fracciones egipc ias de la unidad: 1/2,1/3, 1/4...) es en la ‘nada’ de un imposible ‘cero’ donde topa con su límite. Por vía de aphairesis, ni los esfuerzos matemáticos de Diofanto ni los metafísicos del neo-platonismo pueden rebasar un ‘no’ que, sin embargo, en China (pero ahora pensando no ‘por abstracción’ sino ‘por oposición’ y ‘por analogía’), en vez de verse progresivam ente elevado o degradad o hasta constituirse en límite último, se sitúa desde un principio en el centro que sirve de quicio para la interac ción de determinaciones opuestas. N inguna civ iliz ació n ha m ostrado el terror a la nada/c ero que manifie sta la civilización occidental, de herencia griega. Para E. Severino, esta civilización se distingue po r su nihilismo radical: todas las cosas de vienen de la nada y a la nada vuelven. Para ponerse al amparo de esa angustia abisal, dispara tres mecanismos que, a la larga, no vendrán sino a reforzar aún mas el pánico del que pretendía zafarse. U no es el establecimiento de ‘los inmu tables ’ — entre los que se encuén-
1 E. Bréhier (1919:459). Obsérvese lo próximas que están esta concepción del Primero en Pro clo y la concepción taoísta del dao.
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tran, de modo ejemplar, los inmutables m atemáticos— , mediante los que aspira a sosegar el vértigo del aniquilam iento a que todo e stá abocado. Por eso, la aspira ción griega a la epistéme, a un saber incontrovertible que ‘está’ ( -stéme), quieto, ‘sobre’ ( epí •) todo lo que sobreviene desde la nada, tiene un propósito terapéutico, una m otivación religiosa: la epistéme es un sab er de salvación. Pero esta función de la epistéme se volverá contra sí misma. Los inm utables libran al hom bre de la am enaza del devenir en la precisa m edida en que lo niegan, lo que supone "la nega ción de la evidencia de todas las evidencias" del hom bre griego. La otra cara de la erección de los inm utable será así la de su necesaria destrucción sistemática, la per ma nente crítica con que occiden te, negándose, se afirma a sí mismo. Un segundo m ecanism o de d efensa se dispara en la voluntad de poder, en el afán de dom inio del hom bre sobre las cosas y su devenir, en el espíritu d e previ sión. Pero también aquí el remedio es peor que la enfermedad, pues el terror que desp ierta la voluntad de do m inio se hace m ayo r que el que alentara el deven ir que pre tendía aplacar. La evolu ció n de la ciencia expre sa a la perfecció n la im pote ncia de la voluntad de poder: el ang ustioso sosiego que provocan sus rígidos determinismos universales llevarán a la ciencia a abrirse a la m era probabilidad, localidad, relatividad y transitoriedad de sus propias explicaciones. Hasta aquí, la tesis de Severino parece ser jus to la opuesta a la que h asta aquí hemos mantenido: no que el m odo de pen sar griego e stablezca una distancia insalvable entre el ser y la nada/ cero/magnitudes negativas (que haría impensable estos últimos contenidos) sino que ser y nad a coinciden. Pe ro am bas tesis se reconcilian mediante la explicitación del tercer me canismo citado , que el pensa dor italiano m enciona como de pasada y que, sin embargo, se nos antoja decisivo. Este otro mecanismo de defensa sub sume, negándolos, a los dos anteriores. La insoportable creenc ia en que las cosas son nada sólo puede sobrellevarse afirmando hasta la exasperación su contrario: que la distancia entre lo que es (los entes) y nada es absoluta: "El nihilismo es el inconsciente de Occidente, el inconsciente que se expresa enformainversaen los diferentes modos con los que Occidente rechaza la iden tifi cación del ente y la na da; y sobre todo se expresa en esa forma de rechazo de la nadedad del ente que se d enom ina ‘principio de contra dicción ’. (...) Es justam ente en el modo con el que la cultura occidental afirma la oposición del ente a la nada, es ahí ju stam ente, donde se esconde la extrem a locu ra, esto es, la persuasión im plícita, inconsciente, de que el ente es nada." (1991 :166)
Es precisam ente po rque el griego está íntimam ente convencido de que el ente es nada (y, en esto, la creación ex nihilo del cristianismo no viene sino a reforzar esa creencia) por lo que p one todo su empe ño en negarlo. Ahí se cifra la vehem en cia con que el pensamiento griego abomina de cualquier forma de negatividad, cuando ésta se le llega a prese ntar de algún modo, o bien construye todo un m uro de interdicciones que hagan imposible su percepción. Las cosas se piensan en su rotunda positividad y plenitud , a una distancia insalvab le de lo ápeiron o lo kenón, del mismo modo que el número se piensa en su no menos rotunda positividad y
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ple nitud, a una dista ncia insalvable de lo médén y lo oudén. Los entes, como los números, oscilan entre el Uno y el cero, sin alcanzarlos nunca, sin saber bien qué hacer con el primero (C.V. Jones, 1978) y sin posibilidad dé percibir nada que pueda asem eja rse al segundo. Del Uno diverge — por multip licació n— hacia lo ápeiron la procesión de los enteros positivos', al Uno converge —por fracciona miento— desde lo ápeiron — la procesión de las fracciones positivas — . En los extremo s el griego oc u lta— y se oculta— lo impensable, lo indecible: el tabú de la negatividad. Algo como un cero o unas magnitudes negativas no cabe en su epistéme porq ue ello sería tanto como in stalar la angustia de la nada en el cielo de las fortnas inmutables, en ese refugio que se ha construido y donde las matemáticas ofrecen un abrigo ejemplar. Muchas civilizaciones han prescindido de lo que hoy llamaríamos un cero, casi ninguna ha construido unos números negativos, pero sólo la greco-europea se ha acorazado contra ambos, sólo ella se ha defendido con uñas y dientes — mediante principios primeros com o el de no-contradicción o el del tercero excluido— con tra la posibilidad de tránsito o me diación entre el ser y la nada, entre el número y el cero, entre la positividad y la negatividad.
