MATRICIAL TRUCTURAS
V
INTRODUCCIÓN
Los primeros artículos sobre el inálisis de estructuras por métodos matriciales fueron publicados a finales del siglo pasado. Fue necesario que transcurrieran más de 50 años para que se convirtiera este método en '.a herramienta más poderosa para el ingeniero calculista, su desarrollo ha sido de tal magnitud, que los métodos tradicionales como el de Hardy Cross o el de G. Kani pueden con; iderarse como arcaicos.
El desarrollo de los métodos matriciales para el análisis de estructuras se debe al auge que ha tomado en la época los computadores digitales, de allí que su enseñanza en la ingeniería toma importancia fundamental en la época moderna y es este el objetivo fundamental del presente texto.
Los primeros cuatro capítulos se dedican a la presentación analítica del método para lo cual se parte de lo general a lo particukr facilitando con ello una concepción clara del problema del análisis estructural, el enfoque analítico tiene un claro objetivo hacia la sistematización hasta llegar a dominarlo en el capíl ulo quinto con aplicaciones en el software que hace parte integral del presente texto, Una de las grandes preocupaciones del autor era realizar un texto de análisis cuyo alcance superara con creces la parte operativa y profundizara en la parte conceptual, lo cual se pretende al tratar con todo el rigor r matemático y analítico temas como: el efecto que sobre las estructuras aporticadas tiene la m¡tmposteria de arcilla; se presenta, analiza y discute los principios básicos del sistema dual, deduciendo rigurosamente la matriz de rigidez que involucra todas sus variables; se explica el sistema de condensación estático de la matriz de rigidez; se analizan los efectos d>; segundo orden y se trata con todo rigor un ejemplo matemático hasta llegar a resultado 3 de diseño y por último en el capítulo décimo se analiza y discute la filosofía del diseño sísnúco a la luz del CCCSR,
CONTENIDO 1. FUNDA3VCÉNTOS DEL AT» 'ALJSIS ESTRUCTURAL
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1.1 1.2 1.3 1.4
Objetivo del análisis ...„,.'. !.,. Sistemas estructurales ,.,.....,,....;..: ....„....,......>,..... Modelación de estructuras „ .!„,.'...„., Clases de análisis ..;? ' Ecuaciones de equilibrio y convención de signos ,.,;<„ 1.6.. , Relaciones de equilibrio .,. ...,...„,.. 1.7•. .Inestabilidadestructural ,..., :..... 1.8 ; Indeterminación estática ,.... -. •.•„.' i 1.8,1 Cerollas planas y esp aciales ; 1.8.2 Pórticos planos y esp aciales ; 1.8.3Enb-arnadog ... : ,,. r , 1.9 Indeterminación cinemática í:.....,...„.::.....;„;.,;,.v„•.;..,.....;;.,.;..;.......! 1,9.1 Cerchas planas y esp aciales ¡ 1.9.2 Pórticos planos y esp aciales < ;-;, 1.10 Ejemplos I . M Problemas propuestos ,...,,! .'...;. '.,'. .
. . :, • ;.!.,.!! ; • ' •'•:
1,1 1,2 1.2 1.3 1,4 1,41.5 1.7' 1,7 1.8 1.10 1.11 1,11 1.12 1.13 ' 1,18
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2. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS LOCALES
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2.1
Energía de deformación 2.1 2.1.1 Energía de deformaciim por fuerza axial 2,1 2.1.2 Energía de.defojfrnaciiJn por'flexiórt • '• '.:,¿¿,....i,,..'.;,;,;,ki^;.,.....>„.;....... ';2,2 j • 4^13 Energía de^efóíriíaieíib por torsión '...-!/!;; .'....>';.., •.;....;.,.,. '"2.3 i2.1,4 Energía de deformaoi(>n por cortante ,,,,.,,,..;,,;,,,:,.,,,.;, 2.5 ,2.1.5 E?cpresión general de: a energía de deformación , 2,5 2.2 A^atriz de rigidez ','. 2.5 2.2.1 Análisis del desplazaidiento axial, u j ,..,. 2.6 2.2.2 Análisis del desplazar oiento normal, u2 y u3 2.7 2.2.3 Análisis de la flexión, u3 y u6 . 2,9 2.2.4 Análisis de la torsión, u4 2.10 2.2.5 Matriz de rigidez de u i elemento tridimensional 2.11 2.2.6 Matriz de rigidez de U1 lelemente de pórticos planos 2.14 2.2.7 Matriz de rigidez de ui i elemento de entramados 2,15 2.2.8 Matriz de rigidez de ui i elemento de cerchas planaa , 2,16 2.2.9 Matriz de rigidez de un elemento de cerchas espaciales ,..,..,,,.,......,. 2.16 2.3 Ejemplos , ., 2,17
m* 3. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES
3.1 3.2
3.3 3.4
3.5
Sistemas de coordenadas ¡ Matriz de transformación de coordenadas 3.2.1 Cerchas espaciales 3.2.2 Cerchas planas 3.2.3 Entramados 3.2.4 Pórticos planos , ,,,,,..,. 3.2.5 Pórticos espaciales 3.2.6 Propiedades de la matriz Matriz de rigidez en coordenadas globales 3.3.1 Introducción Matrices de rigidez 3.4.1 Cerchas espaciales ,,..,,..„, 3.4.2 Cerchas planas 3.4.3 Entramados 3.4.4 Pórticos planos Ejemplos
,
31 , i 3^ 3',2 3.3 3,4 .,,',,, 3,5 , 3,6 ...^.......v,,...;,.;,...;/ 3.7 .:/......'....i:...,....,;..' 3,7 i.•;........;;...'.,.,;...;, 3,7, .'..,-.,.¡..,..,,.. '3,8 ...<.. i-..",.-...,':;•;.'.':.'.'•'' 3.8 ,.'.>,.i,..........'..-.''.'..,., '*'• 3.9 ..;..; " 3,9 ,.v. '',....',""''" 3,11
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¿.'¡i.
,.,,,..
,
•..' •
3.12
4. MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5. 4.6 4.7
Introducción Generación de la matriz Sistema do numeración délos nudos Análisis de cargas aplicadas en las luces Procedimiento general de análisis Ejemplos ... ,,.,.,;,-t ..,.,..,... .Problemas propuestos
¡
•;...:;.-...;. : ,.,
,...,.;,.:
',...,..:,..,,..
;
4.1 4.2 4.4 4.6 4,7 ' 4.8 4.23
5. ANÁLISIS DE .ESTRUCTURAS ESPECIALES... ;, ' •!
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6
:^¡
' $(•
Aspectos generales Apoyos flexibles Apoyos de rodillos inclinados Estructuras compuestas Ejemplos Problemas propuestos.
.. ' , ' ' I!
,..,.
¿ '•
,,,..;,,..., ,..., .•
5,1 5.1 •• '5.2 5,3 ..'.;..... 5.4 5,9
6. PÓRTICOS CONFINADOS CON MUROS DE MAR OPOSTERIA ó . l " Sistemas con muros y/o pórticos , ,.,, 6.2 Análisis convencional de estructuras aporticadas 6.3 Análisis experimental
¡
6.1 6.1 6.2
1 0 £
¡í
Ij I fJ (!_
9
6.4 Propiedades mecánicas di¡ la mánlpostetia;:de!arcilla ••..,.•...'......;...!.. '......-.'' 6.4 6,4.1 Módulo de elasticidad .,..;....... 6.4 !,. 6.4.2 Módulo de corte;yj8ÍaGÍón,de¡Poissori'-''H-\?^;.;,'ili!!.,ÍK.....,.^' ;....;. 6.5 ( /-i; 6.4.3 Resistencia a Ja conipregión, fm ., '.;'..',..••..'.„..' .,! 6.5 i 6.4.4 Deformaciones unitarias últimas '. 6.6 6,5-,: Ejemplo , ..'......'.:.'.,.. 6.6 6,6:i Conclusiones ..,,>..,!>,, ;,.';;,.;,. ..'.,.'.,,.,......„,*. 6.9 6r7í.ii Problemas propuestos ..'...'.[;'..t.'.,l.......,,í,,..... .'.. ' 6.11 •M
E
3
n
7, ANÁLISIS DEL SISTEMA, DUAL ",.'", ••; «."•?•• ' «•:• •••-" 7. ¡1 o (Aspectos generales „. •• ....,.,,...,'..,,, .'.'.'.„'.(...'..' 7i2ii Filosofía del sistema dual ..,,,,'. 7.3 Idealización de los muros, método de la columna ancha 7.4 Consideración del efecto < le la deformación por cortante 7.5 Consideración del efecto (te la deformación por cortante y de la rigidez de los nudos 7.6 Ejemplos , 7.7 Problemas propuestos
'!' 7,1 7.1 7,3 7.5 7.8 7,15 7.18
8. CONDENSACIÓN ESTA1ICA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ ._ 8.1 8.2 ^ÍÍJ
M: •/ i _ '! Vv ir-^ $ |,
Consideraciones de carácter general Proceso operativo de la ca idensación matricial 8.2.1 Deformaciones axiales en las columnas 8.2.2 Deformaciones axiales en las vigas 8.2.3 Condensación de tos grados no cargados 8.3 Ejemplos
9. EFECTOS DE SEGUNDO ORDEN 9.1 9.2 9.3
¿H í|
r,
...
8.1 8.2 8.2 8.3 8.3 8.4
9.4
Generalidades Efectos de segundo orden ] jara carga vertical sola 9,2.1 Efectos locales de segundo orden (Pandeo local) 9.2.2 Efectos globales de s egundo orden (Efecto P-Delta) Efectos de segundo orden j >ara cargas horizontales solas 9.3.1 Efectos locales de se¡$undo'orden (Pandeo local) 9.3.2 Efectos globales de ! egundo orden (Efecto P-Delta) Ejemplo
9.1 9.2 9.2 9.6 9,7 9,7 9,10
1 * 10. CRITERIOS DE DISEÑO SÍSMICO '
;
;
i-,.. . .];,;Ai. ••; • • ! •: • • , ' : . ' : ••• 10.1 Requisitos que deben seguirse en estructuras-en zonas sísmicas ..;:...;..,.'..., "10.1 10.1.1 Estructuración „ Y....... .;.„.....; •...': .,...„.. : 10.1 10.1.2 Diseño ;.;.;;,.; ..,...;... 10.2 10.1.3 Ductilidad ; i.í:..;;i ' 10.2 10.2 Comportamiento de estructuras hiperestáticas ......,..... 1 ;.: 1 ' 10.2 10.3 Algunos conceptos de diseño plástico ..,;...v...i.1.;......;'...: 10.8 ' 10.3.1 Cortante en vigas '. 10.8 10.3.2 Momento en columnas , 10.11 , 10.3.3 Cortante en columnas .,....;...:,.;...........: .; ;.;;./;: ' 10.12 10.3.4 Uniones viga-columna ,r 10.12 10.3.5 Problemas de adherencia ¡ ,...¡,.;..'...,;' „., í" 10,13 10.3.6 Estructuración '. .,;;:...;,..<...;,•..............:' ;10.14
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1, FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS ESTRUCTURAL 1.1 OBJETIVO DEL ANALI!US:
,'* 'V1*'1"' '••
Proporcionar una seguridad idecuádá a las estructuras ante la aparición de estados limites de falla para las acciones más desfavorables que puedan presentarse durante la vida úül y procurar que en las cdndicú raes normales de operación no sobrepasen los Límites de servicio (flechas, fisuras, vibración ;s, etc.) Por acciones generalmente identifí camos las cargas pero puede definirse como toda acción externa que induce en la estructura fuerzas internas, esfuerzos y deformaciones, así definido, entendemos por acción adettiás (le las cargas, los asentamientos, las contracciones del hormigón; los'cambios de terhperai urá,;ettí! : ' '
ACCIONES Viento
Sismo. '•'• Asentamientos
fc jír. ÍJ Oríetia
V ÍS; ^
Vibraciones Flechas, .. ¡ Derivas,, - ¡ - : ' . ' .• '.•..- ¡'
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ESTADOS DE SERVICIO :\l'-'--Y--
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FIGURA'1,1 Objeto tfel'ftnállsi» estructural
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,
ESTAD O1 LIMITE ;!:GualqTlier etipa del comportamiento de la estruchira a partir del cual su'respüésta Sé óoñsidéra'inaceptable. Los estados limites relacionados con la seguridad se denominan-ESTADOS LIMITES DE FAtLA^y Güitespottdéñ' a' situaóio aes eri'iosvqüe la! estructura 'Siiíre falla total o parcial, Por ejemplo, fallas puf cortante, torsión,flexión,^^carga1 aídaí, etc. "' ; '."'
I) IV Los estados Umites de falla son: • 9 *
ti i Li_
Roberto Rathel Awad
Colapso Inestabilidad Daño irreversible
."P'í íí
Análisis Mafricial de Estructuras Otros de los estados límites se relacionan con situacic aes, que sin poner en juego la seguridad de la estructura, afectan su correcto funcií namiento. Estos se denominan ESTADOS LIMITES DE SERVICIO.
§__,.
Los estados de servicio son:
.
• • « • •
Flechas Derivas Grietas Vibraciones ... ;. Daflos enmujos
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1.2 SISTEMAS ESTRUCTURALES: '.:
a) Laminares:
i ;'• i 1 ¡ • , ' - ( . - •
V - . ' . , , . . . : . . •.
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i,
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Son estructuras continuas donde no existe un,esqueleto identificable, .corno:es eicaso¡! de loa cascarones, tanques y muros de contención, entre otros,
J 'n ||-4sí „
v.
b) Reticulares:
<,
.
^r*'
Su esqueleto es fácilmente identifica ble por estar conformado por la unión de barras, tal es el caso de los edificios, puentes, cerchas, torre,! de energía, etc.
E* r41^
En este texto nos dedicaremos al análisis de las .estructuras reticulares pero los principios básicos del análisis y los procedimientos ce:íiputacionales pueden extenderse para el análisis de las estructuras'laminares.
r
1.3 MODELACIÓN DE LAS ESTRUCTURAS: ; mi uíiuuuaciuu imutauiauuu<. Ho.jHauu, • íwj ,í4t?^»im«4,iUO,. ui;iypmn;;vtmíia iucmiüaciuuca pma reducir la complejidad del problema, algunas de ellas tienen que ver con las descripciones geométricas de las estructuras y otras• con el,comportaniiento,|del material.,,.Esí.neqessiarioy idealizar también la forma de los elementos individúiijes/.y.^jde ; ,la., ( manera,,.,conjQ.r l .se>¡' interconectan entre si y con los elementos de la frontera. • '/.'•• . ' . ' . , . - • . !
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.•¿,.J:.-ív ¡ *-'';-. i
Una,.vez idealizada la • estructura se .aplica al. modelo ,el ^procedimiento,de/ análisis, para.-* determinar loa desplazamientos de la estructujra;y las fueiva ¡ en IQS elementos. - ,!¡ . ,-.,>, >j •
^,..; j •%' _* -
l(;; | r^
Lr ; , ' • •' . Idealizaciones geométricas: e
-,• ;.;:,.,
!• • .'.
Los elementos de la estructura, se:representan por lineas rectas que siguen la triayecíoria del centroide de la.sección transversal del elemento.
Roberto Rochel Awad
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h r# ^¿fci j ¡fl
AMIisís Matricial de Estnictun s
•7P, ,.-;i!»,;i:ff;Laiseeción.transversal d« uü elementó eá constante, es decir,¡ las dimensiones de la sección transversai,¡no cal tibian y Su inerciay;el>áreá permanecen constantes. La idealización de los si ¡temas de unión de los elementos se hará posteriormente para .cadaiuna; de -las esto ¡oteas-'reticulares-'aMlJJzadas.í ,' ! ;•• ; ,' ! '.;''•
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Idealizaciones .del; material;,-i; .!, ifiuttwl
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' •Ktv.i 1 ',-, 1 <-.'J' '. " i
• '•'
'- • ' ' ; •
,,, ,;,;,»,. .41;,material se asume- homogéneo iei'isotrópicp¿ es 'decir que tiene'ias mismas
,,,,, ¡ ¡ |¿t,,.,propiedades lelástiqas! etí: todos sus puntos. y en, todas'• las.'direccionesi en otras palabras, existe una relacion lineal entra'las'cargas'y las deformaciones. "Duplicar IM car ge» duplica el desplauunl tnto"
n
»
Del anterior comportan liento lineal se deduce la validez del principio de superposición; "La irespui sta de una estructura, debido a un número de cargan aplicadas simultáneamente; so obtient mediante la suma de las respuestas de las carga* individuales, aplicando por separado cada una de ellas a la estructura"
•
Los desplazamientos del en ser pequeños comparados con las dimensiones de la estructura,
No es posible superponer los di aplazamientos producidos por cargas individuales para obtener el desplazamiento final de bido a la carga total si las propiedades del material no son lineales. La suposición de un material linea [mente elástico.es bastante restrictiva,, Las desviaciones
•1.4 CLASES DE ANÁLISIS Según la geometría que se considere los sistemas de análisis de estructuras se clasifican
en: u)
n
Análisis dé primer orden Este análisis se fundamenta ei i la geometría inicial de la estructura
i b)
Análisis de segundo orden Incorpora en el análisis los efi ictos del cambio de geometría,
Roberto Rochel Awtsd
"
a Análisis Matrkial de Estructuras Desarrollaremos inicialmente el análisis de las estructuras reticulares a partir de la consideración ;de materiales, elásticos ,y análisis-'de,, primer > orden, < < posteriormente se considerarán incorporará en el análisis los efectos de segu ndo orden, ' -
1.5 ECUACIONES DE EQUILIBRIO Y ¡CONVECCIÓN DE SIGNOS Si un cuerpo se encuentra en reposo y permanece así cuando-'se lesi aplicanJcárgas, entonces se dice que el cuerpo está en equilibrio estático,; >ero sj ocurre algún movimiento el cuerpo se encuentran equilibrio dinámico, Interesa*solo i ti análisis de las estructuras que se encuentran en equilibrio estático, un cuerpo en un espacio tridimensional estará'en equilibrio estático si,satisface las siguientes, ecuaciones:-;¡i' ... . \r
=0
'•••iZ Fz =;|
IMy = 0 " ••••••••"• =0 '"Z-1"
FIGURA 1.2 Fuerzas y momento* írldimenj tonales generales
!
,.:,,,:,
Estos son Ips sentidos de las fuerzas, momentos, despls;iarnientos'y giros que se asumen como positivos,'obsérvese que para' los momentos y gij 3S se ¡adopto la convención de la mano derecha;
1.6 RELACIONES DE EQUILIBRIO Del análisis de la figura 1,3 puede concluirse: tí
E
$
Ma = 0,
2 Me = O,
!lL
+ Cxh - Cy L = 0
iy L = O
A
f
Ay 1
Cx h • Cy L '
'- - PL
i AyL' - 0 . - Cx h/2 + Cy L 12 + Ay 172 = P1V2
FIGUHA 1.3 Estructura rígida estable
D
tíJ9
Rolxjrío Rochfll Áwad
u
Análisis Matricial de Estructuras
2Mb = -
De donde:
Observese que la .expresión-3 es1 una combinación lineal de la .l,:y;la.;2j^estó^quiere. decir que la ecuación 3 no tiene inforrliacióii adicional a la de'las ectiad6neS|Í^2;;ieníConsecuencia esté sistema de ecuaciones e's line límente dependiente y no tíéñ^sólucíónjieft teste caso, la matriz de los;coeficientes es una m atriz singular.
n M n 'u
n-
h Matricialmente:
-L 0 0 ' 0 L /2 L/2 •L/2
.^ ,
Ay
PL/2 -s
Un sistema de ecuaciones es singular cuando el deterrniíxante de los coeficientes es igual a cero, expandiendo la matriz anterio r::
L '
Deterrninafité r .h*
O
UL* -h/2
Esta situación de no solución al sií tema de ecuaciones se presenta por la elección deficiente dedasfecmcioñes de'equilibrlój'est í estructufaíes estable y ^estáticamente determinada, luego debe iexistiriuna solución. ••'.!' S ;i|V ' ; - ^v jí ' *':' •'•' : '-vV: ¡/i.".y': :
- Cy + Ay + P = O
£Fy ! = O
'1
0 0"
'1
0 •'-1 L^^
Ó'
M.
Cx '-PL' • Cy , = . 0
^.
Cx Cy
1 Ay
,
'
0' -P
ó:
Como el determinante es diferente < le cero, existe solución:
Cy = P4-, Cx-'— Ay - O
1.7 INESTABILIDAD ESTRTÍÓTURAL 11 ' Otra cotidieión que conduce a un sistema singulaí de ecuaciones se presenta, cuando la estructura es inestable,(es' d^cif; oí lando 'lio puede resist^: el moyiínieftto causado.por, una carga arbitrariamente colocada.
Roberto Rochel Awad
Análisis Matricial de Estructuras
FIGURA 1.4 Estructura rígida Inestable
'1 '-' C- X
—1 0 1 0 0 h 4i. 4,
!.'• v *
Determinante = 1*
Bx
•4-1*
c
'o p o
Ax
SU] hP-L
r.
,s O
H
En este caso el sistema de ecuaciones. ;es válido-pero,] u-estructura, es'.¡inestable; y no ihay solución posible debido a. que el determinante de la matiiz de ¡los coeficientes, esícero,'esta inestabilidad se debe a que todas las reacciones concurrer. a un punto y el sistema estructural no puede soportar una carga que no pase pordicho punto ¡jomo es el caso de la carga P. Obsérvese que la matriz de los coeficientes es independíente de las cargas, solo refleja las condiciones geométricas' de la estructura, basta con examinarla para determinar su inestabilidad ante cualquier-sistema arbitrario de cargas. Un sistema estructural es'inestable1 cuando las reacciónjs ^son paralelas, concurren en un mismo punto o son insuficientes para soportar las-cargas ,'ipli'eadas.
/S??S S7&77 Reacciones paralelas
Reacciones concurrentes
Reacciones insuficientes
¡ f.
•(v
>ít
:
í i:
FIGURA 1.5 Estructuras rígidas,) i [estables
En un cuerpo tridimensional -existen seis-ecuaciones,, de >;quílibrio, luego debe haber.como mínimo seis reacciones independientes para restringir el inovimientoa,.ui> número menor ds. restricciones conduce a una inestabilidad de la estructura.
r i; Roberto Roche! Awad
Análisis Matricial de Estructura i 'Sr, , ,1'
1.8 INDETERMINACIÓN ESTÁTICA <.;:>¿|f.'.¡-.i't¡i!.,:-vr, El grado de indeterminación ie define como la diferencia entre el número de fuerzas desconocidas y el número d@leéüae',ones:\dispQnibles..Estas: fuerzas adicionales se denominan redundantes. Las fuerzas degconoc:dás
:'ifiternag'a las que está sometido cada uno de los elementos y las reacción as de los apoyos. El procedimiento de análisis qu< selecdonan'i;cOmó : incógitás las fuerzas se denomina método de la flexibilidad. ":', T !-: *••••- 1- •••?.••;
Además da las idealizacionei ¡ del numeral 1,3 que son de carácter general, para el caso particular de las cerchas, deben coi isiderarse las siguientes: •
ri
Se desprecia el efecto d< í peso propio de los elementos
. • ' • • . • > ; ; Launióndé las barras ci>rtformM-nudos articulados, exiJentos de fricción • ü:; <{; •,>>¡Lasí cargas -se 'aplican en los nudos •
ni I 1
í;
La sección transversal de los elementos es pequeña comparada con la longitud, para loa fines del análiüis que nos proponemos realizar podemos asumir que su inercia es despreciable.
Consecuente.con la anterior••model ición los elementos de una cercha solo están en capacidad de trabajar'á tracción'o compfesion, de allí que los materiales ideales 'para su diseño son aquellos que trabajen eficientemen te tanto á tracción como a compresión,
1.8.1.1 CERCHAS PLANAS i-1 a*. I 'A.
Cada nudo tiene dos ecua :iones de equilibrio: ZFx = O, £Fy = O y cada barfa tiene una ecuación: las fuerzas axiales d aben ser de igual magnitud y sentido contrario.
(
i de incógnitas por barra = 2 Número do .ecuaciones por barra = 1
' ''
, . - , ' i -; ¿' • . • , 77 • • ' •' Níimeío deienumólotiea pot nudo. * 2 ,-f:
FIGTJRA 1,6 C«rcha plana
Roberto Roche! Awad'
tÍL_
.
!> E
Análisis Matricial de Estructuras ': i'- ; ! ;.'.' ,''"' ' , i:?V; •" '• ':•'.•'•'; :.£l'''.!t'L
Número de incógnitas ==' 2 * NB + NR
:U ;• Ufj
'
Número d i ecuaciones = 2 * NN + 1 * NB
GI^WB/t r
*J
GI = Grado de indeterminació a a * ir» f / c <\.^,*-..'> ,'•;•NN = Número de Nudos : ir¡i,.'.-.-•• .^" ; ¡-'.-•••.íi-t'-'' 1 ;^ NR = Número de Reacciones
r i—fi
l
Si el grado de indeterminación asi calcukctaíefjpegftivp,^ inestable, bien porque hacen falta apoyos o bien porque hacen falta barras o estén mal colocadas. ,.,., • ,,,-;., ;..,' •.> ;:.>*',i.v.
1.8.1.2 CERCHAS ESPACIALES.
,.„•„,.,,..
..,.,,, lt) -., , • -
-,. - " = •
El análisis,de cercriaa.espaciales es:rn,uysirmlar.al/ie.oerebas.planas,puesto que las acciones sobre las barras son las mismas, excepto el númer i de ecuaciones que proporciona cada nudo que en este caso serán: Ux = O, ZFy s,0, .•.^Ps-.^Oj-y en. cada .barra'.hay una ecuación: las fuerzas axiales deben ser de igual magnitud y $ sntido contrario. -
••A Y AY
ecuaciones por barril V .'
tr
Nún i ero 'det eciuciones por ¡ludo ¡ " 3
, ,¡'
z
FIGURA 1.7 Cerch» espacial, • ,
Número de incógnitas = 2 * NB + NR
z
. ; ,,
•¡ . . . . . .
i ',.
•i.•'.-.••'
Número de ecuaciones = 3* NN + 1 * NB
GI = (2 * NB + NR) - (3 * NN + 1 * NB) GI = NB + N R - 3 * N N
(1.2)
1.8.2 PÓRTICOS PLANOS Y ESPACIALES Además de las idealizaciones, del numeral 1.3 que son i le carácter general, para el caso particular de los pórticos deben considerarse las siguientes: Rpborío Rocho! Awad
r;
AMálisb Matrieiíü'de Estructura ¡
•
Loa nudos se consideran rígidos e indeformables, es decir conservan su forma ante 'la acción de las caigas, V,
., * 'C'Los pórticos planos tienon uiüplattg dejsímetria sobrej.el cuál están aplicadas las cargas, implica estb que tanto él pórtico oomo las1 cargas están en el mismo plano.
rv
Consecuente con la anterior 'tnode I ación los elementos de un pórtico están en capacidad de trabajar a tracción, compresión, fié I don y corte,
1.8,2,1 PÓRTICOS PLANOS
0;
rt
Cada nudo y cada barra de un pórtico plano.tienen tres ecuaciones: £Fy - O, ZMz = O
FIGURA 1.8 Pórtico plano
£Fx = O,
.,...-, .Número, de.incógnitas por barra,,=| 6 , .,, Número de ecuaciones por burra ^3, Número de ecuaciones por nudo = 3
Número de.incógnitas .= 6 * NB,L • Níl:'
' Número de ecuaciones = 3 *NN.+ 3 * NB
GI ^ (6 H NB +NR)'- (3 * NN + 3 * NB) i-3,*NN-
..
(1-3)
En el caso de rótulas y de apoyos de primero o segundo, grado; el ;número de incógnitas' por barra se reduce athacerse loa morr entos en dichos puntos iguales a cero, la misma reducción debe hacerse en las ecuaciones de os nudos.
M
1.8,2.2 PÓRTICOS ESPACLOJES Cada nudo y cada barra d s un pórtico espacial tienen iseis, ecuaciones: O, £Fz = 0,, t 2Mx = O,,: ,, 2 My = O, ZMz = O
Roberto Roche! Awad
— O,
Análisis Matricial de Estructuras
e-
t •-
(H (7777
.^
k' z
/T^T?
FIGURA 1.9 Póitlco espacial
1 •'.; Ntoiíro de jnoógoítátipor barra =,1? • . Nú™ aro dé.qeusdiQnes por barra•=>• 6 ' . Núro ero de ecuaciones ppr nudo = ó
Número de incógnitas = 12 * NB + NR Número de^ecuacione^ 6 * NN + 6 * NB' GI = (12*NB+NR). ( 6
•-
r
1.8.3 ENTRAMADOS Además de las idealizaciones del numeral 1.3 que sea de carácter general, para el caso particular de los entramados deben considerarse las síguiei íes: •
Los nudos se1 consideran rígidos V indeformables, es decir conservan su forma ante la acción de las cargas:
•
En los entramados las cargas son, normales:,al plano de la estructura, todos .los* elementos tienen :dos planos' ortogonales de'smietría'sobre'los cuales ocurren la flexión y la torsión, esto hacen que cada una de i illas sea independiente de la otra.
Consecuente con la anterior modelación los' elementos de un entramado están en capacidad de trabajar a cortante, flexión y torsión. Los elemente.s de un entramado no trabajan áxMmente como se demostrará'más adelante. : ' • " ' • ' • ! \ '•' • • •; •.
e
v_
-^
v_ Número da incógnitas por barra = 6 Níunero do ecuaciones por barra = 3 FIGURA 1.10 JCntramurto
Número de incógnitas = 6 * NB + 'NR GI = (6 * NB + Robería Kociiel Awxd
Número da ecuaciones por nudo => 3
Número du ecuaciones = 3 * NN + 3 * NB . (3 * ^ H . 3 3 *NI'Í
(1.5)
r •L' í*
Análisis Matricial de Estructurs s
v ¡% i' m t |f
ai^...'
l.^JNDETERMmACION/CtNE^^ICA^..^,^; , , . . . , , „ , ,;"•.,• ,. Se denomina gradó'de 'libertad dé'una estructura al número minimo de parámetros que es necesario definir para describir i iu-geometría deformada. Usualmente estos parámetros son los desplazamientos y, rotaciones (le los nudos, .obtenidos, estos-.desplazamientos a partir de ellos pueden obtenerse los desplaz unientes de todos los puntos del elemento.
-N -\\>
Con la denominacion.de grados do libertad se identifican todos los movimientos posibles de los nudos de (una estructura._ Algunos de estos movimientos están limitados por las condiciones de ;frontera y sé les cenofninan grados restringidos, mientras que los otros se conocen como grados libres y representan el grado de indeterminación cinemática de la estructura, Los grados de libertad de una esta ictura pueden seleccionarse como incógnitas a determinar por cualquier procedimiento ¡analít ;co, una vez. resuelto el problema de determinar los grados de libertad se calculan las fuerzas i ;n los elementos. Este procedimiento se denomina método de rigidez y es el que analizará c on detalle en este texto pues es el más empleado en los programas de computadora y, el mi ,s eficiente.
i"**, is
En el caso de pórticos y de entrai nados con rótulas, las barras que concurren a ella tienen cada una giros independientes pero iguales desplazamientos, de allí que la .existencia de , rótulas incrementa el grado ,qie ind< iterrninaoión cinemática.
:i Las cerchas representan un tipo muy; especial de estructuras., en el., que ¡únicamente existen, fuerzas axiales,., al no', exis tirl defprmaüiones por flexión, los elementos permanecen rectos, Todas las barras qué llegan a un,mismo,nudo:tienen los,:fnismoSí desplazamientos, dos en el caso de cerchas piarías y fres para espacíales.
x Orndos libres = 7 Grados restringidos = 3 Orados de libertad = 10 FIGURA 1.11 Grados de libertad en cerch» i planas
Roberto Rochel Awad
Z
L
Orados libres = 6 Orados restringidos = 12 Orados de libertad - 18
FIGURA 1,12 Grados de libertad en cerchas espaciales
^v
'^\1
Análisis Ma(ricial de Estructuras 1.9.2 PÓRTICOS PLANOS Y ESPACIALES ..;,,' . ; • ' • • '
• : ; , • . ' ; .
¡ -•••:..'':
:
' i !'
'-'. i
En el caso de pórticos planos cada nudo tiene libertad de moverse en dos direcciones ortogonales y girar en el plano del pórtico, es decir tiene tres f prados1: de libertad por nudo. : Los nudos de los pórticos espacíales'-''tienen••'"V,*
• -i .
*.
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H
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A
''? : i¿ru»
Orado a librea =• 7
/777T'
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>»»*!* '
3^24 '.:'•
Qrzulas libre
•' -. •
# • " » • . ' >^7T7
FIGURA 1.13 Grados de libertad en perdeos planos y esparl*les CQiuiderando axiales ' ' • • ' ' • • ' '
-..
V--
-• j -.
.....
•' , .,
; , , , . . ! ',.
:
i.
' ,! . ' . - ' .
'
.
.' ".'.''
; i.. -.
