LIBRO ANALISIS ESTRUCTURAL.doc

ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

ING. F. GODIÑO POMA

CAPITULO I CONCEPTOS Y ESTRUCTURAL.

PRINCIPIOS

DEL

ANÁLISIS

1. CONCEPTOS ANALISIS ESTRUCTURAL Rama de las ciencias físicas que tiene que ver con el comportamiento físico de las estructuras, bajo determinadas condiciones de diseño (cargas ó solicitaciones externas). ESTRUCTURA Se define como sistema que soporta cargas y solicitaciones del medio ambiente como incremento de temperaturas. Una estructura se define por su geometría y por las propiedades físicas E, A, I; que representan el Modulo de Elasticidad, área, Momentos de Inercia. COMPORTAMIENTO ESTRUCTURAL Se entiende como su tendencia a deformarse, vibrar, pandearse o fluir dependiendo de las condiciones a que estén sometidas. INGENIERIA ESTRUCTURAL La ingeniería Estructural trata principalmente el Análisis Estructural, el análisis de esfuerzos y el

TEORIA Y APLICACION

2



diseño estructural. Estos temas están interrelacionados, pero se estudian independientemente por ser distintos, su secuencia es la siguiente. CARGAS EXTERNAS

ESTRUCTURA

ANÁLISIS ESTRUCTURAL

ANÁLISIS ESFUERZOS

MODIFICACION

DISEÑO ESTRUCTURAL

(Fig. 1.0) En la Fig. 1.0 se observa que el objetivo es diseñar una estructura y el análisis estructural es una de las herramientas para alcanzar el fin. La participación de cada componente que integra la secuencia es mandatoria ya que el análisis estructural se basa en los principios de la estática, el análisis de esfuerzos se basa en la resistencia de materiales y la mecánica de los materiales complementada con su teoría de elasticidad. El diseño estructural es aquel que asegura que los esfuerzos no excedan los límites permitidos (fluencia), para que no ocurra esto se modifica la estructura y se reinicia el ciclo de la figura 1.0 hasta lograr un diseño optimo es decir, verificando que los esfuerzos limites permitidos sean mayores que los esfuerzos actuantes en la estructura. 2. CLASIFICACION DE ESTRUCTURAS Una estructura esta conectada por elementos interconectados, los cuales se consideran en una, dos o tres dimensiones. En forma local un elemento siempre tiene tres dimensiones que son: Largo, Ancho

TEORIA Y APLICACION

3



y Espesor, pero como el ancho y el espesor son pequeños en comparación con su longitud como ocurre en estructuras reales, se puede considerar dichos elementos como unidimensionales. Las estructuras muy independiente de ser consideradas de una, dos o tres dimensiones se clasifican en: 1.

ESTRUTURAS DE BARRAS O TIPO ESQUELETO  CERCHAS.- Los elementos se unen entre si por articulaciones sin rozamiento y las cargas se aplican a los nudos (armaduras 01 dimensión).  SISTEMAS PLANOS.- Los elementos están unidos entre si por nudos rígidos lo mismo que por articulaciones sin rozamiento y las cargas se aplican tanto en nudos como en los elementos (pórticos 01 dimensión).  RETÍCULADOS.- Son sistemas planos que están sujetos a cargas en diferentes planos (la estructura y las cargas se encuentran en diferente plano) por lo que sus elementos están sujetos a torsión como a flexión. (Puentes, Losas en edificios 02 Dimensiones).  PORTICOS MASIVOS O TRIDIMENSIONALES.- La cargas a estas estructuras están aplicadas en cualquier punto y en cualquier dirección y

TEORIA Y APLICACION

4



los elementos pueden estar unidos entre si en cualquier forma. 2.- ESTRUCTURAS LAMINADAS Por lo general se consideran a todas las placas, bóvedas, que tienen espesor y su análisis es bidimensional. 3.- ESTRUCTURAS SOLIDAS Se consideran a las estructuras tomadas como un sólido, como represas, cimentaciones. Muros, etc. Su análisis es por lo general de forma tridimensional. 3. PRINCIPIOS DEL ANÁLISIS ESTRUCTURAL EVOLICION HISTORICA a ERA DE LOS GRANDES MAESTROS - 1564 – 1642 Galileo Galilei su libro “dos nuevas ciencias” donde describe la teoría de la viga en cantilever. b ERA DE LOS GRANDES MATEMÁTICOS - 1635 – 1703 Hooke (ley de esfuerzo deformación) - 1667 – 1748 Johann Bernoulli (Ecuación de las Barras Vibrantes) - 1700 – 1782 Daniel Bernoulli (Ecuación de las Barras Vibrantes) - 1707 – 1783 Euler (Pandeo de Columnas) - 1736 – 1813 La Grange (Ecuación de flexión de placas).

TEORIA Y APLICACION

5



Todos estos matemáticos establecieron los principios fundamentales de los conceptos de energía, la relación entre los esfuerzos y deformaciones, las ecuaciones diferenciales de deformaciones y sus soluciones, los cuales contribuyeron a la teoría de las estructuras. c

ERA DE LOS GRANDES INGENIEROS (Edad de Apogeo de la ingeniería Estructural) - 1785 – 1836 Navier - 1797 – 1886 Saint – Venant - 1799 – 1864 Clapeyron - 1801 – 1892 Airy - 1831 – 1879 Maxvell - 1847 – 1884 Castiliano - 1835 – 1918 Mohr - 1851 – 1925 Muller – Bresiau Estos ingenieros dieron acertado uso a lo logrado por los matemáticos para la solución de los problemas estructurales. Sus descubrimientos y teoremas fueron la base para el desarrollo de las teorías de las estructuras en la era moderna y el desarrollo de las resistencia de los materiales.

d ERA MODERNA Se desarrolla desde inicios del siglo XX hasta 1945 (Segunda Guerra mundial). CROSS Y KANI Introdujeron el método de la flexión de la pendiente, Distribución de Momentos, hacen hipótesis que simplificaron el cálculo, obteniendo soluciones con aproximaciones a problemas estructurales complejos.

TEORIA Y APLICACION

6



e ERA CONTEMPORÁNEA Hacia la mitad del siglo XX se desarrollaron poderosos equipos de cálculo, tales como las computadoras. - 1947 En ENIAC aparece la primera computadora. - 1952 se establece en forma matricial métodos de las fuerzas. - 1953 Método de los desplazamientos. - 1965 – 1968 Gere & Neaver. Métodos de flexibilidad y rigidez con ayuda de computadoras. - 1970 Clough, Zienkiewicz. Métodos Matriciales a elementos finitos. - 1973 Bathe – Wilson . Universidad de California Berkeley – SAP (programa de estructuras por elementos finitos) - 1974 Bathe- Wilson Stan Análisis de Estructuras. - 1992 Bathe – Wilson SAP 90 Universisd California Berkeley. Análisis de Estructuras por elementos finitos. - 1997 Bathe – Wilson SAP 2000 Análisis de estructuras por elementos finitos.

TEORIA Y APLICACION

7



CAPITULO II METODO DE LA RIGIDEZ (Método del desplazamiento)

INTRODUCCIÓN Este método es aplicable generalmente a todos los tipos de estructura, incluyendo aquellos formados por vigas, columnas, placas, cascarones y otros elementos estructurales. En este libro solo se analisaran estructuras reticulares, ya que estos son los mas comunes en la práctica de la ingeniería y proporcionan buenos ejemplos con los que ilustrare este método. Este método involucra formulaciones matemáticas que se hacen mediante el álgebra matricial, lo que permite una generalización inmediata a estructuras muy complicadas, siendo esta una ventaja en la notación matricial. También el uso de matrices plantea el problema en una forma ideal para programación en calculadoras, HP, computadoras, etc., este hecho representa probablemente la primera motivación para utilizar el método de la rigidez. CONSIDERACIONES BASICAS En este método las incógnitas son los desplazamientos de los nudos de la estructura, por lo que el número de las incógnitas que debe calcularse es igual al grado de indeterminación cinemática. Este método involucra el uso extensivo de acciones y desplazamientos en miembros

TEORIA Y APLICACION

8



con extremos empotrados por lo que se hará uso de la siguiente tabla 1.0 A

B

R

R l R = E A (Δ) l

(1) B

MB Δ

A MA

R

R l

MA = MB = 6 E I ( Δ ) l²

R = 12 E I (Δ) l³

(2)

θ A

B

MB

MA R

R l

MA = 2 E I (θ) l

MB = 4 E I (θ) l R = 6 E I (θ) l²

T TEORIA Y APLICACION

A

(3) B

Φ

T 9



l T = G j (Φ) l G = Modulo de Corte l = Constante de torsión

(4)

La tabla 1.0 enumera formulas para acciones de empotramiento producida por desplazamientos en uno de los extremos del miembro. Los casos 1 y 2 son para traslaciones axial y lateral en el extremo b del miembro a través de una pequeña distancia “A” mientras que los casos 3 y 4 son para rotaciones. La rotación a través del ángulo Φ, mostraba en el caso 3 produce flexión en el miembro mientras que la rotación a través del ángulo Φ en el caso 4 produce torsión. Por lo general el caso 1 se utiliza para el análisis de armaduras el caso 3 para miembros sometidos a flexión, pero por lo general se requiere el uso de los cuatro casos para un análisis completo del método de la rigidez. Considerando el siguiente miembro prismático con sus extremos i, J, con unos ejes ortogonales X, Y, Z, tal que X coincide con el eje centroidal del miembro y es positivo de i @ J. Y 5

11 8

4

2

i

1

j

7 10

X

9 3

6

TEORIA Y APLICACION

12

10


Z


FIG. 2.0

La figura 2.0 muestra un segmento de viga de un pórtico espacial con sus doce coordenadas nodales numeradas consecutivamente. La convención adoptada consiste en enumerar primero los tres desplazamientos lineales del primer nudo y luego los tres desplazamientos angulares del mismo nudo, para después continuar con los tres desplazamientos lineales y los tres desplazamientos angulares del segundo nudo. Las dobles flechas de la figura 2.0 indican las coordenadas rotacionales, mientras que las coordenadas de desplazamiento (traslación) se indican con una sola flecha. Y 1 EAX/l Z

Y 12 EIZ l³ 12 EIZ l³

-EAX/l 6 EI Z X l²

X

l

6 EI Z l² (2)

Z (1) Y

Y -6EI l²

1 6EI l²

1 GJ/l

X

X J = IX

12 EIY l³

-12 EIY l³

Z

-GJ l Z

(3)

TEORIA Y APLICACION

(4)

11



Y 4EIY l

2EIY l X

-6 EIY 6 EIY l²

1

1 6EIZ l²

4EI Z l²

2EIZ l

Z

-6EI l² X l

Z (5)

(6)

Análogamente a los seis primeros grados de libertad descritos, se puede realizar para los otros seis, quedándonos una matriz de 12 * 12 (filas y columnas), lo que representa la matriz de rigidez para un elemento de un pórtico tridimensional, en que Iy e Iz son respectivamente, lo momentos de inercia de la sección transversal de la viga, con respecto a los ejes principales en las direcciones Y , Z, l, A y J son respectivamente la longitud, el área de la sección transversal y la constante torcional del elemento. 1 EA L

2

0

12 EIz l³

0

0

0

0

0

0 6 EIz l²

0

3

4

5

6

0

0 -12 EIz l³

0 0

0

0

0 6 EI Z l²

0

8

9

10

11

12

12 EIY l³ 0 -6 EIY l²

GJ l 0

4 EIY l

0

0

0

0

0

0

0 -12 EIY l³

0

0 6 EIY l²

4 EIz l

[K]= -EA l

7

0 -6 EIY l² 0

TEORIA Y APLICACION

- GJ l 0 0

0 2 EIY l

0 -6 EIz l²

EA l 0

12 EIz l³

0

0

0

0

0

0

0 2 EIz l

0

0 -6 EIz l²

12 EIY l³ 0 6 EIY l²

GJ l 4 EIY l 4 EIz l

12



La matriz de rigidez mostrada es una matriz simétrica. El cálculo de la matriz rigidez de un miembro depende de las solicitaciones a la que esta sometida, es por ello que esta se rige a un sistema de coordenadas local. Es por ello que para estructuras sometidas solo a deformaciones axiales (armaduras), se utiliza la siguiente matriz. [ K ] = EA l

1 -1 -1 1

Para estructuras sometidas a flexión se utilizara la siguiente matriz. [ K ] = 2 EI 2 1 l 1 2 A continuación se resolverán problemas muy independientes de ser estructuras sometidas a diferentes solicitaciones como flexión, corte, torsión, axial. Para lo cual se utilizará un eje de referencia local. Problema 1 Calcula la matriz de rigidez para los grados de libertad mostrados. 1

2

3 1

4

5 l Sistema Global

TEORIA Y APLICACION

6 l

2 ℮

Sistema Local

13



En el sistema global que se muestra los G. D. L. *Grados de libertad 5 y 6 pueden ocurrir libremente, pero los primeros cuatro G. D. L. Están restringidos por los apoyos. Por lo tanto para este ejemplo se genera una matriz de 6 * 6, que contiene todos los desplazamientos (D) de nudo posibles, incluyendo aquellos restringidos por los apoyos. La construcción de la matriz de rigidez toma en consideración los seis desplazamientos unitarios y el eje de referencia local o sistema equivalente ℮ que se muestra. Para el problema se tiene la siguiente matriz de desplazamiento: 1 1 [D] = 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6

Grados de Libertad Unitarios

Pasos a seguir para la solución: Aplicar el desplazamiento unitario al G. D. L. Correspondiente, graficando sus desplazamientos Los efectos que ocurren en los elementos trasladarlos a los nudos. Verificar el equilibrio en los nudos, correspondientes a los G. D. L.

