ELECTROSTÁTICA
4.1. Generación de carga eléctrica. La esencia de la electricidad es la carga eléctrica. Esta cualidad existe en dos clases distintas, que se denominan cargas positivas y negativas. Las cargas eléctricas de la misma clase o signo se repelen mutuamente y las de signo distinto se atraen. En realidad, la carga eléctrica de un cuerpo u objeto es la suma de las cargas de cada uno de sus constituyentes mínimos: moléculas, átomos y partículas elementales. Por ello se dice que la carga eléctrica está cuantizada. Además, las cargas se pueden mover o intercambiar, pero sin que se produzcan cambios en su cantidad total (ley de conservación de la carga). En el estado normal de los cuerpos materiales, las cargas eléctricas mínimas están compensadas, por lo que dichos cuerpos se comportan eléctricamente como neutros. Hace falta una acción externa para que un objeto material se electrice. Si acercamos un objeto con carga a una superficie conductora, aún sin contacto físico los electrones se mueven en la superficie conductora. Para explicarlo mejor podemos poner como ejemplo dos esferas metálicas aisladas A y B, las cuales no tienen carga y se encuentran en contacto, de modo que forman en efecto un solo conductor sin carga. Posteriormente se acerca una barra con carga positiva a la esfera B. La barra repele los protones del metal y el exceso de carga positiva se desplaza a la esfera contigua, con lo cual la primera esfera queda con exceso de carga negativa. La carga en ambas esferas ha sido redistribuida por lo que se dice que ha sido inducida en ellas. Como la barra con carga no toca las esferas, conserva su carga inicial.
La inducción es un proceso de carga de un objeto sin contacto directo. Cuando permitimos que las cargas salgan de un conductor por contacto, decimos que lo estamos poniendo a tierra, en tierra, en la situación C se muestra que la carga negativa que está en exceso se libera a través de la mano, mientras que en D, luego de alejar la mano, se verifica que la esfera queda con carga positiva. Durante las tormentas eléctricas se llevan a cabo procesos de carga por inducción. inducción. La parte inferior de las nubes, de carga negativa, induce una carga positiva en la superficie terrestre. Benjamín Franklin fue el primero en demostrar este hecho a través de su famoso experimento de la cometa, que le permitió comprobar que los rayos son un efecto eléctrico. Franklin descubrió también que la carga fluye con facilidad hacia o desde objetos puntiagudos y así se construyó el primer pararrayos La inducción no se limita a los conductores, cuando acercamos una barra cargada a un aislante no hay electrones libres que puedan desplazarse por el material aislante; lo que ocurre es un reordenamiento de las posiciones de las cargas dentro de los propios átomos y moléculas.
253
ELECTROSTÁTICA
Por inducción un lado del átomo o molécula se hace ligeramente más positivo o negativo que el lado opuesto por lo que decimos que el átomo át omo está eléctricamente polarizado. polarizado . Si, por ejemplo, la barra es negativa, entonces el lado positivo del átomo o molécula se orient a hacia la barra y el lado negativo queda orientado en sentido contrario.
Se presenta el fenómeno de polarización cuando trozos de papel neutros son at raídos por un objeto cargado car gado o cuando se coloca un globo cargado en una pared.
254
ELECTROSTÁTICA
4.1.1. EJERCICIOS RESUELTOS 1.
¿Por medio de cuál de las siguientes pruebas se puede certificar que un objeto está definitivamente cargado de manera positiva? a) Mostrar que el cuerpo es atraído por una carga negativa. b) Mostrar que el cuerpo es repelido por una carga positiva. c) Hacer cualquiera de las pruebas anteriores. d) Ninguna de las pruebas certifica que el cuerpo está cargado positivamente.
Respuesta: c) 2. Se frotan entre sí dos cuerpos neutros M y N. El cuerpo M se carga negativamente porque algunas cargas: a) Negativas de N pasan a M. b) Negativas de M pasan a N. c) Positivas de N pasan a M. d) Positivas de M pasan a N.
Respuesta: a) 3. Si frota un trozo de envoltura plástica sobre su camiseta de algodón, ¿cuál se vuelve positivamente cargada? a) La camiseta de algodón. b) La envoltura. c) Ambas. d) Ninguna, ambas son aisladores y por lo tanto las cargas permanecen en su sitio.
Respuesta: b) 4. Las figuras A – E muestran una sucesión de eventos, avanzando el tiempo desde A hasta E. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) En C y en E la esfera conductora tiene una carga positiva neta. b) En C y en E la esfera conductora está sin carga. c) En C la esfera está descargada, pero en E está cargada positivamente. d) En C y en E la esfera cconductora onductora está cargada negativamente. + + + + + +
A
B
+ + + + + +
C
+ + + + + +
D
E
En la figura siguiente se muestra qué ocurre en la sucesión de eventos. En A la esfera está eléctricamente neutra. Una carga es neutra si se tiene el mismo número de electrones que protones. En B se acercan los electrones de la esfera hacia los protones de la barra, quedan alejados los protones que antes estaban junto a los electrones; pero al no haber contacto entre la esfera y la barra, la esfera sigue teniendo carga neta neutra. Al conectarse la esfera a tierra, los electrones suben de tierra y neutralizan a la carga positiva que estaba en el extremo de la esfera, por lo tanto la carga neta de la esfera ahora es negativa. En D se desconecta la esfera de tierra, hecho que no afecta para nada la situación anterior, por lo tanto, la carga neta de la esfera sigue siendo negativa. En E se retira la barra de la esfera de manera que los electrones se ubican en la parte exterior de la esfera conductora, quedando así cargada n egativamente la esfera.
255
ELECTROSTÁTICA
++ + ++ +
A Respuesta: d)
---
+ + + + + +
B
---
+ + + + + +
C
---
D
+ + + + + +
- - - --
E
5. Un cascarón esférico conductor tiene una carga neta de – 4 µC. Se introduce al interior del cascarón una esfera pequeña que tiene carga eléctrica de + 2 µC. Si la pequeña esfera hace contacto con la superficie interior del cascarón esférico, determine el valor de la carga eléctrica que aparece en la superficie exterior del cascarón esférico. a) – 2 µC b) – 6 µC c) + 4 µC d) – 4 µC e) + 2 µC
En la primera situación la carga neta del cascarón reside en la superficie exterior del mismo (Existen dos superficies, la interior y la exterior del cascarón), en la segunda situación mientras no existe el contacto entre los dos materiales se induce una carga de – 2 µC en la superficie interior y + 2 µC en la superficie exterior, pero al haber una carga neta de – 4 µC la suma de las cargas en el exterior es de – 2 µC. En la tercera situación, al haber contacto entre los materiales, la carga que estaba inducida y la carga de la esfera introducida suman cero, de manera que la carga neta, que es igual a la suma de la carga de la superficie interior más la carga de la superficie exterior, es – 2 µC.
– 4 µC
– 4 µC + 2 µC - 2 µC
+ 2 µC
- 2 µC
Respuesta: a) 6. Dos esferas conductoras A y C eléctricamente neutras se encuentran separadas como se muestra en la figura (1). Una esfera cargada positivamente, B, se coloca entre las dos esferas sin hacer contacto con ellas. Seguidamente la esfera C se conecta a tierra, figura (2). Luego la esfera C se desconecta de tierra y luego se retira la esfera B, figura (3). Indique como quedan cargadas finalmente las esferas A y C.
256
ELECTROSTÁTICA
+ +
A
+
+ +
B+
C
A
+ +
+
B+
C
+ +
Figura 1
Figura 2
+ +
A
+
B+
C
A
C
+ +
Figura 3
a) b) c) d) e)
Esfera A
Esfera C
Neutra Neutra Neutra Positiva Negativa
Negativa Positiva Neutra Negativa Negativa
En la figura 1 se muestra la inducción de las cargas por efecto del acercamiento de la carga positiva de la esfera B, en la figura 2 la esfera C queda neutralizada por la parte derecha. En la figura 3 mientras no se retire la carga positiva que está en la esfera B las cargas permanecen inducidas. En la última situación, luego de retirar la carga positiva, la esfera A permanece neutra al juntarse nuevamente las cargas positivas y negativas, mientras que C queda cargada negativamente.
++ - + + A + +
+ + +
B+
+ +
-
--
++ + C + + +
++ - + + A + +
Figura 1
++ - + + A + +
+ + +
B+
+ +
-
+ + +
B+
+ +
-
--
C -
Figura 2
-
--
C -
A
-
C -
-
Figura 3
Respuesta: a)
257
ELECTROSTÁTICA
7. Una carga de + 8 µ C se introduce en el interior de un cascarón metálico que tiene una carga neta de – 5 µ C, sin tocarlo, como se muestra en la figura. Seleccione la opción que muestra correctamente la distribución de carga eléctrica.