I
Algunas idealizaciones pueden utilizarse; sin afectar la precinión^e loa resultados,,entre las¡,.nM más frecuentes tienen que ver con el efecto de las'deformaciones axiales tanto en vigas como en columnas. Las 'vigas de una estructura.no..gon..elementos •••aislados -sino !q'iie hacen parte de un'sistema de' entrepiso, el cual tiene una rigidez axial muy alta comparada con la, rigidez axial de la viga, en consecuencia, una viga no' puede'modificar su' longitud sú;;'modificar la del entrepiso,,de ,,...,, allí que puede considerarse que l.a'deformacíóh':axial de la -v:;ga es: nula,',luego con un solo;! . grado de libertad se-indioa 'el 4«!3plazarnÍento de laviga. t , , , ., y \ ,--„ i ; ' ' " ''" ''''^ Para edificios poco esbleltos con H/B S 3 el efecto de las deformaciones axiales en las columnas no incida en la precisión de los resultados y puede despreciarse, no así para estructuras esbeltas en las cuales las deformaciones axiales un las>columnas si afectan los' resultados y es un grave error,el no considerarlas. Si en las estructuras de la.figura N" 1,13 se desprecia el efeclo de las deformaciones axiales en las columnas y en las vigas los grados de libertad se reduce;! a:
Uij
!tí
f**i
IK« ; Róbarto Rochel Awad
I]
n
1-13
Análisis Matricial de Estructuras
A Orados libres = 4
H
^t \ //
a
///
77777 Grados libres = 1
4-"
/S/ss
/77T7
FIGURA 1.14 Grados de ül «rtad en pórticos planos y espádales despreciando «dales
1.1 0 EJEMPLOS
EJEMPLO 1,1 Determinar el grado de indeterminación estático de la siguiente estructura. r A
©
E
a
d
r
11 S D
@
ST
ED
E
A ©
í
Solución N° 1: En el nudo 7 hay dos ecuaciones de condición: la reacción horizontal y el momento en este apoyo deben ser nulos. Incógnitas: f i
Ecuaciones:
6 * N° de barras 3 * N° de apoyos
= 6 * 8 = 48 =3*3= 9
TOTAL = 57
3 * N° de barras 3 * N° de nudos De condición
= 3 * 8 = 24 = 3 * 8 = 24 = 2
TOTAL = 50
El {.rado de indeterminación estático es de 7. Solución N° 2 En esta solución se trabaja con el número de incógnitas real que tienen las barras y los apoyos: Roberto Rochel Awad
Análisis Matricial de Estructuras
Incógnitas:
144
7 barras con 6 incógnitas = 42 1 barra con 4 incógnitas (7) = 4 Ñ° de reacciones = 7
Ecuaciones:
TOTAL = 53
*
3 * N° de barras = 3 * 8 = 24 7 nudos con 3 ecuaciones = 21 1 nudo con 1 ecuación (7) = 1
TOTAL = 46
El grado de indeterminación eslático es de 7.
EJEMPLO L2 Determinar el grado de indeterminación estático de la siguiente estructura. r A
©
a 3 rótula
(D
E
í~
®
~L 1
0 Á
a>
f Solución N° 1:
Incógnitas: Ecuaciones:
or E
t
-
(7)
d
^ 6 * N° de barras = 6 * 8 = 18 3 * N° de apoyos = 3 * 3 = 9
TOTAL = 57
3 * N° de barras 3 * N° de nudos De condición
TOTAL = 51
=3*8'= M = 3 * 8 = 24 = '3
í
El grado de indeterminación estítico es de 6.
r
Solución N° 2 Incógnitas:
Ecuaciones:
Roberto Rochel Awad
6 barras con 6 incógnitas i 1 barra con 5 incógnitas 1 barra con 4 incógnitas ND de reacciones
= 56 = 5 = 4 = 7
3 * N° de barras = 3 * 8 = 14 1 nudos con 3 ecuaciones = 11
1
TOTAL = 52
*L¡
t'i
•6"; Ü^
Análisis Matricial de Estructuras
1-15
1 ni ido con 1 ecuación
=
1
TOTAL = 46
El $rado de indeterminación estático es de 6.
EJEMPLO 1.3 Determinar el grado de indetem únación estático de la siguiente estructura. Y
A
rótula
Tí-
®
a [2 1
®
r
m ®
0
[5
3)
S E
A ©
*
®
Hr !!
'V
Incógnitas:
Ecuaciones:
4 be rras con 6 incógnitas 3 ba rra con 5 incógnitas 1 ba rra con 4 incógnitas N°c.e reacciones
= 24 = 15 = 4 = 7
TOTAL = 50
3 *:T de barras = 3 * 8 6 nú dos con 3 ecuaciones 1 nú do con 2 ecuaciones 1 iii¡ do con 1 ecuación
- 24 = 18 = 2 = 1
TOTAL = 45
El grado de indeterminación estático es de 5.
D
EJEMPLO L4 Determinar el grado de indetem dnación estático y cinemático de la siguiente estructura, en este último caso considerando: a) Deformaciones fociales íanío en vigas como en columnas, b) Deformaciones abítales sola en vigas, c) Deformaciones axiales solo en columnas y d) Despreciando el efecto de las deformaciones axiales tanto en vigas como en columnas..
¿tn.
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Roberto Rothel Awad
Análisis Mafricial de Estructuras
1-16
Y
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r
|p
Solución N° 1:
Ecuaciones:
a
p
INDETERMINACIÓN ESTÁTICA:
Incógnitas:
i
r- •
12 * N 3 de barras = 12 * 9= 108 6 * N° de apoyos = 6 * 4 = 24
TOTAL =132
6 * N° de barras 6 * N° de nudos De condición
TOTAL = 109
= 6 * 9 = 54 = 6 * 8 = 48 = 7
i
El grado de indeterminación es¡ ático es de 23. Solución N° 2 Incógnitas:
Ecuaciones:
7 barras con 12 incógnitas — 84 1 barra con 9 incógnitas = 9 1 barra con 8 incógnitas = 8 N° de reacciones = 17
TOTAL = 118
6 *N° de barras ' = 6 * 9 6 nudos con 6 ecuaciones 1 nudo con 3 ecuaciones 1 nudo con 2 ecuación
TOTAL = 95
= 54 = 36 = 3 = 2
El grado de indeterminación estático es de 23.
^DETERMINACIÓN CINEMÁTICA: a) Considerando el efecto de las deformaciones axiales unto en las vigas como en las columnas:
Roberto Rochel Awad
i i
r. H ih íj 1 }
3 n
Análisis Matricial de Estructurí s
Número total de grados de libertad = 6 * NN = 48 Número de grados libres =31 Número de grados restringidos = 17 Irados Ubres
¿
b) Considerando el efecto de las d< formaciones axiales solo en vigas:
V
Número total de grados de libertad = 6 * NN = 48 Número de grados libres = 27 Número de grados restringidos = 21 (irados Ubres í in alíales en columnas
c) Considerando el efecto de las de Formaciones axiales solo en columnas:
Número total de gradas de libeitad = 6 * NM = 48 Número de gradea libres = 27 Número de grados restringidos = 21
p; ,@ r-
Grados llbns S Ir. axiales en vigas
d) Despreciando el efecto de las dei brmaciones axiales tanto en vigas como en columnas
Número total de grados de libertad = 6 * NN.= 48 Número de grados libres = 23« Número, de grados restringidos = 25 libres sin ailales
w
Rtrfeérto' Rochel Awad
i-is
Análisis Matricial de Estructuras
1,11 PROBLEMAS PROPUESTOS
IL
ir
PROBLEMAS 1.1 A 1.3 Determinar: a) Grado de indeterminación estático, b) Grado de indeterminación cinemático
titinnui
K N
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j
A
¿ '"ti
'"llir/fl
'
N)k
i
A
WTÍTííTJ
T^
PROBLEMA 1.1 Resp. «) 0 b)9
PROBLEMA 1.2 Resp, a) 3 b)18
I"
PROBLEMA 1.3
Kejp. a)l ' b)24
< •
PROBLEMAS 1.4 A 1.7
Tf
Determinai',1 a) Grado de indetenninación estático. Grado de i idetenninación cinemático considerando: b) Axiales en \igas y columnas, c) Axiales solo en vigas, d) Axiales solo en columnas, e) Despreciando axiales tanto en vigas como en columnas.
i ¡
?
;,. if.
-rrrr~¡ L
*
r£ -
PROBLEMA 1.4 Resp. a) 9 b) 42 c) 33 d) 34
e) 25
i^4d
^>r^— -
J\
^
/ 3
!|
4
TÍ desplazamientos ^ permitidos
)k Pl tOBLEMA 1.5 Resp, a) (SO b) 102
c) 91 e) 7(5
d) 87
Roberto Rochel Awaí
ilín
Análisis Matricial de Estructuras
1-19
rótula
«t
desplazamientos permitidos
I
PROBLEMA 1,6 Resp, a) 48 b) 102 c) 91 d) 88 e) 77
PROBLEMA 1.7 Resp, a) 60 b) 102 c) 91 d) 87 e) 76
PROBLEMAS 1.8 A 1.10 Determinar; a) Grado de indeterm nación estático, b) Grado de indeterminación cinemático
n
17 fv
PROBLEMA 1.8 Resp. a) 4 b) 17
.
Roberto Roche! Awad
PROBLEMA 1.9 Uesp. a) 16 b) 26
PROBLEMA 1.10 Resp. a) 6 b) 21
V) '
irf r
4 rf
I :'?
•—'-I t 4
4
-T
.
2. MATRIZ DE RÍGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS LOCALES 2.1 ENERGÍA DE DEFORMACIÓN:
rj
Este método es útil para determinar la respuesta de estructuras ante cargas estáticas y dinámicas, es el criterio para el iliseño sismo-resistente. Para un sólido tridimensional se tiene: fy
n
mz fe
JJG X*"^ mx
FIGURA 2,1 Elemento prismático tridimensional
fx ~ Fuerza axial Y 4 = Fuerzas cortantes
h
mx = Momento torsor my y rrtj = Momentos flectores
El material se considera elástico, luego es aplicable el principio de superposición, en consecuencia, la respuesta de la es tructura ante un conjunto de cargas es igual a la suma de las respuestas para cada una de las cargas consideradas en forma individual.
2.1.1 ENERGÍA DE DEFORMACIÓN POR FUERZA AXIAL Si la carga es aplicada de lina manera gradual (carga estática) desde cero hasta su valor máximo fx, a medida que se aplica la carga la barra se deforma axialmente hasta alcanzar su máxima deformación ¿x.
r
fie
df±
fi
A dA
FIGURA 2,2 Relación Carga axial - deformación para un material elástico
Robei-to Roche! Awad
L
Análisis Matricial de Estructuras
2-2
Sea TI un valor cualquiera de la carga f entre "O" y "fe" para el cual la deformación correspondiente se denomina A¿. Un incremento en el valor de la carga df produce un incremento en la deformación dA, luego el trabajo realizado por la
-
Ax
El trabajo total será:
W = í f, * dA
El trabajo está representado por el área bajo la curva, para e] caso elástico: w_fx*Ax
~2~
Ifi
La aplicación de la carga se traduce en una deformación de la barra, La energía que absorbe la barra durante el proceso de carga se representa por U, se le conoce como energía de deformación y es igual al trabajo realizado por las cargas.
u De la Resistencia de Materiales:
Ax-
U=
r;
AE fx 2 *L ~2~AE~
Si se deriva la energía respecto a la carga se tiene:
(2.1)
au
— AY
a&
AE
r> La derivada de la energía respecto a la carga es igual a la deformación de la barra en la dirección de la carga.
2.1. 2 ENERGÍA, DE DEFORMACIÓN PORFLEX1ON Analizamos la flexión en "z", para la flexión en "y" se proc&le de manera similar,
*y Flexión pura / Y777777
L FIGURA 2.3 Elástica de una viga sometida 11 flexión pora
Roberto Rochel Awad
r-
Análisis IVLttricial de Estructuras
r-
En el caso de flexión pura el mom snto flector es constante a lo largo de la viga y esta torna la de forma de un arco de circuferenc ia de curvatura: 1 / p = m^/ EI Z ,. . i-
Para curvas elásticas planas:
EV
arco = p * z,
n
• .
arco « L, , _~ m z *L ~
m m. W =
2EI:
¡T FIGURA 2.4 Energía de di ilbnnación elástica de ana viga sometida a flexión pura
tí: r^1
ii
~-> Existe una relación lineal enb e 4>z y m,,., para Iz constante, luego cuando el momento se aplica gradualmente desde "O" hasta m^ tf> aumenta desde "O" hasta z. Cuando hay flexión pura y no S3 considera el efecto de la fuerza cortante se analiza un elemento diferencial de longitud dx, en el cual el momento flector mz puede considerarse como constante, reemplazando L por dx se obtiene:
Í
D
*dx
2EI Z
(2.2)
= £k^li
El,
¡r '
rí> La derivada de la energía respecto a la carga es igual a la deformación de la barra en la dirección de la carga.
2.1.3 ENERGÍA DE DEFORMACIÓN POR TORSIÓN El efecto de la torsión sobre el ulemento diferencial de la figura representa un estado de tensión cortante pura. De la figura 2.5 se deduce que la fuerza cortante que actúa sobre las caras del elemento diferencial en estudio es: V = t * dy * dz, esta fuerza cortante ocasiona una distorsión angular de las caras del elemento.
Roberto Roche! Awad
M«UÚ¿K_U
Análisis Matricial de Estructuras
2-4
flí
I i
dy
I———I
la 1
h
A
dx
i:
U
'
FIGURA 2.5 Análisis de la torsión en elemeni os circulare»
i
U = ^'*5/2
5 = y * dx, *dz)(y *dx)
dx*dy*dz
Pero;
= (ly*dz
= —dx*dy*dz,
De la Resistencia de Materiales:
T= —
2GL
2GI x
ír 2 *dA +dx =
*dx*dA
m.¡ *L 23I X
(2.3)
9U
Para secciones circulares; Ix = K * d4 / 64
Roberto KocJieJ Awad
m. *L GIX
r
Análisis Matricial de Estructunis 2.1.4 ENERGÍA DE DEFORIylACION POR CORTANTE El análisis de la torsión conduce a un análisis de estado de tensión cortante pura, basados en esa consideración para este caso tenemos;
De la Resistencia de Materiales:
v2 . au-J 2GA'
2GI2b2
I2 *J b2-*dA *dx
A ff = -y * j -¿j- * dA I ib
Llamando factor de forma al térmi no :
íl
n
tí
TT
f
(2.4)
u=f
Para secciones rectangulares el factor de forma es 1,2
2.1.5 EXPRESIÓN GENERAL DE LA ENERGÍA DE DEFORMACIÓN: Para el caso de interés, material elástico y elementos de sección transversal constante y rectangular, la energía de deformaoión total de un elemento tridimensional es la siguiente:
u
U
fx 2 *]-
*dx * c l x , m *dx + )rm2EI y -i. i m 2EI z + f 2GI * +1 f
2
^ A T - I ^
2AE
r
'
i
'
y
2
2
1
J
)
'
t
r i
J
,
x
>
T + ( ]_•_, ^^ + 1 2* f J
i
2GA
Z
' -1 2GA i
(2.5)
2.2 MATRIZ DE RIGIDEZ
•n
Ea necesario definir el sistema de inordenadas del elemento, este sistema de .coordenadas se denomina sistema local de coordenadas, se selecciona de modo que la dirección del eje x coincida con el eje del elemento, para seleccionar la dirección del eje x se elije uno de sus extremos como nudo inicial, por defecto el otro será el nudo final, el eje x se orienta del nudo inicial al final, la nomenclatura utilizada será en letras minúsculas pues se refierre al sistema de coordenadas del elemento y esta es variable según su inclinación, por comodidad se toma un elemento horizontal. Roberto Roche! Atvad
Análisis Matricial de Estructuras
2-6
r
ff| ,
c
2 A
F-
FIGURA 2.^ Grados de Ebei-tad dé un elemeni o tridimensional
Cada uno de los extremos del elemento tiene tres posibles d ssplazamientos y tres giros, si se desea que ¡a barra asuma una posición deformada hay nucesidad de aplicar una serie de cargas en sus extremos, la magnitud y dirección de estas fuerzas depende de la posición deformada. Aplicando el principio de superposición se puecen calcular las fuerzas necesarias para producir cada uno de los desplazamientos en forma separada. Al analizar un desplazamiento los otros deben mantenerse nulos.
r
Las fuerzas que se aplican en los extremos de los elemento!! se clasifican en: fuerzas axiales, fuerzas cortantes, momentos flectores y momentos torsores, analizaremos uno a uno estos efectos:
2.2.1 ANÁLISIS DEL DESPLAZAMIENTO AXIAL, u^
10
3^
FIGURA 2,7 Análisis de la deformación asial de un e (emento tridimensional
fj es positiva pues su sentido coincide con el sentido posiúvo del eje x, mientras que f 7 es negativa. La relación entre esta? cargas, y el desplazamiento impuesto lia sido deducida y puede consultarse en cualquier texto de Resistencia de Materiales, por lo elemental no se deduce en este texto: f ^ = — — * U^ -Lj
17
~ ~ ~ T ~ ^ ul -L'
Estas son las únicas fuerzas que hay que aplicar en los extrañaos de la barra para producir el desplazamiento u t Roberto Rochel Awad
r
Análisis Matrícial de Estructura * 2.2.2 ANÁLISIS DEL DESPLAZAMIENTO NORMAL, u2 Y u3: Para el análisis de los di ¡aplazamientos normales al elemento estudiaremos por comodidad el siguiente caso esque¡nático:
Mi
Vi
©
i x . i
Mf
Vf Mx = Vi * x - Mi
ViL 2
(Vi*x-Mi)*ic
-ir -**
Despejando de O el valor de Mi y reemplazando en © se obtiene:
12EI Vi = ^-3_*u
íl i -
Por equilibrio estático se determinen las fuerzas en el extremo final de la barra. •
2.2.2.1 ANÁLISIS DEL DES! »LATAMIENTO NORMAL u2: Con base a los resultados anteriores se obtiene que para producir el desplazamiento u2 hay que aplicar en los extremos de la barra las siguientes fuerzas, los signos serán positivos cuando su sentido coincida con el sentido del sistema de coordenadas:
D Ni I
Roberto Rochel Awad
p _________________________ _________
_„
f
tá
m__/'Ti
C-
L" í: F-Las cargas fuerzas para obtener u 12EÍZ
f
2 ~
6EJz
! LJ
2.2.2.2 ANÁLISIS DEL DESPLAZAMIENTO NOílMAL U3: Con base a los resultados anteriores se obtiene quu para producir el desplazamiento u3 hay que aplicar en los extremos de la barra las sigí¿entes fuerzas, los signos serán positivos cuando su sentido coincida con el sentido del sistema de coordenadas:
í
Las fuerzas finales para obtener u 3 : .,
Roberto Rochel Awad
f5-^»3
i: r f<-
f n =-
íl
Análisis Matricial de Estructur is 2.2.3 ANÁLISIS DE LA FLI XIÓN , u5 Y uó: Para el análisis de los giros de la elástica estudiaremos, por comodidad, el siguiente caso esquemático:
n
n
Vi
Mx = Vi * x - Mi
aMi
¿
O
EI
(Vi*x-Mi)*x _ _ _ ___ _
n:-
Vi*L 3
Mi*L2
Despejando de © el valor de Mi y reemplazando en O se obtiene:
*-•
.. 6EI
Por equilibrio estático se obtiene para el nudo final: ^ v.
2EI
i-.
Roberto Roch'el Awad
Análisis Matricial de Estructuras
2-10
2.2.3.1 ANÁLISIS DE LA FLEXIÓN SOBRE EL EJE Y, Uj: , 4EIy f 5 = - f "5
* <*
©^22
B5g^
i©x:
6EIy
6EI>
f,- ^ "5
Las fuerzas finales para obtener u 5 :
,^^
'.-T
2EIy -
2.2.3.2 ANÁLISIS DE LA FLEXIÓN SOBRE EL EEE Z, u6:
r L1! H 1n
7
Las ftierzas finales para obtener u 4: ÓEIz
4EIz
_ 6EIz
2EIz
2.2.4 ANÁLISIS DE LA TORSIÓN, u4:
i berzas finales para obtener u 4:
Roberto Rochel Awad
y n
Análisis Matricial de Estructura s
!:•;:• W-íV-£it/»í;'T ,2'*
2.2.5 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO TRD3IMENSIONAL Para formular la matriz de igidez es necesario continuar con el análisis del efecto de las deformaciones en el nudo final, se deja al lector esta labor como parte del desarrollo de asimilación del conocimiento. Las acciones finales, en los nudos, se obtienen aplicando el principio de superposición, para lo;¡ desplazamientos analizados se obtiene:
í'l = (AE/L)*u¡+ f2= (12EIz/L3)*u2 + f3= f4= fj = fs= (6EIarL2)*u2 + f-, = (-AE/L)+U[ +
+ (6EIz/L2)*u6 + + (-6EIy/L2)+u5 +
(12i;iy/L3)*u3+ (GIx/L)*u4 + (-6EIy/L2)*u3 +
+ (4EIy/L)*u5 + + (4EIz/L)*u6 +
(-12 Íly/L3)*u3 +
Mo = MI'
+ (6EIy/L2)*u5 + (-<3Ix/L)*u4 +
(-6E (y/l2)*u3 +
+ (2EIy/L)+u3 +
+
Este sistema de ecuaciones puede expresarse en forma matricial de la siguiente manera: (2.6)
I h '» :"
{f) = Vector de cargas en los nudc s ^ {u} = Vector de deformaciones en .los nudos [k] = Matriz de rigidez de un elem ento tridimensional en coordenadas del elemento Es muy importante observar la sec\a de formación del sistema de ecuaciones, la primera columna corresponde a las fuerzan que hay que aplicar en los extremos de la barra para producir el desplazamiento uv La primera ecuación o fila corresponde a la fuerza total que hay que aplicar en la dirección 1 de bida a los desplazamientos totales. Las fuerzas y las deformaciones lldvan un sub-índice que concuerda con la secuencia como se numeraron los grados de liberlad, debe observarse detenidamente y analizarse pues a partir de ella se obtendrán las matrices para los restantes sistemas reticulares.
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Roberto Roche! Awad
Análisis Matricial de Estructuras
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Matm de rigidez de tin elemento tridimensional e» coordenadas del elementa
Es importante tener presente la forma como se ha ordenado esta matriz, las primeras seis columnas corresponden a las deformaciones impuestas en el nudo inicial y las otras seis al nudo final. Las primeras seis .columnas, que correspondan a la deformaciones-del nudo inicial, representan el efecto de: « • • • « a
•
Roberto Rochel Awad
La primera la deformación axialen el <}je X La segunda la deformación en el eje Y La tercera la deformación en el eje Z La cuarta la torsión sobre el eje X La quinta la flexión sobre el eje Y La sexta la flexión sobre el eje Z. En el mismo secuencia se ordenan las otras columnas para las deformaciones del nudo final.
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Análisis Matrícial de Estructuras 2.2.5.1 LIMITACIONES DI! ESTA MATRIZ DE RIGIDEZ
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•
El material es perfecta: nente elástico y existe una relación lineal entre las cargas y las deformaciones.
•
Las deformaciones sor. pequeñas, es decir, todos los cálculos se hacen con las dimensiones iniciales de la estructura.
•
El efecto de las fuerzas axiales en la flexión es despreciable,
•
Para que sea aplicable el principio de superposición es necesario que se cumplan todas las limitantes anteriores.
•
Las cargas se aplican 3n los nudos de manera gradual y proporcional, es decir, inicialmente todas las cargas valen cero y se incrementan en tales proporciones que todas llegan a sus valores máximos simultáneamente.
•
No se considera el efeci o de las deformaciones causadas por las fuerzas cortantes.
•
No se considera la rigicez de los nudos.
n
«
Los elementos no se pa idean por efecto de la carga axial y de la torsión
•
Los planos XY y XZ son planos principales de flexión y en ellos actúan las cargas.
M
«
El centro de cortante y el centro de torsión se asume que coinciden, de ulli que la torsión y la flexión sean independientes.
•
El elemento estructural tiene sus dos extremos restringidos.
•
En el caso de pórticos tno de los planos de simetría debe coincidir con el plano de carga
n
n M (1
n n
2.2.5.2 PROPIEDADES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ
M
•
La matriz de rigidez es una matriz simétrica.
•
Esta matriz de rigides, es singular, no tiene inversa pues las ecuaciones son linealmente dependiente, obsérvese por ejemplo las filas 1 y 7.
•
Todos los términos do la diagonal son positivos y tienden a ser los mayores valores de cada una de las filas.
Roberto Roche] Awad
Análisis Matricial de Estructuras 2.2.6
MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE PÓRTICOS PLANOS
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Elemento tridimensional
Itlemento de Pórticos planos
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La matriz de rigidez de un elemento de un pórtico plano solo contiene las columnas correspondientes a los grados de libertad 1, 2, 6, 7, 8 y 12, suprimiendo de la matriz del elemento tridimensional aquellas columnas de los grados di libertad que no corresponden a un elemento de un pórtico plano se obtiene:
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Roberto Roehol Awad
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Análisis Matrícíal de Estructuí -as
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2.2.7 MATRIZ DE RIGIDI :zi)E
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La matriz de rigidez de un elemento de un entramado solo contiene las columnas correspondientes a los grados de libertad 2, 4, 6, 8, 10 y 12, suprimiendo de la matriz del elemento tridimensional aquellas i jolumnas de los grados de libertad que no corresponden a un elemento de un entramado se obtiene: 2
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Análisis Matriciai de Estructuras
2.16 i
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2.2.8 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE CERCHA PLANA
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I lleniGiito do Cercha Plana
Elemento tridimensional
Las cerchas son elementos estructurales muy particulares, en ellas solo la acción del desplazamiento horizontal de los nudos afecta la tensión de las barras, bajo el principio de las deformaciones pequeñas los desplazamientos de los nudos en las direcciones 2 y 8 no afectan la deformación de la barra, por lo que estas columms y filas en la matriz de rigidez se llenan con ceros, no asi la 1 y la 7 que se toman del eleme nto tridimensional.
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2.2.9 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE CERCHA ESPACIAL
r Elemento írldtmenaional
Elemento de Cercha Espacial
Solo las deformaciones en la dirección de los grados 1 y 7 afectan el elemento de la cercha, los otros, bajo el principio de las deformaciones pequeña no lo afectan y en la matriz se llenan estas casillas con ceros.
Roberto Kochel Awad
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Análisis Matricial de Estructur »s
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2.3 EJEMPLOS EJEMPLO 2,1 Determinar el valor del factor de forma para una sección rectangular
A ~ b h,
c = h/2
4 De la sección 2. 1.3:
T
<9U = —dx*dy*dz
20
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3. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES
3.1 SISTEMA DE COORDENADAS: \s ecuaciones de equilibrio desarrolladas en el capitulo anterior se han deducid
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el sistema de coordenadas del elemento, en el cual el eje X coincide con el eje del elemento, como la. orientación de los elomentos varía en el espacio habrá tantos sistemas de coordenadas como inclinaciones (üferentes tengan los elementos.
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fin imi
FIGURA 3.1 Sistema] locales de cooi denadas
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FIGURA 3.2 Sistema de coordenadas de la estructura
Trabajar simultáneamente con tintos sistemas de coordenadas no es imposible pero si es complicado y laborioso, para faci litar el análisis de la estructura es conveniente referir tanto las fuerzas como las deformacit mes a un sistema único de coordenadas conocido como sistema de coordenadas de la eslructura o sistema global de coordenadas, para lograr este objetivo debe establecerse un pro :edimiento de análisis que permita establecer una relación entre las fuerzas de extremo del el emento de un sistema de coordenadas a otro. Tanto las fuerzas como los desplazamientos son cantidades vectoriales, la relación entre los sistemas, de coordenadas se plant ia con carácter general y luego se aplica al caso particular de fuerzas y desplazamientos. Se adopta la siguiente convención: •
Los sistemas locales de c oordenadas se identifican con líneas continuas
•
El sistema global de coordenadas se identifica con lineas a trazos
•
Con letras mayúsculas se identifican las fuerzas y desplazamientos cuando se refieren al sistema global de coordenadas y con minúsculas las referidas al sistema local, tal como se hizo er. el capítulo precedente. f
Roberto R0chel Awad
Análisis Matricial de Estructuras
3-2
3.2 MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
I
r
u
3.2.1 CERCHAS ESPACIALES
.
FIGURA 3.3 Elemento de una cercha < spaclal
Las cerchas son estructuras especiales en las cuales los elerlentos solo trabajan axialmente, es decir, en el elemento indicado en la figura 3.3 las fuerzas <;n las .direcciones 2, 3, 8 y 9 son nulas, en consecuencia basta con analizar como se pasan hs fuerzas f 7 y f, del sistema de coordenadas local al global En el nudo final la fuerza axial es f7, sus componentes en si sistema de coordenadas de la estructura se identifican con el mismo sub-índice y en el mi¡ imo orden del sistema local pero con letras mayúsculas, es decir, la componente sobre el eje X es F7, la componente sobre el eje Y es F8 y la componente sobre el eje Z es F9
F, = f , Cos'aJ -=—**
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fr FIGURA 3,4 Transformación del sistema de coordenada s para una cercha espacial
Estos cosenos se denominan cosenos directores y se representan como CX, CY y CZ, según al eje de referencia, su valor se obtiene a partir de las coordenadas de los nudos de la barra, sí las coordenadas del nudo inicial son Ni (X^ , Y¿ , Z¡ ) y 1 as del nudo final son Nf (Xf , Yf , Zf ), ae calculan del siguiente modo:
Longitud del elemento * L = ^(Xf - X¡ )2 +(Yf - Y¡ )2 + (Zf - Z¡ f
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Roberto Rochel Awad
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Al ordenar las fuerzas en el aislen oa de coordenadas de la estructura ;debéi 'Conservársenecesariamente el mismo orden qile se ha seguido para la organización de la matriz de rigidez, para este caso y expandí endo el análisis al nudo inicial se obtiene en notación .\ matricial: 2 3 7 8 9 ..-» 1
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FIGURA J .5 Elemento de una cercha plana
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CERCHAS PLANAS
El análisis de la transformación di' ; berzas en el caso de cerchas planas se hace, de manera similar al análisis realizado para ccn :has espaciales, basta con eliminar la tercera dimensión, s decir, suprimir l a sf i l a sy columi lsacorrespondientes a los grados de libertad 3 y 9
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En esta expresión [T] representa la tt Latríz de transformación de coordenadas para una cercha espacial. Los términos que se han c olocado con asteriscos no tienen interés práctico puesto u e s o n l o s coeficientes d e l a s fuerza s f2, f3, f s y f g que son nulas para el caso de cerchas,
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Análisis Maíricial de Estructuras
3-4
3.2.3 ENTRAMADOS
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FIGURA 3,6 Elemento de un entr «nado
Los entramados son estructuras .planas localizadas en el p, ano XZ, al cambiar la orientación de sus elementos en este plano el eje Y no sufre ninguna modificación, luego las fuerzas f 2 y f g son las mismas tanto en el sistema de coordenadas globi il como en el local. El ángulo que forman entre sí los dos sistemas de coordenadas se representa por a y se mide del sistema local al sistema global de coordenadas, este será su sentido positivo si es antihorario, Analizando el nudo inicial se tiene;
:rrr -
FIGURA 3.7 Transformación dol sistema de coordenadas para un entramado
F 2 " *2
F4 = f 4 * Cos o. f ó * Sea a F6 = f 4 * Sen a + f ó * Cos a
En estas expresiones: Cos a ~ CX y Sen a = CZ. Expandiendo para el nudo final y expresando en forma matricial se obtiene:
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Roberto Rochel Awad
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Análisis Matrícial de Estructurí s
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3.2.4 PÓRTICOS PLANOS
12
FTGUR13.8 Elemento de un pórtico plano
•
Los pórticos planos son estructura 3 localizadas en el plano XY, al cambiar la orientación de sus elementos en este plano el eje Z no sufre ninguna modificación, luego las fuerzas f6 y f12 son las mismas tanto en el sistema de coordenadas global como en el local. Analizando el nudo inicial;
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O
FIGURA 3.9 TrnrufornuM Ion del sistema de coordenada» para un pórtico plano
„,„ ,\
n
<(-Fi = Fj + Cosa - F 2 * S e n a F2 = ft * Sen a + f 2 * Cos a.
En este caso el ángulo a es positi vo en sentido horario, caso contrario al de entramados, se mide del sistema local de coordenadas al sistema global..
Roberto Rochel
Análisis Matricial de Estructuras
3-6
t
En estas expresiones: Cos a = CX y Sen a = CY. E>:pandiendo para el nudo final y expresando en forma matricial se obtiene:
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PÓRTICOS ESPACIALES Y L_i
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,172 ,172
5_m
Planta estructura espacial
Pórtico en eje A
FIGURA 3.10 Transformación del sistema do coorrtensdas para un pórtico espacial
Consideremos la estructura tridimensional de la figura 3. 10, en la planta de la estructura el eje Z es normal al plano XY y va dirigido hacia el lector. Se desea determinar para el elemento "n" la matriz de transformación de coordenadas, para ello debe seguirse el siguiente procedimiento: •
Definir el nudo inicial y final del elemento para con el) o determinar el vector unitario x
«
Calcular el vector unitario x:
Definir y calcular un vector auxiliar unitario x1 no paralelo a x
Roberto Rochel Awad
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pnsJ
i
Análisis Matricial de Estructuri ts •
Realizar el producto vectoria. de x y x' condicionando, de acuerdo con k regla de la mano derecha, que el vector resultante esté dirigido hacia el lector, para el caso 'en estudio esta condición se cumple de la manera siguiente: z = x * x'.
