Linee Influenza

Politecnico di Bari

Dipartimento di Ingegneria Civile, Ambientale, del Territorio, Edile e di Chimica

C.d.L. Magistrale in Ingegneria Civile Corso di

TEORIA e PROGETTO di PONTI Domenico RAFFAELE [email protected]

PARTE I : Generalità sui PONTI Lezione n.3 : Travi iperstatiche, Linee e Superfici di influenza

Politecnico di Bari Teoria e Progetto di PONTI Domenico RAFFAELE

A.A. 2014-2015

Un impalcato da ponte è essenzialmente costituito da: travate longitudinali travate trasversali solette che connettono le travate nelle due direzioni I carichi, che sono applicati sulle solette raggiungono gli elementi portanti (travi) con modalità direttamente correlate a forma e vincoli delle solette I carichi accidentali che interessano le strutture da Ponte hanno la caratteristica fondamentale di essere “MOBILI” e, come tali, definiscono un numero illimitato di combinazioni di carico. Per tutti i suddetti motivi, nell’ambito della progettazione strutturale dei Ponti, i primi strumenti che devono essere maneggiati con padronanza dai progettisti sono: Il calcolo delle travi Il calcolo delle solette Il calcolo delle Linee di Influenza In questa lezione richiameremo brevemente questi concetti, peraltro già trattati nei corsi di Tecnica delle Costruzioni Politecnico di Bari Teoria e Progetto di PONTI Domenico RAFFAELE

2

Richiami sul calcolo delle travi continue

Per la continuità della linea elastica deve risultare αc = βc MA

q

MB

=

q

+

α’A q*=M/EJ

TRAVI AUSILIARIE (MOHR)

MA

α’’A

Dipende dal carico

α’’’A

q*

+ A*1

+

MB

q*

+ A*3=MB L/6EJ

B*1 A*2=MA L/3EJ

Dipende da MB

Dipende da MA Politecnico di Bari Teoria e Progetto di PONTI Domenico RAFFAELE

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Richiami sul calcolo delle travi continue

N.B.: si assumono positivi i momenti che tendono le fibre inferiori

CB* CD*2

Posto

CD* CD*3

CD*1

CB*2

CB*3

CB*1

αc = β c

Campta C-D

Campta B-C

Moltiplicando per 6EJ Dipende dal carico


4

Il calcolo dei valori delle reazioni della trave ausiliaria 6A* e 6B* (termini noti dell'equazione), è facilitato dall'uso di appositi formulari


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Si assumono quali incognite iperstatiche gli n momenti sugli appoggi intermedi; per ognuno di tali appoggi si scrive un'equazione che coinvolge tre momenti (quello relativo al nodo interessato e quelli relativi ai nodi adiacenti), ottenendo così un sistema lineare di n equazioni in n incognite.

Nella prima equazione figurano solo due dei tre momenti essendo nullo il momento MA nell'estremo appoggiato della trave. Analogamente, nell'ultima equazione non è presente il momento ME


6

Il carico su una sola campata

lBC

q

A

B a

lCD

= α

D

C l

Campta C-D

αl α Campta B-C

2Mc x αl = -2Mc x l – q l3/4 Mc x (l+α αl) = – q l3/4


Mc = -

q l2 8

x

(1+α α)

Mc =-

q l2 Per α=0

8

7

Risolvere la trave continua di figura

Esercizio n. 1

(3/4)

B

p

l

l

l/4

C

2l

D

P(3/4)l⋅⋅(1/4)l l

(l+(3/4)l)

6 B*c = (21/64) pl2

2Mc x 2l = -2Mc x l – (21/64) p l2 6Mc x l = – (21/64) p l2

Mc = – (7/128) p l

Mc = – 0.0547 p l Mc ≈ – 1/18 p l


8

Risolvere la trave continua di figura

Esercizio n. 2 l/2 q

A

l

B

l/2

l

C

D

l

CD


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Il calcolo del momento massimo di campata

q MB

MA qL/2

qL/2

L

MA/L

MA/L

MB/L

MB/L

RA RB

x0

L-x0

RA xo

=

RB L-xo

xo =

RA RA+RB

MB MA Mmax Politecnico di Bari Teoria e Progetto di PONTI Domenico RAFFAELE

Mmax = RA∙xo – qL2/2

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L

Richiami sul calcolo delle PIASTRE Nelle condizioni più generali si ricorre alla MODELLAZIONE AD ELEMENTI FINITI 3 componenti di Spostamento

In generale 6 incognite/nodo

3 componenti di Rotazione

In via approssimativa nei graticci 3 incognite/nodo: • Spostamento verticale : Z • Rotazione attorno a X : θX • Rotazione attorno a Y :