- 5 µC + 8µ C
- 5 µC
- 8 µC
- 3 µC
+ 3µ C
+ 8µ C + 5µ C
+ 8µ C - 5 µC
+ 8µ C - 8 µC
+ 8µ C - 8 µC
A
B
C
D
- 3 µC
E
La carga positiva + 8 µ C induce una carga negativa de – 8 µ C en la superficie interior, y al mismo tiempo una carga + 8 µ C en la superficie exterior. Debido a que en la superficie exterior reposa la carga neta, allí había una carga neta de – 5 µ C, la misma que sumada a los + 8 µ C que se inducen suman + 3 µ C.
Respuesta: c)
258
ELECTROSTÁTICA
Las figuras muestran la secuencia de la carga de un conductor neutro por inducción.
A
-
-
-
B
C
D
E
8. El conductor tiene una carga neta positiva en la figura B. a) Verdadero b) Falso 9. Electrones suben a través de la conexión a t ierra en la figura C. a) Verdadero b) Falso 10. La carga eléctrica fuera del conductor es cero en la figura D. a) Verdadero b) Falso 11. El conductor tiene una carga neta en la figura D. a) Verdadero b) Falso 12. El conductor tiene una carga neta positiva en la figura E. a) Verdadero b) Falso En el gráfico siguiente se muestra lo ocurrido en la sucesión de eventos de manera que las respuestas se colocan en función de ello. Primero se induce una carga positiva en la superficie interior del cascarón, y una carga negativa en la superficie exterior del mismo. En la figura C se neutraliza la carga negativa que existía en la superficie exterior. En D no ocurre nada mientras permanezca la carga negativa cerca de la superficie interior, sin que haya contacto. En E la carga positiva que existía en la superficie interior pasa a la superficie exterior. Se han colocado varias cargas positivas en el exterior, para indicar que toda la carga se distribuye en el exterior del conductor.
+ + -
+
-
+
+
+
+ +
+ +
A B C D E 8. Falso. Porque la carga neta es la suma de la carga interior más la exterior, lo cual es cero.
9. Falso porque al haber una carga negativa inducida en la superficie exterior, y luego conectar a tierra, los electrones bajan a tierra. 10. Verdadero porque se neutralizó la carga. 11. Verdadero, porque la carga neta es la suma de la carga exterior más la carga interior, por lo tanto queda positiva. 12. Verdadero.
259
ELECTROSTÁTICA
4.1.2. EJERCICIOS PROPUESTOS 1.
El diagrama muestra tres esferas metálicas neutras, x, y, z, en contacto y sobre soportes aislantes.
x
y
z
¿Cuál de los siguientes diagramas representa mejor la distribución de carga sobre las esferas cuando una barra cargada positivamente se acerca a la esfera x, pero sin tocarla? + + + + +
x ++-
y ++-
z ++-
+
+ + + + +
x
y
z
++ ++
++-
---
+
A
+ + + + +
x -+ -+
y -+ -+
+
B
z -+ -+
+ + + + +
x
y
z
---
-+ -+
++ ++
+
C
D
2. En el siguiente experimento: 1) Se colocan dos esferas metálicas, 1 y 2, descargadas, sobre soportes aislantes en una mesa: 2) Acercamos una tercera esfera, cargada positivamente a la derecha de la esfera 2, sin hacer contacto con ella; 3) se une con un alambre conductor las esferas 1 y 2; 4) Retiramos el alambre conductor; 5) Se retira la tercera esfera. ¿Cuál es el estado de las esferas 1 y 2 después del experimento? a. Las esferas 1 y 2 quedaron cargadas positivamente. b. Las esferas 1 y 2 continúan aún sin carga. c. La esfera 1 queda cargada negativamente, mientras que la esfera 2 queda cargada positivamente. d. La esfera 1 queda cargada positivamente, mientras que la esfera 2 queda cargada negativamente. e. Las esferas 1 y 2 quedan cargadas negativamente. 3. Cuando una barra de vidrio cargada eléctricamente se acerca a una esfera metálica hueca suspendida de un hilo no conductor, la esfera será atraída a la barra debido a que: a. La barra es mucho más grande que la esfera. b. La barra remueve electrones de la esfera. c. La carga eléctrica produce un campo magnético que atrae a la esfera. d. La carga sobre la barra produce una separación de cargas en la esfera. e. Algunos de los protones de la barra se han entregado a la esfera.
260
ELECTROSTÁTICA
4. Un cascarón conductor esférico tiene una carga neta de + 4 µ C. A través de un pequeño agujero hecho en la esfera se introduce a su interior, son hacer contacto con su superficie, una partícula con carga eléctrica de – 2 µ C. Determine el valor de la carga eléctrica que aparecerá en la superficie interior y exterior.
Superficie interior
Superficie exterior
a)
-2µC
+ 6 µ C
b) c)
+2µC
+ 2 µ C
-4µC +2µC
+ 8 µ C + 6 µ C
+2µC
+ 4 µ C
d) e)
5. En electrostática, si tenemos un cuerpo sólido conduct or cargado, se puede afirmar que: a. La carga en exceso tiende a distribuirse uniformemente por todo el volumen sólido. b. La carga en exceso tiene la máxima densidad en el centro. c. La carga en exceso tiende a distribuirse en los extremos más alejados del cuerpo. d. La carga en exceso tiende a distribuirse en el centro de gravedad del cuerpo. e. La carga en el centro del cuerpo es la misma que hay en la superficie. 6. Considere tres esferas conductoras A, B y C que tienen inicialmente las siguientes cargas Q A = + 50 µ C; QB = - 30 µ C; QC = 0. Si inicialmente se ponen en contacto las partículas A y B, luego las partículas B y C, y finalmente A y C, la carga final de A es: a. Cero. b. + 5 µ C c. + 7.5 µ C d. – 10 µ C e. – 5 µ C 7. Un cascarón esférico hueco conductor tiene inicialmente una carga neta de + 5q. Si a través de un pequeño agujero se introduce una partícula de carga – 2q al interior de la esfera, sin hacer contacto con ella, la carga eléctrica en el interior y exterior del cascarón esférico serán respectivamente: a. q; - q. b. + 5q; - 2q. c. + 3q; + 4q. d. + 4q; + 5q. e. + 2q; + 3q. 8. En cada una de las cinco situaciones se muestran dos esferas conductoras de la misma medida, con un valor inicial de carga eléctrica. Las dos esferas se ponen en contacto una con otra y luego se separan. Considerando únicamente la esfera de la izquierda, ¿en cuál de los arreglos esta esfera tendrá el mayor valor de carga eléctrica? (- 2 es menor que + 2).
+6
+2
-6
A
-6
B
-2
D
+2
+6
-6
-2
C
0
E
261
ELECTROSTÁTICA
9. Dos esferas conductoras de radios Ra y Rb están aisladas y cargadas eléctricamente. Si las esferas se conectan mediante un alambre conductor, ¿qué es verdad respecto a las cargas que adquieren finalmente las esferas si Ra = 2Rb? a. Qa = 4Qb b. Qa = 2Qb c. Qa = ½ Qb d. Qa = ¼ Qb e. Qa = Qb En la figura mostrada se presenta un mapa de líneas de fuerza de un cascarón metálico, para el cual se supone que una línea corresponde a una car ga de 1 µ C. 10. Existe una carga de – 4 µ C en el centro del cascarón. a) Verdadero b) Falso 11. La carga neta del cascarón es – 8 µ C. a) Verdadero b) Falso
q 12. La carga en la superficie externa del cascarón es + 4 µ C. a) Verdadero b) Falso. 13. La carga en la superficie interna del cascarón es nula. a) Verdadero b) Falso. 14. Si la carga q toca la superficie interna del cascarón, la carga neta del mismo sería – 4 µ C. a) Verdadero b) Falso.
