Universidade Universid ade Federal de Alagoas UFAL Centro de Tecnologia CTEC
Mestrado 2017-1 Professor: Eduardo Toledo de Lima Junior Ricardo Vital Barroso Lista de Exercícios 1
a) Caracterizar a amostra, inclusive graficamente;
Valor médio da amostra:
29575.60976
(1.1.1)
1506.947326
(1.1.2)
0.05095236711
(1.1.3)
6
(1.1.4)
Desvio padrão da amostra:
Coeficiente de Variação:
Cálculo do número de intervalos (Fórmula de Sturges):
Histograma de frequências relativas:
Estimativa de densidade de probabilidade:
Histograma cumulativo da amostra:
b) Tomando-se os modelos de distribuição Normal, Gumbel e Lognormal, verificar qual deles representa melhor a amostra, com base no teste de aderência de KolmogorovSmirnov. Deve-se implementar o teste e adotar nível de significância de 5%; Distribuição Normal
(1.2.1.1)
(1.2.1.2)
Distribuição Gumbel
1174.962010 28897.40328
(1.2.2.2)
(1.2.2.3)
e
(1.2.2.4)
Distribuição Lognormal
0.05091934641
(1.2.3.1)
10.29340892
(1.2.3.2)
(1.2.3.3)
(1.2.3.4)
PDF e CDF
Teste de aderência (Kolmogorov-Smirnov)
Distribuição Normal: 0.1032994199
(1.2.5.1)
0.1014548430
(1.2.5.2)
0.09314550844
(1.2.5.3)
Distribuição Gumbel:
Distribuição LogNormal:
O valor crítico para o Teste de Kolmogorov-Smirnov, adotando um nível de significância de 5%, de uma amostra com 41 observações da v.a. é: Dn = 0.2076 Sendo assim, todas as distribuições ajustam de maneira satisfatória os dados da amostra. A distribuição que garante melhor ajuste é a Distribuição LogNormal, que apresenta o menor valor no teste de aderência.
2. Sejam duas variáveis aleatórias A e B, com distribuições lognormal e Gamma, respectivamente, definidas como segue. A ; B:G( = 1, r = 1,25). Admitindo-se que são estatisticamente independentes, pede-se:
a) Construir e graficar as funções de densidade de probabilidade das 2 v.a.;
(2.1.1)
(2.1.2)
b) Construir e graficar a função densidade de probabilidade conjunta das v.a.;
(2.2.1)
A
0.1394709106
B
(2.3.1)
3. Sejam as combinações de ações definidas a seguir, com base na NBR-8681:2002. = F + F + F (combinação última normal) = F
+ F
+
F
(combinação quase permanente de serviço)
Admita-se que os valores característicos das ações permanentes F
e da ação variável
sejam descritos como variáveis aleatórias normais
estatisticamente independentes, dadas na tabela a seguir, e que os coeficientes de ponderação sejam determinísticos, com valores: = 1,35; = 1,30; = 1,50; = 0,3. Pede-se:
Coeficientes de Ponderação:
Média (kN/m):
Desvio Padrão (kN/m):
a) Calcular a média e a variância de
e
; 33.750
(3.1.1)
18.88856425
(3.1.2)
13.57
(3.1.3)
0.878996
(3.1.4)
b) Calcular a probabilidade de que F assuma valores maiores que 28 kN/m;
c) Calcular a correlação entre F e F
0.9070866300
(3.2.1)
3.905575
(3.3.1)
.
0.9584998712 (3.3.2) Quando a correlação entre duas v.a. é igual a 1, diz-se que há uma correlação positiva perfeita entre elas. Quando a correlação é nula, significa que não existe correlação linear entre as v.a.. Com o resultado obtido, é válido afirmar que as v.a. possuem forte correlação.
4. Seja a equação de resistência à pressão interna de um tubo de parede fina, conhecida como Equação de Barlow, dada por
, na qual
éa
tensão de escoamento do material, D e t representam o diâmetro externo e a espessura do tubo. Assumindo-se que as 3 variáveis são aleatórias (descritas na tabela a seguir), estimar o valor médio e a variância de , por expansão em série de Taylor de primeira ordem.
Truncando a equação resultante da expansão em série de Taylor na primeira ordem, podemos estimar o valor médio de
14348.82093
por:
(4.1)
E a variância é calculada por:
(4.2)
5. Calcular analiticamente a média e o desvio padrão de uma distribuição normal equivalente a uma distribuição lognormal, com parâmetros ponto
Uma distribuição normal equivalente a uma distribuição lognormal num ponto lognormal. Adota-se a distribuição normal p adrão.