•
Obtenidos los vectores ¡x y Ji se calcula el vector y realizando el siguiente producto vectorial: y = z * .x
•
Se ensambla la matriz de transformación de coordenadas y se expande para desplazamiento y giros en los dos extremos. Este procedimiento es tambié n válido para el caso de pórticos planos.
í
3.2.6 PROPIEDADES DE U, MATRIZ Una propiedad importante de esta matriz es que su transpuesta y su inversa son iguales, se deja al lector la demos xación de esta propiedad
(3.2)
íl
U
u fl
ij íl íl
3.3 MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS GLOBALES 3.3.1 INTRODUCCIÓN La matriz de rigidez deducida en el capítulo 2 relaciona las fuerzas con los desplazamientos en los extremos ie los elementos en coordenadas locales, ({f} = [k] * {u}), para cálculos computacionales es poco práctico y esta relación es conveniente obtenerla en el sistema de coordenadas de la estructura ({F} = [K]*{u}). /* En la sección 3.2.1 y en las posteriores se ha demostrado: {F} = [T]*{f} La expresión anterior es general } puede ser aplicada a cualquier cantidad vectorial, aplicada desplazamientos ae obtiene:
¿'axlos
{U} =
Premultiplicando por [T] :
ÍJ
fl íl
{F} = [T]*{fJ -
Roberto Rochel Awad
-
Análisis Matricial de Estructuras
3-8
{F} . [T].{f} .. M»[kHTf-{U} •
{F} = [T]*[k]*[T] T .{u} . [K]*[U]
Se denomina matriz de rigidez de un elemento, en coorden idas globales, al siguiente triple producto matricial: (3.3)
M-J5HÜ
Las matrices de transformación de coordenadas, [T], y las de rigideces en coordenadas del elemento, [k], han sido deducidas en este texto para las difitrentes estructuras reticulares, se procede ahora a realizar el triple producto matiicial de la licuación (3.3) para cada una de ellas.
u F I"
r F r; r
3.4 MATRICES DE RIGIDEZ:
3.4.1 CERCHAS ESPACIALES Délas secciones 3.2.1 y2.2.9:
[TI -
1
2
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Roberto Rochel Avrad
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Análisis Matricial de Esíructi iras Al realizar el producto matricill obsérvese la necesidad de tener ordenados en el mismo orden los grados de libertad en 1 as matrices [T] y [k]
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7
rcx CY
cz
AE
1
2
CX2 CX*CY AE^ CX + CZ L -CX 2 -CX+CY _ -CX + CZ
1 1
AE L
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CX + CY CY*CZ CY 2 CY+CZ CZ2 -CX+CY í -CX+CZ -CY 2 -CY+CZ -CZ2 -CY*CZ
7 -CX2 -CX+CY -CX+CZ CX2 CX + CY CX*CZ
-CX -CY -CZ CX~ CY CZ
8 -CX*CY -CY2 -CY+CZ CX*CY CY2 CY+CZ
0 0 0
0 0 0
0
0
0
0
0
ú
9 -CX+CZ -CY+CZ
-CZ2 CX + CZ CY + CZ CZ2
(3.4)
Eliminando en la expresión anterior la»-columnas y filas correspondientes a los grados de libertad 3 y 9 se obtiene la matriz de un elemento de una cercha plana en coordenadas globales:
n
n
3
0 0 0
0 0 0 V 0 0
3.4.2 CERCHAS PLANAS:
M
¡I;
-ex -cv -cz
0 0 0
-CX*CY -CX2 CX*CY CX2 -CX*CY -CY2 CY2 CX'"CY CX*CY -CX*CY CX2 -CX 2 CY2 CX*CY -CY2 -CX*CY
3.4.3 ENTRAMADOS: De las secciones 3.2.3 y i,2.7:
Roberto Rochel Awad
(3.5)
Análisis Maíricial de Estructuras 2
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0 0 0 0 0
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L2 12EI Z
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6
L2
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GI X L
2EI Z L z pv
L
66rz L2
„
G I x cz L
Z p-7
L 4EIZ L
La matriz [K] = [T] [k] [T] T , para un elemento de un entramado es la siguiente:
Roberto Rochel Arrad
0
ex ez -cz CXj
~L~
<5EIZ
12 0 0 0
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10
12EIZ L3
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8
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Análisis Matricial de Estructuras
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4EI Z CX 2 L
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3.4.4 PÓRTICOS PLANOS: De las secciones 3.2.4 y2.2 6: l
2
6
r ex -CY CY
CX
7
8
0
0 0 0 -C?
0
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6 1
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12
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12 El, L3 éEI r L3
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Roberto Rochel Afvad
AE L ' 6EIZ L2 4HZ L
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Í2EI, L3 . , 6EI, L 12EI, L3 6EI
L2
z
ffEl, .L 2
2EI, L
5H} L2 4EI, L
Análisis Matricial de Estructuras
1
1 L °X AE L n M[k] =
3-12
AE L " AE L
12EI L3 12EI2 L3 6EI Z L2 12EI i rv
L3 12EI *r"r
L3 6EI Z L2
0
7
6 6EI, L2 6EI Z ^v L2 ' 4EI Z L 6EI L2 6EI Z L2 2EI Z L
8
12
12EI 'CY L3 CY
L AE
L2
L
' ^c?" L AE m L
L3 6EI Z L2 12EI i rv
L2 2EI Z L
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L3 z
CY
O El 7
f'V
L3
L2 , 4EI Z L
6EI Z
o
1
CY
6EIz cx
Z pv
L2
1; C
La matriz [K] = [T]ík][T] T , para un elemento de un pórtico plano es la siguiente: í 6E1Z
AE L
AH
12 CY
AE
1 ¿
12E3'
-5EI7
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AE AE
I
1
L
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CY
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CY
L
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^=.—^i -C;:-CY ~STírr AP.
irni CX
12EI,
'(X-CY
^CY^-
1*M
AE CY'í +
¿.CX''
TErr
I
3.5 EJEMPLOS EJEMPLO 3.1 Calcular la matriz, de transformación de coordenadas dti elemento "n" indicado en el siguiente pórtico plano
Roberto Rochel Awad
c
Análisis Matricial de Estructuí as
&¿WA^í£>títirt 3-13
Y Nf 3m
ni
Ni 4m
_L_ ....:;, X
5m
4m
Procedimiento de acuerdo al análisis de la sección 3.2.4: Se selecciona uno cualquiera de ] os extremos de la barra como nudo inicial, i, y se calculan las coordenadas de los nudos, 1¿ longitud del elemento y los cosenos directores, para los nudos seleccionados se tiene: Coordenadas de los nudos;
Ni (400, 400),
Longitud del elemento:
L = ^/(900~400)2 + (700-400)2 = 583,095cm Xf-Xj
Cosenos directores:
CY =
r CY ex 0 0 0
u n
0
-CY CX 0 0 0
0
0
| 0
0
0
1 tljT 0 0 0
í CX ! CY ¡ 0
(1 II II -CY
0
CX.
0
(I
0 1 0 0
1 J
[0,837 0,514 0 •"-O" ' 0 L
900-400 = 0,857 583,095 700-400 , " 583,095'
L
°
-0,314 0,857" 0 (J 0 0
o
: o
0
1
i. "o ;
0
0
V 0 0
!
0
0
¡ 0.83T .^.Jlí ! 0,514 0,857 0 ¡ 0
Procedimiento de acuerdo al anilisis de la sección 3.2.5: a) El vector unitario x se ha calculado como: b)
x = 0,857 i + 0,514 j + O k
Se define un vector auxiliar x' y se calcula similarmente al vector x: Coordenadas de los nudos:
u
Nf(900, 700)
Roberto Rocbel ÁTrad
Ni (900, 0),
Nf(400, 400)
0 0 0
V 0
1
Análisis Matricial de Estructuras
Longitud del elemento:
3-14
L = ^(400 - 900)2 + (400-O) 2 =640,312cm
Cosenos directores:
El vector unitario x' se ha calculado como:
c)
Se calcula el vector z, para el caso z.» x * x' i 0,857 -0,781
J 0,514 0,625
k O O
Normalizando el vector z:
c)
x = -0,781 i + 0,625 j + O k
(0,85''* 0,625 +0,781 * 05514)*k z =.0*i + 0*J+ 0,937 *k
Ir
z = 0*i + 0*j + l,0*k
Se calcula el vector y, para el caso y = z * x
i 0 0,857
Jj 0 0,514
k 1 O
z = (0-1*0,514)*! - (C-l*0,857)*j + (0)*k z = -0,514*i + 0,857* j + 0*k
d) Obtenidos los vectores x, y y z se ensambla la matriz de transformación de coordenadas:
0,857 0,514 0
-0,514 0,857 0
Verifiqúese que se cumple la reclación:
Roberto Rochel Awad
[T]
0 0
1
= [T]
hry (
C
i-
Análisis Matricial de Estruchu as
1
EJEMPLO 3,2 Calcular la matriz de transforn \acion de coordenadas del elemento "n" indicado en el siguiente pórtico espacial >,
Y 't-Z
3m
3m
Nf 3m
3m
Ni
& „ X
5m 5m
A
L/2 ,L/2
5m
Pórtico en ej« A
Planta estructura espacial Procedimiento:
a)
Se calcula el vector unitario x Coordenadas de los nudos:
Ni (500, 300, 500),
Nf (1,000, 600, 800)
Longitud del elemento: L = ^1000 - 500)2 + (600 - 300)2 + (800 - 500)2 = 655,744 cm Cosenos directores: j
X f -X¡ 1000-500 n ^ , 0 CX = —*-=—L = ,,.,„,. =0,762 L 655,744 Y f -Y¡ ~L~
cz = El vector unitario x es:
ri
L
600-300^ "6557T44" 800-500 = 0,457 655,744
x = 0,762 i + 0,457 j + 0,457 k
b) Se define un vector auxiliar x' y se calcula similarmente al vector x: Coordenadas de los nudos:
Nf (500, 300,500),
Ni (750, 450,0)
Longitud del elemento:L =
Roberto Roc^el Awad
Análisis Matricial de Estructuras
/(Cosenos —i d irprtnrpq H Wl_ LWi. &D ,*
3,16
/TV iV—í^/x A — —
El vector unitario x' es:
PV ^ L
—
C7 \-ri-t
—
-
:if - X ii „ 5GO-750 — 0 / 1 1 ^ L 578,792 '
«^j ~~~
f -Y¡
L f-Z¡ L
j 0 ,457 -0,259
x = -0,432 i - 0,259 j + 0,864 k
z = (0,457=10,864+0,259*0,457) i (0,76210,86440,432*0,457) J 4 (0,762 -0,259 + 0,432*0,457)*k
k 0,457 0,864
z = 0,513*i-0,856*j + 0*k z = 0,514*i-0,858*j + 0*k
Normalizando el vector z: c)
Se calcula el vector y, para el caso y = z * x i 0,514 0,762
j -0 ,858 0 ,457
y - (-0,858*0,457+0)i(0,5 1410,45740) j + (0,51410,457 +0,858*0,762)*k
k 0 0,457
d) Obtenidos los vectores x, y y z se ensambla la matriz de ransformación de coordenadas:
0,762 0,457 0,457
-0,392 0,514 " -0,235 -0,858 0 0,889
y
F
503-0 5751,792
Se calcula el vector z, para el caso z = x * x' i 0,762 -0,432
r1^ i_j
300-450 _ 578,792 '
i
c)
1 mjt
r _
rF*' ,r
r r> r—'
rr f-
Expandiendo esta matriz:
^i* fi Roberto Roche! Awad
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a.o 50
8-
E c. a
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n
4. MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA 4.1 INTRODUCCIÓN
r*
n
En el análisis de la rigidez los grados de libertad se localizan en los nudos, a las fuerzas Kij se les conoce también1 como rigidez nodal, representa la fuerza en el grado de libertad i causada por un desplazamienta unitario impuesto al grado de libertad j. EL objetivo siguiente es idear una manera eficiente y automática para generar la matriz. Todos los términos de una columna de la matriz de rigidez son fuerzas aplicadas en los nudos producidas por un despkzamiento nodal unitario. Considérese la estructura reticular de la figura 4.1 en la cuallos gi'ados de libertad ya han sido numerados y se desea calcular los elementos de la primera columna de la matriz de rigidez de la estructura, para ello, se aplica una deformación unitiria al .grado de libertad 1, manteniendo los demás desplazamientos nulos. t
K 41
^ >K,
:3i
11 12
10 > lililí!
I/til/I
FIGURA 4.1 Coefllcleí ites de Influencia da rigidez, estructura reticular plana
Los términos K n , K21 y K3i son las fuerzas correspondientes a los grados de libertad 1, 2 y 3 respectivamente, causados por u n desplazamiento unitario aplicado al grado de libertad 1. Examinando el cálculo del térrtino K n se concluye que el término K u para la barra N°l representa la fuerza axial neceíiaria para producir un alargamiento unitario y es igual a: K,¡=AE/L. La barra N° 3 se traslada lateralmente en uno de sus extremos una distancia unitaria, con las rotaciones de los extremos restringidas, para esta barra de acuerdo a lo estudiado en la sección 2.2.2- se concluye que: Kn=12EI/L3. Resumiendo: Cada término de la matriz de rigidez se puede ca] cular directamente examinando los extremos de las barras y sumando las rigideces con que contribuye cada uno de ellos.
\ L
Roberto Rochel Awad
Análisis Matricial de Estructuras
4-2
4.2 GENERACIÓN DE LA MATRIZ Una vez determinadas las matrices de rigidez de todos lo 5 elementos de la estructura, en coordenadas globales, debe procederse a ensamblar k mató; total, su orden corresponde al total del número de grados de libertad, La manera de ensamblar la matriz de rigidez de una estructu ra se explica fácilmente con un ejemplo, el procedimiento a seguir es el siguiente: •
Numerar los nudos y los elementos,
•
Definir el sistema de cooordenadas local para cada elemento y global para k estructura; para definir el sistema local no importa el orden con el cual se seleccionen los nudos inicial y final de cada barra.
•
Definir los grados de libertad de la estructura y nitmerarlos, es conveniente para cálculos manuales numerar primero los grados libros y dejar de último los grados restringidos o lo .contrario, lo que no debe hacerse es mezclar su numeración,: .
•
Ensamblarlas matrices de rigidez de todos los elementos en coordenadas'globales e identificar en ellas el número de los grados de liberta d a que corresponden cada uno de sus términos,
•
Ensamblar la matriz de rigidez total trasladando ino a uno los .términos de las matrices de rigidez de los elementos.
I"
t
í f
Se seguirán los pasos anteriores en el siguiente ejemplo numérico: E = 200 kg/crA Vigii:
4m
b = 30 cm h = 30 cm
r
Col'irruías: b = 30 cm h = 40 cm níiiiit
6m
¡ilinii
FIGURA 4,2 Estructura reticular correspondiente u un pórtico plano Procedimiento:
a)
Se numeran los nudos y los elementos' Se define el sistema global de coordenadas y el local parí, cada elemento Se definen y numeran los grados de libertad, se numeran primero los libres
Roberto Rochel Awad
i: /i t
í 3
Análisis Matricial.de Estructur is
m
'] n
Grado. díübMtad
m
©
©
Coonlenídía lócale»
i
•i n
1
Coordenada» glol ialm
FIGl JRA 4.3 Sistemas de coordenadas
Grados de libertad restringidos: 9, 10, 11 y 12. b)
•&
sVÑ
Se calcula la matriz de rigidei, en tn/cm, para cada elemento en coordenadas globales
Gradosde libertad Nudo inicial Nudo fi lal 9 10 1 2^ 3 4 "•600
-1200 -600
60000 -120U
-1201 «\o
V. ^00 •V 1200j 600 ! 6000(1 -6000C I > _-i2oq 3200 1600¡ L20q 4
-30,000
' 30.000
\¡ L200-6000) 1600 1200
Grados de ¡libertad inicial Nudo final 3 4 5 6 7
Nudo 2 .
75 225 2¿5 900 [%] = -3Ó.O~00
.
n
" 1 -75 225 1 -225 450 q
307000"
-75 -225 225 450
75 -225 ¿ -225 900_ '•^
Grados de libertad Nudo inicial Nudo..final 5 6 7 11 12 8 1200 $ 1200] -600
'600
60000
N=
n c)
«nI >
ti
Se ensambla la matriz de rigidez total de la estructura:, El orden de la matriz corresp onde al número de grados de libertad, para este caso es de 12, a esta matriz se trasladan uno a uno los términos de rigidez de las matrices de los elementos de acuerdo a la numeración de los grados de libertad:
Roberto Rochel A-wad
Análisis Matricial de Estructuras 1
2 3
4
5
4-4
6
7 8
9 10 11 12 2 3
'ki\
\
Grados de libertad no restringidos
4 5 6 7 8 9 10 11 12
k lo
Grados de libertad restringidos
i
i
34
FIGURA 4.4 Traslado del término K,, 10 de lo matriz del elemei ito 1 a la matriz de 1« estructum
1 3,200 1.200
1.600
2
3
1.200 600 30.000
1.200
4
tí
-600
8
9
1,200 60.000 75
225
225
3.200 900
-225
225
450
~óo.oc:T
11
12
-75
225
-225
450 1,200
75 60.000 1.200
-225
-60,000 -1.200 1.2(0
-600 -60.000
-225 900 3.200 1,600
t
r-
-600
-30.000
30.000 600
-75
10
-1.200
1.200 -1.200
7
1.600
-30.000
[K].
5
1.6(0 3.2(10
-1.200 -1.200
600
-1200
60.000 -1.200
-600
-1.200
-60. 000
600 1
6Ü.OOO
Esta matriz es una matriz simétrica, diagonalmente dominante y positiva, para una adecuada numeración de los grados de libertad es una matriz baldeada, en los términos donde contribuyen más de una rigidez estas se suman algebraicamente.
F;
4.3 SISTEMA DE NUMERACIÓN DE LOS NUDOS «
Analizado el procedimiento para ensamblar la matriz de rigidez de una estructura, es conveniente estudiar un sistema adecuado de numeración di i los grados de Libertad con el fin de concentrar sus términos sobre la diagonal principal y aprovechar sus característica de
f
Roberto Rochél Awad
! i J5
Análisis Matricial de Estructuras
I
matriz bandeada. Según el procedimiento de solución que se desee seguir existen los siguientes dos criterios: a)
Solución por expansión de la matriz Para facilitar la expansión d; la matriz deben numerarse primero los grados de libertad libres y después los restring dos o lo contrario, lo que no se debe hacer es mezclarlos. Este procedimiento se utilizará en los ejemplos de este texto pero no es el procedimiento adecuado para estructuras de alguna consideración
b)
Solución dilecta del sistema de ecuaciones lineales Los problemas de ingeniería involucran una gran cantidad de incógnitas y el sistema de solución por expansión es impráctico, en este caso la numeración de los grados de libertad va asociada a la nun .eración de los nudos, el procedimiento más apropiado para numerar los nudos consiste ;n obtener que la máxima diferencia entre los números de los nudos que conecta una b irra cualquiera sea la menor posible, con esto se logra que los términos de la matriz de rigidez se concentren sobre la diagonal principal y puede aprovecharse sua características de simetría y de banda con el consiguiente ahorro de memoria de computador en e 1 proceso de solución 17
14
Grados libres A
©
15
a
11
pv-
©
0
(§51
23 22
Restringidos
M,
K=
> MB
0 Máxima Diferencia=6.
20
irrrn
m |i:
19
MB = 21
rrrrn
FIGURA 4.5 Slsteina di i numeradón de los nudoa y d« los grados de libertad
'
De acuerdo a la numeración de los nudos se han asignado los grados de libertad, si así se procede el ancho de la semibancia ó media banda (MB) se puede calcular de la siguiente manera: MB = (Max. diferencia +1) * N° Orados de libertad por nudo
Roberto Rochel Awad
Análisis Matricial de Estructuras
4-6 Gn doa librea
©
X)
Rcatringidoí
as
0 jJ^-Mo 14
20
17
Máxima Diferencia=2
MB 23 í
MB =9
FIGURA 4.6 Sistema de numerudón óptimo de los nudos) de los grados de libertad
4.4 ANÁLISIS DE CARGAS APLICADAS EN LAS LUCES: En las secciones anteriores se analiza el método de la rijtidez enfocándolo a obtener los desplazamientos de los nudos por medio de la resolución de las ecuaciones de equilibrio de los nudos, {F} = [K] * {U}. El vector {F} representa las cargas aplicadas en los nudos. Cómo se plantea el quilibrio de una estructura que tiene caigas aplicadas en las luces?, la solución se plantea organizando dos vectores de cargas, uno que represente las cargas en los nudos, {N}, y otro vector de cargas efectivas, {L}, que provoque el mismo desplazamiento de las cargas aplicadas en las luces, el vector resultante sera: [F} = {N}-{L}. i 4 i i i 4 Q i í 4- 1 -> -» -+ -> -> -* -> -> ->
A^n
n 7
© rrrn
rrrn
¡rrn
mn
FIGUR4 4,7
El objeto de este análisis es determinar las cargas, que aplicadas sobre los nudos, producen el mismo desplazamiento que las cargas aplicadas en las luces. La estructura puede considerarse como la superposición de dos casos: el caso 1 consiste en las cargas reales aplicadas sobre las luces y una serie de cargas restrictivas aplicadas sobre los nudos que impiden que los estos giren y se desplacen. Ahora se aplican unas serie de cargas de igual magnitud pero de sentido contrario a este conjunto de cargas p ara constituir el caso 2.' La superposición de los casos 1 y 2 es estáticamente equivalente a la estructura real pues las cargas restrictivas se cancelan. Puesto que la superposición de los casos 1 y 2 constituyen un Robarlo Rochel Avvad
EP *
^
,
e X 3 M1 í' , o t*—tío^
/
1°
w Mátricial de Estructuras sistema estáticamente equivalí ¡nte, también produce un sistema cinemáticamente equivalente, esto quiere decir qu; la suma de los desplazamientos de los casos 1 y 2 son iguales a los de la estructura real, debido a que el caso 1 no produce desplazamientos;;de los nudos los desplazamientos del cano .2 son exactamente iguales a los de la estructura real, Las cargas del caso 2 son las cargas equivalentes a las cargas de las luces, {L}, y su valor se determina a partir de las acciones de extremo fijo, sobre los extremos del elemento y se pasan a los nudos cambiándoles su signo, luego el vector de cargas en los nudos (F) será: .-
, ~
ft
. :
{F} = Vector total de cargas (N) = Vector de cargas aplicadas en los nudos {L} = Vector equivalente de cargis en las luces
4.5 PROCEDIMIENTO GENERAL DE ANÁLISIS:
n
n
•
Numerar las barras y le a nudos de acuerdo a lo explicado en el numeral 4,3
•
Definir los sistemas de coordenadas locales y global para la estructura
•
Calcular la matriz de ri gidez de cada elemento en coordenadas globales
•
Ensamblar la matriz de rigidez total de la estructura, [K]
•
Definir el vector de car jas en los nudos, {F}, y el vector de desplazamientos, {U}
•
Resolver el sistema: {F} = [K] * {U}, para cálculos computacionales se emplea el método de Oauss o c e Cholesky empleando un algoritmo para resolver la matriz bandeada, Para calculo u manuales se procede de la siguiente forma: Al separar los grados de libertad libres de los restringidos se puede realizar la siguiente partición matricial:
ol
KOÍK, U
{F0} = Vector de cargas aplicadas en los grados libres, conocido {Fj} = Vector de cargas aplicadas en los grados restringidos (reacciones), ¿esconocido {U0} = Vector de desplazamienü is en los grados libres, desconocido = Vector de desplazamientos en los grados restringidos, conocidoPora desplazamientos: Para reacciones:
Robarte Rochel Awad
{U } = [KJ-i * ( {F0} - [Ko] * {U0} ) {F,}=[KJ-*{U 0 } + tK 3 ]*{U,}
(4.1) (4.2)
Análisis Matricial de Estructuras
4-8
lí C; O
4.6 EJEMPLOS EJEMPLO 4.1 Analizar el siguiente entramado considerando: fj = 0,25. ,í, Y
S.OOO cm4, E = 10.000 tn/cm3 y
10 tu i
Procedimiento: Unidades de trabajo; tn y cm. a)
Numerar 'as barras y los nudos, definir los sistemas locales de coordenadas. El sistema global se indica en la figura superior,
r r
b)
Se calcula la matriz de los elementos en coordenadas globales y se ensambla la matriz de rigidez de la estructura: Barra N" 1
Ni (0,0,0), Nf (100,0,0), CX = 1,OC, CZ = 0,00
4
Grados de Nudo inicial 5 6
120
6,000
libertad 1
-40.000 400.000 '-6.000 -6.000 120
-120 6,000
200.000
-6.000 4d.OOO
-40,000
Roberto Rocha! Awad
3
6.000
-120
40.000
6.000
NS Tuud) d ) ffinal inal 2
200.000
-6.000
400.000_
r
o
r;
r-
Análisis Matricial de Estructuras Barra N° 2
Ni (100,0,0). Nf (200,0,75), CX = 0,30, CZ = 0,60 Grados Nud o inicial 1 2
[Ka]-
c)
3
7
Nudo final 8
-2,304 3.072 ¡-61.44 •-2. 304 ' 61,44 3.072 37, 120 -92,160 -2.304 135.680 -138.240 | 2.304 3.072 -138.240 216.320 _j -3. 072 -92.160 90.880 -3.072 ¡ 61.44 2.304 -61.44 2,304 -3.072 37.120 -92,160 ¡ 2.304 135,680 -138,240 -2.304 3.072 -92.160 90,880 i -3,072 -138.240 216,320
'181,44 -2.92S -120 -2,304 -2.304 175.680 -138.240 -2.928 -138.240 616.3ÍIO 6.000 -120 6.00(1 120 -40,000 -6.000 200.000 6.000 -61.44 -3.071 2,304 -2,304 -92,1(0 37,120 3.072 90,883 \0 -92.160
f 3
de libertad
-61.44 2,304 200.000 -3.072 6,000 -6,000
-2.304 37.120 -92,160
3.072 -92.160 90:880
40, 000 400.000 -3,072 61.44 2.304 2.304 135,680 -138.240 -3.072 -138.240 256,320
Se ensambla el vector de carga; ¡: »
Cargas en IBS luces •
Barra N° 1 1
V L 3 - 200 In-cm fe
iOOtn-cm
200tn-cm
W= 0,24 tn/cm > ^ vj/ si/
-tL
'•;> X
si/ '
100 an
Ban-a N° 2
Roberto Rochel Avfad^
,
1 V Z
>
Análisis Matricial de Estructuras
201*1
312,5tn-cm
4-10
r* * I
125 cm
r•-'in
312,5 tn-cm
62,5 cm Ni
1, _ rt
L,187,3 ta-on
Nf
ir4
10ta~L,
¥-b. íü
a
12
5
O
loo '
rLj 1
10 -187,50
22 -187,50 12
tn,tn-cm 10 187,50
-200
tn, tn-cm 10 187,50
-250
—J
Cargas en los nudos y vector total de cargas
N, N2
NT
Ñ7 N Ñ7
187,5 -1.050
tn,tn-cm
5
N7
-32
-10 0 1000 R7"
R 6 - 200 R 7 -10
R
Rg-187,5 R 9 4-250
R9
d)
Se ensambla el vector de deformaciones:
r
_°i U¡
Hi Ufi U7
Ha IJ9
Roberto Rochei Awad
tn, tn-cm
Ü3
JL _o_ _o_ _o_ JL o
cm,radial íes
r
r.
u
Análisis Matricial de Estructuras e)
Solución para desplazamientos: U
;1
Por ser {U(} = {0}, se obtiene: 181,44 -2.304 -2,928
í)
-2,304 175.680 -138,240
-2.928 1 U, -138.240 * 616.320 j- U
U,
'-0,3550751
Uo > = \\cm,ná [ U 3 j (-0,0050949 J
Acciones en los extremos de las 1 (arras en globales
r
']
Barra N° 1 : Acciones en tn y tn-cm
NI
12
F1 NI"
2_00 12~ -200
' 120
6.030 | -120 40,000
-120
6.000 "
1 400. )00 1 -6.000
200.000 -6.000
"-6". 000 f 120
6.000 -40.000 6.000
o 0 0
24,04 303,94 1,311,47
-0,355075 -0,0075985 -0,0050949
-303,94 ^ -107,51
-40,000
40,000
I 1
200, )00 ¡ -6.000
400.000
-0,04
Barra N° 2: Acciones en tn y tn-cm 10
-187,5 735$T.
>í
T8775"
t.
-2.304 ' 61,44 3.072 3,072 1-61,44 -2,304 -2.304 135.680 -1:8.2401 2.304 37.120 -92.160 3,072 -138.240 21i>.320 1-3,072 -92,160 90.880 -3.072 61,44 -61, 44" 2.304 2.304 -3,072 -92,160 2.304 135.680 -138.240 -2.304 37.120 9C.880 -3.072 -138,240 216.320 3.072 -92.160
Nj- 301,94
^
—~?i
Y
N J" 303 ' 9 ' (
-9,96
-0,355075 -0,0075985 3), 0050949
"27,9S" '1.193,08" ^TIÜ3^
-
HF "®. ívuí
1
La solución presenta equilibrio, cbservese que si se suman las acciones en el nudo 1, se obtienen las cargas aplicadas en < iicho punto, mientras que las acciones en los nudos 2 y 3 corresponden a las reacciones e a coordenadas globales.
íl Roberto Rochel Awad í' 1 L lia..
t
•
'
•
Análisis Matricial de Estructuras
4-12
g) Acciones en los extremos de las barras en locales En la barra N° 1 dado que los sistemas de coordena das local y global coinciden no hay necesidad de transformar las fuerzas en sus extremos. Para la barra N° 2 se procede asi:
í:
= [T]T*{F}
1 0 0 0 0 0
17
17
S
0 0,8 -0,6 0 0 0
0 0,6 0,8 0 0 0
0 0 0 0 0,8 -0,6
0 0 0
1 0 0
-í',96 3C3.94 -8,96 1.1)3,08 -1.103,54
-9,96 -292,35 -896,36 29,96 292,34 -1.598,68
tn, tn-cm
r-
n,»«,M
n,- 24,M
-303,54
L_
n,-303,94 , f <
a" 1311.47
0 0 0 0 0,6 0,8j
,. .--•'(2)
UÜ
* ~
'
nj- 107^1
n¡" 8X5,34
n¡rl5»8,iS8
nfi
Cada una de las barras se encuentra en equilibric, la solución es correcta y pueds precederse al trazado de ios respectivos diagramas. 20 tu 0,5». 0,24 tn/cm
29Z15
,¿_
L-125 on
303,M
L-100 on t.311,47
A 24,04
303,94
S*
©
10,04 \|/
> f
1 29,94
Vta Vta
0,04
24,CM
.'¡,Xm 107,51
•:'Xm 8M,3<
M tn-cm M tn-cm
EJEMPLOS. Robaría Roche! Awad
4-13
Análisis Matrícial de Estructuras
Analizar el siguiente cercha plana para JE = 2.0411 tn/cm2, para las barras tomar las áreas indicadas. '•
n
-r< P
5* A
^"~
• ¿ J/^xT
'
A , = lOOcm / ls-i
m
m
;£ i
•Q?
A 5= 30 c m 7
(,
S1—^
A 3= 40 cm 1 A i = 150 cm -
OD
A 3= 40 cm J
r////)//
4m
i ;m
5
i
Procedimiento: Unidades ds trabajo t u y cm. a) Numerar las barras, los nudos y d efinir los sistemas de coordenadas.
í
(^\
n
8
\S
UvX -^
[0
>
f^
^\
^gy
> XL^
••• x
• b)
51
' ,1
s !