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Conclusiones Toda conclusión queda determinada por los pre-supuestos de los que parte una investigación, por lo que — de algún modo— está ya implícita en ellos. Si ésta era una de las principales hipótesis qu e nos proponíam os contrastar en un ám bito que se suele suponer tan poco perm eable a presupuestos externos com o es el de la investigación matemática, justo es que la reconozcamos satisfecha también en nuestra mism a investigación. Así, estas conclusiones no pueden sino prolonga r las hipótesis que en un com ienzo esbozábam os. a) En cad a uno de los tres ámbitos culturales seleccionados (el de la Grecia clásica, el de la China d e los Han y el del último alejandrinismo), los respectivos imaginarios sociales orientan m aneras de h acer matem áticas que son irreductibles entre sí y llegan a determ inar radicalme nte los propios contenidos del trabajo mate mático. Sólo desde un imaginario como el moderno imaginario ilustrado puede, por ta nto, habla rse de sucesiv os gra dos de pro greso en el descubrim ie nto o cons trucción de unos objetos m atem áticos — com o los supuestos ‘números nega tivos’, el ‘cero’ o el espacio de represen tación— que gozaran de alguna suerte de identi dad previa o exterior. H ay tan tas m atemáticas como formas de pensar y de hablar en las que los diferentes imaginarios sociales se expresan y se comprenden a sí mismos. . b) En la C hina ya anterior a lo s Han, la negatividad emerge en té rm in os de oposiciones respecto de un ce ntro o hueco; y encontramos diversas form alizaciones suyas proliferando, de un m odo natural, tanto en la práctica m atem ática como en construcciones cosmogónicas, explicaciones míticas o técnicas adivinatorias. Estas negatividades form ales (no todas estrictamente m atemáticas) se manifiestan determinada s por: i) ciertos com plejos simbólicos, como el que se anuda en tom o a la tem a yinJyang/dao, que dispon e a su razón a operar en términos de oposicio nes que pivotan sobre un ‘hueco’ que actúa como ‘quicio’ o ‘centro’ en tomo al cual las oposiciones se equilibran; ii) una concepción cualitativa y simbólica del espacio de representación, que distingue lugares (lugares que así signific an ) y se hace solidario con el tiem po; iii) ciertos procesos de racionalización asociados a la singularidad de su len gu a (evoca ción frente a definición, simetría e inversión frente a linealidad...) y las connotaciones que los términos técnicos arrastran de su signi ficado en el lenguaje ordina rio; iv) un m odo de pensar que descansa en los criterios pre-lógic os ‘de oposic ió n’ y ‘de equiv ale ncia ’.
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c) En el extremo opuesto, en la G recia clásica, cuantos cam inos posibles para una construcció n de la negatividad hemos escrutado resultan bloquear su em ergencia; és ta nunca llega a ad quirir la suficiente entidad com o para siquiera ser susceptible de verse rechazada. A quí no es un criterio básico de op osición sino uno de ‘determ inación ’ el que orienta el pensamiento. En el ámbito de la oposición, la prim acía de oposic io nes del tipo ‘ser/no-s er’ o ‘determ inado/indeterm inado’ subsum irá lo que en C hina son determinacione s negativas en el caos indistinto de la indeterminación: lo vacío com o no-ser dibuja en G recia la frontera de lo impen sa ble, m ientras que para la episte m e — y la m ate m ática— chin a juega el papel de gozne qu e articula las determinaciones opue stas. Otros dos factores que c ontribu yen a co nduc ir esta matem ática por desarrollos ajenos a una forma propia de nega tividad son: uno, una reflexión teórica sobre el número, en términos de ‘multitud determ inada de unidades’, que exigirá naturalmente un espacio d e representación concebido como extensión delimitada; el otro, una manera de pensar fundada en pro cesos de abstracción e im bricació n de género s y especie s (diferencia especí fica). L a exigencia de un sustrato del que su straer o diferenciar pond rá así en la sus tracción o diferencia el límite griego para la negatividad, com o en China la exigen cia de o posición lo que ponía era un punto de arranque. d) Tanto en un caso como en otro, lo que se decide com o posible o impo sible go za de una estabilidad que le viene dada po r la estabilidad de sus respectivos para digm as de con ocimiento y estructuras socioculturales. M uy diferente es la situación social e intelectual del alejandrinismo tardío en que se hacen las matemáticas de Diofanto. Aq uí nos encontramos con un im aginario m estizo e inestable, en el que el sab er — y, en particular, la negatividad — se construye a tientas, y se rechaza en cierto sentido lo que se asume en otros. La matemática alejandrina —y, en particu lar, la de D iofanto— construye la que podríamo s llamar propiamen te prim era forma occidental de negatividad. Y lo hace en un m om ento de decadencia del ideal mate m ático aristotélico-euclídeo y de incorporación ecléc tica de otras tradiciones m ate m áticas relegadas (egipcia, babilónica, pitagórica, logística). Su con strucción d e la negatividad en ese momento singular, tanto le permite emerger contra el anterior mo delo dom inante como le obliga a hacerlo desde él: antes que de la formalización, com o en China, de un juego