TEORIA Y APLICACION

14


-


Ensamblar la columna correspondiente al G. D. L.

de

rigidez

* Primera columna de la Matriz de Rigidez [D] = (1, 0, 0, 0, 0, 0)T (Desplazamiento

transpuesta)

1 1 6 EI l²

6 EI l²

12EI 12EI l³ l³

Los símbolos , mantienen el equilibrio el nudo y representan al G. D. L. De la matriz de rigidez.

[K]1=

TEORIA Y APLICACION

12 EI / l ³ -12 EI / l³ 0 6 EI / l² 6 EI / l² 0

15



* Segunda columna de la Matriz de Rigidez [D] = (0, 1, 0, 0, 0, 0)T 1 2 6 EI l²

6 EI l²

12EI 12EI l³ l³

K21 = –12 EI ; l³

6 EI l²

6 EI l²

12EI 12EI l³ l³

K22 = 12 EI +12 EI l³ l³

K23 = -12 EI ; K24 = –6 EI l³ l²

= 24 EI l³

; K25 = 0 ; K26 = 6 EI l²

-12 EI / l³ 24 EI / l³ [K]2 = -12 EI / l³ -6 EI / l² 0 6 EI / l²

TEORIA Y APLICACION

16



* Tercera columna de la Matriz de Rigidez: [D] = (0, 0, 1, 0, 0, 0)T 1 6 EI l²

6 EI l²

3

12EI 12EI l³ l³ 0 -12 EI / l³ 12 EI / l³ [K]3 = 0 -6 EI / / l² -6 EI / l² * Cuarta Columna de la Matriz de Rigidez [D] = (0, 0, 0, 1, 0, 0)T 1 4 4 EI l 6EI l²

TEORIA Y APLICACION

2 EI l 6EI l²

17



6 EI / l² -6 EI / l² [K]4 = 0 4 EI / / l 2 EI / l 0 * Quinta Columna de la Matriz de Rigidez [D] = (0, 0, 0, 0, 1, 0)T 5

2 EI l 6EI l²

4 EI l 6EI l²

4 EI 2 EI l l 0

6EI l²

6EI l²

6 EI / l² 0 [K]5 = -6 EI / l² 2 EI / / l 8 EI / l 2 EI / l

TEORIA Y APLICACION

18



* Sexta Columna de la Matriz de Rigidez [D] = (0, 0, 0, 0, 0, 1)T 1

6

2 EI 4 EI l l 6EI l²

6EI l²

0 6 EI / l² [K]6 = -6 EI / l² 0 2 EI / l 4 EI / l Finalmente ensamblamos la Matriz de Rigidez 1

2

3

12 EI -12 EI l³ l³ 0 -12 EI 24 EI -12 EI l³ l³ l³ -12 EI 12 EI [K]= 0 l³ l³ 6 EI -6 EI l² l² 0 6 EI -6 EI l² 0 l² 6 EI -6 EI 0 l² l²

TEORIA Y APLICACION

4

5

6 EI l² -6 EI l²

6 EI l²

0 4 EI l 2 EI l 0

0 -6 EI l² 2 EI l 8 EI l 2 EI l

6

0 6 EI l² -6 EI l² 0 2 EI l 4 EI l

19



Problema 2 Calcular la matriz de rigidez para los grados de libertad mostrados. 2

3

1

+ L2

L1

℮

+ +

(Sistema Local)

L1 (Sistema global) * 1ra Columna al 1er G. D. L. 1

1

=

12 EI + L1³ [K]1 = 6 EI L1² 6 EI L1²

TEORIA Y APLICACION

12 EI L1³ 6 EI L1³

12 EI L2³ 6 EI L2²

12 EI L2³

20



* 2da Columna al 2da. G. D. L. 4 EI L1

2 =

2EI L1

4 EI L1

6 EI L1 [K]2 = 8 EI L1² 2 EI L1² * 3ra Columna al 3ra. G. D. L. 3

=

TEORIA Y APLICACION

2 EI L1

4EI L1

6 EI L2²

4 EI L2

21



6 EI L2² [K]3 = 2 EI L1 4 EI L1

+ 4 EI L2

Ensamblando La Matriz de Rigidez:

12 EI + 12 EI L1³ L2³ [K] = 6 EI L1² 6 EI L2²

6 EI L1² 8 EI L1 2 EI L1

6 EI L2² 2 EI L1 4 EI + 4 EI L1 L2

3*3

Problema 3 Calcular la matriz para los G. D. L. Mostrados: 2

3 4 l

1 l

TEORIA Y APLICACION

l

22



+

+

+

℮ Sistema Local Solución: 1ra Columna al primer grado de libertad: [D] = (1, 0, 0, 0)T

6EI (l √2)² 1

3EI√2 l² 2EI l√2

4EI l√2

1

3 EI √2 l² 45

3 EI l²

45 90

N

4EI / l√2 2 EI / l√2 [ K ]1 = 0 3 EI √2 / l²

TEORIA Y APLICACION

23



2DA. Columna al Segundo grado de libertad [D] = (0, 1, 0, 0)T 4 EI 2 EI 3EI√2 2 l l l² 4EI l √2

3EI l² 6EI (l√2)²

2EI l√2

3 EI √2 l²

N 6 EI l²

6 EI l²

90 45 45

45

3 EI l²

45

N

90

2EI / l√2 4 EI / l√2 + 4 EI / l [ K ]2 = 2 EI / l 3 EI √2 / l² - 6 EI / l² 3ra. Columna al tercer grado de libertad [D] = (1, 0, 0, 0)T 2EI 4EI l l 6EI l² N 90 6 EI l²

TEORIA Y APLICACION

45

45

24



0 2 EI / l [ K ]3 = 4 EI / l 6 EI / l² 4ta. Columna al cuarto grado de libertad. [D] = (1, 0, 0, 0)T 1

1

4

12EI*√2=6EI (l√2)³ l³

12EI√2 l³

6EI * √2 = 3 EI √2 (l√2)³ l² 6 EI √2/l³ 45

6 EI l³

45

N

12 EI l³

90 3EI√2 l² 3 EI √2 - 6 EI l² l² [ K ]1 = 6 EI l² 6 EI √2 + 12 EI l³ l³

TEORIA Y APLICACION

25



Finalmente ensamblamos la matriz de rigidez 4 EI l 2 2 EI l 2

[K] =

0 3 EI 2 l²

2 EI l 2 4 EI + 4 EI l 2 l 2 EI l 3 EI 2 - 6 EI l² l²

3 EI 2 l² 3 EI 2 - 6 EI l² l² 6 EI l² 6 EI 2 -12EI l³ l³ 4*4

0 2 EI l 4 EI l 6 EI l²

Problema 4 Calcular la matriz de rigidez para los G. D. L. mostradas: 1

2

3 l²

l²

l²

l²

+

+ e

Sistema Local Equivalente * Primera Columna al primer G. D. L.

TEORIA Y APLICACION

26

ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS T


[D] = (1, 0, 0)

1 1

12 EI (√2) (l1 √2)³

12 EI l2³ 12 EI (√2) = 6 EI (l1 √2)³ l1³ 6 EI √2 l1³

12 EI l2³ 12 EI l2³

6 EI l1³

K11 = ( 6 EI √2 ) ² + 12 EI l1³ l2³

6 EI

TEORIA Y APLICACION

6 EI

27



l2³ l2³ 6 EI (√2) = 3 EI √2 (l1 √2)² l1²

3EI√2 l1²

K12 = 3 EI √2 - 6 EI l1² l2² K13 = 3 EI √2 - 6 EI l1² l2² 12 EI√2 + 12 EI l1² l2² [ K ]1 = 3 EI √2 - 6 EI l1² l2² 3 EI √2 - 6 EI l1² l2²

* Segunda Columna al segundo G. D. L.

TEORIA Y APLICACION

28



[D] = (0, 1, 0) 2

1

4 EI l1 √2

4 EI 4 EI l2 l2 6 EI l2² 6 EI = 3 EI (l1 √2)³ l1² 3 EI √2 l1² 3 EI l1²

90

6 EI l2² 6 EI l2²

90

3 EI√2 - 6 EI l1² l2² [ K ]2 = 4 EI + 4 EI l1√2 l2 2 EI l2

* Tercera Columna al tercer G. D. L.

TEORIA Y APLICACION

29



[D] = (0, 0, 1)

3 1

2 EI l2

90

4 EI l2 6 EI l2² 6 EI = 3 EI (l1 √2)² l1² 4 EI l1 √2 6 EI l2² 3 EI 4 EI l1² l1 √2

3 EI √2 l1² 3 EI√2 - 6 EI l1² l2² [ K ]3 = 2 EI l2 2 EI √2 + 4 EI l1 l2

TEORIA Y APLICACION

30


1

2

12 EI 2 + 12 EI l 1³ l2³

[K] =


3

3 EI 2 - 6 EI 3 EI 2 - 6 EI l 1² l2² l 1² l2² 1 4 EI + 4 EI 2 EI l1 2 l2 l2 2

3 EI 2 - 6 EI l 1² l2² 3 EI 2 - 6 EI l 1² l2²

2 EI l2

2 EI 2 + 4 EI l1 l2 3 3*3

Ensamblando la matriz de rigidez: Los problemas 3 y 4 representan las dificultades típicas en elementos inclinados, para la solución de estos problemas es necesario el conocimiento del álgebra vectorial. Cada columna de la matriz de rigidez representa los efectos actuantes debido al desplazamiento o giro unitario aplicado a la estructura. Al ensamblar la matriz de rigidez se debe verificar que sea transpuesta y que la diagonal mayor sea positiva en todas las celdas. Problema N° 5 Calcular la matriz de rigidez para los g. D. L. Mostrados. 5 6 2 L 1

3

4

L (Sistema Global)

TEORIA Y APLICACION

+

+

(Sistema Local)

31



* 1ra Columna al primer G. D. L. [D] = (1, 0, 0, 0, 0, 0)T 48 EI L³ -24 EI L³ 0 1

Δ

Δ =

[ K]1 =

0 -6 EI L² -6 EI L³

* 2da Columna al segundo G. D. L. [D] = (0, 1, 0, 0, 0, 0)T 2

=

TEORIA Y APLICACION

-24 EI L³ 24 EI L³ 6 EI L² [ K]2 = 6 EI L² 6 EI L² 6 EI L²

32



* 3ra Columna al tercer G. D. L. [D] = (0, 0, 1, 0, 0, 0)T 0

3 =

6 EI L² 12 EI L [ K]3 = 2 EI L 2 EI L 0

* 4ta Columna al cuarto G. D. L. [D] = (0, 0, 0, 1, 0, 0)T 0

4 =

6 EI L² 2 EI L [ K]4 = 12 EI L 0 2 EI L

TEORIA Y APLICACION

33



* 5ta Columna al quinto G. D. L. [D] = (0, 0, 0, 0, 1, 0)T 5

=

[ K]5 =

-6 EI L² 6 EI L² 2 EI L 0 8 EI L 2 EI L

* 6ta Columna al sexto G. D. L. [D] = (0, 0, 0, 0, 0, 1)T 6

-6 EI L² 6 EI L² 0 =

TEORIA Y APLICACION

[ K]6 =

2 EI L 2 EI L 8 EI L

34



* Ensamblando la Matriz: 1 2 48 EI -24 EI L³ L³ -24 EI 24 EI L³ L³ 6 EI 0 L² [k] = 6 EI 0 L² -6 EI 6 EI L² L² -6 EI 6 EI L² L²

