UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ PROGRAMA DE PÓ-GRADUAÇÃO EM MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA
INTRODUÇÃO São propostos seis exercícios nesta série, com exceção do último item do exercício 6, tdos os outros são resolvidos aplicando-se relações fundamentais da teoria da Mecânica da Fratura entre o fator de intensidade de tensão
K ,
tensão nominal
σ ,
tamanho de trinca L0 , fator de
calibração Y e tenacidade à fratura K IC , isto é: K =ICY σ
πL
0 sempre
e K = K IC na fratura
L0 ; W L0 W
considerar Y f
O exercício 1 é um problema direto de substituição numérica nas relações da Mecânica da Fratura. No final da questão você terá que verificar a susceptibilidade dos vários materiais na presença de trincas, quando o material é solicitado em tensões proporcionais à sua tensão de escoamento. Esta é uma situação muito comum na prática, pois muitos materiais são selecionados e utilizados, de tal forma que, operam op eram em tensões proporcionais proporcionais de seu limite de escoamento. O exercício 2 usa a Mecânica da Fratura para estimar a variação da resistência de dois materiais, onde a essa resistência é controlada pelo tamanho de uma fase fraca que é menos resistente na microestrutura. Para resolver a questão, você deve assumir que certos aspectos microestruturais são os mesmos em cada um dos dois materiais. Fazendo isto, a resposta será imediata. O exercício 3 pede para você usar a Mecânica da Fratura para investigar a causa de uma falha, isto é, a fratura de um invólucro de motor de foguete durante um ensaio hidrostático. Selecionada uma geometria apropriada para seu modelo de Mecânica da Fratura, a resposta segue imediatamente. A questão 4 não necessita de cálculo detalhados. Pergunta como usar as relações da Mecânica da Fratura para ajudá-lo a entender porque alguns animais quebram mais facilmente seus ossos que outros. Este exercício exercício mostra como certos fatos dependem dep endem do tamanho. O exercício 5 é similar em conceito ao exercício 4, mas pede para você calcular valores específicos de tamanhos de trincas e comentar co mentar sobre os seus significados. O exercício leva-o através da análise, passo a passo.
O exercício 6 é o mais complexo do grupo, mas é também o único que mais se aproxima ao uso diário da Mecânica da Fratura na prática de engenharia. Se você não tem tempo de atacá-lo nas aulas tutoriais, certifique-se de que entendeu a explicação da solução dada pelo professor. A primeira parte está relacionada a argumento vazar-antes-de-romper (leak-beforebreak). Você tem que usar a Mecânica da Fratura para predizer se uma tubulação se romperá se uma trinca atravessar a parede, ou se a trinca é suficientemente pequena para não se propagar. No último caso, a tubulação vazará e há oportunidade de se detectar o vazamento e repará-lo antes da fratura total. A segunda parte usa argumentos de energia para verificar se há uma trinca que se propaga poderá ser freada ou não.
LISTA DE EXERCÍCIO 1 1 – Uma chapa grande, digamos de 3m x 2m, apresenta uma trinca central passante, com orientação paralela ao seu lado mais curto. Uma tensão de tração uniaxial igual á metade da tensão de escoamento é aplicada paralelamente ao eixo maior. A espessura da placa é suficiente para permitir que se operem em condições de formação plana. Considere os quatro materiais seguintes:
MATERIAL
σ E
(MN/m2)
K IC
(MN/m3/2 )
* E (GN/m2)
1350 90 200 Aço NiCrMo 450 120 200 CMn 1500 140 200 18Ni aço maraging 500 25 70 Al-3Mg-7Zn (*) Esta coluna (para ser usada em uma questão mais tarde no curso) não é necessária aqui. Calcule: a) O comprimento de trinca necessário para causar fratura. b) A intensidade de tensão para um comprimento de trinca de 5mm. Recalcule um conjunto de resultados para o caso onde uma trinca central é substituída por uma trinca de aresta, através da espessura, na mesma orientação. 2 – Um ferro fundido cinzento de classe 20 apresenta um tamanho de veio de grafita de cerca de 9 vezes maior que o de um tipo da classe 60. A resistência à fratura do primeiro é de aproximadamente 140MPa. Qual seria uma predição razoável para a resistência de um
FoFo
da