de oposiciones, surge de tratar de pensar matem ática mente una ‘ausencia’ (casi impensable en la tradición clásica) que no se deja sus tantivar ni en los datos ni en los resultados de los problem as, sino tan sólo — casi como un lapsus — en el efímero discurrir de las operaciones interm edias. e) Así, las principales diferencias entre las m atrices fundam entales de los imaginarios griego y chino son: i) pensar por abstracción (aphairesis) y de-termi nac ión, en término s de géneros y espec ies, vs. pen sar por analo gía, sim etría o equ i valencias; ii) asumir principios como el de identidad o no-contradicción como prin cip io s prim ero s (tanto del ser como del pensar) vs. una m atriz preconceptu al que pre-dispone (la realidad y el pensamiento) según criterios de alternancia de contrarios y oposiciones en tom o a u n un hueco (wu) o centro; iii) s u p o n e r u n espa cio (y, en particular, un espacio de rep resentac ión) que es extensión de-lim itada v j . un espacio simbólico marcado por la oposición, en el que los lugares significan; 266
esto es, un espacio e xtenso vs. un espacio tenso; iv) la negatividad se ve así obli gada a pensarse, en una tradición, en términos de sustracción (aphai resis) y del posible sentido de expre sio nes como ‘nada’, ‘menos que nada’, ‘lado de un cua drado de superficie m enor que nad a’, ‘sustraer una ma gnitud ma yor de una m enor’, etc., mientras que, desd e la otra tradición, se piensa en términos de opuestos arti culados en tom o a un qu icio que, rigiendo su enfrentam iento, rige tam bién su anu lación recíproca (jin). f) L a razón de estas diferencias radicales la encontramo s en las que obser vamos entre sus respectivos mo dos de pensar (construir conceptos, razonam ientos, método s y técnicas), que a su vez arraigan en sus respectivos im aginarios sociales: ese entramado de nudos simbólicos, articulaciones lingüísticas, recursos instru mentales y esquema s pre-concep tuales que en cad a cultura resultan convocados al focalizar un problema para el que sus saberes instituidos —y, en particular, su ma temática— aú n no tienen respuesta. Este anclaje en lo simbó lico de la actividad ma temá tica actúa — al menos en las emergencias de la negatividad aquí investigadas— no de un m odo ‘externo ’, sino íntimam ente ligado a sus procesos más propios: técnicas de cálculo, estructu ración del espacio de representación, supuestos de rigo r demostrativo y operatorio, construcción lingüística de sus conceptos y expresiones matemáticas, modos de argumentación, criterios para la asunción o rechazo d e ciertos datos com o datos o de ciertas soluciones como soluciones, etc. g) El entrelazam iento de distintos enfoques disciplinarios y metodológicos (sean antropológicos, sociológicos, lingüísticos, filosóficos o estrictamente mate máticos), aunque pueda habe r sido fuente de algunas imprecisiones, ha permitido establecer vínculos, rupturas o bifurcaciones que sin su concurso hubieran pasado desapercibidos. M ás allá de la renuncia a dar otra razón de las emergencias m ate máticas que no sea la de su supuesto universal dinamism o, pero más a cá de esas explicaciones externas que apenas alcanzan el interior de las construcciones m ate máticas concretas (una y otras consideradas en un primer capítulo), el modo de acercamiento que aq uí hem os en sayado parece revelarse útil para dar razón sim ul tánea de su íntimo irse haciend o y de cóm o en ese hacerse se entreteje con otros discursos y prácticas sociales. En particular, la voluntaria imprecisión inicial de la categoría central de este estudio (la que llamáb am os ‘negatividad') se ha revelado bien útil pues, al no ceñir estrictamente el campo de investigación a los ‘antececedentes’ de unos ideales ‘números negativos’, ha permitido establecer conexiones —y fracturas— entre objetos teóricos, camp os del saber, niveles de discurso y técnicas m atem áticas que, en un principio, no parecían mantener relación inmediata alguna; unas conexiones — y fracturas— que, al cabo, han ido atribuyendo sentidos no evid ente s a los ele mentos así relacionados. h) La inexistencia de un estudio global, siquiera fuera me ramente descrip tivo, sobre la historia de los ‘números negativos’ o ‘imaginarios’, si bien nos ha obligado a em pezar po r el principio (reconstrucción d e los ‘hechos’, indagaciones infructuosas...) tam bién nos ha brindado la ocasión de em pez ar por el principio: ir
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directamente a los textos, carecer de una elemental pre-visión de lo que pudiera esperarse de e llos, extraviamo s en indagaciones directame nte inútiles pero que, al cabo, dab an e n aportar otras perspectivas y sentidos... M uchos factores han tenido que ir qu eda ndo al margen o meramente apuntados: sean las conexiones con otros saberes co-incidentes con los estudiados (en particular, algunos saberes sobre la naturaleza y ciertos aspectos de las construcciones lógicas respectivas), sea el aná lisis comparativo con otros ámbitos culturales (en especial, el tratamiento de la negatividad en la India y, dentro de la tradición europea, en el manierismo pos renac entista, en el racionalismo y en la Ilustración). D e hab erse podido extender a ellos esta investigación, seguramente algunas de estas conclusiones se habrían