Se calcula la matriz de los ele cuentos en coordenadas globales, se ensamblan los vectores de cargas (tn) y deform iciones (cm) y se procede a ensamblar la matriz de rigidez (tn/cm) de la estructura y plantear la relación de equilibrio:
\K]
Grados de líber ad Nudo inicial Nudo final XI Yi X: Yf ex2 CX*CY ! -<:x 2 -CX*CY! AE CX * C Y CY2 [.-a:+CY -CY 2 L -CX 2 CX*CY| CX' 1 CX*CY -CX*CY -CY 2 ¡ CX*CY CY2
3
4
(•„ i 1^2]-
0 0 0
7 8 1 2 "261,12 195,84 -261,12 -:.95,84~ r 1 195,84 146,88 -195,84 -¡.46,88 l^U -261,12 -195,84 261,12 Í'95,84 [-195,84 -146,88 195,84 ,146,88_
7 "204 rK i 0 1*3]= -204 0
1 "391,68 f -i -293,76 l ^ 4 j • .39^68 293, 76
3 f 204 !•„ i 0 L ^ S J - -204 0 •
2 5 6 -293,76 -391,68 293, -76 " 220,32 293,76 -220,32 293,76 r 391,68 •293,76 -220,32 -293,76 220, 32 _ <-
Roberto Rochel Awad
1
r n • o
2
o
204 j 0 0 0 -204 0
o " • -204 0 204 _
8
3 4 0 -204 0 0 Ó' j 0 0 i 20 4 0 0 J 0 0 4 0 0 Ó" 0
6 5 0 -20 4 0 _±± 20 41 0 0
Análisis Matricial de Estructuras
1
ll Re. R8L
c)
5 6 7 8 -391,68 293,76 -261,12 -195,84" -204,00 293,76 - ¡20,32 -195,84 -146,88 -204,00 408,00 -204,00 -204,00 204,00 -391,68 293,76 -204,00 595,68 -¡93,76 293,76 -220,32 -293,76 220,32 -261,12 -195,84 -204,00 465,12 195,84 _-195,84 -146,88 1 46,88 _ 195,84 " 652,80 -97,92
ji_ o o
2 -97,92 571,20
3
4
c
' \JU9l l
U3 0 —2
0
C!
i °J
PT tsi i1
Solución para desplazamientos por expansión de la n latriz:
"-391,68 293,76 -2H.12 -195,84" 293,76 -220,32 -155,84 -146,88 -2C4.00 -204,00
tn
Aplicando Oauss se obtiene:
592,50 -440,64
~H~~
652,80 -97,92
-97,92 571,20
-204,00 408,00
-204,00
cm
204, 00
d) Fuerzas axiales en las barras: En el caso particular de las cerchas las fuerzas axiales en las barras resulta mis rápido calcularlas en función de los desplazamiento:) nodales, en la siguiente figura se indican loa desplazamientos de loa extremos de una barra en coordenadas globales y a partir de ellos se calcula la deformación axial de la burra:
Roberto Rochel A-nrad
«Tu
Análisis Matricial de Estructuras
4-15
rrConsiderando positi\dvos los alargamientos y las tracciones se tiene: Aaxial = Uxf * Cos a + Uyf * Sen a - Uxi * Cos a - Uyi * Sen a En función de los cosenos directores y en forma matricial:
Uyf
r£
-- -Uyi
(4.3)
Para el presente ejemplo: 100*2.040 500
, (Compresión)
30* 2.040 ^ {0,00 ¡ ^M}*]-^^™] = 15,00 tn 300 L * . * J 40*2.C f3 =z:^^1'00|0-^1--i;r^o} = 0 ' ootn =
'i !''
fj=.
n Roberto Rochel Awad
15^040 500
¿o + ? run , 400
Q)80
^60}4^™ ) = -15,60 ü,
(Tracción)
Análisis Matricial de Estructuras 5tn
I"4
4-16
«1 -71
5tn
fe rl
2cm
Obtenidas las fuerzas axiales en las barras debe veril icarse el equilibrio en los nudos, al verificar este equilibrio se deducen fácilmente las reí icciones por lo que no es necesario recurrir a la expresión 4.2 para determinarlas.
EJEMPLO 4.3 Analizar el siguiente pórtico plano considerando: E <-188 tn/cm3, b = 25 cm y h => 30 cm.
rr
2.2 ta/m
,0 tn-m
Numesraciót de nudos, borras y grados de libertad
Procedimiento: Unidades de trabajo: tn y ra. a) Numerar las barras y los nudos, definir los sistemas locales de coordenadas. El sistema global se indica en la figura superior. b) Se calcula la matriz de los elementos en coordenadas globales y se ensambla la matriz de rigidez de la estructura, se trabajará este ejemplo (ti toneladas y en metros: i-
Barra N° 1 Ni (0,0,0), Nf (100,240,0), L = 260 cm, CX = 0,3846, CZ = 0,923
Roberto Rochel Airad
Análisis Matricial de Estructuras Grados de 10
Nudo ir icial 1
' 8.637,50 18.9$'7,19 18.997,19 46.31,5,27 -866,41 361,00 -8.637,50 -Í8.9'97"l9 -18,997,19 -46.315,27 -866,41 361,00
libertad
12
Nudo final .1"
1
-866,41 -8.637,50 -18.997,19 -866,41" 361,00 -18,997,19 -46.315,27 361,00 1,626,92 .866,41 -361,00 813,46 ~ 866,41" J í. 637750" 18.99T,19 -361,00 18.997,19 46.315,27 -361,00 813,46 866,41 -361,00 1. 626, 92
~~866;4T
Barra N° 2 Ni (100,340,0), Nf (470,340,0), L = 370 cm, CX = 1,00, CZ = 0,00 Grados Nudo inic Sal 1 2
de libertad
3
4
'38.108,11
Nudo final 5 "
-38.108,11 463, 48 250,53 *)3,48 J 1,143,24
[Ka]- -38.108,11
-250,53 -á63,48
463,48 571,62
250,53 -463,48
-463,48 1.143,24
' 38.108,11 -2 50, 53 -463,48 *Í3,48 571,62
Barra N° 3
n
Ni (470,340,0), Nf (570,0,0), I, = 260cm, CX - 0,3846, CZ = -0,923 Sradoa 4
1 n
8.637,50 -18.997,19 866,41 361,00 -18.997,19 46.315,2'.' 1,626,92, 361,00 866.41 Í8.997,l<> r-866,4r H 18.997,19 -46.315,27 -361,00 813,4o 361,00 866,41
--s.-m^w
n Roberto Roche! Awad
Ll
de libertad
Nudo inicial 5
Nudo final 9 -8.637,50 18.997,19 Bisej^i " 18.997,19 -46,315,27 361,00 813.46 -361,00 -866,41 8". 637, 50 -18.997,19" "-866, 41 -18.PP7.19 46.315,27 -361,00 1.626, 92 J -361,00 -866,41
•Análisis Matricial de Estructuras
46.745,62 18.W/.I9 866,11 -38.108.11
[K]-
18.997,19 40.565,80 102,47
864,41 102,47 '¿./m,17
-38.108.11
ii i ¡ 860.41 B64.41 j -8. 637, 50 -102,47 '341,00 ¡18.997,19 2.770,17 813,44 -855,41 813,46 nüüJTPZl -846,41 ^ , 537,30" I8.TJ9T.19 -tSí, 41 !TÉr.í37,5Q 18.997,19 —M. 3 15, 27 -341,00 ' "-341,00 !
-250,53 -453,48 46.745,62 -18.997,19 -'¿50,53 -453,48 -18.997, 19 45,50 5:80 443,48 "571,62 865,41 -102,47 845,41 351,00 '
-8.537,50 -18,997,18 -855,41 -18. 997,19 46. 315, 21 341,00 SOS, 41 813,40 -361,1)0
c)
4-18
-8.637,50 -18.997,19
463,48 571,62
i
844,4) '
-18.95)7,19 -46.315,27 -341,00 341,00 -964,41 813,46
18.997,19 -4S.315/Z7 "-351,00
-351, MI -18.977,15"
44.315.7/ 8.637,50 18.897,19 -800,41
l!.9i>7,19 40. 315, 'il 341,00
-S44.41 341,00 1.624,92
r n
Se ensambla el vector de cargas: •
Cargas en las híces
Barra N° 2
L,j-200 fcvcm
t
251 tn-cm = L 6
L 3 =251 tn-ctn
W= 2,20 tn/m VJ/.^ Si/
A 4,07 tn = L 4
Lj -200tn-ctn * SÍ*
rt—
i-
•••:;< x
370 cm 4,07 tn = L j
^-' Z
o
f" i
4,07 2,51
_L_
• 4,07
4.01 tj., tn-m
0_ O O
r Roberto Rochel Awad
f1
LJi
n
Análisis Matricial de Estructuras •
Cargas en lo s n udos y vectoj ' total de cargas
>í
Nt '
•S2-'
0
{N} = <
si y
Ñ|T
d)
- -.. ,•- .• - "' ;•? uH :;«-*8.w-'- :i4jit9/<í/.;
>
2 •0 0 0 ~3 0
: <
1
. '
JV1
CUT! TT 1 [F] - (NJ - [L) - •
tn,tn-m
s
•s.
Sí
U5
{u} = W U T
L.
He ra, ratüánes Pv.
~ó~ ~ó~
Solución para desplazamientos:
n Por ser {Uj} = {o}, se obtiene:
Roberto Rochel Awad
tn,tn-m
i , K-12 .
U2
e)
o
^9 .
Se emambla el vector de desplazamientos:
nk
-4,07 -2,31 0 -4, 07 =Ó~49
Análisis Maíricial de Estructuras
4<5.745,<52 18.997,19 18.997,19 46.565,80 866,41 102,47 -38,108,11 -250,53 463,48
-4,07 -2,51 O -4,07 -0,49
4-20
866,41 102,47 2.770,17 -463,48 571,62
u,
E
s
II f)
-38.108,11 -250,53 -463,48 46.745,62 -.3.997,19 -18.997,19 46,565,80 166,41 -102,47 '836,41 361,00
463', 48 571,62 866,41 -102,47 2.770,17 813,4/5
U3 166,41 361,00 113,46
Hi U
1.626,92
'0,003395' -0,001057 -0,00148 = • 0,002325 m, rid 0,000852 0,000034 -0, 00144 j
Acciones en los extremos de las barras en globales
= {L}+[K]*{U] Barra N° 1 : Acciones en tn y tn-m
tí 0 0 0
t
+
0 5
JTT
[ 8.637,50 8.997,19 -866,41 361,00 18.997,19 "46.315,27 361,00 1.526,92 -866,41 18.997,19 866.4Í n -8". 637. 50 -18.997,19 • 46.315,27 -361,00 813,46 -856,41 361.00
-S. 637, 50 -18.997,15 -866, 41 -18.997,19 -'¡6.315,25 361, CO -361,00 "813.46 856,41 8.637,50 1 i.997,19 866,41 18.997,19 45.315,27 -351,00 •-361,00 1.626, S6<5,41
0,675 0
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Barr i bí°2: A cciones en tn y tn-m .. 0
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Roberto Rochel Awad
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1.143, 24 ^
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463,48 571,62
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-463,48 ,143,24_
33.108.fr
0,002395 -0,001057 -0^001480 0, 002323 0,000852
' 2,675' ^045 -2,6'H 5,22 -4,20
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\nalisis Matricial de Estructuras
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Barra N°3: Acciones en m y tn-m
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F 8.637,50 -18.997.19 8<6,41 -8,637,50 18,997, 19 866 41 1 -18.957,19 46.315,27 3*1,00 18.997,15 -46.314,27 361,00 866,41 361,00 1.626^92 -8¿¿,41 -361,00 813^ , -8~.637,5Ó 18,997,19" -!'S6,4f~' 8.637,50" -18.997,19" -86"6,4l 18.997,15 -46.315,27 -3<¡1,00 -18.557,15 "46,315,27 --361,00 [ 866,41 361,00 813,46 -866,41 -361,00 1,626,92]
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J, 2.675 tn
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1,20 tn-m
2,675 tn -s 2,92tn 22ta
Í
g) Acciones en los extremos de las b arras en coordenadas locales Mediante la expresión; [f} = | T]T * {F} se calculan las acciones en los extremos de las barras en coordenadas locales, esta transformación es necesaria para el trazado de los diagramas correspondientes, En el litoral "b" han sido calculados los cosenos directos para los diferentes elementos, en la barra IT 2 los ejes locales y globales coinciden por lo que no es necesario transformar las fuerzas en este elemento, en consecuencia: Barra N° 1: Accion.es en tn y tn-m "0, 3846 0,923 3 -0,923 0,3846 •\
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0 0 0 0
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Barra N° 3: Acciones en tn y tn-m
Roberto Roche! Awad
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' 0,675 ' 2,921 1,252 -0,675 -2,921 0,049
'2,96' 0,50 1,252 -2,96 -0,50 0,049
Análisis Matricíal de Estructuras
'0,3846 -0,923 0 0 0 u" 0,923 0,3846 0 0 1) 0 0 0 0 II f 1 L__0___ 0 0 ü 0,3846 -0,923 il 0 0 0 0,923 0,3846 1) 0 0 ;ij 0 o o
4-22
'2,675] -5,22 1,20 -2,675 5,22 0
i 5,84' 0,46 1,20 -5,84 -0,47 0
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5,84tn
1,252 tn-m
z
r
Diagramas de fuerza axial, fuerza cortante y momeni o flector.
2.2 tn/m
3,0 tn-ra
2,92
4,20
r Roberto Rochel Awnd
i
4-23
Análisis Matricial de Estructuras 4.7 PROBLEMAS PROPUESTOS
4.1 Trazar los diagramas de Fuen;a cortante, momento" flector.y torsor. del siguiente entramado. Considerar: Ix = 2.000 cm4, Iz = 1,000 cm4, E = 3.000 tn/cm2, \i = 0,25
> X
y Resp,
Desplaza/tos Nudo F E Reacciones:
Uycm -0,07017 -0,12092
Nudo A B D C
Pytn 2,993 1,102 6,878 1,827
Uxrad -0,00068 0,00055 Mxta-rn 0,091 0,137 -0,111 -1,234
Uzrad 0,0002875 -0,0003528 Mztn-m 1,566 -0,733 2,295 0,071
4.2 Trazar los diagramas de Fuen;a cortante, momento flector y torsor del siguiente entramado. Considerar: b = 25 cm, h = 30 era, y. = 0,25, E = 200 tn/cm2. Realizar los cálculos en forma manual y comprobar los resultados empleando el programa de computador, analizar la incidencia que tiene el despreciar la torsión en el análisis.
,
..••'
4,33 ni
/
5.0)
Análisis Matricial de Estructuras
4-24
£' lí
4.3 Cuál debe ser el área mínima que pueden tener ks barras de k cercha metálica de k figura para cumplir la especificación del CCCSR sec.F.1.13.1 que la limita a L/360. Para el acero: E = 2.040 tn/cm2
í:
4.4 Calcular el valor de las cargas P y Q que hacen que la tensión en la barra N°l sea de 2 ín a tracción y en la barra 2 de 1,5 tn a compresión. Para todas las barras A = 5 cm2 y E = 2.040 tn/cm2
ir PROBLEMA 4.3
nr<
PROBLEMA 4.4 '
4.5 Ensamblar la matriz de rigidez de las siguientes ceichas y observar si alguna de ellas presenta singularidad. Qué representan estos resultados?. Para todas ks barras A = 5 cm2 y E = 2.040 tn/cín2
Jra
3,0 ra
PE OBLEMA 4.Í 3,0 m PROBLEMA 4.5
4.6 Calcular la tensión que se presenta en la barra 1 de la cercha compuesta indicada en k figura, considerar que los nudos ubicados baje la carga de 8 tn solo tienen desplazamiento vertical. Para todas las barras A = Km 2 y E = 2.040 tn/cm2 4.7 En k siguiente cercha plana dos de los apoyos están asentados sobre un estrato compresible que para efectos de análisis se modelan como dos resortes de rigidez axial con una constante de elasticidad deducida en el laboratorio, determinar la tensión en la barra indicada. Para todas las barras A = 12m2 y E = : 2.040 tn/cm2. 4.8 En la siguiente cercha espacial determinar la tensión en la barra señalada. Para todas ks barras A = 12m2 y E = 2.040 tn/cm2. Roberto Rochel Awad
í
II-
n
Análisis Matricial de Estructuras
10 tn
l,22m
PROBLEMA 4.7 PROBLEMA 4.8
4.9 Determinar el valor de la inercia minirna que dará como resultado que la flecha en la mitad de un tramo de una vi|$a cualquiera no exceda de L/350, donde L es la longitud del tramo en cm. Considerar ] 5 = 188 kg/cm2 y para fines de análisis suponer A = 192 I. para I en m4 y A en m2. Cuál tramo controla el diseño?
n
4.10 Determinar el valor de la inercia que dará como resultado que el desplazamiento horizontal de los nudos 1 y 2 no exceda del 1,5% de la altura del piso (h = 4m). Considerar E = 188 tn/cm2 y para fines de análisis suponer A =300 I. para I en m4 y A en m2. Trazar los diagramas c e fuerza axial, fuerza cortante y momento flector. <5 üi/m
h
5tn/m
r'
12 tn 3 tn/ra
4/4/sJ" 2i 3m
_4m
5,5m
PROBLEMA 4.9
PROBLEMA 4.10
H, i—v,
4.11 Determinar los desplazarme titos de los nudos y las reacciones causadas por el sistema de cargas indicado, trazar los diagramas de fuerza axial, fuerza cortante y momento flector. Considerar para el aiálisis E = 200 tn/cm2. Analizar la estructura aplicando el programa de computador transformando las cargas en las luces en un sistema de cargas equivalentes aplicadas en los nudos. 4.12 Empleando el programa de computador analizar el pórtico plano de la figura para E = 200 tn/cm2, b = 30 cm y h = 40 cm (en todas las barras).
Roberto Rochcl Aivad
Análisis Matridal de Estructuras
4-26
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5tn/m 3tn/ni J, ¿ Jf X sl^ \J/ \l/ •tm
•tm PROBLEMA4.il
fin
PROBLEMA 4.12
4.13 En la siguiente cercha espacial determinar, utilizando el programa de computador, la tensión en la barra indicada. Para todas las barras A = 40 cm2 y E = 2,040 tn/cm2.
r-
PROBLEMA 4.13
r
r I; Roberto Rochel Awad
i
n ti
5. ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ESPECIALES
5.1 ASPECTOS GENERALES
n n 'i
n ¡i
Los ejercicios y programas del presente capitulo están diseñados para trabajarse utilizando los programas de computador que acompañan este texto, en los casos de estructuras compuestas en los cuíles se proporciona como dato el módulo de rigidez E debe convertirse este a valores equivalí «tes de fe mediante la siguiente expresión Ec = 13.000 * (kg/cm2)
5.2 APOYOS FLEXIBLES Los apoyos perfectamente r.gidos no existen en la realidad, de allí que en ocasiones es necesario analizar estructuras que se apoyen sobre un suelo compresible, el cual puede presentar asentamientos diferenciales al someterlo a cargas. Conocidas las propiedades del suelo, su rigidez se puede represimtar mediante un conjunto de resortes de igual rigidez, es decir, los resortes son idealizaciones que en el análisis estructural se emplean para representar rigideces, En la figura N°5,l se ilustra un resorte cuya rigidez axial coincide con el eje normal a la barra, analizando en un diagrama de cuerpo libre la sección de la estructura en las inmediaciones al sitio de aplicación de una carga P se obtiene:
Fest
^resorte FIGURA N°5.1
n
La reacción total de la estructura c lebida al desplazamiento en la dirección del resorte es F^', en consecuencia su valor estará -lado por F^ = Kj^Aj, en donde el término K M es el coeficiente de rigidez de la estruci ura en la dirección del resorte. La fuerza del resorte estará dada por la expresión Fregorte = K, e30rte*Ai Entonces, por equilibrio estático:
Roberto Rochel AtVad
Análisis Maíricial de Estructuras
5-2
rest rresorte P = K,,*^ + Krt^M, = (K n + K,^ * A,
Matricialmente esta expresión significa que se suma la rigidez del resorte al término de la diagonal principal correspondiente al grado de libertad de ,1a estructura en k dirección del resorte, a idéntica conclusión se llega para resortes horizontales y torsionales. Otra forma de representar las rigideces idealizadas median le resortes es el empleo de barras o elementos que tengan rigideces estructurales equivalen íes, como se indica en k figura N°5.2, en la cual las barras que idealizan una rigidez adicicnan automáticamente la rigidez a los términos de k diagonal principal de k matriz di¡ rigidez de la estructura, este idealización es fundamental pues nos permite emplear piogramas de computadoras en el análisis de este tipo de estructuras (véase el ejemplo 5.1).
5.3 APOYOS DE RODILLOS INCLINADOS Cuando un apoyo permite el libre desplazamiento de un nudo en una dirección diferente a la de los ejes de coordenadas globales no pu< de analizarse k estructura de k misma manera como se ha hecho hasta ahora pues los dos grados de libertad, los que coinciden con la dirección de los ejes de coordenadas globales, no tienen desplazamientos independientes pues sus valores están relacionados en fuñe ion del ángulo de la superficie de desplazamiento.
mfn DETALLE
FIGURA N°5.2 Idealización de los apoya i de rodillo inclinados
Para permitir el análisis de estructuras que tengan apoyos < le rodillos inclinados con k teoría expuesta hasta el momento es necesario idealizar este rodi lio reemplazándolo por una barra que permita realizar el análisis con el programa de computadora que se disponga; esk barra debe tener una gran rigidez axial para que no se presente deformación axial, para controlar su flexión la inercia de la barra debe ser nula.
Roberto Roche] Awad
1
Análisis Matricial de Estructure s Observando con detalle la barra que idealiza el apoyo de rodillo inclinado se observa que esta, al no tener deformaciones adales, gira alrededor del extremo B describiendo su otro extremo un arco, pero basados en 1 a hipótesis del análisis estructural en la cual se asume que las deformaciones son pequeñas c amparadas con las dimensiones de la estructura, este arco que describe el extremo. A puede aproximarse, sin error apreciable, at una tangente y en este caso esta tangente representa el se nudo del desplazamiento del nudo el cual coincide con el plano de desplazamiento del rodilb. Véase el ejemplo 5.2
5.4
ESTRUCTURAS COMPUESTAS
Como estructuras compues1 as estaremos estudiando aquellas estructuras que están compuestas por pórticos y cerchas combinadas.
3,30 tn/m
n
2,70 m
'.í
n
FIGURA N°5,3
Para correr estas estructuras empleando el programa de computador deben tenerse presente las siguientes observaciones: a) Deben correrse con el pro¡ ;rama de pórticos planos simples
n
b) A las barras de las cerchi is debe asignársele dimensiones de modo que su inercia a la flexión sea nula, si su ¿rea transversal es A esto se logra asignando las siguientes dimensiones: b = A E10 y h =1 E-10, En la figura N°5.3 por ejemplo para la barra de, por ejemplo, b = 25E10 y h = 1E-10. c) En los nudos de estas est licuaras donde solo concurran barras de las cerchas (Nudo d en la figura N°5.3) deben trabajarse restringiendo estos nudos en Ti para evitar que en el proceso de solución se presente una división por cero, caso en el cual aborta el programa
Roberto Rochel Awsd
i L-,
Análisis Matricial de Estructuras
5-4
i (Jt
5.5 EJEMPLOS EJEMPLO 5.1 Analizar ¡a siguiente viga reemplazando los apoyos; c uya rigidez está representada mediante resortes, y el asentamiento por barras cuyos efectos estructurales sean equivalentes. E = 200 ín/cm2y b => 30 cm, h-40 cm. 3 tn -m
u
4 tn/m
3m ] = 3 tn/cm
6m
2m
K2 = 4 tn/cm
= 243,80tn*m/rad
r
Modelación de los resortes Kt y K¿: Estos resortes deben reemplazarse por barras que solo pos ean rigidez axial, para el efecto seleccionamos arbitrariamente para las barras equivalentes las siguientes propiedades: L = 10 cm y E = 200 tn / cm2, el área de estas barras se calcula de modo que su rigidez coincida con el valor dado. Apoyo A:
K t =» AE/L
K, * L / E = 3 * 10/200
A = 0,15
Para eliminar la rigidez a la flexión de k barra se seleccionan las siguientes dimensiones: b = 0,15E10y h = 1E-10, con las cuales A = 0,15 cm2 e 1 = 0 cm4 -4*10/200
Apoyo D:
A = Q',20 cm2
Para eliminar la rigidez a la flexión de la barra se seleccionan ks siguientes dimensiones: b = 0,20E10 y h = 1E-10, con las cuales A = 0,20 cm2 e I = O cm Modelación del resorte Este resorte debe reemplazarse por una barra que solo poseí i rigidez torsional (K3 = 4EI/L), esto se logra proporcionándole una gran longitud y un bajo módulo de eksticidad, por ejemplo: L = 100,000 m y E = 1,0 tn / cm2. ApoyoD:
I = K3 *L/4E . => I = 24380 * lO'OOO.OOO / 4 * 1 => I = 6,095E10 cm4 I = b * h 3 / 1 2 = ó,095E10, si b= 10 cm => h = 4.182,009214 cm
Roberto Rochel Awid
t
Análisis Matricial de Estructurm ^ JW
Modelación del asentamiento:
:
'
Ijs
Se modela; representándolo corno;|ina barra de luna rigidez axial muy alta comparada con la de.las barras de la estructura (dosiordenes de magnitud mayor) y sometidas una gran carga axial que produce el desplazamifjmto deseado», para el caso se toma una barra con >K 200.000 m / cm, E = 200 tn / cm2;y L = 10 cm, para las cuales:
h Al
¡1
K = AE/L '=> A = : . C * L / E =200.000*10/200
Para eliminar la rigidez a. la flexión de la barra se selecciona^ las siguientes ' dimensiones:' b'^ lOEV h ^ lOE^Scóá' las'cuales A ^ Í O O O á = 4
M
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xt w 7 10 ^ cm
Propiedades de las barras:
.u SB * 1
Barra i 2 3 "4 ' "; 5 a 7 v '
fe cm
hcm
0,000015 10,000 10.000 0,000020 4.182,009214 10 10E-5 10E7 1 : 30 * 30' ' ' !i ''
Coordenadas y desplazamientos .de los nudos:
'» II Roberto Rochel Aw»d
Etn/cm 2
fe kg/cm2
200 200 1 200 200
236,68639 236,68639 0,005917161 236,68639 236,68639
I"
Análisis Matricial de Estructuras
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Nudo
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,-0,0066669 0,56419 -1,1 10007 ' -0,0096421 < ; . - ; V . Q ' '•••-. 0 ' 0,0102351 10 10 •' ' i ,.; o::-"' ••' ' 1,08730... ' . '0,0027856 ' 10 • • • , < • :.';•! -0 ffi'.:- '• i '• - - - O • . T Í ' >:•;, - J 0 , . - ; ¡ ( Oi 0 0 0 0 0 0 , ... .0 ., 0
0 300 ' 900 •""•'•-• 1100 i 10001100 0 300 1100
2 3 4 5 6 7 8
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'
Obsérvese que el desplazamiento verticalj del nuda 2 corresponde al, valor
3 tn-m .Bi
A '2,89 tn .
ín
4 tn/m
.
C/A
D
14,30tn
\
j 16,97 tn
3m
">
,'2m
6m Reacciones y verificación del equilibrio g enera!
EJEMPLO 5.2 Se desea analizar la siguiente cercha plana considerando: E = 2.060 tn/cm2 y A1 10 cm2, A3 **A4 » 75 cm^, As ~A6 = 20 etn* -y) 5tn
5 ta
_n
Ci, El apoyo inclinado se modela reemplazándolo por una barra que tenga efectos equivalentes, para tal efecto esta barra debe ser perpendicular al plano del aípoyo y poseer una rigidez axial bastante grande comparada con la de las barras que conforman la cercha, esto se logra asignándole un área de dos ordenes de magnitud superior, al, ¡trea de las barras, en este caso . -.'':':;'• ."..
Roberto Rochel Awad
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•."'P ! > | : ' . " ' ,
..je-'-- ' V • • • • r
• •'• ' I ¡ '
' i ú í .) .
«C»
f K $
Análisis Matricíal de Estructuras asignándole un área de dos ordenes de magnitud superior al área de ks DarraSjSen;eatA'Baso puede asignarse 2,000 cm2, pero tío debe ser exageradamente grande pues se pueden generar errores detruncamiento en lel.proCibso de solución que conducen a errores 'en «la .solución,/ * •Analizada esta estructura utilizando el programa de computador se obtienen los siguientes resultados para desplazamientos de los nudos: v .-••'• . .I! -'.I "j '-¡._ .>-..;•'••. •;"...) '•.,,v..-.,v,'v.J;'...'ií :;•.
DESPLAZAMIENTO DE LOS NUDOS, cm NTjEDO 1
V;': • ' • • ' • t i - ,
;.
0,1416 0,1376 0,0204
,:y
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3
n j*a .te TIi.-
-Uy-" 0,0513 ^ -0,0495 0,0085
Obtenido los desplazamientos; se^ferifíca que .la .resulíante.'del desplazamiento del apoyo de rodillo coincida con la dirección ddl plano de desplazamiento: • . . 5 712 = 0,0085/0,0204 = 0,4167, .-=> La solución es correcta' ¡ ' v Tensiones en las > barras (-+• tracción ):•-..-;<•,•. F, =» 3,52 tn
:::.;/
. . ] ' ; • • • • ; , ::•-•. '.,••.;,
F2 = -0,30 tn F5 - -5^87'tn
F3 = -3,98 tn F 6 = 6s63tn
F 7 =-8,13tn
11 i
3,125 ln
8,13 ta
ion I
Verificación de las condiciones 'gen erales 2FX = O, SFy ^ O y SM,,, = O
i Roberto Rochel Awad
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Análisis Matrícial de Estructuras
EJEMPLO 5,3 '
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Se desea analizarla ¿siguiente estructura compuesta y calculan la tensión'en la barra bd considerando: E = 2,100 tn/cm3 y para la viga b = 2,50 cmyh = 30 cm,
Esta estructura debe correrse utilizando el programa de.. computador de pórticos planos simples, pues es el más general para los'elementos que ocintien^'es''decir se trabajará con tres grados de libertad por nudo, ' ! ! ' :: '•'•'"-'-• Modelación de los elementos'con rigidez axial: '• '• .
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3,30tn/m
Puntal bd:
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Trabaja a compresión, sus dimensiones deben* seleccionarse.de 'manera que su inercia sea nula:
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ííi « H , 0 . • .'.
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b = 30000 cm
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h = 0,001 cm .
Tensores ad y cd:
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r
i
Trabajan a tracción, sus dimensiones deben seleccionarse de manera que su inercia sea nula: = 25cm2 . :
b«25ÓOOcrn
h = 0,001 cm
Restricción de los nudos: El nudo "d" debe restringirse en 2, para evitar una división por cero en el proceso de solución, ello se debe a que en ese nudo|concurreo tres barras sin rigidez torsional y en consecuencia el término a él correspondiente en la diagonal de la matriz es cero.' i) : , . .,
Resolviendo se obtiene: Nudo
Xcra
a b c d
0 360 720 360
. - Y o n , . Tfccm,, 270 270 270 0
0 -0,02202 -0.04404 -0.02202
:•-••. ,¥7°?, , , 0 -0,26331 0 -0,20138
p
Uz rad.
—')
-0,0038126 0 0,0038126 0
n p
Y la tensión en la barra bd es de 14,45 tn a compresión.
Roberto Roche! Awad
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Análisis Matricial de.EstiíucíUF as •-'-•'•••-•
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5.6 PROBLEMAS PROPUESTOS 5.1' Resolver la siguiente viga¡ empleando el programa "de^computador. y revisar, en la solución, las condiciones generales de equilibrio, Para todas las barras tomar b = h = 30 cm y E = 200 ta/cm2í Modelar los apoyos de resorte cómo barras de efectos estructurales equivalentes,.
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1 L <;4tn/cm
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6ra '» lUya.^O,''305 cm 4-
5.2.. J^esplver,lars,igiiientej viga /empleando,,eljr^grama ^de,computador,, y. revisar,, en la ;rqso|ució,n,'ks condiciones geleralef de eiquilibnq.;Paraftodas las barras ¡tornar I = 1,372 cm4, A — 84,cmá y E = 2.0ÍJ9 -ín/cni2. Para qué valor de la carga uniforme la viga toca justo el apoyo B?. Modelar Oí apoyo inclinado como una barra de efectos estructurales : ,f,,equivalentes,,,,....i,..:•• ;•...:•. •. . .,,-,-. • , • - . : - ! ;-;-w . . . - . ' , . - ir ;-.^. '•••• .
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'2,5tn/m
3m Resp. a) Ha - i ¿16 tn ->
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5.3
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2m b)
0,451 tn/m
Resolver.kvsigmente.icercfej'empleandoNeL1 programa de computador y calcular la, tensión en k barra N°l. Paríi todas las barras tomar A = 2 'cm2-.yrE'.-. 2.100. tn/om2,' ( Modelar los apoyos de rodillb como barras, de efectos estructurales equivalentes.
Roberto Rochel Awsd
Análisis Matricial de Estructuras
20 ta 10 In
3tn'":
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PROBLEMA 5.3 Resp. 1,97 tn (Comp.)
5.4
PROBLEMA 5,4 •.•:¡iF«ip. 2,01 tn (Comp)
Resolver la siguiente cercha 'empleando el''programado computador y calcular la ' tensión en la barra N°l. Para todas laá barras tomaré;, = SO^crn2 y E = 2.100'tn/cm2. Modelar los apoyos de1 rodillo cómó'bárras de efectos estructurales equivalentes. y ' : í í < < . , ; , ; - , _ . • • • . • ' ; , . ;,"'«/, i U'.ii',.
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carga de 2,50 tn la flecha en C debe ser de 0,236 otn 4. Considerando E = 2.039 to/cm2, b = 4 c m y h = 9om calcular: ,, -• -,, ; ;. t , .// a) Cüanto7deba levan^seietiJtíntóBj! «.... b)'Reacción e^.p•4esp'iuea^' aplicar la carga'
"?ROB1/B,MA 5.5 Resp. a) 2,03 cm b)5,10cm
Robarlo Rochel Awad
PROBLEMA 5.6 Resp. 2" ,53 tn (Trac.)
Se va a utilizar un gato hidráulico
Análisis Matrícial de Estructuras 5.6
Calcular las tensiones que i IB presentan en los cables de la estructura compuesta de la figura. Para el acero; E = 2.039 tn/cm2 y para la madera E = 100 tn/cm2.