classe 60, com base na Mecânica da Fratura, assumindo-se que os veios agem como trincas. 3 – Um invólucro de aço de um foguete, apresenta a forma de um tubo circular de 6,60cm de diâmetro (D) e de uma espessura de parede de 18,5mm (t). Sofreu uma fratura frágil durante um ensaio hidrostático a um pressão de 3,7MNm2. Examinando-se as superfícies de fratura encontrouse um defeito de tamanho 2,8mm com origem na superfície interna da parede e extendendo-se numa grande porção na direção longitudinal do cilindro. Assumindo-se que este defeito foi a causa da fratura, calcule a tenacidade à fratura do aço. (Você pode visualizar a parede como um chapa com uma trinca de aresta). A tensão circunferencial
num cilindro de parede fina sujeito a uma pressão
interna p pode ser encontrada equacionando-se a força pD na metade do cilindro à reação 2 t das paredes. Assim, σ C =
onde
σ C
é a tensão circunferencial
pD
2t
4 – Caracterize o tamanho de um animal (por exemplo, um rato, um homem ou um elefante) pelo seu comprimento típico, L. Com a densidade de animais á aproximadamente a mesma para todos, os seus pesos são proporcionais L3 . A tensão que atua no osso quando suporta o peso é a força por unidade de área do osso e o formato do osso não varia muito de animal para animal. a) Como a tensão varia com L ? b) Assuma que (como é verdade) a tenacidade à fratura do osso é aproximadamente independente do tamanho do animal. c) Escreva as relações entre tamanho crítico do defeito no osso de uma animal e seu tamanho. d) Comente como pode ser fácil para grandes animais fraturarem seus ossos. 5 – Foi A. A. Griffith quem primeiro percebeu que a resistência observada de objetos de vidro era fundamentalmente relacionada com a presença de pequenas trincas na superfície. Explore este argumento estimando o tamanho da trinca que é responsável pela resistência de barras de vidro comum (5-20mm de diâmetro). Siga os seguintes passos: a) Note que o limite de resistência de barras de vidro é de cerca de 100MPa b) Modele a geometria e a orientação do tipo de trinca que você acredita que seja típica no vidro. c) Selecione um valor para a tenacidade a fratura do vidro. d) Calcule o tamanho do defeito crítico e) Decida se este é razoável ou não. 6 – Quando os projetos para os sistemas de distribuição de gás de baixa pressão estavam sendo desenvolvidos, os engenheiros usaram a Mecânica da Fratura para assegurar, da maneira mais prática possível, que seriam imunes de falhar por propagação instável (catastrófica) da trinca. Há dois aspectos fundamentais a serem considerados. O primeiro, é a potencialidade de propagação instável de uma trinca que apenas perfure a parede da tubulação do gás (polietileno). Se ela é estável, a tubulação irá vazar devagar e os efeitos, embora possivelmente severos, serão localizados. Se, entretanto, ocorre uma propagação, pode acarretar um desprendimento maciço de gás numa grande área urbana, com conseqüências desastrosas. O segundo aspecto é mais importante. Se uma trinca instável começa a se mover, quanto ela poderia caminhar, devido à liberação de energia elástica armazenada na tubulação suportando a pressão da linha. É conhecido desde a metade da década de 60 que trincas podem caminhar por muitos quilômetros numa tubulação pressurizada. Explore estes fatos você mesmo, tentado responder às seguintes questões:
a) Estime o valor da pressão interna que seria necessária para iniciar potencialmente um crescimento de trinca instável em uma tubulação pressurizada. O tubo tem um diâmetro externo de 100mm e espessura de parede é de 10mm, é confeccionado com polietileno, com uma tenacidade à fratura de 2,1MPa.m 1/2. Para isto, é necessário assumir que uma trinca passante pode ser originada por crescimento de trinca por fadiga, a partir de uma defeito de fabricação na parede do material. Primeiro você deve modelar o tipo de trinca passante que simultaneamente é a mais provável e a mais perigosa. b) Comparando a energia elástica armazenada em um metro de tubo, decida se a fratura é ou não catastrófica uma vez iniciada, se a pressurização é originada por um gás. Suas conclusões ainda são válidas, se o fluído de pressurização for um líquido? Dados: A relação entre o fator de intensidade de tensão K e a taxa de alivio de energia G é dada por: G=
2
K
1 v E 2
v 0,33 para a maioria dos materiais de engenharia; E é o módulo de elasticidade.