visto reformuladas; ¿ntiéndanse, pues, como unas conclusiones necesariamente inconclusas. El m ito de la razón enterró la razón de los m itos. Al cabo, el propio m ito de la razón h a dad o en devorarse a sí mismo destruyend o los ilusorios refugios que él hab ía erigido . En nu estros días, tan sólo las matem áticas parec en resistir al general descrédito. E n su preten dida pureza, necesidad y u niversalidad se alberga la última posibilid ad de un saber absolu to , dig no de fe: saber de sa lvación. Entre noso tros, las m atem áticas son el último nom bre del destino, de lo que ne cesariamente ha de ser y no pu ede ser de otra manera. C ontra este postrera creencia de la modernidad se ha levantado este libro. A través del estudio minucioso de las matemáticas — irreduc tibles en tre sí— d e tres culturas distintas (la china an tigua, la griega clásica, y la del alejandrinism o tardío), hemos querido m ostrar cóm o tampo co las m atemá ticas están p or encim a de las gentes concretas, de sus diferentes p rejuicios, tabúes y ensoñaciones. A la postre, las matemáticas hunden sus raíces en los mismos magmas simbólicos en que se alimentan los mitos que aspiraba a desplazar. Cada m atem ática echa sus raíces en los distintos im aginarios colectivos y se construye al hilo de los conflictos que se desatan entre los varios mo dos de represen tar/inven tar esa ilusión qu e cada cu ltura llama realidad. La desm itificación de las matem á ticas que ha animado estas páginas niega así los nuevos nombres del destino, al tiempo que afirma otros m odos posibles de realidad .//
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Epñogo Mussil y Stendhal: Razones para no entender Ha y dos relatos, am bos significativam ente autobiográficos, que narran sendos encuentros juven iles con la que hemos llamado negatividad matem ática. Aunque separados por casi un siglo de distancia, en ambos se palpa la misma exultante desazón produc ida al topar con una m atemática que, de repente, se mu estra viva, precis am ente en dos de su s princip ale s form as de negatividad: los ‘números ima gin arios’ , cuy a impo sibilidad tanto excita al jove n Torless/M usil, y las ‘cantida des negativas’, que llenan de desconcierto al bachiller Brulard/Stendhal. A am bos jóvene s frustró por igual la decepcionante respuesta de sus respec tivos maestros y, para ambos, esos ‘entes imposibles’ siguieron vivos en la forma de deseo de sab er no satisfecho. Análogas excitación, desazón y frustración aco m pañaron ta m bié n nuestro encuentro con esos ‘centauros onto ló gic os’, com o los calificó L eibniz. Pero, a diferencia de ellos, acaso por haber sufrido el enc ontro nazo en días menos n ecesitados de verdades absolutas, nosotros hemos procurado aliviar la desazón evitando esmeradamente matar al agente, como intuyendo que cu alqu ier ‘resp ues ta verda de ra’ a las ficciones ‘ «P - I ’ y ‘meno s po r m eno s igual m as’ acabaría asim ismo c on la vivacidad que, gracias a ellas, aquellos dos a doles centes hab ían descu bierto en ese "helado mu seo de formas petrificadas” que eran para am bos, com o ta m bié n para Sábato, las matemáticas. Intuim os, por el contr a rio, en es a singu lar vitalidad un signo cuyo rastro, a través de las época s, las cultu ras y los diferentes m odos de pensar, tanto podía decir de éstos como d e la propia actividad matem ática. A unque el precio fuera instalarse en la desazón, en la mu l tiplicación incluso de las diferentes desazones qu e la negatividad matem ática ha ido provocando. Pues en e sa diferencia en los m odos de desazón intelectual se per filaba un instrumento privilegiado de conocimiento. No nos interesaba ya la muerte del problema en la respuesta, sino su vida en el entramado de preguntas y respuestas que en su tomo los hombres se han dado y que, presumiblemente, se seguirán dando. En los dos relatos, por otra parte, se apuntan alguno s de los principales s ínto ma s de cuyo sentido — sus diversos sentidos— se ha propuesto dar razón este estu dio, lo que perm ite aprovech ar doblemente la longitud de su cita. Así se atribulaba el jove n Tórless:
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' "Durante la clase de matemáticas TOrles s concibi ó un súbito pensamiento. (. .. ) Al termina r la clase se sentó jun to a Beineberg, porque era el úni co con quien podía hablar de semejante cosa. — Dime , ¿entendiste bien todo eso? -¿Qué? — Ese asunto de las cantidades imaginarias. — Sí , no es tan difícil . Lo único que hay que tener presente es que la ra íz cua drada de menos uno es la unidad de cálculo. — De eso precisa mente se trata. Ta l cosa no existe. Tod o número, ya sea posi tivo, ya sea negativo, da como resultado, si se lo eleva al cuadrado, algo positivo. Por eso no puede haber ningún número real que sea la raíz cuadrada de un número nega tivo. — Completame nte cierto. Pero, ¿por qué, de todos modos, no habría de inten tarse aplicar también a un número negativo la operación de la raíz cuadrada? Desde luego que el resultado no puede tener ningún por eso el resultado se llama Es como cuando uno dice: siempre se sentaba pongámosl e entonces también hoy una silla . Y aun cuando la persona haya muerto, obramos todavía pudiera acudir a nosotros. — Pero, ¿ cómo puede hacerse tal cosa, cuando se