262
ELECTROSTÁTICA
4.2. Ley de Coulomb. Los antiguos griegos ya sabían que el ámbar frotado con lana adquiría la propiedad de atraer cuerpos ligeros. Todos estamos familiarizados con los efectos de la electricidad estática, incluso algunas personas son más susceptibles que otras a su influencia. Ciertos usuarios de automóviles sienten sus efectos al cerrar con la llave (un objeto metálico puntiagudo) o al tocar la chapa del coche. Creamos electricidad estática, cuando frotamos una un bolígrafo con nuestra ropa. A continuación, comprobamos que el bolígrafo atrae pequeños trozos de papel. Lo mismo podemos decir cuando frotamos vidrio con seda o ámbar con lana. Para explicar como se origina la electricidad estática, hemos de considerar que la materia está hecha de átomos, y los átomos de partículas cargadas, un núcleo rodeado de una nube de electrones. Normalmente, la materia es neutra, tiene el mismo número des ca rgas positivas y negativas. Algunos átomos tienen más facilidad para perder sus electrones que otros. Si un material tiende a perder algunos de sus electrones cuando entra en contacto con otro, se dice que es más positivo en la serie Triboeléctrica. Si un material tiende a capturar electrones cuando entra en contacto con otro material, dicho material es más negativo en la serie triboeléctrica. Un ejemplo de materiales ordenados de más positivo a más negativa es el siguiente: Piel de conejo, vidrio, pelo humano, nylon, lana, seda, papel, algodón, madera, ámbar, poliéster, poliuretano, vinilo (PVC), teflón. El vidrio frotado con seda provoca una separación de las cargas por que ambos materiales ocupan posiciones distintas en la serie triboeléctrica, lo mismo se puede decir del ámbar y del vidrio. Cuando dos materiales no conductores entran en contacto uno de los materiales puede capturar electrones del otro material. La cantidad de carga depende de la naturaleza de los materiales (de su separación en la serie triboeléctrica), y del área de la superficie que entra en contacto. Otro de los factores que intervienen es el estado de las superficies, si son lisas o rugosas (entonces, la superficie de contacto es pequeña). La humedad o impurezas que contengan las superficies proporcionan un camino para que se recombinen las cargas. La presencia de impurezas en el aire tiene el mismo efecto que la humedad. En la escuela hemos frotado el bolígrafo con nuestra ropa y hemos visto como atrae a trocitos de papeles. En las experiencias de aula, se frotan diversos materiales, vidrio con seda, cuero, etc.. Se emplean bolitas de sauco electrizadas para mostrar las dos clases de cargas y sus interacciones. De estos experimentos se concluye que: 1.
La materia contiene dos tipos de cargas eléctricas denominadas positivas y negativas. Los objetos no cargados poseen cantidades iguales de cada tipo de ca rga. Cuando un cuerpo se frota la carga se transfiere de un cuerpo al otro, uno de los cuerpos adquiere un exceso de carga positiva y el otro un exceso de carga negativa. En cualquier proceso que ocurra en un sistema aislado la carga total o neta no cambia.
263
ELECTROSTÁTICA
2. 3.
Los objetos cargados con carga del mismo signo, se repelen. Los objetos cargados con cargas de distinto signo, se atraen.
Medida de la carga eléctrica Tomamos un cuerpo con carga arbitraria Q y a una distancia d colocamos una carga q. Medimos la fuerza F ejercida sobre q. Seguidamente colocamos una carga q’ a la misma distancia d de Q, y medimos la fuerza F’ ejercida sobre q’ . Definimos los valores de las cargas q y q’ como proporcionales a las fuerzas F y F’ .
Si arbitrariamente asignamos un valor unitario a la carga q’ , tenemos un medio de obtener la carga q. En el Sistema Internacional de Unidades de Medida, la magnitud fundamental es la intensidad cuya unidad es el ampère o amperio, A, siendo la carga una magnitud derivada cuya unidad es el coulomb o culombio C.
La ley de Coulomb Mediante una balanza de torsión, Coulomb encontró que la fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas puntuales (cuerpos cargados cuyas dimensiones son despreciables comparadas con la distancia r que las separa) es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.
El valor de la constante de proporcionalidad depende de las unidades en las que se exprese F , q, q’ y r. En el Sistema Internacional de Unidades de Medida vale 9 10 -9 Nm2/C2. Obsérvese que la ley de Coulomb tiene la misma forma funcional que la ley de la Gravitación Universal
264
ELECTROSTÁTICA
El electroscopio El electroscopio consta de dos láminas delgadas de oro o aluminio A que están fijas en el extremo de una varilla metálica B que pasa a través de un soporte C de ebonita, ámbar o azufre. Cuando se toca la bola del electroscopio con un cuerpo cargado, las hojas adquieren carga del mismo signo y se repelen siendo su divergencia una medida de la cantidad de carga que ha recibido. La fuerza de repulsión electrostátic a se equilibra con el peso de las hojas. Si se aplica una diferencia de potencial entre la bola C y la caja del mismo, las hojas también se separan. Se puede calibrar el electroscopio trazando la curva que nos da la diferencia de potencial en función del ángulo de divergencia.
Un modelo simplificado de electroscopio consiste en dos pequeñas esferas de masa m cargadas con cargas iguales q y del mismo signo que cuelgan de dos hilos de longitud d , tal como se indica la figura. A partir de la medida del ángulo q que forma una bolita con la vertical, se calcula su carga q. Sobre una bolita actúan tres fuerzas • • •
El peso mg La tensión de la cuerda T La fuerza de repulsión eléctrica entre las bolitas F
En el equilibrio T senq =F T cosq =mg
De acuerdo con la ley de Coulomb Eliminado T en las ecuaciones de equilibrio, obtenemos la ecuación
La carga q está en mC y la masa m de la bolita en g.
265
ELECTROSTÁTICA
4.2.1. EJERCICIOS RESUELTOS 1.
Cuatro partículas cargadas eléctricamente se ubican en los vértices de un cuadrado como se muestra en la figura. Todas las partículas tienen la misma magnitud de carga, pero pueden ser de signos diferentes. Al colocar una carga Q positiva en el centro del cuadrado, se observa que se acelera verticalmente en la dirección + y. ¿Qué es verdad respecto al signo de las cargas? a. Todas son positivas b. q1 y q3 son negativas; q2 y q4 son positivas. c. q1 y q2 son negativas; q3 y q4 son positivas. d. q2 y q3 son negativas; q1 y q4 son positivas. e. q3 y q4 son negativas; q1 y q2 son positivas.
y q 1
q 2
Q q 4
q 3
Para que la partícula tenga una aceleración hacia arriba, debe existir una fuerza neta hacia arriba sobre la partícula Q. Si todas las partículas tienen carga positiva, ejercen una fuerza de repulsión sobre Q, tal como lo muestra la figura de abajo.
F3Q
F4Q
F2Q
F1Q
La fuerza de la carga 1 sobre la carga Q, F 1Q, se anula con la fuerza de la carga 3 sobre la carga Q, F 3Q, porque son de la misma magnitud, al estar la carga 1 a la misma distancia que la carga 3 de la carga Q, y al mismo tiempo tener el mismo valor de carga q1 y q3. De igual manera ocurre con la fuerza que ejerce la carga 2 sobre la carga Q, F2Q, y la carga 4 sobre la carga Q, F4Q. Del gráfico anterior se puede observar que si F 2Q tuviera la misma dirección que F4Q, y que la fuerza F1Q tuviera la misma dirección que F3Q entonces la resultante de las fuerzas sería dirigida hacia arriba como se muestra en la figura siguiente
F1Q
F2Q F3Q
F4Q
Para que las fuerzas F1Q y F2Q estén en la dirección mostrada las cargas q1 y q2 deben ser negativas, de manera que sena fuerzas de atracción.
Respuesta: c)
266
ELECTROSTÁTICA
2. Considere dos partículas puntuales que se encuentran a lo largo del eje x separadas por una distancia d. Dichas partículas tienen cargas que son iguales en magnitud pero opuestas en signo. ¿Dónde puede ser colocada una tercera carga puntual de modo que la fuerza neta sobre ella sea cero? a. A la mitad entre las dos cargas. b. A una distancia d de ambas cargas (de modo que las tres formen un triángulo equilátero). c. En algún punto sobre el eje x pero no entre las cargas (podría calcular la ubicación exacta si tuviese tiempo). d. No existe un punto donde la fuerza sea cero. e. La respuesta depende de los signos y/o magnitudes de las cargas. En la gráfica que se presenta a continuación se especifica la situación presentada en el enunciado del ejercicio. Se han expuesto tres regiones una a la izquierda de la carga positiva, la segunda entre las dos cargas y la tercera a la derecha de la carga negativa.
Región I
Región II
Región III
+Q
-Q
En el gráfico que sigue se presentan las fuerzas que actúan sobre la tercera carga si se la ubica en la región I. Además, se realiza el análisis para la posibilidad de que la carga sea primero positiva, y luego sea negativa.
F+Qq
F-Qq +q
F-Qq
F+Qq -q
La fuerza que genera la carga + Q sobre la carga q, F +Qq, es mayor que la fuerza que genera la carga – Q sobre la carga q, F – Qq , porque la distancia que existe entre + Q y q es menor que la distancia que existe entre – Q y q. Recuerde que la fuerza eléctrica es inversamente proporcional con el cuadrado de la distancia que separa a dos cargas eléctricas. Este análisis se repite para el caso en que la carga q fuera negativa, note que la fuerza que la carga positiva genera sobre la carga q, sigue siendo mayor que la fuerza que genera la carga negativa sobre la carga q. De manera que en la región I jamás se cancelarían las fuerzas. En el gráfico que se muestra a continuación se analiza a la carga q en la región II.