3

4

0 0 6 EI 6 EI L² L² 12 EI 2 EI L L 2 EI 12 EI L L 2 EI L 0 2 EI 0 L

5 -6 EI L² 6 EI L² 2 EI L 0 8 EI L 2 EI L

6 -6 EI L² 6 EI L² 0 2 EI L 2 EI L 8 EI L

Problema N° 1 Calcular la matriz de rigidez para los grados de libertad 2

3

1 3.00

4.00 EI = constante 4.00

5.00

3.00

Solución

TEORIA Y APLICACION

35



+

+ +

2

3

1 2 1

3

Determinación de los elementos * 1ra columna al primer G. D. L. [D] = (1, 0, 0, )T 3/3

5/4

1

3/4 5/3

4/3

4/4

(5/3) /5 (5/3) /5 -(4/3) /5 [K] = -(3/4) /5 (5/4) /5 (5/4) /5

* 2da columna al segundo G. D. L. TEORIA Y APLICACION

36



[D] = (0, 1, 0) 2

0 1 1 0 0 0

[K] =

* 3ra columna al tercer G. D. L. [D] = (0, 0, 1)T 3

0 0 0 1 0 1

[K] =

at=

(5/3) / 5 (5/3) / 5 -(4/3) / 5 -(3/4) / 5 (5/4) / 5 (5/4) / 5

TEORIA Y APLICACION

0 1 1 0 0 0

0 0 0 1 0 1

37



K = a e T Ke a e (5/6) / 5 (5/3) / 5 0 1 * 2 EI 2 1 * (5/3)/5 0 0 0 1 2 (5/3)/5 1

+

-(4/3)/5 -(3/4)/5 1 1 * 2 EI 0 1 5

+

(5/4)/5 -(3/4)/5 1 0 * 2 EI 0 1 5

2 1 1 2

* -(4/3)/5 1 -(3/4)/5 0

2 1 * 1 2

(5/4)/5 0 (5/4)/5 0

0 0

0 1

0 1

Matriz de Rigidez

[K] =

1 0.5235 0.1266 0.0733

2 0.127 1.60 0.40

3 0.073 0.40 1.60

Problema N° 2 Calcular la matriz de rigidez para los G. D. L. Mostrados: 4 5.00

1 2.50

TEORIA Y APLICACION

3.00

5 2

3 4.00

2.50

38


DATOS: Viga Columna Placa 1 Placa 2 F’c

= = = = =


25 * 55 40 * 50 30*250 25*250 210 kg/cm²

Solución (Modulo de Elasticidad) E = 15000 √f’c = 15000 √ 210 = 217370.62 kg/m² (Módulo de Corte) G= E = 217370.65 = 94508.99 kg/m² 2(1 + u) 2 (1 + 0.15) EI placa 1 = 2173706.5*2.50*0.30³/12= 12227.099 Tn.m² EI placa 2 = 2173706.5*0.40*0.50³/12 = 9057.110 Tn.m² EI placa 3 = 2173706.5*2.50*0.25³/12 = 7075.87 Tn.m² EI placa 4,5 = 2173706.5*0.25*0.55³/12 = 7534.38 Tn.m² Rigideces: K1 = 2 EI placa 1 2 + β L * (1 + 2β) 1 – β β =

1 – β ; β = 6 EI 2+β A’ G L²

6 * 12227.099 (0.3 * 2.50 )945089.9 * 5²

K1 = 2 * 12227.099

TEORIA Y APLICACION

= 0.0049 = 0.005

2 + 0.005

1 – 0.005

39


5 * (1 + 2*0.005) K1 =

9709.04 4818.20

K2 = 2 EI Col 2 2 L 1


1 – 0.005

2 + 0.005

4818.20 9709.04 1 2

= 2 * 9057.11 2 5 1

7245.68

3622.84

3622.84

7245.68

1 2

K2 = K3 = 2 EI placa 3 2 + β L * (1 + 2β) 1 – β β =

1 – β ; β = 6 EI 2+β A’ G L²

6 * 12227.099 = 0.0034 = 0.003 (0.25* 2.50 ) 945089.9 * 5²

K3 = 2 * 7075.87 5 * (1 + 2*0.003) K3 =

2 + 0.003 1 – 0.003

5635.37 2805.030

K4 = 2 EI Col 4 2 L 1

1 – 0.003 2 + 0.003

2805.03 5635.37 1 2

= 2 * 7534.38 2 3 1

10045.84

5022.92

5022.92

10045.84

1 2

K4 = K5 = 2 EI Col 5 2 L 1

TEORIA Y APLICACION

1 2

= 2 * 7534.38 2 4 1

1 2

40



*1ra Columna para el primer grado de libertad [D] = (1, 0, 0, 0)T Δ

Δ

Δ

1 4 1

5 2

3

1/5 1/5 1/5 1/5 a = 1/5 1/5 0 0 0 0 *2da Columna para el segundo grado de libertad [D] = (0, 1, 0, 0)T 2 4 1

TEORIA Y APLICACION

5 2

3

41



0 1 0 0 a= 0 0 1.42 0.42 0 0 * 3ra Columna para el tercer grado de libertad: [D] = (0, 0, 1, 0)T 3 4

5

1

2

a=

TEORIA Y APLICACION

3

0 0 0 1 0 0 0 1 1 0

42



* 4ta Columna para el cuarto grado de libertad: [D] = (0, 0, 0, 1)T 4 4 1

5 2

3

0 0 0 0 a= 0 1 0 0 0.31 1.31

TEORIA Y APLICACION

43



0.2

0

0

0

0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0 0 0 0

1 0 0 0 0 1.42 0.42 0 0

0 0 1 0 0 0 1 1 0

0 0 0 0 1 0 0 0.31 1.31

a1 a2 a3 a4 a5

K = a eT Ke a e Por lo tanto 0.20 0.20 KG = 0 1 9709.04 0 0 4818.20 0 0

4818.20 0.20 0 0 0 9709.04 0.20 1 0 0

0.20 0.20 0 0 7245.68 0 1 3622.84 0 0

3622.84 0.20 0 0 0 7245.68 0.20 0 1 0

0.20 0.20 0 0 5635.37 0 1 2805.03 0 0

2805.03 0.20 0 0 0 5635.37 0.20 0 0 1

+

+

0

0

TEORIA Y APLICACION

44


+

+

1.42 0.42 0 1 0 0

0 0 1 0.31


10045.84 5022.92 0 1.42 0 0 5022.92 10045.84 0 0.42 1 0

0 0 7534.38 0 3767.19 1.31

3767.19 0 0 1 0.31 7534.38 0 0 0 1.31

* Matriz de Rigidez 2706.89 K=

2905.45 3772.8

2173.70 11351.80 24825.90

1688.08 0 7270.68 22348.88

Problema N° 3 Calcular la Matriz de rigidez para los grados de libertad mostrados V1 6 C1 2 4 C2 3.00 V1 5 C1 1

3

C2

3.00

5.00 Datos: C1 = 0.50 m (diam.) C2 = 0.40 * 0.40 m V = 0.3 * 0.6 m. TEORIA Y APLICACION

45



F´c = 210 kg/cm² µ = 0.15 Solución Elasticidad: E = 15000 √f´c = 15000 √210 = 2173706.512 Tn/m² C1 =

E = 2173706.512 = 945084.78 Tn/m² 2(1+µ) 2( 1 + 0.15)

EI C1= E *π d4 = 2173706.512 *π(0.5) 4= 6668.848 Tn-m² 64 64 EI C2=2173706.512 *0.4* 0.4³= 4668.848 Tn-m² 12 EI V=2173706.512 *0.3 * 0.6³= 11738.01516 Tn-m² 12 Rigideces K = 2 EI L

2 1

1 2

K1 = 2 * 6668.85 4

2 1 = 1 2

6668.848 3334.424 3334.424 6668.848

K2 = 2 * 6668.85 3

2 1 = 1 2

8891.797 4445.899 4445.899 8891.797

K3 = 2 * 4637.24 4

2 1 = 1 2

4637.241 2318.620 2318.620 4637.241

TEORIA Y APLICACION

46


K4 = 2 * 4637.24 3


2 1 = 1 2

K5 = 2 * 11738.02 2 5 1

1 2

66182.987 3091.494 3091.494 6182.987

= 9390.412 4692.206 4695.206 9390.412

* 1ra. Columna para el primer grado de Libertad: [D] = (1, 0, 0, 0, 0, 0)T

1 ∆

∆

=

a1 =

1/4 1/4 -1/3 -1/3 1/4 1/4 -1/3 -1/3 0 0 0 0

* 2da. Columna; para el segunda grado de Libertad: [D] = (0, 1, 0, 0, 0, 0)T 2

∆

TEORIA Y APLICACION

∆

0

47



=

a2 =

0 1/3 1/3 0 0 1/3 1/3 0 0 0 0

* 3ra. Columna; para el tercer grado de Libertad: [D] = (0, 0, 1, 0, 0, 0)T

=

a3 =

0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0

* 4ta. Columna; para el cuarto grado de Libertad: [D] = (0, 0, 0, 1, 0, 0)T 4

TEORIA Y APLICACION

0

48



=

a4 =

0 1/3 1/3 0 0 1/3 1/3 0 0 0 0

* 5ta. Columna; para el quinto grado de Libertad: [D] = (0, 0, 0, 0, 1, 0)T

=

a5 =

0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0

* 6ta. Columna; para el sexto grado de Libertad: [D] = (0, 0, 0, 0, 0, 1)T 6

TEORIA Y APLICACION

0

49



=

ae =

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

a6 =

1/4

0

0

0

0

0

1/4

0

1

0

0

0

-1/3

1/3

1

0

0

0

-1/3

1/3

0

1

0

0

1/4

0

0

0

0

0

1/4

0

0

0

1

0

-1/3

1/3

0

0

1

0

-1/3

1/3

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

TEORIA Y APLICACION

a1 a2 a3 a4 a5 a6

50


2706.89


2905.45 2173.7 3772.8

Ke=

1688.08

11352

0

24826

7270.68 22348.9

Problema N° 4 Calcular la matriz de rigidez para loa grados de libertad mostrados: 3 5 2 3.00 4

6

1

4.00

3.00

Datos: C1 = 0.6 m. (diámetro) C2 = 0.5 * 0.5 C3 = 0.4 * 0.4 V1 = 0.3 * 0.6 V2 = 0.25 * 0.5 µ = 0.15 f’c = 210 kg/cm² Solución: Sabemos que:

TEORIA Y APLICACION

51



E = 15000 √f’c = 15000 √ 210 = 217370.65 kg/cm² E = 2173706.512 Tn/m² C1 = E = 217370.65 = 94508.98 kg/cm² 2 (1 + µ) 2 (1 + 0.15 ) C1 = 945089.98 tn/m² EI C1 = E* π d4 = 2173706.512 * π * (0.6) 4 = 13828.52 64 64 EI C2 = 0.5 * 0.5³ * 2173706.512 = 11321.39 Tn/m² 12 EI C3 = 0.4 * 0.4³ * 2173706.512 = 4637.24 Tn/m² 12 EI V1 = 2173706.512 * 0.3 * 0.6 ³ = 11738.02 Tn/m² 12 EI V2 = 2173706.512 * 0.25 * 0.5 ³ = 5660.69 Tn/m² 12 Rigideces: K1 = 2 EI L

2 1

1 2

K1 = 2 * 13828.52 7

2 1

1 2

=

K2 = 2 * 11321.39 4

2 1

1 2

= 11321.39 5660.69 5660.69 11321.39

TEORIA Y APLICACION

7902.01 3951.01 3951.01 7902.01

52



K3 = 2 * 11321.39 3

2 1

1 2

= 15095.18 7547.59 7547.59 15095.18

K4 = 2 * 4637.24 3 ...