sabe, con toda precis ión, que es ? — A pesar de ell o se hace precisamente Quizá pueda obtenerse algún res ultado. ¿ Y qué otra cosa ocurre, a fin de cuentas, con las cantida des irracionales? Una división que nunca termina, una fracción cuyo valor nunca puedes agotar, aun cua ndo te pases la vida haciendo la operaci ón. ¿ Y qué piensas de las líneas paralelas, que se cortan en el infinito? Creo que no habría matemáticas si pretendiésemos saberlo todo tan a conciencia y exactamente. — En eso tienes razón. Cuando uno considera las cosas as í, todo parece bas tante correcto; pero lo curioso está precisamente en que se pueden hacer con semejantes valores que de alguna manera son — Sí , y para ello los factores imagina rios deben anularse recíprocamente en el curso de la operación. — S í, sí, todo lo que dices lo sé muy bien; pero de todos modos, ¿ no queda algo muy extraño? ¿Cómo podría decirlo? Imagínate sólo esto: en una de esas operacio nes al principio hay números, por decirlo así, completamente Una medida de longitud o de peso, o algo que podamos representamos de manera concreta. Y que son números reales. Al terminar la operación son también números rea les; pero esos dos extremos, el comienzo y el final, están ligados por ¿No es acaso como un puente que sólo tiene pilares a una y otra orilla, y que, a pesar de ello, puede uno atravesar como si los tuviera en todo el recorrido? Ope
valor real; aquí, antes,
imaginario. alguien; comosi imposible
reales
como si fuera posible.
cálculos imposibles.
imaginarios,
sólidos.
por lomenos existe.
algo que no
raciones de esa naturaleza me dan vértigo. Son como un trozo de camino que va Dios sabe adónde. Pero lo que me parece inquietante es la fuerza que hay en esas opera ciones, y el hecho de que uno pueda llegar con seguridad al otro lado. Beineberg s onrió irónicamente. — Hablas ya cas i como nuestro catequista. (. .. ) Por lo demás, me interesan muy poco todas esas cosas. — Yo pensaba que, por el contrario, debían interesarte; por lo menos pensé inmediatamente en tí porque esto (si verdaderamente es tan inexplicable) viene a ser casi
unaconfirmación de tus creencias.
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— ¿Por qu é no iba a ser inexp licable? Considero muy posible que aquí los inventores de las matemáticas hayan dado un traspiés. Porque, en efecto, ¿por qué aquello que está más allá de nuestro entendimiento no podría permitirse gastarle precisam en te semejante bro m a al en tendim iento? Pero la cu estió n no me preocupa mucho, pues sé que todas esas cosas no conducen a nada. El mismo día Türless manifestó al profesor de matemáticas su deseo de ir a verle a su casa (...). Sentía aho ra un respeto com pletam ente nuevo por las m atem áti cas que, ha biéndole pa recido antes una disciplina muerta, de im proviso se le habían convertido en algo vivo. (...) A dvirtió que el profeso r llevaba un pa r de bastos calcetines blancos de lana y que, además, el borde de los pantalones estaba enneg recido por el betún de los boti nes. El pañuelo, en cam bio, era de un blanco resplandeciente y la corbata, si bien p er fectamente anudada, era de abigarrados colores, como los de una paleta de pintor — Su preocupación dem uestra seriedad. Realm ente..., pero no es tan se ncillo darle la explicación que usted desea. (...) No sé cóm o se imagina usted esas cosas; lo que e stá más allá de los estrictos límites del entendim iento es algo m uy especial. (...) Pero en lo tocante a las m atemáticas, (...) es absolutamente seguro q ue se trata de una cuestión sólo natural y matemática. (...) Además, no tenemos tiempo. Sepa usted que me doy cuenta de que, por ejemplo, esos valores numéricos imaginarios, que realmente no existen, son un hueso duro de pelar para cualquier estudiante joven. (...) Afo rtunadam en te sólo muy po co s sien ten verda dera curiosid ad por estas cosas; pero cuando viene uno, como usted hoy (aunque, como y a le dije, me h a com placido mucho), a pla ntear estas cu estiones, e ntonce s lo único que puedo decirle es: Qu erido amigo, aquí no cabe otra cosa que creer.”1 Menos arrebatado, más pragmático, no por ello el estudiante Brulard perse g u í a c o n m e n o r v e h e m e n c i a u n a r a z ó n v e r d ad e ra , u n a ra z ó n q u e q u e d a r á n o m e n o s frustrada: "Cuanto m ás despreciaba a mis maestros, M. Dupuy y M. C habert, más am aba las matemáticas. (...) A mi entender, la hipocresía era imposible en matemáticas y pensa ba, en mi sim plicid ad juvenil, que oc urría lo mismo con todas las cie ncias a las que ha bía oído decir que se aplicaban las matemáticas. Cuál no sería mi descon cierto cuando vi que nadie podía explicarme que menos por menos da más ( - x - = +). (Una de las bases fundam entales de la ciencia llamada ‘álge bra’). Había algo peor que no explicarme esta dificultad (que seguramente es expli cable, pues con duce a la verdad): me lo explicaban con razones evidentem ente poco cla ra s pa ra quienes me lo en señaban. M. Chab ert, acosado p or mí, se em barullaba, repetía su ‘lecció n’, precisam ente aquélla a la cual ponía yo objeciones, y acababa por desentenderse como diciendo: «Pero si es la costumbre; todo el mundo admite esta explicación. Euler y Lagrange, qu e creo que valían tanto com o usted, la han adm itido (...)».
