Permeabilidad (K) y radio hidráulico (r) Ley de Darcy. El concepto de permeabilidad se introduce en la ley de Darcy, quien experimentalmente comprobó que el caudal de agua por unidad de superficie que atravesaba un medio poroso era proporcional al gradiente de presión entre las dos caras del mismo. Si se considera una capa delgada de un medio poroso de espesor infinitamente pequeño ( dx ), ), a través del cual circula perpendicularmente a sus caras un caudal volumétrico q de un fluido de viscosidad µ debido a un diferencia de presión estática (dP), (dP), la ley de Darcy generalizada (suponiendo que la dirección de circulación es horizontal) viene expresada por la ecuación [1].
Siendo S la sección del sólido normal a la dirección de desplazamiento del fluido y k el permeabilidad de la lámina porosa considerada. Para el caso de fluidos que circulan a través de una pieza cilíndrica, de longitud L y sección S, debido a un diferencial de presiones (P 1 - P2), al integrar la expresión generalizada de la ley de Darcy [1] se obtiene la ecuación [2].
donde P1 y P2 son la presión del fluido a la entrada y a la salida del medio poroso.
La ley de Darcy tiene en cuenta la interacción con el medio a través del cual fluye el fluido, si se utiliza la ley ésta para describir el flujo a través de estos capilares, se tiene:
El volumen poroso es igual a la suma del volumen de cada uno de los capilares y viene dado por la siguiente expresión:
La porosidad del sistema puede ser escrita según la sig uiente ecuación:
Ley de Poiseuille.
Esta ley demuestra que la velocidad promedio a través de un tubo capilar es proporcional al cuadrado del diámetro de un tubo. Permite determinar el flujo laminar estacionario ᶲV de un líquido incompresible y uniformemente viscoso (también denominado fluido newtoniano) a través de un tubo cilíndrico de sección circular constante. Esta ecuación fue derivada experimentalmente y se representa por la siguiente expresión:
donde V es el volumen del líquido que circula en la unidad de tiempo t, vmedia la velocidad media del fluido a lo largo del eje z del sistema de coordenadas cilíndrico, r es el radio interno del tubo, ΔP es la caída de presión entre los dos extremos, η es la viscosidad dinámica y L la longitud característica a lo largo del eje z. La ley se puede derivar de la ecuación de Darcy-Weisbach, desarrollada en el campo de la hidráulica y que por lo demás es válida para todos los tipos de flujo. La ley de Hagen-Poiseuille se puede expresar también del siguiente modo:
donde Re es el número de Reynolds y ρ es la densidad del fluido. En esta forma la ley aproxima el valor del factor de fricción, la energía disipada por la pérdida de carga, el factor de pérdida por fricción o el factor de fricción de Darcy λ en flujo laminar a muy bajas velocidades en un tubo cilíndrico. La derivación teórica de la fórmula original de Poiseuille fue realizada independientemente por Wiedman y Neumann.
Las dos características principales que debe poseer todo yacimiento son la porosidad y la permeabilidad. La permeabilidad no puede existir si no existe la porosidad, por lo tanto existe una relación entre ambas propiedades, la cual no siempre es universal. Consideremos un medio poroso con una sección perpendicular al flujo de área A, una longitud L y n capilares rectos de radio r y longitud L, que atraviesan todo el medio poroso. El flujo a través de tubos capilares puede ser descrito por la ley de Poiseuille:
η = µ viscosidad dinámica. En este caso el flujo es también proporcional al gradiente de presiones y la constante depende de la geometría del tubo y de la viscosidad del fluido, pudiendo expresar la Ley de Poiseuille mediante la siguiente ecuación:
Suponiendo flujo laminar y que el medio poroso está formado por un sistema de poros cilíndricos no tortuosos de igual longitud y radio, a partir de las leyes de Darcy y Poiseuille se puede obtener una relación entre la permeabilidad y el radio de poro. Suponiendo que los poros del suelo puedan considerarse como conductos cilíndricos, en la ley de Poiseuille encontramos información acerca de la dependencia de la permeabilidad del suelo con sus características. Igualando las ecuaciones 2.50 y 2.51 se tiene:
Sustituyendo la ecuación 2.53 en 2.54 y despejando el radio de los capilares se tiene:
r = radio hidráulico o radio capilar (m) 2 k = Permeabilidad del medio poroso (m ) ᶲ = Porosidad Según la ecuación anterior, la permeabilidad y la porosidad están relacionadas mediante el radio de los capilares del sistema (capilares uniformes).