A energia elástica armazenada por unidade de volume num material sob tensão deformação é igual a:
1 2 Você pode assumir que = / E para este cálculo. u=
e
LISTA DE EXERCÍCIO 2 1 – Um motor de foguete pode ser fabricado com tubos de parede fina usando-se os materiais abaixo: a) Aço de baixa liga de limite de escoamento de 1200MPa e tenacidade a fratura de 24KJm -2, medido em uma chapa de espessura apropriada, ou b) Aço maragin de limite de escoamento de 1800MPa e tenacidade à fratura de 24KJm-2. Para aplicação acima, as normas do projeto específica uma tensão de projeto de
p
e /1,5 onde e é o limite de escoamento (limite 0,2). Calcule o tamanho mínimo do defeito que pode ser tolerado em serviço para os dois
aços acima. Comente o resultado. (Módulo de Young pode ser adotado como 200GPa em ambos os casos). 2 - Se a tensão de fratura ( F ) para uma grande chapa de aço maragin contendo uma trinca central de comprimento 40mm é de 480MPa, calcular o
F
para uma chapa igual contendo uma trinca
central de comprimento 100mm.
3 – Mostre que a equação
K 1/ 2
2 r
é uma primeira aproximação da distribuição de tensão na
frente de uma trinca, mas é cerca de 1,5% imprecisa a uma distância de r 0,02 na frente da trinca. 4 – Mostre que se o termo dE / da por unidade de espessura (onde dE é a variação da energia quando a trinca se estende de uma quantidade - da ) é definido como a taxa de alívio de energia potencial G, é possível expressar
G
em termos do fator de intensidade de tensão,
relação G K 2 / E onde 1 em tensão plana e
1/ 2
5 – Mostre que a definição de K ap a
EG IC Orowan e Irwin, 2 v 1
1/ 2
K ,
através da
1 v 2 em deformação plana.
fornece compatibilidade entre a expressão de
1 v2 e o valor de G K . Que valores de tenacidade, 2
E
em termos de valores críticos de K, caracteriza o aço de baixa liga e maragin do exercício 1? Como
poderia este afetar os comentários feitos naquele exercício? 6 – Uma espessa placa de liga de Al de alta resistência de 200mm de largura e com uma trinca central de 80mm falhou a uma tensão aplicada de 100MPa. Qual é a tenacidade à fratura da liga? Que valor da tensão aplicada poderia produzir fratura para um mesmo comprimento de trinca em: a) corpo infinito b) placa de 120mm de largura?
LISTA DE EXERCÍCIO 3 1 – Uma corpo de prova padrão SE(B) da liga de Al referida no exercício 6 (da 2ª Lista de Exercícios) tem uma espessura,
W ,
de 100mm; a distância do carregamento
L = 2W e
a
profundidade total da trinca é de 53mm. Qual a carga necessária para produzir a fratura, assumindo que a condição linear-elástica é aplicada? Calcule a carga para o caso de se usar um corpo de prova C(T) nas mesmas condições acima. 2 – Assumiu-se, no exemplo acima, que a espessura do corpo de prova de 50mm foi suficiente para garantir a fratura na condição de deformação plana na liga de Al de alta resistência. a) Se o limite de escoamento desta liga for de 450MNm -2, seria a suposição acima correta? b) Qual é o nível mínimo do limite de escoamento de uma liga de mesma tenacidade que ainda daria um resultado de K IC válido para corpos de prova com as mesmas dimensões acima? 3 – Uma liga forjada de aço têm seu limite mínimo de escoamento especificado como 800MNm-2 e uma tenacidade a fraturam mínima garantida ( K IC 120MNm3 / 2 ). a) Calcule as dimensões mínimas de um corpo de prova, necessárias para que o ensaio seja válido. b) Estime o peso aproximado dos corpo de prova tipo SE(B) tipo C(T). c) Estime a capacidade da máquina, necessária para o ensaio. 4 – Se a relação entre a carga-deslocamento ( P u ) para um corpo sólido de espessura 3, contendo uma trinca de comprimento a, é dado por u PC , onde C é a flexibilidade (compliance) que é função de a . Mostre que a taxa de alívio de energia por unidade de espessura, G, é dada por: 2
P dC G= 2 B da
5 – Na calibração da flexibilidade de um corpo de prova tipo C(T) de uma liga de Al, foi observado que a carga de 100KN produzia um deslocamento entre pontos de aplicação da carga de 0,3000mm quando o comprimento da trinca era de 24,5mm e 0,3025mm quando o comprimento da trinca era de 25,5mm. A carga de fratura para um corpo de prova idêntico contendo uma trinca de 25,0mm foi de 158kN. Calcule o valor de G IC e o K IC da liga. Assuma v 0,3 e
2 E 70 GNm
B 25 mmpara os corpos de prova,
LISTA DE EXERCÍCIO 4