1 R. Musil, Las tribulaciones del estudiante TOrless, S cix Ban al, Barcelona, 1985, pp. 108114. Las cursivas son nuestras. '
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(„.) Yo tenía a los quince años sensaciones vivas, pero era mucho más incapaz que cu alquier otro niño de juzgar a los hombres y de ad ivinar sus diversas comedias. (...) Recuerdo claramente que cuando yo hablaba a un ‘listo’ de mi dificultad con el ‘me nos por me no s’ se reía en mis narices; todos eran más o m enos com o PaulEm ile Teyssére y apren dían desmemoria. Les veía decir con frecu encia en la pizarra, al final de la dem ostraciones: «Es evidente, pues...» (...) Tardé mucho tiempo enconvencerme de que mi objeción sobre el - x - = + no podría penetrar en la cabeza de MI Chabert, de que M. Dupuy no contestaría nunca mas que con una sonrisa altanera, y de que los ‘listos’ a los que yo hacía preguntas se burlarían siempre de mí. Me v i reducido a lo que todavía me digo hoy: sin duda el ‘menos p or menos da más’ es cierto, puesto que empleando a cada momento esta regla en el cálculo, se llega a resultados verdaderos e indudables. Mi gran desg racia era esta figura:
C A
B
Supo ngam os que RP sea la línea que separa lo positivo de lo negativo: todo lo que está s obre esa línea es positivo, y todo lo que está debajo es negativo. ¿Cóm o, al tomar el cuadrado B tantas veces como hay en el cuadrado A, puedo llegar a hacer cam biar de lado el cuadrado C? Y, siguien do u na com paración torpe, que el acento soberanam ente grenob lense de M. Ch abe rt hacía todavía más torpe, supongam os que las cantidad es negativas son las deudas de un hombre. ¿Cómo multiplicando 10.000 francos de deudas por 500 francos ten drá este hom bre, o llegará a tener, una fortuna de 5.000.000 ? ¿Es que M. Dup uy y M. Chab ert son unos hipócritas como los curas que vienen a decir misa a casa de mi abuelo, y mis queridas matemáticas no son más que un engaño? No sabía cómo llegar a la verdad.”1
En estos pasajes se manifiestan algunas de las principales dificultades que acom pañan al tratamiento m atemático de la negatividad en O ccidente d urante casi veinticinco siglos. Pero también se manifiesta, con toda la explicitud que permite el discurso literario, cómo — y ello ha sido nu estro foco latente de atención, más que las dificultades en sí mismas— tales obstáculos actúan com o catalizadores en tom o a los que va precipitando todo un complejo de pre-supuestos, de simbo lismo inconsciente, de pre-conceptos latentes, de significaciones imaginarias, de cons-
1 Stendhal, tras.
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Vida de Henry Brulard, Alianza, Madrid, 1975, pp. 226 230. Las cursivas son nues -
tracciones textuales... que hace de esas dificultades un instrumento privilegiado mediante el que ir explorando las movedizas orillas donde nuestra cultura se detiene ante el océano d e lo que ella misma construye com o su propia impo sibili dad. Ni Ste ndhal ni M usil descollaro n por sus aportacio nes m ate m áticas, aunque el francés se interesara por la lógica a través de su lectura de los ‘ideólogos’ y el austríaco iniciara con su súbita pasión por las m atem áticas esa ma gnífica indaga ción de lo posible que es El hombre sin atributos, al margen de que también se licenciara en ingeniería tras abandonar, como Stendhal, la carrera militar. Pero el m atem ático profesional no es mucho menos ingenuo que nuestros dos aficionados cuando, como ellos, se enfrenta a situaciones paradójicas o carentes de una conceptualización inequívoca. En momentos así también él recurre a intuiciones extraídas de su sentido común, a las analogías que se le antojan m ás ilustrativas, a explotar las conn otaciones latentes en su lengua materna... Los continuos d esliza m ientos sem ánticos que, a p ropósito de la negatividad, ocurren en unos y otros se irán repitiendo , con significativas variantes, en los m ejores m atem áticos de las más diversas épocas. O posicione s com o ‘real/imag inario’ o ‘positivo/neg ativo’ tan pronto se refe rirán, en su búsqueda analógica de algún tipo de sentido, a objetos matemáticos tratados más o menos formalmente (‘cantidades reales / cantidades imaginarias’ o ‘núm eros po sitivos / núm eros negativos’, cua lquiera que sea el significado que tales concep tos puedan tener en un momento dado) com o a objetos de experiencia com ún desc ritos literariam ente (‘seres reales / seres im agin arios’ o ‘algo exis tente / algo inexistente’). Cuando no ocurre que la analogía con-funde ambos tipos de discurso, matemático y literario, y cada uno de los polos de cualquiera de los pares anteriores toma referentes pertenecientes a ámbitos heterogéneos de realidad (‘seres reales / números