F-Qq
F+Qq
+q
F+Qq
F-Qq -q
En la región II es menos probable que se anulen las fuerzas porque ambas tienen la misma dirección. Mientras que la carga + Q genera una fuerza de repulsión (la empuja) sobre la carga + q, la carga – Q genera una atracción sobre la carga + q. De igual manera ocurre si la carga fuera – q.
267
ELECTROSTÁTICA
En la tercera región ocurre algo similar a lo que sucede en la región I.
Respuesta: d)
3. Tres partículas cargadas idénticas están ordenadas en un triángulo equilátero. Si la fuerza que cada partícula individual ejerce sobre la otra es de 1.0 N, la magnitud de la fuerza neta Fe ejercida sobre cualquiera de las tres partículas es a. Fe = 0 b. 0 < Fe < 1.0 c. Fe = 1.0 N d. 1.0 N < Fe < 2.0 N e. Fe = 2.0 N A continuación se presenta un gráfico en el que se ubican los datos dados en el enunciado del ejercicio.
F13
F23
60º q 3 60º
60º
60º
q 2
q 1
La magnitud de la fuerza resultante la podemos calcular por medio de la ley del coseno.
F23
F13 FR
F13
60º
F23
2 + 2(F 13 )(F 23 ) cos 60º F R2 = F 132 + F 23 2
F R = 1 + 1 + 2(1)(1) cos 60º F R = 3 N ≈ 1.73 N
Respuesta: d)
268
ELECTROSTÁTICA
4. A continuación se muestra el arreglo de tres cargas eléctricas fijas. En cada figura se identifica un punto P. Todas las cargas tienen el mismo valor, q, pero pueden ser positivas o negativas como se indica. Las cargas y el punto P se encuentran a lo largo de la línea que las une. La distancia entre dos cargas adyacentes y entre cargas y el punto P es la misma. Una carga de prueba, +Q, es colocada en el punto P. ¿En cuál de las configuraciones la carga de prueba + Q experimenta la mayor fuerza eléctrica? a.
+
+
+
P
b.
+
+
P
+
c.
+
+
P
-
d.
+
-
P
+
En la gráfica siguiente se muestran las fuerzas que actúan sobre la carga en el punto P. Llamaremos a la distancia entre las cargas x. La carga de más a la izquierda la llamaremos q1, la que sigue a la derecha q2 y la última de la derecha q3, mientras que a la carga que se ubica en el punto P la llamaremos Q.
F3Q
F2Q
F1Q
En el gráfico se ve que F 3Q es mucho más grande que F 2Q y que F 1Q, eso se debe a que la carga q3 está separada una distancia x de Q, mientras que q2 está separada de Q por una distancia 2x, de manera que la fuerza F2Q es la cuarta parte de la fuerza F 3Q, porque la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa a las cargas. En tanto que la fuerza F 1Q es nueve veces menor que F 3Q porque está separada 3x de la carga Q, a continuación se presentan los cálculos algebraicos.
F 3Q = F 3Q =
Keq3Q
F 2Q =
2
d 3Q KeqQ x
F 2Q =
2
Keq 2 Q
F 1Q =
2
d 2Q KeqQ
(2 x )2
=
KeqQ
F 1Q =
4x2
Keq1Q 2
d 1Q KeqQ
(3 x )2
=
KeqQ
9x 2
La fuerza resultante sobre esta carga es
F R = F R =
KeqQ x 2
ˆi + KeqQ ˆi + KeqQ ˆi 4 x 2
9 x 2
i + 9 KeqQˆ i + 4 KeqQˆ i 36 KeqQˆ
36 x 2 KeqQ 49 KeqQ F R = . ≈ 1 36 2 2 x 36 x
El gráfico que se muestra a continuación presenta las fuerzas sobre el punto P en la situación mostrada en el literal b)
F3Q
F2Q
F1Q
Se observa claramente en el gráfico que las fuerzas F 3Q y F2Q se cancelan mutuamente por tener los mismos valores y tener direcciones opuestas, de manera que la fuerza resultante se reduce a la magnitud de la fuerza F1Q, la misma que es exactamente igual a la del literal anterior, o sea,
269
ELECTROSTÁTICA
F R =
KeqQ
9 x
2
F R ≈ 0.11
ˆi
KeqQ x
2
En la figura que sigue se muestra el diagrama de fuerz as que actúan sobre la carga Q en el literal c)
F3Q
F2Q
F1Q
La fuerza F2Q y la fuerza F 3Q son iguales porque las cargas q2 y q3 son iguales en magnitud y porque están ubicadas a la misma distancia del punto P, y este valor es el mismo que la fuerza F 3Q en el literal a), mientras que la fuerza F 1Q tiene la misma magnitud que antes en los literales a) y b), por lo tanto la fuerza resultante es
F R = F R =
KeqQ x 2
ˆi + KeqQ ˆi + KeqQ ˆi x 2
9 x 2
i + 9 KeqQˆ i + KeqQˆ i 9 KeqQˆ
9 x 2
F R ≈ 2.11
=
19 KeqQ ˆ i 2 9 x
KeqQ x 2
En el siguiente diagrama se muestran las fuerzas que act úan sobre la carga P en el literal d)
F2Q
F3Q
F1Q
De igual manera que antes las fuerzas F 2Q y F3Q tienen la misma magnitud porque las cargas q2 y q3 tienen la misma magnitud y se encuentran de Q separadas por una distancia x, su valor es el mismo que en los literales anteriores; en tanto que la fuerza F 1Q es la misma que en los literales anteriores pero de dirección opuesta que las otras dos. Si nos regimos por el sistema de referencia estándar, F 2Q y F 3Q deben ser negativas, mientras que F1Q debe ser positiva.
F R = − F R =
KeqQ ˆ KeqQ ˆ KeqQ ˆ i− i + i 2 2 9 x 2 x x
− 9 KeqQˆ i − 9 KeqQˆ i + KeqQˆ i
− 17 KeqQ ˆ i 2 9 x KeqQ F R ≈ 1.89 2 x
F R =
Respuesta: c)
270
9 x
2
ELECTROSTÁTICA
5. Tres cargas eléctricas se ubican en los vértices del triángulo de 1 m por lado como se indica en la figura. Determine la magnitud y dirección de la fuerza eléctrica sobre la carga positiva q0. a. 1.8×10– 2 N a la izquierda. b. 1.8×10– 2 N a la derecha. c. 3.6×10– 2 N a la izquierda. d. 3.6×10– 2 N a la derecha. e. 3.1×10– 2 N a la izquierda.
q 0 = 1 C u
Q=-2 C u
Q=+2 C u
En la figura siguiente se muestra un diagrama de las fuerzas que actúan sobre la carga q0.
F13
60º q 0 = 1uC 120º
F23
60º
60º Q = - 2uC
60º Q = + 2uC
En el gráfico siguiente se muestra la suma de los vectores fuerza, y a continuación el cálculo de la magnitud de la fuerza resultante. Hay que tomar en cuenta que las magnitudes de F23 y F13 son las mismas porque se tratan de cargas de la misma magnitud, y porque se encuentran a la misma distancia de la carga q0.
F23 FR F13
F13 60º 1
2 0 º
F23
F R =
F 23 + F 13 + 2 F 13 F 23 cos 120 º
F R =
2 2 F + F + 2 F F (− 0 .5 )
2
2
F R = F N 9 −6 −6 9 × 10 (2 × 10 C )(1 × 10 C ) 2 2 KeQq 0 m C = F = 2 2
1m
d
F = 1 .8 × 10
−2
N
Respuesta: a) 271
ELECTROSTÁTICA
6. Tres esferitas conductoras de 1 mm de radio están en contacto. Se les suministra una carga Q y después de un tiempo se aleja 10 m la partícula de la derecha y luego la del centro se corre 5 m en la misma dirección de la anterior. ¿Cuál es la fuerza sobre la partícula del centro? (K = constante de Coulomb =1 /4πεo, εo permitividad del vacío) 2 a. KQ hacia la derecha
2 b. 2 KQ hacia la izquierda
450 2 d. 2 KQ hacia la derecha 125
225 2 e. 2 KQ hacia la izquierda. 125
c. Cero
Cada esfera queda cargada con una carga del mismo signo y con carga de magnitud Q/3. A cada una de estas cargas Q/3 las representaremos por q. En el gráfico que sigue se muestra el diagrama de fuerzas de la carga del centro. Fqq
q
Fqq
q
q
5m
5m
Debido a que la carga es la misma, y la distancia que se encuentran separadas las cargas, las fuerzas tienen la misma magnitud, pero como están dirigidas en direcciones opuestas la suma de ellas es ce ro.