2 1

1 2

=

6182.99 3091.49 3091.49 6182.99

K5 = 2 * 11738.02 7

2 1

1 2

=

15650.69 7825.34 7825.34 15650.69

K6 = 2 * 5660.69 4

2 1

1 2

=

5660.69 2830.35 2830.35 5660.69

* 1ra. Columna para el primera Grado de libertad: [D] = (1, 0, 0, 0, 0, 0)T 0 6 0 ¼ 3 1/4 -1/3 1 1 5 -1/3 ¼ 2 4 ¼ 0 0 0 0

a1 a2 a3 a4 a5 a6

* 2da. Columna para el segundo Grado de libertad: [D] = (0, 1, 0, 0, 0, 0)T 2

TEORIA Y APLICACION

1/7

a1 53



6

3

1

5

2

4

1/7 0 0 1/3 1/3 0 0 0 0 0 0

a2 a3 a4 a5 a6

* 3ra. Columna para el tercer Grado de libertad: [D] = (0, 0, 1, 0, 0, 0)T 3 6

3

1

5

2

4

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

a1 a2 a3 a4 a5 a6

* 4ta. Columna para el cuarto Grado de libertad: [D] = (0, 0, 0, 1, 0, 0)T

6

TEORIA Y APLICACION

0 0

a1

54



3

4

1

5

2

4

0 1 1 0 0 0 1 0 0 0

a2 a3 a4 a5 a6

* 5ta. Columna para el quinto Grado de libertad: [D] = (0, 0, 0, 0, 1, 0)T 3 6

3

1

5

2

4

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

a1 a2 a3 a4 a5 a6

* 6ta. Columna para el sexto Grado de libertad: [D] = (0, 0, 0, 0, 0, 1)T

6

TEORIA Y APLICACION

0 0

a1

55



6 1

5

2

aTOTAL =

a2

0 0 0 0 0 1 0 1 0 0

3

4

a3 a4 a5 a6

0

1/7

0

0

0

0

0

1/7

1

0

0

0

1/4

0

0

0

0

0

1/4

0

0

1

0

0

-1/3

1/3

0

1

0

0

-1/3

1/3

0

0

1

0

1/4

1/3

0

0

0

0

1/4

1/3

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

a1 a2 a3 a4 a5 a6

K = a1 * K1 * a1 + …..

TEORIA Y APLICACION

56


K=

8313.8

-5031.73

0

-5031.7

5515.52 1693.2


-3302.07 -7547.59

2318.62

7547.59

7547.59

0

0

1693.29

13563

0

2830.35

0

-3302.1

7547.59

0

42047.3

7547.59

7825.34

-7547.6

7547.59 2830.4

7547.59

20755.9

0

7825.34

0

21833.67

2318.62

0

0

Problema N° 5 Calcular la matriz de rigidez para los grados de libertad mostrados. 4 7 2 . 8 3.00 . 2 5 3 5 6 1 6 7 1

3

3.50

4

4.00

3.50

Datos: C1 = 0.5 * 0.5 C2 = 0.4 * 0.4 TEORIA Y APLICACION

57



C3 = 0.4 * 0.4 V1 = 0.3 * 0.6 V2 = 0.25 * 0.5 F’c = 210 kg/cm² µ = 0.15 Sabemos que: E = 15000 √ f’c = 15000 * √ 210 = 21730.65 kg/cm² E = 2173706.5 Tn/m² C1 =

E = 217370.65 = 94508.98 kg/cm² 2 (1 + µ) 2 (1 + 0.15)

EI C1 = 2173706.51 * 0.5 * 0.5 ³ = 11321.39 Tn-m² 12 EI C2 = 2173706.51 * 0.4 * 0.4 ³ = 4637.24 Tn-m² 12 EI C3 = = 2173706.51 * 0.4 * 0.4 ³ = 4637.24 Tn-m² 12 EI V1 = = 2173706.51 * 0.3 * 0.6 ³ = 11738.02 Tn-m² 12 EI V2 = = 2173706.51 * 0.25 * 0.5 ³ = 5660.69 Tn-m² 12 Rigideces: K1 = 2 EI L

2 1

K1 = K4 =

11321.39 5660.69

TEORIA Y APLICACION

1 2 5660.69 11321.39

58



K2 = K5 =

6182.99 3091.49

3091.49 6182.99

K3 =

4637.24 2318.62

2318.62 4637.24

K6 = K7 =

13414.87 6707.44

6707.44 13414.87

K8 =

3234.68 1617.34

1617.34 3234.68

*1ra Columna para el primer grado de libertad: [D] = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0)T a1 = 1/4 1/4 8 a2 = -1/3 -1/3 2 5 a3 = 1/4 1/4 1 6 7 a4 = 1/4 1/4 1 3 4 a5 = 1/3 1/3 a6 = 0 0 a7 = 0 0 a8 = 0 0 * 2da Columna para el segundo grado de libertad: [D] = (0, 1, 0, 0, 0, 0, 0)T a1 = 0 2 0 8 a2 = 1/3

TEORIA Y APLICACION

59


2


a3 =

5 6

1

a4 =

7 3

4

a5 = a6 = a7 = a8 =

1/3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

* 3ra Columna para el tercer grado de libertad: [D] = (0, 0, 1, 0, 0, 0, 0)T a1 = 0 1 8 a2 = 1 0 2 5 a3 = 0 0 3 6 7 a4 = 0 0 1 3 4 a5 = 0 0 a6 = 1 0 a7 = 0 0 a8 = 0 0 * 4ta Columna para el cuarto grado de libertad: [D] = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0)T a1 = 0 4 0 8 a2 = 0

TEORIA Y APLICACION

60


2


a3 =

5 6

1

a4 =

7 3

4

a5 = a6 = a7 = a8 =

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

* 5ta Columna para el quinto grado de libertad: [D] = (0, 0, 0, 0, 1, 0, 0)T a1 = 0 0 8 a2 = 0 0 2 5 a3 = 0 5 1 6 7 a4 = 0 0 1 3 4 a5 = 0 0 a6 = 0 1 a7 = 1 0 a8 = 0 0 * 6ta. Columna para el sexto grado de libertad: [D] = (0, 0, 0, 0, 0, 1, 0)T a1 = 0 0 8 a2 = 0

TEORIA Y APLICACION

61



0 2 5 a3 = 0 0 6 7 a4 = 0 1 1 3 4 a5 = 1 0 a6 = 0 0 a7 = 0 1 a8 = 0 0 * 7ma Columna para el séptimo grado de libertad: [D] = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1)T a1 = 0 7 0 8 a2 = 0 0 2 5 a3 = 0 0 6 7 a4 = 0 0 1 3 4 a5 = 0 1 a6 = 0 0 a7 = 0 0 a8 = 0 1

TEORIA Y APLICACION

62


a T=


1/4

0

0

0

0

0

0

1/4 -1/3 -1/3 1/4 1/4 1/4

0 1/3 1/3 0 0 0

1 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

1/4

0

0

0

0

1

0

-1/3 -1/3 0 0 0

1/3 1/3 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 1 1

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0

0 0

0 0

0 1

0 0

1 0

0 0

0

0

0

0

0

0

1

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8

K = a1 * K1 * a1 + ….. 9236.99 -4121.99 1154.03 4121.99

K=

-3091.49 1738.97

3091.49 3091.49 30919.25 3091.49 9417.67

1154.03

-3091.49

3091.49 0

3091.49 0

0 0 31466.99 6707.44

1617.34 0

30919.25

3091.49

0 6707.99

9417.67

TEORIA Y APLICACION

63



Problema N° 6 Hallar la matriz de Rigidez de la siguiente estructura. 3

5

2 6

. 3.00

3

1

4

6 5

1

.

2

5.00

4

2.00

4.00

4.00

Datos: Datos: C1 = 0.5 * 0.5 C2 = 0.4 * 0.4 V1 = 0.3 * 0.6 V2 = 0.25 * 0.5 Placa = 2.00 m. (diámetro) F’c = 210 kg/cm² µ = 0.15 Sabemos que: E = 15000 √ f’c = 15000 * √ 210 = 21730.65 kg/cm² E = 2173706.5 Tn/m² G=

E = 217370.65 = 94508.98 kg/cm² 2 (1 + µ) 2 (1 + 0.15)

G = 945089.78 Tn/m²

TEORIA Y APLICACION

64



EI C1 = 2173706.51 * (0.5 * 0.5) ³ = 11321.39 Tn-m² 12 EI C2 = 2173706.51 * (0.4 * 0.4) ³ = 4637.24 Tn-m² 12 EI V1 = 2173706.51 * (0.3 * 0.6 )³ = 11738.02 Tn-m² 12 EI V2 = 2173706.51 * (0.25* 0.5) ³ = 5660.64 Tn-m² 12 EI Placa = 2173706.51 *( π * 2.0) 4 = 1707225.10 Tn-m² 12 Rigidices: K = 2EI 2 1 L 1 2

; Kpla =

K1 = 2 * 11321.39 7.00

2 1

K placa1 = β1 =

2 EI 2+β 1- β 1(1+2 β ) 1- β 2+ β

1 = 6469.37 2 3234.68

3234.68 6469.37

6 * 1707225.102 (0.9 * π * 1²) 945089.79

= 0.24

G = 2173706.5 = 945089.79 2(1 + 0.15) Kplaca2 = 2 * 1707225.102 * 4*(1 + 2 + 0.305) Kplacas2 = 1292441.54 438828.99 K3 = β 2 =

2 + 0.24 1 – .24

1 – 0.24 2 + 0.24

438828.99 1292441.54

6 * 1707225.102 = 0.43 (0.9 * π ) (945089.79* 3²)

Kplaca3 = 2 * 1707225.102

TEORIA Y APLICACION

= 2 + 0.43

1 – 0.43

65



3*(1 + 2 + 0.43) Kplaca3 = 1490976.59 352826.52

1 – 0.43

2 + 0.43

352826.52 1490976.59

K4 = 4637.24 2318.62

2318.62 4637.24

K5 = 11738.02 5869.01

5869.01 11738.02

K6 = 4528.56 2264.28

2264.28 4528.56

1

2

* 1ra. Columna para el primer grado de libertad: [D] = [1 0 0 0 0 0]T a1 = a2 = 6

. a3 =

3

1 a4 =

5 1

2

4

a5 = a6 =

0 0 1/4 1/4 -1/3 -1/3 1/4 1/4 0 0 0 0

* 2da. Columna para el segunda grado de libertad: [D] = [0 1 0 0 0 0]T a1 = 1/7

TEORIA Y APLICACION

66



2

a2 = 6

. a3 =

3

a4 =

5 1

2

4

a5 = a6 =

* 3ra. Columna para el tercer grado de libertad: [D] = [0 0 1 0 0 0]T a1 = 3 a2 = 6 . 3 a3 = 1 5 a4 = 1

2

4

a5 = a6 =

* 4ta. Columna para el cuarto grado de libertad: [D] = [0 0 0 1 0 0]T a1 =

TEORIA Y APLICACION

1/7 0 0 1/3 1/3 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0

67



a2 = 6

. a3 =

3

4 a4 =

5 1

2

4

a5 = a6 =

0 1 1 0 0 0 1.25 0.25 0 0

i = ¼ + 1 = 1.25 j = ¼ = 0.25

* 5ta. Columna para el quinto grado de libertad: [D] = [0 0 0 0 1 0]T a1 = 5 a2 = 6 . 3 a3 = a4 =

5 1

2

4

a5 = a6 =

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0.2 1.2

i = 1/5 = 0.2 j = 1/5 + 1 = 1.2 * 6ta. Columna para el sexto grado de libertad: [D] = [0 0 0 0 0 1]T a1 =

TEORIA Y APLICACION

0

68



a2 = 6

. a3 =

3

4 a4 =

5 1

2

4

a5 = a6 =

a=

0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0

0

1/7

0

0

0

0

a1 G

0 1/4

1/7 0

1 0

0 0

0 0

0 0

a2 M

1/4 -1/3

0 1/3

0 0

1 1

0 0

0 0

a3 I

-1/3

1/3

0

0

1

0

1/4

0

0

0

0

0

1/4

0

0

0

0

1

0

0

0

1.25

0

0

0

0

0

0.25

0

1

0

0

1

0

0.2

0

0

0

0

0

1.2

0

a4 J a5 K a6 L

K = a1T * K1 * a1 + …..