θy

Tratterete in altri corsi i criteri di scelta della mesh più opportuna del grigliato in funzione della configurazione dell’impalcato. Di seguito analizzeremo invece la semplice situazione di piastre massicce a lati ortogonali con lx/ly>2 che possono essere trattati in maniera approssimata. Politecnico di Bari Teoria e Progetto di PONTI Domenico RAFFAELE

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Le PIASTRE MASSICCE a LATI ORTOGONALI Le azioni dei carichi mobili sui ponti sono in genere azioni distribuite su superfici ridotte rispetto alle superfici complessive delle piastre. Quando tali piastre risultano sufficientemente allungate può essere sufficiente ricondurre il calcolo della piastra al calcolo di una TRAVE EQUIVALENTE Considerati gli usuali rapporti fra le dimensioni delle piastre e le impronte di carico, quando il rapporto Ly/Lx>2, la piastra può essere trattata come una piastra con Ly=∞

Ly

Lx

Con carico uniforme su tutto Lx la deformata della trave equivalente larga B è cilindrica

B

Ly=∞

Con carico parziale, la deformata della trave equivalente larga B ha doppia curvatura

Quando si utilizza un calcolo a trave equivalente, nella soletta si trascurano i Momenti Secondari. Nella direzione ortogonale a quella della trave equivalente prescelta è opportuno considerare un valore forfettario di momento pari ad una certa percentuale del momento Principale. Politecnico di Bari Teoria e Progetto di PONTI Domenico RAFFAELE

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a

Individuazione del campo di piastra interessata dal carici Impronta del carico e sua ripartizione a = a0 + 2S1 + S b = b0 + 2S1 + S a0,b0 = impronta reale S1 = spessore pavimentazione S = spessore soletta b0

S1 S/2 S/2 Politecnico di Bari Teoria e Progetto di PONTI Domenico RAFFAELE

b=b0+2S1+S

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Calcolo a trave di lunghezza equivalente

Se ly/lx>2 si può supporre ly = (traversi lontani)

8

b

Nel caso di carico parziale esteso su tutto Lx

B

In via approssimata si trascura la collaborazione del campo di piastra non caricato

Nel caso di carico parziale (axb) lx/2 b lx/2

In via approssimata si può effettuare un calcolo a trave di larghezza equivalente pari a : (Cioè diffondendo il carico a 26°.50 verso le travi)

In entrambi i casi esistono anche momenti My < Mx. Si può considerare My ≈ 25%⋅Mx Politecnico di Bari Teoria e Progetto di PONTI Domenico RAFFAELE

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Il caso dello sbalzo

Se ly/lx>2 si può supporre ly = (traversi lontani)

8

c

Nel caso di piastra a sbalzo il carico può essere ripartito a 45°

B≈2a

b

2a

con carico puntuale, il momento per unità di lunghezza risulta: x

s’

P

Si è constatato che questa relazione è sufficientemente accettabile per sbalzi a spessore costante. Se s cresce verso l’incastro anche mx cresce.

a

con spessore crescente si assume:

s GIUNTO

TRAVE

B/2


N.B.: in prossimità dei giunti si può disporre solo di B/2

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LINEE D’INFLUENZA

IL PROBLEMA

Le strutture da ponte sono sollecitate da carichi accidentali “MOBILI” i quali definiscono un numero illimitato di combinazioni di carico.

Per le verifiche è necessario individuare le condizioni in cui risulta essere massimo o minimo, in una DETERMINATA SEZIONE, un determinato effetto (caratteristica della soll., spostamento, deformazione …) Lo strumento che permette tale individuazione prende il nome di “LINEA D’INFLUENZA” Politecnico di Bari Teoria e Progetto di PONTI Domenico RAFFAELE

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1

DEFINIZIONE di LINEA di INFLUENZA

È quel diagramma che con le sue ordinate lette in corrispondenza della generica posizione della CAUSA fornisce il valore dell’EFFETTO ricercato nella SEZIONE

P = azione viaggiante (CAUSA) S = SEZIONE di posizione G = EFFETTO in S Il valore di G sarà in generale funzione di 3 variabili: FUNZIONE DI INFLUENZA

la posizione dell’azione applicata la posizione della sezione considerata


Intensità dell’azione applicata

N.B.:

essendoci proporzionalità diretta tra P e G, si assume P=1.