Respuesta: c) 7. Una carga q1 se coloca a cierta distancia de una carga q2 y se mide la fuerza de interacción. Al duplicar el valor de la carga negativa, el valor de la fuerza aplicada sobre q2 es a. No cambia b. Se duplica c. Se triplica d. Disminuye a la mitad e. Se cuadruplica. Si usamos la ecuación que representa a la Ley de Coulomb, nos daremos cuenta que la fuerza eléctrica entre dos cargas eléctricas es directamente proporcional a la magnitud de la carga e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. En este casos e está duplicando la carga eléctrica, por lo tanto la fuerza eléctrica también se duplica
Respuesta: b) 8. Dos hilos de 1 m de longitud, sujetos al mismo punto del techo, cuelgan dos esferillas, de 1 gramo de masa cada una. Se cargan idénticamente ambas esferillas, con lo cual se repelen hasta que sus hilos forman entre sí un ángulo de 90º. El valor de la carga eléctrica comunicada a cada esfera es: a) ± 2.7µC b) ± 1.94µC c) ± 1.475µC d) ± 1.047µC e) ± 3.705µC En la figura que sigue a continuación se muestran las esferas, y junto a la figura el diagrama de cuerpo libre para una de ellas. T T 1m
1m
45º
Fe
mg 45º Fe
2m
mg
Si los vectores suman cero forman el triángulo que se muestra en la figura que está más a la derecha, de manera que si utilizamos la función tangente encontramos una relación entre el peso, mg, y la fuerza eléctrica Fe.
272
ELECTROSTÁTICA
tan 45º =
mg
Fe Fe tan 45º = mg Fe = mg
Luego utilizamos la ley de Coulomb
Fe = mg Keqq 2
r
= mg 2
2
q =
mgr Ke
2
mgr
q=
Ke
=
(1×10−3 kg )(9.8m / s 2 )(
2m )
2
9 × 109 Nm 2 / C 2 −6
q = ±1.476 × 10 C q = ±1.476 µ C
Respuesta: c) 9. La fuerza entre dos cargas puntuales es F. Si una de las cargas se triplica y la distancia entre ellas se duplica entonces la nueva fuerza será: a) (3/4) F b) (2/3) F c) (3/2) F d) (2/9) F e) (4/3) F Si la carga se triplica, la fuerza se hace tres veces más grande, porque la fuerza eléctrica es directamente proporcional al producto de las cargas eléctricas. Si la distancia se hace dos veces más grande, la fuerza disminuye en cuatro veces, porque la fuerza es inversamente proporcional con el cuadrado de la distancia, de manera que si se juntan las dos relaciones, la nueva fuerza equivale a ¾ de la fuerza inicial.
Respuesta: a) 10. La distancia QR es el doble de SQ. ¿Qué carga eléctrica hay que poner en R para que la carga en Q esté en equilibrio? a) 2q b) – 2q c) 4q d) – 4q e) 8q + 2q
-q
Q
S
Q
R
L
2L
La fuerza que hace la carga que está en S sobre la carga que está en Q está dirigida hacia la izquierda, porque hay una fuerza de atracción entre las dos cargas, para que esta fuerza se anule, se debe aplicar una fuerza de la misma magnitud pero en dirección opuesta sobre la carga que está en Q, de manera que la carga que está en R debe ser positiva. La magnitud la calculamos por medio de las leyes de Newton
273
ELECTROSTÁTICA
∑ Fx = 0 F RQ − F SQ = 0 F RQ = F SQ Ke(q )(Q )
(2 L )2 Q 2
=
2q 2
L 4 L Q = 8q
274
=
Ke(2q )(q ) 2
L
ELECTROSTÁTICA
4.2.2. EJERCICIOS PROPUESTOS 1.
Dos cargas iguales de 0.5 µC al colocarse en un medio dieléctrico, experimentan una fuerza de 2× 104N cuando está separadas una distancia de 2 × 10-4 m. La constante de permitividad del medio es: a) 2.5 × 10-11 C2/Nm2 b) 8.2 × 1011 C2/Nm2 c) 4.6 × 10-10 C2/Nm2 -12 2 2 12 2 2 d) 5.8 × 10 C /Nm e) 2.3 × 10 C /Nm
2. Para el signo de tres partículas cargadas eléctricamente, mostrado en la figura, determine la magnitud, posición y signo de la carga, que ubicada sobre el eje y, produzca en ella una fuerza resultante nula. Carga Posición (cm) Signo ± 28 ± a) Cualquier carga b) Cualquier carga + 20 + ± 14 c) q – ± 26 ± d) Cualquier carga e) Cualquier carga + 20 –
y (cm)
-q
+q
-q
- 20
20
x (cm)
3. Calcule el número de coulombs de carga positiva en un vaso de agua. Supóngase que el volumen de agua es de 250 cm3 (1 dm3 = 1 kg de agua). 4. En x = 0 se localiza una carga de + 3 µC. Una segunda carga está en x = 3m. Si una carga de 1 µC no experimenta fuerza alguna cuando está en x = 4m ¿Cuál es la magnitud de la carga en x = 3m? -Q
5. Cuatro cargas cargadas en el vértice de un cuadrado de lado a como se muestra en la figura. Si quinta carga positiva se coloca en el punto P. Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la carga qQ q en función de f. Considere f = k 2 . a
-Q
a PP q +2Q
a/2
+2Q
–10 ×104
6. Una bola de 0.15 g de masa suspendida de un hilo posee una carga de C. A una distancia de 30 cm de ella se coloca por abajo otra bola pequeña. ¿Qué signo y carga debe poseer la segunda bola para que la tensión del hilo aumente al doble? 7. Dos cargas, Q1 y Q2 están separadas una distancia d. Si Q1 se duplica y la distancia d también se duplica, ¿qué sucederá con la fuerza de interacción? a) Se duplica b) Se reduce a la mitad c) No se altera d) Se cuadruplica e) Se reduce cuatro veces 8. En el gráfico la carga Q1 es negativa y de magnitud menor que Q2, que es positiva. ¿En cuál de los puntos indicados en el gráfico se debe colocar una carga positiva para que la fuerza neta sobre ella pueda ser nula? a) En A b) En B c) En C d) En D e) En E
B
A
Q1
E
Q2
C
D
9. Las cuatro partículas de la figura están fijas en los vértices de un cuadrado de lado L = 30 cm. Sus cargas son q1 = q3 = 1 µC y q2 = q4 = – 1 µC. Determine la fuerza eléctrica total (módulo y dirección) que actúa sobre q1.
K =
1 4πε 0
Nm 2 C −2 .
q1 q2
L q4 q3
L
275
ELECTROSTÁTICA
10 Una carga de 3.2 mC se fija a cada una de las esquinas de un triángulo equilátero. Si la longitud de cada lado del triángulo es de 2.5 m, ¿cuál es la magnitud de la fuerza eléctrica neta sobre cualquiera de las cargas? a. 14 729 N b. 20 000 N c. 22 000 N d. 25 500 N e. 30 000 N 11. Tres cargas iguales se colocan en los vértices de un triángulo rectángulo de catetos iguales, como se muestra en la figura. Si la fuerza entre q1 y q2 es F12, y la fuerza entre q1 y q3 es F13, la relación de las magnitudes F13/F12 es
a) 2
b) 2 c) 1 / 2 d ) 1 / 2 e) 2 2
q1
a
q2 a q3
12. Un electrón y un protón están separados una distancia de 1 m. ¿Qué sucederá con la magnitud de la fuerza eléctrica entre el protón y el electrón si el electrón es desplazado de tal manera que ahora se encuentra a 2 m del protón? a. Decrece a la mitad de su valor original. b. Permanece constante. c. Aumenta cuatro veces con respecto a su valor original. d. Aumenta dos veces con respecto a su valor original. e. Decrece a la cuarta parte de su valor original. 13. Tres cargas puntuales están en el eje x: Q1 = - 6 mC posición – 3 ˆ i m, Q2 = 4 mC ubicada en el origen, Q3= - 2 mC ubicada en 2 ˆ i m. El valor de la fuerza total ejercida sobre Q2 por las demás cargas es: a. b. c. d. e.
276
– 6 × 10 – 3 ˆ i N. – 6000 ˆ i N. – 3000 ˆ i N. + 6000 ˆ i N. + 3000 ˆ i N.
ELECTROSTÁTICA
4.3. Campo eléctrico. El concepto físico de campo Las cargas eléctricas no precisan de ningún medio material para ejercer su influencia sobre otras, de ahí que las fuerzas eléctricas sean consideradas fuerzas de acción a distancia. Cuando en la naturaleza se da una situación de este estilo, se recurre a la idea de campo para facilitar la descripción en términos físicos de la influencia que uno o más cuerpos ejercen sobre el espacio que les rodea. La noción física de campo se corresponde con la de un espacio dotado de propiedades medibles. En el caso de que se trate de un campo de fuerzas éste viene a ser aquella región del espacio en donde se dejan sentir los efectos de fuerzas a distancia. Así, la influencia gravitatoria sobre el espacio que rodea la Tierra se hace visible cuando en cualquiera de sus puntos se sitúa, a modo de detector, un cuerpo de prueba y se mide su peso, es decir, la fuerza con que la Tierra lo atrae. Dicha influencia gravitatoria se conoce como campo gravitatorio terrestre. De un modo análogo la física introduce la noción de campo magnético y también la de campo eléctrico o electrostático.