imaginarios’, ‘magnitudes positivas talgo inexis tente’, etc.). Beineberg, el ambiguo compañero de Torless, intenta tranquilizarle, al com ienzo del diálogo, asem ejando la pareja matem ática ‘valor real / resultado im a ginario’ con la oposición literaria ‘aquí-antes-alguien / como si’. La analogía es bien precis a. Al prim er té rm in o del p a r— ‘valo r real’— se le hace corre sponder no ya con un ob jeto m aterial sino, más aún, con una serie de partículas deícticas o presentativas — ‘aq uí’, ‘an tes’, ‘alguien ’— con el m arcado fin retórico de cargar con un efec to de realidad a los puramen te matem áticos ‘valores reales’. Frente a ellos, los ‘resultados imaginarios’ se asocian implícitamente con lo que se opone a toda posib ilid ad deíc tic a o de m ostración (deixis), indican do así su impo sible referencia em pírica; y, exp lícitame nte, se hacen correspo nder con con un ‘com o si’ ("com o si todavía pu diera acu dir a n osotros"), partícula que ma rca, por antonom asia, la ficcionalidad. Porque Henry Brulard también lo percibe así es por lo que está plenamente justific ada su atrib ució n de este tipo de ‘razones poco claras’ a ‘diversas com edia s’ que él vive com o ‘un eng año ’ en el corazón mism o de un discurso, el m atemático, del que esperaba le llevara derechamente a ‘la verdad’. El carácter ficticio
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m ediante el que se quiere hac er creíble y m ostrable la negatividad se extiende así al propio proceso de argum entación o demostración (también deixis para la tradi ción g riega), confiriend o al hacer matem ático en su totalidad los rasgos de un a obra de ficción, de una co me dia, en la que la necesidad que parecía seguirse de sus rigu rosas dem ostraciones se revela como un mero efecto retórico destinado a p ersuadir al lector oy en te1. Ese em peñ o en hacer razonable el discurso m atem ático es el que desliza en él toda un a serie de recursos literarios que le impiden a sum ir que frases del tipo *- x - = + ’ o ‘raíz cuadrada de menos uno’, al igual precisam ente que "las frases de que se compone el discurso literario, no tienen referente: se manifiestan como expresamente Acciónales y el problema de su «verdad» no tiene sentido"2. No es de extrañar que el ‘engaño’ de los ‘nú mero s im agin arios’ se acepte por pri mera vez en pleno auge manierista de los trompe-l’oeil, monstruosos grutescos y arquitecturas imposibles. En otras o casiones, la a nalogía entre la pareja ma temática y la literaria, no es limpia y ex terna, sino h íbrida y supuesta, lo que refuerza aún más el efecto del des lizam iento sem ántico. Cu ando Torless considera paradójico que "se pueden h acer cálculos reales con semejantes valores imaginarios" , el término ‘im agin ario’ tiene un preciso sentido ma temático previamente definido (‘aplicar a un número nega tivo la opreración raíz cuadrada’) mientras que el término ‘reales’ se usa como sinónim o de ‘efec tivo s’ o ‘posibles ’: cálculos que realmente pueden hacerse ( ‘cál culos rea les ’ no tiene otro sentido matem ático que el de ‘cálculo con núm eros rea les’, lo que no es aquí el caso). Los ‘valores imaginarios’ quedan así afectados de esa som bra de irrealidad qu e les confiere su oposición retórica (verosím il gracias a su oposic ión form al, en cierto sentido, a los ‘núm eros reales’) a lo qu e realmente puede calc ula rs e. Y, recíp ro cam ente , este efecto de irrealidad o com edia carg a a la realida d en la qu e se hace n los ‘cálculos reale s’ con ese atisbo de sospec ha que está en el origen del ‘vértigo’ del estudiante Torless. El mismo tipo de desplazamiento sem ántico como operación retórica tiene lugar en la decepcionante respu esta de su profesor de m ate m áticas: "Esos valores numéricos im agin arios, que realmente no existen...". O en el con suelo que poco antes él m ismo h abía intentado procurarse: "Un a med ida de longitud o de peso por lo menos son números reales"; ¿qué nueva determinación añade ese ‘por lo menos’ al ser de unos números reales que ya se suponen caba lme nte determinados? Se trata evidentemente de incrustrarles en esa sólida rea lidad d on de las cosas pesan y frente a la cual los ‘valores ima gin arios’ se toman ingrávidos y delicuescentes. Es precisam ente es a in-definición e in-derminación de lo que acabarán siendo — para ese asid ero dogm ático que es la te le olo gía en matemáticas— los ‘número s neg ativo s’ e ‘im ag inario s’ la que hace posible que sobre ellos vaya precipitand o el m agm a sem ántico inconsciente que subyace a cada modo de pensar. Las valoracio
1 Véase lo que apuntábamos, en la Introducción, sobre los análisis retóricos de los textos matemáticos. 2 O. Ducrot y T. Todorov (1972 : 301).