5.7
Determinar la tensión en las barras 2, 6 y 10. Considerando: E = 2,039 tn/cm2, Ag = 12 cm2, A] a A5 - 6 cto2, A7 = Aj 0 ~ 18 cm2, calcular el incremento del desplazamiento vertical del nudo A si la viga de acero se reemplaza por una de madera (E = 1000 tn/cm2) con la misma sección transversal, Viga de acero 35x35 cm
4,30 ra
4,50 m
PROBLEMA 5.7 Resp. a) T2 = 24,60 ta (Q, T6 = 5,24 ta (T), T ío = 6,35 ta (C) b) SeiíncrenWnta 58,7%
5.8
''
Calcular la tensión qué se piesenta en la barra N°l ..considerando que los nudos bajo la carga de 4 tn una vez haesn contacto solo tienen desplazamiento vertical. Para el pórtico b = h = 30 cm, fe = ,'Í10 kg/cm2 y para las otras barras (solo rigidez axial) A = 10cm 2 yE = 2.040m/cm2
4tn 3tn/m J tn
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I<0,2cm
PROBLEMA 5,8 Resp, TÍ = 2,74 ta (T)
¡ Roberto Rochel Arvstd
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6,1' SISTEMAS CON MUROS Y/O PÓRTICOS ;!.i>:3'!/'.", vytí.*'*.;?,> í.d -.MI :ií-l;..^\'- '••;•;/ ^K:'Í ;.'. •' '-^;.'••;' :.'• ' • ' '. . ''í •/ ••• ' • i . ' • ' ' En muchos" caaos'1 para'dar .a los edificióg tanto rigidez como ^resistencia ante cargas laterales' se 'émpléian''müro's de liorráigón' reforzado, ;usualmente combinados con pórticos (sistema--dual)? Otra máfléra úé proporcionarle rigidez' a los pórticos es rellenando los espacios entre 'vigas y columnas con muros de mampostería o contraventearlos con diagonales de hormigón y de acei o. -"\
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a) Muro» y pórticos
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b) Párticoí rellenos con muros do msmposterís
7777777 ;.
c) Pórtico con contmviento»
FIGURA 6.1 Sistemas estructurales resistentes a cargas laterales
En el medio Colombiano los muros de mampostería en arcilla no féforzada no se consideran como elementos del sistema ¡ estructural y ello puede alterar sustancialmente su comportamiento. La'rigidez'adicional de los muros puede alterar la repartición de cargas entre los1 elementos resistentes, ta situációri arbitraria de estos elementos no estructurales, pero' rígidos, puede introducir efectos de torsión donde no estaban previstos y causar el colapso total de'la estructura, dada la importancia del tema dedicaremos este capítulo a su discusión.
6.2'ANÁLISIS CqKVENClONÁL DE''ESTRtÍCTURAS-ÁPORTICADAS En el análisis convencional ds estructuras aporticadas usualmente se asume que solo las vigas, las columnas y la cimentación constituyen el esqueleto de la estructura y en consecuencia, son los únicos elementos que se consideran al evaluar su resistencia, rigidez y ductilidad.' Consecuentes con este planteamiento los muros divisorios y de fachada, indispensables en cualquier construcción, deben ser independientes del sistema estructural y
Robsrío Rochel Awad
Análisis Matricial de Estructuras
6-2
C
' *
adecuado procedimiento constructivo, El aislar los muros de la estructura complica y encarece el procedimiento de construcción razón por la cual en el medio esto no se hace y la mamposteida generalmente se coloca en las luces dejos pórticos y para , asegurar su •estabilidad í S f i j a j coi}/mortero a las- columnas. Al quedar la manipostería adosada a las 'columnas restringe (si movimiento relativo entre dos
El muro en ladrillo de. arcilla presenta una gran rigidez para cargas aplicadas en su plano, además de una resistencia elevada. Guarido, un ínurp seiadosa a las coluninaSfde un.pórtíco aumenta considerablemente la rigidez de este y si esta disjtribución no es simétrica puede desplazar el centro de, rigidez .0^^ con ello, una torsión no contemplada.en,el pnjpesQ 3e análísiissc|(^puede,conduc^aí cplapap^dej la estructura..Esta apreciación es particularmente,crítica,'eií-,los e&fícios ,de esquina,,en, Jos; cuales, los pórticos sobre los linderos deben,¡estar,.completamente cerrados .y .sobre jq.a, faenadas contener grandes ventanales. ,1 ,,,..-:-;.:,• :..-',K;V;Í¡*ÍÍ,
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Y \s cons
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Las experiencias de sismos recientes muestran que.muchos edificios han colápsadó debido al incremento del, cortante ocasionado por >los muros divisados, cuando estos se disponen asimétricamente; en cambio, otros edificios1 no han colapsado j debido al aumento de resistencia que introducen los muros cuando estos ^e disponon de uria manera simétricaj • í í
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El problema planteado'tiene dos soluciones: aislar los.muroi) de la estructura o incorporarlos al análisis, para incorporarlos en el análisis se.requiere! investigaciones con nuestros propios materiales para deducir un. modelo ^matemático que represente'" adecuadamente el comportamiento real de la estructura. •• • < • • • •
6.3 ANÁLISIS EXPERIMENTAD .. v ,,. .. : : u i . „.
-,-.; - ; ¡ 1 : ,. • ! ; , , • > , • ,.,.,..,.-
tn
En el caso de pórticos de hormigón reforzado confinad,33 ;con| muros de marnposteria y sometidos a cargas horizontales (sis.mica.i9),.,sachan;, ^pslizadQ^en México, ^Rurneipsas,. investigaciones tanto experimentales como analíticas, $¡t]i!,ejjtasi,iriye?tigacÍQnes se:psrta ^et cual son muy importantes las deformaciones por flexión y por cortante.
y.',ií;<« ,t:
« fe.-
Sin embargo, para'cargas de poca magnitud el pórtico y <1 muro se separan en esquinas opuestas y el, pórtico se apoya en el.muro.d^ la manera indi(iada!eij,la,figura6.2/ El .apoyo . del pórtico sobre el muro induce en este, tanto en vigas como en columnas, fuerzas axiales, fuerzas cortantea y momentos flectores,
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Los momentos fleotores que se introducen tanto en. las ,YÍ|jaS;,CQnao en las columnas son despreciables pues las .fuerzas de, contacto rriuro-pórticQ tiene o. lugar cerca, de los nudos., ¡¡.,,, ,i
Roberto Rochsl Awad
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Análisis Matricial de Eait|ructuras El confinamiento que exige el C(yCSR,,en los; .extremos de laa ¡vigasiyjcolumnas^ destinado a incrementar la ductilidad de la estructura,' resulta'Ventajoso para resistir estos cortantes que inducen los muros cuando estos no se tienen en cuenta por el ingeniero calculista.
FIGURA 6.2 Pórtico d« hormigón confinado por muros de nuunpoatería, idealización del nutro
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MÍ.
En el muro aparecen iuerzas de cpmpresión en una diagonal que pueden producir una falla violenta del muro por aplastamiento, en la otra diagonal las fueizas son de tracción y pueden producir al agrietamiento diagonal del muro. Para..el cálculo:de,la rigidez! lateríd;del sistema pórtico-muro, el muro se idealiza como üriá diagonal que trabaja a compresión. De resultados de estudios' analíticos con elementos' finitos se recomienda que la diagonal equivalente tenga el mismo espesor y el mismo módulo de elasticidad del nauro de mamposíería, y se recomienda calcular su altura por la expresión: 'i • ,' ' , ( É A ^ h = 3,35: =+• f 0,022—f^£-U H
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FIGURA 6, 3 LtedtflBíM dal modelo matemático Roberto Rocha! Avrad
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(6.1)
¿11.0
Análisis Matrícial de Estructuras E c = Í3.00oVfíc' (Módulo dé rigidez del hormigón en kg/ciD2) ' Gm = Módulo de rigidez á cortante del muro \. , A,,, = Área transversal del muro . A0 = Área transversal de las columnas medida entre el bordo y el eje
:>N
Una vez calculada el área de la diagonal esta debe modelarse a| utilizar el programa de computador pues esta barra no debe tener rigidez a la flexión. • •
6.4 PROPIEDADES MECÁNICAS DE LA MAMPOSTERÍA EN ARCILLA i \e las memorias del Simposio Internacional sobras ¿Manipos Arquitectura, celebrado en Medellin del 23 al 24 de Julio de: '1992, se 'estracta de las conferencias dictadas por el Ingeniero Héctor Gallego ks.si^uierit^s especificaciones:
U 1
6.4.1 MODULO DE ELASTICIDAD "Diferentes experimentos realizados por Turnsek ,<£ Cacoviv y por Powell & Hodgkinson, en prismas .ensayados con deformación eontrokda, han permitido determinar el gráfico, normalizado de deformación.para la-manipostería".; ¡ . < "La determinación del módulo de elasticidad de la mampostería se hace, normalmente, al 50% del valor de la: resistencia última, fm,-para tener en cufaita el comportamiento no lineal del material", (Figura N" 6.4),. . :. ; - ...',> ..«v^iüi
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M a /a
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FIGURA d.4 Diagrama nonnaüzado esftterzo (a) vi!, deforjnación ttnttarla (E) • para el ensayó de compresión de p .
..
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El módulo de elasticidad de la 'manipostería puede deterniinárs^ basándose en. resultados empíricos. Esta evaluación ha resultado en valores del módulo da elastioidad (Em) entre un lindero bajo de 400 fm y un lindero alto de 1,000 fm (Figura N° 6.5) para mampostería de
Roberto Rochel Awad
1**
Análisis Maíricial de EstrUcturus ladrillos de arcilla y sílíce-cal as.3ntados¡ cori mortero^. sPaiaf las .K'ftfili tomaremos el valor promedio: Em* = 700 fm. 40 • Gt-2nvüle*B3mett , ' A SCPR?, |. ••.'',',-
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HesijlíHda:il« comprwíónfra(Mpii) ">
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*¥ 'FIGURA'e¿e¿íntruídóit del módulo de elasticidad \Rnf¡ de la mamposteria «> • / • > / en fttítdó'a' dé1 resultado»1 de ; ensayos de compresión (fat) . . • ' • • . . ' •• • oxpciimer tale» p«ra mampostcría pegada con^mottelro
6.4.2 MODULO DE CORTE V RELACIÓN DE POISSON Un valor'apiwfüriadd; del módulo de corte se'puede obtener de la expresión: iÍEm
Expresión en la, que;
>I
u = Es el módulo de Poisson que tiene un valor inicial de 0,20, aumentando a '0,35 en la vecindad de la rotea, y Ein es el módulo de elasticidad de la manipostería. Los diferentes autores que gratan eí tema toman para la relación de Poisson un valor de 0,25.
6.4.3 RESISTENCIA A LA COMPRESIÓN, fm. Debe obtenerse experimental mente según la sección D.2.7 del Código Colombiano de Construcciones Sismo-Resístentes;¡<;A falta de;un valor experimental Roberto Meli sugiere tomar un valor de 15 kg/crrtz;-Pai^fieste valor.de,la máxima resistencia a compresión se obtendría: '
v* 700'* 15 =; 1.050 ks/cm2 u = 0,25 . "' \''' : - Oiñ yEni/2;5 =•'4'.200 kg/cm2
i» m Roberto Rochel Áw»d
í*
Análisis Maíricial de Estructuras
e c
6.4,4 DEFORMACIONES UNITARIAS ULTIMAS
Loa siguientes valores de las deformaciones unitarias [últimas, utílizablea para medir la resistencia y curvatura últimas de elementos de flexo^cornjbresión, para la manipostería de bloques huecos rellenos con1 hormigón líquido. Están calculados en la rama descendente del diagrama esfuerzo-deformación a 0,50 fm y son los siguienl es: "¡ ' -\ Bloques unidos con mortero; 0,25% • •
Bloques apilados: 0,20 Bloques unidos; con refuerzo en la junta:-hasta 0,6%, dependiendo de la cuantía volumétrica del ¡acero. Este valor máximo se alcanza para .cuantías volumétricas del orden del 2%.
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c
6.5 EJEMPLO Se desea analizar el efecto de los muros-* de mtpnposíería sobre la siguiente estructura aportícada, para ello se resuelve primer^ elpójrtico sin muros, asumiendo que todos los tí^m»^\g^'.'de:^l0^é,<^f,wi^,^^'^Í[ft. kjfcm?! luego se asume que un muro de manipostería de arcüla<.de 15, cm ,de espesor es-, colocado en las luces centrales y posteriormente se considera el caso de colocación delmut'o en (odas las luces.
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fm - 15 kg/cm2 ., jEtn* 700 fra* 10.500kg/on2 ' Gm - Em/2,5'- 4.200 kg/cm2
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A£-900cm2 3ra
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Esl «lid dt los muíoa;
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Luz ecnttal- 4/3- 1,33 Luiexttctiai-S/S-l Valosej satUftcíorioa
5m
Para los tramos centrales : Arri; == 370 * 15 ^:5^50 cm2/" Para los tramos extremos: Am = 470 * 15 =» 7050 cm2
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Verificación del modelo: T
, - , „ . - ,
Luz central:
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/ 90Q*18||.387,
•. , v : j ; : • . , : • : Gm' *.A'¿j: - - 4.¡200*5.500 l ;
Luz extrema: Idealización de la diagonal: Roberto Rochel Awad
A c *E C _ 900 •»!8| 1.387,9 = 5,726 j 4,200*7.050
., . , A4^<0,35 ± p,Q2:: [Ac Ec / Gm Am]) * H * t
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6-7
Análisis Matricial de Estitucturas
j] x Ed jí Em = 10.500 kg/cm2 '; Diagonal centra;!:,,-' II:,X Adf Ad# (0,35 + 0,022 * 7,274) * 300 * 15^-2.295,126 cm2 Ií- >' Diagonal extrema: —•'• M-H$3$'+ 0,022 * 5,726) *-300;* 15^2"íl41¿874 cm2
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¡j.;..i^ .y.-^j
Al'emplear el programa del coniputadór debe entrarse dimensiones .que-representen estas áreas y hagan.'.'sú inercia cero, ísn el ¡caso de la i diagonal central éste objetivo se logra tomando, por ejemplo, las siguientes dimensiones: b=2/295,216 * 1010 cm y h= 1 * 10"10 cm, este modelación es neeesariíi pues las digonales que representan los muros no deben absorber momentos,.i •<•< ,,, a) Solución sin muros '• \' í 1,?2
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Roberto RochelAvrad
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cJS' > <- — .. H J i. • ,.,..., ;,., ;,., Desplazamiento,promedio1 del piso 2 = 1,584'cm DespíazamÍBntapromedip;del;pÍ80'Í ~ 0,814; cm ! Kh piso 2 =J6/(1Í584\'< 0*814).j* 7^79 tn/cm , „ , / • Kh piso 1 • 11/0,814 = 13,52 tn/cm
b) Solución con muros en las luceíi centrales
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Análisis Matricial de Estructuras B tn
tr 0,49 FU
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Desplazamiento promedio del piso 2 ~ 0,439^ cm Desplazamiento promedio'del'piso:l!^:'0,25$ cm : Khpiso 2 ='6/(0;439;'-'0;256) ^32,79!tn/cmjí>¡-'>'' ' Khpiso 1 = 11/0,256: «'43,97'tn/cm <;:: '•:" ':. ' ! ! • , ! H. O' ' '
",i ir. <;>.!
c) Solución con muros en todas las luces
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Desplazamiento promedio del piso 2 = : 0,1757 cm Roberto Rochel Aivad
Análisü Matricial de Estructuras ='0,ll'02v'cm ' "; ' Kh piso 1 = 11/0, 110 = 100,00 tn/cm
;; ' :!! 'K^pisó2=i6/(0,176-0,110)'= ; 90,9ítri/cm ; -'••'•
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Análisis comparativo dé los 'resultidos: Los1 porcentajes dé variación sé calculan respecto á los del pórtitíó sin muros, el signo menos indica que la acción disminuye.
n
Acción
rr*, i-
Momentos en vigas
n
Rigidez
Momentos en columnas ~¡ Derivas elásticas
Piío 2 '1 2 1 2 "' i'"' ' " • 2 " 1 '
Muros en las luces centrales -75% -70% -80% -66% -76% " -69% +321% +225%
Muros en todas las luces -93% -90% -95% -86% , -92% -86% +1.067% +640%
Tabla 6.1 Influencia de Jos muiros de mampostería de arcilla en los pórticos de hormigón
6.6 CONCLUSIONES: El comportamiento de los pórl icos de hormigón .reforzado es seriamente afectado por los muros de manipostería de arcilla cuando estos se le adosan confinándolo.
f*J !» !¿
11 f I
| La rigidez de ,los pórtiqos se:; incrementa considerablemente, lo cual se refleja en una disminución apreciable delasídenvas elásticas, Roberto Rochel Afsrad
r;
Análisis Matricial de Estructuras Cuando los muros se disponen de ,una ¡manera simétrica, se, incrementa la rigidez de la estructura de una manera. uniforme y no se inducen aféelos desfavorables.
M*
r
el análisis, se presenta un peligroso desplazamiento del centrq de rigidez de la estructura que conduce a una torsión no considera en el análisis y que fue la causa de falla de más del 50% de los edificios en Ciudad de México en d sismo de 1985. Este caso es particularmente critico en edificios de esquina en los cuales en los pórticos sobre. Iqs linderos deben llenarse todos los espacios, 'lo cual se hace frecuentemente 'con mamposteria de arcilla, mientras, que los pórticos de facliada llevan grandes ventanales. . j
I*"1 | ? f .
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Debe existir concordancia entre lo proyectado y lo consi ruído¿ si en el análisis no se han considerado los muros como elementos estructúralos estos, deben necesariamente aislarse de la estructura, aún a costa de los rendimientos 'econónomicos. Una mala disposición de los muros puede ser fatal para el comportamiento sísmico de la estructura. Las derivas inelásticas, desplazamientos- relativos entre/ dos pisos consecutivos,' que permite el Código Colombiano de Construcciones Sismo ^Resistentes, para pórticos, de hormigón reforzado, son del 1,5% de la altura del entrepiso; (Sec. A.6.4.2), pero cuando a los pórtico se le adosan los muros estos fallan cuando la, deriva alcanza valores cercanos al 0,25%. Esto implica que las normas permiten disei lar , pórticos muy, flexibles •. a.' Iqs, cuales se les adicionan muros muy rígidos que ante un pequeño desplazamiento lateral del pórtico sefisuran,el ejemplo más reciente lo tenemc
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Las derivas son mayores en los primeros pisos, pues son proporcionales al (Cortante, sísmico, de allí que el caso anteriormente mencionado en particularmente crítico en estos pisos. , . ' • ' . ' ' . ' . . '• ! ' . • ' - • ;
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El considerar los muros en el . análisis implica disminuir considerablemente los momentos tanto en vigas como en columnas, lo cual conduce a estructuras económicas. Pero a la mamposteria debe dársele ductilidad con una adecuada disposición del refuerzo ; que evite su deterioro ante ciplos de carga, teóricamente la mamposteria sin reforzar debería ser prohibida en zonas sísmicas.- Igualmente debe verificarse que la mamposteria sí está en capacidad de soportal- las cargas que se deducen del análisis sin fallar por aplastamiento y en caso de este producirse deben tomarse medidas para que no exista desprendimiento de la misma pues esto sería fatal en un uvento sísmico^ ,( t . Cuando se desee considerar en, el análisis. el efecto de Icjs muros debe prestarse cuidado muy especial al modelo que se va a adoptar para idealizarlos, a falta de investigaciones en el medio Colombiano hemos tratado el tema partiendo del modelo mexicano que no necesariamente tiene que concordar con los materiales que tenemos en Colombia, habrá que esperar los resultados de las investigaciones que a'ctiiahjiénte se desarrollan en la Universidad de los Andes y debe exigirselé al Gobieíno Nacional' y 'a las entidades Roberto Roche! Awad
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Análisis Matricial de Estructuras
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gremiales dedicadas a la con strucción (Camacol); a las financieras de vivinedas y a las compañías aseguradoras que; inviertan en investigaciones en los centros universitarios • pata podermejorar la calidad1 técnica deraríálisis',1 diseño yconstrucción de;vivienda.
6.7 PROBLEMAS PROPUESTOS 6.1 Si en la estructura tridimensional aporticada de la figura (conformada por «pórticos :a'brtbgohale¡3 iguales1 al? analizado 'en;el1' ejemplo de este Capítulo) loa pórticos 4 y D >•"' corresponderi: a los'linderos y por consiguientes sus espacios se llenan con manipostería
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no reforzada, calcular el desplazamiento que tiene el centro de rigidez respecto al centro de masa del segundo piso, asumir una distribución uniforme de la masa y realizar los cálculos con base a los resultados de este capituló! Qué momento torsof se induce?
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h& Problema 6.1 Resp. e = 5,24 m
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6.2 Se desea reducir la deriva elástica promedio de este pórtico a la mitad mediante el empleo de una diagonal de acero (E-2,100 tn/cm2), Cuál debe ser el área de la diagonal?. Para vigas y colunmas: b = h = 30 cm, f c = 210 kg/cm2 ' 6.3 Calcular el área de las diagonales de acero (E = 2,100 tn/cm2) que reducen las derivas elásticas promedio de los dos'pisos a la mitad de su valor elástico. Para vigas b = h = 30 * 40 cmy columnas: b = h = 30 cm. f c = 210 kg/cm2 5ta
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Roberto Rochel Awad '
Análisis Matricial de Estructuras BIBLIOGRAFÍA
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1. Meli,Piralla,, Roberto, y/..Bazán: Zurita,,, Enrique, ¡,JVíAjVU,AL-, PE PÍSELO ASÍSMICO-,DE EDIFICIOS, Editorial Limusa, Primera Edición, 1985
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2. Meli Piralla, Roberto, DISEÑO ESTRUCTURAL, Editorial Limusa, Primera edición, 1985 3. García Diaz, Humberto, -INFLUENCIA DE LOS ELEMENTOS NO ESTRUCTURALES SOBRE LAS ESTRUCTURAS APORTICADAS, Revista,^Ingeniería.;Hoy, .Universidad del Cauca, NúmeroS, Julio. 1992 , ; .... ,,
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4. Héctor Gallegos, SIMPOSIO1 INTERNACIONAL SOBRE IVJAiVPPOSJrERIA ESTRUCTURAL Y ARQUITECTÓNICA, Asociación de Ingenieros Estructurales de Antioquia, Medellín, Julio 23 y 24 de 1992
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7.'-ANÁLISIS DEL SISTEMA DUAL
7.1 ASPECTOS túí El¡siátémá! estructural1 ideal;1 es1"aquél- que ^représenla la sólucióii óptima de resistencia tanto '«'¡cargas Verticlle9'|c6mblhóri2ontáleslnsimultáneamerite'.1 Á! esta solución ideal solo puede llegarse1 -en1 'Zunas dé ririsgo sísmico' moderado 'y en edificios de poca altura, Al incrementarse 'la valtura :del edificio las1 'cargas 'horizontales o laterales toman gran importancia y las modificacionos que hay necesidad de hacerle a la estructura ideal para resistirlas son considerables. El problema puede plantearse como un sobrecosió que hay necesidad de pagar para resistii: las cargas horizontales y este sobrecosió aumenta con el número de pisos
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A medida que aumenta la altura de un edificio es mayor el incremento en las dimensiones tanto en las vigas como en las columnas, respecto a las necesarias para cargas verticales, para lograr que ,1a ; estructura tenga la > rigidez y resistencia • ''apropiada ante cargas horizontales.; \. r '•< Una forma de rigidizar un póriico, sin perder sus ventajas, es colocándole diagonales o rellenando, sus .espacios, con timu 'os de manipostería o de hormigón (Figura 6:1), estos dos últimos procedimientos : son los; más usados y en cada uno de ellos la estructura puede visualizarse,, .como un voladizo. Para » relaciones bajas de •• esbeltez el muro absorbe prácticamente, toda la. , carga .hcdzontal; mientras , . que el diseño del, pórtico lo controla únicamente las cargas verticales. ,\ ; • '
7.2 FILOSOFÍA DEL SISTKMA DUAL
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En un pórtico las derivas de piso son proporcionales al cortante del piso, las derivas de piso tienden a ser mayores en losi pisos inferiores. En un muro esbelto las derivas crecen en los pisos superiores pues las deformaciones por cortante dejan de ser importantes y el muro se comporta como una viga en vo ladizo.
Roberto Roche! Amtd
Análisis Matricial de Estructuras
Dofomiadón ds cortante dal pórtico
7-2
Muios acoplados
Dsfbmucíon de flexión dal muro
FIGURA 7.1 Interacción moros -, j tórticoj
En los pisos inferiores la rigidez del muro es muy alta y restringe las derivas del pórtico. En los pisos superiores el muro tiende a tener grandes derivas, mayores que las que tendría el pórtico si tuviese que soportar por sí solo toda la carga lateral, de manera que en los pisos. superiores el muro en vez de ayudar al pórtico incrementa laii fuerzas horizontales, que estos; deben resistir,, En conclusión:; en los primeros pisos el pórtico se, apoya en el.murxxy ealost pisos superiores es el muro el que se apoya en el pórtico.; ); .. ,.» ..... •: -r. •,<;•,:, ¡ Cuando la altura del edificio.es considerable ¡su rigidez ¡ ante x sargas, laterales .puede obtenerse; acoplando dos o más muros, a través de vigas de gran altura, tístas vigas restringen él giro de • los muros en cada entrepiso y hacen trabajar los muros que¡ acoplan como una unidad. La eficiencia de. los.muroa acoplados depende de la rigidez de la viga de enlace.' , .;;"»(•, .:.'. : :
7.3 IDEALIZACIÓN DE LOS MUROS, METO10O DE LA COLUMNA
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Aceptando un comportamiento elástico^ del material, las , deformaciones del muro,- ante ¡ cargas aplicadas en su. propio plano, deben calcularse per los métodos y teoría de'-4a;f elasticidad, Existen soluciones analíticas- para, ciertos casos sencillos y para, aquellos ''de geometría " complicada la solución puede obtenerse aplicando elméíodoídel elemento finito.- En' el casb j;> de muros empotrados en su base y sujetos • a-una) :cargaí late;mly P,' 'aplicada en ; su 'extremó superior, el desplazamiento lateral del extremo cargado,- 8', 'Setpuedó calcular1 con muy buena1 ' precisión por la siguiente expresión deducida en la Resistencia de Materiales:'
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Roberto Rochel'Awad
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Análisis Matricial de Estructuras
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En la figura 7,2, tomada de la ¡referencia 1, se comparan los resultados obtenidos con la expresión ¡anterior con el'fhétodf) del elemento finito (solución exacta) de ella se concluye que los errores no exceden del Í4%, para fines prácticos las deformaciones laterales para muros aislados pueden calcularse aplicando los conceptos de la Resistencia de Materiales considerando los efectos del flexión y de cortante. / V'l-.t
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6ef = Desplazamiento del punto 1 medido por el 'método del Elemento Finito 5rm = Desplazamiento del punto 1 medido por Resistencia de Materiales En muros bajos, hí < L/3, se pueden despreciar las deformaciones, por flexión, representan solo el 10 ó el 15% del total*S^.-Ph/GAí. ; .'-„,,,. : «•», v-Aííí
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En muros esbeltos, h > L/3, tienen,importancia las deformaciones tanto por flexión como por cortante, genera3ménte16sto3fmüro^,seiencuentran!acc>plaQos con pórticos'(sistema dual)'y la interacción muro-pórtico altera íasírigideces de entrepiso. La idealización del muro :se fundamenta en que sus, deformaciones' laterales pueden calcularse con buena precisión1 por la Resistencia de Materiales, considerando lasdeformaciones por flexión y por cortante. Se denomina columna ancha a un elemento así idealizado para .distinguirlo de las columnas normales en las cuales solo es importante las' deformaciones por flexión. Para considerar sistemas de muros y muros -pórticos (sistema dual), se considera, cada muro como una columna ancha con sus 'propiedades concentradas en el eje centroidal y se asume que las zonas de las vigas que se encuentran dentro de los muros son infinitamente rígidas. Esta modelación tiene la gran ventaja de poder analizar sistemas,duales como pórticos,
Roberto Rochel Awad
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Análisis Maíricial de Estructuras
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VIGA CON ZONAS INFINÍTAM1NTE RÍGIDAS EN SUS EXTREMOS COLUMNA FIGURA 7.4 Elementos estructurales de unsi¡itema dual .-;=..-.;
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Dos ejemplos de idealización de Cisternas .duales se muestran i in la siguiente ifigura:. . , . ¡¡ ¡..v. ,
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' TIGURA 7.5 Ejemplos de! sistemas dui des
Roberto Rochel Awad
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Análisis Maíricial de Estructuras 7.4 CONSIDERACIÓN DEL EFECTO DE LAS DEFORMACIONES POR CORTANTE ,;;.,!,; ( , Análisis del desplazamiento no ríñala la barra en el nudo inicial:
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siguiente caso general:
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Por equilibrio estático se determinan las fuerzas en el extremo final de la barra.
Roberto Rochel A-ívad
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Para el análisis de los giros de la elástica estudiaremos, por comodidad, el siguiente caso esquemático;
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Considerando la deformación axial y generalizando el análisis anterior para el nudo final se obtiene.la,,siguiente matriz de,rigidez para,un elemento dé un pórtico plano, inoluyendo el efecto de las deformaciones Por <:tartente, su valor está cuantíficádo éü las constante C1( C2 y
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Si en un elemento no se desea considerar el efecto.de la deformación,por cortante basta con hacer el término M = O para que las constantes Cj, C2 y C3 tomen el valor de 1. Las
Roberto Rochel Airad
Análisis Mafricíal de Estructuras
mt deformaciones por cortante deben considerarse cuando la relación h/L > ; lQ,,en la cuaLb. representa la altura del elemento y L su longitud. ,
7.5 CONSIDERACIÓN DEL EFECTO DE LAS DEFORMACIONES POR CORTANTE Y DE LA RIGIDEZ DE LOS NUDOS En el caso de estructuras aporticadas los elementos se idealizan representándolos mediante lineas rectas que coincidan con su centroide, bajo esa consideración se asume que el elemento tiene una rigidez constante entre ejes, esta hipótesis deja de ser válida cuando se tengan elementos de gran altura como se ilustra en la figura ¿inferior, en este caso no puede asumirse, sin cometer errores apreciables, que la' inercia del ^elemento es constante-, para el análisis se asume que el elemento tiene una rigidez infinita desde el borde hasta el eje, es decir, se asume que la rigidez del nudo es infinita. Nos proponemos analizar el elemento mostrado en la figurajV.6 para deducir su matriz de; rigidez y poder con ello abordar, en el capitulo 8, Iba sistemas estructurales compuestas 'por' muros y pórticos de hormigón reforzado conocidos como sistemas duales.'
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FIGURA 7.6 Sistema estructural confonnfldQ.por muros acoplados con vigas
. Para analizar el elemento indicado en el corte A-A, de la figwa 7.6, se distinguen en este las cuatro secciones indicadas, los tramos 1-2 y 3-4 representan ríos nudos y por consiguiente su rigidez se asume como infinita, mientras que el tramo 2-3 se ásumq con rigidez constante.
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FIGtFRA 7.7 Elementos de extremos de rigidez infinita '. i •'\ !
La figura 7.7 representa una viga'cuya rigidez de extremo se desea considerar, el elemento debe cumplir la siguiente relá'ción de equilibrio:'
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Análisis Matrlclal de Estruchi ras ••
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Las deformaciones axiales y de í.:orsióninO'Sonafeoíadas¡por, ks;deformaoíones! debidas a las fuerzas cortantes ni por el efecto de la rigidez del nudo, en consecuencia, para facilitar el proceso operativo no se consideran en los cálculos. Por estática:
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Igualando con (7,1):
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Roberto Rochel Awsd
(7,4)
Análisis Matricial de Estructuras
Conclusión: Basta con calcular [K'O], pues a partir de ella se evalúan las otras componentes de la matriz conforme a las expresiones 7.1 a 7.4,
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Análisis del tramo lr-2: Deben pasarse las fuerza!delpunto 1 ¡ti 2:, ] .''
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(7.5)
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Ensamblando ahora k matriz y considerando las deformaciones axiales se obtiene finalmente:
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3-Í-3-.Í- 1+2-i. +3-Í-
Ff = Factor de'forma, para secciones rectangulares: Ff = 1,2; pai;a circulares: Ff = 10/9 Las constantes Cj, C2 y C3 representan el efecto de las deformíiciones por cortante, mientras- que las constantes Bj, B2r 83, B4 y,B3 valoran,el.efecto de la rigidez del nudo, cuando esta no se considera sus valores son: B2 =* B5 =.0, B! = B3 = 1 y B 41= 3. O
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C x C y ((3-12C,)
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Análisis Matricial de— Estructuras "^"^^^^^^"^—*|¿^-' L1
7.6 EJEMPLOS Jf e . < > M - f » - M -1 - 0 tíí'/K.
5*e desea analizar el siguiente sistema estructural conformado por muros de hormigón reforzado de fe *> 200 kg/cm2 adoptados con vigas, u = 0,20, .' b = :IOcm W/////M//////1
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Idealizar la estructura, numen ir barras, nudos y grados de libertad '"''.' /'•'•''•••'T . • • • .;."..'•••:• K.~: ••:-•-,' • •-,.• •..-,, ... ' • v ..•'».^ -.v-íi!:' ,1 /////TíA
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Se ensambla el vector de cargas y se resuelve para desplas amientes. • , - - 4. •
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Análisis Matricial de Estructuras
7-18.
7.7 PROBLEMAS PROPUESTOS 7.1 Demostrar que la energía de deformación por cortante es el 0,90% de la energía de deformación por flexión para elementos cuya relación d(¡ esbeltez; h/L < 10.