El campo eléctrico El campo eléctrico asociado a una carga aislada o a un conjunto de cargas es aquella región del espacio en donde se dejan sentir sus efectos. Así, si en un punto cualquiera del espacio en donde está definido un campo eléctrico se coloca una carga de prueba o carga testigo, se observará la aparición de fuerzas eléctricas, es decir, de atracciones o de repulsiones sobre ella. La fuerza eléctrica que en un punto cualquiera del campo se ejerce sobre la carga unidad positiva, tomada como elemento de comparación, recibe el nombre de intensidad del campo eléctrico y se representa por la letra E. Por tratarse de una fuerza la intensidad del campo eléctrico es una magnitud vectorial que viene definida por su módulo E y por su dirección y sentido. En lo que sigue se considerarán por separado ambos aspectos del campo E. La expresión del módulo de la intensidad de campo E puede obtenerse fácilmente para el caso sencillo del campo eléctrico creado por una carga puntual Q sin más que combinar la ley de Coulomb con la definición de E . La fuerza que Q ejercería sobre una carga unidad positiva 1+ en un punto genérico P distante r de la carga central Q viene dada, de acuerdo con la ley de Coulomb, por:
pero aquélla es precisamente la definición de E y, por tanto, ésta será también su expresión matemática
277
ELECTROSTÁTICA
Puesto que se trata de una fuerza electrostática estará aplicada en P , dirigida a lo largo de la recta que une la carga central Q y el punto genérico P , en donde se sitúa la carga unidad, y su sentido será atractivo o repulsivo según Q sea negativa o positiva respectivamente. Si la carga testigo es distinta de la unidad, es posible no obstante determinar el valor de la fuerza por unidad de carga en la forma:
Donde F es la fuerza calculada mediante la ley de Coulomb entre la carga central Q y la carga de prueba o testigo q empleada como elemento detector del campo. Es decir: E=KQq/qr2 /=KQ/r2 A partir del valor de E debido a Q en un punto P y de la carga q situada en él, es posible determinar la fuerza F en la forma F = q · E Expresión que indica que la fuerza entre Q y q es igual a q veces el valor de la intensidad de campo E en el punto P. Esta forma de describir las fuerzas del campo y su variación con la posición hace más sencillos los cálculos, particularmente cuando se ha de trabajar con campos debidos a muchas cargas. La unidad de intensidad de campo E es el cociente entre la unidad de fuerza y la unidad de carga; en el SI equivale, por tanto, al newton (N)/coulomb (C).
Representación del campo eléctrico Es posible conseguir una representación gráfica de un campo de fuerzas empleando las llamadas líneas de fuerza. Son líneas imaginarias que describen, si los hubiere, los cambios en dirección de las fuerzas al pasar de un punto a otro. En el caso del campo eléctrico, las líneas de fuerza indican las trayectorias que seguirían las partículas positivas si se las abandonase libremente a la influencia de las fuerzas del campo. El campo eléctrico será un vector tangente a la línea de fuerza en cualquier punto considerado. Una carga puntual positiva dará lugar a un mapa de líneas de fuerza radiales, pues las fuerzas eléctricas actúan siempre en la dirección de la línea que une a las cargas interactuantes, y dirigidas hacia fuera porque las cargas móviles positivas se desplazarían en ese sentido (fuerzas repulsivas). En el caso del campo debido a una carga puntual negativa el mapa de líneas de fuerza sería análogo, pero dirigidas hacia la carga central. Como consecuencia de lo anterior, en el caso de los campos debidos a varias cargas las líneas de fuerza nacen siempre de las cargas positivas y mueren en las negativas. Se dice por ello que las primeras son «manantiales» y las segundas «sumideros» de líneas de fuerza.
APLICACIÓN DEL CONCEPTO DE INTENSIDAD DE CAMPO La intensidad de campo E , como fuerza por unidad de carga, es una magnitud que admite una representación vectorial. Además está relacionada con la fuerza de modo que conociendo el valor de E en un punto es posible determinar la fuerza que experimentaría una carga distinta de la unidad si se la situara en dicho punto, y viceversa. Se trata ahora de determinar la intensidad de campo eléctrico debido a una carga puntual Q = 1,6 · 10-6 C en un punto P situado a una distancia de 0,4 m de la carga y de dibujar en dicho punto el vector que lo
278
ELECTROSTÁTICA
representa. ¿Cuál sería la fuerza eléctrica que se ejercería sobre otra carga q = 3 · 10-8 C si se la situara en P ? Tómese como medio el vacío con K = 9 · 109 N m2/C2. El módulo de la intensidad de campo E debido a una carga puntual Q viene dada por la expresión:
Dicho valor depende de la carga central Q y de la distancia al punto P , pero en él no aparece para nada la carga que se sitúa en P por ser ésta, siempre que se utiliza este concepto, la carga unidad positiva. Sustituyendo en la anterior expresión se tiene:
Por tratarse de una fuerza debida a una carga positiva también sobre la unidad de carga positiva será repulsiva y el vector correspondiente estará aplicado en P y dirigido sobre la recta que une Q con P en el sentido que se aleja de la carga central Q. Conociendo la fuerza por unidad de carga, el cálculo de la fuerza sobre una carga diferente de la unidad se reduce a multiplicar E por el valor de la carga q que se sitúa en P : F = q · E = 9 ·104 · 3 · 10-8 = 2,7 · 10-3 N
Representación del campo eléctrico Es posible conseguir una representación gráfica de un campo de fuerzas empleando las llamadas líneas de fuerza. Son líneas imaginarias que describen, si los hubiere, los cambios en dirección de las fuerzas al pasar de un punto a otro. En el caso del campo eléctrico, las líneas de fuerza indican las trayectorias que seguirían las partículas positivas si se las abandonase libremente a la influencia de las fuerzas del campo. El campo eléctrico será un vector tangente a la línea de fuerza en cualquier punto considerado. Una carga puntual positiva dará lugar a un mapa de líneas de fuerza radiales, pues las fuerzas eléctricas actúan siempre en la dirección de la línea que une a las cargas interactuantes, y dirigidas hacia fuera porque las cargas móviles positivas se desplazarían en ese sentido (fuerzas repulsivas). En el caso del campo debido a una carga puntual negativa el mapa de líneas de fuerza sería análogo, pero dirigidas hacia la carga central. Como consecuencia de lo anterior, en el caso de los campos debidos a varias cargas las líneas de fuerza nacen siempre de las cargas positivas y mueren en las negativas. Se dice por ello que las primeras son «manantiales» y las segundas «sumideros» de líneas de fuerza.
279
ELECTROSTÁTICA
LA SUPERPOSICIÓN DE LOS CAMPOS ELÉCTRICOS La descripción de la influencia de una carga aislada en términos de campos puede generalizarse al caso de un sistema formado por dos o más cargas y extenderse posteriormente al estudio de un cuerpo cargado. La experiencia demuestra que las influencias de las cargas aisladas que constituyen el sistema son aditivas, es decir, se suman o superponen vectorialmente. Así, la intensidad de campo E en un punto cualquiera del espacio que rodea dos cargas Q1 y Q2 será la suma vectorial de las intensidades E1 y E2 debidas a cada una de las cargas individualmente consideradas. Este principio de superposición se refleja en el mapa de líneas de fuerza correspondiente. Tanto si las cargas son de igual signo como si son de signos opuestos, la distorsión de las líneas de fuerza, respecto de la forma radial que tendrían si las cargas estuvieran solitarias, es máxima en la zona central, es decir, en la región más cercana a ambas. Si las cargas tienen la misma magnitud, el mapa resulta simétrico respecto de la línea media que separa ambas cargas. En caso contrario, la influencia en el espacio, que será predominante para una de ellas, da lugar a una distribución asimétrica de líneas de fuerza.
280
ELECTROSTÁTICA
4.3.1. EJERCICIOS RESUELTOS 1.
¿En qué dirección apunta el campo eléctrico creado por una carga puntual negativa en una posición dada? a. Hacia la carga. b. Alejándose de la carga. c. La dirección depende de qué tan cerca se esté. d. La dirección depende del signo de k.
Respuesta: a) 2. Imagine dos dipolos orientados como se muestra a co ntinuación
-
+
-
+
Estos dipolos a. se atraerán mutuamente. b. Se repelerán mutuamente. c. Ejercerán una fuerza cero mutuamente. d. Falta información para decidir.