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Se si assume quale variabile la posizione della sezione in cui misurare l’EFFETTO

Se si assume quale variabile la posizione della CAUSA

DIAGRAMMA DI STATO

LINEA DI INFLUENZA

- Caratteristica della sollecitazioni - Linea elastica

diagramma che con la sua ordinata η(x) letta in corrispondenza della forza indica l’effetto nella sezione fissata al variare della posizione del carico.

variabile

fissa

fissa

variabile

P⋅⋅(L-xs)


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2

UNITÀ DI MISURA

Per come sono definite le L.d.i. esse hanno le dimensioni

[grandezza che descrivono / grandezza

Nel caso di carico viaggiante

forza viaggiante]

P [F]:

L.d.i. M L.d.i. N, T L.d.i. η


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3

USO della LINEA di INFLUENZA

La conoscenza delle L.d.I. consente di individuare la posizione dei carichi mobili che producono gli effetti massimi e minimi nella sezione considerata

A

CARICO CONCENTRATO

L’effetto massimo si ottiene posizionando il carico nella posizione in cui la linea d’influenza ha valore massimo/minimo

A B S


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B

C

TRENO DI CARICHI CONCENTRATI

CARICO SEGMENTABILE


L’effetto massimo si ottiene per tentativi successivi.

Condizioni di carico che rendono massimo e minimo l’effetto nella sezione S

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4

TRACCIAMENTO della LINEA di INFLUENZA

Il pratico tracciamento della linea di influenza può essere ottenuto applicando due procedure alternative: metodo DIRETTO e metodo INDIRETTO

METODO DIRETTO Consiste nel costruire le linee d’influenza per punti, calcolando la grandezza G per diverse posizione del carico.


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METODO DIRETTO L.I. Reazioni Vincolari

L.I. Taglio nella sez. S

l.d.i. RB

l.d.i. RA


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METODO DIRETTO

l.d.i. -RA•xs

l.d.i. -RB•x’s

L.I. Momento in S

L.I. Taglio in S

L.I. Momento in S


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METODO DIRETTO

L.I. Reazione in B

L.I. Reazione in A

L.I. Momento in A


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METODO INDIRETTO Deriva dal: TEOREMA di BETTI Generalizzato Sistema (1)

Enti Sollecitanti

Forze, Distorsioni Sistema (2)

Sistema (1)

Effetti

Spostamenti, Caratt. Soll. Sistema (2)

Assegnati due sistemi, risultano uguali i LAVORI MUTUI che gli enti forza dell’uno compiono per gli enti spostamento dell’altro. Politecnico di Bari Teoria e Progetto di PONTI Domenico RAFFAELE

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METODO INDIRETTO Deriva dal: TEOREMA di BETTI Generalizzato

Forze e distorsioni

Forze e distorsioni

Solo Forze Solo Distorsioni


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(i)

∆i(1)

TEOREMA di BETTI Generalizzato Fi(1) Cj(1) δj(1) Fj(2)

Ci(2)

(j)

∆j(2)

δi(2)

=1

=1

Forze

ente viaggiante

linea d’influenza

F(1)=1

C(1)

F(1)=1

δ(1)

∆(1)=1

C(1)

∆(1)=1

δ(1)

=1

=1

distorsione

=1

=1 Politecnico di Bari La linea d’influenza di un effetto in S per un ente viaggiante (causa), coincide con il diagramma di Teoria e Progetto di PONTI stato dell’ente duale di quello che viaggia, provocato dall’ente duale dell’effetto cercato Domenico RAFFAELE

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L.I. delle Caratt. della Sollecitazione ente viaggiante

F(1)=1 =1

=1

linea d’influenza

C(1)

=1

Le L.I. di M,N,T in una generica sezione S si ottengono dalla deformata che risulta tagliando la struttura in S ed applicando due sistemi di forze uguali e contrari tali da produrre una distorsione unitaria duale alla caratt. Della soll. Cercata e spostamenti relativi nulli rispetto alle altre due

Le L.I. delle C.S. delle strutture ISOSTATICHE sono sempre RETTILINEE (Infatti dopo il taglio le singole parti risultano LABILI)

1


29

Le L.I. delle C.S. delle strutture IPERSTATICHE sono invece sempre CURVILINEE

1


30

Le L.I. delle C.S. TRAVI CONTINUE (sempre CURVILINEE)

S


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L.I. degli Spostamenti ente viaggiante

F(1)=1

linea d’influenza

δ(1)

=1 Le L.I. degli Spostamenti verticali della generica sezione S si ottiene ponendo un carico verticale unitario in S e leggendo gli abbassamenti verticali sulla corrispondente deformata prodotta. In maniera analoga:

Le L.I. delle rotazioni della generica sezione S si ottiene ponendo una coppia unitario in S e leggendo gli abbassamenti verticali sulla corrispondente deformata prodotta.