Atribuindo um valor qualquer a ,
pode ser obtida igualando-se as funções PDF e CDF das distribuições normal e
e x :
Igualando as funções CDF e PDF: (z) = FLN(x ) x ) Aplica-se a inversa da função CDF da normal padrão em ambos os lados da equação apresentada anteriormente: z =
e , num
.
(FLN(x ))
z =
O desvio padrão é obtido a partir da relação de igualdade entre as funções PDF:
E a média é calculada a partir da própria definição da variável reduzida z :
6. Fazer um estudo de sensibilidade dos testes de Kolmogorov-Smirnov e Anderson-Darling na verificação de aderência de modelos do tipo Normal a diferentes tipos de amostras. Para tanto, deve-se gerar séries hipotéticas de números aleatórios Gaussianos, variando-se o tamanho da série e seu desvio padrão.
Adota-se um nível de significância de 5% para ambos os testes. Teste de Kolmogorov-Smirnov:
Teste de Anderson-Darling:
As séries serão geradas fixando-se a média e variando-se o tamanho da série e seu desvio padrão. Quanto maior o desvio padrão, maior a dispersão entre os pontos da amostra. Para uma boa distribuição de pontos mais dispersos, é n ecessária uma amostra de tamanho maior. Sendo assim, varia-se o desvio padrão em função do tamanho da série:
Amostra 1 (n = 25 ,
3.218875824
(6.1.1)
(6.1.2)
Kolmogorov-Smirnov
0.194075396993273808
(6.1.1.1)
0.2720000000
(6.1.1.2)
1.034367582
(6.1.2.1)
0.7264354864
(6.1.2.2)
Anderson-Darling
Conclusões: O teste de Kolmogorov-Smirnov indica que a distribuição normal ajusta de maneira satisfatória os dados da amostra. Já o teste de Anderson-Darling não aprova a distribuição para o ajuste dos dados. Amostra 2 (n = 50 ,
3.912023005
(6.2.1)
(6.2.2)
Kolmogorov-Smirnov
0.0911584307022658136
(6.2.1.1)
0.1923330444
(6.2.1.2)
0.7054275501
(6.2.2.1)
0.7391852416
(6.2.2.2)
Anderson-Darling
Conclusões: Ambos os testes de aderência utilizados (Kolmogorov-Smirnov e Anderson-Darling) indicam que os valores da amostra são bem ajustados para uma distribuição normal. Amostra 3 (n = 75 ,
4.317488114
(6.3.1)
(6.3.2)
Kolmogorov-Smirnov
0.112027394646388501
(6.3.1.1)
0.1570392733
(6.3.1.2)
2.056776676
(6.3.2.1)
0.7433162718
(6.3.2.2)
Anderson-Darling
Conclusões: O teste de Kolmogorov-Smirnov indica que a distribuição normal ajusta de maneira satisfatória os dados da amostra. Já o teste de Anderson-Darling não aprova a distribuição para o ajuste dos dados. Amostra 4 (n = 100 ,
4.605170186
(6.4.1)
(6.4.2)
Kolmogorov-Smirnov
0.0696818619966508290
(6.4.1.1)
0.1360000000
(6.4.1.2)
0.4532237141
(6.4.2.1)
0.7453594954
(6.4.2.2)
Anderson-Darling
Conclusões: Ambos os testes de aderência utilizados (Kolmogorov-Smirnov e Anderson-Darling) indicam que os valores da amostra são bem ajustados para uma distribuição normal. Amostra 5 (n = 150 ,
5.010635294
(6.5.1)
(6.5.2)
Kolmogorov-Smirnov
0.0574323267159541073
(6.5.1.1)
0.1110435350
(6.5.1.2)
0.7557504701
(6.5.2.1)
0.7473878579
(6.5.2.2)
Anderson-Darling
Análise dos resultados: O teste de Kolmogorov-Smirnov indica que a distribuição normal ajusta de maneira satisfatória os dados da amostra. Já o teste de Anderson-Darling não aprova a distribuição para o ajuste dos dados, embora os resultados tenham sido bem próximos. Conclusão Analisando os resultados obtidos nos testes de aderência para as 5 amostras, pode-se afirmar que o teste de aderência de Anderson-Darling é mais rigoroso quanto à qualidade do ajuste. Na realidade, a proposta do teste de Anderson-Darling é dar maior peso à análise da qualidade do ajuste nas caudas da distribuição.
Isto faz com que o teste seja muito interessante em determinados casos práticos, uma vez que os famosos testes de Kolmogorov-Smirnov e chi-quadrado não se preocupam efetivamente com as regiões de menor probabilidade de ocorrência (as caudas da distribuição).