TEORIA Y APLICACION

69



559312 -409734.02 142017.6 410130.11

-614601

1739.97

138629 614601.09 140239.5 0

-614601

614601.09 3622.85

0 0

1513750.3

352826.52 1498765.7

10270.77 0

K=

16375.26

Problema N° 7 Hallar la matriz de rigidez de la siguiente estructura: f’c= 210 kg/cm² E = 2173706.5 Tn/m² I = 0.000698 m4 +

2 3

+

3 1

4 2

4.00

1

3.00

3.00

2.00

4.00

* 1ra. Columna para el primer Grado de Libertad:

TEORIA Y APLICACION

70



[D] = (1, 0, 0, 0, 0)

(3) L

α h (5) Δ (4) Sen α = Δ / h→ h = Δ /sen α h = ¼ / 5 → h = 5/4 Tang α = Δ/L→L=Δ/Tang α L = 1/3 / 5 →L= 5/3

.

3

.2 . .

1

(4) L

a1 = a2 = a3 =

β h (5) Δ (3) Sen β = Δ / h→ h = Δ /sen β h = 1/3 / 5 → h = 5/3 Tang β = Δ/L→L=Δ/Tang β L = 1/4 / 3 →L= 3/4

5/4 / 5 5/4 / 5 0 0 -5/3 /5 -5/3 / 5

* 2da. Columna para el segundo Grado de Libertad: [D] = (0, 1, 0, 0)T a1 = 5/3 / 5 5/3 / 5 3 . .2 2 a2 = 0 . 3/5 5/4 0 5/3 1

3/4 4/4

.

a3 =

-5/4 / 5 -5/4 / 5

* 3ra. Columna para el tercer Grado de Libertad: TEORIA Y APLICACION

71



[D] = (0, 0, 1, 0)

0 1

a2 =

1 0

a3 =

0 0

.

3

3

a1 = .

. 2

.

1

* 4ta. Columna para el cuarto Grado de Libertad: [D] = (0, 0, 0, 1)T

3

a1 =

0 0

a2 =

0 1

a3 =

1 0

.

.4 . 2 1

.

* Matriz de Compatibilidad:

TEORIA Y APLICACION

72


a TOTAL =

1/5 1/5 0 0 -1/3 -1/3

1/3 1/3 0 0 1/5 1/5


0 1 1 0 0 0

0 0 0 1 1 0

K = aeT * Ke * ae 1/5 K = 1/3 0 0 +

0 0 1 0

1/5 1/3 * 2 * 1517.2471 2 1 1 5 1 2 0

1/5 1/3 0 0 + 1/5 1/3 1 0

0 0 * 2 * 1517.2471 2 1 1/5 1/3 0 0 + 0 2 1 2 1/5 1/3 1 0 1

-1/3 -1/3 + 1/5 1/5 * 2 * 1517.2471 0 0 5 1 0

TEORIA Y APLICACION

2 1 1 2

-1/3 1/5 0 0 -1/3 1/5 1 0

73



CAPITULO III ARMADURAS INTRODUCCIÓN Una estructura de armadura consiste en miembros sujetos a dos fuerzas es decir cada elemento de armadura está a compresión o tracción directa. En una armadura se requiere que toda carga y reacciones estén aplicadas en un solo nudo y que todo miembro este conectados entre si en sus extremos por medio de instalaciones sin fricción. Este método es aplicable a estructuras estáticamente determinadas, también nos proporciona las deflexiones en los nudos, reacciones en los apoyos, los efectos o cambios de temperatura y asentamientos en los apoyos o soportes: Q12 Q14 Q16

Q11 Q1

Q4 Q2

Q13 Q6

P1 Q3

TEORIA Y APLICACION

Q8 P2

Q5

Q15 Q10 P3 Q7

Q9

74



P P = Carga Axial ± P Sistema Local y Global. X’ q’2 θ q3

2 q2 senθ q‘1

Y

q4 Elemento Deformado

1 q1 cosθ 1

1

q2 θ q1

q‘1 = q1 cos θ + q2 sen θ q’2 = q3 cos θ + q4 sen θ -

En este esquema de numeración local, los nudos de elemento se enumeraron 1 y 2.

-

El un sistema global, el sistema de coordenadas consiste en el X’ e Y esta fijo, y no depende de la

TEORIA Y APLICACION

75



orientación del elemento, pues forma un sistema coordenado derecho con el eje “Z”. -

En el sistema coordenado global, cada nudo tiene 2 G. D.L.

-

El sistema de coordenadas local, q‘1 y q‘2 son los desplazamientos de los nudos 1 y 2 respectivamente. El vector de desplazamiento del elemento en el sistema de coordenadas local se denota como: q’ = [q1 ; q2] T ....... a

-

El vector de desplazamiento de elemento en el sistema coordenado Global es: q = [q1 , q2, q3, q4,]T ....... b

Relación entre local q y Global q’ q‘1 = q1 cos θ + q2 sen θ q’2 = q3 cos θ + q4 sen θ Haciendo: l = cos θ m = sen θ

Cosenos directores (C. D.) ........ C

Son los cosenos del eje local X’ que forma con los ejes globales x, y. NOTA: Se puede escribir como:

TEORIA Y APLICACION

76


q‘1 = L q


........ D

Donde: L = matriz de transformación y esta dada por: L= L m 0 0 0 0 L m

...... E

Forma para Calcular “L” y “m” : 2 ( x1, y2)

L = cos θ = ( x1- y2) Lc M = sen θ = ( y2- y1) ( y2, y1) Lc Lc = √(( x1- y2)² + ( y2- y1)²)

1 θ ( x2, x1) ( x1, y1) Matriz De Rigidez del Elemento K’ = Ee Ae Lc

1 -1

-1 1

.........F

Donde: A = Área de la sección Transversal E = Modulo de Young. K = LT K’ L ................... G

* Sustituyendo L y K en G

TEORIA Y APLICACION

77


L²

Lm

-L²

-Lm

Lm

m²

-Lm

-m²

-L²

-Lm

L²

Lm

-Lm

-m²

Lm

m²


Ee Ae = K ...... H le

Calculo De Esfuerzos σ = Ee Єe ............... i Como la deformación unitaria, es el cambio de longitud por unidad de longitud original, se tendrá: σ = Ee q’2 - q’1 .......... J Le σ = Ee [-1 1] Le

q’1 q’2

.......... K

* Luego “K” se puede escribir en términos de los desplazamientos globales q usando la transformación se tiene: q’ = L q σ = Ee [ -L -m L m] Le Problema N° 1 Calcular los esfuerzos de la armadura: 11000 kg.

TEORIA Y APLICACION

78



E = 2.1 E6 kg/cm² A = 2.5 cm²

3.00

8000 kg. 4.00 Solución: Q8

Q6

Q7

4

3

4 3

.

Q2

Q5

2

Q4 .1

Q1

1

2

Q3

Tabla de Conectividad

J

Lc

1

1

2

400

1

2

3

2

300

0

-1

17500

3 4

1 4

3 3

500 400

0.8 1

0.6 0

10500 13125

sen ø m

K AE / L

0

13125

E

LE

M

E

N

TO

i

cos ø L

TEORIA Y APLICACION

79



2) Matriz de Distribución para cada Elemento 1

2

3

4

1

0

-1

0

1 2

K1 =

0

0

0

0

-1

0

1

0

0

0

0

0

* 13125 3 4

5

6

3

1

2

5

0.64

0.48

-0.64

-0.48

0 0.48

1 0.36

0 -0.48

-1 -0.36

-0.64 0

-0.48 0

0.64 0

0.48 0

-0.48

-0.36

0.48

0.36

7

8

5

6

1

0

-1

0

0

K32 == K

0

0

4 6 5 1

0

6

2

* *17500 10500

35 46 0

-1

0

1

7 8

K 4=

0

0

0

0

-1

0

1

0

0

0

0

0

* 13125 5 6

TEORIA Y APLICACION

80



Luego: Ensamblando la matriz “K”, a partir de la matriz de rigideces de los elementos, sumados las contribuciones de cada elemento y tomando en cuenta su conectividad: 1 2 3 9845 5040 -13125 5040 3780 -13125 3780

0

4

5 6 6720 -5040

0

7 0

8

0 0

0 0

-540 -540

-3780 -3780

0 0

0 0

0

0

0

4E+05

0

-17500

0

0

6720

-540

0

0

19845

5040

0

0

-5040 0 0

-3780 0 0

0 0 0

-17500 5040 21280 0 0 13125 0 13125 0 0 0 0

0 0 0

1 2 3 4 5 6 7 8

Paso 3: La matriz de rigidez deberá modificarse para tener en cuenta las condiciones de frontera se elimina filas y columnas correspondientes a los grados de libertad: “1, 2, 4, 7, 8” que corresponden a soportes (filas) es decir:

12125

0

0

Q3

0

19845

5040

Q5

0

0

5040

21280

Q6

-11000

= TEORIA Y APLICACION

8000 =

81



Q = K –1 F

Q3

0.6 =

Q5

0.13

Q6

-0.55

Son los desplazamientos en “cm". 4) Esfuerzos en cada elemento: σ = Ee * (-L -m ; Lm) * θ Le 8

6 7

4

5 2

2

3

4 1

1

3

0 σ1 = 2.1 E6 * (-1 0 1 0) * 0 400 0.6 TEORIA Y APLICACION

1 2

= 3150 kg/cm²

3

82



0

0.13 σ2 = 2.1 E6 * ( 0 1 0 1) * -0.55 300 0.6 0

4

5 6

= 3850 kg/cm²

3 4

0.13 σ3 = 2.1 E6 * (-0.8 –0.6 0.8 0.6) * -0.55 500 0.6 0 0 σ4 = 2.1 E6 * ( -1 0 1 0) * 0 400 0.13 -0.55

1 2

= -949.2

5 6

7 8

= 682 kg/cm²

5 6

5to. Paso: Determinación de Reacciones G. D. L. (1, 2, 4, 7, 8) R = K Q -F En está sustitución son necesarias aquellas filas de matriz de rigidez correspondientes a los G. D. L. De soportes y para estos G. D. L. F = 0

TEORIA Y APLICACION

83



0

R1

1

R2

2

R4

=4

R7

7

R8

8

19845

5040

-13125

0

6720

-5040

0

0

0

5040

3780

0

0

-5040

-3180

0

0

0,6

0

0

0

17500

0

-17500

0

0

0

0

0

0

13125

0

13125

0

0,13

0

0

0

0

0

0

0

0

-0,55

*

0

0 0

-4229.40 1093.80 9625.00 R = -1706.25 0.00

1 2 4 7 8

Finalmente: 0.00

11000 kg.

1706.25 kg. 1423.8 kg 8000 kg. 4229.4 kg 9625.00 kg.

TEORIA Y APLICACION

84



CAPITULO IV EFECTOS POR TEMPERATURA Se considera un problema de esfuerzo térmico, como un elemento de armadura, donde es un elemento unidimensional al verlo en un sistema de coordenada local, la carga del elemento estará dado: θ‘ = Ee Ae Єo

-1 . . . . . . . . . 1 1 θ‘ = Carga del elemento por temperatura. Donde: Єo = Deformación unitaria inicial, asociado a un cambio de temperatura esta dado por: Єo = α Δ T . . . . . . . . . . . 2 Donde: α = Coeficiente de dilatación térmica. Δ T = Cambio promedio de temperatura en el elemento.

TEORIA Y APLICACION

85



Nota: La Єo, también puede ser inducida al instalar en un lugar miembros muy cortos o muy largos debido a errores de fabricación. Luego expresamos el vector de carga dado por ecuación (1) en el sistema global. q’T θ’= qT θ . . . . . . . . . 3 Donde: θ = Vector de carga en el sistema de coordenada Global. Sustituyendo: q’ = L q

en 3 ; se tiene:

L T q T θ’ = qT θ . . . . . . . .