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7.2 Generalizar la matriz deducida en el numeral 7.5 para un elemento tridimensional. 7,3 Analizar la siguiente estructura para fe = 210 kg/cn$, u = 0^20. Trazar los diagramas de fuerza axial, fuerza cortante y momento flector. W = 4 ta/m 20
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7.4 Analizar la siguiente estructura para Fe - 210 kg/cm2, u = 0,20. Trazar los diagramas de fuerza axial, .fuerza cortante y momento flector.
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BIBLIOGRAFÍA
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1. Meli Piralla, Roberto y Bazán Zurita Enrique, MANUAL DE DISEÑO SÍSMICO DE EDIFICIOS, Editorial Limusa, Primera Edición, 1985 2, Meli Piralla, Roberto, DISEÑO ESTRUCTURAL, Editorial Limusa,; Primera edición, 1985
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Roberto Roche! Awad
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8. CQNDENSACION ESTÁTICA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ 8.1 CONSIDERACIONES DE CARÁCTER GENERAL I
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El estudio hasta 'añora desarrollado/considera, en\el caso de estructuras aporticadas, el efecto de las deformaciones''axiáleS'tánto^éh'-'Vigas'icamo-en columnas., Dependiendo de la esbeltez de la estructura el efecto de las deformaciones axiales en las columnas puede despreciarse sin que'sé afecten lys resultados, -Si en algunas estructuras se puede despreciar el éfeóto' de las 'deformaciones-í1 axiales ;tanto en^vigas como en columnas" estas pueden omitirse reduciendo5él'faúniefo di'r grados de'libertad, lo que implica trabajar con matrices de menor orden, a este proceso se le-denomina condensación de la matriz. Para eí'anáiisis de las'deformaciones axiales en ias vigas'debe considerarse que ellas'haceoí parte'dé.'un sistema 'de entrepiso,'< si este*'sistema^ de entrepisoíSevconsidera como un diafragma'de gran rigídezí áxiali en su plano1 las deformaciones .'axiales'en-las vigas son prácticamente nulas y su efecto es tan pequeño que puede despreciarse sin afectar la precisión de la respuesta. •\! W.O .'.';! ' > • „ - ( .e»:-:-'!!;,';.:; ;
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El efecto de las deformaciones axiales en las columnas no es tan sencillo de analizar, su efecto sobre los resultados del análisis depende de la esbeltez de la estructura, para los casos en los cuales la relación H/L 2 3 el efecto-de las deformaciones axiales en las columnas toma gran importancia y debe sei: considerado en el análisis.
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H/L< 3rí> puede despreciarse el efecto de las deformaciones maules eii columnas tí
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. H/L¿ 3=> NO puede despreciarse el efecto de las defonnflcioníeB'axisI es en cblümnaa''' i: FIGURA 8.1 Electo de las deformaciones míale» en columna»
Roberto Rochel Awad
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8-2
Análisis Matricial de Estructuras
8.2 PROCESO OPERATIVO DE LA CONDENSACIÓN MATRICIAL 8.2.1 DEFORMACIONES AXIALES EN LAS COLUlttNAS
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Al despreciar las deformaciones axiales: en las. columnas los desplazamientos en los, gradps i de libertad 2 y 5 .son nulos, por lo .'tanto .dejan de ser, iina..mcógni,tasilen ,el rnétodQ 3*1 W . rigidez y pueden omitirse, para ello, basta ; c'filas, j^columnas, ^ y ,5 .de la '•;•;;) :; matriz de rigidez. .'•" v. .,i¡ vaíjü-x-.- ii -;;.v íl!; > ,., :;•• ¡¿-Xí í,fi ai-.;. . ¡ f, ;„.;•;,•;.-; i|!5
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Los grados de libertad 1; 8, 9, 10, 11 y .12i,representan los ijespl^zan^ientos de los nudos,. restringidos (apoyos)» en este caso esos desplazamientos,son riulos y dejan.de,ser incógnitas^., motivo por el cual pueden, suprimirse.,ide c-Ia .matriz, de, rigidez .Jas ¡.filas, ()y.¡coliimri^a','•' correspondientes, \. •.•< ..... "-.-;..• '''•• > - ' - - ' . • I. •• " . . ' . i .:-.'ilv»JlH.vlr'.r!. ¡.I hit1, i ) - j . : '.'..'i l;i ' i ! I ; ; '';•>'
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En este ejemplo se han suprimido de la matriz de rigidez 8 filas y columnas, por lo cual la matriz de rigidez queda de 4 * 4. . ; ; •. . .! . ,,„ ., ;, ,,• Ejemplo numérico: Sea elsiguiente.sistema de ecuaciones; > 3Xt +4X 2 -6X3+¡5X4 = 4 AY •HAj 4~ '7Y IJ^-2 4- ^V »<»3
TV '-A4 = J*!
- 6Xj + 3X¿ + 6X3 + 1X4 = -1 \ V" i'
. . . . . . . . . j.A.1 . . i ™• • ,/^YO ., í* ^^ I-/VT•* i ys^-A•
: 7 V'' 4- 1V 4- OV
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' 3 4 -6 si 4 7 3 -7 -6 3 6 1 5 -7 1 9
Si X2 = O, se suprime la columna 2 quedando cuatro ecuaciones con tres incóngitas, puede . sirrwWa ge suprime la fila 2, suprimirse cualquiera -de las ecuaciones pero para SQ obteniéndose finalmente; r- • '3XÍ'' ••-'6Xfh'5X^»."4 ••. - 6X, + 6X3 + 1X4 = -8 SX, + 1X3 + 9X4 = 0 Roberto Rochel Awad
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Análisis Matriciaí de Estructuras
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8.2.2DEFORMACIONES ANUALES EN LAS VIGAS i ,J "M^ ' .i i ¡j'J •'.; ... ;•!'• •: (()!•
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Al despreciar el.efecto de. jas Deformaciones axiales en las vigas, todos los puntos ubicados sobre ella' sufren igual desplazamiento' horizontal, para el ejemplo de:la figura 8.2 los desplazamiento I y 4 son iguales, en consecuencia, no son independientes, están ligados por la siguiente ecuación: ' ¡ ' • / ; íí."''.Mlft'ttSdfJ B-, J^Xl 'íf;, . : ? -(..iv; ílJi--.^--^-.-
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Det>e definirse cual de,ellos ¡quedará como,incfignita. El grado de libertad así seleccionado se denomina grado independiente y fi'quel que se suprime se denomina grado dependiente. En el presente ejemplo tomaremos el grado I como independiente, del sistema de ecuaciones' debe desaparecer el gradó 4 pues su valor depende del obtenido para el-grado I. Operativamente se procede así: la» filas y columnas de la matriz de rigidez correspondientes, al grado dependiente se le suman (i las del independientes y se suprimen.
13X, -5X3 = 4
8.2.3 CONDENSACIÓN* DE ],OS GRADOS NO CARGADOS
si
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Como resultados de despreciar el efecto de las deformaciones axiales en vigas y,en columnas los grados de libertad que permanecen corresponden a los giros de los nudos y a un desplazamiento por piso. '
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FIGURA 8.3 ApUcacíóp del p rocésp de condensación al anéítris d« cargas horiaoníak»
"-'*.'•'.*i ! •'_ :-,.">• '• < '.<í • En el análisis de 'cargas horizontales los grados de libertad que'corresponden a los giros estarán descargados-mientras que ¡aquellos que representan los desplazamientos horizontales de las vigas tienen cargas, En estis condiciones la matriz puede reordenarse separando los Roberto Rochel Awad
; '• ;
Analista Matricial de Estructuras grados cargados de los descargados y condensarse aún más suprimiendo los grados descargados:
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Despejando:,...
Esta es la matriz consensada final de.la estructura, su orden es igual al de [K0], es decir que corresponde al número de nudos cargados, en el caso de carcas horizontales habrá un nudo cargado por piso. El orden de la 'matriz' coñdensádá [Kc J corrf'Spónde al número1 dé pisos 'qué tenga el pórtico. I
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IT1' 8.3 EJEMPLOS
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EJEMPLO 8.1
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Obtener la matriz coñdensádá de la siguiente estructura rítfeular considerando E =* 253 tn/ctn3, no considerar el efecto de las deformaciones por aireante. ;,
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Vigai: b = 30 cm,
h = 40 era
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Análisis Matricial de Estructuras a) En la matriz de rigidez de ln estructura no se ensamblan inicialmente los grados de libertad correspondientes a los; apoyos restringidos que tengan desplazamiento nulo. iuV, ^mx 5
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Si se desprecia el efecto de las deformaciones axialesi de las columnas los'grados de libertad 2, 5, 8, 11, 14 y 17 tienen un desplazamiento nulo, por esta razón se procede a eliminarlas filas y columnas correspondientes déla, matriz, de rigidez: 10 ' 61479
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ll3B,5 i'138,5 0 • 1619,2 379,5 9563,4
b) Al considerarse un sistema de entrepiso rígido las• deformaciones axiales en las vigas puede despreciarse, en consecuencia se tienen las siguientes ecuaciones de ligadura: '16
J 10>
Se eligen como grados.independientes el I,1 13 y 7 y se procede a sumar la fila y columna 4 a la 1, la fila y columaavlO lila 7;y la'fila y columna 16 á la 13, Inicialmente se hacen las sumas délas .filas obteniéndose;/»' • •;>. " 759
0 0 2 0 0
1
1138,5 0 -759 1138,5
759 1138,5 5514,4 0 1619,2. 1138,5 -1 13H.5 -759 1138,5 0 1138,5
0
-759 1138,5 1138,5 J -759 161 9, 2"" -1138,5 1138,3"" 0 -1138,5 5515,4' : 0 0 1518' 15Í8 -1Í3Í45 0 0 0 7792,4"' 0 1619,2 Ó 1 138,5 -739 -1138,5 -759 0 1138,5 1138,5
•A. C( mtinuación se suman las columnas: Roberto Rochel Ayrad
1138,5
•
1138,5 1138,5 -/59 . 0 leí 9,2 -113^5 0 77*2,4 -1138,5 1518 379,5 0 Ü 1138,5
1138,5
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AMlisis Matricia! de Estructuras FV_
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1138,5' 0 1138,5 0 v!518 1138,5 1619,2 -:l 138,5 i 1138,5 7792,4 -11138,5! 0 -1138,5 i'3036 379,5 0" '•• ÍI79.5 ; 9563,4 ÍI79.5 , ' 1619,2 1138,5
2i Ufi 1138,5 •'., 0 : 1138,5 379,5 1619,2 9563,4
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c) Aprovechando la simetría de la estructura puede ahora condensarse los grados.de. libertad rotacionales, para'los cuales existen las siguientes ecuaciones de ligadura: -U
E: r»
U«, = U12,<
Se eligen como grados independientes el 3, 9 y 15 y'se proaede a sumar la¿fila:y columna 6 a la 3, la fila y columna 12 a la 9 y la fila y columna 19 a la 15. Inicialmeníe se hacen las sumas délas filas obteniéndose: 1518 2277 -1518 2277
1138,5 1138,5 -1518 1138,5 1138,5 7134,6 7134,6 -2277 1138,5 1138,5 .0 -1Í518 1)138,5 1138,5 Q -1138,5 -1138,5 3036 1138,5 0 9411,6 9411,6 -2¡277 1138,5 ,1138,5 ' 1138,5 -1518 -1138,5 -1138,5 3f!36 ' '379,5 ,379,5 759 1182,6 11182,4 2277 1138,5 1138,5
*
A continuación se suman las columnas: 1518 ; 2277 -1518 2277,: 2277 14209,2 -2277 2277 ^1518: í:. 227.7,-1518 ,-2277 3036 0 . 18823,2 -2277. I 2277?" 2277 2277 -1518 -2277V 3036 ' 'I; 759-' 759 ,22365,2 2277 2277
: rnj]
UL TJ7 Ui
d) Se procede a reordenár.la matriz de rigidez para separar los ¡grados-cargados de los descargados, , . ., ;
Roberto ¡Rochel Awad
^I
Matricial.de Estructuras
"1518 _j:15X8_j ,,•0..^, 2277 ! "•2277'v" •.£3 o . 1 •1518.J 303:,6' .-1518 .,-2277 \ .0 0 2277 0 -15'18 3036 •-2277 •-:759 2277. -22717. 0 14269,2 2277 - • 0 2277 ' 01;. -227,7 ¡2277 18823,2 . 2277 0 227?. 759 1-0.. 2277 22365,2 1
1
Aplicando la expresión 8,1 se calcula la matriz condensada:
1518
F
1
*H[°1518 0
. f 2277 ¡:¡277 :-0
-1518
r
;303í
-1518 *'-*• í I -^2277
-1518
0 1
303S J
n
. 0
0 2277
- 2277 ' 759
71,478 -Í!,VS4347 0,89126
953, 75 -1168,46 , 247,16 -116U46 2439,88 -1578,29 247,16 -1578,29 2706,1.7
:as Mi 1
-8,754347. .,0,89128 1(2277 54,8fiü5B -5,585353 « 2277 -5,585353 . .45,2,8097 J -[: ' 0
-2277
'0
0
-2277
2277
759
Piso 3 Piso 2 Piso 1
Solución para desplazamientos:
I
953,75 ^1168,46 247,16 -1168,46 2439,f'8 -1578,29 1 Í U ' 1 247,16 . -1578, .'29 2706,17
n#
U7 =
í 1,9325:1 1,4728 an 5^7194
EJEMPLO 8,2
m
Utilizando el proceso de condensación matricialy despreciando el efecto de la torsión se desea calcular los desplazamientos de los pisos en la dirección de las cargas y luego calcular las cargas horizontalesíque toma1 él pórtico A. fc = 210 kg/cm2, todas las vigas: b = h = 30 cm, columnas del pórtico A: b *= 30 cm, h = 40 cm, columnas del pórtico B: b =• h — 40 cm, columnas del pórtico C: b = h = 40 cm.
Roberto Roche! Awad
Análisis Matricial de Estructuras
K: I 11 'I Este procedimiento es válido solo si los efectos de la torsión .son despreciables, en este caso toda la estructura se mueve simétricamente i-sin .torsionarse y todos los pórticos sufren el mismo desplazamiento en la dirección de las cargas. i
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La rigidez total d& la estructuraren la,dirección,de las carcas, ¡es; igual,.9- la'suma d,? }ffl rigideces de los pórticos A, B y C. 3m '-y.1; V..
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Vigas: b = h = 30cm C ilunmas: b =• h = 40 cm
Vigas: b =• h =• 30 cm Columnas: b = 30, h => 40 ctn
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4ín ' s > ''••'.-•••••'' • »•'••'• JJI* ir ' '••'•• i & m '••-''; f¡ ,4m , , , - 1 Stn. . , •''.....••••• .'••'.,
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Vigas: b => h = 30 cm Columnas: b =• h = 30 cm " 58,68 -44,38 10,63" -44,38 64,27 -29,31 tn/cm 10,63 -29,31 20,10
Pisol Piso 2 Piso 3
[ 76,77 -58,02 14,50 [ K h J = -58,02 80,84 -36,13 tn/cm [ 14,50 -36,13 23,69
Piso 1 Piso 2 Piso 3
Roberto Roche! Awad
M
Análisis Matricial de Estructuras
8^
8-9
K¡ I f
Bl]f
[.159,93 -116,69 -1JI6.69 156,93 2,' ,13 -65,44
«1 I';!;:
61
1 'fe
24,48 -116,69 o" 116,69 11,82 0 tn/cra 0 0 0
W-
25,13 ] -65,44 I tn/cm 43,79 J
Pisol Piso 2 Piso 3
Obtenida la matriz de rigidez dei la estructura en la dirección de las cargas se calculan los desplazamientos de los pisos en e sta dirección: " 159,93 -116,69- 25,13 " < 1 0 = -116,69 156,93: -65,44 25,13 -65,44 43,79
IR' ] '3
*T>YI;
Piso 1 Piso 2 Piso 3
ÍU t
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[0,7773]
U
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1.8459
on
Conocidos los desplazamientos de los pórticos se determinan las cargas que actúan sobre cada uno de ellos: P
5
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mH n^
58,68 -44,38 10,63 " -44,38! 64,27 -29, 3 1 10,63 ! -29,31 20,10
[2,59] 15H 3759
0,77731 Í78459Í
3,99 tn 3m
2,11
3m
u-»
4m
5tn
4m
vigas: b = h = 30 cm Columnas: b = 30, h = 40 era
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Se deja al lector calcular las cargas que toman los pórticos B y C, debe comprobarse que la suma de las cargas en cada piso soa igual a la carga externa que actúa en él.
Roberto Roche! Atwd
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9.1 GENERALIDADES
i
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J
Enlel análisis hasta ahora reuüzado se ha considerado que las deformaciones producidas por las cargas sobre la estructura son muy pequeñas comparadas con sus dimensiones y por lo tanto su geometría inicial n(i sufre ninguna variación, a este análisis se le denomina análisis de primer orden, en 61 tanto las deformaciones como las acciones sobre los elementos se determinan a partir;;de'la geometría inicial de la estructura.: Sí para el análisis se plantean las ecuaciones de equilibrio de la estructura a partir de su geometría deformada''se obtiene-lo que se denomina el análisis de segundo orden, de este análisis se deduce el grado de estabilidad de la estructura y su capacidad para soportar cargas. La^necesidad^de^realizar.un análisis de segundo orden depende de la magnitud de los despíaaamiéntosj-no^ y que se determinan a partir , de! un
' . l . - í iV T1 ,^.\^]7^OT'^^^f^l^^4S.£^jJ¿l^''i'J.Í.''^''ic '" ' i'1"' ' • ' • • » *.' v;-'' -i'.t'Jrtt—j —.; r-,i<; n . - ' . j . -ít'k-^t-:-{.'í-<-{-.'-\i+'^< »
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Los efectos de segundo orden so presentan en toda estructura aporticada, tanto alta como baja y pueden afectar la estructura en su conjunto o a cada elemento en particular, tanto en sus deformaciones como en ••su¿) acciones - internas
La figura;N°;'9;l;;püede: ayudaí1 aiaclarar, la diferencia;entre ambos? tipos-de análtais, se representa en ella un edificio sometido a cargas verticales, Pj, y además a fuerzas laterales externas, Fj. En el caso de la ¡figura',N° 9 / l a k s reacciones,al nivel de fundación debe cumplir, entre otras la condición (le equilibrio de los momentos de volcamíento alrededor del punto G, correspondiente al centroide de las cargas ^verticales, es decir, estas, reacciones deben eqilibrar un momento de i'/olcamiento de 2 Fj * hj , es un análisis de primer orden . puesto que no se han,considerado-para nada los desplazamientos laterales del edificio.
i U*
ÍII II
En el caso de la figura N° 9. Ib los desplazamientos laterales del edificio, producidos por las cargas. FI, han hechoÉque todasilasicargas, verticales se desplacen hacíale derecha y su centroide ya no es el puntOi G, En. este caso el momento de volcamiento producido por las cargas extemas alrededor del punto G, centroide inicial de las cargas verticales, se convierte en Z FÍ * h, + 2 Pj * Aj.
Roberto Rochel A^rad
Análisis Matrícial de Estructuras
9-2
Fn .
ic;
i» in i M III
Análisis de segundo orden
Análisis de primer orden
FIGURA $>,l.b
9.1.a
= Centroide de las cargas vertical sin considerar desplazamiento del edificio Los- efectos de segundo; orden se deben analizar "tanto ^ cargas horizontales separadamente y en cada caso se clasifican paraVsü- estudid •; en •' dos "••• grupos:.
;• "
- Efectos' locales de segundo orden ( piindeodocal ). - Efectos' globales de'segundo orden"( (&fecto?P - Delta ),
''
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4 I
9.2. EFECTOS DE SEGUNDO ORDEN'PARA CARGA VERTICAL' SOLA. 9.2.1 EFECTOS LOCALES DE SEGUNDO GRDEljf (tandeo local) En la figura N° 9.2 se muestra el'esquema de un p6rtico sometido a la acción de cargas verticales y se asume que se conoce su efecto'sobre la| geometría de la estructura; en este análisis se desprecia el efecto del desplazamiento Kórijíontal de los'nudos; luego las lineas que los unen se conservan verticales. Este efecto es fundamental'eri el 'diseño de columnas -largas ski amarres-laterales-o en' columnas con pequeñas dimensiones transversales. En las vigVs su'efectoíes¡despreciabíe, " ' '
ííob«rto Roche] Awad
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FIG1JRA 9.2 Efectos locales de «sbeltez
En4as;Golumnas:el;!efectO'es©lsi¡;íuiente : .-,. .Tü^i* f.,»,.^.^ . ,''•';'•••; ;"•"?,>/' ," : ' .'
0 ¡
-
M i = Valor del menor momento mayorado presente. enr uno de, los extremos del tramo de la columna, obtenido en el aipálisis de primer orden. ' j~"s VáloTidel mayor momento mayorado presente eniuno de los extremos del.tramo .de la columna, obtenido' en ^el; a oálisis de primerorden, _ • . ; , . . • , , ' LU'^Í pliOngitudínoisoportadaideltramodeGolumna/f-,;M , , ; ! , , , • , . Pu =
Carga axial mayorada sobre el tramo de columna obtenida en el análisis de primer orden,
í1-/.?.' <\'.-•:•'•.-,;> i..,'i
,íJ)u¡5ji!K,..,.. v^¡ (v • "
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;-. f .¡AÍ7i ij/.)í ;<:-: í 1 •; ->¡j!f
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,,-. r . • ; .
Analizando; él tramo: ahc, figura;i,N0-9.3n.se, observa:,que,;np,conserva su forma inicialmente recta¡:por.presentar;despk2¡arniei||tos 'laterales, estas.;deformaciones.hacen,que la carga Pu, inicialmente axial, presente al'iora una excentricidad, "e" variable, presentándose un momento adicional ( Pa *e ) no contemplado en el análisis de primer orden,
M •V.i — ;¡,,!r :,! :;).,. ,,". / • ' . 1 1 .
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FIGURA 9.3 ) Sfectos locales, columnti con doble curvatura Roberto Rochel Avrad
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Análisis Matricial de Estructuras
Efecto de Efecto de primer orden segundo orden
Cargas en los nudos
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>.-,.:,;! t,.>.).,:;..'., V.V iftfi''. ''••'<.'.
FIGURA 9,4 Efectos lócale», columna con curví itnra simple
En el caso del tramo a-c, con curvatura doble,'el máximo momento flectorl teórico ¡de segundo orden., no se presenta dentro de la altura libre de este -tramo de columna, se presenta enunode'su3ej{í)p¿rnosy:nolsufrernayoración;"( -'. ' «•'.:.,:..• . ; .'i.wtiYi v.••./...,• *v •;••..!?.'•' '•*»'•" •"•-• • ; ; ' H ) •'
i;:.í¡.g{',i- .¡:. :,.( .-i!;,i..'../;,íi.11.
ÜÍUS)'.•••".">
En el caso del ¿ramo c-e, con curvatura simple, figura 9.4, el máximo momento flector teórico se presenta dentro de la altura libre!del tramo - de :polumna,. este momento sufre mayoración, y su valor es superior al de los -momentos en los> e'xtrem;o3'. ;..•••>. .•.:>..-. • ; •. Para el diseño el*CCCSR recomienda tomar como momento ¡máximo de diseño' 'el; valor del máximo momento que se presenta en un extremo del tramo de columna (M/j), mayorándolo por un factor: %^ My'máx = SL'* M^).' ' ' ú f - ' ' ' " ' • ' ' ' • H'I.* '...:•! : Este factor de zBpyoraoión 5^, solo afecta los momentos sobre las columnas, no afecta las acciones sobre las vigas, ni a las cargas ¡axial y cortante •queijactuaíi sobredas 'columnas;; en ' consecuenciai,:;^, cargas de diseño para losJelementos1 de'uiia'estTUcturajsometidaíaí-carga ' / vertical sola son : • ' ' '-v; ' •;, v : -,:,.. í^¿i¡:í , Vu, ( resultados del análisis do primer orden )
Para vigas: Para columnas:
El CCCSR en d^artículo C! 10. 11. 4.2 presenta el método pira calcular ^ de la siguiente manera : '; '
^— ;> i.o/l
1-P.
Donde:
r ,..
Pc = Carga critica de la columna.
Robarío Rochel Awad
(9.1)
Análisis Matricial de Estrucíuuas
(9.2)
Ügidezdelá;columna,calcVilada como !•'•' ' •''!•"' • • i.li .':.',l
:.*
if !. ...'/íí-ij'.iMil'c''1! V'.'
•,,..' '• • ;. V'ji ; '.'••'fí/r-i:!">bi(:f
...
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v.''.,*i '-. '
' '•
''{.'"
E.{ = -
::kíi;;Vi,'l(l+p¿)<
1-s|i:
;
(9.3)
.¡0: Vj:," « >.
ó conservativamente como : EI=-
T'1B
Ec = Módulo de elasticidad del fojimigón, CCCSR sección C.8.5,1 (9.5)
13,000 * fc|*|Í
fe íi
1
Ig : Inercia de la sección sin físuriir.
p
(V*
Conservativamente puede suponerse que los efectos de k y =X>.7¡ para .columnas con estribos, :-:•••> .'i' ! . ' » ' , . i ..;;,. , - ¡ . v . : > < ) í . ' . ' ¡ <
1
•(>. ''.',',' v,'l .'.''• ' '•>' j
-;.-.
. ';••, .
/VVV*'
.'•;.'•..
;
....;•'•.•,
•' •
•".
^ = Ó.'ó' 4- 0,4 Úi/M2 , V Q,4Q '
(9.7)
Mi/M2 se toma positivo para curvatura simple y negativo para curvatura doble, M2 > MI El factor de mayoración,..^, , de.be, calcularse para cada tramo"! de 'columna, excepto para aquellas que tengan cargas aplicadas en la luz, caso en el cual 5^ - 1.0, Roberto Rochel Awad
'
' ' ,¡
Análisis Matricial de Estructuras 9.2.2. EFECTOS GLOBALES DE SEGUNDO ORD1EN (Efecto P - Delta). ¥f*Tt-iJ9i
Como resultado deis análisis de primer,..orden se.obtienen los desplazamientos horizontales que sufren los nudos de una estructura aportica,iv,.,, Para el análisis global de segundo orden se considera el ediücio, completo y puede seguirse un procedimiento simplificado, en el cual se ¡asume: que la deformación del edificio presenta una inclinación constante fy, como se indica en la figura N° 9,6 Wu '
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«¿L-J^nJi.»
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^ ^
•
V77
FIGURA 9.6 Efectos globales de segundi) orden
En este caso, la carga vertical mayorada que llega a cada nudo puede descomponerse en dos direcciones, una horizontal y la otra paralela al eje de la columna, este efecto es equivalente a someter La estructura a un grupo de cargas,horizontales F| * <)> , en cada piso, En esta expresión: *
i
i
•
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i
•'
•
•
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"
•
.
i ,, , ' - . . , . - . ; u 1 - , •
i '••
= Carga máyOTáaV propia de! piso i. '
Con estas nuevas cargas horizontales debe precederse a evaluar nuevamente; en caso de ser ' necesario, todas las fuerzas en vigas y columnas aplicando \\n método de superposición, es decir, analizar la estructura para cargas verticales solas y para cargas horizontales (Pj * <{)) solas. Luego las cargas totales de diseño serán ; .Envigas, :\P'+P" ? V'+V", M'-fM'.'. ' Encolumnas ^PW''/ V'+V'';" " Roberto Rockel Awad
^
•Tu «i ¡-
.I i
Análisis Matriciaí de Estnichiiras
5
9.3 EFECTOS DE SEGUNDO ORDEN PARA* CAIlGAS HORIZONTALES
SOLAS.
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V,, '-,' rra
..; ,N*;. ' '.f\
:
*«
El efecto de un sismo es uii efecto diriánnco, pero que para simplificar su análisis se considera como estático y stí>acc¡ión se representa mediante cargas horizontales aplicadas a nivel de cada entrepiso. ', \ \ Se considera que éstas cargas actúan en dos direcciones -ortogonales, con ello, se garantiza que su resultante será siempre mayor que sus componentes y que la (estructura estará en capacidad de sopor-tai el efecto sísmico 'en'cüalqüíer dirección.
9Í3.Í" "ÉFlÉÜTbs'L'oCiAXÉSJ ÍHÉ SÉGtJNDÓ' ORTJEN (Pandeo' local)'", ''>iH::.'-Kf.-/;'-. ''*
'•' • '.'.i-.i.-i.-vc."' " • <•"' "''•
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' ' . . . • • , • ' '•
•-.-.'. -
Se ha concluido que este ofecto es fundamental sólo en el diseño de columnas y que depende esencialmente de la magnitud de la carga axial. La iiárga d)daÍ qué actúa sobre ui. la columna, cuando se analizan las cargas. verticales solas, es1 considerablemente mayor a láí carga axial que actúa sobre ella, cuando se. analizan las cargas horizontales solas, por esta razón, los efectos locales de esbeltez se desprecian en el análisis de cargas horizontales solas; por; lo tanto SL = 1.0.
9.3.2. EFECTOS GLOBALES DE SEGUNDO ORDEN (Efecto P - Delta ) Al igual que para cargas verticales y aún con mayor intensidad, la estructura presenta modificaciones en su geometría inicial, como se observa en la figura N° 9.7.
Fn
I. hn
íl Ji'-'f
. FIGURA 9.7 Deft'rni^da de un pórtico bajo cargas horizontales
Analizando el segundo nivel de d icha estructura deformada, observamos que sus nudos no conservan el alineamiento inicial, sufren un desplazamiento horizontal Ay, en consecuencia las cargas verticales provenientes1 de las vigas de piso ya no actúan axialmente sobre las columnas, para su análisis pueded descomponerse en dos direcciones, una horizontal y la otra paralela al eje de la columna como se indica en la'fgura N° 9.8. Roberto Roche! Awid
Análisis Matrícial de Estructuras
9-8
FIGURA 9.8 Análisis de segundo orden, carga.') horizontales
r
w
El desplazamiento relativo que siifre el piso, producidQ por, L;is, cargas .horizontales, solas, se., denomina desplazamiento primario y se representa por'Ap, ai¡i valor depende de la magnitud de la fuerza horizontal que la produce (Hp ) y es inversart/ieníe proporcional a su rigidez (Kp), como resultado de los desplazamientos horizontales qucj sufren los nudos de un piso .se i presenta un incremento de la magnitud dé la fuerza horizontal que actúa a nivel de cada piso, Hp + Ha + HI, + HC, y se produce un nuevo incremento, enj su desplazamierito horizonte!, llamado despílazamieritó seeundario, producido por la componentes horizontáíes i d¿ ,las cargas acumuladas hasta el piso, luego :
yp =p
,,*<.* U
-fp-
f Ua, ' , - U O ; 1 ;
Ha+ Hb + HC = ( P^ + Pub + P u q ) * Sen f
'•Sen
Kp
Llamando : Se obtiene:
Roberto •Rochel.Awsid •
,K p *h
K p *h
I"
t(.
.
Análisis Matricial de Estnicíu ras
f ir
ÍN**^1
Ai incrementarse el desplazamisito horizontal -del piso (Aj), se incrementa nuevamente el valor de las cargas horizontales
1
Cada desplazamiento adicional genera nuevas fuerzas laterales, este proceso se continua hasta cuando se estabilice . el sistema o falle la estructura; isinO' se presentadla falla, el desplazamiento horizontal total del piso será ;
1 El término entre el paréntesis coi responde a la siguiente serie : sfc •/.' •:>('! ':• í/ií.«:-) »h-.'.í.ci; • .\ •.•:!*•••! '.»i wl».."-i K > ; ,
I!'.'
1'* !? 1 | S
ií
El factor de máyoracíóii! ''de' los dosplazamieñtos primarios se denomina 8og : • . f, i '
.-,';..
:; •-,
1 ^
ni í N L Pl -
...,
ípk M ni. 'l«| IV
8 "'='——
(4
)
Este factor afecta además de los desplazamientos, a todas las fuerzas internas obtenidas en el análisis de primer orden, tanto de vigas como de columnas. Habrá un valor de S8 para cada piso. , . l| ^^-:A | -\\Hki t.ftS.^ sV.!' *.'i^l>1:AÍ\: «V1-'" : •' ",. "-' ' '.T;"1'-.. • . • , . . ; Definimos O como, índice ,de,est»bilidad,: , V1; ,-, ( , ?,,V, .•., .,..-,,. :_•.- , ., .,.- • .**,*.' Tp u .
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Análisis Matricial de Estructuras
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En donde : ZPU: Suma de ks cargas verticales mayoradas y acumuladas fcasta el piso considerado. Ap.1
Desplazamiento relativo entre el nivel superior e iiferior del piso considerado, producido por las fuerzas cortantes totales mayoradas Hy, obtenido del análisis de primer orden.
h:
Altura del piso en consideración. :,:. ;
Hj,:
Suma de ks cargas laterales mayoradas que actúan sobre k estructura, acumuladas hasta el nivel del piso en consideración.
8K' E ' wI m-ri
Este valor de Q, permite clasificar los pisos de una estructura si,igún su rigidez : Q <'0.' 1
Los efectos de segundo orden pueden despreciíirse, pero deben analizarse los efectos locales de esbeltez, en este caso 5g = 1,00, los pisos así clasificados se consideran arriostrados.