Respuesta: b) 3. Considere la pieza finita de alambre con una carga negativa distribuida de manera uniforme, como se muestra en la figura. ¿Cuál es la dirección del campo eléctrico en el punto P? (Elija el vector que considere estará más cerca)
B A
e r b m a l A
C
P D
E
Respuesta: c) 4. Partículas de diferente masa y carga eléctrica se suspenden de hilos no conductores en presencia de un campo eléctrico uniforme. ¿Qué combinación de carga y masa de la partícula dará lugar a que se desvíe el mayor ángulo con la vertical?
Caso Masa (g) Carga (nC)
A
B
C
D
E
6 8
6 4
9 2
3 2
3 8
Si hacemos el diagrama de cuerpo libre del c uerpo tenemos
281
ELECTROSTÁTICA
T Ty
θ Fe
Tx
mg Por las leyes de Newton planteamos las ecuaciones q ue relacionen las variables que intervienen
∑ Fx = 0
∑ Fy = 0
Fe − Tx = 0
Ty − mg = 0
Fe = T sin θ
mg = T cos θ
Si despejamos la tensión, T, y sabiendo que el campo eléctrico, E, en función de la fuerza eléctrica. Fe, está dado por E = Fe/q, tenemos que la fuerza eléctrica es Fe = qE. De tal manera que la relación entre peso, ángulo y campo eléctrico está dado por
Fe mg qE mg
=
T sin θ T cos θ
= tan θ
qE mg
θ = tan −1
En la última ecuación se ve claramente que al ser constantes el campo eléctrico, E, y el valor de la aceleración de la gravedad, g, el ángulo depende exclusivamente de la masa, m, de la partícula y de la carga, q, de la partícula. Además, mientras mayor sea el argumento del arcotangente, mayor será el ángulo, y esto es mayor si la masa es pequeña y la carga eléctrica es grande.
Respuesta: e) 5.
Una partícula de carga q = 2 µ C se coloca en presencia de un campo eléctrico uniforme como se muestra en la figura, la cuerda que sostiene a la carga es aislante y forma un ángulo de 20º con la vertical. Si la partícula tiene una masa de 1 gramo, ¿cuál es el valor del campo eléctrico? a) 5.6 × 103 N/C b) 5.6 × 10– 4 N/C c) 6.36 N/C d) 6.36 × 103 N/C e) 1.78 × 103 N/C
20º
Aprovechamos el resultado del ejercicio anterior para desarrollar este ejercicio.
282
ELECTROSTÁTICA
qE mg
=
E =
tan θ
mg tan 20º q
( 1 × 10 −3 kg )(9.8m / s 2 )tan 20º E = 2 × 10 − 6 C E = 1783 N / C
Respuesta: e) 6. Dos partículas de carga q = + 2 µ C se encuentran ubicadas en el eje de las y como se indica en la figura. Determine el valor del campo eléctrico resultante en el punto P ubicado sobre el eje de las x. a) 1800 N/C b) 1611 N/C c) 1273 N/C d) 900 N/C e) 805 N/C
y q m 2
P
x
4m
m 2
q
En el gráfico adjunto se muestran las líneas de campo eléctrico. Al ser ambas cargas positivas, las líneas de campo eléctrico salen de las cargas eléctricas en infinitas direcciones.
y q E1
m 2
P 4m
m 2
x
E2
q
En el siguiente gráfico se muestran los vectores de campo eléctrico, E1 y E2 con sus respectivas componentes y adicionalmente el triángulo que muestra las longitudes y el ángulo que forma la línea de campo con la horizontal
283
ELECTROSTÁTICA
y q m 2
P 4m
m 2
E1
θ θ
E2
E1Y E2Y
x
q
2m
r 4m
θ
Se puede apreciar en el gráfico que las componentes en el eje y de los capos eléctricos 1 y 2 se eliminan por que E1 = E2, debido a que las cargas eléctricas son las mismas, y se encuentran separadas a la misma distancia del punto P.
Ex = E cos θ
4m r KeQ 4m Ex = 2 r r 2 9 Nm 9 × 10 (2 × 10 − 6 C )(4m ) 2 C Ex = 3 2 2 (2m ) + (4m) Ex = E
Ex = 804.98 N / C El campo eléctrico total es la suma de los campos eléctricos en el eje x, pero como E1 = E2, E1x = E2x, de manera que el resultado es el doble del campo en el eje de las x.
Respuesta: b) 7.
En una determinada región del espacio existe un campo eléctrico cuya distribución de líneas de fuerza se da en la figura de abajo. En el gráfico se han identificado 5 puntos, ¿en cuál de estos puntos una partícula de carga negativa experimentará la máxima aceleración? a) En A y B hacia la izquierda. b) En A y B hacia la derecha. c) En D y E hacia la derecha. d) En D y E hacia la izquierda. e) En C hacia la izquierda.
A C B
D E
La aceleración depende exclusivamente de la fuerza neta, en un campo eléctrico variable la fuerza es más intensa en donde las líneas de campo eléctrico estén más juntas, de manera que esto ocurre en D y en E.
284
ELECTROSTÁTICA
Para una partícula de carga negativa la fuerza eléctrica actúa en dirección opuesta a la dirección del capo eléctrico.
Respuesta: c) 8. Una esfera conductora de radio R tiene una carga eléctrica + Q. ¿Cuál de los siguientes gráficos representaría mejor el campo eléctrico en función de la distancia r, medida desde el centro de la esfera? R
E
r
E
R (a)
r
E
R
r
E
R
(b)
(c)
r
R
r
(d)
En el interior de un conductor el campo eléctrico es cero, debido a que la carga eléctrica se distribuye uniformemente en la superficie exterior. Precisamente en la superficie tiene su valor máximo y de ahí comienza a decrecer porque el campo eléctrico es inversamente proporcional con el cuadrado de la distancia, esto es, mientras más alejado se encuentre un punto de la carga eléctrica menor campo eléctrico existe.
Respuesta: b) 9. Una gota de aceite se encuentra suspendida, en reposo, entre dos placas conductoras como se muestra en la figura. El campo eléctrico entre las placas tiene un valor uniforme de 1000 N/C. Si la gota de aceite tiene una masa de 1 g, ¿cuál es el valor de la carga eléctrica de la gota de aceite? a) 9.8 mC b) – 9.8 mC c) – 9.8 µ C d) – 4.9 µ C e) – 0.1 µ C
En la figura adjunta representamos el diagrama de cuerpo libre de la gota de aceite. Para que la partícula esté suspendida debe existir una fuerza que anule al peso, de manera que la fuerza eléctrica que genera el campo eléctrico está dirigida hacia arriba, misma que es en dirección opuesta al campo eléctrico, por lo tanto se concluye que la carga eléctrica debe ser negativa. La magnitud de la carga la calculamos por la relación que existe entre la fuerza eléctrica y el campo eléctrico
Fe
mg 285
ELECTROSTÁTICA
∑ Fy = 0 Fe − mg = 0 qE = mg q=
mg E
( 1× 10 − 3 kg )(9.8m / s 2 ) = 1000 N / C
−6
q = 9.8 × 10 C
Respuesta: c) 10. ¿De cuál o de cuáles de los siguientes factores depende la intensidad de campo eléctrico en un punto cualquiera del espacio? I. De la fuerza que actúa sobre una carga de prueba que se coloque en dicho punto. II. Del valor de la carga de prueba que se coloque en dicho punto. III. De las cargas eléctricas que existan alrededor de dicho punto. a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d) I y II
e) I, II y III
Respuesta: c) 11. Las líneas de fuerza (líneas de campo eléctrico) a) Se originan en las cargas negativas. b) Se pueden cruzar entre sí. c) Se dirigen hacia las cargas positivas. d) Se dirigen hacia las cargas negativas. e) Son perpendiculares a la fuerza eléctrica.
Respuesta: d) 12. Una carga positiva + q y otra negativa – 2q se localizan como se muestra en la figura del recuadro. ¿Cuál de los vectores es la mejor aproximación de la dirección del campo eléctrico en el punto A?
-2q A
B
q
C A
D
E
En el diagrama de cuerpo libre siguiente se muestran los vectores de campo eléctrico. Hay que tomar en cuenta que el campo eléctrico es directamente proporcional a la carga eléctrica, de manera que más campo eléctrico genera la carga – 2q, y también el campo eléctrico es inversamente proporcional con el cuadrado de la distancia que existe entre un punto y la carga que genera ese campo eléctrico, o sea, la carga – 2q genera un campo eléctrico mucho más grande que el que genera la carga q.