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nes de lo posible o imposible, lo real y lo ficticio, lo existente o lo inexistente, lo verdadero o lo engañoso... no sobrevuelan los carácteres individuales, los tiempos y las culturas, ajenas a sus determinaciones; po r el contrario, son estas d eterm ina ciones las que veremos revelarse con inusitada precisión al da r esas ‘razon es poco claras’ con que, cada una a su manera, intenta ceñir esa desconcertante y persis tente indeterminación. E n su forcejeceo p or hace r significar lo que o tros prefieren desp achar po r insignificante, los Diofanto, Cardano, Descartes, Le ibniz o D ’Alem bert no in currirán en m enos despla zam ie nto s sem ánticos que los ingenuos Bru la rd o Torless. Pero no po r ello puede decirse — como resuelve el amigo de éste y asu men acríticam ente tantos historiadores— que sean ‘los inventores de las m atem á ticas’ los que así dan un ‘traspiés’; son más bien los modos de p ensa r de sus cul turas respectivas los qu e tropieza n con ocasión de tales ‘inven tores’. En sus textos se desparraman, a la vista del observador atento, los diferentes idola que habían procura do m ante nerse ocultos, en ese esfuerz o de toda form ació n cultura l — y m atem ática— por presentarse en su naturalidad, com o mero trasunto de la natu raleza misma. El traspiés y el error son fuentes inapreciables de conocimiento, como bien apuntó Bachelard. Y esas ‘cantidades negativas* y ‘valores imaginarios’ que, para Tories, "de alguna manera son imposibles" resultan ser imposibles de distinta manera en unos m atemáticos y en otros, según el particular cerco que al ám bito de lo posib le y lo pen sable pon en sus respectivas creencias. ‘La cos tum bre ’ o ‘la evi dencia’ (Brulard) y ‘la confirmación de tus creencias’ (Torless) parecen ser deter minaciones más decisivas que las formales a la hora de aceptar o rechazar unas soluciones u otras, aunque también será contra ellas — en anticipación de las que serán posteriores costumb res, creencias y evidencias — como se irán construyendo las nuevas significaciones. La descripción que h ace M usil del joven profesor de matemá ticas de Torless no puede s imbo lizar m ejor el tipo de análisis de las matemáticas que aq uí — y tam bié n a propósito de la negatividad — nos hemos pro puesto. Esa m ate m átic a que, com o el tal profesor, se presenta en su m itad superior "perfectamente a nudada" y de un "blanco resplandeciente", es la m isma que en sus fundamen tos calza "bastos calcetines de lana" y tiene "el borde de los pantalones ennegrecido p or el betún de de los botines", em badurnad o por el hum us de latentes significaciones imaginarias. U na m atem ática que cuanto m ás se ofrece como "sólo natural" en sus credenciales de objetividad transhistórica, con más celo oculta que "querido amigo, aquí no cabe otra cosa que creer”. Ambas escenas se cierran con sendas remisiones a autoridades últimas en la materia, que resultan tan frustrantes para sus protagonistas como significativas para nosotros. El pro fesor del joven Torless le re m ite, en un desesperado inte nto por eludir el asunto, a "un céle bre libro de Kant (que) contiene un análisis del tema de nuestra conversación" a través de "las necesidades del pensar”. El chico no entend ió una palabra, pero de haberlo hecho en nada habría ayudad o a su com pren
sión de los ‘valores im aginarios’ la catalogación kantiana de la geo m etría euclídea entre las "necesidades del pensar" (es ese mod o de pensar euclídeo el que lleva a 275
Stendhal a intentar pensar los ‘números negativos’ según el modelo de la ‘desgra ciad a’ figura que antes reprodujim os). Y aún se habría sentido m ás descon certado si el Kant esgrimido por su profesor hubiera sido el Kant más adecuado, el del Ensayo para introducir enfilosofía el concepto de magnitud negativa, donde las razo ne s'po r las que dice desc artar el caso ‘0 - A’ habrían sumido al ávido estu dian te en nuevas perp lejidades : "ese caso es impos ible en el sentido filosófico, pues algo positivo nun ca pu ede ser sustraído de nada". El bach iller Brulard no pod ía ser más afortunado. En su consulta a los artícu los matemáticos de la Enciclopedia de Diderot y D’Alembert, que su padre y su abue lo tenían en casa , ob serva que "su tono de fatuidad,-~4a ausen cia d e c ulto a la verdad me chocaron m ucho, y adem ás entendí poco". M ás le valió. ¿C óm o hub iera podid o ente nder (en el artículo Négatif, que seguramente ojeó) que, para m ultipli ca r *—a ’ po r *—b ’, "estas c antida des - a y - b no se encu entran p reced idas del sign o — , sino que hay un error tá cito en la hipótesis del pro ble m a o de la opera ció n: si el problema hubiera estado bien enunciado, esas cantidades - a y - b deberían encon trarse ca da una con el signo +"? Para la razón ilustrada, "la enu nciación sim ple y natural del problem a debe ser, no multiplicar - a por - b, sino + a por + b, lo que da el producto + ab”. Todo el problema con la negatividad, que la episteme ilustrada zanjará de modo tan natural, parece cifra rse en que no se trata ba con la suficiente naturalidad. De cómo esa naturalidad es un constructo cultural y de cóm o sus determ inacione s han ido afectando a la — para unos tan 'natural como para otros anti-natural — m ate m ática es de lo que han querido dar ra zón estas páginas.
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