THE LIMIT OF TRAIAN LALESCU ’ SEQUENCE S EQUENCE LIMITA ŞIRULUI ŞIRULUI TRAIAN LALESCU
PROF.DARIE GABRIEL C.A.I.A. „Vasile Adamachi”
ABSTRACT
If we want to have a sustainable development we must know and know well the activity of our predecessors.This article speaks about a romanian mathematician Traian Lalescu and the limit of Traian Lalescu’ sequence. REZUMAT
Pentru o dezvoltare durabilă e obligatoriu să ne cunoaştem foarte bine predecesorii şi activitatea lor. Acest articol vorbeşte despre matematicianul român Tr aian aian Lalescu şi limita şirulu i Traian Lalescu.
INTRODUCERE
Traian Lalescu (1882-1929) a fost un matematician de o originalitate deosebit ă si autorul unor lucrări ce au deschis drumuri noi în literatura de specialitate. Teza de doctorat sus ţinută de Traian Lalescu, la Sorbona, despre ecuaţia lui Voltera, constituie prima contribuție românească importantă în domeniul ecuațiilor integrale. Tot la Paris a ob ținut și diploma de inginer la Școala Superioară de Electricitate. Traian Lalescu elaborează o monografie importantă pe plan mondial asupra ecuațiilor integrale : „Introduction a la theorie des equations integrales”. Între 1909-1929 a predat la Facultatea de ştiinţe din Bucureşti, predând cursuri de analiză matematică, mecanică raţională, algebră superioară, teoria numerelor.
Traian Lalescu a avut un rol decisiv în întemeierea Institutului Politehnic din Timișoara al cărui prim rector a fost. A fost ales membru post-mortem al Academiei Române în anul 1991.
ŞIRUL TRAIAN LALESCU
Numim şir Traian Lalescu şirul (L ) n
1.
lim n
L
1
n
, L = 1 (n 1)! -
2
!.
n
n
n
n
n
- Utilizarea inegalităţii mediilor
=
e
Considerăm şirul e =(1+1/n) , n 1 . Se ştie că lim e = lim n/ n
n
n
n
n
n
! =e.
n
Vom aplica inegalitatea dintre media aritmeti că şi cea geometrică pentru următoarele n+1 numere: n! /n , n! /n, ..., n! /n, 1/ e . n
n
n
n
Obţinem:
n
!
n
! +1/ e (n+1)
n
n
n
1
=
e
n
n
n
1 (n
1)! , n 2 .
n
Această relaţie conduce la L = 1 (n 1)! -
! 1/ e =a (1)
n
n
n
n
n
n
Vom aplica inegalitatea dintre media aritmetică şi cea geometrică pentru următoarele n+1 numere: n/
2
n /
n
! + e (n+1)
n
n
1
n
n
n
! , n/
n
e
=
n
n
n
!
n
n
1 (n
(
1)! -
n
1)!
1 n
n
! , e . Obţinem:
n
( n 1) 2 n
n
Atunci L =
! , ..., n/
n
!
n
. Deci
n
Din (1) si (2) obţinem b = n
n
Deoarece lim a = lim b = n
n
n
1
n
2
!e
e
n
n
e
2
n
n n
n n
(n!)
n n
n
!
n
(n!)
e
n
n
1 e
! 1
n
n
n
n
n
n
n
2
L 1/ e =a . n
n
!
n
=b (2)
n
!
e
n
n
n
n
n
2
!
n
2
!
n
n
Este rapid că lim b = lim
n
e
n
1)!
atunci evident că lim L =
2n 1
n
!e
n
n
n
1 (n
n
( 2n 1)
(2n 1)
n
(n 1) 2
1
n
e
2
n! n = 1 . e
.
n
.
2.
lim n
L
n
=
1
-Calculul limitei diferenţei cu ajutorul limitei raportului
e
√ .Se arată că lim (criteriul Cauchy-D’Alembert). Atunci e evident că lim ( ) . Deci
Notă m
n
n
= Calculăm Am folosit limita lim . În concluzie
.
n
BIBLIOGRAFIE
1. Lalescu, S.E. , 2007 – Traian Lalescu-un nume peste ani, Editura Curtea Veche, 2. 3.
4. 5.
Bucureşti Aramă, L. , 1978 – Probleme de calcul diferenţial şi integral , EdituraTehnică, Bucureşti Bătineţu-Giurgiu, D.M. - O metodă elementară de determinare a limitei şirului lui Traian Lalescu , G.M. 3/1989 Bătineţu-Giurgiu, D.M. - Şiruri Lalescu, R.M.T. 1,2/1989 Bătineţu-Giurgiu, D.M. - Asupra unei note din revista “Recreaţii matematice”, RecMat 1/2008