-2q A
Respuesta: d) 286
q
ELECTROSTÁTICA
13. En el centro de un cascarón esférico conductor, eléctricamente neutro, se coloca una carga – Q. De las siguientes afirmaciones, la opción correcta es: I. El campo eléctrico en el interior del conductor es cero. II. El campo eléctrico en la superficie interior del cascarón apunta radialmente hacia el centro del cascarón. III. El campo eléctrico entre la carga y la superficie interna del cascarón es constante. a) b) c) d) e)
Sólo I. I y II. Todas son correctas. I y III. II y III.
-Q
La carga – Q induce en la superficie interior del cascarón una carga + Q, de tal manera que las líneas de campo eléctrico salen de la superficie interior y llegan hasta la carga – Q; en la superficie exterior induce una carga – Q de manera que las líneas de campo eléctrico ingresan a la superficie exterior. En el gráfico siguiente se muestra esta situación.
-
+ -
I. Verdadero porque no existe carga eléctrica al interior de un conductor eléctrico II. Verdadero, observe en la figura anterior. III. Falso, porque varía según la separación entre la carga y el cascarón.
Respuesta: b)
287
ELECTROSTÁTICA
4.3.2. EJERCICIOS PROPUESTOS 1.
Una barra cargada negativamente se acerca a un dieléctrico (aislante) que está eléctricamente neutro, como se muestra en la figura. Entonces el enunciado falso es: a) La carga neta del aislador es cero. b) La barra y el aislador se atraen. c) La barra mantiene su carga. d) Existe campo eléctrico alrededor de la barra. e) Las cargas negativas de la barra atraen y movilizan a las cargas positivas del dieléctrico a la parte más cercana de la barra.
Dieléctrico
Barra -
-
-
-
-
-
2. En una región donde la intensidad de campo eléctrico es uniforme, dirigido hacia arriba y de magnitud 10 000 N/C, se suelta desde el reposo un cuerpo de 5 g (gramos) con una carga de + 2 µ C. Determine la distancia que recorre el cuerpo en 5 s. a) 72.5 m hacia arriba. b) 72.5 m hacia abajo. c) 172.5 m hacia abajo d) 172.5 m hacia arriba. e) 50 m hacia abajo. P 3. El campo eléctrico en el punto P tiene un valor nulo. Si q = + 20 µ C, determine el valor de Q.
a ) − 2q
a
b) − 2 / 2 q c) − 2 / 4 q d ) − 2q
q
e) − 2 2 q
Q a
Q a
4. Una esfera conductora hueca tiene una carga neta + q. Si se coloca una partícula con caga eléctrica – q en el centro de la esfera, sin hacer contacto con ella, ¿cuál de las siguientes opciones es correcta para el campo eléctrico? r
b 2 a) kq/r 0 2kq/r2 a b) kq/r2 0 - kq/r2 b c) kq/r2 kq/r2 kq/r2 d) kq/r2 0 0 e) 0 0 0
5. Dos cargas q1 = + 2µ C y q2 = - 4µ C son colocadas como se muestra en la figura. Entonces, la intensidad del campo eléctrico es cero en: a) Sólo a la izquierda de q1. b) Sólo en algún punto entre q1 y q2. c) Sólo a la derecha de q2. d) En cualquier punto del eje x. e) En ningún punto del eje x.
q1
288
q2
x
ELECTROSTÁTICA
6. Para la configuración mostrada, el campo eléctrico es cero en el punto P. El valor de QB es a) – 1 µ C b) + 1 µ C c) – 3 µ C d) – 2 µ C e) + 3 µ C
Q A = +9.0µ C
Q B
+
P 3.0 cm
1.0 cm
7. Para la configuración mostrada, la magnitud y dirección del campo eléctrico en el origen de coordenadas es: a) 3.05 × 105 N/C a 225º. y(cm) b) 3.05 × 105 N/C a 135º. (0,50) − 6.0 C c) 2.16 × 105 N/C a 135º. d) 3.05 × 105 N/C a 45º. e) 2.16 × 105 N/C a 45º.
+ 6.0 µ C (50,0)
x(cm)
8. En el gráfico adjunto, la componente x del campo eléctrico en el origen 0 del sistema coordenado XY se acerca más a: y a) − 3600ˆ i N / C b)
+ 2700ˆ i N / C
c)
− 2700ˆ i N / C
d)
− 9000ˆ i N / C
e)
+ 3600ˆ i N / C
Q = +2 C
m 6 . 1
0
1.2 m
Q = −1 C x
9. ¿Qué aceleración adquiere en el vacío un protón al momento de ser soltado en el punto medio entre las cargas Q+2 y Q–1? (Masa del protón= 1.67 × 10–27 kg) a) + 1.3 × 1012 jˆ m / s 2 y b)
− 4.0 × 1012 jˆ m / s 2
c)
− 2.7 × 10 jˆ m / s
d)
+ 2.7 × 1012 jˆ m / s 2
e)
− 1.3 × 10 jˆ m / s
12
12
2
Q = +2 C m 6 . 1
2
0
1.2 m
Q = −1 C x
289
ELECTROSTÁTICA
10. Un protón, que se desplaza con una gran velocidad inicial, como se indica en el gráfico, penetra perpendicularmente por el agujero A de una placa circular metálica cargada negativamente. Frente a esta placa se encuentra una segunda placa metálica, cargada positivamente, con un agujero en el centro. ¿Qué se puede afirmar acerca de la velocidad del protón al llegar a la segunda placa, comparada con la velocidad que tenía en A? a) La velocidad en B es más pequeña que en A, y sigue la misma dirección. b) La velocidad en B es más grande que en A, y sigue en la misma dirección. c) La velocidad en B es más grande que en A, pero sigue una trayectoria curva. d) Sale en B con la misma velocidad que tuvo en A. e) La velocidad en B es más pequeña que en A, pero sigue una trayectoria curva.
-
+
-
+ 2
11. Dos cargas puntuales positivas de igual carga, q, están separadas una distancia x. El punto P se encuentra a la misma distancia, x, de las dos cargas. ¿Cuál de las flechas en el diagrama describiría con mayor exactitud la dirección del campo eléctrico en el punto P, producido por las dos cargas? a) La flecha 2 b) La flecha 1 c) La flecha 3 d) La flecha 4
P
3
x
q
4
x
1
x
q
12. Una partícula alfa (dos protones y dos neutrones) y un protón son colocados a igual distancia entre dos placas cargadas eléctricamente como se muestra en la figura. ¿Cuál de las siguientes opciones describiría mejor el movimiento de las partículas en el instante que son liberadas? a) La partícula alfa se moverá hacia arriba con el doble de la velocidad que el protón. b) Las dos partículas se mueven hacia arriba con la misma velocidad. c) La partícula alfa se acelera hacia arriba con el doble de la aceleración del protón. d) Las dos partículas se mueven con la misma aceleración. e) La partícula alfa acelera hacia arriba con la mitad de la aceleración del protón.
-----------------------
α 2
+
p +
+ + + + + + + + + + + + + + ++
290
ELECTROSTÁTICA
13. La figura muestra las líneas de campo eléctrico provenientes de las cargas Q1 y Q2. De la figura se puede decir que: y' a) El campo eléctrico es cero en P2. b) |Q1| > |Q2|. c) Ambas cargas tienen igual signo. d) El campo eléctrico podría ser cero en P1. Q1 Q2 P2 e) Ninguna de las anteriores es correcta. P1 x x'
y
14. Una carga puntual Q = - 500 nC y dos cargas puntuales q1 y q2 son colocadas como se muestra en la figura. EL campo eléctrico en el origen O, debido a las tres cargas es cero. La carga q1 es: a) – 212 nC. y Q b) 122 nC. c) – 120 nC. m 2. 0 d) 250 nC. e) 212 nC. 30 0 1.4 m q1 x 0.7 m q2
15. Un par de placas conductoras cargadas producen un campo eléctrico de 12 000 N/C, que apunta hacia la derecha. La separación entre las placas es 40.00 mm. Un electrón es disparado con una velocidad inicial V 0 = 2.0 × 107 m/s. La velocidad con la que el electrón impacta a la placa es: (q e = 1.602 × 10– 19 C, me =9.1 × 10– 31 kg). A B a) 2.1 × 107 m/s E = 12 000 N/C b) 1.8 × 107 m/s c) 1.5 × 107 m/s d) 1.2 × 107 m/s V0 e) 2.4 × 107 m/s
40 mm 16. Una carga de – 27 mC se localiza en el punto (0,3) m, mientras que otra de – 64 mC está en (4,0) m. ¿Qué carga (signo y magnitud) debe colocarse en (0,0) para que el campo eléctrico en (4,3) m sea nulo. a) + 32 mC. b) – 125 mC. c) + 125 mC. d) – 32 mC. e) + 96 mC. 17. Un campo eléctrico no uniforme es representado por las líneas de campo que se muestran en la figura. ¿En cuál de los puntos se genera mayor aceleración?
B A
D E
C
291