™"L ^ I
0.1 ¿ Q < 0 . 3
Deben evaluarse los efectos locales de esbeltez, en este caso el factor de mayoración S g , varia entre 1,10 y 1,43, las pisos así cksificados se consideran como no arriostrados. '
^- i K^'W m
0.3 ¿ Q < 0.5
El valor de 8g varía entre 1;43 y 2,00,' en estii caso no es recomendado el método simplificado dé k fuerza horizonte;,! equivalente; es preferible rigidizar más la estructura para que los valoresíde Q sean inferiores, .;•> Vi : • • ' ; : ' ' • - . • ' . ,' , : ' ' . : . • '• : i.f '•£;.'.,í.'U í 'f.í. - í^i iiíí ií i > ' - • , • ; . ' . • • ' ' •* <¡.
SS'f''' |p '4 ¡
Se considera el piso inestable y la estructura debe adecuadamente.
i;;-1'
(
Q¿0.5
J
rígidizarse
9,4 EJEMPLO determinar las acciones finales con las cuales \debe diseñarse la viga del primer piso del pórtico 1 considerando en su análish tos efectos* dé segúhtia
Roberto Roche! Awad
ir;
^.^-.-lA
1
Análisis Matrictal de Estructuras >';. •?. !•! [(•V'i.'Vv'i'* M^tX fi'':'. •'
4,00 m
6,00 m •::j.:..-,.h r'hadAiU- ; ' _¿
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a) DESCRIPCIÓN DE LA ESTRUCTURA
n
^W ;':;«;
II
Se trata de un edificio de cuatro pisos con pórticos orientados en dos sistemas ortogonales que pueden resistir el efecto de un sismo proveniente en .cualquier dirección. La losa se aligera con bloques reticulares de hormigón de 90 * 90 * 22,5 cm (95 kg/unidad), se prevee la colocación de un paflote de 2,5 cm para el cielo raso. . ' . • .• Se analiza únicamente la estructura en la-direoión del eje X, y los1 cálculos se realizan solo para el pórtico N° 1. •; •.'-¡
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2,80
0,30«OJO Vlg« 0,JOiO,30
2,80
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Vip 0,3 WUO
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^__ Vacio ^^^
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Col 0.30x0,40
2,80
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3,00
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Wcni
00.
Sección Tipica de la losa fy = 4.200kg/cm 2 para , <}»3/8
4,00 m
" 6,00 trt '
Roberto Roche! Awsd
^
22,5 cm *_'í l* *— *jj
fy = 2.800 kg/cm 2 par»
^¿3/8
f o = 210 kg/cm :
'Análisis Matricial de Estructuras b) ANÁLISIS BAJO CARGAS VERTICALES SOLAS
b-í)
EP*
Calculo de las cargas verticales y análisis de primeir^rden; ' •'
i ' ' " ."
•:;' :íf
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U
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M
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Peso de la losa por m2:. '
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'•!
Placa superior 0,05 *¡ 1,0 ^ 1,00•'» 2,400 fl - .^201(1 Mcgíni P)áca..W^prí-^uOf025|*'l,Oqt*!i,00,* 5?.400'-^.;:f60;'j dasetóní '¡i 9.5/0,90 ! j'| jj ';] = IQ6\\ Nervio - ; . ó[lO *;Q,25> 1,00 * 2.400 !;j.«- ¡60 ! I Acabados !; |j H.•,;;.;\.';-,If i !i 'U = l ' O O ' ' Particiones 200 ¡:.|
•; ¡¡..,1 J.^,tL
Total
CV
=180
kg/m2
Wu = 1,4 *CM -f 1,7 ^CV
= 1,21
tn/m2
/ ;i;¡? v i ¡Kí'*•''!•/•. s i'fí-¿ ''••';Oí j"iíí' Carga por metro lineal de nervio = 'Wu * Separación entre ejes = 1,21 * 1,00 => 1,21 tn/m , .' .-.,, ... ,.-• • , •. t. , , - 'i ' . . '• •;:' i'1-* •'. '•••
Carga de la losa sobre el pórtico N° 1:
* 9i ;¡ 4,'j; iL^LJ.^jU' Alatli 1,21 t n / m
:t
JX /fe
3,80 m
1,73 tu
~1
Eje cié simetría
0
'W1?A8 = 2, 15 ta-m
2,87 tu
Carga total sobre el pórtico N- 1 ;
!
Adicional al peso de lamosa debe .considerarse' su peso propio y^sl peso de la fachada, sj lia"
' ' Peaolosa •"* ' ' Pésópropio1'1 Peso fachada
1,73/distancm entre nervios = 1,73 tn/m 0,30*0,30* 1,00* 2,4 "1,4 : = 0,30 (Asumido) :!= 0,50 u
= 2,53 ta/m
Para simplificar este ejemplo se considera que esta carga actó a uniformemente en todas las luces, en la cubierta se considera, de manera arbitraria, una carga correspondiente al 50% de esíe valor. Roberto Rochel Awad
•e:
Análisis Matrícial de Estructuras
El peso propio de las columnas si) considera como carga concentrada aplicada en los, nudos. ..-
' Ejes A-y,'C:v ,•,$
Primer piso: t,,, .,- ./....>,. ,.,. . .
>'.
x K
EjeiB
! . . i - . •; • ^
^
Segundo piso:
T.
,
. 0,30. * 0,40 * 4,85 * 2.4 * 1,4.. , - .1,96. ...
^'-i
:/'• • ; • ' • • • -,'••
c Ejes Ay:C: 0,30 * 0,30 * 2,50 * 2.4 *, 1,4 = 0,76 tn J.EjejB ! ^ , 0¡30 *'p,40*;2,50*,2.4* 1,4 ,.= 1,01
*..-:•
|U7..". *
i
iL.iL «LjK.Hf^ ,11X11.
j 1,01 • ! 2,53 :
:
4-
0,76
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IHJÜ-I: 3( 4*- 4* 3iJ¿^jljl^kj?*' T 4*
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4- . :i 53
2,80 m .
• (TV w
2,80 m
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. 4. 10
V 4-
14
jw'
:i,96 ;
253
2,80 m
5,00 ra •
. '4 12
6.00 m:
20 4
16 4
®:
f (15)
Í4) _4.QQm
6.00 m
Pórtico N°l Resultados del análisis: DISPLAZAM3EN1TO DE LOS NUDOS EN cm Y radiaiaes NUDO
• DESPEEN X
DESP. EN Y
1
0,02436 0,02213 0,01393 0,00855 • .,0,00840,.
-0,10330 -0,19365 -0,14996 -0,09814 -0,18415 -0,14261 -0,08379 -0,15723 -0,12175 -0,06016 -0,11296 -0,08734
2 3
4
,,:*„
' 6 7
l
¡
,-.. ,(,; .
8 9 10 11 12 '
Roberto Rochel Awad
0,00 819 "
0,00027 -O.OC 004 ,, , .,
-0,OC171 -0,0(593 -0,OC'376 '0,00426
•
.
r
(
¿AJtiJíiUii^i-
4.00 m
1?
^ ® -. 18 —5^ 6 . 4 ií: 15 VA 19 (12) ___^L__ _®__^ ., S ., (7 .
riJL' T T » «n ttíáfiS' 4¡*
*
^4. 9
GIRO
.
•0,0004973 -0,0003309 0,0010608 -0,0005855 -0,0003619 0,0012776 -0,0005110 ' -0,0002897 0,0010906 -0,0007067 -0,0004746 0,0018741
Análisis Matrícial de Estructuras
•-'. 9-14
ACCIONES EN LAS BARRA tn Y tarín BARRA.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
'
13 14
'
15 16 17
.
r
18 19
20
N,
Nf
1
2 3 5 6 8 9 11 12 4 7 10 13 5 8 ¡11 14
2 4 5 7 8 10 11 1 4 7 10' 2 5 8 11 3 6 9 12
i
;
6 9 12 15
PX,
PY,
M,
PXf
0,94. 2,32 0,07 0,06 0,13 0,47 -0,92 -2,27 3,12 8,69 14,31 20,40 7,66 21,73 35,75 51,07 4,45 12,63 20,84 29,62
¿36 , 3,93 4,81 7,75 4,85 7,73 4,62 7,87 -0,94 -1,01 -1,14 -0,22 -1,37 -1,36 -1,70 -0,35 2,32 2,37
1,28 3,89 2,81 7,74 2,89 7,73 2,42 7,93 -1,28 -1,45 -1,51 -0,74 -1,89 . -1,99 -2,18 -1,17 3,14 3,41 3,63 1,92
-0,94 -2,32 -0,07 -0,06 -0,13 -0,47 0,92 . 2,27 -3,12 -8,69 -14,31 -20,40 -7,66 • -21¿73 -35,75 -51,07 -4,45 ' -12,63 , -20,84 ; -29¡62
;.2,84
0,58
PYf 2,72 3,69 5,31 7,43 5,27 7,45 5,50 .. 7,31 0,94 1,01 1,14' ; 0,22 1,37 1,36 1,70 0,35 • -2,32 -2,37 -2,84 -0,58
M, -2,00 ' -3,15 •3,80 -6,75 -3,72 -6,86 . -4,17 -6,26 -1,36 -1,38 -1,69 -0,38 -1,95 -1,83 -2,58 -0,60 3,34 3,24 4,34 0,97
b-2) Efectos de segundo orden para carga vertical sola, ufectos locales: Estos efectos locales solo modifican los momentos fl,ectores sobre las columnas los cuales son mayorados multiplicándolos por un 'factor 5^, esta factor se calcula de acuerdo a las expresiones (9.1) a (9.7): ' • 0,40
a 1.0
,,EI-;
2,5*
Pd = Conservativamente puede tomarse un valor aproximado de Pj ==;0.8, p¿ siempre se toma positivo. • .-,.- ¡ :¡. / •;;,.,
:
'.
i
:
,,
.• -' i . :
4> = 0,70
Ml/M2 se toma positivo para curvatura.simple y negativo pava curvatura ;doble, M2
Roberto Rochel Awad
¡
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Análisis Matricial de Esírucíuiras .-,.
)
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•
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, , • , ! . , ' • '!•••>'.^ r"vl'
Coflsemtiyámente puede asumijfsetiuelós ractorcs'ífi'yk'se coátrarréstran^pbr lo que'íestos dosiórfllinós se pueden- suprimir|dé;lá i ' :
= 13.000 *^F¡~ (kg/cm2)
?;^-.^^,,.,,^ ,. í; ,,, ., ,, , , ,< ,,:, pti . ,
COLUMNA 1-A: • -^iw -yw Para SQ
=i 0,000675
-.>'?•:.>.•, M-. ;;;^;-,v-ví.EGi7.a883.879:t .•'.'"'íLX' J - '''.'!•:••
=282,58tn-m
PISO
KV
4if-y, o2,50 3.,,, 2,50 2 2,50
1
4,85
El,;
282>58 282,58. 282,58 282,58
'* PC
Sis, " ! < M2
,¿3»,
>;446,2:. .-1-.H8 ,r!l,36. . ,,446,2, ,,-1.45 r 446$ -i,!u -1,69 118,6 -0,;I8 -0,74
MÍ/MI
'Cm
P,.
SL
! -0,94,.., ,.-0,95 -0,89 ' -0,51
0,40 0,40 0,40 0,40
3,12 ., 8,69 14,31 ' 20,40
1,00 1,00 1,00 1,00
Bc =1883 879 tn/m2
0,30*0,403/12 = 0,0016
.= 669,82
Ln
4 . 3 2 1
2,50 2,50 2,50 4,85
El
1,36 1,45 ' ' 1,69 ."' 0,74
Para f c = 210 kg/cm2:
COLUMNA 1-B:
PISO
Mu=5JjM2
<^Pc
IMi<
669,82 .-1057,7 •"1,ÍI9 • 669,82 1057,7 .,-1.113 669,82 1057,7 -2,í:8 -0,(¡0 669,82 281,0
M2,
MI /MÍ
-1,95 . -0,9.7 -1,99 . -0,92 -2,58 „ -0,84 -0,51 -1,17
ta-m2
'•.Crti!-
..«?»;
A:
,Mu=5tM2
0,40 0,40 0,40 0,40
7,66 21,73 •35,75 51,07
1,00 1,00 1,00
1,95 1,99 2,58 1,17
. 1,00
b-3) ''| Efectos de segundó ;ordejj pai'a' carga vertical sola, efectos globales:
ÍT ü:
íl
, Del .análisis de primer, oi;den se.obtiene el máximo desplazamiento horizontal del edificio, medido en la parte superior, para el caso de cargas verticales solas, para este ejemplo su valor aproximado es: (0,02436 + 0,02213 +0,01393)73 = 0,02014 cm; para la . altura total del edificio de 13,4 m, se obtiene una relación desplazamiento/altura de 0,02014/1340 =,l,50E.-5cm,;.valor,muy inferior alrlímite:dado.por el CCCSR.sec.C. 10.4.1 de 0,001 para considerar los efectos globales de segundo orden. Roberto Rochel Awad
Análisis Matricial de Estructuras
__________
,
.
,..
r
¡ ¿ , ,^ v y r9^16f^ ,
»w ^
Los efectos globales .debido a cargas verticales, solas es poco, frecuentes., .sin embargo, .. en^ caso de requerirse debe seguirse el procedimiento -ai^izad9¡^k;.pe«5Í^A',9,2,2\^i! presente", texto,
! 'm
_______________________________ , ______
c-1)
Calculo de las cargas horizontales y análisis de primer orden:
/ 5,
, .oOj
T,
En este ejemplo se analizará el efecto 'del sismo 'en la dirección del pórtico N°l y se seguirá el procedimiento de la fuerza horizontal equivalente:
'»/. .<-.< ;,«•« • '••'.'
. ,j
V'
Periodo de vibración aproximado: Ta = 0,08 * h¿3/4 - 0,08 * 13,10o-75 - 0,56 seg. Parámetros sísmicos de diseño:
....... .Riesgo sísmico; INTERMEDIO :. , - . •1RH4ÍOO.'' ; i ' C d = ? 3 , Í O
Aa = 0,15, Av = 0,20 ::Sfl,0; 'I m 1,0 ' - • ; ; !
-I-'-; ..... ¡ ... ; . . .!.,'.' ..-.;,. . " El análisis de primer orden se realizará asumiendo que-las secciones que1 trabajan a flexión <
U p7' \_,
sufren fisuración, en este caso el CCCSR sec.'^V.óp.l ;permit
Espectro de diseño:
S a =- -- —— ^2,50+^a+l
| *
8»= 1,20 * 0,20 * 1,0 * l . O / O . S e . r 0,353 ..a 2,50 * 0,15 * 1,0 = 0,375 ' . . .. Coeficiente sísmico Cs= s a / R = 0,353/4 = 0,088 . Cortante Basal:
Vs = Ce * W
W = Peso muerto del edificio sin máyorar. , ••' ¡ ¡ ' ; ,, ¡ •;. • .'••'•. > • • . . • - ' : . ; - . '• ... 'I . ." . Peso de la losa sin vigas 0,646 * Área =| 0,646 * (3,50 * 3,70 *;2+ 5,'70 * 3,50 * 2) =• 42,50 tn : Peso de fachada ¡ (ae:asume 30%de la placa) = 0,30 * ¿2,50 < ' - 12,75 tn Peso de las vigas (52,8 m) = 0,30 * OÍ3Ó *,2,4'* 52,3 i: '' =4 11,40 tn' Peso de las columnas: 6*2,50*0,3*0,3*2,40' ' ;=^ 3,24tn 3*2,50*0,3*0,4*2,40 = 2,16tn
Peao muerto del edificio sin mayorar:
i...; -;u •.:••;•. í í):i;-( i p t u í p e í e j o s a tpca .... ¿,, ,,¡¡, .= . Peao cubierta (50% piaotípo) = '36,02 trí1 . ^ W = 3 * 72,05 + 36,02 tn = 252,17 tn '
Peso mayorado de los pisos (CV = 0, 1 8 tn/m2)': '• • Losatipica: Cubierta Roberto Rochel Awad
Pu =• i;4 * 72¡05 + 1,7*0,18^(10-i1 7,60)<= "124)13 tn V - • ' = 50% de la losa típica' . ' '.¿i-ivíí, ,••> ...,:•. • = •,[-.62;Q7.tn-;J i:;,:
( J
\. »^j,
í?•
¡i,,'; ; . ,
Análisis Matrícial de Estructuras Cortante basal:
m
Vi, = 0,088 * 252,17 = 22,19 tn.
Este cortante basal debe distribuíriJe en altura a cada uñó de los'pisos. C^ r-^-,;
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Paral, entre 0,50 y 2,50 seg:
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k = 0,75+0,50 * T,= 1,03
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La áierza sísmica de cada piso del je. distribuirse entre los pórticos 1, 2 y 3 en proporción a su rigidez, tal como se explicó en el ¿ápítuló 8, en este caso particular como los pórticos 1, 2 y 3 ;r símemeos nenen u¡ misma ngioez caos uno ae euos tomara una verc ara p de la fuerza sísmica de piso F¡.
p» ,,,, 1 ki
i h5
Cy,
% 0,225 0,354 0,258 : 0,163
521,75 él 9,78 597,71 378,07 2317,31
Z
'•'• \i~.'..ffjf).''-
• , ; ,
-© 6,00 tn
Análisis Matricial de Estructuras
9-18
Resultados del análisis: Para simular el efecto de la físuración en vigas esta se trabajan con la mitad de su inercia, lo cual se logra trabajando sus dimensiones de 15*30 cm, para;este caso Cd = 0,70 * 3,50 = 2,45.
DESPLAZAMIENTO DE LOS NUDOS EN <:m Y radianes NUDO
i.
DESP. EN X
r
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
;
•. ' 6,33703 6,33577 '6,33937 5,65385 5,65074 5,65596 4,47826 •' 4,476138 4,48114 2,83657 2,83337 2,83477
DESP, EN V
,
.
i
0,03112 -0,01231 -0,01471 0,02997 -0,01188 ; -0,01413 0,02665 -=•'' -0,01058 -0,01254 0,01991 -0,00791 !-0,00936
GIRO ' , -0,0015044 -0,0016418 ' / . I / ^0,0016298 ; .0,0027973 ,-,,• -0,0029148 .: -0,0029219 -0,0043533 •-: -0,0045281 -0,0045511 -0,0054402 -0,0058818 "'•'' -0,0059227'
'
ACCIONES EN LAS BARRA ti i Y tn-m BARRA
N,
,N f .
PX,
PY,
M,
1 2 3
i 2
2 3
0,27 -0,51' 0,66 -0,74 0,29 -0,60 0,68
-0,70 -0,35 -1,31 -0,62 -2,07 -0,96 -2,67 -1,25 0,56 1,21 1,88 1,80 0,78 2,17 3,07 3,94 0,32 0,89 1,25 1,65
-1,37 -1,04 -2,61 -1,85 -4,12 -2,88 -5,26 -3,75 1,37 2,40 3,13 3,12 2,46 4,78 5,75 6,31 1,04 1,99 2,38 2,63
4 .
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
, 4,
: 5 • •••
5 7 8 10 11 1 4 7 10 2 5 8 11 3 6 9 12
6 8 9 11 12 4 7 10 13 5 8 11 14 6 9 12 15
Roberto Rochel Awad
-0,20 ;.
i
-0,70 -2,01 -4,08 -6,75 0,35 1,05 2,16 3,57 0,35 0,96 1,92 3,18
'
PXf -0,27 ' 0,51 -0,66 . 0,74 -0,29 0,60 -0,68 •' 0,20 • 0,70 2,01 4,08 6,75 • -0,35 -1,05 -2,16 -3,57 -0,35 -0,96 -1,92 -3,18
PY, 0,70 0,35 1,31 0,62 2,07 0,96 2,67 1,25 -0,56 -1,21 -1,88 -1,80 -0,78 -2,17 -3,07 -3,94 -0,32 -0,89 -1,25 -1,65
Mf -1,42 -1,04 . -2,64 -1,85
-4,17 -2,89 -5,40 -3,75 0,20 0,99 2,14 A .5,89 -0,28 1,31 2,84 13,'41 -0,14 0,51 1,13 5,64
My
Análisis Matricíal de Estructuras c-2) Efectos de segundo orden para cargas.horizontales solas, efectos locales: De acuerdo a lo explicado en la sección 9.3.1 estos efectos son despreciables en al caso de cargas horizontales. c-3) Efectos de segundo orden para cargas horizontales solas, efectos globales: u';i'r;..\vf:t,~-\' '.
'','. • ••'•.. i'.U,!
i i. 1 ...,
i
A partir de los'resuitadiijs del análisis de primer orden se calcula el índice de estabilidad, Q, de cada'1 uno de tós pisos de acuerdo a la-expresión (9.9):
¡ji í)f_/.
H u *h
i Nivel
Piso
Ah
Pn
ZPn
SF,
Q
0,69
280
62,07
62,07
4,99
0,031
1,17
280
124,13
186,20 '
12,85
0,061
1.65
280
124,13
310,33
18,58
0,098
2,83
500
124,13
434,46
22,19
0,111
6,34
4 4
5,65
3
3
" .4,48
2 2
2,83
1 1
> Ií K'
h
; ^urel-
Derivas elásticas: Primer piso: Segundo piso:
Aurel./h = 2,83/500 = 0,00566 cm/cm 1,65/280 = 0,00589
Primer piso: .Segundo piso:
Cd * Deriva elástica - 2,45*0,00566 = 0,0139 2,45*0,00589 = 0,0144
Derivas inelásticas:,',
n 1
a .•.:'•, ¡
Todos estos valores son infériortis a los permitidos'por el CCGSR sec, A.6,4.2 en el pual se limita la deriva de piso a 0,015 Veces la altura del entrepiso en consideración. • Los pisos 2, 3 y 4 tienen un índice de estabilidad inferior a 0,10 por lo que se consideran arriostrados y los efectos de segu ndo orden pueden despreciarse en ellos, El primer; piso ¡presenta un índice de estabilidad mayor de 0,10, pero inferior a 0,30, por lo que,este piso se considera corrió no arriostrado y los efectos.de segundo orden pueden evaluarse mediante un procedimiento simplificado, empleando la expresión (9,8) se obtiene:
Roberto Rochel Awad
Anáfisis Matricial de Estructuras
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I- . . .
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Piso a
"4"" 3 .2 . 1
0 , 0 3 1 " 1,03 -> 1,00' 0,061,. 1,06-» 1,00 ..IArriostrado 0,098 .'.,.,.l,l'l_-> 1,00 .'{Arriostrado 0,111 1,12-> 1,12 No amostrado
Todas las fuerzas internas del primer piso, tanto en vigas como en columnas, tiene -un recargo del 12% debido a los efectos globales de esbeltez.
COLUMNA 1-A:
Fuerzas de primer orden Piso 4 3 2 1
5
F axial
F. cort.
0,70 2,01' 4,08 6,75
0,56 1,21 1,88 1,80
M/to , 1,37 • 2,40 3,13 5,89
Fu erzas de diseño A 1,00 1,00 . 1,00 1,12
F axial
Fcort
MAo
0,70 ,2,01 4,08 7,55
0,56' 1,21 , 1,88 2,02
1,37 2,40 3,13 6,60
COLUMNA 1-B:
Fuerzas de primer orden Piso
F axial
4 3 2 1
0,35 1,05 2,16 3,57
:
F. cort. 0,78 2,17 3,07 3,94 '
M/to 2,46 4,78 5,75 ' 13,41 '
Fuerzas de diseño SB 1,00 1,00 1,00 "1,12
F axial 0,35 1,05 2,16 ' • 4,00
:
Fcort
M/to
0,78 2,17 3,07 4,41 '
2,46 4,78 5,75 •15,02'
VIGAS: Las fuerzas internas de las vigas son afectadas por los efectos globales de esbeltez, su efecto se obtiene multiplicando los resultados -' del análisis :dé -priiner' orden por ; él factor de • amplificación 5g, para el caso dé vigas debe tomarse corno el jjromedió.aritmético entre los pisos superior e inferior.
Roberto Rochel Airad
*
'
Análisis Matricíal de Estructuiras Fuerzas de primeif ordeir
H hJ
Pisoy tramo
M/totoq
4 A-B B-C
-1,37 -1,04
3 A-B B-C
-2,61 •1,85
2 A-B B-C
, -4,12 -2,88
1 A-B B-C
-5,26 -3,75
Ftierzas de diseño M/toizq M/todér
. ./-.. V;..í '; '
F.cort.
8»
-1,42 -1,04
0,70 0,35
1,00 1,00
-1,37 •1,04
-1,42 -1,04
0,70 0,35
-2,64 -1,85
1,31 0,62
1,00 1,00
-2,61 -1,85
-2,64 •1,85
1,31 0,62
1,00 1,00
-4,12., -2,88!
-4,17 -2,89
2,07 0,96
1,11 1,11
-5,84 -4,16
-5,99 -4,17
2,96 1,39
M/to,der f.
-4,17 . , -2,89 -5,40 -3,76
....2,07 0,96
2,67 1,25
'
F.cort. '
d) ACCIONES FINALES PA RA EL DISEÑO Los resultados obtenidos del. análisis de segundo orden se combinan de acuerdo a lo especificado por el CCCSR se. B',2.4.2. en este ejemplo utilizaremos solo las siguientes tres" combinaciones de cargas; .
* Cargas verticales + sismo * Cargas verticales - ídsmo
, ,1<4 * CM + 1,7 * 0,75 * (1,4 * CM + 1,7 * CV) + Sismo 0,75 * (1,4 * CM + 1,7 * CV) :- -Sismo,
Viga del primer piso del-pórticc) N°Í El CCCSR sec, C.20,2.b recomienda diseñar las vigas a cortante multiplicando por 2 el cortante correspondiente a la cargíi sísmica, esto con el fín de proteger la viga ante una falla a cortante pues este tipo de falla 'es muy frágil, en el capítulo 10 se explica con detalle la razón de ser de esta norma.
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Roberto Rocbel Awad
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Análisis Matricial de Estructuras
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Acciones de diseño: í ..;'. ' ' . . : • '
Cortante: Tramo AB, origen, en A
/,••;. : :•. (••-.,.
Carga vertical Carga vertical + siamo Carga vertical - sismo
i .:¡ ; . - r ' í v ' ) . j .(••..''" i >' i'1.!» " lf — ; ! ''.'/
'..¡;V.':.:.!fKv' ',••(. -'. '
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V = 4,62 - 2,53 x V = 0,75 * (4,62 - 2,53x) v 2 * 2,96 = -2,46 - l,90x V-0,75 + (4,62 -2,53X)' ; 'V2 *'2|96r» 9;39 - l,90x
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Tramo BC, origeniea B : Carga vertical Carga vertical + sismo Carga vertical - sismo
V = 7,87 - 2,53 x V = 0,75 * (7,87 - 2,53x), 2 * 1,39 = 3,12 - l,90x
Momento: Tramo AB, origen eri'Á' Carga vertical Carga vertical + sismo Carga vertical - sismo
• • ,v- . ';, •-.' '• :
, >,- -.' •:•',. .;••.,; ,• • •:, ' • . .. .|\-;.H--; >. :':',K-.,i !,!.(V:'.'.': :.l- •'• '.••í' if'3^.fii
M = 2,43 - 4,62 x + 2,53 x2 / 2 = 1,27 x2 - 4,62x + 2,43 M - 0,75 * (1,27 x2 - 4,6í!x + 2,43) + 2,96x -5,84 M - 0,95 x2-0,5Ix-4,03; M - 0,75 * (1,27 K2 -4.6ÍIX + 2,43) • 2,96x + 5,84 M = 0,95x 2 -6,43x + 7,65
Tramo BC, origen en B Carga vertical Carga vertical + sismo Cai'ga vertical - sismo
Roberto Rochel Awad
M => 7,93 - 7,87 x + 2,53 x2 / 2 = 1,27 x2 - 7,87x + 7,93 M = 0,75 * (1,27 x2 - 7,8','x + 7,93) + l,39x -4,16 M = 0,95x 2 -4,51x+l,79 M = 0,73 * (1,27 x2 - 7,8'/x + 7,93) - 1,39K + 4,16 M = 0,95 x2 • 7,29x + 10,11
ni M 9
0 TI •J
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Análisis Matricial de Estructuras Qbtenidas >las,ecuaciones '.dejloijídiagrattlasüdé^momento flectpr' y;:de cortante, se, procede a Atraías los-diagramas! corresfxMídtentes; én-e* trazado inicial de'estos diagramas no se tiene eii xuenta las-especifícaciones para'riesgo1 sísmico intermedio:1
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rt ',1 4,00 m
6,00 m
Diagrama de cortante
i-V',!;
.•••', > 10,11
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8,93
7,6( 2,43
\V - Stano
CV - Sismo
sismo
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Xm 4,02 2'86
4,00 m
6,00 m
ífc Diagrama teórico de momentos
Roberto Rochel Awfld
.
Análisis Matricial de Estructuras
I
Si se consideran las especificaciones, para, eli,traza.do,;/de,las envolventes de momentos "de acuerdo1 al artículo C.2Q.3,1 deLCCCSR,se,obtieneíel siguieiite diagrama de momentos para cuyo trazado la luz libre de la víga-,seha dividido,en .diez :sedciones,!i a cada'-vina de'élks-se'le caicuk tanto el momento como el cortante:
O
t"
D f. . Envolvente de momentos
VIGA AÓRTICO 1 TRAMO A-B Long.
X, m Mu (-) m-rn As (-) .cm2 ; Mu (+) tn-m As (+) cm2 Vu, tn Estribos Separación, cm Diseño
L = 4,00
m 3,65 m
0,15 6,72 8,15 4,07 4,66 9,00 #3 . 6,25,
1 1#3@6,25
Koberto Rochel Awad
a==0,15cm c = 0,20
0,92 .1,28 1,64 2,55 1,55 1,55 2,82 2,25 2,25 3,68 3,12 2,30 . 4,17 3,49 .2,53 7,63 6,95 6,27 #3 -..- •#3 •#3 • #3 .6,25 12,5 12,5 12,5 0,56 4,36 5,01 4,00. 4,56 8,32
Sección: , ,
1D = 0,30cm ]
3,08 3,44 3,80 3,40 5,45 7,74 ' 3,83 6,41 9,65 ' 3,13 ,3,21 ,3,06, i:\' 3,50 3,60 8,29 8,97 9,66 í <..#3 ••- #3 #3 12,5 12,5 > 6,25 6,2$.. : , :
2 ,00 2,36 2 ,72 1,55 '1,55 1,61 2 #5 f 2 , 2 5 - 2,34 1,76 , 2 , 2 2 2,80 2;50' ^2,50 . 3 ,12 6,24 6,92 7,60
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10. CRITEEIOS DE DtóÉÑO SÍSMICO 'S-
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10.1 REQUISITOS QUE DEBEN SEGUIRSE EN ESTRUCTURAS EN , ;,.;ZPN;AS: SÍSMICAS*,,, ,.,. , , ,...,.,.,;,. . ..v'jt;
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En. las estructuras de horinigón las características que se necesitan, para un • buen comportamiento sísmico no son ¡intrínsecas del material. Las estructuras de hormigón, tal como, están, concebidas ,y,se. han ^construido generalmente,en zonas no sísmicas, han tenido un comportamiento muy negativo* en zonas sismicaSj el número de fallas, de colapsos totales, de daños importantes en estructuras de hormigonen zonas*sísmicas es muy elevado. Esto se debe a que el hormigón reforzado no posee en sí algunas características esenciales que se necesitan para un buen'comportamiento sísmico, entonces, para lograr un buen desempeño se requiere cuida!' con particular atención algunas características de estructuración y de refuerzo que -van mucho más allá de las normales para zonas no sísmicas, que requieren de gran cantidad de detalles de refuerzo que son muy costosos y constructivamente difíciles |de logíar. Esto no ocurre en estructuras de acero, el acero es un material que mtrinsecamente tiepe ciertas propiedades que lo hacen más favorable para resistir los sismos y.las diferencias o cuidados que hay que tener al.diseñar una estructura para una zona no sísmica son relativamente pequeños o relativamente mucho menores a los que hay que tener al diseñar, estructuras de hormigón. , • , . . .:. En estructuras de hormigón son iiumerosas las cantidades de cuidados que hay que tener para darles un buen comportarme! ito sísmico. El gran número.de casos de;falla I.HI el terremoto de México de 1985 es el ejemplo más claro de este comportamiento defectuoso de estructuras de hormigón,cuando no se: cumplen ciertos requisitos especiales. Estos,requirtitos pueden.clasificarse entres niveles :
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• • •
Estructuración. Diseño. Ductilidad.
i i 10.1.1 ESTRUCTURACIÓN. ' ' ; , . - • - - •
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V
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Se debe seleccionar en la estructura, un arreglo de elementos estructurales que sea idóneo para resistir las fuerzas sísíiiicas. Idóneo en el sentido ,qüe debe tener una resistencia y rigidez alta a carga lateral y debe evitar iievaí a la estructura a un colapso con un tipo de falla frágil. Roberto Roche! Atrad
Se debe evitar por ejemplo que se presenten torsiones importantes, que se presenten concentración de .esfuerzos en zonas• limitadas, la estructura, debe ser razonablemente simétrica y regular para evitar estos problemas.,,, , , , •,. ,• • •. • , . . . . ,
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10.1.2 DISEÑO. . . , . . . ;
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Se debe proporcionar la resistencia adecuada de acuerdo'a un "método de análisis estático o dinámico que tenga en cuenta ciertos coeficientes sísmicos que sean suficientemente conservadores y que prevean que la estructuia tenga la resistencia adecuada para resistir estas fuerzas, Este punto es de carácter general para todas las estructura!;!,-no es muy especifico de las estructuras de hormigón aunque para :estas estructuras hay ciertos valores que son más adecuados, sin 'embargo^ los1 métodos' -de 'análisis y -los 'requisitos qué hay que buscar dé resistencia y rigidez son generales para todas las estructuras.