4

Eliminado factores comunes: θ = LT θ’

.......... 5

Sustituyendo “L” ecuación 5 , se puede escribir la expresión para la carga de temperatura de un elemento. θe = Ee Ae Єo

TEORIA Y APLICACION

-L -m L m

....... 6

86



Esfuerzo en cada elemento: σ = E (Є – Єo) . . . . . . . . . . . 7 * La ecuación “7” se puede escribir, si: te = α ΔT ; reemplazando en 6

σθ = Ee -L -m L m q - Ee α ΔT . . . . . . 8 Problema N° 1 Del problema 1 anterior, se tiene que 2, 3 sufren ΔT = 50° F, se tiene un coeficiente de dilatación térmica = 6.5 E F6 por 1° F ¿ Hallar los desplazamientos y esfuerzos en cada elemento como resultado del incremento de T° ? Q8

Q6 Q5

Q7

. .

8

3

2

T + 50° F Q2

Q4 Q1

1

Q3

Solución: 1) Vector de carga debido ΔT se tiene: θe = Ee Ae Єo [-L -m L m q ]T ; Єo = α ΔT Sistema global

TEORIA Y APLICACION

87



0 θ2 = 2.1 E6 * 2.5 * 6.5 E-6 * 50 1 0 -1

0 5 6 = 1706.25 6 0 3 3 -1706.25 4 4 5

-0.8 θ3 = 2.1 E6 * 2.5 * 6.5 E-6 * 50 -0.6 0.8 0.6

-1365.0 = -1023.75 2 1365.0 5 1028.75 6 1

1 2 5 6

2) Se tiene Desplazamiento: KQ=F Donde: Los vectores de carga θ2, θ3 constituye el vector F. Luego: Se tiene que G. D. L. (1, 2, 7, 8, 4) son restricciones y los G. D. L. (3, 5, 6). Por lo tanto eliminando los demás. 0 F = 1365.00 2730.00 σ1 = 2.1 E6 [-1 0 1 0] – 2.1 E6 * 0 * 0 = 0 400 0.038 σ2 = 2.6 E6 [0 1 0 -1] 0.119 - 2.1 E6 * 6.5 E6 * 50 = 500 0 0 σ2 = 150.5 kg/cm² 0

TEORIA Y APLICACION

88



σ3 = 2.6 E6 [-0.8 –0.6 0.8 0.6] 0 - 2.1E6*6.5E6 * 50 500 0.038 0.119 σ3 = -254.94 kg/cm² σ4 = 2.6 E6 [ -1 0 1 500

0]

0 0 -0 = 199.5 kg/cm² 0.038 0.119

Matriz de Esfuerzos por ΔT: σ=

0 150.50 -254.94 199.50

1 2

Kg/cm²

3 4

Lo mismo se repite en la matriz de rigidez eliminando G. D. L.: 1, 2, 7 ,8, 9.

3

5

6

13125

0

0

3

K=

5

0

19845

5040 6

0

5040

21280

Q = K-1 * F TEORIA Y APLICACION

89



3

5

6

13125

0

0

0

19845

5040

0

5040

21280

Q3

3

3

0

Q5 =

=

5

Q6

0.6 5

1365

0.038

1730

0.119

6

6

Desplazamiento en (cm) 3.- Los esfuerzos en los elementos se obtiene: σe = Ee [ -L -m L m] - Ee α ΔT Le

σ1 = 2.1*106 [ -1 kg/cm² 400

0

1

0] –2.1*10 6 * 0 *0= 199.5

0.038 σ2 = 2.1*10 [ 0 1 0 -1] 0.119 -2.1 * 106 *6.5*106 *50 500 0 0 6

σ2 = 150.5 kg/cm² 0.038

TEORIA Y APLICACION

90

ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 6 3

σ = 2.1*10 [ -0.8 –0.6 0.8 0.6] 0 500 0 0


-2.1*106*6.5*106*50

σ3 = 254.94 kg/cm² 0 σ4 = 2.1*10 [-1 0 1 01] 0 -0 = 119.5 kg/cm² 400 0.038 0.119 6

Matriz de Esfuerzo por ΔT

σ=

0 150.5 kg/cm² -254.94 199.5

TEORIA Y APLICACION

91



CAPITULO V DESPLAZAMIENTO ESPECIFICO CONOCIDO Q1 = a 1

Q1 Estructura Resorte

Donde: a1 es un desplazamiento especifico a lo largo del grado de libertad 1 del soporte.

a1

Terreno -

Para modelar el soporte se usa un resorte con una gran rigidez C. en este caso se desplaza en un extremo del resorte una cantidad a1 .

-

Se tiene en consideración los nudos restringidos agregándose un número “C” a los diagonales restringidos el cual impedirá que se desplacen los apoyos.

TEORIA Y APLICACION

92


-


La extensión neta del resorte es igual a (Q 1 – a). La fuerza de reacción en el “nudo 1” es igual a la fuerza ejercida por el resorte sobre la estructura. Como la extensión neta del resorte es (Q 1 – a1) y la rigidez del resorte es C, la fuerza de reacción está dada por: R1 = - C (Q1 – a1)

Luego: Las únicas modificaciones para tratar Q1 = a1 son: que debe agregarse un gran número C al primer elemento diagonal de K y que Ca1 se agrega a F1.

.

(K 11 + C)

K .12

K.21 . .

K N1

.

.

.

......

K.IN

.

.

.

.

K.22

......

K .1N

F. 2

......

. .

Q. 2

......

K NN

QN

. .

K N2

Q. 1

. .

F1 +. Ca1 =

. .

FN

Nota: PAra estructuras de acero se sugiere un valor “C” igual a la magnitud de la rigidez de G. D. L. Mas alto de diagonal, multiplicando por 104. C = Kij * 104

TEORIA Y APLICACION

93



Problema N° 01: Para la estructura en el nudo 2 se asienta 12 cm. verticalmente, se aplica 02 cargas puntuales sobre la estructura ¿hallas los desplazamientos, esfuerzos?. 8

6 11000 kg. 5

7 . .

8

3

2

2

4 1

3 8000 kg

1

12.00 cm. Nota: Se deberá agregar una constante “C” a los elementos diagonales en la matriz de rigidez de la estructura en aquellos G. D. L., donde estén restringidos en desplazamientos. Esta constante C corresponde al valor mas alto de la diagonal multiplicado por 10 a la cuarta. Para este ejemplo será: C = 21280 E 4. 2

3

4

5

6

7

8

19750+C 3780+ C 13125

Q1

0

2

Q2

0

3

Q3

4 * Q4

17500+C 19845 21280 13125+C 0+C

TEORIA Y APLICACION

1

8000 = ,-0.12C

5

Q5

0

6

Q6

-11000

7

Q7

0

8

Q8

0

94


Q=

0.60954 -0.12004 0.1635 -0.65503


3 4 5 6

en cm.

2.- Calculo de los esfuerzos: σe = Ee [ -L -m L m] q Le σ1 = 2.1 E6 400

[-1 0 1 0] *

0 0 0.609 -0.12

1

= 3197.25 kg/cm²

2 3 4

0.16635 5 σ2 = 2.1 E6 [ 0 1 0 -1] * -0.65503 6 = 3744.93 kg/cm² 300 0.60954 3 -0.12004 4 0 5 σ3 = 2.1 E6 [-0.8 –0.6 0.8 0.6] 0 6 = 873.33 kg/cm² 500 0.16535 3 -0.65503 4 σ4 = 2.1 E6 [-1 0 1 0] * 400

0 0 0.16635 -0.65503

5 6

= 873.33 kg/cm²

3 4

* Finalmente obtenemos la matriz de esfuerzos:

TEORIA Y APLICACION

95


σ =

3197.25 -3744.93 1091.73 873.33


kg/cm²

Problema N° 02 Para la armadura que se muestra determine: - La matriz de rigidez elemental K para cada elemento. - Ensamble la matriz K - Usando el método de eliminación, encuentre Q. - Evalue los Esfuerzos. Determine las reacciones. P =4000 kg A = 1 cm² E = 2.1 * 10 –6 kg/cm² 15.00 m. A = 1.25 cm² 7.50 m. Solución: Q4

Q2 .

1

Q3

Q1 .

2

Q6 Q5 Paso 1: Tabla de Conectividad:

TEORIA Y APLICACION

96



ELEMENTO

i

j

Le

ø

L

m

K

1

-1

2

750

180°

-1

0

2800

2

1

3

900

213.69° -0.8321 -0.5547 2916.7

90° 180°

0°

1

213.69°

2

270° Paso N° 2 Rigidez de cada Elemento: 1

K1 =

2

3

4

1

1

0

-1

0

1

0

0

0

0

2

-1

0

1

0

0

0

0

0

2

3

1

0.6923 0.4615 -0.692 -0.462

2

0.4615 0.3077 -0.462 -0.308

3

3

-0.6923 -0.4615 0.6923 0.4615

4

4

-0.4615 -0.3077 0.4615 0.3077

K2 =

Paso N° 3:

TEORIA Y APLICACION

4

97



Rigidez de cada Elemento: 1

Ke =

2

3

4

5

6

1

4819.21 1346.04

2800

0

-1817

-1346

2

1346.04 897.46

0

0

-1346 -897.46

3

-2800

0

2800

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

5

-2019.2

-1346

0

0

2019

1346

6

-1346

-897.46

0

0

1346 897.46

Paso N° 4: Desplazamiento: Q = K –1 F -1

4819.21 1364.04 1346.04 897.46

*

0 4000

=

Q1 Q2

Q1 = 2.143 Q2 = -7.67 Paso 5: Esfuerzos: σ = Ee [-l -m L m] q Le 2.142 σ1 = 2.1 * 106 [l 0 -1 0] * -7.67 = 5997.60 750 0 0 σ2 = 2.1 * 106 [0.8321 0.5547 -0.8321 0.55470] * 900

TEORIA Y APLICACION

98



2.142 -7.67 = - 5768.45 kg/cm² 0 0 Paso N° 6: Reacciones: R = K Q -F 1

2

3

4

5

6

3

-2800

0

2800

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

5

-1817.09

-1346.04

0

0

2019.21

1346.04

6

-1346.04

-897.46

0

0

1346.04

897.46

Q=

2.142 -7.67 0 = 0 0 0

R3 = -5997.6 R4 = 0 R5 = 5998.98 R6 = 4000.30

4000 kg .

1

6000 kg .

2

6000 kg. 4000 kg. Problema N° 3 En la armadura de barras determine: a) Matriz de Rigidez. TEORIA Y APLICACION

99


b) c) d) e)


Ensamble la matriz K. Desplazamiento. Esfuerzos. Reacciones. 12000 kg A = 1 cm² A = 1 cm²

3.00 m.

E = 2.1 * 106 kg/cm² 5.00 m.

4.00 m.

Solución Q4

Q2 1

.

1

Q3

2

Q1 .2 Q6 3

Q5

Paso 1: Tabla de conectividad:: ELEMENTO

i

TEORIA Y APLICACION

j

Le

ø

L

m

K

100



1

1

2

500

180°

-1

0

4200

2

1

3

500

323°

0.8

-0.6

4200

90 .

1

180°

0° 323°

2

270° Paso N° 2: Rigidez de cada elemento: 1

2

3

4

1

2

5

4

1

0.64

-0.48

-0.64

0.48

2

-0.48

0.36

0.48

-0.36

1

0

-1

0

1

0

0

0

0

2

-1

0

1

0

3

5

-0.64

0.48

0.64

-0.48

0

0

0

0

4

6

0.48

-0.36

-0.48

0.36

K1 =

K2

Paso N° 3: Ensamblando la Matriz: 1

2

3

4

5

6

1

6888

-2016

-4200

0

-2688

2016

2

-2016

1512

0

0

2016

-1512

3

-4200

0

4200

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

5

-2688

2016

0

0

2688

-2016

6

2016

-1512

0

0

-2016

1512

Paso N° 4: Desplazamiento: Q = K-1 F -1 6888

-2016

0

-2016

1512

-12000

TEORIA Y APLICACION

Q1 =

Q2

101



Q1 = 3.809 cm. Q2 = -13.01 cm. Paso N° 5: Esfuerzos: σ = Ee [-l -m L m] q Le -3.809 σ1 = 2.1 * 10 [l 0 -1 0] -13.01 = 15997.80 kg/cm² 500 0 0 6

σ2 = 2.1 * 106 [-0.8 0.6 0.8 -0.6] * 500 -3.809 -13.01 = - 19986.96 kg/cm² 0 0

Paso N° 6 Reacciones: R = K Q -F 1

2

3

4

5

6

3

-4200

0

4200

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

5

-2688

2016

0

0

2688

-2016

6

2016

-1512

0

0

-2016

1512

TEORIA Y APLICACION

102


Q=

-3.809 -13.01 0 = 0 0 0


R3 = 15997.80 kg. R4 = 0 R5 = -15989.568 kg. R6 = 11992.176 kg.