N.B. Le L.I. delle componenti di spostamento sono, in genere, sempre curvilinee anche per le strutture isostatiche. Politecnico di Bari Teoria e Progetto di PONTI Domenico RAFFAELE

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L.I. con l’Elaboratore 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Modellazione della struttura Scegliere la sezione e la sollecitazione per cui si vuole calcolare la L.I. Ricavare la struttura ausiliaria mediante la sconnessione corrispondente Eseguire analisi elastica Calcolare il coeff. Correttivo Valutare lo spostamento che equivale alla L.I. ricercata

A, J, E L.I. Taglio nella generica sezione S


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L.I. con l’Elaboratore

A, J, E

L.I. Momento nella generica sezione S


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L.I. dei Punti a Terra


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Presenza di più carichi

L.I. MS nella sezione S

Più Carichi PUNTUALI

Se si sposta di dx il carico si ha:

Carichi DISTRIBUITI

dΩ Ω=η η(x1) dx - η(x2) dx Dovendosi avere un massimo:

dΩ Ω/dx=0

η(x1) = η(x2)

Ω

La posizione cercata è quella che rende le ordinate della L.I. uguali alle estremità Politecnico di Bari Teoria e Progetto di PONTI Domenico RAFFAELE

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Diagramma dei MASSIMI e MINIMI L.d.i. MS Condizione di MASSIMO nella sezione S

L.d.i. MA Condizione di MASSIMO nella sezione A

L.d.i. MS1 Condizione di MASSIMO nella sezione S1 Politecnico di Bari Teoria e Progetto di PONTI Domenico RAFFAELE

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Esercizio n. 3

Si determinai la L.I. dello spostamento della sez. A della trave in figura, per effetto di una forza viaggiante.

E =30000 MPa J= 200ˆ4 mm4 L= 6000 mm

Il valore dello spostamento nella sezione A provocato dalla forza F=1 è uguale allo spostamento della sezione nella quale agisce la forza F per effetto di una forza unitaria applicata in corrispondenza della sezione A.

min max

Linea d’influenza dello spostamento di una trave continua per forza unitaria viaggiante Per ottenere il massimo valore dello spostamento in A, la forza viaggiante deve assumere la posizione z = 2L.


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Esercizio n. 4

Per la trave considerata nell’esercizio precedente si determini la L.I. del momento flettente M nella sezione A per effetto della forza unitaria viaggiante F=1.

il valore del Momento Flettente nella sezione A provocato dalla forza unitaria F è uguale allo spostamento della sezione nella quale agisce la forza F per effetto di una distorsione angolare Δϕ = 1 applicata in corrispondenza della sezione A. min

L

A

L/2

L/2

max

Per ottenere il massimo valore del Momento flettente in A, la forza viaggiante deve assumere la posizione z=(3/2)L. Politecnico di Bari Teoria e Progetto di PONTI Domenico RAFFAELE

∆φ=1

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Estensione nello spazio delle linee di influenza SUPERFICI DI INFLUENZA Superficie che fornisce la legge di variazione di una grandezza in un punto al variare della posizione di un carico unitario mobile sulla piastra.

Esistono S.I. per caratteristiche di deform. e sollecitazione; esse vengono tracciate per curve di livello


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CASI PIÙ RILEVANTI PER I QUALI SONO DISPONIBILI LE SUPERFICI DI INFLUENZA

Sono tutte tracciate in campo elastico-lineare, quindi in validità del principio di sovrapposizione Politecnico di Bari Teoria e Progetto di PONTI Domenico RAFFAELE

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SUPERF. di INFLUENZA Piastra incastrata

Momento massimo nel centro della campata

Direz. Trasversale

Direz. Longitudinale Momento massimo all’incastro

Direz. Trasversale Politecnico di Bari Teoria e Progetto di PONTI Domenico RAFFAELE

Direz. Longitudinale 42

Definita G (xo,yo) la grandezza di riferimento risulta: S.I. Mlongit nel centro campata

Per diversi carichi concentrati

Effetto in xo,yo di un carico unitario in xi,yi

Per un carico lineare p (lungo “s”)

s nel caso di carico uniformemente distribuito (p=Kost) :

Area intercettata da un piano (o cilindro) passante per “s” sulla superficie di influenza Politecnico di Bari Teoria e Progetto di PONTI Domenico RAFFAELE

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Per un carico ripartito su un’area A

nel caso di carico uniformemente distribuito (p=Kost) :

Volume della superficie di influenza intercettata da un cilindro avente per base l’impronta del carico


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L’UTILIZZAZIONE PRATICA DELLE SUPERFICI DI INFLUENZA

è legata alla invarianza della superficie per piastre con lo stesso rapporto dei lati

1

Si individua il rapporto l0x/l0y=lx/ly relativo alla piastra di riferimento di cui si possiedono i relativi abachi

2

Si individua il rapporto di similitudine K=ly/l0y= lx/l0x fra la dimensione della piastra reale e quella di riferimento

3

Si riduce il carico secondo il rapporto di similitudine K (So=S/K per carico lineare e Ao=A/k2 per carico di superficie)

4

Si valutano le grandezze G0 nella piastra di riferimento

5

Si valutano le grandezze G corrispondenti nella piastra reale

G = G0

per carichi concentrati

G = K G0 per carichi lineari G = K2 G0 per carichi di superficie


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Linee Influenza

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