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10.1.3 DUCTILIDAD. • '.i • • •
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Es muy particular de las estructuras de hormigón para zonas sísmicas. Los factores ' que hay que'cuidar para lograr que una estructura tenga buen; comportamiento sísmico son : resistencia, rigidez y ductilidad; lo que se requiere, en general, es una combinación de estas propiedades'. • Una estructura debe tener una capacidad dej resistencia bastante alta para soportar las cargas;laterales pero también debe tener^comportamiento dúctil para evitar ' que si se excede por alguna razón de esta capacidad se tenga i in colapso total.
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Como no- se puede preveer con suficiente confianza cual va a S:er el nivel máximo que pueden . alcanzar las fuerzas sísmicas es prácticamente imposible di señar una estructura para que resista las máximas fuerzas sísmicas que pudiesen llegar a ¡presentarse, entonces se fijan .... ciertos niveles de resistencia que es necesario alcanzar pero previendo la posibilidad de que las fuerzas inducidas por sismo pueden exceder esos niveles pues es difícil ponerle un límite al desplazamiento del terreno, Si'las fuerzas exceden los limites de resistencia que ae han previsto, se pretende que la estructura no tenga una falla frágil sino que sea capaz de disipar la energía adicional que le puede introducir el.sismo a través i'del comportamiento inelástico, a través de fluencia, a través de daflos locales, pero que'nunca la lleven al colapso.
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10.2 COMPORTAMIENTO DE ESTRUCTURAS HHPEI*ESTÁTICAS..',.,, Consideremos el caso más simple de estructuras hiporestáticas como puede ser el tramo interior de una viga continua de tres luces. Olvidémonos por lo pronto del sismo, y consideremos que sobre la viga actúa lina carga uniforme qae.auínenta desdó cierto valor hasta el rnáximo'que pueda alcanzar.
. Roberto Roche! Awad
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Análisis Matricial de Estructuras
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Los valores de los .diagramas .de' momentos aumentan proporcionalmente con la carga W si las rigideces fektivas.'jentrefélemííintos adyacentes se mantienen-constantes,(Véase figura N° 10.1). Si se es muy estricto se puede pensar que existen.ligeras variaciones en el diagrama, por ejemplo, cuando el momento Me; alcance el valor del momento de figuración de esa sección se tiene cierto cambio de la rigidez relativa y los momenos de extremo pueden variar ligeramente, si se omiten estas'¡pequeñas diferencias,';, se puede pensar que al aumentar el valor de la carga estos tres m< wnentos aumentan proporcionalmente manteniéndose las diferencias relativas. . •
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FIGURAN" 10,1
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FIGURAN" 10.2:
Esta proporción'-seimantíene hanta cierto .punto, hasta que alguna sección, y de hecho se puede pensar que las secciones diucas son estas tres, alcanza su máxima capacidad,-el valor de su momento de ¡fluencia, supongamos que esta sección es j el'apoyo C. A partic de ese instante la sección1 no puede tomar más momento.. Si ahora tratamos de aumentar la carga esta sección fluye * y gira manteniendo su momento Mytvjpara fines prácticos ésto es equivalente a tener una articulación plástica en ese apoyo, y'para las cargas superiores a las que causaron este momento de fluencia la viga se comporta como una viga continua con una articulación en ese apoyo.] ( Vóuse figura íj0Vi 10.2 ), y , en. ese, entonces, el diagrama..de momentos cambia porque Myc so mantiene fijo. Al incrementar, ahora la carga;l(is,otros ¡momentos.se..incrementan, hasta que, otra • sección alcance su momento de fluencia^;supongamos que:ea,el apoyo B,lo..cual equivale a que alLL . se forme una articulación plástica ( Véase figura N° 10.3 ), esto ño quiere decir que la viga ha fallado, la ¡viga-sigue tsiendo, estable,.,pues.;si;se,.tiene- unf.comportamiento dúctil .se mantiene en esa:sección ,Myb,rnórementando las rotaciones .del .valor que causó la fluencia, De acá para adelante el tramo BG1 se comporta como si fuera una viga simplemente.apoyada, pero con capacidad de soportar a'in más carga. Dejando fijos los .momentos de apoyo, Myb y Myc, se puede aumentar la carjja aumentándose a su vez el valor del momento en el centro de la luz hasta que se forme allí una nueva articulación plástica ( Véase figura N° 10.4 ) y se crea ahora sí un mecanismo de fulla volviéndose la,viga inestable^ así tenga más capacidad deroíación.' ;:' — ' i 1 : . '-.-,-•.•. • • - , * • ' . . . . . . ; • • , . . ' ,
Roberto Rochel Avrad
Análisis Matricial de Estructuras Mf.i
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FIGURAN" 10.4
FIGURA JV" 10,3
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Razonando : en estructuras de hormigón, jugando con el rtsfiíerzo, se.pueden definir los momentos resistentes en estas secciones de manera quo se tenga la secuencia de articulaciones que se desee. . .< \, Otro ejemplo más elaborado y más relacionado con el diseño,sísmico es el de un pórtico de una luz y de un piso ( Véase figura Na 10.5 ), sujeto a una caiga lateral, eliminando ahora el efecto de la carga vertical,
s>:¿3>Mv = F • H
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FIGÚRA;N010;5 Momento de volteó'* MV « ^ ^ M^ + M^1
El momento externo es el producido por la fuerza F por la alt [ira H, este momento se llama momento 'de entrepiso o momento de volteo y por equilibrio es tático debe ser igual a la suma de los cuatro momentos qué se presentan en los 'extremos' de la s 'columnas. Dependiendo de los "valores' individuales ;de resistencia se pvede lograr ! una estructura que resista la misma carga F proporcionándole1 más rigidez1 a las ¡ columnas en la parte superior que en la inferior, y puede1 llegarse al caso de darle rigidez naía'en los apoyos, obteniéndose un pórtico articulado en su -base, pero 'para resistir la- misma; carga 'F habrá que darle a la columna más resistencia en su parte superior. El cortante resistente'de entrepiso es'una' ; propiedad" que :se pueden dar- con diferentes. combinaciones de resistencias individuales. Entonces si por alguna razón conviene propiciar cierto tipo 'de mecanismo puede lograrse a través de dar resistencias adecuadas a las diferentes secciones.
Roberto Roche! Avrad
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Análisis Matricial de Estructi iras
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Razonando.'; en .orna- estructunv de. hormigonaren, general,' existen' Giertas^rekciones -fijadas por-.la estáticavquefdeterminan! >ía,resistencia>y 'piaedeí-proportíioriarseílaiTesistenciay'que se desee alcanzar, surninistrándoJ.e a-. las-; secciones individuales,, capacidades diferentes, de manera que propicien el modo! de falla, quemas conviene, buscando' que si la estructura alcanza el mecanismo de .falla, J legue al.menos desfavorable, uno que delugar.a una falla no frágüVque sea capaz;, de. disipiir; energía -en forma .útil y que no de lugar-a uu colapso, entonces .-.-se puede-, a través de1 una manipulación de las'resistencks individuales de las secciones.proporcionar el mecarúsmodeifalla más conveniente, f s , . • . : .
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Marco rígido ' 'Mccitnlsmo de columna .• Mecanismo de viga ; FIGURA 10t<í Mecanlsmos/de colapso bajo cargas laterales '• •• ' . • '
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Si se i tiene-un'pórtico'Como el'(.le lafigura-N 9 ilO.óa y si se •diseñan las-vigas y columnas suponiendo que se conocen exa(;tamente Jas ¡cargas,, se asumen además que solo actúan las cargas laterales cuya:distribució;i es conocida, como resultado se obtiene cierto diagrama de • momentos, tanto en las vigas homo en las columnas, y se. les proporciona exactamente resistencias iguales a los momentos solicitantes. Si i se. .incrementan rías cargas lateraleSj ,• se i incrementarán . los desplazamientos y se , incrementarán "los momentos ¡.Mata que^-todas las secciones Alleguen ..simultáneamente a la, • fluencia ( esto es posible si a todas las secciones se les proporciona un momento resistente igual al momento elástico ) y se l'brma un mecanismo de falla, Sería una .casualidad que esto • sucediera pues;por simples aproximaciones^ redondeo de .varillas o por simples requisitos constructivos esto:nunca se obtiene en la realidad, siempre hay secciones que quedan más sobradas que otras y además, hay diferencias debidas a la variedad.de,las.propiedades.de! hormigón, ese comportamiento i< leal en realidad nunca se alcanza, . . . . . Se pueden obtener dos comportamientos extremos a partir de los momentos.elásticos,: •
, Se le da a la viga una,resistsncia,proporcionalmente mayor a los momentos elásticos de. , la que se le da a las columnas, por ejemplo a las columnas se les proporciona resistencia exactamente igual a los momentos elásticos y a las .vigas se les aumenta un 20 %,, ¿Que sucede ?.
ítf Reharto Rochel Awad
Análisis Matriclat de Estructuras Al aumentar las cargas, las vigas permanecen elásticas1 y¡ para cierto nivel de carga se • forman articulaciones plásticas en los extremos de^ las columnas, basta que se'formen en un entrepiso, figura N° 10. 6b para que el edificio se vuslva inestable. •
A partir del diagrama de momentos elásticos se le proporciona a las vigas exactamente la resistencia a momento igual a 'los momentos elásticbs, mientras que los de las columnas se aumentan en un 20, 300 40%; lo :que se quiera. Luego se incrementan1 las cargas y cuando las cargas son tales que' los momentos;, aplicados,-los -de las vigas,'•' alcanzan su valor de fluencia se forman articulaciones pía sucas en los extremos de las vigas, si todas se proporcionan iguales estas se fccrmarán simultáneamente o secuencialmente de acuerdo á la resistencia proporcionada, no quiere decir que se forme un mecanismo, simplemente que en las columnas la restricción al giro se limita al momento de fluencia y queda como una barra en voladizo y finalmente, para que k estructura colapse se tienen que formar articulaciones plásticas en las bases de las columnas, figura N° 10. 6c. • ', ' ' " ".''•••' !¡ ' En estos tres ejemplos se logran mecanismos de falla diferentes ,. dependiendo de la forma en que se han reforzado las secciones o de los factores de seguridad, que pueden ser diferenciales o sea, diferentes de un lugar a otro. Ahora: ¿cómo se; puede .¡escoger el mecanismo de falla?, ¿cuál de los tres seria el más ventajoso desde el punto de vista del comportamiento sísmico de las estructuras? es claro-. que el tercero (.Figura N° 10. 6c ) es mucho mejor que el primero y a su vez mucho mejor que el segundo. ¿Por qué?. En el primero se forman todas las articulaciones plásticas al mismo tiempo, el tercero es el mejor por dos razones, tiene • un comportamiento más dúctil y.diwpa más energía, mientras más articulaciones plásticas se necesiten para llegar al mecanismo de colapso se tiene más; disipación de energía y. menos se requiere que disipen individualmente cada una de < las articulaciones, se reparte la disipación entre muchas '01110018 dones y menos 'demanda .de •> ductilidad local se tiene, i<;;•"• •'• ' ; '*;'• ;i •Wic'W El hecho de que una estructura sea altamente redundante, es decir, ique.se formen 'muchas • articulaciones plásticas antes de la falla es una ventaja. Pero uparte; el mecanismo de viga tiene una gran ventaja sobre el de columna, no solo tiene más a'ítiewlaciones plásticas sino su ubicación en secciones que -trabajan a flexión, el hechq de la; figura N° lO.ób es que está regido por las articulaciones plásticas que se forman e^JpK^umnas y además en las columnas de planta baja que tienen una carga
Roberto Rochel Awad
Análisis Maíricial de Estructuras exceder : la 'fotación ; de r fluencia jas (articulaciones?. ,En el mecanismo de columna^ para alcanzar cuatro veces la, deformación de fluencia -global se necesita.un ¡factor, de ductilidad de 125 en la articulación más icriticá (que .gire ,1,25 tveces.su deformación de fluencia), eso es casi imposible de lograr en,:una sección ,de, hormigón cualquiera y menos en una columna que este sujeta a cargaaxial,; , ; -:,> / ' í U i ' '• "<'')' •.••; : • < . • ' , - ;••:• • En .el i mecanismo ¡de viga;; para -.que la estructura, .alcance cuatro .veces la deformación de fluencia se .necesita, que la ¡deformación más, critica tenga ocho veces la deformación de fluencia, es el doble, de todas fonrias es mucho mayor la ductilidad local que la global, pero en el mecanismo de viga es razonable mientras que en el mecanismo de columna está fuera . . .
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Luego, el mecanismo. de, falla desoable es aquel, que involucra los elementos que tengan más capacidad.de rotación y el mayoi1 número. de: articulaciones plásticas, esto, se logra en las vigas. El punto básico es que se 'puede escoger el mecanismo de falla, tan sencillo como se decia> aumentando el factor de s-eguridad en el diseño de las columnas y manteniendo al mínimo exigido por el código en las • vigas, . asi se forza a que si las cargas exceden las previstas el mecanismo de falla es el de viga y no el: de columna,
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Igual que en estos casos existen una serie de requisitos de estática, que si se cuida la ' resistencia relativa, puede lograige con ello que se presenten los modos de falla que se deseen, es decir, se/ puede ¡lograi; que una viga. falle por flexión y no. por cortante dando ciertas resistencias relativas a corlante y a flexión de manera que sea imposible que una viga falle por cortante porque primelo va a fallar por flexión, de ese modo se forza que el mecanismo que se presente sea el- que se considere más conveniente, Más difícil de entender entre el diseño de una estructura en una zona sísmica y en una zona no sísmica es el hecho de que en oí diseño de la estructura sísmica los resultados' del análisis elástico nos sirven esencialmente, como una guía 'inicial pero que finalmente las resistencias para las. cuales se diseña son o pueden ser muy distintas de las que resultan de un análisis elástico y son distintas porque se imanipulan los factores de seguridad de para de forzar cierto mecanismo de falla y de evitar otros que son ciertamente indeseables, Se debe tener en cuenta en el diseño de una estructura de hormigón que deben cumplirse ciertos requisitos: . . .
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Dar cierta estructuración y ciertos tamaños a los elementos de manera que ante cargas sísmicas los desplazamientos laterales se mantengan dentro de ciertos límites y ello es lo que finalmente determiní. los tamaños de las secciones y normalmente la necesidad de elementos de rigidiaacion, que pueden ser muros, contra vientos, etc., para 'poder limitar los desplazamientos laterales a sus valores admisibles.
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Roberto Rochel Awad
Análisis Matricial de Estructuras
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dimensionando, de articulaciones plásticas y de'fluencias, etc., ¿qué validez tiene el usar un método elástico para luego alterarlo?. Si se .reflexiona un poco sobre estos conceptos que hemos visto se puede'llegar a la coni ilusión 'que ; si se proporcionara exactamente la resistencia''dada'en-.los resultados üel análisis'elástico se1-tendría un' mecanismo de colapso claramente definido por la formación simultánea de;'' articulaciones plásticas en todas las secciones críticas y que sería perfectamente válido, aún con un criterio de diseño al límite, reforzar con los resultados del análisis elástico llegaría asi a un mecanismo de colapso con h presentación simultánea^ de articulaciones plásticas, •- • •<••••'.•• • • • • . ¡ ' • • » - . - - \i ''•','
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En diseño sísmico conviene diseñar con los resultados del .análisis elástico, se diseñan las secciones en las cuales se acepta que se formen articulaciones plásticas, esas secciones se diseñan con el momento elástico exacto y con el factor de, seguridad mínimo dado por el código. Pero después, para las secciones en que no se dése;! un comportamiento inelástico, se procede de otra manera; puede ser de dos formas diferentes: una, que es la manera más simplista, es usar los mismos valores del análisis elástico: pero aumentando los'factores de seguridad y ésto es mucho ¡más sencillo por usar resultados elásticos/ Esto no-íes estrictamente riguroso porque no se puede así asegurar que se forme todo el mecanismo•, previo ( articulaciones deseadas ) pues no se sabe si el factor de seguridad del 20 ó 30% es suficiente. Existe otra alternativa y es ver que elementos mecánicos se introducen'en las secciones que. se desean proteger •cuando las 'otras llegan a la fluencia y disonar para estos elementos con>un factor de seguridad. Esta es una especie de diseño plástico O'lde'diseño en dos -etapas;' primero se diseñan por métodos elásticos1 las-secciones que se- desea•••!se plastifiquen'y después? cuando se plastifiquen estas secciones, se ve que elementos mecánicos corresponden a las otras y se diseñan para ellas. • ' • ' • ' Este segundo procedimiento lo recomienda el ACI, en Méxic o se aceptan los dos, el segundo implica revisar el equilibrio: parte por parte y diseñar laS'VÍg;is y columnas por cortante, etc.¿' para todos los modos de falla frágiles, de niodo que cuando lleguen los otros a la falla ver-last> fuerzas que se introducen y diseñar para'ellas, es un 'diseño en dos etapas, una primera. elástica y una segunda plástica. Este concepto no tiende a tener tantos diseños como vigas y columnas haya, siempre en diseño lo que Se:háce es tender íi uniformizar los tamaños de los refuerzos por razones constructivas, eso se puede hacer dentro de estos conceptos,-Iq que,hay.i que mantener son ciertos valores relativos de la resistencia para que de todas maneras se propicien ciertos mecanismos de falla.
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10.3 ALGUNOS CONCEPTOS SOBRE DISEÑO PLÁSTICO 10.3.1 CORTANTE EN VIGAS
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Si se aisla un tramo de viga de un pórtico, por,; efectos de la carga lateral, se presentan unos momentos.de extremo,.de signo contrario, que genera un cortante'(figura N° 10.7). Roberto Roche! Awad
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Análisis Matricial de Estrucíunis
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FIGURA 10.7 Cortante sísmico en vigas
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La fuerza cortante, generada por cargas laterales, es igual tUUf) suma ,de:los momentos: de • extremo divididos por por la longitud. Esto es estática, esta relación nos dice que el cortante que ge introduce por sismo es igual a la suma de'los momentos 'que, éste introduce divididos', por la longitud de la viga. Entóneos: ¿Cuál es el máximo cortante que se puede introducir por sismo?.'1' •'••' '•
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El máximo cortante que se puede mtroducir por sismo es el que corresponde cuando los momentos, de extremo Mi y Md alcanzan subvalores de fluencia.' En el momento, en el cual Mi alcanza su valor de fluencia ye no puede aumentar más, se incrementa entonces Md hasta que alcance su valor de fluencia, fin este caso:, k;suma de Mi y Md no. puede pasar de este valor y por lo tanto el cortante que se introduce en la: viga ¡nunca, lo podrá exceder, independientemente de que tan fuerte sea el sismo, al que corresponde la suma de los momentos de fluencia divididos por L. ¿Qué quiere decir esto? Los momentos de fluencia deben 'ionocerse pues se sabe cual filó el refuerzo1 que se colqcó en esas secciones y con base en ello pueda .calcularse el momento que soportan, luego se conoce cual es él valófdel cortante máximo'que-se'puede: introducir y es igual a-la suma de estos momentos divididos por L, esto por sismo. .
Roberto Roche! Awad
Análisis Maíricíal de Estructuras
ül seguridad, 1,25 por ejemplo, y se diseñan los estribos para ,que soporten estos cortantes se logra que esta viga nunca pueda fallar por cortante, independientemente de que tan pequeño o que tan grande sea el sismo, por equilibrio estático esa: vi ga no podrá fallar por cortante pues el que se introduce está limitado por la fluencia de los extremos, es decir, se tiene allí como un fusible que impide que entre más cortante del que puede resistir la viga pues antes falla por flexión.
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Si se diseña con este concepto' se esta forzando a qut} esa viga ¡tenga un modo de falla dúctil o
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plásticas por flexión y nunca va a tener problemas de cortante,
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Para hacer lo anterior sería necesario tener que revisar viga per viga, y de acuerdo al refuerzo que se coloque por flexión determinar el refuerzo que se necesita a cortante.-para garantizar que no haya falla por cortante. Si no se'desea revisar viga por viga hay una segunda alternativa: se usa el cortante que se obtiene del análisis elástico con un factor de seguridad de (2) para el cortante por sismo, es decir, se emplea un 60% más de factor de seguridad con el cual se puede esperar que se presenten primero las articu lacíones plásticas y que nunca falle por cortante, En resumen, se pretende evitar que la falla que rija el comportamiento inelástico de este elemento sea un modo de falla frágil. En la época moderna ;es muy fácil esta revisión por computador pues es fácil formular un algoritmo que una voz se diseñe1 por flexión revise todos estos factores. Los momentos de fluencia deben calculixse con el refuerzo real que se va a colocar.
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"En las vigas, las fuerzas de diseflo para cortante deben determinara/ de la consideración de las fuerzas.,.¡., estáticas que actúan sobre el elemento en las caras de los nudos. Debe suponerse que momentos de sentido opuesto, correspondientes a la resistencia probable a la flexión, actúan en las caras de los nudos y que el elemento esta cargado con la carga aferente vertical a todo í lo largo de la luz. Los momentos correspondientes a la resistencia probable deben calcularse usando las propiedades del miembro en la cara de la columna sin el coeficiente de reducción de resistencia y coi i el esfuerzo en el acero de tensión igual a 1,25 fy", Es decir se emplea un tactor de seguridad de 1,25/0,9 O = 1,39, solo se acepta el primero de los procedimientos anteriormente explicados. ' • •. i: •
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Se permiten las siguientes dos,alternativas;de diseño: a) "Lw suma del cortante asociado.cow el desarrollo de la» resistencia) nominales a momento, sin incluir el factor de reducción da resistencia, en los extremos restringido» de la luz libre del elemento y el cortante Isostatico calculado para las fuerzas verticales mayoranas". Es decir se emplea un factor d« seguridad de 1,00/0,90 => 1,11
Roberto Rochel Awad
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Veamos que recomienda el CCGSR:
Para zonas de riesgo sísmico intermedio Sec. ,G,20,2
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Análisis MRtricial de Estructura: b) "El cortante máximo obtenido dejas combinaciones de mayoradómde las» cargas det diseño que Incluyan el efecto sísmico tomado iJ doble del valor prescrito en este Código, Esta operación puede llevarse a cabo utilizando un factoii de seguridad de 2,0 para el factor de carga sísmica". Es decir se emplea un factor dé seguridad de 2,00, un 80% más de factor de «egútidad;irespexcto a la alternaüca a.
10.3.2 MOMENTOS EN COLUMNAS í Similarmente a lo1 anteriormente e «puesto, puede razonarse para las columnas. Se tiene en la figura N° 10.8'qüe'el momento que se introduce por sismo en las columnas es igual a los momentos de la vigst.' >:V' Vcol
Vcol
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Posición supuesta del punto dé inflexión
FIGURA 10.8 Cortante sísmico en columnas
¿Cuál es el máximo momento que sepuede introducir por sismo en estas columnas? El máximo momento que un sismo puede introducir en las columnas es el momento de fluencia de las vigas, luego si se diseñan estas columnas no con el momento obtenido del análisis elástico sino que una vez determinado cual va a ser el refuerzo de las vigas se calcula Su momento-resistente, eso momento se reparte entre las columnas y estas se diseñan con un factor de seguridad, • 1,20 ¡por ejemplo, asi se garantiza que nunca se va a alcanzar el momento de fluencia en las • colu mnas porque primero van a fluir las vigas, y al fluir' las vigas, por intenso que sea un sisrao, se presenta allí un fusible que impide introducir en las columnas un momento superior at que la viga puede resistir. En México se usa.un factor de seguridad de 1;50.' i Veamos que recomienda el CCCSR: r j
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Para zonas de riesgo sísmico alto Sec. C.21.7,2.1 •I
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"La resistencia a la flexión» de las coluí naas debe cumplir la ecuación: ZM columnas» 1,20 *• EM vigas".
Para zonas de 'riesgo sísmico intei medio NO existe especicación alguna
Roberto Rochel Awsd
Análisis Matricial de Estructuras
1042
10.3.3 CORTANTE EN COLUMNAS El anterior concepto puede utilizarse para el análisis; de), portante, Suponiendo que en las columnas los puntos de inflexión se presentan a media altura, sa tiene en su punto medio una articulación, pero más que una articulación ese es un punto de inflexión en la columna, entonces por equilibrio, de la figura N° 10.8, se tiene quo el cortante en la columna multiplicado por la altura H es igual a la suma de los momentos'en las vigas,¡entonces si se determina cual es el momento resistente negativo de un lado y positivo del otro, se suman y se dividen por H, se obtiene asi el máximo cortante; que se puede introducir, en las cgl,umnas y si se diseña para ese cortante con un, adecuado i factor de,seiguridad se garantiza que esa columna no puede fallar por cortante porque las vigas no le podrán introducir más cortante que el que alcance su capacidad. Este diseño se llama diseño por capacidad, se analiza para qi.e se alcance la capacidad del mecanismo de falla que se busca y después obtener por oquilibrio las fuerzas que se introducen en los otros elementos. ¡
10.3.4 UNIONES VIGA-COLUMNA. Los problemas de las uniones viga-columna son de varios tilmos, uno es de confinamiento para lo cual se debe prolongar el refuerzo de la columna denlro del nudo pero el problema más crítico es el del anclaje de las varillas de las vigas en el nudo, el anclaje se vuelve crítico en los nudos extremos. . ..-..../ ..... . • _ _ , . Usualmente se tiene una viga con refuerzo importante que tiene que terminar dentro de. la columna, el refuerzo termina con un tramo recto dentro de ella y luego con un gancho de 90° estándar, figura N°10.9a. Si la columna no tiene suficiente profundidad la longitud del b;amo recto es insuficiente para, anclar la barra, no se puede olvidar que en el extremo se. va a: desarrollar la máxima resistencia, es la sección crítica, allí es donde se'va a fluir y donde la tensión del acero alcanza su valor de fluencia, fy, o sea, que en el anclaje se va a pasar de una tensión fy a "O", ¡,
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FIGURA 10.9 Anclaje del reftierzo longitudinal en vigas
Roberto Rochel Awad
Análisis Matricial de Estructuias . . , . . . . - •• . . : •
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hay que anclar una fuerza, igual;al área, de la barra por fy,; por adherencia dentro del;nudos esto no se puede hacer con la longitud vertical del gancho, por mucho que se prolongue está parte (50 cm ó 1 m) no se puede'emplear como anclaje porque el hormigón se aplastaría en el doblez de la barra, al cambiar d .ángulo-de inclinación de la fuerza se introduce.una fuerza, diagonal que aplastaría al hormigón, se permite que solo una fracción de la fuerza se tome con la parte vertical y el resto se debe tomar con una longitud horizontal, figura N° 10.9a. Para fy = 4.200 kg/cm2, fe = 24¡> kg/cm2 y para,una barra de 3/4" se tiene Ldh = 31 cm, o sea que una columna de 38 cm s(,i necesita para poder anclar este refuerzo. En un edificio de mediana altura se tienen usualriieinte vigas con refuerzo de 1", para los materiales anteriores Ldh = 41 cm, es decir ahora se-necesita una columna de 48 cm para poderla anclar o se tendría que hacer una prolongación de la viga, figura N°10.9b, lo cual es muy deseable desde el punto de vista del comportamiento al producir descongestión del refuerzo que facilita el vaciado, se evitan tensiones y concentración de esfuerzos en los dobleces, desde el punto de vista estructural este sería el nudo ideal pero estética y constructivamente muchas veces no se puede, en ese caso habría que recurrir a un anclaje mecánico que consiste en soldar de punta una varilla contri ¡ una placa extrema de manera que esté presionando contra el hormigón,/figura N° 10.9c, revisando no sobrepasar la, tensión dé aplastamiento .del hormigón. Si no se puede hacer una de estas dos últimas alternativas hay que aumentar las dimensiones de las columnas necesariamente.
10.3.5 PROBLEMAS DE ADHERENCIA El problema de adherencia es tarlo más crítico en columnas interiores que en exteriores, en las exteriores el problema es de anclaje^ En columnas interiores el problema no es de anclaje pero si de adherencia, en ellas falla la adherencia, pero esto no quiere decir que la barra se suelte, en un nudo interno si se presenta la falla por adherencia sigue habiendo refuerzo en las vigas, a ambos lados del nudo, pero nada se cae o se suelta, simplemente hay pérdida de adherencia.
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FIGURA 10.10 Fallas por adherencia
Analizando la situación de equilibrio'de'una varilla superior ó inferior en un nudo, de un lado se tiene momento negativo y del otro momento positivo, esto debido al sismo, luego la varilla a un lado está sujeta a tracción y del otro a compresión, ¿Qué quiere decir esto?, que en una barra se debe pasar de un fy a tracción a un fs, en el limite, de compresión, transición Roberto Roche! Awntl
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Análisis Matricial de Estructuras
10-44
que debe hacerse solo en el ancho de la columna, luego las tensiones de adherencia que se tienen que generar allí son elevadas porque la varilla tiene que cambiar de tensión en el ancho de la columna o del muro. ¿Qué sucede si no hay suficiente longitud como para que las tensiones de adherencia que se generan sobre la varilla puedan permitir ese cambio? Lo que sucede es lo siguiente: si se necesita una longitud de adherencia para que el acero desarrolle toda su tensión, al ser el espesor de la columna insuficiente en la cara opuesta del nudo la barra va a seguir a tracción, figura N°1Q.10, y esta varilla que teóricamente debería estar trabajando a compresión para resistir ese momento no sirve para compresión porque está vencida la adherencia. Esto es desfavorable pero no es \\n problema de anclaje, en este caso la sección no es tan dúctil, ni tan favorable como deberla de ser. Si se desea garantizar el cambio de tensiones se deben respetar estas secciones. Segi'm el reglamento mexicano:
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necesitar una fluencia en tensión, aunque teóricamente es posible. Los requisitos para regular el espesor de las vigas son correctos, pero en la práctica no se cumple porque en una losa de 30 cm es ilógico que se tenga tunsión a un lado de la columna y compresión en el otro, en 30 cm no alcanza la varilla ¡i cambiar de signo, para que realmente se tenga un efecto de marco se necesita un sistema de entrepiso que tenga cierta altura que permita ese cambio de signo, si no hay marco la columna no cambia de curvatura.
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10.3.6. ESTRUCTURACIÓN. La estructuración a base de pórticos tiene muchas limitaciones para su uso en edificios, primero es una estructura relativamente flexible con lo coal es dificil de cumplir los requisitos de desplazamientos laterales permisibles y se nece sita llegar a columnas y vigas bastante grandes para cumplir con ellos y segundo los momentos que se presentan son elevados y los requisitos que se tienen que cumplir también. Resulta mucho más eficiente, en estructuras de varios pisos,, en resistir buena, parte de la carga lateral con elementos :que, son mucho más resistentes y. rn^s. rígidos como son los Roberto Rochel Awad
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Análisis Matrícial de Estructuras
10-15
contravientos y/o muros de rigidez o de cortante,- que por su gran altura (H) tienen una resistencia y una rigidez mucho i tías elevadas, El parámetro básico para el diseño de muros es su relación altura - longitud, para muros esbeltos rige la flexión y como las cargas axiales son normalmente bajas comparadas con los momentos se tiene que determinar el refuerzo en los extremos de los muros para í/esistir esa flexión, se deben revisar también por cortante y por deslizamiento en la base, pitra lo cual se exige un refuerzo rninimo que pase por las juntas de vaciado para resistir el deslizamiento. Las cargas axiales de tensión o d a compresión que hay en los extremos, hacen llegar no a la necesidad pero si a la conveniencia de tener columnas en los extremos o ensanchamientos en donde se puedan alojar verdadet as columnas en donde se pueda colocar el refuerzo que se necesita, es valido, si la carga aúal no es muy alta, hacer una columna dentro del muro o aprovechar las uniones con los re uros transversales; esto es válido solo hasta cierto límite de esfuerzos, si las fuerzas de tensión y de compresión son muy altas hay que ir a la solución inicial. Los códigos exigen que ui la carga axial sobrepasa de cierto valor el refuerzo en las esquinas debe cumplir con los mismos requisitos de columnas, refuerzo mínimo longitudinal y transversal, separación, de estribos, etc., si se necesita algún hueco en el muro para pasar algún ducto debe reforzarse cuidadosamente a la periferia de los huecos para evitar fallas locales. En resumen : la combinación de una estructura de marcos dúctiles con muros de hormigón se puede decir que es la estructuí ación ideal para edificios de cierto número de pisos porque se combinan las ventajas de los dos sistemas, una es la alta ductilidad que se puede proporcionar con los pórticos y oí ra es la resistencia y rigidez a cargas laterales que esta dada esencialmente por los muros, En lugar de forzar el tamaño exagerado de columnas y vigas, además de forzar que sólo con pórticos dúctiles se tome la fuerza sísmica en zonas de alta sismisidad, se debe llegar a lí, solución natural para obtener una eficiente estructura resistente a sismo con una combinación abundante de muros en ambas direcciones con pórticos dúctiles para evitar prob] emas de colapso.
Roberto Roche! Awad
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c r? Este libro se termino'de imprimir el dia 2.1 de julio de 1993 en el Centro de Publicaciones de la Universidad'de EAFIT Medellfn - Colombia
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