12000 kg. 16000 kg. 16000 kg 12000 kg

Problema N° 4 Para la armadura mostrada Calcular: f) Matriz de Rigidez de cada elemento g) Ensamble la matriz General h) Calcule los Desplazamientos. i) Calcule los Esfuerzos. j) Determine las Reacciones. 25000 kg

TEORIA Y APLICACION

103



.2

1

A = 2.5 cm² E = 2.1 * 106 kg/cm² 3.00 m 20000 kg. .

3

4

4.00 m. Solución: Q4 .2

Q2 1

1

Q3

Q1 .2 .

Q6

4

Q8 .3

.

3

Q5

Q7

4

Paso 1: Tabla de Conectividad: ELEMENTO

i

J

Le

ø

1

1

2

400

180°

2

1

3

500

217°

3

4

3

400

180°

4

1

4

300

270°

L

m

K

-1

0

13125

-0.8

-0.6

10500

-1

0

13125

0

-1

17500

90 TEORIA Y APLICACION

104


.


1

180°

0° 217°

2

.

4

270° Paso N° 2: Rigidez de cada elemento:

1

K1 =

2

4

1

2

5

4

1

0.64

0.48

-0.64 -0.48

2

0.48

0.36

-0.48 -0.36

1

0

-1

0

1

0

0

0

0

2

-1

0

1

0

3 *13125 5

-0.64 -0.48

0.64

0.48

0

0

0

0

4

-0.48 -0.36

0.48

0.36

1

K3 =

3

2

3

K2

6

4

1

2

3

4

1

0

0

0

0

2

0

1

0 -1

1

0

-1

0

1

0

0

0

0

2

-1

0

1

0

3 *13125

3

0

0

0

0

0

0

0

0

4

4

0

-1

0

1

K4 =

Paso N° 3: Ensamblando la Matriz:

TEORIA Y APLICACION

105

*10500

*17500


1


2

3

4

5

6

7

8

1 19845

5040

-13125

0

-6720

-5040

0

0

2

21280

0

0

-5040

-21280

0

0

3 -13125

0

13125

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

0

0

5

-6720

-5040

0

0

19845

5040

-13125

0

6

-5040

-21280

0

0

5040

21280

0

0

7

0

0

0

0

-13125

0

13125

0

8

0

0

0

0

0

0

0

0

5040

Paso N° 4: Desplazamiento: Q = K-1 F

19845 5040 5040 21280 0

0 0

0

13125

*

0 -25000 20000

Q1 Q2 =

Q1

=

0.3174 cm.

Q2 Q7

= =

-1.25 cm. 1.5238 cm.

Q7

Paso N° 5: Esfuerzos: σ = Ee [-l -m L m] q Le 0.3174 σ1 = 2.1 * 106 [l 0 -1 0] -1.25 = 1666.35 kg/cm² 400 0 0

TEORIA Y APLICACION

106



σ2 = 2.1 * 106 [-0.8 0.6 0.8 -0.6] * 500 0.3174 -1.25 = - 2083.54 kg/cm² 0 0 1.5238 σ3 = 2.1 * 106 [l 0 -1 0] 0 = 10316.88 kg/cm² 400 0.3174 -1.25 0.3174 σ4 = 2.1 * 106 [l 0 -1 0] -1.25 = -8750.00 kg/cm² 300 1.5238 0

Paso N° 6 Reacciones: R = K Q –F 1

K=

2

3

4

5

6

7

8

1 -13125

0

13125

0

0

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

0

0

3

-6720

-5040

0

0

19345

5040

-13125

0

4

-5040

-21280

0

0

5040

21280

0

0

5

0

0

0

0

0

0

0

0

TEORIA Y APLICACION

107


Q=

0.3174 -1.25 0 = 0 0 0 1.5238 0


R3 = -4165.875 kg. R4 = 0 R5 = -15832.803 kg. R6 = 25000.304 kg. R8 = 0.

25000 kg. 4165.875 kg. 15832.803 kg. 25000 kg

20000 kg.

Problema N° 5 Para la armadura que se muestra determine: la matriz de rigidez, los esfuerzos, Reacciones. A = 12 cm² I = 2.1 * 106 4

5 600 m

TEORIA Y APLICACION

108


1


2

3

15000 kg. 9.00 m. 9.00 m.

9.00 m 9.00 m.

Solución: Q8 4

Q10 5

3

Q7 .4

Q9

6

5

Q2

7

Q4

1

Q6

2

1

Q1

3

2

Q3

Q5

Paso N° 01 Tabla de Conectividad:

ELEMENTO

i

j

Le

ø

L

m

K

1

1

2

1800

0

1

0

14000

2

2

3

1800

0

1

0

14000

3

4

5

1081.67

0

1

0

14000

4

1

4

1081.61

33.69

0.8321

0.5547

23297.3

TEORIA Y APLICACION

109



5

2

5

1081.67

33.69

0.8321

0.5547

23297.3

6

2

4

1081.67

146.31

-0.832

0.5547

23297.3

7

3

5

1081.67

146.31

-0.832

0.5547

23297.3

90° 6-7 146.31°

4-5 33.69° 0° 1-2-3

180° 270° Paso N° 2 Matriz de Rigidez

K1=

K2=

1

2

3

4

1

1

0

-1

0

2

0

0

0

0

3

-1

0

1

0

4

0

0

0

0

* 14000

3

4

5

6

3

1

0

-1

0

4

0

0

0

0

5

-1

0

1

0

6

0

0

0

0

7

8

9

10

7

1

0

-1

0

8

0

0

0

0

TEORIA Y APLICACION

* 14000

* 14000

110


K3=

9

-1

TEORIA Y APLICACION

0


1

0

111


10

0

TEORIA Y APLICACION

0


0

0

112


K4=

K5=

K6=

K7=


1

2

7

8

1

0.6923

0.4615

-0.6923

-0.4615

2

0.4615

0.3077

-0.4615

-0.3077

7

-0.692

-0.4615

0.6923

0.4615

8

-0.462

-0.3077

0.4615

0.3077

3

4

9

10

3

0.6923

0.4615

-0.6923

-0.4615

4

0.4615

0.3077

-0.4615

-0.3077

9

-0.692

-0.4615

0.6923

0.4615

10

-0.462

-0.3077

0.4615

0.3077

3

4

7

8

3

0.6923

0.4615

-0.6923

-0.4615

4

0.4615

0.3077

-0.4615

-0.3077

7

-0.6923

-0.4615

0.6923

0.4615

8

-0.4615

-0.3077

0.4615

0.3077

* 23297.31

* 23297.31

* 23297.31

5

6

9

10

5

0.6923

0.4615

-0.6923

-0.4615

6

0.4615

0.3077

-0.4615

-0.3077 * 23297.31

9

-0.6923

-0.4615

0.6923

0.4615

10

-0.4615

-0.3077

0.4615

0.3077

TEORIA Y APLICACION

113


1 2 1 30128.73 10751.71 2 10751.71 3 -14000

3


-14000

0

4 0

0

7 8 -16128.73 -10751.7

7168.58 0

0 60257.46

0 0

0 -14000

0 0

-10751.71 -7168.58 0 0 -16128.73 10751.71 -16129 -10752

0

0

10751.71 -7158.58 -10752 -7168.6

Ke = 4

0

0

0

14337.16

5 6

0 0

0 0

-14000 0

0 0

30128.73 -10751.71 -10751.71 7168.58

9 0

0 0

-16129 10751.7 10752 -7168.6

0

46257.46

0

-14000

0 0

8 -10751.7 -8783.09

10751.71

0

0

0

14337.16

0

9

0

0

-16128.73 -10751.71 107351.71

-14000

0

46257.46

0

10

0

0

-10751.71 -7168.58

-7168.58

0

0

0

2

30128.73 10751.7

2

10751.71 7168.58 -14000

0

3

-7158.58

7

10751.71

8

10 0

0 0

0

1

7

6

7 -16128.7 -10751.71 -16128.73 10751.71

1

3

5

9

10

14337.2

-1

-14000

-16128.7 -10751.7

0

0

-15000

Q1

0

-10751.7 -7168.58

0

0

0

Q2

0

Q3

0

= Q7

60257.46 -16128.7 10751.7 -16128.73 -10752

-16128.73 -10751.7 -16128.7 46257.46 -8783.09 10751.71

-14000

0

14337.2

0

0

0

Q8

8

0

9

0

0

-16128.7 -14000

0

46257.46

0

0

Q9

10

0

0

-10751.7

0

0

14337.2

0

Q10

TEORIA Y APLICACION

0

*

0

0

114



Q1 = 0.10 cm. Q2 = -25.31 cm. Q3 = 1.173 cm. Q7 = -5.85 cm. Q8 = -16.38 cm. Q9 = -1.36 cm. Q10 = 0.88 cm. Paso N° 5: Calculo de Esfuerzos σ = Ee [-L -m L m] q Le 0.10 σ1 = 2.1 * 106 [0 -1 0 1] -25.31 = 29528.33 kg/cm² 1800 1.173 0

σ2 = 2.1 * 106 [0 -1 0 1] 1800

1.173 0 0 0

-5.85 σ3 = 2.1 * 10 [0 -1 0 1] -16.38 1800 -1.36 0.8 6

=0

= 20137.83 kg/cm²

σ4 = 2.1 * 106 [-0.8321 –0.5547 0.8321 0.5547 *

TEORIA Y APLICACION

115



1081.67

*

0.10 -25.31 -5.85 -16.38

= σ4 = 0.68 kg/cm²

σ5 = 2.1 * 106 [-0.8321 –0.5547 0.8321 0.5547 * 1081.67

*

1.173 -5.85 -1.36 -0.8

= σ5 = 3070 kg/cm²

σ6 = 2.1 * 106 [-0.8321 –0.5547 0.8321 0.5547 * 1081.67

*

1.173 0 -5.85 -16.38

= σ6 = -6294.44 kg/cm²

σ7 = 2.1 * 106 [-0.8321 –0.5547 0.8321 0.5547 * 1081.67

*

0 0 -1.36 -0.88

TEORIA Y APLICACION

= σ7 = 3058.58 kg/cm²

116



CAPITULO VI MARCOS Y PORTICOS PLANOS O ELEMENTOS DE CONCRETO Se considera estructuras planas con miembros, conectados rígidamente. Estos miembros serán similares a las vigas excepto que se tendrán presentes cargas axiales y deformaciones axiales. . q’5 q5 q’4 2

. q4

q6 q2 Y

q’2

TEORIA Y APLICACION

q’1

117


1

q3


q1

X Se define a un sistema de coordenadas local: X’, Y’, tal que X’ este orientado a 1 y 2 con cosenos directores: c, m. Donde: c = cos θ m = sen θ Estas se evaluán usando las relaciones de armaduras mostrada anteriormente. El vector desplazamiento nodales en el sistema locales: q = {q1’, q2’, q3’, q4’, q5’, q6’}T q3’ = q3 -

;

q6’ = q6

Desplazamientos Globales. Son rotaciones con respectos al cuarpo. q’ = L q L

m

-m

L 1 L -m

Matriz de transformación m L 1

TEORIA Y APLICACION

118



Para armadura:

Para Pórtico:

Nota: Se observa: q2’, q3’, q5’, q6’, son G. D. L. Para la viga q 1’ y q4’ son similares la armadura. Por lo tanto cambiando las dos rigideces y colocando en posición conveniente tendremos: 3

6

1

4 2

TEORIA Y APLICACION

5

119



EA/L

0

0

-EA/L

0

0

0

12EI/L³

6EI/L²

0

-12EI/L³

6EI/L²

0

6EI/L²

4EI/L

0

-6EI/L²

2EI/L

-EA/L

0

0

EA/L

0

0

0

12EI/L³

-6EI/L²

0

6EI/L²

4EI/L

K e'=

0

-12EI/L³ -6EI/L²

0

6EI/L²

2EI/L²

EΔ=A L

;

6EI = Є L²

12 EI = B L³

;

4 EI = D L

Por lo tanto: ;

2EI = E L

Ke = LT Ke’ L A

0

0

-A

0

0

B

C

0

-B

C

D

0

-C

E

A

0

0

B

-C

K e'=

D

Para llevar el sistema Global. Problem N° 1

TEORIA Y APLICACION

120



Calcular las reacciones para las cargas indicadas E, I, A, son constantes. Hacer I/A = 1000. 15 K/pies

15 K 10 K.

6 piés Y

10 piés X 8 piés

Solución: 11 2

8

10

.1 1

7 .3

12

9

.2 2 3

4

3

5 1

6

4

Paso N° 01

TEORIA Y APLICACION

121



Tabla de Conectividad

1

i 1

j 2

Le 10

A 0.1

B 12

C 60

D E L m 400 200 0.8 0.6

2

1

3

10

0.1

12

60

400 200

0

-1

3

2

4

16

0.0625 2.9296 23.437 250 125

0

-1

ELEMENTO

90° 1 180°

37°

0°

270° Paso N° 02 Matriz de rigideces del Elemento: Ke = LT Ke’ L 7

Ke’1 =

8

9

10

11

12

7

0.1

0

0

-0.1

0

0

8

0

12

60

0

-12

60

9

0

60

400

0

-60

200

10

-0.1

0

0

0.1

0

0

11

0

-12

-60

0

12

-60

12

0

60

200

0

-60

400

*10-3

* Matriz de Rotación

TEORIA Y APLICACION

122


L1 =

0.8

0.6

0

0

0

0

-0.6

0.8

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0.8

0.6

0

0

0

0

-0.6

0.8

0

0

0

0

0

0

1

7

8

9

10

11

12

4.384

-5.172

-36

-4.384

-5.712

-36

7

7.716

48

5.712

-7.716

48

8

400

36

-48

200

9

4.38

5.712

36

10

7.716

-48

11

400

12

Ke1 =

Ke’2 =


0.1

0

0

-0.1

0

0

0

12

60

0

-12

60

0

60

400

0

-60

200

-0.1

0

0

0.1

0

0

0

-12

-60

0

12

-60

0

60

200

0

-60

400

0

-1

0

0

0

TEORIA Y APLICACION

0

*10-3

123

*10-3


L2 =


0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

-1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

7 7 8 Ke2 =

9

1

2

3

0

8

60

-12

0

60

0.1

-0.1

0

0

0

400

-60

0

200

12

0

-60

0

0

12

9 1 2 3

400.1

10 10 0.0625

Ke3' =

11

4

5

6

0

-0.063

0

0

11

0

2.9296

23.437

0

-2.93

23.437

12

0

23.437

250

0

-23.44

125

0

0

0.025

0

0

4 -0.025

L3 =

12

0

5

0

-2.9296

-23.44

0

2.9296

-23.44

6

0

23.437

125

0

-23.44

250

0

-1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

-1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

TEORIA Y APLICACION

* 10-3

124


10

11

10 2.9296

0

11 Ke3 =

0.0625

12


12

4

5

6

23.437

-2.93

0

23.437

0

0

-0.063

0

250

-23.44

0

125

2.9296

0

-23.44

0.0625

0

4 5 6

250

7

Ke =

9

10

11

12

7 16.384

-5.712

24

-4.304

5.712

-36

8 -5.112

7.816

48

5.716

-7.716

48

48

800

36

-48

200

10 -4.304

5.712

36

7.3136 -5.712 59.437

Q10

15

11 5.712

-7.716

-48

-5.712

7.716

-48

Q11

0

48

200

59.437

-48

650

Q12

15

9

12

8

24

-36

*10

-3

Q7

10

Q8

0

Q9

=

0

Q7 = 5012 Q8 = 2109.4 Q9 = -830.1 Q10 = 14134 Q11 = -3375.1 Q12 = -1191.3

TEORIA Y APLICACION

125



Calculo de las Reacciones R = [Kij] [q]

R2 =

7

8

-12

0

0

-0.1

60

0

10 R3 =

9 -60 1 0

5012

2

*10-3 * EI

200 3

11

2109 *1/EI = -830.1

-10.34 lb/pulg -0.211 lb/pulg 134.9 lb/pie

12 -23.438 4

-14.65 lb/pulg

-2.9296

0

0

-0.0625

0

5

*10-3 * EI -3375 *1/EI =

14134

23.4375

0

125

6

-1141

0.21

lb/pulg

216.88 lb/pie

830.1 5012

14134 2109.4

1141.3

3375.1

Problema N° 02 W = 300 kg/m. 2000 kg..

TEORIA Y APLICACION

126


E = 217370.6 kg/cm² I = 67500 cm4 A = 900 cm² .1


.

2

4

3

8.00 m 5 1

8

2

1

4

7

6 .

2

9

3

2 3

11

4 1

12

10

3 1) Tabla de Conectividad:

ELEMENTO

I

j

Le

L

m

1

1

2

800

24.454 0.0343 13.755 7336.25 3668.12

A

B

C

D

E

1

0

2

1

3

400

48.908 0.275 55.022 14672.527336.25

0

1

3

2

4

400

48.908 0.275 55.022 14672.527336.25

0

1

Ke = LT K L

TEORIA Y APLICACION

127


4 4

5

6

7

0

0

-24.454

0

0

0.0343

13.755

0

-0.0343

13.755

7336.25

0

13.755

3668.1

24.454

0

0

0.343

-13.76

24.454

5 K4=


6 7

8

8 9

L3 =

24.454

9

7336.3

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

-24.454

0

0

0.0343

13.755

0

-0.0343

13.755

7336.25

0

-13.755

3668.12 *104

24.454

0

0

0.0343

-13.755 7336.25

Ke = LT K’e L

TEORIA Y APLICACION

128


L=

L2=

0

1

0

0

0

0

-1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

-1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

-1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

10


0

0

0

0

1

0

0

0

0

-1

0

0

0

0

0

0

0

0

10 2.65

11 0

12 -127

7 -2.65

8 0

9 -127

212.5

0 8125

0 127

-212.5 0

0 4063

127

0

212.5

0

11 Ke2''= 12 7 8 9

TEORIA Y APLICACION

0

8125

129


1 4

144.3 4 24.7291

5 K = KT=T 6 7 8

2

3


4

5

6

0 5 127 6 -141.77 0 8 0 -55.0219 -24.454 0 213.3 56.4 0 -0.784 48.9343 13.755 0 -0.0343 13542 0 -56.4 22008.765 0 -13.755 144.3 0 24.7291 0 213.3 48.9343

9

0 9 0 56.4 13.755 2708 4 3668.128 *10 127 55.0219 -56.4 -13.755 22008.765 13542

KQ = F F = Fext. – F int. 6

10

5 4

3000 0 0 F= 0 0 0

9

-0 -3000 -72000 -0 -3000 72000

TEORIA Y APLICACION

=

wl² =160000 12 wl² =1200 2

3000 -3000 -72000 0 = Q = K-1 * F = -3000 72000

cm 24.5644 cm cm 5.49 4705.41 cm -24.51 cm cm 5.41 4746.17

130



Fuerzas Internas en los extremos de los elementos:

24.454

0

0

0

0.0343

13.755

13.755

7336.25

P12 =

4705.4 [ I] +

0

0

0

-0.0343

13.755

-13.755

3668.12

[ I] +

996.94

=

-24.51

*104

149.92

5.41

P13 =

-24.454

60119.79

48.9

0

0

0

0.2751

-55.0219

*

-55.0219 14672.515 4746.2 *

-24.51

0

1

0

-1

0

0

0

0

1

*

-1201.19

=

5.49

-1607.74 341695.39

Problema N° 3 600 k-p

A = 10 pulg² I = 200 pulg4 A = 10 pulg² I = 200 pulg4

TEORIA Y APLICACION

100 pulg.

200 pulg.

131



A = 5 pulg² I = 100 pulg4

A = 5 pulg² I = 100 pulg4

200 pulg.

100 pulg.

E = 30000 kg/pulg²

Solución: 14 5 1

.2

15 11

8

4

13

3 7

10

9 .1

12

3

2

5 1

1

4

4

3

6

ELEMENTO

i

j

Le

A

B

C

D

E

L

m

1

2

1

200

750

4.5

450

60000

30000

0

-1

2

2

3

200

1500

9

900

120000

60000

1

0

3

3

4

223.6 670.84

3.22

360.02

53667

26833.6

0.447

-0.894

4

3

5

100

72

3600

240000

120000

0

1

TEORIA Y APLICACION

3000

132



Ke = LT Ke’ L

7 7

9

1

0

450

750

0 60000

4.5

8 K1 =

8

9 1

2

3

-4.5

0

450

0

-750

0

-450

0

30000

4.5

0

-450

750

0

2 3

60000

7 7

8

1500

8 K2=

9

10

11

12

0

0

-1500

0

0

9

900

0

-9

900

120000

0

-900

60000

1500

0

0

9

-900

9 10 11 12

120000

10

K3 =

11

12

4

5

6

10 136.61 -266.79

321.86

-136.61

266.79

321.86

11

160.92

266.79

-536.8

160.93

5.3667

-321.85

-160.93

26833.63

536.8

12

TEORIA Y APLICACION

133


4


136.61

5

-266.79

-321.86

536.8

-160.93

6

53667

10

10

11

12

13

14

15

72

0

-3600

-72

0

-3600

3000

0

0

-3000

0

240000

3600

0

120000

72

0

3600

3000

0

11 K4=

12 13 14 15

7

240000

7

8

9

10

11

12

1504.5

0

450

-1500

0

0

759

900

0

-9

900

180000

0

-900

60000

1708.61

-266.79

-3278.14

3545.8

-739.08

8 T

K=

9 10 11 12

200

TEORIA Y APLICACION

41366.7

1.38

134


Q=

0 -500 0 0 0


-0.00112 -0.00957 1.2499 0.0940 0.01146

-1

K =

Nudo 1 Nudo 2

Fuerza en los Extremos de los Elementos: Pij = Kii Li qi + K’ji – Lj qj

750 P21 =

0

0

0

-1

1.38

4.5

450

1

0

-0.00112

60000 0.84 P21 =

1

k k-pulg

7

8

9

1500

0

0

9

900

1.38 *

[ I]

120000

7

8

9

1500

0

0

TEORIA P23 Y= APLICACION

-0.00957

k

1.9035 46.8

P23 =

=

-9

900 * 60000

-0.00112

+

-0.00957

1.2499 0.094 0.01146

195.15 k =

0.8449 -546.4

k 135 k-p


10

11

12

1500

0

0

9

-900

P32 =

1.2499 *

[ i ]

120000

-0.0011 -0.00952

=

k

-0.844 715.39

k k-p

10

11

12

670.84

0

0

3.22

360.021

P34 =

0.094

-195.2

*

+

318.42 7.85 1032.44

P35 =

8

9

0

0

11

-9

900

12

-900

60000

0.45 -0.894

1.2499

0.89

0.094

0.447

53667

P34 =

7 -1500

10

0.01146

1.38 [ I]


1

0.01146

k k k-p

10

11

12

3000

0

0

7.2

3600 240000

282 k -48.7368 k -1749.24 k-p TEORIA Y APLICACION

*

0

1

1.2499

-1

0

0.094 1

0.01146

P35 =

136



Reacciones: R = [Ke] ij [q ]i

R1 =

R4 =

7

8

9

-4.5

0

-4.5

0

-750

0

450

0

30000

1 2 3

10

11

12

4 5

-136.6 266.79

266.79 -536.8

-321.85 -160.93

6

321.86

160.93

26833.63

Q1

13 R5 = 14 15

=

1.38 -0.00112 -0.00957

1.2499 0.094

k

0.834

k

333.9

k-p

-149.35 Kg 284.85 Kg

=

0.01146

725

Kg*pulg

0.3174

10

11

12

-72

0

3600

1.2499

0

-300

0

0.094

-3600

0

120000

TEORIA Y APLICACION

=

-1.9

0.01146

-48.73 Kg

=

-282

Kg

-3124.4 Kg*pulg

137

LIBRO ANALISIS ESTRUCTURAL.doc

Recommend Documents